APUNTES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS SEGUNDO CURSO DE INGENIEROS INDUSTRIALES Elaborados Elabora dos por Arturo de Pablo, Domingo Pestana y Jos´ e Manuel Rodr´ ıguez ıguez 2. ECUACION ECUACIONES ES Y SISTEMAS SISTEMAS LINEALES LINEALES 2.1. Ecuacion Ecuaciones es de segundo segundo orden incompleta incompletas. s.
on on F ( F (x, y , y ) = 0, se transforma en una ecuaci´on on de primer orden con el Si no aparece y. La ecuaci´
cambio de variable p variable p((x) = y (x), quedando F quedando F ((x,p,p ) = 0.
L a ecuaci ecu aci´´on on F ( F (y, y , y ) = 0, se transforma en una ecuaci´on on de primer orden con el Si no aparece x. La
cambio de variable
y = p( p (y ) ,
y =
dp dp dy dp = = p , dx dy dx dy
quedando F quedando F ((y,p,pdp/dy) y,p,pdp/dy ) = 0. 2.2. Sistemas Sistemas lineales lineales de ecuacione ecuacioness diferenci diferenciales ales y ecuacion ecuaciones es de orden superior. superior. 2.2.1. Teoremas de existencia y unicidad de soluci´ on. on. Teorema 1. Sea el sistema
(1)
f (t, x) , x = f (
x = (x1 , . . . , x n ) ,
donde f : D ⊆ R n+1 −→ R n (D abierto) es tal que f, ∂f/∂x ∂f/∂xj ( j = j = 1, . . . , n) n) son continuas en D en D.. Entonces, para cada (t ( t0 , x0 ) ∈ D, D , existe una ´unica unica soluci´on on x(t) de (1) que satisface x(t0 ) = x 0 y que est´a definida en un entorno (t (t0 − h, t0 + h + h)) de t de t 0 . Teorema 2. Sea la ecuaci´on on
x(n) = f ( f (t,x,x , x , . . . , x(n
(2)
1)
−
),
donde f : D ⊆ R n+1 −→ R (D abierto) es tal que f,∂f/∂x,∂f/∂x , . . . , ∂ f / ∂ x(n 1) son continuas en D en D.. Entonces, para cada (t (t0 , x00 , x01 , . . . , x0n 1 ) ∈ D, D , existe una ´unica unica soluci´on on x (t) de (2) que satisface
−
−
x(t0 ) = x 00 , x (t0 ) = x 01 , . . . , x(n
1)
−
(t0 ) = x 0n
1
−
y que est´ a definida en un entorno (t (t0 − h, t0 + h + h)) de t0 . Teorema 3. Sea la ecuaci´on on
(3)
A(t) x + B( B (t) , x = A(
donde A(t), B (t) son continuas en (m (m1 , m2 ). n Entonces, para cada x0 ∈ R , t0 ∈ (m ( m1 , m2 ), existe una unica u ´ nica soluci´on on x(t) de (3) tal que x(t) = x 0 y que est´a definida definid a en (m1 , m2 ). Teorema 4. Sea la ecuaci´on on
x(n) = a 0 (t) x + a + a1 (t) x + · · · + an
(4)
(n−1) 1 (t) x
−
donde a0 , a1 , . . . , an
1 son
−
continuas en (m (m1 , m2 ). 1
+ b( b(t) ,
Entonces, para cada x 00 , x01 , . . . , x0n
1 ∈ R , t0 ∈ (m1 , m2 ),
existe una u ´ nica soluci´on x(t) de (4) tal que
−
x(t0 ) = x 00 , x (t0 ) = x 01 , . . . , x(n
1)
−
(t0 ) = x 0n
1 ,
−
y que est´a definida en (m1 , m2 ).
2.2.2. Soluci´ on de sistemas lineales. Teorema 5. Sea el sistema lineal homog´eneo de n ecuaciones diferenciales
(5)
x = A(t) x ,
donde A(t) es continua en (m1 , m2 ). Entonces, la soluci´on general (el conjunto de soluciones) de (5) es un espacio vectorial de dimensi´on n. Teorema 6. Sea el sistema lineal de n ecuaciones diferenciales
(6)
x = A(t) x + B(t) ,
donde A(t), B(t) son continuas en (m1 , m2 ). Entonces, la soluci´on general de (6) se obtiene sumando a una soluci´on particular de (6) la soluci´on general de (5). M´ etodo de variaci´ on de las constantes. Si x(t) = c1 ϕ 1 (t) + · · · cn ϕ n (t) es la soluci´on general de (5), una soluci´on particular de (6) puede
escribirse en la forma x(t) = c 1 (t) ϕ 1 (t) + · · · cn (t) ϕ n (t) .
