2011
APUN PUNTES ESTADIST ISTICA DESCRIPTIVA Material de Apoyo a la Unidad Ideas generales de la Estadística Descriptiva considerando definiciones, ejemplos y ejercicios propuestos.
D. Eduardo Orellana 09/2011
D. Eduardo Orellana
APUNTES ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Liceo Comercial “Instituto Superior de Comercio de Chile (ex A-99)
Autor del presente Apunte o Guía Asignatura: Sr. Eduardo Orellana
Derechos Reservados Página 2 de 26
D. Eduardo Orellana
APUNTES ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Liceo Comercial “Instituto Superior de Comercio de Chile (ex A-99)
Autor del presente Apunte o Guía Asignatura: Sr. Eduardo Orellana
Derechos Reservados Página 2 de 26
D. Eduardo Orellana
PRESENTACIÓN
Este material contiene la unidad de Estadística Descriptiva, en la cual, se describe de manera sintetizada los principales tópicos correspondientes a cada subtema de la unidad. Además incorpora por contenidos ejercicios resueltos donde se detalla, el proceso lógico que nos conduce a un resultado. Para reforzar los contenidos tratados en este apunte se proponen ejercicios de alternativas y un problema de aplicación que se enuncia enu ncia con sus respectiva respuesta. El desarrollo de este material tiene el propósito de ser apoyo al curso cuarto medio E que permita internalizar los conceptos básicos de la Estadística Descriptiva, siendo un aporte a la comprensión de los procesos laborales labo rales y tecnológicos, del mundo actual.
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ESTRUCTURA DEL APUNTE PRESENTACIÓN UNIDAD: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Introducción Definiciones Distribuciones de Frecuencias Variable de tipo discreta Variable de tipo continua Manejo de datos en tablas de frecuencia Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Frecuencia relativa porcentual Frecuencia absoluta acumulada Frecuencia relativa acumulada Representaciones gráficas de la distribución de frecuencias Histograma Polígono de frecuencias Ojiva Problemas resueltos Estadísticas o Estadígrafos Tipos de Estadígrafos Notación Medidas de Tendencia Central Media Aritmética o Promedio Caso Datos no agrupados Propiedades de la Media Aritmética Media Aritmética Ponderada Media Aritmética Estratificada Mediana Moda Percentiles Medidas de Dispersión Rango Desviación Típica o Standard Ejercicios
BIBLIOGRAFÍA
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UNIDAD: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Introducción La Estadística, se ocupa de la obtención, organización y análisis de la información numérica, tiene un papel fundamental en el mundo de hoy. Las personas sufren tal bombardeo de datos, que se sienten, muchas veces, incapaces de tomar buenas decisiones.
Aunque en un principio, la Estadística surge a partir de la elaboración de censos, actualmente se extiende su aplicación a numerosos campos, como la Medicina, la Biología, la Sicología, la Educación, Actividades Deportivas; Asuntos legales o penales, etc. Definiciones: A.
Estadística
Es un conjunto de conceptos y métodos, empleados para recolectar e interpretar datos referentes a un área de investigación particular y para extraer conclusiones en situaciones en que la variabilidad está presente. B.
Estadística Descriptiva o Deductiva
Como su nombre lo dice es una descripción, vale decir, resume y registra en forma adecuada un gran conjunto de datos. Estos datos se recopilan, organizan, tabulan, y se representan mediante gráficos o tablas. C.
Población
Población Estadística, es el conjunto completo de posibles mediciones o registros de algún rasgo cualitativo y corresponde a la colección completa de unidades de las que se harán inferencias. La Población representa el objetivo de una investigación, y por ende, es el punto desde donde se recolectan datos para obtener, o extraer conclusiones referentes a ella. D.
Muestra
La Muestra de una población, es el conjunto de mediciones que se obtienen en el curso de la recolección, por lo tanto corresponde a un subconjunto de la Población. E.
