Apuntes Ed

INGENIERÍA EN MANTENIMIENTO INDUSTRIAL APUNTES DE ECUACIONES DIFERENCIALES NOMBRE DEL ALUMNO _____________________________________________________ _____________________________ ________________________

Nazario Sampayo Carballo

1. NOTAS SOBRE LA EVALUACIÓN 1. 2. 3. 4. 5.

Tienes tres oportunidades durante el curso (ordinaria, recuperación y extraordinaria) para acreditar cada unidad. Para tener derecho a examen de recuperación DEBES acreditar a la primera oportunidad al menos 60% de la unidad o unidades. Para el extraordinario, en el examen recuperación deberás alcanzar el 70%. La calificación de los exámenes de recuperación sustituye a la calificación anterior. La participación en el curso tomará en cuenta aspectos como: actitud, participación en clase, contribuciones, calidad de las intervenciones.

2. FUNCIONAMIENTO DE LA CLASE Y SUGERENCIAS 1. LO MÁS IMPORTANTE: se aceptan sugerencias y críticas de tu parte. El éxito de nuestro curso depende de que exista una comunicación constante en ambos sentidos. 2. Las dudas más generales se resolverán en clase, las otras en ASESORÍA. 3. Al inicio de cada unidad se te proporcionarán unas NOTAS DE CLASE. Estas notas incluyen casi todas las definiciones y casi todas las proposiciones que veremos, de tal manera que tengas una idea clara y precisa del contenido y de la extensión del curso. 4. La intención principal de darte las notas es la de evitar que te la pases escribiendo durante la clase, tu atención debe estar centrada a la comprensión de los conceptos que vayamos viendo. A la clase NO debes llegar con una ACTITUD PASIVA sino que debes llegar a discutir con el maestro y con tus compañeros. 5. Subraya en las notas lo que sea más importante y escribe sobre ellas notas complementarias. En tu cuaderno escribe los ejemplos vistos en clase y todas las observaciones que creas pertinentes sobre lo discutido en clase. 6. Las matemáticas NO SE APRENDEN DE MEMORIA, es más importante saber dónde hallar las cosas y como utilizarlas por lo que en el examen puedes usar tus notas de clase, libros, apuntes o calculadoras. 7. Regularmente habrá en las clases INTERROGACIONES ORALES lo que servirá para evaluar tu participación. 8. Trata de hacer tus TAREAS y PRÁCTICAS lo más rápido posible para que haya el necesario TIEMPO DE MADURACIÓN de los conceptos. Si no haces las tareas y prácticas esto se reflejará en la evaluación. 9. El EXAMEN de cada unidad lo debes comenzar a preparar el día que iniciamos el estudio de la unidad respectiva: - está atento en clase y participa en la discusión; - después de clase repasa los conceptos que se estudiaron; - consulta si es necesario alguno de los libros de la bibliografía; - comienza a hacer tus tareas y prácticas; - todas las dudas que tengas consúltalas con tus compañeros o con el maestro en la clase siguiente; - LO PEOR QUE PUEDES HACER es tratar de estudiar dos o tres días antes del examen: aprendes menos y corres el riesgo de reprobar la materia. 10. Trata de ENTENDER todos los conceptos y las proposiciones que estudiemos: - a que se refieren; - en qué contexto surgen; - cuáles son los supuestos y - cuáles las conclusiones. De esta manera podrás aplicar dichos conceptos a la solución no sólo de ejercicios rutinarios sino incluso a ejercicios más complejos y a la solución de problemas. 11. Buscaremos que trabajes en EQUIPO, de esta manera se hace un menor esfuerzo, se aprende de una manera más rápida y te enseñas a colaborar con un grupo aparte de que conoces a otras gentes y te conoces mejor a ti mismo. Trata de ser responsable con el equipo y no esperar que los demás hagan lo que a ti te corresponde y no seas egoísta con tus compañeros que aprenden más lentamente que tú. Tú das algo a alguien y recibes algo de alguien. 12. Por respeto a los demás, queda ESTRICTAMENTE PROHIBIDO, durante la clase: - el uso de celulares y audífonos. - el uso de iPod y mp ’s. - salir del salón (salvo alguna emergencia). - tomar alimentos y bebidas (incluye golosinas). - tirar basura. 13. Se MANTENDRÁ la limpieza y el orden.

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE XICOTEPEC DE JUÁREZ INGENIERÍA EN MANTENIMIENTO INDUSTRIAL EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES NOMBRE DEL ALUMNO: __________________________________________________________________ APELLIDO PATERNO

APELLIDO MATERNO

NOMBRE(S)

