Aplikasi Statistik Maxwell-Boltzman Maxwell-Boltzmann: n:
By
: Paian Tamba
E-mail :
[email protected]
Ekipartisi Energi Bila energi partikel-partikel dalam suatu sistem berbentuk kuadrat dari koordinat posisi dan momentum sistem maka setiap suku yang mengandung kuadrat tersebut akan berkontribusi terhadap energi rata-rata sebesar 1/2kT, dimana T adalah temperatur sistem. Hal ini akan dibahas sebagai suatu aplikasi dari statistik Maxwell-Boltzmann. 1. Bentuk-Bentuk Energi Energi suatu partikel dapat berbentuk murni energi kinetik, misalnya dalam arah-x : 2 x=p x /2m
є
(1)
Dapat pula berbentuk energi kinetik dan energi potensial, misalnya pada osilator harmonik, yang untuk arah-x-nya adalah:
x
p
2
x
2m
1 2
x
2
(2)
yang akan memiliki bentuk yang sama pula dalam kedua arah lainnya. Dengan demikian, secara lengkap suku energi є merupakan fungsi dari x, y, z, px, py, dan pz atau koordinat dari ruang fasa enam-dimensi Γ. Suatu bentuk lengkap
є
yang bergantung kuadrat dari koordinat-
koordinat ruang Γ adalah 2 2 p 2 x 1 p p 1 1 y z 2 2 2 x x y z 2m 2 2m 2 2m 2
(3)
2. Rata-rata energi kinetik Rata-rata nilai є x pada temperatur T:
x
/ kT 2 x me d p / 2
e
/ kT
d
(4)
dengan dΓ = dxdydxdpxdpydpz. Dengan melihat bentuk umum dalam Persamaan (4) maka apabila dituliskan
p 2 x /2m /2m merupakan suatu suku yang tidak lagi bergantung dari px.
(5)
Dengan menggunakan cara ini maka Persamaan ( 1 ) dapat dituliskan menjadi:
e x
e
p x 2 kT m 2 p x 2 kT 2 m
dV p dp y dp z
p
2
x
/ 2m e
mk T p x 2 / 2 mkT
dp x
(6)) (6
dV p dp y dp z
e
p x 2 / 2 mk T
dpx
Dengan melakukan subtsitusi u2 = p2x /2mkT maka Persamaan (6) akan menjadi:
kT
x
u
2
e
-u
2
-
( 7)
e
du
-u
2
du
dengan menggunakan integral parsial, dimana :
2 -u
u e
2
du
-
1
2
ue
u 2
d (u
2
)
ue 2
1
-u
2
u
1
e 2
-u
2
du
1
e 2
-u 2
du
Maka persamaan (7) menjadi:
kT
x
u
2
e
-u
2
-
e
-
-u 2
du
du
1 k T 2
e
-u 2
du
e
-u 2
du
1 2
kT
( 8)
-
Dengan cara yang sama akan dapat diperoleh bahwa
1 / 2k T dan 1 / 2k T
(9)
3. Rata-Rata Energi Potensial Mirip Pegas Bila partikel memiliki energi potensial yang bergantung posisi seperti dalam Persamaan (2), maka rata-rata energi potensial dalam arah-x dapat dicari, misalnya saja
u x
1 2
x
2
(10)
Kemudian dengan menggunakan prosedur yang sama seperti sebelumnya, yaitu membuat suatu suku yang bebas terhadap x, yaitu
1 2
x
2
(11)
maka dapat diperoleh bahwa:
x e ux e x
2
/ 2
2
/ 2
( x / 2) e 2
k T k T
dV p dydz
( x / 2) e
x 2 / 2 kT
dV p dydz
e
x 2 / 2 k T
dx
dx
(12)
e
dx
2
x 2 / 2 k T
x 2 / 2 kT
dx
dengan menggunakan u2 = µx2 /2kT maka Persamaana (12) akan menjadi
kT ux
u
2
e
-u
2
-
e
du
-u
2
du
1 2
kT
(13)
sehingga untuk potensial pada arah-y dan arah-z akan diperoleh pula:
u y 1 / 2k T dan u z 1 / 2k T
(14)
4. Rata-Rata Energi Osilator Harmonik Suatu osilator harmonik yang memiliki energi pada arah-x seperti dalam Persamaan (2) dapat pula dihitung energi rata-ratanya pada arah-x, yaitu
p
x
x
/ 2m x 2 / 2 exp ( p x / 2m x 2 / 2) / k T dxdp x
2
2
(15)
2 ( p / 2m x / 2)dxdp 2
dengan kembali menggunakan prosedur yang sama dalam membahas integral dalam dΓ. Untuk menyelesaikan Persamaan (15), nyatakan koordinat x dan px dalam bentuk polar sehingga:
px
2
r 2 s in 2
2m 1 x 2 r 2 c o s 2 2 dxdp x 2 ( /x) /x )1/2 r dr d
(16) (17) (18)
Persamaan 15 akan menjadi:
2
x
d e 0 2
r 2 / k T 3
r dr
kT
0
d e 0
Integral
e
au 2
r 2 / k T
(19)
rdr
0
e
au 2
3 u du dapat dipecahkan lewat:
3
u du
1
2a
2
u e
au 2
d ( au
2
)
0
1 2 u e 2a
0 a
1
1 a
au
2
1 a u 0
ue
au
2
du
0
1 a
au 2
du
0
ue
au 2
du
0
e
ue
2
- r / kT
r dr kT 3
e
2
- r / kT
rdr
