Universidad de Antioquia. Agudelo Julián. Aplicación de programación programación lineal.
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BÚSQUEDA DE LA LOCALIZACIÓN ÓPTIMA DE CAMARAS DE TELEVISIÓN UTILIZANDO PROGRAMACIÓN LINEAL JULI AN AGUDELO
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Abstract - Este documento describe la programación lineal como herramienta para dar solución a problemas de cobertura, en este caso la necesidad de reducir el número de cámaras necesarias para transmitir un juego, optimizando su ubicación, con el fin de tener una toma completa de las zonas más importantes de un estadio.
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I. INTRODUCCIÓN Es común en la cotidianidad la toma de decisiones, pero, ¿Cómo saber cuál es la decisión más apropiada? ¿Cómo obtengo un máximo beneficio? ¿Cómo minimizo costos? Actualmente son muy utilizadas las técnicas de optimización, herramientas matemáticas que buscan encontrar la solución óptima a un problema, sujeto a restricciones propias de cada situación.
II. PROGRAMACIÓN LINEAL Es una técnica de modelado que ayuda a tomar decisiones. Implementa una función objetivo lineal y un conjunto de restricciones lineales variables no negativas. El objetivo de la programación lineal es minimizar o maximizar un objetivo (función objetivo) y su interés principal es tomar las decisiones óptimas.
Fig. 1. Cobertura desde distintas localizaciones
Se desea minimizar el número de cámaras empleadas para la transmisión. Además la localización 9 debe tener una cámara y las áreas 1 y 2 requieren cobertura de al menos dos cámaras, las cuales no deben estar en la misma localización. Ésta es una situación frecuente dentro de la programación lineal, se denomina problema de cobertura. Los problemas de este tipo se resuelven de manera similar, es preciso proceder inicialmente a construir una matriz de cobertura 1 2 3 4
III. PROGRAMACION LINEAL BINARIA ENTERA
5 6
Es similar a la programación lineal, busca optimizar una función objetivo lineal sujeta a una serie de restricciones lineales. La diferencia radica básicamente en la existencia sólo de variables de tipo binario.
IV. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
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Un canal local requiere transmitir el juego más importante del año. Los productores han identificado 12 posibles localizaciones para las cámaras y 25 áreas del estadio que requieren ser cubiertas por las cámaras.
15 16 17 18 19
En la siguiente tabla se muestra la relación entre las localizaciones y las zonas cubiertas desde estas:
20 21 22 23 24
L ocali zación zación de la cá mar a 1
Área del estadio estadio 1, 3, 4, 6, 7
8, 4, 7, 12 2, 5, 9, 11, 13 1, 2, 18, 19, 21 3, 6, 10, 12, 14 8, 14, 15, 16, 17 18, 21, 24, 25 2, 10, 16, 23 1, 6, 11 20, 22, 24, 25 2, 4, 6, 8 1, 6, 12, 17
25
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2
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0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1
0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
Universidad de Antioquia. Agudelo Julián. Aplicación de programación lineal. Fig. 2. Matriz de cobertura
Cada columna localización presenta el coeficiente unitario en cada una de las zonas que cubre la cámara. Para cada localización j (j=1-12) utilizaremos una variable binaria
ó {1,0, ó Las restricciones las obtenemos multiplicando la matriz de cobertura por el vector de variables. Los términos independientes se recogen en un vector columna, cuyo valor será el número mínimo de veces que la zona debe quedar cubierta. En ese orden de ideas e implementando las condiciones especiales de la localización 9 y las zonas 1 y 2 tenemos:
∑ ≥2
1,2
=
∑ ≥ 1 3,…,25 =
9 1
beq son los vectores independientes de desigualdad e igualdad respectivamente. La solución se muestra a continuación X=1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 fval = 8 Procedemos a hacer un análisis de los resultados x 1
x 2
x 3
x 4
x 5
x 6
x 7
x 8
x 9
x 10
x 11
x 12
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
Fig. 3.
Tabla de resultados
El software nos arrojó las mejores ubicaciones de las cámaras para cubrir las diferentes zonas requeridas, así mismo nos dio razón de las localizaciones en las cuales es innecesario ubicar cámaras. Las localizaciones en las cuales es requerida una cámara son la 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10. Si expandimos nuestra función objetivo y reemplazamos los valores de X obtenemos. X=X 1+ X 2+ X 3+ X 4+ X 5+ X 6 + X 7+ X 8+ X 9+ X 10+ X 11+ X 12
El objetivo es minimizar el número de cámaras, por lo tanto la función objetivo es:
∑
X=1+1+1+1+0+1+0+1+1+1+0+0 X=8
=
Corresponde al mínimo número de cámaras necesarias para cubrir las 25 zonas, teniendo en cuenta que las zonas 1 y 2 requieren ser cubiertas por al menos dos cámaras y además que en la localización 9 debemos encontrar una cámara.
VI. CONCLUSIONES
=
En la actualidad encontramos las técnicas de optimización como una herramienta necesaria para dar solución a los problemas de tomas de decisión y optimización de procesos.
El modelo completo es:
∑ Sujeta a:
2
∑ ≥2
=
1,2
∑ ≥1 3,…,25 =
9 1 V. RESULTADOS
Haciendo uso de la programación lineal pudimos dar solución a una situación muy común como lo es un problema de cobertura, las necesidades fueron satisfechas completamente y se minimizó el número de cámaras requeridas aumentando el beneficio y reduciendo el costo. La utilización de software para la optimización es importante en la medida que simplifica considerablemente el desarrollo de la solución, haciendo operaciones que en el papel se vuelven tediosas y entregando resultados en solo segundos.
Se implementó un script para dar solución al problema utilizando la toolbox de optimización del software Matlab.
REFERENCES
Utilizamos el comando correspondiente de programación lineal binaria entera.
[1] David Canca and Ignacio Eguía and Jesús Racero Construcción de modelos de programación lineal,
[X,fval] = bintprog(z,A,b,Aeq,beq)
http://italica.us.es/asignaturas/Examenes /Construcci%C3%B3n%20de%20modelos%20de%20 PL.pdf
Siendo z el vector función objetiva, A la matriz de restricciones de desigualdad, Aeq la matriz de restricciones de igualdad, b y
Accesado: 01/11/2013.
Universidad de Antioquia. Agudelo Julián. Aplicación de programación lineal.
[2] Iván Cabezas and Juan D. Páez Matlab Toolbox de optimización Aplicaciones en ciencias económicas http://fce.unal.edu.co/wiki/images/e/ef/M anual_optimizacion.pdf
Accesado: 01/11/2013
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