CONTENIDO. MÓDULO I: TEORIA DE CONJUNTOS Y PROBABILIDAD MÓDULO II: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS MÓDULO III: ESTIMACION MÓDULO IV: CONTRASTE DE HIPOTESIS MÓDULO V: REGRESION Y CORRELACION LINEAL SIMPLE
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Símbolos Matemáticos
∈
Símbolos
∉ ⊆
⊂
⊄
≠
A – B P(A) x < y x ≤ y [a, ) (– , b] (a, ) (- , b) [a, b] b] (a, b) b) ( x, x, y ) AxB
∞ ∞ ∞ ∞
Descripción
Pertenece No pertenece a Contenido en Estrictamente Contenido No está contenido Igual Diferente Unión Intersección Diferencia Conjuntos de Partes de A x menor que y x menor o igual a y Intervalo Cerrado por la izquierda Intervalo Cerrado por la derecha Intervalo Abierto por la izquierda Intervalo Abierto por la derecha Intervalo Cerrado Intervalo Abierto Par ordenado Producto Cartesiano
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Interpretaciones de la Probabilidad
1
A pesar de que el concepto de probabilidad es una parte tan común y natural de la experiencia de la gente, no existe una única interpretación científica del término probabilidad aceptada por todos los estadísticos, filósofos y demás autoridades científicas. A través de los años, cada interpretación de la probabilidad propuesta por unos expertos ha sido criticada por otros. De hecho, el verdadero significado de la probabilidad es todavía un término muy conflictivo y surge en muchas discusiones filosóficas actuales sobre los fundamentos de la estadística. Se expondrán tres interpretaciones (o definiciones) diferentes de la probabilidad, cada una de estas interpretaciones puede ser útil en la aplicación de la teoría de la probabilidad a problemas prácticos.
Interpretación Clásica de la Probabilidad (o Probabilidad a priori) La teoría de la probabilidad en sus comienzos estuvo asociada a los juegos de azar. Esta asociación impulsa la interpretación clásica . Por ejemplo, supóngase que se quiere conocer la probabilidad de que al lanzar una moneda salga cara. Puede argumentarse de la siguiente manera: Como hay solamente dos formas en que la moneda puede caer, cara o sello, y como la moneda esta balanceada, podría esperarse que sea tan probable que salga cara como sello, así la probabilidad de cara estará dada por el valor 1/2. Esta interpretación de la probabilidad esta basada en el concepto de resultados igualmente probables
que son mutuamente excluyentes. Generalizando, si el resultado de algún proceso
debe ser uno de n resultados diferentes y estos n resultados son igualmente probables y mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de cada resultado es 1/n. Considérese otro ejemplo: Si un dado es lanzado (hay seis posibles resultados) cualquiera de las seis caras numeradas pueden salir. Estos seis resultados son mutuamente excluyentes dado que dos o más caras no n o pueden salir simultáneamente, 1
Basado en los siguientes textos: DeGroot, Morris. Probabilidad y Estadística. Págs. 2-6; Mood, Graybill y
Boes. Introduction to the Theory of Statistics. Págs. 3-5.
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y si el dado es justo 2, los seis resultados son igualmente probables, es decir que por la naturaleza del proceso, por su simetría, todas las caras tienen la misma oportunidad de aparecer. Ahora se quiere la probabilidad de que el resultado de un lanzamiento sea un número par. Tres de los seis posibles resultados tienen este atributo. La probabilidad de que un número par aparecerá cuando el dado es lanzado es 3/6 ó 1/2. Similarmente, la probabilidad que un cinco aparecerá cuando un dado es lanzado es 1/6. La probabilidad que el resultado de un lanzamiento será mayor que 2 es 2/3. De este modo, se tiene de manera más general que, si los n resultados de un fenómeno aleatorio
son mutuamente excluyentes e igualmente probables y si n( A A) de estos resultados
presentan el atributo A, entonces la probabilidad de A es la proporción n ( A)/n. Debe notarse que por la interpretación clásica, la probabilidad de A es un número entre entre 0 y 1 (ambos inclusive). La proporción n ( A)/n debe ser menor que o igual a1, ya que el número total de posibles resultados no puede ser menor que el número de resultados con un atributo específico. Si es seguro que un suceso ocurra, su probabilidad es 1; si es imposible que ocurra, su probabilidad es cero. De esta manera, la probabilidad de obtener un 7 al lanzar un dado es 0. La probabilidad que al lanzar un dado se obtenga un número menor que 8 es igual a 1. Las probabilidades determinadas por la definición clásica son llamadas probabilidades a priori, debido a que se llega al resultado solamente por razonamiento deductivo.
Hay algunas limitaciones en la interpretación clásica: 1. No proporciona un método sistemático sistemático para asignar probabilidades a resultados que no sean igualmente probables.
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Por ejemplo, ejemplo, es lanzada lanzada una moneda sabiendo sabiendo que esta sesgada sesgada a favor de las caras, es decir, es más probable que aparezca una cara que un sello. Los dos posibles resultados del lanzamiento de la moneda no son igualmente probables3. ¿Cuál es la probabilidad de cara? La definición clásica no tiene la posibilidad de ayudar aquí.
2. Hay otra dificultad cuando a la interpretación interpretación clásica se le hacen preguntas como: • ¿Cuál es la probabilidad de que nazca un varón en Barinas? • ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre muera antes de los 50 años? • ¿Cuál es la probabilidad de que una persona se case? Todas estas son preguntas legítimas que se quieren traer al campo de la teoría de probabilidad. Sin embargo, las nociones de “simetría”, “igualmente probable”, etc., no pueden ser utilizadas como lo son en los juegos de azar. 3. Otro inconveniente surge cuando los resultados del proceso no son finitos. Esto aparece muchas veces cuando el número de resultados posibles del proceso es posiblemente muy grande. Por ejemplo, ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen a una intersección vial más de 500 automóviles entre las 12 PM y la 1 PM? Nota 1:
Hay que tener cuidado y poner atención a las calificaciones de mutuamente excluyente, igualmente probables
y aleatorio. Supóngase que se desea calcular la probabilidad de
obtener dos caras si una moneda es lanzada dos veces. Pudiera razonarse que hay tres posibles resultados para los dos lanzamientos: dos caras, dos sellos o una cara y un sello. Uno de estos tres resultados tiene el atributo deseado, es decir, dos caras; Además la probabilidad es 1/3. Este razonamiento es incorrecto ya que los tres resultados dados no son igualmente probables.
El tercer resultado, una cara y un sello, puede ocurrir de dos
maneras debido a que la cara puede aparecer en el primer lanzamiento y el sello en el segundo; o la 2
Es decir, el dado es un cubo perfecto en el sentido de que es simétrico y no está arreglado para que alguna
de sus caras tenga más chance de ocurrir.
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3
Esto se conoce con la expresión: la moneda no está balanceada, no es simétrica o no es justa
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cara puede aparecer en el segundo lanzamiento y el sello en el primero. Así hay cuatro resultados igualmente probables: (cara, cara), (cara, sello), (sello, cara) y (sello, sello) 4. El primero de estos tiene el atributo deseado, mientras los otros no. La probabilidad correcta es entonces 1/4. El resultado debería ser el mismo si dos monedas balanceadas fueran lanzadas simultáneamente. Ahora, supóngase que se desea calcular la probabilidad que una carta extraída de una baraja de bridge5 será un as o una espada. En la enumeración de los resultados favorables, pueden contarse 4 ases y trece espadas y se concluye que hay 17 resultados con el atributo deseado. Esto es claramente incorrecto ya que estos 17 resultados no son mutuamente excluyentes debido a que el as de espadas es tanto as como espada. Hay 16 resultados que son favorables a un as o una espada, así la probabilidad correcta es 16/52 o 4/13.
Interpretación Frecuentista de la Probabilidad (Probabilidad a Posteriori) En muchos problemas, la probabilidad de obtener algún resultado especifico de un proceso puede ser interpretado en el sentido de la frecuencia frecuencia relativa con la que se obtendría ese resultado si el proceso se repitiera un número grande de veces en condiciones similares. Supóngase que una moneda simétrica la cual parece estar bien balanceada fue lanzada 100 veces, los resultados fueron los siguientes: Tabla 1. Resultados obtenidos al lanzar una moneda 100 veces. Resultado
Frecuencia
Frecuencia relativa observada Frecuencia relativa esperada
observada
C S TOTAL
56 44 100
a largo plazo
0.56 0.44 1
0.50 0.50 1
Obsérvese que la frecuencia relativa de caras esta cerca de 1/2. Esto era lo que se esperaba ya que la moneda era simétrica. Supóngase ahora que un dado fue lanzado 300 veces, con los siguientes resultados: Tabla 2. Resultados obtenidos al lanzar un dado 300 veces. Resultado
1 2 3 4 5 6 TOTAL
Frecuencia
Frecuencia relativa
Frecuencia relativa esperada a largo
observada
observada
plazo
51 54 48 51 49 47 300
0.170 0.180 0.160 0.170 0.163 0.157 1
0.1667 0.1667 0.1667 0.1667 0.1667 0.1667 1
Nótese ahora que la frecuencia relativa de la cara con 1 esta cerca de 1/6; de manera similar para 2, 3, 4, 5 y 6. Estos resultado resultadoss no son inesperados, inesperados, ya que el dado estaba balanceado; balanceado; era de esperarse que cada cara ocurriera con aproximadamente la misma frecuencia en el largo plazo.
Esto sugiere que se pueden usar las frecuencias relativas como una aproximación para la probabilidad. En otras palabras, se supone que la proporción de lanzamientos en los que se obtiene una cara en el lanzamiento de una moneda o de los números de un dado se puede usar como una aproximación de la respectiva probabilidad. Adviértase que aunque las frecuencias relativas de los diferentes resultados son predecibles, el resultado actual de un lanzamiento individual es impredecible. En los ejemplos anteriores puede usarse la interpretación clásica o la frecuentista y se obtienen aproximadamente los mismos resultados. Esto se debe a que la moneda y el dado está estánn bien bien bala balanc ncea eados dos y son son simé simétr tric icos os.. Supó Supónga ngase se ahor ahoraa que la mo moned nedaa no está está balanceada, así que los dos casos: cara y sello, no son igualmente probables que ocurran. Aquí la definición clásica no es útil en la misión de encontrar el valor de una probabilidad. Entonces, podría utilizarse la interpretación de la frecuencia relativa o posiblemente algún análisis físico de la moneda no balanceada. En muchas muchas inv invest estiga igacio ciones nes cientí científic ficas, as, se tom toman an observ observaci aciones ones las cuales cuales tienen tienen un elemento de incertidumbre o son impredecibles. Como un ejemplo, supóngase que se quiere pre prede deci cir, r, si al nace nacerr un bebe bebe en cier cierta ta loca locali lida dadd será será varó varónn o hemb hembra ra.. Esto Esto es individualmente un evento incierto, pero los resultados de grupos de nacimientos pueden ser satisfactor satisfactorios. ios. Se ha encontrado que existe una cierta cierta regularida regularidadd a largo plazo, la cual es similar a la regularidad a largo plazo de la frecuencia relativa de una cara cuando una moneda es lanzada. lanzada. Si por ejemplo es encontrado, encontrado, examinando examinando registros, registros, que alrededor de 51% de los nacimientos en esta localidad son masculinos, este número puede ser tomado como una aproximación a la probabilidad de que nazca un varón en esa localidad. Para hacer esta idea mas concreta, se asumirá que una serie de observaciones pueden ser obteni obt enidas das bajo bajo condici condicione oness uni unifor formes mes.. Es decir, decir, una observa observació ciónn de un experim experiment entoo aleatorio es hecha; entonces el experimento se repitió bajo las mismas condiciones y se tomó otra observación. Esto se repite muchas veces, y mientras las condiciones son similares cada vez, hay una variación incontrolable la cual es aleatoria, así que las
obse observ rvac acio iones nes son son indi indivi vidu dual alme ment ntee impr impred edec ecib ible les. s. En mu mucho choss de esto estoss caso casoss las las observaciones caen dentro de ciertas clases en donde las frecuencias relativas son muy estables. Esto sugiere que se postule un numero “ p”, llamado la probabilidad del evento, y “ p” será aproximado por la frecuencia relativa con la cual las observaciones repetidas satisfacen el evento en particular. En la Figur Figuraa 1 se mu mues estr tran an los los resu result ltad ados os de efec efectu tuar ar en cinco cinco opor oportu tuni nida dade des, s, el experimento experimento de lanzar 150 veces una moneda balanceada balanceada y graficar graficar el comportami comportamiento ento de la respectiva frecuencia relativa de cara. Como era de esperarse, en los cinco casos, al principio existe cierta fluctuación en las respectivas frecuencias relativas. A medida que aumenta el número de lanzamientos, esta frecuencia relativa se va estabilizando mostrando una tendencia clara hacia la frecuencia relativa 0,5. Nótese que algunas de las curvas tienden más rápido a 0,5 que otras. Por tanto, según la interpretación frecuentista de la probabilidad, p=0,5; que es el mismo valor
de la probabilidad de cara que se obtiene bajo la interpretación clásica. Esta es una ilustración de cómo se comporta la frecuencia relativa en el largo plazo6.
De este modo para calcular la probabilidad p de que un suceso A ocurra, se realiza el condiciones similares similares y se va contando el número de experimento sucesivamente bajo condiciones
veces que ocurre A. Sea n( A número de veces que ocurre el suceso A en las primeras n A) el número repeticiones repeticiones.. Entonces Entonces la frecuencia ocurrencia cia de A en las primeras n frecuencia relativa de ocurren repeticiones del experimento viene dada por:
La probabilidad de A es el límite de este cociente, cuando n tiende a infinito, si este límite existe:
Esta claro que las condiciones condiciones mencionadas mencionadas son muy vagas para servir como base de una definición científica de probabilidad. Por tanto, este criterio de la probabilidad a posteriori recibe varias críticas, entre las cuales se pueden mencionar las siguientes: 1. Se menciona un número grande de repeticiones de un proceso, pero no hay una identificación clara del número específico que podría considerarse suficientemente grande. 2. Se afirma que la moneda debería ser lanzada cada vez en condiciones similares, pero estas condiciones no se describen con precisión. Las condiciones en la cual se lanza la moneda no pueden ser completamente idénticas para cada lanzamiento porque entonces los resultados serian todos iguales y se obtendrían sólo caras o sólo sellos. De hecho, una persona experimentada puede lanzar una moneda repetidamente y cogerla de tal manera que obtenga una cara en casi todos los lanzamientos. En consecuencia, los lanzamientos no deben ser completamente controlados sino que deben tener una característica aleatoria.
1 3. Se asevera, además, que la frecuencia relativa de caras sería “aproximadamente 1/2”, pero no se especifica un límite para la variación posible respecto al valor 1/2. Si una
moneda fuese lanzada 1.000.000 de veces, no se esperaría obtener exactamente 500.000 caras. En realidad, sería muy sorprendente si se obtuvieran exactamente 500.000 caras. Por otro lado, tampoco se espera que el número de caras difiriera mucho de 500.000. 4. Otro inconveniente de la interpretación frecuentista de la probabilidad es que sólo puede utilizarse para un problema en el que pueda haber, al menos en principio, un número grande de repeticiones similares de cierto proceso. Muchos problemas importantes no son de este tipo. Por ejemplo, la interpretación frecuentista de la probabilidad no puede ser aplicada directamente a la probabilidad de que un determinado conocido contraiga matrimonio en los próximos dos años.
Interpretación Subjetiva de la Probabilidad De acuerdo con la interpretación interpretación subjetiva o personal de la probabilidad, la probabilidad que una persona asigna a uno de los posibles resultados de un proceso representa su propio juicio sobre la probabilidad de que se obtenga el resultado. Este juicio estará basado en las opiniones e información de la persona acerca del proceso. Otra persona que puede tener diferentes opiniones o información distinta puede asignar una probabilidad diferente al mismo resultado. Por esta razón, resulta más apropiado hablar de la probabilidad subjetiva que asigna cierta persona a un resultado, que de la verdadera probabilidad de ese resultado. Con el objeto de que una persona sea capaz de asignar probabilidades subjetivas a los resultados, debe expresar su grado de creencia en términos numéricos. La interpretación subjetiva de la probabilidad puede ser formalizada, en general, si los juicios de una persona acerca de las probabilidades de diversas combinaciones de resultados satisfacen ciertas condiciones de consistencia. Entonces puede demostrarse que sus probabilidades subjetivas para los diferentes sucesos posibles pueden ser determinadas en forma única.
