TEMA 7
CAMPO ELÉCTRICO
1. Interacción eléctrica Desde la antigüedad se sabe que, además de la fuerza gravitatoria, existe en la naturaleza otra interacción, llamada eléctrica, que no se pone de manifiesto siempre, como el peso. Sólo se aprecia al actuar sobre los cuerpos de determinada manera, al electrizarlos. electrizarlos. De todos es conocido el efecto de frotar una varilla de plástico o de vidrio. Estos cuerpos adquieren entonces la propiedad de atraer pequeños objetos. Ya desde el principio estuvo claro que hay dos tipos de electricidad, a juzgar por el hecho de que los cuerpos electrizados pueden atraerse o repelerse. Hoy sabemos que la interacción eléctrica tiene su origen en una propiedad de las partículas elementales: su carga eléctrica. eléctrica. A diferencia de la masa, que existe bajo una única forma, la carga puede ser de dos tipos, que designamos como positiva y negativa. negativa. Hay partículas que carecen de carga y se dice que son neutras. neutras. A pesar de que la fuerza entre cargas eléctricas es mucho más intensa que la atracción gravitatoria, no la percibimos en condiciones normales. La razón es que la materia ordinaria está compuesta por partículas con carga positiva ( protones) protones) y otras con carga igual pero negativa (electrones ( electrones), ), además de las que no tienen ninguna carga o neutrones. neutrones. En una muestra de materia común hay el mismo número de protones que de electrones, por lo que sus efectos eléctricos sobre otros cuerpos tienden a cancelarse. Sólo se perciben cuando hacemos que la muestra tenga un exceso o defecto de electrones transfiriéndolos a otro lugar. Es lo que ocurre cuando se frota una varilla de vidrio (pierde electrones y adquiere carga +) o una de baquelita (gana electrones y se carga negativamente). Sin embargo la carga total no sufre variación; se conserva. Lo que ocurre es que los electrones se transfieren al paño con que se frota o son cedidos por él, quedando con una carga igual y opuesta a la del cuerpo electrizado. Un cuerpo cargado atrae a otro neutro porque atrae a las cargas de signo contrario y repele a las del mismo signo, produciendo una separación o polarización de las cargas del cuerpo neutro. Como veremos, la fuerza elec Tema 7
Campo eléctrico
trostática disminuye con la distancia, por lo que la atracción es más intensa que la repulsión. Si entran en contacto, el exceso de cargas puede repartirse entre los dos cuerpos, que entonces se repelerán. Una cantidad de carga cualquiera sólo puede ser múltiplo entero de la carga del electrón. Decimos que está cuantizada, que se presenta en cantidades discretas o cuantos. Si bien la carga elemental es muy pequeña, no es infinitesimal; por tanto, cuando hablemos de diferenciales de carga dq entenderemos que se trata de una cantidad pequeña a escala macroscópica pero grande a escala atómica. La interacción eléctrica es la responsable de la estructura de los elementos y compuestos químicos que forman la materia. Los electrones de un átomo se unen a los protones del núcleo mediante fuerzas eléctricas. A su vez, los átomos se unen entre sí de diversas formas en virtud de atracciones eléctricas o enlaces. enlaces. La manera en que se realizan dichos enlaces da lugar a la enorme variedad de sustancias, con sus propiedades tan diferentes: desde el estado de agregación (sólidos, líquidos o gases) hasta la conductividad, todas tienen su origen y explicación en las interacciones entre cargas. Por ejemplo, en algunas sustancias los electrones están fuertemente ligados a los núcleos y su movilidad es escasa: se dice que son aislantes aislantes eléctricamente. Sin embargo hay otras, como los metales, que tienen electrones prácticamente libres para desplazarse por la sustancia y son capaces de transportar la carga eléctrica: decimos que son conductores. conductores. En realidad hay toda una gama entre uno y otro extremo. En resumen: -
Las cargas eléctricas existen bajo dos formas: formas: positivas y negativas. Las cargas del mismo signo se repelen y las de distinto signo se atraen.