Variable
Es cualquier característica que diferencia a un miembro de otro dentro de una misma Población Estadística. Puede tomar un valor cualquiera obtenido de un conjunto que constituye el dominio de la variable. Se representa por x, y, etc. Página 5 de 26
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Tipos de Variables
Consideramos dos tipos: Variable Continua y Variable Discreta: Variable Continua es aquella que puede tomar cualquier valor real comprendido entre los valores dados. •
Por estatura de una persona.
ejemplo
Variable Discreta es aquella que puede tomar sólo valores enteros. •
Por ejemplo número de personas que son atendidas en una Agencia de Contabilidad en un mes determinado F.
Datos
Conjunto de valores asociados o asignados a una variable. Por ejemplo Población: Trabajadores de un hospital. Muestra:
Trabajadores que laboran en las distintas especialidades, del recinto hospitalario
Variable: pediatría
Ingresos los trabajadores de la especialidad de
Datos:
$350.000; $425.000; $385.200; $421.400 etc.
Distribuciones Frecuencias
de
Es usual presentar la ordenación de datos muy numerosos, en forma agrupada y ordenada, en clases o categorías , determinar el número de individuos que pertenecen a cada clase, se denomina, Frecuencia de Clase.
Una disposición tabular o Tabla de Datos, junto con las correspondientes frecuencias de clase, se llama Distribución de Frecuencias , o Tabla de Frecuencias. Para confeccionar estas Tablas de Frecuencias, debemos considerar las siguientes situaciones:
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•
Si la variable que estamos midiendo, es de tipo Discreto, asumen valores de un conjunto finito, entonces podemos realizar la distribución en columnas, en las cuales se registran los valores de la variable y las frecuencias asociadas a ellas.
•
Si la variable que estamos midiendo, es de tipo Continuo, pueden tomar cualquier intervalo determinado por los números reales, no tiene sentido tabularla para cada una de las observaciones, dado que es muy improbable que la variable bajo estudio tome el mismo valor durante el experimento. Dicho de otro modo, cuando en una distribución de frecuencias haya muchos valores distintos de la variable, conviene agruparlos en Intervalos o Clases.
Distribuciones de Frecuencias Agrupación de Intervalos
Se debe considerar: Recorrido o Campo de Variación de la Variable: Es la diferencia entre el mayor y el menor valor que ella toma. Se designa por R. •
Tamaño de los Intervalos:
Es decidir el número y tamaño de los intervalos. Dependen de la cantidad de datos de la muestra y de su recorrido. • Número de Intervalos:
Debe cumplir con dos condiciones : a.- Resumir la información. b.- Conservar el detalle de la muestra.
Variable Tipo Discreto
Los siguientes datos corresponden a los pesos de un grupo de 33 personas: 45 36 72 54 45 72 48 62 38 43 48 64 43 36 54 72 64 60 70 38 64 60 70 48 72 62 72 48 54 64 70 43 60 Página 7 de 26
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Tabla de Frecuencias que corresponde es:
Peso
N° de personas
38
2
43
3
45
2
48
4
54
3
60
3
62
2
64
4
70
3
72
5
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Variable Tipo Continuo
Los siguientes datos, corresponden a las estaturas de un grupo de 30 adolescentes en centímetros: 154 178 150 166 182 175 163 175 150 162 152 155 161 165 160 159 160 168 162 162 163 155 157 161 162 155 167 164 165 158 158 163 166 167 156 164 170 176 172 160 R = 182 - 150 = 32
Si elige intervalos de cuatro puntos de diferencia entre los valores extremos, de cada intervalo entonces : 32:4 = 8 intervalos Tabla de Frecuencias:
Intervalo
N° de adolescentes
150-154
3
154-158
6
158-162
8
162-166
11
166-170
5
170-174
2
174-178
3
178-182
2
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Manejo de Datos en Tablas de Frecuencias Para facilitar el resumen de la información contenida en las Tablas de
Frecuencias, es necesario definir algunos conceptos: a)
Frecuencia o Frecuencia Absoluta
Corresponde al número de veces que se repite un valor o una característica determinada, en algunos casos corresponderá al número de valores que caen en un determinado intervalo. b)
Frecuencia Relativa
Si se denota por a la variable bajo estudio y al número de veces que se repite dicha variable, la Frecuencia Relativa corresponderá a la expresión: hi
= ni n
c)
Frecuencia Relativa Porcentual
Corresponde a la Frecuencia Relativa multiplicada por 100. hi ⋅ 100
d)
Frecuencia Absoluta Acumulada
Corresponde a los valores una vez ordenados que van siendo agregados a través de las distintas clases o categorías. N i
e)
=
n1
+ n2 + ................ + nk
Frecuencia Relativa Acumulada
Corresponde a la Frecuencia Absoluta acumulada partido por el total de observaciones. H i
= N i n
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Representaciones Gráficas de las Distribuciones de Frecuencias a)
Histograma
Consiste en un conjunto de rectángulos con: Bases en el eje X horizontal, centros en las marcas de clases y longitudes iguales a los tamaños de los Intervalos de Clases. Áreas proporcionales a las Frecuencias de Clases. Si los Intervalos de Clases, tienen todos la misma amplitud, las alturas de los rectángulos son proporcionales a las Frecuencias de Clase, y entonces es costumbre tomar las alturas iguales a las Frecuencias de Clase. b)
Polígono de Frecuencia
Es un gráfico de trozos de la Frecuencia de Clase con relación a la marca de clase. Puede obtenerse conectando los puntos medios de las partes superiores de los rectángulos del Histograma. Por ejemplo Polígono e Histograma de la Tabla de Frecuencias de la tabla de frecuencia anterior.
