ANUALIDADES Serie de pagos generalmente iguales, realizados en intervalos de tiempo iguales. Pareciera Pareciera que se trata de pagos que se hacen cada año, no necesariamente es así, pueden ser mensuales, quincenales, etc. Ejemplo: el cobro quincenal del sueldo, el pago mensual de la renta de la casa, los abonos mensuales de una computadora, el pago anual de la prima del seguro de vida, dividendos semestrales sobre acciones, etc. El concepto de anualidad es importante en la materia, ya que es muy recuente que las transacciones comerciales impliquen una serie de pagos hechos en intervalos de tiempo iguales, en vez de un !nico pago al "nal del plazo. P#$%& 'E #$ # $ $()$#*'$': tiempo transcurrido entre el inicio del primer periodo de pago y el "nal del !ltimo. Ejemplo: una persona compra un televisor pagando + mensualidades de -/0 c1u. $nualidad, renta o abono 2 /0 Periodo de pago 2 un mes Plazo de la anualidad 2 + año CLASIFICACION DE LAS ANUALIDADES ANUALIDADES 5*E63$S: aquella en la cual los pagos comienzan y 3*E4P& terminan en echas perectamente de"nidas 5&(3*(7E(3ES: la echa del primer pago, la echa del !ltimo pago o ambas dependen de alg!n suceso que se sabe que ocurrir8. E(5*'$S: o anualidades ordinarias, son aquellas cuyos P$7&S & $9&(&S pagos se realizan al "nal de cada periodo. $(3*5*P$'$S: $(3*5*P$'$S: los pagos se realizan al principio de cada periodo de pago S*4P#ES: su periodo de pago coincide con el periodo de *(3E6ESES capitalizaci;n de los intereses. 7E(E6$#ES: su periodo de pago no coincide con el periodo de capitalizaci;n de los intereses. 4&4E(3& 'E #$ *(4E'*$3$S: no e
Si tomamos una característica de cada uno de los dierentes criterios de clasi"caci;n se pueden ormar +> tipos dierentes de anualidades. #as m8s usuales son: $()$#*'$'ES E(5*'$S: E(5*'$S: ormada por anualidades ciertas, simples, vencidas e inmediatas •
•
•
$()$#*'$'ES $(3*5*P$'$S: ormada por anualidades ciertas, simples, anticipadas e inmediatas $()$#*'$'ES '*=E6*'$S: ormada por anualidades ciertas, simples, vencidas ? o anticipadas@ y dieridas
ANUALIDADES VENCIDAS Es el valor acumulado de una serie de pagos iguales eectuados al "nal de cada periodo de pago. Ejemplo: si se depositan -+,AAA al "nal de cada mes en un banco que paga una tasa de interBs de +.0C mensual capitalizable cada mes. D5u8l ser8 el monto al "nalizar un año
+AAA A
+
+AAA
+AAA F
+AAA ++
+AAA + =2
(ota: el A corresponde al momento actual y coincide con el inicio del mes +. El + marcado en el diagrama de tiempo corresponde al "nal del primer mes y el inicio del segundo, y así, sucesivamente. Flujos de efectivo: entradas y salidas de dinero.
En este ejemplo tenemos un Gujo de eectivo de -+,AAA mensuales, durante + meses. 5omo los dep;sitos se realizaron al "nal de cada mes los primeros +AAA ganan intereses por ++ meses, los segundos mil por +A, etc. y el ultimo deposito no gana interBs. Monto de la anualidad: es la suma de todos los dep;sitos mensuales y su correspondiente interBs compuesto, acumulado hasta el tBrmino del plazo. Si la == est8 en el doceavo mes, el monto se obtendría con la siguiente ecuaci;n de valor: = 2 +AAA?+H.A+0@ ++ H +AAA?+H.A+0@ +A H +AAA?+H.A+0@ I J. H +AAA = 2 +F,A+.+ *nterBs compuesto ganado por la anualidad es la dierencia entre el monto y el total depositado *nterBs ganado 2 +F,A+.+ K ?+AAA@?+@ 2 +A+.+ En una anualidad vencida tenemos: $ 2 pago o deposito hecho al "nal de cada uno de los n periodos n 2 n!mero de periodos i 2 tasa de interBs por periodo ?decimal@ =2$ ?+Hi@n L+ i
nota: al hablar de anualidades si no se especi"ca el periodo de capitalizaci;n, se sobre entiende que coincide con el periodo de la renta. Valor presente: ?de una anualidad@ ser8 la suma de los valores presentes de todos los pagos Ejemplo: una persona va a liquidar una deuda mediante pagos mensuales de -+,+/F.M que incluyen intereses a FC mensual con capitalizaci;n mensual. Se desea obtener el valor presente de los pagos
