Aljabar-Abstrak-I-Bab1-3

Diktat Kuliah

PENGANTAR ALJABAR ABSTRAK I (Pengantar Struktur Aljabar I: Pendahuluan Teori Grup)

Disusun oleh:

M. Zaki Riyanto, S.Si., M.Sc. Editor:

Dwi Lestari, S.Si., M.Sc.

KELOMPOK STUDI ALJABAR DAN KRIPTOGRAFI KRIPTOGRAFI ARSIP JURNAL MATEMATIKA (AJM) YOGYAKARTA 2011

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah s.w.t. atas limpahan nikmat dan karunianya, sehingga penulis dapat menyelesaikan diktat ini tepat pada waktunya. Aljabar Abstrak merupakan salah satu mata kuliah wajib yang umum diajarkan pada mahasiswa Program Studi Matematika maupun pada Program Studi Pendidikan Matematika di Indonesia. Pada beberapa universitas, mata kuliah ini muncul dengan nama Pengantar Struktur Aljabar atau Aljabar Modern. Dari pengalaman penulis pada saat menjadi mahasiswa S1 dan S2 di UGM, mata kuliah ini dirasakan cukup sulit, karena merupakan suatu konsep yang benar-benar baru dan belum pernah diajarkan pada saat sekolah. Masalah yang penulis temukan adalah mengenai kurangnya pengetahuan dasar mahasiswa pada teori himpunan dan logika matematika. Oleh karena itu, sebelum mempelajari Aljabar Abstrak, sangat dianjurkan untuk mempelajari teori himpunan dan logika matematika. Penulis yakin, bahwa dalam diktat kuliah ini masih banyak kekurangan, oleh karena itu penulis sangat mengharapkan masukan-masukan berupa kritik dan saran yang dapat disampaikan melalui email penulis di [email protected] atau melalui blog penulis di http://zaki.math.web.id http://zaki.math.web.id.. Akhir kata, semoga dengan adanya diktat ini mahasiswa menjadi lebih mudah dalam memahami konsep-konsep dalam Aljabar Abstrak. Penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada rekan-rekan diskusi penulis, yaitu ibu Dra. Khurul Wardati, M.Si, Ibu Dra. Widayati, M.Sc, Denik Agustito M.Sc. dan Samsul Arifin, M.Sc., rekan-rekan dosen di UIN Sunan Kalijaga dan Universitas Ahmad Dahlan, serta rekan-rekan yang tergabung dalam Himpunan Peminat Aljabar (HPA) di Indonesia.

Kaliurang – Yogyakarta, 1 Oktober 2011

M. Zaki Riyanto, S.Si., M.Sc. Penulis

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah s.w.t. atas limpahan nikmat dan karunianya, sehingga penulis dapat menyelesaikan diktat ini tepat pada waktunya. Aljabar Abstrak merupakan salah satu mata kuliah wajib yang umum diajarkan pada mahasiswa Program Studi Matematika maupun pada Program Studi Pendidikan Matematika di Indonesia. Pada beberapa universitas, mata kuliah ini muncul dengan nama Pengantar Struktur Aljabar atau Aljabar Modern. Dari pengalaman penulis pada saat menjadi mahasiswa S1 dan S2 di UGM, mata kuliah ini dirasakan cukup sulit, karena merupakan suatu konsep yang benar-benar baru dan belum pernah diajarkan pada saat sekolah. Masalah yang penulis temukan adalah mengenai kurangnya pengetahuan dasar mahasiswa pada teori himpunan dan logika matematika. Oleh karena itu, sebelum mempelajari Aljabar Abstrak, sangat dianjurkan untuk mempelajari teori himpunan dan logika matematika. Penulis yakin, bahwa dalam diktat kuliah ini masih banyak kekurangan, oleh karena itu penulis sangat mengharapkan masukan-masukan berupa kritik dan saran yang dapat disampaikan melalui email penulis di [email protected] atau melalui blog penulis di http://zaki.math.web.id http://zaki.math.web.id.. Akhir kata, semoga dengan adanya diktat ini mahasiswa menjadi lebih mudah dalam memahami konsep-konsep dalam Aljabar Abstrak. Penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada rekan-rekan diskusi penulis, yaitu ibu Dra. Khurul Wardati, M.Si, Ibu Dra. Widayati, M.Sc, Denik Agustito M.Sc. dan Samsul Arifin, M.Sc., rekan-rekan dosen di UIN Sunan Kalijaga dan Universitas Ahmad Dahlan, serta rekan-rekan yang tergabung dalam Himpunan Peminat Aljabar (HPA) di Indonesia.

Kaliurang – Yogyakarta, 1 Oktober 2011

M. Zaki Riyanto, S.Si., M.Sc. Penulis

1

BAB I GRUP

Pada bab ini dibahas mengenai grup yang meliputi motivasi pendefinisian grup, sifat-sifat sederhana grup dan dua contoh grup yang menarik untuk dibahas yaitu grup bilangan bulat modulo dan grup permutasi (grup simetri). 1.1. Pendahuluan Grup Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering melakukan perhitungan-perhitungan, seperti operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perkalian matriks, penjumlahan matriks, dan sebagainya. Operasi-operasi tersebut dilakukan dalam suatu himpunan, seperti himpunan semua bilangan bulat, himpunan semua bilangan real, himpunan semua matriks 2x2 atas bilangan real, dan sebagainya.

Pandang himpunan semua bilangan bulat ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, 0,1, 2, 2, 3, 3, .. ...} dan operasi penjumlahan “+”. Dengan mudah dapat diketahui bahwa himpunan ℤ terhadap operasi “+” berlaku sifat-sifat berikut ini: 1. Apabila diambil sebarang dua bilangan bulat, maka hasil penjumlahan kedua bilangan bulat tersebut juga merupakan bilangan bulat, sehingga operasi penjumlahan pada himpunan semua bilangan bulat bersifat tertutup, yaitu

( ∀a, b ∈ ℤ ) a + b ∈ ℤ . 2. Apabila diambil sebarang tiga bilangan bulat a, b, c ∈ ℤ , maka hasil penjumlahan a + b kemudian hasilnya dijumlahkan dengan c akan sama hasilnya dengan a

dijumlahkan dengan hasil penjumlahan b + c , atau operasi penjumlahan pada himpunan semua bilangan bulat bersifat assosiatif, yaitu

( ∀a, b, c ∈ ℤ ) ( a + b ) + c = a + ( b + c ) . 3. Di dalam himpunan semua bilangan bulat, terdapat suatu bilangan yang apabila dijumlahkan dengan sebarang bilangan bulat akan menghasilkan bilangan bulat itu sendiri, suatu bilangan tersebut adalah bilangan nol. Jadi, terhadap operasi penjumlahan, himpunan semua bilangan bulat mempunyai elemen identitas terhadap penjumlahan, yaitu ( ∃0 ∈ ℤ ) ( ∀a ∈ ℤ ) a + 0 = 0 + a = a . 4. Apabila diambil sebarang bilangan bulat a, maka selalu dapat ditemukan suatu bilangan bulat sehingga kedua bilangan bulat tersebut apabila dijumlahkan menghasilkan elemen identitas yaitu 0. Suatu bilangan bulat tersebut adalah − a . Jadi, setiap bilangan bulat mempunyai invers terhadap operasi penjumlahan, yaitu

( ∀a ∈ ℤ ) ( ∃ − a ∈ ℤ ) a + ( −a ) = −a + a = 0 . Selanjutnya, pandang himpunan semua bilangan real tidak nol ℝ∗ = ℝ − {0} dan operasi perkalian “.”. Dapat dengan mudah diketahui bahwa ℝ∗ terhadap operasi perkalian berlaku empat sifat berikut ini: 1.

