x +1 2 +1 3 = lim = x → 2 x+2 2+2 4 x+3 4 ) lim ⇒ ( pasi emruesi tenton në 0 dhe numruesi ≠ 0 ⇒ lim iti nuk ekziston ) x →5 5 − x x ( x − 5) + 2 ( x − 5) x 2 − 3 x − 10 x2 − 5 x + 2 x − 10 5 ) lim = lim = lim = x →5 x →5 x →5 x−5 x−5 x−5 ( x + 2 ) ( x − 5) = lim = lim ( x + 2 ) = 7 x →5 x →5 x−5 2 x ( x − 2) + 3 ( x − 2) x + x−6 x2 − 2 x + 3 x − 6 6 ) lim = = lim = lim = x→2 x→2 x→2 x−2 x−2 x−2 ( x + 3) ( x − 2 ) = lim = lim ( x + 3) = 5 x→2 x→2 x−2 x ( x − 3) + 2 ( x − 3) x2 − x − 6 x2 − 3 x + 2 x − 6 7 ) lim 2 = lim 2 = lim = x →−2 x + 3 x + 2 x →−2 x + 2 x + x + 2 x →−2 x ( x + 2 ) + ( x + 2) 3) lim x→2
( x + 2 ) ( x − 3) x →−2 ( x + 1) ( x + 2 )
= lim
8 ) lim x →1
= lim
x →−2
x − 3 −5 = =5 x + 1 −1
x ( x − 1) + 5 ( x − 1) x2 + 4 x − 5 x2 − x + 5 x − 5 = lim = lim = 2 x →1 ( x − 1) ( x + 1) x →1 x −1 ( x − 1) ( x + 1)
( x + 5 ) ( x − 1) x →1 ( x − 1) ( x + 1)
= lim
= lim x →1
x+5 6 = =3 x +1 2
( ) (
x x −2 x −2 x +2 lim = lim ⋅ = lim x →4 x − 4 x →4 x − 4 x + 2 x→4 ( x − 4 )
9)
= lim x→4
10 )
x−4
( x − 4) (
x +2
)
= lim x →4
1 x +2
x →9
x−9
( x − 9) (
x +3
)
= lim x →9
x →9
1 x +3
=
− 22 x +2
)
=
)
=
1 4
( x) x +3 = lim x +3 ( x − 9) (
x −3 x −3 lim = lim ⋅ x →9 x − 9 x →9 x − 9
= lim
=
2
1 6
2
− 32 x +3
(
)
2
x + 1 − 22 x +1 − 2 x +1 − 2 x +1 + 2 11) lim = lim ⋅ = lim = x →3 x →3 x−3 x−3 x + 1 + 2 x →3 ( x − 3) x + 1 + 2 = lim x →3
f ( x) dhe lim+ f ( x) 14 ) Të caktohet limiti i djathtë dhe i majtë xlim →3− x →3 2 x 2 − x; për x < 3 nëse f ( x) = 3 − x; për x ≥ 3 2 lim− f ( x) = 2 ⋅ 3 − 3 = 15
x →3
lim f ( x ) = 3 − 3 = 0
x →3+
f ( x) dhe lim+ f ( x) 15 ) Të caktohet limiti i djathtë dhe i majtë xlim →−1− x →−1
lim− f ( x) =
x →−1
1 1 =− −1 − 1 2
lim+ f ( x ) = ( −1) + 2 ⋅ ( −1) = 1 − 2 = −1 2
x →−1
2
− 32
2x −1 + 3
2x − 1 + 3
2 1 = x →5 6 3 13) lim ( 2sin x + cos x ) = 2sin 0o + cos 0o = 2 ⋅ 0 + 1 = 1
nëse
)
2
= lim
1 ; nëse x < −1 f ( x) = x − 1 x 2 + 2 x; nëse x ≥ −1
1 4
=
=
)
=
-Të caktohen limitet kur x → ∞ 1 =0 x →∞ x →∞ x n 2 ) lim ( 1 − x 2 + x3 − 3 x4 ) = lim ( −3 x4 ) = −3lim ( x4 ) = −∞
1) lim x n = ∞; lim x →∞
x →∞
x →∞
3) lim ( 1 − 2 x ) ( x + 5 ) = lim ( x + 5 − 2 x − 10 x ) = lim ( −2 x2 ) = −∞ 2
x →∞
x →∞
x →∞
2 3 x 2 1 − + 2 x − 2x + 3 x2 1 x x 4 ) lim 2 = lim = lim 2 = x →∞ 2 x + 5 x + 1 x →∞ 5 1 x→∞ 2 x 2 x2 2 + + 2 x x 2
1 x3 3 − 3 3 1 − 3x x = lim −3x = − 3 5 ) lim 3 = lim x →∞ 2 x − 6 x + 2 x →∞ 6 2 x →∞ 2 x3 2 x3 2 − 2 + 3 x x 1 x2 + 2x + 1 2x 2 x 6 ) lim 2 = lim = lim 2 = lim =0 x →∞ 3 x + 2 x − 7 x →∞ 2 7 x→∞ 3 x x →∞ 3 x 2 x 3 + − 2 x x 1 5 x 2 1 + − 2 2 x + x−5 x2 1 x x 7 ) lim = lim = lim = −1lim = 0 3 x →∞ 1 − 2 x − x 3 x →∞ x →∞ x →∞ 2 x −x 1 x 3 3 − 2 − 1 x x 3
