BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Seiring pesatnya perkembangan teknologi dan kemajuan zaman, maka diperlukan suatu produk dengan ketelitian dan akurasi tinggi, dan waktu pengerjaan yang singkat. Begitu juga dengan permasalahan dalam bidang ilmu pengetahuan fisika murni maupun terapan, bidang rekayasa teknik metalurgi, mesin, elektro, sipil dan lain-lain dituntut hal yang sama, diman dimanaa dalam dalam suatu suatu perhit perhitung ungan an dengan dengan data data num numeri erikk membut membutuhk uhkan an ketelitian dan akurasi yang cukup baik. Pada saat teknologi informasi belum ada atau boleh dikatakan belum maju pesat, para praktisi dan profe profesio siona nall di bidang bidang rekay rekayasa asa teknik teknik dan sain sain menga menganal nalisa isa denga dengann perhitungan manual. Simplifikasi digunakan dimana struktur yang sangat kompleks disederhanakan menjadi struktur yang lebih sederhana. Artinya akan terjadi perbedaan dari suatu permodelan dengan kondisi aktual. Hal ini dilakukan untuk menghindari kesulitan dalam analisa. Adanya perkembangan teknologi informasi yang sangat pesat pada saat ini mendorong para praktisi untuk mengembangkan cara baru agar pekerjaan analisa dapat dilakukan dengan lebih baik dan lebih efektif. Meto Metode de kalk kalkul ulas asii deng dengan an ma matr trik ikss dapa dapatt dila dilaku kuka kann deng dengan an mu muda dahh mengguna menggunakan kan teknolog teknologii informasi. informasi. Sudah banyak banyak persoala persoalann di bidang bidang teknik teknik maupun maupun sain sain yang yang dapat dapat disele diselesai saika kann dengan dengan me mengg ngguna unaka kann permodel permodelan an matematik matematika. a. Sering Sering kali permodel permodelan an matematik matematikaa tersebut tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal, sehingga tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan metode analitik untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution). 1
Jika persoalan-persoalan yang kita hadapi tidak dapat diselesaikan dengan dengan metode metode permodela permodelann matematika matematika metode metode analitik analitik mengguna menggunakan kan dalil dalil-dal -dalil il kalkul kalkulus, us, maka maka solusi solusinya nya dapat dapat dipero diperoleh leh denga dengann metode metode numeri num erik. k. Metod Metodee num numeri erikk secar secaraa harfia harfiahh berart berartii suatu suatu cara cara berhit berhitung ung denga dengann menggu mengguna nakan kan angka angka-an -angka gka,, sedang sedangka kann secara secara istila istilahh metode metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmatika biasa. Dengan menggunakan metode numerik, solusi exact dari persoalan yang yang diha dihada dapi pi tida tidakk akan akan dipe dipero role leh. h. Meto Metode de nume numeri rikk hany hanyaa bisa bisa membe me mberik rikan an solus solusii yang yang
mendek mendekati ati atau mengha menghampi mpiri ri solus solusii sejati sejati
sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran ( approximation solution). Pendekatan solusi ini tentu saja tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Solusi tersebut disebut solusi galat (error). Semakin kecil galat yang diperoleh berarti semakin dekat solusi hampiran yang diperoleh dengan solusi sejatinya.
1.2
Tujuan
Tujua Tujuann penyus penyusuna unann makala makalahh ini adalah adalah untuk untuk memper mempermud mudah ah pemahaman prinsip dasar mengenai integrasi numerik khususnya dengan mengg me ngguna unakan kan Aturan Aturan Simpso Simpsonn sehing sehingga ga dalam dalam pengap pengaplik likasi asiann annya ya di lapangan menjadi lebih mudah dan akurat.
2
BAB II LANDASAN TEORI
2.1
Integrasi Numerik
Gambar 1 Integral Suatu Fungsi
Int Integral
suatu
fungsi
adalah
operator
matem tematik tik
yang
dipresentasikan dipresentasikan dalam bentuk: b
I = ∫ f ( x ) dx a
dan merupakan integral suatu fungsi f ( x x) terhadap variabel x dengan batas-batas integrasi adalah dari x = a sampai x = b. Seperti pada Gambar 1 dan persamaan di atas yang dimaksud dengan integral adalah nilai total atau luasan yang dibatasi oleh fungsi f ( x x) dan sumbu- x, serta antara batas x = a dan x = b. Dalam integral analitis,
persamaan (7.1) dapat diselesaikan
menjadi: 3
b
∫ f ( x) dx = [ F ( x)] a = F (b) − F (a ) b
a
dengan F ( x x) adalah integral dari f ( x x) sedemikian sehingga F ' ( x x) = f ( x x). Sebagai contoh: 3
1 3 ∫ x dx = x = 0 3 0 3
2
1 3 1 3 3 (3) − 3 (0) = 9.