La interpretación subjetiva tiene, sin embargo, dos dificultades:
1. El requisito requisito de que los juicios juicios de una persona sobre las probabil probabilidades idades de un número infinito de sucesos sean completamente consistentes y libres de contradicciones no parece humanamente posible. 2. La interp interpret retaci ación ón subjet subjetiva iva no propor proporcio ciona na bases bases “objetivas” para que dos o más científicos que trabajan juntos obtengan una evaluación conjunta de su estado de conocimiento en un área científica de interés común. La evaluación por un determinado científico de la probabilidad de algún resultado incierto debe ser, en última instancia, su propia evaluación, basada en todas las evidencias de que dispone. Esta evaluación puede estar parcialmente basada en la interpretación frecuentista de la probabilidad, ya que el científico puede tener en cuenta la frecuencia relativa de la ocurrencia de este resultado o de resultados similares en el pasado. También puede basarse parcialmente en la interpretación clásica de la probabilidad, puesto que el científico puede tener en cuenta el número total de resultados posibles que considera igualmente probables. Sin embargo, la asignación final de probabilidades numéricas es responsabilidad del propio científico.
La Teoría de la Probabilidad y las Interpretaciones de Probabilidad La teoría de la probabilidad y la estadística se pueden desarrollar, sin considerar la controversia en torno a las diferentes interpretaciones del término probabilidad. Esta teoría es correcta y puede ser aplicada útilmente, con independencia de la interpretación de probabilidad que se utilice en un problema particular. Una vez asignadas las probabilidades a algunos resultados de algún proceso, todos los expertos están completamente de acuerdo en que la teoría matemática matemática de la probabilid probabilidad ad proporciona proporciona la metodología metodología apropiada apropiada para ampliar el estudio de estas probabilidades.
Probabilidad de un evento Las probabilidades se plantean con respecto a algún evento. El evento en cuestión puede ser que llueva, haya ganancias, ganancias, caiga cara, se obtenga un rendimient rendimientoo de por lo menos 6%, se termine el curso, se obtengan buenas calificaciones, entre otros. Las probabi probabilid lidade adess pueden pueden expres expresars arsee en múl múlti tiple pless formas formas,, incluy incluyend endoo decimal decimales, es, fracciones y porcentajes. Por ejemplo, la posibilidad de lluvia se puede establecer como 20%, 2 de 10, 0.20, o bien 1/5. La probabilidad de que un evento ocurra está dada mediante un número que va de 0 a 1. P(A), es un número que va del 0 al 1, La probabilidad de algún evento A, se representa por P(A),
y que indica cuan probable es la ocurrencia del evento A. Cuanto mas cerca se encuentre el número de uno (1), tanto mayor es la probabilidad de que dicho evento A ocurra; cuanto mas cercano sea el numero a cero (0) menor es la probabilidad de que el evento A ocurra. A un evento imposible se le asigna una probabilidad 0, mientras que a un evento del cual se tiene la certeza que ocurrirá se le asigna una probabilidad probabilidad de 1.
Espacio Muestral y Eventos Uno Uno de los los conc concept eptos os mate matemá máti ticos cos funda fundame ment ntal ales es,, util utiliz izad ados os en el estu estudi dioo de la probabilidad es el conjunto. Este es un grupo de objetos o elementos que tienen ciertas características comunes. Por ejemplo, los habitantes de Barinas, los ríos del Municipio Pedraza, los estudiantes de la UBV-Barinas, entre otros. Espacio Muestral, es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento o muestra. Vamos a denotar al Espacio Muestral con la letra S. S. También el espacio muestral se denota con la letra griega Omega(Ω). Evento, son los posibles resultados de un Experimento Aleatorio.
Experimento Experimento Aleatorio Aleatorio,, es todo todo aque aquell expe experi rime ment ntoo que que sati satisf sfac acee los los sigu siguie ient ntes es requerimientos: a. Puede repeti repetirse rse un número número ilimit ilimitado ado de veces veces bajo las las mismas mismas condicio condiciones. nes. b. Es posible posible conocer conocer por adelant adelantado ado todos los posibl posibles es resulta resultados dos a que pueda dar origen. c. No puede predeci predecirse rse con exactit exactitud ud el resultado resultado en una una realizació realizaciónn particular particular de ese ese experimento. Ejemplos:
Si lanzamos una moneda al aire, el resultado puede ser cara o sello, pero no
sabemo sabemoss de antema antemano no cual de ello ello va a salir. salir. El proceso proceso de lanzamie lanzamiento nto de la moneda es un experimento aleatorio. Su espacio muestral muestral es S = { cara, sello} sello}
Lanzamiento de un dado y registrar el numero de puntos que aparecen en el
lado de arriba. El espacio muestral es: S = { 1,2,3,4,5,6}. El experimento es: lanzamiento del dado. Si el dado es un cubo simétrico y balanceado, entonces todos sus lados tienen la misma posibilidad de ocurrencia, es decir, sus probabilidades son: P(1) = P(2) = P(3) = P(4) P(5) = P(6) P(6) = 1/6. Sea Sea cualqu cualquier ier event eventoo A de ese experimento, por ejemplo, A: número par, entonces A = { 2,4,6}, obsérvese que A tiene tres puntos muestrales, en consecuencia su probabilidad de A viene dada por: numero de elementos de A dividido por número de elementos del espacio muestral S, es decir: P(A) = 3/6 = ½ = 0.5 Por su dimensión un espacio muestral puede ser: finito, infinito numerable, ó infinito no numerable.
La estadística tiene dos objetivos inmediatos, describir e inferir, cuya finalidad es satisfacer un objetivo mucho mas exigente: predecir.
La predicción está relacionada de una manera indisoluble con las probabilidades, y aquel que no estudi estudiaa los postul postulados ados de probab probabili ilidade dadess para para compre comprende nderr profun profundam dament entee su significado, no podrá interpretar cabalmente los resultados de la estadística. Es por esta razón que categóricamente afirmamos que con la estadística no se puede mentir. Vinc Vincul ular ar a la esta estadí díst stic ica, a, en tant tantoo que que disc discip ipli lina na mate matemá máti tica ca,, con con la capac capacid idad ad de manipulación para engañar, es tan osado como acusar al español, como lenguaje verbal, de herramienta susceptible de ser usada para decir mentiras. Es sólo la falta de información de un individuo lo que faculta a otro para engañarlo, con o sin intención, tanto con letras como con números. Operaciones con eventos: Tratándose los eventos de subconjuntos del espacio muestral, es natural que satisfagan todas las características de los conjuntos. conjuntos. Sean A y B dos eventos pertenecientes a un espacio muestral muestral S. •
La intersección, que se denota A ∩ B , es el evento que consta de todos los resultados en S que pertenecen tanto a A como a B. Por tanto, la intersección A ∩ B ocurre si y sólo si tanto A como B ocurren. De manera más general, dados k eventos A 1, A2, ..., Ak , su intersección A1 ∩ A2 ∩
∩ Ak es el
conjunto de todos los resultados básicos que pertenecen a todo A i (i = 1, 2, ..., k) •
La unión, que se denota A ∪ B , es el evento que consta de todos los resultados en S que pertenecen al menos a uno de estos eventos. Por lo tanto, la unión A ∪ B ocurre si y sólo si A y/o B ocurren. De manera más general, dados k eventos A1, A2, ..., Ak , su unión A1 ∪ A2 ∪
∪ Ak es el
conjunto de todos los resultados que pertenecen al menos a uno de estos k eventos. •
El complemento complemento de A (con respecto respecto al espacio muestral muestral S ), que se representa por Ac (dependiendo de la literatura también se usa A ó A´ ), es el evento que consta de todos los resultados pertenecientes pertenecientes a S pero no a A. A.
Definiciones complementarias: •
Si A y B no tienen puntos muestrales en común se denominan excluyentes y su intersección A ∩ B es el conjunto vacío Ø, lo que significa que A ∩ B no puede ocurrir. De manera más general, dados k eventos A 1, A2, ..., Ak , se dicen mutuamente excluyentes si cada par de estos eventos es excluyente, es decir Ai ∪ A j = Ø para todo i ≠ j.
•
Dados k eventos E 1, E2, ..., Ek en el espacio muestral S , si su unión unión E1 ∪ E2 ∪ ... ∪ Ek = S se dice que estos k eventos son colectivamente exhaustivos. exhaustivos.
Ejercicios
1. Los artículos provenientes de una línea de producción se clasifican como defectuosos o no defectuosos. Se observan los artículos y se anota su condición. Este proceso se continúa hasta que se produzcan dos artículos defectuosos consecutivos o se verifiquen cuatro artículos, lo que ocurra primero. Describir el espacio muestral para este experimento aleatorio. 2. Consid Considéren érense se cuatro cuatro objetos objetos,, a, b, c y d. Supón Supóngas gasee que el orden orden en el cual cual se anotan anotan esos objetos representa el resultado de un experimento. Sean los eventos A = {a está en el primer lugar} y B = {b está en el segundo lugar}. a. Descri Describi birr el el espaci espacioo mu muest estral ral..
b. Describir todos los elementos de los eventos A ∩ B y A ∪ B . 3. Consideran Considerando do el espaci espacioo muestral muestral S = {a, b, b, c}, constru construya ya todos todos los eventos eventos posibl posibles. es. 4. Sean Sean A, B y C tres tres even evento toss asoc asocia iado doss con con un expe experi rime ment nto. o. Expr Expres esar ar las las sigu siguie ient ntes es proposiciones verbales en notación de conjuntos. Puede ayudarse con diagramas de Venn. a. Al menos menos uno de los evento eventoss ocur ocurre. re. b. b. Exacta Exactame mente nte uno uno de los los event eventos os ocurr ocurre. e. c. Exacta Exactame mente nte dos dos de los even eventos tos ocur ocurren ren..
Desarrollo Axiomático de las Probabilidades El desarrollo teórico anterior se ha efectuado con la finalidad de plantear formalmente el siguiente problema: si A es un evento asociado con el experimento aleatorio E y el espacio muestral S , no podemos indicar con certeza, certeza, en principio, si A ocurrirá ocurrirá o no.
Surge entonces la siguiente pregunta: ¿cómo podemos asociar un número con el evento A que mida de alguna manera la posibilidad de que A ocurra? Para Para ello ello vamo vamoss a estu estudi diar ar a fond fondoo un mo mode delo lo de pens pensam amie ient ntoo que que util utiliz izam amos os constantemente sin importar nuestra cultura probabilística. Suponga que se repite n veces el experimento aleatorio E. Sean A y B dos eventos relacionados con E. Sean nA y nB el número de veces que A y B ocurren respectivamente en las n repeticiones. Frecuencia Relativa: Relativa: para el evento A se define como f A =
nA . n
Propiedades de la frecuencia relativa: 1.
0 ≤ f A
2.
f A =1
3.
f A
≤1 si y sólo si A ocurre en cada una de las n repeticiones de E.
= 0 si y sólo si A no ocurre nunca en las n repeticiones de E.
4. Si A y B son son eventos eventos mutuam mutuamente ente excluy excluyentes entes entonces entonces f A∪ B = f A + f B 5. Regula Regulari ridad dad estadís estadístic tica: a: la frecuenci frecuenciaa relativa relativa
f A
tiende a estabilizarse en cierto
valor (que luego bautizaremos como P(A)) a medida que el número de repeticiones de un experimento aumenta. Ejemplo: Lanzamiento de una moneda. Sea E = lanzamiento de una moneda. El espacio muestral es S = {C,S} y consideremos el evento A = {C}. Observemos esta realización particular del experimento, repetido varias veces: n nA f A
1 0 0
2 0 0
3 1 0.3
4 1 0.2
3
5
5 6 2 3 0.2 0.5
7 4 0.5
8 5 0.6
9 6 0.6
7
2
6
Esta frecuencia relativa aparece graficada a continuación:
1 0 11 6 6 0.6 0.5 5
12 6 0.5
13 7 0.5 4
… … …
F r e c u e n c i ar e la t iv a e ne lla n z a m ie n t od e u n am o n e d a
i c n e u c e r F
1 0 ,9 0 ,8 0 ,7 0 ,6 0 ,5 0 ,4 0 ,3 0 ,2 0 ,1 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 0
1 1
1 2
1 3
L a n z a m ie n t o
Vamos a usar las propiedades de la frecuencia relativa como esquema para las condiciones que le exigiremos que cumpla a una medida de la posibilidad de que un evento ocurra.
Probabilidad Consideraremos la probabilidad como el límite de la frecuencia relativa, de forma tal que se convierte en una función que va del espacio de todos los eventos posibles al conjunto de los números reales en el intervalo entre 0 y 1 inclusive: P ( A)
= lim lim f A n→ ∞
Sea E un experime experimento nto aleatorio aleatorio y
S un espacio espacio muestral muestral asociado asociado a éste. éste. Considera Considerado do
como el límite anterior, anterior, la probabilidad es una función que asigna a cada evento A de S un número real denotado por P(A) y llamado probabilidad de A, que satisface las siguientes propiedades: 1.
0
≤ P ( A) ≤1
2. P(S ) = 1 3. Si A y B son mutu mutuame amente nte excluy excluyent entes es entonce entoncess P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 4. (teór eórico) co) Si cada cada par par de even evento toss de la secu secuen enci ciaa inf infini inita E1,E2,... ,...,, Ek ,... ,...,, es
∞ ∞ mutuamente excluyente, entonces P A = ∑= 1 P ( A ) =1 i
i
i
i
Los anteriores se conocen como Postulados de Probabilidades, si bien, debido a que en la práctica sólo aparecen los tres primeros, esos son los mas conocidos en la literatura básica. Hasta ahora hemos postulado la existencia de P(A) y las propiedades que debe cumplir, pero no hemos indicado una forma de obtener en la práctica una función P que satisfaga las propiedades. A partir de este momento vamos a establecer suposiciones que conduzcan a un método válido para evaluar probabilidades. Vamos a iniciar el trabajo suponiendo que el experimento E tiene sólo un número finito de elementos, y bajo supuestos adicionales muy simples (y verificables) vamos a construir una P(A) válida.
Caracterización de P(A) bajo un Espacio Muestral Finito Suposición: espacio muestral finito, es decir S = {a1,a2,..., ak } Definiremos como evento elemental (ó simple, ó resultado elemental) al evento constituido por un sólo resultado, es decir A i = {ai} para i = 1,…,k. Asignamos un número pi a cada Ai mediante P(Ai) = pi tal que: ≥0
1.
pi
2.
p1 + + pk
=1
Estos números son consistentes, por definición, con los postulados de probabilidades, lo cual se puede verificar fácilmente.
A {a j1 , , a jr }
Así,
=
P ( A) = P ( A j1
para 1 ≤ r ≤ k entonces
∪ A j ∪ ∪ A j ) = P ( A j ) + P ( A j ) + + P ( A j ) = p j + p j + + p j
2
r
1
2
r
1
2
r
Ahora vamos a darle valores a los pi Suposición: resultados equiprobables o igualmente probables. Si los k resultados son equiprobables entonces 1 = p1 + p 2
+
+ pk = pi + pi +
Lo cual implica que pi =
1 k
+ pi = kpi
para i = 1,…,k.
Así, si consideramos el evento A definido anteriormente, P ( A) =
r k
Esta forma de pensar nos lleva a la conocida fórmula de “casos favorables entre casos totales” para calcular probabilidades. Formalmente se escribe: P ( A) =
número
de puntos
número
de S en A
de puntos
de S
Técnicas de Conteo Definiciones previas: El número de posibles ordenaciones de x objetos es x! = x(x-1)(x-2)...(2)(1), es decir el producto de todos los números inferiores a x. x . Este número se lee x factorial. Regla m x n: La regla del producto se aplica a situaciones en las que se busca un número de maneras distintas que las que se pueden formar pares de objetos, en donde los objetos se seleccionan de dos grupos distintos. Este principio se conoce también como regla de multiplicación ó regla m por n. Permutaciones: El número número de permutac permutacion iones es de n obj objeto etoss tom tomados ados de k en k es el número número de posibl posibles es ordenaciones cuando k objetos han de ser seleccionados de un total de n y dispuestos en
orden. Este número se calcula por la fórmula
P k n =n P k =
n! ( n −k )!
y se lee permutaciones
de n en k . En realidad se trata de una extensión de la regla m x n.
