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Estadística Descriptiva Rodolfo Abanto C. Universidad Adolfo Ibáñez
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I. Introducción, Tablas y Gráficos 1. Introducción. No podemos concebir la idea de un ingeniero trabajando sin datos. En finanzas, en la industria, en economía y en muchos otros campos de la realidad la presencia de conjuntos de datos es frecuente, de allí la necesidad de conocer los fundamentos probabilísticos y métodos estadísticos que permitan el adecuado análisis de datos y que estos en consecuencia permitan deducir conclusiones para resolver problemas o generar oportunidades. La ciencia estadística dispone de herramientas de recolección, de presentación y organización de datos y de análisis. Problemas y oportunidades como mencionamos antes están presentes en el quehacer diario de un ingeniero civil, predecir o explicar las ventas de un negocio, predecir la temperatura de un día en particular, comparar el tratamiento de dos químicos, segmentar clientes, modelar el mercado financiero son por nombrar algunos ejemplos de problemas muy frecuentes.
2. Estadística Descriptiva. Los datos pueden ser generados automáticamente por registros contables, industriales, reportes, revistas, diarios, etc. Pero también se pueden generar mediante encuestas diseñadas especialmente en cada estudio en particular. Los estudios estadísticos pueden referirse a toda la población y en este caso estaremos en presencia de un censo. Por otro lado, son muy frecuentes los estudios muéstrales, en agronomía, finanzas, marketing e industrias en general. Trabajar con una muestra de datos y no con toda la población hace la investigación más rentable en términos económicos y de tiempo; pero también es razonable considerar que las muestras deben ser representativas, si no los resultados serían incongruentes con la realidad respecto a las decisiones y en vez de solucionar un problema, podría ocasionar problemas más grandes. La ciencia estadística recomienda seleccionar aleatoriamente para obtener muestras representativas. Por último, recolectados los datos, el siguiente paso es resumir y describirlos, esto se puede hacer usando las metodologías disponibles en la “Estadística descriptiva”. Estos procedimientos tienen los mismos objetivos en esencia, pero es importante considerar la metodología si estamos en frente de una población o de una muestra. Por ejemplo en un estudio poblacional la media se calcula: ∑ Y en una muestra
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̅
∑
) son dos Muchos dirían que es lo mismo, pues no, hay una diferencia de tamaño ( elementos muy diferentes en la ciencia estadística, también y ̅ son dos medidas muy diferentes, primero es una medida de la población cuyo valor es único (parámetro) a diferencia de ̅ que es una medida de la muestra y cuyo valor (estimación) depende de la muestra que se tome (estimador). Y así hay muchas otras diferencias respecto a la metodología, propia si es que se está en presencia de una población o de una muestra de datos.
3. Población y Muestra El desarrollo de los procedimientos estadísticos en una población es diferente al desarrollo metodológico en una muestra. Planteado un problema de investigación es importante definir claramente la población de estudio en términos de los objetivos, pues las conclusiones que se obtengan serán de interés sólo para la población definida, por otro lado, las poblaciones deben quedar claramente definidas es espacio y tiempo. Los comportamientos poblacionales no son estables, más aún, si el estudio es de corte trasversal, se debe definir claramente el momento en que fueron recolectados los datos. La población se define como la totalidad de elementos en estudio. Una muestra, es un conjunto representativo y adecuado de la población. Las técnicas de muestreo buscan o se desarrollan en base a estos dos criterios. 4. Variables Son características asociadas a los elementos de una población de estudio. Esta característica debe ser medida de acuerdo a los objetivos del estudio. Es una característica asociada a un elemento que compone la población, esta no es cualquier característica como por ejemplo el número de Rut, que implica no más que una identidad a cierta persona, no serviría de nada por ejemplo obtener el promedio de números de Rut o quizás graficar. Por lo tanto, las variables son características asociadas directamente a individuos, objetos, o empresas de las que se puede deducir conclusiones estadísticamente útiles en la toma de decisiones. Las variables se pueden clasificar de la siguiente forma: A.
Variables Cuantitativas: Son aquellas características cuya naturaleza de su resultado o respuesta se puede expresar por una cantidad o número. Dentro de estas variables se pueden deducir dos:
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A.1
Variables Cuantitativas Continuas: Su resultado se expresa con un número real, ejemplo: utilidad, tasas de interés, ingresos, nivel de compra, etc.
A.2
Variables Cuantitativas Discretas: Su resultado se expresa por un número entero, ejemplo: numero de integrantes de una familia, número de empleos en los dos últimos años de una empresa, número de acciones transadas en un día, etc.
B.
Variables Cualitativas: Son aquellas Características cuya naturaleza de su resultado se expresan por un atributo o cualidad, como ejemplo: sexo, calidad de un producto, tipo de empresa, tipo de cliente, nivel de instrucción, etc.
EJEMPLO: El gerente de la Empresa ORA s.a, preocupado por el rendimiento de sus empleados (120 empleados conforman la empresa), decide investigar algunas variables socio - económicas, para lo cual, solicita información al jefe del Departamento de Personal. Entregando este, los siguientes datos:
Nº
Ingreso
Estado Civil
Nº de hijos Edad
1
300
Casado
1
28
2
200
Casado
0
22
3
150
Soltero
1
33
4
230
Casado
1
36
5
250
Casado
2
45
6
450
Soltero
3
45
7
230
Soltero
2
46
8
560
Soltero
1
48
9
238
Soltero
1
48
10
240
Soltero
4
56
11
270
Soltero
4
25
12
450
Casado
1
45
13
360
Casado
1
46
14
440
Soltero
0
26
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15
330
Casado
2
47
16
330
Casado
1
39
17
223
Soltero
0
26
18
236
Casado
3
30
19
200
Soltero
4
32
20
269
Casado
2
45
Comentario:
Como se observa en la tabla, el jefe del departamento de personal sólo entregó la información correspondiente a 20 funcionarios, de los 120 que constituye la empresa. Por lo que esta base de datos correspondería a una muestra; Ya que es un subconjunto de la población (totalidad de funcionarios de la empresa). No esta preciso si la muestra es representativa y adecuada.
Esta claro que el tamaño de la población es N = 120 y el tamaño de la muestra es n = 20. Por otro lado, se están reportando 4 variables de las cuales, dos son de tipo continua (edad e ingreso), una cualitativa (estado civil), y una discreta (número de hijos). Cabe destacar, que es cierto que la variable edad e ingreso están anotadas en forma discreta (representadas por un número entero); pero la naturaleza es continua, es decir, una persona puede decir que tiene ingreso de 340,24 mil pesos (existe); sin embargo nadie puede asegurar que tiene 1,4 hijos; sino que tiene 1 ó 2 hijos, que es la naturaleza de una variable discreta.
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2.
PRESENTACION DE DATOS: DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA Como veremos en esta unidad, los datos se pueden presentar en tablas que llamaremos distribuciones de frecuencia y/o en gráficos. La forma de la distribución de frecuencia y el tipo de gráfico, dependerá del tipo de variable a la que se este enfrentado.
2.1
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA: Son tablas estadísticas especialmente diseñadas para la presentación de datos (valores de la variable) y sus respectivas frecuencias de ocurrencia, de tipo absoluto y relativo (%). En las distribuciones de frecuencia para variable continua, cada clase estará determinada por intervalos continuos, en las variables discretas la clase estará determinada por el resultado de la variable, es decir, por un número entero, y en las distribuciones de frecuencia para variable cualitativa las clases quedarán determinadas por el atributo o cualidad del resultado de la variable.
Las tres tablas que se presentan, son distribuciones de frecuencia de una variable continua discreta y cualitativa:
Tabla Nº 1 : Distribución de frecuencia de las Utilidades mensuales, en millones de pesos, de PYME de la región metropolitana, Diciembre-2001 Utilidades ni (millones pesos)
mi
20-30
10
0,125 10
0,125 25
30-40
20
0,250 30
0,375 35
40-50
22
0,275 52
0,650 45
50-60
15
0,188 67
0,838 55
60-70
8
0,100 75
0,938 65
70-80
5
0,062 80
1,000 75
Total
80
1.000
Ni
Mi
Xi
Fuente: Asociación de PYME.
Tabla Nº 2 : Distribución de frecuencia del número de variedad de producción, de PYME de la región metropolitana, Diciembre de-2001.
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Variedad de ni Producción
mi
Ni
Mi
1 2 3 4 5 Total
0,250 0,375 0,125 0,125 0,125
20 50 60 70 80
0,250 0,625 0,750 0,875 1,000
20 30 10 10 10 80
Fuente: Asociación de PYME
Tabla Nº 3 : Distribución de frecuencia del rubro, de PYME de la región metropolitana, Diciembre de-2001 Rubro
ni
mi
Agricultura Manufactura Servicios Otros total
30 10 20 20 80
0,375 0,125 0,250 0,250 1,000
Fuente: Asociación de PYME
La tabla número 1, corresponde al diseño de una distribución de frecuencia para una variable de tipo continua. La primera columna muestra los valores de la variable (utilidad en millones de pesos) a través de intervalos continuos, los que se denominan intervalos de clase o simplemente clases, estos intervalos son cerrados por la izquierda (límite inferior) y abiertos por la derecha (límite superior). La segunda, tercera, cuarta y quinta columna muestran las frecuencias. Estas se definen de la forma: 1. Frecuencia absoluta simple ( ni ) : Define el número de datos con valores en la clase correspondiente. 2. Frecuencia relativa simple ( mi ): Define la proporción de datos, correspondiente a la frecuencia absoluta simple ( ni ) respecto al tamaño de la muestra ( n ), y esta se calcula por:
ni n La interpretación de esta frecuencia se hace en porcentaje. 3. Frecuencia absoluta acumulada ( N i ) : Acumula la frecuencia absoluta simple respecto a los valores de la variable (de menor a mayor).
