Analisa Numerik Kecepatan Benda Jatuh Bebas Dengan Menggunakan Metode Heun Berbasis Matlab

ANALISA NUMERIK KECEPATAN BENDA JATUH BEBAS DENGAN MENGGUNAKAN METODE HEUN BERBASIS MATLAB Makalah ini disusun sebagai Tugas Matakuliah Pemrograman Pemrograman Lanjut

EDI PRASETYO M0210019

JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET TAHUN 2013

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.





Daftar Isi

Tujuan...............................................................................................

3

Dasar Teori................................... Teori........................................................................................ .....................................................

3

Perancangan Program................................................ Program....................................................................... .......................

6

Hasil....................................................................................................

8

Pembahasan......................................................................................

8

Kesimpulan........................................................................................

9

Daftara Pustaka.......................... Pustaka.................................................................................. ........................................................

10





Analisa Numerik Kecepatan Benda Jatuh Bebas Dengan Menggunakan Metode Heun Berbasis Matlab Tujuan

Dapat menganalisa kecepatan kecepatan benda jatuh jatuh bebas dengan metode Heun menggunakan MATLAB Dasar teori 

Matlab Matlab adalah bahasa canggih untuk perograman komputer yang diproduksi oleh The Mathworks, inc. Secara umum, matlab dapat digunakan untuk: 1. Matematika dan komputasi 2. Pengembangan algoritma 3. Pemodelan, simulasi dan pembuatan prototipe 4. Analisis data, eksplorasi dan visualisasi 5. Pembuatan aplikasi, termasuk pembuatan antar muka grafis Prosedur perhitungan, visualisasi dan pemrograman dengan matlab sangat mudah dilakukan karena variabelnya dinyatakan dalam notasi metematika biasa. Penamaan variabel dalam matlab dilakukan secara langsung tanpa melalui deklarasi seperti pada pascal, delphi dan fortran. Basis data dalam bentuk syntax tidak perlu dinyatakan secara khusus, sehingga memudahkan perhitungan dalam waktu yang lebih singkat. Fisika kommputasi merupakan idealisasi fenomena fisis dengan bantuan komputer. Pemanfaatan matlab untuk fisika komputasi diperlakukan ebagai kalkulator tercanggih yang dapat diprogram. Kerumitan metode komputasi untuk sistem fisika dapat direduksi oleh kemampuan matlab dalam memecahkan operasi matematika secara langsung, serta prosedur operasi dalam matlab dapat mereduksi kerumitan pemrograman





Hukum newton kedua dapat dipakai untuk menentukan kecepatan berhenti dari sebuah benda yang jatuh bebas dekat permukaan bumi. Hal ini dapat diturunkan suatu model dengan menyatakan percepatan sebagai laju waktu dari perubahan kecepatan (dv/dt ( dv/dt ). ). 

m



=F

(1)

Dimana v adalah kecepatan (dalam m/detik). Jadi massa dikalikan dengan laju perubahan kecepatan adalah setara dengan gaya netto yang bekerja pada benda. Kalau gaya netto itu positif, benda akan dipercepat dan bila negatif, benda akan diperlambat. Jika gaya netto adalah nol, kecepatan benda akan tetap pada tingkat yang konstan. Untuk sebuah benda yang jatuh disekitar permukaan bumi, gaya netto itu terdiri dari dua gaya yang berlawanan. Kebawah gaya tarik gravitasi F D dan ke atas adalah gaya yang disebabkan oleh gesekan udara F u F = FD + Fu

(2)

Kalau gaya kebawah diberi tanda positif, hukum kedua dapat digunakan untuk merumuskan gaya yang disebabkan gravitasi FD = mg

(3)

Dimana g adalah konstanta gravitasi atau percepatan disebabkan gravitasi yang harganya 9.8 m/s

2

Tahanan udara dapat diformulasikan dalam berbagai cara. Suatu pendekatan yang sederhana adalah dengan menganggap bahwa harganya berbanding linier dengan kecepatan, seperti: Fu = -cv (4) Dimana c ialah konstanta perbandingan yang disebut dengan koefisien tahanan (dalam kg/detik). Jadi semakin besar kecepatan jatuh, semakin besar besar gaya





Gaya total merupakan perbedaan antara gaya kebawah dan keatas. Karenanya persamaan (1) dan (4) dapat digabungkan agar memenuhi 

m

= mg – cv



(5)

atau jika tiap suku dibagi m, maka:  

=g-

 

v

(6)

Persamaan (6) adalah suatu model yang menghubungkan percepatan dari sebuah benda jatuh terhadap gaya yang bekerja padanya. Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial diferensial karena karena ditulis dalam suku laju diferensial (dv/dt). 

Metode heun Metode Heun merupakan modifikasi dari metode Euler. Modifikasi dilakukan dalam memperkirakan kemiringan

.

