Apuntes de Metodos Matematicos para la Física -Hugo F. Arellano

Hugo F. Arellano Departamento de F´ısica - FCFM Universidad de Chile

Primavera de 2006

2

Indice

1.

Elementos de an´ alisis complejo

9

1.1. Variables complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2. Funciones de variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3. Derivada y analiticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.1. La exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.2. El logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4. Propiedades geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.5. Transformaciones conformes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.5.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.6. Integraci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.7. Teorema de Cauchy-Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.8. F´ ormula integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.9. Sucesiones y series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.10. Series de Taylor y de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.11. Teorema de los residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.12. La parte principal de una integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3

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M´ etodos Matem´ aticos para la F´ısica

2.

3.

4.

1.13. Hojas y superficie de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.14. Integrales que involucran funciones multivaluadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

1.15. Prolongaci´ on anal´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

1.16. Relaciones de dispersi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

1.17. Método del descenso más empinado (steepest descent) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Coordenadas curvil´ıneas ortogonales

45

2.2. Coeficientes métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.3. Elementos geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.4. Operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.4.1. El gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.4.2. La divergencia y el teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.4.3. El laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.4.4. El rotor y el teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

La delta de Dirac

55

3.1. Definici´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

3.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.3. Representaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

Series y transformada de Fourier

59

4.1. El Teorema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

4.2. Bases de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

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5.

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4.3. Paso del discreto al cont´ınuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

4.4. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

4.4.1. El teorema de convoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

4.4.2. Relaci´ on de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

4.4.3. Potencial debido a una distribuci´ on de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

Ecuaciones diferenciales

69

5.2. Separaci´ on de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

5.2.1. Ecuaci´ on de Laplace en un disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

5.3. La ecuaci´ on de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

5.3.1. Funciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

5.3.2. Funciones modificadas de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

5.3.3. Diferenciaci´ on y recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

5.3.4. Una identidad u ´til . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

5.3.5. La ecuaci´ on de Laplace en una cavidad cil´ındrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

5.4. Ecuaci´ on de Helmoltz con simetr´ıa axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

5.4.1. Los polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

5.4.2. Propiedades de los polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

5.4.3. Las funciones esféricas de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

5.5. Ecuaci´ on de Laplace en una cavidad esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

5.6. Los esféricos arm´ onicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

5.6.1. Construcci´ on de los esféricos arm´ onicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

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5

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5.6.2. Relaciones de ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

5.6.3. Otras identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

5.7. Teor´ıa de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

5.8. Ecuaciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

5.8.1. Aplicaci´ on del método de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

5.8.2. La ecuaci´ on hipergeométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

5.8.3. La ecuaci´ on hipergeométrica confluente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.

Funciones de Green

103

6.0.1. Problema con C.B. homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.0.2. Un ejemplo clásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6

Pre-texto

Estos apuntes son una transcripción de mi primer manuscrito de cátedras del semestre de primavera de 2005. Al igual que otros de mis apuntes, son informales en su presentaci´ on y carecen de desarrollos detallados que comunmente se discuten en clases o encuentran en textos. El tema de métodos matemáticos para la f´ısica es sumamente extenso y hay varios textos de excelente calidad donde encontrar desarrollos y discusiones interesantes, además de buenos ejemplos o problemas t´ıpicos. As´ı entonces, no pretendo con estos apuntes hacer un aporte en esa l´ınea. El sentido de escribirlos es más bien registrar el énfasis de algunos aspectos discutidos en clases y de como ellos se estructuran hacia los temas más avanzados. Espero que ésto sea de ayuda.

Hugo F. Arellano Santiago, primavera de 2006

7

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U de Chile


8

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Cap´ıtulo 1

Elementos de an´ alisis complejo

1.1.

Variables complejas

Comenzamos nuestro estudio suponiendo alguna familiaridad con los n´ umeros complejos ordinarios, es decir, aquellos formados por la combinaci´ on del tipo ‘x iy’, con x e y variables reales además de la propiedad i2 1. Para uniformizar la notaci´ on, usaremos la letra ‘z’ para simbolizar las variables complejas. Las operaciones de suma y multiplicaci´ on entre n´ umeros complejos están definidas de la siguiente forma. Sean z1 x1 i y1 , y z2 x2 i y2 , entonces z1

z2

z1 z2

x1 x2 i y1 y2 , x1 x2 y1 y2 i x1 y2 def def

x2 y1 .

Con estas definiciones, y al igual que en el cuerpo de los reales, los números complejos satisfacen las siguientes propiedades para la suma y el producto:

1. Asociatividad para la suma y el producto, z1

z 2

z 3 z 1

z2

z1 z2 z3 z1 z2 z3 ;

z3 ,

2. Conmutatividad de la suma y el producto, z1

z2

z2

z1 z2

z1 ,

z2 z1 ;

3. Distributividad de la suma con respecto al producto, z1 z2 4. Existencia del cero (0 0

z3 z1 z2

i 0) y de la unidad (1 1 z

5. Existencia del inverso aditivo. Si z cumple

00

x z

i 0):

z; i y, entonces z x i y es su inverso aditivo y z

z,

z1 z3 ;

z11z

z z 9

z

0;

fι


6. Existencia del inverso multiplicativo. Si z x plicativo y cumple zz 1

i y, entonces1 z

1.2.

1z 2z es su inverso multi-

z 1z 1 ;

Se define el m´ odulo (z ) de un n´ umero complejo z mediante z

z 1

1

z 2 z 1

zz , la cual conduce a la desigualdad

z2 .

Funciones de variable compleja

Al igual que con variables reales, las múltiples operaciones entre variables complejas permite la construcción de funciones. Tales funciones resultan, en general, también complejas y se descomponen en parte real e imaginaria. Si f z es una funci´ on de la variable compleja z x i y, entonces podemos escribir f z ux, y

i v x, y wx, y .

Se subentiende que la aplicación f toma elementos z en un dominio del plano complejo (C). Se dice que f es cont´ınua en z si para todo 0 existe un δ 0 tal que z z δ f z f z . Un ejemplo de funci´ on cont´ınua es f z z 2 . En efecto, iy

iv

wo

z ε δ

zo

w x

Fig. 1.1: Cuando z

u

z , entonces w w .

f z f z z 2 z2 z z z δ

z δ z

z .

Además la desigualdad triangular permite z z z z 2z z z 2z δ 2z. Si denotamos f f z y f f z , entonces f f δ δ 2z .

Aqu´ı resulta claro que la separaci´ on infinitamente peque˜ na entre f y f está siempre garantizada. De la desigualdad de arriba inferimos que para un dado, entonces el δ requerido está dado por δ z 2 z . Notamos que en este caso δ depende de z , lo que es en general el caso. Sin embargo, si el dominio de f está acotado por z R, entonces δ se expresa independiente de z . Ello se denomina continuidad uniforme. 1 A todo complejo z x iy se le asocia el complejo conjugado, z , definido por z resulta evidente que zz z z x2 y 2 .

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10

on x iy. Con esta definici´

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1.3.

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Derivada y analiticidad

Consideremos el cuociente

f z f z . z z

Este cuociente no está definido para z z . Sin embargo, al igual como se hace para funciones de variable real, quisieramos construir el l´ımite cuando z z . En variable compleja imponemos una exigencia no trivial, cual es que el l´ımite sea independiente de como z se aproxima a z . As´ı, definimos f z l´ım δz

Calculemos f z mediante un acercamiento z Entonces, δf δz

ux ux

0

f z

δz f z . δz

z paralelo al eje real, es decir δz δx, con z x

δx, y

i v x

i y.

δx, y ux, y i v x, y δx v x δx, y v x, y i δx

δx, y ux, y δx v i x .

ux Análogamente, calculemos f z mediante un acercamiento z z paralelo al eje imaginario. En tal caso δz iδy, con lo cual δf δz

ux, y ux, y

i uy

δy

i v x, y

δy ux, y i δy v y .

δy ux, y i v x, y iδy v x, y δy v x, y i iδy

Para que ambos procedimientos lleven al mismo resultado imponemos que tanto la parte real como imaginaria sean coincidentes, vale decir,

u v , x y

u v . y x

A ésta se le denomina condici´ on de Cauchy-Riemann y constituye una condición necesaria para la analiticidad de una funci´ on. La suficiencia viene cuando las derivadas son cont´ınuas. De la condición de Cauchy-Riemann surgen trivialmente

2u 2 u 0 , x2 y2

2 v 2 v 0 , x2 y2

y

que corresponden a ecuaciones de Laplace en 2D. En tal sentido, las componentes de real e imaginaria de funciones anal´ıticas son armónicas como funciones de x e y.

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Resumen: Analiticidad: Sea f : C

C una funci´ on compleja. La derivada de f en z es

df dz z

l´ım

Δz

0

Δz f z

f z

(1.3.1)

Δz

provisto de que el l´ımite exista y sea independiente de la forma como Δz

0.

ivx, y es diferenciable en una región del plano complejo si y sólo si las u v u v (1.3.2) x y y x (o, equivalentemente, f z 0), son satisfechas y todas las primeras derivadas parciales de u y v son continuas en esa regi´ on. En tal caso df ux i xv vy i uy (1.3.3) dz

u x, y Teorema: La funci´ on f z condiciones de Cauchy-Riemann,

C se denomina anal´ıtica en z si es diferenciable en z y todo punto de su vecindad. Definiciones: La funci´ on f : C Aquel punto donde f es anal´ıtica se denomina punto regular de f . Un punto donde f no es anal´ıtica se denomina punto singular o singularidad de f . Una funci´ on para la cual todos los puntos en C son regulares se llama funci´ on entera.

La analiticidad de una funci´ on no es una propiedad que esté garantizada a cualquier funci´ on cont´ınua. Por ejemplo, consideremos z x i y, y definamos f z z z . Claramente ux, y 2x; v x, y 0. La derivada df dz obtenida mediante variaciones de z paralelas al eje real es u x i v x 2. De igual forma, variaciones paralelas al eje complejo (δz iδy) conducen a i u y v y 0. Este resultado es diferente al anterior, por lo que la analiticidad no se cumple. En general, una forma sistemática de verificar la analiticidad de una funci´ on es examinando la condici´ on de Cauchy-Riemann. Para este ejemplo on de z y z resulta no anal´ıtica. se observa que u x v y. En general, cualquier funci´ Examinemos un ejemplo simple: f z z 2 . Considerando z x i y es fácil verificar que f z wx, y x2 y 2 i 2xy . Identificamos u x2 y 2 , y v 2xy, con lo cual

u 2x ; u 2y ; v 2y ; v 2x . x y x y

Estas derivadas cruzadas satisfacen las condiciones de C.R. La derivada es u ńica y la podemos evaluar: f z

u x

i

v 2x x

i2y 2z ,

coincidente con el resultado conocido para variables reales. En general, se puede demostrar que para todo n entero, d n z n zn 1 . dz Su demostración queda propuesta.

1.3.1.

La exponencial

Un ejemplo de gran valor es el caso de la funci´ on exponencial. Esta funci´ on puede ser definida de varias formas. Consideremos en este caso la siguiente construcción. La exponencial es una función de la

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variable compleja z, que denotadaremos por f , que satisface las siguientes propiedades: a) f z es anal´ıtica y univaluada en C; b) f z f z ; y c) f z1 z2 f z1 f z2 . Procedemos entonces a la construcci´ on de la exponencial. De la condición c) se tiene f 0

0 f 0f 0, por lo que f 02

f 0. Soluciones son f 0 0; 1. δz f z f z f δz f z f z f δz 1.

De la condición c) vemos que f z

Imponemos que f z f z . Examinamos f z

δz f z δz

δz 1 . f z f δz

0, vemos que f δz 1δz diverge si f 0 0. Sólo f 0 1 permite analiticidad. Imponemos f f , expresando f z ux, y i v x, y . Entonces, u u ; v v , x x de lo cual ux, y ay ex , y v x, y by ex . Cuando δz

La condición de analiticidad de C.R. conduce a

u v x y v u x y

db , ay dy , by da dy

de donde se obtienen a a 0; b b 0. Las ecuaciones de arriba son dos ecuaciones acopladas de primer orden, de modo que son sólo dos las constantes arbitrarias de integraci´ on. Si consideramos ay A cos y Imponemos f 0 1, con cual u0, 0 1 v 0, 0 0 Construimos f

u

iv

B sin y ,

a 0 1 b0 0

wx, y, obteniendo wx, y ex cos y

Del resultado anterior resulta evidente que para z modo, si z x (real), entonces ez ex .

by A sin y B cos y .

A1 B0

i sin y ez . def

iy, con y real, se tiene eiy cos y

i sin y. De igual

La exponencial es anal´ıtica en todo C, de modo que es una funci´ on entera. Una g´rafica de la superficie de ez para sus componentes real e imaginaria se muestran el la Fig. (1.2). Asociadas a la exponencial se definen las siguientes funciones de variable compleja, ambas enteras: cos z

FCFM

e

iz

e 2

iz

,

sin z

13

iz e 2ie

iz

.

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-3

-3

-2

-2

-1

-1

0 1

0 1 0.5

0.5 0

0

-0.5

-0.5 -1 0

-1 0 5

5 10

10 15

15

Fig. 1.2: Partes real e imaginaria de ez . Además, se define tan z

sin z . cos z

Esta última no es anal´ıtica en los ceros de cos z. De forma análoga se introducen las definiciones cosh z

1.3.2.

e

z

e

z

,

2

sinh z

z e 2 e

z

,

tanh z

sinh z . cosh z

El logaritmo

Al igual que en variable real, se define el logaritmo como la funci´ on inversa de la exponencial. Notar, sin embargo, que la exponencial es una funci´ on peri´ odica, vale decir, ez

ez 2iπN ,

con N un entero arbitrario. Esto conduce a que la inversa de la exponencial resulte multivaluada en su parte imaginaria. En principio eso puede ser un inconveniente. Por ahora subsanamos tal ambig¨ uedad si restringimos la parte imaginaria a s´ olo un sector. Buscamos una forma expl´ıcita, en términos de x e y, para ln z que ew z. De esta última, claramente z

eu i v eucos v

w. Esta construcción se basa en exigir

i sin v .

Tomando m´ odulo a ambos lados y luego el logaritmo en variables reales obtenemos u ln z . Además, si representamos z

z cos φ

i sin φ, es claro que v w ln z

φ arg z. De tal forma que def

i arg z .

En términos de las componentes de z, w ln

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x2

y2

14

i arctan

y x

.

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Con este resultado calculemos su derivada d ln z dz

wx x2 x y2

i

yx2 x iy 1 y x2 x2 y 2 x

Por lo tanto, d ln z dz

1 iy

.

z1 .

Contando con la definici´ on del logaritmo podemos definir la potenciaci´ on a un n´ umero real a, za

ea ln z . def

Con esta definición es directo calcular la derivada de z a : d za dz

1.4.

dzd ea ln z ea ln z az a z a

1

.

Propiedades geom´ etricas

Geométricamente el gradiente de una funci´ on de dos variables, x, y , apunta en la direcci´ on de mayor crecimiento. Si consideramos ux, y y v x, y , componentes de una funci´ on anal´ıtica f z , entonces

ux xv uy vy . Al hacer uso de la condici´ on de C.R. se obtiene que ∇u ∇v 0 Esto implica que, en un punto z x ∇u ∇v

iy, la direcci´ on de mayor crecimiento de u es perpendicular a la de v. En otras palabras, las curvas de nivel de ux, y son perpendiculares a las de v x, y .

v

A modo de ilustraci´ on, consideremos nuevamente la funci´ on f z z 2 . En tal caso u x2 y 2 , y 2 2 2xy. Las curvas de nivel están dadas por x y u y 2xy v , ilustradas en la Fig. (1.3), donde 1

1

0.5

0.5

0

0

-0.5

-0.5

-1

-1 -1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

Fig. 1.3: Curvas de nivel de ux, y (izquierda) y v x, y (derecha). se puede apreciar visualmente la perpendicularidad de las curvas de nivel.

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1.5.

Transformaciones conformes

La aplicaci´ on w f z asocia a cada par x, y de z x i y otro u, v de w u i v. As´ı entonces, mediante la aplicaci´ on f podemos identificar la región u, v que resulta de considerar todos los puntos x, y correspondientes a z en un dominio D. A esta construcción se le llama mapa. Cuando la transformaci´ on f

f

z

y

w

v

x

u Fig. 1.4: Un mapa.

es anal´ıtica, los mapas resultantes tienen propiedades interesantes. Comencemos examinando la geometr´ıa de dos desplazamientos arbitrarios en z y veamos en qué se traducen para w. Sea z un punto en el dominio de partida y w f z su imagen respectiva. Sin perder generalidad, podemos afirmar que un desplazamiento muy peque˜ no desde z , δz z z , conlleva una variación δw dado por δw f z δz.

Al ser f anal´ıtica, f z es única. Contemplemos dos desplazamientos independientes, δza y δzb , ambos de igual magnitud (δs) pero con orientaciones distintas. Si los ángulos relativos al eje real son φa y φb , respectivamente, entonces sus desplazamientos en el plano C son δza

δs eiφ

a

,

y

δzb

δs eiφ

b

.

Claramente el ángulo entre estos dos desplazamientos se obtiene examinando el cuociente δzb δza : δzb δza

ei φ

b

φa

.

Nos preguntamos entonces por el angulo relativo entre las variaciones δwa y δwb respectivas: δwb δwa

δzb ff zz δz ei φ

b

φa

.

a

En otras palabras, el ángulo relativo entre δwa y δwb es el mismo que entre δza y δzb , lo que se ilustra en la Fig. (1.5). Es importante resaltar que la preservaci´ on de los ángulos está garantizada s´ olo cuando f z 0. Si

iy

φ b −φ a

δzb δ za

iv

δ wb δwa −φ a φb

u

x Fig. 1.5: Si f z 0 entonces

δza , δzb δwa , δwb .

esto no ocurre hay que examinar más detalladamente considerando términos de orden superior. Más adelante estudiaremos expansiones en series de Taylor en torno a puntos regulares. Si el término no nulo más bajo es on de orden m, entonces δwa , δwb m δza , δzb . Cuando m 1 nos referimos a una transformaci´ conforme.

U de Chile

16

FCFM

H. F. Arellano

1.5.1.

fι


Ejemplos

Inversi´ on: w 1z. Consideremos la transformaci´ on f z 1z y estudiemos la región que resulta al considerar el conjunto D z C : z a a. Se subentiende que a es un real positivo. En este caso los puntos en D quedan convenientemente descritos por z

a

ρ:0a;

ρ eiφ ,

Construimos w: w

z1 a

φ : π

π.

1 . ρ eiφ

Mediante manipulación algebraica directa obtenemos w

a2

El centro del c´ırculo es mapeado a w En tal caso

a ρ cos φ ρ2 2aρ cos φ

i a2

ρ sin φ . ρ2 2aρ cos φ

1a. Los puntos del contorno de D quedan determinados con ρ a. w

2a1 i 2a1 tanφ2 , representando una recta con u 12a y v barriendo A

u+iv = 1/(x+iy) 1/2a

B

C A

1/a

B

a

C

Fig. 1.6: La transformaci´ on f(z)=1/z, aplicada a un c´ırculo.

1.6.

Integraci´ on

Sean f : C C y Γ una trayectoria cont´ınua que une los puntos extremos za y zb . Definimos la integral mediante la suma infinita de elementos infinitesimales, zb n

f z dz l´ım f ξj zj zj 1 f z dz . Γ

j1

n

za

En esta construcción exigimos que para todo segmento, zj zj 1 0. Además, convenimos en que f on f no experimenta es evaluada en cualquier punto ξj en el segmento zj 1 zj . Suponemos que la funci´ saltos a lo largo de Γ. Para fijar ideas hemos considerado z0 za , y zn zb .

FCFM

17

U de Chile

fι


iy n−1

n

n−2

z

za

b

2 1

0

x

Fig. 1.7: Integral a lo largo de una trayectoria Γ.

1.7.

Teorema de Cauchy-Goursat

Cuando la una funci´ on f : C C es anal´ıtica sobre y dentro de una trayectoria cerrada C, entonces f z dz 0 . C

A este teorema se le llama Teorema de Cauchy-Goursat. Sin pretender una demostraci´ on rigurosa sino más bien dar una justificaci´ on razonable, consideremos una trayectoria Γ no cerrada y que une dos puntos extremos, za y zb . Expresemos la integral en términos de las partes real e imaginaria y desarrollamos. I f z dz u i vx i y u dx v dy i v dx u dy . Γz

Γxy

Γxy

Γxy

Ê

En éstas hacemos una distinci´ on entre la trayectoria Γ en C, denotada por Γz , y aquella equivalente en 2 , Γxy . Las dos integrales de la derecha se pueden expresar como integrales de camino de los campo vectoriales A u, v y B v, u, respectivamente. Por el teorema de Stokes, tales integrales son independientes de la trayectoria si es que ∇ A 0 y ∇ B 0, lo cual es efectivo al considerar la condici´ on de C.R. para las funciones u y v: ∇A

xAy y Ax xv y u 0 , xBy y Bx x u y v 0 .

∇B

zb

Γ2

zb

Γ2 Γ1 za

(a)

C

Γ1 za

(b)

(c)

Fig. 1.8: Integral a lo largo de una trayectoria Γ. El resultado anterior permite comenzar con una integral a lo largo de un camino Γ1 y deformarlo gradualmente hasta transformarlo en Γ2 [ver (a)]. Si la funci´ on f z es anal´ıtica sobre cada una de las

U de Chile

18

FCFM

H. F. Arellano

fι


trayectorias intermedias, entonces

zb

za Γ1

f z dz

zb

za Γ2

f z dz ,

donde ambas trayectorias parten de za y llegan a zb . Al cambiar de orden la segunda integral, también cambiamos el signo [ver (b)]: zb za zb za f z dz f z dz f z dz f z dz 0 .

za Γ1

zb Γ2

za Γ1

De esta última obtenemos [ver (c)]

f z dz

zb Γ2

0.

