Analisis de Tecnicas Algoritmicas

Fuerza Bruta La técnica de FUERZA BRUTA es la que se utiliza para resolver un problema siguiendo la estrategia más obvia de solución. Generalmente suele comportar más operaciones de las necesarias para resolver el problema, por lo suelen tener un coste bastante alto. el contrario, suelen ser bastante sencillos de f Por implementar. f Suelen utilizarse para problemas de tamaños pequeños. f Algunos ejemplos de algoritmos por fuerza bruta son: – El algoritmo de búsqueda lineal. – El algoritmo ordenación por el método de selección.

s f a c i m t í r o g f l A

s a c i n c é T e d

s i s i l á n A

Metodología y Tecnología Tecnología de la Programación II

5

Ejemplo Búsqueda Binaria s f Ya vimos una función en C++ para buscar a c i vector de enteros de tamaño n: m t í r int buscar(const int a[n], int x){ o g for (int for (int i=0 i=0; ; i
un número en un

if (a[ a[i i]== ==x) x) re retu tur rn i;


s i s i l á n A

} return -1; }

El algoritmo utiliza la fuerza bruta para buscar el número mirando uno por uno todos los elementos del vector, incluso si el vector estuviese ordenado. f También vimos que el coste de este algoritmo es O( O(n n). f Aunque no es la forma óptima de buscar un elemento en un vector ordenado, cuando el tamaño del vector es pequeño resulta bastante rápido. f


6

Ejemplo Ordenación Ordenación por Inserción s f La siguiente función es una implementación a c i algoritmo de ordenación por Inserción m t í r void or void orde dena naci cion on_i _ins nser erci cion on(i (int nt a[ a[], ],in int t n) n){ { o g int aux; l A

en C++ del

for(int for(i nt i= i=1;i 1;i=0;j--){ if(aux>array[j]){ array[j+1]=aux; break; } else arra array[j+ y[j+1]=a 1]=array rray[j]; [j]; } if(j==-1) array[0]=aux; }


s i s i l á n A

}


7

Ejemplo Ordenación Ordenación por Inserción s f a c i m t í r o g f l A


f

f

Este algoritmo divide el vector en dos partes, una con elementos ya ordenados y la otra con elementos todavía sin ordenar. Inicialmente la parte ordenada está vacía y la que no está ordenada contiene todos los números. El algoritmo utiliza la fuerza bruta para ir tomando uno por uno los elementos de la parte ordenada y los va insertado en la parte ordenada en el lugar que les corresponde. Resulta sencillo comprobar que este algoritmo tiene un coste O(n n2). temporal O(

s i s i l á n A Metodología y Tecnología Tecnología de la Programación II

8

Ejemplo de Ordenación Ordenación por Inserción s a c i m t í =1 r i =1 o g l A

i =1 =1

Parte ordenada

6

3

5

i =3 =3

aux

3

6

9

i

6

3

s a c i n c =1 é i =1 T e j d

j

i

6

6

i =2 =2

3

s i s i l á n i =2 =2 A

9

Parte desordenada

9

9

5

5

aux

aux

3

3

i =3 =3

i =3 =3

3

3

6

6

9

5

j

i

9

9

j

9

5

aux

3

i =3 =3

9

aux

5

aux

5

6

9

j

i

3

6

aux

5

aux

5

i

6

j

i

3

aux

i

i

6

5

5

aux

9

i =3 =3

3

9 i

5

6

j


9 i

9

Divide y Vencerás La técnica de DIVIDE Y VENCERÁS consiste básicamente en descomponer el problema inicial en varios subproblemas del mismo tipo pero más sencillos, resolver los subproblemas y combinar sus soluciones para obtener la solución del problema inicial. f A su vez, para resolver cada uno de los subproblemas puede volver a aplicarse la técnica de divide y vencerás recursivamen recurs ivamente te para descomponerlo descomponerlo en otros subprobl subproblemas emas de menor complejidad, y así hasta que los subproblemas obtenidos tengan una solución trivial.

s f a c i m t í r o g l A



10

Algoritmo Genérico Genér ico de Genérico Divide y Vencerás s a c i m t í r o g l A


s i s i l á n A

funcion divi funcion divide_v de_vence enceras( ras(n) n) si n
Donde: n es el tamaño del problema, n0 es el umbral de tamaño por debajo del cual el problema es trivial ni son los tamaños tamaños de los subproblemas subproblemas en que se descompone descompone el problema inicial. si son las soluciones soluciones de los subproblemas subproblemas de tamaño ni s es la solución del problema inicial.


11

Condiciones Necesarias para Aplicar Divide y Vencerás Vencerás s f a c i m t í r o g l A


Los problemas resolubles mediante la técnica de divide y vencerás tienen que cumplir una serie de condiciones: – Es necesario que el problema admita una formulación recursiva. – El problema inicial debe poder resolverse mediante la combinación de las soluciones de los subproblemas. – Los subp subprobl roblema emass deb deben en ser del del mismo mismo tipo tipo que el el problema inicial pero con un tamaño estrictamente menor.


12

Condiciones Deseables para Aplicar Divide y Vencerás Vencerás s f Además de las condiciones anteriores, si queremos que el a c i algoritmo sea eficiente, debemos exigir las condiciones: m t í r – El tama tamaño ño de los los subp subprobl roblemas emas deb debe e ser ser los los más más o g l parecido posible y debe decrecer en progresión A


s i s i l á n A

geométrica, es decir, debe ser n/c con c>0 una constante. – Nunca se se debe resolver resolver un un mismo subprobl subproblema ema más de una vez – Las operaciones de descomponer y de combinar deben costar poco. – Hay que evitar generar nuevas llamadas cuando el tama ta maño ño de lo loss subp subpro robl blem emas as es suf sufic icie ient ntem emen ente te pequeño. Por tanto, hay que elegir bien el umbral n0.


13

Coste del Algoritmo Divide y Venceras s f a c i m t í r o g l A

Suponiendo que la función de descomposición origina k subprob sub problem lemas as de tamaño tamaño n/c, el coste del algoritmo divide y vencerás es la suma de – El tiempo que tarda en descomponer el problema inicial t d (n)


s i s i l á n A

– El tiempo tiempo que tarda en resolver resolver los k suproblemas suproblemas en que se divide el problema original kt (n/c)

– El tiempo que tarda en combinar las soluciones de los subproblemas t c(n)

es decir t (n) = kt (n/c) + t d (n) + t c(n)


14

Coste del Algoritmo Divide y Venceras s f a c i m t í r o g l A

Si la descomposición y la combinación no son excesivamente costosas, tendrán a lo sumo un coste polinómico, es decir t (n) = kt (n/c) + O(n O(ni)

Por tanto la solución a esta ecuación recursiva dependerá de k , c e i: O(n ni). – Si k ci entonces t (n) ∈ O( O(n nlogc k ). f Así pues, la utilización de divide y vencerás no garantiza nada acerca de la eficiencia del algoritmo obtenido. Puede suceder que el coste empeore, se mantenga o mejore respecto al de un algoritmo iterativo para el mismo problema. f


s i s i l á n A


15

Ejemplos de Divide y Vencerás s f Algunos algoritmos conocidos a c i divide y vencerás son: m t í r – El algori algoritmo tmo de Karats Karatsuba uba y o g l de enteros grande. A


que utilizan la técnica de Ofman para la multip Ofman multiplica licación ción

– El algoritmo algoritmo de Strassen Strassen para el producto producto de matrices. matrices. – El algoritmo de búsqueda binaria. – El algoritmo de ordenación rápida Quicksort.


16

Ejemplo Búsqueda Binaria s f La siguiente función es una implementación en C++ de la a c i búsqueda binaria recursiva de un elemento en un vector m t í ordenado r o g int bu int busq sque ueda da_b _bin inar aria ia(i (int nt x, x,co cons nst t in int t a[ a[], ],in int t i, i,in int t j) j){ { l A

int k; if (i>j) return -1; else{ k=(i+j)/2; if (a[k]==x) return k; else if(a[k]>x) return busqueda_binaria(x,a,i,k-1); else return busqueda_binaria(x,a,k+1,j); }


s i s i l á n A

}


17

Ejemplo de Búsqueda Binaria busqueda_binaria(25, busqueda_b inaria(25,a,1,12) a,1,12) s a c i m t í r o g l A


s i s i l á n A

a

2

3

5

9

12 18 25 32 37 41 48 50 (i+j )/2=6 )/2=6

i =1 =1

j =12 =12

32>18 busqueda_binaria(25, busqueda_b inaria(25,a,7,12) a,7,12)

a

2

3

5

9

12 18 25 32 37 41 48 50 i =7 =7

(i+j )/2=9 )/2=9

j =12 =12

25<37 busqueda_binaria(25,a busqueda_bi naria(25,a,7,8) ,7,8)

a

2

3

5

9

12 18 25 32 37 41 48 50 =8 (i + j )/2 )/2=i =7 =7 j =8

25=25 Metodología y Tecnología Tecnología de la Programación II

18

Coste de la Búsqueda Binaria s f a c i m t í r o g l A

En la búsqueda binaria, el problema principal se descompone en 1 sub subpro proble blema ma de tamaño n/2. Por otro lado, el coste de la descomposición y la combinación de soluciones es constante, así que el coste total es t (n) = t (n/2) + O(1)

Resolviendo la ecuación recursiva tenemos t (n) = t ( n / 2) + O(1) = t ( n / 4) + O(1) + O(1) = L


= t (n / 2log n ) + log 2 nO(1) = t (1) + log 2 nO(1) = = 1 + log 2 nO(1) ∈ O(log n) 2

s f i s i l á n A

Por tanto, el algoritmo de busqueda binaria es más eficiente que el de búsqueda lineal.


