Aplikasi Integral dalam kehidupan sehari-hari Definisi Integral adalah kebalikan dari diferensial. Apabila kita mendiferensiasi kita mulai dengan suatu pernyataan dan melanjutkannya untuk mencari turunannya. Apabila kita mengintergrasikan,kita mulai dengan turunannya dan kemudian mencari peryataan asal integral ini. Lambang integral adalah Integral dalam kehidupan sehari-hari sangatlah luas cangkupannya seperti digunakan di bidang teknologi,fisika,ekonomi,matematika,teknik dan dan bidang-bidang lain. Integral dalam bidang teknologi diantaranya diantaran ya digunakan untuk memecahkan persoalan yang berhubungan dengan volume,panjang kurva,memperkirakan populasi,keluaran kardiak,usaha,gaya dan surplus konsumen. Sedangkan dalam bidang ekonomi penerapan integral diantarana ada 4 yaitu untuk menentukan persamaan-persamaan dalam perilaku ekonomi, mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal,mencari fungsi asal dari fungsi marginalnya dan mencari fungsi penerimaan total dari fungsi marginalnya. Dalam bidang matematika dan fisika penerapan integral juga digunakan,seperti dalam matematika digunakan untuk menentukan luas suatu bidang,menentukan volum benda putar dan menentukan panjang busur. Sedangkan dalam fisika integral digunakan untuk analisis rangkaian listrik arus AC, analisis medan me dan magnet pada kumparan, dan analisis gaya-gaya pada struktur pelengkung. Penerapan integral dalam bidang teknik digunakan di gunakan untuk mengetahui volume benda putar dan digunakan untuk mengetahui luas daerah pada kurva. Contoh integral dalam kehidupan sehari-hari,kita tahu kecepatan sebuah motor pada waktu tertentu, tapi kita ingin tau posisi benda itu pada setiap waktu. Untuk menemukan hubungan ini kita memerlukan proses integral (antidiferensial) (antidiferensia l) dan Lihat gedung Petronas di Kuala Lumpur atau gedung-gedung bertingkat di Jakarta. Semakin ti nggi bangunan semakin kuat angin yang menghantamnya. Karenanya bagian atas bangunan harus diranc ang berbeda dengan bagian bawah. Untuk menentukan rancangan yang tepat, dipakailah integral. Contoh soal yang menggunakan Integral dalam bidang ekonomi : 1. Diketahui MR suatu perusahaan adalah 15Q2 + 10Q – 5. 5. Tentukan penerimaan totalnya (TR), jika c = 0 ? TR
= ∫ MR dQ
= ∫ 15Q2 + 10Q – 5 5 dQ = 5Q3 + 5Q2 – 5Q 5Q + c jika c
=0
TR
= 5Q3 + 5Q2 – 5Q 5Q
2. Diketahui produk marginalnya 2Q 2 + 4, maka produk totalnya jika c = 0 ?
= ∫ MP dQ
P
= ∫ 2Q2 + 4 = 2/3 Q3 + 4Q + c jika c
=0
P
= 2/3 Q3 + 4Q
Analisa : Dari perhitungan tersebut dapat diketahui bahwa fungsi total produksi adalah P = 2/3 Q3 + 4Q. APLIKASI HITUNG DIFERENSIAL DALAM ILMU EKONOMI
A.
Pengertian Diferensial (Derivatif) Darivatif atau turunan
tidak dianggap sebagai suatu hasil bagi atau pecahan dengan dy
sebagai pembilang dan dx sebagai penyebut, melainkan sebagai lambang yang menyertakan limit dari
, sewaktu
mendekati nilai nol sebagai limit. Akan tetapi untuk dapat
memahami masalah – masalah masalah tertentu kadang – kadang kadang bermanfaat juga untuk menafsirkan dx dan dy secara terpisah. Dalam hubungan ini dx menyatakan diferensial x dan dy diferensial y. pengertian diferensial berguna sekali, misalnya dalam aplikasinya pada kalkulus integral dan pada pendekatan perubahan dalam variabel gayut yang berkaitan dengan perubahan – perubahan perubahan kecil dalam variabel bebas. Jika f (x) merupakan derivative dari fungsi f(x) untuk nilai x tertentu dan
merupakan
kenaikan dalam x, maka diferensial dari f(x), yang dalam hal ini ditulis f(x), terdefinisikan oleh persamaan.
B.
Kaidah – Kaidah Kaidah Diferensial Diferensial adalah proses penentuan n turunan dari suatu fungsi, yaitu mencari perubahan y berkenaan dengan suatu perubahan x apabila perubahan x (
1.
Kaidah fungsi constant Misalnya ; y = k maka Contoh : y = 5 maka
=0
mendekati nol.
2. Diketahui produk marginalnya 2Q 2 + 4, maka produk totalnya jika c = 0 ?
= ∫ MP dQ
P
= ∫ 2Q2 + 4 = 2/3 Q3 + 4Q + c jika c
=0
P
= 2/3 Q3 + 4Q
Analisa : Dari perhitungan tersebut dapat diketahui bahwa fungsi total produksi adalah P = 2/3 Q3 + 4Q. APLIKASI HITUNG DIFERENSIAL DALAM ILMU EKONOMI
A.
Pengertian Diferensial (Derivatif) Darivatif atau turunan
tidak dianggap sebagai suatu hasil bagi atau pecahan dengan dy
sebagai pembilang dan dx sebagai penyebut, melainkan sebagai lambang yang menyertakan limit dari
, sewaktu
mendekati nilai nol sebagai limit. Akan tetapi untuk dapat
memahami masalah – masalah masalah tertentu kadang – kadang kadang bermanfaat juga untuk menafsirkan dx dan dy secara terpisah. Dalam hubungan ini dx menyatakan diferensial x dan dy diferensial y. pengertian diferensial berguna sekali, misalnya dalam aplikasinya pada kalkulus integral dan pada pendekatan perubahan dalam variabel gayut yang berkaitan dengan perubahan – perubahan perubahan kecil dalam variabel bebas. Jika f (x) merupakan derivative dari fungsi f(x) untuk nilai x tertentu dan
merupakan
kenaikan dalam x, maka diferensial dari f(x), yang dalam hal ini ditulis f(x), terdefinisikan oleh persamaan.
B.
Kaidah – Kaidah Kaidah Diferensial Diferensial adalah proses penentuan n turunan dari suatu fungsi, yaitu mencari perubahan y berkenaan dengan suatu perubahan x apabila perubahan x (
1.
Kaidah fungsi constant Misalnya ; y = k maka Contoh : y = 5 maka
=0
mendekati nol.
2.
Kaidah fungsi linear Misalnya : y = a + bx maka Contoh : y = 2 + 3x maka
3.
Kaidah fungsi pangkat Misalnya; y = x n dimana n ≠ 0 maka Contoh : y = x4 maka
4.
4x3
Diferensiasi perkalian konstan dengan fungsi Jika y = kv dimana v = f(x) maka = Contoh :
5.
Diferensiasi pembagian konstan dengan fungsi Jika y =
dimana v = f(x) maka =
Contoh: y= 6.
Diferensiasi penjumlahan (pengurangan), fungsi Jika
dimana u = g(x) dan v = h(x)
Maka Contoh:
7.
Diferensiasi perkalian fungsi
Maka Contoh:
8.
Diferensiasi perkalian fungsi Jika
Maka
=
Contoh:
9.
Diferensiasi fungsi komposit Jika y=f(u) sedangkan u=g(x) dengan kata lain y=f{g(x)} Maka Contoh: y=
10. Diferensiasi fungsi berpangkat Jika Maka Contoh:
C.
