Sesión 1 (Cálculo diferencial)

Funciones Ejercicios

Sesión on 1 Funciones y gráficas aficas Frank Didier Suárez arez Motato Departamento Departamento de Matem´ aticas aticas Universidad Cooperativa de Colombia

7 de febrero de 2015


Ob jetivos Objetivos Funcio unciones nes Ejercicios Funcio unciones nes Funciones Funciones

espe c´ espec ıficos y gr´ aficas aficas de funciones pares e impare impares s crecientes y decrecientes inyectivas y funciones sobreyectivas

Obje Ob jeti tivos vos es esp pec ec´´ıfi ıfico coss

Identificar e interpretar una correspondencia entre conjuntos, expresada en forma gr´ afica afica o simb´ olica, olica, como una funci´ on. on. Identificar, o determinar, para una función on dada o construida, los conjuntos asociados a ella: dominio, codominio, rango y gr´ afica. afica. Evaluar, Evaluar, graficar e identificar funciones pares o impares. As´ As´ı mismo, funciones crecientes y decrecientes.




Funciones y gráficas aficas

Definici´ on on Sean A y B conjuntos no vac´ vac´ıos. Una funci´ funci ´ on f de A en B es una relaci´ on

∈ A y elementos de y ∈ B, de tal forma que a cada elemento x ∈ A se le asocia un ´ unico elemento y ∈ B .

entre elementos de x





Las formas de repesentar una funci´ on on son las siguientes: Como pares ordenados. Tabla de valores.





Las formas de repesentar una funci´ on on son las siguientes: Como pares ordenados. Tabla de valores. Una frase que exprese la relaci´ on entre ambas variables. on





Las formas de repesentar una funci´ on on son las siguientes: Como pares ordenados. Tabla de valores. Una frase que exprese la relaci´ on entre ambas variables. on Una expresi´ on matem´ on atica. atica.





Las formas de repesentar una funci´ on on son las siguientes: Como pares ordenados. Tabla de valores. Una frase que exprese la relaci´ on entre ambas variables. on Una expresi´ on on matem´ atica. atica. Una gr´ afica. afica.





Las formas de repesentar una funci´ on on son las siguientes: Como pares ordenados. Tabla de valores. Una frase que exprese la relaci´ on entre ambas variables. on Una expresi´ on on matem´ atica. atica. Una gr´ afica. afica. Funci´ on definida a trozos on





Las formas de repesentar una funci´ on on son las siguientes: Como pares ordenados. Tabla de valores. Una frase que exprese la relaci´ on entre ambas variables. on Una expresi´ on on matem´ atica. atica. Una gr´ afica. afica. Funci´ on on definida a trozos





Definici´ on on Se define la gr´ afica de la funci´ on y = f (x), denotada por Gf , como el

  conjunto de puntos en el plano de la forma x, f (x) , con x en el dominio de f . f . Es decir, Gf = (x, y ) y = f (x), x

{

|

∈D } f





Teorema Una curva dada o un conjunto de puntos en el plano cartesiano es la gr´ afica de una funci´ on y = f (x) si toda recta vertical corta la gr´ afica a lo m´ as en un punto.




Ejercicios 1

Considere la funci´ on on f (x) = x3 . Calcule simplificando tanto como sea posible: f ( 2)

−

1 f ( a )




Ejercicios 1


−

1 f ( a )

f ( 2 + h)

−

− f (−2)




Ejercicios 1


−

1 f ( a )

f ( 2 + h)

− f (−2) f (x + h) − f (x) −

h




Ejercicios 1


−

1 f ( a )

f ( 2 + h)

− f (−2) f (x + h) − f (x) −

h

2

Encuentre el dominio de las siguientes funciones: f (x) =

√ x + √ 1 − x




Ejercicios 1


−

1 f ( a )

f ( 2 + h)

− f (−2) f (x + h) − f (x) −

h

2

Encuentre el dominio de las siguientes funciones:

√ x + √ 1 − x √ f (x) = x − 3x + 2

f (x) =

2




Ejercicios 1


−

1 f ( a )

f ( 2 + h)

− f (−2) f (x + h) − f (x) −

h

2


√ x + √ 1 − x √ f (x) = x − 3x + 2 f (x) =

2

f (x) =

1 2

|x − 4|




Ejercicios 1


−

1 f ( a )

f ( 2 + h)

− f (−2) f (x + h) − f (x) −

h

2


√ x + √ 1 − x √ f (x) = x − 3x + 2 f (x) =

2

f (x) =

1 2

|x − 4|




Ejercicios de funciones 1

Evalue la funci´ on como se indica, determine su dominio y rango: on

 2x + 1 f (x) = 2x + 2 f (1) f (0)

si x < 0 si x

≥ 0






 2x + 1 f (x) = 2x + 2 f (1) f (0) f ( 2)

−

si x < 0 si x

≥ 0






 2x + 1 f (x) = 2x + 2 f (1) f (0) f ( 2)

−

f (t2 + 1)

si x < 0 si x

≥ 0






 2x + 1 f (x) = 2x + 2 f (1)

si x < 0 si x

≥ 0

f (0) f ( 2)

−

f (t2 + 1)

2

 2x + 1 Dada la funci´ on f (x) = 2x + 2 on  −1

si x <

Encuentre su dominio y recorrido

−10 si |x| ≤ 1 six > 3






 2x + 1 f (x) = 2x + 2

si x < 0 si x

f (1)

≥ 0

f (0) f ( 2)

−

f (t2 + 1)

2

 2x + 1 Dada la funci´ on on f (x) = 2x + 2  −1

si x <

Encuentre su dominio y recorrido Trace la gr´ afica. afica.

