BAB I PENDAHULUAN
Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, pertengahan, dan zaman modern. modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskow Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume dari frustrum dari frustrum piramid. piramid. Archimedes Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus menyerupai kalkulus integral. Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, Aryabhata, menggunakan konsep kecil takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara mengantar Bhāskara II pada II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle". Rolle". Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan
induksi
matematika, matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke12, seorang Persia seorang Persia Sharaf Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan menemukan turunan dari fungsi dari fungsi kubik, sebuah kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari Mazhab dari Mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa. Yuktibhasa. Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus.
James Gregory
membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668. Gottfried Wilhelm Leibniz pada pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah. Leibniz terpisah. Leibniz dan Newton dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.
1
1.1 LATAR BELAKANG
Turunan adalah suatu objek yang berdasarkan atau dibuat dari suatu sumber dasar. Arti ini penting dalam linguistik dan etimologi, etimologi, dimana bentuk turunan dari suatu kata terbentuk dari beberapa kata dasar. Dalam kimia, Dalam kimia, turunan turunan adalah senyawa adalah senyawa yang terbentuk dari beberapa senyawa. Dalam Dalam finansial, turunan finansial, turunan adalah kependekan dari jaminan turunan. proses proses dari menirunkan disebut diferensiasi. Sedangkan dalam matematika definisi turunan adalah suatu fungsi yang diberi lambang lamba ng f’(dibaca f aksen) dan didefinisikan sebagai
( ) () () dengan menganggap limit ini ada, ada , jika f’(x) bias diperoleh, f dikatakan dapat diturunkan (differentiable). f’(x) disebut turunan f terhadap x, x , dan proses pencarian turunannya disebut penurunan (differentiation). Alasan pemilihan materi ini untuk disajikan dalam makalah ini adalah banyaknya kejadian yang akrab dengan kehidupan sehari-hari yang merupakan aplikasi /penerapan atau setidaknya kejadiannya dapat dijelaskan dengan konsep turunan. Dalam hidup ini, kita sering menghadapi masalah untuk mendapatkan cara terbaik untuk melakukan sesuatu. Sebagai ocntoh, seorang petani ingin memilih kombinasi tanaman yang dapat menghasilkan keuntungan terbesar. Seorang dokter ingin memilih dosis terkecil suatu obat yang akan menyembuhkan penyakit tertentu. Seoran gkepala pabrik akan menekan sekecil mungkin biaya distribusinya. Kadangkala salah satu dari masalah diatas dapat dirumuskan sehinggas melibatkan pemaksimuman atau peminimuman suatu f ungsi pada suatu himpunan yang dirinci. Bila demikian, metode-metode kalkulus menyediakan sarana ampuh untuk menyelesaikan masalah tersebut. Andaiakan bahwa kita diberikan suatu fungsi f fungsi f dan daerah asal S. Tugas pertama kita adalah menentukan apakah f apakah f memiliki suatu nilai maksimum atau minimum pada S. Dengan menganggap bahwa nilai-nilai yang demikian itu ada, kita ingin mengetahui dimana dalam S nilai-nilai tersebbut dicapai. Akhirnya, kita ingin menentukan nilai maksimum dan minimum itu. 1.2 TUJUAN
Tujuan penulisan makalah ini adalah untuk meningkatkan wawasan penulis tentang pokok bahasan /materi yang disajikan di dalam makalah ini, sekaligus untuk memenuhi tugas yang dibebankan oleh Dosen kepada Mahasiswa untuk membuat sebuah makalah sederhana. Selain itu mempelajari kalkulus khususnya dibidang turunan memberikan manfaat dalam mempermudah pemahaman tentang aplikasi yang berhubungan dengannya di
2
kehidupan sehari-hari namun seringkali tidak disadari. Di dalam makalah ini kita akan menyajikan konsep-konsep dasar dan menguraikannya kemudian menjelaskannya. Setelah itu kita akan melihat beberapa contoh penerapan dalam kehidupan. Singkatnya tujuan penulisan makalah ini adalah untuk memberikan kita pemahaman tentang konsep dasar turunan dan mampu menganalisa contoh-contohnya yang terjadi disekitar kita.
