Aplikasi Statistik Maxwell-Boltzmann 1.
Pelebaran Spectrum Akibat Efek Doppler
Efek Doppler dijumpai pada gelombang bunyi maupun gelombang elektromagnetik. Salah satu pesan dari efek ini adalah jika sumber gelombang mendekati pengamat maka panjang gelombang yang dikur oleh pengamat lebih kecil daripada apabila sumber diam terhadap pengamat. Sebaliknya, jika sumber gelombang menjauhi pengamat maka panjang gelombang yang diukur pengamat lebih besar daripada apabila sumber diam terhadap pengamat. Peristiwa ini dapat dilustrasikan pada Gbr. 1.
Gambar 1 Jika sumber mendekati pengamat maka panjang gelombang yang diukur pengamat lebih pendek daripada yang dikeluarkan sumber. Sebaliknya, jika sumber menjauhi pengamat maka panjang gelombang yang dikur pengamat lebih panjang daripada yang dikeluarkan sumber Khusus untuk gelombang gelombang elektromagnetik, panjang gelombang yang dikur oleh pengamat yang diam yang dihasilkan oleh sumber sumber bergerak dengan kecepatan terhadap pengamat adalah
dengan λ panjang gelombang yang dikur pengamat, λ o adalah panjang gelombang yang dikur jika sumber gelombang diam terhadap pengamat, dan c adalah kecepatan cahaya. Kita
definisikan tanda kecepatan yaitu v x
>
0 jika sumber mendekati pengamat dan v x
<
0 jika
sumber menjauhi pengamat. Dalam astronomi, efek Dopler digunakan untuk mengukur kecepatan bitnag-bintang. Berdasarkan pergeseran panjang gelombang yang dipancarkan bintang-bintang tersebut maka kecepatan relatif bintang terhadap bumi dapat diprediksi menggunakan persamaan
Gbr 2 Atom memancarkan gelombang elektromagnetik ketika terjadi transisi electron antar tingkat energi Mari kita perhatikan sebuah atom yang memiliki dua tingkat energi (Gbr. 2). Atom tersebut memancarkan spektrum gelombang elektromagnetik dengan panjang gelombang tertentu, sebut saja λ o, akibat transisi elektron antar tingkat energi atom tersebut. Jika atom dalam keadaan diam maka panjang gelombang yang kita ukur adalah λ o, persis sama dengan panjang gelombang yang dipancarkan atom. Tetapi jika atom mendekati pengamat dengan laju v x maka panjang gelombang yang dikur pengamat adalah λ
= λ o
(1 −
v
x
/ c). Dan
sebaliknya, jika atom menjauhi pengamat dengan laju v x maka png yang dikur pengamat adalah λ = λ o (1 + v x / c). Sebagi ilustrasi, lihat Gbr. 3 Jika ada sejuma lah atom yang diam maka gelombang yang diukur pengamat merupakan jumlah gelombang yang dipancarkan oleh semua atom. Panjang gelombang yang diterima dari semua atom sama, yaitu λ o. Yang dideteksi oleh pengamat hanyalah gelombang dengan panjang oλtetapi memiliki intensitas tinggi. Akan tetapi jika atom yang memancarkan gelombang bergerak secara acak maka komponen kecepatan ke arah pengamat, yaitu v x juga acak. Akibatnya panjang gelombang yang diukur pengamat yang berasal dari satu atom berbeda dengan yang diukur dari atom lainnya. Pengamat akan mengukur gelombang yang memiliki panjang yang bervariasi dalam jangkauan tertentu. Ini berakibat pada pelebaran garis spektrum yang diamati.
Gambar 3 Pengamat menangkap panjang gelombang yang berbeda-beda bergantung pada gerak relative antara atom terhadap pengamat
Selanjutnya kita akan menentukan distribusi intensitas spektrum pada berbagai panjang gelombang. Kecepatan atom gas pemancar spektrum memenuhi fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann karena merupakan partikel klasik. Jumlah atom gas yang memilik komponen kecepatan antara v x sampai v x + dv x adalah
Untuk mendapatkan fungsi distribusi intensitas maka kita harus mentrasformasi variable kecepatan v x ke dalam variable panjang gelombang
λ
dengan menggunakan
persamaan Doppler. Apabila transformasi tersebut dilakukan maka n(v x )dv x menjadi sebanding dengan I (λ )d λ yang menyatakan intensitas gelombang memiliki panjang antara λ sampai λ + dλ. Dengan demikian kita peroleh
Dari persamaan awal di dapatkan
Setelah di substitusi didapatkan
Dengan I (λ o ) adalah intensitas ketika λ
=
λ o . I (λ o ) tidak bergantung pada panjang
gelombang tetapi bergantung pada beseran lain seperti suhu gas dan massa atom gas. Gambar 4 adalah plot I (λ ) sebagai fungsi λ pada berbagai suhu gas. Tampak bahwa intensitas terdeteksi di sekitar
λ o
dengan
λ o
merupakan lokasi puncak intensitas. Jika
suhu diperbesar maka spektrum makin lebar dan intensitasnya makin lemah. Ini disebabkan karena gerakan atom yang makin acak.