19

Ejemplo Multiplicación de Enteros Grandes s f a c i m t í r o g l A


Todos conocemos el algoritmo para multiplicar enteros que nos enseñaron en el colegio

n2

s i s i l á f n A f

******** ****** ******** ******** ******** ******** ******** ******** ************* x

O(n n2). El coste de este algoritmo es O( ¿Se pueden multiplicar dos enteros con un conste menor?


20

Multiplicación de Enteros Grandes mediante Divide y Vencerás s f a c i m t í r o g l A


f

Supongamos que queremos multiplicar dos enteros x e y de tamaño n expresados en una base i. n dígitos x

a

b

x=ain/2+b

y

c

d

y=cin/2+d

n/2

n/2

Se comprueba fácilmente que xy = ac in + (ad (ad +bc bc)) in/2 + bd

s i s i l á n f A

y de esta forma, se puede calcular xy mediante 4 productos entre enteros de tamaño n/2. El coste que se obtiene es t (n) = 4t 4t (n/2) + O(n O(n)


21

Calculo del Coste de la Multiplicación de Enteros Grandes s f a c i m t í r o g l A

Resolviend Resol viendo o la ecuac ecuación ión mediante mediante deplegado tenemo tenemoss


t (n) = n

t (n/2)

t (n/2)

t (n/2)

t (n/2)

= n/2

= n/2

= n/2

= n/2

s i s i l á t (n/4) /4)t /4)t /4)t /4)t /4)t /4)t /4)t /4)t /4)t /4)t /4)t /4)t t (n/4) t (n/4) t (n/4) t (n/4) t (n/4) t (n/4) t (n/4) t (n/4) t (n/4) t (n/4) t (n/4) t (n/4) t (n/4) t (n/4) t (n/4) n A

…

…

… …

…


… …

…

…

…

… …

…

…

…

… 22

Calculo del Coste de la Multiplicación de Enteros Grandes s f Resol Resolviend viendo o a c i Nivel m t í 0 r o g l A


s i s i l á n A

1

n/2

la ecuac ecuación ión mediante mediante deplegado tenemo tenemoss n

= 1n 1n +

n/2

n/2

n/2

= 4n 4n/2 +

2 n/4 n/4 n/4 n/4 n/4 n/4 n/4 n/4 n/4 n/4 n/4 n/4 n/4 n/4 n/4 n/4 = 16n 16n/4 … … … … + i i 4 co copi pias as de n/2 = 4in/2i i + … … … … log2n 111111111111111111111111111111111111111111111111 = 4log2nn/2log2n log 2 n

∑


i

4 n/2

i

i =0

23

Mejora del Algoritmo de Multiplicación de Enteros Grandes s f Así pues, tenemos un coste total a c i log 2 n log 2 n log 2 n log 2 n i i i i i m t ( n) = ∑ 4 n / 2 = n ∑ 4 / 2 = n ∑ ( 4 / 2) = n ∑ 2i = n 2 log2 n = n 2 ∈ O( n 2 ) t í r i =0 i =0 i =0 i =0 o g l de modo que este algoritmo, a pesar de aplicar la técnica de A s a c i n c é T e d

f

f

s i s i l f á n A

divide y vencerás no es más eficiente que el anterior. ¿Se puede construir un algoritmo mediante divide y vencerás más eficiente que el anterior? Karatsuba Karats uba y Ofman Ofman desarro desarrollaro llaron n un algori algoritmo tmo más más efici eficiente ente a partir de la misma descomposición anterior pero basándose en la propiedad xy = ac in + ((a-b ((a-b)( )(d-c d-c)+ )+ac+bd ac+bd ) in/2 + bd

De este modo, sólo se realizan 3 productos de enteros de tamaño n/2. coste de este este algorimo algorimo es t (n) = 3t f El coste 3t (n/2) + O(n O(n) ∈ O( O(n n1.57) 24 Metodología y Tecnología Tecnología de la Programación II

Multiplicación de Enteros Grandes (Karat (Ka ratsub suba a y Of Ofman man) Ofman) Ofm an)) s f Suponiendo que x e y son enteros de n dígitos, el algoritmo a c i de Karats Karatsuba uba y Ofman Ofman pued puede e escribi escribirse rse así así m t í funcio func ion n pr prod oduc ucto toK& K&O( O(en ente tero rogr gran ande de x, x,en ente tero rogr gran ande de y) r o g si n=1 devolver xy l A


s i s i l á f n A

si_no (a,b)=descomponer(x) (c,d)=descomponer(y) ac=productoK&O(a,c) bd=productoK&O(b,d) bd=producto K&O(b,d) abdc=productoK&O(a-b,d-c) devo de volv lver er ac ac*i *in + (abdc+ac+bd)*i n/2 + bd fin_si fin_funcion

Para que el algoritmo sea más eficiente debe fijarse el umbral en n0=500 dígitos.


25

Algoritmos Voraces Vorace s Voraces s f a c i m t í r o g l A f


f

La técnica VORAZ consiste en resolver un problema de manera gradual tomando decisiones o realizando acciones que permiten ir construyendo progresivamente la solución del problema. Con cada decisión tomada se obtiene una solución parcial del problema y se reduce la dimensionalidad del mismo. Suele utilizarse en problemas de optimización.


26

Condiciones Necesarias para Aplicar la Técnica Técnic a Voraz Técnica s f a c i m t í r f o g l A f


f

s i s i l á n A

Debe existir un función que hay que maximizar o minimizar conocida como FUNCIÓN OBJETIVO. La función objetivo depende de varias variables que toman valores en un conjunto conocido como DOMINIO. Existe una función, conocida como FUNCIÓN SOLUCIÓN, que permite saber si unos determinados valores de las variables son o no solución del problema. La asignación de un valor a una variable se denomina DECISIÓN. Existe un conjunto de restricciones que deben satisfacer los valores de las variables de la función objetivo y existe una función para saber si las decisiones tomadas hasta el momento satisfacen o no las restricciones. Esta función se suele llamar FACTIBLE, y el conjunto de decisiones factibles tomadas hasta el momento se llama SOLUCIÓN EN CURSO.


27

Funcionamiento de la Funcionamiento Técnica Voraz s f a c i m t í r o g l A f

s a c i n c é T e d s f i s i l á n A

La técnica voraz intenta resolver el problema fijando progresivamente los valores de las variables de la función objetivo, sin violar las restricciones, hasta llegar al máximo o mínimo de función. En cada paso se determina el valor de una de las variables aún no fijada mediante una FUNCIÓN DE SELECCIÓN. En cada instante, la función de selección siempre toma la decisión factible que es localmente óptima, es decir, la que hace que la función objetivo tome el mejor valor posible hasta el momento, sin intentar averiguar si forma parte de la solución óptima global. Una de las características que diferencian a la técnica voraz de otras que estudiaremos después es que ¡nunca reconsidera una decisión tomada!


28

Algoritmo Genérico Gen érico Gené rico Voraz s f Suponiendo que el dominio de las variables de la función a c i objetivo fuese C, podemos expresar el algoritmo voraz así: m t í r funcion funci on vor voraz( az(con conju junto nto_ca _cand ndida idatos tos c) o g l s= A


s i s i l á n A

mientras(no solucion(s) mientras(no no vacio(c)) x=seleccion(c) c=c-{x} si fa fact ctib ible le(s (s {x {x}) }) ent enton once ces s s= s=s s {x} fin_mientras si so solu luci cion on(s (s) ) en ento tonc nces es de devo vole ler r s si_n si _no o de devo volv lver er fin_funcion


29

Coste Temporal del Algoritmo Voraz s f a c i m t í r o g l A


El coste de un algoritmo voraz depende de dos factores: – El número de iteraciones del bucle, que depende del tamaño de la solución construida y del tamaño del conjunto de candidatos. – El coste de las funciones seleccion y factible. La función factible suele tener un coste constante, pero la función seleccion ha de explorar el conjunto de candidatos y depende de su tamaño.


30

Ventajas e Inconvenientes de los Algoritmos Voraces Vorace s Voraces s f a c i m t í r f o g l A


s i s i l á n A

f

f

La principal ventaja de los algoritmos voraces es que suelen ser bastante eficientes. Sin embargo, puesto que siempre toman decisiones localmente óptimas y no reconsideran nunca las decisiones tomadas, no garantizan que se obtenga la solución óptima del problema, ni siquiera que se obtenga una solución, aún cuando dicha solución exista. Esto es debido a que las decisiones localmente óptimas no garantizan la obtención de la solución óptima global. Los problemas resolubles mediante la técnica voraz, deben cumplir el principio de optimalidad: “Una secuencia óptima de decisiones, toda subsecuencia ha de ser también óptima.”


31

Ejemplos de Algoritmos Voraces s f Algunos problemas conocidos que pueden a c i mediante la técnica voraz son: m t í r – El problema del cambio en monedas. o g l – El problema de los códigos de Huffman. A


resolverse

– El problema de los tiempos de espera mínimos. – El problema de la mochila. – El problema de los caminos mínimos en grafos.


32

El Problema del Cambio de Monedas s f a c i m t í r o g l A f


Dado un conjunto C de monedas de n tipos, se trata de encontrar el número mínimo de monedas que sumen una cantidad x. Este problema satisface el principio de optimalidad, ya que puede demostrarse que si se tiene una solución óptima S ={e ={e1,…, ,…,eek } para el problema de sumar una cantidad x, -{ei} también es la solución óptima para sumar la entonces, S -{e x--ei. cantidad x


33

El Problema del Cambio de Monedas Elementos del Algoritmo Voraz s f a c i m t í r f o g l A f


f f

Función objetivo: El número de monedas, que hay que minimizar. Dominio o conjunto de candidatos: El conjunto C formado por todas las monedas de que disponemos. ={e1,…, ,…,eek } es solución si Σi ei = x. Función solución: S ={e ={e1,…, ,…,eek } es factible si Σi ei ≤ x. Función factible: S ={e Función selección: Elegir si es posible la moneda de mayor valor de C .