C

Ejemplos i.- Calculemos I

γ

z dz para las trayectorias a, b y c indicadas en la figura. 1+2i

a b 0

c

Fig. 1.9: Tres curvas de integraci´ on.

a) Para la trayectoria a podemos parametrizar z de la forma z t t Entonces, dz

dt

t:01.

2it ,

2i dt. Sustituyendo,

1

Ia

t 0

2itdt

2i dt

1 0

3t dt

4it dt

3 2

2i .

b) Para la trayectoria b podemos parametrizar z de la forma z t t Entonces, dz

dt

4it dt, con lo cual 1 Ib t 2it2 dt 0

FCFM

2it2 ,

t:01.

4it dt

19

3 2

2i .

U de Chile

fι


c) En el tercer caso contemplamos dos segmentos. En el primero de ellos hacemos z t t, (dz dt), con t : 0 1. En el segundo podemos hacer z t 1 it, (dz idt), con t : 0 2. De esta forma, Ic

1 0

2

tdt

0

1

iti dt

3 2

2i .

Los pasos intermedios se verifican trivialmente.

ii.- Calculemos

dz γ z

para γ una trayectoria circunferencial cerrada en torno al origen.

En este caso los puntos z en la trayectoria están dados por z φ φ : 0 2π. As´ı, 2π dz Reiφ i dφ 2iπ . z Reiφ 0

Reiφ , (dz

Reiφ i dφ), con

γ

ereEste resultado permite el cálculo de γ dz z para cualquier trayectoria que encierre el origen. Para ello consid´ se el trayecto de la derecha de la Fig. (1.10) Notar que la trayectoria cerrada compuesta por los tramos a, b,

b

c

d

a

a

Fig. 1.10: Trayectoria evitando la singularidad en el origen. c y d no encierra singularidad alguna. Además, cuidamos que c corresponda a una circunferencia concéntrica al origen. Por lo tanto, dz 0. z a b c d Al hacer los tramos paralelos b y d infinitamente próximos, la suma de ambas integrales se anula. Por lo tanto quedan dos integrales cerradas, una sobre γ y la otra sobre la circunferencia recorrida en sentido horario. Por lo tanto dz dz 2iπ . z z γ

Resumiendo,

γ

1.8.

dz z

c

2iπ 0

si γ encierra el origen si γ no encierra el origen

F´ ormula integral de Cauchy

El siguiente teorema (de Cauchy) es de gran trascendencia en el estudio de funciones anal´ıticas. En éste se establece que si f : C C es anal´ıtica sobre y dentro de un contorno simple cerrado Γ, con z un punto

U de Chile

20

FCFM

H. F. Arellano

fι


en el interior de Γ, entonces

f z

1 2πi

Γ

f z dz z z

Para demostrar este teorema podemos hacer uso nuevamente de la Fig. (1.10), donde se construye una trayectoria cerrada que excluye al punto z , ubicado al centro de la circunferencia peque˜ na de radio . Con ello el integrando zf zz es anal´ıtico dentro de la trayectoria cerrada y se aplica el teorema de Cauchy-Goursat: f z dz 0 z z a b c d Al hacer los tramos b y d infinitamente próximos, las integrales

(recorridas en sentidos opuestos) se cancelan pues los integrandos coinciden en el l´ımite. En tal caso a Γ , con lo que f z dz f z dz z z c z z Γ

Necesitamos evaluar c en el l´ımite 0. Parametrizando (en sentido horario), z φ e iφ i dφ), con φ : 0 2π, obtenemos 2π i f z e iφ dφ . 0

c

Puesto que f es cont´ınua, entonces f z e Sustituyendo es evidente

f z cuando 0. Por lo tanto 1 f z f z dz. 2πi z z iφ

z

c

e

iφ

(dz

2iπf z.

Γ

Este resultado se extiende a las derivadas de una funci´ on anal´ıtica. Para ello hagamos un cambio de notaci´ on. Primero z ξ, y luego z z, con lo cual 1 f ξ dξ . f z 2πi ξ z Γ

Aceptando que la derivada de la integral es la integral de la derivada, es inmediato observar n d 1 f ξ dξ f n z dz n 2πi ξ z Γ n 1 d 1 2πi dz n ξ z f ξ dξ Γ 1 2πi ξ n!z n 1 f ξ dξ Γ

1.9.

Sucesiones y series

Un tema de bastante importancia en el estudio de funciones de variable compleja es su desorrollo en series de potencias. Siendo éste un tema sumamente amplio, nos limitaremos a resumir s´ olo algunas nociones básicas.

FCFM

21

U de Chile

fι


Consideremos la sucesi´ on infinita de n´ umeros reales o complejos w1 , w2 , w3 , . . . y construimos la suma parcial de k términos, k

wn . Sk

n 1

Decimos que la serie S n1 wn es convergente si S l´ımk Sk existe, vale decir, es finito. En relaci´ on a las caracter´ısticas de convergencia de las series, se definen dos tipos:

a) Series absolutamente convergentes, cuando

n 1

wn es convergente; y

b) Series condicionalmente convergentes, cuando

wn converge pero n1 wn diverge.

n 1

En relaci´ on a criterios para examinar la convergencia de una serie mencionamos tres de ellos.

1. El test de comparaci´ on, que consiste en descomponer los elementos dela sucesión en sus partes

v , y suponemos que u y real e imaginaria, wn un ivn . Se analizan separadamente n n1 n1 n u 0 y v 0. Si adem´ a s, una serie conocida a es convergente, con un an n, entonces n n n n1 u es convergente. Un criterio an´ a logo es utilizado para examinar la convergencia de la parte n n1 imaginaria. 2. El test del cuociente, que consiste en construir el cuociente ρn wn 1 wn . Definamos además R l´ımn ρn . Bajo este criterio, si R 1 la serie converge absolutamente; si R 1 entonces la convergencia queda indeterminada; si R 1 la serie es divergente.

3. El test de Cauchy, donde se define α l´ımn wn 1n . Si α 1, entonces la serie es convergente; si α 1 la convergencia queda indeterminada; si α 1 la serie diverge.

Un ejemplo simple y de mucho interés consiste en la serie geométrica defininda por Sn

1

z2

z

zn

1

.

Es directo verificar el siguiente resultado exacto

11zz

n

Sn Puesto que l´ımn z n

,

z 1 .

0 para z 1, entonces S

1 1 z .

Esta expresión cerrada para la suma de infinitos términos se obtiene suponiendo z 1. Más alla de si existe una expresi´ on cerrada, la existencia de un resultado finito está condicionada, independientemente, por los criterios del cuociente y de Cauchy. Ambos garantizan convergencia de la serie para todo z 1. Al sector delimitado por z 1 se le denomina c´ırculo de convergencia. La extensi´ on de series en un sentido general a lo que denominaremos serie de funciones es relativamente simple. En este caso consideramos la secuencia de funciones w1 z , w2 z , . . . y definimos S n z

U de Chile

22

n

k 1

wk z .

FCFM

H. F. Arellano

fι


Definimos además

f z l´ım Sn z .

n

Esta serie es uniformemente convergente en la región anular a z b si 0 N f z Sn z . Al analizar la serie geométrica y denominando f z 11 z , N f z SN z 1z z .

: n

N

Buscamos N para el dado y obtenemos N

1.10.

ln 1z z .

Series de Taylor y de Laurent

Cuando una funci´ on es anal´ıtica dentro de un c´ırculo centrado en un punto z , entonces es factible on se le reconoce como serie de expandir tal funci´ on en serie de potencias de z z . A esta expansi´ Taylor. Concretamente, f z f z

f z z z

f nz

z z n . n! n0

La demostración de este teorema es bastante directa si consideramos la f´ ormula integral de Cauchy para una trayectoria circunferencial C centrada en z , como se ilustra en la Fig. (1.11). En tal caso aplicamos Γ

z

ξ

zo

Fig. 1.11: Trayectoria circunferencial C en torno a z . directamente f z

1 2iπ

Reagrupando los términos en 1ξ z tenemos

C

f ξ dξ . ξz

1 1 1 ξz ξ z z z ξ z 1 χ , 1

con

FCFM

χ

z z , ξ z

χ 1. 23

U de Chile

fι


La propiedad χ 1 es evidente puesto que ξ está en el contorno del c´ırculo, mientras que z está al interior. As´ı entonces, 11 χ n0 χn , que al combinar con las tres expresiones anteriores conduce a

z z n

1 f ξ dξ n 2iπf z ξ z n0 ξ z f ξ dξ n0z z ξ z n 1 . C

C

Utilizando la f´ ormula integral de Cauchy para la derivada, v´ alida si f es anal´ıtica, resulta evidente f z

f nz

z z n , n! n0

la serie de Taylor de f en torno a z . La expansi´ on de Laurent no tiene contraparte en variable real, permitiendo la expansi´ on en serie de potencias en regiones anulares en cuyo interior la funci´ on es no anal´ıtica. Consideremos γ y Γ dos c´ırculos concéntricos de radios r y R, respectivamente. Ambos están centrados en z , con r R, como se ilustra on anular S comprendida entre γ y Γ. Entonces, para en la Fig. (1.12). Sea f : C C anal´ıtica en la regi´ z η ξ

zo γ Γ

Fig. 1.12: Sector anular comprendido entre γ y Γ, concéntricas en z . todo punto z

S, f z está dada por f z

n 0

an z z n

donde an

1 2iπ

bn

1 2iπ

Γ

bn

z z n , n1

f ξ dξ ξ z n 1 ,

η z n

1

f η dη .

γ

Para demostrar este resultado recurrimos nuevamente a la f´ ormula integral de Cauchy, esta vez cuidando que la trayectoria cerrada a considerar excluya eventuales puntos singulares. En la Fig. (1.13) se consideran los arcos casi cerrados γ y Γ, además de dos tramos paralelos muy pr´ oximos entre s´ı. La analiticidad de f z dentro de la trayectoria escogida permite el uso de la integral de Cauchy, f ξ dξ f η dη 2iπf z . Γ ξz γ ηz

Cuando los tramos ‘ podemos escribir

U de Chile

0

’ y ‘’ se hacen infinitamente próximos, la suma de la integrales se cancela y 1 f ξ dξ 1 f η dη . f z 2iπ 2iπ Γ ξ z γ ηz 24

FCFM

H. F. Arellano

fι


Γ

11111 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 γ 11111 00000

(+) (−)

Fig. 1.13: Trayectoria cerrada que excluye singularidades. Se ha antepuesto signo ‘’ a la integral positivo (antihorario).

γ,

pero se subentiende entonces que ésta se realiza en el sentido

Al igual que como se hizo con la serie de Taylor, buscamos expresiones adecuadas para 1ξ z y 1η z , al estilo de la serie geométrica, que involucren potencias de z z . En esa l´ınea, es fácil verificar que

η z n

η z n

1 1 . n 1 ηz z z n0 z z z z n0 Por otro lado ya obtuvimos

z z n , ξ z n 1 n0

ξz 1

de modo que al sustituir en las integrales respectivas tenemos

1 f ξ dξ 1 n n f z 2iπ n0 ξ z n 1 z z n0 η z f ηdη z z n 1 . Γ

γ

De esta expresión resultan evidentes los coeficientes an y bn de la serie de Laurent. A modo de ilustraci´ on (trivial) busquemos la serie de Laurent para f z 1z 1 en torno a z 1. Los coeficientes an y bn se deteminan mediante integración directa en torno a z 1. Comencemos por an , 1 f ξ dξ an . 2iπ ξ 1n 1 Γ

Parametrizamos: ξ

1

ρeiφ , (dξ

ρeiφ idφ), φ : 0 2π f ξ e iφ ρ an

2πρ1n 1

2π e 0

dφ 0 .

i n 1 φ

Este último paso es evidente porque n 0. Calculemos ahora los coeficientes bn : 1 bn η 1n 1 f ηdη 2iπ γ

Parametrizamos nuevamente: η

1

ρeiφ , (dη bn

FCFM

ρeiφ idφ), φ : 0 2π f η e iφ ρ

2π1 ρn

1

2π

ei n

dφ .

1 φ

0

25

U de Chile

fι


En este caso n 1. Cuando n 1 se obtiene directamente b1 1. De igual forma se verifica fácilmente que bn1 0. As´ı entonces la serie de Laurent para f z 1z 1 es la misma funci´ on, algo totalmente previsible. Como en la ilustraci´ on anterior, las series de Laurent se pueden aplicar en torno a puntos singulares. En particular, si z es una singularidad aislada, entonces podemos expandir f z

n 0

an z z n

b1 bn z z z z n . fP

La contribuci´ on fP z se denomina parte principal de f en z . En relaci´ on a esta expansi´ on se definen las siguientes denominaciones. Si fP z consta de sólo el primer término b1 z z , entonces z es un polo simple de f . Si fP es truncada en n m, entonces f tiene un polo de orden m en z .

Si fP z consta de infinitos términos entonces z es una singularidad escencial.

Una singularidad es removible cuando f z está indefinida pero l´ımzz f z existe. Por ejemplo, f z sin z z, y g z ez z 1z 2 tienen singularidades removibles en z 0.

1.11.

Teorema de los residuos

Sea f z una funci´ on meromorfa en sobre y dentro de una trayectoria cerrada C. Nos planteamos el cálculo de la integral f z dz . C

Supongamos que dentro de C hay polos. Lo que hacemos es construir una trayectoria cerrada que siga el contorno C, con eventuales virajes dirijidos hacia los polos, aisl´ andolos y retornando por el mismo trayecto. Esto es posible si la función es continua en todo el trayecto. Las integraciones de ida y vuelta en los tramos

k

k

Fig. 1.14: Trayectoria cerrada excluyendo los polos de una funci´ on meromorfa. hacia los polos se cancelan. Si denominamos γk a la trayectoria cerrada que enlaza al k ésimo polo, entonces f z dz f z dz f z dz 0 C

U de Chile

γ1 ,

γk ,

26

FCFM

H. F. Arellano

fι


De aqu´ı obtenemos

f z dz

f z dz

k γ k

C

donde hemos omitido indicar el s´ımbolo en las integrales de la derecha. Abordamos ahora el cálculo de esimo polo que suponemos de orden m. Definamos entonces γk f z dz, encerrando el k ´ φk z z zk m f z , Si f es expandida en serie de Laurent en torno a zk , entonces l´ım φz bm;k ,

z

zk

donde bm;k representa el coeficiente de mayor orden de la parte principal de f . As´ı, φk z dz 2iπ

m 1 zk , (por Cauchy). f z dz z zk m m 1! φ γk

Definiendo

obtenemos

γk

Res f zk

f z dz

m 1 zk ,

1

m 1! φ 2iπ

Res f zk ,

k

γk

el denominado teorema de los residuos. Para los polos de primer orden se tiene Res f zk l´ım z zk f z ; z

zk

en el caso de los polos de segundo orden Res f zk l´ım z

d

2 zk dz z zk f z .

El teorema de los res´ıduos es particularmente útil para el cálculo de integrales definidas cuyos integrandos no cuenten con primitivas. Examinemos algunos casos t´ıpicos.

2π 1. Integrales del tipo I1 0 F sin φ, cos φ dφ Si hacemos z eiφ , (dz eiφ idφ), entonces podemos escribir sin φ

z2 1 , 2iz

cos φ

z2 1 . 2z

La integral se reduce entonces al cálculo, a lo largo de la circunferencia z 1, de dz z 2 1 z 2 1 F , . I i z 2iz 2z Calculemos, por ejemplo, I

FCFM

2π 0

dφ . b cos φ

27

U de Chile

fι


iy

|z|=1

Polos para b=1

x Polos (conjugados) para b<1 Polos para b>1

Fig. 1.15: Ubicaci´ on de las raices de z 2

1 0.

2bz

Haciendo las sustituciones descritas se obtiene

. 2i z 2 dz 2bz 1 Los polos del integrando son z b b2 1, en la Fig. (1.15). Se puede verificar que s´ olo ilustrados b2 1, se localiza al interior de la circunferencia. Para en el caso b 1 uno de los polos, z b el caso b 1 los polos yacen sobre la trayectoria, situaci´ on que obviaremos en este caso. Evaluemos I

entonces el residuo.

Resf z z z

1 1 1 1 z z z z z z z z 2 b2 1

Con ésto la integral buscada resulta I

2. Integrales del tipo I2

. 2π b2 1

P x

Q x dx

Las integrales de este tipo resultan bastante simples si cambiamos x z. La trayectoria a considerar es una semicircunferencia ( o ) cerrada por el eje real. Denotemos P xQx por f x. Examinamos entonces R

f z dz f xdx f z dz 2iπ Res f zj .

R

La integral sobre ‘’ se analiza en alg´ un detalle. Consideramos z Entonces, π f z dz i z f z dφ .

Si z f z 0 cuando R , entonces

Reiφ , (dz izdφ), φ : 0 π.

0

f z dz 0. Bajo este supuesto entonces,

f xdx 2iπ

Res f zj .

Los residuos en este caso son los ubicados en el semiplano complejo superior.

U de Chile

28

FCFM

H. F. Arellano

fι


Consideremos un ejemplo elemental:

dx . 1 x2

Examinamos

f z

dz , 1 z2 Sus polos son z i, pero s´ olo z i yace en el semiplano superior. Para el residuo evaluamos z en dz Res f z z i z 1 i 2i1 . 1 z2 Con ello, dx 1 2iπ π . 2 2i

1 x

3. Integrales del tipo I3

Rx

cos ax sin ax

i

dx

Para este tipo de integrales procedemos en forma similar a como se hizo en el caso anterior. Dependiendo de cual sea la funci´ on, cos ax o sin ax, consideramos la parte real o imaginaria de Rxeiax . Luego extendemos al plano complejo, Rz eiaz , e integramos sobre una semicircunferencia cerrando por arriba o por abajo. A este punto hay que tener precauci´ on por donde cerrar, puesto que el signo de a es determinante para la convergencia de la integraci´ on sobre la semicircinferencia cuando R . Hay que examinar caso a caso. Ilustramos con el siguiente ejemplo,

Re 1

cos kx 1 μ2 x2 2

eikz . μ2 x2 2

Debemos decidir si cerramos por arriba () o por abajo ( ). Para ello analizamos la exponencial evaluada en la semicircunferencia, z Rcos φ i sin φ:

eikR cos φ i sin φ eikR cos φ e kR sin φ . Cuando R la exponencial tiende a cero s´ olo para 0 φ π, motivo por el cual cerramos por arriba puesto que as´ı 0 queda garantizado. Consecuentemente, eikz

eikz 1 μ2 x2 2

2iπ

Res f zj .

k

Los ceros del denominador son z iμ, de segundo orden, pero s´ olo hay que considerar z Evaluamos para el residuo eikz d 2 z iμ 1 iμz 21 iμz 2 , dz z iμ y se obtiene para la integral I

FCFM

π 2μ

1

29

k μ

e

iμ.

.

k μ

U de Chile

fι


4. La integral I4

e

ikx bx2

dx

Esta integral es muy recurrente en el estudio ondulatorio de paquetes o pulsos gaussianos. Su caracter´ıstica es que el integrando tiene una componente imaginaria (ikx) en la exponencial. Formamos primero un cuadrado de binomio para x,

2 ik k2 ikx bx b x . 2b 4b 2

Ello permite escribir I4

e

e bx 2b dx .

k2 4b

ik

2

I

Nos ocupamos entonces de I , para lo cual consideramos la trayectoria rectangular Γ descrita en la Fig. (1.16) formada por un segmento R, R en el eje real, otro paralelo que une los extremos R ik 2b y dos tramos paralelos al eje imaginario que cierran la trayectoria. Consideramos entonces la identidad

c

−R

R

b

d a

−R−ik/2b

R−ik/2b

Fig. 1.16: Trayectoria rectangular cerrada para abordar la integral gaussiana.

bz 2

e

dz

0,

Γ

debido a que el integrando es anal´ıtico al interior de Γ. Por lo tanto, además lo siguiente: La integraci´ on en el trayecto a representa I en el l´ımite R z x ik 2b, (dz dx), con x : R R, obtenemos

bz 2

e

dz

a

R e

a

b

c

d

0. Observamos

. En efecto, parametrizando

2 dx I .

b x ik 2b

R

La integraci´ on en el trayecto c representa la integral de una gaussiana en el eje real, cuyo valor es conocido. En efecto, hacemos z x, (dz dx), con x : R R, R 2 2 2 π . e bz dz e bx dx e bx b R

c Las integrales sobre b y d se anulan al hacer R . Examinemos el tramo b, donde hacemos z R it, (dz idt), con t : k b 0. Entonces,

e b

U de Chile

bz 2

dz

0

e

2 idt i e

b R it

k b

30

bR2

0

k b

e

2iRbt

ebt dt 0 2

FCFM

H. F. Arellano

fι


El l´ımite tomado en el último paso es directo al analizar el m´ odulo de la integral:

0 e k b

2

2iRbt bt

0 dt

e kb

dt

2iRbt bt2

0

ebt dt

2

k b

kekb b

La u ´ltima desigualdad surge de tomar el máximo del integrando y multiplicarlo por el ancho del intervalo. Este valor resulta independiente de R, de modo que su contribuci´ on se anula al ser 2 multiplicada por e bR y tomar R . Un procedimiento análogo se emplea para examinar d . De las observaciones anteriores se obtiene π 00 I 0 b

1.12.

I4

π e b

.

k2 4b

La parte principal de una integral

Hasta ahora hemos evitado la presencia de singularidades en el eje de integraci´ on, usualmente en el eje real. Consideremos la integral f x dx . I x

x Ciertamente al pasar el integrando por x nos encontramos con una singularidad que hemos de evitar, en particular si f x 0. A fin de darle una significaci´ on a la integral de arriba, definámosla como el valor l´ımite x f x f x f xdx dx dx P . I l´ım 0 x x x x x x

x A esta cantidad se le denomina parte principal de f y veremos una forma sistemática de obtenerla mediante integraci´ on en el plano complejo. Supongamos que podemos extender la funci´ on f x al plano complejo mediante una sustituci´ on simple f x f z . Tal sustituci´ on define una funci´ on meromorfa en C. Si consideramos la trayectoria cerrada descrita en la Fig. (1.17). La integral cerrada se descompone en dos semicircunferencias, una evitando x y

iy

Γ R

γ x −R

xo

R

Fig. 1.17: Trayectoria que excluye el polo en el eje real. otra cerrada por arriba. Además, se incluye la integraci´ on en el eje real acercándose a x , lo que define la

FCFM

31

U de Chile

fι


parte principal de la integral. f z dz z x

f xdx f z dz f z dz x x z x γ Γ z x

2iπ Res zf zkx k k Si además, f z 0 sobre Γ, cuando R , entonces Γ 0. Falta evaluar γ , para lo cual parametrizamos z x eiφ , (dz eiφ idφ), con φ : π 0. As´ı, luego de sustituir y simplificar 0 i f x eiφ dφ .

