Limiti i vargut
2
Limiti i vargut
2
Limiti i vargut
Përmbajtja •
• • •
Vargjet Numerike: Kuptimi i vargut numerik Vargjet e kufiuara dhe ato monotone Vargu Aritmetik Arit metik Vargu Gjeometrik Limiti i vagut Vetitë e vargjeve konvergjente Forma
∞ ∞
Forma ∞− ∞ Forma 1 Numri e Përdorimi i limitit në jetën e përditshme Literatura ∞
• •
Limiti i vargut
Vargjet Numerike Kuptimi i vargut numerik Le të jetë E ⊂ R nën!ashkësi nën!ashkësi e !ashkësisë së numravë realë"Në #oftë se elementet e saj $ shkruajmë në renditje të %aktuar : x 1, x 2, x 3 , &' Fitojmë varg numerik"P"sh: ('')'*'&' 2'+','(-'&' .anë d/ vargje numerike"
Përkufizimi:
Varg numerik #uhet pas#/rimi nga !ashkësia e numrave nat/rorë në !ashkësinë e numrave realë:
x : N 0 1 d"m"th funksioni i %ili do numri nat/ral n ia sho#ëronë numrin real •
5lementet
•
Kufi6a
an
a1 , a2 , a3 , … , a n
a1=1 −2
a2= 2−2 a2 = 0
xn
4"
#uhet termi i përgjithshëm i vargut"
n=3→
a1=−1
n=2→
3
'&' #uhen terma ose kufiza të vargut"
Nëse termi i përgjithsëm përgjithsëm i një vargu është : Shembull: Nëse do të duket kështu :
n=1→
an
an =n−2
' atëherë vargu
a3 =3−2 a3 =1
n=4→
a 4= 4− 1 a 4= 3
+
Limiti i vargut Vargu: 7('8'('&
Vargun termat e të %ilit janë të !ara!arta e #uajmë varg konstant ose stacionar" n an =1 Shembull: Nëse termi $ përgjithshëm i vargut është :
n=1→
a1 =1
1
a3 =1
n=3→
a1 = 1
n=2→
2
a2= 1
3
a3 = 1
n=4→
a 4 =1
a2= 1
4
a 4= 1
Vargu:('('('(&
Vargjet e kufizuara dhe vargjet monotone Përkufizim: 9huhet se vargu numri !m"
∈
an
është $ kufi6uar nga sipër 3poshtë4 në #oftë se ek6iston
R në mën/rë #ë : an ≤ M ( an ≥m )
#
∀ n ∈ N
!m"$ #uhet kufiri i sipërm!% poshtëm" $ vargut" Përkufizim: Vargu 3
an ¿
është:
a4 onotono7rritës nëse
∀
n ∈ N
'
an < an+1
"
)
Limiti i vargut !4 onotono76vogëlues nëse
∀ n ∈ N
%4 onotono7jo6vogëlues nësë d4 onotono7jorritës nësë
∀ n ∈ N
∀ n ∈ N
an > an + 1
# '
an ≤ an+1
an ≥ an+ 1
'
" "
"
Vargu #ë plotëson njërin nga këto kushtet a4;d4 #uhet varg monoton"
Shembull:9ë tregohet se a është vargu i kufi6uar' nëse
n=1→ n=4→
a1 =
1 2 x 1
a 4=
1 2 x 4
a1 = a 4=
n=2→
a2=
1 2
1 2 x 2
a2=
an =
n=3→
1 2n
"
a3 =
1 2 x 3
1 4
a3 =
1 6
1 8
Vargu
1 1 1 1 , , , ,… 2 4 6 8
është $ kufi6uar edhe nga sipër edhe nga poshtë'
përkatësisht <
1 2
ndërsa m<8"
&et'ra(:9ë tregohet monotonia e vargjeve: a"
2
an = n
b"
n+ 1 an = n+ 2
c"
3 an = 1 + n
2
d"
n +1 an = 2n
)gjidhja: a"
an an + 1
2
=
n
n
2
= <1 ( n + 1)2 n2 + 2 n + 1
Vargu është varg monotono7rritës"
-
Limiti i vargut n +1 n +2
n +1 2 2 an n + 2 ( n + 1 ) ( n +3 ) n +3 n + n + 3 n + 4 n + 3 = = = = 2 = 2 <1 an+1 n + 1+ 1 n + 2 ( n +2 )2 n + 4 n+ 4 n +4 n + 4 n+ 1+ 2 n + 3
b"
Vargu është monotono7rritës" n+3 n +3 an ( n + 3 ) ( n + 1 ) n 2+ 4 n + 3 n n = = = = = 2 >1 an + 1 n+ 1+ 3 n + 4 n (n +4 ) n +4 n 1+ n+ 1 n+1 n +1 1+
c"
3 n 3
Vargu është monotono76vogëlues
d" 2
2
2
n +1 2n
n +1 2n
n +1 2n
2 ( n+1 )
2n + 2
2 n +2
( n2+ 1 ) (2 n +2 ) 2 n3 +2 n2 +2 n +2 = = = = = <1 3 2 an+1 ( n + 1 )2+ 1 n2 + 2 n + 1 + 1 n2 + 2 n + 2 2 n ( n2 + 2 n + 2 ) 2n + 4 n + 4 n an
Vargu është monotono7rritës"
Vargu aritmetik Përkufizim: Varg aritmetik #uhet vargu kur distan%a ndërmjet d/ termave të njëpasnjëshëm është konstant d : an − an − 1 = d
#
n ≥2
Numri d #uhet ndr'shimi!diferenca" i vargut aritmetik" Vargu:
a1 , a1 + d , a1+ 2 d , a1 + 3 d , …
është varg aritmetik"
*ermi % përgjithshëm $ vargut aritmetik llogaritet me formulën: an =a1 +( n −1 ) d
*
Limiti i vargut 5 %ila rrjedh nga: a1 , a2 = a 1 + d , a3 = a1 + 2 d
'
a 4= a 1+ 3 d
'
+ + +
an = a 1 + ( n − 1 ) d
"
Shuma e vargut e aritmetik llogaritet me formulën : n S n = ( a1 + an)
ose
2
S n=
&et'ra,:9ë gjendet diferen%a e vargjeve : a" ('')'*&
b" 72'7)'7,'7(('&
c"
−1
1 , 1, , 2, … 2 2
)gjidhje : a" ('')'*'&
b" 72'7)'7,'7(('&
n [ 2 a1+ ( n−1 ) d ] 2
c"
1 7 , 2, , 5, … 2 2
d"
−1
1 , 1, , 2, … 2 2
d"
1 7 , −2, − , −5, … 2 2 a2 − a1 = d
a2− a1=d
3− 1 = d
−5 + 2=d
1+
a2− a1=d
1 =d 2
1 2
−2 − = d
d=
d =3
d =2
d=
a2 − a1 = d
3 2
−3 2
&et'ra-:9ë gjendet termi i përgjithshëm i vargut a"
a1= 3,d =2
c"
an
nëse :
a1=−1, d =3
,
Limiti i vargut b"
a1= 6, d =
)gjidhja: a" a1= 3,d =2
1 2
d"
an =a1 +( n −1 ) d
an =a1 + ( n − 1 ) d
an =3 + ( n −1 ) 2
an =−1 + ( n − 1 ) 3
1 2
an =3 n− 4
a1=12, d =
d"
an =a1 + ( n −1 ) d an =6 + ( n −1 )
−3 2
an = a1 + ( n − 1 ) d
1 2
an =12+ ( n−1 ) (
