Análisis Estructural: Resistencia y Deflexión de vigas de acero

An€lisis Estructural Resistencia y Deflexi•n de vigas de acero

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Contenidos Art€culos Definici•n

1

An‚lisis estructural

1

Esfuerzo interno

2

Elasticidad (mec‚nica de s•lidos)

5

Resistencia de materiales

12

Tensor tensi•n

17

Flexi•n mec‚nica

18

Tensi•n mec‚nica

22

Viga

24

Esfuerzo cortante

29

Coeficiente de Poisson

29

Tensor deformaci•n

31

Pilar

34

Ley de elasticidad de Hooke

36

M•dulo de Young

38

Rigidez

41

Constante el‚stica

44

Teor€a de placas y l‚minas

47

Mec‚nica de s•lidos deformables

51

Fuerza

53

Isotrop€a

61

Referencias Fuentes y contribuyentes del art€culo

62

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes

63

Licencias de art€culos Licencia

64

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Definici€n An€lisis estructural se refiere al uso de las ecuaciones de la resistencia de materiales para encontrar los esfuerzos internos que act•an sobre una estructura resistente, como edificaciones o esqueletos resistentes de maquinaria.

An€lisis estructural

M•todos de an€lisis estructural Determinaci‚n de esfuerzos

El tipo de m‚todo empleado difiere seg•n la complejidad y precisi€n requerida por los cƒlculos: „ As… para para dete determi rminar nar esfu esfuerz erzos os sobre sobre marcos o p‚rticos se usa frecuentemente el m‚todo matricial de la rigidez basado en el modelo de barras largas, que modeliza los elementos resistentes como elementos unidimensionales sometidos predominantemente a flexi€n „ Cuando Cuando se trata de analizar analizar elementos elementos mƒs peque†os peque†os o con forma irregula irregularr donde pueden pueden producirse producirse concentraciones de tensiones se usan m‚todos num‚ricos mƒs complejos como el M‚todo de los elementos finitos.

Modelo material Dentro del anƒlisis estructural es importante modelizar el comporamiento de los materiales empleados mediante una ecuaci€n constitutiva adecuada. Los tipos modelos de materiales mƒs frecuentes son: „ „ „ „

Modelo Modelo elƒsti elƒstico co line lineal al e is€tro is€tropo. po. Modelo Modelo elƒs elƒstic ticoo lineal lineal otro otrotr€ tr€pic pico. o. Modelo Modeloss de plastic plasticida idadd y viscop viscoplas lastic ticida idad. d. Mode Modelo loss de da†o da†o..

Referencia Enlaces externos

„ Rese†a Rese†a hist€ric hist€ricaa del anƒlisis anƒlisis estructural estructural (http:/ (http:/ / www.virtual. www.virtual.unal. unal.edu. edu.co/ co/ cursos/ cursos/ sedes/ sedes/ manizales/ manizales/ 4080020/ 4080020/ Lecciones/ Capitulo Capitulo 1/ NACIMIENTO NACIMIENTO DEL ANALISIS ESTRUCTURAL .htm) . htm)

Esfuerzo interno

Esfuerzo interno En ingenier…a estructural, los esfuerzos internos son magnitudes f…sicas con unidades de fuerza sobre ƒrea utilizadas en el cƒlculo de piezas prismƒticas como vigas o pilares y tambi‚n en el cƒlculo de placas y lƒminas.

Definici‚n Los esfuerzos internos sobre una secci€n transversal plana de un elemento estructural se definen como un conjunto de fuerzas y momentos estƒticamente equivalentes a la distribuci€n de tensiones internas sobre el ƒrea de esa secci€n. As…, por ejemplo, los esfuerzos sobre una secci€n transversal plana ‡ de una viga es Representaci€n grƒfica de las tensiones o componentes del tensor tensi€n en un punto de un cuerpo. igual a la integral de las tensiones t sobre esa ƒrea plana. Normalmente se distingue entre los esfuerzos perpendiculares a la secci€n de la viga (o espesor de la placa o lƒmina) y los tangentes a la secci€n de la viga (o superficie de la placa o lƒmina): „ Esfuerzo normal (normal o perpendicular al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones normales ˆ, es decir, perpendiculares, al ƒrea para la cual pretendemos determinar el esfuerzo normal. „ Esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones cortantes ‰, es decir, tangenciales, al ƒrea para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.

Esfuerzos en vigas y pilares Para un prisma mecƒnico o elemento unidimensional los esfuerzos se designan como: „ Esfuerzo normal ( N x) „ Esfuerzo cortante total (V , T o Q) „ Esfuerzo cortante seg•n Y (V y) „ Esfuerzo cortante seg•n Z (V z) Dado un sistema de ejes ortogonales, en que el eje X coincide con el eje baric‚ntrico de un elemento unidimensional con secci€n transversal uniforme los anteriores esfuerzos son las resultantes de las tensiones sobre cada secci€n transversal: En un abuso de lenguaje, es com•n tambi‚n denominar esfuerzos a: „ Momento torsor ( M x) „ Momento flector „ Momento flector seg•n Z ( M z) „ Momento flector seg•n Y ( M y) „ Bimomento ( B€)

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Esfuerzo interno Donde es el alabeo seccional de la secci€n transversal. Cada uno de estos esfuerzos van asociados a cierto tipo de tensi€n: „ tensi€n normal, el esfuerzo normal (tracci€n o compresi€n) implica la existencia de tensiones normales ƒ, pero estas tensiones normales tambi‚n pueden estar producidas por un momento flector, de acuerdo con la ley de Navier. Los bimomentos tambi‚n provocan tensiones normales por efecto del alabeo seccional. „ tensi€n tangencial, por otro lado los esfuerzos cortantes y el momento torsor implican la existencia de tensiones tangenciales „. C€lculo pr€ctico de esfuerzos en prismas

Consideremos la viga o prisma mecƒnico que se observa en la primera figura y supongamos que se encuentra vinculado al resto de la estructura de forma isoestƒtica. Supondremos tambi‚n que sobre este prisma act•an fuerzas externas activas en el plano de su eje baric‚ntrico (o l…nea recta que uno los baricentros de todas las secciones transversales rectas del prisma). El primer paso es dividir el r…gido en dos bloques mƒs peque†os. Quedan determinados los bloques 1 y 2 de la figura. Seguidamente estudiaremos el bloque 1, donde aparecen 2 fuerzas externas reactivas actuando ( P1 y P1). Como se puede ver este bloque ahora no se encuentra vinculado isoestƒticamente, as… que para que pueda quedar en equilibrio deben existir fuerzas que equilibren al mismo. Estas fuerzas son fuerzas reactivas tambi‚n y corresponden a la acci€n del bloque 2 sobre el bloque 1. Las fuerzas reactivas del bloque 2 sobre el 1 pueden ser reducidas a una fuerza y un momento actuando sobre el baricentro de la secci€n recta A. De hecho estas fuerzas y momentos son la fuerza resultante y el momento resultante de la distribuci€n de tensiones sobre el ƒrea recta A. Como estamos tratando el caso especial de fuerzas externas activas actuando sobre el plano del eje baric‚ntrico, el momento y la fuerza al que se reducen las fuerzas reactivas del bloque 2 sobre el bloque 1, deben de ser una fuerza contenida en dicho plano y un momento perpendicular a mismo plano. Llamaremos a la fuerza R2-1 del bloque 2 sobre el bloque y al momento lo llamaremos M 2-1. La fuerza R2-1 puede descomponerse en una componente vertical y otra horizontal en el plano que se halla contenida. Llamaremos R2-1, y a la fuerza descompuesta en sentido vertical y R2-1, x a la descompuesta en sentido horizontal. Resumiendo tenemos que el sistema de fuerzas en equilibrio que estƒ formado por: „ Las fuerzas activas externas sobre el bloque 1. „ Las fuerzas reactivas P1 y P2. „ Las fuerzas reactivas R2-1, x, R2-1, y y el momento M 2-1. A las fuerzas reactivas R2-1, x, R2-1, y y al momento M 2-1 se los conocen como esfuerzos internos. Y representan respectivamente el esfuerzo normal ( N = R2-1, x), el esfuerzo de corte (Q = R2-1, y) y el Momento flector ( M f = M 2-1).

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Esfuerzo interno

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C€lculo de tensiones en prismas

En piezas prismƒticas sometidas a flexi€n compuesta (no esviada y sin torsi€n), el cƒlculo de las tensiones resulta sencillo si se conocen los esfuerzos internos, para una pieza sim‚trica en la que el centro de gravedad est‚ alineado con el centro de cortante y con un canto total suficientemente peque†o comparado con la longitud de la pieza prismƒtica, de tal manera que se pueda aplicar la teor…a de Navier-Bernouilli, el tensor tensi€n de una viga viene dado en funci€n de los esfuerzos internos por:

Donde las tensiones normal (ˆ) y tangencial (‰) pueden determinarse a partir de los esfuerzos internos . Si se considera un sistema de ejes principales de inercia sobre la viga, considerada como prisma mecƒnico, las tensiones asociadas a la extensi€n, flexi€n y cortante resultan ser:

Donde es el coeficiente que relaciona la Tensi€n cortante mƒxima y la tensi€n cortante promedio de la secci€n. Un criterio frecuentemente empleado para las vigas metƒlicas es verificar que en todas las secciones se verifique la siguiente condici€n:

Siendo la tensi€n •ltima o tensi€n admisible normalmente definida en t‚rminos del l…mite elƒstico del material. Para piezas prismƒticas susceptibles de sufrir pandeo el cƒlculo anterior no conduce a un dise†o seguro, ya que en ese caso se subestima la tensi€n normal susceptible de desarrollarse en la pieza.

Esfuerzos en placas y l€minas En un elemento bidimensional, parametrizado por dos coordenadas Š y ‹, el n•mero de esfuerzos que deben considerarse es mayor que en elementos unidimensionales: „ Esfuerzos de membrana, seg•n la direcci€n de la l…nea coordenada Š, coordenada ‹, . „ Esfuerzos cortantes: „ Esfuerzos de flexi€n,

, seg•n la direcci€n de la l…nea

C€lculo de esfuerzos en placas

En una lƒmina sometida fundamentalmente a flexi€n en la que se desprecia la deformaci€n por cortante y los esfuerzos de membrana se llama l€mina de Love-Kirchhof , los esfuerzos internos se carazterizan por dos momentos flectores seg•n dos direcciones m•tualmente perpendiculares y un esfuerzo torsor . Estos esfuerzos estƒn directamente relacionados con la flecha vertical w( x, y) en cada punto por:

Donde: , es el coeficiente de Poisson del material de la placa. , es la rigidez en flexi€n de la placa, siendo: el m€dulo de Young del material de la placa.

Esfuerzo interno es el espesor de la placa. C€lculo de tensiones en placas

Las tensiones sobre una placa son directamente calculables a partir de los esfuerzos anteriores:

V•ase tambi•n „ „ „ „

mecƒnica de s€lidos deformables Elasticidad (mecƒnica de s€lidos) flexi€n mecƒnica torsi€n mecƒnica

Enlaces externos „ Concepto de esfuerzo, en virtual.unal.edu.co [1] (10-03-09)

Referencias [1] http:/ / www.virtual.unal.edu.co/ cursos/ sedes/ palmira/ 5000155/ lecciones/ lec1/ 1_2.htm

Elasticidad (mec€nica de s‚lidos) En f…sica e ingenier…a, el t‚rmino elasticidad designa la propiedad mecƒnica de ciertos materiales de sufrir deformaciones reversibles cuando se encuentran sujetos a la acci€n de fuerzas exteriores y de recuperar la forma original si estas fuerzas exteriores se eliminan.

Fundamentaci‚n te‚rica La elasticidad es estudiada por la teor…a de la elasticidad, que a su vez es parte de la mecƒnica de s€lidos deformables. La teor…a de la Una varilla elƒstica vibrando, es un ejemplo de sistema donde la energ…a elasticidad (TE) como la mecƒnica de s€lidos potencial elƒstica se transforma en energ…a cin‚tica y viceversa. (MS) deformables describe c€mo un s€lido (o fluido totalmente confinado) se mueve y deforma como respuesta a fuerzas exteriores. La diferencia entre la TE y la MS es que la primera s€lo trata s€lidos en que las deformaciones son termodinƒmicamente reversibles. La propiedad elƒstica de los materiales estƒ relacionada, como se ha mencionado, con la capacidad de un s€lido de sufrir transformaciones termodin€micas reversibles. Cuando sobre un s€lido deformable act•an fuerzas exteriores y ‚ste se deforma se produce un trabajo de estas fuerzas que se almacena en el cuerpo en forma de energ…a potencial elƒstica y por tanto se producirƒ un aumento de la energ…a interna. El s€lido se comportarƒ elƒsticamente si este

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Elasticidad (mecƒnica de s€lidos) incremento de energ…a puede realizarse de forma reversible, en este caso decimos que el s€lido es elƒstico.

Teor…a de la Elasticidad Lineal Un caso particular de s€lido elƒstico se presenta cuando las tensiones y las deformaciones estƒn relacionadas linealmente, mediante la siguiente ecuaci€n constitutiva:

Cuando eso sucede decimos que tenemos un s€lido elƒstico lineal. La teor…a de la elasticidad lineal es el estudio de s€lidos elƒsticos lineales sometidos a peque†as deformaciones de tal manera que ademƒs los desplazamientos y deformaciones sean "lineales", es decir, que las componentes del campo de desplazamientos u sean muy aproximadamente una combinaci€n lineal de las componentes del tensor deformaci€n del s€lido. En general un s€lido elƒstico lineal sometido a grandes desplazamientos no cumplirƒ esta condici€n. Por tanto la teor…a de la elasticidad lineal s€lo es aplicable a: „ S‚lidos el€sticos lineales, en los que tensiones y deformaciones est‚n relacionadas linealmente (linealidad material). „ Deformaciones peque†as, es el caso en que deformaciones y desplazamientos estƒn relacionados linealmente. En este caso puede usarse el tensor deformaci€n lineal de Green-Lagrange para representar el estado de deformaci€n de un s€lido (linealidad geom‚trica). Debido a los peque†os desplazamientos y deformaciones a los que son sometidos los cuerpos, se usan las siguientes simplificaciones y aproximaciones para sistemas estables: „ Las tensiones se relacionan con las superficies no deformadas „ Las condiciones de equilibrio se presentan para el sistema no deformado Para determinar la estabilidad de un sistema hay presentar las condiciones de equilibrio para el sistema deformado. Tensi‚n

Componentes del tensor tensi€n en un punto P de un s€lido deformable.

La tensi€n en un punto se define como el l…mite de la fuerza aplicada sobre una peque†a regi€n sobre un plano Œ que contenga al punto dividida del ƒrea de la regi€n, es decir, la tensi€n es la fuerza aplicada por unidad de superficie y depende del punto elegido, del estado tensional de s€lido y de la orientaci€n del plano escogido para calcular el l…mite. Puede probarse que la normal al plano escogido nŒ y la tensi€n t Œ en un punto estƒn relacionadas por: Donde T es el llamado tensor tensi€n, tambi‚n llamado tensor de tensiones, que fijada una base vectorial ortogonal viene representado por una matriz sim‚trica 3x3:

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Elasticidad (mecƒnica de s€lidos)

Donde la primera matriz es la forma com•n de escribir el tensor tensi€n en f…sica y la segunda forma usa las convenciones comunes en ingenier…a. Dada una regi€n en forma de ortoedro con caras paralelas a los ejes coordenados situado en el interior un s€lido elƒstico tensionado las componentes ˆ xx, ˆ yy y ˆ zz dan cuenta de cambios de longitud en las tres direcciones, pero que no distorsinan los ƒngulos del ortoedro, mientras que las componentes ˆ xy, ˆ yz y ˆ zx estƒn relacionadas con la distorsi€n angular que convertir…a el ortoedro en un paralelep…pedo. Deformaci‚n

En teor…a lineal de la elasticidad dada la peque†ez de las deformaciones es una condici€n necesaria para poder asegurar que existe una relaci€n lineal entre los desplazamientos y la deformaci€n. Bajo esas condiciones la deformaci€n puede representarse adecuadamente mediante el tensor deformaci€n infinitesimal que viene dada por:

Los componentes de la diagonal principal contienen los alargamientos (dilataciones), mientras que el resto de los componentes del tensor son los medios desplazamientos. Las componentes estƒn linealmente relacionadas con los desplazmientos mediante esta relaci€n:

Ecuaciones constitutivas de Lam•-Hooke

Las ecuaciones de Lam•-Hooke son las ecuaciones constitutivas de un s€lido elƒstico lineal, homog‚neo e is€tropo, tienen la forma:

En el caso de un problema unidimensional, ˆ = ˆ11,  = 11, C 11 = E y la ecuaci€n anterior se reduce a: Donde E es el m€dulo de elasticidad longitudinal o m€dulo de Young y G el m€dulo de elasticidad transversal. Para caracterizar el comportamiento de un s€lido elƒstico lineal e is€tropo se requieren ademƒs del m€dulo de Young otra constante elƒstica, llamada coeficiente de Poisson (Ž) y el coeficiente de temperatura (Š). Por otro lado, las ecuaciones de Lam‚ para un s€lido elƒstico lineal e is€tropo pueden ser deducidas del teorema de Rivlin-Ericksen, que pueden escribirse en la forma: Ciertos materiales muestran un comportamiento s€lo aproximadamente elƒstico, mostrando por ejemplo variaci€n de la deformaci€n con el tiempo o fluencia lenta. Estas deformaciones pueden ser permanentes o tras descargar el cuerpo pueden desaparecer (parcial o completamente) con el tiempo (viscoplasticidad, viscoelasticidad). Ademƒs algunos materiales pueden presentar plasticidad es decir pueden llegar a exhibir pque†as deformaciones permanentes, por lo que las ecuaciones anteriores en muchos casos tampoco constituyen una buena aproximaci€n al comportamiento de estos materiales.