Metode ini memperkirakan dua turunan pada interval, yaitu

pada ujung awal dan akhir. Kedua turunan tesebut kemudian diratakan untuk mendapatkan perkiraan kemiringan yang lebih baik (Gambar 8.4). Berdasarkan metode Euler, kemiringan pada ujung awal dari interval adalah:

yi'



f ( xi , yi )

(7)

Kemiringan tesebut digunakan untuk menghitung nilai y i sehingga:

+ 1

dengan ekstrapolasi linier





0

Nilai yi

1

dari persamaan (8.14) tersebut kemudian digunakan untuk memperkirakan

kemiringan pada ujung akhir interval, yaitu:

yi'



f ( xi 1 , yi0 1 )

1



(9)



Kedua kemiringan yang diberikan oleh persamaan (8.13) dan persamaan (8.15), kemudian diratakan untuk memperoleh kemiringan pada interval, yaitu:

y ' 

yi'  yi0



2

1



f ( x i 1 , yi0 1 ) 



2

(10)

Kemiringan rerata tersebut kemudian digunakan untuk ekstrapolasi linier dari y i ke y i +

1

dengan menggunakan metode Euler:

yi



1

yi



f ( xi , yi )  f ( x i 1 , yi0 1 ) 

2



Δ x

(11)

Metode Heun ini disebut juga metode prediktor-korektor . Persamaan (8.14) disebut dengan persamaan prediktor persamaan prediktor , sedang persamaan (8.16) disebut dengan persamaan korektor .

Perancangan program

Persamaan yang dapat menggambarkan gerakan sebuah benda bermassa m yang dijatuhkan dari keadaan diam adalah persamaan diferensial newton  

=g-

 

v 2

Koefisien tahanan udara kira-kira 12,5 kg/s dan gaya gravitasi sebesar 9,8 m/s maka persamaan diatas menjadi  

=9,8 -

 

v

(12)

Persamaan (12) diselesaikan dengan menggunkan metode heun, algoritma penyelesaiannya adalah:









Menentukan gradien ekstrapolasi: v’ 1 = f (t (t1,v1) = 9,8 -



Menentukan gradien rata-rata: ̅ =



Menentukan titik berikutnya: v 2 =v’0+ ̅ ∆t

   

mulai

Meng-input nilai : 

Massa



Iterasi



∆t

Titik awal

v0

Menetukan gradien awal (t0,v0) = 9,8 v’0 = f (t

 

v

Melakukan ekstrapolasi: v1= v0 + (v’0)∆t

Menentukan gradien ekstrapolasi: v’1 = f (t (t1,v1) = 9,8 -

 

Menentukan gradien rata-rata:  ̅ =

  



Menentukan titik berikutnya: v 2 =v’0+  ̅ ∆t

Grafik kecepatan

selesai

 





% Program Metode Heun Gerak Jatuh bebas % By edi prasetyo disp(' disp(' ') disp('############################################' disp('############################################' ) disp('# disp('# SOLUSI PERSAMAAN GERAK BENDA JATUH BEBAS disp('############################################' disp('############################################' ) disp(' disp(' ') format short m=input('Massa m=input( 'Massa (kg) = ' ); n=input('jumlah n=input( 'jumlah iterasi/ waktu jatuh (second)= ' ); deltat=input('interval deltat=input('interval setiap titik= ' ); x=zeros(n,1);v=x;vga=x;vea=x;vm=x; v(1)=0; vga(1)=10-(12.5/m)*(v(1)); vea(1)=v(1)-v(1)^2*deltat; vm(1)=(vga(1)+vea(1))/2; v(2)=v(1)+vm(1)*deltat; for i=2:n vga(i)=10-(12.5/m)*(v(i))^2; vea(i)=v(i)-v(i)^2*deltat; vm(i)=(vga(i)+vea(i))/2; v(i+1)=v(i)+vm(i)*deltat; end plot(v,'b.:' plot(v,'b.:') ) title('Kurva title( 'Kurva dv/dt', dv/dt' ,'fontsize' ,16) xlabel('t xlabel('t (s)','fontsize' (s)', 'fontsize',14) ,14) ylabel('v ylabel('v (m/s)' ,'fontsize' (m/s)', 'fontsize',14) ,14) grid on

#' )

Pembahasan

Program untuk solusi persamaan persamaan gerak benda jatuh bebas kemudian dijalankan. dijalankan. Pada awal program, program meminta inputan massa, waktu jatuh dan interval titik.





Grafik diatas menjelaskkan model benda yang bermassa 100 kg bergerak jatuh bebas dengan memperhitungkan memperhitungkan gaya gesek gesek udara. Benda bergerak jatuh semakin cepat atau mengalami percepatan, hal ini dapat dilihat pada grafik yang semakin memuncak seiring berjalannya waktu. Digrafik tersebut diperlihatkan bahwa semakin lama waktu percepatannya semakin menurun, ini diperlihatkan pada grafik setelah

memuncak

kemudian pada waktu waktu tertentu grafik grafik tersebut semakin mendatar . Setelah suatu waktu waktu kecepatan benda jatuh ini akan tiba pada suatu saat dimana kecepatannya menjadi tetap atau disebut dengan kecepatan terminal. Kecepatan konstan ini terjadi karena gaya grafitasi akan seimbang dengan gaya gesek udara. Jadi gaya total menjadi nol dan percepatan terhenti





Daftar pustaka

Aminuddin, Jamrud.2008.Dasar-dasar Jamrud.2008.Dasar-dasar Fisika Komputasi Menggunakan MATLAB.Gava media:yogyakarta Chapra & raymond Terjemahan sardy s.1991.Metode s.1991. Metode Numerik Untuk Teknik. UI-press:depok

Analisa Numerik Kecepatan Benda Jatuh Bebas Dengan Menggunakan Metode Heun Berbasis Matlab

Recommend Documents