Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

Aline Felizardo Gol¸calves Andr´ e Alexandre Silveira Andr´ e Antˆ onio Bernardo C´ esar Manchein Fl´ abio Esteves Cordeiro Gisele Maria Leite Dalmˆ onico Marcio Rodrigo Loos Priscila Fischer Ricardo Fernandes da Silva Sidinei Schaefer Professores

Luciano Camargo Martins Coordenador

Revisão 1.2 de 29 de agosto de 2007

2

MUNDO FÍSICO Nossa Apostila A edi¸caõ dessa apostila, concretiza os esfor¸cos feitos desde o ano de 2003, quando os alunos do antigo Curso de Licenciatura Plena em F´ısica da UDESC mobilizaram-se por for¸ca e vontade própria no desenvolvimento e apresenta¸caõ de um Curso Pré-Vestibular aberto ` a comunidade, gratuito, que preparasse melhor os alunos interessados nos cursos oferecidos pelo Centro de Ciências Tecnológicas (CCT) da UDESC-Joinville. Essa primeira tentativa de implantar o Curso Pré-Vestibular n˜ ao chegou a se realizar, por raz˜ oes puramente burocráticas, apesar dos esfor¸cos gastos na prepara¸caõ das aulas e do material did´ atico inicial. Nos anos seguintes, a idéia original foi abra¸cada por um projeto de extensão oficial, e s´ o ent˜ ao pode ser realizado com sucesso, j´ a tendo atendido milhares de alunos desde ent˜ ao. Adaptada ao vestibular vocacionado da UDESC, esperamos que esse material seja suficiente para a revis˜ ao dos conte´ udos exigidos pela Universidade. Convidamos a todos para que visitem o nosso site!

Nosso Endere¸co na Internet http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Joinville-SC, 29 de agosto de 2007 Professor Luciano Camargo Martins Coordenador da Home Page Mundo F´ısico e-Mail: [email protected]

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Sum´ ario FÍSICA

1

Mecˆ anica – Aula 1: Grandezas F´ısicas . . . . . . . Mecˆ anica – Aula 2: Algarismos Significativos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Mecˆ anica – Aula 3: Grandezas Escalares e Vetoriais Mecˆ anica – Aula 4: A Primeira Lei de Newton . . . . . Mecˆ anica – Aula 5: A Segunda Lei de Newton . . . . . Mecˆ anica – Aula 6: Energia . . . . . . . . . Mecˆ anica – Aula 7: Energia Potencial

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Mecˆ anica – Aula 8: Trabalho e Energia Potencial .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mecˆ anica – Aula 9: Dinˆ amica do Movimento Circular Mecˆ anica – Aula 10: Quantidade de Movimento . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

18

. . . . . . . . . . . . . . . .

20

Mecˆ anica – Aula 11: Impulso e Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mecˆ anica – Aula 12: Conserva¸c˜ ao da Quantidade de Movimento Mecˆ anica – Aula 13: Mecˆ anica – Aula 14: Mecˆ anica – Aula 15: Gravita¸ c˜ ao – Aula 1: Gravita¸ c˜ ao – Gravita¸ c˜ ao – Gravita¸ c˜ ao – ´ Otica – Aula

. . . . . . .

21

. . . . . . .

22

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

Colis˜ oes . . . . . . . . . . . . . Lei da A¸c˜ ao e Rea¸c˜ ao For¸ca de Atrito . . . . . . As Leis de Kepler . . .

Aula 2: Gravita¸ c˜ ao Universal Aula 3: Peso . . . . . . . . . . . . . . . Aula 4: Centro de Gravidade . ´ 1: Otica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

´ Otica – Aula 2: Espelhos Esf´ ericos ´ Otica – Aula 3: Refra¸c˜ ao da Luz . . ´ Otica – Aula 4: Lentes Esf´ ericas . . ´ ´ Otica – Aula 5: Otica da Vis˜ ao . . . Fluidos – Aula 1: Fluidos . . . . . . . Fluidos – Aula 2: Hidrost´ atica . . . Cinem´ atica – Aula 1: Cinem´ atica

16

iii

iv

Cinem´ atica – Aula 2: Movimento Uniforme (MU)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cinem´ atica – Aula 3: Movimento Uniformemente Variado (MUV) Cinem´ atica – Aula 4: Queda Livre

57

. . . . .

59

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

Cinem´ atica – Aula 5: Movimento Circular Uniforme (MCU)

. . . . . . . . . .

63

Ondas – Aula 1: Ondas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

Ondas – Aula 2: Ondas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Ondas – Aula 3: Ondas e Interferˆ encia Ondas – Aula 4: Som

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

Ondas – Aula 5: Efeito Doppler

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Termodinˆ amica – Aula 1: Termodinˆ amica

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Termodinˆ amica – Aula 2: Dilata¸c˜ ao T´ ermica .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Termodinˆ amica – Aula 3: Transforma¸c˜ oes Gasosas . Termodinˆ amica – Aula 4: Lei de Avogrado

80 82

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

Termodinˆ amica – Aula 6: Calor e Temperatura

. . . . . . . . . . . . . .

85

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

Termodinˆ amica – Aula 7: Capacidade T´ ermica (C)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Termodinˆ amica – Aula 8: Primeira Lei da Termodinˆ amica Termodinˆ amica – Aula 10: Mudan¸cas de Fase

89

. . . . . . . . . . . .

91

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

Termodinˆ amica – Aula 9: M´ aquinas T´ ermicas .

Termodinˆ amica – Aula 11: Sublima¸c˜ ao e Diagrama de Fases .

. . . . . . . . . .

96

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

Eletricidade – Aula 2: Eletrosc´ opio de Folhas Eletricidade – Aula 3: Campo El´ etrico

79

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Termodinˆ amica – Aula 5: Modelo Molecular de um G´ as

Eletricidade – Aula 1: Carga El´ etrica

74

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Eletricidade – Aula 4: Potencial El´ etrico

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Eletricidade – Aula 5: Superf´ıcies Equipotenciais

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Eletricidade – Aula 6: Condutores em Equil´ıbrio

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Eletricidade – Aula 7: Capacidade El´ etrica

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Eletricidade – Aula 8: Associa¸c˜ ao de Capacitores . Eletricidade – Aula 9: Corrente El´ etrica

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Eletricidade – Aula 10: Resistˆ encia Equivalente Eletricidade – Aula 11: Instrumentos de Medida

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Eletricidade – Aula 12: Geradores e For¸ca Eletromotriz

. . . . . . . . . . . . . . . 121

v

QUÍMICA

125

Qu´ımica – Aula 1: Estrutura Atˆ omica Qu´ımica – Aula 2: Modelos Atˆ omicos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Qu´ımica – Aula 3: Liga¸ c˜ oes Qu´ımicas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Qu´ımica – Aula 4: Liga¸ c˜ oes Qu´ımicas . . . . . Qu´ımica – Aula 5: A Estrutura da Mat´ eria

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Qu´ımica – Aula 6: Teoria Cin´ etica dos Gases ´ Qu´ımica – Aula 7: Acidos e Bases . . . . Qu´ımica – Aula 8: Solu¸c˜ oes Qu´ımicas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Qu´ımica – Aula 9: Equil´ıbrio Iˆ onico . . . . Qu´ımica B – Aula 1: O que ´ e Qu´ımica? .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Qu´ımica B – Aula 2: Mat´ eria e Energia

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Qu´ımica B – Aula 3: Metais, Semi-metais e Ametais . Qu´ımica B – Aula 4: Propriedades Peri´ odicas . . . . . . . Qu´ımica B – Aula 5: Liga¸ c˜ oes Qu´ımicas

. . . . . . . . . . . . . . . . . 150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Qu´ımica B – Aula 6: Liga¸ c˜ oes Qu´ımicas . . . . . . . . . . Qu´ımica B – Aula 7: Equa¸c˜ oes e Rea¸c˜ oes Qu´ımicas Qu´ımica B – Aula 8: Equa¸c˜ oes e Rea¸c˜ oes (II) Qu´ımica B – Aula 9: Solu¸c˜ oes Qu´ımicas . Qu´ımica B – Aula 10: Fun¸ c˜ oes Qu´ımicas .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Qu´ımica B – Aula 11: Propriedades Coligativas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Qu´ımica B – Aula 12: Eletroqu´ımica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Qu´ımica Orgˆ anica – Aula 1: Introdu¸c˜ ao ` a Qu´ımica Orgˆ anica Qu´ımica Orgˆ anica B – Aula 2: Nomenclatura

183

Matem´ atica A – Aula 1: Rela¸c˜ oes e Fun¸c˜ oes . Matem´ atica A – Aula 2: Fun¸ c˜ oes Polinomiais Matem´ atica A – Aula 3: Fun¸ c˜ oes Especiais . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Matem´ atica A – Aula 4: Fun¸ c˜ oes Especiais (II) A A A A

– – – –

Aula Aula Aula Aula

. . . . . . . . . . 175

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

´ MATEMATICA

Matem´ atica Matem´ atica Matem´ atica Matem´ atica

. . . . . . . . . . 171

5: 6: 7: 8:

Polinˆ omios . . . . . . . . . Equa¸c˜ oes Alg´ ebricas Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

vi

Matem´ atica Matem´ atica Matem´ atica Matem´ atica Matem´ atica Matem´ atica Matem´ atica Matem´ atica

A A B B B B B B

– – – – – – – –

Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula

9: Circunferˆ encia . . . . . . . . . . . . . . . . 10: Circunferˆ encia - II . . . . . . . . . . . . 1: Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2: Opera¸c˜ oes com Matrizes . . . . . . . 3: Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . 4: Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . 5: Discuss˜ ao de um Sistema Linear 6: Progress˜ ao Aritm´ etica . . . . . . . . .

Matem´ atica B – Aula 7: Progress˜ ao Geom´ etrica (PG)

. . . . . . . . . . . . . 206 . . . . . . . . . . . . . 207 . . . . . . . . . . . . . 211 . . . . . . . . . . . . . 212 . . . . . . . . . . . . . 214 . . . . . . . . . . . . . 216 . . . . . . . . . . . . . 218 . . . . . . . . . . . . . 219

. . . . . . . . . . . . . . . . 221

Matem´ atica C – Aula 1: Teoria dos Conjuntos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Matem´ atica C – Aula 2: Conjuntos Num´ ericos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Matem´ atica C – Aula 3: N´ umeros complexos (C) .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Matem´ atica C – Aula 4: Raz˜ oes e Propor¸c˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . Matem´ atica C – Aula 5: Regras de Trˆ es Simples e Composta . Matem´ atica C – Aula 6: Juros e Porcentagens Matem´ atica Matem´ atica Matem´ atica Matem´ atica Matem´ atica Matem´ atica

C C C C C C

– – – – – –

Aula Aula Aula Aula Aula Aula

. . . . . . . . . 235

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

7: An´ alise Combinat´ oria . . . . . . . . . . . . . 8: Arranjo, Combina¸c˜ ao e Permuta¸c˜ ao 9: Binˆ omio de Newton . . . . . . . . . . . . . . 10: Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11: Inequa¸c˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12: Equa¸c˜ oes Trigonom´ etricas . . . . . . . .

Matem´ atica C – Aula 13: Introdu¸c˜ ao ` a Geometria . Matem´ atica C – Aula 14: Triˆ angulos . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . 239 . . . . . . . . . . 240 . . . . . . . . . . 242 . . . . . . . . . . 245 . . . . . . . . . . 247 . . . . . . . . . . 250

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Matem´ atica C – Aula 15: Quadril´ ateros . . . . . . . . . . . . Matem´ atica C – Aula 16: Circunferˆ encia . . . . . . . . . . . Matem´ atica C – Aula 17: Pol´ıgonos e Figuras Planas Matem´ atica C – Aula 18: Retas e Planos Matem´ atica C – Aula 19: Poliedros . . . . . Matem´ atica C – Aula 20: Prismas . . . . . .

. . . . . . . . . 234

. . . . . . . . . . . . . . . . . 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

LÍNGUA PORTUGUESA

273

L´ıngua Portuguesa – 01: Variantes Ling¨ u´ısticas L´ıngua Portuguesa – 02: Acentua¸c˜ ao Gr´ afica .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

L´ıngua Portuguesa – 03: Concordˆ ancia Nominal . L´ıngua Portuguesa – 04: Concordˆ ancia Verbal . . L´ıngua Portuguesa – 05: Coloca¸c˜ ao Pronominal

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

vii

L´ıngua Portuguesa – 06: Crase

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

L´ıngua Portuguesa – 07: Interpreta¸c˜ ao de Textos .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

L´ıngua Portuguesa – 08: Sinˆ onimos, Antˆ onimos e etc.

´ HISTORIA Hist´ oria – Aula 1: Hist´ oria de Santa Catarina .

Grade de Respostas (PARCIAL) Referˆ encias Bicliogr´ aficas

. . . . . . . . . . . . . . . . 284

287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

291

299

F´ısica Mecˆ anica

Grandeza área

Aula 1

volume densidade

Grandezas F´ısicas

velocidade

Apesar de existirem muitas grandezas f´ısicas, s˜ ao estabelecidos padr˜ oes e definidas unidades para que tenhamos um n´ umero m´ınimo de grandezas denominadas fundamentais. Utilizando as grandezas fundamentais definem-se unidades para todas as demais grandezas, as chamadas grandezas derivadas. A partir de uma das grandezas fundamentais, o comprimento por exemplo, cuja unidade é o metro (m), pode-se definir as unidades derivadas, como a ´rea (m2 ) e volume (m3 ). Utilizando o metro e outra grandeza fundamental, a de tempo, definem-se as unidades de velocidade (m/s) e acelera¸ca õ (m/s2 ).

acelera¸caõ

for¸ca press˜ ao trabalho, energia, calor potência carga elétrica diferen¸ca de potencial resistência elétrica

Sistema Internacional(SI)

Unidade metro quilograma segundo ampère kelvin mol candela

S´ımbolo m2 m3 kg/m3

m/s m/s2

N = Kg m/s2 P a = N/m2 J W = J/s C = As V = J/C Ω = V /A

Tabela 1.2: Algumas unidades derivadas do SI.

Até o final do século XV III era muito grande a quantidade de padr˜ oes existentes. Cada regi˜ ao escolhia arbitrariamente as suas unidades. Por motivos históricos, os pa´ıses de l´ıngua inglesa utilizam até hoje os seus padr˜ oes regionais. O elevado aumento nos intercâmbios econˆ omicos e culturais levou ao surgimento do Sistema Internacional de Unidades ou SI, o sistema métrico. Grandeza comprimento massa tempo corrente elétrica temperatura quantidade de matéria intensidade luminosa

Unidade metro quadrado metro c´ ubico quilograma por metro c´ ubico metro por segundo metro por segundo ao quadrado newton pascal joule watt coulomb volt ohm

S´ımbolo m kg s A K mol cd

Prefixo

S´ımbolo

pico nano micro mili centi deci deca hecto quilo mega giga tera

p n µ m c d D H k M G T

Potˆ encia de dez correspondente 10−12 10−9 10−6 10−3 10−2 10−1 101 102 103 106 109 1012

Tabela 1.3: Prefixos, s´ımbolos e potências de dez.

Tabela 1.1: Unidades fundamentais do SI. • diâmetro de um átomo de hidrogênio: 0, 0000000001 m.

Em 1971, a 14a Conferência Geral de Pesos e Medidas escolheu sete grandezas como fundamentais, formando assim a base do SI. Além das grandezas, definiu-se também os s´ımbolos, unidades derivadas e prefixos. A tabela 1.1 mostra as unidades fundamentais do SI. A tabela 1.2 apresenta algumas unidades derivadas do SI.

Para manipular tais n´ umeros, utilizamos a nota¸caõ cient´ıfica, fazendo uso das potências de 10. O módulo de qualquer n´ umero g pode ser escrito como um produto de uma mantissa a, entre um e dez, por outro, que é uma potência de dez: g = a × 10n ,

Nota¸ c˜ ao Cient´ıfica

A medida de uma determinada grandeza f´ısica pode resultar onde devemos ter 1 ≤ a < 10. em um n´ umero que seja extremamente grande ou extremamente pequeno, por exemplos temos: Exemplos • 243 = 2, 43 × 100 = 2, 43 × 102

• distância da Terra ` a Lua: 384.000.000 m. 1

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Exerc´ıcios Complementares

• 5.315 = 5, 315 × 1000 = 5, 315 × 103 • 0, 00024 = 2, 4 × 0, 0001 = 2, 4 × 10−4

4. (UFPI) A nossa gal´ axia, a Via L´ actea, contém cerca de 400 bilh˜ o es de estrelas. Suponha que 0, 05% dessas estrelas • 0, 00458 = 4, 58 × 0, 001 = 4, 58 × 10 possuam um sistema planet´ ario onde exista um planeta semelhante à Terra. O n´ umero de planetas semelhantes à Terra, na Regra Pr´ atica Via L´ actea, é: a) 2 × 104 . • N´ umeros maiores que 1: deslocamos a v´ırgula para a b) 2 × 106 . esquerda, até atingir o primeiro algarismo do n´ umero. O c) 2 × 108 . n´ umero de casas deslocadas para a esquerda corresponde d) 2 × 1011 . ao expoente positivo da potência de 10. e) 2 × 1012 . −3

• N´ umeros menores do que 1: deslocamos a v´ırgula para a direita, até o primeiro algarismo diferente de zero. O n´ umero de casas deslocadas para a direita corresponde ao expoente negativo da potência de 10.

Pense um Pouco!

5. Transforme em quilˆ ometros: a) 3600 m; b) 2.160.000 cm; c) 0, 03 m; d) 5.780 dm; e) 27.600 m; f) 5.800 mm;

aginas e 4, 0 cm • Quais s˜ ao as unidades de Peso e de massa? por que elas 6. (Unifor-CE) Um livro de F´ısica tem 800 p´ de espessura. A espessura de uma folha do livro vale, em n˜ ao s˜ ao iguais? mil´ımetros: • Um analgésico deve ser inserido na quantidade de 3 mg/kg a) 0, 025. de massa corporal, mas a dose administrada n˜ ao pode ex- b) 0, 050. ceder 200 mg. Cada gota contém 5 mg do remédio. Quan- c) 0, 10. d) 0, 15. tas gotas devem ser prescritas a um paciente de 80 kg? e) 0, 20. 7. Escreva os seguintes n´ umeros em nota¸caõ cient´ıfica: a) 570.000 b) 12.500 1. (UENF-RJ) A tabela abaixo mostra as dimensões e as c) 50.000.000 d) 0, 0000012 unidades, no sistema internacional, e) 0, 032 f) 0, 72 Grandeza Dimens˜ ao Unidades SI g) 82 × 103 Comprimento L m (metro) h) 640 × 105 Massa M kg (quilograma) i) 9.150 × 10−3 Tempo T s (segundo) j) 200 × 10−5 k) 0, 05 × 103 das grandezas mecˆ anicas prim´ arias: a) Sabendo que for¸ca = massa · acelera¸caõ, expresse a unidade l) 0, 0025 × 10−4 de for¸ca em unidades de grandezas prim´ arias. b) Determine os valores de n e p, se a express˜ ao M Ln T n−p corresponde à dimensão de energia cinética.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

Mecˆ anica

Aula 2

2. (FGV-SP) A dimensão de potência em fun¸caõ das grandezas fundamentais, massa (M ), comprimento (L) e tempo (T ) é: a) M L2 T −2 Algarismos Significativos b) M L2 T −1 c) M L2 T 2 A precisão de uma medida simples depende do instrumento d) M L2 T −3 utilizado em sua medi¸caõ. Uma medida igual a 2, 00 cm n˜ ao e) M LT −2 deve ser escrita como 2, 0 cm ou 2 cm. 3. (Unifor-CE) Considerando que cada aula dura 50 min, o Denominamos algarismos significativos todos os algarismos co´ ltimo duvidoso, intervalo de tempo de duas aulas seguidas, expresso em segun- nhecidos com certeza, acompanhados de um u que expressam o valor da medida de uma grandeza, ou seja: todos, é de: dos os algarismos que representam a medida de uma grandeza a) 3, 0 × 102 . s˜ ao algarismos significativos, sendo chamados de corretos, com b) 3, 0 × 103 . exce¸caõ do u ´ ltimo, que recebe o nome de algarismo duvidoso. c) 3, 6 × 103 . O algarismo duvidoso de uma medida ser´ a sublinhado para d) 6, 0 × 103 . destac´ a-lo, quando for preciso. e) 7, 2 × 103 .

ˆnica – Aula 2 Meca

3

Crit´ erios de Arredondamento

Exemplos

Considere a velocidade da luz c = 2, 9979 . . . × 108 m/s. 1. A medida 2, 35 cm apresenta três algarismos significativos umero me(2, 3 e 5), sendo dois algarismos corretos (2 e 3) e um Como devemos proceder para escrever “c” com um n´ nor de algarismos significativos? Devemos utilizar os critérios algarismo duvidoso (5). de arredondamento. 2. A medida 0, 00057 mm apresenta somente dois algaris- Podemos escrever: 4 significativos mos significativos ( 5 e 7), sendo um correto (5) e um c = 2, 998 × 108 m/s 8 duvidoso (7). Observe que os zeros a ` esquerda n˜ ao s˜ ao c = 3, 00 × 10 m/s 3 significativos algarismos significativos, pois servem apenas para posi- c = 3, 0 × 108 m/s 2 significativos cionar a v´ırgula no n´ umero. Nesse caso, é aconselh´ avel escrever a medida em nota¸caõ cient´ıfica: 5, 7 × 10−4 mm.

REGRAS

3. A medida 150, 00 km apresenta cinco algarismos significativos, sendo os quatro primeiros corretos, e o u ´ ltimo zero é o algarismo duvidoso. Em nota¸caõ cient´ıfica escrevemos: 1, 5000 × 102 km. Note que ao escrevermos um n´ umero usando as potências de 10 mantemos a quantidade de algarismos significativos deste n´ umero, ou seja, mantemos sua precisão. 4. Considere a medida do comprimento de uma haste com régua com divisões em cent´ımetros: 0 cm 1

2

3

4

5

6

7

• Se o algarismo a ser eliminado é menor que 5, ele é simplesmente eliminado. √ Exemplo: 2 = 1, 41421 . . . = 1, 414 • Se o algarismo a ser eliminado é igual ou maior que 5, ele é eliminado, mas acrescentamos uma unidade no algarismo anterior. Exemplo: π = 3, 1415926 . . . = 3, 1416

Opera¸c˜ oes com Algarismos Significativos Adi¸ c˜ ao e Subtra¸ c˜ ao

O resultado da adi¸caõ e subtra¸caõ de dois n´ umeros n˜ ao pode Qual das op¸co˜es abaixo melhor representa o comprimento ter maior n´ umero de casas decimais, do que a parcela mais da haste? pobre (em casas decimais). Procede-se a opera¸caõ normalmente e arredonda-se o resultado. a) 5, 0 cm Exemplos b) 5, 40 cm c) 5 cm

• 5, 3 m + 4, 38 m = 9, 68 m = 9, 7 m

d) 5, 5 cm

• 138, 95 m − 12, 3 m = 126, 65m = 126, 7 m

e) 5, 2 cm

Sublinhamos o algarismo duvidoso, identificando-o, para a seguir procedermos o arredondamento.

5. Considere a figura: 0 cm 1

2

3

4

5

6

7

Multiplica¸ c˜ ao e Divis˜ ao

O resultado de uma multiplica¸caõ e divisão n˜ ao pode ter maior n´ umero de algarismos significativos do que o fator mais A mesma haste do exemplo anterior, medida agora com pobre (em algarismos significativos). Procede-se a opera¸caõ uma régua milimetrada: normalmente e arredonda-se o resultado. a) 5, 2 cm Exemplos b) 5, 240 cm c) 5, 45 cm d) 5, 24 cm e) 5, 21 cm

• 4, 23 m × 2, 0 m = 8, 46 m2 = 8, 5 m2 • 4, 98 cm ÷ 2, 0 s = 2, 49 cm/s = 2, 5 cm/s

Rela¸c˜ oes entre Grandezas F´ısicas

6. Indique o n´ umero de algarismos significativos de cada Muitos fenˆ omenos f´ısicos podem ser reduzidos ao estudo da n´ umero abaixo: rela¸caõ entre duas grandezas. Quando isto ocorre, os dados obtidos das medi¸co˜es podem ser expressos por uma representa¸caõ a) 7, 4 2 significativos gráfica num plano cartesiano por meio de dois eixo perpendib) 0, 0007 1 significativo culares entre si. c) 0, 034 2 significativos Através da representa¸caõ gráfica da rela¸caõ entre duas grandezas pertencentes a um determinado fenˆ omeno f´ısico, podemos d) 7, 40 × 10−10 3 significativos obter algumas conclusões sobre o comportamento de uma das

4


• as divisões numéricas das escalas (lineares) devem ser regulares; • o valor zero (0) n˜ ao precisa estar em nenhuma das escalas; • as escalas devem crescer da esquerda para a direita, e de baixo para cima;

Temperatura (◦ C) 39,0 39,0 38,5 38,0 38,5 37,5 37,0 36,5 36,5 36,5

• antes de iniciar a constru¸caõ de um gráfico deve-se verificar a escala a ser usada levando em considera¸caõ os valores extremos, ou seja, o maior e o menor valor assumido por ambas as vari´ aveis do gráfico. Divide-se ent˜ ao o espa¸co dispon´ıvel, em cada eixo, para que acomode todos os pontos experimentais; • o teste final para saber se as escalas est˜ ao boas é feito verificando-se se é fácil de ler as coordenadas de qualquer ponto nas escalas.

Podemos representar os dados da tabela acima em um gráfico. A representa¸caõ gráfica das vari´ aveis temperatura (vari´ avel dependente: eixo vertical) e tempo (vari´ avel independente: eixo horizontal) est´ a mostrada na Fig. 1.1.

Pense um Pouco! • A fun¸caõ da posi¸caõ x em rela¸caõ ao tempo t de um ponto material em movimento retil´ıneo, expressa em unidades do SI, é x = 10 + 5, 0t

40.0

Determine: a) a posi¸caõ do ponto material no instante 5, 0 s; b) o instante em que a posi¸caõ do ponto material é x = 50 m; c) esboce o gráfico x × t do movimento.

39.0 T(oC)


• as escalas s˜ ao independentes e devem ser constru´ıdas independentemente;

grandezas (vari´ avel dependente) em rela¸caõ a outra (vari´ avel independente). Consideremos o seguinte exemplo: Uma pessoa com febre foi medicada, ingerindo uma dose do medicamento ` as 8 horas e uma outra dose às 12 horas da manh˜ a. A temperatura da pessoa foi verificada de hora em hora e os resultados obtidos s˜ ao mostrados abaixo. Tempo (h) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

—

38.0 37.0


36.0 1. Determine o comprimento de cada haste: 0 cm 1

2

3

4

5

6

7

0 cm 1

2

3

4

5

6

7

b) O gr´ afico cartesiano mostrado anteriormente, além de facilitar 0 cm 1 a visualiza¸caõ do comportamento da temperatura da pessoa durante as 9 horas de observa¸caõ, permite também, algumas c) conclusões.

2

3

4

5

6

7

0 cm 1

2

3

4

5

6

7

0 cm 1

2

3

4

5

6

7

0 cm 1

2

3

4

5

6

7

35.0 0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

t(h)

a)

Figura 1.1: Gr´ afico da temperatura em fun¸ca õ do tempo

Como Construir um Gr´ afico

d)

Para que gráficos sejam constru´ıdos de forma objetiva e clara é necess´ ario respeitar algumas regras simples: • O eixo vertical é chamado de eixo das abscissas e o hori- e) zontal de eixo das coordenadas; • a vari´ avel dependente deve ser colocada no eixo vertical e a vari´ avel independente no eixo horizontal;

f)

• os eixos devem se encontrar no canto inferior esquerdo do papel, ou espa¸co (retângulo) reservado para o gráfico;

2. (UFSE) A escala de uma trena tem, como menor divisão, o mil´ımetro. Essa trena é utilizada para se medir a distância


5

entre dois tra¸cos paralelos, muito finos, feitos por um estilete sobre uma superf´ıcie plana e lisa. Considerando que n˜ ao houve erro grosseiro, o resultado de uma s´ o medi¸caõ, com o n´ umero correto de algarismos significativos, é mais bem representado por: a) 2 m b) 21 dm c) 214 cm d) 2, 143 m e) 2.143, 4 m

exemplos de grandeza f´ısica escalar podemos citar a massa de um corpo (por exemplo, 50 kg), a temperatura (por exemplo 36 o C), o volume (5 m3 , por exemplo), a densidade (para a água, 1000 kg/m3 ), a press˜ ao (105 N/m2 ), a energia (por exemplo 100 J) e muitas outras. Para operar com grandezas escalares, segue-se as regras de opera¸co˜es algébricas comuns, arredondando-se quando necessário.

Grandezas Vetoriais

Exerc´ıcios Complementares 3. (Cesgranrio) Um estudante deseja medir o comprimento de sua mesa de trabalho. N˜ ao dispondo de régua, decide utilizar um toco de l´ apis como padr˜ ao de comprimento. Verifica ent˜ ao que o comprimento da mesa equivale ao de 13, 5 tocos de l´ apis. Chegando ao colégio, mede com uma régua o comprimento do seu toco de l´ apis, achando 8, 9 cm. O comprimento da mesa ser´ a corretamente expresso por: a) 120, 15 cm b) 120, 2 cm c) 1 × 102 cm d) 1, 2 × 102 cm e) 102 cm 4. (PUC-MG) Um estudante concluiu, ap´ os realizar a medida necess´ aria, que o volume de um dado é 2, 36 cm3 . Levando-se em conta os algarismos significativos, o volume total de cinco dados, idênticos ao primeiro, ser´ a corretamente expresso por: a) 6, 8 cm3 b) 7 cm3 c) 13, 8 cm3 d) 16, 80 cm3 e) 17, 00 cm3 5. Medindo a espessura de um caderno comum de 100 folhas, sem considerar as capas, um estudante obteve a medida de 1, 0 cm. A ordem de grandeza da espessura média de uma folha é: a) 10−1 mm b) 10−2 mm c) 10−3 mm d) 10−4 mm e) 10−5 mm

Mecˆ anica

Aula 3

Grandezas Escalares e Vetoriais Na F´ısica tratamos de dois tipos principais de grandezas: as grandezas escalares e grandezas vetoriais.

Grandezas Escalares A grandeza escalar é aquela que fica perfeitamente caracterizada quando conhecemos apenas sua intensidade acompanhada pela correspondente unidade de medida. Como

Dada a velocidade instantˆ anea de um móvel qualquer (por exemplo, um avi˜ ao a 380 km/h), constatamos que apenas essa indica¸caõ é insuficiente para dizermos a dire¸caõ em que o móvel segue. Isso acontece porque a velocidade é uma grandeza vetorial. Para uma grandeza f´ısica vetorial ficar totalmente caracterizada, é necess´ ario saber n˜ ao apenas a sua intensidade ou m´ odulo mas também a sua dire¸ c˜ ao e o seu sentido. Geralmente a grandeza vetorial é indicada por uma letra com uma setinha (por exemplo, ~v ) e o módulo ou intensidade, por |~v | ou simplesmente por v. A grandeza f´ısica vetorial pode ser representada graficamente por um segmento de reta (indicando a dire¸caõ da grandeza) dotado de uma seta (indicativa de seu sentido) e trazendo ainda seu valor seguido da unidade de medida (indica¸caõ de seu módulo ou intensidade). Tal representa¸caõ é denominada vetor. No exemplo anterior do avi˜ ao, poder´ıamos dizer, por exemplo, que ele se movimenta num certo instante com velocidade ~v , de módulo v = 380 km/h, na dire¸caõ norte-sul e sentido de sul para norte. Essa velocidade vetorial instantˆ anea pode ser representada por um vetor, como mostra a figura 1.1.

380 km/h N

L

O

S

Figura 1.1: Exemplo de representa¸ca õ vetorial Como afirmamos anteriormente, para representar grandezas vetoriais é preciso indicar, além do módulo, a dire¸caõ e o sentido da grandeza. Podemos fazer essa indica¸caõ utilizando um vetor (veja a figura 1.2). O vetor pode ser representado por um segmento de reta orientado cujo tamanho - intensidade - é proporcional à intensidade da grandeza que representa. Para melhor entendermos o significado e a representa¸caõ de um vetor, observe a figura 1.3. Na figura de cima os vetores representados possuem mesma dire¸ca õ e sentido; na figura de baixo os vetores apresentam a mesma dire¸ca õ e sentidos opostos. Portanto, podemos notar que vetores de mesma dire¸caõ s˜ ao paralelos, o que n˜ ao garante que tenham o mesmo sentido.

6

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC S

—


Vetores Perpendiculares

Imaginaremos agora, que um móvel parte de um ponto A e sofre um deslocamento d~1 no sentido leste, atingindo um ponto B Figura 1.2: A reta s, que contém o vetor, indica a dire¸ca õ e a e, em seguida, um deslocamento d~2 no sentido norte, atingindo seta indica o sentido um ponto C (veja a figura 1.5) C

b

N

d

a

O

L d

c

S

a

d2

A

B d1

b

Figura 1.5: O deslocamento d~ equivale aos deslocamentos d~1 e d~2 . Portanto d~ = d~1 + d~2 . Figura 1.3: Representa¸ca õ de alguns vetores

Soma de Vetores Paralelos

Podemos notar facilmente que o deslocamento d~1 , de A para ~ B, e o d~2 , de B para C, equivalem a um u ´ nico deslocamento, d, ~ de A para C. Desta forma, o deslocamento d é a soma vetorial ou resultante dos deslocamentos d~1 e d~2 , ou seja,

Quando os vetores tem a mesma dire¸caõ, podemos determid~ = d~1 + d~2 nar o módulo do vetor soma estabelecendo convencionalmente um sentido como positivo e somando algebricamente os seus Este resultado é válido para qualquer grandeza vetorial. Veja a figura 1.6. módulos. Observe:

a c

c b

a

b

b

b

a

Figura 1.6: O vetor ~c é a resultante ou soma vetorial de ~a e ~b.

´ Os vetores ~a e ~b tem como vetor soma resultante o vetor ~c. E ~ crucial notar que a coloca¸caõ do vetor b na origem ou na extred c midade do vetor ~a n˜ ao altera o vetor soma ~c. Deve-se observar que os vetores ~a, ~b e ~c formam um triˆ angulo retˆ angulo, em que ~c é a hipotenusa ~a e ~b s˜ ao catetos. Para obtermos o módulo Figura 1.4: De acordo com a conven¸ca õ adotada, o m´ odulodo do vetor resultante, basta aplicar o teorema de Pit´ agoras: vetor ser´ a d = a + b − c. c2 = a 2 + b 2 Os vetores ~a, ~b e ~c possuem a mesma dire¸caõ (horizontal). Soma de Vetores Adotamos como positivo o sentido horizontal para a direita. ~ Assim, os vetores ~a e b s˜ ao positivos e o vetor ~c é negativo. O A soma de vetores perpendiculares entre si ou de dire¸co˜es ~ é dado por módulo do vetor soma, d, quaisquer n˜ ao apresenta muita diferen¸ca. Para um móvel, partir de A e atingir B num deslocamento d~1 e, em seguida, atingir C num deslocamento d~2 equivale a partir de A e atingir C num d=a+b−c deslocamento d~ (veja figura 1.7). Desta forma, ~ isso significa que seu Se obtermos um valor positivo para d, d~ = d~1 + d~2 sentido é positivo, ou seja, o vetor é horizontal para a direita; se for negativo, o seu sentido é negativo, isto é, o vetor é hori- Na determina¸caõ do módulo do vetor d~ resultante, n˜ ao pozontal para a esquerda. demos aplicar o teorema de Pit´ agoras, tendo em vista que o


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C d d2 A

d1

c

b

B α

Figura 1.7: O deslocamento d~ equivale aos deslocamentos d~1 e d~2 .

α a

ˆngulo entre d~1 e d~2 n˜ a ao é reto (90o ). Assim, aplicamos a regra do paralelogramo, como mostra a figura 1.8. Os vetores ~a e ~b formam um paralelogramo cuja diagonal é o vetor resultante ~c. De acordo com a regra do paralelogramo, se ~a e ~b formam entre si um ˆ angulo α, o módulo do vetor resultante ~c ser´ a dado pela express˜ ao:

c b

c2 = a2 + b2 + 2ab · cos α Decomposi¸ c˜ ao de Vetores Ao somarmos dois vetores, podemos obter um u ´ nico vetor, o vetor resultante, equivalente aos dois vetores somados. Ao decompormos dois vetores, realizamos um processo inverso. Dado um vetor ~a, obtém-se outros dois vetores a~x e ~ay tal que a~x + a~y = ~a (veja a figura 1.9). O vetor ~ay pode ser deslocado para a extremidade do vetor ~ax de tal forma que o vetor ~a e seus vetores componentes ~ax e ~ay formem um triˆ angulo retˆ angulo (figura 1.10). Aplicando a trigonometria ao triˆ angulo retˆ angulo, podemos determinar o módulo dos componentes ~ax (horizontal) e ~ay (vertical) de ~a em fun¸caõ do ângulo α. Desta forma, no triˆ angulo hachurado da figura 1.10, temos cos α =

cateto adjacente ax ⇒ cos α = hipotenusa a ax = a · cos α

α

α a

Figura 1.8: A diagonal do paralelogramo, cujos lados s˜ ao os vetores ~a e ~b, é o vetor resultante ~c. Podemos deslocar o vetor ~b para outra extremidade de ~a, reproduzindo a figura anterior.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Um móvel desloca-se 120 m no sentido oeste-leste, e em seguida, 50 m no sentido norte-sul. a) Represente esquematicamente esses deslocamentos. b) Determine o módulo do deslocamento resultante.

onde ax é o módulo da componente horizontal ~ax do vetor ~a. 2. Na figura, F1 = F2 = 100 N . Determine o módulo da Temos ainda resultante de F1 e F2 . Dado: cos(120◦ ) = −0, 50. ~ay cateto oposto ⇒ sin α = sin α = hipotenusa a ay = a · sin α

onde ay é o módulo da componente vertical ~ay do vetor ~a. Podemos relacionar o módulo do vetor e o módulo de seus componentes ortogonais, aplicando o teorema de Pit´ agoras no triˆ angulo formado por ~a e seus componentes ~ax e ~ay : a2 = a2 x + a2 y

F2

o

120

Pense um Pouco! F1 • Qual a condi¸caõ para que a soma de dois vetores seja nula? • O módulo da soma de dois vetores pode ser igual à soma 3. Um projétil é atirado com velocidade de 400 m/s fazendo de seus módulos? Quando? um ângulo de 45◦ com a horizontal. Determine os componentes • O módulo de um vetor pode ser negativo? Por quê? vertical e horizontal da velocidade do projétil.

8


—


5. Um vetor velocidade é decomposto em dois outros, perpendiculares entre si. Sabendo que o módulo do vetor é 10, 0 m/s e que um dos componentes tem módulo igual a 8, 0 m/s, determine o módulo do vetor correspondente ao outro componente.

y

6. Um projétil é lan¸cado do solo segundo uma dire¸caõ que forma 53o com a horizontal com uma velocidade de 200 m/s (veja a figura a seguir). Determine o módulo dos componentes horizontal, v~x , e vertical, v~y , dessa velocidade. Dados: sin(53◦ ) = 0, 80 e cos(53◦ ) = 0, 60

a ay α x ax

v α = 53

Figura 1.9: O vetor ~a pode ser decomposto em um componente horizontal, ~ax , e outro vertical, a~y .

a ay

ay α

o

7. Um avi˜ ao voa no sentido sul-norte com uma velocidade de 900 km/h. Num determinado instante passa a soprar um forte vento com velocidade 50 km/h, no sentido sudoeste-nordeste. a) Fa¸ca um esquema gráfico representando a velocidade do avi˜ ao e do vento. b) Determine o módulo da velocidade resultante. Dado: cos(45◦ ) = 0, 71.

Mecˆ anica

ax

Figura 1.10: O vetor ~a e seus componentes ~ax e a~y formam um triˆ angulo retˆ angulo, onde ~a é a hipotenusa e ~ax e ~ay s˜ ao os catetos.

Exerc´ıcios Complementares 4. Na figura abaixo est˜ ao representadas duas for¸cas: F~1 , de ~ módulo F1 = 5, 0 N e F2 , de módulo F2 = 3, 0 N , formando entre si um ângulo α = 60◦ . Determine a for¸ca resultante F~R para o sistema de for¸cas mostrado.

F1 α = 60

F2

o

Aula 4

A Primeira Lei de Newton O Conceito de For¸ca Geralmente utilizamos uma for¸ca com o objetivo de empurrar, puxar ou levantar objetos. Essa idéia é correta, porém incompleta. A idéia de puxar ou empurrar est´ a quase sempre associada a idéia de contato, o que exclui uma caracter´ıstica fundamental da no¸caõ de for¸ca: a a¸ca õ a ` distˆ ancia. A atra¸caõ gravitacional entre o Sol e a Terra, por exemplo, é exercida a milh˜ oes de quilˆ ometros de distância. A palavra for¸ca n˜ ao possui uma defini¸caõ u ´ nica, expressa em palavras. A F´ısica moderna admite a existência de quatro tipos de for¸ca na natureza, chamadas mais adequadamente de intera¸co ˜es: gravitacional, eletromagnética, e as for¸cas nucleares forte e fraca. Em rela¸caõ ao estudo dos movimentos e de suas causas, podese dizer que for¸ca é a a¸ca õ capaz de modificar a velocidade de um corpo. Como muitas outras grandezas em F´ısica, a for¸ca é uma grandeza vetorial, ou seja, possui módulo dire¸caõ e sentido. Podemos resumir, ent˜ ao a defini¸caõ de for¸ca da seguinte forma: For¸ ca ´ e uma grandeza vetorial que caracteriza a a¸ c˜ ao de um corpo sobre outro e que tem como efeito a deforma¸ c˜ ao ou a altera¸ c˜ ao da


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velocidade do corpo sobre o qual ela est´ a sendo aplicada.

A Primeira Lei de Newton

Figura 1.2: Ao parar bruscamente, o cavaleiro continua seu movimento pra frente... Figura 1.1: Isaac Newton (1642-1727).

ele estiver em movimento retil´ıneo e uniforme, o equil´ıbrio ser´ a chamado de dinâmico.

Antes de falarmos da Primeira Lei de Newton, devemos pensar em uma pergunta: “o que acontece com o movimento de um corpo livre de qualquer for¸ca?” Essa pergunta pode ser Pense um Pouco! respondida em duas partes. A primeira trata do efeito da ine• Qual a rela¸caõ entre a Primeira Lei de Newton e o cinto de xistência de for¸cas sobre o corpo em repouso: se nenhuma seguran¸ca? e o encosto para a cabe¸ca no banco do carro? for¸ca atua sobre o corpo em repouso, ele continua em repouso. A segunda parte trata do efeito da inexistência de for¸cas sobre • Por que quando um ônibus freia repentinamente, os paso corpo em movimento: se nenhuma for¸ca atua sobre o corpo sageiros s˜ ao “arremessados” para a frente? e o que ocorre em movimento, ele continua em movimento. quando o ônibus é acelerado? Mas que tipo de movimento? J´ a que n˜ ao existem for¸cas atuando sobre o corpo, sua velocidade n˜ ao varia de módulo ou dire¸caõ. Desta forma, o u ´ nico movimento poss´ıvel do corpo na Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao ausência de qualquer for¸ca atuando sobre ele é o movimento retil´ıneo uniforme. A Primeira Lei de Newton re´ une as duas respostas anteriores 1. (UFMG) Um corpo de massa m est´ a sujeito à a¸caõ de uma ~ em um u ´ nico enunciado: for¸ca F que o desloca segundo um eixo vertical em sentido contrário ao da gravidade. Se esse corpo se mover com velociTodo corpo tende a manter seu estado de redade constante é porque: pouso ou de movimento retil´ıneo e uniforme, a) a for¸ca F~ é maior do que a da gravidade. a menos que for¸ cas externas provoquem vab) a for¸ca resultante sobre o corpo é nula. ria¸ c˜ ao na sua velocidade. c) a for¸ca F~ é menor do que a gravidade. d) a diferen¸ca entre os módulos das for¸cas é diferente de zero. De acordo com a primeira Lei de Newton, podemos afirmar e) a afirma¸caõ da quest˜ ao est´ a errada, pois qualquer que seja que na ausência de for¸cas, todo corpo tende a ficar como está: ~ o corpo estar´ F a acelerado porque sempre existe a acelera¸cão parado se estiver parado, em movimento retil´ıneo uniforme, se da gravidade. estiver em movimento (retil´ıneo uniforme). Por este motivo essa lei também é chamada de Princ´ıpio da Inércia.

O que ´ e In´ ercia? Todos os corpos apresentam a tendência de se manter em repouso ou em movimento retil´ıneo uniforme. Essa propriedade dos corpos é chamada in´ ercia. A palavra inércia é derivada do latim inertia, que significa indolência ou pregui¸ca. Os corpos têm uma espécie de resistência ` as modifica¸co˜es de sua velocidade.

Equil´ıbrio de uma Part´ıcula Dizemos que uma part´ıcula se encontra em equil´ıbrio, quando a resultante das for¸cas atuando sobre ela for nula. Se a resultante é nula, n˜ ao ocorre altera¸caõ na velocidade do objeto. Assim,se ele estiver em repouso, chamamos o equil´ıbrio de est´ atico; se

2. (UNESP-SP) Assinale a alternativa que representa o enunciado da Lei da Inércia, também conhecida como primeira Lei de Newton. a) Qualquer planeta gira em torno do Sol descrevendo uma órbita el´ıptica, da qual o Sol ocupa um dos focos. b) Dois corpos quaisquer se atraem com uma for¸ca proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles. c) Quando um corpo exerce uma for¸ca sobre outro, este reage sobre o primeiro com uma for¸ca de mesma intensidade e dire¸caõ, mas de sentido contrário. d) A acelera¸caõ que um corpo adquire é diretamente proporcional à resultante das for¸cas que nele atuam, e tem mesma dire¸caõ e sentido dessa resultante. e) Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em uma linha reta, a menos que sobre ele estejam agindo for¸cas com resultante n˜ ao nula.

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—


3. (UNESP-SP) As estat´ısticas indicam que o uso do cinto de cada corpo, foi denominado pelos f´ısicos de massa do corpo. seguran¸ca deve ser obrigat´ orio para prevenir les˜ oes mais graves Desta forma, podemos afirmar: em motoristas e passageiros no caso de acidentes. Fisicamente, A massa m de um corpo ´ e o quociente entre o a fun¸caõ do cinto est´ a relacionada com a: m´ o dulo da for¸ c a que atua num corpo e o valor a) primeira Lei de Newton. da acelera¸ c ˜ a o a que ela produz neste corpo. b) lei de Snell. c) lei de Ampère. Assim, d) lei de Ohm. F e) primeira Lei de Kepler. m= a No sistema internacional (SI), a unidade para medida de massa é o quilograma:

Exerc´ıcios Complementares 4. (Unitau-SP) Uma pedra gira em torno de um apoio fixo, presa por uma corda. Em um dado momento, corta-se a corda. Pela Lei da Inércia, conclui-se que: a) a pedra se mantém em movimento circular. b) a pedra sai em linha reta, segundo a dire¸caõ perpendicular à corda no instante do corte. c) a pedra sai em linha reta, segundo a dire¸caõ da corda no instante do corte. d) a pedra p´ ara. e) a pedra n˜ ao tem massa.

1 quilograma = 1 kg = 1000 g

Massa e In´ ercia Suponhamos que uma for¸ca F foi aplicada a três corpos de massa diferentes, como três blocos de ferro, com volumes diversos. Imaginaremos que a superf´ıcie na qual estes blocos est˜ ao apoiados n˜ ao apresenta atrito. Analisando a equa¸caõ m = F/a, percebemos facilmente que: - Quanto maior m → menor a

5. (Ucsal-BA) Uma mesa, em movimento uniforme retil´ıneo, - Quanto maior m → maior a dificuldade de alterar a velocis´ o pode estar sob a a¸caõ de uma: dade do corpo. a) for¸ca resultante n˜ ao-nula na dire¸caõ do movimento. b) u ´ nica for¸ca horizontal. Podemos concluir que c) for¸ca resultante nula. Quanto maior ´ e a massa de um corpo, maior d) for¸ca nula de atrito. ser´ a sua in´ e rcia (dificuldade de ter sua veloe) for¸ca vertical que equilibre o peso. cidade alterada), isto ´ e, a massa representa a 6. (Fiube-MG) Uma part´ıcula se desloca ao longo de uma medida de in´ ercia de um corpo. reta com acelera¸caõ nula. Nessas condi¸co˜es, podemos afirmar corretamente que sua velocidade escalar é: As conclusões anteriormente, explicam porque um caminh˜ ao a) nula. vazio (quando sujeito a uma for¸ca F) adquire uma acelera¸caõ b) constante e diferente de zero. maior do que quando esta cheio, por exemplo. c) inversamente proporcional ao tempo. d) diretamente proporcional ao tempo. A Segunda Lei de Newton e) diretamente proporcional ao quadrado do tempo. De acordo com o princ´ıpio da inércia, um corpo s´ o pode sair de seu estado de repouso ou de movimento retil´ıneo com velocidade constante se sobre ele atuar uma for¸ ca resultante externa. Neste momento, poder´ıamos perguntar: “O que acontece se existir uma for¸ca resultante externa agindo no corpo?” Nesta situa¸caõ, o corpo fica sujeito a uma acelera¸ c˜ ao, ou seja, um corpo sujeito a uma for¸ca resultante externa movimenta-se com velocidade vari´ avel. A Segunda Lei de Newton

Mecˆ anica

Aula 5

´ muito comum encontrarmos a defini¸caõ de massa de um E corpo da seguinte maneira: “a massa de um corpo representa a quantidade de matéria que ele possui”. Em cursos elementares de ciências, esta defini¸caõ pode ser aceita como uma idéia inicial da no¸caõ de massa, embora n˜ ao possa ser considerada uma defini¸caõ precisa dessa grandeza. De fato, a defini¸caõ apresentada n˜ ao é adequada, pois pretende definir um novo conceito – massa – por meio de uma idéia vaga, que n˜ ao tem significado f´ısico preciso – quantidade de mat´ eria. Experimentalmente os f´ısicos constataram que entre a for¸ca F aplicada a um corpo e a acelera¸caõ a, que ele adquire, existe uma propor¸caõ direta. Desta forma, o quociente F/a é constante para um certo objeto. Este quociente, que é intr´ınseco a

F

1010 1010 1111111111111 0000000000000 0000000000000 1111111111111 ´ fácil perceber que, se quisermos acelerar um corpo, por E exemplo, desde o repouso até 30 km/h em um intervalo de tempo de 30 s, a intensidade da for¸ca que teremos de aplicar dependerá da massa do corpo. Se, por exemplo, o corpo for um carro, é evidente que a for¸ca necess´ aria ser´ a muito menor do


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que se tratasse de um caminh˜ ao. Desta forma, quanto maior a massa do corpo, maior dever´ a ser a intensidade da for¸ca necess´ aria para que ele alcance uma determinada acelera¸caõ. Foi Isaac Newton quem obteve essa rela¸caõ entre massa e for¸ca, que constitui a segunda lei de Newton ou princ´ıpio fundamental da dinˆ amica. Temos, ent˜ ao que A acelera¸ c˜ ao de um corpo submetido a uma for¸ ca resultante externa ´ e inversamente proporcional ` a sua massa, e diretamente proporcional a intensidade da for¸ ca.

Pense um Pouco! ´ muito comum nos depararmos com a situa¸caõ na qual • E um carro e um caminh˜ ao est˜ ao emparelhados aguardando o sinal verde do semáforo. Você sabe por quê, quando o sinal fica verde, o carro quase sempre sai na frente, apesar de o caminh˜ ao ter um motor mais possante? • Se o peso de um corpo é proporcional à sua massa, ent˜ ao podemos afirmar que todos os corpos ter˜ ao a mesma acelera¸caõ, em queda livre?

Assim, para uma dada for¸ca resultante externa F, quanto Exerc´ ıcios de Aplica¸c˜ ao maior a massa m do corpo tanto menor ser´ a a acelera¸caõ a adquirida. Matematicamente, a segunda lei de Newton é dada 1. Na figura abaixo os blocos A, B e C est˜ ao sobre um plano por: horizontal sem atrito. F~ = m~a Esta equa¸caõ vetorial imp˜ oe que a for¸ca resultante e a acelera¸caõ tenham a mesma dire¸caõ e o mesmo sentido. No SI a unidade de for¸ca é o newton ou (N ):

B

A

1 N = 1 kg · m/s2 Por defini¸caõ, o newton é a for¸ca que produz uma acelera¸caõ de 1 m/s2 quando aplicada em uma massa de 1 kg.

Sendo F = 20 N , ma = 3, 0 kg, mb = 8, 0 kg e mc = 9, 0 kg, determine: a) a acelera¸caõ do conjunto; Antes de resolver qualquer problema de dinˆ amica, é de fun- b) a tra¸caõ nos fios (TAB entre A e B e TBC , entre B e C). damental importˆ ancia a identifica¸caõ de todas as for¸cas rele- Admitir a massa dos fios desprez´ıvel. vantes envolvidas no problema. Para facilitar a visualiza¸caõ Um elevador de 500 kg de massa sobe acelerado destas for¸cas, isola-se cada corpo envolvido e desenha-se um 2. (Uneb-BA) 2 2 diagrama de corpo livre ou diagrama de for¸ cas para a 2 m/s . Considerando g = 10 m s , a tra¸caõ no cabo que o cada corpo, que é um esquema simplificado envolvendo todas sustenta, é de: a) 6000 N as massas e for¸cas do problema. b) 5000 N Por exemplo, se um bloco escorrega, descendo um plano inclic) 4000 N nado com atrito, teremos o seguinte diagrama de corpo livre d) 3000 N para o bloco: e) 2000 N

Diagrama de Corpo Livre

N

Fat


m 3. No conjunto da figura abaixo, o bloco A tem massa 0, 50 kg. O bloco B, de massa 4, 5 kg, est´ a sobre o plano sem atrito.

θ

P F A Figura 1.1: Diagrama de corpo livre para um bloco escorregando num plano inclinado.

B

C

Admitindo g = 10 m/s2 e o fio inextens´ıvel de massa desprez´ıvel como a massa da polia, determine: Observe a) a acelera¸caõ do conjunto; Nesse exemplo, o bloco é tratado como uma part´ıcula, por sim- b) a tra¸caõ no fio. plifica¸caõ, n˜ ao sendo relevante suas dimensões ou o ponto de aplica¸caõ das for¸cas, colocadas todas no seu centro geométrico, 4. No conjunto da figura abaixo, temos mA = 1, 0 kg, mB = por conveniência. Desprezou-se a for¸ca de empuxo do ar, a 2, 0 kg e mC = 2, 0 kg. O bloco B se ap´ oia num plano sem for¸ca de resistência viscosa ao movimento do bloco, também atrito. S˜ ao desprez´ıveis as massas da polia e do fio, que é causada pelo ar, e outras for¸cas irrelevantes ao problema. inextens´ıvel.

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Mecˆ anica

B

C

—

Aula 6

A

Energia A energia se apresenta de diversas formas na natureza. Por exemplo os alimentos que nos proporcionam energia qu´ımica, a combust˜ ao da gasolina libera energia térmica, energia elétrica é utilizados em diversos aparelhos, transformando-se em energia sonora, energia luminosa, etc. Para medir a quantidade de 5. Na figura, a for¸ca F tem intensidade 90 N . Despreze os energia transferida de um corpo para outro vamos introduzir atritos e as inércias do fio e da roldana. Quais os valores da o conceito de trabalho. acelera¸caõ do conjunto e da for¸ca que traciona o fio?

Admitindo g = 10 m/s2 , determine: a) a acelera¸caõ do conjunto; b) a tra¸caõ TAB entre os blocos A e B; c) a tra¸caõ TBC entre os blocos B e C.

Trabalho

F 4 kg

6 kg

6. (UEL-PR) Os três corpos, A, B e C, representados na figura têm massas iguais, m = 3, 0 kg

A

O significado da palavra trabalho, na F´ısica, é diferente do seu significado habitual, empregado na linguagem comum. O trabalho, na F´ısica é sempre relacionado a uma for¸ca que desloca uma part´ıcula ou um corpo. Dizemos que uma for¸ca F realiza trabalho quando atua sobre um determinado corpo que est´ a em movimento. A partir dessa descri¸caõ podemos dizer que s´ o h´ a trabalho sendo realizado se houver deslocamento, caso contrário o trabalho realizado ser´ a nulo. Assim, se uma pessoa sustenta um objeto, sem desloc´ a-lo, ela n˜ ao est´ a realizando nenhum trabalho sobre o corpo. Quando uma for¸ca F atua sobre um corpo no mesmo sentido de seu movimento (ou deslocamento) ela est´ a favorecendo o movimento desse corpo, considera-se positivo o trabalho realizado pela for¸ca.

Uma For¸ca Constante

B

C

Quando a for¸ca F atua no sentido contr´ ario ao movimento do corpo, contra o movimento (deslocamento), o trabalho realizado pela for¸ca é considerado negativo.

F

O plano horizontal, onde se ap´ oiam A e B, n˜ ao fornecem atrito, a roldana tem massa desprez´ıvel e a acelera¸caõ local da gravidade pode ser considerada g = 10 m/s2 . A tra¸caõ no fio que une os blocos A e B tem módulo: a) 10 N b) 15 N c) 20 N d) 25 N e) 30 N

F d

Desta maneira podemos escrever que trabalho W realizado por uma for¸ca horizontal constante, durante um deslocamento horizontal d é: W = ±F d

(1.1)

onde F é o módulo da for¸ca constante e d é o deslocamento (em módulo). O sinal + é usado quando a for¸ca e o desloca7. (U. F. Lavras-MG) Um bloco de peso igual a 50 N encontra- mento possuem o mesmo sentido, e o sinal −, quando possuem se sobre uma balan¸ca no piso de um elevador. Se o elevador sentidos contrários. sobe com acelera¸caõ igual, em módulo, ` a metade da acelera¸caõ Importante da gravidade local, pode-se afirmar que a leitura da balan¸ca: Observe que o trabalho é uma grandeza escalar, apesar de ser a) ser´ a de 25 N definida a partir de dois vetores (F e d). b) permanece inalterada Unidades c) ser´ a de 75 N d) ser´ a de 100 N e) ser´ a de 200 N

1 N · m = 1 J = 1 joule = 107 erg


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Tipos de For¸cas

1 kJ = 103 J

Existem diversos tipos de for¸cas que podem atuar em um Quando a for¸ca for aplicada ao corpo formando um ângulo φ corpo: for¸ca elástica, for¸ca peso, for¸ca elétrica, for¸ca de concom a horizontal, temos a seguinte f´ ormula mais geral: tato, etc... W = F d cos φ

(1.2)

Potˆ encia P

onde F é o módulo da for¸ca constante, d é o deslocamento (em módulo) e φ o ângulo entre os vetores F e d, ou seja, entre a Consideramos duas pessoas que realizam o mesmo trabalho. Se uma delas levar um tempo menor que a outra para a realiza¸caõ dire¸caõ da for¸ca e o deslocamento. desse trabalho, tem de fazer um esfor¸co maior e, por tanto, dizemos que desenvolveu uma potência maior. F

F

φ

φ d

Podemos também calcular o trabalho W realizado pela for¸ca F através da área sob a curva do gr´ afico F × x:

F Area = Trabalho

Figura 1.1: James Watt (1736-1819)

Um carro é mais potente que o outro quando ele “arranca”mais r´ apido e atinge uma dada velocidade num intervalo de tempo menor do que o outro carro.. Um aparelho de som é mais potente que o outro quando ele ´ W ≡ Area sob a curva ele transforma mais energia elétrica em sonora num menor intervalo de tempo. Uma máquina é caracterizada n˜ ao s´ o pelo Observe que neste caso deveremos descobrir o sinal do trabalho trabalho que ela efetua, mas pelo trabalho que pode efetuar através da an´ alise do gr´ afico, e do sentido relativo entre a for¸ca em determinado tempo. e o deslocamento (ou do ˆ angulo φ). Ent˜ ao podemos concluir que potência é o trabalho realizado durante um determinado tempo, ou seja:

O

x X

Uma For¸ca Vari´ avel

P = W/t 0 gr´ afico abaixo representa a a¸caõ de uma for¸ca vari´ avel que age sobre um corpo, provocando um deslocamento linear, Em alguns casos, pode-se escrever W = F d e, substituindo na desde o ponto x′ até o ponto x′′ . equa¸caõ acima temos P=

W F dt = = Fv . t t

já que v = d/t. Unidade de Potˆ encia

F(x2) F(x1)

1 J/s = 1 watt = 1 W Area = Trabalho

Energia cin´ etica O

x1

x2

X

Para variar a velocidade de um corpo em movimento é preciso o concurso de for¸cas externas, as quais realizam certo trabalho. Esse trabalho é uma forma de energia que o corpo absorve (ou Neste caso, o trabalho pode ser determinado pela a´rea sob a perde) pelo fato de estar em movimento em rela¸caõ a um dado curva, desenhando-se o gr´ afico em papel quadriculado, ou de sistema de referência. forma aproximada pela ´ area de um trapézio: Chamamos essa energia de movimento de energia de cinética. ′′ Para uma part´ıcula de massa m e velocidade v a energia F + F′ (x′′ − x′ ) W = Fd = cinética é: 2 1 Ec = mv 2 2 Observe que essa fórmula considera a for¸ca média (aproxie assim como o trabalho, mede-se a energia cinética em joules. mada) multiplicada pelo deslocamento.

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Teorema Trabalho-Energia

—


d) potência é a capacidade de realizar trabalho. e) trabalho é a rela¸caõ energia-tempo.

Suponhamos que FR seja a resultante das for¸cas que atuam sobre uma part´ıcula de massa m. O trabalho dessa resultante 4. O produto da for¸ca pelo deslocamento do corpo em que ela a associado com: é igual ` a diferen¸ca entre o valor final e o valor inicial da energia atua est´ a) trabalho cinética da part´ıcula: b) potência 1 1 2 2 c) distância W = ∆Ec = mvf − mvi 2 2 d) acelera¸caõ e) velocidade Esse enunciado, conhecido como teorema do trabalho-energia indica que o trabalho da resultante das for¸cas que atua sobre uma part´ıcula modifica sua energia cinética. Exerc´ıcios Complementares

Pense um Pouco!

5. (UFSC) O gráfico a seguir representa a resultante das for¸cas, em newtons, que atuam num corpo de massa igual a • Que trabalho realizamos sobre um corpo que é levantado 10, 0 kg, em fun¸caõ do deslocamento total em metros. Su1 a uma determinada altura? Esse trabalho seria positivo pondo que a sua velocidade inicial é de 14 2 m/s, determine, em m/s, a velocidade do corpo depois de percorrer 40, 0 m. ou negativo? • Se você pudesse segurar um elefante a uma determinada altura, você estaria realizando trabalho? Por quê? • Um menino puxa um carrinho sem rodas, por um barbante. 1. H´ a algum trabalho sendo realizado sobre o carrinho? Por quê? O trabalho é positivo ou negativo. 2. O menino desenvolve alguma potência? Por quê? 3. O carrinho tem energia cinética? Por quê?

F(N) 20 15 10 5 0 0

10

20

30

40

x(m)

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (ESAL-MG) Um homem est´ a em repouso com um caixote também em repouso às costas. a) Como o caixote tem um peso, o homem est´ a realizando trabalho. b) O homem est´ a realizando trabalho sobre o caixote pelo fato de o estar segurando c) O homem est´ a realizando trabalho pelo fato de estar fazendo for¸ca. d) O homem n˜ ao realiza trabalho pelo fato de n˜ ao estar se deslocando. e) O homem n˜ ao realiza trabalho pelo fato de o caixote estar sujeito ` a acelera¸caõ da gravidade. 2. (UFSE) Um corpo est´ a sendo arrastado por uma superf´ıcie horizontal com atrito, em movimento uniforme. Considere as afirma¸co˜es a seguir: I. O trabalho da for¸ca de atrito é nulo. II. O trabalho da for¸ca peso é nulo. III. A for¸ca resultante que arrasta o corpo é nula. Dentre as afirma¸co˜es: ´ correta a I, somente. a) E ´ correta a II, somente. b) E ´ correta a III, somente. c) E d) S˜ ao incorretas I, II, III. e) S˜ ao corretas II e III. 3. (UMC-SP) Sobre trabalho, potência e energia, pode-se afirmar que: a) potência e energia s˜ ao sinˆ onimos. b) trabalho e potência se expressam com a mesma unidade. c) para trabalho e energia usa-se a mesma unidade.

6. Um projétil de massa 10, 0 g penetra com velocidade horizontal de 100 m/s e sai de uma t´ abua de espessura de 10, 0 mm, com velocidade de 90, 0 m/s. Calcule a for¸ca com que a t´ abua exerce sobre o projétil.

m = 10 g F vo = 100 m/s

vf = 90 m/s x = 1,0 cm

7. Um móvel de massa 2, 90 kg é submetido à uma for¸ca constante e adquire, a partir do repouso, a velocidade de 20, 0 m/s em 8, 00 s. Calcule: a) o trabalho W realizado pela for¸ca; b) a potência P desenvolvida pela for¸ca;

Mecˆ anica

Aula 7


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Energia Potencial

mede a “dureza´´ da mola: quanto maior o valor de k, mais dif´ıcil ser´ a a sua deforma¸caõ, ou seja, mais for¸ca será necess´ aria Um corpo possui energia quando é capaz de realizar trabalho. para deform´ a-la uma certa quantidade x. Suponha, ent˜ ao, um corpo situado a uma certa altura acima do solo. Se este corpo for abandonado, chegando ao solo, é Energia Potencial El´ astica f´ acil perceber que ser´ a capaz de realizar um certo trabalho: amassar um objeto, perfurar o solo, etc. Pode-se pois concluir Quando aplicamos uma for¸ca e deformamos uma mola estamos que aquele corpo possu´ıa energia na posi¸caõ elevada. transferindo a ela uma energia, essa energia fica armazenada A energia que um corpo possui, em virtude de estar situado a na mola. Definimos que a energia armazenada em uma mola uma certa altura acima da superf´ıcie da Terra, é denominada comprimida ou distendida é chamada de energia potencial energia potencial gravitacional. H´ a outras situa¸co˜es, seme- el´ astica, através de 1 lhantes a essa, nas quais um corpo também possui energia em Ep = kx2 2 virtude da posi¸caõ que ele ocupa. Por exemplo, um corpo situado na extremidade de uma mola comprimida (ou esticada) possui energia em virtude de sua posi¸caõ. Se um corpo com- Pense um Pouco! primir uma mola e soltarmos esse corpo, ele ser´ a empurrado pela mola e poder´ a realizar trabalho. Neste caso, a energia • A energia potencial gravitacional depende da acelera¸caõ que o corpo possui na ponta da mola comprimida ou esticada da gravidade, ent˜ ao em que situa¸co˜es essa energia é posié denominada energia potencial el´ astica. tiva, nula ou negativa?

Energia Potencial Gravitacional Para uma massa m a uma altura h acima do solo, nosso referencial usual de energia zero, podemos definir a energia potencial gravitacional Ep como Ep = mgh

• A for¸ca elástica depende da massa da mola? Por quê? • Se uma mola é comprimida por um objeto de massa grande, quando solto a mola n˜ ao consegue se mover, o que acontece com a energia potencial elástica?


onde g é a acelera¸caõ da gravidade. No SI, g vale aproximadamente 9, 8 m/s2 . 1. Um garoto atira uma pedra para cima com um estilingue. a) Qual a forma de energia armazenada no estilingue? b) Que forma de energia possui a pedra quando atinge sua alFor¸ ca El´ astica tura máxima? Chamamos de corpos el´ asticos aqueles que, ao serem defor- c) Existe energia no estilingue depois do lan¸camento? Comados, tendem a retornar ` a forma inicial. mente. 2. Um para-quedista desce com velocidade constante, depois de um certo tempo de queda. a) O que acontece com sua energia potencial Ep ? b) Sua energia cinética est´ a variando? Comente.

Figura 1.1: Robert Hooke (1635-1703) Uma mola helicoidal, feita geralmente de a¸co, como caracter´ıstica própria uma constante el´ astica k, que define a proporcionalidade entre a intensidade for¸ca F aplicada e a respectiva deforma¸caõ x causada na mola. A lei de Hooke relaciona essas quantidades na forma

3. Um indiv´ıduo encontra-se sobre uma balan¸ca de mola, pisando sobre ela com seus dois pés. Se ele levantar um dos pés e mantiver o outro apoiado, no interior de um elevador completamente fechado, quando observa que o peso indicado na balan¸ca é zero. Ent˜ ao, conclui que: a) est´ a descendo com velocidade constante b) o elevador est´ a em queda livre c) a for¸ca de atra¸caõ gravitacional exercida sobre ele é anulada pela rea¸caõ normal do elevador d) a balan¸ca est´ a quebrada, visto que isto é imposs´ıvel

4. Duas pedras, sendo uma de 20 kg e outra de 30 kg, est˜ ao a 500 m de altura em rela¸caõ ao solo. Você diria que: a) ambas as pedras têm igual energia potencial; b) a pedra de menor massa tem maior energia potencial c) nada podemos afirmar com rela¸caõ à energia potencial das pedras F = −kx d) a pedra de massa menor tem maior capacidade de realizar trabalho Observe que x mede a deforma¸caõ linear da mola a partir do e) a pedra de maior massa tem maior energia potencial seu tamanho de equil´ıbrio (sem for¸ca). Através a equa¸caõ acima, pode-se ver que a unidade SI da 5. (UFRN) Uma mola helicoidal, de massa desprez´ıvel, constante elástica deve ser N/m. Na prática, a constante k est´ a suspensa verticalmente e presa a um suporte horizontal.

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Quando se pendura um corpo de 40 kg na extremidade livre dessa mola, ela apresenta deforma¸caõ de 2, 0 cm para o sistema em equil´ıbrio. Se acrescentarmos a essa massa outra de 10 kg, no ponto de equil´ıbrio, a deforma¸caõ total ser´ a de: a) 3, 0 m b) 2, 5 cm c) 2, 0 m d) 1, 5 cm e) 1, 0 m

—


Fext. = −P m

P

Exerc´ıcios Complementares 6. Uma mola cuja constate el´ astica é 1000 N/m encontra-se comprimida em 10 cm. a) Determine a energia potencial el´ astica armazenada na mola.

Figura 1.2: Um corpo sendo suspenso em equil´ıbrio.

b) Se apenas energia da mola for utilizada integralmente para O trabalho realizado pela for¸ca externa F , é armazenado ext. impulsionar um bloco de 100 g, qual é a velocidade máxima no sistema corpo-Terra na forma de energia potencial gravitaadquirida pelo bloco? cional Ep , e vale: Ep = mgh 7. Qual o trabalho necess´ ario para se comprimir uma mola, cuja constante elástica é 500 N/m, em 10, 0 cm?

se definirmos o valor zero (Ep = 0) no ch˜ ao, onde h = 0. J´ a para o sistema massa-mola, temos uma for¸ca externa sendo 8. Um menino situado no alto de um edif´ıcio, segura um corpo aplicada no sistema fazendo com que a mola sofra uma dede massa 1, 5 kg a uma altura igual a 10 m acima do solo. forma¸ c a ˜ o, sendo essa for¸ c a a) Qual a energia potencial gravitacional do corpo naquela posi¸caõ? F = −kx b) Qual a energia potencial gravitacional do mesmo corpo, quando situado a 6, 0 m do ch˜ ao? o trabalho W externo necess´ ario para esticar a mola uma quantidade x ser´ a 1 W = kx2 2 e chamamos essa energia, agora armazenada na mola, de energia potencial el´ astica.

Mecˆ anica

Aula 8

Trabalho e Energia Potencial

F=0

O F=−kx O

x>0

F=−k(−x)=kx x<0

O

Figura 1.1: James Prescott Joule (1818-1889). A energia potencial gravitacional est´ a relacionada ` a posi¸caõ de Figura 1.3: Uma mola esticada, em equil´ıbrio. um corpo no campo gravitacional. Em geral, quando movemos o corpo, alteramos sua energia potencial. Para elevar um corpo em equil´ıbrio do solo até uma altura h, For¸ cas Conservativas e Dissipativas devemos aplicar uma for¸ca que realizar´ a um trabalho (positivo) de mesmo módulo que o trabalho realizado pela for¸ca peso do Quando sobre um corpo em movimento atua apenas seu peso, corpo (negativo). ou for¸ca elástica exercida por uma mola, a energia mecˆ anica


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desse corpo se conserva. Por este motivo, as for¸cas citadas s˜ ao denominadas for¸ cas conservativas. Exemplo: ao dar corda em um rel´ ogio, você est´ a armazenando energia potencial el´ astica numa mola, e essa energia estar´ a dispon´ıvel para fazer com que o rel´ ogio trabalhe durante um certo tempo. Isso s´ o é poss´ıvel porque a energia el´ astica foi armazenada (conservada). Por outro lado, se existissem for¸cas de atrito atuando durante o deslocamento do corpo, sua energia mecˆ anica n˜ ao se conserva, por que parte dela (ou até ela toda) se dissipa sob forma de calor. Por isso dizemos que as for¸cas de atrito s˜ ao for¸cas dissipativas. Exemplo: se você arrastar um caixote pelo ch˜ ao horizontal, durante um longo percurso, ver´ a que todo o trabalho realizado foi perdido, pois nenhuma parte dessa energia gasta foi armazenada, ou est´ a dispon´ıvel no caixote.

A Conserva¸c˜ ao da Energia Mecˆ anica Um sistema mecˆ anico no qual s´ o atuam for¸cas conservativas é dito sistema conservativo, pois a sua energia mecˆ anica (E) se conserva, isto é, mantém-se com o mesmo valor em qualquer momento ou posi¸caõ, podendo alternar-se nas suas formas cinética e potencial (gravitacional ou el´ astica): E = Ec + Ep

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Quais as transforma¸co˜es de energia que ocorrem quando um jogador chuta uma bola? 2. Quais as principais diferen¸cas entre energia potencial e energia cinética? 3. Uma for¸ca é dita conservativa quando: a) n˜ ao realiza trabalho b) o trabalho por ela realizado n˜ ao depende da trajetória de seu ponto de aplica¸caõ c) realiza apenas trabalhos positivos d) o trabalho por ela realizado n˜ ao depende da massa do corpo em que est´ a aplicada e) dissipa energia térmica 4. Um sistema f´ısico tem energia quando: a) est´ a sujeito apenas a a¸co˜es de for¸cas conservativas; b) est´ a sujeito a for¸cas conservativas e dissipativas; c) est´ a capacitado a realizar trabalho; d) possui grande quantidade de átomos e) perde calor


Degrada¸c˜ ao da Energia

5. O princ´ıpio da conserva¸caõ da energia afirma que: A energia est´ a constantemente se transformando, mas n˜ ao a) a energia cinética de um corpo é constante pode ser criada nem destru´ıda. b) a energia potencial elástica mais a energia cinética é sempre constante • Em uma usina hidrelétrica, a energia mecˆ anica da queda c) a energia n˜ ao pode ser criada nem destru´ıda, mas apenas d’água é transformada em energia elétrica. transformada em calor devido aos atritos d) a energia total de um sistema, isolado ou n˜ ao, permanece • Em uma locomotiva a vapor, a energia térmica é trans- constante formada em energia mecˆ anica para movimentar o trem. e) a energia n˜ ao pode ser criada nem destru´ıda, mas apenas transformada de uma modalidade para outra • Em uma usina nuclear, a energia proveniente da fiss˜ ao dos 6. A energia mecˆ anica de um corpo: n´ ucleos atômicos se transforma em energia elétrica. a) é a soma da sua energia potencial e cinética • Em um coletor solar, a energia das radia¸co˜es provenientes b) depende apenas do referencial do sol se transforma em energia térmica para o aqueci- c) depende da acelera¸caõ do corpo mento de água. d) é sempre constante, independente do tipo de for¸cas atuantes sobre ele e) depende apenas da velocidade do corpo

Pense um Pouco!

7. Para esticar uma mola em 40 cm, é necess´ aria uma for¸ca de 20 N . Determine: • Um corpo cai sobre uma plataforma apoiada numa mola a) A constante elástica da mola; e volta a subir. Ele pode atingir, na volta, altura maior b) O trabalho realizado pelo agente externo que estica a mola; do que aquela de que foi abandonado? Por quê?

• Indique algumas fontes de energia e explique a forma de c) O trabalho realizado pela mola; d) O trabalho que seria necess´ ario para deformar a mola em aproveit´ a-las para a realiza¸caõ de trabalho mecˆ anico. 80 cm; aria para esticar a mola em 80 cm. • Quando se ergue um objeto a uma certa altura, como se e) A for¸ca necess´ realiza menor trabalho: suspendendo-o diretamente por uma corda, na vertical, ou transportando-o através de um plano inclinado (sem atrito) até a altura desejada? Por quê?

• Compare a energia necess´ aria para elevar de 10 m uma massa na Terra e a energia necess´ aria para elevar de 10 m a mesma massa na Lua. Explique a diferen¸ca.

8. Um corpo de massa 5, 0 kg é elevado do solo a um ponto situado a 3, 0 m de altura. Considere g = 10 m/s2 . Determine: a) o trabalho realizado pela for¸ca peso do corpo nesse deslocamento; b) o aumento na energia potencial gravitacional do corpo. 9. (Fatec-SP) Um corpo de massa 2, 0 kg escorrega, a partir do repouso do ponto A, por uma pista circular sem atrito.

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—


Veja a figura. Na base da pista, o corpo comprime a mola de Na figura temos: constante elástica 800 N/m. Sendo h = 1, 8 m e g = 10 m/s2 , ~at = acelera¸caõ tangencial qual a deforma¸caõ máxima sofrida pela mola? ~ac = acelera¸caõ centr´ıpeta onde ~a = ~at + ~ac , sendo ~a = acelera¸caõ total(resultante) Utilizando a Segunda Lei de Newton, vemos que as acelera¸co˜es que atuam no corpo devem ter a mesma dire¸caõ e o mesmo sentido da for¸ca. Portanto, existem for¸cas perpendiculares à trajetória e for¸cas tangentes à trajetória. A for¸ca resultante que tem a mesma dire¸caõ e o mesmo sentido da acelera¸caõ centr´ıpeta, isto é, dirigida para o centro da curva é denominada for¸ca centr´ıpeta (F~cp ), e a que tem a mesma dire¸caõ e o mesmo sentido da acelera¸caõ tangencial, isto é, tangente à trajetória, é denominada for¸ca tangencial (F~t ).

o

A

h

Figura 1.4: Quest˜ ao 9.

Mecˆ anica

at

Aula 9 Ft

ac Fc

a

R O

Dinˆ amica do Movimento Circular F

Consideremos um corpo de massa m, descrevendo uma circunferência de raio R, com movimento n˜ ao uniforme.

Na figura temos: F~t = m · ~a F~c = m · ~ac onde F~t = for¸ca tangencial F~c = for¸ca centr´ıpeta F~ = F~t + F~c , sendo F~ = for¸ca resultante

v

Sabemos que a velocidade do corpo é um vetor que, em cada As For¸ cas no Movimento Circular instante, é tangente à trajetória e que, no movimento circular n˜ ao uniforme, o corpo est´ a sujeito a duas acelera¸co˜es. Podemos expressar a for¸ca centr´ıpeta da seguinte maneira: Fc = mac ou at

Fc = m

ac

v2 = mω 2 R R

A for¸ca tangencial é dada por: a

R

Ft = mat

O

Observe que: • A for¸ca tangencial faz variar o módulo do vetor velocidade, isto é, produz acelera¸caõ tangencial. • A for¸ca centr´ıpeta faz variar a dire¸caõ do vetor velocidade, obrigando o corpo a descrever uma trajetória curva.


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3. Um autom´ ovel faz uma curva circular, plana e horizontal, de raio 50 m. Sabendo-se que o coeficiente de atrito est´ atico F entre os pneus e a pista é µe = 0, 80, qual a máxima velocidade com que esse autom´ ovel pode fazer a curva sem derrapar? (Use g = 10 m/s2 ). Figura 1.1: A Lua em sua o ´rbita ao redor da Terra (fora de a) v = 10 m/s b) v = 15 m/s escala). c) v = 20 m/s d) v = 25 m/s Como exemplo, considere o movimento da Lua em torno da e) v = 30 m/s Terra. A for¸ca que mantém a Lua em ´ orbita é uma for¸ca de origem ıcios Complementares gravitacional exercida pela Terra. Tal for¸ca é centr´ıpeta, isto Exerc´ é, dirigida para o centro da Terra. 4. (Fuvest-SP) A figura a seguir mostra, num plano vertical, parte dos trilhos do percurso circular de uma montanha-russa Pense um Pouco! de um parque de divers˜ oes. Terra

Lua

C

(Fuvest-SP) A melhor explica¸caõ para o fato de a Lua n˜ ao cair sobre a Terra é que: a) a gravidade terrestre n˜ ao chega até a Lua b) a Lua gira em torno da Terra c) a Terra gira em torno do seu eixo d) a Lua também é atra´ıda pelo Sol e) a gravidade da Lua é menor que a da Terra

g

r = 8,0 m

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (UEL-Pr) Num pêndulo cˆ onico, a massa m gira numa circunferência horizontal, estando submetida ` as for¸cas peso P~ ~ vetorial e tra¸caõ T vetorial, conforme a figura:

θ

A velocidade m´ınima que o carrinho deve ter, ao passar pelo ponto mais alto da trajetória, para n˜ ao desgrudar dos trilhos vale, em metros por segundo: √ a) √20 b) √40 c) √ 80 d) √ 160 e) 320

T

m v P

Nestas condi¸co˜es a intensidade da for¸ca centr´ıpeta é: a) nula, pois o movimento é uniforme. b) dada pelo componente da tra¸caõ, T · sen θ. c) dada pelo componente da tra¸caõ, T · cos θ. d) dada pela resultante T − P · cos θ. e) dada pela resultante T − P · sen θ.

5. (ITA-SP) Para executar uma curva nivelada (sem subir ou descer) e equilibrada o piloto de um avi˜ ao deve inclin´ a-lo com respeito à horizontal (` a maneira de um ciclista em uma curva) um ângulo θ. Se θ = 60o , a velocidade da aeronave é 100 m/s e a acelera¸caõ local da gravidade é de 9, 5 m/s2 , qual é aproximadamente o raio de curvatura? a) 200 m b) 350 m c) 600 m d) 750 m e) 1000 m

6. (Fuvest-SP) Um caminh˜ ao, com massa total de 10000 kg, est´ a percorrendo uma curva circular plana e horizontal a 72 km/k (ou seja, 20 m/s) quando encontra uma mancha de ao 2. Um garoto gira uma pedra de massa 0, 10 kg presa por um óleo na pista e perde completamente a aderência. O caminh˜ ao no muro lateral que acompanha a curva e que o fio de 0, 80 m de comprimento, fazendo com que ela descreva encosta ent˜ c´ırculos verticais com velocidade constante de 4, 0 m/s. Admi- mantém em trajetória circular de raio igual a 90 m. O coeficiao e o muro vale 0, 30. Podemos tindo g = 10 m/s2 , determine a tra¸caõ no fio quando o corpo ente de atrito entre o caminh˜ afirmar que, ao encostar no muro, o caminh˜ ao come¸ca a perder passa pelo ponto: velocidade à raz˜ ao de, aproximadamente: a) mais alto da trajetória; a) 0, 07 m · s−2 . b) mais baixo da trajetória.

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b) 1, 3 m · s−2 . c) 3, 0 m · s−2 . d) 10 m · s−2 . e) 67 m · s−2 .

Mecˆ anica

—


Por exemplo, se ao chutar uma bola parada aplicamos nela uma for¸ca de 50 N durante um intervalo de tempo de 0, 12 s, o impulso transferido para a bola ser´ a I = F ∆t = (50 N )(0, 12 s) = 6, 0 N · s

Aula 10

e esse impulso fará com que a bola entre em movimento.

Unidade SI do Impulso

Quantidade de Movimento

Medimos o impulso na mesma unidade da quantidade de movimento: 1 N · s = 1 kg · m/s

Quando uma pessoa tenta pegar uma bola em movimento, é fácil perceber que h´ a uma diferen¸ca na a¸caõ que ela deve de- Pense um Pouco! senvolver se a velocidade da bola for grande ou pequena: a ´ mais fácil parar uma bola que tenha uma quantidade bola mais r´ apida, para ser parada, exige um esfor¸co maior e • E de maior dura¸caõ. Uma diferen¸ca semelhante também seria de movimento grande ou pequena? Por quê? percebida se a pessoa tentasse parar duas bolas com a mesma • Qual a influência da massa na quantidade de movimento? velocidade, mas de massas diferentes: o maior esfor¸co, atuando durante um tempo maior, seria necess´ ario para fazer parar a • Por que um carro se deforma numa colis˜ ao? bola de maior massa. Essas observa¸co˜es levam ` a defini¸caõ de uma nova grandeza f´ısica vetorial relacionada com a massa e a velocidade de Exerc´ ıcios de Aplica¸c˜ ao uma part´ıcula, denominada quantidade de movimento. Ent˜ ao podemos escrever que quantidade de movimento de um 1. (UFMS) Com rela¸caõ à quantidade de movimento de uma ponto material de massa m e velocidade ~v part´ıcula, é correto afirmar (marque V ou F): a) ( ) é uma grandeza vetorial ~ Q = m~v b) ( ) tem a mesma dire¸caõ e sentido do vetor velocidade da part´ıcula c) ( ) é uma grandeza inversamente proporcional à massa da Unidade SI part´ıcula Medimos a quantidade de movimento no Sistema Internacional d) ( ) sua unidade no SI pode ser kg · m/s (SI) na unidade e) ( ) permanece constante mesmo que a part´ıcula seja aceleKg · m/s rada 2. (UFSC) O impulso dado a um corpo pode ser escrito como o .......... da ......... pelo(a) ......... . Marque V caso as op¸co˜es completem corretamente as lacunas ou F caso contrário. Se um carro de 1.200 kg se desloca numa estrada com veloa) ( ) produto; for¸ca aplicada ao corpo; tempo que o corpo cidade de 72 km/h, a sua quantidade de movimento ser´ a, em fica em movimento módulo, b) ( ) produto; for¸ca aplicada ao corpo; tempo durante o qual a for¸ca atua Q = mv = (1.200 kg)(20 m/s) = 2, 4 × 104 kg · m/s c) ( ) quociente; for¸ca aplicada ao corpo; velocidade que ele adquire Lembre-se d) ( ) quociente; massa do corpo; velocidade que ele adquire Para transformar a velocidade dada em km/h para a unidade e) ( ) produto; massa do corpo; acelera¸caõ que ele adquire SI (m/s) fazemos: 3. Considere um corpo que est´ a se deslocando em movimento 1000 m 72 retil´ ıneo uniforme. v = 72 km/h = 72 × = m/s = 20 m/s 3.600 s 3, 6 a) A quantidade de movimento deste corpo est´ a variando? Explique. b) Tendo em vista a resposta do ´ıtem anterior, o que você conImpulso clui sobre o impulso que atua no corpo? c) Ent˜ ao, qual o valor da resultante das for¸cas aplicadas no Quando um jogador de futebol chuta uma bola ou quando um corpo? tenista, usando uma raquete, rebate uma bola,existe uma for¸ca que age num curto espa¸co de tempo que faz a bola ser impulsionada. Define-se o impulso I~ de uma for¸ca como grandeza Exerc´ ıcios Complementares vetorial dada pelo produto da for¸ca F~ pelo intervalo de tempo ∆t durante o qual ela atuou: 4. Uma for¸ca de 20 N é aplicada em um corpo durante 10 s. I~ = F~ ∆t Qual é o impulso que a for¸ca transmite ao corpo?

Exemplo


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5. Determine a quantidade de movimento de um objeto de massa 50 kg que se movimenta com velocidade de 20 m/s? 6. (UEL-PR) Um corpo de massa m tem velocidade v, quantidade de movimento Q e energia cinética E. Uma for¸ca F , na mesma dire¸caõ e no mesmo sentido de v, é aplicada no corpo, até que a velocidade dele triplique. As novas quantidades de movimento e energia cinética s˜ ao, respectivamente: a) 3Q e 3E b) 3Q e 6E c) 3Q e 9E d) 6Q e 6E e) 6Q e 9E 7. (PUC-SP) Um carrinho de massa 2, 0 kg move-se ao longo de um trilho horizontal com velocidade 0, 50 m/s até chocar-se contra um p´ ara-choque fixo na extremidade do trilho. Supondo que o carrinho volte com velocidade 0, 20 m/s e que o choque tenha dura¸caõ de 0, 10 s, calcule em newtons, o valor absoluto da for¸ca média exercida pelo p´ ara-choque sobre o carrinho.

Mecˆ anica

Aula 11

Impulso e Momento

Sistemas de Part´ıculas Para um sistema contendo N part´ıculas a quantidade de movimento desse sistema pode ser escrito na seguinte forma: ~ T OT AL = m1~v1 + m2~v2 + . . . + mN ~vN Q

CURIOSIDADE ´ poss´ıvel um astroA luz tem quantidade de movimento? E nauta mover-se no espa¸co sideral acendendo sua lanterna? Por mais intrigante que seja, a reposta é sim. Mas por que isso acontece? Pelo fato de a luz possuir quantidade de movimento. Normalmente n˜ ao percebemos isso, pois a quantidade de movimento da luz é pequena e, assim, os seus efeitos s˜ ao, em geral, impercept´ıveis. Mas quando o astronauta acende sua lanterna, a situa¸caõ é an´ aloga àquela em que um garoto sobre patins consegue mover-se atirando uma melancia. De acordo com a Mecânica Quˆ antica, a luz é formada por pequenos ”pacotes”de energia, denominados fótons, os quais, no vácuo, movem-se à velocidade c = 3, 0 × 108 m/s. Cada um desses fótons, além de possuir energia, tem quantidade de movimento. Porém ela n˜ ao pode ser calculada pela express˜ ao ~ = m~v , uma vez que os fótons n˜ Q ao têm massa. Para que o Princ´ıpio da Conserva¸caõ da Quantidade de Movimento seja mantido, os f´ısicos conclu´ıram que a quantidade de movimento (q) de um fóton de energia E deve ser calculada por q = E/c

Teorema do Impulso-Momento

Para ilustrar, considere que o nosso astronauta esteja a uma Consideremos uma for¸ca resultante constante F~ atuando sobre distância de 5 m de sua nave e tenha uma lanterna que emita uma part´ıcula de massa m, durante um intervalo de tempo ∆t, luz com potência de 1500 W . Suponha ainda que a massa total do astronauta juntamente com o traje espacial e a lantemos terna seja 80 kg. Se o astronauta s´ o pudesse aproximar-se I~ = F~ ∆t da nave acendendo sua lanterna, quanto tempo ele gastaria? Utilizando a express˜ ao acima e os modelos simplificados da ou seja Mecˆ a nica, encontraremos um valor aproximado de 3,3 horas. ~ ~ I = m~a∆t = m∆~v = ∆Q Isso mesmo: 3h18min para percorrer 5 metros. As primeiras ou evidências experimentais de que a luz tem quantidade de mo~f − Q ~ i = m(~vf − ~vi ) vimento foram obtidas em 1899, pelo f´ısico russo P. Lebedev, I~ = Q e pelos americanos E. L. Nicholls e G. F. Hull, em 1901. E concluimos que: O impulso determinado pela resultante de todas as for¸ cas externas que agem durante certo intervalo de Pense um Pouco! tempo sobre um ponto material ´ e igual a varia¸ c˜ ao da • Colidindo-se frontalmente duas esferas idênticas, sobre quantidade de movimento do ponto durante o mesmo uma mesa de bilhar, uma em movimento e a outra iniintervalo. cialmente parada, observa-se que a esfera que estava em movimento fica parada e a outra, inicialmente padara, entra em movimento ap´ os a colis˜ ao. Explique esse fenˆ omeno sob o ponto de vista dos conceitos de impulso e momento.

Exerc´ıcios Complementares 1. Uma bola de bilhar de 200 g se move a 3, 50 m/s colise e muda sua dire¸caõ de movimento em 90◦ . Determine o impulso aplicado sobre a bola na colis˜ ao.

A

B

C

D

E

2. Solta-se um corpo de massa m de uma altura h em quedalivre, o observa-se o seu movimento até o solo. a) Determine o impluso que o peso do corpo produz até que

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ele atinja o solo. b) Determine a varia¸caõ do momento do corpo, desde o instante em que foi solto, até atingir o solo. c) Compara os resultados dos itens anteriores. Comente.

—


F(t)

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 3. Solta-se uma bola de futebol com massa igual a 500 g a 1, 25 m de altura acima do ch˜ ao (piso) e observa-se que ela retorna (pula) até uma altura de apenas 0, 80 m, ap´ os o primiro salto. a) Determine o impulso total sobre a bola até que ela toque a primeira vez no ch˜ ao. b) Determine o impulso total sobre a bola desde o instante em que ela deixa o solo até atingir a altura de 0, 80 m.

Mecˆ anica

Aula 12

ti

∆t

tf

t

Algumas vezes é mais interessante considerar o valor m´ edio da for¸ca impulsiva que o seu valor a cada instante. Por defini¸caõ, o valor médio de uma for¸ca impulsiva é o valor da for¸ca constante que, no mesmo intervalo de tempo, produz o mesmo impulso sobre um dado corpo.

Conserva¸ c˜ ao da Quantidade de Movimento Pense um Pouco! Num sistema isolado, onde o impulso das for¸cas externas seja nulo, a quantidade de movimento final é igual a inicial. ~f − Q ~ i = ~0 =⇒ Q ~f = Q ~i I~ = Q Resumindo, podemos enunciar o Teorema da Conserva¸caõ da Quantidade de Movimento: ´ constante a quantidade de movimento de um conE junto de pontos materiais que constituem um sistema isolado.

Exemplos

• Como podemos analisar as for¸cas envolvidas em uma colisão entre duas part´ıculas? • Imagine-se no meio da superf´ıcie lisa de um lago. Lembrando n˜ ao ser poss´ıvel caminhar sobre a superf´ıcie, em raz˜ ao da total ausência de atrito, sugira um procedimento que permita alcan¸car a margem do lago.


Fenˆ omenos que encontram explica¸caõ no teorema da quanti1. (UEA - Aprovar) Antonio (um pescador do Cambixe) est´ a dade de movimento: com sua canoa no lago dos Reis. Inicialmente, tanto a canoa • choque mecˆ anico; como o pescador repousam em rela¸caõ à água que, por sua vez, n˜ ao apresenta qualquer movimento em rela¸caõ à Terra. Atritos • recuo das armas de fogo; da canoa com a água s˜ ao desprez´ıveis e, no local, n˜ ao h´ a ventos. • explosão de uma bomba (fragmentos); Num determinado instante, o pescador atira horizontalmente a sua zagaia de massa 2, 0 kg que sai com velocidade de 10 m/s. • propulsão a jato. Calcule o módulo da velocidade do conjunto pescador/canoa, de massa igual a 150 kg, imediatamente ap´ os o disparo. 2. Uma arma de 3, 0 kg dispara um projétil de 0, 02 kg, a uma velocidade de 600 m/s. Qual é a velocidade de recuo dessa arma? 3. (FEI- SP) Um peixe de 4 kg est´ a nadando à velocidade de 1 m/s para a direita, quando engole um outro, de massa 0, 2 kg que estava nadando para a esquerda, na sua dire¸caõ, a For¸ cas Impulsivas 6 m/s. Determine a velocidade do peixe maior depois de ter A for¸ca de intera¸caõ que ocorre durante uma colis˜ ao, em ge- engolido o pobre peixinho. ral tem grande intensidade e curta dura¸caõ, como descrito no gr´ afico abaixo. For¸cas como essa, que atuam durante um in- 4. Um canh˜ ao de 800 kg, montado sobre rodas e n˜ ao freado, tervalo pequeno comparado com o tempo de observa¸caõ do dispara uma bala de 6 kg com velocidade inicial de 500 m/s. sistema, s˜ ao chamadas de for¸ cas impulsivas. Determine a velocidade de recuo do canh˜ ao.


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Exerc´ıcios Complementares 5. Um remador e seu barco têm juntos massa de 150 kg. O barco est´ a parado e o remador salta dele com velocidade de 8 m/s. O barco afasta-se com velocidade contr´ aria de 7 m/s. Calcule as massas do remador e do barco.

v1I m1

m2

6. (PUC-PR) Dois patinadores, um de massa 100 kg e outro F12 F21 de massa 80 kg, est˜ ao de mãos dadas em repouso sobre uma pista de gelo, onde o atrito é desprez´ıvel. Eles empurram-se mutuamente e deslizam na mesma dire¸caõ, porém em sentidos opostos. O patinador de 100 kg adquire uma velocidade de v2F v1F 4 m/s. A velocidade relativa de um dos patinadores em rela¸caõ ao outro é, em módulo, igual a: a) 5 m/s b) 4 m/s c) 1 m/s d) 9 m/s e) 20 m/s Como as part´ıculas que constituem o sistema trocam for¸cas entre si, essas for¸cas s˜ ao consideradas internas e a resultante é 7. Um astronauta de massa 70 kg encontra-se em repouso sempre nula. Isso ocorre em colis˜ oes ou em explosões. numa região do espa¸co em que as a¸co˜es gravitacionais s˜ ao desprez´ıveis. Ele est´ a fora de sua nave, a 120 m da mesma, mas consegue mover-se com auxilio de uma pistola que dispara Pense um Pouco! projéteis de massa 100 g, os quais s˜ ao expelidos com velocidade 1, 4×103 m/s. Dando um u ´ nico tiro, qual o tempo que o astro• Choques mecˆ anicos podem ser considerados sistemas isonauta leva para atingir sua nave, supostamente em repouso? lados. Assim, pode-se afirmar que, em qualquer tipo de Responda também qual o princ´ıpio utilizado para responder à choque, h´ a conserva¸caõ da quantidade de movimento e da pergunta. energia cinética?

Mecˆ anica

Aula 13

• A seguinte declara¸caõ foi extra´ıda de uma prova realizada por um estudante de f´ısica de uma universidade: “a colis˜ ao entre dois átomos de hélio é perfeitamente elástica, de forma que a quantidade de movimento se conserva”. A afirma¸caõ é logicamente correta? Explique.

Colis˜ oes An´ alise de uma Colis˜ ao Uma das aplica¸co˜es mais importantes do conceito de quantidade de movimento é encontrada no estudo de intera¸co˜es de curta dura¸caõ, entre as partes de um sistema (ou conjunto) de corpos, como ocorre em uma explos˜ ao ou em uma colis˜ ao.

FAB

FBA

A

B

Considerando as duas esferas da figura A e B, deslocando-se ao longo de uma mesma reta, inicialmente em sentidos contrários. Ap´ os a colis˜ ao, as esferas passam a se mover em sentidos opostos.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (UFAL) Um peda¸co de massa de modelar de 200 g é atirado horizontalmente com velocidade de 12 m/s contra um carrinho de massa 600 g, inicialmente parado sobre uma superf´ıcie horizontal. Se a massa se chocar contra o carrinho e nele permanecer grudada, a velocidade com que o conjunto passa a mover-se é, em metros por segundo: a) 3 b) 6 c) 8 d) 9 e) 12 2. (UDESC) Considere a colis˜ ao frontal perfeitamente elástica entre um nêutron, de massa relativa igual a 1, deslocando-se com velocidade constante v0 , e um dêuteron, de massa relativa igual a 2, em repouso.

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—


a) Calcule a velocidade de ambas as part´ıculas ap´ os a colis˜ ao. b) Se a colis˜ ao fosse inelástica, com as part´ıculas se movendo juntas ap´ os colidirem, os resultados para as velocidade calculadas permaneceriam os mesmos? Justifique a resposta. 3. Dois corpos A e B de massa iguais a 300 g e 150 g deslocam-se em sentidos contr´ arios com velocidades respectivamente iguais a 1, 5 m/s e 1, 2 m/s. Determine a velocidade do corpo B ap´ os o choque, sabendo que a velocidade do corpo A é de 0, 1 m/s e seu sentido é o mesmo da velocidade inicial. 4. Observa-se uma colis˜ ao el´ astica e unidimensional, no referencial do laboratório, de uma part´ıcula de massa m e velocidade de módulo 5 m/s com outra part´ıcula de massa m/4, a uma intera¸ca õ, que provoca muinicialmente em repouso. Quais os valores dos módulos das Figura 1.1: Nos choques, h´ dan¸ca na velocidade das bolas. velocidades das part´ıculas ap´ os a colis˜ ao?

Exerc´ıcios Complementares 5. (Unicamp-SP) Ao bater o tiro de meta, um goleiro chuta a bola parada de forma que ela alcance a maior distância poss´ıvel. No chute, o pé do goleiro fica em contato com a bola durante 0, 10 s, e a bola, de 0, 5 kg, atinge o campo a uma distância de 40 m. Despreze a resistência do ar. a) Qual o ângulo em que o goleiro deve chutar a bola? b) Qual a intensidade do vetor velocidade inicial da bola? c) Qual o impulso da for¸ca do pé do goleiro na bola? 6. (UEL-PR) Um pequeno caminh˜ ao, de massa 4 toneladas, colide frontalmente com um trator de 8 toneladas que estava a 36 km/h, e logo ap´ os a colis˜ ao, os dois ve´ıculos permanecem parados. Imediatamente antes da colis˜ ao, a velocidade do caminhão era, em m/s, de: a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30

Figura 1.2: Cada carro exerce e recebe uma for¸ca durante a colis˜ ao.

for¸ca durante a colis˜ ao. Ser´ a que podemos afirmar que isso também ocorre quando um caminh˜ ao colide com um carro? Neste caso, durante a intera¸caõ entre o caminh˜ ao e o carro, uma for¸ca de mesma intensidade atua sobre cada um deles, o que n˜ ao implica que o dano causado seja o mesmo para ambos. Podemos afirmar que o efeito causado ser´ a diferente, uma vez que a massa e a rigidez da lataria do carro e do caminh˜ ao s˜ ao diferentes. Isaac Newton estudou a intera¸caõ entre objetos. Ele formulou o princ´ıpio da a¸ c˜ ao e rea¸ c˜ ao, ou lei da a¸ c˜ ao e rea¸ c˜ ao, que posteriormente ficou conhecida como terceira Lei de Newton. De acordo com esta lei, as for¸cas resultantes da intera¸cão entre dois objetos sempre aparecem aos pares, têm mesmo módulo, mesma dire¸caõ, sentidos opostos e s˜ ao denominadas Lei da A¸c˜ ao e Rea¸c˜ ao a¸ c˜ ao e rea¸ c˜ ao: a for¸ca de a¸caõ é aplicada num objeto e a de Provavelmente você já assistiu a um jogo de sinuca. Nele, rea¸caõ, no outro. Atualmente a 3a Lei de Newton costuma ser ocorrem colis˜ oes entre as bolas. Durante essas colis˜ oes, h´ a uma enunciada da seguinte forma: rea¸caõ m´ utua, uma intera¸caõ, que é respons´ avel pela mudan¸ca Para toda a¸ c˜ ao existe uma rea¸ c˜ ao, de igual na velocidade das bolas. Este mudan¸ca produz altera¸caõ na intensidade, na mesma dire¸ c ˜ a o e sentido ~ = m · ~v ) das bolas. quantidade de movimento (Q contr´ ario. Se durante o tempo de intera¸caõ h´ a varia¸caõ da quantidade de movimento, significa que existe uma for¸ca atuando em cada Os movimentos dos corpos também est˜ ao embasados na 3a a bola, como explica a 2 Lei de Newton. Mas quem exerce essa Lei de Newton. Uma pessoa, ao andar, empurra o ch˜ ao para for¸ca? trás (a¸caõ) e a rea¸caõ que o ch˜ ao aplica na pessoa a empurra Enquanto ocorre a intera¸caõ, cada bola exerce uma for¸ca sobre para frente. Um avi˜ ao, com suas hélices ou turbinas, empurra a outra. Em um parque de divers˜ oes, ocorre a mesma coisa o ar para trás e este aplica uma for¸ca no avi˜ ao, deslocandocom os carrinhos “bate-bate”: cada carro exerce e recebe uma o para frente. Se um foguete lan¸ca uma massa de g´ as para

Mecˆ anica

Aula 14


25

Figura 1.3: O carro aplica no caminh˜ ao uma for¸ca resultante de mesma intensidade daquela que o caminh˜ ao aplica no carro. Figura 1.5: Movimento de um foguete. fora, exerce uma for¸ca sobre o g´ as (a¸caõ) e, simultaneamente, recebe do g´ as uma for¸ca igual e oposta (rea¸caõ). Desta forma, podemos chamar a for¸ca do g´ as sobre o foguete de “a¸caõ”e a graves em motoristas e passageiros no caso de acidentes. Fisicamente, a fun¸caõ do cinto est´ a relacionada com a: do foguete sobre o g´ as de “rea¸caõ”. a) 1a Lei de Newton; b) Lei de Snell; c) Lei de ampère; d) Lei de Ohm; e) 1a Lei de Kepler. 3. Um lutador de boxe atinge o advers´ ario com um murro no rosto. a) Na intera¸caõ luva-rosto, quem exerce maior for¸ca, a luva sobre o rosto ou o rosto sobre a luva? Por quê? b) Ent˜ ao por que a mão do pugilista que aplica o golpe n˜ ao sofre os mesmos “estragos”que o rosto do advers´ ario?

Exerc´ıcios Complementares Figura 1.4: O avi˜ ao empurra o ar para tr´ as e este aplica uma 4. Um autom´ ovel bate contra um caminh˜ ao, exercendo nele for¸ca no avi˜ ao que o empurra para frente. uma for¸ca de 20.000 N . a) Qual o módulo da rea¸caõ desta for¸ca, sabendo-se que a massa do carro é dez vezes menor que a do caminh˜ ao? Pense um Pouco! b) Quem exerce a rea¸caõ? c) Em que corpo est´ a aplicada a rea¸caõ? • Se a¸caõ e rea¸caõ possuem a mesma intensidade e sentidos 5. Dois blocos de massas mA = 3 kg e mB = 2 kg, apoiados contrários, por que uma n˜ ao anula o efeito da outra? sobre uma superf´ıcie horizontal perfeitamente lisa, s˜ ao empur´ poss´ıvel se caminhar sobre um ch˜ • E ao sem atrito? Explirados por uma for¸ca F de 20 N , conforme indica a figura que. abaixo. Determine a acelera¸caõ do conjunto.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (FAAP - SP) A 3a Lei de Newton é o princ´ıpio da a¸caõ e rea¸caõ. Esse princ´ıpio descreve as for¸cas que participam na intera¸caõ entre dois corpos. Podemos afirmar que: a) duas for¸cas iguais em módulo e de sentidos opostos s˜ ao for¸cas de a¸caõ e rea¸caõ; b) enquanto a a¸caõ est´ a aplicada num dos corpos, a rea¸caõ est´ a aplicada no outro; c) a a¸caõ é maior que a rea¸caõ; d) a¸caõ e rea¸caõ est˜ ao aplicadas no mesmo corpo; e) a rea¸caõ, em alguns casos, pode ser maior que a a¸caõ.

F A

B

6. De que modo você explica o movimento de um barco a remo, utilizando a terceira lei de Newton?

7. Dois corpos A e B, de massas mA = 5 kg e mB = 10 kg est˜ ao interligados por um fio ideal. A superf´ıcie de apoio é horizontal e perfeitamente lisa. Aplica-se em B uma for¸ca horizontal de 30 N . Determine: 2. (VUNESP - SP) As estat´ısticas indicam que o uso do cinto a) a acelera¸caõ do conjunto; de seguran¸ca deve ser obrigat´ orio para prevenir les˜ oes mais b) a for¸ca de tra¸caõ no fio.

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8. (ITA - SP) No campeonato mundial de arco e flecha dois concorrentes discutem sobre a f´ısica que est´ a contida no arco do arqueiro. Surge ent˜ ao a seguinte d´ uvida: quando o arco est´ a esticado, no momento do lan¸camento da flecha, a for¸ca exercida sobre a corda pela mão do arqueiro é igual a`: I) for¸ca exercida pela sua outra mão sobre a madeira do arco. II) tens˜ ao na corda. III) for¸ca exercida sobre a flecha pela corda no momento em que o arqueiro larga a corda. Neste caso: a) todas as afirmativas s˜ ao verdadeiras. b) todas as afirmativas s˜ ao falsas. c) somente I e III s˜ ao verdadeiras. d) somente I e II s˜ ao verdadeiras. e) somente II é verdadeira.

Mecˆ anica

—


ocorre porque nos pontos de contato as moléculas de cada superf´ıcie est˜ ao t˜ ao próximas que passam a exercer for¸cas intermoleculares entre si. A for¸ca de atrito que se op˜ oe a um corpo que rola é menor que no movimento de deslizamento. O atrito pode ser reduzido com o polimento das superf´ıcies em contato e com o uso de lubrificantes O atrito esta presente em quase todos os movimentos e ele pode ser u ´ til ou nocivo. Se n˜ ao existisse o atrito entre o sapato e o solo, uma pessoa n˜ ao poderia andar; o pé da pessoa empurra a Terra para trás e a Terra empurra o pé da pessoa para frente (a¸caõ e rea¸caõ), quando ela anda. Sem o atrito os ve´ıculos n˜ ao poderiam iniciar o seu movimento, pois, as rodas come¸cariam a girar sem sair do lugar. O objetivo das saliências em pneus é aumentar o atrito.

Aula 15

For¸ca de Atrito Ao lan¸carmos um corpo sobre uma superf´ıcie horizontal, verificamos que o corpo acaba parando. v 1

2

Isto significa que, enquanto o corpo se movimenta, ele adquire uma acelera¸caõ cujo sentido é oposto ao do seu movimento. H´ a portanto uma for¸ca que se op˜ oe ao deslocamento do bloco: a for¸ca de atrito F~at . Sempre que a superf´ıcie de um corpo escorrega sobre a de outro corpo, um exerce sobre o outro (princ´ıpio da a¸caõ e rea¸caõ) uma for¸ca de atrito tangente ` as superf´ıcies de contato. Deve-se notar que a for¸ca de atrito atuando sobre cada corpo tem sentido oposto ao movimento do corpo em rela¸caõ ao outro corpo. O atrito é provocado pela aspereza existente nas superf´ıcies em contato. As superf´ıcies tendem a se interpenetrarem quando s˜ ao esfregadas uma na outra e isto oferece resistência ao movimento relativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .

De Onde Vem o Atrito? Uma das hipóteses mais aceitas para a existência do atrito é que ele provém da coes˜ ao das moléculas situadas nas superf´ıcies que se acham em contato. Essa ades˜ ao superficial

Figura 1.1: Quando uma estrada de terra torna-se escorregadia, colocam-se correntes nas rodas dos autom´ oveis para aumentar o atrito.

Tipos de Atrito Existem dois tipos de atrito: o est´ atico e o cinético (dinˆ amico). Vamos estudar estes dois casos separadamente, pois existem diferen¸cas importantes a serem ressaltadas. For¸ cas de Atrito Est´ atico (FAE ) Apesar de parecer estranho, pode existir atrito entre superf´ıcies em repouso. Um exemplo comum é o de um autom´ ovel estacionado em uma ladeira. Este s´ o consegue permanecer parado gra¸cas ao atrito entre os freios e as rodas. Em situa¸co˜es como esta, dizemos que existe a chamada for¸ca de atrito est´ atico (FAE ). A for¸ca de atrito est´ atico é aquela que atua enquanto n˜ ao h´ a deslizamento, e o seu módulo máximo é dado por: FAE ≤ µe · N Experimentalmente, podemos estabelecer as seguintes propriedades gerais para o atrito est´ atico: • a intensidade da for¸ca de atrito est´ atico varia de zero até o valor máximo FAE ;


27

• o coeficiente de atrito est´ atico (µe ) depende do estado de polimento e da natureza das duas superf´ıcies em contato; • a intensidade da for¸ca de atrito est´ atico é independente da área de contato entre as superf´ıcies s´ olidas.

3. A máxima acelera¸caõ de um carro depende de alguma for¸ca de atrito? Explique.


For¸ cas de Atrito Cin´ etico (FAC ) Quando um carro é freado inesperadamente, é comum as rodas do autom´ ovel travarem e os pneus deslizarem no asfalto. Antigamente isso era ainda mais freq¨ uente, mas hoje, nos ve´ıculos equipados com os chamados freios ABS, as rodas n˜ ao travam mais. O ABS (Antiblocking System) é um avan¸cado sistema de freios desenvolvido para evitar o travamento das rodas nas freadas bruscas em velocidade. Sensores fixados a cada uma das rodas enviam sinais eletrˆ onicos para um módulo de comando computadorizado que reduz, em fra¸co˜es de segundo, a press˜ ao sobre as rodas prestes a se travarem. Com as rodas desbloqueadas, o carro permanece sob controle e tem menos possibilidade de derrapar ou deslizar, até em pistas molhadas. Mas, qual a diferen¸ca entre o carro escorregar ou n˜ ao na pista? Analise a figura a seguir; ela mostra o deslizamento entre duas superf´ıcies.

Corpo

Chao

1. (UFES) O bloco da figura est´ a em movimento em uma superf´ıcie horizontal em virtude da aplica¸caõ de uma for¸ca F~ paralela à superf´ıcie:

F = 60,0 N m =2,0 kg

O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superf´ıcie é igual a 0, 2. A acelera¸caõ do objeto é: (Dado g = 10 m/s2 .) a) 20, 0 m/s2 . b) 28, 0 m/s2 . c) 30, 0 m/s2 . d) 32, 0 m/s2 . e) 36, 0 m/s2 . 2. (UFMG) Um bloco é lan¸cado no ponto A, sobre uma superf´ıcie horizontal com atrito, e desloca-se para C:

B Figura 1.2: Corpo deslizando sobre superf´ıcie a ´spera.

A

C

As irregularidades microscópicas apresentadas pelas superf´ıcies fazem com que a movimenta¸caõ do bloco sofra uma resistência denominada for¸ca de atrito cinético. Obviamente, quanto maior a aspereza das superf´ıcies, maior a intensidade O diagrama que melhor representa as for¸cas que atuam sobre a passando pelo ponto B é: dessa for¸ca. Para medir a rugosidade das partes em contato o bloco quando esse bloco est´ criou-se o coeficiente de atrito cinético (µc ). Mesmo existindo valores tabelados para uma grande quantidade de materiais, a) d) é muito dif´ıcil conhecê-los com precisão, pois dependem das condi¸co˜es das superf´ıcies em contato. N˜ ao s˜ ao apenas os materiais das superf´ıcies em contato que interferem no valor da for¸ca de atrito cinético. A for¸ca normal entre os corpos também é de fundamental importˆ ancia. Quanto maior a for¸ca normal mais b) e) intensa a for¸ca de atrito cinético. O módulo da for¸ca de atrito cinético é dado pela express˜ ao: FAC = µc · N Na prática o coeficiente de atrito est´ atico é sempre maior que o coeficiente de atrito cinético.

c)

Pense um Pouco! 1. Por que nos dias de chuva é mais dif´ıcil frear um carro?

3. (UEL-PR) No sistema representado a seguir, o corpo A, a em movimento uniforme. A massa do 2. Por que o gelo é muito deslizante e quase n˜ ao apresenta de massa 3, 0 kg, est´ corpo B é de 10 kg. Adote g = 10 m/s2 . atrito?

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—


B

F A

Se F = 50 N , ent˜ ao a rea¸caõ normal e a for¸ca de atrito que O coeficiente de atrito dinˆ amico entre o corpo B e o plano atuam sobre o bloco valem, respectivamente: a) 20 N e 6, 0 N . sobre o qual se ap´ oia vale: b) 20 N e 10 N . a) 0,15 c) 50 N e 20 N . b) 0,30 d) 50 N e 25 N . c) 0,50 e) 70 N e 35 N . d) 0,60 e) 0,70

Exerc´ıcios Complementares 4. (Fuvest-SP) As duas for¸cas que agem sobre uma gota de chuva, a for¸ca peso e a for¸ca devida ` a resistência do ar, têm mesma dire¸caõ e sentidos opostos. A partir da altura de 125 m acima do solo, estando a gota com uma velocidade de 8 m/s, essas duas for¸cas passam a ter mesmo módulo. A gota atinge o solo com a velocidade de: a) 8 m/s b) 35 m/s c) 42 m/s d) 50 m/s e) 58 m/s 5. (Fuvest-SP) O sistema indicado na figura a seguir, onde as polias s˜ ao ideais, permanece em repouso gra¸ca´s a` for¸ca de atrito entre o corpo de 10 kg e a superf´ıcie de apoio.

10 kg

4 kg

6 kg

Podemos afirmar que o valor da for¸ca de atrito é: a) 20 N b) 10 N c) 100 N d) 60 N e) 40 N 6. (UFMG) Na figura a seguir, est´ a representado um bloco de 2, 0 kg sendo pressionado contra a parede por uma for¸ca F~ . O coeficiente de atrito est´ atico entre esses corpos vale 0, 5, e o cinético vale 0, 3. Considere g = 10 m/s2 .

õ – Aula 1 Gravitac ¸a

29

Gravita¸c˜ ao

Aula 1

As Leis de Kepler ´ A Lei das Orbitas (1609) A órbita de cada planeta é uma elipse, com o Sol em um dos focos. Como conseq¨ uência da ´ orbita ser el´ıptica, a distância do Sol ao planeta varia ao longo de sua órbita.

A Lei dos Per´ıodos (1618) O quadrado do per´ıodo orbital dos planetas é diretamente proporcional ao cubo de sua distância média ao Sol. Esta lei estabelece que planetas com órbitas maiores se movem mais lentamente em torno do Sol e, portanto, isso implica que a for¸ca entre o Sol e o planeta decresce com a distância ao Sol. Sendo P o per´ıodo orbital do planeta, a o semi-eixo maior da órbita, que é igual à distância média do planeta ao Sol, e K uma constante, Podemos expressar a 3a lei como: P2 =K a3

Se medimos P em anos (o per´ıodo orbital da Terra), e a em Lembre-se, a elipse é uma linha plana, com focos no seu mesmo unidades astronˆ omicas (1 u.a. = distância média da Terra ao plano. Isso implica em que o movimento dos planetas ocorre Sol), ent˜ ao K = 1, e podemos escrever a 3a lei como: sobre um plano bem definido, e cada planeta tem o seu plano orbital diferente, e todos esses planos devem ter pelo menos P2 =1 um ponto em comum, o Sol. a3

Planeta

e podemos concluir que, para os planetas internos (a < 1 u.a.) o per´ıodo orbital (ano) ser´ a menor do que o ano terrestre. E para os planetas exteriores (a > 1 u.a.), o per´ıodo é maior do que o terrestre.

Sol f

Pense um Pouco!

f’

• Se um novo planeta for descoberto a meia distância entre o Sol e a Terra, qual o seu per´ıodo orbital. • Um satélite em órbita na Terra, passando pelo ponto mais próximo da Terra, est´ a mais r´ apido ou mais lento se comparado ao ponto em que est´ a mais afastado da Terra?

Figura 1.1: 1a Lei de Kepler.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao ´ A Lei da Areas (1609) A reta unindo o planeta ao Sol varre ´ areas iguais em tempos iguais. O significado f´ısico desta lei é que a velocidade orbital n˜ ao é uniforme, mas varia de forma regular: quanto mais distante o planeta est´ a do Sol, mais devagar ele se move. Dizendo de outra maneira, esta lei estabelece que a velocidade areolar (referente a área) é constante.

v’ Sol

A’

A f v

Figura 1.2: 2a Lei de Kepler.

Planeta

1. A tabela abaixo mostra como fica a 3a Lei de Kepler para os planetas vis´ıveis a olho n´ u. Complete os dados que est˜ ao faltando. Planeta a(u.a.) P (ano) a3 P2 Merc´ urio 0,387 0,241 0,058 0,058 Vênus 0,723 0,615 0,378 Terra 1,000 1,000 1,000 1,000 Marte 1,524 1,881 3,537 J´ upiter 5,203 11,862 140,700 Saturno 9,534 29,456 2. Adotando o Sol como referencial, aponte a alternativa que condiz com a 1a lei de Kepler da Gravita¸caõ Universal (lei das órbitas): a) As órbitas planet´ arias s˜ ao curvas quaisquer, desde que fechadas; b) As órbitas planet´ arias s˜ ao espiraladas; c) As órbitas planet´ arias n˜ ao podem ser circulares; d) As órbitas planet´ arias s˜ ao el´ıpticas, com o Sol ocupando o centro da elipse; e) As órbitas planet´ arias s˜ ao el´ıpticas, com o Sol ocupando um dos focos da elipse. ´ 3. A 2a lei de Kepler (Lei das Areas) permite concluir que um planeta possui:

30


—


a) maior velocidade quando se encontra mais longe do Sol; b) maior velocidade quando se encontra mais perto do Sol; c) menor velocidade quando se encontra mais perto do Sol; d) velocidade constante em toda sua trajetória; e) n.r.a.

fenˆ omeno, como a queda de um corpo próximo à superf´ıcie da Terra, até, o mais complexo, como as for¸cas trocadas entre corpos celestes, traduzindo com fidelidade suas órbitas e os diferentes movimentos. Segundo a lenda, Newton, ao observar a queda de uma ma¸ca, concebeu a idéia que ela seria causada pela atra¸caõ exercida pela terra. A natureza desta for¸ca atra4. Assinale a alternativa que est´ a em desacordo com as Leis tiva é a mesma que deve existir entre a Terra e a Lua ou entre de Kepler da Gravita¸caõ Universal: o Sol e os planetas; portanto, a atra¸caõ entre as massas é, com a) O quociente do cubo do raio médio da ´ orbita pelo quadrado certeza, um fenˆ omeno universal. do per´ıodo de revolu¸caõ é constante para qualquer planeta de um dado sistema solar; ca Elementar b) quadruplicando-se o raio médio da ´ orbita de um satélite em Uma For¸ torno da Terra, seu per´ıodo de revolu¸caõ fica 8 vezes maior; Sejam duas part´ıculas de massas m1 e m2 , separadas por c) Quanto mais próximo de uma estrela (menor raio médio uma distância r. Segundo Newton, a intensidade da for¸ca F da ´ orbita) gravita um planeta, menor é o seu per´ıodo de rede atra¸caõ entre as massas é dada por volu¸caõ; m1 m2 d) Satélites diferentes gravitando em torno da Terra, na mesma F =G 2 órbita têm per´ıodos de revolu¸caõ iguais; r e) Devido à sua maior distância do Sol (maior raio médio da onde G é uma constante, a constante da gravita¸caõ universal, órbita) o ano de Plut˜ ao tem dura¸caõ menor que o da Terra. sendo seu valor expresso, no Sistema Internacional, por G = 6, 67 × 10−11 N · m2 /kg 2

Exerc´ıcios Complementares 5. Com rela¸caõ às leis de Kepler, podemos afirmar que: a) N˜ ao se aplicam ao estudo da gravita¸caõ da Lua em torno da Terra; b) s´ o se aplicam ao nosso Sistema Solar; c) aplicam-se à gravita¸caõ de quaisquer corpos em torno de uma grande massa central; d) contrariam a mecˆ anica de Newton; e) n˜ ao prevêem a possibilidade da existência de ´ orbitas circulares. 6. Considere dois satélites de massas ma e mb , sendo ma = 2mb , descrevendo a mesma ´ orbita em torno da Terra. Com rela¸caõ a` velocidade dos dois teremos: a) va > vb b) va < vb c) va = vb d) va = vb /2 e) n.r.a

F21 m2

F12 m1

Figura 1.1: Duas part´ıculas se massas m1 e m2 sempre se atraem mutuamente, dando origem a um par de for¸cas F12 e F21 . As for¸cas F12 e F21 é a da reta que une as part´ıculas, e o sentido tal que as massas sempre se atraem mutuamente, com mesma intensidade de for¸ca, ou seja F12 = F21

7. Um planeta descreve uma ´ orbita el´ıptica em torno do Sol. Podemos, ainda, enunciar a lei da gravita¸caõ universal do seO ponto A é o ponto da ´ orbita mais próximo do Sol; o ponto guinte modo: B é o ponto mais distante. No ponto A: Dois corpos se atraem gravitacionalmente com for¸ca a) a velocidade de rota¸caõ do planeta é máxima; cuja intensidade é diretamente proporcional ao prob) a velocidade de transla¸caõ do planeta se anula; duto de suas massas e inversamente proporcional ao c) a velocidade de transla¸caõ do planeta é máxima; quadrado da distância entre seus centros de massa. d) a for¸ca gravitacional sobre o planeta se anula; e) n.r.a Ap´ os a formula¸caõ da lei da Gravita¸caõ, com o desenvolvimento do c´ alculo integral, Newton também mostrou que a for¸ca gravitacional entre esferas homogˆ eneas também segue a mesma forma estabelecida para as part´ıculas. E também vale a mesma for¸ca para uma part´ıcula e uma esfera homogênea. Esse resultado foi t˜ ao surpreendente para o próprio Newton, que inicialmente nem ele acreditou no que havia provado matematicamente! Gravita¸ c˜ ao Universal Aplicando-se a lei de gravita¸caõ para um corpo de massa m na superf´ıcie da Terra, temos ent˜ ao A lei da gravita¸ c˜ ao universal, proposta por Newton, foi um dos maiores trabalhos desenvolvidos sobre a intera¸caõ enGMT MT m m = mg = P F =G 2 = tre massas, pois é capaz de explicar desde o mais simples RT RT2

Gravita¸c˜ ao

Aula 2

õ – Aula 3 Gravitac ¸a onde RT e MT s˜ ao o raio e a massa da Terra, respectivamente, e` a for¸ca obtida chamamos peso. Medidas atuais mostram que MT = 5, 98 × 1024 kg e RT = 6, 37 × 106 m. A constante g que aparece acima é justamente a acelera¸caõ da gravidade na superf´ıcie da Terra. Experimente calcular g com os dados fornecidos!

31 c) 40 kg e 400 N d) 20 kg e 200 N e) 10 kg e 100 N

4. Um corpo é colocado na superf´ıcie terrestre é atra´ıdo por esta com uma for¸ca F . O mesmo corpo colocado na superf´ıcie de um planeta de mesma massa da Terra e raio duas vezes menor ser´ a atra´ıdo pelo planeta com uma for¸ca cujo módulo ˜ OBSERVAC ¸ OES é: a) 4F 1. A for¸ca gravitacional é sempre de atra¸caõ; b) 2F 2. A for¸ca gravitacional n˜ ao depende do meio onde os corpos c) F d) F/2 se encontram imersos; e) F/4 3. A constante da gravita¸caõ universal G teve seu valor determinado experimentalmente por Henry Cavendish, em 1798, por meio de um instrumento denominado balan¸ca Exerc´ıcios Complementares de tor¸caõ e esferas de chumbo. 5. Se a massa da Terra n˜ ao se alterasse, mas o seu raio fosse reduzido à metade, o nosso peso seria: • Qual a dire¸caõ e o sentido da for¸ca de atra¸caõ gravitacio- a) reduzido à quarta parte nal exercida pela Terra sobre os corpos que est˜ ao próximos b) reduzido à metade c) o mesmo a superf´ıcie? ` d) dobrado • A acelera¸caõ da gravidade na Lua é 6 vezes menor do que e) quadruplicado a acelera¸caõ da gravidade próxima ` a superf´ıcie da Terra. O que acontece com o peso e a massa de um astronauta 6. Um corpo de massa m gira em torno da Terra, em órbita circular, com velocidade escalar constante v. Sendo G a consna Lua? tante gravitacional e M a massa da Terra, o raio da trajetória • O valor da acelera¸caõ da gravidade é relevante para os descrita pelo corpo ser´ a: esportes? a) G/M v 2 b) G/mv 2 c) Gm/v 2 Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao d) GM/v 2 e) GM m/v 2

Pense um Pouco!

1. Duas part´ıculas de massas respectivamente iguais a M e m est˜ ao no vácuo, separadas por uma distância d. A respeito das for¸cas de intera¸caõ gravitacional entre as part´ıculas, podemos afirmar que: a) têm intensidades inversamente proporcional a d; b) têm intensidades diretamente proporcional ao produto Mm; c) n˜ ao constituem entre si um par a¸caõ e rea¸caõ; d) podem ser atrativas ou repulsivas; e) teriam intensidade maior se o meio fosse o ar. 2. A raz˜ ao entre os diâmetros dos planetas Marte e Terra é 1/2 e entre as respectivas massas é 1/10. Sendo de 160 N o peso de um garoto na Terra, pode-se concluir que seu peso em Marte ser´ a de: a) 160 N b) 80 N c) 60 N d) 32 N e) 64 N 3. Uma menina pesa 400 N na superf´ıcie da Terra, onde se adota g = 10m/s2 . Se a menina fosse transportada até uma altura igual ao raio da Terra (6.400 km), sua massa e seu peso seriam, respectivamente: a) 40 kg e 100 N b) 40 kg e 200 N

7. Sabe-se que no interior de uma nave em órbita circular em torno da Terra um astronauta pode flutuar, como se n˜ ao tivesse peso. Esse fato ocorre porque: a) a nave est´ a fora do campo gravitacional da Terra; b) h´ a ausência de atmosfera; c) a atra¸caõ exercida pela Lua é maior do que a atra¸caõ exercida pela Terra; d) ambos, astronauta e nave, est˜ ao em queda livre no seu movimento circular; e) h´ a uma redu¸caõ na massa dos corpos.

Gravita¸c˜ ao

Aula 3

Peso O peso de um corpo é a for¸ca de atra¸caõ exercida pela terra sobre ele. Um paraquedista, por exemplo, cai por que é atra´ıdo pela Terra. Consideremos um corpo de massa m caindo em queda livre perto da superf´ıcie da Terra.

32


—


Figura 1.2: J´ upiter e alguns de seus satélites naturais.

Unidades SI Figura 1.1: Paraquedista.

Peso e Massa

A unidade de peso no Sistema Internacional (SI) é o newton ou N . Outra unidade, muito utilizada na ind´ ustria, é o quilograma-for¸ca ou kgf .

1 kgf ´ e o peso de um corpo de 1 kg de massa Se o corpo cai em queda livre ele possui acelera¸caõ ~a igual à num local em que a acelera¸ c˜ ao da gravidade ´ e da gravidade ~g . Desta forma, podemos usar o princ´ıpio fun2 igual a 9, 8 m/s . damental da Dinˆ amica (2a Lei de Newton) para obter a for¸ca que age sobre esse corpo. Esta for¸ca é chamada de for¸ca peso Podemos relacionar newton e quilograma-for¸ca: P~ e é dada por: P = mg → 1 kgf = 1kg · 9, 8 m/s2 ~ P = m~g 1 kgf = 9, 8 kg · m/s2 Essa express˜ ao mostra que o peso do corpo é diretamente proporcional à sua massa: quanto maior a massa, maior o peso. Entretanto massa e peso s˜ ao conceitos inteiramente diferentes. Massa é uma propriedade intr´ınseca do corpo, isto é, depende apenas do próprio corpo, enquanto peso é a for¸ca de atra¸caõ gravitacional que atua sobre ele, variando de acordo com o valor da acelera¸caõ da gravidade. Por isso o peso do corpo pode variar. A massa, no entanto, é sempre a mesma em qualquer lugar do universo.

1 kgf = 9, 8 N

Pense um Pouco! • Por que na Lua os astronautas conseguem dar saltos mais altos do que na Terra? • Quando alguém diz que “pesa”75 kg o que isso quer dizer?

Peso e Gravita¸c˜ ao O peso de um corpo é uma grandeza vetorial que tem dire¸caõ vertical e sentido para o centro da Terra. A for¸ca peso é uma for¸ca que atua ` a distância. Por isso, dizemos que em torno da Terra h´ a uma regi˜ ao chamada campo gravitacional, na qual todos os corpos sofrem sua influência. Estando sob a a¸caõ deste campo, os corpos s˜ ao atra´ıdos por essa for¸ca peso e sofrem varia¸co˜es de velocidade, uma vez que adquirem acelera¸caõ. Como a acelera¸caõ da gravidade num ponto é inversamente proporcional ao quadrado da distância desse ponto ao centro da Terra, e como os pontos de sua superf´ıcie n˜ ao est˜ ao à mesma distância ao centro da terra, conclu´ımos que no topo de uma ´ montanha um corpo pesar´ a menos do que ao n´ıvel do mar. E importante lembrar que existem varia¸co˜es que vão desde 393 m abaixo do n´ıvel do mar (Mar morto), a 8.848 m acima do n´ıvel do mar (Monte Everest). Como a Terra é achatada nos p´ olos, um homem pesará mais no P´ olo Norte que no Equador. Em torno de qualquer planeta ou satélite existe um campo gravitacional. Assim, podemos falar em peso de um corpo em J´ upiter, Saturno ou Marte, por exemplo.

• Quando uma pessoa salta em queda-livre o que acontece com o seu peso?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Na superf´ıcie da Terra a acelera¸caõ da gravidade vale 9, 8 m/s2 e, na superf´ıcie da Lua, 1, 6 m/s2 . Para um corpo de massa igual a 4 kg, calcule: a) o peso na superf´ıcie da Terra. b) o peso na superf´ıcie da Lua. 2. Peso e massa s˜ ao a mesma coisa? quando você sobe numa balan¸ca de uma farmácia e permanece em repouso sobre ela, por exemplo, você esta medindo sua massa ou seu peso?

Exerc´ıcios Complementares 3. (MACK - SP) Uma das observa¸co˜es cient´ıficas mais interessantes, noticiada pelas emissoras de TV, foi a do astronauta russo que, a bordo da esta¸caõ espacial MIR, borrifou leite l´ıquido contido numa embalagem tradicional e, este, sob a falta de gravidade, adentrou a boca do cientista como uma


33

“bola flutuante”. Considerando totalmente desprez´ıvel a gravidade no local dessa experiência, duas “bolas”de leite de massas respectivamente iguais a m e 2m ter˜ ao seus pesos: a) iguais a zero b) na propor¸caõ PA /PB = 1/3 c) na propor¸caõ PA /PB = 1/2 d) na propor¸caõ PA /PB = 2 e) na propor¸caõ PA /PB = 3 4. (UFSM - RS) Uma for¸ca F de módulo igual a 20 N é aplicada, verticalmente, sobre um corpo de 10 kg em repouso sobre uma superf´ıcie horizontal. O módulo (em N ) da for¸ca normal sobre o corpo, considerando o módulo da acelera¸caõ gravitacional como 10 m/s2 é: a) 120 b) 100 c) 90 d) 80 e) 0

para uma altitude onde a acelera¸caõ da gravidade vale G, pergunta-se: a) o peso do quilograma padr˜ ao vai se modificar? b) havendo modifica¸caõ, qual o seu novo peso? c) qual ser´ a a massa do corpo no novo local? 7. A acelera¸caõ da gravidade na superf´ıcie de J´ upiter é de 30 m/s2 . Qual a massa de um corpo que na superf´ıcie de J´ upiter pesa 120 N ?.