-
La carga está cuantizada: cuantizada : siempre es un múltiplo entero de la carga elemental e.
-
La materia en su conjunto es neutra, neutra , con igual número de cargas positivas que negativas. La carga total, considerando su suma algebraica, se conserva. 1
2. La ley de Coulomb Experimentos realizados en el siglo XIX mostraron que la fuerza entre dos cargas eléctricas en reposo sigue una ley parecida a la de gravitación. En concreto, varía inversamente con el cuadrado de la distancia y es proporcional a la carga de las partículas:
F 1, 2
q1q2
F 1,2 k
R 2
q1q2 R 2
(1)
Del mismo modo, la dirección es la de la recta que une las dos partículas, que consideramos puntuales. Sin embargo su sentido puede ser atractivo o repulsivo según el signo de q1 y q2 .
q1
q
F1,2 (+,-) (-,+)
uR
2 (+,+) 1,2 (- , -)
F R
r 1
r 2
(4)
Pero es más frecuente expresarla en función de otra constante, la permitividad del vacío o , que vale: k = 1/4o o = 8,854 x 10-12 C2/N·m 2 (5)
y
x
3. El campo eléctrico Figura 1
Podemos resumir todos estos hechos mediante una sola ecuación vectorial que expresa la fuerza ejercida por q1 sobre q2 :
R r 2 r 1 R u R R
F 1, 2
k
q1 q2 R
2
u R
(2)
Escrito en función de los vectores de posición de las cargas quedaría:
F 1,2
k
q1 q2 r 2 r 1
(r 2 r 1 )
3
(3)
F1,2 tendrá el mismo sentido que uR (es
decir, será repulsiva) cuando el producto q1·q2 sea positivo, lo cual ocurre si las cargas son del mismo signo. En cambio, si son de signo contrario el producto será negativo y la fuerza atractiva (sentido de - uR). Por otra parte, es fácil ver que se cumple la ley de acción y reacción. Sin más que intercambiar los subíndices en la ecuación (3) tenemos que F2,1 = - F1,2 .
Tema 7
k = 8,897 x 109 N·m2/C2
La fuerza de Coulomb es la que existe entre dos cargas en reposo. Cuando están en movimiento relativo aparece también una fuerza magnética.
z
O
La constante de proporcionalidad k depende del sistema de unidades elegido. Como la unidad de carga no está aún definida podríamos elegirla de modo que k = 1. Así se hace en el sistema cgs-gaussiano: el statcoulomb es una carga tal que situada a 1 cm de otra igual, ejerce sobre ella una fuerza de 1 dina. En estas condiciones, F = (q1q2)/R 2. Sin embargo, en el sistema SI la unidad de carga se define operacionalmente: el coulomb es la carga que transporta una corriente de 1 amperio en 1 segundo (a su vez, el amperio se define a partir de la fuerza magnética entre corrientes, como se verá en el tema 10). Por tanto k debe medirse; su valor es:
Campo eléctrico
Si un fenómeno afecta de modo continuo a toda una región del espacio podemos describirlo en función de un campo; es decir, asignando un valor, ya sea escalar o vectorial, a cada punto del espacio. En nuestro caso trataremos la acción que ejerce una carga estacionaria sobre su entorno mediante el concepto de campo de fuerzas electrostático. Esta manera de explicar la interacción eléctrica facilita algunos cálculos y, si lo representamos por líneas de campo, proporciona una descripción visual muy intuitiva de los fenómenos eléctricos. La mejor manera de estudiar el campo en una región es introducir una carga de prueba q , suficientemente pequeña para que ella misma no lo modifique. Definimos el campo en un punto como la fuerza por unidad de carga que aparece sobre q :
F E lim q 0 q
(6)
E es un vector de dimensiones N/C. La fuerza sobre una carga q situada en un punto donde el campo vale E será F = qE. El campo creado por una carga puntual se calcula teniendo en cuenta que la fuerza
2
sobre una q situada en un punto P con vector de posición r es (figura 2): P
R = r - r'
q
estén presentes las otras. Por ello los efectos de todas se acumulan.