Combinaciones: El número de combinaciones de n objetos tomados de k en k es el número de subconjuntos de tamaño k que se pueden formar de un conjunto de n elementos. elementos. Este número se calcula por la fórmula
n
C k
=
P k
n
k !
=
n! k !(n − k )!
y se lee combinaciones de n en k . Generalmente se
aplica en situaciones en las que el orden no es importante.
Muestreo Muestra al azar: Supongamos que tenemos n objetos. Escoger al azar k objetos entre los n objetos originales ( 0 ≤ k ≤ n ) significa que cada subconjunto de tamaño k tiene la misma probabilidad de ser elegida que cualquier otro subconjunto. Muestreo con reemplazo ( o con reposición): Consiste en seleccionar un objeto de una colección y devolverlo a la misma después de anotar su característica de interés. Muestreo sin reemplazo (o sin reposición): Consiste en seleccionar un objeto de una colección sin devolverlo a la misma después de anotar su característica de interés. En principio, al efectuar un muestreo con reemplazo el espacio muestral no cambia, de forma que en caso de seleccionar otra muestra posteriormente, las probabilidades originales
no cambian. En cambio en el muestreo sin reemplazo el espacio muestral se modifica, y con el se modifica también la probabilidad.
Ejercicios 1. Un candado candado de comb combin inaci ación ón abre abre sólo cuando cuando la combin combinaci ación ón corr correc ecta ta de los los tres tres dígitos es seleccionada. Cada dígito puede ser cualquier número entre 0 y 9. Si una combinación particular de dígitos representa a un punto muestral, ¿cuántas puntos se están utilizando para definirlo? 2. El presiden presidente, te, vicepres vicepreside idente nte,, secret secretari arioo y tesore tesorero ro de una determi determinada nada asociaci asociación, ón, se elegirán de entre 10 candidatos. Encuentre el número de maneras distintas en que estos puestos pueden ocuparse. 3. Un exper experim iment entoo cons consis iste te en asig asignar nar 10 traba trabaja jador dores es para para 10 tare tareas as dist distin inta tass (un (un trabajador por tarea y viceversa). ¿De cuantas maneras se pueden asignar las 10 tareas a los 10 trabajadores? 4. Si se sele selecc ccio ionó nó una una mu mues estr traa de 10 enfe enferm rmer eras as de un tota totall de 90 de un hosp hospit ital al,, ¿cuántas posibles muestras había? 5. Si se seleccion seleccionan an cinco cartas cartas con reposici reposición ón (esto es, es, se selecciona selecciona al azar azar la primera primera y se regresa al conjunto de cartas, etc.) de un mazo de 52 cartas, ¿cuántas selecciones posibles hay? 6. Para el ejercici ejercicioo anterior anterior suponga que no hay reposic reposición. ión. ¿Cuántas ¿Cuántas selecciones selecciones posibles posibles hay? 7. En un departam departamento ento con 18 emplead empleados, os, se debe debe efectuar efectuar una reducci reducción ón de un tercio tercio del personal. Si todos los empleados tienen igual desempeño, ¿de cuántas formas se pueden elegir los grupos de despidos? 8. En una habi habita taci ción ón 25 person personas as tiene tienenn insi insign gnia iass numer numerad adas as del 1 al 25. Se elige eligenn 5 personas al azar y se les pide que dejen la habitación inmediatamente y se anotan los números de sus insignias. a. ¿Cuál es es la probabilidad probabilidad de de que el el número número menor menor de las las insigni insignias as sea 7? b. ¿Cuál es la probabil probabilidad idad de que el número número mayor mayor de las las insignias insignias sea sea 7?
c. ¿Cuá ¿Cuáll es la prob probab abil ilid idad ad de que que los los núme número ross de las las cinc cincoo insi insign gnia iass esté esténn comprendidas entre 9 y 21?
Teorema de Probabilidad
Sean A y B dos eventos, y Ac el complementario. Siempre se satisfacen las fórmulas siguientes: •
P(Ac) = 1 – P(A)
•
P(B) = P(A ∩ B) + P( Ac ∩ B)
•
P(A ∪ B) = P(A) + P(Ac ∩ B)
Teorema de la suma de probabilidades La probabilidad de la unión de dos eventos cualesquiera A y B es P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Probabilidad Condicional Dados dos eventos A y B, se define la probabilidad condicional de A dado B como P ( A ∩ B) P ( A | B) = , siempre que P(B) > 0 P ( B) Similarmente se define P ( A ∩ B) P ( B | A) = , siempre que P(A) > 0 P ( A) Propiedades de la probabilidad condicional 1. 0 ≤ P ( A | B) ≤ 1 2. P ( S | A) =1 3. P ( A | S ) = A
∞
4. P ( Ai | B ) = i =1
∞
∑ P ( A | B) i
si A ∩ A = 0 para i ≠ j i
j
i =1
En general tenemos dos formas de calcular P ( A | B ) : a. Directamen Directamente, te, considera considerando ndo la probabil probabilidad idad de A respect respectoo al espacio espacio muestral muestral S. b. b. Usan Usando do la defin definic ició ión, n, dond dondee P ( A ∩ B) y P(B) se calculan respecto al espacio muestral original S.
Regla del producto de probabilidadeds También conocido como Teorema de Multiplicación, se puede ver como una consecuencia de la definición de probabilidad condicional, indica que la probabilidad de la intersección de dos eventos cualesquiera A y B es: P(A ∩ B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A) La generalización de esta regla para n eventos nos lleva a: P ( A1 ∩ ∩ An ) = P ( An | A1 ∩ ∩ An−1 ) P ( An−1 | A1 ∩ ∩ An−2 ) P ( A3 | A1 ∩ A2 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 )
Independencia de Eventos Dados dos eventos A y B se dice que son independient independientes es estadísticament estadísticamente, e, o simplemente simplemente independientes, si y sólo si P(A ∩ B) = P(A)P(B) En otras palabras, A y B son independientes si y solo si P(A|B) = P(A) siempre que P(A) sea diferente de 0 y también si P(B|A) = P(B) siempre que P(B) sea diferente de 0. En general n eventos A1 , , An , se dicen independientes si y sólo si P( A1 ∩
∩ An ) = P( A ) P( A2 ) ... P( An ) 1
En general n eventos
A1 , , An ,
se dicen mutuamente independientes si y sólo si para
cualquier valor k = 2, 3, 4, …, n se tiene: P( Ai ∩ 1
∩ Ai ) = P( Ai ) P( Ai ) ... P( Ai ) k
1
2
k
Partición Los eventos A1 , , An conforman una partición del espacio muestral S si 1. 2. 3.
∩ Aj = Ø para i ≠ j
Ai n
Ai
i =1
= S
P ( Ai )
> 0 para todo i
Teorema de Bayes
Teorema de Bayes para dos eventos: Dados los eventos A y B, entonces se cumple que P ( B | A)
= P ( A | B) P ( B) P ( A)
Teorema de Bayes para k eventos: Dados k eventos E1, E2, ..., Ek , mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, y otro evento A, entonces se cumple que P ( E i | A) =
P ( A | E i ) P ( E i ) P ( A)
=
P ( A | E i ) P ( E i ) P ( A | E 1 ) P ( E 1 ) + + P ( A | E k ) P ( E k )
Probabilidades Bivariadas
Supóngase que al realizar un experimento los resultados puedan ser clasificados según dos reglas de clasificación diferentes. Por ejemplo, un grupo de personas puede ser clasificado por su edad y por su sexo.
Sea un experimento aleatorio y A1, A2, ..., Ah y B1, B2, ..., Bk dos grupos de eventos donde los Ai son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, así como los B j. Estos grupos de eventos se denominan eventos bivariantes. Las probabilidades conjuntas son las que se obtienen mediante P(Ai ∩ B j) Las probabilidades marginales son la que se obtienen mediante P(Ai) ó P(B j) Los aspectos importantes de esta forma de clasificar los datos está en que facilita el planteamiento de los problemas donde hay dos formas de clasificar los resultados. Las tablas de frecuencia que se arman previo al cálculo de probabilidades se conocen como tablas de contingencia. Cuando las frecuencias son sustituidas por probabilidades se habla de las probabilidades bivariadas o bivariantes. Si a las reglas de clasificación las llamamos atributos A y B respectivamente como repr repres esent entan ante tess de cada cada uno de sus sus grupo gruposs de event eventos os mu mutu tuam amen ente te excl excluy uyent entes es y colect colectivam ivament entee exhaus exhaustiv tivos, os, decimos decimos que dichos dichos atribu atributos tos son ind indepe ependi ndient entes es si tod todoo evento Ai es independiente de todo evento B j. Ejercicios: 1. Un estudi estudioo sobre los los estudia estudiante ntess de la Universid Universidad ad “ X ” reveló reveló que el 20% fuma. fuma. La probabilidad de enfermedad pulmonar, si una persona fuma es diez veces mayor que la probabilidad de que se enferme del pulmón si no lo hace. Si la probabilidad de enfermedad pulmonar es de 0.014 en nuestro país, ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante de la Universidad “ X “ sufra enfermedades pulmonares si fuma? 2. Supongamos Supongamos que lanzamo lanzamoss dos dados. dados. Se definen definen los eventos eventos de la la manera siguient siguiente: e: A = {el primer dado muestra un número par} B = {el segundo dado muestra un número impar} C = {ambos dados muestran números pares ó números impares} Halle la probabilidad de cada evento, de cada par de eventos y de la intersección de todos los eventos. ¿Los eventos son mutuamente independientes?
3. Cada vez que se se realiza realiza un experimento experimento,, la ocurrencia ocurrencia de un evento evento particula particularr A es igual a 0.2. El experimento se repite, independientemente, hasta que A ocurre. Calcular la probabilidad de que sea necesario ejecutar un cuarto experimento. 4. Un conjunt conjuntoo electrón electrónico ico consta consta de dos subsist subsistema emas, s, digamos digamos A y B. A partir partir de una serie de pruebas previas, se presuponen las siguientes probabilidades: P(A falle) = 0.20 P(sólo B falle) = 0.15 P(A y B fallen) = 0.15 Calcular las probabilidades siguientes: a. P(A P(A fall fallee | B haya haya fall fallado ado)) b. b. P(A P(A fal falle le sola solame ment nte) e) 5. En la fabricaci fabricación ón de cierto artícul artículoo se presenta presenta un tipo de defectos defectos con una probabil probabilidad idad de 0.1 0.1 y defe defect ctos os de un segu segund ndoo ti tipo po con con prob probab abil ilid idad ad de 0.05 0.05.. Supo Suponi nien endo do independencia entre los tipos de defectos, calcule la probabilidad de: a. Un artíc artículo ulo no teng tengaa ambas ambas clases clases de defe defecto ctos. s. b. Un artícu artículo lo sea defect defectuos uosos. os. c. Suponiendo Suponiendo que que un artícul artículoo sea defectu defectuoso, oso, tenga tenga sólo sólo un tipo tipo de defecto defecto 6. Tres componen componentes tes de un mecanismo, mecanismo, digamos digamos C1, C1, C2 y C3 están colocado colocadoss en serie serie (en una línea recta). Supóngase que estos mecanismos están agrupados en orden aleatorio. Sea R el evento {C2 está a la derecha de C1}, y S el evento {C3 está a la derecha de C1}. ¿Los eventos R y S son independientes?
Ejercicios 1. Sup Suponga onga que que se tira un dado no cargad cargadoo una sola vez. vez. A) ¿Cuál es la probabi probabili lidad dad de obtener un par?. B) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 4?. Sol: (a) 3/6 3/6,, (b) 2/6 2/6.. 2. Se lanza lanza una vez un par de dados dados no cargados, cargados, a) a) ¿cuál es la probabili probabilidad dad de que la suma de los dos números sea 2 (b) ¿ sea 7?,(C) ¿sea 11?. Sol: (a) 1/36, 1/36, (b) 6/36, 6/36, (c) 2/36.
En determinado grupo hay 20 estudiantes, 7 son chicas rubias de ojos azules, 4 tienen cabello cabello castaño castaño y ojos azules, azules, 5 son muchachos rubios rubios de ojos azules y los 4 restantes restantes son muchachos de cabello castaño y ojos cafés. Si se selecciona un estudiante al azar: a) ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante elegido sea una chica (b) que tenga ojos azules?, (c) que tenga cabello cabello castaño? castaño?,, (d) que sea rubia rubia y tenga ojos ojos cafés?. cafés?. Se supone supone que los 20 estudiantes están numerados en algún orden específico. Sol: (a) 11/20, 11/20, (b) 16/20, 16/20, (c) 8/20, 8/20, (d) 0. 3. Una caja caja contiene contiene 7 fichas fichas rojas rojas y 3 blancas blancas;; si se sacan tres tres fichas fichas de la caja una después de la otra sin reemplazo, encontrar la probabilidad de que la dos primeras sean rojas y la otra blanca. Sol: 7/40. 4. Tres Tres cartas cartas son sacad sacadas as en form formaa alea aleato tori riaa sin sin reem reempl plazo azo de un juego juego de cartas cartas ordinarias. ¿Cuál es la probabilidad de que todas las cartas sean reyes?. Sol: 4/22.100. 5. ¿Cuá ¿Cuánt ntas as manos manos dife difere rent ntes es de 5 naip naipes es pueden pueden darse darse con con un juego juego de baraja barajass ordinarias?. Sol: 2.598.960. 6. Si de una caja caja se sacan sacan al azar 4 bolas bolas rojas rojas y 2 blancas blancas y se colocan colocan en una hiler hilera; a; (a) ¿cuál es la probabilidad de que la de los extremos sean blancas?. (B) ¿de qué no sean blancas?. (C) ¿de qué las dos blancas estén juntas?. Sol: (a) 1/15, 1/15, (b) 14/15, 14/15, (c) 240/720. 7. Una Una ensa ensamb mbla lado dora ra de part partes es eléc eléctr tric icas as usa usa mo moto tore ress de dos dos oríg orígen enes es;; de una una compañía “A”, que le suministra el 90% de los motores y de una compañía “B”, que le suministra el otro 10% de los motores. Supóngase que es conocido que, el 5% de los motores suministrados por la compañía “A” son detectados como defectuosos y 7% de los suministrados por la compañía “B” son defectuosos. La ensambladora de partes eléctricas encontró un motor defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que este motor sea suministrado por la compañía “B?”. Sol: 0,134653. 8. Nos entregan entregan tres tres cajas cajas que que contiene contienenn lo siguie siguiente: nte: Caja “A” contiene 3 bolas rojas y 5 blancas
Caja “B”
“
2 bolas rojas y 1 blanca
Caja “C”
“
2 bolas rojas y 3 blancas.
Una caja es seleccionada aleatoriamente y se extrae una bola que resulta ser roja. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la caja “A?”. Sol: 45/173. 9. ¿De cuántas cuántas maneras maneras pueden pueden ser colocados colocados 10 automóvil automóviles es en u stock, stock, si 3 de ellos ellos son Fiat, 4 son Ford, 2 Toyota y 1 BMW?. Sol: 12.600 10. ¿De cuántas maneras pueden ser seleccionadas 4 personas provenientes de 5 parejas de casados, si la selección consiste de 2 damas y 2 caballeros?. Sol: 100. 11. Se lanza un par de dados no cargados cargados una vez, y se establece que los dos números números que aparecen no son los mismos. (A) Calcular la probabilidad de que la suma sea 7. (B) Calcular la probabilidad de que la suma sea 4. (C) Que la suma sea 12. Sol: (a) 1/5 (b) 1/15 (c) (c) 0. 12. Con base a su experiencia un médico ha recabado la siguiente información relativa relativa a las enfermedades de sus pacientes: 5% creen tener un virus infeccioso y lo tienen, 45% creen tener el virus y no lo tienen, 10% creen no tener el virus pero sí lo tienen y finalmente 40% creen no tenerlo, lo cual es cierto. Hallar: (a) la probabilidad de que un paciente si cree tenerlo, (b) la probabilidad de que tenga virus si no cree tenerlo, (c) la probabilidad de que crea tener virus y no lo tenga y (d) la probabilidad de que crea tener el virus y sí lo tiene. Sol: (a) 0,10 (b) 0,20 (c) 0,53 (d) 0,33 13. ¿Cuál es la probabilida probabilidadd de encontrar solamente solamente un 6 en el lanzamiento lanzamiento de un dado tres veces?. Sol: 75/216.
