1.CALCULO DE DELTA Se va a realizar un Análisis Estadístico de Precipitaciones máximas en 24 horas en la Estación Autisha. Se cuenta con un registro de datos pluviométricos, que serán analizados con diferentes modelos probabilísticas, donde se escogerá la que mejor represente el comportamiento de la variable: precipitación. Para la utilización de estos modelos se ha realizado la prueba de bondad de ajuste. Los modelos a usar son los siguientes:
Distribución Normal ( Chi Cuadrado ) Distribución Normal Distribución Log normal Distribución Log Pearson Tipo III Distribución Gumbel
ESTACION AUTISHA: Datos disponibles: Dpto: Lima Prov: Huarochirí Dist: Huanza
Latitud: 11º 37’ S Longitud: 76º 29’ W
Altitud: Año 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988
4200 msnm P. máx. (mm)
18.3 20.5 21.1 14.7 15.5 21.4 12.5 15.1 15.4 27.4 11.2 14.6 20.4 18.6 9.3 10.3 16.5 13.7 11.2 20.5 14.0 6.4 12.8 11.6 9.8
Año 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
P. máx. (mm)
20.3 14.7 29.7 6.3 23.3 11.2 9.3 18.4 10.2 22.2 22.1 9.5 14.1 16.4 25.5 14.4 11.7 30.8 27.8 16.9 19.3 19.6 14.4 21.3
1.1 Prueba de bondad de ajuste Chi-Cuadrado para una Distribución Normal
La Prueba Chi-cuadrado se basa en el cálculo de frecuencias, tanto de valores observados, como valores esperados, para un número determinado de intervalos. Es aplicable sólo para ajustes a la distribución normal, puesto que ha sido desarrollado con base en los datos normales e independientes. 1.1.1 Ajuste a la Distribución Normal
Ordenando los datos en forma ascendente y calculando la frecuencia para datos agrupados.
Se calcula el número de intervalos de clase, según Yevjevich: NC 1 1.33 ln N
Para nuestros datos se tiene N=49 NC 1 1.33 ln 49 6.18 6
Cálculo de la amplitud de cada intervalo
X
Xmáx Xmín NC 1
30.80 6.30 6 1
X 4.90 5.0
Cálculo de los intervalos de clase, marcas de clase, frecuencia absoluta observada (θ), frecuencia relativa y frecuencia acumulada
Se muestran en la Tabla Nº 1: o
Frecuencia Absoluta (θ); es el número de valores comprendidos en los intervalos de clase.
o
Frecuencia Relativa; es la Frecuencia Absoluta entre N. Frecuencia Frecuencia Re lativa
o
f i N
Frecuencia Acumulada; acumulación de los valores de la Frecuencia Relativa. Tabla Nº 1. Datos para la distribución Chi – Chi – cuadrado
INTERVALOS DE CLASE
MARCA DE CLASE
Lim Inf.
Lim Sup.
Xi
3.85 8.75 13.65 18.55 23.45 28.35
8.75 13.65 18.55 23.45 28.35 33.25
6.3 11.2 16.1 21 25.9 30.8
FRECUENCIA ABSOLUTA (θ)
FRECUENCIA RELATIVA
FRECUENCIA ACUMULADA
Xi*fi
( )
2 13 16 13 3 2
0.0408 0.2653 0.3265 0.2653 0.0612 0.0408
0.0408 0.3061 0.6327 0.8980 0.9592 1.0000
12.60 145.60 257.60 273.00 77.70 61.60
223.03 416.46 9.24 222.81 245.16 388.65
Cálculo de la media y desviación estándar:
k
k
x
xi f i
X
i 1
N
16.90
S
X f i 2
i
i 1
N 1
5.60
Dónde: xi Marca de clase f i Frecuencia absoluta Calculando la frecuencia esperada, utilizando la distribución teórica normal
Hallando la variable estandarizada de la distribución normal para los límites de clase. Z
x X
Hallando el área bajo la curva normal. -
S
Usando la Tabla A.1 Áreas de la distribución normal entre 0 y Z, del apéndice del libro de Hidrología Estadística de Máximo Villón Béjar.