MAESTRO: NAZARIO SAMPAYO CARBALLO

INSTRUCCIONES: CONTESTE CORRECTAMENTE LAS SIGUIENTES PREGUNTAS. TRABAJE EN FORMA CLARA Y ORDENADA Y JUSTIFIQUE DEBIDAMENTE SU RESPUESTA. 1.- ¿Qué es para ti una función? 2.- ¿Para qué sirven las funciones? 3.- ¿Has utilizado un software de matemáticas en alguno de tus cursos precedentes? ¿Cuáles? 4.- ¿Qué son para ti las matemáticas? 5.- ¿Te gustan las matemáticas? 6.- ¿Para qué sirve el Cálculo Diferencial? a) Analizar procesos físicos b) Realizar gráficas c) Determinar máximos y mínimos d) Todas las anteriores 7.- ¿Qué es la derivada de una función? a) Ruta de cambio de una función b) En un punto dado de la curva que representa la función, equivale a la pendiente de la recta secante a dicha curva en un punto dado. c) Cambio de una variable con respecto a otra. d) Representa el valor de la pendiente de una recta tangente a la gráfica de la función en un punto dado. 8.- ¿Qué es una Integral? a) Es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. b) Es la operación contraria a la derivada c) Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. 9.- ¿A cuánto equivale 2+2? a) 5

b) 4

c) 22

d) 44

10.- ¿A cuánto equivale 23/4? a) 5

b) 5>x>6

c) 5.7

d) ninguna

INGENIERÍA EN MANTENIMIENTO INDUSTRIAL HOJA DE ASIGNATURA CON DESGLOSE DE UNIDADES TEMÁTICAS 1. NOMBRE DE LA ASIGNATURA Ecuaciones Diferenciales Aplicadas Diseñar estrategias de mantenimiento mediante el análisis de factores 2. COMPETENCIAS humanos, tecnológicos, económicos y financieros, para la elaboración y administración del plan maestro de mantenimiento que garantice la disponibilidad y confiabilidad de planta, contribuyendo a la competitividad de la empresa. Segundo 45 30 75 5

3. 4. 5. 6. 7.

CUATRIMESTRE HORAS PRÁCTICAS HORAS TEÓRICAS HORAS TOTALES HORAS TOTALES POR SEMANA CUATRIMESTRE El alumno aplicará las ecuaciones diferenciales, las transformadas de Laplace y 8. OBJETIVO DE LA ASIGNATURA las series de Fourier para mejorar las condiciones de operación de la empresa mediante la modelación y evaluación de condiciones de los fenómenos eléctricos, electrónicos y mecánicos en los equipos que intervienen en los procesos productivos de la misma.

UNIDADES TEMÁTICAS I. Conceptos Básicos de las Ecuaciones Diferenciales II. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden III. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior IV. Transformada de Laplace. V. Series de Fourier. TOTALES 1. 2. 3. 4.

Unidad Temática Horas Prácticas Horas Teóricas Horas Totales

5. Objetivo Temas Definiciones terminología.

PRÁCTICAS

HORAS TEÓRICAS

TOTALES

5 10 10 10 10

5 5 10 5 5

10 15 20 15 15

45

30

75

I.- Conceptos Básicos de las Ecuaciones Diferenciales 5 5 10 Comprender qué es una ecuación diferencial, su origen, sus tipos, su solución y su interpretación en problemas de ingeniería, para modelar sistemas electromecánicos, mediante el estudio de casos.

Saber Describir los y clasificación de diferenciales.

Saber hacer

Identificar los tipos de criterios de diferenciales, grado y linealidad las ecuaciones Comprobar soluciones de diferenciales.

Teorema de existencia y Enunciar el teorema de existencia y unicidad. unicidad. Problemas de valor Describir los problemas con valores inicial y condiciones de iniciales y con condiciones de frontera. frontera. Las ecuaciones Describir los modelos de sistemas diferenciales como que emplean ecuaciones modelos matemáticos. diferenciales.

Ser

ecuaciones Responsabilidad Puntualidad ecuaciones Proactividad Motivación Responsabilidad Emplear el teorema de existencia y unicidad Puntualidad en soluciones de ecuaciones. Proactividad Motivación Responsabilidad Emplear condiciones iniciales y de frontera Puntualidad en soluciones de ecuaciones. Proactividad Motivación Responsabilidad Interpretar los modelos matemáticos de Puntualidad sistemas por medio de ecuaciones Proactividad diferenciales. Motivación

Introducción general a la problemática relativa a la teoría de las ecuaciones diferenciales.

La teoría de las Ecuaciones Diferenciales ( ED) comenzó a desarrollarse a finales del siglo XVII, casi simultáneamente con la aparición del Cálculo diferencial e integral y constituyen una rama extensa y muy importante de las matemáticas modernas . Desde su inicio, han sido y continúan siendo un campo importante de investigaciones teóricas y aplicaciones prácticas. Ahora

1. ¿Qué es una ED? y ¿qué significa? 2. ¿Dónde y cómo se originan las ED? y ¿cuál es su utilidad? 3. Cuando se encuentra una ED, ¿Qué debo hacer?, ¿cómo se debe hacer? y ¿cuáles son los resultados de tal actividad?

