Cálculo Diferencial
Profª M.Sc. Olívia Cristina Chicolami Profº M.Sc. Carlos Henrique Dias
“Jamais
considere
os
seus
estudos
como
uma
obrigação; mas sim como uma oportunidade invejável para poder conhecer a beleza libertadora do reino do espírito, para o seu próprio prazer pessoal e para a comunidade à qual seu futuro trabalho pertencer.”
Albert Einstein
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Sumário INTRODUÇÃO ................................................................................................................................... 3 Problemas de Revisão .......................................................................................................... 4 Exercícios Propostos ............................................................................................................. 5 FUNÇÕES - INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 7 1.Funções ............................................................................................................................. 8 Exercícios Propostos ................................................. ........................ ......................................... ........................................... ............................. .. 10 Problemas Propostos ................................................. ...................... ........................................... ........................................... ............................. 13 2.Gráfico de uma Função .................................................................................................... 17 Problemas Propostos .............................................................................................. 21 3.Funções Afins ............................................... ....................... ................................................... ......................................... ........................................ .......................... 25 Problemas Propostos ................................................. ...................... ............................................ ....................................... ........................... ..... 29 Exercícios de Revisão .................................................. ....................... ........................................... ......................................... ........................... .. 34 4.Modelos Matemáticos ................................................. ...................... ................................................... ........................ ........................... ......................... .. 35 Problemas Propostos ................................................. ...................... ................................................... ......................................... .................... ... 37 5.Funções Transcendentes ............................................. .................. ................................................... ......................................... ............................ ........... 39 Problemas Proposto - Funções Exponenciais Exponenciais .................................................. ....................... ................................... ........ 44 Problemas Proposto - Funções Logarítmicas Logarítmicas ............................................ .................... ...................................... .............. 53 6. Interpretação de Gráficos-Taxa de Crescimento Crescimento e Decrescimento......................... Decrescimento................................... .......... 59 Problemas Propostos........................... Propostos...................................................... ................................................... ....................................... ............... 62 7.Limites ............................................................................................................................ 67 Problemas Propostos ................................................. ...................... ........................................... ........................................... ............................. 71 8.Continuidade .................................................................................................................. 72 Problemas Propostos ............................................... ...................... ........................................... ............................................. ............................. 74 A DERIVADA - INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 77 1.A Derivada: Inclinação e Taxa de Variação........................................................................ 77 2.Algumas Regras Simples de Derivação ............................................................................. 81 Problemas Propostos ............................................... ...................... ........................................... ............................................. ............................. 82 Problemas Propostos-Aplicação.............................................................................. 87 3.Derivada de Produto e Quociente de Funções .................................................................. 93 Problemas Propostos ............................................... ...................... ......................................... ......................................... .............................. ..... 97 4.Regra da Cadeia ............................................................................................................... 99 Problemas Propostos ............................................... ...................... ........................................... ............................................ .......................... 101 5.Derivada de Funções Transcendentes ............................................................................ 105 Problemas Propostos – Derivada Derivada de Funções Exponenciais e Logarítmicas Logarítmicas ........... 105 Problemas Propostos – Derivada Derivada de Funções Trigonométricas Trigonométricas ............................. 108 6.Derivada Segunda .......................................................................................................... 110 Problemas Propostos ............................................................................................ 111 PROJETO LABORATÓRIO - PARTE I ................................................................................................ 114 PROJETO LABORATÓRIO - PARTE II............................................................................................... 121 ANEXO I ....................................................................................................................................... 123 ANEXO II ...................................................................................................................................... 127 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................................... 128 2|Página
Introdução: O Cálculo A palavra Cálculo vem do latim calculus, que significa pedregulho e é uma reminiscência da técnica primitiva de executar operações matemáticas simples por meio de pequenas pedras. Calculi eram Calculi eram as pessoas que contavam, calculones os calculones os professores. Escravos que tinham a função de contadores eram chamados de calculatores enquanto homens livres com a mesma tarefa recebiam a designação de numerarii . O Cálculo, como o estudo das operações de diferenciação e integração, é o nome de um sistema ou método desenvolvido em grande parte por Newton e Leibniz, independentemente, no século XVII. O termo cálculo foi usado pela primeira vez por Leibniz em seu livro publicado em 1680, Os Elementos de um novo Cálculo das Diferenças e Somas, Tangentes e Quadraturas, Máximos e Mínimos, Medidas de Linhas, Superfícies e Sólidos e outras coisas que transcendem o cálculo usual . O Cálculo é o resultado de uma longa série de avanços, iniciados com a geometria grega, na tentativa de estabelecer áreas de figuras com forma arbitrária, volumes de sólidos quaisquer, no estudo do movimento dos corpos e de sua velocidade instantânea bem como, no que consiste o problema inverso, o cálculo das distâncias percorridas conhecida sua velocidade a cada momento. Segundo a História, os gregos possuíam já na época em que Euclides escrevia "Os Elementos", quase todos os fundamentos para desenvolver o Cálculo, mas ficaram presos por algumas concepções restritivas. Foram os gregos os primeiros a procurar a compreensão dos fenômenos ligados ao infinito, ao contínuo, ao infinitésimo, em busca de uma explicação para o movimento e as transformações dos seres. A expressão Cálculo Infinitesimal foi usada por muitos anos como referência ao cálculo. O conceito de infinitesimal como uma quantidade arbitrariamente pequena foi amplamente empregado pelos matemáticos na ausência de uma teoria apropriada para os limites. Este desenvolvimento somente se deu no século XIX. Como conjunto de métodos matemáticos o cálculo se distingue da álgebra elementar e da geometria pela introdução da operação de passagem ao limite. As operações básicas do cálculo são a diferenciação e a integração, sendo ambos os conceitos utilizados em diversas situações tanto teóricas quanto em aplicações na física e engenharia, estatística, economia e em praticamente todas as áreas científicas modernas. Newton e Gottfried W. Leibniz são sempre mencionados como descobridores do cálculo. Entre as contribuições de Leibniz para a Matemática, além do cálculo, estão os seus trabalhos para a análise combinatória, seu reconhecimento do sistema binário de numeração e sua invenção de uma máquina calculadora capaz de somar e multiplicar. Ele também tentou desenvolver um sistema formal de lógica no qual todas as deduções poderiam ser feitas como em algoritmos computacionais. Já Newton aplicou sua teórica na física, em especial na ótica e na lei da gravitação, bem como na astronomia, na teoria das equações e dos fluxos. Também determinou máximos e mínimos, tangentes a curvas, curvatura de curvas, pontos de inflexões e concavidade de curvas. 3|Página
PROBLEMAS DE REVISÃO Nos Problemas 1 e 2, use desigualdades para descrever o intervalo dado:
Nos Problemas 3 a 6, represente o intervalo dado como um segmento de reta em uma reta graduada.
Nos Problemas 7 e 8, determine a distância entre dois números reais:
Nos Problemas 9 e 10 determine o(s) intervalo(s) constituído(s) pelos números reais x que satisfazem à desigualdade dada:
Nos Problemas 11 a 20, calcule o valor da expressão dada sem usar uma calculadora:
Nos Problemas 21 a 24, explicite n na expressão dada (supondo a > 0, a
1).
VALORES ABSOLUTOS E INTERVALOS Nos Problemas 25 a 30, determine o intervalo ou intervalos constituído(s) por todos os números reais x que satisfaçam à desigualdade dada:
Nos Problemas 31 e 34, simplifique o máximo que for possível:
Nos Problemas 35 e 36, simplifique o quociente dado o máximo que for possível:
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS COM COEFICIENTES INTEIROS. Nos Problemas 1 a 14, fatore o polinômio dado usando coeficientes inteiros:
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES POR FATORAMENTO Nos Problemas 15 a 30, use o método da fatoração para resolver a equação dada:
FÓRMULA DE BÁSKARA Nos Problemas 31 a 36, use a fórmula de Báskara para resolver a equação dada:
SIMPLICAÇÃO DE EXPRESSÕES Nos Problemas 43 a 54, fatore e simplifique a expressão dada o máximo que puder:
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Respostas Exercícios Ímpares Propostos:
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FUNÇÕES - INTRODUÇÃO Normalmente é possível dar uma descrição sucinta e reveladora de uma situação por um gráfico. Por exemplo, a Fig. 1 mostra o montante de dinheiro em uma conta bancária que paga rendimentos compostos diariamente, resultando num total de 5% ao ano. O gráfico mostra que, com o passar do tempo, a quantidade de dinheiro, na conta, aumenta. Na Fig. 2, temos um gráfico que descreve as vendas semanais de um cereal matinal após a interrupção de uma campanha publicitária. O gráfico mostra que quanto mais o tempo passa desde a veiculação da última propaganda mais as vendas decrescem. A Fig. 3 mostra o tamanho de uma cultura de bactérias para diferentes valores de tempo. A cultura cresce com o passar deste tempo. Entretanto existe um tamanho máximo ao qual a cultura não cresce mais. Este tamanho máximo reflete as restrições imposta com relação à disponibilidade de alimento, espaço e fatores ambientais. A Fig. 4 descreve o decaimento radioativo do isótopo iodo 131 que, com o passar do tempo, diminui em quantidade. Cada um dos gráficos, nas Fig. de 1 a 4, descrevem mudanças que estão acontecendo. O saldo na conta bancária está mudando, assim como as vendas de cereal, a população da cultura bactérias e a quantidade de iodo radioativo. O cálculo fornece as ferramentas matemáticas para o estudo destas mudanças de uma forma quantitativa.
Cada uma das Fig. de 1 a 4 da Introdução descreve uma relação entre duas quantidades. Por exemplo, a Fig. 4 ilustra a relação entre a quantidade de Iodo 131 (medida em gramas) e o tempo (medido em 7|Página
dias). A ferramenta quantitativa básica para descrever tais relações é uma função. Neste capitulo preliminar, desenvolvemos o conceito de função e revisamos importantes operações algébricas, envolvendo funções que serão utilizadas no desenvolvimento do texto.
FUNÇÔES, GRÁFICOS e LIMITES 1. Funções 2. Gráfico de uma Função 3. Funções Afins 4. Modelos Matemáticos 5. Funções Transcendentes. 6. Interpretação de Gráficos – Taxa de Crescimento e Decrescimento. 7. Limites 8. Continuidade.
1. FUNÇÕES Em muitas situações da vida prática, o valor de uma grandeza depende do valor de uma segunda grandeza. Assim, por exemplo, a demanda de carne pode depender do preço do produto, a poluição do ar em uma cidade pode depender do número de veículos nas ruas ou o valor de uma garrafa de vinho pode depender do ano em que o vinho foi fabricado. Relações como essas muitas vezes podem ser representadas matematicamente através de funções. Em termos gerais, uma função consiste em dois conjuntos e uma regra que associa os elementos de um conjunto aos elementos do outro. Suponhamos, por exemplo, que o leitor esteja interessado em determinar o efeito do preço sobre o número de unidades vendidas de um certo produto. Para estudar essa relação, é preciso conhecer o conjunto de preços admissíveis, o conjunto de vendas possíveis e uma regra para associar cada preço a um determinado número de unidades vendidas. A definição de função que vamos adotar é a seguinte: Função: É uma lei ou regra que associa a cada objeto em um conjunto A um e apenas um objeto de um
conjunto B. O conjunto A é chamado de domínio da função e o conjunto B é chamado de contradomínio. Na maioria dás funções examinadas nesta apostila, o domínio e o contradomínio são conjuntos de números reais e a função é representada pela letra f ou outra letra do alfabeto. O valor que a função f associa a um número x pertencente ao domínio é representado como f(x) (que se lê “ f de x”) e frequentemente representado por uma expressão matemática, como no seguinte exemplo: f(x) = x 2+4.
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Pode ser interessante pensar em uma função como um "mapeamento" de números em A para números em B (Fig. 1.1a) ou como uma "máquina" que transforma um número do conjunto A em um número do conjunto B usando o processo especificado pela regra funcional (Fig. 1.1b). Assim, por exemplo, a função f(x) = x2 + 4 pode ser imaginada como uma "máquina f " que recebe uma entrada x, eleva essa entrada ao quadrado e soma 4 para obter uma saída y = x 2 + 4. Seja como for que o leitor encare a relação funcional, é importante lembrar que existe apenas um número no contradomínio associado a cada número do domínio. Aqui está um exemplo: Aplicação de Função: O custo total em reais para fabricar n unidades de um certo produto é dado pela função C(n) = n3 - 30n2 + 500n + 200. (a) Determine o custo de fabricação de 10 unidades do produto. (b) Determine o custo de fabricação da 10 ª unidade do produto. Solução (a) O custo de fabricação de 10 unidades é o valor da função de custo para n = 10: (a) Custo de 10 unidades = C(10) = (10)3 — 30(10)2 + 500(10) + 200 = R$3.200,00 (b) Custo de 10ª unidade = C(10) - C(9) = 3200 - 2999 = R$ 201,00 Exemplo: Uma firma de corretagem mobiliária cobra uma comissão de 6% nas compras de ouro na faixa de $50,00 a $300,00. Para compras excedendo $300,00, a firma cobra 2% do total da compra mais $12,00. Denote por x o valor do ouro comprado (em dólares) e por f (x) a comissão cobrada em função de x. (a) Descreva f (x). (a) Descreva f (100) e f(500). Solução (a) A fórmula para f (x) varia dependendo de 50 < x < 300 ou 300 < x. Quando 50 < x < 300, a comissão é 0,06x dólares. Quando 300 < x, a comissão é de 0,02x+12. O domínio consiste nos valores de x em um dos intervalos [50, 300] e [300, ). Em cada um destes intervalos, a função é definida por fórmulas distintas:
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Observe que uma descrição alternativa do domínio é o intervalo [50, qualquer número real maior ou igual a 50.
). Isto é, o valor de x pode ser
(b) Como x = 100 satisfaz 50 < x < 300, devemos utilizar a primeira fórmula para f(x): f(100) = 0,06 (100) = 6. Como x = 500 satisfaz 300 < x, devemos utilizar a segunda fórmula para f(x): f(500) = 0,02 (500) + 12 = 22.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS Marque cada um dos seguintes intervalos na reta real.
Utilize intervalos para descrever os números reais que satisfazem as desigualdades dos Exercícios 7-12.
21. Uma firma de materiais para escritório determina que o número de aparelhos de fax vendidos no ano x é dado, aproximadamente, pela função
onde x=0 corresponde a 1990. Pergunta-se: (a) O que representa f (0)? (b) Obtenha o número de aparelhos de fax vendidos em 1992.
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22. Quando uma solução de acetilcolina é introduzida no músculo do coração de uma rã, a força com que o músculo se contrai diminui. Os dados experimentais do biólogo A. J. Clark são bem aproximados por uma função da forma
onde x é a concentração de acetilcolina (em unidades apropriadas), b é uma constante positiva que depende de cada rã em particular e R(x) é a reação do músculo ao acetilcolina, expressa como porcentagem do máximo efeito da droga. (a) Suponha que b = 20 . Encontre a resposta do músculo, quando x = 60. (b) Determine o valor de b se R(50) = 60, isto é, se a concentração de x = 50 unidades produz uma resposta de 60%. Nos Exercícios 23-26, descreva o domínio da respectiva função.
Nos exercícios 27-32, decida qual das curvas são gráficos de funções.
Os Exercícios 33-42 estão relacionados com a função cujo gráfico está esboçado na abaixo.
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Os Exercícios 43-46 se referem à Figura 16. Quando uma droga é injetada na massa muscular de uma pessoa, a concentração y da droga no sangue é uma função do tempo decorrido desde a injeção. O gráfico de uma função tempo-concentração usual aparece na Figura 16, onde t =0 corresponde ao momento da injeção.
57. Suponha que a firma de corretagem mobiliária do exemplo do texto decida manter as taxas de comissão fixas para compras até $600,00, para apenas cobrar 1,5% mais $15,00 para compras de ouro que excederem a $600,00. Expresse a comissão de corretagem como função do valor da compra x.
Respostas Exercícios Ímpares Propostos:
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PROBLEMAS PROPOSTOS Nos Problemas 1 a 11, calcule os valores indicados da função dada:
Nos Problemas 12 a 21, especifique o domínio da função dada.
Nos Problemas 22 a 29, determine a função composta f(g(x)).
Nos Problemas 34 a 41, determine a função composta indicada.
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CUSTO DE FABRICAÇÃO 48. Suponha que o custo total em reais para fabricar n unidades de um certo produto seja dado pela função C(n) =n3 - 30n2 + 400n +500 (a) Determine o custo de fabricação de 20 unidades. (b) Determine o custo de fabricação da 20ª unidade. EFICIÊNCIA NO TRABALHO 49. Um estudo de eficiência no turno da manhã mostra que, na média, um operário que chega no trabalho às oito horas terá montado f(x) = - x3 + 6x2 + 15x , aparelhos de televisão x horas depois. (a) Quantos aparelhos um operário já montou, em média, às dez horas da manhã? [Sugestão: Às dez horas, x = 2]. (b) Quantos aparelhos um operário monta, em média, entre nove e dez horas da manhã? VARIAÇÃO DE TEMPERATURA 50. Suponha que t horas depois da meia-noite a temperatura em Miami seja C(t) = t 2/6 + 4t + 10 graus Celsius. (a) Qual é a temperatura às duas horas da manhã? (b) Qual é a variação de temperatura das seis horas da tarde até às nove horas da noite? VARIAÇÃO DA POPULAÇÃO 51. Estima-se que daqui a t anos um certo bairro terá uma população de P(t) = 20 — 6/(t + 1) mil habitantes. (a) Qual será a população do bairro daqui a 9 anos? (b) Qual será o aumento da população durante o 9º ano? (c) O que acontece com P(t) para grandes valores de t? Interprete o resultado.
PSICOLOGIA EXPERIMENTAL 52. Para estudar a rapidez com que os animais aprendem, um estudante de psicologia executou um experimento no qual um rato teve que percorrer várias vezes um labirinto. Suponha que o tempo necessário para o rato encontrar a saída do labirinto na enésima tentativa seja dado aproximadamente por
minutos. (a) Qual é o domínio da função f ? (b) Para que valores n a função f(n) tem significado no contexto desse experimento? (c) Quanto tempo o rato levou para encontrar a saída do labirinto na terceira tentativa? 14 | P á g i n a
(d) Em que tentativa o rato conseguiu encontrar a saída pela primeira vez em 4 minutos ou menos? (e) De acordo com a função f dada, o que acontece com o tempo necessário para que o rato encontre a saída do labirinto quando o número de tentativas aumenta? O rato conseguirá, depois de um certo número de tentativas, encontrar a saída em menos de 3 minutos? POLUIÇÃO DO AR 58. Os ambientalistas estimam que em certa cidade a concentração média de monóxido de carbono no ar durante o dia será c(p) = 0,4p + 1 partes por milhão quando a cidade tiver uma população de p mil habitantes. Um estudo demográfico indica que a população da cidade dentro de t anos será p(t) = 8 + 0,2t2 mil habitantes. (a) Determine a concentração média de monóxido de carbono no ar durante o dia em função do tempo. (b) Qual será a concentração de monóxido de carbono daqui a 2 anos? (c) Daqui a quanto tempo a concentração de monóxido de carbono atingirá o valor de 6,2 partes por milhão? CUSTO DE PRODUÇÃO 59. Em uma fábrica, o custo de produção de n unidades de uma certa mercadoria é C(n) = n 2 + n +900 reais. Num dia típico, são fabricadas n(t) = 25t unidades durante t horas de trabalho. (a) Expresse o custo de produção em função de t . (b) Quanto é gasto na produção nas primeiras três horas de trabalho? (c) Quantas horas de trabalho são necessárias para que o custo de produção chegue R$ 11.000,00?
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RESPOSTAS DOS PROBLEMAS ÍMPARES.
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2. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO Os gráficos têm impacto visual e também mostram informações que podem não ser evidentes em descrições verbais ou algébricas. Dois gráficos típicos aparecem na Fig. 1.3. O gráfico da Fig. 1.3a mostra a variação da produção industrial de um certo país durante um período de quatro anos. Observe que o ponto mais alto do gráfico aparece próximo do final do terceiro ano, mostrando que a produção passou por um máximo naquela ocasião.
