UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLIN.
ANÁLISIS DE DE ESFUERZOS ESFUERZOS PARA PARA UN RODILLO RODILLO DE TRABAJO DE UN MOLINO LAMINADOR DE ACERO Daniel Alexander Flórez Orrego, Daniel Mauricio Úsuga Moreno, Julián David Escobar Atehortúa, Luis Bernardo Varela Jiménez, Ricardo Correa Colorado
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Resumen Un análisis de resistencia de materiales fue realizado sobre un rodillo de trabajo usado para la deformación de láminas de acero al carbono de bajo y medio contenido, usualmente AISI 1008 y AISI 1050. Mediante modelos de deformación plástica extendidos en la literatura, lit eratura, se planteó un modelo para estimar las presiones y la distribución de las mismas durante el proceso de deformación plástica de un molino de 6 rodillos que no poseía ningún tipo de sistema de medición de fuerzas. Finalmente se muestra también un análisis de criterio de falla por fatiga sobre el elemento de máquina.
Palabras clave: Molino laminador, Esfuerzos, Fuerzas, Rodillo de trabajo, Fatiga, Deformación Plástica, Fricción Abstract A resistance of material analysis was carried out over a work roll used for deformating low and medium carbon steel sheets, usually AISI 1008 and AISI 1050. Through plastic deformation models widely studied in literature, a model was raised to estimate pressures and the distribution of pressures during the process of plastic deformation of a 6 rolling mill which does not possess any kind of forces measurer. Finally an analysis of fatigue failure criteria over the machine element is showed Keywords: Rolling mill, Stresses, Forces, Work roll, Fatigue, Plastic deformation, Friction.
1. INTRODUCCIÓN. Los cilindros forjados de BRC se producen con acero degasificado al vacío de alta pureza o con acero refinado por electro escoria para aplicaciones especializadas y exigentes. El lingote de acero se funde en una forja de molde abierto. Los cilindros forjados se templan inmediatamente para mitigar cualquier fuerza interna incurrida durante el proceso
Mn Cr Ni Mo Calidad Si% % % % % V% C% Dureza 1.8 0.20 0.05 0.15 0.3- 00.82- <68ºH ~ 2CrV 0.5 2.2 0.90 RC 0.35 0.35 0.15 0 de forjado. Luego de mecanizar en bruto la superficie, el
cilindro liso recibe un acondicionamiento de tratamiento térmico antes del proceso de endurecimiento. Este acondicionamiento redefine la microestructura del material forjado, asegurando la fuerza mecánica de los cuellos, y preparando la microestructura de la capa exterior de los cilindros para el tratamiento de endurecimie en durecimiento. nto. La capa exterior de los cilindros se calienta antes del temple con agua o aceite. Los cuellos de los cilindros se aíslan durante el calentamiento para prevenir su rompimiento debido a la diferenciación térmica entre la capa exterior y los cuellos. El cilindro es perforado a lo largo de su eje para reducir y redistribuir las fuerzas residuales. Al analizar los documentos de soporte de calidad del rodillo utilizado en el proceso, se puede observar que presenta durezas de alrededor de 840HV en la longitud efectiva de trabajo. Tabla1. Composición química del material del rodillo de trabajo
2 Análisis de Esfuerzos para un rodillo de trabajo de un molino laminador de acero.
2.1.1 FRICCIÓN ENTRE CILINDRO Y METAL. El espesor mínimo de chapa que se puede laminar, está determinado por el coeficiente de fricción. Si el coeficiente de fricción µ es mayor que la tangente del ángulo α, o ángulo de mordido,
Gráfico ilistrativo1. Microestructura de un 2CrV Este acero hecho por la empresa British Rollmakers (China) Ltd, fue diseñado para trabajos de laminado en frío para productos ferrosos. El rodillo de trabajo es ensamblado en el molino de laminación de 6 rodillos, y es quien está en contacto directo con la lámina de acero AISI 1006, AISI 1008, y AISI 1050, proporcionando la rigidez necesaria para deformar plástica y homogéneamente las piezas hasta un valor previamente determinado.