Variables Aleatorias Discretas y Continuas Muchas veces se desea resumir con un número el resultado de un experimento aleatorio. En muchos de los ejemplos relativos a experimentos aleatorios que han sido considerados hasta ahora, el espacio muestral es sólo una descripción de los posibles resultados. En algunos casos tales descripciones son suficientes, pero en otros se hace útil asociar un número con cada resultado del espacio muestral. Es así como se llega a la definición de variable aleatoria. aleatoria. Una variable aleatoria X es una función que asigna un número real a cada resultado en el espacio muestral S de un experimento aleatorio. El conjunto de los posibles valores de la variable aleatoria X se denomina rango. Diremos que la variable aleatoria es discreta si su rango es finito (o infinito contable). Variable aleatoria discreta Una variable aleatoria es discreta cuando puede tomar un número finito o infinito contable de valores, es decir que pueden ordenarse en secuencia. Ejemplos de variables aleatorias discretas:
Número de hermanos de una persona seleccionada al azar
Número de accidentes que ocurren en una autopista en un tiempo determinado
Número de veces que se lanza una moneda hasta que aparezca la primera cara, etc.
Variable aleatoria continua
Una variable aleatoria es continua cuando toma cualquier valor dentro de un intervalo de número reales. Ejemplos de variables aleatorias continuas: edad, estatura, peso, temperatura, ingreso, etc.
Distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta Diremos que la función p(x)=P(X (x)=P(X=x) que va del conjunto de valores posibles de la variable aleatoria X al intervalo [0, 1] es la función distribución de probabilidad para X si y sólo si se satisfacen las siguientes propiedades: 0
≤ p(x) ≤ 1 , para todo x
∑p( x) = x
Se define la distribución acumulada F(x) para la variable aleatoria X como F(x) = P(X P(X
≤ x) =
∑p( t) t ≤x
Ejemplo 1 Experimento aleatorio: se lanza una moneda 3 veces S = { ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss } Sea X : Número de caras observadas x p(x)
0 1 8
1
2
3 8
3
3 8
1 8
La distribución anterior es una distribución de probabilidades para la variable aleatoria X, p( x) = en efecto 0 ≤ p(x) ≤ 1 para todo x (x = 0, 1, 2 y 3) y además ∑ . Para x determinar la distribución acumulada de probabilidad observe que
1 8
P(X P(X
≤ 0) = P(X = 0) =
P(X P(X
≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) =
P(X P(X
≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
1 +3 = 1 8 2 8
= 1 +3 +3 =7 8
8
8
8
P(X P(X ≤ 3) = P(X= 0) + P(X= 1) + P(X= 2) + P(X= 3) = 1 + 3 + 3 + 1 = 1 8
8
8
8
Se tiene entonces, x F(x)
0
1
2 7 8
1 2
1 8
3 1
Si X es una variable aleatoria, y el experimento expe rimento aleatorio que determina el valor de X se repite muchas veces, entonces se obtiene una secuencia de valores para X. A partir de esta secuencia de valores se puede identificar el valor promedio o valor esperado de la variable aleatoria X, que denotamos E(X) , y se define en la forma siguiente:
( ) = ∑xp( x) x
E X
Propiedades: a) E(k)=k b) b) E(kX E(kX)= )=kE kE(X (X)) c) E(X± Y)=E(X)± E(Y) d) E(g(X))=∑g(x)p(x) Para el ejemplo dado, E(X) = ∑xp( x) = x
1 8
3 8
3 8
0 p( 0 )
+1p( 1) +2p( 2) + 3p( 3)
1 12 3 = 8 8 2
= 0 . + 1. + 2. + 3. =
A veces, el interés es determinar la variabilidad de la variable aleatoria. Definimos entonces la varianza de la variable aleatoria X, denotada V(X) ,ó σ2 mediante la siguiente ecuación: V(X)=E[(X-E(X))2] y su forma reducida es:
( ) = E X2
V X
−[ E( X) ]2
donde,
2
EX
2 = ∑x p( x) x
Para el ejemplo dado,
2
EX
1 8
=
0
2
2 ) +22 p( 2) +32 p( 3) p( 0 ) +1 p( 1
3 8
3 8
1 24 =3 8 8
= 0 . + 1. + 4. + 9. =
2
3 12− 9 Entonces, V(X) = 3− = =
2
4
3 4
Propiedades de la Varianza: a) V(k)=0 b) V(kX)=k 2V(X) c) V(X± Y)=V(X)+V(Y) si X y Y son independientes d) La desviación estándar de la variable aleatoria X es la raíz cuadrada positiva de la varianza, es decir, σ = V(X) .
Modelos discretos de probabilidad: Distribución Binomial Un ensayo Bernoulli, es un experimento aleatorio que sólo admite dos posibles resultados, denotados éxito y fracaso. fracaso. La probabilidad de éxito se denota p y la probabilidad de fracaso por q por q. Por lo tanto si denotamos el éxito por 1 y el fracaso por 0 se tiene: P (1) = p P (0) = 1-p = q Además se cumple: E (X) = p V(X) = pq Un proceso Bernoulli es un proceso en el cual se verifican las siguientes condiciones: El experimento aleatorio se repite n veces en idénticas condiciones Hay sólo dos posibles resultados en cada repetición del experimento, llamados arbitrariamente éxito y fracaso La probabilidad de éxito, denotada p, es la misma para cada repetición (permanece constante entre repeticiones)
las n repeticiones del experimento aleatorio son independientes entre sí. Consid Considere eremos mos ahora ahora la variab variable le aleato aleatoria ria X: Núme Número ro de éxit éxitos os obse observ rvad ados os en n repeticiones repeticiones.. Suponga que se quiere quiere determinar determinar la probabilidad probabilidad de observar observar xx éxitos en n repeticiones; esto es, se desea determinar P(X P(X = x). Como lo importante es observar x éxitos en n repeticiones, el orden de ocurrencia de los mismos es irrelevante; así, para contar de cuántas formas pueden observarse x éxitos en n repeticiones empleamos las n combinaciones x otro lado lado,, como como las n repeti repeticio ciones nes del experi experimen mento to son . Por otr independientes entre sí y calcular P(X P(X = x) equivale a calcular la probabilidad de una intersección de eventos (en las que cada evento corresponde a un éxito o a un fracaso), tenemos que la probabilidad de un punto muestral cualquiera asociado al experimento es px qn−x;
en definitiva:
n x n− x P(X P(X = x) = x p q
parax = 0 , 1 , 2,... ...,n
n x n− x ≤ 0 Dado que p q ≤ 1 y x
∑ x px qn− x = , resulta que n
x
n
=0
una variable aleatoria X se distribuye Binomial con parámetros n y p si su funcion de probabilidad es: n x n− x P(X P(X = x) = x p q
parax = 0 , 1 , 2,... ...,n
En resumen X ˜ B ( n , p ) “se lee la variable aleatoria X se distribuye Binomial
con parámetro n y p”. O, la variable aleatoria X tiene tiene distri distribuc bución ión bin binomi omial al si su funció funciónn distri distribuci bución ón de probabilidad está dada por
n p q p( x) = x 0 x
n
− x
si x
= 0 , 1 , ... , n
otros valores
Se puede demostrar que para una un a variable aleatoria con distribución binomial
( ) = µ = n.p ( Valor Valor esperado de X o esperanza matemática de X ) V(X) = n.p.q ( Varianza de X ) E X
Ejemplo 1
Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una defectuosa. Solución : Se trata de una distribución binomial de parámetros B (50, 0'007) y debemos calcular la probabilidad p(X=1).
Ejemplo 2
La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0,72. Calcular la probabilidad de que una vez administrada a 15 pacientes: a) Ninguno sufra la enfermedad b) Todos sufran la enfermedad c) Dos de ellos contraigan la enfermedad Solución : Se trata de una distribución binomial de parámetros B(15, 0'72)
Ejemplo 3
La probabilidad de que el carburador de un coche salga de fábrica defectuoso es del 4 por 100. Hallar : a) El número de carburadores defectuosos esperados en un lote de 1000 b) La varianza y la desviación típica. Solución :
Distribución Normal Sea una variable aleatoria X que toma todos los valores reales, y que posee una esperanza o media μ y una desviación estándar σ . Esa variable variable tiene tiene una Distrib Distribución ución Normal Normal o Gaussiana si su función de densidad de probabilidad es de la forma:
f(x) =
1 ( x − μ ) 2 ⋅ exp − ⋅ 2 , − ∞ < x < ∞ 2 σ 2π
1 σ
Los parámetros μ y σ deben satisface satisfacerr las condiciones condiciones − ∞ < μ < ∞ y
σ > 0 .
Puesto
que tendremos diversas ocasiones para referirnos a la distribución anterior; utilizaremos la siguiente notación: X tiene la distribución N ( μ, σ 2 ) sí y sólo si su función de densidad está dada por la expresión anterior. El gráfico de f se denomina Curva Normal, la cual es simétrica respecto a un eje vertical que pasa por el punto x = μ , donde f toma su valor máximo. máximo. La forma forma de la curva curva es acampanada, positiva a lo largo del Eje X, creciente en ( − ∞, μ ) y decreciente en ( μ,
∞) .
La curva no corta al Eje X, sino que es asintótica en ambos extremos. La posición o localización de la curva varía con el valor de μ , y su forma cambia con el valor de σ . Mientras más pequeña sea la desviación estándar estándar (o dispersión con respecto a
la media), más alta y esbelta es la curva; mientras más pequeña sea la varianza más achatada será la curva. La denominación que tiene esta distribución viene del hecho de que al principio se consideraba consideraba que todos los fenómenos en su estado normal debían seguirla. seguirla. Actualment Actualmente, e, esta se considera tan corriente como cualquier otro tipo de distribución. Áreas bajo la Curva Normal La mayor parte del área de la curva normal se concentra alrededor de μ . El gráfic gráficoo sigui siguien ente te mu mues estr traa que hay hay apro aproxi xima madam damen ente te 68,26 68,26% % del del área área dentr dentroo del del inte interv rval aloo [ − σ + μ, σ + μ ] , 95,45% del área dentro del intervalo [ − 2 ⋅ σ + μ, 2 ⋅ σ + μ ] , y 99,73% 99,73% del área dentro del intervalo [ − 3σ + μ, 3σ + μ ] . No se puede puede calcula calcularr más allá allá del último último intervalo ya que casi el 100% de los datos datos o valores está contenido allí. El área total bajo la curva normal normal y sobre el Eje X es la probabilidad probabilidad total, la cual es igual igual a 1 o 100%. Estas consideraciones numéricas se conocen bajo el nombre de la Regla Empírica, la cual es mucho más precisa que la Regla de Tchebyshev .
Fig. 1 Entre la media y una desviación estándar por encima de la media, se encuentra el 34,13% de todos los casos. casos. Análogamente Análogamente,, el 34,13% de todos los casos se encuentran encuentran entre la media y una desviación estándar por debajo de la media. Dicho de otra manera, 34,13% del área bajo la curva se encuentra entre la media y una desviación estándar por encima de la media, y 34,13% del área está comprendida entre la media y menos una desviación estándar. Entre la media y dos desviaciones estándar por encima de la media, se encuentra el 47,72% de los casos. Análogamente, Análogamente, por debajo de la media y menos dos desviaciones desviaciones estándar estándar se encuentran el 47,72% de los datos. Fina Finalm lmen ente te,, entr entree la medi mediaa y tres tres desv desvia iaci cion ones es está estánd ndar ar por por enci encima ma de la medi mediaa se encuentra encuentra el 49,87% de los casos. Análogamente Análogamente,, el 49,87% de los casos se encuentra encuentra entre la media y menos tres desviaciones estándar.
Distribución Normal Estándar y Estandarización de una Normal no estándar Para diferentes valores de μ y σ los respectivos gráficos son todos similares entre sí más allá de sus particularidad particularidades es propias. Las respectivas respectivas distribucio distribuciones nes normales normales se pueden reducir todas a una especial denominada Distribución Normal Estándar. La función de densidad de esta distribución asociada a cierta variable Z está dada por:
f ( Z )
=
Z 2 ⋅ exp exp − , − ∞ < Z < ∞ 2π 2 1
Vemos que para esta distribución la esperanza es μ = 0 y la varianza es σ = 1, por lo que la variable Z tiene la distribución N(0,1). Una porción de las probabilidades que representan áreas de diferentes tamaños bajo la curva normal estándar se presentan en la siguiente tabla, donde aparecen los valores de Z a intervalos de 0,25 unidades de longitud, desde Z = 0 hasta z = 4.
Función de Distribución de una Curva Normal Estándar Z
F(Z)
0,00 0,25 0,50 0.75 1,00 1,25 1,50 1,75
0,00000 0,09871 0,19146 0,27337 0,34134 0,39435 0,43319 0,45994
2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 3,25 3,50 3,75 4,00
0,47725 0,48778 0,49379 0,49702 0,49865 0,49942 0,49977 0,49991 0,49997
Aquí F es la función de distribución de f , y F(Z) es la probabilidad de que el resultado del experimento aleatorio sea mayor que cero (en este caso es la media μ = 0) y menor que Z . Para cualquier otra distribución N μ, σ 2 de una variable X , con μ ≠ 0, σ ≠ 1 y función de densidad
f X
, esta se puede estandarizar si aplicamos el cambio de variable Z =
X − μ σ
, y por tanto:
f X ( X )
=
1 ( X − μ ) 2 1 = ⋅ ⋅ exp − ⋅ 2 2 σ 2π σ
1 σ
Z 2 1 ⋅ exp − = ⋅ f ( z ) 2π 2 σ 1
Para cada valor x que asume X se calcula el respectivo valor Z que asume Z usando la esperanza y la desviación estándar de X , se revisa la tabla de la curva normal estándar, y así se ubica el valor del área del gráfico de
f X
que sea anterior a x .
Ahora, Ahora, al transf transform ormar ar los datos datos X de una variab variable le normal normalmen mente te distri distribui buida da en datos datos estandarizados Z , en realidad expresamos estos datos en unidades de la curva normal estándar. La importancia de esta transformación radica radica en que podemos expresar cualquier dato que provenga de una distribución normal normal como un valor porcentual. Además, puesto que los datos datos estanda estandariz rizado adoss z repres represent entan an número númeross abstra abstracto ctoss (adime (adimensi nsional onales) es) en oposición a las unidades concretas de los datos, podemos comparar la posición de un dato en una variable con su posición en una segunda variable.
Puesto que cualquier forma de curva normal puede ser convertida en la forma de la curva normal estándar, esta es la única que se requiere para encontrar la probabilidad de una cierta área bajo la primera curva.