Spektrum jika semua atom diam
Spektrum jika atom bergerak acak Gambar 4 Plot intensitas sebagai fungsi panjang gelombang pada berbegai suhu gas.
Aplikasi Statistik Bose-Einstein 1 Radiasi Benda Hitam
Teori tentang radiasi benda hitam menandai awal lahirnya mekanika kuantum dan fisika modern. Benda hitam merupakan penyerap sekaligus pemancar kalor terbaik sekaligus. Pemancar kalor terbaik. Benda hitam dapat dianalogikan sebagai kotak yang berisi gas foton. Jumlah foton dalam kotak tidak selalu konstan. Ada kalanya foton diserap oleh atom-atom yang berada di dinding kotak dan sebalaiknya atom-atom di dinding kotak dapat memancarkan foton ke dalam ruang kotak. Karena jumlah foton yang tidak konstan ini maka factor Bose-Einstein untuk gas foton adalah 1/(e
E/kT
- 1), yang diperoleh
dengan menggunakan α = 0. Foton adalah kuantum gelombang elektromagnetik. Eksistensi foton direpresentasikan oleh keberadan gelombang berdiri dalam kotak. Kerapatan kedaan gelombang berdiri dalam kotak tiga dimensi yaitu
4
4πdλ/λ
. Karena gelombang elektromagneik memiliki dua
kemungkinan arah osilasi (polarisasi) yang saling bebas, maka kerapatan kedaan foton dalam kotak merupakan dua kali kerapatan gelombang stasioner, yaitu
Dengan demikian, jumlah foton dengan panjang gelombang antara λ sampai λλ d + adalah
Karena energi satu foron adalah λ/hcE = maka energi foton yang memiliki panjang gelombang antara λ sampai λλ d + adalah
H uk um Pergeseran Wien
Gambar 10.1 adalah plot E( λ) sebagai fungsi λ pada berbagai suhu. Tampak bahwa E( λ) mula-mula naik, kemudian turun setelah mencapai nilai maksimum pada
panjang gelombang mλ. Berapakah mλ? Kita dapat menentukan mλ dengan mendiferensial )(λ E terhadap λ dan menyamakan λ dengan mλ, atau
Gambar 10.1 Spektrum radiasi benda hitam pada berbagai suhu Berdasarkan persamaan di atas maka
Persamaan (10.14) sangat mirip dengan persamaan Stefan-Boltzman tentang energi yang 4
diradiasi benda hitam, yaitu Erad – σT dengan σ konstanta Stefan – Boltzmann. Jadi, pada persamaan (10.14) kita dapat menyamakan
Dengan menggunakan instruksi Mathematica sederhana kita dapatkan
-23
Selanjutnua, dengan memasukkan nilai konstanta-konstanta lain k =1,38 × 10 -34
6,625 × 10
8
J s, dan = 3 × 10c m/s kita dapatkan nilai konstanta Stefan-Boltzmann
J/K, h=
Aplikasi Distribusi Fermi Dirac
1.
Fungsi Distribusi Fermi Dirac Pada Suhu 0 K
Ada satu cirri yang menarik dari fungsi distribusi Fermi-Dirac yang tidak dijumpai dapad distrubusi Maxwell-Boltzmann atau Bose-Einstein. Pada suhu 0 K, fungsi dtribusi Fermi-Dirac tiba-tiba dikontinu pada energi tertentu (energi maksimum). Semua fermion terkumpul pada tingkat energi di bawah energi maksimum tersebut dengan kerapatan yang persis sama. Tiap keadaan energi diisi oleh dua fermion dengan arah spin berlawanan. Di atas energi batas tersebut tidak ditemukan satu fermion pun. Artinya di atas energi tersebut, keadaan energi kosong. Sifat ini dapat ditunjukkan sebagai berikut. Kita dapat menulis ulang fungsi distribusi Fermi Dirac
dalam bentuk yang lebih mudah, yaitu
Pada penulisan persamaan (11.1) kita telah mengganti β =-1/kT dan telah mendefinsikan E F =
αkT.
Parameter dikenal dengan energi Fermi. Tampak dari bentuk
bahwa maka f(E) bahwa E – EF maka f(E) = 1/2 , berapa pun suhu assembli. Dengan demikian kita dapat mendefinisikan bahwa energi Fermi sama dengan energi ketika fungsi distribusi memiliki nilai tepat setengah. Hal yang menarik muncul ketika assembli 0 K. Dalam suhu tersebut:
Ini berarti pada T = 0, fungsi distribusi Fermi-Dirac berharga 1 untuk semua energi di bawah energi Fermi dan nol untuk semua energi di atas energi Fermi. Jika digambar, maka bentuk fungsi distribusi tersebut paad T = 0 tampak pada Gbr. 11.1