2. PLANTEAMIENTO DEL MODELO . 2.1 VARIABLES PRINCIPALES DE LAMINACIÓN Las variables que gobiernan el proceso de laminación son: Diámetro de los cilindros. Resistencia a la deformación del metal. Para una reducción dada de una chapa de cierto espesor, es más grande el área de contacto en cuanto mayor es el diámetro de los cilindros, lo que ocasiona que para una presión dada, requerida para obtener una reducción deseada, aumentará la carga total de laminación. Si se presentase esto, llegará un momento en el que la resistencia a la deformación de la chapa sea tan alta que la carga de laminación necesaria sea mayor que la que puede aplicarse, por lo que no se producirá reducción de espesor y se presenta entonces deformación elástica de los cilindros. Se puede deducir de las expresiones que los relacionan y que se mostrarán luego, que tanto la carga como el área de contacto disminuyen cuando los cilindros se hacen más pequeños. Por ello se acostumbra usar el tipo de arreglo de cilindros de menor diámetro en contacto con la pieza a laminar, movidos por rodillos de mayor tamaño que garantizan la rectitud de los primeros. El espesor de la chapa varía un poco si se modifica la velocidad de los cilindros. Al aumentar la velocidad, disminuye la reducción de espesor obtenible de la chapa.
entonces el metal no puede ingresar al arreglo de laminación. Además, si la fricción es nula, según la expresión Δ = 2 , no habría reducción. Si las fuerzas de fricción aumentan considerablemente, se produce una mayor carga de laminación y un mayor gradiente de presión en el punto neutro N. Para facilitar los cálculos, en general se acostumbra asumir un coeficiente de fricción constante a través de todo el arco de contacto entre el cilindro y el material a laminar. El coeficiente de fricción para laminado en frio, se encuentra típicamente entre 0.03 y 0.12, debido a esto se pueden obtener chapas más delgadas que en otros procesos de laminado. La fuerza de fricción afecta la magnitud y distribución de la presión del cilindro. Como podrá demostrarse más adelante = tan = , siendo el ángulo de mordido.
2.1.2 PRESENCIA DE TENSIONES DE TRACCIÓN HACIA ADELANTE Y HACIA ATRÁS. Mantener la chapa en tracción, mejora la planeada y uniformidad del espesor a través del ancho de la chapa. Así también, disminuye la carga de laminación.
2.2 TEORIA DE LAMINADO EN FRÍO 2.2.1 Hipótesis: Arco de contacto circular, no hay deformación elástica de los cilindros. Coeficiente de fricción es constante en todos los puntos del arco. No hay ensanchamiento lateral (deformación plana). Las secciones verticales se mantienen planas. La velocidad del cilindro es constante.
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Análisis de Esfuerzos para un rodillo de trabajo de un molino laminador de acero.
2.3 DESARROLLO GEOMÉTRICO Se produce conservación del material, luego el volumen del metal que sale es el mismo del metal que entra, y se desprecia el cambio de densidad, para ello se considera que no hay cambio de anchura, por lo que la compresión vertical del metal se traduce en alargamiento en la dirección de laminación. Dado que por unidad de tiempo, deben pasar iguales volúmenes de metal a través de cualquier plano normal a la chapa, se puede escribir: h0bv0 h f bvf (1) De modo que: h0 v0 h f v f con
v f vrodillo v0
.
Figura 2. Cambio del sentido de la fricción específica o por unidad de longitud antes y después del punto neutro. Para desarrollar los cálculos de la fuerza de separación es necesario determinar el valor de la proyección del área de contacto.
Figura 3. Determinación de la longitud del arco proyectado. Figura 1. Parámetros geométricos utilizados en el análisis del laminado. Existe un punto donde la velocidad de contacto, es decir la velocidad del rodillo y la velocidad de la placa son iguales. Este punto es llamado punto de no deslizamiento (N) o punto neutro. A cualquier lado de este punto ocurren deslizamientos con fricción. Cuando el coeficiente de fricción es muy elevado, se produce una mayor deformación interna con el fin de permitir el “correr” del material a través de la
abertura de los rodillos. Entre el punto en que se especifica la entrada del material y el punto neutro, los cilindros van a mayor velocidad que la chapa, luego la chapa va hacia atrás y por ende se dibuja la fuerza de fricción sobre la chapa en la dirección a la que gira el cilindro. Ahora, una vez pasado el punto neutro, la chapa se mueve más rápidamente que la superficie de los cilindros. Se invierte la dirección de la fuerza de fricción que ahora se opone a la dirección a la que giran los cilindros. Se dice que en este momento la fricción se opone a la salida.
La proyección de la longitud del arco de contacto, Lp está dado por: Lp
2
2 (h0 h f ) R R 2
2
2
(2)
Luego 2 (h0 h f ) Lp R(h0 h f ) 4
Asumiendo que Lp R(h0 h f )
1 / 2
(3)
(h0 h f ) es pequeño entonces 1 / 2
(4)
Llamamos pr a la presión que es igual a la carga que generan los rodillos dividida por la superficie de contacto. Esta última es igual al producto del ancho de la chapa, b, por la proyección de la longitud de contacto Lp. La distribución de la presión presenta una forma acampanada, con un máximo en el punto neutro. Realmente debería de presentar una forma de pico, pero no ocurre por razones de deformación elástica del rodillo, la cual no será considerada en este informe.