P

γ

π

Si f z es cont´ınua en x , entonces al hacer 0 se obtiene γ iπf x . Combinando los resultados anteriores obtenemos

f xdx f zk P iπf x 2iπ Res z x x x k k

Hay que tener presente que en esta versión se ha excluido x del contorno de integración. Además, f z 0 en la semicircunferencia superior cuando su radio R se hace infinito.

A modo de ilustraci´ on evaluemos la integral I sin xx dx. Recordando que sin x eix e ix 2i, es fácil verificar que ix e iI dx .

x Calculamos P de esta integral, para lo cual identificamos un u ńico polo en x 0. Tal polo queda fuera de la trayectoria pues el contorno lo excluye, por lo que no hay aporte de residuos. Además, eiz 0 sobre la semicircinferencia superior, cuando R . En resumen, ix e dx iπf 0 iπ , P x por lo que I

π.

Un resultado importante de la discusión basada en la Fig. (1.17) está sintetizado en la identidad f z dz f xdx iπf x . P z x x x Sin embargo el término de la izquierda es el mismo si se cambia levemente la trayectoria de integraci´ on a la del lado derecho de la Fig. (1.18). Todo ello si es que f x i f x cuando 0, una exigencia de continuidad de f en el eje. Entonces, la integral de la izquierda se puede parametrizar mediante z x i, (dz dx), con x : . Por lo tanto, f z dz f x idx f xdx . z x

x x i

x x i De esta forma,

f xdx f xdx iπf x . P x x

x x i Este resultado es abreviado usualmente mediante 1 P x 1 x ! iπδx x , x x i con δ la funci´ on delta de Dirac a ser revisada más adelante.

U de Chile

32

FCFM

H. F. Arellano

fι


ιε

Fig. 1.18: Trayectorias equivalentes que evitan el polo.

1.13.

Hojas y superficie de Riemann

Una clase especial de funciones de variable compleja es aquella de funciones multivaluadas. Consideremos f z cualquiera de las siguientes funciones: z, n z (n entero), z α (α irracional) y ln z. Para cualquiera de éstas f z es multivaluada, vale decir, f toma valores diferentes al representar z r eiφ y cambiar continuamente φ φ 2π.

Para fijar ideas consideremos f z z r eiφ2 f r, φ. Si bien φ z en el plano complejo, 1, al reemplazar en f r, φ obtenemos

r eiπ2 i r ;

f r, π

f r, π

r e

iπ 2

π representan al mismo

i r .

Esto ilustra que f r, φ exhibe una discontinuidad en φ π. Esta propiedad ilustra una caracter´ıstica muy general para los ejemplos descritos en el párrafo anterior, conduciendo a la definici´ on de lo que se denomina punto de rama (‘branch point’). Se dice que z es un punto de rama si, para una trayectoria cerrada que lo encierra f z

r ei φ 2π .

r eiφ f z

0 corresponde a un punto de rama. Examinemos con más detenci´ on el caso f z z. Descomponiendo f (φ : 0 2π), podemos tabular el comportamiento radial de u y v. Obtenemos, En los ejemplos precedentes, z

Tabla I.- ur, φ y v r, φ para distintos valores de φ. 0 ur, φ

r

v r, φ

0

π 2

r2

r2

3π 2

π 0

r

2π

5π 2

3π

r2 r r2

r2

0

φ

FCFM

0

z r

l´ım

φ

33

2π

iv, con z

7π 2

r2

r2 r r2

Notar que si bién φ 0 y φ 2π representan el mismo complejo z, la raiz l´ım

0

u

z r .

r eiφ

4π

r 0

z es distinta:

U de Chile

fι


Esta discontinuidad se ilustra en la Fig. (1.19), donde se representan las curvas de nivel de u y v. El origen z 0 se localiza en el centro de cada cuadro, con el eje real positivo horizontal hacia la derecha. Las zonas más claros indican mayor cercan´ıa al ojo del observador. La discontinuidad de u se observa en la región de mayor contraste claro/oscuro. 1

1

0.5

0.5

0

0

-0.5

-0.5

-1

-1 -1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

Fig. 1.19: Partes real (izquierda) e imaginaria (derecha) de

0.5

1

z.

Es interesante hacer notar que si continuamos incrementando φ, desde 2π hasta 4π, ambas u y v vuelven a coincidir. En otras palabras, luego de dos vueltas alrededor de z 0, la funci´ on f coincide y el manto (superficie) empalma el borde inicial. Esta propiedad se observa claramente en la Tabla I, al constatar que u iv para φ 0 y φ 4π son idénticas.

Resulta evidente entonces que, en general, la superficie formada por f z n z z 1n se cierra luego de n vueltas alrededor de z 0. Esta idea, observada originalmente por Riemann, lleva a la construccion de lo que se denomina hoja de Riemann. El empalme de estas hojas lleva a la superficie de Riemann. Las hojas de Riemann se construyen identificando los puntos de rama (‘branch points’), es decir aquellos puntos en C en torno a los cuales un seguimiento de la función a su alrededor lleva a un valor distinto al del punto de partida. En la Fig. (1.20) se ilustra un punto z en torno al cual una funci´ on f z exhibe una discontinuidad luego de una vuelta en 2π. Una vez identificado el punto de rama y una direccion del corte, Discontinuidad

zo

Corte

Punto de rama

Fig. 1.20: Seguimiento de f z en una trayectoria cerrada en torno a z . se construyen secuencialmente las hojas de Riemann haciendo corresponder barridos completos en 2π. As´ı,

U de Chile

34

FCFM

H. F. Arellano

fι


una secuencia de n hojas queda definida por f r, φ ! ! ! " f r, φ f z .. ! . ! ! # f r, φ

φ : φ φ : φ

φ 2π

2π

φ

4π

2 n 1 π

φ : φ

φ

2nπ

La uni´ on de estas hojas se realiza en los cortes. La uni´ on de todas estas hojas conforma la superficie de Riemann. En el caso de raices n-ésimas, el número de hojas de Riemann distintas es finita, en tanto que potencias irracionales y logaritmos conllevan a infinitas hojas: la superficie nunca se cierra. En el caso del logaritmo, lnz lnz iφ, la parte imaginaria tiene una discontinuidad en cada ciclo. En la Fig. (1.21) se ilustra la parte real de ln z (izquierda), un ciclo de la parte imaginaria (centro) y el empalme de tres de ellas (derecha). La colecci´ on de infinitas hojas definen la superficie de Riemann. Lo interesante es que esta construcción permite la continuidad de la funci´ on en toda la superficie, a pesar de que hayan cortes. -2 2 1 -2 2 1 0

-1

-1

0

0 0

1

2

-1

1 2

-2 2

-1

6

-2 2

0

4

-2

2

2 1.5 2

1

-4

0.5

1

0 -2

0

0

-1 -1

0 1 2 -2

Fig. 1.21: Reln z (izquierda), una (centro) y tres hojas (derecha) de Riemann para Imln z .

1.14.

Integrales que involucran funciones multivaluadas

Cuando el integrando de una integral de variable compleja es multivaluada hay que tener cuidado de no pasar inadvertidamente sobre discontinuidades. En particular, la relaci´ on

f z dz 2iπ Res f zj , j

exige analiticidad (y continuidad) del integrando a lo largo de la trayectoria. Si f z es multivaluada, hay que buscar una trayectoria que evite el paso sobre un corte.

FCFM

35

U de Chile

fι


A modo de ilustraci´ on, calculemos la integral 0

xp 1 dx , x2 1

con 0 p 2. Para evaluar esta integral consideremos la funci´ on de variable compleja f z

zp 1 z2 1

Al ser p un real cualquiera entre 0 y 2, entonces la funci´ on resulta multivaluada. Al representar z ρ eiφ , on tiene un punto de rama en z 0 y exhibe un corte en el eje real positivo. con φ : 0 2π, esta funci´ Estas consideraciones motivan examinar la trayectoria indicada en la Fig. (1.23). La trayectoria cerrada

ΓR +i

Γ(+)

Γr

corte

Γ(−) −i

Fig. 1.22: Trayectoria cerrada para una integraci´ on sobre trayectoria cerrada evitado un corte. está formada por cuatro curvas. ΓR : circunferencia casi cerrada de radio R ( ). Se demuestra que en el l´ımite Γ

ΓR

0.

y Γ : dos tramos rectos radiales muy próximos al corte, uno a cada lado de éste.

Γr : circunferencia casi cerrada de radio r, donde r

Podemos escribir

ΓR

Los polos de f son

Para z

Γin

Γout

Γr

0. Se encuentra que

2iπ

Γr

0.

Resf zj .

j

i, que representamos consistentemente con la notación polar, vale decir z1 eiπ2 , z2 e3iπ2 .

z1 evaluamos el residuo: p 1

p 1

p 1

z z1 z zz z z zz z z z1 z 2i1 z1p 1 12 z1p 12 eipπ2 . 1

Para z

2

2

1

2

z2 evaluamos el residuo: p 1

p 1

p 1

z z2 z zz z z zz z z z2 z 12 z2p 12 e3ipπ2 . 1

U de Chile

2

1

36

2

1

FCFM

H. F. Arellano

fι


La suma de los residuos,

12 eipπ2

Res

k

e3ipπ2 eipπ cos

pπ . 2

Las integrales sobre los tramos radiales: Para Γ parametrizamos z

ρei , (dz dρ ei ), con ρ : 0 . Entonces,

Γ

Para Γ

0

ρp 1 ei p 1 i e dρ ρ2 e2i 1

0

ρp 1 dρ ρ2 1

parametrizamos z ρei 2π , (dz dρ ei 2π ), con ρ : 0 . Entonces, Γ

0

ρp 1 ei p ρ2 e2i 2π

p 1

ρ i 2π 2ipπ e dρ dρ e 2 1 1 0 ρ

1 2π

Combinando los resultados anteriores se obtiene p 1 1 e2ipπ ρρ2 1 dρ 2iπ eipπ cos pπ2 0 que luego de simplificar conduce a

0

1.15.

pπ ρp 1 π dρ cosec . ρ2 1 2 2

Prolongaci´ on anal´ıtica

Como ya hemos visto, las funciones anal´ıticas exhiben una serie de propiedades muy particulares, entre las cuales resaltan que la integral sobre cualquier contorno cerrado es nula si éste no enlaza singularidades; que las integrales a lo largo de trayectorias diferentes con extremos comunes son iguales si una de las trayectorias es deformable a la otra sin pasar por singularidades; que ellas pueden ser expandidas en series de Taylor o de Laurent; o que ellas satisfacen la f´ ormula integral de Cauchy, 1 f ξ dξ dξ . f z 2iπ ξz Además de estos teoremas surgen otros que apuntan a la unicidad de las funciones anal´ıticas. En otras palabras, dada una funci´ on anal´ıtica f1 z definida sobre un dominio D1 " C, entonces de las infinitas funciones anal´ıticas definidas en D2 , sólo una de ellas, f2 z , empalma completamente con f1 en D1 D2 . Este argumento permite la prolongación (o extensi´ on) de cualquier funci´ on anal´ıtica a regiones en el plano complejo que van más allá de su dominio original de definición. Teorema: Sean f1 z , f2 z : C C, anal´ıticas en una región S. Si f1 f2 en una vecindad de un punto z S (o segmento de curva en S), entonces f1 z f2 z z S. La demostración de este teorema es bastante simple. Si f1 z f2 z en una vecindad de un punto z S entonces también lo son todas sus

FCFM

37

U de Chile

fι


00 S 11 00 11 x x 11 00 00 11

x

R

Fig. 1.23: Expansiones de Taylor desde los bordes de los discos de convergencia. derivadas en z . As´ı, ambas conducen a idénticos los coeficientes para sus respectivas series de Taylor. Si ellas tienen radio de convergencia R1 , entonces ambas conducen a idénticos coeficientes en sus expansiones en torno a un punto z1 cerca de la periferia del disco de convergencia. Desde tal punto se expanden nuevamente, dos nuevas series (idénticas). Este procedimiento se repite, tomando puntos cerca del borde de los discos de convergencia, hasta cubrir toda la región S. Un corolario del teorema anterior es que el comportamiento de una funci´ on anal´ıtica en S " C está completamente determinada por su comportamiento en una vecindad en torno a cualquier punto regular en S. Por lo tanto, una funci´ on anal´ıtica puede ser extendida más allá de su dominio de definición, siendo ésta prolongaci´ on u ńica. Tal construcción se denomina extensi´ on anal´ıtica o prolongaci´ on anal´ıtica. Ilustremos un par de ejemplos.

Consideremos f1 z n 0 z n . Esta expansi´ on está definida para z 1, caso en que converge a f1 z 11 z . Para z 1, f1 queda indefinida. Por otro lado consideremos g z 11 z , funci´ on anal´ıtica definida para todo z 1. Claramente g z f1 z para todo z 1. Por lo tanto, g z es la prolongaci´ on anal´ıtica de f1 en la región z 1. on definida z Otro ejemplo ilustrativo es el siguiente. Consideremos f1 z 0 e zt dt , expresi´ S1 z : Re z 0, regi´ on en la cual f1 z 1z. Bajo esta definici´ on f1 z queda indefinida para Re z 0. Por otro lado, consideremos la expansi´ on iy Re{z}>0

1111 0000 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 00001111 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 00001111 1111 0000 1111

x

|z+i|<1

Fig. 1.24: Regiones de definici´ on de f1 y f2 . En el semic´ırculo achurado f1 f 2 z i

z

n 0

i i

f2 .

n ,

expresi´ on convergente a 1z en la región S2 z : z C # z i 1. Podemos decir entonces que f1 z es la prolongación anal´ıtica de f2 z en S1 , del mismo modo que f2 es la prolongación anal´ıtica en S2 de

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38

FCFM

H. F. Arellano

fι


f1 z . un de S1 y S2 . Si Teorema: Sean f1 anal´ıtica en S1 y f2 anal´ıtica en S2 . Sea además B la frontera com´ f1 f2 en B, con f1 cont´ınua en S1 B y f2 cont´ınua en S2 B, entonces f z es anal´ıtica en S1

S2

f1 f2

z z

S1 S2

B B

B. Con ello, f1 es la prolongación anal´ıtica de f2 en S1 y vice versa.

La demostración de este teorema es directa haciendo uso del teorema de Morera, el cual establece que si C f z dz 0, para todo C " D, entonces f z es anal´ıtica en D. Consideremos entonces una trayectoria cerrada,

arbitraria que pasa por las dos regiones S1 y S2 , como se ilustra en la Fig. (1.25). Demostraremos que C f z dz 0 para C arbitraria. Puesto que f1 y f2 son cont´ınuas en el borde, es válida la siguiente

S2

C

C2

B C1

S1

Fig. 1.25: Una trayectoria arbitraria pasando por S1 y S2 . descomposición

C

f z dz

f1 z dz

C1

f2 z dz .

C2

Puesto

que f1 y f2 son anal´ıticas en sus dominios respectivos, las integrales sobre C1 y C2 son nulas, por lo que C f z dz 0. Claramente la nulidad de esta integral está garantizada si C se mantiene en cualquiera de los dominios S1 o S2 . Un corolario de este teorema es el llamado principio de reflexi´ on de Schwartz que prescribe una forma de extender anal´ıticamente una funci´ on definida en una regi´ on del plano complejo. Denotemos por C el semiplano complejo superior y por C el semiplano complejo inferior. Sea f : C R C, anal´ıtica. Si además f z f z para z R, entonces la funci´ on g : C C, definida por g z f z , es la prolongación anal´ıtica de f en C . Una constataci´ on directa de este corolario es verificando que la condición de Cauchy-Riemann es cumplida por g. Descomponiendo f z ux, y iv x, y , y g z ax, y ibx, y , entonces g z f z ax, y ux, y ,

bx, y v x, y .

Resulta directo demostrar que a x b y, y que a y b x.

FCFM

39

U de Chile

fι


1.16.

Relaciones de dispersi´ on

La condición de Cauchy-Riemann establece relaciones diferenciales (locales) entre las partes real e imaginaria de una funci´ on anal´ıtica. En contraste, las relaciones de dispersi´ on permiten establecer relaciones integrales (globales) entre ellas. A tales relaciones también se les reconoce como representaciones espectrales, relaciones de Kr¨ oning-Kramers o transformaciones de Hilbert. Consideremos χω una cantidad f´ısica anal´ıtica en el semiplano complejo superior. Podemos suponer que l´ımω χω 0. Consideremos entonces la integral sobre una semicircunferencia (infinita) C abarcando el semiplano complejo superior. Si ω es real, entonces χω dω χω dω P iπχω ω ω

ω ω C

0

Por lo tanto, iπχω P Descomponiendo χ Re χ

1.17.

χω dω . ω ω

iIm χ, entonces al igualar las respectivas partes real e imaginaria obtenemos 1 Im χω dω P ; Re χω π ω ω

1 Re χω dω Im χω P . π

ω ω

M´ etodo del descenso m´ as empinado (steepest descent)

Este método es particularmente ´ util para obtener formas asint´ oticas de funciones expresadas como integrales en el (o prolongables al) plano complejo. Consideremos la integral I λ eλf z g z dz , (1.17.4) C

con f y g funciones anal´ıticas, y λ una variable real, grande y positiva. Si denotamos f eλf z

eλucosλv

i sinλv

u

iv, entonces (1.17.5)

Al ser λ grande, entonces una peque˜ na variación de v hace que las funciones seno y coseno oscilen rápidamente. Puesto que el integrando es anal´ıtico, entonces cabe preguntarse si existe una trayectoria que permita un buen control de tales oscilaciones. Supongamos que existe un punto z en C el cual puede ser alcanzado por una deformaci´ on de C y para el cual f z 0. Puesto que f es anal´ıtica, entonces tanto u como v son arm´ onicas 2 u 2 u 0 2 v 2 v 0 (1.17.6) x2 y2 x2 y2

Al evaluar estas ecuaciones en z ellas expresan que se trata de un punto de silla, como se ilustra en la Fig. (1.26). Expandimos f z en serie de Taylor en torno a z hasta segundo orden 1 f z z z 2 . 2

f z f z

U de Chile

40

(1.17.7)

FCFM

H. F. Arellano

fι


v

u u ’steepest’

v constante

Plano Complejo

Plano Complejo

Fig. 1.26: Mantos ux, y y v x, y en torno al punto silla. Denotamos

z z reiθ f z 2Reiφ

f z f z r2 R ei 2θ φ .

$

(1.17.8)

Separando por componentes, Re f z f z

Im f z f z

r2 R cos2θ

φ ,

r R sin2θ

φ .

2

(1.17.9)

Para que la parte imaginaria sea constante se debe cumplir φ . (1.17.10) n 0, 1, 2, 3 θn nπ 2 2 Para estos valores examinamos la parte real de f z f z. Claramente para n 1, 3, Re f z f z r2 R 0. Vale decir, de los cuatro segmentos perpendiculares en C que convergen en z , sólo aquellos para n 1 (C1 ) y n 3 (C3 ) ux, y pasa por un máximo local. As´ı, examinamos el integrando de I λ en 2θ

φ nπ

2

C

f(z)−f(z o)=−t < 0 1

C Fig. 1.27: A lo largo de C1

3

C3 ux, y pasa por un máximo.

las vecindades de z , pasando por los trayectos C1 y C3 . Para aquellos z en C1 y C3 definamos f z f z rR2

t2 12 z z 2 f z .

(1.17.11)

Por lo tanto eλf z % eλf z e λt . Puesto que λ es grande, entonces e λt es muy aguzada, lo que permite contener la integraci´ on a una peque˜ na región cerca de z , a lo largo de C1 C3 . Denotando C aquel trayecto que consiste en una deformación de C que pasa por z siguiendo C1 C3 , entonces aproximamos la Ec. ( 1.17.4), 2

I λ %

FCFM

C

2

eλf z

t2

g z dz eλf z

41

C

e

λt2

g z dz .

(1.17.12)

U de Chile

fι


Buscamos ahora una correspondencia (parametrizaci´ on) entre t y z. Combinando Ec. ( 1.17.8) para r y Ec. ( 1.17.11) para t es fácil verificar que z z t Reiθ . Conviniendo t 0 en C1 , con 0 θ1 π, entonces z C3 queda naturalmente representados por t 0. As´ı,

C1 t>0

z(t)

θ

zo

C3

t e iθ R

z=z o+

t<0

Fig. 1.28: Parametrizaci´ on z t pasando por z . z

z t

R

e

iθ1

eiθ1

dz

dt .

(1.17.13)

eiθ1 dt .

(1.17.14)

R

Sustituyendo en Ec. ( 1.17.12), e 1 I λ % e iθ

λf z

R

e

λt2

g z

t

R

Esta forma aproximada de I λ involucra integrales expl´ıcitas en t. Si expandimos g z en serie de Taylor en 2 torno a z , entonces las integrales en t se reducen a integrandos del tipo tn e λt , conducentes a integrales perfectamente calculables (notar que para n impar las integrales en t se anulan). Al orden más bajo en esta expansi´ on obtenemos 2π eiθ1 g z λf z , (1.17.15) I λ % e λ f z donde hemos sustituido 2R por f z y utilizado π λt2 e dt . λ

(1.17.16)

Ilustremos con un ejemplo clásico. La funci´ on gamma está definida por I α Γα 1 e z z α dz . 0

Buscamos una forma asint´ otica (α grande) para esta integral. Para aplicar el método recién visto al integrando le damos una forma del tipo eλf g. Se puede verificar fácilmente que e

z

zα

eα ln z

,

z α

con lo cual f z ln z z α; g z 1. Entonces, Buscamos z tal que f

0: f z

U de Chile

1 z

α1

42

f z 0 para z

α FCFM

H. F. Arellano

fι


Evaluamos f z en z ,

f z

Identificamos φ:

f z

Evaluamos eiθ1 , donde θn

f z

1 z2

1 iφ e α2

1 α2

φ π

nπ2 φ2. Para φ π y n 1 tenemos θ1 0 eiθ 1. 1

Sustituyendo los resultados parciales I α % e

1 ei0

$

α ln α 1

2π α1α2

2πα eα ln α

.

