TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO INSTITUTO TECNOLÓGICO DE LA PAZ
APUNTES DE LA ASIGNATURA Álgebra lineal
ELABORADO POR: MA. Marco Antonio Calzada Velázquez
La Paz, Baja California Sur
UNIDAD 1 – NÚMEROS COMPLEJOS
Subtemas 1.1. Definición y srcen de los números complejos. 1.2. Operaciones fundamentales con números complejos. 1.3. Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo. 1.4. Forma polar y exponencial de un número complejo. 1.5. Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo. 1.6. Ecuaciones polinómicas.
Objetivo Manejar los números complejos y las diferentes formas de representarlos, así como las operaciones entre ellos para tener una base de conocimiento a utilizar en ecuaciones diferenciales, circuitos eléctricos y en diferentes aplicaciones de ingeniería.
Bibliografía
Aguilar Marquez, A. (2009). Matemáticas simplificadas. México. Person.
Grossman Stanley (2012); Álgebra lineal. México. Mc Graw Hill
Larson et al. (1986). Cálculo y geometría analítica. Madrid. Mc Graw Hill
William H. et al. (2007). Análisis de Circuitos en Ingeniería. México. Mc Graw Hill
1
NÚMEROS COMPLEJOS Origen de los números complejos
1=√1
Bombolli (XVll) Leonard Euler i = Caspar wessel (1745-1818)
Quien también realizo una interpretación geométrica fue Charl Friedrich Gauss, como gauss público antes que Wessel y se dio el crédito y se le denomina al plano de los números complejos como el plano Gaussiano. Definición de los números complejos Es aquel número que está formado por dos partes (una parte real y otra imaginaria)
=
a = parte real bi= parte imaginaria Graficar los siguientes números complejos A)
=32 =25 = =7 =2 √9 b)
C)
d)
e)
im
e c
a
d e R
Y=número imaginario X=números reales La grafica esta seccionada b
del 1-7 en cada eje
2
Suma y resta de números complejos La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.
= = = = = 73 59 = 126 2 =2 53 = 3 = =53 593 597373= 53 = =5 = 73 59 5 a)
=
b) c)
d) e)
Potencias de i
=√ === =
Multiplicación de números complejos
= = = = =√ =√1241235 3==4 =3 315226 10 =13 12 =
El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que
Sean;
c)
3
Conjugado de número complejo Numero complejo
=
conjugado
̅ =
El conjugado de un número complejo, solo cambia el signo de la parte imaginaria
Ejercicio: conjugado de número c omplejo
Numero complejo
=5=32 =√16 División de números complejos
conjugado
̅̅ ==325 ̅ =4 =
El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de éste. Ejemplo
= = = = = 23 5252∗52 5272= 2510 1043124 151064 419= 4192912458994456 = 52332683 = 419 ∗ 419 = 167676361 2 3 = 377 5252527223 = 522431 = 1552462 = 1311 = 24 ∗ 24 24 = 2652 488221644 = 732 4
Módulo de un número complejo
ó | |
Llamamos módulo de “Z” valor absoluto de “Z” a la distancia entre el punto los denotamos como
r
r
bi
, = =
y el srceny
a a Ejemplo
= 5 2 = 5 1 = 7 = 1 3
=52 =5 =√49 =1√3
=29 =√26 =7 =2
Forma polar de un número complejo
c
a
∝
b
∝
b
a c
∝= ∝= ∝= ∝= ∝= ∝= 5
∝= ∝=∝ ∝=∝ ∝=∝ Por lo tanto:
∝=
Argumento de “Z”
Sea 1 234567-
= ; ∝= >0 >0 ó <0 ∝= =0 >0 ∝= =0 <0 ∝=0 >0 =0 ∝= <0 =0 -
∝=t ∝=tanan
<0 <0 >0<0
Ejemplo:
=22 =2 =2 1 22 =45° =46 =56.=430°180°=6=123.69° 6 46 5 =52 =5 =2 1 2=45° 6
Ejercicios. Pasar de forma polar los siguientes números complejos.
Rectangular
Polar
= =4=√9 =√2√14
==3 90°90° =40° =14.071 84.23°
Multiplicación y división en forme polar Para multiplicar dos números complejos en forma polar se multiplican los módulos y se suman los argumentos. Para dividir dos números complejos en forma polar se dividen los módulos y se restan los argumentos.
=cos∝∝∝ ∝ = c=os∝∝ ∝=∝ = ° =√ =510 2 =50 = 2=2 = √ ° °° = 45° = + °+° = ,° =8.68∗10 − Ejemplo Sean:
a)
b)
c)
cis (
cis (
=
d)
7
Forma exponencial de un número complejo Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la fórmula de Euler.
=∝∝ = ∝ =2√ 2 c os =2√2 =3 = =4.=3 ===3 =7 9 44. 9 4 =035 7. 9 = = =4.
Esto nos permite escribir un número complejo de la forma siguiente denominada forma exponencial.
Cambio entre la forma polar y exponencial Forma polar
Exponencial=
Cambiar los siguientes números complejos a su forma rectangular. a) b) c) d)
Multiplicación y división en forma exponencial
=4 == == =8 = = =256 = =8− =∝∝ =∝ ∝ =1 ==1√2=1 1045=10 104=5 = 321 1 =√2 ∝=tan 1=45 Sean;
a)
b) c)
Teorema de Moiure Si
y “n” es cualquier numero entero positivo, entonces;
Hallar; la décima potencia del número complejo;
8
=5 ==√5 445° 445° = 625 =0 =5 =4 = 0 5 =5 ∝=tan 11=45°
Ejercicios; hallarla potencia indicada de los siguientes números complejos y representarlos en su forma
=164=1=1=45° =12180°==135° 1 1 ===√2√2 ∝=t 12135°an 112 135° = 45.25=1√3 ==√2 13150° 13150° =178.38 =1 = √3 =13 = 1 3=2 ∝=tan √3=150° ==√2 15150° 15150° = 181 3.641= √
==√1.11547 1030° 1030° = 2.110 = √3 =1 =10 = √3 1 =1.1547 ∝=tan √3 =30° 5,254.0=2 5 √3 ==2 √7 1649.1° 1649.1° =12,372.29 =2 = =49.√3 1° =16 = 2 3=√7 ∝=tan √3 9
Teorema de las raíces enésimas de un número complejo Para cualquier número entero positivo “n” el numero complejo:
=∝∝
Tiene exactamente “n” raíces distintas; tales raíces están dadas por;
= √ cos∝2 ∝2 = = √ =3 =0 =1 = 0 1 =1 ∝=90° =0 = √1 cos 90°23 0 90°23 0 = 0.860.5 =1 = √1 cos 90°23 1 90°23 1 = 0.860.5 =2 =22 = √1 cos90°23 2 90°23 2 = =3 =2 =2 =135°202 2 =√135°820∝=45° 180° = 135° =0 = √8 cos 3 3 = 1 =1 = √1 cos 135°321 135°321 = 1.360.36 =2 = √1 cos 135°322 135°322 = 0.361.36 Donde k=0,1,2,3,4,5….n-1
Ejemplo; obtener la raíz cubica de a)
b)
Obtener las raíces cuartas de;
cos =13.85 = 8 13.85 =16 ∝=30°180°=150° =4=16 =8 10
=0 = √16 cos 150°320 150°320 = 1.2851.532 =1 = √16 cos 150°321 150°321 = 1.531.28 =2 = √16 cos 150°322 150°322 = 1.2851.52 =3 = √16 cos150°322 150°322 = 1.5321.28 27=0 =√ =27 27 3 39 = =3 39=0 = =1 =3 =9 =3 , =3±=3 32142 √1239 = =3 2 √23 27=0 27=0 =3 =27 =0 = 27 0 =√27 ∝=0° =0 = √1 cos 0°230 0°230 = 3 =1=2 == √√11 ccos120° os 240°33212 120°240°33212 == 1.1.552.2.55 Ecuaciones polinomicas Obtener las raíces
Segundo factor
Factorizar
Se obtiene con el conjugado del
Otro procedimiento seria; sustitución “x” por “Z”
11
Factorice las siguientes expresiones
3 2=0 =0 32==112=2 =011 =1 =1 1 =11 1 =1 =√ 1= = 1=1 √ = 8 = =1 =1 2 24 a)
b)
c)
d)
2± =3=1√=1 3 =1 =2 22 14 1=41√ √3 √3 Ejercicios; determinar el valor de “Z” en su forma rectangular que satisfagan las siguientes ecuaciones.
1= 4 5 22=8 10 2=8 2=8102 12 =122 82 =64 a)
12
5=32 5=32 32 = 5 32 ∗ 5 15310512 = 5 = 255 5 = 1 1 2 35 2 2=6 5 2 36=5 252 3=777 7 = 3 3 22 =32 21==224 b)
c)
d)
División sintética (regla de RUFFINI) Otro método para obtener las raíces de un polinomio de “n” grado es la división sintética.