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4. Frecuencia relativa acumulada ( M i ) : Acumula la frecuencia relativa simple, respecto a los valores de la variable (de menor a mayor). Y la última columna de esta distribución de frecuencia, define la marca de clase ( X i ), que es el punto medio del intervalo de clase y que nos servirá en los siguientes capítulos para calcular algunas medidas estadísticas descriptivas, se calcula por:
Xi
lim sup lim inf 2
donde:
lim sup , es límite superior de la clase y lim inf , es el límite inferior de la clase. Para interpretar una distribución de frecuencia se debe tener en cuenta las frecuencias más relevantes, como son las frecuencias más grande y pequeña o alguna que sea importante para el estudio, ejemplo: En la tabla número 1, en referencia a la distribución de frecuencia para una variable de tipo continua, la frecuencia absoluta más grande es la que corresponde a la tercera clase, en relación también a la frecuencia relativa simple, n3 = 22 y m3 =0,275, siendo su interpretación : “La clase con mayor número (22) de PYME es la de 40 a 50 millones de pesos y corresponden al 27,5% de las empresas en estudio”. Las frecuencias acumuladas, por ejemplo de la cuarta clase: N 4 = 67 y M 4 = 0,838, se interpretan de la forma: “55 PYME tienen utilidades entre 20 y 60 millones de pesos y es equivalente al 83,8% de las empresas en estudio”.
En la tabla número 2, se muestra el diseño de una distribución de frecuencia para una variable discreta. Las clases aquí como se ve en la primera columna quedan definidas por el resultado de la variable. Las frecuencias se definen, calculan e interpretan de igual forma que para la distribución de frecuencia de una variable de tipo continua, por ejemplo: La frecuencia absoluta y relativa simple de la segunda clase son: n2 30 y m2 0,375 , que se interpreta: “30 PYME tienen 2 variedades en su producción y equivalen al 37,5% de las empresas en estudio, además corresponde a la clase con mayor número de empresas”. La frecuencia absoluta y relativa acumulada de la tercera clase son: N 3 = 60 y M 3 = 0,75, que se interpretan: “60 PYME tienen en su producción 1, 2 ó 3 variedades (o se puede expresar también “entre 1 y 3”) y que equivalen al 75% de las empresas en estudio”.
En la tabla número 3, se muestra el diseño de una distribución de frecuencia para una variable cualitativa. Como se observa, las clases para este tipo de variable quedan definidas también por el resultado de la variable. Las frecuencias se definen, calculan e interpretan de la misma forma que en los casos de variable continua y discreta. Además es importante decir, que las frecuencias acumuladas para este tipo de variable no siempre se calculan
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puesto que las interpretaciones no tendrían sentido hacerlas, si las clases no estuvieran ordenadas, como es en este caso.
Finalmente, si se observa la presentación de las tres tablas, cada presentación tiene tres partes: un encabezamiento, la tabla propiamente dicha y una fuente. Estas partes siempre es importante que aparezcan en toda presentación de una tabla de distribución de frecuencia o de un gráfico debido a su formalidad. El encabezamiento debe construirse de acuerdo a la variable que se este estudiando y ubicarla en espacio y tiempo (utilidad, PYME y diciembre del 2001) y la fuente indica de donde fueron tomados los datos.
2.2
CONSTRUCCION DE UNA DISTRIBUCION DE FRECUENCIA PARA UNA VARIABLE CONTINUA. Para construir una distribución de frecuencia para una variable continua, se debe empezar calculando los intervalos de clase siguiendo los siguientes pasos: 1. Obtener el valor máximo y mínimo de los datos de la muestra en estudio. 2. Obtener el rango ( R valmax valmin ), que es la diferencia entre el valor máximo y mínimo, según se observa en la fórmula. 3. Obtener la amplitud ( c ), que es el cuociente entre el rango y el número de intervalos:
c
R , #
donde # es el número de intervalos.
El número de intervalos a usar en la distribución de frecuencia, dependerá de la cantidad de datos, se recomienda usar como mínimo 5 intervalos y cuando el número de datos es alrededor de 50, 6 alrededor de 60 datos, 7 alrededor de 70 datos y así sucesivamente, y de la dispersión o variación de la información. En general, el número de intervalos dependerá mucho de la experiencia del investigador. Hay fórmulas que ayudan a un principiante definir el número de intervalos, como por ejemplo la siguiente:
# 1 1,33 log n donde: #, es número de intervalos a encontrar y n es el tamaño de la muestra o número de datos disponibles. Por último, la amplitud quedará aproximada al número de decimales que tengan los datos 4. Encontrar el rango nuevo ( R c# ), que es el producto la amplitud encontrada en el paso 3 y el número de intervalos. 5. Encontrar la cantidad del rango sobrante ( s R R ), que es la diferencia entre el rango nuevo y el rango antiguo. 6. Repartir la cantidad sobrante del paso 5 en dos partes, una para restar al valor mínimo y la otra para sumar al valor máximo. Esto se hace con el fin de distribuir la cantidad sobrante en dos partes iguales (ampliar el rango por el lado izquierdo y derecho en la misma cantidad); pero no siempre pasa eso, cuando por ejemplo la cantidad a repartir es
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un número impar, entonces lo que se hace es distribuir aproximadamente igual, por ejemplo: Repartición igual:
1
2
0,4
1
0,2 0,2
Repartición aproximadamente igual.
3
2 1
0,05
0.03 0.02
En el caso de que la repartición sea aproximadamente igual, la cantidad que se resta al valor mínimo es la mayor y la que se suma al valor máximo es la menor. 7. Obtenida la diferencia entre valor mínimo y la cantidad sobrante repartida, este cantidad será el valor mínimo en la distribución de frecuencia, específicamente el límite inferior de la primera clase. Luego para encontrar el límite superior de esta primera clase, se suma al límite inferior la amplitud encontrada en el paso 3, este limite sería también el límite inferior de la siguiente clase, entonces lo que hacemos es lo mismo, sumamos la amplitud para encontrar el otro límite y así sucesivamente hasta llegar al valor máximo encontrado en el paso anterior (valor máximo más la cantidad repartida sobrante menor). Calculados los intervalos de clase, lo que hacemos a continuación es contar el número de datos que cae en cada clase. Este conteo producirá la frecuencia absoluta simple, siguiente paso será calcular la frecuencia relativa simple, que como se había definido, es el cuociente entre la respectiva frecuencia absoluta simple y el tamaño de la muestra, por último se calcula las frecuencias acumuladas y las marcas de clases también definidas. Ejemplo sobre la construcción de una distribución de frecuencia para datos de variable continua: Los siguiente son depósitos, en miles de pesos, de una muestra aleatoria de clientes que llegaron a depositar en sus cuentas de ahorro el día 24 de junio del 2002, Banco X.
32,2 33,5 78,3 45,2 38,3 45,5
56,2 65,4 29,4 28,4 48,4 38,7
45,5 36,8 29,7 52,5 29,5 63,5
39,8 47,7 58,5, 50,8 39,5 58,4 53,4 49,5 32,5 78,8 68,4 60,8
69,8 64,8 45,8 39,5 70,7 58,8
85,5 59,5 55,8 26,7 72,5 48,2
El tamaño de muestra es de 42 clientes, donde cada dato corresponde al valor del depósito del cliente es estudio. Primer paso :
valor máximo = 85,5 valor mínimo = 26,7
Segundo paso :
R 85,5 26,7 58,8
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c
Tercer paso:
58,8 11,76 11,8 5
Aquí aproximamos a 11,8 (a décimas) porque los datos aparecen con décimas (es decir un dígito después de la coma decimal). Cuarto paso :
R 11,8 5 59
Quinto paso:
s 59 58,8 0,2
Sexto paso:
reparto:
0,2
0,1 0,1
Entonces:
Valmin 0,1 26,6
y
Valmax 0,1 85,6 Séptimo paso: construimos los intervalos, siendo el límite inferior de la primera clase 26,6 y después se suma la amplitud para encontrar los siguientes limites hasta llegar al último valor que es 85,6. 26,6 + c = 26,6 +11,8 = 38,4 38,4 +11,8 = 50,2 50,2 +11,8 = 62,0 62,0 +11,8 = 73,8 73,8 +11,8 = 85,6 Produciendo los siguientes intervalos y procediendo hacer el conteo: Depósitos (miles pesos) [26,6-38,4) [38,4-50,2) [50,2-62,0) [62,0-73,8) [73,8-85,6] Total
Conteo |||||||||| |||||||||||| |||||||||| |||||||| ||| 42
Del conteo se produce las frecuencias absolutas simples y se calculan las demás frecuencias; Así como sus respectivas marcas de clase. Es importante en esta parte recordar que los intervalos considerados son abiertos por la derecha y cerrados por la izquierda, esto quiere decir, por ejemplo que en la clase tres el dato con valor 62 no lo toma pues en el límite superior (62) es abierto y lo toma en la siguiente clase, es decir, le corresponde a la cuarta clase:
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Tabla Nº 4: Distribución de frecuencia de depósitos de cliente, en miles pesos, del Banco X, 24 de junio del 2002. Depósitos (miles pesos) 26,6-38,4 38,4-50,2 50,2-62,0 62,0-73,8 73,8-85,6 Total
ni
mi
Ni
Mi
Xi
10 12 10 7 3 42
0,24 0,28 0,24 0,17 0,07 1,00
10 22 32 39 42
0.21 0,52 0,76 0,93 1,00
32,5 44,3 56,1 67,9 79,7
Fuente: Departamento de asuntos comerciales del Banco X Como se puede ver, la construcción de una distribución de frecuencia para variable continua, como la que acabamos de desarrollar, puede ser implementada en excel, usando las diferentes herramientas que dispone esta.
1.3
CONSTRUCCION DE VARIABLE DISCRETA.
UNA
DISTRIBUCION
DE
FRECUENCIA
PARA
La construcción de una distribución de frecuencia para variable discreta, es mucho más sencilla que para una variable continua, aquí las clases quedarán definidas por los posibles resultados de la variable, procediendo después al conteo y a los cálculos de las respectivas frecuencias simples y acumuladas. Ejemplo de la construcción de una distribución de frecuencia para una variable discreta: Los datos siguientes, muestra el número de empleos de los clientes, en los dos últimos años, recogidos según el ejemplo anterior, el 24 de junio del 2002, Banco X. 1 2 3 1 1 1 1 2 2 4 2 2 1 2 3 1 4 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 0 1 0 0 2 0 1 0 1 1 3 1 2 3 Como se ve los posibles resultados son 0, 1, 2, 3, 4 empleos que tuvieron los clientes en los dos últimos años. Visto esto, entonces procedemos a realizar el conteo:
Posibles Conteo resultados de la variable 0 ||||| 1 ||||||||||||||||| 2 | | | | | | | | | | | | | | 3 |||| 4 || Total 42 Listo el conteo, calculamos ahora las respectivas frecuencias:
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Tabla Nº 5: Distribución de frecuencia, del número de empleos en los dos últimos de un grupo de clientes del Banco X, 24 de junio del 2002 Nº de empleos, ni 2 últimos años
mi
Ni
Mi
0,12 0,40 0,33 0,10 0,05 1,00
5 22 36 40 42
0,12 0,52 0,85 0,95 1,00
Xi 0 1 2 3 4 Total
5 17 14 4 2 42
Fuente: Departamento de asuntos comerciales, Banco X
La primera columna muestra los grupos o clases, definidas por los posibles resultados del variable en estudio. Las siguientes columnas corresponden a las frecuencias. Cabe resaltar que la columna correspondiente a los grupos, es decir los posibles resultados serán tratados en los siguientes capítulos como las marcas de clases son para la variables continuas.