1

De esta forma se obtiene la reconocida aproximaci´ on de Stirling para α ≫ 1, Γα

1 %

En particular, si α es entero (N ), entonces Γα

2πα eα ln α

1 N !, con lo cual

ln N ! % N ln N

FCFM

.

1

43

N .

U de Chile

fι

U de Chile


44

FCFM

Cap´ıtulo 2

Coordenadas curvil´ıneas ortogonales

Más adelante nos avocaremos al estudio de ecuaciones del tipo ∇2 Φ 0, ∇2 Φ k 2 Φ 0, etc. En muchos casos es posible reducirlas a ecuaciones diferenciales ordinarias, conducentes a expansiones en términos de funciones especiales. El grado de convergencia de estas expansiones está en gran medida condicionada a la afinidad entre las simetr´ıas del problema y la base de funciones especiales a expandir. Resulta adecuado entonces hacer una breve revisi´ on de consideraciones generales en el manejo de coordenadas curvilineas ortogonales. Nuestro punto de partida lo constituyen las coordenadas rectangulares o cartesianas. En ellas, un punto P queda caracterizado por tres parámetros geométricos, x, y, z , que denotaremos genéricamente por x1 , x2 , x3 . El mismo punto P puede ser descrito por otro conjunto de parámetros tales como r, θ, φ, ρ, φ, z , etc. Denotaremos a cualquiera de estos por u1 , u2 , u3 . As´ı como las coordenadas rectangulares y esféricas, o rectangulares y cil´ındricas pueden relacionarse entre s´ı, suponemos relaciones funcionales x1 , x2 , x3 u1 , u2, u3 , es decir x1

f1 u1 , u2 , u3 ,

x2

f2 u1 , u2 , u3 ,

x3

f3 u1 , u2 , u3 .

u3

F3 x1 , x2 , x3 .

Además, suponemos que es posible representar la inversa, vale decir u1

F1 x1 , x2 , x3 ,

u2

F2 x1 , x2 , x3 ,

Para que estas transformaciones sean invertibles exigimos 1 x x2 u1 u1 2 1 J ux2 ux2 x1 x2 3 3

u

u

x3 u1 x3 u2 x3 u3

0

Consideremos un punto P u , u , u . Al variar arbitrariamente u1 y u2 , manteniendo u3 fijo, se genera una superficie. Lo mismo ocurre al variar arbitrariamente u2 y u3 , manteniendo u1 fijo. A estas superficies se les denomina superficies coordenadas. En la Fig. (2.1) se ilustran dos superficies coordenadas. Las l´ıneas donde estas se intersectan se denominan l´ıneas coordenadas. Las tangentes a las l´ıneas coordenadas conforman los ejes coordenados. Si la orientaci´ on de las superficies coordenadas cambia de punto a punto, entonces nos referiremos a coordenadas curvil´ıneas generales. Si estas superficies son ortogonales en todo punto P entonces hablaremos de coordenadas curvil´ıneas ortogonales. 1

2

3

45

fι


z

z

y = Cte

θ = Cte

z = Cte φ = Cte

y

y

x

x Fig. 2.1: Superficies coordenadas en coordenadas rectangulares y esféricas.

2.2.

Coeficientes m´ etricos

Consideremos un vector r posicionado un punto P en el espacio. Un desplazamiento infinitesimal de tal punto queda dado por

ur1 du1 ur2 du2 ur3 du3 urj duj ds Exigimos que el escalar dr dr ds2 sea invariante, vale decir, que su magnitud no dependa del sistema dr

de coordenadas.

Notar que r uj es tangente a la l´ınea uj , vale decir, aquella l´ınea desde el punto P que surge de incrementar uj manteniendo el resto de las coordenadas jijas. Definamos aj

urj

eˆj

aaj j

Claramente entonces,

u

u

e3 e2

3

2

e1 u1 Fig. 2.2: Vectores unitarios asociados a coordenadas ortogonales.

i j ds2 a gij dui duj . i aj du du i,j

U de Chile

gij

i,j

46

FCFM

H. F. Arellano

fι


A las cantidades gij coordenadas.

ai aj , se les denomina coeficientes métricos y caracterizan la naturaleza de las

Un sistema se dice ortogonal cuando los eî son ortogonales entre s´ı. En tal caso los coeficientes gij conforman una matriz diagonal, i.e. gij gii δij . En tal caso se tiene

ds2 ds2 g11 du1 2

ds1 2

g22 du2 2

ds2 2

g33 du3 2 .

ds3 2

Esta relación exhibe la misma estructura que el teorema de Pitágoras. Observamos que los elementos de longitud dsi escalan con dui via un factor de escala hi ,

hidui gii dui ; En coordenadas rectangulares, g11 g22 g33 1. dsi

(i=1,2,3).

Para obtener los coeficientes métricos de un cierto juego de coordenadas supongamos que las coordenadas cartesianas xi dependen de coordenadas ortogonales uj . Vale decir, xi xi u1 , u2 , u3 , para i 1, 2, 3. Podemos escribir entonces, %& '& '( & '

xk

xk

xk xk 2 k k i j ds dx dx du du dui duj i j i uj u u u i j ij k k k

i j gij du du ij

Considerando variaciones arbitrarias dui y duj , entonces identificamos gij

xk k

2.3.

xk . ui uj

Elementos geom´ etricos

La determinación de los coeficientes métricos permite la construcción de elementos de l´ınea, superficie y de volumen asociados a algun juego de coordenadas. En general, podemos definir éstos elementos mediante

ds

dτ

dσ

Fig. 2.3: Elementos de longitud, superficie y de volumen. dsi dσij dτ

FCFM

hi dui hi hj dui duj

elemento de l´ınea elemento de área

h1 h2 h3 du1 du2 du3

47

elemento de volumen

U de Chile

fι


Las conocidas expresiones para el gradiente, divergencia y rotor en coordenadas curvil´ıneas surgen de estas representaciones. Antes de continuar revisemos los resultados que arrojan las definiciones anteriores para las coordenadas cil´ındricas. En tal caso las coordenadas x, y, z se relacionan con ρ, θ, Z mediante x1 x x2 y x3

z

ρ cos φ ρ sin φ Z

De éstas se obtienen

x2 y 2 arctany x z

ρ φ Z

Calculamos primero hρ , hφ y hZ . Para determinar hρ recordamos h2ρ

xk 2 k

ρ

Es fácil verificar x ρ cos φ; y ρ sin φ; y z ρ obtienen hφ ρ, y hZ 1. De esta forma resulta directo ds2

2.4.

dρ2

.

0, con lo cual hρ 1. En forma análoga se

ρ2 dφ2

dZ 2 .

Operadores diferenciales

Los coeficientes métricos permiten el cálculo directo de los operadores ∇ , ∇ , ∇ y ∇2 en cualquier juego de coordenadas ortogonales. Los siguientes resultados los justificaremos más adelante.

Para un campo escalar Φ, su gradiente está dado por ∇Φ Para un campo vectorial A A1 eˆ1 ∇A

1 h1 h2 h3

∇A

U de Chile

eˆ1 h1

Φ u1

A2 eˆ2

eˆ2 h2

Φ u2

eˆ3 h3

Φ u3 .

A3 eˆ3 , entonces

A1 h2 h3 h1A2 h3 h1 h2 A3 ; u1 u2 u3 h1 eˆ1 1 1 h1 h2 h3 h1 A1

48

h2 eˆ2

2 h2 A2

h3 eˆ3 3 . h3 A3

FCFM

H. F. Arellano

fι


Para un campo escalar o vectorial χ ∇2 χ

1 h1 h2 h3

u1

h2 h3 h1

χ h3 h1 χ h1 h2 χ u 1 u 2 h2 u 2 u 3 h3 u 3

A modo de ilustraci´ on, calculemos el laplaciano en coordenadas cil´ındricas. En este caso vimos que

h1

hρ 1; h2 hφ ρ; y h3 hZ 1, con lo cual h1 h2 h3 ρ. Sustituyendo, 2 χ . 1 χ 1 2 χ 2 ρ ∇ χ ρ ρ ρ ρ2 φ2 Z 2

2.4.1.

El gradiente

Consideremos un campo escalar φ φu1 , u2 , u3 y calculemos su variación bajo variaciones arbitrarias du , du2 y du3 φ φ du2 φ du3 . dφ 1 du1 u u2 u3 Estas mismas variaciones en las coordenadas definen un desplazamiento infinitesimal ds dado por 1

ds eˆ1 h1 du1

eˆ2 h1 du2

eˆ3 h1 du3 .

Definiendo convenientemente ∇φ eˆ1

1 φ h1 u 1

eˆ2

1 φ h2 u 2

eˆ3

1 φ , h3 u 3

resulta evidente entonces que dφ ∇φ ds. De esta forma ∇φ se interpreta geométricamente como la máxima variaci´ on de φ por unidad de desplazamiento. En efecto, podemos escribir dφ ∇φ ds cos β , con β el ángulo entre ∇φ y la direcci´ on del desplazamiento ds. Si se hace coincidir la direcci´ on de ds con la de ∇φ, entonces β 0 y dφMax ∇φ ds ∇φ dφdsMax .

2.4.2.

La divergencia y el teorema de Gauss

La divergencia y el Teorema de Gauss están estrechamente relacionados. En efecto, consideremos un campo vectorial A dado por A A1 eˆ1 A2 eˆ2 A3 eˆ3 . Supongamos además Ai

Ai u1 , u2, u3 y consideremos la integral de flujo sobre una superficie cerrada Σ Φ

A dS .

Σ

Aqu´ı, dS dσˆ n, con dσ un elemento infinitesimal de superficie de Σ, con n ˆ la normal exterior en el punto. La integral anterior se puede descomponer en la suma de dos contribuciones, una sobre una superficie Σ1

FCFM

49

U de Chile

fι


dS

dS dS

A

Σ1

dS 1

Σ

dS2

Σ2 Fig. 2.4: Integral sobre una superficie cerrada y su equivalente en dos contribuciones. on de ambas reconstituyen la superficie original Σ y sus normales en la región de y otra sobre Σ2 . La uni´ contacto apuntan en sentidos opuestos, garantizando la cancelaci´ on de las contribuciones mutuas. Entonces, A dS A dS . Φ Σ1

Σ2

Este procedimiento se puede repetir subdividiendo Σ1 y Σ2 , y as´ı sucesivamente. Se obtiene entonces una suma de muchas integrales sobre celdas, tantas como resulten de las subparticiones del volumen de partida. Entonces,

1 A dS δτi A dS . Φ δτi i i Σi

Σi

En el último paso se ha introducido el elemento de volumen δτi de la i-ésima celda. En el l´ımite de celdas infinitamente pequeñas tenemos ∇ A dτ , Φ

V Σ

donde hemos definido

1 A dS δτ 0 δτ

∇ A l´ım

δΣ

y denotado por V Σ el volumen contenido por la superficie Σ. En esta expresión δΣ denota una superficie de on la divergencia tama˜ no infinitesimal en la ubicaci´ on dada por las coordenadas u1 , u2 , u3 . Con esta definici´ cuantifica el flujo por unidad de volumen de un campo vectorial. Calculemos este l´ımite utilizando coordenadas curvil´ıneas ortogonales. Para ello consideremos una celda infinitesimal como la que se ilustra en la Fig. (2.5). La longitud de sus aristas son h1 δu1 , h2 δu2 y h3 δu3 , respectivamente, de modo que su volumen es δτ h1 h2 h3 δu1 δu2 δu3 . La integral de flujo sobre la celda es una suma de seis contribuciones, una por cada cara del cubo:

A dS

Σ

6

k 1

Ak δSk .

Sumemos el primer par de caras opuestas (la 1 según eˆ1 y la 6 según eˆ1 ). Los campos en la cara 1 se evaluan en u1 δu1 , u ¯2 , u¯3 , mientras que en la 6 en u1 , u ¯2 , u ¯3 . Aqu´ı u¯2 y u ¯3 representan valores medios de las coordenadas. El elemento de área (vectorial) en la cara 1 es δS1 eˆ1 h2 h3 δu2 δu3 , mientras que en la cara 6 es δS6 eˆ1 h2 h3 δu2 δu3 .

1 A1 δS1 A1 h2 h3 u δu δu2 δu3 6 A6 δS6 A1 h2 h3 u δu2 δu3 1

1

1

U de Chile

50

FCFM

H. F. Arellano

fι


u3

dσ1(+)

111111 000000 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111

(−)

dσ 1 u2

u1 Fig. 2.5: Suma de los flujos en dos de las seis caras de una celda infinitesimal.

0, obtenemos A1 h2 h3 u δu A1 h2 h3 u 1 A1 h2 h3 . h1 h2 h3 δu1 h1 h2 h3 u1

Sumando este par, dividiendo por el volumen y tomando el l´ımite δu1 1

1

1

Un procedimiento análogo se hace al considerar las caras 2 : 5 y 3 : 4. Al sumarlas obtenemos para el volumen 1 A1 h2 h3 A2 h1 h3 A3 h1 h2 . ∇A h1 h2 h3 u1 u2 u3 En el caso particular de las coordenadas rectangulares tenemos u1 x, u2 Por lo tanto Ax Ay Az . ∇A x y z

y, u3 z, h1 h2 h3 1.

Si el flujo neto por unidad de volumen es nulo, entonces todo el flujo entrante a una celda infinitesimal sale de éste. Tales campos tienen divergencia nula.

2.4.3.

El laplaciano

Se define el laplaciano como la divergencia del gradiente, vale decir, ∇2 ∇ ∇ . Reemplazando las expresiones anteriores para la divergencia y el gradiente obtenemos 1 h2 h3 χ h3 h1 χ h1 h2 χ 2 ∇ χ h1 h2 h3 u 1 h1 u 1 u 2 h2 u 2 u 3 h3 u 3 . Nuevamente, en el caso de coordenadas rectangulares obtenemos ∇2 χ

FCFM

2 χ 2 χ 2 χ . x2 y2 z 2 51

U de Chile

fι


2.4.4.

El rotor y el teorema de Stokes

Como vimos recientemente, la divergencia surge de la descomposici´ on de una integral de flujo en la suma de flujos netos sobre volumenes infinitesimales. En forma análoga, veremos que el rotor emerge de la descomposición de una integral de camino cerrada en la suma de circulaciones netas sobre trayectorias elementales. Consideremos nuevamente un campo vectorial A A1 eˆ1 A2 eˆ2 A3 eˆ3 , el cual es integrado a lo largo de una trayectoria cerrada C. Denotando d a los elementos de l´ınea de la curva, entonces W A d . C

Para efectos de esta integral, el camino C original se puede descomponer en la suma de dos trayectorias C

C1

C2

Fig. 2.6: Descomposici´ on progresiva de una trayectoria en dos y más circulaciones. cerradas, C1 y C2 como se ilustra en la Fig. (2.6). Estas dos subtrayectorias se descomponen nuevamente en dos cada una y as´ı sucesivamente. De esta forma, W

A d

C1

A d

N

i

C2

A d .

Ci

Si la trayectoria elemental i-ésima tiene una superficie δΣi , entonces podemos escribir N N

1 n î δΣi A d δΣi n î A d . W δΣ δΣ i i i i Ci

Ci

En la u ´ltima igualdad hemos introducido un vector normal unitario n ˆ i cuyo sentido obedece la regla de la mano derecha aplicada a la circulaci´ on de la i-ésima celda elemental. Al pasar al l´ımite de infinitas subdivisiones se obtiene el conocido Teorema de Stokes, W A d ∇ A dΣ ,

Σ C

C

donde se ha definido

∇ A l´ım

0

δΣ

n ˆ δΣ

A d .

C

De esta definición resulta evidente el significado del rotor como una medida de la circulaci´ on de un campo vectorial por unidad de superficie. Para el cálculo de las tres componentes vectoriales del rotor es necesario analizar la circulaci´ on en circuitos elementales perpendiculares al eî correspondiente.

U de Chile

52

FCFM

H. F. Arellano

fι


e3

dΣ

3

u +du

(c)

3 (b)

(a)

e2

3

u (d) 2

2

u

u +du

2

Fig. 2.7: Análisis de una circulaci´ on elemental en el plano u2 u3

& eˆ1 .

Evaluemos la componente eˆ1 del rotor en coordenadas ortogonales. Para ello descomponemos circulaci´ on sobre cuatro tramos ortogonales como se ilustra en la Fig. (2.7)

A d Ai δi . Aa δa Ab δb Ac δc Ad δd .

en la

i a,b,c,d

En este caso particular, δa h3 du3 eˆ3 , y δb h3 du3 eˆ3 . Además, δc h2 du2 eˆ2 ; δd h2 du2 eˆ2 . Las funciones h3 y A3 en el tramo a son evaluadas en u1 , u2 δu2 , u ¯3 , mientras que en b se eva1 2 3 ¯ . Consideraciones similares se aplican para los otros dos tramos. Sumando las cuatro luan en u , u , u contribuciones obtenemos

3 2 h 3 A3 u2 δu2 h 3 A3 u2 δu h 2 A2 u3 δu3 h 2 A2 u3 δu . a,b,c,d

Al dividir por la superficie δΣ h2 h3 δu2 δu3 y tomar el l´ımite se obtiene el rotor en según eˆ1 , 1 h3 A3 h2 A2 ∇ A1 h h u2 u3 . 2 3 Este procedimiento se aplica de igual forma para las otras dos componentes. Ello conduce la expresión para el rotor resumida en la Ec. ( 2.4.1), que en el caso de coordenadas rectangulares conduce a

∇ Ax Ayz Azy

FCFM

53

.

U de Chile

fι

U de Chile


54

FCFM

Cap´ıtulo 3

La delta de Dirac

La delta de Dirac fué introducida por Dirac en los a˜ nos 20 del siglo pasado y ha sido utilizada extensivamente por los f´ısicos desde entonces. Su formalizaci´ on matemática ocurre bastante despues, hacia los a˜ nos 50, por Laurent Schwartz con la introducci´ on de la teor´ıa de funciones generalizadas o distribuciones. En esta sección revisaremos algunas nociones acerca de delta de Dirac funci´ on sin profundizar demasiado en sus aspectos formales.

3.1.

Definici´ on

La delta de Dirac es introducida para representar cierto tipo de infinitos y sus argumentos son variables reales. Ella se denota mediante la letra griega δ y se define mediante

δ x δ x dx

0

para x 0

1

Para hacerse una idea, se trata de una ‘funci´ on’ que es nula en todo el espacio salvo en las vecindades de x 0, donde se hace infinita. La delta de Dirac no es una funci´ on pues no tiene imagen definida. Su significación se manifiesta en el contexto de integrales. Por tal motivo Dirac denomin´ o a δ x una funci´ on impropia. Una propiedad importante que emerge de su definici´ on es la relaci´ on f x δ x dx f 0 .

En efecto, f x δ x dx inmediato verificar entonces que

f 0 δ x dx

f 0

δ x dx

f 0. De este resultado es

f x δ x a dx f a .

Estos resultados son también válidos cuando f representa vectores u operadores. Con respecto a los l´ımites de

55

fι


integraci´ on, éstos no necesariamente deben ir desde a , pudiendo tambien ser finitos. Por simplicidad en la escritura omitiremos los l´ımites de las integrales en el subentendido de que ellos no son ambiguos.

3.2.

Propiedades

Listamos algunas propiedades importantes de la delta. δ x xδ x

δx 0 1 δ ax a δx 1 δ x2 a2 δ x a 2a f xδ x a f aδ x a δ a x δ x b dx δ a b

(3.2.1a) (3.2.1b) (3.2.1c) δ x

a

(3.2.1d) (3.2.1e) (3.2.1f)

δ xf x dx

f 0 xδ x δ x

1 δ f x f xk δx xk k

(3.2.1g) (3.2.1h) con xk cero de f x

(3.2.1i)

Examinemos algunas de estas identidades. Para la primera de ellas consideremos una función f x arbitraria y hacemos el cambio de variable z x. Entonces

f x δ x dx

f z δ z dz

f 0 δ z dz

f x δ x dx .

Puesto que f x es arbitraria, entonces δ x δ x. Para la propiedad ( 3.2.1b) consideremos nuevamente una funci´ on arbitraria f x. Entonces,

f xxδ x dx

xf x δx dx xf xx0 0 .

Por lo tanto xδ x act´ ua, en el sentido de una distribuci´ on, como el cero. En el caso de la identidad ( 3.2.1c) consideremos una funci´ on f x arbitraria y a 0. Además introducimos un cambio de variable z ax. Entonces, 1 z 1 1 δ z dz . f xδ ax dx f δ z dz f 0 δ z dz f z a a a a

U de Chile

56

FCFM

H. F. Arellano

fι


Una propiedad menos directa es la ( 3.2.1d). Consideremos una funci´ on f arbitraria. Entonces, 0 f x δ x2 a2 dx f x δ x2 a2 dx f x δ x2 a2 dx

f a

0

0

δ x2 a2 dx

f a

0

δ x2 a2 dx

Para la primera de las integrales hacemos el cambio de variables z x2 a2 , con lo cual dz 2 dx z a2 . Por lo tanto, 0 a2 dz 1 . 2 2 δ x a dx δ z 2 a 2 z a2

Un procedimiento análogo se aplica para la segunda integral y que conduce a un idéntico resultado. Por lo tanto, 1 1 f x δ x2 a2 dx f a f a . 2a 2a De ésto se infiere entonces 1 δ x2 a2 δ x a δ x a 2a Las demostraciones del resto de las propiedades quedan propuestas.