Gráfico de uma Função: O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos (x,y), onde x é o domínio de f e y= f(x), ou seja, todos os pontos da forma (x , f(x)).
Como Esboçar o Gráfico de uma Função pelo Método da Plotagem de Pontos 1.Escolha um conjunto representativo de números x pertencentes ao domínio de f e faça uma tabela de valores de y = f(x) para esses números. 2. Plote os pontos (x,y). 3. Ligue os pontos através de uma curva suave. EXEMPLO 2.1: Faça um gráfico da função f(x) = x2. Solução: Faça uma tabela de valores de x e y = f(x).
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Plote os pontos (x,y) e ligue-os através de uma curva suave, como na Fig. 1.4a.
Fig. 1.4 (a) Gráfico de y = x 2. (b) Gráficos de outras funções que passam pelos pontos do Exemplo 2.1.
Interseções com os Eixos Os pontos em que um gráfico cruza o eixo x são chamados de pontos de interseção com o eixo x e os pontos em que o gráfico cruza o eixo y são chamados de pontos de interseção com o eixo y. Os pontos de interseção são pontos importantes de um gráfico e podem muitas vezes, ser determinados algebricamente. Como Encontrar os Pontos de Interseção com os Eixos x e y: Para encontrar os pontos de interseção com o eixo y da função y = f(x), faça x = 0 e determine o valor de y. Para encontrar os pontos de interseção com o eixo x da função y = f(x), faça y = 0 e determine o valor de x. Em geral, os pontos de interseção com o eixo y são mais fáceis de encontrar que os pontos de interseção com o eixo x.
Gráficos de Parábolas A curva da Fig. 1.4a é chamada de parábola. O gráfico de uma função do tipo y = Ax 2 + Bx + C é sempre uma parábola, contanto que A 0. Todas as parábolas têm "forma de U"; a abertura do "U" é voltada para cima se A > 0 e para baixo se A < 0. O pico positivo ou negativo da parábola é chamado de vértice e sempre ocorre no ponto em que x
B
(vide Fig. 1.8). Para fazer um esboço razoável da parábola
2A 2
y = Ax + Bx + C , basta conhecer o seguinte:
1. A localização do vértice (o ponto em que x =
B
).
2A
2. Se a parábola se abre para cima (A > O) ou para baixo (A < O). 3. As interseções com os eixos x e y.
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As parábolas surgem naturalmente em estudos de economia. Suponha, por exemplo, que se saiba que 60 - x unidades de um certo produto são vendidas quando o preço é x reais por unidade. Nesse caso, a receita total é dada pela função R(x) = x(60 - x) = - x2 + 60x cujo gráfico é uma parábola com a abertura voltada para baixo e com o vértice no ponto x
60
2 ( 1)
30 (vide
Fig. 1.9). Podemos interpretar esse resultado dizendo que a maior receita
possível pode ser obtida cobrando R$ 30,00 por unidade.
Funções Potência, Polinômios e Funções Racionais Função potência é uma função da forma f(x) = x n, onde n é um número real. Assim, por exemplo, f(x) = x 2, f(x) = x -3 e f(x) = x 1/2 são funções potência. O mesmo se pode dizer de f(x) =
1 x
2
e f(x) =
3
x
, que
podem ser escritas como f(x) = x-2 e f(x) = x 1/3, respectivamente. Polinômio é uma função da forma p( x) a0
2
n
a1 x a2 x an x
onde n é um número inteiro não-negativo e a0 , a1 , a2 , ,an são constantes. Se an
0 , o número
inteiro n é o grau do polinômio. Assim, por exemplo, a função f(x) = 3x5 - 6x2 + 7 é um polinômio de quinto grau. É possível demonstrar que o gráfico de um polinômio de grau n é uma curva contínua que não cruza o eixo x mais de n vezes. A Fig. 1.12 mostra os gráficos de três diferentes polinômios do terceiro grau. 19 | P á g i n a
O quociente
p ( x )
de dois polinômios p(x) e q(x) é chamado de função racional. Muitos exemplos e
q( x )
exercícios desta apostila se referem a esse tipo de função. A Fig. 1.13 mostra os gráficos de três funções racionais. Os métodos usados para traçar esses gráficos serão discutidos adiante.
Fig 1.13. Gráficos de três funções racionais.
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Teste da Reta Vertical É importante chamar a atenção para o fato de que nem toda curva é o gráfico de uma função ( Fig. 1.14). Suponha, por exemplo, que a circunferência descrita pela equação x 2 + y 2 = 5 fosse o gráfico de lima certa função y= f(x). Nesse caso, como os pontos (1,2) e (1,-2) pertencem à circunferência, teríamos f(1) = 2 e f(1) = -2, o que não estaria de acordo com a definição de função, segundo a qual existe um e apenas um elemento no contradomínio associado a cada elemento do domínio. Esse exemplo sugere a seguinte regra para determinar se uma curva é gráfico de uma função: Teste da Reta Vertical: Uma curva é o gráfico de uma função se e apenas se nenhuma reta vertical intercepta a curva mais de uma vez.
Fig. 1.14. Teste da reta vertical.
PROBLEMAS PROPOSTOS Nos Problemas 1 a 16, faça o gráfico da função dada, mostrando todas as interseções com os eixos x e y .
Nos Problemas 17 a 24, determine os pontos de interseção (se existirem) entre as curvas dadas e desenhe os gráficos correspondentes.
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CUSTO DE PRODUÇÃO 25. Um fabricante pode produzir gravadores por um custo de R$ 40,00 a unidade. Estima-se que se os gravadores forem vendidos por x reais a unidade, os consumidores comprarão 120 - x gravadores por mês. Expresse o lucro mensal do fabricante em função do preço, faça um gráfico desta função e use o gráfico para estimar o preço ótimo de venda. VENDAS A VAREJO 26. Uma livraria pode obter um atlas de uma editora por um preço de R$ 10,00 o exemplar e estima que se vender o atlas a x reais o exemplar, aproximadamente 20(22 - x) exemplares serão vendidos por mês. Expresse o lucro mensal da livraria com a venda dos atlas em função do preço, faça um gráfico dessa função e use o gráfico para estimar o preço ótimo de venda. GASTO MENSAL 27. A demanda de um certo produto é D(p) = -200p + 12.000 unidades por mês quando o preço é p reais a unidade. (a) Faça um gráfico dessa função de demanda. (b) Expresse o gasto mensal total nesse produto em função de p. (O gasto mensal total é a quantia total que os consumidores gastam para adquirir um produto durante um mês.) (c) Faça um gráfico da função de gasto mensal total. (d) Discuta o significado econômico do fato de que a função de gasto intercepta 2 vezes o eixo x. (e) Use o gráfico do item (c) para estimar o preço para o qual o gasto mensal é máximo. MOVIMENTO DE UM CORPO 28. Se um objeto é arremessado verticalmente para cima a partir do solo com uma velocidade inicial de 49 metros por segundo, sua altura (em metros) t segundos mais tarde é dada pela função H(t) = 4,9t 2 + 49t . (a) Faça um gráfico da função H(t). (b) Use o gráfico do item (a) para determinar em que instante o objeto se chocará com o solo. (c) Use o gráfico do item (a) para determinar a altura máxima atingida pelo objeto.
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RESPOSTAS DOS PROBLEMAS ÍMPARES.
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24 | P á g i n a
3. FUNÇÕES AFINS Em muitas situações reais, a taxa com que uma grandeza varia em relação a outra é constante . O exemplo a seguir foi retirado da economia. Exemplo 3.1: O custo total de um fabricante consiste em um custo fixo de R$ 200,00 e um custo variável de R$ 50,00 por unidade produzida. Expresse o custo total em função do número de unidades produzidas e desenhe o gráfico relacionado. Solução: Seja x o número de unidades produzidas e C(x) o custo correspondente. Neste caso, Custo total = (custo unitário) (número de unidades) + custo fixo onde Custo unitário = 50 Número de unidades = x Custo fixo = 200 Assim, C(x) = 50x + 200. aparece na Fig. 1.15.
O gráfico dessa função de custo
No Exemplo 3.1, o custo total aumenta à taxa constante de R$ 50,00 por unidade; assim, o gráfico da Fig. 1.15 é uma linha reta cuja ordenada aumenta de 50 unidades cada vez que a abscissa aumenta de 1. Uma função cujo valor varia a uma taxa constante em relação à variável independente é chamada de função afim, já que o gráfico de uma função desse tipo é uma linha reta. Em termos algébricos, função afim é qualquer função da forma f ( x ) b mx
onde
b e
m
são constantes . Assim, por exemplo, as funções f(x) = 3 2x , f(x) = - 5x e f(x) = 12 2
são afins. Função Afim: É uma função que varia a uma taxa constante em relação à variável independente. Seu gráfico é uma linha reta não vertical. A equação da reta de uma função afim pode ser escrita na forma y b mx .
Importante: Quando b = 0 a função afim pode ser chamada de função linear (ou proporcional). Já quando m = 0 a função pode ser chamada de função constante.
25 | P á g i n a
Inclinação de uma Reta Um agrimensor pode dizer que um morro com uma "elevação" de 2 metros para cada metro de "extensão" tem uma inclinação elevação 2 m
extensão 1
2
A inclinação do gráfico de uma função pode ser medida da mesma forma. Suponhamos, por exemplo, que os pontos (x1 , y1) e (x2 , y2) pertençam a uma mesma reta (Fig. 1.16) Entre esses pontos, x varia de x2
x e y varia de 1
y2
y1 . A inclinação da reta é dada pela razão
Inclinação = variaçãode y y 2 y1 variaçãode x x 2 x1 Às vezes é conveniente usar o símbolo símbolo
y é
variação
x2
Δy em
vez de y 2 y1 para representar a variação de y. O
chamado de "delta y" . Da mesma forma, o símbolo
Δx é
usado para representar a
x . 1
Inclinação de uma Reta: A inclinação de uma reta não-vertical passando pelos pontos (x 1 , y1) e (x2 , y2) é dada pela expressão Inclinação = Δ y Δx
y2
y1
x2
x1
O sinal e o valor absoluto da inclinação de uma reta indicam a direção e o grau de inclinação, respectivamente. A inclinação é positiva se a altura aumenta à medida que x aumenta e negativa se a altura diminui à medida que x aumenta. O valor absoluto da inclinação é grande se a reta é muito inclinada e pequeno se a reta é pouco inclinada (vide Fig. 1.18).
26 | P á g i n a
Retas Horizontais e Verticais As retas horizontais e verticais (Figs. 1.19a e 1.19b) têm equações particularmente simples. No caso de uma reta horizontal, todos os pontos têm a mesma coordenada y. Assim, a função constante correspondente é da forma y = b, onde b é uma constante. A inclinação de uma reta horizontal é nula, já que y não varia quando x varia.
No caso de uma reta vertical, todos os pontos têm a mesma coordenada x. Desse modo, a equação da reta correspondente é da forma x = c, onde c é uma constante. A inclinação de uma reta vertical não é definida. Como x não varia quando y varia, o denominador da razão
variaçãode y
é nulo.
variaçãode x
27 | P á g i n a
Forma Inclinação Interseção da Equação de uma Reta
As constantes m e b na equação y = mx + b de uma reta não-vertical se prestam a uma interpretação geométrica. O coeficiente m é a inclinação da reta. Para verificar que isso é verdade, suponha (x 1 , y 1) e (x2 , y2) são dois pontos sobre a reta y = mx + b. Nesse caso, y1 = mx1 + b e y2 = mx2 + b, portanto
A constante b na equação y = mx + b é o valor de y correspondente a x = O. Assim, b é a ordenada do ponto em que a reta y = mx + b intercepta o eixo y e o ponto (0, b) é o ponto de interseção com o eixo y. Como as constantes m e b na equação y = mx + b correspondem à inclinação e à interseção com o eixo y, respectivamente, essa forma da equação de uma reta é conhecida como forma inclinação interseção. A forma inclinação interseção da equação de uma reta é particularmente útil quando informações geométricas (como a inclinação ou a interseção com o eixo y) devem ser obtidas a partir da representação algébrica da reta.
Forma Ponto Inclinação da Equação de uma Reta As informações geométricas a respeito de uma reta podem ser obtidas facilmente a partir da forma inclinação-interseção, y = mx + b. Existe, porém, outra forma para a equação de uma linha reta, que é mais conveniente nos casos onde as propriedades geométricas são conhecidas e o objetivo é determinar a equação da reta. A forma ponto inclinação da equação de uma reta é simplesmente a fórmula da inclinação em outra roupagem. Para verificar que isso é verdade, suponha que o ponto (x,y) está sobre uma reta que passa por um ponto dado pontos (x 0,y0) e tem uma inclinação m. Usando os pontos (x,y) e (x 0,y0) para calcular a inclinação, temos a equação y y0 x x0
m
que pode ser colocada na forma y
multiplicando ambos os membros por
x
y0
x0
m(x
x0 )
.
28 | P á g i n a
Retas Paralelas e Perpendiculares Às vezes é necessário ou conveniente saber se duas retas dadas são paralelas ou perpendiculares. Uma reta vertical é paralela apenas a outras retas verticais e perpendicular a qualquer reta horizontal. Os casos que envolvem retas não-verticais podem ser analisados da forma a seguir: Retas Paralelas e Perpendiculares: Sejam m1 e m2 as inclinações de duas retas não verticais L1 e L2. Nesse caso, L1 e L2 são paralelas se e apenas se m1 = m2 L1 e L2 são perpendiculares se e apenas se m1 = -1/ m2 Estes critérios estão ilustrados na Fig. 1.26. As demonstrações geométricas ficam a cargo do leitor.
PROBLEMAS PROPOSTOS Nos problemas de 1 a 6, determine na inclinação (se possível) da reta que passa pelos pontos dados.
Nos Problemas 7 a 18, determine a inclinação e as interseções da reta dada e desenhe o gráfico relacionado.
29 | P á g i n a
Nos Problemas 19 a 34, escreva uma equação para a reta com as propriedades indicadas:
CUSTO DE PRODUÇÃO 35. O custo total de fabricação de um produto é composto por um custo fixo de R$ 5.000,00 e um custo variável de R$ 60,00 por unidade. Expresse o custo total em função do número de unidades produzidas e desenhe o gráfico relacionado. ALUGUEL DE AUTOMÓVEIS 36. Uma certa locadora de automóveis cobra R$ 35,00 por dia mais 55 centavos por quilômetro rodado. (a) Expresse o custo para alugar um carro nessa locadora por 1 dia em função do número de quilômetros rodados e desenhe o gráfico relacionado. (b) Quanto custa alugar o carro por 1 dia para uma viagem de 50 quilômetros? (c) Quantos quilômetros o carro rodou se o preço do aluguel por 1 dia foi R$ 72,00? MATRÍCULA 37. Os alunos de uma universidade estadual são aconselhados a fazer uma pré-matrícula pelo correio nos dois primeiros meses do ano. Os que não fizeram a pré-matrícula devem se matricular pessoalmente em março. A secretaria pode atender a 35 alunos por hora durante o período de matrículas. Quatro horas depois de aberto o período de matrículas, com a secretaria funcionando com sua capacidade máxima, 360 alunos (incluindo os que fizeram pré-matrícula) já estavam matriculados. (a) Expresse o número de alunos matriculados em função do tempo e desenhe o gráfico relacionado. (b) Quantos alunos se matricularam nas primeiras três horas do período de matrícula? (c) Quantos alunos fizeram pré-matrícula?
30 | P á g i n a
TAXA DE FREQÜÊNCIA 38. A taxa cobrada por um clube de natação é R$ 250,00 para a temporada de verão, que dura 12 semanas. Caso alguém se inscreva depois de iniciada a temporada, a taxa é cobrada pro rata, ou seja, é reduzida linearmente. (a) Expresse a em função do número de semanas transcorridas após iniciada a temporada de verão e desenhe o gráfico relacionado. (b) Determine o valor da taxa cobrada 5 semanas após iniciada a temporada. DEPRECIAÇÃO LINEAR 39. Um médico possui R$ 1.500,00 em livros de medicina que, para fins de imposto, sofrem uma depreciação linear a qual reduz seu valor a zero após um período de 10 anos. Expresse o valor dos livros em função do tempo e desenhe o gráfico relacionado. 40. Um industrial compra R$ 20.000,00 em equipamentos que sofrem uma depreciação linear a qual reduz seu valor a R$ 1.000,00 após 10 anos. (a) Expresse o valor dos equipamentos em função do tempo e desenhe o gráfico relacionado. (b) Determine o valor dos equipamentos após 4 anos. (c) Após quanto tempo os equipamentos perdem totalmente o valor? Para o industrial talvez não seja interessante esperar tanto tempo para se desfazer dos equipamentos. Discuta os fatores que o industrial poderia levar em conta para decidir qual a melhor ocasião para vender os equipamentos. CONSUMO DE ÁGUA 41. Desde o início do mês, o reservatório de água de uma cidade vem perdendo água a uma taxa constante. No dia 12, o reservatório está com 200 milhões de litros d'água; no dia 21, está apenas com 164 milhões de litros. (a) Expresse a quantidade de água no reservatório em função do tempo e desenhe o gráfico relacionado. (b) Quanta água havia no reservatório no dia 8? TRANSPORTE SOLIDÁRIO 42. Para estimular os motoristas a adotarem o transporte solidário, o departamento de trânsito de uma cidade decidiu oferecer um desconto nos pedágios das pontes para os veículos que estivessem transportando quatro ou mais pessoas. No primeiro dia em que o plano entrou em vigor, há 30 dias, 157 veículos fizeram jus ao desconto. Desde então, o número de descontos vem aumentando a uma taxa constante; hoje, 247 veículos foram beneficiados. (a) Expresse o número de veículos que fizeram jus ao desconto em função do tempo e desenhe o gráfico relacionado. (b) Se a tendência continuar, quantos veículos farão jus ao desconto daqui a 14 dias? CONVERSÃO DE TEMPERATURA 43. (a) A temperatura em graus Fahrenheit é uma função linear da temperatura em graus Celsius. Use o fato de que 0°C = 32 °F e 100 °C = 212 °F para escrever uma equação para essa função linear. (b) Use a função obtida no item (a) para converter 15 graus Celsius em graus Fahrenheit. (c) Converta 68 graus Fahrenheit em graus Celsius. NOTAS DO VESTIBULAR 44. As notas da prova de matemática do vestibular de uma universidade diminuíram a uma taxa constante durante vários anos. Em 1990, a nota média era 575; em 1995, era 545. (a) Expresse a nota média em função do tempo. (b) Se a tendência continuou, qual foi a nota média no ano 2000? 31 | P á g i n a
(c) Se a tendência continuou, em que ano a nota média foi 527? VALORIZAÇÃO DE UM BEM 45. O valor de um certo livro raro duplica a cada 10 anos. Em 1900, o livro valia 190 dólares. (a) Quanto valia o livro em 1930? Em 1990? No ano 2000? (b) O valor do livro é uma função linear do tempo? Responda a essa pergunta interpretando um gráfico apropriado.
RESPOSTAS DOS PROBLEMAS ÍMPARES
32 | P á g i n a
33 | P á g i n a
REVISÃO
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE REVISÃO
34 | P á g i n a
4. MODELOS MATEMÁTICOS Uma representação matemática de uma situação real recebe o nome de modelo matemático. Nas seções anteriores, apresentamos modelos matemáticos para grandezas como o custo de produção, o grau de poluição do ar e a oferta de empregos. Nesta seção, vamos discutir algumas técnicas que podem ser usadas para elaborar modelos matemáticos. Nos primeiros dois exemplos, a grandeza em que estamos interessados é expressa de forma mais natural em termos de duas variáveis. Para expressar a grandeza em função de apenas uma das variáveis, temos que eliminar a outra. EXEMPLO 4.1: O departamento de estradas de rodagem está planejando construir uma área de piquenique para motoristas à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular, com uma área de 5.000 metros quadrados, e deve ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Expresse o comprimento da cerca, em metros, em função do comprimento do lado que dá para a rodovia. Solução: Começamos por definir duas variáveis, x e y, que representam os lados da área de piquenique ( Fig. 1.28). O comprimento F da cerca pode ser facilmente expresso em termos dessas duas variáveis: F = x + 2y
Como o objetivo é expressar o comprimento da cerca em função apenas de x, devemos encontrar um meio de expressar y em função de x. Para isso, usamos o fato de que a área deve ser de 5.000 metros quadrados, escrevendo: Área = xy = 5000 Explicitando y, temos: y
5000
x
Substituindo esta relação na expressão de F , temos: 10000 5000 x x x
F(x) x 2
A Fig. 1.29 mostra um gráfico dessa função para 35 < x < 200. Observe que o comprimento da cerca é mínimo para um certo valor de x. Adiante vamos aprender como calcular esse valor de x usando métodos matemáticos.