1.4 CONSTRUCCION DE UNA DISTRIBUCION DE FRECUENCIA PARA VARIABLE CUALITATIVA. Igual como en la construcción de una distribución de frecuencia para variable discreta, la construcción de una distribución de frecuencia para variable cualitativa es muy sencilla. Primero, entonces observamos los posibles resultados de la variables, produciendo esto las frecuencias absolutas simple y luego calcular las frecuencias relativa y acumuladas. Los posibles resultados conformaran las clases o grupos, como son los intervalos de clase para la distribución de frecuencia de una variable continua Ejemplo de construcción de una distribución de frecuencia para variable discreta: Sobre los mismos clientes, tratados en los ejemplos de construcción de una distribución de frecuencia, para variable continua y discreta, también se observó la variable: Nivel de instrucción (Básico = B, Medio = M, Superior = S). BBMBBBBBMMMMBMSSSSSMM BBBMMSMBMSMBMSSMMMSSS Observamos que los posibles resultados de la variable son: B, M y S y serán los que conformaran los grupos o clases, para realizar el conteo, así:
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Nivel de Conteo Instrucción Básico Medio Superior Total
||||||||||||| ||||||||||||||||| |||||||||||| 42
El conteo, como ya lo hicimos en casos anteriores producirá la frecuencia absoluta simple, calculándose después las frecuencia relativa. Observando en las indicaciones dadas para la presentación de una distribución de frecuencia de una variable cualitativa, las frecuencias acumuladas no se determinan. Las frecuencias acumuladas no tienen valor calcularlas puesto que no tendrían sentido sus interpretaciones. Pasa esto en variables cualitativas; pero las variables cualitativas pueden clasificarse también en ordinales y nominales, siendo las variables cualitativas ordinales aquellas en la que los atributos están ordenas en algún sentido y las nominales no están ordenadas. El nivel de instrucción es una variable ordinal, desde que un nivel de instrucción básico tiene menor grado que uno de nivel medio y estos además menor grado que uno de nivel superior. Desde este punto de vista entonces, en la distribución de frecuencia para la variable nivel de instrucción se podrían calcular las frecuencias acumuladas, puesto que sus interpretaciones respectivas se podrían interpretar también. Quedando, la presentación de la siguiente forma: Tabla Nº 6: Distribución de frecuencia del nivel de instrucción de un grupo de clientes del Banco X, junio del 2002. Nivel de Instrucción Básico Medio Superior
ni
mi
Ni
Mi
13 17 12
0,31 0,40 0,29
13 30 42
0,31 0,71 1,00
Total
42
1,00
Fuente: Departamento de Asuntos comerciales, Banco X
2.
PRESENTACION DE DATOS: REPRESENTACION GRAFICA.
3.1 GRAFICOS PARA VARIABLE CONTINUA. 1. Polígono de Frecuencias: Este gráfico se construye dentro de dos ejes, uno el eje horizontal y en el que se anota los valores de la variable, representados por los intervalos de clase y en el otro eje, vertical, se anota la escala respecto de los resultados obtenidos en las frecuencias. Para mostrar el ejemplo, usaremos los resultados obtenidos en la tabla Nº 4:
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Gráfico Nº 1: Polígono de frecuencias de los depósitos de los clientes del banco X, 24 de junio del 2002. Poligono de Frecuencias
ni
14 12 10 8 6 4 2 0 14,8
26,6
38,4
50,2
62
73,8
85,6
depósitos
Fuente: Departamento de Asuntos Comerciales, Banco X El polígono, si observamos esta construido respecto a la frecuencia absoluta simple ( ni ). También recordamos la presentación que tiene las siguientes partes: Encabezamiento, tabla propiamente dicha y la fuente. 2. Histograma de Frecuencia: Como en el polígono de frecuencias, el histograma está construido en dos ejes, el eje horizontal representando las clases de los valores de la variable y el eje vertical representa los valores de la frecuencia respectiva, a graficar. El histograma usa rectángulos continuos para representar la distribución de los datos a diferencia del polígono que usa líneas. Usaremos los mismos datos usados para la construcción del polígono: Tabla Nº 2: Histograma de Frecuencia de lo Depósito de un grupo de clientes del Banco X, 24 de junio del 2002.
Histograma de Frecuencias 14 12
ni
10 8 6 4 2 0
26,6-38,4
38,4-50,2
50,2-62
62-73,8
Fuente: Departamento de Asuntos Comerciales, Banco X.
73,8-85,6
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Cuando se hace la presentación de los datos a través de un gráfico, el resultado de este puede variar, de acuerdo a su asimetría como se muestra en las siguientes figuras. Esta entonces pueden ser: Asimétrica positiva, asimétrica negativa o una distribución simétrica. Según el resultado de la asimetría, se podría interpretar la información que entrega los datos. Por lo tanto, el resultado de la forma de la asimetría, proporciona una pauta para interpretar los datos. Nos fijamos en el eje horizontal, que representa los valores de la variable, los valores más bajos estarían cerca al origen y los más altos lejos del origen o hacia el lado derecho del eje. Por otro lado, la altura del polígono o del histograma indica la cantidad de datos distribuidos en ese intervalo, es decir más altura indicaría que hay mayor cantidad de datos, que en una parte del gráfico donde la altura es menor. Juntando estas dos indicaciones se interpretará un gráfico, ya sea un polígono o un histograma de frecuencia. A continuación daremos un alcance de la interpretación de un histograma según su asimetría, considerando como resultados los gráficos correspondientes y no otro. Hago este alcance pues puede haber otras variaciones.
frecuencia
Asimetria Positiva
x
La mayor altura en esta distribución asimétrica (positiva), se encuentra en valores cercanos al origen, lo que muestra, en forma general, que gran parte de los datos tienen valores bajos. Si por ejemplo, se estuviera analizando los ingresos de las familias de cierta comuna, esta distribución podría corresponder o ser el resultado de una comuna de bajos recursos.
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fi
Asimetria negativa
X
En este tipo de asimetría (negativa), la mayor cantidad de datos como se observa, tienen valores altos; puesto que la mayor altura, está a la derecha de la menor altura del gráfico. Si suponemos como en el caso anterior, un análisis de los ingresos de las familias de cierta comuna, esta distribución sería el resultado de una comuna con altos recursos.
Por último, esta forma de distribución corresponde a la de una distribución simétrica. La característica principal, es que esta distribución tiene como centro el promedio, equivalente a la moda y mediana, y que si se parte por la mitad quedará el 50% de los datos al lado izquierdo de la media y el otro 50% a lado derecho.
3.2
GRAFICOS PARA VARIABLES CUALITATIVAS. 1. Diagrama de Barras: Se dibujan dos ejes, el eje horizontal, que representa a los resultados de la variable y el eje vertical que representa a los valores de la frecuencia respectiva, a graficar; dependiendo la escala de este eje, del valor mínimo y máximo de las frecuencias. Dentro de los ejes se dibujan rectángulos o barras proporcionales a las frecuencias ubicada en el eje vertical, con respecto a los resultados de la variable (eje horizontal). Cabe denotar aquí que los rectángulos, se parecen a los de un histograma, la diferencia está, en que estos son separados y los de histogramas son rectángulos continuos.
@ Abanto Canto
Como ejemplo, usaremos los resultados obtenidos en la tabla Nº 6.
Gráfico Nº 3 Diagrama de Barras del Nivel de Instrucción de un grupo de clientes del Banco X, 24 de junio del 2002.
ni
Diagrama de Barras
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
17 13
Básico
12
Medio
Superior
N. Instr.
Fuente: Departamento de asunto comerciales, Banco X
2. Diagrama de sectores circulares: Aquí, se dibuja una circunferencia (360º) y esta se divide proporcionalmente a las frecuencias de cada atributo (resultado de la variable) en estudio. Como ejemplo usaremos los datos también de la tabla Nº 6:
Gráfico Nº 4: Diagrama de sectores circulares del nivel de instrucción de un grupo de clientes del banco X, 24 de junio del 2002 Sectores circulares
Superior 29%
Básico 31%
Medio 40%
Fuente: Departamento de asuntos comerciales, Banco X.
@ Abanto Canto
GRAFICOS PARA VARIABLE DISCRETA.
Diagrama de Bastones: En este tipo de gráfico, también se dibujan dos ejes uno horizontal donde se anotan los resultados de la variable y en el eje vertical se anotan las frecuencias respectivas. Como la variable es de tipo discreta lo que se hace es que en cada resultado de la variable (eje horizontal) se dibuja una línea hasta la altura de la frecuencia respectiva y se dibuja un punto en la parte superior (la línea y el punto forman el bastón).
Como ejemplo usaremos los resultados obtenidos en la tabla Nº 5:
Gráfico Nº 5: Diagrama de Bastones del número de empleos en los dos últimos años de un grupo de clientes del Banco X, 24 de junio, 2002.
Diagrama de Bastones
20 15 ni
2.3.1
10 5 0 -1
0
1
2 3 # de empleos
4
5
Fuente: departamento de asuntos comerciales, Banco X.
Como última observación, para esta parte de la presentación gráfica, como dijimos en la parte anterior correspondiente a la construcción de distribuciones de frecuencia, estos métodos de presentación de información estadística, pueden ser implementados en Excel; de hecho todos los gráficos y tablas presentados en este documento están desarrollados en este software. Destacando también la presencia en el medio de muchos paquetes estadísticos, los que también pueden ser usados. Además estos disponen, de muchos otros métodos sofisticados para la presentación gráfica, de la información. Para finalizar esta última observación, quiero resaltar el uso de los colores en la presentación gráfica, para indicar algunas clases o intervalos de clase de importancia, en cualquier sentido.
