APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN EL ÁREA DE LA CIENCIA DE LA SALUD Sabemos que desde el inicio de las ciencias de la salud, éstas no dependieron en lo absoluto de las matemáticas para su desarrollo con éxito, así que surge la pregunta ¿por qué tendríamos que utilizarlas ahora para entender fenómenos biológicos o médicos? El que las ciencias de la salud, como la biología o la medicina por eemplo, no emplearan a las matemáticas en la antig!edad, antig!edad, no quiere decir que en la actualidad "o a futuro# no podamos utilizarlas$ %artiendo de esta idea idea,, disc discip iplilina nass como como la gené genétitica ca & la ecol ecolog ogía ía logr lograr aron on éxit éxitos os impo import rta antes ntes
desa desarr rrol olla land ndo o
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mate matemá mátitico coss
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ecuaci ecuacion ones es difere diferenci nciale ales$ s$ 'ctua 'ctualme lmente nte,, las matemá matemátic ticas as aport aportan an herra herramie mienta ntass & modelo modeloss matem matemáti áticos cos de ecuac ecuacion iones es difer diferenc encial iales es como apo&o a estudios específicos de in(estigación en el área de )iencias de la Salud$
CRECIMIENTO BIOLÓGICO *n problema fundamental en biología es el crecimiento, sea este el crecimiento de una célula, un órgano, un ser humano, una planta o una población$ Si tenemos una población que crece o decrece a tra(és del tiempo en razón de una constante que depende de la población "bacterias# en ese momento, tenemos la siguiente ecuación+ dP = kP dt
Se confirma que es una ecuación diferencial de (ariables separables+ dP =kdt P
ntegrando a ambos lados, tenemos+ ln P = kt + C
-perando la ecuación+ kt
P=e . D C ./onde D= e $
0a que sabemos que la población al transcurrir un t12, se aproxima a %, tenemos+ P0=e
k (0 )
. D de donde P0= D $
3eemplazando en la ecuación anterior, tenemos+ kt
P=e . P0
Eemplo+ ' las 4 p$m$ se re(isó una población de bacterias encontradas en una placa de %etri en un laboratorio$ Se contaron 522 especímenes usando su peso promedio$ ' las 6 p$m$ se (ol(ió a hacer un conteo, resultando 7222$ Si el profesor del curso
hizo el culti(o a las 54 m8 calcular el n9mero de especímenes que culti(ó a esa hora$ %lanteando la ecuación para crecimiento poblacional, tenemos+ kt
P=e . P0
'nalizando el primer conteo+ 2 k
100= e . P0
'nalizando el segundo conteo+ 8 k
3000= e . P 0
/espeando el (alor de la población inicial e igualando+ 100
e
=
3000
2 k
e
8 k
-perando términos semeantes+ 6 k
e =30
'plicando logaritmo natural a ambos lados+ 6 k = ln30
/espeando la constante de crecimiento+ k =
ln30 6
3eemplazando la constante en la ecuación general+ P=e
ln (30 ) . t /6
. P0
3eemplazando & operando para hallar la población inicial+ 100 ln ( 30 ).2 / 6
e
=
3000 ln (30 ).8 / 6
e
=32,18297949
/e lo que se conclu&e que la población culti(ada de bacterias fue de 74 especímenes aproximadamente$
)onsidérese una población que aumenta P (t ) personas "o animales, bacterias o cualquier especie de organismos# en el tiempo
t
$
Supóngase que esta población tiene una tasa de natalidad constante β & una tasa de mortalidad
σ.
En líneas generales, esto significa que, durante un período de un a:o, ocurrirán βP nacimientos &
σP muertes$
)omo % (aría en el transcurso del a:o, pensaremos en un bre(e inter(alo de tiempo8 de t a t + ∆ t %ara (alores mu& peque:os de ∆ t , el (alor de P= P (t ) cambiará en una cantidad tan peque:a durante el inter(alo de tiempo
[ t , t + ∆ t ] , que se puede
considerar a % como si fuera ;casi< constante$ El n9mero de nacimientos se aproximará a,
βP ( t ) ∆ t 8 & el n9mero de muertes a
σP ( t ) ∆ t .