35 | P á g i n a
EXEMPLO 4.6: Determine o preço de equilíbrio e o número correspondente de unidades postas à venda e compradas se a função de oferta de um certo produto é S(p) = p2 + 3p - 70 e a função de demanda é D(p) = 410 - p. Solução: Fazendo S(p) = D(p) e calculando o valor de p, temos:
Como apenas valores positivos de p fazem sentido nesse tipo de problema, chegamos à conclusão de que o preço de equilíbrio é R$ 20,00. Como para esse preço o número de unidades postas à venda é igual ao número de unidades compradas, podemos usar a equação da demanda, que é mais simples, para obter D(20) = 410 - 20 = 390
Assim, 390 unidades são postas à venda e compradas quando o mercado está em equilíbrio. A Fig. 1.36 mostra as curvas de oferta e demanda para esse exemplo. A curva de oferta intercepta o eixo p no ponto p = 7 (Verifique que isso é verdade.) Qual é a interpretação econômica desse fato?
36 | P á g i n a
PROBLEMAS PROPOSTOS
CERCANDO UM TERRENO 1. Um fazendeiro deseja cercar um pasto retangular usando 1.000 m de cerca. Se um dos lados mais compridos do pasto fica na margem de um rio (portanto, não precisa de cerca), expresse a área do pasto em função da largura. JARDINAGEM 2. Um jardineiro quer plantar um canteiro retangular cuja largura seja metade do comprimento. Expresse a área do jardim em função da largura. ÁLGEBRA 3. A soma de dois números é 18. Expresse o produto dos números em função do número menor. 4. O produto de dois números é 318. Expresse a soma dos dois números em função do número menor. RECEITA DE VENDAS 5. O preço unitário de um certo produto é p = 35x + 15 centavos quando x unidades do produto são fabricadas. Se as x unidades são vendidas por este preço, expresse a receita obtida com a venda do produto em função de x . CERCANDO UM PARQUE 6. O departamento de parques e jardins de uma prefeitura pretende construir um parque retangular com uma área de 3.600 metros quadrados. O parque será cercado. Expresse o comprimento da cerca em função do comprimento de um dos lados do parque, desenhe o gráfico relacionado e estime as dimensões do parque para que o comprimento da cerca seja o menor possível.
37 | P á g i n a
ÁREA 7. Expresse a área de um campo retangular cujo perímetro é 320 metros em função do comprimento de um dos lados. Desenhe o gráfico relacionado e estime as dimensões do campo para que a área seja máxima. SUPERFÍCIE 8. Uma caixa fechada, cuja base é quadrada, deve ter um volume de 1.500 centímetros cúbicos. Expresse a área total da superfície da caixa em função do lado da base. VOLUME 9. Uma caixa fechada, cuja base é quadrada, tem uma área superficial de 4.000 centímetros quadrados. Expresse o volume da caixa em função do lado da base. Para resolver os Problemas 10 a 14 , você precisa saber que um cilindro de raio r e altura h tem um volume
V
2
π r
comprimento
C
h.
Lembre-se também de que um círculo de raio r tem unta área
2π r
A
2
π r
e um
.
EMBALAGEM 10. Uma lata de refrigerante, de forma cilíndrica, tem uma capacidade de 300 ml. Expresse a área superficial da lata em função do raio da tampa. VOLUME 11. Uma lata de refrigerante, de forma cilíndrica, tem uma área superficial de 120 quadrados. Expresse o volume da lata em função do raio da tampa.
π
centímetros
12. Uma lata cilíndrica fechada tem raio r e altura h. (a) Se a área superficial S da lata é constante, expresse o volume V em termos de S e r . (b) Se o volume V da lata é constante, expresse a área superficial S em termos de V e r . EMBALAGEM 13. Um recipiente cilíndrico deve conter 64 π centímetros cúbicos de suco de laranja. O custo por centímetro quadrado para fazer a tampa e o fundo do recipiente, que são de metal, é duas vezes maior que o custo para fazer o lado, que é de papelão. Expresse o custo do recipiente em função do raio se o custo do lado é 0,02 centavo por centímetro quadrado. VOLUME 14. Uma lata cilíndrica sem tampa foi feita com 27 π centímetros quadrados de metal. Expresse o volume da lata em função do raio. AUMENTO DA POPULAÇÃO 38 | P á g i n a
15. Na ausência de limitações ambientais, a população cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho. Expresse a taxa de aumento da população em função do tamanho da população.
RESPOSTAS DOS PROBLEMAS ÍMPARES
5. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
Uma função transcendente é uma função que não é redutível a uma fração entre polinômios, e cuja solução de suas equações associadas não podem ser expressa através de funções elementares. De modo geral, uma equação transcendente não possui uma solução exata expressa através de funções conhecidas, sendo necessário recorrer ao cálculo numérico para obter uma solução. As funções transcendentes mais comuns que aparecem são:
Funções exponenciais. Funções logarítmicas.
Funções trigonométricas.
Uma equação transcendente pode ter infinitas soluções.
Funções Exponenciais A função f ( x ) 2 x é chamada de função exponencial pois a variável,
x
, é o expoente. Ela não deve
ser confundida com a função potência g ( x ) x 2 , na qual a variável é a base. Em geral, uma função exponencial é uma função da forma
onde a é uma constante positiva. Vamos recordar o que isso significa. Se x n , um inteiro positivo, então 39 | P á g i n a
n fato res
Se
x
0 , então
a0
0 , e se
x
n
an
a a a a
, onde
n
é um inteiro positivo, então
a
n
1
an
Se x for um número racional, x p / q , onde p e q são inteiros e q 0 , então a
x
a
p / q
q
a
p
a q
p
Uma razão para a importância da função exponencial está nas propriedades a seguir. Se x e y forem números racionais, então essas propriedades são bem conhecidas da álgebra elementar. Pode-se provar que elas permanecem verdadeiras para números reais arbitrários x e y . Lei dos Expoentes: Se
a
e
b
forem números positivos e x e y números reais quaisquer, então:
Gráfico de Funções Exponenciais. Abaixo, os gráficos dos membros da família de funções y
a x para vários valores da base a. Note que
todos esses gráficos passam pelo mesmo ponto (0, 1), pois a0 = 1 para a 0 . Observe que a função exponencial cresce mais rapidamente à medida que a fica cada vez maior (para x> O).
40 | P á g i n a
Se 0 < a < 1, então a aproxima-se de 0 à medida que x cresce. Se a > 1, então a tende a 0 à medida que x decresce por valores negativos. Em ambos os casos o eixo x é uma assíntota horizontal. Esses assuntos estão discutidos na próxima seção. x
x
O gráfico anterior mostra basicamente que existem três tipos de função exponencial y a x . Se 0 < a < 1, a função exponencial decresce; se a = 1, ela é uma constante; e se a > 1, ela cresce. Esses três casos estão ilustrados na próxima figura. Observe que se
a 1
, então a função exponencial
y
a
x
x
1 1 tem o domínio e a variação (0, ) . Além disso, uma vez que x a x o gráfico de a a x
1 y é a reflexão do gráfico de a
y
a
x
em torno do eixo y.
Vamos começar nosso estudo sobre como construir o gráfico de uma função exponencial através de exemplos. Exemplo 1: Esboce o gráfico da função y
2 x .
Solução: Inicialmente, como já discutido, o domínio da função exponencial y conjunto dos números reais. Depois, colocando x = 0 temos y 2 0
f ( x )
2 x é o
1 , valor onde f intercepta o eixo
y . Não há interseção no eixo x , pois não existem valores de x para os quais y = 0. Para encontrar a imagem de f considere seguinte tabela:
Vemos a partir destes cálculos que
x
2
decresce e se aproxima de zero à medida que x decresce
ilimitadamente e que 2 x cresce sem limites com o crescimento ilimitado dos valores de x . Portanto, o domínio de f é o intervalo (0, ) ou seja, o conjunto dos números reais positivos. finalmente esboçamos o gráfico de y f ( x) 2 x na figura abaixo.
41 | P á g i n a
x
1 Exemplo 2: Esboce o gráfico da função y . 2 O domínio da função exponencial y 0
com o eixo y dá-se em 1 / 2
1 / 2 x é o conjunto de todos os números reais. A intersecção
1 ; não há interseção com o eixo x , pois não existem valores de x para
os quais y = 0. De acordo com a tabela abaixo
deduzimos que x
1 / 2
1 / 2
x
1/ 2
x
cresce sem limites à medida que x decresce ilimitadamente e que
decresce e se aproxima de zero à medida que x cresce ilimitadamente. Portanto, a imagem de
f é o intervalo (0, ) . Na abaixo temos o esboço do gráfico de y f ( x)
1 / 2 x .
A partir dos dois exemplos acima, podemos enunciar as propriedades das funções exponenciais:
42 | P á g i n a
Propriedades da Função Exponencial:
A Base e Funções exponenciais de base e (base de Euler, em homenagem ao matemático e físico suíço Leonhard Euler ), onde e é um número irracional cujo vaiar é 2,7182818..., têm um papel importante em problemas teóricos e práticos. Pode ser demonstrado, apesar de não o fazermos aqui, que
Entretanto, podemos nos convencer da plausibilidade desta definição do número e examinando a tabela abaixo, que pode ser construído, com a ajuda de uma calculadora.
Exemplo 3: Esboce o gráfico da função y e x . Como e > 1, segue da nossa discussão anterior que o gráfico de y e x é semelhante ao gráfico de y
2 x . Com o auxílio de uma calculadora obtemos a seguinte tabela:
O esboce o gráfico da função y e x está abaixo:
43 | P á g i n a
Exemplo 4: A quantidade Q de uma droga no corpo de um paciente no instante t é representada pela função Q S (1 e
k t
com o tempo. O que
) , onde S e k são constantes positivas. Para t 0 , descreva como Q varia
S representa?
Solução O gráfico de Q está ilustrado na figura abaixo. Inicialmente, nenhuma quantidade da droga está presente, mas a quantidade aumenta com o tempo. Como o gráfico é côncavo, a quantidade cresce a uma taxa decrescente. Isso é realista, pois, à medida que a quantidade da droga no corpo aumenta, a taxa segundo a qual o corpo elimina a droga também aumenta. Assim, esperamos que a quantidade atinja um patamar, ou seja, um nível S que é o nível de saturação.
Como Q
S Se
k t
então S Q Se
k t
Logo, a diferença entre o nível de saturação
S
e a quantidade Q no sangue está decaindo
exponencialmente.
PROBLEMAS PROPOSTOS Nos exercícios de 1 a 8, faça um esboço do gráfico de cada função.
9. Em uma jazida de minério, os técnicos com aparelhos fazem estimativas da quantidade de estanho restante que pode ser extraída após a descoberta da jazida. Tais quantidades foram computadas, e duas dessas estimativas estão na tabela a seguir: Tempo após a descoberta da jazida (anos) Quantidade estimada de estanho na jazida (toneladas)
1
3
917.504
702.464
Sabe-se ainda que, com a extração mineral, a quantidade estimada de estanho restante vem diminuindo de forma exponencial.
44 | P á g i n a
a) Obtenha a quantidade de estanho restante y como função dos anos x após a descoberta da jazida, isto é, y = f(x ). b) Qual a diminuição percentual anual do estanho? c) Qual era a quantidade de estanho presente na jazida quando ela foi descoberta? d) Após quanto tempo a jazida terá a metade da quantidade inicial de estanho?
10. Após estudos, verificou-se que é exponencial o crescimento do consumo de energia elétrica em uma zona industrial de uma certa cidade. Foram computados os valores do consumo em relação ao número de anos transcorridos após o início do estudo, e dois desses valores são dados na tabela a seguir: Tempo após o inicio do estudo (anos) Consumo de energia (GWh)
3
7
192.000
468.750
a) Obtenha o consumo de energia y como função dos anos x após o início do estudo, isto é, y = f(x). b) Qual o aumento percentual anual no consumo de energia? c) Qual era a quantidade de energia consumida no ano do início do estudo? d) Sabe-se que o limite para fornecimento de energia, antes de haver colapso do sistema, é de 1.000.000 GWh para tal região industrial. Se o crescimento do consumo continuar com as mesmas características, após quanto tempo haverá colapso do sistema de distribuição de energia? Nos exercícios de 11 a 16, resolva as equações na variável x .
45 | P á g i n a
Nos exercícios de 18 a 21, de uma fórmula possível paras as funções exponenciais abaixo:
Nos Problemas 22 e 23, seja f (t ) Q0a t Q0 (1 r )t . Utilize a calculadora. (a) Encontre a base a. (b) Encontre a taxa de crescimento percentual r .
24. Em 1999, a população mundial chegou a 6 bilhões e estava crescendo a uma taxa de 1,3% ao ano. Suponha que essa taxa de crescimento permaneça constante. (De fato, a taxa de crescimento tem diminuído desde 1987.) (a) Escreva uma fórmula para a população mundial (em bilhões) como função do número de anos desde 1999. (b) Use sua fórmula para estimar a população mundial no ano 2020. (c) Esboce um gráfico da população mundial em função dos anos desde 1999. (d) Use o gráfico para estimar o tempo de duplicação da população mundial.
46 | P á g i n a
25. (a) A meia-vida do rádio-226 é de 1620 anos. Escreva uma fórmula para a quantidade Q de rádio que sobra depois de t anos se a quantidade inicial era Q0 . (b) Qual o percentual da quantidade original de rádio que sobra depois de 500 anos? 26. Estime, graficamente, o tempo de duplicação da população exponencialmente crescente ilustrada no gráfico abaixo. Verifique se o tempo de duplicação é independente do local onde você começa no gráfico. Mostre, algebricamente, que, se
P
P 0a
t
dobra entre os instantes te t + d , então d é o
mesmo número qualquer que seja t .
47 | P á g i n a
RESPOSTAS DE PROBLEMAS SELECIONADOS.
48 | P á g i n a
Funções Logarítmicas Logaritmos Já estamos familiarizados com equações exponenciais da forma b y
onde a variável
x
x ( b 0, b 1 )
é expressa em termos do número real
resolver esta equação em
y
b
uma variável
y
. Mas como, fazer para
? Podemos recordar do estudo de álgebra, que o número
y
é chamado
de logaritmo de x na base b e é denotado por logb x . Ele é o expoente ao qual a base b deve estar elevada para assim se obter o número x . Logaritmo de x na base b:
y
logb x se e somente se x b y , com
x
0
Observe que logb x é definido somente para valores positivos de x . Exemplo 1:
Exemplo 2: Resolva cada uma das seguintes equações em x :
Solução:
Dois sistemas de logaritmos amplamente usados são os logaritmos na base 10 e os logaritmos naturais, que usa o número irracional e = 2,7182818... na base (número de Euler). É comum na prática, escrever log x para log10 x e ln x para log
e
x
.
Propriedades dos Logaritmos As propriedades dos logaritmos a seguir podem ser deduzidas das propriedades dos expoentes. Note que log x e ln x não são definidos quando x é negativo ou nulo. 49 | P á g i n a
Exemplo 3:
Funções Logarítmicas e Seus Gráficos A função definida por f ( x)
log b x com
b0eb
1
,
é chamada de função logarítmica na base b . O domínio de f é o conjunto de todos os número positivos . Um jeito fácil de obter o gráfico na função logarítmica y logb x é construindo a tabela de valores de logaritmo (base b). Entretanto, outro método mais intuitivo é baseado na exploração da estreita relação entre funções logarítmicas e exponenciais. Se um ponto (u, v) pertence ao gráfico de y logb x então v logb u
Mas pela definição de logaritmo, podemos escrever esta equação na forma exponencial como u
bv
Assim o ponto (v, u) pertence ao gráfico da função y b x . Vamos ver a relação entre os pontos (u, v) e (v, u) e a reta y x . Se pensarmos na reta y x como um espelho, então o ponto (v, u) é a imagem ,especular do ponto (u, v). Da mesma forma, o ponto (u, v) é a imagem especular do ponto (v, u) . Podemos tirar vantagem desta relação para ajudar a construir o gráfico das funções logarítmicas. Por exemplo, se queremos desenhar o gráfico de y logb x , onde
b 1,
precisamos somente desenhar a imagem especular do gráfico de y b x em relação à reta
y
então
x .
50 | P á g i n a
Os pontos (u, v ) e (v, u) são a imagem especular um do outro. Da mesma forma, os gráficos de y e y
b x
logb x são a imagem especular um do outro. Além do mais, a partir da análise acima, pode se
concluir que as funções y
b x (função exponencial) e y logb x (função logarítmica) são inversas.
Exemplo 4: Esboce o gráfico da função y 10 x e Solução: Como y
10
x
e
y
y
log x .
log x são funções inversas, os gráficos dessas funções são reflexões
uma da outra em relação à reta y x , desde que as escalas nos eixos dos
x
e y sejam iguais.
Uma grande diferença entre y 10 x e y log x é que a função exponencial cresce muito rapidamente, enquanto a função logarítmica cresce muito lentamente. No entanto, log x tende a infinito, embora lentamente, quando x cresce ilimitadamente. A função f ( x)
logb x com b 0 e b 1 , tem as seguintes propriedades:
51 | P á g i n a
Propriedades da Função Logarítmica: 1. Seu domínio é (0, ) . 2. Sua imagem é (, ) . 3. Seu gráfico passa pelo ponto (1,0) . 4. Ela é contínua em (0, ) . 5. Ela é crescente em (0, ) se b 1 e decrescente em (0, ) se
b 1.
Exemplo 5: Esboce o gráfico da função y ln x . Solução: Primeiro esboçamos o gráfico de y e x . Então, o gráfico desejado é obtido traçando a imagem espectral do gráfico de y
e x em relação à reta
y
x .