Gravita¸c˜ ao

Aula 4

Centro de Gravidade

Os corpos materiais podem ser considerados como um sistema 5. Durante uma brincadeira, Bárbara arremessa uma bola de de part´ıculas, cada uma das quais atra´ıda pela Terra com uma vôlei verticalmente para cima, como mostrado nesta figura: for¸ca igual ao peso da part´ıcula.

P1

P2 P3

G

P4

P

A resultante de todas essas for¸cas parciais é o peso total do corpo. Seja G o ponto no qual podemos considerar aplicado todo o peso do corpo. O ponto G é denominado centro de gravidade do corpo. Resumindo, temos: centro de gravidade de um corpo ´ e o ponto de aplica¸ c˜ ao da for¸ ca peso A terra atrai o corpo como se toda sua massa estivesse localizada no centro de gravidade. Para corpos homogêneos, isto é, de massa uniformemente distribu´ıda, que admitem um eixo de simetria, seus centros de Assinale a alternativa cujo diagrama melhor representa a(s) gravidade est˜ ao sobre esse eixo. for¸ca(s) que atua(m) na bola no ponto mais alto de sua trajetória. G

a)

b)

P

G P

G P

Se o corpo tiver forma irregular e n˜ ao for homogêneo, utiliza-se a regra prática explicada abaixo. Em um suporte, pendura-se o objeto por um ponto qualquer e, quando ele estiver em repouso, tra¸ca-se um vertical sobre c) d) o ponto em que ele est´ a suspenso. Como o objeto est´ a em equil´ıbrio, seu peso e a for¸ca exercida sobre ele pelo suporte Nenhuma força atua sobre que o sustenta têm mesmo módulo, mesma dire¸caõ e sentidos a bola neste ponto opostos. Logo, a dire¸caõ da reta que contém o centro de gravidade é essa vertical. Agora pendura-se o objeto por outro 6. (Vunesp-SP) Se o quilograma padr˜ ao for transportado de ponto e tra¸ca-se uma nova vertical; a interseçcaõ dessa vertical Paris, onde a acelera¸caõ da gravidade vale g (valor normal), com a anterior determina o centro de gravidade (CG).

34


—


Para que um ponto material esteja em equil´ıbrio ´ e necess´ ario e suficiente que a resultante de todas as for¸ cas que nele agem seja nula. T

T

CG

CG

P P

Antes de prosseguirmos, vale apena relembrar a defini¸caõ de ponto material e corpo extenso. Imagine um carro de 3, 00 m de comprimento viajando de Joinville ` a Blumenau. O comprimento do carro é muito pequeno se comparado com a distância Jvlle - Bnu, ≃ 90 km, e suas dimensões, ent˜ ao, n˜ ao precisarão ser consideradas ao analisarmos o seu movimento. Em situa¸co˜es como essa, nas quais o objeto apresenta dimensões consideradas desprez´ıveis, diante do fenˆ omeno observado, podemos consider´ a-lo como um ponto material. No caso do movimento de um ˆ onibus, de 20 m de comprimento, deslocando-se entre duas paradas (pontos) distantes entre si 500 m, por exemplo, é necess´ ario que levemos em conta as suas dimensões ao analisarmos alguns aspectos do seu movimento. E ele estar´ a se comportando como um corpo extenso.

Momento de uma For¸ca Considere uma pessoas tentando girar uma porca com uma chave.

Utilizando for¸cas de mesmo valor, ser´ a mais fácil girar a porca em torno de seu centro O se a for¸ca aplicada no ponto A, ao invés de ser aplicada no ponto B. Quanto maior for a distˆ ancia do ponto de aplica¸caõ da for¸ca até o centro O da porca, maior vai ser a facilidade de girarmos a porca usando a chave. O mesmo ocorre quando tentamos fechar uma porta. Se exercemos a for¸ca em A a facilidade é maior do que se exercermos a for¸ca em B.

Equil´ıbrio de um Ponto Material Um ponto material pode estar em equil´ıbrio est´ atico ou dinˆ amico. No equil´ıbrio est´ atico, o ponto material est´ a em repouso (~v = 0). No equil´ıbrio dinˆ amico o ponto material est´ a em movimento retil´ıneo uniforme (~v = constante 6= 0). Consideramos que o eixo de rota¸caõ é o que contém as dobradi¸cas. Analisando os casos anteriores, notamos que h´ a uma rela¸cão entre a for¸ca aplicada e a distância do ponto de aplica¸caõ dessa for¸ca até o eixo de rota¸caõ. A grandeza f´ısica que relaciona essas duas grandezas é chamada momento de uma for¸ca ou torque. O momento de uma for¸ ca ´ e a capacidade dessa for¸ ca em fazer girar um objeto. Para definirmos a grandeza momento, consideremos uma for¸ca F~ e um ponto O, chamado p´ olo. d

Figura 1.1: Situa¸ca õ de equil´ıbrio. Analisando os dois tipos de equil´ıbrio, notas uma semelhan¸ca: em ambos a acelera¸caõ é nula (~a = 0). Utilizando a Segunda Lei de Newton, temos F~R F~R

= =

F~R

=

m · ~a m·0 0

Assim, conclu´ımos que

O

F

O momento da for¸ca F~ em rela¸caõ ao ponto O é dado por: ~ F,O = F~ d M


35

Unidade SI

τ

A unidade de momento n˜ ao tem nome espec´ıfico. Ela é dada pelo produto da unidade da for¸ca, em newtons, pela unidade de distância, em metro. Portanto a unidade de momento é newton · metro, ou N · m. Observa¸ c˜ ao Sabemos que o produto N · m é chamado de joule J. Entretanto, o joule n˜ ao é uma unidade utilizada para medir o momento de uma for¸ca, porque momento é uma grandeza de natureza diferente de trabalho e energia. Dire¸ c˜ ao e Sentido

eixo de rotaçao

O momento ou torque de uma for¸ca é uma grandeza vetorial. A partir do sentido de rota¸caõ (hor´ ario ou anti-horário) que uma ou mais for¸cas tendem a produzir, podemos determinar Figura 1.2: Regra da m˜ ao direita: o vetor indica o sentido do a dire¸caõ e o sentido do torque. Por exemplo, um saca-rolhas, momento. A dire¸ca õ é sempre paralela ao eixo de rota¸ca õ do ao girar, produz efeitos contr´ arios: no sentido hor´ ario, entra objeto. na rolha (avan¸ca verticalmente para baixo); no sentido antihor´ ario, sai dela (retorna verticalmente para cima). O sentido do deslocamento do saca-rolhas coincide com o sentido do vetor ~ F,O ), e sua dire¸caõ est´ momento (M a sempre paralela ao eixo de rota¸caõ.

Outra maneira prática de determinar a dire¸caõ e o sentido do Exerc´ ıcios de Aplica¸c˜ ao vetor torque é utilizar a regra da m˜ ao direita. Os quatro dedos dessa mão devem acompanhar o sentido da rota¸caõ do aria cujo peso é 100 N est´ a suspensa por duas objeto. O polegar indicar´ a a dire¸caõ e o sentido do vetor mo- 1. Uma lumin´ cordas, AC e BC, conforme indica a figura. Determine a for¸ca mento. de tra¸caõ em cada corda. O momento pode ser positivo ou negativo. Adotamos a seguinte convers˜ ao: rota¸caõ no sentido anti-horário → momento positivo o A 60 o B rota¸caõ no sentido hor´ ario → momento negativo 30

Equil´ıbrio de um Corpo Extenso As condi¸co˜es necess´ arias e suficientes para que um corpo se mantenha em equil´ıbrio s˜ ao:

C

1. A resultante de todas as for¸ cas que nele agem seja nula. 2. A soma alg´ ebrica dos momentos de todas as for¸ cas que nele atuam, em rela¸ c˜ ao ao mesmo ponto, seja nula.

Pense um Pouco! Como você explicaria a situa¸caõ abaixo?

2. (UFCO) Um bloco A de 10 kg de massa encontra-se em repouso sobre um plano horizontal liso, conforme mostra a figura. Considerando as polias e os fios ideais e tomando g = 10 m/s2 : a) mostre em um diagrama todas as for¸cas que agem no bloco A.

36


—


b) sabendo que a massa do bloco C que equilibra o sistema é 2 kg, calcule, neste caso, a massa do bloco B.

B A

60

o

C

Exerc´ıcios Complementares 3. (Vest. RJ) Um menino, de massa igual a 40 kg, est´ a sobre uma t´ abua de 2, 00 m de comprimento, a 0, 500 m do apoio A, conforme indica a figura. Desprezando os pesos da t´ abua e da vara de pescar e considerando g = 10 m/s2 , determine a intensidade das rea¸co˜es nos apoios A e B.

4. (UFMT) A barra xy é homogênea, de 100 kg de massa, e est´ a apoiada em suas extremidades, suportando as massas de 50 kg e 150 kg, como na figura. calcule as rea¸co˜es dos apoios. (considere a barra horizontal e g = 10 m/s2 ).

3,0 m 0,5 m

0,5 m

50 kg

150 kg

5. Calcule o momento de cada uma das for¸cas indicadas na figura, em rela¸caõ ao ponto O. Dados: F1 = 20 N , F2 = 30 N e F3 = 40 N

6. A barra AB da figura tem peso desprez´ıvel. Sabendo que F1 = F2 = F3 = F4 = 6 N , calcule o momento resultante dessas for¸cas em rela¸caõ aos pontos: a) A b) B c) C

´ Otica – Aula 1

37

´ Otica

Aula 1

N θ

raio incidente

i

θ

raio refletido r

´ Otica superfície refletora plana

A Luz O estudo de luz e cor deve ser iniciado pela F´ısica elementar, uma vez que a luz é uma onda eletromagnética. Desta forma, pode-se ent˜ ao exemplificar as ondas eletromagnéticas de maior importˆ ancia nas pesquisas e nas aplica¸co˜es práticas, em fun¸caõ do comprimento de onda (propriedade que fornece uma das principais caracter´ısticas da onda): Raios-X (faixa de 0, 1 a 1 nm, ondas ultra-violetas (faixa de 1 até 400 mm), o espectro de luz vis´ıvel (faixa de 400 até 700 nm), ondas infra-vermelhas (faixa de 700 nm até 1 mm) e faixas de radiofreq¨ uência que variam de 20 cm até 105 m. Todas as ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo com a mesma velocidade c com o valor de 3, 0 × 108 m/s (velocidade da luz).

Figura 1.1: Reflex˜ ao Planar.

Espelho Plano Espelho plano é a superf´ıcie plana polida onde ocorre predominantemente a reflex˜ ao da luz. Forma¸ c˜ ao de Imagens nos Espelhos Planos Observemos um ponto objeto luminoso O diante de um espelho plano enviando luz em todas as dire¸co˜es, conforme indica a figura.

Reflex˜ ao da Luz espelho plano

Quando a luz atinge uma superf´ıcie separadora S de dois meios de propaga¸caõ (A e B), ela sofrer´ a reflex˜ ao se retornar ao meio no qual estava se propagando. A quantidade de luz refletida depende do material que é feita a superf´ıcie S, do seu polimento entre outros fatores.

eixo otico

objeto real

imagem virtual

Tipos de Reflex˜ ao Consideramos raios paralelos de luz incidente sobre uma superf´ıcie. Ocorrerá reflex˜ ao especular ou regular se os raios refletidos forem também paralelos entre si. Em caso contrário, a reflex˜ ao é chamada difusa ou irregular. A reflex˜ ao regular ser´ a predominante quando a superf´ıcie refletora for plana e bem polida como, por exemplo, um espelho. A reflex˜ ao difusa ocorre em superf´ıcies irregulares e porosas. ´ a difus˜ E ao (ou espalhamento) da luz, pelo próprio ar, pela poeira, pelas paredes e outros corpos, que torna o ambiente iluminado.

Repare que a parte de trás do espelho (` a direita neste exemplo) é marcada pelas hachuras. A imagem encontrada é fruto do prolongamento dos raios refletidos, isso caracteriza uma imagem virtual.

Leis da Reflex˜ ao

Propriedades dos Espelhos Planos

1a Lei: O raio de luz incidente, o raio de luz refletido e a reta normal à superf´ıcie pelo ponto de incidência da luz est˜ ao num mesmo plano (coplanares). Temos: RI = Raio Incidente; RR = Raio Refletido; N = Reta Normal; i=ˆ angulo de incidência; r=ˆ angulo de reflex˜ ao. 2a Lei: O ângulo de incidência é igual ao ˆ angulo de reflex˜ ao. i=r

o

i

Figura 1.2: Forma¸ca õ de imagens em um espelho plano.

1. Se chamarmos de x à distância do objeto ao espelho, a distância entre o espelho e a imagem ser´ a também x. Isto significa que o objeto e a imagem s˜ ao simétricos em rela¸caõ ao espelho. 2. As imagens formadas num espelho plano s˜ ao enantiomorfas, ou seja, existe uma invers˜ ao ”direita para a esquerda”, mas n˜ ao de ”baixo para cima”. Assim a imagem especular da mão esquerda é a mão direita, mas a imagem dos pés n˜ ao est´ a na cabe¸ca. 3. Ainda pelas figuras anteriores, percebe-se que um objeto localizado na frente do espelho (real) nos fornece uma imagem que nos d´ a a impressão de estar situada atr´ as do espe-

38

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC lho (virtual). Logo, o objeto e a imagem s˜ ao de naturezas opostas.

—



4. Considere um raio luminoso incidindo num espelho plano. 4. Finalmente, podemos notar que o objeto e a imagem posDetermine o ângulo formado entre o raio incidente e o espelho, suem o mesmo tamanho, e, em caso de movimento relativo sabendo que o ângulo formado entre o raio incidente e o raio ao espelho, possuir˜ ao iguais velocidades. refletido é igual a 700 . 5. Um rapaz est´ a sentado na cadeira de uma barbearia de frente para um espelho plano, tendo atr´ as de si o barbeiro em p´ e . A distˆ a ncia entre o rapaz e o espelho é D e entre o rapaz e Campo Visual de um espelho plano é a regi˜ ao do espa¸co que o barbeiro ´ e d. Qual ´ e a distˆ a ncia x (horizontal) entre o rapaz pode ser vista por um observador através de um espelho. e a imagem do barbeiro ? Para determinarmos o campo visual, basta tomar o ponto O′ , simétrico de O, e uni-lo ` as extremidades do espelho plano E. 6. Daniela, uma linda menininha de oito anos, ficou compleVeja a figura. [fig:ot013] tamente desconcertada quando, ao chegar em frente do espe-

Campo Visual

O

O’

lho de seu armário, vestindo uma blusa onde havia seu nome escrito, viu a imagem de seu nome refletida, desenhe essa imagem?

´ Otica

Aula 2

campo visual E

Espelhos Esf´ ericos Os espelhos esféricos s˜ ao superf´ıcies refletoras que tem forma de uma calota esférica. Figura 1.3:

Calota Esferica

Pense um Pouco! 1. Por que n˜ ao enxergamos no escuro?

V 2. Para que serve o espelho retrovisor dos carros?

C

3. Por que as ambulˆ ancias geralmente trazem escrito na frente ?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao Figura 1.1: Calota esférica. 1. A estrela Vega est´ a situada a cerca de 26 anos-luz (ano luz é a distância que a luz percorre em 1 ano) da Terra. Determine Temos dois tipos de espelho esférico: a ordem de grandeza da distância de Vega até a Terra, em Cˆ oncavo: a superf´ıcie refletora é interna. metros. Convexo: a superf´ıcie refletora é externa. 2. Um observador nota que um edif´ıcio projeta no solo uma sombra de 30 m de comprimento, no instante em que um muro Esquematicamente: de 1, 5 m de altura projeta uma sombra de 50 cm. Determine Temos: R = Raio de Curvatura; a altura do edif´ıcio. F = Foco do Espelho (ponto médio do eixo principal no trecho 3. Um feixe de luz, partindo de uma fonte puntiforme, incide entre o Vértice e o Centro); sobre um disco de 10 cm de diâmetro. Sabendo que a distância C = Centro; da fonte ao disco é 1/3 da distância deste ao anteparo e que os V = Vértice; planos da fonte, do disco e do anteparo s˜ ao paralelos, determine A = reta que passa por C e V é o eixo óptico principal. o raio da sombra projetada sobre o anteparo.

´ Otica – Aula 2

39 Côncavo

Convexo

θi

N θr

C

F

V

eixo ótico

V

F

C

eixo ótico C

θr

F N

V

V

F

C

θi

(a)

Figura 1.2: Espelhos cˆ oncavo (` a esquerda) e Convexo (direita).

(b)

Figura 1.4: Raio not´ avel incidindo paralelo ao eixo principal de um espelho esféricos cˆ oncavo (a) e convexo (b).

Condi¸c˜ oes de Nitidez de Gauss • Os raios de luz devem ser pouco inclinados em rela¸caõ ao eixo óptico principal;

C

F

V

• os raios de luz devem incidir próximos ao vértice do espelho;

eixo ótico

V

F

(a)

C

(b)

A partir de agora estaremos, apenas considerando os espelhos esféricos de Gauss, ou seja, espelhos que satisfazem as Figura 1.5: Raio not´ avel passando pelo foco F de um espelho condi¸co˜es de Gauss. esféricos cˆ oncavo (a) e convexo (b).

Raios Not´ aveis de Luz

a nota¸caõ i e O significando, respectivamente, a medida da Os Raios Not´ aveis n˜ ao s˜ ao os u ´ nicos que ocorrem num sistema imagem e do objeto. optico, mas como o próprio nome diz, eles se destacam ´ dos outros pela facilidade de tra¸ca´-los. Nosso objetivo ser´ a oncavo desenhar pelo menos dois deles em cada situa¸caõ. Vejamos Espelho Cˆ quais s˜ ao estes raios: (1) Objeto situado antes do centro de curvatura C: 1. Todo raio que incide numa dire¸ c˜ ao que passa pelo centro de curvatura, reflete-se sobre si mesmo.

C

F

V

V

eixo ótico

(a)

F

C

C

F

V

eixo ótico

(b)

Figura 1.3: Raio not´ avel passando pelo centro de curvatura C de um espelho esféricos cˆ oncavo (a) e convexo (b). Figura 1.6: Objeto antes do centro de curvatura C. 2. Todo raio que incide paralelamente ao eixo principal reflete-se numa dire¸ c˜ ao que passa pelo foco principal Imagem: Real, Invertida e Menor. do espelho. 3. Todo raio que incide numa dire¸ c˜ ao que passa pelo (2) Objeto situado sobre o centro de curvatura C: foco reflete-se paralelamente ao eixo principal. Importante • O foco F do espelho cˆ oncavo é Real; • O foco F do espelho convexo é virtual.

Forma¸c˜ ao de Imagens

Imagem: Real, Invertida e Igual. (3) Objeto situado entre o centro de curvatura C e o foco F : Imagem: Real, Invertida e Maior. (4) Objeto situado sobre o foco F : Imagem: Impr´ opria. (5) Objeto situado entre o foco F e o vértice:

Para formarmos imagens, basta tra¸carmos dois raios quaisquer de luz entre os notáveis que acabamos de aprender. Usaremos Imagem:Virtual, Direita e Maior.

40


C

F

V

—


C

eixo ótico

F

V

eixo ótico

Figura 1.9: Objeto sobre o foco F . Figura 1.7: Objeto sobre o centro de curvatura C.

C

F

V

eixo ótico

C

F

V

eixo ótico

Figura 1.8: Objeto entre o centro de curvatura C e o foco F . Figura 1.10: Objeto entre o foco F e o Vértice.

Espelho Convexo Neste caso temos apenas um caso: Imagem:Virtual, Direita e Menor. Observa¸ c˜ ao O espelho convexo é usado como espelho retrovisor de motocicletas e em portas de garagens devido ao maior campo visual que oferece.

Aumento Linear Transversal Por defini¸caõ, o aumento linear transversal A é a raz˜ ao entre a altura da imagem i e a altura do objeto o. A=

P′ i = O P

Conven¸ c˜ ao de Sinais

Conclus˜ oes:

Objeto Real p > 0 Virtual p < 0 ′ Imagem Real p > 0 Virtual p′ < 0 • Uma imagem real est´ a localizada na frente do espelho e Espelho Cônc. R > 0 e f > 0 Conv. R < 0 e f < 0 poder´ a ser projetada sobre um anteparo (uma tela) coloh∗ Direita i > 0 Invertida i < 0 cada na posi¸caõ em que ela se forma, pois é constitu´ıda pela interseçcaõ dos próprios raios de luz; (*) Altura da imagem para o > 0. • Uma imagem virtual est´ a localizada atr´ as do espelho e, embora possa ser visualizada, n˜ ao é constitu´ıda por luz e, sim pelos prolongamentos dos raios.

Determina¸c˜ ao Anal´ıtica da Imagem Agora procuraremos expressar de forma matemática algumas express˜ oes que nos permita determinar a posi¸caõ e o tamanho da imagem. Equa¸ c˜ ao Conjugada de Gauss 1 1 1 = + ′ f p p

Pense um Pouco! 1. Numa esfera espelhada nos vemos maiores ou menores do que somos? Por quê? 2. Cite exemplos de objetos do dia-a-dia que s˜ ao espelhos esféricos. 3. Por que os caminh˜ oes e ônibus usam um pequeno espelho convexo colado no canto do retrovisor plano?


Temos que a distância focal f é dada por: f=

R 2

1. Um objeto real de altura 5 cm est´ a a 3 m diante de um espelho esférico cˆ oncavo, de distância focal 1 m.

´ Otica – Aula 3

41

Refra¸c˜ ao da Luz

eixo ótico V

F

C

A velocidade de uma dada luz monocrom´ atica assume valores diferentes em diferentes meios de propaga¸caõ tais como: vácuo, ar, água, vidro, etc. A luz sofre refra¸caõ quando passa de um meio para outro, modificando sua velocidade. Em geral, a refra¸caõ é acompanhada por um desvio na trajetória da luz, conseq¨ uência da mudan¸ca de velocidade. O u ´ nico caso de refra¸caõ no qual a luz n˜ ao sofre desvio é quando incide perpendicularmente à superf´ıcie de separa¸caõ dos meios S.

N Figura 1.11: Espelho convexo. a) Determine, graficamente, as caracter´ısticas da imagem. b) Determine, analiticamente, a posi¸caõ e o tamanho da imagem.

meio A

S

2. Diante de um espelho esférico convexo, de raio de curvatura de 60 cm, é colocado, perpendicularmente ao eixo principal do mesmo, um objeto de 2 cm de altura. O objeto dista 40 cm do espelho. Determine: a) a posi¸caõ da imagem; b) o tamanho da imagem. 3. Mediante a utiliza¸caõ de um espelho esférico cˆ oncavo, de distância focal 20 cm, quer se projetar sobre um anteparo uma imagem três vezes maior que o objeto. Determine: a) a posi¸caõ do objeto; b) a posi¸caõ da imagem.

meio B

Figura 1.1: Refra¸ca õ da luz, com desvio de sua trajet´ oria.

Exerc´ıcios Complementares 4. Um espelho esférico fornece, de um objeto real, uma imagem virtual e duas vezes menor do que o objeto. Sabendo que a distância do objeto ao espelho é de 60 cm, determine: a) a posi¸caõ da imagem; b) a distância focal do espelho.

meio A

S

meio B

5. Deseja-se obter a imagem de uma lˆ ampada, ampliada 5 vezes, sobre uma parede situada a 12 cm de distância. Quais as caracter´ısticas e a posi¸caõ do espelho esférico que se pode utilizar ? Ele deverá ser: a) convexo, com 5 cm de raio, a 3 cm da lˆ ampada; b) cˆ oncavo, com 5 cm de raio, a 3 cm da lˆ ampada; Figura 1.2: Raio entrando perpendicular a superf´ıcie S, sem c) convexo, com 24 cm de raio, a 2 cm da lˆ ampada; desvio de sua trajet´ oria. d) cˆ oncavo, com 6 cm de raio, a 4 cm da lˆ ampada; e) convexo, com 6 cm de raio, a 4 cm da lˆ ampada; 6. Mediante a utiliza¸caõ de um espelho esférico cˆ oncavo, de distância focal 30 cm, quer se projetar sobre um anteparo uma imagem seis vezes maior que o objeto. Determine: a) a posi¸caõ do objeto; b) a posi¸caõ da imagem.

´ Otica

Aula 3

Dioptro Plano Os dois meios de propaga¸caõ, A e B, e a superf´ıcie de separa¸caõ S constituem o que chamamos de DIOPTRO. Nos dioptros reais, o fenˆ omeno da refra¸caõ é acompanhado pela reflex˜ ao da luz. Assim, o raio de luz incidente na superf´ıcie S divide-se em dois raios, um refratado e outro refletido. ´ importante também dizer que ocorre em S o fenˆ E omeno da absor¸caõ da luz, onde parcela da energia luminosa é transformada em energia térmica, por exemplo. No dioptro ideal s´ o ocorre refra¸ c˜ ao da luz.

42


raio incidente

—

raio refletido

N


θi

N

meio A

S

meio A

S

meio B

meio B

θr

raio refratado

Figura 1.3: Todos os raios luminosos presentes na refra¸ca õ.

Figura 1.4: Raio entrando perpendicular a superf´ıcie S, sem desvio em sua trajet´ oria.

Índice de Refra¸c˜ ao Absoluto Seja c a velocidade da luz no vácuo e v a velocidade da luz em um meio qualquer, definimos ´ındice de refra¸caõ absoluto n de um meio a raz˜ ao entre as velocidades da luz no vácuo e no meio considerado: c n= v O ´ındice de refra¸caõ absoluto do vácuo é naturalmente igual a 1 (v = c). Como a velocidade da luz no vácuo é uma velocidade limite, em qualquer outro meio ela ser´ a inferior: v < c =⇒ n > 1

As Leis • 1a Lei: O raio de luz incidente RI, a reta normal N e o raio de luz refratado RR est˜ ao situados num mesmo ´ importante notar que os plano, ou seja, s˜ ao coplanares. E raios de luz incidente e refratado ficam em lados opostos em rela¸caõ à reta normal; ´ constante a rela¸caõ • 2a Lei ou Lei de Snell-Descartes: “E entre os senos dos ângulos de incidência e refra¸caõ”. Podemos escrever que: sen(i) = constante sen(r)

Conclus˜ oes 1. O ´ındice de refra¸caõ absoluto de qualquer meio material é sempre maior que 1;

e essa constante é o ´ındice de refra¸caõ relativo do meio B em rela¸caõ ao meio A, assim:

2. Quanto maior for o ´ındice de refra¸caõ absoluto do meio, menor é a velocidade da luz nesse meio.

sen(i) nA = sen(r) nB

Índice de Refra¸c˜ ao Relativo Se nA e nB s˜ ao, respectivamente, os ´ındices de refra¸caõ absolutos dos meios A e B para uma dada luz monocrom´ atica, ent˜ ao definimos o ´ındice de refra¸caõ relativo do meio A em rela¸caõ ao meio B, nA,B como sendo a raz˜ ao dos ´ındices de refra¸caõ absolutos do meio A e B: nA nA,B = nB

Leis de Refra¸c˜ ao Considerando um raio de luz monocrom´ atico incidente numa superf´ıcie separadora de dois meios de propaga¸caõ e o correspondente raio de luz refratado. Tracemos a reta normal à superf´ıcie pelo ponto de incidência da luz. RI = Raio Incidente; RR = Raio Refratado; N = Reta Normal; i=ˆ angulo de incidência; r=ˆ angulo de refra¸caõ.

ou: Lei de Snell-Descartes nA sen(i) = nB sen(r) Podemos concluir que: – Quando a luz passa de um meio menos refringente (menor ´ındice de refra¸caõ) para um meio mais refringente (maior ´ındice de refra¸caõ), o raio de luz se aproxima da normal e a velocidade de propaga¸caõ diminui. – Reciprocamente, quando a luz passa de um meio mais refringente para um meio menos refringente, o raio de luz se afasta da normal e a velocidade de propaga¸caõ da luz aumenta.

1.0.1

Pense um pouco!

1. Se você vê um peixe sob a superf´ıcie da água e tenta acert´ a-lo com uma flecha, mirando a imagem do peixe, provavelmente n˜ ao ir´ a captur´ a-lo. Explique. 2. As lentes utilizam a refra¸caõ da luz? Como?

´ Otica – Aula 4 θi

43 θi

N

N

A B meio A

S

meio C

S

meio B

meio D θr

θr

Figura 1.5: Aproxima¸ca õ e afastamento da normal.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Passando do vácuo para o interior de um certo meio transparente, o valor da velocidade de propaga¸caõ de uma luz monocrom´ atica diminui de 20%. Determine o ´ındice de refra¸caõ absoluto do meio para essa luz monocrom´ atica. 2. A velocidade de propaga¸caõ da luz em certo l´ıquido mede 1/2 da velocidade de propaga¸caõ da luz no vácuo. Determine o ´ındice de refra¸caõ absoluto do l´ıquido. 3. O ´ındice de refra¸caõ absoluto da ´ agua é 4/3 e o vidro é 3/2. Determine: a) o ´ındice de refra¸caõ da ´ agua em rela¸caõ ao vidro; b) a rela¸caõ entre a velocidade de propaga¸caõ da luz no vidro e a velocidade de propaga¸caõ da luz na ´ agua; c) comente os resultados obtidos.


´ Otica

Aula 4

Lentes Esf´ ericas As lentes esféricas constituem sistemas ópticos de amplas aplica¸co˜es na atualidade. Elas desempenham um papel um papel important´ıssimo, desde os sofisticados LASERS até os mais simples pares de óculos. Podemos defini-las como sendo um meio transparente e homogêneo, limitado por duas superf´ıcies curvas, ou por uma curva e outra plana. A lente ser´ a denominada esférica, quando pelo menos uma de suas faces for esférica.

4. Sob um ângulo de incidência de 60◦ , faz-se incidir sobre Elementos Geom´ etricos uma superf´ıcie de um material transparente um raio de luz monocrom´ atica. Observa-se que o raio refratado é perpendi- Vejamos os principais elementos geométricos de uma lente cular ao raio refletido. Qual o ´ındice de refra¸caõ do material ? esférica: (O 1o meio onde a luz se propaga é o ar) 5. Um observador, quando colocado numa posi¸caõ adequada, pode no máximo ver o canto do recipiente, como representado na figura abaixo. Enchendo o recipiente com um l´ıquido, o observador passa a ver a moeda que est´ a colocada no centro:

R2 R1 e. p. C1

V2

e

V1

C2

1m

Figura 1.1: Elementos geométricos de uma lente esférica. 1m

Temos: C1 e C2 = Centros de Curvatura; R1 e R2 = Raios de Curvatura; 6. Um raio de luz monocrom´ atica passa de um meio A para V1 e V2 = Vértices; um meio B. Veja a figura e responda: e = espessura da lente; a) Qual é o meio mais refringente ? Justifique. e.p. = eixo óptico principal. b) Em que meio a luz possui maior velocidade ? Justifique.

Qual o ´ındice de refra¸caõ do l´ıquido? dado sen(45◦ ) =

√

2/2

44


—

Observa¸ c˜ ao

http://www.mundofisico.joinville.udesc.br Lente Convergente

Esquema

Uma lente é delgada quando a sua espessura e for desprez´ıvel em rela¸caõ aos raios de curvatura, ou seja, quando e << R. F

Classifica¸c˜ ao das Lentes Podemos classificar as lentes quanto a dois aspectos: tipos de faces e comportamento ´ optico.

Esquema

Lente Divergente

Quanto ` as faces

F

BORDOS FINOS

biconvexa

plano−convexa

concavo−convexa

Figura 1.3: Classifica¸ca õ de uma lente esférica quanto ao seu comportamento o ´ptico.

BORDOS GROSSOS

F

biconcava

plano−concava

convexo−concava

Figura 1.4: Lente convergente. Figura 1.2: Classifica¸ca õ de uma lente esférica quanto a `s suas Observa¸ c˜ ao faces. Na lente Convergente o foco ´ e real, e na lente divergente Observa¸ c˜ ao o foco ´ e virtual. Os nomes das lentes segue a conven¸caõ de que devemos citar Foco Objeto em primeiro lugar a face de maior raio de curvatura. ´ o ponto objeto associado pela lente, a uma imagem E impr´ opria, definida por raios de luz paralelos ao eixo principal. ´ Quanto ao Comportamento Optico Lente Convergente & Lente Divergente Nessas figuras consideramos que as lentes s˜ ao de vidro e estão imersas no ar (nvidro ¿ na r), que é o caso mais comum na Observa¸ c˜ ao prática. Nessas condi¸co˜es, as lentes de bordas finas s˜ ao convergen- Na lente convergente o foco ´ e real, na Lente divergente tes e as lentes de bordas grossas s˜ ao divergentes. o foco ´ e virtual.

Tipos de Foco

Raios Not´ aveis

Vamos considerar neste estudo, lentes delgadas e raios de luz dentro das condi¸co˜es de Gauss, como vimos no estudo de espelhos esféricos. Foco Imagem ´ o ponto imagem que a lente conjuga de um objeto impr´ E oprio, definido por raios de luz paralelos ao eixo principal. Lente Convergente & Lente Divergente

Assim como foi feito para os espelhos esféricos, iremos agora descrever alguns raios que s˜ ao fáceis de serem utilizados na determina¸caõ da imagem numa lente esférica. Todo raio que incide no centro ´ optico atravessa a lente sem sofrer desvio. Todo raio que incide paralelamente ao eixo principal emerge numa dire¸ c˜ ao que passa pelo foco imagem.

´ Otica – Aula 4

45

F

Figura 1.5: Lente divergente.

F

Figura 1.7: Lente divergente.

F

Figura 1.8: Incidência sobre o centro o ´ptico. Figura 1.6: Lente convergente.

Determina¸c˜ ao Anal´ıtica da Imagem Todo raio que incide sob o foco objeto emerge paralelo As equa¸co˜es que utilizaremos para a determina¸caõ da posi¸caõ ao eixo principal. e tamanho da imagem s˜ ao an´ alogas às utilizadas no estudo de espelhos esféricos.

Determina¸c˜ ao Gr´ afica da Imagem

Equa¸ c˜ ao de Gauss 1 1 1 = + ′ f p p

De maneira an´ aloga ao que fizemos para espelhos esféricos iremos proceder agora para lentes.

Lentes Convergentes 1) Objeto situado antes do Centro de Curvatura: Imagem: Real, Invertida e Menor. 2) Objeto situado no Centro de Curvatura: Imagem: Real, Invertida e Igual. 3) Objeto situado entre o Centro de Curvatura e o Foco: Imagem: Real, Invertida e Maior. Este caso corresponde ` a imagem produzida por projetores, tanto de slides como de filmes. 4) Objeto situado no Foco: Imagem: Impr´ opria. ´ 5) Objeto situado entre o Foco e o Centro Optico: Imagem: Virtual, Direita e Maior. Este é o caso da lupa.

Lente Divergente Existe apenas um caso que devemos considerar: Imagem: Virtual, Direita e Menor.

Temos: f = distância focal; p = posi¸caõ do objeto; p′ = posi¸caõ da imagem;

Equa¸ c˜ ao do Aumento Linear Transversal A A=

p′ i = o p

Temos: A = aumento linear transversal; o = altura do objeto; i = altura da imagem;

Conven¸ c˜ ao de Sinais Objeto Real p > 0 Virtual p < 0 Imagem Real p′ > 0 Virtual p′ < 0 Espelho Cônc. R > 0 e f > 0 Conv. R < 0 e f < 0 h∗ Direita i > 0 Invertida i < 0 (*) Altura da imagem para o > 0.

46


—


F

eixo ótico F

Figura 1.9: Incidência paralela ao eixo principal.

Figura 1.11: Incidência sob o foco objeto.

eixo ótico F eixo ótico F

Figura 1.10: Incidência Paralela.

Vergˆ encia V de uma Lente Figura 1.12: Incidência sob o foco objeto. Verifica-se que, quanto menor a distância focal de uma lente, mais ela converge ou diverge um feixe de luz. Essa ”potência”da lente de convergir ou divergir a luz é caracte2. Um objeto de 2 cm de altura est´ a disposto frontalmente a rizada por uma grandeza denominada Vergência, que é comu60 cm de uma lente delgada de vergência +2, 5 di. mente chamada de grau do ´ oculos. A vergência V de uma lente a) determine, graficamente, as caracter´ısticas da imagem; de distância focal f é definida como: b) determine, analiticamente, a posi¸caõ e o tamanho da imagem. 1 V = f 3. Um estudante usa uma lente biconvexa de 20 di para olhar a a 4 cm da lente. Determine de quanto a −1 Se f é medido em metros (m), a unidade de V é m , que uma flor que est´ lente aumenta a flor. recebe o nome de dioptria (di), que popularmente é chamado de grau. 1 di = 1 m−1 = 1 grau


4. Um objeto luminoso de 1 cm de altura est´ a a 5 cm de uma lente convergente de 10 cm de distância focal. a) Qual a posi¸caõ da imagem? 1. Se uma pessoa possui dois graus de miopia, que tipo (grau) b) Fa¸co tra¸cado dos raios. de lente deverá usar?

Pense um Pouco!

ao de -5 graus”. 2. O antigos óculos “fundo de garrafa”tinham esse nome por 5. As lentes dos óculos de um m´ıope s˜ a) Qual ´ e a distˆ a ncia focal das lentes? quê? Pra que serviam? b) Qual o tipo de lentes usadas (convergente ou divergente)? 6. Uma pessoa m´ıope s´ o é capaz de ver nitidamente objetos situados a uma distância máxima de 20 cm dos seus olhos. a) Qual o tipo de lente adequada para a corre¸caõ da miopia: 1. Um objeto é colocado a 60 cm de uma lente divergente de convergente ou divergente? distância 20 cm. Determine, graficamente e analiticamente, as b) Qual deve ser a distância focal da lente para que esta pessoa caracter´ısticas da imagem. possa ver nitidamente objetos localizados no infinito?


´ Otica – Aula 5

47

F C

C

eixo ótico

eixo ótico

F

C

Figura 1.13: Objeto situado antes do centro de curvatura C.

F

F

C

Figura 1.15: Objeto situado entre o centro de curvatura C e o foco F .

eixo ótico C

F

F

C

eixo ótico C

F

F

C

Figura 1.14: Objeto situado no centro de curvatura C.

´ Otica

Figura 1.16: Objeto situado no foco F .

Aula 5

´ Otica da Vis˜ ao O olho humano assemelha-se a uma filmadora (ou a uma máquina fotogr´ afica) de grande sofistica¸caõ. E o cérebro tem a fun¸caõ de reprojetar a imagem obtida pelo olho fornecendo a vis˜ ao real do objeto. Dispensaremos esse sistema, extremamente complexo, do olho humano e utilizaremos uma representa¸caõ mais simples – o olho reduzido.

Quando o objeto est´ a infinitamente afastado, os m´ usculos ciliares e o cristalino est˜ ao relaxados, ou seja, o olho n˜ ao realiza ` medida que o objeto se nenhum esfor¸co de acomoda¸caõ. A aproxima, os m´ usculos ciliares vão se contraindo, diminuindo a distância focal do cristalino e mantendo a imagem acomodada na retina. Em S´ıntese Objeto Pr´ oximo = Menor Distˆ ancia Focal; Objeto Distante = Maior Distˆ ancia Focal. O trabalho realizado pelos m´ usculos ciliares, fazendo variar a distância focal do cristalino é chamado de acomoda¸caõ visual. Retina

Elementos do Olho Humano Analisaremos algumas partes que consideramos de grande importˆ ancia em nosso olho reduzido. ´ Iris Anel colorido de forma circular, que se comporta como um diafragma, controlando a quantidade de luz que penetra no olho. Na sua parte central existe um orif´ıcio de diâmetro vari´ avel, chamado pupila. Cristalino ´ uma lente convergente de material flex´ıvel, do tipo biconE vexa. Fornecerá de um objeto real uma imagem real, invertida e menor sobre a retina. Pode assumir diferentes formas em fun¸caõ da distância do objeto ao olho. M´ usculos Ciliares S˜ ao respons´ aveis pela mudan¸ca na forma do cristalino, comprimindo-o convenientemente, de maneira a alterar sua distância focal e permitir uma melhor acomoda¸caõ da imagem sobre a retina.

´ a parte sens´ıvel à luz, onde deve se formar a imagem para E ser n´ıtida. A distância do cristalino a retina é da ordem de 1, 5 cm. Composta por células nervosas chamadas bastonetes (vis˜ ao preto e branco) e cones (vis˜ ao a cores), a retina possui uma área mais sens´ıvel à luz sob condi¸co˜es normais. Esta área consiste uma depressão na parte posterior do olho no eixo do cristalino, e é denominada fóvea.

Ponto Pr´ oximo e Ponto Remoto A menor distância do globo ocular segundo a qual uma pessoa, de visão normal, pode ver nitidamente a imagem de um objeto qualquer denomina-se Ponto Próximo (PP ). Neste caso, os m´ usculos ciliares est˜ ao em sua maior contra¸caõ, realizando esfor¸co máximo de acomoda¸caõ. Logo, o ponto próximo correspondente à distância m´ınima de visão distinta, à qual se atribui um valor médio convencional de 25 cm. O ponto mais afastado do olho humano, corresponde a uma imagem n´ıtida forma sem esfor¸co de acomoda¸caõ visual, denomina-se Ponto Remoto (PR ). Esta é a máxima distância de visão distinta que, teoricamente, permite a uma pessoa uma visão normal de enxergar objetos no infinito. Intervalo de visão distinta ou zona de acomoda¸caõ é a região do espa¸co compreendida entre os dois pontos (PR e PP ) figurados

48


—


eixo ótico C

F

F f

o

C

f i

eixo ótico C

F

F

C

Figura 1.19: Elementos de uma lente.

´ Figura 1.17: Objeto situado entre o Foco F e o Centro Optico.

´ Nervo Optico

´ Cornea

´ Macula

Lente C

F

eixo ótico F

C

´ Iris Conjuntiva

Retina

Anatomia do Olho Figura 1.18: Lente divergente. Figura 1.1: O olho humano. anteriormente.

Problemas da Vis˜ ao

Presbiopia

´ um defeito determinado pela fadiga dos m´ E usculos que efetuam a acomoda¸caõ e por um aumento na rigidez do cristalino. A deficiência de um olho m´ıope est´ a na visualiza¸caõ de obje- Tal defeito acentua-se com a idade. O olho se acomoda mal tos distantes. Ou seja, o seu ponto remoto (PR ) n˜ ao est´ a no para objetos próximos e, em conseq¨ uência, a distância m´ınima infinito e sim a uma distância finita (dP R ). Isso ocorre, pelo da visão distinta aumenta. A corre¸caõ é feita com uso de lentes fato da imagem do objeto distante recair antes da retina. bifocais, que têm uma parte para ver objetos distantes e outra Para corrigir esse defeito, demos tornar o olho m´ıope menos para ver objetos próximos. convergente. Para tanto, associamos a ele uma lente divergente: Miopia

Astigmatismo Hipermetropia A deficiência de um olho hipermétrope est´ a na visualiza¸caõ de objetos próximos. Ou seja, o seu ponto próximo (PP ) est´ a mais afastado do que o olho normal. Logo a distância do ponto próximo é maior que 25 cm. No olho hipermétrope, a imagem de um objeto recai ap´ os a retina. Para corrigir este defeito demos tornar o olho hipermétrope mais convergente, associando a ele uma lente convergente. A lente corretora dever´ a, de um objeto colocado a 25 cm do olho, fornecer uma imagem no ponto próximo (PP ) do hipermétrope, ou seja, a uma distância dP P do olho. Assim a distância focal da lente corretiva da hipermetropia é calculada da seguinte forma: 1 1 1 1 1 1 = = + ′ = + f p p fc 25cm dpp O sinal negativo se deve ao fato da imagem, fornecida pela lente corretora, ser virtual.

´ um defeito determinado pela forma n˜ E ao esférica da c´ ornea ou do cristalino, causando uma deforma¸caõ na imagem. A corre¸caõ é feita mediante o uso de lentes cil´ındricas, que compensam a falta de simetria do sistema óptica ocular.

Estrabismo Consiste na incapacidade de se dirigir a visão de ambos os olhos para um mesmo ponto. A corre¸caõ é feita por gin´ astica ocular para recuperar os m´ usculos, ou através de cirurgia, ou através de lentes prismáticas.

Daltonismo ´ um defeito genético que faz com que seu portador n˜ E ao consiga distinguir certas cores. N˜ ao existe, ainda, corre¸caõ poss´ıvel para esse defeito.

´ Otica – Aula 5

49

Olho simplificado

Formaçao de imagens na RETINA

Entrada de Luz Lente Convergente

Hipermetropia

Figura 1.2: O olho simplificado.

PP 25 cm

Correçao com lente convergente

PR Zona de Acomodaçao

Figura 1.3: Esquema.

Figura 1.4: Corre¸ca õ da miopia.

Pense um Pouco! • Uma pessoa lhe diz que enxerga perfeitamente embaixo da água de uma piscina, mas n˜ ao fora da ´ agua. Isso é poss´ıvel? H´ a algum problema com a vis˜ ao dessa pessoa? Qual?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. As lentes dos óculos de um m´ıope s˜ ao de -5 graus”. Qual é a máxima distância de seus olhos, sem ´ oculos, que ele vê com imagem n´ıtida? 2. O ponto próximo de um indiv´ıduo A e o ponto remoto de um indiv´ıduo B valem, ambos, 50 cm. Indique o tipo e a vergência das lentes corretoras para esses indiv´ıduos. 3. Uma lente esférica de vidro, cujo ´ındice de refra¸caõ é 1, 5, tem uma face plana e outra cˆ oncava, com raio de curvatura 50 cm. Sabendo-se que a lente est´ a imersa no ar, determine sua vergência em dioptrias.

Hipermetropia

Correçao com lente convergente

4. Uma pessoa m´ıope s´ o é capaz de ver nitidamente objetos situados a uma distância máxima de 20 cm dos seus olhos. a) Qual o tipo de lente adequada para a corre¸caõ da miopia: convergente ou divergente ? b) Qual deve ser a distância focal da lente para que esta pessoa possa ver nitidamente objetos localizados no infinito ? Figura 1.5: Corre¸ca õ da Hipermetropia.

50


—


51

Fluidos – Aula 1

Fluidos

Aula 1

´ comum o uso de unidades de press˜ E ao n˜ ao pertencentes ao SI: atmosfera (atm) e mil´ımetros de merc´ urio (mmHg): 1 atm = 760 mmHg = 1, 01 × 105 P a

Fluidos Chegou o momento de descrevermos o comportamento dos fluidos, para isso falaremos de temas como densidade, press˜ ao, empuxo e outros temas que nos levar˜ ao a um aprofundamento da Hidrost´ atica.

Press˜ ao Hidrost´ atica No estudo da hidrostática, que faremos a seguir, vamos considerar o l´ıquido ideal, isto é, incompress´ıvel e sem viscosidade. Suponhamos um recipiente cil´ındrico de área de base A, contendo um l´ıquido de massa espec´ıfica ρ. Qual a press˜ ao que o l´ıquido exerce no fundo do recipiente ?

Densidade e Massa espec´ıfica Massa espec´ıfica ρ de uma substˆ ancia é a raz˜ ao entre determinada massa desta substˆ ancia e o volume correspondente. Temos ent˜ ao: m ρ= v Para um corpo homogêneo, ρ ser´ a a própria densidade do material. Para um corpo n˜ ao homogêneo, como por exemplo uma corpo oco, a express˜ ao acima resulta na densidade média do corpo.

h

ρ A

Figura 1.1: Vaso cil´ındrico de a ´rea A e altura h, cheio de um l´ıquido de densidade ρ.

Unidades SI m: massa em quilogramas (kg) V : volume em metro c´ ubico (m3 ) ρ: massa espec´ıfica em quilogramas por metro c´ ubico (kg/m3 )

Da defini¸caõ de massa espec´ıfica, temos: m ρ= v V = Ah

Observa¸ c˜ ao m ρ= No caso da água, cuja massa espec´ıfica vale 1 g/cm3 , obserAh vamos que cada cm3 de ´ agua tem massa de 1 g. Assim é e portanto: que, numericamente, massa e volume ser˜ ao iguais para a água, desde que medidos em gramas e em cent´ımetros c´ ubicos resm = ρAh pectivamente. Como 1 litro corresponde a 1000cm3 , no caso da ´ agua temos uma densidade de 1 kg/l. E com um metro Por outro lado, a for¸ca que o l´ıquido exerce sobre a área A é o c´ ubico equivale a 1000 litros, teremos também para a água, a seu próprio peso: densidade 1000 kg/m3 . F = P = mg mas como

Press˜ ao

m = ρAh

ent˜ ao temos Press˜ ao p é a for¸ca normal, por unidade de ´ area, que um fluido F = ρAhg em equil´ıbrio exerce em contato com uma parede. Podemos e finalmente, pela defini¸caõ de press˜ ao, representar matematicamente por: F F = ρgh . p= p= A A A press˜ ao que o l´ıquido exerce no fundo do recipiente depende da massa espec´ıfica do l´ıquido (ρ), da acelera¸caõ da gravidade Unidades SI local (g) e da altura (h) do l´ıquido acima do ponto considerado. p: press˜ ao em N/m2 = pascal = P a Na prática esse resultado e geral, e pode ser usado para a determina¸caõ da press˜ ao hidrostática em qualquer fluido (l´ıquido F : for¸ca normal (ortogonal) em newtons ou N ou g´ as) em equil´ıbrio. A: ´ area onde é exercida a for¸ca, em metros quadrados m2 Observe que a press˜ ao total dentro de um fluido homogêneo em equil´ ıbrio ser´ a ent˜ ao: Press˜ ao Atmosf´ erica p = patm + ρgh Press˜ ao exercida pelo peso da camada de ar existente sobre a ◦ superf´ıcie da Terra. Ao n´ıvel do mar, ` a temperatura de 0 C onde patm é a press˜ ao atmosférica, que atua sobre todos os é igual a 1 atm. corpos imersos no ar.

52


—


Press˜ ao Manom´ etrica e Absoluta

de um autom´ ovel, algumas pessoas dizem que colocaram “26 libras” de ar nos pneus. Agora responda: A press˜ ao absoluta é a press˜ ao total exercida em uma dada a) por que num pneu de autom´ ovel se coloca mais ou menos superf´ıcie, incluindo a press˜ ao atmosférica, quando for o caso. 25lbf /pol2 enquanto que no de uma bicicleta de corrida (cujos A press˜ ao absoluta ser´ a sempre positiva ou nula. pneus s˜ ao bem finos) se coloca aproximadamente 70 lbf /pol2 Em muitos casos, como na calibra¸caõ de um pneu, estamos interessados apenas na diferen¸ca entre a press˜ ao interna de b) Sendo 1 lbf /pol2 = 0, 07 atm, qual a press˜ ao t´ıpica (em um reservatório (o pneu) e a press˜ ao externa (o ar, que est´ a atm) no pneu de um carro? na press˜ ao atmosférica local). A essa diferen¸ca chamamos c) A press˜ ao que nos interessa, neste caso do pneu, é a press˜ ao press˜ ao manom´ etrica, e os aparelhos que a medem cha- manométrica ou a press˜ ao absoluta. Por quê? mamos de manˆ ometros. pman. = pint. − patm. A press˜ ao manométrica pode ser negativa, positiva ou nula. Ser´ a negativa quando a press˜ ao interna de um reservatório for menor do que a press˜ ao atmosférica externa. Exemplos: quando retiramos ar de um recipiente, fazendo-se um vácuo parcial; ou quando sugamos um canudinho de refrigerante, baixamos a press˜ ao interna da boca, criando uma “pressão negativa”.

Pense um Pouco!

Fluidos

Aula 2

Hidrost´ atica Lei de Stevin Consideremos um recipiente contendo um l´ıquido homogêneo de densidade ρ, em equil´ıbrio est´ atico. As press˜ oes que o l´ıquido exerce nos pontos A e B s˜ ao, respectivamente:

• Porque n˜ ao sentimos a press˜ ao atmosférica normal, já que ela é t˜ ao grande?

pa = ρgha e pb = ρghb

• Um barco flutua no mar. Quais as for¸cas relevantes para que isso ocorra? • Como é poss´ıvel se deitar numa cama de pregos sem se machucar? • Como funciona o canudinho de refrigerante? Explique.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Uma massa de 1 kg de ´ agua ocupa um volume de 1 litro a 40◦ C. Determine sua massa espec´ıfica em g/cm3 , kg/m3 e kg/l.

hB hA

A

∆h

B

2. Determine a massa de um bloco c´ ubico de chumbo que tem arestas de 10 cm, sendo que a densidade do chumbo é igual 11, 2 g/cm3 .

Figura 1.1: Cilindro de a ´rea de base A e altura h 3. Uma esfera oca, de 1.200 g de massa, possui raio externo de 10, 0 cm e raio interno de 9, 0 cm. Sabendo que o volume de A lei de Stevin ou princ´ıpio hidrost´ atico afirma que a uma esfera de raio R é dado por V = 34 πR3 . Usando π = 3, 14, diferen¸ca de press˜ ao entre os pontos A e B ser´ a: determine: a) a densidade média da esfera; pb − pa = ρg(hb − ha ) = ρg∆h b) a densidade do material de que é feita a esfera. Ou seja, a diferen¸ca entre dois n´ıveis diferentes, no interior de 4. Um cubo maci¸co com densidade igual a 2, 1 g/cm3 , de um l´ıquido, é igual ao produto da sua massa espec´ıfica pela 50 cm de aresta, est´ a apoiado sobre uma superf´ıcie horizontal. acelera¸caõ da gravidade local e pela diferen¸ca de n´ıvel entre os Qual é a press˜ ao, em P a e em atm, exercida pelo cubo sobre pontos considerados. a superf´ıcie? Na realidade, temos que dividir a press˜ ao num determinado ponto do l´ıquido em dois tipos: i) press˜ ao hidrostática: aquela que s´ o leva em considera¸caõ o l´ıquido: Exerc´ıcios Complementares phid = ρgh 5. Existe uma unidade inglesa de press˜ ao – a libra-for¸ca por ao absoluta: aquela que leva em considera¸caõ o polegada quadrada – que se abrevia lbf /pol2, a qual é indevi- e ii) press˜ damente chamada de libra. Assim, quando calibram os pneus l´ıquido e o ar sobre o l´ıquido:

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Fluidos – Aula 2

F1

pabs = patm + ρgh Conseq¨ uˆ encias da Lei de Stevin

A2

A1

F2

No interior de um l´ıquido em equil´ıbrio est´ atico: 1. pontos de um mesmo plano horizontal suportam a mesma press˜ ao; 2. a superf´ıcie de separa¸caõ entre l´ıquidos n˜ ao misc´ıveis é um plano horizontal; Figura 1.3: A prensa hidr´ aulica. 3. em vasos comunicantes quando temos dois l´ıquidos n˜ ao misc´ıveis temos que a altura de cada l´ıquido é inversamente proporcional ` as suas massas espec´ıficas (densida- A Prensa Hidr´ aulica des); Uma das aplica¸co˜es deste princ´ıpio é a prensa hidr´ aulica como mostramos a seguir: Observe que: p1 = p2 F2 F1 = A1 A2 hy y F1 A1 = hx x F2 A2 Isso mostra que uma for¸ca pequena F1 é capaz de suportar, no outro êmbolo, um peso muito grande (F2 ), isso é muito utilizado, como por exemplo, em posto de gasolina. A prensa hidr´ aulica é o equivalente hidr´ aulico do princ´ıpio da ´ bom lembrar alavanca, de Arquimedes, usado na Mecânica. E que estas “engenhocas”multiplicam realmente a for¸ca, mas n˜ ao Figura 1.2: Vasos comunicantes, com dois l´ıquidos n˜ ao a energia. O trabalho m´ınimo necess´ ario para elevar um carro misc´ıveis em equil´ıbrio. é o mesmo, independente da máquina que se utilize (Wmin = mgh). Na prensa mostrada na Fig. 1.3, uma for¸ca −F~2 (para baixo) deverá ser feita no êmbolo da direita, para manter o equil´ıbrio do sistema. Em geral, usa-se o êmbolo maior para suspender py = px uma carga externa, ou levantar um objeto do ch˜ ao (macaco hidr´ aulico). patm + ρy ghy = patm + ρx ghx ρy h y = ρx h x hx ρy = ρx hy 4. a diferen¸ca de press˜ ao entre dois pontos dentro do flu´ıdo, depende apenas do seu desn´ıvel vertical (∆h), e n˜ ao da profundidade dos pontos.

Princ´ıpio de Pascal Pascal fez estudos em flu´ıdos e enunciou o seguinte princ´ıpio: A press˜ ao aplicada a um flu´ıdo em equil´ıbrio transmite-se integral e instantaneamente ` a todos os pontos do flu´ıdo e ` as paredes do recipiente que o cont´ em.

Princ´ıpio de Arquimedes Arquimedes, h´ a mais de 200 anos a.C., estabeleceu que a perda aparente do peso do corpo é devido ao surgimento do empuxo, quando estamos mergulhados num l´ıquido, como a água, por exemplo. Os corpos mergulhados totalmente ou parcialmente, num fluido, recebem do mesmo uma for¸ ca vertical, de baixo para cima, de intensidade igual ao peso do fluido deslocado, denominada empuxo. Ou seja, se um corpo est´ a mergulhado num fluido de densidade ρf e desloca volume Vf d do fluido, num local onde a acelera¸caõ da gravidade é g, temos: Pf = mf g e como ρf =

mf Vf d

54


a massa do fluido deslocado ser´ a mf = ρf Vf d e portanto Pf = ρf Vf d g e, de acordo com o Princ´ıpio de Arquimedes

—


2. Uma piscina com 5, 0 m de profundidade est´ a cheia com água. Considere g = 10 m/s2 e patm = 1, 0 × 105 P a e determine: a) a press˜ ao hidrostática a 3, 0 m de profundidade; b) a press˜ ao absoluta no fundo da piscina; c) a diferen¸ca de press˜ ao entre dois pontos separados, verticalmente, por 80 cm.

3. (Clássico) Para determinar a press˜ ao atmosférica, Torricelli fez a seguinte experiência: um tubo de vidro, de 1 m de comprimento, foi cheio de merc´ urio e depois emborcado num ou simplesmente recipiente contendo merc´ urio; constatou que, ao n´ıvel do mar, E = ρV g o merc´ urio no tubo mantém uma altura de 760 mm acima da urio ficando a nosso cargo a interpreta¸caõ correta dos termos en- sua superf´ıcie livre (no recipiente). Se a densidade do merc´ é 13, 6 g/cm3 e a acelera¸caõ da gravidade local é de 9, 8 m/s2 , volvidos. qual a press˜ ao atmosférica constatada por Torricelli? E = ρf Vf d g

4. Num posto de gasolina, para a lavagem de um autom´ ovel de massa 1.000 kg, o mesmo é erguido a uma certa altura. O sistema utilizado é uma prensa hidr´ aulica. Sendo os êmbolos de áreas 10 cm2 e 2.000 cm2 , e a acelera¸caõ da gravidade local de 10 m/s2 , pergunta-se: a) em qual êmbolo deve-se apoiar o carro? b) em qual êmbolo deve-se pressionar para se sustentar o carro?

Flutua¸ c˜ ao

Segundo o princ´ıpio de Arquimedes, quando temos um corpo na superf´ıcie de um flu´ıdo cujo peso (do corpo) é anulado (igual em módulo) pelo empuxo que ele sofre antes de estar completamente submerso, o corpo ir´ a flutuar sobre ele, quando abandonado. Baseado nessa aplica¸caõ s˜ ao constru´ıdos todos os tipos de barcos e navios. Para um corpo de peso P flutuando, a condi¸caõ de equil´ıbrio c) qual a for¸ca aplicada no êmbolo para equilibrar o autom´ ovel? deve ser satisfeita: X Fy = +E − P = 0

1.1

ou seja


P =E

´ 5. Agua e óleo de densidades 1, 0 e 0, 8, respectivamente, s˜ ao Pode-se mostrar também que se um corpo tiver uma densidade colocados em um tubo em “U”. Sendo de 16 cm a altura da média ρc maior que a densidade ρf de um certo fluido, ele n˜ ao coluna de óleo, determine a altura da coluna de água medida poder´ a flutuar nesse flu´ıdo, e acabar´ a afundando se for solto acima do n´ıvel de separa¸caõ entre os l´ıquidos. na sua superf´ıcie. 6. Os icebergs s˜ ao grandes blocos de gelo que vagam em latitudes elevadas, constituindo um sério problema para a navega¸caõ, sobretudo porque deles emerge apenas uma pequena Pense um Pouco! parte, ficando o restante submerso. Sendo V o volume total do iceberg e ρg = 0, 92 g/cm3 a densidade do gelo, determine • A press˜ ao atmosférica varia com a altitude? Por quê? a porcentagem do iceberg que fica acima da superf´ıcie livre da a ´ gua, considerada com densidade igual a ρf = 1, 0 g/cm3 . • Como pode um navio de ferro flutuar na ´ agua, já que ρF e > ρH2O ?

7. Uma bola com volume de 0, 002 m3 e densidade média de 3 • Quando fechamos a porta de um pequeno quarto a janela 200 kg/m encontra-se presa ao fundo de um recipiente que contém água, através de um fio conforme a figura. Determine (fechada) balan¸ca. Explique. a intensidade da tra¸caõ T no fio que segura a bola (Considere 2 • Mergulhando na água um objeto suspenso por um fio, g = 10 m/s ). você observa que a tra¸caõ no fio muda. Explique.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (UFRJ) O impacto de uma part´ıcula de lixo que atingiu a nave espacial Columbia produziu uma press˜ ao da 100 N/cm2 . 2 Nessas condi¸co˜es e tendo a part´ıcula 2 cm , a nave sofreu uma for¸ca de: a) 100 N b) 200 N c) 400 N d) 800 N e) 1600N

T

´tica – Aula 1 Cinema

Cinem´ atica

55

Aula 1

Cinem´ atica

Trajet´ oria Este é outro conceito importante no estudo do movimento. Vamos partir da figura abaixo. Ela representa uma esfera abandonada de um avi˜ ao que voa com velocidade constante:

A8−132

A Cinemática é a parte da Mecˆ anica que estuda e descreve o movimento dos corpos, sem se preocupar com suas causas (for¸cas).

Movimento Observando os corpos a nossa volta, podemos ter intuitivamente uma idéia do que s˜ ao os estados de movimento e repouso. Mas esses dois conceitos (movimento e repouso) s˜ ao relativos: ao dormir você pode estar em repouso em rela¸caõ às paredes de seu quarto; entretanto, em rela¸caõ ao sol, você é um viajante espacial. A parte da F´ısica que trata do movimento é a Mecânica. Ela procura compreender as causas que produzem e modificam os movimentos. A seguir, vamos estudar uma subdivisão da Mecˆ anica chamada Cinem´ atica, que trata do movimento sem se referir ` as causas que o produzem.

Ponto Material Em determinadas situa¸co˜es, ponto material pode representar qualquer corpo, como um trem, um avi˜ ao, um carro, uma bala de canh˜ ao, um m´ıssil etc. Por que ponto e por que material? Ponto, porque, na resolu¸caõ de problemas, estaremos desprezando as dimensões do corpo em movimento, sempre que as distâncias envolvidas forem muito grandes em rela¸caõ às dimens˜ oes do corpo. Material, porque, embora as dimensões do corpo sejam desprezadas, sua massa ser´ a considerada.

Em rela¸caõ ao solo, a trajetória da esfera é um arco de par´ abola; e em rela¸caõ ao avi˜ ao, a trajetória é um segmento de reta vertical. Ent˜ ao, podemos concluir que a trajetória: • é a linha descrita ou percorrida por um corpo em movimento; • depende do referencial adotado.

Deslocamento × Distˆ ancia Percorrida A distância percorrida por um corpo durante um movimento é a grandeza escalar que corresponde ao comprimento do segmento que representa a trajetória descrita pelo corpo neste movimento, em rela¸caõ ao referencial adotado. O deslocamento de um corpo é uma grandeza vetorial, cujo módulo equivale ao comprimento do segmento de reta, compreendidos entre os pontos inicial e final do movimento.

Repouso, Movimento e Referencial Examine as seguintes situa¸co˜es: • Quando estamos dentro de um ve´ıculo em movimento, a paisagem circundante é fundamental para estabelecermos os conceitos de movimento e repouso

A 5m 3m B

C 4m

• Quando observamos o movimento do sol através da esfera celeste, podemos concluir que a Terra se movimenta ao Na figura, uma part´ıcula, saindo do ponto A, percorre a traredor do Sol. jetória ABC. A distância percorrida pela part´ıcula é a soma • Uma pessoa nasce e cresce em um ambiente fechado, sem dos trechos AB (3 metros) e BC (4 metros), totalizando 7 mea o deslocamento é representado pela distância entre o janelas, n˜ ao saindo dali durante toda a sua existência. tros. J´ ponto A e ponto C, que é igual a 5 metros. Nesse caso, pode ser que essa pessoa n˜ ao tenha condi¸co˜es de afirmar se aquele ambiente est´ a em repouso ou em movimento.

A

Em todos esses casos, percebemos que o movimento é determinado a partir de um referencial: a paisagem é o referencial do carro e o Sol é o referencial da Terra; se uma pessoa passar a sua vida toda num ambiente absolutamente fechado, n˜ ao ter´ a referencial para perceber qualquer movimento, a n˜ ao ser o de seu próprio corpo.

5m 3m B

C 4m

56


—


Velocidade Escalar

Observa¸ co ˜es

• O deslocamento foi representado por um segmento de reta Vamos recordar: a velocidade indica a rapidez e o sentido do orientado que denominamos de vetor; os vetores represen- movimento. tam as grandezas vetoriais. • O deslocamento é a menor distância entre o ponto de sa´ıda Exemplos e o ponto de chegada do corpo. 1. Va = +10 m/s: a cada segundo o móvel anda 10 m e indica movimento no sentido da orienta¸caõ da trajetória. • Numa trajetória retil´ınea a distância percorrida e o deslocamento podem ser iguais. 2. Vb = −10 m/s: a rapidez é a mesma do móvel anterior e o movimento é no sentido oposto ao da orienta¸caõ da Deslocamento Escalar ∆s trajetória. ´ a varia¸caõ de espa¸co s. E ´ medido em metros, quilˆ E ometros, cent´ımetros, etc. Ou seja: ∆s = s − s0 onde s0 é o espa¸co inicial s é o espa¸co final. O deslocamento escalar pode ser positivo, negativo ou nulo. Quando ∆s > 0 o movimento é a favor da orienta¸caõ da trajetória; quando ∆s < 0 o movimento é contra a orienta¸caõ da trajetória, mas se ∆s = 0 a posi¸caõ final é igual a inicial.

Acelera¸c˜ ao Mede a rapidez da mudan¸ca da velocidade, é a varia¸caõ da velocidade em fun¸caõ do tempo. Imagine um movimento com a velocidade mudando a cada segundo: t(s) v(km/h)

0 10,0

1 13,6

2 17,2

3 21,8

A cada segundo a velocidade aumenta 3, 6 km/h, ou seja, a velocidade varia +3, 6 (km/h) a cada segundo. Isso é, a acelera¸caõ é:

Importante H´ a duas possibilidades para ∆s = 0: • o corpo pode n˜ ao ter se movimentado;

a=+

1, 0 m/s 3, 6 km/h = = 1 m/s2 s s

• o corpo pode ter se movimentado mas retornado a posi¸caõ Aqui temos uma acelera¸caõ positiva, pois a velocidade vai aumentando (em módulo) com o tempo. inicial;

Velocidade Escalar M´ edia

Outro Exemplo

Quando falamos que um ve´ıculo percorreu 100 km em 2 h é f´ acil determinar que em média ele 50 km a cada 1 h. N´ os dividimos a distância total e o tempo total da viagem. Isso n˜ ao significa que o ve´ıculo andou sempre na mesma velocidade, pois o ve´ıculo pode ter parado em um posto de combust´ıvel para abastecer. N´ os sabemos apenas a distância total e o tempo total da viagem, nada sabemos dos acontecimentos durante a mesma. Mas se o motorista quisesse a viagem no mesmo tempo e andando sempre na mesma velocidade ele deveria andar sempre ´ a velocidade escalar média. Normalmente n˜ a 50 km/h. E ao usaremos o termo distância e sim deslocamento escalar (∆s) e, para indicarmos o tempo decorrido usaremos intervalo de tempo (∆t). Dessa maneira:

Imagine o seguinte movimento:

Vm =

s − s0 ∆s = ∆t t − t0

t(s) v(m/s)

1 1000 m = m/s 3600 s 3, 6

e também 1 m/s = 3, 6 km/h

1 45

2 40

3 35

A cada segundo a velocidade varia (diminui) em −5 m/s, ou seja: −5 m/s = −5 m/s2 a= s Nesse caso a acelera¸caõ é negativa, pois a velocidade vai diminuindo (em módulo) com o tempo.

Acelera¸c˜ ao Escalar M´ edia (am ) ´ a varia¸caõ total da velocidade em rela¸caõ ao intervalo total E de tempo.

A unidade de velocidade no SI é o m/s. Para transformar velocidades em km/h em m/s fazemos: 1 km/h =

0 50

am =

v − v0 ∆v = ∆t t − t0

Unidades SI No SI medimos a velocidade em m/s, o tempo em segundos (s), e a acelera¸caõ em m/s2 .


Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (PUC) Um atleta fez um percurso de 800 m num tempo de 1 min e 40 s. A velocidade escalar média do atleta é de: a) 8, 0 km/h b) 28, 8 m/s c) 28, 8 km/h d) 20, 0 m/s e) 15, 0 km/h

57

Cinem´ atica

Aula 2

Movimento Uniforme (MU)

Suponhamos que você esteja dirigindo um carro de tal forma que o ponteiro do veloc´ımetro fique sempre na mesma posi¸caõ, 2. (UEL) Um móvel percorreu 60, 0 m com velocidade de por exemplo 80 km/h, no decorrer do tempo. Nessa condi¸caõ, 15, 0 m/s e os próximos 60, 0 m a 30, 0 m/s. A velocidade você ir´ a percorrer 80 km a cada hora de viagem, em duas horas média durante as duas fases foi de: percorrerá 160 km, e assim por diante. O movimento descrito a) 15, 0 m/s nessa situa¸caõ é denominado movimento uniforme (MU). b) 20, 0 m/s Você já deve ter notado, ent˜ ao, que no movimento uniforme o c) 22, 5 m/s valor do módulo da velocidade é constante e n˜ ao nulo, isto é, d) 25, 0 m/s o móvel percorre espa¸cos iguais em intervalos de tempo iguais. e) 30, 0 m/s Se, além da velocidade apresentar valor constante e a trajetória 3. (VUNESP) Ao passar pelo marco “km 200”de uma rodo- for retil´ınea, o movimento é dito movimento retil´ıneo univia, um motorista vê um an´ uncio com a inscri¸caõ “ABASTE- forme (MRU). CIMENTO E RESTAURANTE A 30 MINUTOS”. Considerando que esse posto de servi¸cos se encontra junto ao marco Equa¸ c˜ ao Hor´ aria do MU “km 245”dessa rodovia, pode-se concluir que o anunciante prevê, para os carros que trafegam nesse trecho, uma velo- Ao longo de um movimento, a posi¸caõ de um móvel varia no ´ u decorrer do tempo. E ´ til, portanto, encontrar uma equa¸caõ cidade média, em km/h, de: que forne¸ca a posi¸caõ de um móvel em um movimento uniforme a) 80 no decorrer do tempo. A esta equa¸caõ denominamos equa¸caõ b) 90 hor´ aria do movimento uniforme. c) 100 d) 110 Considere ent˜ ao, o nosso amigo corredor percorrendo com vee) 120 locidade constante v a trajetória da figura.


t

t 0

4. (FUVEST) Partindo do repouso, um avi˜ ao percorre a pista x0 X com acelera¸caõ constante e atinge a velocidade de 360 km/h x O em 25 segundos. Qual o valor da acelera¸caõ, em m/s2 ? a) 9,8 b) 7,2 Figura 1.1: Movimento uniforme (MU). c) 6,0 d) 4,0 Onde: x0 é a sua posi¸caõ inicial no instante t0 = 0 e x é a sua e) 2,0 nova posi¸caõ no instante t posterior. A velocidade do corredor no intervalo de tempo ∆t = t − t0 = t é 5. (PUC) Um trem est´ a com velocidade escalar de 72 km/h quando freia com acelera¸caõ escalar constante de módulo igual v − v0 ∆x = v= a 0, 40 m/s2 . O intervalo de tempo que o trem gasta para ∆t t parar, em segundos, é de: e se v é sempre constante, para qualquer instante t, ent˜ ao a) 10 temos um movimento uniforme (MU). Neste caso, como a b) 20 trajet´ o ria do movimento ´ e retil´ ınea, temos um movimento rec) 30 til´ıneo uniforme (MRU). d) 40 e) 50 Invertendo-se a equa¸caõ acima, podemos escrever a equa¸ c˜ ao hor´ aria do movimento: 6. (ACAFE) Um carro inicia a travessia de uma ponte com uma velocidade de 36 km/h , ao passar a ponte o motorista obx(t) = x0 + vt serva que o ponteiro do veloc´ımetro marca 72 km/h. Sabendo a a posi¸caõ x(t) em cada instante t > 0, para todo o que a travessia dura 5, 0 segundos, a acelera¸caõ do carro du- que nos d´ movimento. rante a travessia é de: a) 1 m/s2 b) 2 m/s2 Gr´ afico da Velocidade v × t c) 3 m/s2 d) 4 m/s2 No movimento uniforme, o diagrama da velocidade em fun¸caõ e) n.d.a do tempo v × t x é uma reta paralela ao eixo dos tempos,

58


—


uma vez que a velocidade é constante e n˜ ao varia ao longo Observe no gráfico que, de acordo com a equa¸caõ hor´ aria, a do tempo. velocidade pode ser dada pela inclina¸caõ da reta, ou seja v

v = tan θ

v

v v>0

A inclina¸caõ da reta também denominada é chamada de declividade ou coeficiente angular da reta.

v=0 O

t

O

t

O

t

v<0

a

Figura 1.2: Gr´ afico v × t para o MU: para a direita v > 0 (a); para a esquerda v < 0 (b) e repouso v = 0 (c).

b θ c

Importante Figura 1.4: Inclina¸ca õ de uma reta tan θ = b/c. • Quando o movimento é na dire¸caõ positiva do eixo orientado (o sentido positivo usual é para a direita) a velocidade do móvel é positiva (v > 0). Neste caso x cresce com Lembre-se de que a tangente de um ângulo, num triˆ angulo o tempo; retˆ angulo, é dada pela rela¸caõ entre cateto oposto e o cateto adjacente: • Quando o movimento é na dire¸caõ negativa do eixo orien- Para o movimento progressivo temos o seguinte gráfico: tado (sentido negativo usual é para a esquerda) a velocidade do móvel é negativa (v < 0), e neste caso, x decresce com o tempo.

x

Neste caso como a velocidade est´ a abaixo do eixo das abscissas, esta possui valor negativo, ou seja est´ a em sentido contrário ao da trajetória. ´ importante notar que a velocidade corresponde a altura • E da reta horizontal no gr´ afico v × t. • A´ area de um retˆ angulo é dada pelo produto da base pela altura: o deslocamento, pelo produto da velocidade pelo tempo.

v>0

xo O

t

Figura 1.5: Gr´ afico x × t para o movimento uniforme (MU) progressivo. E para o movimento retrógrado observa-se que:

v

x

∆ x = vt = Área O

t

Figura 1.3: O deslocamento é igual a a ´rea sob a curva do gr´ afico v × t.

Gr´ afico da Posi¸c˜ ao x × t Como a equa¸caõ hor´ aria no movimento uniforme é uma equa¸caõ do primeiro grau, podemos dizer que, para o movimento uniforme, todo gr´ afico x × t é uma reta inclinada em rela¸caõ aos eixos. Quando o movimento é progressivo (para a direita) a reta é inclinada para cima, indicando que os valores da posi¸caõ aumentam no decorrer do tempo; quando o movimento é retrógrado (para a esquerda), a reta é inclinada para baixo indicando que os valores da posi¸caõ diminuem no decorrer do tempo.

v<0

xo O

t

Figura 1.6: [Gr´ afico x × t para o movimento uniforme (MU) retr´ ogrado.

Pense um Pouco! • Um trem com 1 km de extensão viaja à velocidade de 1 km/min. Quanto tempo leva o trem para atravessar um t´ unel de 2 km de comprimento? • Como seria o gráfico x × t para um objeto em repouso?

´tica – Aula 3 Cinema • No gráfico x × t, qual a interpreta¸caõ f´ısica da interseçcaõ da reta com o eixo do tempo t?

59

Cinem´ atica

Aula 3

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (UEL) Um autom´ ovel mantém uma velocidade escalar constante de 72, 0 km/h. Em 1h:10min ele percorre uma distância igual a: a) 79, 2 km b) 80, 8 km c) 82, 4 km d) 84, 0 km e) 90, 9 km

Movimento Uniformemente Variado (MUV)

Analisando um movimento de queda livre, podemos verificar que o deslocamento escalar vai aumentando com o decorrer do tempo, isso mostra que a velocidade escalar do corpo varia com o tempo. Trata-se ent˜ ao de um movimento variado. Galileu já havia descoberto esse movimento e concluiu que, ´ 2. (ITAUNA-RJ) A equa¸caõ hor´ aria de um certo movimento desprezando a resistência do ar, quando abandonamos do reé x(t) = 40 − 8t no SI. O instante t, em que o móvel passa pela pouso os corpos próximos a superf´ıcie da terra caem com veloorigem de sua trajetória, ser´ a: cidades crescentes, e que a varia¸caõ da velocidade é constante a) 4 s em intervalos de tempos iguais. Podemos ent˜ ao concluir que b) 8 s este é um movimento uniformemente variado (MUV). c) 32 s Observamos um MUV quando o módulo da velocidade de um d) 5 s corpo varia de quantidades iguais em intervalos de tempos e) 10 s iguais, isto é, apresenta acelera¸caõ constante e diferente de 3. (UEL) Duas pessoas partem simultaneamente de um zero. mesmo local com velocidades constantes e iguais a 2 m/s e No caso da trajetória ser retil´ınea, o movimento é denominado 5 m/s, caminhando na mesma dire¸caõ e no mesmo sentido. movimento retil´ıneo uniformemente variado (MRUV). Portanto em um movimento retil´ıneo uniforme. Depois de meio minuto, qual a distância entre elas? a) 1, 5 m b) 60, 0 m Acelera¸c˜ ao e Velocidade no MRUV c) 150, 0 m d) 30, 0 m a = constante 6= 0 e) 90, 0 m Como a acelera¸caõ escalar é constante, ela coincide com a acelera¸caõ escalar média:


a = am =

v − v0 ∆v = ∆t t − t0

4. (UEPG-PR) Um trem de 25 m de comprimento, com velocidade constante de 36 km/h, leva 15s para atravessar total- fazendo t0 = 0, podemos escrever a equa¸caõ hor´ aria da velocimente uma ponte. O comprimento da ponte é: dade, ou seja a) 120 m b) 100 m v = v0 + at c) 125 m d) 80 m e) nenhuma resposta é correta v

5. (TUIUTI-PR) Um motorista passa, sem perceber, em um radar da pol´ıcia a 108 km/h. Se uma viatura est´ a, logo adiante a uma distância de 300 m do radar, em quanto tempo o motorista passará pela viatura? a) 7 s b) 13 s c) 20 s d) 10 s e) 16 s

O

v

MRUV

a>0 vo > 0

t

O

v

MRUV

a>0 vo < 0

t

O

MRU

a=0 vo > 0

t

Figura 1.1: v × t para o MRUV com a ≥ 0.

6. (UESBA) Se dois movimentos seguem as fun¸co˜es hor´ arias de posi¸caõ x1 (t) = 100 + 4t e x2 (t) = 5t, com unidades do SI, Posi¸ c˜ ao versus tempo no MRUV o encontro dos móveis se d´ a no instante: Analisando o gráfico de v × t, podemos obter a fun¸caõ hor´ aria a) 0 s dos espa¸co calculando o deslocamento escalar desde t = 0 até b) 400 s um instante t qualquer. Como: c) 10 s d) 500 s ∆s = área e) 100 s

60


v

MRUV

O

v

a<0 vo > 0

MRUV

a<0 vo = 0

O

t

v

MRU


A Equa¸c˜ ao de Torricelli

a=0 vo < 0

O

t

—

t

Figura 1.2: v × t para o MRUV com a ≤ 0.

O f´ısico italiano Evangelista Torricelli estudou matemática em Roma. Nos u ´ ltimos meses de vida de Galileu, Torricelli se tornou seu aluno e amigo ´ıntimo, o que lhe proporcionou a oportunidade de rever algumas teorias do mestre. Uma das conseq¨ uências disso foi a unifica¸caõ que Torricelli fez das fun¸co˜es hor´ arias estabelecidas por Galileu para o movimento uniformemente variado. Torricelli eliminou o tempo da fun¸caõ v = v0 + at

∆s =

v + v0 2

obtendo

t

t = (v − v0 )/a e substituindo o valor de t na fun¸caõ hor´ aria dos espa¸cos, temos v + v0 v − v0 s = s0 + vm t = s0 + 2 a

como: ∆s = s − s0 e

onde vm é a velocidade média do movimento. Finalmente, obtemos a equa¸caõ de Torricelli: v = v0 + at

v 2 = v02 + 2a∆s

temos s − s0 = s − s0 =

Pense um Pouco!

1 (v0 + at + v0 )t 2

• Imagine que você est´ a no interior de um autom´ ovel em movimento. O autom´ ovel é suficientemente silencioso e macio para que você n˜ ao perceba sua velocidade e varia¸co˜es de velocidade. Apenas olhando para o veloc´ımetro do autom´ ovel, sem olhar pelas janelas e p´ ara-brisas, é poss´ıvel classificar o movimento do autom´ ovel?

1 1 (2v0 + at)t = v0 t + at2 2 2

logo,

• Pode-se usar a equa¸caõ de Torricelli para se determinar a altura atingida por um projétil lan¸cado verticalmente para cima? Como?

1 s(t) = s0 + v0 t + at2 2 é a fun¸caõ hor´ aria dos espa¸cos s(t).

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao x

x

a>0 vo = 0

O

x

a>0 vo < 0 xo = 0

O

t

a>0 vo < 0 xo < 0

O

t

t

xo = 0

Figura 1.3: x × t para o MRUV com a > 0.

x

O

a<0 vo = 0 xo = 0 t

x

x

O a<0 vo > 0 xo = 0

t

O a<0 vo = 0 xo > 0

Figura 1.4: x × t para o MRUV com a < 0.

t

1. (UEL) Uma part´ıcula parte do repouso e, em 5 segundos percorre 100 metros. Considerando o movimento retil´ıneo uniformemente variado, podemos afirmar que a acelera¸caõ da part´ıcula é de: a) 8, 0 m/s2 b) 4, 0 m/s2 c) 20 m/s2 d) 4, 5 m/s2 e) n.d.a. 2. (UFPR) Um carro transitando com velocidade de 15 m/s, tem, seu freio acionado. A desacelera¸caõ produzida pelo freio é de 10 m/s2 . O carro p´ ara ap´ os percorrer: a) 15, 5 m b) 13, 35 m c) 12, 15 m d) 11, 25 m e) 10, 50 m 3. (ACFE-SC) A velocidade de um certo corpo em movimento retil´ıneo é dada pela express˜ ao v(t) = 10 − 2t, no SI. Calcule o espa¸co percorrido pelo corpo entre os instantes 2 s e 3 s.


61

a) 3 m b) 5 m c) 8 m d) 16 m e) 21 m

Exerc´ıcios Complementares 4. (CEFET) Na decolagem, um certo avi˜ ao partindo do repouso, percorre 500 m em 10, 0 s. Considerando-se sua acelera¸caõ constante, a velocidade com que o avi˜ ao levanta vôo é: a) 100 m/s b) 200 m/s c) 125 m/s d) 50 m/s e) 144 m/s 5. (UNESP) Um móvel descreve um movimento retil´ıneo obedecendo a fun¸caõ hor´ aria x(t) = 8 + 6t − t2 no SI. Esse movimento tem invers˜ ao de seu sentido no instante: a) 8 s b) 3 s c) 6 s d) 2 s e) 4/3 s 6. (UNESP) No instante em que o sinal de trˆ ansito autoriza a passagem, um caminh˜ ao de 24 m de comprimento que estava parado come¸ca atravessar uma ponte de 145 m de comprimento, movendo-se com uma acelera¸caõ constante de 2, 0 m/s2 . O tempo que o caminh˜ ao necessita para atravessar completamente a ponte é: a) 12 s b) 145 s c) 13 s d) 169 s e) 14 s

Cinem´ atica

Aula 4

Na realidade, a acelera¸caõ da gravidade, embora seja independente da massa do corpo em queda livre, varia com o local, dependendo da latitude e da altitude do lugar. Se o corpo em queda livre tiver uma trajetória retil´ınea, seu movimento ser´ a uniformemente variado; neste caso, a acelera¸caõ escalar do corpo ser´ a constante e valerá sempre a = −g, independente do sentido do movimento. Desta forma, se um objeto for lan¸cado para cima (v0 > 0), ele ir´ a frear (desacelerar) até parar (v = 0) e depois seu sentido de movimento ser´ a invertido (v > 0).

Conven¸c˜ oes • o sentido positivo do eixo vertical é debaixo para cima; • quando a e v possuem o mesmo sinal, o movimento é acelerado (v cresce em módulo); • quando a e v possuem o sinais contr´ arios, o movimento é desacelerado, freado ou ent˜ ao dito também retardado (v diminui em módulo);

Velocidade Escalar Final Em um local onde o efeito do ar é desprez´ıvel e a acelera¸caõ da gravidade é constante e com módulo g, um corpo é abandonado a partir do repouso de uma altura h acima do solo. Vamos obter a velocidade escalar final de um corpo ao solto (v0 = 0), atingir o solo. Pela equa¸caõ de Torricelli: v 2 = v02 + 2a∆s = v02 + 2a(s − s0 ) sendo s0 = h e s = 0, temos: v 2 = 0 + 2(−g)(0 − h) = 2gh ent˜ ao

p v = − 2gh

ser´ a a sua velocidade escalar ao atingir o ch˜ ao. Escolhemos o sinal negativo (−) porque o corpo est´ a descendo, contra o sentido crescente do eixo vertical (que é para cima). Observe que quanto maior a altura inicial h, maior a velocidade final v, como era de se esperar, mas que v n˜ ao é proporcional a h.

Tempo de Queda

Queda Livre Um corpo é dito em queda livre quando esta sob a¸caõ exclusiva da gravidade terrestre (ou da gravidade de outro corpo celeste). Foi Galileu quem estudou corretamente pela primeira vez, a queda livre de corpos. Galileu concluiu que todos os corpos em queda livre, isto é, livres do efeito da resistência do ar, tem uma propriedade comum; Corpos em queda livre têm a mesma acelera¸caõ quaisquer que sejam suas massas. Esta acelera¸caõ de queda livre é denominada acelera¸ c˜ ao da gravidade e, nas proximidades da terra, é suposta constante e com módulo g = 9.8 m/s2 , valor este que por praticidade, é usualmente aproximado para g = 10 m/s2 .

Vamos obter agora o tempo de queda livre desde que um corpo é solto (v0 = 0) de uma altura h, até atingir o solo. Pela equa¸caõ hor´ aria da velocidade do MRUV, temos: v(t) = v0 + at e para a queda livre ser´ a v(t) = v0 − gt √ e sendo v0 = 0 e v = − 2gh temos p − 2gh = 0 − gt

e finalmente

s √ 2gh 2h = t= g g

Observe que quanto maior a altura inicial h, maior o tempo de queda t, como também era de se esperar, e que t também n˜ ao é proporcional a h.

62


v

a = −g vo = 0 tq

0

t

—


Pode-se mostrar que o tempo de descida é igual ao tempo de subida. Mostre você mesmo. • a velocidade escalar de retorno ao solo é calculada como se segue: como o tempo total de vôo é 2ts , temos 2v0 v(2ts ) = v0 − g(2ts ) = v0 − g g ou seja, a velocidade de retorno ser´ a

Figura 1.1: v × t para a queda livre.

a = −g vo = 0 xo = h

x h

0

tq

t

v = −v0 A mesma acelera¸caõ que retarda a subida do projétil é a que o acelera na descida e tem módulo constante g, portanto conclu´ımos que que ao retornar ao solo, o projétil chaga com a mesma velocidade inicial de lan¸camento, em módulo. • A altura máxima atingida pelo projétil é calculada a partir da equa¸caõ de Torricelli: v 2 = v02 + 2a∆s e como v = 0 e ∆s = h, temos

Figura 1.2: x × t para a queda livre.

0 = v02 + 2(−g)h donde

Lan¸ camento Vertical Em um local onde o efeito do ar é desprez´ıvel e a acelera¸caõ da gravidade é constante e com módulo igual a g, um projétil é lan¸cado verticalmente para cima com velocidade de módulo igual a v0 . Estudemos as propriedades associadas a este movimento: 1 s(t) = s0 + v0 t − gt2 2 e v(t) = v0 − gt Observa-se que: • o movimento do projétil é uniformemente variado porque a acelera¸caõ escalar é constante e diferente de zero; • como foi lan¸cado para cima, a velocidade inicial do projétil é positiva (v0 > 0); • orientando-se o eixo vertical para cima, como de costume, a acelera¸caõ escalar vale −g; • A partir do ponto mais alto da trajetória, o projétil inverte o sentido de seu movimento e , portanto, sua velocidade é nula no ponto mais alto (ponto de invers˜ ao); • O tempo de subida ts do projétil é calculado como se segue: se v(t) = v0 − gt

e v(ts ) = 0 para a posi¸caõ mais alta, temos 0 = v0 − gts e finalmente ts =

v0 g

h=

v02 2g

Observe que quanto maior a velocidade inicial v0 , maior a altura h atingida pelo projétil, como era de se esperar, e que h n˜ ao é proporcional a v0 .

Pense um Pouco! • Por que uma folha inteira e outra amassada n˜ ao chegam juntas ao ch˜ ao, quando soltas simultaneamente de uma mesma altura? • Um corpo pode ter acelera¸caõ a 6= 0 e v = 0? Como? • Um corpo pode estar subindo (v > 0) e acelerando para baixo (a < 0)? Como? • por que n˜ ao se deve dar um tiro para cima com uma arma de fogo?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (UFAL) Uma pedra é abandonada de uma altura de 7, 2 m, adotando g = 10 m/s2 e desprezando-se a resistência do ar, pode-se afirmar que a sua velocidade escalar ao atingir o solo ser´ a: a) 12 m/s b) 36 m/s c) 360 m/s d) 18 m/s e) 180 m/s 2. (FUVEST) Um corpo é solto, a partir do repouso, do topo de um edif´ıcio de 80 m de altura. Despreze a resistência do ar


63

e adote g = 10 m/s2 . O tempo de queda até o solo e o módulo da velocidade com que o corpo atinge o solo s˜ ao: a) 4, 0 s e 72 km/h b) 2, 0 s e 72 km/h c) 2, 0 s e 144 km/h d) 4, 0 s e 144 km/h e) 4, 0 s e 40 km/h 3. (FUVEST) Um corpo é disparado do solo, verticalmente para cima, com velocidade inicial de módulo igual a 2, 0.102 m/s. Desprezando a resistência do ar e adotando g = 10 m/s2 , a altura máxima alcan¸cada pelo projétil e o tempo necess´ ario para alcan¸ca´-la s˜ ao respectivamente: a) 4, 0 km e 40 s b) 2, 0 km e 40 s c) 2, 0 km e 10 s d) 4, 0 km e 20 s e) 2, 0 km e 20 s


Movimento Circular Uniforme (MCU) Em um movimento onde a trajetória é uma circunferência (ou arco de uma circunferência) e a velocidade escalar é constante, este é denominado como movimento circular uniforme (MCU). Neste movimento a part´ıcula é localizada pela sua posi¸caõ angular θ, que varia uniformemente com o tempo.

1111111 0000000 0000000 1111111 v2 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 1 0 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 R v1 00 11 00000 11111 00 11 1 0 00000 11111 00 11 00000 11111 00 11 θ 00000 11111 00 11 00000 11111 v 00 11 3 00000 11111 11111111 00000000 00 11 00000 11111 1 0 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111

4. (FMTM-MG) As gaivotas utilizam um método interessante 1111111 0000000 1 0 para conseguir degustar uma de suas presas favoritas – o caranv4 guejo. Consiste em suspendê-lo a uma determinada altura e a´ı abandonar sua v´ıtima para que chegue ao solo com uma velocidade de módulo igual a 30 m/s, suficiente para que se quebre Figura 1.1: O movimento circular uniforme (MCU). por inteiro. Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s2 . A altura de eleva¸caõ utilizada por essas aves é: No movimento circular uniforme o vetor velocidade muda o a) 15 m tempo todo, porém mantém fixo o seu módulo (velocidade esb) 45 m calar). c) 90 m d) 30 m Movimento Peri´ odico e) 60 m 5. (UNICAMP) Uma atra¸caõ que est´ a se tornando muito popular nos parques de divers˜ ao consiste em uma plataforma que despenca, a partir do repouso, em queda livre de uma altura de 75 m. Quando a plataforma se encontra a 30 m do solo, ela passa a ser freada por uma for¸ca constante e atinge o repouso quando chega ao solo. A velocidade da plataforma quando o freio é acionado é dada por : a) 10 m/s b) 30 m/s c) 75 m/s d) 20 m/s e) 40 m/s

Um movimento é chamado peri´ odico quando todas as suas caracter´ısticas (posi¸caõ, velocidade e acelera¸caõ) se repetem em intervalos de tempo iguais. O movimento circular e uniforme é um exemplo de movimento peri´ odico, pois, a cada volta, o móvel repete a posi¸caõ, a velocidade e a acelera¸caõ.

Per´ıodo (T )

Define-se como per´ıodo (T ) o menor intervalo de tempo para que haja repeti¸caõ das caracter´ısticas do movimento. No movimento circular e uniforme, o per´ıodo é o intervalo de tempo 6. (CEFET-PR) Um bal˜ ao meteorol´ ogico est´ a subindo com para o móvel dar uma volta completa. velocidade constante de 10 m/s e se encontra a uma altura Como é uma medida de tempo, a unidade SI do per´ıodo é o de 75 m, quando dele se solta um aparelho. O tempo que o segundo. aparelho leva para chegar ao solo é: a) 2 s Freq¨ uˆ encia (f ) b) 4 s c) 5 s Define-se a freq¨ uência (f ) de qualquer movimento peri´ odico d) 3 s como o n´ umero de vezes que as caracter´ısticas do movimento e) 7 s se repetem durante uma unidade de tempo, ou seja, 1 s.

Cinem´ atica

Aula 5

No movimento circular uniforme, a freq¨ uência é o n´ umero de voltas realizadas na unidade de tempo. Se o móvel realiza n voltas em um intervalo de tempo t, a freq¨ uência f é dada por: f=

n t

64


—


e por defini¸caõ, como no MCU o tempo de uma volta completa Sendo a trajetória curva, a componente normal an da ace(n = 1) é o próprio per´ıodo do movimento, temos que lera¸caõ, ou também chamada de acelera¸caõ centr´ıpeta n˜ ao é nula (an 6= 0). 1 f= O módulo da acelera¸caõ centr´ıpeta pode ser calculado pela T seguinte express˜ ao: −1 A unidade SI da freq¨ uência f é s ou também chamado 2v sin(∆θ/2) ∆v de hertz, cuja abrevia¸caõ é Hz. Pode-se também medir a = ac = ∆t ∆t freq¨ uência em rota¸ co ˜es por minuto ou rpm. e como ∆θ = ω∆t, e o ângulo ∆θ é pequeno para ∆t pequeno, temos Exemplo ∆θ ∆θ sin ≃ 2 2 Se um movimento tem freq¨ uência de 2, 0 Hz, ent˜ ao s˜ ao dadas duas voltas completas por segundo, ou seja, o per´ıodo do mo- e 2ωR∆θ/2 vimento deve ser de 1/2 s. Como o minuto tem 60 segundos, = ω2R ac = ∆θ/ω esse movimento ter´ a uma freq¨ uência de 120 rpm. ou ent˜ ao, como v = ωR

Velocidade Escalar v ac =

Para uma volta completa, em uma circunferência de raio R, temos que 2πR ∆s = v= ∆t T logo, para o MCU temos v = 2πRf

v(t) v (t+∆ t) ∆θ=ο∆ t

Velocidade Angular ω Define a velocidade angular ω de forma semelhante ` a defini¸caõ de velocidade v, s´ o que nesse caso estamos interessados na varia¸caõ da posi¸caõ angular ocorrida no MCU. Ent˜ ao: ω=

v2 R

ac

∆v

v(t) v (t+∆ t)

∆θ=ο∆ t

θ = οt

R

∆θ θ − theta0 = ∆t t

Para uma volta completa, temos que o deslocamento angular ser´ a 2π e t = T , temos ω=

2π = 2πf T

Unidades SI A velocidade angular ω é medida em rad/s no SI. Rela¸ c˜ ao entre v e ω Como a velocidade escalar no MCU é v = 2πRf e ω = 2πf , ent˜ ao v = ωR Ou seja, a velocidade escalar v é proporcional ` a velocidade angular ω.

Vetores no MCU

Figura 1.2: A acelera¸ca õ centr´ıpeta (normal).

Pense um Pouco! • Certos fenˆ omenos da natureza, como a trajetória da Terra em torno do Sol e o movimento dos satélites apresentam movimento circular uniforme? Dê exemplos. • Imagine um disco girando em torno do seu centro. As velocidades de todos os seus pontos s˜ ao iguais em módulo? Explique. • Como s˜ ao os vetores de velocidade de diferentes pontos de uma mesma roda (disco) que gira? Fa¸ca um esbo¸co dos vetores.

• Qual a velocidade angular do ponteiro dos segundos de um rel´ ogio mecˆ anico? J´ a vimos que no movimento circular e uniforme, a velocidade vetorial tem módulo constante, porém dire¸caõ vari´ avel e, portanto o vetor v é vari´ avel. Sendo a velocidade vetorial vari´ avel, Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao vamos analisar a acelera¸caõ vetorial a. Sendo o movimento uniforme, a componente tangencial at da acelera¸caõ vetorial é nula: 1. (FCC) Uma part´ıcula executa um movimento uniforme sobre uma circunferência de raio 20 cm. Ela percorre metade ∆v =0 at = da circunferência em 2, 0 s. A freq¨ uência, em hertz, e o per´ıodo ∆t

´tica – Aula 5 Cinema do movimento, em segundos, valem, respectivamente : a) 4,0 e 0,25 b) 1,0 e 1,0 c) 0,25 e 4,0 d) 2,0 e 0,5 e) 0,5 e 2,0 2. (UFES) Uma pessoa est´ a em uma roda-gigante que tem raio de 5 m e gira em rota¸caõ uniforme. A pessoa passa pelo ponto mais próximo do ch˜ ao a cada 20 segundos. Podemos afirmar que a freq¨ uência do movimento dessa pessoa, em rpm, é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3. (ITA) Um autom´ ovel percorre uma trajetória com velocidade escalar constante. A roda do autom´ ovel, cujo raio é 30 cm, d´ a 40 voltas em 2, 0 s. A Velocidade angular da roda é, em rad/s: a) 20π rad/s b) 30π rad/s c) 40π rad/s d) 50π rad/s e) 60π rad/s

Exerc´ıcios Complementares 4. (ACAFE) Um autom´ ovel percorre uma estrada com velocidade escalar constante e igual a 8, 0 m/s e suas rodas possuem raio R = 0, 40 m. A freq¨ uência de rota¸caõ da roda é: a) 5/π Hz b) 8/π Hz c) 12/π Hz d) 6/π Hz e) 10/π Hz 5. (FUVEST) Um ciclista percorre uma pista circular de 500 m de raio, com velocidade escalar constante de 20 m/s. A acelera¸caõ do ciclista é: a) 0, 5 m/s2 b) 0, 8 m/s2 c) 1, 4 m/s2 d) 0, 6 m/s2 e) 1, 2 m/s2 6. (CEFET-PR) A órbita da Terra em torno do Sol, em raz˜ ao da sua baixa excentricidade, é aproximadamente uma circunferência. Sabendo-se que a terra leva um ano para realizar uma volta completa em torno do Sol e que a distância média da Terra ao Sol é 150 milh˜ oes de km, os módulos dos vetores da velocidade e acelera¸caõ em km/s e m/s2 s˜ ao respectivamente: a) 10 e 2, 0 × 10−3 b) 20 e 2, 0 × 10−3 c) 30 e 6, 0 × 10−3 d) 20 e 6, 0 × 10−3 e) 10 e 6, 0 × 10−3

65

66


—


67

Ondas – Aula 1

Ondas

Aula 1

Ondas Movimento Harmˆ onico Simples

x(t) = R cos(ωt + θ0 )

θ

L

O movimento harmônico simples (MHS) é um movimento repetitivo ao longo do tempo, por exemplo, quando observamos um peso suspenso por uma mola bastante flex´ıvel (movimento na vertical); ou ent˜ ao suspenso por um fio longo (movimento na horizontal - pêndulo simples). Todo MHS pode ser pensado como sendo a proje¸caõ de um movimento circular e uniforme num dos diâmetros da circunferência percorrida. Para isto, admita um eixo cartesiano com origem no centro da circunferência correspondente ao movimento circular. Você poder´ a estudar a proje¸caõ sobre o eixo dos x, obtendo uma equa¸caõ do tipo

T mgsin θ x mgcos θ

O

mg

ou sobre o eixo dos y, obtendo a equa¸caõ an´ aloga y(t) = Rsen (ωt + θ0 ) Para o movimento circular sabemos que R é o raio da circunferência, ω a velocidade angular do objeto em movimento circular e uniforme, e θ0 é a posi¸caõ angular inicial ocupada pelo objeto no instante t0 = 0 (θ0 equivale, em termos angulares, ao s0 dos movimentos estudados ao longo de trajetórias). Assim, podemos entender o significado das constantes do MHS: R = A é a amplitude do movimento a partir do centro de oscila¸caõ; ω recebe também a denomina¸caõ de freq¨ uˆ encia angular (é f´ acil demonstrar que w = 2π , em que T ´ e o per´ıodo do MHS; T ωt + θ0 , o argumento do seno (ou cosseno), é a chamada fase do movimento, e depende do tempo t e, desta forma, quando t = 0 temos (ωt + θ0 ) = θ0 ; θ0 é a fase inicial. Depois desse entendimento, podemos reescrever as equa¸co˜es anteriores em termos das amplitudes A ao invés do raio R, ent˜ ao: x(t) = A cos(ωt + θ0 ) y(t) = Asen (ωt + θ0 )

Pˆ endulo Simples Vamos estudar com maiores detalhes o MHS que se observa em um pêndulo simples. O pêndulo simples consiste em uma part´ıcula de massa m suspensa por um fio inextens´ıvel, de massa desprez´ıvel e comprimento L, que oscila num plano vertical, fixo na extremidade superior do fio, como vemos na figura abaixo: Esse problema pode ser considerado um problema de MHS somente para pequenos ˆ angulos de abertura, ou seja, afasta-se o pêndulo ligeiramente de sua posi¸caõ de equil´ıbrio, e solta-se. Observa-se que a part´ıcula executa um movimento circular de raio L, porém de vai-e-vem, portanto com velocidade vari´ avel.

Figura 1.1: Pêndulo Simples. Ignorando a resistência do ar, as for¸cas que atuam sobre a part´ıcula s˜ ao a for¸ca peso, exercida pela Terra, e a tens˜ ao, exercida pelo fio. Como o fio é inextens´ıvel, a componente do peso ao longo do fio cancela a for¸ca de tens˜ ao. A resultante das for¸cas que atuam sobre a part´ıcula é, portanto, a componente do peso na dire¸caõ do movimento da part´ıcula, cujo módulo vale mgsen (θ). A part´ıcula do pêndulo descreve um arco de circunferência. Mas, se a amplitude do movimento é muito menor que o comprimento L do fio, ou seja, se o ângulo θ é pequeno, podemos aproximar o arco por um segmento de reta horizontal sobre o qual fixamos o eixo x, com origem onde a vertical tirada do ponto de suspens˜ ao do pêndulo corta esse eixo. Ent˜ ao, fazendo x sen θ = , L o módulo da for¸ca resultante sobre a part´ıcula fica: F (x) = −

mg x L

An´ alise dos Sinais O sinal negativo indica que a for¸ca resultante aponta na mesma dire¸caõ que aquela escolhida como positiva para o eixo x quando a elonga¸caõ é negativa e na dire¸caõ oposta quanto a elonga¸caõ é positiva. Ou seja, a for¸ca é restauradora, pois quando a part´ıcula vai para a direita (x > 0) a for¸ca horizontal “puxa”ela para a esquerda (F < 0), e quando ela vai para a

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esquerda (x < 0), a for¸ca a “empurra”de volta par a direita (F > 0). Através desse tipo de for¸ca é que se obtém o MHS. Observe que a for¸ca dada acima tem a forma geral F (x) = −kx, onde k = mg/L nesse caso. Essa for¸ca lembra alguma outra lei ou sistema f´ısico j´ a estudado? Qual?

—


c) independente do valor da acelera¸caõ da gravidade local. d) é inversamente proporcional ao valor da acelera¸caõ da gravidade local. e) independe da massa m.


Dica de Vestibular DICA: normalmente as grandezas que mais se pedem em vestibulares s˜ ao o per´ıodo (T ) e a freq¨ uência (f ) de um pêndulo simples, n˜ ao que as outras grandezas n˜ ao tenham importˆ ancia e sim pela sua simplicidade matemática e conte´ udo teórico, ent˜ ao, resumidamente em termos do per´ıodo temos: T =

2π ω

T = 2πf T = T = 2π

1 f s

L g

E em termos da freq¨ uência temos: f=

w 2π

f= f=

1 2π

1 T r

4. Fa¸ca testes numéricos para estimar até onde vale a rela¸caõ sen θ ≈ θ, para ângulos theta dados em rad, com a precisão de até duas casas decimais. 5. Para dobrar a freq¨ uência de oscila¸caõ de um pêndulo simples é suficiente: a) transport´ a-lo para um planeta de acelera¸caõ da gravidade duas vezes maior. b) transport´ a-lo para um planeta de acelera¸caõ da gravidade quatro vezes. c) dobrar o comprimento do fio. d) reduzir à quarta parte o comprimento do fio. e) dobrar a massa pendular. 6. Ache a rela¸caõ entre o comprimento de dois pêndulos para que um realize nove oscila¸co˜es enquanto o outro realiza dezesseis oscila¸co˜es. 7. Determine o comprimento de um pêndulo simples que possui per´ıodo igual a 1, 0 s. Use g = 10 m/s2 .

g L

Ondas

Aula 2

Pense um Pouco! 1. Como podemos determinar a acelera¸caõ da gravidade com um pêndulo Simples?

Ondas

Denomina-se onda ao movimento coletivo causado por uma 2. O movimento de transla¸caõ da terra em torno do sol é um perturba¸caõ que se propaga através de um meio. MHS?


Tipos de Ondas

Quanto à necessidade ou n˜ ao de um meio mecˆ anico, as ondas se classificam em dois grandes grupos: as ondas mecˆ anicas 1. Um pêndulo oscila, na Terra com per´ıodo igual a 4 se- e as ondas eletromagn´ eticas. gundos. Determinar o per´ıodo desse mesmo pêndulo em um planeta onde a acelera¸caõ da gravidade é quatro vezes maior Onda Mecˆ anica que a da Terra. 2. Um MHS (movimento harmˆ onico simples) é descrito pela fun¸caõ hor´ aria x(t) = 5cos(πt/2 + 3π/2), com x em metros e ´ correto afirmar que: t em segundos. E a) a amplitude do movimento é 10 m. b) a velocidade angular é 5π/2 rad/s. c) a freq¨ uência do movimento é 0, 25 Hz. d) o per´ıodo do movimento é 0, 50 s. e) a fase inicial é 3π radianos.

Precisa de um meio mecˆ anico natural para se propagar (n˜ ao se propaga no vácuo). Exemplos Uma onda numa corda, ondas sonoras (sons), ondas na superf´ıcie da água ou numa membrana esticada (tambor).

3. Um pêndulo simples de massa m executa oscila¸co˜es de pequena abertura angular e realiza um MHS. Ent˜ ao o seu per´ıodo de oscila¸caõ: a) independe do comprimento do pêndulo. b) é proporcional ao comprimento do pêndulo.

N˜ ao necessita de um meio mecˆ anico para se propagar, e pode se propagar no vácuo ou também em meios mecˆ anicos. Exemplos Ondas de r´ adio, ondas luminosas, raios X, ondas de calor, como aquelas que vem do Sol até a Terra pelo vácuo interestelar.

Onda Eletromagn´ etica

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Ondas – Aula 2

´ claro que uma barra de ferro pode propadire¸caõ da barra. E gar, ao mesmo tempo, tanto ondas longitudinais quanto ondas Quanto ao tipo de perturba¸caõ propagada pela onda, elas s˜ ao transversais. classificadas em transversais ou longitudinais. Se tomarmos uma mola helicoidal bem longa e mole, com uma extremidade presa ao teto, por exemplo, poderemos verificar que, ao comprimirmos ligeiramente a sua extremidade livre, Ondas Transversais batendo verticalmente, um pulso de compressão ser´ a propaS˜ ao aquelas em que a dire¸caõ das oscila¸co˜es é perpendicular gado longitudinalmente, subindo na mola. (ou transversal) à dire¸caõ da propaga¸caõ da onda. Quando um pescador convencional estica sua linha (espera ou espinhel) para pescar, ele percebe a “beliscada”do peixe pelas Vibraçao ondas longitudinais transportadas até a sua mão, pela linha corda Propagaçao tensa. Quando usa uma b´ oia, ou rolha, ele vê as ondas transT T versais causadas na superf´ıcie da água pelas beliscadas dos peixes. Em ambos os casos, as ondas est˜ ao sendo usadas para transmitir informa¸ c˜ ao, compreendeu?

Classifica¸c˜ ao das Ondas

Figura 1.1: Onda transversal. Exemplos Nas ondas eletromagnéticas, um campo elétrico e um magnético oscilam em planos perpendiculares ` a dire¸caõ de propaga¸caõ da onda. Por esta raz˜ ao, por exemplo, convencionouse posicionar as antenas de r´ adio em pé, para que o campo elétrico seja emitido verticalmente, enquanto a onda se propaga horizontalmente, e desta forma possa ser captado pelas antenas receptoras. Quando sacudimos a extremidade de uma corda esticada, ou mesmo de uma mangueira de jardim, produzimos um pulso de deslocamento vertical, que se propaga ao longo da dire¸caõ da corda, horizontalmente. Se observarmos de perto, veremos que cada ponto da corda (mangueira) apenas sobe e desce, quando o pulso passa pela corda. N˜ ao h´ a um deslocamento horizontal da corda (meio mecˆ anico). Em campos de futebol, pode-se ver um belo efeito ondulat´ orio causado pelos espectadores, a “ˆ ola”. Num movimento coordenado, os espectadores levantam e sentam, provocando a propaga¸caõ de uma onda pelas arquibancadas, que também é uma onda transversal. Observe que, se todos levantassem e sentassem ao mesmo tempo, nenhuma onda seria observada. Ondas Longitudinais

Ondas no Espa¸co Quanto ao tipo de propaga¸caõ e a complexidade do movimento espacial das ondas, podemos classificá-las em unidimensionais, bidimensionais ou tridimensionais. Ondas Unidimensionais Em alguns casos simples, podemos supor que uma onda se propaga de forma unidimensional, pois simplificamos a sua descri¸caõ reduzindo o movimento ondulat´ orio à uma dimensão mais relevante. Exemplo Por exemplo, ao estudar a propaga¸caõ de uma onda sonora dentro de um tubo longo, podemos considerar a onda unidimensional, dentro do tubo. Ondas Bidimensionais Em outros casos, é evidente que o movimento ondulat´ orio n˜ ao pode ser restrito à uma dire¸caõ (dimens˜ ao), pois ocorre sobre uma superf´ıcie bidimensional. Exemplos No caso de ondas na superf´ıcie de uma piscina ou lago, ou mesmo ondas num tambor (membrana). Neste caso temos ondas bidimensionais.

Como o próprio nome diz, a onda longitudinal transporta oscila¸co˜es (vibra¸co˜es) cuja dire¸caõ coincide com a dire¸caõ da Ondas Tridimensionais propaga¸caõ, ou seja, ao longo da dire¸caõ de propaga¸caõ. propagação da onda compressões

empurrar

puchar

oscilações

para a ponta fixa

rarefações

Figura 1.2: Onda longitudinal.

S˜ ao aquelas que se propagam em todas as três dire¸co˜es do espa¸co, tornando a sua descri¸caõ, bastante trabalhosa. Exemplos Na explosão de uma “bombinha”, aquelas que a gente soltava quando moleque, s˜ ao produzidas ondas sonoras que se propagam a partir de um ponto (pequena região do espa¸co) para todas as dire¸co˜es, formando verdadeiras ondas esféricas, que poder˜ ao ser percebidas por pessoas no ch˜ ao, ou mesmo p´ assaros no ar, pois se propagam tridimensionalmente.

Exemplos As ondas sonoras s˜ ao ondas de press˜ ao que se propagam lon- Energia Transmitida gitudinalmente em meios s´ olidos, l´ıquidos ou gasosos. Quando você d´ a uma martelada na extremidade de uma longa barra Quanto ao tipo de energia transmitida pela onda, podede ferro (de constru¸caõ), a compress˜ ao causada na dire¸caõ da mos classificá-la em ondas sonoras, ondas luminosas, ondas barra se propaga, fazendo os pontos da barra oscilarem na térmicas, etc.

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Elementos de uma Onda

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d) gravitacionais e) longitudinais

Ondas Peri´ odicas

3. Quando uma pequena pedra cai num lago tranq¨ uilo, S˜ ao aquelas que recebem pulsos peri´ odicos, ou seja, recebem formam-se ondas circulares. O fato de as ondas serem cirpulsos em intervalos de tempo iguais. Portanto, passam por culares é uma evidência de que: um mesmo ponto com a mesma freq¨ uência. a) as ondas transportam energia b) as ondas transportam matéria Unidades SI c) a velocidade de propaga¸caõ das ondas é a mesma em todas as dire¸co˜es As ondas peri´ odicas possuem alguns elementos b´ asicos, que d) a velocidade de propaga¸caõ das ondas depende da densis˜ ao: dade da pedra o per´ıodo P (ou T ), medido em s; e) a pedra afundou depois de atingir a água. o comprimento de onda λ, medido em m; a freq¨ uência f , medida em s−1 ou Hz (hertz); a amplitude y, medida em m; Exerc´ıcios Complementares que podem ser verificados na figura abaixo. Comprimento de Onda

Amplitude x

Figura 1.3: Elementos de uma onda senoidal.

Rela¸ c˜ ao Matem´ aticas v = λf onde v é = velocidade de propaga¸caõ da onda no meio λ é o comprimento da onda f é a freq¨ uência da onda.

Pense um Pouco!

4. As ondas eletromagnéticas, como as ondas luminosas, propagam-se independentemente do meio. No vácuo, todas as ondas eletromagnéticas possuem: a) a mesma amplitude b) a mesma freq¨ uência c) a mesma velocidade d) o mesmo comprimento de onda e) a mesma energia 5. Considere as afirma¸co˜es abaixo: I. As ondas luminosas s˜ ao constitu´ıdas pelas oscila¸co˜es de um campo elétrico e de um campo magnético. II. As ondas sonoras precisam de um meio material para se propagar III. As ondas eletromagnéticas n˜ ao precisam de um meio material para se propagar. Quais delas s˜ ao corretas? a) apenas I b) apenas I e II c) apenas I e III d) apenas II e III e) I, II e III

• Uma pessoa toca numa corda de um viol˜ ao uma nota e você ouve o som. Identifique os vários tipos de ondas 6. A onda sonora é classificada como ........ pois a sua proenvolvidos no processo completo. Comente. paga¸caõ ocorre somente em meio ........, que vibra com a onda deslocando-se na dire¸caõ ......... à sua dire¸caõ de propaga¸caõ. • N´ os enxergamos usando luz. Seria poss´ıvel se enxergar a) mecˆ anica – material – paralela com outro tipo de ondas como o som, por exemplo? Jusb) mecˆ anica – gasoso – paralela tifique. c) mecˆ anica – s´ olido – perpendicular d) eletromagnética – material – perpendicular e) eletromagnética – material – paralela


7. Um pescador observa que a ponta de sua canoa, parada num 1. A distância entre o n´ıvel de repouso da ´ agua e a “crista”de lago, oscila cinco vezes em quatro segundos, num movimento sobe-e-desce. Ele conclui que a freq¨ uência das ondas é: uma onda, é chamada de: a) 1 41 s a) timbre b) 1, 25 m b) per´ıodo c) 0, 80 s−1 c) amplitude d) 1, 25 Hz d) ressonância e) 20/s e) comprimento de onda 2. Ondas que oscilam na mesma dire¸caõ em que se propagam s˜ ao chamadas de ondas: a) transversais b) eletromagnéticas c) tensoriais

Ondas

Aula 3

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Ondas – Aula 3

Ondas e Interferˆ encia Quando duas ondas resolvem ocupar a mesma regi˜ ao do espa¸co d´ a-se o que chamamos de interferˆ encia. O resultado da interferência entre duas ondas depende da diferen¸ca de fase entre elas. Para se entender o efeito combinado de duas ou mais ondas se propagando no mesmo meio, e no mesmo instante, assumimos como válido o princ´ıpio de superposi¸ c˜ ao: “Os deslocamentos causados no meio pela presen¸ca de duas ou mais ondas s˜ ao somados, ou seja, superpostos, como se cada onda continuasse se propagando como se as outras n˜ ao existissem.” Ou seja, uma n˜ ao afeta as outras, mas o que observamos é o efeito conjunto de todas as ondas. Quando se tratarem de ondas unidimensionais, no caso simples, os deslocamentos do meio ser˜ ao somados algebricamente, podendo-se obter interferência destrutiva e construtiva.

Figura 1.2: Interferência destrutiva.

poss´ıvel a observa¸caõ da interferência construtiva e nem da destrutiva, mas a onda resultante é resultado da interferência geral entre as ondas, chamadas de componentes. Na figura a seguir, as duas ondas têm uma diferen¸ca de fase genérica. A interferência entre elas n˜ ao é totalmente construtiva nem totalmente destrutiva. O resultado é uma onda Interferˆ encia Destrutiva u ´ nica cuja amplitude tem qualquer valor entre zero e a soma Na figura abaixo, vemos duas ondas, praticamente coinciden- das amplitudes das ondas, dependendo da diferen¸ca de fase tes. As duas têm a mesma amplitude, o mesmo comprimento entre elas. e a mesma fase, ou seja, os pontos de deslocamento máximo coincidem, e dizemos neste caso que a diferen¸ ca de fase entre elas é zero. Ou seja, as ondas est˜ ao em fase. Nesse caso, a interferência é chamada de construtiva, pois uma onda soma-se à outra, refor¸cando-a, e o resultado é uma u ´ nica onda cuja amplitude é a soma das duas amplitudes.

Figura 1.3: Interferência geral.

Difra¸c˜ ao Figura 1.1: Interferência construtiva.

Interferˆ encia Destrutiva Quando superpomos duas ondas, sendo que um deslocamento máximo positivo de uma corresponde com o deslocamento máximo negativo da outra, os efeitos (amplitude resultante) tendem a se cancelar. Na outra figura abaixo, as duas ondas têm uma diferen¸ca de fase de “meia onda”. Isso faz com que um alto de uma delas coincida com um baixo da outra. Acontece, ent˜ ao, uma interferência destrutiva entre elas. O resultado é que uma anula ¯ completamente o efeito da outra. Nessa regi˜ ao n˜ ao haverá mais onda nenhuma.

Caso Geral de Interferˆ encia Em geral, podemos observar num mesmo meio a propaga¸caõ de ondas de comprimentos e amplitudes diferentes, n˜ ao sendo

´ poss´ıvel ouvir o som produzido por uma explosão que se E situa atr´ as de um muro delimitador, mesmo que este tenha grande espessura de tal forma que as ondas sonoras n˜ ao consigam atravess´ a-lo. Da mesma forma, se algum membro da sua fam´ılia que est´ a trancado sozinho num dos quartos coloca uma m´ usica num volume bem alto num aparelho de som potente, todos os outros ir˜ ao ouvi-la. Deste modo, percebemos que o som (e todos os outros tipos de ondas) tem a capacidade de contornar obst´ aculos. A esta habilidade definiu-se o nome de difra¸ c˜ ao, que ocorre devido ao fato do comprimento de onda dos sons variarem de alguns cent´ımetros a vários metros, de forma que estas ondas s˜ ao ”grandes”em compara¸caõ com as aberturas e obst´ aculos freq¨ uentemente encontrados na natureza. Um critério simples para saber se a difra¸caõ ser´ a observada numa onda, ao passar por um obst´ aculo ou abertura de tamanho D, é o de que o comprimento de onda λ usado seja da ordem aproximada do tamanho D, ou seja: λ≈D

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Quando partes de uma onda s˜ ao atrapalhadas pela presen¸ca de obst´ aculos, sua propaga¸caõ no meio considerado torna-se bem mais complicada, fugindo ao que o bom senso esperaria. Isto pode ser exemplificado imaginando-se um tanque cheio d’água com ondas planas se propagando em sua superf´ıcie. Veja figura abaixo:

Figura 1.5: Difra¸ca õ de raio-X. Essa é a famosa lei de Bragg.

Vocˆ e Sabia? Natureza Ondulat´ oria da Luz Figura 1.4: Difra¸ca õ de ondas na a ´gua. O estudo da difra¸caõ é importante nos dias de hoje para estudar a natureza de defeitos pontuais, intersticiais e mesmo a cristalinidade em materiais, possibilitando desta maneira estudar se um material é ou n˜ ao adequado ao emprego em pesquisas, experimentos ou mesmo em ind´ ustrias.

Para Saber Mais! Como vimos na se¸caõ anterior, sempre que a diferen¸ca de fase entre duas ondas for zero, 1 comprimento de onda, 2 comprimentos de onda etc, as ondas interferem construtivamente e suas amplitudes se somam. Mas, se a diferen¸ca de fase for de meio comprimento de onda, três meios comprimentos de onda etc, elas interferem destrutivamente e suas amplitudes se subtraem. Imagine ent˜ ao que um feixe de raios-X incida sobre um cristal. Como o espa¸camento entre os ´ atomos do cristal tem um valor compr´ avel com o comprimento de onda do raio-X, o feixe se refletir´ a nos planos dos ´ atomos como em um espelho. Veja o se passa com dois raios que incidem em planos vizinhos. Os máximos (”altos”) de cada onda s˜ ao assinalado com uns tracinhos.Um dos raios, incide no plano de baixo e percorre uma distância um pouco maior que o outro. A diferen¸ca entre os dois caminhos é mostrada. Nesse desenho, essa diferen¸ca é exatamente um comprimento de onda. Portanto, os raios refletidos (ou ”difratados”, no caso) saem em fase e ter˜ ao in´ claro que isso s´ terferência construtiva. E o acontece para um ângulo de incidência bem determinado. Se você sabe um pouco de trigonometria pode ver, na figura, que a diferen¸ca de caminhos é 2dsen θ, onde é o ˆ angulo entre a dire¸caõ dos raios-X e o plano de ´ atomos do cristal. A interferência ser´ a construtiva e, portanto, haver´ a um feixe difratado apenas no caso em que essa diferen¸ca de caminhos for um n´ umero inteiro de comprimentos de onda do raio-X. Isto é, se 2dsen(θ) = nλ com n ∈ N, haverá um feixe difratado.

O que é a luz? A luz é uma radia¸caõ eletromagnética dual, que se comporta, ora como onda, ora como matéria, e viaja à cerca de 300.000 km/s no vácuo. Na verdade, as radia¸ co ˜es eletromagn´ eticas cobrem uma extensa faixa de comprimentos de onda, desde os raios c´ osmicos, com comprimentos de onda menores que 10−18 metros (attometros), até as VLF (ondas de r´ adio de freq¨ uência muito baixa) com comprimento de milh˜ oes de quilˆ ometros, da ordem de 101 2 metros (terametros). Dentro desta enorme faixa, apenas uma estreita janela comporta os comprimentos de onda que sensibilizam nossos olhos é a denominada luz vis´ıvel. Esta faixa vai desde o violeta (4 × 10−7 m) ao vermelho (7 × 10−7 m). Entre estes dois valores est˜ ao as cores do espectro vis´ıvel, onde operam os telescópios ópticos, por exemplo.

Figura 1.6: Espectro eletromagnético. O tamanho reduzido da “janela vis´ıvel”nos mostra a importˆ ancia dos instrumentos sens´ıveis a outros comprimentos de onda. Radiotelesc´ opios operando na faixa das microondas conseguiram mapear a nossa gal´ axia, enquanto telescópios sens´ıveis a raios X est˜ ao em órbita localizando quasares. ´ interessante observar que o Sol irradia ondas eletroE magnéticas em todos os comprimentos de onda, porém o máximo de energia emitida (cor amarela) est´ a justamente dentro da pequena faixa do nosso espectro vis´ıvel. Os cientistas acreditam que a visão tenha evolu´ıdo durante milh˜ oes de anos de adapta¸co˜es e otimiza¸co˜es, deslocando a nossa capacidade visual em dire¸caõ ao ponto ótimo, próximo ao pico de radia¸caõ solar, correspondente à cor do amarelo. Alguns animais, como o gato e outros predadores de vida noturna, podem perceber visualmente radia¸caõ infra-vermelhas, as chamadas radia¸co˜es térmicas, e localizam mam´ıferos (de

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Ondas – Aula 4 sangue quente) enxergando-os no escuro, j´ a que emitem ondas [10 cm, 70 cm] térmicas, que para n´ os s˜ ao invis´ıveis. e) n. d. a.

6. Um motor elétrico desbalanceado gira a 1.800 rpm e provoca um ru´ıdo grave e cont´ınuo, que é amplificado pelo mesa Pense um Pouco! onde est´ a fixo e pode ser ouvido claramente. Pode-se afirmar que: • Quando uma banda de rock toca, observa-se o fenˆ omeno a) a freq¨ uência do ru´ıdo é cerca de 30 Hz da interferência? Explique. b) o motor est´ a com os rolamentos gastos ao é de boa qualidade • Se a luz difratasse em qualquer condi¸caõ, quais fenˆ omenos c) a mesa n˜ d) é melhor desligar o motor e chamar a CELESC do nosso cotidiano seriam alterados? e) a mesa come¸car´ a a “andar”por trepida¸caõ • Porque n˜ ao conseguimos sintonizar as r´ adios FM atr´ as de morros, e as r´ adios AM sim? Determine o comprimento de onda t´ıpico de cada uma dessas faixas de r´ adio, compare e explique.

Ondas

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Observa-se a interferência de duas ondas quando: a) elas possuem a mesma freq¨ uência b) elas possuem a mesma amplitude c) elas se propagam em sentidos opostos d) elas s˜ ao transversais e) elas se propagam no mesmo meio e no mesmo instante

Aula 4

Som Fontes Sonoras

Em geral, ao estudo da produ¸caõ (fontes sonoras), propaga¸caõ e fenˆ omenos correlatos sofridos pela onda mecˆ anica sonora ou aud´ıvel, denomina-se Ac´ ustica, denominaremos por som à toda onda mecˆ anica sonora (intensidade suficiente e freq¨ uência li2. S˜ ao fenˆ omenos ondulat´ orios comuns ` a qualquer tipo de mitada num certo intervalo). onda: a) interferência – aniquila¸caõ – transporte Som Aud´ıvel b) difra¸caõ – amortecimento – inércia Se a freq¨ uência da onda sonora pertence ao intervalo de, 16 Hz c) interferência – difra¸caõ – reflex˜ ao a 20 kHz, esse som é aud´ıvel para o ser humano. d) refra¸caõ – dispers˜ ao – simetria e) energia – momento – ressonância 3. Um apito produz um som de freq¨ uência igual a 1.360 Hz no ar, onde as ondas se propagam com velocidade de 340 m/s. Ent˜ ao, o comprimento das ondas geradas é: a) 4 m b) 25 m c) 40 cm d) 25 cm e) 0, 25 km

Exerc´ıcios Complementares 4. O ouvido humano normal pode perceber sons de freq¨ uência no intervalo de 20 Hz a 20 kHz – a chamada faixa aud´ıvel. Assinale a u ´ nica alternativa correta: a) pode-se em geral ouvir sons de 25.000 Hz b) o som é uma onda mecˆ anica longitudinal c) o som é uma onda longitudinal d) o som é uma onda eletromagnética e) todo som na faixa aud´ıvel se propaga no vácuo

Ultra-som e Infra-som Ondas longitudinais de freq¨ uências superiores a 20 kHz, caracterizam sons inaud´ıveis para n´ os e denominam-se ultra-sons. Aquelas de freq¨ uências inferiores a 16 Hz, também inaud´ıveis, s˜ ao ditas infra-sons.

Velocidade de Propaga¸c˜ ao do Som

O som possui velocidades de propaga¸caõ definidas para cada meio de propaga¸caõ, podendo este ser o ar, água, metais entre 5. Numa corda propagam-se dois pulsos de amplitudes igual a outros, a velocidade de propaga¸caõ do som no ar nas condi¸co˜es 30 cm e 40 cm, um em dire¸caõ ao outro. No instante em que normais de temperatura e press˜ ao é a mais conhecida de todas: eles se superp˜ oem, pode-se dizer que: a) ocorrerá interferência destrutiva vsom = 343 m/s = 1234 km/h b) a amplitude observada ser´ a 70 cm c) ocorrerá interferência destrutiva A velocidade do som foi ultrapassada por um avi˜ ao h´ a muid) a amplitude resultante dever´ a estar no intervalo tos anos atr´ as, quando quebrou-se a chamada “barreira do

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som”pela primeira vez. Mas, somente em outubro de 1997, ela foi ultrapassada por um autom´ ovel. Vejamos a velocidade do som em alguns meios materiais: Meio ar hidrogênio oxigênio agua pura ´ chumbo alum´ınio cobre ferro granito borracha

Temperatura (◦ C) 0 0 0 15 20 20 20 20 0 0

Velocidade (m/s) 331,4 1.286 317,2 1.450 1.230 5.100 3.560 5.130 6.000 54

Pense um Pouco!

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Exerc´ıcios Complementares 4. O ditado popular de que “as paredes tem ouvidos”está relacionado diretamente com o fenˆ omeno ondulat´ orio chamado: a) ressonância b) reflex˜ ao c) difra¸caõ d) absor¸caõ e) n. d. a. 5. Uma onda sonora no ar possui um comprimento de onda de 1/2 m e velocidade de 330 m/s. Ao passar para um meio onde sua velocidade triplica, qual o seu novo comprimento de onda? a) 2/3 m b) 3/2 m c) 1/2 m d) 1/6 m e) n. d. a.

• Porque n˜ ao escutamos o som que os morcegos emitem para 6. Uma certa espécie de morcego utiliza ultra-sons de “enxergar”? 33.000 Hz para localizar insetos e se orientar no seu vôo noturno. Sendo a velocidade do som no ar igual a 330 m/s, • Porque os ´ındios norte-americanos colocavam o ouvido no pode-se afirmar que: ch˜ ao? a) ele usa ondas com 0, 1 m de comprimento b) ele usa ondas com 0, 1 cm de comprimento • Ao observarmos um pedreiro de longe, martelando algo, c) ele usa ondas com 100 mm de comprimento percebemos que sua imagem n˜ ao est´ a sincronizada com os d) ele usa ondas com 1, 0 cm de comprimento sons que ele produz (com as marteladas). Por quê? e) n. d. a.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Ao observar uma grande explos˜ ao em uma pedreira, de longe, uma pessoa percebe, nessa ordem: a) a luz - o ru´ıdo - as oscila¸co˜es do ch˜ ao b) o ru´ıdo - a luz - as oscila¸co˜es do ch˜ ao c) as oscila¸co˜es do ch˜ ao - o ru´ıdo - a luz d) as oscila¸co˜es do ch˜ ao - a luz - o ru´ıdo e) a luz - as oscila¸co˜es do ch˜ ao - o ru´ıdo 2. Um método antigo de se determinar a profundidade de um po¸co fundo e escuro é soltar-se uma pedra na sua boca, disparar-se um rel´ ogio (ou cronˆ ometro) e medir-se o intervalo de tempo até que se ou¸ca o barulho. Sendo vsom a velocidade do som no ar, h a profundidade do po¸co e g a acelera¸caõ da gravidade, o intervalo de tempo medido no rel´ ogio ser´ a: a) ∆t = 2h/v √ som b) ∆t = p2gh + h/vsom c) ∆t = p 2h/g + h/vsom d) ∆t = 2h/g e) n. d. a.

