ANÁLISIS DE TALUD POR EL MÉTODO DE LAS DOVELAS
Materia: Mecánica de Suelos II Docente: In! E"ra#n P$re% &ru'o: () *ec+a: (,-()-(.
INTE&RANTES DEL &RUPO:
(/ Nelson 0i 0ilder 1a 1ar2a3al Alanes44444!)()56.((, )/ 7os$ Martin 1+o8ue P$re%4444444!!)(55),6,6 9/ Luciana Mar#a uiroa &arc#a44444!!)()5;..(. ;/ 7uan 1arlos Alr?an Rodrio &on%ales444444444!)()5=.@(=
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ANÁLISIS DE TALUD POR EL MÉTODO DE LAS DOVELAS
1.- INTRODUCCIÓN: El vocablo francés talus llegó al castellano como talud. El término refiere a la pendiente que registra el paramento de una pared o de una superficie. La idea de paramento, por su parte, se vincula a las caras de un muro. Se conoce el nombre de talud como la diferencia que existe entre el grosor del sector inferior del muro y el grosor del sector superior, creando una pendiente. Esto permite que el muro pueda resistir la presión que ejerce la tierra detrás de él. nali!ar la estabilidad del talud es indispensable para el desarrollo de un proyecto arquitectónico o de ingenier"a civil. #n desnivel y la naturale!a de los materiales pueden amena!ar dic$a estabilidad. %ara proteger un talud, se puede emplear diversas técnicas de acuerdo al tipo de obra. El recubrimiento con piedra o concreto y la plantación de ciertas platas son algunas de las posibles medidas. &abe destacar que, para la geolog"a, un talud es un c'mulo de tro!os de roca que se forma en la cuenca de un valle o en la base de un acantilado. %or lo general muestran un aspecto cóncavo, orientado $acia arriba. El talud continental, por 'ltimo, es la estructura natural submarina que se extiende desde la llamada plataforma continental $asta una profundidad de unos (.))) metros o más. Se trata de una !ona en declive donde se acumulan sedimentos que provienen de los continentes. La pendiente del talud continental suele situarse entre los
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*+ y los +. Se $a registrado, de todas formas, taludes continentales con más de *)+ de inclinación.
2.- ANÁLISIS DE ESTABILIDAD %ara resolver un problema de estabilidad es necesario tener en cuenta las ecuaciones de campo y los v"nculos constitutivos. Las primeras tienen que ver con el equilibrio, mientras que los v"nculos describen el comportamiento del terreno. -ales ecuaciones son particularmente complejas ya que los terrenos son sistemas multifase, que se pueden convertir en sistemas monofase solo en condiciones de terreno seco, o de
análisis
en
condiciones
drenadas.
En la mayor parte de los casos nos encontramos con suelos que además de saturados, son también bifase, lo que vuelve notoriamente complicado el análisis de las ecuaciones de equilibrio. demás, es prácticamente imposible definir una ley constitutiva de valide! general, ya que los terrenos presentan un comportamiento no lineal y a'n en caso de peque/as deformaciones, son anisótropos y su comportamiento depende no solo del esfuer!o desviador, sino también del normal. %ara enfrentar estas dificultades se introducen $ipótesis que ayuden a simplificar0 1. Se usan leyes constitutivas simplificadas0 modelo r"gido perfectamente plástico. Se asume que la resistencia del suelo se expresa 'nicamente con los parámetros co$esión 2c3 y ángulo de ro!amiento 243, constantes para el terreno y caracter"sticos del estado plástico. %or tanto, se considera válido el criterio de rotura de 5o$r&oulomb. )! En algunos casos se satisfacen solo en parte las ecuaciones de equilibrio !