-
Frecuencia Relativa; área para cada intervalo de clase, se obtiene restando los valores del área, si los signos de Z son iguales, y sumando los valores del área, si los signos de Z son diferentes. Frecuencia Absoluta; se multiplica la Frecuencia Relativa por el total de datos (N), se redondea estos valores con la finalidad que la suma sea igual al número total de datos (N). Frecuencia observada (Frecuencia Absoluta); son los mismos valores de la Frecuencia Absoluta (θ) de la Tabla
Nº 21. Tabla Nº 2. Resultados de la Distribución Chi – cuadrado
INTERVALOS DE CLASE
LÍMITE DE CLASE
Z
Área bajo la curva FRECUENCIA normal de 0 a Z RELATIVA
FRECUENCIA FRECUENCIA 2 ABSOLUTA (θi -ei) /ei OBSERVADA(θi) (ei)
Lim Inf.
Lim Sup.
3.85
-2.33
0.4901
3.85
8.75
8.75
-1.46
0.4279
0.0623
3.05
2
0.33
8.75
13.65
13.65
-0.58
0.2190
0.2088
10.23
13
0.90
13.65
18.55
18.55
0.29
0.1141
0.3331
16.32
16
0.06
18.55
23.45
23.45
1.17
0.3790
0.2649
12.98
13
0.00
23.45
28.35
28.35
2.04
0.4793
0.1003
4.92
3
0.80
28.35
33.25
33.25
2.92
0.4983
0.0189
0.93
2
1.00
Cálculo de x C 2
Considerando: i Frecuencia Observada ei Frecuencia Absoluta
x 2 C
k
i ei 2 ei
i 1
Sustituyendo los valores, se tiene: 2 xC 3.09
2
Cálculo de xT :
Grados de libertad: v k 1 h Dónde: k : Número de intervalos de clase = 6 h : Para distribución normal = 2 v 6 1 2 3
Nivel de significación:
0.05 5%
De la Tabla Nº 3, valores de X2 en función de la proporción del área que queda a la derecha de la ordenada levantada por ellos, del apéndice del libro de Hidrología Estadística de Máximo Villón Béjar se tiene: Tabla Nº 3. Valores de X2 en función de la proporción del área
v 1 2 3 4 5 6 7 6 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
0.90
0.75
0.50
0.25
0.10
0.05
0.025
0.0158 0.211 0.584 1.06 1.61 2.20 2.83 3.49 4.17 4.87 5.58 6.30 7.04 7.79 8.55 9.31 10.1 10.9 11.7 12.4 13.2 14.0 14.8 15.7 16.5 17.3 18.1
0.102 0.575 1.21 1.92 2.67 3.45 4.25 5.07 5.90 6.74 7.58 8.44 9.3 10.2 11.0 11.9 12.8 13.7 14.6 15.5 16.3 17.2 18.1 19.0 19.9 20.8 21.7
0.455 1.39 2.37 33.6 4.35 5.35 6.35 7.34 8.34 9.34 10.3 11.3 12.3 13.3 14.3 15.3 16.3 17.3 18.3 19.3 20.3 21.3 22,3 23.3 24.3 25.3 26.3
1.32 2.77 4.11 5.39 6.63 7.84 9.04 10.2 11.4 12.5 13.7 14.8 16.0 17.1 18.2 19.4 20.5 21.6 22.7 23.8 24.9 26.0 27.1 28.2 29.3 30.4 31.5
2.71 4.61 6.25 7.78 9.24 10.6 12.0 13.4 14.7 16.0 17.3 18.5 19.8 21.1 22.3 23.5 24.8 26.0 27.2 28.4 29.6 30.8 32.0 33.2 34.4 35.6 36.7
3.81 5.99 7.81 9.49 11.1 12.6 14.1 15.5 16.9 18.3 19.7 21.0 22.4 23.7 25.0 26.3 27.6 28.9 30.1 31.4 32.7 33.9 35.2 36.4 37.7 38.9 40.1
5.02 6.63 7.88 7.38 9.21 10.6 9.35 11.3 12.8 11.1 13.3 14.9 12.8 15.1 16.7 14.4 16.8 18.5 16 18.5 20.3 17.5 20.1 22.0 19.0 21.7 23.6 20.5 23.2 25.2 21.9 24.7 26.8 23.3 26.2 28.3 24.7 27.7 29.8 26.1 29.1 31.3 27.5 30.6 32.8 28.8 32.0 34.3 30.2 33.4 35.7 31.5 34.8 37.2 32.9 36.2 38.6 34.2 37.6 40.0 35.5 38.9 41.4 36.8 40.3 42.8 38.1 41.6 44.2 39.4 43.0 45.6 40.6 44.3 46.9 41.9 45.6 48.3 43.2 47.0 49.6
0.01
0.005
28 29 30 40 50 60 70 80 90 100
18.9 19.8 20.6 29.1 37.3 46.5 55.3 64.3 73.3 82.4