@ Abanto Canto
GUIA 1 de ejercicios 1. Almacenes FRANCIA, dispone de una base de datos de variables relacionadas a sus clientes (antecedentes históricos y personales). Con el objetivo de hacer una descripción estadística de estas variables en forma rápida y económica, se tomó una muestra aleatoria: EDAD (AÑOS)
DEUDA Nº ESTAD VIGENT INTEGR O CIVIL E (U.M) ANTES FAMIL.
25 45 25 46 28 48 56 23 45 29 28 55 45 36 39 33 30 31 45 58 56 50 49 47 29 30 42 35 36 36 25 14 58 39 45 50
200,8 255,4 369,5 456,7 108,6 125,3 200,6 190,3 236,5 333,9 258,5 147,5 299,4 368,5 449,8 405,2 426,8 436,3 325,8 346,7 486,5 256,9 200,6 563,6 405,7 499,5 456,5 555,6 521,3 169,2 369,2 358,5 248,8 391,6 488,8 256,3
2 3 6 5 4 2 2 3 5 4 6 2 3 2 5 5 5 3 4 4 3 5 5 3 2 3 5 6 2 3 1 2 2 4 4 3
S C C C C S S C C C C C C S C C C C C C S S C C S C C C S C S S S C C C
Nº DE CREDITO S SOLICIT ADOS 1 3 2 2 5 4 4 3 4 5 5 5 5 2 6 7 4 4 2 3 5 7 6 6 5 4 7 7 7 2 1 3 5 4 4 5
@ Abanto Canto
a. b. c. d. e.
Clasifique cada una de las variables en estudio. Construya una distribución de frecuencia, para cada una de las variables en estudio Construya un gráfico adecuado para cada una de las variables en estudio. Interprete los resultados obtenidos en las preguntas b y c. Según los resultados obtenidos en la distribución de frecuencia para la edad y la deuda vigente: Qué porcentaje de la muestra de clientes, tienen edad inferiores a 31 años Que cantidad de la población de clientes, tienen edad superior a 45 años, si esta es de tamaño N= 2.500.000. Qué cantidad de la población tienen edades entre 23 y 39 años, considerando el tamaño de población anterior. Qué porcentaje, de la muestra de clientes en estudio, tienen deuda vigente inferior a 301,5 u.m Que porcentaje, de la muestra de clientes en estudio, tienen deuda vigente entre 198 y 367 u.m.
2. En cierto Banco, se ha lanzado al mercado un producto de crédito de consumo, los ingresos (miles de pesos) de los clientes que solicitan este producto son dados a continuación: 350,34 135,45 200,12 333,78
359,35 157,84 310,32 233,23
268,67 158,83 312,45 239,78
198,54 187,45 300,78 289,56
168,89 146,87 324,78 156,56
279,98 167,89 345,78 128,73
156,34 200,52 289,45 344,54
278,56 210,67 345,34 234,45
135,78 234,74 234,89 156,45
169,96 145,74 275,67 125,34
128,93 234,74 145,73 157,77
Construya una distribución de frecuencia y su respectivo gráfico, para esta información. Interprete sus resultados, discuta y concluya.
Los directivos del Banco, quieren llegar con este producto, a personas con ingresos más altos. Es por esta razón, que se desarrolla una campaña de publicidad, para atraer a estos clientes. Los ingresos de los clientes, después de aplicada la publicidad son dados a continuación: 256,54 139,12 200,23 300,45
300,78 129,12 231,21 300,12
360,54 124,25 260,23 289,12
320,25 256,25 165,15 238,54
329,56 289,23 136,25 288,88
239,54 178,25 189,18 210,15
199,56 342,52 195,12 321,25
210,45 259,36 219,56 249,23
140,45 230,26 239,45 248,52
152,23 158,56 289,56 369,45
310,12 213,21 278,45 289.99
Construya una distribución de frecuencia y su respectivo gráfico. Interprete los resultados, discuta y concluya. La publicidad tuvo efecto según los resultados. Según un estudio realizado en otra institución bancaria, se llegó a la conclusión de que clientes que solicitan crédito con ingresos inferiores 189,34 mil pesos, son clientes con riesgo de no pagar el crédito. Usando la distribución de frecuencia estime el porcentaje de clientes con riesgo de no pagar el crédito, antes y después de aplicada la publicidad.
@ Abanto Canto
Si la población de clientes esta conformada por 1.500.000 personas, usando la estimación de la pregunta anterior, que cantidad de clientes de la población se estima con riesgo de no pagar el crédito. Otra institución de la competencia también realizó un estudio y determinó que el porcentaje de clientes con riesgo según su ingreso era del 20%. ¿Cuál es el valor del ingreso superior de los clientes con riesgo de no pagar?
3. Antes de comenzar un estudio se decidió que sería de gran ayuda para la realización del mismo hacer una encuesta, con el objeto de tener información muy reciente del mercado. Para evaluar el concepto de producto que reciben los potenciales consumidores, y si se adecua a sus necesidades, hemos realizado el siguiente test, sobre una muestra de 100 personas pertenecientes a todas las zonas del mercado donde lanzamos el producto.
@ Abanto Canto
II. Medidas Descriptivas 1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. Son medidas estadísticas de descripción y de resumen que tienen la característica de ser centros de gravedad respecto de los datos. La media, mediana y moda son las medidas de tendencia central que estudiaremos en esta unidad, cada una tiene su definición y por lo tanto el procedimiento de cálculo será diferente en cada caso, así como también su respectiva interpretación. Para mejor entendimiento sobre los cálculos de estas medidas, dividimos en dos partes los procedimientos, según los datos enfrentados:
1.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS NO AGRUPADOS
1. Media o Promedio: Es el valor esperado de la variable, al seleccionar aleatoriamente un dato y se calcula usando la siguiente fórmula:
n
x
x i 1
i
n
donde:
x : es el promedio o media.
xi : valor del dato i-ésimo.
n : tamaño de la muestra.
Ejemplo: Se tiene el ingreso mensual de un grupo de clientes de la financiera Z 200, 300, 250, 300, 280, 300. (datos en miles de pesos)
@ Abanto Canto
Según la fórmula la media será:
x
200 300 250 300 280 300 271,67 6
Lo que quiere decir que: Si se selecciona al azar un cliente se espera que este cliente tenga un ingreso mensual de 271,67 mil pesos.
2. Mediana: Es el valor de la variable que divide a los datos de la muestra ordenada en dos partes iguales, es decir que cada parte dividida equivale al 50% de la muestra. La fórmula que calcula la mediana es:
me X ( n 2 )( 12 )
donde:
me : es la mediana.
n : es el tamaño de la muestra.
En el Ejemplo usaremos los datos anteriores: 200, 300, 250, 300, 280, 300.
El primer paso es ordenar los datos, esta ordenación puede ser de menor a mayor o de mayor a menor. A continuación ordenamos de menor a mayor:
200, 250, 280, 300, 300, 300,
El siguiente paso es calcular el orden que ocupa la mediana en esta ordenación de la mediana:
me X ( n 2 )( 12 ) X ( 6 2 )( 12 ) X 3,5
@ Abanto Canto
El subíndice del último resultado indica el orden que ocupa la mediana, queriendo decir entonces que la mediana esta entre el dato 3 y 4 (puesto que el subíndice es 3,5). Siendo el dato tres igual a 280 y el dato cuatro igual a 300. Por lo que la mediana sería el promedio de ambos números, es decir:
me
280 300 290m. p 2
interpretándose que: El 50% de los clientes del Banco Z tienen ingresos de 290 mil pesos o menos, en consecuencia la otra mitad tienen ingresos superiores a 290 mil pesos.
Cabe indicar aquí que la mediana fue el resultado del promedio de dos números en razón de que el tamaño de la muestra es un número par (n = 6), esto no debe pasar con el tamaño de muestra impar en este caso la mediana sería directamente un solo número.
3. Moda. Es el valor de la variable con mayor frecuencia entre los datos de la muestra. Por lo tanto si existe moda, la moda puede ser una, dos, tres, o muchas modas; pero también no puede existir. En otra palabras, las muestras pueden ser amodales si no tienen moda, unimodales si tienen una moda, bimodales si tienen dos modas, trimodales si tienen tres modas y así sucesivamente. Aquí por lo tanto, no se puede disponer de una fórmula, calculando la moda con simple observación: En los datos del ejemplo anterior se observa que el dato con mayor frecuencia es 300, es decir, la moda es 300. Que se interpreta: es muy frecuente en los clientes del Banco z encontrar un ingreso de 300 mil pesos.
@ Abanto Canto
1.2 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS
En la parte anterior, sobre medidas de tendencia central para datos no agrupados, definimos estas medidas, es decir, la media, mediana y moda. Ahora para datos agrupados nos centraremos en los procedimiento de cálculo puesto que las definiciones serán las mismas.
Empezamos entonces con el promedio o medi
1. PROMEDIO O MEDIA: La fórmula es la siguiente:
a
x
x i 1
i
ni
n
donde:
x : es el promedio
xi : es la marca de clase i-ésima
ni : frecuencia absoluta simple.
n : tamaño de muestra. a : número de clases o intervalos.
Ejemplo: Usemos los datos de la tabla Nº 4 en la unidad I:
@ Abanto Canto
Tabla Nº 4: Distribución de frecuencia de depósitos de cliente, en miles pesos, del Banco X, 24 de junio del 2002. Depósitos (miles pesos) 26,6-38,4 38,4-50,2 50,2-62,0 62,0-73,8 73,8-85,6 Total
ni
mi
Ni
Mi
Xi
10 12 10 7 3 42
0,24 0,28 0,24 0,17 0,07 1,00
10 22 32 39 42
0.21 0,52 0,76 0,93 1,00
32,5 44,3 56,1 67,9 79,7
Fuente: Departamento de asuntos comerciales del Banco X
Para calcular el promedio de los depósitos tomamos las frecuencias absolutas simples y las marcas de clase, desarrollando otra columna correspondiente al producto de ambas y obtenemos la suma, que es la equivalencia a la parte del numerador en la fórmula del promedio::
Depósitos (miles pesos) 26,6-38,4 38,4-50,2 50,2-62,0 62,0-73,8 73,8-85,6 Total
ni
xi
10 12 10 7 3 42
32,5 44,3 56,1 67,9 79,7
a
Por lo que el promedio sería: x
x i 1
i
n
ni =
xi ni 325,0 531,6 561,0 475,3 239,1 2132
2132 50.76 m.p 42
La interpretación es: Si se toma aleatoriamente un cliente, se espera que este deposite 50,76 mil pesos.
