1 Pengantar Grup Misalkan Grup dihedral order 8 Tabel Tabel operasi atau tabel tabel Cayley Tertutup Tertutup Identitas Invers Komutatif, abelian Asosiatif Grup Dihedral
Dn diseb sebut grup dihedral order n, !uga disebut grup simetri n"gon biasa# Plane symmetry
$
Symmetron
Grup simetri %e&eksi melalui garis ' Grup rotasi siklik order n
2 Grup Defnisi dan Contoh Grup Defnisi Operasi Biner
Misalkan G adalah suatu himpunan# (perasi biner pada pada himpunan G adalah suatu fungsi yang memasangkan setiap pasangan terurut unsur"unsur di G ke unsur di G# Defnisi Grup
Misalkan G himpunan tidak kosong bersama dengan operasi biner )biasanya disebut perkalian* yang memasangkan setiap pasangan terurut )a, b* unsur"unsur unsur"unsur dari G ke unsur dari G dinotasikan dengan ab# G dise disebu butt gr grup up de deng ngan an oper operas asii ters terseb ebut ut !ik !ika tiga sifat berikut dipenuhi# $# Asosi sosiaatif +
(perasi bersifat asosiatif, yaitu )ab* c a )bc* untuk setiap a, b, c anggota G# # Identitas Ada elemen e )disebut identitas* dalam G, sehingga ae ea a untuk setiap a anggota G# +# Invers -ntuk setiap a anggota G, terdapat elemen b anggota G )disebut invers dari a* sedemikian rupa sehingga ab ba e# .uatu himpunan yang memenuhi ketiga sifat di atas, di mana setiap pasangan elemen yang dikombinasikan menghasilkan elemen yang tetap berada dalam himpunan tersebut disebut memenuhi kondisi tertutup )closure*# /astikan untuk memeriksa sifat tertutup ketika mengu!i suatu himpunan termasuk grup atau bukan# .ebagai 0atatan tambahan, !ika a adalah invers dari b maka b adalah !uga invers dari a# 1ika suatu grup memenuhi sifat ab ba untuk setiap pasangan unsur a dan b, maka grup tersebut Abelian# 1ika sebaliknya disebut non" Abelian# Contoh 1
2
3impunan bilangan bulat Z )berasal dari bahasa 1erman yang berarti Zahlen*, himpunan bilangan rasional Q )quotient *, dan himpunan bilangan real R semuanya merupakan grup dengan operasi pen!umlahan biasa# Identitas dari masing" masing grup tersebut adalah 4 dan invers dari a adalah –a# Contoh 2
3impunan bilangan bulat perkalian biasa bukanlah identitas, namun sifat ke"+ terpenuhi# Misalnya, tidak sehingga 5b $
dengan operasi grup# $ adalah suatu Grup tidak ada bilangan b
Contoh 3
3impunan bagian 6$, " $, i, -i7 dari bilangan kompleks adalah grup terhadap perkalian kompleks# "$ adalah invers bagi dirinya sendiri, sedangkan invers i adalah -i begitupun sebaliknya# Contoh 4
3impunan bilangan rasional positif Q adalah grup terhadap perkalian biasa# Invers dari a adalah $9a a"$ Contoh 5
5
. adalah himpunan bilangan irasional positif dan bilangan $ dengan operasi perkalian yang memenuhi tiga sifat yang diberikan dalam de:nisi suatu grup tetapi bukan grup# √ 2 # √ 2=2 , !adi . tidak tertutup terhadap operasi perkalian# Contoh 6
[ ] # 3impunan a c
Diketahui matriks ;
b d
semua matriks ; dengan unsur bilangan riil adalah grup dengan operasi pen!umlahan componentwise#
[ ][ ][
a1 b1 a2 b2 a + a b +b + = 1 2 1 2 c1 d 1 c2 d2 c1 + c2 d 1 + d 2
Identitas matri; adalah
dari
[ ] a c
b d
adalah
[
[ ] 0 0
0 0
−a −b − c −d
Contoh 7
<
]
dan invers
]
3impunan Z n 64, $, =#, n > $7 untuk n ? $ adalah grup dengan operasi pen!umlahan modulo n# -ntuk setiap j @ 4 dalam Z n, invers dari j adalah n > j# Grup ini disebut grup bilangan bulat modulo n# Contoh 8
% himpunan bilangan riil bukan nol adalah grup terhadap perkalian biasa# Identitasnya adalah $# Invers a adalah $ 9 a# Contoh 9
[ ] adalah ad " a c
Determinan martiks ;
b d
b0# 1ika A adalah matriks ;, det A berarti determinan A#3impunan G' ), %*
{[ ]|
a b a , b , c , d ∈ R , ad −bc ≠ 0 c d
}
Matriks ; dengan anggota nyata dan determinan bukan nol adalah kelompok non" Abelian metode operasi
[ ][ ] [
a1 b1 a 2 b 2 a a +b c a b + b d = 1 2 1 2 1 2 1 2 c 1 d 1 c2 d 2 c 1 a 2+ d1 c 2 c 1 b2 + d 1 d 2
Contoh 1
B
]
3impunan matriks ; dengan anggota bilangan real bukanlah kelompok metode operasi yang dide:nisikan pada 0ontoh # invers tidak ada saat determinannya 4# .ekarang kita telah menun!ukkan bagaimana membuat subset dari bilangan real dan subset dari himpunan matriks ; dalam kelompok multiplikatif, kita selan!utnya mempertimbangkan perkalian bilangan bulat dalam modulo n# Contoh 11
-ntuk setiap n @ $, kita mende:nisikan -)n* untuk men!adi himpunan semua bilangan bulat positif kurang dari n dan relatif prima dengan n# maka -)n* adalah grup baah perkalian modulo n# )kita tinggalkan sebagai latihan bukti baha set ini tertutup terhadap operasi ini#* -ntuk n $4, kita memiliki -)$4* 6$, +, B, 7# tabel Cayley untuk -)$4* adalah mod $4 $ + B