Integral numerik dilakukan apabila: 1) Integral Integral tidak dapat dapat (sukar) (sukar) diselesa diselesaikan ikan secara secara analisis. analisis. 2)
Fungsi yang diintegralkan tidak diberikan dalam bentuk analitis, tetapi secara numerik dalam bentuk angka (tabel). Meto Metode de inte integr gral al nume numerik rik me meru rupa paka kann inte integr gral al tert terten entu tu yang yang
dida didasa sark rkan an pada pada hitu hitung ngan an perk perkir iraa aan. n. Hitu Hitung ngan an perk perkira iraan an ters terseb ebut ut dilakukan dengan fungsi polinomial yang diperoleh berdasar data tersedia. Bentuk paling sederhana adalah apabila tersedia dua titik data yang dapat dibentuk fungsi polinomial order satu yang merupakan garis lurus (linier). Seperti pada Gambar 2a, akan dihitung: b
I = ∫ f ( x) dx a
yang merupakan luasan antara kurva f ( x x) dan sumbu- x serta antara x = a dan x = b, bila nilai f (a) dan f (b) diketahui maka dapat dibentuk fungsi polinomial order satu f 1( x x). Dalam gambar tersebut fungsi f ( x x) didekati oleh f 1( x x), sehingga integralnya dalam luasan antara garis f 1( x x) dan sumbu- x serta antara x = a dan x = b. Bidang tersebut merupakan bentuk trapesium yang luasannya dapat dihitung dengan rumus geometri, yaitu:
4
I = ( b − a )
f (a ) + f (b) 2
Dalam Dalam integr integral al num numeri erik, k, pendek pendekata atann terseb tersebut ut diken dikenal al dengan dengan metode trapesium. Dengan pendekatan ini integral suatu fungsi adalah sama dengan luasan bidang yang diarsir (Gambar 2), sedang kesalahannya adalah sama dengan luas bidang yang tidak diarsir. Apabila hanya terdapat dua data f (a) dan f (b), maka hanya bisa dibentuk satu trapesium dan cara ini dikenal dengan metode trapesium satu pias. Jika tersedia lebih dari dua data, maka dapat dilakukan pendekatan deng dengan an lebi lebihh dari dari satu satu trape trapesi sium um,, dan dan luas luas tota totall adal adalah ah juml jumlah ah dari dari trapes trapesium ium-tra -trapes pesium ium yang yang terbe terbentu ntuk. k. Cara Cara ini dikena dikenall dengan dengan metod metodee trapesium banyak pias. Seperti pada Gambar 2b, dengan tiga data dapat dibentuk dua trapesium, dan luas kedua trapesium (bidang yang diarsir) adalah pendekatan pendekatan dari integral fungsi. f ungsi. Hasil pendekatan ini lebih baik dari pada pada pende pendekat katan an dengan dengan satu satu pias. pias. Apabil Apabilaa diguna digunakan kan lebih lebih banya banyak k trapesium hasilnya akan lebih baik. Fung Fungsi si yang yang diin diinte tegr gral alka kann dapa dapatt pula pula dide dideka kati ti oleh oleh fung fungsi si polinomial dengan order lebih tinggi, sehingga kurva yang terbentuk tidak lagi linier, seperti dalam metode trapesium, tetapi kurva lengkung. Seperti pada Gambar 2c, tiga data yang ada dapat digunakan untuk membentuk polin polinomi omial al order order tiga. tiga. Metode Metode Simpso Simpsonn merupa merupaka kann metode metode integr integral al numerik yang menggunakan fungsi polinomial dengan order lebih tinggi.
5
Metode Metode Simpson Simpson 1/3 menggunakan menggunakan tiga titik data (polinomial (polinomial order order dua) dan Simpson 3/8 menggunakan empat titik data (polinomial order tiga). Jarak antara titik data tersebut adalah sama.