Resolvendo Problemas usando logaritmos Logaritmos são úteis, com frequência, quando temos de resolver problemas que envolvam equações exponenciais. Veja exemplos a seguir: Exemplo 5: Os carbonos fluorclorados usados nos aparelhos de ar condicionado e em sprays (como fixadores para cabelo, cremes de barbear etc). destroem a camada de ozônio na parte superior da atmosfera. Atualmente, a quantidade Q de ozônio está decaindo exponencialmente a uma taxa contínua de 0,25% ao ano. Qual a meia-vida do ozônio presente na atmosfera? Solução Queremos encontrar quanto tempo vai levar para metade do ozônio desaparecer. Se Q0 é a quantidade inicial de ozônio, então Q
Queremos encontrar o valor de
t
Q 0e
0,0025t
que faz Q Q isto é Q0e0,0025t 0
2
Q0 2
. Tomando o logaritmo
natural, obtemos 52 | P á g i n a
ln
De modo que
t
e
0,6931
0,0025
0, 0025t
ln 1 0 ,0025t ln 1 0,6931 2
2
277 anos. Portanto, a meia vida do ozônio é a aproximadamente 277
anos. Exemplo 6: A população do Quênia era de 19,5 milhões de habitante em 1984 e de 21,2 milhões de habitantes em 1986. Supondo que ela cresce exponencialmente, encontre uma fórmula para a população do Quênia em função do tempo. Solução Se medirmos a população P em milhões e o tempo t em anos desde 1984, podemos escrever P P 0ekt 19,5ekt
Podemos encontrar
k usando o fato de que
P 21,2 quando
t 2 , assim
21,2 19,5ek 2
Para encontrar
k , dividimos os dois lados por 19,5, obtendo
21,2 19,5
1,087 e
k 2
Tomando o logaritmo natural dos dois lados, ln(1,087) ln( ek 2 ) 0,0834 2k k 0,042
Como k 0,042
4,2% , a população do Quênia estava crescendo a uma taxa contínua de 4,2% ao
ano. Assim temos, P 19,5e0,042t
PROBLEMAS PROPOSTOS Para os exercícios de 1 a 11, resolva as equações usando logaritmos. 1. 17 x
2
2. 3 x
5. 20 50(1,04) x
6. 10 4 x
9. 50 600e0, 4 x
10. 2e3 x
3. 2
11
x
7. 5 x
4e
e
x
4 3
11.
x 2
7
4. 25 2(5) x
1
x
x
7 5
8. 7 5e0,2
x
17 x
e
Nos exercícios 12 a 17, esboce o gráfico associado a equação dada. 12. y log1 / 3 x
13. y log3 x
14. y ln 2 x 53 | P á g i n a
15.
y
x
2
e y
log2 x
16. y
x
3 e e
y
ln 3 x
Obs: Utilize o mesmo sistema de coordenadas nos exercícios 15 e 16 17. Uma centena de quilogramas de uma substância radioativa decai para 40kg em 10 anos. Quanto permanece após 20 anos. 18. Se o tamanho de uma colônia de bactérias dobra a cada 5 horas, quando tempo vai levar para a colônia triplicar? 19. Encontre a meia-vida de uma substância radioativa que é reduzida em 30% em 20 horas. 20. A pressão atmosférica P decai exponencialmente com a altura h, em metros, acima da superfície da terra: P P 0 e 0, 00012h
onde P 0 é a pressão atmosférica no nível do mar. (a) No topo da montanha McKinley, com 6198 metros de altura, qual é a pressão atmosférica, como percentual da pressão no nível do mar? (b) A altitude de voo de um avião comercial comum é em torno de 12000 metros. A essa altitude, qual é a pressão atmosférica, em percentual da pressão no nível do mar? 21. O ar em uma fábrica está sendo filtrado de modo que a quantidade (em mg/l) está diminuindo de acordo com a função P P 0e
kt
P de
determinado poluente
, onde t é o tempo em horas. Se 10% da
poluição são removidos nas cinco primeiras horas: (a) Qual o percentual de poluição que permanece após 10 horas? (b) Quanto tempo vai levar para que a poluição seja reduzida de 50%? (c) Faça um gráfico da poluição em função do tempo. Mostre os resultados de seus cálculos no gráfico. (d) Explique porque a quantidade de poluentes pode diminuir dessa forma.
22. Uma tela, pintada, supostamente por Vermeer (1632-1675), contém 99,5% de seu carbono-14 ( meia-vida de 5730 anos). Decida, dessa informação, se a tela é falsa. Explique seu raciocínio. 23. A meia vida do estrôncio-90 radioativo é de 29 anos. Em 1960, foi liberada na atmosfera estrôncio90 radioativo, durante testes de armas nucleares, que foi absorvido pelos ossos das pessoas. Quantos anos levam para restar apenas 10% da quantidade original absorvida? 23. Magnitude de Terremotos. Na escala Richter, a magnitude R de um terremoto é dada pela fórmula
R log
I I 0 54 | P á g i n a
onde
I
é a intensidade do terremoto que está sendo medida e
I 0
é a referência padrão de
intensidade. (a) Qual a intensidade I de um terremoto de magnitude R= 5 em relação à intensidade padrão (b) Expresse a intensidade I 0 .
I
I 0
?
de um terremoto de magnitude R = 8 em relação à intensidade padrão
Quantas vezes a intensidade de um terremoto de magnitude R = 8 é maior que um terremoto R =
5? (c) Um dos maiores terremotos das últimas décadas aconteceu no Chile em 1960. Esse terremoto matou 1655 pessoas e atingiu magnitude de 9,5 na escala Richter. Quantas vezes esse terremoto é maior do que a intensidade de um terremoto de magnitude R = 6,2 ( o maior que já ocorreu no Brasil Vitória – ES)?
RESPOSTAS DE PROBLEMAS SELECIONADOS. 1.
0,24
13.
17. 16kg
3.
3,26
5.
14.
19. 11,514 horas
23,4
7.
1,1
9.
6,212
11.
0,26
15.
21.(a) 81% (b) 32,9 horas16kg
23. 96,34 anos
Funções Trigonométricas
A trigonometria originou-se como parte do estudo dos triângulos. O nome tri-gono-metria significa medida de figuras com três lados e as primeiras definições de funções trigonométricas foram em termos de triângulos. Abaixo as relações trigonométricas em um triângulo retângulo:
No entanto, as funções trigonométricas também podem ser definidas usando-se o círculo unitário, uma definição que as faz periódicas. Muitos processos que ocorrem naturalmente são periódicos 55 | P á g i n a
também. O nível de água em uma bacia sujeita às marés, a pressão sanguínea em um coração, uma corrente elétrica alternada e a posição de moléculas no ar transmitindo uma nota musical variam regularmente. Tais fenômenos são representados por funções trigonométricas. Vamos usar as três funções trigonométricas encontradas em calculadoras: o seno, o cosseno e a tangente. Existem duas maneiras usadas normalmente para representar a variável de funções trigonométricas: radianos e graus. As fórmulas de cálculo, como você verá, ficam mais simples em radianos do que em graus. Um ângulo de 1 radiano é definido como sendo o ângulo no centro de um círculo unitário que limita um arco de comprimento 1, medida no sentido trigonométrico, ou seja, ao contrário dos ponteiros de um relógio, ou anti-horário. Um círculo unitário tem raio 1.
É útil pensar em ângulos como rotações, já que podemos usar ângulos maiores do que 360°; por exemplo, um ângulo de 720° representa duas rotações completas no sentido trigonométrico. Como uma rotação completa de 360° delimita um arco de comprimento 2 , a circunferência do círculo, segue que 360° Em outras palavras, 1 radiano =
2
180º
radianos, logo 180°
radianos.
, de modo que 1 radiano é em torno de 60°. A palavra radiano
não é dita, muitas vezes, de modo que um ângulo ou rotação sem unidades significa que está em radianos. Radianos são úteis para se calcular o comprimento de um arco em qualquer círculo. Se o círculo tem raio r e o arco é delimitado por um ângulo central , como na figura abaixo, temos, então, o comprimento s do arco pode ser dado pela seguinte relação:
56 | P á g i n a
Funções Trigonométricas e seus gráficos Em cálculo convencionamos usar sempre a medida de ângulos em radianos (exceto quando explicitamente mencionado). Por exemplo, quando usamos a função f ( x) sen x , deve ser
entendido que
sen x
significa o seno de um ângulo cuja medida é
x
Assim, os gráficos das funções
seno e cosseno estão nas figuras abaixo:
Observe que tanto para a função seno quanto para a função cosseno o domínio é (, ) e a variação é o intervalo fechado [ — 1, 1]. Assim, para todos os valores de
x
temos
ou, em termos valores absolutos,
Os zeros das funções seno e cosseno ocorrem da seguinte maneira:
Nos múltiplos inteiros de
temos sen x = 0, isto é, para
x
n
em que
n
é um inteiro.
57 | P á g i n a
Nos múltiplos inteiros de que
n
somados com
2
temos cos x 0 , isto é, para
x
2
n
em
é um inteiro.
Uma propriedade importante das funções seno e cosseno é que elas são periódicas com um período 2 . Isso significa que, para todos os valores de x,
A natureza periódica dessas funções torna-as adequadas à modelagem de fenômenos repetitivos, tais como ondas, cordas vibrantes e ondas sonoras. Outra função trigonométrica importante trata-se da função tangente, que relaciona-se com as funções seno e cosseno pela equação
e seu gráfico está na figura abaixo. Ela não está definida, quando cos x 0 , isto é, quando x
2
n ,
n
. Sua variação é ( , ) . Observe que a função tangente tem período
:
As três funções trigonométricas remanescentes, cossecante, secante e cotangente, são os recíprocos das funções seno, cosseno e tangente.
58 | P á g i n a
6. Interpretação de Gráficos – Taxas de Crescimento e Decrescimento Nesta seção usaremos gráficos de funções para descrever e interpretar informações sobre de taxas de variação, crescimento e decrescimento de curvas de funções. Quando uma função f ( x ) cresce a taxas crescentes, seu gráfico fica encurvado para cima; quando ela cresce a taxas decrescentes, seu gráfico fica encurvado para baixo. Basicamente, em cada intervalo considerado, estas são as três formas de crescimento:
crescer linearmente, com taxa de variação constante; crescer cada vez mais rapidamente, ou seja, com taxas de variação crescentes, o que faz com que o gráfico resulte encurvado para cima; crescer cada vez mais lentamente, o que faz com que o gráfico resulte encurvado para baixo.
O gráfico a seguir ilustra as três formas de crescimento:
De forma análoga, em dado intervalo, uma função pode decrescer de três modos distintos:
decrescer linearmente, com taxa de variação constante; decrescer cada vez mais rapidamente, ou seja, com taxas de variação crescentes em valor absoluto (as taxas são negativas); decrescer cada vez mais lentamente, ou seja, com taxas de variação decrescentes em valor absoluto (as taxas são negativas).
O gráfico a seguir ilustra as três formas de decrescimento:
59 | P á g i n a
Quando uma função decresce a taxas decrescentes seu gráfico fica encurvado para cima; quando ela decresce a taxas crescentes, seu gráfico fica encurvado para baixo. Exemplo: O gráfico a seguir mostra a evolução mensal do custo da cesta básica na cidade de Piracicaba-SP entre janeiro e setembro de 2012. Fonte: ICB-ESALQ/FEALQ.
Preço da Cesta Básica R$ 395,00
R$ 392,25
R$ 390,00 R$ 385,00 R$ 380,00 R$ 375,00 R$ 370,00
R$ 369,32
R$ 365,00 R$ 360,00
R$ 376,99 R$ 375,01 R$ 374,28 R$ 374,37 R$ 369,84 R$ 364,28
R$ 363,01
R$ 355,00
A partir do gráfico é possível tirar algumas conclusões: Entre Janeiro e Fevereiro o preço da cesta básica decresce a uma taxa decrescente. Isso significa que o preço está diminuído e a intensidade dessa redução também está diminuindo. Entre Abril e Junho o preço da cesta básica cresce a uma taxa decrescente. Isso significa que o preço está crescendo e a intensidade desse crescimento está diminuindo. Alguns economistas diriam a que o preço da cesta básica está desacelerando.
60 | P á g i n a
Entre Junho e Julho o preço da cesta básica decresce a uma taxa crescente. Isso significa que o preço está decrescendo e a intensidade desse decrescimento está aumentando. Entre Agosto e Setembro o preço da cesta básica cresce a uma taxa crescente. Isso significa que o preço está crescendo e a intensidade desse crescimento está aumentando. Alguns economistas diriam a que o preço da cesta básica está acelerando.
Exercícios Os gráficos a seguir representam o preço médio P dos alimentos de uma cesta básica, em diferentes países, em função do tempo t , ao longo de determinado ano.
61 | P á g i n a
Exercícios 1) Pergunta-se: a) Em que país os preços estiveram estabilizados ao longo do ano? b) Em que país os preços cresceram à taxa constante? c) Em que país os preços cresceram a taxas crescentes? d) Em que país os preços decresceram à taxa constante? e) Em que país os preços cresceram a taxas decrescentes? f) Em que país os preços decresceram a taxas decrescentes?
62 | P á g i n a
g) Em que país os preços inicialmente cresceram à taxa constante, e, posteriormente, cresceram a taxas decrescentes? i) Em que país os preços inicialmente cresceram a taxas crescentes, depois cresceram a taxas decrescentes? j) Em que país os preços inicialmente decresceram a taxas crescentes, depois decresceram a taxas decrescentes?
2) No gráfico a seguir identifique os intervalos nos quais:
a) A função f ( x ) é positiva. b) A função f ( x ) é negativa. c) A função f ( x ) é constante. d) A função f ( x ) é crescente. e) A função f ( x ) é decrescente. f) A função f ( x ) cresce a taxa constante. g) A função f ( x) decresce a taxa constante. h) A função f ( x ) cresce a taxas crescentes. i) A função f ( x) cresce a taxas decrescentes. j) A função f ( x ) decresce a taxas crescentes.
63 | P á g i n a
k) A função f ( x ) decresce a taxas decrescentes.
Repostas: 1) a) No país A , os preços mantiveram-se constantes. b) No país B , os preços variaram tendo como gráfico uma reta com inclinação positiva. c) No país D , os preços cresceram tendo o gráfico encurvado para cima, o que significa taxas crescentes. d) No país C , os preços decresceram tendo como gráfico uma reta com inclinação negativa. e) No país F os preços cresceram tendo o gráfico encurvado para baix o. f) No país E , os preços decresceram tendo o gráfico encurvado para cima. g) No país J , os preços inicialmente tiveram um gráfico retilíneo. Depois, seguiram uma curva voltada para baixo. h) No país G , os preços decresceram tendo o gráfico encurvado para baixo. i) No país H , os preços inicialmente tiveram um gráfico voltado para cima. A partir de certo ponto, o gráfico encurvou-se para baixo. j) No país I , os preços decresceram segundo um gráfico voltado para baixo. Depois, segundo um gráfico voltado para cima. 2) a) Temos f ( x) 0 para b) Temos f ( x) 0 para
x
entre
x
x
2
e
x
, e para
7
entre x1 e x 2 , e para
x
x
entre x10 e x12 . entre
c) A função f ( x ) é constante para valores de
x
entre
x
d) A função f ( x ) é crescente para valores de
x
entre
x1 e
e) A função f ( x) é decrescente para valores de
x
4
x
e x10 .
7
e x5 , e para x
, e para
4
x
entre x8 e
x
entre
x
9
x
9
.
e x12 .
entre x5 e x8 .
f) A função f ( x ) cresce a taxa constante nos intervalos em que o gráfico é um segmento de reta ascendente, ou seja, para
x
entre x1 e x3 , e para
x
entre
x
10
e x11 .
64 | P á g i n a
g) A função f ( x ) decresce a taxa constante no intervalo em que o gráfico é um segmento de reta descendente, ou seja, para
x
entre
x6 e x7 .
h) A função f ( x ) cresce a taxas crescentes no intervalo em que é crescente e o gráfico é encurvado para cima, ou seja, para
x
entre
x
9
e
x
10
.
i) A função f ( x ) cresce a taxas decrescentes no intervalo em que é crescente, mas o gráfico é encurvado para baixo, ou seja, para
x
entre
x
11
e
x
12
.
j) A função f ( x ) decresce a taxas crescentes no intervalo em que é decrescente e o gráfico é encurvado para baixo, ou seja, para
x
entre
x
5
e x6 .
k) A função f ( x) decresce a taxas decrescentes no intervalo em que é decrescente e o gráfico é encurvado para cima, ou seja, para
x
entre x7 e
x
8
.
65 | P á g i n a
7. LIMITES
Abordagem intuitiva do Conceito de Limite Falando de maneira geral, o processo de determinar o limite consiste em investigar o comportamento de uma função f(x) quando x se aproxima de um número c que pode ou não pertencer ao domínio de f . Os limites aparecem em um grande número de situações da vida real. O zero absoluto, por exemplo, a temperatura T c , na qual toda a agitação molecular cessa, é uma temperatura da qual podemos nos aproximar, mas que jamais conseguimos atingir exatamente. Da mesma forma, os economistas que falam do lucro em um mercado ideal e os engenheiros que determinam a eficiência de um novo motor em condições ideais estão na realidade trabalhando com situações limite. Para ilustrar o conceito de limite, suponha que estejamos interessados em saber o que acontece à 2
função f(x) x
x 2
quando x se aproxima de 1. Embora f(x) não seja definida no ponto x = 1,
x - 1
podemos ter uma boa ideia da situação calculando f(x) para valores de x que se aproximem cada vez mais de 1, tanto pela esquerda como pela direita.
Os valores da tabela sugerem que f(x) se aproxima do número 3 quando x se aproxima de 1, tanto pela esquerda como pela direita. Para descrever esse tipo de comportamento, dizemos que "o limite de f(x) quando x tende a 1 é igual a 3", o que é abreviado como
l i m f ( x )
x 1
3
O limite de f(x) quando x se aproxima de um número c pode ser informalmente definido do seguinte modo: Limite: Se f(x) se aproxima de um número L quando x se aproxima de um número c tanto pela esquerda quanto pela direita, L é o limite de f(x) quando x tende a c , o que é abreviado como l i m f ( x ) x c
L .
Interpretação Geométrica dos Limites
66 | P á g i n a
Geometricamente, a relação
l i m f ( x ) x c
L significa que a ordenada do gráfico de y = f(x) se aproxima 2
de L quando x se aproxima de c (Fig. 1.37a). O gráfico da função f(x) x
x
2
, por exemplo, é uma
x - 1
linha reta com um "buraco" no ponto (1,3). Os pontos (x,y) do gráfico se aproximam dessa lacuna quando x se aproxima de 1 pela esquerda ou pela direita (Fig. 1.37b).
É importante não esquecer que os limites descrevem o comportamento de uma função perto de um ponto, mas não necessariamente no próprio ponto. Esse fato está ilustrado na Fig. 1.38. Para as três funções que aparecem na figura, o limite de f(x) quando x tende a c é igual a L. Entretanto, as funções têm valores bem diferentes em x = c. Na função da Fig. 1.38a, f(c) é igual ao limite L; na função da Fig. 1.38b, f(c) é maior que L; na função da Fig. 1.38c, f(c) não é definida.
A Fig. 1.39 mostra os gráficos de duas funções que não têm um limite quando x tende a c. O limite não existe na Fig. 1.39a porque f(x) tende a 5 quando x se aproxima de c do lado direito e tende a um valor diferente, 3, quando x se aproxima de c do lado esquerdo. A função da Fig. 1.39b não tem um limite
67 | P á g i n a
finito quando x tende a c porque os valores de f(x) se tornam cada vez maiores à medida que x se aproxima de c.
Propriedades dos Limites Os limites obedecem a certas regras algébricas que podem ser usadas nos cálculos. Essas regras, que certamente parecem plausíveis com base em nossa definição informal de limite, são demonstradas formalmente em cursos mais teóricos. Elas são importantes porque simplificam o cálculo dos limites de funções algébricas. Propriedades Algébricas dos Limites
Em outras palavras, o limite de uma soma, de uma diferença, de um múltiplo, de um produto, de um quociente e de uma potência é a soma, diferença, múltiplo, produto, quociente e potência dos limites individuais, contanto que todas as expressões envolvidas sejam definidas.
68 | P á g i n a
As duas propriedades a seguir se referem aos limites de duas funções lineares elementares, que podem ser usadas para gerar outras funções algébricas. Limites de Duas Funções Lineares: Para qualquer constante k, l i mk k
l i m x
e
x c
c
x c
Em outras palavras, o limite de uma constante é a própria constante e o limite de f(x) = x quando x tende a c é c. Em termos geométricos, a expressão l i mk k significa que a ordenada do gráfico da função x c
constante f(x) = k conserva o valor k quando x se aproxima de c. Por outro lado, a expressão l i m x c x c
significa que a ordenada do gráfico da função linear f(x) = x se aproxima de c quando x se aproxima de c.
Limites de Polinômios e Funções Racionais: Se p(x) e q(x) são polinômios, l i m p( x ) p( c) x c
e p( x ) lim x c q( x )
p ( c ) q( c )
, se q( c) 0
Quando o denominador da função racional dada tende a zero, enquanto o numerador permanece diferente de zero, o limite não existe, já que o valor absoluto da fração aumenta indefinidamente quando x se aproxima do valor que anula o denominador. Existência de um Limite Bilateral: O limite bilateral unilaterais
l i m f ( x ) e l i m f ( x ) x c
-
x c
l i m f ( x ) x c
existe se e apenas se os limites
existirem e forem iguais, caso em que l i m f ( x ) x c
l i m f ( x ) x c
l i m f ( x ) x c
-
69 | P á g i n a
PROBLEMAS PROPOSTOS Nos Problemas 1 a 6, determine
l i m f ( x ) , caso exista. x a
Nos Problemas 7 a 30, determine o limite indicado, 7.
l i m(3 x
2
x 2
9.
l i m( x
5
x 0
6 x
l i m x 1
13.
l im
15.
l im
17.
19.
x 3
x 1
x 2
x 2
2
x 1
x
l im x 5
2
x 1
7)
10.