@ Abanto Canto
2. MEDIANA. La fórmula para calcular la mediana es:
me Linf
n N k 1 ck 2 nk
donde:
me : es la mediana
Linf : límite inferior de la clase mediana c k : amplitud de la clase mediana. n : tamaño de la muestra. N k 1 : frecuencia absoluta acumulada, anterior a la clase mediana n k : frecuencia absoluta simple de la clase mediana Para el ejemplo usaremos los datos correspondiente a la tabla Nº 4 de la unidad I:
Tabla Nº 4: Distribución de frecuencia de depósitos de cliente, en miles pesos, del Banco X, 24 de junio del 2002. Depósitos (miles pesos) 26,6-38,4 38,4-50,2 50,2-62,0 62,0-73,8 73,8-85,6 Total
ni
mi
Ni
Mi
Xi
10 12 10 7 3 42
0,24 0,28 0,24 0,17 0,07 1,00
10 22 32 39 42
0.21 0,52 0,76 0,93 1,00
32,5 44,3 56,1 67,9 79,7
Fuente: Departamento de asuntos comerciales del Banco X
Para calcular la mediana de los depósitos necesitamos las columnas correspondiente a la frecuencia absoluta simple y acumulada. Por tal razón, copiamos lo que necesitamos en otra tabla, quedando de la forma:
@ Abanto Canto
Depósitos (miles pesos) 26,6-38,4 38,4-50,2 50,2-62,0 62,0-73,8 73,8-85,6 Total
ni 10 12 10 7 3 42
Ni 10 22* 32 39 42
Según estos datos entonces procedemos a hacer el primer cálculo que es:
n 42 21 , 2 2
este último valor calculado se observa en que clase cae en la columna correspondiente a las frecuencias absolutas acumuladas. Observando la tabla este valor 21 cae en la segunda clase (en la tabla esta marcado con asterisco) lo que indica que el valor de la mediana está en esta clase. Procediendo a continuación a identificar los otros elementos de la fórmula, es decir:
Linf 38,4 ; ck 11,8 ; N k 1 10 y nk 12 .
Sustituyendo estos valores en la fórmula quedará:
me Linf
n 42 10 N k 1 = 38,4 11,8 2 49,22 m.p. ck 2 nk 12
Se interpreta: Que la mitad de los clientes del banco Z, depositan 49,22 mil pesos o cantidades inferiores, y en consecuencia la otra mitad depositan cantidades superiores a 49,22 mil pesos.
@ Abanto Canto
3. MODA. La fórmula para calcular la moda es la siguiente:
1 mo Linf ck 2 1 donde:
mo : es la moda
Linf : límite inferior de la clase modal c k : amplitud de la clase modal 1 nk nk 1 2 nk nk 1
n k : frecuencia absoluta simple más grande nk 1 : frecuencia absoluta simple anterior a la más grande. nk 1 : frecuencia absoluta simple siguiente a la más grande.
Para el ejemplo del cálculo de la moda usaremos otra vez los resultados de la tabla Nº 4 de la unidad I:
Tabla Nº 4: Distribución de frecuencia de depósitos de cliente, en miles pesos, del Banco X, 24 de junio del 2002. Depósitos (miles pesos) 26,6-38,4 38,4-50,2 50,2-62,0 62,0-73,8 73,8-85,6 Total
ni
mi
Ni
Mi
Xi
10 12 10 7 3 42
0,24 0,28 0,24 0,17 0,07 1,00
10 22 32 39 42
0.21 0,52 0,76 0,93 1,00
32,5 44,3 56,1 67,9 79,7
Fuente: Departamento de asuntos comerciales del Banco X
@ Abanto Canto
Calcularemos entonces la moda. de los depósitos de los clientes del Banco Z. Para esto absorbemos las columnas necesarias:
Depósitos (miles pesos) 26,6-38,4 38,4-50,2 50,2-62,0 62,0-73,8 73,8-85,6 Total
ni 10 12 10 7 3 42
Y procedemos como primer paso a identificar la mayor frecuencia absoluta simple, siendo esta frecuencia la correspondiente a la clase dos es decir: n2 12 . Por lo tanto la moda es un valor que esta en la segunda clase, en consecuencia deducimos los otros elementos de la fórmula:
Linf 38,4 ; ck 11,8 ; 1 nk nk 1 = 12 – 10 = 2;
2 nk nk 1 = 12 –10 = 2
Sustituyendo en la fórmula, quedará:
1 2 38,4 11,8 mo Linf ck 44,3 m.p 2 2 1 2
Interpretándose: que es muy frecuente que un cliente deposite 44.3 m.p
@ Abanto Canto
1.3 MEDIDAS DE POSICION
Son medidas estadísticas descriptivas que indican la posición del valor de la variable según la cantidad de datos acumulados porcentualmente. A continuación daremos las correspondientes definiciones para después desarrollar los procedimientos de cálculo:
1. Cuantiles o Cuartiles: Son los valores de la variable que dividen a la muestra en cuatro partes iguales, esto quiere decir que entre cuantil y cuantil hay 25% de los datos.
2. Quintiles: Son los valores de la variable que dividen a la muestra en cinco partes iguales, lo que indica que entre quintil y quintil hay 25% de los datos.
3. Deciles: Son los valores de la variable que dividen a la muestra en diez partes iguales, en consecuencia entre decil y decil hay 10% de los datos.
4. Percentiles: Son los valores de la variable que dividen a la muestra en cien partes iguales, esto quiere decir que entre percentil y percentil hay 1% de los datos.
1.3.1
Calculo de Medidas de Posición para datos Agrupados.
Como expresamos anteriormente para datos no agrupados el cálculo de cuantiles, quintiles, deciles y percentiles se asemejan a la mediana, para datos agrupados también sucede lo mismo; puesto que las definiciones persisten. Las fórmulas entonces serán muy parecidas a la fórmula de la mediana con una leve modificación dependiendo del caso.
@ Abanto Canto
1. Cuantiles:
Qi Linf
in N k 1 ck 4 nk
donde:
Qi : es el cuantil i-ésimo ( i 1,2,3)
Linf : Límite inferior de la clase cuantílica c k : Amplitud de la clase cuantílica. n : Tamaño de la muestra. N k 1 : Frecuencia absoluta acumulada, anterior a la clase cuantílica n k : Frecuencia absoluta simple de la clase cuantílica. 2. Quintiles:
i Linf
in N k 1 ck 5 nk
Donde:
i : es el quintil i-ésimo ( i 1, 2, 3, 4)
Linf : Límite inferior de la clase quintílica c k : Amplitud de la clase quintílica. n : Tamaño de la muestra. N k 1 : Frecuencia absoluta acumulada, anterior a la clase quintílica n k : Frecuencia absoluta simple de la clase quintílica. 3. Deciles:
Di Linf
in N k 1 c k 10 nk
Donde:
Di : es el decil i-ésimo ( i 1 ,2, 3...9)
Linf : Límite inferior de la clase decílica
@ Abanto Canto
c k : Amplitud de la clase decílica. n : Tamaño de la muestra. N k 1 : Frecuencia absoluta acumulada, anterior a la clase decílica n k : Frecuencia absoluta simple de la clase decílica. 4. Percentiles:
Pi Linf
in N k 1 c k 100 nk
Donde:
Pi : es el percentil i-ésimo ( i 1, 2, 3...99)
Linf : Límite inferior de la clase percentílica c k : Amplitud de la clase percentílica. n : Tamaño de la muestra. N k 1 : Frecuencia absoluta acumulada, anterior a la clase percentílica n k : Frecuencia absoluta simple de la clase percentílica. A continuación mostraremos ejemplos sobre el cálculo de medidas de posición para datos agrupados:
Recordemos la distribución de frecuencia sobre la que se desarrolló los ejemplos de cálculo de medidas de tendencia central:
Tabla Nº 4: Distribución de frecuencia de depósitos de cliente, en miles pesos, del Banco X, 24 de junio del 2002. Depósitos (miles pesos) 26,6-38,4 38,4-50,2 50,2-62,0 62,0-73,8 73,8-85,6 Total
ni
mi
Ni
Mi
Xi
10 12 10 7 3 42
0,24 0,28 0,24 0,17 0,07 1,00
10 22 32 39 42
0.21 0,52 0,76 0,93 1,00
32,5 44,3 56,1 67,9 79,7
Fuente: Departamento de asuntos comerciales del Banco X
@ Abanto Canto
De esta tabla tomemos las columnas que sirven para el cálculo de medidas de posición: Depósitos (miles pesos) 26,6-38,4 38,4-50,2 50,2-62,0 62,0-73,8 73,8-85,6 Total
ni
Ni
10 12 10 7 3 42
10 22 32 39 42
Primero veremos como ejemplo el cálculo de cuantiles, en particular el cuantil 1: Como primer paso como en la mediana, determinamos de la fórmula para los cuantiles:
Qi Linf
in N k 1 Q1 Linf c k ck 4 nk
1 n N k 1 4 nk
i n 1 42 10,5 , este resultado le ubicamos a la altura de la frecuencia absoluta 4 4 acumulada donde le alcanza o pasa, siendo esta la frecuencia absoluta simple de la segunda clase, es decir: N 2 22 (entonces k=2). Esto nos indica que la clase donde se encuentra el cuantil 1 es la segunda clase y a partir de este conocimiento fijamos los valores de la fórmula, por ejemplo: la frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase cuantílica es: N k 1 N1 10 , la frecuencia absoluta simple de la clase cuantílica es: nk n2 12 , la amplitud de la clase cuantílica es:
ck c2 11,8 y por último el límite inferior de la clase cuantílica es: Linf 38,4 . Reemplazamos estos valores en la fórmula y tenemos:
Q1 Linf
1 n N k 1 38,4 11,8 10,5 10 38,89m. p ck 4 nk 12
Esto quiere decir que el 25% de los clientes del banco X depositan 38,89m.p o cantidades inferiores, obviamente el complemento equivalente al 75% depositan cantidades superiores a 38,89m.p.