34

El Problema del Cambio de Monedas Algoritmo Voraz s f El siguiente algoritmo implementado en C++ utiliza la técnica a c i voraz para resolver el problema del cambio de monedas: m t í r bool cambio(int x,const int int valor[n],i valor[n],int nt solucion[n] solucion[n]){ ){ o g for (int (int i=0; i=0;i
int i= int i=0, 0, su suma ma=0 =0; ; while (suma

s i s i l á n A

}


35

El Problema del Cambio de Monedas Optimalidad El algoritmo anterior no siempre proporciona la solución óptima. Ejemplo. Si tenemos 5 monedas de valores valor[5]={50,25,20,5,1} y queremos sumar x=42, el algoritmo nos daría la solución s[5]={0,1,0,3,2}, es decir, 6 monedas, mientras que la solución óptima es s s[5]={0,0,2,0,2}, que son 4 monedas. a c i n c f Además, en caso de que C no contenga la moneda unidad, é T ni siquiera se garantiza que el problema tenga la solución. e d f Para que el algoritmo alcance la solución óptima es necesario que C esté formado por tipos de monedas que s sean potencia de un tipo básico t (por ejemplo, i s i l C ={125,25,5,1} ={125,25,5,1}). En este caso, el problema se reduce a á n A encontrar la descomposición de x en base t , que es única y mínima. Metodología y Tecnología Tecnología de la Programación II 36 s f a c i m t í r f o g l A

El Problema del Cambio de Monedas Coste Temporal s f a c i m t í r o g l f A


Para que la función de selección de la función cambio funcione adecuadamente, el vector de valores de las monedas debe estar ordenado en orden decreciente. O(max(n nlog n, m)) donde n El coste de este algoritmo es de O(max( es el número de tipos de monedas de C , y m es el número de iteraciones que realiza el bucle.


37

El Problema de la Mochila s f a c i m t í r f o g l A


s i s i l á n A

,…,o on, cada uno Se dispone de una colección de n objetos o1,…, de ellos con un peso pi y un valor vi asociados. Por otro lado se tiene una mochila capaz de soportar un peso máximo pmax. f El problema consiste en maximizar el valor de los objetos que se introduzcan en la mochila sin sobrepasar p pmax. f Dependiendo de si los objetos se pueden fraccionar o no, existen dos variantes del problema: – Mochila fraccionada: Los objetos se pueden fraccionar, es decir se puede colocar en la mochila trozos de objetos. – Mochila entera: Los objetos no se pueden fraccionar y por tanto deben ir enteros en la mochila. f Ambas versiones satisfacen el principio de optimalidad pero sólo el primero puede resolverse con la técnica voraz.


38

Problema de la Mochila Fraccionada Elementos del Algoritmo Voraz s f a c i m t í r f o g l A f


s i s i l á n A

f f f

Puesto que los objetos se pueden fraccionar, llamaremos xi al la fracción del objeto oi que colocamos en la mochila. Función objetivo: El valor de los objetos introducidos en la mochila Σi xivi , que hay que maximizar. Dominio o conjunto de candidatos: La colección de objetos C que queremos introducir en la mochila. ={ x1,…, x xk } es solución si Σi x p Función solución: S ={ i i = pmax. ={ x1,…, x xk } es factible si Σi x p Función factible: S ={ i i ≤ pmax. Función selección: Existen varias estrategias posibles – Seleccionar los objetos en orden decreciente de valor. – Seleccionar los objetos en orden creciente de peso. – Seleccionar los objetos por orden decreciente de relación valor/peso. (Sólo esta conduce a la solución óptima).


39

Problema de la Mochila Fraccionada Algoritmo Voraz s f El siguiente algoritmo implementado en C++ utiliza la técnica a c i voraz para resolver el problema de la mochila fraccionada: m t í r float mochi float mochila(f la(float loat v[n] v[n],flo ,float at p[n] p[n],flo ,float at x[n] x[n],flo ,float at o pmax){ g l A stru st ruct ct ob obje jeto to{ { s a c i n c é T e d

s i s i l á n A

float coste; int in t po posi sici cion on; ; }; obje ob jeto to vp vp[n [n]; ]; for fo r (int (int i=0 i=0;i< ;i

40

Problema de la Mochila Fraccionada Algoritmo Voraz Vor az (continuac ión) Vora z (continuación) (continuació n) s a c i m t í r o g l A

while (peso<=pmax (peso<=pmax && i

s i s i l á n A

}


41

Problema de la Mochila Fraccionada Coste Temporal s f a c i m f t í r o g l A f s a c i n c é T e d

f

f

s i s i l á n A

El tamaño del problema es el número de objetos n. El primer bucle realiza n iteraciones y el coste de su cuerpo O(n n). es constante, de modo que el coste total del bucle es O( El coste de la función de ordenación decreciente de los objetos por valor/peso es el coste del algoritmo de O(n n log n)). ordenación utilizado ( en el mejor caso O( El segundo bucle realiza, a lo sumo n iteraciones, y el coste de su cuerpo es constante, de manera que el coste total del O(n bucle también es O( n). Por tanto, el coste total del algoritmo es O(n O( n) + O(n O(n log n) + O(n O(n) = O(n O(n log n).


42

Programación Dinámica s f a c i m t í r o g l A f


Con la técnica de divide y vencerás, la descomposición naturall de un problema puede natura puede originar originar subproblemas subproblemas que se solapen, de manera que al resolverlos independientemente se acabe resolviendo el mismo problema múltiples veces. La técnica de PROGRAMACIÓN DINÁMICA es similar a la de divide divide y vencerás, vencerás, sólo que los los subproblemas subproblemas obteni obtenidos dos sólo se resuelven una vez. Esto exige guardar la solución de cada subprobl subproblema ema para, si se present presenta a de nuevo, no tener tener que volver a resolverlo. ¡Se sacrifica espacio para ganar tiempo de ejecución!

f

s i s i l á n A

Es una técnica ascendente, que se inicia con la resolución de subproblemas subproblemas más pequeños, pequeños, y utiliza utiliza sus soluciones soluciones en la resolución de los subproblemas de niveles superiores.


43

Ejemplo Los Números de Fibonacci s f a c i m t í r o g l A f s a c i n c é T e d

s i s i l á n A

La sucesión de Fibonacci viene dada por la expresión si n < 2; 1 f (n) =   f (n-1) + f ( n-2) si n ≥ 2. El programa resultante utilizando divide y vencerás es: long in long int t fi fibo bona nacc cci( i(in int t n) n){ { if (n<2) return 1; else retu return rn fibo fibonacc nacci(ni(n-2)+f 2)+fibon ibonacci acci(n-1 (n-1); ); }

f

En la resolución se repiten llamadas recursivas: f (n) f (n-1) f (n-2)


f (n-3)

f (n-2) f (n-3)

f (n-4) 44

Los Números de Fibonacci con Programación Dinámica s f a c i m t í r o g l A

Resulta sencillo evitar la repetición de llamadas recursivas utilizando el siguiente esquema:


La siguiente función en C++ calcular la sucesión de Fibonacci Fibon acci hasta el térnimo térnimo n con programación dinamica:

f

s i s i l á n A f

f (n)

f (n-1)

f (n-2)

int * fi int fibo bona nacc cci( i(in int t f[ f[n] n]){ ){ f[0]=0; f[1]=1; for (int (int i=2 i=2;i< ;i
f (n-3)

f (n-4)

…

// Se su supo pone ne n> n>2 2

O(n n) frente a O(2n) del anterior. El coste de este algoritmo es O(


45

Características de la Programación Dinámica s f a c i m t í r f o g l A


s i s i l á n A

f

f

La descom descompos posici ición ón en subprob subproblem lemas as sue suele le hacers hacerse e de acuerdo al principio de optimalidad. La estructura de datos donde se van guardando las soluciones soluc iones de los subpro subproblema blemass resuel resueltos tos suele suele ser una una tabla. La mayor dificultad de esta técnica consiste en determinar el orden en que se deberá rellenar la tabla. Para resolver un subproblema, previamente deben estar almacenadas todas las soluciones necesarias. La programación dinámica supone un compromiso entre el coste espacial y el coste temporal. Si para reducir un poco el coste temporal se requiere un excesivo coste espacial, puede no ser una buena técnica.


46

Ejemplos de Programación Dinámica s f Algunos problemas conocidos que pueden a c i mediante programación dinámica son: m t í r – El cálculo de los números de Fibonacci. o g l – El cálculo de números combinatorios. A

– – – –


resolverse

El problema de la mochila entera. El problema de los caminos mínimos en grafos. La multiplicación de una secuencia de matrices. El problema del viajante.


47

El Problema de la Mochila Entera s f a c i m t í r o g l A f

s a c i n c é T e d f

s i s i l á n A

Ya vimos un algoritmo voraz para resolver el problema de la mochila fraccionaria, sin embargo, la técnica voraz no garantiza la obtención de la solución óptima cuando los objetos no se pueden fraccionar. Ejemplo. Si tenemos 3 objetos con valores v1=18, v2=20 y v3=12, y pesos p1=6, p2=4 y p3=2, y el peso máximo de la mochila es pmax=10, entonces el algoritmo voraz calcula la x1=0, x2=1, x3=1) que tiene un valor 32, mientras solución ( x que la solución óptima es ( x x1=1, x2=1, x3=0) que tiene un valor 38. Veremos cómo la programación dinámica si permite llegar a la solución óptima.


