ALZ DANNY WOWOR
Bagian 1
Pengantar engantar Metode Numerik
Pengertian Pengertian Metode Numerik Numerik
Pengertian Pengertian Metode Numerik Numerik !
Secara etimologi, metode artinya cara sedangkan numerik adalah angka, sehingga metode numerik berati numerik berati cara berhitung menggunakan angka-angka.
Pengertian Metode Numerik !
Secara etimologi, metode artinya cara sedangkan numerik adalah angka, sehingga metode numerik berati cara berhitung menggunakan angka-angka.
!
Secara umum, Metode Numerik diartikan sebagai teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan aritmatika biasa (tambah, kurang, kali dan bagi)
Pengertian Metode Numerik !
Secara etimologi, metode artinya cara sedangkan numerik adalah angka, sehingga metode numerik berati cara berhitung menggunakan angka-angka.
Mengapa menggunakan Metode Numerik
Mengapa menggunakan Metode Numerik "
Banyak persoalan dalam berbagai ilmu pengetahuan seperti fisika, kimia, ekonomi, teknik dan sebaginya yang menggunakan model matematika.
Mengapa menggunakan Metode Numerik "
Banyak persoalan dalam berbagai ilmu pengetahuan seperti fisika, kimia, ekonomi, teknik dan sebaginya yang menggunakan model matematika.
"
Seringkali model tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal atau rumit.
Mengapa menggunakan Metode Numerik "
Banyak persoalan dalam berbagai ilmu pengetahuan seperti fisika, kimia, ekonomi, teknik dan sebaginya yang menggunakan model matematika.
"
Seringkali model tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal atau rumit.
"
Model rumit tersebut adakalanya tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik yang sudah umum untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution)
Contoh 1:
Contoh 1: 1. Tentukan akar-akar persamaan polinomial
Contoh 1: 1. Tentukan akar-akar persamaan polinomial !"!!! !
! !"! ! ! !!!"! ! ! !"! ! ! !"! ! !"!!
!
!
Contoh 1: 1. Tentukan akar-akar persamaan polinomial !"!!! !
! !"! ! ! !!!"! ! ! !"! ! ! !"! ! !"!!
!
!
2. Tentukan harga x yang memenuhi persamaan:
Contoh 1: 1. Tentukan akar-akar persamaan polinomial !"!!! !
! !"! ! ! !!!"! ! ! !"! ! ! !"! ! !"!!
!
!
2. Tentukan harga x yang memenuhi persamaan: !"!!!
!!
!
!
!
!
!"#
!!
! !"#! ! !"!
!
!! !
! !"
Contoh 1: 1. Tentukan akar-akar persamaan polinomial !"!!! !
! !"! ! ! !!!"! ! ! !"! ! ! !"! ! !"!!
!
!
2. Tentukan harga x yang memenuhi persamaan: !"!!!
3.
!!
!
!
!
!
!"#
!!
! !"#! ! !"!
!
!! !
! !"
Hitung nilai integral tentu berikut:
Contoh 1: 1. Tentukan akar-akar persamaan polinomial !"!!! !
! !"! ! ! !!!"! ! ! !"! ! ! !"! ! !"!!
!
!
2. Tentukan harga x yang memenuhi persamaan: !"!!!
!!
!
!
!
!
!"#
!!
! !"#! ! !"!
!
!! !
! !" ! !!
3.
!"!!!
Hitung nilai integral tentu berikut: ! !!
!!
!"" !
!!!
! !
!
!! !
! !!
!"
Metode Analitik vs Metode Numerik
Metode Analitik vs Metode Numerik
•
Pada contoh 1, menunjukan bahwa beberapa permasalahan matematika tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik.
Metode Analitik vs Metode Numerik
•
Pada contoh 1, menunjukan bahwa beberapa permasalahan matematika tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik.
•
Metode analitik disebut juga sebagai metode sejati karena memberikan solusi sejati (exact solution) atau solusi sesungguhnya, yaitu solusi yang memiliki galat (error ) sama dengan nol.
Metode Analitik vs Metode Numerik
•
Pada contoh 1, menunjukan bahwa beberapa permasalahan matematika tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik.