Perilaku Konsumen Perilaku konsumen di adalam memutuskan berapa jumlah barang yang akan dibeli biasanya mengikuti hukum permintaan yang mengatakan bahwa bila harga sesuatu barang naik, maka ceteris paribus (faktor-faktor lain dianggap tetap) jumlah barang yang diminta konsumen turun. Demikian pula sebaliknya bila harga turun maka ceteris paribus jumlah barang yang diminta akan naik. Salah satu pendekatan yang menjelaskan mengapa konsumen berperilaku seperti itu adalah pendekatan kepuasan marjinal (marjinal utility). Kepuasan marjinal adalah tambahan kepuasan yang diperoleh konsumen karena ada tambahan konsumsi satu unit barang. Jadi kepuasan marjinal tidak lain adalah turunan pertama dari kepuasan total.
Keterangan: MU = Kepuasan marjinal TU = Kepuasan total Q
= Jumlah barang yang dikonsumsi
Pendekatan kepuasan marjinal bertitik tolak pada suatu tanggapan yang mengatakan bahwa kepuasan konsumen dapat diukur dengan uang dan konsumen berusaha untuk mencapai kepuasan total yang maksimum. Jika P menunjukkan harga barang, maka konsumen akan memperoleh kepuasan total yang maksimum apabila dipenuhi syarat:
Contoh: 1.
Berapakah jumlah barang yang akan diminta oleh konsumen apabila harga barang per unit Rp. 2000,- dan kepuasan total konsumen ditunjukkan oleh fungsi Jawab: Kepuasan total yang maksimum akan diperoleh konsumen bila syarat P = MU di penuhi, maka: 2000 = 2100
0,5Q
0,5Q = 100 Q = 200 Jadi, konsumen akan memperoleh kepuasan total apabila ia membeli barang sebanyak 200 unit pada harga Rp. 2000,- per unit. 2.
Seorang konsumen membeli sejenis barang sebanyak 20 unit dan ia telah memperoleh kepuasan total yang maksimum. Berapakah harga pembelian barang tersebut per unitnya jika fungsi kepuasan total konsumen ditunjukkan oleh fungsi Jawab: Kepuasan marjinal:
Kepuasan total yang maksimum diperoleh bila
Jumlah barang yang dikonsumsi adalah 20 unit.
Jadi pada tingkat harga Rp 5,00 konsumen akan memperoleh kepuasan maksimum dengan mengkonsumsi barang sebanyak 30 unit.
D.
Perilaku Produsen Salah satu keputusan yang harus diambil oleh seorang produsen adalah menentukan berapa output yang harus diproduksi. Setiap proses produksi, seorang produsen dianggap mempunyai landasan teknis untuk berproduksi yang disebut fungi produksi. Fungsi produksi adalah suatu fungsi atau persamaan yang menunjukkan hubungan antara tingkat output yang dihasilkan dan penggunaan input-input. Tambahan output yang dihasilkan karena ada penambahan pemakaian satu unit input disebut dengan produksi marjinal (Marjinal Physical Product) dan diberi symbol MP. Bila Q menunjukkan tingkat output yang dihasilkan dan L menunjukkan tingkat penggunaan input, maka produksi marjinal dapat dirumuskan:
Selain konsep produksi marjinal, dalam membicarakan perilaku konsumen ini dipakai pula konsep produksi rata-rata (Average Product) yang kemudian kita beri simbol AP, Produk rata-rata adalah output rata-rata per unit dan dirumuskan:
Tujuan produsen dalam memproduksi barang dianggap untuk mendapatkan keuntungan maksimum. Oleh sebab itu produsen harus bisa memutuskan berapa banyak input yang harus digunakan agar output yang yang dihasilkan dapat memberikan keuntungan yang maksimum. Syarat yang harus dipenuhi:
Contoh:
Perusahaan “X” memproduksi suatu jenis barang dengan input variabel L, output yang dihasilkan pada berbagai tingkat input adalah Q = 75L
, jika harga input L adalah Rp.
7500,- per unit dan harga output Rp. 500,- berapa unit yang harus diproduksi oleh perusahaan agar keuntungan yang diperoleh maksimum? Berapakah produksi rata-ratanya? Jawab: Fungsi Produksi Q = 75L
, maka MP = 75 – 2L
Syarat keuntungan maksimum:
75 – 2L = L = 30 unit Jadi, input yang digunakan agar keuntungan produsen maksimum adalah 30 unit. Jumlah output yang dihasilkan adalah: Q = 73(30) – (30)2 = 1350 unit Produksi rata-rata: AP =
=
= 45 unit output
Artinya, pada tingkat penggunaan input L = 30 unit, setiap unit input digunakan untuk menghasilkan rata-rata 45 unit output.
E.
Biaya Produksi Biaya produksi bagi suatu perasaan adalah nilai dari factor-faktor produksi (sumbersumber ekonomi) yang digunakan dalam proses produksi. Dari segi sifat biaya dalam hubunganya dengan tingkat output, biaya produksi total dapat dibagi menjadi:
a.
Biaya Tetap Total ( Total Fixed Cost) disingkat TFC atau FC yaitu jumlah biaya-biaya yang besarnya tetap, berapapun tingkat output yang dihasilkan. Biaya yang termasuk biaya tetap ini misalnya: Penyusutan, sewa gudang, asuransi dan sebagainya.
b.
Biaya Variabel Total (Total Variabel Cost) disingkat TVC atau VC adalah biaya yang besarnya tergantung dari jumlah output yang dihasilkan. Biaya variabel ini akan bertambah besar bila output yang dihasilkan bertambah. Biaya yang termasuk TVC misalnya biaya untuk bahan mentah, upah, ongkos, angkut dan sebagainya.
c.
Biaya Total (Total Cost) disingkat TC adalah penjumlahan antara biaya tetap dan biaya variable, atau TC = FC + VC Gambar TFC, TVC, dan TC bersama-sama adalah sebagai berikut:
BAB I PENDAHULUAN A.
B. 1. 2. 3. 4.
Latar Belakang Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Dengan diferensial dapat pula disidik kedudukan – kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari seperti titik maksimum, titik belok dan titik minimumnya jika ada. Berdasarkan manfaat – manfaat inilah konsep diferensial menjadi salah satu alat analisis yang sangat penting dalam bisnis dan ekonomi. Sebagaimana diketahui, analisis dalam bisnis dan ekonomi sangat akrab dengan masalah perubahan, penentuan tingkat maksimum dan t ingkat minimum.[1] Pendekatan kalkulus diferensial amat berguna untuk menyidik bentuk gambar suatu fungsi non linear. Dengan mengetahui besarnya harga dari turunan pertama ( first derivative) sebuah fungsi, akan dapat dikenali bentuk gambar dari fungsi tersebut. Secara berurutan seksi-seksi berikut akan membahas hubungan antara fungsi non linear dan derivative pertamanya, guna mengetahui apakah kurvanya menaik atau kan menurun pada kedudukan tertentu; hubungan antara fungsi parabolic dan derivativenya, guna mengetahui letak dan bentuk titik ekstrimnya (maksimum atau minimum) serta hubungan antara fungsi kubik dan derivativenya guna mengetahui letak dan bentuk titik ekstrim serta letak titik beloknya. Akan tetapi sebelum semua itu, marilah kita perhatikan hubungan secara umum antara sebuah fungsi dan fungsi-fungsi turunannya. Berdasarkan kaidah deferensi, dapat disimpulkan bahwa turunan dari suatu fungsi berderajat “n” adalah sebuah fungsi berderajat “n -1”. Dengan perkataan lain, turunan dari fungsi berderajat 3 adalah sebuah fungsi berderajat 2, turunan dari fungsi berderajat 2 adalah sebuah fungsi berderajat 1, turunan dari fungsi berderajat 1 adalah sebuah fungsi berderajat 0 alias sebuah konstanta, dan akhirnya turunan dari sebuah konstanta adalah 0.
Rumusan Masalah Jelaskan pengertian diferensial? Bagaimana penerapan diferensial pada bisnis dan ekonomi? Jelaskan macam-macam diferensial? Jelaskan biaya rata-rata minimum?
C. 1.
Tujuan Memahami dan dapat menggunakan pemahaman diferensial pada biaya rata-rata minimum untuk menyelesaikan persoalan dalam bisnis dan ekonomi 2. Untuk mengetahui cara perhitungan diferensial pada biaya rata-rata minimum 3. Untuk mengetahui macam-macam diferensial
BAB II PEMBAHASAN A.