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c)
Ojiva
Otra representación gráfica de las Tablas de Frecuencias es la Ojiva, la diferencia entre ésta y el Histograma, o el Polígono de Frecuencias, es que la Ojiva representa la distribución de frecuencias acumuladas por debajo de cualquiera de las fronteras de clase superiores respecto de dicha frontera. Por ejemplo
Problemas Resueltos 1. a. b. c. d. e. f.
Dadas las siguientes variables, clasifíquelas, en discretas o continuas: Monto de las cotizaciones previsionales Miligramos de soluto, en diferentes volúmenes de solución Número de cargas familiares de un grupo de trabajadores de la salud Número de persona que ingresa diariamente a un consultorio, durante un determinado mes. Valor de una consulta dermatológica Número de recetas médicas emitidas, durante un mes determinado, por un profesional de a salud
So luc ió n: a. b. c. d. e. f.
Variable continua Variable continua Variable discreta Variable discreta Variable continua Variable discreta
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Los siguientes datos corresponden a la cantidad de remedios ingeridos diariamente, por un grupo de 20 pacientes.: 5 2 3 1
0 4 2 3
2 3 1 2
3 2 2 0
1 0 5 4
2. Con la información anterior construya una tabla de distribución de frecuencias, considerando frecuencias absolutas y relativas. Solución: Los datos anteriores corresponden a una variable discreta, ya que no admite valores intermedios. Los valores de la variable están comprendidos entre 0 y 5, los cuales se ubican en la primera columna, marca de clase. La segunda columna corresponde a la frecuencia absoluta ( ni ), la cual se obtiene contando, las veces que se repiten cada uno de los valores de la muestra. La tercera columna corresponde a la frecuencia absoluta acumulada ( N i ) , el primer valor acumulado es igual al primer valor de la frecuencia absoluta, los siguientes valores , se obtienen a partir de sumas acumuladas. La cuarta columna corresponde a la frecuencia relativa ( h ) ⋅ 100 , que indica el porcentaje de cada i
frecuencia absoluta, respecto del total h i=
n i
n
La quinta columna corresponde a la frecuencia relativa acumulada ( H i ) , el primer valor acumulado es igual al primer valor de la frecuencia relativa, los siguientes valores , se obtienen a partir de sumas acumuladas. Cantidad de Re medios
0 1 2 3 4 5 Totales:
ni ( Número de Pacientes )
3 3 6 4 2 2 20
hi
⋅ 100 3 6 12 16 18 20
15% 15 % 30 % 20% 10 % 10 % 100%
H i
15 % 30 % 60 % 80 % 90 % 100 %
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3. a. b. c. d.
Con respecto a la tabla anterior, responda lo siguiente: Número de pacientes, que ingieren menos de tres medicamentos diarios ¿ Que tanto por ciento de personas no ingieren medicamentos? ¿ Que porcentaje de pacientes ingieren entre dos y tres medicamentos diarios? Número de pacientes que ingieren a lo menos cuatro fármacos.