= −− −−.. 1 =1 ± 1 =1±1 =±1 1111 1 121 121 0 1 11110 10 00 1 Ejemplo; hallar las raíces del siguiente polinomio; 1-
2-
13
Por lo tanto los valores son;
1 1 1
4 6=0 =6=1±±1,1±2,±3,±6
1416 156 2 60 000123 13156 130 00 00 1 2 3 2 5 8 176=0 258176 2 29103 2 73 30 00 01 12 271418206 2266 030 000 0 3 2 60 00 00 2 1 3
Por lo tanto los valores son;
Por lo tanto los valores son;
14
UNIDAD 2 – MATRICES Y DETERMINANTES
Subtemas 2.1. Definición de matriz, notación y orden. 2.2. Operaciones con matrices. 2.3. Clasificación de las matrices. 2.4. Transformaciones elementales por renglón. 2.5. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz. 2.6. Cálculo de la inversa de una matriz. 2.7. Definición de determinante de una matriz. 2.8. Propiedades de los determinantes. 2.9. Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta. 2.10. Aplicación de matrices y determinantes.
Objetivo Manejar las matrices, sus propiedades y operaciones a fin de expresar conceptos y problemas mediante ellas, en los sistemas de ecuaciones lineales; así como en otras áreas de las matemáticas y de la ingeniería, para una mejor comprensión y una solución más eficiente. Utilizar el determinante y sus propiedades para probar la existencia y el cálculo de la inversa de una matriz.
Bibliografía
Grossman, Stanley I. (2012). Algebra lineal. México: McGraw-Hill
Anton, Howard (2008). Introducción al álgebra lineal. México: Limusa.
Poole, David (2007). Álgebra lineal. México: Thomson.
Seymour, Lipschutz (1991). Teoría y Problemas de Álgebra Lineal. México: Serie Schaum. 15
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico y simbólico que se deriva de los modelos matemáticos utilizados para resolver problemas en diferentes disciplinas como, por ejemplo, las ciencias sociales, las ingenierías, economía, física, estadística y las diferentes ramas de las matemáticas entre las que destacamos las ecuaciones diferenciales, el cálculo numérico y, por supuesto, el álgebra.
Es un arreglo rectangular de números dispuestos en filas y en columnas, encerrados entre paréntesis. Los números del arreglo se conocen como elementos de la matriz. con dos Las matrices se nombran con letras mayúsculas [A, B, C…] y sus elementos con minúsculas
subíndices [ ] que indican respectivamente la fila y la columna en la que se sitúa el elemento.
={}= ⋮ ⋯⋯⋮ ⋮
Columnas
Filas o renglones
Una matriz de “ ” filas y “ ” columnas se dice que esuna matriz de orden “
por
= cuando
” y se representa
se tiene una matriz cuadrada. Una matriz que solo tiene elementos o se le
denomina matriz o matriz nula.
16
Una matriz con una fila llama vector columna. Ejemplo
1
se le llama vector fila y cuando la matriz solo tiene columnas, se le
=92000 80030 70060 =1 2 3 =1004050
La matriz La matriz La matriz
(dos filas y tres columnas) se le llama matriz rectangular (una fila y tres columnas) se le llama vector fila (cuatro filas y una columna) se le llama vector columna
. Dadas dos matrices
la suma o diferencia de estas se obtiene sumando o restando los
elementos correspondientes. La única regla para realizar estas operaciones sea orden; la suma y resta de diferente orden no está definida.
A) B) C) D)
Conmutativa Asociativa Elemento neutro Elemento opuesto
del mismo
= = ∅= =∅
=1257 3 =10541117 =279222 7 17
= = = = A) B) C) D) E) F)
A)
=120 103 245 127= 265 1310
B)
C)
D)
E)
F)
= 2452 1257 2 10405523 = 2 0 5 3 = 104 181 =208 = 018152 1042 5 3 = 20 108 31 =120 103 245 1271042 5 3 = =245 127245 127 =∅
18
El producto de un escalar
por una matriz , representado por
multiplicar cada elemento de
A) B) C) D)
.
= = 1= ∗=
es la matriz que se obtiene al
Realizar las siguientes operaciones con matrices dadas
= = = = = = = = = = = A) B) C)
D) E) F)
19
A)
B)
=2110 101 110 203 524 110= 423 726 330 = 2110 101 1101 110 101 110 =110 101 110
C)
D)
E)
F)
= 24 846 1020110 10 10=02 32 40 = = 201 21200 33312 10 =11 34 11 = 1 203 524 110=22 033 55 22 44 0 010 101 10=∅ 12 203 524 10= 11.05 2.145 0.05 11∅ 10 2.15 0.0.55 = 22 033 55 22 44 0 1.5 4 0 =1.12530 2.424 1255 0.0.550 20
Sean decir,
dos matices tales que el numero de comlumnas es igual al número de filas de , es es una matriz y es una matriz entonces el producto es la matriz
cuya componente
esima de .
∗
es la que se obtiene multiplicando la fila i-esima de
A A ( m xx np))
B(pxn)
=
columna j-
C(mxn)
Si son iguales si se puede multiplicar
Nota: el producto
A) B) C) D)
∗
no esta definido si
es una matriz
y
es una matriz
∗= ∗ =∗∗ ℎ ∗== =
Nota: no se puede alterar el orden de los productos (no son conmutables
21
=51 12 32 24=51332 122 51222 144 =119 182 Si
es una matriz cuadrada, entonces la traza de
denotada
se define como la suma de los
elementos de la diagonal principal de . La traza de no esta definida si
cuadrada.
A) B) C)
no es una matriz
= = =
Calcule la traza
=1330 11021 2506 2176 ==1162=4
Considera las matrices:
= = = = =
Calcular los siguientes (en caso de ser posible)
22
A) B) C) D) E) F)
A)
B)
C)
D)
E)
F)
3 47 2 2 = 1101352 24=104=5 =10113 52 24 311264 11 33=10113 52 24 1893 333 699=1762 312 557 =1735=25 4∗74 1=284 1=112 28=11256 = 02 0 2 0 56 12 6 =3212=13 =131 022 ∗ 13 41 25 =3528 7 6 12 =13 41 25∗131 022=131 1212 =
2= 1 5 08 2=24 =22321139 12 1215081126241 =93=2 13 16=25 1043 48 120 10113 52204241101 3 2 4 13 14 24 4 1 3 9 13 21
23
=2∗13=26= 2526= 1
A) B) C) D) E) F) G) H) I)
A)
B)
C)
= == == == = =100 010 001∗13424 05 21 =13424 05 21 =13424 05 21 ∗23145 62 09=34176 231044 352013 =010 100 01 ∗542 173=542 173
24
D)
E)
F)
G)
=13424 05 21∗23145 62 09=34176 104420 201335∗ 123=2228972 = 23146 0∗13420 2=128 112 12823146 0 5 2 9 =4 455231162 09∗35 452 60713=39148518415 152422802 9 =452 713∗501117 2=202510 936243 1878 =
H)
I)
=01 01 1341∗ 0 01 01 134 0 01 01 1=0 23 0117 01 610 1∗ 24 05 21∗ 24 05 21= 106 1617 1027 100 010 00123106 171617 10276 =23106 171617 10276 23145 62 09= 10218352 183134186 2537796 134 231 34 20 35 = 42 50 1∗ 2 54 26 9= 0 176 4410 1320 25
23145 62 09∗13424 05 21=12358 11260 12839 34176 201044 35201312358 11260 12839=18222 16221 26836 Una matriz cuadrada se llama triangular superior si todos los componentes que se encuentran por debajo de la diagonal principal con cero Ejemplo:
=10 34 =15690111 0 0 8
: Se dice que una matriz cuadrada es triangular inferior si todos los componentes que se encuentran arriba de la diagonal principal son cero, Ejemplo:
=65 04 =1500 121054 8
Una matriz cuadrada se llama matriz diagonal si todos los componentes que están fuera de la diagonal principal son cero. Ejemplo:
=06 40 =1050001 80 26
: matriz diagonal triangular (superior e inferior a la vez) cuyos elementos son todos iguales.se comporta como escalar
=20 02
matriz cuadrada cuya diagonal principal está formada solo por uno se
representa. Cumple con las siguientes propiedades.
1) 2)
eje.
= =
=01 10
3 1 ∗10423 1 =42 206 104 =1042 2 5 1 2 5 1 4 31 7 == = ==∅= + = =312 202 369 = 2 + =31 22 69 ∗31 22 69 ==59 610 69 4952 64100 6393∗312 2 2020 3693=312 4202 4369 3 matriz cuadrada que resalta del producto de
por si mismo repetido en el
es entero positivo.
una matriz
para el cual se cumple
se llama periódica, si
el menor numero entero y positivo
. Se dice que la matriz
tiene como periodo .
Ejemplo:
27
=, 2 . =0 siendo
para el cual
una matriz cuadrada y si
,entonces
es un numero menor entero positivo
es nilpotente de orden
Ejemplo:
Calcular
=125 121 363 =312 202 369 ∗312 202 369 =103 103 309 103 103 309 ∗312 202 369 =000 000 000
: una matriz Ejemplo:
J)
de
es idempotente si y solo
.