$ $ + B
+ + $ B
B B $ +
B + $
)ingat baha ab mod n adalah biangan bulat 8
r unik dengan properti ab nE r, dimana 4 F r n dan ab adalah perkalian biasa#* dalam hal ini baha n adalah prima -)n*6$, , =#, n"$7# Dalam buku al!abar klasiknya der 'ehrbu0h, yang diterbitkan pada tahun $8, 3einri0h Heber memberikan perlakuan yang luas dari kelompok - )n* dan dideskripsikan mereka sebagai 0ontoh yang paling imporant dari grous Abelian terbatas# Contoh 12
3impunan 64,$,,+7 adalah bukan kelompok metode perkalian modulo 2# Meskipun $ dan + memiliki invers, unsur"unsur 4 dan tidak# 64,$,,+7 bukan grup /embuktiannya $# Asosiatif Misal $ ) # + * )$ # * + < < J benar asosiatif .yarat $ terpenuhi # Identitas 64, $, , +7 memiliki identitas yaitu $ .yarat terpenuhi +# Invers 64,$,,+7 Invers 4
Misal
4;44 4;$4 4;4 4;+4 Maka 4 tidak memiliki invers Invers $ $ ; $ $ maka invers $ adalah $ Invers ;44 ;$ ;2 ;+< Maka tidak memiliki invers Invers + + ; $ + $ mod 2 maka invers + adalah $ .yarat + tidak terpenuhi Contoh 13
3impunan bilangan bulat operasi pengurangan bukan grup, karena operasi tidak asosiatif# Dengan 0ontoh yang diberikan !auh sebagai panduan, adalah kebi!akan bagi pemba0a untuk berhenti se!enak di sini dan memikirkan 0ontoh sendiri# bela!ar aktifL tidak hanya memba0a bersama dan disuapi oleh buku# Misalkan 64,$,,+,27 $4
Asosiatif )$ > * > + $ > ) > +* "$ > + $ > )"$* "2 Nerarti terbukti baha bilangan bulat dengan operasi pengurangan adalah bukan group Contoh 17
.' ), O5* O5 { 0,1,2,3,4 } Carilah invers matrik A Determinan A
[ ] 34 44
ad > b0
$ > $< "2 $ mod 5
[ ] [ ] 4 −4 −4 3
Invers A Cek
41 13
[ ] [ ] [ ] [ ] 34 44
41 13
1615 2016
Contoh 18
$$
10 01
G' ), OB* OB
{ 0,1,2,3,4,5,6 }
[ ] 45 63
Carilah invers matrik A Determinan A
ad > b0
$ > +4 "$8 + mod B Invers + mod B adalah 5 mod B karena +#5 $5 $ mod B Invers A
[ ] [ ] 3 .5−5 .5 −6 . 5 4 . 5
[
3.52.5 1.54.5
]
[ ]
1510 5 20
[ ]
13 56
Cek
[ ] [ ] 45 63
13 56
[ ] 10 01
!oal dan Pe"#ahasann$a
$
29 42 2136
$# Tun!ukkan apakah Z 15 grupL # Nuatlah tabel Cayley untuk buktikan apakah U(15 grupP +# Tentukan invers dari
U(15
dan
[ ] pada
!"),
[ ] pada
S"),
32 44
Z 5*L
2# Tentukan invers dari
32 43
Z 5*L
5# Tun!ukkan baha 6$, , +7 dengan operasi perkalian modulo 2 bukanlah grup sedangkan 6$, , +, 27 dengan operasi perkalian modulo 5 adalah grupL /embahasan 6$, , +7 mod 2 dengan operasi perkalian adalah bukan grup# .yarat Grup $# Asosiatif, sebab $ ) # +* )$ # * + # Identitas, yaitu $ +# Tidak memiliki invers, karena $ # $ $ maka invers $ adalah $ # $ + # + $ mod 2 maka invers + adalah + $+
Karena tdak mempunyai invers, maka 6$, , +7 adalah bukan grup 6$, , +, 27 mod 5 perkalian adalah
grup .yarat grup $# Assosiatif, karena ) # +* # 2 # )+ # 2* $#2# 22 # Identitas Qaitu $ merupakan identitas +# Invers $ # $ $ invers $ adalah $ # + < $ mod 5, maka invers adalah + + # < $ mod 5, maka invers + adalah + 2 # 2 $< $ mod 5, maka invers 2 adalah 2 Ro# 5, hal 5 G' ), O$$* O$$ 64, $, , +, 2, 5, <, B, 8, , $47
$2
Invers matrik
[ ] 2 3
A
6 5
Det# A ad > b0 $4 > $8 "8 + mod $$ Invers determinan + mod $$ adalah 2, karena + # 2 $ $ mod $$ InversA
[
5 −3
Cek
][
−6 = 2
5 .4 8 .4
5 .4 2.4
][ =
[ ][ ] [ 2 3
6 9 5 10
9 8
20 32
= 78 77
20 8
66 67
][ ] =
9 10
9 8
][ ] =1 0
0 1
Ro# 5, hal# 5+ S A N C D
S S A N C D
a a b 0 d e
N N C D S A
0 0 d e a b
d d e a b 0
4 $
4 4 $
$ $
+
+ + 2
2 2 4
$5
+ 2 4 $ + + 2 4 $ 2 2 4 $ + /enyelesaiannya dengan menggunakan operasi pen!umlahan# SIFAT-SIFAT DASAR DARI GROUP
Sekarang kita dapat melihat banyak macam contoh dari sebuah group. Kami ingin memberi kesimpulan beberapa sifat yang mereka berikan. Definisi itu sendiri memunculkan pertanyaan yang fundamental. Setiap group memiliki satu identitas. Pertanyaannya apakah group memiliki identitas lebih dari satu? Setiap group memiliki satu invers. Pertanyaannya apakah group memiliki invers lebih dari satu? Sekarang tidak bisa membuktikan bahwa setiap group memiliki identitas tunggal hanya dilihat dari contohnya, karena setiap contoh tidak dapat dipisahkan dari sifat yang tidak bisa diberikan oleh setiap group. Teorema 2.1 Ketunggalan
Dari Suatu Identitas
“Di dalam sebuah group, hanya ada 1 element identitas” Bukti. Andaikan kedua ini e dan e’ adalah identitas dari G. alu,
!. ".
ae = a semua bagian a dalam G, dan e’a = a semua bagian a dalam G.
Pilihan dari a = e’ adalah yang nomor satu #!$ dan a = e adalah yang nomor dua #"$ hasilnya adalah e’e $<
= e’ dan e’e = e. Dengan demikian e dan e’ adalah sama dengan e’e dan begitu %uga sama pada setiap lainnya.
