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Si una fuerza constante F actúa sobre un objeto desplazándolo una distancia distancia x, a lo largo de una línea recta, y la dirección dirección de la fuerza coincide coincide con la del movimiento, entonces el trabajo realizado W se expresa como el producto de la fuerza F por el camino recorrido recor rido..
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Es decir: W = F . X
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La ecuación para encontrar el trabajo es:
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siendo f(x) la fuerza aplicada a la partícula cuando esta se encuentra en el punto cuya coordenada es x La unidad de medida del trabajo es el JOULE (J).
EJEMPLO: Un resorte resor te tiene una longitud natural de 8 pulgadas. Si una fuerza de 20 libras estira el pulgadas. e l resorte resor te 1/2 pulgada, pulgada, determinar el trabajo realizado al estirar el resorte de 8 pulgadas a 11 pulgadas. SOLUCION: Consideremos el resorte re sorte ubicad ubicado o a lo largo del eje x, con su extremo e xtremo fijo en el e l origen: origen:
EJEMPLO: Un resorte resor te tiene una longitud natural de 8 pulgadas. Si una fuerza de 20 libras estira el pulgadas. e l resorte resor te 1/2 pulgada, pulgada, determinar el trabajo realizado al estirar el resorte de 8 pulgadas a 11 pulgadas. SOLUCION: Consideremos el resorte re sorte ubicad ubicado o a lo largo del eje x, con su extremo e xtremo fijo en el e l origen: origen:
Por la ley de Hooke se sabe que F = k.x Como x = 0;5 pulgadas cuando F = 20 libras, entonces 20 = k(0;5) de donde k = 40. Luego, F = 40x. Se desea calcular el trabajo realizado por esta fuerza si aumenta la extensión e xtensión de de 8 a 11 pulgadas. Luego:
40 dx
= = 180
EJEMPLO: Encontrar el trabajo requerido para comprimir un resorte desde su longitud natural de 1 a una longitud de 75 pies, si la constante de fuerza es k=16 lb/ft
.2 16
W=
W= 0.5 ft-lb
APLICACIÓN A BOMBEO DE LIQUIDOS Un deposito en forma de cono circular que tiene 10 pies de altura, se llena hasta unos 2 pies de alto, con aceite de oliva de
densidad de
¿Cuánto trabajo se necesita para bombear el aceite hasta el borde del tanque?
Hallamos primeramente: f(y)=densidad
Luego, la distancia a través del cual F(y) debe actuar para bombear el aceite a nivel del borde del cono es de unos (10-y)ft , por lo que el trabajo realizado para bombear a el liquido, es aproximadamente:
57 w = 4
10 2 57 = 4 102 = 30,561
Encuentre el trabajo realizado al bombear agua hasta el borde superior de un deposito, que es de 50 pies de largo y tiene extremos semicirculares de radio 10 pies, si el deposito esta lleno hasta una profundidad de 7 pies .
W=α
− 100 100 2 −
W=100/3(91)^3/2
α
= 1,805 libras-pie
1.
Mediante un gráfico explicativo, use diferenciales para formular una integral que represente el trabajo (U), para extraer por bombeo la mitad del agua (62.5lb/pie3) del recipiente, que tiene la forma de paraboloide de revolución, la boquilla donde se extrae el agua está ubicada en la parte superior de dicho recipiente, todas las unidades están en pies. (Observación: Sacar la ecuación de la PARÁBOLA GENERATRIZ).
2. Un recipiente con agua se eleva verticalmente con una velocidad de 1,5 pies/s, mediante una cuerda de peso despreciable. Mientras se eleva, se le va saliendo el agua a razón de 0,25 lb/s. Si el recipiente pesa 4 lb cuando está vacío, y tenía 20 lb de agua cuando se empezó a elevar. Calcule el trabajo realizado al elevar el recipiente 12 pies.
3. Un elevador de 1200 lb está suspendido de un cable de 100 ft que pesa 10 lb/pies. ¿Mediante la ayuda de un gráfico y diferenciales elabore una integral que calcule el trabajo de subir el elevador desde el sótano hasta el cuarto piso, que es una distancia de 40 pies?. Halle su valor.
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Supongamos que una lámina de área A está sumergida en posición horizontal en un líquido de densidad r (Kg/m3) a una profundidad de x mts. bajo la superficie del líquido.
x A
x A
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La columna de líquido por encima de la lámina tiene un volúmen V=Ax Su masa está dada por: m=rV=rAx La fuerza que ejerce sobre la lámina es: F=mg=rgAx
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Por otra parte, la presión ejercida por la columna de líquido es: F P Utilizando la fórmula de la fuerza obtenida A anteriormente: ρgAx Simplificando: P A
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P
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ρgx Esto quiere decir que la presión sobre la lámina depende sólo de la profundidad (es proporcional a la profundidad).
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Este resultado está relacionado con el “Principio de Pascal” que además de establecer lo anterior, afirma
que la fuerza ejercida por la columna del líquido sobre la lámina es perpendicular a ésta y se propaga en todas las direcciones con la misma intensidad a la misma profundidad.
F F
F F
F
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El principio de Pascal ayudará a determinar la fuerza debida a la presión sobre una pared vertical de un recipiente que contiene a un líquido. Para ello, consideraremos una sección de área A que se encuentra en una de las caras del recipiente.
A
F