12.
x 1
2 x 2
l i m(1 5 x
3
x 0
l i m x
2
x 1
x
3)
)
1
1
2x
2
2 x 3
16.
2 x 3 l im x 3 x 3
18.
9 x l im x 3 x 3
x 1
x 1
2
3 x 10 x 5
x 1 x 4 21. l i m 4 x 1 x 4 x
l im
x 2 1
x 1
3
14.
5 x
l im
l i m( x
x 3
x 5
4
11.
8.
5 x 2)
20.
22.
x
2
lim
x
x 2
x 2
x x
l im x 0
6
2
x
1
2
70 | P á g i n a
23.
25.
27.
l im x 2
l im x 4
l im x 3
x x
2
2
x x
x 6
3 x 2 2
4
24.
26.
x 1 x
2
3
28.
x
l im x 2
l im x 9
l im x 5
2
x
4 x 5
2
1
x x
3
9
2 x 1 3 x 5
2 x 2 x, se x 3 29. l i m f ( x ) e l i m f ( x ), onde f ( x ) 3 3 x, se x 3 x
x
3
1 , se x 1 30. l i m f ( x ) e l i m f ( x ), onde f ( x ) x 1 x 1 x 1 x 2 2 x, se x 1
RESPOSTAS DOS PROBLEMAS ÍMPARES
7. CONTINUIDADE O dicionário define contínuo como "em que não há interrupção; seguido, sucessivo". Os fenômenos contínuos certamente desempenham um papel importante em nossas vidas. O crescimento de uma árvore, por exemplo, é tão contínuo quanto o movimento de um foguete e o aumento do volume da água em uma banheira enquanto está sendo preenchida. Informalmente, função contínua é aquela cujo gráfico pode ser traçado sem que a "caneta" se afaste do papel ( Fig. 1.45). Ou seja, é uma função que não apresenta lacunas. Nem todas as funções apresentam essa propriedade, mas as funções contínuas desempenham um papel importante no cálculo. Para que uma função f(x) não tenha uma 71 | P á g i n a
lacuna em um ponto x = c, é preciso que a função seja definida em c e que os valores de f(x) para x próximo de c estejam próximos de f(c). Em outras palavras, "uma pequena variação de x deve produzir uma pequena variação de f(x)". Segue uma definição mais precisa de continuidade em termos de limites. Continuidade: Uma função f é contínua no ponto c se: (a) f (c) é definida.
(b)
l i m f ( x )
existe.
(c)
x c
l i m f ( x )
x c
f (c)
Se f(x) não é contínua no ponto c, dizemos que o ponto c é um ponto de descontinuidade.
Continuidade de Polinômios e Funções Racionais Como vimos na seção anterior, se p ( x ) e q( x ) são polinômios, l i m p( x ) p( c) x c
e
p( x )
lim x c
q( x )
p( c) q( c )
se q(c) 0
De acordo com essas expressões, um polinômio e uma função racional são contínuos em todos os pontos em que são definidos. Continuidade em um Intervalo Em muitas aplicações práticas do cálculo, é interessante usar uma definição de continuidade que se aplique apenas a um determinado intervalo aberto ou fechado. Continuidade em um Intervalo: Uma função f(x) é dita contínua em um intervalo aberto a < x < b se for contínua para todos os valores de x contidos no intervalo. Uma função f(x) é dita contínua no intervalo fechado a x b se for contínua no intervalo aberto a < x < b e se f(x) tender f(a) quando x tender a a pela direita (para a < x ) e se f(x) tender f(b) quando x tender a b pela esquerda (para x < b). Em outras palavras, a continuidade em um intervalo significa que o gráfico de f não apresenta lacunas no intervalo. Propriedade do Valor Intermediário 72 | P á g i n a
Uma propriedade importante das funções contínuas é a propriedade do valor intermediário, segundo a qual se f(x) é contínua no intervalo a x b e L é um número entre f(a) e f(b), existe algum número c entre a e b para o qual f(c) = L (vide Fig. 1.49). Isso significa que uma função contínua assume todos os valores possíveis entre dois dos seus valores. Dessa maneira, por exemplo, uma menina que pesa 3 kg ao nascer e 40 kg ao fazer 15 anos deve ter pesado exatamente 30 kg em algum instante da vida, já que o peso é uma função contínua do tempo. A propriedade do valor intermediário tem muitas aplicações.
PROBLEMAS PROPOSTOS Nos Problemas 1 a 12, verifique se a função dada é contínua para o valor especificado de x .
Nos Problemas 13 a 24, determine todos os valores de x para os quais a função dada não é continua.
73 | P á g i n a
CONSUMO DE GASOLINA 28. O gráfico a seguir mostra o volume de gasolina no tanque do carro de Sue durante um período de 30 dias. Em que pontos o gráfico é descontinuo? O que acontece nessas ocasiões?
ESTOQUE 29. O gráfico a seguir mostra o número de unidades em estoque de certo produto durante um período de 2 anos. Em que pontos o gráfico é descontinuo? O que acontece nessas ocasiões?
Nos Problemas 30 e 31, determine os valores da constante A para que a função f(x) seja contínua para qualquer valor de x.
74 | P á g i n a
RESPOSTAS DOS PROBLEMAS ÍMPARES
75 | P á g i n a
A DERIVADA Muitos fenômenos físicos envolvem grandezas que variam - a velocidade de um foguete, a inflação da moeda, o número de bactérias em uma cultura, a intensidade dos tremores de um terremoto, a voltagem de um sinal elétrico e assim por diante. Neste capitulo, vamos desenvolver o conceito de derivada, que é a ferramenta matemática usada para estudar taxas nas quais variam as grandezas físicas. Vamos mostrar que há uma estreita relação entre taxas de variação e retas tangentes a gráficos. Além disso, desenvolveremos as ferramentas matemáticas para calcular as derivadas.
1. A DERIVADA: INCLINAÇÃO E TAXA DE VARIAÇÃO O cálculo é a matemática das variações e o instrumento principal para estudar as taxas de variação é um método conhecido como derivação. Nesta seção, vamos descrever esse método e mostrar como pode ser usado para determinar a taxa de variação de uma função e também a inclinação da reta tangente a uma curva. O QUE É A DERIVADA? A derivada da função y
f ( x )
Observe que tanto
y (que
f ( x) é a função y f ( x ) dada por
f ( x x ) f ( x )
l im
x
x0
se lê: y linha) quanto f ( x) (que se lê: f linha de x ) são notações para
representar a derivada de y f ( x) . Pelo gráfico da Fig. 2.1 é possível perceber que f ( x x) f ( x) x
intervalo de
y
pode ser escrita como
x
y f ( x x) f ( x) ,
deste modo a razão
, que é conhecida como taxa de variação média no
x, x x . Essa taxa fornece a “velocidade média” com que a função cresce ou decresce
para o intervalo dado. Além disso, através do gráfico da Fig. 2.2 é possível concluir que a razão
y x
f ( x0 x ) f ( x0 ) x
fornece a inclinação da reta secante r que intercepta a curva y f ( x ) nos pontos P 0 ( x0 , f ( x0 )) e P ( x0 x, f ( x0 x)) .
Observe que tomando o limite da razão
l im x 0
y x
y x
quando
x vai para zero, isto é, calculando
f ( x x ) f ( x )
l im x 0
x
f ( x ) ,
76 | P á g i n a
temos a taxa de variação instantânea de f no ponto
x
. A taxa de variação média distingue-se da
taxa de variação instantânea por ser calculada num intervalo x, x x e não num ponto taxa fornece a “velocidade instantânea” com que a função cresce ou decresce no ponto
A notação devida a Leibniz para a derivada de y f ( x) é
x
dy dx
(que se lê: derivada de
x
y
x
. Essa
dado.
em relação a
), ou seja, dy dx
A derivada de y f ( x ) é o limite, para
l im x 0
y x
x tendendo a zero, da razão incremental
y x
.
Atenção: Com frequência escrevemos, também ( f ( x)) (para indicar a derivada de f ( x ) ). Para
futuras interpretações da derivada, será muito bom pensar na derivada como o valor da razão incremental
y x
, para um
x muito pequeno.
Dizemos que a função y f ( x ) é derivável ou diferenciável em um conjunto se f ( x) existir para todo x pertencente a este conjunto. Por outro lado, dizer, simplesmente, que y
f ( x ) é
derivável
significará que f ( x ) existe em todo x do domínio de f ( x ) .
77 | P á g i n a
Interpretação Geométrica da Derivada: Reta Tangente ao Gráfico de uma Função
mr
f ( x0 x ) f ( x0 )
x
y x
é o coeficiente angular da reta secante r .
Geometricamente, a medida que posição da reta tangente t . Pois,
x tende
a zero, na razão
x0 x x0 e
y x
, a reta secante r tende para a
f ( x0 x ) f ( x0 ) , ou seja, o ponto P “ desloca-
se” aproximando de P 0. Veja figura Fig. 2.4.
Assim, o coeficiente angular mr da reta r tende f ( x0 ) , pois
mr
y x
e tomamos
l im x 0
y x
f ( x0 ) .
A equação reta tangente t pode ser escrita como:
y y0
mt ( x x0 )
onde
y0
f ( x0 ) e mt f ( x0 )
Nada mais natural, então, do que definir a equação da reta tangente a uma função f no ponto x0 , como: 78 | P á g i n a
RETA TANGENTE A reta tangente t ao gráfico de y
y y 0
f ( x) , no ponto de abscissa
x
0
é a reta
mt ( x x 0 )
onde y 0
f ( x 0 ) e mt
f ( x 0 )
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
Fig. 2.4:Reta tangente t no ponto ( x0 , y0 ) ao gráfico de y f ( x) .
Interpretação Geométrica da Derivada: A derivada f ( x0 ) é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de y f ( x) no ponto ( x0 , y0 ) , onde y0
f ( x0 ) .
79 | P á g i n a
Resumo da seção.
Derivada de uma função: A derivada da função f ( x ) em relação à se lê como “ f linha de
x
x
é a função f ( x ) (que
”) dada por
f ( x )
l im
f ( x x ) f ( x ) x
x0
O processo de calcular a derivada é chamado de derivação. Dizemos que uma função é derivável no ponto c se f ( x ) existe (ou seja, se o limite do quociente da diferença existe no ponto
x
c
).
Derivada como inclinação de uma reta tangente: A inclinação da reta tangente à curva y f ( x) no ponto (c, f (c)) é dada por mt f (c) .
Taxa de variação instantânea como uma derivada: A taxa de variação instantânea de uma grandeza f ( x ) em relação a x no ponto c é f (c) .
2. ALGUMAS REGRAS SIMPLES DE DERIVAÇÃO Se tivéssemos que usar a definição de limite toda vez que quiséssemos calcular uma derivada, o cálculo seria uma disciplina extremamente difícil e tediosa. Felizmente, isso não é necessário. Nesta seção e na seguinte, apresentamos algumas regras que facilitam grandemente o processo de derivação. Vamos começar com a derivada de uma constante. Regra da Constante: Para qualquer constante c, d dx
(c)
0.
Em outras palavras, a derivada de qualquer constante é nula. Podemos ver que isso é verdade considerando o gráfico de uma função constante f(x) = c , que é uma reta horizontal (Fig. 2.6). Como a inclinação de uma reta horizontal é 0 em todos os pontos, f ( x) 0 . Podemos chegar à mesma conclusão usando a definição de limite:
f ( x )
l im
f ( x x ) f ( x ) x
x 0
l im x 0
cc x
l im x 0
0 x
0
já que f ( x x ) c para qualquer valor de x.
Regra da Potência: Para qualquer número real n,
d dx
( x n ) n x n 1 .
80 | P á g i n a
Em palavras, para calcular a derivada de pelo expoente original.
x
n
, subtraímos 1 do expoente e multiplicamos o resultado
Regra da Multiplicação por uma Constante: Se c é uma constante e f(x) é uma função derivável, cf(x) também é umaa função derivável e d dx
(cf ( x )) c
df dx
.
Ou seja, a derivada de um múltiplo é o múltiplo da derivada. Regra da Soma ou Diferença: Se f ( x ) e
g ( x ) são
duas funções deriváveis, a soma ou a diferença
S ( x) f ( x) g ( x) também é uma função derivável e S ( x) f ( x) g ( x) , ou seja,
d dx
( f ( x ) g ( x ))
df dx
dg dx
Isso significa que, a derivada de uma soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas das parcelas.
PROBLEMAS PROPOSTOS Nos Problemas 1 a 8, calcule a derivada da função dada e determine a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto dado.
Nos Problemas 9 a 12, calcule a derivada da função dada e determine a equação da reta tangente à curva da função no ponto dado.
81 | P á g i n a
Nos Problemas 13 a 16, determine a taxa de variação
17. Suponha que f ( x)
dy dx
no ponto dado.
x3 .
(a) Calcule a inclinação da reta secante que liga os pontos da curva de f cujas coordenadas x são x = 1 e x = 1,1. (b) Use os métodos do cálculo para determinar a inclinação da reta tangente à curva de f no ponto x = 1 e compare o resultado com o do item (a). 18. Suponha que f ( x)
x2 .
(a) Calcule a inclinação da reta secante que liga os pontos da curva de f cujas coordenadas x são x =-2 e x = -1,9. (b) Use os métodos do cálculo para determinar a inclinação da reta tangente à curva de f no ponto x=-2 e compare o resultado com o do item (a). Nos Problemas 19 e 20, faça um gráfico da função f ( x ) . Determine os valores de x para os quais a derivada é nula. O que acontece com a curva da função nesses pontos? 19. f ( x) x 3 3x 2
20. f ( x) x 3 x 2
21. Seja a função de lucro P ( x ) 400(15 x )( x 2) para a produção de fitas virgens. O gráfico de y
P ( x) é a parábola com a abertura voltada para baixo que aparece na figura ao
lado. (a) Determine P ( x ) . (b) Determine o ponto em que P ( x ) 0 . Nesse ponto, a reta tangente à curva que representa a função de lucro é horizontal. O que se pode dizer a respeito do lucro neste ponto da curva? 22. Faça o gráfico da função
y
x
2
3 x e
use os métodos do cálculo para determinar o menor valor
possível de y . 23. Faça o gráfico da função y
1 x 2 e use os métodos do cálculo para determinar o maior valor
possível de y . MAXIMIZAÇÃO DO LUCRO
82 | P á g i n a
24. Um empresário pode produzir gravadores de fita por R$ 20,00 a unidade. Estima-se que se os gravadores forem vendidos por x reais a unidade, os consumidores comprarão 120 x gravadores por mês. Use os métodos do cálculo para determinar o preço para o qual o lucro do empresário é máximo. COMPORTAMENTO ANIMAL 25. Os experimentos mostram que a altura (em metros) do pulo de uma pulga após t segundos é dada pela função 2
H (t ) 4,4t 4,9t
Usando os métodos do cálculo, determine e instante em que a pulga atinge a altura máxima. Qual é a altura máxima atingida pela pulga?
RESPOSTAS DOS PROBLEMAS ÍMPARES
83 | P á g i n a
Regra Simples de Derivação: Movimento Retilíneo
Movimento retilíneo é o movimento de um corpo em linha reta. O movimente de um foguete logo após o lançamento, por exemplo, pode ser considerado retilíneo. Quando estudamos o movimento retilíneo, podemos supor que o corpo está se movendo ao longo de um dos eixos do sistema de coordenadas. A posição do corpo é uma função do tempo t e costuma ser representada como s(t ) . A taxa de variação da posição do corpo em relação ao tempo é a velocidade
v (t ) ; a
taxa de variação da
velocidade em relação ao tempo é a aceleração a(t ) . Em outras palavras, v(t ) s(t ) e a(t ) v(t ) a(t) = v' (t). Quando v(t )
0 , dizemos que o corpo está estacionário.
EXEMPLO Um corpo se move em linha reta de tal forma que sua posição no instante t é dada por s(t ) t 3 6t 2 9t 5 .
(a) Determine a velocidade e aceleração do corpo no instante t . (b) Em que instante o corpo está estacionário? Solução: 2
(a) A velocidade é dada por v(t ) s(t ) 3t 12t 9
e a aceleração é dada por
a(t ) v(t ) 6t 12
(b) O corpo está estacionário quando
v(t )
3t 2 12t 9 0
ou seja, quanto t = 1 e quando t = 3.
Movimento de um Projétil Um exemplo importante de movimento retilíneo é o movimento de um projétil. Suponha que um corpo seja lançado (isto é, arremessado, disparado ou largado) verticalmente de tal forma que a única aceleração que age sobre o corpo é a aceleração da gravidade g. Perto do nível do mar, g é aproximadamente 9,8m / s2 . É possível demonstrar que no instante t, a altitude do corpo é dada pela equação H (t )
1
2
2
g t
V 0t H 0
onde H 0 e V 0 são, respectivamente, a altitude inicial e a velocidade inicial do corpo. Apresentamos a seguir um exemplo do uso dessa equação:
84 | P á g i n a
EXEMPLO Do alto de um edifício de 34 metros de altura, uma pessoa lança uma bola verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 29 m/s . (a) Determine a altura e velocidade da bola no instante t . (b) Em que instante a bola chega ao chão e qual a velocidade no momento do impacto? (c) Em que momento a velocidade é nula? O que acontece nesse momento? (d) Qual é a distância total percorrida pela bola? Solução: (a) Como
g
2
9,8m / s , V 0
29m / s e H 0
34m , a
altura da bola em relação ao solo no instante t
é dada por H (t )
A velocidade no instante t é
v(t )
dH
dt
4,9 t 2 29t 34
9,8t 29
(b) No instante em que a bola chega ao chão,
Resolvendo a equação, verificamos que isso ocorre para t = 7 e para t = – 1 (verifique). Desprezando o tempo negativo t = – 1, que não faz sentido nesse contexto, chegamos à conclusão de que o impacto ocorre no instante t = 7 s e que a velocidade no momento do impacto é v
H
0.
(7) 9,8(7) 29 39,6m / s
(O sinal negativo significa que a bola está descendo no momento do impacto.) (c) A velocidade é nula quando v(t ) 9,8t 29 0 , o que acontece no instante t = 3 s. Para t < 3, a
velocidade é positiva e a bola está subindo; para t > 3, a velocidade é negativa e a bola está descendo. Assim, a bola atinge o ponto mais alto da trajetória no instante t = 3 s. Veja figura abaixo. (d) A bola é lançada de uma altura
H (0)
34 metros e atinge uma altura máxima
H (0)
76,9
metros antes de cair. Assim, distância total percorrida = (76,9 34) 76,9 119,8 metros Subindo
Descendo
85 | P á g i n a
PROBLEMAS PROBLEMAS PROPOSTOS Nos Problemas 1 a 16 , dada a função calcule a derivada. Faça o máximo possível de cálculos sem usar a calculadora e simplifique as respostas.
Nos Problemas 17 a 20, determine a equação de uma reta que seja tangente à curva da função dada no ponto especificado.
Nos Problemas 21 a 24, determine a equação de uma reta que seja tangente à curva da função dada no ponto ( x, f ( x )) correspondente ao valor de
x
especificado.
Nos Problemas 25 a 28, determine a taxa de variação da função dada para o valor de
x
especificado.