2. 3.

( ∀a, b ∈ ℝ ) a ⋅ b ∈ ℝ ( ∀a, b, c ∈ ℝ ) ( a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c ) ( ∃1∈ ℝ ) ( ∀a ∈ ℝ ) a ⋅1 = 1 ⋅ a = a ∗

∗

∗

∗

∗

Pengantar Aljabar Abstrak I - Oleh: M. Zaki Riyanto, S.Si., S.Si., M.Sc.

2

4.

( ∀a ∈ ℝ )  ∃ a ∈ ℝ 1

∗

∗



 1 1 a⋅ = ⋅a =1  a a

Dari kedua contoh di atas, dapat dilihat bahwa himpunan ℤ terhadap opearsi penjumlahan dan himpunan ℝ∗ terhadap operasi perkalian mempunyai empat sifat yang yang sama. Sebagai latihan, diberikan himpunan semua matriks 2x2 atas himpunan semua

 a b   ℝ ∈ a b c d , , ,  . Selidikilah apakah himpunan  c d   

bilangan real, yaitu M 2 ( ℝ ) = 

M 2 ( ℝ ) terhadap operasi penjumlahan matriks juga memenuhi keempat sifat yang sama

seperti pada kedua contoh di atas. Pandang himpunan semua bilangan bulat ℤ terhadap operasi perkalian. Dapat dilihat bahwa himpunan ℤ terhadap operasi perkalian hanya memenuhi tiga sifat yang pertama, yaitu: 1.

( ∀a, b ∈ ℤ ) a ⋅ b ∈ ℤ

2.

( ∀a, b, c ∈ ℤ ) ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c )

3.

( ∃1 ∈ ℤ ) ( ∀a ∈ ℤ ) a ⋅1 = 1 ⋅ a = a

 1  1 1 Tetapi untuk sifat yang ke-4, yaitu ( ∀a ∈ ℤ )  ∃ ∈ ℤ  a ⋅ = ⋅ a = 1 tidak dipenuhi, sebab  a  a a terdapat 2 ∈ ℤ sedemikian hingga ( ∀a ∈ ℤ ) 2 ⋅ a ≠ 1 , dapat dilihat juga bahwa

1 2

∉ℤ .

Selanjutnya, pandang himpunan semua bilangan asli ℕ = {1,2,3,...} . Dapat dilihat bahwa himpunan ℕ terhadap penjumlahan hanya memenuhi sifat ke-1 dan ke-2 saja. Sedangkan himpunan ℕ terhadap operasi perkalian memenuhi sifat ke-1, ke-2 dan ke-3. Dari contoh-contoh di atas, dapat didefinisikan konsep mengenai suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan suatu operasi dan memenuhi sifat-sifat yang telah diberikan di atas. Diberikan suatu himpunan tidak kosong G. Definisi 1.1.1. (Struktur Aljabar) Diberikan operasi-operasi ∗1 , ∗2 , ... pada G. Suatu himpunan yang dilengkapi dengan operasi-operasi pada G disebut dengan struktur

aljabar atau himpunan yang berstruktur. Ditulis dengan ( G, ∗1 , ∗2 , ...) . Contoh 1.1.2. Contoh struktur aljabar ada banyak sekali, seperti himpunan semua bilangan

bulat terhadap operasi penjumlahan, yaitu

( ℤ, + ) , dapat juga dengan operasi perkalian,

yaitu ( ℤ, ⋅) , atau kedua operasi digunakan semua, yaitu ( ℤ, +, ⋅) . Pada mata kuliah Aljabar Abstrak I, pembahasan difokuskan pada struktur aljabar dengan satu operasi. Untuk struktur aljabar dengan dua operasi akan diberikan pada mata kuliah Aljabar Abstrak II. Definisi 1.1.2. (Operasi Biner & Grupoid) Suatu operasi “ ∗ ” pada G disebut operasi

biner jika operasi tersebut bersifat tertutup, yaitu ( ∀a, b ∈ G ) a ∗ b ∈ G . Struktur aljabar

( G , ∗)

yang dilengkapi dengan suatu operasi biner disebut dengan grupoid .


3

Contoh grupoid yaitu

( M 2 ( ℝ ) , ⋅) .

( ℤ, + ) , ( ℤ, ⋅) , ( ℤ, − ) , ( ℕ, + ) , ( ℝ, + ) , ( M 2 ( ℝ ) , + ) dan

Sedangkan contoh bukan grupoid yaitu

( ℕ, − ) , ( ℝ ∗ , + ) dan ( ℤ, ∗) dengan

a+b

, ∀a, b ∈ ℤ . Struktur aljabar ( ℕ, − ) bukan grupoid sebab terdapat 2 1, 2 ∈ ℕ sedemikian hingga 1 − 2 = −1 ∉ ℕ , yaitu operasi pengurangan tidak bersifat

definisi a ∗ b =

tertutup pada ℕ . Demikian juga

(ℝ , +) ∗

bukan grupoid, sebab terdapat −1,1 ∈ ℝ ∗

sedemikian hingga −1 + 1 = 0 ∉ ℝ ∗ . Latihan 1.1.3. 1. Diberikan himpunan G = {a ∈ ℤ a genap} . Buktikan bahwa operasi penjumlahan pada G bersifat tertutup, yaitu ( G, + ) merupakan grupoid. 2. Diberikan himpunan H = {a ∈ ℤ a ganjil} . Tunjukkan bahwa operasi penjumlahan pada H tidak bersifat tertutup. 3. Diberikan S = {a ∈ ℝ a > 0} . Buktikan bahwa operasi perkalian pada S bersifat tertutup. 4. Diberikan T = { a ∈ ℝ a > − 5} . Tunjukkan bahwa T tidak bersifat tertutup terhadap operasi perkalian.

 x   K =   x, y ∈ ℝ, x + y = 0  . Buktikan bahwa operasi penjumlahan  y  

5. Diberikan

vektor pada K bersifat tertutup. Kembali pada bagian motivasi pada awal bab, diberikan grupoid

( ℤ, + ) . Telah

diketahui bahwa pada ( ℤ, + ) berlaku: 1.

( ∀a, b ∈ ℤ ) a + b ∈ ℤ (Tertutup terhadap “+” )

2.

( ∀a, b, c ∈ ℤ ) ( a + b ) + c = a + ( b + c ) (Assosiatif terhadap “+” )

3.

( ∃0 ∈ ℤ ) ( ∀a ∈ ℤ ) a + 0 = 0 + a = a (Memuat elemen identitas terhadap “+” )

4.

( ∀a ∈ ℤ ) ( ∃ − a ∈ ℤ ) a + ( −a ) = −a + a = 0

(Setiap

elemen

mempunyai

invers

terhadap “+” ) Diberikan grupoid ( ℝ ∗ , ⋅ ) , telah dikeahui bahwa pada ( ℝ ∗ , ⋅) berlaku sifat-sifat yang sama seperti pada grupoid ( ℤ, + ) , yaitu: 1. 2. 3.

( ∀a, b ∈ ℝ ) a ⋅ b ∈ ℝ (Tertutup terhadap operasi perkalian) ( ∀a, b, c ∈ ℝ ) ( a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c ) (Assosiatif terhadap operasi perkalian) ( ∃1∈ ℝ ) ( ∀a ∈ ℝ ) a ⋅1 = 1 ⋅ a = a (Memuat elemen identitas terhadap ∗

∗

∗

∗

∗

perkalian)


operasi

4

4.

