Analisis de Circuitos RLC Sin Fuente.circUITOS 2

INVESTIGACION TEMA: TEMA: CIRCUITO RLC SIN FUENTE DE ENERGIA OBJETIVOS: OBJETIVOS: Analizar los circuitos RLC en serie y en paralelo sin sin fuente de energía de manera manera individual y determinar sus respectivos voltajes, intensidades, potencias y energías. Mediante el estudio de estos circuitos llegar a interpretar de una mejor manera lo que es un circuito RLC y sus componentes de manera individual. Aplicar las formulas principales para resolver los circuitos y de esta manera exponerlos de una manera matemática para su análisis.

MARCO TEÓRICO: ¿Que es un circuito RLC sin fuente de energía? Un circuito RLC no es más que un arreglo de elementos elementos entre los los cuales tenemos tenemos una combinación de una resistencia, un inductor y un capacitor ya sea en serie, en paralelo o mixto. Al decir que es un circuito sin fuente estamos explicando que no tiene un elemento encargado de suministrar energía al circuito. Análisis: Para la resolución se necesita tener conocimientos básicos de lo que es las técnicas de integración y en parte conceptos relacionados con ecuaciones diferenciales para poder desarrollar las ecuaciones. Circuito numero 1: circuito RLC en paralelo:

Consideraciones

En este caso se tiene un capacitor y un inductor que tiene una resistencia asociada distinta de cero. Como ya se conoce la energía en un capacitor y en inductor con un tiempo t=0 no necesariamente es igual a 0 ya que estos elementos son almacenadores de energía no se tiene en cuenta esta condición para el análisis. Resolución:

Aplicando LCK en el nodo superior del circuito de la figura se obtiene la siguiente ecuación:

 I   0 V   R



……… IR  IL  IC   0

t 

1



Vdt   i (to)  C 

 L t 0

dv dt 

0

Derivando a ambos lados la ecuación con respecto al tiempo se obtiene: Considerando que: La integral se suprime con la derivada. C 

d 2 v



2

dt 

1 dv

 R dt 

1

 V   0  L

La cual es una ecuación diferencial de segundo orden homogéneo para resolver esta ecuación se aplica el método de coeficientes constantes. Cm 2 

1

 R

m

1

 L

0

“ECUACION CARACTERISTICA”

Resuelvo la ecuación por la formula general y hallo los valores de m mediante la fórmula……….. m

 b  b 2  4ac 2a

Donde a=C,… b=1/R,…..y C=1/L

 m

1

 R

 

1 2

 R 2C 

4

C   L

Resuelvo y aplico artificios matemáticos.

m

m

m

1 2CR

1 2CR

 

 

  1 4C    2  2  L   4C    R 1

1 2

4C  K 



2

4C  2

4 LC 

2

1 2CR

 

1   1       2CR   LC  2

2

1 1 1   1     1   …….Y………. m2   m1           2 RC  2 RC   2 RC    LC   2 RC    LC  1

LAS CUALES SON RAICES RELAES Y DISTINTAS...Y APLICANDO LA FORMULA TENEMOS: v  c1e m1t   c 2e m 2t  CIRCUITO SOBRE AMOTIGUADO

Cuando las dos raíces son reales y distintas se dice que el circuito es sobre amortiguado. Cundo son reales e iguales, se dice que el circuito es críticamente amortiguado Cuando las dos raíces son complejas conjugadas, se dice que el circuito es su amortiguado. Con lo cual voy a tener una solución de esta manera. En este procedimiento podemos adicionar un paso que es:  



1 2 RC 

..... y.....   