&adi pada intinya, bahwa dalam satu group itu hanya ada satu #!$ identitas, penyimbolan identitas, penyimbolan identitas dalam group adalah e #karena berasal dari bahasa &erman, 'inheit yang berarti identitas$. Teorema 2.2 Pembatalan
“Didalam group G dari kanan ke kiri dengan menggunakan hukum didalam pembatalan yang saling berkaitan dengan ba = ca yang mengakibatkan b = c, dan ab = ac mengakibatkan b =c.” Bukti. Dengan menggangap bahwa ba = ca. (aka a’ adalah invers dari a. Kemudian, dikalikan dari kanan untuk a’ menghasilkan (ba)a’ =(ca)a’ . (aka akan menghasilkan sifat asosiatif b(aa’) = c(aa’). Kemudian, be = ce dan maka dari itu, b = c. alu, kita membuktikan bahwa ab = ac implikasi dari b = c. Perkalian a’ dari
kiri.
Pemecahan masalah yang ada didalam sifat cancellation yang ada didalam tabel )ayle yang telah dibahas dengan menggunakan tabel dan kolom. #lihat latihan no. "*$. Pemecahan sifat cancellation akan lebih diperdalam didalam materi Ketunggalan dari +nvers. Teorema 2.3
Ketunggalan Dari Invers
“ntuk setiap elemen a dalam group G, ada sebuah b elemen tunggal dalam G sehingga ab = ba = e”
$B
Bukti. &ika b dan c keduanya invers dari a. maka ab = e dan ac = e, sehingga ab = ac itu. Sekarang abaykan a.
Seperti yang ter%adi dengan elemen identitas, itu adalah biasa, dalam pandangan eorema ".-, untuk berbicara tentang invers dari elemen group g / dan, pada kenyataannya, kita %elas dapat menun%ukkan itu dengan g !1. 0otasi ini disarankan dengan yang digunakan untuk bilangan real biasa terhadap perkalian. Sama, ketika n adalah bilangan bulat positif, g n digunakan untuk menun%ukkan hasil. gg..............g #n faktor$
Kita mendefinisikan g " = e. 1ila n negatif, kita mendefinisikan g n = (g !1 )!n 2misalnya, g !# = (g!1 )#3 dengan notasi, hukum akrab eksponen pegangan untuk group/ berlaku untuk semua bilangan bulat m dan n dan semua elemen group g , kami telah g m g n = g m$n dan (g m )n = g mn. 4alaupun salah satu cara memanipulasi ekspresi group yang melibatkan dua elemen group. Sehingga untuk group umum, (ab)n % anbn #lihat latihan no. !5$. Kita %uga harus berhati6hati dengan notasi ini ketika berhadapan dengan group tertentu yang pasangan operasinya adalah penambahan dan menyatakan dengan $. Dalam hal ini, definisi dan properti group dinyatakan dalam notasi perkalian harus diartikan ke notasi pen%umlahan. (isalnya, invers g ditulis sebagai !g , demikian %uga misalnya g #di tulis g $ g $ g dan biasanya di tulis seperti #g , sedangkan g !# di tulis #!g $ 7 #!g $7#!g $ dan ditulis seperti !#g . 0otasi pen%umlahan. Tabel .
$8
Group /erkalian Group /embagian a#b /erkalia a $ b /embagi atau n an ab e atau 1 a-1
an ab-1
Identita s atau satu /erkalia n invers dari a
%
Rol
-a
/oer dari a 3asil bagi
na
/en!umla han invers dari a /erkalian dari a /enguran gan
a-b
yang digunakan, %angan ng sebagai menggabungkan n dan g di dalam operasi group/ n bahkan mungkin tidak men%adi unsur group8 tidak seperti kasus untuk bilangan real dalam group abstrak, kami tidak mengi9inkan eksponen bukan bilangan bulat seperti g &. Pada abel "." menun%ukkan notasi umum dan terminologi yang sesuai dengan group dalam perkalian dan pen%umlahan dalam group. Seperti dalam kasus untuk bilangan real, kita menggunakan a!b sebagai singkatan untuk a$(!b). Karena mempunyai sifat asosiatif, kita %elas dapat menulis tanda abc, untuk hal ini dapat diartikan sebagai hanya cukup (ab)c atau a(bc), yang sama. Pada kenyataannya, dengan induksi menggunakan dan penerapan berulang dari sifat asosiatif, seseorang dapat $
membuktikan sebuah sifat asosiatif umum bahwa pada dasarnya berarti kurung dapat dimasukkan atau dihapus tanpa akan mempengaruhi nilai suatu hasil yang melibatkan %umlah elemen group. Demikian a ( bcdb ) =a b ( cd ) b =( a b ) ( cd ) b = a ( abcdb ) b , 2
2
2
2
2
2
dan sebagainya. !ATATA" S#$ARA%
Kami menutup bab ini dengan sedikit se%arah mengenai sifat tidak komutatif dari matrik perkalian. Pada tahun !:"5, eori Kuantum merupakan teori yang penuh dengan mengubah dan menyusun ambiguitas. Dia 4erner ;eisenberg yang berpengaruh pada hal tersebut. Dia mengamati hasil dari teori analogi yang tidak perlu merubah seri klasik 1orn, %ika ide6idenya dipublikasikan akan sangat berharga. Dengan munculnya pendekatan baru milik ;eisenberg sangat mengagumkan dan sangat mendalam. Seperti dalam tulisannya 21ab !, hal "!3= 4
Setelah pengiriman karya ilmiah atau hasil penelitian ;eisenberg untuk eitschrit ur *hysik agar dipublikasikan. Saya memulainya dengan mempertimbangkan simbol perkalian dan akan segera berbelit6belit mengenai gagasan saya tentang keseluruhan %umlah dari tidur yang nyenyak pada malam hari. Saya rasa akhir dari sesuatu hal yang pokok akan mengalami penyempurnaan dalam beberapa tahun. Suatu hari, pada tanggal !@ &uli !:"5, saya tiba6tiba melihat cahaya, tidak hanya simbol perkalian ;eisenberg, namun kalkulus matrik. Se%ak itu saya mengenalkan kepada murid saya dari dosen osanes di 1reslau. 1orn dan muridnya, Pascual &ordan, memformulakan kembali ide ;eidenberg di dalam teorema (atrik, tapi ;eisenberg yang mengkreditkan formulanya. Di buku autobiografinya, 1orn ament 21ab !, hal "!:3= Sekarang, semua 1uku berbicara tentang (atri> ;eisenberg, ;ukum )ommutation ;eisenberg, dan Direc 1orn 21ab !, hal ""@3= &ika saya selama ini belum menuliskan sesuatu kepada anda, dan saya belum berterima kasih atas ucapan selamat anda. +tu karena sebagian dalam diri saya buruk, yang tidak menghormati anda. Dan kenyataanya saya mendapatkan hadiah 0obel Pri9e $
sendiri, untuk peker%aan yang saya, kamu dan &ordan lakukan di Cottingen, dan ini membuat saya berat dalam menuliskan surat ini kepada anda. Saya senang upaya yang kita lakukan bersama di beri apresiasi atau penghargaan, dan saya selalu senang tentang ingatan6ingatan kebersamaan dan ker%a sama kita. Saya sangat percaya, para fisikawan6fisikawan tahu betapa hebatnya anda dan &ordan dalam kontribusi kalian dalam menyusun teori Kuantum, walaupun tidak merubah keputusan. (ungkin saya perlu berterima kasih lagi atas ker%asama yang telah kita lakukan selama ini. )ertia pun berakhir indah, bagaimanapun (a> 1orn tetap mendapatkan hadiah dari 0obel di tahun !:*5 untuk andasan Kuantum yang ia kemukakan. atihan #;al. 5" dan 5-$ 5. )arilah unsur invers dari " elemen di G+ #", - 5 11$. &awaban= " -
5
elemen
di
Det E #" . 5$ F #- . $ E !@ 6!G E 6G
G+
#",
11$.