Solució n : a. Doce pacientes consumen menos de tres medicamentos diarios. Esto se obtiene, considerando la suma de ninguno, uno y dos pacientes que cumplen esta condición. b. El quince por ciento de los pacientes no ingirieren medicamentos, esto lo obtenemos directamente a partir de la tabla. c. El cincuenta por ciento de los pacientes consumen entre dos y tres medicamentos, esto corresponde a la suma de la frecuencia relativa de dos y tres pacientes. d. Cuatro pacientes ingieren a lo menos cuatro fármacos, que corresponde a la suma de las frecuencias absolutas de cuatro y cinco pacientes. Represente gráficamente la información anterior La siguiente información nos proporciona el número de enfermos cardiacos que se encuentran en tratamiento en cincuenta centros hospitalarios 5 8 4
12 3 11
8 15 7
25 18 9
4 14 12
10 9 14
15 6 10
23 7 11
10 20
15 17
4 14
8 11
5 3
12 4
11 1
14 18
2
0 21 4 9 10
4. Con la información anterior construya una tabla de distribución de frecuencias Solució n : Rango de la variable: Valor máximo variable – Valor mínimo de la variable R = 25 – 0 = 25 Para la construcción de la tabla de distribución consideraremos una amplitud de 5 ( Este valor corresponde a un criterio determinado, Ud. puede elegir otra amplitud, de acuerdo a su criterio) Con respecto al tipo de intervalo, se ha escogido, intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha. Cerrado por la izquierda significa que este valor pertenece al conjunto, abierto por la derecha, significa que el valor no está incluido en el intervalo. Usted puede definir otro tipo de intervalo.
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Núme ro
[ x
de enfermos cardía
/ i
−1
′
− x i
cos
[
Marca ni ( Número de clase Hospitales )
de
hi ⋅ 100
H i
20% 26% 34% 12% 8% 100%
20% 46 % 80 % 92 % 100 %
xi
0-5 5 –10 10 -15 15 -20 20 -25
2,5 7,5 12,5 17,5 22,5
10 13 17 6 4 50
Totales: 5. a. b. c. d.
10 23 40 46 50
Con respecto a la tabla anterior, responda lo siguiente: ¿ Qué cantidad de hospitales tiene entre 5 y menos de 15 enfermos cardíacos? ¿ Qué porcentaje de hospitales tienen menos de 20 enfermos cardíacos? ¿ Qué cantidad de hospitales atienden menos de 10 enfermos cardíacos? Entre que rango varían el mayor número de atenciones cardíacas en estos centros hospitalarios?
So luc ió n: Observando los valores de la tabla de distribución, podemos responder las interrogantes anteriores, en forma similar al problema anterior a. En 30 hospitales ingresan entre 5 y 15 menos de enfermos cardíacos. b. 92% de los hospitales reciben menos de 20 enfermos. c. En 23 hospitales ingresan menos de 10 pacientes d. Diecisiete hospitales atienden entre 10 y menos de 15 cardíacos
6. La siguiente información corresponde a los ingreso mensuales recibidos por 40 enfermeras becadas, durante la realización de un postgrado. HISTOGRAMA ingresos de enfermeras becadas 30% 28% 26% 24%
%
d e e n e f r m e a r s
22% 20% 18% 16% 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2% 0% 620 - 665
665 - 710
710 - 755
755 - 800
800 - 845
845 - 890
Ingresos
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Con la información anterior, construya una tabla de distribución de frecuencias: So luc ió n: Observando el histograma, obtenemos los intervalos y la frecuencia relativa asociada. Como el número de enfermeras es 40, entonces como h =
ni
n
=
h
⋅
n , reemplazando cada valor de
, i
n
i
i
hi obtenemos, la frecuencia absoluta correspondiente. Las restantes columnas, se obtienen de la
misma manera, definidas anteriormente.