Gambar 2 Metode Integral Numerik
Meto Metode de num numerik erik me meru ruppakan kan tek teknik nik yan yang dig digunak unakaan untuk tuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operas operasii hitung hitungan/ an/ari aritma tmatik tikaa biasa biasa.. Solusi Solusi angka angka yang yang didapa didapatka tkann dari dari metod me todee num numeri ericc adalah adalah solusi solusi yang yang mendek mendekati ati nilai nilai sebena sebenarny rnya/s a/solu olusi si pendekatan (approximation) dengan tingkat ketelitian yang kita inginkan. Karena tidak tepat sama dengan solusi sebenarnya, ada selisih diantara kedua keduanya nya yang yang kemudi kemudian an disebu disebutt galat galat/er /error ror.. Metode Metode num numeri ericc dapat dapat menyelesaikan persoalan didunia nyata yang seringkali non linier, dalam bentuk dan proses yang sulit diselesaikan dengan metode analitik. Meto Metode de nume numeri rikk juga juga me meru rupa paka kann pira pirant ntii utam utamaa yang yang dipa dipaka kaii ilmuwan dalam mencari pendekatan jawaban untuk integral tentu yang tidak bisa diselesaikan secara analitik. Pada bidang statistika termodinamik, model Debye untuk menghitung kapasitas panas dari benda memenuhi fungsi:
saat tidak ada pernyataan analitik untuk Ô(x) , integrasi numerik harus digunakan untuk mencari nilai pendekatannya. Sebagai contoh, nilai Ô(5) adalah area dibawah kurva y=f(t)=t3/(et-1) untuk 0 t 5.
6
Tujuan dari pembahasan materi ini adalah untuk memahami prinsip –prinsip –prinsip dasar dasar integrasi integrasi numerik. numerik. Sasaran Sasaran dasarnya dasarnya adalah adalah pendekat pendekatan an integral tentu f(x) pada selang a_ x_b dengan sejumlah titik-titik sampel ( sample nodes), (x0,f0), (x1,f1), (x2,f2),…., (xM,fM) dengan f k=f(xk). Rumus pendekatan berbentuk:
Nilai-nilai ù0, ù 1,…, ùM berupa berupa konstanta atau bobot. Tergantung pada penerapan yang diinginkan, simpul-simpul xk dipilih dalam berbagai cara. Untuk aturan Trapesium, Simpson, dan aturan Boole, simpul-simpul xk=a+hk dipilih berjarak sama. Untuk integrasi Gauss-Legendre simpulsimpul simpul dipilih dipilih berup berupaa titik-t titik-titi itikk nol dari dari polino polinom-p m-poli olinom nom Legen Legendre dre tertentu. Bilamana formula integrasi dipakai menurunkan suatu algoritma ekspl eksplisi isitt untuk untuk me memec mecahk ahkan an persam persamaan aan difere diferensi nsial, al, simpul simpul-sim -simpul pul semu semuan anya ya dipi dipili lihh lebi lebihh keci kecill dari dari b. Bebe Bebera rapa pa form formul ulaa um umum um yang yang berdasarkan pada interpolasi polinom disebut formula integrasi Newton Cotes. Ketika titik sample x0=0 dan xM=b digunakan dalam formula, formula tersebut dinamakan formula Newton Cotes tertutup. 7
Berikut ini adalah beberapa metode integrasi numerik yang popular digunakan: a.
Trapezoidal Rule (Aturan Trapesium) Simplic Simplicity, ity, Optimal Optimal for improrer improrer integra integrals, ls, Needs Needs a large large number of sub intervals for good accuracy.
b.
Simpson’s 1/3 Rule Simpl Simplic icity ity.. Higher Higher accura accuracy cy than than trape trapezoi zoidal dal rule, rule, Even Even number of interval only.
2.2
c.
Multiple -application Simpson’s 1/3 Rule.
d.
Simpson’s 3/8 Rule.
e.
Newton Cotes.
f.
Romberg Integration.
g.
Gauss Quadrature.
Metode Integrasi Simpson
Di samping menggunakan rumus trapesium dengan interval yang lebih kecil, cara lain untuk mendapatkan perkiraan yang lebih teliti adalah menggunakan polinomial order lebih tinggi untuk menghubungkan titiktitik data. Misalnya, apabila terdapat satu titik tambahan di antara f (a) dan f (b),
maka maka ketiga ketiga titik titik dapat dapat dihubu dihubung ngkan kan dengan dengan fungsi fungsi parab parabola ola
(Gambar 3a). Apabila terdapat dua titik tambahan dengan jarak yang sama antara f (a) dan f (b), maka keempat titik tersebut dapat dihubungkan dengan polinomial order tiga (Gambar 3b). Rumus yang dihasilkan oleh 8
integral di bawah polinomial tersebut dikenal dengan metode (aturan) Simpson.