E - mod !! G+ #", 11$
+nvers=
a c
b d
" -
5
d !b !c a
E
5 6 6- "
E 5.* 5.* G.* ".* E : : !@ G 1ukti=
" -
: : 5 !@ G
E
! @
@ !
!. 1uktikan bahwa group G adalah abelian %ika dan hanya %ika (ab)!1 = a!1 b!1 untuk semua a dan b di G. &awaban= (ab)! 1 = a!1b!1 untuk semua a dan b di G
1ukti= a group G E abelian (ab)a!1 b !1
= a(b.b!1 ).a!1 = a.e.a!1 =e
+
(ab)(a!1b!1 )
= abelian
!G. Di dalam group, buktikan bahwa semua a.
(a!1 )!1 = a untuk
&awaban= (a!1 )!1 = a G = a-
Dengan menggunakan identitas= (am )n = am'n (aka= (a!1 )!1
1
( ) = a 1
E
1
a
Ea
2
<+0+' CHIPS/ Subgroup De&inisi Order Sebua' Gru(
1ilangan yang termasuk dari sebuah grup #terhinggaJtak terhingga$ disebut order. Kita akan menggunakan C .untuk melambangkan orde dari C &adi, grup dari bilangan bulat dengan operasi pen%umlahan mempunyai order yang tak terhingga. Sedangkan grup I#!@$ EL!, -, , :M dengan operasi perkalian . modulo !@ mempunyai * order De&inisi Order Sebua' #lemen
Hrder dari sebuah elemenJunsur g dalam grup C merupakan bilangan bulat positif terkecil n seperti g n E e #dalam notasi pen%umlahan, ini akan men%adi ng E @$. &ika tidak ada bilangan bulat, kita katakan g mempunyai order yang tak terhingga. Hrder dari sebuah elemen g .dilambangkan dengan g &adi, untuk menemukan order dari sebuah elemen grup g, yang kamu butuhkan hanya menghitung urutan dari hasil g 1 ,g ,g # , ..... Sampai kamu mendapatkan identitas untuk pertama kali. 'ksponen dari hasil ini #atau koefisien %ika operasinya pen%umlahan$ adalah order dari g. &ika 5
identitas tidak pernah muncul dalam urutan, maka g .mempunyai order yang tidak terbatas !)nt)' *
Anggap I#!5$ E L!, ", *, , G, !!, !-, !*M dengan operasi perkalian modulo modulo !5. untuk mencari orde , katakan kita menghitung urutan ! E , " E *, E !-, * E !. maka E *. untuk mencari order !!, kita menghitung !!! E !!, !!" E !, maka !! E ". perhitungan yang sama menun%ukkan bahwa ! E !, " E *, * E ", G E *, !- E *, !* E ". 2disini ada sebuah trik yang membuat perhitungan %adi lebih mudah. ebih suka menghitung urutan !- ! , !-" , !-- ,!-* , kita boleh memeriksa dengan - E 6" modulo !5 #sebab !- 7" E @ mod !5$ maka dari itu !- E #6"$ E *, !- E 6".* E 6G, !- E #6"$#6G$ E !3 . Pen%abaran= U (15) ={1,2,4,7,8,11,13,14 }
|U ( )|=8 15
order of an elemen |1|= 1 1
2
karena
1
1
=1=1 mod 15
2=2
=2
<
2
=4
2 × 2= 4
3
=8
2 × 2 × 2= 8
4
=16=1 mod 15 ,
5
=2
6
=4
7
=8
8
=1
9
=2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 × 2 × 2 × 2=16 =1
|2|=4 |14|=2 !)nt)'
!@ dengan operasi pen%umlahan modulo !@. sebab ! . " E ", " . " E *, - . " E , * . " E G, 5 . " E @, kita tahu bahwa " E 5. perhitungan yang sama menun%ukkan @ E !, E !@, 5 E ", E 5. B
!)nt)' +
dengan pen%umlahan biasa. Disini setiap elemen yang bukan nol mempunyai order yang tak terbatas, karena urutan a, "a, -a, ... idak pernah sama dengan @ ketika a N @. Perseptif pembaca mungkin telah memperhatikan di antara kelompok sampel kami dalam bab " bahwa beberapa adalah himpunan bagian dari orang lain dengan operasi biner yang sama. kelompok dalam sampel ! dengan entri nyata, misalnya, adalah bagian dari kelompok dalam contoh :. Demikian pula, kelompok bilangan kompleks L, ! 6!, i,6iM adalah himpunan bagian dari kelompok yang di%elaskan dalam )ontoh !* untuk n sama dengan kelipatan dari *. Situasi ini muncul begitu sering bahwa kami memperkenalkan istilah khusus untuk menggambarkan hal itu. De&inisi Subgru(
&ika subset ; kelompok C sendiri operasi +nder kelompok C, ; kita katakan adalah subkelompok C. Kami menggunakan notasi ; O C berarti ; adalah subgrup C. &ika kita ingin menun%ukkan bahwa ; adalah subgrup dari C, tetapi tidak sama dengan g sendiri, kita menulis ; C. Subgrup seperti ini disebut sub6grup se%ati. Subgrup LeM disebut subgrup trivial C. Subgrup yang tidak LeM adalah disebut subgrup trivial dari C. Perhatikan bahwa Qn dalam modulo n adalah subgrup dari dengan operasi pen%umlahan, karena pen%umlahan modulo n adalah bukan operasi dari . 8
SUBGROUP T#STS
Ketika menentukan apakah atau tidak ; subset dari sebuah kelompok C merupakan subgrup dari C, orang tidak perlu langsung memverifikasi aksioma grup. iga berikutnya memberikan hasil tes sederhana yang cukup untuk menun%ukkan bahwa himpunan bagian dari kelompok adalah sebuah subgroup.