4 Análisis de Esfuerzos para un rodillo de trabajo de un molino laminador de acero.
equivalente al producto de Pr por el ancho de lamina P b. Es decir, Pr (5). b Finalmente decimos que: P (6) p r
(a)
bLp
Podemos aproximar el valor de la fuerza por unidad de longitud Pr a partir de los valores de la reducción de espesor h (h0 h f ) , el diámetro del rodillo 2R=D, y el esfuerzo de cedencia a compresión asumido igual que para tracción [Hibbeler]. Es decir, asumimos la equivalencia pr = Yc . Pr Yc
(b) Figura 4. Distribución de la presión a través de la longitud de contacto. a) Sin considerar deformación elástica (con y sin fricción). b) Considerando deformación elástica de los rodillos. La forma asimétrica de la campana se debe a que en el fenómeno de laminación se presenta endurecimiento por deformación. En las suposiciones que tomaremos a continuación para determinar la carga de laminación, asumiremos que se requiere un esfuerzo constante para deformar plásticamente el material, este será asumido como el esfuerzo de fluencia a compresión, denominado Yc . Llamamos Pr a la fuerza por unidad de longitud o por ancho de la lámina b, distribuida uniformemente sobre la línea de contacto entre el rodillo y la lámina. Realmente la zona de contacto es una estrecha área en forma de arco, solo que puede asumirse que dicha fuerza por unidad de longitud está concentrada en el centroide de la campaña de presión. Una primera aproximación [Meyers] para la ubicación de la fuerza resultante a través de la longitud de contacto, es la mitad de la longitud de contacto Lp. Llamamos P a la fuerza de separación que el material le hace a los rodillos y es igual en magnitud a la que deben hacerle los cojinetes sobre los que estos rodillos se apoyan, con el fin de generar deformación plástica. En resumen, esta fuerza P es
Dh
(7)
2
Ubicada en la mitad de la longitud de arco proyectado Lp . El ángulo se denomina ángulo de contacto. Puede verificarse que la condición límite para la entrada desatendida de la lámina en los rodillos puede establecerse mirando el equilibrio de las fuerzas en la sección de entrada así: A* f f * cos A* pr * sin
Entonces: f f pr
sin cos
(8)
tan
(9)
Y según un modelo coulómbico de fricción * pr f f . De esta manera se obtiene: tan (10) Decimos entonces que el metal no puede entrar en el laminador cuando tan es mayor que el coeficiente de fricción entre los rodillos y la chapa. De esto se deduce que el coeficiente de fricción determina la máxima mordedura de los cilindros. En efecto el valor máximo de viene dado por: tan
1/2 1/2 R (h0 h f )
R (h0 h f ) / 2
(11) De lo cual, si se supone pequeña la reducción
5
Análisis de Esfuerzos para un rodillo de trabajo de un molino laminador de acero.
respecto al radio, tenemos que:
1 / 2
h0 h f R
2
1
2
2
(16),
o
bien
2
(12)
De lo cual: h0 h f R 2
(13) Lo que determina la máxima reducción por pasada solo en función del coeficiente de fricción y el radio de los cilindros. La fuerza total de fricción, por unidad de ancho de la lámina, que la introduce al mordido del rodillo, es dos veces (dada la existencia de dos rodillos laminadores) el coeficiente de fricción mínimo y la fuerza por unidad de longitud Pr, es decir f f = * Pr. La resistencia a la entrada de la lámina, hacia el mordido del rodillo, por unidad de ancho es una fuerza aproximadamente igual al producto de la reducción h y el esfuerzo de compresión, Yc . Considerando la suma de fuerzas horizontales actuando en la lámina por unidad de ancho y despreciando los efectos de la laminación para condiciones de equilibrio tenemos como aproximación: h (14)
h0 h f 1 h0 h f 2 D 2 D
(17) Alternativamente, la carga total de laminación P, o fuerza total del cilindro, es la integral de la presión, pr , a lo largo del arco de contacto.
Donde:
= ′ 0 (18)
= = ′ = Este último se calcula con la expresión de Hitchcock, si se asume deformación elástica de los rodillos; de lo contrario se usa R, como en nuestro caso. Puede hallarse ahora una expresión para el cálculo de la potencia requerida en el proceso de laminado.