6 2 x2 3 − + 2 3x − 6 x + 2 3 x2 3 x x 8 ) lim = lim = lim = lim x = ∞ x →∞ x →∞ x →∞ 2 x 9 2x − 9 2 x →∞ x2 − x 1 x3 3 − 2 3 3 1 − 2x x = lim −2 x = −2 lim x 2 = −∞ 9 ) lim = lim x →∞ x + 1 x →∞ x →∞ 1 x →∞ x x 1 + x 2
-Të caktohen limitet e mëposhtme duke shfrytëzuar barazimin: sin x =1 x→0 x
lim
sin 5 x 5 ⋅ sin 5 x sin 5 x = lim = 5 ⋅ lim = 5 ⋅1 = 5 x →0 x →0 x →0 x 5x 5x sin x sin x 1 1 2 ) lim = lim lim = 1⋅ = 1 x → 0 x ⋅ cos x x →0 x x→0 cos x 1 2 2 cos x cos x sin x ⋅ cos x sin x 3) lim = lim = lim = lim ⋅ lim cos x = 1 ⋅ cos 0o = 1 ⋅ 1 = 1 x → 0 x ⋅ ctgx x →0 x →0 cos x x →0 x x x →0 x⋅ sin x sin 5 x sin 5 x 5 x ⋅ 8 x sin 5 x 8x 5x 1 5 5 4 ) lim = lim ⋅ = lim ⋅ lim ⋅ lim = 1 ⋅ lim ⋅ = 1⋅1 ⋅ x → 0 sin 8 x x →0 sin 8 x 5 x ⋅ 8 x x→0 x →0 sin 8 x 8 5 x x →0 sin 8 x x →0 8 x 8 8x 2 6x − 2 x sin 5 x -Janë dhënë funksionet f(x)= të caktohet limiti i funksioneve dhe g ( x) = 8x x f(x)+g(x) dhe f(x)g(x) kur x anon në 0. 1) lim
x ( 6x − 2) 6 x2 − 2 x 6x − 2 1 = lim = lim =− x→0 x →0 x→0 x →0 8x 8x 8 4 sin 5 x lim g ( x ) = lim =5 x→0 x →0 x 1 19 lim ( f ( x) + g ( x) ) = − + 5 = x→0 4 4 1 5 lim ( f ( x) ⋅ g ( x ) ) = − ⋅ 5 = − x→0 4 4 lim f ( x) = lim
-Të caktohen limitet e mëposhtme duke shfrytëzuar barazimin: x
1 lim 1 + = e x →∞ x 3 1 1) lim 1 + =lim 1 + x→ ∞ x→ ∞ x x 3 x
Vazhdueshmëria 1) A është i vazhdueshëm funksioni në pikën e dhënë: a ) f ( x) = 2 x 3 − x + 5, x = 1
x+2 , x =1 x +1 2x − 4 f ( x) = ,x = 2 3x − 2 2x + 1 f ( x) = ,x = 2 3x − 6 x −2 f ( x) = ,x = 4 x−4 x + 1; x < 0 f ( x) = ; x=0 x − 1; x ≥ 0
b ) f ( x) = c) d) e) h)
Zgjidhje: a ) lim f ( x ) = 7 = f (1) pra është i vazhdueshëm në pikën x=1 x →1 x+2 3 = = f (1) ⇒ i vazhdueshëm në x=1 x →1 x →1 x + 1 2 2x − 4 c ) lim f ( x) = lim = 0 = f (2) ⇒ i vazhdueshëm në x=2 x→2 x →2 3x − 2 2x + 1 5 d ) lim− f ( x) = lim− = lim− − = −∞ x→2 x→ 2 3x − 6 x→ 2 0 2x + 1 5 lim+ f ( x ) = lim+ = + =∞ x→2 x →2 3x − 6 0
b ) lim f ( x) = lim
⋅x
lim
2x
=e x →∞x −1 =e 2
2x + 1 nuk ekziston, prandaj funksioni nuk është i vazhdueshëm në x →2 3 x − 6
Pra lim f ( x) = lim x→2
x=2
e ) lim f ( x) = lim x →4
x→4
(
)( ( x − 4) ( x −2
x +2 x +2
)
) = lim x→ 4
1 x +2
=
1 4
f ( x) egziston funksioni ka ndërprerje në x=4 për shkak se nuk është i edhe pse lim x→4 definuar në atë pikë.Rrespektivisht f(4) nuk egziston. h ) lim− f ( x) = lim− ( x + 1) = 1 x →0
x →0
lim f ( x) = lim+ ( x − 1) = −1
x →0+
x→0
f ( x) nuk egziston sepse ⇒ lim+ f ( x) ≠ lim− f ( x ) pra lim x→0 x →0 x→0 prandaj funksioni nuk ëhtë i vazhdueshëm në x=0 2 ) Në cilat pika është i vazhdueshëm ndërsa në cilat pika ka nërprerje funksioni: 3x − 2 a ) f ( x) = ( x + 3) ( x − 6 ) x x −x 2 x + 3; x ≤ 1 c ) f ( x) = 6 x − 1; x > 1