22.7 23.6 24.5 33.7 42.9 52.3 61.7 71.1 80.6 90.1
27.3 32.6 28.3 33.7 29.3 34.8 39.3 45.6 49.3 56.3 59.3 67.0 69.3 77.6 79.3 88.1 89.3 98.6 99.3 109.1
37.9 39.1 40.3 51.8 63.2 74.4 85.5 96.6 107.6 118.3
41.3 42.6 43.8 55.8 67.5 79.1 90.5 101.9 113.1 124.3
44.5 45.7 47.0 59.3 71.4 83.3 95.0 106.6 118.1 129.6
48.3 49.6 50.9 63.7 76.2 88.4 100.4 112.3 124.1 135.8
51.0 52.3 53.7 66.8 79.5 92.0 104.2 116.3 128.3 140.2
xT 2 7.81
Criterio de decisión:
Como xC 2
2
3.09 xT 7.81
Los datos se ajustan a la distribución normal, con un nivel de significación del 5% ó 95% de probabilidad. 1.1.2. Prueba de bondad de ajuste Smirnov-Kolmogorov A1.2.2.1. Ajuste a la Distribución Normal
Cálculo de P(x)
Ordenando los datos de precipitaciones máximos anuales en forma creciente y calculando la probabilidad empírica P(x), usando la fórmula de Weibull: m
P ( x)
n 1
Cálculo de parámetros (media y desviación estándar) k
x X
i 1
N
k
x
i
S
Cálculo de la función F(Z) de distribución
Para la prueba de Smirnov-Kolmogorov: Z
x X
F ( Z )
S
1
Z
e 2
Z 2 2
dZ
i
16.60
X
i 1
N 1
2
5.88
F ( Z ) P ( x)
Cuadro de Resultados: Tabla Nº 4. Resultados de la Distribución Normal
m
P (mm)
P(x)
Z
F(z)
Delta Δ
1
6.30
0.0200
-1.75
0.0403
0.0203
2
6.40
0.0400
-1.73
0.0418
0.0018
3
9.30
0.0600
-1.24
0.1080
0.0480
4
9.30
0.0800
-1.24
0.1080
0.0280
5
9.50
0.1000
-1.20
0.1145
0.0145
6
9.80
0.1200
-1.15
0.1247
0.0047
7
10.20
0.1400
-1.08
0.1392
0.0008
8
10.30
0.1600
-1.07
0.1430
0.0170
9
11.20
0.1800
-0.91
0.1804
0.0004
10
11.20
0.2000
-0.91
0.1804
0.0196
11
11.20
0.2200
-0.91
0.1804
0.0396
12
11.60
0.2400
-0.85
0.1988
0.0412
13
11.70
0.2600
-0.83
0.2036
0.0564
14
12.50
0.2800
-0.69
0.2442
0.0358
15
12.80
0.3000
-0.64
0.2605
0.0395
16
13.70
0.3200
-0.49
0.3125
0.0075
17
14.00
0.3400
-0.44
0.3307
0.0093
18
14.10
0.3600
-0.42
0.3369
0.0231
19
14.40
0.3800
-0.37
0.3557
0.0243
20
14.40
0.4000
-0.37
0.3557
0.0443
21
14.60
0.4200
-0.34
0.3685
0.0515
22
14.70
0.4400
-0.32
0.3749
0.0651
23
14.70
0.4600
-0.32
0.3749
0.0851
24
15.10
0.4800
-0.25
0.4010
0.0790
25
15.40
0.5000
-0.20
0.4208
0.0792
26
15.50
0.5200
-0.18
0.4275
0.0925
27
16.40
0.5400
-0.03
0.4881
0.0519
28
16.50
0.5600
-0.01
0.4949
0.0651
29
16.90
0.5800
0.06
0.5220
0.0580
30
18.30
0.6000
0.29
0.6153
0.0153
31
18.40
0.6200
0.31
0.6218
0.0018
32
18.60
0.6400
0.34
0.6347
0.0053
33
19.30
0.6600
0.46
0.6784
0.0184
34
19.60
0.6800
0.51
0.6965
0.0165
35
20.30
0.7000
0.63
0.7367
0.0367
36
20.40
0.7200
0.65
0.7422
0.0222
37
20.50
0.7400
0.67
0.7477
0.0077
38
20.50
0.7600
0.67
0.7477
0.0123
39
21.10
0.7800
0.77
0.7791
0.0009
40
21.30
0.8000
0.80
0.7891
0.0109
41
21.40
0.8200
0.82
0.7940
0.0260
42
22.10
0.8400
0.94
0.8262
0.0138
43
22.20
0.8600
0.96
0.8305
0.0295
44
23.30
0.8800
1.14
0.8735
0.0065
45
25.50
0.9000
1.52
0.9354
0.0354
46
27.40
0.9200
1.84
0.9671
0.0471
47
27.80
0.9400
1.91
0.9718
0.0318
48
29.70
0.9600
2.23
0.9872
0.0272
49
30.80
0.9800
2.42
0.9922
0.0122
Cálculo de Δ=Δmáx
De la Tabla Nº 4 se obtiene:
| |
Cálculo de Δo crítico