La Distribución Normal como aproximación de una distribución discreta o continua Generalmente, el gráfico poligonal de una distribución discreta de probabilidad tiende a ser parecido al de una curva normal. A cada distribución discreta discreta de cualquier variable X con parámetros conocidos μ y σ , se le puede asociar una distribución normal N ( μ, σ 2 ) , y la función de probabilidad f definida con dichos parámetros se asemeja bastante a la línea poligonal en cuestión. Habiéndose mostrado la manera como toda distribución normal se puede representar por medio de la distribución estándar N(0,1) N(0,1), se puede definir la forma como toda distribución discreta se asocia con aquella. En ese sentido, cada valor P P j de la función de probabilidad P de la variable discreta X puede ser relativamente aproximado en cada valor X X j mediante la siguiente fórmula:
Y j =
n
f(Z j ), ), j = 1, , n ⋅ f(Z
σ
Al graficar la distribución {(X 1 , , Y 1 ), ), (X 2 , , Y 2 ),…, ),…, (X n , Y n )} uniendo esos pares con trazos curvos y no lineales, se obtiene un gráfico muy cercano al de la función de probabilidad de la distribución N ( μ, σ 2 ) . Con el fin de entender mejor la fórmula y facilitar posteriores cálculos, para cada j = 1,…, n tenemos que:
n d j
= X j − μ
Y j
Z j = d j σ f(z j )
Número de datos de la población Distancia entre el dato y la media Altura del punto X j en la curva normal Normalización de la distancia d j Función de probabilidad de Z j
Básicamente, la curva normal se construye de acuerdo con las alturas Y . Para X = μ se alcanza la altura máxima en esa curva ya construida, y la cual es Y 0 =
⋅ f μ − μ = n ⋅ f ( 0 ) = n ⋅ σ σ σ σ n
1 2π
. Así como como a ambos lado ladoss de z = 0 se ubica ubica el 50% del
área total de la curva f de la distribución N (0,1), (0,1), también a ambos lados de Y 0 se ubica el 50% del área total de la curva normal de la distribución N μ, σ 2 . Ejemplo 1: Supongamos Supongamos que X indica el monto de ingresos de 10.000 trabajadores de PDVSA, cuyo promedio mensual de ingreso es $500 y la desviación estándar estándar es $100. Vamos a construir una curva normal. 00 0 Aquí n = 10.000, μ = 500, σ = 100 y n σ = 10.000 = 100. 100 10 0 μ, 3σ + μ ] = [500, 800], y nos moveremos en este con pasos de Consideremos el intervalo [ μ,
tamaño 50. Así obtenemos un conjunto de puntos X j , j = 1,…, 7, el cual es {500, 550, 600, 650, 700, 750, 800} ⊆ [500, 800] Usando los valores de la función de distribución de la curva normal, y aplicando la fórmula para hallar los valores de las ordenadas de la curva normal, obtenemos la siguiente tabla.
X
500 550 600 650 700 750 800
d=X–
μ
0 50 1 00 1 50 2 00 2 50 3 00
Z = d σ
f(Z)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0,39894 0,35207 0,24197 0,12952 0,05399 0,01753 0,00443
Y =
n σ
⋅ f(Z)
39,894 35,207 24,197 12,952 5,399 1,753 0,443
Puesto que la curva normal es simétrica, la altura de la ordenada hacia el lado izquierdo de la media μ debe ser la misma misma que la del lado derecho de ese ese valor. Definimos RX j como aquel punto que está a la misma distancia de la media pero en dirección opuesta a X j . Por ejemplo, para X 2 = 550 y RX 2 = 450, tenemos –d 2 = RX 2 – μ = 450 – 500 = –50, –Z 2 =
−50 100
= –0,5 y f(–Z 2 ) ) = f(–0,5) = f(0,5) = 0,35207, por lo que RY 2 = 32,207 = Y 2. Así, los
valores de las ordenadas para RX 2 = 450 y X 2 = 550, son los mismos puesto que ambos datos se encuentran a la misma distancia de la media. Ahora procedemos a dibujar la curva normal correspondiente.
Fig. 2 Como puede observarse, esta curva tiene forma acampanada además de ser simétrica respecto a la media μ , es decir, es como si el segmento punteado fuese un espejo.
Ejercicio: construyam construyamos os una curva normal igual que en el ejemplo ejemplo anterior anterior pero tomando tomando la media en $600. Ejemplo 2: Supongamos que el ingreso mensual promedio de 10.000 trabajadores de PDVSA es $500 y la desviación estándar es $100. Si la distribución distribución es normal, encontraremos el número de trabajadores que tiene un ingreso mensual a) Infe Inferi rior or a $50 $500. 0. b) Sup Superi erior or a $500 $500 pero pero inferi inferior or a $600. $600. c) Supe Superi rior or a $60 $600. 0. Antes de usar la tabla de áreas de la curva normal, el valor de X debe ser transformado en Z =
X − μ σ
. En este ejemplo, μ = 500 y σ = 100. Por otro lado, tengamos en cuenta
que el 100% del área de la distribución N (500, (500, 100) está asociada al ingreso de 10.000 trabajadores, por lo que un área menor representa menos trabajadores. a) z =
El área requerida es la inferior a X = 500, la cual es equivalente al punto 500
− 500
100
= 0.
Debido a que la máxima ordenada Y 0 está localizada en el punto X = μ donde Z = 0, la región ubicada a la izquierda de Y 0 tiene un área que representa el 0,5 o 50% del total del área de la distribución. distribución. Por lo tanto, el número aproximado aproximado de trabajadores trabajadores que tiene un ingreso mensual inferior a $500 es 10.000⋅ (0,5) = 5.000. b)
Cuando X = 500 entonces Z = 0, y para X = 600 se tiene que Z = 1.
El área o probabilidad entre Z = 0 y Z = 1 es F(1) = 0,34134 0,34134 o 34,134%. 34,134%. Por lo tanto, tanto, el número aproximado de trabajadores que tienen un ingreso mensual superior a $500 pero inferior a $600 es n F(1) = 10.000⋅ (0,34134) (0,34134) = 3.413,4 ≈ 3.414. Gráficamente, el área está representada por la región sombreada.
Fig. 3 c)
Para X = 600 tenemos Z = 1. La zona de interés interés es un intervalo donde z > 1,
y esa área está representada por la región sombreada en el siguiente gráfico.
Fig. 4 Para calcular esa área procedemos de la siguiente manera: el área por encima de Z = 0 es 0,5 o 50%, y el área por debajo de Z = 1 es F(1) = 0,34134 0,34134 o 34,134 34,134 %. Luego, el el área sombreada se obtiene de la diferencia 0,5 – 0,34134 = 0,15866 o 15.866%. Así, el número apr aproxi oximado ado de trab trabaj ajad ador ores es que que per percibe cibenn un suel ueldo por por enci encima ma de $600 $600 es 10.000⋅ (0,15866) =1.586,6 ≈ 1.587. Ejemplo 3: Siguiendo Sigui endo con el ejemplo anterior, si μ = $400 y σ = $100, hallaremos la probabilidad (área) de que los 10.000 trabajad trabajadores ores ganen entre entre $250 y $500. Dicha probabili probabilidad dad es la suma del área entre $250 y μ = $400 más el área entre μ = $400 y $500. El área entre 250 y 400 se calcula como sigue: 250 − 400 Cuando X = 250 entonces Z = = –1,5, y para X = 400 queda Z =
400
100
− 400
100
=
0. Luego, el área área entre Z = –1,5 y z = 0 es la misma que el área entre Z = 0 y Z = –1,5 debido a que la curva normal es perfectamente simétrica, y usando la tabla se tiene que parte del área buscada es A1 = F (–1,5) (–1,5) = F (1,5) (1,5) = 0,43319. El área entre 400 y 500 se calcula como sigue:
Cuando X = 400 entonces Z =
400
− 400
100
= 0, y para X = 500 queda z =
500
− 400
100
= 1,0.
Por la tabla, parte del área buscada es A2 = F (1,0) (1,0) = 0,34134. En consecuencia, el área total buscada entre 250 y 500 es A1 + A2 = 0,43319 + 0,34134 = 0,77453 o 77,453%. Esto quiere decir que hay un 77,453% de que los 10.000 trabajadores de PDVSA ganen entre $250 y $500.
Fig. 5
Ejercicios : 1) Hallar el área bajo la curva normal tipificada: a) Entre Z = 0 y Z = 1,2 Sol: 0,3849 b) Entre Z = -0,68 y Z = 0 Sol: 0,2517 c) Entre Z = -0,46 y Z = 2,21 Sol: 0,6636 d) Entre Z = 0,81 y Z = 1,94 Sol: 0,1828 e) A la derecha de Z = -1,28 Sol: 0,8997 2) Si "área" se refiere al área bajo la curva normal tipificada, hallar el valor o los valores de Z tales que: a) El área entre 0 y Z sea 0,3770 Sol: Z = ±1,16 b) El área a la izquierda de Z sea 0,8621 Sol: Z = 1,09 c) El área entre -1,5 y Z sea 0,0217 Sol: Z = -1,695 y Z = -1,35 3) El peso medio de 500 estudiantes varones de una universidad es de 68,5 Kg. y la desviación
típica es de 10 Kg. Suponiendo que los pesos están distribuidos normalmente, hallar el número de estudiantes que pesan: a) Entre 48 y 71 kg. Sol: entre 289 y 290 estudiantes. b) Más de 91 kg. Sol: entre 6 o 7 estudiantes. 4) La media del diámetro interior de una muestra de 200 lavadoras producidas por una máquina es 1,275 cm. y la desviación típica de 0,0125 cm. El propósito para el cual se han diseñado las lavadoras permite una tolerancia máxima en el diámetro de 1,26cm. a 1,29 cm., de otra forma las lavadoras se consideran defectuosas. Determinar el porcentaje de lavadoras defectuosas producidas por la máquina, suponiendo que los diámetros están distribuidos normalmente. Sol: 23,02% 5) Si X está distribuida normalmente con media 5 y desviación típica 2, hallar P (X (X > 8). Sol: 0,0668 6) Se tiene un programador de entrenamiento diseñado para mejorar la calidad de las habilidades de los supervisores de la línea de producción. Debido a que el programa es auto administrativo, los supervisores requieren un número diferente de horas para terminarlo. Un estudio de los participantes anteriores indica que el tiempo medio que se lleva completar el programa es de 500 h. y que esta variable aleatoria normalmente distribuida tiene una desviación estándar de 100 h. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un participante elegido al azar requiera más de 500 h. para completar el programa?. Sol: 0,5 b) ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que un candidato candidato elegido al azar se tome entre 500 h. y 650 h. para completar el programa de entrenamiento?. Sol: 0,4332 c) ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar se tome más de 700 h. en completar el programa?. Sol: 0,0228
d) Suponga que el director del programa de entrenamiento desea saber la probabilidad de que un participante escogido al azar requiera entre 550 y 650 h. para completar el trabajo requerido en el programa. ¿Cuánto ha de ser ese valor? Sol: 0,2417 e) ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que un candidato elegido elegido al azar se tomará menos de 580 h. para completar el programa? Sol; 0,7881
Teoría de la Estimación Estadística La infe infere renc ncia ia esta estadí díst stic icaa es el proce proceso so de usar usar resu result ltad ados os mu mues estr tral ales es para para obte obtener ner conclusiones respecto a las características de una población. En esta sección estudiaremos los procedimientos estadísticos que permitan estimar dos parámetros parámetros de una población: población: la media y la proporción.
Razón para estimar Los administradores utilizan las estimaciones porque se deben tomar decisiones racionales, sin que tengan la información pertinente completa y con una gran incertidumbre acerca de lo que pueda deparar el futuro, pero con la intención de que las estimaciones constituyan una buena aproximación de los parámetros desconocidos de la población. Estimador Es la regla o procedimiento, expresado en general por medio de una fórmula, que se utiliza para deducir la estimación. Estimación Es un valor específico observado de un estimador, por lo que asigna uno o varios valores numéricos a un parámetro de una población sobre la base de datos de muestra. Tipos de estimación a) Estimación puntual: consiste en un solo estadístico muestral que se usa para estimar el valor verdadero de un parámetro de una población que es desconocido.
Por ejemplo, la media muestral la proporción muestral
es una estimador puntual de la media poblacional µ y
es un estimador puntual de la verdadera proporción poblacional p
. Cuando usamos una estimación puntual, sabemos que aunque usemos un método bueno de estimación es prácticamente improbable que el valor de la estimación coincida con el verdadero valor del parámetro, así que sería conveniente acompañar nuestra estimación con alguna medida que nos permitiera expresar la cercanía del estimador al parámetro. Una solución a ello no los brindan los estimadores por Intervalos de Confianza. b) Estimación por intervalo: es la estimación de un parámetro de la población dado por dos números que forman un intervalo que contiene al parámetro con una cierta probabilidad.
Conceptos básicos. Nivel de Confianza Está asociado con la probabilidad de que el intervalo de confianza contenga al parámetro de la población y es expresado en porcentaje. Los niveles de confianza que más se utilizan son 90%, 95% y 99%.
Interpretación de los intervalos de confianza Un intervalo de confianza se puede interpretar de dos maneras diferentes. Ejemplo: una directora de tiendas cree que el gasto medio de sus clientes en el último año se encuentra en el intervalo de 35 a 38 dólares y concede una confianza del 95% a ese intervalo.
Intervalos de confianza para la media poblacional y la proporción (muestras grandes) Con el objeto de mostrar cómo se construyen los intervalos de confianza, realizaremos la deducción de uno de ellos. Para el resto de los intervalos el procedimiento es similar así que se darán sólo las expresiones para el cálculo de los mismos.
Para la construcción de los Intervalos es necesario tener en cuenta la distribución muestral de los estimadores de interés, así que diferenciaremos los casos de manera análoga a como lo hicimos para estudiar las distribuciones en el muestreo.
I ) Intervalos de Confianza para la Media de una población con varianza conocida.
__________
___________
Ejemplo.1 Se encuentra que la concentración promedio de zinc que se saca del agua a partir de una muestra de mediciones de zinc en e n 36 sitios diferentes es de 2.6 gramos g ramos por mililitro. Encuentre los intervalos de confianza de 95% y 99% para la concentración media de zinc en el río. Suponga que los datos siguen una distribución normal con una desviación estándar de 0.3.
Como se puede observar en los resultados del ejercicio se tiene un error de estimación mayor cuando el nivel de confianza es del 99% y más pequeño cuando se reduce a un nivel de confianza del 95% Ejemplo 2
Ejemplo 3 Una empresa eléctrica fabrica 3000 focos con una duración aproximadamente distribuida de forma normal con una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra de 300 focos tiene una duración promedio de 780 horas, encuentre un intervalo de confianza de 96% para la media de la población de todos los focos que produce esta empresa. Solución: En este caso la varianza de la población es conocida, la población es finita, así que:
Ejemplo 4 Un biólogo quiere estimar el peso promedio de los capibaras cazados en el estado Apure. Un estudio anterior de diez capibaras cazados mostró que la desviación estándar de sus pesos es de 12.2 libras. ¿Qué tan grande debe ser una muestra para que el biólogo tenga el 95% de confianza de que el error de estimación es a lo más de 4 libras?
En consecuencia, si el tamaño de la muestra es 36, se puede tener un 95% de confianza en que m difiere en menos de 4 libras de
.
Ejemplo 5 Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración aproximadamente normal con una desviación estándar de 40 horas. ¿De qué tamaño se necesita una muestra si se desea tener 95% de confianza que la media real esté dentro de 10 horas de la media real?
Ejemplo 3.6 1.Una legisladora estatal desea encuestar a los residentes de su municipio para conocer qué proporción del electorado conoce la opinión de ella, respecto al uso de fondos estatales para pagar abortos, ella supone que el 50% del electorado conoce su opinión.¿Qué tamaño de muestra se necesita si se requiere una confianza del 95% y un error máximo de estimación de 0.10? Solución:
La proporción de residentes que conoce la opinión de la legisladora es de 0.5, así que:
Se requiere requiere un tamaño de muestra muestra de 97 residentes residentes para que con una confianza del 95% la estimación tenga un error máximo de 0.10. Control de la anchura del intervalo Es evidente que si se estrecha estrecha el intervalo, intervalo, se suministr suministrará ará al investigad investigador or una estimación estimación más exacta del valor del parámetro. Hay dos métodos corrientes para estrechar un intervalo, pero para ambos se debe hacer un sacrificio adicional. Estos procedimientos son: a) Ajuste del nivel de confianza: por la propia naturaleza de los intervalos de confianza, si se acepta un nivel de confianza más bajo, se podría generar un intervalo más preciso, menos amplio, pero eso aumenta la probabilidad de error. b) Ajuste del tamaño de la muestra: el aumentar el tamaño de la muestra disminuye el error esperado y es más probable que se dé una estimación más ajustada del valor verdadero del parámetro, con ello se puede conservar un nivel de confianza determinado y al mismo tiempo disminuir la anchura del intervalo; pero el sacrificio es un aumento ya sea de tiempo, del gasto, etc.; que se exige para recoger los datos para una muestra mayor.
Contraste de Hipótesis 1 La prueba de hipótesis y la estimación son dos de las ramas principales de la inferencia estadística2
El objetivo de la estimación es obtener una aproximación al valor de cierto parámetro de la población y la finalidad de la prueba de hipótesis es decidir si una afirmación acerca de una característica de la población es verdadera.
1
Otros nombres de contraste de hipótesis utilizados en la bibliografía estadística son: Prueba de hipótesis, docimasia de hipótesis, test de hipótesis, prueba de significación. 2 Estos Apuntes están basados principalmente en: Newbold, Paul. Estadística para los Negocios y la Economía. Y en Stevenson,. W. Estadística para Administración y Economía .