•
Metode analitik disebut juga sebagai metode sejati karena memberikan solusi sejati (exact solution) atau solusi sesungguhnya, yaitu solusi yang memiliki galat (error ) sama dengan nol.
•
Metode analitik hanya unggul untuk sejumlah persoalan terbatas, yaitu persoalan yang berdimensi rendah,
Metode Analitik vs Metode Numerik
•
Pada contoh 1, menunjukan bahwa beberapa permasalahan matematika tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik.
•
Metode analitik disebut juga sebagai metode sejati karena memberikan solusi sejati (exact solution) atau solusi sesungguhnya, yaitu solusi yang memiliki galat (error ) sama dengan nol.
•
Metode analitik hanya unggul untuk sejumlah persoalan terbatas, yaitu persoalan yang berdimensi rendah,
•
Padahal persoalan yang muncul dalam dunia nyata seringkali tak-linier serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Sehingga penyelesaian dengan metode analitik menjadi terbatas.
•
Perbedaan antara metode analitik dan metode numerik terletak pada cara memperoleh solusi. Metode analitik langsung memperoleh solusi sejati.
•
Perbedaan antara metode analitik dan metode numerik terletak pada cara memperoleh solusi. Metode analitik langsung memperoleh solusi sejati.
•
Metode numerik memperoleh hasil dengan mengahampiri atau mendekati solusi sejati, sehingga sering disebut sebagai solusi hampiran (approximation) atau solusi pendekatan.
•
Perbedaan antara metode analitik dan metode numerik terletak pada cara memperoleh solusi. Metode analitik langsung memperoleh solusi sejati.
•
Metode numerik memperoleh hasil dengan mengahampiri atau mendekati solusi sejati, sehingga sering disebut sebagai solusi hampiran (approximation) atau solusi pendekatan.
•
Solusi hampiran jelas tidak sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih diantara keduanya, selisih inilah yang disebut dengan galat (error ).
•
Perbedaan antara metode analitik dan metode numerik terletak pada cara memperoleh solusi. Metode analitik langsung memperoleh solusi sejati.
•
Metode numerik memperoleh hasil dengan mengahampiri atau mendekati solusi sejati, sehingga sering disebut sebagai solusi hampiran (approximation) atau solusi pendekatan.
•
Solusi hampiran jelas tidak sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih diantara keduanya, selisih inilah yang disebut dengan galat (error ).
•
Sebagai ilustrasi penyelesaian dengan metode numerik, perhatikan contoh berikut.
Contoh 2: !
Carilah hasil dari
!
! !!
!"
!! #
Dengan metode analitik diperoleh solusi sejati !
!
! !!
!
!"
!
!!
!
!
!
! !!
!!
Perhatikan bahwa
! !!
!
!!
!
! !
! !!!! !
!
!
!
!
! !!
!
!! !
!
!!
!
!
adalah solusi analitik dalam bentuk fungsi matematik,
sedangkan 22/3 adalah nilai numerik integral-tentu yang diperoleh dengan cara mengevaluasi fungsi matematik pada batas integrasi
!
!
!! dan
!
!
!
#
Dengan metode numerik, diselesaikan dengan interpretasi geometri integral f ( x ) dari x = a sampai x = b adalah luas yang dibatasi oleh kurva f ( x ), sumbu- x , dan garis x = a, dan x = b.
-
Luas daerah dapat dihampiri dengan cara membagi daerah interasi [-1, 1] atas sejumlah trapesium (dipilih lebar 0.5).
Sehingga diperoleh !"#$
!
!!!!
! !!
!
!
!!! !
!
!
!
! !
! !!
!
!
!
!
! ! !
! !!
!
!
!
!
!
! !
! ! ! !
! !
! ! !
! ! !
! !
!
! !!
! ! !
! !
!
!!! !
! !!
! !
!
!
!
!
! !! !
! ! !!! ! ! ! !!! ! !
!
!
!
! !
! ! !
!
! !! !
!!!"
Diperoleh solusi hampiran 7.25 ( tanda “!” artinya “kira-kira”) terhadap solusi sejati 22/3. Galat solusi hampiran terhadap solusi sejati adalah !"#"$
!
!!!"
!!
!
!
!
!!!"
! !!!! !
!
!!!"### !