48

El Problema de la Mochila Entera s f a c i m t í r o g l A


s i s i l á n A

, pmax) al valor de la mochila en la solución Si llamamos f (n p óptima, aplicando el principio de optimalidad, se tiene 0 v 1 f (n, pmax ) =   f (n − 1, pmax ) max( f (n − 1, pmax ), f (n − 1, pmax − pn ) + vn )

si n = 1 y pmax < p1 si n = 1 y pmax ≥ p1 si n > 1 y pmax < pn si n > 1 y pmax ≥ pn

El algoritmo recursivo que implementa directamente la función anterior tiene un coste exponencial O(2n). embargo, el número total total de subproblemas subproblemas a resolver resolver no f Sin embargo, es tan grande, ya que el primer parámetro de f puede oscilar pmax+1). entre 1 y n, y el segundo entre 0 y pmax, en total n( p subprob problem lemas as que se rep repite iten! n! Podemos f Así pues, ¡hay sub utilizar una tabla para almacenar los subproblemas resueltos, ,j) se almacene el valor de f (i j) ,j). en la que en la posición (i j) f


49

El Problema de la Mochila Entera Algoritmo Programación Programación Dinámica Dinámica s f La siguiente función implementada en C++ calcula a c i de subproblemas subproblemas con programación programación dinámica: dinámica: m t í r void ta void tabl bla_ a_f( f(in int t n, n,in int t v[ v[n] n],i ,int nt p[ p[n] n],i ,int nt pm pmax ax, , o g int in t f[ f[n] n][p [pma max] x]){ ){ l A

la tabla

for (in for (int t j=0 j=0;j< ;j<=p =pmax max;j+ ;j++) +) if (jf[i-1][j-p[i]]+v[i]) f[i][j]=f[i-1][j]; else f[i][j]=f[i-1][j-p[i]]+v[i]; return;


s i s i l á n A

}


50

El Problema de la Mochila Entera Ejemplo s f a c i m t í r o g l A


s i s i l á n A

Supongamos que tenemos 5 objetos con pesos p[0]=5, p[1]=4, p[2]=2, p[3]=3, p[4]=4, y valores v[0]=20, v[1]=15, v[2]=10, v[3]=12, v[4]=14, entonces, si el peso máximo de la mochila es 10, la función anterior generaría la siguiente tabla: Peso Objeto Objeto Objeto Objeto Objeto

0 0 1 2 3 4

1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

2

3

4

0 0 10 10 10

0 0 10 12 12

0 15 15 15 15 15

5 6 7 8 9 10 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 35 35 35 35 20 25 30 30 35 35 22 25 30 32 37 42 22 25 30 32 37 42

Valor máximo de la mochila


51

El Problema de la Mochila Entera Algoritmo Programación Programación Dinámica Dinámica s f El valor máximo de la mochila será f[n,pmax]. a c i m f Por otro lado, los objetos incluidos en la mochila t í r solución óptima pueden obtenerse mediante la función o g l void ob void obje jeto tos( s(in int t n, n,in int t v[ v[n] n],i ,int nt p[ p[n] n],i ,int nt pm pmax ax, , A

en la

int f[ int f[n] n][p [pma max] x],i ,int nt so sol[ l[n] n]){ ){ for fo r (int i=n i=n-1; -1;i> i>0;i 0;i--) --) if (p[i]>pmax) sol[i]=0; else if (f[i-1][pmax-p[i]]+v[i]>f[i-1][pmax]){ sol[i]=1; pmax-=p[i]; pmax-=p[i] ; } else sol[i]=0; if (p[0]

s i s i l á n A

}


52

El Problema de la Mochila Entera Coste Temporal Cada componente de la tabla se calcula en un tiempo O(np npmax). constante, luego la construcción de la tabla es O( Por otro lado, la función que determina los objetos introducidos en la mochila a partir de la tabla, sólo tiene un bucle que recorre todos los objetos para ver si están o no dentro de la mochila. Como el cuerpo del bucle tiene un coste constante, su coste es O( O(n n). f Así pues, el coste total es O( O(np npmax) + O(n O(n) = O(np O(npmax). pmax≥n) sería un f Se observa que si pmax es muy grande ( p coste cuadrático o superior, por lo que no sería muy eficiente. f Por último, hay que notar que si los pesos no fuesen enteros, el algoritmo no valdría.

s f a c i m t í r f o g l A


s i s i l á n A


53

El Problema del Viajante s f a c i m t í r f o g l A f


Un viajante tiene que recorrer n ciudades y regresar a la ciudad de partida, sin pasar dos veces por la misma ciudad. Se supone que los caminos son unidireccionales y se conoce la distancia de cada camino. ¿Cuál es recorrido que debe seguir para que sea lo más corto posible?

%

6

3

4 2

s i s i l á n A

3

2 2

%

5 3

4 6


%0

?

% 1

5 54

El Problema del Viajante Modelizac Mode lización ión Medi Mediante ante Graf Grafos os Modeliza Modelización ción s f a c i m t í r o g l A


s i s i l á f n A

Si representamos cada ciudad mediante un nodo de un grafo y cada camino como una arista dirigida, tendremos un grafo =(V,A V,A)) donde dirigido G=( – V ={1,…,n ={1,…,n} es el conjunto de vértices (ciudades). – A es el conjunto de aristas (i j) ,j) con i j ,j ∈ V (caminos). – D(i j) , j) es la longitud de (i j) ,j) si (i j) , j) ∈ A, o ∞ si (i j) ,j) ∉ A. De\A 0 1 2 3 0 ∞ 3 ∞ 3 1 5 ∞ 4 ∞ 2 2 6 ∞ 6 3 2 5 4 ∞

Se trata de un problema de búsqueda en un grafo del ciclo Hamiltonia Hamil toniano no de longitud longitud mínima. mínima.


55

El Problema del Viajante s f a c i m t í r o g l A


f

f

Suponiendo que la ciudad de partida es la 0, si llamamos C (i,W ) a la longitud del camino mínimo de i a 0 que pasa por todos los vértices de W ⊂ V , siendo 0∉W , entonces si W = ∅  D (i,0) C (i,W ) =  ( D (i, j ) + C ( j ,W − { j})) si W ≠ ∅ min j∈W Como la ciudad de partida es la 0, la solución al problema será C (0,V (0,V -{0}) -{0}). Se cumple el principio de optimalidad.


56

El Problema del Viajante Algoritmo Recursivo Recursivo (Fuerza Bruta) Bruta) s f La siguiente función en C++ implementa la función anterior a c i de manera recursiva m t í r float floa t c(in c(int t n, n,in int t i, i,co cons nst t conj conjun unto to &w &w,f ,flo loat at **d **d){ ){ o g conj co njun unto to cw cw(w (w); ); l A

cw.eliminar(i); if (cw.vacio()) return d[i][0]; float dist,dmin=DMAX; for(i fo r(int nt j= j=0;j 0;j

s i s i l á n A


57

El Problema del Viajante Algoritmo Recursivo Recursivo (Fuerza Bruta) Bruta) s f Siendo la interfaz de la clase conjunto la siguiente a c i class clas s co conj njun unto to{ { m t í private: r o int nume numel; l; // Cardinal Cardinal del del conjunto conjunto univers universal al g l A bool elementos elementos[]; []; // Vector Vector de pertenencia pertenencia a conjunto

public: conjunto con junto(int (int n); // Inic Iniciali ializa za al conj conjunto unto vac vacio io conjunto(const conjunto( const conjunto &a); // // Constructor Constructor de copia void vo id ani aniad adir( ir(int int i); i);// // Añad Añade e el el elem element ento o i void vo id eli elimi minar nar(in (int t i) i);// ;// Eli Elimin mina a el elem element ento o i bool pertenece pertenece(int (int i); // Pertenencia Pertenencia de i int card cardinal inal(); (); // Cardin Cardinal al del conjun conjunto to bool vacio(); // Comprueba Comprueba si el conjunto conjunto está está vacio };


s i s i l á n A

f

Y DMAX una constante con un valor alto para simular ∞.


58

El Problema del Viajante Coste del Algoritmo de Fuerza Bruta s f a c i m t í r o g l A

Esta función estudia todos los posibles caminos por fuerza bruta 0 Origen 3

4 s a c i n c é T e d

s i s i l á n A

1

∞

6

2 6

3

3 2

f

2 2

2

6

5

1 ∞

4

3

∞

3 5

3 2

1ª visita

4

1 4

1 5

3

2

2ª visita

1

3ª visita

6

2 2

R e c o r r i d o

5

0

0

0

0

0

0

Destino

15

∞

∞

∞

14 Min

18

Distancia

El coste es O( O(n n!).


59

El Problema del Viajante Mejora de la eficiencia s f a c i m t í r f o g l A


s i s i l á n A

f

f

La función anterior repite llamadas para calcular C (i,W ), y por tanto es ineficiente. Utilizando la técnica de programación dinámica, podemos guardar los valores de C (i,W ) en una tabla para evitar repetir su cálculo. Para indexar la tabla en la segunda dimensión, asignaremos un código único a cada subconjunto W para identificarlo. Puesto que el número de ciudades es n, el número de posibles subconjuntos es 2n. Si representamos cada subconjunto mediante un vector 0 si i ∉ w W = [ x0 ,..., xn−1 ] con xi =  1 si i ∈ w id(W W ) = x020 + x121 +…+ +…+ x xn-12n-1 asigna un código entonces, id( único a cada subconjunto.