De la Error! Reference source not found.5.3 del libro de Hidrología Estadística de Máximo Villón Béjar, para un nivel de significación 0.05 y N=49 se tiene: Tabla Nº 5. Valores críticos de Δo
Nivel de significación
Tamaño muestral N
0.15
0.1
0.05
0.01
1
0.925
0.950
0.975
0.995
2
0.726
0.776
0.842
0.929
3
0.597
0.642
0.708
0.828
4
0.525
0.564
0.624
0.733
5
0.474
0.510
0.565
0.669
6
0.436
0.470
0.521
0.618
7
0.405
0.438
0.486
0.577
8
0.381
0.411
0.457
0.543
9
0.360
0.388
0.432
0.514
10
0.342
0.368
0.410
0.490
11
0.326
0.352
0.391
0.468
12
0.313
0.338
0.375
0.450
13 14 15
0.302
0.325
0.433
0.292
0.314
0.283
0.304
0.361 0.349 0.338
16
0.274
0.295
0.328
0.392
17
0.266
0.286
0.318
0.381
18
0.259
0.278
0.309
0.371
19
0.252
0.272
0.301
0.363
20 25
0.246
0.264
0.356
0.220
0.240
0.294 0.270
30
0.200
0.220
0.240
0.290
35
0.190
0.210
0.230
0.270
0.418 0.404
0.320
N>35
1.14
1.22
1.63
N
N
N
√ √
Criterio de decisión
Como: Se concluye que los datos de precipitaciones se ajustan a la distribución normal, con un nivel de significación del 5% o una probabilidad del 95%. Según obtenido con Hidroesta se tiene:
A1.2.2.2. Ajuste a la Distribución Log normal
Es una de las distribuciones más conocidas en la Hidrología. Por ejemplo, si la variable aleatoria X, tiene una distribución Log-normal, esto significa que Y= LNX, tiene una distribución normal. Para este caso se analizará para la distribución Log normal de 2 parámetros. Función densidad de probabilidad de la variable aleatoria x:
f ( x)
1 ln x y
1 x 2 y
e
2
y
2
Función de distribución acumulada: F ( x)
x
1 x 2 y
e
1 ln x y 2 y
2
dx
0
Dónde: y : Media de los logaritmos naturales de x y2 : Desviación estándar de los logaritmos naturales de x Verificación de ajuste para la distribución Log-normal de dos parámetros
Calculo de P(x)
Ordenando los datos de precipitaciones en forma creciente y calculando la probabilidad empírico P(x), usando la fórmula de Weibull: P ( x)
Calculo de los parámetros
y
m n 1
y y
Para este cálculo se ha utilizado el método de máxima verosimilitud: y
y
1
n
n
ln xi = 2.744
1 n
i 1
(ln xi i ) 2 = 0.37
Calculo de F(Z)
Usando la ecuación: F ( x)
x
1 x 2 y
Si : Z
e
1 ln x y 2 y
0
ln x y
y
Se tiene: F ( Z )
1 2
Z
Z
e
2
2
dz
2
dx
Calculo del estadístico de Smirnov-Kolmogorov
| |
Tabla Nº 6. Resultados de Distribución Log Normal
m
P (mm)
Ln P (Y)
P(x)
Z
F(Z)
Dx F(Z)-P(x)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
6.30 6.40 9.30 9.30 9.50 9.80 10.20 10.30 11.20 11.20 11.20 11.60 11.70 12.50 12.80 13.70 14.00 14.10 14.40 14.40 14.60 14.70 14.70 15.10 15.40 15.50 16.40 16.50 16.90 18.30 18.40 18.60 19.30 19.60 20.30 20.40 20.50 20.50
1.8405 1.8563 2.2300 2.2300 2.2513 2.2824 2.3224 2.3321 2.4159 2.4159 2.4159 2.4510 2.4596 2.5257 2.5494 2.6174 2.6391 2.6462 2.6672 2.6672 2.6810 2.6878 2.6878 2.7147 2.7344 2.7408 2.7973 2.8034 2.8273 2.9069 2.9124 2.9232 2.9601 2.9755 3.0106 3.0155 3.0204 3.0204
0.0200 0.0400 0.0600 0.0800 0.1000 0.1200 0.1400 0.1600 0.1800 0.2000 0.2200 0.2400 0.2600 0.2800 0.3000 0.3200 0.3400 0.3600 0.3800 0.4000 0.4200 0.4400 0.4600 0.4800 0.5000 0.5200 0.5400 0.5600 0.5800 0.6000 0.6200 0.6400 0.6600 0.6800 0.7000 0.7200 0.7400 0.7600