T'e)rema +.*
Satu ,angka' Ui Subgr)u(
(isalkan C men%adi kelompok dan ; tidak kosong subset dari C.then, ; adalah subgroup dari C adalah ; kapanpun a dan b berada dalam ; #dalam notasi aditif, ; adalah subgrup %ika a 6 b di ; setiap kali dan b berada dalam ;$. 1ukti. Se%ak pengoperasian ; adalah sama dengan C, %elas bahwa operasi ini adalah associative. ne>t, kita menun%ukkan e yang ada di ;. se%ak ; tidak kosong, kita dapat memilih beberapa > di ;. kemudian membiarkan aE > dan b E > dalam hipotesis, kita memiliki e E −1 −1 xx ab E adalah ;. untuk memverifikasi bahwa > adalah di ; ketika > adalah di ;, semua yang perlu kita lakukan adalah memilih e E dan b E > dalam pernyataan dari teorema. Akhirnya, bukti tersebut akan lengkap bila kita menun%ukkan bahwa ; ditutup, yaitu %ika >, y milik ;, kita harus menun%ukkan >y yang ada di ; %uga. 1aik, kita telah menun%ukkan bahwa y adalah
−1
adalah ; kapan y, maka a E > dan b E
kita telah >y E > #
−1 −1
y ¿
E
−1
ab
−1
,
ada di ;.
(eskipun kami telah di%uluki teorema -.! satu langkah u%i subgroup, sebenarnya ada empat langkah yang terlibat dalam menerapkan teorema. #Setelah Anda mendapatkan beberapa pengalaman, tiga langkah pertama adalah rutin$ Perhatikan kesamaan antara tiga langkah terakhir yang terdaftar di bawah dan tiga langkah yang terlibat dalam prinsip induksi matematika. !. (engidentifikasi properti P yang membedakan unsur6unsur ;, yaitu, mengidentifikasi kondisi yang menentukan. ". 1uktikan bahwa identitas memiliki aset P. #ini membuktikan bahwa ; tidak kosong$ -. Asumsikan bahwa dua elemen a dan b memiliki properti P. *. Cunakan asumsi tentang a dan b untuk menun%ukkan −1 ab bahwa memiliki aset P Prosedur ini diilustrasikan dalam )nt)' / dan 0 !)nt)' /
(isalkan C men%adi kelompok belian A dengan identitas 2 X e. maka ;E L R C T E U M adalah subgroup C. disini, mendefinisikan properti ; adalah kondisi e. %adi, pertama kita perhatikan bahwa +4
e
2
E e
2
X
E
sehingga ; adalah nonempy. Sekarang kita asumsikan 2 2 a b bahwa a dan b milik ;. ini berarti E e dan E −1
ab ¿
e. akhirnya, kita harus menun%ukkan bahwa # e.. karena C adalah abelian, # ab
−1
ab
−1
2
a
E
#
−1
b
$E
ab
−1
−1
ee
$V E
VE
−1
ab
E e. Hleh karena itu,
milik ; dan, dengan u%i sub kelompok satu langkah, ; adalah subgroup C. Dalam banyak kasus, sub6grup akan terdiri dari semua elemen yang memiliki bentuk khusus. Di sini, properti P adalah bentuk khusus. !)nt)' 0
(isalkan C men%adi kelompok abelian terhadap 2 x perkalian dengan identitas e. maka ; EL W> ϵ
G}
adalah subgroup C. #dalam kata6kata, ; adalah 2
e =e ,
himpunan semua kotak.$ se%ak identitas memiliki bentuk yang benar. Selan%utnya kita menulis dua elemen dari ; dalam bentuk yang benar, katakanlah 2 2 a b , dan . Kita harus menun%ukkan bahwa a (b 2
2
)− %uga memiliki bentuk yang benar, yaitu
sebuah
1
a (b 2
2
)− adalah kuadrat dari beberapa elemen. 1
+$
Karena C adalah Abelian, kita dapat menulis
a (b 2
2
)
−1
ab 2 (¿¿− ) 1 sebagai yang merupakan bentuk yang benar. ¿
demikian, ; adalah subgroup C. 1agaimana Anda membuktikan bahwa subset dari kelompok bukanlah sebuah subgroup? 1erikut adalah tiga cara yang mungkin, salah satu yang men%amin bahwa subset bukan merupakan sub kelompok= !. un%ukkan bahwa identitas tidak di set. ". (enun%ukkan sebuah elemen dari set yang terbalik tidak di set. -. (enun%ukkan dua elemen dari himpunan yang produk tidak di set. !)nt)' 1
(isalkan C adalah grup bilangan real nol dalam perkalian, ; E L> C ¿ > E ! or irrationalM dan ϵ
KEL>
ϵ
C W > X ! Mkemudian ;. idak subgroup C
se%ak Y #"$ U ; tetapi Y". Y" E " subgroup se%ak " U K tetapi
−1
2
∉
;.also, K bukan ∉
K.
Awal mahasiswa biasanya lebih memilih untuk menggunakan teorema berikutnya bukan eorema -.!
+
Te)rema +.
Dua ,angka' Ui Subgr)u(
/isalkan G men0adi kelompok dan tidak kosong subset G. 2emudian, adalah subgrup dari G 0ika ab & 0ika a, b & (tertutup terhadap perkalian) dan −1
a
& setiap kali a & (tertutup di ba3ah in4ers
mengambil)
1IK+. Dengan eorema -.!, itu sudah cukup untuk menun%ukkan bahwa a, b U ; menyiratkan
−1
ab
∈
;. &adi, kami menganggap bahwa a, b U ;. Karena ; ditutup melakukan invers, kami %uga memiliki −1
b
U ;. perkalian.
ab
−1
ϵ H
dengan penutupan terhadap
Ketika berhadapan dengan kelompok terbatas, lebih mudah untuk menggunakan tes subgroup berikut. Te)rema +.+
Ui %ingga Subgr)u(
subset terbatas tidak kosong dari suatu kelompok G. kemudian, adalah subgrup dari G 0ika ditutup di ba3ah pengoperasian G
++
1IK+. (engingat eorema -.", kita hanya perlu −1 a ∈ ; setiap kali. %ika a membuktikan bahwa ϵ
; maka a E &ika e N
ϵ
−1
a
,kemudian
ϵ
kita sudah selesai.