Estas preguntas señalan tres aspectos importantes del tema: teoría, métodos y aplicación . En esta unidad veremos los aspectos básicos de las ED al mismo tiempo que nos haremos haciendo una idea general de los aspectos antes citados y que abordaremos en las siguientes unidades, es decir, se presenta un panorama general del curso. Las ecuaciones que habías encontrado hasta ahora respondían en su mayor parte la necesidad de obtener los valores numéricos de ciertas magnitudes. Cuando, por ejemplo, al buscar los máximos y mínimos de funciones se resolvía una ecuación y se encontraban los puntos para los cuales se anulaba la velocidad de variación de una función o cuando se consideraba el problema de hallar las raíces de un polinomio, se trata de hallar siempre números concretos. Pero en las aplicaciones de las matemáticas surgen a menudo problemas de una clase cualitativamente diferente: problemas en los que la incógnita es a su vez una función, es decir, una ley que expresa la dependencia de ciertas variables respecto a otras. Por ejemplo, al investigar el proceso de enfriamiento de un cuerpo hay que determinar cómo varía la temperatura en el transcurso del tiempo, para describir el movimiento de un planeta o de una estrella o de una partícula cualquiera debe determinarse la dependencia de sus coordenadas con respecto al tiempo, etc. Con frecuencia es posible plantear una ecuación que permite encontrar las funciones desconocidas pedidas, y estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones funcionales . Su naturaleza puede ser, en general, muy diversa, de hecho podemos decir que ya conocemos el ejemplo más sencillo y primitivo de una ecuación funcional: las funciones implícitas. La clase más importante de ecuaciones funcionales son las ED, esto es, ecuaciones en las que además de la función desconocida aparecen también algunas de sus derivadas de diversas órdenes. La enorme importancia de las ED en las matemáticas, y especialmente en sus aplicaciones , se debe principalmente al hecho de que la investigación de muchos problemas de la ciencia y tecnología, pueden reducirse a la solución de tales ecuaciones. Los cálculos que requiere la construcción de maquinaria eléctrica o de los dispositivos radiotécnicos, el cálculo de las trayectorias de proyectiles, la investigación de la estabilidad de aeronaves en vuelo o del curso de una reacción química, todo ello depende de la solución de ED. En el momento actual, las ED se han convertido en una herramienta poderosa para la investigación de fenómenos naturales. En la Mecánica, la astronomía, la física y la tecnología han sido causa de enorme progreso. Del estudio de las ED del movimiento de los cuerpos celestes dedujo Newton las leyes del movimiento planetario descubiertas empíricamente por Kepler. En 1846 Leverrier predijo la existencia del planeta Neptuno y determinó su posición en el cielo basándose en el análisis numérico de esas mismas ecuaciones.

La física y las ecuaciones diferenciales

Sucede con frecuencia que las leyes físicas que gobiernan un fenómeno se escriben en forma de ED, por lo que éstas, en sí, constituyen una expresión cuantitativa de dichas leyes: por ejemplo, las leyes de conservación de la masa y de la energía térmica, las leyes de la mecánica, etc., se expresan en forma de ED. Por ejemplo la siguiente ecuación expresa la ley de la conservación de la materia en un volumen Ω que delimitaremos mentalmente en el espacio y mantenemos fijo:  ρ  t



 ρ

v x 

 x



v y  y

 ρ



 ρ

v z 

z

0

En donde ρ representa a la densidad de la masa en el instante t y v es la velocidad. La siguiente ecuación expresa la ley de la conservación de la energía calorífica ( C es la capacidad calorífica, T la temperatura en el instante t ,  representa el vector conducción de calor y q es la densidad de productividad de la fuente):

C

 T  t

 x



 y



 x

 y



 z z



q

El siguiente sistema de ecuaciones de ecuaciones representa la segunda ley de Newton: ρ ρ

dv x dt



ρ 

 Fx , ρ

 x

dv y dt



 ρ y

representa la densidad de partículas en el volumen dado,

 Fy , ρ

dv z dt



 ρ z

 Fz

p es la presión sobre el fluido,

v

es la velocidad en el

instante t y F representa a las fuerzas exteriores. Los fenómenos oscilatorios de diferente naturaleza (vibraciones de cuerdas, membranas, oscilaciones acústicas de gases en tubos, oscilaciones electromagnéticas, etc.) se describen mediante ED, entre semejantes ecuaciones la más simple es la ecuación que de una cuerda vibrante que está dada por: 2

T

2

 u x

 ρ

2

 u  t

2

Aquí T representa la tensión en la cuerda, ρ la masa contenida en cada centímetro de longitud de la cuerda y representa desplazamiento. 2

m

La ecuación

d x dt

2

bx

 



a

u(x,t)

dx dt

Figura 1 Describe el movimiento de una masa m moviéndose en un medio resistente bajo la influencia elástica de dos resortes.

ρl

La ecuación

d2 x dt2





kps x V

Describe el movimiento de una masa a través del resonador acústico de Helmholtz, aquí, ρ es la densidad del aire, l la longitud del cuello, k es la constante de la ley adiabática, p es la presión, s el área de la sección transversal del cuello, V es el volumen y x representa el desplazamiento de la masa del aire en el instante t .

Figura 2

En el análisis de un tubo electrónico generador de oscilaciones electromagnéticas aparece la ecuación: 2

L

d v dt

2



R





2

M a1  2a2 v  3a3 v

dv dt



v  0

Donde L es la inductancia, R la resistencia, M el coeficiente de acoplamiento de las bobinas y v el voltaje en el instante t .

Figura 3 Los procesos de la conductibilidad térmica y difusión conducen a ED. En el caso unidimensional la ecuación más simple de conductibilidad térmica tiene la forma: u t

Donde k es el coeficiente de conductibilidad térmica,

2

 c

k  u c ρ x

2

el calor específico y ρ la densidad del medio.

Definición y clasificación de las ecuaciones diferenciales

A partir de esta unidad realizaremos un estudio sistemático sobre los métodos de solución de las ED. Cada método depende del tipo de ecuación o del tipo de sistema de ecuaciones por resolver por lo que debes tener la habilidad para identificar el tipo de ecuación o del sistema de ecuaciones, luego elegir un método adecuado, y finalmente utilizar dicho método para hallar la solución de la ecuación o del sistema dado

Definición 1 (ED).