2D
En el caso de que haya esfuerzos de tensión en la lámina, la relación anterior es modificada por: (1 r ) 2 h (15) 1 1
r c '
2D
Donde 1 y 2 son los esfuerzos de tensión a la entrada y la salida de la lámina y c ' es el valor corregido del esfuerzo de fluencia de compresión según el criterio de falla de mínima energía de distorsión. Además del ángulo de contacto , podemos aproximar el contacto en el cual la velocidad del rodillo es igual a la de la lámina: 2 sin sin ( / 2) o aproximadamente sin
2
Figura 5. Momento, brazo, carga de laminado para hallar la potencia requerida. Para determinar el par y la potencia necesaria para realizar el proceso de laminado, debemos tener en cuenta que la energía se consume principalmente de cuatro maneras: 1) Energía necesaria para deformar el metal. 2) Energía necesaria para superar las fuerzas de fricción en los cojinetes 3) Energía perdida en los engranajes y sistemas de transmisión 4) Pérdidas eléctricas en los diversos motores y generadores. Además, se debe tener en cuenta el gasto de energía que corresponde al uso de las bobinadoras de enrollar y desenrollar.
6 Análisis de Esfuerzos para un rodillo de trabajo de un molino laminador de acero.
Figura 6. Dimensiones generales del rodillo laminador en mm. Considérese ahora lo siguiente: el par es igual a la carga total de laminación multiplicada por el brazo efectivo del momento, y como hay dos cilindros, el par viene dado por M Pr *0.5* Lp (19) Cuyas unidades bien pueden ser expresadas en KNm. Durante una revolución del cilindro superior, la carga de laminación P se desplaza a lo largo de una circunferencia de longitud 2 * * 0.5 * Lp , el trabajo por revolución es: W (2 * * 0.5 * Lp ) P (20) Cuyas unidades pueden ser expresadas en KN-m. Si el numero de revoluciones por minuto es N, o sea N/60 por segundo, la potencia necesaria será de W (2 * *0.5 * Lp ) P * N / 60 (21) La última ecuación expresa la potencia necesaria para deformar el metal a medida que fluye del canal de entre los rodillos. A la cifra resultante es necesario añadir la potencia empleada en superar la fricción en los engranajes y cojinetes, que se debe calcular separadamente.
distancias asumidas según la geometría determinada de acuerdo a las simplificaciones y los criterios empíricos. La fuerza de laminación es normal a la superficie de contacto, así como la de fricción es tangente a la misma. Sin embargo, las fuerzas de laminación y de fricción se asumen totalmente vertical y horizontal respectivamente debido a que el ángulo de dirección respecto a la vertical (ángulo de punto neutro, ) de las mismas es despreciable. La carga total de laminación se distribuye sobre el arco de contacto formando la llamada colina de presión. Sin embargo la carga total de laminación se puede suponer concentrada en un punto del arco de contacto situado a una distancia 0.5 veces la longitud de contacto proyectada [Dieter]. De allí tenemos que, el par M que debe ejercerse para efectuar el proceso de laminación debe ser capaz de vencer la fricción desarrollada, como también la fuerza de separación de los rodillos.
Hay quienes prefieren expresar la potencia como una función integral que involucra muchas de las variables presentes en el laminado: 1/2 = 2. . (0 − ) 0 (22)
3. DETERMINACIÓN DE LAS FUERZAS INVOLUCRADAS La siguiente figura presenta el diagrama de cuerpo libre para un rodillo, donde se muestran las fuerzas por unidad de longitud involucradas que le ejerce el material de laminación. Además, se muestran las
Figura 7. Diagrama de cuerpo libre para las fuerzas involucradas en el proceso de laminación en un plano (por unidad de ancho b).
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Análisis de Esfuerzos para un rodillo de trabajo de un molino laminador de acero.
3.1 FUERZAS VERTICALES
Las fuerzas involucradas en la dirección vertical son las fuerzas de separación de los rodillos y las fuerzas de reacción o de presión que los mismos le ejercen al material. Sean: Ry: Reacción vertical en los puntos de pivote de los rodillos, donde se acoplan los rodamientos (N). Pr: Fuerza de separación de los rodillos por unidad de longitud (N/m). b: Ancho del rodillo (mm) Esto puede escribirse como: Ry
Figura 8. Diagrama de cuerpo libre para las fuerzas verticales.
Pr * b 2
(24), donde el valor de Pr se puede
determinar de la expresión
Pr Yc
Dh
de lo cual
2
se tiene que: Pr Yc
Dh
(25)
2
Con D=0.180m, h (h f ho ) (1.4 1.35)mm 0.05mm (a)
Yc = 345MPa; Para un acero SAE1050 laminado en caliente. Y así, Pr 1.035x106 N/m, la cual es la fuerza distribuida por unidad de longitud del rodillo. Esta se muestra en el diagrama de cuerpo libre. Podemos entonces el valor de las reacciones o fuerzas que se producen en los puntos de apoyo: P *b Ry r 178.02 kN , como se observa en el 2
diagrama de cuerpo libre. (b)
(c) Figura 9. Diagrama de a) fuerzas a lo largo de la longitud (en mm), b) fuerza cortante (kN) y c) momento flector internos (kN-m). Para determinar el valor de las fuerzas resultantes en el sentido vertical, debemos aplicar la segunda ley de newton que afirma que: (23) Fy 0
3.2 FUERZAS HORIZONTALES
Figura 10. Diagrama de cuerpo libre para las fuerzas horizontales.