∑
n = 40
100%
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Estadísticos o Estadígrafos Los Estadígrafos se definen como una regla para calcular alguna medida a partir de un grupo de observaciones, éste corresponde a un número real fijo.
a) Tipos de Estadígrafos • • •
Estadígrafos de Centralidad o Medidas de tendencia Central: Media, Mediana, Moda. Fractiles: Cuartiles, Deciles, Percentiles. Estadígrafos de Dispersión: Desviación Estándar, Varianza, Coeficiente de Variación.
b) Notación • Notación de Índices:
Denotemos por cualesquiera de los N valores que toma una variable x. La letra i en , puede valer 1,2,3,...n. Se llama subíndice. • Notación de Suma:
El símbolo • •
denotará la suma de todos los desde
i =1, a i = n por definición n
∑ x = x i=1
i.
1
+ x2 + ............ + xn
: variable de estudio : i-ésimo valor de la variable n: cantidad de datos de una población finita.
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Medidas de Tendencia Central
Es el valor típico o representativo de un conjunto de datos. Se identifican varios tipos, siendo los más comunes, la Media Aritmética, la Mediana, la Moda Cada una tiene ventajas y desventajas, según los datos y el objetivo perseguido . •
Media Aritmética o Promedio
CASO I : Datos no agrupados
La Media Aritmética de un conjunto de n números x1 , x2 ,..........., se define por: x = x1 + x2 + ............ + = xn
y
xn
n
∑
se denota por
xi
i=1
n
n
Ejemplo
1) La Media Aritmética de los números 8 + 3 + 5 + 12 + 10 x = =
8, 3, 5, 12 y 10 es:
7,6 5
Caso II: Datos agrupados Sean
las marcas de clase de cada uno de los k intervalos, cada uno con k ⋅ una Frecuencia Absoluta de luego es: x = ∑ ni xi i=1
n
Ejemplo: Número de insumos adquiridos, por 25 servicios de urgencia, en un determinado mes
Intervalo 100-150 150-200 200-250 250-300 300-350 350-400
125 175 225 275 325 375
8 6 5 3 2 1
1.000 1.050 1.125 825 650 375
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6
x =
∑ x ⋅ i=1
i
n
ni
=
5.025 25
=
201
Los veinticinco servicios de urgencia adquieren durante el mes un promedio de 201 insumos. Una desventaja de la Media, es que es altamente influenciable por valores extremos, por lo que la Media es recomendable cuando la variable tiene una distribución simétrica.. El profesional obtiene un promedio ponderado de 82,4 puntos admisión para su postgrado
en la prueba de
Media Aritmética Estratificada Se utiliza cuando conocemos los promedios de la muestra por grupos o estratos y se define por la siguiente expresión: n
∑ x ⋅ i
ni x =
i=1
n
xi
: media aritmética o promedio de cada estrato
ni
: número de observaciones en cada estrato
Ejemplo: Se sabe que en un control de niño sano al cual asisten 20 infantes, ocho tienen entre cero y cuatro años, con un peso promedio de 20 kilos; el otro grupo corresponde a menores con más de cuatro años y menos de diez, que presentan un peso promedio ce 31,5 kilos. ¿Cuál es el peso promedio que presentan el total de menores? Solución : 2
∑n x ⋅ i
i
x =
i=1
n
=
20 ⋅ 8 + 31,5
⋅ 12
=
20
538 20
=
26,9
El peso promedio del grupo corresponde a 26,9 kilos
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•
Mediana
Mediana de un conjunto de números ordenados en magnitud es aquel valor que supera al 50% de las observaciones y es superado a lo menos por el 50% restante. a) El conjunto de números 3,4,4,5,6,8,8,8, y 10 tiene Mediana 6 b) El conjunto de números 5,5,7,9,11,12,15 y 18 tiene Mediana
•
Moda
La Moda de un conjunto de datos, es el valor de la variable que mas se repite o cuya frecuencia es máxima. La Moda puede no existir, incluso no ser única en caso de existir.
. Percentiles ( Pp)
Dividen la muestra en 100 partes iguales, cada una de ellas representa el 1% de los datos. P p: Valor del 1,2,.................99
percentil
con
p
=
Por ejemplo, percentil 70, significa que este valor supera a lo más al 70% de las observaciones y es superado a lo menos por el 30% restante
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Medidas de Dispersión La dispersión se relaciona con la mayor o menor concentración de datos en torno a un valor central, generalmente el Promedio o la Media. Existen varias Medidas de Dispersión.