Pengertian Diferensial Darivatif atau turunan dengan
tidak dianggap sebagai suatu hasil bagi atau pecahan
sebagai pembilang dan dx sebagai penyebut, melainkan sebagai lambang yang
menyertakan limit dari
, sewaktu
mendekati nilai nol sebagai limit. Akan tetapi untuk
dapat memahami masalah – masalah tertentu kadang – kadang bermanfaat juga untuk menafsirkan dx dan dy secara terpisah. Dalam hubungan ini dx menyatakan diferensial x dan dy diferensial y. pengertian diferensial berguna sekali, misalnya dalam aplikasinya pada kalkulus integral dan pada pendekatan perubahan dalam variabel gayut yang berkaitan dengan perubahan – perubahan kecil dalam variabel bebas. Jika f (x) merupakan derivative dari fungsi f(x) untuk nilai x tertentu dan merupakan kenaikan dalam x, maka diferensial dari f(x), yang dalam hal ini ditulis f(x), terdefinisikan oleh persamaan.[2] df (x) = f (x) . Jika f(x) = x, maka f (x) = 1, dan dx = diferensial dx dari x sama dengan Jika y = f(x), maka
.
. Jadi jika x merupakan variabel bebas, maka
dy = f (x) dx =
dx
Jadi diferensial suatu variabel gayut sama dengan hasil kali turunannya dengan diferensial variabel bebas. Secara geometrical perhatikanlah kurva y = f(x) (lihat gambar 9 dibawah ini), dan misalkan turunannya pada titik P = f (x). Maka dx = PQ dan dy = f (x) = ( )(PQ) =
Oleh karena itu dy atau df (x) adalah kenaikan ordinat dari tangens yang berpadanan dengan dx. Argumentasi geometrical ini membawa kita kepada penfsiran derivative sebagai suatu hasil bagi atau pecahan, jika sembarang kenaikan dari variabel bebas x pada suatu titik P (x,y) pada kurva y = f(x) dinyatakan dengan dx, maka dalam rumusan turunannya. = f (x) = (
)
dy menyatakan kenaikan yang berpadan dari koordinat t angens pada P.
Perhatikan, bahwa diferensial dy dan kenaikan nilai dx = sedang
dari fungsi yang berpadan dengan
yang sama, pada umumnya tidaklah sama. Dalam gambar.9 disamping dy = QT = QP
Dari gambar itu dapat dilihat dengan jelas, bahwa lebih sama, jika
= QP', dan dy = QT kurang
= PQ sangatlah kecil. Pada hakekatnya jika variabel bebas kecil sekali
perubahannya, maka diferensial fungsi itu hamper sama dengan kenaikan fungsi. Jika diferensial fungsi dapat dipakai untuk mendekati perubahannya, apabila perubahan variabel bebas keci sekali. B. 1.
Penerapan Diferensial Pada Bisnis dan Ekonomi Elastisitas Elastisitas dari suatu fungsi berkenaan dengan x dapat didefinisikan sebagai :
Ini berarti bahwa elastisitas
merupakan limit dari rasio antara perubahan
relative dalam y terhadap perubahan relative dalam x, untuk perubahan x yang sangat kecil atau mendekati nol.[3] Dengan terminology lain, elastisitas y terhadap x dapat juga dikatakan sebagai rasio antara persentase perubahan y terhadap perubahan x. a. Elastisitas Permintaan Elastisitas permintaan (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga permintaan, price elasticity of demand ) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f(P), maka elastisitas permintaannya :
Dimana
tak lain adalah Q' d atau f'(P)
Permintaan akan suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila elastic – uniter jika
, dan inelastic bila
,
. Barang yang permintaanya elastic
mengisyaratkan bahwa jika harga barang tersebut berubah sebesar persentase tertentu, maka permintaan terhadapnya akan berubah (secara berlawanan arah) dengan persentase yang lebih besar daripada persentase perubahan harganya. Contoh kasus: Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan Q d = 25 – 3 2 P . tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 5.
Qd = 25 – 3 P2
.
ηd = 3 berarti bahwa apabila, dari kedudukan P = 5, harga naik (turun) sebesar 1 persen maka jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 3 persen. b. Elastisitas Penawaran Elastisitas penawaran (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga penawaran, price elasticity of supply) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Q s = f(P), maka elastisitas penawarannya :
Dimana
tak lain adalah Q' s atau f'(P).
Penawaran suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila uniter jika
dan inelastic bila
, elastic –
. Barang yang penawarannya inelastic
mengisyaratkan bahwa jika harga barang tersebut (secara searah) dengan persentase yang lebih kecil daripada persentase perubahan harganya. Contoh kasus : Fungsi penawaran suatu barang dicerminkan oleh Q s = -200 + 7 P 2. Berapa elastisitas penawarannya pada tingkat harga P = 10 dan P = 15 ?
Qs = -200 + 7 P 2 Q’s = dQs / dP = 14 P Pada P = 10, Pada P = 15, berarti bahwa apabila dari kedudukan P = 10, harga naik (turun) sebesar 1 % maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang) sebanyak 2,8% Dan berarti bahwa apabila dari kedudukan P = 15, harga naik (turun) sebesar 1% maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang) sebanyak 2,3% c. Elastisitas Produksi Elastisitas produksi ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap persentase perubahan jumlah masukan. Jika P melambangkan jumlah produk yang dihasilkan sedangkan X melambangkan jumlah factor produksi yang digunakan, dan fungsi produksi dinyatakan dengan P = f(X), maka efisiensi produksinya :
Dimana
adalah produk marjinal dari X [ P' atau f' (X)].
Contoh kasus : Fungsi produksi suatu barang ditunjukan oleh persamaan P = 6 X 2 – X3. Hitunglah elastisitas produksinya pada tingkat penggunaan factor produksi sebanyak 3 unit dan 7 unit. P = 6 X 2 – X3 P’ = dP / dX = 12 X – 3 X2
Pada X = 3,
Pada X = 7, berarti bahwa, dari kedudukan X = 3, maka jika jumlah input dinaikkan (diturunkan) sebesar 1% maka jumlah output akan bertambah (berkurang) sebanyak 1 % Dan berarti bahwa, dari kedudukan X = 7, maka jika jumlah input dinaikkan (diturunkan) sebesar 1% maka jumlah output akan bertambah (berkurang) sebanyak 9 % 2.
Pendapatan Konsumsi Dalam ekonomi makro, pendapatan masyarakat suatu negara secara keseluruhan (pendapatan nasional) dialokasikan ke dua kategori penggunaan, yakni dikonsumsi dan ditabung. Jika pendapatan dilambang dengan Y, sedangkan konsumsi dan tabungan masing – masing dilambangkan dengan C dan S, maka kita dapat merumuskan persamaan: Y = C + S Baik konsumsi nasional maupun tabungan nasional pada umumnya dilambangkan sebagai fungsi linear dari pendapatan nasional. Keduanya berbanding lurus dengan pendapatan nasional. Semakin besar pendapatan nasional maka konsumsi dan tabungan akan semakin besar pula. Sebaliknya apabila pendapatan berkurang, konsumsi dan tabungan pun akan berkurang pula, sehingga : DY = C + S diferensial Karena C + S = dY dY/dY = C/dY + S/dY derivasi C/dY = MPC (Marginal Propensity to Consume) S/dY = MPS (Marginal Propensity to Save) Sehingga terbukti bahwa MPC + MPS = 1
3.