60

El Problema del Viajante Algoritmo Programación Programación Dinámica Dinámica s f La siguiente función en C++ calcula la distancia a c i utilizando programación dinámica m t í r float floa t dis dist_ t_mi min( n(in int t n, n,in int t i, i,co cons nst t con conju junt nto o &w &w, , o g float **d,float **c){ l A

mínima

conjunto cw(w conjunto cw(w); ); cw.e cw.elimi liminar( nar(i); i); if (cw.vacio()) return d[i][0]; if (c[i][cw.id()]>0) return c[i][cw.id()]; float dist,dmin=DMAX; for(i fo r(int nt j= j=0;j 0;j

s i s i l á n A

}


61

El Problema del Viajante Construcción de la Tabla s f a c i m t í r o g l A


s i s i l á n A

Para el ejemplo anterior, con D(i,j) De\A 0 1 2 3 0 ∞ 3 ∞ 3 1 5 ∞ 4 ∞ 2 2 6 ∞ 6 3 2 5 4 ∞

la tabla de distancias mínimas resultante C (i,W ) es i\W 0 1 2 3

0 -1 -1 -1 -1

1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

2 -1 -1 11 11 10 10

3 4 -1 -1 -1 -1 -1 6 -1 -1 -1 -1 -1 6


5 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

6 -1 -1 -1 11 11

7 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

8 9 -1 -1 -1 -1 ∞ -1 8 -1 -1 -1 -1 -1 -1

10 1 0 -1 -1 16 16 -1

11 -1 -1 -1 -1

12 -1 12 12 -1 -1

13 -1 -1 -1 -1

14 14 14 -1 -1 -1

15 -1 -1 -1 -1

62

El Problema del Viajante Coste de la Programación Dinámica s f a c i m t í r o g l A

El coste del algoritmo para completar la tabla C (i,W ) supone: =1,…,n n-1: n-1 consultas a tabla; – Cálculo de C (i,∅) para i=1,…, k = = Cardinal(W Cardinal(W ) ≤ n-2: – Cálculo de C (i,W ) para 1≤ k  n − 2 k sumas;   k

(n − 1) s a c i n c é T e d

f

s i s i l f á n A

(0,V ): n-1 sumas. – Cálculo C (0,V En total n −2 n − 2    2 n Θ 2(n − 1) + ∑ (n − 1) k   k   = Θ(n 2 ) k =1   que, aunque es exponencial, es de orden menor que O( O(n n!). El precio de esta mejora es el coste espacial de la tabla C (i,W ) que es Θ(n2n).


63

El Problema del Viajante Itinerario del Recorrido Mínimo s f El itinerario del recorrido mínimo podemos calcularlo a c i de la tabla C (i,W ) mediante la siguiente función m t í r void camino void camino_mi _min(i n(int nt n, n,con conju junto nto &w &w,fl ,float oat **d, **d, o g float flo at **c, **c,int int *ca *camin mino){ o){ l A


s i s i l á n A

float dist float dist,dm ,dmin; in; int int jmi jmin; n; for fo r (int (int i=1 i=1;i< ;i

a partir

64

El Problema del Viajante Itinerario del Recorrido Mínimo s f a c i m t í r o g l A

Para el ejemplo, la función anterior devuelve el itinerario camino[4]={0,1,2,3}, es decir 3

%

6

3


2

2 2

%

5 3

4 6

%0

%

5

1

s i s i l á n A

¡Que efectivamente es el camino de mínima longitud!


65

Vuelta Atrás (Backtrackin (Backtracking) g)) (Backtracking s f a c i m t í r o g l A


f

s i s i l f á n A

La técnica de VUELTA ATRÁS es parecida a la técnica devoradora en que resuelve un problema de manera gradual tomando decisiones o realizando acciones que permiten ir construyendo progresivamente la solución del problema. Sin embargo, a diferencia de la técnica devoradora, las decisiones tomadas pueden volverse a reconsiderar si no se llega una solución aceptable u óptima. Básicamente, esta técnica comienza a resolver el problema buscando todas las soluciones posibles, como lo hace la técnica de fuerza bruta, pero cuando detecta que una solución parcial no puede llegar a ser óptima, la rechaza y no construye más soluciones a partir de ella. Se suele aplicar también a problemas de decisión u optimización con o sin restricciones, cuando no existe un criterio óptimo de toma de decisiones locales.


66

Recordemos los Elementos de un Problema de Decisión s f a c i m t í r f o g l A f


f f

f

s i s i l á f n A

FUNCIÓN OBJETIVO, que hay que minimizar o maximizar y …, xn. depende de las variables x1, …, x DOMINIO, que contiene el conjunto de valores que pueden tomar las variables. FUNCIÓN SOLUCIÓN, que permite saber si unos determinados valores de las variables son o no solución del problema. DECISIÓN, que es la asignación de un valor a una variable. RESTRICCIONES, que son las condiciones que deben cumplir las soluciones. FUNCIÓN FACTIBLE, que permite saber si una solución cumple o no las restricciones. SOLUCIÓN EN CURSO, que es el conjunto de decisiones factibles tomadas hasta el momento.


67

Espacio de Búsqueda s f La solución del problema puede expresarse como una tupla a c i ( x x1,…, x xn) con xi∈C i, siendo C i el dominio de xi. n m t í r f Así pues, el número total de posibles soluciones es k i o i =1 g l siendo k i el número de elementos de C i. A

∏

f


El conjunto de todas las posibles soluciones se conoce como ESPACIO DE BÚSQUEDA y se representa como un árbol R x11 x21 x22 … x2k2

s i s i l á n A

x12

...

x21 x22 … x2k2

...

xn1 xn2 … xnkn


. ..

1ª decisión

x21 x22 … x2k2

2ª decisión

…

…

...

x1k 1

.. . xn1 xn2 … xnkn

nª decisión

e c o r r i d o e n p r o f u n d i d a d

68

Recorrido en Profundidad del Espacio de Búsqueda s f a c i m t í r o g f l A


f

s i s i l á n A

Las soluciones se construyen partiendo de la raíz del espacio de búsqueda y tomando decisiones realizando un recorrido en profundidad del mismo. Se dice una solución en curso es COMPLETABLE si a partir de ella se puede alcanzar la solución del problema. Mientras que la técnica de fuerza bruta recorrería todo el espacio de búsqueda, lo que supondría un coste exponencial , la técnica de vuelta atrás, cuando llega a una solución no completable, da marcha atrás y busca por otro camino del espacio de búsqueda, evitando así recorrer todo el subárbol que queda por debajo de dicha solución no completable.


69

Diferentes Versiones de Algoritmos con Vuelta Vuelta Atrás s f a c i m t í r o g l A


s i s i l á n A

Dependiendo del tipo de problema que tengamos que resolver existen diferentes formas de aplicar la vuelta atrás: – Vuelta atrás para una solución : El algoritmo recorre el espacio de búsqueda hasta que encuentra la primera solución. Es el más sencillo. – Vuelta atrás para todas las soluciones : El algoritmo recorre el espacio de búsqueda guardando todas las soluciones que encuentra hasta que ya no haya más. – Vuelta atrás para la mejor solución : El algoritmo recorre el espacio de búsqueda comparando cada solución que encuentra con la mejor solución obtenida hasta el momento, y quedándose con la mejor. Cuando ya no hay más soluciones, devuelve la mejor encontrada. Suele aplicarse a problemas de optimización.


70

Algorítmo Genérico con Vuelta Atrás para Todas Todas las Soluciones s f El siguiente algoritmo calcula todas las a c i problema con la técnica de vuelta atrás m t í r funcion funci on vue vuelta lta_at _atra ras(e s(ente ntero ro i,s i,sol ol[n] [n]) ) o g para_todo x en Ci l A

soluciones de un

sol[i]=x si comp completa letable( ble(sol, sol,i) i) ento entonces nces si so soluc lucion ion(s (sol) ol) entonc entonces es guardar(sol) fin_si si (i (i

s i s i l á n A


71

Poda del Espacio de Búsqueda s f a c i m t í r o g f l A


f

s i s i l f á n A

El algoritmo anterior no genera el espacio de búsqueda de forma explícita, sino implícitamente mediante llamadas recursivas. Cuando se llega a una solución en curso no completable, no se realizan más llamadas recursivas y por tanto no se construye el subárbol correspondiente del espacio de búsqueda. Esto se conoce como PODA del espacio de búsqueda. La poda es un mecanismo que permite descartar del recorrido ciertas zonas del espacio de búsqueda, bien porque allí no haya soluciones, bien porque ninguna de las soluciones de esas zonas es la óptima. Cuanto mayor sea el número de nodos podados, más eficiente será la búsqueda de soluciones.


72

Coste Temporal del Algoritmo de Vuelta Atrás s f a c i m t í r o g l A


s i s i l á n A

f

El coste temporal de un algoritmo que utilice la técnica de vuelta atrás, suele depender de: – El número de nodos del espacio de búsqueda que se visitan v(n). – El coste de las funciones solucion y completable en p((n). cada nodo p p(n)v(n)). En total O( p( Si se consigue que la función completable pode muchos nodos, el tamaño de v(n) se puede reducir drásticamente: – Si se reduce a un solo nodo (solución voraz) tendremos un coste O( p( p(n)n). – Por el contrario, en el peor de los casos (solución por p(n)k n). fuerza bruta), tendremos un coste O( p(


73

Ejemplos de Vuelta Atrás s f Algunos problemas conocidos que a c i mediante la técnica de vuelta atrás: m t í r – El problema de las ocho reinas. o g l – La suma de subconjuntos. A


– – – –

pueden resolverse

El problema de la mochila entera. El problema del coloreado de grafos. La búsqueda de ciclos ciclos Hamiltonianos Hamiltonianos en grafos. El recorrido de un laberinto.