2.1.1.-Método del equili!io l"#ite $LEM%
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El método del equilibrio l"mite consiste en estudiar el equilibrio de un cuerpo r"gido, constituido por el talud y por una superficie de desli!amiento de cualquier forma 2l"nea recta, arco circular, espiral logar"tmica3. &on tal equilibrio se calculan las tensiones de corte 263 y se comparan con la resistencia disponible 26f3, calculada seg'n el criterio de rotura de &oulomb0 7e tal comparación deriva la primera indicación de estabilidad, con el coeficiente de seguridad0
F=τf /τ Entre los métodos del equilibrio 'ltimo $ay algunos que consideran el equilibrio global del cuerpo r"gido 2&ulman3 mientras que otros, por falta de $omogeneidad, dividen el cuerpo en rebanadas y consideran el equilibrio de cada una 28ellenius, 9is$op, :anbu, etc.3. continuación, se discuten los métodos del equilibrio 'ltimo de las rebanadas.
2.1.2.-Método de l&' !e&(&d&' La masa susceptible al desli!amiento se subdivide en un n'mero conveniente de rebanadas. Si el n'mero de rebanadas es igual a n, el problema presenta las siguientes incógnitas0
•
valores de las fuer!as normales ;i en la base de cada rebanada<
•
n valores de las fuer!as de corte en la base de la rebanada -i 3
•
2n13 fuer!as normales Ei en la conexión de las rebanadas<
•
2n13 fuer!as tangenciales =i en la conexión de las rebanadas<
•
n valores de la coordenada del punto de aplicación de las Ei<
•
2n13 valores de la coordenada del punto de aplicación de las =i<
•
una incógnita constituida por el factor de seguridad 8.
•
En total las incógnitas son 2>n(3. 5ientras las ecuaciones a disposición son0
•
ecuaciones de equilibrio de momentos n<
•
ecuaciones de equilibrio en la traslación vertical n<
•
ecuaciones de equilibrio en la traslación $ori!ontal n<
•
ecuaciones del criterio de rotura n.
•
-otal n'mero de ecuaciones ?n.
•
El problema es estáticamente indeterminado y el grado de indeterminación es igual a0
•
i=(6n-2)-4n=2n-2
El grado de indeterminación se reduce a 2n(3. l asumir que ;i se aplica en el punto medio de la franja, esto equivale a crear la $ipótesis de que las tensiones normales totales están distribuidas uniformemente. Los diferentes métodos que
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se basan en la teor"a del equilibrio l"mite se diferencian por el modo en que se eliminan las 2n(3 indeterminaciones.
2.1.).- Método de *elle(iu' $1+2,% &on este método 2válido solo para superficies de desli!amiento circulares3 se pasan por altoalto las fuer!as entre las franjas, por lo tanto las incógnitas se reducen a0 •
n valores de las fuer!as normales ;i<
•
n valores de las fuer!as de corte -i<
•
1 factor de seguridad.
@ncógnitas 2(nA13. Las ecuaciones disponibles son0 •
n ecuaciones de equilibrio traslación vertical<
•
n ecuaciones del criterio de rotura<
•
ecuación de equilibrio de momentos global.
F={Σì[ci·li+(Wi·cosαi-ui·li)·tanφi}/(Σì·sinαi) Esta ecuación es fácil de resolver pero se $a visto que da resultados conservadores 2factores de seguridad bajos3 especialmente para superficies profundas.
2.1..- Método de Bi'o/ $1+00% &on este método se toman en cuenta todas las fuer!as actuantes en los bloques. 8ue el primero en describir los problemas relacionados con los métodos convencionales. Las ecuaciones usadas para resolver el problema son0
Σ Fy=0 Σ M0=0 Criterio e rot!r" 5
F=#Σ $%&i'(i)*+i,!i'(i)-.i't"1i2'%3e&4i/*5)t"4i't"1i/F26/*Σ $+i'3i4i Los valores de 8 y de B= que satisfacen esta ecuación dan una solución rigurosa al problema. &omo primer aproximación conviene plantear B= C ) e iterar para el cálculo del factor de seguridad. Este procedimiento se conoce como método de 9is$op ordinario y los errores con respecto al método completo son de alrededor de un 1 D.
2.1.0.- Método de &(u $1+,%
:anbu extendió el método de 9is$op a superficies de desli!amiento de cualquier forma. &uando se tratan superficies de desli!amiento de cualquier forma el bra!o de las fuer!as cambia 2en el caso de las superficies circulares queda constante e igual al radio3, por este motivo es mejor valorar la ecuación del momento respecto al ángulo de cada bloque.