86 | P á g i n a
29. Plote 29. Plote a função f ( x ) x 2 4 x 5 e use os métodos do cálculo para determinar o ponto em que a função é mínima. 30. 30. Plote a função f ( x) 3 2 x x 2 e use os métodos do cálculo para determinar o ponto em que a função é máxima. 31. Determine 31. Determine dois números a e b tais que o mínimo da função f ( x) ax2 bx seja o ponto (3,-8). (3,-8). 32. Determine 32. Determine três números a, b e c tais que a função f ( x ) ax2 bx c intercepte o eixo x nos pontos (0,0) e (0,0) e (5,0) e (5,0) e tenha uma tangente de inclinação 1 no ponto x = 2. 2. 33. Determine 33. Determine as equações de todas as tangentes ta ngentes à curva da função f ( x) x 2 4 x 25
que passam pela origem (0,0). 34. 34. Determine todos os pontos (x,y) (x,y) da função
y
4 x
2
tais que a tangente à curva da função no
ponto (x,y) passe (x,y) passe pelo ponto (2,0). GASTO DOS CONSUMIDORES C ONSUMIDORES 35. A 35. A demanda de um certo produto é D(p) = -200p + 12000 unidades 12000 unidades por mês quando o preço é p reais a unidade. (a) (a) Expresse o gasto total dos consumidores com o produto em função de p e desenhe o gráfico associado. (b) Use (b) Use os métodos do cálculo para determinar o preço para o qual o gasto total dos consumidores é máximo. PAISAGISMO 36. Um 36. Um paisagista deseja cercar um jardim retangular com 20 m de cerca. Use os métodos do cálculo para determinar a área máxima que pode ter o jardim. CIRCULAÇÃO DE UM JORNAL 37. Estima-se 37. Estima-se que daqui a t anos, anos, a circulação de um jornal será C(t) = C(t) = 100t 100t 2 + 400t 400t + + 5000. (a) Encontre (a) Encontre uma expressão para a taxa de variação da circulação com o tempo daqui a t anos. anos. (b) Qual (b) Qual será a taxa de variação da circulação com o tempo daqui a 5 anos? Nessa ocasião a circulação está aumentando ou diminuindo? (c) Qual (c) Qual será a variação da circulação durante o sexto ano? POLUIÇÃO DO AR 87 | P á g i n a
38. Um 38. Um estudo ambiental realizado em um certo bairro revela que daqui a t anos a concentração de monóxido de carbono no ar será Q(t) = Q(t) = 0,05t 0,05t 2 + 0,1t 0,1t + + 3,4 partes por milhão. (a) (a) Qual será a taxa de variação da concentração de monóxido de carbono com o tempo daqui a 1 ano? (b) Qual (b) Qual será a variação da concentração de monóxido de carbono durante o primeiro ano? (c) Qual (c) Qual será a variação da concentração de monóxido de carbono durante os 2 anos seguintes? EFICIÊNCIA NO TRABALHO 39. Um 39. Um estudo realizado em certa fábrica mostra que os operários do turno da manhã, que chegam para trabalhar às 8 h, terão montado em média f ( x) x 3 6 x 2 15 x
receptores de rádio
x
horas mais tarde.
(a) (a) Escreva uma expressão para a o número de receptores por hora que os operários estarão montando x horas depois de começarem a trabalhar. (b) Quantos (b) Quantos receptores por hora os operários estarão montando às 9 h? (c) Quantos (c) Quantos receptores os operários estarão montando entre 9 h e 10 h?
EXAME VESTIBULAR 40. Estima-se 40. Estima-se que daqui a x anos, a nota média de matemática no vestibular de certa universidade será f ( x) 6 x 582 . (a) Encontre (a) Encontre uma expressão para a taxa com que a nota média de matemática estará variando com o tempo daqui a x a x anos. anos. (b) O (b) O que significa a expressão do item (a) ser uma constante? O que significa a constante do item (a) ser negativa? 41. Dois 41. Dois automóveis deixam um cruzamento ao mesmo tempo. O primeiro viaja para leste com uma velocidade constante de 60 quilômetros por hora, enquanto o segundo viaja para o norte com uma velocidade constante de 80 quilômetros por hora. Encontre uma expressão para a taxa de variação com o tempo da distância entre os automóveis. 42. Determine 42. Determine a taxa de variação percentual da função f (t ) 3t 2 7t 5 em relação a t quando t = = 2.
AUMENTO DE POPULAÇÃO 43. Calcula-se 43. Calcula-se que daqui a x a x meses meses a população de certa cidade será P ( x) 2 x 4 x 3 / 2 5000 88 | P á g i n a
(a) Qual (a) Qual será a taxa de variação da população com o tempo daqui a 9 meses? (b) Qual (b) Qual será a taxa de variação percentual da população com o tempo daqui a 9 meses?
RECEITA ANUAL 44. A 44. A receita bruta anual de uma certa empresa era A(t ) 0,1t 2 10t 20 mil reais t anos anos depois que a companhia foi fundada em 1998. (a) Qual (a) Qual a taxa de variação da receita bruta anual da empresa no início de 20 02? (b) Qual (b) Qual a taxa de variação percentual da receita bruta anual da empresa no início de 2002? IMPOSTO PREDIAL 45. Os 45. Os registros mostram que x anos anos depois de 1994, o imposto predial médio que incidia sobre um apartamento de três quartos em um certo c erto município era T(x) = T(x) = 20 x 2 + 40 x + + 600 reais. (a) Qual (a) Qual era a taxa de aumento do imposto predial no início do ano 2000? (b) Qual era a taxa de aumento percentual do imposto predial no inicio do ano 2000? AUMENTO DA POPULAÇÃO 46. Calcula-se 46. Calcula-se que daqui a t anos a população de certa cidade será P(t)= P(t)= t 2 - 200t 200t +10000. +10000. (a) (a) Expresse a taxa de variação percentual da população em função de t , simplifique a expressão o máximo que puder e plote o gráfico associado. (b) (b) O que acontece com a taxa de variação percentual da população ao longo prazo (ou seja, para grandes valores de t )? )? AUMENTO DO SALÁRIO 47. O 47. O salário inicial de um certo engenheiro é R$ 2.000,00 por mês e ele receberá um aumento de R$ 200,00 a cada ano. (a) Expresse (a) Expresse a variação percentual do salário em função do tempo em anos e plote o gráfico associado. (b) Qual (b) Qual será a taxa de variação percentual do salário após 1 ano? (c) O que acontecerá com a taxa de variação percentual do salário ao longo prazo? PRODUTO INTERNO BRUTO 48. O 48. O produto interno bruto de um certo país está aumentando a uma taxa constante. Em 1990, o PIB foi de 125 bilhões de dólares e em 1998 foi de 155 bilhões de dólares. Se esta tendência continuar, qual será a taxa de aumento percentual do PIB em 2010?
MOVIMENTO RETILÍNEO 89 | P á g i n a
Nos Problemas 49 a 51, s(t ) s(t) é a posição no instante t de uma partícula que está se movendo em linha reta. (a) Determine a velocidade e a aceleração da partícula. (b) Determine todos os instantes no intervalo dado em que a partícula está estacionária.
MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL 55. Deixa-se cair uma pedra de uma altura de 43 metros. (a) Quanto tempo a pedra leva para atingir o solo? (b) Qual é a velocidade no momento do impacto?
MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL 56. Um homem está no alto de um edifício e joga uma bola verticalmente para cima. Depois de 2 segundos, a bola passa novamente pelo homem e 2 segundos mais tarde se choca com o solo. (a) Qual é a velocidade inicial da bola? (b) Qual é a altura do edifício? (c) Qual é a velocidade da bola ao passar pelo homem? (d) Qual é a velocidade da bola ao chegar ao solo?
ESPIONAGEM 57. Um espião está em uma missão secreta no espaço. Uma luta com um agente inimigo o deixa com uma leve concussão e uma amnésia temporária. Felizmente, ele dispõe de um livro que contém a fórmula do movimento de um projétil e os valores de 2
2
g em
vários corpos celestes ( 9,8m / s 2 na Terra,
2
1,7m / s na Lua, 3,7m / s em Marte, e 8,5m / s em Vênus). Para descobrir onde se encontra, joga uma
pedra verticalmente para cima (a partir do solo) e observa que ela atinge uma altura máxima de 11,4 m e atinge o solo 5 s após deixar sua mão. Onde está o espião?
90 | P á g i n a
RESPOSTAS DOS PROBLEMAS ÍMPARES
91 | P á g i n a
3. DERIVADA DE PRODUTO E DE QUOCIENTE DE FUNÇÕES Nesta seção vamos estudar mais duas regras de diferenciação: a regra do produto e a regra do quociente. Regra do Produto: A derivada do produto de duas funções diferenciáveis é dada pela seguinte regra: d dx
[ f ( x) g ( x )] f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
A derivada do produto de duas funções é igual à derivada da primeira função multiplicada pela segunda mais a primeira função multiplicada pela derivada da segunda. A regra do produto pode ser estendida para o caso do produto de um número qualquer de funções. Atenção: A derivada do produto de duas funções não é dada pelo produto das derivadas das funções; isto é, em geral
Exemplo 1: Determine a derivada da função
Solução: Pela regra do produto,
Observação: No exemplo anterior, podemos resolver o problema expandindo o produto antes de diferenciar f . Entretanto, existem situações em que isto não é mais possível.
Regra do Quociente: A derivada do quociente de duas funções diferenciáveis é dada pela seguinte regra: d f ( x )
dx g ( x )
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) [ g ( x )]2
, g ( x ) 0
A derivada do quociente de funções é igual à derivada do numerador multiplicado pelo denominador menos o numerador multiplicado pela derivada do denominador; sobre o quadrado do denominador.
92 | P á g i n a
Para ajudar a lembrar esta expressão, observe que ela tem a seguinte forma:
Atenção: A derivada do quociente de duas funções não é dada pelo quociente das derivadas das funções; isto é, em geral
x
Exemplo 2: Determine f ( x ) para f ( x )
2 x 4
.
Solução: Pela regra do quociente,
Exemplo 3: Determine h( x) para h( x )
Solução: Reescreva na forma h( x)
x x
x1/ 2 x 2 1
2
1
.
. Pela regra do quociente, temos que
Exemplo 4: O valor das vendas (em milhões de dólares) de um disco laser de um filme campeão de 5t bilheteria t anos após a sua data de lançamento é dado por S (t ) 2 . t 1 93 | P á g i n a
(a) Determine a taxa de variação do valor das vendas no tempo t . (b) Com que rapidez os valores das vendas estão mudando no instante em que os discos são lançados (t = 0)? E dois anos após a data de lançamento? Solução: (a) A taxa de variação do valor das vendas no tempo t é dada por
S (t ) .
Usando a regra do quociente
temos que
(b) A taxa de variação do valor das vendas no instante em que os discos são lançados é dada por
isto é, as vendas estão aumentando a uma razão de $ 5 milhões por ano. Dois anos após a data de lançamento as vendas estão mudando a uma razão de
Isto é, estão diminuindo a uma razão de $ 600.000 por ano. O gráfico da função S está esboçado na figura abaixo:
Depois de um crescimento espetacular as vendas vão diminuindo gradualmente.
94 | P á g i n a
PROBLEMAS PROPOSTOS Nos Problemas de 1 a 16 calcule a derivada da função dada. 1. f ( x) (2 x 1)(3x 2)
2. f ( x) ( x 5)(1 2 x)
3. f (u) 10(3u 1)(1 5u)
4. y 400(15 x 2 )(3x 2)
1 5. f ( x ) ( x 5 2 x 3 1) 3
6. f ( x ) 3(5 x 3 2 x 5)
7.
y
x
1
x
9. f (t )
8. f ( x )
2
t
t 2
11. f ( x )
2
10. f ( x )
x 5
2 x 2
12. y
3 x 2
5 x 1
t
x
2
1
1 t 2
14. f ( x)
(2 x 1)( x 3)
15. f ( x )
5 x 4 1
2
3 x 2
13. f ( x )
2 x 3
x
16. f ( x )
2
2x 1
3
( x 2
x 1)(4 x )
2 x 1 x 1 Nos Problemas de 17 a 20, determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
17.
y
19.
y
(5 x 1)(4 3 x); x
2 x 3
;
x
x
0
18.
1
y
20. y
( x 2
3 x 1)(2 x );
x 7 5 2 x
x
1
; x0
Nos Problemas de 21 a 24, determine a taxa de variação dy / dx para o valor especificado de 21.
y
23. y
( x 2
2)( x
2 x 1 3 x 5
; x0
x ); x0
4
1
( x 2
22.
y
24.
y
x
3)(5 2 x 3 ); 3
2 4 x
;
x0
x0
x
0
.
1
0
A reta normal à curva y f ( x ) no ponto P ( x0 , f ( x0 )) é a reta perpendicular à tangente no ponto P. Nos problemas 25 a 28, escreva a equação da reta normal à curva dada no ponto especificado. 25. y x 2 27.
y
3x 5; (0,5)
( x 3)(1
x );
26. y
x ; (1, 1) x 5 x 7 28. y ; (1,12) 2 3 x
(1, 0)
29. (a) Calcule a derivada da função
2
y
2 x
2
5x
3.
(b) Escreva a função do item (a) na forma fatorada y (2 x 1)( x 3) e calcule a derivada usando a regra do produto. Verifique que as duas respostas são iguais. 30. (a) Use a regra do quociente para calcular a derivada da função y (2 x 3) / x 3 . (b) Escreva a função na forma y x 3 (2 x 3) e calcule a derivada usando a regra do produto.
(c) Escreva a função na forma y 2 x
2
3x
3
e calcule a derivada.
(d) Verifique que as respostas dos itens (a), (b) e (c) são iguais.
95 | P á g i n a
BIOLOGIA 31. A população de uma colônia de bactérias é dada por P (t )
24t 10 2
t 1
mil
t horas após a introdução de uma toxina. Use os métodos do cálculo para determinar o instante em que a população é máxima e determine qual é a população nesse instante. CONTROLE DE POLUIÇÃO 32. Um estudo encomendado por uma cidade de grande porte revela que o efeito dos gastos em controle da poluição varia de acordo com a quantia investida. Quando o gasto é de x milhões de reais, a porcentagem de decréscimo da poluição é dada por P ( x )
100 0,03 x
x 2
9
Use os métodos de cálculo para determinar qual o investimento para qual o decréscimo percentual da poluição é máximo. Qual esse decréscimo percentual? 33. Determine a taxa de variação percentual da função f ( x ) x( x 3) 2 para x = 3. VELOCIDADE DE UM CORPO 34. Um corpo se move em linha reta de tal forma que após t minutos distância percorrida é D(t )
10t
5 t 1
5 metros
(a) Qual a velocidade do corpo após 4 minutos? (b) Qual a distância percorrida pelo corpo durante o quinto minuto? AUMENTO DA POPULAÇÃO 35. Calcula-se que daqui a t anos, a população de certo município será
P (t )
20
6 t 1
mil pessoas. (a)
Escreva uma expressão para a taxa com que a população estará variando daqui a t anos. (b) Qual será a taxa de aumento da população daqui a 1 ano? (c) Qual será o aumento da população durante segundo ano? (d) Qual será a taxa de aumento da população daqui a 9 anos? (e) Que acontecerá com a taxa de aumento da população ao longo prazo? MATERIAL DE CONSTRUÇÃO 35. A areia está escapando de um saco furado e tal forma que após t segundos, existem
t 2 S (t ) 50 1 15
3
quilos de areia no saco. (a) Qual a quantidade de areia que havia inicialmente no saco? (b) Qual a taxa de variação da quantidade de areia no saco após 1 segundo? (c) Quanto tempo o saco leva para ficar totalmente vazio? Qual será a taxa de variação da quantidade de areia no instante em que o saco fica totalmente vazio?
96 | P á g i n a
RESPOSTAS DOS PROBLEMAS ÍMPARES
97 | P á g i n a
4. REGRA DA CADEIA Em muitas situações da vida real, a taxa de variação de uma grandeza pode ser expressa em termos do produto de outras taxas de variação. Suponha, por exemplo, que um automóvel esteja viajando a 80 km/h e o consumo de gasolina a essa velocidade seja de 0,1 L/Km. Para calcular o consumo de gasolina em litros por hora, basta multiplicar as duas taxas: (0,1 L/km)(80 km/h) = 8 L/h Para dar outro exemplo, suponha que o custo total de fabricação de certo produto seja função do número de unidades produzidas, que por sua vez função dos números de horas de funcionamento da fábrica. Se C , q e t representam respectivamente, custo, o numero de unidades produzidas e o tempo de funcionamento da fabrica temos:
O produto dessas duas taxas é a taxa de variação do custo com o tempo, ou seja:
Essa expressão é um caso particular de uma regra importante do cálculo, conhecida como regra da cadeia.
Definição precisa da Regra da Cadeia Suponha agora uma função definida explicitamente por
As fórmulas de diferenciação que você aprendeu nas seções precedentes deste capítulo não o capacitaram a calcular F ( x ) . Observe que F é uma função composta. De fato, se tornarmos y f (u ) u e seja u g ( x ) x 2 1 , então poderemos escrever y F ( x)
f ( g ( x)) , isto é,
F f g . Sabemos como diferenciar ambos, f e g , então seria proveitoso ter uma regra que nos
dissesse como achar a derivada de F f g em termos das derivadas de f e g .
Isso resulta que a derivada da função composta f g é o produto das derivadas de f e
g .
Esse fato
é uma das mais importantes regras de diferenciação, chamada Regra da Cadeia. Parece plausível interpretarmos derivadas como taxas de variação. Considere du / dx como a taxa de variação de u 98 | P á g i n a
em relação a variação de
x
y
, dy / du como a taxa de variação de
em relação a
rápido do que
u
x
. Se
u
y
em relação a
u
, e dy / dx como a taxa de
variar duas vezes mais rápido do que
, então parece razoável que
y
x
e
y
três vezes mais
varia seis vezes mais rápido do que
x
, e assim
esperamos que
A Regra da Cadeia: Se f e
g forem
diferenciáveis e F f g for a função composta definida por
F ( x) f ( g ( x)) , então F é diferenciável e
F
é dada pelo produto
F ( x) f ( g ( x)) g ( x)
Na notação de Leibniz, se y
f (u) e u g ( x ) forem funções diferenciáveis, então dy
dy du
dx
Exemplo1: Encontre F ( x) se F ( x )
du dx
x 1 . 2
Solução 1 : No início desta seção expressamos f (u) u e g ( x ) x
2
F
como F ( x ) ( f g )( x ) f ( g ( x)) , onde
1 . Uma vez que
temos
Solução 2: Se tomarmos
u x
2
1
e f (u) u , então
Regra Prática: Podemos aplicar a regra da cadeia com a seguinte regra prática: Derivada da função de fora f [na função de dentro g ( x) ] multiplicada pela derivada da função de dentro g . d [ f ( g ( x ))] dx
d dx
f
( g ( x ) )
fun ção externa
fun ção de dentro
derivada da fun ção de fora
calculada na fun ção de dentro
derivada da fun ção de dentro
f
( g ( x ) )
g ( x )
99 | P á g i n a
PROBLEMAS PROPOSTOS Nos Problemas 1 a 10, use a regra da cadeia para calcular a derivada dy / dx da função dada e simplifique a resposta. 1. y u2 1, u 3x 2 2. y 2u2 u 5, u 1 x 2 3. y 5. y
u, u
1 u
7. y 9. y
2
,
1 u
u
x
x
2
2
4. y u 2 2u 3, u
2x 3
6. y
1
1
,
u
3x
2
x
5
u
, u x2 9
8. y u
2
u 2,
u
1 x
1 u 1
,
u
x
10. y u 2 , u
2
1 x 1
Nos Problemas 11 a 16, use a regra da cadeia para calcular a derivada dy / dx para a função dada e e o valor especificado. 11. y 3u 4 4u 5, u x 3 2 x 5; x 2 12. y u5 3u 2 6u 5, u x 2 1; x 1 13. y u , u x 2 2 x 6; x 3 15.
y
1
u
,
u
3
1
x
2
;
x
1
2
14. y 3u 2 6u 2, u 15. y
1
u 1
1 x
2
; x
1 3
, u x 3 2 x 5; x 0
Nos Problemas 17 a 36, calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
100 | P á g i n a
Nos Problemas 37 a 40, determine a equação de uma reta tangente à curva dada no ponto especificado pelo valor de x.
Nos Problemas 41 a 46, determine todos os valores de x para os quais a reta tangente à função dada é horizontal. 41. f ( x ) ( x 2 x )2 x 43. f ( x ) (3 x 2) 2
42. f ( x ) x 3 (2 x 2 x 3) 2 2 x 5 44. f ( x ) (1 2 x ) 2
45. f ( x ) x 2
46. f ( x) ( x 1) 2 (2 x 3) 3
4x 5
Nos Problemas 47 e 48, calcule a derivada da função f ( x) usando dois métodos diferentes: um, baseado na regra da potência, generalizada e, outro, na regra do produto Mostre que as respostas são iguais. 47. f ( x ) (3x 5) 2 48. f ( x ) (7 4 x ) 2
RECEITA ANUAL 49. A receita anual bruta de certa empresa é f (t ) 10t 2 t 236 milhares de reais t anos após a fundação da empresa, em janeiro de 1998. (a) Qual a taxa de aumento da receita anual bruta da empresa em janeiro de 2003? (b) Qual a taxa de aumento percentual da receita anual bruta da empresa em janeiro de 2003? CUSTO DE FABRICAÇÃO 50. Em certa fábrica, o custo total para fabricar
q unidades
durante uma jornada diária de trabalho é
C ( q) 0,2q2 q 900 reais. Estudos anteriores mostram que aproximadamente q(t ) t 2 100t unidades são fabricadas durante as primeiras t horas de uma jornada de trabalho. Calcule a taxa de variação do custo total de fabricação com o tempo 1 hora após o início de uma jornada de trabalho.