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Ecuaciones de equilibrio Equilibrio interno

Cuando las deformaciones no var…an con el tiempo, el campo de tensiones dado por el tensor tensi€n representa un estado de equilibrio con las fuerzas de volumen b = (b x ,b y ,b z) en todo punto del s€lido, lo cual implica que el campo de tensiones satisface estas condiciones de equilibrio:

Equilibrio en el contorno

Ademƒs de las •ltimas ecuaciones deben cumplirse las condiciones de contorno, sobre la superficie del s€lido, que relacionan el vector normal a la misma n = (n x ,n y ,n z) (dirigido hacia el exterior) con las fuerzas por unidad de superficie que act•an en el mismo punto de la superficie f = ( f x ,f y ,f z):

Problema el€stico

Un problema elƒstico lineal queda definido por la geometr…a del s€lido, las propiedades de dicho material, unas fuerzas actuantes y unas condiciones de contorno que imponen restricciones al movimiento de cuerpo. A partir de esos elementos es posible encontrar un campo de tensiones internas sobre el s€lido (que permitirƒ identificar los puntos que soportan mƒs tensi€n) y un campo de desplazamientos (que permitirƒ encontrar si la rigidez del elemento resistente es la adecuada para su uso). Para platear el problema elƒstico son necesarias las nociones que han sido descritas en las secciones anteriores, que describen las tensiones, las deformaciones y los desplazamientos de un cuerpo. Todas estas magnitudes vienen descritas por 15 funciones matemƒticas: „ Las seis componentes del tensor de tensiones „ Las tres componentes del vector de desplazamientos: „ Las seis componentes del tensor de deformaciones:

y

. . y

.

Para comprobar si se cumplen estas relaciones, formadas por 15 funciones, el siguiente paso es comprobar si las relaciones descritas hasta ahora bastan para describir completamente el estado de un cuerpo. Una condici€n necesaria para ello es que el n•mero de ecuaciones disponibles coincida con el n•mero de inc€gnitas. Las ecuaciones diponibles son: „ Las tres ecuaciones de equilibrio de Cauchy. „ Las seis ecuaciones de compatibilidad de Saint-Venant, que aseguran que se los desplazamientos y deformaciones estƒn adecaudamente relacionados. „ Las seis ecuaciones constitutivas, para un material elƒstico lineal is€tropo y homog‚neo estas ecuaciones vienen dadas por las ecuaciones de Lam‚-Hooke. Estas 15 ecuaciones igualan exactamente el n•mero de inc€gnitas. Un m‚todo com•n es sustituir las relaciones entre desplazamientos y deformaciones en las ecuaciones constitutivas, lo cual hace que se cumplan las ecuaciones de compatibilidad trivialmente. A su vez el resultado de esta sustituci€n se puede introducir en las ecuaciones de


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equilibrio de Cauchy lo cual convierte el anterior sistema en un sistema de tres ecuaciones en derivadas paraciales y tres desplazamientos como inc€gnita. De esta manera se llega a un sistema de 15 ecuaciones con 15 incognitas. La formulaci€n mƒs simple para resolver el problema elƒstico es la llamada formulaci€n de Navier, esta formulaci€n reduce el sistema a un sistema de tres ecuaciones diferenciales para los desplazamientos. Esto se logra insertando en las ecuaciones de equilibrio las ecuaciones propias del material, las ecuaciones de los desplazamientos y las ecuaciones de las deformaciones podemos expresar nuestro sistema de ecuaciones en un sistema de tres ecuaciones diferenciales parciales. Si lo reducimos hacia las componentes del vector de desplazamientos llegamos a las ecuaciones de Navier: Que con el operador Nabla y el operador de Laplace se dejan escribir como:

Mediante consideraciones energ‚ticas se puede demostrar que estas ecuaciones presentan una •nica soluci€n. Elasticidad y Dise†o mec€nico

En ingenier…a mecƒnica es frecuente plantear problemas elƒsticos para decidir la adecuaci€n de un dise†o. En ciertas situaciones de inter‚s prƒctico no es necesario resolver el problema elƒstico completo sino que basta con plantear un modelo simplificado y aplicar los m‚todos de la resistencia de materiales para calcular aproximadamente tensiones y desplazamientos. Cuando la geometr…a involucrada en el dise†o mecƒnico es compleja la resistencia de materiales suele ser insuficiente y la resoluci€n exacta del problema elƒstico inabordable desde el punto de vista prƒctico. En esos casos se usan habitualmente m‚todos num‚ricos como el M‚todo de los elementos finitos para resolver el problema elƒstico de manera aproximada. Un buen dise†o normalmente incorpora unos requisitos de: „ resistencia adecuada, „ rigidez adecuada, „ estabilidad global y elƒstica.

Teor…a de la Elasticidad no Lineal En principio, el abandono del supuesto de peque†as deformaciones obliga a usar un tensor deformaci€n no lineal y no infinitesimal, como en la teor…a lineal de la elasticidad donde se usaba el tensor deformaci€n lineal infinitesimal de Green-Lagrange. Eso complica mucho las ecuaciones de compatibilidad. Ademƒs matemƒticamente el problema se complica, porque las ecuaciones resultantes de la anulaci€n de ese supuesto incluyen fen€menos de no linealidad geom‚trica (pandeo, abolladura, snap-through,...). Si ademƒs de eso el s€lido bajo estudio no es un s€lido elƒstico lineal nos vemos obligados a substituir la ecuaciones de Lam•-Hooke por otro tipo de ecuaciones constitutivas capaces de dar cuenta de la no linealidad material. Ademƒs de las mencionadas existen otras no linealidades en una teor…a de la elasticidad para grandes deformaciones. Resumiendo las fuentes de no linealidad ser…an:[1] „ El tensor deformaci€n no se relaciona linealmente con el desplazamiento , concretamente es una aplicaci€n cuadrƒtica del gradiente de deformaci€n: . „ Para muchos materiales la ecuaci€n constitutiva es no lineal. „ Las ecuaciones de equilibrio sobre el dominio ocupado por el s€lido, escrito en t‚rminos del segundo tensor de Piola-Kirchhoff son nolineales: y . Donde es el difeomorfismo que da la relaci€n entre los puntos antes y despu‚s de la deformaci€n. „ En algunos casos, como las cargas muertas las fuerzas que aparecen en los segundos miembros de las ecuaciones experesados en el dominio de referencia incluyen no linealidades, por ejemplo cuando en la configuraci€n

Elasticidad (mecƒnica de s€lidos) deformada aparece una presi€n normal a la superficie, eso comporta que „ Las condiciones de incomprensibilidad, de positividad del jacobiano de la deformaci€n, o de la inyectividad en el caso de contactos que evian la autopenetraci€n del s€lido deformado tambi‚n imponen ecuaciones adicionales que se expresan en forma de ecuaciones no lineales. Deformaci‚n

Una deformaci€n elƒstica finita implica un cambio de forma de un cuerpo, debido a la condici€n de reversibilidad ese cambio de forma viene representado por un difeomorfismo. Formalmente si representa la forma del cuerpo antes de deformarse y la forma del cuerpo despu‚s de deformarse, la deformaci€n viene dada por un difeomordismo: El tensor deformaci€n puede definirse a partir del gradiente de deformaci€n que no es otra cosa que la matriz jacobiana de la transformaci€n anterior:

Existen diversas representaciones alternativas seg•n se escojan las coordenadas materiales iniciales sobre el cuerpo sin deformar ( X, Y, Z ) o las coordenadas sobre el cuerpo deformado ( x, y, z): El primero de los dos tensores deformaci€n recibe el nombre de tensor de deformaci€n de Green-Lagrange, mientras que el segundo de ellos es el tensor deformaci€n de Almansi. Ademƒs de estos tensores en las ecuaciones constitutivas, por simplicidad de cƒlculo, se usan los tensores de Cauchy-Green derecho e izquierdo:

Ecuaciones constitutivas

Existen muchos modelos de materiales elƒsticos no lineales diferentes. Entre ellos destaca la familia de materiales hiperelƒsticos, en los que la ecuaci€n constitutiva puede derivarse de un potencial elƒstico W que representa la energ…a potencial elƒstica. Este potencial elƒstico com•nmente es una funci€n de los invariantes algebraicos del tensor deformaci€n de Cauchy-Green: En este tipo de materiales el tensor tensi€n de Cauchy viene dado en funci€n del potencial elƒstico y el tensor espacial de Almansi mediante la expresi€n:[2] Donde: Un material elƒstico lineal es un caso particular de lo anterior donde: (#)

Aproximaci‚n hasta sengundo orden

Si se desarrolla (#) hasta primer orden se obtiene la ecuaci€n constitutiva de la elasticidad lineal para un s€lido is€tropo, que depende s€lo de dos constantes elƒsticas: Donde en esa expresi€n al igual que en las siguientes se aplicarƒ el convenio de sumaci€n de Einstein para sub…ndices repetidos. Un material cuya ecuaci€n constitutiva tiene la forma lineal anterior se conoce como material de Saint Venant-Kirchhoff . Si se desarrolla la expresi€n (#) hasta segundo orden entonces aparecen cuatro constantes elƒsticas mƒs: Un material cuya ecuaci€n constitutiva viene dada por la ecuaci€n anterior se conoce como [3] material de Murnaghan. En componentes se tiene: O equivalentemente:

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Donde: es la deformaci€n volum‚trica.

El modelo de Murnaghan anterior representa la generalizaci€n mƒs obvia de un material de Saint Venant-Kirchhoff, aunque en la prƒctica es de inter‚s limitado la expresi€n anterior, ya que Novozhilov [4] mediante argumentos termodinƒmicos sugiere que la respuesta de un material s€lo debe contener potencias impares del tensor deformaci€n.


Mecƒnica de medios continuos Mecƒnica de s€lidos deformables problema elƒstico Stephen Timoshenko: Considerado el padre de la Ingenier…a Mecƒnica moderna.

Referencia [1] [2] [3] [4]

Philippe C. Ciarlet, Mathematical Elasticity, Vol. 1, pp. 250-251. J. R. Atkin & N. Fox, 1980, p. 65-67. Murnaghan, F. D. (1937): "Finite deformations of an elastic solid", en American Journal of Mathematics, 59, pp. 235-260. V. V. Novozhilov (1953): Foundations of Non-linear Theory of Elasticity , Graylock Press, Rochester

Bibliograf…a

„ Ciarlet, Philippe G. (en ingl‚s). Mathematical Elasticity: Volume I: Three Dimensional Elasticity. North-Holland. ISBN 0-444-81776-X. „ Atkin, Raymond John; Fox, Norman (en ingl‚s). An introduction to the Theory of Elasticity. North-Holland. ISBN 0-486-44241-1. Enlaces externos

„ Apuntes de Elasticidad (http:/ / santiagomarquezd.googlepages.com/ Apunteselasticidad.zip)


Resistencia de materiales La resistencia de materiales clƒsica es una disciplina de la ingenier…a mecƒnica y la ingenier…a estructural que estudia los s€lidos deformables mediante modelos simplificados. La resistencia de un elemento se define como su capacidad para resistir esfuerzos y fuerzas aplicadas sin romperse, adquirir deformaciones permanentes o deteriorarse de alg•n modo. Un modelo de resistencia de materiales establece una relaci€n entre las fuerzas aplicadas, tambi‚n llamadas cargas o acciones, y los esfuerzos y desplazamientos inducidos por ellas. T…picamente las simplificaciones geom‚tricas y las restricciones impuestas sobre el modo de aplicaci€n de las cargas hacen que el campo de deformaciones y tensiones sean sencillos de calcular. Para el dise†o mecƒnico de elementos con geometr…as complicadas la resistencia de materiales suele ser insuficiente y es necesario usar t‚cnicas basadas en la teor…a de la elasticidad o la mecƒnica de s€lidos deformables mƒs generales. Esos problemas planteados en t‚rminos de tensiones y deformaciones pueden entonces ser resueltos de forma muy aproximada con m‚todos num‚ricos como el anƒlisis por elementos finitos.

Enfoque de la resistencia de materiales La teor…a de s€lidos deformables requiere generalmente trabajar con tensiones y deformaciones. Estas magnitudes vienen dadas por campos tensoriales definidos sobre dominios tridimensionales que satisfacen complicadas ecuaciones diferenciales. Sin embargo, para ciertas geometr…as aproximadamente unidimensionales (vigas, pilares, celos…as, arcos, etc.) o bidimensionales (placas y lƒminas, membranas, etc.) el estudio puede simplificarse y se pueden analizar mediante el cƒlculo de esfuerzos internos definidos sobre una l…nea o una superficie en lugar de tensiones definidas sobre un dominio tridimensional. Ademƒs las deformaciones pueden determinarse con los esfuerzos internos a trav‚s de cierta hip€tesis cinemƒtica. En resumen, para esas geometr…as todo el estudio puede reducirse al estudio de magnitudes alternativas a deformaciones y tensiones. El esquema te€rico de un anƒlisis de resistencia de materiales comprende: „ Hip‚tesis cinem€tica establece como serƒn las deformaciones o el campo de desplazamientos para un determinado tipo de elementos bajo cierto tipo de solicitudes. Para piezas prismƒticas las hip€tesis mƒs comunes son la hip€tesis de Bernouilli-Navier para la flexi€n y la hip€tesis de Saint-Venant para la torsi€n. „ Ecuaci‚n constitutiva que establece una relaci€n entre las deformaciones o desplazamientos deducibles de la hip€tesis cinemƒtica y las tensiones asociadas. Estas ecuaciones son casos particulares de las ecuaciones de Lam‚-Hooke. „ Ecuaciones de equivalencia, son ecuaciones en forma de integral que relacionan las tensiones con los esfuerzos internos. „ Ecuaciones de equilibrio que relacionan los esfuerzos internos con las fuerzas exteriores. En las aplicaciones prƒcticas el anƒlisis es sencillo, se construye un esquema ideal de cƒlculo formado por elementos unidimensionales o bidimensionales, y se aplican f€rmulas preestablecidas en base al tipo de solicitaci€n que presentan los elementos. Esas f€rmulas preestablecidas que no necesitan ser deducidas para cada caso, se basan en el esquema de cuatro puntos anterior. Mƒs concretamente la resoluci€n prƒctica de un problema de resistencia de materiales sigue los siguientes pasos: 1. C€lculo de esfuerzos, se plantean las ecuaciones de equilibrio y ecuaciones de compatibilidad que sean necesarias para encontrar los esfuerzos internos en funci€n de las fuerzas aplicadas. 2. An€lisis resistente, se calculan las tensiones a partir de los esfuerzos internos. La relaci€n entre tensiones y deformaciones depende del tipo de solicitaci€n y de la hip€tesis cinemƒtica asociada: flexi€n de Bernouilli, flexi€n de Timoshenko, flexi€n esviada, tracci€n, pandeo, torsi€n de Coulomb, teor…a de Collignon para tensiones cortantes, etc.

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Resistencia de materiales 3. An€lisis de rigidez, se calculan los desplazamientos mƒximos a partir de las fuerzas aplicadas o los esfuerzos internos. Para ello puede recurrirse directamente a la forma de la hip€tesis cinemƒtica o bien a la ecuaci€n de la curva elƒstica, las f€rmulas vectoriales de Navier-Bresse o los teoremas de Castigliano.

Hip‚tesis cinem€tica La hip€tesis cinemƒtica es una especificaci€n matemƒtica de los desplazamientos de un s€lido deformable que permite calcular las deformaciones en funci€n de un conjunto de parƒmetros inc€gnita. El concepto se usa especialmente en el cƒlculo de elementos lineales (e.g. vigas) y elementos bidimensionales, donde gracias a la hip€tesis cinemƒtica se pueden obtener relaciones funcionales mƒs simples. As… pues, gracias a la hip€tesis cinemƒtica se pueden relacionar los desplazamientos en cualquier punto del s€lido deformable de un dominio tridimensional con los desplazamientos especificados sobre un conjunto unidimensional o bidimensional. Hip‚tesis cinem€tica en elementos lineales

La resistencia de materiales propone para elementos lineales o prismas mecƒnicos, como las vigas y pilares, en las que el desplazamiento de cualquier punto se puede calcular a partir de desplazamientos y giros especificados sobre el eje baric‚ntrico. Eso significa que por ejemplo para calcular una viga en lugar de espeficar los desplazamientos de cualquier punto en funci€n de tres coordenadas, podemos expresarlos como funci€n de una sola coordenada sobre el eje baric‚ntrico, lo cual conduce a sistemas de ecuaciones diferenciales relativamente simples. Existen diversos tipos de hip€tesis cinemƒticas seg•n el tipo de solicitaci€n de la viga o elemento unidimensional: „ Hip‚tesis de Navier-Bernouilli, que se usa para elementos lineales alargados sometidos a flexi€n cuando las deformaciones por cortante resultan peque†as. „ Hip‚tesis de Timoshenko, que se usa para los elementos lineales sometidos a flexi€n en un caso totalmente general ya que no se desprecia la deformaci€n por cortante. „ Hip‚tesis de Saint-Venant para la extensi‚n, usada en piezas con esfuerzo normal para zonas de la viga alejadas de la zona de aplicaci€n de las cargas. „ Hip‚tesis de Saint-Venant para la torsi‚n, se usa para piezas prismƒticas sometidas a torsi€n y en piezas con rigidez torsional grande. „ Hip‚tesis de Coulomb, se usa para piezas prismƒticas sometidas a torsi€n y en piezas con rigidez torsional grande y secci€n circular o tubular. Esta hip€tesis constituye una especializaci€n del caso anterior. Hip‚tesis cinem€tica en elementos superficiales

Para placas y lƒminas sometidas a flexi€n se usan dos hip€tesis, que se pueden poner en correspondencia con las hip€tesis de vigas „ Hip‚tesis de Love-Kirchhoff „ Hip‚tesis de Reissner-Mindlin

Ecuaci‚n constitutiva Las ecuaciones constitutivas de la resistencia de materiales son las que explicitan el comportamiento del material, generalmente se toman como ecuaciones constitutivas las ecuaciones de Lam‚-Hooke de la elasticidad lineal. Estas ecuaciones pueden ser especializadas para elementos lineales y superficiales. Para elementos lineales en el cƒlculo de las secciones, las tensiones sobre cualquier punto (y,z) de la secci€n puedan escribirse en funci€n de las deformaciones como:

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En cambio para elementos superficiales sometidos predominantemente a flexi€n como las placas la especializaci€n de las ecuaciones de Hooke es:

Ademƒs de ecuaciones constitutivas elƒsticas, en el cƒlculo estructural varias normativas recogen m‚todos de cƒlculo plƒstico donde se usan ecuaciones constitutivas de plasticidad.