=121 223 434 = =121 223 434 ∗121 223 434 =121 223 434 : una matriz
es involutiva si cumple con
ES involutiva si cumple con
=
Ejemplo:
28
K)
=100 110 201 =100 110 201 ∗100 110 201 =100 010 001 =. } , ℝ { =153 512 321= =153 512 321= . = { } , ℝ
matriz cuadrada que verifica contenidos en los nueros reales
Ejemplo:
L)
.
matriz cuadrada que verifica
contenidos en los nueros reales a cero.
Ejemplo:
M)
Todos sus elementos están
Todos sus elementos están
.los elementos de la diagonal principal son iguales
=5102 2701 8570 180 = =0512 1207 5708 1810 = =5102 2701 8570 1180 : matriz que almenos un elemento es complejo.
Ejemplo:
=1 521 =̅ = 1 521 29
N)
: sea
̅. =1 23 33 =̅ = 1 23 33
una matriz compleja, la matriz conjugada se forma con los dos
conjugados de cada elemento de , se representa por Ejemplo:
O)
: matriz cuadrada de los elementos complejos que verifica los elementos de la diagonal principal números reales. Ejemplo:
P)
=̅
=235 3255 3227 = =235 3255 3272 =̅ =235 3225 3227
matriz cuadrada de los elementos complejos que verifica
Tiene los elementos de la diagonal principal elementos imaginarios puros.
. Tiene
=̅
.
Ejemplo:
Q)
=73 532 573 = =37 523 573 7 == 3 32 57 =̅ =73 523 5 3 7 5 3 = 1√3 √16 √12 √13 √13 √13 = 1 2 0 = 1 2 1 =10 01 00 [√13 √1√66 √12 ] [√√612 0√6 √12]6 0 0 1 una matriz cuadrada s ortogonal si
Ejemplo:
.
30
Si
= ⋯ = ⋯
es una matriz cuadrada, entonces;
Ejemplo:
=12 39 37 ∗12 37 312 =37 921 10 3701 = 12 37 ∗12 37 =165 2443 312 37 =63 219 910 01=90 09 5 24 3 9 8 15 1 15 16 436 21=10 229=10 31 / =321 00 71 12 =1037 1115 /= 321 00 71 12 1037 1115
Es aquella matriz que se une a otra matriz que tiene el mismo número de filas.
Se representa por
.
Introducción
31
=300 271 112
Donde:
12 3
= = =# ≠0
Al proceso de aplicar las operaciones elementales de renglón con el propósito de simplificar una matriz aumentada se llama reducción por renglones. Al usar operaciones elementales de renglón en una matriz se puede volver a la matriz srcinal aplicando las operaciones inversas. Ejemplo:
13103557 14 391035157 34 21015 1126 1237 2 15101 6112 17123 3100 200 300 100 200 300 El objetivo de aplicar operaciones elementales de renglón es para llegar a la formula escalonada reducida. Para que una matriz sea de esta forma debe tener las siguientes propiedades.
32
1) Si un renglón no consta completamente de “0” entonces el primer número diferente de cero en ese renglón es uno (que se denomina uno principal). 2) Si hay renglones que constan completamente de ceros se agrupan en la parte inferior de la matriz. 3) En dos renglones consecutivos cuales quiera que no consten completamente de ceros, el uno principal del renglón inferior aparece más a la derecha que el uno principal que en el renglón superior. 4) Cada columna que tenga un uno principal tiene ceros en las demás posiciones. Nota: se dice que una matriz que cumpla con las tres primeras condiciones se le llama escalonada.
Diga cuales de las siguientes matrices están en su forma escalonada reducida, forma escalonada o ninguna de estas:
=10001101 00 47 = =01 014 316 527 = =100 110 001= =110 010 101= =00 00= =0 01 102 160 01= 33
=0000 1000 2000 0010 1030= =10751 3= =751 210 3= 98 =100 010 001= Ejemplo:
=
=42 6112 =41 31 4=1=001 313 ∗ 13=01 31 3 01 =010 100 011 =010 100 011 100 010 101 100 010 001 =
34
=31 21 13 12 3 10 11 10 11 10 01 = =12431 2 2 10271 2 3 10271 2 12 1017 3651 2 3 365 10 1 272 0311 10 01 11272 0017 0017 0017 11 1 0 171 0 1 272 112 100 013 0172 72 100 010 001 00 1 =31 21 13 12= 3 10 11 10 11 10 01 = 1 2 2 10271 2 3 10271 2 12 10 11 272 =1243 365 365 0311 0311 3 0100171 722 [01001710 71122 ] 17 [010 100 711212] 112
35
100 010 0172 72 100 010 001 2 1036 2 3 13 ; 3 =24271245 66 12 ; 4=; 0 3 6 100 210 320 2 101 00 10 20 = =2253761 9 12 ; 2; 2 100 6272 3153 16 ; 2; 72 1 0 2345 1 ; 23 ; 5 10 01 00 [00021 2] 2 4 2 0 0 1 = 36
=142 105 0013 4; 2 100 105 0013; 5 100 010 0013 100 010 001 = =1221 212 413 4782; 2; 100 724 1398 81623 17 ; 2; 1 0 47 367 1 0 0 22837 4 [0 01 371377 23667] 377; 4; 137 [0 01 10 6631377 ] = =511 1021 1022 2014 5; ; 6 0 1 2 3 37
1000 2031 2204 4053 1000 2130 2240 5043 3; 2 10 01 26 23 1 ; 6; 2 = 10 01 00 11525 00 00 100 40 10 00 4 = [0 0 01 010] =6312 6128 24189 13 ; 12 ; 123 00 90
452 19 ; 2 36
10036 0 10 528 316; 8; 52 01 01 10 = 4 5 4 =12 24 41064 5 4 2 10 20 402 = 38
=213 123 202 3; 2 100 727 202 17 ; 7; 2 100 010 7027 = =33 25 31 ; 3 10 355 15 ; 25 =10 01 Es el número de filas (o columnas) que son linealmente independientes. Algunos autores distinguen entre renglón y rango columna de la matriz pero al final tienen el mismo valor. Una utilidad del Rango es que nos permite identificar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Para calcular el Rango de una matriz se aplica el método para formar una matriz en su forma escalonada (este método se llama eliminación GAUSSIANA). El número de filas
. 2 3 ; 2 =13461225 37 3; 4 1012 0 2 0 100 210 324 14 100 210 321==3
máximas que sean diferentes de cero, será el rango de la matriz y se denotara Ejemplo:
= 39
=321 213 459 022 3; 2 100 277 17174 022 17 ; 7 100 210 17470 0272==2 = 133 133 2 1 3 =40 52 92 2; 4; 000 1772 1772 17 ; 17 ; 2 00 10 30 =2 132 00 0 = =12 12 6336 4949 2112 5859 42 47 2; 2; 0010 0603811 4 334221015 6418 0 1006 3008114433210125 1684 10 13 84 424 5 84 ; 3 ; 0 0 610 630 61 156 = =3 40
= =100 410 361 527= 4; 6; 100 010 2701 2851 = 27 100 010 001 725 ==3 = =100 110 001= 100 010 001==3 = =11 01 10= 10 01 10= 10 01 00==3 001 001 001 ==0 = = ==0 =10751 3=7100261 3 = =2 41
= =157 012 893 5; 7 100 012 893 2 0132 10 00 518 51 ; 8; 31 010 100 01 =3 : matriz cuadrada que verifica
−− = =
NOTA: si la matriz tiene inversa se llama regular, y si no tiene se llama singular. Calculo de la matriz inversa
− =
1- Escríbase la matriz
aumentada con la identidad(con el mismo orden que )
2- Utilice las operaciones elementales de renglón con el objeto de reducir la matriz forma escalonada reducida. 3- Comprobar
1.2. −−−==− ∗− …. − =. − =− 3. −− = 1 −− 4. =.