1.3 RUANG LINGKUP MATERI
Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada
abad ke-17
sewaktu
Isaac Newton
dan
Gottfried
Wilhelm
Leibniz
mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika. Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier. Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut. Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern. Matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap perkembangan kalkulus Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Setiap perkalian dengan kecil takterhingga (infinitesimal) tetaplah kecil takterhingga, dengan kata lain kecil takterhingga tidak memenuhi properti Archimedes. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil takterhingga. Pada abad ke-19, konsep kecil takterhingga digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu.
3
BAB II LANDASAN TEORI
Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton ( 1642 – 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716 ), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan ( diferensial ) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Turunan dapat ditentukan tanpa proses limit. Untuk keperluan ini dirancang teorema tentang turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi, aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan turunan fungsi invers. Turunan dasar
Aturan - aturan dalam turunan fungsi adalah : 1. f(x), maka f'(x) = 0 2. Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1 3. Aturan pangkat : Jika f(x) = x n, maka f’(x) = n X
n – 1
4. Aturan kelipatan konstanta : (kf) (x) = k. f’(x) 5. Aturan rantai : ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x)) Turunan jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi dua fungsi
Misalkan fungsi f dan g terdiferensialkan pada sel ang I, maka fungsi f + g, f – g, fg, f/g, ( g (x) ≠ 0 pada I ) terdiferensialkan pada I dengan aturan : 1. ( f + g )’ (x) = f’ (x) + g’ (x) 2. ( f – g )’ (x) = f’ (x) + g’ (x) 3. (fg)’ (x) = f (x) g’(x) + g’(x) f(x) 4. ((f)/g )’ (x) = (g(x) f' (x)- f(x) g' (x))/((g(x)2) Turunan fungsi trigonometri
1. d/dx ( sin x ) = cos x 2. d/dx ( cos x ) = - sin x 3. d/dx ( tan x ) = - sec 2 x
4
4. d/dx ( cot x ) = - csc 2 x 5. d/dx ( sec x ) = sec x tan x 6. d/dx ( csc x ) = -csc x cot x Turunan fungsi invers
(f -1)(y) = 1/(f' (x)), atau dy/dx = 1/(dx/dy)
2.1 KAIDAH PENURUNAN UMUM
Kelinearan
Kaidah rantai
Kaidah darab Turunan fungsi invers
Kaidah timbalbalik
Kaidah pangkat umum Kaidah hasil-bagi
untuk setiap fungsi terdiferensialkan f dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada 2.2 TURUNAN FUNGSI SEDERHANA
5
2.3 TURUNAN FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMIK
Perhatikan bahwa persamaan tersebut berlaku untuk semua c, namun turunan tersebut menghasilkan bilangan kompleks
Persamaan di atas juga berlaku untuk semua c namun menghasilkan bilangan kompleks
Turunan logaritma alamiah dengan argumen fungsional tergeneralisasi f ( x) adalah
6
Dengan menerapkan aturan pergantian basis logaritma, turunan untuk basis lain adalah
2.4 TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
2.5 TURUNAN FUNGSI HIPERBOLIK
7
BAB III PEMBAHASAN 3.1 DEFINISI TURUNAN
Misalkan y adalah fungsi dari x atau y f x . Turunan (atau diferensial) dari y dy terhadap x dinotasikan dengan atau y ' atau f ' x , dan didefinisikan sebagai: dx
dy dx
f x x f x y lim x 0 x x 0 x
lim
Contoh 1: Jika diberikan y 2 x , maka tentukanlah turunan y terhadap x. Jawab:
dy dx
y x 0 x
lim
lim
2 x x 2 x
x
x 0
lim
2 x 2 x 2 x
x
x 0
lim
x 0
2 x
x
lim 2 x 0
=2 Secara grafis turunan dapat kita lihat sebagai berikut ini
8
Garis singgung pada ( x, f ( x)). Turunan f' ( x) dari sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut. Kalkulus diferensial adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau kemiringan dari sebuah grafik. Konsep turunan secara fundamental lebih maju dan rumit daripada konsep yang ditemukan di aljabar. Dalam aljabar, seorang murid mempelajari sebuah fungsi dengan input sebuat angka dan output sebuah angka. Tetapi input dari turunan adalah sebuah fungsi dan outputnya juga adalah sebuah fungsi. Untuk memahami turunan, seorang murid harus mempelajari notasi matematika. Dalam notasi matematika, salah satu simbol yang umumnya dipakai untuk menyatakan turunan dari sebuah fungsi adalah apostrofi. Maka turunan dari f adalah f' .
.