Ecuaciones de equivalencia Las ecuaciones de equivalencia expresan los esfuerzos resultantes a partir de la distribuci€n de tensiones. Gracias a ese cambio es posible escribir ecuaciones de equilibrio que relacionen directamente las fuerzas aplicadas con los esfuerzos internos. Elementos lineales

En elementos lineales rectos las coordenadas cartesianas para representar la geometr…a y expresar tensiones y esfuerzos, se escogen normalmente con el eje X paralelo al eje baric‚ntrico de la pieza, y los ejes Y y Z coincidiendo con las direcciones principales de inercia. En ese sistema de coordenadas la relaci€n entre esfuerzo normal ( N x), esfuerzos cortantes (V y, V z), el momento torsor ( M x) y los momentos flectores ( M y, M z) es: Donde las tensiones que aparecen son las componentes del tensor tensi€n para una pieza prismƒtica:

Elementos bidimensionales

Para elementos bidimensionales es com•n tomar un sistema de dos coordenadas (cartesiano o curvil…neo) coincidentes con la superficie media, estando la tercera coordenada alineada con el espesor. Para una placa plana de espesor 2t y con un sistema de coordenadas en el que el plano XY coincide con su plano medio. Los esfuerzos se componen de 4 esfuerzos de membrana (o esfuerzos axiles por unidad de ƒrea), 4 momentos flectores y 2 esfuerzos cortantes. Los esfuerzos de membrana usando un conjunto de coordenadas ortogonales sobre una lƒmina de Reissner-Mindlin:

Donde son los radios de curvatura en cada una de las direcciones coordenadas y z es la altura sobre la superficie media de la lƒmina. Los esfuerzos cortantes y los momentos flectores por unidad de ƒrea vienen dados por: El tensor tensi€n de una lƒmina general para la que valen las hip€tesis de Reissner-Mindlin es:

Un caso particular de lo anterior lo constituyen las lƒminas planas cuya deformaci€n se ajusta a la hip€tesis de Love-Kirchhoff, caracterizada por que el vector normal a la superficie media deformada coincide con la normal

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Resistencia de materiales deformada. Esa hip€tesis es una muy buena aproximaci€n cuando los esfuerzos cortantes son despreciables y en ese caso los momentos flectores por unidad de ƒrea en funci€n de las tensiones vienen dados por: Donde las tensiones que aparecen son las componentes del tensor tensi€n para una lƒmina de Love-Kirchhoff:

Ecuaciones de equilibrio Las ecuaciones de equilibrio de la resistencia de materiales relacionan los esfuerzos internos con las fuerzas exteriores aplicadas. Las ecuaciones de equilibrio para elementos lineales y elementos bidimensionales son el resultado de escribir las ecuaciones de equilibrio elƒstico en t‚rminos de los esfuerzos en lugar de las tensiones. Las ecuaciones de equilibrio para el campo de tensiones generales de la teor…a de la elasticidad lineal:

Si en ellas tratamos de substituir las tensiones por los esfuerzos internos llegamos a las ecuaciones de equilibrio de la resistencia de materiales. El procedimiento, que se detalla a continuaci€n, es ligeramente diferente para elementos unidimensionales y bidimensionales. Ecuaciones de equilibrio en elementos lineales rectos

En una viga recta horizontal, alineada con el eje X, y en la que las cargas son verticales y situadas sobre el plano XY, las ecuaciones de equilibrio relacionan el momento flector ( M z), el esfuerzo cortante (V y) con la carga vertical ( q y) y tienen la forma:

Ecuaciones de equilibrio en elementos planos bidimensionales

Las ecuaciones de equilibrio para elementos bidimensionales (placas) en flexi€n anƒlogas a las ecuaciones de la secci€n anterior para elementos lineales (vigas) relacionan los momentos por unidad de ancho ( m x, m y, m xy), con los esfuerzos cortantes por unidad de ancho (v x, m y) y la carga superficial vertical (qs):

Relaci‚n entre esfuerzos y tensiones El dise†o mecƒnico de piezas requiere: „ Conocimiento de las tensiones, para verificar si ‚stas sobrepasan los l…mites resistentes del material. „ Conocimiento de los desplazamientos, para verificar si ‚stos sobrepasan los l…mite de rigidez que garanticen la funcionalidad del elemento dise†ado. En general el cƒlculo de tensiones puede abordarse con toda generalidad desde la teor…a de la elasticidad, sin embargo cuando la geometr…a de los elementos es suficientemente simple (como sucede en el caso de elementos lineales o bidimensionales) las tensiones y desplazamientos pueden ser calculados de manera mucho mƒs simple mediante los m‚todos de la resistencia de materiales, que directamente a partir del planteamiento general del problema elƒstico.

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Resistencia de materiales Elementos lineales o unidimensionales

El cƒlculo de tensiones se puede obtener a partir de la combinaci€n de las f€rmula de Navier para la flexi€n, la f€rmula de Collignon-Jourawski y las f€rmulas del cƒlculo de tensiones para la torsi€n. El cƒlculo de desplazamientos en elementos lineales puede llevarse a cabo a partir m‚todos directos como la ecuaci€n de la curva elƒstica, los teoremas de Mohr o el m‚todo matricial o a partir de m‚todos energ‚ticos como los teoremas de Castigliano o incluso por m‚todos computacionales. Elementos superficiales o bidimensionales

La teor…a de placas de Love-Kirchhoff es el anƒlogo bidimensional de la teor…a de vigas de Euler-Bernouilli. Por otra parte el cƒlculo de lƒminas es el anƒlogo bidimensional del cƒlculo de arcos. El anƒlogo bidimensional para una placa de la ecuaci€n de la curva elƒstica, es la ecuaci€n de Lagrange para la deflexi€n del plano medio de la placa. Para el cƒlculo de placas tambi‚n es frecuente el uso de m‚todos variacionales.

Relaci‚n entre esfuerzos y desplazamientos Otro problema importante en muchas aplicaciones de la resistencia de materiales es el estudio de la rigidez. Mƒs concretamente ciertas aplicaciones requieren asegurar que bajo las fuerzas actuantes algunos elementos resistentes no superen nunca desplazamientos por encima de cierto valor prefijado. El cƒlculo de las deformaciones a partir de los esfuerzos puede determiarse mediante varios m‚todos semidirectos como el uso del teorema de Castigliano, las f€rmulas vectoriales de Navier-Bresse o el uso de la ecuaci€n de la curva elƒstica.

Referencia Bibliograf…a

„ Timoshenko S., Strength of Materials , 3rd edition, Krieger Publishing Company, 1976, ISBN 0-88275-420-3 „ Den Hartog, Jacob P., Strength of Materials, Dover Publications, Inc., 1961, ISBN 0-486-60755-0 „ Popov, Egor P., Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1990, ISBN 0-13-279258-3 „ Monle€n Cremades, Salvador, An•lisis de vigas, arcos, placas y l•minas , Universidad Polit‚cnica de Valencia, 1999, ISBN 84-7721-769-6 Enlaces externos

„ Resistencia de materiales, en virtual.unal.edu.co (http:/ / www.virtual.unal.edu.co/ cursos/ sedes/ palmira/ 5000155/ index.html) (10-03-09)

V•ase tambi•n „ „ „ „ „

Conceptos de resistencia de materiales: rigidez, equilibrio mecƒnico, flexi€n, torsi€n. Mecƒnica de s€lidos deformables: tensi€n, deformaci€n, elasticidad. Elementos resistentes lineales: vigas, pilares, celos…as, arcos. Elementos resistentes superficiales: placas y lƒminas, membranas. M‚todos de cƒlculo: cƒlculo de esfuerzos, teoremas de Castigliano, ecuaciones de Navier-Bresse, teoremas de Mohr, m‚todo matricial de la rigidez. „ Stephen Timoshenko: Considerado el padre de la Ingenier…a Mecƒnica moderna.

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Tensor tensi€n

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Tensor tensi‚n En mecƒnica de medios continuos, el tensor tensi‚n o tensor de tensiones es el tensor que da cuenta de la distribuci€n de tensiones y esfuerzos internos en el medio continuo.

Tipos de tensor tensi‚n


Tensor tensi‚n de Cauchy

Representaci€n grƒfica de las componentes del tensor tensi€n en una base ortogonal.

El teorema de Cauchy sobre las tensiones de un cuerpo, establece que dada una distribuci€n de tensiones internas sobre la geometr…a de un medio continuo deformado, que satisfaga las condiciones del principio de Cauchy existe un campo tensorial T sim‚trico definido sobre la geometr…a deformada con las siguientes propiedades: 1. . 2. . 3. . La tercera propiedad significa que este tensor vendrƒ dado sobre las coordenadas especificadas por una matriz sim‚trica. Cabe se†alar que en un problema mecƒnico a priori es dif…cil conocer el tensor tensi€n de Cauchy ya que este estƒ definido sobre la geometr…a del cuerpo una vez deformado, y ‚sta no es conocida de antemano. Por tanto previamente es necesario encontrar la forma deformada para conocer exactamente el tensor de Cauchy. Sin embargo, cuando las deformaciones son peque†as, en ingenier…a y aplicaciones prƒcticas se emplea este tensor aunque definido sobre las coordenadas del cuerpo sin deformar (lo cual no conduce a errores de cƒlculo excesivo si todas las deformaciones mƒximas son inferiores a 0,01). Fijado un sistema de referencia ortogonal, el tensor tensi€n de Cauchy viene dado por una matriz sim‚trica, cuyas componentes son:

Tensor tensi€n La segunda forma es la forma com•n de llamar a las componentes del tensor tensi€n en ingenier…a. Primer tensor tensi‚n de Piola-Kirchhoff

Los tensores de Piola-Kirchhoff T R se introducen para evitar la dificultad de tener que trabajar con un tensor definido sobre la geometr…a ya deformada (que normalmente no es conocida de antemano). La relaci€n entre ambos tensores viene dada por: Donde F es el tensor gradiente de deformaci€n. Este tensor sin embargo, tiene el problema de que no es sim‚trico (ver segundo tensor tensi€n de Piola-Kirchhoff). Segundo tensor tensi‚n de Piola-Kirchhoff

Este tensor se introduce para lograr un tensor definido sobre la geometr…a previa a la deformaci€n y que ademƒs sea sim‚trico, a diferencia del primer tensor de Piola-Kirchhoff que no tiene por qu‚ ser sim‚trico. El segundo tensor tensi€n de Piola-Kirchhoff viene dado por:


Mecƒnica de medios continuos Elasticidad (mecƒnica de s€lidos) Teorema de Rivlin-Ericksen Tensor deformaci€n

Flexi‚n mec€nica En ingenier…a se denomina flexi‚n al tipo de deformaci€n que presenta un elemento estructural alargado en una direcci€n perpendicular a su eje longitudinal. El t‚rmino "alargado" se aplica cuando una dimensi€n es dominante frente a las otras. Un caso t…pico son las vigas, las que estƒn dise†adas para trabajar, principalmente, por flexi€n. Igualmente, el concepto de flexi€n se extiende a elementos estructurales superficiales como placas o lƒminas. El rasgo mƒs destacado es que un objeto sometido a flexi€n presenta una superficie de puntos llamada fibra neutra tal que la distancia a lo largo de cualquier curva contenida en ella no var…a con respecto al valor antes de la deformaci€n. El esfuerzo que provoca la flexi€n se denomina momento flector.

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Flexi€n mecƒnica

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Flexi‚n en vigas y arcos Las vigas o arcos son elementos estructurales pensados para trabajar predominantemente en flexi€n. Geom‚tricamente son prismas mecƒnicos cuya rigidez depende, entre otras cosas, del momento de inercia de la secci€n transversal de las vigas. Existen dos hip€tesis cinemƒticas comunes para representar la flexi€n de vigas y arcos: „ La hip€tesis de Navier-Bernouilli. „ La hip€tesis de Timoshenko. Teor…a de Navier-Bernoulli

La teor…a de Navier-Bernoulli para el cƒlculo de vigas es la que se deriva de la hip€tesis cinemƒtica de Navier-Bernouilli, y puede emplearse para calcular tensiones y desplazamientos sobre una viga o arco de longitud de eje grande comparada con el canto mƒximo o altura de la secci€n transversal. Para escribir las f€rmulas de la teor…a de Navier-Bernouilli conviene tomar un sistema de coordenadas adecuado para describir la geometr…a, una viga es de hecho un prisma mecƒnico sobre el que se pueden considerar las coordenadas (s, y, z) con s la distancia a lo largo del eje de la viga e ( y, z ) las coordenadas sobre la secci€n transversal. Para el caso de arcos este sistema de coordenas es curvil…neo, aunque para vigas de eje recto puede tomarse como cartesiano (y en ese caso s se nombra como x). Para una viga de secci€n recta la tensi€n el caso de flexi€n compuesta esviada la tensi€n viene dada por la f‚rmula de Navier:

Donde: son los segundos momentos de ƒrea (momentos de inercia) seg•n los ejes Y y Z. es el momento de ƒrea mixto o producto de inercia seg•n los ejes Z e Y. son los momentos flectores seg•n las direcciones Y y Z, que en general var…arƒn seg•n la coordenada x. es el esfuerzo axial a lo largo del eje. Si la direcci€n de los ejes de coordenadas ( y, z) se toman coincidentes con las direcciones principales de inercia entonces los productos de inercia se anulan y la ecuaci€n anterior se simplifica notablemente. Ademƒs si se considera el caso de flexi€n simple no-desviada las tensiones seg•n el eje son simplemente:

Por otro lado, en este mismo caso de flexi€n simple no esviada, el campo de desplazamientos, en la hip€tesis de Bernoulli, viene dada por la ecuaci€n de la curva elƒstica:

Donde: representa la flecha, o desplazamiento vertical, respecto de la posici€n inicial sin cargas. representa el momento flector a lo largo de la ordenada x. el segundo momento de inercia de la secci€n transversal. el m€dulo de elasticidad del material. representa las cargas a lo largo del eje de la viga.

Flexi€n mecƒnica Teor…a de Timoshenko

Esquema de deformaci€n de una viga que ilustra la diferencia entre la teor…a de Timoshenko y la teor…a de Euler-Bernouilli: en la primera  y dw / dx no i i tienen necesariamente que coincidir, mientras que en la segunda son iguales.

La diferencia fundamental entre la teor…a de Euler-Bernouilli y la teor…a de Timoshenko es que en la primera el giro relativo de la secci€n se aproxima mediante la derivada del desplazamiento vertical, esto constituye una aproximaci€n vƒlida s€lo para piezas largas en relaci€n a las dimensiones de la secci€n transversal, y entonces sucede que las deformaciones debidas al esfuerzo cortante son despreciables frente a las deformaciones ocasionadas por el momento flector. En la teor…a de Timoshenko, donde no se desprecian las deformaciones debidas al cortante y por tanto es vƒlida tambi‚n para vigas cortas, la ecuaci€n de la curva elƒstica viene dada por el sistema de ecuaciones mƒs complejo:

Derivando la primera de las dos ecuaciones anteriores y substituyendo en ella la segunda llegamos a la ecuaci€n de la curva elƒstica incluyendo el efecto del esfuerzo cortante:

Flexi‚n en placas y l€minas Una placa es un elemento estructural que puede presentar flexi€n en dos direcciones perpendiculares. Existen dos hip€tesis cinemƒticas comunes para representar la flexi€n de placas y lƒminas: „ La hip€tesis de Love-Kirchhoff „ La hip€tesis de Reissner-Mindlin. Siendo la primera el anƒlogo para placas de la hip€tesis de Navier-Bernouilli y el segundo el anƒlogo de la hip€tesis de Timoshenko.

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Flexi€n mecƒnica

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Teor…a de Love-Kirchhoff

La teor…a de placas de Love-Kirchhoff es la que se deriva de la hip€tesis cinemƒtica de Love-Kirchhoff para las mismas y es anƒloga a la hip€tesis de Navier-Bernouilli para vigas y por tanto tiene limitaciones similares, y es adecuada s€lo cuando el espesor de la placa es suficientemente peque†o en relaci€n a su largo y ancho. Para un placa de espesor constante h emplearemos un sistema de coordenadas cartesianas con ( x, y ) seg•n el plano que contiene a la placa, y el ese z se tomarƒ seg•n la direcci€n perpendicular a la placa (tomando z = 0 en el plano medio). Con esos ejes de coordenadas las tensiones seg•n las dos direcciones perpendiculares de la placa son:

Donde: , es el segundo momento de ƒrea por unidad de ancho. , son los momentos flectores por unidad de ancho, que pueden relacionarse con el campo de desplazamientos verticales w( x,y) mediante las siguientes ecuaciones: Para encontrar la flecha que aparece en la ecuaci€n anterior es necesario resolver una ecuaci€n en derivadas parciales que es el anƒlogo bidimensional a la ecuaci€n de la curva elƒstica:

El factor:

se llama rigidez flexional de placas.

Teor…a de Reissner-Mindlin

La teor…a de Reissner-Mindlin es el anƒlogo para placas de la teor…a de Timoshenko para vigas. As… en esta teor…a, a diferencia de la teor…a mƒs aproximada de Love-Kirchhoff, el vector normal al plano medio de la placa una vez deformada la placa no tiene por qu‚ coincidir con el vector normal a la superficie media deformada.

Referencia Bibliograf…a

„ Timoshenko, Stephen; Godier J.N.. McGraw-Hill. ed. Theory of elasticity. „ Ortiz Berrocal, Luis. McGraw-Hill. ed. Resistencia de Materiales. Aravaca (Madrid). ISBN 84-7651-512-3. „ Monle€n Cremades, S., An•lisis de vigas, arcos, placas y l•minas , Ed. UPV, 1999, ISBN 84-7721-769-6.

V•ase tambi•n „ Fibra neutra „ Pendientes y deformaciones en vigas

Tensi€n mecƒnica

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Tensi‚n mec€nica En f…sica e ingenier…a, se denomina tensi‚n mec€nica a la fuerza por unidad de ƒrea en el entorno de un punto material sobre una superficie real o imaginaria de un cuerpo, material o medio continuo.


