1.- El error estándar robusto, o consistente a heterocedasticidad o error estándar de White o de Eicker-White es mayor que el error estándar habitual, calculado suponiendo que se cumple el supuesto de homocedasticidad 2
[(V(e/X)=V(Y/X)=constante=σ [(V(e/X)=V(Y/X)=constante=σ ], ya que en caso de heterocedast los estimadores MCO no son los de mínima var ianza. ¿Cierto o falso?
APÉNDICE SOBRE HETEROCEDASTICIDAD: 2
2
A la V(Y/X) se le representa con σ (o con S si es una muestra) y es la varianza de la regresión. No hay que confundirla con la varianza marginal 2
2
de Y (V(Yi)) *se la suele representar con σ y (o con Sy si es una muestra)]. Además, V(Y/X) es igual a V(e|X): Es la varianza de la distribución de Y 2
2
2
para cada Xi: Σ(Yi-med(Y|X=Xi)) /nX=Xi= Σ(Yi-b0+b1Xi)) /nX=Xi= =Σ(ei) /nX=Xi Homocedasticidad => V(ϵ/X1… Xk)= V(Y/X1… Xk)= constante = σ
2
Heterocedasticidad: V(ϵ/X1… Xk)= V(Y/X1… Xk)= no constante = 2
σ (Xi) esto quiere decir que el valor de la varianza de la regresión es distinto para cada valor de X. ¿Qué pasa en caso de heterocedasticidad? Ya se vio que EN CASO DE MUESTREO ALEATORIO los estimadores MCO (b0 y bj) son insesgados y consistentes.
Esto quiere decir que: E(bi)=βi
y que:
p lim(bi)= βi
Pero no son los de mínima varianza (no son los de máxima eficiencia) Las V(bj) y los errores estándar calculados usando la fórmula habitual son sesgados e inconsistentes , y no valen para contrastes de H0 y para intervalos de confianza. 2
2
2 2
En la dedución de la V(b1) se llegaba a: V(b1)= Σ(Xi-Med(X)) ·σ (X) / (Σ(Xi-Med(X)) ) 2
2
Pero como en caso de homocedasticidad σ (X) = constante= σ => 2
2
2
V(b1) = σ / Σ(Xi-Med(X)) no válida si heterocedasticidad pues σ (X) # constante # σ
2
También los estimadores de variables instrumentales son consistentes en caso de heterocedasticidad , pero la fórmula habitual de su varianza tampoco es válida. Pero en caso de heterocedasticidad se puede utilizar la siguiente fórmula para la varianza tanto para MCO como para variables instrumentales: 2
2
2
2 2
Sb =Σ(Xi-Med(X)) ·ei /(Σ(Xi-Med(X)) )
Este estimador de V(b) es válido PARA CUALQUIER FORMA DE HETEROCEDASTICIDAD y también en caso de homocedasticidad (en caso de duda sobre homocedasticidad o no podemos usarlo, porque sirve siempre) Esta fórmula vale también para el caso de que la FEC no sea linear. También hay una versión de la fórmula anterior para el caso de regresión linear mútiple El error estándar calculado a partir de esta varianza (su raíz cuadrada) se llama error estándar robusto, o consistente a heterocedasticidad o error estándar de White o de Eicker-White. El error estándar robusto puede ser mayor o menor que el habitual que se usa en caso de homocedasticidad; aunque suele ser mayor. No hay manera de saber “a priori” (antes de calcular ambos) cual será el caso.
Con heterocedasticidad se puede seguir usando la N(0, 1) para calcular los Intervalos de confianza y para contrastar H0, como en caso de homocedasticidad, ya que el estadístico de contraste (t): 2
2
(bi-βi)/[ σ / Σ(Xi-Med(X)) ] aprox= N(0, 1)
se distribuye aproximadamente como una N(0, 1) tanto con estimadores MCO como con estimadores de variables instrumentales.
0
se puede calcular también una forma de contraste similar al W que es robusta a heterocedasticidad (no es posible hacerlo a mano, solo con ordenador) 0
Si hay heterocedasticidad, los estadísticos que se usaban antes para contraste de H0 e intervalos de confianza (t; W ) no 2
se distribuyen como una t de Student, una F o una X y por tanto no son válidos NOTA:
Si el error Std robusto es siempre válido, ¿por qué no se usa siempre en lugar del
que sólo es válido en caso de homocedast? Un motivo es que los estadísticos de contraste (t) basados en el error habitual se distribuyen EXACTAMENTE como una t de Student, si hay homocedast y además los errores (e) del modelo se distribuyen normalmente, mientras que el error robusto es válido asintóticamente: tiende al valor real al aumentar el “n”;
de forma
que en muestras no grandes tanto el error robusto como el estadístico t basado en él puede diferir bastante del verdadero valor. Por ello, en muestras no muy grandes es conveniente seguir disponiendo de error “no robusto” , aunque en muestras grandes cada vez se prescinde más de él. 2
UNA COSA IMPORTANTE Y NUEVA es que en caso de heterocedasticidad no tiene sentido usar e l R o el error
estándar de la regresión para medir lo bueno o malo del ajuste del modelo , ya que para cada valor de X el grado de ajuste es distinto (varianza de los errores o residuales distinta).