1 1 an =6 + n − 2 2
−3 2
)
3 3 an =12− n + 2 2
1 11 an = n + 2 2
an =
&et'ra.:9ë gjendet: a4 a1=? , S n=? , a21=83, d =4 !4
2
an =−1 + 3 n −3
an =1+ 2n
a1= 6,d =
−3
a1=−1, d =3
c"
an = 3 + 2 n− 2
b"
a1=12, d =
%4
a20=? , S n=? , a1=5, d =−6
d4
27 3 − n 2 2
a15=? , S n=? ,a 1=−9, d =5 a12=? , S n=? a 1=−11,d =4
)gjidhja: a" a1=? , a21=83, d = 4 an =a1 + ( n −1 ) d
a21= a1+( 21−1 ) d 83= a1 +20 x 4
n S n= ( a1 + an) 2
S 21=
21 ( 3 + 83) 2
S 21=
21 86 2
=
Limiti i vargut 83= a1 + 80 a1= 3
S 21=903
"
a20=? , a1=5, d =−6
b"
an =a1 + ( n −1 ) d
n S n= ( a1 + an)
a20= a1 +(20 −1) d
S 20=
2
a20=5 + 19 x (−6 )
a20=−109
20 ( 5−109 ) 2
S 20=10 (−104 )
a20=5 −114
S 20=−1040
+
"
a15=? , a1=−9, d =5
c"
an = a1 + ( n − 1 ) d
a15= a1+( 15 −1) 5
n S n= ( a1 + an) 2
S 15=
a15=−9 + 14 x 5
a15=61
+
15 (−9 + 61) 2
S 15=
a15=−9 + 70
d"
+
S 15=
S 15=390
15 (−9 + 61) 2
15 52 2
+
a12=? , a1=−11,d = 4 an =a1 +( n −1 ) d a12= a1+ (12 −1 ) d a12=−11+ 11 x 4
S n= S 12=
n (a + a ) 2 1 n
12 (−11+ 33 ) 2
S 12=6 x 22
(8
Limiti i vargut a12=−11+ 44 a12=33
S 12=132
" a1
&et'ra/:9ë njehsohet S 3=30, S 5=75, S n=105
)gjidhja:
+
S 3= 30=
d
'
'dhe n e vargut aritmetik nëse:
"
3 (a +a ) 2 1 3
S 5=
3 (a +a ) 2 1 3
75=
a1 + a 3=20
5 (a +a ) 2 1 3
5 (a +a ) 2 1 3
a1 + a 5=30
↓
↓
a1 + a 1+ 2 d = 20
a1 + a 1+ 4 d = 30
2 a1 + 2 d =20
2 a1 + 4 d = 30
2 ( a1 + d )=20
2 ( a1 + 2 d )=30
a1 + d =10 a1=10 −d
a1 + 2 d =15 → 10− d + 2 d =15
d =15 −10
a1=10 −5 a1=5
S n=
←
d =5
+
+ n [ 2 a1+ ( n−1 ) d ] 2
105=
n [ 2 x 5 + ( n− 1 ) 5 ] 2
105=
n (10 + 5 n −5 ) 2
210= n ( 5 n + 5 )
¿ 5 n + 5 n− 210 = 0 2
((
Limiti i vargut 2
n
+ n −42 =0
x =
−b ± √ b2− 4 ac 2a
¿
−1± √ 1 −4 x (−42) −1 ± √ 1 +168 −1± √ 169 −1± 13 = = = 2
1 }=
2
2
2
2
n¿
n1 =
−1+ 13 12 = =6 2
9
2
n2=
−1−13 −14 = =−7 2
2
&et'ra0:>a është s/prina e trekëndëshit të dhjetë me radhë: 2
2
4
4
6
6
& 2
4
6
)gjidhja: a1= 2
a10= a1+ 9 d
d =2
a10=2 + 9 x 2
n =10
a10=2 + 18
S 10=?
a10=20
2
+ 102=20 2
2
+ 100= 400
h h h
2
1 S= a h 2 1 S = 20 x 10 √ 3 2
S =10 x 10 √ 3
= 400−100 h
2
S =100 √ 3
=300
h =10 √ 3
&et'ra1: Një d/#an (- rende me kanae' në se%ilin rend ka një kanae më pak se në rendin më poshtë tij"Nëse rendi $ fundit $ ka 2, kanae">a kanae janë gjithsej? an =28
an =a1 +( n −1 ) d
n S 16= ( a1 + a 16) 2
(2
Limiti i vargut n =16
d =1 28= a1 + 15 S 16=?
S 16=
28= a1 + ( 16−1 ) 1
16 ( 13 + 28 ) 2
S 16=8 ∙ 41 a1= 28−15 a1=13
S 16=328
"
"
Në d/#an janë 2, kanae"
&et'ra2:e një janar Agimi deponoi në llogarinë e tij !ankare (88@"e të parin të do,muaji ai depo6onte (8@" a4 >a shumë para do të ketë Agimi në llogarinë e tij në fund të shkurtit? !4 >a shume para do të ketë Agimi në llogarinë e tij në fund të marsit? %4 >a shumë para do të ketë Agimi në llogarinë e tij pas 2 vitesh? gjidhja: a" a1=100, d = 10,a 2=?
a2= a1 + d a2= 100+ 10 a2= 110
" Në fund të muajit shkurt Agimi në llogarinë e tij kishte ((8@"
b"
a1=100, d = 10,a 3=?
a3 = a1 + 2 d a3 =100 + 2∙ 10 a3 =100 + 20 a3 =120
" Në fund të muajit mars Agimi në llogarinë e tij kishte (28@"
c"
a1=100, d = 10,n =24, a24=?
an =a1 + ( n −1 ) d a24 =100 + ( 24 −1 ) 10 a24 =100 + 23 ∙10 a24 =100 + 230 a24 =330
Pas d/ vitesh Agimi në llogarinë e tij kishte 8@" (
Limiti i vargut &et'ra3: .u vi6itoni Grand Ban/on dhe gjuani një #indarkë nga një shkëm!"Cindarka në sekondën e parë do të !jerë (-m në sekondën e d/të +,m' në sekondën e tretë ,8m ' dhe kështu me radhë " Bila është distan%a totale #ë o!jekti do të kalojë pas - sekondash? gjidhja: a1=16, d = 32,n =6, S n= ?
a6 =a1 + 5 d a6 =16 + 5 ∙32 a6 =16 + 160 a6 =176
S n=
n ( a +a ) 2 1 n
S 6=
6 ( 16 + 176 ) 2
S 6=3 ∙ 192 S 6=576
&et'ra(4: >huma e këndeve të !rendshme të një trekëndëshi është (,8 D' e një katërkëndësh është -8 D dhe i një pentagoni )+8 D" Euke supo6uar këtë model va6hdon' gjeni shumën e këndeve të !rendshme të një d/m!ëdhjetëkëndëshi" gjidhja:
a1=180
an =a1 + ( n −1 ) d
d =180
a10=180 + (10 −1 ) 180
a10=?
a10=180 + 9 ∙180 a10=10 ∙ 180 a10=1800
"
>huma e këndëve të !rendshme të d/m!ëdhjetëkëndëshit është (,88
°
"
&et'ra((: Një teatër ka -8 ulëse në rendin e parë' -, në rendin e d/të'*- në rendin e tretë dhe kështu me radhë"Nëse teatri ka 28 rreshta 'sa ulëse janë në rreshtin e një6et të teatrit?
(+
Limiti i vargut )gjidhja: a1= 60
a20= a1 + 19 d
d =8
a20= 60+ 19∙ 8
n =20
a20= 60+ 152 a20=212
an =?