Jika input dari sebuah fungsi adalah waktu, maka turunan dari fungsi itu adalah laju perubahan di mana fungsi tersebut berubah. Jika fungsi tersebut adalah fungsi linear, maka fungsi tersebut dapat ditulis dengan y=mx+b, di mana:
. Ini memberikan nilai dari kemiringan suatu garis lurus. Jika sebuah fungsi bukanlah garis lurus, maka perubahan y dibagi terhadap perubahan x bervariasi, dan kita dapat menggunakan kalkulus untuk menentukan nilai pada titik tertentu. Kemiringan dari suatu fungsi dapat diekspresikan:
di mana koordinat dari titik pertama adalah ( x, f ( x)) dan h adalah jarak horizontal antara dua titik.Untuk menentukan kemiringan dari sebuat kurva, kita menggunakan limit :
9
Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva f′ ( x) di suatu titik adalah kemiringan dari garis singgung terhadap kurva di titik tersebut. Kemiringan ini ditentukan dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis sekan. Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi f ( x) = x2 pada titik (3,9):
3.2 RUMUS-RUMUS TURUNAN
Dengan menggunakan definisi turunan dapat diturunkan sejumlah rumus tentang turunan, yaitu:
1.
Jika y cx n dengan c dan n konstanta real, maka
dy dx
cnx n 1
Contoh :
2.
a.
y 2 x 4
b.
y 6 x 3
dy dx
dy dx
2.4 x 41 8 x 3 1
6. x 1 3
Jika y = c dengan c R , maka
3
1
2. x
dy dx
2 3
2
3
x 2
0
Contoh :
10
3.
a.
y 2
b.
y 10
dy
dx dy
0 0
dx
Jika y f x g x , maka
dy dx
f ' x g ' x
Contoh :
4.
dy
a.
y 2 x 4 3 x 2
b.
y 4 x 5 5 x 4 3 x 3 6 x 2
dx
dy
Jika y f x . g x , maka
dx
8 x 3 6 x
dy dx
20 x 4 20 x 3 9 x 2 12x
f ' x . g x f x. g ' x
Contoh : y 2 x 4 3 x 2 4 x f x 2 x 4
f ' x 8 x 3
g ' x 6 x 4 dy y 2 x 4 3 x 2 4 x 8 x 3 .3 x 2 4 x 2 x 4 6 x 4 dx 24 x 5 32 x 4 12 x 5 8 x 4 36 x 5 40x 4
g x 3 x 2 4 x
5.
Jika y
f x g x
dy
, maka
dx
f ' x . g x f x . g ' x
g x 2
Contoh : 2 x
y
x 2 1 f x 2 x f ' x 2
g x x 2 1 g ' x 2 x
dy dx 6.
2. x 2 1 2 x.2 x
x
2
1
2
Jika y f x , maka n
dy dx
2 x 2 2 4 x 2
x
2
1
2
2 2 x 2
x
2
1
2
n 1
n f x . f ' x
Contoh :
y 3 x 2 2 x
4
f x 3 x 2 2 x
dy dx 7.
f ' x 6 x 2
4.3 x 2 2 x .6 x 2
Jika y ln f x , maka
3
dy dx
1
f x
. f ' x
Contoh : y ln 3 x 2 2 x f x 3 x 2 2 x
f ' x 6 x 2
11
dy dx
8.
1
3 x
2
. 6 x 2 =
2 x
Jika y e f x , maka
dy
6 x 2
3 x
2
2 x
e f x . f ' x
dx
Contoh : 2 y e 3 x 2 x
f x 3 x 2 2 x dy dx 9.
f ' x 6 x 2
2 e 3 x 2 x .6 x 2
dy
Jika y sin f x , maka
cos f x . f ' x
dx
Contoh 1: y sin 3 x 2 2 x f x 3 x 2 2 x
dy dx 10.
f ' x 6 x 2
cos3 x 2 2 x .6 x 2 6 x 2. cos3 x 2 2 x
Jika y cos f x , maka
dy dx
sin f x . f ' x
Contoh : y cos3 x 2 2 x f x 3 x 2 2 x
dy dx
f ' x 6 x 2
sin3 x 2 2 x .6 x 2 6 x 2. sin3 x 2 2 x
3.3 TURUNAN KEDUA
Turunan kedua y f x terhadap x dinotasikan dengan
d 2 y
dx 2 Turunan kedua diperoleh dengan menurunkan turunan pertama.
atau y ' ' atau f ' ' x .
