Antenas Kraus Capitulos 2 Al 5 (2011) A

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2. Parámetros de la Antena 2-1

Introducción Bienvenidas al mundo maravilloso de las antenas, su lenguaje y cultura; de la familia de apertura (efectiva y dispersa), la familia de lóbulos (principal, lateral, posterior y emparrillada); a anchos de banda, directividad y ganancia. Las antenas son tridimensionales y viven en el área de haz, estéreo-radianes, grados cuadrados y ángulo sólido. Las antenas tienen impedancias (propia y mutua). Ellas ocupan todo el espacio y tienen medidas de temperatura en °Kelvin. Las antenas tienen polarización: lineal, elíptica y circular. En este capitulo conoceremos el lenguaje de las antenas y nos haremos familiares con su cultura. Los temas de este capitulo incluyen. • • • • • • • • • • • • • • • •

Parámetros básicos Patrones Área de haz Eficiencia de haz Directividad y Ganancia Aperturas física y efectiva Apertura distribuida Radio enlace (ecuación de Friis) Apertura de dipolos y antenas de λ/2 Resistencia de radiación Impedancia de antenas Dualidad de antenas Fuentes de radiación Zonas de campo Consideraciones de formación de impedancias Polarización.

2-2 Parámetros básicos de Antenas. Una antena de radio puede ser definida como una estructura asociada con la región de transición entre una onda guiada y una onda de espacio libre o viceversa. Sin importar el tipo de antena, todas involucran el mismo principio básico, de que la radiación se produce por una carga acelerada (o desacelerada). La ecuación básica de radiación se puede expresar simplemente como. = Qν (Ams-1 ) Ecuación de Radiación Básica IL Donde : I = corriente cambiante en el tiempo, As-1 L = longitud del elemento de corriente, m Q = carga, C ν = cambio del tiempo de la velocidad que es igual a la aceleración de la carga, m/s-2. Así, la corriente cambiante en el tiempo radia y las cargas aceleradas radian. Para una variación armónica de estado estacionario, usualmente nos enfocamos en la corriente, para transitorios o pulsos nos enfocamos sobre la carga. La radiación es perpendicular a la o Qν . aceleración y la potencia radiada proporcional al cuadrado de IL 1

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En la Fig. 2.1a se muestra una línea de transmisión de dos alambres conectada a un generador de radiofrecuencia (o transmisor). A lo largo de la parte uniforme de la línea, la energía es guiada como una onda plana en modo Transversal Electromagnético (TEM) con poca perdida. Se asume que el espacio entre los alambres es una pequeña fracción de la longitud de onda. Mas adelante, la línea de transmisión se ensancha en una transición gradual. Cuando la separación es del orden de una longitud de onda o mayor, la onda tiende a ser radiada en tal forma que la línea ensanchada actúa como una antena que envía una onda al espacio libre. Las corrientes en la línea de transmisión fluyen hacia fuera de la antena y ahí terminan, pero los campos asociados con ellas continúan saliendo. La antena transmisora de la figura 2.1a es una región de transición de una onda guiada en una línea de transmisión a una onda al espacio libre. La antena receptora (Fig. 2-1b) es una región de transición de una onda en el espacio libre a una onda guiada en una línea de transmisión. Así, una antena es un dispositivo de transición, o transductor, entre una onda guiada y una onda en el espacio libre o viceversa. La antena es un dispositivo que interconecta un circuito y el espacio. Desde el punto de vista circuital, las antenas se presentan a las líneas de transmisión como una resistencia Rr, denominada resistencia de radiación. Ésta no se relaciona con ninguna resistencia con la antena en si misma, pero es una resistencia acoplada del espacio a los terminales de la antena. En el caso de transmisión, la potencia radiada es absorbida por objetos a la distancia como: árboles, edificios, el terreno, el cielo y otras antenas. En el caso de recepción, la radiación pasiva de objetos distantes o la radiación activa de otras antenas elevan la aparente temperatura de Rr. Onda Plana ANTENA TRANSMISORA ANTENA RECEPTORA

E

E

Transición

Transición

Línea de TX

Generador o transmisor Onda guiaRegión de da (TEM) transición Una diOnda en el esmensión pacio libre radiando en 3D

2

Receptor

Región de transición

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Figura 2.1 (a) Enlace de comunicaciones radial (o inalámbrico) con antena transmisora y (b) La antena receptora. La antena receptora esta distante de la antena transmisora, de manera que la onda esférica radiada por la antena transmisora llegue esencialmente como una onda plana a la antena receptora.

Terminales Línea de Tx Tx o Rx Transmisor o Receptor

Rr (Rr)

T

Región del espacio dentro del patrón de respuesta de la antena

Antena

Resistencia Virtual

Línea de Tx virtual enlazando a la antena con el espacio

Figura 2.2 Representación esquemática de una región del espacio una temperatura T enlazada vía una línea de transmisión “virtual” y una antena.

Para antenas sin pérdidas esta temperatura no tiene nada que ver con la temperatura física de la antena por sí misma, pero esta relacionada con la temperatura de objetos distantes que la antena esta “mirando “ , como se sugiere en la figura 2.2. En este sentido una antena receptora (y su receptor asociado) puede ser considerado como un dispositivo de detección-medición remota de temperatura. Como se presenta esquemáticamente en la figura 2.2 la resistencia de radiación Rr se puede considerar como una resistencia “virtual” que no existe físicamente, pero es una cantidad que acopla a la antena a regiones distantes del espacio por medio de una línea de transmisión “virtual”. 2.3 Patrones La resistencia de radiación Rr y su temperatura TA, son cantidades escalares simples. Por otro, lado los patrones ó diagramas de radiación son cantidades tridimensionales que involucran la variación de campo o de potencia (proporcional al cuadrado del campo), como una función de las coordenadas esféricas θ y φ. La figura 2.3 muestra un diagrama de campo tridimensional con un patrón de radio r (desde el origen al borde del patrón) proporcional a la intensidad del campo en la dirección θ y φ. El diagrama tiene su lóbulo principal (radiación máxima) en la dirección z (θ = 0) con los lóbulos menores (al lado y atrás) en otras direcciones. Para especificar por completo el diagrama de radiación con respecto a la intensidad de campo y polarización se requieren tres diagramas: 1. La componente θ del campo eléctrico como una función de los ángulos θ y φ ó Eθ(θ,φ) (v/m). Como en las figuras 2-3 y 2-4. 2. La componente φ del campo eléctrico como una función de los ángulos θ y φ ó Eφ(θ,φ) (v/m).

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3. las fases de estos campos como una función de los ángulos θ y φ ó δθ (θ,φ) y δφ(θ,φ) (rad. ó grados).

Figura 2.3 El diagrama tridimensional del campo de una antena direccional con máxima radiación en la dirección z con θ = 0º. La mayoría de la radiación esta contenida en el haz principal (o lóbulo) acompañado por la radiación que también está en los lóbulos menores (a los costados y atrás). Entre los lóbulos existen nulos donde el campo es cero. La radiación en cualquier dirección está especificado por los ángulos θ y φ . La dirección del punto P esta en los ángulos θ = 30° y φ = 85°. Este diagrama sólo es simétrico en φ y en función solamente de θ.

Cualquiera de estos diagramas de campo se puede representar en coordenadas esféricas tridimensionales como en la figura 2-3, o por cortes en sus planos a través del eje del lóbulo principal. Dos de estos cortes en ángulos rectos, denominados diagramas del plano principal (como en los planos xz e yz en la figura 2.3) pueden ser necesitados, pero si el diagrama es simétrico alrededor del eje z, es suficiente con un corte. Las figuras 2-4a y 2-4b son diagramas de plano principales en coordenadas polares. El mismo diagrama es presentado en la fig. 2-4c en coordenadas rectangulares en una escala logarítmica o decibélica, para mostrar los lóbulos menores con mayor detalle.

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θ=0

Diagrama de Campo

En

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Diagrama de Potencia

θ=0

1.0

HPBW 0.707 = 40°

θ

Pn Intensidad de campo En(θ)

θ

1.0

Potencia Pn (θ)=E n2 (θ)

HPBW = 40° 0.5

FNBW = 74°

FNBW = 74°

(b)

(a)

El ancho de haz angular a un nivel de media potencia o ancho del haz de media potencia (HPBW – Half Power Beam Width) (o ancho del haz a –3dB) y el ancho del haz entre los primeros nulos (FNBW – First Null Beam Width). 0 -3dB

Lóbulo posterior 180°

-10

HPBW = 40°

- 9 dB

Nivel del 1er lóbulo lateral dBs Nivel del 2do lóbulo lateral

- 13 dB FNBW = 74°

-20

-30 (c) -40 -180°

-120°

-60°

0°

60°

120°

180°

Dividiendo una componente del campo entre su valor máximo, se obtiene un diagrama de campo normalizado que es un numero sin dimensiones con el máximo valor a la unidad. Así el diagrama del campo normalizado para la componente θ del campo eléctrico esta dado por: 5

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Patrón de Campo Normalizado: Eθ (θ ,φ )n =

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Eθ (θ ,φ ) Eθ (θ ,φ )max

(Sin dimensiones)

(1)

El nivel de media potencia ocurre en aquellos ángulos θ y φ para los cuales: Eθ (θ ,φ )n = 1/ 2 = 0.707 A distancias que son grandes comparadas con el tamaño de la antena y grandes comparado con su longitud de onda, la forma del diagrama del campo es independiente de la distancia. Usualmente los diagramas de interés son para la condición de campo-lejano. El diagrama pueden ser expresado en términos de potencia por unidad de área (vector de poynting S(θ,φ)). Normalizando esta potencia con respecto a su valor de máximo se obtiene el diagrama de potencia normalizada como una función del ángulo el cual es un número sin dimensiones con la unidad como valor máximo. Así el diagrama de la potencia normalizada de la Fig.2-4b esta dada por:

Patrón de Potencia Normalizado: Pn (θ ,φ )n = Donde: S (θ,φ)

S (θ,φ)máx Z0

S (θ ,φ ) S (θ ,φ )max

(Sin dimensiones)

(2)

= Vector de Poynting = Eθ2 (θ ,φ ) + Eφ2 (θ ,φ )  / Z0 , Wm-2 = máximo valor de S(θ,φ) , Wm-2 = impedancia intrínseca del espacio = 376.7Ω.

2-4 ÁREA DE HAZ (O HAZ DE ÁNGULO SÓLIDO) Ω A En coordenadas polares de dos dimensiones con un área incremental dA sobre la superficie de una esfera es el producto de la longitud rdθ en la dirección θ (latitud) y r sin θ dφ en la dirección φ (longitud) como se muestra en la figura 2.5 Es decir:

dA = ( rdθ )( r sin θ dφ ) = r 2 d Ω Donde:

(1)

d Ω = ángulo sólido expresado en estereoradianes (sr) o grados cuadrados ( ) d Ω = ángulo sólido subtendido por el área dA

El área de la tira con rdθ extendiéndose alrededor de la esfera con un ángulo constante θ está dado por (2π rsenθ )(rdθ ). Integrando para valores de θ desde 0 a π , da el área de π la esfera, esto es : Área esfera = 2π r 2 ∫0 senθ dθ = 2π r 2 [-cos θ ]π0 donde 4π = ángulo sólido sustentado por una esfera 2

 ángulo sólido de esfera   180  2 2 1 estéreorradian = 1sr =   = 1rad =   ( º ) = 3282.8064 4π    π  4π sr = 3282.8064 × 4π = 41, 252.96 = 41, 253 , 4π sr = ángulo sólido en una esfera

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El área de haz o ángulo sólido de haz o Ω A de una antena está dado por la integral del patrón de potencia normalizado sobre una esfera (4π sr) ΩA = ∫

φ = 2π

φ =0

ΩA = ∫

θ =π

∫θ

=0

Pn (θ , φ ) sen θ dθ dφ

∫ P (θ , φ ) d Ω ( sr ) n

Área de Haz

donde: d Ω = sen θ dθ dφ . sr

4π

θ=0

z

Ángulo polar θ rsenθdø rdθ

rsenθ

θ

Área de la tira = 2πrsenθrdθ ø

dθ

La titu d

dø r

dA = r2senθdθdø dA = r2 dΩ, donde dΩ = ángulo sólido dΩ = senθdθdø y

rdø

Longitud Coordenadas ø ø=0 Polares x Ángulo Azimuth

Ángulo sólido equivalente ΩA Área de haz ΩA del patrón actual

Ángulo Sólido En 1 estereorradián ≅ 3283 en esférico ≅ 41.325

Figura 2.5 En coordenadas mostramos el diferencial del ángulo sólido dA = r² dΩ sobre la superficie de una esfera de radio r donde dΩ = ángulo sólido subtendido por dA. (b) diagrama de potencia de antena y esta es equivalente al ángulo sólido de un área de haz ΩA.

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El área de haz Ω A es el ángulo sólido a través del cual toda la potencia radiada por la antena fluiría sí P (θ , φ ) mantuviese su máximo valor sobre Ω A y fuese cero en cualquier otro lugar. Luego: Potencia radiada = P (θ , φ ) Ω A en vatios. El área de haz de una antena puede ser descrito aproximadamente en términos de los ángulos subtendidos por los puntos de media potencia del lóbulo principal en sus dos planos principales Área de Haz ≅ Ω A ≅ θ HPφHP

(sr)

donde θ HP y φHP son los anchos de haz de media potencia (HPBW) en los dos principales planos, los lóbulos menores están siendo despreciados. 2.5 Intensidad de Radiación. La potencia de radiación de una antena por unidad de ángulo sólido es llamada intensidad de radiación U (potencia por estereorradián o por ángulo cuadrado). El diagrama de potencia normalizado de sección anterior puede ser expresado en términos de los parámetros como el radio de la intensidad de radiación U(θ,φ), como una función de ángulo, de valor máximo. Así,

Pn (θ ,φ ) =

U (θ ,φ ) U (θ ,φ )max

=

S (θ ,φ )

(1)

S (θ ,φ )max

Considerando el vector de Poyting S que depende de la distancia de la antena (varia inversamente con el cuadrado de la distancia), la intensidad de radiación U es independiente es independiente de la distancia, asumiendo en ambos casos que nosotros estamos en un campo lejano de la antena (ver sec. 2-13).

2.6 Eficiencia de haz. El área total ΩA (o ángulo sólido del haz) consiste en el área del haz principal (o ángulo sólido) ΩM mas el lóbulo de menor área (o ángulo sólido) Ωm. Así,

ΩA = ΩM + Ωm

(1)

La razón del área del haz principal con el área total del haz es llamado eficiencia de haz εM. Así, Eficiencia de haz = ε M =

ΩM ΩA

(sin dimensiones)

(2)

La razón del área del lóbulo menor (Ωm) con el área total del haz es llamado el factor de perdida. Así,

εM = Entonces.

8

Ωm factor de pérdida ΩA

(3)

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εM + ε m = 1

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(4)

2.7 Directividad D y Ganancia G. La directividad D y la ganancia G son probablemente los parámetros mas importantes de la antena. La directividad D de una antena esta dada por la relación de la densidad de potencia máxima P(θ,φ)máx. (w/m2) con su valor promedio sobre una esfera como es observado en el campo lejano de la antena. Así:

D=

P (θ ,φ )max

Directividad del Patrón

P (θ ,φ )av

La directividad es una relación adimensional ≥ 1 La densidad de potencia promedio sobre una esfera 1 φ = 2π θ =π es: P (θ , φ )av = P (θ , φ ) sin θ dθ dφ 4π ∫φ =0 ∫θ =0 1 P (θ , φ )av = P (θ , φ ) d Ω (W sr −1 ), luego: ∫∫ 4π 4π D=

D=

P (θ , φ )max 1 4π

=

∫∫π P (θ , φ ) d Ω 4

4π

∫∫ Pn (θ , φ ) d Ω

=

1 1 4π

4π ΩA

∫∫π  P (θ , φ ) / P (θ , φ )

max

d Ω

4

De un haz de área Ω A

4π

donde Pn (θ , φ ) = P (θ , φ ) / P (θ , φ ) max = patrón de potencia normalizado La directividad es la relación del área de una esfera (4π sr) a el área de haz Ω A de una antena. A más pequeña el área de haz, mayor la directividad Para una antena que radíe solo la mitad de una esfera el área de haz Ω A = 2π sr, la directividad: D = 4π / 2π = 2 (3.01 dBi) La antena isotrópica tiene D = 1 El dipolo tiene un Ω A = 2.67π sr → D = 1.5 La ganancia G de una antena es una cantidad menor que el valor de D, debido a las pérdidad óhmicas en la antena o su cobertor. En transmisón estas pérdidas involucran alimentar potencia a la antena el cual no es radiado pero calienta a la estructura de la antena. Desadaptación de Z con el cable puede reducir la ganancia. G = η D donde η es el factor de eficiencia, donde: 0 ≤ η ≤ 1

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Patrones de potencia hemisféricos: (a) y (b), en comparación con el patrón isotropito (c)

Ganancia = G =

Pmax ( AUT ) × G ( ant ref ) Pmax ( ant ref )

Sí el HPBW de una antena se conoce, entonces: 41, 253 D= , donde: 41, 253 = número de en una esfera θ °HP φ °HP

θ °HP = HPBW en un plano principal, φ °HP = HPBW en el otro plano principal como se está despreciando los lóbulos menores D=

40, 000 θ °HP φ °HP

Directividad aproximada

Ejemplo : Sí HPBW = 20° en ambos planos principales D = 40, 000 / 400 = 100 ó 20dBi significa que la antena radía 100 veces la potencia en la dirección del haz principal que la que radiaría una antena isotrópica para la misma potencia de entrada. El producto Directividad - ancho de haz es una gruesa aproximación, para ciertos tipos de antena los valores deberán calcularse más exactamente, será discutido posteriormente. A menor área de haz, se tiene mayor directividad D. 2-8 DIRECTIVIDAD Y RESOLUCIÓN: La resolución de una antena puede ser definida como igual a la mitad del ancho de haz entre sus primeros nulos (FNBW/2), por ejemplo una antena que tiene un FNBW = 2º tiene una resolución de 1º. Caso de los satélites geoestacionarios separados por 1º. Cuando el máximo haz de la antena es alineado con un satélite, el primer nulo coincide con el satélite adyacente. La mitad del ancho de haz entre los primeros nulos es aproximadamente igual al ancho de haz de media potencia (HPBW):

FNBW ≅ HPBW 2

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(1)

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El producto de FNBW/2 en los dos planos principales de los patrones de la antena es una medida del área de haz de la antena, es decir:

 FNBW   FNBW  ΩA =      2 θ  2 φ

(2)

Luego sigue que el número N de transmisores de radio o fuentes puntuales de radiación distribuidas uniformemente sobre el espacop el cual una antena puede resolver está dado aproximadamente por:

N=

4π ΩA

(3)

4π (4) ΩA y podemos concluir que idealmente el número de fuentes puntuales que una antena puede resolver es numéricamente igual a la Directividad de la antena ó: D = N (5) (4) establece que la Directividad es igual al número de áreas de haz en las cuales el patrón de la antena puede subdividir el cielo y (5) da el significado que la Directividad es igual al número de fuentes puntuales en el cielo que la antena puede resolver, bajo condiciones ideales de una fuente de distribución uniforme. donde: Ω A = área de haz, por consiguiente (de 2-7-4):

D=

2-9 APERTURA DE UNA ANTENA El concepto de apertura se introduce de manera sencilla considerando una antena receptora. Asuma que la antena receptora es una corneta rectangular electromagnética inmersa en el campo de una onda plana uniforme como se ve en la figura. Dejemos que el vector de Poynting o densidad de potencia, de la onda plana sea S vatios por metro cuadrado y el área o apertura física de la bocina, sea Ap en metros cuadrados. Si la bocina extrae toda la potencia de la onda sobre su apertura física entera, luego la potencia total P absorbida por la onda es:

E2 P= Ap = SAp en vatios Z

(1)

Luego la bocina electromagnética puede ser observada como teniendo una apertura, la potencia total que extrae del onda que esta pasando siendo proporcional a la apertura o área de su boca. Pero la respuesta del campo de la bocina no es uniforme a través de la apertura A porque E en la paredes laterales debe ser igual acero. Luego la apertura efectiva Ae de la bocina es menos que la apertura física Ap dada por:

ε ap =

Ae (sin dimensiones) Eficiencia de Apertura Ap

(2)

Para bocinas y antenas reflectoras parabólicas, la eficiencia de apertura están comúnmente en el rango de de 50 a 80 % ( 0.5 ≤ ε ap ≤ 0.8 ) grandes dipolos o arreglos conmutados con campos uniformes en los bordes de la apertura física pueden lograr eficiencias de apertura que se aproximan al 100%, por consiguiente para reducir los lóbulos laterales, los campos son manipulados hacia los bordes, resultando en una eficiencia de apertura reducida.