1reshti i 28 i teatrit ka 2(2 ulëse"
Vargu Gjeometrik Përkufizim: Vargu an #uhet varg gjeometrik nëse herësi i %ilitdo term dhe termit para tij është numër i njëjtë q: an+1 an
=q , q ≠0, a n ≠ 0, ∀ n ∈ N
Numri q #uhet herës i vargut gjeometrik" Numri a1 #uhet termi!kufiza" i parë"
()
Limiti i vargut Numri
an
#uhet termi!kufiza" i përgjithshëm+
Pra: 2
( n− 1)
3
a1 , a1 q , a1 q , a1 q , … , a1 q
,…
është varg gjeometrik" 9ermi $ përgjithshëm $ vargut gjeometrik llogaritet me formulën: an =a1 ∙q
( n− 1)
5 %ila rrjedh nga: a1 , a2 = a1 ∙ q a3 =a1 ∙ q
2
a 4= a 1 ∙ q
3
⋮
an = a1 ∙q
( n− 1 )
Shuma e vargut gjeometrik llogaritet me formulën: n
q −1 S n = a1 ∙ q −1
n
1 −q S n = a1 ∙ 1−q
ose
#
q≠1
+
&et'ra(,:9ë gjendet herësi i vargjeve gjeometrike: a4
%4 (−1 ) , 3, (−9 ) , 27, …
2,4,8, …
!4 2'( (2'(+'&
d4
64, (−32 ) , 16, ( −8 ) , …
)gjidhja: a"
2,4,8, …
b" 2'( (2'(+'&
(-
Limiti i vargut a2 a1
a3
=q
a2
4 =q 2
a2
=q
a1
q =1 / 2
q =1 / 2
c" (−1 ) , 3, (−9 ) , 27, …
a1
=q
1 /2 =q 1
q =1 / 2
q =2 q =2
a2
a2
1 =q 2
8 =q 4
q =2
a3
=q
a3
=q
a2
a2
=q
(−9 )
3 =q (−1)
64, (−32 ) , 16, ( −8 ) , …
d"
3
a1
(−32)
=q
a3
=q
64
a2
=q
=q
16 =q (−32) q =−3
q =−3
q =−1 / 2
q =−3
&et'ra(-:9ë gjenden n dhe a"
a1= 2,q = 2, an =128
"
q =−1 / 2
q =−1 / 2
Sn
' nëse:
b"
a1= 32,q =
−3 2
, an=−243
"
)gjidhja: a" a1= 2,q =2, an =128 " an =a1 ∙q
( n − 1)
( n− 1 )
128=2 ∙ 2
n
128=2 ∙ 2 ∙ n
128=2
1 2
n
q −1 S n= a1 ∙ q −1 7
2 −1 S 7= 2 ∙ 2 −1 S 7 =2 ∙
128 − 1 2 −1
S 7= 2 ∙
127 1
(*
Limiti i vargut S 7=2 5 4
n
= 27 " n =7 2
a1= 32,q =
b"
2
, an=−243 n
1 −q S n= a1 ∙ 1−q
( n− 1)
an =a1 ∙q
−243 =32 ∙
( n−1)
( ) −3
−3
=
2
( n − 1)
=
( )
S 6=32 ∙
2
2
1+
3 2 729 64 5 2
64 − 729 64 S 6=32 ∙ 5 2
5
2
S 6=32 ∙
(
−133 32
S 6=−133
n =6
&et'ra(.: Në vargun gjeometrik të gjenden
!4
6
2
S 6=32 ∙
32
n − 1= 5
a4
( ) −3
1−
−243
−3
1−
( n − 1)
−3
( ) ( ) −3
+
an
)
+
dhe n nëse:
a1=7, q = 3, S n=847 a1=1, q =−2, S n=33
gjidhja: a" a1=7, q =3, S n=847 n
q −1 S n= a1 ∙ q −1
an =a1 ∙q
n− 1
n =5
(,
Limiti i vargut n
3 −1 847 =7 ∙ 3 −1 121=
3
242=3
n
−1
n
n
=3 5
3
4
a5 =7 ∙81
−1
=243
5−1
a5 = 7 ∙ 3
2
n
3
a5 =a1 ∙ q
a5 =567
n =5
b"
a1= 3,q =−2, S n=33
an =a1 ∙q
n
n− 1
q −1 S n= a1 ∙ q −1
n =5
(−2)n −1 33=3 ∙ − 2− 1
a5 = a1 ∙ q
(−2 )n−1 33= −1
4
a5 =3∙ (−2 ) a5 =3∙ 16
−33 =(−2 )n−1
a5 =48
(−2)n=−32 (−2)n=(−2)5
5−1
→
n =5
&et'ra(/:r"Voldi është një mësues të %ilit $ pël#en të shkruajë shumë p/tje në provime"akonisht ai fillon semestrin me vetëm (8 p/etje në provimin e parë' mirëpo për se%ilin provim të ardhshëm ai !ëtnë një herë e gj/smë më shumë p/etje se sa ishin në provimin paraprak a4 >a p/etje janë në provimin e d/të? !4 >a p/etje janë në provimin e tretë? %4 Nëse r"Voldi !ëri - provime për një semestër ' sa shumë p/etje kanë të gjitha testet së !ashku? gjidhja:
(=
Limiti i vargut 3 a ¿ a1=10, q = , a2 =? 2
a2 = a1 ∙ q
a2= 10∙
3 2
a2= 15
r"voldi në provimin e d/të kishtë !ërë () p/etje" !4
3 a1=10, q = , a 4=? 2
a3 = a1 ∙ q
2
()
3 a3 =10∙ 2
a3 =10∙
a3 =
2
9 4
45 =22.5 ≈ 23. 2
r"Voldi në provimin e tretë kishte !ërë 2 p/etje"
c"
3 a1=10, q = , n =6, S 6=? 2
n
q −1 S n= a1 q−1
729 − 64 64 S 6=10 1 2
28
Limiti i vargut
S 6=10
( )− 3 2
6
1
3 −1 2
729 −1 64 S 6=10 1 2
S 6=10
S 6=
665 32
3325 =103.9 ≈ 104 32
r"Voldi në gjashtë provimet e semestrit të parë kishte !ërë (8+ p/etje"
&et'ra(0: Nëse ju $ ankoheni hotelit tuaj #ë vaska e nHehtë nuk është edhe a# e nHehtë dhe hoteli ju thotë #ë pas #do ore temperatura do të rritet për (8I"Nëse temperature aktuale është *) ℉ ' sa do të jetë temperatura e vaskë se nHehtë pas orësh? )gjidhja: 9emperatura fillestare është
75
"Nëse temperatura rritet për (8I'
temperatura do të jetë ((8I e temperaturës fillestare"Kështu ("(8"Ehe janë katër terma:
herësi
do të jetë
*)'pas ( ore' pas 2 ore'pas ore an =a1 ∙q
n− 1
a 4= a 1 ∙ q
3
3
a 4=75 ∙ ( 1.10 ) a 4=75 ∙1.331 a 4=99.825
9emperatura e vaskës pas orësh do të jetë
99.825 ℉
"
&et'ra(1: Një kulturë e !akterieve d/fishohet #do 2 orë"Nëse në fillim janë )88 !akterie' sa !akterie do të ketë pas 2+ orësh?
2(
Limiti i vargut )gjidhja:
1ritja e numrit të !akterieve është varg gjeometrik me herës 2"Ndërsa numri $ orëve është varg aritmetik me diferen%ë 2"Kshtu #ë : 13 − 1
an =a1 + ( n −1 ) d
a12= a1 ∙ q
24 =2 + ( n− 1 ) 2
a12=500 ∙ 2
12
24 =2 n
a12=500 ∙ 4096
n =12
a12=2,048,000
"
Numri i !akterieve pas 2+ orësh do të jetë 2'8+,'888"
&et'ra(2: Një punëtor i minierave 6!ulon një mostër mineral #ë përm!an )88 mg të materialit radioaktiv" Jshtë 6!uluar se materiali radioaktiv #do ditë ë kalon 6vogëlohet për gj/smën e tij" Gjeni sasinë e materialit radioaktiv në mostër ne fillim të ditës së *" )gjidhja: a1=500
an =a1 ∙q
n− 1
7−1
() ()
1 2
1 a7 =a1 ∙ 2
n =7
1 a7 =500∙ 2
an =?
a7 =500∙
q=
a7 =
6
1 64
500 64
22
Limiti i vargut a7 = 7.8125
Në fillim të ditës së shtatë mostra përm!an
7.8125
mg material radioaktiv"
&et'ra(3:Kompania /!rid Bars'$n%M prodhon makina" Vitin e parë kompania prodhoi ,8'888 makina" Gradualisht ' prodhimi u rrit me të njëjtin ritëm" Vitin e pestë'kompani prodhoi d/ herë ë shumë makina se në vitin e parë" >a është totali i makinave #ë ka prodhuar kompania deri në vitin e tetë? gjidhja: a1= 80,000 a5 =2 a1 S 8= ?
8
q −1 S 8= a1 ∙ q −1
a5 =2 a1
2 a1=a 1 ∙ q
4
S 8= 80,000 ∙
( q 4 )2 − 1 1.18921 −1 2
q
4
=2
q =√ 2 4
q =1.18921
2 −1 S 8=80,000 ∙ 0.18921 S 8=80,000 ∙ S 8=
3 0.18921
24,000 0.18921
S 8= 1268432
Eeri në vitin e tetë kompania ka prodhuar ('2-,'+2 makina"
&et'ra,4: Nëse në !ankë keni një llogari me ()8@ në të"Ehe #do vit ju fitoni +I interes në llogarinë tuaj' #ë do të thotë se shuma e parave në llogarinë tuaj do të shumë6ohet me ("8+ #do vit"Nëse ju nuk i merrni paratë nga !anka: a4 >a shumë para do të ketë në llogari pas + vitesh? !4 >a shumë para do të ketë në llogari pas 28 vitesh? )gjidhja:
2
Limiti i vargut a4
a1=150 q =1.04 a5 = ?
an =a1 ∙q
n −1
a5 = a1 ∙ q
4
4
a5 =150∙ ( 1.04 ) a5 =150∙ 1.17 a5 =175.5
Pas + vitesh shuma e parave në llogari do të jetë (*)")@" !4
a1=150
q =1.04 a21=?
a21= a1 ∙ q
21 − 1
a21=150 ∙ ( 1.04 )
20
a21=150 ∙ ( 1.04 )
20
a21=150 ∙ 2.2 a21=330
" Pas 28 vitesh shuma e parave në llogari do të jetë 8@"
&et'ra,(: Në një regjion të %aktuar' numri i aksidenteve rritet për 28I në një periudhë prej katër vitesh">a aksidente kanë ndodhur në 288-' nëse në 2882 ishin )(28 aksidente? )gjidhja: a1=5120 q =1.02
a2= ?
an =a1 ∙q
n −1
a2= a1 ∙ q a2= 5120∙ 1.02 a2= 5222.4 ≈5222
Në vitin 288- kanë ndodhur )222 aksidente"
2+
Limiti i vargut
Limiti i vargut >im!oli limO është shkurtimi i fjalës latine limes ose fjalës frenge limite, që do të thotë kufi ose cak.