Galat dapat diperkecil dengan membuat trapesium yang lebih kecil (yang artinya jumlah trapesium semakin banyak, sehingga jumlah komputasi semakin banyak)
Tahap-Tahap Memecahkan Persoalan Secara Numerik
Tahap-Tahap Memecahkan Persoalan Secara Numerik 1.
Pemodelan
2.
Penyederhanaan Model
3.
Formulasi Numerik
4.
$
Menentukan metode numerik yang dipakai
$
Membuat algoritma penyelesaian
Pemrograman $
5.
Pengujian $
6.
Membuat coding Tes dengan uji data
Evaluasi $
Menganalisis hasil numerik
Perbedaan Metode Numerik dengan Analisis Numerik
Perbedaan Metode Numerik dengan Analisis Numerik Menurut Rinaldi Munir.
Perbedaan Metode Numerik dengan Analisis Numerik Menurut Rinaldi Munir. Metode adalah algoritma, menyangkut langkah-langkah penyelesaian persoalan secara numerik, sedangkan
Perbedaan Metode Numerik dengan Analisis Numerik Menurut Rinaldi Munir. Metode adalah algoritma, menyangkut langkah-langkah penyelesaian persoalan secara numerik, sedangkan Analisis numerik adalah terapan matematika untuk menganalisis metode.
Perbedaan Metode Numerik dengan Analisis Numerik Menurut Rinaldi Munir. Metode adalah algoritma, menyangkut langkah-langkah penyelesaian persoalan secara numerik, sedangkan Analisis numerik adalah terapan matematika untuk menganalisis metode.
Perbedaan Metode Numerik dengan Analisis Numerik Menurut Rinaldi Munir. Metode adalah algoritma, menyangkut langkah-langkah penyelesaian persoalan secara numerik, sedangkan Analisis numerik adalah terapan matematika untuk menganalisis metode.
Sedangkan menurut Sangadji.
Perbedaan Metode Numerik dengan Analisis Numerik Menurut Rinaldi Munir. Metode adalah algoritma, menyangkut langkah-langkah penyelesaian persoalan secara numerik, sedangkan Analisis numerik adalah terapan matematika untuk menganalisis metode.
Sedangkan menurut Sangadji. Pada analisa numerik, pangkajiannya mendalam dan relevansi dengan kenyataan kurang diperhatikan.
Perbedaan Metode Numerik dengan Analisis Numerik Menurut Rinaldi Munir. Metode adalah algoritma, menyangkut langkah-langkah penyelesaian persoalan secara numerik, sedangkan Analisis numerik adalah terapan matematika untuk menganalisis metode.
Sedangkan menurut Sangadji. Pada analisa numerik, pangkajiannya mendalam dan relevansi dengan kenyataan kurang diperhatikan. Sedangakan metode numerik, yang dipentingkan adalah memenuhi kebutuhan metode untuk memenuhi masalah yang timbul dalam kenyataan.
Materi yang akan dipelajari dalam Metode Numerik 1. Solusi Persamaan Non-linier
Dicari x sehingga f ( x ) = 0
2. Solusi Sistem Persamaan Linier
Selesaikan sistem persamaan linier seperti a11 x 1 + a12 x 2 = c 1 a21 x 1 + a22 x 2 = c 2 untuk harga-harga x 1 dan x 2.
3. Interpolasi Polinomial
Diberikan titik-titik (x 0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn). Tentukan polinom pn(x) yang melalui semua titik tersebut
4. Turunan Numerik
Diberikan titik (xi, yi) dan titik (xi+1, yi+1). Tentukan f ’( x i ).
5. Integrasi Numerik !
Hitung integral
!
!
!
!
!
!"
6. Solusi Persamaan Diferensial Biasa dengan nilai awal
Diberikan dy /dx = f (x, y) dan nilai awal y0 = y( x 0) Tantukan nilai y( x t) untuk x t ! R
Latihan Carilah hasil integral berikut, dengan metode analitik dan metode numerik, juga galatnya. !
!
!! !
!
!
!
!"
!! !
!!"# ! ! !"# !!! !"
!! !
Acuan •
Munir, Rinaldi, 2003, Metode Numerik, Bandung: Informatika : [hal 1-16].
•
Sangadji, 2008, Metode Numerik, Yogyakarta: Graha Ilmu : [hal 1-2].