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Fig. 2-7 Onda plana incidente sobre una bocina electromagnética de apertura física Ap Fig. 2-8 Radiación sobre un área de haz Ω A de apertura Ae

Consideren ahora una antena con una eficiencia de apertura Ae, la cual radia toda su potencia in un patrón cónico de área de haz Ω A , como se ve en la figura. Asuma un campo uniforme Ea sobre la apertura, la potencia radiada es E2 P = a Ae en vatios (3) Z0 donde Z0 es la impedancia intrínseca del medio (377 ohmios para el aire o vacío). Asumiendo un campo uniforme Er in el campo lejano a una distancia r, la potencia radiada es también dada por: E2 P = r r 2 Ω A en varios (4) Z0 Igualando (3) y (4) y notándose que Er = Ea Ae / r λ da una relación de área de haz – apertura:

λ 2 = Ae Ω A (m 2 ) Relación Apertura - Área de Haz

(5)

donde Ω A es el área de haz (sr) Luego, sí Ae es conocido, podemos determinar Ω A (o viceversa) a una determinada longitud de onda. De (5) y otros, se concluye que la Directividad A D = 4π e2 Directidad de apertura (6)

λ

Todas las antenas tienen una apertura efectiva la cual puede ser calculada o medida. Aún la hipotética, idealizada antena isotrópica, para la cual D = 1, y tiene una apertura efectiva de

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Dλ 2 λ 2 (7) = = 0.0796λ 2 4π 4π Todas las antenas sin pérdidas deben tener una apertura efectiva igual o mayor que esta. Por reciprocidad la apertura efectiva de una antena es la misma para recibir o transmitir. Tres expresiones han sido vistas para la Directividad D y son: P (θ , φ ) max D= (sin dimensiones) Directividad de patrón (8) P (θ , φ )av Ae =

D=

4π (sin dimensiones) Directividad de patrón ΩA

D = 4π

Ae

λ2

(sin dimensiones) Directividad de apertura

(9) (10)

Cuando la antena esta recibiendo con una resistencia de carga RL adaptada a la resistencia de radiación de la antena Rr (RL = Rr) Esta es la condición de máxima transferencia de potencia (la antena se asume sin pérdidas) En el caso de un circuito de una carga adaptada a un generador, tanta potencia es disipada in el generador como es entregada a la carga. Esto, para el caso de la antena dipolo en la figura, tenemos una potencia de carga (load power) Pcarga = SAe en vatios (11) donde: S = densidad de potencia de la antena receptora en vatios/m2 Ae = Apertura efectiva de la antena (m2) Y la potencia re-radiada: Potencia reradiada Prerad = = SAr en vatios 4π sr donde Ar = apertura re-radiante = Ae, en m2 y Prerad = Pcarga Esta discusión es aplicable a un simple dipolo (λ/2 o menor), Por consiguiente no se aplica a todas las antenas. En adición a la potencia re-radiada, una antena puede dispersar la potencia que no entre al circuito de carga de la antena, esto, la potencia re-radiada y la dispersa pueden exceder la potencia entregada a la carga.

2-10 ALTURA EFECTIVA La altura efectiva de una antena h (en metros) es otro parámetro relacionado a la apertura. Multiplicando la altura efectiva por el campo E incidente (voltios por metro) de la misma polarización da el voltaje inducido, esto es V = hE. (1) Consecuentemente, la altura efectiva puede ser definida como la relación del voltaje inducido a el campo incidente o h = V/E (2) Considere por ejemplo un dipolo vertical de longitud l = λ/2 inmerso en un campo incidente E, como en la figura 2-9-1 (a). Sí la distribución de corriente del dipolo fuera uniforme, su altura efectiva sería l. La distribución real de corriente, es cercanamente sinusoidal con un valor promedio de 2/π = 0.64 (del máximo) tal que su altura efectiva h 0.64 l. Se asume que la antena está orientada para máxima respuesta. Sí el mismo dipolo es usado a una longitud de onda mayor tal que sea sólo de 0.1λ de longitud, la corriente de forma cónica es casi linealmente desde el punto central de ali-

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mentación a cero en los extremos en una distribución triangular, como se ve en la figura 29-1 (b). La corriente promedio es 1/2 del máximo tal que su altura efectiva es 0.5l.

Antena Receptora Dipolo

Onda plana incidente desde la fuente con densidad de potencia S (W/m2)

Resistencia de radiación Rr

RL

(a)

Apertura efectiva, Ae

RL Rr

RL = Rr (b)

Figura 2.9 (a) La antena receptora adaptada a la carga (Rr = RL) reradia una potencia que es igual a la potencia suministrada a la carga. Más generalmente, la potencia reradiada y distribuida de cualquier antena o da la sección de cruce del radar (radar cross-section ó RCS) (b) Circuito Equivalente

Luego, otra manera de definir la altura efectiva es considerar que el caso de transmisión e igualar la altura efectiva a la altura física (o longitud l) multiplicada por la corriente promedio (normalizada) o

he =

1 I0

∫

hp

0

I ( z ) dz =

I av hp en metros I0

(3)

Donde: he = altura efectiva, en metros. hp = altura física, en metros. I av = corriente promedio, en amperios

Es aparente que la altura efectiva es un parámetro útil para las antenas transmisoras en torres. También tiene aplicación para antenas pequeñas. El parámetro apertura efectiva tiene aplicaciones más generales para todo tipo de antenas. Los dos tienen una simple relación, como se mostrara. Para antenas con una resistencia de radiación rr adaptada a su carga, la potencia 1 V 2 h2 E 2 entregada a la carga es igual a: en vatios (4) P= = 4 Rr 4 Rr En términos del apertura efectiva la misma potencia está dada por E 2 Ae en vatios (5) P = SAe = Z0 Donde Z0 es la impedancia intrínseca del espacio (=377Ω) igualando (4) y (5), obtenemos RA h2 Z he = 2 r e en metros y Ae = e 0 en metros Z0 4 Rr 14

(6)

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Luego la altura efectiva y apertura efectiva están relacionadas vía la resistencia de radiación y la impedancia intrínseca del espacio. Para resumir hemos discutido los parámetros espaciales de una antena llamados, campo y patrones de potencia, área de haz, directividad y varias aperturas. También hemos discutido los circuitos que cuantifican la resistencia radiación y aluden a la temperatura de la antena, que se discutirá más adelante. La figura 2-10 ilustra esta dualidad de las antenas. Cantidades Espaciales

Cantidades Circuitales

• Impedancia de antena

• Resistencia de radiación

• Temperatura de antena

Cantidades Físicas

• Patrones de campo

Tamaño

• Peso • Distribución de corriente

• ANTENA

(Región de transición)

• Polarización • Patrones de Potencia • Área de Haz • Directividad • Ganancia • Apertura efectiva • Radar cross-section

Figura 2-10 Los parámetros o terminología de las antenas ilustrando su dualidad como un dispositivo circuital (con resistencia y temperatura) en una mano y como dispositivos espaciales (con patrones, polarización, área de haz, directiva, ganancia, apertura y radar cross-sección) en la otra. Otras características del antena son su tamaño físico y su ancho de banda (que involucra impedancia Q y patrón).

2-11 LA COMUNICACIÓN POR RADIO-ENLACE Refiriéndonos a la figura 2-14, se da la ecuación para la potencia recibida en un radioenlace de comunicación. Asumiendo sin pérdidas y las antenas adaptadas, el transmisor alimenta con una potencia Pt a la antena transmisora de abertura efectiva Aet. A una distancia r una antena receptora de área efectiva Aer recibe potencia radiada de la antena transmisora y lo deriva al receptor R. Asumiendo por el momento que la antena transmisora es isotrópica, la potencia recibida por unidad de área en al antena receptora es Sr =

Pt 4π r 2

(W)

(1)

Si la antena tiene ganancia Gt, la potencia por unidad de área disponible en la antena receptora será incrementada en razón dada por.

Sr =

PG t t 4π r 2

(W)

(2)

Ahora la potencia recibida sin perdida, por la antena receptora de apertura efectiva Aer es. 15

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Pr = S r Aer =

PG t t Aer 4π r 2

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(3)

(W)

la ganancia de la antena transmisora se puede expresar como :

Gt =

4π Aet

(4)

λ2 Antena Receptora

Antena Transmisora

r Aer

Aet

TX

RX

Figura 2-14 Circuito de comunicación. Con una antena transmisora cuyas ondas que llegan a la Antena receptora por una trayectoria directa de longitud r

sustituyendo esto en (3) se obtiene la formula de transmisión de Friis. Pr Aer Aet = 2 2 Pt r λ

(sin dimensiones) formula de transmisión de Friis

Donde: Pr = potencia recibida, w Pt = potencia transmitida, w Aet = apertura efectiva de la antena de transmisión, m² Aer =apertura efectiva de la antena de receptora, m² r = distancia entre antenas, m λ = longitud de onda, m 2-12 CAMPOS DE UN DIPOLO OSCILANTE = max l=0

I I 16

l0

t=0

Líneas de campo eléctrico ó (a) Frente de Onda con cargas a los extremos del dipolo

t = T/8 (b)

El Frente de Onda se mueve hacia fuera según el movimiento de las cargas

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Al pasar las cargas por el t = T/4 (c) punto medio la línea de campo se corta

I = max =0

I

t = 3T/8 (d)

I Frente de Onda moviéndose hacia afuera

= max I=0 t = T/2

(e)

Figura 2-15 El dipolo eléctrico oscilante consiste en dos cargas eléctricas en movimiento armónico simple, mostrando su propagación en una línea de campo eléctrico y su separación (la radiación) del dipolo. Las flechas al lado del dipolo indican la dirección de la corriente (I).

Aunque el movimiento de cargas con velocidad uniforme a través de un conductor recto no radia, una carga moviéndose hacia delante y hacia atrás en un movimiento armónico simple a través de un conductor es sujeto de aceleración (y desaceleración) y radia. Para ilustrar la radiación de una antena y dipolo, consideremos que el dipolo de la figura 2-15 tiene dos cargas iguales y de signo opuesto oscilando hacia arriba y hacia abajo en un movimiento armónico con separación instantánea l (máxima separación l0) con atención enfocada en su campo eléctrico. Para claridad solamente una simple línea de campo eléctrico se muestra. Al tiempo que t = 0 las cargas están en la máxima separación y bajó mínima aceleración (dv/dt) en su dirección reversa (figura 2-15a) en este instante la corriente I es cero. Un octavo de periodo después, las cargas están moviendo una hacia la otra (figura 2-15b) 17

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y a un cuarto de periodo pasan a través de su punto medio (figura 2-15c), a medida que esto pasa, las líneas de campo separadas y las nuevas de signo opuesto se forman. En este momento la corriente equivalente I es un máximo y el cambio de aceleración es cero. A medida que el tiempo pasa a un medio periodo, el campo continúa su movimiento hacia afuera como se ve en la figura 2-15d y e. Un dipolo oscilante con más líneas de campo se muestra en la figura 2-16 en cuatro instantes de tiempo

Figura 2-16 Líneas de campo eléctrico de la radiación en movimiento para una antena de λ / 2.

2-13 ZONAS DE CAMPO DE LAS ANTENAS Los campos alrededor de una antena pueden ser divididos en dos grupos o regiones principales, una cercana a la antena, llamada campo cercano ó zona de Fresnel y la otra a una gran distancia llamada campo lejano o zona de Fraunhofer. Refiriéndose a la figura 2-17, la frontera entre ambas puede ser arbitrariamente tomada como el radio R = 2 L2 / λ en metros (1) Donde: L máxima dimensión de la antena λ = longitud de onda En la región lejana, los componentes de campo medibles son transversales a la dirección radial del antena y todo el flujo de potencia es directamente radiado hacia fuera. En la zona lejana la forma del campo papel patrón de campo es independiente de la distancia. En la zona cercana, componente longitudinal del campo eléctrico puede ser significativo y el flujo de potencia no es enteramente radiada. En el campo cercano, la forma del patrón de campo del crimen general de la distancia.

18

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Encapsulado al antena en una frontera esférica imaginaria como la figura 2-18, como se piensa en la región cercana a los polos de Becerra actúan como un receptor. Por

otro lado, las ondas expanden perpendicular al di por un ende región ecuatorial esfera resultando en una fuga de potencia a través del esfera sí espacio verde transparente en este región.

Figura 2-17 Regiones de la antena: Región de Fresnel y Región de Fraunhofer

Los resultados son recíprocos paréntesis oscilante energía flujo de energía cerca del antena acompañado por flujo hacia fuera en la región ecuatorial. La cantidad sobre flujo de la potencia radiada de la antena, mientras energía recíproca representa potencia reactiva que es carácter cerca de la antena como en un resonador. Está discusión simplificada es una manera cuantitativa para explicar el patrón de campo de un di polo de media onda como se muestren asegurados y se echó B. de imagen de energía y discutir más detalle más adelante. Para un dipolo de media onda, la energía es almacenada en un instante de tiempo en el campo eléctrico, cercanamente a los extremos del antena para con máxima regiones de carga, mientras a medio periodo posterior la energía es almacenada en el campo electromagnético cercano al centro del antena o máxima o corriente máxima región. Note que aunque el término flujo de potencia es alguna vez es usado, es realmente energía la cual fluye, potencia siendo el cambio de tiempo de el flujo energía. Pérez similares ocurren cuando decimos que pagamos el recibo de la luz, cuando de hecho realmente estamos pagando por energía eléctrica. Fig. 2-18 Flujo de energía cercano a la antena dipolo (a) y diagrama de radiación de campo. (b) El radio vector r es proporcional al campo radiado en esa dirección.

2-14 CONSIDERACIONES SOBRE LA FORMA DE LA ANTENA – IMPEDANCIA 19

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Es posible en muchos casos deducir el comportamiento cualitativo de una antena por su forma. Esto puede ser ilustrado con la ayuda de la figura 2-19. Empezando con un extremo abierto de una línea de transmisión de los alambres (figura 2-19a) encontramos que sí lo extenderemos lo suficiente, una impedancia casi constante aparecerá al extremo de entrada (izquierda) d λ y D λ . En la figura 2-19 de los conductores jugados son enderezados en un cono regulares, los cono son alineados con linealmente, formando una antena di cónica. La figura 219 de los conos degeneran en líneas rectas y en toda la figura 219 a tubos de el ancho de banda es de imperan hacia constante tiende a decrecer otra diferencia es que estas antenas son unidireccionales con haces a la derecha mientras que las antenas de la figura 2-19 sí y de Sao Paulo o 1000 direccionales en el plano horizontal perpendicular al alambre o eje del cono

Figura 2-19: Evolución de una antena cilíndrica delgada (d) de una línea melliza en circuito abierto (a) curvando los conductores como en (e) resultando en una antena en espiral.

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Una modificación diferentes mostrada en la figura 2-19 que aquí los dos conductores están curvados más abruptamente y en direcciones opuestas, resultando en una antena espiral con máxima radiación de lado o lateral amplio perpendicular a la página y con polarización la cual rota en sentido horario. Esta antena, como la de la figura 2-19 a, exhibe características de banda ancha. El tipo las antenas dipolo de la figura 2-19 son balanceadas y es son alimentadas por líneas de transmisión de dos conductores balanceadas, figura 2-20 ilustrar evolución similar de una antena mono polo, antenas alimentadas por coaxial líneas de transmisión coaxial no balanceadas. Por una transición en forma cónica de los conductores interno y externo de la línea de transmisión coaxial, se obtiene una antena de gran ancha de banda, con una apariencia de cráter de un volcán o con una gran bocanada de humo, ver figura 2-20a,

Figura 2-20: Evolución de una antena monopolo (e) a una antena tipo volcán humeante (a)

En la figura 2-20b de la forma de volcán es modificada a un doble disco y en la figura 2-20c se ha dos conos de gran ángulo. Todas estas antenas son omnidireccionales en el plano perpendicular a sus ejes y todas tienen gran ancho de banda. Por ejemplo, las antenas reales bicónicas como las de la figura 2-20c, un ángulo cónico total de 120° tiene un patrón omnidireccional y una impedancia casi constante de cerca de 50 Ω (la reflexión 21

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de potencia es menor del 1% o VSWR < 1. 2) sobre un ancho de banda de 6 a 1 con un diámetro de cono de igual a D = λ a la frecuencia más baja. Incrementando el ángulo del cono inferior a 180º o en un plano de tierra plano mientras se reduce en la cono superior el ángulo cono superior resultaron antes de la figura 220d Colapsado el cono superior dentro de un conductor delgado, arribamos a la modificación extrema de la figura 2-20e. Sí la antena de la figura 2-20a es reconocida como la forma más básica el tipo “stub” de la figura 2-20e, es la forma más degenerada y con relativamente muy poco ancho de banda. Tanto nos alejemos de los tipos básicos la discontinuidad en la línea transmisión se pone más abrupta cuando eventualmente llega a la unión del plano de tierra y la línea coaxial. Esta discontinuidad resulta que alguna energía esté siendo. La reflexión al final de la antena también se incrementa para antenas delgadas. A algunas frecuencias las reflexiones pueden compensarse pero el ancho banda de compensación es pequeño. 2-15 Polarización lineal, elíptica y circular. Considere una onda plano que viaja hacia afuera de la página (en al dirección z positiva), como en al Fig.2-21a con en campo eléctrico en todo el tiempo en la dirección y. Para esta onda se dice que está polarizada linealmente (en la dirección y). Como una función del tiempo y la posición, el campo eléctrico está dado por (1)

E y = E2 sin (ωt − β z ) Polarización Lineal

Polarización Elíptica

Polarización Circular

y

y

y

E2

E2

E2

E

E x z

z

x E1

AR = ∞

AR = 1.8

(a)

(b)

x z

E1

AR = 1 (c)

Figura 2-21: Polarizaciones (a) Lineal (b) Elíptica y (c) Circular para una onda polarizada en circular-izquierda. En general el campo eléctrico de una onda viajando en la dirección z puede tener una componente en x y otra componente en y, como en la Fig.2-21b esta situación es mas general, con fase diferente δ entre las componentes, la onda puede ser vista con una polarización elíptica. A un valor fijo de z el vector eléctrico E gira como una función de tiempo, y 22

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su extremo describe una elipse llamada elipse de polarización. La relación del eje mayor al menor de la elipse de polarización se denomina Relación Axial (RA). Así para la onda de la Fig.2-21b, RA = E2/E1. Dos casos de polarización elíptica corresponden a una polarización circular, como se muestra en la Fig. 2-21c, y polarización lineal como se muestra en la Fig. 2-21a. Para una polarización circular E1 = E2 Y RA = 1, mientras para una polarización lineal E1 = 0 Y RA = ∞. En el caso mas general la polarización elíptica, la elipse de polarización puede tener una orientación, como se sugiere en la Fig. 2-22. La onda polarizada elípticamente se puede expresar en términos de dos componentes polarizadas linealmente, una en la dirección x y la otra en la dirección y. Así, si la onda esta viajando en la dirección z positiva (hacia fuera de la pagina) las componentes del campo eléctrico en la dirección x e y son

Ex = E1 sin (ωt − β z )

(2)

E y = E2 sin (ωt − β z + δ )

(3)

Donde E1 = amplitud de la onda polarizada linealmente en la dirección x E2 = amplitud de la onda polarizada linealmente en la dirección y δ = ángulo de la fase del tiempo para la cual Ey conduce a Ex combinando las ecuaciones (2) y (3) se obtiene el campo vectorial total instantáneo E. E = x E1 sin (ωt − β z ) + y E2 sin (ωt − β z + δ )

(4)

y E2 B Ey

A E τ ángulo de

0

inclinación

Ex

z

Eje Mayor

E1

x

Eje Menor Polarización Elíptica

Figura 2-22: Polarización elíptica con un ángulo de inclinación mostrando las amplitudes (o valores pico) de los componentes instantáneos Ex y Ey de E1 y E2

23

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En z = 0, Ex = E1 sin ωt

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y E y = E2 sin (ωt + δ ) Desarrollando Ey se obtiene

E y = E2 ( sin ωt cos δ + cos ωt sin δ )

(5)

De la relación para E x tenemos sin ωt = E x / E1 y cos ω t = 1 − ( E x / E1 )

2

Introduciendo estos en (5) eliminamos ω t, y rearreglando, obtenemos: 2 E x2 2E x E y cos δ E y − + = sin2 δ 2 2 E1 E1E2 E2