−10 si |x| ≤ 1 six > 3






 2x + 1 f (x) = 2x + 2

si x < 0 si x

f (1)

≥ 0

f (0) f ( 2)

−

f (t2 + 1)

2

 2x + 1 Dada la funci´ on on f (x) = 2x + 2  −1

si x <

Encuentre su dominio y recorrido

Trace la gr´ afica. afica.

−10 si |x| ≤ 1 six > 3




Ejercicios de funciones

Un granjero tiene 400 metros de cerca con las que desea construir tres lados de un corral rectangular. Una pared existente formar´ a el cuarto lado. Exprese el ´ area del corral en funci´ area on del lado perpendicular a la on pared. Una mujer de 5 pies de altura está cerca de un farol de 12 pies de altura. Exprese la longitud de su sombra como una funci´ on de la distancia de la on mujer a la base del farol.




Ejercicios de funciones

Un granjero tiene 400 metros de cerca con las que desea construir tres lados de un corral rectangular. Una pared existente formar´ a el cuarto lado. Exprese el ´ area del corral en funci´ area on del lado perpendicular a la on pared. Una mujer de 5 pies de altura está cerca de un farol de 12 pies de altura. Exprese la longitud de su sombra como una funci´ on de la distancia de la on mujer a la base del farol.




Tipo de funciones

Definici´ on on Una funci´ on f es f es par si cumple la condici´ on f ( x) = f (x) para todo

−

x

∈D

f .

Una funci´ on f f es impar si cumple la condici´ on f ( x) =

−

todo x

∈D

f .

−f (x) para




Tipo de funciones


−

x

∈D

f .


−

todo x

∈D

f .

−f (x) para




Tipo de funciones


−

x

∈D

f .


−

todo x

∈D

f .

−f (x) para




Tipos de funciones

Definici´ on on

∈ I tal

Una funci´ on f f es creciente en un intervalo I si I si para todo x1 , x2 que x1 < x2 se cumple que f (x1 ) < f (x2 ).

Una funci´ on f f es es decreciente en un intervalo I I si para todo x1 , x2 tal que x1 < x2 se cumple que f (x1 ) > f (x2 ).

∈ I




Tipos de funciones

Definici´ on on

∈ I tal


Una funci´ on f es f es decreciente en un intervalo I I si para todo x1 , x2 tal que x1 < x2 se cumple que f (x1 ) > f (x2 ).

∈ I




Tipos de funciones

Definici´ on on

∈ I tal


Una funci´ on f es f es decreciente en un intervalo I I si para todo x1 , x2 tal que x1 < x2 se cumple que f (x1 ) > f (x2 ).

∈ I




Tipos de funciones

Definici´ on on

∈ R

Una funci´ on f es f es inyectiva o uno a uno, si cada elemento y de un ´ unico elemento x

∈D

f .

para todo x1 , x2

f es

Simb´ olicamente;

∈ D

f , x1

= x =⇒ f (x ) = f (x ) 2

1

2

f es inyectiva si: De manera equivalente, f para todo x1 , x2

∈ D

(x1 ) = f (x2 ) =

f , f

⇒x

1

= x2

imagen




Tipos de funciones

Definici´ on on Una funci´ on f : A =

⇒ B es sobreyectiva, si cada elemento y ∈ B es imagen de alg´ un elemento x ∈ A. Es decir, si el rango de f coincide f coincide con el

codominio B (Rf = B ).


Ejercicios

Determine si la funci´ on on f (x) =

1 x

es e s inyéctiva, ecti va, sobr s obreyect eyectiva, iva, ambas o

ninguna. Haga la gr´ afica afica usando tabulaci´ on. on.


gráfica afica de f (x) =

1 x


Ejercicios

Determine si la funci´ on on f (x) = 2x3

− 4 es inyectiva, sobreyectiva,

ambas o ninguna. Haga la gr´ afica afica usando tabulaci´ on. on.


gráfica afica de f (x) = 2x3 − 4


√ Determine si la funci´ on on f (x) = 4 − x

2

es inyectiva, sobreyectiva,

ambas o ninguna. Haga la gr´ afica afica usando tabulaci´ on. on.


gráfica afica de f (x) =

√

4 − x2

Sesión 1 (Cálculo diferencial)

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