Contoh : y 5 x 4 6 x 3 4 x 2 5 x 6
dy dx
20 x 3 18 x 2 8 x 5
d 2 y dx
2
60 x 2 36 x 8
3.4 PENGGUNAAN TURUNAN Menentukan Gradien Garis Singgung Kurva
Misal garis g menyinggung kurva y f x di titik (a, f ( x)). Maka gradien g adalah:
12
m g lim
f a h f a
h 0
h
f ' a
Y y = f ( x ) f (a + h) – f (a) g h X
a
Contoh :
Tentukan gradien garis singgung kurva y x 2 3 x di titik (1, 4). Jawab: y x 2 3 x
y ' 2 x 3
Gradien garis singgung kurva di titik (1, 4) adalah : m y ' 1 2.1 3 5 2.
Menentukan Interval Fungsi Naik dan Turun Kurva y f x naik untuk f ' x 0 dan turun untuk f ' x 0 . Interval yang
f ' x 0 dan f ' x 0 dapat ditentukan dengan menggambarkan memenuhi y y = f ( x )
x( x ) < 0 garis bilangan dari f ' f’ f’ ( x ) > 0 a
x
h
– a
h
Contoh : Tentukan interval fungsi naik dan turun dari y = x3 + 3 x2 – 24 x. Jawab: y = f ( x) = x3 + 3 x2 – 24 x f’ ( x) = 3 x2 + 6 x – 24 = 3( x2 + 2 x – 8)
13
= 3( x + 4)( x – 2) x1 = – 4 ; x2 = 2 dengan melihat garis bilangan dapat diketahui bahwa f ' x 0 untuk x < – 4 atau x > 2 dan f ' x 0 untuk – 4 < x < 2. Jadi fungsi naik untuk x < – 4 atau x > 2 dan fungsi turun untuk – 4 < x < 2. 3.
Menentukan Nilai Maksimum dan Nilai Minimum fungsi Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi sering disebut dengan nilai ekstrim atau nilai stasioner fungsi tersebut. Nilai ekstrim dari fungsi y f x diperoleh pada
f ' x 0 . Misalkan a adalah nilai x yang memenuhi f ' x 0 , maka (a, f (a)) adalah titik ekstrim dan f (a) adalah nilai ekstrim. Nilai ekstrim ini akan merupakan nilai maksimum jika f ' x 0 atau f ' ' x 0 . Untuk lebih mudah perhatikan grafik berikut.
y Titik maksimum
y = f ( x )
Titik minimum a
0 a Titik maksimum
x
h
–
0 h Titik minimum
f’ ( x )
Contoh : 3
2
Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi y = x + 3 x – 24 x . Jawab: 3
2
y = f ( x ) = x + 3 x – 24 x 2
f’ ( x ) = 3 x + 6 x – 24
= 3( x + 4)( x – 2)
f’ ( x ) = 0 untuk x 1 = – 4 dan x2 = 2
2
= 3( x + 2 x – 8)
14
+
0
+
0
-
– 4
2
maksimum
minimum 3
f’ ( x )
2
f ( x ) maksimum untuk x 1 = – 4; nilai maksimum f (-4) = (-4) + 3(-4) – 24.(-4) = 80 3
2
f ( x ) minimum untuk x 1 = 2; nilai minimum f (2) = (2) + 3(2) – 24.(2) = – 28
3.5 KONSEP TURUNAN Turunan di satu titik Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah :
m PQ
f ( x) f (c) x c
Jika x c , maka tali busur PQ akan berubah menjadi garis singgung di ttk P dgn kemiringan
m lim
x c
f(x) f(c) x c
b. Kecepatan Sesaat Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c benda berada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di f(c+h). Perubahan waktu
Perubahan posisi
15
Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah
vrata rata Jika h
f (c h) f (c) h
0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c :
v lim v rata rata lim h 0
f (c h) f (c)
h 0
h
Misal x = c + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk
v lim
x c
f(x) f(c) x c
Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu tema, yaitu turunan Definisi: Turunan pertama fungsi f di titik x = c, notasi
didefinisikan
sebagai berikut:
f ' (c) lim
f(x) f(c)
x c bila limit diatas ada x c
Turunan Sepihak
Turunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :
f ' (c) lim x c
f ( x) f (c) x c
Turunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :
f ' (c) lim x c
f(x) f(c) x c
bila limit ini ada. Fungsi f dikatakan mempunyai turunan(diferensiabel) di c atau ada, jika
f ' ( c ) f ' ( c )
f ' (c )
' ' dan f ' ( c ) f _ ( c ) f ( c )
sebaliknya f dikatakan tidak mempunyai turunan di c.
