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Análisis de fuerzas Según tipo de engranaje Carlos Alberto Martínez Escobar, Especialización en mantenimiento industrial, ETITC
[email protected] Agosto de 2014 Abstracto— En el presente documento se muestra de manera breve, un análisis respecto a las fuerzas que se inciden en el trabajo de los engranajes, según el tipo y geometría de los dientes característico de dichos elementos. Así mimos provee una descripción básica del método para calcular dichas fuerzas y sus diferentes componentes.
consecuencia de la aplicación de un torque durante la rotación a una velocidad específica. El torque es el producto de las fuerzas que actúan en forma tangente al círculo de paso W y el radio de paso del piñón. ILUSTRACIÓN 2 DIAGRAMA DE FUERZAS TANGENCIALES
Índice de términos— Gears, Corrective Maintenance, Machinery, Maintenance engineering, Mechanical engineering, Mechanical power transmission, Mechanical systems, Preventive maintenance.
Wt acción ØPaso del piñón
I. GENERALIDADES Antes de analizar el método para calcular las tensiones y esfuerzos que se generan en los dientes de los engranajes, es importante comprender la forma en que es transmitida la potencia. Por ejemplo, la potencia transmitida desde un motor M que gira a una velocidad n, a través del eje de entrada genera un torque que puede ser calculado mediante la siguiente expresión: 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑇𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 = 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑔𝑖𝑟𝑜 La potencia del motor es transmitida a través del eje de entrada que se encuentra acoplado al piñón del tren de engranajes. A su vez, los dientes del piñón impulsan los dientes del engranaje, y éste último lo hace al eje de salida sobre el cual se encuentra acoplado. ILUSTRACIÓN 1 ESQUEMA TRANSMISIÓN DE POTENCIA TREN DE ENGRANAJES Piñón
Eje de entrada
M
Eje de salida Engranaje
Sin embargo, al analizar detalladamente el sistema es evidente que la trasmisión de potencia realmente es
Engranaje
Piñón
Radio de paso del piñón
Wt reacción
Radio de paso del engranaje
Donde WT representa la fuerza tangencial. Es decir, la fuerza ejercida por los dientes del piñón sobre los dientes del engranaje. Pero si los engranajes están girando a una velocidad constante y transmiten un nivel de potencia uniforme, el sistema estará en equilibrio. Por tanto, debe haber una fuerza tangencial igual y opuesta que ejercen los dientes del engranaje sobre los dientes del piñón. Para completar la descripción del flujo de potencia, la fuerza tangencial en los dientes del engranaje genera un torque en el engranaje igual al producto de WT por el radio de paso del engranaje. Debido a que la fuerza WT es la misma para el piñón y en el engranaje pero el radio de paso del engranaje es mayor al del piñón, el torque en el engranaje o torque de salida es mayor que el torque de entrada. No obstante, la potencia transmitida es la misma o un poco menor debido a las pérdidas mecánicas. De la anterior definición podemos deducir que los engranajes transmiten potencia al ejercer una fuerza, mediante los dientes impulsores del piñón sobre los dientes impulsados del engranaje, por tanto la fuerza de reacción actúa de regreso sobre los dientes del piñón. Sin embargo, esta no es la fuerza total que actúa sobre el diente. Debido a la forma envolvente del diente, la fuerza total que es transferida de un diente al otro con el que embona actúa en forma normal respecto al perfil en evolvente. Esta acción se ilustra cómo W. La fuerza tangencial es en realidad el componente horizontal de la fuerza total. Para completar la descripción observe que hay una componente vertical de la fuerza total que actuar, de manera radial, sobre el diente del engranaje.
2 ILUSTRACIÓN 3 DIRECCIÓN DE LA FUERZA EJERCIDA SOBRE EL DIENTE DE UN ENGRANAJE
Componente axial: 𝑊𝐴 = 0 Para éste tipo de engranajes la componente axial es nula Por lo general, el cálculo de fuerzas se inicia con W T, dado que su magnitud se basa en la potencia y la velocidad suministrada. 𝑊𝑇 =
Según será el perfil del diente, es decir recto o helicoidal puede presentarse otra componentes de la fuerza en dirección axial, es decir en el mismo sentido del eje. En conclusión, la fuerza que normalmente actúan sobre un diente de engranaje puede descomponerse en tres componentes: Una componente tangencial (WT), que es la fuerza efectiva de transmisión. Una componente radial (WR), que tiende a separar los engranajes. Una componente axial (WA), que actúa en sentido paralelo a los ejes. Si se realiza un análisis exhaustivo de todas las cargas que se presentan en un sistema o tren de engranajes, es posible encontrar otras fuerzas diferentes a las antes mencionadas como: inercia de los componentes, peso de los elementos, rozamiento, etc. Sin embargo y salvo indicación diferente, en la práctica dichas fuerzas pueden ser despreciadas. Por tanto el presente documento se centrara únicamente en las fuerzas relacionadas con la potencia transmitida, despreciando las perdidas asociadas a ineficiencias mecánicas y otras cargas.
