RESUMEN Las ecuaciones diferenciales en la ingeniería en minas tiene un gran campo de acción ya que están aplicadas a la mayoría de sus áreas de trabajo es así que los ingenieros en minas debe tener los conocimientos y actitudes necesaria para realizar actividades de Diagnostico, Diseño, Implementación, Seguridad Minera, Evaluación de proyectos Minero Metalúrgicos, entre otras aplicaciones. Las ecuaciones diferenciales dan un criterio técnico en el proceso las cuales permiten modelar y resolver problemas geométricos, físicos en la minería por medio de funciones de varias variables y mediante la utilización de diferentes técnicas del cálculo de varias variables se puede dar la solución dichos problemas. En lo que refiere a productividad ya sea de cualquier elemento por ejemplo oro (Au); este es un elemento elemento representativo representativo el cual cual permite medir la efectividad efectividad de la minería extractiva, este puede grandes reservas para su recuperación siempre y cuando el método sea efectivo para su aplicación, en un depósito de oro vetiforme se realiza una relación de costos, estos son los costos real y costo referente en los cuales, el ingeniero debe realizar ajustes ya que en la práctica sean posibles de mejorar para aumentar la efectividad de la actividad minera, el cálculo diferencial y las ecuaciones diferencial juegan un papel importante en el análisis de estos aspectos.
EXPLOTACION SUBTERRANEA En la explotación subterránea se debe tener normas de seguridad muy altos, tanto como para el diseño de las galerías, maquinaria a utilizarse la utilización del cálculo diferencia permiten optimizar y controlar estos aspectos importantes sin generar pérdidas económicas a la empresa. Las ecuaciones diferenciales en general en el diseño de una mina esta aplicada en el: Desarrollo: Como en el acceso al depósito. Preparación: Diseño de la división de la galería en bloques controlados. Explotación: En la extracción del mineral de los bloques y sus métodos de recuperación.
APLICACIÓN 1 En la minería es muy común buscar métodos confiables y seguros para transportar cargas que en este caso son toneladas de rocas y se debe tomar en cuenta el tipo de material que se utilizara y su resistencia. Cierta cadena uniforme de A metros de largo siendo enrollada sin tensión sobre el piso. El extremo de la cadena se jala verticalmente hacia arriba usando una fuerza constante de B Néwtones. La cadena pesa W néwtones por metro. Determine la altura o profundidad del extremo sobre el nivel del suelo al tiempo t.
Tomemos en cuenta la siguiente relación, X = x(t) Altura en el extremo de la cadena en el aire a un tiempo t, V = d x/d t Tomando en cuenta que la dirección positiva es hacia arriba. En la porción de la cadena que está en el aire en el tiempo t se tienen las siguientes: Peso: Masa: Fuerza Neta: Tomando en cuenta, F = (d /d t)(mv), (d)
P = (Xmetros) (Wnewtones/metro) = WX, (a) m = P/g = WX/g, (c) FN = B – P = B – WX, (c)
reemplazando (b) y (c) en (d), (d /d t)(WX/g)V = B – WX X(d v/d t) + V(d X/d t) = g[B/W – x] Se tiene , X(d 2X/d 2t) + (d X/d t)2 + gX = Bg/W Esta es una ecuación diferencial no lineal de segundo orden de la forma, F(X,X’,X’’) = 0 Se la puede resolver por reducción de orden, sustituyendo V = (X`) aplicando la regla de la cadena, la ecuación resultante queda de la siguiente manera: (X.V)(d V/d X) + V2 = g[B/W – x] M(X,V)d X + N(X,V)d V = 0 (V2 + gX – Bg/W)d X + (XV)d V Esta ecuación diferencial no es exacta,la cual se debe multiplicar por un factor integrante obteniéndose: (1/2)X2V2 + (g/3)X3 – (Bg/2W) X2 = C Tomamos en cuenta que la cadena está en el suelo por lo tanto X(0) = 0, V > 0, entonces, C=0 Por remplazo se obtiene esta ecuacion de primer orden (d X/d t) = ( Bg/W - (2g/3)X) Resolviendo por separación de variables - (3/g)( Bg/W – (2g/3)X)1/2 = t + C2