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F=#Σ $%&i'(i)*+i, !i'(i)-.i't"1i2'%3e&7*84i/ *5)t"4i't"1i/F26/ *Σ $+i't"4i cciones en la iésima rebanada seg'n las $ipótesis de :anbu y representación de la totalidad de la masa sumiendo B=i C ) se obtiene el método ordinario. :anbu propuso además un método para la corrección del factor de seguridad obtenido con el método ordinario seg'n lo siguiente0 Fcorretto=!·F
7onde f) depende de la geometr"a y de los parámetros geotécnicos y esto se puede encontrar en tablas y gráficos. Esta corrección es muy confiable para taludes poco inclinados.
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2.1..- Método de Bell $1+3% Las fuer!as agentes sobre el cuerpo resbaladi!o incluyen el peso efectivo del terreno, , las fuer!as s"smicas pseudo estáticas $ori!ontales y verticales FxG e FyG, las fuer!as $ori!ontales y verticales = y H aplicadas externamente al perfil del talud, en fin, el resultado de los esfuer!os totales normales y I e 6 agentes en la potencial superficie de desli!amiento. El esfuer!o total normal puede incluir un exceso de presión de los poros u que se debe especificar con la introducción de los parámetros de fuer!a efica!. %rácticamente este método se puede considerar como una extensión del método del c"rculo de ro!amiento en secciones $omogéneas anteriormente descrito por -aylor. 7e acuerdo con la ley de la resistencia de 5o$r&oulomb en términos de tensión efectiva, la fuer!a de corte agente en la base de la iésima rebanada está dada por0
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"i=[ci·#i+
($iuci·#i)·tanφi%/F
7onde0 8 C factor de seguridad< ci C co$esión efica! 2o total3 en la base de la iésima rebanada< 4i C ángulo de ro!amiento efica! 2C ) con la co$esión total3 en la base de la iésima rebanada< Li C longitud de la base de la iésima rebanada< uci C presión de los poros en el centro de la base de la iésima rebanada.
El equilibrio se da igualando a cero la suma de las fuer!as $ori!ontales, la suma de las fuer!as verticales y la suma de los momentos con respecto al origen. Se adopta la siguiente asunción en la variación de la tensión normal agente en la potencial superficie de desli!amiento0 &ci=['·(-*)·(Wi·cosαi)/#i%+'2·(ci,ci,*ci)
7onde el primer término de la ecuación incluye la expresión0
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Wi·cosαi/#i= valor del esfuer!o normal total asociado al método ordinario de las rebanadas 7onde x) y xn son, respectivamente, las abscisas del primer y del 'ltimo punto de la superficie de desli!amiento, mientras xci representa la abscisa del punto medio de la base de la iésima rebanada. #na parte sensible de reducción del peso asociada a una aceleración vertical del terreno Fy g se puede transmitir directamente a la base y esto se incluye en el factor 21 J Fy3. El esfuer!o normal total en la base de una rebanada está dado por0
$i= &ci ·#i La solución de las ecuaciones de equilibrio se consigue resolviendo un sistema lineal de tres ecuaciones, las cuales se obtienen multiplicando las ecuaciones de equilibrio por el factor de seguridad 8 , sustituyendo la expresión de ;i y multiplicando cada término de la co$esión por un coeficiente arbitrario &K. &on el fin de iniciar una solución iterativa, se puede usar cualquier par de valores del factor de seguridad dentro de una estimación f"sicamente ra!onable. El n'mero necesario de iteraciones depende tanto de la estimación inicial como de la precisión deseada para la solución< normalmente el proceso converge rápidamente.