8 Análisis de Esfuerzos para un rodillo de trabajo de un molino laminador de acero.
b: Ancho del rodillo (mm) : Coeficiente de fricción mínimo para que se produzca mordido del material. Esto puede escribirse como: P * b donde el valor de P es Rx r r 2
6 Pr 1.035x10 N/m, la cual es la fuerza
distribuida por unidad de longitud del rodillo. (a)
La fuerza de fricción es entonces el resultado de Ff Pr . Al obtener el valor del coeficiente de fricción determinado por
h
(28), y sabiendo que
2D
D = 0.180m, h ( h f ho ) (1.4 1.35)mm 0.05mm Obtenemos un =0.01178 Entonces el valor numérico de Rx corresponde a 6
(b)
Rx
0.01178 *1.035*10 *0.344 2
=
2097.9858N, producida en los puntos de apoyo del eje, como se puede observar en el diagrama de cuerpo libre.
3.3 MOMENTOS TORSORES. Como se ha enunciado anteriormente, tenemos que el par M que debe ejercerse para efectuar el proceso de laminación debe ser capaz de vencer la fricción desarrollada, como también la fuerza de separación de los rodillos. (c) Figura 11. Diagrama de a) fuerzas a lo largo de la longitud (en mm), b) fuerza cortante (kN) y c) momento flector internos (kN-m). Para determinar el valor de las fuerzas resultantes en el sentido horizontal, debemos aplicar la segunda ley de newton que afirma que: (26) Fx 0 Las fuerzas involucradas en la dirección horizontal son las fuerzas de fricción entre los rodillos y el material requeridas para que se dé el proceso de mordido, y las fuerzas de reacción o de presión que los mismos le ejercen al material. Sean: Ry: Reacción vertical en los puntos de pivote de los rodillos, donde se acoplan los rodamientos (N). Pr: Fuerza de separación de los rodillos por unidad de longitud. (N/m).
Estas fuerzas por unidad de longitud (Pr y Ff ) producen un momento torsor en toda la longitud b del rodillo que quieren contrarrestar el par producido por el motor. Las fuerzas por unidad de longitud se asumen aplicadas en el punto neutro a un ángulo de la vertical, donde el valor del deslizamiento es nulo. Por lo tanto los pares que producen están determinados por el valor de los brazos bx y by. El punto de aplicación de las cargas no está en los ejes de simetría del diámetro del rodillo, por lo tanto los valores de los brazos pueden determinarse respecto al ángulo como se muestra a continuación
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Análisis de Esfuerzos para un rodillo de trabajo de un molino laminador de acero.
Figura 12. Momentos torsores.
cuadrada) hasta el cilindro de diámetro 180mm, (la zona de laminación), como se muestra en la figura 13, a partir del cual, la acción de los momentos causados por las fuerzas de fricción y los de laminación lo irán reduciendo progresivamente hasta llegar a un momento interno nulo, hasta la zona izquierda del cilindro de 180mm. Es claro que la zona extrema izquierda del rodillo (que no se muestra en la figura 14), es decir la región donde este se apoya, no presenta momentos torsores internos debido a la ausencia de un momento resistivo por parte del cojinete
Obsérvese que el brazo bx es equivalente a la longitud de Lp /2 y que por lo tanto el brazo by 2
deberá ser by = D / 22 Lp / 2 (29). Donde bx= 0.001060m y by= 0.08999m. Obsérvese el orden de magnitud de las escalas. El momento producido por la fuerza de fricción, distribuido a lo largo de la longitud b del rodillo, es: Mff = Pr * *by = (1.035x106 N/m) ( 0.01178) (0.08999m). Mff = 1097.18Nm/m. El momento producido por la fuerza vertical es MPr = Pr*by = (1.035x106 N/m) (0.001060m). MPr = 93139.65N-m/m, distribuido a lo largo de la longitud b del rodillo. Estos momentos generan una oposición a la rotación infringida por el motor, por lo tanto están actuando en la dirección opuesta al par del motor. Figura 13. Diagrama de momentos flectores. El momento mínimo que debe aplicarse para producir laminación y vencer las fuerzas de separación, puede hallarse como: Mtotal = Mff *b+ MPr *b = (1097.18Nm/m+93139.65N-m/m)*b = 32,4 kN-m.