Përkufizim: Numri #uhet limit i vargut në #oft se për do numër po6itiv vogël #oftë ' ek6iston numri përkatës nat/ral i tillë #ë :
' sado i
" K/ fakt sim!olikisht shkruhet:
dhe leHohet: limiti i kur shkon 3tenton4 në infinit është i !ara!artë me ' ose shkon në kur shkon në infinit" P"sh": a4
!4
%4
'
d4 ndërsa
nuk ek6iston"
Vargu #uhet konvergjent në #oftë se ka limit"Përndr/she ai #uhet divergjent"
Përkufizim:Vargu tillë #ë:
#uhet varg konvergjent' nëse ek6iston një numër real i
" Vargu #ë nuk është konvergjent #uhet varg divergjent"
2)
Limiti i vargut
Për shem!ull: 7
është varg konvergjent' sepse
Kushti i nevojshëm dhe i mjaftueshëm #ë vargu do të ek6istojë një numër nat/ral '
" të konvergjojë është #ë për i tillë #ë: 7 numër nat/ral"
' limiti i të %ilit është 6ero Përkufizim: Vargu pam!arimisht i vogël 3shkurt shënohet: 4 ose 6ero7varg" P"sh"
është një varg
" Kuptohet' do varg
konvergjent' por e anasjellta nuk vlen" Kështu' konvergjent' por nuk është "
Përkufizim: Varga nëse për do numër tillë #ë
' #uhet varg
është varg është varg
#uhet varg pam!arimishr i madh 3shënohet: 4' ' sado i n6adh #oftë numri ' ek6iston numri nat/ral i "
K/ fakt sim!olikisht shënohet:
•
"
Limiti ka edhe format:
5ormat e pacaktuara : 5ormat e caktuara:
∞ ∞ , ∞ −∞ , 1 ∞
1 1 0 =∞ , =0, =0 0 ∞ n
2-
Limiti i vargut
VE*% *6 V7R89EVE K;VER89E;*E arrim d/ vargje konvergjente dhe ' ku dhe Lidhur me këto vargje formulojmë këto rregulla të rëndësishme: *eorema mbi limitin e shumës!ndr'shimit": Limiti i shumës algje!rike të d/ vargjeve konvergjente dhe është i !ara!artë me shumën algje!rike të limiteve të t/re' pra:
"
" •
*eorema mbi limitin e prodhimit: Limiti i prodhimit të d/ vargjeve konvergjente me prodhimin e limiteve të të t/re' pra:
'
është i !ara!artë "
*eorema mbi limitin e herësit: Limiti i herësit të d/ vargjeve konvergjente !ara!artë me herësin e limiteve të t/re' pra:
•
'
' ku
' është i
*eorema mbi limitin e fu
(
lim an = lim an
n →∞
n→ ∞
)
lim bn n→ ∞
onotonia e limitit: an ≤ bn ⇒ lim an ≤ lim b n n →∞
n→∞
*eorema mbi kufizueshmërinë: Vargu konvergjent është i kufi6uar
2*
Limiti i vargut *eorema mbi uniitetin e limitit të vargut: Vargu konvergjent ka limit të vetëm"
*eorema mbi vlerën absolute:
|
|
lim |an|= lim a n
n →∞
n→ ∞
∞ ∞
5orma lim 3 n + 2
&et'ra(: 9ë vërtetohet se
n→∞
2 n +7
=
3 2
"
)gjidhja: Në numërues dhe emërues fu#ia më e madhe është ( përkatësisht n, prandaj edhe numëruesin dhe emëruesin i pjestojmë me n" lim 3 n + 2 n→∞
2 n +7
3 n+ 2
lim
n
= n→ ∞
2 n +7
n
lim 3 +
2
n 3+0 3 = n →∞ = = 7 2+0 2 2+ n
&et'ra,:9ë gjendet limiti i vargut nëse
an =
2 n −1 n+ 3
lim 2 n −1
)gjidhja:
n→∞
n +3
'pasi #ë në numerues dhe emërues fu#ia më e madhe
është('përkatësisht n' pjestojmë me n. lim 2 n −1 n→∞
n +3
lim
= n→∞
2 n −1
n
n +3 n
lim 2−
= n→ ∞ 3 1+
1
n
=
2− 0 =2 1+ 0
n
&et'ra-:9ë njehsohen limitet e vargjeve:
2,
Limiti i vargut lim 7 n −1
lim n
n→ ∞
a¿
c"
4 n+ 3
lim n
2
+2 n
n→∞
n+ 3 2
−2 n + 1
lim ( n− 3)
n→ ∞
b"
2
d"
2
n + 4 n+ 3
n→ ∞ 2
n
+4 n + 3
)gjidhja: lim 7 n −1
a"
lim
7 n −1
n
= n→ ∞
n→∞
4 n+ 3
= n →∞
4 n +3
4+
n
2
lim n −2 n + 1
b"
n→∞ 2
n
+ 4 n+ 3
n
lim
=
2
n
n
+ 4 n +3
=
4 3 1+ + 2 n n
2
lim n
c"
+2 n
lim
n→∞
=
n+ 3
n
2
+ 2n 2
n n+ 3
n→ ∞
n
2
lim 1+
2
lim ( n− 3)
d"
n→ ∞ 2
n
+4 n+3
lim n
= n→ ∞2 n
=
1− 0 + 0 =1 1 +0 + 0
2 n
= n →∞ = 1 =∞ 1 3 0 + 2 n n
2
2
7 −0 7 = 4+0 4
2 1 lim 1 − + 2 n n n→ ∞
n
2
=
n
−2 n + 1
n→∞
n
3
2
2
1
lim 7−
−6 n + 9
+ 4 n +3
n
lim
=
− 6 n +9
lim 1 −
2
n
n→ ∞ 2
n
=
+ 4 n+ 3 n
n→ ∞
1+
2
6 9 + n n2
4 3 + n n2
=
1− 0 + 0 =1 1 +0 + 0
&et'ra.:9ë njehsohen limitet e vargjeve: 2
a"
lim 2 n
n→∞
n→ ∞
( n −1 )2
lim n
b"
3
lim n + 2 n −1
n→ ∞ 4
n
2
c"
2
+n +1
lim ( n + 1 ) ( n + 2 )( n + 3 )
−1
−1
n
+3 n +1
n→ ∞
d"
3
n
1 2
3 4
+ n 2+ n +
5 6
)gjidhja:
2=
Limiti i vargut 2
lim n
a"
+ 2 n −1
n→ ∞
' pasi #ë fu#ia më e madhe është('përkatësisht n' atëherë edhe
( n −1 ) 2
numeruesin edhe emëruesin i pjestojmë me n: 2
+ 2 n−1 2 1 + − lim 1 + 2 n −1 lim n + 2 n −1 lim 2 n n2 1 + 0 −0 n→ ∞ n→ ∞ n n→∞ n→∞ = 2 = 2 = = =1 2 1 1− 0 + 0 ( n −1 )2 n −2 n + 1 n −2 n + 1 1− + lim n
2
n
2
n
2
n
lim n b¿
n→ ∞ 4
n
2
−1
lim n −1
n
lim
=
−1
c"
3
n
2
−1
n
4
4
−1 4
n
4
' pasi #ë fu#ia më e madhe është 'përkatësisht
+n +1
+3 n +1
n→∞ 2
n
:
1 1 − 4 2 n→ ∞ n n 0 = = =0 1 1 1− 4 n
3
lim 2 n
' atëherë edhe
lim
edhe numeruesin edhe emëruesin i pjestojmë me 3