( ∀a ∈ ℝ )  ∃ a ∈ ℝ 1

∗

∗



 1 1  a ⋅ = ⋅ a = 1 (Setiap elemen mempunyai invers terhadap  a a

operasi perkalian) Demikian juga pada himpunan semua matriks 2x2 atas ℝ terhadap operasi penjumlahan matriks yaitu ( M 2 ( ℝ ) , + ) , ternyata mempunyai empat sifat yang sama seperti pada ( ℤ, + ) dan ( ℝ ∗ , ⋅ ) , yaitu 1. 2.

( ∀ A, B ∈ M 2 ( ℝ ) ) A + B ∈ M 2 ( ℝ ) ( ∀ A, B, C ∈ M 2 ( ℝ ) ) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) 

 0 0 ℝ M ∈ ( )  ( ∀A ∈ M 2 ( ℝ ) ) A + O = O + A = A 2  0 0   

3.  ∃O = 

 

  a b  − a −b  ∈ M 2 ( ℝ )  ∃ − A =  ∈ M 2 ( ℝ )  A + ( − A) = − A + A = O    c d  −c −d  

4.  ∀ A = 



Akan tetapi ada grupoid yang tidak memenuhi empat sifat tersebut, seperti diberikan berikut ini. Grupoid ( ℤ, ⋅) memenuhi sifat-sifat berikut: 1.

( ∀a, b ∈ ℤ ) a ⋅ b ∈ ℤ

2.

( ∀a, b, c ∈ ℤ )( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c )

3.

( ∃1 ∈ ℤ )( ∀a ∈ ℤ ) a ⋅1 = 1 ⋅ a = a

4. Akan tetapi sifat setiap elemen mempunyai invers terhadap “.” tidak dipenuhi, sebab terdapat 2 ∈ ℤ yang tidak mempunyai invers terhadap “.” dalam ℤ . Diberikan grupoid

( ℕ, + ) , dapat dilihat bahwa pada ( ℕ, + ) tidak memenuhi empat sifat

tersebut, yaitu: 1.

( ∀a, b ∈ ℕ ) a + b ∈ ℕ (Tertutup terhadap “+” )

2.

( ∀a, b, c ∈ ℕ )( a + b ) + c = a + ( b + c ) (Assosiatif terhadap “+” )

3. Himpunan ℕ tidak memuat elemen identitas terhadap “+” yaitu 0. 4. Karena sifat ke-3 tidak dipenuhi, maka sifat ke-4 jelas tidak dipenuhi. Diberikan himpunan ℤ dan operasi pengurangan "− " pada ℤ . Dapat dilihat bahwa pada

( ℤ, − ) berlaku: 1.

( ∀a, b ∈ ℤ ) a − b ∈ ℤ

2. Tidak bersifat assosiatif, sebagai counter example-nya, diambil 2, 3,4 ∈ ℤ , maka diperoleh:

( 2 − 3) − 4 = −1 − 4 = −5 2 − (3 − 4 ) = 2 − ( −1) = 2 +1 = 3 Sehingga ( 2 − 3) − 4 ≠ 2 − ( 3 − 4 ) . Untuk sifat ke-3 dan ke-4, silahkan diselidiki sebagai latihan.

Pengantar Aljabar Abstrak I - Oleh: M. Zaki Riyanto, S.Si., M.Sc.

5

Dari beberapa contoh dan uraian di atas, dapat dilihat bahwa suatu grupoid dapat memenuhi sifat tertutup, assosiatif, memuat elemen identitas dan setiap elemen mempunyai invers. Akan tetapi ada juga yang hanya memenuhi sifat tertutup, assosiatif dan memuat elemen identitas, atau hanya memenuhi sifat tertutup dan assosiatif saja, bahkan ada juga yang hanya memenuhi sifat tertutup saja. Dari motivasi tersebut, dapat dibuat suatu definisi mengenai struktur aljabar yang memenuhi sifat-sifat tersebut, seperti diberikan pada definisi berikut ini. Definisi 1.1.4. (Grup) Diberikan himpunan tidak kosong G yang dilengkapi dengan operasi “ ∗ ”. Himpunan G disebut grup terhadap operasi “ ∗ ” jika memenuhi empat aksioma berikut ini: 1. Operasi biner (G1) :

( ∀a, b ∈ G ) a ∗ b ∈ G 2. Assosiatif (G2) :

( ∀a, b, c ∈ G )( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) 3. Memuat elemen identitas (G3) :

( ∃e ∈ G )( ∀a ∈ G ) a ∗ e = e ∗ a = a 4. Setiap elemen dari G mempunyai invers di G (G4) :

( ∀a ∈ G ) ( ∃a −1 ∈ G ) a ∗ a −1 = a −1 ∗ a = e Lebih lanjut,

( G, ∗)

( G, ∗)

disebut semigrup jika memenuhi aksioma (G1) dan (G2),

disebut monoid jika memenuhi aksioma (G1), (G2) dan (G3).

Untuk selanjutnya, grup ( G, ∗) dapat cukup ditulis dengan G saja apabila operasi binernya sudah diketahui. Dari definisi di atas dapat dilihat bahwa setiap grup merupakan semigrup dan monoid, dan setiap monoid merupakan semigrup. Akan tetapi belum tentu berlaku sebaliknya. Contoh 1.1.5. 1. Contoh grup yaitu ( ℤ, + ) , ( ℝ, + ) , ( ℝ ∗ , ⋅) dan ( M 2 ( ℝ ) , + ) 2. Grup ( ℤ, + ) mempunyai elemen identitas e = 0 , grup ( ℝ, + ) mempunyai elemen identitas e = 0 , grup

( ℝ , ⋅) ∗

mempunyai elemen identitas

e = 1 , dan grup

0 0 . 0 0   3. Invers a ∈ ℤ pada grup ( ℤ, + ) adalah a −1 = − a ∈ ℤ , invers a ∈ ℝ pada grup

( M 2 ( ℝ ) , + )

mempunyai elemen identitas e = 

( ℝ, + ) adalah

a

−1

= − a ∈ ℝ , invers a ∈ ℝ pada grup ( ℝ , ⋅ ) adalah a ∗

∗

−1

a b  pada grup ( M 2 ( ℝ ) , + )  ∈ M 2 ( ℝ )  c d   −a −b  −1 A = − A =   ∈ M 2 ( ℝ ) . − c − d   4. Contoh bukan grup yaitu ( ℕ, + ) , ( ℤ, ⋅) , ( ℝ, ⋅) dan ( M 2 ( ℝ ) , ⋅) . dan

invers

A = 


=

1 a

∗

∈ℝ ,

adalah

6

Lathihan 1.1.6. 1. Diberikan himpunan semua bilangan kompleks

ℂ = { x + yi x, y ∈ ℝ , i = −1} .

Diberikan operasi penjumlahan “+” untuk a, b ∈ ℂ dengan a = x1 + y1i dan b = x2 + y2i , a + b = ( x1 + y1 ) + ( x2 + y 2 ) i . Buktikan bahwa ( ℂ, + ) merupakan grup.

2. Diberikan himpunan A = {1,2,3} . Dibentuk himpunan kuasa dari A, yaitu himpunan semua himpunan bagian dari A, yaitu P ( A ) = { S S ⊆ A} , apabila ditulis semua elemen-elemennya yaitu P ( A) = {∅,{1} , {2} , {3} ,{1, 2} ,{1,3} ,{ 2, 3} , A} . Diberikan operasi irisan himpunan “ ∩ ” dan gabungan himpunan “ ∪ ” pada P ( A) . Apakah ( P ( A ) , ∩ ) dan ( P ( A) , ∪ ) merupakan grup, monoid atau semigrup? Latihan 1.1.7. Pada titik-titik dalam tabel di bawah ini, berilah tanda centang (v) jika memenuhi atau tanda minus (-) jika tidak memenuhi. Himpunan

Definisi operasi “ ∗ ”

Grupoid

Semigrup

Monoid

Grup

ℤ

a ∗ b := a + b, ∀ a, b ∈ ℤ

....