2.1.,.- Método de S&!#& $1+,)% El método de Sarma es un simple pero esmerado método para el análisis de estabilidad de taludes que permite determinar la aceleración s"smica $ori!ontal necesaria para que la masa de terreno, delimitada por la superficie de desli!amiento y por el perfil topográfico, alcance el estado de equilibrio l"mite 2aceleración cr"tica Fc3 y, al mismo tiempo, permite obtener el factor de seguridad obtenido como con 10
los otros métodos comunes de la geotecnia. Se trata de un método basado en el principio del equilibrio l"mite y de las franjas. %or lo tanto, se considera el equilibrio de una masa potencial de terreno en desli!amiento subdividida en n franjas verticales de espesor suficientemente peque/o como para asumir que el esfuer!o normal ;i obra en el punto medio de la base de la franja. Las ecuaciones a considerar son0 •
La ecuación de equilibrio en la traslación $ori!ontal de cada rebanada<
•
La ecuación de equilibrio en la traslación vertical de cada rebanada<
•
La ecuación de equilibrio de momentos.
&ondiciones de equilibrio en la traslación $ori!ontal y vertical0 $i·cosαi+"i·sinαi=Wi-.i "i·cosαi-$i·sinαi=Wi-.0i
demás, se asume que en ausencia de fuer!as externas en la superficie libre se tiene0 Σ .0i = ! Σ . ì = !
7onde Ei y =i representan, respectivamente, las fuer!as $ori!ontales y verticales en la iésima cara de la rebanada genérica i. La ecuación de equilibrio de momentos se escribe seleccionando como punto de referencia el baricentro del c'mulo< de manera que, después de $aber efectuado una serie de posiciones y transformaciones trigonométricas y algebraicas, en el 1to3o 3e ar1a la solución del problema se obtiene resolviendo dos ecuaciones0
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cciones en la iésima rebanada, método de Sarma Σ . ì·tan(5 i αi)+Σ .0i=Σ .i-Wi Σ . ì·[(1i-7)·tan(5 i α i)+(1i-7)%=Σ W ì ·(1i-7)+Σ .i-(1i-7)
%ero el enfoque de solución, en este caso, está completamente invertido0 el problema en efecto requiere encontrar un valor de 2aceleración s"smica3 correspondiente a un determinado factor de seguridad< y en particular, encontrar el valor de la aceleración F correspondiente al factor de seguridad 8 C 1, o sea la aceleración cr"tica. Se tiene, por lo tanto0 =c F=Fs
8celeraci9n cr:tica si F=
Factor 3e se;uri3a3 en con3iciones est
La segunda parte del problema del 5étodo de Sarma es encontrar una distribución de fuer!as internas = i y Ei tal que permita verificar el equilibrio de la rebanada y el equilibrio global del maci!o, sin violar el criterio de rotura. Se $a encontrado que una solución aceptable al problema se puede obtener asumiendo la siguiente distribución de las fuer!as = i 0
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Σ. ì=·.> ì=·(> ì+->)
7onde i es una función conocida, donde se toman en cuenta los parámetros geotécnicos promedio en la iésima cara de la rebanada i, y l representa una incógnita. La solución completa del problema se obtiene por lo tanto, después de algunas iteraciones, con los valores de F c, l y 8, que permiten obtener también la distribución de las fuer!as entre las franjas.
2.1.3.- Método de S/e(4e! $1+,% El método se basa en el supuesto de que0 1. Las fuer!as de conexión a lo largo de las superficies de división de cada rebanada están orientadas paralelamente entre s" e inclinadas con respecto a la $ori!ontal de un ángulo M< (. -odos los momentos son nulos 5i C) iC1N..n 9ásicamente el método satisface todas las ecuaciones de la estática y equivale al método de ?or;enstern @rice cuando la función f2x3 C 1. @mponiendo el equilibrio de momentos respecto al centro del arco descrito por la superficie de desli!amiento se tiene0 ) Σ> ì·A·cos(α-B)=!
7onde0
> ì=!
fuer!a de interacción entre las rebanadas< A C radio del arco circular< B C ángulo de inclinación de la fuer!a i respecto a la
$ori!ontal.
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@mponiendo el equilibrio de las fuer!as $ori!ontales y verticales se obtiene respectivamente0 Σ(> ì·cosB)=! Σ(> ì·senB)=!
sumiendo las fuer!as i paralelas entre s", se puede también escribir0 2) Σ> ì=!