Una ecuación diferencial , es una ecuación que contiene las derivadas (o diferenciales) de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables dependientes y en donde la incógnita es la variable dependiente o algunas de las variables dependientes (o todas).

Definición 2 (ED ORDINARIA). Una ED se dice ordinaria si sólo contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente. Los problemas de la física y la tecnología conducen a menudo a un sistema de ED ordinarias con varias funciones incógnitas, dependiendo todas de la misma variable y de sus derivadas respecto a esa variable.

Definición 3 (ED PARCIAL)

Una ED se dice parcial si contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a más de una variable independiente. La teoría de las ED en derivadas parciales tiene muchos rasgos peculiares que la hacen esencialmente diferente de la teoría de las EDO.

Definición 4 (ORDEN DE UNA ED) El orden de una ED se define como el orden de la más alta derivada que contiene la ecuación Definición 5 (FORMA ESTÁNDAR) Dada una EDO de n-ésimo orden en la variable dependiente y y la variable independiente t , decimos que se halla en forma estándar si está escrita de la siguiente manera:

F t, y(t), y(t), y(t);, yn  (t)



g(t)

es decir, del lado izquierdo se hallan todos los términos que contienen a la incógnita y a sus derivadas y del lado derecho sólo los términos que contiene a la variable independiente.

Definición 6 (ECUACIÓN HOMOGÉNEA)

Si en la ecuación de la definición anterior g(t) 0 la ecuación se dice homogénea, en caso contrario se dice no homogénea y en este último caso g(t) se dice término homogéneo . 

Ejercicio 1.-

orden.

Dadas las siguientes ecuaciones, clasifícalas según su tipo (ordinarias o parciales) y según su

Ecuación 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Ordinaria o Parcial

Orden

Ejercicio 2 .-

De cada una de las ecuaciones anteriores, escribe la función incógnita así como la o las variable(s) independiente(s). Ecuación Función incógnita Variables independientes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Definición 7 (ED LINEAL) Dada una EDO de n-ésimo orden en la variable dependiente y y la variable independiente t se dice lineal si tiene (o se puede expresar en) la siguiente forma:

an (t)yn   an 1 (t)yn 



1

   a2 (t)y  a1y  a0 (t)y 

g(t)

En caso contario la ecuación se dice no lineal. Observa que la característica central es que una vez que la ecuación se ha escrito en forma estándar los coeficientes de y y de sus derivadas no dependen de y , pero además no deben aparecer potencias de y ni de sus derivadas, ni tampoco funciones trascendentes aplicadas ni a y ni a sus derivadas.

Este tipo de ecuaciones se clasifican también, según sean los coeficientes de la ecuación en ecuación con coeficientes constantes o coeficientes variables . Observa que en el caso de las ecuaciones lineales homogéneas, la función constante y(t) 0 siempre es solución. 

Ejercicio 3 .-

Dadas las siguientes EDO, escríbelas en la forma estándar de la definición 5, determina si las ecuaciones son homogéneas o no y en su caso da el término no homogéneo, luego da los coeficientes de la función incógnita y de cada una de las derivadas (en orden decreciente), clasifica las ecuaciones según tengan coeficientes constantes o variables. Finalmente determina si las ecuaciones son lineales o no, en caso de que no lo sean escribe el o los términos no homogéneos.

Ecuación 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Ecuación 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

¿forma ESTÁNDAR SI o NO?

Coeficientes de las derivadas (en orden decreciente)

¿Homogénea SI o NO?

Coeficientes ¿constantes o variables?

¿Lineal SI o NO?

Término no homogéneo

Términos no lineales

En la siguiente figura, se da una clasificación de las ecuaciones de acuerdo a los métodos analíticos de solución. ECUACIONES DIFERENCIALES

ORDINARIAS

LINEALES

COEFICIENTES CONSTANTES

HOMOGÉNEAS

PARCIALES

NO LINEALES

COEFICIENTES VARIABLES

NO HOMOGÉNEAS

TÉRMINO NO HOMOGÉNEO CONTINUO

DE ACUERDO AL ORDEN

TÉRMINO NO HOMOGÉNEO DISCONTÍNUO

PRIMER

SEGUNDO

TERCER

...

N-ÉSIMO

Figura 4.- Clasificación de las ED de acuerdo a los métodos de solución . Definición 8.- (SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL) Dada la EDO de n-ésimo orden F t, y(t), y(t), y(t);, yn  (t) Una función

 (t)

se dice



g(t)

solución de la ED si al sustituir y(t) por  (t) , y (t) por  (t),, y n  (t) por  n  (t) , 



resulta una identidad. Para describir en términos generales los problemas de la teoría de las ED, observemos primero que toda ED tiene, en general, no una, sino un número infinito de soluciones, así, cualquier ED define, en general toda una clase de funciones que la satisfacen. El problema básico de la teoría consiste en estudiar las funciones que satisfacen las ED. Por ejemplo, en la gráfica de la figura 5 se presentan en algunas soluciones de la ecuación xy2  2y  4x2 y en la gráfica de la

figura 6 se presentan las soluciones de la ecuación x 1 y2 dx dy

Figura 5: gráfica de y  x2 



c x2



 x2  Figura 6: gráfica de y  sen  c   2 

La teoría de estas ecuaciones debe proporcionar una idea suficientemente amplia de las propiedades de todas las funciones que satisfacen la ecuación , requisito que es particularmente importante al aplicar estas ecuaciones a las ciencias naturales. Además, la teoría debe suministrar el medio de encontrar valores numéricos de una función cuando éstos se necesiten en el transcurso de un cálculo. A continuación damos una serie de definiciones que serán muy importantes en todo el curso .