....

....

....

ℤ

a ∗ b := a − b, ∀ a, b ∈ ℤ

....

....

....

....

ℤ

a ∗ b := a ⋅ b, ∀a, b ∈ ℤ

....

....

....

....

a

ℤ

a ∗ b :=

, ∀a, b ∈ ℤ

....

....

....

....

ℤ

b a ∗ b := a , ∀a, b ∈ ℤ

....

....

....

....

ℕ

a ∗ b := a + b, ∀ a, b ∈ ℕ

....

....

....

....

ℕ

a ∗ b := a − b, ∀a, b ∈ ℕ

....

....

....

....

ℕ

a ∗ b := a ⋅ b, ∀a, b ∈ ℕ

....

....

....

....

ℕ 0 = ℕ ∪ {0}

a ∗ b := a + b, ∀ a, b ∈ ℕ 0

....

....

....

....

ℝ

a ∗ b := a + b, ∀ a, b ∈ ℝ

....

....

....

....

ℝ

a ∗ b := a − b, ∀a, b ∈ ℝ

....

....

....

....

ℝ

a ∗ b := a ⋅ b, ∀a, b ∈ ℝ

....

....

....

....

ℝ∗ = ℝ − {0}

a ∗ b := a ⋅ b, ∀a, b ∈ ℝ

....

....

....

....

ℝ∗ = ℝ − {0}

a ∗ b := a + b, ∀a, b ∈ ℝ ∗

....

....

....

....

ℚ

a ∗ b := a + b, ∀ a, b ∈ ℚ

....

....

....

....

ℚ

a ∗ b := a ⋅ b, ∀a, b ∈ ℚ

....

....

....

....

ℚ∗ = ℚ − {0}

a ∗ b := a ⋅ b, ∀a, b ∈ ℚ∗

....

....

....

....

ℂ

a ∗ b := a + b, ∀ a, b ∈ ℂ

....

....

....

....

ℂ

a ∗ b := a ⋅ b, ∀a, b ∈ ℂ

....

....

....

....

ℂ∗ = ℂ − {0}

a ∗ b := a ⋅ b, ∀a, b ∈ ℂ∗

....

....

....

....

M 2 ( ℝ )

A ∗ B := A + B, ∀A, B ∈ M 2 ( ℝ )

....

....

....

....

M 2 ( ℝ )

A ∗ B := A ⋅ B, ∀A, B ∈ M 2 ( ℝ )

....

....

....

....

M 2 ( ℝ )

A ∗ B := A − B, ∀A, B ∈ M 2 ( ℝ )

....

....

....

....

b


7

Latihan 1.1.8. Diberikan GL2 ( ℝ ) adalah himpunan semua matriks berukuran 2x2 atas ℝ yang

invertibel

atau

yang

mempunyai

determinan

tidak

nol,

yaitu

 a b   , , , ∈ , − ≠ 0 a b c d ad bc ℝ  . Buktikan bahwa GL2 ( ℝ ) merupakan grup   c d  

GL2 ( ℝ ) = 

terhadap operasi perkalian matriks. Diketahui bahwa

( ℤ, + ) dan ( GL2 ( ℝ ) , ⋅) merupakan grup. Diambil sebarang

a, b ∈ ℤ , dapat dilihat bahwa a + b = b + a , yaitu operasi “+” pada ℤ bersifat komutatif.

Apakah pada grup GL2 ( ℝ ) juga bersifat komutatif? Diambil matriks A, B ∈ GL2 ( ℝ )

 1 2  2 1 dan = B   1 1 , diperoleh: 2 3      1 2   2 1  2 + 1 2 + 2   3 A ⋅ B =   ⋅  1 1 =  4 + 3 2 + 3  =  7 2 3         2 1  1 2   2 + 2 4 + 3   4 B ⋅ A =   ⋅  2 3  =  1+ 2 2 + 3 =  3 1 1       

dengan A = 

4



5 7



5

Ternyata diperoleh bahwa A ⋅ B ≠ B ⋅ A , sehingga operasi perkalian matriks pada grup

1 2  2 1 dan = B   1 1 sedemikian  2 3  

GL2 ( ℝ ) tidak bersifat komutatif, sebab terdapat A = 

hingga A ⋅ B ≠ B ⋅ A . Dari sini dapat diperoleh bahwa operasi biner pada grup dapat bersifat komutatif atau bersifat tidak komutatif. Oleh karena itu, dapat didefinisikan suatu grup yang operasi binernya bersifat komutatif, seperti diberikan pada definisi berikut ini. Definisi 1.1.9. (Grup Abelian) Suatu grup

( G, ∗)

disebut grup Abelian atau grup

komutatif jika operasi biner “ ∗ ” bersifat komutatif, yaitu ( ∀a, b ∈ G ) a ∗ b = b ∗ a . Grup

( G, ∗)

disebut grup non-Abelian atau grup non-komutatif jika operasi biner “ ∗ ” tidak

bersifat komutatif, yaitu ( ∃a, b ∈ G ) a ∗ b ≠ b ∗ a .

Contoh 1.1.10. 1. Contoh grup Abelian adalah ( ℤ, + ) , ( ℝ ∗ , ⋅ ) dan ( M 2 ( ℝ ) , + ) . 2. Contoh grup non-komutatif adalah ( GL2 ( ℝ ) , ⋅) . Teorema 1.1.11. (Produk dari Grup) Diberikan grup

( G1 , ∗1 ) , ( G2 , ∗2 ) ,

...,

( Gn , ∗n )

dengan elemen identitas berturut-turut adalah e1 , e2 ,..., en . Dibentuk himpunan G1 × G2 ×⋯ × Gn = {( a1 , a2 ,..., an ) ai ∈ Gi , i = 1, 2,..., n} . Diberikan operasi biner “ ∗ ” pada G dengan definisi untuk a, b ∈ G

dengan

a = ( a1 , a2 ,..., an ) dan b = ( b1 , b2 ,..., bn ) , a ∗ b := ( a1 ∗1 b1 , a2 ∗2 b2 ,..., an ∗n bn ) , Jika G = G1 × G2 ×⋯ × Gn , maka ( G, ∗) merupakan grup. Lebih lanjut, grup ini mempunyai elemen identitas e = ( e1 , e2 ,..., en ) .


8

Bukti: Sebagai latihan mahasiswa. Soal-soal Latihan Subbab 1.1.

{

}

1. Diberikan himpunan ℝ 2 = ( x, y ) x, y ∈ ℝ . Didefinisikan operasi penjumlahan “ ⊕ ” pada ℝ 2 , yaitu untuk ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ∈ ℝ 2 ,

( x1 , y1 ) ⊕ ( x2 , y2 ) := ( x1 + x2 , y1 + y2 ) . Buktikan bahwa ( ℝ 2 , ⊕ ) merupakan grup Abelian. 2. Diberikan himpunan semua polinomial atas

ℝ dengan derajat ≤ 2 , yaitu

P2 ( x) = {a0 + a1 x + a2 x 2 a0 , a1 , a2 ∈ ℝ} . Didefinisikan operasi penjumlahan “+”

pada P2 ( x ) , yaitu untuk f ( x ) , g ( x ) ∈ P2 ( x ) dengan f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 dan 2

g ( x ) = b0 + b1 x + b2 x , didefinisikan f ( x ) + g ( x ) := a0 + b0 + ( a1 + b1 ) x + ( a2 + b2 ) x 2 . Buktikan bahwa ( P2 ( x ) , + ) merupakan grup Abelian. 3. Diberikan himpunan semua bilangan bulat ℤ . Diberikan operasi “ ∗ ” pada ℤ , yaitu untuk

a, b ∈ ℤ

didefinisikan

a ∗ b := a + b + 1 . Selidiki apakah

merupakan grup? Bagaimana jika didefinisikan membentuk grup juga? Jelaskan.