'l decir que la tasa de natalidad es = & la de mortalidad es >, queremos significar lo siguiente+ as razones a @t de los errores, en las aproximaciones anteriores tienden a cero cuando @t tiende a cero$
*samos la información dada en para deducir, de ser posible, la forma de la función P (t ) que describe nuestra población$ %ara ello+ buscaremos ;la razón de cambio con respecto al tiempo< de %$ )onsideremos por lo tanto el incremento+ ∆ p= p ( t + ∆ t )− p ( t ) en el inter(alo
[ t , t + ∆ t ]
%uesto que @% no es más que el n9mero de nacimientos menos el n9mero de defunciones, se encuentra, que+ ∆ p= p ( t + ∆ t )− p ( t ) ≈ βP ( t ) ∆ t −σP ( t ) ∆ t
En consecuencia+ ∆ p ( t + ∆ t )− p ( t ) = =( β −σ ) P (t ) ∆ t ∆ t
)uando ∆ t → 0 8 el cociente del 4A miembro se acerca a la deri(ada P’ (t ) , & por supuesto, también se acerca al 4A miembro
Simbólicamente+
( t + ∆ t ) − p ( t ) ∆p = lim ¿ = P’ ( t ) ∆ t t → 0 ∆ t lim ¿ t→ 0
y como P ’ ( t )=( β −σ ) P ( t )
0 si designamos k =( β − σ ) , quedará+ P’ ( t )= k P ( t )
- bien+ dp = kp (t ) dt
( β −σ ) P ( t )
a expresión anterior es una ecuación diferencial que puede ser considerada como modelo matemático de la población cambiante$ a ecuación diferencial
dy = ky , con B constante sir(e como modelo dt
matemático de una gran (ariedad de fenómenos naturales$ Esta ecuación diferencial es de fácil resolución$ %ongámosla así+ dy = ky dt 1
y
dy = kdt
∫ 1 y dy =∫ kdt ln y = kt + c1 kt + c1
y = e
y =C e
= ekt e c
kt
1
C$$".#
/e donde C =c 1 que son constantes reales$ -bser(amos que C no es más que el (alor de y cuando t =0 , o sea C = x (0)= x 0
, sustitu&endo en ".# obtenemos
Esta ecuación
dp = kp (t ) , suele llamarse dt
y( t )= y o e
$
“ecuación de crecimien!
e"#!nencia$% ! ecuación de crecimien! naura$& E'ercici!(
kt
5$*n culti(o tiene una cantidad inicial cantidad medida de bacterias es
N 0 4 N 0 3
de bacterias, cuando
t =1 h $ a
$ Si la razón de reproducción es
proporcional a la cantidad de bacterias presentes, calcule el tiempo necesario para duplicar la cantidad inicial de los microorganismos$
S!$ución( Seg9n la ecuación de crecimiento exponencial+
dN =kN dt
C ".#
/onde N (0 )= N 0 4 3
N (1) = N 0
Dallaremos ;B< seg9n la ecuación de crecimiento exponencial dN =kN dt 1
N
dN = kdt
C"integrando#
∫ N 1 dN =∫ kdt ln N = kt + c1 kt + c /e donde N (t )= e
1
kt c 1
N (t )= e e
kt
N (t )=C e
k 0 )uando t =0 → N ( 0)=C e → N ( 0) =C
N (0 )= N 0=C
0 como
Entonces N (t )= N ( 0) e
t =1 →
0 cuando 4 = ek 3
ln
kt
4 k ( 1) N 0= N 0 e 3
C"estableciendo
acadalado ln ¿ ¿
4 = ln e k 3
K = 0.288
%or lo tanto la ecuación quedará+ 0.288 t
N (t )= N ( 0) e
0 para duplicar la cantidad inicial el tiempo necesario es+ 2
( ) 4 N 3 (0 )
ln
()
ln
( )=
8 3
8 3
= N ( 0) e 0.288t C"estableciendo acadalado ln ¿ ¿
= ln e 0.288 t
0.288 t
ln
t =
() 8 3
0.288
t =3.4 h
Entonces para poder duplicar el n9mero de bacterias que había inicialmente se necesitó 7$ horas$
E'em#$!( una población bacteriana F se sabe que tiene una tasa de crecimiento proporcional a F mismo, si entre el medio día & las 4 pm$ a población se triplica$ ' qué tiempo, sino se efect9a ning9n control, F será 522 (eces ma&or que el medio día? SOLUCIÓN GH3I*' %or la le& maltusiana este problema se formula de la siguiente manera dx =kx dy