Gambar 3 Aturan Simpson
2.2. 2.2.1 1
Atur Aturan an-A -Atu tura ran n Simp Simpso son n 2.2.1.1
Aturan Simpson 1/3
Gambar 4 Penurunan metode Simpson
9
Di dalam aturan Simpson 1/3 digunakan polinomial order dua (persamaan parabola) yang melalui titik f ( x xi – 1) , , f ( x xi) dan f ( x xi mende ndekati kati
fun fungsi. gsi.
Rum umus us
) untuk
+ 1
Simp impson son
dapa dapatt
diturunkan berdasarkan deret Taylor. Untuk itu, dipandang bentuk integral berikut ini. x
I ( x) = ∫ f ( x) dx a
(persamaan 1) Apabila Apabila bentuk bentuk tersebut tersebut didiferens didiferensialka ialkann terhadap x, akan menjadi: I ' ( x )
=
dI ( x )
f ( x )
=
dx
(persamaan 2) Dengan memperhatikan Gambar 4 dan persamaan (2) maka persamaan deret Taylor adalah:
I ( xi
1)
+
I ( xi
=
Δ x )
+
+
4 Δ x
4!
I ( xi ) +Δ x f ( xi ) +
=
f ' ' ' ( xi )
+
Δ x 2 2!
f ' ( xi ) +
Δ x 3 3!
f ' ' ( xi
O ( Δ x 5 )
(persamaan 3) I ( xi
1)
−
I ( xi
=
Δ x )
−
+
4 Δ x
4!
I ( xi ) −Δ x f ( xi )
=
f ' ' ' ( xi )
−
+
Δ x 2 2!
f ' ( xi )
O ( Δ x 5 )
(persamaan 4) 10
−
Δ x 3 3!
f ' ' ( xi
Pada Pada Gamb Gambar ar 4, nila nilaii I ( x xi
) adalah adalah luasan luasan
+ 1
dibawah dibawah fungsi fungsi f ( x x) antara batas a dan xi
.
+ 1
Sedangkan nilai I ( x xi 1) adalah luasan antara batas −
a
dan I ( x xi 1). Dengan demikian luasan di bawah −
fungsi antara batas xi
dan xi + 1 yaitu ( A Ai), adalah
−1
luasan I ( x xi + 1) dikurangi I ( x xi 1) atau persamaan −
(3) dikurangi persamaan (4). Ai = I ( x xi + 1) – I I ( x xi −1)
Atau Ai
=
2 Δ x f ( xi )
+
Δ x 3 3
f ' ' ( xi )
+
O (Δ x 5 )
(persamaan 5) Nilai f ''( x dituliss dalam dalam bentu bentukk difere diferensi nsial al xi) dituli terpusat:
f ' ' ( xi ) =
f ( xi −1 ) − 2 f ( xi ) + f ( xi +1 ) Δ x
2
+ O ( Δx 2 )
Kemudian bentuk diatas disubstitusikan ke dalam persa persamaa maann 5. Untuk Untuk memuda memudahka hkann penuli penulisan san,, selanjutnya notasi f ( x xi) ditulis dalam bentuk f i, sehingga persamaan 5 menjadi: Δ x Ai = 2 Δ x f i + ( f i 3
Δ x 3 O ( Δ x 2 ) 1 − 2 f i + f i 1) + 3
−
+
atau
11
+
O ( Δx 5 )
Ai
=
Δ x ( f i 3
4 f i + f i
1 +
−
1
+
)
+
O (Δx 5 )
(persamaan 6) Persamaan 6 dikenal dengan metode Simpson 1/3. Diberi Diberi tamba tambahan han nama nama 1/3 karen karenaa
∆ x
dengan 3. Pada pemakaian satu pias, ∆ x =
dibagi b −a 2
,
sehingga persamaan 6 dapat ditulis dalam bentuk: Ai
=
b −a [ f (a ) + 4 f (c) 6
f ( b) ]
+
(persamaan 7) dengan titik c adalah titik tengah antara a dan b. Kesalahan pemotongan yang terjadi dari metode Simpson 1/3 untuk satu pias adalah: ε t = −
Oleh karena ∆ x =
1 90
b −a
ε t = −
2
Δ x 5 f ' ' ' ' (ξ )
, maka:
(b − a ) 5 2880
f ' ' ' ' (ξ )
Contoh soal: 4
Hitung I = ∫ e x dx , dengan aturan Simpson 1/3. 0
Penyelesaian:
12
Dengan Dengan menggu menggunak nakan an persamaa persamaann 7 ma maka ka luas bidang adalah: Ai =
b −a 6
[ f (a ) + 4 f (c) + f (b)] =
4 −0 6
(e 0 + 4e 2 + e 4 ) = 56 ,76
Kesalahan terhadap nilai eksak:
ε t =
2.2.1.2
53,598150 − 56 ,7696 53,598150
× 100 % = − 5,917 %.