3.3.

Representaciones

Las propiedades anteriores son bastante generales y resultan independientes de las representaciones utilizadas para la delta. Las representaciones de la delta son construcciones basadas en funciones ordinarias en la forma de sucesiones. Normalmente, las propiedades exhibidas por la delta son obtenidas por tales sucesiones en el l´ımite n . Los siguientes tres ejemplos constituyen representaciones del la delta de Dirac. 2 2 n δ x l´ım e n x ; n π sin nx ; δ x l´ım n πx 1 n δ x l´ım n π 1 n2 x2 Es importante tener presente que en el uso de las representaciones, las integrales se realizan primero y luego se toma el l´ımite n . El orden no conmuta. En muchas aplicaciones de la f´ısica no encontraremos con las siguientes representaciones equivalentes de la delta: 1 δ x x eik x x dx 2π

sin K x x δ x x l´ım K π x x η 1 δ x x l´ım η 0 π η 2 x x 2

FCFM

57

U de Chile

fι

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58

FCFM

Cap´ıtulo 4

Series y transformada de Fourier

El teorema de Fourier permite la representación de una funci´ on en un intervalo a, b mediante una expansi´ on de las funciones trigonométricas seno y coseno. A esta serie se le denomina serie de Fourier. La demostración de este teorema data de poco mas de dos décadas después, en 1829, por Dirichlet.

4.1.

El Teorema de Dirichlet

Sea f x una funci´ on acotada en el intervalo π, π , con un n´ umero finito de máximos, m´ınimos y odica en la forma f x 2π f x para aquellos argumentos fuera discontinuidades. Sea además f x peri´ del intervalo. Entonces, la sucesión sN converge a

1 2

f x

0

a2

N

n 1

f x 0 cuando N an

bn

an

cos nx

bn sin nx

. Los coeficientes an y bn están dados por las fórmulas

1 π f x cos nx dx π π 1 π f x sin nx dx π π

n 0, 1, 2, n 1, 2, 3,

Es claro que si la funci´ on f es cont´ınua en x, entonces f x

a 2

n 1

an

cos nx

bn sin nx .

En aquellos puntos x donde la funci´ on exhibe una discontinuidad, sN tiende a la semisuma de los valores de la funci´ on a cada lado de la discontinuidad. La adaptaci´ on del teorema anterior a una funci´ on f cuya periodicidad es 2L es bastante simple. Si la

59

fι


funci´ on es cont´ınua en el intervalo f x

L, L, entonces

)

a 2

an cos

nπx

bn sin

L

n 1

nπx * L

,

donde an bn

1 L

1 L

L

L L L

nπx

f x cos f x sin

L

nπx L

dx

n 0, 1, 2,

dx

n 1, 2, 3, .

En vez de hacer uso de funciones trigonométricas en las expansiones anteriores, muchas veces resulta práctica su expansi´ on en términos de las funciones exponenciales de argumento complejo. Si representamos cos p eip e ip 2, sin p eip e ip 2i, obtenemos f x

a 2

1 + ) i nπx an e L 2 n1 cn ei

nπx L

e

nπx L

i

*

ibn

)

ei

nπx L

e i nπx L

*,

.

n

Con esta construcción identificamos (n 0)

c

c

cn

n

a 2 an i b n 2 an i b n 2

Una forma más directa de obtener los coeficientes cn , partiendo directamente de f x y por tanto prescindiendo de los coeficientes an y bn surge directamente del siguiente desarrollo:

- L

i nπx i mπx L L cn e dx e f x

L L

n

f x e

dx

imπx L

L cn

n

L

ei n

dx .

m πx L

L 2Lδnm

De aqu´ı surgen inmediatamente los coeficientes cn , 1 L cn f x e 2L L

4.2.

dx .

imπx L

Bases de funciones

Antes de continuar con el tema es oportuno hacer una breve digresi´ on sobre lo que posteriormente llamaremos base de funciones. Consideremos el espacio vectorial euclidiano RN , donde un vector arbitrario

U de Chile

60

FCFM

H. F. Arellano

fι


F puede ser expandido en términos de los elementos de la base ortonormal b1 , b2 , , bN . Bajo el producto interno usual (producto punto), los elementos de esta base satisfacen bi bj δij Entonces podemos escribir F

N

ci bi .

i 1

A este punto sólo F y los elementos de la base son conocidos. Para obtener los coeficientes ci nos valemos del producto interno y de sus propiedades lineales. Multiplicando por bk a ambos lados obtenemos bk F N otese la notable similitud entre este procedimiento y el empleado para obtener i1 ci bk bi ck . N´ los coeficientes cn en la serie de Fourier. La analog´ıa se hace evidente al establecer un paralelo entre los elementos bn de la base en RN y las funciones einπxL como elementos de una base de funciones. La analog´ıa es completa al introducir un producto interno entre funciones. El despeje realizado para obtener on de Fourier sugiere el producto interno en este caso. los coeficientes cn en la expansi´ Para el ejemplo recién visto definimos los siguientes elementos de la base de funciones, φn x

1

2L

einπxL ,

acompa˜ nadas de la siguiente definici´ on de producto interno 'f g ( entre dos funciones, f y g:

'f g(

L

L

f xg x dx .

Claramente, bajo esta definici´ on 'φn φm ( δnm . Además, bajo esta definici´ on el producto interno satisface las siguientes propiedades:

'f f ( 0 'f αg βh( α 'f g( 'αf βg h( α 'f h(

β 'f h (

β 'f h(

Observese el siguiente desarrollo, f x

L L

cn φn x

n

φÆk xf x dx

L cn L

n

-

φk x

L dx L

φk x φn x dx ck ,

on original para f x y reordenando términos se obtiene con lo cual, al sustituir ck en la expansi´ % ( % ( L L

Æ Æ f x φn x f x dx φn x dx φn x φn x f x . L L n n cn

Esta igualdad se da para cual sea la funci´ on f x cont´ınua en el intervalo la delta de Dirac,

δ x x φÆn x φn x .

L, L, con lo cual identificamos

n

FCFM

61

U de Chile

fι


A esta relación se le denomina completitud, que en el caso de la base de Fourier toma la forma δ x x

1 inπ x e 2L n

.

x L

Es importante tener presente que la definici´ on del producto interno permite el uso de intervalos arbitrarios

a, b, no necesariamente acotados, consistentes con el dominio de las funciones a estudiar. Para tales casos L b hacemos simplemente L dx a dx. 4.3.

Paso del discreto al cont´ınuo

Las series de Fourier resultan muy útiles para la descripci´ on de funciones peri´ odicas, aunque ésta no es una propiedad restrictiva. En efecto, cualquier funci´ on definida en un intervalo del tipo L, L puede ser representada, en ese intervalo, mediante los elementos de la base de Fourier. En particular, la transformada de Fourier emerge cuando se pasa al l´ımite L . Como hemos visto, la base de funciones ortonormales cuyos elementos φn x satisfacen la relaci´ on de completitud

δ x x

n

1 i nπL x e 2L

x

1 2L ei nπLx

.

Nos interesa preservar esta propiedad pero dando cabida a un intervalo infinitamente extenso en x. La suma se realiza sobre el ´ındice discreto n, de modo que si definimos kn nπ L, δkn π L, entonces podemos reescribir la identidad anterior

1 ikn x x 1 e δkn eik x x dk . δ x x 2π 2π

k n

Esto sugiere redefinir los elementos φn de la base φn x φk x

1

2π

eikx ,

los cuales satisfacen la relación de completitud δ x x

φk x φk x dk .

Examinemos la condici´ on de ortogonalidad, que para la base discreta de funciones expresamos δnm . Esta vez consideremos 1 φk x φp x dx ei p kx dx δ k p , 2π

L L

φn xφm x dx

2πδ k p

que constituye la forma que adopta la relaci´ on de ortogonalidad de los elementos de la base. Un motivo por el cual al lado derecho no queda la delta de Kroneker sino la de Dirac es porque la variable k no es discreta.

U de Chile

62

FCFM

H. F. Arellano

fι


Consideremos una funci´ on f x definida para x y supongamos que ésta se puede expresar de la siguiente forma, f x C k φk x dk , (4.3.1)

lo que constituye una ‘expansi´ on’ de la funci´ on f x como una combinación lineal de los elementos de la base φk x. Los C k corresponden a los coeficientes de tal expansión. El uso de la ortonormalidad de las funciones φk x permite obtener tales coeficientes. Para ello multiplicamos ambos lados por φp x, integramos en x y hacemos uso de ortogonalidad. Entonces,

C k

f x φk x dx .

(4.3.2)

Esta integral está totalmente definida si es que resulta acotada. En tal sentido examinemos, C k f x φk x dx 12π f x dx .

Entonces, si

f x dx es finita, entonces los coeficientes C k existen.

Hasta ahora s´ olo hemos ilustrado la extensi´ on de las series de Fourier a rangos espaciales infinitos. Vimos que mediante este recurso de también posible expresar funciones como la superposición de funciones arm´ onicas representadas por exponenciales de argumento imaginario [c.f. Ec. ( 4.3.1)]. Los coeficientes de tales superposiciones, los C k , exhiben una estructura bastante similar a la funci´ on original [c.f. Ec. ( 4.3.2)]. En cierta forma tales elementos C k contienen la misma información que la funci´ on de partida f x, constituyendo una representación alternativa de la funci´ on de partida f .

4.4.

Transformada de Fourier

Sea f una funci´ on tal que denotada por F k , mediante

f xdx sea acotada. Se define la transformada de Fourier de f , 1 F k

2π

f x e

ikx

dx .

Otra notación equivalente es f˜k F k . As´ı entonces, de acuerdo a la discusi´ on de la secci´ on anterior, la transformada de Fourier representa los coeficientes de la expansi´ on de una funci´ on dada en una base de funciones arm´ onicas. El signo ‘’ en la exponencial es por un asunto de uniformidad con la usanza en mecánica cuántica, aunque es totalmente válido el uso del signo ‘+’. Sólo hay que mantener consistencia. La extensi´ on de la definici´ on de la transformada de Fourier a funciones en R3 , del tipo f x, y, z , es natural mediante 1 i kx x ky y kz z F kx , ky , kz 2π32 dx dy dz f x, y, z e

) 1 3 F k 2π32 d rf r e

FCFM

63

ik r

U de Chile

fι


La transformada de Fourier presenta viarias propiedades de interés. En algunos casos resultará u ´til denotar mediante F la transformada de Fourier en el sentido de una aplicaci´ on. En tal sentifo F representa un funcional cuyos argumentos son funciones. As´ı, f˜ F f . Considerando el caso 1D, listamos las siguientes propiedades cuyas demostraciones son sencillas.

1. Linealidad en las funciones: 2. F F f f

F αf1

βf2 αF f1

βF f2

3. Si f˜k F f x, entonces f˜k F f x

4. Si f es par (o impar), entonces f˜ también lo es. 5. Si f˜k F f x, entonces

1 ˜ k f F f λx λ λ

6. f˜0 es proporcional al área entre f x y el eje x.

7. F δ x 1 2π.

4.4.1.

El teorema de convoluci´ on

En f´ısica es frecuente encontrarse con integrales cuya estructura es la de una convoluci´ on, vale decir, φx Rx x f x dx . (4.4.3)

Esta estructura en el caso 1D se extiende a funciones en 3D de la forma Rr r f r d3 r . φr A estas integrales también se les reconocen como folding. En algunos casos se identifica a φ como el output, R como la respuesta y f como el input. Un ejemplo clásico de una convoluci´ on lo vemos en el cálculo del potencial en un punto r debido a una distribuci´ on de carga ρr . Mediante la aplicaci´ on directa del principio de superposición se tiene que el potencial en r está dado por 1 d3 r ρr φr r r . Consideremos el caso 1D y examinemos la transformada de Fourier de la convoluci´ on expresada por la Ec. ( 4.4.3). Multiplicando por e ikx 2π e integrando en x obtenemos 1 dx e ikx dx Rx xf x . φ˜k 2π

La integraci´ on dx dx abarca todo el plano R2 . Cambiando variables: x, x X, X , con X X x, entonces dx dx dX dX . Por lo tanto, ˜ ˜ 1 ikX ˜ φ k dX e R X dX e ikX f X 2π R k f k . 2π

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64

x x,

FCFM

H. F. Arellano

fι


Por lo tanto,

φ˜k

˜ k f˜k , 2π R

cuya lectura es directa: la transformada de Fourier de una convoluci´ on es proporcional al producto de las transformadas de Fourier. La constante de proporcionalidad, 2π, tiene su origen en la definición que hemos adoptado de la transformada de Fourier. Tales factores son convencionales, pero es importante mantener coherencia en todas sus expresiones, particularmente cuando se requiere volver a la representaci´ on inicial.

4.4.2.

Relaci´ on de Parseval

Esta es otra de las relaciones importantes en las transformadas de Fourier, cuyo uso es extensivo en optica y en el estudio de fenómenos ondulatorios en general. Esta relaci´ ´ on establece f x g x dx f˜ k g˜k dk .

Esta simetr´ıa notable tiene implicaciones muy importantes en la construcción de representaciones en mecánica cuántica. Para demostrarla consideremos 1 1 ikx ˜ g x g˜k eik x dk . f k e dk , f x 2π 2π

Entonces,

f x g x dx

1 2π

dx

f˜ k e

ikx

dk

g˜k eik x dk

Reordenando consistentemente las integrales, 1 f x g x dx dk f˜ k dk g˜k dx ei k 2π

k x

La integral en dx conduce a 2πδ k k , la que al participar en la integraci´ on en dk conlleva a f x g x dx f˜ k g˜k dk ,

el resultado esperado. En la discusi´ on reciente acerca de bases de funciones, introdujimos la noci´ on de producto interno de funciones. En ella 'f g ( f g dx. También vimos que la transformada de Fourier contiene la misma información contenida en la funci´ on de partida. La relaci´ on de Parseval refuerza la noci´ on de un ente más on en el sentido convencional. El abstracto, f (, que proyectado adecuadamente toma la forma de una funci´ producto interno no depende de la representaci´ on adoptada para f (, sea ésta en espacio el real x o en el ‘espacio de Fourier’ k.

4.4.3.

Potencial debido a una distribuci´ on de cargas

˜ k- debido a una distribuci´ Calculemos la transformada de Fourier del potencial coulombiano -Φ on uniforme de carga. Como vimos anteriormente, la transformada de Fourier es el producto de las convoluciones.

FCFM

65

U de Chile

fι


Puesto que esta aplicación es 3D, tenemos ˜ k 2π 32 ρ˜k V˜c k Φ El potencial de Coulomb debido a una carga puntual unitaria es Vc r 1r, de modo que 2 1 ˜ Vc k . π k2 Por lo tanto,

˜ k 4π ρ˜k . Φ k2

(4.4.4)

(4.4.5)

Necesitamos determinar ρ˜, la cual se obtiene fácilmente suponiendo simetr´ıa esférica. Entonces, 1 e ikr d3 r ρr ρ˜k 3 2 2π

La integraci´ on la realizamos con las variables esféricas r, θ, φ, con el eje azimutal seg´ un k. Con ello k r kr cos θ. La integraci´ on en dφ es directa, con lo que π 2π 2 ikr cos θ . ρ˜k 2π32 0 r dr ρr 0 sin θ dθ e La integraci´ on en θ se realiza fácilmente, conduciendo a 2 1 r dr ρr sinkr . ρ˜k π k 0 Considerando cargas uniformemente distribuidas en la extenci´ on de una esfera de radio R, entonces on escal´ on de Heaviside. Por lo tanto, ρr ρ ΘR r, donde Θ representa la funci´ R 2 ρ R 2 ρ ρ˜k r dr sinkr k dr sinkr . π k 0 π k 0

sin kR k

Este resultado conduce a ρ˜k donde hemos utilizado

2 ρ R 2 j1 kR , π k

j0 t

sin t dj0 , j1 t . t dt Estas dos u ´ltimas corresponden a las funciones esféricas de Bessel de orden 0 y 1, respectivamente. Si normalizamos la densidad de carga ρ a Zq, vale decir, ρ 43 πR3 Zq, entonces se obtiene 2 Zq 3 j1 kR ˜ Φ k . π k2 kR Esta factorizaci´ on para la transformada de Fourier de una distribuci´ on extendida es deliberada (en este ejemplo). La idea es examinar el caso l´ımite de una distribuci´ on uniforme en un entorno esférico con R 0. Se puede verificar que j1 t l´ım 13 , t0 t

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66

FCFM

H. F. Arellano


con lo cual,

˜ k l´ım Φ

0

t

fι

2 Zq , π k2

coincidente con el resultado debido a una fuente puntual por s´ı sola [c.f. Ec. ( 4.4.4)] luego de hacer Zq

1.

Antes de abandonar este ejemplo resulta instructivo hacer contacto con un planteamiento alternativo ˜ Recordemos que el potencial electrostático satisface la ecuaci´ para la obtenci´ on de Φ. on de Poisson, ∇2 Φr 4πρr .

(4.4.6)

Si definimos, separadamente, Φr resulta evidente verificar

1 2π32

˜ k e Φ

∇ Φ r 2

,

ρr

ik r

1 2π32

Al sustituirl en la en Ec. ( 4.4.6), multiplicar por e

1 2π32

k2 Φ˜ k e

ρ˜k e

,

ik r

.

ik r

y posteriormente integrar en d3 r se obtiene,

ik r

˜ k 4π ρ˜k , Φ k2 resultado coincidente con la Ec. ( 4.4.5) para la misma funci´ on. Este enfoque permite resolver muchas ecuaciones diferenciales parciales mediante métodos de integraci´ on directos.

FCFM

67

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fι

U de Chile


68

FCFM

Cap´ıtulo 5

Ecuaciones diferenciales

Para la descripci´ on cuantitativa de una enorme variedad de sistemas f´ısicos se recurre a ecuaciones diferenciales, las que suponen que las propiedades a describir son funciones cont´ınuas del espacio, del tiempo u otro parámetro caracter´ıstico. Una primera clasificación a estas ecuaciones permite subdividirlas en lineales y no lineales. Por ahora nos ocuparemos de las ecuaciones lineales, las cuales también se subdividen en el´ıpticas, parab´ olicas e hiperb´ olicas. A modo de ilustraci´ on mencionamos las siguientes ecuaciones según clasificación. La forma de éstas ha sido simplificada mediante reescalamiento de las variables, a fin de focalizar la participaci´ on de los operadores diferenciales.

El´ıpticas: en ellas todos los operadores de segundo orden tienen el mismo signo. • Laplace: ∇2 φ 0 • Helmholtz: ∇2 φ • Poisson: ∇2 φ f

k2 φ 0

Parab´ olicas: en ellas alguno de los operadores de segundo orden está ausente. • Difusi´ on: ∇2 u t u • Schr¨ odinger:

∇2 ψ

Uψ

itψ

Hiperb´ olicas: en ellas alguno de los operadores de segundo orden tiene signo opuesto al resto. • Ondas mecánicas: ∇2 φ t2 φ 0 • Klein-Gordon: ∇2 φ m2 φ t2 φ

Todas estas ecuaciones constituyen un problema definido una vez que se especifican las condiciones de borde (C.B.). Usualmente éstas se traducen en valores de la funci´ on en los bordes (C.B. de Dirichlet), valores de las derivadas en los bordes (C.B. de Newman), o mixtas.

69

fι


5.2.

Separaci´ on de variables

El método de separaci´ on de variables es una estrategia que permite estudiar en forma sistemática problemas que involucren la suma de operadores diferenciales actuando sobre espacios diferentes. Con la excepción del problema de Poisson, todos las ecuaciones mencionadas anteriormente tienen la estructura Dr Ψ Dt Ψ, donde Dr y Dt representan operadores diferenciales en las coordenadas espaciales y temporales, respectivamente. Si se plantea una soluci´ on del tipo Ψr, t Rr T t, entonces Dr Rr Rr

DTtTtt .

Puesto que r y t son parámetros independientes, necesariamente cada lado de la igualdad debe ser constante, Dr Rr λRr , Dt T t λT t . Notar que el problema se ha reducido a un problema de valores propios y funciones propias. Si bién este esquema tiene aspecto de ser de alcance ilimitado, sus limitaciones prácticas radican en la implementaci´ on de las condiciones de borde. Como es de esperar, aquellos sistemas cuya simetr´ıa sea particularmente simple permitirán el uso de funciones especiales que ayuden a una buena convergencia de la soluci´ on. Ese no siempre es el caso.

5.2.1.