q
uR
q1
E (r)
qi
r'
EN
R1
r
Ri
Ei
r i
z
O
E (r)
RN
r
y
E1
O
x
qN
Figura 2 Figura 4
q q
1 F 4
0
R
2
u R
(7)
El campo creado en P por una carga cualquiera de la serie, qi , es (figura 4):
Y dividiendo por q :
R r r u R R R
E i
E ( r )
q
1
u 40 R2 R
0
u R i
2
Ri
q>0
-
+
(9)
i
(8)
E
q< 0 E
Figura 3
Así que el campo total será la suma vectorial de los Ei desde i = 1 hasta i = N:
E ( r )
E i
1 4
N
Rq
0 i 1
i 2 i
u R i (10)
El cálculo de campos por este procedimiento es largo y engorroso, a menos que el número de cargas sea pequeño. Pero frecuentemente tendremos un gran número de ellas distribuidas en un volumen dado V ' (figura 5). Si las partículas cargadas están lo bastante próximas entre sí para admitir que forman una distribución continua, el campo que crean en un punto P se calcula dividiendo el volumen en V ' infinitos trozos d cuya carga puede tratarse como puntual. Sumando mediante una integral las contribuciones al campo de todos los elementos de volumen obtenemos el campo total.
d V ' R = r - r'
4. Distribuciones de carga Si en vez de una sola carga q tenemos una serie q1 , q2 , ... qN , el campo creado por ellas es la suma vectorial de los campos producidos por cada carga individual. Este principio de superposición se basa en las pruebas experimentales, las cuales muestran que la acción de cada carga no varía por el hecho de que
N
i 1
El campo existe debido a la presencia de q , con independencia de que deje sentir o no su acción sobre otras partículas.
Campo eléctrico
1 4
qi
El vector r' indica la posición de la carga q que crea el campo. La dirección de E será radial hacia fuera ( uR) si la carga q es positiva; o hacia dentro (- uR) si es negativa.
Tema 7
Ri r r i u R Ri / R i
V' z
E
r'
P r
O
d E
y
x
Figura 5
3
y
En d V ' está contenida una carga dq. Definimos la densidad de carga en un punto P' de la distribución como la carga por unidad de volumen que existe en el entorno de ese punto:
(r ) dq / d V dq (r )d V
d E dE y dE x
(11)
r = yj
El campo que crea dq en P vale:
d E
(r )d V
1
40
R
3
R
(12)
dx
dq = dx
O
x
Como de costumbre, R = r - r '. Integrando para todas las cargas contenidas en el volumen obtenemos el campo en el punto P (r ):
(r ) R
r' = x i
-x
Figura 6
E (r )
1
40
V R 3
d V
(13)
Hay que remarcar que la variable de integración es r ' ( x' , y' , z' ) ya que es necesario recorrer todo el volumen V ' para calcular el campo en P , cuyo vector de posición r es una constante para la integral. Del mismo modo, el elemento de volumen es función de r ' (en coordenadas cartesianas valdría d V ' = dx'·dy'·dz' ). Es decir, r ' nos da la posición de las fuentes del campo y r la del punto donde lo calculamos. La integral resulta más o menos complicada según lo sea la función (r') y la forma del volumen. Analíticamente sólo se puede resolver cuando la distribución es muy simétrica, lo que simplifica los cálculos, como veremos en el ejemplo siguiente. En todo caso, siempre se podrá calcular de manera aproximada por métodos numéricos. Si la distribución de cargas es esencialmente bidimensional es más práctico definir la densidad superficial de carga como la carga por unidad de superficie en el entorno de P' :
(r ) dq d S dq (r )d S
(14)
Y si las cargas están contenidas en una línea utilizaremos la densidad lineal o carga por unidad de longitud:
(r ) dq
d l
dq (r )d l
La carga dx contenida en un trozo infinitesimal de alambre situado en r ' = x i crea un campo en r = y j que vale:
40 R 3
R
(16)
Como R = r - r ' = y j - x i y su módulo es R = ( x 2 + y 2 )1/2 , sustituyendo en (16) e integrando se tiene:
E ( r )
1 ( y j xi ) dx (17) 40 ( x 2 y 2 )3 / 2
La integral tiene dos componentes, E x y E y , que se calculan por separado. El integrando de la componente x es una función impar de x : f(- x ) = -f( x ). Por tanto, las contribuciones a la suma procedentes de puntos opuestos ( x y - x ) se anulan entre sí. Como el alambre es indefinido, todos los puntos tienen su opuesto y la componente x del campo debe ser E x = 0.