DEFINICIONES BÁSICAS En la tema anterior, durante la discusión se los sistemas masa-resorte, observaste que la forma de la solución depende de los valores iniciales que toman tanto la variable dependiente como su derivada, a continuación se generaliza esta situación para ED generales.

Definición 9 (CONDICIONES INICIALES) Dada la ecuación de la definición 8, si para un “valor inicial” de la variable independiente asignamos un “valor inicial” a la función desconocida y a todas sus derivadas hasta la de orden n-1, se dice entonces que hemos asignado a la ecuación condiciones iniciales . Se puede advertir que los valores iniciales de la función y de las n-1 primeras derivadas pueden fijarse arbitrariamente. Cada elección de estos n valores definirá un “estado inicial” para la solución buscada. Definición 10 (PROBLEMAS DE VALORES INICIALES Y DE VALORES EN LA FRONTERA) Si la ecuación de la definición 8 viene acompañada por condiciones iniciales, se dice que se tiene un problema de valores iniciales. Si se dan condiciones relativas diferentes de la variable independiente se dice que tiene un problema de valores en la frontera. En general, puede demostrarse, bajo hipótesis muy amplias, que la ED de la definición 8 tiene infinitas soluciones. Para hallar una fórmula que incluya, de ser posible, todas las soluciones de una ED de orden n, aquella deberá contener n constantes independientes, lo que permitirá imponer n condiciones iniciales, lo que justifica la definición.

Definición 11 (SOLUCIÓN GENERAL) La solución de una ED de orden n que contiene n constantes arbitrarias independientes recibe el nombre de solución general de la ecuación. Pero, bajo las condiciones señaladas en el siguiente teorema (que es el más importante del curso y que mencionamos sin demostración), puede probarse que la solución es única . TEOREMA 1 (TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD) Dada la ecuación de la definición 8 , esta está acompañada de condiciones iniciales, entonces, existe una sola solución de la ecuación con estos valores iniciales asignados. En el caso anterior, la solución está completamente determinada, lo que justifica la siguiente definición.

Definición 12 (SOLUCIÓN PARTICULAR)

A la solución de un problema de valores iniciales asociado a la ecuación de la particular de la ecuación.

definición 8, se le llama solución

Definición 13 (SOLUCIONES EXPLÍCITAS Y SOLUCIONES IMPLÍCITAS) Si la función solución de una ED es una función explícita, se dice que tenemos una solución explícita , en caso contrario se dice que tenemos una solución implícita . NOTA 1.- Una solución implícita es tan válida como una explícita ya que utilizando computadoras es posible obtener y(t) para

cada valor de t con la precisión deseada.

OTROS PROBLEMAS DE LA TEORÍA La obtención de fórmulas que permitan calcular la solución en forma explícita será uno de los primeros problemas de la teoría. Tales fórmulas sólo podrán obtenerse en casos muy sencillos, pero, si se encuentran, serán de gran ayuda en el cálculo y estudio de la solución. La teoría deberá suministrar algún medio para obtener propiedades referentes al comportamiento de una solución: si es monótona u oscilatoria, si es periódica o se aproxima a una función periódica, etc.

También deberá proporcionar un cuadro cualitativo, y si fuese posible cuantitativo, del comportamiento, no sólo de las soluciones particulares de una ecuación, sino también de una solución general. Si variamos los valores iniciales de la función incógnita y de sus derivadas, esto es, si modificamos el estado inicial del sistema físico, entonces variará también la solución, puesto que el proceso físico tendrá lugar ahora de manera diferente. La teoría deberá suministrar la posibilidad de predecir cuál será ese cambio. en particular, para pequeños cambios en los valores iniciales, ¿se modificará también la solución en una pequeña cantidad, siendo por tanto “estable” a este respecto, o podrá ocurrir que pequeños cambios en las condiciones iniciales dan lugar a gran des modificaciones en la solución, de modo que esta última s ea “inestable”? En la construcción de maquinaria se plantea a menudo la cuestión de elegir los parámetros que caracterizan a un aparato o máquina, de modo tal que garanticen un funcionamiento satisfactorio. Los parámetros de un aparato aparecen en forma de ciertas magnitudes en la ED correspondiente. La teoría deberá ayudar a aclarar que le sucederá a la solución (al aparato) si se modifica la ecuación (los parámetros del aparato) Finalmente, cuando sea necesario realizar un cálculo se necesitará encontrar la solución numérica de una ecuación, y la teoría deberá proporcionar al ingeniero y al físico los métodos más rápidos y económicos de calcular las soluciones. Nota 2.- A partir de esta unidad trabajaremos mucho con funciones logarítmicas y exponenciales por lo que conviene recordar las siguientes propiedades (y conviene tomar en cuenta que las propiedades de la 1 a la 6, la 9 y la 10 se usan en ambos sentidos.