Aturan Simpson 1/3 dengan banyak pias
Seperti dalam metode trapesium, metode Simpson dapat diperbaiki dengan membagi luasan dalam sejumlah pias dengan panjang interval yang sama (Gambar 5): ∆ x =
b −a n
dengan n adalah jumlah pias.
Gambar 5 Metode Simpson dengan dengan banyak banyak pias
13
Luas total diperoleh dengan menjumlahkan semua pias, seperti pada Gambar 5. b
∫ f ( x) dx = A1 + A3 + ... + An − 1 a
(persamaan 8) Dalam metode Simpson ini jumlah interval adalah genap. genap. Apabila Apabila persamaan persamaan 6 disubstitu disubstitusika sikann ke dalam persamaan persamaan 8 akan diperoleh: diperoleh: b
∫ f ( x) dx =
Δ x
a
3
( f 0 + 4 f 1 + f 2 ) +
Δ x 3
( f 1 + 4 f 2 + f 3 ) + ... +
Δ x 3
( f n − 2 + 4 f n − 1 +
atau n −1 n −2 Δ x + + + f a f b f x f x ( ) ( ) 4 ( ) 2 ( ) ∑ ∑ ∫ f ( x) dx = i i i =1 i =2 3 a
b
(persamaan 9) Sepe Sepert rtii pada pada Gamb Gambar ar 5, dala dalam m peng penggu guna naan an metode Simpson dengan banyak pias ini jumlah interval adalah genap. Perkiraan kesalahan yang terjadi pada aturan Simpson untuk banyak pias adalah: ε a
dengan
f
'' ''
(b − a ) 5 =− f ' ' ' ' 180 n 4
adalah rerata dari turunan keempat
untuk setiap interval. Contoh soal:
14
4
Hitung I = ∫ e x dx , deng dengan an me meto tode de Simp Simpso sonn 0
dengan ∆ x = 1. Penyelesaian:
Dengan Dengan me mengg ngguna unakan kan persam persamaa aann 9 maka maka luas luas bidang adalah:
1 I = [ e 0 + e 4 3
+
4(e1 + e 3 )
+
2 e2 ]
=
53 ,863846 .
Kesalahan terhadap nilai eksak:
ε t
2.2.1.3
=
53,598150 − 53 ,863846 53 ,598150
×100 % = 0,5 %.
Metode Simpson 3/8
Metode Metode Simpso Simpsonn 3/8 dituru diturunka nkann dengan dengan mengguna menggunakan kan persamaa persamaann polinomial polinomial order order tiga yang melalui empat titik. b
b
a
a
I = ∫ f ( x) dx ≈ ∫ f 3 ( x) dx
Dengan cara yang sama pada penurunan aturan Simpson 1/3, akhirnya diperoleh:
I =
3Δ x 8
[ f ( x0 ) + 3 f ( x1 ) + 3 f ( x2 ) + f ( x3 )]
(persamaan 10) 15
dengan: ∆ x =
Pers Persam amaa aann 10 Simpson Simpson 3/8 karena karena
b −a 3
dise disebu butt deng dengan an metod metodee ∆ x
dikalikan dengan 3/8.