Ondas

Aula 5

Efeito Doppler Qualidades Fisiol´ ogicas do Som A todo instante distinguimos os mais diferentes sons. Essa diferen¸cas que nossos ouvidos percebem se devem às qualidades fisiol´ ogicas do som: altura, intensidade e timbre. Altura

Mesmo sem conhecer m´ usica, é fácil distinguir o som agudo (ou fino) de um violino, do som grave (ou grosso) de um violoncelo. Essa qualidade que permite distinguir um som grave de um som agudo se chama altura. Assim, costuma-se dizer que o som do violino é alto e o do violoncelo é baixo. A altura de um som depende da freq¨ uˆ encia, isto é, do n´ umero de vibra¸ c o ˜ es por segundo. Quanto maior a freq¨ u ˆ e ncia mais 3. Um método popular para determinar-se a que distância agudo ´ e o som e vice-versa. x, em kilômetros, caiu um raio é, observar-se o relˆ ampago e uência depende do comprimento do corpo medir-se o tempo t em segundos, que temos de esperar para Por sua vez, a freq¨ que vibra e de sua elasticidade. Quanto maior a tens˜ ao ouvimos o estrondo. Pode-se afirmar que: (tra¸caõ) e mais curta for uma corda de viol˜ ao, por exemplo, a) x ≈ t/2 mais agudo vai ser´ a o som por ela emitido. b) x ≈ t/3 Você pode constatar também a diferen¸ca de freq¨ uências usando c) x ≈ t/4 um pente que tenha dentes finos e grossos. Passando os dentes d) x ≈ t/5 do pente na bosta de um cartão você ouvir´ a dois tipos de som e) n. d. a.

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Ondas – Aula 5 emitidos pelo cartão: o som agudo, produzido pelos dentes finos (maior freq¨ uência), e o som grave, produzido pelos dentes mais grossos (menor freq¨ uência).

Fonte Sonora em repouso

Intensidade ´ a qualidade que permite distinguir um som forte (intenso) E de um som fraco (suave). A intensidade depende da amplitude de vibra¸caõ: quanto maior a amplitude mais forte é o som e vice-versa. Quanto mais energia pudermos captar de uma onda sonora, com mais intensidade ela ser´ a percebida. Por exemplo, quando o médico vai ouvir o cora¸caõ de um paciente, ele precisa concentrar mais energia para aumentar a intensidade do som a ser ouvido, e por isso ele usa aquele famoso aparelho que capta e canaliza o som direto para o seu ouvido. Na prática n˜ ao interessa aos nossos ouvidos diretamente a intensidade intensidade de uma onda sonora, mas sim o n´ıvel sonoro, uma grandeza relacionada ` a intensidade sonora e à forma como o nosso ouvido reage a essa intensidade. Essas unidades s˜ ao o bel e o seu subm´ ultiplo o decibel (dB), que vale 1 décimo do bel. O ouvido humano é capaz de suportar sons de até 120 dB, como num show de rock, por exemplo. O ru´ıdo produzido por um motor de avi˜ ao à jato a poucos metros do observador produz um som de cerca de 140 dB, e é capaz de causar est´ımulos dolorosos ao ouvido humano. A agita¸caõ das grandes cidades provocam a chamada polui¸caõ sonora composta dos mais variados ru´ıdos: motores e buzinas de autom´ oveis, martelos de ar comprimido, r´ adios, televisores e etc. J´ a foi comprovado que uma exposi¸caõ prolongada a n´ıveis maiores que 80 dB pode causar dano permanente ao ouvido. A intensidade de uma onda sonora diminui ` a medida que o som se propaga ou seja, quanto mais distante da fonte, menos intenso é o som. Timbre Imagine a seguinte situa¸caõ: um ouvinte que n˜ ao entende de m´ usica est´ a numa sala, ao lado da qual existe outra sala onde se encontram um piano e um violino. Se uma pessoa tocar a nota d´ o no piano e logo a seguir outra pessoa tocar a mesma nota d´ o no violino, ambas com a mesma “for¸ca”, os dois sons ter˜ ao a mesma altura (freq¨ uência) e a mesma intensidade. Mesmo sem ver os instrumentos, o ouvinte da outra sala saber´ a distinguir facilmente um som de outro, porque cada instrumento tem seu som caracterizado, ou seja, seu timbre. Podemos afirmar, portanto, que timbre é a qualidade que nos permite perceber a diferen¸ca entre dois sons de mesma altura e intensidade produzidos por fontes sonoras diferentes.

Efeito Doppler

Observador em repouso

Figura 1.1: Fonte e observador em repouso: n˜ ao h´ a efeito Doppler. onda, e possui o nome do cientista austr´ıaco Christian Doppler (1803-1853) que o descobriu. Ele descobriu que a freq¨ uência com que uma onda é percebida depende também do movimento relativo da fonte sonora e do observador, o que pode ocasionar uma mudan¸ca significativa entre a freq¨ uência emitida e a percebida por um detector ou pessoa. Por exemplo, numa corrida de fórmula I, quando um carro passa por n´ os, percebe-se claramente que o som passa de agudo (carro se aproximando de n´ os) à grave (se afastando de n´ os). Qualquer crian¸ca sabe disso, e quando brinca de carrinho imita o famoso som da fórmula I: “uuóoóó´mmmm”. Eis o efeito Doppler! Observador em Movimento Suponha que uma fonte estacion´ aria est´ a gerando ondas sonoras com freq¨ uência f0 = 240Hz e comprimento de onda ario a uma certa distância λ0 = fv0 . Um observador estacion´ da fonte ouvir´ a um som com freq¨ uência f0 = 240 Hz, e 240 vezes por segundo seu t´ımpano ser´ a empurrado e puxado, para dentro e para fora, à medida que os máximos e m´ınimos da press˜ ao alcan¸cam o ouvido. O per´ıodo de tempo entre dois 1 s. máximos consecutivos é T = f10 = 240 Suponha que o observador suba em uma motocicleta e dirija no sentido oposto ao da fonte. Suponha que no tempo t1 um máximo de press˜ ao alcan¸ca o seu ouvido na posi¸caõ x. O próximo máximo estar´ a na posi¸caõ x no tempo t1 + T . Mas, o ouvido n˜ ao estar´ a mais nesta posi¸caõ. O observador se moveu. O máximo tem que percorrer uma distância extra antes de alcan¸car o ouvido. Esta distância extra toma um tempo extra ∆t. O intervalo de tempo entre máximos sucessivos que alcan¸ca o ouvido do observador é agora T + ∆t. O per´ıodo aumentou, a freq¨ uência aparente da onda diminui. Este é um exemplo do efeito Doppler. Se o observador estiver dirigindo no sentido da fonte, o intervalo de tempo entre os máximos alcan¸cando o ouvido ser´ a mais curto que T. Suponha que no tempo t1 um máximo de press˜ ao alcance o ouvido na posi¸caõ x. O próximo máximo chegará na posi¸caõ x no tempo t1 + T . Mas, ele chegará ao ouvido antes de ele alcan¸car a posi¸caõ x, já que o observador se move no sentido da fonte. A freq¨ uência aparente do som que alcan¸ca o observador é

Na figura abaixo os anéis simbolizam os máximos da onda sonora. O intervalo de tempo entre as emiss˜ oes sucessivas é T , o per´ıodo da onda. Quanto maior o c´ırculo, mais tempo faz que a emiss˜ ao foi feita. Todos os c´ırculos expandem com a mesma v + v0 velocidade. Se um observador estiver estacion´ ario, ent˜ ao o f = f0 v intervalo de tempo entre a chegada dos c´ırculos sucessivos ao ouvido é T . onde v é a velocidade do som, e v0 é a componente da veloO efeito Doppler é um fenˆ omeno observado com todo o tipo de cidade do observador na dire¸caõ da fonte (v0 é negativo se o

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observador estiver se movendo para longe da fonte). Normalmente n˜ ao observamos o efeito Doppler quando nos movemos a pé, já que a velocidade do som é muito maior do que a nossa. Mas, movendo-se em uma motocicleta a 90 km/h = 25 m/s na dire¸caõ de uma fonte, temos que f = f0

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Fonte Sonora se afastando do observador

340 + 25 = 1, 07 · f0 340

Movendo-se para longe da fonte d´ a f = f0

340 − 25 = 0, 93 · f0 340


Quando passa pela fonte, o motoqueiro observa ent˜ ao uma va- Figura 1.3: Fonte se afastando do observador em repouso: f < ria¸caõ de freq¨ uência da ordem de 0, 14 · f0 , ou seja, de 14%, f0 . uma varia¸caõ razoável e bem percept´ıvel. S´ o para compara¸caõ, as teclas vizinhas de um piano geram sons com aproximadamente 6% de diferen¸ca na freq¨ uência – os chamados intervalos Pense um Pouco! de semi-tom. Um tom completo sendo ent˜ ao de cerca de 12%, • O que um bom violonista faz para produzir sons de difepor exemplo, a distância de d´ o até ré. rentes intensidades, timbres e alturas? Fonte em Movimento A freq¨ uência observada de uma onda sonora também varia se o observador estiver se movendo. A freq¨ uência aparente neste caso é dada por f = f0

• Se as ondas sonoras se propagam no ar, ent˜ ao o vento pode carregá-las e distorcê-las? Explique.


v v − vs

1. Um trem apita com freq¨ uência de 400 Hz. Você é um observador estacion´ ario e ouve o apito, mas o ouve com freq¨ uência onde vs é a componente da velocidade da fonte na dire¸caõ do de 440 Hz. observador (vs é negativo se a fonte se mover para longe do a) Qual é a velocidade do trem? observador). b) Ele se aproxima ou se afasta de você? Nesta figura a fonte est´ a se movendo para o observador. O c) Qual a varia¸caõ percentual no comprimento de onda que centro de cada c´ırculo est´ a na posi¸caõ da fonte no momento você percebe, em rela¸caõ ao som emitido pelo trem? em que ela emite o máximo. Como a fonte est´ a se movendo para a direita, o centro dos c´ırculos sucessivos move-se para 2. O efeito Doppler est´ a relacionado com: a direita. Se o observador estiver parado, ent˜ ao o intervalo a) a intensidade do som de tempo entre a chegada dos c´ırculos sucessivos ao ouvido é b) a altera¸caõ da freq¨ uência do som menor do que T , e portanto, ele percebe f > f0 . c) o n´ıvel sonoro d) o timbre do som e) n. d. a. Fonte Sonora se aproximando do observador


Figura 1.2: Fonte se aproximando do observador em repouso: f > f0 . Nesta figura a fonte est´ a movendo-se para longe do observador. Como a fonte move-se para a esquerda, o centro dos c´ırculos sucessivos move-se para a esquerda. Se o observador est´ a estacion´ ario, ent˜ ao o intervalo de tempo ente a chegada dos c´ırculos sucessivos é maior do que T , ou seja, f <0 .

3. Um apito para c˜ aes emitem um som de 25 kHz, e é inaud´ıvel para n´ os, pois s´ o percebemos sons de até 20 kHz. a) Seria poss´ıvel testar se um tal apito est´ a funcionando, utilizando o efeito Doppler? Explique. b) Fa¸ca os c´ alculos necess´ arios e verifique se isto é vi´ avel/poss´ıvel.

Exerc´ıcios Complementares 4. Se dois carros andam numa auto estrada reta, com a mesma velocidade, um logo atr´ as do outro por um certo tempo, e o de trás aciona a buzina freq¨ uência f0 , podemos afirmar que, o motorista do carro da frente: a) escuta um som mais agudo ainda b) escuta um som mais grave ainda c) ambos escutam a mesma freq¨ uência f0 d) ninguém escuta nada e) n. d. a.

Ondas – Aula 5 5. Uma avi˜ ao se move com velocidade igual a 1/4 da velocidade do som, passando numa demonstra¸caõ sobre uma cidade num vôo rasante. Um observador parado no ch˜ ao perceberá, na freq¨ uência dos sons emitidos pelo avi˜ ao que se aproxima: a) Um aumento de cerca de 25% b) Uma redu¸caõ de cerca de 25% c) Um aumento de cerca de 33% d) Uma redu¸caõ de cerca de 33% e) n. d. a. 6. Um avi˜ ao militar desgovernado, voa em dire¸caõ a um pared˜ ao vertical de pedra que est´ a` a sua frente, em rota de colis˜ ao frontal. O piloto percebe que o som emitido pelo avi˜ ao e refletido no rochedo tem a sua freq¨ uência aumentada em 50%. Qual a velocidade do avi˜ ao? a) 1/2 da velocidade do som no ar b) 1/3 da velocidade do som no ar c) 1/4 da velocidade do som no ar d) 1/5 da velocidade do som no ar e) n. d. a.

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78


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ˆmica – Aula 1 Termodina

Termodinˆ amica

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Aula 1

Termodinˆ amica A Termodinâmica é a parte da F´ısica Cl´ assica que estuda os sistemas térmicos, os processos de transforma¸co˜es f´ısicas que ocorrem em tais sistemas, bem como as trocas de energia, calor e o trabalho mecˆ anico.

Temperatura Temperatura e calor s˜ ao grandezas b´ asicas no estudo da termof´ısica e tanto a sua compreens˜ ao como a sua perfeita distin¸caõ s˜ ao de importˆ ancia vital para o entendimento de toda a termof´ısica. De maneira simplificada pode-se definir que temperatura como uma grandeza que permite avaliar o n´ıvel de agita¸caõ das moléculas de um corpo. De acordo com a teoria cinética dos gases, as moléculas de um g´ as movem-se livre e desordenadamente em seu interior, separadas umas das outras, e apenas interagindo entre si durante colis˜ oes eventuais. A medida que se aquece o g´ as, a velocidade com que suas moléculas se movem aumenta, caracterizando um aumento na energia cinética dessas moléculas, da mesma forma um resfriamento do g´ as provoca a diminui¸caõ da velocidade e da energia cinética de suas moléculas. Como a velocidade e conseq¨ uentemente a energia cinética de cada ´ atomo que constitui uma molécula n˜ ao é a mesma, o estado térmico de um corpo é avaliado pela energia cinética média de seus ´ atomos: quanto maior for a energia cinética média das part´ıculas que compõem um corpo, maior ser´ a a sua temperatura.

Calor Colocando dois corpos de temperaturas diferentes em contato térmico, observamos o mais quente esfriar e o mais frio esquentar. O corpo mais quente perde calor e o corpo mais frio ganha calor. Os corpo trocar˜ ao calor até a atingirem a mesma temperatura, neste caso estar˜ ao em equil´ıbrio térmico. Essa é a chamada lei zero da Termodinˆ amica. Portanto o calor é a energia em trˆ ansito do corpo mais quente para o corpo mais frio por causa da diferen¸ca de temperatura dos corpos em contato térmico. Ent˜ ao, a unidade de medida de calor é a mesma unidade de energia. No Sistema Internacional, a unidade de energia é o joule ou J, e na Qu´ımica se usa a caloria ou cal. A equivalência entre as unidades é:

corresponde a um valor de temperatura. A parede da haste é graduada convenientemente, para indicar a temperatura correspondente a cada comprimento da coluna de merc´ urio. As escalas termométricas mais importantes s˜ ao a Célsius, a Fahrenheit e a Kelvin, e s˜ ao atribu´ıdos aos pontos fixos (ponto de fusão PF e ponto de ebuli¸caõ da água PE ), os valores abaixo:

o

Ebulicao da Agua

212 F

Fusao do Gelo

32 F

100 oC

373 K

o

273 K

o

TF

Zero Absoluto

0 C T

TC

o

−459 F

Fahrenheit

o

−273 C

Celsius

0K

Kelvin

Figura 1.1: Os pontos de referência nas diferentes escalas.

Convers˜ ao de Temperaturas Embora usualmente se empregue o grau célsius (◦ C) como unidade prática de temperatura, a convers˜ ao entre escalas é muito importante, pois o kelvin é a unidade de temperatura do SI, e o grau Fahrenheit (◦ F ) ainda é bastante utilizado em livros e filmes de l´ıngua inglesa. A rela¸caõ entre as escalas termométricas pode ser obtida facilmente através de propor¸co˜es matemáticas. Imagine-se três termˆ ometros de constru¸caõ idêntica, cada um graduado em uma das escalas (Célsius , Fahrenheit e Kelvin), em equil´ıbrio térmico com um mesmo corpo. Obviamente, os três termˆ ometros estar˜ ao indicando o mesmo estado térmico e, portanto, apresentar˜ ao as colunas de merc´ urio no mesmo n´ıvel. Observando-se os pontos fixos já definidos para cada escala, e chamando de TC ,TF e T , as temperaturas do corpo nas escalas Célsius, Fahrenheit e Kelvin, respectivamente, podem-se estabelecer as propor¸co˜es: TF − 32 ◦ F T − 273 K TC − 0 ◦ C = = 100 ◦ C − 0 ◦ C 212 ◦ F − 32 ◦ F 373 K − 273 K

1 cal = 4, 186 J logo:

Escalas Termom´ etricas Dentre os diversos tipos, estudaremos as escalas termométricas a partir do termˆ ometro de merc´ urio, o mais simples e comum. ´ constitu´ıdo de uma haste oca de vidro, ligada a um bulbo E contendo merc´ urio. Ao ser colocado em contato com um corpo ou ambiente cuja temperatura se quer medir, o merc´ urio se dilata ou contrai, de forma que cada comprimento de sua coluna

TC TF − 32 ◦ F T − 273 K = = 5 ◦C 9 ◦F 5K Observe que ambas as escalas Célsius e Kelvin s˜ ao cent´ıgradas, pois o intervalo e calibra¸caõ (do ponto de fusão do gelo ao de ebuli¸caõ da água) é dividido em 100 graus, ou 100 partes. Na escala Fahrenheit, este intervalo é subdividido em 180 partes (graus frahrenheit).

80


Intervalos de Temperatura Converter temperaturas de uma escala para a outra n˜ ao é o mesmo que converter intervalos de temperatura entre as escalas. Exemplo, um intervalo de temperatura de 10 ◦ C corresponde, na escala absoluta (ou Kelvin) a um intervalo de 10 K, e na escala Fahrenheit, o intervalo correspondente ser´ a de 18 ◦ F , pois para cada grau célsius, temos 1,8 grau fahrenheit. A menor temperatura que existe na natureza é o chamado zero absoluto ou seja, 0 K. Por isso a escala Kelvin é dita absoluta. Nas outras escalas, os zeros foram escolhidos arbitrariamente, n˜ ao levando em conta a possibilidade de haver uma menor temperatura poss´ıvel na natureza, o que s´ o foi descoberto depois da cria¸caõ das primeiras escalas térmicas.

Pense um Pouco!

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afirmar que a u ´ nica temperatura que esse termˆ ometro assinala corretamente, em graus Célsius é: a) 12 b) 49 c) 75 d) 25 e) 64 5. (CENTET-BA) Num termˆ ometro de escala X, 20 ◦ X cor◦ respondem a 25 C, da escala Célsius, e 40 ◦ X correspondem a 122 ◦ F , na escala Fahrenheit. Esse termˆ ometro apresentar´ a, para a fusão do gelo e a ebuli¸caõ da água, os respectivos valores, em ◦ X: a) 0 e 60 b) 0 e 80 c) 20 e 60 d) 20 e 80 e) 60 e 80

• Qual a temperatura normal do corpo humano, em ◦ F ?

6. (PUC) Uma revista cient´ıfica publicou certa vez um artigo sobre o planeta Plut˜ ao que, entre outras informa¸co˜es, dizia • A temperatura ideal da cerveja é em torno de 4 C, antes “...sua temperatura atinge −380 ◦ ...”. Embora o autor n˜ ao de beber. Se dispomos apenas de um termˆ ometro com es- especificasse a escala termométrica utilizada, certamente se cala Kelvin, qual a temperatura absoluta correspondente refere à escala: ao mesmo estado térmico da cerveja ideal? a) Kelvin b) Célsius c) Fahrenheit Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao d) Kelvin ou Célsius e) Fahrenheit ou Célsius 1. Ao tomar a temperatura de um paciente, um médico s´ o dispunha de um termˆ ometro graduado na escala Fahrenheit. Se o paciente estava com febre de 42 ◦ C, a leitura feita pelo médico no termˆ ometro por ele utilizado foi de : a) 104 ◦ F b) 107, 6 ◦ F c) 72 ◦ F d) 40 ◦ F e) 106, 2 ◦ F ◦

Termodinˆ amica

Aula 2

Dilata¸c˜ ao T´ ermica

2. (URCAMP-SP) No interior de um forno, um termˆ ometro Célsius marca 120◦C. Um termˆ ometro Fahrenheit e um Kelvin marcariam na mesma situa¸caõ, respectivamente: a) 248 ◦ F e 393 K b) 198 ◦ F e 153 K c) 298 ◦ F e 153 K d) 393 ◦ F e 298 K e) nenhuma resposta é correta 3. (ACAFE) Uma determinada quantidade de ´ agua est´ a a uma temperatura de 55 ◦ C. Essa temperatura corresponde a: a) 55 ◦ F b) 328 ◦ F c) 459 ◦ K d) 131 ◦ F e) 383 ◦ K

Quando aquecemos um s´ olido, geralmente suas dimensões aumentam. Quando esfriamos, geralmente suas dimensões diminuem. A esse aumento e a essa diminui¸caõ de dimensões de um s´ olido, devido ao aquecimento ou ao resfriamento, chamamos de dilata¸ca õ térmica. Para os s´ olidos, temos três tipos de dilata¸caõ: • Dilata¸caõ linear (ou unidimensional) • Dilata¸caõ superficial (ou bidimensional) • Dilata¸caõ volumétrica (ou tridimensional)

Dilata¸c˜ ao Linear

Para observarmos a dilata¸caõ de um s´ olido, imaginemos uma barra de comprimento inicial L0 na temperatura inicial T0 , que passa a ter o comprimento final L quando aquecida a tempe4. (UEL) Um termˆ ometro foi graduado, em graus Célsius, ratura final T , sofrendo um aumento de comprimento: incorretamente. Ele assinala 1 ◦ C para o gelo em fusão e ∆L = L − L0 97 ◦ C para a água em ebuli¸caõ, sob press˜ ao normal. Pode-se



81 do l´ıquido, o que n˜ ao tem significado. Neste caso estuda-se apenas a dilata¸caõ c´ ubica. Para tanto, usamos a mesma rela¸caõ definida para os s´ olidos, já que a lei é a mesma para ambos:

L0 T0 L T > T0

V = V0 (1 + γ∆T )

∆L

Os l´ıquidos s´ o podem ser estudados dentro de recipientes ´ pois, imposs´ıvel estudar dilata¸caõ dos l´ıquidos sem olidos. E Verifica-se experimentalmente que ∆L é proporcional ao com- s´ primento inicial L0 e a varia¸caõ de temperatura ∆T , podendo considerar a dilata¸caõ dos recipientes que os contém. Isso implica dois tipos de dilata¸caõ para um l´ıquido; uma dilata¸ca õ se expressar essa rela¸caõ por: real, que depende apenas do l´ıquido, e a outra aparente, que ∆L = αL0 ∆T leva em conta a dilata¸caõ do frasco que o contém. Assim consideremos um recipiente totalmente cheio de um em que α é um coeficiente de proporcionalidade caracter´ıstico l´ıquido, numa temperatura inicial T0 . Ao levarmos o condo material que constitui a barra, chamado de coeficiente dijunto (l´ıquido mais frasco) para uma temperatura final T , com lata¸ca õ linear. T > T0 , notamos que ocorre um extravasamento parcial do Assim, o comprimento final da barra ser´ a l´ıquido. O volume extravasado fornece a dilata¸caõ aparente ∆Vap. do l´ıquido, pois como o frasco também dilatou, o voL = L0 + ∆L = L0 (1 + α∆T ) lume que esta no interior do frasco no final é maior que no in´ıcio. Portanto a dilata¸caõ real do l´ıquido é a soma da sua Dilata¸c˜ ao Superficial e Volum´ etrica dilata¸caõ aparente e a do frasco: Para essas dilata¸co˜es, valem considera¸co˜es an´ alogas às vistas na dilata¸caõ linear, ou seja:

∆Vreal = ∆Vaparente + ∆Vf rasco como ∆V = V0 γ∆T ent˜ ao

∆A = βA0 ∆T

V0 γr ∆T = V0 γa ∆T + V0 γf ∆T

e ∆V = γV0 ∆T

logo

onde β é o coeficiente de dilata¸ca õ superficial e γ é o coeficiente de dilata¸ca õ volumétrica. ∆L

γr = γa + γf Ent˜ ao, devemos observar que a dilata¸caõ do l´ıquido compensou a dilata¸caõ do frasco e ainda nos forneceu a dilata¸caõ aparente.

L0

´ Dilata¸ c˜ ao Anˆ omala da Agua

antes de aquecer 2

A0=L0 e depois

A água possui um comportamento anˆ omalo em sua dilata¸caõ. ◦ A 4 C o volume da ´ a gua ´ e m´ ınimo e a sua densidade é A = L = A + ∆A 2 2 m´ a xima. Isto ocorre devido ao fortalecimento das pontes de A = L + 2L ∆L + (∆L) ◦ hidrogˆ e nio, abaixo de 4 C, quando as mol´ e culas de H2 O L e como come¸ c am a se reorganizar para a forma¸ c a ˜ o dos cristais de gelo, ∆ L = α L ∆T temos que onde ir˜ ao ocupar um volume maior do que no estado l´ıquido. 2 2 2 2 2 A = L + 2α L ∆T +α L (∆ T) Esse comportamento da água explica por que num lago, e finalmente quando a temperatura cai a valores extremamente baixos, a 2 2 2 A = L [1 + 2 α ∆ T + α (∆ T) ] água se solidifica apenas na superf´ıcie. Isto ocorre porque até 4 ◦ C, no resfriamento, a água da superf´ıcie torna-se mais densa A = A (1 + 2 α∆ T) e ∆ A = A 2α∆ T e afunda, subindo a água mais quente do fundo que é menos ∆L densa. Ao atingir uma temperatura abaixo de 4 ◦ C, a água da superf´ıcie se expande, diminuindo a sua densidade, assim essa água fria n˜ ao desce mais e ao atingir 0 ◦ C se solidifica. ◦ Pode-se mostrar que estes novos coeficientes β e γ podem ser No fundo fica água mais quente, numa temperatura de 4 C. ´ escritos em fun¸caõ do coeficiente de dilata¸caõ linear α como: E isto que preserva a vida animal e vegetal existente no fundo do lago. β = 2α e γ = 3α 2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Dilata¸c˜ ao dos l´ıquidos A dilata¸caõ térmica de um l´ıquido corresponde ao aumento ou a diminui¸caõ de volume desse l´ıquido quando este é aquecido ou resfriado. Ao estudar a dilata¸caõ dos l´ıquidos, já que n˜ ao possuem forma própria, n˜ ao se definem comprimento e área

Pense um Pouco! • Os m´ usicos geralmente deixam para afinar seus instrumentos no local da apresenta¸caõ, a diferen¸ca de temperatura entre o ambiente que est˜ ao , e o local do show, podem desafinar seus instrumentos?

82


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a) 6 × 10−5 b) 5 × 10−5 c) 4 × 10−5 1. (Fuvest) Café fervente é despejado em um copo de vidro. d) 3 × 10−5 O corpo parte-se. Uma poss´ıvel explica¸caõ seria: e) 2 × 10−5 a) A dilata¸caõ das várias partes do copo n˜ ao é uniforme. b) O ponto de fusão do vidro é próximo ao de ebuli¸caõ do café. c) Sendo o vidro transparente, o calor passa através dele com facilidade d) A capacidade Térmica do vidro é menor que a do café e) O calor espec´ıfico do vidro é menor que o do café

Termodinˆ amica

2. (PUC) Um fio de cobre de 100 m sofre aumento de temperatura de 10 ◦ C. O coeficiente de dilata¸caõ linear do cobre é 17 × 10−6 ◦ C −1 . A varia¸caõ do comprimento foi de: a) 17 mm b) 17 m c) 100, 17 m d) 17 cm e) 1, 7 m

Aula 3

Transforma¸c˜ oes Gasosas Considera¸c˜ oes iniciais

Gás Perfeito (ou ideal) é um modelo teórico de g´ as que obedece, em seu comportamento, as leis estabelecida por Robert Boyle, Jacques Charles, Joseph Louis Gay-Lussac e Paul Emile Clapeyron. 3. (UNITAU) Um orif´ıcio numa panela de ferro, a 0 ◦ C tem Um Gás real tem seu comportamento tanto mais próximo do 5 cm2 de área. Se o coeficiente de dilata¸caõ linear do ferro é ideal quanto mais elevada for sua temperatura e quanto mais ao. de 1, 2 × 10−5 ◦ C −1 , a ´ area desse orif´ıcio a 300 ◦ C ser´ a, em baixa for sua press˜ cm2 : a) 5,018 Vari´ aveis de estado de um g´ as b) 10,072 Algumas grandezas que definem e caracterizam o estado terc) 4,964 modinˆ amico de uma dada massa de g´ as s˜ ao chamadas vari´ aveis d) 10,036 de estado. S˜ ao por exemplo, a temperatura, a press˜ ao, o voe) 5,036 lume, a energia interna, etc. Destas, as que nos interessam, por enquanto, s˜ ao a temperatura, a press˜ ao e o volume.

Exerc´ıcios Complementares Volume (V ) 4. (UNESP-SP) A dilata¸caõ térmica dos s´ olidos é um fenˆ omeno importante em diversas aplica¸co˜es de engenharia, como constru¸co˜es de pontes, prédios e estradas de ferro. Considere o caso dos trilhos de trem serem de a¸co, cujo coeficiente de dilata¸caõ é 11 × 10−6 ◦ C −1 . Se a 10 ◦ C o comprimento de um trilho é de 30 m, de quanto aumentaria o seu comprimento se a temperatura aumentasse para 40 ◦ C? a) 11 × 10−4 m b) 33 × 10−4 m c) 99 × 10−4 m d) 132 × 10−4 m e) 165 × 10−4 m

Os gases n˜ ao tem volume nem forma próprios. Por defini¸caõ, volume de um g´ as é o volume do recipiente ocupado por ele. As unidades usuais de volume s˜ ao: L (litro), cm3 e m3 .

Press˜ ao (P )

A press˜ ao exercida por um g´ as é devida aos choques das suas part´ıculas contra as paredes do recipiente. As unidades usuais de press˜ ao s˜ ao: N/m2 , P a, atm e mmHg, onde valem as seguintes rela¸co˜es: 1 N/m2 = 1 P a 1 atm = 105 N/m2 5. (UFLA-MG) O tanque de combust´ıvel de um carro de 1 atm = 760 mmHg fórmula 1 tem capacidade de 120 litros e s˜ ao colocados 100 litros de combust´ıvel a 5, 0 ◦ C. Considerando o coeficiente de dilata¸caõ volumétrica do combust´ıvel 1, 2 × 10−3 ◦ C −1 e Temperatura (T ) a varia¸caõ de volume do tanque desprez´ıvel, ent˜ ao a 45 ◦ C o Mede o estado de movimento das part´ıculas do g´ as. Na teoria volume colocado ter´ a um acréscimo, em litros, de: dos gases perfeitos, ´ e usada a temperatura absoluta (escala a) 4,8 litros Kelvin). b) 3,6 litros c) 2,4 litros d) 1,2 litros Transforma¸c˜ oes de um G´ as e) 20,0 litros

6. (MACKENZIE) Uma barra met´ alica, ao variar sua temperatura em 80 ◦ C, sofre um aumento de comprimento de 0,16%. O coeficiente de dilata¸caõ volumétrica do material dessa barra é, em ◦ C −1 :

Dizemos que uma dada massa de g´ as sofre uma transforma¸caõ quando h´ a varia¸caõ de pelo menos uma de suas vari´ aveis de estado. Entre as transforma¸co˜es de um g´ as, devemos destacar as seguintes:


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• Isot´ ermicas: s˜ ao as que ocorrem a temperatura cons- Quando a press˜ ao p é dada em atm, o volume V é dado em tante; litros (L), o n´ umero de moles n é dado em mol, a temperatura T é dada em kelvin, a constante R ser´ a dada por: • Isob´ aricas: s˜ ao as que ocorrem a press˜ ao constante; R = 0, 0831 atm · L/mol · K • Isom´ etricas (ou Isoc´ oricas): s˜ ao as que ocorrem a volume constante. já que a unidade de energia • Adiab´ aticas: s˜ ao as que ocorrem sem troca de calor com o meio externo.

atm · L = (105 N/m2 ) × (10−3 m3 = 100 J , ou seja,

Leis dos Gases As leis f´ısicas dos gases s˜ ao leis de car´ ater experimental que regem as principais transforma¸co˜es gasosas.

Lei de Boyle e Mariotte

1 J = 0, 01 atm · L

Pense um Pouco! • Por que n˜ ao devemos incineram latas de spray vazias? • Por quem um bal˜ ao de g´ as abandonado explode ao subir na atmosfera?

Rege as transforma¸co˜es Isotérmicas e pode ser enunciada assim: “Quando uma dada massa de g´ as perfeito é mantida a tem- Exerc´ ıcios de Aplica¸c˜ ao peratura constante, a press˜ ao é inversamente proporcional ao volume” 1. (UFU-MG) Uma panela de press˜ ao de volume 8, 3 litros ou seja, é dotada de uma válvula de seguran¸ca, cuja abertura ocorre pV = constante quando a press˜ ao interna ultrapassa 20 atm. Se no recipiente existem 5, 0 mol de um g´ as perfeito, qual a máxima tempeLei de Gay -Lussac ratura poss´ıvel, em graus Celsius, para que o g´ as n˜ ao escape pela válvula? Rege as transforma¸co˜es Isob´ aricas e pode ser enunciada assim: a) 200 “Quando uma dada massa de g´ as perfeito é mantida a press˜ ao b) 300 constante, o volume é diretamente proporcional a temperatura c) 400 absoluta” d) 500 e) 600 ou seja, V = constante × T 2. (MACKENZIE) Um pesquisador transferiu uma massa de g´ as perfeito a temperatura de 27 ◦ C para outro recipiente de volume 20% maior. Para que a press˜ ao do g´ as nesse novo Lei de Charles recipiente seja igual a inicial, o pesquisador teve de aquecer o Rege as transforma¸co˜es Isométricas e pode ser enunciada as- g´ as de: sim: a) 60 ◦ C “Quando uma dada massa de g´ as perfeito é mantida a volume b) 50 ◦ C constante, a press˜ ao é diretamente proporcional a temperatura c) 40 ◦ C absoluta” d) 30 ◦ C e) 20 ◦ C ou seja, p = constante × T 3. (USC-BA) Certa massa de uma g´ as ocupa o volume de

Equa¸ c˜ ao de Clapeyron Das leis de Boyle e Mariotte e de Charles, observamos que a press˜ ao exercida por um g´ as perfeito é inversamente proporcional ao seu volume e diretamente proporcional a sua tempe´ fácil observar também que essa press˜ ratura absoluta. E ao é proporcional ao n´ umero de part´ıculas de g´ as existente no recipiente. Convertendo esse n´ umero de part´ıculas em n´ umero de moles (n) , podemos equacionar tudo isso, obtendo a seguinte rela¸caõ: pV = nRT

100 L sob press˜ ao de 3, 0 atm e temperatura de 27 ◦ C. A constante universal dos gases perfeitos vale R = 0, 0831 atm · L/mol · ◦ C. A massa do g´ as, sabendo que a sua molécula grama é de 27, 7 g, é: a) 111, 1 g b) 222, 2 g c) 333, 3 g d) 444, 4 g e) 555, 5 g


onde R é uma constante de proporcionalidade, igual para todos os gases, denominada constante universal dos gases perfeitos e 4. (CESGRANRIO) No SI, a constante universal dos gases no SI temos perfeitos é expressa em: R = 8, 31 J/mol · K a) (l · atm)/(K · mol)

84


b) cal/(g · ◦ C) c) J/(kg · K) d) J/(mol · K) e) J/kg 5. (FUVEST) Certa massa de um g´ as ideal sofre uma transforma¸caõ na qual a sua press˜ ao é triplicada e seu volume é reduzido a metade. A temperatura absoluta final do g´ as ser´ a: a) 1/3 do seu valor inicial b) 2/3 do seu valor inicial c) 3/2 do seu valor inicial d) 2 vezes o seu valor inicial e) 3 do seu valor inicial

—


e para o N H3 : 3N átomos de H. A experiência confirma este resultado pois, enquanto se recolhe uma massa m de hidrogênio na decomposi¸caõ do HCl, verificase que uma massa 2m é recolhida na decomposi¸caõ do H2 O e uma massa 3m na decomposi¸caõ do N H3 .

O N´ umero de Avogrado (NA )

Uma vez conhecida a lei de Avogrado, precisamos medir qual é o n´ umero de moléculas que existe em uma dada massa do g´ as. Suponha, por exemplo, que se tome 1 mol de vários gases diferentes (2 g de H2 , 32 g de O2 , 28 g de N2 , etc...). De seus conhecimentos de qu´ımica, você já deve saber que o n´ umero 6. (PUC) Uma amostra com 5, 0 mol de um g´ as perfeito est´ a de moléculas, em cada uma dessas amostras, é o mesmo. Este num recipiente de volume constante 8, 3 L. Se o g´ as se encontra n´ umero é denominado N´ umero de Avogrado e é representado numa temperatura de 127 ◦ C, podemos afirmar que a press˜ ao por N . A a que o g´ as est´ a submetido ser´ a aproximadamente : O cientista Perrin, no in´ıcio do século, realizou uma série de exa) 40 atm periências, procurando determinar o valor de NA , concluindo b) 12 atm que este valor estaria compreendido entre 6, 5×1023 e 7, 2×1023 c) 18 atm moléculas em cada mol. Por esta medida, Perrin recebeu o d) 20 atm Prêmio Nobel de F´ısica, em 1926. Posteriormente, medidas e) 24 atm mais precisas mostraram que o valor NA é mais próximo de

Termodinˆ amica

Aula 4

NA = 6, 02 × 1023 moléculas/mol

Densidade e Massa Molecular Lei de Avogrado Até o in´ıcio do século passado, os cientistas j´ a haviam adquirido uma razoável quantidade de informa¸co˜es sobre as rea¸co˜es qu´ımicas observadas entre gases. O cientista italiano Amedeo Avogrado, baseando-se nestas informa¸co˜es e em resultados de experiências realizadas por ele próprio, formulou em 1811 uma hipótese muito importante, relacionando o n´ umero de moléculas existentes em duas amostras gasosas. Segundo Avogrado, se tomarmos dois recipientes, de mesmo volume, contendo gases diferentes, ambos a mesma temperatura e press˜ ao, o n´ umero de mol´ eculas contidas em cada recipiente deveria ser o mesmo. Posteriormente, um grande n´ umero de confirma¸co˜es experimentais desta afirmativa fizeram com que ela passasse a ser conhecida como a lei de Avogrado: Volumes iguais, de gases diferentes, ` a mesma temperatura e press˜ ao, contem o mesmo n´ umero de mol´ eculas.

Confirma¸c˜ oes Experimentais A lei de Avogrado é amplamente confirmada pela experiência. Uma das verifica¸co˜es desta lei pode ser feita quando analisamos, no laboratório, a decomposi¸caõ de alguns gases. Tomemos, por exemplo, volumes iguais de HCl, H2 O e N H3 , sob a forma gasosa, a mesma press˜ ao e temperatura. De acordo com a Lei de Avogrado, as três amostras dos gases considerados devem Ter o mesmo n´ umero N de moléculas. Decompondo estes gases e recolhendo o hidrogênio liberado em cada amostra, dever´ıamos, ent˜ ao, obter: Para o HCl: N átomos de H para o H2 O: 2N átomos de H

Define-se a densidade ρ volum’etrica de uma amostra de volume V e massa m de qualquer substância homogênea como ρ=

m V

e a unidade SI da densidade é o kg/m3 . Tomemos duas amostras gasosas A e B, ambas ocupando o mesmo volume, a mesma press˜ ao e temperatura. Pela lei de Avogrado, sabemos que estas amostras contem o mesmo n´ umero de moléculas. Supondo que a massa molecular de A, MA , seja o dobro da massa molecular de B, MB , evidentemente a massa da amostra A, mA , também ser´ a o dobro da massa sa amostra B, mB . Mas, como as amostras tem volumes iguais, concluimos que a densidade de A, ρA , ser´ a o dobro da densidade de B, ρB . Do mesmo modo, se tivéssemos MA = 3MB , ter´ıamos, também, ρA = 3ρB . Ent˜ ao, podemos concluir que MA ρA = ρB MB isto é, a densidade de um g´ as é diretamente proporcional a sua massa molecular.

Pense um Pouco! • Escreva o n´ umero de avogadro por extenso, com os seus 23 zeros, e observe como ele é enorme! • Quando um g´ as é comprimido, o que aontece com a sua densidade? • O que aconteceria com a hipótese de Avogrado em condi¸co˜es que n˜ ao fossem as CNTP?


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b) 6, 02 × 1023 moléculas c) 2, 0 × 1024 moléculas d) 3, 0 × 1024 moléculas 1. (UFSE) Constata-se experimentalmente que, nas mesmas e) 4, 0 × 1024 moléculas condi¸co˜es de temperatura e press˜ ao, 3 volumes de hidrogênio reagem com um volume de ozônio, produzindo 3 volumes de vapor de água. Essa informa¸caõ nos permite deduzir - a partir da Lei de Avogrado - que o n´ umero de ´ atomos na molécula de ozônio é igual a: a) 2 b) 3 c) 4 Modelo Molecular de um G´ as d) 5 e) 6 As leis que descrevem o comportamento dos gases, foram ob2. (UCS-BA) Sob as mesmas condi¸co˜es de temperatura e tidas experimentalmente. Vamos agora tentar relacionar estas press˜ ao, o volume de qualquer g´ as é diretamente proporcional leis com o comportamento das part´ıculas que constituem o gás, ao seu n´ umero de moléculas. Essa é uma forma de enunciar a isto é, seus átomos ou suas moléculas. Os cientistas intensiLei de: ficaram seus estudos sobre a estrutura molecular dos gases, a) Avogrado baseando-se nas seguintes suposi¸co˜es: b) Gay-Lussac c) Lavoisier 1. um g´ as é constituido de pequenas part´ıculas, átomos ou d) Faraday moléculas; e) Einstein 2. o n´ umero de moléculas existentes em uma dada massa 3. (UFRS) Um recipiente de 2 litros contem um g´ as pergasosa é muito grande; feito a temperatura de 17 ◦ C e press˜ ao de 50 P a. Dado 3. a distância média entre as moléculas é muito maior do que R = 8, 31 J/mol · K, podemos afirmar que o n´ umero de as dimensões de uma molécula; moléculas nesse recipiente é de: 7 a) 2, 7 × 10 moléculas 4. as moléculas de um g´ as est˜ ao em constante movimento, b) 3, 7 × 107 moléculas e este movimento ´ e inteitamente ao acaso, isto é as c) 5, 0 × 107 moléculas mol´ e culas se movimentam em qualquer dire¸caõ. d) 2, 7 × 1018 moléculas e) n.d.a. Ao estabelecerem estas hipóteses, os cientistas estavam ten-

Termodinˆ amica

Aula 5

tando descrever o comportamento de um g´ as através do movimento de suas moléculas, isto é, estavam supondo que as Exerc´ıcios Complementares leis dos gases poderiam ser obtidas aplicando-se as leis da Mecânica ao movimento das moléculas, tratando-as como se 4. (FUVEST) A 25 ◦ C e 1 atm, o volume de 1 mol de átomos fossem part´ıculas. Desta maneira, os cientistas estruturaram as. de n´ıquel (massa atômica: A = 59 e ρ = 8, 9 g/cm3) é aproxi- um modelo para descrever o comportamento de um g´ Este modelo é denominado modelo cin´ etico em virtude de madamente igual a: se basear no movimento das moléculas do g´ as. a) 33 cm3 b) 26 cm3 c) 20 cm3 C´ alculo Cin´ etico da Press˜ ao (p) d) 6, 6 cm3 3 e) 13 cm Como vimos, no modelo cinético de um g´ as, o n´ umero de 5. (ACAFE) Um estudante informa a seu colega que, para ”matar”a sua sede, teve que tomar 20 moles de ´ agua, o outro estudante baseando-se na Lei de Avogrado, calculou o n´ umero de moléculas ingerida pelo seu colega, que foi de: a) 1, 2 × 1025 moléculas b) 2, 2 × 1025 moléculas c) 3, 2 × 1025 moléculas d) 4, 2 × 1025 moléculas e) 5, 2 × 1025 moléculas 6. (UFES) Três recipientes, A, B e C, de volumes iguais, contêm respectivamente, HCl, H2 O e N H3 , todos no estado gasoso, a mesma press˜ ao e temperatura. Suponha que o recipiente A contenha 1, 0 × 1024 moléculas de HCl. Podemos afirmar que o n´ umero de moléculas de vapor de H2 O existentes no recipiente B é: a) 1, 0 × 1024 moléculas

moléculas é muito grande e elas est˜ ao em constante movimento. Em conseq¨ uência disto, as moléculas colidem continuamente contra as paredes do recipiente que contém o g´ as, exercendo uma press˜ ao nessas paredes. Como o n´ umero de colis˜ oes é muito grande, n˜ ao se percebe o efeito do choque de cada part´ıcula. O que se observa é o efeito médio da frequente sucessão de colis˜ oes, que ocasiona o aparecimento de uma for¸ca cont´ınua, sem flutua¸co˜es, pressionando as paredes do recipiente. Portanto, a press˜ ao que um g´ as exerce sobre as paredes do recipiente que o contém é devida as incessantes e cont´ınuas colis˜ oes das moléculas do g´ as contra as paredes do recipiente. Aplicando as leis da mecˆ anica as colis˜ oes das moléculas contra as paredes do recipiente, os f´ısicos do século passado obtiveram uma express˜ ao matemática, relacionando a press˜ ao exercida por um g´ as com as seguintes grandezas: N - n´ umero de moléculas do recipiente V - volume do recipiente

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m - massa de cada molécula v 2 - média dos quadrados das velocidades das moléculas A express˜ ao a que chegaram foi a seguinte: p=

1 (N/V )mv 2 3

Analisando esta express˜ ao vemos que:

—


Observe que o primeiro membro desta express˜ ao representa a energia cin´ etica m´ edia das moléculas. Esta energia cinética média ser´ a representada por EC . O quociente R/NA que aparece no segundo membro, é constante, pois, como já sabemos, tanto R quanto NA s˜ ao constantes. Este quociente é muito importante, é representado por kB e é a famosa constante de Boltzmann:

kB = 1, 38 × 10−23 J/K • p ∝ N : este resultado é intuitivo pois, quanto maior for o n´ umero total de moléculas, maior ser´ a o n´ umero de coao: lisões contra as paredes e, portanto, maior ser´ a a press˜ ao Desta maneira, chegamos a seguinte express˜ exercida pelo g´ as; 3 EC = kB T • p ∝ 1/V : de fato, quanto maior for o volume, maior ser´ a 2 a distância que uma molécula ter´ a que percorrer para colidir contra as paredes e, consequentemente, menor ser´ a o que mostra ser a energia cinética média das moléculas de um as diretamente proporcional a sua temperatura absoluta, isto n´ umero de colis˜ oes, isto é, menor ser´ a a press˜ ao exercida g´ ´ e , quanto maior for a energia cinética média das moléculas, pelo g´ as; maior ser´ a a temperatura do g´ as. Destacamos, ent˜ ao que: a • p ∝ m: este resultado era esperado pois, quanto maior for temperatura absoluta, T de um g´ as est´ a relacionada com a a massa de um molécula, maior ser´ a a sua quantidade de energia cinética média de suas moléculas. movimento (~q = m~v ) e assim, maior ser´ a a for¸ca que ela Em uma amostra, podemos dizer que a u ´ nica energia exitente exerce ao colidir contra a parede do recipiente; é a energia de cada part´ıcula, sendo N o n´ umero de part´ıculas, a energia mecˆ a nica total da amostra ´ e E = N EC . Essa ener2 2 • p ∝ v : realmente, quanto maior for v , mais rapidagia mecˆ a nica total ´ e por defini¸ c a ˜ o a energia interna Eint. ´ mente as moléculas estar˜ ao se movimentando. E fácil perda amostra. Logo, substituindo essa rela¸ c a ˜ o na express˜ ao da ceber que, nestas condi¸co˜es, maior ser´ a a for¸ca que cada energia cin´ e tica temos: molécula exercer´ a ao colidir contra a parede e, além disso, maior ser´ a o n´ umero de colis˜ oes.

Interpreta¸c˜ ao Cin´ etica da Temperatura (T ) Como j´ a mencionamos em outra ocasi˜ ao, a temperatura de um corpo se relaciona com a energia de agita¸caõ dos átomos e moléculas deste corpo. Mostraremos agora como os f´ısicos do século passado, baseados no modelo cinético de um g´ as, chegaram a esta conclusão. A express˜ ao p = N mv 2 /3V , que havia sido obtida baseando-se no modelo cinético, pode ser escrita como pV =

N mv 2 3

Comparando-a com a equa¸caõ de estado de um g´ as ideal, pV = nRT , que havia sido obtida experimentalmente, conclui-se que N mv 2 = nRT 3

3 Eint. = N kB T 2 ou, como N = nNA e kB = R/NA , temos Eint. =

3 nRT 2

Pense um Pouco! • Quando um g´ as absorve calor e seu volume é mantido fixo, para onde vai a energia ganha? Explique. • Se um g´ as num pistão isolado se expande e realiza um trabalho mecˆ anico, o que acontece com sua temperatura? Explique.


Mas sendo NA (o n´ umero de Avogrado) o n´ umero de moléculas ◦ que existe em 1 mol e sendo n o n´ umero de moles que corres- 1. (ACAFE) Um recipiente contém H2 a 27 C. Podemos afirmar que a energia cinética média de suas moléculas é: ponde a N moléculas, é claro que a) 2, 2 × 10−21 J b) 3, 2 × 10−21 J N = nNA c) 6, 2 × 10−21 J e com este valor de N na igualdade anterior, vir´ a d) 7, 1 × 10−21 J e) n.d.a nNA mv 2 = nRT 3 2. (Mack-SP) Um tanque possui 2, 0 mol de hélio a 17 ◦ C. Adimtindo que nessas condi¸co˜es o hélio se comporta como um ou, simplificando e reescrevendo g´ as ideal, a energia mecˆ anica (interna) do sistema é dada por: a) 6, 2 × 103 J mv 2 = 3(R/NA )T b) 7, 2 × 103 J e dividindo-se os dois menbros desta igualdade por 2, temos c) 2, 4 × 103 J d) 2, 2 × 103 J 3 1 2 mv = (R/NA )T e) 1, 5 × 103 J 2 2


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3. (UFRN) Uma certa massa gasosa se encontra a uma temperatura de 36 ◦ C, podemos afirmar que a energia cinética média de suas moléculas é de: a) 6, 4 × 10−21 J b) 1, 2 × 10−21 J c) 2, 5 × 10−21 J d) 4, 3 × 10−21 J e) 5, 3 × 10−21 J

A o

200 C

B 20 o C

Como os blocos est˜ ao em um sistema isolado, s´ o trocam energia entre si. Exerc´ıcios Complementares A lei Zero da Termodinˆ amica garante que, com o decorrer do tempo, a temperatura do bloco A (mais quente) diminui en4. (ACAFE) Quando aumentamos a temperatura de um g´ as quanto a temperatura do bloco B (mais frio) aumenta, até que ambos atinjam a mesma temperatura no equil´ıbrio térmico. é correto afirmar que: Como o sistema é isolado, pode-se explicar esse fenˆ omeno a) a velocidade de suas moléculas permanece constante admitindo-se que parte da energia interna do bloco A foi transb) a velocidade de suas moléculas aumenta ferida para o bloco B. A essa energia transferida de um c) a velocidade de suas moléculas diminui corpo para o outro, devida apenas a diferen¸ c a de temperatura d) nada podemos afirmar a respeito da velocidade entre eles, chamamos calor ou energia t´ ermica. Portanto: e) a energia cinética das moléculas diminui CALOR ´ e energia t´ ermica em trˆ ansito entre dois corpos a diferentes temperaturas. 5. (UFCE) Um recipiente A contém 5 mol de H2 a 32 ◦ C, e um outro recipiente B possui 6 mol de O2 ` a mesma temperatura. Podemos afirmar que: Unidade SI a) a energia cinética média das moléculas é a mesma nos dois A unidade SI com que se mede o calor é o joule ou J. Usurecipientes almente mede-se o calor em calorias ou cal, e sabe-se que o b) a energia cinética média das moléculas do recipiente A é equivalente mecˆ anico do calor é maior do que as do recipiente B c) a energia cinética média das moléculas do recipiente A é 1 cal = 4, 186 J menor do que as do recipiente B d) depende do tamanho dos recipientes e) n˜ ao é possivel determinar nada a respeito das energias Temperatura × Calor cinéticas das moléculas O conceito de calor tem uma simplicidade enganosa, a distin¸caõ entre os conceitos de calor e temperatura foi um pro6. (UEM-PR) As moléculas de um certo g´ as possuem uma cesso historicamente demorado. Podemos definir que: −23 energia cinética média de 20, 7 × 10 J, podemos afirmar TEMPERATURA ´ e a grandeza que mede o grau de ◦ que a temperatura em C desse g´ as: agita¸ c ˜ a o das mol´ e culas de um corpo. a) é 243 A temperatura é uma grandeza que caracteriza um corpo em b) est´ a acima de 243 equil´ıbrio térmico, o calor n˜ ao. Por exemplo, n˜ ao é correto se c) é 200 dizer “um corpo contéma calor”. d) é zero e) est´ a abaixo de −243

Trˆ ansmiss˜ ao de Calor

Termodinˆ amica

Aula 6

Existem três processos de transferência de calor: condu¸caõ, conveçcaõ e radia¸caõ Condu¸ c˜ ao

Calor e Temperatura A Lei Zero da Termodinˆ amica Vamos supor que, num sistema isolado (que n˜ ao perde nem ganha energia em rela¸caõ ao meio exterior) foram colocados dois blocos. Um bloco A a uma temperatura de 200 ◦ C, e um bloco B, a temperatura de 20 ◦ C, como est´ a representado na figura:

Suponha que uma pessoa esteja segurando uma das extremidades de uma barra met´ alica e que a outra extremidade seja colocada em contato com uma chama. Os átomos ou moléculas desta extremidade, aquecida pela chama, adquirem uma maior energia cinética (de agita¸caõ). Parte dessa energia é transferida para as part´ıculas da região vizinha a esta extremidade e, ent˜ ao, a temperatura desta região também aumenta. Este processo continua ao longo da barra, ap´ os um certo tempo, a pessoa que segura a outra extremidade perceberá uma eleva¸caõ de temperatura neste local. Podemos observar que houve um processo de transmissão de calor ao qual denominamos condu¸ c˜ ao. Na condu¸caõ, o calor é conduzido

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através de um meio mecˆ anico. No exemplo dado, utilizou-se como meio de condu¸caõ uma barra de metal. Lei da Condu¸ c˜ ao T´ ermica Considere dois ambientes a temperaturas T1 e T2 tais que T1 > T2 , separados por uma parede de ´ area A e espessura L.

—


Na verdade o que chamamos de luz s˜ ao as radia¸co˜es que nossos olhos podem ver. Existem atualmente cˆ amara fotogr´ aficas que registram a ”luz”do calor, tornando evidente a limita¸caõ ´ da nossa visão e também da nosso conceito de luz e calor. E por isso que muitos aquecedores de ambiente têm a forma de espelhos curvos e as garrafas térmicas s˜ ao espelhadas internamente, para refletir essa luz de calor.

Pense um Pouco! Fluxo Térmico A

T1

T2 L

Depois de atingir o regime estacion´ ario, o fluxo de calor H (quantidade de calor que atravessa uma superf´ıcie por unidade de tempo) depende da ´ area A da parede, da espessura L, da diferen¸ca de temperatura ∆T = T 1 − T 2 e do material que constitui a parede. Segundo a lei de Fourier: H=

T1 − T2 Q = kA t L

• Por que o congelador das geladeiras fica na parte superior? • As correntes ascendentes utilizadas pelos balonistas é um exemplo de transmissão de calor? Qual? • Se colocarmos gelo e garrafas de refrigerante numa caixa de isopor, quais as formas de transmissão de calor ser˜ ao observadas até que o sistema atinja o equil´ıbrio térmico? • No caso anterior, a lei Zero da Termodinâmica garante que o refrigerante ir´ a gelar? Comente.


1. (UFRS) A seguir s˜ ao feitas três afirma¸co˜es sobre processos termodinâmicos envolvendo transferência de energia de um corpo para outro. I. A radia¸caõ é um processo de transferência de energia que n˜ ao ocorre se os corpos estiverem no vácuo. II. A conveçcaõ é um processo de transferência de energia que ocorre em meios fluidos. III. A condu¸caõ é um processo de transferência de energia que n˜ ao ocorre se os corpos estiverem a mesma temperatura. S˜ ao afirmativas corretas: a) Apenas I b) Apenas II c) Apenas III Conveç c˜ ao d) Apenas I e II A conveçcaõ é um processo de transmissão de calor que ocorre e) Apenas II e III apenas em fluidos. O calor é transferido de uma região para 2. (PUC-MG) Analise fisicamente as afirmativas seguintes: outra pelo próprio fluido. I. Para derreter um bloco de gelo rapidamente, uma pessoa A descri¸caõ e explica¸caõ desse processo é simples: nas regiões embrulhou-o num grosso cobertor. onde a temperatura é mais alta, o fluido se expande e fica II. Para se conservar o chope geladinho por mais tempo, menos denso e tende a subir, por causa do empuxo. Nas regiões deve-se coloc´ a-lo numa caneca de lou¸ca. onde a temperatura é mais baixa, fluido é mais denso e tende a III. Um aparelho de refrigera¸caõ de ar deve ser instalado em descer. Este sobe e desce dificilmente é apenas vertical. Nesse um local alto num escritório. caso, quase sempre a conveçcaõ provoca o aparecimento de correntes de ar que se movimentam lateralmente das regiões Pode-se afirmar que: mais aquecidas e de baixa press˜ ao para as regi˜ oes mais frias a) apenas I e II s˜ ao corretas e de alta press˜ ao. Esse movimento é o que se observa numa b) apenas II e III s˜ ao corretas panela de água fervendo, a ´ agua sobe próximo ` as paredes (mais c) apenas I é correta quente) e desce no centro (mais frio). d) apenas II é correta e) apenas III é correta Radia¸ c˜ ao 3. (PUC) Uma placa de material isolante térmico possui A radia¸caõ é o processo mais importante de propaga¸caõ de ca- 100 cm2 de seçcaõ transversal e 2, 0 cm de espessura. Sua lor. Sem ela n˜ ao haveria vida em nosso planeta, j´ a que é por condutibilidade térmica é 2, 0 × 10−4 cal/s · cm · ◦ C. Se a diferadia¸caõ que o calor do Sol chega até a Terra. Na verdade, a ren¸ca de temperatura entre as faces opostas é 100 ◦ C, quantas u ´ nica diferen¸ca entre calor e luz é a frequência da radia¸caõ. As calorias atravessam a placa por segundo? radia¸co˜es de calor (infravermelhas) est˜ ao possuem frequências a) 1,0 logo abaixo do espectro das radia¸co˜es luminosas (luz vis´ıvel). b) 2,0

onde a constante de proporcionalidade k depende da natureza do material, sendo denominada coeficiente de condutividade t´ ermica, seu valor é elevado para bons condutores térmicos, como metais, e baixo para isolantes térmicos, como a ar, por exemplo. Chama-se de fluxo de calor ou fluxo t´ ermixo a quantidade H Unidades do Fluxo T´ırmico (H) A unidade usual em que se mede a quantidade H é é cal/s, ou no SI, J/s ou W . Lembre-se que 1 J/s = 1 watt = 1 W .


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c) 3,0 d) 4,0 e) 5,5 f) n.d.a

Substˆ ancia Amˆ onia ´ Alcool Vapor d’água Alum´ınio Ferro Prata Ouro

Exerc´ıcios Complementares 4. (FUVEST) Para melhor isolamento térmico de um ambiente, mantendo o material de que s˜ ao feitas as paredes, devese: a) aumentar o volume das paredes b) aumentar a área externa das paredes e manter a espessura c) diminuir a espessura das paredes d) aumentar a espessura e diminuir a ´ area das paredes e) reduzir a área externa e a espessura das paredes 5. (ACAFE) Nas geladeiras, o congelador fica sempre na parte de cima para: a) manter a parte de baixo mais fria que o congelador b) que o ar frio fique com congelador c) que o ar quente vá para o congelador d) acelerar a produ¸caõ de cubos de gelo e) que o ar frio vá para o congelador

c(cal/g · ◦ C) 1,13 0,58 0,48 0,22 0,11 0,056 0,032

Substˆ ancia ´ Agua Gelo Madeira Vidro Cobre Merc´ urio Chumbo

c(cal/g · ◦ C) 1,00 0,55 0,42 0,16 0,092 0,033 0,031

Tabela 1.4: O calor espec´ıfico c de algumas substâncias. A capacidade térmica de um corpo depende da sua massa e da natureza do material de que é constituido. Ela permanece constante durante o seu aquecimento ou resfriamento, desde que n˜ ao ocorra mudan¸ca de estado f´ısico.

Calor Espec´ıfico (c)

Analisando-se o comportamento de corpos diferentes, mas constitu´ıdos do mesmo material, quando submetidos a um aquecimento, observa-se que a quantidade de calor absorvida é diretamente proporcional a sua massa. Pode-se concluir, portanto, que a capacidade térmica de um corpo é diretamente proporcional a sua massa. Assim, a rela¸caõ entre a capaci6. (FMU) As roupas indicadas para se usar no deserto devem dade térmica C de um corpo e sua massa é uma constante m, denominada calor espec´ıfico (c) ser: a) escuras e finas c = C/m b) claras e finas c) escuras e grossas Unidade SI d) claras e grossas e) independentes da cor e da espessura No SI, o calor espec´ıfico é medido em J/kg · K, embora na prática se use cal/g · ◦ C. O calor espec´ıfico de um corpo depende do material que o constitui, do seu estado f´ısico e da sua temperatura, esta porém, sem influência consider´ avel no estudo. O conhecimento do valor do calor espec´ıfico tem importˆ ancia fundamental na f´ısica, pois identifica a quantidade de calor necess´ aria para elevar de um grau a temperatura de uma unidade de massa do material. Capacidade T´ ermica (C) O elevado calor espec´ıfico da água, comparado ao de outras substâncias é importante, pois faz com que seja necess´ aria Nem todos os corpos variam sua temperatura da mesma forma elevada quantidade de energia para variar sua temperatura. ao receberem calor. Ao se esquentar ´ agua na chama de um Por essa raz˜ ao, a água demora mais para esquentar e também fogão, por exemplo, observa-se que, quanto maior a massa de para esfriar, o que explica a estabilidade do clima das regi˜ oes agua a aquecer, maior a quantidade de calor necess´ ´ aria para próximas a grandes concentra¸co˜es de água, como as litorˆ aneas. produzir a mesma varia¸caõ de temperatura. Do mesmo modo, Em contra-partida , a amplitude térmica de regiões desérticas materiais diferentes necessitam de quantidades de calor dife- pode ultrapassar os 60 ◦ C em menos de 12 horas. rentes para sofrerem a mesma varia¸caõ de temperatura. Uma colher de metal, por exemplo, necessita de menos calor do que a mesma massa de água, para o mesmo aumento de tempera- Calorimetria tura. A grandeza que mede a quantidade de calor Q necess´ aria Das defini¸co˜es de capacidade térmica e calor espec´ıfico, podepara produzir determinada varia¸caõ de temperatura ∆T num mos escrever: corpo é a capacidade térmica ou capacidade calor´ıfica, definida Q ◦ C= como a quantidade de calor necess´ aria para variar de 1 C a ∆T sua temperatura. logo Q Q = C∆T C≡ ∆T ( 1 ) e como C Unidade SI =⇒ C = mc c= m No SI, a capacidade térmica é medida em J/K, embora na temos Q = mc∆T prática se use cal/◦ C.

Termodinˆ amica

Aula 7

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Essa equa¸caõ permite calcular a quantidade de energia na forma de calor, necess´ aria para variar a temperatura de uma determinada massa de qualquer substˆ ancia, desde que n˜ ao ocorra nenhuma mudan¸ca de estado no processo. Neste caso, quando um corpo absorve (perde) calor e aumenta (diminui) sua temperatura, o calor trocado chama-se de calor sens´ıvel.

—


˜ Trabalho realizado numa COMPRESSAO

Numa compressão, o procedimento para o c´ alculo do trabalho é o mesmo do caso da expans˜ ao, mudando apenas o sinal final do trabalho, já que for¸ca que o g´ as exerce sobre o pistão é no sentido contrário ao seu deslocamento. Como no caso de uma compressão o volume final Vf do g´ as ser´ a menor do que o seu volume inicial Vi , ent˜ ao a varia¸caõ de volume ser´ a negativa e o trabalho pode ser obtido pela mesma Convens˜ ao fórmula da expans˜ ao, de onde obteremos já o sinal correto. ao • Quando um sistema absorve calor num processo qual- Convens˜ quer, associamos ao processo um calor Q > 0; • Quando um g´ as se expande num processo qualquer, di• Quando um sistema perde calor num processo qualquer, zemos que o g´ as realiza um trabalho W > 0; associamos ao processo um calor Q < 0; • Quando um g´ as é comprimido num processo qualquer, • Quando um sistema n˜ ao troca calor (n˜ ao ganha e nem dizemos que o g´ as realiza um trabalho W < 0; perde) num processo qualquer, associamos ao processo um calor Q = 0. • Quando um g´ as permanece com volume constante num processo qualquer, dizemos que o trabalho que o g´ as Esquematicamente: realiza no processo é nulo, W = 0. Calor (Q) Absorvido Perdido

Sinal + -

Trabalho

Esquematicamente: Trabalho do Gás (W ) Expans˜ ao Compress˜ ao

Sinal + -

Um sistema pode trocar energia com sua vizinhan¸ca na forma Unidade SI de calor ou pela realiza¸caõ de trabalho. Realmente, se h´ a uma Sendo uma forma de energia, assim como o calor o trabalho diferen¸ca de temperatura entre o sistema e a vizinhan¸ca, uma realizado por um g´ as é medido em joule ou J no SI. Lembrando: certa quantidade de calor poder´ a ser transferida de um para o outro. Além disso, o sistema pode se expandir, vencendo 1J =1 N ·m uma press˜ ao e portanto, realizando trabalho sobre a vizinhan¸ca ou, ainda, o sistema poder´ a ter o volume reduzido, com a realiza¸caõ de um trabalho da vizinhan¸ca sobre ele. Pense um Pouco! ˜ Trabalho realizado numa EXPANSAO Consideremos como sistema termodinˆ amico um g´ as ideal, encerrado em um cilindro provido de um êmbolo (pist˜ ao) que pode se deslocar livremente. Suponha que o g´ as se encontre em um estado inicial i, ocupando um volume Vi . Em virtude da press˜ ao do g´ as, ele exerce uma for¸ca F sobre o pistão que, estando livre, desloca-se de uma distância d. Assim, o g´ as se expandiu até o estado final f , onde o seu volume é Vf , e realizou um trabalho W . Se a press˜ ao p do g´ as permanecer constante, o valor da for¸ca F também ser´ a constante durante a expans˜ ao e o trabalho W , realizado pelo g´ as, pode ser facilmente calculado. De fato, para este caso, temos:

• A unidade de calor estudada, a caloria ou cal, é a mesma registrada nos alimentos? • Qual a rela¸caõ existente entre a caloria alimentar e o estudo do calor?


1. (UNIFOR-CE) Um corpo absorveu 500 cal de calor para aumentar sua temperatura de 20 ◦ C para 40 ◦ C. A capacidade térmica desse corpo em cal/◦C é: a) 10 b) 12 W = Fd c) 20 Mas sendo F = pA, onde A é a ´ area da se¸caõ reta do pistão, d) 25 temos e) 30 W = pAd 2. (USF-SP) Uma amostra de 50 g de determinada substância Mas observe que Ad é o volume varrido pelo pistão durante sofre um acréscimo de temperatura de 20 ◦ C, quando absorve a expans˜ ao, que é igual a varia¸caõ do volume do g´ as, isto é, 200 calorias. O calor espec´ıfico dessa substância, em cal/g·◦ C, Ad = Vf − Vi , logo é: a) 1,2 W = p(Vf − Vi ) = p∆V b) 1,0 Portanto esta express˜ ao nos permite calcular o trabalho que c) 0,5 um g´ as realiza, ao sofrer uma varia¸caõ de volume a press˜ ao d) 0,4 constante. e) 0,2


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3. (UEPB) A massa de um corpo é igual a 2 kg. Recebendo 10 kcal, a sua temperatura passa de 40 ◦ C para 90 ◦ C. O calor espec´ıfico desse corpo é: a) 0, 1 ◦ C b) 0, 2 ◦ C c) 0, 3 ◦ C d) 0, 4 ◦ C e) 0, 5 ◦ C

realiza 80 J de trabalho. Notamos que o sistema recebeu 100 J e 80 J. Onde estar˜ ao os 20 J restantes? Estes joules restantes ficaram dentro do sistema, armazenados sob a forma de energia interna. Portanto, a energia interna do sistema aumentou em 20 J. Podemos fazer um esquema desta troca de energia

Meio Externo

Exerc´ıcios Complementares Sistema 4. (ITA) A capacidade térmica de uma caneca de alum´ınio é de 16 cal/◦ C. Sabendo-se que o calor espec´ıfico do alum´ınio é ∆U = +20 J de 0, 2 cal/g · ◦ C, pode-se afirmar que a massa dessa caneca, int em gramas, é: a) 3,2 b) 32 Q = +100 J W = +80 J c) 90 d) 160 Sendo: e) 800 Calor recebido pelo sistema (Q): é energia que entra no sis5. (FURG) Uma fonte calor´ıfica fornece calor, com potência tema e a representamos por uma seta entrando, pois o calor ´ı constante, para 600 g de ´ agua durante 10 min e observa-se a absorvido Q > 0. temperatura desta elevar-se em 15 ◦ C. Substituindo-se a água Trabalho cedido pelo sistema (W ): é energia que sai do sistema por 300 g de outro l´ıquido, verifica-se que a temperatura deste na forma de trabalho e o representamos por uma seta para fora, se eleva também de 15 ◦ C, porém em 2 min. O calor espec´ıfico j´ a que ´ e uma energia perdida pelo sistema (W > 0). do l´ıquido é de : Aumento de energia interna (∆Uint ): representamos por uma a) 0,1 cal/g · ◦ C quantidade ∆Uint > 0, quando ela aumenta, ou po uma quanb) 0,2 cal/g · ◦ C tidade ∆Uint < 0, quando ela diminui. c) 0,3 cal/g · ◦ C Temos: d) 0,4 cal/g · ◦ C e) 0,5 cal/g · ◦ C Q = W + ∆U int

6. (ACAFE) A capacidade térmica de um corpo homogêneo depende: a) s´ o de sua massa b) de sua massa e de seu volume c) s´ o de sua massa e do calor espec´ıfico do material que o constitui d) de sua massa e de sua temperatura e) s´ o do calor espec´ıfico do material que o constitui

Termodinˆ amica

Aula 8

Primeira Lei da Termodinˆ amica A primeira lei da Termodinˆ amica nada mais é que o princ´ıpio da Conserva¸caõ da energia aplicado ` a termodinˆ amica. O princ´ıpio da conserva¸ca õ da energia, em linhas gerais, diz que num sistema isolado a energia total é conservada, ou seja é constante, e jamais pode ser criada ou destru´ıda dentro do sistema, mas apenas transformada de uma forma em outra. Sendo assim, se um sistema recebe energia ele tem de dar conta desta energia, ou se ele cede energia, esta energia tem de ter sa´ıdo de algum lugar. Por exemplo, admitamos que um sistema receba 100 J de calor. Estes 100 J de energia n˜ ao podem desaparecer e nem serem destru´ıdos no sistema. Eles tem de ir para algum lugar. Admitamos, em continua¸caõ, que o sistema

Para obtermos esta rela¸caõ entre Q, W e ∆Uint , basta impormos que “a soma das energia entram (sinal positivo) com as energias que saem (sinal negativo) do sistema ´ e igual a varia¸ c˜ ao da energia interna do sistema”. Esta é a primeira lei da Termodinâmica.

Aplica¸c˜ oes da Primeira Lei Vamos aplicar a primeira lei para algums processos termodinâmicos particulares. Dizemos que um sistema térmico passa por um processo de equil´ıbrio, ou quase-est´ atico, quando evolui fisicamente de forma lenta, fazendo com as vari´ aveis que o descrevem (p, V , T , Uint , etc) mudem suavemente, fazendo o sistema evoluir de forma cont´ıa de um estado inicial i, digamos, para um estado final f . Transforma¸ c˜ ao Isot´ ermica (T = cte) Para um processo termodinâmico em que a temperatura n˜ ao varia, a varia¸caõ de energia interna do g´ as é nula. Ou seja, pela primeira lei concluimos que Q=W ou seja, numa transforma¸caõ isotérmica, o calor trocado pelo g´ as com o exterior é igual ao trabalho realizado no mesmo processo.

92


Transforma¸ c˜ ao Isob´ arica (p = cte) No processo isobárico de um g´ as ideal, o volume V é diretamente proporcional a temperatura T . Portanto, numa expans˜ ao isobárica, o volume e a temperatura aumentam, ocorrendo também aumento da energia interna do g´ as: ∆Uint > 0 e pela primeira lei concluimos que para uma expans˜ ao isobárica Q>W ou seja, numa expans˜ ao isobárica, a quantidade de calor recebida é maior que o trabalho realizado.

—


Pense um Pouco! • Ao ser comprimido, um g´ as ganha ou perde energia interna? • Fa¸ca uma analogia da compressão de um g´ as e de uma mola, observando o trabalho e a energia. • Um moto perpétuo de primeira espécie seria uma máquina que realizasse trabalho indefinidamente, sem utilizar nenhuma fonte de energia. Futuramente ser´ a poss´ıvel a constru¸caõ de uma tal máquina?


1. (UNICENTRO-SP) Marque a alternativa que descreve a primeira lei da termodinâmica. a) O aumento de energia interna de um g´ as é dado pela difeComo n˜ ao h´ a varia¸caõ de volume nesse tipo de processo, o ren¸ca entre o calor recebido e o trabalho realizado. trabalho realizado é nulo e, pela primeira lei: b) O trabalho realizado é dado pela soma do calor recebido com o aumento de energia interna. ∆Uint = Q c) O calor recebido é dado pela diferen¸ca entre o trabalho reou seja, todo o calor recebido (cedido) pelo sistema faz com alizado e o aumento de energia interna. d) Se um sistema realiza trabalho, sua energia interna n˜ ao se que a energia interna do sistema aumente (diminua). altera. Numa transforma¸caõ isométrica, a varia¸caõ de energia interna e) Se um sistema recebe trabalho, sua energia interna diminui. do g´ as é igual a quantidade de calor trocada com o meio exterior. 2. (FATEC) Haverá trabalho realizado sempre que uma massa A transforma¸caõ à volume constante também é chamada de gasosa: a) sofrer varia¸caõ em sua press˜ ao isovolum´ etrica, isoc´ orica ou isométrica. ¯ b) sofrer varia¸caõ em seu volume c) sofrer varia¸caõ em sua temperatura Transforma¸ c˜ ao Adiab´ atica (Q = 0) d) receber calor de fonte externa e) sofrer varia¸caõ de energia interna Um g´ as sofre uma transforma¸caõ adiabática quando n˜ ao troca calor com o meio exterior, ou seja, quando 3. (FATEC) Uma fonte térmica cede 100 J de calor a um sistema, ao mesmo tempo em que este realiza um trabalho Q=0 mecˆ anico de 20 J. Durante esse processo, n˜ ao ocorrem outras trocas de energia com o meio externo. A varia¸caõ da energia Aplicando a primeira lei temos neste caso interna do sistema, medida em joules, é igual a: a) zero ∆Uint = −W b) 20 c) 80 Numa transforma¸caõ adiabática, a varia¸caõ de energia interna d) 100 é igual em módulo e sinal contr´ ario ao trabalho realizado na e) 120 transforma¸caõ. Ou seja, se um sistema realiza trabalho adiabaticamente, ter´ a de consumir sua energia interna, j´ a que n˜ ao absorveu calor. Exerc´ıcios Complementares Transforma¸ c˜ ao Isom´ etrica (V = cte)

4. (MACK) Um g´ as mantido a volume constante, recebe 240 J de calor do meio ambiente. O trabalho realizado pelo g´ as e sua A segunda lei da Termodinˆ amica, a exemplo da primeira, tem varia¸caõ da energia interna ser˜ ao, respectivamente; diferentes enunciados que se equivalem. O mais comum deles a) 240 J e 0 J decorre da conclusão das aulas anteriores e da aceita¸caõ da b) 0 J e 240 J irreversibilidade das transforma¸co˜es da natureza: c) 120 J e 120 J Nenhuma m´ aquina t´ ermica, operando em ciclos, pode d) 0 J e 120 J retirar calor de uma fonte e transform´ a-lo integral- e) −240 J e 240 J mente em trabalho. ´ poss´ıvel ceder 5. (UFLA-MG) Assinale a resposta correta. E ou noutra forma mais moderna calor a um g´ as sem que sua temperatura aumente? O calor flui expontaneamente de um corpo mais quente a) N˜ ao, porque sempre que um corpo recebe calor sua tempepara um corpo mais frio, sempre neste sentido. ratura aumenta Vamos ver os detalhes desta lei e suas aplica¸co˜es mais adiante. b) N˜ ao , porque o calor é uma forma de energia e sempre se

Segunda Lei da Termodinˆ amica


93

conserva c) Sim, porque o calor pode ser transformado em energia interna do g´ as d) Sim, porque o calor pode resultar num aumento da agita¸caõ térmica das moléculas do g´ as e) Sim , basta que o g´ as realize trabalho igual ao calor que recebeu 6. (ACAFE) Numa expans˜ ao adiabática, a temperatura de um mol de g´ as perfeito diminui de 200 K. Podemos afirmar que a quantidade de calor trocada com o ambiente é de: a) 73 cal b) 200 cal c) 20 cal d) 0 J e) n˜ ao pode ser determinado

Termodinˆ amica

Ciclo de Carnot Estudando as máquinas térmicas, o cientista Sadi Carnot propˆ os, em 1824, um ciclo teórico composto de quatro transforma¸co˜es revers´ıveis - duas isotérmicas e duas adiabáticas, que proporciona o máximo rendimento para uma máquina térmica, entre duas temperaturas T1 e T2 das fontes quente e fria. O desenho a seguir representa o ciclo de Carnot.

p a

isotérmico

b

adiabático

Aula 9

T

1 adiabático

d isotérmico

c T2

O

M´ aquinas T´ ermicas

Va

Uma máquina térmica opera em ciclos entre duas fontes térmicas de temperaturas diferentes, uma chamada de fonte quente e a outra, de fonte fria. A máquina retira calor da fonte quente Q1 , transforma parte desse calor em trabalho W e rejeita a outra parte Q2 para a fonte fria, assim W = Q1 − Q2

Vd

Vb

Vc

V

Figura 1.1: Figura do Ciclo de Carnot. Processo A → B: o g´ as sofre uma expans˜ ao isotérmica, recebendo calor da fonte quente Q1 e realizando trabalho. A energia interna do g´ as se mantém constante nesta transforma¸caõ.

Fonte Quente Q 1

Máquina Térmica

W

Q 2

Fonte Fria

Sadi Carnot

Processo B → C: o g´ as sofre uma expans˜ ao adiabática. Sua temperatura diminui, mas n˜ ao ocorre troca de calor com o meio. O g´ as realiza trabalho as custas de redu¸caõ na sua energia interna. Para o caso das máquinas térmicas, a Segunda Lei da TermoProcesso C → D: o g´ as sofre uma compressão isotérmica , dinˆ amica assume a forma: o meio exterior realiza trabalho sobre o g´ as, sem que haja ´ imposs´ıvel um dispositivo operando em ciclos conE varia¸ c a ˜ o na sua energia interna. Durante essa transforma¸caõ, verter integralmente calor em trabalho. o g´ as rejeita a quantidade de calor Q2 para a fonte fria. Assim, podemos definir o rendimento ǫ de uma máquina Processo D → A: ocorre uma compressão adiabática, térmica como completando-se o ciclo. A temperatura do sistema aumenta, W ǫ= mas n˜ ao ocorre troca de calor com o meio. O trabalho realizado Q1 contra o sistema, provoca aumento na sua energia interna. e como W = Q1 − Q2 temos: Carnot demonstrou que, para uma máquina que executasse o Q2 ciclo por ele proposto, as quantidades de calor trocadas com as ǫ=1− Q1 fontes térmicas s˜ ao diretamente proporcionais as temperaturas

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absolutas dessas fontes, ou seja:

—



Q2 T2 = Q1 T1

4. (Mackenzie) Uma máquina térmica executa um ciclo entre as temperaturas 500 K (fonte quente) e 400 K (fonte fria). O máximo rendimento que essa máquina poderia ter é: Como Q2 a) 10 % ǫ=1− b) 20 % Q1 c) 25 % ent˜ ao o rendimento ǫC de uma máquina de Carnot é dado por: d) 30 % e) 80 % T2 ǫC = 1 − T1 5. (UEL) O rendimento de certa máquina térmica de Carnot é de 25% e a fonte fria é a própria atmosfera a 27 ◦ C. A Da´ı tiramos uma importante conclusão: temperatura da fonte quente é: O rendimento da m´ aquina de Carnot n˜ ao depende da a) 5, 4 ◦ C substˆ ancia de trabalho utilizada (g´ as): ´ e fun¸ c˜ ao exclu- b) 52 ◦ C siva das temperaturas absolutas das fontes quente e c) 104 ◦ C fria. d) 127 ◦ C Estabelece o Teorema de Carnot que, entre duas temperaturas e) 227 ◦ C T1 e T2 das fontes quente e fria, a máquina de Carnot é a que as perfeito realiza um ciclo de Carnot. apresenta o máximo rendimento. Portanto, nenhuma máquina 6. (Osec-SP) Um g´ térmica, entre as mesmas temperaturas, pode apresentar ren- A temperatura da fonte fria é 127 ◦ C e a da fonte quente é 427 ◦ C. O rendimento do ciclo é: dimento superior ao previsto para a máquina de Carnot. a) 3,4 % b) 70 % c) 43 % Pense um Pouco! d) 57 % • O que aconteceria com uma máquina térmica se o ren- e) n.d.a dimento alcan¸cado fosse de 100%? Ser´ a que no futuro, teremos uma máquina assim?

Termodinˆ amica

Aula 10

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (ACAFE) Uma máquina térmica, que opera segundo o ciclo de Carnot, absorve 200 calorias da fonte quente em cada ciclo e abandona 120 calorias para a fonte fria. A alternativa, abaixo que representa o rendimento desta máquina térmica é: a) 100 % b) 80 % c) 60 % d) 40 % e) 20 %

Mudan¸cas de Fase

A matéria pode se apresentar-se nos estados s´ olido, l´ıquido e gasoso. Estes estados se distinguem pelo seguinte: S´ olido têm forma própria e volume bem definido. L´ıquido n˜ ao tem forma própria (assume a forma do recipiente que os contém), mas tem volume bem definido. G´ as n˜ ao tem forma própria nem volume definido. Tomam a forma e o volume do recipiente que os contém, dependendo da 2. (ACAFE) Complete o enunciado que segue, com a alter- press˜ ao externa. nativa verdadeira, dentre as relacionadas abaixo. O ciclo de Carnot é constitu´ıdo de transforma¸co˜es: Tipos a) adiabáticas e isotérmicas b) adiabáticas e isobáricas No nosso estudo estaremos sempre nos referindo a substâncias c) isovolumétrica e isotérmicas puras, e faremos algumas defini¸co˜es: d) isovolumétricas e isobáricas e) isovolumétricas e adiabáticas • Fusão: é a passagem de uma substância do estado s´ olido para o estado l´ıquido. 3. (ACAFE) Uma máquina de Carnot, cuja fonte quente est´ a a 300 K, absorve 100 cal de calor desta fonte, em cada ciclo, • Solidifica¸caõ: é a passagem de uma substância do estado e abandona 70 cal para a fonte fria. A temperatura da fonte l´ıquido para o estado s´ olido . fria é de : a) 210 K • Vaporiza¸caõ: é a passagem de uma substância do estado b) 190 K liquido para o estado de vapor. c) 150 K Conforme a maneira de se processar, a vaporiza¸caõ recebe d) 120 K nomes diferentes. Assim ela pode tomar o nome de: e) 100 K

ˆmica – Aula 10 Termodina – Evapora¸caõ: ocorre mediante um processo lento que ´ o que se verifica apenas na superf´ıcie do l´ıquido. E acontece com a ´ agua de um tanque , ou de uma bacia ao ar livre. A evapora¸caõ pode ocorrer a qualquer temperatura que estiver o l´ıquido. – Ebuli¸caõ: ocorre mediante a um processo turbulento que se verifica em toda a massa l´ıquida. Isso ocorre quando a press˜ ao de vapor do l´ıquido se iguala a press˜ ao externa, a´ı o vapor escapa produzindo ´ o que o borbulhar caracter´ıstico da ebuli¸caõ. E ocorre com a ´ agua de uma chaleira quando esta é colocada ao fogo e come¸ca a fervura. A ebuli¸caõ s´ o ocorre em uma determinada temperatura, caracter´ıstica do l´ıquido, chamada temperatura (ou ponto) de ebuli¸caõ, que depende d a press˜ ao exercida em sua superf´ıcie. – Calefa¸caõ: ocorre ap´ os um aquecimento muito brusco. Por exemplo quando uma por¸caõ de água é jogada na chapa quente de um fogão, h´ a um aquecimento brusco da ´ agua, seguido do fenˆ omeno de calefa¸caõ .

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Pense um Pouco! • Quando deixamos uma pedrinha de Naftalina no guardaroupas ,depois de algum tempo ela some. Como se chama esse processo? • O que acontece com o calor absorvido por uma substância durante uma mudan¸ca de fase, já que sua temperatura n˜ ao muda?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (FUVEST) Para fundir 50 gramas de uma substância, sem varia¸caõ de temperatura, foram necess´ arias 1, 4 kcal. Qual o calor espec´ıfico latente de fusão dessa substância em cal/g? a) 12 b) 24 c) 26 d) 28 e) 30

• Liquefa¸caõ (condensa¸caõ): é a passagem de uma substância do estado de vapor para o estado l´ıquido.

2. (ACAFE) Sendo o calor latente espec´ıfico de fusão do gelo igual a 80 cal/g, a quantidade de calor necess´ aria para fundir 100 gramas de gelo a 0 ◦ C é: a) 8 kcal Temperatura de Mudan¸ca de Estado b) 4 kcal A fusão e a solidifica¸caõ se processam na mesma temperatura c) 125 cal chamada temperatura (ou ponto) de fusão ou de solidifica¸caõ d) 80 cal (TF ). Por exemplo, a ´ agua, sob press˜ ao atmosférica normal, e) 1, 25 cal sempre se funde e solidifica a 0 ◦ C. 3. (PUC) Um bloco de gelo, inicialmente a −10 ◦ C, tem A ebuli¸caõ e a liquefa¸caõ se processam na mesma temperatura, massa de 500 g. Qual a quantidade de calor necess´ aria para chamada temperatura (ou ponto) de ebuli¸caõ ou de liquefa¸caõ transformá-lo em igual quantidade de água, a 20 ◦ C? Dados (TE ). Por exemplo, sob press˜ ao atmosférica normal, a água : c ◦ ◦ GELO = 0, 5 cal/g · C, cAGUA = 1, 0 cal/g · C e LF = sempre entra em ebuli¸caõ e se liq¨ uefaz a 100 ◦ C. 80 cal/g. a) 0, 05 kcal b) 0, 52 kcal c) 5, 25 kcal Seja Q a quantidade de calor latente necess´ aria para provocar d) 525 kcal uma dada mudan¸ca de estado na massa m de um substância e) 52, 5 kcal S, sem varia¸caõ de temperatura. Verifica-se experimentalmente que Q é proporcional à massa m, podendo-se escrever: Exerc´ıcios

Calor Latente

Complementares

Q = mL 4. (CEFET) Têm-se 200 g de água a 20 ◦ C. A quantidade de calor, em cal, que dela se deve retirar para se ter gelo a 0 ◦ C, é (dados : cGELO = 0, 5 cal/g · ◦ C, cAGUA = 1, 0 cal/g · ◦ C e LF = 80 cal/g): a) 4000 b) 16000 c) 20000 E sendo LV o calor espec´ıfico latente de vaporiza¸caõ ou de d) 20100 e) 12000 liquefa¸caõ, temos: QV = mLV 5. (ACAFE) Qual a quantidade de calor que se deve fornecer Observamos que o calor espec´ıfico latente de uma substância é a 50 g de gelo a 0 ◦ C para transformá-lo em vapor de água a uma caracter´ıstica da substˆ ancia que n˜ ao depende da massa. 100 ◦ C? Sabe-se que LV = 539 cal/g. Observamos também que o calor espec´ıfico latente de fusão a) 35950 cal e de solidifica¸caõ é o mesmo, porque a quantidade de calor b) 26170 cal que um corpo recebe para se fundir é a mesma que cede ao se c) 20130 cal solidificar. O mesmo se pode dizer do calor espec´ıfico latente d) 15310 cal de vaporiza¸caõ e de liquefa¸caõ. e) 9000 cal

Sendo L um coeficiente de proporcionalidade chamado calor espec´ıfico latente da referida mudan¸ca de estado da substˆ ancia S. Sendo LF o calor espec´ıfico latente de fusão ou de solidifica¸caõ, temos QF = mLF

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6. (UNIJUÍ) A vantagem do uso da panela de press˜ ao em rela¸caõ as panelas comuns para cozinhar alimentos relacionase com: a) a ´ agua demora mais a ferver e atinge uma temperatura menor b) a ´ agua ferve rapidamente e atinge maior temperatura c) a ´ agua ferve rapidamente e atinge menor temperatura d) a ´ agua demora mais a ferver e atinge maior temperatura e) n.d.a

Termodinˆ amica

—


devemos localizar, neste diagrama, o ponto correspondente ao par de valores de p e T fornecidos. Se este ponto estiver localizado na região S´ olida, a substância estar´ a na fase s´ olida, se estiver na região L´ıquida, estar´ a na fase l´ıquida e se estiver na região Vapor, na fase gasosa.

Aula 11

Sublima¸c˜ ao e Diagrama de Fases Figura 1.1: Estrutura da a ´gua l´ıquida. Se colocarmos uma bola de naftalina em uma gaveta, sabemos que ela passa pelo estado de vapor, sem passar pelo estado l´ıquido, isto é, ocorre a sublima¸ c˜ ao da naftalina. Este fato também ocorre com o CO2 s´ olido e, por isto, ele é denominado ”gelo seco”. Embora sejam poucas as substˆ ancias que se sublimam nas condi¸co˜es ambientes, verifica-se que este fenômeno pode ocorrer com qualquer substˆ ancia, dependendo da temperatura e da press˜ ao a que ela estiver submetida. O estudo do diagrama de fases, que faremos a seguir, nos permitirá definir em que condi¸co˜es a sublima¸caõ de um substˆ ancia poder´ a ocorrer.

Ponto Triplo

Pressao (atm)

As linhas que aparecem no diagrama de fases e que os dividem nas regiões S´ olida, L´ıquida e Vapor correspondem a valores de p e T nos quais podemos encontrar a substância, simultaneamente, em dois estados. Assim, qualquer ponto da linha T M corresponde a um par de valores de p e T no qual a substância se apresenta, simultaneamente, nos estados s´ olido e l´ıquido. A linha T N corresponde ao equil´ıbrio entre l´ıquido e vapor e a linha OT , entre s´ olido e vapor. O ponto de encontro dessas três linhas (ponto T da figura) nos fornece os valores da press˜ ao Diagrama de Fases e da temperatura nos quais a substância pode se apresentar, Em um laboratório é poss´ıvel determinar, para cada simultaneamente, nos três estados. Este ponto é denominado ao substˆ ancia, os valores da press˜ ao p e da temperatura T cor- ponto triplo da substância. A água, por exemplo, a press˜ ◦ de 4, 6 mmHg e a uma temperatura de 0, 01 C, pode ser enrespondentes a cada um dos seus poss´ıveis estados. Com estes olido, l´ıquido e gasoso valores podemos construir um gr´ afico, denominado diagrama contrada, simultaneamente, nos estados s´ e, portanto, estes valores correspondem ao seu ponto triplo. de fases, que tem aspecto semelhante ao da figura abaixo:

1,0 Liquida Solida

0,0006

Figura 1.2: Estrutura da a ´gua s´ olida (gelo).

Ponto triplo Vapor

G´ as Real 0,01 100 Temperatura ( C) Observa-se que este diagrama est´ a dividido em três regiões, indicando a fase S´ olida, L´ıquida e Vapor. Se nos forem fornecidos os valores da press˜ ao e da temperatura em que uma substˆ ancia se encontra, o seu diagrama de fases nos permitirá determinar se ela esta s´ olida, l´ıquida ou gasosa. Para isto,

Um g´ as real pode n˜ ao se comportar como um g´ as ideal, já que o modelo de g´ as ideal é uma aproxima¸caõ bem simplificada de um g´ as real. Para isto, suponha que um g´ as real esteja encerrado em um cilindro provido de um pistão e de um manˆ ometro que nos permite ler os valores de sua press˜ ao. Mantendo constante a temperatura do g´ as, vamos comprimilo desde uma posi¸caõ inicial aonde a press˜ ao do g´ as é ainda, relativamente baixa. Durante a compressão, verifica-se que,


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inicialmente, o g´ as real se comporta como um g´ as ideal, isto é, os valores de p,V e T do g´ as satisfazem a equa¸caõ pV = nRT . Entretanto, ap´ os o pistão atingir uma certa posi¸caõ, na qual a press˜ ao já é um pouco mais elevada, observa-se que o g´ as real deixa de se comportar como um g´ as ideal. Seu comportamento torna-se mais complexo, exigindo, para descrevê-lo, equa¸co˜es mais sofisticadas do que a equa¸caõ de estado de um g´ as ideal.

Pense um Pouco! • Todas as substâncias possuem o chamado ponto triplo? • Quanto tempo leva uma naftalina para sumir completamente?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (PUC-RS) Se, ao fornecermos calor a um sistema, sob press˜ ao constante, observarmos que a temperatura permanece inalterada, podemos afirmar que o sistema: a) é totalmente s´ olido. b) é totalmente l´ıquido. c) est´ a necessariamente em processo de fusão. d) est´ a necessariamente evaporando. e) est´ a sofrendo uma mudan¸ca de fase. 2. (UFV) Utilizando-se uma fonte de fornecimento cont´ınuo de calor, aquece-se, à press˜ ao constante de 1 atmosfera, 100 g de gelo, que s˜ ao transformados em vapor superaquecido. A figura seguinte ilustra a varia¸caõ da temperatura do sistema com o tempo. a) Em que intervalo de tempo ocorre a fusão? b) Em que intervalo de tempo ocorre a vaporiza¸caõ? c) Considerando o calor espec´ıfico do gelo igual a 0, 55 cal/g·◦C e o calor latente de fusão igual a 80 cal/g, qual é a quantidade de calor absorvida pelo sistema, do instante inicial ao instante t2 ?

T(oC)

0 t1

t2

t3

t4

t(s)

−40

Exerc´ıcios Complementares 3. (UFV-MG) Sejam dois s´ olidos A e B, de massas respectivamente a mA e mB , em equil´ıbrio térmico. Cedendo-lhes a mesma quantidade de calor, observa-se que a temperatura do corpo A torna-se maior que a temperatura do corpo B. N˜ ao se observa mudan¸ca de fase. Sobre essa situa¸caõ s˜ ao feitas três afirmativas: I - Se os corpos forem feitos do mesmo material, certamente mA > mB .

II - Se mA = mB , certamente o calor espec´ıfico de A é maior que o calor espec´ıfico de B. III - Esta situa¸caõ s´ o foi poss´ıvel porque os corpos possuem capacidades térmicas diferentes. Est˜ ao CORRETAS: a) I e II b) apenas II c) apenas III d) I, II e III e) ˜ SOLUC ¸ AO A solu¸caõ desse item é uma an´ alise das rela¸co˜es abaixo: 1) Q = mc∆t 2) C = mc 3) Q = C∆T Onde: Q - quantidade de calor; C - capacidade térmica; c - calor espec´ıfico m - massa; ∆T - varia¸caõ da temperatura. Analisemos as afirma¸co˜es: I - Pela equa¸caõ 1), mesmo material =¿ mesmo calor espec´ıfico; como A sofreu maior varia¸caõ de temperatura, a massa de A é menor que a de B. Afirmativa falsa. II - Pela equa¸caõ 1), massas iguais =¿ sofre maior varia¸cão de temperatura o corpo de menor calor espec´ıfico. Portanto o calor espec´ıfico de A é menor que o de B, pois A sofreu maior varia¸caõ de temperatura. Afirma¸caõ falsa. III - Pela equa¸caõ 3) verifica-se que quantidades de calor iguais, as varia¸co˜es de temperaturas ser˜ ao diferentes se as capacidades térmicas forem diferentes. Afirma¸caõ correta. Portanto, apenas III é correta.

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—


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Eletricidade – Aula 1

Eletricidade

Aula 1 La La

Carga El´ etrica

Atrito

+ + + + + + + + + ++ +

No século XVIII, Benjamin Franklin verificou experimentalmente que existem dois tipos de cargas diferentes, a as batizou como cargas negativas (−) e positivas (+). Nesta época os cientistas pensavam que a carga era um flu´ıdo que podia ser armazenado nos corpos, ou passar de um para outro. Atualmente, dizer-se que carga el´ etrica é uma propriedade intr´ınseca de algumas part´ıculas. Assim como massa, a carga é uma propriedade elementar das part´ıculas. A experiência realizada por Harvey Fletcher e Robert Millikan demonstrou que a quantidade de carga elétrica é uma grandeza quantizada, ou seja, n˜ ao pode assumir qualquer valor. Essa descoberta levou à conclusão de que a quantidade de carga elétrica Q é sempre um n´ umero inteiro n vezes a quantidade de carga elementar e: Q = ne onde e = 1, 60 × 10−19 coulomb ou C.

(a)

(b)

Quando esfregamos as mãos, n˜ ao eletrizamos nenhuma delas. Para que haja eletriza¸caõ por atrito, uma condi¸caõ necess´ aria é que os corpos sejam de materiais diferentes, isto é, eles n˜ ao podem ter a mesma tendência de ganhar ou perder elétrons. Em Qu´ımica, essa tendência é traduzida por uma grandeza denominada de eletroafinidade. Os materiais podem ser classificados de acordo com essa tendência, elaborando-se a chamada série tribo-elétricas: + + + Vidro → Mica → L˜ a → Seda → Algod˜ ao → Maˆ deira → Ambar → Enxofre → Metais − − − Ao atritarmos dois materiais quaisquer de uma série triboelétrica, o que estiver posicionado à esquerda ficar´ a eletrizado positivamente; o que estiver à direita ficar´ a eletrizado negativamente. Na eletriza¸caõ por atrito, pelo menos um dos corpos C. A unidade SI da carga elétrica é o deve ser isolante. Se atritarmos dois condutores, eles n˜ ao vão manter a eletriza¸caõ.

Tipos de Materiais

Eletriza¸c˜ ao por Contato

Em rela¸caõ à eletricidade, os materiais s˜ ao classificados como condutores ou isolantes. Para que um material seja condutor de energia elétrica, é necess´ ario que ele possua portadores de carga elétrica livres (elétrons, ´ıons positivos ou ´ıons negativos) e mobilidade para esses portadores. Os metais s˜ ao bons condutores de eletricidade, pois possuem elétrons ”livres”e mobilidade para esses elétrons; o mesmo acontece com as solu¸co˜es eletrol´ıticas, que apresentam os ´ıons como portadores de carga elétrica, e com os gases ionizados, que possuem elétrons e ´ıons como portadores de carga elétrica. O vidro, a água pura, a madeira e os plásticos de modo geral s˜ ao bons isolantes de eletricidade. Além dos condutores e dos isolantes, existem os materiais semi-condutores, como o sil´ıcio e o germˆ anio.

A eficiência nessa forma de eletriza¸caõ depende de os corpos serem condutores ou isolantes. Se um dos corpos for isolante, a eletriza¸caõ ser´ a local, isto é, restrita aos pontos de contato. Se os dois corpos forem condutores - um eletrizado e o outro neutro - e colocados em contato, poderemos imaginá-los como um u ´ nico corpo eletrizado. A separa¸caõ entre eles resultará em dois corpos eletrizados com cargas de mesmo sinal. Na figura, um dos condutores est´ a inicialmente neutro (a eletriza¸caõ por contato pode ocorrer também com dois condutores inicialmente eletrizados).

Eletriza¸ c˜ ao por Atrito Ao atritar vigorosamente dois corpos, A e B, estamos fornecendo energia e pode haver transferência de elétrons de um para o outro. Se os corpos atritados est˜ ao isolados, ou seja, n˜ ao sofrem a influência de quaisquer outros corpos, as cargas elétricas cedidas por um s˜ ao exatamente as adquiridas pelo outro: QA = −QB Isto é, A e B adquirem quantidades de carga elétrica iguais em módulo, mas de sinais contr´ arios. A figura representa o que acontece quando um peda¸co de metal é atritado com um pano de l˜ a.

Depois

Antes + +

+ + + + +

+

+

+ + + +

+

+

+ +

+ +

+ +

+

+

+ +

+ +

+

+ +

+ +

+ +

+

+

+ +

+

(a)

+

+

+ +

+

+

+ +

+ +

(b)

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+ +

(c)

Generalizando, podemos afirmar que, na eletriza¸caõ por contato: • os corpos ficam ou eletricamente neutros ou com cargas de mesmo sinal; • quando o sistema é formado por corpos isolados das influências externas, a quantidade de carga elétrica total final é igual à quantidade de carga elétrica total inicial (princ´ıpio da conserva¸ca õ de carga elétrica): QA + QB = Q′ A + Q′ B Na express˜ ao acima, Q representa a quantidade de carga elétrica inicial e Q′ , a quantidade de carga elétrica final. Em particular, se os corpos A e B forem iguais:

100


Q′ A = Q′ B = (QA + QB)/2 Podemos ainda observar que: 1. se os corpos colocados em contato s˜ ao de tamanhos diferentes, a divisão de cargas é proporcional às dimensões de cada um; 2. quando um corpo eletrizado é colocado em contato com a Terra, ele se torna neutro, uma vez que sua dimensão é desprez´ıvel se comparada com ` a da Terra. Simbolicamente, a liga¸caõ ` a Terra é representada conforme a figura.

—


O indutor (a) eletrizado positivamente, atrai as cargas elétricas negativas do induzido (b). Assim, na face do induzido mais próxima do indutor, temos ac´ umulo de cargas negativas, que n˜ ao chegam ao indutor porque o ar entre eles é isolante. Por outro lado, a face do induzido mais afastada do indutor fica positiva. A essa altura, podemos nos perguntar se o corpo (b) est´ a eletrizado. Ele n˜ ao est´ a, pois o n´ umero de prótons no corpo continua igual ao n´ umero de elétrons. Dizemos que o corpo (b) est´ a induzido, porque houve apenas uma separa¸caõ das cargas. Quando retiramos o indutor, as cargas no induzido se reagrupam e ele volta à situa¸caõ neutra. Para eletrizar o induzido, devemos, na presen¸ca do indutor, estabelecer o contato do induzido (corpo b) com um terceiro corpo, chamado de terra. Esse terceiro corpo pode ser um outro corpo qualquer, até mesmo o planeta Terra. + + + + + +

+

+

B

Terra

+

(a)

(b)

+

+ + +

+

+

+ +

Em (a), o corpo est´ a isolado da Terra e, portanto, mantém sua carga elétrica. Quando o contato com a Terra é estabelecido (b), o corpo se neutraliza

+

+

+

+

+ + +

+

+

+

+ + + +

+

+

+

+

+ +

+

+ + +

+

+

A − Indutor

(a)

(b)

Eletriza¸ c˜ ao por Indu¸ c˜ ao

Na presen¸ca do indutor, desfazemos o contato entre b e a Terra; em seguida, afastamos os corpos: o corpo b fica eletrizado com carga oposta à do indutor a.

Nesse tipo de eletriza¸caõ n˜ ao h´ a contato entre os corpos. Vejamos como acontece.

Pense um Pouco!

+

+

+

+ +

+ +

+

+

+

+ +

+

+

• Uma pessoa pode levar um pequeno choque ao descer de um carro num dia seco. Explique.

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

• Atritando-se dois materiais diferentes criamos carga elétrica? Por quê?


1. Dispõe-se de três esferas met´ alicas idênticas e isoladas uma da outra. Duas delas, A e B, est˜ ao neutras, enquanto a esfera C contém uma carga elétrica Q. Faz-se a esfera C tocar Primeiramente, precisamos de um corpo eletrizado (a), cha- primeiro a esfera A e depois a esfera B. No final desse procemado de indutor, que pode ser condutor ou isolante, pois n˜ ao dimento, qual a carga elétrica das esferas A, B e C, respectiter´ a contato com o outro. O segundo corpo (b) a ser eletri- vamente? zado, chamado de induzido, dever´ a ser condutor, podendo ser uma solu¸caõ eletrol´ıtica ou dois corpos B1 e B2 ligados eletri- 2. ”Série tribo-elétrica é um conjunto de substâncias ordenadas de tal forma que cada uma se eletriza negativamente camente. quando atritada com qualquer uma que a antecede e positivamente quando atritada com qualquer uma que a sucede. + + + + Exemplo: vidro - mica - l˜ a - seda - algod˜ ao - cobre.”Baseado + na informa¸caõ acima, responda: + a) Atrita-se um pano de l˜ a numa barra de vidro, inicialmente + + neutros. Com que sinais se eletrizam? + b) E se o pano de l˜ a fosse atritado numa esfera de cobre, + também inicialmente neutro? + (a)

(b)

+ +

+

+

+

+

+

+

+

+

+ B1

(a)

+

+

B2

(b)

3. Uma esfera met´ alica neutra encontra-se sobre um suporte isolante e dela se aproxima um bast˜ ao eletrizado positivamente. Mantém-se o bast˜ ao próximo à esfera, que é ent˜ ao

101

Eletricidade – Aula 2 ligada ` a terra por um fio met´ alico. Em seguida, desliga-se o fio e afasta-se o bast˜ ao. a) A esfera ficar´ a eletrizada positivamente. b) A esfera n˜ ao se eletriza, pois foi ligada ` a terra. c) A esfera sofrer´ a apenas separa¸caõ de suas cargas. d) A esfera ficar´ a eletrizada negativamente. e) A esfera n˜ ao se eletriza, pois n˜ ao houve contato com o bast˜ ao eletrizado.

esfera, ambas condutoras. O isolante impede a passagem de cargas elétricas da haste para a esfera. Normalmente, as folhas met´ alicas s˜ ao mantidas dentro de um frasco transparente, a fim de aumentar a sua justeza e sensibilidade.

4. Dispõe-se de uma esfera condutora eletrizada positivamente. Duas outras esferas condutoras, B e C, encontram-se inicialmente neutras. Os suportes das três esferas s˜ ao isolantes. Utilizando os processos de eletriza¸caõ por indu¸caõ e por contato, descreva procedimentos práticos que permitam obter: a) as três esferas eletrizadas positivamente II. A eletrizada positivamente e B negativamente III. A eletrizada negativamente e B positivamente


++ + +++

Eletrostato (a)

5. (U. Fortaleza-CE) Um bast˜ ao é atritado com um pano. A seguir, repele uma esfera eletrizada negativamente. Pode-se afirmar corretamente que o bast˜ ao foi eletrizado a) positivamente, por contato com o pano. b) positivamente, por ter-se aproximado da esfera. c) negativamente, por ter-se aproximado da esfera. d) negativamente, por atrito com o pano. e) neutralizado, ao aproximar-se da esfera

(b)

Figura 1.1: O eletrosc´ opio de folhas (a) na presen¸ca de um bast˜ ao eletrizado negativamente (b)

Aproximando-se da esfera o corpo que se quer verificar, se ele estiver eletrizado, ocorrerá a indu¸caõ eletrostática, ou seja: se o corpo estiver carregado negativamente, ele repele os elétrons livres da esfera para as lˆ aminas, fazendo com que elas se abram 6. (PUCC-SP) Dispõe-se de uma barra de vidro, um pano devido à repuls˜ ao; se o corpo estiver com cargas positivas, ele de l˜ a e duas pequenas esferas condutoras, A e B, apoiadas atrai os elétrons livres das lˆ aminas, fazendo também com que em suportes isolados, todos eletricamente neutros. Atrita-se elas se abram, novamente, devido à repuls˜ ao. a barra de vidro com o pano de l˜ a; a seguir coloca-se a barra de vidro em contato com a esfera A e o pano com a esfera B. ++ Ap´ os essas opera¸co˜es: ++ a) o pano de l˜ a e a barra de vidro estar˜ ao neutros. b) a barra de vidro repelir´ a a esfera B. c) o pano de l˜ a atrair´ a a esfera A. + + d) as esferas A e B se repelir˜ ao. + + e) as esferas A e B continuar˜ ao neutras. 7. (UNIRIO-RJ) Uma esfera met´ alica, sustentada por uma haste isolante, encontra-se eletrizada com uma pequena carga elétrica Q. Uma segunda esfera idêntica e inicialmente descarregada aproxima-se dela, até toc´ a-la. Ap´ os o contato, a carga elétrica adquirida pela segunda esfera é: a) Q/2 b) Q c) 2Q d) 0 e) −Q

Figura 1.2: Na presen¸ca de um bast˜ ao eletrizado positivamente

Eletricidade

A Lei de Coulomb

Aula 2

A determina¸caõ do sinal da carga do corpo em teste, que já se sabe estar eletrizado, é obtida carregando-se anteriormente o eletroscópio com cargas de sinal conhecido. Dessa forma, as lˆ aminas ter˜ ao uma determinada abertura inicial.

Esta lei diz respeito à intensidade das for¸cas de atra¸caõ ou de repuls˜ ao, que agem em duas cargas elétricas puntiformes (cargas de dimensões desprez´ıveis), quando colocadas em presen¸ca uma da outra. Eletrosc´ opio de Folhas Considere duas cargas elétricas puntiformes, q1 e q2 , separadas ´ constitu´ıdo de duas folhas met´ E alicas, finas e flex´ıveis, liga- pela distância r. Sabemos que, se os sinais dessas cargas forem das em sua parte superior a uma haste, que se prende a uma iguais, elas se repelem e, se forem diferentes, se atraem. Isto

102


acontece devido à a¸caõ de for¸cas de natureza elétrica sobre elas. Essas for¸cas s˜ ao de a¸caõ e rea¸caõ e, portanto, têm a mesma intensidade, a mesma dire¸caõ e sentidos opostos. Deve-se notar também que, de acordo com o princ´ıpio da a¸caõ e rea¸caõ, elas s˜ ao for¸cas que agem em corpos diferentes e, portanto, n˜ ao se anulam. Charles de Coulomb verificou experimentalmente que: As for¸cas de atra¸caõ ou de repuls˜ ao entre duas cargas elétricas puntiformes s˜ ao diretamente proporcionais ao produto das cargas e inversamente proporcionais ao quadrado da distância que as separa.

q1 q2 r2

onde q1 e q2 s˜ ao os módulos das cargas elétricas envolvidas, e k uma constante eletrostática que, no SI, para as cargas situadas no vácuo é


5. (Santa Casa-SP) A figura representa um eletroscópio de folhas inicialmente descarregado. A esfera E, o suporte S e as folhas F s˜ ao met´ alicos. Inicialmente, o eletroscópio est´ a eletricamente descarregado. Uma esfera met´ alica, positivamente carregada, é aproximada, sem encostar, da esfera do eletroscópio. Em qual das seguintes alternativas melhor se representa a configura¸caõ das folhas do eletroscópio (e suas cargas), enquanto a esfera positiva estiver perto de sua esfera? b)

a)

c)

E S

A express˜ ao matemática dessa for¸ca é: F =k

—

F d)

e)

blindagem metalica

6. Duas cargas puntiformes q1 = −5, 0 µC e q2 = +8, 0 µC est˜ ao sobre o eixo horizontal, separadas por uma distância r. Assinale a alternativa correta: a) As cargas se repelem mutuamente Pense um Pouco! b) q2 atrai q1 com mais intensidade do que q1 atrai q2 • Baseado na lei de Coulomb, explique como funciona o c) o sistema forma um dipolo d) As cargas se atraem eletricamente eletroscópio; e) A for¸ca sobre as cargas s˜ ao verticais • Se dobrarmos a distância r entre duas cargas dadas, o que acontece com a for¸ca elétrica entre elas? k = 9 × 109 N · m2 /C 2

• Se colocarmos muitos elétrons no centro de uma chapa met´ alica quadrada, o que acontecer´ a com essa carga?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Duas esferas condutoras eletrizadas, de pequenas dimens˜ oes, atraem-se mutuamente no vácuo com for¸ca de intensidade F ao estarem separadas por certa distância r. Como se modifica intensidade da for¸ca quando a distância entre as esferas é aumentada para 4r? 2. As cargas elétricas −q e +q ′ , puntiformes, atraem-se com for¸ca de intensidade F , estando ` a distancia r uma da outra no vácuo. Se a carga q ′ for substitu´ıda por outra −3q ′ e a distância entre as cargas for duplicada, como se modifica a for¸ca de intera¸caõ elétrica entre elas? 3. Considere um eletroscópio de folhas descarregado. Explique o que acontece quando um corpo eletrizado negativamente é: a) aproximado da esfera do eletroscópio; b) encostado na esfera do eletroscópio.

Eletricidade

Aula 3

Campo El´ etrico Quando empurramos uma caixa, estamos aplicando sobre ela uma certa for¸ca. N˜ ao é dif´ıcil imaginar de que forma essa for¸ca foi transmitida à caixa, pois de imediato associamos à aplica¸caõ da for¸ca o contato travado com a caixa. Pensemos agora na intera¸caõ entre cargas elétricas: conforme estudamos anteriormente, se aproximarmos de uma carga Q uma outra carga q, que denominaremos carga de prova, verificaremos a a¸caõ de uma for¸ca F~ (atrativa ou repulsiva, conforme os sinais das cargas) sobre a carga q. Nesse caso, n˜ ao h´ a contato entre os corpos, o que torna mais dif´ıcil a compreensão da forma de transmissão da for¸ca. Durante muito tempo afirmou-se que a for¸ca eletrostática era uma intera¸caõ direta e instantˆ anea entre um par de part´ıculas eletrizadas, conceito este denominado a¸caõ a distância.

m

Exerc´ıcios Complementares F

4. Duas part´ıculas eletrizadas com cargas elétricas de mesmo valor absoluto mas sinais contr´ arios atraem-se no vácuo com for¸ca de intensidade 4, 0 × 10−3 N , quando situadas a 9, 0 cm uma da outra. Determine o valor das cargas, sendo k = 9 × 109 N · m2 /C 2 .

103

Eletricidade – Aula 3 Se trabalhássemos apenas com cargas em repouso, a a¸caõ a distância nos bastaria para que resolvêssemos a maioria dos problemas do eletromagnetismo. No entanto, o estudo de cargas em movimento n˜ ao pode ser deixado de lado e nesse caso a teoria da a¸caõ a distância é falha, sendo necess´ ario buscarmos outra forma de explicar a intera¸caõ elétrica. E foi com Faraday (1791-1867) que nasceu a idéia que constitui hoje um dos mais importantes recursos em F´ısica: a no¸caõ de campo. Dizemos que a presen¸ca da carga Q afeta a regi˜ ao do espa¸co próxima a ela, ou seja, que a carga Q cria nas suas vizinhan¸cas uma “propriedade”que d´ a a essa regi˜ ao “algo”mais que atributos geométricos, “algo”que transmitir´ a a qualquer carga de prova colocada nessa regi˜ ao a for¸ca elétrica exercida pela carga Q. Designamos por campo elétrico tal propriedade. Assim, a for¸ca F~ é exercida sobre q pelo campo elétrico criado por Q. Esquematicamente teremos: A¸caõ ` a distância: carga ⇐⇒ carga Teoria de campo: carga ⇐⇒ campo ⇐⇒ carga A no¸caõ de campo é utilizada em muitas outras situa¸co˜es f´ısicas, como por exemplo a intera¸caõ gravitacional. Na figura a seguir, em vez de pensarmos numa atra¸caõ direta da Terra sobre o corpo de massa m, podemos dizer que a Terra cria em torno de si um campo gravitacional; em outras palavras, a presen¸ca da Terra faz com que todos os pontos de sua vizinhan¸ca possuam uma propriedade segundo a qual todo corpo colocado nesse local sofrer´ a a a¸caõ de uma for¸ca atrativa. Uma observa¸caõ muito importante deve ser feita: o campo elétrico num ponto P qualquer da vizinhan¸ca da carga Q, assim como o campo gravitacional num ponto qualquer nas vizinhan¸cas da Terra, existe independentemente da presen¸ca da carga de prova q ou da massa m. Estas apenas testam a existência dos campos elétrico e gravitacional nos pontos considerados.

O Vetor Campo El´ etrico O campo elétrico é melhor caracterizado em cada ponto do ˆ denominado vetor campo elétrico. A espa¸co por um vetor E, defini¸caõ do vetor campo elétrico é tal, que por seu intermédio poderemos estudar muitas caracter´ısticas do campo elétrico, a partir do estuco desse vetor num ponto. Consideremos P um ponto genérico de um campo elétrico gerado por uma fonte qualquer. Coloquemos em P , sucessivamente, cargas de prova q1 , q2 , q3 , ..., q. A intensidade da for¸ca elétrica atuante nas cargas de prova ir´ a variar, mas a dire¸caõ da for¸ca ser´ a a mesma, conforme indicamos na seq¨ uência de figuras seguintes:

~ distinguimos dois casos: Quanto ao sentido do vetor E, ~ ~ a) q é positiva: E e F têm o mesmo sentido; ~ e F~ têm sentidos contrários. b) q é negativa: E Podemos concluir, da equa¸caõ, que as unidades de intensidade do vetor campo elétrico ser˜ ao unidades de for¸ca por unidades de carga. Assim, no sistema internacional de unidades, teremos:

Unidade SI ~ ser´ por defini¸caõ, a unidade de de campo elétrico é E a newton/coulomb, ou seja N/C.

Linhas de Campo A denomina¸caõ linhas de campo ou linhas de for¸ca designa uma maneira de visualizar a configura¸caõ de um campo elétrico. Esse artif´ıcio foi empregado por Faraday e mesmo hoje pode ser conveniente seu uso.

E

E

E E E E

Apresentamos a seguir a significa¸caõ das linhas de for¸ca: 1. S˜ ao linhas tra¸cadas de forma que a tangente a cada ponto ~ S˜ nos fornece a dire¸caõ de E. ao orientadas no sentido do vetor campo. 2. As linhas de campo s˜ ao tra¸cadas de forma que o n´ umero de linhas que atravessa a unidade de área de uma seçcaõ ~ perpendicular às mesmas é proporcional ao módulo de E. ~ é Dessa forma, onde elas estiverem mais próximas, |E| ~ é menor. maior; onde elas estiverem mais afastadas, |E|

E menos intenso P

P

F 2

E mais intenso

P

F 1

F

q

q

q

1

2

(a)

(b)

(c)

Conclu´ımos que a rela¸caõ entre a for¸ca e a carga em que ela atua é uma caracter´ıstica do ponto P considerado, denominada vetor campo elétrico. Assim, teremos:

As figuras seguintes mostram linhas de campo de alguns campos elétricos particulares:

~ = F~ /q E

• campo gerado por uma carga puntiforme positiva.

104


—


P Q

As linhas de campo “nascem”nas cargas positivas.

No ponto P da figura, colocamos urna carga de prova q, o vetor campo elétrico no ponto P tem intensidade dada por: E = F/q. O campo gerado por uma carga puntiforme Q num ponto P qualquer do espa¸co tem intensidade dada por:

• carga puntiforme negativa:

E=

Q F =k 2 q r

Utilizando uma linguagem n˜ ao muito rigorosa, podemos dizer que as cargas positivas geram campos de afastamento e as cargas negativas geram campos de aproxima¸caõ. Campo El´ etrico para V´ arias de Cargas Se cada uma das cargas estivesse sozinha, originaria no ponto P um campo elétrico devido à sua presen¸ca individual. Dado o efeito aditivo da for¸ca elétrica, o campo elétrico devido à presen¸ca de n cargas puntiformes ser´ a a soma vetorial dos campos produzidos individualmente por cada uma das cargas, isto é: ~ =E ~1 + E ~2 + E ~3 + . . . = E As linhas de campo “morrem”nas cargas negativas • duas cargas de sinais iguais:

n X

~i E

i=1

Importante: esta soma deve ser feita usando-se a soma de vetores.

E4 E2

Q1 Q2

E3

P

E1

E5

Q3 Q4

Q5

3. Observe que, por defini¸caõ, o campo elétrico é u ´ nico em cada ponto do espa¸co, e portanto, duas linhas de campo Se todas as cargas Qi estiverem sobre uma mesma linha reta, nunca se cruzam. que também contém o ponto P , ent˜ ao a intensidade do campo em P ser´ a

C´ alculo do Campo El´ etrico Campo de uma Carga Puntiforme

n

E=k

X Q2 Q3 Q1 kQi ri2 + k 2 + k 2 + ... = 2 r1 r2 r3 i=1

O campo elétrico devido a uma carga puntiforme Q fixa é Esta é uma soma escalar, mais fácil de fazer do que a necessária no caso anterior. facilmente determinado analisando-se a figura seguinte:

105


Campo El´ etrico Uniforme

E (N/C)

a) Calcule o valor da carga Q que origina o campo. b) Determine a intensidade do campo elétrico em um ponto Trata-se de um campo elétrico em que o vetor campo elétrico que dista 30 cm da carga fixa. é o mesmo em todos os pontos, o que equivale a dizer que em 1000 ~ ser˜ cada ponto o módulo, a dire¸caõ e o sentido do vetor E ao os mesmos. Em conseq¨ uência dessa defini¸caõ, conclu´ımos que 800 as linhas de campo devem ser retas paralelas orientadas todas com o mesmo sentido. 600 Por exemplo, para uma pequena regi˜ ao do espa¸co, muito longe 400 de uma carga puntiforme, o campo elétrico se torna quase uniforme. Próximo à superf´ıcie da Terra, existe um campo elétrico 200 vertical, de cima para baixo de intensidade E ≈ 100 N/C. Este campo é quase uniforme, visto em pequena escala (al0 guns metros), sobre o ch˜ ao plano. 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 d (m)

5. (PUC-SP) Numa certa região da terra, nas proximidades da superf´ıcie, a acelera¸caõ da gravidade vale 9, 8 m/s2 e o campo • Qual as semelhan¸cas e diferen¸cas entre a for¸ca elétrica e eletrostático do planeta (que possui carga negativa na região) vale 100 N/C, e é na dire¸caõ vertical, sentido de cima para a gravitacional? Fa¸ca um paralelo. baixo. Determine o sinal e o valor da carga elétrica que uma • Num sistema de cargas puntiformes é poss´ıvel se encon- bolinha de gude, de massa 50 g, deveria ter para permanetrar algum ponto P onde o campo elétrico seja nulo? Dê cer suspensa em repouso, acima do solo. Considere o campo elétrico praticamente uniforme no local e despreze qualquer exemplos. outra for¸ca atuando sobre a bolinha. • Um dipolo é formado por um par de cargas +q e −q. ~ apontando 6. (Mackenzie-SP) Existe um campo elétrico E Esboce as linhas de campo de um dipolo. para baixo, na atmosfera terrestre, com uma intensidade média de 100 N/C. Deseja-se fazer flutuar nesse campo uma esfera de enxofre de 0, 5kg. Que carga (m´ odulo e sinal) precisa ter a Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao esfera?

Pense um Pouco!

1. (Fatec-SP) Em um ponto P do espa¸co existe um campo ~ horizontal de 5 × 104 N/C, voltado para a direita. elétrico E a) Se uma carga de prova de l, 5 µC, positiva, é colocada em P , qual ser´ a o valor da for¸ca elétrica que atua sobre ela? b) Em que sentido a carga de prova tender´ a a se mover, se for solta? c) Responda às quest˜ oes a) e b) supondo que a carga de prova seja negativa. 2. (ITA-SP) Uma placa vertical isolante, de dimensões muito grandes, est´ a uniformemente carregada. Sabendo-se que o campo elétrico por ela gerado é o mesmo em todos os pontos próximos à placa e que uma pequena esfera de massa 25 gramas, presa por um fio leve na placa forma o ângulo de afastamento entre a esfera e a placa é de 30◦ ?, determinar: a) a for¸ca elétrica que atua na esfera, supondo que ela se encontre em equil´ıbrio; b) o campo elétrico da placa, sabendo-se que a carga na esfera vale −5 µC.

Eletricidade

Aula 4

Potencial El´ etrico Diferen¸ca de Potencial Consideremos positiva uma carga que se desloca de A para B, em equil´ıbrio, ou seja, faz-se uma for¸ca externa F~ext. tal que anule a for¸ca elétrica F~E sobre a carga: F~ext. = −F~E

Ao trabalho realizado pelo agente externo Wext. por unidade de carga que se desloca de A para B, denominamos diferen¸ca 3. (USP-SP) Uma carga elétrica puntiforme q = 2 × 10−6 C de potencial ou tens˜ ao elétrica de A para B, habitualmente e de massa 10−5 kg é abandonada em repouso num campo representada por VB − VA ou simplesmente VAB . elétrico uniforme de intensidade 104 N/C. Assim, matematicamente teremos: a) Qual é a acelera¸caõ adquirida por q? b) Qual a velocidade da part´ıcula no instante 8, 0 s? W A→B W A→B VB − VA = ext. = − E q q


Sendo o trabalho W e q grandezas escalares, a diferen¸ca de potencial também ser´ a uma grandeza escalar. 4. (FUVEST-SP) O diagrama da figura seguinte representa O trabalho WEA→B independe da trajetória escolhida entre os a intensidade do campo elétrico gerado por uma carga punti- pontos A e B, e isso é um resultado decorrente do fato de a forme fixa no vácuo, em fun¸caõ da distância d ` a carga. for¸ca elétrica ser conservativa.

106


—


Unidades SI No Sistema Internacional de Unidades, a unidade de diferen¸ca de potencial (d.d.p.) ser´ a o joule/ coulomb, que é denominada volt ou V . Assim, uma d.d.p. de 110 V entre dois pontos indica que o ext E campo (for¸ca elétrica) realiza um trabalho de 110 J sobre cada l C de carga que se desloca de um ponto para outro. Para analisar o sinal da d.d.p., tente imaginar você realizando o movimento de uma carga de prova entre os pontos A e B, e observe os sentidos da for¸ca externa e do deslocamento. Por exemplo, se você deslocar uma carga positiva, contra o campo elétrico numa determinada regi˜ ao, observar´ a que ser´ a realizado um trabalho externo positivo, e o potencial da carga deslocada aumenta, porque ela foi deslocada para uma regi˜ ao de maior Como o campo é uniforme, a for¸ca elétrica que atua na carga q é constante e ter´ a intensidade dada por: potencial.

A

F

F

B

+q

E

F = qE Potencial El´ etrico Gerado por uma Carga Puntiforme

Sabemos, da mecˆ anica, que o trabalho realizado por uma for¸ca constante e paralela ao deslocamento e dado por

A→B Wext. = −FE · d Para calcularmos o trabalho WEA→B realizado sobre a carga +q, sendo deslocada próximo ` a uma carga puntiforme Q, deao a d.d.p. entre os pontos A e B, de A para B, ser´ a: vemos utilizar conceitos matemáticos que o estudante verá em Ent˜ seu curso superior: trata-se do c´ alculo integral, que, utilizado VB − VA = −E · d neste caso, nos fornecer´ a como resultado: e neste caso dizemos que a tens˜ ao cai de A para B. Em geral, a d.d.p. é negativa na dire¸caõ e sentido do campo elétrico. 1 1 WEA→B = −kQq − A rela¸caõ obtida acima é de grande utilidade, uma vez que, rB rA conhecida a d.d.p. e o deslocamento, obteremos facilmente o campo elétrico. Observe que o campo elétrico poder´ a ser Dessa maneira a diferen¸ca de potencial no caminho de A para expresso também em volt/metro. Procure demonstrar que B ser´ a: l N/C = l V /m.

VA→B

W A→B = VB − VA = − ext. = kQ q

1 1 − rB rA

Rigidez Diel´ etrica

Sabe-se que o ar é isolante, porém quando submetido a um grande campo elétrico, algumas moléculas s˜ ao ionizadas e o ar Se quisermos determinar o potencial de um dos pontos, por se torna condutor. A esse limite de campo elétrico máximo etrica ou exemplo, B, fa¸camos rA tender ao infinito, onde supomos que que um isolante suporta chamamos de rigidez diel´ Emax . Para o ar de Jonville, sempre muito u ´ mido, temos o potencial seja nulo. Quando isso acontece Emax ≈ 800 v/mm. VB = k

Q rB

Pense um Pouco!

Essa equa¸caõ fornece o potencial de B em rela¸caõ a um ponto no infinito. Se nos depararmos com uma configura¸caõ de n cargas puntiformes, o potencial num ponto P dessa região ser´ a a soma algébrica dos potenciais devidos a cada carga, isto é:

VP = k

Q1 Q2 Qn + + ... + r1 r2 rn

=k

n X Qi i=1

ri

• Você saberia responder o valor da d.d.p. (diferen¸ca de potencial) entre o ch˜ ao e uma nuvem, num raio? • Qual a d.d.p. máxima entre dois fios paralelos, separados por uma distância de 10 cm, em Joinville? • Num dado instante, a d.d.p. entre os eletrodos de uma tomada é de 200 V . O que significa isso fisicamente?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao Potencial dentro de um Campo El´ etrico

1. Qual o potencial de um ponto P , situado a 20 cm de uma carga positiva de campo cujo valor é 4, 0 × l0−6 C?

Seja q uma carga positiva que se desloca de A para B sobre uma linha de for¸ca do campo uniforme mostrado na figura 2. (FAAP-SP) Duas cargas Q1 e Q2 , de valores −2 µC e seguinte: +2 µC, respectivamente, est˜ ao separadas por uma distância

107

Eletricidade – Aula 5 de 40 cm. a) Calcule o potencial no ponto P , situado na metade do segmento que une as cargas Q1 e Q2 . b) Calcule o módulo, a dire¸caõ e o sentido do vetor campo elétrico em P . c) O que se pode concluir dos resultados obtidos com esses c´ alculos? 3. (UFSC-SC) O campo elétrico no interior de um sistema de placas paralelas eletrizadas com cargas de sinais contrários é um bom exemplo de campo elétrico uniforme. Na figura seguinte, a distância entre os pontos A e B vale 5 cm e a intensidade do campo elétrico uniforme E é 2, 0 × 1O5 N/C. a) Qual a d.d.p. entre os pontos A e B indicados na figura? b) Se o ponto A for tomado como n´ıvel de referência para o potencial (V = 0), qual ser´ a o potencial do ponto B?

ou opostos. Como sabemos, a esse trabalho corresponde uma energia armazenada no sistema sob a forma de energia potencial elétrica. Assim, definiremos a energia potencial elétrica de um sistema de cargas elétricas puntiformes como sendo o trabalho externo realizado para trazê-las em equil´ıbrio de uma separa¸caõ infinita até a configura¸caõ atual.

equipotencial linha de campo

E

V1

E A

V2 V3 V4

B


O potencial elétrico que uma carga q1 origina no ponto P , a uma distância r da carga, é dado por:

4. (ACAFE-SC) No vácuo, um pequeno corpo eletrizado com kq1 carga elétrica Q cria um potencial igual a +3000 V num ponto V1 = 9 2 2 r A, situado a 30 cm de Q. Sendo k = 9 × 10 N · m /C , determine: Imaginemos, agora, que uma segunda carga q2 foi trazida do a) o valor da carga Q; infinito até o ponto P . O trabalho realizado para tal é, segundo b) a intensidade do vetor campo elétrico no ponto A. a defini¸caõ de potencial elétrico: 5. (UFRS-RS) Temos as cargas Q1 , Q2 e Q3 dispostas nos W2 = q2 V1 vértices de um retˆ angulo de lados 6 cm e 8 cm. Calcule o potencial elétrico total no vértice A, que n˜ ao contém nenhuma Como o trabalho é a própria energia potencial elétrica E do pot carga. Dados: Q1 = 8 µC, Q2 = 16 µC, Q3 = −12 µC e sistema de cargas {q , q }, ent˜ a o 1 2 k = 9 × 109 N · m2 /C 2 . kq1 q2 6. (IME-RJ) Calcular o trabalho das for¸cas do campo elétrico Epot = r12 de uma carga puntiforme Q = 5 µC para transportar outra carga puntiforme q = 2, 0 µC de um ponto A a ou- onde r12 é a distância entre as cargas q1 e q2 . tro B, distantes 1, 0 m e 2, 0 m da carga Q, respectivamente. Esse trabalho é positivo ou negativo? Explique. Dado: k = 9 × 109 N · m2 /C 2 . Pense um Pouco!

Eletricidade

Aula 5

• Como seriam as superf´ıcies equipotenciais de uma carga puntiforme? • Qual o trabalho necess´ ario para se deslocar uma carga q ′ em torno de uma carga fixa q, mantendo-se a distância fixa entre elas?

Superf´ıcies Equipotenciais Denomina-se superf´ıcie equipotencial ao lugar geométrico dos pontos que têm mesmo potencial elétrico. Nenhum trabalho é realizado no deslocamento de uma carga de prova entre dois pontos de uma mesma superf´ıcie equipotencial. Para aumentar a separa¸caõ entre as cargas, é preciso que um agente externo realize um trabalho, cujo sinal poder´ a ser positivo ou negativo, conforme sejam as cargas de sinais iguais

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (FATEC-SP) Sabe-se que a carga do próton é igual em valor absoluto à do elétron, tendo no entanto sinal contrário ao da referida carga. Um próton tem velocidade relativa zero em rela¸caõ a um elétron. Quando eles estiverem separados pela distância 10−13 cm, calcule a energia potencial do sistema.

108


V (volts)

0

100

-50

50

-100

0

-150

-0.5 0.0 x (m) 0.5


V (volts)

150

-1.0

—

1.0

1.0 0.5 0.0 y (m) -0.5 -1.0

Figura 1.1: O potencial elétrico em torno de uma carga puntual positiva q = +1 nC. Na base est˜ ao as equipotenciais, indicando no c´ırculo maior onde V = +10 V . Masca-se as equipotenciais a cada 20 V .