Ecuaci´ on de Laplace en un disco

Consideremos la ecuaci´ on de Laplace para un campo f sobre un dominio circular bidimensional. El disco on conocida es de radio R, en cuyo contorno el campo está dado por f R, φ f φ, con f una funci´ y φ el ángulo polar en coordenadas cil´ındricas. En estas coordenadas la ecuaci´ on de Laplace, ∇2 f 0, se expresa f 1 2 f f 2 f 0 1 ρ 0 ρ ρ ρ ρ ρ ρ2 φ2 ρ ρ φ2 Esta última ecuaci´ on ha sido obtenida a fin de poder aplicar separaci´ on de variables, para lo cual es necesario

ρ

φ

Fig. 5.1: Problema de Laplace en un disco. expresar los operadores diferenciales como la suma de operadores donde las variables no se mezclen. A este punto planteamos f ρ, φ ω ρ χφ. Sustituyendo y separando ecuaciones se obtienen

ω ρ ρ ρ ρ c ω ,

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70

2 χ cχ , φ2 FCFM

H. F. Arellano

fι


con c la constante de separaci´ on. Siendo χ una cantidad f´ısica, es razonable exigir que ella sea univaluada. Por lo tanto exigimos χφ χφ 2π , para lo cual necesariamente c debe ser positiva. As´ı, denotamos c k 2 , con lo cual

2 χ k2 χ φ2

χφ χk φ Ak cos kφ

Bk sin kφ ,

con k entero. Para determinar ω resolvemos

ω 2 ρ ρ ρ ρ k ω ,

ecuación diferencial homogénea cuya solución tentativa se puede suponer de la forma ω ρp , con p una constante por determinar. Sustituyendo en al ecuación anterior se obtiene p2 k 2 , o bién p k. Si k 0, entonces, dk ω ρ ωk ρ ck ρk . ρk Cuando k 0, examinamos en detalle. ρ ω 0 ωρ ω ρ c d ln ρ . ρ ρ Puesto que el centro del disco es parte del dominio de la solución. Si además exigimos regularidad de la solución en todo éste, necesariamente dk 0 para todo k 0. Todo lo anterior restringe la forma de las soluciones fk ωk χk , k k

0 0

f ρ, φ

fk ρ, φ

c A

ck ρk Ak cos kφ

Bk sin kφ

Todas ellas son soluciones de la ecuaci´ on diferencial, de modo que su superposici´ on también lo es. Escribimos convenientemente,

A f ρ, φ An cos nφ Bn sin nφ ρn 2 n1 Para determinar los coeficientes evaluamos en ρ R, f φ

A 2

n 1

An

cos nφ

Bn sin nφ Rn ,

y multiplicamos separadamente por 1, cos mφ y sin mφ. Luego integramos 1 π f φ dφ A π π π 1 f φ cosnφ dφ An πRn π π 1 f φ sinnφ dφ Bn πRn π

π π

dφ y obtenemos

A este punto el problema está resuelto dado que se han obtenido todos los coeficientes necesarios para la expansi´ on. Buscamos ahora una forma más compacta para la serie. Si reemplazamos los coeficientes obtenidos en la expansi´ on podemos verificar π

ρn π 1 f ρ, φ f φ dφ f φ cos nφ cos nφ sin nφ sin nφ dφ . 2π π πRn π n1

FCFM

71

U de Chile

fι


Reagrupando términos e identificando entre los paréntesis cuadrados cos nφ φ se obtiene % (

ρ n

1 π f ρ, φ f φ 1 2 cos nφ φ dφ . 2π π R n1 Esta suma se puede reordenar mediante la aplicaci´ on adecuada de la serie geométrica1, conducente al siguiente resultado para la soluci´ on 1 π R 2 ρ2 f ρ, φ f φ φ 2 dφ . 2π π R ρ2 2Rρ cos φ A pesar de que los procedimientos seguidos parecieran estar correctos, es necesario verificar que la solución obtenida es efectivamente la soluci´ on al problema. Ello implica constatar que ∇2 f 0, y que f R, φ f φ. Ambas verificaciones quedan propuestas como ejercicio2 .

5.3.

La ecuaci´ on de Bessel

Recientemente abordamos el problema de la ecuaci´ on de Laplace en un dominio circular. Si el problema consiste en el de ondas de presión dentro de una cavidad cil´ındrica, la ecuaci´ on a resolver es ∇2 Φ

1 2 Φ c 2 t2

0.

Mediante separación de variables, Φ χr T t, podemos llevar esta ecuaci´ on a la de Helmholtz para χ. Si además expresamos el laplaciano en coordenadas cil´ındricas se obtiene ω2 1 χ 1 2 χ 2 χ 2 2 ∇ χ χ 0 ρ c2 ρ ρ ρ ρ2 φ2 z 2 k χ 0 , donde hemos denotado k 2 ω 2 c2 . Introducimos separaci´ on de variables de la forma χρ, φ, z Rρ F φ ζ z , que al ser reemplazada en la ecuaci´ on anterior conduce a 1 1 d . / ρR ρ R dρ

1 1 F ρ2 F

1 ζ k2 0 . ζ

(5.3.1)

p2

En esta ecuaci´ on se ha hecho uso de que R Rρ, F F φ y ζ ζ z . Tal dependencia en s´ olo una variable permite el uso no ambiguo de la notación ‘ddx’, o primas para las derivadas. Además, la suma de los últimos dos términos del lado izquierdo de la ecuaci´ on depende, en principio, s´ olo de la variable z, mientras que el resto sólo de ρ, φ. La independencia de estos dos juegos de variables exige que cada uno de los términos sea constante, es decir ζ z

k2 p2 ζ z 0 .

(5.3.2)

1 Consideremos S 1 2 n n inθ einθ 1 iθ n iθ n . Si x 1 entonces 1 x cos nθ 1 1 x e 1 xe 1 xe podemos hacer uso de las expresiones para la serie geométrica infinita. Luego de sustituir y simplificar se obtiene S 1x2 . 1x2 2x cos θ 2 Hacerlo.

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72

FCFM

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fι


El motivo por el cual se ha optado por p2 en la constante de separaci´ on y no por p2 es por el tipo de solución que surge para ζ. Esta consideraci´ on queda más clara más adelante, cuando abordemos las funciones modificadas de Bessel. Volviendo a la Ec. ( 5.3.1), multiplicando por ρ2 y reagrupando términos se obtiene 1 d . / ρR ρ2 p 2 ρ R dρ

1 F F

0

n2

En esta separaci´ on se ha introducido la constante n2 , el cuadrado de un entero, a fin de garantizar que F φ sea univaluada ante φ φ 2π. Entonces, la ecuación definitiva para R es ρ Introduciendo las nueva variables z

d . / ρR n2 R dρ

ρ2 p 2 R 0 .

p ρ; n ν, escribimos z

d dz

z

dR dz

z2 R 0 ,

ν2 R

(5.3.3)

la ecuaci´ on de Bessel en coordenads cil´ındricas. En esta u ´ltima permitimos que el parámetro ν tome cualquier valor. Para el caso particular del ejemplo introductorio éste es un entero.

5.3.1.

Funciones de Bessel

Buscamos una soluci´ on en serie para la ecuaci´ on de Bessel. A fin de permitir generalidad intentemos

Rz z r

zr S .

ak z k

k 0

Entonces, zR z zR

rz r S

r2 z r S

zr

kak z k

k 1

zr

2rk

k 1

k 2 a k z k .

Al sustituir en la ecuaci´ on de Bessel [c.f. Ec. ( 5.3.3)] y luego de un par de simplificaciones se obtiene

r2 ν 2 S

k 1

2rk

Esta igualdad se puede escribir de la forma B coeficientes Bi se anula. Por lo tanto,

r ν ak 2

2

k 2 ak z k B1 z

2

ak z k 2

k 0

Bk z k

0.

0, la cual se cumple si cada uno de los

r2 ν 2 a r 12 ν 2 a1 2rk k2 ak ak 2

0 0 0.

Analizamos posibles escenarios.

FCFM

73

U de Chile

fι


Si a •

0, necesariamente r ν a1 0. En este caso sólo términos pares participan en la serie. Para r ν, ak 2 ak 2ν kk . Esta relación de recurrencia permite determinar a2 , a4 , a6 , a partir de a . Alternativamente, podemos definir los nuevos coeficientes bm (m 0, 1, 2, ) mediante bm a2m . Entonces, bm con lo cual bm

4νbm m1 m , m b m ν

4m ν

1 m!

.

Todos los coeficientes resultan proporcionales a b , el cual puede ser definido a gusto. Es standard definir 1 m bm ν 2m . b ν 2 Γν 1 2 2 Γν m 1

As´ı entonces Rz Jν z , con

Jν z

m z2 2m ν . m!Γν m 1 m0

(5.3.4)

A esta funci´ on Jν z se le denomina funci´ on de Bessel del primer tipo.

• Para r ν se genera J ν z , la cual es en general linealmente independiente de Jν z . Sin embargo, cuando ν es entero positivo (ν n), entonces J n z n Jn z , lo que las hace linealmente dependientes. La generación de una funci´ on linealmente independiente en este caso es, por ahora, menos directa. Es posible demostrar que las funciones de Newman definidas por Jν z cos νπ J ν n sin νπ

Yn z l´ım

ν

z ,

pital son linealmente independientes de Jn z . Para evaluar este l´ımite aplicamos l’Hoˆ %. ( / dJν dJν 1 1 dJν n dJ ν dν cos νπ Jν π sin νπ dν Yn z π dν dν . π cos νπ ν

n

Evaluando las derivadas y reordenando se obtiene Yn z

2 +) z ln π 2

Aqu´ı se denota, γ

nl´ ım

1

1 2

* , γ Jn z (serie regular en z) . 1 3

ln n % 0.577216 ,

la constante de Euler. Claramente Yn z tiene una singularidad logar´ıtmica en el origen, algo reconocido en el problema de Coulomb de un alambre delgado. Para a1 0, necesariamente r la serie: a1 , a3 , a5 .

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1

ν, con a 0. En este caso sólo se dan términos impares de

74

FCFM

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fι


• Para r

ν 1 resolvemos ak ,

k 1a2νk 2 k 1 . Haciendo esta vez bm a2m 1 , con m 0, 1, , se obtiene ak

k

ak 2 r2 ν 2

bm

4νbm m1 m .

Se observa entonces la serie generada por los coeficientes impares coincide con la generada por los coeficientes pares. En esta l´ınea, no estamos más que replicando lo obtenido.

Existen muchas fuentes que permiten la evaluaci´ on numérica de las funciones de Bessel. En la Fig. (5.2) se ilustran las gráficas de Jn e Yn para n 0, 2, 4. Estas funciones tienen un par de caracter´ısticas que conviene tener presentes. Por ejemplo, s´ olo J z es no nula y finita en el origen. De hecho J 0 1, 1

1

0.75

0.75

0.5

0.5

0.25

0.25 2

4

6

8

10

2

-0.25

4

6

8

10

-0.25

-0.5

-0.5

-0.75

-0.75

-1

-1

Fig. 5.2: Funciones de Bessel (izquierda) y de Newman (derecha) para n 0, 2, 4. mientras que para n 1, Jn 0 0. Una caracter´ıstica que tienen las funciones de Bessel es que a medida que aumenta su orden, el primer máximo de ubica cada vez más alejado del origen. En relaci´ on a las funciones de Newman, todas ellas son singulares en el origen. En particular, la singularidad de Y z es de tipo logar´ıtmica, mientras que para n 1 ella es del tipo 1z n. Haciendo uso de los resultados anteriores es posible demostrar los siguientes comportamientos cerca del origen J z

%

Jn z

%

Y z

%

Yn z

%

1

z 2 2 1

z n

Γn 1 2 * 2 ) z ln γ π 2 n n 1! 2 n z

n1

n1

Para efectos de estimaciones no está de más tener presentes los primeros ceros de la funci´ on J z : {2.40, 5.52, 8.65, 11.8, 14.9, ...}.

FCFM

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fι


5.3.2.

Funciones modificadas de Bessel

La ecuaci´ on diferencial para las funciones de Bessel, dada por la Ec. ( 5.3.3), puede ser escrita de la siguiente forma x2 y

xy

β 2 x2 ν 2 y 0 .

Si ν es real y β 2 0, entonces las soluciones y son combinaciones lineales de Jν βx e Yν βx. Sin embargo, también nos podr´ıamos encontrar con la siguiente ecuación, x2 y

xy β 2 x2

ν 2 y

0.

En este caso las soluciones son del tipo Jν iβx e Yν iβx, conducentes a las funciones modificadas de Bessel. En este caso es usual definir Iν βx

Kν βx

i ν Jν iβx π I ν Iν 2 sin νπ

1er tipo 2do tipo

Estas funciones se ilustran en la Fig. (5.3) para ν 0, 2, 4. Con l´ınea cont´ınua se grafican los casos ν mientras que las de segmento largo y corto corresponden a ν 2 y ν 4, respectivamente. 10

10

8

8

6

6

4

4

2

2

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0,

4

Fig. 5.3: Funciones modificadas de Bessel del primer (izquierda) y segundo (derecha) tipo para n 0, 2, 4.

Las funciones modificadas de Bessel presentan las siguientes propiedades 1. Iν x es regular en el origen y divergente para x . 2. Kν x es singular en el origen y se anula para x . 3. Iν y Kν no tienen raices no nulas, salvo I0 en el origen. 4. Iν y Kν son reales.

U de Chile

76

FCFM

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5.3.3.

fι


Diferenciaci´ on y recurrencia

Las funciones de Bessel satisfacen diversas propiedades, muchas de ellas bastante útiles. Listamos algunas de ellas. dJν dz dJν z dz Jν 1

z

νJν

zJν 1

zJν 1 νJν 2ν z Jν Jν d ν z Jν z ν Jν 1 dz

d . z dz

ν

Jν

/

z

ν

(5.3.5a) (5.3.5b) (5.3.5c)

1

(5.3.5d)

Jν 1

(5.3.5e)

Para demostrar ( 5.3.5a) derivamos con respecto a z la expansi´ on ( 5.3.4) para Jν . Es directo verificar z

dJν dz

k z2 2k ν 2k ν 12 k!Γν k 1 k 0

.

El factor 2k ν permite separar el lado derecho en dos sumas, una partiendo de k 1 y la otra desde k 0. Mediante una traslaci´ on de ´ındices es directo obtener la identidad ( 5.3.5a). La identidad ( 5.3.5b) ν se puede obtener reagrupando z dJ dz zJν 1 . La identidad ( 5.3.5c) es una consecuencia directa de las dos anteriores, mientras que las dos u ´ltimas surgen de las dos primeras. Entre las identidades importantes para las funciones de Bessel, y en general muchas de las funciones especiales, son aquellas que involucran el wronskiano. Sean f1 x y f2 x dos funciones diferenciables, entonces se define el wronsquiano W mediante f1 f1 W f1 , f2 ; x f1 f2 f1 f2 det . (5.3.6) f2 f2 Demostremos que si u y v son combinaciones lineales independientes de Jν z e Yν z , entonces d zW u, v; z 0 . dz En efecto, puesto que u y v son combinaciones lineales de Jν e Yν , ambas satisfacen la ecuaci´ on de Bessel, vale decir - v du d z z 2 ν 2 u 0 z dz dz z u dv d z z 2 ν 2 v 0 z dz dz z Multiplicando cada ecuaci´ on por v z y uz, y restando los lados respectivos se obtiene d d dv d du u z v z 0 zW u, v; z 0 . dz dz dz dz dz A fin de ilustrar un posible uso de este tipo de identidades, considérese la derivada del cuociente v u, d v uv v u u2 W u,u2v; z . dz u

FCFM

77

U de Chile

fι


Puesto que zW es constante, zW

A, entonces

d v zuA2 dz u En particular, podemos hacer u Jν ; v

v

u

B

Yν ; con lo cual

Yν

Jν

B

A

dz zJν2 z

A

dz zu2

.

.

permitiendo expresar la funci´ on de Bessel del segundo tipo en términos de la de primer tipo. Evidentemente la relaci´ on es no lineal, como es de esperar.

5.3.4.

Una identidad ´ util

En la manipulaci´ on de expansiones que involucran funciones de Bessel es usual encontrarse con la integral I α, β xJν αxJν βx dx Esta integral t´ıpicamente viene con l´ımites de integraci´ on definidos. Más a´ un, resulta de particular interés el caso α β, para el cual se obtiene 1 10 2 xJν2 αx dx x Jν αx2 x2 ν 2 α2 Jν2 αx (5.3.7) 2 Para su demostraci´ on consideremos las ecuacions diferenciales para Jν αx y Jν βx, denotadas por simplicidad como uαx y v βx respectivamente, d du x x α2 x2 ν 2 u 0 ; dx dx d dv x x β 2 x2 ν 2 v 0 . dx dx Luego de multiplicar la primera de ellas por v x y la segunda por ux, restamos los lados correspondientes para obtener

dv d x u dx dx

du v dx

α2 β 2 xuv

con lo cual

α β 2

2

R 0

dv x u dx

du v dx

R 0

α2 β 2

R xuv dx , 0

/ . xuv dx R βuv αvu

A este punto nos anticipamos a dos escenarios muy comunes. Uno de ellos es β es β α.

α, mientras que el otro

Cuando β α, pero αR y βR son ra´ıces de Jν z o Jν z , entonces el lado derecho de la integral es nulo. Ello implica que R α2 β 2 xJν αxJν βx dx 0 ; α β . 0

U de Chile

78

FCFM

H. F. Arellano

Para el caso β

fι


α, primero dividimos por α2 β 2 y luego tomamos el l´ımite usando l’Hôpital, R RβJν αRJν βR RαJν αRJν βR xJν2 αx dx l´ım β α α2 β 2 0

Tener presente que Jν denota derivada con respecto al argumento, a diferencia de la derivada con respecto a x. Ellas difieren en una constante multiplicativa. As´ı, derivando con respecto a β el numerador y el denominador obtenemos para el cuociente Jν αR β RβJν βR RαJν αR β Jν βR

2β

A este punto sustituimos sin riesgo β

R 0

R 0

α y denotamos z αR. Entonces,

xJν2 αx dx

Utilizando la ecuaci´ on z zJν

.

1 R2 0 Jν z 2 1z Jν z zJν z . 2

ν 2 z 2Jν , obtenemos finalmente

xJν2 αx dx

1 2 0 R Jν z 2 2

1 ν 2 z 2Jν2 z

1

.

(5.3.8)

Como hemos visto, las funciones Jν z son oscilantes en z, lo que permite asociar a cada valor de ν una colección de ceros z1ν , z2ν , z3ν , . Si α es tal que αR coincide con uno de los ceros de Jν , entonces

R 0

xJν2

αx dx

1 2 R Jν z 2 2

R

0

xJν2 αx dx

1 2 2 R Jν 1 z . 2

Esta última relación surge de la Ec. ( 5.3.5a) evaluada en un cero de Jν . Resumiendo, si Knm R n-ésimo cero de Jm z , entonces

R 0

5.3.5.

xJm Kn1 m xJm Kn2 m x dx δn1 n2

R2 2 J Kn1m R . 2 m 1

znm , el (5.3.9)

La ecuaci´ on de Laplace en una cavidad cil´ındrica

Resolvamos la ecuaci´ on de Laplace ∇2 V 0 al interior de una cavidad cil´ındrica de radio b y altura L. El potencial es nulo en todo el contorno salvo en una de las tapas, donde el potencial está dado por una funci´ on conocida. Utilizamos coordenadas cil´ındricas con el eje z coincidente con el eje del cilindro, mientras on V V ρ, φ, z cuyas condiciones de borde la tapa inferior se ubica en z 0. El potencial es una funci´ son V ρ, φ, L

V ρ, φ, 0 V b, φ, z

f ρ, φ 0 0

La ecuaci´ on de Laplace se expresa 1 ρ ρ

FCFM

V ρ ρ

1 2V ρ2 φ2

79

2V 0 . z 2 U de Chile

fι


fo (ρ,φ)

L

b

Fig. 5.4: Problema de Laplace en una cavidad cil´ındrica. Introduciendo separaci´ on de variables, V RρF φζ z , 1 1 d 1 1 d2 F dR ρ R ρ dρ dρ F ρ2 dφ2

1 d2 ζ ζ dz 2

0.

(5.3.10)

Antes de proseguir es conveniente anticipar el escenario. Primero, esperamos que F sea c´ıclica, lo que d2 ζ necesariamente implica que el término F debe ser negativo. Además, el término 1ζ dz 2 necesariamente es constante, quedando por determinar si es positivo o negativo. Si lo suponemos negativo ello conduce a funciones modificadas de Bessel para Rρ, lo que no es aceptable por las siguientes consideraciones: De los dos tipos de soluciones Iν y Kν , sólo Iν es aceptable puesto que Kν es singular en el eje. Las soluciones Iν nunca se anulan fuera del origen, por lo que no es posible imponer que cumplan la condición de borde en el contorno en ρ b. Con lo anterior, resolvemos 1 d2 ζ ζ dz 2

K2

ζ z AeKz

Be

Kz

.

Exigiendo ζ 0 0, entonces ζ z A sinh Kz. Volviendo a la Ec. ( 5.3.10) nos quedamos con ρ d 1 d2 F dR ρ K 2 ρ2 0. R dρ dρ F dφ2 La ciclicidad de las soluciones en el ángulo φ exige que d2 F dφ2

m2 F

F φ A1 cos mφ

A2 sin mφ ,

con m un entero. De esta forma, la ecuaci´ on diferencial para Rρ se reduce a d dR ρ K 2 ρ2 m2 R 0 . ρ dρ dρ De ésta, sólo las funciones de Bessel Jm Kρ pueden participar en la soluci´ on puesto que Nm Kρ es singular en ρ 0. Sin perder generalidad podemos escribir Rρ Jm Kρ .

U de Chile

80

FCFM

H. F. Arellano

fι


Al exigir Rb 0, entonces Jm Kb 0. Esta exigencia restringe K a valores tales que Kb coincidan con las ra´ıces de Jm z . A ellas las denotaremos por xnm , representando la n-ésima raiz de Jm . As´ı, K Knm xnm b. Esto nos permite escribir soluciones de la forma V ρ, φ, z Jm Knm ρAnm cos mφ

Bnm sin mφ sinh Knm z .

Cada una de estas funciones satisface las condiciones de borde en la base y manto, de modo que una combinaci´ on lineal de todas ellas también:

Jm Knm ρAnm cos mφ Bnm sin mφ sinh Knm z . V ρ, φ, z m n

La determinación de los coeficientes Anm y Bnm surge de imponer V ρ, φ, L f ρ, φ, es decir,

f ρ, φ Jm Knm ρAnm cos mφ Bnm sin mφ sinh Knm L . (5.3.11) m n

A este punto conviene tener presente las siguientes identidades para n y n enteros, π cos mφ cos m φ dφ πδmm π π sin mφ sin m φ dφ πδmm π π sin mφ cos m φ dφ 0 π

Con ellas se puede proceder a despejar los coeficientes Anm y Bnm de la Ec. ( 5.3.11). Primero multiplicamos por cos m φ e integramos en φ, conduciendo a π

cos mφ f ρ, φ dφ π Anm Jm Knm ρ sinhKnm L . π

n

El despeje definitivo es posible haciendo uso de la Ec. ( 5.3.9) de ortogonalidad de las funciones de Bessel. b Multiplicando por ρJm Kn m ρ e integrando 0 dρ obtenemos

b 0

ρ dρJm Knm ρ

π π

dφ cosmφ f ρ, φ πAnm sinhKnm L

As´ı, Anm

2

π π

dφ

b

b2 2 Knm b . J 2 m 1

ρ dρ f ρ, φ cosmφ Jm Knm ρ

0 πb2 sinh

Knm L Jm2 1 Knmb

.