Ahora veamos el caso del cálculo de quintiles, calculemos entonces el quintil 4:
@ Abanto Canto
La fórmula para calcular quintiles es la siguiente y nos interesa calcular el quintil 4 reemplazamos en la i el número 4, como sigue:
i Linf
in N k 1 4 Linf c k ck 5 nk
4n N k 1 5 nk
Enseguida calculamos de la fórmula la parte correspondiente a:
4 n 4 42 33,6 , este resultado le ubicamos a la altura de la frecuencia 5 5
absoluta acumulada donde le alcanza o pasa respectivamente, siendo esta la frecuencia absoluta simple de la segunda clase, es decir: N 4 39 (entonces k=4). Esto nos indica que la clase donde se encuentra el quintil 4 es la cuarta clase y a partir de este conocimiento fijamos los valores de la fórmula, por ejemplo: la frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase quintílica es: N k 1 N 3 32 , la frecuencia absoluta simple de la clase quintílica es: nk n4 7 , la amplitud de la clase quintílica es: ck c2 11,8 y por último el límite inferior de la clase quintílica es: Linf 62,0 . Reemplazamos estos valores en la fórmula y tenemos:
4 Linf
4n N k 1 62 11,8 33,6 32 64,70m. p ck 5 7 nk
Esto quiere decir que el 80% de los clientes del banco X depositan 64,70m.p o cantidades inferiores, obviamente el complemento equivalente al 20% depositan cantidades superiores a 64,70m.p.
@ Abanto Canto
Guía 2 de ejercicios 1. Los siguientes datos corresponden al rendimiento, medido porcentualmente, de una muestra aleatoria de vendedores de seguros.
Rendimien to (%)
ni
0-20
5
20-40
15
40-60
50
60-80
60
80-100
40
total
170
a. Determine e interprete: (a.1) media o promedio. (a.4) cuartil 1
(a.2) mediana (a.5) decil 3 y 9
(a.3) moda (a.7) percentil 23 y 77
b. El jefe del departamento de ventas necesita categorizar a los vendedores según su rendimiento, pero él nunca tuvo una asignatura de estadística y le pide a usted que le ayude en esta tarea. La categorización se hará de la siguiente forma: - El 20% de los vendedores con rendimiento más bajo, en categoría D. - El siguiente 30% en rendimiento, en categoría C. - El siguiente 25% en rendimiento, en categoría B. - Y el resto en categoría A. c. Si se contratara a dos vendedores y después de cierto período se establece que sus rendimientos son de 38% y 77%, ¿en qué categorías quedarán clasificados?.
@ Abanto Canto
d. Estos datos (rendimientos de los vendedores) corresponden al primer trimestre del año 2002; Pero se sabe, por antecedentes que el rendimiento de cada uno de los vendedores aumenta en 5 unidades porcentuales más, en el segundo trimestre. ¿Cuál sería el promedio en el segundo trimestre? 2. Un contratista de venta e instalación de sistemas de calefacción y aire acondicionado debe resolver para el 2º de noviembre la compra de unidades centrales de aire acondicionado para su reventa e instalación durante el verano siguiente. Con base en la demanda anterior, las condiciones económicas corrientes y los factores competitivos del mercado, estima que existe una probabilidad de 0,10 de vender 5 unidades, una probabilidad de 0,30 de vender 10 unidades, una probabilidad de 0,40 de vender 15 unidades y una probabilidad de 0,20 de vender 20 unidades. Las unidades de aire acondicionado sólo pueden pedirse en grupos de cinco siendo su costo por unidad de 1.000 dólares y su precio de reventa de 1.300. Las unidades no vendidas al término de la temporada le son devueltas al fabricante con un crédito neto de 800 dólares. Tras la deducción del costo de embarque. a. Construya una tabla de pagos del número de unidades de aire acondicionado por ordenar (pedir). b. Tome la decisión de cuantas unidades ordenar, con base en las probabilidades como en las consecuencias económicas. 3. En la siguiente tabla se presentan los rendimientos de cinco tipos alternativos de decisiones de inversión para un período de un año y las probabilidades asociadas con la recesión, la estabilidad económica y la expansión que son 0,30, 0,50, y 0,20, respectivamente. Determine la mejor acción según el pago esperado. Estado Probab economía
Decisión de Inversión Cuent Ahorro
Bonos Corp
Acc. Alta calid
Acc. Espec
Otras
Recesión
0,30
600
500
-2.500
-5000
-10.000
Estable
0,50
600
900
800
400
-5.000
Expansión
0,20
600
900
4.000
10.000
20.000
@ Abanto Canto
4. Con base en un nuevo método tecnológico, un fabricante ha desarrollado un televisor a color con cinescopio de 45 pulgadas. El dueño de una pequeña tienda estima que los valores de probabilidad asociados con la venta de 2, 3, 4 o 5 televisores durante los tres meses de interés son 0.30, 0.40, 0,20 y 0.20, respectivamente. Además se sabe que el margen de ganancia de cada televisor vendido es de 200.000 pesos. Si en el curso de los tres meses no se vendiera algunos televisores, la pérdida total por aparato para el comerciante sería de 300.000 pesos. Con base en estas consecuencias económicas y las probabilidades identificadas determine la mejor acción según el pago esperado. 5. En la siguiente distribución de frecuencia se tiene el número de autos vendidos de vendedores de una distribuidora de automóviles en un mes en particular:
Números de Número de autos vendidos vendedores ( ni ) 2
5
4
6
10
10
12
10
14
8
15
4
Determine e interprete: (a) media
(b) mediana
(c) mediana
6. En las siguiente tablas se tiene las D.F de las remuneraciones de los funcionarios en dos empresas diferentes:
@ Abanto Canto
Empresa A Remunera .
ni
Empresa B Remunera.
ni
(u.m)
(u.m) 110-210
30
115-215
30
210-310
40
215-315
45
310-410
70
315-415
75
410-510
40
415-515
50
510-610
20
515-615
25
610-710
10
615-715
15
6.1 Determine e interprete para cada una de las D.F: (a) media (b) mediana (c) moda (d) percentil 60. 6.2 Si supuestamente las dos empresas le ofrecen trabajo, usando los resultados anteriores, ¿a cuál de las empresas aceptaría? Fundamente su respuesta. 6.3 Si se necesitara categorizar a los funcionarios de estas empresas, según sus remuneraciones, de tal forma que el 25% más bajo en remuneraciones sea la categoría C, el siguiente 50% en remuneraciones en categoría B y el resto en categoría A. ¿Cuáles serían los límites de cada categoría? 6.4 Si usted ingresa a laborar en la empresa A y le ofrecen de remuneración 305 um. ¿En qué categoría clasifica? 6.5 Sí usted ingresa a laborar en la empresa B y le ofrecen de remuneración 585 u.m. ¿ En qué categoría clasifica?
@ Abanto Canto
6.6 Si en la empresa A se decide aumentar las remuneraciones a cada funcionario en un 6%. ¿Cuál sería la nueva remuneración promedio? 6.7 Si en la empresa B se decide disminuir las remuneraciones a cada uno de los funcionarios en 10 u.m ¿Cuál sería la nueva remuneración promedio? 7. Desarrolle las preguntas e de la guía de ejercicios 1, usando las fórmulas de medidas de posición. 8. En el sector servicios el sueldo promedio es de 200 u.m. Si los varones constituyen el 70% de la población remunerada, es factible que su ingreso promedio mensual sea de 300 u.m. 9. La media aritmética entre dos números es 8 y su media geométrica 2. Calcule la media armónica.
@ Abanto Canto
III. Dispersión o Variación: Es la distancia que hay entre el valor de un dato y el valor de la media. Ejemplo: Sea la muestra de ingresos de 6 empleados, en unidades monetarias, 56, 60, 52, 50, 48, 63.
El promedio es x 54,83
dispersión del dato 56 dispersión del dato 60 x 54,83
48
50
52
54
56
58
60
62
Como se observa en el dibujo anterior, cada dato tiene su respectiva dispersión con respecto al promedio. En adelante se analizara la dispersión pero en conjunto mediante medidas absolutas o relativas.
1. Varianza: Es una medida de dispersión absoluta medida en unidades cuadradas de los datos originales. Se define: n
S n2
(x i 1
i
x)2
n
S n21
Varianza muestral
n
(x i 1
i
x)2
n 1
Cuasi varianza
@ Abanto Canto
Siendo deducidas de estas, las fórmulas prácticas:
n
S n2
x i 1
2 i
n
x2
n
S n21
x i 1
2 i
nx 2
n 1
Respectivamente.
2. Desviación Estándar: Se define como la raíz cuadrada de la varianza. Esta medida de variación se puede interpretar como el promedio de variabilidad de los datos con respecto al promedio. Se define:
S S2
3. Coeficiente de Variabilidad: Es una medida relativa de la variación de los datos respecto de la media. Si el coeficiente de variación es menor o igual al 33% los datos pueden considerarse como homogéneos y si el coeficiente de variación es mayor al 33% heterogéneos. Esto último que se anoto es subjetivo y referencial pues otros pueden considerar valores diferentes, en todo caso mientras mayor sea el valor porcentual mucho más hetergeneos serán los datos en la muestra. Se define:
CV ( x)
S 100 X
@ Abanto Canto
OTRAS MEDIDAS DE VARIABILIDAD IMPORTANTE EN EL ANALISIS DE DATOS
1. Rango Intercuartílico: Se define como la diferencia entre el cuartil 3 y el cuartil 1. Esta medida busca el rango o recorrido del 50% de los datos centrales, que en diferentes muestras pueden ser comparados evitando datos ausentes (25% por abajo y 25% por arriba) que pueden estar distorsionando la comparación de la información. La fórmula es:
RIC Q3 Q1
2. Desviación media: Es una medida de variabilidad de los datos respecto de la media y que a diferencia de la varianza usa el valor absoluto de la diferencia (la varianza usa el cuadrado de la diferencia). Se define:
D.M ( X )
x
D.M ( X )
x
i
x
n
i
x ni n
Para datos no agrupados
Para datos agrupados
No olvide estimado alumno que la desviación media y la varianza son medidas de variabilidad con respecto a la media (diferencia del valor del dato y la media), la discrepancia radica en el uso de la herramienta matemática (cuadrado en el caso de la varianza y el valor absoluto en el caso de la desviación media) para no perder la suma total de las diferencias en el cociente de cada una de las fórmulas. La interpretación entonces de la desviación y la desviación estándar es la misma.