(6)

aE x2 - bE x E y + cE y2 = 1

(7)

donde

a=

1 E sin2 δ 2 1

b=

2cos δ E1E2 sin2 δ

c=

1 E sin2 δ 2 2

La ecuación (7) describe una elipse (polarización), como se muestra en la Fig. 2-22. el segmento de recta OA es el semieje mayor, y el segmento de recta OB es el semieje menor. El ángulo de inclinación de la elipse es τ. La razón axial es AR=

OA OB

(1 ≤ AR ≤ ∞ )

(8)

Relación Axial

Sí E1 = 0, la onda esta polarizada linealmente en la dirección y. Si E2 = 0, la onda esta polarizada linealmente en la dirección x. Si δ = 0 y E1 = E2, la onda también esta polarizada linealmente, pero en un plano en un ángulo de 45º con respecto al eje x (τ = 45º). Si E1 = E2 y δ = ± 90º, la onda esta polarizada circularmente. Cuando δ = +90º, la onda esta polarizada circularmente hacia la izquierda, y cuando δ = -90º, la onda esta polarizada circularmente hacia la derecha. Para el caso δ = +90º y para z = 0 y t = 0, se tienen las ecuaciones (2) y (3) que E = ŷ E2, como se muestra en la Fig. 2-23a. Un cuarto de ciclo mas tarde (ωt = 90º), E = x E1, como se muestra en la Fig. 2-23b. De manera que en una posición fija (z = 0) el vector de campo eléctrico gira en el sentido de las manecillas del reloj (viendo llegar la onda) de acuerdo con la IEEE, esto corresponde a una polarización izquierda. La dirección de rotación opuesta (δ = -90º) corresponde a una polarización circular derecha.

y

y

ωt = 90º

ωt = 0 E

(a) 24

x

z

z

E

(b)

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Figura 2-23: Orientación instantánea del vector de campo E en dos instantes de tiempo para una onda polarizada circular-izquierda saliendo de la página. Si la onda se ve retrocediendo (del eje z negativo como en la Fig.2-23), el vector eléctrico parece girar en la dirección opuesta. De donde se deduce que la rotación en el sentido de las manecillas del reloj de E con la onda aproximándose es igual que una rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj con la onda retrocediendo. Así, a menos que se especifique la dirección de la onda, existe la posibilidad de ambigüedad si la onda tiene sentido de la mano derecha o izquierda. Esto se puede evitar definiendo la polarización con la ayuda de una antena helicoidal de modo axial. En consecuencia una antena helicoidal de sentido de mano derecha irradia (o recibe) una polarización circular derecha (de acuerdo a la definición del IEEE). Una hélice de sentido de mano derecha sin importar desde que posición se vea. Aquí no existe ninguna posibilidad de ambigüedad. La definición del Instituto de Ingenieros Electricistas y Electrónicos (IEEE) es opuesta a la definición de la óptica clásica que se ha usado por centurias. Por consiguiente, el intento del Comité de Estándares de la IEEE fue hacer que su definición concordara con la definición de la óptica clásica, pero no se concretó, así que ahora se usan las dos definiciones. En este libro se optó por usar la definición del IEEE, ya que tiene la ventaja de concordar con las antenas helicoidales como se mostró líneas arriba.

2-16 VECTOR DE POYNTING PARA ONDAS POLARIZADAS ELÍPTICA Y CIRCULARMENTE La notación compleja del vector de Poynting es S = 12 E × H * El vector de Poynting promedio es la parte real de (1) ó: Sav = ReS= 12 Re E × H *

E 2 + E22 1 E 2 Vector de Poynting Promedio = 2z también lo podemos escribir: Sav = 12 z 1 Z0

Z0

(1) (2) (3)

donde: E = E12 + E22 que es la amplitud total del campo E

2-17 LA POLARIZACIÓN ELÍPTICA Y LA ESFERA DE POINCARÉ La representación en la esfera de Poincaré de una onda polarizada, el estado de la polarización esta descrito por un punto de la esfera donde la longitud y latitud del punto están relacionados a los parámetros de polarización elíptica (ver figura 2-24) como sigue: Longitud = 2τ, Latitud = 2ε (1)

Estado de Polarización Figura 2-24 Esfera de Poincaré mostrando la relación de ángulos

2ε (Latitud)

2γ δ 2τ (Longitud)

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Donde: τ = ángulo de inclinación, 0º ≤ τ ≤ 180º y ε = tan −1 (1/ ∓ AR), −45º ≤ ε ≤ +45º . La relación axial (AR) y el ángulo ε es negativa para la mano derecha y positiva para la mano izquierda para la polarización (IEEE) El estado de la polarización describe un punto de la esfera que puede ser expresado en términos del ángulo subtendido por el dibujo del gran círculo del punto de referencia sobre el ecuador y el ángulo entre el gran círculo y el ecuador (ver figura 2-24) como sigue: Ángulo del gran círculo = 2γ Ángulo del ecuador al gran círculo = δ

(2)

−1

Donde: γ = tan (e2 / E1), 0º ≤ γ ≤ 180º , y δ = la diferencia de fase entre Ex y E y , −180º ≤ δ ≤ 180º . Las relaciones geométricas de τ , ε , γ y la polarización elíptica es ilustrada en la figura 2-25. Interrelaciones trigonométricas de τ , ε , γ , δ :

cos 2γ = cos 2ε cos 2τ tan 2ε tan 2τ tan 2τ = tan 2γ cos δ

tan δ =

Parámetros de Polarización

(3)

sen2ε = sen2γ senδ

conociendo ε y τ uno puede determinar γ y δ o viceversa. Es conveniente describir el estado de polarización por uno de los dos grupos de ángulos (ε ,τ ) o (γ , δ ) el cual describe un punto en la esfera de Poincaré (figura 2-24). Dejemos el estado de la polarización como una función de ε y τ , y sea determinado por M (ε ,τ ) , o simplemente M y estado de la polarización como una función de γ y δ , y sea determinado por P (γ , δ ) , o simplemente P, como se ve en la figura 2-25. y

E2

ε γ τ E1

z

Eje Mayor

x

Eje Menor Polarización Elíptica

26

Figura 2-25: Elipse de polarización mostrando la relación entre: ε, γ y τ

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Como una aplicación de la representación de la esfera de Poincaré (ver figura 2-26) puede ser mostrado como la respuesta de voltaje V de una antena a una onda de polarización MM a arbitraria está dada por: V = k cos Respuesta de voltaje de la antena (4) 2 Donde: MMa = ángulo subtendido por la línea del gran círculo del estado de polarización M a Ma M = Estado de polarización de la onda Ma = Estado de polarización de la antena k = constante El estado de polarización de la antena esta definido como el estado de polarización de la onda radiada por la antena cuando está transmitiendo. El factor k en (4) involucra la intensidad de campo de la onda y el tamaño de la antena. Un importante resultado a notar es que, sí MMa = 0º, la antena esta adaptada a la onda (estado de polarización de la onda es la misma que para la antena) y la respuesta es maximizada. Sin embargo, sí MMa = 180º, la respuesta es cero. Esto puede ocurrir, por ejemplo, sí la onda es linealmente polarizada en la dirección y mientras que la antena está linealmente polarizada en la dirección x; o sí la onda está con polarización circular izquierda, mientras que la antena están con polarización circular derecha. Generalmente decimos que la antena esta ciega a la onda de estado de polarización opuesta (antipodal).

M (onda) Ma (antena) Ángulo de adaptación MMa

Figura 2-26: El ángulo de adaptación MMa entre el estado de polarización de la onda (M) y la antena (Ma). Para MMa = 0º, la adaptación es perfecta. Para MMa = 180º la adaptación es cero. Refiriéndose a (4), el factor de adaptación de polarización F (para potencia) esta dado por: MM a F = cos 2 (5) 2 Luego, para una adaptación perfecta, el ángulo de adaptación MM a = 0º y F = 1 (estado de la onda y la antena son los mismos). Para una completa desadaptación el ángulo de adaptación MM a = 180º y F = 0. Figura 2-26 Para polarización lineal, MM a / 2 = ∆τ y (5) se reduce a: F = cos 2 ∆τ donde ∆τ = diferencia entre el ángulo de inclinación de la onda y la antena.

(6)

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En la anterior discusión hemos asumido una completa polarización de la onda, esto es, Ex , E y y δ son constantes. En una onda no polarizada ellos no lo son. Tal onda resulta cuando el componente vertical es producido por un generador de ruido y la componente horizontal por otro generador de ruido diferente. Muchas fuentes de radio cósmicas son no polarizadas y pueden recibir igualmente bien con una antena en cualquier polarización. Sí la onda es completamente no polarizada, F = ½, independientemente del estado de polarización de la antena. Aunque la resistencia de radiación, apertura efectiva, altura efectiva y Directividad son lo mismo para ambos transmisión y recepción, la distribución de corriente es, en general, diferente. Luego, la onda plana incidente sobre la antena receptora excita con una diferente distribución que el voltaje localizado aplicado al par de terminales para transmisión.

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Ejemplo 2-3.1 Ancho de Haz de Media Potencia (HPBW) Una antena tiene un patrón de campo dado por: E(θ) = cos2θ, para 0≤ θ ≤ 90°, Encuentre el HPBW

θ

Solución

HPBW

•

E(θ) = cos2 θ

• • • •

E(θ) a media potencia = 0.707. 2 Luego 0.707 = cos θ, También cos θ = √0.707 Resultando θ = 33◦ Como HPBW = 2θ = 66º Respuesta

Ejemplo 2-3.2 Ancho de Haz de Media Potencia y de Primer Nulo (HPBW y FNBW) Una antena tiene un patrón de campo dado por: E(θ) = cosθ cos2θ, para 0≤ θ ≤ 90°, Encuentre (a) el HPBW y (b) el FNBW

So-

θ

lución: (a) E(θ) a mitad de potencia = 0.707.

HPBW E(θ) = cosθcos2θ

Has-

FNBW

Luego cos θ cos 2θ = 1/√2 = 0.707. cos2θ = 1/√2 cos θ 2θ = cos−1 (1/√2 cos θ) y θ = (1/2) cos−1 (1/√2 cos θ’) Iterando con θ = 0º como primer valor, θ’ = 22.5º. Poniendo θ = 22.5º, θ’ = 20.03º, etc., ta después de la siguiente iteración θ = θ’ = 20.47º = 20.5º y HPBW = 2θ = 41º Rpta. (a) (b) cos θ cos 2θ = 0, para θ = 45º y FNBW = 2θ = 90º Rpta. (b)

Ejemplo 2-7.2 Directividad El patrón de campo normalizado de una antena esta dado por En = senθsenφ, donde θ = ángulo de cenit (medido desde ele eje z) y φ = ángulo de azimut (medido desde el eje x) (ver la figura) En tiene valores sólo para 0 ≤ θ ≤ π y 0 ≤ φ ≤ π y es cero para otro valor (el patrón es unidireccional con máximo en la dirección +y). Encuentre: a) El valor exacto de la directividad b) El valor aproximado de la directividad de la ec. (8), y 29

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c) La diferencia en decibelios.

Solución

D=

D≅

4π π

π

0

0

∫ ∫

3

2

sin θ sin φ dθ dφ

41,253 = 5.1 90° × 90°

10log

6.0 = 0.7 dB 5.1

=

4π =6 2π / 3

Rpta. (a)

Rpta. (b)

Rpta. (c)

Ejemplo 2-10.1 Apertura efectiva y directividad de una antena dipolo corto Una onda plana es incidente sobre un dipolo corto como se ve en la figura 2-11. La onda se asume que está linealmente polarizada con E en la dirección y. La corriente sobre el dipolo es asumida constante y con la misma fase sobre su entera longitud, y la resistencia de terminación RT es asumida igual a la resistencia de radiación Rr del dipolo. La resistencia de pérdidas de la antena se asume igual a cero. ¿Cuál es?: a) La máxima apertura efectiva del dipolo y Figura 2-11 b) Su directividad Dipolo corto con corriente uniforme inducida por la onda incidente Solución: a) La máxima apertura efectiva de una antena es: V2 Aem = (7) 4SRr Donde el valor efectivo del voltaje inducido V esta aquí dado por el producto de la intensidad de campo eléctrica efectiva en el dipolo y su longitud, esto es, (8) V = El La resistencia de radiación Rr de un dipolo corto de longitud l con una corriente uniforme se demuestra que es (esto se demostrará más adelante): 30

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2

2

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2

 Iav   I  80π 2 l 2  Iav  (9) Rr =   = 790     ( Ω ) 2 λ  I0   I0   λ  Donde: λ = Longitud de onda Iav = Corriente promedio I0 = Corriente terminal La densidad de potencia o vector de Poynting, de la onda incidente en el dipolo está relacionada con la intensidad de campo por: E2 S= (10) Z Donde Z = impedancia intrínseca del medio En el presente caso, el medio es el espacio libre así que Z = 120π. Ahora substituyendo (8), (9), y (10) en (7), obtenemos la apertura efectiva máxima de un dipolo corto (para Iav = I0) 120π E 2 l 2 λ 2 3 2 λ = 0.119λ 2 Rpta (a) Aem = = 2 2 2 320π E l 8π (b) 4π Ae 4π × 0.119λ 2 D= = = 1.5 Rpta (b) 2 2

λ

λ

Un típico dipolo corto puede ser de λ/10 de longitud y λ/100 en diámetro para un corte de apertura seccional físico de 0.001λ2 comparado con el valor de 0.119λ2 de apertura efectiva para el ejemplo 2-10.1. Esto es, un dipolo simple o antena lineal puede tener una apertura física que es pequeña que su apertura efectiva. Por consiguiente, un arreglo transversal (broadside) de muchos dipolos o antenas lineales tiene una apertura física total que, como en las cornetas o platos, es mayor que su apertura efectiva. De otro lado, en un arreglo longitudinal (endfire) de dipolo, como en una antena Yagi-Uda, tiene una sección física de terminación que es menor que la apertura efectiva de la antena. Esto dependiendo de la antena, las aperturas físicas pueden ser mayores que sus aperturas efectivas o viceversa. Ejemplo 2-10.2 Apertura efectiva y directividad de una antena dipolo de λ/2 Una onda plana incidente sobre la antena está viajando en la dirección negativa del eje x como en la figura 2-12a. La onda está linealmente polarizada con E en la dirección y. El circuito equivalente se muestra en la figura 2-12b. La antena tiene que ser reemplazada por un equivalente o generador Thévenin. El voltaje infinitesimal dV de este generador debido al voltaje inducido por la onda incidente en un elemento de longitud infinitesimal dy de la antena es 2π y (11) dV = Edy cos

λ

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Figura 2-12 Antena lineal de λ/2 en el campo de la onda electromagnética (a) y su circuito equivalente (b)

Se asume que el voltaje infinitesimal inducido es proporcional a la corriente en el elemento infinitesimal como está dado por la distribución de corriente (11). Encuentre: a) La apertura efectiva y b) La directividad del dipolo de λ/2 Solución: (a) El voltaje total inducido V esta dado por la integración de (11) sobre la longitud de la antena. Esto puede ser escrito como: λ/4 2π y V = 2∫ E cos dy (12)

λ

0

Realizando la integración de (12) tenemos Eλ V=

π

(13)

El valor de la resistencia de radiación Rr de la antena lineal de λ/2 será tomado como 73Ω. La resistencia de terminación RT se asume igual a Rr. Esto es, obtenemos para la apertura efectiva máxima de una antena lineal de λ/2, 120π E 2λ 2 30 2 Aem = = λ = 0.13λ 2 Rpta (a) 2 2 4π E × 73 73π 4π Ae 4π × 0.13λ 2 (b) D = = = 1.63 Rpta (b) 2 2

λ

λ

La máxima apertura efectiva de una antena lineal de λ/2 es cerca del 10% mayor que para el dipolo corto. La máxima apertura efectiva para de la antena de λ/2 es aproximadamente la misma para un área ½ por1/4λ sobre un lado, como se muestra en la Figura 2-13a. Esta área es 0.125λ2 Una apertura de forma elíptica de 0.13λ2 se muestra en la figura 2-13b El significado físico de estas aperturas es que la potencia de la onda plana incidente es absorbida sobre un área de este tamaño y es entregada a los terminales de la resistencia o carga.

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Figura 2-13 (a) Apertura efectiva máxima de una antena lineal de λ/2 representada aproximadamente por un rectángulo de ½ por 1/4λ en un lado. (b) Apertura efectiva máxima de una antena lineal de λ/2 representada por un área elíptica de 0.13λ2. Aunque la resistencia de radiación, apertura efectiva, y directividad son los mismo para ambas antenas transmisora y receptora, la distribución de corriente, en general no son lo mismo. Esto es, un onda plana incidente sobre una antena receptora excita una distribución de corriente diferente que un voltaje aplicado a un par de terminales localizado en la antena transmisora.

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Capitulo 3 La Familia de Antenas

3-1 Introducción En este capitulo introduciremos los 24 tipos de antenas como una vista previa para un tratamiento más detallado en posteriores capítulos. Las antenas están agrupadas en: -Básicas. -Cuadros, dipolos y ranuras. -Coaxiales opened-out, twin-line y guías de onda. -Aperturas y reflectores parabólicos. -Tipo end-fire y broadband. -Tipo flat-panel y arreglo de retículas o grillas. Los tipos coaxial y two wire son colocados como una secuencia evolutiva de la banda ancha a banda angosta. Directividades, anchos de banda y diagrama de campo están indicados. Estos, con las dimensiones dadas, son suficientes en muchos casos para construir una antena y determinar su ganancia aproximada y su ancho de haz. La presentación relaciona a las antenas en una clasificación de especie-genero que ayuda a entender como un tipo continua existiendo en nuevas condiciones o evoluciona en otro tipo. 3-2 Antenas de lazo, aro o cuadro, dipolos y ranuras. La pequeña antena horizontal de aro en (a) de la Fig. 3-1 puede ser considerado como la contraparte magnética del dipolo vertical corto. Ambos, el aro y el dipolo tienen diagrama es de campo idénticos pero con E y H intercambiados. Así, el aro horizontal esta polarizado horizontalmente y el dipolo vertical esta polarizado verticalmente. Ambos, el aro corto y el dipolo corto tienen la misma directividad D = 1,5. Para calificar como un aro corto o un dipolo corto, las dimensiones deberían de ser λ /10 o menos.

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Figura 3-1 Tres tipos básicos de antenas: (a) un aro pequeño, (b) un dipolo corto, y (c) una ranura. El aro pequeño y el dipolo corto (eje del cuadro paralelo al del dipolo) tienen diagramas de campo identicos con el E Y H intercambiados. La ranura y el dipolo tienen los mismos diagramas de campo con E y H intercambiados. Las directividades son idénticas como se indica. Ejemplo 3-2.1 Aro y dipolo para polarización circular Colocando el dipolo corto dentro del pequeño cuadro en su eje (Fig. 3-1), el patrón es omnidireccional en el plano horizontal con un nulo en el eje vertical como para los diagrama es del cuadro individual y el dipolo. (a) Si el diámetro del aro es λ/15 y el cuadro y el dipolo están alimentados en fase con igual potencia, cual es la polarización de la radiación? (b) Si la corriente del aro es en el sentido contrario al de las agujas del reloj vista desde arriba cuando la corriente del dipolo es esta activa, la polarización es izquierda o derecha? De la Sec. 2-15, la polarizaciónes circular derecha. Resp. (a) y (b). Si el dipolo ha sido cortado de una lamina metálica, dejando una ranura como en (c), el dipolo y la ranura se dice que son complementarios. Los diagrama es de campo son los mismos pero con E y H intercambiados. Adicionalmente, la impedancia terminal Zd del dipolo y la impedancia terminal Zs de la ranura están relacionadas con la impedancia intrínseca del espacio Z0 (=377Ω) como esta dado por Zd* Zs = Z02 / 4 (1) De donde: 2 2 Zs = Z0 / 4* Zd = Z0 / 4* Yd “impedancia de la ranura” (2) tal que la impedancia de la ranura es proporcional a la admitancia del dipolo Yd. si el dipolo requiere una inductancia para un match, la ranura complementaria requiere una capacitancia. Así, conocer las propiedades del dipolo nos permite predecir las propiedades de la ranura complementaria. Para ser completamente complementarios, la lamina q contiene la ranura debería ser grande (idealmente infinita) y perfectamente conductora. Las antenas de ranura son típicamente λ/2 de longitud, y estas son complementarias a la antena dipolo de λ/2 (Fig. 3-1). Note que los diagramas de campo en la Fig. 3-1 no son líneas de campo. Sin embargo, las direcciones de E y H en un punto son mostrados. Ejemplo 3-2.2 Dipolo de una longitud de onda y antena una antena ranurada. En la Fig. 3-2 un dipolo cilíndrico de longitud λ y su ranura complementaria son comparados. La longitud actual L = 0.925 λ. El dipolo cilíndrico tiene un diámetro D = L/28 = 0.033 λ y una impedancia terminal Zd = 710 + j0Ω. La ranura complementaria tiene un ancho de w = 2D. Encontrar la impedancia terminal Zs de la ranura. Solución De (2) 2 Zs = 377 / 4*710 = 50Ω Rpta. Para una impedancia correspondiente a una línea coaxial de 50Ω como se indica en la Fig. 3-2b.