Pendapatan Tabungan Konsep diferensial dengan mudah dapat diperluas menjadi fungsi yang terdiri dari dua atau lebih variabel bebas. Perhatikan fungsi tabungan berikut ini : S = S (Y,i) Dimana S adalah tabungan (savings). Y adalah pendapatan nasional (national income), dan i adalah suku bunga (interes rate). Fungsi ini kita asumsikan seperti semua fungsi yang akan kita gunakan disini diasumsikan kontinu dan memiliki derivative (parsial) kontinu, atau mengukur kecenderungan marginal (marginal secara simbolis, f Є C'. Derivatif parsial propensity to save). Jadi, untuk semua perubahan dalam Y, dY , perubahan S hasilnya dapat diaproksima dengan kuantitas
. Demikian juga jika perubahan dalam i, di kita dapat
sebagai aproksimasi untuk menentukan perubahan S yang dihasilkan. Jadi perubahan total dalam S diaproksimsi dengan diferensial
Atau dengan menggunakan notasi yang lain, Perhatikan bahwa kedua derivative parsial S y dan Si kembali menaikan peran sebagai “pengubah” yang masing – masing mengubah dY dan di menjadi dS yang bersesuaian. Pernyataan dS , yang merupakan jumlah perubahan – perubahan hasil aproksimasi dari kedua sumber, disebut diferensial total dari fungsi tabungan. Dan proses untuk mencari diferensial
total ini disebut diferensiasi total (total differentiation), sebaliknya kedua komponen yang ditambahkan di ruas kanan disebut sebagai diferensial parsial dari fungsi tabungan. Tentu saja ada kemungkinan dimana Y dapat berubah s edangkan i konstan. Dalam hal ini di = 0 dan diferensial total akan disederhanakan menjadi diferensial parsial:
. Dengan membagi kedua sisi persamaan dengan dY diperoleh )i konstan
C. 1.
2.
Macam-macam Diferensial Diferensial Konstanta Jika y=a di mana a adalah konstanta, Contoh : y =2 Maka diferensial dx/dy = 0 Diferensial Fungsi Pangkat
maka : dx/dy = 0
Jika y = xⁿ dimana n adalah konstanta, maka dx/dy = nx n-1 Contoh : y = x³ Maka diferensiasi dx/dy = 3x 3-1
3.
Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi jika y = axⁿ dimana a dan n adalah konstanta maka dx/dy = n.(ax) n-1 Contoh : y = 5x³ Maka diferensiasi dx/dy = 3.(5x) 3-1
D.
Biaya Rata-rata Minimum Dalam mempelajari banyak masalah ekonomi sebenarnya kita menggunakan konsep kalkulus. Misalkan dalam suatu perusahaan, PT ABC. Jika ABC menjual x satuan barang tahun ini, ABC akan mampu membebankan harga, p(x) untuk setiap satuan. Kita tunjukkan bahwa p tergantung pada x. pendapatan total yang diharapkan ABC diberikan oleh R(x) = x p(x), banyak satuan kali harga tiap satuan. Untuk memproduksikan dan memasarkan x satuan, ABC akan mempunyai biaya total C(x). Ini biasanya jumlah dari biaya tetap ditambah biaya variable. Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x), yakni slisih antara pendapatan dan biaya. P(x) = R(x) – C(x) = x p(x) – C(x) Umumnya, sebuah perusahaan berusaha memaksimumkan total labanya. Pada dasarnya suatu produksi akan berupa satuan-satuan diskrit. Jadi R(x), C(x) dan
P(x) pada umumnya didefinisikan hanya untuk x= 0,1,2,3,…..dan sebagai akibatnya,
grafiknya akan terdiri dari titik-titik diskrit. Agar kita dapat mempergunakan kalkulus, titiktitik tersebut kita hubungkan satu sama lainsehingga membentuk kurva. Dengan demikian, R,C, dan P dapat dianggap ebagai fungsi yang dapat dideferensialkan.[4] 1.
2.
Contoh soal :[5] Jika diketahui fungsi biaya total dari suatu perusa haan adalah ; TC = 0,2 Q2 + 500Q + 8.000 Carilah Berapa nilai rata-rata minimum tersebut? Penyelesaian: Biaya rata-rata (AC) minimum
Jadi biaya rata-rata minimum sebesar Rp580,- diperoleh jika perusahaan menghasilkan produk sebanyak 200 unit.
Aplikasi Integral dalam kehidupan sehari-hari Definisi Integral adalah kebalikan dari diferensial. Apabila kita mendiferensiasi kita mulai dengan suatu pernyataan dan melanjutkannya untuk mencari turunannya. Apabila kita mengintergrasikan,kita mulai dengan turunannya dan kemudian mencari peryataan asal integral ini. Lambang integral adalah Integral dalam kehidupan sehari-hari sangatlah luas cangkupannya seperti digunakan di bidang teknologi,fisika,ekonomi,matematika,teknik dan bidang-bidang lain. Integral dalam bidang teknologi diantaranya digunakan untuk memecahkan persoalan yang berhubungan dengan volume,panjang kurva,memperkirakan populasi,keluaran kardiak,usaha,gaya dan surplus konsumen. Sedangkan dalam bidang ekonomi penerapan integral diantarana ada 4 yaitu untuk menentukan persamaan-persamaan dalam perilaku ekonomi, mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal,mencari fungsi asal dari fungsi marginalnya dan mencari fungsi penerimaan total dari fungsi marginalnya. Dalam bidang matematika dan fisika penerapan integral juga digunakan,seperti dalam matematika digunakan untuk menentukan luas suatu bidang,menentukan volum benda putar dan menentukan panjang busur. Sedangkan dalam fisika integral digunakan untuk analisis rangkaian listrik arus AC, analisis medan magnet pada kumparan, dan analisis gaya-gaya pada struktur pelengkung. Penerapan integral dalam bidang teknik digunakan untuk mengetahui volume benda putar dan digunakan untuk mengetahui luas daerah pada kurva. Contoh integral dalam kehidupan sehari-hari,kita tahu kecepatan sebuah motor pada waktu tertentu, tapi kita ingin tau posisi benda itu pada setiap waktu. Untuk menemukan hubungan ini kita memerlukan proses integral (antidiferensial) dan Lihat gedung Petronas di Kuala Lumpur atau gedung-gedung bertingkat di Jakarta. Semakin ti nggi bangunan semakin kuat
angin yang menghantamnya. Karenanya bagian atas bangunan harus dirancang berbeda dengan bagian bawah. Untuk menentukan rancangan yang tepat, dipakailah integral. Contoh soal yang menggunakan Integral dalam bidang ekonomi : 2. Diketahui MR suatu perusahaan adalah 15Q2 + 10Q – 5. Tentukan penerimaan totalnya (TR), jika c = 0 ? TR
= ∫ MR dQ
= ∫ 15Q2 + 10Q – 5 dQ = 5Q3 + 5Q2 – 5Q + c jika c
=0
TR
= 5Q3 + 5Q2 – 5Q
2. Diketahui produk marginalnya 2Q 2 + 4, maka produk totalnya jika c = 0 ? P
= ∫ MP dQ
= ∫ 2Q2 + 4 = 2/3 Q3 + 4Q + c jika c
=0
P
= 2/3 Q3 + 4Q
Analisa : Dari perhitungan tersebut dapat diketahui bahwa fungsi total produksi adalah P = 2/3 Q3 + 4Q.
BAB III PENUTUP A.
Simpulan Pendekatan kalkulus diferensial amat berguna untuk menyidik bentuk gambar suatu fungsi non linear. Dengan mengetahui besarnya harga dari turunan pertama ( first derivative) sebuah fungsi, akan dapat dikenali bentuk gambar dari fungsi tersebut. Secara berurutan
seksi-seksi berikut akan membahas hubungan antara fungsi non linear dan derivative pertamanya, guna mengetahui apakah kurvanya menaik atau kan menurun pada kedudukan tertentu; hubungan antara fungsi parabolic dan derivativenya, guna mengetahui letak dan bentuk titik ekstrimnya (maksimum atau minimum) serta hubungan antara fungsi kubik dan derivativenya guna mengetahui letak dan bentuk titik ekstrim serta letak titik beloknya. Akan tetapi sebelum semua itu, marilah kita perhatikan hubungan secara umum antara sebuah fungsi dan fungsi-fungsi turunannya. Dalam mempelajari banyak masalah ekonomi sebenarnya kita menggunakan konsep kalkulus. Misalkan dalam suatu perusahaan, PT ABC. Jika ABC menjual x satuan barang tahun ini, ABC akan mampu membebankan harga, p(x) untuk setiap satuan. Kita tunjukkan bahwa p tergantung pada x. pendapatan total yang diharapkan ABC diberikan oleh R(x) = x p(x), banyak satuan kali harga tiap satuan. B.