E ( r ) E y j
y
d x
4 0 ( x 2 y 2)3 / 2
j (18)
Sólo queda calcular E y , lo cual se hace mediante el cambio de variable tg = x/y :
(15)
En estos casos, la integral de volumen de la ecuación (13) queda reducida a una de superficie o de contorno, respectivamente.
d x
1
d E
dx
x / 2 (19) 2 cos x / 2 yd
Sustituyendo dx en la integral y teniendo en cuenta que R = (x2 + y2 )1/2 = y/ cos : Ejemplo 1: Una carga está distribuida uniformemente en un alambre recto muy largo, con densidad lineal = dq/dx. Hallar el campo E a una distancia y del alambre.
Tema 7
Campo eléctrico
/ 2
/ 2 cos 2
y d
y 3 cos 3
sen y
2
/ 2
/ 2
2 y
2
4
Evaluada la integral, la ecuación (18) muestra que el campo es radial (perpendicular al alambre) e inversamente proporcional a la distancia y :
E E y
posición de otro punto P 1, situado a una distancia prefijada r sobre la línea de campo que pasa por el primero. y
2 0 y
(20)
Eo
P i
P 1
5. Líneas de campo eléctrico
y o
En el tema 2 vimos que un campo vectorial puede representarse mediante el concepto de línea de campo. Una línea de campo eléctrico se construye de forma que el vector E en cada uno de sus puntos tenga dirección tangente a la línea en dicho punto. Se trata de una línea orientada. Por cada punto del espacio podemos trazar una línea de campo. Sabemos que no se pueden cortar y que los puntos donde surgen se llaman fuentes y donde mueren, sumideros del campo. Por ejemplo, las líneas de campo de una carga puntual son rectas que parten de la carga si ésta es positiva o convergen en ella si es negativa (figura 3). Una manera convencional adecuada de representar la intensidad del campo es hacer que el número de líneas que salen de una carga sea proporcional a la magnitud de ésta. El campo será así más intenso cuanto más juntas estén las líneas. El cálculo de la ecuación de una línea de campo es sencillo en principio; se basa en el hecho de que un elemento de línea d r debe ser colineal con el campo en ese punto, por lo que sus componentes serán proporcionales:
d r E
d x E x
d y E y
d z E z
(21)
Integrando estas ecuaciones saldría la ecuación de la línea. Ahora bien, la solución analítica sólo es posible en casos sencillos, pues E x , E y , E z son funciones de las tres variables de posición. Sin embargo, siempre se puede obtener una solución aproximada por cálculo numérico con ayuda de un ordenador. El procedimiento consiste en tomar incrementos finitos x , y , z en lugar de los infinitesimales dx , dy , dz y calcular puntos sucesivos de la línea, P 0 , P 1 , P 2 ... , más o menos espaciados según la precisión deseada. Limitándonos a un plano para simplificar, consideremos un punto P 0 de coordenadas ( x o , y o) ; el problema consiste en determinar la
Tema 7
Campo eléctrico
Ei
P' i+1
O
P o
E oy
r y x
P i+1
E ox
x o
x
Figura 7 El elemento finito de línea, r , debe ser paralelo al valor del campo en el punto inicial, E0 , cuyas componentes E ox , E oy son conocidas. Por tanto: y / x = E oy /E ox = tg . Una vez calculado se obtienen los incrementos x , y y la posición de P 1 (figura 7).