Ejemplo 1: Es posible desear determinar si afirmaciones como las siguientes son ciertas: c iertas: 3 1. Un fabricante que produce cereales de desayuno afirma que, en promedio, el contenido de cada caja pesa al menos 200 gramos. Para verificar esta afirmación, se pesa el contenido de una muestra aleatoria y se infiere el resultado a partir de la información muestral. 2. Una compañía recibe un gran cargamento de piezas. Sólo puede aceptar el envío si no hay más de un 5% de piezas defectuosas. La decisión de aceptar la remesa puede basarse en el examen de una muestra aleatoria de piezas. 3. Un profesor está interesado en valorar la utilidad de realizar regularmente pruebas cortas en un curso de estadística. La asignatura consta de dos partes y el profesor realiza esta prueba sólo en una de ellas. Cuando acaba el curso, compara los conocimientos de los estudiantes en las dos partes de la materia mediante un examen final y analiza su hipótesis de que las pruebas cortas aumentan el nivel medio de conocimientos. Los ejemplos propuestos tienen algo en común. La hipótesis se formula sobre la población, y las conclusiones sobre la validez de esta hipótesis se basan en la información muestral.
Hipótesis Estadística Es cualquier enunciado, teoría, conjetura, tentativa, afirmación que se haga sobre una o más características poblacionales como un parámetro, la distribución de probabilidad de una población, etc.
____________________ 3
Newbold, Paul. Estadística para los Negocios y la Economía . Pág. 281.
Nunca se sabe con absoluta certeza la verdad o falsedad de una hipótesis estadística, a no ser que se examine toda la población. Esto, por supuesto, sería impráctico en la mayoría de las situaciones. En su lugar, se toma una muestra aleatoria de la población de interés y se utilizan los datos que contiene tal muestra para proporcionar evidencias que confirmen o no la hipótesis .
La evidencia de la muestra que es inconsistente con la hipótesis planteada conduce a un rechazo de la misma, mientras que la evidencia que apoya la hipótesis conduce a su aceptación. De ahí que el aspecto principal de la prueba de hipótesis sea determinar si la diferencia entre un valor propuesto de un parámetro poblacional y el valor estadístico de la muestra muestra
se debe razonablemente a la variabilidad del muestreo. O si la discrepancia es
demasiado grande para ser considerada de esa manera, lo cual en el argot estadístico es conocido como que la diferencia es significativa. Considérese la siguiente situación: Se inspecciona una muestra de 150 productos de un enorme lote y se observa que el 7% de ellos está defectuoso. El proveedor de dichos productos garantizó que un porcentaje igual al 5% de cualquier cargamento tendría defectos. La pregunta que se habrá de contestar mediante la prueba de hipótesis es si la información proporcionada por el proveedor es verdadera. Si la proposición realmente es cierta, ¿Cuál sería la causa del hecho de que una muestra señalara señalara un 7% de partes partes defectuosas? defectuosas? Una posibilidad posibilidad es que la causa sea la variabilidad del muestreo.
Si la decisión después de efectuar el análisis es aceptar la afirmación del
proveedor, significa que la discrepancia entre el porcentaje de productos defectuosos observado en la muestra y el porcentaje de elementos defectuosos propuesto se debe razonablemente a la variabilidad del muestreo (al azar). Por el contrario, la decisión de rechazar la
afirmación del proveedor, significa que la diferencia entre el valor observado y
el propuesto es demasiado grande como para deberse únicamente al azar.
Hipótesis Nula ( H 0) Es la hipótesis que se considera cierta a no ser que se produzca suficiente evidencia en contra, lo cual puede entenderse como mantener la hipótesis. Es la hipótesis que se plantea para juzgar si puede ser o no rechazada. En general, se enuncia como hipótesis nula lo que se viene aceptando, creyendo o asumiendo como lo que es cierto con anterioridad al estudio.
Hipótesis Alternativa ( H 1) Es la hipótesis que se plantea para oponerla a la hipótesis nula. Es un enunciado que ofrece una alternativa a la proposición en H 0, es decir, afirma que la proposición en la hipótesis nula es falsa. En general, se enuncia en H 1 lo que se presume que está sucediendo (actualmente) y que ha cambiado con respecto a lo que se suponía como verdadero (anteriormente). En la práctica, esta es la hipótesis de interés para el investigador debido a que representa generalmente la proposición hipotética que él desea probar.
Ejemplo 2: Supóngase que una persona es llevada a juicio en un tribunal de justicia. Las hipótesis nula y alternativa son: H 0: Es inocente H 1: Es culpable
Cuando la persona acusada es llevada ante un tribunal de justicia, en principio, goza de la presunción presunción de inocencia inocencia (“toda persona es inocente inocente hasta que se demuestre lo contrario” contrario”). ). Como en la hipótesis nula se enuncia lo que se asume como cierto, en este caso H 0: Es inocente. Por otra parte, en la hipótesis alternativa se plantea lo que se presume o se cree que es la situación actual y que ha cambiado con respecto a lo enunciado en H 0 y es lo que se quiere probar. De esta manera, debe plantearse bajo esta circunstancia que H 1: Es culpable.
Por lo tanto, tanto, la acusac acusación ión debe debe presen presentar tar eviden evidencia cia sufici suficient enteme emente nte clara clara como como para para conseguir un veredicto de culpabilidad. Puede darse el caso de que no se rechace que el enjuiciado “sea inocente” dado que no se han presentado suficientes evidencias. En el contexto del contraste de hipótesis clásico, la hipótesis nula se considera cierta inicialmente. La tarea de persuadirnos de lo contrario corresponde a los datos de la muestra. La aceptación de una hipótesis nula implica tan sólo que los datos de la muestra no proporcionan evidencia suficiente para rechazarla. Por otro lado, el rechazo implica que la evidencia muestral la refuta.
Tipos de Hipótesis Nula y Alternativa Para hacer más general la exposición, se denotará por θ al parámetro poblacional de interés (por ejemplo, la media poblacional, la varianza o una proporción) y por θ 0 para designar un valor que puede tomar el parámetro θ. Una hipótesis nula o alternativa, puede designar un único valor, llamado θ 0, para el parámetro poblacional θ . En este caso, se dice que la hipótesis es simple. simple. La notación simbólica para una hipótesis de este tipo es H 0: θ = θ 0
que se lee “La hipótesis nula es que el parámetro poblacional θ es igual al valor específico θ 0”.
Por Por ejem ejempl plo, o, en la situ situac ació iónn de los los prod produc ucto toss defe defect ctuos uosos os de un gran gran lote lote,, el
investigador podría comenzar el estudio con la hipótesis simple de que el porcentaje de artículos defectuosos es igual a 5%. Una hipótesis también puede designar un rango de valores para el parámetro poblacional desconocido. Una hipótesis de este tipo se denomina compuesta y será cierta para más de un valor del parámetro poblacional. Por ejemplo, la hipótesis nula de que el peso medio de las cajas de cereales es al menos 200 gramos es compuesta. La hipótesis es cierta para peso medio poblacional mayor o igual que 200 gramos. cualquier peso
En muchas situaciones, se contrasta una hipótesis nula simple, digamos, H 0: θ = θ 0, frente a una alternativa compuesta. En algunos casos , , sólo interesan alternativas a un lado de la hipótesis nula. Por ejemplo, podría quererse contrastar esta hipótesis nula frente a la hipótesis alternativa de que el verdadero valor de θ es mayor que θ 0, lo cual puede escribirse como: H1: θ > θ 0 Por el contrario, la alternativa de interés puede ser: H 1: θ < θ 0 Las hip hipóte ótesis sis altern alternati ativas vas de este este tipo tipo se denomin denominan an alternativa alternativass unila unilaterale teraless. Otra posibilidad es que se quiera contrastar esta hipótesis nula simple frente a la alternativa general de que el valor de θ es cualquiera distinto de θ 0, es decir: H 1: θ ≠ θ 0 Ésta se conoce como alternativa bilateral. bilateral. En resumen, se pueden tener las siguientes combinaciones de hipótesis nulas y alternativas: 1 1. H 0: θ = θ 0 vs. H 1: θ > θ 0 2 2. H 0: θ = θ 0 vs. H 1: θ < θ 0 3 3. H 0: θ = θ 0 vs. H 1: θ ≠ θ 0 4 4. H 0: θ ≤ θ 0 vs. H 1: θ > θ 0 5 5. H 0: θ ≥ θ 0 vs. H 1: θ < θ 0 6
Obsérvese que en la hipótesis nula siempre se encuentra la posibilidad de la igualdad del planteamiento. Esto se debe a que, como se mencionó anteriormente, la hipótesis nula inicialmente se considera cierta. Nota 1:
La especificación de las hipótesis nula y alternativa apropiadas depende del problema. p roblema. Ejemplo 3: Para ilustrar estos conceptos, se considerarán los ejemplos enunciados al principio de estas notas: 1. Sea θ el peso medio poblacional (en gramos) de cereales por caja. La hipótesis nula es que esta media es al menos 200 gramos, luego se tiene la hipótesis nula compuesta: H 0: θ ≥ 200
La alternativa obvia es que el verdadero peso medio es inferior a 200 gramos, es decir, H 1: θ < 200
1 2. La compañí compañíaa resuelve resuelve acept aceptar ar envíos envíos de piezas piezas siempr siempree que no tenga tenga evidenci evidenciaa para sospechar que más del 5% son defectuosas. Denotando por θ la proporción poblacional de piezas defectuosas. La hipótesis nula aquí es que esta proporción es como mucho 0.05, es decir, H 0: θ ≤ 0,05. 2 Basándose en la información muestral, se contrasta esta hipótesis frente a la alternativa H 1: θ > 0,05.
La hipótesis nula, entonces, es que el cargamento de piezas tiene una calidad adecuada, mientras que la hipótesis alternativa es que no la tiene. 1 3. Supóng Supóngas asee que que la conjet conjetur uraa del profe profeso sorr es que la real realiz izaci ación ón de prue pruebas bas corta cortass regularmente no produce diferencias en el promedio de las puntuaciones del examen final. final. Denotando Denotando por θ la diferencia entre las puntuaciones puntuaciones medias medias poblacionale poblacionaless para las dos partes del curso, con y sin pruebas cortas regulares. La hipótesis nula es, entonces, una hipótesis simple: H 0: θ = 0
Sin embargo, el profesor puede sospechar que posiblemente los controles produzcan un incremento en el promedio y, en consecuencia, querrá contrastar la hipótesis nula frente a la hipótesis alternativa: H 1: θ > 0
Después de especificar las hipótesis nula y alternativa, y de recoger información muestral, debe tomarse una decisión decisión sobre la hipótesis hipótesis nula. Las dos posibilidades posibilidades son no rechazar (aceptar) la hipótesis nula o rechazarla en favor de la alternativa. Con el fin de llegar a una de estas conclusiones, se adopta una regla de decisión basada en la evidencia muestral. Más adelante se estudiaran reglas de decisión concretas.
Tipos de Errores que se pueden cometer en un Contraste de Hipótesis Si sólo se dispone de una muestra de la población, entonces el parámetro poblacional no se conocerá con exactitud (¿Por qué?). Por consiguiente, no se puede saber con seguridad si la hipótesis nula es cierta o falsa. Por tanto, cualquier regla de decisión adoptada tiene cierta probabilidad de llegar a una conclusión errónea sobre el parámetro poblacional de interés. Existen dos tipos de errores que son inherentes al proceso de contraste de hipótesis: h ipótesis: H 0) cuando realmente es cierta • Error Tipo I: Consiste en rechazar la hipótesis nula ( H
• Error Tipo II: Consiste en aceptar la hipótesis nula ( H H 0) cuando realmente es falsa Si la regla de decisión es tal que P (cometer Error Tipo I ) = α, es decir, la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es cierta es α, entonces α se llama nivel de significación del contraste. Nótese que α es una probabilidad condicional, P ( Rechazar Rechazar H 0 / H 0 es cierta) = α
Puesto que la hipótesis nula tiene que ser aceptada o rechazada, la probabilidad de aceptar la hipótesis nula cuando es cierta es (1− α), es decir, P ( Aceptar Aceptar H 0 / H 0 es cierta) = 1−α.
Por otro lado, la P(cometer Error Tipo II) = β, es decir, la probabilidad de aceptar una hipótesis nula falsa se denota por β. También puede verse como, P ( Aceptar Aceptar H 0 / H 0 es falsa) = β
Entonces, la probabilidad de rechazar una hipótesis nula falsa es (1−β), y se denomina potencia del contraste. Visto como una probabilidad condicional, co ndicional, P ( Rechaza Rechaza H 0 / H 0 es falsa) = 1−β.
En la Tabla 1 se resumen las situaciones posibles en un contraste de hipótesis al tomar la decisión sobre la hipótesis nula.
Tabla 1.Situación Real y decisiones sobre la hipótesis nula, con las probabilidades Asociadas a cada decisión, dada una determinado situación situación real
SITUACIÓN REAL DECISIONES SOBRE LA HIPÓTESIS NULA ACEPTAR H H 0 RECHAZAR H H 0
H 0 VERDADERA Decisión correcta
H 0 FALSA Error Tipo II
Probabilidad = 1− α
Probabilidad = β
Error Tipo I
Decisión correcta
Probabilidad = α
Probabilidad = 1−β
Ejemplo 4: Haciendo referencia al ejemplo del juicio, se aclararán estas ideas. Se tiene que determinar si la persona llevada a juicio a un tribunal de justicia es inocente o culpable. Como se estableció más atrás, se consideró como hipótesis nula el que esta persona es inocente contrastándose con la hipótesis alternativa de que es culpable. Cuando la decisión es tomada se está en presencia de las situaciones expuestas en la Tabla 1. Si el veredicto es que el acusado es declarado culpable, es decir, se rechaza H 0, entonces esta decisión puede ser la correcta si efectivamente esta persona es culpable. O por el contrario, se puede estar ante la presencia de un Error Tipo I que en este caso significa que ¡se está condenando a una persona inocente! Pero, si el veredicto declara que el acusado es inocente, en otras palabras, se acepta H 0, esta puede ser la decisión correcta si ciertamente esta persona no cometió el delito. O se puede estar cometiendo un Error Tipo II , lo cual implica que ¡se está declarando inocente a una persona que realmente es culpable!
Ejercicio ¿Cuál de los dos errores anteriores es más grave? Justifique su respuesta.
Influencia de las Probabilidades α y β sobre una Prueba de Hipótesis Evidentemente, lo ideal sería que las probabilidades de los dos tipos de error fuesen lo más pequeñas posible. Sin embargo, hay una clara compensación entre las dos. Cuando se ha tomado una muestra, cualquier modificación de la regla de decisión que haga menos probab probable le rechaz rechazar ar una hip hipóte ótesis sis nul nulaa ciert cierta, a, inevit inevitabl ableme emente nte,, se traduc traducirá irá en mayor mayor probabilidad de aceptar esta hipótesis cuando es falsa. En otras palabras, cuando α decrece, β aumenta y viceversa. Supóngase que se quiere contrastar, basándose en una muestra aleatoria, la hipótesis nula de que el verdadero peso medio del contenido de las cajas de cereales es al menos de 200 gramos: H 0: θ ≥ 200. Dado un tamaño muestral específico, digamos n = 30 observaciones, se puede adoptar la regla de decisión de “rechazar la hipótesis nula si el peso medio en la muestra es inferior a 185 gramos”. Ahora, es fácil encontrar otra regla de decisión para la cual, la probabilidad de cometer un error de Tipo I es menor. Si se modifica la regla de decisión anterior para “rechazar la hipótesis nula si el peso
medio en la muestra es inferior a
180 gramos”, se conseguirá este objetivo. ob jetivo. Sin embargo, embargo, hay que pagar un precio. Si se usa la regla de decisión modificada, será más probable aceptar la hipótesis nula, tanto si es cierta como si es falsa (¿Por qué?) Por tanto, al disminuir la probabilidad de cometer un error de Tipo I, se ha aumentado la probabilidad de cometer un error de Tipo II. La única manera de disminuir simultáneamente las dos probabilidades de error será obtener más información sobre la verdadera media de la población, tomando una muestra mayor. Habitualmente, lo que se hace en la práctica, es fijar la probabilidad de cometer un error de Tipo I a un nivel deseado, es decir, se fija el nivel de significac significación ión α. Esto determina, determina, entonces, la regla de decisión decisión adecuada, que a su vez determina la probabilidad de un error de Tipo II. Este procedimiento se ilustra en la Figura 2. Para ilustrar este procedimiento, considérese de nuevo el problema de contrastar, a partir de una muestra de 30 observaciones, si el verdadero peso medio de las cajas de cereales es al
menos de 200 gramos. Dada una regla de decisión, se pueden determinar las probabilidades de los errores de Tipo I y de Tipo II asociadas al contraste. Sin embargo, en realidad, se procede fijando primero la probabilidad de error de Tipo I. Supóngase, por ejemplo, que se quiere asegurar que la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es cierta sea como mucho 0,05. Esto se puede conseguir eligiendo un número, k , apropiado a la regla de decisión “rechazar la hipótesis nula si la media muestral es inferior a k gramos” (más adelante se explicará cómo se puede hacer esto). Una vez elegido el número k , pueden calcularse las probabilidades del error de Tipo II usando los procedimientos que se expondrán más adelante. Así se puede observar que la regla de decisión queda determinada por el nivel de significación elegido.4 1
Nota 2:
Al usar el criterio de fijar la probabilidad de error Tipo I, α, para encontrar una regla de decisión; implícitamente se está considerando a este error más grave que el error Tipo II. Así, al fijar α en un valor pequeño, el investigador está controlando directamente la probabilidad de cometer un error Tipo I. Por tal razón, al plantear las hipótesis siempre hay que hacerlo tomando en cuenta esto último, es decir, que “rechazar la hipótesis nula cuando es cierta” es un error más grave que “aceptar la hipótesis nula cuando es falsa”.
