Universidad Nacional Abierta y a Distancia Vicerrectoría Académica y de Investigación Anexo 3. Descripción detallada actividad discusión 1. Descripción general del curso Escuela o Unidad Académica Nivel de formación Campo de Formación Nombre del curso Código del curso Tipo de curso Número de créditos
Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Profesional Formación interdisciplinar básica común Cálculo integral 100411 Teórico
Habilitable Si
No
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Ejercicios propuestos Fase 6
Discusión
–
Una vez estudiados los principios sobre integración y analizadas las diferentes técnicas de integración, se procede a desarrollar la parte práctica o de aplicaciones de las integrales como es el caso del análisis de gráficas (área de regiones planas, área entre curvas, áreas de superficie de revolución, longitud de una curva, longitud de un arco en forma paramétrica) Primera parte (punto 1 al 4) Cada ejercicio se debe resolver paso por paso, sin omitir ninguno, cuando se utilice una propiedad, definición o ley por favor enunciarla, así se fortalece el procedimiento utilizado.
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1. 1. Halle el área de la región comprendida entre la parábola y
x
5. Elabore
y
2
x
3
y la recta
la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio y considere el área
en unidades cuadradas. 2. 2. Encuentre el área de la región limitada por las gráficas de f ( x) g ( x)
x
x3
3x 2 y
2. Elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio y considere el
área en unidades cuadradas. 3. Determine la longitud de arco de la gráfica
y
4 x
3/ 2
del origen (0, 0) al punto (1, 4)
y elabore la respectiva gráfica. 4. Halle 4. Halle el área S de la superficie de revolución que se forma al girar la gráfica de
y
x
sobre el intervalo cerrado [1, 4] alrededor del eje x. Tener en cuenta que: que: El área lateral (excluyendo los extremos) del sólido resultante es: b
S 2 f ( x) 1 ( f ' ( x)) 2 dx a
Segunda parte (punto 5 al 8) Por medio de las integrales podemos hallar volúmenes de sólidos de revolución utilizando diferentes técnicas, momentos y centros de masa. 5. Determine 5. Determine el volumen del sólido de revolución al rotar la región encerrada por la función
f ( x)
4
x 2 entre x = 0 y x = 2, alrededor del eje x. Elabore la respectiva gráfica y
considere el volumen en unidades cúbicas.
2
y x 2 6. 6. Encuentre el volumen del sólido que se genera al girar la región plana R : y 8 x alrededor del eje
y
4. Elabore
la gráfica y considere el volumen en unidades cúbicas.
7. Una 7. Una varilla de 18 cm de longitud tiene una densidad lineal, medida en g/cm, dada por ( x)
x
, 0 x 18 . Halle su centro de masa (Ce). b
Considere el centro de masa: C e
M y m
x ( x) dx
a b
( x) dx a
8. Halle el centroide de la región acotada por las gráficas de f ( x) x g ( x)
x
2
2
3 y
2 x 1 , entre x = -1 y x = 2. Considere las fórmulas del centroide de la región
en el plano: b
__
Ce( x ) x
M y A
1
x[ f ( x) g ( x)]dx a b
__
;
Ce( y ) y
[ f ( x) g ( x)]dx
a
M x A
b
[ f 2
2
( x) g 2 ( x)]dx
a b
[ f ( x) g ( x)]dx a
Tercera parte (punto 9 al 12) Existen numerosas aplicaciones del cálculo integral a las ciencias como en la físi ca (trabajo y movimiento), en la hidráulica (bombeo de líquidos), en la estadística, en la economía y en las ciencias sociales. 9. La 9. La ecuación de movimiento de un móvil está dada por = () la velocidad instantánea está dada por =
= ′( ′()) y la aceleración instantánea por =
3
= ().
Teniendo en cuenta lo anterior, considere la siguiente situación: Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad inicial de / (ver figura) Considere como aceleración de la gravedad = / . a. ¿Cuál es la ecuación de la velocidad V (t) en un instante de tiempo (t)? b. ¿Cuál es la ecuación del movimiento S (t)? Sugerencia: Sugerencia: Observe que en el tiempo cero el desplazamiento es nulo (S(t)=0, cuando t=0) c. ¿Cuánto tiempo tarda la piedra en llegar al suelo? Sugerencia: Sugerencia: Note que el desplazamiento es nulo cuando la piedra toca nuevamente el suelo (S(t)=0) 10. 10. En un laboratorio de física se hace una prueba con un resorte cuyo coeficiente de elasticidad es de = .
y de longitud inicial de 1,4 metros.
a. ¿Cuánto trabajo se necesita para estirar el resorte hasta una longitud de 1,8 metros? b. ¿Cuánto trabajo se necesita para estirar el resorte desde una longitud de 2,0 metros hasta otra de 2,4 metros? 11. 11. Las funciones de la demanda y de la oferta de cierto producto están dadas por x 7 2 y S x x 2 2 x 1, hallar D x
4
a. El punto de equilibrio b. El excedente del consumidor E. C en el punto de equilibrio c. El excedente del productor E. P en el punto de equilibrio 12. Se recibe un cargamento de 18.000 kg de arroz que se consumirán en un período de 6 meses a razón de 3.000 kg por mes. Si el costo de almacenamiento mensual por cada kilogramo es $400, ¿cuánto se debe pagar en costos de almacenamiento en los próximos 6 meses? Considere C (t) como el costo total de almacenamiento durante t meses, además se sabe que en el momento en que llega el cargamento (cuando t = 0), no hay costos de almacenamiento; es decir, C (0) = 0.
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