b ) f ( x) =
2
x + 1; x < 1 d ) f ( x) = 2 − x; x ≥ 1 Zgjidhje: a ) lim f ( x ) dhe lim f ( x) nuk egzistojnë (funksioni as nuk është i definuar në ato pika) x →−3 x →6 prandaj f(x) është i vazhdueshëm në çdo pikë përveç në x=-3 dhe x=6 në të cilat ka −11 −11 f ( x) = − = −∞; lim+ f ( x) = + =∞ ndërprerje. xlim − →−3 x →−3 0 ⋅ ( −9 ) 0 ⋅ ( −9 ) njësoj:
lim f ( x ) = −∞; lim+ f ( x) = ∞
x →6−
x →6
x = −1 funksioni prapseprap ka ndërprerje në x=0 për x ( x − 1) shkak se nuk është i definuar në atë pikë( f(0) nuk egziston) gjithashtu edhe në pikën x=1 ka ndërprerje për shkak se edhe në atë pikë do të kemi. 1 1 lim− f ( x ) = − = −∞ ; lim+ f ( x) = + = ∞ ⇒ lim f ( x) nuk egziston. x →1 x →1 x →1 0 0 c ) 2x+3 dhe 6x-1 janë polinome,prandaj ato janë të vazhdueshme për çdo x përveç f ( x) = lim b ) edhe pse lim x→0 x →0
ndoshta në x=1.
lim f ( x) = lim+ ( 6 x − 1) = 5; lim− f ( x) = lim− ( 2 x + 3) = 5
x →1+
x →1
x →1
x →1
f ( x) = f (1) ⇒ funksioni është i vazhdueshëm edhe në pasi që f (1) = 5 ⇒ lim x →1
pikën 1. d ) Njësoj si në rastin paraprak diskutabile është vetëm pika x=1. lim f ( x ) = lim− ( x + 1) = 2; lim+ f ( x ) = lim+ ( 2 − x ) = 1
x →1−
x →1
x →1
x →1
pasi që limiti në pikën x=1 nuk egziston, funksioni nuk është i vazhdueshëm në atë pikë.
Asimptotat -Të gjinden asimptotat e funksioneve të mëposhtme: 3x − 1 x+2 x2 + 2 b ) f ( x) = 2 x −1 x+2 c ) f ( x) = 2 x x 2 + 3x − 5 d ) f ( x) = 2 x − 5x + 6 a ) f ( x) =
Zgjidhje:
3 x − 1 −7 = = −∞ ⇒ drejtëza x = −2 është asimptotë vertikale. x + 2 0+ 1 x3 − f ( x) 3x − 1 x a = lim = lim = lim =0 x →∞ x →∞ x →∞ 2 x x ⋅ ( x + 2) 2 x 1 + x 3x − 1 3x − 1 b = lim [ f ( x ) − ax ] = lim − 0 ⋅ x = lim =3 x →∞ x →∞ x →∞ x+2 x+2 ⇒ y = ax + b = 0 ⋅ x + 3 rrespektivisht drejtëza y=3 është asimptotë(horizontale) b ) lim− f ( x) = lim− f ( x) = ∞ ⇒ drejtëzat x=1 dhe x= −1 janë asimptota vertikale. a ) lim+ f ( x ) = lim+ x →−2
x →1
a = lim x →∞
x →−2
x →−1
f ( x) x2 + 2 = lim =0 x →∞ x x ( x 2 − 1)
x2 + 2 x2 + 2 b = lim 2 − 0 ⋅ x = lim 2 =1⇒ x →∞ x − 1 x →∞ x − 1
drejtëza y=1 është asimptotë horizontale. c ) lim f ( x) = ∞ ⇒ x = 0 është asimptotë vertkale. x →0 a = lim x →∞
f ( x) x+2 = lim 3 = 0 x →∞ x x
b = lim [ f ( x ) − 0 ⋅ x ] = lim x →∞
x →∞
x+2 =0 x2
pra drejtëza y=0 është asimptotë horizontale.
d ) f ( x) =
x 2 + 3x − 5 x2 + 3 x − 5 x2 + 3 x − 5 x2 + 3 x − 5 = = = x 2 − 5 x + 6 x2 − 2 x − 3 x + 6 x ( x − 2 ) − 3 ( x − 2 ) ( x − 2 ) ( x − 3 )
f ( x ) = ∞ dhe lim f ( x ) = ∞ ⇒ drejtëzat x=2 dhe x=3 janë asimptota pasi që xlim →2 x →3 vertikale. −