Terminología adicional en el contraste de hipótesis Estadístico de Contraste (o de Prueba) Es aquella función de las observaciones muestrales que se usa para determinar si la hipótesis nula debe ser aceptada o rechazada.
Regla de Decisión Una regla de decisión define las condiciones que llevan a la aceptación o rechazo de la hipótesis nula.
Región de Aceptación Es un rango de valores, tal que si el estadístico de prueba queda dentro, la hipótesis nula se declara aceptable.
Región de Rechazo Es un rango separado de valores, tal que si el estadístico de prueba queda dentro, la hipótesis nula se rechaza.
Valor(es) Crítico(s) Los valores críticos son los números que definen las fronteras de la región de rechazo. ¿Cómo establecer los valores críticos? Va a depender del: 1 1. nivel nivel de sign signif ific icac ació ión, n, α. 2 2. tipo tipo de distribuci distribución ón de probabilid probabilidad ad del estadísti estadístico co de contraste contraste 3 3. tipo de hipótesis hipótesis alter alternativa nativa que que se esté esté contrastan contrastando do (bilateral (bilateral o unilateral unilateral)) Los valores críticos pertenecen a la región de rechazo. En la Figura 3 de forma ilustrativa se pueden apreciar las regiones de aceptación y rechazo, como también los valores críticos para las diferentes hipótesis alternativas.
Nota 3:
Los términos aceptar (no rechazar) y rechazar son comúnmente usados para las posibles decisiones sobre la hipótesis nula en los resúmenes formales de los resultados de un contr contras aste te parti particu cula lar. r. Si Sinn embar embargo, go, esto estoss térm términ inos os no refl reflej ejan an adec adecuad uadam ament entee las las consecuencias de un procedimiento en el que se fija el nivel de significación y no se controla la probabilidad de un error de Tipo II. Como ya se ha señalado, la hipótesis nula tiene estatus de hipótesis mantenida, una hipótesis que se considera cierta salvo que los datos contengan suficiente suficiente evidencia evidencia en contra. Además, al fijar el nivel de significación,
generalmente en alguna probabilidad pequeña, se está asegurando que el riesgo de rechazar una hipótesis nula cierta sea pequeño. Con esta estructura, una pequeña cantidad de datos no será suficiente para poderse colocar en posición de rechazar una hipótesis nula, aunque sea completamente errónea. Cuando aumenta el número de observaciones, es decir, aumenta el tamaño de la muestra, también lo
hace la capacidad de la técnica de contraste para detectar una hipótesis nula falsa. Por tanto, al “aceptar” una hipótesis nula, no se está asegurando necesariamente, que haya mucho en su favor. Una afirmación más precisa sobre la situación es “los datos disponibles no proporcionan suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula” en lugar de “se acepta la hipótesis nula”. Se seguirá usando “aceptar” como una manera eficiente de expresar esta idea, pero es importante tener en cuenta la interpretación de la frase. La situación es muy similar a la de un tribunal de justicia, donde el acusado, al principio, goza de la presunción de inocencia, y la acusac acusación ión debe presen presentar tar evidenc evidencia ia contrar contraria ia lo sufici suficient entemen emente te clara clara como como para para conseguir un veredicto de culpabilidad. En el contexto del contraste de hipótesis clásico, la hipótesis nula se considera cierta inicialmente. La tarea de persuadir de lo contrario corresponde a los datos de la muestra.5
Casos Particulares A continuación se introducirá la metodología del contraste de hipótesis clásico. Supóngase que se dispone de una muestra aleatoria de n observaciones, X 1, X 2,2, … , X n, proveniente de una población con media μ y varianza σ2. ( También la varianza se denota S2 ) 1. Contrastes para la Media Poblacional
El objetivo es contrastar una hipótesis sobre la media poblacional desconocida. Asumiendo: • Población con distribución normal • Varianza poblacional, σ2, conocida
Se comenzará con el problema problema de contrastar contrastar la hipótesis hipótesis nula de que la media poblacional es igual a cierto valor, μ0. Esta hipótesis se representa: H 0: μ = μ0
Supóngase que la hipótesis alternativa de interés es que la media poblacional supera este valor específico, es decir, H 1: μ > μ0
Es natural que el contraste sobre la media poblacional, se base en la media muestral
. En
este caso particular, el investigador desconfiará de la veracidad de una hipótesis nula, frente a esta alternativa, si la media muestral observada fuese mucho mayor que μ0. La idea es buscar la forma de un contraste con un nivel de significación α prefijado. digamos digamos represent representada ada por la v. a. X , se distribuye normalmente, X ~ N (μ, (μ, σ2). Por tal razón, la variable aleatoria ( v . a).
Cuando la hipótesis nula es cierta, μ es igual μ 0, y en consecuencia, la variable aleatoria
La variable Z de la ecuación ecuación (1) es lo que se llamará llamará Estadístico de Contraste en este caso particular. Ahora, se rechazará la hipótesis hipótesis nula si la media muestral muestral es mucho mayor que el valor μ0 postulado para la media poblacional. pob lacional. Por tanto, H 0 será rechazada si se observa un valor alto para el estadístico de contraste en la ecuación (1) Se quiere fijar en α la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es cierta. Al igual que en la parte correspondiente a intervalos de confianza, se denotará por zα el número para Z > zα) = α el cual P ( Z
que significa, que cuando la hipótesis nula es cierta, la probabilidad de que el estadístico de prueba Z sea mayor que zα es α.
Por tanto, denotando por de decisión:
a la media muestral muestral observada y si se adopta la siguiente regla
entonces la probabilidad de rechazar H 0 cuando es cierta será α, luego α es el nivel de significación del contraste basado en esta regla de decisión. Esta situación se observa en la Figura 4, la cual ilustra la distribución muestral del estadístico de contraste
en ecuación (1) cuando la hipótesis nula es cierta, mediante un
gráfico de su función de densidad. En la figura se señala el valor crítico z α, tal que la probabilidad de superarlo, cuando la hipótesis nula es cierta, es el nivel de significación del contras contraste. te. Esto Esto signif significa ica que la probab probabili ilidad dad de obt obtener ener un result resultado ado muestr muestral al en la correspondiente región de rechazo, área sombreada de la figura, debe ser α cuando la hipótesis nula es cierta
Ejemplo 5: Cuando un proceso de producción de bolas de rodamiento funciona correctamente, el peso de las bolas tiene una distribución normal con media cinco gramos y desviación estándar 0,1 gramos. Se lleva a cabo una modificación del proceso, y el director de la fábrica sospecha que esto ha incrementado el peso medio de las bolas producidas, sin modificar la desviación estándar. Se toma una muestra aleatoria de 16 bolas, y se comprueba que su peso medio es de 5,038 gramos. a. ¿Son válidas las sospechas del director de la fábrica? Use un nivel de significación del 5% b. Responda la pregunta anterior usando, ahora, un nivel de significación del 10% Solución:
a. Población: Peso (en gramos) de las bolas de rodamiento producidas en una fábrica Denotando por μ el peso medio (en gramos) de las bolas de rodamientos, se quiere contrastar H 0: μ = 5 frente a H 1: μ > 5 ¿Por qué son esas las hipótesis? La regla de decisión es:
De esta manera,
Para un contraste de nivel 5%, en las tablas estadísticas se puede hallar que Z0,05 = 1,645 Como 1,52 no es mayor que 1,645, no se puede rechazar la hipótesis hipótesis nula para un nivel de significación del 5%, es decir, se acepta la hipótesis nula con este nivel de significación. En otras palabras, si se usa un contraste que nos asegure que la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es cierta es 0,05; los datos de la muestra no contienen suficiente evidencia como para rechazar esta hipótesis. En términos del problema, se puede decir que no se han encontrado evidencias en la mues mu estr traa que que apoy apoyen en la sosp sospec echa ha del del dire direct ctor or de la fábr fábric icaa en cuan cuanto to a que que las las modificaciones en el proceso han incrementado el peso medio de las bolas de rodamiento producidas. b. Para un contraste de nivel 10%, se tiene que Z0,10 = 1,28 Como 1,52 es mayor que 1,28, se rechaza la hipótesis nula para un nivel de significación del 10%. Hasta aquí, existe una cierta cierta evidencia evidencia en los datos que sugiere que el verdadero peso medio supera los 5 gramos. ¿Qué es lo que se entiende por el rechazo de una hipótesis nula? En el ejemplo anterior, la hipótesis de que el peso medio en la población es 5 gramos fue rechazada por un contraste con nivel de significación 0,1. Desde luego, esto no significa que se haya probado que la verdadera media supera los 5 gramos. Partiendo sólo de la información muestral, nunca será posible asegurar nada sobre un parámetro poblacional. Por el contrario, se puede pensar que los datos suscitan cierta duda sobre la veracidad de la hipótesis nula. Si esta hipótesis fuese cierta, entonces el valor observado representaría una observación de una distribución normal estándar
.Al .Al cont contra rast star ar hipót hipótes esis is,, lo que real realme ment ntee se está está cues cuesti tion onan ando do es la vero verosi simi mili litu tudd (probabilidad) de observar un valor tan extremo si la hipótesis nula fuese cierta. En el ejemplo anterior, se vio que la probabilidad de observar un valor mayor que 1,28 es 0,1. Por tanto, al rechazar la hipótesis nula, se está diciendo que la hipótesis nula es falsa o que se ha observado un suceso poco verosímil (que ocurriría sólo con la probabilidad que especifica el nivel de significación). Es en este sentido en el que la información muestral despierta dudas sobre la hipótesis nula. Obsé Obsérv rves esee que que en el últi último mo ejem ejempl plo, o, la hipó hipóte tesi siss nula nula fue fue rech rechaz azad adaa al nive nivell de significación 0,10 pero no fue rechazada al menor nivel 0,05. Al rebajar el nivel de significación, se está reduciendo la probabilidad de rechazar un hipótesis nula cierta y, en consecuencia, consecuencia, se está modificando modificando la regla de decisión decisión para hacer menos verosímil verosímil que se rechace la hipótesis nula, tanto si es cierta como si no. Obviamente, cuanto menor sea el nivel de significación al cual puede rechazarse una hipótesis nula, mayor será la duda sobre su veracidad. En lugar de contrastar hipótesis con niveles de significación asignados de antemano, los investigadores suelen determinar el menor nivel de significación al cual puede rechazarse la hipótesis nula.
Valor p Es el nivel de significación más pequeño que conduce al rechazo de la hipótesis nula H 0. El valor p señala la probabilidad (suponiendo que H 0 sea cierta) de obtener un valor del estadístico de prueba, por lo menos tan extremo como el obtenido. Por tanto, de acuerdo con la regla de decisión en el problema anterior, se rechaza la hipótesis nula para cualquier nivel de significación α tal que zα sea mayor que 1,52. El valor p
p = P (Z>1.52), del contraste viene dado en este caso por p (Z>1.52), que al usar las tablas
estadísticas se encuentra que p = 0,0643. La implicación es que la hipótesis nula puede ser rechazada para todos los niveles de significación mayores que 6,43%.
Este procedimiento compara la probabilidad, llamada valor p, con el nivel de significancia α. Si el citado valor p es menor que dicho nivel, H 0 se rechaza. Si tal valor es mayor que el nivel en cuestión, H 0 se acepta. Interpretación del peso de las evidencias contra H 0 0
Si el valor p es menor que6: a. 0.10, se tiene regular evidencia de que H 0 no es verdadera. b. 0.05, se tiene fuerte evidencia de que H 0 no es verdadera. c. 0.01, se tiene muy fuerte evidencia de que H 0 no es verdadera. d. 0.001, se tiene evidencia extremadamente fuerte de que H 0 no es verdadera. Nota 4:
En los últimos años este concepto ha adquirido gran relevancia. Todos los programas valores p, y algunas calculadoras de bolsillo permiten estadísticos modernos proporcionan valores
su cómputo. En consecuencia, actualmente, los estudios aplicados suelen proporcionar valores p.
Supóngase ahora, que en lugar de una hipótesis nula simple, se quiere contrastar la hipótesis nula compuesta frente a la alternativa: H 0: μ ≤ 5 vs H 1: μ > 5 al nivel de significación α. Para la regla de decisión desarrollada en el caso de la hipótesis nula simple, se vio que si la media de la población es precisamente μ 0, entonces la probabilidad de rechazar la hipótesis nula es α. Para esta misma regla de decisión, si la verdadera verdadera media de la población es menor que μ0, parece aún menos verosímil rechazar la hipótesis nula. Por tanto, usar esta regla de decisión en el presente contexto garantiza que la probabilidad de rechazar la hipótesis nula compuesta cuando es cierta es como mucho α. Supóngase ahora, que en lugar de una hipótesis nula simple, se quiere contrastar la hipótesis nula compuesta H 0: μ ≤ 5 frente a alternativa H 1: μ > 5 al nivel de significación α. Para la regla de decisión desarrollada en el caso de la hipótesis nula simple, se vio que si la media de la población es precisamente μ 0, entonces la probabilidad de rechazar la hipótesis nula es α. Para esta misma regla de decisión, si la
verdadera verdadera media de la población es menor que μ0, parece aún menos verosímil rechazar la hipótesis nula. Por tanto, usar esta regla de decisión en el presente contexto garantiza que la probabilidad de rechazar la hipótesis nula compuesta cuando es cierta es como mucho α. 6 Tomado de
Mason-Lind-Marchal. Mason-Lind-Marchal. Estadística para Administración y Economía . Pág. 322.