4
+3 n+1
n→ ∞
n
2
n→∞
n
lim 2 n
4, ër!a"ësish" n
'pasi #ë fu#ia më e madhe është
2
n
2
−1
numeruesin edhe emëruesin i pjestojmë me n→∞ 4
n
+n + 1
lim
=
2n
+3 n +1
lim 2 +
3
n
n →∞ 2
n
+n+1 3
n
=
n→ ∞
3 2
n
+
3
n
3
n
' atëherë
:
1 n
1 1 1 + + n n 2 n3
3
=
2 +0 + 0 =∞ 0
lim ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) n→ ∞
d"
1 2 3 5 n + n + n + 2 4 6 3
' pasi #ë fu#ia më e madhe është 'përkatësisht
atëherë edhe numeruesin edhe emëruesin i pjestojmë me
3
n
n
3
'
:
8
Limiti i vargut lim ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) n→∞ 3
n
¿
1 2
3 4
3
2
+ n2 + n +
5 6
+ 3 n + 2 ) ( n + 3 ) lim ( n3+ 6 n2 + 11n + 6 ) = n→∞ =n→∞ 3 5 5 3 1 2 3 1 2 3 n + n + n + n + n + n +
1 2
3
3 4
2
n
5 6
2
2
n + 6 n + 11 n + 6 lim 3 n→∞ n n + n + n +
lim ( n
lim 1+
=
n→ ∞
1+
6
n
4
6
+ 112 +
6
n
n
2
3
1 3 5 + 2+ 3 2n 4 n 6 n
4
6
+0 + 0 + 0 =1 1 +0 + 0 + 0
=1
3
&et'ra/:9ë njehsohen limitet e vargjeve: lim √ 2 n −n + 3
lim √ n + 3 −√ n + 1
a4
2
n→∞
%4
√ n + 1 + √ n + 2
n +3
lim n + 1
lim √ n + 1 2
!4
n→∞
n→∞
d4
n +1
n→ ∞
√ n 2+ 1 3
)gjidhja: lim √ n + 3 −√ n + 1
a"
n→∞
√ n +1 + √ n +2
' pasi #ë fu#ia më e madhe është
1 2
'përkatësisht √ n '
atëherë edhe numeruesin edhe emëruesin i pjestojmë me √ n ' : lim √ n + 3 −√ n + 1
n→∞
√ n +1 + √ n + 2
√ √ √ √
lim
= n→ ∞
n +3 n +1 − n n
n +1 n +2 + n n
√ √ √ √
lim
1+
= n→∞
1+
3 1 − 1+ n n
1 2 + 1+ n n
=
1 −1 0 = =0 1+ 1 2
(
Limiti i vargut lim √ n
2
b"
+1
n→ ∞
'
n +1
pasi #ë fu#ia më e madhe është('përkatësisht n' atëherë edhe
numeruesin edhe emëruesin i pjestojmë me n: lim √ n + 1 2
lim
n→∞
lim √ 2 n
2
c"
2
+1
√
lim 1 +
2
n n +1 n
n →∞
=
n+1
√
n
=
n→∞
1+
1 n
1 n
2
=
1+ 0 =1 1+ 0
−n + 3
n→∞
'
n +3
pasi #ë fu#ia më e madhe është('përkatësisht n' atëherë
edhe numeruesin edhe emëruesin i pjestojmë me n: lim √ 2 n −n + 3 2
n→∞
n +3
lim
=
n→∞
√
2
2 n −n + 3 2
n n +3 n
=
√
1 3 lim 2− + 2 n n n→ ∞ 1+
= √
2− 0 + 0 =√ 2 1 +0
3 n
lim n + 1
d"
n→ ∞
' pasi #ë fu#ia më e madhe është('përkatësisht n' atëherë edhe
√ n 2+ 1 3
numëruesin edhe emëruesin i pjestojmë me n: lim n + 1 n→∞ 3 2
√ n + 1
lim
= n→∞
√ 3
n
n +1 n 2
+1 3
n
lim 1 +
= n→∞
√ 3
1 n
1 1 + n n3
=
1+0 1 = =∞ 0 0
&et'ra0:9ë njehsohen limitet e vargjeve: lim √ 9 n
2
a"
n→∞ 3
√ 8 n3− 2n −4
lim √ n 3
−2n + 3
c"
6
−2 n + 1
n→∞
3n
2
−2
2
Limiti i vargut lim 3 n −2
b"
lim √ n 4
n→ ∞
d"
√ 4 n2−2 n
2
−2 n + 5
n→∞
2
n −2 n
)gjidhja: lim √ 9 n
2
a"
−2n + 3
n→∞ 3
' pasi #ë fu#ia më e madhe është('përkatësisht n' atëherë
√ 8 n3− 2n −4
edhe numeruesin edhe emëruesin i pjestojmë me n:
√
2
√
−2 n + 3 2 3 − + 2 lim 9 −2n + 3 lim 2 n n → ∞ n→ ∞ n n √ 9−0 + 0 √ 9 3 n→∞ = = =3 =3 = 3 3 − − 2 4 8 0 0 √ √ 8 2 √ 8 n3− 2n −4 3 3 8 n −2 n− 4 8− − lim √ 9 n
2
√
9 n
√
3
n
2
n
n
3
lim 3 n −2
b"
n→∞
pasi #ë fu#ia më e madhe është('përkatësisht n' atëherë edhe
√ 4 n2−2 n
numeruesin edhe emëruesin i pjestojmë me n: lim 3 n −2 n→∞
√ 4 n −2 n 2
lim √ n 3
c"
6
lim
= n→ ∞
√
3 n− 2 n
4 n
2
= n →∞
√
2
n
4−
2 n
2 n
=
3−0
√ 4 − 0
=
3 2
−2 n + 1
n→∞
3n
−2 n
lim 3 −
2
−2
2
n
edhe numëruesin edhe emëruesin i pjestojmë me lim √ n 3
6
3n
lim
−2 n + 1
n→∞
2
−2
=
n→ ∞
√ 3
6
n −2 n + 1
3n
2
−2
n
4
d"
2
n
=
n→∞
√ 3
1−
3−
2
1
n
n
+ 5
2
6
2
−2 n
' atëherë
:
3
1− 0 + 0 ❑ 1 = √ = 3 −0
❑
3
2
n
−2n + 5
n→ ∞
2
lim
6
n 2
lim √ n
2, ër!a"ësish" n
' pasi #ë fu#ia më e madhe është
2, ër!a"ësish" n
' pasi #ë fu#ia më e madhe është
edhe numëruesin edhe emëruesin i pjestojmë me
2
n
2
' atëherë
:
Limiti i vargut
lim √ n 4
2
lim
−2 n + 5
n→∞
2
n −2 n
=
n→ ∞
√ 4
√
2
n −2 n + 5 8
n 2 n −2 n 2 n
4
lim
=
n→ ∞
1
2
5
n
n
n
− 7+ 6
1−
8
2
4
0 0 = √ = =0 1
1
n
&et'ra1:9ë njehsohen limitet: a4
lim − 3,−1 … + 2 n − 5
lim 2 + 4 + 6 … 2 n
n→∞
n→∞
lim 1 + n→∞
%4
1 1 1 + … n 2 4 2
n→∞
n+ 2
−
1 + 3 + 5 … 2 n− 1
n
lim log3 3 + log 3 9 + … + log3 3
n→∞
d4
1 1 1 1 + + … n 3 9 3 lim 1 +2 + 3 … n
e4
!4
−2,0,2 … 2 n− 4
2
n
n 2
gjidhja: lim −3,− 1 … 2 n−5
a4
n→∞
−2,0,2 … 2 n −4
−3, −1 … 2 n −5
S n=
n ( −3 +2 n −5 ) 2
S n=
2
n→∞
−2,0,2 …2 n −4
lim n
= n → ∞2 n
−4
−3
=
n→∞
n n
n
4
n
n
− 2
lim
n (−2 + 2 n− 4 ) 2 S n=
n (2 n −6 ) 2
− 4 S n = n 2 −3
2
lim − 3,−1 … 2 n−5
S n=
n ( 2 n −8 ) 2
S n= n 2
−2,0,2 … 2 n− 4
2
− 2
3 n
2
lim 1−
2
=
4
n →∞
1−
3 n
2
n
=
1−0 1 = =1 1−0 1
2
+
Limiti i vargut lim 2 + 4 + 6 …2 n
2 +4 +6 … 2 n
n→ ∞
b) 1+ 3 + 5 … 2 n−1
S n=
1 + 3 + 5 … 2 n−1
n ( 2 + 2n ) 2 2
S n= n
+n
S n=
n ( 1 + 2 n −1 ) 2
S n=
n (2 n ) 2