x 2 x 3 , x 1 Contoh : Diketahui f ( x) 1 2 x , x 1 Selidiki apakah f ( x) diferensiabel di x=1 Jika ya, tentukan
f ' (1)
16
Jawab : '
a. f ( 1 ) lim x 1
lim
f ( x ) f ( 1 ) x 1
x 2 x
x1
' b. f ( 1 ) lim x 1
lim
x1
x 1 f ( x ) f ( 1 ) x 1 2 x 2
x 1
x 2 x 3 ( 1 2 1 )
lim
x 1
x1
x( x 1 )
lim
x 1
x1
lim
1
1 2 x ( 1 2 1 )
x 1
2 lim
x 1 x 1
x 1 ( x 1 )( x 1 )
1
Jadi, f diferensiabel di x=1. dan f ' (1) 1. Turunan Fungsi Implisit
Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam bentuk y = f ( x) maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas
yang berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan y fungsi implisit dari x . Contoh :
1. x 3 y 2 x 2 y 10 2. sin( xy) x 2 y 2 1
Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap y fungsi dari x.
3.6 TURUNAN FUNGSI ALJABAR
Sebuah pesawat membawa perang membawa awaknya untuk di kirim ke tempat yang dituju. Misalkan jarak s yang ditempuh setelah t detik adalah s = 10t 2. Dari informasi ini dapatkah kita menghitung kecepatan pesawat saat t = 1 detik, 2 detik, 3 detik dst? Dengan mempelajari turunan fungsi aljabar, pertanyaan tersebut dapat kita jawab. Berikut kita sajikan ringkasan konsep dasar yang akan digunakan dalam materi turunan fungsi aljabar. Adapun rumus yang akan diberikan berikut ini adalah rumus yang akan sering kita pergunakan dalam penyelesaian permasalahan tentang materi turunsan fungsi aljabar baik tentang teori yang berhubungan maupun tentang aplikasi yang berhubungan dengan materi ini yang sering kita jumpai dalam kehiduan sehari-hari. Adapun rumusnya akan kita berikan pada halaman berikut ini :
17
f x h f x
1. f ' x Lim
h f ' x dibaca " f aksen" h 0
f ' x disebut turunan (derivatif ) pertama dari f x f a h f a
f ' a Lim
disebut perubahan sesaat atau laju perubahan f x h pada x a atau turunan f pada x a h 0
2. Notasi Leibniz Jika y
dy
, y '
f x
y
Lim
Lim
f x h f x
h 0 dx x0 x 3. Beberapa rumus turunan f ungsi aljabar . n
nx n1
a. y
x
b. y
f x n
c. y
c; c konstanta y ' 0
h
y '
n f x
f ' x
n 1
Contoh: 1.
Tentukan turunan pertama dari f x 3 x
2
Penyelesaian
Cara 1
Cara 2
f x 3 x 2 f x 3 x 2
f ' x 2.3 x 2 1
f x h 3 x h
2
6 x
3 x h f x 2
f ' x Lim h 0
h 3 x h 3 x 2 2
Lim h 0
Lim
h
2
3 x
2
3 x 2 xh h 2 3 x 2
h 0
h
Lim
6 xh 3h 2 3 x 2
h 0
Lim
h 6 xh 3h
h 0
2.
Diketahui f x
Penyelesaian
h
1
x
2
Lim h 0
h (6 x 3h ) h
Lim 6 x 3.0 6 x h 0
f x
1
x
x 1
f ' x x 2 atau
1
x 2
18
3.7 PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA Menentukan turunan dari suatu fungsi sama artinya dengan menentukan persamaan garis singgung dari suatu kurva. Masalah tentang garis singgung pada kurva ini sudah dibicarakan para ahli matematika sejak zaman ilmuwan besar Yunani, Archimedes (287 – 212 SM). Selanjutnya di abad ke17 ilmuawan terkenal Newton mengembangkan teori yang kemudian kita kenal sekarang dengan kalkulus.
1.
Gradien garis singgung pada kurva y = f (x) di titik P(a, f (a)) adalah
m f ' a Lim
f a h f a
h 0
2.
h
.