, pertimbangkan urutan sebuah,
〖sebuah〗 ,
2
a
a
3
, .. Se%ak ; adalah terbatas dan penutupan mengimplikasikan bahwa semua kekuatan positif dari dalam ;, tidak semua elemen ini i j a a berbeda. Katakanlah, E dan i Z %. Kemudian i − j
a
i − j
a
E e, dan sincen a N E
a.a
i− j −1
е
,&adi, i F % Z !,demikian
E e dan, karena itu, .
−1
a
. api, i F %6 ! X ! menyiratkan kita selesai. Te)rema +./
⟨ a⟩
a
i − j − 1
a
i− j − 1
∈
E
; dan
adala' Subgr)u(
/isalkan G adalah grup, dan misalkan a adalah beberapa elemen G. 2emudian, ⟨ a ⟩ adalah a subgroup G.
⟨ a ⟩ , ⟨ a ⟩ adalah tidak kosong. (isalkan, an , am [ ⟨ a ⟩ . Kemudian, an. #am$ 6! E a n6m Є ⟨ a ⟩ / maka, dengan teorema -.!, ⟨ a ⟩ adalah a BUKTI. Ketika a [
+2
subgroup C. Subgroup ⟨ a ⟩ disebut subgroup siklik dari C yang dihasilkan oleh a. Dalam hal itu C E ⟨ a ⟩ kita katakan C adalah siklik dan a adalah sebuah generator #penghasil$ dari C. #sebuah group siklik boleh memiliki banyak generatorJpenghasil$ meskipun bahwa daftar. . . , a6", a6!, a@, a!, a",. . . tak terbatas banyak entrie, himpunan La n \n [ M mungkin hanya memiliki banyak bilangan element yang terbatas. &uga perhatikan ini, ketika a i. a % E ai 7 % E a % 7i E a %. ai, setiap group siklik adalah Abelian #komutatif$. Di I #!@$, ⟨ 3 ⟩ E L-,:,,!M E I #!@$, untuk -! E -, -", E : -- E , -* E !, -5 E -*. - E !. -, - E -*. -" E :,. . ./ -6! E # karena - . E !$, -6" E :, -6- E -, -6 * E !, -65 E -6 *. -6! E !. , -6 E -6*. -6" E !. : E :,. . . . u ( 10 )= {1,3,7,9 } !O"TO% 2
⟨ 3 ⟩ = {3,9,7,1 }=u (10 ) dan ⟨ 3 ⟩ adalah generator dalam
u ( 10 )
1
=3
2
=9
3
=7 mod 10
3
3 3
+5
4
3
=1 mod 10
−1
=7 karena 3 × 7 =1 mod 10 karenainvers
−2
=9
−3
=3
3
3 3
⟨ 2 ⟩ E L",*,,G,@M. +ngat, an berarti na ketika operasi adalah pen%umlahan. !O"TO% 3 Di !@
z 10={ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }
⟨ 2 ⟩ = {2,4,6,8,0 } Keterangan= ⟨ 2 ⟩ → 21=2 2
=2.2= 4
3
=3.2= 6
4
=4.2= 8
5
=5.2=10 → 0 mod 10
2 2 2
2
⟨−1 ⟩ E . Di sini setiap entri dalam daftar. . . , 6" #6!$, 6! #6!$, @ #6!$, ! #6!$, " #6!$,. . . merupakan sebuah elemen group yang berbedaJ%elas. !O"TO% 4 Dalam ,
+<
z , ⟨ −1 ⟩= z
Keterangan = 9 Ebilangan bulat … ,− 2,−1,0,1,2, …
Karena dala bilangan bulat yang berlaku operasi pen%umlahan, maka −1 −1=−2
−1 −1=−2−1=−3
Dan
−1 −(−1 ) =0 −1 −1=0 −1=1
−1 −(−1 ) =0− (−1 )=1 −(−1 )=2 !)nt)' *5 Di Dn, group dihedral dari oeder " n ,
misalkan menun%ukkan suatu rotasi -@ J n dera%at. Kemudian, n ¿ -@ E e, n 7 ! E , n 7" E ",. . . . Demikian pula, 6! E n6!, 6" E n6", . . sehingga ⟨ R ⟩ E Le, ,. . . , n6!M. Kita melihat, maka pangkat dari siklus kembali secara berkala dengan periode n. Dapat dilihat, meningkatkan untuk pangkat positif yang berurutan adalah sama seperti arah %arum %am yang berlawanan sekitar perputaran satu node pada satu waktu, sedangkan peningkatan untuk pangkat negatif yang berturut6turut adalah sama dengan seperti searah %arum %am pada suatu waktu. +B
%n e
%"$ %n"$ %n$ % %" %n" %n %
Dalam bab * ini kita akan memperlihatkan \ ⟨ a ⟩ \ E \a\, yaitu oeder subgroup yang dihasilkan oleh a adalah order a itu sendiri #Sebenarnya, definisi \a \ untuk memastikan validitas dari persamaan ini$ kita selan%utnya mempertimbangkan salah satu subgroup yang paling penting. De&inisi Pusat dari sebua' Gru(
Pusat, #C$, sebuah group C adalah himpunan bagian dari elemen6elemen di C dengan merubah setiap elemen di C. dengan simbol, #C$ E { a ! G|ax = xa un"uk semua x diG } L0otasi #C$ kata pusat berasal dari %erman yaitu entrum. +stilah ini diciptakan oleh &. A. de Segulerin !:@*.3 )enter = z ( G )= { a ∈ G|ax = xa , ∀ x ∈ G } Kalau ada #E$ generator, kalau #,$ E subgroup. Te)rema +.0 Pusat Adala' sebua' Subgr)u(
+8 sebuah /usat sebuah group G adalah
BUKTI. Intuk variasi,
kita akan menggunakan eorema -." untuk membuktikan hasil ini. &elas, e U #C$, maka #C$ adalah tidak kosong. Sekarang, misalkan a, b U #C$. Kemudian #ab$ > E a #b>$ E a #>b$ E #a>$ b E #>a$ b E > #ab$ untuk semua > di C, dan oleh karena itu, ab U #C$. 1erikutnya, asumsikan bahwa U #C$. kemudian, kami mempunyai a> E >a untuk semua > di C. yang kita inginkan adalah a6! > E >a 6! untuk semua > di C. informal, semua yang perlu kita lakukan untuk mendapatkan persamaan kedua dari ]ang pertama adalah secara bersamaan untuk membawa satu di seberang tanda sama dengan= a> E >a (en%adi
−1
−1
x a =a x
#hati6hati di sini/ group tidak
komutatif. a di sebelah kiri dikalikan dengan a
−1
a
−1
dan
a di sebelah kanan dikalikan dengan . Secara resmi, yang persamaan yang diinginkan dapat diperoleh dari yang asli dengan mengalikan itu di kiri dan kanan
+
−1
a
oleh −1
a
seperti=
( ax ) a− 1=a−1 ( xa ) a−1 ,
( a− a ) x a− =a− x ( a a− ) , 1
−1
1
1
1
−1
ex a =a xe , −1
−1
x a =a x .