2.2.3. Soluci´ on de sistemas lineales con coeficientes constantes.
Consideremos el sistema
x = A x + B(t) ,
A matriz n × n constante.
Teorema 7. Sea P (λ) = det(A − λI ) el polinomio caracter´ıstico de la matriz A.
• Si λ 0 es una ra´ız del polinomio caracter´ıstico, entonces
c ... satisface 1
∃ c1 , . . . , cn tales que x(t) = e
λ0 t
x = A x .
cn
De hecho puede tomarse como (c1 , . . . , cn ) un autovector correspondiente al autovalor λ 0 .
• Si λ 0 es una ra´ız de multiplicidad r del polinomio caracter´ıstico, entonces existen r soluciones linealmente independientes de x = A x de la forma
p (t) ... , 1
x(t) = e
λ0 t
pn (t)
con p j (t) polinomios de grado ≤ r − 1. 2
Consideremos la ecuaci´on lineal completa (EC)
x(n) + an
1 x
−
(n−1)
+ · · · + a1 x + a0 x = b(t) ,
su ecuaci´ on homog´enea asociada (EH)
x(n) + an
(n−1) 1 x
−
+ · · · + a1 x + a0 x = 0 ,
y su polinomio caracter´ıstico P (λ) = λ n + an
1 λ
−
n−1
+ · · · + a1 λ + a0 .
Teorema 8.
• Si λ 0 es ra´ız del polinomio caracter´ıstico, entonces x(t) = c eλ t es soluci´on de (EH), para todo c ∈ C . • Si λ 0 es ra´ız del polinomio caracter´ıstico de multiplicidad r, entonces 0
x(t) = (c0 + c1 t + · · · + cr
1 t
−
r −1
) eλ
0
t
es soluci´ on de (EH), para todo ci ∈ C . ¯ 0 = α − iβ son ra´ıces del polinomio caracter´ıstico, entonces, para todos Observaci´ on 1. Si λ 0 = α + iβ y λ c1 , c2 ∈ C , ¯0 t
x(t) = c 1 eλ t + c2 eλ 0
es soluci´ on de (EH), por lo que tambi´en lo es x(t) = k 1 eαt cos βt + k2 eαt sen βt , para todos k 1 , k2 ∈ C . on particular de (EC) se puede transformar (EC) en un sistema Observaci´ on 2. Para encontrar una soluci´ de n ecuaciones de primer orden y aplicar el m´etodo de variaci´on de las constantes. Teorema 9. Supongamos que b(t) = p(t) eλt con p polinomio de grado m.
• Si λ no es ra´ız del polinomio caracter´ıstico, entonces existen b 0 , b1 , . . . , bm tales que x(t) = (bm tm + · · · + b1 t + b0 ) eλt es soluci´ on particular de (EC). • Si λ es ra´ız de multiplicidad r del polinomio caracter´ıstico, entonces existen b0 , b1 , . . . , bm tales que x(t) = (bm tm + · · · + b1 t + b0 ) tr eλt es soluci´ on particular de (EC). Observaci´ on 3. En particular, lo anterior se aplica si b(t) es un polinomio de grado m (λ = 0). Observaci´ on 4. Supongamos que
b(t) = p(t) eαt cos βt + q (t) eαt sen βt con p y q polinomios, m = max{grado p, grado q }. 3
• Si α+iβ , α − iβ no son ra´ıces del polinomio caracter´ıstico, entonces existen d0 , d1 , . . . , dm , b0 , b1 , . . . , bm tales que x(t) = (dm tm + · · · + d1 t + d0 ) eαt cos βt + (bm tm + · · · + b1 t + b0 ) eαt sen βt es soluci´ on particular de (EC). • Si α + iβ , α − iβ son ra´ıces de multiplicidad r del polinomio caracter´ıstico, entonces existen d 0 , d1 , . . . , dm , b 0 , b1 , . . . , bm tales que x(t) = (dm tm + · · · + d1 t + d0 ) tr eαt cos βt + (bm tm + · · · + b1 t + b0 ) tr eαt sen βt es soluci´ on particular de (EC). on particular de Teorema 10. Si x j es soluci´ x(n) + an para j = 1, 2, . . . , m, entonces x =
(n−1) 1 x
−
m j =1 xj es
+ · · · + a1 x + a0 = b j (t)
soluci´on de m
(n)
x
+ an
1 x
−
(n−1)
+ · · · + a1 x + a0 =
j =1
4
bj (t) .