( ℤ, ∗)

a ∗ b := a + b + ab , apakah

 a b   ∈ − = ℝ , , , , 1 a b c d ad bc  yaitu himpunan semua  c d   

4. Diberikan SL2 ( ℝ ) = 

matriks 2x2 atas ℝ dengan determinan 1. a. Buktikan bahwa SL2 ( ℝ ) grup terhadap operasi perkalian matriks. b. Apakah SL2 ( ℝ ) grup Abelian? Jelaskan. 5. Diberikan grup Abelian G dan H . Buktikan bahwa grup G × H Abelian. Tugas Kelompok 1. Buatlah contoh grup Abelian dan contoh bukan grup Abelian (berbeda dengan grup yang telah diberikan). Jelaskan proses pembuktiannya. 2. Buatlah 4 contoh bukan grup (yang berbeda) yang memenuhi: a. Tidak tertutup b. Tidak assosiatif c. Tidak memuat elemen identitas d. Ada anggota yang tidak mempunyai invers


9

1.2. Sifat-sifat Dasar Grup Setelah diberikan pengertian mengenai grup, berikut ini diberikan beberapa sifat dasar yang dimiliki oleh grup. Lemma 1.2.1. (Sifat Kanselasi) Diberikan grup ( G, ∗) , maka berlaku: 1. Kanselasi kiri: ( ∀a, b, c ∈ G ) a ∗ b = a ∗ c ⇒ b = c . 2. Kanselasi kanan: ( ∀a, b, c ∈ G ) a ∗ c = b ∗ c ⇒ a = b . Bukti: Diambil sebarang a, b, c ∈ G . Diketahui G merupakan grup dan a, c ∈ G , 1 1 berdasarkan aksioma G4, terdapat a −1 , c −1 ∈ G sedemikian hingga a ∗ a − = a − ∗ a = e dan

b∗b

−1

−1

= b ∗b = e .

1. Diketahui a ∗ b = a ∗ c , selanjutnya kedua ruas dioperasikan dengan a − dari kiri, diperoleh bahwa 1

− − a 1 ∗(a ∗b) = a 1 ∗(a ∗c) .

Berdasarkan aksioma assosiatif (G2), diperoleh

(a

−1

∗ a ) ∗ b = ( a− ∗ a) ∗ c . 1

Diketahui dari aksioma G4 bahwa a −1 ∗ a = e , sehingga berakibat bahwa e ∗b = e ∗c . Karena e ∈ G adalah elemen identitas dari grup G, menggunakan aksioma G3 diperoleh bahwa b = c . Dengan demikian, terbukti bahwa pada grup G berlaku sifat kanselasi kiri. █ 2. Bukti kanselasi kanan untuk latihan mahasiswa. Dapat diperhatikan bahwa suatu grup memiliki tepat satu elemen identitas, seperti grup ( ℤ, + ) hanya memuat satu elemen identitas yaitu 0. Teorema berikut ini merupakan jaminan bahwa setiap grup memuat tepat satu elemen identitas atau bersifat tunggal. Teorema 1.2.2. (Ketunggalan Elemen Identitas) Diberikan grup

( G, ∗) ,

maka grup G

mempunyai elemen identitas tunggal, yaitu ( ∃!e ∈ G )( ∀a ∈ G ) a ∗ e = e ∗ a = a .

Bukti: Diambil sebarang a ∈ G , diketahui e ∈ G adalah elemen indentitas dari G, maka berlaku a∗e = e∗a = a (1.1) Misalkan terdapat e′ ∈ G sedemikian hingga (1.2) a ∗ e′ = e′ ∗ a = a Akan ditunjukkan bahwa e = e′ . Dari (1.1) dan (1.2) diperoleh bahwa a * e = a ∗ e′ ,

Menggunakan sifat kanselasi kiri diperoleh bahwa e = e′ . Jadi, terbukti bahwa elemen identitas pada grup G bersifat tunggal. █ Teorema 1.2.3. (Ketunggalan Invers) Diberikan grup

( G, ∗)

dan a ∈ G , maka a

mempunyai invers tunggal, yaitu ( ∀a ∈ G ) ( ∃! a −1 ∈ G ) a ∗ a −1 = a −1 ∗ a = e .


10

1 Bukti: Diambil sebarang a ∈ G , berdasarkan aksioma G4, terdapat a − ∈ G sedemikian hingga −1 −1 (1.3) a∗a = a ∗a = e .

Misalkan terdapat a′ ∈ G sedemikian hingga a ∗ a ′ = a′ ∗ a = e

(1.4)

akan ditunjukkan bahwa a −1 = a′ . Dari (1.3) dan (1.4) diperoleh a∗a

−1

= a ∗ a′ ,

Menggunakan sifat kanselasi kiri, diperoleh bahwa a −1 = a′ . Jadi, terbukti bahwa invers dari setiap elemen grup G bersifat tunggal. █ Notasi: Untuk selanjutnya, karena pada grup berlaku sifat assosiatif, yaitu a ∗ (b ∗ c) = ( a ∗ b ) ∗c ,

( a ∗ b ) ∗ c dapat cukup ditulis dengan

untuk setiap a, b, c ∈ G , penulisan a ∗ (b ∗ c ) dan a∗b∗c .

Teorema 1.2.4. Diberikan grup ( G, ∗) , maka berlaku 1.

( ∀a, b ∈ G )( a ∗ b )

2.

( ∀a ∈ G ) ( a −1 )

−1

−1

−1

−1

= b ∗a .

=a.

Bukti: 1. Diambil sebarang a, b ∈ G , berdasarkan aksioma G1 diperoleh bahwa a ∗ b ∈ G , −1

selanjutnya berdasarkan aksioma G4, terdapat ( a ∗ b ) ∈ G sedemikian hingga a ∗ b ∗ ( a ∗ b)

−1

(1.5)

= e.

Diketahui a, b ∈ G , berdasarkan aksioma G4, terdapat a −1 , b−1 ∈ G sedemikian hingga a −1 ∗ a = e dan b −1 ∗ b = e , sehingga dari (1.5) diperoleh bahwa a ∗ b ∗ ( a ∗ b)

−1

=e

Kedua ruas dioperasikan dari kiri dengan a −1 , diperoleh −

a 1 ∗ a ∗ b ∗ ( a ∗ b)

−1

−1

= a ∗e.

Menggunakan aksioma G4 diperoleh e ∗ b ∗ ( a ∗ b)

−1

−1

=a ,

Berdasarkan aksioma G3 diperoleh bahwa b ∗ ( a ∗ b)

−1

−1

=a .

Selanjutnya, kedua ruas dioperasikan dari kiri dengan b − , diperoleh 1

−

1 b ∗b ∗ ( a ∗ b )

−1

−1

−1

= b ∗a .

Menggunakan aksioma G4 diperoleh e ∗ ( a ∗ b)

−1

−1

= b ∗a

−1

Berdasarkan aksioma G3 diperoleh bahwa

(a ∗ b) Jadi, terbukti bahwa ( a ∗ b )

−1

−1

−1

−1

= b ∗a .