4. ANÁLISIS DE ESFUERZOS 4.1 ESFUERZOS TORSORES Para este análisis de esfuerzos utilizaremos los resultados planteados anteriormente, donde el momento total mínimo para vencer el momento de la fuerza de fricción y el momento de la fuerza de laminación resultó ser de 32.4KN.m. Definimos entonces el momento mínimo torsor del motor como 32.4KN.m que será constante partiendo desde el extremo derecho (flecha de sección
Figura13. Momentos torsores concentrados en lugares importantes. En la figura 13 también podemos observar los valores calculados del momento torsor, incluyendo sus concentradores de esfuerzo en las áreas de cambios de sección y reducciones para sostener rodamientos o cojinetes. Estos valores fueron hallados mediante la ecuación TC , donde k J
T es el momento proporcionado por el motor C el radio más externo de influencia J el momento polar de inercia definido como J
2
r4
Debido a que el momento torsor interno disminuye mientras más nos alejemos de la sección transversal cuadrada en el extremo derecho del cilindro, lugar donde se conecta la transmisión que motor podemos decir que los esfuerzos de torsión deberán ser menores en la parte izquierda y máximos a la derecha, por tanto no serán calculados.
4.2 ESFUERZOS FLECTORES Para este análisis de esfuerzos flectores utilizaremos los resultados planteados anteriormente, donde el momento total máximo en el rodillo va a ser la suma vectorial de los momentos horizontales y verticales máximos (ver figuras 9 y 11) así
10 Análisis de Esfuerzos para un rodillo de trabajo de un molino laminador de acero.
Mmax 33902.356 N m . También, analizaremos el momento crítico que se presenta en uno de los cambios de sección del rodillo y a su vez puede desembocar en un esfuerzo crítico. Con el siguiente análisis se mostrara que es en este punto donde se presenta el esfuerzo máximo de toda la flecha debido a la concentración de esfuerzos. Previamente se analizaron los esfuerzos en los diferentes cambios de sección, aunque solamente se presentará los resultados donde ocurrió el esfuerzo debido al momento máximo y al momento crítico. Mmax 49200 2 580.12 N m
El esfuerzo de torsión máximo concentrado tiene un valor de 155 MPa. El esfuerzo cortante puro tiene un valor de aproximadamente 15MPa Para este análisis debemos tener en cuenta lo siguiente:
Mmax 33902.356 N m
Este momento máximo se presenta en la sección de D 0.180 m donde c D 2
Mc
4*33902.356
I
4M
c3
*0.09
3
Figura15. Distribución de los diferentes tipos de esfuerzos que intervienen en el análisis
85936539.83Pa
85.936 MPa
Procederemos a analizar un cambio de sección en el cual se presenta el esfuerzo máximo como se dijo anterior. Este momento se presenta en el cambio de sección de D1 0.180 m a D2 0.130 m Mcrit 339002 399.72 N m
Mcrit 33.9KN m
En este cambio de sección se va a presenta un factor Kt de concentración de esfuerzo y el esfuerzo critico se analiza en D 0.130 m crit Kt
crit
4M 3
2.0
4 *33902.356
c *0.0653 314.361 MPa
314367914 Pa
4.3 ESFUERZOS PRINCIPALES Luego de desarrollar un método estimativo para obtener los valores de los esfuerzos que intervienen en el fenómeno del laminado en frío podemos elegir y estimar las zonas críticas de análisis para encontrar los esfuerzos principales y el cortante máximo en la sección crítica del eje de trabajo. Tomando como zona crítica el lugar analizado anteriormente, de 130mm de diámetro, cerca al acople con el motor, sabemos que: El esfuerzo de flexión máximo concentrado tiene un valor de 314MPa
Como puede observarse, hay 3 distribuciones distintas en el mismo punto de análisis, pero debemos tener presente lo siguiente: El esfuerzo cortante puro de a) se distribuye de tal manera que en el exterior del eje el valor de esfuerzo cortante es cero y en el centro el valor es máximo El esfuerzo torsor es máximo en el exterior del eje y mínimo en el interior El esfuerzo de flexión genera una distribución de esfuerzos máximos de compresión y tensión en la superficie del eje según sea la aplicación de la carga. En el centro el valor del esfuerzo es cero Tomaremos como lugar crítico para el análisis un punto por debajo del eje, en la superficie, en donde estáticamente la carga produzca un esfuerzo de tracción debido a flexión y donde el esfuerzo torsor es máximo, a su vez el esfuerzo cortante puro es cero pero como pudimos observar, su valor es prácticamente despreciable respecto a las magnitudes de los otros dos. Por tanto asumimos como zona crítica la afectada por tracción y torsión como se muestra en el siguiente elemento diferencial:
Figura16. Elemento diferencial que contiene el estado de esfuerzos de nuestro fenómeno
11
Análisis de Esfuerzos para un rodillo de trabajo de un molino laminador de acero.