74

El Problema del Coloreado de Grafos s f a c i m t í r o g l A f


f

Se dispone de un grafo G y de k colores. ¿Es posible colorear los vértices de G de manera que no haya dos vértices adyacentes con el mismo color? Otro famoso problema reducible a este es el del coloredado de mapas. ¿Puede pintarse un mapa de manera que no haya dos regiones adyacentes con el mismo color, utilizando k colores? Cada región se representa como un vértice del grafo y si dos regiones son adyacentes, sus respectivos vértices de conectan con una arista.


75

Coloreado de Grafos Espacio de Búsqueda s f a c i m t í r o g l A f s a c i n c é T e d

s i s i l á n A

Si el grafo tiene n vértices, representaremos el color de cada vértice en un vector color[ color[n n]={ ]={cc1,…, ,…,ccn} siendo, ci∈{1,…, {1,…,k k } el color del vértice i. El espacio de búsqueda asociado tiene k n posibles soluciones. Por ejemplo, para n=3 y k =3 =3 se tiene el siguiente espacio de búsqueda con 27 posibles soluciones.

1

1

1

2

2

2

3

1

2

3

3

1

2

1

3

1


2

2

3

1

2

1er vértice

3

3

3

1

2

1

3

1

2

2

3

1

2

2º vértice

3

3

1

2

3

3er vértice 76

Coloreado de Grafos Algoritmo con Vuelta Vuelta Atrás s f La siguiente función en C++ resuelve el problema del a c i coloreado de grafos con la técnica de vuelta atrás: m t í r void co void colo lore rea( a(in int t n, n,in int t k, k,bo bool ol ** **ad ady, y,in int t co colo lor[ r[], ],in int t i){ i){ o g for fo r (int (int j=0 j=0;j< ;j

s i s i l á n A

color[i]=j; if (completable(ady,color,i)) if (i==n-1) imprimir(n,color); else colorea(n,k,ady,color,i+1);

} return; } bool completable completable(bool (bool **adj,int color[],i color[],int nt i){ int j=0; for (i (int nt j=0 =0;j ;j

77

Coloreado de Grafos Ejemplo s f Aplicando a c i m t í r o g l A


la función anterior al mapa de 5 regiones

 0 1 1 1 0  1 0 1 0 1 0 1   2 Ady =  1 1 0 1 1  3 4 1 0 1 0 1  0 1 1 1 0   con 3 colores 0, 1 y 2, se obtienen seis posibles soluciones


78

Algoritmo Genérico Genérico con Vuelta Atrás para la Mejor Me jor Solución Mejor s f El siguiente algoritmo calcula la mejor a c i problema de optimización con la técnica de m t í r funcion funci on vue vuelta lta_at _atra ras(e s(ente ntero ro i,s i,sol ol[n] [n]) ) o g para_todo x en Ci hacer l A

solución de un vuelta atrás

sol[i]=x si com compl pleta etable ble(so (sol,i l,i) ) cost coste(so e(sol,i) l,i)

s i s i l á n A


79

Poda Basada en la Mejor Solución s f a c i m t í r o g f l A


f

s f i s i l á n A

Cuando estemos ante un problema de optimización, el objetivo del algoritmo es recorrer el espacio de búsqueda para encontrar la mejor solución. En este caso, además de la poda que realiza la función completable, podemos realizar otra poda basada en el coste de la mejor solución en curso. La idea es que una solución en curso se poda, cuando, a pesar de ser completable, no es posible conseguir una solución mejor que la mejor solución en curso, aún cuando se genere genere todo todo el subárb subárbol ol del espac espacio io de búqued búqueda a que cuelga de ella (coste(sol,i) mejorcoste). Como antes, esta poda es más efectiva cuantos más nodos consiga eliminar.


80

El Problema de la Mochila Entera Espacio de Búsqueda s f a c i m t í r f o g l A


El problema de la mochila entera también puede resolverse mediante la técnica de vuelta atrás. Si tenemos n objetos y representamos el contenido de la mochila con un vector sol[ sol[n n]={ x1,…, x xn} donde 0 si el objeto i no está en la mochila xi =  1 si el objeto i está en la mochila entonces el espacio de búsqueda asociado es 0 0

s i s i l á n A

1 0

1

Objeto 1 1

Objeto 2

…

... 0

1

. ..

.. . 0

1

Objeto n


81

El Problema de la Mochila Entera Poda Basada en la Mejor Solución s f a c i m t í r o g l f A


f

s i s i l á f n A

Puesto que se trata de un problema de optimización, aplicaremos también la poda basada en la mejor solución en curso. cota(sol,ii) que Para ello resulta útil disponer de una función cota(sol, calcule una cota superior del valor de la mochila en las soluciones que pueden obtenerse a partir de la solución en curso. Con esta función, cada vez que cota(sol, cota(sol,ii) < maxval, siendo maxval el máximo valor de la mochila encontrado hasta el momento (al comienzo maxval=0), podaremos el subárbol del espacio de búsqueda que cuelgue de dicha solución en curso y haremos la vuelta atrás. En nuestro caso, esta cota puede obtenerse mediante el algoritmo voraz para el problema de la mochila fraccionada.


82

El Problema de la Mochila Entera Algoritmo con Vuelta Vuelta Atrás s f La siguiente función en C++ resuelve el problema a c i mochila entera con la técnica de vuelta atrás: m t í r void lle void llenar nar(in (int t sol sol[], [],flo float at valact valact,fl ,float oat pes pesoac oact, t, o g int in t me mejo jors rsol ol[] [],f ,flo loat at &m &max axva val, l,in int t i) i){ { l A

de la

float tval,tpeso; for fo r (int j=1 j=1;j> ;j>=0 =0;j;j--){ -){ sol[i]=j; tval=valact+j*valor[i]; tpeso=pesoact-j*peso[i]; if (tpeso>=0 && maxval

s i s i l á n A

}


83

El Problema de la Mochila Entera Función Cota del Valor Máximo s f Siendo n (número de objetos) valor[] (valor de los a c i objetos) y peso[] (peso de los objetos) variables globales, y m t í siendo la función cotaval la siguiente: r o g l float floa t cota cotava val( l(fl floa oat t va val, l,fl floa oat t pe peso soma max, x,in int t i) i){ { A

for (int for (int j=i j=i;j< ;jpesomax) return val+pesomax/peso[j]*valor[j]; else {val+=valor[j]; pesomax-=peso[j];} return val;


}

Para que esta función trabaje correctamente, es necesario que los objetos estén ordenados de manera decreciente por valor/peso. f Además, no es necesario que los pesos sean enteros como ocurría con la programación dinámica. f

s i s i l á n A


84



1 0

1

0 0

1

1

1 0

Objeto 0 p=6,v=30

0

1

1 s i s i l á n A

Si hay 5 objetos de valores valor[]={30,40,60,10,20} y pesos peso[]={6,10, peso[]={6,10,20,5,15} 20,5,15}, entonces la función realiza el siguiente recorrido del espacio de búsqueda

1

0 0

1

0

1 0

1

0 0

Objeto 1 p=10,v=40

1

1 0

1

Objeto 2 p=20,v=60

0 0

1

0

Objeto 3 p=5,v=10

Objeto 4 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 p=15,v=20 maxval

80

90

100


85

Mejoras de la Vuelta Atrás Una posible mejora sería comenzar buscando una solución factible por algún procedimiento rápido, e inicializar el valor de la mejor solución con el valor de dicha solución. De esta manera, la poda basada en mejor solución comenzaría a funcionar antes. posible mejora mejora consiste consiste en guardar para cada varia variable ble f Otra posible s a xi la lista de los valores de su dominio C i : c i n – Cada vez que se asigna un valor a una variable, se c é T eliminan de todas las variables no asignadas los valores e d incompatibles con la asignación. Esto reduce el espacio de búsqueda aunque también supone un coste. s – Si a alguna variable no le quedan valores posibles, i s i l entonces no es posible la solución y se hace vuelta atrás. á n A f También está la posibilidad de considerar árboles con recorrido dinámico para los espacios de búsqueda. Metodología y Tecnología Tecnología de la Programación II 86 s f a c i m t í r o g l A

Ramificación y Poda (Bra (B ranc nch h & Boun Bound) d) s f a c i m t í r o g f l A


f

s i s i l á n A f

La técnica técnica de RAMIFICACIÓN RAMIFICACIÓN Y PODA es básicamente una mejora de la técnica de vuelta atrás que se basa en un recorrido dinámico más eficiente del espacio de búsqueda. La principal diferencia es que, mientras que la técnica de vuelta atrás realiza un recorrido ciego del espacio de búsqueda, la técnica de ramificación y poda realiza un recorrido informado. En un recorrido ciego, bien sea en profundidad o en anchura, se conoce perfectamente el siguiente nodo a visitar (siguiente hijo o hermano del nodo actual), es decir, el orden del recorrido está establecido a priori, mientras que en un recorrido informado, se busca el siguiente nodo más prometedor en base a la información de que se disponga. Se aplica fundamentalmente a problemas de optimización con restricciones, donde el espacio de búsqueda es un árbol. árbo l.


87

Nodos Prometedores Prometedores s f a c i m t í r o g l A


s i s i l á n A

f

f

Diremos que un nodo del espacio de búsqueda es PROMETEDOR, si la información que tenemos de ese nodo en el recorrido indica que expandiéndolo se puede conseguir una solución mejor que la mejor solución obtenida hasta el momento. Esta información puede provenir de la evaluación del camino ya recorrido hasta el nodo, o bien de la evaluación de los caminos quedan por recorrer desde el nodo a posibles soluciones. Para guiar la búsqueda es fundamental disponer de una función que, no sólo diga si un nodo es o no prometedor, sino que además estime lo prometedor que es.