OCPcQ8sG2GcosRTG$GlGsecR3GtanRQ8sGsinRUQPcos2RM3GV28sAtan4Gtan2RM3WQ8sU El método propone el cálculo de dos coeficientes de seguridad0 el primero 28 sm3 se obtiene de 13, ligado al equilibrio de momentos< el segundo 28 sf 3 dalla (3 de (3 ligado al equilibrio de fuer!as. En práctica se procede resolviendo la 13 y la (3 para un intervalo dado de valores del ángulo M, considerando como valor 'nico del coeficiente de seguridad aquel para el cual se obtiene0 8smC8sf
2.1.+.- Método de Mo!5e('te!( e 6!i4e $1+0% Se establece una relación entre los componentes de las fuer!as de interconexión de tipo = C X f2x3E, donde X es un factor de escala y f2x3, es la función de la posición de E y de =, que define una relación entre las variaciones de la fuer!a = y de la fuer!a E dentro la masa desli!ante. La función f2x3 se escoge arbitrariamente 2constante, sinusoide, semisinusoide, trapecio, fraccionada3 e influye poco sobre el resultado, pero se debe verificar que los valores obtenidos de las incógnitas sean f"sicamente aceptables. La particularidad del método es que la masa se subdivide en franjas infinitesimales, a las cuales se aplican las ecuaciones de equilibrio en la traslación $ori!ontal y vertical y de rotura en la base de las franjas. Se llega a una primera ecuación diferencial que une las fuer!as de conexión incógnitas E, =, el coeficiente de
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seguridad 8s, el peso de la franja infinitésima d el resultado de las presiones neutras en la base d#. Se obtiene la llamada Cecuaci9n 3e las uer*asDE cYG2RQ8s3Atan4YGV2dQdx32d=Qdx3tanR2dEQdx3secRG2d#Qdx3WC2dEQdx3tanRGV2d=Qdx3 2dQdx3W
cciones en la iésima rebanada seg'n las $ipótesis de 5ongester y %rice y representación del conjunto #na segunda ecuación, llamada Cecuaci9n 3e los 1o1entosD , se escribe imponiendo la condición de equilibrio a la rotación respecto a la base0 =3(0)/3-·30/3
Estas dos ecuaciones se extienden por integración a toda la masa desli!ante. El método de cálculo satisface todas las ecuaciones de equilibrio y se aplica a superficies de cualquier forma, pero implica necesariamente el uso de un ordenador.
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2.1.17.- Método de 8e(5 e Li&(5 $2772% &on Heng y Liang se efectuaron una serie de análisis paramétricos en un modelo bidimensional, desarrollado seg'n los elementos finitos, que recrea el caso de pilotes en un terreno en movimiento 2drilled s$afts3. El modelo bidimensional reproduce una franja de terreno de espesor 1 y supone c$e el fenómeno se de en condiciones de deformación plana en dirección paralela al eje de los pilotes. 7ic$o modelo $a sido utili!ado para investigar la influencia que tienen en la formación del efecto arco, algunos parámetros como el intereje entre pilotes, el diámetro y la forma de los mismos y las propiedades mecánicas del suelo. En la relación entre interejes y el diámetro de los pilotes 2sQd3, los autores identifican el parámetro adimensional determinante en la formación del efecto arco. El problema resulta ser estáticamente indeterminado, con un grado de indeterminación igual a 2Zn?3, sin embargo es posible obtener una solución reduciendo el n'mero de incógnitas y asumiendo $ipótesis simplificadoras, con el fin de determinar el problema. Los supuestos que determinan el problema son0 Fy se asumen como $ori!ontales con el fin de reducir el n'mero total de incógnitas de 2n13 a 2nK3< Las fuer!as normales en la base de la banda act'an en el punto medio, reduciendo las incógnitas de n a 2>nK3< La posición de los empujes laterales está a un tercio de la altura promedio de la inter rebanada y reduce las incógnitas de 2n13 a 2*n(3< Las fuer!as 2%i13 y %i se asumen como paralelas a la inclinación de la base de la franja 2Ri3, reduciendo el n'mero de incógnitas de 2n13 a 2?n13< Se asume un 'nico l"mite elástico para todas las franjas, reduciendo las incógnitas de 2n3 a 2Kn13. El n'mero total de incógnitas se reduce por lo tanto a 2Kn3 y para calcularlas se usa el factor de transferencia de carga. demás se debe tener en cuenta que la fuer!a 16
de estabili!ación transmitida al terreno en el lado externo de los pilotes se reduce en una cantidad [, llamado factor de reducción, calculado como a continuación0
A=[/(s/3)%+{-[/(s/3)%}·AG El factor [ depende por lo tanto del cociente entre el intereje de los pilotes y el diámetro de los mismos y del factor [ p que toma en cuenta el efecto arco.