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La radiación de una antena patch (Fig. 3-11) ocurre aun desde dos ranuras, asi que este ejemplo es útil para entender las antenas patch.

º Figura 3-2 Comparación de impedancias de una antena dipolo cilindrica con un una ranura complementaria. La ranura en (b) hace juego con un cable coaxial de 50 Ω 3-3 Antenas de cable coaxial con su extremo abierto (opened-out)

Figura 3-3 Líneas coaxiales con uno de sus extremos abiertos (opened-out) mostrando (a) La evolución desde una antena de muy ancho de banda gradualmente convergente “vulcano smoke” (b) A una antena cónica de ancho de banda intermedio (c) Hasta una un “monopolo” de λ/4 Todas las antenas de la Fig. 3-3 son omnidireccionales en el plano horizontal con un nulo el la dirección vertical (zenith). La directividad D está indicada para cada antena. Hiendo de transiciones suaves, transiciones graduales a más abruptas resulta en un estrechamiento del ancho de banda.

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3-4 Antenas de dos conductores (delgados) con un extremo abierto

Figura 3-4 Antenas de dos conductores opened-out mostrando la evolución desde una muy ancha de banda “antena bocina gemela Alpine” en la parte superior (a) a traves de una de ancho de banda intermedio “antena biconical” en el centro (b) hasta una de ancho de banda estrecho “dipolo de λ/2 ” (c) y las versiones compacta (d) , (e) y (f). Mientras que la “bocina gemela Alpine” es unidireccional, las antenas bicónicas y dipolo son omnidireccionales en el plano horizontal. La directividad D es indicada para cada antena. Una versión compacta de una bocina gemelo (twin-horn) Alpine, mostrada en la Fig. 3-4d y e, tiene una guia de onda en forma de doble cresta como el lanzador de una línea de transmisión balanceada de dos conductores acampanados exponencialmente. El diseño en la Fig. 3-4d y e incorpora características usadas por Kerr y por Baker y Van der Neut. El acampanamiento exponencial es de la forma y = k1ek2X donde k1 y k2 son constantes. La curvatura exacta no es crítica con tal que sea gradual. Otra versión compacta mostrada en la Fig. 3-4f es llamada diversamente spot-vee sandwich o antena Vivaldi luego del compositor Antonio Vivaldi. 3-5 Antenas Guias de Onda opened out (de tipo abertura)

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Figura 3-5 Antenas alimentadas por guias de onda oponed-out de seccion rectangular en la parte superior (a) y de seccion circular en (b). Estas son antenas de tipo apertura con una apertura eficiente Ae y directividad D proporcional al area de la bocina abriendose

Ejemplo: 3-5.1 Bocina (Horn) piramidal optimo Idealmente la fase del campo a lo largo de la boca de la bocina debe ser constante. Esto requiere una bocina bastante larga. Sin embargo, por razones prácticas la bocina debe ser lo mas corta posible. Refiriéndose a la Fig. 3-6, una bocina optima es un compromiso en el cual la diferencia de la longitud δ de la trayectoria a lo largo del borde y el centro de la bocina es de 0,25λ o menos en el plano E. Sin embargo, en el plano H, δ puede ser mayor, desde que el campo vale cero en los bordes de la bocina (condición de frontera, Et = 0 satisfecha). De la Fig. 3-6 el ángulo de de expansión gradual θ esta dado por: -1 θ = 2cos (L / L+δ) (1) Para una bocina con L = 10 λ, hallar el ángulo de expansión gradual (acampanamiento) para el cual δ = 0,25λ Solución De (1), θ = 2cos-1(10 / 10.25) = 25.4º Rpta. Figura 3-6 Sección transversal de una bocina piramidal con las dimensiones usadas en el ejemplo. El diagrama puede ser usado para el plano E o el plano H. Para el plano E el ángulo de acampanamiento es θE y la dimensión de la apertura aE. Para el plano H el ángulo de acampanamiento es θH y la dimensión de la apertura es aH

3-6 Antenas reflectoras de lamina plana Ejemplo: 3-6.1 Potencia recibida por una tipo reflector de esquina cuadrada

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-1

Una estación de TV canal 35 de UHF (599MHz) produce una intensidad de campo de 1µVm en una antena receptora de esquina cuadrada, como en la Fig. 3-7c, con dimensiones óptimas para este canal. Hallar la potencia entregada al receptor asumiendo que esta adaptado a su antena. Solución 8 -1 6 λ = c / f = 3*10 ms / 599*10 Hz = 0.501m De la Fig. 3-7c, D = 20, asi que la apertura efectiva: Ae = D λ2 / 4π = 20*0.251 / 4π = 0.4m2 y la potencia recibida es 2 -6 2 -15 (E / Z0)* Ae = (10 ) /377 * 0.4 = 1.06*10 W = 1.06 fW Rpta.

º Figura 3-7 Antenas reflectoras planas con uno o dos dipolos de λ/2 y un reflector de 90º (a y b) o cuadrado esquinado (c). La directividad de un dipolo de λ/2 puede ser incrementada ubicándolo en frente de un conductor reflector como en (a). Un arreglo de dos dipolos de λ/2 al frente de un reflector plano como en (b) produce alta directividad. Aun mas directividad es obtenida doblando un reflector plano en 90º o en una esquina cuadrada como en (c). Para reducir la resistencia al viento y la cantidad de metal requerido, los reflectores pueden ser sustituidos por grillas de alambres paralelos espaciados λ/10 o más cercanos. La directividad aproximadamente se duplica de (a) a (b) y se duplica de nuevo en (c)

3-7 Platos parabólicos y antenas de lentes dieléctricos Ejemplo: 3-7.1 Diseño del plato parabólico La directividad (o ganancia) de una antena de plato parabólico depende de muchos factores:

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1. El diagrama del alimentador de la antena. Si su diagrama es muy ancho y se derrama sobre los bordes del plato, la ganancia es reducida. De otro modo, si el diagrama es muy estrecho, el plato no es totalmente “iluminado” por el alimentador y la apertura no es totalmente utilizada. 2. La precisión de la superficie del disco relativa a una parábola ideal. Por ejemplo, si la superficie de aparta un distancia δ = λ/4 (o 90º grados eléctricos) de la curva parabólica, el campo reflejado es desplazado 180º en fase, lo cual reduce la eficiencia de la apertura. Ver la superficie del disco en la Fig. 3-8ª. 3. Muchos otros factores están también envueltos. La eficiencia de la apertura varia ampliamente dependiendo del diseño especifico. Asumiendo una apertura con una eficiencia de 70 por ciento, cual es la directividad de una antena de plato parabólico como una función de su radio? Solución D = Єap* 4π*Ap / λ2 = 0.7*( 4π*πr2) / λ2 = 8.8*πr2 / λ2 = 28(r / λ)2 Rpta.

Figura 3-8 Un reflector en forma de plato parabolico puede proporcionar una alta directividad (proporcional a su apertura) pero para una operación eficiente requiere un alimentador apropiado con se muestra en (a). Por el contrario un simple dipolo es adecuado para alimentar un reflector tipo esquina (Fig. 3-7c). La antena de lente dieléctrico en (b) es análoga a su contraparte óptica. Como la antena de plato parabólico, el lente requiere un alimentador apropiado. La directividad D de ambos es proporcional a su apertura. Ambos requieren teoría de rayos y óptica en su diseño. Las flechas en las figuras trazan la trayectoria de los rayos. Los alimentadores de ambos tipos radian ondas esféricas. La parábola convierte las ondas esféricas en ondas planas por reflexión mientras que el lente lo hace por refracción.

3-8 Antenas End-Fire

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Figura 3-9 La antena Polyrod en (a), la antena Yagi-Uda en (b), y la antena helicoidal de modo axial en (c) son todas antenas end-fire o de ondas viajeras. La directividad D de cada una es proporcional a su longitud L con una alta directividad para la antena helicoidal porque esta opera en el modo de directividad incrementado. La retina tiene 100 millones de varas o conos similares a la antena polyrod (a). Las dimensiones, directividades y anchos de banda están indicados. Los diagramas de las tres antenas pueden ser calculados con una buena aproximación como un arreglo de fuentes isotrópicas espaciados λ/4 con 90 de fase para el polyrod y la antena Yagi-Uda y una fase directiva incrementada para la antena helicoidal. Las tres antenas end-fire pueden ser consideradas como antenas de lentes rudimentarias que colectan energía a través de una apertura mucho mas grande que la sección transversal física. En la antena Yagi-Uda solo un elemento es alimentado por la línea de transmisión, el resto son elementos parásitos energizados por acoplamiento mutuo, el reflector teniendo un retraso de fase y los directores guiando las fases Tres tipos de antenas end-fire son mostrados en la Fig.3-9. Debido a su alta directividad, polarización circular, ancho de banda amplio y dimensiones no criticas, la antena helicoidal de modo axial (Fig. 3-9c) es ampliamente empleada en aplicaciones espaciales. Con polarización lineal, un cambio de orientación del satélite

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podría resultar en una polarización cruzada y perdida de la señal. Con polarización circular este problema no ocurre, con tal de que el satélite y la estación terrena tengan la orientación de la misma mano. 3-9 Antenas de banda ancha: La espiral cónica y la log-periódica La espiral cónica de la Fig. 3-10a puede ser considerada como una espiral plana que ha sido arrollado alrededor de un cono dieléctrico. La espiral cónica es alimentada por un cable coaxial unida a una cinta conductora con su conductor mas interno unido a la otra cinta en el ápice, como se indica en el diagrama del espiral plano. El límite de frecuencia mas bajo de la espiral cónica ocurre cuando el diámetro de la base es λ/2. El limite mas alto de frecuencia ocurre cuando el diámetro del ápice es λ/4. Así, el ancho de banda esta en la proporción de ½ el diámetro de la base al diámetro del apice, el cual, para el cono de la Fig. 3-10a es casi 7 a 1. El ancho de banda de una antena log-periódica depende de la razón de los dipolos que están al costado del mas largo y al costado del mas corto, lo cual para el arreglo de la Fig. 3-10b es casi 4 a 1.

Figura 3-10 La espiral cónica y el log-periódica son tipos de ancho de banda muy amplio con moderada ganancia 3-10 La antena Patch, patch array y grid array La antena Patch La “Patch” es una antena de perfil bajo, baja ganancia, ancho de banda estrecho. Consideraciones dinámicas demandan antenas de perfil bajo en aeronaves y muchas clases de vehículos. Fig. 3-11 muestra una antena patch con su sustrato dieléctrico parcialmente removido para mostrar el punto de alimentación. Típicamente un patch consiste de una lamina conductora delgada de aproximadamente 1 por ½λ0 montado en el sustrato. La radiación desde el Patch es como la radiación de dos ranuras, en los bordes derechos e izquierdos del Patch. La “ranura” es una pequeña abertura entre el Patch y el plano de tierra. El espacio entre el plano de tierra y el Patch es igual al grosor t del sustrato y es típicamente λ0/100, como se indica en la Fig. 311.

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Figura 3-11 Antena patch simple. Las flechas muestran la dirección de E en las ranuras El Patch array Ejemplo 3-10.1 Array de cuatro patch El array de cuatro patch mostrado en la Fig. 3-12 es alimentado en fase por la red correspondiente mostrada. Hallar (a) La directividad y (b) el área del haz.

Figura 3-12 Un arreglo de cuatro patchs Solución Ae = 4λ * λ/2 = 2*λ2 D = 4π Ae 2 / λ = 8π = 25 (14dBi) Rpta (a) ΩA = 4π / D = 4π / 25 = 0.5 sr Rpta (b) Array de retículas panel plana El array de rejillas (Fig. 3-13), mide 4 * 2 ½λ, tiene una directividad D = 70 (18.5 dBi) con una eficiencia de apertura de 75 por ciento. Tiene lóbulos laterales bajos y una VSWR < 1.5 sobre un 10 por ciento de ancho de banda. El array entero es alimentado simplemente en un punto (F) por un cable coaxial de 50Ω con su conductor interno a través de una abertura en el plano de tierra y el conductor externo conectado al plano de tierra.

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Figure3-13 El array de retículas plano mostrando la distribución de corrientes instantáneas. Todos los campos de los 19 conductores de media onda se adicionan en fase, mientras que los campos de los conductores horizontales se cancelan. El array esta montado en un sustrato dieléctrico de λ encima de un plano de tierra plano.

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Capitulo 4 Fuentes puntuales 4-1 Introducción. Definición de Fuente puntual A una distancia suficiente en el campo remoto de una antena, los campos radiados de la antenas son trans-2 versales y el flujo de potencia o vector de Poynting (Wm ) es radial como en el punto O a una distancia R en el circulo de observación en la Fig. 4-1. Es conveniente en muchos análisis asumir que los campos de la antena son en todas partes de este tipo. De hecho, nosotros asumiremos, extrapolando hacia el centro a lo largo del radio del círculo, que las ondas originadas se originan en un emisor sin volumen ficticio, o fuente puntual, en el centro O del círculo de observación. La variación del campo cerca de la antena, o campo cercano, es ignorada, y nosotros describiremos la fuente de las ondas solo en términos del campo remoto que este produce. Con tal de que nuestra observación sea hecha a suficiente distancia, cualquier antena, sin importar su tamaño o complejidad, puede ser representada en esta forma por una fuente puntual única. En vez de hacer mediciones de campo alrededor del circulo de observación con la antena fija, el efecto equivalente puede ser obtenido haciendo las mediciones del campo en un punto fijo Q en el circulo y rotando la antena alrededor del centro O. Esto es usualmente el procedimiento más conveniente si la antena es pequeña. En la Fig. 4-1a, el centro O de la antena coincide con el centro del circulo de observación. Si el centro de la antena es desplazado de O, aun a tal grado que O quede fuera de la antena como en la Fig. 4-1b, la distancia d entre los dos centros tiene un efecto insignificante en el diagrama del campo en el circulo de observación, con tal que R>>d, R>>b y R>>λ. Sin embargo los diagramas de fase generalmente serán diferentes, dependiendo de d. Si d = 0, el desplazamiento de fase alrededor del circulo de observación es usualmente mínimo. Mientras d se incrementa, el desplazamiento de fase observado se vuelve más grande.

Figura 4-1 Antena y el círculo de observación Como se discutió en la Sec. 2-3, una descripción completa del campo remoto de una fuente requiere tres diagramas: dos diagramas de los componentes ortogonales del campo como una función del ángulo [Eθ(θ,ø), Eø(θ,ø)] y un diagrama de la diferencia de fase de estos campos como una función de ángulo δ(θ,ø). Para muchos propósitos, sin embargo, un completo conocimiento no es necesario. Podría ser suficiente especificar solo la variación con el ángulo de la densidad de potencia o la magnitud del vector de Poynting (potencia por unidad de área) de la antena [Sr(θ,ø)]. En este caso la naturaleza del vector no es tomada en consideración, y la radiación es tratada como una cantidad escalar. Esto es hecho en la sección 4-2. La naturaleza del vector es reconocida posteriormente en la discusión de la magnitud de los componentes del campo. Aunque los casos considerados como ejemplos en este capitulo son hipotéticos, estos pueden ser aproximados por antenas actuales. 4-2 Diagramas de Potencia. Permitamos a una antena transmisora en el espacio libre ser representada por una fuente radiante puntual ubicada en el origen de las coordenadas en la Fig. 4-2 (ver también Fig. 2.5). La energía radiada fluye desde la fuente en líneas radiales. La razón del tiempo del flujo de energía que fluye por unidad de área es el vector de Poynting, o densidad de potencia (vatios por metro cuadrado). Para una fuente puntual (o en el campo remoto de cualquier antena), el vector de Poynting S solo tiene un componente radial Sr , sin ningún compo-

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nente en las direcciones θ o ø (Sθ = Sø = 0). Así, la magnitud del vector Poynting, o la densidad de potencia, es igual al componente radial (|S| = Sr). Una fuente que irradia energía en todas las direcciones uniformemente es una fuente isotrópica. Para tal fuente la componente radial Sr del vector Poynting es independiente de θ y ø. Un grafico de Sr a un radio constante como una función del ángulo es un vector Poynting, diagrama de flujo de potencia, pero usualmente es llamado diagrama de potencia. El diagrama de potencia tridimensional para una fuente isotrópica es un circulo (una sección transversal a través de una esfera), como esta mostrado en la Fig. 4-3.

Figura 4-2 Coordenadas esféricas para una fuente isotrópica

Figura 4-3 Diagrama polar de potencia de una fuente isotrópica

Figura 4-4 (a)Diagrama de potencia y (b) diagrama de potencia relativo para la misma fuente. Ambos tienen la misma forma. El diagrama de potencia relativo esta normalizado para un máximo de (1) Aunque la fuente isotrópica es conveniente en la teoría, esta no es físicamente realizable. Aun las antenas más simples tienen propiedades direccionales, es decir estas irradian más energía en algunas direcciones que en otras. En contraste a la fuente isotrópica, podrían haber fuentes anisotrópicas. Como un ejemplo, el diagrama de potencia de una de tales fuentes es mostrado en la Fig.4-4ª, donde Srm es el máximo valor de Sr. Si Sr es expresado en vatios por metro cuadrado, el grafico es un diagrama de potencia absoluto. De otro modo, si Sr es expresado en términos de su valor en alguna dirección de referencia, la grafica es un diagrama de energía relativo. Es costumbre tomar la dirección de referencia tal q Sr es a máximo. Así, el diagrama de radiación para la potencia relativa es Sr/ Srm donde Srm es el máximo valor de Sr. El máximo valor de un diagrama de potencia relativo es la unidad, como es mostrado en la Fig. 4-4b. Un diagrama con un máximo igual a la unidad es también llamado diagrama normalizado.

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4-3 Teorema de la Potencia y su aplicación para una fuente isotrópica. Si el vector de Poynting es conocido en todas los puntos en una esfera de radio r desde una fuente puntual en un medio sin perdidas, la potencia total radiada por la fuente es la integral sobre la superficie de la esfera de la componente radial Sr del vector Poynting promedio. Así:

P= ∫∫ S ids = ∫∫ Sr ds

(1)

Donde P = potencia radiada, W. -2 Sr = componte radial del vector de Poynting promedio, Wm . ds = elemento infinitesimal del área de la esfera(ver Fig. 3-2b) = r2senθdθdφ, m2 Para una fuente isotrópica, Sr es independiente de θ y φ, así: 2 P = Sr ∫∫ ds = Sr × 4π r

(W)

(2)

y 2 -2 Sr = P/4πr (Wm ) (3) La ecuación (3) indica que la magnitud del vector de Poynting varía inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde el radiador puntual Isotrópico. Esta es una afirmación de la bien conocida ley para la variación de la potencia por unidad de área como función de la distancia. 4-4 Intensidad de radiación Como se discutió en la Sec. 2-5. la intensidad de radiación U es expresado en vatios por unidad de ángulo -1 sólido (Wsr ). La intensidad de radiación es independiente del radio. Esta es la potencia por unidad de radio. Esta es potencia por estereorradián. De 4-3-3 tenemos: r2 Sr = P/4π = U ( Wsr-1) (1) Así, el teorema de la potencia puede ser reformulada como sigue: La potencia total radiada es dada por la integral de la intensidad de radiación sobre un ángulo sólido de 4π estereorradianes Ya mencionado en la Sec. 2-5, los diagramas de potencia pueden ser expresados en términos del vector de Poynting (densidad de potencia) o de la intensidad de radiación. Un diagrama de radiación en términos de U es la misma como en la Fig. 4-4a con el vector de Poynting máximo Sm reemplazado por la intensidad de radiación máxima Um y el vector de Poynting como función de r (Sr) reemplazado por la intensidad de radiación como función de r (Ur). El máximo valor de Um es en la dirección θ = 0º. Los diagramas relativos del vector de Poynting y la intensidad de radiación son idénticos. Aplicando (1) a una fuente isotrópica obtenemos: P = 4πU0 (W) donde U0 = intensidad de radiación de una fuente isotrópica. 4-5 Ejemplos de diagramas de energía Ejemplo 4-5.1 Fuente con diagrama de energía cosenoidal unidireccional. Una fuente tiene un diagrama de intensidad de radiación cosenoidal, esto es, U = Um cosθ donde Um = intensidad de radiación máxima. La intensidad de radiación U tiene valor solo en la semiesfera superior (0 ≤ θ ≤ π/2 y 0≤ φ ≤ 2π ) y es cero en la semiesfera inferior. La intensidad de radiación es un máximo a θ = 0. El diagrama es mostrado en la Fig. 4-5. El diagrama espacial es una figura de revolución de este circulo alrededor del eje polar. Hallar la directividad. Para hallar la potencia radiada total por la fuente cosenoidal, aplicamos e integramos solo sobre el hemisferio superior. Así:

P=∫

2π

0

∫

π /2

0

U m cos θ sen θ dθ dφ = π U m

(1)

(2)

Si la potencia radiada por la fuente coseno unidireccional es la misma que una fuente isotrópica, luego (1) y (2) en la sección 4-4 pueden ser establecidas iguales, produciendo: πUm = 4πU0 o

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Directividad = Um/U0 = 4 = D Rpta. Figura 4-5 Diagrama de potencia para una coseno unidireccional

(3)

Así, la intensidad de radiación máxima Um de la antena cosenoidal unidireccional (en la dirección θ = 0) es cuatro veces la intensidad de radiación U0 de una fuente isotrópica radiando la misma cantidad de potencia. Los diagramas de radiación para dos fuentes son comparadas en la Fig. 4-6 para la misma potencia total radiada por cada una. Ejemplo 4-5.2 Potencia con un diagrama de potencia coseno bidireccional. Una fuente tiene un diagrama de potencia que es bidireccional. Hallar la directividad. Con radiación en dos hemisferios en vez de uno, la intensidad de radiación máxima es la mitad de su valor en el ejemplo 4-5.1. Así de (3) D = 4/2 = 2 Rpta.