1) ln ab  lna  lnb a) Propiedades para transformar expresiones

b) Valores particulares importantes

1 lnb b 7) ln1 0

c) Propiedades para despejar

9) lnef

d) Derivadas

11) lnf

4) ln

 





f

2) ln 5) ea

b

6) e







eaeb



a





n lna

1 ea



10)elnf

e) Integrales f) Exponencial compleja

15) dado z  α  βi  C, ez



3) ln an



8) lne 1

1 f f 13)  lntdt  tlnt  t 

a lna lnb b





12) ef 

f 

eff

14)  e t dt  e t 

eα Cosβ  iSenβ

ESQUEMA GENERAL DE LA MODELACIÓN MATEMÁTICA CON ECUACIONES DIFERENCIALES Terminamos esta unidad haciendo una breve discusión sobre las etapas de construcción y análisis de un modelo matemático general pero pensando al caso específico de las ecuaciones diferenciales. El primer problema central de la teoría de las ED se refiere al origen de las ED. Hasta antes del nacimiento de la informática, el proceso de modelación matemática de un proceso físico (ve el esquema de la Figura ) podía describirse de una manera más particularizada mediante las siguientes etapas:

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Descripción del fenómeno físico que se desea analizar; Planteamiento del problema en lenguaje común; Planteamiento del problema en lenguaje matemático (construcción del modelo matemático). Solución del problema. (En el caso de que el modelo sea una ecuación, solución de la ecuación) Análisis e interpretación de la solución. Validación del modelo confrontándolo con el proceso físico analizado para decidir si el modelo es adecuado dentro de la exactitud requerida o si es necesario ajustarlo, si la respuesta es positiva, el problema está resuelto si la respuesta es negativa se debe ajustar el modelo. 7. En su caso ajustar el modelo y repetir el proceso con el nuevo modelo obtenido. En ocasiones un modelo funciona bien durante un determinado tiempo por lo que el ajuste está determinado en base a que nuevos requerimientos o nuevos descubrimientos acerca del fenómeno vuelven obsoletos los datos con los que se trabajó.

Implementación del modelo. Fenómeno de la "realidad" "matematizable"

Fenómeno de la "realidad" "matematizable"

Poner un problema en lenguaje cotidiano

Poner un problema en lenguaje cotidiano MODELO MATEMATICO

(problema en lenguaje matemático)

MODELO MATEMATICO

(problema en lenguaje matemático) Ajustar

MODELO COMPUTACIONAL

(algoritmos - programación)

Si

Confrontación con la realidad. El modelo: 1) ¿Explica? 2) ¿Describe? 3) ¿Predice?

No Si

Confrontación con la realidad. El modelo: 1) ¿Explica? 2) ¿Describe? 3) ¿Predice?

Ajustar

No

Figura 4: esquema de la modelación matemática en las eras pre-informática (izquierda) e informática (derecha).

En el caso particular de la modelación matemática con ED, las etapas 1, 2 y 7 son idénticas, las demás pueden describirse de la siguiente manera:

3. Construcción de una ecuación diferencial o de un sistema de ED. 4. Solución de la ecuación diferencial o solución del sistema de ED. 5. Análisis y estudio de la función o de las funciones obtenidas así como interpretación de sus propiedades con respecto al proceso físico que se está estudiando. 6. Determinar si la función o las funciones obtenidas describen adecuadamente el proceso con la exactitud requerida, si la respuesta es positiva puede pasarse a la etapa 8. 8. Uso de la función o de las funciones obtenidas para hacer predicciones, en cuyo caso se debe tener mucho cuidado en determinar el intervalo de tiempo para el que las predicciones son válidas. Naturalmente, esta no es la única propuesta para describir las etapas del proceso de modelación, por ejemplo, en Dreyer (1993, pp. 1-2) se describen las siguientes 7 etapas (y como señala el autor, en un problema específico puede ser que no se usen todas o que algunas de ellas sean banales): 1. Reconocimiento . Debe clarificarse la cuestión que debe resolverse. En el caso de situaciones Reconocimiento físicas los mecanismos subyacentes deben identificarse cuidadosamente. Se formula el problema con palabras y se documentan los datos relevantes. 2. Hipótesis . Debe analizarse el problema para decidir cuáles factores son importantes y cuáles Hipótesis pueden ignorarse en manera tal que puedan hacerse suposiciones realísticas. 3. Construcción . Se trata de la traducción del problema al lenguaje matemático, usualmente una colección de ecuaciones y/o desigualdades una vez que han sido identificadas las variables. El Construcción problema “en palabras” se transforma en un problema matemático abstracto. 4. Análisis . Se resuelve el problema matemático en manera tal que las cantidades desconocidas se expresen en términos de las conocidas y/o se analiza para obtener información acerca de los parámetros. 5. Interpretación . La solución del problema abstracto debe compararse con el problema original “en palabras” para ver si tiene sentido en la situación real . Si no es así, se reformulan hipótesis más realistas y se construye un nuevo modelo. 6. Validación . Se verifica que la solución sea congruente con los datos reales del problema. Si la correlación no es satisfactoria, se regresa al problema “en palabras” y se revisan tanto los datos como las suposiciones para luego modificar o agregar hipótesis y se construye un nuevo modelo. 7. Implementación . Si la solución concuerda con los datos, el modelo puede ser usado para predecir lo que pasará en futuro o pueden extraerse conclusiones que pueden ser útiles en una planeación futura, etc. En el caso de predicciones debe tenerse mucho cuidado para determinar el intervalo de tiempo en el que las predicciones son válidas.