Para X(0) = 0
C2 = (-3 (Bg/W))/g Despejando x de la ecuación y sustituyendo el valor de C 2 se obtiene (3/g)( Bg/W) – (2g/3)X= (t + (-3 (Bg/W))/g)2 X(t) =[(t + (-3 (Bg/W))/g)2 -(3/g)( Bg/W)]3/2g
ECUACIÓN GENERAL
APLICACIÓN 2 DESCRIPCION DE TRAYECTORIAS ORTOGONALES DE UNA FAMILIA DE CURVAS EN LOS TRATAMIENTOS DE RECUPERACION POR LIXIVIACION Y TRATAMIENTO DE AGUAS RESIDUALES. x2+y2 – x.y = C2
Derivando se obtiene 2x-y(x)-xy’(x)+2y(x)y’(x) Despejando y’(x) se obtiene y’(x) = [(-2x+y(x))/(-x+2y(x))]
De esta ecuación podemos obtener la pendiente. La ecuación que nos da el comportamiento de las trayectorias ortogonales de esta función es, y’(x) = ([x-2y(x))/(-2x+y(x))]
Esto claramente se observa que permitiría los cálculos para la identificación de estratos y vetas permitiéndonos así tener una clara descripción del buzamiento de la falla en la que se encuentre la veta.
APLICACIÓN 3 Riesgos asociados a la mecánica de rocas
Las ecuaciones diferenciales nos permiten calcular de una forma eficaz las propiedades mecánicas de la roca en la cual se realizará la labor minera. MECANICA DE ROCAS Las propiedades de las rocas pueden ser medidas mediante ensayos. El comportamiento de la roca durante la excavación puede ser analizada. El reconocer estos parámetros permite que el trabajo minero no genere pérdidas considerables. Las ecuaciones diferenciales permiten realizar el diseño de softwares específicos para controlar estos parámetros en una labor minera. Compresión uniaxial Fc = Q/A Fc : Esfuerzo de ruptura en compresión simple (kg/cm2) Q : Carga máxima de compresión (kg) A : Área en la cual se aplica la carga (cm2) Tracción Uniaxial Et = Ft/A Et : Resistencia de Tracción (kg/cm2) Ft : Fuerza de tracción máxima (kg) A : Área sometida a fuerza de tracción (cm2)
COCLUSIONES ·
Las ecuaciones diferenciales son de gran importancia en la minería ya que permiten el diseño y control de la maquinaria a usar, ya que permite un control detallado de los materiales y sus resistencias para tener coeficientes de seguridad óptimos que garanticen una adecuada y segura labor minera.
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En los procesos de recuperación de minerales económicamente rentables o en la identificación de minerales con alteración hidrotermal se pueden analizar las familias de curvas que en estos se generan a través de las ecuaciones diferenciales
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Las ecuaciones diferenciales permiten un mejor diseño de la minería, ya que es posible generar datos estructurales de las rocas, en función a sus propiedades mecánicas, el diseño de softwares, permiten el diseño de galerías y simulaciones de construcción de bloques, en la veta en que se esté trabajando.
BIBLIOGRAFIA Fuentes:http://www6.uniovi.es/usr/fblanco/MasterIngenieriaMinas.MemoriaVerif icaANECA.pdf http://www.academia.edu/8218778/ESCUELA_POLIT%C3%89CNICA_NACIO NAL_FACULTAD_DE_INGENIER%C3%8DA_DE_SISTEMAS_Aplicaciones_d e_las_ecuaciones_diferenciales_ordinarias_Trayectorias_Ortogonales_Conteni do http://es.slideshare.net/keyllejimra/ecuaciones-diferenciales-aplicadas-murray-rspiegel-23265398 http://www.revistas.unal.edu.co/index.php/rbct/article/view/722/11305 http://www.matematicaaplicada2.es/data/pdf/1333019688_229514061.pdf