Ejemplo 4-5.3 Fuente con diagrama de potencia senoidal (Doughnut) Una fuente tiene un diagrama de intensidad de radiación dado por U = Umsenθ (4) El diagrama es mostrado en la Fig. 4-6. El diagrama espacial es una figura de revolución de este diagrama alrededor del eje polar y tiene la forma de una dona. Hallar D. Solución Aplicando (4-3-3) la potencia radiada total es

P = Um ∫

2π

0

∫

π

0

sen 2 θ dθ dφ = π 2U m

(5)

Si la potencia radiada por esta fuente es la misma para una fuente isotrópica tomada como referencia, tenemos:

π 2U m = 4π U 0

(6)

y Directividad = Um/U0 = 4/π = 1.27 = D Rpta.

(7)

Figura 4-6 Diagramas de potencia para un una fuente cosenoidal y una isotrópica

Ejemplo 4-5.4 Fuente con diagrama de radiación senoidal cuadrático. Una fuente tiene un diagrama de intensidad de potencia senoidal cuadrático. El diagrama de la intensidad de radiación es dado por: 2

U = Um sen θ

(8)

El diagrama de potencia es mostrado en la Fig. 4-7a. Este tipo de diagrama es considerado interesante porque este es el diagrama producido por un dipolo corto coincidente con el eje polar (θ = 0) en la Fig. (4-3-3), la potencia radiada total es:

P = Um ∫

2π

0

∫

π

0

sen 3 θ dθ dφ = 83 π U m

Si P es la misma para una fuente isotrópica, (8/3)πUm = 4πU0 Y Directividad = Um/U0 = 3/2 = 1.5 = D (10)

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(9)

Rpta.

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Figura 4-7 (a)Diagrama de potencia de un seno cuadrático (b) Diagrama de potencia de un coseno cuadrático unidireccional.

Ejemplo 4-5.5 Fuente con diagrama de potencia cosenoidal cuadrático Una fuente con un diagrama de intensidad de radiación cosenoidal cuadrático esta dado por 2 U = Umcos θ (11) La intensidad de radiación tiene valor solo en el hemisferio más alto como en la Fig.4-7b. El diagrama tridimensional o espacial es una figura de revolución alrededor del eje polar (θ = 0). Hallar la directividad. Solución La potencia total radiada es

P = Um ∫

2π

0

∫

π /2

0

cos 2 θ sen θ dθ dφ = 23 π U m

(12)

Si P es igual como en una fuente isotrópica 2/3πUm = 4πU0 y Directividad = Um/U0 = 6 = D Rpta

(13)

Así, la máxima potencia por unidad de ángulo sólido (en θ = 0) de una fuente con diagrama de radiación cosenoidal cuadrático es seis veces la potencia por unidad de ángulo sólido de una fuente isotrópica radiando la misma potencia. Las directividades están resumidas en la tabla 4-1 Tabla 4-1 Directividades de un los diagramas de radiación de fuentes puntuales en Ejemplos 4-5.1 al 4-5.5 Patrones Cosenoidal unidireccional Cosenoidal bidireccional Senoidal doughnut Senoidal cuadrática doughnut Cosenoidal cuadrática unidireccional

Directividad 4 2 1.27 1.5 6

El ejemplo 4-5.6 provee una visión de algún valor en el efecto que los lóbulos menores tienen en la ganancia o directividad. Sin lóbulos menores la ganancia de esta antena seria 91.4 o 19.6 dBi comparada con la ganancia de 18 o 12,6 dBi con lóbulos menores. Los lóbulos menores tienen un haz o ángulos sólidos grandes porque estos se extienden 360º en el azimuth o dirección φ a grandes valores senθ (θ cercano a 90º). El lóbulo principal, de otro lado, esta a ángulos θ pequeños así que el producto Pn(θ)sen(θ) es pequeño, en realidad, cero a θ = 0º. Ejemplo 4-5.6 Haz pincel con lóbulos menores Como se muestra en la Fig. 4-8, el diagrama tiene un haz pincel (simétrico alrededor del eje θ = 0) con un HPBW del lóbulo principal de 22º aproximadamente y cuatro lóbulos menores. Hallar la directividad.

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Figura 4-8 Los diagramas de potencia de un haz de antena en grafico polar (a) y en un grafico rectangular (b). El área mas grande sombreada A de (b) es para una fuente isotrópica mientras que el área a de la antena aparece como una serie de pequeñas áreas. La directividad es D = A/a. Solución La directividad esta dada por

D=

4π 2π

π

0

0

∫ ∫

Pn (θ ) sen θ dθ dφ

(14)

donde el denominador es igual al área total del haz ΩA Porque el diagrama es simétrico (no varia con φ ), la integral con respecto a φ produce 2π y (14) se reduce a

D=

4π π

2π ∫ Pn (θ ) sen θ dθ dφ

(15)

0

Solo tenemos el grafico del diagrama disponible, (ninguna expresión analítica), así que dividiremos el diagrama (Fig. 4-8) en 36 pasos de 5º cada uno. El valor aproximado de la integral en la primera división de 5º esta dado por π

36

Pn (θ )av sen θ1 =

π

36

1.0 + .093 sen 2.5º 2

(16)

y el valor aproximado de la directividad esta dado por la sumatoria de las 36 secciones o por

D

4π m = 36

2π (π / 36 ) ∑ Pn (θ m )av sen θ m

(17)

m =1

Completando la sumatoria, obtenemos:

D=

4π 4π 72 = = 18.0 Ω A 2π (π / 36 )( 0.25 + 0.37 + 0.46 + 0.12 + 0.07 ) 1.27π

(18)

o D = 12.6 dBi Es importante notar que el segundo lóbulo menor contribuye más al área total del haz, el primer lóbulo menor casi tanto, y el lóbulo principal menos que cualquiera de estos. Así, la directividad es grandemente afectada por los lóbulos menores, lo cual es común con las antenas actuales. Para este diagrama de antena la eficiencia del haz esta dada por: εM = 0.25/1.27 = 0.20

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(19)

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Si el segundo lóbulo fuese eliminado, la directividad se incrementaría a 14.5dBi (hasta 1.9dB mas) y si el primer y segundo lóbulo fuesen eliminados, la directividad se incrementaría a 17.1dBi (hasta 4.5dB mas). La directividad obtenida en el ejemplo 4-5-6 es aproximada. Reduciendo suficientemente el tamaño del paso (5º en el ejemplo), la sumatoria puede ser tan precisa como la data disponible lo permita. El cálculo de esta integral numérica puede ser facilitado usando una computadora. El ancho de haz de media potencia del patrón en el ejemplo es aproximadamente 22º. Tomando kp = 1 y εM como en ec. (19), la directividad aproximada es:

D

41, 000ε M 41, 000 × 0.2 = = 16.9 2 2 k p × HPBW ( 22º )

(12.3dBi ) .

lo cual es 0.3dB menos que lo obtenido en la sumatoria de 36 pasos. El área del haz de una fuente isotrópica es igual a 4π estereorradianes. En la Fig. 4-8b esto corresponde a un área “A” bajo la curva senθ. El área de la fuente en el ejemplo 4-5.6 corresponde al área “a” bajo la curva Pn(θm)senθm .Así, la directividad es simplemente A/a o la razón del área de una fuente isotrópica al área de la fuente que esta siendo medida. Por lo tanto D = 4π / ΩA = A/a Si las áreas A y a son cortadas de una lamina de plomo delgada de grosor uniforme, la directividad equivale a la razón entre en peso de “A” y el pero de “a” 4-6 Diagramas de campo La discusión en las secciones precedentes esta basada en consideraciones de potencia. Así ha sido abordado por simplicidad de análisis, porque el flujo de potencia de una fuente puntual solo tiene una componente radial que puede ser considerada como una cantidad escalar. Para describir el campo de una fuente puntual mas completamente, necesitamos considerar el campo eléctrico E y/o el campo magnético H (ambos vectores). Para fuentes puntuales debemos tratar enteramente con campos remotos así E y H son ambos enteramente transversales a la dirección de la onda, son perpendiculares entre ellos, están en fase, y están relacionados en magnitud por la impedancia intrínseca del medio (E/H = Z = 377Ω para el espacio libre). Para nuestros propositotes suficiente considerar solo un vector de campo, y elegiremos arbitrariamente el campo eléctrico E. Desde que el vector de Poynting alrededor de la fuente puntual es siempre radial en todas partes, continua que el campo eléctrico es enteramente transversal, teniendo solo componentes Eθ y Eφ. La relación del componente radial Sr del vector de Poynting y las componentes del campo eléctrico son ilustrados por un diagrama de coordenadas esféricas en la Fig. 4-9. Las condiciones características del campo remoto entonces son: 1. Vector de Poynting radial (sólo componente Sr ) 2. Campo eléctrico transversal (sólo componentes Eθ y Eφ.) El vector de Poynting y el campo eléctrico en un punto en el campo remoto están relacionados de la misma manera como lo están en una onda plana, si r es lo suficientemente grande, una pequeña sección de la onda esférica puede ser considerada como un plano. La relación entre el vector de Poynting promedio y el campo eléctrico en un punto del campo remoto es

E2 Sr = Z0 1 2

(1)

donde Z0 = impedancia intrínseca del medio y

E = Eθ2 + Eφ2

(2)

donde E = amplitud total de la intensidad de campo eléctrico. Eθ = amplitud de la componente θ. Eφ = amplitud de la componente φ. El campo puede ser elíptico, lineal o circular polarizado.

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Si los componentes del campo están en valores rms, en vez de amplitudes, el vector de Poynting es dos veces el dado en (1). Un diagrama mostrando la variación de la intensidad del campo eléctrico para un radio r constante como una función de los ángulos (θ,φ) es llamado un diagrama de campo. En la presentación de información concerniente al campo remoto de una antena, es costumbre entregar los diagramas de campo para los dos componentes, Eθ y Eφ del campo eléctrico desde que el campo eléctrico total E puede ser obtenido de las componentes mediante (2), pero los componentes no pueden ser obtenidos conociendo solo E.

Figura 4-9 Relación entre el vector de Poynting S y los dos componentes de campo eléctrico del campo remoto Cuando la intensidad de campo es expresado en voltios por metro, esto es el diagrama de campo absoluto. De otro lado, si la intensidad de campo es expresada en unidades relativas a su propio valor en alguna dirección de referencia, esto es el diagrama de campo relativo. La dirección de referencia es usualmente tomada en la dirección de máxima intensidad de campo. El diagrama relativo de la componente Eθ entonces es dado por Eθ / Eθm

(3)

y el diagrama relativo para Eφ es dado por Eφ /Eφm

(4)

Donde Eθm = valor máximo de Eθ Eφm = valor máximo de Eφ Las magnitudes de ambos componentes de campo eléctrico Eθ y Eφ , en el campo remoto varían inversamente con la distancia a fuente. Sin embargo, estos podrían tener diferentes funciones, F1 y F2, en las coordenadas angulares, θ y φ, Así en general, Eθ = F1(θ,φ)/r Eφ = F2(θ,φ)/r

(5) (6) 2

Ya que Srm = Em /2Z, donde Em es el máximo valor de E, ahora dividiendo esto entre (1) tenemos que el diagrama de potencia total relativo es igual al cuadrado del diagrama de campo relativo total. Así: Pn = Sr/Srm = U/Um = (E/Em)2

(7)

Ejemplo 4-6.1 Fuente con diagrama de campo cosenoidal El campo remoto de una antena tiene solo un compoEφ en el plano ecuatorial, el componente Eθ es cero ese plano. El diagrama de plano ecuatorial relativo del

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nente en com-

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ponente Eφ (esto es, Eφ como una función de φ para θ = 90) esta dado por Eφ /Eφm = cosφ

(8)

Este diagrama esta ilustrado en el lado izquierdo de la Fig. 4-10. La longitud del radio vector en el diagrama es proporcional a Eφ . Un diagrama de esta forma puede ser producido por un dipolo corto coincidente con el eje y. Hallar D Figura 4-10 (a)Diagrama relativo de Eφ del ejemplo 4-6.1 y (b) el diagrama de potencia relativo La potencia relativa (normalizada) en el plano ecuatorial es igual al cuadrado del diagrama relativo del campo. Así Pn = Sr/Srm = U/Um = (Eφ /Eφm)2

(9)

y sustituyendo (8) en (9) tenemos Pn = cos2φ Este diagrama es ilustrado en la derecha de la Fig. 4-10 Ejemplo 4-6.2 Fuente con diagrama de campo senoidal Una antena tiene un campo remoto que tiene solo una componente Eθ en el plano ecuatorial, la componente Eφ es cero en este plano. Asumir que diagrama en el plano ecuatorial de la componente Eθ (esto es, Eθ como una función de φ para θ = 90º) para esta antena esta dado por Eθ /Eθm = senφ

(10)

Este patrón es ilustrado por la Fig. 4-11a y puede ser producido por una antena de cuadro pequeña. El eje del cuadro coincide con el eje x. Hallar D. El diagrama de potencia normalizado en el plano ecuatorial es 2

Pn = sen φ

(11)

Este diagrama es mostrado en la Fig. 4-11

Figura 4-11 (a)Diagrama relativo de Eθ del ejemplo 4-6.2 y (b) el diagrama de potencia relativo Ejemplo 4-6-3 Diagramas de un dipolo corto y un lazo El campo remoto de una antena tiene ambos componentes Eθ y Eφ en el plano ecuatorial (θ = 90º). Suponer que esta antena es una composición de dos antenas, las que justamente hemos considerado en los dos ejemplos anteriores, y que una potencia igual es radiada por cada antena. Si ambos diagramas son de idéntica forma en las tres dimensiones también como en el plano xy, entonces a un radio r de la antena compuesta

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Eθm = Eφm. Los patrones individuales para los componentes Eθ y Eφ como están dados en (8) y (10) pueden luego ser mostrados a la misma escala por un diagrama, como en la Fig.4-12a. El diagrama relativo de el campo total E es

E = sen 2 φ + cos 2 φ = 1 Em

(12)

Lo cual es un círculo como esta indicado en la línea punteada en la Fig. 4-12a. Hallar D.

Figura 4-12 (a)Diagramas relativos de los componentes Eθ y Eφ del campo eléctrico y el campo total E de la antena del ejemplo 4-6.3 (b) Diagrama de potencia relativo total El diagrama relativo en el plano ecuatorial para la potencia total es por lo tanto un círculo de radio unitario como se ilustra en la Fig.4-12b. Notamos en la Fig. 4-12º que a φ = 45º las magnitudes de los componentes de campo, Eθ y Eφ , son iguales. Dependiendo de la fase entre Eθ y Eφ , el campo en esta dirección puede ser plano, elípticamente o circularmente polarizada, pero sin tomar en cuenta la fase la potencia es la misma. Para determinar el tipo de polarización es requerido conocer el ángulo de fase entre Eθ y Eφ . Esto será discutido en la siguiente sección. 4-7 Patrones de fase. Asumiendo que el campo varía armónicamente con el tiempo y que la frecuencia es conocida, el campo remoto en todas direcciones desde una fuente puede ser especificado completamente por el conocimiento de las siguientes cuatro cantidades: 1. Amplitud de la componente polar Eθ del campo eléctrico como una función de r, θ y φ 2. Amplitud de la componente azimutal Eφ del campo eléctrico como una función de r, θ y φ. 3. Retraso de fase δ de Eφ detrás de Eθ como función de θ y φ 4. Retraso de fase η de cualquier componente de campo detrás de su valor en el punto de referencia como una función de r, θ y φ. Ya que consideramos el campo de una fuente puntual como un campo remoto en todas partes, las cuatro cantidades de encima pueden ser consideradas como aquellas requeridas para completar el conocimiento del campo de una fuente puntual. Si las amplitudes de las componentes del campo son conocidas a un radio particular desde la fuente puntual en el espacio libre, sus amplitudes a todas las distancias son conocidas mediante la ley de la inversa de la distancia. Así, es usualmente suficiente especificar Eθ y Eφ como función solo de θ y φ como, por ejemplo, para un conjunto de diagramas de campo. La Fig. 4-13 muestra el diagrama de la Fig. 2-3 en tres dimensiones, diagrama polar y en decibelios. Notar que la polaridad de los lóbulos alterna (+ y -). Así, cuando la magnitud del campo de un lóbulo (+) y del lóbulo adyacente (-) son iguales, el campo total se hace cero, produciendo un nulo.

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Figura 4-13 Diagrama tridimensional de campo en (a), diagrama polar en (b) y diagrama en decibelios en (c) mostrando la alternancia de fases (+ y -) de los lóbulos del diagrama

Ejemplo 4-7.1 Campo de un dipolo y un cuadro en cuadratura de fase Un dipolo corto es situado dentro de un pequeño cuadro como en la Fig. 4-14. La magnitud del campo para ambos el dipolo y el cuadro son iguales. Si el dipolo y el cuadro son alimentados en cuadratura o 90º de desfase, cuales son los campos que son observados como una función de la azimuth en el plano de la página. Solución El campo norte y sur son polarizados horizontalmente (en el plano de la página). El campo este y oeste son polarizados verticalmente. A 45º o NE el campo es polarizado circularmente derecho (RCP). A 135º o SE el campo es polarizado circularmente izquierdo (LCP). A 225º o SO el campo es de nuevo polarizado circularmente derecho. Finalmente, a 315º o NO el campo es de nuevo polarizado circularmente izquierdo. A ángulos intermedios el campo esta elípticamente polarizado.