Ahora procedemos a encontrar el valor de los esfuerzos principales: 1,2
2
x y 2
tan2 p
x y xy2 2 xy
x y 2
Para efectos de nuestro cálculo tomaremos los datos como: x = 314.36Mpa y = 0MPa xy = 155MPa Desarrollando la ecuación tenemos que: 1,2
314.36 2
Figura17. Elemento diferencial con esfuerzos principales, rotado De la misma manera calculamos el ángulo de rotación del elemento diferencial sometido a cortante máximo, donde θs1= 22.7º
El esfuerzo promedio será 157.18MPa
2
314.36 2 , entonces los 155 2
esfuerzos principales en el lugar crítico escogido se vuelven 1 = 377.929MPa 2 = -63.569MPa Ahora hallamos el cortante en el plano, que es el radio del círculo de Mohr. 2
x y 2 , entonces xy 2
R
R= 220.75Mpa Y como prom x y , que es igual a
2
157.18Mpa, el círculo es simétrico respecto a los ejes de referencia. El valor del esfuerzo cortante en el plano es igual al valor del radio del círculo, por lo tanto max =220.75MPa Al hallar el ángulo en el cual actúan los esfuerzos principales tenemos que: θp1= -22.29 y θp2= 67.71
Al comprobar el ángulo en la ecuación de esfuerzos principales podemos observar que obtenemos como resultado el esfuerzo principal sigma1 de 377.92MPa. El elemento diferencial rotará entonces un ángulo de 22.29º en sentido de las manecillas del reloj
Figura18. Elemento diferencial sometido a esfuerzo máximo cortante y su ángulo de inclinación respectivo
5. PROPIEDADES DEL MATERIAL A ANALIZAR Podemos estimar un valor interpolado de resistencia última, basados en la relación dureza Brinellresistencia última: HB tensión 3 s r e k c i v a z e r u D
800
y = 3,4649x 0,9077 R² = 0,9983
600 400 220
270
320
Resistencia a la tracción
Figura19. Relación entre los datos de resistencia a la tracción y dureza Vickers para aceros. La estimación resulta en: tensión 425 KPSI 2930MPa
6. CRITERIO DE FALLA Este tipo de elemento de máquina está sometido a grandes esfuerzos y alto ciclaje debido a la alta producción mensual de fleje y zuncho laminado en frío, por lo tanto el criterio más adecuado para el
12 Análisis de Esfuerzos para un rodillo de trabajo de un molino laminador de acero.
análisis de una posible falla es el criterio de vida a fatiga.
6.1 RESISTENCIA A LA FATIGA Debido al alto valor de la resistencia a la tracción del material, deberíamos considerar un Se ' 700MPa 6.1.1 FACTORES DE REDUCCIÓN RESISTENCIA A LA FATIGA
DE
6.1.1.1 FACTOR DE SUPERFICIE Ka Ka aSutsb Para un material bien maquinado y con precisión superficial tomamos: Ka 1.58(2930) 0.085 Ka 0.801 6.1.1.2 FACTOR DE TAMAÑO Kb Para cargas de torsión y flexión como en nuestro caso Con un diámetro de 130mm, tenemos Kb 1.51(130)0.157 Kb 0.703
6.1.1.3 FACTOR DE CARGA Kc El eje de trabajo está sometido a una aplicación de carga a flexión en sus ciclos, combinado con una torsión proporcionada por el motor, la cual se disipa a lo largo de la longitud de trabajo debido a la fricción y la carga de laminación en el rodillo. La aplicación de la carga flexionante es constante y en cada ciclo, mientras que la torsión simplemente es aplicada por el motor y no fluctúa con el tiempo, por lo tanto el criterio de carga será a flexión pura. Kc= 1
6.1.1.4 FACTOR DE TEMPERATURA Kd Debido al constante uso del rodillo y a la cantidad de material que se lamina por minuto, el sistema tiende a aumentar de temperatura hasta llegar a un intervalo de trabajo promedio de 50
puesto que el laminado no se realiza las 24 horas del día. En la temperatura crítica de trabajo tendremos un Kd=1.020, que no afectará significativamente la resistencia a la tracción del material, comparado con temperatura ambiente.
6.1.1.5 FACTOR DE CONFIABILIDAD Kd En este caso, el eje fue previamente diseñado y calculado por la empresa proveedora, su factor de confiabilidad es desconocido. Asignaremos un factor de confiabilidad del 90% puesto que se supone que sus cálculos deben estar correctamente hechos, pero al desconocer los detalles en profundidad no podemos asegurar total confianza. Kd= 0.897
6.1.1.6 RESISTENCIA MODIFICADA
A
LA
FATIGA
Luego de encontrar los factores de modificación podemos estimar un valor más acertado de la resistencia a la fatiga del material utilizado, según la bibliografía.