++/F.M
++/F.M
++/F.M
++/F.M
A + F P2 == si la == es el momento actual nos queda la siguiente ecuaci;n de valor P2 ++/F.M H ++/F.M H ++/F.M H ++/F.M 2 AA AA2 valor actual de pagos mensuales de ++/F.M AA2 capital pedido en prBstamo *nterpretaciones de valor presente: si en lugar de pagar una deuda de -,AA los dep;sitos en una cuenta que paga el FC mensual capitalizable cada mes =2 AA ? +H .AF@ 2 I0. monto producido El monto producido es e
O dep;sito +AAA
+AAA
+AAA
+AAA
+AAA
+AAA
A + F 0 >= = 2 +AAA?+.A@ > H +AAA?+.A@ 0 JH +AAA?+.A@ 2 >F./ =2$ ?+Hi@n L+ ?+Hi@ = 2 +AAA ?+H.A@ > L + ?+H.A@2 >F./ i .A El valor presente de una anualidad se puede obtener calculando el valor presente del monto P 2 >F./ 2 0M+F.> +.A > P 2 $ +L ?+Hi@ Kn ?+Hi@ 2 0M+F.> P 2 +AAA +L?+H.A@ L> ?+H.A@ 2 0M+F.> i .A ANUALIDADES DIFERIDAS $nualidades ciertas, simples, vencidas ?o anticipadas@ y dieridas, cuyo plazo comienza hasta despuBs de transcurrido un cierto intervalo de tiempo desde el momento en que la operaci;n queda ormalizada, recibe el nombre de momento inicial o de convenio. Podr8n ser vencidas o anticipadas. En intervalo de tiempo que transcurre desde el momento inicial y el inicio del plazo de la anualidad se llama periodo de gracia o periodo de dierimiento. Se mide utilizando como unidad de tiempo el correspondiente a los periodos de pago. Ejemplo: si dentro de meses se har8 el primer pago de una anualidad vencida de -+AAA mensuales y cuyo plazo es de > meses, se tendr8 el siguiente diagrama de tiempo +AAAA +AAA +AAA +AAA +AAA +AAA +AAA +AAA +AAA +AAA A
+
F A
+
0 > M / I F 0 > Periodo de gracia Plazo de la anualidad 5omienzo del plazo de la anualidad vencida El periodo de gracia es de F meses, ya que al "nal del tercer mes coincide con el comienzo del plazo de la anualidad vencida, el cual es de > meses. Si la anualidad del ejemplo anterior se considerara anticipada, entonces el diagrama quedaría así: +AAAA +AAA +AAA +AAA +AAA +AAA +AAA +AAA +AAA +AAA A
+
F
A
0 > M / I + F 0 Periodo de gracia Plazo de la anualidad 5omienzo del plazo de la anualidad vencida $quí el periodo de gracia ser8 de meses, ya que el "nal del cuarto me coincide con el comienzo del plazo de la anualidad anticipada.
Para resolver problemas de anualidades dieridas no es necesario deducir nuevas ;rmulas ya que como acaba de verse, pueden tratarse como anualidades vencidas o anticipadas, aunque las m8s comunes sean las vencidas. 4ientras transcurre el periodo de gracia ocurre una de las siguientes situaciones: Nue al "nal de cada periodo de pago se liquiden los intereses que genera el capital original del periodo, se dice que hay servicio de intereses. $sí el capital original permanece constante todo el periodo de gracia de tal manera que el valor presente de la anualidad es igual al capital original. Nue los intereses generados dentro del periodo de gracia se capitalicen. En este caso, el valor presente de la anualidad ser8 igual al capital original m8s los intereses capitalizados. En la mayoría de los casos esta opci;n es la que se lleva a cabo, a menos que se indique lo contrario. Ejemplo: $ntonio compra una computadora laptop mediante el pago de > mensualidades sucesivas de -,+AA cada una, pagando la primera F meses despuBs de la compra. D5u8l es el precio de contado de la computadora, si se est8 cobrando una tasa de interBs de FFC capitalizable cada mes D5u8nto se pag; de intereses •
•
+AAAA A
+AAA +AAA +AA +AA +AA +AA +AA +
A
+AA
F +
0 > M / F 0 > P Plazo de la anualidad En este caso, se tiene una anualidad dierida con periodo de gracia de dos meses. Si P representa el precio de contado de la computadora y se toma como echa ocal el momento actual del plazo de la anualidad, entonces se tiene la siguiente ecuaci;n de valor: +L ?+H.FF@L> crBdito ue: P ?+H.FF@ 2 +AA + K ++F 2 FF/M .FF + +.A00M0>0 P 2 FI0.MAFMAI P 2 -+,+F
el interBs pagado por el uso del * 2 ?+AA@ ?>@