Saran dan Kritik Demikian yang dapat saya paparkan mengenai materi yang menjadi pokok bahasan dalam makalah ini, tentunya masih banyak kekurangan dan kelemahannya, kerena terbatasnya pengetahuan dan kurangnya rujukan atau referensi yang ada hubungannya dengan judul makalah ini. Penulis banyak berharap para pembaca yang budiman dusi memberikan kritik dan saran yang membangun kepada penulis demi sempurnanya karya tulis ilmia ini dan penulisan karya tulis ilmia di kesempatan – kesempatan berikutnya. Semoga makalah ini berguna bagi penulis pada khususnya juga para pembaca yang budiman pada umumnya.
DAFTAR PUSTAKA Dwi Mentari, Matematika Dasar Aplikasi Turunan, ( Bengkulu: Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, 2012) Indah Lestari, Ina Yanti, Elon,Cucu Nurmansyah, Penerapan Diferensial Dalam Ekonomi, (Cirebon: FKIP Matematika Universitas Muhammadiyah Cirebon, 2010) santirianingrum.dosen.narotama.ac.id/files/2011/11/TM10-Penerapan-Diferensial-FungsiSederhana-dalam-Ekonomi.pdf (di ambil pada tanggal 12 Desember 2012)
[1] Indah Lestari, Ina Yanti, Elon,Cucu Nurmansyah, Penerapan Diferensial Dalam Ekonomi, (Cirebon: FKIP Matematika Universitas Muhammadiyah Cirebon, 2010) [2] Ibid . [3] Ibid . [4] Dwi Mentari, Matematika Dasar Aplikasi Turunan, ( Bengkulu: Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, 2012) [5]santirianingrum.dosen.narotama.ac.id/files/2011/11/TM10-Penerapan-Diferensial-FungsiSederhana-dalam-Ekonomi.pdf (di ambil pada tanggal 12 Desember 2012)
Disamping konsep biaya total tersebut diatas, dipakai juga beberapa konsep biaya persatuan, yaitu: a.
Biaya Tetap Rata-rata (Average Fixed Cost) disingkat AFC adalah ongkos tetap yang dibebankan pada setiap unit output, atau
b.
Biaya Variabel Rata-rata (Average Variabel Cost) disingkat AVC adalah semua biaya-bia ya lain, selain AFC yang dibebankan pada setiap unit output, atau
c.
Biaya Total Rata-rata (Average Total Cost) disingkat ATC atau sering juga disebut biaya rata-rata dan hanya disingkat AC (Average Cost) adalah biaya total yang dibebankan pada setiap unit output yang diproduksi atau
d.
Biaya Marjinal (Marginal Cost) disingkat MC adalah tambahan biaya total karena ada tambahan produksi 1 unit output dan dirumuskan sebagai
Contoh : Bila fungsi biaya rata-rata ditunjukkan oleh persamaan AC=25 - 8Q + Q 2 tentukan biaya marjinalnya (MC). Untuk mendapatkan MC, maka langkah pertama adalah mencari TC-nya dulu.
Kemudian MC dicari dengan
Kurva MC mempunyai hubungan yang unik dengan kurva AC yang juga didapat dari kurva TC yang sama, atau dapat dilihat dengan gambar:
F.
Penerimaan Penerimaan (revenue) yang dimaksud di sini adalah penerimaan produsen dari hasil penjualan outputnya. Untuk menganalisa perilaku produsen, ada beberapa konsep penerimaan yang harus dipahami lebuh dahulu.
a.
Penerimaan Toatal (Total Revenue) disingkat TR adalah penerimaan total produsen dari hasil penjualan outputnya atau TR = PQ b. Penerimaan Rata-rata (Average Revenue) disingkat AR adalah Penerimaan Produsen per unit outputnya yang dijual, atau
c.
Penerimaan Marjinal (Marginal Revenue) disingkat MR yaitu tambahan penerimaan karena adanya tambahan penjualan satu unit output, atau
Grafik hubungan antara TR, AR, dan MR tergantung pada bentuk pasar di mana perusahaan tersebut berada. Ada 2 bentuk pasar yaitu pasar persaingan sempurna dan pasar monopoli 1. Pasar persaingan sempurna Pasar persaingan sempurna antara lain ditandai oleh banyaknya produsen dan konsumen sehingga masing-masing pihak baik itu produsen (penjual) dan konsumen tidak dapat
mempengaruhi harga di pasar. Harga ditentuka oleh ‘pasar’. Dalam pasar persaingan sempurna, kurva permintaan yang dihadapi oleh seorang produsen merupakan garis lurus horizontal. Ini berarti produsen dapat menjual outputnya dalam jumlah berapapun tanpa terjadinya penurunan harga jual. Contoh: Dalam pasar persaingan sempurna fungsi permintaaan ditunjukkan oleh persamaan P = 10, sehingga kita dapat menentukan: a.
Penerimaan totalnya: TR = PQ = 10Q
b.
Penerimaan rata-rata:
c.
Penerimaan marjinal : Jadi, dalam pasar persaingan sempurna, fungsi permintaan berimpit dengan
fungsi
penerimaan rata-rata dan penerimaan marjinalnya.
2. Pasar monopoli Pasar
monopoli
ini berbeda dengan pasar persaingan sempurnna yang di dalamnya terdapat banyak penjualan dan pembeli, maka dalam pasar monopoli hanya ada satu penjual sehingga tidak ada orang lain yang menyaingi sehingga sehingga disebut juga pasar monopoli murni Karena seorang produsen monopoli adalah satu – satunya produsen di dalam suatu pasar, maka permintaan yang dihadapi adalah
kurva permintaan pasar, yaitu kurva permintaan yang bentuknya menurun dari kiri atas ke kanan bawah Dengan perkataaan lain, dalam pasar monopoli produsen dapat menetapkan harga. Contoh: Fungsi permintaan yang dihadapi seorang monopoli ditunjukkan oleh persamaan P = 10
–
0,5Q sehingga: a.
Penerimaan total: TR = PQ = (10 – 0,5Q)Q = 10Q – 0,5Q2
b.
Penerimaan rata-rata:
= 10 – 0,5Q c.
Penerimaan marjinal:
= 10 – Q Dari jawaban di atas dapat dilihat bahwa kurva permintaan, AR dan MR merupakan garis lurus dan kurva permintaaan berimpit dengan kurva AR. Fungsi penerimaan total (TR) merupakan fungsi yang tidak linear . Gambar hubungan antara kurva-kurva di atas adalah sebagai berikut:
DAFTAR PUSTAKA
Haeussler, Paul, dan Wood. Pengantar Matematika Ekonomi untuk Analisis Bisnis dan Ilmu – Ilmu Ekonomi Edisi Ketigabelas Jilid 1. Jakarta: Penerbit Erlangga. Naidah. 2012. Matematika Ekonomi. Makassar: Fakultas Ekonomi Unismuh Makassar. Rosyidi, Suherman. 2005. Pengantar Teori Ekonomi Pendekatan kepada Teori Ekonomi Mikro dan Makro. Surabaya: PT. Rajagrafindo Persada.
Daftar Pustaka Dumairy.1995. Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta : BPFE Listya, tri dewi dan herawati. 2006. Matematika kelas XII Sekolah Menengah Atas program Ilmu Pengetahuan Sosial. Bandung : Grafindo Media Pratama. Stroud, K.A dan Dexter J. Booth.2003.Matematika Teknik. Jakarta : Erlangga .