= b ∗ a , ∀a, b ∈ G . █ −1

−1


11

2. Diambil sebarang a ∈ G , menurut aksioma G4, terdapat a −1 ∈ G sedemikian hingga a∗a

−1

= e.

(1.6)

Diketahui a −1 ∈ G , berdasarkan aksioma G4, terdapat

(a ) −1

−1

∈ G sedemikian

hingga

(a ) −1

−1

∗( a

−1

) =e.

(1.7)

Dari (1.6) dan (1.7) diperoleh bahwa

(a ) −1

−1

∗( a−

1

) = a∗a

−1

,

menggunakan sifat kanselasi kanan diperoleh bahwa bahwa ( a −1 )

−1

(a ) −1

−1

= a . Jadi, terbukti

= a , ∀a ∈ G . █

Soal-soal Latihan Subbab 1.2. 1. Diberikan grup ( G, ∗) . Buktikan bahwa G merupakan grup Abelian jika dan hanya jika ( a ∗ b )

−1

−1

−1

= a ∗ b , ∀a, b ∈ G .

2. Diberikan grup

( G, ∗) dan

a, b ∈ G , buktikan bahwa persamaan a ∗ x = b dan

y ∗ a = b mempunyai solusi tunggal dalam x dan y di G.

3. Diberikan grup ( G, ∗) dan a ∈ G . Jika a ∗ a = a , buktikan bahwa a = e . 4. Diberikan grup ( G, ∗) . Jika G hanya memuat tepat dua elemen, buktikan bahwa G merupakan grup Abelian.


12

1.3. Grup Himpunan Bilangan Bulat Modulo Pada subbab ini diberikan pengertian mengenai suatu grup yang sangat penting dalam mempelajari teori grup, sebab banyak konsep dalam teori grup yang menggunakannya sebagai contoh. Grup tersebut dikonstruksi menggunakan algoritma pembagian pada himpunan semua bilangan bulat ℤ . Diberikan a ∈ ℤ dan bilangan bulat positif n ∈ ℤ , menggunakan algoritma pembagian pada bilangan bulat, maka terdapat dengan tunggal q, r ∈ ℤ sedemikian hingga a = qn + r dengan 0 ≤ r ≤ n − 1 . Bilangan bulat q disebut dengan hasil bagi (quotient) dan bilangan bulat r disebut dengan sisa (residu). Sisa pembagian r dinotasikan dengan r = a mod n . Sebagai contoh, diberikan bilangan bulat a = 11 dan n = 4 , maka terdapat dengan tunggal q = 2 dan r = 3 sedemikian hingga 11 = 2 ⋅ 4 + 3 , sehingga dapat ditulis 11mod 4 = 3 . Menggunakan cara yang sama, dapat diperoleh bahwa 10 mod 3 = 1 ,

2 mod 3 = 2 ,

−2 mod 3 = 1 dan −10 mod 3 = 2 .

Latihan 1.3.1. Hitunglah 1. 10 mod 5 = ... 2. 12 mod 5 = ... 3. 32 mod 5 = ... 4. – 10 mod 5 = ... 5. – 12 mod 5 = ... 6. 0 mod 5 = ... 7. 13 mod 7 = ... 8. 13 mod 8 = ... 9. – 13 mod 7 = ... 10. – 45 mod 8 = ...

Untuk n = 5 , maka sisa pembagian yang mungkin apabila suatu bilangan bulat dibagi dengan 5 adalah 0, 1, 2, 3 atau 4. Dapat ditunjukkan bahwa untuk bilangan bulat positif n ∈ ℤ , maka sisa pembagian yang mungkin apabila suatu bilangan bulat dibagi dengan n adalah 0, 1, 2,..., atau n − 1 . Selanjutnya, diperkenalkan konsep mengenai kongruensi pada bilangan bulat sebagai berikut. Diberikan bilangan bulat a, b ∈ ℤ dan bilangan bulat positif n ∈ ℤ . Bilangan bulat a dikatakan kongruen b modulo n jika n membagi habis a − b , ditulis dengan a ≡ b ( mod n ) . Sebagai contoh, 12 ≡ 2 ( mod 5 ) , 12 ≡ 7 ( mod 5 ) , 12 ≡ − 3 ( mod 5 ) , −12 ≡ 3 ( mod 5 ) dan −12 ≡ 8 ( mod 5 ) .

Dapat dibuktikan bahwa kongruensi modulo n merupakan relasi ekuivalensi. Akibatnya, pada ℤ terpecah menjadi kelas-kelas yang saling asing. Untuk a ∈ ℤ , dapat dibentuk kelas yang memuat a, yaitu

{

}

a = x ∈ ℤ x ≡ a ( mod n ) .

Sebagai contoh, untuk relasi kongruensi modulo 5, diperoleh lima kelas yang saling asing, yaitu


13

{ = { x ∈ ℤ 5 x}

1 = { x ∈ ℤ x ≡ 1( mod 5 )}

}

0 = x ∈ ℤ x ≡ 0 ( mod 5 )

{

}

= x ∈ ℤ 5 x − 1

= { x ∈ ℤ x = 5n, n ∈ ℤ}

= { x ∈ ℤ x − 1 = 5n, n ∈ ℤ}

= {..., −10, −5,0,5,10,...}

= { x ∈ ℤ x = 5n + 1, n ∈ ℤ} = {..., −9, −4,1,6,11,...}

Menggunakan cara yang sama, diperoleh tiga kelas berikutnya, yaitu 2 = { x ∈ ℤ x ≡ 2 ( mod 5 )} = { x ∈ ℤ x = 5n + 2, n ∈ ℤ} = {..., −8, −3, 2, 7,12,...} 3 = { x ∈ ℤ x ≡ 3 ( mod 5 )} = { x ∈ ℤ x = 5n + 3, n ∈ ℤ} = {..., −7, −2,3,8,13,...} 4 = { x ∈ ℤ x ≡ 4 ( mod 5 )} = { x ∈ ℤ x = 5n + 4, n ∈ ℤ} = {..., −6, −1, 4, 9,14,...} Kelas 0 berisi semua bilangan bulat yang kongruen dengan 0 modulo 5, yaitu himpunan semua bilangan bulat yang apabila dibagi dengan 5 mempunyai sisa 0 atau habis dibagi 5. Kelas 1 berisi semua bilangan bulat yang kongruen dengan 1 modulo 5, yaitu himpunan semua bilangan bulat yang apabila dibagi dengan 5 mempunyai sisa 1. Demikian juga untuk kelas 2 , 3 dan 4 . Dapat ditunjukkan bahwa: 0 = 5 = 10 = ... = −5 = −10 = ... 1 = 6 = 11 = ... = −4 = −9 = ... 2 = 7 = 12 = ... = −3 = −8 = ... 3 = 8 = 13 = ... = −2 = −7 = ... 4 = 9 = 14 = ... = −1 = −6 = ... Secara umum, jika diberikan bilangan bulat positif n ∈ ℤ , maka relasi ekuivalensi kongruen modulo n mempunyai n partisi yang saling asing pada ℤ , yaitu 0 , 1 , 2 , ..., dan n − 1 . Dibentuk ℤ n adalah himpunan semua kelas yang didapatkan dari relasi ekuivalensi kongruen modulo n, yaitu

ℤ n = { 0, 1, 2,..., n − 1} . Pada himpunan ℤ n didefinisikan operasi penjumlahan “+”, yaitu untuk setiap a , b ∈ ℤ n didefinisikan a + b := a + b . Dapat ditunjukkan bahwa ( ℤ n , + ) merupakan grup Abelian. Dari pembahasan mengenai algoritma pembagian pada bilangan bulat, terdapat korespondensi antara kelas-kelas ekuivalensi dengan sisa-sisa pembagian. Oleh karena itu, dapat ditulis ℤ n dengan notasi himpunan semua sisa pembagian oleh n, yaitu

ℤ n = {0,1, 2,..., n − 1} , dengan operasi biner penjumlahan modulo n, yaitu a + b = ( a + b ) mod n , untuk setiap a, b ∈ ℤ n , atau dengan kata lain, untuk a, b ∈ ℤ n , hasil penjumlahan dari a + b adalah sisa

pembagian dari a + b dengan n. Grup ( ℤ n , + ) mempunyai elemen identitas 0 ∈ ℤ n .