B1 factor de proporcionalidad En un tiempo 2 la población bacteriana es J 2 & después de dos horas se triplica 7J2 en que tiempo será 522 (eces la cantidad inicial$ /'K-S J ;población J2 7J2 522J2 bacteriana< Kiempo 2 4 t
54 am
S!$ución+ Separando (ariable dx =kdt dy 3 x 0
∫ x 0
Ln
dx x
2
∫ dx x
=
0
"7x2# L ln"x2# 1 Bt"4M2# 3 x 0 x 0
n "
ln 3 2
N1
# 1 4B 1 2$OP72Q5
3emplazando B dx =¿ 2$OP72Q5 dy 100 x0
∫ x 0
Ln
dx x
t
∫ dx x
=
0
"522x2# L ln"x2# 1 Bt"tM2#
n "
100 x 0 x 0
ln100
k
#1 Bt
1t
K1 6$76 horas
4pm
APLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES AL DESGASTE DE MATERIAL RADIOACTI)O POR EMISIÓN DE RA*OS BETA Si tenemos un material radioacti(o cu&as propiedades de emisión se desgastan a tra(és del tiempo en razón de una constante que depende de la masa de material en ese momento, tenemos la siguiente ecuación+ dM =−kM dt
Se confirma que es una ecuación diferencial de (ariables separables+ dM =−kdt M
ntegrando a ambos lados, tenemos+ ln M =−kt + C
-perando la ecuación+ −kt
M =e
.D
C ./onde D= e $
0a que sabemos que la masa radioacti(a al transcurrir un t12, se aproxima a I, tenemos+ −k ( 0)
M 0=e
. D de donde M 0= D $
3eemplazando en la ecuación anterior, tenemos+ −kt
M =e
. M 0
Eemplo+ *n radiólogo le suministra a un paciente 522mg de un material radioacti(o8 obser(ando que a los 52 minutos aun se liberaban ra&os beta, pero correspondientes a 5Omg de material radioacti(o$ e pregunta a un interno, cuál
sería la constante de desgaste de las propiedades de emisión de ese material radioacti(o dentro de la sangre$ %lanteando la ecuación para el desgaste de las propiedades de emisión del material radioacti(o, tenemos+ −kt
M =e
. M 0
3eemplazando con los datos de la obser(ación del radiólogo+ −10 k
15= e
.100
-perando factores afines+ − 10 k
e
=
15 3 = 100 20
'plicando logaritmo natural a ambos lados+ −10 k = ln
3 20
/espeando la constante+ −ln k =
( )= 3 20
10
0.1897119985
Se pudo determinar que la constante de desgaste de las propiedades de emisión del material radioacti(o en la sangre es de 2$56PR55PP6O$
Le+ de en,riamien! de Ne-!n
Si se tiene un cuerpo a una temperatura K, sumergido en un medio de tama:o infinito de temperatura Km "Km no (aría apreciablemente con el tiempo#, el enfriamiento de este cuerpo se comporta de acuerdo a la siguiente ecuación+ dθ = kθ dt
Se confirma que es una ecuación diferencial de (ariables separables+ dθ = kdt θ
ntegrando a ambos lados, tenemos+ ln θ= kt + C
-perando la ecuación+ kt
θ= e . D C ./onde D= e & θ=T −T m
kt
T −T m=e . D
0a que sabemos que la temperatura al transcurrir un t12, se aproxima a
θ
,
tenemos+ k ( 0)
θ= e
. D , entonces
T −T m= D
3eemplazando en la ecuación anterior, tenemos+ kt
T =e . D + T m
Eemplo+ *na célula se encuentra a 4O
℃
pero a tra(és de la ruptura de la membrana
plasmática, se expone a una temperatura de 52
℃
$ Si al cabo de 7 horas su
temperatura es de 572 se enfríe a 72
℃
℃
, ¿)uánto tiempo adicional debe transcurrir para que
?