2. (IME-RJ) Três cargas q1 , q2 e q3 est˜ ao dispostas, uma em cada vértice de um triˆ angulo equil´ atero de lado a. Qual a energia potencial do sistema? Suponha em q1 = 1, 0 µC, q2 = −4, 0 µC, q3 = 2, 0 µC e a = 10 cm.

-1.0

-0.5 0.0 x (m) 0.5

1.0

1.0 0.5 0.0 y (m) -0.5 -1.0

Figura 1.2: O potencial elétrico em torno de uma carga puntual positiva q = −1 nC. Na base est˜ ao as equipotenciais, indicando no c´ırculo maior onde V = −10 V . Masca-se as equipotenciais a cada 20 V .

equipotencial linha de campo

E

3. No esquema abaixo representamos as superf´ıcies equipotenciais e as linhas de for¸ca no campo de uma carga elétrica puntiforme Q. Considere que o meio é o vácuo. Sendo V1 = 60 V ; V2 = 30 V ; V3 = 20 V , e do centro da carga até V2 a distância r = 0, 30 m. Determine: a) o valor de Q; b) a d.d.p. encontrada no caminho da superf´ıcie com V1 até a outra com V2 ; c) o trabalho da for¸ca elétrica que atua sobre uma carga de prova q ′ = +1, 0 µC ao ser deslocada de V2 para V3 .

V1 V2 V3 V4

109


Exerc´ıcios Complementares 4. (USP-SP) Uma part´ıcula de massa m e carga elétrica q > 0 est´ a em equil´ıbrio entre duas placas planas, paralelas e horizontais, e eletrizadas com cargas de sinais opostos. A distância entre as placas é d, e a acelera¸caõ local da gravidade é g. a) Determine a diferen¸ca de potencial entre as placas em fun¸caõ de m, g, q e d. b) Qual placa tem o maior potencial? Explique. 5. (FEI-SP) Uma part´ıcula da massa m = 200 mg e carga q = +1µC é abandonada num ponto A e se dirige a outro B. Sendo de −100 V a diferen¸ca de potencial de A e B, a velocidade com que a part´ıcula alcan¸ca B é: a) 5, 0 m/s b) 4, 0 m/s c) 3, 0 m/s d) 2, 0 m/s e) 1, 0 m/s 6. (Santa Casa-SP) Sabe-se que a massa do elétron é 9, 1 × 10−31 kg, que sua carga elétrica vale −1, 6 × 10−19 C e que a diferen¸ca de potencial entre os ponto A até B é 100 V . Um elétron é abandonado em B sob a a¸caõ exclusiva do campo elétrico. O módulo da velocidade do elétron ao atingir o ponto A é um valor mais próximo de: a) 36 × 1012 m/s b) 6, 0 × 1012 m/s c) 6, 0 × 106 m/s d) 35 × 106 m/s e) 6, 0m/s

Eletricidade

Aula 6

Condutores em Equil´ıbrio Vamos estudar o campo elétrico e o potencial elétrico de uma distribui¸caõ de cargas em um condutor em equil´ıbrio eletrost´ atico. Para estudar os campos elétricos, vamos usar n˜ ao sistemas de cargas puntiformes e sim distribui¸co˜es de cargas em condutores. Deve-se considerar que estes est˜ ao em equil´ıbrio eletrost´ atico, ou seja, nenhuma carga est´ a sendo colocada ou retirada do condutor, e todo o movimento interno de cargas j´ a cessou.

Equil´ıbrio Eletrost´ atico Um condutor est´ a em equil´ıbrio eletrostático quando nele n˜ ao ocorre movimento ordenado de cargas elétricas. Fornecendo-se ao condutor representado em corte da Fig. 1.1, uma a carga elétrica Q, a repuls˜ ao m´ utua das cargas elementares que constituem Q faz com que elas fiquem t˜ ao longe uma da outra quanto poss´ıvel. O maior afastamento poss´ıvel corresponde a uma distribui¸caõ de cargas na superf´ıcie externa do condutor, situa¸caõ, ali´ as, que destacamos nas figuras de condutores que até agora apareceram em nossas aulas. Nessa configura¸caõ de cargas, todas na superf´ıcie, o condutor possui a sua menor energia potencial elétrica.

+++ metal eletrizado ++ ++ + + + + E tangente ‘a + + A superficie + + + + ++ + + linha de campo + C + + B + + + + + +

Figura 1.1: Um condutor carregado com carga positiva. O Campo Interno No interior de um condutor eletrizado, de qualquer formato, o ~ = ~0. campo el´ etrico ´ e nulo em todos os pontos, ou seja, E Isso pode ser constatado simplesmente notando que, se houvesse campo elétrico no interior do condutor, ele agiria nos elétrons livres, os quais teriam um movimento ordenado sob sua influência, contrariando o conceito de condutor em equil´ıbrio eletrostático. O Campo Externo Contudo, da sua superf´ıcie para fora, o campo elétrico n˜ ao ~ ser´ a nulo. Porém, nesses pontos, o vetor campo elétrico E deve ser normal à superf´ıcie, como em A, na Fig. 1.1. Se ~ ′ no ponto B da mesma figura, o vetor campo fosse como E ele teria uma componente tangencial à superf´ıcie do condutor, o que provocaria movimento ordenado de cargas ao longo da superf´ıcie.

O Poder das Pontas Nas regiões pontiagudas de um condutor carregado (regi˜ ao C da Fig. 1.1), a densidade de carga, isto é, a concentra¸caõ de cargas elétricas por unidade de área superficial é mais elevada. Por isso, nas pontas e em suas vizinhan¸cas o campo elétrico é mais intenso. Quando o campo elétrico nas vizinhan¸cas da ponta atinge determinado valor, o ar em sua volta se ioniza e o condutor se descarrega através da ponta. Esse fenˆ omeno recebe o nome ´ nele que se baseia, por exemplo, o de “poder das pontas”. E funcionamento dos p´ ara-raios.

Condutor Oco Evidentemente, n˜ ao importa se o condutor é maci¸co ou oco (Fig. 1.2): o campo elétrico no interior do metal é sempre nulo e as cargas se distribuem na sua superf´ıcie externa.

Potencial El´ etrico O potencial elétrico em todos os pontos, internos e superficiais, de um condutor em equil´ıbrio eletrostático, é constante. As-

110


+++ + +++ + + + + + +

++ +

+

+ +

+ +

+ + +

+

+

+

+ + +

—


Uma tela met´ alica envolvendo certa região do espa¸co também constitui uma blindagem satisfat´ oria – a chamada “gaiola de Faraday”. A blindagem eletrostática é muito utilizada para a prote¸caõ de aparelhos elétricos e eletrˆ onicos contra efeitos externos perturbadores. Os aparelhos de medidas sens´ıveis est˜ ao acondicionados em caixas met´ alicas, para que as medidas n˜ ao sofram influências externas. As estruturas met´ alicas de um avi˜ ao, de um autom´ ovel e de um prédio constituem blindagens eletrost´ aticas.

Figura 1.2: Um condutor oco. sim, para o condutor da Fig. 1.1, temos VA = VB = VC = VD .

Condutor Esf´ erico Para se determinar o vetor campo elétrico e o potencial elétrico em pontos externos a um condutor esf´ erico eletrizado, sup˜ oe-se sua carga Q puntiforme e concentrada no centro: Eext = k

Q r2

Vext = k

Q r

e

O potencial elétrico do condutor esférico de raio R é o potencial de qualquer ponto interno ou superficial, sendo dado pelo valor Como Funciona o P´ ara-Raios? fixo: Q Vint, sup = k R O p´ ara-raios tem por finalidade oferecer um caminho mais eficiente para as descargas elétricas, protegendo casas, edif´ıcios, depósitos de combust´ıveis, linhas de transmissão de energia Blindagem Eletrost´ atica elétrica, etc. Considere um condutor oco A em equil´ıbrio eletrostático e, em seu interior, o corpo C (Fig. 1.3). Como o campo elétrico no interior de qualquer condutor em equil´ıbrio eletrostático é nulo, decorre que A protege o corpo C, no seu interior, de qualquer a¸caõ elétrica externa. Mesmo um corpo eletrizado B externo induz cargas em A, mas n˜ ao em C. Desse modo, o condutor A constitui uma blindagem eletrostática para o corpo C.

Saiba Mais

A C

Figura 1.3: A blindagem eletrost´ atica.

O p´ ara-raio foi criado por BENJAMIN FRANKLIN (l7061790). pol´ıtico, escritor e cientista norte-americano. Atualmente, é constitu´ıdo essencialmente de uma haste condutora disposta verticalmente na parte mais alta da estrutura a ser protegida. A extremidade superior da haste apresenta uma ou mais pontas de material com elevado ponto de fusão, a outra extremidade da haste é ligada, através de condutores met´ alicos, a barras met´ alicas que se encontram cravadas, profundamente no solo. Se uma nuvem eletrizada estiver sobre as pontas do p´ ara-raios, induz nelas cargas elétricas intensificando o campo na região já ionizada pela descarga l´ıder. Produz-se a descarga principal através do p´ ara-raios.

111


2. Considere uma esfera met´ alica oca provida de um orif´ıcio e eletrizada com carga Q. Uma pequena esfera met´ alica neutra é colocada em contato com a primeira. Quais s˜ ao as afirma¸co˜es corretas? a) ( ) Se o contato for interno, a pequena esfera n˜ ao se eletriza. b) ( ) Se o contato for externo, a pequena esfera se eletriza. c) ( ) Se a pequena esfera estivesse eletrizada, ap´ os um contato interno ficaria neutra. d) ( ) Se aproximarmos a pequena esfera, sem tocar na esfera eletrizada, a carga elétrica da pequena esfera aumenta. e) ( ) Se aproximarmos a pequena esfera, a distribui¸caõ de cargas na esfera oca se altera. 3. (Efei-MG) Um condutor esférico de raio R = 30 cm est´ a eletrizado com carga elétrica Q = 6, 0 nC. O meio é o vácuo (k = 9, 0 × 109 N · m2 /C 2 ). Determine: a) o potencial elétrico e a intensidade do vetor campo elétrico no centro da esfera; b) o potencial elétrico e a intensidade do vetor campo elétrico num ponto externo e situado a 50 cm do centro da esfera.


Pense um Pouco! • Como funciona um p´ ara-raios? Que ´ area ele protege?

4. (Efei-MG) Duas esferas met´ alicas, A e B, de raios R e 3R, est˜ ao eletrizadas com cargas 2Q e Q, respectivamente. As esferas est˜ ao separadas de modo a n˜ ao haver indu¸caõ entre elas e s˜ ao ligadas por um fio condutor. a) Quais as novas cargas ap´ os o contato? b) Qual o potencial elétrico de cada esfera, depois do contato?

• Por que durante uma tempestade para se proteger das alicas, A e B, de raios chuvas é mais seguro ficar dentro do carro que debaixo de 5. (ACAFE-SC) Duas esferas met´ 10 cm e 20 cm, est˜ ao eletrizadas com cargas elétricas 5, 0 nC e uma árvore? −2, 0 nC, respectivamente. As esferas s˜ ao postas em contato. Determine, ap´ os atingir o equil´ıbrio eletrostático: a) as novas cargas elétricas das esferas; Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao b) o potencial elétrico que as esferas adquirem. c) Houve passagem de elétrons de A para B ou de B para A? 1. (Cefet-BA) Considere um condutor met´ alico com a forma Explique. indicada na figura. O condutor est´ a eletrizado positivamente e em equil´ıbrio eletrostático. Observe os pontos A, B e C. 6. (UNICAMP-SP) Conhecidas duas esferas met´ alicas Quais s˜ ao as afirma¸co˜es corretas? −6 idˆ e nticas, A e B, de cargas el´ e tricas 5, 0 × 10 C e 3, 0× a) ( ) O campo elétrico em A é nulo. −6 10 C, respectivamente. As esferas s˜ a o colocadas em conb) ( ) A densidade de cargas elétricas é maior em C do que tato. em B. a) Determine o n´ umero de elétrons que passou de um condutor c) ( ) O campo elétrico em B é mais intenso do que em C. para outro. d) ( ) Os pontos A, B e C possuem mesmo potencial elétrico. e) ( ) As cargas elétricas em excesso distribuem-se na superf´ıcie b) Qual das esferas recebe elétrons? externa do condutor. 7. Sabendo-se que existe um campo elétrico na superf´ıcie da Terra, vertical para baixo igual a 100 N/C. Dado o raio da + Terra R = 6.400 km, determine: + a) O potencial elétrico da Terra (do ch˜ ao); + + + b) A carga el´ e trica total da Terra. +

+

+

B + +

+ +

A

+ +

+

+

+

+

C

Eletricidade

Aula 7

112


Capacidade El´ etrica

++

+

+

Capacitores Planos O capacitor plano é constitu´ıdo por placas condutoras planas e paralelas, separadas por um dielétrico qualquer (ar, mica, papel, pol´ımeros, etc.)

Placa Condutora

+

Q

+ +

+ + + +

+

+ +


Num circuito, os capacitores ser˜ ao representados por duas barras paralelas.

Denomina-se capacidade elétrica ou capacitância de um corpo condutor a capacidade que ele possui de armazenar cargas. Da mesma forma que a quantidade de moles de um g´ as que um bal˜ ao pode conter depende da press˜ ao a que o g´ as estiver submetido e também das dimensões e forma do bal˜ ao, a capacidade elétrica dependerá das dimensões e forma do condutor. A experiência mostra que, se fornecemos a um condutor cargas Q1 , Q2 , Q3 , ..., Q, o potencial adquirido pelo mesmo ser´ a V1 , V2 , V3 , ..., V , sempre proporcionais ` a carga Q fornecida. Isso quer dizer que o quociente Q/V é constante (Fig. 1.1).

+

—

+

+ +

Material Isolante

V

+

−

Figura 1.1: Capacitor met´ alico carregado com carga positiva +Q. Essa constante de proporcionalidade C é denominada capacitˆ ancia do condutor.

Placa Condutora

Seja A a área de cada armadura e d a distância entre as mesmas. Consideremos inicialmente que haja vácuo entre as pla´ poss´ıvel demonstrar, mediante a aplica¸caõ da lei de cas. E Gauss, que o campo uniforme que existe entre as placas é dado por: Q E= ǫ0 A onde ǫ0 é a constante de permissividade el´ etrica do vácuo, ǫ0 = 8, 85 × 1O−12 F/m

Unidades SI No Sistema Internacional de Unidades (SI), temos:

no SI.

1 F = 1 f araday = 1 coulomb/1 volt = 1 F arad

Rela¸ c˜ ao Entre k e ǫ0 A capacitância de um condutor que recebe uma carga de l coulomb, adquirindo um potencial de l volt, é igual a l F . As constantes k, a constante elétrica da lei de Faraday, e ǫ0 , ao intimamente relaciNa prática, os capacitores tem capacitância da ordem t´ıpica a permissividade elétrica do vácuo, est˜ onadas, e pode-se mostrar que: de µF arad. 1 k= 4πǫ 0 Capacitores Na prática, é imposs´ıvel obter condutores de capacitância elevada, sem que suas dimensões sejam extraordinariamente grandes. No entanto, é poss´ıvel obtermos dispositivos, de dimens˜ oes pequenas, capazes de armazenar uma razoável quantidade de cargas com diferen¸cas de potencial n˜ ao muito grandes. Esses dispositivos s˜ ao denominados capacitares ou condensadores. Um capacitor é um par de condutores, separados por um isolante (dielétrico). Os condutores que constituem o capacitor s˜ ao denominados armaduras do capacitor. A classifica¸caõ dos capacitores é dada em fun¸caõ da forma de suas armaduras e da natureza do dielétrico que existe entre as mesmas. Em todo capacitor, existe uma rela¸caõ constante entre o módulo da carga (que é a mesma em valor absoluto nas duas armaduras) e a d.d.p. V entre as armaduras. Essa rela¸caõ é denominada capacitância do condensador. C = Q/V

e como ǫ0 é dado em F/m, ent˜ ao pode-se escrever a constante k em m/F , já que estas constantes s˜ ao inversamente proporcionais.

+ + + + + + ++ + + + +A + + +Q + + ++ + + + + + + + −Q

d

A

Conforme já estudamos anteriormente, a d.d.p. entre as placas vale V = Ed. Assim: Qd V = ǫ0 A A capacitância do capacitor plano é dada por: C=

ǫ0 A d

113

Eletricidade – Aula 8 Observe que a capacitância obtida é diretamente proporcional ` a a´rea A das placas, e inversamente proporcional à sua distância d. Se, em vez de ar ou vácuo, houver entre as armaduras um diel´ etrico de constante dielétrica b, a capacitância de um condensador plano ser´ a maior, dada por:

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Três condutores, de capacidades 2 pF , 3 pF e 5 pF , est˜ ao eletrizados com cargas de 4 µC, 12 µC e −20 µC, respectivamente. a) Determine os potenciais elétricos desses corpos.

bǫ0 A d

2. (FUVEST-SP) Um capacitor plano tem uma capacitância C. Entre suas armaduras h´ a uma distância d. Qual ser´ a sua Para que o dielétrico tenha efeito sobre a capacitância, ele capacidade se a distância entre suas placas for aumentada para deve ser colocado na regi˜ ao de campo elétrico do capacitor. 2d? Alguns dielétricos como a mica e poliéster chegam a aumentar 3. (UFBA) Um capacitor plano possui capacidade C = a capacitância em até 100 vezes o seu valor no vácuo (sem 100 pF , área das armaduras A = 100 cm2 , e dielétrico com dielétrico). κ = 5. Quando a ddp entre as armaduras for igual a 50V , calcule a intensidade do campo elétrico no interior do dielétrico. Capacitor Esf´ erico Simples Dado: ǫ0 = 8, 85 × 1O−12 F/m. C=

Se construirmos um capacitor com uma esfera simples condutora de raio R, sua capacitância ser´ a Q R Q = = = 4πǫ0 R C= V kQ/R k


4. (UFPR) Uma part´ıcula de massa 2, 0 × 10−10 kg com ou seja, a capacitância da esfera é diretamente proporcional carga positiva e igual a 2, 0 × 1O−6 C penetra através de um orif´ıcio, com velocidade de 1, 0 × 104 m/s, numa região onde ao seu raio R. existe um campo elétrico uniforme de módulo 4 × 105 N/C. A distância entre as placas vale 10 cm. Determine a energia + + + Q cin´ etica com que a part´ıcula atinge a segunda placa, andando + + + + contra o campo elétrico.

+ +

+ R + + + + + + + + + + + + + + + Capacitor Esferico ´

5. (UEL-PR) Um capacitor de capacidade C exibe, entre seus terminais, uma diferen¸ca de potencial V . A carga elétrica armazenada nesse capacitor é dada por: a) C/V b) V /C c) C 2 V d) CV 2 e) CV

Exemplo Vamos calcular a capacitância de uma esfera condutora de raio 6. (Puccamp-SP) Um capacitor de 8, 0 × 10−6 F é sujeito a igual a 1, 0 m. uma diferen¸ca de potencial de 30 V . A carga que ele acumulou vale: 1, 0 m R = ≈ 0, 11 nF C= a) 1, 2 × 10−4 C k 9, 0 × 109 m/F b) 2, 4 × 10−4 C Qual seria ent˜ ao o raio da esfera com capacitância de 1, 0 F ? c) 2, 7 × 10−7 C Como C = R/k ent˜ ao d) 3, 7 × 106 C e) 7, 4 × 106 C R = kC = (9, 0 × 109 m/F )(1, 0 F ) = 9, 0 × 109 m 7. (UF-ES) Um equipamento elétrico contém duas pilhas de Se compararmos esse valor com o raio da Terra, cerca de 6.4 × 1, 5 V em série, que carregam um capacitor de capacitância 6 10 m, veremos que o capacitor teria que ter um raio com 6, 0 × 10−5 F . Qual a carga elétrica que se acumula no capaaproximadamente 1.400 vezes maior que a Terra! citor, em coulombs?

Pense um Pouco! • Qual a utilidade dos capacitores em nosso cotidiano?

Eletricidade

Aula 8

• Se tentarmos afastar as placas (armaduras) de um capacitor carregado, realizaremos algum trabalho?

c˜ ao de Capacitores • Se conectarmos duas esferas met´ alicas idênticas de capa- Associa¸ citˆ ancia C cada uma, qual a capacitância do conjunto? Assim como os aparelhos em geral, os capacitores podem ser Comente. associados de vários modos, sendo os principais em série e em • A capacitância de um corpo met´ alico depende dele ser oco paralelo. Se numa associa¸caõ encontramos ambos os tipos, ou maci¸co? Explique. chamaremos de associa¸caõ mista.

114


Associa¸c˜ ao de Capacitores em S´ erie C1

C1

C2

a

b

a

Série

a

Cada capacitor adquire uma carga parcial:

C3 b

C2

C2

Paralelo

Misto

(a)

(b)

Q Q e V2 = C1 C2

Os capacitores adquirem diferentes d.d.p. V1 e V2 , respectivamente, tal que V = V1 + V2

e ent˜ ao a capacidade equivalente é dada por: Cser.

=

1 1 + C1 C2

Propriedades • Na associa¸caõ em série, a capacitância equivalente do conjunto, Cser. ser´ a menor do que a menor das capacitâncias utilizadas; • Como as cargas s˜ ao iguais nos dois capacitores em série, a d.d.p. do maior capacitor ser´ a a menor; • Se os capacitores ligados em série forem iguais C1 = C2 = C, a d.d.p. de ambos ser´ a igual a V /2 e a capacitância equivalente ser´ a Cser. = C/2, a metade da capacitância de um dos capacitores; • Para uma associa¸caõ em série de n capacitores teremos 1 Cser.

n

=

• Na associa¸caõ em paralelo, a capacitância equivalente do conjunto, Cpar. ser´ a maior do que a maior das capacitˆ ancias utilizadas; • Como as tens˜ oes s˜ ao iguais nos dois capacitores em paralelo, a carga do maior capacitor ser´ a a maior das cargas;

• Para uma associa¸caõ em paralelo de n capacitores teremos Cpar. = C1 + C2 + . . . + Cn =

n X

Ci

i=1

Energia de um Capacitor

Q Q Q = + Cser. C1 C2

1

Propriedades

• Se os capacitores ligados em paralelo forem iguais C1 = C2 = C, a carga de ambos ser´ a a mesma e a capacitância equivalente ser´ a Cpar. = 2C, o dobro da capacitância de um dos capacitores;

Q1 = Q2 = Q

e assim

Cpar. = C1 + C2

(c)

Na associa¸caõ em série, ver Fig. 1.1 (a), quando uma fonte bateria de tens˜ ao V é ligada nos terminais a e b, as cargas removidas de um terminal ser˜ ao deslocadas para o outro, ou seja, as cargas em ambos os terminais s˜ ao de mesmo módulo:

V1 =

Q = Q1 + Q2 A capacidade equivalente é dada por:

Figura 1.1: Associa¸ca õ de capacitores em série (a), em paralelo (b) e mista (c).

. Ent˜ ao


Observamos que a mesma d.d.p. V é aplicada aos capacitores da associa¸caõ. V = V1 = V2 C1

b

—

X 1 1 1 1 + + ...+ = C1 C2 Cn Ci i=1

Imaginemos um capacitor carregado. Liguemos agora suas armaduras por um fio condutor: as cargas negativas vão fluir para a outra armadura até que ambas se neutralizem. O tempo necess´ ario para isso é muito pequeno, e muitas vezes a descarga vem acompanhada de uma fa´ısca que salta dos extremos do condutor que une as armaduras. Conforme já estudamos anteriormente, o transporte de cargas elétricas entre pontos que possuem diferentes potenciais elétricos implica aparecimento de energia elétrica. Quando uma carga elétrica é transportada entre dois pontos, entre os quais existe uma diferen¸ca de potencial V qualquer, o trabalho realizado é W = qV Na descarga do capacitor, porém, a d.d.p. varia, diminuindo à medida que uma parcela da carga vai se transferindo para a outra armadura. Como a carga total do capacitor é Q = CV , e a d.d.p. varia de V até zero durante o processo de descarga, podemos tomar o valor médio da tens˜ ao como sendo V /2 e calcular o trabalho W = qV = CV ·

1 V = CV 2 2 2

e como esse trabalho foi realizado durante a descarga, podemos supor que essa energia estava armazenada no capacitor, como energia potencial elétrica. Assim, definimos a energia do capacitor como

Associa¸c˜ ao de Capacitores em Paralelo E=

1 CV 2 2

(Veja a Fig. 1.1(b) ). Neste caso, como os terminais de ambos os capacitores s˜ ao Observe que a express˜ ao anterior pode ser reescrita de duas ligados nos mesmo pontos a e b, conectados a uma bateria outras formas equivalentes: de tens˜ ao V , a placa positiva de cada capacitor est´ a ligada à Q2 1 placa positiva do outro, o mesmo acontecendo com as placas E = QV = 2 2C negativas.

115


Pense um Pouco!

Corrente El´ etrica

• Cite duas aplica¸co˜es direta dos capacitores. • Alguém disse que os fios usados em circuitos elétricos servem para igualar o potencial elétrico nas partes conectadas nas suas duas pontas. O que você acha disso? • Na figura 1.1, imagine que se conecte nos terminais a e b, os terminais (p´ olos) de uma bateria de tens˜ ao V . Sobre a figura, pinte de uma cor todas as partes que tem o mesmo potencial elétrico de a, e de outra cor as partes que tem o mesmo potencial de b. Observe o conclua você mesmo.

Num material condutor, mesmo descarregado do ponto de vista elétrico, existem alguns elétrons chamados livres que podem se deslocar dentro do material, passando de um átomo para outro. Mesmo havendo equil´ıbrio de cargas dentro de um condutor, os elétrons livres ficam o tempo o todo em movimento aleat´ orio dentro do material, mantendo em média, o equil´ıbrio de cargas de cada átomo. Quando todos os elétrons livres forem for¸cados a se deslocar numa dada dire¸caõ espec´ıfica, ao longo de um fio condutor, por exemplo, ent˜ ao teremos uma corrente elétrica i. + + +


+ +

1. (UERJ) Uma associa¸caõ de l.000 capacitores de 10 µF cada um, associados em paralelo, é utilizada para armazenar energia. Qual o custo para se carregar esse conjunto até 50.000 volts, supondo-se R$ l,00 o pre¸co do kW · h?

+Q

R

+ + +

+ + + +

i

.

2. (FAAP-SP) Associam-se em série três capacitores neutros com capacitâncias C1 = 20 µF , C2 = 50 µF e C3 = 100 µF . Figura 1.1: O sentido da corrente i, e o movimento dos Calcule a capacitância equivalente do sistema. elétrons num fio. 3. Calcule a capacitância equivalente da associa¸caõ mista Por conven¸caõ, indica-se num fio o sentido da corrente i por mostrada na Fig. 1.1 (c), para os capacitores C1 = 20 µF , uma flecha, no sentido contr´ ario ao movimento dos elétrons! C2 = 10 µF e C3 = 40 µF . Isto porque, historicamente, as cargas foram batizadas por Benjamin Franklin no séc. XVIII, como positivas e negativas, e se acreditava que as cargas positivas é que se moviam dentro de um fio com corrente. Exerc´ıcios Complementares Do ponto de vista f´ısico, é equivalente se pensar em elétrons se movendo num sentido, ou prótons se movendo no sentido 4. (FCC-BA) Determine a energia acumulada num conjunto contrário. de capacitores com capacitância total de 2.000 µF e sob tens˜ ao de 900 V .

Unidade de Corrente

5. (UCS-RS) Dois capacitores de capacitância C1 = 6, 0 µF e C2 = 3, 0 µF s˜ ao associados em paralelo e a associa¸caõ é No Sistema Internacional, medimos a corrente em ampères ou submetida a uma d.d.p. V. O capacitor de capacitância C1 A: 1 A = 1 coulomb/s = 1 C/s se eletriza com carga elétrica Q1 = 1, 2 × 10−4 C, e o de capacitância C2 , com carga elétrica Q2 . Determine V e Q2 . ou seja, para uma corrente de 1 ampère, h´ a um fluxo de carga de 1 coulomb por segundo, atravessando a seçcaõ reta de um 6. (Acafe-SC) Qual a d.d.p. que deve ser aplicada a um capacondutor. citor, de capacitância 2, 0 µF , a fim de que armazene energia potencial elétrica de 2, 5 × 10−3 J?

Lei de Ohm

7. (UESB-BA) Um capacitor de um circuito de televisão tem uma capacitância de 1, 2 µF . Sendo a diferen¸ca de potencial entre seus terminais de 3.000 V , a energia que ele armazena é de: a) 6, 7 J b) 5, 4 J c) 4, 6 J d) 3, 9 J e) 2, 8 J

Define-se a resistência elétrica R de um condutor, ligando suas extremidades numa diferen¸ca de potencial V e medindo a corrente elétrica que o atravessa. Segundo a lei de Ohm, quanto menor a corrente elétrica obtida, maior a resistência do condutor, e vice-versa:

Eletricidade

Se a resistência R assim definida for independente da tens˜ ao e da corrente usada, ou seja, se for constante, o resistor é chamado de ˆ ohmico. Para os materiais considerados bons condutores, como os metais, a resistência elétrica ser´ a baixa, em geral próxima de zero.

Aula 9

R = V /i

116


Para os materiais isolantes, como a borracha, a resistência elétrica ser´ a muito alta, tendendo ao infinito. A resistência de um resistor depende de sua forma f´ısica, de suas dimensões e do material de que é feito. Em geral, quanto mais fino e longo um fio, maior sua resistência elétrica.

—


a) 0, 2 A b) 4, 0 A c) 1/4 A d) 0, 3 mA e) 0, 25 mA

2. Durante um banho de chuveiro, utilizou-se uma corrente de 10 A durante 15 minutos. Qual a carga elétrica total utilizada neste banho? No Sistema Internacional, medimos a resistência elétrica em a) 150 C ohms ou Ω: b) 9 C c) 1, 5 C 1 Ω = 1 volt/ampère = 1 V /A d) 9.000 C e) 9 mC ou seja, se para uma tens˜ ao de 1 volt se obtém uma corrente de 1 ampère, ent˜ ao o resistor tem resistência de 1 ohm. 3. Uma pilha de 1, 5 V é conectada num LED, que passa a conduzir uma corrente elétrica de 3 mA. Qual a resistência elétrica do LED? Circuitos Simples a) 500 Ω b) 50 Ω Quando ligamos uma bateria de d.d.p. E num circuito simples c) 5 Ω com uma resistência elétrica total R, a corrente na bateria d) 0, 5 Ω ser´ a, pela lei de Ohm: e) n. d. a. E i= R

Unidade de Resistˆ encia


Exemplo Considere o circuito abaixo, onde uma lˆ ampada de resistência 4. A resistência elétrica de um fio condutor depende: R = 5 Ω est´ a conectada numa fonte (bateria) de 12 V através a) apenas da corrente aplicada b) da tens˜ ao aplicada de fios ideais, de resistência nula. c) de suas dimensões e do material de que é feito d) da corrente máxima que ele suporta R e) da tens˜ ao e da corrente máximas

ε

i

+

Figura 1.2: Um circuito simples. Resolu¸caõ: i=

E 12 V = = 2, 4 A R 5Ω

Pense um Pouco! • Se dobrarmos a tens˜ ao aplicada ` a um resistor oˆhmico, o que acontecer´ a com sua corrente? • Para um resistor ˆ ohmico, que tipo de gr´ afico V × i ter´ıamos?


5. Um fus´ıvel é um resistor preparado para se romper quando a corrente nele excede um determinado valor. Para um fus´ıvel de carro que suporta até 2, 0A, e opera em 12 V , qual a sua resistência interna m´ınima? a) 24 Ω b) 12 Ω c) 4 Ω d) 0, 17 Ω e) n. d. a. 6. Uma lˆ ampada de 60 W , constru´ıda para operar em 110 V onde ela conduz 2, 0 A de corrente, é ligada por engano em 220 V e queima depois de 5, 0 s. Qual a quantidade de carga que ela conduz, até queimar? a) 5 C b) 10 C c) 15 C d) 20 C e) n. d. a.

Eletricidade

Aula 10

Resistˆ encia Equivalente

1. Um fio condutor transporta uma carga de 30 C em dois Em geral, um circuito pode conter mais de um resistor, e até minutos. Qual a corrente média no fio, durante esse processo? outros elementos como bobinas, fios, chaves, LEDs, etc., todos

117

Eletricidade – Aula 10 eles ligados a uma fonte, por exemplo. Para um circuito qualquer com apenas uma fonte (ou bateria) de f. e. m., a determina¸caõ da corrente elétrica i na fonte é poss´ıvel através do c´ alculo da resistˆ encia equivalente Req. a todos os elementos do circuito. Ou seja, determinamos qual o valor Req. da resistência que, substituindo o circuito todo, conduz a mesma corrente. Pela lei de Ohm: i=

12 Ω 6Ω a

E Req.

b

4Ω

Associa¸c˜ ao de Resistores Para um circuito com uma fonte e vários resistores, podemos calcular facilmente a resistência equivalente, a corrente que passa na fonte e, a seguir, as correntes e tens˜ oes em cada um dos resistores.

Figura 1.2: Três resistores ligados em paralelo.

Associa¸c˜ oes Mistas Resistores em S´ erie Quando num circuito simples ligamos vários resistores ôhmicos em série, R1 , R2 , R3 , etc., a resistência equivalente ser´ a a soma das resistências, ou seja: X Ri Req. = R1 + R2 + R3 + . . . =

Quando num circuito simples ligamos vários resistores ôhmicos, alguns em série e outros em paralelo, devemos ir calculando as resistências equivalentes das partes em série e em paralelo, até se chegar numa resistência equivalente geral para todo o circuito.

i

12 Ω

6Ω

6Ω

4Ω

a

4Ω 12 Ω

a

b

b Passo 1

6Ω Figura 1.1: Três resistores ligados em série. Na associa¸caõ em série da figura acima, a resistência equivalente é Req. = 12 Ω + 6 Ω + 4 Ω = 22 Ω Quando mais resistores ligarmos em série, maior ser´ a a resistência equivalente.

3Ω

a

b

Passo 2

9Ω a

b

Figura 1.3: Três resistores em liga¸ca õ mista.

Resistores em Paralelo

Na associa¸caõ mista de resistores mostrada na figura acima, a resistência equivalente é calculada em dois passos: Quando num circuito simples ligamos vários resistores ôhmicos Passo 1) Observa-se que os resistores de 4 e 12 Ω est˜ ao em em paralelo, R1 , R2 , R3 , etc., o inverso da resistência equiva- paralelo, logo a resistência R′ equivalente a estes resistores lente ser´ a a soma dos inversos das resistências, ou seja: ser´ a: 1 1 1 4 X 1 1 1 1 1 = + = =⇒ R′ = 3 Ω ′ = + + + ... = R 12 Ω 4 Ω 12 Ω Req. R1 R2 R3 Ri i Passo 2) Substituindo-se ent˜ ao os resistores de 4 e 12 Ω por um equivalente de 3 Ω, temos uma associa¸caõ em série, entre Na associa¸caõ em paralelo da figura acima, a resistência equiresistores agora de 6 e 3 Ω, e a resistência final equivalente R′′ valente é 1 1 1 1 6 ser´ a: = + + = R′′ = 6 Ω + 3 Ω = 9 Ω Req. 12 Ω 6 Ω 4 Ω 12 Ω ou seja Req. = 2 Ω Observe que quando mais resistores ligarmos em paralelo, menor ser´ a a resistência equivalente. Todos os objetos que ligamos na tomada de nossa casa s˜ ao ligados em paralelo, por exemplo.

Exemplo Completo Determinar a corrente e a tens˜ ao elétrica em cada um dos resistores do circuito misto da se¸caõ anterior, quando uma fonte de 45 V for ligada nos pontos a e b. Resolu¸caõ:

118


—


corrente ser´ a conduzida pela parte do fio que est´ a “aberta”. Esta situa¸caõ é equivalente ao uso de um resistor infinito, na prática, uma grande resistência é equivalente ao circuito 6Ω aberto. 12 Ω d Quando um fio fio condutor perfeito, ou seja, que n˜ ao possui a c b resistˆ e ncia, for ligado num circuito no lugar de um resistor + i normal, teremos o que se chama de “curto-circuito´´. Se nos 45 V i´´ − extremos desse fio houver uma tens˜ ao qualquer, teremos uma corrente enorme passando pelo fio, já que i = V /R, e para R próximos de zero a corrente se torna muito alta. Normalmente h´ a algum problema com o circuito quando um curto-circuito é formado. Nunca fa¸ca isso! Mesmo uma pilha de bolso pode Figura 1.4: Exemplo completo. produzir correntes enormes por um curto intervalo de tempo, se seus p´ olos forem conectados com um fio bom condutor. Como a resistência equivalente desta associa¸caõ mista é 9 Ω, Se numa associa¸caõ em paralelo, um dos resistores entrar em curto-circuito, por aquecimento ou outra raz˜ ao qualquer, ent˜ ao a corrente i que passa na fonte ser´ a: a resistência equivalente do conjunto todo de resistores ser´ a nula. E 45 V i= = =5A Req. 9Ω i´ 4Ω

12 Ω

Esta é a corrente que sai da fonte e passa pelo resistor de 6 Ω, e aplicando-se a lei de Ohm para este resistor, achamos a tensão Vac entre os pontos a e c, onde o resistor est´ a conectado:

6Ω

Vac = Ri = (6 Ω)(5 A) = 30 V

a b Ao chegar ao n´ o c, vemos que a corrente se divide em duas partes, na associa¸caõ em paralelo: uma que passa pelo resistor de cima i′ e outra no resistor de baixo i′′ . Como o resistor equivalente a essa parte em paralelo é de 3 Ω, curto conforme calculado anteriormente, a queda de tens˜ ao Vcd , entre os pontos c e d, que é a mesma tens˜ ao entre os pontos c e b, ser´ a, pela lei de Ohm: J´ a numa associa¸caõ em série, havendo curto num resistor, a resistˆ encia equivalente do conjunto ser´ a a soma das resistências Vcd = R′ i = (3 Ω)(5 A) = 15 V dos os outros resistores. → Observe que a queda de tens˜ ao no primeiro resistor somada à queda de tens˜ ao no conjunto em paralelo d´ a exatamente a tens˜ ao da fonte: E = Vac + V cb Finalmente, como a tens˜ ao Vcd = 15 V , temos as correntes nos outros dois resistores: i′ =

i´ = 0 12 Ω a

i

15 V = 1, 25 A 12 Ω que s˜ ao as correntes nos resistores de 4 e 12 Ω, respectivamente. → Observe que a soma das correntes elétricas no conjunto em paralelo, é igual a corrente total que passa na fonte: i′′ =

′

i=i +i

′′

→ Observe também que, como ambos os resistores em paralelo est˜ ao ligados na mesma tens˜ ao, o resistor de menor resistência conduz a maior corrente, e vice-versa.

4Ω curto

b

i

15 V = 3, 75 A 4Ω

e

6Ω

Pense um Pouco! • Se conectarmos N resistores idênticos de resistência R em série, qual a resistência equivalente do conjunto? • Quantas resistências diferentes podemos formar, se dispomos de apenas três resistores: R1 = 1 Ω, R2 = 2 Ω e R3 = 4 Ω?


1. Sobre associa¸co˜es de resistores ôhmicos, considere as seguintes afirmativas: Quando um fio de um circuito se rompe, como no caso de um I. A máxima resistência equivalente de um conjunto de resisfus´ıvel queimar, dizemos que o circuito est´ a aberto, e nenhuma tores é obtida quando todos est˜ ao em paralelo;

Curto-circuito e Circuito Aberto

119


II. A resistência equivalente para uma associa¸caõ em série é 6. Liga-se os terminais de uma bateria de 12; V aos pontos sempre menor do que a menor das resistências usadas; a e b de um conjunto de 3 resistores em paralelo, conforme a III. Se um resistor estiver em curto e a resistência equivalente figura: do conjunto de resistores n˜ ao se anular, é porque a associa¸caõ é do tipo mista; 1Ω IV. Se a corrente for a mesma em todos os resistores, a associa¸caõ deve ser em série. a) est˜ ao corretas I e III 2Ω b) est˜ ao corretas I, III e III c) est˜ ao corretas II, III e IV a b d) est˜ ao corretas III e IV 3Ω e) n. d. a. 2. Ligou-se em série num circuito: uma bateria de 1, 5 V , um resistor de 10 Ω e outro de 5 Ω. A corrente e a tens˜ ao no resistor de 5 Ω ser˜ ao, respectivamente: a) 0, 1 A e 1, 5 V b) 0, 5 A e 0, 1 V c) 0, 1 A e 0, 5 V d) 3, 0 A e 0, 5 V e) n. d. a.

Pode-se afirmar que: a) a corrente elétrica em R1 é de 10 A b) a tens˜ ao elétrica em R2 é de 6 V c) a corrente elétrica em R3 é de 4 A d) a tens˜ ao elétrica em R1 é maior do que em R3 e) n. d. a.

7. A resistência elétrica entre os pontos a e b da associa¸caõ de 3. Ligou-se em paralelo numa mesma bateria de 1, 5 V , um seis resistores ôhmicos iguais a R: resistor de 10 Ω e outro de 5 Ω. A corrente e a tens˜ ao no resistor de 10 Ω ser˜ ao, respectivamente: R a) 0, 45 A e 1, 5 V R b) 0, 15 A e 1, 5 V c) 0, 15 A e 0, 5 V R d) 0, 45 A e 0, 5 V R e) n. d. a. a b R

4. Uma pilha de 1, 5 V é conectada num LED, que passa a conduzir uma corrente elétrica de 3 mA. Qual a resistência elétrica do LED? a) 500 Ω b) 50 Ω c) 5 Ω d) 0, 5 Ω e) n. d. a.

R

é: a) R b) 2R c) 6R d) 3R/2 e) 3R/4

Exerc´ıcios Complementares 5. A corrente elétrica i3 no resistor R3 do circuito da figura

R1= 1 Ω + −

é: a) 2/3 A b) 4/3 A c) 8/3 A d) 5, 0 A e) 1, 0 A

12 V

Eletricidade

Aula 11

R2= 4 Ω

Instrumentos de Medida R 3 = 12Ω

Dois instrumentos b´ asicos s˜ ao utilizados para a medi¸caõ de correntes elétricas e tens˜ oes nos elementos de um circuito: o amper´ımetro e o volt´ımetro. Na maioria dos medidores modernos, vários medidores est˜ ao dispon´ıveis num aparelho s´ o, os chamados mult´ımetros.

O Amper´ımetro Para a medi¸caõ do valor de uma corrente elétrica que atravessa um fio, num circuito, liga-se em série nesse fio um amper´ımetro, a fim de que a corrente atravesse também o amper´ımetro.

120


—


Para que o amper´ımetro n˜ ao altere o valor da corrente no próprio fio onde ser´ a ligado, ele deve ter uma resistência interna muito pequena, no caso ideal, nula.

os elétrons livres e os átomos do material, produzindo mais agita¸caõ nestas part´ıculas, ou seja, a energia cinética se transforma em calor e faz com que a temperatura do resistor suba. No caso das lˆ ampadas de filamento, usa-se esse calor para produzir luz, atingindo-se a incandescência do metal condutor, em − + geral, o tungstênio W , que possui um alt´ıssimo ponto de fusão. i No chuveiro elétrico comum, usa-se uma resistência para pro+ duzir calor e aquecer a água do banho que passa pelo no seu A ε interior. Existem muitas aplica¸co˜es desse tipo, e você mesmo − pode fazer uma lista delas. A esse efeito de libera¸caõ de calor pela passagem de uma corrente elétrica num resistor se chama de efeito Joule. R Em alguns casos o efeito Joule é um problema, pois colabora na perda de energia em linhas de transmissão e motores, por exemplo, transformando parte da energia elétrica em calor, que ´ e perdido para o meio ambiente (polui¸caõ térmica). O Volt´ımetro A quantidade de calor gerada dentro de um resistor, por uniPara a medi¸caõ do valor da d.d.p. entre dois pontos num dade de tempo, define a potência com que o resistor converte circuito, liga-se em paralelo nesses pontos um volt´ımetro, a energia elétrica em calor, e é dada pela lei de Joule: fim de que os seus terminais atinjam os mesmos potenciais P = iV elétricos dos pontos do circuito, e a diferen¸ca de potencial entre eles possa ser medida. ou seja, como i = V /R, podemos reescrevê-la como Para que o volt´ımetro n˜ ao altere o valor da tens˜ ao entre os pontos onde ele é conectado, o que se quer medir, ele deve ter V2 P = uma resistência interna muito alta, no caso ideal, infinita. Com R isso, a corrente desviada para o amper´ımetro ser´ a muito menor do que a que possa haver entre os pontos do circuito onde ele ou ainda, como V = Ri, est´ a conectado. Isto mesmo, para medir a tens˜ ao entre os seus P = Ri2 terminais o volt´ımetro usa uma pequena corrente. Na verdade este aparelho é um amper´ımetro adaptado para medir tens˜ oes.

Unidades SI ε

+

A potência dissipada num resistor é medida em watts no SI, onde 1 watt = 1 W = 1 J/s

i

−

Pense um Pouco! R +

− V

Lei de Joule

• Num chuveiro normalmente temos uma chave inverno/verão, que muda a resistência do chuveiro, e pode ser usada para esquentar mais/menos a água. Qual das resistência deve ser maior, a usada no inverno, para esquentar mais, ou a usada no verão, para esquentar menos?


Quando uma corrente elétrica atravessa um condutor de resistência elétrica R, haver´ a uma queda de tens˜ ao dada pela lei 1. Qual a corrente elétrica num chuveiro elétrico que ligado em 220 V produz calor a uma potência de 6.000 W ? de Ohm a) 15 A V = Ri b) 10 A no sentido da corrente, ou seja, a corrente sempre ocorre no c) 5 A sentido do maior para o menor potencial elétrico. Vale aqui d) 0, 5 A o an´ alogo hidr´ aulico, pois a correnteza de um rio sempre é no e) n. d. a. sentido do maior potencial gravitacional (ponto mais alto do terreno) para o de menor (ponto mais baixo). E quando a água 2. Um resistor de 10 Ω transposta uma corrente de 200 mA. desce uma cascata, converte sua energia potencial em cinética A quantidade de energia que ele dissipa na forma de calor em e pode gerar calor, se for dissipada, ou mover uma roda, por 15 min de funcionamento é: exemplo. a) 3.600 J No caso elétrico, a resistência faz com que as cargas per- b) 360 J cam energia cinética, através das colis˜ oes que ocorrem entre c) 36 J

121

Eletricidade – Aula 12 d) 3, 6 J e) n. d. a. 3. Dois resistores, um de resistência R1 = 2 Ω e outro de resistência R2 = 8 Ω est˜ ao ligados em série com uma bateria de f.e.m. E = 24 V . A tens˜ ao no resistor R1 e a potência dissipada no resistor R2 s˜ ao, respectivamente: a) 2 V e 16 W b) 16 V e 32 W c) 8 V e 3, 2 W d) 4 V e 32 W e) n. d. a.

Exerc´ıcios Complementares 4. No circuito da figura abaixo, as chaves CH1 e CH2 est˜ ao abertas e o amper´ımetro A indica que existe passagem de corrente. Quando as duas chaves est˜ ao fechadas, a indica¸caõ do amper´ımetro A n˜ ao se altera. Dados: Bateria 1: f.e.m. E1 = 12 V e resistência interna r1 = 1 Ω; Bateria 2: f.e.m. E2 = 12 V e resistência interna r2 = 1 Ω; Resistência do amper´ımetro A: r3 = 2 Ω; R1 = 9 Ω. Determinar: a) o valor da resistência R2 ; b) a potência dissipada por efeito Joule na resistência R2 quando CH1 e CH2 est˜ ao fechadas.

inferior desta, diretamente dentro de um barril, transformando sua energia potencial em cinética e essa, finalmente, em calor, aquecendo a água no barril. Nessa analogia, o barril seria um resistor elétrico. A seguir, a água do barril é captada pela bomba e rebombeada para a caixa d’água. A bomba d’água nesse caso, realiza um trabalho cont´ınuo sobre a água, transformando energia elétrica em trabalho e, através deste, aumentando a energia potencial gravitacional da água. No caso elétrico, define-se a for¸ca eletromotriz (f.e.m.) de um gerador, ou bateria, como sendo a energia qu´ımica consumida, por unidade de carga deslocada, desde o p´ olo negativo até o p´ olo positivo do gerador. Como se vê, a f.e.m. n˜ ao é uma for¸ca, mas sua defini¸caõ é muito parecida com a defini¸caõ de diferen¸ca de potencial elétrico entre dois pontos, lembra? Definimos a diferen¸ca de potencial elétrico entre dois pontos como o trabalho realizado por um agente externo, por unidade de carga, para deslocar em equil´ıbrio uma pequena carga de prova +q desde um ponto A até outro ponto B, dentro de uma região do espa¸co onde existe um campo elétrico (apenas). Relembrando: WE Wext. =− VA→B = VB − VA = +q +q onde WE é o trabalho realizado pela for¸ca elétrica, já que, para o equil´ıbrio da carga q ′ , segundo a Primeira Lei de Newton, Fext. = −FE . Assim, por analogia, a f.e.m. de uma bateria ser´ a f.e.m. = E ≡

E1

+

R2

−

A CH1

+ E2 −

CH2

Equim. q

e por defini¸caõ, esta nova grandeza ser´ a também medida em volts ou V no Sistema Internacional (SI).

R1

Simbologia Nos esquemas simplificados usados nos circuitos, indicamos uma bateria pelo s´ımbolo

Eletricidade

Aula 12 ε

Geradores e For¸ca Eletromotriz Geradores ou baterias de tens˜ ao cont´ınua s˜ ao dispositivos capazes de converter energia qu´ımica em energia elétrica, deslocando cargas entre seus p´ olos de forma a aumentar a energia potencial elétrica dispon´ıvel para que as cargas elétricas possam circular por um circuito, mantendo uma corrente de cargas em movimento. Essas cargas, ou seja, a corrente, ao passar por um resistor, por exemplo, perde energia e tende a cessar o seu movimento, a menos que um agente externo – o gerador – realimente essas cargas e mantenha-as circulando. ´ bom destacar o fato de que o gerador n˜ E ao “cria”ou “gera”cargas, mas apenas transfere energia para que elas mantenham seu movimento, formando uma corrente elétrica num circuito. Usando uma analogia com os sistemas hidr´ aulicos, podemos pensar num gerador como sendo equivalente a uma bomba d’água, que eleva a água até uma caixa d’água, fornecendo energia potencial gravitacional ` a massa d’água movimentada. Imagine que a água cai da caixa d’água por um cano na parte

+ −

ou

ε

+ −

Convenciona-se que, a placa maior representada na fonte o potencial elétrico é maior (+) e na placa menor, e mais espessa, o potencial seja menor (-). Quando ligada a um resistor ôhmico, por exemplo, a fonte produzirá uma corrente (positiva) no sentido indicado pela seta ao lado do s´ımbolo da f.e.m (E), ou seja, da placa positiva em dire¸caõ ao resistor e retornando pela placa negativa. Pela parte interna da fonte, a dire¸caõ da corrente é da placa negativa (-) para a positiva (+), sendo este o sentido normal da corrente dentro da fonte. Sendo assim, a fonte transfere energia para as cargas, elevando o seu potencial elétrico de uma quantidade +E.

Circuito com V´ arias Fontes Um circuito pode ter mais de uma fonte (bateria ou gerador), ´ como nos r´ claro. E adios à pilha, onde se usa, por exemplo,

122


—


quatro baterias de 1, 5 V cada. Normalmente se usa vários Resistores geradores num mesmo circuito para se obter uma f.e.m. total grande, quando elas s˜ ao ligadas em série e com as suas f.e.m. → se passarmos por um resistor R, indo no sentido da suposta corrente i temos ∆V = −Ri. na mesma dire¸caõ. → se passarmos por um resistor R, indo em sentido contrário ao da suposta corrente i temos ∆V = +Ri. N ε1

ε2

Σε

εN

ε3

i=1 i

−

+

.....

−

+

−

+

−

+

+

−

Fios, Chaves e Conectores

Fios, chaves, soldas e outros conectores ideais n˜ ao possuem resistência elétrica e portanto n˜ ao apresentam queda de tens˜ ao, ou seja, ∆V = 0 para esses elementos. N˜ ao contribuem para orio geral das tens˜ oes. Figura 1.1: Geradores em série, aumentando-se a f.e.m. total. o somat´ Assim, tendo-se todos os ∆Vi no circuito, somam-se todos os Para se obter mais carga dispon´ıvel, e fazer um circuito fun- termos e iguala-se a zero. Se a corrente encontrada for nea trocionar por mais tempo, várias baterias de mesma f.e.m. s˜ ao gativa, o sentido escolhido arbitrariamente par ela est´ ao ser´ a o sentido ligadas em paralelo, resultando num gerador de mesma f.e.m. cado. O sentido f´ısico correto da corrente ent˜ contrário ao sentido arbitrado. das baterias usadas. N geradores em´serie

+ ε

+ −

ε

+

.....

−

ε

+

ε

−

+ −

− N geradores em paralelo

Figura 1.2: Geradores de mesma f.e.m. em paralelo.

Lei de Ohm-Pouillet Com base na lei das malhas, podemos ver que todo circuito de uma s´ o malha, mesmo com várias fontes de tens˜ ao cont´ınua (baterias) e vários resistores, todos eles em série portanto, pode ser reduzido a um circuito simples do tipo: uma ateria e um resistor. Para isso, devemos encontrar a f.e.m. total E no circuito e a resistência equivalente Req. , e da´ı, obteremos a corrente i no circuito: i=

a

Lei das Malhas – 1 lei de Kirchhoff . Definimos como uma malha, qualquer caminho fechado dentro de um circuito elétrico, que possa ser percorrido passando-se uma s´ o vez em cada ponto. O circuito elétrico mais simples possui apenas uma malha, ou seja, s´ o um caminho poss´ıvel para a corrente, que portanto, dever´ a ser a mesma em todos os elementos do circuito: resistores, fontes, bobinas, etc. O circuito de uma malha mais simples poss´ıvel, é aquele j´ a visto, com apenas uma fonte e um resistor. circulando-se a malha de um circuito, o somat´ orio das varia¸ co ˜es de tens˜ ao ao longo da malha deve ser nulo. ou seja X ∆Vi = 0

E lei de Ohm-Pouillet Req.

Biografia

Gustav Rupert Kirchhoff, (1824 – 1861), foi um dos maiores f´ısicos alem˜ aes de seu tempo. Realizou uma obra vast´ıssima. Viveu numa época em que a F´ısica estava tendo desenvolvimento extraordin´ ario em vários setores diferentes, pois na segunda metade do século passado a mecˆ anica, elasticidade, teoria dos gases, eletricidade, magnetismo e termodinâmica tiveram grande impulso. Kirchhoff, que desde muito jovem esteve em contacto com f´ısicos bastante experimentados, teve oportunidade de trabalhar em assuntos muito variados. Além de um n´ umero muito grande de trabalhos isolados, h´ a três ramos da F´ısica nos quais os trabalhos de Kirchhoff se tornaram fundamentais: ótica, termodinâmica e eletricidade. Em i ótica, foi grande conhecedor de espectroscopia, tendo sido um dos fundadores da an´ alise espectral. Em termodinâmica, foi incluindo todos os elementos do circuito: fontes e resistores. o primeiro f´ısico a estabelecer leis sˆ obre a energia radiante. Para fazer-se o somat´ orio acima, precisamos escolher um sen- Em eletricidade estabeleceu as leis fundamentais das malhas tido qualquer para a corrente na malha e outro, n˜ ao necessa- elétricas, leis que estudamos neste u ´ ltimo cap´ıtulo. riamente o mesmo, para circularmos a malha, sentido hor´ ario ou anti-horário, e observar as seguintes regras:

Pense um Pouco! Fontes → se passarmos por uma fonte de f.e.m. negativa (-) para a positiva (+) temos ∆V → se passarmos por uma fonte de f.e.m. positiva (+) para a negativa (-) temos ∆V

E, indo da placa = +E. E, indo da placa = −E.

• Ligando-se duas pilhas comuns, com os p´ olos trocados, a um pequena lˆ ampada o que se observa? ´ poss´ıvel que a corrente (positiva) entre pelo p´ • E olo positivo de uma fonte e saia pelo negativo?


Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (UEPR) Um gerador funcionar´ a em regime de potência u ´ til máxima, quando sua resistência interna for igual: a) ` a metade da resistência equivalente do circuito que ele alimenta; b) ao dobro da resistência equivalente do circuito que ele alimenta; c) ao quádruplo da resistência equivalente do circuito que ele alimenta; d) ` a resistência equivalente do circuito que ele alimenta; e) ` a quarta parte da resistência equivalente do circuito que ele alimenta.

Exerc´ıcios Complementares 2. (PUC-SP) Cinco geradores, cada um de f.e.m. igual a 4, 5 V e corrente de curto-circuito igual a 0, 5 A, s˜ ao associados em paralelo. A f.e.m.e a resistência interna do gerador equivalente têm valores respectivamente iguais a: a) 4, 5 V e 9, 0 Ω b) 22, 5 V e 9, 0 Ω c) 4, 5 V e 1, 8 Ω d) 0, 9 V e 9, 0 Ω e) 0, 9 V e 1, 8 Ω

123

124


—


Qu´ımica Qu´ımica

Aula 1

Estrutura Atˆ omica Modelos Atˆ omicos

gumas part´ıculas atravessavam sofrendo desvio e um n´ umero ´ınfimo de part´ıculas refletiam. Se os átomos fossem bolhas de geléia carregados positivamente as part´ıculas α deveriam passar facilmente através das folhas com uma ligeira deflexão ocasional de seus caminhos. Mas, percebeu-se que algumas destas part´ıculas defletiam mais de 90◦ e umas poucas retornavam no caminho de onde tinham vindo. Ver a Fig. 2.1. Estes resultados sugerem um modelo de átomo no qual h´ a uma densa carga positiva central circundada por um grande volume vazio. Rutherford chamou esta região carregada positivamente de n´ ucleo atˆ omico. As part´ıculas carregadas positivamente s˜ ao chamadas pr´ otons. As part´ıculas carregadas negativamente continuam sendo chamadas de el´ etrons. Assim, o modelo de Rutherford consta de n´ ucleo denso, diminuto, carregado positivamente, e de uma parte envolvendo esse n´ ucleo, uma região rarefeita e proporcionalmente muito grande chamada eletrosfera, com elétrons, de carga negativa.

A primeira abordagem sobre a constitui¸caõ da matéria data de ± 400 anos a.C. Os filósofos gregos Demócrito e Leucipo conceberam o átomo como a menor part´ıcula constituinte da matéria e supunham que essa part´ıcula era indivis´ıvel. Lavoisier: em 1780, é considerado o pai da Qu´ımica por ter criado o método cient´ıfico: as leis surgem da observa¸caõ da regularidade das teorias, como tentativas de explica¸caõ dessas regularidades. Provou que “na natureza nada se cria, nada se perde, tudo se transforma”, ou seja, numa transforma¸caõ qu´ımica da matéria, a massa se conserva. John Dalton: em 1808, criou a Teoria Atˆ omica Cl´ assica (baseResumo do Modelo de Rutherford ado em modelos experimentais), considerando os ´ atomos como esferas maci¸cas (Modelo da Bola de Bilhar), indivis´ıveis. Este foi o modelo proposto por Rutherford. Basicamente tinha J. J. Thomson: em 1897, através de experimentos sobre des- os seguintes fundamentos: cargas elétricas em gases rarefeitos, admitiu a existência de cargas negativas, os elétrons, e de cargas positivas, os pr´ otons. • O átomo é dividido em duas regiões, n´ ucleo e eletrosfera, Propˆ os um modelo em que o ´ atomo seria uma esfera de eleno n´ ucleo encontramos os prótons e os nêutrons, na eletricidade positiva, incrustada de elétrons com carga negativa trosfera encontramos os elétrons; (Modelo do Pudim de Passas). • Os prótons apresentam carga positiva, os elétrons apresentam carga negativa e os nêutrons apresentam carga nula; • A massa de um próton e de um nêutron equivalem a 1 u.m.a enquanto a massa do elétron é 1836 vezes menor que a massa do próton ou do nêutron.

Folha de ouro

Substancia radioativa fonte de particulas α Colimador do feixe

O n´ umero de prótons em um n´ ucleo atômico é chamado de n´ umero atˆ omico, Z, do elemento. O n´ umero total (soma) de prótons e nêutrons no n´ ucleo é chamado de n´ umero de massa, A, do elemento.

Tela sintilante para detecçao das particulas desviadas

A=Z +N

Representa¸c˜ ao ZX

Figura 2.1: Aparato Experimental de Rutherford. Ernest Rutherford: em 1911, bombardeou uma lamina met´ alica delgada com um feixe de part´ıculas α. Estas part´ıculas eram positivas. A maior parte das part´ıculas atravessava a lamina met´ alica sem sofrer desvio detect´ avel, al-

A

Mas, o modelo planet´ ario de Rutherford apresenta duas falhas cruciais:

125

• Uma carga negativa colocada em movimento ao redor de uma carga positiva estacion´ aria, adquire movimento espiral até colidir com ela;

126


—


• Essa carga perde energia emitindo radia¸caõ, violando o no n´ ucleo de um átomo; Princ´ıpio da Conserva¸caõ de Energia. d) n.d.a

Pense um Pouco! 1. Você sabe dizer o que significa “tempo de meia-vida”? 2. O que significa Fiss˜ ao Nuclear e Fusão Nuclear?

5. (UEL) O urânio-238 difere do urânio-235 por que o primeiro possui: a) 3 elétrons a mais; b) 3 prótons a mais; c) 3 prótons e 3 nêutrons a mais; d) 3 prótons e 3 elétrons a mais; e) 3 nêutrons a mais.

6. (ACAFE) Um sistema é formado por part´ıculas que apresentam a composi¸caõ atômica de 10 prótons, 10 elétrons, 11 nêutrons. Ao sistema foram adicionadas novas part´ıculas. O a quimicamente puro se as part´ıculas adi1. A palavra átomo é originária do grego e significa “indi- sistema resultante ser´ cionadas apresentarem a seguinte composi¸caõ atômica: vis´ıvel”, ou seja, segundo os filósofos gregos, o ´ atomo seria a) 21 pr´ o tons, 10 el´ e trons e 10 nêutrons; a menor part´ıcula da matéria que n˜ ao poderia ser mais divib) 20 pr´ o tons, 10 el´ e trons e 22 nêutrons; dida. atualmente essa idéia n˜ ao é mais aceita. A respeito dos c) 10 pr´ o tons, 10 el´ e trons e 12 nêutrons; átomos, é verdadeiro afirmar que: d) 11 pr´ o tons, 11 el´ e trons e 12 nêutrons; a) ( ) N˜ ao podem ser desintegrados; e) 11 pr´ o tons, 11 el´ e trons e 11 nêutrons; b) ( ) S˜ ao formados por pelo menos três part´ıculas fundamentais; 7. (FUVEST) As seguintes representa¸co˜es: 2 X 2 , 2 X 3 e2 X 4 , c) ( ) Possuem part´ıculas positivas denominadas elétrons; referem-se a átomos com: d) ( ) Apresentam duas regi˜ oes distintas, n´ ucleo e eletrosfera; a) igual n´ umero de nêutrons; e) ( ) Apresentam elétrons cuja carga elétrica é negativa; b) igual n´ umero de prótons; f) ( ) Contém part´ıculas sem carga elétrica, os nêutrons. c) diferente n´ umero de elétrons; d) diferentes n´ umeros atômicos; 2. (UFSC) Analise as afirmativas a seguir e assinale como V e) diferentes n´ u meros de prótons e elétrons; ou F:


a) ( ) O primeiro modelo atômico baseado em resultados experimentais, ou seja, com base cient´ıfica foi proposto por Dalton; b) ( ) Segundo Dalton, a matéria é formada de part´ıculas indivis´ıveis chamadas átomos; c) ( ) Thomson foi o primeiro a provar que que o ´ atomo n˜ ao era indivis´ıvel; d) ( ) O modelo atômico proposto por Thomson é o da bola de bilhar; e) ( ) O modelo atômico de Dalton teve como suporte experimental para a sua cria¸caõ a interpreta¸caõ das leis das rea¸co˜es qu´ımicas. 3. (UFSC) Assinale a(s) alternativa(s) correta(s): a) ( ) Os átomos s˜ ao part´ıculas fundamentais da matéria; b) ( ) Os átomos s˜ ao quimicamente diferentes quando têm n´ umeros de massa diferentes; c) ( ) Os elétrons s˜ ao as part´ıculas de carga elétrica positiva; d) ( ) Os prótons e os elétrons possuem massas iguais e cargas elétricas diferentes; e) ( ) Os átomos apresentam part´ıculas de carga nula denominados nêutrons; f) ( ) Os átomos s˜ ao part´ıculas inteiramente maci¸cas.

Qu´ımica

Aula 2

Modelos Atˆ omicos O Modelo Atˆ omico de Bohr Com o objetivo de solucionar estas limita¸co˜es do modelo de Rutherford entra em cena um cientista chamado Niels Bohr. Niels Bohr: em 1913, propˆ os que o átomo é constitu´ıdo por um n´ ucleo positivo, onde se concentra praticamente toda massa do átomo, e por elétrons que giram ao seu redor em órbitas circulares bem definidas, formando camadas, designadas pelas letras K, L, M, N, O, P, Q.

_

foton absorvido

~ eletron

_

~ eletron excitado

_

_


_

_

foton emitido

4. (ACE) Assinale a alternativa falsa: a) o n´ umero de massa de um ´ atomo é dado pela soma do n´ umero de prótons e de nêutrons existentes no n´ ucleo; b) um elemento qu´ımico deve ter seus ´ atomos sempre como mesmo n´ umero de nêutrons;(c) o n´ umero de prótons permaFigura 2.1: O modelo Atˆ omico de Bohr. nece constante, mesmo que os n´ umeros de massa dos átomos de um elemento variem; c) o n´ umero atômico é dado pelo n´ umero de prótons existentes Através de processos experimentais Bohr, concluiu que:

Qu´ımica – Aula 2

127

• Um elétron s´ o pode ter certas energias espec´ıficas, e cada uma destas energias corresponde a uma ´ orbita particular. Quanto mais afastado do n´ ucleo maior a energia do elétron; • Se o elétron receber energia ele pula para uma ´ orbita mais afastada do n´ ucleo; • Como esta órbita n˜ ao é natural ele tende a retornar para sua órbita de maior estabilidade, assim sendo, ocorre libera¸caõ de energia; • Para calcular a energia emitida pelo elétron, Max Planck estabeleceu que a energia se propaga em “pacotes”de quantidades m´ınimas e descont´ınuas. A essa quantidade m´ınima chamou de f´ oton ou quantum. O valor do quantum é proporcional a freq¨ uência da onda ν, cuja magnitude pode ser calculada por E = hν onde h é a famosa constante de Planck, que tem valor de 6, 63 × 10−34 J · s.

Heisenberg: em 1927, estabeleceu o Princ´ıpio da Incerteza, segundo o qual “n˜ ao é poss´ıvel predizer, ao mesmo tempo, a posi¸caõ e a quantidade de movimento de um elétron” Tudo que n´ os podemos conhecer sobre o movimento de um sistema de part´ıculas se reduz a uma fun¸caõ complexa Ψ de coordenadas (x, y, z) das part´ıculas e do tempo t. Esta fun¸caõ é chamada Fun¸caõ de Onda, criada por Schrödinger (1927). O quadrado do módulo da fun¸caõ de onda |Ψ|2 representa a probabilidade de se encontrar no instante t a determinada part´ıcula. Na concep¸caõ clássica, uma part´ıcula se encontra ou n˜ ao num determinado instante em um dado ponto do espa¸co. Pela mecˆ anica quântica n´ os s´ o podemos conhecer a probabilidade de encontrar a part´ıcula no ponto considerado. Schrödinger deduziu matematicamente regiões com probabilidades de se encontrar o elétron, simplificadas por meio de modelos geométricos que chamamos de orbitais. Sommerfeld, de Broglie e Schrödinger formaram a Mecânica Quˆ antica, que nos levou ao modelo atômico atual. O átomo possui n´ ucleo denso com elétrons em orbitais. Orbital é a região, em torno do n´ ucleo, com maior probabilidade de se encontrar o elétron. O elétron move-se em torno do n´ ucleo.

Se os átomos oscilantes transferem uma energia E para a vizinhan¸ca, radia¸caõ de freq¨ uência ν = E/h ser´ a detec´ importante notar que a intensidade da radia¸caõ é tada. E uma indica¸caõ do n´ umero de pacotes de energia gerados, enquanto E é a medida de energia de cada pacote. Is´ otopos, Is´ obaros, Is´ otonos e Isoeletrˆ onicos

Sommerfeld: em 1916, estabeleceu que os elétrons descrevem Is´ otopos: s˜ ao átomos de um mesmo elemento qu´ımico que orbitas circulares e el´ıpticas em torno do n´ ´ ucleo. apresentam diferentes n´ umero de massa e diferentes n´ umero de nêutrons, ou seja s˜ ao átomos de mesmo n´ umero atômico e diferentes n´ umero de massa. 6C

12

6C

13

6C

14

Is´ otopos de Carbono

8O

16

8O

17

8O

17

Is´ otopos de Oxigênio

Is´ obaros: s˜ ao átomos de elementos qu´ımicos diferentes mas com mesmo n´ umero de massa. 20 Ca

40

1840 Ar

Is´ otonos: s˜ ao átomos de elementos qu´ımicos diferentes, mas com mesmo numero de nêutrons. 5B

Figura 2.2: Modelo Atˆ omico de Sommerfeld.

11

6C

12

Isoeletrˆ onicos: s˜ ao átomos ou ´ıons que apresentam o mesmo n´ umero de elétrons. 12 M g

2+

11 N a

1+N e 10

9F

1−

7N

3−

O Modelo Atˆ omico Atual Louis de Broglie: em 1924, foi quem lan¸cou as as bases de uma nova mecˆ anica chamada ondulat´ oria ou quˆ antica, através do Princ´ıpio da Dualidade matéria-onda para o elétron: “Toda part´ıcula em movimento, o elétron, no caso, tem associado a si uma onda”. A mecˆ anica clássica prevê, para cada corpo, sua trajetória, conhecendo sua posi¸caõ e velocidade. A mecˆ anica quântica, que trata do universo microscópico das part´ıculas, n˜ ao se descreve perfeitamente o ´ atomo.

N´ıveis e Sub-n´ıveis de Energia A eletrosfera do átomo est´ a dividida em 7 regiões denominadas de n´ıveis de energia ou camadas eletrˆ onicas. S˜ ao as camadas K, L, M, N, O, P, Q, representadas pelos n´ umeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 denominados de n´ umeros quânticos principais e representados pela letra n. O n´ umero máximo de elétrons em cada camada é calculado pela equa¸caõ e = 2 · n2 sendo que

128


—


Y

K(2), L(8), M (18), N (32), O(50), P (72), Q(98) Mas para os 112 elementos qu´ımicos existentes temos: K(2), L(8), M (18), N (32), O(32), P (18), Q(2) Existem 7 sub-n´ıveis de energia (s, p, d, f, g, h, i) que est˜ ao dentro das camadas. Mas para os 112 elementos existentes n˜ ao s˜ ao ocupados todos os sub-n´ıveis de energia e sim somente quatro, s, p, d, f , que s˜ ao representados pela letra l que significa n´ umero quântico secund´ ario e s˜ ao n´ umeros que vão de 0 a 3, ou seja, 0, 1, 2, 3 para os sub-n´ıveis s, p, d, f , cada sub-n´ıvel comporta um n´ umero máximo de elétrons s(2), p(6), d(10), f (14).

X Z

Configura¸ c˜ ao Eletrˆ onica Diagrama de Linus Pauling K(2) 1s2 L(8) 2s2 2p6 M(18) 3s2 3p6 3d10 N(32) 4s2 4p6 4d10 4f 14 O(32) 5s2 5p6 5d10 5f 14 P(18) 6s2 6p6 6d10 Q(2) 7s2

Figura 2.3: Coordenadas espaciais de um a ´tomo.

Y

. .. .............. . ..... ................................... ....................... .. .......... ........................ .... . ............... ........... .... . .. . .. . . . .. .. . . . ......... . . .. . ........ .............. ... .... .............. ........ . ........... .. ....... . .. . . ... . ......... ................... ................ . ........ ... .... .

Representamos a distribui¸caõ eletrˆ onica de duas formas: 1. ordem energética, seguindo as diagonais do diagrama de Pauling: 1s2 , 2s2 , 2p6 , 3s2 , 3p6 , 4s2 , 3d10 , 4p6 , 5s2 , 4d10 , 5p6 , 6s2 , 4f 14 , 5d10 , 6p6 , 7s2 , 5f 14 , 6d10

Z

2. ordem geométrica, agrupando os sub-n´ıveis em camadas: 1s2 2s2 , 2p6 2 3s , 3p6 , 3d10 2 4s , 4p6 , 4d10 , 4f 14 5s2 , 5p6 , 5d10 , 5f 14 6s2 , 6p6 , 6d10 7s2

K L M N O P Q

2 8 18 32 32 18 2

Orbitais Atˆ omicos Como vimos, orbital é a regi˜ ao, em torno do n´ ucleo, com máxima probabilidade de se encontrar elétrons. As formas dessas regiões s˜ ao calculadas matematicamente e têm o n´ ucleo localizado no ponto zero dos eixos x, y e z. As formas dos orbitais mais importantes s˜ ao: 1. esf´ erica - chamado orbital s: 2. halter - chamado orbital p: Princ´ıpio de Exclus˜ ao Certas experiências, em particular a a¸caõ de um campo magnético, mostram que as fun¸co˜es de onda constru´ıdas unicamente sobre as coordenadas de espa¸co n˜ ao s˜ ao aptas para explicar totalmente os fenˆ omenos, o que levou a se introduzir uma nova coordenada chamada spin. Trata-se de uma coordenada suplementar associada ` a rota¸caõ do elétron. Os valores ao de spins permitidos para a fun¸caõ de spin s˜ ao − 21 e 21 , e s˜ opostos.

X

Figura 2.4: Representa¸ca õ do Orbital s. Dois el´ etrons podem ocupar um mesmo orbital desde que possuam spins opostos. Este enunciado é conhecido por “Princ´ıpio de Exclusão, de Wolfgang Pauli”. Cada sub-n´ıvel comporta um n´ umero máximo de elétrons (como visto anteriormente). Se cada orbital comporta no máximo dois elétrons, temos ent˜ ao:

s2 p6 d10 f 14

↑↓

Representa¸caõ do Orbital ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓

1 3 5 7

orbit. orbit. orbit. orbit.

Pense um Pouco! 1. Você sabe quais s˜ ao os tipos de radia¸co˜es existentes e quais as caracter´ısticas particulares de cada uma? 2. Quais s˜ ao os efeitos causados pelas radia¸co˜es? E quais as principais aplica¸co˜es das rea¸co˜es nucleares?


129

+

Qu´ımica

Aula 3

Liga¸c˜ oes Qu´ımicas Figura 2.5: Representa¸ca õ do Orbital p.

´ Estabilidade dos Atomos


Os gases nobres s˜ ao os u ´ nicos encontrados na natureza na forma mono-atˆ omica, ou seja, n˜ ao se ligam se, apresentam na forma de átomos. Isto significa que o átomo é totalmente 1. (ACAFE-99) A vitamina B12 , anti-anêmica, contém ´ıons de est´ avel. cobalto Co+2 . Dado: Co(Z = 27). A configura¸caõ eletrˆ onica Os gases nobres (Coluna 8A da Tabela Peri´ odica), com exce¸caõ nos orbitais 4s e 3d do Co+2 , é: do h´ e lio, apresentam oito el´ e trons na camada de valência. 0 8 a) 4s , 3d . b) 4s2 , 3d7 . c) 4s2 , 3d5 . d) 4s1 , 3d6 . e) 4s0 , 3d7 .

He(Z=2) Ne(Z=10) Ar(Z=18) Xr(Z=36) Xe(Z=54) Rn(Z=86)

Gases Nobres 2 2 8 2 8 18 8 2 8 18 18 2 8 18 32 2 8 18 32

8 2. (UDESC) Uma átomo com n´ umero atômico igual a 38, 18 8 apresentar´ a em seu antepen´ ultimo n´ıvel: 32 18 8 a) 8 elétrons. b) 18 elétrons. Camada de valência é a camada eletrˆ onica mais externa. Pode c) 16 elétrons. receber ou fornecer el´ e trons na uni˜ a o entre átomos. d) 10 elétrons. A valência de um átomo é o n´ umero de liga¸co˜es que um átomo e) 6 elétrons. precisa fazer para adquirir a configura¸caõ de um g´ as nobre.

Exerc´ıcios Complementares 3. (FUVEST) De acordo com os postulados de Bohr é correto afirmar que: a) ( ) Os elétrons se movem ao redor do n´ ucleo em órbitas bem definidas, que s˜ ao denominadas ´ orbitas estacion´ arias; b) ( ) Movendo-se numa ´ orbita estacion´ aria, o elétron n˜ ao emite nem absorve energia; c) ( ) Ao saltar de uma ´ orbita mais próxima do n´ ucleo para outra ´ orbita mais afastada, o elétron absorve energia; d) ( ) Quando o elétron de um ´ atomo salta de uma camada mais externa para outra mais próxima do n´ ucleo, h´ a emiss˜ ao de energia; e) ( ) No n´ ucleo de um ´ atomo existem prótons e nêutrons.

Teoria do Octeto Foi feita uma associa¸caõ entre a estabilidade dos gases nobres e o fato de possu´ırem 8 elétrons na u ´ ltima camada. Surgiu ent˜ ao a Teoria do Octeto: Para atingir uma situa¸ c˜ ao est´ avel, h´ a uma tendˆ encia dos ´ atomos para conseguir estrutura eletrˆ onica de 8 el´ etrons na camada de valˆ encia igual ao g´ as nobre de n´ umero atˆ omico mais pr´ oximo. No caso de átomos menores em n´ umero de elétrons, a tendência é alcan¸car o dueto, isto é, conseguir dois elétrons na u ´ltima ´ o caso do hidrogênio e camada, como o hélio (Z = 2) : 1s2 . E do l´ıtio.

´ 4. (UEL) Atomos neutros e ´ıons de um mesmo elemento qu´ımico tem, necessariamente, o mesmo n´ umero: Classifica¸c˜ ao dos Elementos a) atômico; b) de massa; Quanto à Configura¸caõ Eletrˆ onica, podemos classificar os elec) de oxida¸caõ; mentos qu´ımicos como: d) de carga; Metais: S˜ ao elementos que possuem menos de quatro elétrons e) de isˆ omeros. na camada de valência. Doam elétrons quando fazem liga¸co˜es qu´ımicas; 5. Sejam dois átomos A de n´ umero atômico 2x + 4 e n´ umero ao-Metais: S˜ ao elementos que possuem mais de quatro de mass 5x e B de m´ umero atômico 3x − 6 e n´ umero de massa N˜ el´ e trons na camada de valência. Recebem elétrons quando 5x − 1. Determine quantos nêutrons tem A e B, sabendo que fazem liga¸ c o ˜ es qu´ ımicas; eles pertencem ao mesmo elemento qu´ımico. Semi-metais: S˜ ao alguns elementos que ora comportam-se a) NA = 25 e NB = 26 como metais ora como n˜ ao-metais, independente do n´ umero b) NA = 26 e NB = 25 de elétrons na camada de valência; c) NA = 27 e NB = 26 Hidrogˆ enio: N˜ ao tem classifica¸caõ, porém sua tendência é de d) NA = 26 e NB = 27 e) NA = 25 e NB = 25 ganhar um elétron. Os elementos que possuem quatro elétrons

130


—


na camada de valência podem ceder ou receber elétrons nas liga¸co˜es. O carbono por exemplo, ter´ a comportamento de n˜ ao-metal, recebendo elétrons. O sil´ıcio e o germˆ anio s˜ ao semi-metais: ora cedem elétrons, ora recebem.

Estruturas de Lewis Um s´ımbolo de Lewis é um s´ımbolo no qual os elétrons da camada de valência de um ´ atomo ou de um ´ıon simples s˜ ao representados por pontos colocados ao redor do s´ımbolo do elemento. Cada ponto representa um elétron. Por exemplo:

Figura 2.3: Configura¸ca õ da liga¸ca õ co-valente.

H

O

H

~ ligantes ´ pares de eletrons nao ´ pares de eletrons ligantes

(a)

(b)

Figura 2.1: Configura¸ca õ eletrˆ onica e estrutura de Lewis para oa ´tomo neutro de cloro (a) e para o ´ıon de cloro (b).

´ Figura 2.4: Estrutura de Lewis da Agua.

Repare nos exemplos acima que o cloro possui sete elétrons de valência, enquanto que o ´ıon cloreto, oito. Uma liga¸caõ co-valente é aquela liga¸caõ qu´ımica formada pelo compartilhamento de um par de elétrons entre dois ´ atomos. A Estrutura de Lewis de um composto co-valente ou de um ´ıon poli-atˆ omico mostra como os elétrons est˜ ao distribu´ıdos entre os ´ atomos, de formas a mostrar a conectividade entre eles. No caso do metano, por exemplo, quatro elétrons, um de cada hidrogênio, mais os quatro elétrons de valência do carbono, s˜ ao emparelhados na Estrutura, mostrando como cada átomo se conecta a outro por um par de elétrons.

a´tomo central, e lig´ a-lo aos átomos periféricos por pares de elétrons. Considere o dióxido de carbono CO2 carbono(C) → tem 4e− de valência × 1 carbono = 4e−

oxigênio(O) → tem 6e− de valência × 2 oxigênio = 12e−

Existe um total de 16 e− para serem colocados na Estrutura de Lewis. Conecte o átomo central aos outros átomos na molécula com liga¸co˜es simples. O carbono é o átomo central, os dois oxigênios s˜ ao ligados a ele; mais tarde iremos adicionar mais elétrons para completar os octetos dos átomos periféricos. Conecte o átomo central aos outros átomos na molécula com liga¸co˜es simples. O carbono é o átomo central, os dois oxigênios s˜ ao ligados a ele; mais tarde iremos adicionar mais elétrons para completar os octetos dos átomos periféricos.

Figura 2.2: Configura¸ca õ da estrutura de Lewis para o metano. Ao invés de utilizarmos dois pontos para indicar o par de elétrons que perpetuam a liga¸caõ co-valente, podemos utilizar um tra¸co. Assim, o tra¸co ir´ a representar os dois elétrons da liga¸caõ co-valente. Vamos representar na Figura (2.4) a estrutura de Lewis da água. Dois hidrogênios s˜ ao ligados ao ´ atomo de oxigênio central. Os elétrons de liga¸caõ s˜ ao indicados pelas linhas entre o oxigênio e cada um dos hidrogênios. Os elétrons remanescentes - dois pares - que constituem o octeto do oxigênio, s˜ ao chamados de n˜ ao-ligantes, por n˜ ao estarem envolvidos em liga¸co˜es co-valentes. O primeiro passo para se desenhar uma estrutura de Lewis é determinar o n´ umero de elétrons de valência dos ´ atomos que ser˜ ao conectados. Depois é necess´ ario determinar qual é o

Figura 2.5: Estrutura do CO2 . Até aqui foram utilizados quatro elétrons dos 16 à disposi¸caõ. Complete a camada de valência dos átomos da periferia da molécula. Foram utilizados todos os 16 elétrons dispon´ıveis. Coloque quaisquer elétrons remanescentes sobre o átomo central. “Não existem mais elétrons dispon´ıveis nesse exemplo”. • Se a camada de valência do átomo central est´ a completa, você acaba de desenhar uma Estrutura de Lewis aceit´ avel.


131

Figura 2.6: Constru¸ca õ da estrutura de Lewis do CO2 -1.

“O carbono est´ a deficiente de elétrons - ele tem s´ o quatro elétrons em sua volta. Esta n˜ ao é uma estrutura de Lewis aceit´ avel”. • Se a camada de valência do ´ atomo central n˜ ao est´ a completa, use um par solit´ ario de um dos ´ atomos da periferia para formar uma dupla liga¸caõ daquele a´tomo com o´ atomo central. Continue o processo de fazer m´ ultiplas liga¸co˜es dos átomos periféricos com o ´ atomo central, até que a camada de valência do ´ atomo central esteja completa.



Pense um Pouco! • Dê uma poss´ıvel aplica¸caõ para a mesma fórmula qu´ımica escrita de formas diferentes. Ou seja, qual é a utilidade de escrevermos a fórmula estrutural e eletrˆ onica de um mesmo elemento? • Os gases nobres também s˜ ao chamados de gases inertes? Explique.

Figura 2.7: Constru¸ca õ da estrutura de Lewis do CO2 -2. Torna-se,


Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Indique a fórmula estrutural das seguintes moléculas: Dados: Cl (Z = 17), C (Z = 12), N (Z = 7), H (Z = 1), O (Z = 8). a) CCl4 b) N H3 c) CO2 d) HN O3


2. Dê as fórmulas estruturais e eletrˆ onicas das seguintes O a´tomo central ainda est´ a deficiente de elétrons, portanto moléculas, dados: H (Z=1), O (Z=8) e S (Z=16). compartilhe outro par. a) H2 S b) SO2 Torna-se, c) SO3 Certifique-se que você tenha utilizado do n´ umero correto d) HN O3 de elétrons na Estrutura de Lewis. Lembre-se que alguns elementos, como o enxofre, por exemplo, podem ampliar sua camada de valência para além de oito elétrons. A melhor Estrutura de Lewis que pode ser escrita para o dióxido de carbono é:

Qu´ımica

Aula 4

132


—


Ax+ B y− → Ay Bx Caracter´ısticas da Liga¸ c˜ ao Iˆ onica • Forma¸caõ de ´ıons; • Transferência de elétrons;

Figura 2.11: Melhor estrutura de Lewis para o CO2

• Compostos s´ olidos a temperatura ambiente;

Liga¸c˜ oes Qu´ımicas Como conseq¨ uência da tendência dos ´ atomos de formar sistemas eletrˆ onicos est´ aveis, pela doa¸caõ ou recebimento de elétrons, os átomos se unem. Existem três tipos de liga¸co˜es qu´ımicas; 1. Iˆ onica;

• Forma¸caõ de compostos cristalinos; • Os compostos iˆ onicos quando em meio aquoso conduzem corrente elétrica.

Liga¸ c˜ ao Met´ alica

Ocorre entre metais. Como sabemos, um metal tem tendência de doar elétrons formando c´ ations. A liga¸caõ met´ alica ocorre quando muitos a ´ tomos de um metal perdem el´ e trons ao mesmo 3. Co-valente. tempo, e os c´ ations formados se estabilizam pela ”nuvem” de elétrons que fica ao redor. Liga¸ c˜ ao Iˆ onica ou Eletrovalente Analisando um fio de cobre, excelente condutor de eletriciA liga¸caõ iˆ onica ocorre quando um metal se liga a um n˜ ao dade e calor, encontraremos nos elétrons livres que o material metal ou ao hidrogênio. O metal doa elétrons formando o apresenta a explica¸caõ desta condutibilidade. Os ”n” átomos ations c´ ation. O n˜ ao-metal ou o hidrogênio recebe elétrons formando de cobre cedem seus elétrons periféricos e se tornam c´ envoltos por muitos elétrons livres. um ˆ anion. 2. Met´ alica;

A conseq¨ uência da atra¸caõ entre os ´ıons positivos (cátions) e negativos (ˆ anions) é um agrupamento organizado de ´ıons, a que chamamos de cristal iˆ onico.

Liga¸ c˜ ao Co-valente ou Molecular Liga¸caõ co-valente é aquela formada como conseq¨ uência do compartilhamento de elétrons entre seus átomos. Haverá forma¸caõ de uma molécula, no sentido em que os átomos se unem como ”sócios” dos mesmos elétrons. Por exemplo: o cloro apresenta 7 elétrons na u ´ ltima camada quando realizada a liga¸caõ co-valente forma HCl. O par compartilhado é formado por dois elétrons, um de cada átomo, compartilhado por ambos os átomos.

(a)

(b)

Figura 2.1: Arranjo Atˆ omico de um Cristal Iˆ onico.

H

Cl

O cristal iˆ onico é representado por uma f´ ormula m´ınima, ou seja, o n´ umero m´ınimo de c´ ations e ˆ anions necess´ arios para que ambas as cargas sejam neutralizadas. Por exemplo a Fórmula M´ınima do sal de cozinha é dada por: N a Cl Esta estrutura de alta coes˜ ao de natureza elétrica confere ao composto iˆ onico alto ponto de fusão. No estado s´ olido n˜ ao conduz eletricidade. Isso s´ o ocorre se os ´ıons estiverem livres, em solu¸caõ aquosa ou no estado fundido (l´ıquido). Montamos uma fórmula de composto iˆ onico colocando à esquerda o c´ ation e a direita o ˆ anion. Verificamos se as cargas positiva e negativa se anulam. Se as cargas se anularem, a fórmula ser´ a de um c´ ation para um ˆ anion. Caso as cargas se anulem, usaremos o seguinte artif´ıcio: invertemos a carga do c´ ation para ´ındice do ânion e a carga do ˆ anion para ´ındice do c´ ation:

Figura 2.2: Par Eletrˆ onico Compartilhado. Ambos adquirem configura¸caõ eletrˆ onica est´ avel de g´ as nobre. Representa¸ c˜ ao Molecular H´ a diferentes maneiras de representar uma molécula. Tomemos a molécula de g´ as oxigênio, formada por dois átomos de oxigênio. • F´ ormula eletrˆ onica ou de Lewis: representa os elétrons da u ´ ltima camada dos átomos.


133

• F´ ormula estrutural: cada par de elétron compartilhado é representado por um tra¸co. O=O

−

−

+

+

• F´ ormula molecular: indica apenas o tipo e o n´ umero de átomos que formam uma molécula. O2

Figura 2.4: Dois a ´tomos de H.

Liga¸ c˜ ao Dativa ou Coordenada ´ o caso de liga¸caõ co-valente que ocorre quando o par de E elétrons compartilhado entre dois ´ atomos provém apenas de um deles. Para que o átomo possa fazer uma liga¸caõ coordenada ele tem que possuir pares de elétrons livres. A liga¸caõ coordenada é indicada por uma seta do ´ atomo que oferece o par de elétrons para o ´ atomo que o aceita. O n´ umero máximo de liga¸co˜es coordenadas que os n˜ ao-metais podem oferecer é: No caso do mon´ oxido de carbono, temos um bom exemplo: o oxigênio faz uma liga¸caõ dativa com o carbono, isto é, compartilha coordenadamente com ele seus pares eletrˆ onicos. Conforme podemos ver na Fig. (2.3):

Como conseq¨ uência dessa atra¸caõ, teremos a aproxima¸caõ resultando numa interpenetra¸caõ de orbitais chamada overlap. Overlap é a interpenetra¸caõ dos orbitais atômicos formando um orbital molecular. Na forma¸caõ do overlap h´ a uma distância ideal entre os n´ ucleos de cada átomo, onde a repuls˜ ao das cargas de mesmo sinal compensa a atra¸caõ das cargas de sinais diferentes.

Figura 2.5: Overlap. No caso do H2 , H −H, temos orbital σ(s−s). A nota¸caõ σ(s− s) significa orbital molecular σ feito através de dois orbitais atômicos do tipo s.

Pense um Pouco! Figura 2.3: Liga¸ca õ Dativa do CO.

Orbitais Moleculares Para visualizarmos melhor as liga¸co˜es co-valentes (´ atomos formando moléculas), estudaremos as liga¸co˜es sob o ponto de vista dos orbitais atômicos formando orbitais moleculares. Orbital molecular é a regi˜ ao em torno dos n´ ucleos de maior probabilidade de ser encontrado o par eletrˆ onico compartilhado. H´ a dois tipos de orbital molecular: Orbital Molecular σ (sigma), ou simplesmente liga¸caõ σ, é aquele formado na interpenetra¸caõ de orbitais atômicos segundo um eixo. Orbital Molecular π, ou simplesmente liga¸caõ π, é aquele formado na interpenetra¸caõ de orbitais atômicos p exclusivamente segundo os eixos paralelos. Exemplo

• Quais s˜ ao as principais utilidades das Liga¸co˜es Qu´ımicas na natureza? • Como os elementos qu´ımicos s˜ ao encontrados na natureza, ”puros ou misturados com outros elementos”?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (ACAFE) O grupo de átomos que é encontrado na forma mono-atˆ omica pelo fato de serem est´ aveis s˜ ao a) Halogênios b) Calcogênios c) Metais Alcalinos Terrosos d) Metais Alcalinos e) Gases Nobres 2. (ACAFE) O propadieno (H2 C = C = CH2 ) apresenta respectivamente quantas liga¸co˜es sigmas e liga¸co˜es pi? a) 6 e 2 b) 2 e 2 c) 4 e 2 d) 4 e 0 e) 0 e 4

H2 (molécula H : H ou H − H) O hidrogênio apresenta apenas um elétron no orbital s, que sabemos ser esférico: 1s1 , e precisa de mais um elétron para adquirir estabilidade. 3. (ACAFE) Incr´ıvel, mas 15% do g´ as metano existente na Quando ocorre a aproxima¸caõ de outro ´ atomo de hidrogênio, atmosfera provém do arroto dos bois, vacas, cabras e caro n´ ucleo positivo de um atrai a eletrosfera do outro. neiros, contribuindo para o efeito estufa (aquecimento at-

134


—


mosférico). Assinale a alternativa que descreve os tipos de entre as colis˜ oes – o seu livre caminho médio – é muito peliga¸co˜es qu´ımicas encontradas neste g´ as: quena, onde estas sofrem bilh˜ oes de colis˜ oes antes de percorrer a) 2 iˆ onicas e 2 co-valentes uma distância muito grande e essas interrup¸co˜es impedem-nas b) 2 liga¸co˜es dativas de espalhar-se através do l´ıquido. A difus˜ ao dentro dos s´ olidos c) 4 liga¸co˜es duplas é muito mais lenta que nos l´ıquidos. N˜ ao s´ o as moléculas est˜ ao d) 2 sigmas e 2 pi fortemente compactadas como, também, s˜ ao mantidas rigidae) 4 liga¸co˜es sigmas mente no mesmo lugar. Volume e Forma


A propriedade mais óbvia dos gases, l´ıquidos e s´ olidos é a forma como eles se comportam quando transferidos de um frasco 4. (ACAFE-99) Um metal alcalino terroso (M) apresenta dois para outro. Ambos, gases e l´ıquidos s˜ ao flu´ıdos; eles escoam elétrons na sua camada de valência. A alternativa que indica a e podem ser bombeados de um lugar para outro. Um s´ olido, fórmula de um óxido e de cloreto desse metal, respectivamente porém, n˜ ao é um flu´ıdo e mantém tanto sua forma quanto seu é: volume. As for¸cas inter-moleculares de um g´ as s˜ ao t˜ ao fracas a) M2 O − M2 Cl que as moléculas podem facilmente superar essa for¸ca e expanb) M2 O − M Cl dir para encher o recipiente. O que n˜ ao acontece num s´ olido, c) M O2 − M Cl2 cujas for¸cas atrativas mantém as moléculas mais ou menos fird) M O − M Cl2 mes num lugar, de modo que elas n˜ ao podem se mover umas e) M O − M Cl4 em torno das outras. 5. (UFSC) Na molécula H − O − O − H, existe: a) nenhuma liga¸caõ iˆ onica b) três liga¸co˜es co-valentes c) três liga¸co˜es sigmas d) três liga¸co˜es iˆ onicas e) duas liga¸co˜es met´ alicas

Qu´ımica

Aula 5

A Estrutura da Mat´ eria

Tens˜ ao Superficial Num l´ıquido cada molécula move-se sempre sob influência das moléculas vizinhas. As moléculas na superf´ıcie de um certo recipiente sentem uma atra¸caõ na dire¸caõ do interior do l´ıquido. Para uma molécula chegar a superf´ıcie ela deve superar esta atra¸caõ. Ou seja, a energia potencial deve aumentar, ent˜ ao deve-se realizar trabalho para levá-las até a superf´ıcie. Portanto, tornar a superf´ıcie de um l´ıquido maior requer um gasto de energia e a quantidade de energia necess´ aria é ent˜ ao a tens˜ ao superficial. Evapora¸ c˜ ao

De acordo com a teoria cinética molecular, todas as formas de matéria s˜ ao compostas de part´ıculas pequenas e que se movem rapidamente. H´ a duas raz˜ oes principais por que os gases, l´ıquidos e s´ olidos diferem tanto uns dos outros. Uma é a rigidez do empacotamento das part´ıculas e outra é a intensidade das for¸cas atrativas entre elas. Podemos listar como propriedades influenciadas por estas duas raz˜ oes o seguinte:

Num l´ıquido ou num s´ olido, assim como num g´ as, as moléculas est˜ ao constantemente sofrendo colis˜ oes, dando assim origem a uma distribui¸caõ de velocidades moleculares individuais e, evidentemente, de energias cinéticas. se algumas dessas moléculas possu´ırem energia cinética suficiente para superar as for¸cas atrativas dentro do l´ıquido ou do s´ olido, elas poder˜ ao escapar através da superf´ıcie para o estado gasoso – elas evaporam. No l´ıquido existem três fatores que influenciam na velocidade de evapora¸caõ: a temperatura, a área superficial e a intensidade das atra¸co˜es superficiais.

Compressibilidade

For¸ cas de Atra¸ c˜ ao Inter-moleculares

Num g´ as, as moléculas est˜ ao bastante separadas, de forma que h´ a muito espa¸co vazio dentro do qual elas podem ser comprimidas, por isso os gases s˜ ao bastante compress´ıveis. Entretanto, as moléculas num l´ıquido ou s´ olido est˜ ao rigidamente empacotada se h´ a muito pouco espa¸co vazio entre elas, sendo ent˜ ao virtualmente incompress´ıveis.

As atra¸co˜es dipolo-dipolo s˜ ao, normalmente, consideravelmente mais fracas do que as liga¸co˜es iˆ onicas ou co-valentes. A sua for¸ca também diminui muito rapidamente à medida que a distância entre os dipolos aumenta, de forma que a distância entre os dipolos aumenta, de forma que o seu efeito entre as moléculas bastante afastadas de um g´ as é muito menor do que entre moléculas fortemente compactadas num l´ıquido ou num ´ por isso que as moléculas de um g´ s´ olido. E as comportam-se quase como se n˜ ao houvesse atra¸caõ nenhuma entre elas.

Propriedades Gerais

Difus˜ ao

Comparadas com as moléculas de um l´ıquido ou s´ olido, as moléculas de um g´ as se difundem rapidamente, uma vez que Pontes de Hidrogˆ enio as distâncias que elas se movem entre as colis˜ oes s˜ ao relativamente grandes. Em virtude de as moléculas num l´ıquido Acontece entre moléculas muito polares, onde a diferen¸ca de estarem t˜ ao próximas, a distância média que elas percorrem eletronegatividade é muito acentuada, tendo H numa das ex-


135

tremidades da “ponte”. No estado l´ıquido h´ a pontes de hidrogênio entre moléculas de ´ agua. Como h´ a movimento das moléculas, as pontes de hidrogênio se quebram e se restabelecem em seguida. No estado s´ olido as pontes de hidrogênio entre as moléculas de ´ agua s˜ ao fixas e direcionadas segundo um ˆ angulo de 104, 5◦ entre suas liga¸co˜es. Devido à dire¸caõ das pontes de hidrogênio na ´ agua s´ olida, ficam espa¸cos vazios entre as moléculas, respons´ aveis pelo aumento de volume ao congelar.

da vida real, devemos aumentar o tamanho destas quantidades até o ponto em que possamos vê-las e pesá-las. Infelizmente, por exemplo, uma d´ uzia de átomos ou moléculas é ainda uma quantidade muito pequena para se trabalhar; deve-se, portanto, encontrar uma unidade maior ainda. A “d´ uzia de qu´ımico”chama-se mol (unidade mol). Ele é composto de 6, 022 × 1023 objetos. Ent˜ ao: 1 d´ uzia = 1 mol =

12 objetos 6, 02 × 1023 objetos

For¸ ca de Van der Waals (ou de London)

O Volume Molar Essa for¸ca pode aparecer entre ´ atomos de um g´ as nobre (por ´ as em condi¸co˜es exemplo, hélio l´ıquido) ou entre moléculas apolares (CH4 , E o volume ocupado por um mol de qualquer g´ normais de temperatura e press˜ a o (CNTP). CO2 ). O gelo seco quando sublima, passa do estado s´ olido para o estado gasoso, rompendo as for¸cas de Van der Waals e CNTP: liberando as moléculas das influências das outras. S˜ ao as for¸cas • temperatura de 0◦ C ou 273 K; inter-moleculares, tipo Van der Waals, que justificam a possi• press˜ ao de 1 atm ou 760 mmHg). bilidade de liq¨ uefazer os gases nobres. As moléculas podem se unir através de polariza¸caõ induzida temporariamente. Verifica-se experimentalmente que o volume molar é de 22, 4 l (CNTP). Os Gases Conclus˜ ao: M M g → 6, 02 × 1023 moléculas → 22, 4 l. Muitos gases s˜ ao capazes de sofrer rea¸co˜es qu´ımicas uns com outros. Observa¸co˜es experimentais feitas por Gay-Lussac forObserve que maram a base da Lei de Combina¸ c˜ ao dos Volumes 1 mol ≈ 602.000.000.000.000.000.000.000 A Lei de Combina¸ c˜ ao de Volumes

os volumes das substˆ ancias gasosas que s˜ ao produzidas e consumidas numa rea¸ c˜ ao qu´ımica est˜ ao numa raz˜ ao de n´ umeros inteiros pequenos, desde que os volumes sejam medidos nas mesmas condi¸ co ˜es de temperatura e press˜ ao. A importˆ ancia das observa¸co˜es de Gay-Lussac foi posteriormente reconhecida por Amadeo Avogadro. Ele propˆ os que agora é conhecido como princ´ıpio de Avogadro. O Princ´ıpio de Avogadro sob condi¸ co ˜es de temperatura e press˜ ao constantes, volumes iguais de gases cont´ em n´ umeros iguais de mol´ eculas. Uma vez que n´ umeros de iguais de moléculas significam n´ umeros iguais de mols, o n´ umero de mols de qualquer g´ as est´ a relacionado com o seu volume:

Pense um Pouco! • Você tem no¸caõ de como funciona um freio de autom´ ovel? Ou que um freio tem em comum com o assunto que estamos tratando? • Dê exemplos de elementos qu´ımicos s´ olidos que evaporam, sem que haja fusão.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (FUVEST) Em uma amostra de 1, 15 g de s´ odio, o n´ umero de átomos existentes ser´ a igual a (N a = 23): a) 6 × 1022 b) 3 × 1023 c) 6 × 1023 d) 3 × 1022 e) 1023

V ∝n

2. (ACAFE-00) Qual destas liga¸co˜es é mais fraca? onde n é o n´ umero de mols do g´ as. Assim, a lei de Gay- a) Eletrovalente Lussac é facilmente compreendida, uma vez que os volumes b) Co-valente dos gases, reagentes e produtos, ocorrem nas mesmas raz˜ oes c) Ponte de hidrogênio d) Van der Waals que os coeficientes na equa¸caõ balanceada. e) Metálica O Mol Sabemos que os átomos reagem para formar moléculas, mantendo entre si raz˜ oes simples de n´ umeros inteiros. Os átomos de hidrogênio e oxigênio, por exemplo, combinam-se numa raz˜ ao de 2 para 1 a fim de formar a ´ agua, H2 O. Entretanto é imposs´ıvel trabalhar com os ´ atomos individualmente, devido as suas dimensões min´ ` usculas. Assim, em qualquer laboratório

3. (PUC) As pontes de hidrogênio aparecem: a) quando o hidrogênio est´ a ligado a um elemento muito eletropositivo b) quando o hidrogênio est´ a ligado a um elemento muito eletronegativo c) em todos os compostos hidrogenados d) somente em compostos inorgˆ anicos e) somente em ácidos de Arrhenius

136



—


• Os choques entre as moléculas, se ocorrerem, s˜ ao perfeitamente elásticos (a molécula n˜ ao ganha nem perde energia cinética)

4. (Osec-SP) Tem-se 1 litro de He; 1 litro de H2 ; 1 litro de CO2 ; e 1 litro de N H3 , todos estes gases nas CN T P em recipientes separados. O recipiente que possui maior n´ umero G´ as Real de moléculas é o que contém: a) He Um g´ as real se aproxima do comportamento de um g´ as perfeito b) H2 à medida que se torna mais rarefeito (diminui o n´ umero de c) CO2 moléculas) e se encontra a baixa press˜ ao e a alta temperatura. d) N H3 e) o n´ umero de moléculas é o mesmo em cada um dos quatro Leis dos Gases Ideais recipientes. 5. (PUC-RS) Os elevados pontos de ebuli¸caõ da água, do álcool et´ılico e do fluoreto de hidrogênio s˜ ao explicados: a) através das pontes de hidrogênio inter-moleculares b) pelas macro-moléculas formadas c) através de for¸cas de Van der Waals d) pelas liga¸co˜es co-valentes dativas que se formam entre moléculas destes compostos e) através das pontes de hidrogênio intra-moleculares

O estado de um g´ as é definido quando sabemos sua press˜ ao, temperatura, e volume Essas grandezas s˜ ao as vari´ aveis de estado de um g´ as e s˜ ao inter-dependentes. Se mantivermos constante uma de suas vari´ aveis, poderemos estudar de que maneira variam as outras.

6. (PUC) Qual a massa total da seguinte mistura: 0, 25 mol de oxigênio mais 3 × 1022 moléculas de oxigênio mais 3 g de oxigênio? Dado: M MO = 16 g. a) 11, 8 g b) 12, 6 g c) 23, 6 g d) 32 g e) 34 g

a uma temperatura constante, o volume ocupado por uma quantidade fixa de g´ as ´ e inversamente proporcional ` a press˜ ao aplicada. Isso pode ser expresso matematicamente como:

Qu´ımica

Aula 6

Transforma¸ c˜ ao Isot´ ermica (Lei de Boyle-Mariotte)

V ∝

1 P

(2.1)

A proporcionalidade pode ser transformada numa igualdade pela introdu¸caõ de uma constante de proporcionalidade. Assim, 1 P P V = constante V ∝

Teoria Cin´ etica dos Gases

p1 V1 = p2 V2

Desta forma, a temperatura constante, se aumentarmos a As moléculas de um g´ as ocupam o volume do recipiente que press˜ ao, o volume diminui; se diminuirmos a press˜ ao o volume as contém. A energia que mantém as moléculas de um g´ as em aumenta. movimento é a energia cinética, que é diretamente proporcional a temperatura absoluta (Kelvin). Transforma¸ c˜ ao Isob´ arica (Lei de Charles) Ec ∝ T

onde

Ec = energia cinética T = temperatura de Kelvin

G´ as Ideal

` a press˜ ao constante, o volume de uma dada quantidade de um g´ as ´ e diretamente proporcional ´ a sua temperatura absoluta. Escrevendo esta Lei matematicamente, temos: V ∝T

(2.2)

Um g´ as é considerado perfeito (ideal) quando obedece às se- Transformando a proporcionalidade em igualdade e rearranguintes condi¸co˜es: jando, obtemos • No estado gasoso o movimento das moléculas ocorre de maneira cont´ınua e caótica, descrevendo trajetórias retil´ıneas; • O volume da molécula é desprez´ıvel em rela¸caõ ao volume do recipiente que a contém; • Uma molécula n˜ ao sente a presen¸ca da outra (n˜ ao h´ a intera¸caõ, for¸cas de Van der Waals, entre as moléculas);

V = constante T V2 V1 = T1 T2

(2.3) (2.4)

Desta forma, se a press˜ ao é constante, á medida que aumentarmos a temperatura o volume ocupado pelo g´ as aumentar´ a; diminuindo a temperatura, o volume diminuir´ a.

Qu´ımica – Aula 6 Transforma¸ c˜ ao Isoc´ orica, Isom´ etrica lum´ etrica (Lei de Charles-Gay Lussac)

137 ou

Isovo-

A equa¸caõ (2.12) é obedecida por apenas um g´ as ideal hipotético e é uma express˜ ao matemática da lei dos gases ide´ também chamada equa¸caõ de estado do g´ ais. E as ideal, pora volume constante, a press˜ ao ´ e diretamente propor- que relaciona as vari´ aveis (P, V, n, T ) que especificam as procional ` a temperatura. priedades f´ısicas do sistema. Matematicamente temos que: P ∝T ou também, P = constante T p1 p2 = T1 T2

(2.5)

´ simplesmente a press˜ E ao que o g´ as exerceria se estivesse sozinho no recipiente, ocupando o volume total da mistura na mesma temperatura. Segundo as observa¸co˜es de John Dalton, a press˜ ao total é igual à soma das press˜ oes parciais de cada (2.6) g´ as, na mistura. Esta afirmativa é conhecida como a lei das press˜ oes parciais de Dalton que pode ser expressa por: (2.7) PT = pa + pb + pc + · · · (2.13)

Se aumentarmos a temperatura, a press˜ ao aumentar´ a; se diminuirmos a temperatura, a press˜ ao diminuir´ a.

Lei Combinada dos Gases As equa¸co˜es correspondentes ` as leis de Boyle-Mariotte e Charles-Gay Lussac podem ser incorporadas em uma u ´ nica equa¸caõ, que é u ´ til para muitos c´ alculos. Esta é Pf Vf Pi Vi = Ti Tf

Lei das Press˜ oes Parciais de Dalton

(2.8)

onde PT é a press˜ ao total da mistura e pa , pb , pc s˜ ao as press˜ oes parciais dos gases a, b c. Press˜ ao parcial (P ′ ) é o produto da fra¸caõ molar pela press˜ ao total dos gases. ′ Pg´ as · Ptotal mistura as = Xg´

(2.14)

Volumes Parciais

Volume parcial é o volume que o g´ as ocuparia estando sozinho Da mesma forma que para as leis separadas, a lei combinada e sendo submetido à press˜ ao total, na temperatura da mistura. dos gases verifica-se somente se a quantidade de g´ as for cons- O volume total é a soma dos volumes parciais de cada g´ as, na tante. Onde o g´ as deve estar submetido ` as CN T P . mistura. Esta afirmativa é conhecida como a lei de Amagat. O volume parcial (V) é dado pelo produto de fra¸caõ molar do g´ as pelo volume total da mistura. Lei dos Gases Ideais Discutimos, assim, três rela¸co˜es (2.1, 2.2, 2.5) de volume a que ′ um g´ as ideal obedece. Vg´ (2.15) as · Vtotal mistura as = Xg´ Podemos combiná-las, para obter Mudan¸cas de Estado F´ısico 1 (T ) ou (2.9) V ∝n P Uma substância pura pode apresentar-se sob três formas de nT olido, l´ıquido, gasoso (aceita-se o (2.10) agrega¸caõ da matéria: s´ V ∝ P quarto estado da matéria: plasma). Cada fase depende das condi¸co˜es f´ısicas de press˜ ao e temperatura. Casos Particulares • Se n e T forem constantes na equa¸caõ (2.10) teremos a lei de Boyle-Mariotte;

Fus˜ ao e Solidifica¸c˜ ao

Na fase s´ olida, as moléculas de uma substância est˜ ao fortemente ligadas entre si, formando um reticulado cristalino. • Se n e P forem constantes na equa¸caõ (2.10) teremos a lei Fornecendo calor a um s´ olido, as moléculas absorverão a enerde Charles-Gay Lussac; gia, aumentando a amplitude de sua vibra¸caõ, rompendo o • Se P e T forem constantes na equa¸caõ (2.10) teremos o reticulado cristalino e passando para a fase l´ıquida, onde as Princ´ıpio de Avogadro; moléculas est˜ ao ligadas entre si com menor intensidade do que na fase s´ olida. A proporcionalidade na equa¸caõ (2.10) pode ser transformada numa igualdade, pela introdu¸caõ de uma constante de propor• A temperatura em que ocorre a passagem de fase cionalidade, R, chamada de constante universal dos gases. s´ olida para a l´ıquida ´ e denominada ponto de fus˜ ao. Da´ı, temos: • A temperatura em que ocorre a passagem de fase nRT l´ıquida para a s´ olida ´ e denominada ponto de solidiou (2.11) V = fica¸ca õ. P P V = nRT (2.12) • Nas substˆ ancias puras, o ponto de fus˜ ao e solidifica¸ c˜ ao coincidem, se a press˜ ao for mantida constante. onde R = 8, 31J/mol · K.

138


Vaporiza¸c˜ ao e Condensa¸ c˜ ao

—


2

p

A vaporiza¸caõ é a passagem da fase l´ıquida para a gasosa. Existem três maneiras de se efetuar a vaporiza¸caõ:

Liquido P

1. Vaporiza¸ c˜ ao t´ıpica ou ebuli¸ c˜ ao: mudan¸ca de fase a determinada press˜ ao e temperatura. Por exemplo, a água entra em ebuli¸caõ a 100 ◦ C e ` a press˜ ao de 1 atm.

C

Solido P

3. Calefa¸ c˜ ao: fenˆ omeno que ocorre a temperaturas acima ´ observável, por da temperatura normal de vaporiza¸caõ. E exemplo, ao se deixar cair uma gota d’água numa chapa de metal, a uma temperatura acima de do ponto de vaporiza¸caõ.

Gas Vapor 1 θ Figura 2.2: Diagrama de fase t´ıpico.

p 2 Liquido P

ca

Solido

P

3

T

Gas Vapor

sa

Sublimacao

ao

ac

Fu

riz

ao

po

o

So

θ

sac

Va

lid

en

ifi

nd

ca

C

1

Co

o

A condensa¸caõ é a passagem de uma substˆ ancia da fase gasosa para a l´ıquida. Ela pode ocorrer, também, ` a temperatura ambiente. Por exemplo, ao se colocar ´ agua gelada num copo, observa-se a condensa¸caõ do vapor de ´ agua do ar na sua parede externa.

Liquido

3

T

2. Evapora¸ c˜ ao: fenˆ omeno que se observa a qualquer temperatura, através da superf´ıcie exposta ao meio ambiente. Isso ocorre porque as moléculas com maior velocidade escapam através da superf´ıcie livre do l´ıquido. Ao ocorrer uma evapora¸caõ, a temperatura do l´ıquido diminui pois ao escaparem as moléculas com maior velocidade, diminui a energia cinética. Quanto maior a ´ area livre maior a evapora¸caõ.

Solido

Figura 2.3: Diagrama de fase da a ´gua.

Gasoso Sublimacao Inversa

Figura 2.1: Mudan¸cas de estados: s´ olido, l´ıquido e g´ as.

Diagrama de Fases Colocando-se em um u ´ nico diagrama, as curvas de equil´ıbrio entre as fases de uma substˆ ancia pura, tem-se o diagrama de fases. O ponto de equil´ıbrio entre as três fases é denominado ponto triplo ou tr´ıplice (PT ). Para o dióxido de carbono (CO2 ), o ponto triplo é definido por: ◦

• temperatura: −56, 6 C • press˜ ao: 5 atm A´ agua tem o seu ponto triplo definido por: Para o dióxido de carbono (CO2 ), o ponto triplo é definido por: • temperatura: 0, 01 ◦ C • press˜ ao: 4, 58 mmHg

Sublima¸c˜ ao Abaixo da temperatura do ponto triplo, existe uma curva denominada curva de sublima¸ c˜ ao, que representa as condi¸co˜es de press˜ ao e temperatura nas quais uma substância pode passar diretamente da fase s´ olida para fase gasosa ou vice-versa sem se transformar em l´ıquido.

Pense um Pouco! • Por que dentro de uma panela de press˜ ao, é poss´ıvel manter-se a água na fase l´ıquida acima dos 100 C ? Quais s˜ ao os benef´ıcios que isso nos traz? ´ poss´ıvel ferver água à temperatura ambiente? Como? • E

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (MACK-SP) Assinale a afirma¸caõ correta: a) O ponto de fusão e o ponto de ebuli¸caõ da água aumentam com o aumento da press˜ ao. b) O ponto de fusão e o ponto de ebuli¸caõ da água diminuem com o aumento da press˜ ao. c) O ponto de fusão da água diminui e o ponto de ebuli¸caõ da


139

´gua aumentam com o aumento da press˜ a ao. ´ Acidos e Bases d) O ponto de fusão da ´ agua aumenta e o ponto de ebuli¸caõ da ´ agua diminui com o aumento da press˜ ao. Nesta aula ser˜ ao apresentados dois conceitos qu´ımicos fundae) O ponto de fusão e o ponto de ebuli¸caõ da ´ agua n˜ ao s˜ ao mentais: ácido e base. alterados com o aumento da press˜ ao. 2. (STA. CASA-SP) Quando você assopra a sua pele u ´ mida de ´ agua, sente que a pele esfria. Isto se deve ao fato de: a) o sopro arrasta ar mais frio que a pele. b) a pele est´ a mais fria do que a ´ agua. c) a ´ agua é normalmente mais fria do que o ar. d) o sopro é mais frio do que a ´ agua. e) a ´ agua absorve calor da pele para evaporar-se.

´ Acidos e Bases de Arrhenius

Fun¸co˜es Qu´ımicas s˜ ao grupos de substâncias com propriedades semelhantes. As fun¸co˜es inorgˆ anicas s˜ ao quatro: ácidos, bases, sais e óxidos. ´ Acidos s˜ ao compostos com sabor azedo (vinagre, frutas c´ıtricas), que reagem com bases formando sal e água. Bases s˜ ao compostos de sabor adstringente (leite de magnésia 3. (ACAFE) Bolinhas de naftalina s˜ ao colocadas nos roupeiros - M g(OH) ) que reagem com ácidos dando sal e água. 2 para combater as tra¸cas pois elas danificam as roupas. Com ´ Acidos e Bases atuam sobre indicadores coloridos - substâncias o tempo as bolinhas diminuem de tamanho. A causa disso que possuem duas colora¸co˜es, dependendo do meio em que se deve-se: encontram. a) a sua liquefa¸caõ. b) ao consumo da naftalina pelas tra¸cas. ´ Indicador Meio Acido Meio B´ asico c) a sua condensa¸caõ. Tornassol Vermelho Azul d) a sua fusão. Fenolftale´ına Incolor Vermelho e) a sua sublima¸caõ. Defini¸ co ˜es de Arrhenius


´ Acido é qualquer composto molecular que em solu¸caõ aquosa sofre ioniza¸caõ liberando como u ´ nico c´ ation o ´ıon H + ou H3 O+ onio). 4. (VUNESP) Indique a alternativa que indica um fenˆ omeno (hidroxônio ou hidrˆ qu´ımico: Exemplos a) Dissolu¸caõ de cloreto de s´ odio em ´ agua. b) Fusão da aspirina. c) Destila¸caõ fracionada de ar l´ıquido. HCl + H2 O → H + + Cl− d) Corros˜ ao de uma chapa de ferro. HN O3 + H2 O → H + + N O3− e) Evapora¸caõ da água do mar. H2 SO4 + H2 O → 2H + + SO4−2 5. (ACAFE) Do petr´ oleo podemos extrair vários materiais H3 P O4 + H 2 O → 3H + + P O4−3 importantes para o homem, como a gasolina, o GLP, a parafina, o metano e outros. Sobre o petr´ oleo e seus derivados n˜ ao Dizemos que o ácido, que era um composto co-valente, na prepodemos afirmar: sen¸ca de água ionizou, e formou ´ıons. a) a gasolina é uma mistura de alcanos. ao do n´ umero de moléculas ionib) GLP é a sigla para G´ as Liq¨ uefeito de Petr´ oleo e é basica- Grau de ioniza¸caõ (α) é a raz˜ zadas para um total de mol´ e culas inicialmente dissolvidas em mente uma mistura homogênea dos gases propano e butano. a ´ gua. A for¸ c a de um ´ a cido est´ a associada ao maior ou menor c) a parafina é uma mistura de alcanos superiores ou seja de grau de ioniza¸ c a ˜ o do mesmo. grandes massas moleculares. d) o petr´ oleo é uma mistura heterogênea. n.o de moléculas ionizadas e) o g´ as metano principal componente do g´ as natural, conheα= total de moléculas dissolvidas cido como g´ as do lixo, s´ o pode ser obtido a partir do petr´ oleo. (ACAFE) Algumas substˆ ancias em contato com a pele, nos Caracter´ısticas d˜ ao uma sensa¸caõ de estarem frias. Dentre elas podemos destacar o éter comum. Isso ocorre por que: • Apresentam sabor azedo; f) o éter ao cair na pele, evapora, e este é um processo • Tornam vermelho o papel tornassol azul e a fenolftale´ına exotérmico. de vermelha para incolor; g) o éter ao cair na pele, evapora, e este é um processo endotérmico. • Conduzem corrente elétrica em solu¸caõ aquosa; h) o éter reage endotermicamente com substˆ ancias da pele. i) o éter sublima. • Quando adicionados ao mármore ou carbonatos, produj) o éter é resfriado. zem uma efervescência com libera¸caõ de g´ as carbˆ onico.

Qu´ımica

Aula 7

Classifica¸ c˜ ao Em geral, pode-se classificar os ácidos quanto à: Presen¸ ca de Oxigˆ enio

140


• Hidr´ acidos: n˜ ao apresentam oxigênio na molécula; HCl, HCN, H2 S • Oxi´ acidos: apresentam HN O3 , H2 SO4 , H3 P O4

oxigênio

na

N´ umero de Hidrogˆ enios Ioniz´ aveis • Mono-´ acidos: apenas HCl, HCN, HN O3

um

• Di´ acidos: dois H2 S, H2 SO4 , H2 CO3

hidrogênio

hidrogênios

—


´ Nomenclatura dos Acidos Hidr´ acidos

molécula.

´ Nomenclatura: Acido (nome do elemento)´ıdrico. Quando ionizado, um hidr´ acido produz ao lado do c´ ation H + + ou H3 O , um ânion com termina¸caõ eto. Conforme exemplo abaixo: ´ Clor´ıdrico ⇋ H + + Cl− : Cloreto. (na presen¸ca ioniz´ avel; HCl: Acido de H2 O)

ioniz´ aveis;

• Tri´ acidos: três hidrogênios ioniz´ aveis. H3 SO3 , H3 P O4 Mas tome cuidado:

H3 P O2 → mono-´ acido (um hidrogênio ioniz´ avel) H3 P O3 → diácido (dois hidrogênios ioniz´ aveis)

Volatilidade

Oxi´ acidos ´ Nomenclatura: Acido (nome do elemento) oso(menos oxigenado) ico(mais oxigenado) Conforme podemos ver no exemplo abaixo: ´ H2 SO3 : Acido Sulfuroso ⇋ 2H + + SO3−2 : Sulfito. (na presen¸ca de H2 O) ´ H2 SO4 : Acido Sulf´ urico ⇋ 2H + + SO4−2 : Sulfato. (na presen¸ca de H2 O)

Bases

• Vol´ atil: todos os hidr´ acidos; • Fixo: todos os oxi´ acidos. Estabilidade • Inst´ avel: s´ o existem dois ´ acidos instáveis; H2 CO3 → H2 O + CO2

Bases ou Hidr´ oxidos s˜ ao substâncias que, ao serem dissolvidas em água, sofrem dissocia¸caõ iˆ onica, originando o “ˆ anion”OH − , denominado hidroxila ou oxidrila. Os hidr´ oxidos s˜ ao compostos formados por um metal ou um ´ıon positivo, ligado a hidroxila. Observe abaixo a dissocia¸caõ iˆ onica de algumas bases em solu¸caõ aquosa:

N aOH → N a+ + OH −

H2 SO3 → H2 O + SO2

• Est´ aveis: todos com excess˜ ao dos ´ acidos carbˆ onico e sulfuroso.

F e(OH)3 → F e+3 + 3OH − N H4 OH → N H4+ + OH −

Caracter´ısticas das Bases For¸ ca

• Apresentam sabor amargo;

• Para Hidr´ acidos:

• Reagem com os ácidos produzindo sal;

– Fortes: HCl, HI, HBr – Moderado ou Semi-Forte: HF – Fracos: HCN, H2 S

• Tornam azul o papel tornassol vermelho e a fenolftale´ına de incolor para vermelha; • Conduzem corrente elétrica em solu¸caõ aquosa;

• Para Oxi´ acidos: m = N0 − NH+ – Fraco: quando m = 0;

• S˜ ao untuosas ao tato.

– Moderado ou Semi-Forte: quando m = 1;

Classifica¸c˜ ao das Bases

– Forte: quando m = 2;

Classifica-se as bases quanto à:

– Muito Forte: quando m = 3. – Exemplos: HCl → m = 0

fraco

H2 CO3 → m = 1 moderado H2 SO4 → m = 2 forte

HClO4 → m = 3 muito forte

N´ umero de Hidroxilas (OH − ) • Mono-base: KOH;

possui apenas uma hidroxila.

• Dibase: possui apenas duas hidroxilas. Ca(OH)2 ;

Exemplo: Exemplo:

• Tribase: possui três duas hidroxilas. Exemplo: Al(OH)3 ;

Qu´ımica – Aula 7 • Tetrabase; possui apenas quatro hidroxilas. P b(OH)4 .

141 Exemplo: Base

´ Solubilidade em Agua • Sol´ uveis: bases formadas pelas fam´ılias 1A, 2A e N H4 OH; • Insol´ uveis: todas as demais bases. For¸ ca • Forte: quando a base é dissolvida em ´ agua, ocorre dissocia¸caõ iˆ onica quase que totalmente. Bases de metais alcalinos (1A) e de metais alcalinos terrosos (2A); • Fraca: todas as demais bases.

´ Outros Conceitos de Acidos e Bases Conceitos de Br¨ onsted-Lowry

´ toda espécie qu´ımica (molécula ou ´ıon) capaz de doar um E par de elétrons através da liga¸caõ coordenada dativa. Exemplo ´ AlCl3 (Acido) + : Cl− (Base) → AlCl4−

Comparando Conceitos • Lewis: o mais geral; • Br¨ onnsted-Lowry: bem amplo; • Arrhenius: o mais limitado. • Um ácido ou base de Arrhenius ser´ a também de Br¨ onnsted-Lowry e de Lewis;

´ Acido

• Um ácido ou base de Br¨ onnsted-Lowry pode ou n˜ ao ser de Arrhenius, mas ser´ a de Lewis;

´ toda espécie qu´ımica (molécula ou ´ıon) capaz de doar um E próton na forma de H + .

• Existem ácidos e bases de Lewis que n˜ ao s˜ ao de Br¨ onnstedLowry nem de Arhenius.

Base

Estequiometria

´ toda espécie qu´ımica (molécula ou ´ıon) capaz de receber um E próton na forma de H + . ´ o c´ E alculo da quantidade de reagentes necess´ arios e de produtos obtidos numa determinada rea¸caõ qu´ımica. Baseia-se nas Exemplos Leis de Lavoisier (conserva¸caõ das massas), Proust (propor¸caõ das massas) e Gay Lussac (propor¸caõ de volumes). Fundamenta-se no fato de que a propor¸caõ de mols entre rea´ HCl(Acido) + H2 O(Base) ⇋ gentes e produtos numa rea¸caõ é constante, dada pelos coefi´ H3 O+ (Acido) + Cl− (Base) (2.16) cientes estequiométricos. ´ N H3 (Acido) + H2 O(Base) ⇋ Outro fundamento do c´ alculo estequiométrico é a defini¸caõ de − ´ mol. N H4 (Acido) + OH (Base) (2.17)

´ Par Conjugado Acido–Base Chamamos de par conjugado as espécies qu´ımicas que diferem entre si por um H + . No exemplo (2.16) temos o seguinte par conjugado ácido-base:  HCl − (´ acido forte)    (grande facilidade doar elétrons) Cl− − (base fraca)    (pequena facilidade de receber elétrons)

Isso explica por que a rea¸caõ tende para o sentido direito, ou seja, da esquerda para direita.

Conceito de Lewis

O mol • Pesa: MMg (MM=Massa Molecular); • Possui: 6, 02 × 1023 moléculas; • Ocupa: 22, 4 l (gás nas CNTP). Exemplo Dada a rea¸caõ de combust˜ ao da acetona: C3 H6 O → CO2 + H2 O Balanceando a equa¸caõ pelo método das tentativas, chegaremos aos seguintes coeficientes menores e inteiros:

´ Acido ´ toda espécie qu´ımica (molécula ou ´ıon) capaz de aceitar um E par de elétrons através da liga¸caõ coordenada dativa.

1 C3 H6 O (1 mol) + 4 O2 (4 mols) → 3 CO2 (3 mols) + 3 H2 O (3 mols)

142


Pense um Pouco!

—


d) c´ alcio e) s´ odio

• O que você entende por chuva ´ acida? Ela pode trazer 6. Temos a seguinte equa¸caõ: algum malef´ıcio à vida humana? 2O3 → 3O2 • Enumere algumas substˆ ancias ´ acidas e b´ asicas de uso diário. Os n´ umeros 2 e 3 que aparecem ao lado esquerdo da equa¸caõ representam, respectivamente: a) coeficiente estequiométrico e n´ umero de átomos da molécula Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao b) coeficiente estequiométrico e n´ umero de moléculas c) n´ umero de moléculas e coeficiente estequiométrico umero de átomos da molécula e coeficiente este1. Um tanque de autom´ ovel est´ a cheio com 60 litros de álcool d) n´ quiom´ etrico hidratado (96% álcool). A densidade é de 0, 9 g/ml. Dada sua e) n´ u mero de átomos da molécula e n´ umero de moléculas equa¸caõ de combust˜ ao completa 1C2 H5 OH + 3O2 → 2CO2 + 3H2 O indique: a) a massa da água obtida ao queimar-se todo o ´ alcool do tanque; b) o volume de g´ as carbˆ onico que sai do escapamento, supondo combust˜ ao completa. 2. (ACAFE) Em regi˜ oes industriais o anidrido sulfuroso (SO2 ), resultante da queima de combust´ıveis f´ osseis, d´ a origem à chuva ácida na atmosfera devido a sua oxida¸caõ e contato com a precipita¸caõ pluviométrica. Em rela¸caõ a estas regiões, a alternativa falsa é: a) S˜ ao Paulo e Cubat˜ ao s˜ ao exemplos de cidades onde a incidência de chuvas ácidas é bastante acentuada; b) Ocorre uma oxida¸caõ dos port˜ oes de ferro com uma intensidade bem maior que em regi˜ oes distantes das regi˜ oes industriais; c) As planta¸co˜es s˜ ao bastante afetadas, pois a chuva diminui o pH do solo, retardando o crescimento das mesmas; d) A vegeta¸caõ pode vir a secar completamente, caso o per´ıodo das chuvas seja prolongado; e) N˜ ao é recomendada a utiliza¸caõ de port˜ oes de alum´ınio porque este é atacado pela chuva ´ acida. 3. (FUVEST) Um elemento met´ alico M forma um cloreto de fórmula M Cl3 . A fórmula de seu sulfato é: a) M2 SO4 b) M SO4 c) M2 (SO)3 d) M (SO)4 e) M (SO)3


Qu´ımica

Aula 8

Solu¸c˜ oes Qu´ımicas Concentra¸c˜ ao Você já reparou, por exemplo, que numa dada quantidade de água podemos dissolver quantidades menores ou maiores de sal comum, desde que evidentemente, n˜ ao ultrapassemos o ponto de satura¸caõ. Pois bem, chama-se concentra¸ c˜ ao de uma solu¸caõ a toda e qualquer maneira de expressar a propor¸caõ existente numa dada solu¸caõ. Usaremos a seguinte conven¸caõ: ms → massa do soluto msv → massa do solvente

onde

mt → massa do solu¸caõ mt = ms + msv

(2.18)

T´ıtulo τ ´ o quociente de massa do soluto pela massa total da solu¸caõ E (soluto + solvente). ms T = (2.19) msv ou ms (2.20) τ= ms + msv

4. (COMVESUMC) O ´ acido que corresponde ` a classifica¸caõ sendo o t´ıtulo uma grandeza adimensional. mono-´ acida, oxi´ acido, e tern´ ario é: a) HN O3 Porcentagem em Massa P b) H2 SO4 ´ o quociente da massa do soluto (multiplicado por 100) pela E c) H3 P O4 massa total da solu¸caõ (soluto + solvente). d) HCl e) HCN O ms 5. O amon´ıaco usado para fins de limpeza é uma solu¸caõ × 100% (2.21) P = mt aquosa de amˆ onia que contém ´ıons: a) hidroxila b) sulfato c) nitrato

onde a rela¸caõ entre porcentagem em massa e t´ıtulo é P = τ × 100%

(2.22)


143

Normalidade

Concentra¸c˜ ao Comum C

´ o n´ ´ o quociente da massa do soluto (emgramas), pelo volume E umero de equivalentes-gramas do soluto dividido pelo E volume da solu¸caõ em litros. da solu¸caõ (emlitros). ms V

C=

(2.23)

N=

NE V

(2.29)

onde a rela¸caõ entre a concentra¸caõ comum, t´ıtulo e densidade Observa¸ c˜ ao: a melhor maneira de se calcular a normalidade da solu¸caõ é é a partir da molaridade, usando a express˜ ao: C = d · τ · 1000

(2.24)

Onde:

N = M ·x

(2.30)

Resumo das Principais Equa¸c˜ oes C → Concentra¸caõ Comum (g/l) d → Densidade (g/ml)

Rela¸ co ˜es das Massas m = m1 + m2

τ → T´ıtulo

N´ umero de Mols

Molaridade M

n1 =

Concentra¸caõ em M ol/l ou Molaridade M é o quociente do n´ umero de mols do soluto pelo volume da solu¸caõ (em litros). Sendo: Densidade

d=

m V

T =

m1 m

ns → n´ umero de mols do soluto

d → massa do soluto (g) Ms → massa molar do soluto (g)

m1 mol1

T´ıtulo

V → volume da solu¸caõ (l) M → molaridade (mols)

Porcentagem em Massa M=

ns V

(2.25)

ns =

ms Ms

(2.26)

onde

P = 100 · Concentra¸ c˜ ao (g/l) C=

m1 V

M=

n1 V

Equivalente-Grama ´ a massa molar do soluto dividida pela carga total do c´ E ation ou do aˆnion de uma substˆ ancia.