;al ini menun%ukkan bahwa a6!U#C$ setiap kali a adalah. Intuk atihan, mari kita menentukan pusat group dihedral. )ontoh !! Intuk n X -, #Dn$ E L @, !G@M bila n genap L @M ketika n adalah gan%il Kita mulai dengan menun%ukkan bahwa #D n$ tidak dapat mengandung sebuah pencerminan. &ika < adalah sebuah pencerminan, ada dua kasus yang mungkin untuk sumbu pencerminan untuk <. 'ntah sumbu ini melewati simpul dari n6gon, atau bergabung dengan titik tengah dua sisi berlawanan dari n6gon. (ari kita asumsikan pertama yang poros melewati simpul. abel n6gon seperti yang ditun%ukkan di bawah ini.
! 24
n
" poros pencerminan untuk <
sekarang, -@Jn < $
$
n
%+<4 9 n
V n
Sedangkan, < -@Jn $
$
n
%+<49n n
n >$
V
+ $ + Sekarang, -@Jn memberikan puncakJsimpul ! untuk puncakJsimpul n, sedangkan < -@J n simpul !ke impul ".
Ketika
n #3
, kita mempunyai
2$
R 360 $ ≠ $ R 360 , n
n
$
sedangkan < adalah tidak di tengah di D n. Argumen serupa pada aturan diagram berikut keluar refleksi yang bergabung dengan titik6titik tengah sisi yang berlawanan #kasus ini muncul ketika n bahkan$.
!^ n^
^" ^ porosJsumbu pencerminan
Kami telah membuktikan, bahwa tidak ada refleksiJpencerminan di tengah D n. Selan%utnya, mempertimbangkan rotasi E k. -@ J n #! O k n$ di Dn, mari kita asumsikan bahwa @ @ K.-@_J n !G@ _. label n6gon seperti yang ditun%ukkan pada gambar berikut, dan membiarkan < menun%ukkan refleksi di sumbuJporos yang melewati verte>Jpuncak ! ! n
Sekarang, < mengirim simpul ! ke simpul di sisi kanan dari sumbu refleksi, sedangkan < mengirim simpul ! ke simpul di sisi kiri sumbu seleksi. Dengan demikian, < N <. Argumen yang sama menun%ukkan bahwa < N < ketika !G@ _ k ^ -@_Jn -@ _. (embuktikan 2
bahwa @ dan !G@ adalah unsur hanya mungkin di pusat Dn. 1ila n adalah bilangan gan%il, D n tidak memiliki rotasi !G@_, dan kita menyerahkan kepada pembaca untuk menun%ukkan bahwa ketika n bahkan, !G@ memang bolak6balik dengan setiap anggota D n. (eskipun elemen dari kelompok non6Abelian tidak perlu bolak6balik dengan setiap elemen kelompok, selalu ada beberapa unsur dengan yang akan bepergian. Intuk (isalnya, setiap elemen sebuah kemacetan dengan semua kekuatan a. penelitian ini mendorong definisi berikutnya dan teorema. D#FI"ISI Pemusat a di G
(isalkan a men%adi elemen tetap sebuah grup C. Pemusat dari a di C. ) #a$, adalah himpunan semua elemen dalam C yang pulang pergi dengan a. simbol, ) #a$ E Lg U C W ga E agM. )H0H; !" Di D*, kita memiliki centrali9ers #Pemusat$ berikut= )# @$ E D* E )# !G@$, & R % % = Didalam D*, contoh= 180 % R 180= %
&
karena berlaku sifat komutatifJabelian
dimana R180 sebagai centrali9er. )# :@$ E L @, :@, !G@, "@M E )# "@$, Dalam D*,
R90 R 180= R 270,
R180 R90= R 270
2+
.
berlaku sifat komutatifJabelian dimana centrali9er. )#;$ E L @, ;, !G@,`M E )#`$,
R270
sebagai
con"o' : R180 H =( ,H R180=(
berlaku sifat komutatifJabelian dimana ( sebagai centrali9er. )#D$ E L @, D, !G@, D M E )#D$. & & con"o' : R180 % = % , % R 180= % berlaku sifat komutatifJabelian dimana D sebagai centrali9er. Perhatikan bahwa setiap )entrali9ers dalam )ontoh !" sebenarnya merupakan subkelompok dari D*. eorema berikutnya menun%ukkan bahwa ini bukan sebuah kebetulan Te)rema +.1 !6a7 adala' suatu Subgr)u(
-ntuk setiap a di sebuah group G, berpusat pada a adalah sebuah subgroup G
1IK+. Sebuah bukti yang sama dengan eorema -.5 diserahkan kepada pembaca untuk pasokan. Perhatikan bahwa untuk setiap elemen dari grup C, #C$ W ) #a$. &uga, obseve bahwa C adalah Abelian %ika dan hanya %ika ) #a$ E C untuk semua di C. ,ati'an halaman 5=
22
:. un%ukan
u ( 20 ) ≠ ⟨ k ⟩
untuk bebrapa k di
u ( 20 )
2ketika, u ( 20 ) ada)a'bukansik)ik . Penyelesain = u ( 20 )= {1,3,7,9,11,13,17,19 }
⟨ 1 ⟩ = {1 }
⟨ 9 ⟩ ={ 9,1 }
⟨ 3 ⟩ = {3,9,7,1 }
9
1
=9
2
=1 mod 20
1
=3
9
2
=9
⟨ 11 ⟩ = { 11,1 }
3
=7 mod 20
11
4
=1 mod 20
11
3
3 3 3
⟨ 7 ⟩ = { 7,9,3,1 }
1
=11
2
=1 mod 20
⟨ 13 ⟩= {13,9,17,1 }
1
=7
13
2
= 9 mod 20
13
3
=3 mod 20
13
4
=1 mod 20
13
7 7
7 7
1
=13
2
25
=9 mod 20
3
=17 mod 20
4
=1 mod 20
,
⟨ 17 ⟩ = {17,9,13,1 }
4
17
=1 mod 20
1
=17
⟨ 19 ⟩= {19,1 }
2
= 9 mod 20
19
3
=13 mod 20
19
17 17 17
1
2
=19 =1 mod 2 @
!". untuk setiap k di n, misalkan uk ( n )= { x ∈ u ( n )| x =1 mod k } . #untuk contoh, u3 ( 21 ) ={ 1,4,10,13,16,19 } dan u7 ( 21 )={ 1,8 } .$ daftar element6element
u4 ( 20 ) , u5 ( 20 ) , u5 ( 30 ) ,u 10 ( 30 ) .