Metode Metode Simpso Simpsonn 3/8 dapat dapat juga juga dituli dituliss dalam dalam bentuk: I = (b − a)
[ f ( x0 ) + 3 f ( x1 ) + 3 f ( x2 ) + f ( x3 ) ] 8
(persamaan 11) Meto Metode de Simp Simpso sonn 3/8 3/8 me memp mpun unya yaii kesa kesala laha hann pemotongan sebesar: ε t = −
3 80
Δ x 3 f ' ' ' ' (ξ )
(persamaan 12a) Mengingat ∆ x =
b −a 3
, maka:
ε t = −
5 (b − a )
6480
f ' ' ' ' (ξ )
(persamaan 12b) Meto Metode de Simp Simpso sonn 1/3 1/3 bias biasan anya ya lebi lebihh disukai karena mencapai ketelitian order tiga dan hany hanyaa me meme merl rluk ukan an tiga tiga titi titik, k, diba diband ndin ingk gkan an metode Simpson 3/8 yang membutuhkan empat titi titik. k. Dala Dalam m pema pemaka kaia iann bany banyak ak pias pias,, me meto tode de Simpso Simpsonn 1/3 hanya hanya berlak berlakuu untuk untuk jumlah jumlah pias pias genap. genap. Apabila Apabila dikehenda dikehendaki ki jumlah jumlah pias ganjil, ganjil, maka dapat digunakan metode trapesium. Tetapi meto me tode de ini ini tida tidakk begi begitu tu baik baik kare karena na adan adanya ya 16
kesal kesalaha ahann yang yang cukup cukup besar. besar. Untuk Untuk itu kedua kedua metode dapat digabung, yaitu sejumlah genap pias diguna digunaka kann metode metode Simpso Simpsonn 1/3 sedang sedang 3 pias pias sisanya digunakan metode Simpson 3/8. Contoh soal: 4
Dengan aturan Simpson 3/8 hitung I = ∫ e x dx . 0
Hitung
pula
integral
tersebut
dengan
menggunakan gabungan dari metode Simpson 1/3 dan 3/8, apabila digunakan 5 pias dengan
∆ x
=
0,8. Penyelesaian: a)
Metode Simpson 3/8 dengan satu pias
Inte Integr gral al
dihi dihitu tung ng
deng dengan an me meng nggu guna naka kann
persamaan (11):
I = (b − a)
I = ( 4 − 0)
[ f ( x0 ) + 3 f ( x1 ) + 3 f ( x2 ) + f ( x3 ) ] 8
(e 0 + 3e1,3333 + 3e 2 ,6667 + e 4 ) 8
= 55 ,07798 .
Besar kesalahan adalah:
ε t =
53 ,598150
−
55 ,07798
53 ,59815
100 %
×
=−
2,761 % .
17
b) Apabila digunakan
5 pias, maka data untuk
kelima pias tersebut adalah: f (0) = e0 = 1
f (2,4)
= e2,4 =
f (3,2)
= e3,2 =
11,02318. f (0,8) = e0,8 = 2,22554
24,53253. f (1,6) = e1,6 = 4,9530
f
(4) = e4 =
54,59815. Integral untuk 2 pias pertama dihitung dengan metode Simpson 1/3 (persamaan 7): Ai
=
I =
b −a 6
[ f (a ) + 4 f (c) + f ( b)]
1,6 ( 1 + ( 4 × 2,22554 ) 6
+
4,95303 )
=
3,96138 .
Tiga pias terakhir digunakan aturan Simpson 3/8: I = (b − a)
I = 2,4
f ( x0 ) + 3 f ( x1 ) + 3 f ( x2 ) + f ( x3 ) 8
(4,95303 + (3 ×11,02318 ) + (3 × 24 ,53253 ) + 54 ,59815 ) 8
Integral total adalah jumlah dari kedua hasil diatas: I =3,96138
+
49 ,86549
=
53 ,826873 .
Kesalahan terhadap nilai eksak:
18
= 49 ,86549 .
ε t =
2.2.2
53 ,598150 − 53 ,826873 53 ,59815
100 % = −0,427 %.