88

Caracterización del Espacio de Caracterización Búsqueda en Ramificación y Poda s f a c i m t í r o g l A


s i s i l á f n A

El espacio de búsqueda se representa mediante un árbol en el que hay tres clases de nodos: – Nodo vivo: Es un nodo hasta el cual la solución en curso es factible, prometedora, y del que no se han generado aún todos sus hijos (no se ha completado la solución). Indican caminos abiertos de búsqueda. – Nodo muerto: Es un nodo del que no van a generarse más hijos porque, o bien ya se han generado todos sus hijos, o bien no es factible, o bien no es prometedor. Indican caminos cerrados de búsqueda. – Nodo en expansión: Es aquel del que se están generando sus hijos en un determinado instante. En un determinado instante de la búsqueda puede haber muchos nodos vivos y muertos pero sólo uno en expansión.


89

Funcionamiento de la Búsqueda en Ramificación y Poda s f a c i m t í r o g l A


s i s i l á n A

f

En la técnica de vuelta atrás, cada vez que se generaba un hijo del nodo en expansión, este pasaba inmediatamente a ser el nodo en expansión. En consecuencia, los únicos nodos vivos son los que están en el camino de la raíz al nodo en expansión. Por el contrario, en la técnica de ramificación y poda se generan todos los hijos del nodo en expansión antes de que cualquier otro nodo vivo pase a ser el nuevo nodo en expansión. Esto supone que puede haber nodos vivos en distintos caminos y tendremos que guardar la lista de nodos vivos en alguna estructura de datos (suelen ser pilas o colas).


90

Estrategias de Búsqueda s f a c i m t í r o g l A


s i s i l á n A

Existen diferentes estrategias para elegir el siguiente nodo en expansión de la lista de nodos vivos: – Más antiguo. Se elige como nodo en expansión el más antiguo de la lista. En este caso la lista se implementa como co mo una una col cola. a. Pr Prod oduc uce e un rec recor orri rido do en en anch anchur ura. a. – Menos antiguo. Se elige como nodo en expansión el menos antiguo de la lista. En este caso la lista se implementa como una pila. Produce un recorrido en profundidad. – Más prometedor . Se elige como nodo de expansión el nodo más prometedor de la lista. La lista se implementa como una cola con prioridades, donde la prioridad de un nodo es lo prometedor que es. Produce un recorrido informado y ¡es el que suele utilizar la técnica de ramificación y poda!


91

Algoritmo Genérico Genér ico con Genérico Ramificación y Poda s f El siguiente algoritmo calcula la mejor solución de un a c i problema de optimización con ramificación y poda: m t í r funcion rami funcion ramifica ficacion cion_y_p _y_poda( oda() ) o g inicializar(C); insertar(C,) l A


s i s i l á n A

mientras no_vacia(C) hacer =primero(C) =p rimero(C) para_todo x en C k hacer sol[k]=x si co compl mplet etabl able(s e(sol, ol,k) k) cost coste(so e(sol,k) l,k)) 1)>) fin_si fin_para_todo fin_mientras devolver (mejor_solucion, mcoste)


92

Algoritmo Genérico Genér ico con Genérico Ramificación y Poda s f a c i m t í r o g l A


s i s i l f á n A

En el algoritmo anterior se tiene que: – C es una cola con prioridades, es decir, sus elementos están ordenados de acuerdo a sus prioridades. – prioridad(sol prioridad(sol,k) ,k) es una función que devuelve la prioridad de un nodo vivo, que será lo prometedor que es. Esta función sirve para dirigir la búsqueda y llegar pronto a la solución óptima. – La condición completable(sol,k) sirve para realizar una poda cuando la solución no es factible, mientras que la condición coste(sol,k)

93

Ramificación y Poda Coste Temporal s f a c i m t í r o g l A


s i s i l á n A

El coste temporal de un algoritmo que utilice la técnica de ramificación y poda, depende fundamentalmente de: – El número de nodos del espacio de búsqueda que se visitan v(n). Que depende a su vez de lo buenas que sean las funciones completable y coste para hacer podas, y lo buena que sea la función prioridad para dirigir la búsqueda. – El coste de las funciones prioridad , completable y p((n). coste en cada nodo p – El coste del mantenimiento de la cola con prioridad. p(n)v(n)), donde v(n) suele ser d n con d = max |C k |. En total O( p(


94

El Problema de la Mochila Entera Mejora con Ramificación y Poda s f a c i m t í r o g l A f


Se puede mejorar la solución dada al problema de la mochila entera con la técnica de vuelta atrás, si, además de las podas que realizaba esta, se dirige la búsqueda con la función de prioridad. Tomando como función de prioridad la misma función que la que calculaba una cota superior del valor de la mochila para cada nodo del espacio de búsqueda, se expandirán primero los nodos que tengan una cota mayor, y que probablemente llevarán a una solución con un valor de la mochila mayor.


95

El Problema de la Mochila Entera Estructura de un Nodo s f a c i m t í r o g f l A

Cada nodo del espacio de búsqueda debe contener la información necesaria para generar sus hijos o para decidir si es solución o no puede serlo. Utilizaremos la siguiente estructura de datos en C++:


class nodo{ private: int num numel; el; int *sol *sol; ; int ac act tual al; ; float floa t pes; float floa t val; float floa t prio; prio; }

s i s i l á n A

// // // // // // //

Número tot Número total al de ob objet jetos os Vector Vect or solu solución ción Obje Obj eto has ast ta el que se ha han toma mad do deci cis sion ones es Peso rest restante ante de la moch mochila ila Valor Valo r de la moch mochila ila Prioridad Prior idad del nodo nodo

Los valores de pes y val podrían calcularse sin necesidad de almacenarlos pero es más eficiente pasarlos a los hijos. Esto se conoce como MARCAJE.


96

El Problema de la Mochila Entera Función de Coste y Prioridad s f La siguiente función en C++ se utiliza como función de coste a c i parar la poda y también como función de prioridad para m t í dirigir la búsqueda r o g l float cota float cotavalo valor(no r(nodo do *x){ A nod no do *si sig g; int i=x i=x->e ->eta tapa( pa(); ); s if (i>=x->numobjetos() || x->peso()==0) return x->valor(); a c else if (weight[i]>x->peso()) i n c return x->valor()+x->peso()/weight[i]*value[i]; é T else { e sig=new nodo(*x); d sig->suma_valor(value[i]); sig->resta_peso(weight[i]); s i sig->sig_etapa(); s i l return val_bound(sig); á n } A Metodología y Tecnología Tecnología de la Programación II

97

El Problema de la Mochila Entera Algoritmo con Ramificación Ramificación y Poda Poda s f La siguiente función en C++ resuelve el problema a c i mochila entera con la técnica de ramificación y poda: m t í nodo* rellenar(i nodo* rellenar(int nt n,fl n,float oat pesomax) pesomax){ { r o priority_queue,mayor_ ,mayor_pri> pri> c; g l A nodo nod o rai raiz(n z(n,pe ,pesom somax ax); ); nodo *hij *hijo,*n o,*nodoe odoexp,* xp,*solu solucion cion; ; c.push(&raiz); solucion=&raiz; s a while (!c.empty()){ (!c.emp ty()){ c i n nodoexp=c.top(); c é c.pop(); T e if (nodoexp->prioridad()>=solucion->valor()) d for (int (int j= j=1;j 1;j>=0 >=0;j;j--) -){ { hijo=new nodo(*nodoexp); s hijo->fija_objeto(j); i s i hijo->suma_valor(j*value[hijo->etapa()]); l á n hijo->resta_peso(j*weight[hijo->etapa()]); A hijo->sig_etapa(); Metodología y Tecnología Tecnología de la Programación II

de la

98

El Problema de la Mochila Entera Algoritmo con Ramificación Ramificación y Poda Poda hijo->fija_prio(cotaval(hijo)); if (hijo->peso()>=0 && solucion->valor()prioridad()) if (hijo->solucion()) solucion=hijo; else c.push(hijo);

s a c i m t í r o g l A


} delete nodoexp; } return solucion; } f

s i s i l á f n A

Siendo c una cola con prioridad implementada en la librería de plantillas estándar de C++, con el orden bool mayor_pri::op mayor_pri::operator()(nodo erator()(nodo *a,nodo *b){ return (a->prioridad()prioridad()); }

Y siendo valor[] (valor de los objetos) y peso[] (peso de los objetos) variables globales.


99


Si hay 5 objetos de valores valor[]={30,40,60,10,20} y pesos peso[]={6,10, peso[]={6,10,20,5,15} 20,5,15}, entonces la función realiza el siguiente recorrido del espacio de búsqueda c=112

1

c=112 s a c i n c=118 c é T 1 e d

1 s i s i l á n A

c=100

c=98

1

0

1

1

0 0

1

c=70

1

0

c=103

c=100

0

0

1

Objeto 1 p=10,v=40

0

c=100

1 0

c=76,67

1

c=92

0

0

c=100

0

Objeto 0 p=6,v=30

1

1 0

1

Objeto 2 p=20,v=60

0 0

1

0

Objeto 3 p=5,v=10

120 100

Objeto 4 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 p=15,v=20 maxval 100


100

El Problema del Viajante s f a c i m t í r o g l f A

Recordemos que se trata de buscar el camino más corto para visitar n ciudades y volver a la ciudad de partida sin pasar dos veces por la misma ciudad. Ya vimos una solución con programación dinámica, pero requería un coste en memoria excesivo.


%

6

3

4 2

s i s i l á n A

3

2 2

%

5 3

4 6


%0

?