-2.442 -2.399 -1.389 -1.389 -1.331 -1.247 -1.139 -1.113 -0.886 -0.886 -0.886 -0.791 -0.768 -0.589 -0.525 -0.342 -0.283 -0.264 -0.207 -0.207 -0.170 -0.151 -0.151 -0.079 -0.025 -0.008 0.145 0.161 0.226 0.441 0.456 0.485 0.585 0.627 0.722 0.735 0.748 0.748
0.0073 0.0082 0.0824 0.0824 0.0915 0.1061 0.1273 0.1329 0.1877 0.1877 0.1877 0.2143 0.2212 0.2778 0.2997 0.3663 0.3886 0.3960 0.4180 0.4180 0.4327 0.4399 0.4399 0.4687 0.4899 0.4969 0.5575 0.5640 0.5894 0.6704 0.6758 0.6862 0.7207 0.7346 0.7647 0.7688 0.7728 0.7728
0.0127 0.0318 0.0224 0.0024 0.0085 0.0139 0.0127 0.0271 0.0077 0.0123 0.0323 0.0257 0.0388 0.0022 0.0003 0.0463 0.0486 0.0360 0.0380 0.0180 0.0127 0.0001 0.0201 0.0113 0.0101 0.0231 0.0175 0.0040 0.0094 0.0704 0.0558 0.0462 0.0607 0.0546 0.0647 0.0488 0.0328 0.0128
39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
21.10 21.30 21.40 22.10 22.20 23.30 25.50 27.40 27.80 29.70 30.80
3.0493 3.0587 3.0634 3.0956 3.1001 3.1485 3.2387 3.3105 3.3250 3.3911 3.4275
0.7800 0.8000 0.8200 0.8400 0.8600 0.8800 0.9000 0.9200 0.9400 0.9600 0.9800
0.826 0.852 0.864 0.951 0.963 1.094 1.338 1.532 1.572 1.750 1.849
0.7956 0.8028 0.8063 0.8293 0.8323 0.8631 0.9096 0.9373 0.9420 0.9600 0.9677
0.0156 0.0028 0.0137 0.0107 0.0277 0.0169 0.0096 0.0173 0.0020 0.0000 0.0123
Cálculo de Δ=Δmáx
De la tabla Nº5 se observa que:
| | 4
Cálculo de Δo crítico
De la Error! Reference source not found.5 del libro de Hidrología Estadística de Máximo Villón Béjar, para un nivel de significación 0.05 y N=49 se tiene:
√ √
Criterio de decisión
Como: Se concluye que los datos de precipitaciones se ajustan a la distribución Log-normal de dos parámetros, con un nivel de significación del 5%, o una probabilidad del 95%. Según obtenido con Hidroesta se tiene:
A10.2.2.3. Ajuste a la Distribución Log-Pearson Tipo III
Cálculo de P(Q)
Ordenando los datos de caudales máximos anuales en forma creciente y calculando la probabilidad empírica P(x), usando la fórmula de Weibull: P ( x)
m n 1
Cálculo de parámetros (media, desviación estándar y asimetría) P ln P
ln P 2.744 N
ln P P ln P
2
S ln P
C S ln P
0.369
N 1
ln P P ln P
N
3
N 1 N 2S ln3 P
0.338
Tabla Nº 7. Resultados de Distribución Log Pearson III
m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
P (mm) 6.30 6.40 9.30 9.30 9.50 9.80 10.20 10.30 11.20 11.20 11.20 11.60 11.70 12.50 12.80 13.70 14.00 14.10 14.40 14.40 14.60 14.70 14.70 15.10 15.40 15.50 16.40 16.50 16.90 18.30 18.40 18.60 19.30 19.60 20.30 20.40 20.50 20.50 21.10 21.30 21.40 22.10 22.20 23.30 25.50 27.40 27.80
Ln P
P(x)
1.8405 1.8563 2.2300 2.2300 2.2513 2.2824 2.3224 2.3321 2.4159 2.4159 2.4159 2.4510 2.4596 2.5257 2.5494 2.6174 2.6391 2.6462 2.6672 2.6672 2.6810 2.6878 2.6878 2.7147 2.7344 2.7408 2.7973 2.8034 2.8273 2.9069 2.9124 2.9232 2.9601 2.9755 3.0106 3.0155 3.0204 3.0204 3.0493 3.0587 3.0634 3.0956 3.1001 3.1485 3.2387 3.3105 3.3250