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Figura 4-14 Campos de un dipolo corto y un pequeño cuadro de igual magnitud y en cuadratura de fase

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Capítulo 5 - ARREGLO DE FUENTES PUNTUALES, PARTE I Este capitulo incluye los siguientes tópicos: -Ejemplo de arreglo de dos fuentes puntuales. -Multiplicación de patrón. -Síntesis de patrón. -Fuentes no isotrópicas. -Arreglo lineal de "n" fuentes puntuales. -Arreglos de radiación transversal y longitudinal. -Angulo en la dirección de los nulos y los puntos de media potencia. 5-1 INTRODUCCIÓN En el capitulo 2 una antena fue tratada como una apertura. En el capitulo 4 una antena fue considerada como una única fuente puntual. En este capitulo nosotros continuamos con el concepto de fuente puntual, pero lo extendemos a una consideración de arreglo de fuentes puntuales. Esta metodología es de gran valor debido a que el patrón de cualquier antena puede ser visto como producido por el arreglo de fuentes puntuales. Gran parte de esta discusión concernirá arreglos de fuentes puntuales isotrópicas las cuales pueden representar diferentes tipos de antenas. Con la información de este capitulo y los programas de computadoras disponibles, los estudiantes estarán aptos de diseñar arreglos que produzcan la mayoría de patrones deseados. 5-2 ARREGLOS DE DOS FUENTES ISOTRÓPICAS PUNTUALES Introduzcamos el tema de arreglo de fuentes puntuales para la consideración de la situación más simple, particularmente, de dos fuentes isotrópicas puntuales. Como ilustraciones, cinco casos que involucran fuentes puntuales isotrópicas son discutidos. CASO 1. DOS FUENTES PUNTUALES ISOTRÓPICAS DE LA MISMA AMPLITUD Y FASE El primer caso que analizaremos es el de dos fuentes puntuales isotrópicas que tienen igual amplitud y oscilan en la misma fase. Dejando las dos fuentes puntuales, 1 y 2, estar separadas por una distancia "d" y localizados simétricamente con respecto al origen de las coordenadas como se muestra en la figura 5-1a. El ángulo "φ" es medido en sentido antihorario desde el eje "X" positivo. El origen de coordenadas es tomado como referencia para la fase. Entonces a una distancia del punto en la dirección "φ" el campo de la fuente 1 es retardado por (1/2)drcos(φ), mientras el campo de la fuente 2 esta adelantado por (1/2)drcos(φ), donde “d”, es la distancia entre las fuentes expresadas en radianes; esto es:

dr =

2πd

λ

= βd

El campo total a una distancia r en la dirección "φ" es entonces

E = E0e − jψ / 2 + E0e + jψ / 2

…………………………………………………………(1)

Donde ψ= drcosφ y la amplitud de las componentes del campo a la distancia r están dadas por E0. El primer término en (1) es la componente del campo debido a la fuente 1 y el segundo término es la componente debido a la fuente 2. Ecuación (1) también puede ser escrita de la siguiente manera

E = 2 E0

e + jψ / 2 + e − jψ / 2 2

…………………………………………………………(2)

la cual por una identidad trigonométrica es

E = 2 E0 cos

ψ 2

= 2 E0 cos(

dr cos ϕ ) …………………………………………………..(3) 2

Este resultado puede también ser obtenido con la ayuda del diagrama vectorial mostrado en la figura 5-1b, del cual la ecuación (3) continúa directamente. Nosotros notamos en la Fig. 5-1b que la fase del campo total E no cambia como una función de "ψ".Para normalizar (3), en otras palabras, tomar su máxima unidad de

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valor, y poner 2E0=1. Suponer además que d es λ/2. Entonces dr=π. Incluyendo estas condiciones en (3) nos resulta

π

E = cos( cos ϕ ) 2

………………………………………………………………. (4)

90°

y

d/2 1

A un punto distante

60°

x

30°

φ d/2

2

0° (a)

(c) E0e+j(ψ/2) (de la fuente 2) ψ/2 E ψ/2

(b)

E0e-j(ψ/2) (de la fuente 1) Figura 5-1

(a) Relación en el arreglo coordenado de dos fuentes puntuales isotrópicas separadas por una distancia “d”. (b) Vector adición de los campos de dos fuentes puntuales isotrópicas de igual magnitud y misma fase localizadas como en (a). (c) Patrón de campo de dos fuentes puntuales isotrópicas de igual magnitud y misma fase localizadas como en (a) para el caso donde la separación es d=λ/2. El patrón de campo de E versus "φ" como esta expresado en (4) es presentado en Fig. 5-1c. El patrón es una figura bidireccional en forma de ocho con longitud máxima sobre el eje Y. El patrón de espacio tiene forma de roquilla, resultando de la revolución de la figura de este patrón alrededor de la abscisa X. El mismo patrón puede ser obtenido a través de la localización de la fuente 1 en el origen de coordenadas y la fuente 2 a una distancia “d” a lo largo de la abscisa X como esta indicado en la Fig. 5-2a. Tomando ahora el campo de la fuente 1 como referencia, el campo de la fuente 2 en la dirección "φ" esta adelantado por drcos(φ). De esta manera, el campo total E a una gran distancia “r” es el vector suma de los campos de las dos fuentes son dadas por

E = E0 + E0e + jψ

………………………………………………………………….(5)

donde ψ=drcos(φ) La relación de estos campos es indicada por el diagrama vectorial de la Fig. 5-2b. Del diagrama vectorial la magnitud del campo total es

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E = 2 E0 cos

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ψ 2

= 2 E0 cos

d r cosϕ 2

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………………………………………………..…(6)

como se obtuvo en el resultado anterior (3). La fase del campo total, sin embargo, no es constante en este caso pero es ψ/2, como también es mostrado al reescribir la ecuación (5) de la forma jψ

E = E0 (1 + e ) = 2 E0e

jψ / 2

e jψ / 2 + e − jψ / 2 ψ ( ) = 2 E0e jψ / 2 cos 2 2

…………………..(7)

Normalizando al poner 2E0=1, (7) se obtiene lo siguiente

E = e jψ / 2 cos

ψ 2

= cos

ψ 2

∠ψ / 2

…………………………………………………..(8)

En (8) el factor coseno nos da la variación de amplitud de E, y la exponencial o factor de ángulo, nos da la variación de fase con respecto a la fuente 1 como la referencia. La variación en fase para el caso de λ/2 separado (dr=π) es mostrado por la línea punteada en la Fig. 5-2c. Aquí el ángulo de fase con respecto a la fase de la fuente 1 esta dada por ψ/2=(π/2)cosφ. La variación de magnitud para este caso ya ha sido presentada en la Fig. 5-1c. Cuando la fase es referida al punto medio entre las fuentes (Fig. 5-1a), no hay ningún cambio de fase alrededor del arreglo como es mostrador por la línea sólida en Fig. 5-2c. De esa manera, un observador a una distancia fija no observa ningún cambio en la fase cuando un arreglo es rotado (con respecto a φ) alrededor de su punto medio, pero un cambio (la curva punteada en la Fig. 5-2c) es observado si el arreglo es rotado con la fuente 1 como centro de rotación.

y E0e+jψ (de la fuente 2) d cosφ φ 1

+90°

d

2

φ=0

E0 (de la fuente 1)

(a)

(b)

Rotación alrededor de la fuente 1 Rotación alrededor del punto central del arreglo

ψ/2 0°

-90° 0°

x

ψ/2 ψ/2

90°

180°

270°

360° φ

(c) Figura 5-2 (a) Dos fuentes puntuales isotrópicas con el origen del arreglo coordenado coincidente con una de las fuentes. (b) Vector adición de campo de dos fuentes puntuales isotrópicas de igual amplitud y misma fase localizadas como en (a).

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(c) Fase del campo total como una función de φ para dos fuentes puntuales isotrópicas de la misma amplitud y fase separadas por λ/2.El cambio de fase es cero cuando se refiere al punto central del arreglo pero es ψ/2 como es mostrado por la curva punteada cuando es referido a la fuente 1.

CASO 2. DOS FUENTES PUNTUALES ISOTRÓPICAS DE IGUAL MAGNITUD PERO FASE OPUESTA Este caso es idéntico con el primero que hemos considerado excepto que las dos fuentes están en fase opuesta en lugar de la misma fase. Como al dejar las fuentes como en la Fig. 5-1a. Entonces el campo total en la dirección "φ" a una distancia r grande esta dado por

E = E0e + jψ / 2 − E0e − jψ / 2

………………………………………………………….(9)

de la cual se obtiene

E = 2 jE0 sen

ψ 2

= 2 jE0 sen(

dr cosϕ ) 2

…………………………………………(10)

Mientras que el Caso 1 (ecuación 3) involucra el coseno de ψ/2, la ecuación (10) para el Caso 2 involucra el seno. La ecuación (10) también incluye un operador "j", indicando que la fase inversa de una de las fuentes, en el Caso 2 resulta en un desfasaje de 90º del campo total cuando es comparado con el campo total para el Caso 1. Esto no es muy importante aquí. De esta modo, poniendo 2jE0=1 y considerando el caso especial de d=λ/2, la ecuación (10) llega a ser

π

E = sen( cos ϕ ) 2

………………………………………………………………...(11)

Las direcciones máximas de campo φm son obtenidas al poner el argumento de la ecuación (11) igual a ±(2k+1)π/2. De esta manera

π 2

cos ϕ m = ±(2k + 1)

π 2

………………………………………………………..(11a)

donde k=0, 1, 2, 3... Para k=0, cosφm=±1 y φm=0º y 180º. Las direcciones de nulos φ0 son dadas por

π 2

cos ϕ0 = ± kπ

……………………………………………………………….(11b)

Para k=0, φ0=±90º. Las direcciones de media potencia están dadas por

π 2

cos ϕ = ±(2k + 1)

π 4

………………………………………………………..(11c)

Para k=0, (φ)=±60º, ±120º. El patrón de campo dado por (11) es mostrado en la Fig. 5-3. El patrón es una figura relativamente ancha en forma de ocho con el campo máximo en la misma dirección de la línea que une las fuentes (abscisa X). El patrón de espacio es una figura de revolución de su patrón alrededor del eje X. Las dos fuentes, en este caso pueden ser descritas como un tipo simple de arreglo longitudinal de radiación. En contraste a este patrón, las

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fuentes puntuales "en fase" producen un patrón con el campo máximo normal a la línea que une las fuentes, como se muestra en la Fig. 5-1c. Las dos fuentes para este caso pueden ser descrita como un simple arreglo de radiación transversal. CASO 3. DOS FUENTES ISOTRÓPICAS PUNTUALES DE LA MISMA AMPLITUD Y EN FASE CUADRATURA Localizando las dos fuentes puntuales como la Fig. 5-1a. Tomando el origen de coordenadas como la referencia para la fase, la fuente 1 es retardada por 45º y la fuente 2 es adelantada 45º. Entonces el campo total en la dirección φ a una distancia grande resta dada por

  d cos ϕ π    d cos ϕ π  E = E0 exp + j  r +  + E0 exp − j  r +  4  4    2   2

90°

…………………(12)

60°

30°

–

+ 2

1

0°

λ/2

Figura 5-3 Patrón de campo relativo para dos fuentes puntuales isotrópicas de la misma amplitud pero fase opuesta, separadas λ/2. De (12) obtenemos

π d  E = 2 E0 cos + r cos ϕ  ………………………………………………………...(13) 4 2  Haciendo 2E0=1 y d=λ/2 se llega a tener

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π π  E = cos + cos ϕ  4 2  

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……………………………………………………...…(14)

El patrón de campo dado por (14) es presentado en Fig. 5-4. El patrón de espacio es una figura de revolución de su patrón alrededor del eje X. La mayor parte de la radiación esta en el segundo y tercer cuadrantes. Es interesante notar que el campo en la dirección φ=0º es el mismo que el de la dirección φ=180º. Las máximas direcciones de campo φm son obtenidas al poner el argumento de (14) igual a kπ, donde kπ=0, 1, 2,3.... De esta manera obtenemos

π 4

+

π 2

cos ϕ m = kπ

……………………………………………………………...…(15)

Para k=0

π 2

cos ϕm = −

π

………………………………………………………………...(16)

4

y

ϕ m = 120º y 240º

………………………………………………………………...(17)

Si el espaciamiento entre las fuentes es reducido a λ/4, (13) se convierte en

π π  E = cos + cos ϕ  4 4 

……………………………………………………...…(18)

El patrón de campo para este caso es ilustrado por Fig. 5-5a. Este tiene la forma de una cardioide, de patrón unidireccional con máximo campo en la dirección negativa del eje X. El patrón de espacio es una figura de revolución de su patrón alrededor del eje X.

90°

120°

60°

30°

150°

–

180°

1

+ λ/2

210°

240°

62

270°

2

0°

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Figura 5-4 Patrón de campo relativo para dos fuentes puntuales isotrópicas de la misma amplitud y fase en cuadratura para una separación de λ/2. La fuente hacia la derecha adelanta a la de la izquierda por 90º. Un método simple para determinar la dirección máxima del campo es ilustrado en la Fig. 5-5b. Como se puede apreciar indicada por vectores, la fase de la fuente 2 es 0º (vector a la derecha) y la fase de la fuente 1 es 270º (vector hacia abajo). De esta manera, la fuente 2 adelanta a la fuente 1 en un desfasaje de 90º. Para encontrar el campo radiado a la izquierda, imagine que partimos de la fuente 2 (fase 0º) y nos dirigimos a la izquierda, viajando con la onda (fase 0º) como surfer "corriendo olas". La fase de la onda con la que estamos viajando es 0º y no cambia pero para el momento en que hemos viajado λ/4 y arribado a la fuente 1, un 1/4 de periodo habrá transcurrido, por eso la corriente en la fuente 1 habrá avanzado 90º (vector rotado ccW) de 270º a 0º, poniéndose en la misma fase que la onda con la que estamos viajando. Como al centro del diagrama en la Fig. 5-2b. De esta manera, el campo de la onda de la fuente 2 refuerza al de la fuente 1, y los dos campos viajan a la izquierda juntos en fase produciendo un campo máximo a la izquierda el cual es dos veces el campo de cualquiera de las fuentes sola. Ahora imagine que partimos de la fuente 1 con fase 270º (vector hacia abajo) y viajamos a la derecha. Para el momento en que arribemos a la fuente 2 su campo habrá avanzado de 0º a 90º por eso esta se encuentra en fase opuesta y cancela el campo de la onda con la que estamos viajando, como en el diagrama de la Fig. 5-5b, resultando en radiación cero a la derecha. CASO 4. CASO GENERAL DE DOS FUENTES ISOTRÓPICAS PUNTUALES DE IGUAL MAGNITUD Y CUALQUIER DESFASAJE Procediendo ahora con una situación más general, consideremos el caso de dos fuentes isotrópicas puntuales de igual amplitud pero de diferente fase φ. La diferencia total en fase "ψ" entre los campos de las fuentes uno y dos a un punto de distancia en la dirección "φ" (ver Fig. 5-2a) es entonces

ψ = d r cos ϕ + δ

……………………………………………………………...…(19) 90°

120°

60°

150° 30°

(a)

eje x

2

1

180°

0°

λ/4

(b) De 2 a 1 el campo se duplica

1 –x

2 λ/4

+x De 1 a 2 el campo se anula (nulo)

Figura 5-5

63

UNI – FIEE (a) (b)

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Patrón de campo relativo de dos fuentes isotrópicas de la misma amplitud y en fase cuadratura para una separación de λ/4. La fuente 2 adelanta a la fuente 1 por 90º. Diagramas de vectores ilustrando el reforzamiento de los campos en la dirección –X y cancelación de campo en la dirección +X.

Tomando la fuente 1 como referencia para la fase, el signo positivo en (9), indica que la fuente 2 esta adelantada en fase por un ángulo φ. Un signo menos seria usado para indicar un retardo de fase. Si es que, en ves de referirse a la fase de la fuente 1, esta se refiere al punto central del arreglo, la fase del campo de la fuente 1 a un punto de distancia, esta dado por -ψ/2 y el de la fuente 2 por +ψ /2. El campo total es entonces

E = E0 (e + jψ / 2 + e − jψ / 2 ) = 2 E0 cos

ψ 2

………………………………………………...(20)

normalizando la EC. (20) tenemos la expresión general para el patrón de campo de dos fuentes isotrópicas de igual amplitud y fase arbitraria,

E = cos

ψ 2

……………………………………………………………………...…(21)

donde ψ esta dado por (19). Los tres casos que hemos discutido son evidentemente casos especiales de (21). De esta manera, los casos 1,2 y 3 son obtenidos de (21) cuando "δ" es 0º, 180º y 90º respectivamente.

y E φ 1

x

d

2

(a)

ξ

aE0 ψ

E0

(b)

Figura 5-6 (a) Dos fuentes puntuales isotrópicas de diferente amplitud y fase arbitraria con respecto del arreglo de coordenadas. (b) Vector suma de los campos dispuestos como en (a). La amplitud de la fuente 2 se asume que es más pequeña que la de la fuente 1 por un factor “a”. CASO 5. CASO MAS GENERAL DE DOS FUENTES PUNTUALES ISOTRÓPICAS DE DIFERENTE AMPLITUD Y CUALQUIER DIFERENCIA DE FASE Una situación mucho más general, involucra dos fuentes puntuales, existe cuando las amplitudes son diferentes y la diferencia de fase arbitraria. Con las fuentes situadas como en la figura 5-6a con la fuente 1 en el origen. Se asume que la fuente 1 tiene una amplitud mayor respecto a la fuente 2 y que su campo a una gran distancia r tiene una amplitud de E0. Dejando el campo de la fuente 2 a un valor de amplitud aE0 (0≤a≤1) a la distancia de r. Entonces refiriéndonos a la figura 5-6b, la magnitud y ángulo de fase del campo total E esta dado por

E = E0 (1 + a cosψ ) 2 + a 2 sen 2ψ ∠ arctan[asenψ /(1 + a cosψ )]

…………………(22)

donde ψ=drcosφ+δ y el ángulo de fase (∠) es referido a la fuente 1. Este es el ángulo de fase "ξ" mostrado en la Fig. 5-6b.

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5-3 FUENTES PUNTUALES NO ISOTRÓPICAS Y EL PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN DE PATRONES Todos los casos considerados en la sección precedente involucran fuentes puntuales isotrópicas. Estos pueden ser fácilmente extendidos a una situación más general en la cual las fuentes son no isotrópicas pero similares. La palabra similar es aquí usada para indicar que la variación con el ángulo absoluto "φ" de ambos, amplitud y fase, del campo es la misma. Las amplitudes máximas de las fuentes individuales pueden ser diferentes. Si, sin embargo, son también iguales, las fuentes no son solamente similares sino que son idénticas. Como un ejemplo, reconsideremos el Caso 4 de la sección 5-2 en la cual las fuentes son idénticas, con la modificación que ambas fuentes 1 y 2 tienen patrones de campo dados por

E = E0 'sen ϕ ……………………………………………………………………….…(1)

y Dipolos Cortos 1

2

φ x

d Figura 5-7 Dos fuentes no isotrópicas con respecto al arreglo de coordenadas. Patrones de este tipo deben ser producidos por dipolos cortos orientados de manera paralela respecto a eje X como se sugirió en la Fig. 5-7. Sustituyendo (1) en (5-2-20) y normalizando al poner 2E´0=1, nos resulta el campo patrón del arreglo como

E = senϕ cos

ψ 2

………………………………………………………………….(2)

Donde ψ=drcosφ+ δ Esto resultado es el mismo como el obtenido al multiplicar el patrón de la fuente individual (senφ) por el patrón de dos fuentes isotrópicas puntuales (cosψ/2). Si las fuentes puntuales similares pero diferentes del Caso 5 (sección 5-2) tienen patrones como los dados por (1), el patrón total normalizado es

E = senϕ (1 + a cosψ ) 2 + a 2 sen 2ψ …………………………………………………..(3) aquí otra vez, el resultado es el mismo como el obtenido al multiplicar el patrón de la fuente individual por el patrón de un arreglo de fuentes puntuales isotrópicas. Estos ejemplos ilustran el principio de multiplicación de patrón, el cual puede ser expresado de la siguiente manera: “El patrón de campo de un arreglo de fuentes puntuales no isotrópicas pero similares es el producto del patrón de la fuente individual de un arreglo de fuentes puntuales isotrópicas tomando las mismas posiciones, amplitudes relativas, y fase como fuentes puntuales no isotrópicas”.