asu
42
=21 51=1. =21 51 10 =01 2. . 12 15 01 10 2 10 13 01 21 13 10 11 013 123 10 13 013 123 3. = 21 51012 123=10 01 − =012 123 = = = =11 34 =11 34 10 01 10 41 11 01 4 10 01 31 41 11 34 13 41 =10 01 =13 41 = 11 10 10 = 11 10 10 10 01 00 ; 6 1030100 01 1120 41 10 ; 010 141 103 110166 00 2 013 ;6 42 011
43
100 010 001 232 334 111= 611 102 103 232 334 111=100 010 001 =232 334 111 = = − =13 24 10 01 3 10 22 31 01 12 ; 2 10 01 232 112=232 112 = = 3 1 3 1 1 1 1 1 0 1 2 1 0 1 0 5 5 5 − =2 3 0 1 2 0 5 2 1 5 ; 0 1 2 1= 2 51 = = 5 5 5 5 3 1 11 2 2 3 1 0 0 2 1 = 10 11 40 00 10 01 2 ; 0 0 32 122 01 00 [0 1 4 0 0 1 ] 32 12 0 0 2 1 0 32 12 0 0 5 11 00 10 43 01 01 10 3 00 10 41 01 02 10 2 ; 4 22 [ 33] 44
4 5 4 5 1 3 3 3 10 01 00 43 83 1 = 43 383 11 Ó= 13 453 0[ 0 1 13 23 0] [ 13 23 0] 483 1 2 0 = 2 17 11 1=0 0 1 1 172 112 12 0 0 − =10 113 27 00 10 01 2 ; 0 52 32 12 1 0 [0 3 2 0 0 1] 25 115 175 0 1 0 25 ; 3; 172 0 1 35 15 25 0 5; 25 ; 34 [0 0 15 35 65 1] 1 0 01 1 2 1 1 2 0 01 10 243 365 =243 365 13 27 10 01 3 10 21 19 01 2 10 01 219 211=921 211 21 31 2 0 10 2 01 21 21 01 2 01 13 0 2 1= 2 23 12 45
8-
47 1933 10 01 17 ; 4 10 3371 417 017; 337 10 01 194 337 =74197 337 = 1 0 0 12 ; 3; 133 156 145 100 010 001 3; 3 100 123 112 310 301 su determínate es = 0
010 100 1212 353232 112232 01 2; 12 ; 12 01 10 01 313 312 12 = 313 312 112 113 472 7192 0 01 10 3; 025 01 12 32 31010 10 2; 2 46
7 21 00 4; 3 10 01 00 1312 56 34 = 104 00 10 31 3521 0 0 1 5 2 1 13 6 4 512 52 31 317 1672 10211 10 10 01= =0 3 7 1 10 10 105 51 74 10 01 00 101 ; 5; 3 0 72 12 10113 01 00 3 2 2 0 0 1 27 ; 12 ; 105 10 01 172735 27730 2717 [00 3512 ;10 2735 10; 0 1]17 [0 0 351 3170 17 1] 10 01 00 1252 41 527 = 1252 41 527 [0 0 1 312 5 35] [ 312 5 35] 1=0=2=_ 4=5=3=
7=8=6= 9= 10= 11=
13= 12= 14= 15=Ñ 16= 17=
19= 18= 25= 24= 20= 26= 21= 27= 22= 23=
47
Ejercicios. Codificar el siguiente mensaje (MAÑANA_HAY_EXAMEN) A)
13 1 15 1 14 1 0 8 1 26 0 5 25 1 13 5 14 0 1 1 0 13 1 15 1 14 = 1 0618 1 0226 1035 25 1 135 14 0 1311411 15 1 1 0 769 171 1144 26[250 801 1315 ] 61 02 13 = 5242 1621 51538 19 5 14 5 14 0 76 17 44 9 1 11 2 2 5 4 16 15 52 1 38 19 5 14 Con la matriz codificadora (cualquiera que tenga inversa)
2- Agrupar el criptograma de acuerdo a la matriz codificadora(3 filas)
3-
acomodar la matriz y multiplicarla por la matriz codificadora
4- Mensaje codificado
Descifrar los siguientes criptogramas con la matriz dada b)
113 28 63 60 9 38 36 16 20 105 43 40 5 4 1 =611 102 103 − =232 334 111 113 28 6360 9 38 36 16 20 105 43 40 5 4 1
Con la matriz codificadora
1- Agrupar el criptograma de acuerdo a la matriz codificadora(3 filas)
2- acomodar la matriz y multiplicarla por la matriz codificadora
48
113 6036 16289 206338 23 33 11= 161716 2031 22130 [1055 443 140 ] 2 4 1 [ 14 261 220] 16 3 2217 1 13 16 20 01 26 224 1 0=
3- mensaje decodificado
OCUPAMOS_AYUDA_
C)
43 60 1 1 21 2 23 33 14 6 9 19 71 63 15 29 38 9 11 30 =1213 1131 1211 1412 − =2112 1110 111386 4356 43 60 1 1 21 2 23 33 14 6 9 19 71 63 15 2938 9 11 30
Con la matriz decodificadora
1- Agrupar el criptograma de acuerdo a la matriz codificadora(4 filas)
2- acomodar la matriz y multiplicarla por la matriz codificadora
4321 602 123 133 11 11 86 43 = 171 1614 1420 75 = 14[ 636 915 1929 ] 22 10 1113 56 200 211 220 54 71 38 9 11 30 9 1 19 0 Resolver para x cuando;
PONGANSE_A_ESTUDIAR_
32= 225=3 2=2 49
=431 502 =214 241 3= 2 2 3 3=21 21241 50 = = 13 49 112 == 0 1133 4 4 3 23=2510 0 [103 0] 3=2 431 502 5214 241=862 1004 10205 10201 =132612 151019 13 10 13 10 2 = 13 2612 1519= 426 5193 [ 3 3] 2=4 2=4 314 502 =12416 2008 = 12 12416 2008 =628 1004 Siendo;
A)
B)
=13 14 =21 11 =11 23 = = − − =13 14 10 01 3 10 11 31 01 10 01 34 11 =−−=12 14 1 3 11==15 10 = =
50
C)
D)
=11 2321 11=01 21 = 34 11 01 21=34 12 =2 =2 − 1 2 2 1 2 4 2 1 0 3 4 1 9 3 =21 31 1= 2 61 =2 1=153− 1==11 4 =2 =2 2=2 11 23=22 46 =13 14 21 11=103 27 11 23=29 04 =972 13 28 2
Introducción a determinantes
Los determinantes hicieron su aparición en las matemáticas más de un siglo antes que las matrices. El término matriz fue creado por James Joseph Sylvester, tratando de dar a entender que era “la madre de los determinantes”.
Algunos de los más grandes matemáticos de los siglos XVIII y XIX contribuyeron al desarrollo de las propiedades de los determinantes. La mayoría de los historiadores coinciden en afirmar que la teoría de los determinantes se srcinó con el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (16461716) quien fue con Newton, el co inventor del cálculo diferencial e integral. Leibniz empleó los determinantes en 1693 con relación a los sistemas de ecuaciones lineales simultáneas. No obstante hay quienes creen que el matemático japonés Seki Kowa hizo lo mismo unos 10 años antes. 51
El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución de sistemas lineales y el cálculo de la matriz inversa, entre otras aplicaciones. En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.
Determinante de una matriz Mientras que una matriz es un arreglo rectangular de números, el determinante es un solo número que se obtiene al trabajar con filas y columnas de una matriz cuadrada, se representa como
det, ||, ∆ 22 .
Determinante de segundo orden Sea A una matriz de
el determinante de la matriz se denota como y se calcula;
= =||= ∗ ∗ =119 52 ||=119 52 =9∗2 11∗5 =37
La matriz A solo será invertible (tendrá inversa) si y solo si su determinante es diferente de cero Ejemplo
Ejercicios; hallar el determinante de las siguientes matrices
2 5 3 3 1 1 =3 9 =||= |7|=72∗9 3∗7=23∗5 7∗35=0=3=
52
||=1∗5 2∗1 =73 ||=∗ ∗ = Determinante de tercer orden Sea A una matriz de orden
33
el determinante se calcula por medio de la regla de sarrus.
= ||= ∗∗∗∗ ∗ ∗∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ =310 521017 3 ||=3∗7∗1 =70 1∗3∗2 0∗5∗10 2∗7∗0 10∗3∗3 1∗5∗1 =12434 52 23 =235 13390 4 =23551 10 22 =4 138 20 ||=3∗2∗4 =69 5∗3∗1 2∗4∗2 1∗2∗2 2∗3∗3 4∗4∗5 ||=2∗0∗9 =03∗4∗3 5∗1∗3 3∗0∗5 3∗4∗2 9∗1∗3 ||=5∗3∗2 1∗5∗1 2∗2∗0 1∗3∗2 0∗5∗5 2∗2∗1 =33 ||=∗8∗2 1∗0∗ ∗4∗3 ∗8∗ 3∗0∗ 2∗4∗1 =16
Ejemplo
Ejercicios; hallar el determinante de las siguientes matrices
Menores y cofactores
53
Si A es una matriz cuadrada, entonces el menor del elemento
=1 + se denota por
y se define
como el determinante de la submatriz que se forma al suprimir el renglón y la columna de A. El
=314 2 5 6 ||, , ||, 1 4 =1=18 ==12 18=166=10 6 4=620=26 =1=110=10 5 6 14=26 cofactor de un elemento
se denota por
y se calcula por
Ejemplo
.
El menor y cofactor de una matriz puede diferir solamente en el signo.la siguiente grafica ilustra los signos que deben de asociar a cada uno de los menores para allar el correspondiente cofactor.
||= .. ||= .. 5 1 =3282 30 7 ||=3 1 80 2751 23 27 11 23 80
El determinante de una matriz A de
se puede calcular multiplicando los elementos de los
renglones (de una columna) por sus cofactores y sumando todos los productos resultantes, es decir;
Desarrollo de cofactores a lo largo de la
columna
Desarrollo de cofactores a lo largo de la
renglon
Ejemplo; calcule el determinante por medio de cofactores
Primer renglón
54
= 356520124=44 Ejercicios; Calcule el determinante por medio de cofactores
4 1 5 224 0 1 1 2 1 2 =15 02 61 =42 23 2410 =02 27521210 0 =104 35 247 165 =11 23 30 04 ||= 51 21 65 11 14 12 = 5417=27 ||= 21 22= 2443 42 442 1631242 4=961 42 22 ||= 1 25 0 11 25 10 = 512 =3 ||= 51 141247 62 5 1 14223 61 5 1 14213 4=257 7 55
||= 1223 730 204213401 22 20113001 22 73=17 Propiedades de los determinantes 1- Toda matriz triangular tiene un determinante igual al producto de los elementos de su diagonal principal
=00 0
2- Si una matriz cuadrada tiene un renglón o columna de ceros, entonces su determinante es cero.