x r cos y r sen
x1 x0 x
y1 y 0 y
(22)
El procedimiento se repite una y otra vez tomando como punto de partida el resultado del paso anterior (naturalmente hay que actualizar en cada ciclo el valor de calculando las nuevas componentes del campo). El error que se comete al sustituir d r por r (a partir de P i obtenemos P i+1 en vez de P' i+1 ) se puede reducir tomando incrementos tan pequeños como sea necesario, pero esto exige calcular más puntos.
6. Ley de Gauss En el tema 2 se definió el flujo de un campo vectorial a través de una superficie infinitesimal dA como el producto del módulo del campo por la proyección perpendicular de la superficie, dA. Es decir:
d E dA
E dAcos
(23)
Si representamos dA por un vector perpendicular a la superficie formará con E el mismo ángulo que existe entre dA y dA (figura 8). Así, el flujo será el producto escalar:
5
d E d A E n dA
(24)
dA
n
E
dA
dA
campo es el mismo a cualquier distancia de la carga; no aparecen ni desaparecen salvo en ella. Aunque tal resultado se ha deducido para una carga aislada veremos que es válido en general: las líneas de campo se conservan en el espacio libre de cargas, surgen de las cargas positivas y acaban en las negativas. Consideremos una partícula de carga q situada en O y una superficie cerrada S, de forma arbitraria, que la encierra. Llamamos gaussiana a cualquier superficie cerrada hipotética.
Figura 8 E
dA
Se puede usar el concepto de flujo para hacer cuantitativa la representación del campo por líneas de fuerza; simplemente se hace que el número de líneas que atraviesan una superficie cualquiera sea igual al flujo del vector E. De esta manera, la intensidad del campo será igual al número de líneas por unidad de superficie perpendicular a él:
E
d dA
d q
E
Figura 10 Imaginemos un cono infinitesimal con vértice en O que corta a S en la superficie dA y sea n el vector normal a ésta (figura 10). El ángulo sólido subtendido por una superficie dA desde un punto se define como el cociente:
d
R
q
Figura 9 Como ejemplo, calculemos el número de líneas de campo o flujo que atraviesa una esfera de radio R centrada en una carga q. Dividiendo la esfera en elementos de superficie dA el flujo diferencial vale d = E·dA = EdA (tanto E como dA tienen dirección radial, por lo que cos = 1). Y el flujo total será la integral:
E dA E dA E 4 R S
2
q
0
(26)
donde se ha tenido en cuenta que el módulo del campo es constante en todos los puntos de la superficie y vale E = q/4oR 2 . El flujo a través de la esfera no depende del tamaño de ésta, sino de la carga que encierra. Por tanto el número total de líneas de Campo eléctrico
dA R
2
dAcos
(27)
2
R
Este ángulo no depende de la distancia R pues la sección perpendicular del cono es proporcional al cuadrado del radio. El flujo de E a través de dA es:
S
Tema 7
R
(25)
dA
dA
S
n
o
dN lineas
Cuanto más juntas estén las líneas, más intenso será el campo.
dA
d E dAcos
qdAcos 4 0 R
2
qd 40
(28)
El flujo que sale de toda la gaussiana se obtiene integrando entre 0 y 4 , que es el ángulo sólido subtendido por una superficie cerrada desde un punto interior ( T = 4R2/R2).
d S
q 4 0
4
0
d
q 4 0
4
q
0
(29)
Si en vez de una sola carga la gaussiana encierra un conjunto q1, q2, ... qN el flujo del campo total E = Ei será la suma de los flujos debidos a cada carga:
6
T
E d A
S
E i d A
S
i
qi
i
0
Las cargas del sumatorio son las que están dentro de la superficie. Las externas tienen una contribución nula pues el flujo procedente de ellas que entra en la gaussiana sale después (el flujo saliente tiene signo positivo y el entrante negativo). La ley de Gauss se deriva directamente de la ley de Coulomb. Se cumple porque E varía como 1/R 2 . Por tanto, el campo gravitatorio verifica una ecuación similar ( = 4Gm). Esta ley permite calcular el campo de una distribución de carga si tiene suficiente simetría. Hay que elegir la superficie gaussiana de forma que en sus puntos E sea constante y tenga una dirección deducible de la geometría del problema.
