ITC
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CIRCUITOS RCL SOBREAMOTIGUADOS, SOBREAMOTIGUADOS, SUBAMORTIGUADOS Y CRÍTICAMENTE AMORTIGUADOS
Antes de comenzar a explicar que son cada uno de estos tipos de circuitos RCL, es posible partir de un circuito RCL conectado en paralelo o de un circuito RCL conectado en serie. Si se toma el caso del circuito en paralelo, paralelo, es preferente preferente obtener obtener una ecuación para el voltaje y si es el caso de un circuito en serie, una ecuación para la corriente en función del tiempo. Aquí, se tomará el caso de un circuito conectado en serie:
Del álgebra, álgebra, es posible posible conocer de (4) las raíces que le dan dan solu soluci ción ón,, nomb nombra rada das s m1 y m2. m2. Empl Emplea eand ndo o la fórmula general:
m1
=− =−
m2
R
2 L
+
R
−
2 L
(
2
R
− 4 L/
)
C (5)
2L
(
2
R
− 4 L/
)
C
2L
Es posible representar de otra forma a la estructura de cada cada soluci solución ón de la ecuaci ecuación ón difere diferenci ncial. al. Ahora, Ahora, se propone lo siguiente:
=
α
R
2
Donde ω 0
Figura1. Circuito RCL en serie
R
L
di (t ) dt
c
+
Ri( t) +
1 C
m1
∫ i( t) dt =
E
2
L
dt
2
+R
di (t ) dt
+
i (t )
=0
C
(2)
2
1 C
=0
es llamado coeficiente de amortiguamiento y
es llamado frecuencia de resonancia. Reescribiendo
(α
= −α +
2
− ω0
2
)
, m2
= −α −
(α
2
− ω0
2
)
1 CIRCUITO SOBREAMORTIGUADO
(3) El caso caso de sobre sobre amorti amortigua guamie miento nto se da cuando cuando la siguiente expresión se cumple dentro de las raíces de la ecuación:
Como ya se tiene la ED para la corriente, el objetivo ahora ahora es hallar hallarle le soluci solución ón de forma forma genera generall para para la corrie corriente nte para para cualqu cualquier ier valor valor dado de un inductor inductor,, resistencia resistencia y capacitor. capacitor. Con ayuda de una una ecuación ecuación auxiliar y como constantes a R, C y L:
Lm + Rm+
(6)
LC
El coeficiente de amortiguamiento, que interviene en los tres casos posibles, es una expresión que determina la medida de la rapidez con la decae o se amortigua la resp respue uest sta a natu natura rall (cua (cuand ndo o la solu soluci ción ón de la ED se obtuvo obtuvo igualand igualando o esta esta a cero) cero) hacia hacia su estado estado final permanente.
Si se sabe que existe una entrada constante de E(t), entonces, diferenciando a (2) con respecto del tiempo, se obtiene una ecuación de segundo orden homogénea:
d i (t )
α
1
=
Ahora, la naturaleza de la corriente dependerá de los valores de la resistencia, el capacitor y el inductor dentro del resultado de m1 y m2. Por ello, existen tres casos en los que se involucra al coeficiente de amortiguamiento amortiguamiento y la frecuencia de resonancia. En cada uno de estos tres casos, el circuito circuito recibe tres distintos distintos nombres: nombres: sobreamor amorti tigu guad ado, o, subsub-am amor orti tigu guad ado o y crít crític icam amen ente te amortiguado.