2
S n= n
2
lim 2 + 4 + 6 … 2 n n→∞
1+ 3 + 5 … 2 n− 1
lim n + n
= n →∞
n
2
lim
=
n →∞
n
2
n
2
+
n n
2
n
2
lim 1 +
= n→∞
1
1 n
=
1 +0 =1 1
2
n
lim 1 + n→∞
%4
1 1 1 + … n 2 4 2
1 1 1 1 + + … n 3 9 3
1+
1−
1 1 1 + +…+ n 2 4 2
S n= 1 ∙
1−
S n=
1−
1 1 1 1 + + … n 3 9 3
S n =1 ∙
1−
S n=
()
1−
1 2
n
1 2
() 1 2
n
1 2
()
1−
1 3
n
1 3
() 1 3
n
2 3
)
Limiti i vargut
() 1 2
1− lim
1 1 1 + … n n → ∞ 2 4 n→∞ 2 = 1 1 1 1 + + … n 1− 3 9 3
1 2
lim 1 +
()
n
1 3
2 3
n
1− 0 1 = 2 = 1−0. 2 3
1 1 2 1 2 3
= 2 =4
S n=
n (1 + n ) 2
3 2
3
d4 lim log3 3 + log 3 9 + … + log3 3
n
n→∞
2
n log 3 3=1 log 3 9= 2
1 +2 +…+n
2
S n=
⋮
log 3 3
n
n
+n
2
=n n
lim log3 3 + log3 9 + … + log3 3
n→∞
2
n
lim
= n →∞
n
2
+n
2 2
2
lim n + n
= n →∞
2
2n
n
lim
=
n →∞
n
2
n
2
2n
+
n n
2
2
lim 1 +
= n→∞
2
1 n
=
1 +0 1 = 2 2
2
n
lim 1 + 2 + 3 … n
e4
n→∞
n+ 2
n − 2
S n=
1 + 2 +… + n
n ( 1 + n ) 2
S n=
lim 1 + 2 + 3 … n n→∞
n+ 2
lim
n
2
+n
n 2 − = n→∞ n +2 2
2
lim n + n
n − = n→∞ 2 2 ( n +2 )
n
2
+n
2
lim ( n + n )−n ( n + 2 ) 2
n − = n→∞ 2
2( n+ 2)
2
=
2
lim n + n −n −2 n
lim − n
n→∞
n→∞
=
2n+ 4
-
2 n+ 4
=
Limiti i vargut
&et'ra2:9ë njehsohen limitet: lim n #
lim n# + ( n + 1 ) #
n →∞
n →∞
b" ( n +2 ) #−( n + 1 ) #
a" ( n + 1 ) # −n #
c"
lim ( n + 1 ) # + ( n + 1 ) #
lim 3 ( n + 1 ) # −6 n #
n→∞
n→∞
d"
n # −( n + 3 ) #
6 n #−18 ( n − 1 ) #
)gjidhja: a4
lim n #
lim n #
lim n #
lim 1
n →∞
n→ ∞
n→ ∞
n →∞
= = = =0 n ( n +1 ) # −n # ( n +1 ) n # −n # n # ( n + 1−1 )
!4 lim n# + ( n + 1 ) # n →∞
lim n# + ( n + 1 ) n # n →∞
=
( n +2 ) # −( n + 1 ) # ( n + 2 ) ( n + 1 ) n #− ( n + 1 ) n#
lim n # ( 1 + n + 1 )
=
lim n + 2
lim
n 2
+
2 2
lim
1 2 + n n2
n→∞ n n→∞ n n→∞ = = = = 2 2 2 2 1 + + n 2 n 1 n 2n 1 ( ) n# n + 3 n + 2− n−1 + 2 + 2 1 + + 2 2 n→ ∞
n
n
n
n n
%4 lim ( n + 1 ) # + ( n + 2 ) #
lim ( n + 1 ) n # + ( n + 2 ) ( n + 1 ) n #
lim n # ( n+ 1+ n
n→∞
n→ ∞
n→ ∞
n # −( n + 3 ) #
=
n# − ( n + 3 ) ( n + 2 ) ( n+ 1 ) n #
2
=
[
n # 1 −( n
3
+3 n +2 )
lim n
2
+ 4 n +3
n→∞ 3
li n 3
= = 2 + 6 n 2+ 11n + 6 ) ] 1−n −6 n −11n−6 −n
d4
*
Limiti i vargut lim 3 ( n + 1 ) # −6 n # n→ ∞
6 n #−18 ( n −1 ) #
lim 3 ( n + 1 ) n ( n −1 ) # −6 n ( n −1 ) #
= n →∞
[
lim 3 ( n −1 ) n ( n + 1 )−n ( n −1 )
= n→ ∞
6 n ( n−1 ) # − 18 ( n−1 ) #
]
6 ( n− 1 ) ( n − 3 )
lim ( n
= n→ ∞
∞− ∞
5orma
&et'ra3:9ë njehsohen limitet e vargjeve: 2 2 lim ( √ n + 3− √ n ) lim ( √ n + 1−√ n −1 ) a" n →∞ b" n →∞ c"
lim n →∞
(√ n + 2 n−n ) 2
d"
lim n →∞
(√ n +n −√ n −2 n ) 2
2
)gjidhja: a"1a%ionali6ojmë shprehjen'shprehja shumë6ohet dhe pjestohet me ( √ n +3 +√ n ) : lim
( √ n + 3 )2− ( √ n )2
( √ n + 3 + √ n ) n → ∞ = lim ( √ n + 3− √ n ) n →∞ ( √ n + 3 + √ n ) ( √ n + 3 + √ n )
lim n + 3 −n
=
n→ ∞
√ n + 3 + √ n
3 ∞
= =0
2 2 b"1a%ionali6ojmë shprehjen me (√ n + 1 + √ n −1 ) :
( √ n + 1−√ n −1 ) ( √ n + 1 +√ n −1 ) ( √ n + 1 +√ n −1 ) 2
lim n →∞
2
2
2
2
lim ( √ n
2
n →∞
+ 1 ) −( √ n 2−1 ) 2
√ n2+ 1+ √ n2−1
2
2
2
lim n
+ 1−n2 + 1
2
= n→ ∞2 = =0 2 √ n +1 + √ n −1 ∞
2 c"1a%ionali6ojm shprehjen me (√ n + 2 n + n )
lim ( √ n
2
2 2 2 + 2 n ) − n lim n + 2 n− n lim 2 n 2 ( n + 2 n + n ) n→ ∞ √ 2 n→∞ n→ ∞ = = = 2 lim ( √ n + 2 n−n ) tani 2 2 2 n →∞ + + + + + + n 2 n n n 2 n n n 2 n n ( √ n + 2 n + n ) √ √ √ 2
pjestojmë me n' pasi #ë edhe fu#ia më e madhe është (3 n4:
,
2
+ n−n 2+ n )
2 ( n − 3)
Limiti i vargut lim n→∞
√
2
n
2n n
lim 2
+2 n n + 2
=
n
n
n →∞
√
1+
2 +1 n
=
2 1 +1
2 2
= =1
2 2 d"1a%ionali6ojmë shprehjen me ( √ n + n + √ n −2 n ) :
lim
( √ n + n ) −( √ n −2 n ) 2
2
2
2
(√ n + n + √ n − 2 n ) n→ ∞ = lim ( √ n + n −√ n −2 n ) n →∞ ( √ n + n + √ n − 2 n ) ( √ n + n +√ n −2 n ) 2
2
2
2
2
2
2
2
lim n
=
2
+ n − n2 + 2 n
n →∞
√ n + n + √ n −2 n 2
2
lim 3 n
=
pjestojmë me fu#inë më të madhe #ë është (' përkatësisht n : lim n→∞
3n n
√ √ 2
n
+n 2
n
+
n
2
lim 3
−2 n
=
2
n
n→ ∞
√ √
1 2 1+ + 1− n n
=
3 1 +1
=
3 2
&et'ra(4:9ë njehsohen limitet e vargjeve: a" c"
lim n →∞
( √ 1−n + n )
lim n →∞
3
3
b"
(√ ( n +1 ) +√ ( n−1 ) ) 3
3
2
2
d"
lim n →∞
lim n →∞
( √ 1−n + √ n ) 3
3
3
( √ n + 5 n + 6 −√ n + 5 n + 2 ) 3
2
3
2
)gjidhja: a" Nga formula
a
3
+ b 3=( a + b ) ( a2− ab +b2 ) e shohim se shprehjen
(√ 1−n + n ) duhet 3
3
3
+¿ n2 2 3 3 ¿ : ta ra%ionali6ojmë me (√ 1−n 3 ) −n √ ¿ 1− n
=
n →∞
√ n2 +n + √ n2−
Limiti i vargut 3
