Como representar un sistema físico en variables de estado. Sistemas continuos Entre las formas de modelar un sistema matemáticamente se encuentra la de describir al sistema mediante la representación de variables de estado. Buscar un modelo matemático es encontrar una relación matemática entre las salidas y las entradas del sistema. En particular la representación interna (representación por variables de estado) relacionarán matemáticamente las salidas con las entradas a través de las variables de estado como paso intermedio. La forma más general de representación por variable de estado de un sistema continuo está dada por dos ecuaciones: la primera que define los cambios de las variables de estado en función de estas mismas variables, las entradas y el tiempo; y la segunda que define la salida en función de las variables de estado, las entradas y el tiempo. Así tenemos:
Ecuación de estado
[Ec. 1.a]
Ecuación de salida
[Ec. 1.b]
Aquí consideramos que x, y y u son vectores (columnas) de n, p y m componentes respectivamente. Esta forma de representación es válida para los sistemas continuos no-lineales y variantes en el tiempo en forma general. Si el sistema es invariante en el tiempo, las funciones f y g dejan de depender explícitamente del tiempo:
[Ec. 2.a] [Ec. 2.b]
Si el sistema representado por las ecuaciones 1, es un sistema lineal, la dependencia de x e y, pasa a ser lineal:
[Ec. 3.a] [Ec. 3.b]
Donde A es una matriz de nxn, B es una matriz de nxm (n filas x m columnas), C es una matriz de pxn, y D una matriz de pxm, que pueden ser dependientes del tiempo. Si además de lineal, el sistema es invariante en el tiempo, las matrices A, B, C y D dejan de depender del tiempo:
[Ec. 4.a] [Ec. 4.b]
En general la dimensión de los vectores u e y puede ser cualquiera. Si en particular ambos se reducen a un escalar (p = m = 1) el sistema se denomina SISO (single-input single-output). En el caso que ambas dimensiones fuesen mayores a la unidad, el sistema se denomina MIMO (múltiple-input múltiple-output). Sistemas propios y estrictamente propios Para un sistema SISO, que sea lineal, la relación entre la entrada y la salida puede describirse mediante una ecuación diferencial ordinaria, de la siguiente forma:
[Ec.5]
Donde y(r) es la derivada temporal r-ésima de la salida y con respecto al tiempo, y u(q) es la derivada temporal q-ésima de la entrada u con respecto del tiempo. (M. Jamshidi & M. Malek-Zavarei, 2005)
Como utilizar la función SS en Matlab. Se utiliza ss (space state) para crear modelos de espacio de estado (ss objetos del modelo) con matrices reales o valores complejos o para convertir los modelos de sistemas dinámicos a la forma del modelo de espacio de estado. También puede utilizarse para crear generalizadas de espacio de estado ( genSS modelos). Creación de modelos de espacio de estado sys = ss (a , b , c , d ) crea un modelo de objetos de espacio de estado que representa el modelo de espacio de estado de tiempo continuo ˙x = A x + B u y=Cx+Du Para un modelo con Nx estados, Ny salidas y Nu entradas:
a es una Nx -by- Nx matriz real o valor complejo. b es un Nx -by- Nu real o matriz de valores complejos. c es un Ny -by- Nx matriz real o valor complejo. d es un Ny -by- Nu real o matriz de valores complejos. La conversión a espacio de estado
sys_ss = ss (sys) convierte un modelo de sistema dinámico sys de forma espacio de estado. La salida sys_ss es un modelo de espacio de estado equivalente (ss objeto de modelo).Esta operación se conoce como la realización de espacio de estado. sys_ss = ss (sys, "mínimo") produce una comprensión de espacio de estado, sin estados incontrolables o no observables. Esta toma de conciencia de espacio de estado es equivalente a sys_ss = minreal (ss (sys)). sys_ss = ss (sys, 'explícito') calcula una realización explícita (E = I) de las dinámicas modelo del sistema sys. Si sys es inadecuada, ss devuelve un error. Ejemplo: Espacio de Estado en Tiempo Discreto Modelo Crear un modelo de espacio de estado con un tiempo de muestreo de 0,25 s y las siguientes matrices de espacio de estado:
Líneas de comandos en matlab. A = B = C = D = sys
[0 1; -5 -2]; [0; 3]; [0 1]; 0; = ss (A, B, C, D, 0,25);
El último argumento establece el tiempo de muestreo. (Mathworks, 2014)
Bibliografía M. Jamshidi & M. Malek-Zavarei. (2005). Linear Control Systems. U.S.A.: ButterworthHeinemann Ltd. Mathworks. (05 de Octubre de 2014). Obtenido de Mathworks: http://www.mathworks.es/es/help/control/ref/ss.html?refresh=true