(1)
L
L
ω 0
la ecuación (5) se obtiene:
Ahora Ahora hay que obtene obtenerr una ecuaci ecuación ón difere diferenci ncial al de segundo orden, debido a que se tienen dos elementos que almacenan energía. energía. De forma rápida, es posible posible conoce conocerr la ecuaci ecuación ón difere diferenci ncial al para para la corrie corriente nte del circuito (de antemano se sabe que la corriente es la misma para todos los elementos conectados). Aplicando LVK alrededor de la malla y sustituyendo las condiciones de corriente del capacitor y voltaje del inductor :
− E + V + V + V = 0
,
α
2
> ω 02
ó R
2
> 4L / C
(7)
Con esta condición, las raíces m1 y m2 serán reales y distin distintas tas.. Con ello, ello, existi existirá rá una soluci solución ón genera generall de forma
(4)
i (t )
1
=
Ae
m1t
+ Be
m2t
(8)
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. Asimismo, es posible representar el comportamiento de la corr corrie ient nte e en func funció ión n del del tiem tiempo po a trav través és de una una gráfica:
En la gráf gráfic ica a ante anteri rior or,, se obse observ rva a que que la corr corrie ient nte e comien comienza za a aument aumentar ar en los primer primeros os instan instantes tes de tiempo y en cierto valor comienza a decrecer (un tiempo mínimo) mínimo) hasta alcanzar alcanzar el punto de equilibrio. equilibrio. Por ello se le llama amortiguamiento crítico, debido a que se deja pasar un cierto tiempo y de forma crítica se amortigua para para prev preven enir ir una una osci oscila laci ción ón de, de, en este este caso caso,, la corriente que existe en el circuito.
3 CIRCUITO SUB-AMORTIGUADO El caso caso de subsub-am amor orti tigu guam amie ient nto o se da cuan cuando do la siguiente expresión se cumple dentro de las raíces de la ecuación: Figura2. Corriente en un circuito sobre-amortiguado α
Como se puede observar en la gráfica anterior, la corriente no presenta un comportamiento oscilatorio, tendiendo hacia el equilibrio al transcurso del tiempo debido a su naturaleza exponencial decreciente.
2 CIRCUITO AMORTIGUADO
CRITICAMENTE
Un circuito circuito RLC está críticamente críticamente amortiguado amortiguado cuando la siguiente expresión se cumple dentro de las raíces de la ecuación: α
2
= ω 02
ó R
2
= 4L / C
=
Ae
m1t
+ Bte
m2t
ó R
2
< 4L / C
(11)
Esta condición se cumple en varias ocasiones al elegir, en el caso de los circuitos RLC en serie, valores de resist resistenc encia ia y capaci capacitan tancia cia muy pequeñ pequeños. os. Con esta esta condición, las raíces m1 y m2 serán números complejos. La solución de forma general a la corriente es:
i (t )
= e ( A cos ωt + B sin ω t ) α t
(12)
Por lo tanto, su representación gráfica de forma general es la siguiente:
(9)
En la práctica, la expresión (8) no es posible, debido a que no se puede conseguir valores para la constante de amortiguamiento y la frecuencia de resonancia iguales, por lo tanto, siempre se tendrán como resultado circuitos sub-amortiguados o sobre-amortiguados en la realidad. Volviendo a la teoría, con esta condición, las raíces m1 y m2 serán serán reales reales e iguale iguales. s. Por lo tanto, tanto, existirá existirá una solución para la corriente en función del tiempo de la forma:
i (t )
< ω 0 2
2
(10)
Repr Repres esen enta tand ndo o el comp compor orta tami mien ento to gene genera rall de la corriente a través del tiempo de un circuito críticamente amortiguado:
Figura3. Corriente en un circuito sub-amortiguado Como se observa en la figura 4, la corriente, desde el inici nicio o y en un inte interv rval alo o de tiem iempo, po, pose posee e un comportam comportamiento iento oscilatorio oscilatorio senoidal y cosenoidal, cosenoidal, cuya amplitud va decrementándose exponencialmente,hasta alca alcanz nzar ar el equi equili libr brio io,, grac gracia ias s a la cons consta tant nte e de amortiguamiento existente en el argumento exponencial. Así como se presentaron los casos de amortiguamiento en un circ circui uito to RLC RLC en seri serie, e, son los los mism mismos os en un circuito circuito RLC en paralelo, paralelo, solamente solamente que se involucra involucra como como incógn incógnita ita el voltaj voltaje e en la ecuaci ecuación ón difere diferenci ncial, al, siendo siendo las gráficas gráficas que representan representan el comportam comportamiento iento del del volt voltaj aje e a trav través és del del tiem tiempo po en un elem elemen ento to de
