Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en la Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica y en las diferentes especialidades. ECUACIONES DE MAXWELL Maxwell tiene 4 ecuaciones pero en las cuales solo en dos de ellas es de forma diferencial la primera y la tercera. Primera ecuación de Maxwell
Partimos de la Ley de Faraday sobre la fuerza electromotriz inducida.
d
B d
E ds dt B d
C
Usando el Teorema de Stokes queda:
d E d dt
Si en el segundo miembro pudiéramos conmutar las operaciones de derivada temporal y la integral, podríamos igualar los integrandos de la ecuación porque tienen el mismo recinto de integración. Para ello debemos exigir que dicho recinto no dependa del tiempo, lo que físicamente significa que los puntos de la superficie de integración se mantengan estacionarios. En ese caso quedará:
E d
dB d dt
Como los puntos de interés deben estar en reposo se cumple: dB B dx B dy B dz B B dt x dt y dt z dt t t Ahora podemos igualar los integrandos obteniendo la primera ecuación de Maxwell.
B E t Tercera ecuación de Maxwell. La Hipótesis de Maxwell Partimos de la ley de Ampère
H ds J d C
Usando el teorema de Stokes queda:
H d
J d
Dado que las integrales tienen el mismo recinto de integración podemos igualar los integrandos y obtenemos la llamada “Ley de Ampere microscópica”. H J Como la ley de Ampere vale sólo para corrientes constantes, la anterior ecuación es válida si el vector J es estacionario. Cabe preguntarse cómo será la ecuación en el caso general. No tenemos elementos de juicio o experimentos que nos permitan contestar el requerimiento para corrientes variables en el tiempo. No obstante, hay un razonamiento que puede ayudarnos a encontrar la respuesta. Se basa en el Principio de Conservación de la carga, por lo cual se acepta que la carga neta total del Universo permanece constante. En consecuencia, si en un volumen dado la carga neta cambió, ello indica que ha salido o entrado carga desde el exterior al volumen elegido, implicando corrientes durante el cambio. Tomemos una superficie cerrada cualquiera y calculemos el flujo de J a través de ella. Si da positivo (negativo) indica que está saliendo (entrando) carga, si da cero la carga neta en su interior permanece constante. Fácilmente podemos establecer la siguiente relación:
d
J d dt dV
V
Siendo la integral del segundo miembro la carga neta en el volumen V. Aplicando el teorema de Gauss obtenemos
d
J dV dt dV V
V
Para poder igualar los integrandos de esta ecuación integral, debemos lograr que conmuten la derivada temporal con el cálculo integral en el segundo miembro. Para ello bastará con pedir que los límites de integración no dependan del tiempo, condición que se cumple si los puntos que pertenecen al volumen permanecen en reposo.
J dV t V
dV
V
J t
Esta última ecuación diferencial escalar se conoce como Ecuación de Continuidad, y tiene validez general.
De acuerdo con la segunda ecuación de Maxwell, la densidad de carga en un punto está dada por la divergencia de D en dicho punto, lo que permite la siguiente relación. D 0 J t
Ahora podemos proponer cómo será la ley de Ampère generalizada (tercera ecuación de Maxwell). Dado que la divergencia de un rotor es siempre nula, la única manera de lograr que se cumplan la ley de Ampère microscópica y la ecuación de continuidad es agregando la variación temporal de D en el segundo miembro de la ley. Nótese que en el caso estacionario (corriente constante) queda la ley clásica de Ampère. D H J t
Como
H 0 J 0 t
quedará
D 0 J t
Ecuación de continuidad.
Aplicaciones de las ecuaciones de Maxwell en las telecomunicaciones La telecomunicación es una técnica consistente en transmitir un mensaje desde un punto a otro, normalmente con señales, datos, imágenes, voz, sonidos o información de cualquier naturaleza que se efectúa a través de cables, medios ópticos, físicos u otros sistemas electromagnéticos. El creador de la base científica-matemática utilizada para desarrollarlas, fue planteado por Clerk Maxwell que introdujo el concepto de “onda electromagnética”, que permitió una descripción adecuada de la interacción entre electricidad y magnetismo mediante sus ecuaciones que describen y cuantifican los campos de fuerzas. Maxwell predijo que era posible propagar ondas por el espacio libre utilizando descargas eléctricas, lo cual supuso el inicio de la era de la comunicación rápida a distancia.
LA ECUACIÓN DE LA ONDA ACÚSTICA Se obtiene de ecuaciones básicas de la mecánica de fluidos y de la termodinámica. Conservación de la masa En volumen arbitrario
Aplicando el teorema de Gauss
Como el volumen de integración es arbitrario
Ley de conservación de la masa en la forma diferencial Ecuación de Euler Por segunda ley de newton, en un volumen de gas arbitrario pero pequeño, en el que la velocidad de las partículas se puede considerar constante en todo el
𝑢 ⃗ es función del tiempo y de la posición
Substituyendo y aplicando el teorema de Gauss
Al ser el volumen de integración arbitrario
Ecuación de Euler del movimiento en un fluido. Relación entre presión y densidad Por ley de los gases ideales.