A. Rango
El Rango de un conjunto de números es la diferencia entre el mayor y el menor de ellos. R = xmax . − xmin .
B. Desviación Típica o Estándar Para datos no agrupados:
La Desviación Estándar de un conjunto de N números se define: k
S =
∑( x
i
i=1
se denota por S y
− x) 2
n
D. Varianza
La Varianza de un conjunto de datos se define como el cuadrado de la desviación estándar. 2
V ( x) = S
Ejemplo: Considerando la desviación típica S=72,277 insumos, la varianza es: V ( x) = 72,277
2
= 5.224
La varianza es 5.224 adquiridos.
insumos
insumos
2
2
. , este valor indica la variabilidad promedio de insumos
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E. Coeficiente de Variación
El Coeficiente de Variación sirve para comparar la dispersión de los datos respecto al promedio entre grupos de distintas medidas, es adimensional y se define como:
Ejemplo: Considerando la desviación típica anterior 72,277 y se tiene una media aritmética 201, el coeficiente de variación queda definido del siguiente modo: CV =
72,277 201
⋅ 100 =
35,95 %
El coeficiente de variación es 35,95%, esto indica que existe una dispersión de un 35,95% con respecto a la media aritmética
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Ejercicios 1)
a) b) c) d) 2)
a) b) c) d) 3)
a) b) c) d) 4)
En cada hospital del país se tiene la siguiente cantidad de camas en pésimo estado 2,2,5,7,9,9,9,10,10,11,12,18,20 respecto a esta información la moda y la mediana son respectivamente: 9y7 9y9 5 y 10 12 y 9 ¿En cual de los siguientes conjuntos de datos: la media, la mediana y la moda coinciden : 3,4,5,9,10,11 3,4,5,6,7,8,9 6,3,4,6,8,9,6 1,2,3,4,5,5,5 La media entre cinco datos es 5 y se sabe que los cuatro primeros números son: 4,3,9, y 7 entonces el dato que falta es: 2 18 8 7 La siguiente tabla corresponde a la cantidad de facturas que han analizado los contadores de una empresa nacional de lunes a sábado. La mediana correspondiente a estos datos es: a. 8 b. 15 Días Nº de Facturas c. 25 LUNES d. 30 15 MARTES
25
MIERC.
30
JUEVES
25
VIERNES
15
SÁBADO
8
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5)
a) b) c) d)
6)
Se tiene la siguiente tabla de distribución respecto a una muestra de tamaño 20. ¿Cuánto vale la frecuencia absoluta ?. 3 5 Variable hi % 9 (0 , 3) 15 10 25
(6 , 9)
15
(9 , 12)
45
El gráfico adjunto representa la distribución de pesos respecto a la frecuencia absoluta de un grupo de guaguas recién nacidas en cierto hospital de Santiago ¿El número de guaguas pesadas fueron?:
2 a) b) c) d)
(3 , 6)
4
6
8
10 12
pesos (kg)
12 38 34 32
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7)
La siguiente información nos proporciona el número de fichas médicas que son confeccionadas en cincuenta consultorios, durante el transcurso de un día determinado. [ x
/
i −1
Marca de Número de clase consultorios
fichas
Número de
− x′i [
hi ⋅ 100
H i
xi
⋅
ni
2
( x − x) ⋅ ni
0-5 5 –10 10 -15 15 -20 20 -25 Totales:
xi
ni
2,5 7,5 12,5 17,5 22,5
10 13 17 6 4 50
10 23 40 46 50
20% 26% 34% 12% 8% 100%
20% 46 % 80 % 92 % 100 %
25 97,5 212,5 105 90 530
i
656,1 124,93 61,37 285,66 566,44 1694,50
Determine el número de fichas promedio que se confeccionan a los diferentes consultorios en el transcurso del día. ¿En qué porcentaje varia el número de fichas médicas que se confeccionan en los diferentes consultorios en un día determinado respecto de la media aritmética? Solución: El número de fichas promedio está determinado por la siguiente expresión: x =
∑ x
i
ni
= 50
530
=
10,6
Se pide, calcular el coeficiente de variación, por lo tanto, es necesario, calcular la desviación típica y considerar la media aritmética, calculada anteriormente.
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