A. Engranajes cilíndricos de dientes rectos La fuerza es aplicada en el punto de contacto, sobre la superficie del diente. ILUSTRACIÓN 4 DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE: FUERZA QUE ACTÚA SOBRE UN ENGRANAJE DE DIENTES RECTOS.
𝑇𝑝 𝑃 = 𝑉𝑡 𝐷𝑝 2
Dónde: P = potencia del motor, Vt = Velocidad del motor. Tp = Torque sobre el piñón. Dp = Diámetro primitivo del piñón. Componente radial en función de WT: 𝑊𝑅 = 𝑊𝑇 tan 𝜃 Fuerza total sobre el diente en función de WT: 𝑊=
𝑊𝑇 cos 𝜃
B. Engranajes Helicoidales Los engranajes helicoidales se diferencian de los cilíndricos de talle recto y orientación de sus dientes y los engranajes helicoidales los dientes presentan inclinación respecto al eje en una inclinación denominada ángulo helicoidal (). La forma de los dientes de engranajes helicoidales y el método para analizarlos, es muy similar al empleado para engranajes de talle recta. La actividad básica consiste en considerar el efecto del ángulo helicoidal (). El ángulo helicoidal, es el ángulo formado entre el plano a través del eje del engranaje y la tangente a la hélice que sigue a la superficie de paso del diente. Cuando dos engranajes helicoidales funcionan juntos, uno debe tener una hélice derecha y el otro una hélice izquierda. El aspecto de la hélice derecha es similar a la de la cuerda estándar derecha de un tornillo. ILUSTRACIÓN 5. ORIENTACIÓN DE LOS DIENTES EN UN ENGRANAJE DE TALLE RECTO Y UN HELICOIDAL
Componente tangencial: 𝑊𝑇 = 𝑊 sin 𝜃 Componente radial: 𝑊𝑅 = 𝑊 cos 𝜃
Esta geometría provee a los engranajes helicoidales ciertas ventajas sobre los engranajes de talle recto. Sin embargo, también genera un empuje o carga axial por la orientación inclinada de los dientes.
3 ILUSTRACIÓN 6 ESQUEMA DE LAS COMPONENTES DE LA FUERZA QUE ACTÚA SOBRE EL DIENTE DE UN ENGRANAJE
La fuerza que actúan tangencial a la superficie de paso del engranaje se denomina carga transmitida y es la fuerza que en realidad trasmitir torque y potencia desde el piñón. Al igual en sentido perpendicular al eje que soportan al engranaje, de igual manera como lo hace en un engranaje de talle recto. Buscando el método que se emplean para su cálculo es el mismo: 𝑊𝑇 =
Componente tangencial: 𝑊𝑇 = 𝑊 cos 𝜃𝑛 cos Ψ
𝑇𝑝 𝑃 = 𝐷 𝑉𝑡 𝑝 2
Dónde: P = potencia del motor, Vt = Velocidad del motor. Tp = Torque sobre el piñón. Dp = Diámetro primitivo del piñón. Componente radial en función de WT: 𝑊𝑅 = 𝑊𝑇 tan 𝜃𝑡
Componente radial: 𝑊𝑅 = 𝑊 sin 𝜃𝑛 Componente axial: 𝑊𝐴 = 𝑊 cos 𝜃𝑛 sin Ψ Como la carga transmitida si obtiene directamente de los parámetros que se conocen el mecanismo de engranajes, conviene empezar por ahí y cálculo de las fuerzas que se ejercen sobre los dientes. ILUSTRACIÓN 7. DETALLE DE LAS FUERZAS EN EL PLANO TRANSVERSAL
Componente axial en función de WT: 𝑊𝐴 = 𝑊𝑇 tan Ψ Fuerza total sobre el diente en función de WT: 𝑊=
𝑊𝑇 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑛 cos Ψ
C. Engranaje cónico de diente recto Como su nombre indica, los dientes son de talle recto y se ubican a lo largo de los elementos de un cono. Cuando se enlazan dos engranajes cónicos, se intersectan los ejes de sus conos de paso, con los vértices de los dos conos de paso y del mismo punto. El ángulo de la superficie del cono de paso depende de la relación del número de dientes y los dos engranajes que se enlazan. Para el piñón el ángulo es: 𝛾 = tan−1
ILUSTRACIÓN 8. DETALLE DE LAS FUERZAS EN EL PLANO TRANSVERSAL
𝑁𝑝 𝑁𝐺
Para el engranaje el ángulo es: Γ = tan−1
𝑁𝐺 𝑁𝑝
Dónde: Np = número de dientes del piñón, NG = número de dientes del engranaje. ILUSTRACIÓN 9. DETALLE DE LAS FUERZAS EN EL PLANO NORMAL
Debido a la forma cónica y a la geometría envolvente los dientes, un conjunto de tres componentes actúa sobre los dientes de los engranajes cónicos: componente tangencial, radial y axial.