1.- El error estándar robusto, o consistente a heterocedasticidad o error estándar de White o de Eicker-White es mayor que el error estándar habitual, calculado suponiendo que se cumple el supuesto de homocedasticida d [(V(e/X)=V(Y/X)=constante=σ2], ya que en caso de heterocedast los estimadores MCO no son los de mínima varianza. ¿Cierto o falso? Falso de toda falsedad 2.- CONTRASTE DE BREUSCH-PAGAN PARA HETEROCEDASTICIDAD ¿Cómo saber si hay heterocedasticidad en el modelo siguiente?: Modelo 3: MCO, usando las o bservaciones 1-88Variable dependiente: price Coeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor p -------------------------------------------------------------const -21770,3 29475,0 -0,7386 0,4622 lotsize 2,06771 0,642126 3,220 0,0018 *** sqrft 122,778 13,2374 9,275 1,66e-014 *** bdrms 13852,5 9010,15 1,537 0,1279 Media de la vble. dep. 293546,0 D.T. de la vble. dep. 102713,4 Suma de cuad. residuos 3,01e+11 D.T. de la regresión 59833,48 R-cuadrado 0,672362
En caso de homocedasticidad: V( ϵ/X1,X2,X3)=σ2 => E(ϵ2|X1,X2,X3)=σ2 Vamos a contrastar H0: E( ϵ2|X1,X2,X3)=σ2 Si H0 es falsa=> ϵ2 depende de X1,X2,X3 => en ϵ2= ∂0+∂1X1+∂2X2+∂3X3+ϵ1
uno o más ∂i son distintos de cero =>
H0: ∂1=∂2=∂3= 0 | H1: al menos uno de ellos es distinto de cero.
los errores del modelo 3 son estimaciones de los ϵ. Hacemos la regresión de esos errores al cuadrado (usq3) sobre las X: Variable dependiente: usq3 Coeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor p -------------------------------------------------------------------
const -5,52279e+09 3,25948e+09 -1,694 0,0939 * lotsize 201521 71009,1 2,838 0,0057 *** sqrft 1,69104e+06 1,46385e+06 1,155 0,2513 bdrms 1,04176e+09 9,96381e+08 1,046 0,2988 Media de la vble. dep. 3,42e+09 D.T. de la vble. dep. 7,09e+09 Suma de cuad. residuos 3,68e+21 D.T. de la regresión 6,62e+09 R-cuadrado 0,160141
y hacemos un contraste de significación conjunta o global (llamado también “contraste de regresión”) basado en R-cuadrado: W0=n·R2/(1-R2)= 88·0,160141/(1- 0,160141 )= 16,7794927 P(X2k=3≥16,778) < 0,00079 => Rechazamos H0 y aceptamos heterocedasticidad. También se puede calcular F=
R2/(1-R2)·(n-k-1)/k= 5,35 => P(F k, n-k-1≥5,35) = 0,002
¿Qué se puede hacer en este caso? Una posibilidad es utilizar los errores estándar robustos a heterocedast: Variable dependiente: price Desviaciones típicas robustas ante heterocedasticidad, variante HC1 Coeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor p -------------------------------------------------------------const -21770,3 37138,2 -0,5862 0,5593 lotsize 2,06771 1,25142 1,652 0,1022 sqrft 122,778 17,7253 6,927 8,10e-010 *** bdrms 13852,5 8478,62 1,634 0,1060 Media de la vble. dep. 293546,0 D.T. de la vble. dep. 102713,4 Suma de cuad. residuos 3,01e+11 D.T. de la regresión 59833,48 R-cuadrado 0,672362
Otra posibilidad es UTILIZAR UNA FORMA FUNCIONAL LOGARÍTMICA frecuentemente reduce la heterocedasticidad:
La
transformación logarítmica
Variable dependiente: lprice Coeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor p ----------------------------------------------------------------const 5,61070 0,651283 8,615 3,54e-013 *** bdrms 0,0369586 0,0275313 1,342 0,1831 llotsize 0,167968 0,0382811 4,388 3,31e-05 *** lsqrft 0,700233 0,0928651 7,540 5,01e-011 ***
Repitiendo el contraste de Breuch- Pagan con el modelo “Log -level” se ve que el R 2 de los errores al cuadrado del modelo sobre las X es 0,0480 y que P>0,2 => no se rechaza H0: homocedasticidad. 3.- Adaptación del CONTRASTE DE BREUSCH-PAGAN PARA HETEROCEDASTICIDAD dependiente de un subconjunto de variables: Log(Wage)=b0+b1Educ+b2Exper+b3Tenure+b4VaronCasado+b5VaronSoltero+b6MujerCasada+e Pensamos que V(e) no depende de Exper, Tenure y Educ; pero que sí puede depend er del sexo y del estado civil. En este caso, se regresa los errores al cuadrado del modelo (e 2) solo sobre VaronCasado, VaronSoltero y MujerCasada (MujerSoltera es el grupo de referencia) y se contrasta H0: ∂VaronSoltero = ∂MujerCasada = ∂VaronCasado = 0 con el R 2
4.- CONTRASTE DE WHITE PARA HETEROCEDASTICIDAD Se basa en sustituir la H0: E( ϵ2|X1,X2,X3… Xk)=σ2 por la H0: ϵ2 no correlacionado con (X1,X2,X3.. Xk) Se regresa e2 sobre todas las X, sus cuadrado (X 2) y sus productos cruzados (X1 por X2 a Xk; X2 por todas las demás X… Xk por el resto de las X) y se contrasta la significación conjunta de esta regresión con el W 0 ó con la F.