Un caso particular es el de tensi‚n uniaxial , que se define en una situaci€n en que se aplica fuerza F uniformemente distribuida sobre un ƒrea A. En ese caso la tensi€n mecƒnica uniaxial se representa por un escalar designado con la letra griega ˆ (sigma) y viene dada por:

La tensi‚n mec€nica se expresa en unidades de fuerza divididas por unidades de ƒrea. En el Sistema Internacional, en N/m o pascales (Pa). La definici€n anterior se aplica tanto a fuerzas localizadas como fuerzas distribuidas, uniformemente o no, que actuƒn sobre una superficie. Si se considera un cuerpo sometido a tensi€n y se imagina un corte mediante un plano imaginario Œ que lo divida en dos, sobre cada punto del plano de corte se puede definir un vector tensi‚n t Œ que depende del estado tensional interno del cuerpo, de las coordenadas del punto escogido y del vector unitrio normal nŒ al plano Œ. En ese caso se puede probar que t Œ y nŒ estƒn relacionados por una aplicaci€n lineal T o campo tensorial llamado tensor tensi€n:

Tensi‚n uniaxial (problemas unidimensionales) El concepto de esfuerzo longitudinal parte en dos observaciones simples sobre el comportamiento de cables sometidos a tensi€n: 1. Cuando un cable se estira bajo la acci€n de una fuerza F , se observa que el alargamiento unitario ‘ L / L es proporcional a la carga F dividida por el ƒrea de la secci€n transversal A del cable, esto es, al esfuerzo, de modo que podemos escribir

donde E es una caracter…stica del material del cable llamado m€dulo de Young. 2. El fallo resistente o ruptura del cable ocurre cuando la carga F superaba un cierto valor F rupt que depende del material del cable y del ƒrea de su secci€n transversal. De este modo queda definido el esfuerzo de ruptura

Estas observaciones ponen de manifiesto que la caracter…stica fundamental que afecta a la deformaci€n y al fallo resistente de los materiales es la magnitud ƒ , llamada esfuerzo o tensi€n mecƒnica. Medidas mƒs precisas ponen de manifiesto que la proporcionalidad entre el esfuerzo y el alargamiento no es exacta porque durante el estiramiento

Tensi€n mecƒnica del cable la secci€n transversal del mismo experimenta un estrechamiento, por lo que A disminuye ligeramente. Sin embargo, si se define la tensi‚n real ˆ = F / A' donde A' representa ahora el ƒrea verdadera bajo carga, entonces se observa una proporcionalidad correcta para valores peque†os de F . El coeficiente de Poisson se introdujo para dar cuenta de la relaci€n entre el ƒrea inicial A y el ƒrea deformada A' . La introducci€n del coeficiente de Poisson en los cƒlculos estimaba correctamente la tensi€n al tener en cuenta que la fuerza F se distribu…a en un ƒrea algo mƒs peque†a que la secci€n inicial, lo cual hace que ˆ > s.

Principio de Cauchy Sea un medio continuo deformado, entonces en cada subdominio existe un campo vectorial , llamado campo de tensiones, tal que las fuerzas de volumen y el campo de tensiones satisfacen las siguientes ecuaciones de equilibrio:

Este principio fue enunciado por Augustin Louis Cauchy en su forma mƒs general, aunque previamente Leonhard Euler hab…a hecho una formulaci€n menos general. De este principio puede demostrarse el teorema debido a Cauchy para el tensor tensi€n que postula que el principio de Cauchy equivale a la existencia de una aplicaci€n lineal, llamada tensor tensi€n con las siguientes propiedades: 1. 2. 3. Con el principio, enunci€ tambi‚n los dos postulados que definen la actuaci€n de los vectores sobre una superficie

Tensi‚n normal y tensi‚n tangencial Si consideramos un punto concreto de un s€lido deformable sometido a tensi€n y se escoge un corte mediante un plano imaginario Œ que lo divida al s€lido en dos, queda definido un vector tensi‚n tŒ que depende del estado tensional interno del cuerpo, de las coordenadas del punto escogido y del vector unitario normal nŒ al plano Œ definida mediante el tensor tensi€n: Usualmente ese vector puede descomponerse en dos componentes que f…sicamente producen efectos diferentes seg•n el material sea mƒs d•ctil o mƒs frƒgil. Esas dos componentes se llaman componentes intr…nsecas del vector tensi€n respecto al plano Œ y se llaman tensi‚n normal o perpendicular al plano y tensi‚n tangencial o rasante al plano, estas componentes vienen dadas por:

Anƒlogamente cuando existen dos s‚lidos en contacto y se examinan las tensiones entre dos puntos de los dos s€lidos, se puede hacer la descomposici€n anterior de la tensi€n de contacto seg•n el plano tangente a las superficies de ambos s€lidos, en ese caso la tensi€n normal tiene que ver con la presi€n perpendicular a la superficie y la tensi€n tangencial tiene que ver con las fuerzas de fricci€n entre ambos.

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Tensi€n mecƒnica

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Bibliograf…a „ Luis Luis Orti Ortizz Ber Berro roca cal: l: Resistencia de materiales, Ed. McGraw-Hill/Interamericana de Espa†a, Madrid, 1990. „ Diet Dietri rich ch Brae Braess ss:: Finite Element , pp.250-251, Cambridge University Press, Cambridge UK, 1997.


Tens Tensi€ i€nn cort cortan ante te Tens Tensor or tens tensi€ i€nn Tens Tensor or def defor orma maci ci€n €n Deformaci€n

Enlaces externos „ Art…cu Art…culos los sobre sobre tens tensi€n i€n en ingl ingl‚s ‚s [1] por Andr‚s Melo y Geraint Wiggins, formato.PDF

Referencias [1] [1] http http:/ :/ / www.soi. www.soi.city.ac. city.ac.uk/ uk/ ~geraint/ ~geraint/ papers/ papers/ afm-aisb.pdf afm-aisb.pdf

Viga En ingenier…a y arquitectura se denomina viga a un elemento con modelo de prisma mecƒnico.

Flexi€n te€rica de una viga apoyada-articulada sometida a una carga puntual centrada F .

Viga

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Teor…a de vigas de Euler-Bernoulli La teor…a de vigas es una parte de la resistencia de materiales que permite el cƒlculo de esfuerzos y deformaciones en vigas. Si bien las vigas reales son s€lidos deformables, en teor…a de vigas se hacen ciertas simplificaciones gracias a las que se pueden calcular aproximadamente las tensiones, desplazamientos y esfuerzos en las vigas como si fueran elementos unidimensionales. Los inicios de la teor…a de vigas se remontan al siglo XVIII, trabajos que fueron iniciados por Leonhard Euler y Daniel Bernoulli. Para el estudio de vigas se considera un sistema de coordenadas en que el eje X es siempre tangente al eje baric‚ntrico de la viga, y los ejes Y y Z coincidan con los ejes principales de inercia. Los supuestos bƒsicos de la teor…a de vigas para la flexi€n simple de una viga que flecte en el plano XY son:

Esquema de deformaci€n de una viga que ilustra la diferencia entre la teor…a de Timoshenko y la teor…a de Euler-Bernoulli: en la primera  y dw / dx no tienen i i necesariamente que coincidir, mientras que en la segunda son iguales.

1. Hip‚tesis de comportamiento el€stico. El material de la viga es elƒstico lineal, con m€dulo de Young E y coeficiente de Poisson despreciable. 2. Hip‚tesis de la flecha vertical. En cada punto el desplazamiento vertical s€lo depende de x: u y( x, y) = w( x). 3. Hip‚tesis de la fibra neutra. Los puntos de la fibra neutra s€lo sufren desplazamiento vertical y giro: u x( x, 0) = 0. 4. La tensi€n perpendicular a la fibra neutra se anula: ˆ yy= 0. 5. Hip‚tesis de Bernouilli. Las secciones planas inicialmente perpendiculares al eje de la viga, siguen siendo perpendiculares al eje de la viga una vez curvado. Las hip€tesis (1)-(4) juntas definen la teor…a de vigas de Timoshenko. La teor…a de Euler-Bernouilli es una simplificaci€n de la teor…a anterior, al aceptarse la •ltima hip€tesis como exacta (cuando en vigas reales es s€lo aproximadamente cierta). El conjunto de hip€tesis (1)-(5) lleva a la siguiente hip€tesis cinemƒtica sobre los desplazamientos:

Viga

26 Deformaciones y tensiones en vigas

Si se calculan las componentes del tensor de deformaciones a partir de estos desplazamientos se llega a: A partir de estas deformaciones se pueden obtener las tensiones usando las ecuaciones de Lam‚-Hooke, asumiendo :

Donde E es el m€dulo de elasticidad longitudinal, o m€dulo de Young, y G el m€dulo de elasticidad transversal. Es claro que la teor…a de Euler-Bernoulli es incapaz de aproximar la energ…a de deformacion tangencial, para tal fin debera recurrirse a la teor…a de Timoshenko en la cual:

Esfuerzos internos en vigas

a partir de los resultados anteriores y de las ecuaciones de equivalencia pueden obtenerse sencillamente el esfuerzo normal, el esfuerzo cortante y el momento flector al que estƒ sometida una secci€n de una viga sometida a flexi€n simple en la teor…a de Euler-Bernouilli: Donde: A ƒrea de la secci€n transversal, I z el momento de inercia seg•n el eje respecto al cual se produce la flexi€n. La •ltima de estas ecuaciones es precisamente la ecuaci€n de la curva elƒstica, una de las ecuaciones bƒsicas de la teor…a de vigas que relaciona los esfuerzos internos con el campo de desplazamientos verticales. Ecuaciones de equilibrio

Las ecuaciones de equilibrio para una viga son la aplicaci€n de las ecuaciones de la estƒtica a un tramo de viga en equilibrio. Las fuerzas que intervienen sobre el tramo ser…an la carga exterior aplicada sobre la viga y las fuerzas cortantes actuantes sobre las secciones extremas que delimitan el tramo. Si el tramo estƒ en equilibrio eso implica que la suma de fuerzas verticales debe ser cero, y ademƒs la suma de momentos de fuerza a la fibra neutra debe ser cero en la direcci€n tangente a la fibra neutra. Estas dos condiciones s€lo se pueden cumplir si la variaci€n de esfuerzo cortante y momento flector estƒn relacionada con la carga vertical por unidad de longitud mediante:

C€lculo de tensiones en vigas

El cƒlculo de tensiones en vigas generalmente requiere conocer la variaci€n de los esfuerzos internos y a partir de ellos aplicar la f€rmula adecuada seg•n la viga est‚ sometida a flexi€n, torsi€n, esfuerzo normal o esfuerzo cortante. El tensor tensi€n de una viga viene dado en funci€n de los esfuerzos internos por:

Donde las tensiones pueden determinarse, aproximadamente, a partir de los esfuerzos internos. Si se considera un sistema de ejes principales de inercia sobre la viga, considerada como prisma mecƒnico, las tensiones asociadas a la extensi€n, flexi€n, cortante y torsi€n resultan ser:

Donde:

Viga

27 son las tensiones sobre la secci€n transversal: tensi€n normal o perpendicular, y las tensiones tangenciales de torsi€n y cortante. , son los esfuerzos internos: esfuerzo axial, momentos flectores y bimomento asociado a la torsi€n. , son propiedades de la secci€n transversal de la viga: ƒrea, segundos momentos de ƒrea (o momentos de inercia), alabeo y momento de alabeo. Las tensiones mƒximas sobre una secci€n transversal cualquiera de la viga pueden a su vez ser calculadas en t‚rminos de estas componentes del tensor tensi€n:

En vigas metƒlicas frecuentemente se usa como criterio de fallo el que en alg•n punto la tensi€n equivalente de Von Mises supere una cierta tensi€n •ltima definida a partir del l…mite elƒstico, en ese caso, el criterio de fallo se puede escribir como:

Materiales utilizados A lo largo de la historia, las vigas se han realizado de diversos materiales; el mƒs id€neo de los materiales tradicionales ha sido la madera, puesto que puede soportar grandes esfuerzos de tracci€n, lo que no sucede con otros materiales tradicionales p‚treos y cerƒmicos, como el ladrillo. La madera sin embargo es material ortotr€pico que presenta diferentes rigideces y resistencias seg•n los esfuerzos aplicados sean paralelos a la fibra de la madera o transversales. Por esa raz€n, el cƒlculo moderno de elementos de madera requiere bajo solicitaciones complejas un estudio mƒs completo que teor…a la de Navier-Bernouilli, anteriormente expuesta.

Construcci€n de vigas de hormig€n pretensado en Alcalƒ la Real, Ja‚n, Espa†a.

A partir de la revoluci€n industrial, las vigas se fabricaron en acero, que es un material is€tropo al que puede aplicarse directamente la teor…a de vigas de Euler-Bernouilli. El acero tiene la ventaja de ser un material con una relaci€n resistencia/peso superior a la del hormig€n, ademƒs de que puede resistir tanto tracciones como compresiones mucho mƒs elevadas. A partir de la segunda mitad del siglo XIX, en arquitectura, se ha venido usando hormig€n armado y algo mƒs tard…amente el pretensado y el postensado. Estos materiales requieren para su cƒlculo una teor…a mƒs compleja que la teor…a de Euler-Bernouilli.

Apoyo de una viga de puente que permite el giro pero no permite desplazamientos.

Viga

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V•ase tambi•n Teor…a de vigas: „ „ „ „

Curva elƒstica Pendientes y deformaciones en vigas Flexi€n de vigas Prisma mecƒnico

Otros elementos constructivos: „ „ „ „ „ „ „ „

Arco Cercha Dintel Acero laminado Pilar P€rtico Puente viga Voladizo

Enlaces externos „ Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre vigas. Commons „ Prontuario de solicitaciones y deformaciones en vigas [1] „ Teor…a de vigas (eFunda) [2] „ cabierta.uchile.cl: Vigas de peso m„nimo [3]

Referencias [1] http:/ / citywiki.ugr.es/ wiki/ Imagen:Formulario_Vigas.pdf [2] http:/ / efunda.com/ formulae/ solid_mechanics/ beams/ theory.cfm [3] http:/ / cabierta.uchile.cl/ revista/ 12/ educacion/ 12_2/ index.html

Esfuerzo cortante

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Esfuerzo cortante El esfuerzo cortante, de corte, de cizalla o de cortadura es el esfuerzo interno o resultante de las tensiones paralelas a la secci€n transversal de un prisma mecƒnico como por ejemplo una viga o un pilar. Se designa variadamente como T , V o Q Este tipo de solicitaci€n formado por tensiones paralelas estƒ directamente asociado a la tensi€n cortante. Para una pieza prismƒtica se relaciona con la tensi€n cortante mediante la relaci€n:

V•ase tambi•n „ esfuerzo interno „ tensi€n cortante

Enlaces externos „ Esfuerzo cortante, en virtual.unal.edu.co [1]

Referencias [1] http:/ / www.virtual.unal.edu.co/ cursos/ sedes/ palmira/ 5000155/ lecciones/ lec1/ 1_4.htm

Coeficiente de Poisson El coeficiente de Poisson (denotado mediante la letra griega ) es una constante elƒstica que proporciona una medida del estrechamiento de secci€n de un prisma de material elƒstico lineal e is€tropo cuando se estira longitudinalmente y se adelgaza en las direcciones perpendiculares a la de estiramiento. El nombre de dicho coeficiente se le dio en honor al f…sico franc‚s Simeon Poisson.

Ensanchamiento por efecto Poisson del plano longitudinal medio de un prisma comprimido a lo largo de su eje, el grado de ensanchamiento depende del coeficiente de Poisson, en este caso se ha usado


Materiales is‚tropos Si se toma un prisma mecƒnico fabricado en el material cuyo coeficiente de Poisson pretendemos medir y se somete este prisma a una fuerza de tracci€n aplicada sobre sus bases superior e inferior, el coeficiente de Poisson se puede medir como: la raz€n entre el alargamiento longitudinal producido divido por el acortamiento de una longitud situada en un plano perpendicular a la direcci€n de la carga aplicada. Este valor coincide igualmente con el cociente de deformaciones, de hecho la f€rmula usual para el Coeficiente de Poisson es:

Para un material is€tropo elƒstico perfectamente incompresible, este es igual a 0.5. La mayor parte de los materiales prƒcticos en la ingenier…a rondan entre 0.0 y 0.5, aunque existen algunos materiales compuestos llamados materiales aug‚ticos que tienen coeficiente de Poisson negativo. Termodinƒmicamente puede probarse que todo material tiene coeficientes de Poisson en el intervalo [-1, 0.5). Ley de Hooke generalizada

Conociendo lo anterior se puede concluir que al deformarse un material en una direcci€n producirƒ deformaciones sobre los demƒs ejes, lo que a su vez producirƒ esfuerzos en todos lo ejes. Por lo que es posible generalizar la ley de Hooke como:

Materiales ortotr‚picos Para materiales ortotr€picos (como la madera), el cociente entre la deformaci€n unitaria longitudinal y la deformaci€n unitaria transversal depende de la direcci€n de estiramiento, puede comprobarse que para un material ortotr€pico el coeficiente de Poisson aparente puede expresarse en funci€n de los coeficientes de Poisson asociados a tres direcciones mutuamente perpendiculares. De hecho entre las 12 constantes elƒsticas habituales que definen el comportamiento de un material elƒstico ortotr€pico, s€lo 9 de ellas son independientes ya que deben cumplirse las restricciones entre los coeficientes de Poisson principales y los m€dulos de Young principales:

30


Valores para varios materiales Para ver el valor del coeficiente de Poisson para varios materiales consultar los valores del coeficiente de Poisson del Anexo:Constantes elƒsticas de diferentes materiales.

V•ase tambi•n „ M€dulo de elasticidad longitudinal (E ) „ M€dulo de elasticidad transversal (G)

Enlaces externos „ (Ingl•s) Materiales Aug‚ticos [1]

Referencias [1] http:/ / silver.neep.wisc.edu/ ~lakes/ Poisson.html

Tensor deformaci‚n El tensor deformaci‚n o tensor de deformaciones es un tensor sim‚trico usado en mecƒnica de medios continuos y mecƒnica de s€lidos deformables para caracterizar el cambio de forma y volumen de un cuerpo. En tres dimensiones un tensor (de rango dos) de deformaci‚n tiene la forma general:

Donde cada una de las componentes del anterior tensor es una funci€n cuyo dominio es el conjunto de puntos del cuerpo cuya deformaci€n pretende caracterizarse. El tensor de deformaciones estƒ relacionado con el tensor de tensiones mediante las ecuaciones de Hooke generalizadas, que son relaciones de tipo termodinƒmico o ecuaciones constitutivas para el material del que estƒ hecho el cuerpo. T‚ngase en cuenta que estas componentes  ij) en general var…an de punto a punto del cuerpo y por tanto la deformaci€n de cuerpos tridimensionales se representa por un campo tensorial.

Tipos de tensores de deformaci‚n En mecƒnica de medios continuos se distingue entre varios tipos de tensores para representar la deformaci€n. Los tensores finitos de deformaci‚n miden la verdadera deformaci€n, pueden usarse tanto deformaciones grandes como peque†as y pueden dar cuenta de no-linealidades geom‚tricas. Cuando las deformaciones son peque†as con bastante adecuaci€n se puede usar el tensor infinitesimal de deformaciones que se obtiene despreciando algunos t‚rminos no-lineales de los tensores finitos. En la prƒctica mƒs com•n de la ingenier…a para la mayor…a de aplicaciones prƒcticas se usan tensores infinitesimales. Ademƒs para los tensores finitos se diferencia entre tensores materiales y tensores espaciales seg•n sea el sistema de coordenadas usado para representarlo.

