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Bloque 3 Gráficas de las funciones trascendentes Propósito de la secuencia didáctica: Analiza las gráficas de las funciones trascendentes para argumentar las soluciones a problemas de variación, tales como oscilación, crecimiento y decrecimiento de los cuerpos; en los diferentes campos disciplinares.
Competencias genéricas y atributos que se promueven: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. persigue. 1.4 Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o g ráficas. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.2 Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiablidad. 6.3 Reconoce los propios prejuicios, modifica sus puntos de vista al conocer nueva evidencias, e integra nuevos conocimientos y perspectivas al acervo con el que cuenta. 6.4 Estructura ideas y argumentos de manera cla ra, coherente y sintética. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 7.3 Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los c onocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 10.2 Dialoga y aprende de personas con distintos puntos de vista y tradiciones culturales mediante la ubicación de sus propias circunstancias en un contexto más amplio.
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SECUENCIA
DIDÁCTICA
III:
GRÁFICAS
DE
LAS
FUNCIONES
TRASCENDENTES LECTURA: “LAS FUNCIONES CIRCULARES”
Las funciones circulares son las funciones asociadas con las razones trigonométricas; las más importantes son la función seno, la función coseno y la función tangente. La variable de las funciones circulares siempre se expresa en radianes y no en grados sexagesimales.
LA FUNCION SENO La función Seno relaciona un ángulo expresado en radianes con su Seno; cuando el ángulo se halla entre 0 y 2π, la gráfica de esta función se construye como se muestra en la figura que aparece al pie de esta página. Cada valor del seno en la circunferencia unidad de la izquierda se traslada a su posición correspondiente en el valor del ángulo en e l eje de abscisas. Así por ejemplo, e jemplo,
sen π/2 = 1, o sen π = -1; si α es del primer cuadrante, sen (π – α) – α) = sen α. De este modo se obtiene la gráfica siguiente:
Las propiedades de la función seno en el intervalo [0,2π ] son son las siguientes
La imagen de la función es el intervalo [-1,1].
Los puntos de corte son (0,0) y (π, 0 ).
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Es creciente en (0, π /2) y ( π, π, 3π /2), y por el contrario, es decreciente en (π/2, π) y
(3 π/2, 2π)
1 ) y un mínimo en el punto (3 π/2 ,,- 1). Tiene un máximo en el punto (π/2, 1 )
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Por otra parte, sabemos que hallar el seno de ángulos mayores que 2 π, basta con aplicar la formula siguiente: sen (x + 2π) ,o también, sen x. Y que, además, para hallar el seno de ángulos negativo, la fórmula que hay que aplicar es la siguiente:
sen(-a) ,o también,
-sen a.
De esta manera, se puede extender la función seno a todos los números reales; la gráfica en un intervalo mayor se acostumbra a denominar sinusoidal y y tendría la forma siguiente:
Como se puede observar, esta grafica repite los valores de la función cada 2π; es decir, es suficiente saber cuáles son los valores de la función en el intervalos [0, 2π) para conocer los valores de la función en cualquier otro valor, porque se trata de r epetir la gráfica en ese intervalo. Por este motivo la función seno es una función periódica, cuyo periodo es 2π.
LA FUNCION COSENO La función coseno para el intervalo [0, 2π) se 2π) se puede construir de manera análoga a la función seno. Por lo tanto, la gráfica de la función coseno en el intervalo [0,2 π) será la siguiente:
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Las propiedades fundamentales de la función coseno en el intervalo [0, 2π ] son son las siguientes:
La imagen de la función es el intervalo [-1,1]
Los puntos de intersección son (0,1), (π/2,0) y (3 π/2, 0)
Es creciente en (π, 2 π) y decreciente en (0, π)
Tiene un máximo en el punto (0,1) y un mínimo en el punto (π, -1)
Al igual que la función seno, la función c oseno es una función periódica, que repite la misma forma
cada 2 π; en consecuencia, la gráfica de la función coseno en un intervalo mayor será la siguiente:
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Si representando la función seno y la función coseno en un mismo gráfico, obtendremos la siguiente forma: Función seno
Función coseno
Como se puede advertir, la forma de ambas funciones es exactamente la misma, pero la función seno está ligeramente ligeramente “adelantada” (en π/2). Esto es así, porque: Cos x = Sen (x+ π/2).
LA FUNCIÓN TANGENTE La función tangente es el cociente entre la función seno y la función coseno:
Tg x =
Para obtener la gráfica de la función tangente, basta con
π/2 y π/2 , puesto que su periodo es representarla entre – π/2 π.
Por lo tanto, si representamos la gráfica de la función tangente en un intervalo mayor, obtendremos la siguiente forma (ver figura inferior):
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Las principales propiedades de la función tangente son:
A diferencia de todas las
funciones estudiadas hasta el momento, el dominio de esta función no incluye todos los números; para los valores en los que el coseno es 0, la función no existe (porque deberíamos dividir por 0, cosa imposible); esto sucede cuando x es igual a “ π/2 + k π” π” (siendo k un numero entero cualquiera), es decir para:
-7 π/2, -5 π/2, -3 π/2, - π/2, π/2, 3 π/2, 5 π/2, 7,/2…
la imagen de es la función puede ser cualquier número real, sea positivo negativo.