E=

M x

(2.27)

Molaridade

Molalidade (mol/kg) de solvente W =

sendo

n1 m2

Concentra¸ c˜ ao em Equivalentes-Gramas

M → massa molar x → carga do c´ ation ou ˆ anion o

m1 m

N=

+

Para um ácido: x → n de H Para um base: x → no de OH −

Ne1 V

N´ umero de Equivalentes-Gramas

N´ umero de Equivalentes-Gramas

Ne1 =

m E

Corresponde a massa da amostra pelo equivalente-grama da Equivalentes-Gramas substˆ ancia. NE =

ms E

(2.28)

E=

mol x

144


—


Pense um Pouco!

c) 20 mol/l d) 0, 5 mol/l • Pense em poss´ıveis aplica¸co˜es dos conceitos apresentados e) 0, 06 mol/l até aqui, referentes a solu¸co˜es e cite alguns exemplos. • Se fervermos uma solu¸caõ de ´ agua+sal, e a ´ agua for evaporando, o que acontece com as propriedades da solu¸caõ (M , τ , P , etc)?

Qu´ımica

Aula 9

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao Equil´ıbrio Iˆ onico

1. (ACAFE) A massa de BaCl2 necess´ aria para preparar 25 litros de solu¸caõ 0, 1 M deste sal ser´ a: ´ um equil´ıbrio qu´ımico em que aparecem ´ıons. Ocorre com E a) 208 g ácidos bases e os sais, considerados eletr´ olitos. b) 520 g c) 260 g d) 416 g Exemplos e) 71 g 2. (ACAFE) A uréia, N H2 CON H2 , é um produto do metabolismo de prote´ınas. Que massa de uréia é necess´ aria para preparar 500 ml de uma solu¸caõ 0, 20 M ? a) 5, 1 g b) 12, 0 g c) 18, 0 g ou seja d) 24, 0 g e) 6, 0 g

HCN ←→ H + + CN −

α=

no de moles dissociados no inicial de moles

α = grau de dissocia¸caõ iˆ onica

3. (ACAFE) A concentra¸caõ de N aCl na ´ agua do mar é de A constante de ioniza¸caõ segue a Lei de Guldeberg-Waage. 0, 43 mol/l. O volume em l, de ´ agua do mar que deve ser evaporado completamente para a produ¸caõ de 5 kg de sal de HCN ←→ H + + CN − cozinha é aproximadamente: a) 12 l [H + ].[CN ] b) 25 l Ka = [HCN ] c) 40 l d) 200 l Ka = constante de dissocia¸caõ iˆ onica para ácidos, e) 430 l Kb = para bases pKa = −logKa Ka = 4, 0 × 10−10 Exerc´ıcios Complementares pKa = −log(4, 0 × 10−10 ) pKa = 9, 4 4. (ACAFE) Para uma solu¸caõ a 20 % em massa e densidade Quanto maior α → maior ioniza¸caõ → maior é o numerador 4 g/ml, calcule a concentra¸caõ em g/l. na express˜ ao da constante → maior é K. a) 80 g/l A partir da express˜ ao de Ka , quanto mais ionizado o ácido se b) 800 g/l encontra: c) 8 g/l d) 8000 g/l - maior a quantidade de ´ıons em solu¸caõ; e) 400 g/l - menor a quantidade de ácido n˜ ao-ionizado; 5. (ACAFE) Uma gota de ´ agua ocupa um volume aproximado de 0, 0500 ml. Sabendo-se que a densidade da água é 1, 00 g/cm3 . O n´ umero de moléculas por gota de ´ agua ser´ a: - maior o valor de Ka . a) 1, 67 × 1021 b) 1, 67 × 1023 A for¸ca de um ácido é medida pela sua capacidade de produzir c) 6, 00 × 1023 ´ıons H + em solu¸caõ aquosa. Portanto, quanto maior o valor d) 6, 00 × 1021 de Ka : e) 3, 00 × 1021 - maior a capacidade de ioniza¸caõ do ácido; 6. Uma solu¸caõ de AgN O a 1, 00 % em ´ agua é utilizada 3

para tratar os olhos de recém-nascidos. Sendo a densidade da solu¸caõ 1, 08 g/ml, a sua molaridade em mol/l é: a) 1, 0 mol/l b) 0, 10 mol/l

- maior quantidade de ´ıons H + produzida; - maior é a for¸ca do ácido.


145

Lei da Dilui¸c˜ ao de Ostwald

Vocˆ e Sabia?

Vamos ver o que ocorre com o grau de ioniza¸caõ (α) ao fazer- O odor do peixe é causado pela presen¸ca de aminas provenimos uma dilui¸caõ da solu¸caõ por acréscimo de solvente. Para entes da decomposi¸caõ de algumas prote´ınas do peixe. Estes compostos orgˆ anicos s˜ ao b´ asicos e, portanto, para retirar o seu isso, consideremos a ioniza¸caõ de um ´ acido HA: cheiro desagrad´ avel das mãos, basta adicionar um ácido, como o vinagre ou limão. Uma das aminas causadoras do odor é a + HA(aq) ←→ H(aq) + A− (aq) metilamina, que apresenta o seguinte equil´ıbrio: In´ıcio Equil´ıbrio

n n-x

0 x

0 x

Metilamina

o

α=

CH − N H2 +H2 O ←→ CH3 − N H3+ + OH− } | 3 {z | {z }

n de mol´ eculas ionizadas o n de mol´ eculas adicionadas

Base

A adi¸caõ de ácidos desloca o equil´ıbrio para a direita, eliminando o odor causado pela amina.

x/n = x = αn [H + ] = x/V = nα/V [A− ] = x/V = nα/V

Pense um Pouco! • O grau de dissocia¸caõ iˆ onica do ácido acético, em solu¸caõ 0,02 molar, é de 3% a 25 ◦ C. Calcule a constante de ioniza¸caõ α desse ácido à 25 ◦ C.

[HA] = n − x/V = n − nα/V = n(1 − α)/V Ka =

[H + ] [A− ] nα/V ∗ nα/V = n(1−α) [HA] V

V nα ∗ nα ∗ Ka = VV n(1 − α) Ka =

nα2 −(1 − α)

Ka =

Cnα2 1−α

Esta express˜ ao representa a Lei de Dilui¸caõ de Wilhelm Ostwald (1853-1932), qu´ımico alem˜ ao. Vejamos como interpretar essa lei. Considerando uma dilui¸caõ por acréscimo de solvente, temos que, se o volume aumenta, devido ao acréscimo de solvente, a concentra¸caõ em quantidade de matéria diminui: n/V = Cn −→ V aumenta ←→ Cn diminui

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (Acafe-SC) Assinale a alternativa que corresponde ao grau de ioniza¸caõ do ácido cian´ıdrico, HCN, numa solu¸caõ 0,01 molar, sabendo que a sua constante de ioniza¸caõ é de 4.10-10 ( considerar 1 − α = 1). a) 0, 02 b) 2 × 104 c) 2 × 10−4 d) 4 × 10−2 e) 4 × 10−4 2. (UFSM-RS) Considere as constantes de ioniza¸caõ dos ácidos I, II e III: KI = 7, 0 × 10−5 , KII = 1, 0 × 10−7 , KIII = 2, 0 × 10−9 Colocando-se em ordem crescente de acidez, tem-se: a) I, II e III. b) I, III e II. c) II, III e I. d) III, I e II. e) III, II e I.

admitindo um aumento indefinido de volume, ou seja, V tendendo ao infinito, Cn vai tender a zero. Ent˜ ao, na express˜ ao 3. (UDESC) Somente tem significado definir constante de ioniza¸caõ para: da lei, se Cn tende à zero, Cnα2 também tende ` a zero: ´ a) Acido fortes. 2 b) Bases fortes. Cnα 2 = Cnα = Ka (1 − α) Ka = c) Sais sol´ uveis em água. 1−α d) Eletr´ olitos fracos em solu¸co˜es concentradas. olitos fracos em solu¸co˜es dilu´ıdas. se Cnα2 tende a zero, ent˜ ao Ka (1 − α) também tende à zero e) Eletr´ (Ka é constante). Logo: Ka (1 − α) tende a 0 −→ 1 − α tende a zero −→ −α tende a Exerc´ıcios Complementares -1 −→ α tende a 1. O fato de o grau de ioniza¸caõ tender a 1 significa que a ioniza¸caõ tende a ser total (100%), ou seja, o n´ umero de 4. (PUC-SP) Na temperatura ambiente, a constante de iomoléculas ionizadas tende a ser igual ao de moléculas adici- niza¸caõ do ácido acético é 1, 80 × 10−5 . Determine a molarionadas: α = x/n, x = nα, x = n, (α = 1) dade da solu¸caõ onde o ácido se encontra 3% dissociado. “O acréscimo de solvente de uma solu¸caõ, ou seja, uma di- a) 1, 94 × 10−2 molar. lui¸caõ, provoca um aumento do grau de ioniza¸caõ”. b) 3, 00 × 10−2 molar

146


c) 5, 82 × 10−4 molar d) 5, 40 × 10−5 molar e) 5, 40 × 10−7 molar 5. (USP-SP) O grau de ioniza¸caõ do ´ acido acético (HAc), numa solu¸caõ 0,5M, é de 6 × 10−1 %. Calcule a constante de ioniza¸caõ desse ácido. 6. (UDESC) O peixe cr´ u, preparado com suco de limão ou vinagre, é consumido em diversos pa´ıses. Esse prato é fácil digest˜ ao, porque o suco de lim˜ ao ou vinagre: a) Forma solu¸caõ b´ asica e n˜ ao hidrolisa as prote´ınas do peixe. b) Forma solu¸caõ ácida e n˜ ao hidrolisa as prote´ınas do peixe. ´ solu¸caõ b´ c) E asica e hidrolisa as prote´ınas do peixe. d) Forma a solu¸caõ ácida e hidrolisa as prote´ınas do peixe.

—


Qu´ımica B – Aula 1

Qu´ımica B

147

Aula 1

M´ etodo Cient´ıfico

Desenvolvido por Galileu Galilei o método cient´ıfico é a base de ¯ toda a Ciência, pois sintetiza o conjunto de atividades que visam observar, experimentar, explicar e relacionar os fenˆ omenos da natureza, criando leis, teorias e modelos cada vez mais gerais, que nos permitam prever e controlar os fenˆ omenos futuros. O que ´ e Qu´ımica? Observa¸ c˜ ao → Hip´ oteses → Experimenta¸ c˜ ao → Medi¸ c ˜ a o → Leis experimentais → Modelo cient´ ıfico Qu´ımica é a ciência que estuda a natureza da matéria, suas propriedades, suas transforma¸co˜es e a energia envolvida nesses processos. Fenˆ omenos Qu´ımicos e F´ısicos A qu´ımica est´ a presente em toda matéria orgˆ anica e omeno é qualquer acontecimento da natureza. Quando inorgˆ anica, natural e artificial e tem contato diário e direto Fenˆ ocorre um fenˆ omeno, uma transforma¸caõ, h´ a altera¸caõ no siscom o homem. tema do estado inicial ao estado final.

Um Pouco de Hist´ oria... Antoine Lavoisier (1743−1794)

Podemos dizer que tudo come¸cou com o homem primitivo, quando ele aprendeu a “produzir o fogo”, a coser seus alimentos, a fazer tintas para se pintar, a usar plantas como remédio para suas doen¸cas, etc. No come¸co da era crist˜ a, surgiram os chamados alquimistas, que sonhavam em descobrir o “elixir da longa vida”, aperfei¸coaram técnicas de metalurgia, introduziram a qu´ımica medicinal, sintetizaram várias substˆ ancias, isolaram outras, além de terem registrado um grande n´ umero de experimentos em suas observa¸co˜es. A partir do século XVII, a ciência se transforma, tornando-se mais experimental e menos filosófica. Dentre os cientistas com essa nova proposta, destacam-se o inglês Robert Boyle(16271691)- com seus estudos sobre o comportamento dos gases, a distin¸caõ entre mistura e “combina¸caõ”, e o francês Antoine Laurent Lavoisier (1743-1794) publicou (Tratado elementar de Qu´ımica) que estabeleceu um marco na qu´ımica moderna, no qual podemos destacar o Princ´ıpio da Conserva¸caõ da Massa, a descoberta do elemento oxigênio e sua an´ alise quantitativa da composi¸caõ da água. Por seu trabalho, Lavoisier é considerado o “pai da Qu´ımica”.

A Importˆ ancia da Qu´ımica

Figura 2.1: O pai da Qu´ımica: Lavoisier (1743-1794)

Fenˆ omeno F´ısico ´ qualquer transforma¸caõ sofrida por um material sem que E ocorra altera¸ c˜ ao de sua constitui¸caõ ´ıntima de seus constituintes. Ex: o amassar do papel, evapora¸caõ da água, quebra de um objeto. Fenˆ omeno Qu´ımico ´ qualquer transforma¸caõ sofrida por um material de modo E que haja altera¸ c˜ ao na sua constitui¸caõ ´ıntima de seus constituintes. Ex: oxida¸caõ do ferro (forma¸caõ da ferrugem), apodrecimento de um alimento.

Pense um Pouco! • Fatos comuns envolvendo materiais e transforma¸co˜es qu´ımicas s˜ ao de conhecimento recente ou antigo?

Podemos dizer que tudo ` a nossa volta é qu´ımica, pois todos os • Quais as atividades do seu dia em que a qu´ımica est´ a materiais que nos cercam passaram ou passam por algum tipo presente? de transforma¸caõ. A qu´ımica proporciona progresso, desenvolvimento e através do uso dela que suprimos as necessidades: O uso de materiais de limpeza e higiene, roupas de fios artificiExerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao ais, desenvolvimento da ind´ ustria farmacêutica, fertilizantes e pesticidas para planta¸caõ, produtos industrializados cuja obten¸caõ depende de transforma¸co˜es qu´ımicas como plásticos, 1. (U.E.CE) Assinale a alternativa correta: vidros, tintas, cimento etc. a) Oxida¸caõ do ferro é um fenˆ omeno f´ısico

148


b) Fusão do chumbo é um fenˆ omeno qu´ımico. c) Combust˜ ao da madeira é um fenˆ omeno qu´ımico. d) Queima do papel é um fenˆ omeno f´ısico. e) n. d. a. 2. (UFSC) Indique na rela¸caõ abaixo os fenˆ omenos f´ısicos (F) e os fenˆ omenos qu´ımicos (Q). a) ( ) Queima da gasolina nos motores dos carros b) ( ) Digestão dos alimentos ingeridos c) ( ) Forma¸caõ de ferrugem d) ( ) Quebra de um objeto e) ( ) Enfiar um prego na madeira f) ( ) Derretimento de um iceberg 3. (UFPR) Aquecer uma barra de ferro até o ponto de fusão, recolher o l´ıquido em uma forma esférica, transformando a barra em uma bola de ferro, é exemplo de fenˆ omeno: a) Qu´ımico, pois altera a forma da barra de ferro. b) F´ısico, pois a substância continua sendo ferro. c) F´ısico-qu´ımico, pois h´ a altera¸caõ na forma da substância. d) N˜ ao é exemplo de fenˆ omeno. e) n. d. a.


—


Corpo é qualquer por¸caõ limitada da matéria. Se uma por¸caõ de matéria se presta a um certo uso, ela é chamada de objeto ou sistema. Durante a queima de uma vela (matéria), ela se desgasta, produzindo fuma¸ca (matéria: fuligem e gases) e liberando energia (luz: energia luminosa; calor: energia calor´ıfica). Desse modo, podemos conceituar energia como tudo aquilo que pode modificar a estrutura da matéria, provocar ou anular movimentos e, ainda, iluminar aquecer e resfriar pode até causar sensa¸co˜es. Princ´ıpio da conserva¸caõ de matéria e energia: A matéria e energia n˜ ao podem ser criadas nem destru´ıdas; podem somente ser transformadas.

Lei da Conserva¸c˜ ao da Massa ”A soma das massas dos reagentes ´ e igual a soma das massas dos produtos”. Ou ainda, ”Na natureza, nada se cria, nada se perde; tudo se transforma”.

Estados da Mat´ eria

4. (F.E.-SP) Sejam os seguintes fenˆ omenos: I. sublima¸caõ da naftalina, II. forma¸caõ da ferrugem, III.queima do álcool comum, IV.fusão do gelo. S˜ ao qu´ımicos: a) todos b) nenhum c) somente II e III d) somente I e III e) somente II e IV 5. (MACKENZIE-SP) I. Fusão do gelo, II. Sublima¸caõ do iodo, III. Digestão dos alimentos, IV. Queima de madeira. S˜ ao exemplos de fenˆ omenos: a) I e II qu´ımicos b) I e IV f´ısicos c) II e III f´ısicos d) II e IV qu´ımicos e) III e IV qu´ımicos

Existem vários tipos de matéria e cada um é chamado de substâncias que podem se apresentar num dos três estados f´ısicos: S´ olido (S) A substância apresenta forma e volume constantes (part´ıculas fortemente unidas, bem arrumadas e com movimento vibrat´ orio discreto); L´ıquido (L) A substância apresenta forma vari´ avel e volume constante (part´ıculas levemente unidas, havendo certa liberdade de movimento);

Gasoso (G) 6. (UDESC) Aquecendo uma fita de magnésio até a combust˜ ao, notamos o desprendimento de fuma¸ca, restando um A substância apresenta forma e volume variados (part´ıculas lip´ o branco. Isso é exemplo de fenˆ omeno: vres umas das outras, havendo total liberdade de movimento); a) F´ısico, pois alterou a estrutura do magnésio. b) Qu´ımico, pois houve a forma¸caõ de novas substˆ ancias. cas de Estado c) F´ısico, pois podemos juntar o p´ o branco e a fuma¸ca, recu- Mudan¸ perando o magnésio. • Fus˜ ao (S → L): a substância funde à temperatura fixa d) N˜ ao é exemplo de fenˆ omeno. (ponto de fusão) a uma certa press˜ ao. Ex.: o gelo funde e) n. d. a. à 0◦ C ao n´ıvel do mar.

Qu´ımica B

Aula 2

Mat´ eria e Energia Mat´ eria é tudo aquilo que tem massa e ocupa lugar no espa¸co, ou seja, têm volume.

• Solidifica¸ c˜ ao (L → S): a substância solidifica à uma temperatura fixa igual ao ponto de fusão, já que o processo é inverso ao da fusão. Ex.: o congelamento da água também ocorre à 0◦ C ao n´ıvel do mar, quando a temperatura est´ a baixando; • Vaporiza¸ c˜ ao (L → G): é a passagem de uma substância do estado l´ıquido para o estado de g´ as, que ocorre quando suas moléculas atingem o seu chamado ponto de ebuli¸ca õ. Pode ocorrer de três modos:

Qu´ımica B – Aula 2 1. Evapora¸ca õ: ocorre a ` temperatura ambiente é lenta e espontˆ anea (ex: a ´ agua de um lago evapora com o calor do sol); 2. Ebuli¸ca õ: ocorre quando fornecemos calor ao l´ıquido, é r´ apida e violenta (ex: uma chaleira d’água fervendo); 3. Calefa¸ca õ: ocorre quando se borrifa um l´ıquido numa chapa aquecida acima do seu ponto de ebuli¸caõ (ex.: pingar uma gota d’água numa chapa de ferro muito quente).

149 • Substˆ ancia Simples: s˜ ao substâncias formadas por átomos de um amesmo mesmo elemento qu´ımico, e que por a¸caõ de agentes f´ısicos n˜ ao se decomp˜ oe, e portanto, n˜ ao forma outras substâncias. Exemplos: H, O, O3 . Chama-se de alotropia o fenˆ omeno pelo qual um u ´ nico elemento qu´ımico forma duas ou mais substâncias simples diferentes. Exemplo: o carbono pode ser encontrado na natureza em duas formas diferentes: o grafite e o diamante. • Substˆ ancias Compostas: s˜ ao formadas por átomos de dois ou mais elementos qu´ımicos diferentes, e que por a¸caõ de agentes f´ısicos, se decomp˜ oem formando duas ou mais substâncias novas. Exemplos: água + eletricidade → g´ as oxigênio + g´ as hidrogênio.

• Condensa¸ c˜ ao G → L: a substˆ ancia no estado gasoso é resultado de um l´ıquido vaporizado que, ao sofrer um resfriamento, retorna ao estado l´ıquido por condensa¸caõ. (ex: got´ıculas de água se formam na tampa de uma chaleira). Outro processo similar é a Liquefa¸ c˜ ao: é a condensa¸caõ de uma substância que em condi¸co˜es ambientes, é um g´ as Sistemas e Misturas que ao comprimi-la (aumentar a press˜ ao) passa para o estado l´ıquido (ex.: o g´ as de cozinha é comprinido num Para acilitar o estudo da Qu´ımica definimos: botij˜ ao e se liquefaz – g´ as liquefeito de petr´ oleo (GLP)). • Sistema: é uma parte do universo f´ısico que contém ou n˜ ao matéria, cujas propriedades est˜ ao sob investiga¸co˜es • Sublima¸ c˜ ao S → G: a substˆ ancia passa da forma s´ olida cient´ ıficas. diretamente para o estado gasoso (ex: naftalina, iodo, cˆ anfora). • Mistura Homogˆ enea: mistura de substâncias que apresenta u ´ nico aspecto e as mesmas caracter´ısticas em toda a ´ Part´ıculas e Atomos sua extensão. A mistura homogênea pode ser uma solu¸caõ monof´ asica, por exemplo água + a¸cu ´ car, ou uma liga Toda a matéria conhecida é formada por três tipos de met´ alica, como exemplos temos o lat˜ ao (cobre (Cu) + part´ıculas elementares fundamentais: zinco (Zn)) ou o bronze (cobre (Cu) + estanho (Sn)). • Pr´ oton: part´ıcula massiva que possui uma carga elétrica elementar positiva (+e) e participa da forma¸caõ do n´ ucleo dos átomos; • Nˆ eutron: part´ıcula também massiva que n˜ ao possui carga elétrica, mas desempenha um importante papel na estrutura e estabilidade interna do n´ ucleo dos a´tomos, reduzindo a repuls˜ ao coulombiana entre os prótons; • El´ etron: part´ıcula muito leve que possui uma carga elementar negativa (−e) e circula o n´ ucleo atômico, formando uma espécie de nuvem (orbital). No seu movimento ao redor do n´ ucleo, apresenta um “comportamento duplo” de part´ıcula e onda; da´ı dizer-se que a natureza do elétron é a de uma part´ıcula-onda. O princ´ıpio da incerteza, de Heisenberg, diz que: ´ imposs´ıvel se determinar simultaneamente a “E posi¸caõ e a velocidade de um elétron.” Com base nesse princ´ıpio, criou-se modernamente a idéia de orbital, como sendo a regi˜ ao onde h´ a grande possibilidade (probabilidade) do elétron ser encontrado. Na prática, podemos pensar no elétron como uma “nuvem” que circunda o n´ ucleo.

• Mistura Heterogˆ enea: mistura que apresenta vários aspectos f´ısicos, sendo poss´ıvel de distinguir seus componentes (polif´ asica). Exemplo: água + óleo + areia.

Pense um Pouco! • O iodo (I) é um s´ olido de cor castanha. Ao ser aquecido libera vapores violeta, que se transformam em iodo s´ olido ao encontrarem uma superf´ıcie fria. Explique e dê o nome dos fenˆ omenos observados. • Durante a ebuli¸caõ da água destilada (´ agua pura) a temperatura n˜ ao se modifica, ao passo que, durante a ebuli¸caõ da água do mar, a temperatura continua aumentando. Pense um pouco e explique esse fato.


1. (UFSC) Matéria é tudo que tem massa e ocupa lugar no espa¸co. S˜ ao exemplos de matéria (marque V ou F): a) ( ) pedra b) ( ) madeira c) ( ) corpo humano d) ( ) ar Elementos e Substˆ ancias e) ( ) água Todos as substâncias encontradas na natureza s˜ ao constitu´ıdas f) ( ) carro por combina¸co˜es de átomos, que por sua vez, s˜ ao as estruturas 2. (PUC-SP) O conceito de elemento qu´ımico est´ a relacionado f´ısico-qu´ımicas est´ aveis elementares. com a idéia de: • Elemento qu´ımico: é o conjunto de todos os átomos a) átomo quimicamente iguais. b) molécula

150


c) ´ıon d) substˆ ancia pura e) mistura

—


2. Hélio (He): Z = 2, A = 4, N = 2; 3. Urânio (U ): Z = 92, A = 238, N = 146.

3. (UDESC) Assinale a op¸caõ que apresenta apenas substância Considerando um elemento no estado natural, com átomos eletricamente neutros, temos: simples: a) H2 , Cl2 , N2 , CH4 b) M gCl2 , H2 O, H2 O2 , CCl4 N o de prótons = Z c) N a2 O, N aCl, H2 , O2 d) CCl4 , H2 O, Cl2 , HCl N o de elétrons = Z e) H2 , Cl2 , O2 , N2 N o de neutros = A − Z


Para um átomo de elemento X qualquer representamos, usamos a seguinte nota¸caõ: 4. (UFMG) Considerando-se completa ausência de polui¸caõ entre os materiais citados a seguir, a substˆ ancia pura é: A ZX a) ar b) ´ agua para representar o seu n´ umero atômico e sua massa atômica. c) madeira Exemplo: para um átomo de ferro temos 26 F e56 . d) cinza e) terra 5. (Acafe-SC) A passagem turbulenta de um l´ıquido para o estado de vapor, com agita¸caõ em toda sua massa l´ıquida, denomina-se: a) ebuli¸caõ b) evapora¸caõ c) sublima¸caõ d) calefa¸caõ e) irradia¸caõ 6. (UDESC) A libera¸caõ ou consumo de energia: a) S´ o ocorre em transforma¸co˜es f´ısicas. b) S´ o ocorre em transforma¸co˜es qu´ımicas. c) Em geral, é menor nos fenˆ omenos f´ısicos do que nos qu´ımicos. d) Em geral, é maior nos fenˆ omenos f´ısicos do que nos qu´ımicos. e) Nunca ocorre nas transforma¸co˜es materiais.

Qu´ımica B

Aula 3

Figura 2.1: Alum´ınio met´ alico comum.

Is´ otopos e Is´ obaros • Is´ otopos: s˜ ao átomos com mesmo n´ umero de pr´ otons (Z) e diferente do n´ umero de massa (A); apresentam propriedades qu´ımicas iguais e f´ısicas diferentes.

Metais, Semi-metais e Ametais

Exemplo O hidrogênio (H) possui três is´ otopos conhecidos:

Para distinguir diferentes tipos de ´ atomos usamos: • N´ umero Atˆ omico ou Z: é o n´ umero correspondente a carga nuclear, ou seja, o n´ umero de prótons (P ) existente no n´ ucleo. Ent˜ ao: Z = P ; • N´ umero de Massa ou A: é o total de prótons P e de nêutrons N existente no n´ ucleo. Assim: A = P + N . O n´ umero de massa A define em si a massa do ´ atomo, já que os elétrons possuem uma massa desprez´ıvel. Exemplos 1. Hidrogênio (H): Z = 1, A = 1, N = 0;

1. o hidrogênio comum (pr´ otio): Z = 1;

1H

1

, com N = 0 e

2. o deut´ erio: 1 H 2 , com N = 1 e Z = 1; 3. o tr´ıtio: 1 H 1 , com N = 2 e Z = 1; • Is´ obaros: s˜ ao átomos de diferentes n´ umeros de prótons ¯ (elementos diferentes), mas que possuem o mesmo n´ umero de massa (A); apresentam propriedades qu´ımicas e f´ısicas diferentes; Exemplo Alguns is´ otopos do Cálcio e do Argˆ onio possuem o mesmo n´ umero de massa A = 40: 20 Ca40 e 19 Ar40


151

• Is´ otonos: s˜ ao átomos que possuem o mesmo n´ umero de nêutrons (elementos diferentes), apresentando A e Z diferentes; apresentam propriedades qu´ımicas e f´ısicas diferentes; Exemplo Boro e Carbono: 5 B 11 (N = 6) e 6 C 12 (N = 6)

Classifica¸c˜ ao dos Elementos D¨ obereiner, em 1817, demonstrou a existência de Tr´ıades de elementos com propriedades qu´ımicas semelhantes, onde o peso atômico de um elemento era aproximadamente a média aritmética dos pesos atômicos dos outros dois. Ex: cloro, bromo e iodo. Newlands, em 1863, dividiu os elementos de ordem crescente de Figura 2.2: O l´ıtio, metal da fam´ılia 1A. pesos atômicos, em grupos de sete, an´ alogo ` as oitavas musicais, logo, esta idéia foi abandonada. encia de um átomo ionizado (´ıon) é definida pelo n´ umero Dmitri Mendeleyev, em 1869, propˆ os uma tabela muito seme- A valˆ de el´ e trons removidos ou adicionados ao ´ a tomo (´ ıon). lhante a` atual, mas que apresentava os elementos dispostos em ordem crescente de pesos atômicos, essa classifica¸caõ definiu • mono-valente: ´ıon com excesso (ou falta) de um elétron; seis elementos desconhecidos. Moseley, em 1913, verificou que os elementos qu´ımicos na Ta• bivalente: ´ıon com excesso (ou falta) de dois elétrons; bela Peri´ odica deveriam obedecer a uma ordem crescente de n´ umero atômico, e chegou-se até a tabela atual; • trivalente: ´ıon com excesso (ou falta) de três elétrons; Na tabela atual além de os elementos serem colocados em ordem crescente de n´ umero atômico, observa-se a seguinte dis• tetravalente: ´ıon com excesso (ou falta) de quatro posi¸caõ (veja Apêndice): elétrons; • Per´ıodos ou S´ eries: s˜ ao as filas horizontais em n´ umero de 7 e indicam os n´ıveis ( K, L, M, N, O, P, Q ); elementos do mesmo per´ıodo apresentam propriedades qu´ımicas diferentes. • Fam´ılias: s˜ ao as colunas verticais da tabela, elementos da mesma fam´ılia apresentam propriedades qu´ımicas semelhantes. Algumas fam´ılias importantes: – Metal: possui de 1 a três elétrons na camada externa; – N˜ ao-metal: possui de 5 a 7 elétrons na camada externa;

• ... Exemplos • Ca+ é um c´ ation mono-valente de c´ alcio. • F e−2 é um ânion bivalente do ferro. • K +3 é um c´ ation trivalente do potássio.

Propriedades Peri´ odicas

– Elementos Representativos: apresentam sub-n´ıveis S˜ ao as propriedades que dependem da posi¸caõ do átomo na mais energéticos s e p, fam´ılia A e gases nobres com tabela peri´ odica, e que variam suavemente entre átomos vizi1 A, 2 A, 13 A a 18A; nhos. – Elementos de Transi¸ca õ: apresentam sub-n´ıvel mais energético d nas fam´ılias 3B até 12B; Exemplos – Elementos de Transi¸ca õ Interna: apresentam subn´ıvel mais energético f . Os lantan´ıdios e actin´ıdios;

Pense um Pouco!

Íons e Valˆ encia Quando um átomo est´ a com falta ou excesso de elétrons, sua carga l´ıquida n˜ ao é mais zero, e o chamamos de ´ıon: • C´ ation: ´ıon positivo ou ´ atomo que perdeu um ou mais elétrons; ˆ • Anion: ´ıon negativo ou ´ atomo que ganhou um ou mais elétrons;

• O que ocorre quando um elétron de um átomo é capturado por outro átomo diferente? • Seria poss´ıvel produzirmos água (H2 O) com deutério ou tr´ıtio? Ela teria um gosto diferente? O que seria diferente nessa nova água? • O n´ umero atômico de um átomo de nitrogênio é 7 e seu n´ umero de massa é 14. Qual é o n´ umero de prótons, de elétrons e nêutrons desse átomo neutro?


Qu´ımica B

3. (Acafe-SC) Os pares de ´ atomos C 12 e C 13 ; K 40 e Ar40 ; Ca40 e Ar38 representam, respectivamente, a ocorrência de: a) Isotonia, isotopia, isobaria. b) Isotopia, isobaria, isotonia. c) Isobaria, isotopia, isotonia. d) Isotopia, isotonia, isobaria. e) isobaria, isotonia, isotopia.

Aula 4

Propriedades Peri´ odicas A Tabela Peri´ odica foi elaborada com base nas propriedades qu´ımicas e f´ısicas dos elementos, analisando-a, podemos obter informa¸co˜es sobre eles, chegando-se assim a propriedades importantes dos per´ıodos e fam´ılias (ou grupos) qu´ımicos: CLASSIFICAÇÃO PERIÓDICA DOS ELEMENTOS

4

5

6

7

8

9

Fr (223)

Ra (226)

SÉRIE DOS ACTINÍDIOS

Ku

Ha (260)

(261)

106

107

108

109

197,0

Sn 118,7 82

Pb

Sb

Te Po

121,7 83

Bi

BROMO

SELÊNIO

ARSÊNIO

207.2

84

NEÔNIO

I

(209)

85

At

36

Kr 83,80 54

ARGÔNIO

Xe Rn

126.9

127,6

209,0

CRIPTÔNIO

CLORO

ENXOFRE

FÓSFORO

SILÍCIO

ALUMÍNIO

81

TI 204,4

200,6

18

Ar 39,95

XENÔNIO

In 114.8

80

Hg

Br 79,90 53

52

Ne 20,18

RADÔNIO

79

Cd 112,4

107,9

Se 78,96

IODO

Au

As 74,92 51

ASTATO

Ag

78

Pt 195,1

50

TELÚRIO

77

Ir 192,2

Pd 106,4

102,9

76

72,59 ANTIMÔNIO

Rh

101,1

190,2

Ge

POLÔNIO

Os

TÁLIO

Ru

MERCÚRIO

75

CÁDMIO

49 ÍNDIO

69,72

48

PALÁDIO

65,38

47

GERMÂNIO

Ga

63,55

ESTANHO

ZINCO

GÁLIO

NÍQUEL

COBRE

FERRO

COBALTO

35

46

RÓDIO

CRÔMIO

MANGANÊS

34

58,69

186,2

17

Cl

33

45

Tc

F 19,00

16

S

32

58,93

Re

O 16,00

31

44

183,8

P

35,45

BISMUTO

105

74

W

Zn

N 14,01 15

32,06

55,85

(98)

95,94

Cu

Si

30,97

CHUMBO

104

Mo

30

C 12,01 14

28,08

43

PLATINA

73

Ni

29

13

Al

He 4,003 10

26,98

54,94

IRÍDIO

92,91

Ta 180,9

Co

28

2B

PRATA

89 - 103

Nb

Fe

27

1B

OURO

88

72

Hf 178,5

Mn

RUTÊNIO

87

Zr 91,22

42

ÓSMIO

SÉRIE DOS LANTANÍDIOS

Cr 52,00

26

UNILÊNIO

137,3

25

8B

UNILÓCTIO

Y 88,91

132,9

24

TECNÉCIO

41

57 - 71

56

VANÁDIO

50,94

40

7B

RÊNIO

Sr 87,62

Ba

V

47,88

39

6B

UNILSÉPTIO

85,47

Ti

44,96

NIÓBIO

Rb Cs

Sc

TANTÁLIO

38 ÍTRIO

Ca 40,08

37

MOLIBDÊNIO

23

TUNGSTÊNIO

22

UNILHÉXIO

21 TITÂNIO

20

ESCÂNDIO

5B

HÂHNIO

VII

4B

ZIRCÔNIO

K

3B

39,10

B 10,81

Mg 24,30

HÁFNIO

CÁLCIO

POTÁSSIO

19

Be 9,012 12

KURCHATÓVIO

LÍTIO SÓDIO

23,00

55

VI

MAGNÉSIO

Li

Na

HÉLIO

3

FLÚOR

7A

OXIGÊNIO

6A

NITROGÊNIO

5A

BORO

4A CARBONO

3A

BERÍLIO

2A

6,941 11

RUBÍDIO

V

2

1,008

ESTRÔNCIO

IV

0

Com massas atômicas referidas ao isótopo 12 do carbono

1

H

BÁRIO

III

HIDROGÊNIO

1A

I II

131,3

(210)

86

(222)

Unh Uns Uno Une

CONVENÇÕES:

69

Er 167,3

164,9

Tm

70

168,9

71

Yb

LUTÉCIO

68

67

Ho

ITÉRBIO

66

Dy 162,5

TÚLIO

Tb 158,9

157,3

ÉRBIO

65

64

Gd

HÓLMIO

63

Eu 152,0

TÉRBIO

Np

62

Sm 150,4

(145)

EURÓPIO

61

Pm

DISPRÓSIO

144,2

GADOLÍNIO

Nd

SAMÁRIO

60

59

Pr 140,9

PROMÉCIO

140,1

NETÚNIO

58

Ce

138,9

NEODÍMIO

La

CÉRIO

VI

LANTÂNIO

57

Número Atômico

PRASEODÍMIO

Série dos Lantanídios

Lu

173,0

175,0

102

103

(s) = estado sólido

( ) = estado líquido

(g)= estado gasoso (aq) = meio aquoso

N = normal

(243)

96

Cm (247)

M = molar

97

Bk (247)

98

Cf (251)

∆ H = variação de entalpia

99

Es

100

Fm

101

Md

NOBÉLIO

95

Am

No

(252)

(257)

L = litro

R = 0,082 atm . L / K mol

(258)

(259)

LAURÊNCIO

(244)

FÉRMIO

94

Pu

MENDELÉVIO

93

(237)

EINSTÊINIO

U 238,0

BERQUÉLIO

(231)

CÚRIO

92

91

Pa

CALIFÓRNIO

232,0

AMERÍCIO

Th

(227)

PLUTÔNIO

90 TÓRIO

Ac

URÂNIO

89

VII

Massa Atômica ( ) - elemento radioativo

PROTACTÍNIO

Série dos Actinídios

Símbolo

ACTÍNIO

NOME DO ELEMENTO

2. (UFSC) Um determinado ´ atomo apresenta 20 prótons, 20 nêutrons e 20 elétrons; outro, apresenta 20 prótons, 21 nêutrons e 20 elétrons. Marque V ou F: a) ( ) Pertencem a elementos qu´ımicos diferentes. b) ( ) S˜ ao is´ obaros c) ( ) S˜ ao is´ otopos d) ( ) Têm o mesmo n´ umero atômico e) ( ) O n´ umero de massa de ambos é de 41


d) 79 e 194 e) 79 e 197

CÉSIO

1. (UDESC) Um determinado ´ atomo apresenta 16 prótons, 16 elétrons e 16 nêutrons; outro ´ atomo apresenta 16 prótons, 16 elétrons e 17 nêutrons.”Sobre eles, s˜ ao feitas as seguintes afirmativas: I - Os ´ atomos s˜ ao is´ otonos. II - Os ´ atomos s˜ ao is´ obaros. III - Os ´ atomos s˜ ao is´ otopos. IV. - Os átomos têm o mesmo n´ umero atômico. V - Os a´tomos pertencem elementos qu´ımicos diferentes. Em rela¸caõ às afirma¸co˜es acima, podemos dizer que s˜ ao corretas apenas: a) I e V b) II e III c) III e IV d) I e IV e) II e V

—

RÁDIO


FRÂNCIO

152

Lr (260)

NA: 6,02 x 1023

Figura 2.1: A tabela peri´ odica.

´ Tamanho do Atomo

Os fatores determinantes do tamanho de um átomo s˜ ao o n´ umeros de camadas eletrˆ onicas (Z) e carga nuclear (P ). Nas fam´ılias: à medida que o Z aumenta, o n´ umero de camadas Exerc´ıcios Complementares aumenta, o que leva ao aumento do tamanho do átomo (de cima para baixo); 4. (UNIFOR) O átomo desconhecido 17 X 37 tem igual n´ umero Nos per´ıodos: à medida que o Z aumenta, o n´ umero de cade nêutrons que o átomo de c´ alcio 20 Ca. O n´ umero de massa madas permanece igual, mas a carga nuclear aumenta, Z A do ´ atomo de Ca é igual a: aumenta, a atra¸caõ do n´ ucleo sobre os elétrons periféricos a) 10 também aumenta, resultando átomos menores. Num per´ıodo, b) 17 o tamanho do átomo aumenta da direita para a esquerda. c) 20 d) 37 Potencial de Ioniza¸c˜ ao e) 40 ´ 5. (CESGRANRIO) Um certo ´ atomo X é is´ obaro do Ca40 e E a medida de energia fornecida a um átomo isolado no estado gasoso para retirar ou desprender um elétron, formando um ´ıon is´ otopo do 18 Ar36 . O n´ umero de nêutrons do ´ atomo X é: gasoso positivo(c´ ation). Quanto maior o tamanho do átomo, a) 4 menor energia de ioniza¸caõ (Ei ), numa fam´ılia a (Ei ) aumenta b) 18 debaixo para cima. Nos per´ıodos (Ei ) aumenta da esquerda c) 22 para direita. d) 36 e) 40 6. (FEI-SP) Um c´ ation met´ alico trivalente tem 76 elétrons e 118 nêutrons. O átomo de elemento qu´ımico do qual se originou tem n´ umero atômico e n´ umero de massa, respectivamente: a) 76 e 194 b) 76 e 197 c) 79 e 200

Exemplo Considere uma amostra de s´ odio gasoso (P = 11, Z = 11): N a(g) + Ei = +119 kcal/mol → N a+ (g) + e− (g) Neste caso, a energia de ioniza¸caõ (Ei ) do s´ odio é de 119 kcal/mol, e o sinal positivo indica que a energia deve ser absorvida.


Potencial de Ionizacao

153 Nas fam´ılias aumenta debaixo para cima e nos per´ıodos aumenta da esquerda para direita.

Reatividade Qu´ımica Est´ a relacionada com o car´ ater met´ alico ou n˜ ao-metálico de um elemento, quanto maior a capacidade de perder elétrons mais met´ alico é o elemento. Quanto maior o tamanho do átomo menor o potencial de ioniza¸caõ (Ei ) e menor a eletronegatividade = maior car´ ater met´ alico = maior reatividade qu´ımica do metal. Quanto menor o tamanho do átomo maior a eletroafinidade, maior a eletronegatividade e maior car´ ater n˜ ao-metálico = maior a reatividade qu´ımica do n˜ ao-metal.

Reatividade

Figura 2.2: Aumento da energia de ioniza¸ca õ dos a ´tomos.

Eletroafinidade ´ a medida de energia liberada por um ´ E atomo isolado no estado gasoso ao receber um elétron, formando o ´ıon gasoso negativo(ânion). Exemplo Ioniza¸caõ do cloro (Cl): Cl(g) + e− → Cl− (g) + 83, 3Kcal/mol e neste caso a energia é liberada na rea¸caõ. Nas fam´ılias a eletroafinidade aumenta debaixo para cima; e nos per´ıodos aumenta da esquerda para direita.

Eletronegatividade

Figura 2.4: Aumento da Reatividade qu´ımica.

Densidade (ρ)

ao entre Propriedade que o átomo apresenta maior ou menor tendência A densidade ou massa espec´ıfica de um corpo é a raz˜ de atrair elétrons para si, resultando da a¸caõ conjunta da (Ei ) e sua massa m e seu volume V , ou seja, da eletroafinidade, ou seja, compara a for¸ca de atra¸caõ exercida m ρ= pelo ´ atomo sobre seus elétrons. V

Eletronegatividade

e ser´ a medida em kg/m3 no SI, ou também em g/cm3 . Exemplo: a densidade do alum´ınio (Al) é ρAl = 2, 700 g/cm3 = 2.700 kg/m3 . Nas fam´ılias aumenta de cima para baixo, e nos per´ıodos aumenta das laterais para o centro.

Volume Atˆ omico v Mede o volume molar espec´ıfico do material s´ olido, e est´ a relacionado com a estrutura cristalina do elemento (distribui¸caõ dos átomos no espa¸co): v=

Figura 2.3: Aumento da eletroafinidade dos a ´tomos.

M massa molar = densidade ρ

. Nas fam´ılias o volume atômico aumenta de cima para baixo, e nos per´ıodos aumenta do centro para as laterais.

154


Densidade

Figura 2.5: Aumento da densidade dos a ´tomos.

Volatilidade

Figura 2.6: Aumento do volume atˆ omico dos a ´tomos.

Ponto de Fus˜ ao (PF ) ´ a temperatura em que um s´ E olido passa do estado s´ olido para o estado l´ıquido. Nas fam´ılias, o PF aumenta de cima para baixo, exceto em 1(1A) e 2(2A), que é o contr´ ario; nos per´ıodos, aumenta das laterais para o centro.

—


Ponto de Fusao

Figura 2.7: Aumento do Ponto de Fus˜ ao (PF ).

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (UDESC) Observe os elementos representados na Tabela Peri´ odica e julgue os ´ıtens (V = verdadeiro e F = falso), na ordem: I - A eletronegatividade dos elementos boro(B) , carbono (C), nitrogênio (N ), oxigênio (O) e fl´ uor (F ) diminui da direita para a esquerda. II - O elemento de menor eletropositividade é o césio (Cs). III - Dentre os elementos conhecidos, o boro (B) é o u ´ nico semi-metal. IV - A energia de ioniza¸caõ do criptˆ onio (Kr) é maior que a do potássio (K). V - O raio atômico do magnésio (M g) é maior que o de s´ odio (N a) porque ele possui um elétron a mais. Assinale a alternativa que julga corretamente os ´ıtens acima, na seq¨ uência de I a V. a) F, V, V, F, F b) F, V, F, F, V c) F, F, F, V, F d) V, F, F, V, F e) V, V, F, F, V

2. (UFSC) Sobre os elementos N a, M g e Al, podem ser feitas as afirma¸co˜es: I - N a+ , M g ++ e Al+++ possuem o mesmo n´ umero de elétrons. II - A ordem decrescente de eletronegatividade destes elementos é N a, M g e Al. III - M g ++ e Al+++ possuem o mesmo n´ umero de prótons. IV - A ordem crescente de reatividade com o H2 O é: Al, M g Pense um Pouco! e N a. A op¸caõ que contém apenas afirma¸co˜es corretas é: • Dentre as propriedades peri´ odicas estudadas, quais s˜ ao a) I e IV f´ısicas e quais s˜ ao qu´ımicas? b) I e III c) II e IV d) III e IV • Qual o elemento mais denso que você j´ a viu? Consulte a e) II e III tabela peri´ odica do Apêndice e verifique se existe algum elemento ainda mais denso. 3. Na rea¸caõ F (g)+ e− (g) → F − (g)+ 402 kcal/mol, a medida de energia 402 quilo-calorias por mol representa: a) a eletronegatividade do fl´ uor • Cite exemplos de semi-metais e n˜ ao-metais conhecidos. b) a eletropositividade do fl´ uor


155

c) o potencial de ioniza¸caõ do fl´ uor d) a eletroafinidade do fl´ uor e) a polaridade do fl´ uor

Conhecendo as valências dos elementos cujos átomos vão se ligar para formar um composto iˆ onico, podemos calcular a ´ıon fórmula: 20 Ca


15 P

4. Para que o ´ıon 7 N −3 se transforme no ´ atomo neutro de nitrogênio, ele deve: a) receber 3 prótons b) perder 3 elétrons c) receber 3 elétrons d) perder 7 prótons e) receber 7 elétrons 5. Para que um átomo neutro de c´ alcio se transforme no ´ıon Ca+2 , ele deve: a) perder 2 prótons b) receber 2 elétrons c) perder 2 elétrons d) receber 2 prótons e) perder 1 próton

Qu´ımica B Liga¸c˜ oes Qu´ımicas

Aula 5

= 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 perde 2e− = 1s2 2s2 2p6 3s2 3p3 ganha 3e−

Escrevemos os s´ımbolos na ordem crescente de eletronegatividade, de modo que o ´ındice corresponda à valência do outro (regra de 3): Ca → valência 2 + P → valência 3 = Ca3 P2 Liga¸ c˜ ao Covalente Simples Ocorre entre n˜ ao-metais, e entre n˜ ao-metal e hidrogênio, e seu princ´ıpio é o compartilhamento de elétrons. O conjunto est´ avel de átomos ligados entre si apenas por liga¸co˜es covalentes, ou seja por pares eletrˆ onicos, recebe o nome de molécula. Exemplos Cl + Cl → Cl2 H + Cl → HCl H + O → HO O + O → O2 Fórmula eletrˆ onica:

Fórmula Estrutural Plana:

Compostos Iˆ onicos e Moleculares A uni˜ ao de átomos formam diversas substˆ ancias, essa uni˜ ao (liga¸caõ qu´ımica) pode ocorrer de três formas: Fórmula Molecular: 1. liga¸caõ iˆ onica; 2. liga¸caõ covalente simples e dativa; 3. liga¸caõ met´ alica.

Liga¸ c˜ ao Covalente Dativa

Os gases nobres s˜ ao elementos est´ aveis, pois apresentam oito S´ o ocorre se o átomo que vai contribuir com o par de elétrons na sua camada de valência, exce¸caõ do g´ as hélio. elétrons estiver estabilizado pela covalente simples e tiver pares eletrˆ onicos dispon´ıveis: Exemplos Estabilidade Eletrˆ onica HN O3 Oito elétrons na camada de valência. H2 SO4 H3 P O4 Liga¸ c˜ ao Iˆ onica Liga¸ c˜ ao Covalente Apolar Ocorre entre ametais de mesmo elemento qu´ımico (sol´ uveis em Ocorre entre metal que tem tendência de perder elétron, com a ´ gua) (mesma eletronegatividade). Por exemplo: H − H. n˜ ao-metal, que tem tendência de receber elétron, formando Liga¸ c˜ ao Covalente Polar ´ıons de cargas contrárias, que se atraem mutuamente. Ocorre entre ametais de elementos diferentes (insol´ uveis em Exemplos a ´ gua) (eletronegatividade diferentes). Exemplo: molécula Fazer o esquema de Lewis: HCl, pois o cloro ´ e mais eletronegativo que o hidrogˆ enio, ou + − N a Cl : seja, apresenta maior capacidade de atrair elétrons; portanto o par de elétrons da liga¸caõ é atra´ıdo por ele, criando-se nesse K + + Cl− : extremo uma maior densidade eletrˆ onica. Assim, surgem p´ olos distintos (representado pela letra δ), formando uma liga¸caõ co´ Ion F´ ormula valente polar: δ+ HClδ− .

156


Pense um Pouco! • Analisando a varia¸caõ da eletronegatividade na tabela peri´ odica, indique a liga¸caõ menos polar e a mais polar: H–O: H–H: H–I: H–P: H–N: H–F:

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (UFSC) Considerando-se a liga¸caõ qu´ımica entre oxigênio e o alum´ınio, sob a luz da teoria do octeto, para a forma¸caõ do ´ oxido de alum´ınio, é correto afirmar (some os n´ umeros correspondentes às alternativas corretas): 01. Cada átomo de alum´ınio, perder´ a 3 elétrons; 02. O Oxigênio ser´ a o ânion, com carga negativa igual a três para cada átomo; 04. O envolvidos dois átomos de alum´ınio na liga¸caõ; 08. Cada átomo de oxigênio receber´ a dois elétrons; 16. O n´ umero de cargas positivas, por f´ ormula, ser´ a seis. 32. A configura¸caõ eletrˆ onica do Al+3 ser´ a 1s2 2s2 2p6 . 64. A f´ ormula m´ınima do ´ oxido de alum´ınio conter´ a quatro átomos no total.

—


c) atra¸caõ inter-molecular d) elétrons livres e) emparelhamento de elétrons 6. (Supra-SC) Entre os átomos dos compostos KBr, N H3 , e HCN , as liga¸co˜es qu´ımicas predominantes s˜ ao, respectivamente: a) covalente, iˆ onica, iˆ onica b) covalente, iˆ onica, covalente c) covalente, covalente, iˆ onica d) Iônica, iˆ onica, covalente e) Iônica, covalente, covalente

Qu´ımica B

Aula 6

Liga¸c˜ oes Qu´ımicas Geometria Molecular

Teoria da Repuls˜ ao dos pares eletrˆ onicos, desenvolvida na década 1960: “Os pares de el´ etrons ao redor do ´ atomo central distribuem-se no espa¸ co de tal forma que a repuls˜ ao entre eles ´ e a menor poss´ıvel, garantindo maior estabilidade”. Os pares de elétrons podem ou n˜ ao fazer parte de liga¸co˜es. Quando os elétrons s˜ ao ligantes, os pares podem constituir ´ 2. (UniRio-RJ) Atomos de um elemento X (n´ umero atômico liga¸co˜es simples, duplas, triplas ou dativas. 20) e de outro elemento Y (n´ umero atômico 7) unem-se por As posi¸ co ˜es relativas dos ´ atomos ligantes s˜ ao dadas liga¸co˜es iˆ onicas, originando o composto de f´ ormula: pela disposi¸ c˜ ao de todos os pares de el´ etrons, mas a gea) XY ometria da mol´ ecula ´ e considerada apenas pela posi¸ c˜ ao b) X2 Y relativa de seus n´ ucleos. c) X3 Y2 d) X2 Y3 Exemplos e) X3 Y4

3. (Acafe-SC) A for¸ca de atra¸caõ entre ´ıons positivos e negativos caracteriza a liga¸caõ: a) coordenada b) covalente c) met´ alica d) dativa e) iˆ onica

Exerc´ıcios Complementares 4. (Supra-SC) No cloreto de magnésio, a uni˜ ao entre magnésio e cloro ocorre através de liga¸caõ: a) molecular b) covalente c) met´ alica d) iˆ onica e) dativa as carbˆ onico (CO2 ) apresenta geometria mole5. (UFRGS) O conceito de liga¸caõ covalente se refere à idéia Figura 2.1: O g´ cular linear, distribui¸ca õ espacial dos pares eletrˆ onicos é linear de: e possui 2 a ´tomos ao ligados ao a ´tomo central. a) atra¸caõ eletrostática b) par iˆ onico


Figura 2.2: O composto SO3 apresenta geometria molecular é trigonal plana, a distribui¸ca õ espacial dos pares eletrˆ onicos forma um triˆ angulo equil´ atero e possui 3 a ´tomos ligados ao a ´tomo central.

For¸ cas Inter-moleculares As substâncias moleculares podem ser encontradas nos três estados f´ısicos, o que nos leva a concluir que, entre as moléculas, existem for¸cas de atra¸caõ de diferentes intensidades. A essas for¸cas damos o nome de for¸cas inter-moleculares, elas podem ser de dois tipos: • for¸cas de Van der Waals • pontes de hidrogênio For¸ cas de Van der Waals S˜ ao for¸cas de fraca intensidade que se classificam em dipolo– dipolo e dipolo instantˆ aneo–dipolo induzido. A polaridade da liga¸caõ apresenta uma dire¸caõ, um sentido e uma intensidade, podendo ser representada por um vetor (~ p : vetor momento dipolo), este vetor se orienta sempre no sentido do p´ olo negativo para o positivo. Para moléculas com mais de dois átomos, conhecendo-se a geometria molecular, é poss´ıvel determinar se a molécula apresenta dipolo, ou seja, se na molécula h´ a distribui¸caõ desigual de carga negativa e positiva. Essa determina¸caõ é feita levando-se em conta os vetores momento de cada liga¸caõ. Conforme tenham ou n˜ ao dipolo elétrico, as moléculas s˜ ao classificadas em polares ou apolares, respectivamente. Exemplos CO2 é apolar (~ p = ~0). Veja a simetria da molécula na Fig. 2.1. H2 O é polar (~ p 6= ~0). Veja a assimetria da molécula na Fig. 2.3. For¸ cas de Van der Waals dipolo–dipolo Este tipo de intera¸caõ ocorre entre moléculas polares. Exemplo A molécula δ+ HClδ− . A forma¸caõ do dipolo ocorre devido ` a diferen¸ca de eletronegatividade entre o hidrogênio e o cloro. A extremidade negativa

157

Figura 2.3: A a ´gua (H2 O) apresenta geometria molecular angular, mas a distribui¸ca õ dos pares de elétrons é tetraédrica e possui 2 a ´tomos ligados ao a ´tomo central. de uma molécula atrai a extremidade positiva da molécula vizinha. Esse tipo de atra¸caõ é o mesmo que ocorre na liga¸cão iˆ onica, mas com intensidade bem menor. For¸ cas de Van der Waals dipolo instantˆ aneo–dipolo induzido S˜ ao for¸cas de atra¸caõ que aparecem nas substâncias formadas por moléculas apolares, no estado s´ olido ou l´ıquido. A nuvem eletrˆ onica nas moléculas apolares é uniforme, n˜ ao aparecendo cargas. Essa nuvem pode sofrer deforma¸caõ por a¸caõ externa, ou flutua¸co˜es estat´ısticas (colisões), ou com o aumento da press˜ ao e diminui¸caõ de temperatura, provocando, ent˜ ao, uma distribui¸caõ desigual de cargas, o que faz com que surja um dipolo temporário. O dipolo instantˆ aneo induz a polariza¸caõ da molécula vizinha, resultando uma a¸caõ fraca entre elas. Esse tipo de intera¸caõ também é chamado de for¸ ca de London, em homenagem ao cientista Fritz London (19001957), que elaborou todo o desenvolvimento teórico. Pontes de Hidrogˆ enio As pontes de hidrogênio s˜ ao casos particulares da intera¸caõ dipolo-dipolo, em que o dipolo molecular é fixo e de grande intensidade. Esse fenˆ omeno ocorre quando o hidrogênio est´ a ligado à um dos três elementos mais eletronegativos – fl´ uor, oxigênio e nitrogênio – pois a diferen¸ca de eletronegatividade entre o hidrogênio e esses elementos é muito grande. Exemplo A água H2 O é uma molécula muito polarizada (polar) e as pontes de hidrogênio produzem for¸ca suficiente para manter as moléculas unidas no estado l´ıquido. Veja a Fig. 2.3. Para Aprender Mais! Tens˜ ao superficial é uma propriedade que faz com que uma superf´ıcie l´ıquida se comporte como uma pel´ıcula elástica. Esta propriedade ocorre com todos os l´ıquidos e é observada com maior intensidade na água. As moléculas no interior do l´ıquido mantém-se unidas pelas for¸cas de atra¸caõ, que ocorrem em todas as dire¸co˜es. As moléculas da superf´ıcie, no entanto, sofrem apenas atra¸caõ lateral e inferior, que geram a tens˜ ao superfi-

158


—


Figura 2.4: O metano (CH4 ) apresenta geometria molecular Figura 2.5: O P Cl5 apresenta geometria molecular bipirˆ amide tetraédrica e distribui¸ca õ dos pares eletrˆ onicos também é te- trigonal e possui 5 a ´tomos ligantes. traédrica e possui 4 a ´tomos ligados ao a ´tomo central

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao cial, criando uma pel´ıcula el´ astica. Quanto mais intensas as for¸cas de atra¸caõ, maior ser´ a a tens˜ ao superficial. Vocˆ e S´ abia? Os icebergs s˜ ao massa de gelo flutuante que geralmente se desprende numa geleira polar e, portanto, s˜ ao constitu´ıdos por água doce. Eles flutuam por que a densidade da ´ agua s´ olida é menor do que a da água l´ıquida. Na ´ agua l´ıquida, as moléculas est˜ ao unidas por pontes de hidrogênio e dispostas de forma menos organizada do que no estado s´ olido. Neste estado, a organiza¸caõ é maior, formando estruturas hexagonais tridimensionais, mais espa¸cadas, que diminuem a densidade, permitindo assim que o gelo flutue sobre a ´ agua. Esta propriedade explica também a quebra de garrafa de bebidas esquecidas no congelador. For¸ cas Inter-moleculares e Ponto de Ebuli¸ c˜ ao : O importante fator que influencia o ponto de ebuli¸caõ de uma substância é o tamanho da molécula, pois quanto maior a molécula, mais fácil a ocorrência de distor¸caõ da nuvem eletrˆ onica; conseq¨ uentemente, mais f´ acil a forma¸caõ de p´ olos, ou seja, a medida que o tamanho da molécula aumenta (aumento da massa molecular), o ponto de ebuli¸caõ também deve aumentar. OBS: Na passagem do estado liquido para o gasoso ocorre uma separa¸caõ das moléculas assim, quanto maior a atra¸caõ entre as moléculas no liquido, maior ser´ a o ponto de ebuli¸caõ. Quanto maior a molécula mais f´ acil é a forma¸caõ de p´ olos.

1. Qual dessas liga¸co˜es é mais fraca? a) eletrovalente b) covalente c) ponte de hidrogênio d) Van der Waals e) iˆ onica 2. (Acafe-SC) Cada molécula de água é capaz de efetuar, no máximo: a) 5 pontes de hidrogênio. b) 2 pontes de hidrogênio. c) 4 pontes de hidrogênio. d) 1 pontes de hidrogênio. e) 3 pontes de hidrogênio. 3. (UFSM-RS) Dentre os compostos abaixo: I. H3 C–CH2 –O–CH3 II. H3 C–CH2 –N H2 III. H3 C–CH2 –OH Apresentam pontes de Hidrogênio entre suas moléculas: a) apenas I b) apenas II c) apenas I e III d) apenas II e III e) I, II e III

Exerc´ıcios Complementares Pense um Pouco!

4. (UEFS - BA) Por a¸caõ de energia, o hidrogênio di-atˆ omico se dissocia de acordo com a equa¸caõ: H–H(g) → 2H(g). Nesta • Quando se ferve a ´ agua, qual o tipo de liga¸caõ é rompida dissocia¸caõ, ocorre rompimento de liga¸caõ qu´ımica do tipo: a) ponte de hidrogênio. na mudan¸ca de estado? b) de Van der Waals. c) met´ alica • Temos duas substâncias, HX e HY. O que podemos dizer d) iˆ onica com rela¸caõ ao ponto de ebuli¸caõ (PE) dessas substâncias, e) covalente sabendo que em HX ocorrem for¸cas de Van der Waals e em HY ocorrem pontes de hidrogênio? 5. (ITA-SP) Os hidretos do tipo H2 X dos elementos da fam´ılia


159

do oxigênio s˜ ao todos gasosos em condi¸co˜es ambientais, com exce¸caõ do hidreto de oxigênio. Esta situa¸caõ é conseq¨ uência: a) da baixa massa molecular da ´ agua b) das liga¸co˜es covalentes c) das pontes de hidrogênio entre as moléculas d) do fato de o oxigênio ter o maior raio atômico dessa fam´ılia e) do fato de que o gelo é menos denso que a ´ agua l´ıquida 6. Dentre as seguintes substˆ ancias, qual apresenta pontes de hidrogênio entre as moléculas? a) metano (CH4 ) b) clorof´ ormio (CHCl3 ) c) benzeno (C6 H6 ). ´ d) Eter-et´ ılico (H2 C2 –O–C2 H5 ) ´ e) Agua (H2 O)

Qu´ımica B

Aula 7

Equa¸c˜ oes e Rea¸c˜ oes Qu´ımicas Uma rea¸caõ qu´ımica é representada pela equa¸caõ geral c1 R1 + c2 R2 + . . . + cn Rn → c′1 P1 + c′2 P2 + . . . + c′m Pm

Vamos agora acertar a quantidade de átomos de carbono. No primeiro membro existem agora quatro carbonos (2C2 H6 O); no segundo, um (CO2 ). Ent˜ ao, devemos multiplicar CO2 , no lado direito da equa¸caõ, por 4. 2C2 H6 O + O2 → 4CO2 + 6H2 O Finalmente, acertamos a quantidade de átomos de oxigênio. No segundo membro, já acertado, existem quatorze átomos de oxigênio (4CO2 e 6H2 O), e no primeiro, quatro (2C2 H6 O e O2 ). Ent˜ ao o coeficiente da molécula O2 ser´ a 6, para se obter 12 átomos que, com outros dois perfazem os quatorze: 2C2 H6 O + 6O2 → 4CO2 + 6H2 O Observe que em ambos os lados da rea¸caõ (reagentes e produtos) temos um total de 4 átomos de C, 12 átomos de H e 14 átomos de O. Como todos os coeficientes s˜ ao m´ ultiplos de 2, ent˜ ao podemos reduz´ı-los, dividindo-os por 2: C2 H6 O + 3O2 → 2CO2 + 3H2 O e obtemos os menores coeficientes para o balan¸co qu´ımico da rea¸caõ dada.

Dicas

onde n reagentes R1 , R2 ,. . .,Rn foram usados para formar os m Algumas considera¸caõ para o balanceamento de uma equa¸cão produtos P1 , P2 ,. . .,Pm . Os coeficientes {ci } indicam o n´ umero qu´ımica: de moléculas de cada reagente utilizado na rea¸caõ, e os coefici′ entes {cj }, o n´ umero de moléculas de cada produto resultante 1. Deve-se come¸car o acerto dos coeficientes pelo elemento da rea¸caõ. Em ambos os casos, se utilizam coeficientes inteiros. que aparece uma u ´ nica vez nos dois membros; Como cada molécula, de reagente ou produto, pode conter vários a´tomos de diferentes elementos qu´ımicos, o n´ umero total 2. Se os ´ındices do elemento escolhido forem m´ ultiplos, a de ´ atomos de cada espécie qu´ımica deve ser o mesmo em ambos simplifica¸caõ pode ser feita antes da transposi¸caõ; os lados da equa¸caõ acima, e chamamos de balanceamento qu´ımico o c´ alculo dos menores coeficientes {ci } e {c′j } para 3. As fórmulas das substâncias n˜ ao podem ser modificadas; que essa igualdade seja satisfeita. por isso, nunca coloque n´ umeros entre os s´ımbolos de uma mesma fórmula.

Exemplos A s´ıntese (forma¸caõ) da ´ agua é descrita pela equa¸caõ

Tipos de Rea¸c˜ oes

2H2 (g) (reagente) + O2 (g) (reagente) → 2H2 O(l) (produto)

Quanto ao Calor

onde a propor¸caõ da rea¸caõ de s´ıntese da ´ agua é 2:1:2, o que significa que, para cada duas moléculas de H2 O formadas, reagiram duas moléculas H2 e uma molécula de O2 . Cada rea¸caõ tem a sua propor¸caõ, que, como vimos pela lei das Propor¸ co ˜es Constantes.

Quanto ao envolvimento (absor¸caõ ou libera¸caõ) de calor: Rea¸ co ˜es Endot´ ermicas ´ toda rea¸caõ Veja que endo=para dentro e térmica = calor. E qu´ımica em que ocorre com absor¸ c˜ ao de calor. Por exemplo, a decomposi¸caõ do calcário:

Determina¸c˜ ao dos Coeficientes

CaCO3 @ >> ∆ > CaO + CO2ր

Na rea¸caõ de combust˜ ao:

onde ∆ indica que h´ a a necessidade de aquecimento dos reagentes para que ocorra a rea¸caõ qu´ımica. C2 H6 O + O2 → CO2 + H2 O Rea¸ co ˜es Exot´ ermicas observamos primeiro a quantidade de ´ atomos de hidrogênio. Observe que exo=para fora e térmica = calor. No primeiro membro, existem seis (C2 H6 O), e no segundo, ´ E toda rea¸caõ qu´ımica em que ocorre com libera¸ c˜ ao de calor. dois (H2 O). Para igualar o n´ umero de ´ atomos, fazemos a Por exemplo, temos a combust˜ ao do hidrogênio: transposi¸caõ dos ´ındices, obtendo: 2C2 H6 O + O2 → CO2 + 6H2 O

2H2 + O2 → 2H2 O + calorր

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Quanto ` a Velocidade

—


Para Saber Mais!

O oxigênio e o hidrogênio liquefeitos s˜ ao os combust´ıveis Rea¸ co ˜es R´ apidas l´ ıquidos mais comuns, usados para impulsionar os foguetes As que ocorrem rapidamente e de forma explosiva, por exempela expuls˜ a o dos gases de combust˜ a o, gerados pela rea¸cão plo, a combust˜ ao (queima) do ´ alcool et´ılico: de s´ıntese: 2H2 + O2 → 2H2 O C2 H6 O + 3O2 → 2CO2 + 3H2 O + calorր nos motores de combust´ıvel l´ıquido, também usados na Rea¸ co ˜es Lentas opera¸caõ de m´ısseis, o combust´ıvel e o comburente devem ser o ocorre na cˆ amara de Ocorrem devagar, por exemplo, a forma¸caõ da ferrugem armazenados isoladamente e a rea¸caõ s´ combust˜ ao, o que torna esses motores bastante complexos. (oxida¸caõ do ferro): 4F e + 3O2 → 2F e2 O3 + calorր Quanto ` a Reversibilidade Rea¸ co ˜es Revers´ıveis Ocorrem simultaneamente nos dois sentidos (indicado pela dupla seta): CaO + CO2 ⇌ CaCO3 Rea¸ co ˜es Irrevers´ıveis Rea¸co˜es que ocorrem num s´ o sentido. Por exemplo: N aCl + AgN O3 → AgCl + N aN O3 Quanto aos Reagentes e Produtos S´ıntese ou Adi¸ c˜ ao Rea¸caõ entre duas ou mais substˆ ancias (simples ou composta) que originam uma u ´ nica substˆ ancia composta: 2CO + O2 → 2CO2 neste caso a rea¸caõ é do tipo composta + simples → composta

Vocˆ e Sabia? Para combater a acidez estomacal, causada pelo suco g´ astrico existente (HCl ou ácido clor´ıdrico) que em excesso s´ o causa azia. O uso de leite de magnésia, uma suspens˜ ao de hidr´ oxido de magnésio, ou medicamentos à base de hidr´ oxido de alum´ınio, diminuem a acidez, aliviando a azia. As rea¸co˜es que ocorrem s˜ ao: M g(OH)2 + 2HCl → M gCl2 + 2H2 O Al(OH)3 + 3HCl → AlCl3 + 3H2 O Também pode-se usar o bicarbonato de s´ odio: N aHCO3 + HCl → N aCl + H2 O + CO2

Pense um Pouco! • Explique porque o bicarbonato de amˆ onia misturado em uma massa de bolo, ao ser aquecido, faz a massa do bolo crescer deixando o bolo fofo? Que tipo de rea¸caõ ocorre ? Fa¸ca a rea¸caõ.


1. Considere as seguintes rea¸co˜es do metano: . I. CH4 + 2O2 → CO2 + 2H2 O com ∆H = −212, 8 kcal/mol II. CH4 + H2 O → CO + 3H2 com ∆H = −49, 3kcal/mol An´ alise ou Decomposi¸ c˜ ao III.CH 4 + CO2 → 2CO + 2H2 com ∆H = −59kcal/mol Rea¸caõ em que uma u ´ nica substˆ ancia composta se desdobra 1 IV. CH 4 + 2 O2 → CO + 2H2 com ∆H = −8, 5kcal/mol em outras substâncias simples ou compostas: Pode-se afirmar que a rea¸caõ: a) I é endotérmica 2HCl → H2 + Cl2 b) II libera mais calor do que a I c) III é espontˆ anea Dupla Troca d) III libera menos calor do que IV Rea¸caõ em que as duas substˆ ancias compostas produzem duas e) IV absorve calor para ocorrer outras substâncias compostas (o nome resulta no fato de as substˆ ancias permutarem entre si parte de suas estruturas): 2. (Unisinos-RS) Considerando a equa¸caõ termoqu´ımica abaixo representada, S(s) + 32 O2 (g) → SO3 (g) com ∆H = HCl + N aOH → N aCl + H2 O −94, 4kcal/mol. Podemos afirmar que, na forma¸caõ de 200 g de tri´ oxido de enxofre: ou a) Ocorre a libera¸caõ de 94, 4 kcal, uma vez que a rea¸caõ é N aCl + AgN O3 → AgCl + N aN O3 exotérmica b) Ocorre a absor¸caõ de 94, 4 kcal, uma vez que a rea¸caõ é Deslocamento ou Simples Troca endotérmica Rea¸caõ em que uma substˆ ancia simples reage com outra com- c) Ocorre a libera¸caõ de 169, 5 kcal, uma vez que a rea¸caõ é posta, produzindo outra substˆ ancia composta e outra simples: exotérmica d) Ocorre a absor¸caõ de 236 kcal, uma vez que a rea¸caõ é enF e + CuSO4 → F eSO4 + Cu dotérmica


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e) Ocorre a libera¸caõ de 236 kcal, uma vez que a rea¸caõ é Exemplo exotérmica N a+ Cl− : N a carga real = +1, Cl carga real= -1 3. Dadas as equa¸co˜es das rea¸co˜es: H2 O: H carga teórica = +1, O carga teórica = -2 I. H2 SO4 + H2 O → H3 O + HSO4− + calor II. C2 H5 OH + 3O2 → 2CO2 + 3H2 O + calor Vocˆ e Deve Saber! − III. N H4 Cl(s) + H2 O(l) + calor → N H4+ (aq) + Cl(aq) • Se a liga¸caõ ocorre entre átomos do mesmo elemento ( IV. C2 H2 + 23 2O2 → CO2 + H2 O + C + calor substâncias simples), n˜ ao havendo, portanto, diferen¸ca de V. 2F e2 O3 + 3C + calor → 4F e + 3CO2 eletronegatividade e sendo a molécula apolar, o Nox é Consideram-se as rea¸co˜es endotérmicas: sempre zero: a) III e V b) I , II e IV Exemplos c) II, III e V H2 , Cl2 , O2 : Nox = 0 d) I, III e IV e) II e III • O Nox de um ´ıon simples é igual a sua carga (é a própria defini¸caõ de Nox). Exemplos


N a+ : Nox N a = +1

4. A an´ alise da rea¸caõ H2 (g) + 12 O2 (g) → H2 O(l) + 68 kcal permite concluir que: a) a rea¸caõ é endotérmica b) a rea¸caõ tem ∆H positivo c) a entalpia dos reagentes é maior que a dos produtos d) a entalpia dos reagentes é menos que a dos produtos e) a entalpia dos reagentes é igual a dos produtos 5. (PUC-RS) A equa¸caõ a seguir representa: HN O3 (aq) + N aOH(aq) → N aN O3 (aq) + H2 O(l) com ∆H = −13, 69 kcal/mol a) um processo endotérmico b) a neutraliza¸caõ parcial de um ´ acido c) um processo que h´ a a libera¸caõ de calor d) um processo n˜ ao espontˆ aneo e) uma rea¸caõ de an´ alise 6. As rea¸co˜es endotérmicas caracterizam-se por: I. serem espontˆ aneas II. ocorrerem com absor¸caõ de calor III. apresentam sinal positivo para a varia¸caõ da entalpia a) somente a afirmativa I é correta b) somente a afirmativa II é correta c) somente a afirmativa III é correta d) somente as afirmativas I e II s˜ ao corretas e) somente as afirmativas II e III s˜ ao corretas

Qu´ımica B

Aula 8

S −2 : Nox S = −2

Al+3 : Nox Al = +3 • O Nox do hidrogênio em compostos é +1, com exce¸caõ dos compostos met´ alicos (hidretos met´ alicos), em que o Nox do H é −1. Exemplos

H2 O: Nox H = +1 N aH : Nox H = −1 • O Nox do oxigênio nos compostos é −2, com exce¸caõ dos compostos com fl´ uor (O2 F2 e OF2 ) e peróxidos (O − O). Exemplos

H2 O: Nox O = −2

H2 O2 : Nox O = −1 O2 F2 : Nox O = +1 OF2 : Nox O = +2

• A soma algébrica dos Nox de todos os átomos de uma molécula é sempre igual a zero (o n´ umero de elétrons cedidos é igual ao de elétrons recebidos). Exemplos H2 O: Nox H = +1, O = −2, molécula: +2 − 2 = 0

N a2 S: Nox N a = +1, S = −2, molécula: +2 − 2 = 0

H2 SO4 : Nox H = +1, S = +6, O = −2, molécula: +2 + 6−8=0 • A soma algébrica dos Nox dos elementos em um ´ıon composto é igual sua carga (a carga do ´ıon indica que houve perde ou ganho de elétrons). Exemplos CO3−2 : Nox: C = +4, O = −2, soma: +4 − 6 = −2

Equa¸c˜ oes e Rea¸c˜ oes (II) NOX N´ umero que designa a carga elétrica real ou aparente (te´ orica) de um átomo em fun¸caõ da diferen¸ca de eletronegatividade entre ele e seus ligantes; o Nox est´ a associado ´ a perda ou ao ganho de elétrons por um ´ atomo numa liga¸caõ qu´ımica.

N H4+ : Nox: N = −3, H = +1, soma: −3 + 4 = +1

• Para se determinar o Nox de algum átomo numa molécula, usam-se os Nox conhecidos. Exemplo H4 P2 O7 Nox: H = +1, P = x, O = −2, soma: +4 + 2x − 14 = 0 → 2x = 10 → x = 5 Ent˜ ao temos que Nox P = +5 nesta molécula.

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Nox M´ınimo e Nox M´ aximo

—


Balanceamento

Verifica-se que átomos de um mesmo elemento podem apre- Determina¸caõ dos coeficientes em rea¸co˜es de oxi-redu¸caõ. sentar vários n´ umeros de oxida¸caõ, que dependem dos outros átomos da molécula. Veja o caso do cloro, em alguns composProcedimento tos: HCl Cl2 HClO HClO2 HClO3 HClO4 1. determinar o Nox dos elementos; -1 0 +1 +3 +5 +7 2. verificar os fenˆ omenos de oxida¸caõ e redu¸caõ; o Nox m´ınimo representa o n´ umero de elétrons que o átomo precisa receber, de acordo com a regra do octeto; o Nox 3. determinar ∆ (varia¸caõ do Nox) e multiplicar pelo ´ındice máximo representa o n´ umero máximo de elétrons da u ´ ltima ou atomicidade maior, obtendo-se ∆t (varia¸caõ total do camada que o átomo pode perder. Nox);

Rea¸ c˜ oes De Oxi-Redu¸c˜ ao

4. inverter ∆t , isto é, colocar o valor daquele que sofreu oxida¸caõ na frete da substância cujo elemento sofreu redu¸caõ e vice-versa.

Rea¸caõ em que ocorrem varia¸co˜es dos n´ umeros de oxida¸caõ dos ´ atomos de certos elementos. 5. Acertar os demais coeficientes por tentativa. Em uma solu¸caõ de sulfato de cobre (CuSO4 ) em ´ agua, mer0 gulhamos uma lˆ amina de zinco (Zn ). ap´ os algum tempo verificamos que essa lˆ amina est´ a recoberta por uma camada de Exemplo 1 HI + H2 SO4 −→ cobre met´ alico e a solu¸caõ apresenta ´ıons Zn+2 . +1 − 1 +1 + 6 − 2 Os ´ atomos de zinco (Zn0 ) se transformam em ´ıons de zinco −→ H2 S + H2 O + I2 (Zn+2 ), ou seja, perdem 2 elétrons: ocorre uma oxida¸caõ, +1 − 2 +1 − 2 0 perda de elétrons, aumento no Nox: Determina¸caõ do ∆: Zn0 −→ Zn+2 + 2e− • oxida¸caõ: varia¸caõ 1 e atomicidade 1 = 1 × 1 = ∆ = 1 Os ´ıons cobre (Cu+2 ) se transformam em ´ atomos neutros de cobre (Cu0 ), ou sejam, ganham 2 elétrons: redu¸caõ (ganho de • redu¸caõ: varia¸caõ 8 e atomicidade 1 = 8 × 1 = ∆ = 8 elétrons), diminui Nox: Igualando o n´ umero de elétrons cedidos e recebidos, temos: Cu+2 + 2e− −→ Cu0 8HI + 1H2 SO4 −→ H2 S + H2 O + I2 Assim o que ocorreu foi uma transferência de elétrons dos átomos de zinco (Zn0 ) para o ´ıon cobre (Cu+2 ): estabelecemos a propor¸caõ da rea¸caõ , agora, completamos os outros coeficientes por tentativa: Zn0 + Cu+2 −→ Zn+2 + Cu0 8HI + 1H2 SO4 −→ 1H2 S + 4H2 O + 4I2 Oxida¸caõ e Redu¸caõ s˜ ao fenˆ omenos paralelos, ou seja, n˜ ao pode ocorrer oxida¸caõ sem que ocorra uma redu¸caõ. Desse Exemplo 2 modo podemos somar as equa¸co˜es dos dois processos e obter K2Cr2O7 + HCl −→ a equa¸caõ do processo global: +1 + 6 − 2 +1 − 1 Zn0 −→ Zn+2 + 2e− semi-equa¸caõ de oxi-redu¸caõ Cu+2 + 2e− −→ Cu0

Zn0 + Cu+2 −→ Zn+2 + Cu0 Redutor e Oxidante Esse processo global constitui uma rea¸caõ de oxi-redu¸cão. A espécie doadora de elétrons, sofre oxida¸caõ, provoca a redu¸caõ (diminui¸caõ de Nox) da outra espécie, por isso é chamado de agente redutor. A espécie receptora de elétrons, que se reduz, provoca a oxida¸caõ (aumento de Nox) da outra, sendo chamada de agente oxidante. Agente Oxidante Provoca oxida¸caõ de outra espécie qu´ımica, sofre redu¸caõ (ganho de elétrons) e a varia¸caõ do Nox diminui. Agente Redutor Provoca redu¸caõ de outra espécie qu´ımica, sofre oxida¸caõ (perda de elétrons) e a varia¸caõ do Nox aumenta.

−→

KCl +1 − 1

+

CrCl3 +3 − 1

+

H2 O +1 − 2

+

Cl2 0

• oxida¸caõ: ∆ = 1 × 2 = 2 • redu¸caõ: ∆ = 3 × 2 = 6 observe que no c´ alculo do ∆ de oxida¸caõ consideramos a atomicidade 2, em vez de 1, isso porque nem todos os átomos de cloro se oxidam (uma parte se manteve, pois seus Nox n˜ ao se alteraram). Assim, usamos a atomicidade do Cl2 , pois este é formado pelos átomos de cloro que se oxidaram: 2K2 Cr2 O7 + HCl −→ KCl + CrCl + H2 O + 6Cl2 Por tentativa, acertamos os outros coeficientes: 2K2 Cr2 O7 + 28HCl −→ 4KCl + 4CrCl + H2 O + 6Cl2 simplificando por 2: K2 Cr2 O7 + 14HCl −→ 2KCl + 2CrCl + H2 O + 3Cl2


Pense um Pouco! • O que é NOX? • Como sabemos se uma rea¸caõ qu´ımica é uma rea¸caõ de oxi-redu¸caõ?


163 Assinale o ´ıtem com a soma correta dos coeficientes: a) a + b = 4 b) x + y = 3 c) a + x = 7 d) b + y = 7 e) a + b + x + y = 7

Qu´ımica B

Aula 9

1. (UDESC) Dada a rea¸caõ: S + 6HN O3 −→ 6N O2 + 2H2 O + H2 SO4 A varia¸caõ do n´ umero de oxida¸caõ do enxofre é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 6

Solu¸c˜ oes Qu´ımicas Dispers˜ oes s˜ ao sistemas nos quais uma substância est´ a disseminada, sob forma de pequenas part´ıculas, numa segunda substância. A primeira substância chama-se disperso ou fase dispersa e a segunda dispersante ou fase de dispers˜ ao. ¯

2. (Fuvest-SP) O cobre pode ser encontrado, na natureza, Classifica¸c˜ ao das Dispers˜ oes no mineral denominado atacamita: CuCl2 · 3Cu(OH)2 . Na f´ ormula da atacamita , identifica-se o cobre com Nox, respec- A classifica¸caõ das dispers˜ oes é feita de acordo com o tamanho tivamente: médio das part´ıculas dispersas: a) +1 e +1 b) +1 e +2 • solu¸ co ˜es verdadeiras: part´ıculas com diâmetro de 0 a c) +1 e +3 1 nm, isto é, de 0 a 10˚ A; d) +2 e +1 • solu¸ co ˜es coloidais: part´ıculas com diâmetro de 1 a e) +2 e +2 100 nm, isto é, de 10 a 1000 ˚ A; 3. (UFSM) O nitrogênio apresenta estado de oxida¸caõ −2 em: • suspens˜ oes: part´ıculas com diâmetro acima de 100 nm, a) N O3 isto é, acima de 1000 ˚ A. b) N H3 c) N H4 Lembre que: d) N2 O3 1 nm (nanometro) = 10−7 cm = 10−9 m e) N H4 OH 1˚ A (angstrom) = 10−8 cm = 10−10 m


Solu¸c˜ oes

Solu¸co˜es s˜ ao misturas homogêneas de duas ou mais sustâncias. 4. (UDESC) Qual das seguintes proposi¸co˜es é falsa, quando O disperso recebe o nome de soluto, e o dispersante, o nome se analisa a rea¸caõ de oxirredu¸caõ abaixo? ¯ ¯ de solvente. F e2 O3 + CO −→ 2F eO + CO2 Classifica¸ c˜ ao das Solu¸ co ˜es a) O Nox (n´ umero de oxida¸caõ) do C no CO2 é +4 b) Cada unidade de f´ ormula F e2 O3 ganha 1 e− c) Cada unidade de fórmula CO2 perde 2 e− d) O CO2 é agente redutor de F e2 O3 e) O F e sofre redu¸caõ

Classificam-se as solu¸co˜es de acordo os seguintes critérios: Estado de Agrega¸ c˜ ao da Solu¸ c˜ ao • solu¸ co ˜es s´ olidas: certas ligas met´ alicas, também chamadas de am´ algamas, por exemplo CuN i;

5. (UDESC) A soma dos menores coeficientes inteiros da • solu¸ co ˜es l´ıquidas: possuem o solvente l´ıquido, como a rea¸caõ de oxirredu¸caõ P + HN O3 + H2 O → H3 P O4 + N O, o salmora (sal+água); agente oxidante e o agente redutor s˜ ao, respectivamente: • solu¸co˜es gasosas: mistura de dois ou mais gases, por exema) 18, P , HN O3 ¯ plo, ar atmosférico. b) 20, P , HN O3 c) 13, P , HN O3 Estado de Agrega¸ c˜ ao dos Componentes d) 18, HN O3 , P e) 10, HN O3 , P • Solu¸ co ˜es s´ olido-s´ olido: algumas ligas met´ alicas 6. (UDESC) Seja a rea¸caõ abaixo (CuN i); 2KM nO4 +aN aN O2 +bH2 SO4 → xKSO4 +yM nSO4 +aN aN O3 +bH • Solu¸ ˜es s´ olido-l´ıquido: sal em água; 2 O co

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—


• Solu¸ co ˜es s´ olido-g´ as: naftaleno (naftalina) no ar;

• ◦ S = 357 g de N aCl por litro de água a 0◦ C;

• Solu¸ co ˜es l´ıquido-s´ olido: ´ agua em s´ olidos higrosc´ opicos (CaCl2 );

• ◦ S = 1.220 g de AgN O3 por litro de água a 0◦ C;

• Solu¸ co ˜es l´ıquido-l´ıquido: ´ agua em ´ alcool; • Solu¸ co ˜es l´ıquido-g´ as: umidade no ar;

• ◦ S = 2g de CaSO4 por litro de água a 0◦ C.

Col´ oides

• Solu¸ co ˜es g´ as-s´ olido: hidrogênio retido em platina em Solu¸caõ coloidal é uma dispers˜ ao onde as part´ıculas disperp´ o; sas têm um tamanho médio compreendido entre 1 a 100 nm • Solu¸ co ˜es g´ as-l´ıquido: g´ as carbˆ onico em bebidas; (lembre-se 1 nm = 10−7 cm = 10−9 m). • Solu¸ co ˜es g´ as-g´ as: todas as misturas gasosas; Propor¸ c˜ ao Entre Soluto e Solvente

Classifica¸c˜ ao dos Col´ oides

Classificam-se os Colóides segundo vários critérios: • solu¸ co ˜es dilu´ıdas: contém pouco soluto em rela¸caõ ao solvente (10 g de N aCl por litro de ´ agua); Natureza do Disperso • solu¸ co ˜es concentradas: caso contr´ ario (300 g de sal por litro de água). Natureza do Soluto • solu¸ co ˜es moleculares: quando as part´ıculas dispersas s˜ ao moléculas. Por exemplo, moléculas de a¸cu ´ car (C12 H22 O11 ) em água;

• col´ oides micelares: as part´ıculas dispersas s˜ ao agregados de átomos, de moléculas ou de ´ıons. por exemplo, enxofre em água; • col´ oides moleculares: as part´ıculas dispersas s˜ ao moléculas gigantes. Por exemplo, amido em água; • col´ oides iˆ onicos: as part´ıculas dispersas s˜ ao ´ıons gigantes. Por exemplo: prote´ına em água.

• solu¸ co ˜es iˆ onicas: quando as part´ıculas dispersas s˜ ao ´ıons. Íons do sal comum (N a+ e Cl− ) em ´ agua, por exemEstado F´ısico do Disperso e do Dispersante plo; Importante • H´ a muitas solu¸co˜es que apresentam simultaneamente moléculas e ´ıons dispersos, por exemplo, numa solu¸caõ aquosa de ácido acético (´ acido fraco) existem muitas moléculas (CH3 COOH) e poucos ´ıons (CH3 COO− e H + ) em solu¸caõ. • Semelhente dissolve Semelhante: substâncias inorgˆ anicas s˜ ao polares, enquanto que as orgˆ anicas s˜ ao apolares.

nome disperso dispersante exemplo sol s´ olido s´ olido rubi, safira sol s´ olido l´ıquido cola gel l´ıquido s´ olido geléias emuls˜ ao l´ıquido l´ıquido leite, maionese aerossol l´ıquido gasoso neblina, spray ar s´ olido gasoso fuma¸ca espuma gasoso s´ olido pedra-pomes espuma gasoso l´ıquido chantilly, sab˜ ao Observa¸ c˜ ao Quando os col´ oides do tipo sol possuem como dispersante a água, eles s˜ ao chamados do hidross´ ois.

O Fenˆ omeno da Satura¸c˜ ao da Solu¸c˜ ao Juntando-se gradativamente N aCl ` a ´ agua, em temperatura ambiente e sob agita¸caõ cont´ınua, verifica-se que em dado momento o sal n˜ ao se dissolve mais. Neste caso isto ocorre quando h´ a aproximadamente 360 g de N aCl por litro de ´ agua. Da´ı em diante toda a quantidade adicional de sal que for colocada no sistema ir´ a se depositar ou precipitar no fundo do recipiente; dizemos ent˜ ao, que a solu¸caõ est´ a saturada. O ponto de satura¸caõ (coeficiente ou grau de solubilidade ◦ S) depende do soluto, do solvente e das condi¸co˜es f´ısicas, como a temperatura. A press˜ ao passa a ser importante em solu¸co˜es onde existem gases.

Reversibilidade • revers´ıveis: afinidade muito grande entre o disperso e o dispersante (li´ ofilos-amigos do l´ıquido) uma vez o gel obtido, podemos conseguir o sol e voltar ao sistema gel: GEL

Peptiza¸caõ – adi¸caõ de l´ıquido ⇐⇒ Pectiza¸caõ – retirada de l´ıquido

SOL

• Irrevers´ıveis: n˜ ao h´ a intensa afinidade entre as fases, da´ı serem chamados de li´ ofobos. Ex: enxofre coloidal, metais coloidais.

Grau de Solubilidade (◦ S)

Col´ oides Protetores (Li´ ofilos)

O grau de solubilidade é a quantidade de soluto (em gramas) necess´ aria para saturar uma quantidade padr˜ ao (em geral 100 g, 1000 g ou 1 litro) de solvente, em determinadas condi¸co˜es f´ısicas de temperatura e press˜ ao. Exemplo

Os col´ oides li´ ofobos apresentam disperso e dispersante com pouca afinidade entre eles, o que acarreta certa instabilidade. ´ poss´ıvel aumentar a estabilidade desse tipo de col´ E oide adicionando pequena quantidade de um col´ oide li´ ofilo que tenha carga micelar de mesmo sinal.


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A estabilidade aumenta porque as micelas do col´ oide li´ ofobo a) est´ avel s˜ ao envolvidas por uma pel´ıcula de col´ oide li´ ofilo, passando a b) dilu´ıda sofrer o fenˆ omeno da solvata¸caõ. c) saturada ¯ d) concentrada e) super saturada Exemplos • A tinta nanquim é um col´ oide li´ ofobo instável, protegido 3. (OBJETIVO-SP) Quais as solu¸co˜es aquosas, contendo uma u ´ nica substância dissolvida, que podem apresentar corpo de por um col´ oide aquoso de gelatina; fundo dessa substância? • Na fabrica¸caõ de filmes fotogr´ aficos, o AgBr é estabilizado a) saturadas e super saturadas por gelatina na forma de gel; b) somente as saturadas c) insaturadas dilu´ıdas • No leite, a manteiga que est´ a dispersa na forma coloidal d) somente as supersaturadas é estabilizada pela case´ına. e) insaturadas concentradas • Na maionese, a gema do ovo constitui um col´ oide protetor 4. (UDESC) Em uma emuls˜ ao, a fase dispersa e a fase disperque estabiliza a emuls˜ ao de azeite e vinagre; sante s˜ ao, respectivamente: • A clara de ovo atua como estabilizante dos complexos sis- a) s´ olida e s´ olida temas coloidais que formam os sorvetes cremosos. b) l´ıquida e s´ olida c) gasosa e gasosa d) s´ olida e l´ıquida Para Aprender Mais! e) l´ıquida e l´ıquida As entidades dispersas (micelas) em uma disposi¸caõ coloidal s˜ ao constantemente bombardeadas pelas moléculas do dispersante e assim ficam em movimento totalmente desordenado Exerc´ ıcios Complementares que podem ser visto num ultra-microsc´ opio. Tal movimento chama-se movimento Browniano, descrito por Robert Brown, 5. (ITA-SP) Em rela¸caõ as misturas de substâncias preparadas em 1827. e mantidas num laboratório de qu´ımica s˜ ao feitas as seguintes afirma¸co˜es: Vocˆ e Sabia? I. O l´ıquido resultante da adi¸caõ do metanol e etanol é moasico e, portanto, é uma solu¸caõ. A pérola é um exemplo de gel, ou seja, uma dispers˜ ao coloidal nof´ de ´ agua (disperso) em carbonato de c´ alcio (dispersante). Ela II. O l´ıquido transparente que resulta da mistura de carbonato alcio e água e que sobrenada o excesso de sal sedimentado é produzida por moluscos bivalves, isto é, moluscos com uma de c´ concha de dois peda¸cos articulados. Existem espécies marinhas é uma solu¸caõ saturada. oxido de e de ´ agua doce. A pérola é produzida quando algum elemento III. O l´ıquido turvo que resulta da mistura de hidr´ odio e uma solu¸caõ aquosa de nitrato c´ uprico é uma suspens˜ ao estranho penetra entre o corpo do molusco e a camada da s´ olido num l´ıquido. concha, um grão de areia, por exemplo. Para defender-se, o de um s´ molusco produz várias camadas de n´ acar ao redor do corpo IV. A fuma¸ca branca que resulta da queima do magnésio ao ar é uma solu¸caõ de vapor de óxido de magnésio em ar. estranho, formando a pérola. V. O liquido violeta e transparente que resulta da mistura de permanganato de potássio com água é uma solu¸caõ. Dessas afirma¸co˜es, est´ a(ão) incorreta(s) apenas: Pense um Pouco! a) I • O que diferencia uma solu¸caõ dilu´ıda de uma concentrada? b) II c) IV • O nome que se d´ a ao sistema coloidal de um disperso d) II e V s´ olido num dispersante l´ıquido, de modo que o sistema e) II, III e V n˜ ao tome uma forma definida? 6. (UEPG-PR) Assinale a alternativa que n˜ ao caracteriza solu¸caõ coloidal. Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao a) Aerossol – nuvens b) Aerossol – fuma¸ca de cigarro c) Espuma – espuma de sab˜ ao 1. Qual das tr´ıades abaixo é constitu´ıda por três col´ oides? d) Emuls˜ ao – maionese a) leite, fuma¸ca, neblina e) Suspens˜ ao – água barrenta b) leite, fuma¸ca, óleo-diesel c) fuma¸ca, neblina, gasolina 7. (Ucsal-BA) Qual das misturas abaixo exemplifica uma disd) gelatina , neblina, cloreto de s´ odio pers˜ ao coloidal? e) borracha, cola, a¸cu ´ car a) Soro fisiol´ ogico ´ 2. (UFRS) A uma solu¸caõ de cloreto de s´ odio foi adicionado b) Acido muri´ atico um cristal desse sal e verificou-se que este n˜ ao se dissolveu, pro- c) Leite pasteurizado ´ vocando ainda, um aumento de volume do precipitado. Pode- d) Agua sanit´ aria ´ se inferir que a solu¸caõ original era: e) Alcool hidratado

166


Qu´ımica B

Aula 10

HCl aćido

— +

http://www.mundofisico.joinville.udesc.br CaOHOH base

−→

Ca(OH)Cl hidroxissal

+

H2O água

´ Presen¸ ca de Agua no Cristal

Fun¸c˜ oes Qu´ımicas Sais Sal é toda substância iˆ onica que resulta da rea¸caõ (rea¸caõ de neutraliza¸caõ) de um ácido com uma base.

– sal hidratado: sal que apresenta moléculas de água intercaladas em seu ret´ıculo cristalino; as moléculas de água constituem a chamada água de cristaliza¸caõ ou água de hidrata¸caõ. Exemplos: CaCl2 · 2H2 O, CuSO4 · 5H2 O, M gSO4 · 7H2 O;

– sal anidro: n˜ ao apresenta água de cristaliza¸caõ. Exemplos: N aCl, M gSO4 , N aKCO3 , BaClBr.

Exemplo HCl acido ´

+

NaOH base

−→

N aCl sal

+

H2O agua ´

Classifica¸c˜ ao dos Sais Classificam-se os sais segundo os seguintes critérios: Presen¸ ca de Oxigˆ enio • sal oxigenado (oxissal): o oxigênio participa da estrutura. ¯ Exemplos: KN O3 , N a2 SO4 ;

Nomenclatura dos Sais Os sais podem ser representados pela fórmula geral Bx+y A−x y , sendo B um c´ ation diferente de H + e A um ânion diferente de OH − . O ´ındice de c´ ation é dado pela carga do ânion, o ´ındice do ânion é dado pela carga do c´ ation, de tal forma que o conjunto é eletricamente neutro. Assim, para obtermos o nome de um sal a partir de sua fórmula, basta escrevermos o nome do ânion seguido da preposi¸caõ “de”e do nome c´ ation.

Exemplo • sal n˜ ao-oxigenado: o oxigênio n˜ ao participa da estrutura. ¯ Por exemplo: N aCl e N H4 Br. Zn(N O2)2 – nitrito de zinco onde: Zn+2 é o c´ ation zinco N´ umero de Elementos Constituintes N O2−2 é o ânion nitrito. • sal bin´ ario: sal constitu´ıdo por dois elementos. Exem- Como ocorre com as bases, se um elemento formar c´ ations com plos: KCl, N a2 S; cargas diferentes, usamos algarismos romanos para diferencialos ou, ainda, as termina¸co˜es “oso”para o de menor carga e • sal tern´ ario: sal constitu´ıdo por três elementos. Exem“ico”para o de maior carga. plos: N aN O3 , K2 CO3 ; • sal quatern´ ario: sal constitu´ıdo por quatro elementos. Exemplo Exemplos: N H4 ClO3 , N aOCN . Por exemplo, o n´ıquel (N i) forma os c´ ations N i+2 , que recebe o ´ nome de c´ ation niqueloso ou n´ıquel II; e N i+3 , c´ ation niquélico Natureza dos Ions ou n´ıquel III. • sal normal: n˜ ao apresenta hidrogênio ioniz´ avel, nem ´ıons Assim: ´ obtido por rea¸co˜es de neutraliza¸caõ totais, ou OH − . E N i+2 (cátion niqueloso ou n´ıquel II) com CO3−2 (ˆ anion carboseja, em que a quantidade de ´ıons H + do ´ acido é igual a nato) forma o sal N iCO3 chamado de carbonato de n´ıquel II − quantidade de ´ıons OH da base. ou de carbonato niqueloso. Exemplo N i+3 (cátion niquélico ou n´ıquel III) com SO3−2 (ˆ anion sulHCl + NaOH −→ N aCl + H2O fito) forma o sal N i2 (SO3 ) chamado de sulfito de n´ıquel III ou acido ´ base sal normal agua ´ sulfito niquélico. • hidrogenosal: sal que apresenta hidrogênio ioniz´ avel. ´ Forma-se quando s´ o alguns dos hidrogênios ioniz´ aveis s˜ ao Oxidos neutralizados pela base, ocorrendo uma rea¸caõ de neutra´ Oxidos s˜ ao compostos formados por dois elementos (compostos liza¸caõ parcial (no caso dos ´ acidos). binários), sendo que o mais eletronegativo desses elementos Exemplo deve ser o oxigênio: H2 SO4 + NaOH −→ N aHSO4 + H2O δ+ CO2 δ− , δ+ N a2 Oδ− , δ+ H2 Oδ− , δ+ SO3 δ− acido ´ base hidrogenosal água assim, compostos binários formados por fl´ uor e oxigênio n˜ ao ao considerados óxidos, pois o fl´ uor é mais eletronegativo que • hidroxissal: sal que apresenta ´ıons OH − . Forma-se por s˜ ¯ rea¸caõ de neutraliza¸caõ parcial da base, na qual nem todos o oxigênio: δ− os OH − s˜ ao neutralizados pelo ´ acido. F — δ+ O — F δ− = OF2 δ− Exemplo F — δ+ O — δ+ O — F δ− = O2 F2


167

´ Nomenclatura dos Oxidos

Classifica¸ c˜ ao

Nomeamos os átomos de acordo com os grupos de divisão: ´ Oxidos Moleculares O´ oxido liga-se a um n˜ ao metal ou hidrogênio: escrevemos a palavra óxido seguida da preposi¸caõ “de”e do nome do elemento associado ao oxigênio. Antes da palavra ´ oxido e do nome do elemento, colocamos os prefixos mono, di , tri, tetra, penta, etc. para indicar a quantidade de ´ atomos de oxigênio e do elemento existentes na f´ ormula. Exemplos CO2 : dióxido de carbono N2 O5 : pent´ oxido de dinitrogênio Cl2 O7 : hept´ oxido de dicloro CO: mon´ oxido de carbono ou ´ oxido de carbono ´ Oxidos Iˆ onicos O´ oxido liga-se a um metal: Exemplos N a2 O: óxido de s´ odio CaO: o´xido de c´ alcio F eO: o´xido de ferro II

Dependendo do elemento ligado ao hidrogênio, o hidreto pode ser: Iˆ onico S˜ ao os hidretos de metais mais eletropositivos, ou seja, alcalinos e alcalinos terrosos. S˜ ao também chamados de hidretos salinos. Apresentam car´ ater b´ asico, pois reagem com a água, produzindo base e despresndendo o hidrogênio. Exemplo N aH + HOH =⇒ N aOH + H2ր Molecular Hidretos de n˜ ao-metais e semi-metais. Exemplos H2 S: sulfidreto HF : fluoridreto N H3 : amˆ onia Os hidretos moleculares dos elementos das fam´ılias 6A (16) e 7 A(17) s˜ ao ácidos em solu¸caõ aquosa, isto é, sofrem ioniza¸caõ. Exemplo HF + H2 O =⇒ H3 O+ + F −

´ Classifica¸ c˜ ao dos Oxidos ´ Oxidos B´ asicos Reagem com água, formando uma base, e reagem com ácidos, formando sal e água. Para formar uma base, é necess´ ario um c´ ation, portanto esses ´ oxidos s˜ ao todos iˆ onicos. Exemplos K2 O + H2 O =⇒ 2KOH K2 O + 2HCl =⇒ 2KCl + H2 O ´ ´ Oxidos Acidos

Vocˆ e Sabia?

Os galinhos do tempo s˜ ao feitos de plástico, revestidos com um sal de cobalto. O cloreto de cobalto anidro (CoCl2 ) é azul e o cloreto de cobalto di-hidratado (CoCl2 · 2H2 O) é cor-de-rosa. Em dias chuvosos, quando a umidade relativa do ar é maior, o sal, naturalmente, absorve moléculas de água da atmosfera, S˜ ao os óxidos que reagem com ´ agua, formando ´ acido, e rea- deixando o galinho rosa. Quando a umidade relativa do ar gem com base, formando sal e ´ agua; estes ´ oxidos s˜ ao todos diminui, o sal perde gradativamente as moléculas de água e volta a ser azul. moleculares.

Exemplos SO3 + H2 O =⇒ H2 SO4 SO3 + 2N aOH =⇒ N a2 SO4 + H2 O Podemos considerar os ´ oxidos ´ acidos como ´ acidos que perderam ´ agua; por isso eles s˜ ao também chamados de anidridos (sem ´ agua): Exemplo H2 SO4 − H2 O = SO3

Para Aprender Mais!

O cloreto de s´ odio é encontrado na natureza, em jazidas na crosta terrestre, constituindo o salgema, e nas águas do mar, de onde ser retira a maior parte desse composto. A água do mar é canalizada para reservatórios de pouca profundidade e grande superf´ıcie, denominados salinas. Os reservatórios s˜ ao dispostos de tal forma que a água passa sucessiHidretos vamente por todos e, pela a¸caõ do sol e do vento, é evaporada, deixando depositados os sais menos sol´ uveis, como o carboS˜ ao os compostos bin´ arios do hidrogênio de f´ ormula geral nato de c´ alcio, o sulfato de c´ alcio e o sulfato de magnésio. O Ex Hy se o H for o elemento mais eletronegativo, ou Hy Ex cloreto de s´ odio deposita-se junto com o cloreto de magnésio, se o H for o elemento menos eletronegativo. que absorve vapor de água do meio ambiente e se solubiliza, restando cloreto de s´ odio com alto grau de pureza. No Brasil, o sal de cozinha, conhecido como sal iodado, contém iodeto Nomenclatura de s´ odio ou potássio para evitar o b´ ocio (hipertireóide). Além Usa-se a palavra Hidreto seguida do nome do elemento ligante. disso, contém pequenas quantidades de outros sais que podem Exemplos se hidratar, como o cloreto de magnésio (M gCl2 ). Nos dias em que a umidade relativa do ar é maior, ele se transforma em HCl: hidreto de cloro ou cloridreto cloreto de magnésio hidratado, que deixa o sal com aspecto HBr: hidreto de bromo ou bromidreto molhado, aglutinando as part´ıculas e entupindo o saleiro. CaH2 : hidreto de c´ alcio N H3 : amˆ onia A solu¸caõ contendo 0,92% de cloreto de s´ odio é conhecida como P H3 : fosfina soro fisiol´ ogico e é usada no combate à desidrata¸caõ.

168


—


Pense um Pouco! • A acidez estomacal, provocada pelo ´ acido clor´ıdrico, pode ser neutralizada utilizando-se uma solu¸caõ de que tipo?

Propriedades Coligativas


Sabemos que a água pura congela-se a 0 ◦ C e ferve a 100 ◦ C, sob press˜ ao normal de 1 atmosfera. No entanto, dissolvendo um pouco de sal comum em água, ela passará a congelar-se 1. (OSEC-SP) Qual das alternativas abaixo contém a fórmula abaixo de 0 ◦ C e a ferver acima de 100 ◦ C, sob press˜ ao de do nitrito de s´ odio e do ´ acido brômico? 1 atmosfera. Esses fenˆ omenos s˜ ao denominados Efeitos ou a) N aN O3 e HBr Propriedades Coligativas. b) N aN O3 e HBrO Propriedades Coligativas das solu¸co˜es s˜ ao propriedades c) N aN O2 e HBrO4 que dependem apenas do n´ u mero de part´ ıculas dispersas na d) N aN O2 e HBrO3 solu¸ c a ˜ o, independentemente da natureza dessas part´ ıculas. e) N aN O e HBrO 2

2

2. (UFMG) Seguem várias f´ ormulas qu´ımicas com seus nomes. Qual a alternativa errada? a) KN O3 – nitrato de potássio b) Ca(P O4)3 – fosfato de c´ alcio c) Al2 (SO4 )3 – sulfato de alum´ınio d) M g(ClO4 ) – perclorato de magnésio e) n. d. a. 3. (FEMPAR) Qual a substˆ ancia que apresenta oxigênio em sua composi¸caõ? a) ´ acido clor´ıdrico b) ´ acido sulf´ıdrico c) cloreto de fósforo d) fluoreto de zinco e) nitrato de prata

Exerc´ıcios Complementares 4. Todas as alternativas apresentam um ´ oxido b´ asico, exceto: a) N a2 O b) CaO c) BaO d) F e3 O4 e) SrO 5. (UEM-PR) A cal viva, a soda c´ austica, o vinagre, o leite de magnésia e o bicarbonato de s´ odio s˜ ao produtos comerciais usados em nosso cotidiano. Quimicamente, podemos classificalos, respectivamente, como: a) ´ oxido, base, ácido, base, sal b) ´ oxido, sal, base, óxido, sal c) base, sal, ácido, óxido, sal d) ´ oxido, base, ácido, óxido, ´ acido e) sal, base, ácido, base, sal 6. (Acafe-SC) O óxido de magnésio é muito usado como antiácido, neutralizando o excesso de HCl no estˆ omago. Com base apenas neste fato, podemos classificá-lo como ´ oxido: a) ´ acido b) b´ asico c) neutro d) salino e) n. d. a.

Tanometria ´ o estudo de abaixamento da press˜ E ao m´ axima de vapor de um l´ıquido, que ´ e ocasionado pela dissolu¸ c˜ ao de um soluto n˜ ao-vol´ atil. Quando um l´ıquido é colocado num recipiente hermeticamente fechado, onde havia vácuo, ele vai evaporando até chegar a uma situa¸caõ na qual a velocidade de evapora¸caõ torna-se igual a velocidade de condensa¸caõ. A partir desse instante tudo se passa como se a evapora¸caõ tivesse parado. Nessa situa¸caõ dizemos que os vapores s˜ ao vapores saturados ou saturantes e dizemos também que foi atingida a tens˜ ao ou press˜ ao máxima dos vapores. Evidentemente essa press˜ ao máxima ser´ a maior ou menor, dependendo da natureza do l´ıquido e da temperatura em que foi feita a experiência. Pois bem, se no l´ıquido anterior for dissolvido um soluto n˜ ao-volátil observa-se que a press˜ ao máxima de vapores do l´ıquido diminui. Definimos ent˜ ao: p0 : press˜ ao máxima de vapor do l´ıquido puro, à temperatura T; p: press˜ ao máxima de vapor da solu¸caõ, na mesma temperatura T; p − p0 = ∆p: abaixamento absoluto da press˜ ao máxima de vapor da solu¸caõ; p0 −p ao máxima da vapor da p0 : abaixamento relativo da press˜ solu¸caõ; O abaixamento relativo da press˜ ao máxima de vapor de uma solu¸caõ pode ser calculado pela Lei de Raoult: Numa solu¸ c˜ ao bastante dilu´ıda de um soluto qualquer, n˜ ao-vol´ atil e n˜ ao-iˆ onico, o abaixamento relativo da press˜ ao m´ axima de vapor ´ e diretamente proporcional ` a molalidade da solu¸ c˜ ao. p0 − p 1.000m1 = Kt W = Kt p0 m2 M 1 A constante Kt , que aparece nas fórmulas acima, chama-se constante tonosc´ opica (ou tonom´ etrica) molal do solvente e pode ser calculada pela equa¸caõ: M2 1.000 onde, M2 representa a molécula-grama do solvente. Kt =

Ebuliometria

Qu´ımica B

Aula 11

´ o estudo da eleva¸ E c˜ ao da temperatura de ebuli¸ c˜ ao de


169

um l´ıquido, ocasionado pela dissolu¸ c˜ ao de um soluto n˜ ao-vol´ atil. A ´ agua ferve a 100◦ C, sob press˜ ao de 1 atmosfera. Se dissolvermos, por exemplo, um pouco de sal comum na água, ela demorar´ a mais para ferver (ou melhor, s´ o ir´ a ferver em temperatura mais alta), como se o sal estivesse dificultando sua evapora¸caõ e sua ebuli¸caõ. Esse fenˆ omeno é chamado ebuliosc´ opico ou ebuliom´ etrico. Eleva¸caõ da temperatura de ebuli¸caõ da solu¸caõ (∆Te ) é a diferen¸ca entre a temperatura inicial de ebuli¸caõ da solu¸caõ (T ) e a temperatura de ebuli¸caõ do l´ıquido puro (T0 ), sob mesma press˜ ao externa.

Definimos o baixamento da temperatura de congelamento da solu¸caõ como ∆Tc = T0 − T , que é chamado de efeito criosc´ opico ou criom´ etrico. Lei de Raoult Numa solu¸caõ dilu´ıda de um soluto qualquer, n˜ ao-iônico, o abaixamento da temperatura de congela¸caõ é diretamente proporcional à molalidade da solu¸caõ: ∆Tc = Kc W = Kc

∆Te = T − T0

1.000m1 m2 M 1

opica onde ∆Te é o chamado efeito ebuliosc´ opico ou ebuliométrico. onde a constante Kc é denominada constante criosc´ molal do solvente pode ser calculada pela rela¸ c a ˜ o: Note que devemos dizer temperatura inicial de ebuli¸caõ da solu¸caõ porque à medida que a solu¸caõ ferve o solvente vai RT 2 evaporando, a concentra¸caõ da solu¸caõ vai aumentando a sua Kc = 1.000LF temperatura de ebuli¸caõ (T ) também ir´ a aumentar. Essa preocupa¸caõ n˜ ao existe em rela¸caõ ao l´ıquido puro, pois durante onde: T é a temperatura absoluta de congelamento do solvente toda a ebuli¸caõ sua temperatura (T0 ) se mantém constante. puro (em K) LF é o calor latente de fusão do solvente puro (em cal/g). Lei de Raoult Numa solu¸ c˜ ao dilu´ıda de um soluto qualquer, n˜ aovol´ atil e n˜ ao-iˆ onico, a eleva¸ c˜ ao da temperatura de ebuli¸ c˜ ao ´ e diretamente proporcional ` a molalidade da solu¸ c˜ ao. 1.000m1 ∆Te = Ke W = Ke m2 M 1 A constante Ke , que aparece nas f´ ormulas anteriores, é denominada constante ebuliosc´ opica (ou ebuliom´ etrica) molal do solvente e pode ser calculada pela rela¸caõ: Ke =

RT 2 1.000LV

onde: R é a constante universal dos gases perfeitos = 2 cal/mol · K T é a temperatura absoluta de ebuli¸caõ do solvente puro (em K) LV é o calor latente de vaporiza¸caõ do solvente puro (em cal/g) Exemplo A temperatura de ebuli¸caõ da ´ agua ao n´ıvel do mar é 100◦ C ou 373 K e o calor latente de vaporiza¸caõ LV = 538 cal/g. Conseq¨ uentemente:

Osmoscopia Entende-se por difus˜ ao entre l´ıquidos o fenˆ omeno da dissemina¸caõ espontˆ anea de um l´ıquido em outro e vice-versa, de modo a se obter uma mistura homogênea ou sistema monof´ asico. Este fenˆ omeno pode se dar também através de membranas: • perme´ aveis – s˜ ao aquelas que permitem a passagem tanto do solvente como do soluto; • semi-perme´ aveis – s˜ ao aquelas que permitem a passagem ¯ tanto do solvente como do soluto; • imperme´ aveis – s˜ ao aquelas que n˜ ao permitem a passagem de soluto e solvente. Conclus˜ oes de Van’t Hoff

Van’t Hoff verificou existir uma notável analogia entre press˜ ao dos gases e a press˜ ao osmótica das solu¸co˜es dilu´ıdas. A partir dos estudos de Pfeffer, observou-se incr´ıvel semelhan¸ca com a lei de Boyle e com a lei de Charles, dos gases. 2 ◦ “A press˜ ao osm´ otica de uma solu¸ c˜ ao ´ e igual ` a press˜ ao Ke = f rac(2)(373) (1.000)(538) = 0, 52 C que o soluto exerceria no estado gasoso, ocupando o mesmo volume da solu¸ c˜ ao, na mesma temperatura.” Criometria Equa¸ c˜ ao Tipo Gases Perfeitos ´ o estudo do abaixamento da temperatura de congelamento Como para os gases perfeitos, ou ideais, a press˜ ao osmótica E de um l´ıquido, provocado pela dissolu¸caõ de outra substˆ ancia pode ser escrita como nesse l´ıquido. pV = nRT A ´ agua pura congela a 0 ◦ C, sob press˜ ao normal. Se dissolvermos, por exemplo, um pouco de sal comum na água, ela ao osmótica, V o volume da solu¸caõ, n o demorar´ a mais para se congelar (ou melhor, s´ o ir´ a congelar onde, p é a press˜ n´ umero de moles do soluto, R a constante dos gases perfeitos em temperatura mais baixa), como se o sal estivesse dificule T a temperatura absoluta da solu¸caõ. tando o seu congelamento. Equa¸ c˜ ao da Press˜ ao Osm´ otica Esse fenˆ omeno chamado criosc´ opico ou croim´ etrico, que tem certa analogia com o fenˆ omeno ebuliométrico, descrito no n p = RT ´ıtem anterior. V

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e como n/V é a molaridade M da solu¸caõ, temos p = M RT

—


2. Qual a temperatura de congelamento de uma solu¸caõ contendo 8, 9 g de antraceno (C14 H10 ) em 256 g de benzeno? Dados: Tc = 5, 42 ◦ C para o benzeno puro, constante criométrica molal do benzeno = 5,12 ◦ C, massas atômicas: H = 1 e C = 12.

para solu¸co˜es moleculares. Para se obter a press˜ ao osmótica em atm, o valor de R a ser utilizado é 0, 082 atm · L/mol · K). 3. (ITA-SP) Uma solu¸caõ de N aCl em água é aquecida num Para as solu¸co˜es iˆ onicas recipiente aberto. Qual das afirma¸co˜es abaixo é falsa em rela¸caõ a este sistema? p = M RT i a) A solu¸caõ entrará em ebuli¸caõ quando sua press˜ ao de vapor for igual à press˜ ao ambiente. b) A molaridade da solu¸caõ aumentar´ a a medida que prosseVocˆ e Sabia? guir a ebuli¸caõ. Em condi¸co˜es normais, a ´ agua entra e sai continuamente das c) A temperatura de in´ıcio de ebuli¸caõ é maior que a da água células, difundindo-se em dire¸caõ ` a regi˜ ao em que h´ a me- pura. nor n´ umero de moléculas de ´ agua, estabelecendo o equil´ıbrio d) A temperatura aumenta à medida que a ebuli¸caõ prosseosmótico. Se uma célula viva, por exemplo uma hem´ acia, for gue. colocada em solu¸caõ salina, que apresente concentra¸caõ supe- e) A composi¸caõ do vapor desprendido é a mesma da solu¸caõ rior ` a da célula, haverá um fluxo de ´ agua, através da membrana residual. plasm´ atica, de dentro da célula (menor concentra¸caõ) para fora da célula (maior concentra¸caõ), provocando a sua contra¸caõ. 4. (UFSC) Ao colocar-se uma célula vegetal normal, numa a que ela come¸car´ aa Ao contrário se o meio for hipotônico, a célula ficar´ a intumes- solu¸caõ salina concentrada, observar-se-´ omeno, é correto afircida. Isso faz com que a administra¸caõ de soro deva ser feita “enrugar” e a “murchar”. Sobre esse fenˆ com solu¸caõ isotônica. Nos vegetais existe, além da membrana mar: plasm´ atica, outra membrana (celul´ osica) que limita a entrada 01. A célula vegetal encontra-se num meio hipotônico em rela¸caõ à sua própria concentra¸caõ salina. de ´ agua, evitando que as células se rompam. 02. H´ a uma diferen¸ca de press˜ ao, dita osmótica, entre a solu¸caõ salina do meio. Para Aprender Mais! 04. H´ a um fluxo de solvente do interior da célula para a solu¸caõ salina do meio. A dessaliniza¸caõ é um processo para obten¸caõ de ´ agua potável, 08. Quanto maior for a concentra¸caõ da solu¸caõ salina externa, a partir da água do mar, em locais onde as fontes de ´ agua doce menor ser´ a o fluxo de solvente da célula para o meio. s˜ ao insuficientes, como algumas regi˜ oes do Oriente Médio. A 26. O fluxo de solvente ocorre através de membranas semiremo¸caõ do sal é feita por osmose reversa, ou seja, o solvente perme´ a veis. (´ agua) fará o caminho inverso ao natural, pela aplica¸caõ de

uma press˜ ao superior à press˜ ao osmótica. Uma das dificulda- 5. (UDESC) Folhas de alface em contato com a água permades desse processo é a obten¸caõ de membranas semiperme´ aveis necem frescas. Quando imersas em vinagre com sal (tempero que resistam a altas press˜ oes. de saladas) elas ficam murchas ap´ os algum tempo, devido: a) somente à passagem dos ´ıons cloreto através da membrana das células do alface. Brincadeira de Crian¸ca b) à osmose inversa, passagem da água da solu¸caõ de vinagre Ao jogar sal de cozinha em uma lesma. O sal de cozinha ab- e sal para dentro das células do alface. sorve toda a água da lesma e o animal morre ocorrendo uma c) à dissocia¸caõ do sal no interior das células do alface. osmose vis´ıvel (a passagem de um solvente por uma mem- d) à osmose, passagem da água do interior das células do albrana semi-imperme´ avel). Você deve j´ a deve ter feito essa face para a solu¸caõ de vinagre e sal. experiência peralta quando crian¸ca! e) somente à passagem dos ´ıons s´ odio através da membrana das células do alface.

Pense um Pouco!


• A press˜ ao máxima de vapor de ´ agua pura, a 20 ◦ C, é 17, 54 mmHg. Dissolvendo-se 36 gramas de glicose Num local em que a água congela a 0 ◦ C e (massa molecular=180) em 500 gramas de ´ agua, quais 6. (Puccamp-SP) ◦ de glicose ir´ a: ser˜ ao os abaixamentos absoluto e relativo da press˜ ao ferve a 100 C, ◦uma solu¸caõ aquosa ◦ a) congelar a 0 C e ferver a 100 C. máxima de vapor da solu¸caõ? b) congelar abaixo de 0 ◦ C e iniciar a ebuli¸caõ abaixo de 100 ◦ C. c) congelar acima de 0 ◦ C e iniciar a ebuli¸caõ abaixo de 100 Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao ◦ C. d) congelar abaixo de 0 ◦ C e iniciar a ebuli¸caõ acima de 100 1. Dez gramas de uma substˆ ancia de massa molecular 266 ◦ C. foram dissolvidos em 500 gramas de tetracloreto de carbono. e) congelar acima de 0 ◦ C e iniciar a ebuli¸caõ acima de 100 Qual a temperatura de ebuli¸caõ da solu¸caõ, sob press˜ ao nor- ◦ C. mal? Dados: Te = 77 ◦ C (sob press˜ ao normal); LV = 46 cal/g. 7. (Acafe-SC) Usando um costume popular, um jovem cobriu


171

uma ferida com p´ o de café, para acelerar sua cicatriza¸caõ. O Montagem Experimental efeito coligativo, envolvido na retirada de l´ıquido que favoreceu Para melhor entendimento do sistema (pilha de Daniel) é a cicatriza¸caõ, é: poss´ıvel mont´ a-la experimentalmente: a) tanométrico b) criométrico c) ebuliométrico d) isométrico e) osmótico 8. (UDESC) A press˜ ao osmótica do sangue na temperatura do corpo, 37 ◦ C, é de 7,626 atm. Considerando os solutos no (a) (b) (c) sangue como n˜ ao-eletrólitos, a sua molaridade total ser´ a de: a) 0,50 mol/L Lista de Materiais b) 0,30 mol/L c) 1,00 mol/L • Recipiente grande transparente (para mergulhar as chad) 0,10 mol/L pas) com uma placa de porcelana porosa para separar as e) 0,80 mol/L meias células e sua respectivas solu¸co˜es;

Qu´ımica B

Aula 12

• Circuito externo (Fio e cobre); • Chapa fina de cobre met´ alico; • Chapa fina de zinco met´ alico;

Eletroqu´ımica

• Solu¸caõ aquosa de sulfato de zinco (ZnSO4) • Solu¸caõ aquosa de sulfato c´ uprico (CuSO4)

• Lˆ ampada pequena Eletroqu´ımica é o estuda da rela¸caõ de oxi-redu¸caõ que produzem ou s˜ ao produzidas pela corrente elétrica. As pilhas elétricas funcionam com base em rea¸co˜es qu´ımicas Procedimento Experimental (oxi-redu¸caõ) espontˆ aneas que produzem corrente elétrica. 1. Em um dos compartimentos coloca-se uma chapa de zinco mergulhada em solu¸caõ aquosa de sulfato de zinco, no outro Transforma¸caõ de energia qu´ımica em energia elétrica. coloca-se uma chapa de zinco mergulhada em solu¸caõ aquosa de sulfato de cobre. Potencial de Oxida¸c˜ ao 2. Liga-se as placas met´ alicas ao fio condutor e à lˆ ampada ou motor; Cada metal tem uma capacidade diferente de doar elétrons. A alise das Rea¸ co ˜es Qu´ımicas medida dessa capacidade é chamada de potencial de oxida¸cão. An´ Com a chapa de zinco, ocorre a seguinte semi-rea¸caõ de O valor numérico do potencial de oxida¸caõ é medido pela voloxida¸ c a ˜ o; tagem da pilha do metal com o g´ as hidrogênio. A voltagem da pilha de Zn e g´ as hidrogênio fornece o potencial Zn =⇒ Zn+2 + 2e− semi-rea¸caõ de oxida¸caõ de oxida¸caõ do zinco. desse modo a chapa de zinco ”solta”elétrons para o circuito externo (fio), a chapa de zinco é chamada de eletrodo negativo ou ânodo. • oxida¸ c˜ ao: é a perda de elétrons por um elemento Com a chapa de cobre, ocorre a seguinte semi-rea¸caõ de qu´ımico, ou seja, aumento do NOX; redu¸caõ,

Lembre-se!

• redu¸ c˜ ao: é o ganho de elétrons por um elemento qu´ımico, ou seja, diminui¸caõ do NOX;

Cu+2 + 2e− =⇒ Cu semi-rea¸caõ de redu¸caõ

desse modo o ´ıon Cu+2 captura os elétrons do circuito ex• agente oxidante: é o elemento ou substˆ ancia que proterno (fio), a chapa de cobre é chamada de eletrodo positivo voca oxida¸co˜es (ele próprio se reduzindo); ou c´ atodo. • agente redutor: é o elemento ou substˆ ancia que provoca A soma das duas equa¸co˜es anteriores, fornece a equa¸caõ geral redu¸co˜es (ele próprio se oxidando). da pilha de Daniell:

Pilha de Daniell

Zn + Cu+2 =⇒ Zn+2 + Cu

A porcelana porosa deve impedir a mistura das solu¸co˜es, mas deve permitir a passagem dos ´ıons que est˜ ao sendo atra´ıdos ou repelidos pelas for¸ c as el´ e tricas. Zn + CuSO4 −→ ZnSO4 + Cu Ap´ os um certo tempo de funcionamento da pilha, a chapa de a corro´ıda, a chapa de cobre aumentou devido à deOs elétrons que passam do Zn para o Cu+2 , que produzem a zinco estar´ posi¸caõ de cobre e as concentra¸co˜es das solu¸co˜es se alteram. corrente elétrica. Se baseia na seguinte rea¸caõ de oxi-redu¸caõ:

172


—


Tudo isso é conseq¨ uência da própria rea¸caõ geral de funciona- Nota mento da pilha: As rea¸co˜es das baterias (acumulador de chumbo) e N´ıquelZn + CuSO4 =⇒ ZnSO4 + Cu c´ admio. E a pilha de Leclanché (seca) com eletrodo central de grafite, onde: pilhas alcalinas e as pilhas de merc´ urio ser˜ ao apresentadas e – o zinco vai sendo gasto (corro´ıdo); analisadas com suas respectivas equa¸co˜es no quadro negro. – a concentra¸caõ da solu¸caõ de CuSO4 vai diminuindo; A vantagem das pilhas é que elas podem ser recarregadas muitas vezes, sendo utilizadas em telefones, calculadoras, brinque– o sulfato de cobre formado pela rea¸caõ aumentou a concen- dos, etc. tra¸caõ da solu¸caõ de sulfato de cobre. As pilhas alcalinas s˜ ao usadas em rel´ ogios de pulso e aparelhos – o cobre depositou-se sobre a chapa de Cu, aumentando sua de surdez, por serem muito pequenas. Elas n˜ ao s˜ ao recarmassa. reg´ aveis, mais apresentam grande durabilidade. Convencionou-se representar a pilha da seguinte maneira: Zn, Zn+2 (1M )|Cu+2 (1M ), Cu(25◦ C) onde est˜ ao indicados os eletrodos, as molaridades das solu¸co˜es e a temperatura de funcionamento da pilha. Conclus˜ ao Podemos dizer, que a pilha ou célula eletrol´ıtica é um dispositivo que transforma energia qu´ımica em energia elétrica. Isso é conseguindo, por meio de uma rea¸caõ de oxi-redu¸caõ, com o oxidante e o redutor separados com compartimentos diferentes, de modo que o redutor seja obrigado a entregar os elétrons ao oxidante através de um circuito externo (fio). Montagem #2 Outra montagem muito comum de uma pilha é a seguinte: Num copo de vidro ou (béquer) é colocada uma chapa de zinco mergulhada em uma solu¸caõ de sulfato de zinco; em outro colocamos a chapa de cobre mergulhada em uma solu¸caõ de sulfato c´ uprico. As duas chapas est˜ ao ligadas pelo fio condutor externo e as duas solu¸co˜es s˜ ao ligadas pela ponte de salina, que é um tubo simples de vidro recurvado, como vemos na figura, totalmente cheio com solu¸caõ de um sal (eletrólito) e tendo nas duas extremidades um pouco de algod˜ ao para impedir o escoamento da solu¸caõ salina. C´ alculo da Diferen¸ ca de Potencial (ddp) ∆E ◦ = E ◦ oxid + E ◦ red for¸ca eletromotriz (V) Assim para a pilha de Daniel temos : Eletrodo de Zn◦ /Zn+2 : E ◦ oxid = +0, 76 V Eletrodo de Cu+2 /Cu◦ : E ◦ red = +0, 34 V ∆E ◦ = 0, 76 V + 0, 34 V = 1, 10 V

Aplica¸c˜ oes Pr´ aticas das Pilhas Cada pilha ou elemento apresenta uma for¸ca eletromotriz de aproximadamente 1, 5 V . desse modo, uma associa¸caõ em série de quatro elementos nos d´ a uma bateria de 6, 0 V ; uma de seis elementos nos d´ a uma bateria de 9, 0 V , e assim por diante. Como o chumbo (ˆ anodo), o ´ oxido de chumbo IV impregnado de chumbo (cátodo), e o sulfato de chumbo s˜ ao s´ olidos, a for¸ca eletromotriz do acumulador depende exclusivamente da solu¸caõ de ´ acido sulf´ urico. Por esse motivo, devemos mater constante o volume de água. A descarga consome o ácido sulf´ urico, mas durante a recarga, feita automaticamente pelo gerador ou alternador no motor do ve´ıculo, o ácido sulf´ urico é regenerado e o sulfato de chumbo volta ` a condi¸caõ de chumbo e ´ oxido de chumbo IV.

Eletr´ olise ´ o fenˆ E omeno inverso àquele que ocorre numa pilha, isto é, a corrente elétrica provocando uma rea¸caõ de oxi-redu¸caõ – um processo qu´ımico n˜ ao-espontˆ aneo. No p´ olo positivo ocorre oxida¸caõ e no p´ olo negativo, redu¸caõ. Logo, o p´ olo positivo é o ânodo e o negativo é o c´ atodo. Eletr´ olise ´ Ignea ´ a eletr´ E olise de um eletr´ olito no estado fundido. Nela, o s´ olido iˆ onico deve ser liquefeito por aquecimento (fus˜ ao), pois assim os ´ıons tem livre movimento, podendo se deslocar até os eletrodos e a´ı descarregarem (ganhar ou perder elétrons). Eletr´ olise por via Aquosa com Eletrodos Inertes Em uma solu¸caõ aquosa, além dos ´ıons resultantes da dissocia¸caõ iˆ onica do eletr´ olito, h´ a também c´ ations H + e ânions OH − provenientes da auto- ioniza¸caõ da água. Dessa forma podemos ter em solu¸caõ c´ ations C + e H + e ânions − − A e OH , de modo que h´ a uma disputa para a descarga nos eletrodos. Entre os c´ ations, descarrega primeiro aquele com maior E◦ red (maior tendência em receber elétrons). Entre ânions, descarrega primeiro aquele com menor E◦ red (maior tendência em doar elétrons). Estudo Quantitativo da Eletr´ olise As pesquisas feitas pelo cientista inglês Michael Faraday (17911867) estabeleceram as bases para se determinar as quantidades das substâncias formadas e da substância decomposta numa eletr´ olise. Assim, as rela¸co˜es entre a carga que atravessa a solu¸caõ e as massas dos participantes s˜ ao: – a massa da substância formada no eletrodo e a massa da substância decomposta s˜ ao diretamente proporcionais à carga elétrica que atravessa a solu¸caõ dada por: Q = it sendo Q a carga elétrica (em coulombs) i a intensidade da corrente (em ampères) t o tempo (em segundos).


Vocˆ e Sabia? A vida vegetal e animal na ´ agua depende de seu car´ ater oxidante ou redutor, o que é dado pela equa¸caõ: O2 + 4H + + 4e− =⇒ 2H2 O cujo E◦ varia aproximadamente de +0, 3 V (para ´ agua aerada) a −0, 6 V (para água com pouco ar). Quanto maior o E◦ mais oxidante ser´ a o meio aquoso.