DEMANDA DE UM PRODUTO 51. Quando um determinado modelo de liquidificador é vendido a p reais a unidade, são vendidos D( p )
8000
p
liquidificadores por mês. Calcula-se que daqui a
t meses
o preço dos liquidificadores
será p(t ) 0,04t 3 / 2 15 reais. Calcule a taxa de variação da demanda mensal de liquidificadores com o tempo daqui a 25 meses. A demanda estará aumentando ou diminuindo nessa ocasião? DEMANDA DE UM PRODUTO 52. Um importador de café do Brasil estima que os consumidores locais comprarão D( p)
4374
p 2 libras de café por semana quando o preço for p dólares por libra. Calcula-se também que daqui a t
semanas, o preço do café brasileiro será p(t ) 0,02t 2 0,1t 6 dólares por libra. Qual será a taxa de variação da demanda semanal de café com o tempo daqui a 10 semanas? A demanda está aumentando ou diminuindo nessa ocasião? 101 | P á g i n a
DEMANDA DE UM PRODUTO 53. Quando certo produto é vendido por
p
reais a unidade, os consumidores compram
40000 unidades do produto por mês. Calcula-se que daqui a t meses, o preço do produto D( p) p
será p(t ) 0,4t 3 / 2 6,8 reais por unidade. Qual será a taxa de variação percentual da demanda mensal do produto com o tempo daqui a 4 meses? POLUIÇÃO DO AR 54. Estima-se que daqui a t anos a população de um certo município será p(t ) 20
6
t 1 habitantes. Um estudo ambiental revela que a concentração média de monóxido de carbono no ar é c( p )
0,5
p
2
p
58 partes por milhão, onde p é a população em milhares de habitantes.
Determine a taxa de variação da concentração de monóxido de carbono com o tempo daqui a 2 anos. COMPORTAMENTO ANIMAL 55. Em um artigo científico, V. A. Tucker . e K. Schmidt-Koenig mostraram que o consumo de energia de uma espécie de periquito australiano (o Budgerigar ) é dado pela expressão 1 E [0,074( v 35) 2 32] v onde v é a velocidade do pássaro em km/h. Escreva uma expressão para a taxa de variação da energia com a velocidade do periquito. JUROS COMPOSTOS 56. Se R$ 10.000,00 são investidos a uma taxa anual de juros r (expressa em forma decimal), capitalizados semanalmente, o montante (capital P mais juros) acumulado em 10 anos é dado pela expressão r A 100001 52
52 0
(a) Determine a taxa de variação do montante em relação à taxa de juros. (b) Determine a taxa de variação percentual do montante em relação à taxa de juros para seja, 5%).
r
0,05 (ou
102 | P á g i n a
RESPOSTAS DOS PROBLEMAS ÍMPARES
103 | P á g i n a
5. DERIVADA DE FUNÇÕES TRANSCENDENTES
Derivada de Funções Exponenciais A derivada das funções exponenciais na forma f ( x ) a x onde
a
é uma constante positiva é dada , a
partir da definição, por f ( x )
l im
a x x
x
a
x
x 0
Não vamos demostrar aqui, mas esse limite tem como resultado f ( x ) ln a a x . Além disso, se a base da função exponencial for
e
(base dos logaritmos naturais) então a derivada de f ( x) e x será f ( x ) ln ee x
ou seja, a derivada de
e
x
é o próprio
A partir da regra da cadeia, se f ( x )
e
x
x
1 e
ex
.
e g ( x ) , em que o argumento da função exponencial é composta
por uma função g ( x) , então temos f ( x) g ( x ) e g ( x ) .
Derivada de Funções Logarítmicas A derivada das funções logarítmicas na forma f ( x) log b x com b 0 e b 1 é dada pela seguinte fórmula f ( x )
1 x ln b
A demonstração dessa derivada requer a utilização da derivação implícita. Se considerarmos o logaritmo natural tomando
b
f ( x)
e , então
1 x ln e
1 x
Caso f ( x ) ln( g ( x)) , função logaritmo natural composta por uma função g ( x) , a regra da cadeia nos fornece o seguinte resultado para a derivada f ( x )
g ( x) g ( x )
.
104 | P á g i n a
Fórmulas para Derivar f ( x)
e x ou f ( x) ln x
x
1.
3.
g ( x )
de
dx
x
d ln x
1
dx
2.
e
4.
x
de
g ( x )
g ( x) e
dx
d ln( g ( x )) dx
g ( x ) g ( x )
PROBLEMAS PROBLEMAS PROPOSTOS Nos problemas 1 a 20, calcule a derivada da função dada. 2
2 x 1
2. f ( x ) 3e4 x 1
3. f ( x ) e x
4. f ( x ) e1 / x
5. f ( x) 30 10e 0,05 x
6. f ( x ) x 2e x
7. f ( x ) x 2 3 x 5 e6 x
8. f ( x ) xe
1. f ( x )
e5 x
x
10. f ( x) 1 e 13. f ( x )
11. f ( x )
ln x 3
14. f ( x )
16. f ( x) x ln x
17. f ( x )
x 1 x 1
19. f ( x ) ln
20. f ( x )
e
x2
3 x
9. f ( x )
12. f ( x )
ln2 x 3
1
e
3e x
2
1 2 x
15. f ( x) x 2 ln x
e2 x
18. f ( x )
ln x
x
e x ln x
Nos problemas 21 a 26, determine a equação da reta tangente à função calcule a derivada da função ponto especificado. especificado. y f ( x) no ponto
21. f ( x) xe x ; em
23. f ( x )
e 2 x x 2
; em
x
x
22. f ( x) x 1e
0
1
25. f ( x ) x 2 ln x ; em
x
24. f ( x )
1
2 x
; em x
ln x
; em x x 26. f ( x) x ln x; em
0
1
x
e
Nos problemas 27 a 32, use a técnica da derivação logarítmica para calcular f ( x) . 27. f ( x )
( x 2)5 6
3 x 5 3
29. f ( x) ( x 1) (6 x) 31. f ( x )
28. f ( x ) 4
2x
2
23
2x 1
30. f ( x)
e
2 x 1 1 3 x 3 x
2 x 5
(6 5 x)
4
32. f ( x ) x1 x
DEMOGRAFIA
105 | P á g i n a
37. 37. Estima-se que daqui a t anos, a população de certo país será P (t ) 50e0,02t milhões de habitantes: (a) Qual (a) Qual será a taxa de variação da população com o tempo daqui a 10 anos? (b) Qual (b) Qual será a taxa de variação percentual da população com o tempo daqui a t anos? anos? Essa taxa depende de t ou ou é constante?
JUROS COMPOSTOS 38. Certa 38. Certa quantia é depositada em um banco e rende juros de 6% ao ano capitalizados continuamente. Determine a taxa de variação percentual do montante com o tempo. DEPRECIAÇÃO 39. 39. Certa máquina industrial sofre uma depreciação tal que seu valor após t anos é dado por Q(t ) 20000e 0,4t reais: (a) Qual (a) Qual é a taxa de variação com o tempo do valor da máquina após 5 anos? (b) Qual (b) Qual é a taxa de variação percentual do valor da máquina após t anos? Essa taxa depende de t ou ou é constante?
RESPOSTAS DOS PROBLEMAS ÍMPARES
106 | P á g i n a
Derivada de Funções Trigonométricas Como as funções Seno e Cosseno são funções periódicas, suas derivadas têm ser periódicas, basta pensar na derivada em termos de retas tangentes. As derivadas das funções Seno e Cosseno, são: são : d ( senx)
l im
dx d (cos x )
sen( x x ) sen( x ) x
x 0
l im
dx
cos( x x ) cos( x )
sen( x )
x
x 0
cos( x )
As demonstrações das fórmulas acima podem ser encontradas nas referências bibliográficas. Com relação à função tangente, a derivada pode ser determinada utilizando a regra do quociente, pois sen( x ) . Assim, tg ( x ) cos( x ) d (tg ( x )) dx
d senx( x )
cos( x ) dx
cos( x ) cos( x ) sen( x ) ( sen( x)) 2
cos( x)
cos2 ( x ) sen2 ( x ) cos cos 2 ( x)
1 cos cos 2 ( x )
em que cos cos 2 ( x) sen2 ( x ) 1 (identidade fundamental) e cos( x ) 0 . Como sec( x )
,
1 cos( x )
,
temos que d ( g ( x )) dx
2
sec
( x )
As derivadas de outras funções trigonométricas, como Cossecante, Secante e Cotangente podem ser determinadas de maneira análoga a derivada da função tangente (regra do quociente).
São válidas as fórmulas de derivação 1.
3.
5.
d ( sen( x )) dx
d (tg ( x)) dx
cos( x )
2.
sec2 ( x )
4.
d (sec( x )) dx
sec( x ) tg ( x)
6.
d (cos( x )) dx
sen( x )
d (cos sec( x )) dx d (cot g ( x )) dx
cos sec( x ) cot cot g ( x) cos
cos cos sec2 ( x )
Exemplo: Derivar f ( x) cos( x 2 x ) Solução: Tomando y cos(u cos(u) em que u x 2 x , pela regra da cadeia temos
107 | P á g i n a
dy dx
dy du
du dx
sen(u ) (2 x 1) sen( x 2 x ) ( 2 x 1) 2 x sen( x 2 x ) sen( x 2 x )
Observe que utilizamos a notação de Leibniz para a regra da cadeia.
PROBLEMAS PROPOSTOS 1. Seja f ( x ) sen( x ) . Calcule:
4
(b) f
(a) f ( x )
2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f ( x) sen( x) no ponto de abscissa 0.
3. Seja f ( x)
cos( x) . Calcule:
(b) f 0
(a) f ( x )
3
(c) f
(d) f
4
4. Calcule f ( x) sendo. Justifique todas as passagens. (a) f ( x) cos sec( x) (b) f ( x) sec( x) (c) f ( x)
5. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f ( x)
cot g ( x)
tg ( x) no ponto de abscissa 0.
4 7. Seja f ( x) cos sec( x) . Calcule f 4 6. Seja f ( x) cot g ( x) . Calcule f
8. Calcule f ( x) onde f ( x ) é igual a (a) 3 x 2
(b)
5 cos( x)
cos( x ) x
(e) cos( x) ( x 2
1) sen( x)
(f)
2
(d) x 2 tg ( x )
(c) xsen ( x)
1 3
(g)
sen( x) cos( x)
sec( x )
(h)
3 x 2
x 1 tg ( x )
9. Seja f ( x) x 2 sen( x ) cos( x) . Calcule: (a) f ( x )
(b) f (0)
(c) f (3a)
(d) f ( x 2 )
10. Calcule f ( x ) (a) f ( x ) x 2 e x (d) f ( x )
1 e x 1 e x 2
(g) f ( x ) 4 5 x ln x
(b) f ( x) 3 x 5 ln x
(c) f ( x) e x cos( x)
(e) f ( x) x 2 ln x 2e x
(f) f ( x )
(h) f ( x )
e x x 2
1
(i) f ( x )
x 1 x ln x ln x x
108 | P á g i n a
11. Determine a derivada. (a) y sen(4 x )
2t
(d) y e sen(3t )
(g)
x
( )
sen t
e
2
(c) f ( x ) e3 x
(b) y e x cos(2 x) 3
(e) y sen(t )
(h) f ( x ) (e
x
(f) y 2
e x )3
x 1
(j) g ( x ) e x ln(1 x )
(l) f ( x ) 3
(n) x ln( t 2 3t 9)
(o)
(q) y [ln( x 2 1)]3
(r) f ( x ) cos( x 2 3)
(t) y
tg (3x )
y
2
x 1
x e
(u) f (t )
x
e
t
e
t
e
e
t
t
(i) y ( senx cos x )3 (m) y e x
e
x
(p) y sen(cos x) (s)
y
cos3 ( x 3 )
te2 t ln(3t 1)
RESPOSTAS DOS PROBLEMAS
109 | P á g i n a
6. DERIVADA SEGUNDA
Nesta seção vamos discutir a taxa de variação da taxa de variação de uma grandeza. Esse tipo de análise é necessário em muitas situações da vida real. Assim, por exemplo, a aceleração de um automóvel é taxa de variação da velocidade com o tempo, mas a velocidade é a taxa de variação da distância com o tempo. Se a distância é medida em quilômetros e o tempo em horas, a velocidade (ou taxa de variação da distância) é medida em quilômetros por hora e a aceleração (ou taxa de variação da velocidade) é medida em quilômetro por hora ao quadrado. Problemas que envolvem a taxa de variação de uma taxa de variação também são frequentes na economia. Em períodos de inflação, por exemplo, um economista do governo pode assegurar à nação que embora a inflação esteja aumentando, a taxa de aumento da inflação está diminuindo. Em outras palavras, embora os preços continuem subindo, estão subindo mais devagar que no passado. A taxa de variação da função f ( x ) em relação a variação da função f ( x ) em relação a
x
x
é a derivada f ( x ) . Da mesma forma, a taxa de
é a derivada de f , ( f ( x )) . Para simplificar a notação,
escrevemos a derivada da derivada de f ( x ) como f ( x ) e a chamamos de derivada segunda de f ( x ) (o símbolo f ( x ) é lido como " f duas linhas de
em relação a
x
é escrita como y ou como
d 2 y dx 2
x
"). Se y
f ( x) , a segunda derivada de
y
. Apresentamos a seguir um resumo da notação
usada para representar derivadas segundas: Derivada Segunda: A derivada segunda de uma função é a derivada da derivada da função. Se y f ( x) , a segunda derivada é representada como
2
d y dx
2
ou f ( x) .
A derivada segunda corresponde à taxa de variação da taxa de variação da função original. Importante: 1. A derivada comum, f ( x) , é chamada de derivada primeira quando há necessidade de distingui-la da derivada segunda, f ( x) .
2. Antes de calcular a derivada segunda, não deixe de simplificar a derivada primeira tanto quanto possível. Quanto mais complicada for a derivada primeira, mais trabalhoso será o cálculo da derivada segunda.
Derivadas de Ordem Superior Derivando mais uma vez a derivada segunda f ( x ) de uma função f ( x ) , obtemos a derivada terceira f ( x) . Derivando mais uma vez, obtemos a derivada quarta, que é representada como 110 | P á g i n a
f ( 4 ) ( x ) , já que a notação das plicas f ( x) começa a se tornar pouco prática. No caso geral, a
derivada obtida a partir de f ( x ) através de n derivações sucessivas é chamada de derivada enésima ou derivada de ordem n e representada pelo símbolo f ( n ) ( x ) . Derivada de Ordem n: Para qualquer número inteiro positivo n, a derivada de ordem n de uma função é obtida derivando a função n vezes sucessivas. Se a função original é y f ( x) , a derivada de ordem
n é representada como d n y dx
n
ou f ( n ) ( x ) .
Exemplo: Se a posição de um corpo que está se movendo em linha reta é dada por s(t ) t 3
3t 2
4t no instante t , calcule a velocidade e a aceleração do corpo em t
5 s .
Solução Como vimos nas seções anteriores, a aceleração a (t ) de um corpo que está se movendo em linha reta é a derivada da velocidade
v (t )
, que por sua vez é a derivada da função posição
s( t )
. Assim, a
velocidade e a aceleração são, respectivamente, a derivada primeira e derivada segunda da posição: v(t )
ds dt
e a (t )
d 2 s dt 2
.
A fórmula da velocidade do corpo é v (t )
No instante
t 5 s ,
ds
dt
a velocidade é v(5) 3 52
3t 2
6t 4 .
6 5 4 49m / s
A fórmula da aceleração do corpo é a(t )
2
dv
dt
d s
2
dt
6t 6
No instante t 5 s , a aceleração é a(5) 6 5 6 24m / s 2
PROBLEMAS PROPOSTOS Nos Problemas 1 a 16, determine a derivada segunda da função dada. Em todos os casos, use a notação apropriada para a derivada segunda e simplifique a resposta. (Não se esqueça de simplificar a derivada primeira tanto quanto possível antes de calcular a derivada segunda.) 2 5 3 2 1. f ( x ) 5 x10 6 x 5 27x 4 2. f ( x) x 4 x 9 x 6 x 2 5 111 | P á g i n a
3. f ( x ) 5 x
3 x 2
1 3 x
5. f ( x) (3x 1)5 2
7. h (r
5)
2
4. f ( x )
2
8. y 2
12. y
1 x 2
2 x
1 6 x
2
5t 1 (1 2 x 3 ) 4
10. f (u )
2
2 x
3 x
6. f (t )
8
9. f ( x ) 1 x 11. f ( x )
1
1 (3u 2
1)
2
t
(t 1) 2
13. f ( x ) x(2 x 1) 4 (Use a regra do produto) 14. f ( x) 2 x( x 4)3 (Use a regra do produto) 15. y
t t 1
2
16. h
( x 2) 3 x 2
Nos Problemas 17 a 20, a posição s(t) de um corpo que está se movendo em linha reta é dada. Em cada caso, (a) Calcule a velocidade v(t ) e a aceleração a (t ) do corpo. (b) Determine o instante t no qual a aceleração é nula. 17. s(t ) 3t 5 5t 3 7 18. s(t ) 2t 4 5t 3 t 3
19. s(t ) (1 t )3
(2t 1) 2
20. s(t ) 4t 5 / 2
15t 2
t
3
ACELERAÇÃO 24. Um corpo se move em linha reta de tal forma que, em t segundos, percorre uma distância 3 2 D(t ) t 12t 12 metros. Calcule a aceleração do corpo após 3 segundos. 25. A distância percorrida por um carro em t horas de viagem é
D(t )
64t
10t 2 3
2t 3 9
quilômetros. (a) Escreva uma expressão para a aceleração do carro em função do tempo. (b) Qual é a taxa de variação da velocidade com o tempo após seis horas de viagem? A velocidade está aumentando ou diminuindo nesse instante? (c) Qual é a variação de velocidade do carro durante a sétima hora de viagem? MEDICINA 26. Um certo modelo biológico sugere que a reação do corpo humano a uma dose de medicamento pode ser representada por uma função da forma 1 F ( KM 2 M 3 ) 3 onde K é uma constante positiva e M a quantidade do medicamento presente no sangue. A derivada S
dF
dM
, considerada como uma medida da sensibilidade do organismo ao medicamento.
(a) Calcule a sensibilidade (b) Calcule
dS dM
d 2 S dM 2
S .
e apresente uma interpretação para a derivada segunda.
112 | P á g i n a
RESPOSTAS DE ALGUNS PROBLEMAS SELECIONADOS
113 | P á g i n a
PROJETO LABORATÓRIO - PARTE I
GRANDEZAS, INTERDEPENDÊNCIAS: UM PANORAMA SOBRE FUNÇÕES
CONSTRUÇÃO E ANÁLISE DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES UTILIZANDO O SOFTWARE WINPLOT E O EXCEL Conteúdos e temas: panorama/resumo sobre funções de 1º e 2º, funções exponencial e logarítmicas, funções trigonométricas, e funções hiperbólicas, com a apresentação de seus gráficos em situações simples e de suas propriedades fundamentais. Competências e habilidades: expressar e compreender fenômenos de diferentes tipos por meio da linguagem matemática, especificamente por meio da representação de funções; argumentar e tomar decisões na resolução de situações-problema vinculadas a fenômenos da realidade.
Função do 1º grau: y = ax + b, com a e b constantes, a ≠ 0 Essa função expressa a proporcionalidade entre y – b e x . O coeficiente a representa a variação de y por unidade a mais de x , a partir de qualquer ponto.