0.0200 0.0400 0.0600 0.0800 0.1000 0.1200 0.1400 0.1600 0.1800 0.2000 0.2200 0.2400 0.2600 0.2800 0.3000 0.3200 0.3400 0.3600 0.3800 0.4000 0.4200 0.4400 0.4600 0.4800 0.5000 0.5200 0.5400 0.5600 0.5800 0.6000 0.6200 0.6400 0.6600 0.6800 0.7000 0.7200 0.7400 0.7600 0.7800 0.8000 0.8200 0.8400 0.8600 0.8800 0.9000 0.9200 0.9400
G(Y) Ordinario Delta 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.0200 0.0400 0.0600 0.0800 0.1000 0.1200 0.1400 0.1600 0.1800 0.2000 0.2200 0.2400 0.2600 0.2800 0.3000 0.3200 0.3400 0.3600 0.3800 0.4000 0.4200 0.4400 0.4600 0.4800 0.5000 0.5200 0.5400 0.5600 0.5800 0.6000 0.6200 0.6400 0.6600 0.6800 0.7000 0.7200 0.7400 0.7600 0.7800 0.8000 0.8200 0.8400 0.8600 0.8800 0.9000 0.9200 0.9400
48 49
29.70 30.80
0.9600 0.9800
0.00 0.00
0.9600 0.9800
Aplicando el método de los momentos 4 35.012 C S 2 ln P
C S ln P S ln P 2
P 0 P ln P
3.3911 3.4275
0.0623
2 S ln P
C S ln P
4.927
Cálculo de la función F(P) = G(Y) de distribución, para la prueba de Smirnov-Kolmogorov 1
ln P P 0 e F ( P ) P P P
ln P ln P 0
dP
0
F ( P ) P ( x)
Criterio de decisión
Como: Como el delta teórico es mayor que el delta tabular, entonces los datos de precipitaciones no se ajustan a la distribución Log-Pearson III, con un nivel de significación del 5%, o una probabilidad del 95%. Según obtenido con Hidroesta se tiene:
A10.2.2.4. Ajuste a la Distribución Gumbel
La distribución Gumbel, es una de las distribuciones de valor extremo. Función de distribución acumulada:
F ( x ) e
e
( x )
Dónde: : Parámetro de posición o moda. : Parámetro de escala. Verificación de ajuste para la distribución Log-normal de dos parámetros
Calculo de P(x)
Ordenando los datos de precipitaciones en forma creciente y calculando la probabilidad empírico P(x), usando la fórmula de Weibull: P ( x)
Cálculo de los parámetros y
m n 1
Dónde:
X : Media de los valores de x =16.58
S: Desviación estándar de los valores de x = 5.8816
Para este cálculo se ha utilizado el método de los momentos:
6
S = 4.586
X 0.45S = 13.933 Tabla Nº 8. Resultados de Distribución Gumbel
m
P (mm)
P(x)
G(Y) Ordinario
Delta
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
6.30 6.40 9.30 9.30 9.50 9.80 10.20 10.30 11.20 11.20 11.20 11.60 11.70 12.50 12.80 13.70 14.00 14.10 14.40 14.40 14.60 14.70 14.70 15.10 15.40 15.50 16.40 16.50 16.90 18.30 18.40 18.60 19.30 19.60 20.30
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30 0.32 0.34 0.36 0.38 0.40 0.42 0.44 0.46 0.48 0.50 0.52 0.54 0.56 0.58 0.60 0.62 0.64 0.66 0.68 0.70
0.0051 0.0057 0.0643 0.0643 0.0723 0.0854 0.1049 0.1101 0.1632 0.1632 0.1632 0.1898 0.1968 0.2553 0.2783 0.3496 0.3736 0.3816 0.4056 0.4056 0.4216 0.4295 0.4295 0.4609 0.4841 0.4917 0.558 0.5651 0.5927 0.6801 0.6858 0.6969 0.7335 0.748 0.7794
0.0149 0.0343 0.0043 0.0157 0.0277 0.0346 0.0351 0.0499 0.0168 0.0368 0.0568 0.0502 0.0632 0.0247 0.0217 0.0296 0.0336 0.0216 0.0256 0.0056 0.0016 0.0105 0.0305 0.0191 0.0159 0.0283 0.018 0.0051 0.0127 0.0801 0.0658 0.0569 0.0735 0.068 0.0794
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