@ Abanto Canto
3. Índices de asimetría: Los índices o criterios de asimetría son ciertas funciones que, tras aplicar a determinados datos ofrecen algunos de los siguientes resultados:
As 0 Indica simetría
As 0 Indica asimetría positiva As 0 Indica asimetría negativa
Entre los índices de asimetría más conocidos tenemos:
3.1 Índice de asimetría de Pearson:
As
x Mo S
3.2 Índice de asimetría de Fisher:
(x As
(x As
i
i
x)3 / n S3
Para datos no agrupados
x ) 3 ni / n S3
Para datos agrupados
@ Abanto Canto
4. Medidas de Apuntamiento o Curtosis. El grado de dispersión de los datos influye sobre la curva. El apuntamiento o curtosis es una más de las propiedades de una distribución de frecuencias. Se parte de la base de que existen curvas con un grado medio de apuntamiento, otras más apuntadas y otras menos apuntadas. Los criterios son los siguientes:
Cr 3 La curtosis es media, se habla de Mesocurtica
Cr 3 La curtosis es alta, se habla de Leptocurtica Cr 3 La curtosis es baja, se habla de Platicurtica.
La fórmulas son:
Cr
(x
(x Cr
i
x)4 / n S4
i
x ) 4 ni / n S4
Para datos no agrupados
Para datos agrupados
Ejercicios para la clase:
1. Se tiene las notas producto de las evaluaciones de un curso de capacitación que se realizó a un grupo de vendedores de seguros de vida:
@ Abanto Canto
20, 50, 80, 50, 80, 96, 58, 89, 36, 78, 99, 98,
Calcule e interprete:
a. Varianza b. Desviación estándar c. coeficiente de variabilidad d. rango Intercuartílico e. índice asimetría f. índice de curtosis g. desviación media
2. Las edades de un grupo de jefes de familia del barrio Italia en la comuna de La florida son dadas a continuación.
Edades
ni
20-30
10
30-40
2
40-50
10
50-60
5
@ Abanto Canto
Calcule e interprete:
a. Varianza b. Desviación estándar c. coeficiente de variabilidad d. rango Intercuartílico e. índice asimetría f. índice de curtosis g. desviación media
@ Abanto Canto
Otros Gráficos Descriptivos. Diagrama de tallos y Hojas Una forma adecuada de organizar un conjunto de datos de tamaño pequeño es graficando a través de “tallos y hojas”. Estas gráficas se obtienen dividiendo cada uno de los datos, por ejemplo, en dos partes: tallo y hojas. Si todos los datos son números de dos dígitos, podemos tomar como su tallo la parte del número correspondiente a las decenas, y como su hoja la parte del dígito correspondientes a las unidades. El dato 45: Tallo: 4 hoja: 5 Los datos 45 y 47: Tallo 4 y Hojas: 5,7
Veamos el siguiente ejemplo (Edades de clientes): 45 56 35 26 24 25 56 23 24 39 36 29 36 36 25 36 44 18 36 25 36 25 66 26 35 41 51 62 60
(SPSS) Edad Stem-and-Leaf Plot Frequency 1,00 10,00 9,00 3,00 3,00 3,00 Stem width: Each leaf:
Stem & 1 2 3 4 5 6
. . . . . .
Leaf 8 3445555669 556666669 145 166 026
10,00 1 case(s)
@ Abanto Canto
Diagrama de cajas Se usa algunos de los estadísticos que resumen una muestra de datos, como por ejemplo: mediana, cuartiles, asimetría, etc. También es un detector de datos atípicos o datos extremos. Cuartil 1
Me
Cuartil 3
Datos
Datos
Atípicos
Datos Atípicos
at
Extremos
at
at
Extrem os
BES BII BEI
Donde: Banda exterior inferior: Banda interior inferior: Banda interior superior: Banda exterior superior:
Además:
Datos
BIS
@ Abanto Canto
Trabajando los mismos datos del ejemplo anterior.
@ Abanto Canto
Problema propuesto:
Supongamos tenemos los siguientes datos (aparece solo la
primera parte de datos, en realidad son 150 datos), correspondientes a los clientes de una empresa de seguros.
@ Abanto Canto
A continuación se procesan estos (150 clientes) datos en R, obteniendo los gráficos de histograma, box plot y diagrama de tallos y hojas. Interprete, discuta y deduzca conclusiones que permita describir o perfilar a los clientes según la información registradas (variables)
@ Abanto Canto
> stem(Ingresos[Genero=="Hombre"],3)
@ Abanto Canto
The decimal point is 1 digit(s) to the right of the | 25 | 579 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 3 34 | 35 | 36 | 6 37 | 38 | 9 39 | 8 40 | 0337 41 | 46 42 | 0 43 | 8 44 | 9 45 | 1469 46 | 47 | 579 48 | 048 49 | 2567 50 | 249 51 | 6 52 | 0679 53 | 0348899 54 | 24566 55 | 11259 56 | 05 57 | 135677 58 | 012246789 59 | 55 60 | 139 61 | 2477 62 | 1 63 | 59 64 | 06 65 | 226 66 | 68 67 | 0 68 | 147 69 | 129 70 | 71 | 72 | 73 | 6 74 | 0 75 |
@ Abanto Canto
76 | 6 77 | 27 78 | 79 | 80 | 4 81 | 82 | 0 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 2 90 | 91 | 3 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 9 > stem(Ingresos[Genero=="Hombre"],3) The decimal point is 1 digit(s) to the right of the | 25 | 579 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 3 34 | 35 | 36 | 6 37 | 38 | 9 39 | 8 40 | 0337 41 | 46 42 | 0 43 | 8 44 | 9 45 | 1469 46 | 47 | 579 48 | 048 49 | 2567
@ Abanto Canto
50 | 249 51 | 6 52 | 0679 53 | 0348899 54 | 24566 55 | 11259 56 | 05 57 | 135677 58 | 012246789 59 | 55 60 | 139 61 | 2477 62 | 1 63 | 59 64 | 06 65 | 226 66 | 68 67 | 0 68 | 147 69 | 129 70 | 71 | 72 | 73 | 6 74 | 0 75 | 76 | 6 77 | 27 78 | 79 | 80 | 4 81 | 82 | 0 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 2 90 | 91 | 3 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 9 >
@ Abanto Canto
Ejercicios propuestos:
1.
La edad media de los candidatos a un determinado curso de perfeccionamiento siempre fue baja, aproximadamente 22 años. Como ese curso fue proyectado para captar candidatos de todas las edades, se decidió hacer una campaña de divulgación. Para verificar si la campaña fue o no eficiente se hizo un estudio de la edad de los candidatos de la última promoción, con los siguiente resultados Edad (años) Frecuencia 18-20
18
20-22
12
22-26
10
26-30
8
30-36
2
total
100
a. A partir de estos resultados.¿ diría usted, que la campaña tuvo algún efecto ( Obviamente según la media). b. Un investigador decidió usar la siguiente regla: si la diferencia ( x 22 ) resulta ser s 2 , concluye que la campaña tuvo efecto. ¿Cuál sería su n conclusión si adopta esta regla?
mayor que el valor
2. A continuación se tiene el retorno diario de una acción “B” medido en tanto por uno, durante 220 días:
@ Abanto Canto
Retorno diario
ni
-0.10 -0.05
20
-0.05
0.00
10
0.00
0.05
50
0.05
0.10
10
0.10
0.15
70
0.15
0.20
40
0.20
0.25
20
Calcule e interprete: a. varianza
b. desviación estándar
d. índice de asimetría
2.
c. coeficiente de variación
e. índice de curtosis
Los activos anuales (en millones de pesos) de un grupo de empresas son
Activos (millo. de pesos)
ni
600-800
10
800-1000
40
1000-1200
20
1200-1400
30
1400-1600
60
1600-1800
10
Determine e interprete: a. Varianza
b. desv. Estándar. c. Coeficiente de variación
@ Abanto Canto
d. Desviación media e. Rango Intercuartílico.
3.
A continuación se registra los impuestos pagados por un grupo de pequeños empresarios en unidades monetarias (u.m) Impuestos (u.m)
ni
34-38
50
38-42
20
42-46
30
46-50
30
50-54
20
54-58
10
a. Grafique adecuadamente. Interprete en términos de su asimetría b. Son los impuestos homogéneos estadísticamente. Justifique. c. Categorize a los empresarios de la forma:
@ Abanto Canto
IV Medidas de Relación.
En muchas aplicaciones, interesa medir la relación entre dos variables cuantitativas o quizás también entre dos variables cualitativas. En esta unidad estudiaremos medidas de relación entre dos variables cuantitativas.
Para estudiar la relación entre dos variables cuantitativas, se recomienda iniciar el estudio explorando gráficamente esta relación, mediante la construcción de un diagrama de dispersión. Para luego confirmar esta relación explorada mediante medidas estadístico como ejemplo la covarianza o el coeficiente de correlación
Covarianza.
La covarianza es una medida de la forma de la relación entre dos variables cuantitativas. La covarianza puede ser positiva, negativa o cero. Si la covarianza es positiva, entonces la relación entre las variables es positiva o directa, ejemplo, el caso de la oferta y el precio (ver figuras abajo). Si la covarianza es negativa, entonces la relación entre las variables es negativa o inversa, ejemplo, el caso entre la demanda y el precio. Si la covarianza es cero no hay relación (lineal) entre las variables.
@ Abanto Canto
cov (x, y)= +
cov (x, y)= -
cov (x, y)≈0
La covarianza se define.
n
cov( x, y )
(x i 1
i
x )( y i y ) n 1
x y nx y , n 1
Observe que si x y la cov( x, y) es igual a la varianza. Podemos entonces interpretar la covarianza como una medida de dispersión entre dos variables, que mide la relación entre estas dos variables.
@ Abanto Canto
Ejemplo:
Es de interés en cierta empresa del rubro metalúrgico, estudiar la relación entre la variable edad, medida en años, y el rendimiento laboral, medida en porcentaje. Se tiene el siguiente registro:
X: Edad
Y: Rendimiento Laboral
28
52
26
59
36
88
56
90
42
75
23
62
Construimos en una primera etapa un diagrama de dispersión que nos permita explorar la relación existente entre estas dos variables. A continuación, se muestra el respectivo diagrama de dispersión:
Y: Rendimiento Laboral 100 90 80 70 60 50 40 20
30
40 Edad (años)
50
60
@ Abanto Canto
Del diagrama de dispersión podemos concluir, en esta primera etapa de exploración, que la relación entre estas dos variables es directa (positiva), es decir, a mayor edad mayor rendimiento laboral o también a menor edad menor rendimiento laboral.