Análisis

Interpretación

Validación

Implementación

Proceso de evaluación Secuencia de aprendizaje

Resultado de aprendizaje Elaborará un mapa conceptual en el que identificará los tipos (orden, grado, linealidad, ordinaria/parcial) y aplicaciones de las ecuaciones diferenciales.

1. 2. 3. 4.


5. Objetivo

Instrumentos y tipos de reactivos

1.- Identificar las ecuaciones diferenciales y sus tipos Ejercicios prácticos 2.- Comprender el proceso de verificación de lista de verificación soluciones de ecuaciones diferenciales.

II.- Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden 10 5 15 El alumno desarrollará las habilidades para el planteamiento y la solución de ecuaciones diferenciales de primer orden, para su aplicación a modelos relacionados con la ingeniería en mantenimiento industrial, mediante las técnicas básicas de solución y el uso de software para matemáticas.

Capítulo 2.- Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden (págs. 34-81) Ecuaciones Diferenciales 7ª. Edicion, Con Valores en la Frontera, Denis G. Zill Temas

Saber

Saber hacer

Ecuaciones de variables separables.

Explicar el proceso de solución de ecuaciones de variables separables

Resolver ecuaciones de variables separables

Ecuaciones exactas.

Explicar el proceso de solución de ecuaciones exactas

Resolver ecuaciones exactas

Solución de ecuaciones por sustitución.

Explicar el proceso de solución de ecuaciones por sustitución

Resolver ecuaciones mediante sustitución

Ecuaciones lineales y de Bernoulli.

Explicar el proceso de solución de ecuaciones lineales y de Bernoulli

Resolver ecuaciones lineales y de Bernoulli

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

Explicar las aplicaciones en cinemática de mecanismos y circuitos en serie RC y RL

Resolver modelos de sistemas mecánicos y eléctricos que requieren de ecuaciones diferenciales (circuitos RC, RL), ley de enfriamiento, entre otros

Resultado de aprendizaje Solucionará problemas orientados al mantenimiento, empleando las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden como cinemática, circuitos eléctricos (RC, RL), enfriamiento y resistencia de materiales.


Ser Responsabilidad Puntualidad Proactividad Motivación Responsabilidad Puntualidad Proactividad Motivación Responsabilidad Puntualidad Proactividad Motivación Responsabilidad Puntualidad Proactividad Motivación Responsabilidad Puntualidad Proactividad Motivación


1.- Identificar los tipos de ecuaciones Ejercicios prácticos diferenciales ordinarias de primer orden Lista de verificación. 2.- Comprender el procedimiento para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 3.- Analizar las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden relacionadas con mantenimiento (circuitos RC y RL, dinámica, enfriamiento).

1. 2. 3. 4.


5. Objetivo

III.- Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior 10 10 20 El alumno desarrollará las habilidades para el planteamiento y la solución de ecuaciones diferenciales de orden superior, aplicándolas a modelos relacionados con la ingeniería en mantenimiento industrial, mediante el análisis de los casos más representativos.

Capítulo 4.-Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior (págs. 117-180) Ecuaciones Diferenciales 7ª. Edicion, Con Valores en la Frontera, Denis G. Zill Temas

Saber

Ecuaciones homogéneas y Explicar los conceptos de: • Ecuaciones homogéneas y no homogéneas. no homogéneas • Principio de unicidad • Dependencia e Independencia lineal • Wronskiano Ecuaciones lineales Explicar los conceptos de: Método homogéneas con de coeficientes constantes. (raíces coeficientes constantes. reales, raíces reales repetidas, raíces complejas conjugadas)

Ecuaciones homogéneas coeficientes indeterminados.

lineales Explicar los conceptos del método con de coeficientes indeterminados.

Aplicaciones de las Explicar los conceptos ecuaciones diferenciales fundamentales de porque estas de segundo orden. ecuaciones sirven como modelos matemáticos que facilitan el análisis de fenómenos físicos y de ingeniería eléctrica, mecánica y química.

Resultado de aprendizaje Solucionará problemas orientados al mantenimiento, aplicando las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior en como cinemática, circuitos eléctricos (RLC), enfriamiento y resistencia de materiales.

Saber hacer

Ser

Resolver problemas del valor inicial y de frontera. Utilizar el criterio de funciones linealmente independientes. Dependencia lineal e independencia lineal y el principio de súper posición.

Responsabilidad Puntualidad Proactividad Motivación

Resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes mediante los métodos de: • raíces reales, • raíces reales repetidas, • raíces complejas conjugadas Resolver problemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes indeterminados por medio del los métodos: Superposición. Anulador. Aplicar las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior al estudio de: Movimiento armónico simple. Movimiento amortiguado. Movimiento forzado. Circuitos eléctricos RLC.






1.- Identificar los tipos de ecuaciones Ejercicios prácticos diferenciales ordinarias de orden superior Lista de verificación 2.- Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior 3.- Analizar las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior relacionadas con mantenimiento (circuitos RLC, sistemas amortiguados)

1. 2. 3. 4.


5. Objetivo

IV.- Transformada de Laplace 10 5 15 El alumno desarrollará las habilidades para el planteamiento y la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales a través de transformadas de Laplace, aplicándolas a modelos relacionados con la ingeniería en mantenimiento industrial, mediante la compresión de los conceptos básicos.