20.40 20.50 20.50 21.10 21.30 21.40 22.10 22.20 23.30 25.50 27.40 27.80 29.70 30.80
0.72 0.74 0.76 0.78 0.80 0.82 0.84 0.86 0.88 0.90 0.92 0.94 0.96 0.98
0.7836 0.7877 0.7877 0.8111 0.8184 0.8219 0.8451 0.8482 0.8785 0.9229 0.9484 0.9526 0.9684 0.9751
0.0636 0.0477 0.0277 0.0311 0.0184 0.0019 0.0051 0.0118 0.0015 0.0229 0.0284 0.0126 0.0084 0.0049
Cálculo de F(x)=G(y)
Usando la ecuación:
F ( x ) e
e
( x )
Asumimos una variable reducida Gumbel: y
x
Donde la función acumulada Gumbel queda reducida a:
y e G ( y) e Usando la formula, se obtiene la columna (4) de la Error! Reference source not found.7.
Cálculo del estadístico de Smirnov-Kolmogorov
Má x F ( x) P ( x)
A partir de las columnas (3) y (4) de la Error! Reference source not found.7, se obtiene los valores de , la misma que se muestra en la columna (5).
Calculo del
= m ax
De la tabla se observa que:
Calculo de
o
| |
crítico
Para =0.05 se tiene:
√ √
Criterio de decisión xs
Como: Se concluye que los datos de precipitaciones se ajustan a la distribución Gumbel, con un nivel de significación del 5%, o una probabilidad del 95%. Según obtenido con Hidroesta se tiene:
A10.2.2.3. Resultados de las Distribuciones de Ajustes:
Finalmente se escoge la distribución que posea el menor Δo crítico , en este caso el menor delta se encuentra en la distribución Log Normal de 2 parámetros según la tabla Nº 9, por la cual se calculará su precipitación para un periodo de retorno de años. Tabla Nº 9. Resultados de las Distribuciones Estación Autisha Distribuciones Delta Tabular
Normal (D.te < D.ta)
0.1943
Delta Teórico
Ajuste
0.0925
SI
Log Normal (D.te < D.ta)
0.1943
0.0704
SI
Log Pearson III (D.te < D.ta)
0.1943
0.9800
NO
Gumbel (D.te < D.ta)
0.1943
0.0801
SI
A10.2.2.3.Cálculo de las precipitaciones para un periodo de retorno de años:
Cálculo de la precipitación para un periodo de retorno de 2 años:
Calculo de Z :
F (P=p) = P (P p) = 1 - 1 T F (P=p) = = F (X) = F(Z) Z
1
e 2
F(Z)=
Z 2 2
dx
Luego, para F (Z) =0.5, se obtiene: Z=0.0
Calculo de la precipitación P:
Para una distribución Log normal de 2 parámetros, la variable estandarizada es: Z
LnP y
y
De donde se obtiene que: y Z y
P e
Por lo tanto reemplazando los datos la precipitación para un periodo de retorno de 2 años es: P = 15.55 mm Según obtenido con Hidroesta se tiene:
Cálculo de la precipitación para un periodo de retorno de 5 años:
F (P=p) = P (P p) = 1 - 1 T F (P=p) = = F (X) = F(Z) Z
1
F(Z)=
e 2
Z 2 2
dx
Luego, para F (Z) =0.8, se obtiene: Z=0.843
Calculo de la precipitación P:
Para una distribución Log normal de 2 parámetros, la variable estandarizada es: Z
LnP y
y
De donde se obtiene que: y Z y
P e
Por lo tanto reemplazando los datos la precipitación para un periodo de retorno de 5 años es: P = 21.24 mm Según obtenido con Hidroesta se tiene:
Cálculo de la precipitación para un periodo de retorno de 10 años:
Calculo de Z :
F (P=p) = P (P p) = 1 - 1 T F (P=p) = = F (X) = F(Z) Z
1
F(Z)=
e 2
Z 2 2
dx
Luego, para F (Z) =0.9, se obtiene: Z=1.282
Calculo de la precipitación P:
Para una distribución Log normal de 2 parámetros, la variable estandarizada es: Z
LnP y
y
De donde se obtiene que: y Z y
P e
Por lo tanto reemplazando los datos la precipitación para un periodo de retorno de 10 años es: P = 24.99 mm Según obtenido con Hidroesta se tiene:
Cálculo de la precipitación para un periodo de retorno de 20 años:
Calculo de Z :
F (P=p) = P (P p) = 1 - 1 T F (P=p) = = F (X) = F(Z) 1
F(Z)=
Z
e 2
2
Z
2
dx
Luego, para F (Z) =0.95, se obtiene:
Z=1.647
Calculo de la precipitación P:
Para una distribución Log normal de 2 parámetros, la variable estandarizada es: Z
LnP y
y
De donde se obtiene que: y Z y
P e
Por lo tanto reemplazando los datos la precipitación para un periodo de retorno de 20 años es: P = 28.60 mm Según obtenido con Hidroesta se tiene:
Cálculo de la precipitación para un periodo de retorno de 25 años:
Calculo de Z :
F (P=p) = P (P p) = 1 - 1 T F (P=p) = = F (X) = F(Z) Z
1
F(Z)=
e 2
Z 2 2
dx
Luego, para F (Z) =0.96, se obtiene: Z=1.753
Calculo de la precipitación P:
Para una distribución Log normal de 2 parámetros, la variable estandarizada es: Z
LnP y
y
De donde se obtiene que:
y Z y
P e
Por lo tanto reemplazando los datos la precipitación para un periodo de retorno de 25 años es: P = 29.74 mm Según obtenido con Hidroesta se tiene:
Cálculo de la precipitación para un periodo de retorno de 50 años:
Calculo de Z :
F (P=p) = P (P p) = 1 - 1 T F (P=p) = = F (X) = F(Z) Z
1
F(Z)=
e 2
Z 2 2
dx
Luego, para F (Z) =0.98, se obtiene: Z=2.056
Calculo de la precipitación P:
Para una distribución Log normal de 2 parámetros, la variable estandarizada es: Z
LnP y
y
De donde se obtiene que: y Z y
P e
Por lo tanto reemplazando los datos la precipitación para un periodo de retorno de 50 años es: P = 33.27 mm Según obtenido con Hidroesta se tiene:
Cálculo de la precipitación para un periodo de retorno de 100 años:
Calculo de Z :
F (P=p) = P (P p) = 1 - 1 T F (P=p) = = F (X) = F(Z) Z
1
F(Z)=
e 2
Z 2 2
dx
Luego, para F (Z) =0.99, se obtiene: Z=2.329
Calculo de la precipitación P:
Para una distribución Log normal de 2 parámetros, la variable estandarizada es: Z
LnP y
y
De donde se obtiene que: y Z y
P e
Por lo tanto reemplazando los datos la precipitación para un periodo de retorno de 100 años es: P = 36.81 mm Según obtenido con Hidroesta se tiene:
Cálculo de la precipitación para un periodo de retorno de 500 años:
Calculo de Z :
F (P=p) = P (P p) = 1 - 1 T F (P=p) = = F (X) = F(Z) Z
1
F(Z)=
e 2
Z 2 2
dx
Luego, para F (Z) =0.9980, se obtiene: Z=2.881
Calculo de la precipitación P:
Para una distribución Log normal de 2 parámetros, la variable estandarizada es: Z
LnP y
y
De donde se obtiene que: y Z y
P e
Por lo tanto reemplazando los datos la precipitación para un periodo de retorno de 500 años es: P = 45.15 mm Según obtenido con Hidroesta se tiene:
Tabla Nº . Cuadro Comparativo precipitación por años.
T (años)
Precipitación Manual (mm)
Precipitación Hidroesta (mm)
2
15.55
15.55
5
21.24
21.22
10
24.99
24.97
20
28.60
28.57
25
29.74
29.71
50
33.27
33.23
100
36.81
36.76
500
45.15
45.08