Se Se '(ka )(kb)(kc)(kd ) Se 700MPa (0.801)(0.703)(1)(0.897) Se= 353.57MPa
6.2 CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS Debido a la característica dinámica de la aplicación, el factor de concentración hallado para intensificar el valor de flexión hallado anteriormente no será suficiente para modelar correctamente esta situación, por lo tanto acudimos al uso del factor de concentración por fatiga Kf. Donde
Con Sut=425KPSI a = -0.3866 Con r= 0.3936996in y Kt= 2.0 Obtenemos un Kf= 3.605 Ahora el esfuerzo concentrado por fatiga por flexión será f 157.1805 x 3.6051
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Análisis de Esfuerzos para un rodillo de trabajo de un molino laminador de acero.
f 566.65MPa
6.3 FACTOR DE SEGURIDAD Para hallar el factor de seguridad según el esfuerzo concentrado y la resistencia a la fatiga modificada, tenemos que según el criterio de Gerber 2 m n a n 1 Se Sut Y teniendo en cuenta que el esfuerzo es totalmente alternante, entonces el segundo término es cero. Debido a que el valor que se tiene para n es menor que 1, no se posee vida infinita a fatiga y se necesitarían las curvas respectivas de la resistencia a fatiga por flexión para determinar el número de cíclicos que realizan los rodillos laminadores en su vida útil. La vida a fatiga no puede ser estimada puesto que no se conocen los datos de esfuerzo real y coeficiente de endurecimiento, por la variabilidad de pasadas de rebaje, que generan valores diferentes en cada reducción, además la dureza del material pasa de 500 HB, imposibilitándonos para utilizar la aproximación SAE para vida a fatiga por esfuerzo último a fractura. La causa de este factor de seguridad es la utilización de un modelo para deformar 2 cilindros rígidos, sin considerar las acciones de los otros 4 rodillos, debido a la enorme dificultad para resolver el modelo matemático. Por lo tanto es necesario tener en cuenta que los rodillos estarán sometidos a menores cargas que las planteadas aquí, por lo tanto menores deflexiones. Los valores de las fuerzas se harán menos críticos
7. CONCLUSIONES -Para simplificar el análisis de las fuerzas, momentos flectores y torsores se deben tomar las respectivas suposiciones, entre ellas las más importantes son: la geometría de la zona de mordido (la presión se calcula sobre la proyección de arco Lp), la distribución de la presión a lo largo de la longitud de contacto (una campana) supuesta con su mayor valor en el centro de la longitud de contacto donde se supone también ubicada la fuerza de separación resultante. -El valor de la fuerza de presión o laminación del rodillo debe ser como mínimo una fuerza
equivalente al valor del límite de cedencia por unidad de área del material laminado, puesto que es desde este valor mínimo en que se da la deformación plástica efectiva. -Las fuerzas principales de laminado que son la fuerza de separación de rodillos y la fricción con el material, se asumen aplicadas en la mitad de la longitud proyectada de contacto Lp, sin componentes respecto al ángulo puesto que el valor de éste ángulo es muy pequeño, por lo tanto será completamente horizontal la fuerza de fricción y así mismo completamente vertical la fuerza de separación. -Se asumen los rodillos de laminación como cuerpos completamente rígidos, por lo tanto la deformación elástica de éstos no será tenida en cuenta en el análisis. -El par mínimo del motor de ser por lo menos igual a la suma de los momentos generados por la fuerza de fricción y la fuerza de presión que separa los rodillos. - El factor de seguridad es menor que 1, debido a que se analizó la magnitud de los esfuerzos para un par de rodillos, sin soporte de los otros 4 que reducen las exigencias de esfuerzo y ayudan a disminuir la deflexión.
5. Referencias. [1] Joseph, Shigley y Charles, Mischke. ´Diseño en Ingeniería Mecánica´. Ed. Mc Graw-Hill. Mexico. 2002. Pag 1063, 1202. [2] Marc André Meyers, Mechanical Metallurgy Ed. Prentice-Hall. New Jersey 1984, Pag 84,113. [3] George Dieter, Mechanical Metallurgy Ed. Mc Graw-Hill. New Jersey 1984, Pag 586,615. [4] R.C. Hibbeler, Mecánica de materials , sexta edición, Pearson educación, México, 2006 Cap 5 – 9 [5] Robert L, Norton. Diseño de máquinas, Ed. Prentice Hall, México 1999, Cap 6 NOTA: Los diagramas de momentos flectores internos y cortantes directos internos de las figuras 9 y 11 se realizaron con el software libre MDSolid v1.5.