×
Algoritma Metode Integrasi Simpson
(1) Definisikan y=f(x) (2) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b) (3) Tentukan jumlah pembagi n (4) Hitung h=(b-a)/n
2.3
Pengaplikasian Integrasi Numerik 2.3.1
Aturan Simpson Di Lapangan
Masalah getaran sering dijumpai dalam kehidupan seharihari. hari. Respon Responss suatu suatu strukt struktur ur yang yang terget tergetar ar dapat dapat diwaki diwakili li oleh oleh percepatan, kecepatan, atau perpindahan. Masalah yang dibahas dalam penelitian ini ialah mengenai bagaimana mengolah sinyal percepatan struktur menjadi respons lainnya dan menganalisis pola percobaan dari struktur tersebut. Pene Peneli litia tiann ini ini dila dilaku kuka kann dala dalam m 2 taha tahapa pan. n. Pada Pada taha tahapp pertama telah dibuat program perubahan sinyal percepatan menjadi sinyal kecepatan dan perpindahan setelah dilakukan pengembangan pengembangan 19
program akuisisi data. Tahap kedua meliputi pembuatan program analisis pola percobaan untuk struktur sederhana dan percobaan modus getar skala laboratorium bagi struktur sederhana tersebut. Pada kedua tahapan, struktur uji yang berupa pelat tipis dianggap tetap tetap berada berada dalam dalam keadaan keadaan elastis. elastis. Sebagian Sebagian subrutin-s subrutin-subrut ubrutin in pro proggram ram pada tah tahap awal wal maupun upun prog rogram ram akuis kuisis isii dan pembacaannya pembacaannya digunakan untuk penelitian tahap kedua. Kajian tahap pertama memperlihatkan bahwa perpindahan dan dan kecep kecepata atann dapat dapat diperh diperhitu itungk ngkan an dari dari perce percepat patann annya ya yang yang diperoleh diperoleh dengan bantuan bantuan satu peralata peralatann penangka penangkapp sinyal sinyal dan percepatan. Hasil penelitian ini yang berupa program perubahan siny sinyal al perc percep epat atan an me menj njad adii kece kecepa pata tann dan dan perp perpin inda daha han, n, juga juga digunakan untuk mendapatkan kecepatan dan perpindahan tanah dari dari satu satu reka rekama mann perc percep epat atan an tana tanahh oleh oleh satu satu stro strong ng mo moti tion on accelerograph. Rekaman percepatan tanah tersebut didapat akibat adany adanyaa perge pergerak rakan an tanah tanah sewak sewaktu tu gempa gempa bum bumii terjad terjadi.i. Tekni Teknik k peroleha perolehann respons respons perpinda perpindahan han dari sinyal sinyal percepat percepatan an tersebut tersebut dilakukan dalam 2 ranah, yaitu ranah waktu dan ranah frekuensi. Pend Pendek ekat atan an dala dalam m rana ranahh wakt waktuu dila dilaku kuka kann deng dengan an 2 tekn teknik ik integrasi, yaitu formulasi Newton-Cotes dan Simpson. Kedua cara terseb tersebut ut dikomb dikombina inasik sikan an dengan dengan koreks koreksii garis garis basis. basis. Teknik Teknik koreksi garis basis yang digunakan ialah teknik waktu akhir nol. Rana Ranahh freku frekuen ensi si dide dideka kati ti deng dengan an bant bantua uann algo algori ritm tmaa transformasi Fourier cepat. Penerapan pada beberapa kasus studi memperlihatkan bahwa hasil perolehan perpindahan dalam ranah frekue frekuensi nsi membe memberik rikan an hasil hasil yang yang lebih lebih baik baik jika jika diban dibandin dingka gkann dengan perolehan dalam ranah waktu. Hasil perolehan dalam ranah frekuensi juga masih memperlihatkan beberapa kelemahan namun secara umum masih lebih baik daripada hasil dalam ranah waktu. Selain itu proses komputasi perolehan perpindahan dalam ranah 20
frekuensi masih lebih cepat bila dibandingkan dengan proses dalam ranah waktu. Respons mekanik dapat mewakili perilaku mekanik dari sebuah struktur yang terkena suatu eksitasi gaya. Respons meka me kani nikk ters terseb ebut ut sang sangat at dipe dipeng ngar aruh uhii oleh oleh para parame mete terr sist sistem em dinamik struktur tersebut. Kajian tahun kedua meliputi penentuan param paramete eterr terseb tersebut, ut, yaitu yaitu pola pola getar, getar, nilainilai-nil nilai ai frekue frekuensi nsi,, dan nisbah redaman yang ada pada suatu struktur sederhana. Parameter dinamik ini dapat ditentukan melalui analisis pola percobaan pada struktur tersebut. Parameter tersebut ditentukan dalam 4 