Como se puede comprobar en se gráfica, la tangente es siempre una función creciente.
Los puntos de intersección con los ejes se corresponden con todos aquellos puntos que tengan como coordenada de x un múltiplo de π, es decir, los puntos de corte con los ejes son (kπ, 0), siendo k un numero entero.
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COMENTARIO PARA EL E STUDIANTE
Hay dos clases de funciones reales las algebraicas y las que no lo son, a estas le llamaremos funciones trascendentales. Su nombre se deriva a que no pueden ser expresadas en forma de operaciones algebraicas, de ahí el nombre de la misma. Es decir, para un valor de x la salida de una función trascendental no puede ser calculada algebraicamente.
Estas funciones son muy importantes en la solución de problemas de física e ingeniería. Son especialmente utilizados para detectar errores en el análisis dimensional. Esto se debe a que la función trascendental sólo tiene sentido después que sus argumentos se hacen sin dimensiones, esto también puede hacerse utilizando reducciones algebraicas.
Para definir una función trascendental elemental, principalmente se emplean tres estrategias. Una de ellas es hacer uso de las series de potencias. Sin embargo, rara vez se utiliza, ya que no forma parte del cálculo elemental. El otro, que se utiliza en gran manera, es el método de la integral definida. Dos de las funciones trascendentales más importantes son las funciones trigonométricas y las funciones exponenciales. Las funciones de los ángulos se conocen como funciones
circulares. trigonométricas. También se les conoce por el nombre de funciones circulares.
VALORACIÓN CRÍTICA
Las funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante, y cosecante son muy importantes para relacionar la longitud de los lados de un triángulo rectángulo con los ángulos del triángulo. Entre muchas de las aplicaciones, estas funciones son importantemente utilizadas para modelar o describir los fenómenos físicos: movimientos periódicos, movimiento ondulatorio y físicos.
En términos más precisos, una función trigonométrica se puede definir como una función que es razón de cualquiera de los dos lados del triángulo con un ángulo específico entre ellos. Algunos de los matemáticos modernos incluso definen tales funciones como una serie de longitud infinita o la solución de ecuaciones diferenciales, extendiendo estas un gran número de negativos así como positivos, incluso números complejos en algunos momentos.
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ACTIVIDAD 1
Nombre: ________________________________________________ Grupo: ___________ ___________ Fecha: _________________ _________________
S.D. # 3
Instrucciones apartado 1: Contesta correctamente lo que se te pide. 1. Los puntos de corte de la función seno son: ____________. 2. Menciona dos puntos máximos de la función Seno: _____________ _____________ y ______________. ______________. 3. La función Coseno es creciente en ______________ ______________ y decreciente en _______________. _______________.
_____________ 4. La función coseno tiene un máximo en el punto _____________
y un mínimo en el punto
______________. ______________. 5. El dominio de la función Seno y Coseno es e s el intervalo: __________________ ______________________. ____. 6. La imagen o rango de la función Seno y Coseno es el intervalo: _____________ _____________. 7. ¿Por
qué
a
las
funciones
Seno
y
Coseno
se
les
llama
funciones
periódicas?
___________________ _____________________________ ____________________ ___________________ __________________ _________________ _________________ ____________ ___ ___________________ _____________________________ ____________________ ___________________ __________________ ____________________ ___________________ ________ 8. Gráficamente cual es la diferencia entre la función seno y coseno, explícalo con tus propias palabras: _____________________________________________________________________ ___________________ _____________________________ ____________________ ___________________ __________________ _________________ _________________ ____________ ___ ___________________ _____________________________ ____________________ _____________________ _____________________ __________________ _________________ _________ ___________________ _____________________________ ____________________ ___________________ __________________ _____________________ ____________________ ________ 9. La imagen de la función Seno y Coseno es el intervalo: ______________________ ______________________. 10. ¿Cuál es el dominio e imagen de la función Tangente? (Deduce o investiga de ser necesario) Dominio: ___________________ ___________________ e Imagen o Rango: __________________. __________________. 11. Las funciones trascendentales también se les llama como funciones ________________. ________________.
Instrucciones: Subraya la respuesta correcta. 12. La función seno y coseno son funciones: a) Continuas
b) Discontinuas
c) Algebraica
13. La función tangente es una función: a) Continua
b) Discontinua
c) Algebraica
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Instrucciones apartado 2: En los problemas del 1 a 4, la figura muestra un ciclo de una senoide o cosenoide.. De acuerdo con la figura cosenoide figura,, determine A (amplitud) y D (desplazamiento) y deduzca una ecuación de la forma: y = A sen x + D , o también la ecuación, y = A cos x + D , para cada gráfica gráfica..
1.- y= _______________ __________________________ _____________ __
2.- y= ___________ ________________________ _________________ ____
3.- y= _____________________ ____________________________ _______
4.- y=_________________