PEMBAHASAN TENTANG INTEGRAL DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI
Disusun Oleh : HERYADIK SIMATUPANG 5132131004
Karya Tulis Ini Disusun Sebagai Salah Satu Syarat Dalam Menempuh Ujian Akhir SEMESTER
PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI MEDAN MEDAN 2014
HALAMAN PENGESAHAN NAMA NIM PROGRAM JUDUL
: : : :
HERYADIK SIMATUPANG 5132131004 PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO PEMBAHASAN INTEGRAL DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI
MOTTO DAN PERSEMBAHAN
Motto :
“BUATKU YANG TERPENTING ADALAH BANGGA AYAH & IBU ALMAMATER
JUGA NEGARA KU”.
1.
PERSEMBAHAN : Karya Tulis ini kupersembahkan kepada : bapak dan Ibu tercinta
2. 3. 4.
Kakak kakakku Almamater Semua pembaca yang budiman
KATA PENGANTAR Puji syukur Penulis limpahkan kehadirat Allah SWT, karena atas pertolongan Nya, penulis dapat menyelesaikan Karya Tulis Ilmiah ini tepat pada waktu yang telah direncanakan sebelumnya. Tak lupa sholawat serta salam Penulis haturkan kepada Nabi Muhammad SAW beserta keluarga dan sahabat, semoga selalu dapat menuntun Penulis pada ruang dan waktu yang lain. Untuk menyelesaikan karya tulis ini adalah suatu hal yang mustahil apabila penulis tidak mendapatkan bantuan dan kerjasama dari berbagai pihak. Dalam kesempatan ini penulis menyampaikan terima kasih kepada : 1. Bapak, Ibu dan Kakak tercinta yang telah memberikan dorongan moril maupun materil, dan sebagai semangat untuk membuka semangat baru. 2 Bapak Drs.Marsangkap Silitonga,M.Pd, selaku pembimbing. 3 Semua pihak yang telah membantu baik secara langsung maupun tidak langsung hingga terselesaikannya karya tulis ilmiah ini. Penulis berharap semoga karya tulis ini bermanfaat bagi semua pihak dan bila terdapat kekurangan dalam pembuatan laporan ini penulis mohon maaf, karena penulis menyadari karya tulis ilmiah ini masih jauh dari kesempurnaan.
MEDAN,1JUNI 2014
PENULIS HERYADIK SIMATUPANG
DAFTAR ISI
BAB 1.PENDAHULUAN...................6 1.1.LATAR BELAKANG
BAB I PENDAHULUAN
1. LATAR BELAKANG
Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer. Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika. Karena kalkulus ini mempunyai dua cabang utama, tapi disini saya ingin membahas tentang kalkulus integralnya. Seperti yang kita ketahui bahwa kalkulus integral juga memiliki banyak aplikasi, baik dalam kehidupan sehari-hari, dalam dunia pendidikan ataupun dalam dunia kesehatan. Namun disini saya tertarik untuk membahas tentang aplikasi kalkulus integral dalam dunia pendidikan yaitu dalam sains yang khususnya fisika yaitu arus listrik. Sehingga saya mengambil judul Aplikasi Kalkulus Integral dalam Arus Listrik dalam Permukaan Tertutup dan Daya Listrik dalam Ruang.
Seiring pesatnya perkembangan teknologi dan kemajuan zaman, maka diperlukan suatu produk dengan ketelitian dan akurasi tinggi, dan waktu pengerjaan yang singkat. Begitu juga dengan permasalahan dalam bidang ilmu pengetahuan fisika murni maupun terapan. Dalam suatu perhitungan dengan data numerik membutuhkan ketelitian dan akurasi yang cukup baik. Pada saat teknologi informasi belum maju pesat, para praktisi dan profesional di bidang rekayasa teknik dan sains menganalisa dengan perhitungan manual. Simplifikasi digunakan dimana struktur yang sangat kompleks disederhanakan menjadi struktur yang lebih sederhana. Hal ini dilakukan untuk menghindari kesulitan dalam analisa. Berdasarkan uraian di atas, maka penulis tertarik untuk membuat Karya tulis mengenai INTEGRAL dalam bidang kelistrikan dalam kehidupan sehari hari. 1.2
1. 2. 3. 4. 5.
Tujuan Tujuan dari penyusunan karya tulis ini adalah sebagai berikut : Adapun tujuan dari makalah ini adalah: Sejarah integral Pengertian integral pengertian arus listrik Pengertian daya listrik Hubungan integral dengan arus listrik dan daya listrik
1.2.1 Tujuan Umum Tujuan umum dari karya tulis ini adalah: a. Sebagai salah satu syarat kelulusan dalam menyelesaikan tugas semester matematika 2 pendidikan teknik elektro. b. Untuk mengetahui dan memahami prinsip INTEGRAL dalam dunia kelistrikan. 1.2.2 Tujuan khusus Tujuan khusus dari karya tulis ini adalah: a. Untuk mengetahui lebih jauh tentang INTEGRAL dalam kelistrikan. b. Sebagai bahan perbandingan antara teori dan praktek yang telah dilakukan saat praktek kerja lapangan. c. Untuk menambah pengetahuan tentang INTEGRAL khususnya dalam bidang kelistrikan. 1.3 Batasan Masalah Untuk nenghindari terjadinya pelebaran masalah maka, penulis hanya membahas INTEGRAL saja.. 1.4 Metode Penulisan Metode penulisan merupakan suatu pendekatan yang digunakan untuk mengumpulkan data, mengolah data, dan menganalisa data dengan teknik tertentu. Perumusan Masalah Adapun beberapa rumusan masalah dari makalah ini adalah: 1. Bagaimana sejarah integral? 2. Apa pengertian integral? 3. Apa pengertian arus listrik? 4. Apa pengertian daya listrik? 5. Apakah hubungan integral dengan arus listrik dan daya listrik? 1.5
Metode Pengumpulan Data
1.6
Sesuai dengan sumber data serta maksud dan tujuan penyusunan tugas akhir ini maka dalam pengumpulan data penulis menggunakan beberapa metode seba gai berikut : a. Studi Kepustakaan Suatu metode pengumpulan data yang dilakukan dengan cara menggunakan dan mempelajari buku-buku, internet, atau media lain yang ada hubungannya dengan masalah karya tulis ini. Sistematika Penulisan Untuk memberikan gambaran penulisan Tugas Akhir ini, maka penulis memberikan sistematika penulisan sebagai berikut : BAB I PENDAHULUAN Pada bagian pendahuluan ini memberikan gambaran tentang isi karya tulis secara keseluruhan sehingga pembaca dapat memperoleh informasi singkat dan tertarik untuk membaca lebih lanjut. Didalam bagian pendahuluan memaparkan tentang latar belakang masalah, tujuan penulisan, batasan masalah, metode penulisan, dan sistematika penulisan. BAB II TEORI DASAR Teori dasar ini merupakan gambaran secara umum tentang pembahasan alat dan hal-hal yang berkaitan dengan komponen-komponen dasar yang sesuai dengan referensi alat. Teori dasar yang ada pada bab ini yaitu arus listrik,rangkaiann listrik,teangan. BAB III PEMBAHASAN ALAT Dalam hal ini penulis mengemukakan tentang pembahasan alat yang isinya mencakup penjelasan cara kerja alat secara keseluruhan dengan cara menganalisa setiap blok dari alat. BAB IV PENUTUP Isinya merupakan kesimpulan dari pembahasan yang merupakan jawaban terhadap masalah serta berisi tentang saran-saran penulis yang didasarkan pada hasil pembahasan sehingga dapat dikembangkan dengan lebih baik.
BAB II KAJIAN TEORI
A.
B.