Para Aprender Mais! Eletr´ olise Industrial do N aCl A eletr´ olise aquosa do sal produz hidrogênio (H2 ), cloro (Cl2 ) e soda c´ austica (N aOH). Esse processo envolve o consumo de grandes quantidades de energia, por isso as ind´ ustrias instalam-se preferencialmente em regi˜ oes onde a fonte de cloreto de s´ odio e a energia elétrica s˜ ao custo mais baixo. O hidr´ oxido de s´ odio, conhecido como soda c´ austica, é o principal produto dessa eletr´ olise, é a base mais barata e mais importante como matéria prima, sendo usada na fabrica¸caõ de sab˜ ao, detergentes, papel, sais de s´ odio, refina¸caõ de petr´ oleo, purifica¸caõ de óleos vegetais, ind´ ustria têxtil, entre outros. O cloro é usado como desinfetante por ser um agente bactericida, no tratamento da água e esgotos, no branqueamento da celulose, na fabrica¸caõ de inseticidas como BHC, na prepara¸caõ de PVC, na fabrica¸caõ de hipocloritos, entre outros. O Hidrogênio é extremamente reativo e perigosos de ser manipulado, pois é explosivo e inflam´ avel. Ele é usado na hidrogena¸caõ de óleos vegetais (produ¸caõ de margarinas), na produ¸caõ de amon´ıacos (N H3 ), como combust´ıvel de foguetes, em ma¸caricos ox´ıdricos, etc. A rea¸caõ entre o hidrogênio e cloro produz o cloreto de hidrogênio (HCl), que dissolvido em ´ agua produz ácido clor´ıdrico, usado na limpeza de superf´ıcies met´ alicas que ser˜ ao galvanizadas. O ácido muri´ atico é o ´ acido clor´ıdrico contendo impurezas, usado na limpeza de ch˜ ao. O hipoclorito de s´ odio é obtido pela passagem de uma corrente de g´ as cloro pela solu¸caõ de hidr´ oxido de s´ odio e é usado como alvejante e desinfetante.

173 senta a primeira vez que a Renault transfere parte de sua pesquisa para fora da Fran¸ca. O carro de hidrogênio n˜ ao polui porque n˜ ao queima combust´ıvel. Seu motor ”arranca”energia elétrica do hidrogênio por meio de rea¸co˜es qu´ımicas limpas. Nesse autom´ ovel, uma célula (ou pilha) combust´ıvel realiza o inverso da eletr´ olise, combinando átomos de hidrogênio e de oxigênio. O processo produz vapor de água e uma corrente elétrica. Além de limpo, o motor a hidrogênio é muito mais eficiente que os motores convencionais a explosão usados hoje nos autom´ oveis. Enquanto um motor elétrico transforma em energia mecˆ anica (movimento) quase 100% da energia que produz, um motor a explosão converte em movimento menos de 30% da energia gerada pela queima do combust´ıvel. O restante perde-se sob a forma do calor produzido pelo movimento dos pistões. O Laboratório de Hidrogênio da Coppe est´ a investido numa alternativa bem diferente, que permitiria armazenar num espa¸co pequeno grandes quantidades de hidrogênio destitu´ıdo do seu potencial explosivo. Para isso, os cientistas quebram as moléculas de hidrogênio, separando seus dois átomos, que por serem muito pequenos, podem ser ”embutidos”dentro da estrutura do metal de um ”tanque”maci¸co. Parece fiçcaõ, mas, no laboratório da Coope, os cientistas conseguem com êxito ”embutir”o hidrogênio no metal e regata-lo novamente na forma gasosa.

Pense um Pouco! • De acordo com as rea¸co˜es do Al e do Co: Al+3 + 3e− =⇒ Al -1,66 V Co+2 + 2e− =⇒ Co -0,28 V Responda: a) Qual deles se reduz mais facilmente? b) Qual deles se oxida mais facilmente? c) Qual o melhor agente redutor? d) Qual o melhor agente oxidante?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao Brasil Pesquisa ` a Hidrogˆ enio Imagine um autom´ ovel que funciona alimentado por uma fonte de energia t˜ ao limpa que o u ´ nico res´ıduo que produz é vapor de água. Parece sonho, mas j´ a existem no mundo alguns prot´ otipos desse ve´ıculo. Trata-se do carro movido a hi´ um grande problema tecnol´ drogênio. E ogico que ainda precisa ser resolvido para que sua produ¸caõ em grande escala possa ser pensada é uma forma segura e economicamente vi´ avel de armazenar o ”combust´ıvel”. Isso porque o hidrogênio é um g´ as altamente combust´ıvel e instável. Basta lembrar que o Zeppelin incendiou-se com hidrogênio gasoso e a Challenger explodiu a partir de seus tanques de hidrogênio l´ıquido. A solu¸caõ tem grandes chances de nascer no Brasil. Para isso, a Coordena¸caõ de Programas de P´ os-Gradua¸caõ em Engenharia (Coope) da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), est´ a desenvolvendo, uma parceria com a Renault, uma das mais promissoras linhas de pesquisa em curso no mundo: o ”tanque”maci¸co no qual ´ atomos de hidrogênio s˜ ao ”embutidos”dentro da estrutura atômica do metal. A parceria repre-

1. (UFSM-RS) Um procedimento utilizado para limpar objetos de prata é coloc´ a-los em um recipiente de alum´ınio com água quente e N aHSO3 . Este processo pode ser expresso pela rea¸caõ: 2Al◦ + 3Ag2 S =⇒ Al2 S3 + 6Ag ◦ Podemos afirmar que a rea¸caõ ocorre porque: a) o Al é mais reativo e reduz a prata b) o Al é mais reativo e oxida o msulfeto c) os metais à esquerda de H s˜ ao facilmente reduzidos d) a prata é um bom agente redutor e) o sulfeto de prata é facilmente oxidado 2. (UFSC) Com base no diagrama da pilha Zn|Zn+ (1M )||Ag + (1M )|Ag e nos potenciais padr˜ oes de oxida¸caõ, a 25 ◦ C, das semirea¸co˜es: Zn =⇒ Zn+2 + 2e− E◦ = +0,76V

174

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC Ag =⇒ Ag + + e− E◦ = -0,80V

é correto afirmar que: 01. Os ´ atomos de zinco sofrer˜ ao oxida¸caõ. 02. Os ´ atomos de prata perder˜ ao elétrons. 04. O c´ atodo da pilha ser´ a eletrodo de prata. 08. Entre os eletrodos de Zn e Ag existe uma diferen¸ca de potencial padr˜ ao de 2,36 volts. 16. A massa do eletrodo de zinco diminui com o tempo. 32. O sentido espontˆ aneo do processo ser´ a: 64. n+2 + 2Ag =⇒ + Zn + 2Ag 3. (UFRGS) Um jovem, ap´ os utilizar uma solu¸caõ de sulfato de cobre II para proteger sua parreira, armazenou-a em um balde de ferro. Depois de algum tempo observou que o balde estava furado e que havia se formado um depósito avermelhado. O metal avermelhado pode ser: a) ´ oxido de cobre II b) sulfeto de cobre II c) sulfeto de ferro II d) ferro met´ alico e) cobre met´ alico

Exerc´ıcios Complementares 4. (ULBRA-RS) A rea¸caõ de eletr´ olise é utilizada para: a) obten¸caõ da eletricidade nas pilhas b) fazer destila¸caõ do petr´ oleo c) eletrodeposi¸caõ de metais, como a croma¸caõ d) o branqueamento de fibras no fabrico do papel e) fabricar sab˜ oes a partir de gorduras 5. (UFRGS) A maioria dos metais alcalinos terrosos foi obtida pela primeira vez por Humphry Davy, no in´ıcio do século XIX, por eletr´ olise das respectivas bases fundidas. Os metais n˜ ao poderiam ser obtidos a partir de solu¸co˜es aquosas de suas bases ou de seus sais porque: a) os metais se oxidariam b) os metais se reduziriam espontaneamente no eletrodo c) a ´ agua sofreria oxida¸caõ d) o n´ umero de oxida¸co˜es dos metais aumentaria e) a redu¸caõ da água ocorreria preferencialmente

—


ˆnica – Aula 1 Qu´ımica Orga

Qu´ımica Orgˆ anica Aula 1

175

Hibridiza¸c˜ ao do Carbono 1. sp3 (tetraédrica) • é a fusão de quatro orbitais (um do tipo s e três do tipo p) formando quatro orbitais do tipo sp3 ;

Introdu¸ c˜ ao ` a Qu´ımica Orgˆ anica

• forma somente liga¸co˜es simples;

BERZELIUS “Somente os seres vivos podem transformar substˆ ancias minerais em orgˆ anicas” (Teoria da For¸ca Vital) ¨ WHOLLER

• é caracter´ıstica dos alcanos;

S´ıntese da uréia (composto orgˆ anico) a partir do cianato de amˆ onio (composto inorgˆ anico) em laboratório. NH2 \ NH4CNO --- C = O / NH2

• ângulo entre as valências: 109◦28′ ;

• carbono liga-se a outros quatro átomos. 2. sp2 (trigonal) • é a fusão de um orbital s com dois orbitais p, formando três orbitais do tipo sp2 ; • forma duas liga¸co˜es simples e uma dupla; • ângulo entre as valências: 120◦;

• é caracter´ıstica dos alcenos;

• carbono liga-se a outros três átomos. 3. sp (linear)

Caracter´ısticas do Carbono Postulados de Kekulé:

• é a fusão de um orbital s com um p formando dois orbitais do tipo sp;

´ tetracovalente. 1. E

• pode formar duas liga¸co˜es duplas ou uma tripla e uma simples;

2. Os ângulos entre as valências s˜ ao de 109◦ 28′ , adquirindo a forma de um tetraedro regular. 3. Possui a propriedade de encadeamento. 4. Um átomo de carbono pode formar uma, duas ou até três liga¸co˜es com um segundo ´ atomo, realizando, assim, respectivamente, liga¸co˜es simples, duplas ou triplas.

• ângulo entre as valências: 180◦;

• é caracter´ıstica dos alcinos e alcadienos; • carbono liga-se a outros dois átomos.

Resumo Tipo de ligação

Assim, classificamos as liga¸co˜es do carbono em: ´ a primeira liga¸caõ entre dois átomos. • Sigma (σ): E Ocorre, neste caso, uma superposi¸ca õ de orbitais (overlap). • Pi (π): S˜ ao as segundas e terceiras liga¸co˜es entre dois atomos. Agora, o que ocorre é uma aproxima¸ca ´ õ entre os orbitais.

Liga¸ c˜ oes Quanto ao n´ umero de ´ atomos de C unidos diretamente a ele: • carbono prim´ ario: liga-se a 1 ´ atomo de carbono; • carbono secundário: liga-se a 2 ´ atomos de carbono; • carbono terci´ ario: liga-se a 3 ´ atomos de carbono; • carbono quaternário: liga-se a 4 ´ atomos de carbono;

Satura¸c˜ ao

Representação Hibridação

Ângulo entre as valências

Só ligaçoes simples

C

Uma dupla ligação

C

sp 2

120

Uma tripla ligação

C

sp

180

Duas duplas ligações

C

sp

180

sp 3

109 28´

Elementos Organ´ ogenos S˜ ao os elementos que formam os compostos orgˆ anicos. Os mais freq¨ uentes s˜ ao: C, H, O, N.

Cadeias Carbˆ onicas e Radicais Tomemos, por exemplo, o composto: CH3 CH3 | | CH3 -- CH -- CH -- CH -- C -- CH2 -- CH3 | | | CH2 CH2 CH3 | | CH3 CH3

SATURADO é aquele que apresenta apenas simples liga¸co˜es; C–C–C–C INSATURADO, aquele que apresenta dupla ou tripla liga¸caõ: C == C – C – C Podemos separ´ a-lo em duas partes principais:

176


Cadeia Principal

—

9. HETEROCÍCLICA: cadeia c´ıclica com hetero´ atomo.

´ a maior seq¨ E uência de carbonos, ininterrupta, que abrange a principal caracter´ıstica do composto.

CH2 --- CH2 | | CH2 - O - CH2

Radicais Orgˆ anicos S˜ ao grupamentos de átomos contendo carbono, que se unem à cadeia principal por liga¸co˜es (valências). O composto acima, separado nas duas partes descritas, ficaria: CH3 CH3 CH3 | | | CH2 - CH2 - CH - CH - CH - C - CH2 - CH3 | | CH2 CH3 | CH3

´ 10. AROMATICA: cadeia c´ıclica, contendo um anel de benzeno, que apresenta efeito de ressonância. • MONONUCLEADA: um u ´ nico n´ ucleo ressonante. ´ • POLINUCLEADA DE NUCLEOS CONDENSADOS: mais de um n´ ucleo fundido. ´ • POLINUCLEADA DE NUCLEOS ISOLADOS: mais de um n´ ucleo separado entre si. CH 3

Ou seja, a Cadeia Principal possui 8 carbonos, e um total de 5 radicais, sendo 4 constitu´ıdos por um carbono e 1 constitu´ıdo por 2 carbonos.

˜ DAS CADEIAS CLASSIFICAC ¸ AO 1. SATURADA: Cadeia cujos carbonos, se unem por simples liga¸caõ: Ex. CH3 – CH2 – CH3


(a)

(b)

(c)

Figura 2.1: Cadeias arom´ aticas mononucleada (a), polinucleada com n´ ucleos condensados (b) e com n´ ucleos isolados (c)

Radicais derivados do Benzeno

2. INSATURADA: Cadeia cujos carbonos se unem por duplas e/ou triplas liga¸co˜es:

Regra adicional: se contiver 2 valências, as mesmas s˜ ao indicadas por ORTO (posi¸caõ 1 e 2), META (posi¸caõ 1 e 3) e PARA Ex. CH2 == CH – CH3 (posi¸caõ 1 e 4): ˆ 3. HOMOGENEA: Cadeia cujo n´ ucleo s´ o é constitu´ıdo por Exemplo: carbonos. CH 3

CH 3

Ex. CH3 – CH2 – CH3

1

ˆ 4. HETEROGENEA: Cadeia que apresenta um hetero´ atomo (N, O, S), ou seja, átomo diferente de carbono unido a pelo menos dois outros carbonos.

1

CH 3

2

CH 3 1

3 4

CH 3

Ex. CH3 – O – CH2 – CH3

CH 3

5. NORMAL: Cadeia n˜ ao ramificada, ou seja, constitu´ıda por carbonos prim´ arios e secund´ arios somente. Ex. CH3 – CH2 – CH == CH2

O−dimetil−benzeno

M−dimetil−benzeno

Resumo

6. RAMIFICADA: cadeia que apresenta ramos ou ramifica¸co˜es (radicais). CH3 | CH3 - CH - CH2 7. MISTA: cadeia c´ıclica ramificada, ou seja, apresentando parte c´ıclica e parte ac´ıclica. CH - CH3 | | CH3 - CH - CH2 8. HOMOCÍCLICA: cadeia cujo n´ ucleo s´ o apresenta átomos de carbono:

P−dimetil−benzeno

HIDROCARBONETOS

ALIFÁTICOS

AROMÁTICOS Alcenos −− ligações duplas

Saturados

Insaturados

Alcanos

Alcinos −− ligações triplas Radicais Alquilo

Pense um Pouco! • Como é poss´ıvel ter tantos compostos de carbono? • Qu´ımica orgˆ anica pode ser somente definida como a qu´ımica extra´ıda de seres vivos?

ˆnica – Aula 1 Qu´ımica Orga

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (PUC-SP) Na fórmula: H3C H \ | CH - C - CH2 - CH - CH3 / | | | H3C H CH3 CH3

177 5. Um composto c´ıclico, com 3 carbonos e uma dupla liga¸caõ, ter´ a fórmula molecular. a) C3H2 b) C3H3 c) C3H4 d) C3H5 e) C3H6

6. (CARLOS CHAGAS) O modelo espacial clássico do átomo de carbono, um tetraedro regular cujo centro é ocupado pelo átomo e cujos vértices representam as valências, é devido a: as quantidades totais de ´ atomo de carbonos prim´ ario, se- a) Lavoisier; cund´ ario e terci´ ario s˜ ao, respectivamente: b) Faraday; a) 5, 1 e 3; c) Wölher; b) 2, 3 e 4; d) Guldberg e Waage; c) 3, 3 e 2; e) Kekulé. d) 2, 4 e 3; e) 5, 2 e 2. 7. (CARLOS CHAGAS) Um composto aberto, com 4 carbonos e uma dupla liga¸caõ, sendo constitu´ıdo apenas por carbo2. Sabe-se que uma cadeia carbˆ onica alif´ atica, homogênea e nos e hidrogênios, ter´ a fórmula molecular: saturada apresenta dois ´ atomos de carbono secundário, dois a) C4H10 atomos de carbono quatern´ ´ ario e três ´ atomos de carbono b) C4H8 terci´ ario. Logo, essa cadeia apresenta: c) C4H6 a) 12 ´ atomos de C; d) C4H4 b) 14 ´ atomos de C; e) C4H5 c) 16 ´ atomos de C; d) 13 ´ atomos de C; e) 15 ´ atomos de C. 3. Carbono quaternário é aquele que: a) tem, quatro liga¸co˜es; b) é tetravalente; c) est´ a ligado a quatro elementos quaisquer; d) est´ a ligado a quatro outros ´ atomos de carbono; e) n.d.a.


8. Qu´ımica orgˆ anica é a parte da Qu´ımica que estuda: a) O átomo de carbono. b) Todos os compostos do elemento carbono. c) Os compostos dos elementos organógenos. d) Os compostos de todos os elementos qu´ımicos. 4. O n´ umero de liga¸co˜es (sigma) e o de liga¸co˜es (pi) na e) n.d.a. molécula do ciclopenteno s˜ ao, 9. Os principais elementos organógenos, s˜ ao: a) C, H, O, N b) C, H, O, S c) C, H, O, I d) C, H, S, N e) C, H, O, Cl 10. (PUC) Classifique a cadeia H O | || H - C - C | | H H

respectivamente: a) 5 e 1; b) 4 e 2; c) 10 e 2; d) 13 e 1; e) 12 e 2.

H H O || | // C - C - C | \ CH3 OH

segundo suas caracter´ısticas: a) aberta, ramificada, homogênea e saturada; b) aberta, normal, heterogênea e insaturada; c) aberta, ramificada, homogênea e insaturada; d) aberta, normal, homogênea e saturada; e) aberta, ramificada, heterogênea e insaturada 11. (UFCE) A “nicotina´´ pode ser representada pela fórmula.

178


—


A informa¸caõ do n´ umero de átomos de carbono que se encontram representados na cadeia principal é dada pelo prefixo do nome do composto em estudo.

Tabela de Prefixos

N N

CH 3

Quantos átomos de carbono e quantos ´ atomos de hidrogênio existem em uma molécula deste composto? a) 10 e 13 b) 10 e 14 c) 9 e 12 d) 8 e 14 e) n.d.a.

Os prefixos numéricos relacionados com o n´ umero de carbonos. Carbonos 1 2 3 4 5 6 7

Prefixo MET ET PROP BUT PENT HEX HEPT

Estrutura C C-C C-C -C C-C-C-C C-C-C-C-C C-C-C-C-C-C C-C-C-C-C-C-C

Em compostos que apresentem um n´ umero de átomos de carbono superior a 7, é adaptado o prefixo da numera¸caõ grega correspondente à mesma, de modo an´ alogo ao prefixo das cadeias de 5, 6 e 7 átomos ligados, respectivamente. Alcanos (parafinas): s˜ ao hidrocarbonetos de cadeia aberta, saturada e de fórmula geral:

12. (CARLOS CHAGAS) O naftaleno, cuja estrutura é:

Cn H2n+2 em que n é o n´ umero de átomos de carbono. Em condi¸co˜es ambientais alcanos apresentam os estados f´ısicos: gasoso (1 a 4 carbonos), l´ıquido (5 a 18 carbonos) e s´ olido (mais de 18 carbonos). S˜ ao obtidos do petr´ oleo e g´ as natural. Alcenos e alcinos apresentam propriedades f´ısicas semelhantes aos alcanos.

Nomenclatura Orgˆ anica Nome = PREFIXO + AFIXO + SUFIXO Apresenta cadeia: a) c´ıclica, ac´ıclica, insaturada; b) c´ıclica, arom´ atica, mononucleada; c) ac´ıclica, insaturada, ramificada; d) c´ıclica, arom´ atica, polinucleada; e) ac´ıclica, homogênea, insaturada.

• Prefixo: indica o n´ umero de átomos de carbono pertencentes à cadeia principal. Ex. met (1), et (2), prop (3), but (4), etc. • Afixo ou infixo: indica o tipo de liga¸caõ entre os carbonos: Todas simples = an

Qu´ımica Orgˆ anica B Aula 2

uma dupla = em duas duplas = dien três duplas = trien uma tripla = in duas triplas = diin

Nomenclatura A nomenclatura atualmente adaptada pela comunidade cient´ıfica, a IUPAC, os compostos orgˆ anicos mais simples e que constituem a base de todos os outros s˜ ao os hidrocarbonetos, constitu´ıdos por apenas dois elementos carbono e hidrogênio. Estruturalmente, os hidrocarbonetos podem ser divididos em dois grandes grupos: hidrocarbonetos alif´ aticos e hidrocarbonetos arom´ aticos, caracterizando-se estes u ´ ltimos por apresentarem um ciclo de 6 átomos de carbono com caracter´ısticas muito espec´ıficas.

• Sufixo: indica a fun¸caõ qu´ımica do composto orgˆ anico:

hidrocarboneto = no álcool = ol alde´ıdo = al cetona = ona ácido carbox´ılico = o íco amina = amina éter = o ´xi

Alcanos de Cadeia Normal Junta-se o prefixo + infixo + ano. Exemplo Metano, etano, propano, butano, pentano, hexano, heptano, octano, nonano, decano, undecano, dodecano, etc.

ˆnica B – Aula 2 Qu´ımica Orga

179

Alcenos (olefinas)

Fun¸c˜ oes Oxigenadas

S˜ ao hidrocarbonetos de cadeia aberta, insaturada por uma liga¸caõ dupla entre carbonos e de f´ ormula geral:

´ Alcoois

CnH2n em que n é o n´ umero de carbonos.

Alcenos Para os alcenos de cadeia normal e de cadeia ramificada a nomenclatura é muito semelhante ` a nomenclatura utilizada para os alcanos. Troca-se ` a termina¸caõ ano do alcano por eno. Regras

S˜ ao compostos orgˆ anicos que apresentam um ou mais grupos hidroxilas (OH) ligados a átomos de carbono saturados. Os álcoois s˜ ao mais reativos que os hidrocarbonetos e apresentam car´ ater praticamente neutro. Na nomenclatura dos álcoois utilizamos o sufixo ol para indicar o grupo funcional (OH). ´ Classifica¸ c˜ ao dos Alcoois Quanto à posi¸caõ do grupo OH: ´ I. Alcool prim´ ario: a hidroxila est´ a ligada a um átomo de carbono prim´ ario. ´ II. Alcool secundário: a hidroxila est´ a ligada a um átomo de carbono secundário. ´ III. Alcool terci´ ario: a hidroxila est´ a ligada a um átomo de carbono terci´ ario Quanto ao n´ umero de hidroxilas: I. Mono´ alcool : possui somente 1 grupo funcional OH II. Di´ alcool: possui 2 grupos funcionais OH III. Tri´ alcool: possui 3 grupos funcionais OH

1. A cadeia principal é a mais longa que contém a dupla liga¸caõ. 2. A numera¸caõ da cadeia principal é sempre feita a partir da extremidade mais próxima da dupla liga¸caõ, independentemente das ramifica¸co˜es presentes na cadeia. No nome do alceno a posi¸caõ da dupla é dada pelo n´ umero do primeiro carbono da dupla; esse n´ umero é escrito antes do nome do alceno. Fen´ ois 3. Se houver mais de uma possibilidade para a cadeia principal S˜ ao compostos orgˆ anicos em que o grupo OH se liga diretaadota-se a regra dos menores n´ umeros. mente ao anel benzênico. Os fen´ ois apresentam car´ ater ácido, em sua nomenclatura usamos o prefixo hidroxi.

Alcinos

S˜ ao hidrocarbonetos de cadeia aberta, insaturada por uma liga¸caõ tripla entre carbonos e de f´ ormula geral: Cn H2n−2 em que n é o n´ umero de carbonos. Nomenclatura dos Alcinos Para os alcino de cadeia normal e de cadeia ramificada é muito semelhante à nomenclatura utilizada para os alcanos. Troca-se a termina¸caõ ano do alcano por ino. `

Alde´ıdos S˜ ao compostos orgˆ anicos que apresentam o grupo carbonila na extremidade do composto. Os alde´ıdos s˜ ao desidratantes, em sua nomenclatura usamos o sufixo al. F´ ormula Geral O // R - C \ H

Ciclanos (cicloparafinas)

S˜ ao hidrocarbonetos de cadeia fechada, saturada, s´ o apresenCetonas tam liga¸co˜es entre os átomos de carbono do ciclo, e de fórmula geral: s˜ ao compostos orgˆ anicos que apresentam o grupo carbonila Cn H2n entre carbonos. Em sua nomenclatura usamos o sufixo ona. em que n é o n´ umero de carbonos. F´ ormula Geral

Ciclenos Nomenclatura dos ciclenos de cadeia normal e de cadeia ramificada: I. O nome é dado adicionando-se o prefixo CICLO ao nome do alceno correspondente; II. Quando a cadeia for ramificada, a numera¸caõ da cadeia se inicia a partir do carbono da liga¸caõ dupla (a dupla deve ficar entre o carbono 1 e 2) e segue-se o sentido hor´ ario ou anti-horário, de maneira a se respeitar ` a regra dos menores n´ umeros; III. As ramifica¸co˜es devem ser citadas em ordem alfabética;

O // R - C - R Haletos Orgˆ anicos S˜ ao compostos derivados dos hidrocarbonetos pela troca de um ou mais hidrogênios por halogênios (F, Cl, Br, I). F´ ormula Geral R - X

180


—

´ Eteres


O // R - C \ X

Ssão compostos orgˆ anicos que apresentam um oxigênio ligado a dois radicais orgˆ anicos. Os éteres s˜ ao obtidos a partir da desidrata¸caõ intermolecular dos ´ alcoois. Sua nomenclatura é composta pelo radical menor escrito com a termina¸caõ oxi, seguido do nome do hidrocarboneto correspondente ao radical ´ Anidridos de Acido Carbox´ılico maior. F´ ormula Geral S˜ ao compostos orgˆ anicos obtidos pela desidrata¸caõ intermolecular de dois ácidos carbox´ılicos. Sua nomenclatura é comR - O - R posta pela palavra anidrido seguido do nome do menor ácido e por fim o nome do maior ácido. Caso o anidrido possuir ´ Acidos Carbox´ılicos cadeias iguais, n˜ ao se deve repetir o nome do ácido. F´ o rmula Geral : s˜ ao compostos orgˆ anicos que apresentam a hidroxila ligada ao grupo carbonila. Os ´ acidos carbox´ılicos tem car´ ater aćido, em sua nomenclatura usamos o prefixo ´ acido e o sufixo o íco. F´ ormula Geral O // R - C \ OH ´ Esteres: s˜ ao compostos orgˆ anicos usados como essências. Constituem também óleos vegetais e animais, ceras e gordura. S˜ ao obtidos a partir da rea¸caõ entre ´ alcool ou fenol e ácido carbox´ılico. Sua nomenclatura é composta pelo nome do ácido formador trocando a termina¸caõ ico por ato seguido pela preposi¸caõ de e pelo nome do radical correspondente ao álcool ou fenol. F´ ormula Geral O // R - C \ O - R

O // R - C \ O / R - C \\ O

Fun¸c˜ oes Nitrogenadas Aminas S˜ ao compostos orgˆ anicos derivados da amˆ onia (N H3 ) pela substitui¸caõ de um ou mais hidrogênios por radicais alquila ou arila. As aminas s˜ ao usadas como corantes. Em sua nomenclatura usa-se o nome do radical F´ ormula Geral H / R - N \

´ Sais de Acidos Carbox´ılicos S˜ ao compostos orgˆ anicos que derivam dos ´ acidos carbox´ılicos pela substitui¸caõ do hidrogênio da hidroxila por um metal. Em sua nomenclatura, d´ a-se o sufixo ato ao nome da cadeia de origem (igual aos ésteres) seguido da preposi¸caõ de e do nome metal. Os sais de ´ acidos carbox´ılicos de cadeia longa s˜ ao denominados de sab˜ oes. F´ ormula Geral O // R - C \ + ONa ´ Haletos de Acidos

H

(amina prim´ aria)

H / R - N \ R

(amina secund´ aria)

R / R - N \ R

(amina terci´ aria)

Amidas

S˜ ao compostos orgˆ anicos obtidos normalmente da rea¸caõ de um ácido carbox´ılico e uma amina. Em sua nomenclatura, S˜ ao compostos orgˆ anicos que derivam dos ´ acidos carbox´ılicos substitui-se a termina¸caõ óico do ácido carbox´ılico por amida. pela substitui¸caõ da hidroxila por um halogênio. Em sua no- S˜ ao usados na prepara¸caõ de medicamentos. menclatura, o nome do ânion correspondente ao haleto seguido F´ ormula Geral da preposi¸caõ de e do nome do acido de origem com a termina¸caõ ila. O F´ ormula Geral //

ˆnica B – Aula 2 Qu´ımica Orga

181

R - C \ NH2

Nitrilas S˜ ao compostos orgˆ anicos obtidos do ´ acido cian´ıdrico pela substitui¸caõ do hidrogênio por um radical derivado de hidrocarboneto. Em sua nomenclatura, usa-se o nome do hidrocarboneto correspondente seguido do sufixo nitrila. F´ ormula Geral Assinale a op¸caõ que apresenta dois dos grupos funcionais presentes nesta substância. ´ a) Alcool e éster. b) Amina e éter. ´ c) Alcool e cetona. ´ d) Acido carbox´ılico e amina. e) Amida e éster.

R - C \\\ N

Nitro Compostos S˜ ao compostos orgˆ anicos derivados do ´ acido n´ıtrico pela substitui¸caõ da hidroxila por um radical alquila ou arila. Em sua nomenclatura, usa-se o prefixo nitro seguido do nome do hidrocarboneto correspondente. F´ ormula Geral O // R - N

ou ‘. ‘O

Curiosidade

R - NO2

2. Escreva as fórmulas de estrutura dos seguintes compostos: a) 2,2,4-trimetil pentano b) 2-bromopropeno c) propino d) 2,2-dicloro-1-fluoro-3-iodobutano e) 2,5-hexanodiol f) éter etilfen´ılico g) éter diprop´ılico h) etanol i) 5-etil-5-metil-heptanona-3 j) benzalde´ıdo k) ácido 2-cloro-2-metil propanóico l) etanoato de butilo m) pentanamida n) etilfenilmetilamina o) ciclopentano p) ciclobuteno

Computadores orgˆ anicos atualmente estudados, tem processa- 3. O teflon é usado em panelas como frigideiras com finalidadores ultra-pequenos, 100 bilh˜ oes de vezes mais r´ apidos que os des de n˜ ao permitir a aderência de gordura atuais. a tecnologia adotada emprega ”Molecular Switches”, que, na verdade, s˜ ao moléculas orgˆ anicas que desempenham o FF papel dos mais variados componentes eletrˆ onicos de um micro|| processador. F - C - C - F Sua nomenclatura oficial ser´ a: a) fl´ u or-etano Pense um Pouco! b) difl´ uor-metano c) tetrafl´ uor-eteno • Os compostos orgˆ anicos s˜ ao usados largamente pela indusd) butano-fl´ uor tria qu´ımica. Você conhece alguns compostos? Comente e) n. d. a. e dê suas respectivas f´ ormulas estruturais. 4. (UFSCAR-2004) A morfina é um alcal´ oide que constitui 10% da composi¸ c a ˜ o qu´ ımica do ´ o pio, respons´ avel pelos efeitos • Uma das aminas respons´ aveis pelo cheiro de peixe é a narc´ o ticos desta droga. A morfina ´ e eficaz contra dores muito trimetilamina. Dê sua f´ ormula molecular. fortes, utilizada em pacientes com doen¸cas terminais muito dolorosas. Algumas das fun¸co˜es orgˆ anicas existentes na estrutura da morfina s˜ ao: Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao a) álcool, amida e éster. b) álcool, amida e éter. c) álcool, alde´ıdo e fenol. 1. (ITA-2004) A estrutura molecular da morfina est´ a repre- d) amina, éter e fenol. e) amina, alde´ıdo e amida sentada abaixo.

182


—


5. (UNESP-2004) Durante a guerra do Vietn˜ a (década de 60 d) s-butil e s-pontil. do século passado), foi usado um composto chamado agente e) n. d. a. laranja (ou 2,4-D) que, atuando como desfolhante das árvores, impedia que os soldados vietnamitas (os vietcongues) se ocul- 9. Dê a nomenclatura (IUPAC) do composto abaixo: tassem nas florestas durante os ataques dos bombardeiros. Esse material continha uma impureza, resultante do processo de sua fabrica¸caõ, altamente cancer´ıgena, chamada dioxina. As f´ ormulas estruturais para estes compostos s˜ ao apresentadas a seguir. 10. (SUPRA-98) A partir de novembro do próximo ano 1999, chegará ao estado de santa Catarina g´ as natural proveniente da Bol´ıvia, via Mato Grosso do Sul passando por S˜ ao Paulo, Paran´ a, Santa Catarina e Rio Grande do Sul. O g´ as natural é utilizado com êxito nos pa´ıses desenvolvidos e estar´ a dispon´ıvel para uso industrial, comercial e residencial. A médio prazo trará economia aos seus usuários substituindo o emprego de óleo diesel nas ind´ ustrias. As vantagens ecológicas s˜ ao as primeiras destacadas por quem conhece os resultados do uso do g´ as natural. O g´ as n˜ ao é poluente, porque n˜ ao emite cinzas e tem queima de 97%, n˜ ao necessita de tratamento efluentes gasoso e n˜ ao interfere na colora¸caõ dos produtos fabricados (especialmente a cerˆ amica). Registros da Petrobr´ as respons´ avel Esses compostos apresentam em comum as fun¸co˜es: pelo gasoduto Bol´ıvia- Brasil. a) amina e ácido carbox´ılico b) ´ acido carbox´ılico e amida. Este texto refere-se ao g´ as: c) éter e haleto orgˆ anico. a) etano d) cetona e alde´ıdo. b) propano e) haleto orgˆ anico e amida. c) benzeno d) metano 6. O Biodigestor promove, através da atividade de bactérias, e) acetileno a convers˜ ao dos esgotos em material inerte e em biog´ as. O 11. (ACE) A gasolina é constitu´ıda principalmente por: principal biog´ as obtido neste reator é: a) mistura de alcanos. a) CH4 b) Mistura de hidretos b) CH3CH2OH c) Mistura de álcoois c) NO2 d) Mistura de compostos de chumbo d) SO2 e) n. d. a. e) C2H6

Exerc´ıcios Complementares 7. (UFMA) A rea¸caõ: álcool + ´ acido carbox´ılico, produz: a) éter b) haleto de alco´ıla c) anidrido de ácido d) éster e água e) sal e ´ agua 8. Os grupos orgˆ anicos obtidos a partir dos alcanos pela perda dos ´ atomos de hidrogênio

CH3 - CH2 - CH - CH3 | H* CH3 - CH | H*

CH3

assinalados com asterisco, denominam-se respectivamente: a) isobutil e s-pentil; b) isobutil e isopropil; c) s-butil e isopropil;

˜ CARLOS) Um alcanos encontrado nas folhas 12. (UF-SAO de repolho contém em sua fórmula 64 átomos de hidrogênio. O n´ umero de átomos de carbono na fórmula é: a) 29 b) 32 c) 30 d) 33 e) 31

Matem´ atica Matem´ atica A

Aula 1

Rela¸c˜ oes e Fun¸ c˜ oes

Representa¸ c˜ ao Podemos representar uma rela¸caõ por um diagrama de setas ou no plano cartesiano: Consideremos os conjuntos A = {−1, 0, 1, 2} e B = {1, 0, 1, 4} e a rela¸caõ R = {(x, y) ∈ AxB/y = x2 }.

Fun¸c˜ oes

Rela¸ c˜ oes

O conceito b´ asico de fun¸caõ é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associa¸caõ entre eles, que fa¸ca Definimos rela¸caõ como: corresponder a todo o elemento do primeiro conjunto um u ´ nico Dados dois conjuntos n˜ ao vazios S e T chama-se rela¸caõ R de elemento do segundo conjunto, ocorre uma fun¸caõ. ObserveS em T qualquer subconjunto de Sxt. Assim, R est´ a contido mos os pares de conjuntos abaixo. em Sxt (R ⊂ SxT ). Exemplos Exemplo

1. Dados L = {2, 5, 9, 12} e A = {4, 25, 81, 144} e a rela¸caõ R = {(x, y) ∈ LxA/y = x2 }.

R = {(x, y)/x < y}

A

B 1 3

L

0 2

4 6

2

4

5

25

9

81

12

5

144

´ fun¸ca Figura 3.1: E õ.

Nota¸ c˜ ao Podemos escrever uma rela¸caõ de A em B das seguintes formas: • Nomeando os pares ordenados, por exemplo: {(0, 1), (1, 2), (2, 3)}.

A

R =

• Através de uma senten¸ca matemática, por exemplo: R = {(x, y) ∈ AxB/y = x + 1}, sendo que A = {0, 1, 1, 2, 3} e B = {1, 3, 4, 9}.

2. Dados A = {10, 12, 15, 16, 13} e B = {20, 24, 30, 26} e a rela¸caõ R = {(x, y) ∈ AxB/y = 2x}. 3. Dados A = {5, 12, 23} e B = {7, 14, 25} e a rela¸caõ R = {(x, y) ∈ AxB/y = x + 2}. 4. Dados A = {16, 81} e B = {−2, 2, 3} e a rela¸caõ R = {(x, y) ∈ AxB/y 4 = x}

Ser˜ ao reconhecidas como fun¸caõ as rela¸co˜es que tiverem todos os elementos de A associados a elementos de B, sendo que cada elemento de A deve estar ligado somente a um u ´ nico elemento Ao conjunto formado por todos os primeiros elementos dos pa- de B. res ordenados (x, y) de uma rela¸caõ damos o nome de dom´ınio e representamos por D(R). Dom´ınio, Imagem e Contradom´ınio Os segundos elementos desses pares formam o conjunto imagem da rela¸caõ: Im(R). Assim, na rela¸caõ R = Tomemos os exemplos acima que representam fun¸co˜es (Ex01, {(−1, 3), (0, 4), (1, 5)}, D(R) = {−1, 0, 1} e Im(R) = {3, 4, 5}. Ex03): Dom´ınio e Imagem

183

184


B

A

—


B

A

20

10

24

12

−2

16

2

30

15 16

81

3

26

13

Figura 3.4: N˜ ao é fun¸ca õ. Figura 3.2: N˜ ao é fun¸ca õ.

B

A 7 5

6

14 15 12

16

26

25

23

Para ambos os exemplos, chamamos de dom´ınio o conjunto A, indicado pela letra D: Ex01: D = {2, 5, 9, 12}; Ex03: D = {5, 12, 23}. A imagem ser´ a o conjunto dos elementos y que têm correspondência com x. EX01: I = {4, 25, 81, 144}; Ex03: D = {7, 14, 25}. O contradom´ınio ser´ a o conjunto B: EX01: CD = {2, 4, 6}; Ex03: CD = {5, 7, 14, 15, 16, 25, 26}.

Tipos de Fun¸c˜ oes Fun¸ c˜ ao Par ´ a fun¸caõ em que qualquer que seja o valor de x ∈ D ocorre E f (x) = f (−x). Exemplos

´ fun¸ca Figura 3.3: E õ.

f (x) = x2

A

L

2

4

5

25

9 12

f (x) = |x| f (x) = cos(x) Parabola

y

81 144

B

A 7 5

6

O

x

14 15 12 23

16 25

26

Fun¸ c˜ ao ´ Impar ´ a fun¸caõ em que para todo valor de x ∈ D ocorre f (x) = E −f (−x). Exemplos f (x) = 2x

´tica A – Aula 1 Matema

185

f (x) = sin(x)

y

f (x) = x3

f(x 1 ) f(x 2 )

y

O O

x1

x2

x

x

Figura 3.6: Esquema para compreender fun¸ca õ decrescente.

Fun¸ c˜ ao Crescente Uma fun¸caõ y = f (x) é crescente num conjunto A se, somente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao conjunto A, com x1 < x2 , tivermos f (x) < f (x2 ). Exemplos

A

L

2

4

5

25

9

81

f (x) = x + 2

144

f (x) = 10x f (x) = x3

Figura 3.7: Fun¸ca õ injetora

y Fun¸ c˜ ao Injetora

f(x 2 )

Uma fun¸caõ y = f (x) : A → B é injetora, se somente se, num conjunto A, dois elementos distintos quaisquer do dom´ınio de f (x) possuem imagens distintas em B. Exemplos

f(x 1 ) O

x1

x2

x Fun¸ c˜ ao Sobrejetora

Figura 3.5: Esquema para compreender fun¸ca õ crescente.

Uma fun¸caõ y = f (x) : A → B é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem é igual ao contradom´ınio: Im(f ) = B Exemplos

Fun¸ c˜ ao Bijetora

Fun¸ c˜ ao Decrescente

Uma fun¸caõ y = f (x) : A → B é bijetora, se somente se, é Uma fun¸caõ y = f (x) é decrescente num conjunto A se, injetora e sobrejetora. somente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao conjunto Na figura 3.11 temos que a fun¸caõ: A, com x1 < x2 , tivermos f (x1 ) > f (x2 ). Exemplos ´ injetora, pois quaisquer elementos distintos de A pos• E suem imagens distintas em B; f (x) = −x + 2 ´ sobrejetora, pois • E f (x) = 10−x Im = B = {4, 25, 81, 144}; f (f ) = −2x

´ bijetora porque é injetora e sobrejetora. • E

186


B

A 1

—

4

1

1

2

2

3

5

Figura 3.8: Fun¸ca õ n˜ ao injetora

3

Figura 3.10: Fun¸ca õ n˜ ao sobrejetora

B

A

B

A

2 3


L

A

1

1

2

4

2

5

25

2

9

81

3

3

4

Figura 3.9: Fun¸ca õ sobrejetora Fun¸ c˜ ao Inversa Considere uma fun¸caõ y de L → A, sendo que D = L e Im = A. A fun¸caõ inversa de y ser´ a aquela fun¸caõ que fizer corretamente a rela¸caõ de A → L onde D = A e Im = L. Ou seja, a fun¸caõ inversa “transforma” o que antes era dom´ınio em imagem e imagem em dom´ınio. Porém, isto s´ o poder´ a ocorrer se y for bijetora. Ent˜ ao, podemos definir: Dada fun¸caõ bijetora y = f (x) : A → B, chama-se fun¸caõ inversa de f a fun¸caõ f −1 : B → A tal que (a, b) ∈⇔ (b, a) ∈ f −1 . Exemplos y = f (x) = x2 ; D = {2, 5, 9, 12} Im = {4, 25, 81, 144} A fun¸caõ inversa ser´ a: p y = f (x) = (x) D = {4, 25, 81, 144} Im = {2, 5, 9, 12} Fun¸ c˜ ao Composta Dados os conjuntos A = {1, 2}, B = {2, 4}, C = {4, 16}, vamos considerar as fun¸co˜es: f : A → B definida por f (x) = 2x; g : B → C definida por g(x) = x2 . Observamos que:

12

144

Figura 3.11: Fun¸ca õ bijetora

• A cada x pertencente a A associa-se um u ´ nico y pertencente a B tal que y = 2x; • A cada y pertencente a B associa-se um u ´ nico z pertencente a C tal que z = x2 ; • A cada x pertencente a A associa-se um u ´ nico z pertence 2 C tal que z = y 2 = (2x) = 4x2 . Ent˜ ao, podemos afirmar que vai existir uma fun¸caõ h de A em C definida por h(x) = 4x2 , que indicamos por gof ou g(f (x)) (lê-se: g composta com f ). Logo: h(x) = gof = g(f (x)) = {(1, 4), (2, 16)}. Fun¸ c˜ ao Definida por Partes ´ aquela fun¸caõ que é definida por mais de uma rela¸caõ. E Exemplo   x + 1, se x > 2; x2 , se -2 ≤ x ≤ 2;  2, se x < −2 Fun¸ c˜ ao Constante Toda fun¸caõ f : R → R, definida por f (x) = C, com C pertencendo ao conjunto dos reais, é denominada fun¸caõ constante.


L

187

A 2

L

4 25

5 9 12

A 2

4 25

5

81

9 12

144

81 144

(a)

(b)

C A h

4

2

16 f

g 2

4. (UA) Se f e g s˜ ao fun¸co˜es tais que f (x) = 2x−3 e f (g(x)) = x, ent˜ ao é igual a: a) (x + 3)/2 b) 3x + 2 c) 1/(2x − 3) d) 2x + 3

4 B

Figura 3.13: f = {(1, 2), (2, 4)}; g = {(2, 4), (4, 16)}

y

y

5. (UDESC) Seja f (x) = c − ax2 . Se f (−1) = 1 e f (2) = 2, ent˜ ao f (5) é igual a: a) 3 b) 11/3 c) 7/3 d) 9 e) -3

y

C>0

C=) O

x

O

x

O

C<0

x

Matem´ atica A

Pense um Pouco! A fun¸caõ n : A → R, definida por n(t) = 6t + t2 , expressa o n´ umero de colˆ onias de bactérias em uma placa, onde n é o n´ umero de colˆ onias, t é tempo em horas e A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} tem seus elementos representando os instantes em que as colˆ onias foram contadas. Com esses dados, determine: a) O n´ umero de colˆ onias para t = 3h; b) O conjunto contradom´ınio; c) O conjunto imagem (Im(n)).

Aula 2

Fun¸c˜ oes Polinomiais Fun¸c˜ ao Polinomial de 10 Grau Uma fun¸caõ f com A,B ⊂ R é uma fun¸caõ polinomial do 10 grau se a cada x ∈ A se associa o elemento (ax + b) ∈ B, com a pertencendo a R∗ e b pertencendo a R:

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (UFRGS) Se a fun¸caõ f : R∗ em R é tal que f (x) = ent˜ ao f (2x) é: a) 2 b) 2x c) 2x+1 x d) 4x+1 x 2. (FCC-SP) A fun¸caõ inversa da fun¸caõ x+3 a) f −1 (x) = 2x−1 3x−1 −1 b) f (x) = x−2

Exerc´ıcios Complementares 3. (UFSC) Dada a fun¸caõ f : R em R+ , definida por f (x) = x2 +1, determine a soma dos n´ umeros associados às afirma¸co˜es verdadeiras. 01. A fun¸caõ é sobrejetora. 02. A imagem da fun¸caõ é R+ . 04. A fun¸caõ ´√ e bijetora. 08. Para x = 5, temos f (x) = 6. 16. O gráfico de uma fun¸caõ é uma reta. 32. A fun¸caõ é par.

Figura 3.12: Fique atento ao sentido das setas!

1

c) f −1 (x) = 3x+1 2−x d) f −1 (x) = 1−2x 3−x

2x−1 x+3

é:

2x+2 x ,

f : A → B definida por f (x) = ax + b ou y = ax + b Na senten¸ca matemática y = ax+b, as letras x e y representam as vari´ aveis, enquanto a e b s˜ ao denominadas coeficientes. Na fun¸caõ real f (x) = ax + b, a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. Pelo coeficiente angular, sabemos se a fun¸caõ é crescente (a > 0) ou decrescente (a < 0). O coeficiente linear indica a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo 0y.

188


f(x) = −2x − 1

Y

—


Y

f(x) = x − 2

1

−1

1

X 0

X

2

−1

~ (x=2) Zero da funçao

−2 Gr´ afico

Para construirmos gráficos de fun¸co˜es devemos seguir os se- Estudo do Sinal guintes passos: Para fazermos o estudo dos sinais vamos considerar um exem• atribu´ımos valores a vari´ avel x; plo: Dada a fun¸caõ f (x) = 2x − 4, determinar os valores reais de x • substitu´ımos na fun¸caõ; para os quais: • encontramos o valor de f (x), ou seja, o valor de y. a) f (x) = 0 Tendo encontrado o y, temos agora o par ordenado (x, y) que b) f (x) > 0 c) f (x) < 0 devemos encontrar no plano cartesiano. Solu¸ c˜ ao: Podemos verificar que a fun¸caõ é crescente pois a = 2 > 0. O zero da fun¸caõ é: 2x − 4 = 0 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2 x y =x−2 (x, y) A reta corta o eixo x no ponto de abscissa x = 2. Obser0 y = 0 − 2 = −2 (0, −2) vando essas considera¸co˜es, vamos fazer um esbo¸co do gráfico 1 y = 1 − 2 = −1 (1, −1) da fun¸caõ: 2 y =2−2=0 (2, 0)

Y

Y

f(x) = x − 2

f(x) = x − 1

1

f(x)>0 0

−1

1

X

f(x)<0

X

2 −2

f(x)=0

−1

Zero da Fun¸ c˜ ao de 1o Grau

` direita do eixo y os pontos da reta têm ordenada Figura 3.1: A positiva e a ` esquerda os pontos da reta têm ordenada negativa.

Denomina-se zero ou raiz da fun¸caõ f (x) = ax + b o valor x que anula a fun¸caõ, isto é, torna f (x) = 0. O zero da fun¸caõ Resposta: de primeiro grau é u ´ nico e corresponde a abscissa do ponto em f (x) = 0 x = 2 que a reta corta o eixo x. Observando o gr´ afico, verificamos f (x) > 0 para {x ∈ R/x > 2} f (x) < 0 para {x ∈ R/x < 2} x y =x−2 (x, y) 0 y = 0 − 2 = −2 (0, −2) 1 y = 1 − 2 = −1 (1, −1) Fun¸c˜ ao Polinomial de 2o grau 2 y =2−2=0 (2, 0) A fun¸caõ dada f (x) : R → R dada por f (x) = ax2 +bx+c, com que: f (x) = 0 para x = 2. a,b,c reais e a 6= 0, denomina-se fun¸caõ do 2o grau ou fun¸caõ


189 • ∆ = 0, x1 = x2 e a par´ abola intercepta o eixo x em um u ´ nico ponto.

quadr´ atica. Exemplos: f (x) f (x)

= =

x2 − 4x − 3 (a = 1, b = −4, c = −3) −2x2 + 5x + 1(a = −2, b = 5, c = 1)

• ∆ > 0, n˜ ao existem ra´ızes reais e a par´ abola n˜ ao intercepta o eixo x.

O gr´ afico da fun¸caõ de 1o grau é uma curva aberta chamada par´ abola. Se o gráfico da fun¸caõ tem a par´ abola com concavidade voltada para cima, a > 0. Gr´ afico Parab´ olico No gráfico abaixo, da fun¸caõ f (x) = x2 − 8x + 12, marcamos um ponto v. Esse ponto tem o nome de vértice da par´ abola. As coordenadas de V (xv , yv ) s˜ ao dadas por:

Y a>0

Y 0

X

0

Se o gr´ afico da fun¸caõ tem a par´ abola com concavidade voltada para baixo, a < 0.

X

3

´ Vertice −4

V(3,−4)

Y b xv = − 2a ∆ yv = − 4a

a<0 0

X

b ∆ v − ,− 2a 4a

xv = − −8 2 yv = − 16 4

v (4, −4)

Se tra¸carmos uma reta paralela ao eixo y que passe pelo vértice, estaremos determinando o eixo de simetria da par´ abola.

Zero da Fun¸ c˜ ao de 2◦ Grau Denominam-se zeros ou ra´ızes de uma fun¸caõ quadr´ atica os valores de x que anulam a fun¸caõ, ou seja, que tornam f (x) = 0. Para determinar os zeros de f (x) = ax2 + bx + c, basta fazer f (x) = 0: √ ∆ ax2 + bx + c = 0 ⇒ x = −b∓ 2a √

√

Interseç c˜ ao com o Eixo y Para determinar as coordenadas desse ponto, basta substituir x por 0 (zero) na fun¸caõ: 2 y = ax2 + bx + c ⇒ y = a(0) + b(0) + c ⇒ y = c Exemplo Para f (x) = x2 − 8x + 12 as coordenadas para o ponto de interseçcaõ com o eixo y: y = x2 − 8x + 12 ⇒ y = (0)2 − 8(0) + 12 ⇒ y = 12 Ent˜ ao, encontramos (0, 12).

∆ ∆ ⇒ x = −b− ⇒ x = −b+ 2a 2a 2 em que ∆ = b − 4ac. Assim, x1 e x2 s˜ ao as abscissas nas quais a par´ abola corta o eixo x, ou seja, (x1 , 0) e (x2 , 0) s˜ ao os pontos de interseçcaõ da M´ınimo ou M´ aximo da Par´ abola par´ abola com o eixo x.

• Quando ∆ > 0, x1 6= x2 e a par´ abola intercepta o eixo x Quando y assume o menor valor da fun¸caõ, ele é a ordenada do ponto m´ınimo da fun¸caõ (yv ): em dois pontos diferentes.

190


—


Eixo de simetria

Y

a>0 x1 = x2 0

x = x1 = x2 ⇒ f (x) = 0 x 6= x1 = x2 ⇒ f (x) > 0

X

3

X

x1 = x2

−4

V

X

a<0

Quando y assume o maior valor da fun¸caõ, ele é a ordenada do ponto máximo da fun¸caõ (yv ):

Y yV

x = x1 = x2 ⇒ f (x) = 0 x 6= x1 = x2 ⇒ f (x) < 0

V

• ∆ > 0, f (x) possui duas ra´ızes reais:

a>0 0

xV

X

X Qualquer x pertencente aos reais ⇒ f (x) > 0

Estudo do Sinal Para estudar o sinal da fun¸caõ f (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0, temos que considerar o valor do discriminante (∆) e o sinal do coeficiente a. Assim:

X

• ∆ > 0, f (x) possui duas ra´ızes reais e diferentes: x = x1 ou x = x2 ⇒ f (x) = 0 x < x1 ou x > x2 ⇒ f (x) > 0 x1 < x < x2 ⇒ f (x) < 0

a<0

Qualquer x pertencente aos reais ⇒ f (x) < 0

a<0

Pense um Pouco! x1

x

2

X

• O gráfico de um polinômio de primeiro grau é sempre uma reta? • O gráfico de um polinômio de segundo grau é sempre uma par´ abola?

x = x1 ou x = x2 ⇒ f (x) = 0 x < x1 ou x > x2 ⇒ f (x) < 0 x1 < x < x2 ⇒ f (x) > 0 • ∆ > 0, f (x) possui raiz dupla:

• Quantos zeros pode ter, no máximo, uma fun¸caõ de primeiro grau? E a de segundo grau? ` esquerda e à direita de um zero, a fun¸caõ de segundo • A grau tem sempre sinais contrários?


191


Fun¸c˜ oes Especiais

c˜ ao Modular 1. (FGV-SP) O gráfico da fun¸caõ f (x) = mx + n passa pelos Fun¸ pontos A(1, −2) e B(4, 2). Podemos ent˜ ao afirmar que: O módulo, ou valor absoluto, de um n´ umero real x, indicado a) m + n = −2 por |x|, é definido assim: b) m − n = −2 c) m = 3/4 x, se, x ≥ 0 d) n = 5/2 |x| = −x, se, x < 0 e) m.n = −1 umero 2. (PUC-SP) Para que a fun¸caõ do 1o grau dada por f (x) = Pela defini¸caõ, podemos concluir que o módulo de um n´ real é sempre maior ou igual a zero. (2 − 3k)x + 2 seja crescente, devemos ter: a) k = 2/3 b) k < 2/3 Cuidado! c) k > 2/3 d) k < −2/3 √ x2 = ±|x| e) k > −2/3 3. (UFC-CE) Considere a fun¸caõ f : R → R, definida por f (x) = x2 − 2x + 5. Pode-se afirmar corretamente que: a) o vértice do gráfico de f é o ponto (1, 4). b) f possui dois zeros reais distintos. c) f atinge um máximo para x = 1. d) O gráfico de f é tangente ao eixo das abscissas.

Exemplos | − 10| = 10 |1| = 1 |1/3| = 1/3

Exerc´ıcios Complementares 4. (UFPA) A fun¸caõ y = ax + b passa pelo ponto (1, 2) e intercepta o eixo y no ponto de ordenada 3. Ent˜ ao, a − 2b é igual a: a) -12 b) -10 c) -9 d) -7 e) 0

|0| = 0 Definimos ent˜ ao a un¸caõ modular se a cada x real se associa |x|, ou seja: f (x) = |x| . Observa-se que o dom´ınio da fun¸caõ módulo é R e a imagem R+ .

5. (Mack-SP) Um valor k para que uma das ra´ızes da equa¸caõ Representa¸ c˜ ao Gr´ afica x2 − 4kx + 6k = 0 seja o triplo da outra é: a) 1 Pela defini¸caõ de |x|, temos de considerar duas senten¸cas para b) 2 f (x), de RemR: c) 3 d) 4 x, se, x ≥ 0 e) 5 f (x) = −x, se, x < 0 6. (Santa Casa-SP) As dimensões de um retˆ angulo s˜ ao numericamente iguais às coordenadas do vértice da par´ abola de Construindo os dois gráficos num u ´ nico plano cartesiano, obequa¸caõ y = −128x2 + 32x + 6. A ´ area do retˆ angulo é: temos o gráfico de f (x) = |x|: a) 1 b) 8 c) 64 Y f(x) = |x| d) 128 3 e) 256 7. O lucro mensal de uma empresa é dado por L = −x2 + 30x − 5, onde x é quantidade mensal vendida. a) Qual é o lucro mensal máximo poss´ıvel? b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no m´ınimo igual a 195?

Matem´ atica A

Aula 3

2 1

−3

−2

−1

0

1

2

3

Figura 3.1: Fun¸ca õ m´ odulo: f (x) = |x|.

X

192


Fun¸ c˜ ao Exponencial

—


2o− caso: 0 < a < 1

A fun¸caõ f : R → R dada por f (x) = ax (com a 6= 1 e a > 0) é denominada fun¸caõ exponencial de base a e definida para todo x real. Assim, s˜ ao fun¸co˜es exponenciais:

Y a x1

f (x) = 2x g(x) = (1/3)x

a x2 Gr´ afico da Fun¸ c˜ ao Exponencial

2

Y

x1

x

f(x) = a x

1

Vamos representar no plano cartesiano o gr´ aficos das fun¸co˜es f (x) = 2x e f (x) = (1/2)x .

x2 x1 < x2

0

X a x1 > a x2

2

Figura 3.4: Exponencial decrescente ax com a < 1. 1 (1/2)

x

0 0

1/4

1/2

3/4

1

X

Figura 3.2: Fun¸co ˜es exponenciais: f (x) = 2x e g(x) = (1/2)x .

• O n´ umero de bactérias em um meio de cultura cresce aproximadamente segundo a fun¸caõ , sendo t o n´ umero de dias ap´ os o in´ıcio do experimento. Calcule: a)o n´ umero n de bactérias no in´ıcio do experimento; b)em quantos dias o n´ umero inicial de bactérias ir´ a triplicar.


Caracter´ısticas • D(ax ) = R • Im(ax ) = R+ • ax é uma fun¸caõ crescente se a > 1

1o− caso:

Pense um Pouco!

a>1

f(x) = a x

Y a x2

2. (PUC-SP) A equa¸caõ |2x − 1| = 5 admite: a) duas ra´ızes positivas b) das ra´ızes negativas c) uma raiz positiva e outra negativa d) somente uma raiz real e positiva e) somente uma raiz real e negativa

a x1 1

0 x1 < x2

1. (ITA-SP) Considere a equa¸caõ |x| = x − 6. Com respeito à solu¸caõ real dessa equa¸caõ, podemos afirmar que: a) a solu¸caõ pertence ao intervalo [1,2] b) a solu¸caõ pertence ao intervalo [-2,-1] c) a solu¸caõ pertence ao intervalo ]-1,1[ d) a solu¸caõ pertence ao intervalo [3,4] e) nenhuma resposta é correta

x1

x2

X

a x1 < a x2

Figura 3.3: Exponencial crescente ax com a > 1. • ax é uma fun¸caõ decrescente se 0 < a < 1 • ax ) passa pelo ponto (0, 1) pois a0 = 1

3. (PUC-PR) A equa¸caõ 16 · 52x = 25 · 20x, onde x pertence aos reais, admite: a) os n´ umeros -2 e 2 como solu¸co˜es b) apenas o n´ umero 2 como solu¸caõ c) apenas o n´ umero 21 como solu¸caõ d) os n´ umeros 2 e 21 como solu¸co˜es e) apenas o n´ umero como solu¸caõ

Exerc´ıcios Complementares 4. (UEL-PR) Quaisquer que sejam os n´ umeros reais x e y, a) se |x| < |y|, ent˜ ao x < y


193

b) |xy| = |x||y| c) |x + y| = |x| + |y| d) | − |x|| = −x e) se x < 0, ent˜ ao |x| < x

• O logaritmo de um quociente é igual ao logaritmo do numerador menos o logaritmo do denominador tomados na mesma base, isto é:

5. (PUC-SP) Resolvendo a equa¸caõ 4 + 4 = 5 · 2x , obtemos: a) x1 = 0 e x2 = 1 b) x1 = 1 e x2 = 4 c) x1 = 0 e x2 = 2 d) x1 = −1 e x2 = −2 e) x1 = −4 e x2 = −5 6. (PUC-MG) Se 2x = 4y e 25x = 25 · 5y , o valor de x + y é: a) 4/3 b) 2/3 c) 1/3 d) 1 e) 2 f) -3

Matem´ atica A

logb (x/y) = logb x − logb y • O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência, isto é: logb xn = n logb x Caso particular logb

√ 1 n x = logb x( 1/n) = logb x n

Mudan¸ ca de Base Suponha que apare¸cam logaritmos de bases diferentes e que precisamos reduzir os logaritmos de bases diferentes para uma base conveniente. Essa opera¸caõ é chamada mudan¸ca de base:

Aula 4

logb a =

logc a logc b

onde c é a nova base.

Fun¸c˜ oes Especiais (II) Fun¸ c˜ ao Logar´ıtmica

Exemplo log2 10 =

log1 010 1 = log1 02 log1 02

O logaritmo de um n´ umero real e positivo a, na base b, positiva c˜ ao Gr´ afica e diferente de 1, é o n´ umero x ao qual se deve elevar a base b Representa¸ para se obter a Ao estudar a fun¸caõ exponencial, vimos que ela é bijetora, logb a = x ⇐⇒ bx = a portanto admite fun¸caõ inversa, que é a logar´ıtmica. Do estudo das fun¸co˜es inversas, descobrimos que, no plano cartesiano, seus gráficos s˜ ao simétricos em rela¸caõ a bissetriz do 1◦ e 3◦ Observa¸ c˜ ao quadrantes. Assim, para as fun¸co˜es exponencial e logar´ıtmica, Aos logaritmos que se indicam com loga chamamos de sistema de base 0 < a < 1 e a > 1, temos: de logaritmos de base a. Existe uma infinidade de sistemas de logaritmos. Dentre todos os sistemas, o mais importante é o a>1 sistema de logaritmos decimais, ou de base 10. Indica-se: log10 ou log. Quando o sistema é de base 10, é comum omitir-se a y=x base na sua representa¸caõ. Y Exemplo

y=a x log x a 2

Considerando a defini¸caõ dada, calcular o valor dos logaritmos:

1

log6 36 = 2 x1 1

log2 16 = 4 log3 0 = 1

X

loga x1

log1 01000 = 3 Propriedades dos Logaritmos

x2

y=loga x a>1

f(x) e´ crescente

• O logaritmo de um produto é igual ` a soma dos logaritmos dos fatores tomados na mesma base, isto é: logb (x · y) = logb x + logb y

Figura 3.1: Fun¸ca õ logar´ıtmica com base a > 1

194


—


Radiano é o arco cujo comprimento é igual ao comprimento do raio da circunferência que o contém.

0
Y

B

y=a

B

x

A

θ = 1 rad

1

r

1

x1

x2

r

A

X

loga x1 loga x2

y=loga x 0
f(x) e´ decrescente

Figura 3.2: Fun¸ca õ logar´ıtmica com base 0 < a < 1

Fun¸ c˜ oes Trigonom´ etricas

Observa¸caõ: O raio da circunferência quando utilizado como instrumento de medida é denominado raio unit´ ario, isto é, se o comprimento de um arco é x raios, sua medida é x radianos. Lembrando que qualquer circunferência tem 360◦ , temos que: 360◦ corresponde a 2π rad e 180◦ corresponde a π rad. ˆ Angulo Plano ´ E a abertura de duas semi-retas que partem do mesmo ponto. ˆ Angulo Central de uma Circunferˆ encia ´ E o ângulo que tem o vértice no centro dessa circunferência.

Arco de Circunferˆ encia Observemos que os pontos A e B dividem a circunferência em duas partes. Cada uma dessas partes é denominado arco de circunferência. Assim, temos: arco AB= arco BA

B ^ ^ e´ angulo α

^ α

B

central A

Sentido do Movimento Circunferˆ encia Trigonom´ etrica Uma circunferência orientada, de raio unit´ ario (r = 1), sobre a qual um ponto A é a origem de medida de todos os arcos nela contidos, é uma circunferência trigonométrica. Vamos considerar uma circunferência cujo centre coincide com a origem do sistema cartesiano e o ponto A(1, 0), que é a origem de todos os arcos, como mostra a figura a seguir:

A

Os ponto A e B s˜ ao chamados de extremidades dos arcos. Medida de um arco Grau é o arco unit´ ario equivalente a 1/360 da circunferência que o contém. 90

o 90 ou π/2 rad B

2 o− quadrante

+ o

C o 180 ou π rad

o

1 o− quadrante

O 3 o− quadrante

4 o− quadrante

0 ou 0 rad A o 360 ou 2 π rad

10

180

−

10 0 o= 360 o

o

1

270

o

0

1

o 270 ou 3 π/2 rad D

o

Observa¸caõ: 1◦ = 60′ e 1′ = 60′′

Os eixos 0x e 0y do plano cartesiano dividem a circunferência em quatro arcos de mesma medida, numerados no sentido anti-


195

hor´ ario. Esses eixos dividem o plano em quatro regiões, de- Fun¸ c˜ ao Tangente nominadas quadrantes, também numeradas no sentido antiA fun¸caõ f definida em R que a cada n´ umero x associa a hor´ ario. tangente desse n´ umero: Fun¸ c˜ ao Seno

f (x) = tan x

Chamamos de fun¸caõ seno a fun¸caõ f : R → R que, a cada O dom´ınio da fun¸caõ tan x é R − {nπ/2}, com n = n´ umero real x, associa o seno desse n´ umero: 0, ±1, ±2, . . ., e a imagem da fun¸caõ é R. f (x) = sen x Sinal da Fun¸ c˜ ao Tangente O sinal da fun¸caõ tangente é dada seguindo o esquema abaixo: O dom´ınio dessa fun¸caõ é R e a imagem é intervalo [-1,1], visto que, na circunferência trigonométrica, o raio é unit´ ario. Sinal da fun¸ c˜ ao seno tag θ Y O sinal da fun¸caõ seno é dada seguindo o esquema abaixo:

(0,1) sen θ

Y

tag θ

+ _

(0,1)

θ

(−1,0) O (−1,0)

+

sen θ

θ

+

X _

+ (1,0)

O

X

_

(0,−1)

_

Co-tangente

(0,−1)

Por defini¸caõ temos: Fun¸ c˜ ao Cosseno

cotg x =

1 tan x

sec x =

1 cos x

Chamamos de fun¸caõ cosseno a fun¸caõ f : R → R que, a cada n´ umero real x, associa o cosseno desse n´ umero. para todo x|tan x 6= 0 Secante f (x) = cos x Por defini¸caõ temos: O dom´ınio dessa fun¸caõ é R e a imagem é o intervalo real [-1,1], visto que, na circunferência trigonométrica, o raio é unit´ ario. Sinal da Fun¸ c˜ ao Cosseno O sinal da fun¸caõ cosseno é dada seguindo o esquema abaixo: para todo x|cos x 6= 0 Cossecante Por defini¸caõ temos:

cos θ

Y

cossec x =

(0,1)

_

θ

(−1,0) O _

1 sen x

para todo x|sen x 6= 0

+

cos θ +

Rela¸c˜ oes trigonom´ etricas

(1,0) X

tanx = f racsen xcos x sen2 x + cos2 x = 1 1 + tan2 x = sec2 x

(0,−1)

(1,0)

1 + cotan2 x = cossec2

196


Transforma¸c˜ oes Trigonom´ etricas F´ ormulas da Adi¸ c˜ ao Sejam a e b dois arcos positivos, do primeiro quadrante, cuja soma ainda pertence ao primeiro quadrante. Valem para esses arcos as seguintes identidades: sen (a ± b) = sen a · cos b ± sen b · cos a cos (a ± b) = cos a · cos b ± sen a · sen b tan (a ± b) =

tan a ± tabb 1 ∓ tan a · tan b

Lei dos Senos ´ a rela¸caõ válida para qualquer triˆ E angulo que se traduz pela seguinte fórmula: b c a = = sen A sen B sen C

c

a C

B

A b a sen A

=

b sen B

=

c sen C

Lei dos Cossenos ´ a rela¸caõ válida para qualquer triˆ E angulo que se traduz pela seguinte fórmula:

—


d) cujo produto é 1 e) cuja soma é 101 2. (MACK-SP) Se 1 1 1 + + =2 log2 x log3 x log6 x ent˜ ao x2 é igual a: a) 25 b) 36 c) 16 d) 81 e) 100

Exerc´ıcios Complementares 3. (FGV-SP) Determine a de√ forma que se tenha simultaneamente sem x = 1/a e cos x = 1 + a/a a) a = −1 ou a = −2 b) a = 1 e a = 2 c) a = −1 e a = 2 d) a = 2 e a = −2 e) a = 1 ou a = −1 4. (UEL-PR) Para todo n´ umero real, tal que que 0 < x < 1/2, a express˜ ao sec x + tg x cos x + cot x é equivalente a: a) (sen x)(cotg x) b) (sec x)(cotg x) c) (cos x)(tg x) d) (sec x)(tg x) e) (sen x)(tg x)

Matem´ atica A

Aula 5

a2 = b2 + c2 − 2bc · cos A Com essa fórmula, dadas as medidas de dois lados e do ângulo compreendido entre eles, calcula-se o terceiro lado de qualquer triˆ angulo. Como se pode ver, é uma generaliza¸caõ do Teorema de Pit´ agoras.

Pense um Pouco! • Dado o sen x como você acharia o cos x? E a tan x? • A tan x pode ser maior do que 1? • Para que valores de x temos sen x > cos x?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (FCC-Ba) Indica-se por log x o logaritmo do n´ umero x na base 10. A equa¸caõ xlog x = 10000 admite duas ra´ızes: a) iguais b) opostas entre si c) inteiras

Polinˆ omios Defini¸c˜ ao Dados n ∈ N n´ umeros complexos {ai , i = 0, 1, 2, . . . , n} ⊂ C, chamamos de fun¸ c˜ ao polinomial ou polinˆ omio na vari´ avel x a fun¸caõ P (x) : C → C tal que: P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 onde cada parcela do polinômio é chamada de termo e cada n´ umero complexo que multiplica a vari´ avel x é um coeficiente. Observa¸ co ˜es 1. Se an 6= 0, o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(P ) = n; Exemplos P (x) = 2x − 1 é um polinômio de 1◦ grau, isto é, gr(P ) = 1.

´tica A – Aula 5 Matema P (x) = x5 + 1 é um polinômio de 5◦ grau, isto é, gr(P ) = 5.

197

Divis˜ ao de P (x) por (x − a) Teorema do Resto

2. Se P (x) = 0, n˜ ao se define o grau do polinômio.

O resto da divis˜ ao de P (x) por x − a ´ e P (a). Devemos ter P (x) = (x − a)Q(x) + R(x). Como o divisor x − a é de grau 1, o resto ser´ a de grau zero, Valor Num´ erico ou seja, uma constante. Fazendo R(x) = r, constante, temos: O valor numérico de um polinômio P (x), para x = a, é o P (x) = (x − a)Q(x) + r. Para x = a, vem: n´ umero que se obtém substituindo x por a e efetuando todas as opera¸co˜es indicadas pela rela¸caõ que define o polinômio. P (a) = (a − a)Q(a) + r = r Exemplo Se P (x) = x3 + 2x2 − x − 1, o valor numérico de P (x), para x = 2, é: P (2) = 23 + 2 · 22 − 2 − 1 = 13

Exemplo O resto da divisão de P (x) = x3 + x2 − 4x + 5 por x − 1 é: r = P (1) = 13 + 12 − 4 · 1 + 5 = 3 Teorema de D’Alembert

Ra´ızes de um Polinˆ omio

Um polinˆ omio P (x) ´ e divis´ıvel por x − a se, e somente se, P (a) = 0. Se P (a) = 0, o n´ umero a é denominado raiz ou zero de P (x). Se P (x) é divis´ıvel por x − a, ent˜ ao, pelo Teorema do Resto, Um polinômio de grau n admite n ra´ızes. r = P (a) = 0, e, de outra forma, se P (a) = 0, como, pelo Teorema do Resto, r = P (a), temos r = 0, ou seja, P (x) é divis´ıvel por x − a. Igualdade de Polinˆ omios Exemplo 3 2 Dois polinômios A(x) e B(x) s˜ ao iguais ou idênticos quando P (x) = x + 3x − 8x − 4 é divis´ıvel por x − 2, pois assumem valores numéricos iguais para qualquer valor comum P (2) = 23 + 3 · 22 − 8 · 2 − 4 = 8 + 12 − 16 − 4 = 0 atribu´ıdo à vari´ avel x. A condi¸caõ necess´ aria e suficiente para que dois polinômios A(x) e B(x) sejam iguais ou idênticos é que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais.

Divis˜ ao de P (x) por ax + b, com a 6= 0

Temos P (x) = (ax + b)Q(x) + r. Como ax + b é de grau 1, r é de grau 0, portanto, uma constante. Sejam dois polinômios A(x) e B(x), com B(x) 6= 0, e gr(A) > Fazendo x = −b/a em P (x) = (ax + b)Q(x) + r, vem: gr(B). P (−b/a) = [a(−b/a) + b]Q(−b/a) + r Efetuar a divisão de A(x) por B(x) é determinar dois polinˆ omios Q(x) e R(x) que satisfa¸cam a seguinte condi¸caõ: P (−b/a) = (−b + b)Q(−b/a) + r A(x) = Q(X)B(x) + R(x) P (−b/a) = 0 + r =⇒ r = P (−b/a)

Divis˜ ao de Polinˆ omios

onde A(x) é o dividendo B(x) é o divisor Q(x) é o quociente R(x) é o resto da divisão

Conclus˜ ao: o resto da divisão de P (x) por ax + b é r = P (−b/a). Exemplo

Observa¸ c˜ ao

Determinar o resto da divisão de P (x) = x3 + 5x2 − 2x − 1 por 2x − 1. Temos que −b/a = 1/2, ent˜ ao r = P (1/2):

Quando A(x) é divis´ıvel por B(x), dizemos que a divisão é exata, isto é, R(x) = 0. r = (1/2)3 + 5(1/2)2 − 2(1/2) − 1 = (1/8) + (5/4) − 1 − 1 Exemplo Dividir A(x) = x4 + x3 − 7x2 + 9x − 1 por B(x) = x2 + 3x − 2: r = (11/8) − 2 = −5/8 +x4 + x3 − 7x2 + 9x − 1 x2 + 3x − 2 −x4 − 3x2 + 2x2 x2 − 2x + 1 → Q(x) 3 2 Divis˜ ao de P (x) por (x − a)(x − b), (a 6= b) −2x − 5x + 9x − 1 3 2 +2x + 6x − 4x Temos o seguinte Teorema: −x2 + 5x − 1 2 Se P (x) ´ e divis´ıvel por x − a e por x − b, com a 6= b, −x − 3x + 2 ent˜ a o ´ e divis´ ıvel por (x − a)(x − b). 2x + 1 → R(x)

198


—


Exemplo

somar 4

2

2

Mostrar que P (x) = x − 5x + 4 é divis´ıvel por x − 1. Solu¸caõ: como x2 − 1 = (x + 1)(x − 1), basta mostrar que P (x) é divis´ıvel por x − 1 e por x + 1, isto é, que P (+1) = 0 e P (−1) = 0: P (+1) = 14 − 5 · 12 + 4 = 1 − 5 + 4 = 0 P (−1) = (−1)4 − 5 · (−1)2 + 4 = 1 − 5 + 4 = 0

2

3 3

multiplicar

−5 +1 −2 (3)(2)−5=1 (1)(2)+1=3 (3)(2)−2=4 resultado

IV.Multiplicamos a raiz do divisor pelo n´ umero colocado abaixo do segundo coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente.

Portanto, P (x) é divis´ıvel por (x−1)(x+1), ou seja, por x2 −1.

somar 2

Algoritmo de Briot-Ruffini

3 3

multiplicar

+1

−2

(3)(2)−5=1 (1)(2)+1=3 resultado

−5

(3)(2)−2=4

Para facilitar a divisão de polinômios podemos utilizar o algoritmo de Briot-Ruffini. Consideremos o seguinte exemplo para compreens˜ ao do dispo- V. Separamos o u ´ ltimo n´ umero formado, que é igual ao resto sitivo: da divisão, e os n´ umeros que ficam à esquerda deste s˜ ao os Determinar o quociente e o resto da divisão de P (x) = 3x3 − coeficientes do quociente. 5x2 + x − 2 por (x − 2).

Decomposi¸c˜ ao de um Polinˆ omio Raiz do divisor 2

Coeficientes do dividendo P(x) 3 3

+1

−2

(3)(2)−5=1 (1)(2)+1=3

−5

(3)(2)−2=4

Coeficientes do quociente Q(x)

Resto R(x)

Podemos aplicar o teorema do resto na decomposi¸caõ de um polinômio em fatores. Para tanto, se a é uma raiz ou zero do polinômio P (x), este é divis´ıvel por (x − a); logo: P (x) = (x − a)Q(x) Polinˆ omio de 2◦ grau

Figura 3.1: O algoritmo de divis˜ ao de Briot-Ruffini.

De uma forma geral, o polinômio do 2◦ grau que admite as ra´ızes a1 e a2 pode ser decomposto em fatores do 1◦ grau, da seguinte forma:

Resposta: Q(x) = 3x2 + x + 3 e R(x) = 4 A seguir est´ a descrito o roteiro para a resolu¸caõ desse proP (x) = (x − a1 )(x − a2 ) blema. I. Colocamos a raiz do divisor 2 e os coeficientes do dividendo Exemplo {3, −5, 1, −2} na linha de cima: Fatorar o polinômio P (x) = x2 −7x+10. Resolvendo a equa¸caõ x2 − 7x + 10 = 0 encontramos as ra´ızes a1 = 5 e a2 = 2, logo, Raiz do divisor 2 3 3

Coeficientes do dividendo P(x) −5 +1 (3)(2)−5=1 (1)(2)+1=3

−2 (3)(2)−2=4

P (x) = (x − 5)(x − 2)

Polinˆ omio de 3◦ grau

Conhecendo uma das ra´ızes de um polinômio do 3◦ grau, podemos decompˆ o-lo num produto de um polinômio do 1◦ grau ◦ por um do 2 grau e, se este tiver ra´ızes, podemos, em seguida Note que, se o polinômio n˜ ao tivesse um dado termo, o coefidecompˆ o-lo também. ciente desse termo seria igual a zero. II.Repetimos o primeiro coeficiente do dividendo: Exemplo Copiar o primeiro coeficiente para a linha de baixo 2

3 3

−5 +1 (3)(2)−5=1 (1)(2)+1=3

−2 (3)(2)−2=4

III.Multiplicamos a raiz do divisor pelo coeficiente repetido e somando o produto com o segundo coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste.

Fatorar P (x) = 2x3 − x2 − x. Escreve-se: P (x) = 2x(x2 − x/2 − 1/2) fator do 1◦ grau: 2x fatores do 2◦ grau: resolvendo-se a equa¸caõ do segundo grau obtemos as ra´ızes a1 = 1 e a2 = −1/2, e x2 − x/2 − 1/2 = (x − 1)(x + 1/2), logo: P (x) = 2x(x − 1)(x + 1/2)


Pense um Pouco! • (UFPA) Se F (x) = 2p + q + (p + 3)x − 2px2 + x3 é idêntico a P (x) = x3 − 4x2 + 5x + 2 ,ent˜ ao: f) p2 + q 2 = 4 g) p2 − q 2 = 0 h) p = q i) p + q = 4 j) p − q = 0

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (PUC-MG) Os valores de a e b que tornam o polinômio P (x) = x3 + 4x2 + ax + b divis´ıvel por (x + 1)2 s˜ ao, respectivamente: a) 1 e 2 b) 3 e 2 c) 4 e 5 d) 5 e 2 e) 5 e 3 2. (UnB-DF) O resto da divisão de P (x) = 3x5 + 2x4 + 3px3 + x − 1 por x − 1 é 4 se p é igual a: a) 5/3 b) -2 c) -3 d) -10 e) -7/3

199

Matem´ atica A

Aula 6

Equa¸c˜ oes Alg´ ebricas ´ Teorema fundamental da Algebra Toda equa¸ c˜ ao alg´ ebrica P (x) = 0, de grau n ≥ 1, tem pelo menos uma raiz real ou complexa. Defini¸ c˜ ao Chamamos de equa¸caõ polinomial ou algébrica toda equa¸caõ da forma P (x) = 0, em que P (x) é um polinômio de grau n: Dados n ∈ N n´ umeros complexos {ai , i = 0, 1, 2, . . . , n} ⊂ C, chamamos de fun¸ c˜ ao polinomial ou polinˆ omio na vari´ avel x a fun¸caõ P (x) : C → C tal que: P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 onde cada parcela do polinômio é chamada de termo e cada n´ umero complexo que multiplica a vari´ avel x é um coeficiente. Exemplo x3 + 3x2 + 2x − 3 = 0

3. (OSEC-SP) Os valores reais de m e n para os quais o polinômio x4 − 4x3 + mx2 + 4x + n é divis´ıvel por (x − 1)(x − 5) Raiz s˜ ao, respectivamente: a) -6 e -5 Chama-se raiz de zero ou raiz de uma equa¸caõ polinomial b) 6 e -5 P (x) = 0 todo n´ umero complexo a tal que P (a) = 0. c) 6 e 5 d) -6 e 5 Exemplos e) n. d. a.


a) 1 é raiz de P (x) = x3 − 3x2 + 3x − 1 = 0 pois P (1) = 13 − 3 · 12 + 3 · 1 − 1 = 0; b) i é raiz de P (x) = x3 + x2 + x + 1 = 0 pois P (i) = i3 + i2 + i + 1 = −i − 1 + i + 1 = 0

4. (Fuvest-SP) Dividindo-se o polinômio p(x) por 2x2 +3x+1, obtém-se o quociente 3x2 + 1 e resto −x + 2. Nessas condi¸co˜es, Forma Fatorada o resto da divisão de p(x) por x − 1 é: a) 2 Todo polinômio b) 1 c) 0 P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 d) -1 e) -2 de grau n pode ser decomposto em n fatores da forma (x − a), onde a é raiz de P (x) e é também um fator igual ao coeficiente 3 5. (UnB-DF) O n´ umero 1 é uma das ra´ızes da equa¸caõ x − de xn . 7x + 6 = 0. A soma das outras duas ra´ızes é: a) -7 Exemplo b) -1 c) 0 Formar o polinômio cujas ra´ızes s˜ ao 2,-1 e 3. d) 1 Resolu¸ c a ˜ o: O polinˆ o mio tem trˆ e s ra´ızes diferentes; logo, P (x) e) n. d. a é do terceiro grau. 6. (UFRJ) O polinômio P (x) = x3 − 2x2 − 5x + d, com d ∈ R, P (x) = a3 (x − a1 )(x − a2 )(x − a3 ) = 1(x − 2)(x + 1)(x − 3) é divis´ıvel por (x − 2). a) Determine d. P (x) = x3 − 4x2 + x + 6 b) Calcule as ra´ızes da equa¸caõ P (x) = 0

200


Multiplicidade de uma Raiz As ra´ızes de uma equa¸caõ algébrica podem ser todas distintas ou n˜ ao. Se uma equa¸caõ algébrica tiver três ra´ızes iguais, a raiz ter´ a multiplicidade 2, isto é, ser´ a uma raiz dupla; se tiver três ra´ızes ter´ a multiplicidade 3, isto é, ser´ a uma raiz tripla, e assim sucessivamente. Se um n´ umero a for uma s´ o vez raiz de uma equa¸caõ algébrica, ele ser´ a chamado raiz simples. Exemplo Sabendo-se que −1 é raiz dupla da equa¸caõ P (x) = x4 − 3x3 − 3x2 + 7x + 6 = 0, determinar o seu conjunto solu¸caõ. Resolu¸caõ: a equa¸caõ dada pode ser indicada da seguinte forma: P (x) = (x + 1)2 Q(x) = 0. Para determinarmos Q(x), que é do segundo grau, aplicaremos duas vezes o dispositivo prático de Briot-Ruffini, abaixando para 2 o grau da equa¸caõ dada. Primeira divisão por (x + 1): -1 1 -3 -3 7 6 1 -4 1 6 0 Segunda divisão por (x + 1): -1 1 -4 1 6 1 -5 6 0 Logo: Q(x) = x2 − 5x + 6, onde para Q(x) = 0 temos as ra´ızes a1 = 2 e a2 = 3. Exemplo Resolva a equa¸caõ x4 + x3 − x2 + x − 2 = 0, sabendo que uma das ra´ızes é i. Resolu¸caõ: Como i é raiz da equa¸caõ, −i também é, pois as ra´ızes complexas sempre aparecem aos pares (ra´ızes conjugadas). Dividindo sucessivamente por x − i e x + i, temos: i 1 1 -1 1 -2 1 1+i -2+i -2i 0 Segunda divisão por (x + 1): -i 1 1+i -2+i -2i 1 1 -2 0 Logo, Q(x) = x2 + x − 2 e P (x) = (x − i)(x + i)Q(x). Ent˜ ao para Q(x) = 0 temos as ra´ızes a1 = −2 e a2 = 1.

Ra´ızes M´ ultiplas Dados a equa¸caõ algébrica, P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 = 0

—


existem ra´ızes racionais, elas pertencem a esse conjunto. A verifica¸caõ é feita usando-se o dispositivo de Briot-Ruffini.

Pense um Pouco! • Uma equa¸caõ polinomial de coeficientes reais tem o n´ umero 3 como raiz dupla, o n´ umero 5 como raiz tripla e 1 + i como raiz dupla. Qual é grau da equa¸caõ?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (UEL-PR) Se −1 é raiz de multiplicidade 3 da equa¸caõ x5 − 2x4 − 6x3 + 4x2 + 13x + 6 = 0, ent˜ ao a soma das outras duas ra´ızes vale: a) 1 b) 3 c) 5 d) -1 e) -3 2. (UFPE) Qual a maior raiz inteira da equa¸caõ x4 − 20x3 + 90x2 + 20x − 91 = 0? a) 1 b) -i c) 10 d) 13 e) n. d. a.

Exerc´ıcios Complementares 3. (PUC-SP) Em rela¸caõ ao polinômio P (x) = (x − 1)2 (x + 1), o que se pode afirmar sobre o n´ umero 1? ´ uma raiz simples a) E ´ raiz dupla b) E ´ raiz tripla c) E ´ raiz quádrupla d) E e) N˜ ao é uma raiz 4. (USF-SP) Se −2 é raiz da equa¸caõ x3 + bx2 + cx + d = 0, ent˜ ao b + c + d vale: a) 26 b) -2 c) 14 d) 10 e) -10

Matem´ atica A

Aula 7

de coeficientes inteiros, com an 6= 0 e a0 6= 0, e o n´ umero racional p/q , com p e q primos entre si, p ∈ Z e q ∈ N∗ , se p/q é raiz de P (x) = 0, ent˜ ao p é divisor de a0 e q é divisor de an .

Geometria Anal´ıtica

Exemplo

Sistema Cartesiano Ortogonal

Na equa¸caõ x3 −6x2 +11x−6 = 0, temos an = 1 e a0 = −6. Se p ∈ Z é divisor de a0 , ent˜ ao p ∈ {±1, ±2, ±3, ±6}. Se q ∈ N∗ é divisor de a3 , ent˜ ao q ∈ {1}. Dividindo todo os valores de p por todos os valores de q, obtemos {±1, ±2, ±3, ±6}. Portanto, se

A Geometria Anal´ıtica teve como principal idealizador o filósofo francês René Descartes (1596-1650). Com aux´ılio de um sistema de eixos associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa.


201

Quando os eixos desse sistema s˜ ao perpendiculares na origem, eles determinam um sistema cartesiano ortogonal (ou plano cartesiano). Ent˜ ao, observemos o plano cartesiano dividido nos quatro quadrantes:

Y

Y

Segundo Quadrante

Primeiro Quadrante

−2

x<0 y>0

x>0 y>0

−3

Terceiro Quadrante

0

1

−1

3

5

X

C

3

A

4

4

d

−4

Quarto Quadrante

x<0 y<0

2

−5

X

B

x>0 y<0 d2 = 32 + 42 =⇒ d = 5

Figura 3.1: O plano cartesiano e seus 4 quadrantes. 1o quadrante: x > 0 e y > 0. 2o quadrante: x < 0 e y > 0. 3o quadrante: x < 0 e y < 0. 4o quadrante: x > 0 e y < 0.

Divis˜ ao de um Segmento Dados os pontos A(xA , yA ), B(xB , yB ) e C(xC , yC ) de uma reta (ABC), o ponto C divide o segmento AB numa determinada raz˜ ao, denominada raz˜ ao de seç c˜ ao e indicada por: rC =

Distˆ ancia entre Dois Pontos Quando se conhece as coordenadas de dois pontos A e B do ou seja plano, sabemos localizar esses pontos num sistema cartesiano ortogonal e, assim, podemos calcular a distância d(A, B). Aplicando o Teorema de Pit´ agoras ao triˆ angulo ABC, vem:

rC =

AC CB

yC − yA xC − xA = xB − xC yB − yC

Y

C

y3

Y

B

yB

B

y2 d

yB yA

A

y1

D

E

A

yA

C

xB xA

0

xA

0

xB

x1

x2

X

x3

X

Exemplo Considerando os pontos A(2, 3), B(5, 6), P (3, 4) e Q(1, 2), as raz˜ oes rP e rQ em que P e Q dividem AB s˜ ao:

d2 = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 logo

p d = (xB − xA )2 + (yB − yA )2

ser´ a a distância entre os pontos A(xA , yA ) e B(xB , yB ). Exemplo Determinar a distância entre os pontos A(1, −1) e B(4, −5). Analiticamente, temos p d = sqrt(4 − 1) + (−5 − (−1)) = 32 + 42 2

2

√ √ d = 9 + 16 = 25 = 5

ou graficamente,

y=x+1

Y

B

6 5

P

4 3 2

A Q

1

0

1

2

3

4

5

6

X

202


—


´ Area de um Triˆ angulo rP =

xP − xA 3−2 1 = = xB − xP 5−3 2

Na geometria anal´ıtica podemos calcular a área de um triˆ angulo a partir das coordenadas de seus vértices. A área e S do triˆ angulo de vértices A(xA , yA ), B(xB , yB ) e C(xC , yC ) 1−2 1 xQ − xA ´ e dada por: = =− rQ = 1 xB − xQ 5−1 4 S = |D| 2 onde D é o determinante da matriz de coordenadas Baricentro de um Triˆ angulo xA yA 1 Chamamos de baricentro (G) o ponto de interseçcaõ das meD = xB yB 1 dianas de um triˆ angulo. Esse ponto divide a mediana relativa xC yC 1 a um lado em duas partes. Condi¸ c˜ ao de Alinhamento de 3 Pontos

A

A figura mostra três ponto, A(xA , yA ), B(xB , yB ) e C(xC , yC ), que est˜ ao alinhados, ou seja, s˜ ao pontos de uma mesma reta.

u M

u

v w

G

w B

P

w

Y

u

v C

N

N=

xC + xB yC + yB , 2 2

B

yB yA

C´ alculo das Coordenadas do Baricentro (G) Sendo A(xA , yA ), B(xB , yB ) e C(xC , yC ) vértices de um triˆ angulo, se N é ponto médio de BC, temos:

C

yC

v

0

A

E

xA

xB

D

xC

X

Para que três pontos estejam alinhados, devemos ter: A

AB AE EB = = AC AD DC ou seja:

M

P G

B

Pense um Pouco! N

C

Mas: rG =

xB − xA yB − yA = xC − xA yC − yA

AG xG − xA = xN − xG GN

• O que acontece com a distância entre dois pontos A(xA , yA ) e B(xB , yB ) se as coordenadas de ambos pontos forem: a) aumentadas de uma constante c? b) multiplicadas por 2? c) multiplicadas por -1?

de onde podemos encontrar: xG =

xA + xB + xC 3

e yG =

yA + yB + yC 3

e escrevemos finalmente xA + xB + xC yA + yB + yC G = (xG , yG ) = , 3 3

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (UFES) Sendo r a distância da origem ao ponto P (x, y), ent˜ ao, para que y/r seja negativo, o ponto P deverá pertencer ao: a) 1o quadrante ou 2o quadrante b) 2o quadrante ou 4o quadrante c) 2o quadrante ou 3o quadrante d) 3o quadrante ou 4o quadrante e) 1o quadrante ou 3o quadrante


203

2. (FAAP-SP) Se os ponto A(2, −1), B(x, 4) e C(4, 9) pertencem a uma mesma reta, determine x. a) 2 b) -6 c) 1 d) 3 e) 4 3. (MACK-SP) No triˆ angulo ABC, A(1, 1) é um dos vértices, N (5, 4) é o ponto médio do segmento BC e M (4, 2) é o ponto médio do segmento AB. Calcule as coordenadas do baricentro G do triˆ angulo. a) G(3, 11/3) b) G(4/5, 3) c) G(11/3, 3) d) G(3, 3) e) G(11, 6)


Exemplo Determinar a equa¸caõ geral da reta que passa nos pontos A(1, 2) e B(7, 6).

Y B(7,6) 6 5

4

4 3 (0,4/3)

A(1,2)

2

C(7,2)

6

1 0

1

2

3

4

5

6

7

X

Figura 3.1: Equa¸ca õ geral da reta: exemplo.

4. (PUC-SP) A(3, 5), B(1, −1) e C(x, −16) pertencem a uma mesma reta se x é igual a: a) -5 b) -1 c) -3 d) -4 e) -2

Para que um ponto qualquer (x, y) perten¸ca à reta AB, temos que ter x y 1 D = 1 2 1 = 0 7 6 1 e desenvolvendo o determinante temos

2 4 5. O ponto médio de um segmento AB, sendo A(6, 4) e B(1, 2) D = (2x + 6 + 7y) − (14 + 6x + y) = 0 −→ y = x + 3 3 é: a) (3, 7/2) Confira a figura (3.1). b) (7/2, 4) c) (5, 3) Equa¸ c˜ ao Segment´ aria d) (6, 2) e) (7/2, 3) Considere a reta r n˜ ao-paralela a nenhum dos eixos e que intercepta os eixos nos pontos P (p, 0) e Q(0, q), com p 6= 0 e 6. Calcule a distância entre os pontos A e M , sabendo que q 6= 0. A(5, √1), B(1, 3) e M é ponto médio do segmento AB a) √20 b) √3 Y c) √5 d) 5 2 e) 2

Q(0,q)

Matem´ atica A

Aula 8

q

P(p,0) 0

Geometria Anal´ıtica Equa¸ c˜ oes da Reta Equa¸ c˜ ao Geral

p

X

Podemos escrever a equa¸caõ da reta na forma segment´ aria: x y + =1 p q

A partir de uma condi¸caõ de alinhamento de três pontos podemos determinar: Exemplo y = ax + b Por exemplo, para a reta mostrada na figura (3.1), pode-se aria onde a é o chamado coeficiente angular da reta, e b o coeficiente obter diretamente p = −2 e q = 4/3, e a equa¸caõ segment´ da reta ser´ a linear. y x + =1 Para x = 0 vemos que a reta cruza o eixo Y na altura y = b. −2 4/3

204


—


ou reescrevendo 3y x − =1 4 2

Y r

Equa¸ co ˜es na Param´ etrica

α

S˜ ao equa¸co˜es da forma x = f (t) e y = g(t), que relacionam as coordenadas x e y dos pontos da reta com o parˆ ametro 0 (vari´ avel) t. Exemplo As equa¸co˜es x(t) = t + 2 e y(t) = 1 − t definem uma reta, na Se 90◦ < α < 180◦ ⇒ tan α < 0 ⇒ m < 0 forma paramétrica. Para se obter a equa¸caõ geral da reta, pode-se eliminar o Y parˆ ametro t, isolando-o na primeira equa¸caõ:

X

r

t=x−2 e substituindo-o na segunda:

0

y = 1 − (x − 2) = −x + 3

X

Se α = 90◦ ⇒ ∄ tan α ⇒ m é indefinido. Nesse caso, a reta r se diz vertical. N´ umero real m que expressa a tangente trigonométrica de sua Podemos determinar o coeficiente angular de uma reta r que passa por dois pontos A(xA , yA ) e B(xB , yB ): inclina¸caõ α, ou seja:

Coeficiente Angular ou Declividade

m = tan α Y

Podemos observar que:

Y

B

y2

r

α

A

y1

C

α 0

0

x1

x2

X

X m=

Se α = 0◦ ⇒ tan α = 0 ⇒ m = 0

yB − yA xB − xA

Posi¸c˜ oes Relativas entre Duas Retas Paralelismo

Y r α 0

Se 0◦ < α < 90◦ ⇒ tan α > 0 ⇒ m > 0

X

Duas retas r e s, distintas e n˜ ao-verticais, s˜ ao paralelas se, somente se, têm coeficientes angulares iguais. Se r e s s˜ ao paralelas αr = αs e ent˜ a o mr = ms Exemplo Determinar a posi¸caõ da reta r, da equa¸caõ 2x − 3y + 5 = 0, em rela¸caõ à reta s, de equa¸caõ 4x − 6y − 1 = 0 Resolu¸caõ: vamos determinar o coeficiente angular mr da reta r, reescrevendo a sua equa¸caõ na forma geral y = (2x + 5)/3, e ent˜ ao mr = 2/3. Para a reta s, temos: y = (4x− 1)/6, de onde ms = 4/6 = 2/3, ou seja as retas r e s s˜ ao paralelas.


205

Concorrˆ encia

Caso a reta 2 seja vertical: Se tan α1 = m1 e θ é agudo, temos: 1 Duas retas r e s ser˜ ao concorrentes se tiverem coeficientes dife tan θ = rentes, isto é, r e s s˜ ao concorrentes Longlef trightarrowmr 6= m1 ms. As retas s˜ ao ditas concorrentes porque concorrem para um, e Distˆ ancia entre um Ponto e uma Reta apenas um, ponto em comum. Dados um ponto P (xP , yP ) e uma reta r de equa¸caõ ax + by + c = 0 , a distância entre P e r é dada pela fórmula: P Y axP + byP + c d(P, r) = √ 2 + b2 a l 1

θ

l2

α2

α1

A

0

B

X

Perpendicularismo Se r e s s˜ ao duas retas n˜ ao-verticais, ent˜ ao r é perpendicular a s se, somente se, o produto de seus coeficientes angulares é igual a −1.

Y

P

l1 A

0

θ

Pense um Pouco! • A equa¸caõ da reta já foi estudada em outro conte´ udo da matemática, com uma outra ”aparência”. Qual era esse assunto?


l2

α B

Exemplo Determinar a distância entre o ponto A(2, 1) e a reta r, de equa¸caõ x + 2y − 14 = 0. 2 + 2 · 1 − 14 10 = √ d(A, r) = √ 12 + 22 5 √ d(A, r) = 2 5

X

Exemplo Verificar se as retas f e g, de equa¸co˜es 10x + 3y − 5 = 0 e 3x − 10y − 4 = 0, respectivamente, s˜ ao perpendiculares. C´ alculo de mf , coeficiente angular f : Reescrevemos a equa¸caõ da reta f , e obtemos, y = (5−10x)/3, de onde mf = −10/3. C´ alculo de mg , coeficiente angular g: Reescrevemos a equa¸caõ da reta g, e obtemos, y = (3x−4)/10, de onde mg = 3/10. Verificando a condi¸caõ de perpendicularismo: mf × mg = (−10/3)(3/10) = −1 ent˜ ao as retas f e g s˜ ao perpendiculares entre si. ˆ Angulo Formado por Duas Retas Se duas retas l1 e l2 , n˜ ao perpendiculares, têm coeficientes angulares m1 e m2 , respectivamente, o ˆ angulo θ, medido no sentido anti-horário, desde a reta l1 até l2 , é considerando o angulo formado por elas. ˆ Se tan α1 = m1 e tan α2 = m2 e θ é agudo, temos: m2 − m1 tan θ = 1 − m1 m2

1. (Fuvest-SP) Se (m + 2n, m − 4) e (2 − m, 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, ent˜ ao mn é igual a: a) -2 b) 0 c) 2 d) 1 e) 1/2 2. (UFC-CE) A reta 2x + 3y = 5, ao interceptar os dois eixos coordenados, forma com estes um triˆ angulo retˆ angulo. Calcule o valor da hipotenusa desse triˆ a ngulo. √ a) 6 √13 b) 5√ 13/6 c) 5 √13 d) 6 13/5 e) 0 3. (UFMG) A reta r dada pela equa¸caõ 2x + 4y − 3 = 0 intercepta o eixo das ordenadas no ponto: a) −3/4 b) −1/2 c) 3/4 d) 1/2 e) 3/2 4. (PUC-MG) O valor de x para que os pontos (1, 3), (−2, 4) e (x, 0) do plano sejam colineares é: a) 8 b) 9 c) 11 d) 10 e) 5

206



—


constante R, o raio da circunferência. p d(C, P ) = (x − xC )2 + (y − yC )2 = R

5. (Cesgranrio-RJ) A equa¸caõ da reta mostrada na figura abaixo ou seja,

(x − xC )2 + (y − yC )2 = R2 é a equa¸caõ reduzida da circunferência.

Y

Y

3

P(x,y)

y R

−4

0

X

yC

0

6. (Fuvest-SP) A reta r tem equa¸caõ 2x + y = 3 e intercepta o eixo x no ponto A. A reta s passa pelo ponto P (1, 2) e é perpendicular a r. Sendo B e C os pontos onde s intercepta o eixo x e a reta r, respectivamente: a) determine a equa¸caõ de s; b) calcule a área do triˆ angulo ABC.

yC

C( xC , yC ) x

é: a) 3x + 4y − 12 = 0 b) 3x − 4y + 12 = 0 c) 4x + 3y + 12 = 0 d) 4x − 3y − 12 = 0 e) 4x − 3y + 12 = 0

y

xC

xC

x

X

Figura 3.1: Uma circunferência de raio R, com centro no ponto C(xC , yC ).

A equa¸caõ reduzida da circunferência e permite determinar diretamente os elementos essenciais para a constru¸caõ da circunferência: as coordenadas do centro e o raio. 7. Se o ponto P (k, −2) satisfaz ` a rela¸caõ x + 2y − 10 = 0, Quando o centro da circunferência estiver na origem, O(0, 0), ent˜ ao o valor de k 2 é: a equa¸caõ da circunferência ser´ a simplesmente a) 200 x2 + y 2 = R2 b) 196 c) 144 d) 36 Exemplo e) 0 Determinar as coordenadas do centro C e o raio R da circunferência da equa¸caõ (x − 3)2 + (y + 1)2 = 16. Comparando a equa¸caõ dada, com a equa¸caõ reduzida da circunferência temos:

Matem´ atica A

Aula 9

x − 3 = x − xC =⇒ xC = 3

Circunferˆ encia

y + 1 = y − yC =⇒ yC = −1 16 = R2 =⇒ R = 4

Conceito

ent˜ ao o centro da circunferência é o ponto C(3, −1), e o possui ´ o conjunto de todos os pontos de um plano eq¨ E uidistantes raio R = 4. de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência. Equa¸c˜ ao Geral da Circunferˆ encia

Raio ´ o segmento de reta que vai do centro a um ponto qualquer E da circunferência.

Equa¸ c˜ ao Reduzida da Circunferˆ encia Sendo C(xC , yC ) o centro e P (x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P , chamada d(C, P ), é uma

Desenvolvendo a equa¸caõ reduzida, obtemos a equa¸caõ geral da circunferência: (x − xC )2 + (y − yC )2 = R2 =⇒

2 x2 + y 2 − 2xC x − 2yC y + x2C + yC − R2 = 0

Para determinar o centre e o raio de uma circunferência, conhecendo a equa¸caõ geral, basta compará-la com a equa¸cão geral da circunferência em sua forma genérica.

´tica A – Aula 10 Matema Exemplo

207 d) x2 + y 2 + 4x + 4y + 3 = 0 e) n. d. a.

Determine o centro e raio da circunferência com equa¸caõ geral igual a x2 + y 2 − 6x + 4y − 3 = 0 5. (UEL-PR) Considere, no plano cartesiano, todos os pontos Comparando com a equa¸caõ geral da circunferência temos: que distam 2 unidades da reta de equa¸caõ x − y − 3 = 0. Esses pontos pertencem todos: −2xC = −6 =⇒ xC = 3 a) às retas de equa¸co˜es −x + y + 5 = 0 ou −x + y + 1 = 0 b) ao 1o ou 4o quadrante. −2yC = 4 =⇒ yC = −2 √ c) às retas de equa¸co˜es −x + y + 3 = ±2 2 2 2 2 2 2 2 xC + yC − R = −3 =⇒ 3 + (−2) + 3 = R d) à circunferência de equa¸caõ x2 + y 2 − 9 = 0 √ e) às retas de equa¸caõ −x − y − 3/2 = 0 ou −x − y + 3/2 = 0 a que procuramos um valor R > 0. e ent˜ ao R = + 16 = 4, j´ Logo, C(3, 2) e R = 4.

Pense um Pouco!

Matem´ atica A

Aula 10

• De que elementos da circunferência precisamos conhecer para escrever a equa¸caõ geral da circunferência? • Como podemos saber se um ponto dado est´ a dentro ou fora de uma dada circunferência?

Circunferˆ encia - II Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

Posi¸c˜ ao Relativa a uma Reta

1. Qual a equa¸caõ geral da circunferência com centro no ponto Uma reta l e uma circunferência podem ocupar as seguintes C(2, 3) e que passa pelo ponto P (−1, 2)? posi¸co˜es relativas: a) (x − 3)2 + (y − 2)2 = 10 b) (x − 2)2 + (y − 3)2 = 10 c) (x − 2)2 + (y − 10)2 = 15 Reta Secante d) (x − 2/3)2 + (y − 1)2 = 10 e) (x − 10)2 + (y − 2)2 = 3 A reta l intercepta a circunferˆ encia em dois pontos. 2. (PUC-RS) O ponto P (−3, b) pertence ` a circunferência de centro C(0, 3) e raio R = 5. Quais s˜ ao os valores poss´ıveis de b? a) 14 e 20 b) -20 e 14 A c) 8 e 2 d) -7 e 1 e) 7 e -1 3. A circunferência com centro na origem (0, 0) e que passa no ponto (−3, −4) tem equa¸caõ: a) (x − 3)2 + (y − 4)2 = 5 b) (x + 3)2 + (y + 4)2 = 25 c) x2 + y 2 = −5 d) x2 − y 2 = 25 e) x2 + y 2 − 25 = 0

d C B f

Exerc´ıcios Complementares Nesse caso, a reta e a circunferência s˜ ao secantes. Pode-se 4. (UFAL) Para a quest˜ ao utilize os seguintes dados: verificar, facilmente, que a distância do centro C até a reta l reta r de equa¸caõ x − 2y + 2 = 0 é menor que o raio r, ou seja d(C, l) < r. reta s de equa¸caõ 2x + y − 6 = 0 pontos A(−1, 3) e B(3, 0). Seja C o ponto de interseçcaõ de r e s. A equa¸caõ da circunReta Tangente ferência de centro C e raio de medida igual a AB é: a) x2 + y 2 − 4x + 4y + 17 = 0 b) x2 + y 2 + 4x − 4y + 3 = 0 A reta l intercepta a circunferˆ encia em apenas um c) x2 + y 2 − 4x − 4y − 17 = 0 ponto.

208


—


Vamos calcular a distância do centro de C até s e comparála com o raio de α. Da equa¸caõ da circunferência temos que C(0, 0) e r = 1, e ent˜ ao: 1 · 0 + 1 · 0 − 4 d(C, s) = √ 12 + 12 C

√ 4 d(C, s) = √ = 2 2 2

d

Como d(C, s) > r, a reta s é exterior a α. A

Posi¸c˜ ao Relativa entre Circunferˆ encias l

Para determinar a posi¸caõ relativa entre duas circunferências quaisquer de raios R1 e R2 , com centros C1 e C2 , respectivamente, determinamos a distância d(C1 , C2 ) entre seus centros Nesse caso, a reta e a circunferência s˜ ao tangentes. Pode-se e comparamos com R + R ou com |R − R |, e classificamos 1 2 1 2 verificar, facilmente, que a distância do centro até a reta l é os seguintes casos: igual ao raio r, ou seja, d(C, l) = r Circunferˆ encias Exteriores

Exterior

Quando d(C1 , C2 ) > (R1 + R2 ) as circunferências s˜ ao exteriores.

A reta l n˜ ao-intercepta a circunferˆ encia.

α R1

β

C1

C2

d C

l

R2 d(C1 ,C2 ) > R + R 1

2

Circunferˆ encias Secantes Quando |R1 − R2 | < d(C1 , C2 ) < (R1 + R2 ) as circunferências s˜ ao secantes. Nesse caso, a reta e a circunferência s˜ ao n˜ ao-secantes ou exteriores. Pode-se verificar, facilmente, que a distância do centro C até a reta l é maior que o raio r, ou seja, d(C, l) > r.

α β

R1 C´ alculo da Posi¸c˜ ao Pode-se determinar a posi¸caõ de uma reta em rela¸caõ a uma circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência. Assim, dadas a reta l definida pela equa¸caõ ax + by + c = 0 e a circunferência α definida por (x − xC )2 + (y − yC )2 = r2 , com centro C(xC , yC ) e raio r, temos: axC + byC + c d(C, l) = √ a2 + b 2

C2

C1

R2 |R 1 − R | < d(C1 ,C2 ) < R1 + R2 2

Circunferˆ encias Tangentes E uma vez determinada essa distância, fazemos a sua compara¸caõ com r e classificamos a posi¸caõ em um dos três casos Quando d(C1 , C2 ) = |R1 − R2 | ou d(C1 , C2 ) = (R1 + R2 ) as vistos acima: secante, tangente ou exterior. circunferências s˜ ao tangentes. Exemplo

Circunferˆ encias Internas

Vamos determinar a posi¸caõ relativa da reta s : x + y − 4 = 0 Quando 0 < d(C1 , C2 ) < |R1 − R2 | as circunferências s˜ ao inem rela¸caõ à circunferência α : x2 + y 2 = 1. ternas.


209

β

R1

β

C2

C2

C1

R2

R2


α

R1

α

C1

d(C1 ,C2 ) = |R1 − R2 |

d(C1 ,C2 ) = R 1 + R 2

(a)

(b)

Figura 3.1: Circunferências tangentes exteriores (a) e interiores (b).

α

R1 C2 C1

R1

β

β

R2 d(C1 ,C 2 ) < |R 1 − R2 |

α

C1= C2 R2 d(C1 ,C2 ) = 0

(a)

(b)

Figura 3.2: Circunferências internas (a) e concêntricas (b).

Circunferˆ encias Concˆ entricas No caso especial em que d(C1 , C2 ) = 0 as circunferências s˜ ao concˆ entricas.

Pense um Pouco! • De que elementos da circunferência precisamos conhecer para escrever a equa¸caõ geral da circunferência?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (UFSC) Determine o raio da circunferência C1 , cujo centro é o ponto de interseçcaõ da reta r de equa¸caõ x−y −1 = 0 com reta s de equa¸caõ 2x − y + 1 = 0, sabendo que C1 é tangente exteriormente à circunferência C2 de equa¸caõ x2 + y 2 − 12x − 6y − 4 = 0. a) 10 b) 2 c) 3 d) 6 e) 1 2. (ITA-SP) Sabendo que o ponto (2, 1) é o ponto médio de uma corda AB da circunferência (x − 1)2 + y 2 = 4, ent˜ ao a equa¸caõ da reta que contém A e B é dada por: a) y = 2x − 3 b) y = x − 1 c) y = −x + 3 d) y = (3/2)x − 2 e) y = −x/2 + 2

3. (Fuvest-SP) A reta s passa pelo ponto (0, 3) e é perpendicular à reta AB, onde A(0, 0) e B é o centro da circunferência x2 + y 2 − 2x − 4y = 20. Ent˜ ao a equa¸caõ de s é: a) x − 2y = −6 b) x + 2y = 6 c) x + y = 3 d) y − x = 3 e) 2x + y = 6 4. (MACK-SP) Em rela¸caõ à circunferência (x−1)2 +(y−2)2 = 169, a reta 5x + 12y − 198 = 0 a) é secante b) é tangente c) é externa d) coincide com reta que contém o diâmetro e) n. d. a.

210


—


´tica B – Aula 1 Matema

211

Matem´ atica B

Aula 1

Matrizes Uma tabela de n´ umeros dispostos em linhas e colunas, como por exemplo:   3 1 4 2  6 −5 0 −1  7 11 −3 5

é chamada matriz. Se essa tabela é formada por m linhas e por n colunas, dizemos que a matriz é do tipo m por n, e indicamos m×n. No exemplo, a matriz A tem 3 linhas e 3 colunas; ent˜ ao, A é do tipo 3 × 4: A(3 × 4). De modo geral, apresentamos uma matriz cercando as linhas e as colunas por parênteses como na matriz A acima. Podemos também utilizar colchetes ou duplas barras.

Exemplos 1. B =

2. C = 3. D =

2 1/2 −3 é uma matriz (2 × 3) 5 0 −1 1 4 é uma matriz de ordem 2 5 −1 −1 0 3 5 é uma matriz (1 × 4)

Nota¸ c˜ ao Geral Normalmente representamos as matrizes por letras mai´ usculas e seus elementos por letras min´ usculas, acompanhadas por dois ´ındices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Uma matriz A do tipo m × n é representada por:   a11 a12 a13 · · · a1n  a21 a22 a23 · · · a2n      A =  a31 a32 a33 · · · a3n   .. .. .. ..   . . . ··· .  am1 am2 am3 · · · amn

ou, abreviadamente, A = [aij ]m×n , em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a31 é o elemento da 3a linha e da 1a coluna.

Exemplo Na matriz: A= temos

2 −5

 a11    a12 a21    a22

6 0

=2 =6 = −5 =0

Tipos de matrizes Algumas matrizes recebem nomes especiais, devido suas caracter´ısticas. • Matriz linha : matriz do tipo 1 × n, ou seja, ´ nica linha. Por exemplo, a matriz A = com uma u 5 8 −2 3 , do tipo 1 × 4. • Matriz coluna : matriz do  tipo m  × 1, ou seja, com uma 3 u ´ nica coluna. Por exemplo,  −5 , do tipo 3 × 1. 2

• Matriz quadrada : matriz do tipo n × n, ou seja, com o mesmo n´ umero de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Os elementos da forma aii constituem a diagonal principal. Os elementos aij em que i + j = n + 1 constituem a diagonal secundária. Por exemplo, a matriz 7 −9 C= 2 4 é do tipo 2 × 2, isto é, quadrada de ordem 2. • Matriz nula: matriz em que los; é representada por 0m×n . 0 02×3 = 0 .

todos os elementos s˜ ao nuPor exemplo, 0 0 0 0

• Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que n˜ ao est˜ ao na diagonal principal s˜ ao nulos. Por exemplo:   4 0 0 B3×3 =  0 5 0  0 0 −3 . • Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal s˜ ao iguais a 1 e os demais s˜ ao nulos; é representada por In , sendo n a ordem da matriz. Por exemplo:   1 0 0 I3 =  0 1 0  0 0 1 Para uma matriz identidade aij = 1 se i = j aij = 0 se i 6= j

• Matriz transposta: Dada uma matriz A(m × n), a matriz que se obtém trocando ordenadamente as linhas pelas colunas chama-se transposta de A, e é indicada por At (ou por At ). Por exemplo   2 3 2 5 0 t   A = 5 −1 =⇒ A = 3 −1 6 0 6

• Matriz sim´ etrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por exemplo   3 5 6 A= 5 2 4  6 4 8 é simétrica pois temos aij = aji .

212


—


• Matriz anti-sim´ etrica: Uma matriz quadrada A = [aij ] 6. Calcule a soma dos elementos da 2a coluna da matriz B = é anti-simétrica se At = −A. Por exemplo (bij )2×3 , em que bij = 2i + j − 1   0 3 4 A =  −3 0 −6  −4 6 0

Matem´ atica B

• Matriz oposta: matriz −A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por exemplo, se 3 0 A= 4 −1 ent˜ ao

−3 0 −4 1

Aula 2

Opera¸c˜ oes com Matrizes Adi¸ c˜ ao

Dadas as matrizes A e B, ambas do mesmo tipo (m×n), somar A com B é obter a matriz A + B, do tipo m × n, onde cada elemento é a soma dos elementos de mesma posi¸caõ de A e B. Por exemplo: Igualdade de Matrizes 2 3 5 8 −7 3 Se A = eB= −1 4 −2 2 4 6 Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m × n, s˜ ao iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posi¸caõ ent˜ ao s˜ ao iguais. Por exemplo, se x y 8 −1 2+8 3−7 5+3 A= eB= A + B = z t 5 3 −1 + 2 4 + 4 −2 + 6 A = B se, e somente se, x = 8, y = −1, z = 5 e t = 3. 10 −4 8 A+B = 1 8 4 −A =

Pense um Pouco!

Propriedades da Adi¸ c˜ ao

• Qual a rela¸caõ entre uma matriz A e sua oposta?

Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo (m × n), temos as • No que a matriz anti-simétrica difere da matriz simétrica? seguintes propriedades para a adi¸caõ: a) comutativa: A + B = B + A b) associativa: (A + B) + C = A + (B + C) Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m×n d) elemento oposto: A + (−A) = (−A) + A = 0 1. Escreva a matriz A(3 × 3) = [aij ], onde aij = i + 2j. t Determine, em seguida, A (a matriz transposta de A). 2.

Escreva a matriz aij = 2i, se i = j aij = j − 10 se i = 6 j

A(2 × 2)

=

[aij ]

onde

3. (ACAFE) Seja A = B, onde 2 x +1 0 10 y − 2 eB= A= 4 4 logx 81 y 2 ent˜ ao os valores de x e y ser˜ ao, respectivamente: a) 2 e 3 b) ±2 e ±3 c) 3 e 2 d) −3 e −2 e) ±3 e ±2


Para entendermos a subtra¸caõ de matrizes devemos saber o que é uma matriz oposta. A oposta de uma matriz M é a matriz −M , cujos elementos s˜ ao os n´ umeros opostos de mesma posi¸caõ de M . Por exemplo: 2 −3 −2 3 M= =⇒ −M = −5 7 5 −7 Com a matriz oposta podemos definir a diferen¸ca de matrizes: A − B = A + (−B) ou seja, para subtrair matrizes, somamos a primeira com a oposta da segunda. Assim para as matrizes A e B acima, temos:

A − B = A + (−B) 2 3 5 −8 7 −3 A−B = + −1 4 −2 −2 −4 −6 Logo, tal que aij = i2 +2j −5, calcule −6 10 2 A−B = −3 0 −8

4. Sendo A = [aij ]2×3 tal que aij = i + j, determine x, y e z 2 y−1 4 tais que A = . x z 5 5. Dada a matriz A = (aij )3×3 a12 + a31 .

Subtra¸c˜ ao


Multiplica¸c˜ ao por um N´ umero Real Multiplicar um n´ umero k por uma matriz A é obter a matriz kA, cujos elementos s˜ ao os elementos de A multiplicados, todos por k.     2 1 6 3 A =  4 −3  =⇒ 3A =  12 −9  −1 5 −3 15 Propriedades

213

Pense um Pouco! • Sempre podemos multiplicar matrizes de mesma ordem (iguais) ? • (ACAFE) Sejam as matrizes A3×2 , B3×3 e C2×3 . A alternativa em que a express˜ ao é poss´ıvel de ser determinada é: a) B 2 · (A + C) b) (B · A) + C c) (C · B) + A d) (A · C) + B e) A · (B + C)

Sendo A e B matrizes do mesmo tipo m × n e x e y n´ umeros reais quaisquer, valem as seguintes propriedades: a) associativa: x · (yA) = (xy) · A b) distributiva de um n´ umero real em rela¸caõ ` a adi¸caõ de ma- Exerc´ ıcios de Aplica¸c˜ ao trizes: x · (A + B) = xA + xB c) distributiva de uma matriz em rela¸caõ ` a adi¸caõ de dois 1 2 n´ umeros reais: (x + y) · A = xA + yA 1. Sendo A = , determine sua inversa, se existir. −2 1 d) elemento neutro: xA = A, para x = 1, ou seja, 1 · A = A 1/5 −2/5 A= 2/5 1/5 Multiplica¸c˜ ao de Matrizes 0 1 2. (ACAFE) Dada a matriz A = , seja At a sua 2 −2 Dadas as matrizes A = (aik )m × n e B = (bik )m × p, define-se transposta. O produto A · At é a matriz: como produto de A por B a matriz C = (cij )m × p tal que matriz 0 1 o elemento cij é a soma dos produtos da i-ésima linha de A a) 2 −2 pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna de B. 0 2 b) Pp 1 −2 C = A · B ⇒ cij = k=1 (Aik · Bik ) 1 −2 c) −2 0 1 0 Observa¸ c˜ ao d) 2 1 1 −2 Somente existe o produto de uma matriz A por outra matriz e −2 8 B se o n´ umero de colunas de A é igual ao n´ umero de linhas de B. Se existir o produto de A por B, o tipo da matriz produto Considere as matrizes é dado pelo n´ umero de linhas de A e pelo n´ umero de colunas 3. (ACAFE) 1 2 x de B. Pode existir o produto de A por B, mas n˜ ao existir o A = ,B= e −2 −1 y produto de B por A. 6 C= . Sabendo que A · B = C, o valor de |x| + |y| é: 9 Propriedades a) 15 Verificadas as condi¸co˜es de existência para a multiplica¸caõ de matrizes, valem as seguintes propriedades: a) associativa: (A · B) · C = A · (B · C) b) distributiva em rela¸caõ ` a adi¸caõ: A · (B + C) = A · B + A · C ou (A + B) · C = A · C + B · C c) elemento neutro: A · In = In · A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n Geralmente a propriedade comutativa n˜ ao vale para a multiplica¸caõ de matrizes (A · B 6= B · A). N˜ ao vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0m×n uma matriz nula, A · B = 0m×n n˜ ao implica, necessariamente, que A = 0m×n ou B = 0m×n .

Invers˜ ao de Matrizes

b) 1 c) 57 d) 9 e) 39

Exerc´ıcios Complementares 

1 4. Dadas as matrizes A =  3 5 2 −1 0 B= , calcule X 1 3 4

 0 2 e 4

= 2A − 3B t .

5. A matriz A = (aij )3×3 é definida, de tal forma que:

( i−j se i>j Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma i∗j se i=j aij = ′ ′ ′ matriz A , de mesma ordem, tal que A · A = A · A = In , ent˜ ao i + j se i < j A′ é matriz inversa de A. Representamos a matriz inversa por A−1 . Determinar a matriz inversa de A.

214


6. Dada a matriz

—


Exemplo 

cos θ M =  sen θ 0

−sen θ cos θ 0

Calcule M · M t .



0 0  1

M = [5] ⇒ det M = 5 ou |5| = 5

Determinante de 2a Ordem

7. (ITA-SP) Considere P a matriz inversa da matriz M = 1/3 0 . A soma dos elementos da diagonal principal da 1/7 1 matriz P é: a) 94 b) 49 c) 4 d) 59 e) − 91 8. (UECE) Oproduto da inversa da matriz 1 1 1 0 A= pela matriz I = é igual a: 1 2 0 1 −2 1 a) −1 1 2 −1 b) 1 −1 −2 1 c) 1 −1 2 −1 d) −1 1

Matem´ atica B

a11 a12 , de ordem 2, por defini¸caõ a21 a22 o determinante associado a M , determinante de 2a ordem, é dado por: a11 a12 a21 a22 = a11 a22 − a12 a21

Dada a matriz M =


Para o c´ alculo de determinantes de ordem 3 podemos utilizar uma regra prática, conhecida como Regra de Sarrus, que s´ o se aplica a determinantes de ordem 3. A seguir, explicaremos detalhadamente como utilizar a Regra de Sarrus para calcular o determinante a11 a12 a13 D = a21 a22 a23 a31 a32 a33 1o passo: terceira:

Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da

Aula 3

Determinantes

a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32

Determinante é um n´ umero que se associa a uma matriz quadrada. De modo geral, um determinante é indicado escrevendo-se os elementos da matriz entre barras ou antecedendo a matriz pelo s´ımbolo det. a b Assim, se A = , o determinante de A é indicado por: c d 2o passo: Devemos encontrar a soma do produto dos elemen a b a b tos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela detA = det = c d c d multiplica¸caõ dos elementos das paralelas a essa diagonal: O c´ alculo de um determinante é efetuado através de regras ´ importante resespec´ıficas que estudaremos mais adiante. E saltarmos alguns pontos: 1. Somente às matrizes quadradas é que associamos determinantes. 2. O determinante n˜ ao representa o valor de uma matriz. Lembre-se, matriz é uma tabela, e n˜ ao h´ a significado falar em valor de uma tabela.


a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 multiplicar e somar

Dada uma matriz quadrada de 1a ordem M = [a11 ], o seu determinante é o n´ umero real a11 : 3o passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secund´ aria com os dois produtos obtidos pela multidet M = |a11 | = a11 plica¸caõ dos elementos das paralelas a essa diagonal:


215 Exemplo

a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 multiplicar e subtrair

 a11 a12 a13 Considerando M =  a21 a22 a23  a31 a32 a33 calcularemos o co-fator A23 . Temos que i = 2 e j = 3, logo: 2+3 A23 = (−1) · M C23 . Devemos calcular M C23 . a11 a12 = a11 a32 − a12 a31 M C 23 = a31 a32 

Assim A23 = (−1) · (a11 a32 − a12 a31 )

Assim, subtraindo o segundo produto do primeiro, podemos escrever o determinante como: D

= −

(a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 ) (a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33 )

Menor Complementar

Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada M = [aij ]m×n (m ≥ 2) pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos co-fatores. Desta forma, fixando j ∈ N, tal que 1 ≤ j ≤ m, temos:

Pm Chamamos de menor complementar relativo a um elemento det M = i=1 aij Aij aij de uma matriz M , quadrada de ordem n > 1, o determiP nante M C ij , de ordem n − 1, associado ` a matriz obtida de M em que m e o somat´ orio de todos os termos de ´ındice i, i=1 ´ quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij . Por variando de 1 até m, m ∈ N. exemplo, dada a matriz Exemplo: Calcule o determinante a seguir utilizando o Teorema de Laplace: 2 3 −4 de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo D = −2 1 2 ao elemento a11 (M C 11 ), eliminamos a linha 1 e a coluna 2: 0 5 6 a11 a12 Aplicando o Teorema de Laplace na coluna 1, te a21 a22 ⇒ M C 11 = |a22 | = a22 1+1 1 2 2+1 3 −4 mos: D = 2(−1) 5 6 + (−2)(−1) 5 6 + De modo an´ alogo, para obtermos o menor complementar rela3+1 3 −4 0(−1) 1 2 tivo ao elemento a12 , eliminamos a linha 1 e a coluna 2: D = 2(+1)(−4) + (−2)(−1)38 + 0 = −8 + 76 = 68 a11 a12 ⇒ M C 12 = |a21 | = a21 a21 a22 Observa¸ c˜ ao M=

a11 a21

a12 a22

Para um determinante de ordem 3, o processo de obten¸caõ do Se calcularmos o determinante utilizando a Regra de Sarrus, menor complementar é o mesmo utilizado anteriormente, por obteremos o mesmo n´ umero real. exemplo, sendo 

a11 M =  a21 a31

a12 a22 a32

 a13 a23  a33

Propriedades dos determinantes

P1 ) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) s˜ ao nulos, o determinante dessa matriz é nulo. P2 ) Se duas filas de uma matriz s˜ ao iguais, ent˜ ao seu determide ordem 3, temos: nante é nulo. P3 ) Se duas filas paralelas de uma matriz s˜ ao proporcionais, a a23 ent˜ a o seu determinante ´ e nulo. M C 11 = 22 = a a − a a 22 33 23 32 a32 a33 P4 ) Se os elementos de uma matriz s˜ ao combina¸co˜es lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, ent˜ ao seu determinante ´ e nulo. Co-fator P5 ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz n˜ ao Chama-se de co-fator de um elemento aij de uma matriz quase altera quando somamos aos elementos de uma fila, uma combina¸caõ linear dos elementos correspondentes de filas padrada o n´ umero Aij tal que ralelas. P6 ) O determinante de uma matriz e o de sua transposta s˜ ao i+j Aij = (−1) · M Cij iguais.

216


P7 ) Multiplicando-se por um n´ umero real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse n´ umero. P8 ) Quando trocamos as posi¸co˜es de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal. P9 ) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal s˜ ao todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal. P10 ) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária s˜ ao todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicados por

—


a) k = 64 b) k = 96 c) k = 41 d) k = 32 e) k = 4

6. (PUC) O co-fator do elemento a23 da matriz A = 2 1 3 1 2 2 é: 0 1 2 a) 2 n(n−1) b) 1 (−1) 2 . P11 ) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, c) −1 det(AB) = det A · det B. Como A · A−1 = I, det A−1 = d) −2 e) 3 1/det A. P12 ) Se k ∈ R, ent˜ ao det (k · A) = k n · det A.

7. (UDESC) Seja A uma matriz quadrada de ordem 3, apresentada abaixo, cujo determinante é igual a 0, 75.

Pense um Pouco! • Podemos associar um determinante apenas a matrizes quadradas?



sen x A= 0 2

0 −1 sen x

 1 2  0

Considerando π/2 < x < π, determinar o valor de tg x.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao log2 8 1. (ACAFE) O valor do determinante −1/2 4 a) 0 b) 4 c) 7 d) 17 2 e) 53 2

log10 é: 2 31

Matem´ atica B

Aula 4

Sistemas Lineares

c˜ ao Linear 2. (UDESC) Sejam as matrizes quadradas de ordem 2, A = Equa¸ (aij ) com aij = i2 − j 2 e B = (bij ) com bij = aij − 3 se i > j, Chamamos de equa¸caõ linear toda equa¸caõ da forma: e bij = aij + 3 se i ≤ j. Determine: a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + . . . + an xn = b a) a matriz A b) a matriz B onde a1 , a2 , a3 , . . ., an s˜ ao n´ umeros reais, que recebem o c) a matriz A · B nome de coeficientes das inc´ o gnitas x1 , x2 , x3 , . . ., xn , e b é d) o determinante da matriz A · B um n´ umero real chamado termo independente (quando b = 0, 3. (UDESC) A partir da matriz A = [aij ]2×2 , onde aij = a equa¸caõ recebe o nome de linear homogênea). n −1 se i≥j i+j se i
Exerc´ıcios Complementares 4. (UNIFENAS) Dada a matriz A = nante de sua matriz inversa A−1 é: a) −2 b) −4 c) 21 d) 4 e) − 41

1 2

−2x + 4z = 3t − y + 4 0 −4

o determi-

5. (MACK) A e B s˜ ao matrizes quadradas de ordem 3 e B = k · A. Sabe-se que det A = 1, 5 e det B = 96. Ent˜ ao:

x + y − 3z −

√

7t = 0(homogênea)

Exemplos de Equa¸ co ˜es N˜ ao Lineares xy − 3z + t = 8 x2 − 4y = 3t − 4 √

x − 2y + z = 7


217

Sistema Linear

Classifica¸c˜ ao de um Sistema

Um conjunto de equa¸co˜es lineares considerados simultanea- Podemos classificar um sistema de equa¸co˜es quanto ao n´ umero mente, como por exemplo: de solu¸co˜es diferentes que ele admite.  a x Resolvendo o sistema + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 11 1   a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 x + 2y = 5 .. .. .. ..  . . . 2x + 5y = 12  . am1 x1

+

am2 x2

+

···

+

amn xn

=

bm

encontramos uma u ´ nica solu¸caõ: o par ordenado (1, 2). Assim, ´ chamado de sistema linear de m equa¸co˜es e n inc´ E ognitas. dizemos que o sistema é poss´ıvel (tem solu¸caõ) e determinado A seq¨ uência (r1 , r2 , r3 , · · · ,) é a solu¸caõ do sistema, se é solu¸caõ (solu¸caõ u ´ nica). para todas as m equa¸co˜es do sistema. Para x + 2y = 1 2x + 4y = 2

Matrizes Associada a um Sistema Linear

Podemos associar dois tipos de matrizes a um sistema linear: Matriz incompleta é a matriz A formada pelos coeficientes das inc´ ognitas do sistema. Por exemplo, em rela¸caõ ao sistema:   2x + 3y − z = 0 4x + y + z = 7  −2x + y + z = 4

a matriz incompleta é: 

verificamos que os pares ordenados (5, −2), (3, −1), (1, 0), (−1, 1), · · · s˜ ao algumas das infinitas solu¸co˜es. Por isso, dizemos que o sistema é poss´ıvel (tem solu¸caõ) e indeterminado (infinitas solu¸co˜es). No caso do sistema 2x + 2y = 6 −3x − 3y = 2

verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as equa¸co˜es. Portanto, o sistema é imposs´ıvel (n˜ ao tem solu¸caõ). Em resumo, um sistema linear pode ser: poss´ıvel e determinado ⇒ solu¸ca õ u ńica poss´ıvel e indeterminado ⇒ infinitas solu¸co ˜es Matriz completa é a matriz B que se obtém acrescentando a` imposs´ıvel ⇒ n˜ ao tem solu¸ca õ matriz incompleta uma u ´ ltima coluna formada pelos termos independentes das equa¸co˜es do sistema. Desta forma, para o Sistema Normal sistema anterior, a matriz completa é:   2 3 −1 0 Dizemos que um sistema é normal quando possui o mesmo  4 1 1 7  n´ umero de equa¸co˜es (m) e de inc´ ognitas (n) e o determinante −2 1 1 4 da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero. Portanto Podemos ainda escrever o sistema anterior de uma forma diferente:       m = n e detA 6= 0 ⇒ sistema normal 2 3 −1 x 0  4 1 1 · y  = 7  Regra de Cramer −2 1 1 z 4  3 −1 1 1  1 1

2  4 −2

´ comum nas quest˜ E oes de vestibulares cobrarem a descri¸caõ Qualquer sistema normal possui uma u ´ nica solu¸caõ, dada por: matricial de um sistema. A forma acima é a mais correta. Dx i xi = D

Sistemas Homogˆ eneos

onde i ∈ {1, 2, 3, ·, n}, D = det A é o determinante da maUm sistema linear é dito homogêneo quando todos os termos triz incompleta associada ao sistema, e Dxi é o determinante obtido pela substitui¸caõ, na matriz incompleta, da coluna i independentes das equa¸co˜es s˜ ao iguais a zero (nulos): pela coluna formada pelos termos independentes.  a x + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0 11 1   a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0  

.. . am1 x1

+

.. . am2 x2

+

···

+

Exemplo   3x − 2y + z = 0 −x + 4y − 3z = 0  √ 2x + 3y = 0

.. . amn xn

=

0 0

Exemplo

Resolva, com o aux´ılio da regra de Cramer, o sistema: 2x + y = 7 2x − 3y = 3 Analisando o sistema, temos que m = n = 2.