Capítulo 7.- La transformada de Laplace (págs. 255-302) Ecuaciones Diferenciales 7ª. Edicion, Con Valores en la Frontera, Denis G. Zill Temas

Saber

Saber hacer

Ser

Explicar los conceptos de: • Transformada de Laplace. Responsabilidad • Definición de la Linealidad. Calcular transformadas de Laplace Puntualidad transformada de Laplace. • Funciones continuas por tramos. directas. Proactividad • Existencia de la Transformada de Motivación Laplace. Responsabilidad Calcular transformadas de Laplace Explicar los conceptos de transformada Puntualidad Transformada inversa. inversas de funciones potenciales, de Laplace inversa. Proactividad exponenciales y trigonométricas. Motivación Responsabilidad Teoremas de traslación y Explicar el teorema de derivada de una Calcular transformadas de Laplace Puntualidad derivadas de una transformada basados en el primero y basados en los teoremas de translación Proactividad transformada. segundo teorema de traslación. y derivada de una transformada. Motivación Explicar los teoremas de: Calcular transformadas de: Responsabilidad Transformadas de •transformada de una derivada, • derivadas, Puntualidad derivadas, integrales y • convolución, • integrales, Proactividad funciones periódicas. • transformada de una función periódica. • funciones periódicas. Motivación Aplicaciones. Explicar la función delta de Dirac Solucionar problemas relacionados con Responsabilidad mecánica de mecanismos y circuitos en Puntualidad serie RC y RL Proactividad Motivación Explicar los métodos de: Responsabilidad • Operaciones, Solucionar problemas relacionados con Sistemas de ecuaciones Puntualidad • Transformadas de Laplace. mecánica de mecanismos, circuitos lineales. Proactividad Determinar sistemas de ecuaciones eléctricos sistemas degradados. Motivación lineales de primer orden.

Resultado de aprendizaje Solucionará ecuaciones diferenciales aplicadas al mantenimiento aplicando las transformadas de Laplace como en dinámica, circuitos eléctricos (RLC), resistencia de materiales y fluidos.



1.Comprender los conceptos de Ejercicios prácticos transformadas directas e inversas de Lista de verificación Laplace. 2.- Analizar las aplicaciones de la transformada de Laplace relacionadas con el mantenimiento industrial (sistemas amortiguados).

1. 2. 3. 4.


V.- Series de Fourier 10 5 15 El alumno utilizará las series de Fourier en el modelado y análisis de problemas relacionados con el mantenimiento industrial, en particular en estudios de calidad de la energía y vibraciones, mediante la comprensión de los conceptos básicos.

5. Objetivo

Capítulo 11.- Funciones Ortogonales y Series de Fourier (págs. 397-435.) Ecuaciones Diferenciales 7ª. Edicion, Con Valores en la Frontera, Denis G. Zill Temas

Saber

Saber hacer

Funciones ortogonales

Explicar el concepto ortogonalidad de la función.

Ser

de Resolver problemas definiendo la ortogonalidad de Responsabilidad la función en el intervalo y por medio de la integral Puntualidad de la función de peso indicada. Proactividad Motivación Series de Fourier Explicar el teorema de Solucionar problemas relacionados con convergencia Responsabilidad convergencia de una serie de de una serie en intervalos dados. Puntualidad Fourier. Proactividad Motivación Series de Fourier Explicar los conceptos y Resolver problemas de las series pares e impares Responsabilidad de senos y cosenos propiedades matemáticas de las por medio de las series de senos y cosenos. Puntualidad funciones pares e impares. Proactividad Motivación Aplicaciones. Explicar las aplicaciones de las Modelar y analizar aplicando las series de Fourier Responsabilidad series de Fourier en el área en el vibraciones mecánicas Puntualidad electromecánica. Aplicar las series de Fourier en el modelado y Proactividad análisis de armónicas conceptos. Motivación

Resultado de aprendizaje Realizará estudios de generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica, análisis de comportamiento armónico de señales y estudios de respuesta en el tiempo de una variable de circuitos eléctricos aplicando las series de Fourier al mantenimiento.



1.- Comprender los conceptos de las series Ejercicios prácticos de Fourier Lista de verificación 2.- Analizar la aplicación de las series de Fourier en problemas relacionados con mantenimiento (vibraciones).

CAPACIDADES DERIVADAS DE LAS COMPETENCIAS PROFESIONALES A LAS QUE CONTRIBUYE LA ASIGNATURA Capacidad

Criterios de Desempeño

Diagnosticar maquinaria y equipo mediante técnicas predictivas con ensayos no destructivos (termografía, vibraciones, ultrasonido, tribología, entre otras) aplicando modelos matemáticos y otras herramientas para la detección oportuna de fallas y optimización de las actividades de mantenimiento.

Presenta el diagnóstico de las condiciones de operación de los sistemas electromecánicos utilizando técnicas predictivas (inspección visual, lubricación, termografía, ultrasonido, vibraciones, alineación con láser y otras pruebas no destructivas).

FUENTES BIBLIOGRÁFICAS Autor

Año

Título del Documento

D.G. Zill

(2002)

Isabel Carmona Jover Daniel A. Marcus E.D. Rainville

(1998)

Ecuaciones Diferenciales aplicaciones Ecuaciones diferenciales

(1993) (1999)

Paul Blanchard et al M.Braun

(1999) (1990)

C.C. Rolando & G.R. Rodrigo Bronson/ Costa Simmons

(2008) (2007)

con

Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales elementales Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones Ecuaciones diferenciales (Curso de introducción) Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales (Teoría, Técnica y Práctica)

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