Persamaan garis singgung di titik (a, b) pada kurva y = f (x ) adalah y b
f ' a x a
y
y = f (x)
f (a + h)
Q (a + h, f (a + h))
Garis singgung
g P(a , f (a))
f (a)
R
0
a
x (a + h)
Garis Singgung Pada Kurva
1.
Tentukan persamaan garis singgung pada parabol y
5 x 2 2 x 12 di titik 2,12
Penyelesaian
y 5 x 2 2 x 12 y ' 10 x 2 Melalui titik 2,12 m 102 2 22 Persamaan garis singgung melalui (2, 12) dengan gradien = 22 adalah.
19
y y1 m x x1 y 12 22 x 2 y 22 x 44 22 y 22 x 32 2.
2
Tentukan persamaan garis singgung yang menyinggung parabol y = - x dan sejajar dengan garis
4 x y 3 0 Penyelesaian
Garis 4 x y 3 0 m1
4
Karena sejajar dengan garis singgung parabol maka m2
m1 , y x 2
m2 y' 2 x 4 x 2 untuk x 2 y 4 Persamaan garis singgung yang melalui (2, -4) adalah:
y 4 4 x 2 y 4 x 8 4 4 x 4 Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = - 4x + 4
Rumus Turunan Fungsi Terkadang sukar bagi kita untuk mencari turunan dari suatu fungsi aljabar. Berikut ini adalah beberapa rumus yang dapat memudahkan kita dalam memecahkan masalah tersebut. 1. y
u
2. y
c.u y ' c.u '
3. y
u . v y ' u.v'
4. y
un
5. y
u v
v y ' u '
y '
y '
v'
v.u '
n.u n 1 .u '
u '.v v.u ' v2
;v
0
Contoh : 1.
Tentukan turunan dari f x 3 x
2
4 2 x 14 5
Penyelesaian
20
f x 3 x 2 4 2 x 1 5
4
misal : u 3 x 2 4 u ' 53 x 2 4 .6 x 5
v 2 x 1
4
v' 42 x 1 .2
4
3
y u ' v uv'
30 x 3 x 2 4 2 x 1 3 x 2 4 .8 2 x 1 4
5
4
3
3 x 2 4 .2 x 1 {30 x2 x 1 8.3 x 2 4} 4
3
3 x 2 4 .2 x 1 60 x 2 30 x 24 x 2 32 4
3
3 x 2 4 .2 x 1 84 x 2 30 x 32 4
2.
3
Jika f’ (x) adalah tutunan pertama dari f x
2 x 1
x 2
I
I
, tentukan f (x). Kemudian tentukan f (0).
Penyelesaian
f x
2 x 1
x 2
diketahui a = 2, b = -1, c = 1 dan d = 2
Dengan rumus
f x
ax b cx d
f ' x Jadi f ' (0)
ad cb
f ' x
5
0 22
cx d 2 2.2 (1. 1)
x 22
5
x 22
5 4
3. 8 APLIKASI TURUNAN
Ada banyak hal yang terjadi di kehidupan kita sehari-hari ternyata bisa dibahas dengan menggunakan konsep turunan. Misalnya kita mempunyai sebuah benda yang bergerak di sepanjang suatu garis lurus. Untuk melihat gerakan benda ini, tetapkan titik asal 0 pada garis tersebut. Ambillah arah positif ke kanan dan arah negatif ke kiri dari angka nol tersebut. Jarak berarah (jarak yagn nilainya dapat positif atau negatif) dari benda pada saat t adalah f(t). Dalam hal ini f(t) < 0 bila benda berada disebelah kiri 0 dan f(t) > 0 bila posisi benda berada disebelah kanan titik 0. Gerakan sebuah benda disepanjang garis lurus dikenasl dengan gerak rektilinear dengan s =f(t) sebagai persamaan geraknya. Untuk mempermudah pemahama mari kita simak contoh berikut ini. Aplikasi dalam gerak yang terjadi pada saat mengisi suatu wadah yang berbentuk kerucut (kerucut terbalik) dengan air. Soal :Air dituangkan kedalam bak berbentuk kerucut dengan laju 8dm/menit. Jika tinggi
wadah adsalah 12dm dan jari-jari permukaan atas adalah 6 dm, Seberapa cepat permukaan air naik bilamana tinggi permukaan adalah 4 dm?