Donde R es la constante de los gases ideales y T es la temperatura absoluta del gas.
En una onda sonora el cambio de presión es adiabático: el periodo de oscilación es corto y no hay tiempo para intercambios de calor Por la ley de los gases adiabáticos
Donde K es una constante y ϒ es el coeficiente adiabático. Linealizaciòn Para una onda sonora
Ecuación linealizada de conservación de masa.
Ecuación linealizada de Euler.
Ecuación lineal de estado.
LA ECUACION DE LA ONDA Derivando las ecuaciones linealizadas de conservación de la masa y de Euler.
Combinando estas ecuaciones.
Aplicando la ecuación lineal de estado.
1 𝜕 2𝑝 ∇ 𝑝− 2 2 =0 𝑐 𝜕𝑡 2
Ecuación de onda sonora homogénea de presiones.
Aplicaciones de la ecuación de onda
La ecuación de una onda permite determinar el estado de perturbación en cualquier instante y en cualquier punto del medio, por lo que define completamente a la onda correspondiente. Otras aplicaciones: Medida de distancias; en procesos industriales en los que se precisa una tolerancia muy baja con las irregularidades y, con menor precisión, en los autofocos de las cámaras fotográficas y móviles, ajustando para que la imagen salga enfocada. Medida de velocidades; como en los radares de nuestras carreteras, aprovechando el conocido como efecto Doppler.
SISTEMA HIDRÁULICO CAPACITANCIA, RESISTENCIA (NIVEL EN UN TANQUE) La resistencia hidráulica es la oposición que presentan las tuberías al paso del fluido.
Supongamos que el fluido escurre a razón de q(t) hacia un tanque abierto de sección constante A. La relación entre el gasto y la altura del fluido es:
q (t ) A
dh(t ) dt
La relación entre la altura del fluido en el tanque y la presión en la boca del tubo de alimentación es
h(t )
es la densidad del fluido ( kg / m3 ) g es la aceleración de la gravedad ( m / s2 ) Por lo tanto,
q(t )
A dp(t ) g dt
q (t ) C h Siendo C h
p (t ) g
dp (t ) dt
A , la capacitancia hidráulica g
Concluyendo, la capacitancia de un elemento físico puede definirse como el cambio en la cantidad de material o distancia requerido para producir un cambio unitario en potencial Ch
cambio en la cantidad de material o dis tan cia cambio en potencial
En un sistema de tanque lleno de líquido, la cantidad de material puede ser el volumen del líquido y el potencial puede ser, ya sea la presión o la altura. Si aplicamos la definición general precedente de la capacitancia al sistema del tanque lleno de líquido, el resultado es:
cambio en la cantidad de liquido Ch cambio en la altura
3 m N 2 m
O bien,
Ch
cambio en la cantidad de liquido cambio en presión
m3 m
Si el fluido escurre por una tubería de sección A, su velocidad promedio esta dada por,
v(t )
q(t ) A
siendo la masa m del fluido en una longitud d de tubería es: mA d
De acuerdo a la segunda ley de Newton f (t ) m a
por lo tanto,
f (t ) d
dq (t ) dt
Pero por otro lado,
p (t )
f (t ) A
resultando
p(t )
donde I h
d A
d dq(t ) A
dt
p(t ) I h
dq(t ) dt
es la inductancia hidráulica
𝑞𝑒 − 𝑞𝑠 = 𝑞𝑒 = 𝐴 𝑞𝑠 =
𝑑𝐴ℎ − − − − − −(1) 𝑑𝑡 𝑑ℎ + 𝑞𝑠 𝑑𝑡
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒
ℎ − − − − − (2) 𝑅
Sustituyendo 2 en 1 𝑞𝑒 = 𝐴
𝑑ℎ ℎ + 𝑑𝑡 𝑅
𝑑ℎ ℎ 𝑞𝑒 + = 𝑑𝑡 𝐴𝑅 𝐴
Aplicaciones: En la industria, es de primera importancia contar con maquinaria especializada para automatizar, controlar, impulsar, posicionar y mecanizar elementos o materiales propios de la línea de producción, para estos efectos se utiliza con regularidad la energía proporcionada por fluidos comprimidos. Se tiene entre otros: Equipamiento para robótica y manipulación automatizada Estas aplicaciones se utilizan principalmente para la automatización y control industrial.
OTRAS APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN ICE SON: Solución de redes de circuitos eléctricos. Movimiento satelitales. Control automático. Servomecanismo: Sistema de control realimentado cuya salida es una posición mecánica.