=189 000 243=||=0
3- Si una matriz cuadrada tiene 2 renglones (o dos columnas) iguales su determinante es cero.
=31 10 5=| 75 |=0 =13312645 21=||=0 ||=|| 2 4 0 3 2 4 =12 14 30 =13 21 34 ||=56 = ||=56
4- Si una matriz cuadrada tiene un renglón múltiplo (o columna) que otro (a) su determinante es cero.
5- Si en una matriz cuadrada intercambiamos dos renglones ( o dos columnas) se obtiene una matriz con un determinante de signo contrario.
6- Si sumamos un múltiplo de un renglón de una matriz cuadrada a otro renglón, obtenemos otra matriz y su determinante será igual. Lo mismo es válido a columnas.
56
=213 241 304 2 523 245 1104 ||=56 = ||=5 || =253 254 1104 ∗ 12 =2532 154 1102 ||=56 = ||=282=66 ||=35 24 13 , 5 10 2323= 23 ||=145 102 615 154 102 615 ; 5; 4 010 2107 29196 10 010 210 262910=2 ||=12334 52 23; ; 4; 3 123 00 1011 1511 110 ; 11 10 21 315211 = 112 10=55 0 0 2 ||=2143 0173 61293 10716 2; 4; 3 3100 3017 0003 2731207
7- Si en una matriz con determinante A multiplicamos un renglón o una columna por uno constante K, obtenemos otra matriz en la que su determinante será
Ejemplo; calcule el determinante aplicando propiedades
Ejercicios; halle el determinante aplicando propiedades
57
0 20 =0 =31027 7031 ||=21 10 40 24 1 ; ; 3; 2 10 10 22 13 23 =151 5101 2534 2553 =251060152050=700 15 54 55 124 23 123 103 351 4227 1561 2150 ; 4; 12 ; 10 93 94 196 12 349 499 1974 152 3 0 34 49 74 15 =1 5 2 1 5 =982490 7410158 1510352 34171 109253 19171 8235 51049109 1719741731523 84992 19741 1525 =15894
58
Matriz adjunta Si A es una matriz cuadrada y
Y
⦙ ⦙ ……… ⦙ …
es el cofactor de
, entonces la matriz
Se llama matriz de cofactores de A. la transpuesta de esta matriz se le llama la adjunta de A y se denota
.
Halle la adjunta de A
=312 426 130 =46 30=12 =12 30=6 =12 46 =16 2 1 3 1 32 ==62 413=120=4 ==2 13 0=2 13=10= =132 6=16 24=16 =12124 1062 161616 = ==16126 1642 101216
Calculo de la inversa de una matriz utilizando la adjunta Si A es una matriz invertible, entonces los puntos la matriz inversa
− = || 59
Calcule la inversa
=312 426 130 ==64 =16126 1642 101216 3 1 3 16 16 16 − = 641 126 42 1012 = 323 321 325 16 16 16 14 14 14 4 3 =||=3 =2011 3 5 7 =15 17 =12 =03 17 =3 =03 15=3 4 3 2 3 2 4 ==141=7 53 7=13 ==37=5 02 1=2 3 ==302 5=2 4 1=2 73 4 =13712 352 322 = 13 3312 1352 722 − = 1 532 232 1 3 3 Ejercicio; calcule la inversa de la matriz utilizando la adjunta
60
UNIDAD 3 – SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Subtemas 3.1. Definición de sistemas de ecuaciones lineales. 3.2. Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución. 3.3. Interpretación geométrica de las soluciones. 3.4. Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordan, inversa de una matriz y regla de Cramer. 3.5. Aplicaciones.
Objetivo Modelar y resolver diferentes problemas de aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales en el área de las matemáticas y de la ingeniería por los métodos de Gauss, GaussJordan, matriz inversa y regla de Cramer.
Bibliografía
Grossman, Stanley I. (2012). Algebra lineal. México: McGraw-Hill
Anton, Howard (2008). Introducción al álgebra lineal. México: Limusa.
Poole, David (2007). Álgebra lineal. México: Thomson.
Seymour, Lipschutz (1991). Teoría y Problemas de Álgebra Lineal. México: Serie Schaum.
61
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Sistemas de ecuaciones lineales Ecuación; es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifican si es verdadero para determinados valores de las incógnitas. Las ecuaciones lineales son aquellas en la que su o sus incógnitas presentan grado uno. Sistema de ecuaciones lineales; es un conjunto de más de uno o dos ecuaciones lineales de la forma:
Sistema
;
⋯ = ⋯ = ⋯ = = = = == =0112=2
Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar según su término independiente en; a) Sistemas homogéneos: son iguales a cero(
b) Sistemas heterogéneos: son diferente de cero (
)
)
Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales (S.E.L) Heterogéneos según el tipo de solución;
Compatible o inconsistente (tiene solución) si son: determinado (solución única) y si es indeterminado (infinitas soluciones).
Incompatible o inconsistente (no tienen solución)
62
Interpretación grafica de las soluciones Ejemplo; a)
=6 54=12
=6 =0;= 6 =0; =6 54=12 =0; =3 =0; = 125 6
2.4 3
6
Una herramienta útil para resolver S.E.L es el uso de las matrices y los determinantes. Algunos métodos son; a) Gauss Jordan b) Gauss o eliminación gaussiana c) Aplicando la inversa de la matriz d) Regla de cramel Gauss Jordan Primeramente para aplicar este método se debe de representar los coeficientes de las incógnitas del sistema y aumentarlas con los términos independientes. Una vez teniendo la matriz
63
aumentada se deben de aplicar operaciones elementales de renglón con el fin de llegar a la forma escalonada reducida para por medio de una observación se vea la solución. Ejemplo;
25=16 4=10 42 5116612 ; 4 01 5112 268 =211;=3 52 01 110 32 2=9 243=1 365=0 12431 2 91 2; 3 10251 2 179 12 ; 3; 365 10 0 7 35 038 27 0 1 2521 17223 2; 52 ; 72 100 010 001 123 [0 0 2 2 ] =1 =2 =3 246=18 456=24 2712=30 42271254 6 18243012 ; 4; 2 036 10 23 36 12549 Ejercicios; a)
b)
64
c)
d)
13 ; 3; 2 101 00 10 20 140= 246=18 456=24 2712=30 10 23 36 12549 42271254 6 182430 12 ; 4; 2 036 13 ; 3; 2 101 00 10 20 141= 23=11 4=4 23=10 123 4 1 1 114 4; 2 10 29 133 4011 19 ; 32 1; 23 10 10 01 141399 1994409 34 0;3 1393;12 19 0 0 10 01 00 32 ==2 =33 3=1 0011
Eliminación gaussiana Este método es similar al de Gauss Jordan, sin embargo al aplicar operaciones elementales de renglón solo se llegara a la forma escalonada y una vez que se obtiene el valor de la última incógnita se procede a la sustitución hacia atrás para encontrar las otras incógnitas. a)
246=18
65
456=24 32=4 2431245 66 18244 12 ; 4; 3 100 352 1163 12239 1 ; 5; 2 10 21 32 94 =3 3 ;; =42 =3 3001;=2 3 2=4 23 =9 ; =92 233 ; =4 2 2 =1 3 =12 =6 =1021 11 13 21 121 1 11 11 11 11 610 2 ; ; ; 1 123 125 1 1225 0 23 31 2 132 23 ; 32 ; 12 0 12 32 0 192 [0 2 2 2 2 ] Ejercicio;
66
10 121 125 12 1225 1 ; 2 10 121 125 12 1225 0[0 00 2233 283 16632 ] 2 3 [00 00 103 1103 10332 ] =2 =2 =4 =1
Sistema de ecuaciones lineales homogéneas.
El sistema homogéneo es aquel que todos los términos independientes son iguales a cero. Este tipo de sistemas de ecuaciones solo pueden tener dos soluciones: a) Cuando todas las incógnitas son iguales a cero (llamada solución trivial o solución cero)
b) Cuando existen infinitas soluciones.
det≠0
Ejemplo; a)
2 =0
323111206=0 =0
113 113 26 00=1843332236=0 =0 2 4 3 =0 3 7 =0 b)
321 471 10 13 0491412212=32
67
Solución de un sistema de ecuaciones a través de la inversa. Si A es una matriz invertible, entonces para todo vector columna b, el sistema de ecuaciones
tiene exactamente una solución y está dada por:
=
=−
Ejemplo: a)
5 7 2 =10 =3
=51 72 =103 = det=352=37 =27 15 =17 25 − = 371 17 25 − = 33717 323775 310=41374737
Ejercicios. Resolver los siguientes sistemas a través de la inversa.