31

Tensor deformaci€n

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Tensor infinitesimal de deformaci‚n „ Tensor inifitesimal de Green-Cauchy, o tensor ingenieril de deformaciones, es el usado com•nmente en ingenier…a estructural y que constituye una aproximaci€n para caracterizar las deformaciones en el caso de muy peque†as deformaciones (inferiores en valor absoluto a 0,01). En coordenadas cartesianas dicho tensor se expresa en t‚rminos de las componentes del campo de desplazamientos como sigue: Donde: representa el campo vectorial de desplazamientos del cuerpo, es decir, la diferencia entre la posici€n final e inicial de cada punto y x1 = x, x2 = y y x3 = z son las coordenadas tomadas sobre la forma geom‚trica original del cuerpo. son las coordenadas de cada punto material del cuerpo. Las componentes del tensor infinitesimal de Green-Cauchy admiten interpretaciones f…sicas relativamente simples: „ El elemento diagonal ii, tambi‚n denotado i, representa los cambios relativos de longitud en la direcci€n i, direcci€n dada por el eje X i). La suma 11+22+33 es igual al cambio de volumen relativo del cuerpo. „ Los elementos ij (= 1/2’“ij) (i ‚ j) representan deformaciones angulares, mƒs concretamente la variaci€n del ƒngulo recto entre las direcciones ortogonales i y j. Por tanto la distorsi€n o cambio de forma viene caracterizada por 3 componentes de este tensor deformaci€n (12, 13, 23).

Tensores finitos de deformaci‚n Todos estos tensores se construyen a partir del tensor gradiente de deformaciones (tensores materiales) o bien de su inverso (tensores espaciales). Si pensamos que una deformaci€n es una aplicaci€n: donde K es el conjunto de puntos del espacio ocupados por el s€lido (o medio continuo) antes de la deformaci€n y K' el conjunto de puntos del espacio ocupados despu‚s de la deformaci€n. Entonces podemos definir tensor gradiente de deformaciones como el jacobiano de T D:

Donde ( x,y,z) representan las coordenadas de un punto gen‚rico antes de la deformaci€n y ( x',y',z' ) las coordenadas del mismo punto despu‚s de la deformaci€n. En funci€n de este tensor gradiente de deformaciones se definien los siguientes tensores finitos de deformaci€n: „ Tensor Deformaci‚n material de Green-Lagrange . Se puede obtener a partir del tensor gradiente de deformaci€n y su transpuesta:

O bien en funci€n del campo de desplazamientos:

„ Tensor espacial (finito) de Almansi. Se puede obtener a partir del inverso del tensor gradiente de deformaci€n y su traspuesto de un modo similar a como se obten…a el tensor material y es la contrapartida "espacial" del tensor de Green-Lagrange:

Tensor deformaci€n „ Tensor material (finito) de Finger (por Josef Finger (1894))

C€lculo de magnitudes del s‚lido deformado Si se conce el tensor deformaci€n de un s€lido y las dimensiones originales de un cuerpo, pueden calcularse las magnitudes que definen la forma del cuerpo deformado. Variaciones de longitud

Variaciones angulares

Si se consideran dos curvas, dos rectas o dos aristas de un s€lido deformado que se cruzan en un punto P del s€lido, la relaci€n entre el ƒngulo incial (antes de la deformaci€n) y final (despu‚s de la deformaci€n) que forman dichas direcciones calcularse a partir de la siguiente expresi€n: Donde: , son los vectores unitarios tangentes a las dos curvas o direcciones en el punto de corte. , son las deformaciones unitarias medidas a lo largo de esas dos direcciones. , son el ƒngulo entre las dos direcciones antes de la deformaci€n y el ƒngulo despu‚s de la deformaci€n. Para deformaciones angulares peque†as la expresi€n anterior puede aproximarse mediante la relaci€n aproximada:

”sta •ltima es la expresi€n mƒs com•nmente usada en las aplicaciones prƒcticas e ingenieriles. Cuando las dos direcciones son perpendiculares la expresi€n anterior se vuelve tan simple como:

Variaciones de volumen

Dado un punto de un s€lido deformable la relaci€n entre el volumen final V ' de un entorno arbitrariamente peque†o alrededor de dicho punto y el volumen inicial V puede expresarse mediante la relaci€n diferencial: La relaci€n de densidad final y densidad incial dado que la masa se conserva es inversa de la relaci€n anterior. Direcci‚n principales de deformaci‚n

Localmente la deformaci€n de un s€lido se puede representar por acotramientos o estiramientos en tres direcciones m•tualmente perpendiculares. En cada punto de un s€lido deformable las direcciones principales son precisamente las tres direcciones en las que se producen los estiramientos que localmente caracterizan la deformaci€n. Desde un punto de vista algebraico las direcciones principales pueden calcularse considerando los valores y vectores propios del tensor deformaci€n en el punto estudiado.

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Tensor deformaci€n

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V•ase tambi•n „ Deformaci€n „ Tensi€n mecƒnica „ Tensor tensi€n

Pilar En ingenier…a y arquitectura un pilar es un elemento vertical (o ligeramente inclinado) sustentante exento de una estructura, destinado a recibir cargas verticales para transmitirlas a la cimentaci€n y que, a diferencia de la columna, tiene secci€n poligonal. Lo mƒs frecuente es que sea cuadrado o rectangular, pero puede ser tambi‚n octogonal, aunque por priorizar su capacidad portante, se proyecta con libertad de formas. En la arquitectura del Antiguo Egipto se habla de pilares hath‚ricos, por esculpirse en ellos la diosa Hathor o de pilares osir„acos por tener representado al dios Osiris. En la arquitectura medieval, eran comunes soportes circulares masivos, llamados pilares de tambor , pilares cruciformes o pilares compuestos . En la arquitectura g€tica se utilizaba el pilar fasciculado que estaba formado por un haz de baquetones, generalmente adosados a un n•cleo central. En la Bas…lica de San Pedro en Roma, Bramante utiliz€ pilares ricamente articulados, como se puede ver en la planta de la figura. A veces, y a imitaci€n de la columna, puede presentar tambi‚n tres partes: basa, fuste y capitel. Si en lugar de exento va adosado al muro se denomina pilastra.

Estructura

Modo t…pico de fallo estructural en pilares por pandeo.

En la construcci€n contemporƒnea es el elemento predominante para trasmitir cargas verticales, pudiendo estar realizado en diversos materiales: bloques de fƒbrica, hormig€n armado, acero, madera, etc.

Alineamiento de pilares.

Pilar

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Planta original de Bramante para la Bas…lica de San Pedro.

Los pilares reciben a las vigas que componen los forjados transmitiendo a trav‚s de ‚stas las cargas que afectan a toda el ƒrea de influencia del pilar. En forjados sin vigas la transmisi€n se produce a trav‚s de un ƒbaco. El ƒrea de su secci€n viene dado principalmente por la carga de pandeo y el momento flector que el pilar deba soportar.

Referencias Pilares en un viaducto.

El contenido de este art„culo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal (http:/ / enciclopedia. us. es/

index. php/ Pilar) , publicada en espa…ol bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0 (http:/ / creativecommons.org/ licenses/ by-sa/ 3.0/ deed.es). „

Wikcionario tiene definiciones para pilar.Wikcionario


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Ley de elasticidad de Hooke En f…sica, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmente formulada para casos del estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elƒstico es directamente proporcional a la fuerza aplicada F :

siendo  el alargamiento, L la longitud original, E : m€dulo de Young, A la secci€n transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a materiales elƒsticos hasta un l…mite denominado l…mite elƒstico. Esta ley recibe su nombre de Robert Hooke, f…sico britƒnico contemporƒneo de Isaac Newton. Ante el temor de que alguien se apoderara de su descubrimiento, Hooke lo public€ en forma de un famoso anagrama, ceiiinosssttuv, revelando su contenido un par de a†os mƒs tarde. El anagrama significa Ut tensio sic vis ("como la extensi€n, as… la fuerza").

Ley de Hooke para los resortes La forma mƒs com•n de representar matemƒticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuaci€n del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza F ejercida sobre el resorte con la elongaci€n o alargamiento  producido: donde k se llama constante elƒstica) del resorte y

es su elongaci€n o variaci€n que experimenta su longitud.

La energ…a de deformaci€n o energ…a potencial elƒstica siguiente ecuaci€n:

asociada al estiramiento del resorte viene dada por la

Es importante notar que la antes definida depende de la longitud del muelle y de su constituci€n. Definiremos ahora una constante intr…nseca del resorte independiente de la longitud de este y estableceremos as… la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando por la longitud total, y llamando al producto o intr…nseca, se tiene:

Llamaremos

a la tensi€n en una secci€n del muelle situada una distancia x de uno de sus extremos que

tomamos como origen de coordenadas, a la constante de un peque†o trozo de muelle de longitud a la misma distancia y al alargamiento de ese peque†o trozo en virtud de la aplicaci€n de la fuerza . Por la ley del muelle completo:

Tomando el l…mite:

que por el principio de superposici€n resulta:

Que es la ecuaci€n diferencial del muelle. Si se integra para todo x, de obtiene como ecuaci€n de onda unidimensional que describe los fen€menos ondulatorios (Ver: Muelle elƒstico). La velocidad de propagaci€n de las vibraciones en un resorte se calcula como:


Ley de Hooke en s‚lidos el€sticos En la mecƒnica de s€lidos deformables elƒsticos la distribuci€n de tensiones es mucho mƒs complicada que en un resorte o una barra estirada s€lo seg•n su eje. La deformaci€n en el caso mƒs general necesita ser descrita mediante un tensor de deformaciones mientras que los esfuerzos internos en el material necesitan se representados por un tensor de tensiones. Estos dos tensores estƒn relacionados por ecuaciones lineales conocidas por ecuaciones de Hooke generalizadas o ecuaciones de Lam•-Hooke, que son las ecuaciones constitutivas que caracterizan el comportamiento de un s€lido elƒstico lineal. Estas ecuaciones tienen la forma general:

Caso unidimensional

En el caso de un problema unidimensional donde las deformaciones o tensiones en direcciones perpendiculares a una direcci€n dada son irrelevantes o se pueden ignorar ˆ = ˆ 11,  = 11, C 11 = E y la ecuaci€n anterior se reduce a: donde E es el m€dulo de Young. Caso tridimensional is‚tropo

Para caracterizar el comportamiento de un s€lido elƒstico lineal e is€tropo se requieren ademƒs del m€dulo de Young otra constante elƒstica, llamada coeficiente de Poisson (Ž). Por otro lado, las ecuaciones de Lam‚-Hooke para un s€lido elƒstico lineal e is€tropo pueden ser deducidas del teorema de Rivlin-Ericksen, que pueden escribirse en la forma:

En forma matricial, en t‚rminos del m€dulo de Young y el coeficiente de Poisson como:

Las relaciones inversas vienen dadas por:

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V•ase tambi•n „ Prueba de tensi€n „ Constante elƒstica

M‚dulo de Young El m‚dulo de Young o m‚dulo el€stico longitudinal es un parƒmetro que caracteriza el comportamiento de un material elƒstico, seg•n la direcci€n en la que se aplica una fuerza. Para un material elƒstico lineal e is€tropo, el m€dulo de Young tiene el mismo valor para una tracci€n que para una compresi€n, siendo una constante independiente del esfuerzo siempre que no exceda de un valor mƒximo denominado l…mite elƒstico, y es siempre mayor que cero: si se tracciona una barra, aumenta de longitud, no disminuye. Este comportamiento fue observado y estudiado por el cient…fico ingl‚s Thomas Young. Tanto el m€dulo de Young como el l…mite elƒstico son distintos para los diversos Diagrama tensi€n - deformaci€n. El m‚dulo de Young viene representado por la materiales. El m€dulo de elasticidad es una tangente a la curva en cada punto. Para materiales como el acero resulta constante elƒstica que, al igual que el l…mite aproximadamente constante dentro del l…mite elƒstico. elƒstico, puede encontrarse emp…ricamente con base al ensayo de tracci€n del material. Ademƒs de este m€dulo de elasticidad longitudinal, puede definirse en un material el m€dulo de elasticidad transversal.

Materiales is‚tropos Materiales lineales

Como se ha explicado para un material elƒstico lineal el m€dulo de elasticidad longitudinal es una constante (para valores de tensi€n dentro del rango de reversibilidad completa de deformaciones). En este caso su valor se define mediante el coeficiente de la tensi€n y de la deformaci€n que aparecen en una barra recta estirada que est‚ fabricada en el material para el cual pretendemos estimar el m€dulo de elasticidad:

Donde: es el m€dulo de elasticidad longitudinal. es la presi€n ejercida sobre el ƒrea de secci€n transversal del objeto. es la deformaci€n unitaria en cualquier punto de la barra.

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M€dulo de Young

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La ecuaci€n anterior se puede expresar tambi‚n como: Por lo que dadas dos barras o prismas mecƒnicos geom‚tricamente id‚nticos pero de materiales elƒsticos diferentes, al someter a ambas barras a deformaciones id‚nticas, se inducirƒn mayores tensiones cuanto mayor sea el m€dulo de elasticidad. De modo anƒlogo, tenemos que sometidas a la misma fuerza, la ecuaci€n anterior rescrita como:

nos dice que las deformaciones resultan menores para la barra con mayor m€dulo de elasticidad. En este caso, se dice que el material es mƒs r…gido. Materiales no lineales

Cuando se consideran ciertos materiales, como por ejemplo el cobre, donde la curva de tensi€n-deformaci€n no tiene ning•n tramo lineal, aparece una dificultad ya que no puede usarse la expresi€n anterior. Para ese tipo de materiales no lineales pueden definirse magnitudes asimilables al m€dulo de Young de los materiales lineales, ya que la tensi€n de estiramiento y la deformaci€n obtenida no son directamente proporcionales. Para estos materiales elƒsticos no-lineales se define alg•n tipo de m€dulo de Young aparente. La posibilidad mƒs com•n para hacer esto es definir el m€dulo de elasticidad secante medio, como el incremento de esfuerzo aplicado a un material y el cambio correspondiente a la deformaci€n unitaria que experimenta en la direcci€n de aplicaci€n del esfuerzo:

Donde: es el m€dulo de elasticidad secante. es la variaci€n del esfuerzo aplicado es la variaci€n de la deformaci€n unitaria La otra posibilidad es definir el m€dulo de elasticidad tangente:

Materiales anis‚tropos Existen varias "extensiones" no-excluyentes del concepto. Para materiales elƒsticos no-is€tropos el m€dulo de Young medido seg•n el procedimiento anterior no da valores constantes. Sin embargo, puede probarse que existen tres constantes elƒsticas E x , E y y E z tales que el m€dulo de Young en cualquier direcci€n viene dado por: y donde

son los cosenos directores de la direcci€n en que medimos el m€dulo de Young respecto a tres

direcciones ortogonales dadas.

M€dulo de Young

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Dimensiones y unidades Las dimensiones del m€dulo de Young son Unidades sus unidades son

o, mƒs contextualmente,

. En el Sistema Internacional de .

Valores para varios materiales Para ver el valor del m€dulo de elasticidad para varios materiales consultar los valores del m€dulo de elasticidad longitudinal del Anexo:Constantes elƒsticas de diferentes materiales.

V•ase tambi•n „ Coeficiente de Poisson „ M€dulo de elasticidad transversal „ Constante elƒstica

Enlaces externos „ Medici€n del m€dulo de elasticidad de Young (pdf) [1] „ Medida del m€dulo de elasticidad [2]

Referencias [1] http:/ / www.fisicarecreativa.com/ informes/ infor_mecanica/ young97. pdf#search=%22%22m%C3%B3dulo%20de%20elasticidad%22%22 [2] http:/ / www.sc.ehu.es/ sbweb/ fisica/ solido/ din_rotacion/ alargamiento/ alargamiento.htm

Rigidez

Rigidez En ingenier…a, la rigidez es la capacidad de un objeto s€lido o elemento estructural para soportar esfuerzos sin adquirir grandes deformaciones o desplazamientos. Los coeficientes de rigidez son magnitudes f…sicas que cuantifican la rigidez de un elemento resistente bajo diversas configuraciones de carga. Normalmente las rigideces se calculan como la raz€n entre una fuerza aplicada y el desplazamiento obtenido por la aplicaci€n de esa fuerza.

Para barras o vigas se habla as… de rigidez axial, rigidiez flexional, rigidez torsional o rigidez frente a esfuerzos cortantes, etc.

Rigideces de prismas mec€nicos El comportamiento elƒstico de una barra o prisma mecƒnico sometido a peque†as deformaciones estƒ determinado por ocho coeficientes elƒsticos. Estos coeficientes elƒsticos o rigideces depende de: 1. La secci€n transversal, cuanto mƒs gruesa sea la secci€n mƒs fuerza serƒ necesaria para deformarla. Eso se refleja en la necesidad de usar cables mƒs gruesos para arriostrar debidamente los mƒstiles de los barcos que son mƒs largos, o que para hacer vigas mƒs r…gidas se necesiten vigas con mayor secci€n y mƒs grandes. 2. El material del que est‚ fabricada la barra, si se frabrican dos barras de id‚nticas dimensiones geom‚tricas, pero siendo una de acero y la otra de plƒstico la primera es mƒs r…gida porque el material tiene mayor m€dulo de Young ( E ). 3. La longitud de la barra elƒstica ( L), fijadas las fuerzas sobre una barra estas producen deformaciones proporcionales a las fuerzas y a las dimensiones geom‚tricas. Como los desplazamientos, acortamientos o alargamientos son proporcionales al producto de deformaciones por la longitud de la barra entre dos barras de la misma secci€n transversal y fabricadas del mismo material, la barras mƒs larga sufrirƒ mayores desplazamientos y alargamientos, y por tanto mostrarƒ menor resistencia absoluta a los cambios en las dimensiones. Funcionalmente las rigideces gen‚ricamente tienen la forma:

Donde: S i es una magnitud puramente geom‚trica dependiente del tama†o y forma de la secci€n transversal, E es el m€dulo de Young, L es la longitud de la barra y Š i y ‹i son coeficientes adimensionales dependientes del tipo de rigidez que se estƒ examinando. Todas estas rigideces intervienen en la matriz de rigidez elemental que representa el comportamiento elƒstico dentro de una estructura.