La medida de covarianza que calcularemos, nos confirmará la exploración que se hizo con el diagrama de dispersión:
Donde
X
Y
XY
28
52
1456
26
59
1534
36
88
3168
56
90
5040
42
75
3150
23
62
1426
211
426
15774
representa los totales de cada columna.
211 426 15774 6 6 6 158,6 Aplicando la formula tenemos: cov( x, y ) 5
@ Abanto Canto
La covarianza resulta ser 158,6. Este número es positivo, por lo tanto, la relación entre la variable edad y rendimiento laboral es positiva. La covarianza confirma la exploración hecha con el diagrama de dispersión.
Coeficiente de Correlación
El coeficiente de correlación es una medida estadística bivariada, al igual que la covarianza, pero que además de medir la forma, mide el grado de la relación entre, no se olviden, dos variables cuantitativas.
El valor del coeficiente de correlación esta entre -1 y +1, pasando obviamente por el cero. Si el coeficiente de correlación esta cerca de -1 ó +1 la relación es alta (depende del signo si es positiva o negativa). Si el coeficiente de correlación esta cerca del cero (positivamente o negativamente) la relación es baja. Si es cero es por que la covarianza es cero, entonces no hay relación entre la variables. Podríamos ser una poco mas específico y decir que si el coeficiente de correlación esta cerca del +0,5 ó -0,5 la relación es moderada (negativa o positiva).
El coeficiente de correlación se define:
rx , y
cov ( x, y ) Sx Sy
Calcules el coeficiente de correlación para el ejemplo:
@ Abanto Canto
X
Y
XY
X2
Y2
28
52
1456
784
2704
26
59
1534
676
3481
36
88
3168
1296
7744
56
90
5040
3136
8100
42
75
3150
1764
5625
23
62
1426
529
3844
211
426
15774
8185
31498
Como vemos en la última tabla incluimos dos nuevas columnas en los cálculos, esto para poder calcular las desviaciones estándar que necesitaremos.
2
211 8185 6 2 2 x nx 6 Sx 152,9 6 n 1 5
2
Sy
426 31498 6 2 2 y ny 6 250,4 n 1 5
Por lo tanto la covarianza es igual a:
rx , y
158,6 152. 6 250,4
0,81
@ Abanto Canto
Es decir la relación entre la edad y el rendimiento es directa y además alta.
Cuando empezamos esta unidad dijimos que los diagramas de dispersión permitían explorar la forma de la relación. Pero también además de explorar la forma permiten explorar el grado de la relación, como se muestra en las siguientes figuras. En diagramas de dispersión donde los puntos graficados de las dos variables están cerca de una línea, la relación entre las variables es fuerte, que a diferencia de aquellos donde los puntos están más alejados de una línea. Y
Y
X1
X2
Esta claro entonces que rx1 y rx2 y
Regresión Lineal Simple.
Muchas veces se necesita predecir o estimar el valor de una variable Y, que llamaremos variable dependiente, conociendo el valor de una variable X, que llamaremos variable independiente.
El método de regresión lineal simple, entrega la herramienta para satisfacer esta necesidad.
Este asume una relación lineal entre las variables dependiente e independiente, es decir un modelo de la forma:
@ Abanto Canto
Y 0 1 X +
Que es el modelo de regresión lineal poblacional, donde 0 es el valor del intercepto, geométricamente el valor sobre el eje Y por donde cruza la línea en el plano. Un modelo sin intercepto como el siguiente:
Y 1 X
Cruza por el origen del plano.
1 Es el valor de la pendiente que geométricamente define el ángulo de inclinación de la línea definida en un plano.
En términos reales el intercepto es el valor de la variable dependiente, cuando el valor de la variable independiente es cero. Y la pendiente es cambio esperado de la variable dependiente (aumenta o disminuye), cuando la variable independiente cambia (aumenta o disminuye) en una unidad.
Y 0 1 X
@ Abanto Canto
Estimación
La ecuación de la recta se estima minimizando la suma de las distancias cuadradas entre el valor observado y esperado, es decir, de las siguientes ecuaciones.
∑
(
̂)
Es así que se obtiene el modelo de regresión lineal simple muestral, es decir:
̂
Donde:
̂
̂
@ Abanto Canto
(
̂
)
̂
̅
̂ ̅
Ejemplo:
Según resultados anteriores:
cov( x, y) 158,6
S x 152,96 ̅
̅
Por lo que:
̂
̂
El modelo de regresión lineal simple muestral sería:
̂
Esta ecuación estimada, es la ecuación obtenida bajo el criterio que expresamos antes: Es la mejor ecuación de la línea, es decir, la línea mediante la cual se minimiza las distancia cuadradas entre el valor observado y el valor estimado de cada observación.
@ Abanto Canto
A continuación obtenemos esta línea mediante la ayuda de Excel, una herramienta importantísima en el procesamiento de los datos, para el análisis.
Y y = 1,0368x + 34,538 R² = 0,6567
100 90 80 70
Y
60
Lineal (Y)
50 40 30 20
40
60
El valor del intercepto estimado es de 34,538, la diferencia con la ecuación estimada por la formulas es por el proceso de aproximación que ocupamos. Un intercepto de 34,538 indica que si una vendedor tuviera una edad de cero años su rendimiento sería de 34,538%. Por otro lado la pendiente, que en este caso indica que por cada año que aumenta la edad el rendimiento aumentaría también en 1,0368%.
En la salida también aparece una medida de bondad de ajuste, que es el coeficiente de determinación. Esta indica cuanto explica el modelo de la variación de la variable dependiente, ó visto de otra forma el porcentaje de explicación de la variable dependiente, por la variable independiente. Se obtiene.
@ Abanto Canto
En el ejemplo este valor es 65%, que indica que la edad explica un 65% de la variación del rendimiento.
@ Abanto Canto
Ejercicios propuestos.
1. Suponga que se prueba una campaña publicitaria para un nuevo producto de 10 ciudades. La intensidad X de la publicidad varía de una ciudad a otra. El porcentaje Y de familiaridad con el producto se determina por medio de una encuesta después de la campaña publicitaria:
X: 4
4.5
5
5.5
Y. 10.1 10.3 10.4 21.7
6
6.5
7
36.7
51.5
67
7.5 68.5
8
8.5
68.2
69.3
x 62.5 y 413.7 xy 2930.45 x
2
y
411.25
2
23421.27
a. b. c. d. e. f. g. h.
Calcule el coeficiente de correlación. Interprete. Encuentre las estimaciones mínimos cuadrados para el modelo: Y 0 1 x Es el modelo b adecuado El modelo debe tener intercepto Estime la mediante un intervalo del 95% Interprete el intercepto y la pendiente Calcule e interprete el coeficiente de determinación Prediga Y, cuando X = 6.7
i.
Encuentre las estimaciones mínimos cuadrados para el modelo: ln Y 0 1
1 y x
responda c, d y e
2.
Los siguientes son datos muéstrales relativos al número de horas de estudio fuera de clase durante un período de tres semanas de alumnos de un curso de estadística aplicada a la administración y a sus calificaciones en el examen el ese período.
Estudiante muestreado
1
2
3
4
5
6
7
8
Horas de Estudio(X)
20
16
34
23
27
32
18
22
Calificaciones en
64
61
84
70
88
92
72
77
n 10
@ Abanto Canto
examen (Y)
1. Dibuje un diagrama de dispersión. Interprete 2. Es verdad que la relación entre las horas de estudio y las calificaciones es alta y directa. Justifique su respuesta 3. Estime y escriba la ecuación de regresión lineal simple. Dibújela 4. Interprete el intercepto y la pendiente 5. ¿Si un alumno estudia 30 horas, que calificación esperaría obtener? Calcule e interprete el coeficiente de determina
3.
Para una muestra de 20 observaciones mensuales un analista financiero quiere efectuar la regresión de la tasa porcentual de rendimiento (Y) de las acciones de una empresa sobre la tasa porcentual de rendimiento (X) de un índice bursátil. Dispone de la siguiente información
20
yi 22,6 i 1
20
xi 25,4 i 1
20
yi2 130,2 i 1
20
xi2 145,7 i 1
20
x y i 1
i
a. b. c. d.
i
150,5
Calcule la covarianza e interprete Calcule el coeficiente de correlación e interprete Estime la ecuación de regresión lineal simple. Interprete los coeficientes de regresión Calcule una medida de bondad de ajuste. Interprete. ¿Es bueno el modelo si el objetivo es predecir la tasa porcentual de rendimiento de las acciones de la empresa? e. ¿Estime el valor de la tasa porcentual de rendimiento de la empresa si la tasa porcentual de rendimiento del índice bursátil es 0,86?
4. En un estudio de comportamiento de lectura se esta investigando dos variables cuantitativas las que son registradas en la siguiente tabla:
Edad (años)
22
28
20
36
19
46
40
52
48
45
Horas de lectura por semana
7
11
4
10
6
16
18
20
15
24
@ Abanto Canto
a. Construya un Diagrama de dispersión. Interprete
b. Calcule e interprete la covarianza entre Edad y horas de Lectura.
c. Ajuste una regresión lineal simple considerando horas de lectura como variable dependiente.
d.
¿Cuánto se espera lea una persona de 33 años?
5. En un estudio de conducta de compras por ingreso se mide:
Ingreso (miles de pesos)
200 240 360 360 208 48 409 568 488 458
Ventas (miles de pesos)
36
80
40 100 60 160 30 200 150 180
a. Construya un Diagrama de dispersión. Interprete
b. Calcule e interprete el coeficiente de correlación entre Ingreso y Ventas.
c. Ajuste una regresión lineal simple considerando Ventas como variable dependiente e ingreso variable independiente.
d.
Interprete el intercepto y la pendiente estimada. Que venta se espera obtener para una persona que tiene un ingreso de 298 m p
6.
a. Para cada uno de los pares de variables listados a continuación, esboce el diagrama de dispersión esperado. Diga si usted espera dependencia lineal, y en los casos afirmativos de una idea del coeficiente de correlación.
a. Número de horas trabajadas y salario de un grupo de trabajadores.
@ Abanto Canto
b. Número de trabajadores y el tiempo en terminar una obra de construcción
c. Los sueldos promedios iniciales de los estudiantes de administración han sido modelados según una regresión lineal simple, obteniendo los siguientes resultados:
Y 1850 950 X
R 2 0,365
Donde Y es el sueldo inicial en u.m y X es el tiempo medido en años desde 1985. a. Interprete la pendiente b. Interprete el coeficiente de determinación