%lanteando la ecuación para crecimiento poblacional, tenemos+ kt
T =e . D + T m
3eemplazando con los datos del problema+ ( 0) k
25= e
. D + 10
-perando factores para obtener el (alor de D + D=15
Sabiendo el (alor de
D
% entonces reemplazamos cuando se rompe la
membrana para hallar la constante k 130=15. e
3 k
+ 10
-perando términos+ 3 k
e =
130−10 120 = =8 15 15
'plicando logaritmo natural a ambos lados+ 3 k
e =8 ln e
3 k
= ln 8
3 k = ln 8
/espeando la constante+ k =
ln 8 2,07944154 = =0,69314718 3 3
3eemplazando la constante en la ecuación general+ ( 0,69314718 ). t
40 =15. e
+ 10
3eemplazando & operando para hallar el tiempo adicional+ 40−10 =e( 0,69314718 ) .t 15 (0,69314718 ) . t
2= e
'plicando logaritmo natural a ambos lados+ ( 0,69314718 ) .t
ln e
= ln 2
( 0,69314718 ) .t = ln 2 t =
0,69314718 0,69314718 = =1 ln 2 0,69314718
t =1
/e lo que se conclu&e que el tiempo adicional para que la célula llegue a una temperatura de 72 ℃ es de 5 hora$
Le+ de a./!rción de Lam.er Esta le& dice que la tasa de absorción de luz con respecto a una profundidad x de un material translucido es proporcional a la intensidad de luz a una profundidad x, es decir, si es la intensidad de la luz a una profundidad x entonces+ dI =−kI dx
Se confirma que es una ecuación diferencial de (ariables separables+ d I =−kdx I
ntegrando a ambos lados, tenemos+ ln I =−kx + C
-perando la ecuación+ −kx
I =e
.D
C ./onde D= e
0a que sabemos que la intensidad al transcurrir un t12, se aproxima a I, tenemos+
− k ( 0)
I 0 =e
. D de donde I 0 = D $
3eemplazando en la ecuación anterior, tenemos+ − kx
I =e
. I 0
Eemplo+ El oo humano está compuesto por un gel transparente llamado el humor (ítreo, cu&a intensidad I a O metros de distancia de donde está mirando la persona es de un 2 de la intensidad I 0 a los 4O metros, ¿)uál es la intensidad del ra&o de luz que pasa a 5O metros del oo? 3eemplazando con los datos del eercicio+ I =( 0,4 ) . I 0
( 0,4 ) . I 0 =e−kx . I 0 − 5 k
=0,4
e
− k
e =( 0,4 )
1 5
3eemplazando en lo que me piden+ − kx
I =e
. I 0
e
(¿¿−k ) x I =¿ I 0 1
I x =( ( 0,4 ) 5 ) I 0
1
I 15 =( ( 0,4 ) 5 ) I 0
I =( 0,4 )3 I 0 I =0,064 I 0
En conclusión, la intensidad I del ra&o de luz que pasa a 5O metros del oo es de Q, de la I 0