2 1 = −6 − 2 = −8 6= 0 A seq¨ uência (0, 0, 0, ..., 0) é sempre solu¸caõ de um sistema hoD= 2 −3 mogêneo com n inc´ ognitas e recebe o nome de solu¸ca õ trivial. Quando existem, as demais solu¸co˜es s˜ ao chamadas de n˜ ao- como D 6= 0, o sistema é normal e podemos utilizar a regra de triviais. Cramer para resolvê-lo.

218


—


  x + 2y + −3z = 9 c) 3x − y + 4z = −5  2x + y + z = 0  1 1 1  x +y +z =0 3 1 + −5 =0 a coluna C1 pela coluna formada pelos termos independentes, d)  x1 y2 z3 x + y − z =1 encontramos: 7 1 = −21 − 3 = −24 Dx = 1 −3 Substituindo, na matriz incompleta 2 1 2 −3

Matem´ atica B

Substituindo, agora, C2 pela coluna dos termos independentes, encontramos: 2 7 = 6 − 14 = −8 Dy = 2 3 Assim:

Dx −24 x= = =3 D −8

Dy −8 y= = =1 D −8

Logo, a solu¸caõ do sistema é x = 3 e y = 1.

Pense um Pouco! O sistema de equa¸co˜es lineares bx − y − 4 = 0 x + ay − 1 = 0


na forma matricial.

3. Determine k ∈ R de modo que o sistema seja normal

Se um sistema linear tem n equa¸co˜es e n inc´ ognitas, ele pode ser: 1. poss´ıvel e determinado, se D = detA 6= 0; caso em que a solu¸caõ é u ńica. Exemplo:   x−y+z =3 2x + y − z = 0  3x − y + 2z = 6

= 3 6= 0 poss´ıvel e determinado, tendo solu¸cão

2. poss´ıvel e indeterminado, se D = Dx1 = Dx2 = Dx3 = . . . = Dxn = 0, para n = 2. Se n ≥ 3, essa condi¸caõ s´ o ser´ a válida se n˜ ao houver equa¸co˜es com coeficientes das inc´ ognitas respectivamente proporcionais e termos independentes n˜ ao-proporcionais. Um sistema poss´ıvel e indeterminado apresenta infinitas solu¸co˜es: Exemplo:   x + 3y + 2z = 1 −2x + y + z = −2  −x + 4y + 3z = −1

1. Escreva O sistema   3x − 2y + 2z = 7 x+y−z =4  −2x + 3y − 3z = −3 2.  Verifique se os sistemas s˜ ao normais.  x+y =0 2x + 3y − z = 2 a)  3x + −z = 4  x + y+z =4  b) 2x + 3y − 5z = 1  3x + 4y − 4z = 7

Discuss˜ ao de um Sistema Linear

m = n = 3 1 −1 1 D = 2 1 −1 3 −1 2 Ent˜ ao, o sistema é u ´ nica.

é homogêneo?

Aula 5

D = 0, Dx = 0, Dy = 0 e Dz = 0 Assim, o sistema é poss´ıvel e indeterminado, tendo infinitas solu¸co˜es.

kx + y = 3 x + ky = 5

Exerc´ıcios Complementares 4. Resolva os seguintes sistemas lineares, com o aux´ılio da regra de Cramer: 3x + y = 5 a) 2x − 3y = −4   2x + y − 8z = −5 x + y − 2z = 0 b)  x + 2y − 3z = 6

3. imposs´ıvel, se D = 0 e ∃ Dxi 6= 0, 1 ≤ i ≤ n; caso em que o sistema n˜ ao tem solu¸caõ. Exemplo:   x + 2y + z = 1 2x + y − 3z = 4  3x + 3y − 2z = 0 1 2 1 D = 2 1 −3 = 0 3 3 −2 1 2 1 Dx = 4 1 −3 = 35 6= 0 0 3 −2 Como D = 0 e Dx 6= 0, o sistema é imposs´ıvel e n˜ ao apresenta solu¸caõ.


219

Pense um Pouco!

Progress˜ ao Aritm´ etica

Descreva as condi¸co˜es que devem ser satisfeitas por um sistema Seq¨ uˆ encias para que ele seja: Imagine que na p´ agina de passatempos de uma revista você a) poss´ıvel e determinado; encontre o seguinte problema: b) poss´ıvel e indeterminado; c) imposs´ıvel. Descubra o elemento que completa a seq¨ uencia: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . N˜ ao haveria dificuldade para você entender o que foi pedido, Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao pois a no¸caõ de seq¨ uencia lhe é familiar: uma lista onde os elementos est˜ ao numa certa ordem. Em um calend´ ario, por exemplo, os dias da semana est˜ a o em seq¨ u ˆ e ncia. 1. Classifique o sistema Para resolver o problema, você precisa descobrir a lei de  forma¸caõ da seq¨ uência. No caso da quest˜ ao acima, n˜ ao é dif´ıcil  x+z =5 2x + y + 3z = −1 perceber que cada elemento, a partir do terceiro, é igual à soma  −2x − 2z = 1 dos dois elementos anteriores: 2 = 1 + 1, 3 = 1 + 2, 5 = 2 + 3, 8 = 3 + 5, etc., assim, o elemento que completa a seq¨ uencia é 13 + 21 = 34. Exerc´ıcios Complementares ´ usual indicar os elementos de uma seq¨ E uência (que é também chamada de progressão) por letra, em geral min´ uscula, acompanhada de um ´ındice que localiza a posi¸caõ do elemento; as2. (UDESC) Considere o sistema de equa¸co˜es lineares sim a1 indica o primeiro elemento, a2 indica o segundo, a3 o bx − y − b = 0 terceiro, e assim por diante. O s´ımbolo an é usado para indicar o enésimo elemento, isto é, o termo de posi¸caõ n. Como n x + ay − a = 0 pode ser igual a 1,2,3, etc, conforme a posi¸caõ do elemento ao onde a e b s˜ ao n´ umeros reais. qual queremos nos referir, dizemos que an representa o termo Pede-se: geral da progressão. Utilizando esta nomenclatura podemos a) escrever o sistema na forma matricial; descrever, em linguagem matemática, a lei de forma¸caõ da b) determinar os valores de a e b, para que: seq¨ uência. b.1) - o sistema seja poss´ıvel (compat´ıvel) e determinado; Por exemplo, na seq¨ uência dos quadrados dos n´ umeros inteiros b.2) - o sistema seja poss´ıvel (compat´ıvel) e indeterminado; positivos b.3) - 0 sistema seja imposs´ıvel ou incompat´ıvel. 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... 3. Discuta o sistema

vemos que o termo geral desta seq¨ uência é

x + 2ky = k kx + 2y = p

an = n 2

segundo os valores de p e k.

Progress˜ ao Aritm´ etica (PA)

4. (UDESC) Considere o sistema de equa¸co˜es lineares 2x + 2y = b 3x + ay = 6

Chama-se Progressão Aritmética (PA) à toda seq¨ uência numérica cujos termos a partir do segundo, s˜ ao iguais ao anterior somado com um valor constante denominado raz˜ ao. Dependendo da raz˜ ao r da PA, ela pode ser classificada como crescente, decrescente ou constante.

onde a e b s˜ ao n´ umeros reais. Pede-se: a) escrever o sistema na forma matricial; b) determinar os valores de a e b, para que: b.1) - o sistema seja poss´ıvel (compat´ıvel) e determinado; b.2) - o sistema seja poss´ıvel (compat´ıvel) e indeterminado; b.3) - 0 sistema seja imposs´ıvel ou incompat´ıvel. 5. (UDESC) Discuta, segundo os valores dos parˆ ametros a e b, o sistema:   ax + y + 2z = b 2ax − y + 2z = 1  2x + y + 2z = 3

Matem´ atica B

Aula 6

Classifica¸c˜ ao Uma PA fica perfeitamente determinada se conhecermos seu primeiro termo a1 e sua raz˜ ao r, pois conhecemos a sua lei de forma¸ca õ. Para uma PA sobre os n´ umeros reais, ou seja, se {a1 , r} ⊂ R podemos usar a seguinte classifica¸caõ geral: r r>0 r<0 r=0

PA progressão aritmética crescente progressão aritmética decrescente progressão aritmética constante

Exemplos A = (1, 5, 9, 13, 17, 21, . . .) raz˜ ao = 4, PA crescente

220


B = (3, 12, 21, 30, 39, 48, . . .) raz˜ ao = 9, PA crescente C = (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, . . .) raz˜ ao = 0, PA constante D = (100, 90, 80, 70, 60, 50, . . .) raz˜ ao = -10, PA decrescente


Termos Eq¨ uidistantes Numa PA, a soma dos termos eq¨ uidistantes dos extremos ´ e constante. Exemplo Observe a PA: 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33

Termo Geral de uma PA Seja a PA genérica (a1 , a2 , a3 , a4 . . . , an−1 , an , . . .) de raz˜ ao r. Podemos escrever: a2 = a1 + r a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r Podemos generalizar das igualdades acima que o termo geral de uma PA é: an = a1 + (n − 1)r , onde an é o termo de ordem n (n-ésimo termo), r é a raz˜ ao e a1 é o primeiro termo da PA. ´ f´ E acil perceber que uma PA est´ a perfeitamente determinada se conhecermos seu primeiro termo a1 e sua raz˜ ao r.

, e note que: 1 + 33 = 34, 5 + 29 = 34, 9 + 25 = 34, 13 + 21 = 34, etc.

Soma dos Termos de uma PA Considerando a PA (a1 , a2 , a3 , . . . , an−2 , an−1 , an ), a soma Sn dos n primeiros termos dessa progressão pode ser escrita assim: Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an−2 + an−1 + an

Sn Sn

= =

a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) + . . . + an an + (an − r) + (an − 2r) + . . . + a1

(3.1) (3.2)

Como a soma dos termos eq¨ uidistantes dos extremos é sempre constante, somando (3.1) com (3.2) membro a membro, obtemos:

Exemplos 1. Qual o milésimo n´ umero ´ımpar positivo?

2sn = (a1 + an ) + (a1 + an ) + . . . + (a1 + an ) = (a1 + an )n

Temos a PA: (1, 3, 5, 7, 9, . . . ) onde o primeiro termo é a1 = 1, a raz˜ ao é r = 2 e queremos calcular o milésimo finalmente: termo (a1000 ). Nestas condi¸co˜es, n = 1000 e poderemos escrever: a1000 = a1 + (1000 − 1) · 2 a1000 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999 Portanto, 1999 é o milésimo n´ umero ´ımpar. 2. Qual o n´ umero de termos da PA: (100, 98, 96, . . . , 22)? Temos a1 = 100, r = 98 − 100 = −2 e an = 224 e desejamos calcular n. Substituindo na f´ ormula do termo geral, temos: 22 = 100 + (n − 1) · (−2) logo, 22 − 100 = −2n + 2 e 22 − 100 − 2 = −2n de onde conclui-se que −80 = −2n ⇒ n = 40. Portanto, a PA possui 40 termos.

Numa PA, cada termo (a partir do segundo) ´ e a m´ edia aritm´ etica dos termos vizinhos deste. Exemplo Observe a PA de 9 termos: 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33

25 =

(a1 + an )n 2

Esta é a express˜ ao que nos d´ a a soma dos n primeiro termos de uma PA. Exemplo Vamos calcular a soma dos 200 primeiros n´ umeros ´ımpares positivos: Temos a PA: (1, 3, 5, 7, 9, . . .) e precisamos conhecer o valor de a200 . Mas, a200 = a1 + (200 − 1) · r = 1 + 199 · 2 = 399 Logo, Sn = [(1 + 399) · 200]/2 = 40.000 Portanto, a soma dos duzentos primeiros n´ umeros ´ımpares positivos é igual a 40.000 .

• Compare a fórmula do termo geral de uma PA com a equa¸caõ da reta. Comente.

M´ edia dos Vizinhos

13+5 2 ,

Sn =

Pense um Pouco!

Propriedades da PA

e note que: 5 = 9+1 2 , 9 =

—

29+21 2 ,

etc.

• Se fizermos um gráfico an × n de alguns termos de uma PA, que tipo de gráfico obteremos?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Determine a soma dos trinta primeiros termos da PA (−4, −2, 0, 2, 4, 6, . . .).


221

2. Encontre a soma dos sete primeiros termos de uma PA em que o 5o termo é 17 e o 3o é 11. 3. Calcule o n´ umero de termos da PA (7,9,11,13, . . . ), sabendo que a soma deles é 160.

Exerc´ıcios Complementares 4. As medidas dos lados de um triˆ angulo s˜ ao expressas por x + 1, 2x, x2 − 5 e est˜ ao em PA, nesta ordem. O per´ımetro do triˆ angulo vale: a) 8 b) 12 c) 15 d) 24 e) 33

a1 a1 > 0 a1 > 0 a1 < 0 a1 < 0 ∀a1 ∈ R a1 = 0

r r>1 r<1 r>1 r<1 r=1 r=0

PG progressão geométrica crescente progressão geométrica decrescente progressão geométrica decrescente progressão geométrica crescente progressão geométrica constante progressão geométrica nula

Exemplos

2, 6, 18, 54, 162, . . . PG crescente de raz˜ ao 3 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, . . . PG decrescente raz˜ ao 1/2 −5, −5, −5, −5, −5, −5, −5, . . . PG constante de raz˜ ao 1 (1, −3, 9, −27, 81, −243, . . .) 5. (UFBA) - Um rel´ ogio que bate de hora em hora o n´ umero PG alternada (ou oscilante) de raz˜ ao −3 de vezes correspondente a cada hora, bater´ a, de zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da ter¸ca parte de x.

Termo Geral da PG

6. (UFBA) - Numa progressão aritmética, o primeiro termo é 1 e a soma do n-ésimo termo com o n´ umero de termos é 2. Numa PG (a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . .) de raz˜ ao r, pela defini¸caõ, Calcule a raz˜ ao dessa progressão. temos: a2 = a1 · r 7. Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na a3 = a2 · r = (a1 · r)r = a1 · r2 qual a soma do terceiro termo com o sétimo é igual a 30 e a a4 = a3 · r = (a1 · r2 )r = a1 · r3 soma do quarto termo com o nono é igual a 60.

Matem´ atica B

Aula 7

Assim, podemos verificar que a10 = a1 · r9 ou a40 = a1 · r39 . Portanto: an = a1 rn−1 para n = 1, 2, 3, . . ..

Progress˜ ao Geom´ etrica (PG) Entenderemos por progressão geométrica (PG) qualquer seq¨ uência de n´ umeros reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada raz˜ ao. A partir da defini¸caõ anterior, podemos escrever: an = an−1 r , onde an 6= 0

Observa¸ co ˜es 1. Note que s˜ ao necess´ arios pelo menos três termos para identificar e diferenciar uma PA de uma PG, por exemplo. 2. Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa como: (x/r, x, xr), onde r é a sua raz˜ ao. 3. Uma PA genérica de 3 termos, pode ser expressa como: (x − r, x, x + r), onde r é a sua raz˜ ao.

para n = 1, 2, 3, . . .. Exemplos A raz˜ ao r pode ser obtida de dois termos consecutivos da PG: an 1. Dada a PG (2, 4, 8, . . .), vamos calcular o décimo termo. r= an−1 Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = . . . = 2. Para calcular o décimo termo ou seja a10 , vem pela fórmula: Chama-se progress˜ ao geom´ etrica ou PG ` a toda seq¨ uência a10 = a1 · r9 = 2 · 29 = 2 · 512 = 1024 numérica cujos termos a partir do segundo, s˜ ao iguais ao anterior multiplicado por um valor constante denominado raz˜ ao. Dependendo a raz˜ ao r da PG e do primeiro termo a1 a seq¨ uência de valores obtidos pode ser crescente, decrescente ou constante.

Classifica¸c˜ ao Uma PG est´ a perfeitamente determinada se conhecermos seu primeiro termo a1 e sua raz˜ ao r, pois conhecemos a lei de forma¸ca õ. Para uma PG sobre os n´ umeros reais, ou seja, se {a1 , r} ⊂ R podemos usar a seguinte classifica¸caõ geral:

2. Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a raz˜ ao desta PG? Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a4 = a1 · r4−1 e a8 = a1 · r8−1 a4 = a1 · r 3 e a8 = a1 · r 7 Da´ı, vem: a4 r3 r7 r3

= =

a8 r7 a8 a4

222

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC r4

=

a8 a4 320 20

—


Soma dos Termos de uma PG infinita

Dada a PG infinita (a1 , a2 , a3 , . . .) de raz˜ ao r, r 6= 0, para determinar a soma S dos seus infinitos termos, temos: a) se r ≤ −1 ou r ≥ 1, S tende a ±∞ (o que significa que S é indeterminada; Ent˜ ao r4 = 16 e portanto r = 2. b) se −1 < r < 1, S converge para um valor finito. A partir da fórmula da soma dos n primeiros termos de uma n −1) , temos que, quando n tende a +∞, rn PG, Sn = a1 (r Produto dos Termos de uma PG r−1 tende a zero, portanto, a fórmula para calcular S, com |r| < 1, Dada a PG (a1 , a2 , a3 , . . . , an ), com r 6= 0, podemos calcular o é: −a1 a1 (0 − 1) produto Pn de seus n primeiros termos assim: = S= r − 1 r −1 Pn = a1 · a2 · a3 · . . . · an = 2 n−1 logo, a1 (a1 · r)(a1 · r ) · . . . · (a1 · r )= a1 S= 2 3 (a1 · a1 · a1 · . . . · a1 )(r · r · r · . . . · rn−1 ) 1 −r | {z } r4

=

n fatores Aplicando a propriedade das potências de mesma base, temos:

Propriedades Principais da PG Produto de Termos Vizinhos

Pn = a1 n · r1+2+3+...+n−1

Em toda PG, um termo qualquer, com exce¸caõ do primeiro Como 1 + 2 + 3 + n + . . . + n − 1 representa a soma dos termos e do u ´ ltimo, tem seu quadrado igual ao produto dos termos de uma PA, temos imediatamente anterior e posterior, ou seja, a2n = an−1 an+1 . Exemplo n(n−1) Pn = a1 n · r 2 Na PG (5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, . . .) temos: 102 = 5 · 20 = 100 202 = 10 · 40 = 400 Soma dos Termos de uma PG 402 = 20 · 80 = 1.600 2 = 40 · 160 = 6.400 Vamos indicar por Sn a soma dos n primeiros termos da PG 80 .. (a1 , a2 , a3 , . . . , an−1 , an , . . .): . Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an−1 + an

(3.3) Produto de Termos Eq¨ uidistantes

Se multiplicarmos ambos os membros da equa¸caõ acima por r, O produto dos termos eq¨ uidistantes dos extremos de uma PG vem é constante: a1 an = a2 an−1 = a3 an−2 = . . . Exemplo r · Sn = a1 · r + a2 · r + a3 · r + . . . + an−1 · r +an · r Na PG alternada com 6 termos | {z } | {z } | {z } | {z } a2 a3 a4 an −2, 2/3, −2/9, 2/27, −2/81, 2/243 temos: −2 · 2/243 = 2/3 · −2/81 = −2/9 · 2/27 = −4/243 r · S n = a1 + a2 + a3 + a4 . . . + an + an · r (3.4) Efetuando, agora, a subtra¸caõ 3.4 - 3.3, obtemos (para r 6= 1), a f´ ormula da soma: a1 (rn − 1) Sn = r−1

Pense um Pouco! • Dada a PG (5, 10, 20, 40, 80, . . .), determine sua raz˜ ao. • Fazendo-se um gráfico dos termos de uma PG an × n, que tipo de comportamento ter´ıamos? Comente.

Exemplo


Calculemos a soma dos 10 primeiros termos da PG (1, 2, 4, 8, . . .). 1. Verifique se cada uma das seq¨ uencias é PG, determinando, Temos: em caso afirmativo, a raz˜ ao r. 1·(210 −1) Sn = 2−1 = 1023 a) 43 , − 29 , 54 2 ,... Observe que neste caso a1 = 1. 4 ,... b) − 53 , 25 , − 15

Soma dos Termos de uma PG constante

2. Determine o produto dos 53 termos iniciais da PG (2−26 , −2−25 , 2−24 , . . .).

Neste caso trivial, como a PG é constante, temos r = 1. Ent˜ ao 3. (UnB) O valor de x na equa¸caõ 27 9 3 1 + + + . . . = x Sn = a1 + a1 + a1 + . . . + a1 ⇒ Sn = n · a1 5 5 5 4

´tica B – Aula 7 Matema é: a) 1 b) 35 c) 43 d) 25 e) 45 8

Exerc´ıcios Complementares 4. (UFRS) A cada balan¸co uma firma tem apresentado um aumento de 10 % em seu capital. A raz˜ ao de progressão formada pelos capitais nos balan¸cos é: a) 10 b) 11 10 c) 10 11 9 d) 10 1 e) 10 5. Sabe-se que x − 16, x − 10 e x + 14 s˜ ao os três primeiros termos de uma PG. Calcule o seu 14o termo. 6. (Ucsal-BA) A soma dos três primeiros termos de uma progress˜ ao geométrica é − 43 e a soma dos três termos seguintes é 6. A raz˜ ao dessa progressão é: a) -4. b) -2. c) 12 . d) 2. e) 18 . 7. (UGF-RJ) Calcule a raz˜ ao de uma PG, na qual o 1o termo 1 4 o é 2 e o 4 é 27 . 8. (PUC-SP) O 7o termo de uma PG é 8 e a raz˜ ao é −2. Determine a soma dos três primeiros termos dessa progressão.

223

224


—


´tica C – Aula 1 Matema

Matem´ atica C

225

Aula 1

Para indicar que a consoante m n˜ ao pertence a V , escrevemos: m∈ /V Os s´ımbolos ∈ (pertence) e ∈ / (n˜ ao pertence), s˜ ao sempre utilizados no sentido do elemento para o conjunto.

Teoria dos Conjuntos

Representa¸c˜ ao de Conjuntos

Hist´ oria

Um conjunto pode ser representado de várias formas distintas: por enumera¸caõ, por uma propriedade caracter´ıstica ou por diAs no¸co˜es que deram origem ` a Teoria dos conjuntos, est˜ ao agramas. Enumera¸caõ: Neste caso, escrevemos seus elementos diretamente ligadas aos estudos dos matemáticos ingleses Auentre chaves, separados por v´ırgulas e sem repeti¸caõ. gustus De Morgan (1806 − 1871) e George Boole (1815 − 1864), considerados fundadores da l´ ogica moderna. Boole publicou umeros inteiros e positivos, em 1854 uma obra onde eram apresentados os fundamentos de Exemplo: O conjunto P dos n´ uma ´ algebra espec´ıfica para o estudo da l´ ogica. Em seus traba- compreendidos entre 3 e 8. lhos, ele utilizou freq¨ uentemente rela¸co˜es entre “conjuntos”de P = {4, 6, 8, 10, 12, 14}. objetos. Entretanto, n˜ ao chegou a desenvolver o conceito de conjunto de modo adequado. Propriedade Caracter´ıstica

(a)

(b)

Para representar um conjunto através de uma propriedade caracter´ıstica α , escrevemos: A = {a/a tem a propriedade α}. Exemplo Para o conjunto do exemplo anterior, temos: P = {x/x é Natural maior do que 7}. Diagramas de Venn

Figura 3.1: George Boole (1815–1864) (a) e George Cantor Na representa¸caõ por diagrama, tra¸camos uma linha fechada (1845-1918) (b) em torno dos seus elementos associados a pontos. Exemplo Somente em 1890, o matemático russo George Cantor (1845 − 1918), que desenvolvia estudos sobre a Teoria dos N´ umeros, O diagrama abaixo representa o conjunto A das vogais. publicou na Alemanha uma série de proposi¸co˜es e defini¸co˜es que vieram a se constituir na linguagem simb´ olica para a l´ ogica, a Teoria dos N´ umeros e outros ramos da Matem´ atica. Em fun¸caõ disso, Cantor é conhecido como o criador da Teoria dos Conjuntos. Na formula¸caõ dessa teoria, Cantor utilizou também formas de representa¸caõ em diagramas que já tinham sido utilizadas no estudo da L´ ogica por Leonhard Euler (1707 − 1783) e por John Venn (1834 − 1923).

Conjunto A no¸caõ de conjunto é aceita sem defini¸caõ, como conceito primitivo, formada a partir da idéia de cole¸caõ: Assim, podemos nos referir a conjunto de animais, pessoas, objetos, n´ umeros, letras, etc . . . Existem certos conjuntos que têm um nome especial chamado coletivo. Exemplo: O coletivo de cavalos é manada, o coletivo de estrelas é constela¸caõ, o coletivo de lobos é alcatéia. Cada um dos integrantes de um conjunto é chamado de elemento do conjunto. Em geral, indicamos o nome de um conjunto por letras mai´ usculas (A,B,C,. . . ,Z) e o de seus elementos, que se sup˜ oe distintos entre si, dois a dois, por letras min´ usculas (a,b,c,. . . ,z). ` A no¸caõ de constituir associamos, em matemática, o conceito também primitivo de pertencer. Dessa forma, tomando o conjunto V das vogais, dizemos que o elemento a pertence ao conjunto V . Simbolizamos essa rela¸caõ por: a∈V

A

a e

i o u U = alfabeto

Figura 3.2: Diagrama de Venn para o conjunto A das vogais. Em geral, o diagrama de Venn representa também o conjunto universo U , que contém o conjunto representado. Para isso, desenha-se em torno do diagrama um retˆ angulo representando o conjunto U .

Classifica¸c˜ ao dos Conjuntos Podemos classificar um conjunto de acordo com o seu n´ umero de elementos n(D). Portanto, um conjunto D é chamado con-

226


junto vazio se n˜ ao possui elementos. Isto é:

—


Exemplo

Sendo o conjunto A = {2, 3, 5}, podemos escrever seus subconjuntos como segue: Com zero elemento - ∅ Representamos o conjunto vazio por: Com um elemento - {2},{3},{5} D = { } ou D = Ø Com dois elementos - {2, 3},{2, 5},{3, 5} Com três elementos - {2, 3, 5} Por outro lado, um conjunto D é dito conjunto unit´ ario, Assim, temos: quando tiver apenas um elemento, isto é: n(D) = 1. P (A) = {∅, {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}} n(D) = 1 ⇔ D é unit´ ario Pode-se demonstrar que, se n(A) = k ent˜ ao, o n´ umero de Ainda: Quando n˜ ao se pode contar o n´ umero de elementos, elementos que formam o conjunto das partes de A n(P (A)), é temos um conjunto infinito, caso contr´ ario, temos um conjunto dado por 2k . finito. n(D) = 0 ⇔ vazio

Opera¸c˜ oes com Conjuntos Igualdade

Uni˜ ao Um conjunto A ser´ a igual a um conjunto B, se ambos A união entre dois conjuntos A e B consiste num outro conpossu´ırem os mesmos elementos, isto é, se cada elemento que junto C de todos os elementos que pertencem a A ou a B ou pertence a A pertencer também a B e vice-versa. a ambos. Simbolicamente, temos: C = A ∪ B, lê-se: C é igual a A união B. De uma maneira mais concisa a defini¸caõ dada A = B ⇔ ∀ x, x ∈ A e x ∈ B acima pode ser escrita simbolicamente por: Exemplo

A ∪ B = {x/x ∈ A ou x ∈ B}

Seja A = {5, 7, 9} e B = {5, 7, 9}. Veja que: A = B, pois todo elemento que pertence a A é também elemento de B, e todo elemento de B é elemento de A.

Subconjunto

Exemplo Fazendo a união dos conjuntos A = {2, 4, 7} e B = {1, 3, 4}, temos: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 7} Também podemos representar a união usando diagramas:

Se cada elemento de um conjunto A pertence a um outro conjunto B, dizemos que A é subconjunto de B. Assim: A ⊂ B, que se lê: A est´ a contido em B. Simbolicamente escrevemos:

B 1

A ⊂ B ⇔ (∀ x) (x ∈ A e x ∈ B)

A

Exemplos O conjunto A = {2, 3, 4, 5} é um subconjunto de B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, pois cada um dos elementos de A se acha em B (note que a rec´ıproca n˜ ao é verdadeira). Quando dois conjuntos C e D têm todos os elementos em comum (C = D), implica em: C⊂DeD⊂C

4 2

3

7 U=N

Figura 3.3: Uni˜ ao de conjuntos. O conjunto C = {3, 6, 9} est´ a contido em D = {9, 3, 6} e viceversa. Caso exista pelo menos um elemento de A que n˜ ao ao é necess´ ario que se repitam os elementos comuns perten¸ca a B, dizemos que A n˜ ao est´ a contido em B, ou que Obs.: N˜ aos dois conjuntos. Assim, no exemplo anterior o 4 é comum A n˜ ao é subconjunto de B. tanto a A como a B, no conjunto união ele deve ser escrito (∃x/x ∈ A e x 6∈ B) ⇒ A 6⊂ B uma s´ o vez. Propriedades da Uni˜ ao

Conjunto das Partes

• A ∪ A = A, pois: A ∪ A = {x/x ∈ A ou x ∈ A}.

Em geral, para qualquer conjunto A, pode-se construir um novo conjunto, cujos elementos sejam todos os subconjuntos poss´ıveis de A. A esse novo conjunto chamamos de: Conjunto das partes de A, que é representado por P (A).

• A ∪ B = B ∪ A, ou seja a união é comutativa, visto que: A ∪ B = {x/x ∈ A ou x ∈ B} = {x/x ∈ Bou x ∈ A} = B ∪ A.

P (A) = {x/x ⊂ A}

• A ⊂ (A ∪ B) = B ⊂ (A ∪ B), isto é: Tanto A como B s˜ ao subconjuntos do conjunto A ∪ B.


227

• ∅ ∪ A = A , visto que: ∅ ∪ A = {x/x ∈ ∅ ou x ∈ A}, Diferen¸ ca como se sabe o conjunto vazio n˜ ao tem elementos, logo; Denominamos diferen¸ca A − B (lê-se: A menos B), o conjunto resta-nos que x ∈ A, o que implica que ∅ ∪ A = A. formado pelos elementos pertencentes a A e n˜ ao a B, ou seja: Interseç c˜ ao Chamamos de interseçcaõ de um conjunto A com outro conjunto B, ao conjunto constitu´ıdo pelos elementos x que pertencem tanto a A como a B, simultaneamente. A esse conjunto indicamos:A ∩ B, lê-se: “A interseç c˜ ao B”, ou por simplicidade “A inter B”. Esquematicamente temos: A ∩ B = {x/x ∈ A e x ∈ B} Exemplo Sejam L = {c, a, r, l, o, s} e V = {a, e, i, o, u}, temos: L ∩ V = {a, o}. Em diagramas:

A − B = {x/x ∈ A e x 6∈ B} Exemplo Considerando os conjuntos: L = {c, a, r, l, o, s} e V {a, e, i, o, u}, temos que a diferen¸ca A − B = {c, r, l, s}. Em diagramas:

L c s l r a o u

L c s l r a o u

=

e i

V U={a,b,c,...,x,y,z}

e i

V U={a,b,c,...,x,y,z}

Figura 3.5: Diferen¸ca de conjuntos. Propriedades

Figura 3.4: Interseçca õ de conjuntos. Propriedades da Interseç c˜ ao

• A−A=∅ • A−∅=A

• A ∩ B = A.

• ∅−A=∅

• A ∩ B = B ∩ A.

• A ⊂B ⇒A−B =∅

• (A ∩ B) ⊂ A = (A ∩ B) ⊂ B. • ∅ ∩ A = ∅.

Complementar de um Conjunto

Sejam dois conjuntos A e B, tais que: B ⊂ A. Chamamos à diferen¸ca A − B de: Complementar de B em rela¸caõ a A. Exemplo Em muitos casos, faz-se necess´ ario que consideremos um conjunto mais amplo que os demais. A esse conjunto (que Temos os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6}. Note a: contém todos os outros como subconjuntos) é denominado que B ⊂ A; Assim, temos que A − B ser´ de conjunto Universo. Para representa-lo, usamos a letra mai´ uscula U . Obs.: A no¸caõ de conjunto Universo é relativa, dependendo das circunstˆ ancias e amplitude do contexto que desejamos empregá-la. Exemplos Complemento e Universo

A

3

1

• para os conjuntos de n´ umeros inteiros, Z o conjunto universo; • para os conjuntos de letras, o alfabeto é o conjunto universo; • para os resultados da loteria, N é o conjunto universo; • para o conjunto das ra´ızes de 4, {+2, −2} é o conjunto universo. Na maioria dos assuntos estudados em matemática, o conjunto dos n´ umeros reais é o conjunto universo.

B

5 4

6

2 U=N Figura 3.6: Complementar de B em rela¸ca õ a ` A.

228


—


Pense um Pouco!

e 20 pessoas n˜ ao consomem o produto A. Qual o n´ umero de pessoas “n”que foram entrevistadas? • Qual o conjunto universo para os resultados de um a) 85 b) 75 lan¸camentos de um dado? c) 60 • Qual o conjunto uni˜ ao das letras do seu nome? d) 90 e) n.d.a • Qual o conjunto de dinossauros vivos?

7. (CESGRANRIO) Em uma universidade s˜ ao lidos dois jornais A e B; exatamente 80% dos alunos lêem o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que lêem ambos é: Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao a) 48% b) 60% 1. (OSEC) Numa escola de 360 alunos, onde as u ´ nicas c) 40% matérias dadas s˜ ao português e matemática, 240 alunos estu- d) 140% dam português e 180 alunos estudam matemática. O n´ umero e) 80% de alunos que estudam português e matemática é: a) 120 b) 60 c) 90 d) 120 e) 180 • {∅} é o mesmo que {}? Explique.

Matem´ atica C

Aula 2

2. Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, ent˜ ao o n´ umero m´ınimo de elementos de A é? Conjuntos Num´ ericos a) 5 b) 6 O Nascimento do N´ umero c) 7 d) 9 A no¸caõ de n´ umero tem provavelmente a idade do homem e e) 10 certamente sempre esteve ligada à sua necessidade de registrar omenos que o cercavam. 3. (ACAFE-SC) Dados os conjuntos A = {x ∈ R|−3 < x < 5} e interpretar os fenˆ Os primeiros s´ ımbolos numéricos conhecidos surgiram com o e B = {x ∈ Z|−1 < x < 7}. Quantos elementos possui A∩B? intuito de representar a varia¸caõ numérica em conjuntos com a) infinitos poucos elementos. Com a amplia¸caõ e a diversifica¸caõ de b) 8 suas atividades, o homem sentiu a necessidade de criar noc) 7 vos s´ ımbolos num´ e ricos e processos de contagem e desenvolver d) 6 sistemas de numera¸ c a ˜ o. e) 5 A maioria dos sistemas de numera¸caõ tinha como base os n´ umeros 5 ou 10, numa clara referencia ao numero de dedos que temos nas mãos. Esses sistemas ainda n˜ ao possu´ıam a Exerc´ıcios Complementares nota¸caõ posicional nem o n´ umero zero. 4. (PUC-CAMPINAS) Numa ind´ ustria, 120 oper´ arios traba- Os primeiros registros da utiliza¸caõ da nota¸caõ posicional ocorreram na Babilˆ onia, por volta de 2500 a.C. J´ a o aparecimento lham de manh˜ a, 130 trabalham ` a tarde, 80 trabalham à noite; do zero data do s´ e culo IX e ´ e atribu´ ıdo aos hindus. 60 trabalham de manh˜ ae` a tarde, 50 trabalham de manh˜ aea noite, 40 trabalham à tarde e ` a noite e 20 trabalham nos três Também se atribuiu aos hindus o atual sistema de numera¸caõ posicional decimal, que foi introduzido e difundido na Europa per´ıodos. Assim: pelos árabes. Por essa raz˜ ao, esse sistema é costumeiramente a) 150 operários trabalham em 2 per´ıodos; chamado de sistema de numera¸ caõ indo-ar´ abico. b) h´ a 500 operários na ind´ ustria; Deve-se a Leonardo de Pisa (1175-1240), também chamado c) 300 operários n˜ ao trabalham ` a tarde; Fibonacci, a difus˜ ao do sistema indo-arábico na Europa, d) h´ a 30 operários que trabalham s´ o de manh˜ a; através de sua obra L´ıber Abacci, de 1202. e) N.d.a. 5. (PUC-SP) - Se A = ∅ e B = {∅}, ent˜ ao: a) A ∈ B b) A ∪ B = ∅ c) A = B d) A ∩ B = B e) B ⊂ A 6. Em uma pesquisa sobre o consumo de dois produtos A e B, foram entrevistas “n”pessoas, das quais descobriu-se que: 40 consomem o produto A, 27 consomem B, 15 consomem A e B

Conjuntos Num´ ericos 1. Conjunto dos n´ umeros naturais (N): N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .} N∗ = {1, 2, 3, 4, 5, . . .} 2. Conjunto dos n´ umeros inteiros (Z): Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} Z+ = {0, 1, 2, 3, . . .} Z∗+ = {1, 2, 3, 4, . . .}


229

Q´

Q

Z

N

U=R Figura 3.2: Os conjuntos numéricos.

Figura 3.1: Leonardo Pisano Fibonacci (1175-1240).

II) Multiplica¸ c˜ ao e Divis˜ ao: Aplica-se a regra dos sinais:  + + = +    − +=− Observa¸ c˜ ao: Pela ordem, resolver ( ); [ ]; + −=−    − −=+ a { }. Q = {x|x = , a ∈ Z, b ∈ Z∗ } b Exerc´ıcio resolvido: −3 · {14 ÷ (−7) − 3 · [4 − (10 − 12 + 9 − 7 − 4) ÷ 2]} −3 · {−2 − 3 · [4 − (−4) ÷ 2]} Exemplos −3 · {−2 − 3 · [4 + 2]} 7 3 1 −3.{−2 − 3 · [+6]} 3 ∈ Q; 5 ∈ Q; 1 ∈ Q. −3.{−2 − 18} 4. Conjunto dos n´ umeros irracionais (Q′ ): Todo −3.{−20} n´ umero que n˜ ao pode ser representado na forma de uma +6 fra¸caõ, com numerador e denominador inteiros é chamado “n´ umero irracional”.

3. Conjunto dos n´ umeros racionais (Q): Todo n´ umero que puder ser representado na forma de uma fra¸caõ com numerador e denominador inteiros é chamado “n´ umero racional”.

Potencia¸c˜ ao

An = X

Exemplos

π √ 2 √ 3 e

= =

3, 1415926535 . . . 1, 414213562 . . .

onde: A = Base; B = Expoente; X = Potência;

= =

1, 7320508 . . . 2, 718281827 . . .

Casos Especiais X1 = X 1n = 1 0n = 0 X0 = 1

Observa¸ c˜ ao Note que as d´ızimas peri´ odicas s˜ ao n´ umeros racionais, enquanto as d´ızimas n˜ ao peri´ odicas s˜ ao n´ umeros irracionais. ´ o conjunto obtido 5. Conjunto dos n´ umeros reais (R): E com a união do conjunto dos n´ umeros racionais com o dos Regras n´ umeros irracionais. Representando em diagramas temos:

Opera¸c˜ oes com N´ umeros Inteiros I) Adi¸ c˜ ao e Subtra¸ c˜ ao

1. Expoente par: Resultado positivo. 2. Expoente ´ımpar: Repete-se o sinal da base. Propriedades

I.a) Sinais iguais: Soma-se e conserva-se o mesmo sinal. I.b) Sinais diferentes: Diminui-se e d´ a-se o sinal do maior.

1. am · an = am+n 2. am ÷ an = am−n

230


3. (am )n = am·n 4. (am · bn )n = am·x · bn·x 5. (am /an )x = amx /bnx 6. a−m = 1/am Potˆ encias de “Base 10” A) 10n = 1 |000{z . . . 0}

“n”zeros

B) 10−n = 1/1 000 . . . 0} | {z

“n”zeros ⇒ 0, 000 . . . 01} | {z “n”casas

Pense um Pouco!

—


é: a) +20 b) −20 c) −14 d) +14 e) n.d.a. 6. O valor de a) 0 b) 94 c) 1 d) 2 e) n.d.a. 3

16 3 22

2

− 23 é:

2

7. 22 · (23 ) : a) 215 b) 229 c) 1024 d) 214 e) n.d.a.

• Quantos n´ umeros inteiros tem no intervalo real 0 < x < 3? 8. O valor de (24 )5 · 2−8 é: a) 218 • Quantos n´ umeros racionais tem no intervalo anterior? b) 212 100 c) 215 • Quanto é −1 ? d) 20 e) n.d.a.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. O valor de ((23 )3 )3 é: a) 212 b) 1024 c) 281 d) 1 e) n.d.a.

2. O valor de: [13 − (8 ÷ 2 − 3 − 7 + 2 · 3)] ÷ [25 ÷ (−3 − 22)], é: a) −13 b) 14 c) 13 d) 0 e) n.d.a. 3. A express˜ ao (a7 · b3 · c5 · b4 )/(c3 · b6 · a7 · c) é igual a: 2 a) a · b b) b · c c) cb d) 1 e) n.d.a.

Exerc´ıcios Complementares 4. Resolvendo a) 5 · 1012 b) 100 c) 103 d) 107 e) n.d.a.

108 ·102 ·105 ·104 103 ·10·108

5. O valor da express˜ ao {72 ÷ (−12) + 2 · [4 · (−2) + (30 − 20 + 10) ÷ 5]}

Matem´ atica C

Aula 3

N´ umeros complexos (C) No conjunto dos n´ umeros reais algumas equa¸co˜es n˜ ao possuem solu¸caõ, por exemplo, a equa¸caõ: 2x2 + 18 = 0 Como se trata de uma equa¸caõ incompleta (b = 0), podemos resolvê-la isolando a vari´ avel. Assim: √ −18 2 x = ⇒ x = −9 2 Como n˜ ao existe raiz quadrada de n´ umero negativo no conjunto dos reais, a equa¸caõ acima dada n˜ ao tem solu¸caõ. Para que equa¸co˜es sem solu¸co˜es reais, como a dada acima, os matem´ aticos come¸caram a utilizar novos entes matemáticos. Essa representa¸caõ foi considerada, a princ´ıpio, como um passatempo. √ Particularmente, o n´ umero −1 foi denominado unidade imagin´ aria, devido à desconfian¸ca que os matemáticos tinham dessa nova cria¸caõ.

Unidade Imagin´ aria Para umero √ simplificar a nota¸caõ, criou-se ”i”para designar o n´ −1, isto é: √ i = −1 ⇔ i2 = −1 Com isso, a solu¸caõ da equa¸caõ proposta acima é: p X = ± 9 · (−1) ⇒ x = ±3 · i Logo, S = {+3i, −3i}.


Potˆ encias Naturais de i

231 Exemplo

Consideremos as potências do tipo in , em que n é natural. Determinar x e y de modo que: (2x + 3) + 6 · i = 7 + (2 + 4y) · i. Vejamos alguns exemplos: n in Para que os complexos sejam iguais devemos ter: 2x + 3 = 7 ⇒ x = 2 0 1 e 1 i 2 + 4y = 6 ⇒ y = 1 2 -1 Logo, para que (2x + 3) + 6 · i = 7 + (2 + 4y) · i, devemos ter 3 -i x = 2 e y = 1. 4 1 5 i 6 -1 Opera¸c˜ oes com Complexos 7 -i 8 1 Adi¸ c˜ ao e Subtra¸ c˜ ao Resumindo: Para somarmos ou subtrairmos dois ou mais n´ umeros complexos, somamos ou subtra´ımos, respectivamente, suas partes i4n = 1 i4n+1 = i 4i4n+2 = −1 i4n+3 = −i reais e imaginárias, separadamente. Ou seja: Assim: i4n + i4n+1 + i4n+2 + i4n+3 = 0

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Ou seja: A soma das quatro potências de i cujos expoentes Exemplo Seja s˜ ao n´ umeros naturais consecutivos é igual a zero. Note que, à medida que n cresce, os resultados de in , vão se z1 = 5 − 3i repetindo periodicamente, assumindo sempre um dos quatro z2 = 2 + 4i valores da seq¨ uência:1, i, −1, −i.Ou seja: z3 = −3 − 5i in ∈ {1, i, −1, −i}, (n ∈ N) calcule: Para n ≥ 4, temos: a) z2 − z3 z2 − z3 = (2 + 4i) − (−3 − 5i) N 4 ⇒n= 4·q+r er <4 z2 − z3 = (2 + 3) + (4 + 5)i = 5 + 9i R q b) z1 + z2 q Ent˜ ao, in = i4·q+r = i4·q · ir = (i4 ) · ir = (1)q · ir = ir , ou seja: z1 + z2 = (5 − 3i) + (2 + 4i) z1 + z2 = 7 + i n r i =i Multiplica¸ c˜ ao por um Real Exemplo Para multiplicar um complexo por um n´ umero real basta 3795 multiplicar a parte real e a parte imagin´ a ria pelo respectivo Calcule o valor de i . n´ umero. 3795 4 Exemplo , como r = 3 temos i3795 = i3 = −i 3 3948 Sejam os complexos: z1 = 6 − 3i e z2 = 3 + 2i. Determinar o valor de 3 · z1 − 5 · z2 . 3 · z1 − 5 · z2 = 3 · (6 − 3i) − 5 · (3 + 2i) Forma Alg´ ebrica 3 · z1 − 5 · z2 = 18 − 9i − 15 − 10i Todo n´ umero complexo pode ser escrito na forma z = a + b · i, 3 · z1 − 5 · z2 = 3 − 19i com a e b ∈ R. Tal forma é denominada forma alg´ ebrica. O n´ umero real a é denominado parte real de z, e o n´ umero Multiplica¸ c˜ ao de Complexos real b é denominada parte imagin´ aria de z. Multiplicamos dois n´ umeros complexos de acordo com a regra z = a + 0i ⇒ z = a da multiplica¸ c a ˜ o de binˆ omios. Devemos lembrar que i2 = −1. z =a+b·i⇒ z =0+b·i⇒z =b·i Com isso temos que:

Igualdade de Complexos Dois n´ umeros complexos s˜ ao iguais quando suas partes reais e imagin´ arias forem respectivamente iguais. a=c a+b·i =c+d·i ⇒ b=d

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc) · i Exemplos a) (3 − 3i) · (−2 + 2i): (3 − 3i) · (−2 + 2i) = −6 + 6i + 6i + 6i2 (3 − 3i) · (−2 + 2i) = −6 + 6i + 6i − 6 (3 − 3i) · (−2 + 2i) = −12 + 12i

232


b) (5 − 3i)2 : (5 − 3i)2 = (5 − 3i) · (5 − 3i) (5 − 3i)2 = 25 − 15i − 15i + 9i2 (5 − 3i)2 = 25 − 15i − 15i − 9 (5 − 3i)2 = 16 − 30i

—


Im z = x + yi

y

Conjugado de um Complexo Sendo z = a+bi um n´ umero complexo qualquer, defini-se como o conjugado de z o n´ umero complexo z = a − bi. Exemplos

θ x

Re

1. Sendo z = 6 − 5i, temos que: z = 6 + 5i. 2. O conjugado de z = −3 + 2i é o complexo z = −3 − 2i. Observa¸ c˜ ao O produto de um n´ umero complexo z pelo seu conjugado Z é sempre um n´ umero real e positivo. Esse produto chama-se norma de z. Exemplo Sendo z = 5 − 3i, o produto z · Z é: (5 − 3i) · (5 + 3i) = 25 + 15i − 15i − 9i2 Lembrando que i2 = −1, temos que: z · Z = 25 + 9 = 34

Figura 3.1: O plano complexo. Ou seja: Podemos representar os complexos geometricamente, pelos pontos do plano. O ponto P é a imagem geométrica de z ou afixo de z. Observa¸ c˜ ao - A parte real de um complexo tem seus afixos no eixo Re; eixo real. - A parte imaginária de um complexo é representada no eixo Im, que por essa raz˜ ao é chamado de: eixo imagin´ ario.

Divis˜ ao de Complexos

M´ odulo de um n´ umero complexo

Para dividirmos dois complexos, escrevemos o quociente sob a forma de uma fra¸caõ, a seguir, usando o procedimento de raci- Na representa¸caõ geométrica de um n´ umero complexo z = onaliza¸caõ de denominadores, multiplicamos ambos os termos x + yi, vamos considerar a distância entre o afixo P desse da fra¸caõ pelo conjugado do denominador. Ou seja: n´ umero e a origem. A essa distância denominamos m´ odulo de z e indicamos por |z| ou ρ. z1 z1 z1 = · Calculando a referida distância, temos: z2 z2 z2 q p 2 2 dop = (x − 0) + (y − 0) = x2 + y 2 Exemplo Portanto,temos: p Sendo z1 = 3 + 2i e z2 = −2 − 3i, obter: zz12 . |z| = ρ = x2 + y 2 3 + 2i z1 = z2 −2 − 3i Exemplo z1 3 + 2i −3 + 2i = · z2 −2 − 3i −2 + 3i −6 + 9i − 4i + 6i2 2

2

−2 − (3i)

=

−6 + 9i − 4i − 6 4+9

Calcular o módulo do n´ umero complexo z = 3 + 4i. Como vimos: p |z| = ρ = √ x2 + y 2 , assim; √ √ |z| = ρ = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5 logo: |z| = ρ = 5

Argumento de um Complexo

logo, z1 −12 + 5i −12 z1 5i = = ⇒ + z2 13 z2 13 13

Representa¸c˜ ao Geom´ etrica

Sendo um n´ umero complexo z = z + yi, com z 6= 0; Definese como o argumento de z, o n´ umero real θ(0 ≤ θ ≤ 2π) que corresponde à medida do ângulo formado pelo segmento orientado OP e o eixo Ox, no sentido anti-horário. Indicamos por: arg(z) = θ

Consideremos num plano, chamado plano de Argand-Gauss ou plano complexo, um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais x O y e nele um ponto P de coordenadas x e y. A partir da figura (plano complexo), obtemos as importantes Lembrando que um n´ umero complexo na forma algébrica tem rela¸co˜es: y x a forma de: z = (x, y) = x + yi, podemos estabelecer uma corcos θ = e sen θ = ρ ρ respondência entre os pontos do plano e os n´ umeros complexos.


233

Forma Trigonom´ etrica

b) 1 + i c) −1 + i Com as defini¸co˜es de módulo e argumento, podemos represen- d) 1 − i tar os n´ umeros complexos de outra forma, além da algébrica, e) −1 − i j´ a conhecida. Assim, para o complexo z = x + yi, temos: 5. (Sta Casa -SP) O valor de x a) 53 + 54 i cos θ = ⇒ x = ρ cos θ ρ b) 23 − 34 i c) 35 − 54 i e y d) 3 − 4i sen θ = ⇒ y = ρ sen θ ρ e) 4 + 3i Como z = x + yi

2−i 2+i

é igual a:

z = ρ cos θ + iρ sen θ


De outra forma: z = ρ(cos θ + i sen θ) A igualdade acima é denominada forma trigonom´ etrica ou polar do n´ umero complexo. O n´ umero complexo z = 0, para o qual n˜ ao é poss´ıvel determinar o argumento θ, n˜ ao pode ser escrito na forma trigonométrica. Observe que, quando multiplicamos um n´ umero complexo por i, ele gira 90◦ no sentido anti-horário, no plano complexo.

Pense um Pouco! • Pode-se dizer que R ⊂ C? Por quê?

6. (PUC-SP) O conjugado do n´ umero complexo a) (−1 − 7i)/5 b) (1 − i)/5 c) (1 + 2i)/7 d) (−1 + 7i)/5 e) (1 + i)/5

1+3i 2−i

é:

7. A soma S = i7 + i8 + i9 + . . . + i93 + i94 + i95 é: a) 1 b) i c) -1 d) -i e) 1 - i

• Existe alguma semelhan¸ca entre o plano complexo e o 8. (UFRG-RG) Efetuando as opera¸co˜es indicadas na equa¸caõ plano cartesiano? Quais? 4−3i 5−i 1+i − 2+i , obtemos : • 1/i é um n´ umero complexo? a) 1 − i b) 1 + i c) −1 − i Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao d) i e) −i 1. (UFPA-PA) O n´ umero complexo z = x + (x2 − 4)i é real se, e somente se: 9. (U.C.SALVADOR-BA) Sejam os n´ umeros x e y tais que a) x = 0 12 − x + (4 + y)i = y + xi. O conjugado do n´ umero complexo b) x 6= 0 z = x + yi é: c) x = ±2 a) 4 + 8i d) x 6= ±2 b) 4 − 8i e) x 6= 0 e x 6= 2 c) 8 + 4i d) 8 − 4i 2. (UFRN-RN) Se z = 4 + 2i, ent˜ ao z − 3z vale : e) −8 − 4i a) 6 + i

b) 1 + 8i c) −8 + 8i d) 1 − 8i e) 12 + 6i

10. (FATEC-SP) Se i é a unidade imaginária e z = (2 − i)2 /(1 + i), ent˜ ao: a) z = (5 − 5i)/2 b) z = (7 − i)/2 3. (UFSE-SE) Se o n´ umero complexo z é tal que z = 3 − 2i, c) z = (5 + 5i)/2 ent˜ ao (z)2 é igual a: d) z = (7 + i)/2 a) 5 e) z = (−5 − 5i)/2 b) 5 − 6i c) 5 + 12i d) 9 + 4i e) 13 + 12i 4. Sendo i2 = −1, o valor de i58 + i85 é: a) 0

Matem´ atica C

Aula 4

234


Raz˜ oes e Propor¸c˜ oes Raz˜ ao

Grandezas (GDP)

—


Diretamente

Proporcionais:

Uma grandeza A é diretamente proporcional a uma grandeza A raz˜ ao entre dois n´ umeros a e b (com a e b reais e b 6= 0), B, se, e somente se, as raz˜ oes entre os valores de A e os cornessa ordem, é o quociente ab . O n´ umero a é chamado respondentes valores de B forem constantes. antecedente e o n´ umero b é chamado conseq¨ uente. Se A = (a1, a2, a3, . . .) e B = (b1, b2, b3, . . .), forem grandezas diretamente proporcionais, ent˜ ao a1 a2 a3 = = = ... = k Exemplos b1 b2 b3 1. A raz˜ ao entre 4 e 6 é: 4 2 = 6 3 2. A raz˜ ao entre 2 m e 30 cm é: 200 cm 20 2m = = 30 cm 30 cm 3

Exemplo Se considerarmos a distância percorrida por um móvel com velocidade constante de 50 km/h viajando a 3 horas teremos 100 150 a seguinte tabela : como 50 1 = 2 = 3 = 50, temos que

Distˆ ancia (km) 50 100 150 Observe que a raz˜ ao deve ser calculada numa unidade cotempo (h) 1 2 3 mum, a fim de ser cancelada. Finalmente, a raz˜ ao obtida n˜ ao dependerá da unidade escolhida, pois é adimensional. distância e tempo, neste exemplo, s˜ ao grandezas diretamente proporcionais.

Escala Grandezas Inversamente Proporcionais (GIP) ´ a raz˜ E ao entre um comprimento no desenho e o correspondente comprimento real. Uma grandeza A é inversamente proporcional a uma grandeza B se, e somente se, os produtos entre os valores de A e os correspondentes valores de B forem constantes. Exemplo Se A = (a1, a2, a3, . . .) e B = (b1, b2, b3, . . .), forem grandezas Um edif´ıcio tem 30 m de altura. Essa medida foi representada inversamente proporcionais, ent˜ ao: no projeto por 15 cm. Qual foi a escala usada nesse projeto? a1 · b 1 = a2 · b 2 = a3 · b 3 = . . . = k 15 cm 15 cm comprimento no desenho = = comprimento real 30 m 3000 cm Exemplo E=

1 100

ou E = 1 : 200

Se considerarmos que a distância que separa duas cidades A e B é de 300 km e que um móvel viaja de A para B com Propor¸c˜ ao uma certa velocidade, vamos observar pela tabela abaixo que o tempo gasto para percorrer essa distância varia conforme a Os n´ umeros a, b, c e d, com b e d n˜ ao nulos (6= 0, formam nessa velocidade do móvel. ordem, uma propor¸caõ se, e somente se, a raz˜ ao entre a e b é igual a raz˜ ao entre c e d. Ou seja: Velocidade (km/h) 50 60 100 a c Tempo (h) 6 5 3 = b d Lê-se: a est´ a para b, assim como c est´ a para d. Temos que 50 · 6 = 60 · 5 = 100 · 3, logo as grandezas veloOs n´ umeros a e d s˜ ao chamados de extremos e os n´ umeros b e cidade e tempo, neste exemplo, s˜ ao grandezas inversamente c s˜ ao chamados de meios. proporcionais. Propriedades I) O produto dos meios é igual ao produto dos extremos c a = ⇔a·d= b·c b d II) A soma dos dois primeiros termos est´ a para o segundo, assim como, a soma dos dois u ´ ltimos est´ a para o u ´ ltimo. c a+b c+d a = ⇔ = b d b d III) Cada antecedente est´ a para o seu conseq¨ uente, assim como; a soma dos antecedentes est´ a para a soma dos conseq¨ uentes. c a+c a = = b d b+d

Pense um Pouco! • Determine o valor de x nas propor¸co˜es: a) x4 = 96 3x+2 = 24 b) 2x−1 9 • Calcule o valor de x e y na propor¸caõ x + y = 42.

x y

= 52 , sabendo que

• Determine x e y, sabendo que as sucessões de n´ umeros s˜ ao diretamente proporcionais: 2 x 9 3 9 y


235


Regras de Trˆ es Simples e Composta Regra de Trˆ es Simples

1. Determine m e n, sabendo que as sucessões numéricas s˜ ao Sendo a e b dois valores da grandeza A e, c e d os valores corinversamente proporcionais: respondentes da grandeza B, chama-se de regra de três simples ao método prático para determinar um desses quatro valores, 3 m 9 sendo conhecidos os outros três. 12 4 n T´ ecnica Operat´ oria 2. Antˆ onio, João e Pedro trabalham na mesma firma h´ a 10, 4 e 6 anos, respectivamente. A firma distribuiu uma gratifica¸caõ Conforme a defini¸caõ acima temos: de R$ 80.000,00 entre os três, em partes diretamente proporGRANDEZA A GRANDEZA B cionais ao tempo de servi¸co de cada um. Quantos reais cada a c um ir´ a receber? b d 3. Divida 210 em partes inversamente proporcionais a 1/2, Se A e B forem grandezas diretamente proporcionais ent˜ ao: 1/5 e 1/7. b a c a = ⇔ = c d b d


Se A e B forem grandezas inversamente proporcionais ent˜ ao: a·c= b·d ⇔

4. Represente a raz˜ ao entre: a) 18 e 12 = b) 6 m e 4 m = c) 150 g e 2 kg = d) 750 litros e 1 m3 = e) 600 s e 1 hora = f) 8 km e 1600 m =

Exemplos

5. Um comprimento real de 25 m foi representado num desenho por 10 cm. Nesse caso, qual foi a escala usada? a) 1 : 250 b) 1 : 300 c) 1 : 150 d) 1 : 500 e) n. d. a. 6. A distância entre duas cidades, em linha reta, é 120 km e foi representada num mapa rodovi´ ario por um segmento de 60 cm. Qual foi a escala usada nesse mapa? a) 2 : 125 b) 1 : 120.000 c) 1 : 200.000 d) 1 : 12.000 e) n. d. a. 7. Em geral, num adulto, a altura da cabe¸ca est´ a para a altura do restante do corpo, assim como 1 est´ a para 7. Quanto mede uma pessoa cuja cabe¸ca tem 22 cm de altura? a) 1,54m b) 1,60m c) 1,76m d) 1,82m e) n. d. a.

Matem´ atica C

a d = b c

Aula 5

1. Uma torneira que despeja 15 l/min enche um tanque em 80 min. Uma outra torneira, despejando 25 l/min, em quanto tempo encheria esse tanque? Temos um exemplo que envolve grandezas inversamente proporcionais, pois; ao aumentarmos a vazão, o tempo necess´ ario para encher o mesmo tanque diminuir´ a. Com isso: X 15 = ⇒ X = 48 15 · 80 = 25 · X ⇔ 25 80 Logo, encher´ a o tanque em 48 min. 2. Um autom´ ovel percorre 132 km com 12 litros de combust´ıvel. Quantos litros de combust´ıvel ser˜ ao necess´ arios para que ele percorra 550 km? Neste exemplo temos grandezas diretamente proporcionais, pois; aumentando a distância, também aumentar´ ao consumo de combust´ıvel. Com isso: 132 550 = ⇔ 132 · x = 550 · 12 ⇒ x = 50 12 x logo, ser˜ ao necess´ arios 50 litros de combust´ıvel.

[Regra de Trˆ es Composta Chama-se regra de três composta, ao método prático empregado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas, diretamente ou inversamente proporcionais. Propriedade Considere uma grandeza A (a1, a2, a3, . . .) diretamente proporcional a uma grandeza B (b1, b2, b3, . . .) e a uma grandeza C (c1, c2, c3, . . .), ent˜ ao : b1 c1 a1 = = a2 b2 c2

236


Exemplo

3.1

—



Com 16 máquinas de costura aprontaram-se 720 uniformes em 3 dias de trabalho. Quantas máquinas ser˜ ao necess´ arias para 4. Um certo trabalho pode ser realizado por um grupo de 12 operários em 20 dias de trabalho de 8 horas diárias. Se esse confeccionar 2160 uniformes em 24 dias. mesmo trabalho tivesse que ser feito em apenas 16 dias, com N o de M´ aquinas Uniformes Dias 16 operários igualmente eficientes, quantas horas por dia eles 16 720 3 deveriam trabalhar? x 2160 24 a) 7,5 h/d b) 6,0 h/d A grandeza N o de máquinas, onde est´ a a vari´ avel deve ser c) 8,5 h/d comparada com as grandezas Uniformes e Dias. Assim temos d) 9,0 h/d que: e) n.d.a 1. N o de máquinas e Uniformes s˜ ao grandezas diretamente 5. Em uma fabrica de refrigerante, uma máquina encheu 4000 proporcionais, pois mais máquinas produzem mais unifor- garrafas em 8 dias, funcionando 8 horas por dia. Quantos dias s essa máquina levará, para encher 6000 garrafas, trabalhando mes. 16 horas diárias? 2. N o de máquinas e Dias s˜ ao grandezas inversamente pro- a) 9 porcionais, pois, quanto maior o n´ umero de máquinas, b) 5 menor o n´ umero de dias necess´ arios. Com isso 16 x = c) 11 720 24 · ⇒ x = 6, logo ser˜ a o necess´ a rias 6 m´ a quinas. d) 6 2160 3 e) n.d.a 6. Em um zoológico, a alimenta¸caõ de 15 animais durante 90 dias custa R$ 2.700,00. Qual ser´ a o custo da alimenta¸caõ de 25 animais por um per´ ıodo de 12 dias? • Se um fio pesa 10N g/cm, quanto pesar´ a por metro? a) R$ 900,00 • Se uma c´ opia xerogr´ afica custa 9 centavos, quanto custou b) R$ 750,00 c) R$ 600,00 essa apostila (só o xerox)? d) R$ 450,00 • Cite exemplos de onde você j´ a usou as regras de três es- e) n.d.a tudadas?

Pense um Pouco!


Matem´ atica C

Aula 6

1. Na merenda escolar, 320 crian¸cas consumiram 1440 litros de leite em 15 dias. Quantos litros de leite dever˜ ao ser consumidos Juros e Porcentagens por 400 crian¸cas em 30 dias? a) 2500 b) 3600 Juros Simples c) 7200 Juro é a importˆ ancia cobrada por unidade de tempo, pelo d) 4440 empr´ e stimo de dinheiro, expressa como porcentagem da soma e) n.d.a emprestada. 2. Calcular a altura de uma torre que projeta uma sombra de 45 m, o mesmo instante em que uma ´ arvore de 6 m de altura, No¸ c˜ ao Intuitiva e Nomenclatura Usual plantada verticalmente, projeta uma sombra de 3, 6 m. a) 75m Em “A quantia de R$ 2.000,00, emprestada a 10% ao ano, b) 90 m durante 3 anos, rendeu R$ 600,00 de juros simples”. c) 55 m O racioc´ınio é: d) 70 m Se o capital 100 produz 10 em um ano, ent˜ ao o capital 2.000 e) n.d.a produzirá 600 em 3 anos. 3. (PUC-MG)Uma pessoa viajando de autom´ ovel, com veloci- Temos os seguintes dados: dade média de 88 km/h, leva 5 horas para ir de Belo Horizonte O Capital é 99K C = 2.000 - Po¸cos de Caldas. A Taxa é 99K i = 10(em % ao ano) Na volta para Belo Horizonte, fez o mesmo percurso em 4 h. O tempo é 99K t = 5(em anos) Portanto, a velocidade média, em km/h, ao retornar foi de: Os juros s˜ ao 99K J = 600 a) 93 b) 96 Observa¸ co ˜es: c) 100 Denominamos juros simples aqueles que n˜ ao s˜ ao somados ao d) 110 capital, durante o tempo em que foi empregado. e) 120


237

Se a taxa “i”for referida ao ano, mês, dia etc, o tempo Porcentagem “t”também deverá ser tomado correspondentemente em anos, Comumente usamos express˜ oes que refletem acréscimos ou meses, dias, etc. redu¸co˜es em pre¸cos, n´ umeros ou quantidades, sempre tomando Para efeito de c´ alculo o ano é considerado de 12 meses de 30 por base 100 unidades. dias cada. Exemplos

T´ ecnica Operat´ oria Os problemas envolvendo juros simples, na verdade s˜ ao de Regra de três composta, que obedecem ao seguinte esquema; Grandezas 100 . . . i . . . l C ... j ... t

1. A gasolina ter´ a um aumento de 10%, na próxima semana. Significa que em cada R$ 100,00 haverá um acréscimo de R$ 10,00. 2. Numa pesquisa de inten¸caõ de votos, o candidato A aparece em 2o lugar, com 25% da preferência dos eleitores, ao cargo de prefeito municipal. Quer dizer que; em média, a cada 100 pessoas que foram entrevistadas, 25 preferem o candidato A.

Interpreta¸ c˜ ao

Se o capital 100 produz i em 1 ano, ent˜ ao; o capital “c”produzirá j em t anos. Raz˜ ao Centesimal Quando resolvemos isolando “j”, temos: Toda a raz˜ ao que tem por denominador o n´ umero 100 C·i·t J= denomina-se raz˜ a o centesimal. 100 Exemplos

Exemplos 1. Quanto render´ a um capital de R$ 5.000,00 empregado a` 25 taxa de 5% a.a, em regime de juros simples, durante 3 a) 100 = 25% (lê-se: 25 por cento) 47 anos? b) 100 = 47% (lê-se: 47 por cento) 125 c) 100 = 125% (lê-se:125 por cento) Temos: Chamamos as express˜ oes 25% ; 47% ; 9% de taxas centesiC = 5000; mais ou taxas percentuais. I = 5; T = 3; Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Dessa forma; podemos resolSubstituindo os respectivos valores na f´ ormula, temos: ves problemas de porcentagem, utilizando taxas percentuais. 5000 · 5 · 3 J= = 750 100 Exemplos Assim, ter´ a um rendimento de R$ 750, 00. 2. Calcular os juros de R$ 8.500,00 ` a taxa de 36% a.a, durante 6 meses. Observe que a taxa est´ a expressa em anos, enquanto o tempo em meses. Como devemos trabalhar com as duas grandezas em unidades de tempos iguais, tomaremos o 6 anos. tempo como sendo 12 Assim: 6 8500 · 36 · 12 8500 · 36 · 6 ⇒J = = 1530 J= 100 1200 Portanto, os juros s˜ ao de R$ 1.530,00.

3. Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 25.000,00 durante 2 meses e 15 dias, a uma taxa de 1% a.m. Como n˜ ao h´ a concordˆ ancia entre a taxa e o tempo, devemos fazer algumas modifica¸co˜es para que possamos resolver o problema. Faremos as seguintes transforma¸co˜es: 75 2 meses e 15 dias correspondem a 75 dias, ou ent˜ ao: 360 anos. Ainda; a taxa 1% ao mês, corresponde a 1% vezes 12 meses, o que d´ a 12% a.a.

Aplicando a fórmula, temos: 75 360

2500 · 12 · 2500 · 12 · 75 = = 625 100 36000 Logo, os juros produzidos s˜ ao de R$ 625,00. J=

1. Um jogador de voleibol efetuou 25 finaliza¸co˜es no decorrer de uma partida, obtendo um aproveitamento de 80%. Qual o n´ umero de sucessos que ele obteve? 80% de 25 =

80 · 25 = 20 100

Logo, ele obteve 20 sucessos. 2. Um investidor comprou um lote de a¸co˜es por R$ 1.500,00 e as revendeu um mês depois, por R$ 2.100,00. Qual foi o percentual de lucro por ele obtido? Para resolver o problema, vamos montar um esquema em que somaremos o percentual de lucro obtido, aos R$ 1.500,00 investidos inicialmente, chegando assim ao valor final de venda das a¸co˜es. x · 1.500 = 2.100 1.500 + 100 15x = 2.100 − 1.500 x = 600 15 ⇒ x = 40

Desse modo, ele obteve um lucro de 40%.

Fator de Multiplica¸c˜ ao Quando um dado valor sofre um acréscimo percentual, podemos incorporar tal acréscimo, obtendo assim o que chamamos de “fator de multiplica¸ c˜ ao”.

238


—



Exemplo Um valor que sofre um aumento de 25%, ter´ a um fator de multiplica¸caõ igual a 1, 25, pois: 100% + 25% = 125%, ou seja: 125% = 125 100 = 1, 25 Da mesma forma, podemos estender esse racioc´ınio para outros valores, como mostra a tabela abaixo: Lucro ou Acréscimo 10% 15% 20% 47% 67%

Fator de Multiplica¸caõ 1,10 1,15 1,20 1,47 1,67

Exemplo Quanto passará a receber um funcion´ ario, que tem um sal´ ario de R$ 950,00 e, obtém um aumento de 35%? Para chegarmos ao valor do novo sal´ ario, basta que usemos um fator multiplicativo igual a 1,35 sobre o valor atual, assim: 950 · 1, 35 = 1.282, 50 Portanto, o novo sal´ ario ser´ a de R$ 1.282,50. Para os casos em que ocorrem decréscimos, o fator de multiplica¸caõ ser´ a dado por: Fator de Multiplica¸caõ = 1 - taxa de desconto (na forma decimal). Veja a tabela abaixo: Desconto 10% 25% 34% 60% 90%

Fator de Multiplica¸caõ 0,90 0,75 0,66 0,40 0,10

Exemplo Qual ser´ a o valor do desconto de um produto, que custa R$ 350,00 , mas que em promo¸caõ é vendido por 22% abaixo do pre¸co? Nesse caso, o fator de multiplica¸caõ é: Fator = 1 - 0,22 = 0,78

1. Uma compra foi efetuada no valor de R$ 1.500,00. Obtevese um desconto de 20%. Qual foi o valor pago em reais? a) 1350 b) 1300 c) 1250 d) 1200 e) n.d.a 2. Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valoriza¸caõ (acréscimo) de 10% sobre o seu pre¸co. Quanto ele passou a custar? a) 12.400,00 b) 13.200,00 c) 13.800,00 d) 14.600,00 e) n.d.a 3. Uma impressora a laser custou R$ 2.000,00 para uma gráfica. No per´ıodo de um mês, ela apresentou um lucro de R$ 100,00. De quanto por cento foi o lucro sobre o pre¸co de compra? a) 5 b) 10 c) 6 d) 11 e) n.d.a

Exerc´ıcios Complementares 4. Se a taxa de uma aplica¸caõ é de 150% ao ano, quantos meses ser˜ ao necess´ arios para dobrar um capital aplicado através de capitaliza¸caõ simples? a) 10 meses b) 9 meses c) 8 meses d) 7 meses e) n.d.a 5. Qual o capital, em reais, que aplicado a juros simples de 1, 5%a.m. rende R$ 250,00 de juros em 50 dias? a) 10.000 b) 15.000 c) 25.000 d) 17.500 e) n.d.a

6. (Desafio) Um determinado produto teve um acréscimo de 20%, sobre o seu pre¸co de tabela. Ap´ os certo per´ıodo, teve um decréscimo também de 20% sobre o pre¸co que foi aumentado, obtendo assim o pre¸co atual. Qual é o percentual que o pre¸co Assim 350 · 0, 78 = 273 Portanto, quando descontados 22%, o produto passa a custar atual corresponde em rela¸caõ ao primeiro valor (pre¸co de tabela)? R$ 273,00. a) 100% b) 96% c) 90% Pense um Pouco! d) 85% e) n.d.a • Tomando-se uma quantidade inicial X e adicionando-se a ela um certo percentual p obtemos um valor final X ′ . 7. O valor de 10 % é igual a: Se tomarmos agora o valor X ′ e descontarmos o mesmo a) 100 percentual p obteremos o valor X? Discuta. b) 10


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c) 1 d) 0,1 e) n.d.a

Matem´ atica C

Aula 7

An´ alise Combinat´ oria Princ´ıpio Fundamental da Contagem O princ´ıpio fundamental da contagem nos mostra um método algébrico, para determinar o n´ umero de possibilidades de ocorrência de um acontecimento, sem precisarmos descrever todas as possibilidades. Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes de tal modo que: p1 é o no de possibilidades da 1a etapa p2 é o no de possibilidades da 2a etapa .. .

815, 135, 451,etc. Note que o n´ umero 533 n˜ ao nos serve, pois houve repeti¸caõ do algarismo 3; o n´ umero 534 também n˜ ao serve, pois é par. Um outro ponto importante é, por onde come¸car a resolver o problema. Procure sempre atacar o problema, por onde houver um maior n´ umero de restri¸co˜es. Veja: centena dezenas unidades Em nosso caso, temos a restri¸caõ de que os n´ umeros devem ser ´ımpares. Logo, para a casa das unidades, temos 4 possibilidades (1,3,5,7). A seguir, vamos analisar a casa das centenas, na qual; podemos usar qualquer um do 6 algarismos dados pelo problema, porém eliminando-se um deles (aquele que estiver na casa das unidades), já que n˜ ao pode haver repeti¸caõ. Portanto, temos para a casa das centenas 5 possibilidades. Finalmente, analisando a casa das dezenas, conclu´ımos que restaram 4 possibilidades, pois: n˜ ao podemos repetir o algarismo que estiver na casa das unidades e nem o que estiver na casa das centenas. Portanto: O total de possibilidades é: P = 5 × 4 × 4 = 80, o que d´ a um total de 80 n´ umeros.

Fatorial

pn é o no de possibilidades da n-ésima etapa Sendo n um n´ umero natural, define-se fatorial de n, e indica-se Ent˜ ao, o n´ umero total P de possibilidades do acontecimento ”n!”à express˜ ao ocorrer é dado por: n! = n × (n − 1) × (n − 2) × . . . × 3 × 2 × 1 P = p1 × p2 × p3 × . . . × pn Propriedade

Exemplos 1) Quantas placas (distintas) de autom´ oveis, poder˜ ao ser emitidas; com o sistema atual de emplacamento? O atual sistema de emplacamento de autom´ oveis no Brasil utiliza três letras e quatro algarismos. No novo alfabeto s˜ ao consideradas 26 letras e temos dez d´ıgitos entre os n´ umeros. Logo o n´ umero de possibilidades ser´ a: P = 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 175.760.000 2) Obtenha o total de linhas telefônicas que podem ser instaladas, com o prefixo 436: Para resolver este problema, é preciso escolher um algarismo para a casa das milhares, outro para as centenas, outro para as dezenas e um outro para as unidades. Os algarismos a serem utilizados em cada uma das casas, podem ser escolhidos entre os dez d´ıgitos do sistema decimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Como cada uma das casas podem ser preenchidas com um dos 10 algarismos acima, temos que: O total de linhas poss´ıveis com o prefixo 436 é o produto das possibilidades que se tem para preencher cada uma das casas. Logo: As linhas podem ter n´ umeros no formato 436-ABCD, onde os quatro d´ıgitos ABCD de 0 a 9 indicam que podemos ter n´ umeros de 0000 a 9999, ou seja, 10 mil linhas diferentes. Ou, de outro modo: P = 10 × 10 × 10 × 10 = 10.000 3) Quantos n´ umeros ´ımpares de 3 algarismos distintos, s˜ ao poss´ıveis utilizando os algarismos: 1, 3, 4, 5, 7, 8. Ao iniciar a resolu¸caõ de um problema de an´ alise combinatória, é aconselh´ avel que se fa¸ca alguns grupos dos quais queremos calcular o total. No caso do nosso atual problema, veja alguns exemplos de n´ umeros ´ımpares de 3 algarismos distintos: 347,

Para fins de c´ alculo, define-se que: 0! = 1 1! = 1 Observe que: fatorial é uma defini¸caõ por recorrência, ou seja: cada fatorial é calculado com a utiliza¸caõ do fatorial anterior. Assim: 0! = 1 1! = 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = 120 6! = 720 .. .. . . n!

=

n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1

Exemplos 10! 10 × 9 × 8! = = 90 8! 8! (x + 3)! (x + 3)(x + 2)(x + 1)! = = (x+3)(x+2) = x2 +5x+6 (x + 1)! (x + 1)!

Pense um Pouco! • De quantas formas diferentes pode resultar o lan¸camento de dois dados simultˆ aneos? • Na série de n´ umeros de 0 a 100, quantos algarismos nove s˜ ao usados?

240


—


• Quantos n´ umeros pares se pode formar com os algarismos 8. Resolvendo a equa¸caõ, (x + 3)!/(x + 1)! = 12, temos que: {1, 2, 3, 4}? a) x = 0 b) x = 1 c) x = 2 Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao d) x = 3 e) n.d.a 1. O resultado de

9. (Ufes) Um shopping center possui 4 portas de entrada para o andar térreo, 5 escadas rolantes ligando o térreo ao primeiro pavimento e 3 elevadores que conduzem do primeiro para o seé: gundo pavimento. De quantas maneias diferentes uma pessoa, a) 25 partindo de fora do shopping center pode atingir o segundo b) 28/3 pavimento, usando os acessos mencionados? c) 31/7 a) 25 d) 15 b) 30 e) n.d.a c) 45 2. Numa elei¸caõ de uma empresa, h´ a 4 candidatos a presi- d) 125 dente, 3 a vice-presidente, 5 a supervisor-geral e 3 a tesoureiro. e) n.d.a Quantos podem ser os resultados da elei¸caõ? 10. (Puc-SP) Chamam-se pol´ındromos os n´ umeros inteiros a) 120 que n˜ ao se alteram quando é invertida a ordem de seus algab) 180 rismos (por exemplo: 383, 4224, 74847). O n´ umero total de c) 150 pol´ındromos de cinco algarismos é: d) 210 a) 900 e) n.d.a b) 780 22!8! 11!19!

3. Simplifique as express˜ oes: a) (x + 5)!/(x + 3)! b) (3x + 1)!/(3x − 1)! 4. (Mack-SP) Quantos n´ umeros de 5 d´ıgitos podem ser escritos com os algarismos {1, 2, 3, 4}, sem que apare¸cam algarismos consecutivos iguais? a) 20 b) 32 c) 40 d) 120 e) n. d. a.

c) 560 d) 640 e) n.d.a

Matem´ atica C

Aula 8

Arranjo, Combina¸c˜ ao e Permuta¸c˜ ao Arranjos Simples


Arranjo simples é o tipo de agrupamento sem repeti¸caõ em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos umero de arranjos simples de n 5. Sobre uma circunferência marcam-se 6 pontos, igualmente elementos componentes. O n´ elementos em grupos de p elementos é dado por: espa¸cados. Quantas retas eles determinam: a) 21 n! b) 16 An,p = (n − p)! c) 5 d) 12 Esta fórmula mostra que os arranjos dos n elementos tomados e) n.d.a. p a p podem ser escritos utilizando-se fatoriais. 6. (Saem) A quantidade de n´ umeros que podemos formar com os algarismos {3, 4, 5, 6}, sem repeti-los, maiores que 4000, é: Exemplos a) 64 1) Quantos n´ umeros de 3 algarismos podemos formar com os b) 09 algarismos 1,2,3,4,5 e 7, sem repeti-los? c) 06 Os n´ umeros formados devem ter 3 algarismos, por exemplo d) 18 123. Invertendo-se a ordem destes algarismos, obtemos novos e) n.d.a n´ umeros, portanto, o problema é de arranjo simples. Logo 7. Quantos carros podem ser licenciados, se cada placa contém 6 · 5 · 4 · 3! 6! duas vogais e três d´ıgitos? = = 120 A6,3 = a) 125.000 (6 − 3)! 3! b) 110.000 2) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 s˜ ao formados n´ umeros de c) 95.000 quatro algarismos distintos. Dentre eles, quantos s˜ ao divis´ıveis d) 154.000 por 5. Como os n´ umeros devem ser divis´ıveis por 5, os mesmos e) n.d.a


241

devem obrigatoriamente terminar em 5, logo, dos 6 algarismos Qualquer ordena¸caõ das letras de uma palavra é denominada que t´ınhamos para trabalhar nos restam 5, dos quais vamos anagrama. Como a palavra MITO tem 4 letras, temos: tomar 3 a 3. Se tomarmos uma das poss´ıveis respostas, por P4 = 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 exemplo 2345 e invertermos a ordem dos seus elementos teremos o n´ umero 4325, que é outra resposta do problema. Logo o problema proposto é de arranjos simples. Com isso temos Pense um Pouco! que: 5 · 4 · 3 · 2! 5! = = 60 A5,3 = • Qual a diferen¸ca b´ asica entre combina¸caõ e arranjo? (5 − 3)! 2!

Combina¸c˜ oes Simples Combina¸caõ simples é o tipo de agrupamento, sem repeti¸caõ em que um grupo é diferente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes. O n´ umero de combina¸co˜es de n elementos de grupos de p elementos é igual ao n´ umero de arranjos de n elementos tomados p a p, dividido por p!, isto é:

• Se houverem elementos repetidos num conjunto, qual o n´ umero de permuta¸co˜es diferentes poss´ıveis? Exemplo: quantos anagramas tem a palavra MARIA?


1. Quantos n´ umeros de 5 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 4, 5, 7, 8 e 9? Cn,p a) 120 b) 720 c) 1.296 Exemplos d) 15.625 1) Quantas comiss˜ oes constitu´ıdas de 3 pessoas podem ser for- e) n.d.a madas com 5 pessoas ? As comiss˜ oes formadas devem Ter 3 pessoas, por exemplo A 2. De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol ao dispondo de 8 jogadores? , B e C. Invertendo-se a ordem destas pessoas, obtemos a de sal˜ a) 48 mesma comiss˜ ao. Portanto, o problema é de combina¸caõ. b) 56 5! 5 · 4 · 3! c) 72 C5,3 = = = 10 3!2! 3!2! d) 28 e) n.d.a Logo, podemos formar 10 comiss˜ oes. n! An,p = = p! p!(n − p)!

2) Sobre uma reta, marcam-se 8 pontos e sobre uma outra reta, paralela à primeira, marcam-se 5 pontos. Quantos triˆ angulos obteremos unindo 3 quaisquer desses pontos? Com os 13 pontos, podemos obter C13,3 triˆ angulos. Se tomarmos os três pontos sobre a mesma reta, n˜ ao formaremos um triˆ angulo, com isso, o total de triˆ angulos obtidos é dado por C13,3 − C8,3 − C5,3 = 286 − 56 − 10 = 220

3. Considere o conjunto A = {2, 4, 5, 6}. Quantos n´ umeros, distintos, m´ ultiplos de 5 se podem formar, com todos os elementos de A? a) 24 b) 12 c) 18 d) 06 e) n.d.a

4. Quantas palavras de 3 letras, sem repeti¸caõ, podemos formar com as 9 primeiras letras do nosso alfabeto? Permuta¸c˜ oes Simples a) 504 b) 324 Permuta¸co˜es simples é o tipo de agrupamento ordenado, sem c) 27 repeti¸caõ, em que entram todos os elementos em cada grupo. d) 81 A permuta¸caõ simples é um caso particular de arranjo simples. e) n.d.a O n´ umero de permuta¸co˜es simples que se pode formar com n 5. Quantos n´ umeros de 4 algarismos distintos podemos formar elementos é igual ao fatorial de n, ou seja: com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? Pn = n! a) 2560 b) 1440 c) 4536 Exemplos d) 2866 1) Quantos n´ umeros de 5 algarismos distintos podem ser for- e) n.d.a mados, usando-se os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9? Como usaremos todos os algarismos dados, em cada resposta 6. Numa sala, temos 5 rapazes e 6 mo¸cas. Quantos grupos do problema, temos agrupamentos do tipo permuta¸co˜es sim- podemos formar de 2 rapazes e 3 mo¸cas? a) 30 ples, logo o n´ umero de algarismos é igual a b) 200 c) 300 P5 = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 d) 150 2) Quantos anagramas tem a palavra MITO? e) n.d.a

242


—


7. Quantos n´ umeros de 7 algarismos distintos podem ser for- a) 5.040 madas, usando-se os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 ? b) 40 a) 5040 c) 2 b) 3640 d) 210 c) 2320 e) n.d.a. d) 720 15. (UFPA-PA) Quantos s˜ ao os anagramas da palavra BRAe) n.d.a SIL come¸cados por B e terminados por L? 8. Quantos s˜ ao os n´ umeros compreendidos entre 2.000 e 3.000, a) 24 formados por algarismos distintos escolhidos entre 1, 2, 3, 4, b) 120 c) 720 5, 6, 7, 8 e 9? d) 240 a) 210 e) 1.440 b) 175 c) 336 16. (UEMT) Sobre uma circunferência marcam-se 7 pontos, d) 218 distintos 2 a 2. Calcule o n´ umero de triˆ angulos que podemos e) n.d.a formar com vértices nos pontos marcados. a) 3 b) 7 Exerc´ıcios Complementares c) 30 d) 35 9. Quantas comiss˜ oes com 6 membros podemos formar com e) 210 10 alunos? a) 210 b) 120 c) 75 d) 144 e) n.d.a

Matem´ atica C

Aula 9

10. Uma empresa é formada por 6 s´ ocios brasileiros e 4 japoBinˆ omio de Newton neses. De quantos modos podemos formar uma diretoria de 5 s´ ocios, sendo 3 brasileiros e 2 japoneses? N´ umeros Binomiais a) 10 b) 15 N´ umeros Binomiais: Dados dois n´ umeros naturais, n e p, chac) 6 mamos n´ umero binomial, ao par de valores: d) 12 n e) n.d.a p 11. (PUC-SP) Numa sala h´ a 5 lugares e 7 pessoas. De quantos modos diferentes essas pessoas podem ser colocadas, ficando 5 Lê-se: binomial de n sobre p. Chamamos n de numerador e p de denominador do n´ umero sentadas e 2 em pé? binomial, onde a) 5.040 n! n b) 21 = p!(n − p)! p c) 120 d) 2.520 com n e pinN e n ≥ p. e) n.d.a. Conseq¨ uências da defini¸caõ: n 12. Quantos anagramas da palavra EDITORA, come¸cam com a) = 1, ∀ninN 0 A e terminam com E? n a) 120 b) = n, ∀ninN b) 720 1 n c) 840 c) = 1, ∀ninN n d) 24 e) n.d.a EXERC´ ICIOS 13. (UFCE) A quantidade de n´ umeros pares de 4 algarismos distintos que podemos formar com os algarismos 1, 2, 4, 5, 7, 1) Calcular E = 6 + 5 + 8 + 4 3 1 0 4 8 e 9 é: a) 20 b) 60 c) 240 d) 360 e) n.d.a. 14. (Aman-RJ) As diretorias de 4 membros que podemos formar com 10 s´ ocios de uma empresa s˜ ao:

2) Ache o conjunto solu¸caõ da equa¸caõ

x+1 2

= 10


243

N´ umeros Binomiais Complementares

5. Cada binomial da linha n é igual a soma de dois binomiais da linha (n − 1): aquele que est´ a na mesma coluna com aquele que est´ a na coluna anterior.

Dois n´ umeros binomiais s˜ ao chamados complementares quando possuem o mesmo numerador e a soma dos denominadores ´ e igual ao numerador. EXERC´ ICIOS Os n´ umeros np e nk s˜ ao complementares quando p + k = n. 1) Calcule: 80 +

8 1

Exemplo

7 2

Os n´ umeros binomiais 2 + 5 = 7.

e

7 5

+

8 2

8 8

+ ...+

s˜ ao complementares, pois

Propriedade Dois n´ umeros binomiais complementares s˜ ao iguais.

2) Calcule n, sabendo que

Triˆ angulo de Pascal Os n´ umeros binomiais podem ser agrupados ordenadamente angulo de Pascal: em um quadro denominado Triˆ

n 0

+

n 1

+

n 2

+...+

n n

= 256

0 0

1 0

2 0 3 0 4 0

1 1

2 1

3 1

4 1

.. .

3) Calcule o valor de 2 2 3 2 4 2

3 3

4 3

4 4

P8

p=2

9 p

Observa¸ co ˜es Importantes

F´ ormula do Binˆ omio de Newton (x + a)n

• Os n´ umeros binomiais de mesmo numerador est˜ ao colocados na mesma linha;

=

xn a0 + n1 xn−1 a1 + + . . . + nn x0 an n 0

n 2

xn−2 a2 +

c˜ ao • Os n´ umeros binomiais de mesmo denominador est˜ ao co- Observa¸ locados na mesma coluna; • No desenvolvimento do binômio (x + a)n , os termos s˜ ao todos positivos; • Se no triˆ angulo de Pascal substituirmos cada binomial pelo respectivo valor, obteremos:

1 1 1 1 1 1 .. .

1 2 3 4 5

1 3 6 10

1 4 10

1 5

• No desenvolvimento do binômio (x−a)n , os sinais de cada termo do desenvolvimento s˜ ao alternados, isto é, os termos de ordem ´ımpar (1, 3, 5, . . .) s˜ ao positivos e os de ordem par (2, 4, 6, . . .) s˜ ao negativos.

Exemplos resolvidos 1

Propriedades do Triˆ angulo de Pascal 1. Todos os elementos da 1a. coluna s˜ ao iguais a 1; 2. O u ´ ltimo elemento de cada linha é igual a 1; 3. Numa linha qualquer, os n´ umeros eq¨ uidistantes dos extremos s˜ ao iguais; 4. A soma dos n´ umeros binomiais de uma mesma linha é uma potência de base 2 cujo expoente é a ordem da linha (numerador);

1) Desenvolver o binômio (x + 3)4 : 4 4 4 4 4 x4 30 + x3 41 + x2 42 + xa3 + a4 0 1 2 3 4 logo (x + 3)4 = x4 + 12x3 + 54x2 + 108x + 81 2) Desenvolver o binômio (a − 2b)5 : 5 5 5 5 0 4 1 a (2b) − a (2b) + a3 (2b)2 0 1 2 5 5 5 − a2 (2b)3 + a1 (2b)4 − a0 (2b)5 3 4 5

244


1·a5 ·1−5·a4 ·2b+10·a3 ·4b2 −10·a2 ·8b3 +5·a·16b4 −1·1·32b5 e finalmente podemos escrever 5

5

4

—


Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Calcule o sétimo termo no desenvolvimento de (2x3 + x2 )9 .

3 2

2 3

4

(a − 2b) = a − 10a b + 40a b − 80a b + 80ab − 32b

5

Soma dos Coeficientes Binomiais

2. Calcule o quarto termo no desenvolvimento de (x−3 − 2x2 )10 . 3. Calcule o termo médio no desenvolvimento de (3y 4 + 2y 6 )6 .

A soma dos coeficientes numéricos do desenvolvimento de (ax± 4. Encontre o termo independente de x no desenvolvimento by)n , com a e b constantes, se obtém fazendo x = y = 1. A de (2x−3 − 2x4 )7 . soma vale, portanto 5. Determine a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento do binômio (x + 2y)8 . (a ± b)n

F´ ormula do Termo Geral Para determinar um termo qualquer de ordem (p + 1) no desenvolvimento de um binˆ omio do tipo (x + a)n , temos: Tp+1

n = ap xn−p p

O termo geral no desenvolvimento de (x − a)n , é dado pela express˜ ao:

Exerc´ıcios Complementares 6. (UFPA-PA) Qual o valor do termo médio do desenvolvimento de (2x + 3y)8 ? a) 70 · x4 y 4 b) 70 · 16 · 81 · x4 y 4 c) 70 · 16 · 81 · x5 y 4 d) 70 · 16 · 81 · x4 y 5 e) 70 · 16 · 81 · x5 y 5

7. (Santo André-SP) O termo independente de x no desenvolvimento de (2x−2 − 3x)6 é o: Tp+1 a) 2o b) 3o c) 4o Exemplos d) 5o e) 6o 1. Determinar o quarto 4o no desenvolvimento de (x + 2)7 . Resolu¸caõ: 8. (UFRN-RN) A express˜ ao 73 + 74 − 35 é igual a : Para o quarto termo, temos que p + 1 = 4, logo p = 3. Assim: a) 30 b) 35 c) 40 7 T4 = T3+1 = a3 x7−3 = 35 · 8 · x4 = 280x4 d) 45 3 e) 50 2. Achar o termo médio no desenvolvimento de (2x − 3)6 . 9. A soma dos valores que x pode assumir na igualdade No desenvolvimento do binˆ omio (2x − 3)6 , teremos um total 13 13 e: 2x−3 = x+1 ´ de 7 termos. Com isso o termo médio ser´ a o 4o termo. Logo n ap xn−p = (−1)p p

temos:

T4 = T3+1

6 33 (2x)6−3 = (−1) · 20 · 27 · 8x3 = (−1) 3 3

logo o termo procurado ser´ a T4 = −4.320x3

Pense um Pouco!

a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 15

10. O quarto termo do desenvolvimento (x + √ a) 6x3 y b) 15x4 y √ c) 20x3 y y d) 6x6 y 3 e) n. d. a.

√ 6 y) é:

11. (FGV-SP) A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)6 é: a) 15.625 b) 7.776 • O que ocorrerá com os termos do desenvolvimento de um c) 6.225 binˆ omio (x + a)n , se invertermos as posi¸co˜es do primeiro d) 4.225 e do segundo termo, ou seja (a + x)n ? e) 2.048

• O que devemos fazer para encontrarmos o termo independente de x, no desenvolvimento de um binˆ omio?

• Por que alguns desenvolvimentos de n´ umeros binomiais 12. (Mack-SP) Se a soma dos coeficientes numéricos do deapresentam termo médio e outros n˜ ao? senvolvimento (5x − 3y)n é 81, ent˜ ao n é igual a:


245

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) n. d. a.

Matem´ atica C

Aula 10

moeda, onde se quisesse tirar por sorteio uma determinada face. 2. Entre seis pessoas A, B, C, D, E e F, quatro s˜ ao escolhidas para formar uma comiss˜ ao. Qual a probabilidade de A e B pertencerem à comiss˜ ao? Resolu¸caõ: Primeiramente, vamos determinar o total de comiss˜ oes que se pode formar com quatro elementos: C6,4 =

Probabilidade Espa¸ cos Amostrais Equiprov´ aveis Finitos

6! = 15 4!2!

que é o n´ umero de resultados poss´ıveis do conjunto universo U. Agora, vamos determinar o n´ umero de vezes que A e B comparecem nas comiss˜ oes com quatro elementos, ou seja,

Dado um experimento aleat´ orio, no qual cada resultado tenha 4! as mesmas chances de ocorrer que os demais. Seja U o conjunto =6 C4,2 = 2!2! de todos os eventos poss´ıveis como resultado do experimento e seja E o conjunto dos resultados que nos interessam, definimos que é o n´ umero de resultados favoráveis, no conjunto E. a probabilidade do(s) evento(s) E como sendo: Finalmente, a probabilidade de A e B pertencerem à comiss˜ ao é dada por: N´ umero de resultados favor´ aveis P (E) = N´ umero de resultados poss´ıveis 6 2 P (E) = = = 0, 40 = 40% 15 5 Se o experimento for repetido N vezes, esperamos que a fra¸caõ de sucessos seja dada por P (E), no limite onde N → ∞.

Eventos Complementares

Interpreta¸c˜ ao Gr´ afica

A Probabilidade de n˜ ao ocorrer um evento pode ser determinada com o estudo dos eventos complementares. Podemos usar os diagramas de Venn para facilitar a visuaSeja E, um evento em um experimento aleat´ orio. A probabiliza¸caõ e até a solu¸caõ de muitos problemas sobre o c´ alculo de lidade de n˜ ao ocorrer o evento E, isto é, a probabilidade de probabilidades. ocorrer o evento E, complementar de E, é dado por: P ( E) = 1 − P (E) Exerc´ıcio Resolvido 1. Uma moeda é lan¸cada 6 vezes. Qual a probabilidade de observarmos pelo menos uma cara? Resolu¸caõ: Para seis lan¸camentos de uma moeda, temos:

E

U

U = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 26 = 64

ou seja, existem 64 resultados poss´ıveis. o h´ a um onde No gr´ afico, U é o conjunto de todos os resultados poss´ıveis Destes 64 resultados poss´ıveis, por exemplo, s´ ao ocorre nenhuma cara, que é exatamente quando se tira 6 (espa¸co amostral) e E é o conjunto dos resultados favoráveis n˜ coroas sucessivas. (os eventos de sucesso). Se chamarmos de E o conjunto de resultados com pelo menos uma cara, ent˜ ao podemos dizer que a probabilidade de n˜ ao Exerc´ıcios Resolvidos tirarmos nenhuma cara E, é 1. No lan¸camento de um dado n˜ ao viciado, qual a probabili1 P ( E) = dade de ocorrer o evento “n´ umero primo”? 64 Resolu¸caõ: ao, como s˜ ao eventos complementares, se n˜ ao obtemos seis Neste caso temos que U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e E = {2, 3, 5}, pois ent˜ coroas ´ e porque saiu pelo menos uma cara, estes s˜ ao os n´ umeros primos entre 1 e 6. Ent˜ ao: P (E) =

1 3 = 6 2

P (E) = 1 − P ( E) =

63 64

Ou seja, a chance de se tirar um n´ umero primo é de 50%. é a probabilidade de se obter pelo menos uma cara. Observe que nesse caso o dado se comporta como se fosse uma Observe que:

246


- a probabilidade de se obter as 6 coroas sucessivas é pequena (1/64), ou seja, é grande a probabilidade de isso n˜ ao ocorrer (63/64). - esta mesma experiência pode ser feita com seis moedas lan¸cadas de uma s´ o vez. 2. Ao se retirar uma bola de uma urna que contém três bolas brancas b1, b2, b3, numeradas de 1 a 3 e cinco bolas pretas p1, p2, p3, p4, p5, numeradas de 1 a 5. Qual a probabilidade de que essa bola n˜ ao seja preta e nem de n´ umero par, ao mesmo tempo: Resolu¸caõ: Neste caso U = {b1, b2, b3, p1, p2, p3, p4, p5} e E = {p2, p4), ent˜ ao a probabilidade complementar, de se tirar uma bola preta de n´ umero par ser´ a: P ( E) =

2 1 = 8 4

e como:

3 4 esta ser´ a a probabilidade de se tirar uma bola n˜ ao preta e n˜ ao par, simultaneamente. P (E) = 1 − P ( E) =

Pense um Pouco!

—


um cartão desse conjunto, a probabilidade de obter um cart˜ ao numerado com um m´ ultiplo de 13 é: a) 3/240 b) 3/40 c) 1/26 d) 1/13 e) 1/6 5. (MACK) Num grupo de 10 pessoas est˜ ao X e Y . Escolhidas ao acaso 5 pessoas do grupo, a probabilidade de X e Y serem escolhidas é: a) 1/5 b) 1/10 c) 2/9 d) 5/9 e) 9/10 ´ Um n´ 6. (MARINGA) umero é escolhido ao acaso entre os 20 inteiros, de 1 a 20. A probabilidade de o n´ umero escolhido ser primo ou quadrado perfeito é: a) 1/5 b) 2/25 c) 4/25 d) 2/5 e) 3/5

• Em alguns jogos com dado o jogador pode avisar ”vale o debaixo”, querendo dizer que o n´ umero tirado ser´ a o da face que cair voltada para baixo. Se um jogador usar desse 7. (CESGRANRIO) Um prédio de três andares, com dois artif´ıcio, antes de jogar o dado, mudam suas chances no apartamentos por andar, tem apenas três apartamentos ocupados. A probabilidade de que cada um dos três andares tenha jogo? exatamente um apartamento ocupado é: • Acertar 5 n´ umeros num cartão com 50 n´ umeros, como a) 1/2 nos jogos de loto é realmente muito dif´ıcil, mas se b) 2/5 marc´ assemos no cartão 45 n´ umeros e fossem sorteados, c) 4/5 n˜ ao 5, mas 45 n´ umeros. Melhoraria a nossa chance? d) 1/5 e) 3/8

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Joga-se um dado ”honesto”de seis faces e lê-se o n´ umero da face voltada para cima. Calcular probabilidade de se obter: a) O n´ umero 5 b) Um n´ umero ´ımpar c) Um n´ umero maior que 4 d) Um n´ umero menor que 8 e) Um n´ umero maior que 6

8. (MOGI DAS CRUZES) Jogamos dois dados. A probabilidade de obtermos pontos iguais nos dois é: a) 1/3 b) 5/36 c) 1/36 d) 1/6 e) 7/36

2. Retirando-se uma carta de um baralho comum, de 52 cartas, 9. (LORENA) Uma urna contém 4 bolas vermelhas numeradas de 1 a 4; três bolas azuis numeradas de 1 a 3 e três bolas qual é a probabilidade de se obter uma carta de copas? brancas numeradas de 1 a 3. Retiramos uma u ´ nica bola. Qual 3. Qual o “espa¸co amostral”ou “conjunto universo”U nos se- a probabilidade de que essa bola seja par? guintes fenˆ omenos aleat´ orios: a) 3/10 a) lan¸camento de duas moedas b) 2/5 b) lan¸camento de dois dados c) 3/5 c) lan¸camento de uma moeda e um dado d) 2/10 d) embaralhar os 8 bits de um byte e) n. d. a. e) embaralhar as letras da palavra “PROVA”

Exerc´ıcios Complementares 4. (CESGRANRIO) Os 240 cartões de um conjunto, s˜ ao numerados consecutivamente de 1 a 240. Retirando-se ao acaso

Matem´ atica C

Aula 11


247

Inequa¸c˜ oes

1a )2x − 1 > 0 e x + 4 > 0 a) 2x − 1 > 0 =⇒ x > 1/2 b) x + 4 > 0 =⇒ x > −4 a) e b) simultaneamente nos d´ a que a solu¸caõ é x > 1/2

Inequa¸c˜ oes do Primeiro Grau

Relacionadas com as equa¸co˜es de 1o grau, temos as desigualdades de primeiro grau (ou inequa¸co˜es), que s˜ ao express˜ oes maSa tem´ aticas em que os termos est˜ ao ligados por um dos quatro x 0 1/2 < > ≤ ≥ Sb sinais: x menor maior menor ou igual maior ou igual 0 −4 Sa Sb Nas inequa¸co˜es, deseja-se obter um conjunto de todas os x 0 1/2 poss´ıveis valores que pode assumir uma ou mais inc´ ognitas na equa¸caõ. 2a ) 2x − 1 < 0 e x + 4 < 0 Uma propriedade importante das inequa¸co˜es é: a) 2x − 1 < 0 =⇒ x < 1/2 a > b ⇐⇒ −a < −b b) x + 4 < 0 =⇒ x < −4 a) e b) simultaneamente nos d´ a que a solu¸caõ é x < −4 Ou seja, multiplicando-se ou dividindo-se uma desigualdade por um n´ umero negativo ”inverte-se o sentido”da desigualdade. Sá

Exemplo Resolvido Encontrar todos os valores de x tais que 3x + 6 > 5x − 4. Resolu¸caõ: 3x + 6 > 5x − 4 3x − 5x > −4 − 6

0 1/2

x

−4

0

x

−4

0

x

S´b Sá

S´b

Portanto o conjunto solu¸caõ da inequa¸caõ é a união das solu¸co˜es obtidas: 1 } 2 Podemos, entretanto, resolver este problema com o seguinte quadro de sinais no qual estudamos nas primeiras linhas o sinal de cada um dos fatores e na u ´ ltima linha, o sinal do produto: S = {x ∈ R | x < −4 ou x >

−2x > −10 e multiplicando-se por −1 2x < 10 finalmente x<5

f(x)

ou seja, existe um conjunto infinito de valores (intervalo) que satisfazem a desigualdade dada. Graficamente:

0

5

x

A figura representa graficamente o intervalo de solu¸caõ obtido:

g(x) f(x)g(x)

0 1/2

x

−4

0

x

−4

0 1/2

x

Observe que os valores x = −4 e x = 1/2 que anulam o produto n˜ ao verificam a inequa¸caõ e esse fato foi indicado por ”◦”(bola vazia), usado para representar o intervalo aberto.

Inequa¸c˜ oes-Quociente

Sendo f (x) e g(x) duas fun¸co˜es da vari´ avel x, as inequa¸co˜es: f (x) ÷ g(x) > 0 f (x) ÷ g(x) < 0 Inequa¸c˜ ao-Produto f (x) ÷ g(x) ≥ 0 f (x) ÷ g(x) ≤ 0 Sendo f (x) e g(x) duas fun¸co˜es da vari´ avel x, as inequa¸co˜es: s˜ ao denominadas inequa¸ co ˜es-quociente. f (x) · g(x) > 0 Notando que as regras de sinais do produto e do quociente f (x) · g(x) < 0 para n´ u meros reais, s˜ a o an´ a logas, por exemplo: f (x) · g(x) ≥ 0 S = {x ∈ R | /x < 5}

f (x) · g(x) ≤ 0 s˜ ao denominadas inequa¸ co ˜es-produto. Exerc´ıcio Resolvido

f (x) > 0 ⇐⇒ f (x) · g(x) > 0 g(x) f (x) ≥⇐⇒ f (x) · g(x) ≥ 0 g(x)

Resolver a inequa¸caõ: (2x − 1)(x + 4) > 0 esta u ´ ltima para g(x) 6= 0 Resolu¸caõ: Isso significa que, na resolu¸caõ de uma inequa¸caõ-quociente, Para resolver essa inequa¸caõ, vamos analisar as duas possibi- podemos usar o mesmo quadro de sinais, empregado na inequa¸caõ-produto. lidades em que (2x − 1)(x + 4) > 0, ou seja:

248


Exerc´ıcio Resolvido

—


Y

Resolva a inequa¸caõ: (x + 3)(1 − x) ≥0 (x − 2)

2

Resolu¸caõ: Vamos chamar de f (x) = x + 3, g(x) = 1 − x e h(x) = x − 2 e analisar os sinais individuais de cada fun¸caõ:

f(x) g(x)

x

1

h(x) f(x)g(x) h(x)

−3

1

2

x

2

x

X

Como devemos ter y > 0, os valores de x s˜ ao: S = {x ∈ R | 2 < x < 3}. 2. Resolva o sistema de inequa¸co˜es do 2o grau.

x

−3

3

2x2 − 18 < 0 −x2 + 5x − 4 ≥ 0

Resolu¸caõ: Para resolvermos o sistema de inequa¸co˜es acima, vamos analisar cada uma das inequa¸co˜es, separadamente. Assim: a) 2x2 − 18 < 0 Inequa¸c˜ oes do Segundo Grau Temos a = 2 e ∆ = 0 − 4 · 2 · (−18) = 144 > 0, e as ra´ızes: x′ = +3 e x′′ = −3. 2 2 2 As desigualdades ax +bx+c > 0, ax +bx+c < 0, ax +bx+c ≤ 0 e ax2 + bx + c ≥ 0, com a 6= 0 s˜ ao chamadas inequa¸co˜es do Sa = {x ∈ R | − 3 < x < 3}. b) −x2 + 5x − 4 ≥ 0 segundo grau. Para resolvermos essas inequa¸co˜es, devemos estudar a varia¸caõ Neste caso a = −1 e ∆ = 5 − 4 · (−1) · (−4) = 9 > 0, com ra´ızes: x′ = +1 e x” = +4 dos sinais das imagens da fun¸caõ do segundo grau. Seja a fun¸caõ f : R → R dada por f (x) = ax2 + bx + c, com Sb = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 4}. c) Finalmente, a solu¸caõ geral do sistema é obtida pela intera 6= 0. Seu gr´ afico é uma par´ abola que se comporta conforme a tabela seçcaõ dos intervalos-solu¸caõ obtidos: S = Sa ∩ §b = {x ∈ R | 1 ≤ x < 3}. abaixo: de onde S = {x ∈ R | x < −3 ou 1 ≤ x < 2}.

∆>0

∆=0

Inequa¸c˜ oes Exponenciais

∆<0

Denomina-se inequa¸ c˜ ao exponencial, àquela que apresenta uma inc´ ognita no expoente. Como por exemplo: a>0 x

x

x

3x > 81

x

x

x

52x − 6 · 5x + 5 < 0 2

8x ≤ 16

a<0

Importante • Quando a > 0, a fun¸caõ exponencial f (x) = ax é crescente, isto é: Exerc´ıcios Resolvidos 1. Resolva a inequa¸caõ do 2o grau: −x2 + 5x − 6 > 0 Resolu¸caõ: Para resolver a inequa¸caõ acima, devemos determinar os valores de x para os quais a fun¸caõ f (x) = −x2 + 5x − 6 tem imagens positivas (y > 0), isto é, estudar o sinal da fun¸caõ. Como a = −1 e ∆ = (+5) − 4 · (−1) · 6 = +1 > 0 e as ra´ızes de f (x) s˜ ao: x′ = 2 e x′′ = 3 temos o gr´ afico:

ax1 > ax2 ⇐⇒ x1 > x2 • Quando 0 < a < 1, a fun¸caõ exponencial f (x) = ax é decrescente, isto é: ax1 > ax2 ⇐⇒ x1 < x2


249

Pense um Pouco!

Exerc´ıcios Resolvidos

Resolva as equa¸co˜es exponenciais: ´ poss´ıvel se ter um sistema de inequa¸co˜es cujo conjunto • E a) 4x > 1/4 solu¸caõ seja ∅? Explique. Resolu¸caõ: Devemos procurar obter desigualdades de potências de mesma Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao base. 1 x x − 4 > ⇐⇒ 4 > 4 1 4 1. A solu¸caõ da inequa¸caõ (2x + 3)/(x + 2) ≥ 1 é: Como a base é maior do que 1, vem: a) S = {x ∈ R | x ≤ −3 ou 1 ≤ x < 2} b) S = {x ∈ R | 1 ≤ x < 2} x > −1 c) S = {x ∈ R | x < −3 ou x > 2} d) S = {x ∈ R | x < −2 ou x ≥ 1} e e) n. d. a. S = {x ∈ R | x > −1} 2) O conjunto solu¸caõ do sistema de inequa¸co˜es b) (1/2)2x < (1/2)3x−1 2 x − 5x + 6 ≤ 0 Resolu¸caõ: 2x2 − 8x > 0 Como a base est´ a compreendida entre 0 e 1, temos que ter: é: f) S = {x ∈ R | x ≤ −3 ou 1 ≤ x < 2} g) S = {x ∈ R | x ≥ −3 ou 1 ≤ x ≤ 2} h) S = {x ∈ R | x ≤ −3 ou 1 < x < 2} i) S = {x ∈ R | x ≥ −3 ou 1 < x < 2} j) n. d. a.

2x > 3x − 1 −x > −1 e ent˜ ao x<1 logo S = {x ∈ R | x < 1}


Inequa¸c˜ oes Modulares Notemos que se a > 0, valem as seguintes propriedades: 1. |x| > a ⇐⇒ x < −a ou x > a

−a

0

x

a

3. Resolvendo, em R, a inequa¸caõ: x − 4 5x − 1 3 − ≤ 3 4 4

2. |x| < a ⇐⇒ −a < x < a

−a

2. (VUNESP) Quantos n´ umeros inteiros satisfazem a inequa¸caõ: x2 − 6x + 8 < 0 a) nenhum b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

0

a

x

Exerc´ıcio Resolvido Resolva a inequa¸caõ: |3x − 4| < 2 Resolu¸caõ: De acordo com a propriedade 2 vista acima, temos:

temos que: a) S = {x ∈ R | x < −2} b) S = {x ∈ R | x > −2} c) S = {x ∈ R | x ≤ −2} d) S = {x ∈ R | x ≥ −2} e) n. d. a. 4. A solu¸caõ da inequa¸caõ: 2x + 3 ≥1 x+2

ou seja, temos de resolver o sistema de inequa¸co˜es −2 < 3x − 4 ⇒ x > 2/3 3x − 4 < 2 ⇒ x < 2

é: a) S = {x ∈ R | x < −2 ou x ≥ −1} b) S = {x ∈ R | x ≤ −2 ou x > 1} c) S = {x ∈ R | x > −2 ou x > 2} d) S = {x ∈ R | x ≤ −1 ou x ≥ 2} e) n.d.a

Fazendo a interseçcaõ dos intervalos de solu¸caõ, vem:

5. Resolvendo a inequa¸caõ

|3x − 4| < 2 ⇒ −2 < 3x − 4 < 2

S = {x ∈ R |

2 < x < 2} 3

(2 − 5x)(x + 1) ≤0 (−x + 3)

250


temos que: a) S = {x ∈ R | x ≤ −3 ou 1 ≤ x < 2} b) S = {x ∈ R | x < −2 ou x ≥ 1} c) S = {x ∈ R | x ≤ −1 ou x ≥ 2} d) S = {x ∈ R | x < −3 ou − 1 ≤ x ≤ 2/5} e) n. d. a.


Equa¸ co ˜es Envolvendo sen α

Y

6. Ao resolver

sen θ

1

π−θ

x − 2 x + 3 < 1

1

X

Se dois arcos trigonométricos x e α têm senos iguais, ent˜ ao:

7. Qual a solu¸caõ da inequa¸caõ abaixo:

sen x = sen α ⇐⇒

x2 −5x+1 1 1 ≥ 2 2

com k ∈ N

 

x = α ± 2kπ ou  x = π − α ± 2kπ

Equa¸ co ˜es Envolvendo cos α

− 5 < x ≤ 0} − 5 ≤ x ≤ 0} − 5 ≤ x ≤ 0} − 5 < x < 0}

Matem´ atica C

θ 0

obtemos: a) S = {x ∈ R | x > 2} b) S = {x ∈ R | x < −2} c) S = {x ∈ R | x > −1/2} d) S = {x ∈ R | x ≤ −2} e) n. d. a.

a) S = {x ∈ R | b) S = {x ∈ R | c) S = {x ∈ R | d) S = {x ∈ R | e) n. d. a.

—

cos θ

Y 1

Aula 12

0

θ −θ

1

X

2π − θ = −θ

Equa¸c˜ oes Trigonom´ etricas ao: S˜ ao equa¸co˜es que envolvem pelo menos uma fun¸caõ trigo- Se dois arcos trigonométricos x e α têm cossenos iguais, ent˜ nométrica operando em alguma de suas vari´ aveis. Por exemcos x = cos α ⇐⇒ x = ±α ± 2kπ plo, cos θ = 1/3, onde se quer, em geral, determinar o ângulo θ. com k ∈ N

Tipos Fundamentais

Equa¸ co ˜es Envolvendo tan α Se dois arcos trigonométricos x e α têm tangentes iguais, ent˜ ao:

Existem três tipos de equa¸co˜es trigonométricas fundamentais. S˜ ao elas: a) sen x = sen α b) cos x = cos α c) tan x = tan α Equa¸co˜es de outro tipo devem ser reduzidas a uma dessas fundamentais. Vejamos como resolver cada uma delas.

tan x = tan α ⇐⇒ x = α ± kπ com k ∈ N As equa¸co˜es a seguir têm suas solu¸co˜es mais facilmente obtidas pela representa¸caõ dos seus valores na circunferência trigonométrica.


251

Exemplos Resolvidos

cos x = 1/2

sen x = −1

Como o cosseno de π/3 é igual a 1/2, temos a solu¸caõ geral x = π/3 ± kπ k ∈ N

Como o seno de 3π/2 é igual a −1, temos a solu¸caõ geral x=

3π ± 2kπ k ∈ N 2

logo S = {x ∈ R | x =

3π ± 2kπ, k ∈ N 2

logo S = {x ∈ R | x = π/3 ± kπ, k ∈ N Exerc´ıcios Resolva em R as equa¸co˜es: 1) sen3x − senx = 0

sen x = 0 Como o seno de 0 é igual a 0, temos a solu¸caõ geral x = ±π k ∈ N logo

2) cos x =

√ 3 2

3) tan x =

√ 3 3

S = {x ∈ R | x = ±kπ, k ∈ N sen x = 1 Como o seno de π/2 é igual a 1, temos a solu¸caõ geral x=

π ± 2kπ k ∈ N 2

logo S = {x ∈ R | x =

π ± 2kπ, k ∈ N 2

cos x = −1 Como o cosseno de π é igual a −1, temos a solu¸caõ geral x = π ± kπ k ∈ N logo S = {x ∈ R | x = π ± kπ, k ∈ N cos x = 0 Como o cosseno de π/2 é igual a 0, temos a solu¸caõ geral x=

π ± kπ k ∈ N 2

logo S = {x ∈ R | x =

π ± kπ, k ∈ N 2

cos x = 1 Como o cosseno de 0 é igual a 1, temos a solu¸caõ geral x = 2kπ k ∈ N logo S = {x ∈ R | x = 2kπ, k ∈ N

Pense um Pouco! • Existe solu¸caõ real para a equa¸caõ cos x = 2 ?

Exerc´ıcios Complementares 1. A solu¸caõ da equa¸caõ cos(2x) − cos(x − π) = 0, é: a) {x ∈ R | x = −π + 2kπ ou x = π/3 + 2kπ/3, kZ} b) {x ∈ R | x = −π + kπ ou x = +k, kZ} c) {x ∈ R | x = π + 2kπ ou x = +k, kZ} d) {x ∈ R | x = −π + kπ ou x = +k, kZ} e) n. d. a. 2. Resolvendo sen 2x + sen x = 0, obtemos: a) S = {x ∈ R | x = (π/2) + kπ, ; k ∈ Z} b) S = {x ∈ R | x = (3π/2) + kπ, ; k ∈ Z} c) S = {x ∈ R | x = (−π/2) + 2kπ, ; k ∈ Z} d) S = {x ∈ R | x = (π) + 2kπ, ; k ∈ Z} e) n. d. a. 3) O conjunto solu¸caõ da equa¸caõ cos x − cos(π/4) = 0 é: f) S = {x ∈ R | x = ±π/4 + 2kπ, k ∈ Z}

252


g) S = {x ∈ R | x = ±π/3 + 2kπ, k ∈ Z} h) S = {x ∈ R | x = ±π/6 + 2kπ, k ∈ Z} i) S = {x ∈ R | x = ±π/2 + 2kπ, k ∈ Z} j) n. d. a. √ 3. A equa¸caõ trigonométrica 3 tan x − 3 = 0 , tem solu¸caõ: a) S = {x ∈ R | x = ±π/6 + kπ, k ∈ Z} b) S = {x ∈ R | x = ±3π/2 + 2kπ, k ∈ Z} c) S = {x ∈ R | x = ±π/4 + kπ, k ∈ Z} d) S = {x ∈ R | x = ±π/3 + 2kπ, k ∈ Z} e) n. d. a. 4. Resolva a equa¸caõ cos(x − π/2) = cos(π/2) em R: a) S = {x ∈ R | x = π/4 + kπ, k ∈ Z} b) S = {x ∈ R | x = π/3 + kπ, k ∈ Z} c) S = {x ∈ R | x = 2π/3 + kπ, k ∈ Z} d) S = {x ∈ R | x = π/2 + kπ, k ∈ Z} e) n. d. a.

Matem´ atica C

—


r A

• segmento de reta é a por¸caõ de uma reta entre dois pontos n˜ ao coincidentes A e B. r B A

• três pontos n˜ ao co-lineares definem um plano.

Aula 13 s

r

C B A

Introdu¸ c˜ ao ` a Geometria A Geometria Plana estuda as figuras planas. Entendemos por figura plana todo subconjunto, n˜ ao vazio, de pontos do plano. Quando dizemos que S é uma figura plana, estamos afirmando que S est´ a totalmente contida num plano. Para o estudo da Geometria Plana, aceitamos um conjunto de conceitos n˜ ao definidos, dos quais temos a intui¸caõ clara e, um sistema de axiomas ou postulados, que s˜ ao proposi¸co˜es não demonstradas, aceitas intuitivamente, que d˜ ao caracter´ısticas aos elementos n˜ ao definidos.

Entes Geom´ etricos Fundamentais Ponto, reta e plano: s˜ ao idéias primitivas, entes que n˜ ao possuem defini¸caõ.

α

Propriedades Gerais • por um ponto passam infinitas retas; • por dois pontos passa uma s´ o reta; • por dois pontos passam infinitos planos; • por três pontos n˜ ao co-lineares passa um s´ o plano; • o plano é infinito e ilimitado;

Representa¸c˜ ao

• por uma reta passam infinitos planos;

Por conven¸caõ, usaremos a seguinte nomenclatura geral para - pontos: A, B ,C, . . . - retas: r, s, t, . . . - planos: α, β, γ, . . .

• toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regiões chamadas semi-planos; • um plano divide o espa¸co em dois semi-espa¸cos;

Defini¸ c˜ oes • A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos, e n˜ ao possui in´ıcio nem fim.

ˆ Angulo Plano Defini¸ c˜ ao ´ a uni˜ E ao de duas semi-retas de mesma origem.

r

A

• Um ponto A de uma reta r, divide a mesma em dois conjuntos, chamados semi-retas. O ponto A é origem das semi-retas e pertence a ambas.

θ O

B


253 ˆ Angulos Opostos pelo V´ ertice

Regi˜ ao Angular

´ a uni˜ ao opostos pelo v´ ertice quando os lados de E ao do conjunto dos pontos interiores com o conjunto Dois ângulos s˜ [ um s˜ ao semi-retas opostas aos lados do outro. dos pontos do ângulo. Indica-se por AOC. r

A

E ponto exterior

θ

α

ponto interior

I

α

s

O

B

O

Dois ângulos opostos pelo vértice s˜ ao congruentes. ˆ Angulos Adjacentes ˆ Angulo Raso Dois ˆ angulos s˜ ao adjacentes, quando possuem mesma origem e um lado em comum. Define-se um ˆ angulo raso quando os três pontos A, O e B pertencem à mesma reta. Por defini¸caõ o ângulo plano mede 180◦ . C

α

o

β = 180

B

O

β

O

A

ˆ Angulo Reto Chama-se de ˆ angulo reto o ângulo obtido pela bisseçcaõ de um ângulo plano. O ângulo reto mede 90◦ .

ˆ Angulos Congruentes Dois ˆ angulos s˜ ao congruentes quando possuem mesma medida, ou seja, s˜ ao coincidentes.

o

β = 90

.

O

C

α

O´ C´ B

α´ =α

O

B´

ˆ Angulo Agudo ˆ Angulo agudo é aquele cuja medida é menor que 90◦ .

Bissetriz

α

´ a semi-reta de origem no vértice do ˆ E angulo, que o divide em dois ângulos congruentes.

O

ˆ Angulo Obtuso C

ˆ Angulo obtuso é aquele cuja medida é maior que 90◦ .

α O

B

β A

β [ ≡ BOC \ Neste caso AOC

O

254


ˆ Angulos Complementares

—


Pol´ıgonos

c˜ ao: Consideremos, num mesmo plano, N ≥ Dois ˆ angulos s˜ ao complementares, quando a soma de suas Defini¸ 3 pontos A1 , A2 , A3 , . . . , AN , ordenados de modo que três medidas é um ângulo reto (90◦ ). consecutivos n˜ ao sejam colineares. Chama-se pol´ıgono A1 , A2 , A3 , . . . , AN , A1 à figura formada pela união dos N segmentos consecutivos entre os pontos: A2

θ = 90 ο − β

A1 A3

β

.

A5

O

A4

Regi˜ ao Poligonal

ˆ Angulos Suplementares Dois ˆ angulos s˜ ao suplementares, quando a soma de suas medidas é um ângulo raso (180◦ ). Exerc´ıcios 1. Qual é o ângulo que mede o dobro do seu complemento?

´ a região do plano formada pela união dos pontos do pol´ıgono E com os pontos do seu interior. Define-se que uma região do plano é convexa quando quaisquer dois pontos dessa região puderem ser unidas por segmentos de retas cujos infinitos pontos perten¸cam à essa região. Se essa condi¸caõ falhar, diz-se que a região é cˆ oncava. Se a região poligonal for convexa, o pol´ıgono ser´ a denominado pol´ıgono convexo.

2. Qual o valor de α na figura abaixo? D C

2α+10

o

Se a região poligonal for cˆ oncava, o pol´ıgono ser´ a denominado pol´ıgono cˆ oncavo.

o

a+20 O

D C

3. Determine a medida do ˆ angulo β na figura: Classifica¸ c˜ ao

r o

3β+10 s o

6β−20

O

Pol´ıgono Eq¨ uil´ atero ´ o pol´ıgono que tem todos os lados congruentes: E Exemplos: losango, quadrado, etc... Pol´ıgono Eq¨ uiˆ angulo ´ E o pol´ıgono que tem todos os ângulos internos congruentes. Exemplos: retˆ angulo, quadrado, etc,... Pol´ıgono Regular ´ o pol´ıgono eq¨ E uil´ atero e eq¨ uiângulo simultaneamente. Exemplo: quadrado.


3

4

255

5

6

R

7

11

8

12

9

10

13

14

C

Comprimento da Circunferˆ encia 15

20

25

O comprimento de uma circunferência, ou per´ımetro é dado por L = 2πR

30

C´ırculo Nomenclatura De acordo com o n´ umero Nome N´ umero de Lados Triˆ angulo 3 lados Quadril´ atero 4 lados Pent´ agono 5 lados Hex´ agono 6 lados Hept´ agono 7 lados Octógono 8 lados Ene´ agono 9 lados Dec´ agono 10 lados Undec´ agono 11 lados Dodecágono 12 lados Pentadecágono 15 lados Icos´ agono 20 lados

de

lados,

´ a região limitada pela circunferência, ou seja, é a uni˜ E ao do temos: conjunto dos pontos interiores e dos pontos pertencentes à circunferência. ´ Area do C´ırculo A área A de um c´ırculo é dada por A = πR2

Pense um Pouco! • Arquimedes considerava que a circunferência poderia ser definida como um pol´ıgono regular com um grande n´ umero de lados (muito pequenos). O que você acha disso?

N´ umero de Diagonais Chama-se diagonal de um pol´ıgono a todo segmento de reta cujas extremidades s˜ ao vértices n˜ ao consecutivos. O n´ umero de diagonais D de um pol´ıgono convexo de N lados (N ≥ 3) é dado por: N (N − 3) D= 2 ˆ Soma dos Angulos

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Qual o n´ umero de diagonais do icoságono? a) 150 b) 110 c) 210 d) 170 e) n. d. a.

2. Qual o n´ umero de lados de um pol´ıgono que possui 14 Em todo pol´ıgono convexo de N lados (N ≥ 3), sendo Si a diagonais? soma dos ângulos internos e Se a soma dos ˆ angulos externos a) 5 tem-se: b) 7 Si = (N − 2) · 180◦ c) 9 d) 11 e e) n. d. a. Se = 360◦ 3. Determine a área do c´ırculo limitado pela circunferência cujo comprimento é de 10π cm. a) 25π cm2 Circunferˆ encia b) 16π cm2 Dado um ponto C de um plano (centro) e uma distância R n˜ ao c) 49π cm2 nula (raio), chama-se circunferência o conjunto dos pontos do d) 36π cm2 plano que distam R do ponto C. e) n. d. a.

256



—


Triˆ angulos

c˜ ao 4. (FEI) Num pol´ıgono regular, o n´ umero de diagonais é o tri- Defini¸ plo do n´ umero de lados. A quantidade de lados desse pol´ıgono Dados três pontos n˜ ao colineares A, B e C, chama-se triˆ angulo é: a união dos três segmentos AB, AC, BC. a) 7 b) 8 ∆ABC = AB + AC + BC c) 9 d) 10 Elementos do Triˆ angulo e) 11 5. (MACK) A soma dos ˆ angulos internos de um hept´ agono convexo é igual a: a) 540◦ b) 720◦ c) 900◦ d) 1.080◦ e) 1.260◦

• Vértices: A,B e C; • Lados: AB, AC e BC; ˆ • Angulos internos: α, β e γ; ˆ • Angulos externos: s˜ ao os ângulos suplementares aos internos. Na figura, para o ângulo interno γ, por exemplo, γex. é o ângulo externo.

6. Num pol´ıgono convexo, a soma dos ˆ angulos internos é cinco vezes a soma dos ângulos externos. Calcule o n´ umero de diaClassifica¸c˜ ao gonais desse pol´ıgono. a) 35 Quanto aos Lados b) 44 c) 54 Eq¨ uil´ atero d) 90 Possui os três lados iguais. e) n. d. a. 7. Dois ângulos s˜ ao complementares, sendo que um é o qu´ıntuplo do outro. Qual o valor do menor desses ˆ angulos: a) 10◦ b) 12◦ c) 17◦ d) 20◦ e) n. d. a.

B

8 cm

A

h

m a

8. Qual é o ângulo cujo suplemento é o triplo do seu complemento: a) 35◦ b) 45◦ Is´ oceles c) 60◦ Possui dois lados iguais. d) 15◦ e) n. d. a. 9. Cada um dos ângulos externos de um pol´ıgono regular mede 15◦ . Qual o n´ umero de diagonais desse pol´ıgono? a) 170 b) 252 c) 90 d) 144 e) n. d. a. 10. Cada um dos ângulos internos de um pol´ıgono regular Escaleno mede 150◦ . Qual é o pol´ıgono? Possui os três lados diferentes. a) octógono b) dec´ agono c) dodec´ agono d) icos´ agono e) n. d. a.

Matem´ atica C

Aula 14

6 cm

n C


257

ˆ Quanto aos Angulos Retˆ angulo Possui um ângulo reto.

γ = α+β

α

β

Triˆ angulo Retˆ angulo Elementos Observe a figura abaixo: A

Obtusˆ angulo Possui um ângulo obtuso, ou seja, maior do que um ângulo reto.

c b

h

m

n

C

ο α > 90

B

a

Nesse triˆ angulo ABC, retˆ angulo em A, temos: • A, B, e C s˜ ao vértices;

Acutˆ angulo Possui todos os ângulos agudos, ou seja, menor do que um angulo reto. ˆ

• a é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto); • b e c s˜ ao catetos; • h é a altura relativa à hipotenusa; • m e n s˜ ao as proje¸co˜es dos catetos b e c sobre a base (hipotenusa), respectivamente. Rela¸ co ˜es M´ etricas As rela¸co˜es entre essas medidas s˜ ao chamadas de rela¸ co ˜es m´ etricas nos triˆ angulos retˆ angulos. As principais s˜ ao:

Observa¸ co ˜es 1. Se o ∆ABC é is´ oceles, ent˜ ao os ˆ angulos da base s˜ ao congruentes; 2. Se o ∆ABC é eq¨ uil´ atero, ent˜ ao os três ˆ angulos internos s˜ ao congruentes.

a2

=

b 2 + c2

h2 a

= =

mn m+n

b2 ah

= =

am bc

c2

=

an

Triˆ angulos Quaisquer Propriedades

Lei dos Senos 1. existência de triˆ angulo: para existir o triˆ angulo, cada um angulo qualquer, as medidas dos lados s˜ ao proporciodos três lados deve ser menor do que a soma dos outros Num triˆ nais aos senos dos ângulos opostos.Isto é: dois; 2. soma dos ângulos internos: a soma dos ˆ angulos internos de qualquer triˆ angulo é 180◦, ou dois ˆ angulos retos;

a sen Aˆ

=

b ˆ sen B

=

c sen Cˆ

3. soma dos ângulos externos: em qualquer triˆ angulo, cada Exemplo Resolvido angulo abaixo: angulo externo é igual ` ˆ a soma dos internos n˜ ao adjacentes. Determine o valor de a, no triˆ

258


o

a

c=2,0 cm

60


a) da hipotenusa;

B 75

—

b) da altura relativa à hipotenusa;

o

A

Resolu¸caõ: ˆ + Cˆ = 180◦ , A = 60◦ e B = 75◦ , segue que Como Aˆ + B ◦ ˆ = 45◦ . Ent˜ C = 180 − Aˆ − B ao: a c a 2, 0 cm = ⇒ = sen 60◦ sen 45◦ sen Aˆ sen Cˆ √ 1/2 a = (2, 0 cm) √ = (2, 0 cm)/ 2 = 1, 4 cm 2/2

c) das proje¸co˜es dos catetos sobre a hipotenusa.