1

 LC 

En donde estas son expresiones usadas para simplificar el análisis de circuitos RLC Voltaje en función del tiempo: Ahora bien al ser un circuito en paralelo el voltaje es el mismo en todos los elementos y según nuestros cálculos esta dado por: v  c1e m1t   c 2e m 2t 

Considerando que los valores de m están dados por: 2

2

1 1 1   1     1   …….Y………. m2   m1           2 RC  2 RC   2 RC    LC   2 RC    LC  1

Para calcular la intensidad en cada elemento lo único que debemos usar son las formulas correspondientes: EJEMPLO: Intensidad en función del tiempo en la resistencia. Intensidad en la resistencia …. I  

 I  

V   R

m t  m t  c1e 1  c 2e 2

 R

Circuito numero 2: circuito RLC en serie:

Análisis: En este caso se tiene un capacitor y un inductor que tiene una resistencia asociada distinta de cero. Como ya se conoce la energía en un capacitor y en inductor con un tiempo t=0 no necesariamente es igual a 0 ya que estos elementos son almacenadores de energía no se tiene en cuenta esta condición para el análisis. Resolución: Aplicando LVK en los elementos del circuito de la figura se obtiene la siguiente ecuación:

V   0 …..POR LO TANTO…… VR  VL  VC  0 Donde aplicando las ecuaciones correspondientes tenemos:

 RI (t )   L

dI (i) dt 



t 

1



 I (t )dt   0 C  t to

Derivando a ambos lados la ecuación con respecto al tiempo se obtiene:  R

dI (t ) dt 

  L

d 2 I (t ) 2

dt 



1

 I (t )  0 C 

La cual es una ecuación diferencial de segundo orden homogéneo para resolver esta ecuación se aplica el método de coeficientes constantes.  Lm 2   Rm 

1

C 

 0 RESUELVO LA ECUACION POR LA FORMULA GENERAL Y HALLO LOS VALORES

DE m mediante la fórmula……….. m 

 b  b 2  4ac 2a

Donde a=L,… b=R,…..y C=1/C

  R   R 2  4 m

 L C 

2 L

Resuelvo y aplico artificios matemáticos. m

m

m

 R 2 L

 R 2 L

 R 2 L

 

 

  2 4 L   R   C    4 L   1

2

 R 2 4 L

2



4 L 2

4CL

2

 

1    R       2 L   LC  2

2

1 1  R    R      R       …….Y………. m2   m1       2 L 2 L  2 L   LC   2 L   LC 

 R

LAS CUALES SON RAICES RELAES Y DISTINTAS...Y APLICANDO LA FORMULA TENEMOS: Una solución de esta manera.  I   c1e m1t   c 2e m 2t 

Cuando las dos raíces son reales y distintas se dice que el circuito es sobre amortiguado. Cundo son reales e iguales, se dice que el circuito es críticamente amortiguado Cuando las dos raíces son complejas conjugadas, se dice que el circuito es su amortiguado. En este procedimiento podemos adicionar un paso que es:  



 R 2 L

1

..... y.....   

 LC 

En donde estas son expresiones usadas para simplificar el análisis de circuitos RLC En resume se puede decir que: Intensidad en función del tiempo: Ahora bien al ser un circuito en serie el la intensidad es la misma en todos los elementos y según nuestros cálculos esta dado por:  I   c1e m1t   c 2e m 2t 

Considerando que los valores de m son 2

2

1  R 1    R      R   …….Y………. m2   m1           2 L 2 L  2 L   LC   2 L   LC 

 R

Para calcular el voltaje en cada elemento lo único que debemos usar son las formulas correspondientes: EJEMPLO Voltaje en la resistencia. V    IR



V   c1e

m1t 

 c2e m 2t   R

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Gracias a esta investigación e logrado identificar la manera de encontrar el voltaje y la intensidad en un circuito RLC que carece de fuente de alimentación lo cual me fue muy útil por el motivo de que reforcé mis conocimientos que tenia sobre este tema. Mediante el desarrollo de esta investigación he aprendido como modelar una ecuación de un circuito de una manera matemática para interpretarlo y tener conclusiones acerca de este.

En esta investigación se ha visto necesario tener un breve conocimiento sobre la resolución de ecuaciones diferenciales por lo que es recomendable que antes de comenzar con este análisis se tenga una idea breve sobre estos temas.

BIBLIOGRAFÍA. http://es.wikipedia.org/wiki/Circuito_RLC http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001601/cap07/Cap7tem1.html http://es.scribd.com/doc/59745925/17/Circuito-RLC-en-serie-sin-fuente http://www.terra.es/personal2/equipos2/rlc.htm Libro análisis de circuitos de William Hayt 8va edición.