Analisis de Variables de Estado

Teoría de Control Capitulo 2) Análisis de variables de estado

2do Parcial

Teoría de Control Moderna vs. Teoría del Control Clásico La TCC utiliza extensamente la función de transferencia. Realiza el análisis en el dominio de s y/o el dominio de la frecuencia.

LA TCM se basa en el concepto de Espacio de Estado, utiliza extensamente el análisis vectorial Matricial

Definiciones Estado: Es el conjunto más pequeño de variables (de Estado) tales que el conocimiento de esas variables en t=t0, conjuntamente con el conocimiento de la entrada para t >= t0, determinan completamente el comportamiento del sistema en cualquier tiempo t >= t0. Variables de Estado: Son las variables que constituyen el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado de un sistema dinámico. Vector de Estado: Si se requieren n variables para describir el comportamiento de un sistema dado, se puede considerar a esas n variables como elementos de un vector X. Determinando el estado del sistema dado una entrada U(t) t>=0. Espacio de Estado: Espacio n-dimensional cuyos ejes coordenados, consiste en el eje X1, X2, … Xn. Ecuaciones de Espacio de Estado: Se manejan tres tipos de variables (Entrada, Salida, Estado).

Método del Espacio de Estados Las ecuaciones empleadas son de primer orden, que operan sobre vectores de estado:

u es un vector que contiene cada una de las p entradas al sistema, y es un vector que contiene cada una de las q salidas del sistema, x es un vector que contiene cada una de las n variables de estado del sistema, es decir:

Ecuación de Estado Se estudia para sistemas dinámicos lineales invariantes en el tiempo, de múltiples entradas y múltiples salidas. Si el sistema es continuo, su modelo corresponderá a las ecuaciones Matriciales: Ecuación de Estado

A = Matriz de Estado B = Matriz de Entrada C = Matriz de Salida D = Matriz de Transmisión Transmisión Directa

Las Matrices deben ser de tamaño adecuado:

Ecuación de Salida

Diagrama de Bloques del Espacio de Estados

Representación Representació n Espacio Estado a Partir Par tir de Ecuaciones Diferenciales Método sencillo para sistemas SISO:

El sistema queda determinado si se conocen las condiciones Iniciales, así:

Así, puede escribirse la ED como:

Matricialmente:

Ejemplo 1: Sistema Eléctrico – Circuito RLC

Aplicando la Leyes de Kirchhoff:

Organizando las ecuaciones:

En forma matricial:

Se desea estudiar el comportamiento de Vr(t) Vr(t) e IL(t), sabiendo que Vr(t) = IL*R:

La representación variable estado del circuito RLC:

Los vectores son:

Prelectio 2) Sistema Mecánico

•

Obtener la ecuación de estado, la ecuación ecuaci ón de salida y la representación matricial del sistema.

Correlación entre Funciones de Transferencia y Variables de estado ¿cómo obtener la función de transferencia de un sistema con una sola entrada y una sola salida a partir de las la s ecuaciones en el espacio de estados? •

Consideremos el sistema cuya función de transferencia t ransferencia se obtiene mediante Y ( s ) U ( s )

G(S )

Este sistema se representa en el espacio espaci o de estados mediante las ecuaciones siguientes:

La transformada de Laplace de las ecuaciones anteriores se obtienen mediante

Relación entre Funciones de Transferencia  y Variables de estado •

Sistemas SISO la función de transferencia es:

G( s)

C ( sI 

1

 A)  B

 D

Donde A, B, C y D son matrices de: I es la matriz idéntica correspondiente

Ejemplo: Se tiene de un Sistema Mecánico las siguientes si guientes matrices:

0  A

1

k 

b

m

m

 B

0 1 m

C 

1

0  D

0

s G(s)

G(s)

1

1

0*

0*

0 s k  m

0

0 s

k 

b

0 * 1

m

m

m

1 s

1

1

1

b

0 * 1

m

m

0

A-1 = (1/det(A))*(Adj(A)) (1/det(A))*(Adj(A)) T Dónde: 1) det(a) es el Determinante Determinante de la matriz A 2) Adj(a) Adj(a) es la matriz adjunta adjunta de A 3) AT es la matriz transpuesta de A Matlab

G ( s)

1

s k 

0*

1 s

m

G ( s)

b

0 * 1

m

m

s

2

s

b

s

1

1 0*

1

b

k 

m

m

m k 

*

m

1 G(s)

1

1 0* s

2

s

b

k 

m

m

* m s

m

1

0 * 1

s

m

1 1

G(s) s

2

s

b

k 

m

m

1

G ( s) s

2

b

k 

m

m

s

Re sultado G(s)

1 2

s m

sb

k 

*1 0 * m s

m

*

1 m