4 ILUSTRACIÓN 10. PIÑÓN Y ENGRANAJE QUE SE ENLAZAN (VISTA ÚNICA DE LA SUPERFICIE DE CONO DE PASO)
ILUSTRACIÓN 11. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE PIÑÓN
D. Sinfín corona El sistema de fuerzas que actúan sobre el conjunto de tornillo sin fin y corona por lo regular se considera que está compuesto por tres componentes perpendiculares, al igual que en los engranajes helicoidales y cónicos. Existe una, una carga radial y una carga axial que actúan sobre el tornillo sinfín y la corona. Si se toma al tornillo sinfín como referencia las componentes de la fuerza sobre el tornillo pueden determinarse a partir de las siguientes ecuaciones: Componente tangencial: 𝑊𝑇 =
2𝑇 𝐷𝐺
Componente radial: 𝑊𝑅 = 𝑊𝐴 tan 𝜃𝑛 Componente axial: Al igual que los anteriores casos analizados, la carga transmitida actúa tangencialmente respecto al cono de paso y la fuerza que genera el torque en el piñón y el engranaje. El torque puede calcularse a partir de la potencia transmitida y la velocidad de giro: 𝑇=
𝑃 𝑛
Dónde: P = potencia del motor, n = velocidad rpm. Inconsecuencia, la componente tangencial puede ser determinada a través de la siguiente expresión: 𝑊𝑇 =
𝑇 𝑟𝑚𝑒𝑑
𝑊𝐴 =
Dónde: DG = diámetro de paso de la corona, λ = ángulo de desplazamiento, θn = ángulo normal de presión. Las fuerzas sobre el engranaje corona son iguales en magnitud pero actúan en sentido inverso. Estas fuerzas, analizadas en conjunto tienen una resultante que actúan normal a la cara de los dientes. Introduciendo el coeficiente de fricción si obtienen las siguientes relaciones: Componente tangencial: 𝑊𝑇 = 𝑊(cos 𝜃𝑛 sin 𝜆 + 𝜇 cos 𝜆) Componente radial:
Dónde: T = torque transmitido, rmed = radio medio del piñón. 𝑟𝑚𝑒𝑑 =
𝑑 − (𝐹 × sin 𝛾) 2
Dónde: d = diámetro de paso, F = Espesor o ancho de la cara. Componente radial: 𝑊𝑅 = 𝑊𝑇 tan 𝜃 cos Υ La carga radial actuado hacia el centro del piñón, perpendicular a su eje lo que provoca flexión en el eje del piñón. Componente axial: 𝑊𝐴 = 𝑊𝑇 tan 𝜃 sen Υ La carga axial actúa paralela al eje del piñón tiende a empujarlo lejos del engranaje con el que enlaza. También genera un momento de flexión en el eje.
𝑊𝑇 tan 𝜆
𝑊𝑅 = 𝑊 sin 𝜃𝑛 Componente axial: 𝑊𝐴 = 𝑊(cos 𝜃𝑛 cos 𝜆 − 𝜇 sen 𝜆) Donde θn es el ángulo normal de presión y µ el coeficiente de fricción un la fuerza WT es la fuerza tangencial de giro del sinfín y la carga de empuje axial sobre la corona. La carga W A y la fuerza axial del sinfín y la fuerza tangencial sobre la corona y finalmente la fuerza WR fuerza que tiende los a separar el sinfín de la corona. La fricción juega un papel preponderante en la operación de un conjunto de mecanismo de tornillo sinfín debido a que existe un contacto inherente por deslizamiento entre el tornillo sinfín y la corona. El coeficiente de fricción dependerá de los materiales que se utilicen, el lubricante y la velocidad de desplazamiento.
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II. CONCLUSIONES Cómo se evidencia en el presente documento, el tipo de cargas o fuerzas que debe soportar un engranaje o sistema de éstos, depende del tipo y en especial de la geometría característica del diente del engranaje. III. BIBLIOGRAFÍA [1]
Guillermo Aguirre Esponda. Diseño de Elementos de Máquinas, Ed. Trillas. México 1990.
[2]
Robert L. Mott. Diseño de Elementos de Máquinas, 4ta Edición. Prentice Hall. México 1992.
Ing. Carlos Alberto Martínez Escobar “Ingeniero de automatización, especialista en sistemas de calidad y mantenimiento industrial”. Ha realizado estudios en “Universidad de La Salle”, “Universidad Santo Tomás de Aquino”, “ICONTEC” y “ETITC La Salle”. Sus áreas de interés son “Automatización industrial”, “mantenimiento industrial”, “Electricidad y electrónica”, y “sistemas integrados de gestión”.