(5.3.12)

Los coeficientes Bnm se obtienen de forma análoga, sustituyendo cos mφ sin mφ.

5.4.

Ecuaci´ on de Helmoltz con simetr´ıa axial

En la secci´ on anterior abordamos las ecuaciones de Laplace y de Helmholtz en coordenadas cil´ındricas. El uso de separaci´ on de variables condujo a funciones arm´ onicas (trigonométricas) para la variable angular φ

FCFM

81

U de Chile

fι


Fig. 5.5: Sistema con simetr´ıa axial. y de Bessel para la radial ρ. Consideremos esta vez la ecuación de Helmholtz en coordenadas esféricas pero bajo el supuesto adicional de que el sistema presenta simetr´ıa axial, una exigencia tanto para la geometr´ıa del sistema como de sus condiciones de borde. En la Fig. (5.5) se ilustra un sistema con tales caracter´ısticas.

0, con ψ ψr, θ. En coordenadas esféricas r, θ, φ, 1 1 ψ k2 ψ 0 . 1 2 ψ r sin θ r2 r r r2 sin θ θ θ Separando ψ r, θ RrP θ y denotando la constante de separaci´ on por λ, se obtiene el siguiente juego Resolvemos entonces ∇2 ψ

k2 ψ

de ecuaciones para R y P ,

k2 r2 λR dr 1 d dP sin θ λP sin θ dθ dθ

d dr

r

2 dR

0;

(5.4.13a)

0.

(5.4.13b)

La primera de éstas conduce a las funciones esf´ ericas de Bessel mientras que la segunda a los polinomios de Legendre. Comencemos analizando esta u ´ltima, para la cual es conveniente introducir el cambio de variables u cos θ. Mediante una manipuladi´ on algebraica simple se obtiene dP d 1 u2 λP 0 , (5.4.14) du du la que en su forma más standard cobra la reconocida forma le la ecuaci´ on de Legendre, 2

1 u2 dduP2 2u dP du 5.4.1.

λP

0.

(5.4.15)

Los polinomios de Legendre

De la misma forma a como se procedió para resolver la ecuaci´ on de Bessel, resolvemos la ecuaci´ on de Legendre intentando una soluci´ on en serie de la forma P u ur

U de Chile

k 0

ak u k

dP du

82

rur

1

k 0

ak u k

ur

kak uk

1

.

k 1

FCFM

H. F. Arellano

fι


Entonces,

1 u2 dP rur du

1

ak u k

k 0

ur

rur 1

1

kak uk

k 1

Derivando con respecto a u y reagrupando términos d dP 1 u2 r r 1 u r du du rur

1

ak u k

rur

k 0

kak uk

1

k 0

ur

ak u k u r

1

kak uk 1 .

k 1

kak uk

1

k 1

k k 1ak uk

2

r r 1 u r ak uk rur 1 kak uk k0 k1

rur 1 kak uk 1 ur k 1kak uk k1 k1 k 1

2

k 1

Al sustituir en la Ec. ( 5.4.14) surge una ecuaci´ on que involucra una serie de potencias en u. Imponiendo la igualdad sobre términos de igual potencia es directo obtener las siguientes relaciones sobre los coeficiente ak ,

rr 1

2rk

2

k

1k

rr 1a rr 1a1 2 ak 2

0; 0; rr

1 λ

2r

1k

k k 1 ak .

De esta última resulta evidente ak 2

k rkk r r 11k rk 2r λ ak .

on divergente en u 1, es decir θ 0. Si Notar que para k , ak 2 ak , lo que conduce a una funci´ θ 0 no constituye una singularidad aceptable en el problema f´ısico, debemos imponer que la relación de recurrencia para los ak se interrumpa, lo que es factible si λ es de la forma ll 1, con l un entero positivo o nulo. Tomemos entonces λ ll 1. En rigor hemos de analizar cuatro escenarios que surgen de rr 1a

0 y r r

1 a 1

0.

0, entonces r 0, 1. La sumatoria es multiplicada por 1 ó u, con coeficientes a0 , a2 , a4 , . Si a1 0, entonces r 0, 1. En este caso la sumatoria es multiplicada por 1 ó 1u, con coeficientes a1 , a3 , a5 , . Si a

El análisis de estas cuatro posibilidades permite demostrar que sólo dos de ellas son independientes, conduciendo a series de potencias pares e impares en u. Ambas series pueden ser obtenidas exigiendo r 0. As´ı, k k 1 l l 1 ak 2 k 1k 2 ak ,

FCFM

83

U de Chile

fι


con a o a1 no nulos. Puesto que éstos están definidos salvo una constante, sus valores son estandarizados de modo que conlleven a la serie P u Pl u donde 2K

k 2l 2k! ul 2l k!l k !l 2k ! k0 K

l (2K l 1) para l par (impar). Observando que 2k ! l dl u2l 2k 2ll 2k dul ! u

2k

2k

,

,

es posible demostrar, utilizando la f´ ormula binomial, que Pl u

1 dl u2 1l . 2l l! dul

(5.4.16)

A ésta se le reconoce como la f´ ormula de Rodrigues para los polinomios de Legendre. Para los órdenes más bajos se tiene P u

1 P1 u u P2 u 3u2 12 P3 u 5u3 3u2 5.4.2.

Propiedades de los polinomios de Legendre

Entre las propiedades más relevantes de los polinomios de Legendre notamos

1 u2 Pl 2uPl ll d dPl 1 u2 ll du du l 1Pl 1 2l 1uPl Pl 1 uPl l Pl 1 Pl 1 2l

1Pl

0 1Pl 0 lPl 1 0 1Pl 0 1Pl 0 Pl u l Pl u

(5.4.17a) (5.4.17b) (5.4.17c) (5.4.17d) (5.4.17e) (5.4.17f)

Además de éstas mencionamos la funci´ on generatriz, que se expresa

1 1 2ut

t

2

l 0

tl Pl u .

(5.4.18)

Por u ´ltimo, los polinomios de Legendre satisfacen relaciones de ortogonalidad análogas a las vistas para las funciones arm´ onicas y de Bessel. En este caso

1 1

U de Chile

Pl uPm u du

84

2 2l

1

δlm ,

(5.4.19)

FCFM

H. F. Arellano

fι


con l, m enteros. La demostración de esta identidad es directa para el caso l m. Considerando la identidad ( 5.4.17b) para los ´ındices l y m, multipl´ıquese por Pm y Pl , respectivamente. Restar los lados correspondientes y reagrupar, obteniéndose

Integrando

d 1 u2Pm Pl 1 u2 Pl Pm du

1 1

ll

du , se encuentra

ll

1 m m

1

1 mm

1 1

du Pl Pm

1 Pl Pm

0,

de la cual resulta directa la ortogonalidad de los polinomios de legendre cuando m 1 evaluamos 1 du Pl2 u, cuyo cálculo queda propuesto como ejercicio.

5.4.3.

0.

l. En el caso m l

Las funciones esf´ ericas de Bessel

Los polinomios de Legendre surgieron luego de aplicar separaci´ on de variables a la ecuaci´ on de Helmholtz. La constante de separación se denot´ o por λ, los cuales ante argumentos de regularidad de la soluci´ on toman on diferencial para la parte radial dada por la Ec. ( 5.4.13a), la forma ll 1. Estudiamos ahora la ecuaci´ con λ ll 1. Denotando t kr se obtiene dR d t2 t2 ll 1R 0 . dt dt El aspecto de esta ecuaci´ on es muy similar a la de Bessel, por lo cual intentamos una soluci´ on del tipo R tp Jν t , con p, ν parámetros a determinar. Sustituyendo en la ecuaci´ on diferencial para R obtenemos t2 Jν

2p

2tJν

t2

p p

1 l l

1Jν

0, cuya forma se aproxima a la de Bessel si exigimos 2p 2 1, es decir p 12. De esta forma t2 Jν tJν t2 14 ll 1Jν 0 . ν2

Finalmente imponemos ν 2

ll

1

14, de donde surge ν 2 ν

l

12 ,

l

122 . As´ı,

de modo que las dos soluciones linealmente independientes para R son R1

1t Jl 12 t

R2

1t J

t .

l 1 2

Estas dos soluciones dan origen a las funciones esf´ ericas de Bessel del primer y segundo tipo, denotadas por jl t y nl t, respectivamente. Es también usual denominarlas funciones esféricas de Bessel y de Newman, respectivamente. La definición standard es π 12 jl t Jl 12 t Bessel; (5.4.20a) 2t π 12 nl t l 1 J l 12 t Newman. (5.4.20b) 2t

FCFM

85

U de Chile

fι


Para los ordenes más bajos se tiene j t

n t

sin t t cos t t

Es frecuente encontrarse con combinaciones lineales del tipo h l de Hankel de primer y segundo tipo.

tipo

jl inl , correspondientes a funciones

Con todo lo anterior, la soluci´ on general a la ecuaci´ on de Helmholtz resulta una combinaci´ on lineal del

Al jl kr Bl nl krPl cos θ . ψ r, θ

l 0

Las constantes Al , Bl se determinan a partir de las condiciones de borde.

5.5.

Ecuaci´ on de Laplace en una cavidad esf´ erica

Consideremos la ecuaci´ on de Laplace al interior de una cavidad esférica de radio b. Los hemisferios están sometidos a potenciales !V y el sistema exhibe simetr´ıa axial. Resolvemos entonces ∇2 V 0, con V RrP θ. Mediante separaci´ on de variables, considerando los procedimientos discutidos en esta

+Vo

θ

−Vo

Fig. 5.6: Problema de Laplace dentro de una cavidad esférica. sección, es directo encontrar que P

Pl cos θ, con lo que la ecuación para la parte real queda 1 d 2 dR r l l 1 R 0 . r2 dr

r2

dr

Probando Rr rp , es directo verificar que pp 1 por lo que la soluci´ on más general se expresa

V r, θ Al rl

l 0

l l Bl rl 1

1. Sus soluciones son p

l; p l

1,

Pl cos θ .

Regularidad en el origen exige que Bl 0. Para encontrar los coeficientes Al evaluamos el potencial en el borde del cascar´ on, para el cual V b, θ f u, con u cos θ. Entonces, al igual como se ha hecho en oportunidades anteriores,

Al bl Pl u . f u

l 0

U de Chile

86

FCFM

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fι


Multiplicando por Pm u, integrando y haciendo uso de ortogonalidad [c.f. Ec. ( 5.4.19)] se obtiene Al

2l2 bl 2

1 1

f uPl u du .

on impar en u, claramente los coeficientes de orden par se Para el caso f u signuV 2, una funci´ anulan. Ello porque Pl u tiene paridad l . Para aquellos coeficientes de la forma A2k 1 se observa A2k 1

V 2kb2k 312

1 0

P2k 1 u du .

Esta última integral se puede evaluar utilizando, por ejemplo, la f´ ormula de Rodrigues. Ello queda propuesto como ejercicio3 .

5.6.

Los esf´ ericos arm´ onicos

En la secci´ on anterior se abordaron los problema de Helmholtz y de Laplace considerando sistemas con simetr´ıa axial. Ciertamente ese no es el caso general, por lo que se hace necesario abordar el problema donde se haga manifiesta la dependencia en el ángulo φ. Como es de anticipar, una forma de abordar este nuevo problema es mediante separación de variables. Consideremos la ecuaci´ on de Laplace para un campo ψ y apliquemos separaci´ on de variables de la forma ψ r, θ, φ RrP θF φ. Entonces, 1 1 d 1 1 1 d 1 d2 F dP 2 dR r sin θ 0. r2 R dr dr r2 P sin θ dθ dθ F dφ2 m2

De aqu´ı surge un requerimiento directo cual es F φ m2 F , con m entero. Por lo tanto, F φ eimφ . El resto del procedimiento es más o menos anticipable. Para un valor dado de m se separan las dependencias en R y en P . Nuevamente nos encontraremos con un problema para P el cual se resuelve mediante el método de series, esquema que puede ser consultado en algún texto. Otro esquema también frecuente es aquel donde se introducen operadores diferenciales de ‘subida’ y ‘bajada’ capaces de generar nuevas soluciones a partir de soluciones básicas. En ambos casos se obtienen funciones soluciones de la parte angular θ, φ del laplaciano, t´ıpicamente denotadas de la forma Y θ, φ con un par de ´ındices adicionales. No redundaremos en estos procedimientos. En cambio, seguiremos el esquema de Schwinger cuyo enfoque desde el punto de vista conceptual es bastante interesante. Una soluci´ on elemental de la ecuacion de laplace, ∇2 φ solución podemos generar otra que llamaremos φ1 , 1 φ φ1 a ∇ r

aii 1r

ai

0, es φ 1r, (r 0). A partir de esta

xi a r . r3

r3

3 Hacerlo.

FCFM

87

U de Chile

fι


Puesto que a es arbitrario, esta soluci´ on conlleva a tres soluciones linealmente independientes, una por cada componente ai ; i 1, 2, 3. Estas soluciones, en forma expl´ıcita, pueden ser φ1x

rx3 ;

ry3 ;

φ1y

φ1z

rz3 .

En forma análoga podemos construir otra soluci´ on, φ2

a2 ∇a1 ∇ 1r a2 ∇ a1r3 r 3a1 ra2 rr5 a1 a2 r

2

.

Al escoger orientaciones independientes para a1 y a2 se generan 3 3 posibles combinaciones, tres de las cuales se repiten por simetr´ıa. Ello reduce a 6 combinaciones diferentes ilustradas en el arreglo 3x2 r2

3xy 3y 2 r2

3xz 3yz . 3z 2 r2

Sin embargo, de los 3 elementos de la diagonal s´ olo 2 son independientes. En efecto, al sumar los dos primeros se genera el tercero, salvo un signo. Esto reduce a 5 el n´ umero de combinaciones independientes. La extensi´ on del procedimiento ilustrado anteriormente permite generar una gran familia de soluciones a la ecuaci´ on de Laplace. En general, es fácil ver que φl r se escribe de la forma φl r

1 f l r , r2l 1

(5.6.21)

on homogénea de grado l, vale decir, fl λr λl fl r . Notamos además que fl r es con fl r una funci´ también una solución de la ecuaci´ on de Laplace, en virtud al teorema de inversi´ on. En éste se establece on de Laplace, entonces 1r φr r2 también lo es. En nuestro caso, que si φr es solución de la ecuaci´ 1 1 fl r 1 fl r fl r r2 . 2l 1 2 l r r r r Antes de proceder a una construcción sistemática de las soluciones, es útil contar el n´ umero de soluciones independientes que se pueden obtener para un l dado. Como hemos visto, el numerador el la Ec. ( 5.6.21) está formado por combinaciones de potencias del tipo xa y b z c , con a b c l. Nos preguntamos por el n´ umero posible de combinaciones a, b, c independientes que cumplan con la condici´ on a b c l. Analicemos, l 1 combinaciones a0 b cl a1 b cl1 l combinaciones a 2 b c l 2 l 1 combinaciones .. . al

a

b0

1 combinación.

Con ésto el número total de combinaciones es 1 2 l 1 l 1l 22. Al construir una combinaci´ on lineal fl de todos estos términos y exigir que cumplan la ecuación de laplace, x2 y2 z2 fl 0, nos planteamos entonces el número de polinomios homegéneos de grado l 2 independientes: ll 12. Con ello, el n´ umero de polinomios independientes de grado l que satisfacen Laplace es 1 l 2

U de Chile

1l

1 2 ll 1 2l 2

88

1.

FCFM

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fι


Con estos argumentos esperamos formar 2l 1 polinomios de orden l que satisfacen la ecuaci´ on de Laplace. Para el caso l 2 surgen 5 polinomios, como vimos al comienzo. olidos arm´ onicos. Entonces, Denotamos las soluciones de grado l por Yl r , llamados s´ Yl r rl Yl rˆ . Observar que por el teorema de inversi´ on también es solución de la Ecuaci´ on de Laplace 1 r 1 1 1 Yl 2 Yl rˆ l 1 Yl rˆ . r r r r r A las funciones Yl rˆ se les denomina funciones esf´ ericas arm´ onicas, o simplemente esf´ ericos arm´ onicos

5.6.1.

Construcci´ on de los esf´ ericos arm´ onicos

Nos planteamos esta vez bajo qué condiciones el elemento a r l , con a un vector de tres componentes, satisface la ecuaci´ on de Laplace. Calculamos ∇a r l

la rl

1

a

∇2 a r l

ll 1a rl

2

aa .

Al exigir ∇2 0 surge evidentemente que a a 0, lo que implica que a a1 , a2 , a3 sea un vector de componentes complejas. Entonces, a21 a22 a33 0 . Esta condición4 es posible con s´ olo dos constantes complejas puesto que siempre habrá una constante multiplicativa indeterminada. As´ı definimos convenientemente a1

ξ2

i a2

a 1 i a2

;

ξ 2 ;

a3

ξ ξ

.

Entonces, a1 a2 a3

1 2 ξ ξ 2 2 1 2 ξ ξ 2 2i ξ ξ .

Con ésto es fácil probar entonces a rˆ Considerando

4 Un

FCFM

1 2

ξ 2

x

2 x r sin θ cos φ 3 y r sin θ sin φ 4 z r cos θ

iy

r

ξ2

x iy r

2ξ ξ

z r

x iyr sin θ eiφ x iyr sin θ e iφ z r cos θ

.

2 3 4

.

vector que cumpla esta propiedad de denominar´ a vector nulo.

89

U de Chile

fι


Entonces, a rˆ

a rˆl

1 2 ξ sin θeiφ ξ 2 sin θe iφ 2ξ ξ cos θ 2 ( 2 iφ % 2 ξ e ξ iφ sin θe cos θ 1 2 sin θ ξ (l 2 iφ l % 2 ξ e ξ iφ sin θe cos θ 1 2 sin θ ξ

La expansi´ on anterior es de la forma genérica Fl b, u

b

u2 1

l

,

la cual puede ser expandida en serie de Taylor en b. Obsérvese la siguiente manipulaci´ on: Fl b, u

2l

bk k b k! bk k0

u2 1

l

2l

l bk k 2 u 1 k k! u k0 l

m

bl m l m ! l

b 0

k

lm

l m u2 1l u l m

.

Con este resultado, denominando u cos θ, obtenemos para a rˆl ,

a rˆ

l

2 iφ ξ e 2 sin θ

l

l

l

m ξ ξ e

ξ sin θe ξ

iφ

l

m

l m .u2 1/l u l m

l m .u2 1/l θ l m ! u l m

l l 2 sin

Definiendo los coeficientes ψlm entonces

l m l m imφ m

m

1 l m ! l

a rˆl rl l!

l

ψlm l

m

,

(5.6.22)

4π Y m θ, φ , 2l 1 l

(5.6.23)

m!l m!

l

m

l m l ξ ξ

lo que lleva tácita la definici´ on de los esf´ ericos arm´ onicos $ l 2l 1 l m! imφ 1 d m Yl θ, φ 4π l m! e sinm θ d cos θ

m

cos2 θ 1l . 2l l!

(5.6.24)

Puesto que los coeficientes ψlm son arbitrarios en la Ec. (5.6.2), las soluciones Ylm son soluciones separadas de la ecuaci´ on de Laplace. As´ı, son soluciones de la ecuación de Laplace los Ylm . En otras palabras, 1 1 2 m sin θ sin θ θ θ sin2 θ φ2 ll 1 Yl θ, φ 0 .

U de Chile

90

FCFM

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fι


Además de los Ylm , es frecuente encontrarse con la funci´ on Θlm θ, la cual está definida por Ylm θ, φ Para este caso se tiene

1 sin θ θ

1 imφ e Θlm θ . 2π

sin θ θ l l

Con la definici´ on anterior resulta directo Yl0

1

m2 Θlm θ 0 . sin2 θ

2l 1 Pl cos θ . 4π

Además, Y00

14π

Y10

Y11

3 cos θ 4π ! 8π3 sin θeiφ

En cuanto a la notaci´ on de los esféricos arm´ onicos, ella no es única. Es frecuente encontrarse con las siguientes notaciones equivalentes, Ylm θ, φ Ylm θ, φ

Messiah, Cohen-Tannoudji, Shankar Landau, Greiner, Jackson

Es también frecuente utilizar el vector unitario rˆ para representar la dependencia en los ángulos esféricos θ, φ. As´ı, Ylm θ, φ Ylm rˆ.

5.6.2.

Relaciones de ortogonalidad

Entre las propiedades importantes de los esféricos arm´ onicos figuran las relaciones de ortogonalidad, dΩ Ylm θ, φYlm θ, φ δll δmm π sin θ Θl m θΘlm θ δll . 0

Para la demostraci´ on de la primera de ellas consideremos la integral l l Ill dΩ a rˆ a rˆ , con a un vector nulo. El resultado de esta integral es un escalar que dependerá de a, a y a a. Puesto que a es nulo, entonces la dependencia será s´ olo de D a a, que podemos expresar Ill D. Ante el cambio a λa observamos que necesariamente

λ l λl Ill D Ill λ2D ,

FCFM

91

U de Chile

fι


δll . Entonces, para l l λ2l Ill D Ill λ2D , condición que se cumple s´ olo si Ill D Dl , de modo que

condición que s´ olo se cumple si Ill

Ill

dΩ a rˆ

l

a rˆl Cl a al δll .

(5.6.25)

En esta relaci´ on los factores Cl son coeficientes numéricos independiantes de a. Para su obtenci´ on podemos considerar la elección particular a 1, i, 0 a 1, i, 0, con lo cual a rˆ

a rˆ a a

sin θ eiφ sin θ eiφ 2.

Reemplazando en la Ec. ( 5.6.25) para l l , luego de sustituir u cos θ, se obtiene 1 Cl 2l 4π 1 u2 l du . 0

La determinación de Cl se centra ahora en la evalucai´ on de la integral 1 βl 1 u2 l du , 0

para la cual β

1 y que satisface la relación de recurrencia5 βl

2l 2l 1 βl

De esta forma

βl

a rˆl a rˆl

dΩ

l 2 2l2 l!1! .

l 2 4π 2l2 l!1! ,

Cl con lo cual

1

l!

l!