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Rigidez

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Rigidez axial

La rigidez axial de un prisma o barra recta, como por ejemplo una viga o un pilar es una medida de su capacidad para resistir intentos de alargamiento o acortamiento por la aplicaci€n de cargas seg•n su eje. En este caso la rigidez depende s€lo del ƒrea de la secci€n transveral ( A), el m€dulo de Young del material de la barra ( E ) y la longitud de la siguiente manera:

Rigidez flexional

La rigidez flexional de una barra recta es la relaci€n entre el momento flector aplicado en uno de sus extremos y el ƒngulo girado por ese extremo al deformarse cuando la barra estƒ empotrada en el otro extremo. Para barras rectas de secci€n uniforme existen dos coeficientes de rigidez seg•n el momento flector est‚ dirigido seg•n una u otra direcci€n principal de inercia. Esta rigidez viene dada:

Donde

son los segundos momentos de ƒrea de la secci€n transversal de la barra.

Rigidez frente a cortante

La rigidez frente a cortante es la relaci€n entre los desplazamientos verticales de un extremo de un viga y el esfuerzo cortante aplicado en los extremos para provocar dicho desplazamiento. En barras rectas de secci€n uniforme existen dos coeficientes de rigidez seg•n cada una de las direcciones principales:

Rigidez mixta flexi‚n-cortante

En general debido a las caracter…sticas peculiares de la flexi€n cuando el momento flector no es constante sobre una barra prismƒtica aparecen tambi‚n esfuerzos cortantes, eso hace al aplicar esfuerzos de flexi€n aparezcan desplazamientos verticales y viceversa, cuando se fuerzas desplazamientos verticales aparecen esfuerzos de flexi€n. Para representar adecuadamente los desplazamientos lineales inducidos por la flexi€n, y los giros angulares inducidos por el cortante, se define la rigidez mixta cortante-flexi€n que para una barra recta resulta ser igual a:

Rigidez torsional

La rigidez torsional en una barra recta de secci€n uniforme es la relaci€n entre el momento torsor aplicado en un de sus extremos y el ƒngulo girado por este extremo, al mantener fijo el extremo opuesto de la barra:

Donde G el m€dulo elƒstico transversal, J es el momento de inercia torsional y L la longitud de la barra.

Rigidez

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Rigideces en placas y l€minas DE manera similar a lo que sucede con elementos lineales las rigideces dependen del material y de la geometr…a, en este caso el espesor de la placa o lƒmina. Las rigideces en este caso tienen la forma gen‚rica:

Donde: son respectivamente el m€dulo de Young y el coeficiente de Poisson. es el espesor del elemento bidimensional. es un entero y

.

Rigidez de membrana

La rigidez de membrana es el equivalente bidimensional de la rigidez axial en el caso de elementos lineales viene dada por:

Donde E es el m€dulo de Young, G es el m€dulo elƒstico transversal y Ž el coeficiente de Poisson. Rigidez flexional

Para una placa delgada (modelo de Love-Kircchoff) de espesor constante la •nica rigidez relevante es la que da cuenta de las deformaciones provocadas por la flexi€n bajo carga perpendicular a la placa. Esta rigidez se conoce como rigidez flexional de placas y viene dada por:

Donde: h espesor de la placa, E m€dulo de Young del material de la placa y Ž coeficiente de Poisson del material de la placa.

V•ase tambi•n „ Constante elƒstica „ M‚todo matricial de la rigidez

Constante elƒstica

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Constante el€stica Una constante el€stica es cada uno de los parƒmetros f…sicamente medibles que caracterizan el comportamiento elƒstico de un s€lido deformable elƒstico-lineal. A veces se usa el t‚rmino constante elƒstica tambi‚n para referirse a los coeficientes de rigidez de una barra o placa elƒstica. Un s€lido elƒstico lineal e is€tropo queda caracterizado s€lo mediante dos constantes elƒsticas. Aunque existen varias posibles elecciones de este par de constantes elƒsticas, las mƒs frecuentes en ingenier…a estructural son el m€dulo de Young y el coeficiente de Poisson (otras constantes son el m€dulo de rigidez, el m€dulo de compresibilidad, y los coeficientes de Lam‚).

Materiales el€sticos is‚tropos En los materiales elƒsticos homog‚neos e is€tropos son los que presentan el mismo comportamiento mecƒnico para cualquier direcci€n de estiramiento alrededor de un punto. As… por ejemplo dado un ortoedro de un material homog‚neo e is€tropo, el m€dulo de Young y el coeficiente de Poisson son los mismos, con independencia de sobre qu‚ par de caras opuestas se ejerza un estiramiento. Debido a esa propiedad puede probarse que el comportamiento de un material elƒstico homog‚neo is€tropo queda caracterizado por s€lo dos constantes elƒsticas. En diversos campos son comunes las siguientes elecciones de las constantes: „ En ingenier…a estructural. La elecci€n mƒs frecuente es el m€dulo elƒstico longitudinal y el coeficiente de Poisson ( E , Ž) [a veces tambi‚n se usa la elecci€n equivalente ( E , G), ver mƒs adelante]. „ En termodin€mica de s‚lidos deformables resulta muy •til escoger el par ( K , G) formado por el m€dulo de compresibilidad (isot‚rmica) K y el m€dulo elƒstico transversal G. „ Coeficientes de Lam• (–, —)que tambi‚n aparecen en el desarrollo de Taylor de la energ…a libre de Helmholtz. As… tenemos un total de seis constantes elƒsticas com•nmente usadas: E , Ž, K , G, – y —. Dos cualesquiera de ellas caracterizan completamente el comportamiento elƒstico, es decir, dado cualquier parƒmetro elƒstico de un material puede expresarse como funci€n de dos cualesquiera de los parƒmetros anteriores. Obviamente, todos estos pares de constantes elƒsticos estƒn relacionados, como se resume en la siguiente tabla: Relaciones entre constantes el€sticas (material is‚tropo lineal) : m‚dulo de Young

: m‚dulo de

: coeficiente de Poisson

er

: 1 coeficiente de

compresibilidad

Lam•

: m‚dulo de rigidez

: 2‡ coeficiente de Lam•

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---

---

Expresadas en t‚rminos del m€dulo de Young y el coeficiente de Poisson las ecuaciones constitutivas son: Las relaciones inversas vienen dadas por:

Constante elƒstica

Donde

Materiales el€sticos ortotr‚picos Algunos materiales elƒsticos son anis€tropos, lo cual significa que su comportamiento elƒstico, en concreto la relaci€n entre tensiones aplicadas y deformaciones unitarias es diferente para diferentes direcciones. Una forma com•n de anisotrop…a es la que presentan los materiales elƒsticos ortotr€picos en los que el comportamiento elƒstico queda caracterizado por una serie de constantes elƒsticas asociadas a tres direcciones mutuamente perpendiculares. El ejemplo mƒs conocido de material ortotr€pico es la madera que presenta diferente m€dulo de elasticidad longitudinal (m€dulo de Young) a lo largo de la fibra, tangencialmente a los anillos de crecimiento y perpendicularmente a los anillos de crecimiento. El comportamiento elƒstico de un material ortotr€pico queda caracterizado por nueve constantes independientes: 3 m€dulos de elasticidad longitudinal ( E x , E y , E z), 3 m€dulos de rigidez (G xy , G yz , G zx) y 3 coeficientes de Poisson (Ž xy, Ž yz, Ž zx). De hecho para un material ortotr€pico la relaci€n entre las componentes del tensor tensi€n y las componentes del tensor deformaci€n viene dada por: Donde: Como puede verse las componentes que gobiernan el alargamiento y las que gobiernan la distorsi€n estƒn desacopladas, lo cual significa que en general es posible producir alargamientos en torno a un punto sin provocar distorsiones y viceversa. Las ecuaciones inversas que dan las deformaciones en funci€n de las tensiones toman una forma algo mƒs complicada: Donde:

De hecho la matriz anterior, que representa al tensor de rigidez, es sim‚trica ya que de las relaciones (*) se la simetr…a de la anterior matriz puesto que: Materiales transversalmente is‚tropos

Un caso particular de material ortotr€pico es el de los materiales transversalmente is€tropos en los que existe una direcci€n preferente o longitudinal y todas las secciones perpendiculares a la misma son mecƒnicamente equivalentes. As…, en cualquier secci€n transversal a la direcci€n diferente habrƒ isotrop…a y el n•mero de constantes elƒsticas independientes necesarias para caracterizar dicho material serƒ 5 y no 9, como en el caso de un material ortotr€pico general. Las cinco constantes independientes serƒn de hecho: 2 m€dulos de elasticidad longitudinal ( E L , E ), 1 m€dulo de rigidez (G ) y 2 coeficientes de Poisson (Ž , Ž ). Estas constantes se relacionan con las demƒs t t L Lt constantes generales de un material ortotr€pico mediante estas relaciones:

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Constante elƒstica

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Tensor de constantes el€sticas Para cuerpos elƒsticos lineales anis€tropicos mƒs generales, las relaciones entre tensi€n y deformaciones pueden seguir expresƒndose mediante un tensor de constantes el€sticas o tensor de rigidez dado por:

En tres dimensiones puesto que cada uno de los …ndices i, j, k y l puede tener 3 valores diferentes ( x, y o z), existen 34 componentes del tensor C ijkl, sin embargo, de la simetr…a de las componentes de tensi€n y deformaci€n deben cumplirse las siguientes relaciones entre componentes: (debido a la simetr…a del tensor tensi€n). (debido a la simetr…a del tensor deformaci€n) (debido a que la energ…a elƒstica viene dada por una forma cuadrƒtica). As… de las 3x3 = 9 componentes de los tensores tensi€n y deformaci€n s€lo existen (3+3)/2 = 6 valores diferentes; a partir de esto, se sigue que el tensor de constantes elƒsticas s€lo puede tener (6+6)/2 = 21 componentes diferentes como mƒximo. Estas 21 componentes pueden escribirse en forma matricial del siguiente modo: Componentes tensoriales del tensor is‚tropo

Las relaciones anteriores se han escrito siempre en forma de matriz, pero para los diferentes tipos de s€lidos es posible escribir tambi‚n las componentes tensoriales expl…citas. Para un s€lido is€tropo el tensor de constantes elƒsticas en coordenadas cartesianas viene dado por: En un sistema de coordenadas curvil…neas (esf‚ricas, cil…ndricas, etc.) mƒs general el tensor anterior es simplmente: Donde

es el tensor m‚trico asociado a las coordenadas curvil…neas correspondientes.

Bibliograf…a „ Landau y Lifschitz: "Teor„a de la Elasticidad ", Revert‚, 1969. ISBN 84-291-4080-8. „ Oliver y Agelet de Saracibar: " Mec•nica de Medios Continuos para Ingenieros ", Edicions UPC, 2000. ISBN 84-8301-412-2. „ Hookes' Law for Orthotropic Materials [1].

Referencias [1] http:/ / www.efunda.com/ formulae/ solid_mechanics/ mat_mechanics/ hooke_orthotropic.cfm

Teor…a de placas y lƒminas

Teor…a de placas y l€minas En ingenier…a estructural, las placas y las l€minas son elementos estructurales que geom‚triamente se pueden aproximar por una superficie bidimensional y que trabajan predominantemente a flexi€n. Estructuralmente la diferencia entre placas y lƒminas estƒ en la curvatura. Las placas son elementos cuya superficie media es plana, mientras que las lƒminas son superficies curvadas en el espacio tridimensional (como lƒs c•pulas, las conchas o las paredes de dep€sitos). Constructivamente son s€lidos deformables en los que existe una superficie media (que es la que se considera aproxima a la placa o lƒmina), a la que se a†ade un cierto espesor constante por encima y por debajo del plano medio. El hecho de que este espesor es peque†o comparado con las dimensiones de la lƒmina y a su vez peque†a comparada con los radios de curvatura de la superficie, es lo que permite reducir el cƒlculo de placas y lƒminas reales a elementos idealizados bidimensionales.

C€lculo de placas Hip‚tesis de Reissner-Mindlin

Las hip€tesis de Reissner-Mindlin son un conjunto de hip€tesis cinemƒticas sobre como se deforma una placa o lƒmina bajo flexi€n que permiten relacionar los desplazamientos con las deformaciones. Una vez obtenidas las deformaciones la aplicaci€n rutinaria de las ecuaciones de la elasticidad permite encontrar las tensiones, y encontrar la ecuaci€n de gobierno que relaciona desplazamientos con las fuerzas exteriores. Las hip€tesis de Reissner-Mindlin para el cƒlculo elƒstico de placas y lƒminas son: 1. El material de la placa es elƒstico lineal. 2. El desplazamiento vertical para los puntos del plano medio no depende de z: u z( x, y, z) = w( x, y). Deformaci€n transversal de una placa en la hip€tesis de Reissner-Mindlin donde i y 3. Los puntos del plano medio s€lo dw / dxi no tienen necesariamente que coincidir. sufren desplazamiento vertical: u ( x, y,0) = 0, u ( x, y,0) = 0. x y 4. La tensi€n perpendicular al plano medio se anula: ˆ zz= 0. Como consecuencia los desplazamientos horizontales s€lo se dan fuera del plano medio y s€lo se producen por giro del segmento perpendicular al plano medio. Como consecuencia de las hip€tesis de Reissner-Mindlin los desplazamientos pueden escribirse como:

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Hip‚tesis de Love-Kirchhoff

En las placas en que se desprecia la deformaci€n por cortante, puede suponerse adecuadamente una hip€tesis adicional conocida como hip€tesis de Love-Kirchhoff. Esta hip€tesis dice que: 5.

Esta hip€tesis es anƒloga a la hip€tesis de Navier-Bernoulli para vigas. De hecho existe un paralelo entre los modelos de vigas y de placas. El modelo de placa de Reissner-Mindlin es el el equivalente de la viga de Timoshenko, mientras que el modelo de placa de Love-Kirchhoff es el equivalente de la viga de Euler-Bernoulli. Las hip€tesis de Reissner-Mindlin combinada con la hip€tesis de Love-Kirchhoff proporcionan una hip€tesis cinemƒtica para los desplazamientos. A partir de esos desplazamientos pueden calcularse fƒcilmente las deformaciones para una placa delgada: En funci€n de esas deformaciones las tensiones se calculan trivialmente a partir de las ecuaciones de Lam‚-Hooke que generalizan la ley de Hooke para s€lidos deformables: Ecuaci‚n de Lagrange para placas delgadas

Para una placa plana de espesor constante en la que sean vƒlidas las hip€tesis de Reissner-Mindlin y Love-Kircchoff el descenso vertical en cada punto bajo la acci€n de las cargas apoyadas sobre ella viene dada por: (1)

Donde w( x, y) es la flecha vertical o descenso vertical de la placa en el punto de coordenadas ( x, y), q( x, y) es la carga por unidad de ƒrea en el mismo punto, el operador laplaciano se define por la siguiente suma de operadores:

Y finalmente la constante D es la rigidez flexional de placas y viene dada en funci€n del espesor de la placa ( h), el m€dulo de Young ( E ), el coeficiente de Poisson (Ž):

Es interesante notar que la ecuaci€n (1) es el anƒlogo de la ecuaci€n de la elƒstica para vigas. Para placas de espesor no constante, anƒlogamente al caso de la ecuaci€n de la elƒstica para vigas, la flecha y la carga aplicada estƒn relacionadas por la ecuaci€n: (2) Donde ahora la rigidez flexional D es funci€n una D( x, y) que depende del punto concreto de placa.

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C€lculo de tensiones en placas delgadas

En una lƒmina sometida fundamentalmente a flexi€n en la que se desprecia la deformaci€n por cortante, o lƒmina de Love-Kirchhof, los esfuerzos internos se carazterizan por dos momentos flectores seg•n dos direcciones m•tualmente perpendiculares y un esfuerzo torsor . Estos esfuerzos estƒn directamente relacionados con la flecha vertical w( x, y) en cada punto por:

Donde: , es el coeficiente de Poisson del material de la placa. , es la rigidez en flexi€n de la placa, siendo: el m€dulo de Young del material de la placa, y h el espesor de la placa. Las tensiones sobre una placa son directamente calculabes a partir de los esfuerzos anteriores:

C€lculo de l€minas Una lƒmina es un elemento estructural bidimensional curvado. Si las placas se tratan anƒlogamente a las vigas rectas, las lƒminas son el anƒlogo bidimensional de los arcos. Usando coordenadas curvil…neas ortogonales sobre la superficie se pueden escribir las ecuaciines de equilibrio para los esfuerzos internos para una lƒmina de Reisner-Mindlin como:[1] [2] Donde: , indican las derivadas parciales respecto a las coordenadas u, v. es el m€dulo del vector tangente asociado a la coordenada u. es el m€dulo del vector tangente asociado a la coordenada v. son los radios de curvatura seg•n las direcci€nes de las l…neas coordenadas. son las fuerzas por unidad de ƒrea en cada punto de la lƒmina. son las momentos por unidad de ƒrea en cada punto de la lƒmina. son los esfuerzos de membrana. son los esfuerzos cortantes de la placa. son los momentos flectores de la placa. son los momentos torsores de la placa.

Teor…a de placas y lƒminas Cˆpula bajo su peso propio

Como ejemplo de las anteriores ecuaciones podemos considerar una c•pula en forma de casquete esf‚rico sometida a su propio peso. Cada punto de la c•pula bidimensional se puede parametrizar mediante las coordenadas : Con lo cual tenemos los factores geom‚tricos siguientes: Y por tanto las ecuaciones anteriores quedarƒn reducidas a:

Referencia [1] Washizu, 1974. [2] Langhaar, 1962.

Bibliograf…a

„ Washizu, K. Variational methods in Elasticity and Plasticity , Pergamon Press, 1974. ISBN 978-0-08-026723-4. „ Langhaar, H. L. Energy Methods in Applied Mechanics, Wiley, 1962. ISBN 978-0-89464-364-4. Enlaces externos

„ Ecuaci€n de Placas en eFunda (http:/ / efunda.com/ formulae/ solid_mechanics/ plates/ theory.cfm)

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Mecƒnica de s€lidos deformables

Mec€nica de s‚lidos deformables La mec€nica de los s‚lidos deformables estudia el comportamiento de los cuerpos s€lidos deformables ante diferentes tipos de situaciones como la aplicaci€n de cargas o efectos t‚rmicos. Estos comportamientos, mƒs complejos que el de los s€lidos r…gidos, se estudian en mecƒnica de s€lidos deformables introduciendo los conceptos de deformaci€n y de tensi€n. Una aplicaci€n t…pica de la mecƒnica de s€lidos deformables es determinar a partir de una cierta geometr…a original de s€lido y unas fuerzas aplicadas sobre el mismo, si el cuerpo cumple ciertos requisitos de resistencia y rigidez. Para resolver ese problema, en general es necesario determinar el campo de tensiones y el campo de deformaciones del s€lido. Las ecuaciones necesarias para ello son: „ ecuaciones de equilibrio, que relacionan tensiones internas del s€lido con las cargas aplicadas. Las ecuaciones de la estƒtica son deducibles de las ecuaciones de equilibrio. „ ecuaciones constitutivas, que relacionan tensi€n y deformaci€n, y en las que pueden intervenir tambi‚n otras magnitudes como temperatura, velocidad de deformaci€n, deformaciones plƒsticas acumuladas, variables de endurecimiento, etc. „ ecuaciones de compatibilidad, a partir de la cual pueden calcularse los desplazamientos en funci€n de las deformaciones y las condiciones de contorno o enlace con el exterior.