buktikan uk ( n ) adalah sebuah subgroup u ( n ) . Penyelesian= u ( 21 ) ={ 1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20 } u3 ( 21 ) ={ 1,4,7,10,13,16,19 }
karena tidak termasuk u ( 21 ) maka u3 ( 21 )={ 1,4,10,13,16,19} . Dimana ( 0 × 3 ) +1 =1 ( 1 × 3 ) + 1= 4 ( 2 × 3 ) +1=7 dan seterusnya.
2<
u7 ( 21 ) ={ 1,8,15 }
karena !5 tidak termasuk
u ( 21 )
maka
u7 ( 21 ) ={ 1,8 }
Dimana ( 0 × 7 )+ 1 =1 ( 1 × 7 ) +1=8 dan seterusnya. u ( 20 ) {1,3,7,9,11,13,17,19 } u4 ( 20 ) ={ 1,5,9,14 }
Dimana ( 0 × 5 ) + 1 =1 ( 1 × 5 ) +1=6 karena tidak termasuk ( 2 × 5 ) +1=11
u ( 20 )
( 3 × 5 ) +1=16 karena ! tidak termasuk u#"@$ dan
seterusnya u5 ( 20 ) = {1,11 } 2B
u ( 30 ) = {1,7,11,13,19,23,29 }
u5 ( 30 ) = {1,11 } u10 ( 30 )={ 1,11 }
Dimana= ( 0 × 10 ) + 1 =1 ( 1 × 10 ) + 1=11 dan seterusnya (aka buktikan uk ( n ) adalah sebuah subgroup u ( n ) . Karena element6element uk ( n ) merupakan sebuah
subgroup u#n$ yang element6elemntnya sama. . un%ukan bahwa I#!*$ E -Z E 5Z. 2 Dimana, I#!*$ adalah siklik 3. Apakah I#!*$ E !!Z ? &awab= I#!*$ E L !, -, 5, :, !!, !- M -Z E - E -V E : - E !- mod !* -* E !! mod !* -5 E 5 mod !* - E ! mod !* -Z E L -, :, !-, !!, 5, ! M 5Z E 5 E 5 5V E !! 5 E !- mod !* 5* E : mod !* 28
55 E - mod !* 5 E ! mod !* 5Z E L 5, !!, !-, :, -, ! M !!Z E !! E !! !!V E : mod !* !! E ! mod !* !!Z E L !!, :, ! M I#!*$ N !!Z dan bukan siklik melainkan subgroup karena !!Z terdapat elemen yang sama pada I#!*$. erbukti 1ahwa I#!*$ -Z E 5Z dan merupakan siklik karena terdapat generator. G. un%ukan bahwa !@ E -Z E Z E :Z. Apakah !@ E "Z ? &awab= !@ E L @, !, ", -, *, 5, , , G, : M -Z E - E -V - -* -5 - - -G -:
E E E E E E E E
: " 5 G ! *
mod !@ mod !@ mod !@ mod !@ mod !@ mod !@ mod !@
2
-Z Z
E E
Z :Z
E E
:Z
E
-!@E @ mod !@ L -, , :, ", 5, G, !, *, , @ M E V E * E ! mod !@ * E G mod !@ 5 E 5 mod !@ E " mod !@ E : mod !@ G E mod !@ : E - mod !@ !@ E @ mod !@ L , *, !, G, 5, ", :, , -, @ M : E : :V E G : E mod !@ :* E mod !@ :5 E 5 mod !@ : E * mod !@ : E - mod !@ :G E " mod !@ :: E ! mod !@ :!@ E @ mod !@ L :, G, , , 5, *, -, ", !, @ M 54
"Z
E " E " "V E * " E G mod !@ "* E mod !@ "5 E " mod !@ " E * mod !@ " Z E L ", *, G, M I#!@$ N " Z dan bukan siklik melainkan subgroup karena " Z terdapat elemen yang sama pada I#!*$. erbukti = !@ E -Z EZ E :Z. Dan merupakan generator karena terdapat generator !. Intuk setiap group pada daftar berikut, tentukan order group dan order setiap elemant di group. 1agaiman hubungan antara order element group dengan order group? * 12= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,
1.2=2
|* |=12
2.2= 4,
12
3.2=6,
|2|=6
4.2 =8,
5$
5.2=10 mod 12
|1|= 1,|5|=2,|11|=2,|7|=0,
."E" mod !"
1
=5
2
=1 mod 12
5
u ( 10 )= {1,3,7,9 } +|u ( 1
5
⟨ 1 ⟩= {1 }
1
=11
2
=1 mod 12
11
⟨ 3 ⟩= {3,9,7,1 } +|3|= 4
11
⟨ 7 ⟩= { 7,9,3,1 } +|7|=4
1
7
⟨ 9 ⟩ ={ 9,1 } +|9|=2 u ( 12 )={ 1,5,7,11 } +|u (
5
=7
2
7
=1 mod --. D* mempunyai subgrup siklik #selain @Z$.
-*. I#!5$ mempunyai subgrup siklik -. ; E L!,-,!,!:M adalah subgrup dari I#"@$ -G. WI#-$W E ", WI#5$W E *, WI#!5$W E G -:. WI#r$W WI#s$W E WI#rs$W
([ ]) E
5!. a.
b.
1 1
1 0
([ ]) E 1 1
1 0
c. #G$ E
4 C%C&'C GRO(P! !')*+ C%C&'C GRO(P!
Mengulang dari Nab + baha group < dikatakan 0y0li0 !ika element a di < sedemikian hingga < #{an9n∈O}# .ehingga element disebut generator dari < Mengingat notasi yang telah di!elaskan pada bab sebelumnya, kita dapat menun!ukan baha < adalah 0y0li0 group yang dihasilkan oleh a dan ditulis < #