Una carga Q está repartida uniEjemplo 2: formemente en el volumen de una esfera de radio R . Hallar el campo eléctrico en puntos del exterior y del interior de la esfera. Tomemos como gaussiana una esfera de radio r > R , concéntrica con la distribución de carga. Por la simetría del problema, el campo tiene el mismo módulo en todos los puntos de la esfera y su dirección es radial; por tanto, dA y E son colineales y el flujo a través del elemento de superficie es d = E·dA = EdA. Integrando para toda la gaussiana:
E dA E d A E 4r Q 2
S
S
E
0
(31)
Q 2
4 0 r
El campo resulta ser el mismo que produciría una carga puntual Q situada en el centro de la esfera. Un resultado análogo se enunció, sin demostrar, al estudiar el campo gravitatorio.
Tema 7
Campo eléctrico
E
Q
(30)
Q' dA r R
Figura 11 Para puntos del interior, r < R , tomamos también una gaussiana esférica, pero ahora la carga encerrada por ella no es la total, sino Q' :
Q
Q ( r ) V ( r )
4 3
R
3
(4 3 3
r ) 3
Qr R
3
Los razonamientos sobre la dirección del campo y su valor en los puntos de la superficie son idénticos al caso anterior. Al aplicar la ley de Gauss resulta:
4r E 2
Q
0
3
Q r
0 R
3
E
Q 40 R
3
r
(32)
El campo es directamente proporcional a la distancia al centro. La carga que está entre las dos superficies esféricas no tiene ningún efecto; sólo la carga interior Q'. Por eso, si la esfera tuviese un hueco en su interior, E sería nulo en la cavidad. Por otra parte el campo es el mismo que crearía Q' si fuese una carga puntual situada en el centro (Q'/ 4or 2 ).
7. Potencial eléctrico Si intentamos desplazar una carga q en el seno de un campo eléctrico E habrá que aplicar una fuerza externa que contrarreste la que ejerce el campo: Fext = - q E.
7
La magnitud V 1,2 se denomina diferencia de potencial entre los dos puntos. V (r ) está asociada al campo E y se define sin necesidad de que la carga q esté realmente presente. Si en un punto de potencial V se sitúa una carga q , tendrá una energía potencial U = qV . La unidad de potencial y de diferencia de potencial en el sistema S.I. es el voltio:
qE
P 1
q
d r P 2
V Fext
Figura 12 Al desplazar la carga una distancia dr se realiza el trabajo dW ext = - qE·d r . Para una trayectoria cualquiera entre los puntos P 1 y P 2 el trabajo será:
W ext
r 2
r 1
q E d r
(33)
Esta integral no depende del camino sino de la posición de los puntos de partida y llegada. Es decir, es una función U de r :
r 2
r 1
q E d r U (r )r r U (r 2) U (r 1)
2
(34)
1
La función U (r) se denomina energía potencial electrostática: el trabajo realizado contra el campo incrementa la energía potencial de la carga en una cantidad U . Pero cuando cesa la acción externa el campo efectúa sobre ella un trabajo igual y de signo contrario que se traduce en un incremento equivalente de la energía cinética. Por decirlo de alguna manera, el campo devuelve la energía U que se había almacenado en él: es conservativo. Un planteamiento similar se hizo al estudiar la energía potencial gravitatoria. No es extraño que el campo electrostático sea también conservativo, dada la semejanza entre la ley de Coulomb y la de gravitación universal. Sin embargo, en electricidad se suele trabajar con el concepto de potencial electrostático V , definido como la energía potencial por unidad de carga. Así, la partícula anterior, al desplazarse entre P 1 y P 2 , pasa de un punto de potencial V (r 1) a otro V (r 2):