Tipos de s‚lidos deformables Los s€lidos deformables difieren unos de otros en su ecuaci€n constitutiva. Seg•n sea la ecuaci€n constitutiva que relaciona las magnitudes mecƒnicas y termodinƒmicas relevantes del s€lido, se tiene la siguiente clasificaci€n para el comportamiento de s€lidos deformables: „ Comportamiento el€stico, se da cuando un s€lido se deforma adquiriendo mayor energ…a potencial elƒstica y, por tanto, aumentando su energ…a interna sin que se produzcan transformaciones termodinƒmicas irreversibles. La caracter…stica mƒs importante del comportamiento elƒstico es que es reversible: si se suprimen las fuerzas que provocan la deformaci€n el s€lido vuelve al estado inicial de antes de aplicaci€n de las cargas. Dentro del comportamiento elƒstico hay varios subtipos: „ El€stico lineal is‚tropo, como el de la mayor…a de metales no deformados en fr…o bajo peque†as deformaciones. „ El€stico lineal no-is‚tropo, la madera es material ortotr€pico que es un caso particular de no-isotrop…a. „ El€stico no-lineal que, a su vez, tiene subtipos: „ Comportamiento pl€stico: aqu… existe irreversibilidad; aunque se retiren las fuerzas bajo las cuales se produjeron deformaciones elƒsticas, el s€lido no vuelve exactamente al estado termodinƒmico y de deformaci€n que ten…a antes de la aplicaci€n de las mismas. A su vez los subtipos son: „ Pl€stico puro, cuando el material "fluye" libremente a partir de un cierto valor de tensi€n. „ Pl€stico con endurecimiento, cuando para que el material acumule deformaci€n plƒstica es necesario ir aumentando la tensi€n. „ Pl€stico con ablandamiento. „ Comportamiento viscoso que se produce cuando la velocidad de deformaci€n entra en la ecuaci€n constitutiva, t…picamente para deformar con mayor velocidad de deformaci€n es necesario aplicar mƒs tensi€n que para obtener la misma deformaci€n con menor velocidad de deformaci€n pero aplicada mƒs tiempo. Aqu… se pueden distinguir los siguientes modelos: „ Visco-el€stico, en que las deformaciones elƒsticas son reversibles. Para velocidades de deformaciones arbitrariamente peque†as este modelo tiende a un modelo de comportamiento elƒstico.

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Mecƒnica de s€lidos deformables „ Visco-pl€stico, que incluye tanto el desfasaje dentre tensi€n y deformaci€n por efecto de la viscosidad como la posible aparici€n de deforamciones plƒsticas irreversibles. En principio, un s€lido de un material dado es susceptible de presentar varios de estos comportamientos seg•n sea el rango de tensi€n y deformaci€n que predomine. Uno u otro comportamiento dependerƒ de la forma concreta de la ecuaci€n constitutiva que relaciona parƒmetros mecƒnicos importantes como la tensi€n, la deformaci€n, la velocidad de deformaci€n y la deformaci€n plƒstica, junto con parƒmetros como las constantes elƒsticas, la viscosidad y parƒmetros termodinƒmicos como la temperatura o la entrop…a.

Teor…a de la elasticidad lineal Para materiales que tienen un comportamiento elƒstico lineal, o aproximadamente lineal, para peque†as o moderadas deformaciones. El cƒlculo de tensiones y deformaciones puede hacerse usando la teor…a lineal de la elasticidad. Esta teor…a resuelve los problemas de mecƒnica de s€lidos planteando un [[sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Desde el punto de vista f…sico los diversos subsistemas de ecuaciones que incluye esta teor…a son: „ Ecuaciones de equilibrio interno. Que relacionan las fuerzas volum‚tricas (bi) con las derivadas de las tensiones (ˆij) en el interior del s€lido: „ Ecuaciones de equilibrio externo. Que relacionan las fuerzas superficiales o fuerzas de contacto ( f i) aplicadas en la superficie del s€lido con el valor de las tensiones en el controno del s€lido: „ Ecuaciones constitutivas o ecuaciones de Lam‚-Hooke. Son ecuaciones algebraicas y lineales que relacionan el valor de las componentes del tensor tensi€n con el valor del tensor deformaci€n:

„ Relaci‚n entre desplazamientos y deformaciones. Que relacionan las componentes del tensor de deformaciones (ij) con las componentes del vector de desplazamiento u = (u x , u y , u z):

„ Condiciones de contorno, que fijan el valor del desplazamiento para algunos puntos del contorno exterior, normalmente los puntos que sean puntos de uni€n del s€lido deformable a alguna otra estructura o elemento resistente sobre el que se apoye o ancle.

Resistencia de materiales Ciertos problemas sencillos de la mecƒnica de s€lidos deformables con geometr…as simples pueden tratarse mediante la resistencia de materiales clƒsica. En especial para el cƒlculo de vigas y cuando la concentraci€n de tensiones no es particularmente pueden plantearse ecuaciones diferenciales ordinarias en una variable para el cƒlculo de tensiones y deformaciones, lo cual hace muy fƒcil el encontrar soluciones anal…ticas que aproximen las tensiones del problema real tridimensional. Ademƒs, muchos problemas que son indeterminados seg•n el modelo de la mecƒnica del s€lido r…gido (problemas hiperestƒticos), son resolubles en el modelo de s€lidos deformables gracias a que se usan ecuaciones adicionales (ecuaci€n constitutiva y ecuaciones de compatibilidad). Normalmente estas ecuaciones adicionales se escriben en t‚rminos de esfuerzos, deformaciones o desplazamientos ( V•ase tambi•n: teoremas de Castigliano, Ecuaciones de Navier-Bresse, Teoremas de Mohr).

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Mecƒnica de s€lidos deformables

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Una de las principales aplicaciones de la mecƒnica de s€lidos deformables es el cƒlculo de estructuras en ingenier…a y arquitectura. Como campo de estudio, la mecƒnica de s€lidos deformables forma parte de la mecƒnica de medios continuos.


Mecƒnica de medios continuos y Mecƒnica del s€lido r…gido Elasticidad y Resistencia de materiales Tensi€n y Deformaci€n Problema elƒstico y Problema elastoplƒstico

Fuerza En f…sica, la fuerza es una magnitud f…sica que mide la intensidad del intercambio de momento lineal entre dos part…culas o sistemas de part…culas (en lenguaje de la f…sica de part…culas se habla de interacci€n). Seg•n una definici€n clƒsica, fuerza es toda causa agente capaz de modificar la cantidad de movimiento o la forma de los cuerpos materiales. No debe confundirse con los conceptos de esfuerzo o de energ…a. En el Sistema Internacional de Unidades, la fuerza se mide en newtons (N).

Descomposici€n de las fuerzas que act•an sobre un s€lido situado en un plano inclinado.

Introducci‚n La fuerza es una modelizaci€n matemƒtica de intensidad de las interacciones, junto con la energ…a. As… por ejemplo la fuerza gravitacional es el jal€n que se dan los cuerpos que tienen masa, el peso es el jal€n que la tierra da a los objetos en las cercanias de su superficie, la fuerza elastica son los empujones o jalones que ejerce un resorte comprimido o estirado respectivamente, etc. En f…sica hay dos tipos de ecuaciones de fuerza: las ecuaciones "causales" donde se especifica el origen del jal€n o empujon: por ejemplo la ley de la gravitaci€n universal de Newton o la ley de Coulomb y las ecuaciones de los efectos (la cual es fundamentalmente la segunda ley de Newton). La fuerza es una magnitud f…sica de carƒcter vectorial capaz de deformar los cuerpos (efecto estƒtico), modificar su velocidad o vencer su inercia y ponerlos en movimiento si estaban inm€viles (efecto dinƒmico). En este sentido la fuerza puede definirse como toda acci€n o influencia capaz de modificar el estado de movimiento o de reposo de un cuerpo (imprimi‚ndole una aceleraci€n que modifica el m€dulo o la direcci€n de su velocidad) o bien de deformarlo. Com•nmente nos referimos a la fuerza aplicada sobre un objeto sin tener en cuenta al otro objeto u objetos con los que estƒ interactuando y que experimentarƒn, a su vez, otras fuerzas. Actualmente, cabe definir la fuerza como un ente f…sico-matemƒtico, de carƒcter vectorial, asociado con la interacci€n del cuerpo con otros cuerpos que constituyen su entorno.

Fuerza

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Historia El concepto de fuerza fue descrito originalmente por Arqu…medes, si bien •nicamente en t‚rminos estƒticos. Arqu…medes y otros creyeron que el "estado natural" de los objetos materiales en la esfera terrestre era el reposo y que los cuerpos tend…an, por s… mismos, hacia ese estado si no se actuaba sobre ellos en modo alguno. De acuerdo con Arist€teles la perseverancia del movimiento requer…a siempre una causa eficiente (algo que parece concordar con la experiencia cotidiana, donde las fuerzas de fricci€n pueden pasar desapercibidas). Galileo Galilei (1564 - 1642) ser…a el primero en dar una definici€n dinƒmica de fuerza, opuesta a la de Arqu…medes, estableciendo claramente la ley de la inercia, afirmando que un cuerpo sobre el que no act•a ninguna fuerza permanece en movimiento inalterado. Esta ley, que refuta la tesis de Arqu…medes, a•n hoy d…a no resulta obvia para la mayor…a de las personas sin formaci€n cient…fica Se considera que fue Isaac Newton el primero que formul€ matemƒticamente la moderna definici€n de fuerza, aunque tambi‚n us€ el t‚rmino latino vis ('fuerza') para otros conceptos diferentes. Ademƒs, Isaac Newton postul€ que las fuerzas gravitatorias variaban seg•n la ley de la inversa del cuadrado de la distancia.

Busto de Arqu…medes.

Charles Coulomb fue el primero que comprob€ que la interacci€n entre cargas el‚ctricas o electr€nicas puntuales. variaba tambi‚n seg•n la ley de la inversa del cuadrado de la distancia (1784). En 1798, Henry Cavendish logr€ medir experimentalmente la fuerza de atracci€n gravitatoria entre dos masas peque†as utilizando una balanza de torsi€n. Gracias a lo cual pudo determinar el valor de la constante de la gravitaci€n universal y, por tanto, pudo calcular la masa de la Tierra. Con el desarrollo de la electrodinƒmica cuƒntica, a mediados del siglo XX, se constat€ que la "fuerza" era una magnitud puramente macrosc€pica surgida de la conservaci€n del momento lineal o cantidad de movimiento para part…culas elementales. Por esa raz€n las llamadas fuerzas fundamentales suelen denominarse "interacciones fundamentales".

Fuerza en mec€nica newtoniana En mecƒnica newtoniana la fuerza se puede definir tanto a partir de la aceleraci€n y la masa, como a partir de la derivada temporal del momento lineal, ya que para velocidades peque†as comparadas con la luz ambas definiciones coinciden:

En el caso de la estƒtica, donde no existen aceleraciones, las fuerzas actuantes pueden deducirse de consideraciones de equilibrio.

Fuerza

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Fuerza gravitatoria

En mecƒnica newtoniana la fuerza de atracci€n entre dos masas, cuyos centros de gravedad estƒn lejos comparadas con las dimensiones del cuerpo, [1] viene dada por la ley de la gravitaci€n universal de Newton:

Fuerzas gravitatorias entre dos part…culas.

Donde: es la fuerza que act•a sobre el cuerpo 2, ejercida por el cuerpo 1. constante de la gravitaci€n universal. vector de posici€n relativo del cuerpo 2 respecto al cuerpo 1. es el versor dirigido hac…a 2 desde 1. masas de los cuerpos 1 y 2. Cuando la masa de uno de los cuerpos es muy grande en comparaci€n con la del otro (por ejemplo, si tiene dimensiones planetarias), la expresi€n anterior se transforma en otra mƒs simple:

Donde: es la fuerza del cuerpo de gran masa ("planeta") sobre el cuerpo peque†o. es un versor cuya dirigido desde el centro del "planeta" al del cuerpo de peque†a masa. es la distancia entre el centro del "planeta" y el del cuerpo peque†o.. Fuerzas internas y de contacto

En los s€lidos, el principio de exclusi€n de Pauli conduce junto con la conservaci€n de la energ…a a que los ƒtomos tengan sus electrones distribuidos en capas y tengan impenetrabilidad a pesar de estar vac…os en un 99%. La impenetrabildad se deriva de que los ƒtomos sean "extensos" por el principio de Pauli y que los electrones de las capas exteriores ejerzan fuerzas electrostƒticas de repulsi€n que hacen que la materia sea macrosc€picamente impenetrable. Lo anterior se traduce en que dos cuerpos puestos en "contacto" experimentarƒn superficialmente fuerzas resultantes normales (o

F N representa la fuerza normal ejercida

por el plano inclinado sobre el objeto situado sobre ‚l.

Fuerza

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aproximadamente normales) a la superficie que impedirƒn el solapamiento de las nubes electr€nicas de ambos cuerpos. Las fuerzas internas son similares a las fuerzas de contacto entre ambos cuerpos y si bien tienen una forma mƒs complicada, ya que no existe una superficie macrosc€pica a trav‚s de la cual se den la superficie. La complicaci€n se traduce por ejemplo en que las fuerzas internas necesitan ser modelizadas mediante un tensor de tensiones en que la fuerza por unidad de superficie que experimenta un punto del interior depende de la direcci€n a lo largo de la cual se consideren las fuerzas. Lo anterior se refiere a s€lidos, en los fluidos en reposo las fuerzas internas dependen esencialmente de la presi€n, y en los fluidos en movimiento la viscosidad puede desempe†ar un papel Fricci‚n

La fricci€n puede darse entre las superficies libres de s€lidos, en el tratamiento de los problemas mediante mecƒnica newtoniana la fricci€n entre s€lidos frecuentemente se modeliza como una fuerza sobre el plano tangente del contacto entre s€lidos, de valor proporcional a la fuerza normal. El rozamiento entre s€lido l…quido y en el interior de un l…quido o un gas depende esencialmente de si el flujo se considera laminar o turbulento, de la ecuaci€n constitutiva. Fuerzas de campos estacionarios

En mecƒnica newtoniana tambi‚n es posible modelizar algunas fuerzas constantes en el tiempo como campos de fuerza. Por ejemplo la fuerza entre dos cargas el‚ctricas inm€viles, puede representarse adecuadamente mediante la ley de Coulomb:

Donde: es la fuerza ejercida por la carga 1 sobre la carga 2. una constante que dependerƒ del sistema de unidades para la carga. vector de posici€n de la carga 2 respecto a la carga 1. valor de las cargas. Tambi‚n los campos magn‚ticos estƒticos y los debidos a cargas estƒticas con distribuciones mƒs complejas pueden resumirse en dos funciones vectoriales llamadas campo el‚ctrico y campo magn‚tico tales que una part…cula en movimiento respecto a las fuentes estƒticas de dichos campos viene dada por la expresi€n de Lorentz: Donde: es el campo el‚ctrico. es el campo magn‚tico. es la velocidad de la part…cula. es la carga total de la part…cula. Los campos de fuerzas no constantes sin embargo presentan una dificultad especialmente cuando estƒn creados por part…culas en movimiento rƒpido, porque en esos casos los efectos relativistas de retardo pueden ser importantes, y la mecƒnica clƒsica, da lugar a un tratamiento de acci€n a distancia que puede resultar inadecuado si las fuerzas cambian rƒpidamente con el tiempo.

Fuerza

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Unidades de fuerza

En el Sistema Internacional de Unidades (SI) y en el Cegesimal (cgs), el hecho de definir la fuerza a partir de la masa y la aceleraci€n (magnitud en la que intervienen longitud y tiempo), conlleva a que la fuerza sea una magnitud derivada. Por en contrario, en el Sistema T‚cnico la fuerza es una Unidad Fundamental y a partir de ella se define la unidad de masa en este sistema, la unidad t‚cnica de masa, abreviada u.t.m. (no tiene s…mbolo). Este hecho atiende a las evidencias que posee la f…sica actual, expresado en el concepto de Fuerzas Fundamentales, y se ve reflejado en el Sistema Internacional de Unidades. „ Sistema Internacional de Unidades (SI) „ newton (N) „ Sistema T‚cnico de Unidades „ kilogramo-fuerza (kgf ) o kilopondio (kp) „ Sistema Cegesimal de Unidades „ dina (dyn) „ Sistema Anglosaj€n de Unidades „ Poundal „ KIP „ Libra fuerza (lbf ) Equivalencias

1 newton = 100 000 dinas 1 kilogramo-fuerza = 9,806 65 newtons 1 libra fuerza ƒ 4,448 222 newtons

Fuerza en mec€nica relativista En relatividad especial la fuerza se debe definir s€lo como derivada del momento lineal, ya que en este caso la fuerza no resulta simplemente proporcional a la aceleraci€n:

De hecho en general el vector de aceleraci€n y el de fuerza ni siquiera serƒn paralelos, s€lo en el movmieno movimiento circular uniforme y en cualquier movimiento rectil…neo serƒn paralelos el vector de fuerza y aceleraci€n pero en general se el m€dulo de la fuerza dependerƒ tanto de la velocidad como de la aceleraci€n. "Fuerza" gravitatoria

En la teor…a de la relatividad general el campo gravitatorio no se trata como un campo de fuerzas real, sino como un efecto de la curvatura del espacio-tiempo. Una part…cula mƒsica que no sufre el efecto de ninguna otra interacci€n que la gravitatoria seguirƒ una trayectoria geod‚sica de m…nima curvatura a trav‚s del espacio-tiempo, y por tanto su ecuaci€n de movimiento serƒ:

Donde: son las coordenadas de posici€n de la part…cula. el parƒmetro de arco, que es proporcional al tiempo propio de la part…cula.

Fuerza

58 son los s…mbolos de Christoffel correspondientes a la m‚trica del espacio-tiempo.