2l

2l

1!

a al δll .

(5.6.26)

Ahora buscamos una forma de introducir en esta identidad los esféricos arm´ onicos Ylm . Recordemos la Ec. (5.6.2) donde se introducen los esféricos arm´ onicos. En ella

a rˆl rl l!

l

m

ψlm l

4π Y m θ, φ , 2l 1 l

de modo que al sustituir en Ec. ( 5.6.26) obtenemos l

ψlm Y m θ, φ Y m θ, φ 2 a al δll . dΩ ψlm l l 2l! mm Es conveniente expresar el lado derecho de esta identidad en términos de los coeficientes ψlm . Para ello completar los siguientes pasos intermedios 5 Demostrarla.

U de Chile

92

FCFM

H. F. Arellano

fι


Demostrar que a a

1 2

ξ

ξ

2 . ξ ξ

Utilizar la f´ ormula del binomio para demostrar

a al 2l 1 1!

l

m

2l! l m !l m! l

.

ξ ξ

/l

m

.

ξ ξ

/l

m

Utilizar la definici´ on de los ψlm [c.f. Ec. ( 5.6.22)] para obtener

a al 2l2l!

l

m

ψlm . ψlm l

Con lo anterior es fácil verificar (las sumas en m, m se subentienden entre l y l)

ψl m ψlm Ylm θ, φ Ylm θ, φ ψl m ψlm δll δmm . dΩ mm

m,m

El argumento de Schwinger es que ψl m ψlm representan coeficientes independiantes6 , lo que conduce a dΩ Ylm θ, φ Ylm θ, φ δll δmm , la relaci´ on que buscábamos.

5.6.3.

Otras identidades

Sin entrar a demostrar las propiedades que siguen, es conveniente tenerlas presentes por su gran utilidad. Ellas son

1 δ θ θ δ φ φ Ylm θ , φ Ylm θ, φ sin θ lm 1

Pl rˆ rˆ

Ylm rˆ

r r

5.7.

l

4π r Y m rˆ Ylm rˆ l 1 l 2l 1 r lm 4π m Y rˆ Ylm rˆ 2l 1 m l

Ylm π θ, π

φ l Ylm rˆ

Teorema de adici´ on Inversi´ on

Teor´ıa de Sturm-Liouville

Muchos de los problemas estudiados hasta ahora se pueden reducir a ecuaciones diferenciales cuya forma general está dada por d du px (5.7.27) qxu λρxu 0 . dx dx 6 Verificarlo.

FCFM

93

U de Chile

fι


T´ıpicamente λ proviene de la constante de separación. A esta ecuación se le denomina ecuaci´ on de SturmLiouville (SL). En general, toda ecuaci´ on de la forma d2 u dx2

P x

Qxu Rx ,

du dx

puede ser escrita de la forma SL. Para ello basta la sustituci´ on px e

;

Qx

P x dx

λρx q x . px

Definamos el operador de Liouville L mediante d du px qxu , Lu dx dx de modo que la ecuación SL se escribe

Lu

λρx 0 .

Esta ecuación es de valores propios en el sentido de que las condiciones de borde y regularidad de las soluciones u conlleva a un espectro de valores para λ. Supongamos que el intervalo de definición de las funciones es a, b y consideremos los autovalores λj y λk , tales que Luj

λj uj

Luk

λk uk

0 0

-

uk uj

Al multiplicar por uk y uj en forma cruzada, luego de restar los lados correspondientes, se obtiene

- b / d . p uj uk puj uk λk λj ρuj uk dx dx a Al suponer λj

λk , entonces λk λj

Notemos que si

b a

b ρuj uk dx p uj uk uj uk a .

p uj uk uj uk a

p uj uk uj uk b

,

entonces las funciones uk y uj son ortogonales bajo el producto interno 'uj condiciones de borde expresadas en la Ec. ( 5.7.28) se cumplen cuando:

(5.7.28)

uk (

b a

ρuj uk dx. Las

i.- ua ub 0 (Dirichlet). ii.- u a u b 0 (Newman). iii.- αu u a iv.-

U de Chile

αu u b 0 (Mixta). ua ub; u a u b, con ρa ρb (Periódica). 94

FCFM

H. F. Arellano

fι


Aceptando que las autofunciones de SL conforman un conjunto completo de funciones, entonces cualquier funci´ on f x en el intervalo a, b se puede expandir de la forma f x

ck uk x ;

k 1

b

ck

a

f xuk xρx dx .

Para los casos estudiados y otros similares se observan las identificaciones mostradas en la Tabla (5.1). En general toda autofunci´ on SL, fn x, satisface una relaci´ on con la nésima derivada de otra funci´ on. A ésta se le reconoce como f´ ormula generalizada de Rodrigues, 1 dn ρxgxn . an ρx dxn

fn x

on. Para el caso La funci´ on g x es un polinomio y los coeficientes an obedecen convenciones de standarizaci´ de los polinomios de Legendre an 2n n!, g x x2 1, ρx 1. Otro tipo de relación importante en las funciones SL es la que se reconoce como funci´ on generatriz. Este es un tipo de construcción del tipo Gx, t

n 0

an fn x tn ,

donde la funci´ on Gx, t es una expresi´ on cerrada. Si bien existe una forma sistemática de obtener tales funciones, nos remitiremos a los ejemplos clásicos en que participan los polinomios de Legendre y de Hermite. Para ellos,

1 1 2xt

t2

e2xt

5.8.

x2

n 0

tn Pn x

tn

Hn x n! n0

Ecuaciones especiales

Se trata esta vez de abordar el problema general u

Ecuación Bessel Legendre Legendre asoc. Hermite

FCFM

pz u

q z u 0 ,

Tabla 5.1: Ejemplos clásicos de SL Autofunci´ on px q x Jn x n2 x Pn 1 x2 0 Θnm 1 x2 m2 1 x2 2 Hn e x 0

95

(5.8.29)

ρx x 1 1 2 e x

λ 1 n n 1 nn 1 2n

U de Chile

fι


con condiciones de borde definidas. Muchas ecuaciones de la f´ısica se pueden reducir a esta forma. Es importante tener presente que no siempre se puede obtener una solución a este problema. Existen casos en los cuales las caracter´ısticas de los términos que participan imponen restricciones importantes en la obtención de las soluciones. Un método para abordar este problema general es mediante el método de series debido a Frobenius y Fuchs. La idea es buscar una soluci´ on en torno al origen o cualquier otro punto de interés. El problema es abordado siguiendo los siguientes esquemas alternativos. a) Buscando una soluci´ on en base a la naturaleza anal´ıtica de pz y q z . b) Buscando una soluci´ on en base a la naturaleza de las condiciones de borde.

Dentro del primer esquema contemplamos tres escenarios de interés. a1) Si pz y q z son regulares en z forma

0, entonces la Ec. ( 5.8.29) posee dos soluciones distintas de la uz

a2) Si pz y q z son singulares en z una solución a la Ec. ( 5.8.29).

ak z k .

k 0

0, pero zpz y z 2qz son regulares, entonces existe al menos

a3) Si pz y q z son irregulares en z 0, con zpz y z 2 q z singulares en z 0, entonces puede no existir soluci´ on a la Ec. ( 5.8.29). En este caso no se sabe de método para resolver la ecuaci´ on planteada.

5.8.1.

Aplicaci´ on del m´ etodo de series

Examinemos el caso a2, para el cual

an z n ; zpz

z 2 q z

n 0

bn z n ,

n 0

e intentamos una soluci´ on uz z r n0 cn z n . En esta expansi´ on el parámetro r está por ser determinado. Derivando y sustituyendo en la Ec. ( 5.8.29), luego de multiplicar por z 2 r , se obtiene 5 65 6 5 65 6

n rn r 1cn z n an z n n rcn z n bn z n cn z n 0 .

n 0

n 0

n 0

n 0

n 0

Está claro que para separar términos de igual multiplicar series. Para ello potencia es necesario recurrimos al siguiente procedimiento general. Si F n An z n , y G n Bn z n , entonces H F G n Cn z n , con Cn

U de Chile

n

An

m Bm

.

m 0

96

FCFM

H. F. Arellano

fι


As´ı entonces,

n 0

5

n

rn

r 1cn

n

m 0

6

m

ran

m

bn

m

cm

m

ran

m

bn

m

cm 0

zn

0.

De aqu´ı surge la relaci´ on para los coeficientes

n

rn

r 1 c n

n

m 0

o bién,

n

rn

r 1

n

r a

n 1

b cn

m 0

m

r a n

m

bn

m

cm 0

Guiados por esta relación, definamos las funciones λ s

s s 1 λi s sai bi λi s 0

Entonces,

λ r

ncn

sa

n 1

b

i 0 i 0

λn m r

mcm ,

m 0

relaci´ on que permite obtener los coeficientes cn recursivamente. Al hacer n Escogiendo c 0, entonces λ r 0, o bién r2

a 1r

b

(5.8.30)

0 se tiene λ r

c

0.

0.

A esta ecuaci´ on se le denomina ecuaci´ on indicial, cuyas ra´ıces determinan la naturaleza de la solución. Ellas están dadas por 1 a 1 a 2 4b r1 r2 1 a . r1,2 2 Con esta última, si suponemos Re r1 algunas consecuencias a considerar.

Re r2 , entonces Re r1 Re1 a 2. De estos resultados surgen

i.- Siempre va a existir una soluci´ on a la Ec. ( 5.8.29). ii.- Una segunda ecuaci´ on linealmente independiente también existe si es que r1 r2 no es entero. iii.- Si r1

r2

N , con N entero, entonces se cumplen, simultáneamente, λ r1

λ r2

N

0 0

Cuando ésto ocurre, una segunda solución no se puede obtener a partir de la ecuaci´ on de recurrencia. Ello es evidente7 luego de observar la Ec. ( 5.8.30) para los cn . 7 Examine

FCFM

esta observaci´ on.

97

U de Chile

fι


Cuando existe una soluci´ on a la ecuaci´ on ( 5.8.29) podemos buscar una segunda soluci´ on mediante el m´ etodo de variaci´ on de par´ ametros. Consideremos u

pu

qu 0 ,

on indicial. Construimos y supongamos que u1 es la solución que se obtiene con la raiz r1 de la ecuaci´ u2

hu1 ,

(5.8.31)

con h una funci´ on por determinar. Sustituyendo directamente en la ecuaci´ on diferencial y dividiendo por h u se obtiene / h d . u1 2 p0, ln h ln u21 p . h u1 dz Integrando, reordenando y considerando una constante c de integraci´ on, c h 2 e p zdz . u1 Examinemos ahora el argumento de la exponencial,

1

pz dz an z n dz z n0

Con ello

Puesto que u1

h

zr

1

uc2 e

a ln z

e

n 1

an n

zn

1

u2cz a

e

n 1

an n

zn

1

n n0 cn z , entonces

h

a

n n z . n n1

a ln z

c

z 2r1 a

an

n

e n 1 n z n n0 cn z

z 2r c a 1

F z .

La funci´ on F z es claramente regular. Considerando además r1 r2 a 1, además de r1 r2 N , entonces c h 1 N F z . z A este punto conviene tener presente que todos los coeficientes que definen F z son conocidos, de modo que podemos expresar, sin pérdida de generalidad, cF z

γn z n ,

n 0

con la cual h

h

U de Chile

.

zN 1

γN ln z

γN ln z

γN ln z

2 γ γ1 z γ2 z γ γ1 γ2 γzN z N 1 zN zN 1

1

β0 β1 zN zN 1 1 β0 β1 z zN

βn z n

integrando

n 0

98

FCFM

H. F. Arellano

fι


En esta u ´ltima se han introducido los coeficiente βn provenientes de la integraci´ on. Puesto que u2 hu1 , entonces,

u1

u2 γN u1 ln z βn z n . z N n0 A este punto sustituimos u1 z r1 cn z n en el segundo sumando del término del lado derecho. Recordando que r1 N r2 , entonces la expresión anterior se puede escribir de la forma u2

γN u1 ln z

z r2

βn z n .

n 0

Este resultado permite identificar la estructura de la segunda solución a la Ec. ( 5.8.29). La forma como se procede a obtenerla expl´ıcitamente es sustituyendola en la ecuación diferencial original para obtener los coeficientes βn mediante los métodos descritos.

5.8.2.

La ecuaci´ on hipergeom´ etrica

La ecuaci´ on hipergeométrica tiene la forma z 1 z

d2 u dz 2

c a

En este caso identificamos pz

q z

con lo cual zpz

z 2 q z

b

1z

du dz

abu 0 .

(5.8.32)

c a b 1z z 1 z ab , z 1 z

c a b 1z 1z abz 1z

a c b 0 .

La ecuaci´ on indicial es r2 c 1t 0 0, cuyas ra´ıces son r 0 y r solución u1 n0 cn z n , la cual depende de a, b, c. Denotaremos

u1 z F a, b, c; z cn z n .

1 c. Para r 0 planteamos la

n 0

8

Al sutituir en la ecuaci´ on diferencial se obtiene para los coeficientes, cn Si c 1 n, con n entero, entonces cn

a

n 1b n 1 . n c n 1

aa

1 a n 1bb 1 b n 1 n!cc 1 c n 1 Γa n Γb n Γc Γ1 . Γa Γ b Γ c n Γ n 1

8 Hacerlo.

FCFM

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U de Chile

fι


De esta forma, F a, b, c; z

Γc Γa ΓaΓb n0 Γn

nΓb 1 Γ c

n n z . n

(5.8.33)

A esta funci´ on se le llama serie hipergeom´ etrica. Es común hacer uso de los s´ımbolos de Pockhammer, definidos por

λn ΓΓλλn , con los cuales expresamos F a, b, c; z

a b

n n n z . n! c n n0

Una forma de denotar la ubicaci´ on de los s´ımbolos de Pockhammer es mediante F a, b, c; z 2 F1 a, b, c; z , donde se indica que dos de ellos van en el numerador y uno en el denominador. Como resultado de valores espec´ıficos adoptados por los parámetros a, b, c, las series hipergeométricas pueden representar diversas funciones conocidas. Listamos algunas de ellas F 1, 1, 1; z

1 1 z z 1 ln1 z 1 z a arcsin z Pn 1 2z

zF 1, 1, 2; z F a, b, b; z

zF 12 , 12 , 32 ; z 2 F n, n 1, 1; z

Una segunda soluci´ on a la ecuaci´ on hipergeométrica [c.f. Ec. ( 5.8.32)] es intentando otra del tipo w

z 1 c g z

Luego de reemplazar en la ecuaci´ on original se obtiene9 z z 1g

c 2g

a b 2c 3z

α β 1

a c 1b c 1g 0 .

γ

α

β

Claramente se trata de la ecuación hipergeométrica al identificar α β γ La segunda solución es, entonces,

wz z 1

ac bc 2c c

2 F1

1 1

α, β, γ; z .

9 Hacerlo.

U de Chile

100

FCFM

H. F. Arellano

5.8.3.

fι


La ecuaci´ on hipergeom´ etrica confluente

Se trata de la ecuación

zu

c z u

au 0 .

Para este caso los coeficientes para la ecuación indicial son a c, y b r 0 y r 1 c. La soluci´ on para r 0 es del tipo

u Φa, c; z cn z n .

(5.8.34)

0. Las ra´ıces son nuevamente

n 0

Al sustituir en la ecuaci´ on se obtiene10 para los coeficientes cn

acn , n

Entonces,

Φa, c; z

an n cn z , n0

denominada funci´ on hipergeom´ etrica confluente y que converge para todo valor de z. Por la estructura de los s´ımbolos de Pockhammer, a esta serie se le denota 1 F1 . Son casos particulares de las funciones hipergeométricas confluentes las siguientes Jn z

iz

en! z2 1 F1 n 12 , 2n 1; 2iz (Bessel) Ln z 1 F1 n, 1; z (Legendre) 2n ! F1 n, 12 ; z 2 (Hermite) H2n z n n! 1

10 Hacerlo.

FCFM

101

U de Chile

fι

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102

FCFM

Cap´ıtulo 6

Funciones de Green

Una amplia clase de problemas de la f´ısica se cuantifican en el marco de ecuaciones diferenciales sujetas a condiciones de borde definidas. Para su resolución se recurre a estrategias espec´ıficas afines con los términos que participan en la ecuaci´ on. Ello es particularmente el caso cuando se estudia un problema lineal en presencia de un término no homogéneo o fuente. La introducción de las funciones de Green permite un enfoque distinto basado en la estructura de los operadores que intervienen, permitiendo una soluci´ on formal al problema cual sea la fuente. Este concepto fué introducido por George Green hacia 1828 y se mantuvo casi desconocido por un buen tiempo. De hecho sus contemporáneos calificaron esta contribuci´ on de bajo perfil. Fué Lord Kelvin quién apreció la profundidad de este aporte, el que hoy en d´ıa constituye una herramienta standard en muchas áreas de la f´ısica. on A modo de ilustraci´ on consideremos Lx un operador diferencial lineal y nos planteamos la ecuaci´ Lx ux f x ,

(6.0.1)

on arbitraria pero conocida. Para resolver este problema consideremos una funci´ on de dos con f x una funci´ variables Gx, t, tal que Lx Gx, t δ x t . Podemos verificar entonces que una solución a la Ec. ( 6.0.1) está dada por ux Gx, tf t dt . As´ı, estamos en condiciones de dar una solución formal al problema original. Un aspecto importante en la construcción de la funci´ on Gx, t lo constituye el tema de las condiciones de bordes impuestas sobre u. Notar que Gx, t no depende de la naturaleza de la fuente.

6.0.1.

Problema con C.B. homog´ eneas

Consideremos la ecuaci´ on diferencial de segundo orden para la funci´ on ux en el intervalo a, b con condiciones de Dirichlet (homogéneas), Lu u

pxu

103

q xu f x .

(6.0.2)

fι


Consideremos y1 x y y2 x soluciones de Lu 0, tales que y1 a y2 b 0. A partir de éstas busquemos una solución a la ecuaci´ on no homegénea ( 6.0.2) construida de la siguiente forma, ux v1 xy1

v2 xy2 .

En esta caso v1 x y v2 x son funciones auxiliares por determinar. Ellas representan dos grados adicionales de libertad que, sin pérdida de generalidad, pueden ser reducidos a s´ olo uno. La forma de restringirlas se verá en seguida. Luego de sustituir ux en la Ec. ( 6.0.2) y hacer uso de Ly1 Ly2 0, se obtiene v1 y1

2v1 y1

v2 y2

2v2 y2

pxv1 y1

v2 y2 f x .

A este punto podemos imponer, para todo x, v1 y1

v2 y2

0.

Derivando y sustituyendo en la ecuaci´ on anterior obtenemos v1 y1

v2 y2

f x ,

lo que se resume en el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales para nuestras incógnitas v1 y v2 , y1 y2 v1 0 . y1 y2 v2 f x Este sistema de 2 2 se resuelve en forma simple. Denotando

W x y1 y2 y2 y1 ,

entonces

v1

W1x y2 x f x ;

v2

W1x y1 x f x . Integrando con respecto a x y reemplazando en la construcci´ on para ux tenemos y2 x y1 x ux y1 x f x dx y2 x f x dx . W x W x En forma equivalente, ux y2 x

x

y 1 t f t dx W t

a

y1 x

b x

y2 t f t dx . W t

La solución encontrada tiene la forma ux donde definimos la funci´ on de Green Gx, t

b a

Gx, tf t dt ,

y1 ty2 xW t, y1 xy2 tW t,

a t x x t b

.

Vemos que Gx, t depende de las soluciones homogéneas y1 e y2 . Resulta u ´til en ocasiones hacer referencia a la variable t como coordenada de la fuente y a la variable x como coordenada del campo. En el caso particular de esta ilustraci´ on, y a´ un más generalmente, la funci´ on de Green satisface cinco propiedades importantes.

U de Chile

104

FCFM

H. F. Arellano

fι


1. La funci´ on de Green satisface Lx Gx, t δ x t. 2. Gx, t es cont´ınua en t x. En efecto, para 0 y denotando x x tenemos Gx, x y1 x y2 xW x y1 xy2 xW x. De forma análoga, Gx, x y1 xy2 x W x y1 xy2 xW x. Claramente entonces, Gx, x Gx, x 0. 3. La derivada Gx, t t es discont´ınua en t x. En este caso G y 1 t t tx y2 x t W t x G y 2 t y1 x t t W t

t x

x

y1 x y2 x x W x y2 x y1 x x W x

Restando ambas derivadas y reconociendo W x y1 xy2 x y2 xy1 x, se verifica G G 1 . t tx t tx

G(x,t)

t t=x Fig. 6.1: Discontinuidad de Gx, t t. 4. La funci´ on de Green es simétrica en sus argumentos, Gx, t Gt, x. 5. La funci´ on de Green cumple con las C.B. Gx, a Gx, b 0

6.0.2.

Un ejemplo cl´ asico

Consideremos la ecuaci´ on de Helmholtz en 1D u

k 2 u f x ,

donde u0 uL 0. Claramente, dos soluciones independientes de la homogénea son y1 x

y2 x

FCFM

sinkx

sink x L.

105

U de Chile

fι


A partir de ésta construimos el wronskiano, W x sinkx k cosk x L k coskx sink x L

W x k sinkL .

Por lo tanto la funci´ on de Green está dada por sinkt sink x Lk sinkL 0 t x Gx, t sinkx sink t Lk sinkL x t L De esta forma la soluci´ on está dada por ux Gx, tf tdt, es decir, ux

x 0

sinkt sink x L f t dt k sinkL

L x

sinkx sink t L f t dt . k sinkL

on se anula al Verificamos que en x 0 la primera integral es nula, mientras que la segunda contribuci´ evaluar sinkx. De igual forma, en x L la segunda integral no contribuye, en tanto que sink x L se anula. Estas dos observaciones permiten que la expresi´ on obtenida para ux cumpla las condiciones de bordes homogéneas.

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106

FCFM

Apuntes de Metodos Matematicos para la Física -Hugo F. Arellano

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