V 1,2
Tema 7
U q
r 2
Campo eléctrico
r 1
E d r
(35)
U
q
1 voltio
1 juli o 1 culombio
(36)
Si entre dos puntos hay una diferencia de potencial de 1 voltio, habrá que hacer un trabajo de 1 julio para desplazar entre ellos una carga de 1 culombio. La función V (r) se puede calcular como integral indefinida de - E· d r , con lo cual queda indeterminada por la constante de integración. Esto no afecta a la diferencia de potencial entre dos puntos, que es lo que suele interesar. La constante de integración quedará fi jada al asignar el valor cero del potencial a un punto cualquiera del espacio P o , de vector de posición r o . Este origen suele tomarse en el infinito, aunque en algunos casos no es adecuado hacerlo así. Calculando mediante la ecuación (35) V entre un punto genérico P de posición r y el origen r o obtenemos el valor absoluto del potencial, ya que V (r) - V (r o) = V (r) :
V ( r 0 ) 0
r
V (r ) E d r
r 0
(37)
Así pues, el potencial en P es el trabajo que hay que realizar contra el campo para traer la carga unidad desde un punto de referencia (eventualmente el infinito) hasta P . Como el campo es conservativo V es función solamente de la posición, por lo que la diferencia de potencial entre dos puntos P 1 y P 2 no depende del origen que hayamos tomado. Inversamente, el campo eléctrico es igual a menos el gradiente del potencial. En efecto, dV = - E·d r ; y desarrollando cada término de esta igualdad:
V V V dx dy dx x y z E d r E x d x E y d y E z d z dV
(38)
Como la igualdad se cumple para cualquier valor de dx , dy , dz , los coeficientes de las dos ecuaciones deben ser iguales:
8
V V V ; E y ; E z x y z (39) V V V E ( i j k ) V x y z
E x
Al realizar un desplazamiento entre dos puntos muy próximos el cambio de potencial que tiene lugar es dV = - |E||d r |cos , donde es el ángulo que forma el campo con la trayectoria. Si = 0 (desplazamiento en la dirección del campo) el potencial tiene variación máxima y negativa. Si E d r , dV = 0 (desplazamiento sobre una superficie equipotencial). Es decir, las equipotenciales son perpendiculares al campo en todos sus puntos y las líneas de campo están orientadas en el sentido de los potenciales decrecientes. Calcularemos a continuación el potencial electrostático producido por una carga puntual aplicando la ecuación (37) a una trayectoria cualquiera entre r o y r . El elemento de trayectoria d r = d R se puede expresar como suma de dos componentes, una radial dR y otra transversal Rd (figura 13):
d r dRu R
Rd u
1 1 40 r R2 4 0 R R 0 ( R r r ; R0 r 0 r )
V ( r )
q
r
dR
q
o
(42)
Esta ecuación adopta una forma más sencilla tomando origen de potencial en r o = :
V ( r )
q 40 R
q
(43)
4 0 r r
Si en vez de una carga tenemos un conjunto de ellas q1 , q2 , ... , qi , ... , qN situadas a distancias R 1 , R 2 , ... , R i , ... , R N de un punto P (r ) , el potencial en P será la suma de los potenciales V i debidos a cada carga, ya que los campos Ei son independientes:
V (r )
q 4 R 1
i
0 i
; Ri r r i
(44)
i
El vector r i es la posición de la carga qi y r es el vector de posición de P .