Clasificación de las ecuaciones diferenciales: Ecuaciones de Maxwell ⃗⃗ = 𝐽 + ∇xH
⃗ 𝜕𝐷 𝜕𝑡
Ecuación diferencial parcial, de primer orden, grado 1, lineal, coeficientes constantes, no homogénea ∇ x ⃗E = −
⃗ 𝜕𝐵 𝜕𝑡
Ecuación diferencial parcial, de primer orden, grado 1, lineal, coeficientes constantes, no homogénea Ecuación de Onda ∇2 𝑝 −
1 𝜕 2𝑝 =0 𝑐 2 𝜕𝑡 2
Ecuación diferencial parcial, de primer orden, grado 2, lineal, coeficientes variables, no homogénea Ecuación de un sistema hidráulico 𝑑ℎ ℎ 𝑞𝑒 + = 𝑑𝑡 𝐴𝑅 𝐴 Ecuación diferencial ordinaria, de primer orden, grado 1, lineal, coeficientes constantes, no homogénea.
CONCLUSIONES ¿Qué aprendí del trabajo realizado? En este trabajo aprendí muchas cosas una de ellas y la que me parece la más importante de todas es que para todo se utilizan las matemáticas, en cuanto a este curso de ecuaciones diferenciales lo que los profesores me decían que es una materia esencial para la carrera ya que las ecuaciones diferenciales se utilizan para sacar modelos matemáticos y estos se sacan para demostrar teorías. Todos los profesores a los que les hice las entrevistas (esta pregunta no está en mi cuestionario) coincidían con la misma respuesta cuando les hacia la pregunta ¿Qué importancia tienen las ecuaciones diferenciales en la carrera de ICE y en las distintas especialidades? Su respuesta general fue “EN TODO”, y eso fue lo más importante que aprendí
¿Cuál fue el trato de los profesores? Por suerte todos los profesores a los que les pedí ayuda se portaron muy bien con migo, los profesores me explicaban de forma completa estas aplicaciones, y terminábamos hablando de algunas otras aplicaciones no solo en una especialidad.
¿Para qué me podrá servir este trabajo en la carrera? Este trabajo de aplicación nos sirve para que nosotros como estudiantes nos vallamos preparando para todo el camino que nos falta. También para ver cuanta importancia tienen las ecuaciones diferenciales en toda la carrera, que al parecer son muchas, que la materia no solo es una “materia de relleno” o una materia que no nos va a servir para nada, poro con esto nos podemos dar cuenta que muchos estábamos equivocados. Para empezar se me hizo muy buena idea de parte del profesor Abraham Gómez Avalos por dejarnos este trabajo de aplicación con el aprendimos muchas cosas. Katsuhiko Ogata, Ingeniería de control moderna, Cuarta edición, Ed. Prentice Hall. Capitulos 3 y 4 Dorf, R.C., Sistemas modernos de control, Ed. Addison-Wesley.
Introducción: Las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en la carreara de ingeniería en comunicaciones y electrónica y en sus diversas especialidades son muy variados en todas las especialidades se utilizan para deferentes aplicaciones. En este trabajo se van a demostrar algunas de ellas con su respectiva demostración de cada una de estas como se formaron y las aplicaciones más importantes de cada una de ellas. En el desarrollo del trabajo se ven las ecuaciones de Maxwell de donde salieron y se demostración algunas aplicaciones en las telecomunicaciones. La ecuación de onda su demostración y las aplicaciones más importantes como en la transmisión, recepción, etc. de datos. Otro ejemplo importante en el control es en un sistema hidráulico en el nivel de líquido de un tanque y su utilización en la ingeniería. Hay muchas más aplicaciones de las ecuaciones diferenciales se mencionan algunas mas en el desarrollo del trabajo.
OBJETIVOS:
En este trabajo lo que se pretende demostrar es las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en la carreara de ingeniería en comunicaciones y electrónica y en sus diversas especialidades que ofrece (acústica, control, electrónica, comunicaciones, computación). Que el alumno vea que importancia tienen las ecuaciones diferenciales. Que el alumno aprenda un poco de las aplicaciones en ingenieria.
METODOLOGIA DEL TRABAJO Para la realización de este trabajo se realizaron entrevistas a varios profesores los cuales nos daban una breve explicación de la importancia de las ecuaciones diferenciales en la carrera de comunicaciones y electrónica. Se realizaron a profesores de distintas especialidades y se realizaron dos preguntas, ¿qué aplicaciones tienen la ecuaciones diferenciales en la carrera de ICE y en su especialidad?, Mencione algún ejemplo de una ecuación diferencial utilizada en dichas aplicaciones. Posteriormente se realizó un trabajo de investigación para saber la historia de estas ecuaciones diferenciales (de donde salieron, quien las formulo) y algunas otras aplicaciones que tienen dichas ecuaciones diferenciales en la carrera.