Exercícios 1. Qual é a variação de y para uma unidade em x : (a) y = 2x + 1
um acréscimo de ___ unidades;
(b) y = 5x + 2
um acréscimo de ___ unidades;
(c) y = -2x + 3
um decréscimo de ___ unidades;
(d) y = -2x + 4 um decréscimo de ___ unidades.
2. Dadas as funções do tipo f(x) = ax (b = 0): (a) Construir os gráficos das funções, utilizando o software WINPLOT: f(x) = x
f(x) = 2x
f(x) = 3x
f(x) = -x
f(x) = -2x
f(x) = -3x
114 | P á g i n a
(b) O que você conclui quando o coeficiente angular a é positivo: a função é crescente ou decrescente? R. _______________, isto é, a função f(x) _________________, quando x aumenta.
(c) E quando o coeficiente angular a é negativo: a função é crescente ou decrescente? R. ______________ , isto é, a função f(x) --------------------------, quando x aumenta.
3. (a) Construir os gráficos das funções, do tipo f(x) = ax +b: f (x) = x
f(x) = x + 1
f(x) = x +2
f(x) = x – 1
f(x) = x -2
(b) O que podemos afirmar a respeito do gráfico dessas funções, com relação à isto é, referente ao coeficiente angular a dos mesmos?
direção,
R. (c) O que você conclui a respeito do coeficiente linear b, em relação ao eixo y? R. 4. (a) Construir os gráficos das funções, do tipo f(x) = ax +b: f (x) = x
f(x) = x + 1
f(x) = x +2
f(x) = -x
f(x) = -x + 1
f(x) = -x +2
Função do 2º grau: y = ax + bx + c , com a, b e c constantes, a ≠ 0 2
O sinal do coeficiente a indica a concavidade da curva que é o gráfico (parábola): - Quando a > 0, a concavidade é para cima e a função tem um valor mínimo o ponto ( u,v ), sendo u = -
b 2a
e v = f(u);
- Quando a< 0, a concavidade é para baixo e a função tem um valor máximo no ponto ( u,v ), sendo u = -
b 2a
e v = f(u).
115 | P á g i n a
Exercícios 1. (a) Faça o gráfico da função: y = ax : 2
y = x
y = 2 x
2
y = 4 x
2
2
1
y = x
2
2
y=
1 4
x
2
(b) Quanto maior for o coeficiente a, mais __________________ é a parábola e, Quanto menor for o coeficiente a, mais _________________ é a parábola. 2. Faça o gráfico da função: y = ax : 2
(a)
y = x
y = -x
2
y = 2x
2
2
y = -2x
2
(b) as funções y = x 2 ; y = -x 2 são iguais com as concavidades_________________ . (c) as funções y = 2x ; y = -2x são iguais com as concavidades_______________ . 2
2
2
3. Faça o gráfico da função y = ax + bx + c: (a) y = x - 4x + 4 2
(b) Como a = _____> 0, a função tem concavidade voltada para______________, e ponto de mínimo u =______ , e v = f(u) =__________________ .
4. Faça o gráfico da função: (a) y = - x 2 +6x -5 (b) Como a =______ < 0, a função tem concavidade voltada para______________, e ponto de máximo, u =_____ , e v = f(u) =___________________ .
2
5. Faça o gráfico da função y = ax + c: y =x 2
y = x 2 +1
y = x 2 +2
y = x 2 +1
y = x 2 +2
y = x 2 -1
y = x 2 - 2
6. Faça o gráfico da função y = ax 2 + c: (a)y =x 2
y = x 2 +1
y = x 2 +2
116 | P á g i n a
(b) Na função y = ax + c, o coeficiente c é o valor em que gráfico da função intercepta o eixo ____. 2
7. Faça o gráfico da função: (a) y = (x-2).(x+1) (b) f(x) > 0 para x > ________, ou então para x <_______. (c) f(x) é crescente para x >________; f(x) é decrescente para x <________ .
Função y =
k x
, com k constante, k ≠ 0
Essa função representa a proporcionalidade inversa entre as grandezas y e x ; podemos dizer que y é inversamente proporcional a y . A curva que representa o gráfico é uma hipérbole.
Exercícios 1. Faça o gráfico da função y =
(a)
y = x;
y=
k x
:
1
x
(b) o gráfico da função y = x é o eixo de ____________ da função y =
1
.
x
2. Faça o gráfico da função y =
(a)
2
y= ; x
y=
k x
:
5 x
(b) Quanto maior o numerador mais distante dos eixos ____ e ____, encontram-se os gráficos das funções.
Funções exponencial e logarítmica: y = e e y = ln x x
As funções exponenciais e logarítmicas natural podem ser entendidas com base na mesma relação y = e x , a partir da qual se pode escrever x = ln y (o mesmo que e = y ). x
117 | P á g i n a
1. Faça o gráfico das funções: (a)
y=x
y=e
y = ln x.
x
(b) as funções y = e x e y = ln x , são simétricas em relação à equação da reta________ . 2. Faça os gráficos das funções: (a)
y = e2
x
y = e 3x
y=e
5x
(b) Toda função exponencial intercepta o eixo y no ponto:______. (c) Quanto maior for o coeficiente de x , mais próxima do eixo ____, encontra-se a curva. 3. Faça o gráfico das funções: (a)
y=e
x
y = e
x
(b) A função_ _______ é crescente. (c) A função ________ é decrescente.
4. Faça o gráfico das funções: (a)
y = ln x
y = -ln x
(b) A função _________ é crescente. (c) A função _________ é decrescente.
Funções trigonométricas: y = sen x, y = cos x, y = tg x, y = sec x, entre outras As funções trigonométricas são utilizadas para representar fenômenos periódicos. 1. Faça o gráfico das funções y = a sen x : (a) y = sen x
y = 2 sen x
y = 3 sen x
(b) O gráfico y = sen x tem imagem: -1 < x < 1; e o gráfico y = 2 sen x tem imagem:_____________. e o gráfico y = 3 sen x tem imagem: _____________.
118 | P á g i n a
UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE EXCEL Um gráfico é uma representação geométrica da relação entre variáveis. Muitos tipos de gráficos são empregados na Matemática, dependendo da natureza dos dados envolvidos e da finalidade para a qual ele é destinado. Entre estes estão os gráficos de linha, de barra (horizontal ou vertical), de setores, etc.
1. Construir um gráfico no EXCEL com pontos identificados nos quatro quadrantes: A(2 ,3), B(-2,3 , 4,5), C(-4 , -3) e D(3,5 , -4)
2. Use o EXCEL para calcular o logaritmo natural ( ln ) dos números 1 a 5. Solução: esses números são inseridos em B1:F1 e a expressão =LN(B1) é inserida em B2 e, usando o mouse, ao clicar em B2 e arrastar (click-and-drag) até F2, obtém-se o seguinte resultado:
3. Mostre que as respostas do exercício 2 estão corretas evidenciando que e ln(
x
)
resulta no
valor de x . Os logaritmos são inseridos em B1:F1 e a expressão e ln( ) , que é representada por =EXP(B1), é inserida em B2. Clicando em B2 e arrastando até F2, obtém-se, a partir do EXCEL, os resultados. Os números D2 e E2 são diferentes de 3 e 4 por causa de arredondamentos. x
4. O valor da constante e
e
2,7182818 pode ser obtido a partir do limite x
1 Lim 1 e x x
x
1 O resultado de 1 fica cada vez mais próximo do valor da constante e conforme x x x
1 aumenta. Considere o cálculo do EXCEL para 1 , sendo x = 1, 10, 100, 1000, 10000, x 100000 e 1000000. Solução: os números 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000 e 1000000, são inseridos em B1:H1 e a
expressão =(1+1/B1)^B1 é inserida em B2 e, clicando e arrastando, obtemos os resultados de B2 a H2.
119 | P á g i n a
5. O saldo de uma conta remunerada com juros compostos n vezes por ano é dado por n t
r A(t ) P 1 , em que P é o principal, r é a taxa de juros, t é o tempo em anos e n é o n número de períodos compostos por ano. O saldo de uma conta remunerada com juros
mensais é dado por A(t) = Pe . Usando o EXCEL para comparar o crescimento mensal e trimestral composto, de R$ 1000,00 após 1, 2, 3, 4 e 5 anos a uma taxa de juros de 5%. rt
Solução: os tempos 1, 2, 3, 4 e 5 são inseridos em B1:F1 , no EXCEL, a expressão
=1000*(1.0125)^(4*B1) é inserida em B2 e, clicando e arrastando até F2, a expressão é calculada nesse intervalo. A expressão =1000*EXP(0,05*B1) é inserida em B3 e, clicando e arrastando até F3, ela é calculada nesse intervalo. A composição mensal produz resultados ligeiramente melhores.
120 | P á g i n a
PROJETO LABORATÓRIO - PARTE II
GRANDEZAS, INTERDEPENDÊNCIAS: UM PANORAMA SOBRE FUNÇÕES
CONSTRUÇÃO E ANÁLISE DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES UTILIZANDO O SOFTWARE WINPLOT E O EXCEL
Exercícios Aplicados 1. A despesa geral de uma companhia é R$ 1.000,00 por dia e o custo de produção de cada item é de R$ 25,00. (a) Escreva a função que representa o custo total da produção de x unidades por dia. (b) Use o EXCEL para gerar uma tabela que calcula o custo total da produção de 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 e 50 unidades por dia. (c) Faça o gráfico dos valores obtidos usando o EXCEL.
2. Um retângulo tem uma largura x e uma altura x + 10. (a) Escreva uma função, A(x), que expresse a área como uma função de x . (b) Use o EXCEL para gerar uma tabela que calcula A(x) para x = 0, 1,..., 5. (c) Faça o gráfico dos valores obtidos com a função A(x) usando o EXCEL. (d) Escreva uma função, P(x), que expresse o perímetro come uma função de x . (e) Use o EXCEL para gerar uma tabela que calcula P(x) para x = 0, 1,..., 5. (f) Faça o gráfico dos valores obtidos com a função P(x) usando o EXCEL.
3. A Tabela 1-1 mostra o diagnóstico de novos casos de diabetes de 1997 a 2005. Ano
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Milhões 0,88
0,90
1,01
1,10
1,20
1,25
1,28
1,36
1,41
Tabela 1-1 Número de diagnósticos de novos casos de diabetes.
121 | P á g i n a
(a) Faça um gráfico de linhas a partir destes dados usando o EXCEL. (b) Faça um gráfico de colunas a partir destes dados usando o EXCEL. (c) Faça um gráfico tipo pizza a partir destes dados usando o EXCEL.
4. Faça um gráfico a partir dos dados da Tabela 1.2 usando os seguintes gráficos: Ano
Alqueires de trigo Alqueires de milho
2002
205
80
2003
215
105
2004
190
110
2005
205
115
2006
225
120
Tabela 1-2 Produção de trigo e milho de 2002 a 2006.
(a) Faça um gráfico de linhas a partir destes dados usando o EXCEL. (b) Faça um gráfico de colunas agrupadas com efeito visual 3D a partir destes dados usando o EXCEL. (c) Faça um gráfico com colunas empilhadas com efeito visual 3D a partir destes dados usando o EXCEL. 5. Em uma recente matéria do jornal USA Today , em um flagrante intitulado "Perigos on-line" , foi divulgada uma pesquisa relativa a 1500 crianças com idades entre 10 e 17 anos. Apresente um gráfico de colunas agrupadas e um outro de colunas empilhadas a partir das informações da Tabela 1-3.
2000 2005
Aliciamento 19% 13%
Exposição à pornografia 25% 34%
Assédio 6% 9%
Tabela 1-3
6. Faça o gráfico da equação y= 2x 2 - 3x - 9 usando o EXCEL. 7. Faça o gráfico da equação y= 4x - 4 usando o Excel.
122 | P á g i n a
ANEXO I Lista de Exercícios - Pré Cálculo 2
6. (Unicamp-SP) Após ter corrido 1. (FCC) A expressão (a) (b)
5000 500 é igual a:
(d) 5 (10 2 5 ) (e) 10 ( 5 5 2 )
60 2 60 5
(c) 10 55 2.
(UEL-PR)
1 2
1 1
(a)
valor
1 2
da
é :
2
(e)
2
2
(a) (b) (c)
1 125 1 8 8
4. (FUVEST) Simplificar (a)
2
(e)
3
80
2
28
2
(c)
1
2
(a)
9
2
9
5
(b) (c)
(b)
258 3 (e) 10
(c)
8
5. (FGV-SP) Simplificando a fração obteremos: (a)
16 e
x
51 73 47 69 49 71
(d) (e)
45 67 53
(d) 16 2 (e) 64 32 n
(d) (e)
2
1
1
O
1
9n
32 n
N, obtemos o valor:
1,25 , quanto
, com
0 9
valor
da
expressão
1
2
2
é:
8
5
2
a
(MACK-SP)
3
30
10
(d)
n
9.
1
(b)
(a) Qual o comprimento total do percurso? (b) Quantos metros o atleta havia corrido? (c) Quantos metros o atleta havia caminhado?
(a) 1 (b) 3 (c) 2
(d) 12,5
5
do 11 mesmo percurso, um atleta verificou que ainda faltavam 600 metros para o final do percurso.
8. Simplificando a expressão
3. (FUVEST) Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo por:
de um
percurso e, em seguida, caminhado
7. (PUC-SP) Se vale a x ? (a) 2 (b) 32 (c) 20
2
(d)
1
0
expressão
2
2
(b) (c)
2
O
7
3 4
5 2
(d)
2 3 2
(e)
5
5 4
5 18
5 2 3
10. (UFSC-SC) O número 310 é dividido em 3 1
3
2 5
parcelas de modo que a segunda é igual a 5
da primeira, e a terceira é igual a
3 segunda. Calcule a menor dessas parcelas.
3 2
da
75
11.
(UEL-PR)
Racionalizando
obtém-se: (a) 2 (c) 3 2
(b) (d)
10 18 2 2
2 2 4 2
(e) 5 2 123 | P á g i n a
0,3
12. Quanto é
5
1
4 1
0,016 0,04 ?
(d) 0,04 (e) 8,85
2
xy
, para x
0,1 e y
0,001
(c)
1
2
2
22
20. (MACK-SP)
9
0, 5
1 1 2
(a) 2 (b) 2 (c) 2
?
2
(b) Calcule 8 3
(e)
2
y
14. (FUVEST) (a) Qual a metade de
(d)
2
(b)
13. (FUVEST) Calcule o valor numérico de
.
2
1
2
2
(a)
(a) 8,95 (b) 0,95 (c) 0,35
x
19. (FUVEST) O valor da expressão
é:
1
1 2 2
1
é igual a:
2 1 (d) 2 ( 2 1) (e) 2 2
21. Calcule o valor das expressões:
15. (FGV) Se x 3 200000 e y 0,00002 , então xy vale: (a) 0,64 (d) 640 (b) 6,4 (e) 6400 (c) 64 16.(Fatec-SP) O valor x 3 8 , para x y 2 x 2 x 4
da 2
expressão
, é:
(a)
2 2
(d) 0,75
(b)
2 2
(e)
(c)
4 3
2
17. Determine o valor das expressões
22. (FUVEST) O valor da expressão a 3 3a 2 x 2 y 2 , para a 10, x 2 e y 1 , é:
(a) 100 (b) 50 (c) 250
(d) 150 (e) 200
23. Determine, no campo dos números inteiros, o conjunto verdade das equações:
24. Ache um número cujo produto por 12 seja igual ao mesmo número aumento de 22. 18. Racionalize os denominadores (a)
4 2
(b)
1 3 2
(c)
7 2 7 2
25. A soma de três números inteiros consecutivos é 36. Quais são esses números? 26. A soma de três números inteiros pares e consecutivos é 30. Quais são esses números? 124 | P á g i n a
(b)
27. Calcule os valores racionais de: (a) (b)
3
(c)
1
4 2
5
(d) 2 1,3 0,4
6 1 6
1
2 1
(e)
2
1
(b) 1 0,1
(e) 2
10
2 5 1
(e) 1
3 19
10
5 1 3 4 2 34. Simplifique 1 1 2
1
5 4
7
4
3
2
.
5
3
35. Calcule o valor racional de para x 3 .
4
28. (FUVEST) Calcule:
x x
1 x
(a)
1 10
1
0,2 0,3
(b)
6
3,2 2,0
1 a
2
e
b
1
3
(a) 5 (b) 1 (c) 0
x
36. (FUVEST) Ache a média aritmética dos
29. (FUVEST) O valor da expressão para
1
a
b
1 ab
,
3
números
13
,
5
4
e
1 2
.
37. (FUVEST) Calcule o valor numérico de
é:
2
(d) (e)
x xy
3 6
, para x 0,1 e y 0,001.
y
38. Determine em U Q , o conjunto verdade das equações:
0
3
30. (FAAP-SP) Expresse A ( 2) 1[ ( 2) 2] 5 ( 3) [ (5 )] na forma de um número racional inteiro.
31. (FUVEST) O valor de (0,2) 3 (0,16) 2 é: (a) 0,0264 (b) 0,0336 (c) 0,1056
(d) 0,2568 (e) 0,6256
1 1 1 6 3 . 32. (FUVEST) Calcule 2 3 1 1 6 2 2 33. (Cesgranrio-RJ) Considere a expressão 1 0,999 5 3 5
1 3 . Efetuando as operações 1 5
indicadas e simplificando, temos: (a)
9 10
(d)
15
(a) 3 x (b) (c) (d) (e)
1 2
27 x 4
4 x 1 2
x 7 4 x 2 x 1
x 1
x
3
x 3
4
x 7 2 x 2 x 1
3x 1 4
6x 1 7
, onde
4
x
1
39. (UFGO) Diminuindo-se 6 anos de idade de 3 minha filha, obtém-se os de sua idade. A 5 idade de minha filha, em anos, é: (a) 9 (d) 15 (b) 10 (e) 18 (c) 12 40. Qual o número que devemos acrescentar a ambos os termos da fração
9
torne igual a
1 2
3 7
para que ela se
? 125 | P á g i n a
41. Relacione os elementos e os conjuntos dados, utilizando os símbolos ou .
11. (a) 14.(a)
12. (c) 2
21
13. -10,1
(b) 7
15. (c)
16. (a) 17. (a) 27 10 2 (b) (d) 62 (e) 47
5 42. Assinale com V as sentenças verdadeiras e, com F , as falsas.
6
2
2
3
(h) m 2 x 2 x 18. (a)
2 2
(b)
3 1 2
3
(e) 0 28. (a) 44. Considerando A e B como subconjuntos não vazios de R mostre que é correto afirmar:
A e B .
Assinale
7 3
(f) 1
2
(c)
9 2 14
11 15
(b) 0,05
15
29. (b) 33.
45. (UFU) Sejam os conjuntos a proposição falsa.
2
5 19. (a) 20. (e) 21. (a) 0 (b) 55 (c) 70 (d) -12 22. (e) 23.(a) V 3 (b) V 3,2(c) V 1 (d) V (e) V 3,2 24. 2 25. 11, 12 e 13 26. 8, 10 e 12 11 11 9 29 27. (a) (b) (c) (d) 15 12 10 10
43. Represente os seguintes conjuntos por extensão de seus elementos:
(c) 12,4 (f) 1 (g)
22
30. 3000
31. (b)
34. -140
35.
32.
10
36.
11
3 5 29 20
37. -10,1
3 4 2 (c) V 3
38.(a) V
(b) V (d) V
5 1
(e) V 0 39. (d) 40. 1 41. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) 42. (a)V (b) F (c) V (d) V (e) F (f) V (g) V (h) V (i) F (j) V 43.(a) A 0,1,2,3,4 (b) B 2,3,4,5 (c) C 3, 2, 1,0,1,2, (d) A 3,2,1,1 45. (d) 46. (e)
46. (Mack-SP) Dados os conjuntos A , B e C ., não vazios, sabe-se que A B . Então sempre se tem:
Repostas 1. (e)
2. (c)
3. (e)
4. (d)
5. (a)
6. (a) 2310m
(b) 660m (c) 1050m
7. (b)
9. (b)
8. (c)
10. 62 126 | P á g i n a
ANEXO II
127 | P á g i n a