2 =9 2 4 3 =1 3 6 5 =0 =12431 2 =91 = det46 =21 35365=2 23 350 =1 23 46=0 16 52 =17 a)
68
13 52 =11 13 16=3 14 32 =11 12 32 =7 12 14=2 = 17112 1117 032 = 3 17 25 7 21 21 1711 117 = 1 21 1711 117 91= 3 11 = 2120 0 3 2 21 0 3 2 0 [2371 021] [21231] Regla de Cramer. Si
=
es un sistema de n-ecuaciones lineales con n-incógnitas tal que su
el sistema tiene solución única y es:
= |||| = |||| ……… = ||||
det=0
; entonces
Donde A; es el determinante de la matriz que se obtiene al sustituir la j-esima columna de A por el vector columna b
Ejemplo:
=6 54=12 det=15 41 =9 a)
36 18 612 4=36 1 51 12=18 6 ∴ = 9 =4 ,= 9 =2 69
Algunas aplicaciones La diferencia de dos números es cuarenta y 1/8 de su suma es 11. Hallar los números.
18 =40 18 =11 11 11 40== 1 4011 118=16 118 40118=648 11∴ = 16144 =6 , = 6414 =24
Un albañil compro 4kg de cal 7kg de yeso por 14 pesos y a la semana siguiente compro a los mismos precios 8kg de cal y 9kg de yeso por 18 pesos. Hallar el costo de la cal y yeso por kg.
47=514 89=818 84 9514 7 818=20 581814 79=1,100 84 514818=840 ∴ = 1,20100 =55 ,= 84020 =42
En un barco viajan 480 personas entre hombres y mujeres. El número de hombres es el triple que el de mujeres. Cuantos hombre y mujeres hay?
=480 70
3=0 11 13 4800=4 4080 13=1440 11 4800 =480 ∴ = 14404 =360 , = 4804 =120 La suma de 3 números es 37. El menor disminuido en 1 equivale a 1/3 de la suma del mayor y el mediano; la diferencia entre el mediano y el menor equivale al mayor disminuido en 13. Hallar los números
11 113 111
=37 1 13 13 =0 13=0 11 371=10 12 12 3637 =10 11 11 3754 3 13 3 3 24 0 0 2 108 =540 =12 2 =15 0
Encuéntrela ecuación cuadrática que pasa por los puntos (1,4),(2,0),(3,12).recuerde la ecuación :
= 1 ∴∴ 4= 1 2 0= 2 ∴ 12=3 3 1 1 1 4 2 1==2 123140 12 1=169 3149121140 1=56 14931212 40 =48
(1,4)
(2,0)
(3,12)
71
= 162 =8 = 256 =28 = 482 =24 13424 = 1 24
Integración por fracciones parciales
134 24 = 241 241 34=24 34= 2 4 2=3 4=4 = 76 = 23 Balance de ecuaciones químicas
Supuesto
→ =2=3 == =3=4 == =1 ∴ =1 =1 = 35 = 25 =1 5 32→3 5 72
Análisis de redes Las redes compuestas de ramas y nodos e utilizan como modelos en campos tan variados como la economía el análisis vehicular en la ingeniería eléctrica. En estos modelos asumimos que el flujo total que entra a un nodo es igual a que sale. De cada nodo se genera una ecuación lineal por la que el flujo puede ser analizado a través de una red compuesta por varios nodos a resolver un sistema de ecuaciones lineales.
1
20
2
3 10
10 4
5
=20=20=20 =10 =10 10 00 10 01 00 2020 0 1 1 0 0 20 [10 0 0 01 11 1010] 73
10 00 10 01 00 2020 10 01 01 00 00 2020 00 11 10 00 10 1020 → 00 10 10 10 10 1020 [0 0 0 1 1 10] [0 0 0 1 1 10] 1 0 0 0 0 20 1 0 0 0 0 20 0 10 10 01 10 201020 = 0 10 10 10 10 10201040 = 10 01 00 00 00 1030 0[0 00 10 01 10 1010] = 0000 0 0
74
UNIDAD 4 – ESPACIOS VECTORIALES
Subtemas 4.1. Definición de espacio vectorial. 4.2. Definición de subespacio vectorial y sus propiedades. 4.3. Combinación lineal. Independencia lineal. 4.4. Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base. 4.5. Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades. 4.6. Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.
Objetivo Comprender el concepto de espacio vectorial como la estructura algebraica que generaliza y hace abstracción de operaciones que aparecen en diferentes áreas de la matemática mediante las propiedades de adición y multiplicación por un escalar. Construir, utilizando el álgebra de vectores, bases de un espacio vectorial y determinar la dimensión del espacio correspondiente.
Bibliografía
Grossman, Stanley I. (2012). Algebra lineal. México: McGraw-Hill
Anton, Howard (2008). Introducción al álgebra lineal. México: Limusa.
Poole, David (2007). Álgebra lineal. México: Thomson.
Seymour, Lipschutz (1991). Teoría y Problemas de Álgebra Lineal. México: Serie Schaum.
75
ESPACIOS VECTORIALES
En general, identificamos a un vector con su punto final (a,b) de R, generalizando llamamos a un nupla ordenada de números reales a un vector (a1,a2,a3,…an).
El conjunto de todas las n-uplas de números reales, se llama un espacio en particular una n-uplas en
n
,
u
(u1 , u2 ,...u ) en un vector donde las ui son las componentes y coordenadas del vector n
u
. Ejemplo: (0,1) (1,3) son vectores de 2 componentes y son puntos de R 2. (1,2, √3,4) son vectores de 4 componentes y son puntos de R4.
Dos vectores son iguales si tienen el mismo número de componentes, es decir, pertenecen al mismo espacio y además si sus componentes correspondientes son iguales.
Ejemplo: (1, 2,3) ≠ (3, 2,1) porque sus componentes no son iguales en orden.
x3 x y 4 (x y, x y, z 1) (4 ,2,3) x y 2 y 1 z 1 3 z4
1) (3,-4,5) + (1,1,-2) = (4,-3,3) 2) (1,2) + ( -3,4,5) = no definido por el número de componentes
3) (x,3) = (2, x + y)
(4,y) = ( 2x, 3x)
x 2 y 6
4) (2,-3,4) = x(1,1,1) + y (1,1,0) + z(1,0,0)
76
x y z 2 x 4
(2,-3,4) = x + y + z, x + y, x x y 3 z 5 x4 y 7 Definición de espacio vectorial Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares, estas tienen 10 axiomas o reglas.
1. La suma de U y V, denotada por u +v, está en v 2. u + v= v + u 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
(u + u) + w = u + (v + w) existe un vector cero en v tal que u +0 =u Para cada u en v, existe un vector -u en v tal que u+ (-u)=0 El múltiplo escalar de u por c, denotado por cu, está en v c (u+v)=cu+cv (c+d) u= cu+ du c(du) =(cd)u 1u= u
Definición de subespacio vectorial y sus propiedades. Un subespacio de un espacio vectorial V es un subconjunto H de V que tiene tres propiedad: 1. El vector cero de V esta en H 2 2. H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada U y V en H, la suma de U+V está en H. 3. H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada u en H y cada escalar C, el vector CU está en H 77
Las propiedades a,b,c garantizan que un subespecie H de U es en si mismo un espacio vectorial ya definidas en U.
Combinación lineal. Independencia lineal. Dado dos vectores: u y v, dos números: a y b, el vector au + bu se dice que es una combinación lineal de u y v. Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.
Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección.
esta combinación lineal es única. Independencia lineal –En el estudio del algebra lineal, una idea central es la dependencia o independencia lineal de los vectores Sean Y1 y Y2…. Yn n vectores en un espacio vectorial U. entonces se dice que los vectores son lineal mente de pendientes si existen n escalares C1,C2…Cn, no todos ceros tales que
C1V1+C2V2+…+CnVn=0
Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independiente. De otra forma se puede decir que V1, V2….Vn son linealmente dependientes si el vector cero en V 78
se puede expresar como una combinación lineal de V1,V2….Vn con coeficiente s no todos iguales a
cero.
Base
de
dimensión
de
un
espacio
vectorial,
Un conjunto finito de vectores (V1 ,V2…Vn) es una base para V si
cambio
de
base.
un espacio vectorial
a) {V1,V2…Vn} es limite independiente. b) {V1,V2….Vn} genera a V
Todo conjunto de n vectores linealmente independiente es Rn En Rn se define:
10 0⋮ (0 )
e1 =
e2=
es una base en Rn
01 0⋮ (0 )
00 0⋮ (1 )
e3=
Puesto que los vectores e, son las columnas de una matriz identidad {e1, e2,… .en} es un conjunto
linealmente independiente y, por lo tanto , constituye una base en R n esta base espacial se denomina base cónica en Rn. *Dimensión- si el espacio vectorial V tiene una base con un número finito de elementos, entonces la dimensión de V es el número de vectores en todas las bases y V se denomina espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de dimensión infinita, Si V=o, entonces se dice que V tiene dimensión cero
Producto interno o producto punto-escalar Sean
u
y
v
dos vectores en R n ,
u v (u1 v1 , u2 v 2 ,..., un v n )
Los vectores se dicen ortogonales (perpendiculares si su producto interno es cero.
Ejemplo: Sean
u
(1,2,3,4)
v
(6,7,1, 2)
w
(5, 4,5,7)
79
u v
(1 6 (2) 7 3 1 (4) (2) 6 14 3 8 3
u w (1 5 (2) (4) 3 5 (4) 7
5 8 15 28 0 u
y w
son ortogonales.