%

5

1

101

El Problema del Viajante Modelizac Mode lización ión Medi Mediante ante Graf Grafos os Modeliza Modelización ción s f a c i m t í r o g l A


s i s f i l á n A

Como ya vimos vimos,, modelizaremo modelizaremoss el problema problema con un un grafo G=( =(V,A V,A)) donde – V ={1,…,n ={1,…,n} es el conjunto de vértices (ciudades). – A es el conjunto de aristas (i j) ,j) con i j ,j ∈ V (caminos). – D(i j) , j) es la longitud de (i j) ,j) si (i j) ,j) ∈ A, o ∞ si (i j) ,j) ∉ A. De\A 0 1 2 3 0 ∞ 3 ∞ 3 1 5 ∞ 4 ∞ 2 2 6 ∞ 6 3 2 5 4 ∞

Representaremos la solución con un vector sol[n sol[n] que almacenará en la posición i, la ciudad a visitar en i-esimo lugar.


102

El Problema del Viajante Espacio de Búsqueda s f a c i m t í r o g l A f


El conjunto de posibles soluciones serán todas las permutaciones de las n-1 ciudades que hay que visitar, es decir (n-1)! Si por ejemplo, tenemos 4 ciudades, el árbol del espacio de búsqueda tendrá 3!= 6 ramas, que serán 0 Origen 1

s i s i l á n A

2

3

1ª visita

2

3

1

3

1

2

2ª visita

3

2

3

1

2

1

3ª visita

0

0

0

0

0

0

Destino

R e c o r r i d o


103

Determinación de una Cota del Coste para una Solución en Curso s f a c i m t í r o g f l A


f

Para que la poda basada en la mejor solución sea efectiva, conviene utilizar un buena función que acote inferiormente el coste del camino mínimo para una solución en curso. Una cota muy sencilla podría ser la suma de los caminos ya elegidos. Parece lógico también utilizar esta cota como prioridad, ya que, en principio, los caminos más cortos recorridos hasta el momento, parecen los más prometedores y deben intentarse en primer lugar.


104

El Problema del Viajante Algoritmo con Ramificación Ramificación y Poda Poda s f La siguiente función en C++ resuelve el problema a c i viajante con al técnica de ramificación y poda: m t í r nodo* cami nodo* camino_m no_minim inimo(in o(int t n){ o g priority_queue,meno de*>,menor_pri> r_pri> c; l A


s i s i l á n A

del

nodo ra nodo raiz iz(n (n); ); raiz.sig_etapa(); c.push(&raiz); nodo nod o *hij *hijo,*n o,*nodoe odoexp,* xp,*sol; sol; sol=new nodo(n); sol->fija_distancia(DMAX); while (!c.empty()){ (!c.empty()){ nodoexp=c.top(); c.pop();


105

El Problema del Viajante Algoritmo con Ramificación Ramificación y Poda Poda s a c i m t í r o g l A


s i s i l á n A

if (nodoexp->distance()distance()) for (i (int nt j=1 j=1;j< ;jvisitado(j)){ hijo=new nodo(*nodoexp); hijo->visita(j); if (hijo->distancia()distancia()) if (hijo->solucion()){ hijo->visita(0); if (hijo->distancia()distancia()) sol=hijo; } else c.push(child); else delete hijo; } delete nodoexp; } return sol;}


106

El Problema del Viajante Algoritmo con Ramificación Ramificación y Poda Poda s f Siendo la interfaz de la clase nodo la siguiente a c i class no cla nodo do{ { m t í int nume numel; l; // Núme Número ro de ciud ciudades ades r o int *camino; // Ciudades visitadas hasta el momento g l A int actu actual; al; // Etap Etapa a actu actual al del viaj viaje e s a c i n c é T e d

s i s i l á n A

float dist; // Distancia recorrida hasta el momento public: nodo(int nod o(int n); // Cons Constru tructor ctor por defe defecto cto nodo(con nod o(const st nodo &a); // Cons Construc tructor tor de copi copia. a. void vo id vis visit ita(i a(int nt x); // Vis Vista ta la ciu ciuda dad d x void voi d sig_ sig_etap etapa(); a(); // Pasa a la sigu siguient iente e etap etapa a void vo id fij fija_ a_dis distan tancia cia(fl (floa oat t a); // Fij Fija a la dis distan tancia cia float distancia( distancia(); ); // // Devuelve Devuelve la distancia distancia recorrida bool visitado( visitado(int int x); //Comprueba //Comprueba si se se ha visitado visitado x bool solucion( solucion(); ); // Mira si ha terminado terminado el viaje viaje };


107

El Problema del Viajante Ejemplo con Ramificación y Poda s f a c i m t í r o g l A


Para nuestro ejemplo, esta función realizaría el siguiente recorrido del espacio de búsqueda: 0

3 7

2

1

3

∞

2

∞

3

1

8

3

13

3

2

3

0

15


0

7

2ª visita

1

3ª visita

0

0

Destino

14 Min

18

1 0

1ª visita 2

13

2 14

0

3

1 12

15 s i s i l á n A

Origen R e c o r r i d o

18

Distancia 108

El Problema del Viajante Mejora de la Poda s f a c i m t í r o g f l A


f

s f i s i l á n A

Se puede conseguir una poda más efectiva del espacio de búsqueda si se calcula la cota inferior del coste del camino mínimo reduciendo la matriz de adyacencia. Una matriz reducida es una matriz cuyos elementos son no negativos y además, cada fila y cada columna contiene al menos un 0. Se puede reducir una matriz restando cantidades constantes a los elementos de sus filas o columnas. En tal caso, si se resta la misma constante c a todos los elementos de una fila o columna de la matriz de adyacencia, cualquier circuito hamiltonia hamil toniano no se verá reducido reducido en dicha cantidad cantidad c. En consecuencia, se puede utilizar la suma de constantes utilizadas en la reducción de la matriz de adyacencia como cota inferior de la distancia mínima.


109

Reducción de la Matriz de Adyacencia (Ejemplo) s f a c i m t í r o g l A


f

s i s i l á f n A

Consideremos la matriz de adyacencia del ejemplo:  ∞ 3 ∞ 3   5 ∞ 4 ∞   ∞ 2 6 6    2 5 4 ∞  Para reducir la primera fila, tomamos como c el mínimo elemento de dicha fila y lo restamos a toda la fila  ∞ 3 ∞ 3   ∞ 0 ∞ 0   5 ∞ 4 ∞  5 ∞ 4 ∞   Fila 1 c=3   2 6 ∞ 6 2 6 ∞ 6  2 5 4 ∞  2 5 4 ∞     Y la cota inferior del camino mínimo es 3.


110

Reducción de la Matriz de Adyacencia (Ejemplo) s f a c i m t í r o g l A


s i s i l á n A

Continuando con la reducción queda

 ∞ 0 ∞ 0   ∞ 0 ∞ 0   ∞ 0 ∞ 0   5 ∞ 4 ∞  1 ∞ 0 ∞  1 ∞ 0 ∞   Fila 2 c=4   Fila 3 c=2   ∞ ∞ ∞ 2 6 6 2 6 6 0 4 4        2 5 4 ∞  2 5 4 ∞  2 5 4 ∞      ∞ 0 ∞ 0   ∞ 0 ∞ 0   1 ∞ 0 ∞  1 ∞ 0 ∞ ¡Matriz   Fila 4 c=2   0 4 ∞ 4  0 4 ∞ 4  Reducida!  2 5 4 ∞  0 3 2 ∞   f Y la suma total de las constantes restadas es 3+4+2+2=11, que es una cota inferior del camino mínimo. f Utilizando esta cota como la prioridad de cada nodo, la poda es mucho mayor y el algoritmo más eficiente.


111

Cálculo de la Cota Inferior para los Nodos del Espacio de Búsqueda s f a c i m t í r f o g l A


s i s i l á n A

Veamos cómo calcular la cota inferior para los nodos distintos del raíz. Supongamos que A es la matriz de adyacencia reducida para un nodo x, y sea y el nodo hijo de x que se obtiene al ,j) en el recorrido. Entonces para calcular la incluir la arista (i j) cota inferior del nodo y, hay que seguir los pasos siguientes: – Cambiar todos los elementos de la fila i y la columna j de A por ∞. – Reducir la matriz A con excepción de la fija i y columna j. A((i j) ,j) – La cota del nodo y es la suma de la cota del nodo x, A A. y las constantes restadas al reducir A


112

Cálculo de la Cota Inferior Ejemplo s f a c i m t í r o g l A


s i s i l á n A

Siguiendo con el ejemplo:  ∞ 0 ∞ 1 ∞ 0  0 4 ∞ 0 3 2  0 1 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 2

 ∞ 1  0 0 

∞  ∞  0 ∞

Cota=11+0+4

 ∞ 0  0 0 

0 

∞  Cota=11 4 ∞ 

2 ∞ ∞ ∞ ∞ 1 ∞ 0 ∞

3  ∞ ∞ ∞ ∞   1 ∞ 0 ∞    0 1 ∞ ∞  0 0 2 ∞ 

∞  ∞  0 ∞ Cota=11+∞+8

Cota=11+0+3


113

El Problema del Viajante Ejemplo con Mejora de la Poda s f a c i m t í r o g l A

Para nuestro ejemplo, con esta otra cota se realizaría el siguiente recorrido el espacio de búsqueda: 0

15

2

2 3

1

Origen

14

∞


11

14

3

3

18

1ª visita

1

2

2ª visita

2

1

3ª visita

0

0

Destino

14

3

2

3

1

R e c o r r i d o

14 s i s i l á n A

0

0


0

0

14 Min

Distancia 114

Analisis de Tecnicas Algoritmicas

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