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Este principio puede ser aplicado a arreglos de cualquier numero de fuentes proporcionada solamente que ellas son similares. La fuente individual no isotrópica o antena puede ser de medida finita pero puede ser considerada como una fuente puntual situada en el punto en la antena a la cual la fase es referida. Este punto es mencionado para ser el "centro de fase". La discusión anterior de la multiplicación de patrón ha sido relacionada solamente con el patrón de campo o magnitud del campo. Si el campo de la fuente no isotrópica y el arreglo de fuentes isotrópicas varían en fase con el ángulo espacial, i.e., que tiene un patrón de fase l cual no es una constante, la expresión del principio de multiplicación de patrón puede ser extendida para incluir este caso más general como sigue: “El patrón de campo total de un arreglo de fuentes no isotrópicas pero similares es el producto del patrón de fuente individual y un arreglo de fuentes puntuales isotrópicas cada una localizada al centro de la fase de la fuente individual y teniendo la misma amplitud relativa y fase, mientras el patrón de fase total es la suma de los patrones de fase de la fuente individual y el arreglo de fuentes puntuales isotrópicas“. El patrón de fase total es referido al centro de la fase del arreglo. En símbolos, el campo total E es entonces

E = f (θ , ϕ ) F (θ , ϕ ) ∠ f p (θ , ϕ ) + Fp (θ , ϕ ) patrón de campo

…………………………………………..(4)

patrón de fase

Donde:

f (θ , ϕ ) = Patrón de campo fuente individual f p (θ , ϕ ) = Patrón de fase fuente individual F (θ , ϕ ) = Patrón de campo de arreglo fuentes isotrópicas Fp (θ , ϕ ) = Patrón de fase de arreglo fuentes isotrópicas Los patrones son expresados en (4) como una función de ambos ángulos polares para indicar que el principio de la multiplicación de patrón se aplica a patrones de espacio como también a los casos bidimensionales que hemos estado considerando. Para ilustrar el principio, aplicaremos dos modificaciones especiales del Caso 1 (sección 5-2). Ejemplo 5-3.1 Asumir dos fuetes puntuales idénticas separadas por una distancia "d", cada fuente tiene el patrón de campo dado por (1) como puede ser obtenido por dos dipolos cortos puestos como en la Fig. 5-7. Dejando a d=λ/2 y el ángulo de fase δ =0º. Entonces el patrón de campo total es

π  E = senϕ cos cos ϕ  2 

………………………………………………………….(5)

Este patrón es ilustrado por la Fig. 5-8c como el producto del patrón de la fuente individual (senφ) mostrado en (a) y el arreglo patrón cos((π/2)cosφ) como es mostrado en (b). El patrón es más agudo que el del Caso 1 (sección 5-2) para las fuentes isotrópicas. A esta distancia, el campo máximo de la fuente individual esta en la dirección φ=90º, el cual coincide con la dirección del campo máximo para el arreglo de dos fuentes isotrópicas.

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(a)

(b)

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(c)

Figura 5-8 Ejemplo de multiplicación de patrón. Dos fuentes puntuales no isotrópicas pero idénticas de la misma amplitud y fase, espaciadas λ/2 y dispuestas en la forma como en la Fig. 5-7, producen el patrón mostrado en (c). La fuente individual tiene el patrón mostrado en (a), el cual, cuando es multiplicado por el patrón de un arreglo de dos fuentes puntuales isotrópicas (de la misma amplitud y fase) como es mostrado en (b), produce el patrón total del arreglo de (c). EJEMPLO 5-3.2 Consideremos la siguiente situación en la cual d=λ/2 y δ=0 como en el Ejemplo 5-3.1 pero con patrones de fuente individual dados por

E = E0 'cos ϕ

……………………………………………………………….…(6)

Este tipo de patrón puede ser producido por dipolos cortos orientados en forma paralela al eje Y como en la Fig. 5-9. aquí el campo máximo de la fuente individual esta en la dirección (φ=0º) de un nulo del arreglo, mientras la fuente individual tiene un nulo en la dirección (φ =90º) del máximo patrón del arreglo. Por el principio de multiplicación de patrón el campo normalizado total es

π  E = cos ϕ cos cos ϕ  2  

………………………………………………………….(7)

El patrón total del arreglo en el plano XY viene dado por (7) y esta ilustrado en Fig. 5-10c como el producto del patrón de fuente individual (cosφ) mostrado en (a) y el patrón del arreglo cos(π/2cosφ) mostrado en (b). El patrón total del arreglo en el plano XY tiene cuatro lóbulos con nulos en los ejes X e Y.

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Dipolos Cortos

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y

1

2

φ x

λ/2 Figure 5-9 Arreglo de dos fuentes no isotrópicas con respecto al arreglo coordenado.

(a)

(b)

(c)

Figure 5-10 Ejemplo de multiplicación de patrón. Patrón total del arreglo (c) como el producto del patrón (a) de la fuente individual no isotrópica y el patrón (b) del arreglo dos fuentes isotrópicas. El patrón (b) para el arreglo de dos fuentes isotrópicas es idéntico con el de la Fig. 5-8b, pero el patrón de frente individual (a) esta rotado a 90º con respecto al patrón de la Fig. 5-8a. Los ejemplos anteriores ilustran dos aplicaciones del principio de multiplicación de patrón para arreglos en los cuales la fuente tiene un simple patrón. Sin embargo, en el caso mas general la fuente individual puede representar una antena de cualquier complejidad provisto que la amplitud y la fase de su campo pueden ser expresados como una función que depende de un ángulo; es decir, sí que el patrón de campo y el patrón de fase con respecto a la fase central son conocidas. Sí solamente el patrón de campo total es deseado, los patrones de fase no necesitan ser conocidos provisto que las fuentes individuales son idénticas. Si los arreglos en los ejemplos anteriores son parte de arreglos más grande, los arreglos más pequeños pueden ser estimados como fuentes puntuales no isotrópicas en el arreglo más grande - otra aplicación del principio de

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multiplicación de patrón. De esta manera el principio de patrón de multiplicación puede ser aplicado "n" veces para encontrar los patrones de arreglos de arreglos de arreglos. 5-4 EJEMPLO DE SÍNTESIS DE PATRÓN POR MULTIPLICACIÓN DE PATRONES El principio de multiplicación de patrón, discutido en la sección anterior, es de gran ayuda en la síntesis de patrón. A través de la síntesis de patrón es entendido el proceso de búsqueda de la fuente o arreglo de fuentes que producen un patrón deseado. Teóricamente un arreglo de fuentes isotrópicas puntuales podría producir cualquier patrón arbitrario. Este proceso no siempre es simple y en algunos casos sea difícil o imposible de construir. Algo más simple, de menos elegante metodología para el problema de síntesis de antenas es la aplicación de multiplicación de patrones para combinaciones de arreglos prácticos, la combinación que mejor se aproxima al patrón deseado es el resultado de un proceso de "prueba y error". Para ilustrar esta aplicación de multiplicación de patrón, consideremos el siguiente problema hipotético. Una estación emisora (en la banda de frecuencia de 500 a 1500 Khz.) requiere un patrón en el plano horizontal cumpliendo con las condiciones indicadas en la Fig. 5-11a. La intensidad máxima de campo, con una pequeña variación como sea posible, esta para ser radiada a 90º en el sector comprendido entre el noreste y noroeste. Ningún nulo en el patrón puede ocurrir en este sector. Sin embargo, los nulos pueden ocurrir en cualquier dirección en el sector complementario de 270º, pero, como un requerimiento adicional, los nulos deben estar presentes en la dirección este y la dirección suroeste para prevenir interferencias con otras estaciones en esas direcciones. Un patrón idealizado en el sector formado cumpliendo con aquellos requerimientos es ilustrado in la Fig. 5-11b. La antena produciendo este patrón consiste de un arreglo de cuatro torres verticales. Las corrientes en todas las torres serán iguales en magnitud, pero la fase puede ser ajustada para cualquier tipo de relación. No hay ninguna restricción en el espaciamiento o distribución de las torres.

N

Máximo uniforme NE

NO

E

O

(b) SO

Nulo

(a) S

Figura 5-11 (a) Requerimientos para el patrón de una estación emisora. (b) Patrón idealizado cumpliendo con los requerimientos.

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N φ

d

O

E

S Figura 5-12 Distribución de dos fuentes puntuales isotrópicas para ambos arreglos primario y secundario. Dado que nosotros estamos interesados solamente en el patrón horizontal plano, cada torre puede ser considerada como una fuente puntual isotrópica. El problema entonces llega a ser el de encontrar una relación de espacio y fase de cuatro fuentes puntuales isotrópicas localizadas en el plano horizontal la cual cumpla con los requerimientos antes mencionados. El principio de multiplicación de patrón será aplicado a la solución de este problema a través de la búsqueda de patrones de dos pares de fuentes isotrópicas las cuales producen el patrón deseado al ser multiplicadas juntas. Primero encontremos un par de fuentes cuyos patrones cumplan los requerimientos de un amplio lóbulo de radiación con el máximo hacia el norte y un nulo al sur-oeste. Este será llamado el patrón primario. Dos fuentes isotrópicas puestas en fase de un arreglo longitudinal puede producir un patrón con un lóbulo principal mas amplio que cuando este puesto en fase como un arreglo transversal (por ejemplo, compare la Fig. 5-1c y 5-5). Dado que un amplio lóbulo hacia el norte es deseado, un arreglo longitudinal de dos fuentes isotrópicas como es mostrado en la Fig. 5-12 será tratado. A partir de una consideración de formas de patrón como una función de separación y fase, un espaciamiento entre λ/4 y 3λ/8 parece ser adecuada (ver Fig. 1611). (Revisar Brown-I, Terman-I, y Smith-I). Como consecuencia, dejemos d=0.3λ. Entonces el patrón decampo para el arreglo es

E = cos

ψ 2

………………………………………………………………………….(1)

Donde

ψ = 0.6 cosϕ + δ

………………………………………………………………….(2)

Para que halla un nulo en el patrón de (1) a φ=135º, es necesario que

ψ = (2k + 1)π

………………………………………………………………………….(3)

Donde k=0,1,2,3....

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φ = 0°

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φ = 0°

φ = 0° φ = 45°

φ = 135°

φ = 135°

Patrón Primario d = 0.3λ, δ = - 104°

Patrón Secundario d = 0.6λ, δ = 180°

(b)

(a) 0.3λ Arreglo Primario

0.6λ Arreglo Secundario

Patrón Resultante

(c) 1 0.3λ 2 3 0.3λ 4 Arreglo resultante

Figura 5-13 Patrones de campo de los arreglos primario y secundario de dos fuentes isotrópicas las cuales están multiplicadas juntas dando un patrón de un total de cuatro fuentes isotrópicas. De la ecuación (2) y (3) entonces tenemos

− 0.6π

1 + δ = (2k + 1)π 2

………………………………………………………….(4)

o

δ = (2k + 1)π + 0.425π

………………………………………………………….(5)

Para k=0, δ=-104º. El patrón para este caso (d=0,3λ y δ =-104º) es ilustrado por Fig.5-13a. Luego busquemos un arreglo de dos fuentes isotrópicas puntuales que producirán un patrón de radiación que cumpla los requerimientos de un nulo a φ=270º y que también tenga un lóbulo amplio hacia el norte. Este será llamado como "Patrón Secundario". Este patrón multiplicado por el patrón del arreglo primario entonces producirá el patrón total del arreglo. Si las fuentes isotrópicas secundarias son ordenadas como en la Fig. 5-12 y tienen una diferencia de fase de 180º, entonces habrá un nulo a φ=270º. Damos el espaciamiento d=0,6λ. Entonces el patrón secundario esta dado por (1) donde

ψ = 1.2π cos ϕ + π

………………………………………………………………….(6)

El patrón es ilustrado por la Fig. 5-13b. Por el principio de multiplicación de patrón, el patrón total del arreglo es el producto de este patrón y el patrón del arreglo primario, o

E = cos(54 cos ϕ − 52º )cos(108º cos ϕ + 90º ) …………………………………………..(7) 71

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Este patrón, el cual es ilustrado por la Fig. 5-13c, satisface los requerimientos del patrón. El arreglo completo es obtenido `por reemplazo de cada una de las fuentes isotrópicas del patrón secundario por el arreglo de dos fuentes que producen el patrón primario. El punto medio de cada arreglo primario es su centro de fase por eso este punto es localizado en la localización de una fuente secundaria. La antena completa es entonces un arreglo lineal de cuatro fuentes puntuales isotrópicas como es mostrado en la parte mas baja de la Fig. 5-13, donde ahora cada fuente representa una única torre vertical, todas las torres poseen la misma corriente. La corriente de la torre 2 adelanta a la de la torre 1 y la de la torre 4 adelanta a la de la torre 3 por 104º, mientras la corriente en las torres 1 y 3 y 2 y 4 están en oposición de fase. La fase relativa de la corriente es ilustrada por los vectores en la parte mas baja de la Fig. 5-13c. La solución obtenida es solo una de un infinito número de posibles soluciones involucrando cuatro torres. Esto es, sin embargo, una solución práctica y satisfactoria al problema. La variación de fase "ξ" en torno de los arreglos primario, secundario y total es mostrado en la Fig. 5-14a, b, y c con el centro de fase al punto central de cada arreglo y también a la fuente ubicada al extremo sur. El ordenamiento de los arreglos con los centros de fase es ilustrado en la Fig.5-14d para ambos casos.

Ángulo de fase total ξ

Punto medio como fase central

Superficie del sur como fase central


0° +180° +90° 0° -90° -180°

Figura 5-14

360° Punto medio como fase central

Superficie del sur como fase central 0°

72

90° 180° 270° (a) Patrón Primario

90° 180° 270° (b) Patrón Secundario

360°

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Patrones de fase de los arreglos primario, secundario y total tomando los patrones de campo mostrados en la Fig. 5-13. Los patrones de fase están dados por el centro de fase al punto medio del arreglo y hacia la fuente


+360° +270° +180°

Punto medio como fase central

+90° 0°

Superficie del sur como fase central

-90° -180° 0°

90°

180°

270°

360°

φ

(c) Patrón Resultante situada al extremo sur, el ordenamiento de los arreglos y los centros de fase están mostrados en (d). El ángulo de fase "ξ" es ajustado a cero con φ=0 en todos los casos. Figura 5-14 Continuado 5-5 FUENTES PUNTUALES DIFERENTES Y NO ISOTRÓPICAS En la sección 5-3 fuentes puntuales no isotrópicas no isotrópicas pero similares fueron discutidas, y fue mostrado que el principio de multiplicación de patrón podía ser aplicado. Sin embargo, si las fuentes no son similares, este principio no se aplica más y los campos de las fuentes deben ser añadidos a cada ángulo "φ" por el cual el campo total es calculado. De esta manera, para dos fuentes no similares 1 y 2 situadas en el eje X con la fuente uno en el origen y las fuentes separadas por una distancia "d" (de igual geometría como la Fig. 5-6) el campo total en general se expresa de la siguiente manera

[ f (ϕ ) + aF (ϕ ) cosψ ]2 + [aF (ϕ )senψ ]2 ∠f (ϕ ) + arctan[aF (ϕ ) senψ / ( f (ϕ ) + aF (ϕ ) cosψ )] E = E1 + E2 = E0

o x o

}

}

o o x o o

}

o x o

Arreglo Primario

Arreglo Secundario

o x o

}

o

…………………………..(1)

Arreglo Resultante }

o o o

o

o}

Centro de fase (x) en el punto medio del arreglo

Centro de fase (x) en la parte más al sur de la fuente 73

(d)

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donde el campo total de la fuente 1 es tomado como

E1 = E0 f (ϕ )∠f p (ϕ ) ………………………………………………………………….(2) y de la fuente 2 como

E2 = aE0 F (ϕ )∠Fp (ϕ ) + d r cos ϕ + δ …………………………………………………..(3) donde E0= constante a=proporción de la máxima amplitud de la fuente 2 a la fuente 1 (0<=a<=1) ψ =drcosφ+δ = fp(φ)+Fp(φ), donde δ = fase relativa de la fuente 2 con respecto a la fuente 1 f(φ)=campo patrón relativo de la fuente 1 fp(φ)=patrón de fase de la fuente 1 F(φ)=patrón de campo relativo de la fuente 2 Fp(φ)=patrón de fase de la fuente 2 En (1) el ángulo de fase (∠) es referido a la fase del campo de la fuente 1 en alguna dirección de referencia (φ=φ0) En el caso especial donde los patrones de campo son idénticos pero los patrones de fase no lo son, a=1, y

f (ϕ ) = F (ϕ ) ………………………………………………………………………….(4) del cual

E = 2 E0 f (ϕ ) cos

ψ 2

∠f p (ϕ ) + ψ / 2

…………………………………………………..(5)

donde la fase es de nuevo referida a la fuente 1 en alguna dirección de referencia φ0. Como una ilustración de fuentes puntuales no isotrópicas y no similares, consideremos un ejemplo en el cual el campo de la fuente 1 esta dado por

E1 = cosϕ∠0 ………………………………………………………………………….(6) y de la fuente 2 por

E2 = senϕ∠ψ

………………………………………………………………….(7)

donde ψ=drcosφ+δ La relación de loas dos fuentes para el plano coordinado y los patrones de campo individuales es mostrado en la Fig. 5-15. La fuente 1 esta localizada en el origen. El campo total E es entonces el vector suma de E1 y E2, o

E = cos ϕ + senϕ∠ψ ………………………………………………………………….(8)

74

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y φ x 2

1 d Figura 5-15

Relación de dos fuentes no isotrópicas no similares para un plano coordenado. Consideremos el caso para un espaciamiento de λ/4 (d=λ/4) y fase en cuadratura de las fuentes (δ=π/2). Entonces

ψ =

π 2

(cos ϕ + 1)

………………………………………………………………….(9)

El cálculo para este caso es fácilmente llevado a cabo por adición grafica de vectores. El patrón de campo resultante para el campo total E de un arreglo es presentado en la Fig. 5-16, y el patrón de fase resultante para un ángulo "ξ" esta dado en la Fig. 5-17. El ángulo "ξ" es el ángulo de fase entre el campo total y b el campo de la fuente 1 en la dirección φ=0.

90°

180°

φ 1

2

0°

270° Figura 5-16 Patrón de campo de un arreglo de dos fuentes no isotrópicas no similares de la Fig. 5-15 para d=λ/4 y δ=90º.

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ANTENAS

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+360 +270° +180° +90° 0°

0°

90°

180°

270°

360°

φ

Figura 5-17 Patrón de fase de un arreglo que tiene el patrón de campo de la Fig. 5-16. El ángulo de fase "ξ" tiene a la fuente 1 como centro de fase.

5-6 ARREGLOS LINEALES DE n FUENTES PUNTUALES ISOTRÓPICAS DE IGUAL AMPLITUD Y ESPACIAMIENTO Introducción Ahora procederemos al caso de "n" fuentes puntuales isotrópicas de igual amplitud y espaciamiento ordenados en un arreglo lineal, como esta indicado en la Fig. 5-18, donde "n" es cualquier entero positivo. El campo total E a una distancia grande en la dirección "φ" esta dado por

E = 1 + e jψ + e j 2ψ + e j 3ψ + ... + e j ( n − i )ψ

………………………………………..…(1)

donde "ψ" es la diferencia total de fase de los campos de fuentes adyacentes y esta dado por

ψ =

2πd

λ

cos ϕ + δ = d r cos ϕ + δ

………………………………………………..…(2)

donde "δ" es la diferencia de fase de las fuentes adyacentes, i.e., de la fuente 2 con respecto a 1, 3 con respecto a 2, etc. (Schelkunoff-1, Stratton-1). Las amplitudes de los campos de las fuentes son todas iguales y tomadas como unidad. La fuente 1 (Fig. 518) es la fase de referencia. De esta manera, a un punto distante en la dirección "φ" el campo de la fuente 2 esta adelantado en fase con respecto a la fuente 1 por "ψ", el campo de la fuente 3 esta adelantado en fase con respecto a la fuente 1 por 2ψ, etc. La ecuación (1) es una serie geométrica. Cada termino representa un fasor, y la amplitud del campo total E y su ángulo de fase "ξ" pueden ser obtenidos por adición de fasores (vectores) como en la Fig. 5-19. Analíticamente, E puede ser expresada en una forma trigonometriíta simple la cual desarrollamos como sigue a continuación:

Ee jψ = 1 + e jψ + e j 2ψ + e j 3ψ + ... + e jnψ Ahora restamos (3) de (1) y dividimos por 1 − e

76

…………………………………………..(3) jnψ

, cumpliéndose

UNI – FIEE

E=

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1 − e jnψ 1 − e jψ

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……………………………………………………………………….…(4)

La ecuación (4) puede ser rescrita como

e jnψ / 2  e jnψ / 2 − e − jnψ / 2   E = jψ / 2  jψ / 2 e − e − jψ / 2   e

…………………………………………………..(5)

φ = 90° γ = 0°

A un punto distante γ

d cos φ

d 1

y

φ d 2

φ = 0°

d 3

4

5

n

Figura 5-18 Ordenamiento de un arreglo lineal de "n" fuentes puntuales isotrópicas.