21
: Nyatakan tinggi permukaan air dalam bak pada saat tsebarang adalah h dan Penyelesaian andaikan r jari-jari permukaan air yang berpadanan. Seperti ditunjukkan pada gambar.
6 r
h 12
Diketahui bahwa V volume air dalam bak naik dengan laju 8 dm/menit yaitu
. Kita
pada saat h = 4. Kita perlu mencari sebuah persamaan yang mengaitkan V dan h. Rumus untuk volume air dalam wadah adalah V= r 2h ingin mengetahui seberapa cepat air naik yakni
mengandung peubah r yang tidak diinginkan, Tidak diinginkan karena kita tidak mengetahui
. Tetapi memakai segitiga-segitiga yang sebangun seperti yang ditunjukkan pada gambar. Kita mempunyai , sehingga dengan penggantian ini kedalam persamaan V sebuah hubungan yang berlaku untuk semua t>0. Diferensialkan secara memberikan V= lajunya
implisit, dengan mengingat bahwa h tergantung pada t.
Diperoleh
atau , Kita peroleh: Dengan penggantian h = 4 dan () = 0,637 Jadi jika ketinggian air mencapai 4 dm maka permukaan air naik dengan laju 0,637 dm/menit. Contoh lain tentang soal dalam bentuk yang lain akan kita berikan seperti berikut ini. Soal : Sebuah pesawat udara terbang mendatar pada ketinggiasn 4 km, melintasi sebuah
menara. Jika laju pesawat itu tetap sebesar 180 km/jam, berapa cepat jarak dar menara tersebut bertambah setelah lima meit kemudian? Penyelesaian: Kita akan menggunakan gambar sebagai alat bantu.
x pesaawat
4
y
menara
22
Andaikan t menyatakan banyaknya menit setelah pesawat melintasi menara, x mneyatakan jarak horizontal antara menara dengan posisi pesawat dengan ketinggian 4 km setelah t menit kemudian, dan y menyatakan jarak antara menara dengan pesawat setelah t menit kemudian. Peubah x tergantung pada t. Dengan menggunakan dalil Phytagoras kita memperoleh persamaan yang menghubungkan x dan y, yaitu : X2 +42 = y2 Jika kita diferensialkan secara implisit terhadap t dan menggunakan aturan rantai, kita peroleh:
atau x Diketahui laju pesawat = 180 km/jam, dan karena 1 jam = 60 menit maka laju ini sama saja km/menit atau 3 km/menit. dengan 2x
Jadi dalam 1 menit pesawat tersebut dapat menempuh 3 km. Pada t = 5 menit, x = 5 . 3 = 15 km dan y =
√ = √ = √ = √
≈15,52 km Sehingga laju pertambahan jarak pesawat dengan menara:
=
. 3 = = 2,9 km/menit.
Contoh selanjutnya akan kita berikan tentang debit air pada wadah yang berbentuk setengah bola dengan air. Soal : Air keluar dari bawah tangki berbentuk setengah bola yang jari-jarinya 6 dm dengan
laju 3 dm/jam. Pada suatu saat tertentu tangki tersebut penuh. Seberapa cepat permukaan air berubah pada saat tingginya h adalah 2 dm?
r
h
Penyelesaian : Volume segmen setengah bola dengan jari-jari r dan tinggi adalah
V = πh2 [r – (h/30)] Diketahuhi r = 6 dm dan laju air yagn keluar dari bawah tangki : dV/dt = 3 dm/jam
23
Karena h = 2 dm, maka pada saat itu
[ ] [ ] + Atau 3 = () * Atau 3 =
* +
Sehingga
* + * +
Jadi cepat permukaan air berubah pada saat tingginya 2 dm adalah 15,28 dm/jam Berikutnya akan kita berikan soal yang masih berhubungan dengan gerak dan perubahan. Soal : Sebuah tangga panjangnya 5 meter bersandar pada dinding tegak yang licin. Ujung
atasnya bersandar pada dinding dan ujung bawahnya juga bersandar pada lantai yang datar dan licin juga. Jika pada saat 3 meter dari lantai kecepatan meluncur ujung atasnya adalah 1 meter/detik. Tentukan kecepatan meluncur ujung tangga yang bersandar pada lantai saat itu.