(40)
E r o
dR r
O
Rd
d R R
r'
d
q
Figura 13 Recordando que el campo de la carga q es (1/4oR 2)uR y sustituyendo en dV = -E·d r
dV
1
q
40 R 1
u ( dRu R 2 R
q
4 R2 0
Rd u )
(41)
dR
Es decir, el producto escalar E·d r es igual al módulo del campo por la proyección de d r sobre E ( = dR ). Integrando entre r o y r :
Tema 7
Campo eléctrico
9
Por último, si las cargas están distribuidas de manera continua en un volumen V ' con densidad (r') , el potencial en P será la suma de los potenciales dV producidos por la carga V ' dq = (r')d contenida en cada elemento de volumen:
V (r )
1 40
(r ) d V V r r
(45)
Como de costumbre, r ' designa la posición de la carga dq respecto del origen de coordenadas y R = |r - r '| es la distancia de la carga al punto donde calculamos el potencial. Una vez conocido V (r) se pude calcular el campo fácilmente, pues E(r) = - V (r). Normalmente es más sencillo hacer esto que calcular directamente el campo mediante la ecuación (13), puesto que así se integra un escalar en lugar de un vector.
Un anillo de radio a tiene una Ejemplo 3: carga q uniformemente repartida (la densidad lineal es = q /2a. Si el anillo está centrado en el plano XY ¿cuál será el potencial y el campo eléctrico en un punto del eje Z ?
P
z
R
z
y a dl x
Figura 14 En un trozo de alambre infinitesimal hay una carga dq = dl = qdl /2a que está a una distancia R = (a2 + z 2)1/2 del punto P . Como dq puede considerarse puntual, el potencial que produce en P será, según (43):
dV
Tema 7
d q 40 R
q 2a 4 0 a
Campo eléctrico
2
z
2
dl
(46)
10
El potencial total será la integral de dV extendida a todo el anillo. Como las cargas dq están todas a la misma distancia de P , R es una constante en la integral:
V ( z )
q
1
40 2aR
dl
q
(47)
40 a2 z 2
Nótese que para puntos alejados a<
E z
V z 4
q z 0
a
2
(48)
2 3
z
Como ejemplo, consideremos 3 cargas puntuales q1 , q2 , q3 que están a distancias mutuas R 1,2 , R 2,3 , R 1,3 . Si inicialmente estaban muy separadas entre sí, traer la primera hasta su posición no requiere ningún trabajo, ya que el campo de las otras dos es nulo. Sin embargo, la segunda adquiere una energía q2V 2(q1), donde V 2(q1) es el potencial que hay en P 2 debido a la carga q1 .
E P 2
Un conjunto de cargas qi crea en su entorno un campo eléctrico que, por ser conservativo, tiene un potencial V (r ) que expresa la energía que tendría la carga unidad situada en cada punto. Por otra parte, para llegar a formar el sistema de cargas (supuesto que inicialmente estaban muy alejadas) habrá sido necesario realizar cierto trabajo. Por tanto, el sistema tiene una energía electrostática almacenada igual a dicho trabajo. q R 1,2 q
2
1
q1 q2
4
R1, 2
0
(49)
Para llevar a su posición la tercera carga hay que realizar un trabajo igual al producto de q3 por el potencial creado conjuntamente por q2 y q3 en P 3 , V 3(q1) + V 3(q2) = V 3 :
E P 3
8. Energía electrostática de un sistema de cargas
q2V 2(q1)
q3
q1 40 R1,3
q3
q2 4 0 R2,3
(50)
La energía electrostática del sistema de cargas es la suma de (49) y (50):
E P
q1q2 q1q3 q2q3 4 R R R 0 1, 2 1,3 2,3 1
q 2 q q q q q 3 q 2 1 3 q 3 1 2 q1 2 4 0 R1,2 R 1,3 R1, 2 R 2,3 R1,3 R 2,3
1
1
Cada paréntesis del último término representa el potencial producido en uno de los puntos por las otras dos cargas:
E P 1 q1V 1 q2V 2 q3V 3 2
(51)
1
R 2,3 R 1,3 q
Figura 15
Tema 7
Campo eléctrico
3
Es decir, la energía del sistema es la mitad de la energía potencial de cada carga en el campo de las restantes. Esta expresión se puede generalizar a un número cualquiera de cargas:
E P
1 2
N
q V i
i
(52)
i 1
11