La fuerza gravitatoria aparente procede del t‚rmino asociado a los s…mbolos de Christoffel. Un observador en "ca…da libre" formarƒ un sistema de referencia en movimiento en el que dichos s…mbolos de Christoffel son nulos, y por tanto no percibirƒ ninguna fuerza gravitatoria tal como sostiene el principio de equivalencia que ayud€ a Einstein a formular sus ideas sobre el campo gravitatorio. Fuerza electromagn•tica

El efecto del campo electromagn‚tico sobre una part…cula relativista viene dado por la expresi€n covariante de la fuerza de Lorentz:

Donde: son las componentes covariantes de la cuadrifuerza experimentada por la part…cula. son las componentes del tensor de campo electromagn‚tico. son las componentes de la cuadrivelocidad de la part…cula. La ecuaci€n de movimiento de una part…cula en un espacio-tiempo curvo y sometida a la acci€n de la fuerza anterior viene dada por:

Donde la expresi€n anterior se ha aplicado el convenio de sumaci€n de Einstein para …ndices repetidos, el miembro de la derecha representa la cuadriaceleraci€n y siendo las otras magnitudes: son las componentes contravarianetes de la cuadrifuerza electromagn‚tica sobre la part…cula. es la masa de la part…cula.

Fuerza en f…sica cu€ntica Fuerza en mec€nica cu€ntica

En mecƒnica cuƒntica no resulta fƒcil definir para muchos sistemas un equivalente claro de la fuerza. Esto sucede porque en mecƒnica cuƒntica un sistema mecƒnico queda descrito por una funci€n de onda o vector de estado que en general representa a todo el sistema en conjunto y no puede separarse en partes. S€lo para sistemas donde el estado del sistema pueda descomponerse de manera no ambigua en la forma donde cada una de esas dos partes representa una parte del sistema es posible definir el concepto de fuerza. Sin embargo en la mayor…a de sistemas interesanes no es posible esta descomposici€n. Por ejemplo si consideramos el conjunto de electrones de un ƒtomo, que es un conjunto de part…culas id‚nticas no es posible determinar una mangitud que represente la fuerza entre dos electrones concretos, porque no es posible escribir una funci€n de onda que describa por separado los dos electrones. Sin embargo, en el caso de una part…cula aislada sometida a la acci€n de una fuerza conservativa es posible describir la fuerza mediante un potencial externo e introducir la noci€n de fuerza. Esta situaci€n es la que se da por ejemplo en el modelo at€mico de Schr™dinger para un ƒtomo hidrogenoide donde el electr€n y el n•cleo son discernibles uno de otro. En ‚ste y otros casos de una part…cula aislada en un potencial el teorema de Ehrenfest lleva a una generalizaci€n de la segunda ley de Newton en la forma:

Donde:

Fuerza

59 es el valor esperado del momento lineal de la part…cula. es la funci€n de onda de la part…cula y su compleja conjugada. es el potencial del que derivar las "fuerzas". denota el operador nabla.

En otros casos como los experimentos de colisi€n o dispersi€n de part…culas elementales de energ…a positiva que son disparados contra otras part…culas que hacen de blanco, como los experimentos t…picos llevados a cabo en aceleradores de part…culas a veces es posible definir un potencial que estƒ relacionado con la fuerza t…pica que experimentarƒ una part…cula en colisi€n, pero a•n as… en muchos casos no puede hablarse de fuerza en el sentido clƒsico de la palabra. Fuerzas fundamentales en teor…a cu€ntica de campos

En teor…a cuƒntica de campos, el t‚rmino "fuerza" tiene un sentido ligeramente diferente al que tiene en mecƒnica clƒsica debido a la dificultad espec…fica se†alada en la secci€n anterior de definir un equivalente cuƒntico de las fuerzas clƒsicas. Por esa raz€n el t‚rmino "fuerza fundamental" en teor…a cuƒntica de campos se refiere al modo de interacci€n entre part…culas o campos cuƒnticos, mƒs que a una medida concreta de la interacci€n de dos part…culas o campos. La teor…a cuƒntica de campos trata de dar una descripci€n de las formas de interacci€n existentes entre las diferentes formas de materia o campos cuƒnticos existentes en el Universo. As… el t‚rmino "fuerzas fundamentales" se refiere actualmente a los modos claramente diferenciados de interacci€n que conocemos. Cada fuerza fundamental quedarƒ descrita por una teor…a diferente y postularƒ diferentes lagrangianos de interacci€n que describan como es ese modo peculiar de interacci€n.

Cuadro explicativo de las 4 fuerzas fundamentales.

Cuando se formul€ la idea de fuerza fundamental se consider€ que exist…an cuatro "fuerzas fundamentales": la gravitatoria, la electromagn‚tica, la nuclear fuerte y la nuclear d‚bil. La descripci€n de las "fuerzas fundamentales" tradicionales es la siguiente: 1. La gravitatoria es la fuerza de atracci€n que una masa ejerce sobre otra, y afecta a todos los cuerpos. La gravedad es una fuerza muy d‚bil y de un s€lo sentido, pero de alcance infinito. 2. La fuerza electromagn‚tica afecta a los cuerpos el‚ctricamente cargados, y es la fuerza involucrada en las transformaciones f…sicas y qu…micas de ƒtomos y mol‚culas. Es mucho mƒs intensa que la fuerza gravitatoria, puede tener dos sentidos (atractivo y repulsivo) y su alcance es infinito. 3. La fuerza o interacci€n nuclear fuerte es la que mantiene unidos los componentes de los n•cleos at€micos, y act•a indistintamente entre dos nucleones cualesquiera, protones o neutrones. Su alcance es del orden de las dimensiones nucleares, pero es mƒs intensa que la fuerza electromagn‚tica. 4. La fuerza o interacci€n nuclear d‚bil es la responsable de la desintegraci€n beta de los neutrones; los neutrinos son sensibles •nicamente a este tipo de interacci€n (aparte de la gravitatoria,

Fuerza

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electromagn‚tica y su alcance es a•n menor que el de la interacci€n nuclear fuerte. Sin embargo, cabe se†alar que el n•mero de fuerzas fundamentales en el sentido anteriormente expuesto depende de nuestro estado de conocimiento, as… hasta finales de los a†os 1960 la interacci€n d‚bil y la interacci€n electromagn‚tica se consideraban fuerzas fundamentales diferentes, pero los avances te€ricos permitieron establecer que en realidad ambos tipos de interacci€n eran manifestaciones fenomenol€gicamente diferentes de la misma "fuerza fundamental", la interacci€n electrod‚bil. Se tiene la sospecha de que en •ltima instancia todas las "fuerzas fundamentales" son manifestaciones fenomenol€gicas de una •nica "fuerza" que ser…a descrita por alg•n tipo de teor…a unificada o teor…a del todo.

V•ase tambi•n „ „ „ „ „ „ „

Fuerzas fundamentales Fuerza conservativa Fuerza ficticia Dinam€metro Sistema Internacional de Unidades Fuerza de empuje horizontal en superficies planas Superfuerza

Referencia [1] Si esta condici€n no se cumple la expresi€n resultante es diferente debido a que las zonas mƒs cercanas entre cuerpos tienen una influencia mayor que las zonas mƒs alejadas

Bibliograf…a

„ Landau & Lifshitz: Mec•nica, Ed. Revert‚, Barcelona, 1991. ISBN 84-291-4081-6

Enlaces externos „ Wikiquote alberga frases c‚lebres de o sobre Fuerza. Wikiquote „ Segunda y tercera leyes de Newton. Definiciones de fuerza y masa. (http:/ / www.uco.es/ users/ mr.ortega/ fisica/ archivos/ monytex/ LFM07.PDF) „ Fuerza central y conservativa (http:/ / www.sc.ehu.es/ sbweb/ fisica/ celeste/ kepler/ fuerza.htm) „ Preguntas sobre Fuerzas (http:/ / apuntes.infonotas.com/ pages/ fisica/ fuerzas/ faq-fisica-1.php)

Isotrop…a

Isotrop…a En f…sica, la isotrop…a, (cuya etimolog…a estƒ en la ra…ces griegas †ƒ‡ˆ [isos], equitativo o igual, y ‰Š‹Œ‡ˆ [tropos], medio, espacio de lugar, direcci€n), es la caracter…stica de los cuerpos cuyas propiedades f…sicas no dependen de la direcci€n. Es decir, se refiere al hecho de que ciertas magnitudes vectoriales conmensurables, dan resultados id‚nticos con independencia de la direcci€n escogida para dicha medida. Cuando una determinada magnitud no presenta isotrop…a decimos que presenta anisotrop…a. En matemƒticas, la isotrop…a se refiere a una propiedad geom‚trica de invariancia en una variedad diferenciable.

V•ase tambi•n „ Anisotrop…a

Enlaces externos „ Art…culo corto sobre isotrop…a/anisotrop…a [1] en la Universidad de Granada.

Referencias [1] http:/ / edafologia.ugr.es/ optmine/ intro/ isoanis.htm

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Fuentes y contribuyentes del art…culo

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Fuentes y contribuyentes del art…culo An€lisis estructural Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=40468248 Contribuyentes: Daniel De Leon Martinez, Davius, GermanX, Greek, Kved, Laura Fiorucci, PasabaPorAqui,

Tano4595, 8 ediciones an€nimas Esfuerzo interno Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=39741357 Contribuyentes: Af3, Aibdescalzo, Algarabia, Bernardogu ar,

Davius, Esteban nacho, Francisco Quiumento,

Genba, JMCC1, Kved, Matdrodes, Nicop, Rafa606, Reanduro, TEPEX, Tano4595, Yeza, 37 ediciones an€nimas Elasticidad (mec€nica de s‚lidos) Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=38311982 Contribuyentes: Algarabia, Alhen, Andreasmperu, Bcoto, BlackBeast, Cam367, Camilo,

Davius, Diegusjaimes, Dorieo, Durero, Edmenb, Francisco Quiumento, Furlong, Gonzalo88, Gsrdzl, HiTe, Humberto, Ialad, Ignacio Icke, J.delanoy, Josemonsalve2, Kved, Maldoror, Manueldiazmdq, Manuelt15, Manwš, Mig, Netito777, Nix€n, Njumi, PoLuX124, Santiagomarquezd, Sermed, Smoken Flames, Taichi, Tano4595, Walnut2008, Yeza, 81 ediciones an€nimas Resistencia de materiales Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=39823368 Contribuyentes: Abece, Analores, Canislupusarctos, Carmin, Davius, Diegusjaimes, Eligna, HUB,

Issalago, JMCC1, Jebb1987, Koke0 0, Lin linao, Matdrodes, Rodriguillo, Sanbec, Tano4595, Walnut2008, 42 ediciones an€nimas Tensor tensi‚n Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=39613995 Contribuyentes: 19jp87, Davius, Feministo, Gullo, Segedano, 2 ediciones an€nimas Flexi‚n mec€nica Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=39473381 Contribuyentes: Aibdescalzo, Davius, Desatonao, Diegusjaimes, Djfarlo2002, Echani, FCPB, Gafotas, Manwš,

Matdrodes, PoLuX124, Poco a poco, Sonett72, Tano4595, 41 ediciones an€nimas Tensi‚n mec€nica Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=39425610 Contribuyentes: Algarabia, Ascƒnder, Biaiaa, Carlos Quesada,

DarkMonsoon, Davius, Dianai, Emilio Juanatey, Erelea, Grillitus, Gullo, JorgeGG, Laura Fiorucci, Matdrodes, Mortadelo, PACO, Petronas, Raulshc, Tano4595, Triku, Vitamine, Vivero, 35 ediciones an€nimas Viga Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=40477073 Contribuyentes: 3coma14, 4WD, Af3, BetoCG, Cokepe, Daniel De

Leon Martinez, Davius, Djfarlo2002, Humbefa, JMCC1, Jjrcosta45, Jorge c2010, LeCire, MILEPRI, Matdrodes, Michelangelo-36, PhJ, Pymouss, Reanduro, Rondador, RoyFocker, Sonett72, Taichi, Tano4595, Tortillovsky, 49 ediciones an€nimas Esfuerzo cortante Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=39979092 Contribuyentes: Cobalttempest, Davius, Diegusjaimes, Digigalos, Humberto, Ingolll,

JMCC1, Jorghex,

Phdmiquel, SITOMON, 14 ediciones an€nimas Coeficiente de Poisson Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=40617234 Contribuyentes: Algarabia, Cdib, Daniel De Leon Martinez, Davius,

Ingolll, Matdrodes, Nettosama, Rsg,

Tano4595, V…ctor Morales Fl€rez, 12 ediciones an€nimas Tensor deformaci‚n Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=37967474 Contribuyentes: Davius, Gullo, Juan Marquez, Jzahr, 11

ediciones an€nimas

Pilar Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=39377699 Contribuyentes: 142857, Alhen, Balderai, Colacin, Davius, Deleatur, Diegusjaimes, Ecemaml, Ev, Juanangelovi, Kved,

Lasneyx, M2l2, Manwš, Matdrodes, Nicop, Nix€n, Penarc, Pertile, Raymac, Redstar, Rondador, RoyFocker, Sailko, Tano4595, Tirithel, Txo, Urbietorbi, 30 ediciones an€nimas Ley de elasticidad de Hooke Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=40177152 Contribuyentes: Adelato, Alberto Salguero, Algarabia, Alhen, Alvaro qc,

Anditoust, Angel GN, Antur, Beto29, BetoCG, Boja, Cobalttempest, Cusell, Davius, Dferg, Diegusjaimes, Dreitmen, Echani, Edmenb, Ezequiel3E, Hprmedina, Hugo Mosh, Ingolll, Isha, Javierito92, JorgeGG, JoseManuel.Lopez.UEM, Laura Fiorucci, Loco085, Manuelt15, Matdrodes, Mrsyme, Mschus, Mutari, Netito777, Pablo Alcayaga, Pa blompa, Petronas, PoLuX124, Prometheus, Raulshc, Tano4595, Tirithel, Tortillovsky, Tux, Varano, Veon, Wikiwert, Wricardoh, Xuankar, 146 ediciones an€nimas M‚dulo de Young Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=40552436 Contribuyentes: Algarabia, Cdib, Davius, JL Higuera, Ricardogpn, Superzerocool,

Tano4595, 7 ediciones

an€nimas Rigidez Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=39969380 Contribuyentes: Algarabia, Davius, Diegusjaimes, Digigalos, Efeg‚, Ingolll, Pan con queso,

Tano4595, Teta mitro zon, 18

ediciones an€nimas Constante el€stica Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=40369152 Contribuyentes: Algarabia, Beechclub, D0n0g, Davius, Humbefa, Komputisto, Lucien leGrey, Mahadeva,

Matdrodes, PoLuX124, Tom Bombadil, Vivero, 17 ediciones an€nimas Teor…a de placas y l€minas Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=36956890 Contribuyentes: Davius, Francisco Quiumento, Rondador, Sonett72, Tano4595, Varano, 7 ediciones

an€nimas Mec€nica de s‚lidos deformables Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=36930558 Contribuyentes: Daniel De Leon Martinez, Davius, Docfredderick, Lauranrg, Nakor, Pedro71,

Ppja, Tano4595, 10 ediciones an€nimas Fuerza Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=40802137 Contribuyentes: .Jos‚, Agguizar, Aibdescalzo, Airunp, Aitorzubiaurre, Alefisico, Algarabia,

Alhen, Aliman5040, Amifonlas, Angel GN, Antur, Armin76, Arturomania, Ascƒnder, Axxgreazz, Baiji, BetoCG, BlackBeast, Brayan, Carlos Quesada, Carmin, Celeron, Cobalttempest, Coren, Ctrl Z, Danielba894, David0811, Davidlopez3, Davidlud, Davius, Deleatur, Delphidius, Dermot, Dferg, Diegusjaimes, Dionisio, Dominican, Dorieito, Dorieo, Dreitmen, Durero, Edmenb, Eduardosalg, Ellinikƒ, Elsenyor, Emijrp, Emilyum, Emmanuel yo, Ener6, Equi, Er Komandante, Erfil, Escalda, Fmercury1980, FrancoGG, Fsd141, Furado, Gaeddal, Gaius iulius caesar, Galandil, Galio, Genba, George McFinnigan, GermanX, Ghettha, Gonis, Gothmog, Greek, Gusgus, G™tz, HUB, Homeron10, House, Huevocarton, Humberto, Icvav, Isha, JMCC1, Jarke, Jelf45, Jersy2109, Jgalgarra, Jjafjjaf, Jlozanogarrote, Jmsrrgpllg, Jomra, Joniale, Jorge c2010, JorgeGG, Joseaperez, Julie, Karshan, Kender00, Kevin 1000, Kokoo, Komputisto, Kordas, Kraenar, Kved, La Mantis, Laura Fiorucci, Limbo@MX, Lockoca, Lourdes Cardenal, Lucasburchard, Luis1970, LyingB, Mafores, Maldoror, Manolocagazo, Manuel Gonzƒlez Olaechea y Franco, Manuelhernandezp, Manuelt15, Manwš, Maria y liriana uv, Matdrodes, Matiasasb, Maveric149, Mercenario97, Michelle Jac kson, Miguel Angel Corral, Mocte13, Moriel, Mushii, NACLE, Netito777, Nicop, Nioger, Nix€n, Orejivangoghero, Orgullomoore, Ortisa, Oscar ., Overgeo, Pa n con queso, PeiT, Pello, Pe tronas, PhJ, PoLuX124, Poco a poco, Ponalgoyya, Ppja, Prietoquilmes, Ramon00, Rastrojo, Ravave, Raystorm, Retama, Rizome, Rjgalindo, Roberpl, Rodrigo, Ruy Pugliesi, Santiperez, Santirom, Skyhack, Snakeyes, Tano4595, Tharrik, Tirithel, Tomatejc, Torrente3, Triku, Vatelys, Vic Fede, Vitamine, Votinus, Xalox059, Xenoforme, Xuankar, Yoquese09, Yrithinnd, conversion script, du-148-221-250-39.prodigy.net.mx, 776 ediciones an€nimas Isotrop…a Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=38362965 Contribuyentes: .Jos‚, Alefisico, Butthead

Manwš, Netito777, Paintman, Riviera, Sailorsun, Sergio Alvar‚, Stardust, Tortillovsky, 34 ediciones an€nimas

rotten, Davius, GermanX, Ingolll, Leugim1972, LuisArmandoRasteletti,

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes Archivo:stress tensor.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Stress_tensor.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Abdullah K™ro›lu, Daniel

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Análisis Estructural: Resistencia y Deflexión de vigas de acero

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