+¿ n2 2 ( √ 3 1−n3 ) −n √ 3 ¿ ¿ 3 2 1− n +¿ n ( √ 3 1−n3 ) 2−n √ 3 ¿ ¿ 3 2 1− n +¿ n ( √ 3 1−n3 ) 2−n √ 3 ¿ ¿ 3 2 1− n +¿ n 2 ( √ 3 1−n3 ) −n √ 3 ¿ ¿ 3 2 1− n +¿ n ( √ 3 1−n3 ) 2−n √ 3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 3 3 lim ( √ 1− n + n ) ¿ 1− n
n →∞
b" Nga formula
a
3
+ b 3=( a + b ) ( a2− ab +b2 ) e shohim se shprehjen
( √ 1−n + √ n ) duhet ra%ionali6uar me ( ( √ 1−n ) −√ 1−n √ n + ( √ n ) ) : 3
3
3
3 2
3
3
33
3
lim ( √ 1 −n
) + ( √ n )
3 3
3
2
3
3
lim 1−n + n ( √ 1−n ) −√ 1−n √ n +( √ n ) ) ( = = lim ( √ 1− n + √ n ) ( (√ 1−n ) −√ 1−n √ n +( √ n ) ) ( ( √ 1 −n ) − √ 1− n √ n+ ( √ n ) ) ( (√ 1−n ) −√ 1−n √ n +( √ 3 2
3
3
3
3 3
3
2
3
3
n→ ∞
3
n →∞
c" Nga formula
3
a
3
2
3
3 3
3
2
3
3
2
3
3 3
n →∞
3
2
3
3
2
+ b 3=( a + b ) ( a2− ab + b2 ) e shohim se shprehjen
( √ ( n + 1 ) + √ ( n −1 ) ) duhet ra%ionali6uar me [( √ ( n+1 ) ) +( √ ( n +1 ) ) ( √ ( n−1 ) )+ √ ( n−1 ) ] : 3
2
n →∞
2
2 2
3
lim
3
3
2
3
2
3
22
(√ ( n +1 ) +√ ( n−1 ) ) ∙ 3
2
3
2
+8
3
3 3
3
Limiti i vargut + [ ( √ ( n+1) ) +( √ ( n +1) )( √ ( n −1) ) +√ ( n−1 ) ] = = [ ( √ ( n+1) ) +( √ ( n +1) )( √ ( n −1) ) +√ ( n−1 ) ] [ (√ ( n +1) ) +( √ ( n +1) )( √ ( n−1 ) ) +√ ( n−1) ] [( √ ( n +1 ) ) +( √ ( n 2
3
2
3
2 2
3
3
2
2
3
22
3
22
lim ( n+ 1 )
2
+ ( n− 1 ) 2
2
lim n
n→ ∞
3
3
2
3
a
d" Nga formula
2
2 2
3
n→∞
3
3
2
2
3
22
3
2 2
3
+ b 3=( a + b ) ( a2− ab + b2 ) e shohim se shprehjen
( √ n +5 n +6 −√ n +5 n +2 ) duhet ra%ionali6uar me : 3
3
2
2
2
2
√ n2 +5 n + 6 + √ n2 +5 n + 6 √ n2 + 5 n + 2 + √ n2 + 5 n + 2 + 3
lim n →∞
3
3
3
( √ n + 5 n + 6 −√ n + 5 n + 2 ) 3
3
2
2
2
2
lim n
2
+ 5 n +6− n2−5 n −2
√ n + 5 n + 6 + √ n + 5 n + 6 √ n +5 n + 2 + √ n + 5 n + 2 = n→ ∞ =3 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 √ n + 5 n + 6 + √ n + 5 n + 6 √ n +5 n + 2 + √ n + 5 n + 2 √ n + 5 n + 6 + √ n + 5 n + 6 √ n + 5 n +2 + √ n +5 n + 2 √ 3
2
3
3
2
3
2
2
∞
5orma
1
&et'ra((:9ë njehsohen limitet e vargjeve: a4
!4
n
lim 2
()
5 lim n →∞ 2
lim n →∞
n
%4
2
lim 2
()
n
2 5
n→ ∞ n
d4
+5 n n
+5 n +1
2
e4
+ 3n+1
n→∞ n
n
lim 3 ∙ 10
n
+3
n→∞
6 ∙10
n −1
n
lim 3∙ 5
f4
+5 ∙102 n
2
+ 102 n− 1
+ 4 ∙52 n
2
n →∞ 2
n −1
10 ∙ 5
2
−2 ∙52 n +1
)gjidhja:
( )=
a4
5 lim n →∞ 2
!4
2 lim n →∞ 5
n
∞
( )= n
0
+(
Limiti i vargut %4 >hprehja pjestohet me fu#inë më të madhe ' emëruesi: lim 2 n→∞ n
2
n
+5
+5
n
lim
=
n
2
n
+5 n
5
n→∞ n
2
+5
5
n
=
n
( )+ = + = = + + ()
2 lim n →∞ 5
n
'përkatësisht numëruesi dhe
n
1
0 1 0 1
n
2 5
n
5
1
1 1
1
d4Në fillim 6!ërthehet fu#ia n+1' pastaj pjestojm me fu#inë më të madhe: n
lim 2
n +1
+3
n→∞ n
2 +3
n+ 1
n
lim 2 ∙ 2 + 3 ∙ 3
= n →∞
n
n
n
2 +3
lim
=
n
2 ∙ 2 + 3∙ 3
n
n
3
n →∞ n
2 +3 3
=
n
() ( )+
n
2 +3 ∙ 1 lim 2 ∙ 3 n→∞ 2 3
n
n
=
1
2 ∙0+ 3 3 = =3 0 +1 1
e4Në fillim 6!ërthehet fu#ia 2n-1'pastaj pjestojmë me fu#inë më të madhe: n
n
lim 3 ∙ 10
2n
+ 5 ∙ 10
n→∞
6 ∙ 10
n −1
n
+ 102 n−1
lim 3 ∙ 10
+ 5 ∙ 10
2n
= n→ ∞
6 1 2n n ∙ 10 + ∙ 10 10 10
lim
=
3 ∙ 10
n
2
lim
2n
10 6 1 2n n ∙ 10 + ∙ 10 10 10
n→∞
10
f4Në fillim 6!ërthehen fu#itë të madhe:
+ 5 ∙ 102 n =
n→ ∞
3 n
10
6 10 ∙ 10
n
+5 ∙ 1
+
1 ∙1 10
=
0+5 = 5 =50 1 1 0+ 10 10
2n
−1 dhe 2 n2+ 1 'pstaj pjestojmë me fu#inë më n
n
lim 3∙ 5
2
+ 4 ∙52 n
2
n →∞ 2
n −1
10 ∙ 5
−2 ∙5
2
2 n +1
lim 3 ∙ 5
=
n
2
+ 4 ∙ 52 n
2
2
lim 3 ∙5
n→∞
1 n 2n 10 ∙5 −2∙ 5 ∙5 5 2
2
=
+ 4 ∙ 52 n
n→ ∞ 2
n −1
10∙ 5
;umri Numri e-është
n
2
−2 ∙ 5
2
2 n +1
lim 3 ∙5
=n→∞
5 ∙5
n
2
n
2
+ 4 ∙ 52 n 2n
−10 ∙5
2
2
lim
=
3∙ 5
+ 4 ∙5 2n
5
n→∞
5∙5
2
n
2
2n
−10 ∙ 5 2n
5
ⅇ
#uajtur sipas matematikani 6vi%eran Leonhard 5uler
+2
lim
2
2n
2
2
2
=
5
n→∞
5 n
5
2
Limiti i vargut së !ashku me 4#(# $ dhe i , para#esin pesë numrat më të rëndësishëm të %ilët gjejnë përdorim të gjithanshëm në matematikë dhe për!ëjnë
Numri e'
identitetin e Eulerit :
"
;umri e është e një konstante e rëndëshishmë matematikore #ë është !a6a e logaritmit nat/ral " Kjo është përafërsisht e !ara!artë me 2,71828 ' dhe
( ) 1 1+ n
është kufiri i
n
kur n tenton në pafundësi (n → ∞) " Ajo gjithashtu
mund të llogaritet si shumë e vargjeve të të pafundme:
1rjedhimisht vargu i dhënë konvergjon dhe limitin i tij' e tij e shënojmë me e:
( )=
1 lim 1 + n n →∞
( )=
n
e
1 lim 1 − n n →∞
dhe
n
−1
e
3(4
Numri e7është numër ira%ional dhe duket kështu: 2"*(=2,(,2,++)=&
;umri e logaritmit
para#et edhe !a6ën e nat/ral (ln x ) "
&et'ra(,:Euke 6!atuar rela%ionin 3(4 të njehsohen limitet: a"
(
1 lim 1 + 2n n →∞
)
n
c"
( )
lim 1 − n →∞
1 n
n
2
+
Limiti i vargut
(
1 lim 1 − 2n n →∞
b"
)
n −1
( )
n
2 lim 1 + n n →∞
d"
)gjidhja:
(
)
(
)