14

Latihan 1.3.2. Diberikan grup ℤ 6 = {0,1,2,3,4,5} terhadap operasi penjumlahan modulo

6, yaitu “+”. Hitunglah: 1. 0 + 2 = … 2. 1 + 3 = … 3. 2 + 4 = … 4. 4 + 5 = … 5. 5 + 5 = … Dapat dilihat bahwa invers dari 0 ∈ ℤ 6 adalah 0, invers dari 1∈ ℤ 6 adalah 5, dan invers dari 3 ∈ ℤ 6 adalah 3. Grup

( ℤ n , + ) merupakan grup yang mempunyai elemen sebanyak berhingga,

sedangkan grup ( ℤ, + ) dan ( ℝ, + ) merupakan grup yang mempunyai elemen sebanyak tak berhingga. Oleh karena itu, dapat didefinisikan suatu grup yang mempunyai elemen sebanyak berhingga. Definisi 1.3.3. (Grup Hingga) Suatu grup yang mempunyai elemen sebanyak berhingga disebut dengan grup hingga ( finite group). Suatu grup yang mempunyai elemen sebanyak tak hingga disebut dengan grup tak hingga (infinite group ). Definisi 1.3.4. (Order Grup) Banyaknya elemen dalam suatu grup G disebut dengan

order grup , dinotasikan dengan G . Dalam beberapa literatur, order dari G dinotasikan dengan o ( G ) . Contoh grup hingga adalah grup ( ℤ n , + ) , sedangkan contoh grup tak hingga ada banyak sekali, seperti grup ( ℤ, + ) , ( ℝ, + ) dan ( M 2 ( ℝ ) , + ) . Grup ( ℤ 6 , + ) mempunyai order 6, yaitu ℤ 6 = 6 , sebab grup ℤ 6 mempunyai elemen sebanyak 6. Soal-soal Latihan Subbab 1.3.

1. Diberikan grup ( ℤ10 , + ) . a. Tentukan order dari grup ℤ10 . b. Tentukan invers dari semua elemen ℤ10 . c. Tentukan order dari grup ℤ10 × ℤ10 . 2. Diberikan grup ( ℤ 2 , + ) . a. Tuliskan semua elemen dari grup ℤ 2 × ℤ 2 . b. Tentukan invers dari semua elemen ℤ 2 × ℤ 2 c. Tentukan order dari grup ℤ 2 × ℤ 2 . 3. Diberikan grup

( ℤ n , + ) . Dibentuk himpunan semua matriks 2x2 atas ℤ n yaitu

 a b   ∈ M 2 ( ℤ n ) merupakan grup ℤ a b c d , , , n  . Buktikan bahwa   c d  

M 2 ( ℤ n ) = 

terhadap operasi penjumlahan matriks. 4. Tentukan order dari grup M 2 ( ℤ 3 ) dan grup M 2 ( ℤ 2 × ℤ 2 ) .


15

1.4. Tabel Cayley Untuk mendefinisikan suatu operasi biner pada grup hingga, seperti pada grup

( ℤ 6 , + ) , dapat digunakan suatu tabel yang disebut dengan tabel Cayley. Diberikan grup hingga ( G, ∗) dengan G = {a1 , a2 ,..., an } . Tabel Cayley dari grup ( G, ∗) diberikan sebagai berikut: ∗

a1

a2

...

an

a1

a1 ∗ a1

a1 ∗ a2

...

a1 ∗ an

a2

a2 ∗ a1

a2 ∗ a2

...

a2 ∗ an

⋮

⋮

⋮

⋱

⋮

an

an ∗ a1

an ∗ a2

...

an ∗ an

Contoh 1.4.1. Diberikan grup ( ℤ 4 , + ) , maka tabel Cayley dari grup ℤ 4 adalah

+ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

Dari tabel Cayley di atas dapat dilihat bahwa invers dari 0 adalah 0, invers dari 1 adalah 3, invers dari 2 adalah 2, dan invers dari 3 adalah 1, yaitu − 0 1 = −0 = 0

1−1 = −1 = 3 2−1 = −2 = 2 3−1 = −3 = 1 Grup ℤ 4 merupakan grup Abelian, hal ini dapat dilihat dari tabel Cayley, yaitu dengan melihat diagonal-nya yang simetris. Latihan 1.4.2. Diberikan grup ( ℤ 6 , + ) . Lengkapi tabel Cayley untuk grup ℤ 6 berikut.

+ 0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

Selanjutnya, tentukan invers dari semua elemen ℤ 6 . − 0 1 = −0 = ...

1−1 = −1 = ... 2−1 = −2 = ...


16

3−1 = −3 = ... 4−1 = −4 = ... − 5 1 = −5 = ...

Diberikan bilangan prima p, dibentuk ℤ p∗ = ℤ p − {0} yaitu himpunan semua ∗ elemen tidak nol dari ℤ p = {0,1, 2,..., p − 1} , yaitu ℤ p = {1, 2, 3,..., p − 1} . Dapat ditunjukkan

bahwa

( ℤ , ⋅) ∗ p

merupakan grup terhadap operasi perkalian modulo p. Grup

( ℤ , ⋅) ∗ p

mempunyai elemen identitas e = 1 . ∗ Latihan 1.4.3. Diberikan grup ℤ 7 = {1,2,3,4,5,6} terhadap operasi perkalian modulo 7.

Buatlah tabel Cayley dari ( ℤ∗7 , ⋅) , tentukan invers dari masing-masing elemen grup ℤ∗7 . Jawab: . 1 2 3 4 5 6 1−1 = ... ,

1

2

−1

2−1 = ... , 3

3

4

5

6

− − = ... , 4−1 = ... , 5 1 = ... dan 6 1 = ... .

Himpunan ℤ 6 terhadap operasi perkalian modulo 6 bukan grup. Hal ini dapat dilihat dari tabel Cayley-nya, yaitu . 0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0

1 0 1 2 3 4 5

Dapat dilihat bahwa elemen identitas dari

2 0 2 4 0 2 4

3 0 3 0 3 0 3

4 0 4 2 0 4 2

5 0 5 4 3 2 1

( ℤ 6 , ⋅) adalah 1. Diambil 2 ∈ ℤ 6 , dari tabel

Cayley terlihat bahwa semua elemen dari

ℤ 6 apabila dikalikan dengan 2 tidak

menghasilkan elemen identitas yaitu 1. Oleh karena itu, 2 tidak mempunyai invers terhadap operasi perkalian modulo 6. Dengan demikian,

( ℤ 6 , ⋅) bukan merupakan grup, hanya

merupakan monoid. Dari tabel Cayley, dapat dilihat beberapa sifat dari grup, yaitu sifat tertutup (operasi biner), elemen identitas, invers dan komutatif. Sifat komutatif dapat dilihat menggunakan diagonal tabel dari pojok kiri atas ke pojok kanan bawah yang terlihat simetris. Hal ini disebabkan karena ai ∗ a j = a j ∗ ai , 1 ≤ i, j ≤ n .