Lei dos Cossenos Num triˆ angulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual ` a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas destes lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles. Por exemplo, para ˆ temos: o lado a, oposto ao ângulo A,

Pense um Pouco! • Como podemos obter quatro triˆ angulos eq¨ uil´ ateros, usando apenas seis palitos de fósforo?


a2 = b2 + c2 − 2bc cos Aˆ

Exemplo Resolvido 1. Determine a medida do menor cateto de um triˆ angulo Calcule a diagonal x do paralelogramo, cujos lados medem retˆ angulo, cuja hipotenusa mede 7 cm e a altura relativa à ◦ √ 10 cm e 5 cm, e formam um ˆ angulo de 60 entre si. 3 cm. hipotenusa mede 2 √ a) 2√ 7 cm 10 cm A B b) √21 cm o 60 c) 3 √7 cm x d) 2 21 cm 5 cm e) n. d. a. D

2. Qual a altura relativa à hipotenusa, de um triˆ angulo retˆ angulo is´ o celes, cujos catetos medem x. √ a) x √2 Resolu¸caõ: Calculamos a diagonal x, aplicando a lei dos cossenos ao b) x √2/2 c) 2x√ 2 triˆ angulo ABC: d) x 2/3 x2 = (10 cm)2 + (5 cm)2 − 2(10 cm)(5 cm) cos 60◦ e) n. d. a. C

x2 = (100 + 25 − 100 · (1/2)) cm2 √ √ x = 175 cm2 = 5 7 cm

3. Determine a diagonal de um retˆ angulo cuja área mede 2.700√ m2 , sabendo que o comprimento é o triplo da largura. a) 45 √2 m b) 30√ 2 m Exerc´ıcios c) 20 √10 m 1) No triˆ angulo ∆ABC, retˆ angulo em A, sabe-se que os catetos d) 30 10 m b e c, medem 6 cm e 8 cm, respectivamente. Calcule o valor e) n. d. a. das medidas: 4. Calcule a altura de um triˆ angulo eq¨ uil´ atero cujos lados B

8 cm

A

h

m

6 cm

a n C

medem √ a. a) a √2/3 b) a√ 3/4 c) a √3/3 d) a 2/2 e) n. d. a. 5. Um triˆ angulo cujos lados menores medem 5 m e 12 m é retˆ angulo se, e somente se, o terceiro lado medir:


259

a) 13 m b) 14 m c) 15 m d) 16 m e) n. d. a.

Paralelogramo Quadril´ atero com lados opostos paralelos e congruentes (iguais), dois a dois.

6. Um triˆ angulo possui lados com medidas 5 cm e 3 cm, formando um ângulo 30◦ . Qual a medida do outro lado, em cm? √ a) √19 b) √ 13 c) √11 d) 7 e) n. d. a.

D

C

A

B

7. A figura mostra, em planta, o trecho de um rio onde se deseja construir uma ponte AB. De um ponto C, a 100 m de \ = 45◦ e, do ponto A, mediu-se o Propriedades B, mediu-se o ângulo ACB ◦ \ angulo BAC = 30 . Qual ser´ ˆ a o comprimento da ponte? • os lados opostos s˜ ao congruentes; a) 100 m b) 75 m • os ângulos opostos s˜ ao congruentes; c) 100 m d) 75 m • as diagonais se cortam ao meio mutuamente. e) n. d. a.

Matem´ atica C

Aula 15

Retˆ angulo Paralelogramo que possui todos os ângulos retos. D

C

A

B

Quadril´ ateros Dados quatro pontos de um mesmo plano A, B, C e D ordenados de modo que três consecutivos n˜ ao sejam colineares, chama-se quadril´ atero a uni˜ ao dos quatro segmentos AB, BC, CD e DA. ABCD = AB ∪ BC ∪ CD ∪ DA

Quadril´ ateros Not´ aveis

• as diagonais s˜ ao congruentes; • os quatro ângulos s˜ ao retos.

Trap´ ezio

Losango ou Rombo

Quadril´ atero que possui dois lados paralelos. D

• valem as propriedades do paralelogramo;

C

Paralelogramo com dois lados adjacentes congruentes.

r

C D s r A

B

B

ABkCD (bases)

A

AD e CB (lados transversais) Observa¸ co ˜es • se houver 1 ângulo reto ent˜ ao temos um trap´ ezio retˆ angulo; • se os lados transversais forem congruentes temos um trap´ ezio is´ oceles.

• valem as propriedades do paralelogramo; • as diagonais est˜ ao nas bissetrizes dos ângulos internos; • as diagonais s˜ ao perpendiculares; • os quatro ângulos s˜ ao congruentes.

260


Quadrado

—


Triˆ angulo Eq¨ uil´ atero

´ um losango retˆ E angulo. R

D

l

l

C

h

r=a l

A

B

• possui os lados e ângulos congruentes; • diagonais perpendiculares e congruentes; • as diagonais se cortam ao meio, mutuamente;

Elementos: l = lado h = altura R = raio da circunferência circunscrita a = ap´ otema (=r raio da circunferência inscrita) Fórmulas: √ h = l 3/2 R = 2h/3

• as diagonais est˜ ao nas bissetrizes dos ˆ angulos internos.

r = h/3

Hierarquia entre Quadril´ ateros

R = 2r

Rela¸co˜es de inclus˜ ao entre os conjuntos dos quadril´ ateros not´ aveis:

√ A área = l2 3/4

Quadrado

Quadrilateros Trapezios

L

Paralelogramos Retangulos

R

Quadrados

Losangos

d L

L a =L / 2

L

Exerc´ıcio Assinale a alternativa falsa. a) Todo quadrado é um retˆ angulo b) Todo quadrado é um losango c) Todo losango é um paralelogramo d) Todo retˆ angulo é um paralelogramo e) todo trapézio é um paralelogramo

Elementos: l = lado d = diagonal a = ap´ otema (= r raio da circunferência inscrita) R = raio da circunferência circunscrita. Fórmulas: √ d=l 2 R = d/2

Pol´ıgonos Regulares S˜ ao aqueles que possuem todos os lados e todos os ângulos iguais.

a = l/2 A área = l2


261

Hex´ agono Regular

l l

R

l

l

a

l

L

l

Elementos: l = lado a = ap´ otema (raio da circunferência inscrita) R = Raio da circunferência circunscrita. Fórmulas: R=l a=h

√ A´ area = 3l2 3/2 Exerc´ıcio Resolvido Calcule a raz˜ ao entre as ´ areas dos c´ırculos circunscrito e inscrito em um triˆ angulo eq¨ uil´ atero. Resolu¸caõ: Sendo A1 a área do c´ırculo circunscrito e A2 a ´ area do circulo inscrito, temos:

4. Assinale a afirma¸caõ falsa: a) As diagonais de um paralelogramo s˜ ao congruentes b) as diagonais de um losango s˜ ao perpendiculares c) as diagonais de um losango s˜ ao bissetrizes dos ângulos internos d) As diagonais de um retˆ angulo s˜ ao congruentes e) As diagonais de um paralelogramo interceptam-se no ponto médio 5. Calcule a área de um triˆ angulo eq¨ uil´ atero circunscrito em 2 circulo de a ´ rea igual a 25π cm . √ a) 25 √3 cm2 b) 15√ 3 cm2 c) 10√ 3 cm2 d) 5 3 cm2 e) n. d. a. 6. A área do circulo circunscrito a um quadrado mede 18π. Calcule a área do circulo inscrito no quadrado. a) 9π b) 8π c) 7π d) 6π e) n. d. a. 7. O valor da área sombreada na figura abaixo

7 cm

A1 πR2 (2a)2 = = =4 A2 πr2 a2

Pense um Pouco! • O quadrado é um losango?


1 cm

é: a) 12 cm2 b) 14 cm2 c) 20√cm2 d) 6 7 cm2 e) n. d. a.

1. O lado de um hex´ agono regular inscrito em uma circun- 8. Qual a área do hex´ agono inscrito num c´ırculo cuja área ferência mede 4 cm. Calcule: mede√16π cm2 . a) O raio da circunferência; a) 36 √3 cm2 b) O ap´ otema do hex´ agono; b) 25√ 3 cm2 c) A ´ area do hex´ agono; c) 24 √3 cm2 d) A ´ area do circulo inscrito. d) 20 3 cm2 e) n. d. a. 2. Qual a área do c´ırculo que est´ a circunscrito a um quadrado 7) A área da região sombreada na figura abaixo de ´ area igual a 100 cm2 ?

Exerc´ıcios Complementares 3. A raz˜ ao entre os comprimentos das circunferências circunscrita e inscrita em um quadrado de lado 2 é: √ a) √2 b) 2/2 c) 2 √ d) 2 2 e) n. d. a.

20 cm

262


—


Determina¸c˜ ao do Centro e do Raio

é: f) 50π cm2 g) 35π cm2 h) 25π cm2 i) 15π cm2 j) n. d. a.

Matem´ atica C

Aula 16

a) Dada a equa¸caõ (x − xC )2 + (y − yC )2 = R2 na forma reduzida, de imediato conclui-se que o centro é C(xC , yC ) e o raio é R. b) Dada a equa¸caõ x2 +y 2 +mx+ny+p = 0 na forma normal, o centro e o raio s˜ ao determinados comparando-se coma equa¸caõ: x2 + y 2 − 2xxC − 2yyC + p = 0 Centro: m m = −2xC =⇒ xC = − 2 n = −2yC =⇒ yC = −

Circunferˆ encia

finalmente

Defini¸caõ: Dado um ponto C de um plano (centro) e uma distância R n˜ ao nula (raio), chama-se circunferência o conjunto dos pontos do Raio: plano que distam R do ponto C.

Equa¸ c˜ ao Reduzida

n 2

m n C = − ,− 2 2

2 2 p = x2C + yC − R2 =⇒ R2 = x2C + yC −p

ou seja

q 2 −p R = + x2C + yC Seja a circunferência de centro C(xC , yC ) e raio R e seja P (x, y) um ponto do plano. O ponto P pertence à circunferência se, e somente se, a Exemplos Resolvidos distância de P a C for igual a R. Da´ı teremos: 1. Determinar o centro e raio da circunferência de equa¸caõ: x2 + y 2 − 6x − 2y + 6 = 0. 2 2 2 (x − xC ) + (y − yC ) = R Solu¸caõ: A partir da equa¸caõ, temos: que é a equa¸ c˜ ao reduzida da circunferência. M=-6a===3N=-2b===1r=+==2 Caso Particular Se C = (0, 0), ent˜ ao a equa¸caõ reduzida ser´ a: x2 + y 2 = R2

m = −6 =⇒ xC = −

m −6 =− =3 2 2

n = −2 =⇒ yC = −

n −2 =− =1 2 2

Exemplos: p 1. Obter a equa¸caõ reduzida da circunferência de centro p = 6 =⇒ R = + 32 + 12 − 6 = 2 C(3, −2) e raio igual a R = 5. Resposta: Resposta: centro C = (3, 1) e raio R = 2. (x − 3)2 + (y + 2)2 = 25 2. Determine a equa¸caõ da circunferência que est´ a represen2. Obter a equa¸caõ reduzida da circunferência de centro tada no sistema de eixos cartesianos. C(0, 0) e raio R = 3. Resposta: x2 + y 2 = 9 Pense um Pouco!

Equa¸ c˜ ao Geral

• A circunferência é uma linha plana? Comente.

Desenvolvendo-se a equa¸caõ reduzida (x − xC )2 + (y − yC )2 = R2 , obtemos:


2 x2 − 2xxC + x2C + y 2 − 2yyC + yC = R2 2 x2 + y 2 − 2xxC − 2yyC + x2C + yC − R2 = 0

Fazendo-se: 2 x2C + yC − R2 = p

resulta x2 + y 2 − 2xxC − 2yyC + p = 0 que é a equa¸ c˜ ao normal (ou geral) da circunferência.

1. Determine o centro e o raio da circunferência de equa¸caõ (x − 5)2 + (y + 3)2 = 10. 2. Dar a equa¸caõ cartesiana de circunferência de raio R = 4 e que est´ a centrada na origem. 3. Determine a equa¸ca˜√ o geral da circunferência de centro C = (−2, 2), cujo raio R = 5.


Exerc´ıcios Complementares 4. Determine o centro C e o raio R da circunferência x2 + y 2 − 8x − 6y + 21 = 0: a) C(4, 3) e R = 2 b) C(−2, 5) e R = 3 c) C(4, −2) e R = 2 d) C(−2, 3) e R = 3 e) n. d. a. 5. (FIC/FACEM) A equa¸caõ da circunferência cujo centro est´ a na origem do sistema cartesiano e cujo raio é igual a 1/5 é: a) 25x2 + 25y 2 − 1 = 0 b) x2 + y 2 = 25 c) 25x2 + 25y 2 = 5 d) x2 + y 2 = 1/5 e) 25x2 + 25y 2 + 1 = 0

263 √ d) C = (2, −1) e r = 5/2 √ e) C = (1, −1/2) e r = 5/2

Matem´ atica C

Aula 17

Pol´ıgonos e Figuras Planas Per´ımetro

Chamamos de per´ımetro de um pol´ıgono à soma dos comprimentos de seus lados. Geralmente, representa-se o per´ımetro por 2p, isto porque chama-se de p o semi-per´ımetro do pol´ıgono. Quando o pol´ıgono tem todos os lados iguais, o per´ımetro é igual ao produto do n´ umero de lados pelo comprimento de um 6. (PUC) Uma circunferência de centro C(−2, 5) limita um deles. circulo cuja área é 3. Determinar a equa¸caõ da circunferência. a) (x + 2)2 + (y + 5)2 = 3√ ´ Areas de Figuras Planas b) (x − 2)2 + (y + 5)2 = 3 2 2 c) (x + 2) + (y − 5) = 3 A área A de uma figura é um n´ umero (medida), associado à sua d) (x − 2)2 + (y + 5)2 = √ 3 superf´ ıcie, que exprime a rela¸ c aõ existente entre esta superf´ıcie 2 2 e) (x + 2) + (y + 5) = 3 e a superf´ıcie de um quadrado de lado unit´ ario. 7. Qual é a equa¸caõ reduzida da circunferência, cuja equa¸caõ geral é x2 + y 2 − 8x + 7 = 0 ? Retˆ angulo a) (x + 4)2 + (y − 1)2 = 4 2 2 b) (x − 4) + (y − 1) = 9 Dado um retˆ angulo de comprimento (base) b e altura h: c) (x + 4)2 + y 2 = 4 d) (x − 4)2 + y 2 = 9 e) n. d. a.

8. O diâmetro da circunferência x2 + y 2 − 4x − 6y − 12 = 0, é: a) 5 b) 6 c) 8 d) 10 e) n. d. a.

h

b

A = bh

9. (UFSC) Assinale a equa¸caõ que representa uma circun- e ferência: 2p = 2(b + h) a) 2x2 + 5y 2 − 2x + 10y + 1 = 0 b) x2 + y 2 + 2xy + 4x − 2y + 6 = 0 Quadrado c) x2 + y + 2x − 1 = 0 2 2 d) x + y + 4 = 0 Como um caso particular de retˆ angulo temos o quadrado de e) x2 + y 2 − x = 0 lado l 10.√(UFPA) O raio da circunferência x2 + y 2 − 2x = 3 é: a) √2 b) 3 c) 2 d) 3 e) 4 l 11. (UFSC) Em coordenadas cartesianas, a circunferência 2x2 + 2y 2 − 4x + 2y = 0, tem centro C e raio r, respectivamente iguais a: √ a) C = (−2, 1) e r = 5√ b) C = (−1, 1/2) e r = 5 l c) C = (2, 1) e r = 5

264


—


onde: A = l2

l

l

d

e

h

D

2p = 4l

l

l

Como nem tudo a nossa volta s˜ ao retˆ angulos e quadrados, b tivemos a necessidade de calcular a ´ area de outras figuras. E o mais interessante, é que através da ´ area do retˆ angulo, podemos A diagonal maior do losango tem medida igual ao comprimento obter ´ areas de outras figuras. Veja: do retˆ angulo, D = b. A diagonal menor tem medida igual a altura do retˆ angulo, Triˆ angulo d = h. Se recortarmos o losango em quatro triˆ angulos, vemos que a Dado o triˆ angulo de base b e altura h sua área é a metade da área do retˆ angulo. A= a

c h

Dd 2

e 2p = 4l

b

Trap´ ezio Comparando-se o triˆ angulo com um retˆ angulo com o compri- O trapézio é composto por dois triˆ angulos, um de base B e mento b e altura h, temos, encaixando o triˆ angulo no retˆ angulo outro de base b, ambos com altura h. vemos que cabem dois triˆ angulos. Ent˜ ao, fica fácil calcular a ´ area do triˆ angulo, pois esta é a b metade da área do retˆ angulo. Assim: A=

bh 2

c

a

e

B

2p = a + b + c Assim a área sua área:

Paralelogramo

A=

Observe o paralelogramo de altura h e base b:

B+b h 2

e 2p = a + b + c + B

a

h

C´ırculo

b

r

Recortando a parte sombreada do paralelogramo e colocando-a do outro lado, o paralelogramo transforma-se num retˆ angulo. Logo, conclu´ımos que a ´ area do paralelogramo é a mesma área do retˆ angulo. A = bh e 2p = 2(a + b) A = πr2

Losango Veja o losango de lado l, inscrito num retˆ angulo de base b e altura h:

e 2p = 2πr

h


265

Pense um Pouco!

6. Qual a área de um losango, cuja soma das diagonais é igual a 27 cm e sua diferen¸ca 3 cm? • (Unicamp-SP) Em um restaurante, qual fam´ılia que come a) 50 cm2 mais pizza: aquela que pede uma grande de 43 cm de b) 70 cm2 diâmetro ou aquela que pede duas médias de 30 cm de c) 85 cm2 diâmetro? d) 90 cm2 e) n. d. a.


7. (Desafio) A área da parte hachurada da figura

1. (ACAFE) Em um quadrado, se aumentarmos em 2 m um lado e em 3 m o outro, obteremos um retˆ angulo cuja área é 56 m2 . A medida do lado do quadrado é: a) 5 m b) 6 m c) 4 m d) 7 m e) n. d. a.

10 m

2. A figura abaixo mostra um quadrado inscrito em uma circunferência de raio igual a 5 cm. A ´ area desse quadrado, em cm2 é: a) 64 b) 81 é: c) 100 a) (50π − 100) m2 d) 121 b) (50π − 75) m2 e) n. d. a. c) (75π − 50) m2 3. Qual o per´ımetro de uma circunferência cuja ´ area do c´ırculo d) (75π − 25) m2 2 nela contido é de 32π m ? e) n. d. a. a) 16π m2 b) 8π m2 c) 16π m2 d) 5π m2 e) n. d. a.

10 m

Matem´ atica C

Aula 18

4. A ´ area sombreada na figura abaixo:

Retas e Planos

10 m

10 m é: a) 25 · (4 − π) m2 b) 75 m2 ˙ − π) m2 c) 100(4 d) 50 m2 e) n. d. a.

Para o estudo da Geometria Plana, aceitamos um conjunto de conceitos n˜ ao definidos, dos quais temos a intui¸caõ clara, e um sistema de axiomas ou postulados, que s˜ ao proposi¸co˜es não demonstradas, aceitas intuitivamente, que d˜ ao caracter´ısticas aos elementos n˜ ao definidos.

Elementos Fundamentais Ponto, reta e plano: S˜ ao idéias primitivas, entes que n˜ ao possuem defini¸caõ. Temos idéias de ponto, por exemplo, um l´ apis tocando o papel, sendo apenas uma imagem, pois n˜ ao h´ a dimensão para tanto. Analogamente, possu´ımos a intui¸caõ de reta e de plano.

5. O per´ımetro de uma circunferência inscrita em um qua- Axiomas drado de área 36 cm2 é: Axiomas ou postulados, s˜ ao proposi¸co˜es aceitas como verdaa) 12π cm deiras sem demonstra¸caõ e que servem de base para o desenb) 6π cm volvimento de uma teoria. c) 9π cm d) 15π cm Temos como axioma fundamental: existem infinitos pontos, e) n. d. a. retas e planos.

266


—


Representa¸c˜ ao

( ) Seis pontos determinam no máximo vinte planos.

Pontos: A, B, C, . . . Retas: r, s, t, . . . Planos: α, β, γ, . . .

Posi¸c˜ oes Relativas de Dois Planos

Postulados: Pontos e Retas 1. A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos. 2. Por um ponto passam infinitas retas. 3. Dois pontos distintos determinam uma reta. 4. Um ponto de uma reta, divide-a em duas semi-retas. 5. A interseçcaõ de duas semi-retas, cada uma contendo a origem da outra, define um segmento de reta.

Postulados: Plano 1. Por três pontos n˜ ao-colineares, passa um u ´ nico plano. 2. O plano é infinito e ilimitado. 3. Por uma reta passam infinitos planos. 4. Toda reta pertencente a um plano divide-o em dois semiplanos.

Posi¸ c˜ oes Relativas de Duas Retas

1. Dois planos podem ser coincidentes quando forem iguais (α = β). 2. Dois planos s˜ ao concorrentes quando sua interseçcaõ é uma u ´ nica reta. 3. Dois planos s˜ ao paralelos quando sua interseçcaõ é vazia.

Pense um Pouco! • Qual a quantidade m´ınima de pontos que se deve ter para que se obtenha 15 retas diferentes? ´ poss´ıvel que duas retas coplanares sejam reversas? • E • Quantos planos distintos, podem ser determinados, utilizando-se os vértices de um cubo?


1. Assinale as alternativas falsas: a) Existem infinitos planos. b) Existem infinitos pontos. c) Todo plano tem infinitos pontos 1. Duas retas s˜ ao paralelas se, e somente se, forem coplanares d) Podemos definir ponto. e) Por dois pontos distintos passa com interseçcaõ vazia, ou retas coincidentes. uma u ´ nica reta. f) Toda reta tem infinitos pontos. g) Todo 2. Duas retas s˜ ao concorrentes, quando elas se interceptam triˆ angulo est´ a contido em u ´ nico plano. (concorrem) em um u ´ nico ponto. 3. S˜ ao retas que n˜ ao se interceptam e n˜ ao s˜ ao paralelas, pois 2. Classifique cada afirma¸caõ como verdadeira (V) ou falsa (F): ( ) N˜ ao existe plano que contenha duas retas reversas. ( est˜ ao em planos diferentes. ) Se uma reta intercepta um plano , ent˜ ao todo plano paralelo a essa reta intercepta. ( ) Dois planos podem ser iguais, Determina¸c˜ ao de um Plano concorrentes ou paralelos ( ) Se três retas s˜ ao paralelas entre si, existe um u ´ nico plano que as contém. ( ) Duas retas Além do postulado que diz: quaisquer determinam um plano. ”três pontos n˜ ao-colineares determinam um u ´ nico plano”, um plano também pode ser determinado por: 3. Sobe uma circunferência s˜ ao marcados 8 pontos igualmente espa¸ c ados. Quantas retas diferentes eles determinam, 1. Uma reta e um ponto n˜ ao-pertencente a essa reta. no m´ a ximo? 2. Duas retas concorrentes. a) 56 3. Duas retas paralelas distintas. b) 44 c) 28 Exerc´ıcio d) 36 e) n. d. a. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirma¸caõ abaixo: 4. (ITA-SP) Quais as senten¸cas falsas nos itens abaixo? ( ) Dados dois pontos distintos, existe um u ´ nico plano I) Se dois planos s˜ ao secantes, todas as retas de um deles sempassando por eles. pre interceptam o outro plano. ( ) Os vértices de um triˆ angulo s˜ ao coplanares (estão no II) Dados dois planos, se num deles existem duas retas distinmesmo plano). tas paralelas ao outro plano, os planos s˜ ao sempre paralelos. ( ) Uma reta qualquer, separa um plano que a contém em III) Em dois planos paralelos, todas as retas de um s˜ ao paradois semi-planos. lelas ao outro plano. ( ) Por três pontos distintos quaisquer, passa sempre um IV) Se uma reta é paralela a um plano, em tal plano existe u ´ nico plano. uma infinidade e retas paralelas àquela reta. ( ) O n´ umero máximo de retas que quatro pontos podem V) Se uma reta é paralela a um plano, é paralela a todas as determinar é seis. retas do plano. ( ) Se duas retas distintas n˜ ao s˜ ao paralelas, ent˜ ao elas s˜ ao a) I, II e III concorrentes. b) I, II e V ( ) Se a interseçcaõ entre duas retas é o conjunto vazio, ent˜ ao c) I, III e IV elas s˜ ao paralelas. d) II, III e IV ( ) Duas retas n˜ ao coplanares s˜ ao reversas. e) n. d. a.


267

5. (MACK-SP) Uma reta r é paralela a um plano α. Ent˜ ao: Um poliedro é dito convexo se o plano de cada pol´ıgono (face) a) todas as retas de α s˜ ao paralelas a r deixa o poliedro em um s´ o semi-espa¸co, e portanto, n˜ ao o secb) a reta r n˜ ao pode ser coplanar com nenhuma reta de α ciona (divide) em dois s´ olidos menores. c) existem em α retas paralelas a r e também retas reversas a r. d) existem em α retas paralelas e perpendiculares a r. e) todo plano que contém r é paralelo a α.

Matem´ atica C

Aula 19 (a)

(b)

Figura 3.1: Poliedro cˆ oncavo (a) e convexo (b).

Poliedros ˆ Angulo poli´ edrico

Classifica¸ c˜ ao Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com Sejam n (n ≥ 3) semi-retas de mesma origem tais que nunca o n´ umero de faces, como por exemplo: fique três num mesmo semiplano. Essas semi-retas determinam n ângulos em que o plano de cada uma deixa as outras semi-retas em um mesmo semi-espa¸co. A figura formada por esses ˆ angulos é o ˆ angulo poli´ edrico. Nome N´ umero de Faces (F ) tetraedro 4 pentaedro 5 S´ olidos Poli´ edricos hexaedro 6 heptaedro 7 S˜ ao s´ olidos limitados por faces planas e poligonais. octaedro 8 Veja alguns exemplos: dodecaedro 12 icosaedro 20

Rela¸ c˜ ao de Euler (a)

(b) Em todo poliedro convexo é válida a rela¸caõ seguinte: V −A+F =2

(a)

(b)

em que V é o n´ umero de vértices, A é o n´ umero de arestas e F , o n´ umero de faces. Exemplos

Elementos Faces (F ) S˜ ao os pol´ıgonos que constituem a superf´ıcie poliédrica. Arestas (A) S˜ ao os lados dos pol´ıgonos (segmento e reta que une dois vértices consecutivos). V´ ertices (V ) S˜ ao os vértices ângulos poliédricos do s´ olido. Diagonais S˜ ao os segmentos de reta que unem dois vértices opostos situados ou n˜ ao na mesma face. Tipos Poliedros Convexos

V = 8, A = 12, F = 6: 8 − 12 + 6 = 2

268


—


Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Um poliedro convexo tem 8 faces e 12 vértices. Calcule o n´ umero de arestas. a) 12 b) 15 c) 18 d) 20 e) n. d. a.

V = 12, A = 18, F = 8: 12 − 18 + 8 = 2 Exemplo Resolvido Qual o n´ umero de arestas e de vértices que tem um poliedro convexo de 20 faces, todas triangulares? Resolu¸caõ: Nas 20 faces triangulares temos 20 × 3 = 60 arestas. Porém, cada aresta, por ser comum a duas faces, foi contada duas vezes, ou seja: A = F/2 = 30. Temos: F = 20 e A = 30 e da rela¸caõ de Euler, V = A − F + 2 = 30 − 20 + 2 = 12

2. Determine o n´ umero de arestas de um poliedro convexo com 5 faces quadrangulares e 6 faces triangulares. a) 20 b) 19 c) 18 d) 17 e) n. d. a. 3. Em um poliedro regular o n´ umero de arestas excede o n´ umero de vértices em 10 unidades. Sabendo que o n´ umero de faces é igual 12, determine o n´ umero de vértices do mesmo. a) 8 b) 6 c) 20 d) 12 e) n. d. a.

4. Um poliedro platˆ onico tem 12 vértices e em cada vértice concorrem 5 arestas. Calcule o n´ umero total de arestas e de Diz-se que um poliedro é regular (ou platˆ onico) se, e somente faces do poliedro. a) 20 e 30 se: b) 30 e 20 a) for convexo; c) 20 e 15 b) em todo vértice concorrer o mesmo n´ umero de arestas; d) 15 e 20 c) toda face tiver o mesmo n´ umero de arestas; e) n. d. a. d) for válida a rela¸caõ de Euler. Poliedros Regulares ou de Plat˜ ao

5. Determine o n´ umero de vértices de um poliedro convexo sabendo que ele apresenta 2 faces hexagonais e 6 faces triangulares. a) 9 b) 11 (a) (b) c) 13 d) 15 Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro é platˆ onico e o e) n. d. a. segundo, n˜ ao-platônico. 6. Determine o n´ umero de arestas e vértices de um poliedro Existem cinco, e somente cinco tipos de poliedros regulares ou convexo de 20 faces, das quais 11 s˜ ao triangulares, 2 quadrande Platão (THODI): gulares e 7 pentagonais. Poliedro Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro

F 4 6 8 12 20

V 4 8 6 20 12

A 6 12 12 30 30

n 3 4 3 5 3

P 3 3 4 3 5

Onde: n é n´ umero de arestas em cada face; p é n´ umero de arestas que saem de cada vértice.

Pense um Pouco!

a) A = 36 e V b) A = 30 e V c) A = 38 e V d) A = 20 e V e) n. d. a.

= 20 = 25 = 20 = 36

Matem´ atica C

Aula 20

Prismas

• Uma pirˆ amide com base quadrada (tipo aquelas do Egito) Prisma é um s´ olido geométrico delimitado por faces planas, podem ser um s´ olido de Platão? Justifique. onde suas bases situam-se em planos paralelos (αkβ)


269

Paralelep´ıpedos S˜ ao prismas cujas bases s˜ ao paralelogramos.

α

Paralelep´ıpedo Reto-Retˆ angulo

h

Ou paralelep´ıpedo retˆ angulo é todo paralelep´ıpedo reto cujas bases s˜ ao retˆ angulos.

β

Elementos: Altura h: é a distância entre as bases; Arestas laterais: possuem a mesma medida e s˜ ao paralelas; Faces laterais: s˜ ao paralelogramos; Bases: s˜ ao pol´ıgonos congruentes.

D d c b

Natureza

a

Os prismas s˜ ao triangulares, quadrangulares, pentagonais, hexagonais etc., conforme suas bases sejam triˆ angulos, quadril´ ateros, pent´ agonos, hex´ agonos, etc... Num paralelep´ıpedo retˆ angulo de dimensões a, b, e c, sendo D a medida de uma de suas diagonais principais (internas), tem-se: p Classifica¸c˜ ao D = a 2 + b 2 + c2 Prisma Reto At = 2(ab + ac + bc) V = abc

As arestas laterais s˜ ao perpendiculares aos planos das bases.

Hexaedro Regular (CUBO)

Prisma Obl´ıquo

´ o paralelep´ıpedo reto-retângulo cujas seis faces s˜ ao quadraAs arestas laterais s˜ ao obl´ıquas em rela¸caõ aos planos das ba- E das. ses.

α

β

h

o

θ=90

D

l

d

Figura 3.1: Prisma reto (esquerda) e obl´ıquo (esquerda).

Prisma regular

l

´ um prisma reto cujas bases s˜ E ao pol´ıgonos regulares.

´ Areas e Volumes

l

Sendo Al a área lateral de um prisma (soma das ´ areas de cada Para um cubo de aresta l: face lateral). Ab a área de uma de suas bases e At a sua área √ total, temos: d=l 2 At = Al + 2Ab √ D=l 3 Num prisma cuja área da base é Ab e altura h, o volume é At = 6l2 dado por: V = Ab h V = l3

270


—


Pirˆ amides Conceito e Elementos

g

e

Consideremos um pol´ıgono A, B, C, . . ., situado num plano α e um ponto V fora de α. Chama-se pirˆ amide ` a união dos segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos do pol´ıgono. Uma pirˆ amide n˜ ao é um prisma.

R

h V

β ap al α

h

ab

onde: V: ˆ angulo s´ olido (ˆ angulo poliédrico); h: altura (distˆ ancia) do vértice ao plano da base; al : aresta lateral; ab : aresta da base.

Elementos R: raio da base; h: altura; e: eixo do cilindro; g: geratriz.

Natureza A pirˆ amide pode ser triangular, quadrangular, pentagonal, etc..., conforme sua base seja um triˆ angulo, quadril´ atero, pent´ agono, etc... Pirˆ amide Regular ´ E aquela cuja base é um pol´ıgono regular e a proje¸caõ do vértice V sobre o plano da base coincide com o centro da base. ´ Area e Volume : Sendo: R: raio do circulo circunscrito ` a base; r: raio do circulo inscrito ` a base (ap´ otema da base); l: aresta da base; ap: ap´ otema da pirˆ amide; h: altura da pirˆ amide; al: aresta lateral. Tem-se que:

Seç co ˜es de um Cilindro Seç c˜ ao Transversal ´ E a interseçcaõ do cilindro por um plano paralelo às bases, gerando c´ırculos de raio R. Seç c˜ ao Meridiana ´ E a interseçcaõ do cilindro por um plano que contém o contém o eixo e, gerando um retˆ angulo de base 2R e altura h. ´ Areas e Volumes Al = 2πRh Ab = πR2 At = Al + 2Ab = πR(R + 2h) V = Ab h = πR2 h

Al = pap At = Al + Ab V =

Cilindro Circular Reto Conceito e Elementos

Ab h 3

Cone Conceito Cone circular reto é o s´ olido de revolu¸caõ é obtido pela rota¸caõ completa de um triˆ angulo retˆ angulo em torno de um dos seus catetos.

Classifica¸ c˜ ao Cilindro de revolu¸caõ ou cilindro circular reto é o s´ olido obtido pela rota¸caõ completa de um retˆ angulo em torno de um dos Cone Reto seus lados. Possui o eixo perpendicular à base.


271

e

e

V g h

R O

R

Considere a figura acima, tem-se: R: é o raio do cone; h: é a altura do cone; g: é a geratriz; V : é o vértice; O: centro do c´ırculo (base). ´ Rela¸ co ˜es, Areas e Volumes

Superf´ıcie Esf´ erica ´ o conjunto dos pontos do espa¸co cuja distância ao cento O E é igual ao raio R. ´ Area e Volume At = 4πR2

g 2 = R 2 + h2 V = Ab = πR2

4πR3 3

Pense um Pouco! Al = 2πRg At = Ab + Al = πR(R + 2g) V =

Ab h πR2 h = 3 3

• Imagine uma esfera de massinha de modelar de raio R. Quantas esferas menores de raio R/2 poderemos fazer, com o mesmo volume total de massinha?


Cone Obl´ıquo Possui o eixo obl´ıquo em rela¸caõ ao plano da base. V

h g

α

Esfera Defini¸caõ: ´ o conjunto dos pontos do espa¸co cuja distância ao centro O E s˜ ao menores ou iguais ao raio R.

1. (PUC) Com uma lata de tinta é poss´ıvel pintar 50 m2 de parede. Para pintar as paredes de uma sala (forma de prisma) de 8 m de comprimento, 4 m de largura e 3 m de altura, gasta-se uma lata e mais uma parte da segunda lata. Qual a percentagem de tinta que resta na segunda lata? a) 22% b) 30% c) 48% d) 56% e) 72% 2. Um triˆ angulo retˆ angulo com hipotenusa de 13 cm e com um cateto de 5 cm é base de um prisma reto de 8 cm de altura. Calcular a área total do prisma. a) 150 cm2 b) 270 cm2 c) 240 cm2 d) 300 cm2 e) n. d. a.

272


3. Calcule o volume de uma caixa d’água em forma de prisma reto, de aresta lateral de 6 m, sabendo que a base é um losango cujas medidas das diagonais s˜ ao 7 m e 10 m. a) 190.000 litros b) 19.000 litros c) 210.000 litros d) 21.000 litros e) n. d. a.

Exerc´ıcios Complementares 4. (MACK-SP) Um prisma regular triangular tem todas as arestas congruentes e 48 m2 de ´ area lateral. Seu volume vale: a) 16 m3 b) 32 m3 c) 64√m3 d) 4 √3 m3 e) 16 3 m3 5. Qual o volume de uma esfera cuja ´ area de sua superf´ıcie mede 36 cm2 ? a) 25 cm3 b) 16 cm3 c) 36 cm3 d) 49 cm3 e) n. d. a. 6. Qual deve se a altura de um cone circular reto, para que tenha seu volume igual ao de uma esfera de mesmo raio do cone e igual a 5 cm? a) 8 cm b) 12 cm c) 15 cm d) 21 cm e) n. d. a. 7. Qual o volume de uma pirˆ amide quadrangular reta cuja área da base mede 100 cm2 e possui altura igual ao triplo da aresta da base. a) 750 cm3 b) 1000 cm3 c) 1250 cm3 d) 1500 cm3 e) n. d. a.

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L´ıngua Portuguesa L´ıngua Portuguesa

01

Variantes Ling¨ u´ısticas

Resumindo, as variantes ling¨ u´ısticas s˜ ao: • Modalidade escrita e modalidade falada; • Variantes Regionais;

Mesmo intuitivamente, todos sabemos que uma l´ıngua, como a portuguesa, n˜ ao é falada do mesmo modo por todos os seus falantes. Ao contrário, a l´ıngua varia conforme varie a classe social do falante, o local onde ele nasceu ou reside, a situa¸caõ em que ele deve falar ou escrever, etc. A descri¸caõ de um idioma n˜ ao pode desconsiderar esse tipo de fenˆ omeno e deve, portanto, englobar a no¸caõ de variantes ling¨ u´ısticas. Basicamente, uma l´ıngua sofre varia¸co˜es de acordo com cinco eixos. Uma varia¸caõ inicial diz respeito ` as modalidades escrita e falada. Normalmente, parece pedante falar como se escreve, e infantil escrever como se fala. Em segundo lugar, existe a varia¸caõ regional, que define, por exemplo, o sotaque e as express˜ oes t´ıpicas de cada lugar do pa´ıs. Bastante importante é a varia¸caõ social, que determina duas normas b´ asicas: a norma culta, transmitida pela tradi¸caõ escolar, e a norma popular. Existe também a varia¸caõ de época. Como se sabe, a l´ıngua sofre transforma¸co˜es com o tempo. As pessoas, inclusive, falam de modo diferente de acordo com a idade. Por fim, h´ ao eixo da varia¸caõ de estilo, que define, por exemplo, o modo formal e o modo informal de falar. Note que a varia¸caõ formal/informal n˜ ao é idêntica ` a varia¸caõ culto/popular. Um advogado, por exemplo, fala de modo formal com o juiz num tribunal e de modo informal com a fam´ılia em casa, mas ser´ a sempre um falante culto.

• Variantes Sociais (norma culta e normal popular); • Variantes de época; • Variantes de estilo (formal e informal).

Pense um Pouco! O conhecido an´ uncio publicit´ ario a seguir, publicado em revistas de informa¸caõ, faz uso intencional de variante coloquial da l´ıngua portuguesa. Que marcas, presentes no texto do an´ uncio poderiam caracterizar essa variante?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (UFV-MG) Suponha um aluno se dirigindo ao colega de classe nestes ternos: ”Venho respeitosamente solicitar-lhe se digne emprestar-me o livro”. A atitude desse aluno se assemelha à atitude do indiv´ıduo que: a) comparece ao baile de gala trajando ”smoking”; b) vai à audiência com uma autoridade de ”short”e camiseta; c) vai à praia de terno e gravata;

273

274


d) p˜ oe terno e gravata para ir falar na Cˆ amara dos Deputados; e) vai ao Maracan˜ a de chinelo e bermuda. ˜ Texto para as duas quest˜ INSTRUC ¸ AO. oes seguintes. Observe uma pessoa contando para outra o procedimento para usar a nova impressora: ”Primeiro a gente pega as folhas e p˜ oe aqui, nessa parte de baixo. Da´ı, a gente liga nesse botãozinho e d´ a o comando no computador. Da´ı a gente fica esperando um pouco e logo ela ´ super fácil”. imprime. E 2. (UNITAU - SP) Quanto ao uso de ”a gente”, responda: a) Est´ a adequado tanto na l´ıngua oral informal quanto na l´ıngua escrita formal porque refere-se a ”todos n´ os”. b) Est´ a adequado na l´ıngua oral informal por ser a forma usual de se dizer ”n´ os”, mas est´ a inadequado na l´ıngua escrita formal, a qual privilegia o uso de ”n´ os”. ´ o mais adequado na l´ıngua oral informal e na l´ıngua esc) E crita formal porque refere-se a ”n´ os”. ´ o mais adequado na l´ıngua oral informal e na l´ıngua esd) E crita formal por ser uma forma de dizer ”n´ os”. e) Est´ a adequado na l´ıngua oral formal, mas n˜ ao na l´ıngua escrita formal por querer dizer ”n´ os”. 3. (UNITAU-SP) As palavras de liga¸caõ ”Primeiro... Da´ı... Da´ı...”, comuns na l´ıngua oral informal, podem ser substitu´ıdas a contento na l´ıngua escrita formal pelos seguintes marcadores, respectivamente: a) Primeiro... Logo... Portanto... b) A princ´ıpio...Conclusivamente... Portanto... c) Primeiramente... Segundamente... Conclusivamente... d) Primeiramente... A seguir... Finalmente... e) A princ´ıpio... Finalmente... Logo...

Exerc´ıcios Complementares 4. (ENEM) O texto mostra uma situa¸caõ em que a linguagem usada é inadequada ao contexto. Considerando as diferen¸cas entre l´ıngua oral e l´ıngua escrita, assinale a op¸caõ que representa também o uso da linguagem inadequada ao contexto: a) ”O carro bateu e capotô, mas num deu pra vê direito.- um pedestre que assistiu ao acidente comenta com o outro que vai passando. b) ”E a´ı, ô meu! Como vai essa for¸ca?- um jovem que fala para um amigo. c) ”S´ o um instante, por favor. Eu gostaria de fazer uma observa¸caõ.- alguém comenta em uma reuni˜ ao de trabalho. d) ”Venho manifestar meu interesse em candidatar-me ao cargo de Secret´ aria Executiva desta conceituada empresa.alguém que escreve uma carta candidatando-se a um emprego. e) ”Porque se a gente n˜ ao resolve as coisas como têm que ser, a gente corre o risco de termos, num futuro próximo, muito pouca comida nos lares brasileiros.- um professor universit´ ario em um congresso internacional.

—


(J. Amado) d) – Apesar dos pesares, é meu pai. N˜ ao quero que seja enterrado como um vagabundo. Se fosse seu pai, Leonardo, você gostava? (J. Amado) e) – Fala também, desgra¸cado... -Negro Pastinha, sem se levantar, espichava o poderoso bra¸co, sacudia o recém-chegado, um brilho mau nos olhos. - Ou tu acha que ele era ruim? (J. Amado) 6. (UEL-PR) A frase que contém uma marca de oralidade é: a) O sertanejo tem que falar cultura. b) Essa cultura é muito diferente da nossa. ´ um processo que n˜ c) E ao est´ a fundado na palavra escrita. d) Mas, como sou sertanejo, e filho de uma fam´ılia metade comunista metade reacionária, né? e) ... talvez eu possa fazer algumas armadilhas para que vocês me fa¸cam perguntas...

L´ıngua Portuguesa

02

Acentua¸c˜ ao Gr´ afica Princ´ıpios da Acentua¸c˜ ao Gr´ afica Na l´ıngua portuguesa, segundo o critério de tonicidade, ou seja, a posi¸caõ da s´ılaba tˆ onica como sendo a u ´ ltima, a pen´ ultima ou a ante-pen´ ultima, as palavras s˜ ao classificadas como ox´ıtonas, parox´ıtonas ou proparox´ıtonas, respectivamente. Quando a palavra levar acento gráfico, este cairá sempre sobre a vogal da s´ılaba tˆ onica. Proparox´ıtonas Todas as proparox´ıtonas s˜ ao acentuadas.

TÔ − NI − CA é uma palavra proparoxítona Exemplos V´ıtima, médico, ânimo, titˆ anico, r´ apido, rid´ıculo, módulo, catastr´ ofico, hiperb´ olico. Parox´ıtonas

5. (UFU-MG) Assinale a u ´ nica alternativa em que n˜ ao ocorre Acentuam-se as parox´ıtonas terminadas em: o emprego de express˜ oes coloquiais: • r: car´ ater, revólver, cadáver a) – Ele pode decidir... - disse Pé-de-Vento. Tinha esperan¸cas de ser escolhido por Quincas para herdar Quitéria, seu u ´ nico • n: h´ıfen, p´ olen, próton, nêutron bem. (J. Amado) b) – Calma, companheiro. N˜ ao tava querendo lhe lesar. (J. • l: fácil, réptil, m´ıssil, fóssil Amado) • x: t´ orax, l´ atex c) – Boa tarde, damas e cavalheiros. A gente queria ver ele...

L´ıngua Portuguesa – 02

275

• i ou is: t´ axi, t´ axis, j´ uri

I. Se a s´ılaba tˆ onica for o segundo PA, a escrita deveria ser ´ PAPALIA, pois a palavra seria parox´ıtona terminada em ditongo crescente. II. Se a s´ılaba tˆ onica for LI, a escrita deveria ser PAPALÍA, pois n˜ ao haveria raz˜ ao para o uso de acento gráfico.

• u ou us: ânus, bˆ onus, ˆ onus • um ou uns: álbuns, f´ orum • ps: b´ıceps, fórceps • a ˜ ou a ˜s: ´ım˜ a, órfã • -o ô ou o ôs: vôos, enjˆ oo, entˆ oo Acentuam-se também as parox´ıtonas terminadas em ditongo oral ou nasal, seguido ou n˜ ao de s. (´ orf˜ ao, ´ org˜ aos, colégio, férias). N˜ ao se acentuam as parox´ıtonas terminadas pelas vogais a, e ou o, e pela consoante nasal m. (cantam, sorriam, batiam). Como particularidade, n˜ ao se acentuam as parox´ıtonas terminadas em ns, o que faz com que certos termos se acentuem no singular, mas n˜ ao no plural. (h´ıfen, hifens, p´ olen, polens).

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Acentue, se necess´ ario, os voc´ abulos destacados nas frases a seguir: a) N˜ ao posso atendê-lo no momento, mas minha secretaria, dona Vanessa, agendar´ a uma reunião para a próxima semana.

b) O aluno Bruno de Alencar deve comparecer imediatamente à secretaria da escola. c) Lu´ıs, que agora retornava à casa paterna, com 30 anos recém-completados, dela partira aos vinte anos. d) Quando o sol raiar, Lu´ıs partira novamente. e) Acho inconceb´ıvel que alguns pais n˜ ao amem os filhos. Ox´ıtonas f) E que o arroz n˜ ao falte alem do toler´ avel. (José Saramago, Memorial do convento) Acentuam-se as ox´ıtonas terminadas em: g) O voo das aves sempre nos causa encantamento. ao muito mais raros os partos feitos com forceps. • a ou as: sofás, Par´ a, Corumb´ a e futuros, como amar´ a e h) Hoje s˜ i) Acho desagrad´ avel rever velhos albuns de familia. morrer´ as.

2. (CESGRANRIO-RJ) Indique o item no qual os voc´ abulos obedecem à mesma regra de acentua¸caõ da palavra n´ odoa: a) ânsia, âmbar, imund´ıcie; • o ou os: avô, avó, cip´ o, gigolˆ os. b) m´ıope, im˜ a, enjˆ oo; • em ou ens: também, parabéns. c) água, tênue, supérfluo; d) ´ımpar, m´ıngua, lˆ anguida; uvo, argênteo, s´ ordido. N˜ ao se acentuam, portanto, ox´ıtonas terminadas com as vogais e) vi´ i(s) e u(s), de modo que, apesar de bastante freq¨ uentes, n˜ ao s˜ ao adequados escritos em que se leia Pacaemb´ u, It´ u ou Barig¨ u´ı, 3. O trecho a seguir foi copiado sem acentua¸caõ. Leia-o atenabulos que assim o exigirem: para as palavras que se devem grafar Pacaembu, Itu e Barig¨ ui. tamente e acentue os voc´ ao do pa¸co imperial, que no tempo Ressalte-se também que as palavras terminadas em z n˜ ao est˜ ao ”Ainda hoje existe no sagu˜ contempladas pelas regras por serem sempre ox´ıtonas: capaz, em que se passou esta nossa historia se chamava Palacio delrei, uma saleta ou quarto que os gaiatos e o povo com eles algoz. denominavam o Patio dos Bichos. Este apelido lhe fora dado Monoss´ılabos Tˆ onicos em consequencia do fim para que ele ent˜ ao servia: passavam Recebem acento os monoss´ılabos tˆ onicos terminados em a, e, ali todos os dias do ano tres ou quatro oficiais superiores, veo, seguidos ou n˜ ao de s. lhos, incapazes para a guerra e inuteis na paz, que o rei tinha Exemplos a seu servi¸co n˜ ao sabendo se com mais alguma vantagem de soldo, ou se so com mais a honra de serem empregados no 1. a(s): p´ a, má, l´ a, tr´ as; real servi¸co.”(Manuel Ant´ onio de Almeida, Mem´ orias de um sargento de mil´ıcias). 2. e(s): fé, pés, vê, lês; • e ou es: rapé, cafés, até, vocês.

3. o(s): l´ o, n´ os, vós, pˆ os.

Pense um Pouco! Diante da visão de um prédio com uma placa indicando SAPATARIA PAPALIA, um jovem deparou com a d´ uvida: como pronunciar a palavra PAPALIA? Levado o problema à sua sala de aula, a discuss˜ ao girou em torno da utilidade de conhecer as regras de acentua¸caõ e, especialmente, do aux´ılio que elas podem dar ` a correta pron´ uncia de palavras. Ap´ os discutirem pron´ uncia, regras de acentua¸caõ e escrita, três alunos apresentaram as seguintes conclusões a respeito da palavra PAPALIA:

Exerc´ıcios Complementares 4. (UFRGS-RS) A grafia dos nomes próprios nem sempre segue as regras ortográficas da l´ıngua portuguesa. O nome L´ıvia, por exemplo, de acordo com a pron´ uncia com que ocorre usualmente, deve receber acento gráfico. A regra que determina o uso do acento neste caso é a mesma respons´ avel pelo acento gráfico em: a) episódios; b) a´ı; c) re´ une; d) estréia; e) n´ os.

276


5. O trecho a seguir foi copiado sem acentua¸caõ. Leia-o atentamente e acentue os voc´ abulos que assim o exigirem: ”O documento acaba sendo o eco de uma polemica anterior à cupula propriamente dita, surgida nas tres reuni˜ oes preparatorias. Apos a ultima delas, em janeiro, um grupo de ONGs (Organiza¸co˜es N˜ ao-Governamentais) lan¸cou documento condenando o texto da declara¸caõ final da Cupula do Homem, ja ent˜ ao em vers˜ ao praticamente definitiva. Diziam as ONGs: ”A confian¸ca exagerada colocada pêlos documentos em for¸cas de mercado indefinidas e n˜ ao reguladas, como base para a organiza¸caõ das economias nacionais, contradiz nossa opinião, segundo a qual tais for¸cas n˜ ao s˜ ao solu¸caõ, mas fatores que contribuem para as crises sociais do mundo atual”. Uma das ONGs signatarias é o Ibase, o instituto brasileiro dirigido pelo sociologo Herbert de Souza, o Betinho, agora membro do comite do Programa Comunidade Solidaria, do governo Fernando Henrique Cardoso. As ONGs n˜ ao est˜ ao sozinhas na critica ao mercado. No seu discurso na inaugura¸caõ da reuni˜ ao, o premie dinamarques Poul Nyrup Rasmussen (social-democrata) foi claro: ”Nos aprendemos que o progresso social n˜ ao se realiza simplesmente por meio das for¸cas de mercado”. Ate o presidente da cupula, Juan Somavia, embaixador chileno nas Na¸co˜es Unidas, expressa duvidas n˜ ao sobre o mercado propriamente mas sobre a austeridade fiscal, outro preceito zelosamente guardado pelo FMI. ”Equilibrar o or¸camento e uma boa coisa, mas por que deve-se alcan¸car um equil´ıbrio macroeconomico baseado em desequilibrios nas vidas das pessoas?”, pergunta Somavia. (Clóvis Rossi, Folha de S. Paulo, Agência Folha, 07 mar. 1995.)


03

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Observam-se boa disciplina, estudo e trabalho. 2. Um substantivo com dois ou mais adjetivos, temos três possibilidades: Estudamos a civiliza¸ca õ grega e romana. Estudamos a civiliza¸ca õ grega e a romana. Estudamos as civiliza¸co ˜es grega e romana. 3. Mesmo, pr´ oprio, s´ o, anexo, incluso, junto, bastante, nenhum, leso, meio e partic´ıpios verbais: concordam em gênero e n´ umero com o termo a que se referem. Enviamos anexas as informa¸co ˜es solicitadas. Compraram duas meias entradas para o espet´ aculo. Resolvemos bastantes problemas dif´ıceis. Observa¸caõ: Meio e bastante como advérbios ficam invari´ aveis. Ela estava meio embriagada pelo sucesso. Suas idéias eram bastante interessantes. 4. Um e outro, nem um nem outro: substantivo no singular + adjetivo no plural. Houve um e outro homem escolhidos para o cargo. Nem um nem outro crime praticados foram apurados. 5. O(s) mais, menos, melhor(es) ... poss´ıvel(eis), pior(es), maior(es) e menor(es): Conheci mulheres o mais encantadoras poss´ıvel. Havia mestres os mais inteligentes poss´ıveis. 6. Adjetivo = Predicativo do Sujeito

Concordˆ ancia Nominal REGRA GERAL Os termos que dependem do nome (substantivo) com ele concordam em gênero e n´ umero. Exemplos Os nossos médicos descobriram a cura da doen¸ca. Passamos bons momentos juntos.

CASOS ESPECIAIS 1. Adjetivo = Adjunto Adnominal em rela¸caõ a dois ou mais substantivos: • De mesmo gênero: adjetivo no singular ou plural. A vontade e a inteligência humana(s). As conquistas e as descobertas portuguesas. • De gêneros diferentes: adjetivo concorda com o mais próximo ou fica no masculino plural. O carro e a bicicleta envenenada(os). O trabalho e as realiza¸co ˜es conseguidas(os). Observa¸caõ: Adjetivo anteposto concorda com o mais próximo.

• Sujeito composto posposto: adjetivo concorda com o mais próximo ou fica no masculino plural. Estava morto o amor e a compreens˜ ao humana. Estavam mortos o amor e a compreens˜ ao humanos. • Sujeito n˜ ao determinado: adjetivo fica invari´ avel. ´ proibido entrada de estranhos. E Cerveja é bom para os rins.. • Sujeito determinado: adjetivo concorda em gênero e n´ umero. ´ E proibida a entrada de estranhos. Esta cerveja é boa para os rins. 7. Adjetivo = Predicativo do Objeto • Objeto simples: n´ umero.

adjetivo concorda em gênero e

Encontrei tristonha a mulher abandonada. • Objeto composto: adjetivo fica no masculino plural. Encontrei tristonhos a mulher e o jovem abandonados.

8. Dois ou mais numerais + substantivo no singular ou plural. A primeira, a segunda e a u ´ltima aula(s).


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Pense um Pouco!

5. (UEL-PR)-........ que ........ as propostas, n˜ ao .......... d´ uvidas a respeito das boas inten¸co˜es do diretor. A placa a seguir apresenta erro de concordˆ ancia entre o subs- a) Qualquer - fossem - restariam; b) Quaisquer - fosse - restaria; tantivo e o adjetivo em fun¸caõ do adjunto adnominal? c) Quaisquer - fossem - restaria; d) Qualquer - fosse - restariam; e) Quaisquer - fossem - restariam. 6. (UEL-PR) Est´ a adequadamente flexionada a forma destacada na frase: a) Ele n˜ ao deixou satisfeito nem a cr´ıtica, nem o p´ ublico. b) Todos achamos dif´ıceis, nas provas de F´ısica e Matem´ atica, a resolu¸caõ das quest˜ oes finais. c) O sofá e a banqueta ganharam outro aspecto depois de consertado. d) A culpa deles aparecia como que inscritas em suas fei¸co˜es, denunciando-os. e) Ele considerou in´ uteis, na atual circunstˆ ancia, as medidas que ela sugeria. 7. (UEL-PR) Que ...... das lembran¸cas felizes se entre elas ........ l´ agrimas deslizando ........ pela face amada? a) seria - houvessem - copiosas; Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao b) seriam - houvessem - copiosas; c) seria - houvesse - copiosa; d) seriam - houvessem - copiosa; 1. Assinale a op¸caõ em que o emprego do voc´ abulo meio n˜ ao e) seria - houvesse - copiosas. obedece às regras do português culto: a) Eles estavam meio confusos, agiram de acordo com os comandos. b) O soldado foi punido porque se apresentou meio bêbado ao general. c) As mo¸cas estavam meias desatentas ` a explica¸caõ do professor, da´ı que ele as repreendesse. d) N˜ ao me venha com meias palavras: exijo que você se exConcordˆ ancia Verbal presse com objetividade. e) Era cedo, mas a sala j´ a se encontrava meio escura.


2. (UEL-PR) Ao esfor¸co e ` a seriedade .......... ao estudo é que ........ os louvores que ele tem recebido ultimamente. a) consagrado - devem ser atribu´ıdos; b) consagrada - deve ser atribu´ıdo; c) consagrados - devem ser atribu´ıdos; d) consagradas - deve ser atribu´ıdo; e) consagrados - deve ser atribu´ıdo. 3. (UEPG-PR)Acho que a menina ficar´ a ........ aborrecida quando ........ que em sua caixa h´ a ........ balas. a) meio - vir - menas; b) meia - vir - menos; c) meia - ver - menas; d) meia - ver - menos; e) meio - vir - menos.

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REGRA GERAL Verbo concorda com o sujeito em n´ umero e pessoa. Exemplos O técnico escalou o time. Os técnicos escalaram os times.

CASOS ESPECIAIS 1. Sujeito Composto a) Anteposto: verbo no plural. O técnico e os jogadores chegaram ontem a S˜ ao Paulo. b) Posposto: verbo concorda com o mais próximo ou fica no plural.

Exerc´ıcios Complementares 4. (UEL-PR) Nos debates que .......... durante o torneio, alguns dos jovens pareciam ............ desanimados a) houve - meios; b) houve - meio; c) houveram - meio; d) houvem - meio; e) houve - meios.

Chegou(aram) ontem o técnico e os jogadores. c) De pessoas diferentes: verbo no plural da pessoa predominante. Eu, você e os alunos iremos ao museu. d) Com n´ ucleos em correla¸caõ: verbo concorda com o mais próximo ou fica no plural. O cientista assim como o médico pesquisa(m) a causa do mal.

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Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC e) Ligado por COM: verbo concorda com antecedente do com ou vai para o plural. O professor, com os alunos, resolveu o problema. O maestro com a orquestra executaram a pe¸ca cl´ assica. f) Ligado por NEM: verbo no plural e, ` as vezes, no singular. Nem Paulo, nem Maria conquistaram a simpatia de Catifunda. g) Ligado por OU: verbo no singular ou plural dependendo do valor do OU. Valdir ou Le˜ ao ser´ a o goleiro titular. Jo˜ ao ou Maria resolveram o problema.

2. Sujeito constitu´ıdo por a) Um e outro, nem um nem outro: verbo no singular ou plural. Um e outro médico descobriu(ram) a cura do mal. Nem um nem outro problema propostos foi(ram) resolvido.

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5. Verbo SER a) Indicando tempo, distância: concorda com o predicativo. Hoje é dia 3 de outubro, pois ontem foram 2 e amanh˜ a ser˜ ao 4. b) Com sujeito e predicativo do sujeito: concorda com o que prevalecer. Vinte milh˜ oes era muito por aquela casa. c) Com sujeito e predicativo do sujeito: concorda com o que prevalecer. O homem sempre foi suas idéias. Santo Antˆ onio era as esperan¸cas da solteirona. A P´ atria n˜ ao é ninguém, a P´ atria somos n´ os. d) DAR (bater e soar) + hora(s): concordam com o sujeito. Deu duas horas o rel´ ogio do alto da montanha.

b) Um ou outro: verbo no singular.

e) Verbo parecer + infinitivo: flexiona-se um dos dois.

Um ou outro far´ a o trabalho.

Os cientistas pareciam procurar grandes segredos. Os cientistas parecia procurarem grandes segredos.

c) Coletivo geral: verbo no singular. Mais de um jogador foi elogiado pela crˆ onica esportiva. d) Express˜ oes que indicam quantidade aproximada seguida de numeral: verbo concorda com o substantivo. Cerca de dez jogadores participaram da briga. f) Pronomes (indefinidos ou interrogativos) seguidos de pronomes: verbo no singular ou plural. Qual de n´ os ser´ a escolhido?

6. Sujeito = nome próprio plural: a) Com artigo no singular ou sem artigo: verbo no singular. O Amazonas des´ agua no Atlˆ antico. b) Com artigo no plural: verbo no plural. Os Estados Unidos enviaram tropas a ` zona de conflito.

g) Palavra que: verbo concorda com o antecedente. Hoje sou eu que fa¸co o discurso. h) Palavra quem: verbo na terceira pessoa do singular. Amanh˜ a ser˜ ao eles quem resolver´ a o problema. i) Um dos que: verbo no singular ou plural. Foi um dos alunos desta classe que resolveu o problema. j) Palavras sinˆ onimas: verbo concorda com o mais próximo ou fica no plural. ´ A Etica ou a Moral preocupa-se com o comportamento humano. 3. Verbo acompanhado da palavra se a) se = pronome apassivador: verbo concorda com sujeito paciente. Viam-se ao longe as primeiras casas. Ofereceu-se um grande prêmio ao vencedor da corrida. b) se = ´ındice de indetermina¸caõ do sujeito: verbo sempre na terceira pessoa do singular. Necessitava-se naqueles dias de novas ideias. 4. Verbos Impessoais: Verbos que indicam fenˆ omenos da na- Pense um Pouco! tureza, verbo haver indicando existência ou tempo, verbos ˜ fazer, ir indicando tempo: esses verbos ficam sempre na EDUCAC ¸ AO: Governo diz que houve erro de interpreta¸ca õ terceira pessoa do singular. por causa da inclus˜ ao da palavra ”semestralidade”Reajuste de escolas se mantêm anuais. Durante o inverno, nevava muito. Ainda havia muitos candidatos. O t´ıtulo da not´ıcia acima est´ a inadequado à norma culta da Ontem fez dez anos que ela se foi. escrita do português. Por quê?


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Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (UEL-PR) .......... as providências necess´ arias para o saneamento da cidade. a) Haverá de ser tomado; b) Haverão de ser tomadas; c) Haverá de serem tomadas; d) Haverão de serem tomadas; e) Haverão de ser tomado. 2. (UEL-PR) Até ontem, j´ a .... duas mil pessoas desabrigadas em todo o estado, e muitas mais ... se ... as chuvas torrenciais. a) existiam - haverá - continuar; b) existiam - haverão - continuarem; c) existia - haverá - continuar; d) existia - haverão - continuarem; e) existiam - haverá - continuarem. 3. (PUC-SP) Indique a alternativa em que n˜ ao h´ a concordˆ ancia inadequada ` a norma culta: a) Fazia dois anos que n˜ ao aconteciam desastres desse tipo. b) Faz alguns anos que n˜ ao acontece desastres desse tipo. c) Deve fazer um ano que aconteceu vários desastres aéreos. d) Fazia algum tempo que n˜ ao acontecia desastres desse tipo. e) Devem fazer dois anos que aconteceu um desastre desse tipo.

Exerc´ıcios Complementares 4. (PUC-SP) Indique a alternativa em que n˜ ao h´ a concordˆ ancia inadequada ` a norma culta: a) Devem haver poetas que pensam no desastre aéreo como sendo o arrebol. b) Deve existir poetas que pensam no desastre aéreo como sendo o arrebol. c) Pode existir poetas que pensam no desastre aéreo como sendo o arrebol. d) Pode haver poetas que pensam no desastre aéreo como sendo o arrebol. e) Podem haver poetas que pensam no desastre aéreo como sendo o arrebol.

a) Tipos de ora¸co˜es: – Ora¸co˜es interrogativas, quando iniciadas por palavra ou express˜ ao interrogativa (”quem”, ”o que”, ”como”, ”onde”, ”porque”, etc.): Quem me dar´ a o beijo que cobi¸co? – Ora¸co˜es exclamativas: Deus lhe fale n’alma! b) Palavras ”atrativas”: s˜ ao aquelas que, quando aparecem antes do verbo, obrigam a próclise. S˜ ao as seguintes: Palavras negativas (”não”, ”nem”, ”nada”, ”nenhum”, ”ninguém”, ”jamais”, etc.): Canudos n˜ ao se rendeu. (Euclides da Cunha) Conjun¸co˜es subordinativas e pronomes relativos (”que”, ”como”, ”onde”, ”se”, ”cujo”, ”quando”, ”embora”, ”porque”, ”enquanto”, etc.): Trabalho para homem que me respeite. (José Lins do Rego) Advérbios ”agora”, ”ainda”, ”amanh˜ a”, ”antes”, ”breve”, ”depois”, ”hoje”, ”j´ a”, ”jamais”, ”logo”, ”nunca”, ”ontem”, ”sempre”, ”bem”, ”mal”, ”demais”, ”muito”, ”pouco”, ”quase”, ”assim”, ”melhor”, ”pior”, além das palavras com sufixo menterapidamente”, ”certamente”, etc.: Mal se movia, com medo de espantar a pr´ opria aten¸ca õ. (Clarice Lispector) Se souberem que o autor sou eu, naturalmente me chamar˜ ao potoqueiro. (Graciliano Ramos) Pronomes indefinidos ”algum”, ”alguém”, ”todo”, ”tudo”, ”certo”, ”outro”, ’v´ arios”, ”qualquer”, etc.: E tudo se passa como eles querem. (Pêro Vaz de Caminha) Ger´ undios precedidos da preposi¸caõ “em”: Em se tratando de futebol, o Brasil é um pa´ıs de primeiro mundo.

Mes´ oclise

O pronome é colocado no meio do verbo. S´ o ser´ a empregada no futuro do presente e no futuro do pretérito, desde que n˜ ao haja palavra que exija a próclise: As gera¸co ˜es futuras perguntar-se-˜ ao como foi poss´ıvel perdurar um governo de generais durante 21 anos. (Imprensa) 5. (UEL-PR) Assinale a alternativa que preenche adequadaRepetir-se-´ a , assim, o que neste ano j´ a aconteceu com tantos mente as lacunas: ...... trabalhadores ociosos porque ...... a outros feriados. (Vis˜ a o) produ¸caõ e a exporta¸caõ, e ...... funcion´ arios treinados em setores nos quais a empresa possa crescer. Agora veja: a) Existem - ca´ıram - faltam; As gera¸co ˜es futuras ainda se perguntar˜ ao como foi poss´ıvel... b) Existem - caiu - falta; N˜ ao se repetir´ a, assim, o que neste ano... c) Existe - caiu - faltam; (As palavras “ainda”e “n˜ ao” exigem a próclise) d) Existem - ca´ıram - falta; e) Existe - ca´ıram - faltam.

ˆ Enclise


05

O pronome é colocado depois do verbo. Emprega-se, geralmente, a ênclise: a) Com verbos no in´ıcio do per´ıodo: Sabe-se que a temperatura global est´ a em média cerca de meio grau Celsius mais alta do que h´ a 100 anos. (Veja) Coloca¸ c˜ ao Pronominal b) Com verbos no modo imperativo afirmativo: - Levante-se da´ı, senhor Belchior... (Bernardo Guimar˜ aes) Pr´ oclise c) Com verbos no ger´ undio, desde que n˜ ao venham precedidos ´ considerada obri- da preposi¸caõ em: O pronome é colocado antes do verbo. E Para tratar o enfermo ps´ıquico, n˜ ao basta ter pena dele, gat´ oria em, basicamente, duas situa¸co˜es:

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consolando-o e ouvindo-o com interesse. (Folha de S.Paulo) d) Com verbos no infinitivo impessoal: A poesia est´ a na cidade, no campo, no mar. O problema é descobri-la, surpreendê-la, flagr´ a-la. (Ferreira Gullar)

Pense um Pouco! Pronominais Dê-me um cigarro Diz a gram´ atica Do professor e do aluno E do mulato sabido Mas o bom negro e o bom branco Da Na¸ca õ Brasileira Dizem todos os dias Deixa disso camarada Me d´ a um cigarro

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c) (lhe) “A espa¸cos, quando o aborrecimento .. vinha .., sa´ıa.” d) (se)”.. Lembrou .. ent˜ ao do sangue do pre´ a, sujando o verde do capim.”(José Lins do Rego) e) (lhe) “Que .. importava .. a riqueza do velho José Paulino?”(José Lins do Rego) f) (se) “Depois, .. escutou .. um tiro seco, no silêncio.”(José Lins do Rego) g) (se)”.. Levanta .. e passa os bra¸cos no pesco¸co de Guma.”(Jorge Amado) h) (se) “E que porcarias .. vendem .. por a´ı!”(José Lins do Rego) i) (me) N˜ ao conhe¸co ao certo o local onde .. levaram .. na noite passada. j) (se) “Os demais .. babando .., sem desgrudar o olhinho.”(Dalton Trevisan)

2. (UDESC-SC) Assinale com V a coloca¸caõ verdadeira e com F a coloca¸caõ falsa dos pronomes obl´ıquos átonos nos per´ıodos abaixo: Oswald de Andrade ( ) Ele tem dado-se muito bem com esse nosso clima. ( ) Talvez a luz cont´ınua e ofuscante tenha-me afetado a visão. ( ) Ninguém retirara-se antes do encerramento do conclave. ( ) Tudo me parecia bem até que me alertaram do perigo que corria. ( ) Em se tratando de artes, preferimos sempre a divina m´ usica. ( ) Dir-se-ia que fatos dessa natureza n˜ ao mais ocorreriam. A seq¨ uência correta de letras, de cima para baixo, é: a) F, F, V, F, V, V b) V, V, F, V, F, F c) F, V, F, V, V, V d) F, V, V, F, V, V e) V, F, F, V, F, F 3. (UFSC) Assinale as alternativas gramaticalmente correias e em seguida fa¸ca a adi¸caõ dos valores a elas atribu´ıdos: 01) Vi ontem nosso mais jovem poeta ilhéu. 02) Refiro-me àquele jovem poeta ca¸cadorense. 04) Ele n˜ ao queixa-se nunca de seu trabalho. 08) Corri para ajud´ a-lo, quando o vi à porta. 16) Pouco conhece-se a respeito de Let´ıcia. 32) Jamais te diria tamanha mentira!


Figura 4.1: Retrato a ò ´leo de Oswald de Andrade, por Tarcila do Amaral.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Preencha as lacunas das frases a seguir com os pronomes entre parênteses, de acordo com a norma culta da l´ıngua portuguesa: a) (se) “Ninguém ... arrepiava .., ninguém manobrava para ficar.”(José Lins do Rego) b) (se) “Não .. ouvia .. um barulho.”(Jo˜ ao Ant´ onio)

4. (UEL-PR) Logo que você ......, é claro que eu ........ da melhor maneira poss´ıvel, ainda que isso ........ o servi¸co. a) me chamar; atendê-lo-ei; me atrase b) chamar-me; atendê-lo-ei; atrase-me c) me chamar; o atenderei; me atrase d) me chamar; o atenderei; atrase-me e) chamar-me; atenderei-o; atrase-me 5. (PUC-PR) Observe a coloca¸caõ dos pronomes nas frases abaixo: 1. Ela pode auxiliar-me. 2. Ela pode-me auxiliar. 3. Ela me pode auxiliar. 4. Ela veio ver-me. 5. Ela n˜ ao quis vê-lo.


281 • prepositivas: Capit˜ ao América e Homem Aranha est˜ ao a ` beira da falência. • conjuntivas: Os alimentos estocados foram vendidos a ` medida que crescia o consumo.

Dos itens acima expostos est˜ ao corretos: a) 1, 2 e 5 b) 3 e 4 c) 2 e 4 d) 4 e 5 e) todos est˜ ao certos 6. (PUC-PR) Assinale a alternativa em que o pronome LHE n˜ ao pode ser colocado depois do verbo CONTAR: a) Desejo-lhe contar minha vers˜ ao. b) Prometeu n˜ ao lhe contara verdade. c) N˜ ao podemos lhe contar tudo. d) Come¸cou a lhe contar o ocorrido. e) Tenho de lhe contar esse episódio.


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˜ ocorre Casos em que a crase NAO 1. Diante de palavras masculinas, as quais n˜ ao admitem o artigo a: O passeio foi feito a cavalo. 2. Diante de verbos: As crian¸cas da favela s˜ ao obrigadas a pedir esmolas. 3. Diante de nome de cidade: Houve protestos na chegada do presidente a Recife.

Crase Crase é fusão de duas vogais idênticas. Representa-se graficamente a crase pelo acento grave. A crase pode ser representada nos casos: a) A preposi¸caõ a e os artigos a e as: H´ a limites a ` tolerˆ ancia humana. b) A preposi¸caõ a e os pronomes demonstrativos aquele(s), aquela(s) e aquilo. Permaneci indiferente a `quele barulho. c) A preposi¸caõ a e aos pronomes demonstrativos a e as: Sua opini˜ ao é semelhante a ` de Rogério.

Observa¸ c˜ ao: Se o nome da cidade vier acompanhado de um adjetivo ocorre a crase: Vou frequentemente a ` antiga Ouro Preto. 4. Diante de pronomes que n˜ ao admitem artigo. • pronomes pessoais: N˜ ao dirigiu a palavra a n´ os. • pronomes de tratamento: Mandou dizer a Vossa Senhoria que n˜ ao viria ao encontro marcado. Observa¸ c˜ ao: Emprega-se geralmente o acento indicados da crase diante dos pronomes senhora e senhorita. • pronomes demonstrativos: ´ hora de dar um basta a essa barb´ E arie. • pronomes indefinidos: N˜ ao demonstravam seu sofrimento a ninguém. • pronomes relativos: Aquela é a senhora a quem apresentamos nossas condolências. 5. Diante da palavra casa quando n˜ ao vier determinada por adjunto adnominal: Quando cheguei a casa j´ a tinham sa´ıdo. Observa¸ c˜ ao: Quando a palavra casa vier determinada ocorre a crase. Chegamos a ` casa da cunhada. 6. Diante da palavra terra, quando esta designar terra firme: Os marinheiros chegaram a terra. 7. Diante de palavra no plural se o a estiver no singular: O sucesso n˜ ao deve conduzir a conclus˜ oes muito otimistas.

Outros casos 1. Diante de palavra feminina que admita o artigo a e outra palavra que exija a preposi¸caõ a: Debate aponta risco a ` liberdade de express˜ ao. 2. Nas locu¸co˜es femininas: • adverbiais: Os deputados est˜ ao rindo a ` toa.

8. Nas locu¸co˜es formadas por palavras repetidas: Ficamos face a face com o inimigo. 9. Diante do artigo indefinido uma: Os alunos n˜ ao devem submeter-se a uma avalia¸ca õ como esta. 10. Diante da express˜ ao Nossa Senhora e de nomes de santos: Ela faz preces di´ arias a Nossa Senhora Aparecida.

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Pense um Pouco!

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admirar a pintura que tanto lhe dera fama e prest´ıgio em toda a Europa.

Ao entrar bata a porta. Qual o efeito que esta frase pode causar sem o acento indicador da crase? 5. (UNICENP-PR) Qual a alternativa que aponta a frase incorreta quanto ao acento indicativo da crase? a) Uma mulher d´ a à luz sobre uma pia enquanto dinheiro do ´ SUS (Sistema Unico de Sa´ ude) é desviado para comprar chope Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao e salgadinhos. b) Esse expediente levou à lastim´ avel aprova¸caõ do IPMF. 1. Nas frases a seguir, assinale o acento indicativo de crase c) A ` absoluta ineficiência do sistema de arrecada¸caõ, soma-se onde for necess´ ario: a má aplica¸caõ dos recursos p´ ublicos. a) ”Madalena foi a janela e esteve algum tempo debru¸cada, d) Na década de 70, a imagem externa do Brasil era frequenolhando a rua.”(Graciliano Ramos, S˜ ao Bernardo) temente associada às den´ uncias de tortura. b) No in´ıcio do século, muitos jogadores aluavam apenas por e) A quest˜ ao social continua priorit´ aria demais para ser releamor a camisa. gada à segundo plano. c) Os bons treinadores de futebol costumam ser inflex´ıveis quanto a disciplina de seus jogadores. d) O Departamento de Trˆ ansito recomenda cautela ao motorista que vai descer a serra hoje para assistir a virada do ano 6. (UNIFOR-CE) Marque a alternativa em que o sinal de crase est´ a empregado em todos os casos em que é necess´ ario: no litoral. a) A fam´ ılia ficou a ` mercˆ e do frio, a despeito do fogo que e) ”Ent˜ ao eu perguntava a mim mesmo se alguma daquelas n˜ ao estava a arder. teria amado alguém que jazesse agora no cemitério.”(Machado b) O vento entrava à vontade, restando a fam´ılia a expectativa de Assis, Dom Casmurro) f) ”O padre saiu para o p´ atio, aspirou profundamente o ar, dede que amanhecesse logo. ao se entendessem à contento. pois contemplou a estrada luminosa que atravessava a ab´ obada c) Falavam à be¸ca, mas talvez n˜ d) A cachorra ficou a ` porta, ` a olhar as brasas. celeste de um lado a outro.”(José Saramago) e) A falta de melhor express˜ a o, recorriam à discursos enérgicos. g) ”Qualquer lei nova é sujeita a cr´ıticas.”(Walter Ceneviva, Folha de S. Paulo, 6/4/95) h) Qualquer lei nova é sujeita as cr´ıticas dos membros do Poder Judici´ ario. 2. (UEM-PR) Indicar o per´ıodo em que você colocaria o acento grave, indicativo da crase: a) Deu severas ordens a algumas relapsas. b) Desobedeceram a Sua Excelência. c) Rogo as autoridades para que intervenham logo. d) Com certeza, disse tudo a esta colega. e) De Vieira a Drummond, muitos voc´ abulos descansam em paz. 3. (FUVEST-SP) Indique a alternativa correta: a) Preferia brincar do que trabalhar. b) Preferia mais brincar a trabalhar. c) Preferia brincar a trabalhar. d) Preferia brincar à trabalhar. e) Preferia mais brincar que trabalhar.

Exerc´ıcios Complementares ` 4. Preencha as lacunas com A ou A: a) Em uma viagem ......... It´ alia, Godard conheceu Martin Scorcese, de quem se tornaria grande amigo e colaborador. b) Minha u ´ nica chance de voltar ..... Europa seria ganhar a bolsa de estudos oferecida pela Universidade de Haia. c) Quando visitei ......Inglaterra, fiquei bastante decepcionado com o clima e a culinária. d) Retornei.........Bras´ılia ap´ os ter sido derrotado em duas elei¸co˜es para deputado federal. e) .... América que eu conheci n˜ ao é esta que se vê por a´ı passando necessidade. f) Ap´ os anos, o pintor Michelˆ angelo voltou ....... Roma para


07

Interpreta¸c˜ ao de Textos (UDESC - 2005) Toda l´ıngua tem seus mist´ erios, sua pele seu cheiro. O que caracteriza a linguagem ”correta”? N˜ ao uso essa ex´ mais ou menos como press˜ ao. Falo de adequa¸caõ ling¨ u´ıstica. E roupa. A gente usa de acordo com a situa¸caõ. O ideal seria que todos tivessem um guarda-roupa ling¨ u´ıstico bem recheado: ”roupa”para ir à festa, ao tribunal, à praia, ao supermercado. Seria necess´ ario que o sujeito tivesse dom´ınio da l´ıngua que usa no dia-a-dia, mas fosse também buscar as variedades. Da´ı a fun¸caõ da escola, do Estado: prover as pessoas do dom´ınio das variedades formais da l´ıngua. N´ os somos um pa´ıs essencialmente monoglota. N˜ ao me refiro ao conhecimento de l´ınguas estrangeiras, falo de poliglotismo na mesma l´ıngua. O que é? ´ ser capaz de ler o editorial do jornal, mais rebuscado, de E conversar com o vizinho e de conversar com a pessoa estranha. ´ ser capaz de ler um clássico, ouvir um rap, ler o Almanaque, E e por a´ı vai. O grosso da popula¸caõ é monoglota: domina s´ o a l´ıngua do dia-a-dia. P˜ oe o sujeito para ler um recado do banco, ele n˜ ao entende.


283 de quantidade. e) a palavra s´ o indica isolamento. 3. De acordo com o texto, marque V ou F , conforme a afirma¸caõ seja verdadeira ou falsa. ( ) Quem é capaz de ler um clássico, ouvir um rap, ler o Almanaque é poliglota. ( ) O grosso da popula¸caõ é monoglota, porque domina somente um dialeto. ( ) De acordo com o autor, n˜ ao existe linguagem correta, porque as l´ınguas s˜ ao um conjunto variado de formas ling¨ u´ısticas e cabe ao falante adequar seu uso às diferentes situa¸co˜es de fala. ( ) A escola n˜ ao tem cumprido seu papel; por isso, n˜ ao conseguimos ler um editorial de jornal rebuscado.

Pense um Pouco!

Assinale a alternativa que apresenta a seq¨ uência CORRETA, de cima para baixo. a) V - F - F - F A alternativa que melhor resume a idéia central do texto é: f) A l´ıngua padr˜ ao é formada por um conjunto de formas con- b) V - F - V - F sideradas como modo correto e socialmente aceit´ avel de falar c) F - V - F - V d) V - V - F - V ou escrever. g) A adequa¸caõ ling¨ u´ıstica é como um guarda-roupa bem va- e) V - F - F - V riado, quanto às formas ling¨ u´ısticas e revelador, ao mesmo tempo em que revela a classe social ` a qual se pertence. ´ fun¸caõ da escola e do Estado prover as pessoas dos h) E Exerc´ıcios Complementares dom´ınios das variedades formais da l´ıngua. i) O falante brasileiro é monoglota, por n˜ ao ter o conhecimento Texto para os testes de 01 a 03. de l´ınguas estrangeiras. Vai ent˜ ao, empacou o jumento em que eu vinha montado; j) A adequa¸caõ ling¨ u´ıstica se d´ a quando o falante é capaz de ler fustiguei-o, ele deu dois corcovos, depois mais três, enfim mais editorial do jornal, mais rebuscado, de conversar com o vizinho um, que me sacudiu fora da sela, com tal desastre, que o pé e de conversar com uma pessoa estranha. esquerdo me ficou preso no estribo; tento agarrar-me ao ventre do animal, mas já ent˜ ao, espantado, disparou pela estrada fora. Digo mal: tentou disparar e efetivamente deu dois saltos, Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao mas um almocreve, que ali estava, acudiu a tempo de lhe pegar na rédea e detê-lo, n˜ ao sem esfor¸co nem perigo. Dominado o bruto, desvencilhei-me do estribo e pus-me de pé. 1. Assinale a alternativa que reafirma a idéia de que quem — Olhe do que vosmecˆ e escapou, disse o almocreve. E era sabe fazer uso da adequa¸caõ ling¨ u´ıstica é poliglota. verdade; se o jumento corre por ali fora, contundia-me deveras, a) A idéia de poliglotismo est´ a associada ao conhecimento de e n˜ a o sei se a morte n˜ a o estaria no fim do desastre; cabe¸ca várias l´ınguas estrangeiras que s˜ ao faladas em algumas regiões partida, uma congest˜ a o, qualquer transtorno c´ a dentro, l´ a se do pa´ıs. me ia a ciˆ e ncia em flor. O almocreve salvara-me talvez a vida; b) Quem domina apenas a l´ıngua que se usa no dia-a-dia, n˜ ao ter´ a dificuldades para ler e produzir um texto em l´ıngua era positivo; eu sentia-o no sangue que me agitava o cora¸caõ. Bom almocreve! Enquanto eu tornava à consciência de mim padr˜ ao. c) O falante que tem envolvimento m´ ultiplo nas rela¸co˜es sociais mesmo, ele cuidava de consertar os arreios do jumento, com geralmente possui um guarda-roupa ling¨ u´ıstico bem recheado. muito zelo e arte. Resolvi dar-lhe três moedas de ouro das ao porque tal fosse o pre¸co da minha d) A atividade educacional n˜ ao é coordenada de forma devida cinco que trazia comigo; n˜ vida essa era inestim´ a vel; mas porque era uma recompensa pelo Estado; por isso, somos um pa´ıs essencialmente monodigna da dedica¸ c a ˜ o com que ele me salvou. Est´ a dito, dou-lhe glota. as trˆ e s moedas. e) Buscar as variedades da l´ıngua é o mesmo que saber usar orias P´ ostumas de Br´ as Cubas. a roupa adequada à situa¸caõ, é saber que h´ a uma variedade Machado de Assis, Mem´ ling¨ u´ıstica. 4. Assinale a alternativa em que se estabelece rela¸caõ de causa 2. Em rela¸caõ ao trecho: ”O grosso da popula¸caõ é mono- e efeito: glota: domina s´ o a l´ıngua do dia-a-dia. P˜ oe o sujeito para a) ”Vai ent˜ ao, empacou o jumento em que eu vinha montado”; ler um recado do banco, ele n˜ ao entende.”(linhas 10 a 12), é b) ”...justifiquei-o, ele deu dois corcovos, depois mais três, enINCORRETO afirmar: fim mais um...”; a) a palavra s´ o é um recurso ling¨ u´ıstico indicador de ênfase. c) ”...que me sacudiu fora da sela, com tal desastre, que o pé b) a flex˜ ao do verbo pˆ or foi usada com o sentido de deparar- esquerdo me ficou preso no estribo”; se. d) ”Digo mal: tentou disparar e efetivamente deu dois salc) o pronome ele é o termo referente ao sujeito. tos...”; d) a palavra grosso foi empregada como um recurso indicador e) ”O almocreve salvara-me talvez a vida...”

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5. Em ”...mas já ent˜ ao, espantado, disparou pela estrada fora.”e ”...contundia-me deveras...”, as palavras destacadas indicam, respectivamente: a) conclusão e constata¸caõ; b) tempo e afirma¸caõ; c) modo e constata¸caõ; d) conclusão e conseq¨ uência; e) tempo e d´ uvida.

honestidade × desonestidade; higiênico × anti-higiênico.

6. Assinale a alternativa em que a palavra que est´ a empregada de forma diferente das demais: a) ”...empacou o jumento em que eu vinha montado...”; b) ”...enfim mais um, que me sacudiu fora da sela...”; c) ”...com tal desastre, que o pé esquerdo me ficou preso no estribo...”; d) ”...eu sentia-o no sangue que me agitava o cora¸caõ; e) ”...mas porque era uma recompensa digna da dedica¸caõ com que ele me salvou.”

Exemplos


08

Parˆ onimos Voc´ abulos semelhantes na escrita e na pron´ uncia e que têm significados diferentes.

Flagrante (no ato) – fragrante (perfumado); ratificar (confirmar) – retificar (corrigir); vultoso (importante, de grande vulto) - vultuoso (inchado).

Homˆ onimos Palavras que têm a mesma pron´ uncia ou grafia, mas com significados diferentes. Dividem-se em: • Hom´ ografos - Heter´ ofonos: possuem mesma escrita e pron´ uncia diferente. o ele (letra L) - ele chegou; o controle - talvez controle.

Sinˆ onimos, Antˆ onimos e etc. Sinˆ onimos Voc´ abulos que apresentam significado b´ asico comum. Exemplos olhar = ver = mirar = observar; belo = bonito = lindo; honestidade = probidade.

• Hom´ ofonos - Heter´ ografos: pron´ uncia e grafia diferente.

possuem

mesma

cess˜ ao (ato de ceder) - sess˜ ao (reuni˜ ao); ch´ acara (quinta) - x´ acara (narrativa). • Hom´ ografos - Hom´ ofonos (ou homˆ onimos perfeitos): possuem mesma grafia e pron´ uncia. o mato - eu mato; cedo (verbo ceder) - cedo (advérbio).

Pense um Pouco! O lobo mal atacou a vovozinha ... Mandei meus sapatos para o concerto A cess˜ ao respons´ avel pela produ¸ca õ deste produto fica no final do corredor. Quais os erros nas frases acima?


Antˆ onimos Voc´ abulos que apresentam significados opostos. Exemplos grandeza × pequenez; feliz × infeliz; probidade × improbidade;

1. A hora da verdade est´ a ....... Aproveite-a. Os familiares est˜ ao de acordo com a ...... dos bens. ´ hora de ..... o fogo, pois o frio est´ E a pr´ oximo. O fato passou ..... até o momento. Os faltosos foram pegos em ...... A alternativa que preenche corretamente, e em seq¨ uência, as lacunas das frases acima é: a) iminente – cessão – acendermos – despercebido – flagrante. b) Eminente – sess˜ ao – acendermos – desapercebido – fragrante. c) Eminente – cessão – ascendermos – despercebido – fragrante. d) Iminente – sess˜ ao – ascendermos – desapercebido – flagrante. e) n. d. a.

L´ıngua Portuguesa – 08 2. (UDESC-2005) A alternativa que as palavras em negrito apresentam sentidos diferentes é: a) Os velhos est˜ ao assistindo ` a reedi¸caõ de velhos h´ abitos. b) Os romˆ anticos atuais divergem dos românticos centen´ arios. c) Os velhos casar˜ oes situam-se ao lado do velho supermercado. d) As cenas s˜ ao centen´ arias, bem como centen´ aria é a pe¸ca teatral. e) Os grandes homens s˜ ao avaliados por grandes a¸co˜es.

285 Comércio) c) As tumbas eg´ıpcias eram constitu´ıdas de uma .......cˆ amara, onde as oferendas eram depositadas, e outras salas e corredores que davam acesso a uma cˆ amara funer´ aria subterrânea. (Globo Ciência)

7. Associe as colunas, de acordo com a norma, colocando: (A) para sinˆ onimos (B) para antˆ onimos (C) para parˆ onimos (D) para hom´ ografos - hom´ ofonos (ou homˆ onimos perfeitos) ografos - heterófonos 3. (UDESC-2005) A palavra mesmo pode assumir diferentes (E) para hom´ ofonos - heterógrafos significados, de acordo com sua fun¸caõ na frase. Assinale a (F) para hom´ alternativa em que o sentido de mesmo equivale ao que se verifica na frase a seguir. Aos poucos, as idéias iam ficando mais claras, mesmo que a) ( ) apressar – apre¸car b) ( ) eminente – iminente ainda sentisse fortes dores de cabe¸ca e no corpo. c) ( ) ódio – amor d) ( ) asco – nojo e) ( ) a água – ele água a) Escute! H´ a mesmo necessidade de você vir? f) ( ) o acordo – eu acordo b) N˜ ao quero ser o mesmo que você. c) Ir´ a assim mesmo. 8. Complete os espa¸cos com h´ a ou a de acordo com o exigido d) N˜ ao percebeu nada, mesmo estando atento. pela frase: e) N˜ ao, mesmo! Fique a´ı! a) Daqui.........três semanas ele virá trazer o material que lhe encomendamos. b) ........seis dias que ele tem faltado ao trabalho. Exerc´ıcios Complementares c) .......meses que eu n˜ ao a vejo por aqui. d) Daqui....... Ribeir˜ ao Preto, s˜ ao 300 km. 4. (UDESC-2005) A árvore caiu, embora estando bem presa 9. Empregue mal ou mau de acordo com o exigido pela frase: ao ch˜ ao. a) .......ela chegou, come¸cou a gritar com as crian¸cas. Vou agradecer-lhe a ajuda, logo que possa sair. b) O ........ pagador sempre arrumas suas desculpas. N˜ ao demonstrava, mas amava o filho. c) Ele nunca se comportou t˜ ao ......... Buscava um lugar silencioso para que pudesse pensar. As palavras e express˜ oes em negrito podem ser substitu´ıdas, sem altera¸caõ de estrutura e sentido da frase, respectivamente, por: a) mesmo – assim que – haja vista – a fim de que b) apesar que – assim que – ou – onde c) apesar de que – quando – logo – afim de que d) mesmo que – ao – portanto – em que e) mesmo – assim que – entretanto – a fim de que 5. Complete as lacunas com uma das palavras colocadas nos parênteses: a) Os pais agiram com muita ............ . (discri¸caõ/descri¸caõ) b) Procurei ............ o erro cometido pelo meu auxiliar. (retificar/ratificar) c) O chefe dos seq¨ uestradores exigiu do empres´ ario uma quantia ............. (vultuosa/vultosa) d) O ............. orador conseguiu convencer a multidão de ouvintes. (eminente/iminente) e) Como ............. uma das leis de trˆ ansito, ele acabou recebendo uma pesada multa. (infringisse/infligisse) f) O professor foi ...............de louco pelos alunos. (tachado/taxado) g) Perdi ............. da minha conta banc´ aria. (estrato/extrato) 6. Preencha as lacunas com ante ou anti: a) H´ a um n´ umero cada vez maior de pessoas que tomam ....... depressivos e de médicos que recomendam esses remédios. (Jornal do Comércio) b) Luiz Mott faz cr´ıticas ` a nova lei ......-racismo. (Jornal do

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Hist´ oria Hist´ oria

Aula 1

Hist´ oria de Santa Catarina Colonizadores A história de Corup´ a est´ a vinculada ` as de Jaragu´ a do Sul e Joinville. As terras em que foi constru´ıda a atual cidade de Corup´ a pertenciam ao esp´ olio da Companhia Hamburguesa de Coloniza¸caõ, contratada para ocupar as terras do Pr´ıncipe de Joinville, Fran¸cois de Orleans e da Princesa Francisca Carolina, filha de D. Pedro I; e do Conde d’Eu com a Princesa Imperial Dona Isabel (herdeira do trono brasileiro). O esp´ olio da Hamburguesa foi assumido, em 30 de mar¸co de 1897 pela Companhia Hanseática de Coloniza¸caõ, que sob a dire¸caõ de Karl Fabri fundou a Colônia Hansa Humbold. No dia 7 de julho de 1897 foram entregues os primeiros t´ıtulos de propriedade aos colonizadores pioneiros. Otto Hillbrecht e Otto Hillbrecht filho (lotes 6 e 7) e o taxidermista Wilhelm Ehrahrdt e sua esposa Dorethea (lotes 2 e 3) chegaram da Europa na mesma canoa e foram recebidos pelo agrimensor da Colˆ onia Hansa, Eduard Krish. Os primeiros colonizadores, de posse dos t´ıtulos de propriedade, foram acomodados no galp˜ ao de recep¸caõ e usando facões, machadinhas e machados, iniciaram a derrubada da mata para dar in´ıcio ` a constru¸caõ da atual cidade de Corup´ a. As duas fam´ılias, juntamente com a Companhia Colonizadora, recepcionaram a segunda leva de imigrantes, cinco meses mais tarde. No dia 5 de dezembro de 1897, chegavam à Hansa os novos propriet´ arios Wilhelm R¨ osch, Heinrich Groth e fam´ılia, Josef Mischka e fam´ılia. Cinco dias depois Emil August Rosenberg tomava posse oficialmente de seu lote. Com eles chegou também Léo Eschweiler. Vinte dias depois, no dia primeiro de janeiro de 1898, chegavam Bruno Muller e Heinrich Harm. Um total de 787 lotes foram vendidos a europeus na Colˆ onia Hansa. Os lotes eram pagos a longo prazo em pequenas parcelas. O contrato entre a empresa colonizadora e o governo da prov´ıncia determinava que a quantidade de imigrantes sem recursos para adquirir lotes, que viajavam com as despesas pagas pelo governo brasileiro, fosse equilibrada com a de imigrantes com dinheiro suficiente para pagar seu lote e ainda oferecer trabalho remunerado aos compatriotas. Os imigrantes que n˜ ao tinham recursos para saldar as d´ıvidas ou pagar as presta¸co˜es das terras, trabalhavam para a Sociedade Colonizadora ou para os compatriotas.

eram os ´ındios Xokleng (ou Botocudos), também conhecidos pela denomina¸caõ de bugres. Na primeira metade do Século XIX, houve um aumento da coloniza¸caõ européia, levando os ´ındios Xokleng a se fixarem próximos aos limites de Santa Catarina e Paran´ a. Na disputa por terras entre os ind´ıgenas e os europeus emigrados, a área agr´ıcola aumentava para os colonizadores e diminu´ıa para os bugres que foram ficando confinados e sem alimentos. Mesmo assim, a história da região n˜ ao registrou grandes conflitos entre os ind´ıgenas, os caboclos brasileiros e os colonizadores que, no ato da posse provisória da terra, ganhavam naturalidade brasileira. Esta era uma das vantagens oferecidas pelo governo brasileiro aos imigrantes europeus espontˆ aneos. Poucos brasileiros moravam nesta região no tempo da coloniza¸caõ. Na foz do rio Isabel, encontravamse os ranchos de Manoel Cipriano e de Manoel Floriano. Em Po¸co d’Anta moravam Alexandre Siqueira, Domingos Siqueira, José Afonso Moreira, João Cust´ odio, Romualdo Leopoldino, Maneco do Ros´ ario e Antˆ onio Felisbino. Muitos desses brasileiros ajudaram a transportar os primeiros imigrantes e os alimentos pelo rio Itapocu. Pouco antes da chegada dos colonizadores alem˜ aes, fam´ılias italianas estabeleceram-se nas imedia¸co˜es do Rio Novo e Itapocu: Domenico Minatti, David de Pauli e Francisco Bagattoli vieram de Blumenau. Logo em seguida, Antˆ onio Moretti passou a residir na comunjdiade de Po¸co d’Anta. E construiu a primeira capela em honra de Santo Antˆ onio, do qual havia trazido uma imagem da It´ alia. O terreno foi doado, a 23 de dezembro de 1900, pela Companhia Colonizadora Hanseática.

Aventureiros ou Exclu´ıdos?

A legisla¸caõ provincial estipulada a pedido do Dr. Hermann Blumenau, assinada no dia 16 de mar¸co de 1848, fixou normas para a coloniza¸caõ alem˜ a em terras catarinenses. E entre elas, estabelecia a responsabilidade das Companhias Colonizadores, em reunir, transportar, assentar e prestar assistência integral aos colonos nos primeiros dois anos da chegada às Colônias. O Governo Imperial contribu´ıa por quinze anos com subs´ıdios, entregues à empresa colonizadora, para cada um dos colonos, independe de sexo ou idade, fixados nas colˆ onias de Santa Catarina. Esta assistência inclu´ıa aux´ılio tanto no transporte entre a Europa e o Brasil quanto no desmatamento, na constru¸caõ das moradias e no oferecimento de alimenta¸caõ aos colonos, até que eles pudessem prover-se com as próprias ro¸cas. A mesma lei proibia, em car´ ater definitivo, a manuten¸caõ de mão-de-obra escrava nas Colônias. Assim, os imigrantes tinham, eles mesmos, que se incumbir do trabalho pesado do campo e da constru¸caõ ou pagar pelo trabalho dos negros, Índios e Caboclos dos caboclos ou mesmo de imigrantes sem posses, que viajam com todas as despesas pagas pelo governo brasileiro. No século XIX, a Europa vivenciava profundas transforma¸co˜es soAssim como em todo o pa´ıs, os primeiros habitantes da região cioeconˆ omicas decorrentes da Revolu¸caõ Industrial e a vida no 287

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campo tornava-se invi´ avel. A grande maioria da popula¸caõ européia eram os exclu´ıdos e eram explorados pelos grandes senhores de terras. O empobrecimento da popula¸caõ levou ao êxodo rural aumentando a urbaniza¸caõ. Com a tecnologia e a mecaniza¸caõ da economia, a Europa deparou-se com um batalh˜ ao de desempregados fazendo com que no per´ıodo de 1815 a 1920 cerca de 60 milh˜ oes de pessoas emigrassem da Europa, sendo desse total 10% de Alem˜ aes. Aproximadamente 100 a 200 mil vieram para o Brasil em busca de melhores condi¸co˜es de vida. As vantagens oferecidas pelo governo brasileiro aos imigrantes eram atrativas, tendo agradado até pessoas de situa¸caõ econˆ omica razoável. Muitos camponeses venderam suas propriedades para custear a viagem e tentarem a vida com maiores facilidades na América. Um dos principais interesses do governo imperial brasileiro era o de resolver o problema da ocupa¸caõ de várias regi˜ oes brasileiras até ent˜ ao desabitadas. Para isso, eram enviadas ` a Europa agentes que eram remunerados de acordo com o n´ umero de emigrantes e isto despertou também o interesse das companhias de navega¸caõ ciosas de lucro. Aliada a estes fatores, a dif´ıcil situa¸caõ financeira da Fam´ılia Real Brasileira leva a negociar para coloniza¸caõ, as terras localizadas na Prov´ıncia de Santa Catarina. Firmando contrato com o Senador Alem˜ ao Christian Mathias Schoroeder em Hamburgo, dono da agência comercial ”Christian M. Schoroeder & Cia parte da sociedade fundada em 1842 chamada ”Sociedade de Prote¸caõ aos Imigrantes no Sul do Brasil”que procurava regularizar a emigra¸caõ espontˆ anea para o Brasil. O Governo Central aprovou, a 24 de dezembro de 1757, projeto de uma estrada para interligar S˜ ao Francisco do Sul a Curitiba. Os caminhos, verdadeiras picadas abertas em meio à Mata Atlântica, delinearam o percurso da futura ferrovia S˜ ao Francisco do Sul - Rio Negro-Curitiba.

Antes da Cidade Os primeiros europeus a passarem por terras catarinenses teriam sido o alem˜ ao Hans Staden, em 1547 e o também alem˜ ao, o agricultor Johan Ferdinand, enviado pelos espanh´ ois com o prop´ osito de ensinar agricultura os ´ındios Carij´ os. Este segundo, na verdade, teria percorrido o célebre caminho de Peabiru, que se iniciava em Barra Velha e que ligava os Andes ao Oceano Atlântico. Os aventureiros, guiados pelos ´ındios, estavam interessados nos tesouros Incaicos dos Altiplanos An` época da coloniza¸caõ de Jaragu´ dinos. A a, em 1878, tropas de Em´ılio Carlos Jourdan, passaram por Corup´ a com gado adquirido no Paran´ a. O próprio Jordan, em 1876, atribuiu nomes a acidentes geogr´ aficos da cidade. Em 9 de maio de 1879, uma expedi¸caõ chefiada pelo engenheiro alem˜ ao Albert Kr¨ ohne, partiu de S˜ ao Bento do Sul com a incumbência de tra¸car um caminho entre S˜ ao Bento do Sul e Jaragu´ a, estabelecendo assim, a liga¸caõ entre Curitiba e S˜ ao Francisco do Sul e explorando a região. Em 1883, o agrimensor, top´ ografo, engenheiro mecˆ anico e ca¸cador de bugres Antˆ onio Ferreira Lima, propriet´ ario de terras em Rio Negrinho foi morto pelos ´ındios botocudos. Entretanto, as picadas abertas pelas expedi¸co˜es e pela Companhia Hanse´ atica n˜ ao permitiam a passagem de carro¸cas ou carros de boi. Até mesmo animais eram raros na época da coloniza¸caõ de Corup´ a. Atra´ıdos pelas ofertas alardeadas pelas companhias colonizadoras, os europeus atravessaram o atlˆ antico em busca de uma vida digna e melhor em sua nova p´ atria. Mas ap´ os chegarem sentiram-se abandonados

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à própria sorte e como n˜ ao tinham os recursos para voltar a` P´ atria M˜ ae, tomaram as providências necess´ arias para oferecer escola, igreja, lazer e sustento para si e para os familiares e empregados. A ajuda vinha principalmente da p´ atria-mãe, distante, mas presente em solidariedade.

Casa e Comida Dif´ıcil A condi¸co˜es de vida dos primeiros colonizadores era muito prec´ aria. As dificuldades iam desde a adapta¸caõ ao clima tropical e à cultura dos caboclos posseiros, à presen¸ca invis´ıvel dos bugres, até às dificuldades para conseguir alimentos e mantimentos, visto que precisavam ser transportados de Jaragu´ a de canoa, via rio Itapocu, u ´ nico acesso à Hansa até 1900. O casal Ehrhard abriu, em 1899, a primeira casa comercial da Colônia. A casa comercial logo foi vendida para o comerciante Georg Czerniewicz, de Jaragu´ a. E em seguida, para o comerciante Heinrich Meyer, de Joinville. A filial era gerenciada por Leo Eschweiler. E, mais tarde, em 1907 por Otto Hillbrecht Jr., que a adquiriu e transformou em emp´ orio. Também em l899, o casal Wilhelm e Maria Pieper fundou o Hotel Schraut, o primeiro de Corup´ a. Este hotel foi transformado, mais tarde, num hospital pela ”Frauenverein”. Enquanto Pieper transferiu seu hotel para as imedia¸co˜es da esta¸caõ ferrovi´ aria. E ainda hoje l´ a funciona o Hotel Krelling. Um dos primeiros colonizadores, em seu relat´ orio, descreveu as dificuldades iniciais. ”O que foi dif´ıcil no primeiro ano, era conseguir alimentos. Dependia-se da turma de agrimensores quando eles, de tempos em tempos, navegavam numa canoa pelo Itapocu. T´ınhamos que aproveitar a oportunidade e pedir que trouxes` vezes acontecia de a canoa virar e as sem as mercadorias. As mercadorias se encharcarem”. O historiador José Kormann, no livro Hansa Humbolt ontem, hoje Corup´ a , na p´ agina 57, descreve que as primeiras casas eram constru´ıdas com palmito. ”Os troncos roli¸cos do palmito eram enterrados por uma das extremidades para servirem de esteio. Para fazer paredes, os palmitos eram rachados em quatro ou seis partes, formando ripas. O interior do palmito, a parte mole, servia de alimento. Essas ripas eram amarradas com cip´ o, que também eram cortados em duas partes, de ponta a ponta. Na cobertura usavam caibros e ripas de palmito. A cobertura era feita de folhas de palmeira Guaricana. Isto o imigrante aprendeu de moradores locais, anteriores ao imigrante”. Conseguir fogo era dif´ıcil, era preciso mantê-lo acesso. Por isso o ch˜ ao era de barro batido.

Uma Nova P´ atria Com a chegada de novas levas de colonos, entre dezembro de 1897 a 1899, a dire¸caõ da Colônia reservou uma canoa s´ o para buscar mantimentos com canoeiros próprios. Ao mesmo tempo, a constru¸caõ da estrada para transporte com carro¸ca era intensificada. A cada nova leva de colonizadores, chegavam mais pessoas dispostas a investir e construir uma cidade confort´ avel. A cidade finalmente come¸cou a se formar. Alem˜ aes, poloneses, su´ı¸cos e Italianos s˜ ao os principais ascendentes europeus da Corup´ a de hoje. Em 1899, era fundada a primeira escola para os filhos dos imigrantes e também come¸cava a funcionar o primeiro Turverein. Luiz Schröeder foi o n´ umero um e Otto Hillbrecht filho o n´ umero dois. A sociedade escolar fundada em 17 de maio de 1899, atenderia às crian¸cas das 20

´ ria – Aula 1 Histo fam´ılias residentes. O professor Ernesto Globig, mais tarde nomeada intendente de Hansa, iniciou as aulas na sede da Casa do Imigrante em 1900. Em 1909, foi constru´ıdo o prédio próprio, em alvenaria. Em 5 de novembro de 1899 era fundada a comunidade evangélica de Hansa Humbold. Os primeiros cultos eram realizados nas casas dos imigrantes. E, finalmente, no dia 16 de dezembro de 1906 foi lan¸cada a pedra fundamental da igreja evangélica que levou alguns anos para ser constru´ıda. Assim, em 1902, Heinrich Meyer fundava o terceiro negócio de Hansa Humboldt. Otto L¨ offler, com um pequeno capital, construiu a primeira cervejaria na estrada Itapocu. Na estrada Bomplandt, assim nomeada em homenagem ao amigo do naturalista alem˜ ao Alexander Von Humboldt (homenageado com o nome da Colônia), foi instalada a primeira atafona que pertencia a Gustav Hoffmann.Luiz Schroeder abriu o primeiro a¸cougue. Até 1906, os cultos das confiss˜ oes Católica e Luterana eram realizadas no edif´ıcio da escola particular alem˜ a. Em 1906, o imigrante Roberto Seidel, abre sua ”arbori”e floricultura. A localiza¸caõ é a mesma de onde ainda hoje funciona o Orquid´ ario Catarinense. Seu filho Alvim Seidel dedica-se, desde o ano de 1950 ao orquidário, que além de comercializar e cultivar, desenvolve pesquisas, j´ a tendo descoberto e registrado mundialmente, quase uma centena de novas espécies de orqu´ıdeas e bromélias em suas incurs˜ oes pela mata da região.

Autonomia Administrativa Em 1908, Hansa foi elevada ` a categoria de distrito de Joinville e é nomeado seu intendente, Ernst Rucker. Somente em 1910 teve in´ıcio a ilumina¸caõ p´ ublica ` a querosene .Os lampi˜ oes pendurados em postes de madeira, eram acesos ao anoitecer e apagados às 22 horas diariamente por Christian Hunold. Num sal˜ ao de sua propriedade funcionou, também, a primeira escola. A primeira professora foi J´ ulia Fernandes. Neste per´ıodo um primeiro susto acometeu a comunidade de Hansa. A administra¸caõ central de Joinville recomendava que toda a correspondência fosse escrita em Português e além de ser habitada praticamente s´ o por alem˜ aes, Hansa n˜ ao tinha escola em Português que possibilitasse aos imigrantes ou mesmo a seus filhos, aprenderem a L´ıngua Nacional. O primeiro trem chegou em julho de 19l0, vindo de S˜ ao Francisco do Sul. Com o trem chegou a esperan¸ca de um progresso mais r´ apido. Mas além de facilitar o transporte de toda sorte de produtos, desde alimentos a produtos para comercializa¸caõ, o trem trazia e levava pessoas. A ferrovia chegou a Rio Negrinho somente em 1913. E foi seguindo o trem que muitos moradores deixaram Hansa. Alguns foram trabalhar na constru¸caõ da ferrovia e outros seguiram para o planalto onde era mais f´ acil arrumar trabalho. H´ a cem anos, Hansa Humbold experimentava um crescimento surpreendente. No Distrito havia várias ind´ ustrias, serrarias, olarias, moinhos e atafonas, ferrarias, f´ abricas de carro¸cas, barris, tamancos, chicotes, la¸cos, canoas, charutos e cigarilhas, instrumentos musicais, pincéis e escovas, móveis e refrigerantes; cervejarias, selarias, funilarias, construtores (pedreiros), queijarias, alfaitarias, tecelagens e dezenas de pequenos comerciantes de produtos artesanais e aliment´ıcios, bem como engenhos de arroz atendiam as necessidades dos habitantes e rendiam boas somas na comercializa¸caõ com outras localidades. Aumentava consideravelmente n´ umeros de sociedades e ligas formadas pelos moradores com o intuito de promover a educa¸caõ, a cultura, o lazer e assistência aos habitantes.

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Come¸car Tudo de Novo No entanto, entrecortada por rios, Hansa sofreu, em 1910, a primeira grande enchente. Sociedades promoveram concertos, teatros, quermesses e recitais com o prop´ osito de angariar fundos para socorrer as fam´ılias atingidas. Os preju´ızos foram enormes. As recém-constru´ıdas pontes sobre os rios Humbold e Novo foram levadas pelas águas. Reconstru´ı-las exigiu, além da doa¸caõ de 75% do sal´ ario do intendente, doa¸co˜es dos moradores.Em outubro de 1917, o Brasil declarou guerra à Alemanha e as rela¸co˜es entre os dois pa´ıses prejudicou francamente os imigrantes em solo brasileiro. Iniciou-se o movimento nacionalista e a l´ıngua estrangeira foi gradativa, mas efusivamente proibida em solo nacional. Os imigrantes, embora tivessem sido nacionalizados no ato da coloniza¸caõ, eram brasileiros sem governo e alem˜ aes sem P´ atria. Logo ap´ os a 1a. Guerra Mundial (1914-1918) o movimento de nacionaliza¸caõ provocou o ´ fundada, ent˜ fechamento das escolas alem˜ as. E ao a primeira escola p´ ublica e brasileira. A vida cultural voltou a mover as sociedades de atiradores, a gin´ astica, a m´ usica do Jazz Elite, corais e grupos teatrais. As sociedades das senhoras, bem como a produ¸caõ e comercializa¸caõ dos produtos locais estavam em alta. Enfim, a tranq¨ uilidade voltou a reinar e o progresso acompanhava o crescimento do distrito. Em fins de 1931, foi conclu´ıda a Escola Apost´ olica Semin´ ario Sagrado Cora¸caõ de Jesus. Entretanto, os imigrantes alem˜ aes naturalizados brasileiros, ainda sofreram com nova investida do movimento de nacionaliza¸caõ, em 1943, durante a 2a. Guerra Mundial. Além da mudan¸ca do nome do ent˜ ao Distrito Hansa Humbold para Corup´ a, muitos de seus moradores, que constru´ıram com as próprias mãos e dinheiro a cidade, foram perseguidos como se fossem inimigos da na¸caõ brasileira. Alguns tiveram que mudar o próprio nome. Escolas, sociedades e igrejas foram fechadas e tudo o que fosse considerado alem˜ ao foi confiscado. A emancipa¸caõ pol´ıtica de Corup´ a se deu pela Lei 348, de 21 de julho, de 1958. A instala¸caõ no novo munic´ıpio foi no dia 25 de julho de 1958. Conforme dados do censo de1950, Corup´ a contava com 1592 habitantes (761 homens e 831 mulheres).

Os Dias Atuais A economia est´ a baseada na agricultura e pecuária, explorada por minif´ undios. Corup´ a ocupa o 94o lugar na arrecada¸caõ o de ICM do Estado e 25 em qualidade de vida. A agricultura baseia-se principalmente na produ¸caõ de banana, arroz, milho, mandioca, fumo e olericultura (hortali¸cas). Corup´ a é o maior produtor de bananas do Estado. Possui cerca de 68 ind´ ustrias de pequeno e médio porte, destacando-se as de vestu´ ario, metalurgia, artefatos de madeira e móveis. A cidade, que já possuiu uma espécie de Spa na década de trinta, se prepara para liderar o roteiro tur´ıstico da região. As belas paisagens, a rota das cachoeiras, o clima tranq¨ uilo de cidade interiorana e tranq¨ uila, grutas, orqu´ıdeas, vitória régia gigante e as constru¸co˜es do in´ıcio do século passado e os jardins cuidados com carinho e esmero pelos habitantes, s˜ ao algumas das atra¸cões tur´ısticas de Corup´ a.

Bibliografia [1] Veja na internet www.jornaldaeducacao.inf.br/jornal162/imp.htm

290


—


Lista de Tabelas F´ ISICA Mecˆ anica – Aula 1 1 A) 1 N = 1 kg · 1 m/1 s2 1 B) n = 2 e p = 4 2 D) 3 D) 4 C) 5 A) 3, 600 km , B) 21, 600 km , C) 3 × 10−5 , D) 0, 5780 km , E) 27, 600 km , F) 5, 800 × 10−3 km 6 B) 7 A) 5, 70000 × 105 , B) 1, 2500 × 105 , C) 5, 0000000 × 107 , D) 1, 2 × 10−6 , E) 3, 2 × 10−2 , F) 7, 2 × 10−1 , G) 8, 2 × 104 , H) 6, 40 × 107 , I) 9, 150 × 100 , J) 2, 00 × 10−3 , K) 5 × 101 , L) 2, 5 × 10−7 Mecˆ anica – Aula 2 1 A) 6,5 cm

, B) 1,8 cm

, C) 3,7 cm

, D) 4,3 mm

, E) 51,2 mm

, F) 42,3 mm

2 E)

3 D)

4 C)

5 A)

Mecˆ anica – Aula 3 √ 3 vx = vy = 200 2 m/s 4 7, 0 N , 38, 2◦ c/ a horiz.

1 B) 130 m 2 100 N 7 940 km/h

5 6, 0 m/s 6 vx = 120 m/s e vy = 160 m/s

Mecˆ anica – Aula 4 1 B)

2 E)

3 A)

4 B)

5 C)

6 B)

Mecˆ anica – Aula 5 1 A) 1, 0 m/s2 , B) TAB = 3, 0 N e TBC = 11 N C) 16 N 5 3 m/s2 e 78 N 6 A) 7 C)

2 A)

3 A) 1, 0 m/s2

, B) 4, 5 N

4 A) 2, 0 m/s2

, B) 12 N

,

Mecˆ anica – Aula 6 1 D)

2 E)

3 C)

4 A)

5 vf = 17, 85 m/s

6 Fmed = 950 N

7 A) 580 J

, B) 72, 5 W

Mecˆ anica – Aula 7 1 A) Energia potencial el´ astica. , B) Energia potencial gravitacional. , C) Sim, ele possui energia potencial ´ dissipada pela for¸ gravitacional. 2 A) E ca viscosa (atrito) do ar e vira calor e energia cin´ etica. , B) N˜ ao. Como a for¸ ca resultante sobre ele ´ e nula, n˜ ao h´ a trabalho realizado sobre ele. 3 B) 4 E) 5 B) 6 A) Ep = 5, 0 J , B) vmax. = 10 m/s 7 ) W = 25 J 8 A) 150 J , B) 90 J Mecˆ anica – Aula 8 3 B) 4 C) 5 E) 6 A) 7 A) k = 50 N/m , B) Wext = 4, 0 J F = 40 N 8 A) WP = −150 J , B) ∆Ep = +150 J 9 ) 0, 30 m

, C) Wmola = −4, 0 J

, D) Wext = 16, 0 J

, E)

Mecˆ anica – Aula 9 1 B)

2 A) 1, 0 N

, B) 3, 0 N

3 A)

4 C)

5 C)

6 B)

Mecˆ anica – Aula 10 1 V V F V F 2 FVFFF 3 A) N˜ ao, pois sua velocidade ´ e constante. ) 1, 0 × 103 kg · m/s 6 C) 7 ) Fmed = 14 N Mecˆ anica – Aula 11 291

´ nulo. , B) E

, C) Zero.

4 ) 200 N · s

5

292


—


√ √ 1 0, 700 kg · m/s a 135◦ com a dire¸ c˜ ao inicial da bola. 2 A) I = −m 2gh , B) ∆Q = −m 2gh , C) S˜ ao iguais, pois I = ∆Q 3 A) Sendo m = 500 g e hi = 1, 25 m temos I = −2, 5 N · s , B) Sendo m = 500 g e hf = 0, 80 m temos I = −2, 0 N · s Mecˆ anica – Aula 12 1 0, 133 m/s 2 4, 0 m/s num sistema isolado.

3 0, 67 m/s

4 3, 75 m/s

5 70 kg

6 D)

7 ) 60 s

, ) Conserva¸ c˜ ao do momento linear

Mecˆ anica – Aula 13 1 A) 2 A) vn = −v0 /3 e vd = 2v0 /3 , B) vn = vf = v0 /3. N˜ ao, pois a energia cin´ etica n˜ ao ´ e mais conservada. 3 vb = 1, 6 m/s, invertendo o seu sentido. 4 v1 = 3, 0 m/s e v2 = 8, 0 m/s, respectivamente. 5 A) 45◦ com a horizontal. , B) v0 = 20 m/s , C) I = 10 kg · m/s 6 C) Mecˆ anica – Aula 14 1 B) 2 A) 3 A) Ambas as for¸ cas tem mesma intensidade pois s˜ ao do tipo a¸ c˜ ao-rea¸ c˜ ao. , B) Porque a m˜ ao est´ a protegida pela luva. 4 A) 20.000 N , B) O caminh˜ ao. , C) No autom´ ovel. 5 4, 0 m/s2 6 O remo empurra a ´ agua para tr´ as, sofrendo uma rea¸ c˜ ao para frente, que ´ e ransmitida ao barco. 7 A) 2, 0 m/s2 , B) 10 N 8 C) Mecˆ anica – Aula 15 1 B)

2 c)

3 B)

4 A)

5 A)

6 C)

6 C)

7 C)

5 E)

6 D)

Gravita¸ c˜ ao – Aula 1 2 E)

3 B)

4 E)

5 C)

Gravita¸ c˜ ao – Aula 2 1 B)

2 E)

3 A)

4 A)

7 D)

Gravita¸ c˜ ao – Aula 3 1 A) 39, 2 N , B) 6, 4 N 2 N˜ ao. A balan¸ ca de farm´ acia compara massas e portanto mede a massa do indiv´ıduo. 3 A) 4 D) 5 c) 6 A) Sim. , B) P = (1 kg) ∗ G , C) A mesma (1 kg) 7 4, 0 kg Gravita¸ c˜ ao – Aula 4 √ 1 TA C = 50 3 N e TB C = 50 N 2 B) 4 kg 3 FA = 300 N e FB = 100 N −3, 6 N · m, 0 e 4 N · m 6 A) 0 N , B) 48 N · m , C) 24 N · m

4 Ny = 1833, 3 N e Nx = 1166, 7 N

5

´ Otica – Aula 1 1 9, 46 × 1015 m

2 H = 90m

3 D = 30cm

4 i = 55◦

5 x = 2d + D

´ Otica – Aula 2 1 B) p′ = 3/2 m e i = 2, 5 cm 2 A) p = 12 cm 5 B) 6 A) 35 cm do espelho. , B) 210 cm

, B) 0, 6 cm

3 A) 26, 7 cm

, B) 80 cm

4 A) −30 cm

, B) −60 cm

´ Otica – Aula 3 1 n = 1, 25 2 n = 2 3 A) na /nv = 8/9 , B) vv /va = 8/9 , C) O ´ındice de refra¸ c˜ ao de um meio ´ e inversamente proporcional ` a velocidade da luz no meio. 4 n = 1, 732 5 n = 1, 58 6 A) O meio A. Ao passar de B para A o feixe se aproxima da normal. , B) No meio B, pois ´ e menos refringente que o A. ´ Otica – Aula 4 1 p′ = −15 cm, imagem direta e menor. 2 A) Imagem real, invertida e maior. , B) p′ = 120 cm e i = 4 cm 3 5X 4 A) p′ = 10 cm, do mesmo lado do objeto. , B) Imagem virtual, direta e maior. 5 A) f = −20 cm , B) Divergente. 6 A) Divergente. , B) 5 di

´ ria – Aula 1 Histo

293

´ Otica – Aula 5 1 20 cm

2 A: +2 di (convergente) e B: −2 di (divergente)

3 +1 di

4 A) Divergente.

, B) −5 di

Fluidos – Aula 1 1 1 g/cm3, 103 kg/m3, 1 kg/l 2 11, 2 kg 3 A) 0, 3 g/cm3 , B) 1, 1 g/cm3 4 1, 05 × 104 P a, 0, 1 atm 5 A) Porque a ´ area de contato do pneu de bicicleta com o ch˜ ao ´ e muito pequena, a press˜ ao deve ser grande. , B) ptotal ≈ 2, 75 atm , C) A manom´ etrica, pois mede a diferen¸ ca de press˜ ao entre o interior e o exterior do pneu. Fluidos – Aula 2 1 B) 2 A) 3, 0 × 104 P a , B) 1, 5 × 105 P a , C) 8, 0 × 103 P a 3 1, 01 × 105 P a ou 1 atm ou 760 mmHg maior. , B) No menor. , C) 50 N 5 12, 8 cm 6 8% 7 16 N

4 A) No

Cinem´ atica – Aula 1 1 C)

2 B)

3 B)

4 D)

5 E)

6 B)

5 D)

6 E)

5 B)

6 C)

5 B)

6 C)

5 B)

6 C)

Cinem´ atica – Aula 2 1 D)

2 D)

3 E)

4 C)

Cinem´ atica – Aula 3 1 A)

2 D)

3 B)

4 A)

Cinem´ atica – Aula 4 1 A)

2 D)

3 E)

4 B)

Cinem´ atica – Aula 5 1 C)

2 C)

3 C)

4 E)

Ondas – Aula 1 2 C)

3 E)

4 θ ≈ 23◦

5 D)

6 L9 /L1 6 = (16/9)2

7 25, 3 cm

Ondas – Aula 2 1 C)

2 E)

3 C)

4 C)

5 E)

6 A)

4 B)

5 D)

6 A)

4 C)

5 B)

6 D)

7 D)

Ondas – Aula 3 1 E)

2 C)

3 D)

Ondas – Aula 4 1 E)

2 C)

3 B)

Ondas – Aula 5 1 A) 30 m/s , B) Se aproxima, pois a frq¨ uˆ encia aumenta. , C) Diminui 10%. 2 B) 3 A) Afastando-se do apito em alta velocidade, o seu som poderia ser ouvido. , B) vaf ast. = (4/5)vsom 4 C) 5 A) 6 D) Termodinˆ amica – Aula 1 1 B)

2 A)

3 D)

4 D)

5 B)

6 E)

5 A)

6 E)

5 C)

6 D)

Termodinˆ amica – Aula 2 1 A)

2 A)

3 E)

4 C)

Termodinˆ amica – Aula 3 1 D)

2 A)

3 C)

4 D)

294


—


Termodinˆ amica – Aula 4 1 B)

2 A)

3 E)

4 D)

5 A)

6 A)

5 A)

6 E)

5 B)

6 B)

Termodinˆ amica – Aula 5 1 C)

2 B)

3 A)

4 B)

Termodinˆ amica – Aula 6 1 E)

2 B)

3 A)

4 D)


2 E)

3 A)

4 C)

, E) 90 g

5 D)

6 C)

Termodinˆ amica – Aula 8 1 A)

2 B)

3 C)

4 B)

5 E)

6 D)

5 D)

6 C)

5 A)

6 B)


2 A)

3 A)

4 B)


2 A)

3 E)

4 C)

Termodinˆ amica – Aula 11 1 E)

2 A) No intervalo de t1 at´ e t2 .

, B) No intervalo de t3 at´ e t4 .

, C) 10, 2 kcal

3 C)

Eletricidade – Aula 1 1 qA = Q/2, qB = qC = Q/4 2 A) L˜ a (-), vidro (+) , B) L˜ a (+), cobre (-) 3 D) 4 A) Enconstar as trˆ es esferas simultaneamente e afast´ a-las. , A) Enconsta-se B e C, aproxima-se A de B, afasta-se C. , A) Imposs´ıvel. 5 D) 6 C) 7 A) Eletricidade – Aula 2 1 Diminui para F/16 2 F ′ = 3F/4 3 A) Empurra os el´ etrons do eletrosc´ opio para as extremidades (hastes), afastando-as. , B) Parte da carga do corpo passa para o eletrosc´ opio, afastando suas hastes. 4 2, 0 × 10−7 C 5 ) c) 6 D) Eletricidade – Aula 3 1 A) +7, 5 × 10−2 N , B) Para a direita, no sentido da for¸ ca el´ etrica. 1 C) −7, 5 × 10−2 N , para a esquerda. 3 2 2 A) 0, 144 N , B) 28, 9 kN/C 3 A) 2 × 10 m/s , B) 16.000 m/s 4 A) 4, 44 × 10−10 C , B) 44, 4 N/C 5 4, 9 mC 6 −0, 05 C Eletricidade – Aula 4 1 8 × 10−7 V 2 A) V = 0 , B) E = 9, 0 × 105 N/C, da carga positiva para a negativa. , C) Que a soma de grandezas escalares e vetoriais ´ e diferente. 3 A) 1 kV , B) −1 kV 4 A) 1, 0 × 10−7 C , B) 900 V /m 5 5, 4 × 105 V , se a carga negativa e o v´ ertice A, pertencerem ao mesmo lado, sen˜ ao, 2, 22 × 106 V . 6 W = −45 mJ, negativo porque as cargas se repelem, e a for¸ ca esterna deve ser contr´ aria ao deslocamento. Eletricidade – Aula 5 1 2, 3 × 10−13 J 2 −0, 9 J 3 A) 1, 0 nC , B) −30 V carga positiva, e portanto, maior potencial el´ etrico.

, C) 10 µJ 5 E) 6 C)

4 A) V = mgd/q

, B) A inferior deve ter

Eletricidade – Aula 6 1 V V F V V 2 V V V F V 3 A) V = 180 V e E = 0 , B) V = 108 V e E = 216 V /m 4 A) qA = 3Q/4 e qB = 9Q/4 , B) VA = VB = 3kQ/4R 5 A) qA = 1, 0 µC e qB = 2, 0 µC , B) VA = VB = 9, 0 kV , C) De B para A, pois no in´ıcio

´ ria – Aula 1 Histo

295

a esfera B tinha excesso de el´ etrons. 6 A) 6, 25 × 1012 que a esfera A. 7 A) 6, 4 × 108 V , B) 4, 55 × 105 C

, B) A esfera A, pois a esfera B tem mais el´ etrons do

Eletricidade – Aula 7 1 A) V1 = 2 kV , V2 = 4 kV e V3 = −4 kV atingir a segunda placa. 5 E) 6 B)

2 ) C/2 3 56, 5 kV /m 7 1, 8 × 10−4 C

4 A part´ıcula n˜ ao tem energia suficiente para

Eletricidade – Aula 8 1 R$ 3,47

2 12, 5 µF

3 17, 1 µF

4 810 J

5 V1 = V2 = 20 V e Q2 = 6, 0 × 10−5 C

Eletricidade – Aula 9 1 C)

2 D)

3 A)

4 C)

5 E)

, E) R = 6 Ω

5 C)

6 C)

6 D)

Eletricidade – Aula 10 1 D)

2 C)

3 B)

4 A)

7 E)

Eletricidade – Aula 11 1 C)

2 B)

4 A) R2 = {101, 8 Ω, 0, 2 Ω}

3 D)

Eletricidade – Aula 12 1 D)

2 C)

QU´ IMICA

Qu´ımica – Aula 1 1 FV FV V V Qu´ımica – Aula 2 5 B) Qu´ımica – Aula 3 Qu´ımica – Aula 4 Qu´ımica – Aula 5 Qu´ımica – Aula 6 Qu´ımica – Aula 7 Qu´ımica – Aula 8 Qu´ımica – Aula 9 Qu´ımica B – Aula 1 1 C)

2 QQQF F F

3 B)

4 C)

5 E)

6 B)

3 E)

4 B)

5 D)

6 C)

Qu´ımica B – Aula 2 1 VVVVVV

2 A)

Qu´ımica B – Aula 3 1 C)

2 FFV V F

3 B)

4 E)

5 C)

6 E)

, B) P2 = {101, 7 W, 4, 1 W }

6 50 V

7 B)

296



3 C)

4 B)

5 B)

Qu´ımica B – Aula 5 1 61

2 C)

3 E)

4 D)

5 E)

6 E)

Qu´ımica B – Aula 6 1 D)

2 C)

3 D)

4 E)

5 C)

6 E)

4 C)

5 C)

6 E)

4 B)

5 D)

6 B)

5 C)

6 E)

7 C)


2 E)

3 A)

Qu´ımica B – Aula 8 1 E)

2 E)

3 D)


2 B)

3 E)

Qu´ımica B – Aula 10 1 D)

2 B)

3 E)

5 A)

6 B)


5 D)

6 D)

7 E)

8 B)

Qu´ımica B – Aula 12 2 21 Qu´ımica Orgˆ anica – Aula 1 Qu´ımica Orgˆ anica B – Aula 2 ´ MATEMATICA Matem´ atica A – Aula 1 Matem´ atica A – Aula 2 Matem´ atica A – Aula 3 Matem´ atica A – Aula 4 Matem´ atica A – Aula 5 Matem´ atica A – Aula 6 Matem´ atica A – Aula 7 1 D)

2 E)

3 C)

4 D)

5 E)

6 C)

5 B)

6 A) y = 2x

Matem´ atica A – Aula 8 1 A)

2 B)

3 C)

4 D)

, B) 9/8

7 B)

—


´ ria – Aula 1 Histo Matem´ atica A – Aula 9 Matem´ atica A – Aula 10 Matem´ atica B – Aula 1 Matem´ atica B – Aula 2 Matem´ atica B – Aula 3 Matem´ atica B – Aula 4 Matem´ atica B – Aula 5 Matem´ atica B – Aula 6 Matem´ atica B – Aula 7 Matem´ atica C – Aula 1 Matem´ atica C – Aula 2 Matem´ atica C – Aula 3 Matem´ atica C – Aula 4 Matem´ atica C – Aula 5 Matem´ atica C – Aula 6 Matem´ atica C – Aula 7 Matem´ atica C – Aula 8 Matem´ atica C – Aula 9 Matem´ atica C – Aula 10 Matem´ atica C – Aula 11 Matem´ atica C – Aula 12 Matem´ atica C – Aula 13 Matem´ atica C – Aula 14 Matem´ atica C – Aula 15 Matem´ atica C – Aula 16

297

298


—


Matem´ atica C – Aula 17 Matem´ atica C – Aula 18 Matem´ atica C – Aula 19 Matem´ atica C – Aula 20 L´ INGUA PORTUGUESA L´ıngua Portuguesa – 01 1 C)

2 B)

3 D)

4 E)

5 A)

6 D)

L´ıngua Portuguesa – 02 1 A) secret´ aria , D) partir´ a , F) al´ em , G) vˆ oo , H) f´ orceps , I) ´ albuns – fam´ılia 2 C) 3 hist´ oria, Pal´ acio, P´ atio, conseq¨ uˆ encia, trˆ es, in´ uteis, s´ o. 4 A) 5 polˆ emica, c´ upula, preparat´ orias, Ap´ os, u ´ ltima, C´ upula, j´ a, signat´ arias, soci´ ologo, comitˆ e, Solid´ aria, cr´ıtica, dinamarquˆ es, N´ os, At´ e, c´ upula, d´ uvidas, equil´ıbrio, macro-econˆ omico, desequil´ıbrios. L´ıngua Portuguesa – 03 1 C)

2 C)

3 E)

4 B)

5 E)

6 E)

7 E)

L´ıngua Portuguesa – 04 1 B)

2 E)

3 A)

4 D)

L´ıngua Portuguesa – 05 1 A) se arrepiava , B) se ouvia , C) lhe vinha , D) lembrou-se , E) lhe importava , F) escutou-se , G) Levanta-se , H) se vendem , I) me levaram , J) se babando 2 C) 3 43 (01,02,08,32) 4 C) 5 E) 6 C) L´ıngua Portuguesa – 06 1 A) ` a janela

, C) ` a disciplina

2 C)

3 C)

` A,A,A,A,A ` 4 A,

5 E)

6 A)

L´ıngua Portuguesa – 07 1 E)

2 E)

3 B)

4 C)

5 A)

6 D)

L´ıngua Portuguesa – 08 1 A) 2 A) 3 D) 4 E) 5 A) discri¸ c˜ ao tachado 6 A) anti , B) anti , C) ante ´ mau , C) mal HISTORIA Hist´ oria – Aula 1

, B) retificar , C) vultosa , D) eminente , E) infringisse 7 F CBADE 8 A) a , B) H´ a , C) H´ a , D) a 9 A) Mal

, G) , B)

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Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

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