Procedimiento general para la prueba de hipótesis Pasos para la contratación de una hipótesis: 1 1. For Formu mula laci ción ón de de hipó hipóte tesi siss 2 2. Especifi Especificación cación de de un valor valor de probabilidad probabilidad críti crítico co o nivel nivel de significaci significación. ón. 3 3. Elecci Elección ón de un estadís estadístic ticoo de la muestr muestraa y de su distrib distribuci ución ón para para someter someter a prueba prueba las hipótesis. 4 4. Esta Estable blecim cimien iento to de una zona de rech rechazo azo para para Ho. Ho. 5 5. Cómp Cómput utos os nece necesa sari rios os.. 6 6. Decisión. Tabla 1 Parámetros Parámetros y estadísticos estadísticos de prueba mas comunes
Tabla 2 Estadísticos de prueba para algunos alguno s parámetros poblacionales
Prue Prueba ba de hipó hipóte tesi siss acer acerca ca de la medi mediaa po pobl blac acio iona nall cuan cuando do la mu mues estra tra proviene de una población distribuida normalmente y con varianza conocida. Ejemplo. Un médico traumatólogo afirma que el contenido de calcio en los huesos de mujeres que padecen osteoporosis después de aplicársele cier cierto to trat tratam amie ient nto o es mayo mayorr al valo valorr prom promed edio io obse observ rvad ado o para para la población femenina que padece está enfermedad, el cual se sabe es igua iguall a 270 270 mg/g mg/g con con una una desv desvia iaci ción ón de 120 120 mg/g mg/g.. Para Para prob probar ar su premisa el investigador determinó el contenido de calcio en los huesos de 36 individuos que fueron sometidos al tratamiento y pudo determinar que dicha muestra arroja un valor promedio de calcio igual a 310 mg/g. La
concen centra tració ción
de
cal calcio cio
es
una
variab iable que
se distri strib buye
normalmente. Las hipótesis de investigación son las siguientes: Ho : El tratamiento para la osteoporosis no tiene ningún efecto H1 : El tratamiento para la osteoporosis aumenta los niveles de calcio en los huesos. Prueba de las hipótesis estadísticas a. Formulación de hipótesis. Ho : μ = 270 frente a H1 : μ > 270 b. Espe Especi cifi fica caci ción ón de un valo valorr de prob probab abil ilid idad ad crít crític ico o o nive nivell de significación. α = 0.05 c. Elección de un estadístico de la muestra y de su distribución para someter a prueba las hipótesis. Puesto que el parámetro involucrado en la docimasia es la media poblacional μ, y la variable se distribuye normalmente con varianza conocida lo más conveniente es usar como estadístico de prueba la media muestral en su forma derivada Z.
d. Establecer una zona de aceptación para Ho. Como H1: μ > μo se trata de una prueba de una cola hacia la derecha, siendo la zona de
aceptación la siguiente: ZA = {Z / Z < z
}
(1−α)
e. Cómputos (cálculos) necesarios:
f. Decisión: Como z = 2 > z (0.95) (0.95) = 1.65 el valor del estadístico de prueba se encuentra encuentra dentro de la zona de rechazo. Por lo tanto se concluye que los datos proporcionan suficiente evidencia para rechazar Ho. La información obtenida de la muestra permite afirmar que se tiene un 95% de confianza que el tratamiento aplicado a los pacientes enfermos de osteoporosis aumenta el nivel de calcio en los tejidos óseos.
La información obtenida de la muestra permite afirmar que se tiene un 95% de confianza que el tratamiento aplicado a los pacientes enfermos de osteoporosis aumenta el nivel de calcio en los tejidos óseos.
Prue Prueba ba de hipó hipóte tesi siss acer acerca ca de la medi mediaa po pobl blac acio iona nall cuan cuando do la mu mues estra tra proviene de una población distribuida normalmente, con varianza desconocida y tamaño de muestra grande (n > 30). Ejemplo. Un entomólogo sospecha que en cierta zona endémica para el dengue el valor de la tasa neta reproductiva (R o) de una población del mosquito Aedes Aedes aegypti aegypti vector de dicha enfermedad, enfermedad, ha cambiado cambiado en relación con el valor determinado hace 5 años el cual era igual a 205 individuos. Con tal propósito determinó el valor de R o a 40 hembras criadas en el laboratorio y pertenecientes a una cepa desarrollada a partir partir de mosquito mosquitos s captura capturados dos en la zona zona estudiad estudiada. a. Los resultad resultados os fueron los siguientes:
El investigador sabe que la variable v ariable se distribuye normalmente y quiere someter a prueba su hipótesis no queriendo equivocarse en más del 5% de las veces. Las hipótesis de investigación son las siguientes: Ho : La tasa neta de reproducción no ha cambiado H1 : La tasa neta de reproducción se modificó después de cinco años. Prueba de las hipótesis estadísticas a. Formulación de hipótesis Ho : μ = 205 H1 : μ ≠ 205 (Analice porque la hipótesis alternativa es de diferencia) b. Especificación de un valor de probabilidad crítico o nivel de significación. El nivel de significación especificado es α = 0.05 c. Elección de un estadístico de la muestra y de su distribución para someter a prueba las hipótesis. Puesto que el parámetro involucrado en la docimasia es la media poblacional μ, y la variable se distribuye normalmente con varianza desconocida y el tamaño de la muestra grande lo más conveniente conveniente es usar como estadístico estadístico de prueba la media muestral muestral en su forma derivada derivada Z. El valor de la desviación desviación de la muestra muestra se usa para estimar estimar el valor de σ.
d. Establecer una zona de aceptación para Ho. Como H1: μ ≠ μo se trata de una prueba de dos colas, siendo la zona de aceptación la siguiente: ZR = {Z / -z(1−α/2) < Z < z
e. Cómputos necesarios. e.1) Media: 202.9
}
(1−α/2)
e.2) Desviación estándar: s = 36.17 e.3) Estadístico de prueba:
e.4) Zona de aceptación: ZA = {Z / -z(1−α/2) < Z < z
} = {Z / -z (0.975) < Z < z Z < + 1.96}
(1−α/2)
} = {Z / -1.96 <
(0.975)
f. Decisión: Como z = -0.35, el valor del estadístico de prueba se encuentra dentro de la zona de aceptación de Ho. Por lo tanto se concluye que los datos no proporcionan suficiente evidencia para rechazar Ho
La sospecha del investigador que la tasa de reproducción de la población de mosquito se había modificado fue rechazada con un 95% de confianza a la luz de la información proporcionada por la muestra.
Prueba de hipótesis acerca de la media poblacional cuando la muestra proviene de una pob poblac lación ión distri distribui buida da normalm normalment ente, e, con varian varianza za descono desconocid cidaa y tamaño tamaño de muestra pequeño (n < 30).
Ejemplo. Un ecofisiólogo vegetal desea verificar si el contenido de nitrógeno en las hojas jóvenes de la especie Rhizophora mangle, es menor en las plantas que viven en una zona ambientalmente protegida con relación al de plantas que viven en una zona que está siendo afectada por la contaminación con fertilizantes y cuyo valor promedio se cuantificó en 14.6 mg/g de nitrógeno. El análisis de 25 hojas jóvenes provenientes de la zona protegida produjo los resultados siguientes:
Si la conce concent ntra raci ción ón de nitr nitróg ógen enoo se dist distri ribu buye ye norma normalm lmen ente te,, ¿apo ¿apoya ya la evide evidenci nciaa proporcionad proporcionadaa por la muestra muestra la presunción presunción que las plantas de la zona protegida protegida contienen menos nitrógeno?. El error tipo I no debe ser mayor al 1%. Las hipótesis de investigación son las siguientes: Ho : La concentración de nitrógeno en las hojas jóvenes de Rhizophora mangle en ambas regiones es la misma H1 : La concentración de nitrógeno en las hojas jóvenes de Rhizophora mangle es menor en la región protegida. Prueba de las hipótesis estadísticas a. Formulación de hipótesis Ho : μ = 14.6 H1 : μ < 14.6 b. Especificación de un valor de probabilidad crítico o nivel de significación. El nivel de significación especificado es α = 0.01 c. Elección de un estadístico de la muestra y de su distribución para someter a prueba las hipótesis.
Puesto que el parámetro involucrado en la docimasia es la media poblacional μ, y la variable se distribuye normalmente con varianza desconocida y el tamaño de la muestra es pequeño lo más conveniente es usar como estadístico de prueba la media muestral en su forma derivada derivada T. El valor de la desviació desviaciónn de la muestra se usa para estimar estimar el valor de σ. 1 d. Establecer una zona de aceptación para Ho. Como H1: μ < μo se trata de una prueba de una cola hacia la izquierda, siendo la zona de aceptación la siguiente:
ZA = {T / T > - t ( 1−α; n-1) } e. Cómputos necesarios. e.1) Media: x= 10.48 e.2) Desviación estándar: s = 2.41 e.3) Estadístico de prueba:
e.4) Zona de aceptación: ZA = {T / T > -t (1−α; n-1) } = {T / T > -t (0.99; 24)} = {T / T > -2.492} 1 f. Decisión: Como t = - 8.55 < -t (0.99; 24) = -2.492 el valor del estadístico de prueba se encuentra dentro de la zona de rechazo de Ho. Por lo tanto se concluye que los datos proporcionan suficiente evidencia para rechazar Ho De acuerdo a la información obtenida de la muestra se puede afirmar con un 99% de conf confia ianz nzaa que que la conc concen entr trac ació iónn de nitr nitróg ógen enoo en las las hoja hojass jóve jóvene ness de Rhizophora mangle en ambas regiones es la misma.
Regresión y Correlación Lineal Simple Si sabemos que existe una relación entre una variable denominada dependiente y otras denominadas independientes (como por ejemplo las existentes entre: la experiencia profesional de los trabajadores y sus respectivos sueldos, las estaturas y pesos de personas, la producción la producción agraria y la cantidad de fertilizantes utilizados, etc.), puede darse el problema de que la dependiente asuma múltiples valores para una combinación de valores de las independientes. La dependencia a la que hacemos referencia es relacional matemática y no necesariamente de causalidad. Así, para un mismo número de unidades producidas, pueden existir niveles de costo costo,, que varían empresa a empresa. Si se da ese tipo de relaciones, se suele recurrir a los estudios de regresión en los cuales se obtiene una nueva relación pero de un tipo especial denominado función función,, en la cual la variable independiente se asocia con un indicador de tendencia central de la variable dependiente. Cabe recordar que en términos generales, una función es un tipo de relación en la cual para cada valor de la variable independiente le corresponde uno y sólo un valor de la variable dependiente.
Regresión Lineal Simple y Correlación La Regresión y la correlación son dos técnicas estadísticas que se pueden utilizar para solucionar problemas problemas comunes. Muchos estudios se basan en la creencia de que es posible identificar y cuantificar alguna Relación Funcional entre dos o más variables variables,, donde una variable depende de la otra variable. Se puede decir que Y depende de X, en donde Y y X son dos variables cualquiera en un modelo de Regresión Simple. Simple . "Y es una función de X" Y = f(X) Como Y depende de X, Y es la variable dependiente, y X es la variable independiente.
En el Mo Mode delo lo de Re Regr gres esió iónn es mu muyy im impo port rtan ante te id iden enti tifi fica carr cu cuál ál es la va vari riab able le dependiente y cuál es la variable independiente. En el Modelo de Regresión Simple se establece que Y es una función de sólo una variable independiente, razón por la cual se le denomina también Regresión Bivariada porque sólo hay dos variables, una dependiente y otra independiente y se representa así: Y = f (X) "Y depende de X" La variable dependiente es la variable que se desea explicar, predecir. También se le llama Variable Respuesta. La variable Independiente X se le denomina Variable Explicativa y se le utiliza para Explicar Y.
Análisis Estadístico: Estadístico: Regresión Regresión Lineal Lineal Simple En el estudio de la relación funcional entre dos variables poblacionales, poblacionales, una variable X, llam ll amad adaa in inde depe pend ndie ient nte, e, ex expl plic icat ativ ivaa o de pr pred edic icci ción ón y un unaa va vari riab able le Y, ll llam amad adaa dependiente o variable respuesta, presenta la siguiente notación: Y=A+BX+E Donde: A es el valor de la ordenada donde la línea de regresión se intercepta con el eje Y. B es el coeficiente de regresión poblacional (pendiente de la línea recta) E es el error.
Suposición de la regresión Lineal 1.Los valores de la variable independiente independiente X son fijos, medidos sin error. 2.La variable Y es aleatoria
3.Para 3. Para cada valor de X, existe una distribución normal de valores de Y (subpoblaciones Y) 4.Las variancia varianciass de las subpoblaciones subpoblaciones Y son todas iguales. 5.Todas las medias de las subpoblaciones de Y están sobre la recta. 6.Los valores de Y están normalmente distribuidos distribuidos y son estadísti estadísticamente camente independientes. Estimación de la ecuación de regresión muestral Consiste en determinar los determinar los valores de "a" y "b" a partir de la muestra muestra,, es decir, encontrar los valores de a y b con los datos o bservados de la muestra. El método de estimación es el de Mínimos Cuadrados, Cuadrados, mediante el cual se obtiene:
Luego, la ecuación de regresión r egresión muestral estimada estimada es:
Interpretación Interpretaci ón de: a es el estimador de A. Es el valor estimado de la variable Y cuando la variable X = 0 b es el estimador de B , es el coeficiente de regresión. Está expresado en las mismas unidades de Y por cada unidad de X. Indica el número de unidades en que varía Y cuando se produce un cambio cambio,, en una unidad, en X (pendiente de la recta de regresión). Un valor negativo de b sería interpretado como la magnitud del decremento en Y por cada unidad de aumento en X.
Ejemplo Los datos de la siguiente tabla representan las estaturas (X, cm) y los pesos (Y, kg) de una muestra de 12 hombres adultos. Para cada estatura fijada previamente se observó el peso de una persona una persona seleccionada de entre el grupo con dicha estatura, resultando:
X 152 155 152 155 157 152 157 165 162 178 183 178 Y
50 61.5 54.5 57.5 63.5 59 61 72 66 72 84 82
Con estos datos vamos a plantear una ecuación de regresión simple que nos permita pronosticar los pesos conociendo las estaturas. Desarrollo: •
Representación matemática y gráfica de los datos: Representación Matemática I.C. para la I. C. individual estatura
pesos
Regresión Lineal
media
datos
x
y
x ^2
y ^2
xy
y est.
Residual
1
152
50
23104
2500
7600
56.43
2
155
61.5
24025
3782.3
9532.5
3
152
54.5
23104
2970.3
4
155
57.5
24025
5
157
63.5
6
152
7
L. S. L.
L. I.
L. S.
-6.43
53.07 59.79
47.30
65.56
59.03
2.47
56.09 61.97
50.05 50
68.02 68
8284
56.43
-1.93
53.07 59.79
47.30 47
65.56 65
3306.3
8912.5
59.03
-1.53
56.09 61.97
5 0.05 50
6 8.02 68
24649
4032.3
9969.5
60.77
2.73
58.05 63.48
51.85 51
69.68 69
59
23104
3481
8968
56.43
2.57
53.07 59.79
47.30
65.56
157
61
24649
3721
9577
60.77
0.23
58.05 63.48
51.85
69.68
8
165
72
27225
5184
11880
67.71
4.29
65.17 70.24
58.85
76.57 76
9
162
66
26244
4356
10692
65.11
0.89
62.65 67.56
56.27
73.94 73
10
178
72
31684
5184
12816
78.99
-6.99
74.65 83.33
69.45 69
88.52 88
11
183
84
33489
7056
15372
83.32
0.68
78.01 88.64
73.31 73
93.34 93
12
178
82
31684
6724
14596
78.99
3.01
74.65 83.33
69.45 69
88.52 88
Representación Gráfica
L. I.
•
De acuerdo al desarrollo matemático hemos obtenido los siguientes cálculos:
Lo que nos permite obtener los coeficientes a y b. Luego, b = 1223 / 1409.667 = 0.8676 a = 65.25 – (0.8676) (162.167) = -75.446 Interpretación: •
La ecuación de regresión estimada es:
Coeficiente de correlación: R= 0.9379 Coeficiente Coeficie nte de determinac determinación: ión: R²=0.8796
El valor de b = 0.8676 indica el incremento del peso en kilogramos, en promedio, por cada centímetro de aumento en la estatura de los hombres adultos. El valor de a, no tiene interpretación práctica en el ejemplo, se interpretaría como el valor obtenido, en promedio, para el peso Y, cuando la estatura es 0. Utilizando Utilizan do la ecuación de regresión para estimar o predecir valores de la variable Y: Para una talla de 180 se obtiene un peso de 80.7 kg. ¿Cuánto se espera que pese (en promedio) una persona que mide 1.60 m? Sustituyendo Sustituy endo el valor de interés en la ecuación:
Se obtiene:
Conclusión: De acuerdo a la gráfica gráfica de dispersión dispersión y la ecuación ecuación de Regresión Lineal estimada para lass va la vari riab able less es esta tatu tura ra y pe peso so mu mues estr tran an,, qu quee la lass va vari riab able less pe peso so y es esta tatu tura ra es está tánn correlacionadas. Esta relación se ha estimado en un R = 93.7, que indica una fuerte relación positiva. Además si consideramos el coeficiente de determinación R² = 87.9 podemos indicar que el 87.9% de las variaciones que ocurren en el peso se explicarían por las variaciones en la variable estatura.
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