Norma y distancia en R Consideremos los vectores los puntos
y
u
u
y
Rn, u
v
(u1 , u2 ,..., un ) y v
(v1 , v 2 ,..., v n ) la distancia entre
v
d(u y v) (u1 v1 )2
La norma (o longitud) del vector
u
u
(u2
escrita como
v 2 )2
(un
vn )2
u
u u (u1 u1 ) (u2 )2
(un )2
Ejemplo: Dado el vector f
d( f y a) (1 3)2
Long_ a a
32
(1, 2,4 ,1) y a
( 2 1)2
12
( 5)2
(4 5)2
02
(3,1, 5,0)
(1 0)2
a
2
b
2
95
35
P(a,b) P
P(a,b)
b-d P q (a c)2 (b d 2
(a,0) q(c,d)
a-c
80
Vector unitario: Es aquel que tiene como norma uno
u
1.
Vectores en R2 y R3 En R2, en el plano XY es un par ordenado de números reales (a,b) conocidos como componentes del vector que se inicia en el srcen y termina en ese punto.
El vector cero (0, 0) no tiene dirección pues inicia y termina en el mismo lugar.
Magnitud
u
Dirección
Si
u
a
2
b
(a, b)
2
b
b
θ
a
a
(a, b) u
a b
(
,
)
(u )
2
a
2
2
b
2
a
2
b
2
u
Como la recta es la mínima distancia entre dos puntos se cumple la desigualdad del triángulo:
u
v
u
v
Vectores unitarios: (1, 0) = i
u
(0, 1) = j
Son lineales independientes.
a
= (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = ai + bj bj
La magnitud del vector unitario es 1.
1
ai
81
Ejemplo:
1
u
Si
v
2
i
3 2
1 2
3
2
j
u
2
2
1
u ai bj (cos )i (sen ) j
0
v
es un vector unitario con la misma dirección que v.
u
v
Ejemplo:
Ejemplo: Encontrar el vector unitario con la misma dirección que v
v
2
2
(3)
2
13
u
2i
3j
13
2
13
i
3
13
2i
3j
j
Comprobando:
u
2
13
2
2
4 9 13 13 13
3
13
1
13
Ángulo entre dos vectores: Es el número de ángulos positivos.
α
α
α
α=0 α=π
82
Bases ortonormal, processo de ortonomalizacion de gram-schmidt En matemáticas y análisis numérico, el método de ortogonalización de Gram–Schmidt de álgebra lineal es un método de ortogonalizar un conjunto de vectores en un espacio prehilbertiano, más comúnmente el espacio euclídeo Rn. Ortogonalización en este contexto significa lo siguiente: comenzamos con vectores v1,…, vk los cuales son linealmente independientes y queremos encontrar mutuamente vectores ortogonales u1, …, uk los cuales generan el mismo subespacio que los vectores v1, …, vk.
Este método lleva el nombre en honor a Jørgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt. Método de Gram–Schmidt Definimos el opeador proyección con
Proyecta el vector v ortogonalmente en el vector u. El método de Gram –Schmidt entonces funciona como sigue:
Los dos primeros pasos del método de Gram–Schmidt
83
Ejemplo Considera el siguiente conjunto de vectores en R (con el convencional producto interno) n
Ahora, aplicamos Gram–Schmidt, para obtener un conjunto de vectores ortogonales:
Verificamos que los vectores u1 y u2 son de hecho ortogonales:
Entonces podemos normalizar los vectores dividiendo su tamaño como hemos mostrado anteriormente:
84
UNIDAD 5 – TRANSFORMACIONES LINEALES
Subtemas 5.1.
Introducción a las transformaciones lineales.
5.2.
Núcleo e imagen de una transformación lineal.
5.3.
La matriz de una transformación lineal.
5.4.
Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación.
Objetivo Aplicar las transformaciones lineales y sus propiedades para representarlas mediante una matriz de reflexión, dilatación, contracción y rotación.
Bibliografía
Grossman, Stanley I. (2012). Algebra lineal. México: McGraw-Hill
Anton, Howard (2008). Introducción al álgebra lineal. México: Limusa.
Poole, David (2007). Álgebra lineal. México: Thomson.
Seymour, Lipschutz (1991). Teoría y Problemas de Álgebra Lineal. México: Serie Schaum.
85
TRANSFORMACIONES LINEALES Definición Si
:→ = : → == es una función de un espacio vectorial
denomina una transformación lineal de a
a un espacio vectorial
si para todos los vectores
y
, entonces
se
de y para todos los
escalares . a)
b)
En el caso especial en que
, la transformación lineal
se denomina operador lineal
sobre .
Dos observaciones sobre la notación
:→ 3. 32 =9.15 : → = = = 3 3 =3 3 3 = 3 = = ∝ == 3 =∝ 1- Se escribe
para indicar que
espacio vectorial real subconjunto de
; esto es.
toma el espacio vectorial real
es una función con
y lo lleva al
como su dominioy su
como su imagen.
2- Se escriben indistintamente
y
.denotan lo mismo; los dos se leen “ de ”.
Ejemplo
Transformación lineal de
Sea
definida por
Pero
Así
similar
de manera
así,
es una trasformacion lineal
86
Transformación cero
: → =0 =0=00= =0=0= Sea
y
espacios vectoriales y definida
por
para todo
en
. En este caso,
transformada de cero.
Transformación identidad Sea
un espacio vectorial y definida
:→ = por
. Entonces
se denomina la
para todo . Aquí es obvio que es una
transformación lineal, la cual se denomina transformación identidad u operador identidad.
Transformación de reflexión Sea
: →
definida por
=
geométricos, toma un vector en
Figura 1; el vector Teorema Si
,
. Es fácil verificar que
es lineal. En términos
y lo refleja respecto al eje (véase en la figura 1)
es una reflexión respecto al eje del vector
,
es una transformación lineal, entonces
:→0=0= a)
b)
87
= → → =. : = ́́. = = ́= ́= c)
Transformaciones lineales de Sea
una matriz de si
matriz
y
de
y definida
están en
=
dada la multiplicación por una matriz de por
, se observa que
Como
es una transformación lineal. Entonces: toda
se puede utilizar para definir una transformación lineal de
en el plano
.
Transformación de rotación Suponga que el vector
se rota un angulo
(medido en grados o
radianes) en sentido contrario a las manecillas del reloj. Llame a este nuevo vector rotado Entonces, como se ve en la figura 2, si
y
denta la longitud de
rotación),
́ =
(que no cambia por la
Figura (2). Transformación de rotación Pero
cos= ́=………….. 1 , de manera que
88
=, ́=………….. 2 = …………………….3
De manera similar,
o sea
Sea
Esto se deduce de la definición estándar de en el círculo unitario. Si entonces y
como las coordenadas,
es un punto en el círculo de radio con centro en el srcen, , donde es el ángulo que forma el vector con el lado
= = , =́́ positivo del eje .
Entonces (1) y (2), se ve que , donde
de un punto
. La transformación lineal
,, : → = definida
esta dado por (3), se le llama transformación de rotación.
Transformación de proyección ortogonal Sea
Sea
:→ , ….., = ∗ = ∗⋯ ∗ = ∗ ∗ ∗=∗ un subespacio de
. La transformación de proyección ortogonal
se define por
una base ortogonal para . Entonces se tiene
Como (
y
, se ve que
es una transformación
lineal.
Dos operadores de proyección Se define
: → =0 por
. Entonces
es el operador de proyección que toma un
vector en el espacio de tres dimensiones y lo proyecta sobre el plano
de manera similar,
89
=0
proyecta un vector en el espacio sobre el plano
. Estas dos transformaciones se
describen en la siguiente figura (3)
Figura (3).proyección sobre el plano
Operador de t ransposición Defina
: → = = = por
. Como
y
denominado operador de transposición, es una transposición lineal.
, se ve que
,
Operador integral
: 0,1→ =∫ ∫ =∫ ∫ ∫ = Sea
definida por si
Por ejemplo,
y
. Como
son continuas, se ve que es lineal.
. Se denomina operador integral.
Operador diferencial
90
Suponga que
:0,1→0,1 = = ́ = se define por
son diferenciables, se ve que
es lineal.
. Como
y
si
y
se denomina operación diferencial.
Transformación que no es lineal Suponga que
= 01 1= 00 0102 01 == 01=
:,1→
esto se calcula
está definida por
. Entonces
no es lineal. Para ver
Esto proporciona una transformación que puede parecer lineal pero que de hecho no lo es.
Núcleo e imagen de una transformación lineal Sea
y
I-
dos espacios vectoriales y sea
El núcleo de
:→
, denotado por
una transformación lineal. E
, esta dado por
= ∈:=0 = ∈: = para alguna∈ 0∈ 0=0 :→ = II-
La imagen de , denotado por
Observacion1: observe que manera que
, esta dado por
es no vacío porque, de acuerdo al teorema,
para cualquier transformación lineal
otros vectores en
entonces
0=0
de
. Se tiene interés en encontrar
que “se transforma en 0”. De nuevo, obsérvese que cuando escribimos
, el 0 de la izquierda esta en
Observacion2: la imagen de
y el de la derecha en
.
es simplemente el conjunto de “imágenes “ de los vectores en
bajo la transformación . De hechos, si
, se dice que
Si
es una transformación lineal, entonces
I-
es un espacio de .
es la imagen de
bajo .