Penyelesaian :
Pada gambar tersebut misalkan pada setiap saat t jarak ujung atas tangga ke lantai adalah y meter dan jarak ujung bawah tangga ke dinding adalah x meter. Kita akan menentukan meter bila diketahui
pada saat y = 3
= -1 meter/detik (tanda negatif
menunjukkan bahwa ujung tangga pada dinding meluncur ke bawah. Karena panjang tangga adalah 5 meter maka persamaan yagn mengaitkan x dan y adalah
. Turunan implisit
terhadap t dari kedua persamaan ini menghasilkan
. √ dan dy/dt = -1 meter/detik sehingga diperoleh . Jadi kecepatan meluncur tangga di lantai pada () Untuk y = 3 meter, x =
saat kecepatan ujung atas tangga adalah 1 meter/detik dan 3 meter diatas permukaan lantai adalah ¾ meter/detik.
24
Soal : Sebuah tangga panjangnya 6 meter bersandar pada sebuah dinding tegak yang
tingginya 4 meter dengan bagian atas tangga melewati dinding. Jika ujung bawahnya ditarik horizontal dengan kecepatan 2 meter/detik menjauhi dinding, tentukan percepatan vertikal ujung atas tangga pada saat tangga membentuk sudut 60 o dengan permukaan lantai.
Penyelesaian : Pada gambar tersebut misalkan setiap saat t sudut antara tangga dengan
permukaan lantai adalah
, jarak ujung bawah tangga ke dinding
adalah x meter, sedangkan jarak ujung atas tangga dengan lantai adalah y meter. Kita akan menentukan dy/dt pada saat
bila o
diketahui dx/dt = 2 meter /detik. Tentukan dahulu kecepatan perubahan sudut
pada setiap saat t. Dari kaitan tan = atau x
tan = 4. Turunan implisit terhadap t dari kedua ruasnya
. Untuk 60 maka √ , dan dx/dt = 2 meter /detik. Kita mempunyai √ √ x= √ kemudian dari y = 6 sin diperoleh sehingga menghasilkan
o
meter/detik (tanda negatif menandakan ujung atas tangga meluncur ke bawah). Jadi, kecepatan vertikal ujung atas tangga pada saat membentuk sudut 60 o dengan permukaan lantai dan ujung bawah tangga ditarik horizontal ditarik 2 meter/detik menjauhi dinding
adalah meter/detik.
25
BAB IV PENUTUP 4.1 KESIMPULAN
Dari materi yang disajikan maka penulis akan menyimpulkan poin-poin utama dalam makalah yang telah dilakukan pembahasan melalui pemberian konsep dasar dan contohcontoh yang sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Diketahui bahwa turunan adalah suatu objek yang berdasarkan atau dibuat dari suatu sumber dasar. Arti ini penting dalam linguistik dan etimologi, dimana bentuk turunan dari suatu kata terbentuk dari beberapa kata dasar. Dalam kimia, turunan adalah senyawa yang terbentuk dari beberapa senyawa. Dalam finansial, turunan adalah kependekan dari jaminan turunan. proses dari menirunkan disebut diferensiasi. Sedangkan dalam matematika definisi turunan adalah suatu fungsi yang diberi lambang f’(dibaca f aksen) dan didefinisikan sebagai
( ) () () dengan menganggap limit ini ada, jika f’(x) bias diperoleh, f dikatakan dapat diturunkan (differentiable). f’(x) disebut turunan f terhadap x, dan proses pencarian turunannya disebut penurunan (differentiation). Ada banyak kejadian yang terjadi di kehidupan kita sehari-hari yang merupakan aplikasi /penerapan atau setidaknya kejadiannya dapat dijelaskan dengan konsep turunan. Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Jadi dengan menguasai konsep dasar yang berlaku pada turunan kita dapat mengkaji berbagai kejadian yang berhubungan dengan gerak dan perubahan yang akrab/sering terjadi di kedhidupan kita sehari-hari. 4.2 SARAN
Dari kajian yang disajikan dalam makalah ini penulis (dalam hal ini mahasiswa) menganjurkan kepada sekalian pembaca agar lebih mengutamakan penguasaan konsep dasar yang berhubungan dengan suatu formula (dalam hal ini diferensial). Kemudian kita harus menyadari bahwa semua formula matematika tidak hadir begitu saja tanpa adanya manfaat yang berhubungan. Melainkan semua itu muncul karena adanya permasalahan yang membutuhkan penyelesaian dengan menggunakan formula tersebut. Jadi hampir semua konsep matematika memiliki penerapan di berbagai bidang di kehidupan.
26