Figura 5-19 (a) Vector adición de campos a una considerable distancia de un arreglo lineal de cinco fuentes puntuales isotrópicas de igual amplitud con la fuente 1 como centro de fase (fase de referencia). (b) Lo mismo, pero con el punto central del arreglo (fuente 3) como centro de fase. del cual

E = e jξ

sen( nψ / 2) sen( nψ / 2) = ∠ξ sen(ψ / 2) sen(ψ / 2)

…………………………………………..(6)

donde "ξ" es referido al campo de la fuente 1. El valor de "ξ" esta dado por

ξ=

n −1 ψ 2

………………………………………………………………….………(7)

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Si la fase es referida al punto central del arreglo, (6) se convierte en

E=

sen( nψ / 2) sen(ψ / 2)

………………………………………………………………….(8)

En este caso el patrón de fase es una función escalón según lo dado por la muestra de (8). La fase del campo es constante dondequiera E tenga un valor pero cambia de signo cuando E pasa por el cero. Cuando ψ=0 (6) o (8) es indeterminado por o cual para este caso E debe ser obtenido como el limite de (8) cuando "ψ" se aproxima a cero. De esta manera, para ψ=0 tenemos la siguiente relación

E = n …………………………………………………………………………….......(8a) Este es el máximo valor que E puede alcanzar. Por lo tanto, el valor normalizado para el campo total para Emax=n es

E=

1 sen( nψ / 2) n sen(ψ / 2)

………………………………………………………………….(9)

El campo como muestra la ecuación (9) será referido como el "factor de arreglo". Los valores del factor del arreglo como son obtenidos de la ecuación (9) para varios números de fuentes son presentados en la Fig. 520. Si es que "ψ" es conocido como una función de "φ", entonces el patrón de campo puede ser obtenido directamente de la Fig. 5-20.

Factor del arreglo

Podemos concluir de la anterior discusión que el campo del arreglo será un máximo en cualquier dirección "φ" para ψ=0. En casos especiales, ψ puede que no sea cero para cualquier valor de "φ", y en este caso el campo es usualmente un máximo al valor mínimo de "ψ". 1.0 .9 .8 .7 . 6 .5 .4 .3 .2 .1 0

n=1 n=2 n=3 n=4 n=10

n=5 3–

n=20 20 –

5–

10 –

20 +

20 –

4–

5+

10 + 20 +

20 –

20 –

20 –

0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90° 100° 110° 120° 130° 140° 150° 160° 170° 180° 360° 350° 340° 330° 320° 310° 300° 290° 280° 270° 260° 250° 240° 230° 220° 210° 200° 190° 180°

±φ Figura 5-20 Carta de Patrón de campo universal para arreglos de varios números de "n" fuentes puntuales isotrópicas de igual magnitud y espaciamiento.

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Para ilustrar algunas de las propiedades de arreglos lineales (9) desde ahora será aplicado para varios casos especiales. Ver programas en el Web Site del libro que involucran estos diferentes casos. Ver también la discusión en el Apéndice C. Caso 1. Arreglos de radiación transversal (Fuentes en Fase) El primer caso es un arreglo lineal de "n" fuentes isotrópicas de la misma amplitud y fase. En consecuencia, δ=0 y

ψ = d r cos ϕ

………………………………………………………………………...(10)

Para hacer ψ=0 se requiere que φ=(2k+1)(π/2), donde k=0,1,2,3,... El campo es, por consiguiente, un máximo cuando

ϕ=

π 2

y

3π ……………………………………………………………………….(10a) 2

Esto es, el campo máximo esta en la dirección normal al arreglo. Por lo tanto, esta condición, la cual es caracterizada por fuentes en fase (δ=0), resulta en un tipo de arreglo transversal. Como un ejemplo, el patrón de un arreglo transversal de cuatro fuentes puntuales isotrópicas en fase de igual amplitud es mostrada en la Fig. 5-21a. El espaciamiento entre fuentes es λ/2. El patrón de campo en coordenadas rectangulares y los patrones de fase 1 y los patrones de fase para este arreglo son representados en la Fig.5-21b.

φ = 90°

180°

d = λ/2 d d d 1 2 3 4 φ = 0°

Arreglo Patrón de campo


2γ01

1 |ξ| 0

+90°

Centro de fase en el centro del arreglo

0° -90° -180°

Centro de fase en la fuente 1

-270° -360° -450°

0° (a)

90°

180°

270°

360°

(b)

Figura 5-21 (a) (b)

Patrón de campo de un arreglo de radiación transversal de cuatro fuentes puntuales isotrópicas de la misma amplitud y fase. El espaciamiento entre fuentes es λ/2. El patrón de campo en coordenadas rectangulares y patrones de fase del mismo arreglo con centro de fase en el punto central de la fuente 1. La dirección de referencia para la fase esta a φ=90º.

Caso 2. Arreglo ordinario longitudinal (End Fire) Ahora busquemos el ángulo de fase entre fuentes adyacentes que esta requerida para hacer el campo tenga un máximo en la dirección del arreglo (φ=0). Un arreglo de este tipo puede ser llamado un arreglo longitudinal. Para esto sustituimos las condiciones de ψ=0 y φ=0 en (2), del cual

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δ = −dr

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……………………………………………………………………...…(11)

Por lo tanto, para un arreglo longitudinal, la fase entre fuentes esta retardada progresivamente por la misma cantidad como el espaciamiento entre fuentes expresado en radianes. De esa manera, si el espaciamiento es λ/4, la fuente 2 en la Fig. 5-18 debe estar en atraso respecto a la fuente 2 por 90º, etc. Como un ejemplo, el patrón de campo de un arreglo longitudinal de cuatro fuentes puntuales isotrópicas es presentado en la Fig. 5-22a. El espaciamiento entre fuentes es λ/2 y δ=−π. El patrón de campo en coordenadas rectangulares y los patrones de fase son mostrados en la Fig. 5-22b. La misma forma de patrón de campo es obtenida en este caso si δ=+π dado que, con d=λ/2, el patrón es bidireccional. Sin embargo, si el espaciamiento es menor que λ/2 la radiación máxima esta en la dirección φ=0º cuando δ=-dr y en la dirección φ=180º cuando δ=+dr. Caso 3. Arreglo de radiación longitudinal con directividad incrementada La situación discutida en el Caso 2, particularmente, para δ=-dr, produce un campo máximo en la dirección φ=0 pero no proporciona máxima directividad. Esto ha sido mostrado por Hansen (1) y Woodyard que una directividad mas grande es obtenida por incremento del cambio de fase entre fuentes que

 

δ = − d r +

π  n

………………………………………………………………...(12)

φ = 90° 2φ01

180°

φ = 0° (a)

270° 1 2 3 4


d d d

Patrón de campo

d = λ/2

1 |ξ| 0 Centro de fase en el centro del arreglo

+90° 0° 90° 180° -270° -360° -450°

(b)

Centro de fase en la fuente 1

0°

90°

180°

270°

360°

Figura 5-22 (a) Patrón de campo de un arreglo longitudinal ordinario de cuatro fuentes puntuales isotrópicas de la misma amplitud. separación λ/2 y el ángulo de fase es δ=-π. (b) Patrón de campo en coordenadas rectangulares y patrones de fase del mismo arreglo con centro de fase al punto medio y en la fuente 1. La dirección de referencia para la fase esta en φ=0º.

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Esta condición será referida como la condición para el "incremento de directividad". De esa manera para la diferencia de fase de los campos a una gran distancia tenemos

ψ = d r (cosϕ − 1) −

π n

………………………………………………………………...(13)

Con un ejemplo, el patrón de campo de un arreglo de radiación longitudinal de cuatro fuentes puntuales isotrópicas para este caso es ilustrado en la Fig. 5-23. El espaciamiento entre fuentes es λ/2, y por lo tanto δ=−(5π/4). Por consiguiente, las condiciones son las mismas para como para el arreglo con el patrón de la Fig. 5-22, excepto que la diferencia de fase entre fuentes esta incrementada por π/4. Comparando los patrones de campo de las Figs. 5-22a y 5-23, es aparente que la diferencia de fase adicional produce un lóbulo principal considerablemente agudo en la dirección φ=0. Sin embargo, la espalda de los lóbulos en este caso es excesivamente grande debido a que el gran valor de espaciamiento da lugar a una gama demasiado grande en "ψ". 90°

0°

180°

d = λ/2 d

d 1

2

d 3

4

Figura 5-23 Patrón de campo de un arreglo longitudinal ordinario de cuatro fuentes puntuales isotrópicas de la misma amplitud separadas λ/2. El desfasaje es adaptado por directividad incrementada (δ=−5π/4). Para realizar el incremento ofrecido de directividad por la diferencia adicional de fase se requiere que ІφІ sea restringido en su rango a un valor de π/n para φ=0 y un valor en la vecindad de π para φ=180º. Esto puede ser realizado si el espacio es reducido. Por ejemplo, el patrón de campo de un arreglo de 10 fuentes isotrópicas puntuales de igual amplitud y espaciadas λ/4 es presentado aparte en la Fig. 5-24a para la condición de fase produciendo una directividad incrementada (δ=−0.6π). En contraste con este patrón, el primero es presentado en la Fig. 5-24b para la antena idéntica con la fase de un arreglo ordinario de radiación longitudinal (δ=−0.5π). Ambos patrones son para el mismo máximo. La directividad incrementada es en apariencia de la mayor agudeza del patrón. Integrando el patrón, incluidos los lóbulos menores, la directividad es encontrada resulta un valor alrededor de 19 y la del arreglo ordinario longitudinal cerca de 11. Los anchos de haz y las directividades para los dos casos son comparados en la tabla 5-1. El patrón de máximo campo de la Fig. 5-24a ocurre a un ángulo de φ=0 y ψ=−π/n. En general, cualquier incremento de directividad de un arreglo longitudinal, con un máximo en ψ=−π/n, tiene un patrón de campo normalizado dado por

 π  sen(nψ / 2) E = sen   2n  sen(ψ / 2)

………………………………………………………...(14)

Caso 4. Arreglo con máximo campo en una dirección arbitraria.

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Consideremos el caso de un arreglo con patrón de campo que tiene un máximo en alguna dirección arbitraria φ1 que es diferente de kπ/2 donde k=0, 1, 2, o 3. Entonces (2) se convierte en

0 = d r cos ϕ1 + δ

………………………………………………………………...(15)

Al especificar el espaciamiento dr, la diferencia de fase requerida es entonces determinada por (15). Inversamente, al cambiar "δ" la dirección de haz φ1 puede ser desplazada o escaneada.

Desplazamiento de fase 180° (0.6π) versus 90° (0.5 π)

Figura 5-24 Patrones de campo de arreglos de radiación longitudinal de 10 fuentes puntuales isotrópicas de igual amplitud espaciadas λ/4 una de la otra. El patrón en (a) tiene la fase adaptada para la directividad incrementada (δ=−0.6π), mientras el patrón en (b) tiene la fase de un arreglo de radiación ordinario longitudinal (δ=−0.5π).

Tabla 5-1 Comparación de arreglos longitudinales Arreglo ordinario longitudinal Ancho de haz entre puntos de media potencia Ancho de haz entre los primeros nulos Directividad

82

69º

Arreglo longitudinal con directividad incrementada 38º

106º

74º

11

19

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90°

d 180°

•

d

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60°

d 0°

2 3 4 Arreglo d=λ/2

270°

300°

Figura 5-25 Patrón de campo de un arreglo de cuatro fuentes puntales de igual amplitud con desfasaje adaptado para proporcionar el máximo en φ=60º. El espaciamiento es λ/2. Como un ejemplo, supongamos que n=4, d=λ/2, y que deseamos tener un campo máximo en la dirección de φ=60º. Entonces δ=-π/2, cumpliéndose el patrón mostrado en la Fig. 5-25. 5-7 DIRECCIONES DE NULOS PARA ARREGLOS DE n FUENTES PUNTUALES ISOTRÓPICAS DE IGUAL AMPLITUD Y ESPACIAMIENTO En esta sección serán discutidos métodos simples para encontrar las direcciones de los patrones nulos de los arreglos considerados en la SEC. 5-6. Continuando con el procedimiento dado por Schelkunoff (2,3) las direcciones de los nulos para un arreglo de n fuentes puntuales isotrópicas de igual amplitud y espaciamiento ocurre cuado E=0 o, provisto que el denominador de la EC. (5-6-4) no sea cero, cuando

e jnψ = 1

………………………………………………………………………….(1)

La ecuación (1) requiere que

nψ = ±2 Kπ ……………………….…………………………………………………(2) donde K=1, 2, 3, ... Comparando el valor de "ψ" en (2) a su valor en la EC. (5-6-2) obtenemos

ψ = d r cos ϕ0 + δ = ±

2 Kπ n

………………………………………………………….(3)

De esa manera,

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 2 Kπ 1 −δ   n  dr  

ϕ0 = arccos ±

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…………………………………………………..(4)

donde φ0 proporciona la dirección de los patrones nulos. Notar que los valores de K deben ser excluidos para los cuales K=mn, donde m=1,2,3,.... De esta manera, si K=mn, (2) se reduce a ψ=±2mπ y el denominador de la EC. (5-6-4) igual a cero de modo que la condición de nulidad de (1), de que el numerador de la ecuación (5-6-4), es insuficiente. En un arreglo de radiación transversal δ=0, de modo que para este caso (4) se llega a obtener

 2 Kπ  nd r

ϕ0 = arccos ±

  Kλ   = arccos ±   nd  

…………………………………………..(5)

Como un ejemplo, el patrón de campo de la Fig. 5-21 (n=4, d=λ/2, δ=0) tiene las direcciones de nulos

 K   2

ϕ0 = arccos ±

………………………………………………………………….(6)

Para K=1, φ0=±60º y ±120º, y para K=2, φ0=0º y 180º. Estas son las seis direcciones de los nulos para este arreglo. Si φ0 en (3) es reemplazado por su ángulo complementario γ0 (ver Fig. 5-18), entonces (5) se convierte en

 Kλ   ………………………………………………………………….(7)  nd 

γ 0 = arcsen ±

Si el arreglo es grande, a fin de que nd>>Kλ,

γ0 ≈ ±

Kλ nd

…………………………………………………….……………………(8)

Los primeros nulos a ambos lados del máximo que ocurre para K=1. Estos ángulos serán designados γ01. De ese modo,

γ 01 ≈ ±

λ nd

………………………………………………………………………….(9)

y el total ancho de haz del lóbulo principal entre los primeros nulos para un arreglo transversa grande es entonces

2γ 01 ≈

2λ nd

………………………………………………………………………...(10)

Para el patrón de campo de la Fig. 5-21 este ancho es exactamente 60º, tal como esta dado por (10) esto es 1 rad, o 57.3º. Este patrón es para un arreglo 2λ de longitud. El resultado seria mejor con arreglos más grandes. Volviendo a los arreglos de radiación longitudinal, la condición para un arreglo de radiación longitudinal ordinario es que δ=−dr. De esa manera, para este caso (3) se convierte en

cosϕ0 − 1 = ±

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2 Kπ nd r

………………………………………………………………...(11)

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por el cual obtenemos

 Kπ = arcsen ± 2 nd r 

   

ϕ0

………………………………………………………...(12)

o



ϕ0 = 2arcsen ± 

Kλ 2nd

   

………………………………………………………...(13)

Como un ejemplo el patrón de campo de la Fig. 5-22 (n=4, d=λ/2, δ=-π) tiene las direcciones de los nulos



ϕ0 = 2arcsen ± 

K 4

   

………………………………………………………...(14)

Para K=1, φ0=+-60º; para K=2, φ0=+-90º, etc. Si el arreglo es grande, de modo que nd>>Kλ, (13) se convierte en

ϕ0 ≈ ±

2 Kλ nd

………………………………………………………….……..(15)

Los primeros nulos a ambos lados del máximo que ocurre para K=1. Estos ángulos serán designados φ01. De ese modo,

ϕ01 ≈ ±

2λ nd

………………………………………………………………………...(16)

Y el total ancho de haz del lóbulo principal entre los primeros nulos para un arreglo de radiación longitudinal ordinario es entonces

2ϕ01 ≈ ±2

2λ nd

………………………………………………………………...(17)

Para el patrón de campo en la Fig. 5-22 este ancho es exactamente 120º, como esta dado por (17) esto es 2 radianes o 115º. Para arreglos de radiación longitudinal con directividad incrementada tal como fue propuesto por Hansen (1) y Woodyard, la condición es que δ=−(dr+π/n). De esa manera, para este caso (3) se convierte en

d r (cos ϕ0 − 1) −

π n

=±

2 Kπ n

………………………………………………………...(18)

por el cual

  π = arcsen± (2 K − 1) 2 2nd r  

ϕ0

…………………………………………………(19)

o

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

λ



4nd

ϕ0 = 2arcsen±



(2 K − 1)

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…………………………………………………(20)



Si el arreglo es grande, de modo que nd>>Kλ, (20) se convierte en

ϕ0 ≈ ±

λ nd

(2 K − 1)

………………………………………………………...(21)

Los primeros nulos a ambos lados del lóbulo principal, φ0, ocurre para K=1. De esta manera,

ϕ01 ≈ ±

λ nd

……………………………………………………………….(22)

y el ancho de haz total del lóbulo principal entre nulos para un arreglo de radiación longitudinal grande con directividad incrementada es entonces

2ϕ01 ≈ 2

λ nd

………………………………………………………………(23)

Este ancho es 1/√2, o 71 por ciento, del ancho del arreglo de radiación longitudinal ordinario. Como un ejemplo, el patrón del arreglo longitudinal ordinario de la Fig. 5-24b tiene un ancho de haz entre los primeros nulos de 106º. El ancho del patrón en la Fig. 5-24a para el arreglo con directividad incrementada es 74º, o 70 por ciento como máximo. La tabla 5-2 muestra las formulas para las direcciones de los nulos y anchos de haz para los diferentes arreglos considerados anteriormente. Las direcciones de los nulos en la columna 2 se aplican a arreglos de cualquier extensión. Las formulas en la tercera y cuarta columnas son aproximadas y aplicadas solo a arreglos grandes. Tabla 5-2 Direcciones nulas y anchos de haz entre los primeros nulos para arreglos lineales de n fuentes isotropitas puntuales de igual amplitud y espaciamiento. (Para n≥2. Los ángulos en la columna tres y cuatro son expresados en radianes. Para convertir a grados, multiplicar por 57.3) Tipo de arreglo

Direcciones nulas (cualquier longitud de arreglo)

Caso general

ϕ0 = arccos

Transversal Longitudinal ordinario Longitudinal con directividad incrementada

 ± 2 Kπ 1 −δ    dr   n  Kλ  γ 0 = arcsen ±   nd 



ϕ0 = 2arcsen ± 



λ



4nd

ϕ0 = 2arcsen±

Kλ 2nd

   

Direcciones nulas (arreglo grande)

γ0 ≈ ± ϕ0 ≈ ±



(2 K − 1) 

ϕ0 ≈ ±

λ nd

Ancho de haz entre los primeros nulos (arreglo grande)

Kλ nd

2γ 01 ≈

2 Kλ nd

2ϕ01 ≈ 2

(2 K − 1)

2ϕ01 ≈ 2

2λ nd 2λ nd

λ nd

Las formulas en la Tabla 5-2 han sido usadas para calcular las curvas presentadas en la Fig. 5-26. Esas curvas muestran el ancho de haz entre los primeros nulos como una función de ndλ para tres tipos de arreglos: transversal, longitudinal ordinario, longitudinal con directividad incrementada. La cantidad ndλ (=nd/λ) es aproximadamente igual a la longitud de un arreglo en longitudes de onda para arreglos grandes. El valor exacto de la longitud del arreglo es (n-1)dλ.

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Ancho de Haz entre primeros nulos (BWBFN)

El ancho de haz de arreglos de radiación transversal largos es inversamente proporcional a la longitud del arreglo, en tanto que el ancho de haz arreglos de l tipo longitudinal largos es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la longitud del arreglo. Por lo tanto, el ancho de haz en el plano de arreglo de radiación transversal largo es mucho mas pequeño que para arreglos del tipo longitudinal de la misma longitud es mostrado en la Fig. 5-26. Debe ser notado, sin embargo, que el arreglo de radiación transversal tiene un patrón de disco formado con un ancho de haz estrecho en un plano a través del eje del arreglo pero un patrón circular (360º de ancho de haz) en el plano normal al eje del arreglo. Por otro lado, El arreglo de radiación longitudinal tiene un patrón e forma de cigarro con el mismo ancho de haz en todos los planos a través del eje del arreglo.

200° 150° 100° 50°

End Fire Ordinario

0° End Fire con directividad incrementada

Broadside 1

2

5

10

20

50

100 ndλ

Longitud del arreglo (aprox.)

Figura 5-26 Ancho de haz entre los primeros nulos como una función de “ndλ” para arreglos de “n” fuentes puntuales isotrópicas de la misma amplitud. Para arreglos grandes, “ndλ” es aproximadamente igual a la longitud del arreglo.

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Antenas Kraus Capitulos 2 Al 5 (2011) A

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