91
III-
II-
==00=0 ==0 == = = ==. es un subespacio de
Sea
y
en
.
; entonces
y
de forma que
y
Sean
. Entonces
y
en
están en
.
y
significa que y
para dos vectores
están en
=0 0 .
para todo
.
∈
.entonces
= =
Núcleo e imagen de la transformación identidad
== Sea
.
para todo
en .esto
Por lo tanto,
Núcleo e imagen de la transformación cero Sea
y
y
∈ .
Entonces
e
=0
e
Las transformaciones cero e identidades proporcionan dos extremos. En la primera todo se encuentra en el núcleo. En la segunda sólo el vector cero se encuentra en el núcleo. Los casos intermedios son más interesantes.
Núcleo e imagen de un operador de proyección
: → =0 =0=0000 ==0 =,, :==0,di∈m==1, 2 =,, :=0 Sea
definida por
, si
es decir, el eje , e
plano
. Obsérvese que
entonces
. Así,
, es decir, el
y
Nulidad y rango de una transformación lineal
Si
es una transformación lineal de
en
, entonces se define
===di dimm
92
Núcleo y nulidad de un operador de proyección
= =ℎ= ⫠ =0. Sea
un subespacio de
y sea
si
. SI
. Es obvio que la
= .
, se tiene que toda
lo que significa que
∈
Núcleo e imagen de un operador transpuesto
=0 = : → = = = 0 = =0 : → = = ==0, ∈ : =0 =0 =0 =0 = = =1 =3 = 0 , 1 : 0 , 1 : → =∫ = ∈ 0,1: ∫ =0 = 0,1:= 0,1 ∫ = . Sea
y definida
matriz cero de
por
por lo que
. Si
es la matriz cero de
. Esto significa que
y
, entonces
asi,
es una
y es claro que
.
Núcleo e imagen de la transformación de Definida
por
. Entonces si
para toda , lo que simplifica que
e
,
y
. Así
.
Núcleo e imagen del operador integral Sea
y
defina . Sea
esta en
por
.
Entonces
un número real. Entonces la función constante
y
como esto se cumple ´para todo número real
para
, se tiene
que
Matriz de una transformación lineal La clave para representar una transformación lineal determinar como actúa
:→
por medio de una matriz es
sobre una base de . Una vez que se conoce la imagen de todo vector
de la base es posible aplicar las propiedades de las transformaciones lineales para determinar para todo en .
Recuerde que la base estándar para
, escrita en notación vector columna está definida por: 93
=, …, =100⋮ , 010⋮⋯000⋮.
Matriz estándar de una transformación lineal Sea
: →
una transformación lineal tal que
=⋮ , =⋮ ,…. , =, ⋮ . ⋯⋯ =⋮ ⋮ ⋯⋱ ⋮ =
Entonces la matriz de
Tal que
cuyas columnas corresponden a
para toda
en
.
se denomina matriz estándar para .
Ejemplo: Determine la matriz estándar de la transformación lineal
,2, , =1,0,0=1,2 =0,1,0=2,1 =0,0,1=0,0 Se empieza por encontrar las imágenes de Notación vectorial
.
definida por
: →
,, =
Notación matricial
=100 =12 =010 =12 =001 =00
Por lo que se obtiene
94
=⋮⋮ =12201 0 ==12201 0=22 , ,, =2,2 , , = 2 5, 2 3, 4 2 , =124 201 235 =12141 20253 :: → : → : → == ,, =2,0, ,, =,, =° =° 2 1 0 110 =10 0 10 =0 10 01
Como verificación se observa que
Lo cual equivale a
.
La matriz estándar de la matiz lineal definida por
Se encuentra usando los coeficientes de
para formar los siguientes renglones de
como se muestra en seguida
Composición de transformaciones lineales Sea
y
transformaciones lineales con matrices estándar
composición
definida por
la matriz estándar de
de
Y
. La
, es una transformación lineal. Además,
está definida como el producto matricial de
Ejemplo Sea
transformaciones lineales de
a
tales que
Determine las matrices estándares de las composiciones Las matrices estándar de
y
.
son
Por lo tanto
95
= =110 00 01 10201 100 001=210 100 010, = =201 100 001110 00 01 10=221 01 00 00
y la matriz estándar de
está definida por
Transformación lineal de la inversa
: → : → = = Si
y
son transformaciones lineales tales que para todo
y
, entonces
invertible.
se denomina inversa de
Existencia de una transformación inversa
: →
en
, y se dice que
, es
Una transformación lineal con matriz estándar . Entonces, las condiciones siguientes
son equivalentes. 1-
es invertible
2-
es un isomorfismo
3-
es invertible
Además, se
es invertible con matriz estandar , entonces la matriz estandar
Ejemplo
es
.
: → , , =2 3 , 3 3 , 2 4 =23 43 11
La transformación lineal
Demuestre que
−
está definida por
es invertible y encuentre su inversa.
La matriz estándar de
es
Aplicando las técnicas para la inversión de matrices
96
− =116 210 301 − −=116 210 301 =62 3 Por consiguiente,
es invertible y su matriz estandar es
Matriz de transformación para bases no estándares
=, ,…., :→ =⋮ , =⋮ , =⋮ ⋯ = = ⋮ ⋮ ⋯⋱ ⋮ : → ,, = , 2 =1,2,1,1 =1,0,0,1 Sean
Y
Si
espacios vectoriales de dimensiones finitas con bases
y , respectivamente, donde
es una transformación lineal tal que
,
Entonces la matriz de
cuyas
columnas corresponden a
Es tal que
para todo
,
en
Ejemplo Sea
una transformación lineal definida por
Encuentre la matriz de
con respecto a las bases
y
Por definición de
se tiene
=1,1,12=03,0=3 = 3=0 0 3 97
Por consiguiente las matrices de coordenadas de
=30 =30
y
con respecto a
son
y
La matriz
con respecto a
y
se forman al usar estas matrices de coordenadas como
columnas para obtener
=3 0 0 3
Aplicaciones de las transformaciones lineales Operador de reflexión
Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio euclidiano de entrada, llamamos a la operación realizada la reflexión del conjunto de puntos dado. Esto puede realizarse también con respecto a la matriz, en tal situación la matriz de salida es llamada la matriz de reflexión. La reflexión es
realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje o el eje . Esto es como producir la imagen espejo de la matriz actual.
: →
Considere el operador respecto al eje
, = Si se hace
que transforma cada vector en una imagen simétrica con
(figura 4)
, Figura (4). Operador reflexión
=
En forma matricial
, entonces lasecuaciones que relacionan las componentes
y
son
==0 ==0 98
=01 10 =01 10
Como las ecuaciones las ecuaciones de tiene que la matriz estándar para es
En general, los operadores sobre
y
son lineales,
es un operador lineal, y por
se
que transforman cada vector en su imagen simétrica
con respecto a una recta o plano se denominan operadores reflexión. Estos operadores son lineales. En las tablas (1) y (2) se enumeran algunos de los operadores comunes. Tabla (1)
Tabla (2)
99
Operador de proyección Considere el operador
: →
que transforma cada vector en su proyección ortogonal sobre
=
el eje (figura 5). Las ecuaciones que relacionan los componentes de y
En forma matricial
==0 =0=0 =10 01 =10 00
Como las ecuaciones las ecuaciones de
son lineales,
tiene que la matriz estándar para es
son
es un operador lineal, y por
se
En general, un operador proyección(o, con mayor precisión, un operador de proyección ortogonal)
sobre
es cualquier operador que transforma cada vector en su proyección ortogonal
sobre una recta o un plano que pasa por el srcen. En las tablas 3 y 5 se enumeran algunos de los
operadores de proyección básicos sobre Tabla 3.
.
100
Tabla 5.
Operador de rotación El término rotación tiene dos significados, ya la rotación de un objeto puede ser realizada con respecto al eje dado o al eje mismo. La rotación se realiza para un cierto grado el cual es expresado en forma de un ángulo. Asimismo, la rotación puede realizarse en la dirección de las manecillas del reloj, o inverso a las manecillas del reloj. Un operador que hace girar todo vector en
a través de un ángulo fijo de
se denomina
operador rotacional. En la tabla 6 se presenta la fórmula para los operadores rotación sobre
.
Tabla 6.
101
Considerar el operador de rotación que hace girar cada vector en sentido contrario a las
manecillas del reloj a través de un ángulo positivo fijo
= ∅ = , relacionen y
, o sea
el angulo del eje
figura (5).
∅
. Para encontrar las ecuaciones que
positivo a , y sea la longitud común de
y
=, Figura 5.
Entonces, por trigonometría elemental,
=∅, =∅ = ∅, = ∅
Usando identidades trigonométricas, se obtiene
102
Y sustituyendo
= ∅ ∅ = ∅ ∅ = ∅ = =
Las ecuaciones son lineales, de modo que
es un operador lineal; además, con base a estas
ecuaciones se concluye que la matriz estándar para
es
103