Sejarah Integral Hitung integral merupakan metode matematika dengan latar belakang sejarah yang cukup unik. Banyak ilmuwan, baik matematika maupun non-matematika, yang berminat terhadap perkembangan matematika hitung integral. Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaituzaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno. Beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yangmerupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali padaPapirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM). Pada papirus tersebut, orang Mesir telah mampu menghitung volume piramida terpancung. Archimedes mengembangkanpemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristi k yang menyerupai kalkulus integral. Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil tak terhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar.Persamaan ini kemudianmengantar Bhāskara II pada abad ke -12 untuk mengembangkan bentuk awalturunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil tak terhingga danmenjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle". Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yangmenurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan denganmenggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untukmenurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat pentingterhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke12, seorang PersiaSharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yangpenting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, bersama denganmatematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa. Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosandalam kalkulus. J ames Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teoremadasar kalkulus pada tahun 1668. Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnyadituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan,namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanyadilakukan secara terpisah. Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiranini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebutdianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampirbersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang. Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil merekauntuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka.Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertamakali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya daricatatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newtonkepada beberapa anggota dari Royal Society.Pemeriksaan secara terperincimenunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulaidari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibnizdiberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. AdalahLeibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagaikalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions". Sejak itu,banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembanganlebih lanjut dari kalkulus.Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA danuniversitas zaman modern. Pengertian Integral
Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah, seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari "Sum" yang berarti penjumlahan). Integral dalam kehidupan sehari-hari sangatlah luas cangkupannya seperti digunakan di bidang teknologi,fisika,ekonomi,matematika,teknik dan bidang-bidang lain. Integral dalam bidang teknologi diantaranya digunakan untuk memecahkan persoalan yang berhubungan dengan volume,panjang kurva,memperkirakan populasi,keluaran kardiak,usaha,gaya dan surplus konsumen. Sedangkan dalam bidang ekonomi penerapan integral diantarana ada 4 yaitu untuk menentukan persamaan-persamaan dalam perilaku ekonomi, mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal,mencari fungsi asal dari fungsi marginalnya dan mencari fungsi penerimaan total dari fungsi marginalnya. Dalam bidang matematika dan fisika penerapan integral juga digunakan,seperti dalam matematika digunakan untuk menentukan luas suatu bidang,menentukan volum benda putar dan menentukan panjang busur. Sedangkan dalam fisika integral digunakan untuk analisis rangkaian listrik arus AC, analisis medan magnet pada kumparan, dan analisis gaya-gaya pada struktur pelengkung. Penerapan integral dalam bidang teknik digunakan untuk mengetahui volume benda putar dan digunakan untuk mengetahui luas daerah pada kurva. Contoh integral dalam kehidupan sehari-hari,kita tahu kecepatan sebuah motor pada waktu tertentu, tapi kita ingin tau posisi benda itu pada setiap waktu. Untuk menemukan hubungan ini kita memerlukan proses integral (antidiferensial) dan Lihat gedung Petronas di Kuala Lumpur atau gedung-gedung bertingkat di Jakarta. Semakin ti nggi bangunan semakin kuat angin yang menghantamnya. Karenanya bagian atas bangunan harus diranc ang berbeda dengan bagian bawah. Untuk menentukan rancangan yang tepat, dipakailah integral. Contoh soal yang menggunakan Integral dalam bidang ekonomi : 1. Diketahui MR suatu perusahaan adalah 15Q2 + 10Q – 5. Tentukan penerimaan totalnya (TR), jika c = 0 ?
= ∫ MR dQ = ∫ 15Q2 + 10Q – 5 dQ = 5Q3 + 5Q2 – 5Q + c TR
jika c = 0 TR = 5Q3 + 5Q2 – 5Q 2. Diketahui produk marginalnya 2Q 2 + 4, maka produk totalnya jika c = 0 ? P = ∫ MP dQ 2 = ∫ 2Q + 4 = 2/3 Q3 + 4Q + c jika c = 0 P = 2/3 Q3 + 4Q Analisa : Dari perhitungan tersebut dapat diketahui bahwa fungsi total produksi adalah P = 2/3 Q3 + 4Q
1.
Integral tertentu
Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan interval antara [a, b] pada garis real, integral tertentu: secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b. Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan.
Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva. Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tert entu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari penjumlahan Riemann. Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ƒ pada interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n-1 titik { x1, x2, x3,..., xn - 1} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan: Himpunan tersebut kita sebut sebagai partisi [a,b], yang membagi [a,b] menjadi sejumlah n subinterval. Lebar subinterval pertama [ x0 ,x1] kita nyatakan sebagai Δ x1, demikian pula lebar subinterval ke-i kita nyatakan sebagai Δ xi = xi - xi - 1. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang t i. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan perse gi panjang yang lebarnya sebesar Δ x dan tingginya berawal dari sumbu x sampai menyentuh titik (t i, ƒ(t i)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan ƒ(t i)· Δ xi dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:
Penjumlahan S p disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval [a,b]. Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut. Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah: Diberikan ƒ( x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu ƒ di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah
limit dari penjumlahan Riemann apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi di sepanjang [a,b] dengan dan pilihan t i apapun pada [ xk - 1, t i], kita dapatkan Secara matematis dapat kita tuliskan:
Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama, maka lebar Δ x = (b-a)/n, sehingga persamaan di atas dapat pula kita tulis sebagai:
Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya. Contoh: Sebagai contohnya, apabila kita hendak menghitung integral tert entu , yakni mencari luas daerah A dibawah kurva y= x pada interval [0,b], b>0, maka perhitungan integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah Pemilihan partisi ataupun titik t i secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi ter sebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi P membagi-bagi interval [0,b] menjadi n subinterval yang berlebar sama Δ x = (b - 0)/n = b/n dan titik t' i yang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah: dan, sehingga: Seiring dengan n mendekati tak terhingga dan norma partisi mendekati 0, maka didapatkan: Dalam prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. Teorema dasar kalkulus memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu. 2.
Integral tak tentu Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut. Apabila Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah integral tak tentu ataupun primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai: Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah konstanta sembarang. Misalkan terdapat sebuah fungsi, maka integral tak t entu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah: Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral ter tentu dalam bentuk adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu : adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang C .
C.
Pengertian Arus Listrik Arus listrik adalah banyaknya muatan listrik yang disebabkan dari pergerakan elektron-elektron, mengalir melalui suatu titik dalam sirkuit listrik tiap satuan waktu. [1] Arus listrik dapat diukur dalam satuan Coulomb/detik atau Ampere. Contoh arus listrik dalam kehidupan sehari-hari berkisar dari yang sangat lemah dalam satuan mikroAmpere ( ) seperti di dalam jaringan tubuh hingga arus yang sangat kuat 1-200 kiloAmpere (kA) seperti yang terjadi pada petir. Dalam kebanyakan sirkuit arus searah dapat diasumsikan resistansi terhadap arus listrik adalah konstan sehingga besar arus yang mengalir dalam sirkuit bergantung pada voltase dan resistansi sesuai dengan hukum Ohm. Arus listrik merupakan satu dari tujuh satuan pokok dalam satuan internasional. Satuan internasional untuk arus listrik adalah Ampere (A). Sec ara formal satuan Ampere didefinisikan sebagai arus konstan yang, bila dipertahankan, akan menghasilkan gaya sebesar
2 x 10 -7 Newton/meter di antara dua penghantar lurus sejajar, dengan luas penampang yang dapat diabaikan, berjarak 1 meter satu sama lain dalam ruang hampa udara. Arus listrik adalah perbandingan jumlah muatan(Q) yang mengalir pada suatu titi k dalam penghantar dengan waktu (t) yang ditempuhnya. I = Q/t I = arus listrik (Ampere) Q = muatan yang dipindahkan (Coulomb) t = waktu (detik) 1 A = 1 Coulomb/detik Jika terjadi perubahan aliran muatan (aliran muatan tidak konstan, berubah-ubah), maka arus listrik yang mengalir adalah : I = dQ/dt I = arus listrik (Ampere) dQ = perubahan aliran muatan (Coulomb) dt = perubahan waktu (detik)
D.