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).- EEM6LO: &alcular el factor de seguridad para un talud de () metros de alto con (\1] 2(>.*^3 de inclinación y la superficie de falla mostrada en la figura. El centro de la superficie de falla se encuentra en las siguientes coordenadas 2K*.1,**3 que concuerda con coordenadas del pie del talud 2(),()3 y un radio de KZ.1 metros El peso espec"fico del suelo es de 1. FnQmK. La resistencia al corte del suelo es asumida como &C1*F;Qm( y ngulo de 8ricción 4 C ()^
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@aso HiIi3ir el suelo en 3oIelas
La masa del desli!amiento se divide en 1) tramos , cada uno de * metros de anc$o bC*m
@aso 2 Jallar la altura Gro1e3io 3e ca3a 3oIela
La altura promedio medida gráficamente por auto &7 es $C(m
@aso K 'alcular el
El área será entonces igual a la altura $C(m por la base bC*m _rea C 1)m( @aso 4 'alcular el Geso 3e ca3a 3oIela
C1) m(` 1. FnQmK C1FnQm @aso L ?e3ir el 8n;ulo 3e inclinaci9n 3e ca3a 3oIela
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Estos ángulos se midieron gráficamente con ayuda de uto&7 7ovela 10 RC 1.(
@aso 6 'alcular la uer*a tan;ente Gara W senα Gara ca3a 3oIela
Se reali!a el cálculo para cada una de las dovelas con el finde obtener la sumatoria de la fuer!a tangente de todas las dovelas.
senRC 1`sen21.(3C *.* Sumatoria -otalC ().K1
@aso M 'alcular la Gresi9n 3e Goros en la Nase 3e la 3oIelaO
Se calcula la presión de poros en la base de cada dovela con la siguiente ecuación0
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%ara este ejemplo, la presión de poro en la base de las dovelas en cero ya que no existe nivel freático . @aso P 'alcular las uer*as resultantes Gara ca3a noIela ( coQesi9n ricci9n)
Cohesión= C*b= 15*5= 75 Fricción= (W-ub)tn(!")= (17-0)*tn 20# Fricción= 6$19 @aso R u1ar las uer*as resistentes Gara ca3a 3oIela
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@aso ! 'alcular el Factor 3e se;uri3a3 aGroi1a3o
@aso 'alcular un actor 3e se;uri3a3 aGroi1a3o
&on el 8.S. aproximado, se establece un 8.S. ligeramente superior a este para reali!ar una primera iteración, como se muestra a continuación0 Se asume un 8.S.1 de K.Z y se calcula para la dovela 10
Luego, el valor resultante se multiplica por la suma de las fuer!as resistentes0
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El
procedimiento
anterior se reali!ar por cada dovela y la sumatoria de estos resultados, para el ejercicio debe ser igual a 1.(),*?
%or 'ltimo, el valor anterior, se divide por la sumatoria de la fuer!a tangente para $allar el factor de seguridad.
8.S.( es utili!ado para una segunda iteración y los nuevos cálculos confirman que éste es el factor de Seguridad.
.- BIBLIO9RA*A 23
•
9raja, 5. 8undamentos de @ngenier"a eotécnica. &engage Learning Latin
•
merica. ())1 9is$op, .. 21**3. -$e #se of t$e Slip &ircle in t$e Stability nalysis of
•
Slopes. eotec$nique. ]ol. *. 1* Suare! 7"a!, :. 7esli!amientos y Estabilidad de -aludes en !onas tropicales. Editorial #niversidad @ndustrial de Santander. 1Z
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