El problema es el excesivo número de parámetros: tres X dan lugar a 9; seis X dan lugar a 27, etc. 5.- Modificación del CONTRASTE DE WHITE PARA HETEROCEDASTICIDAD a fin de solucionar el problema del excesivo número de parámetros: Sea el modelo: Variable dependiente: lprice (n=88) Coeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor p -------------------------------------------------------------const 11,6671 0,0935360 124,7 3,97e-097 *** lotsize 5,60184e-06 2,03772e-06 2,749 0,0073 *** sqrft 0,000364118 4,20076e-05 8,668 2,77e-013 *** bdrms 0,0252389 0,0285928 0,8827 0,3799
Los (Yajustados) (Lprice ajustados) son función linear de las Xi. Por ello, las (Yajustadas) 2 son función de los cuadrados de las X y productos cruzados entre ellas En lugar de ajustar e 2 sobre X1, X2, X3, X1 2, X22, X32, X1X2, X2X3, X2X3, como en el test de White, se sustituyen las X, sus cuadrados y sus productos cruzados por los (Yajustadas) y por (Yajustadas) 2: e2= d0+d1·Lpriceajustados+d2· Lpriceajustados2+v [no olvidar que Lpriceajustados=b0+b1Lotsize+b2Sqrft+b3Bdrms+e] Y se hace un contraste de significación conjunta o global (llamado también “contraste de regresión”) para H0: ∂1=∂2=0 [es decir, H0: homocedasticidad] basado en el R 2 de este modelo: Variable dependiente: e2 Coeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor p --------------------------------------------------------------const 23,7786 16,1969 1,468 0,1458 yhat9 -3,71426 2,55831 -1,452 0,1502 sq_yhat9 0,145132 0,100991 1,437 0,1544 R-cuadrado 0,039173
F= R2/(1-R2)·(n-2-1)/2= 0,039173/(1-0,039173)·(88-2-1)/2= 1,733 => P(F 2, n-2-1≥1,733) = 0,183
Igual que con el Breuch-Pagan del punto 2 previo, tampoco con esta forma especial del contraste de White se rechaza H0: homocedasticidad. NO OLVIDAR que en este contraste los gl del numerador de F son siempre 2
APÉNDICE SOBRE ENDOGENICIDAD: Sabemos que para que los estimadores MCO sean consistentes se tiene que cumplir que: E(e/X1…Xk)=0 => C(Xi, e)= 0 Si se cumple lo anterior estaríamos ante variables explicativas exógenas. Pero si C(Xi, e)# 0
=> entonces Xi sería endógena.
CAUSAS DE ENDOGENICIDAD: Omisión de variables relevantes Error de medición “u” en Y (Y=Y+u) o en Xi (Xi= Xi + u) en caso de que C(Xi, e)# 0 SIMULTANEIDAD: asunto complejo que es tratado en otro lugar
CONSECUENCIAS DE LA ENDOGENICIDAD: Sea: Y=β0+β1X+ϵ
en que:
Cov(X, ϵ)# 0
Si sucede esto entonces: “β0+β1X” NO es la proyección lineal y β0 y β1 NO son los parámetros de L(Y|X) Sea: Y=b0+b1X+e b1= C(X,Y)/V(X)= C(X, β0+β1X+ e)/V(X)=[C(X, β0)+β1C(X,X)+C(X,e)]/V(X)= β1+ C(X,e)/V(X) =>
p lim(b1)= p lim(β1+ C(X,e)/V(X))= β1+ C(X,ϵ)/V(X)# β1 Por tanto: en caso de endogenicidad los estimadores MCO son inconsistentes. La inconsistencia o sesgo asintótico en las pendientes es igual a:
C(X,ϵ)/V(X)
[nota: también son sesgados ya que E(b1)= β1+ E(C(X,e)/V(X)) b0 también es inconsistente y sesgado, pues para calcularlo hay que utilizar en la fórmula b1 –que es inconsistente-]