1 lim 1 + 2n n →∞
a">hprehjen
n
e transformojmë në mën/rë #ë ta 6!atojmë re6ultatin
3(4 :
(
1 lim 1 + 2n n →∞
)
n
1 = lim 1 + 2n n→ ∞
2n ∙
1 2
<
( ( ))
<
( (
1 lim 1 + 2n n→∞
2n 1 2
<
1 2
e
b">i në rastin e parë:
(
1 lim 1 − 2n n →∞
c"
(
1 = lim 1 − 2n n →∞
)
2n∙
1 2
( ) [ ( )]
lim 1 − n →∞
)
n
n
1 n
2
= lim 1− n→∞
1
n
2
1 n
2
1 lim 1 − 2n n→∞
n
−1
<
e
2
−lim 1
∙n
2
))
2n 1 2
n→ ∞
=e
= e0 =1
n
− lim 1
6ëvendësojmë:
d"
n −1
( )
2 lim 1 + n n →∞
6ëvendsojmë:
n→∞
n
=0
( ) [ ( )]
1 = lim 1 + n n→ ∞ 2
n− 1
=
1 lim 1 + n n →∞ 2
n 2 ∙ ( n− 1 ) 2 n
=e
2 lim ( 2 − ) n
n →∞
<
e
2
2 n −2 2 lim 2− − 2 2 n −2 = n → ∞ n = n → ∞ n = 2 0 =2 lim 2 − = lim n n→∞ n n 1 1 n →∞ n
( ) (
)
lim
++
Limiti i vargut &et'ra(-:9ë njehsohen limitet:
(
lim 1 +
)
(
2n
3
a"
n →∞
b"
1 lim 1 + 4 n +1 n →∞
n +1
c"
(
lim n →∞
)
n 3
(
2 n−2
)
n+ 4
√ 2 1− +
1 lim 1 − 3 2 n →∞ n −n + 3 n
d"
)
1 n
)gjidhja: a"
(
lim 1 + n →∞
)
3 n+1
= lim 1 + n→ ∞
ëvendsojmë:
b"
( ) [ ( ) ]
2n
(
= lim 1 +
n +1 3
lim
n→ ∞
n→ ∞
n +1
1 lim 1 + 4 n +1 n →∞
1
lim 6 n
=
2n
n→ ∞
6n
n
lim 6
=
n +1 n
1+
) [ ( 2 n−2
1 = lim 1+ 4 n+1 n→∞
lim 2 n −2
lim
2 n−2
4 n+ 1
1
c"
lim n →∞
(
n 3
)
=e
1
) ]
4 n + 1 2 n− 2 4 n+ 1
4+
= e6
6 1
lim 2 n− 2 n→ ∞
4 n+ 1
=e
=e
1 2
2
n
1
− =2 0= 2=1 4+ 0 4 2
n
n+ 4
= lim 1−
n+ 3
n +1
= =6
n+ 3 (n + 4 ) √ 2 n +3 √ 2
( ) [ ( )]
= lim 1− n→ ∞
1+0
lim 6 n n→ ∞
n
n
√ 2 1− +
n +1 3
6
=n→ ∞
4 n +1
n+ 4
1
lim 2 −
n
=n→ ∞
%ë&ends'(më : n→ ∞
=
n→∞
3 n +1 ∙2 n n+ 1 3
n→∞
√ 2
1
n +3
− lim ( n+ 4 ) √ 2 n→ ∞
n+ 3
=e
= e √ 2
√ 2
+ − lim ( n + 4 ) √ 2 − lim √ 2 n 4 √ 2 − lim √ 2 + 4 √ 2 n n n→∞ n→∞ n→ ∞ √ 2 +0 = √ 2 = = = 6ëvendsojmë: n+ 3 n +3 3 1 +0 1+ n
d"
(
lim 1 − n →∞
) [ ( 3
1 n
3
2
−n + 3 n
n→∞
1 3
n
2
−n + 3 n
) ]
3
n n −n +3 n 3 2 n −n + 3 n 3
n
= lim 1 −
n
2
lim n
3
n→ ∞ 3 2
= e n − n + 3 n = e 1= e
+)
Limiti i vargut 3
3
lim
lim n
6ëvendësojmë:
n
n
n →∞ 3 2
−n + 3 n
=
n
3
lim 1
3
n
n→ ∞
n →∞
=
2
−n + 3 n
1−
3
n
1 3 + n n2
1 1
= =1
&et'ra(.:9ë njehsohen limitet:
( )
a"
1 lim ln 1 + n n →∞
c"
n + 2 lim ln n −3 n →∞
(
n
b"
lim ln 1 + n →∞
(
( )
n
)
n
4 n+1
2
− 2n + 7 lim ln 2 c" n →∞ n − n +5 n
n+ 1
)
)gjidhja: a"
b"
c"
( )
1 lim ln 1 + n n →∞
(
lim ln 1 + n →∞
n
n+1
( )
n→ ∞
(
n
)
n
4
n + 2 lim ln n −3 n →∞
ln lim 1 +
( )=
1 =ln lim 1 + n n →∞
(
n
=ln lim 1 + n →∞
n + 2 −n + 3 n −3
n +1
)
n
n
(
[ ( ) ]
=ln lim 1 + n→∞
1
n +1 4
5 n −3
4 n n+ 1 n+ 1 4
lim 4 n n→∞
=ln e
(
) =¿
)
[ ( )]
n + 2 = lnlim 1+ −1 n −3 n→ ∞
=ln lim 1 + n →∞
)
n
4
( )
n + 2 = ln lim n→ ∞ n−3
ln e =1
n
= ln e4 =4
n
= ln lim 1 + n →∞
n+ 1
1
n− 3 5
5n n− 3 n− 3 5
lim 5 n n →∞
= ln e
n−3
= ln e5 =5
+-
Limiti i vargut d" ( n + 1 ) ( 2−n ) −1 = =−1. ln e 2 n→∞ n − n +5 n+ 1 n +1 n+ 1 2 2 2 2 n − 2n + 7 n −2 n + 7 n −2n + 7− n + n−5 2− n =ln lim 1 + 2 −1 =ln lim 1 + = ln lim 1 + 2 lim ln 2 2 n →∞ n →∞ n→ ∞ n→ ∞ n − n +5 n −n + 5 n − n+ 5 n −n lim
(
)
lim ( n + 1 ) ( 2− n ) n→∞ 2
n
−n + 5
(
)
¿
(
)
(
−n2 n 2 lim 2 + 2 + 2
−n2 +n + 2 n→ ∞ n n n −1 + 0 +0 = lim ¿ 2 = = =−1 2 1−0 + 0 n →∞ n −n + 5 n n 5 − 2+ 2 2 n
n
n
Përdorimi i limitit në jetën e përditshme Limiti gjen përdorim të madh në jetën e përditshmë' ka shumë dukuri të %ilat ne i hasim do ditë dhe #ë mund të shpjegohen përmes limitit" Eisa shem!uj #ë lidhen me limitet janë: Për të gjetur sipërfa#en nën një lakore" Për të gjetur sipërfa#en e poligoneve' duke e ndarë në trekëndësha dhe pastaj duke i m!ledhur ata: • •
Siër)aq(a = lim * n n→ ∞
+*
Limiti i vargut * n= S n • • •
•
•
•
Në makina' përkatësish në matësin e shpejtësisë" Në lojëra olimpike' rekordet ' p"sh në vrapim Në trafik' p"sh vetëm një sasi e %aktuar e automjeteve mund të kalojnë përnjëherë në një rrugë" Në kimi'reagimi i d/ su!stan%ave #ë me kalimin e kohës formojnë një su!stan%ë të re" Kur një %opë akulli !ie në një gotë me ujë të nHehtë' temperatura e ujit do të fillojë ti afrohet temperaturës së dhomës' në këtë rast koha tenton në infinit" esa6het' janë një tjetër dukuri e limitit' në disa rrjete mund të dërgoni vetëm një mesa6h ose edhe kur sim!olet !renda një mesa6hi janë të kufi6uara'
=iteratura •
• •
atematika'((7inir 5fendija'Camil aHhi!e#iri'1amadan Limani Qikipedia7Numri e7 http:s#"Rikipedia"orgRikiNumriSe Vargjet Numerike7Armend >ha!ani Eet/ra të ndr/shme7 http:RRR"shmoop"%omseriesRord7pro!lem7 eHer%ises72"html' http:RRR"regentsprep"org1egentsmathalgtrigA9P2>e#uen%eQo rdpra%ti%e"htm
+,