Pengertian Daya Listrik Daya listrik didefinisikan sebagai laju hantaran energi listrik dalam rangkaian listrik. Daya listrik, seperti daya mekanik, dilambangkan oleh huruf P. Satuan SI yang dipakai adalah watt . Arus listrik yang mengalir dalam rangkaian dengan hambatan listrik menimbulkan kerja. Peranti mengkonversi kerja ini ke dalam berbagai bentuk yang berguna, seperti panas (seperti pada pemanas listrik), cahaya (seperti pada bola lampu), energi kinetik (motor listrik), dan suara (loudspeaker). Listrik dapat diperoleh dari pembangkit listrik atau penyimpan energi seperti baterai. E. Hubungan Integral dengan Arus dan Daya Listrik Ternyata hubungan integral dengan arus dan daya listrik yaitu berkataian dalam rumusnya dalam permukaan yang tertutup dan dalam rangan. Dan disini kita akan membahasnya yaitu: 1. Arus Listrik dalam Permukaan Tertutup Arus yang mengalir dalam suatu permukaan tertutup dengan kerapatan arus J dapat ditentukan dengan perhitungan integral tertutup :
I = arus listrik dalam permukaan tertutup (A) J = kerapatan arus (A/m2) d A = komponen diferensial permukaan. 2. Perumusan daya listrik dalam ruang Dalam kasus umum, persamaan P = VI harus diganti dengan perhitungan yang lebih rumit, yaitu integral hasil kali vektor medan listri k dan medan magnet dalam ruang tertentu. otensial Listrik dan Energi Potensial yang ditimbulkan oleh Muatan Titik.Potensial listrik pada sebuah titik yang diletakkan sejauh r dari muatan q dapat ditentukan dngan persamaan umum beda potensial Dengan A dan B adalah dua titik sebarang sperti ditunjukkan pada gambar berikut. Pada titik tertentu di dalam ruang, medan listrik yang ditimbulkan oleh muatan titik adalah E = k q r[topi] / r[kuadrat], dengan r[topi] adalah vektor satuan yang arahnya dari muatan ke titik tinjauan. Besaran E • ds dapat dinyatakan dalam bentuk
Karena besar r[topi] adalah 1 maka hasil kali titik r[topi]• ds = ds cos q, dengan q adalah sudut antara r[topi]dan ds. Selanjutnya, ds cos q merupakan proyeksi ds pada r, sehingga ds cos q = dr. Perpindahan dssepanjang lintasan dari titik A ke B menghasilkan perubahan dr sebagai nilai r, yaitu vector posisi titik tinjauan relative terhadap muatan yang membentuk medan tersebut. Dengan subtitusi, diperoleh E • ds = (k q /r 2) dr Sehingga pernyataan untuk beda potensial menjadi Persamaan ini menunjukkan bahwa integral E•ds tidak bergantung pada bentuk lintasan antara titik A dan B. Dengan mengalikan muatan q o yang bergerak di antara titik A dan B tampak pula bahwa integral q o E• ds tidak bergantung pada bentuk lintasan. Integral yang terakhir ini merupakan usaha yang dilakukan oleh gaya listrik, yang menunjukkan bahwa gaya listrik bersifat konservatif. Berkaitan dengan gaya konservatif ini didefenisikan pula medan konservatif. Dengan demikian persamaan 25.10 menunjukkan bahwa medan listrik dari sebuah muatan titik tetap bersifat konservatif. Lebih jauh lagi, persamaan 25.10 menyatakan sebuah hasil penting bahwa beda potensial antara dua titik A dan B di dalam medan yang dihasilkan oleh sebuah muatan titik hanya bergantung pada koordinat radial r A dan r B. Pemilihan titik acuan potensial listrik untuk sebuah muatan titik dapat disesuaikan, misalnya V = 0 pada r A = ∞. Dengan pilihan acuan ini, potensial listrik yang dihasilkan oleh sebuah muatan titik pada jarak r dari muatan ters ebut adalah
Potensial listrik total pada sebuah titik P yang dihasilkan oleh dua atau lebih muatan dapat diperoleh dengan menerapkan prinsip superposisi pada persamaan di atas. Potensial listrik total tersebut sama dengan jumlah dari potensial listrik yang dihasilkan oleh masing-masing muatan, sehingga dapat ditulis
dengan r i adalah jarak titik P ke muatan q i. Persamaan ini menunjukkan bahwa potensial akan bernilai nol pada titik jarak tak terhingga dari muatan. Perlu diingat bahwa persamaan ini merupakan penjumlahan aljabar dan bukan penjumlahan vektor. Dengan demikian, biasanya lebih mudah menghitung V dari pada menghitungE. Selanjutnya akan dibahas energi potensial sebuah sistem yang terdiri dari dua partikel bermuatan. Jika V2adalah potensial listrik di titik P yang yang ditimbulkan oleh muatan q 2, maka usaha yang harus dilakukan oleh pengaruh luar untuk membawa muatan kedua q 1 dari jarak tak terhingga menuju P tanpa percepatan adalah q1V2. Usaha ini merepresentasikan sebuah perpindahan energi ke dalam sistem dan energi tersebut timbul di dalam sistem sebagai energi potensial U jika kedua partikel terpisah sejauh r 12. Dengan demikian energi potensial sistem adalah
Jika kedua muatan bertanda sama, maka U positif. Hal ini sesuai dengan kenyataan bahwa usaha positif harus dilakukan oleh sebuah pengaruh luar terhadap sistem untuk membawa kedua muatan mendekat satu sama lain (karena muatan yang bertanda sama tolak-menolak). Jika kedua muatan berlawanan tanda, U negatif; ini berarti bahwa usaha negatif dilakukan
oleh pengaruh luar melawan gaya tarik di antara kedua muatan yang berlawanan tanda tersebut ketika dibawa saling mendekati – sebuah gaya harus diberikan dalam arah yang berlawanan dengan perpindahan untuk mencegah terjadinya percepatan q1 menuju q2. Pada gambar berikut, muatan q 1 dihilangkan. Pada posisi awal muatan q1, yaitu titik P, persamaan25.2 dan 25.13 dapat digunakan untuk mendefenisikan potensial yang ditimbulkan oleh muatan q2, yaitu V = U/q 1 = k q2/r 12. Pernyataan ini sesuai dengan persamaan 25.11.
Jika sistem terdiri dari lebih dari dua partikel bermuatan, energi potensial totalnya dapat ditentukan dengan menghitung U untuk setiap pasangan muatan dan menjumlahkannya secara aljabar. Sebagai contoh, tinjau gambar berikut.
Secara fisis, dapat diinterpretasikan sebagai berikut : andaikan posisi q 1tetap seperti pada gambar tetapi q2 dan q3 berada di jarak tak terhingga. Usaha total yang harus dilakukan oleh pengaruh luar untuk membawa muatan q 2 dari jarak tak terhingga ke posisi di dekat q1 adalah k q1q2/r 12, yang merupakan suku pertama pada persamaan 25.14. Dua suku terakhir menggambarkan usaha yang diperlukan untuk membawa q3 dari jarak tak terhingga mendekati q1 dan q2.
Hasilnya adalah skalar, karena ini adalah integral permukaan dari vektor Poynting. BAB Ill PENUTUP Pada bab ini penulis memaparkan beberapa kesimpulan dan saran – saran yang penulis dapatkan dalam proses mulai tahap studi literature, observasi dan pembahasan rangkaian. A. Kesimpulan Dari makalah diatas dapat kita ambil kesimpulan bahwa kalkulus tersebut mempunyai cabang utama yaitu kalkulus differensial, dan kalkulus integral. Sedangkan kalkulus integral terbagi atas dua macam lagi yaitu integral tertentu dan integral tak tentu. Dan c abang-cabang dari kalkulus ini mempunyai banyak aplikasi baik dalam kehidupan sehari, dalam dunia pendidikan ataupun kesehatan. Seperti yang dibahas dalam makalah ini ternyata integral memiliki a plikasi dalam dunia pendidikan sains yaitu dalam bidang fisika arus dan daya listr ik pada permukaan tertutup dan dalam ruang. B.
Saran
Semoga penulis dan pembaca dapat mengetahui dan memahami aplikasi integral dalam bidang fisika yait dalam arus dan daya listrik pada permukaan tertutup dan dalam ruang. Jika ada kesalahan dalam penulisan makalah ini penulis mengharapkan kritikan atau saran dari pembaca.