tahapan, yaitu pengujian data dan akuisisi data, penentuan fungsi respons frekuensi, penentuan parameter dinamik, dan penggambaran pola stru strukt ktur ur.. Untu Untukk dapa dapatt me mela laku kuka kann taha tahapp kedu keduaa dan dan keti ketiga ga,, dikembangkan 2 program terpisah untuk setiap tahapnya. Hasil yang didapat melalui beberapa tahapan tersebut walau cukup baik masih memperlihatkan kelemahan sehingga masih harus dilakukan beberapa perbaikan program sebelum dapat digunakan untuk jenis struktur yang lebih kompleks. Program akuisisi dan osiloskop yang digunakan pada studi di tahap pertama dapat digunakan untuk mengukur respons lain denga bantuan jenis transducer lainnya dan ampl am plif ifie ierr yang yang bers berses esua uaia ian. n. Jeni Jeniss tran transd sduc ucer er dapa dapatt beru berupa pa transduce transducerr perpindah perpindahan, an, strain strain gauge, gauge, pressure pressure transduce transducer, r, atau yang lainnya. Program yang digunakan pada tahap kedua selain dapat diterapkan pada struktur pelat juga dapat diterapkan pada jenis struktur lainnya. Program yang digunakan pada tahap ketiga selain dapat diterapkan pada pelat tipis yang terbuat dari baja atau beton serat (fiber), dapat juga diterapkan pada pelat tipis dengan jenis bahan lain seperti tripleks. Selain itu program dapat juga digunakan untuk untuk mengenal mengenalii pengaruh pengaruh ketidakse ketidaksempur mpurnaan naan perletaka perletakann tepat tepat pada parameter yang didapat. Selain itu perluasan yang lebih jauh 21
meliputi program analisis pola percobaan pada dek atau lantai jembatan jembatan konvensi konvensional onal.. Kerusaka Kerusakann atau kelainan kelainan daya dukung dukung fondasi dalam pembangunan suatu gedung atau struktur lainnya biasany biasanyaa terjadi terjadi akibat akibat kelalaia kelalaiann operator operator ataupun ataupun oleh kondisi kondisi tanah. Program pendeteksian kerusakan struktural seperti program anal analis isis is inte integr grit itas as tian tiangg panc pancan angg beto betonn atau atau tian tiangg bor bor yang yang mencakup salah satu jenis analisis dinamika tiang pancang beton, dapat merupakan topik perluasan penelitian ini.
BAB III
22
PENUTUP
3.1
Kesimpulan
Dalam Dalam dunia statistik khususny khususnyaa matematik matematikaa numerik numerik terdapat terdapat ber berba baga gaii ma maca cam m tekn teknik ik inte integr gras asii me meto tode de-me -meto tode de nume numerik rik dala dalam m pengaplikasiannya di dunia nyata salah satunya aturan simpson. Di dalam aturan simpson terdapat dua bagian yaitu aturan simpson 1/3 dan 3/8. Hampir Hampiran an nilai nilai integr integrasi asi yang yang lebih lebih baik baik dapat dapat diting ditingkat katka kann denga dengann menggunakan polinom interpolasi yang berderajat lebih tinggi. Misalkan fungsi f(x) dihampiri dengan polinom interpolasi derajat 2 yang grafiknya berbentuk parabola. Luas daerah yang dihitung sebagai hampiran nilai integrasi adalah daerah di bawah parabola, untuk itu dibutuhkan 3 buah titik data,misa data,misalkan lkan (0, f( Sedangkan kan untuk untuk aturan aturan f( 0 )), (h,f(h) ),(2h,f( 2h)). Sedang simpson 3/8 dibutuhkan 4 buah titik dimana tingkat nilai dari integrasi cenderung lebih baik dari pada aturan simpson 1/3. 3.2
Saran
Dalam aturan simpson terdapat dua bagian yaitu 1/3 dan 3/8. kedua bagian aturan simpson ini dapat digunakan untuk diaplikasikan dalam perma permasal salaha ahan-pe n-perma rmasal salahn ahn yang yang ada dan me membu mbutuh tuhka kann perhi perhitun tungan gan seca secara ra nume numeri rik. k. Seba Sebaik ikny nyaa dala dalam m me meng nggu guna naka kann atur aturan an simp simpso sonn gunakanlah bagian yang kedua karena aturan simpson 3/8 membutuhkan 4 buah titik yang tingkat nilai dari integritasnya cenderung lebih baik dari pada aturan simpson 1/3. DAFTAR PUSTAKA
23
-
mat.um.ac.id/eLearning/numerik/Integrasi/Simpson2.htm
. Internet
- Jack.2006. Buku ajar jurusan matematika, FMIPA,UNILA. -
http://lecturer.eepis-its.edu/~amang/pdf/bab6tm.pdf . Internet
-
http://alifis.files.wordpress.com/2009/09/bab-iv-diferensiasi-integrasikomputasi-nume.pdf . Internet
24