17

∗

a1

a2

...

an

a1

a1 ∗ a1

a1 ∗ a2

...

a1 ∗ an

a2

a2 ∗ a1

a2 ∗ a2

...

a2 ∗ an

⋮

⋮

⋮

⋱

⋮

an

an ∗ a1

an ∗ a2

...

an ∗ an

Soal-soal Latihan Subbab 1.4.

1. Diketahui ℤ 2 = {0,1} merupakan grup terhadap operasi penjumlahan modulo 2. Buatlah tabel Cayley dari grup ℤ 2 × ℤ 2 = {( 0, 0 ) , ( 0,1) , (1, 0 ) , (1,1)} . 2. Diberikan G = {1,3,7,9} . Buatlah Tabel Cayley dari G terhadap operasi perkalian modulo 10. Apakah G merupakan grup? Jelaskan. 3. Diberikan G = {a, b, c} . Didefinisikan operasi biner “ ∗ ” pada G dengan definisi menggunakan tabel Cayley sebagai berikut: a b ∗ a a b b b a c

c

b

c c b a

Apakah G merupakan grup? Jelaskan.


18

1.5. Grup Permutasi (Grup Simetris)

Diberikan himpunan A = {1,2,3} , maka dapat ditentukan semua fungsi bijektif

α : A → A , yaitu:

1●

●1

1●

●1

1●

●1

2●

●2

2●

●2

2●

●2

3●

●3

3●

●3

3●

●3

α 1

α 2

α 3

1●

●1

1●

●1

1●

●1

2●

●2

2●

●2

2●

●2

3●

●3

3●

●3

3●

●3

α 4

α 5

α 6

Fungsi bijektif α : A → A dapat dipandang sebagai permutasi pada himpunan A, oleh karena itu fungsi f dapat ditulis dalam bentuk permutasi sebagai berikut, yaitu 2 3   1 α =  . 1 2 3 α α α ( ) ( ) ( )   Fungsi-fungsi bijektif f : A → A di atas dapat ditulis sebagai berikut:

1 2 3  α 1 =   1 2 3 

1 2 3  α 2 =   1 3 2 

 1 2 3 α 3 =    2 1 3

1 2 3 α 4 =   3 2 1

 1 2 3 α 5 =    2 3 1

1 2 3 α 6 =   3 1 2

Selanjutnya, dihimpun semua fungsi bijektif α : A → A ke dalam satu himpunan, misalkan dinamakan dengan S3 , yaitu S3 = {α : A → A α bijektif } .

Pada himpunan S3 didefinisikan suatu operasi, yaitu operasi komposisi fungsi “  ”. Diberikan α , β ∈ S3 , misalkan 2 3  2  1  1 α =  dan β =    α (1) α ( 2 ) α ( 3)   β (1) β ( 2 )

3 

 β ( 3) 

Diperoleh bahwa


19

 1

2 3       α (1) α ( 2 ) f ( 3)   β (1) β ( 2 ) β ( 3) 



3   1

2

α  β = 

   (α  β )(1) (α  β )( 2 ) (α  β )( 3)  1 2 3   =   α ( β (1) ) α ( β ( 2 ) ) α ( β ( 3 ) )  1

=

2

3

1 2 3  1 2 3 = α dan 6    , maka operasi komposisi 1 3 2 3 1 2     1 2 3   1 2 3   1 2 3  α2 α6 =     3 1 2  =  2 1 3  = α 3 . Apabila dilihat dalam diagram panah 1 3 2      

Sebagai contoh, diketahui α 2 = 

akan nampak sebagai berikut:

1●

●1

1●

●1

2●

●2

2●

●2

3●

●3

3●

●3

α 2

α 6

1●

●1●

●1

2●

●2●

●2

3●

●3●

●3

α 6

α 2

1●

●1

2●

●2

3●

●3 α 2  α 6

Secara umum, diberikan A = {1, 2,..., n} , didefinisikan Sn adalah himpunan semua fungsi bijektif α : A → A , yaitu S n = {α : A → A α bijektif }

atau dapat ditulis dengan

 1

  →  α : A A bijektif  .  α (1) α ( 2 ) ⋯ α ( n )  

S n = 

2

⋯

n


20

Himpunan Sn dapat juga dipandang sebagai himpunan semua permutasi dari A. Banyaknya anggota dari Sn adalah banyaknya permutasi pada A, yaitu sebanyak n! . Pada himpunan Sn didefinisikan operasi komposisi fungsi “  ”, maka dapat ditunjukkan bahwa

( Sn ,  ) merupakan grup dengan elemen identitas

1 2 ⋯ n  , ⋯ n 1 2  

i=

grup Sn seperti ini disebut dengan grup permutasi (Permutation Group), anggota dari Sn disebut dengan permutasi. Grup permutasi sering juga disebut dengan grup simetri (Symmetric Group). Jelas bahwa operasi komposisi pada Sn bersifat tertutup, sebab komposisi dari dua fungsi bijektif juga merupakan fungsi bijektif (buktikan!). Diberikan tiga fungsi bijektif α , β , γ : A → A . Dapat dilihat bahwa operasi komposisi bersifat assosiatif, yaitu

(α  β )  γ = α  ( β  γ ) . Untuk x ∈ A , diperoleh bahwa:

( (α  β )  γ ) ( x ) = (α  β ) ( γ ( x ) ) = α ( β ( γ ( x ) ) ) = α ( ( β  γ )( x ) ) = (α  ( β  γ ) ) ( x ) (α  β )  γ = α  ( β  γ ) . Selanjutnya,

yaitu

permutasi

i ∈ Sn

dengan

definisi

i ( x ) = x, ∀x ∈ A merupakan elemen identitas dari Sn , sebab untuk sebarang α ∈ S n dan

setiap x ∈ A berlaku (α  i )( x ) = α ( i ( x ) ) = α ( x ) dan ( i  α )( x ) = i (α ( x ) ) = α ( x ) , yaitu

α  i = α dan i  α = α .

1 2 3 4 1 2 3 4  dan β =  . 2 4 3 1 3 4 1 2     Permutasi α dapat merupakan permutasi yang memetakan 1 ֏ 2 , 2 ֏ 4 , 3 ֏ 3 dan 4 ֏ 1 . Sedangkan permutasi β memetakan 1 ֏ 3 , 2 ֏ 4 , 3 ֏ 1 dan 4 ֏ 2 . Apabila Misalkan diberikan α ∈ S 4 dengan α = 

digambar dapat diperoleh bentuk cycle sebagai berikut:

α

1 3 4

2

β 1

3

2

4


21

Permutasi α dan β dapat ditulis dalam bentuk cycle sebagai produk permutasipermutasi, yaitu α = (124 )  ( 3) dan β = (13)  ( 24 ) . Pada permutasi α = (124 )  ( 3) ,

( 3) membawa 3 ֏ 3 atau tetap (tidak berubah), maka cukup ditulis

karena permutasi

dengan α = (124 ) . Khusus untuk permutasi contoh

yang

lain,

permutasi

1 2 ⋯ n  1 2 ⋯ n  ditulis dengan (1) . Sebagai   1 2 3 4 dan permutasi   = (1234 ) 2 3 4 1  

1 2 3 4  4 2 3 1  = (14 )  ( 2 )  ( 3) = (14 ) .   Latihan 1.5.1. Diberikan grup permutasi S3 . Apabila ditulis dalam bentuk cycle, maka

diperoleh S3 = {(1) , (12 ) , (13) , ( 23) , (132 ) , (123)} , yaitu

1 2 3   1 2 3  1 2 3  ( 23) =   1 3 2 

 1 2 3   2 1 3 1 2 3 (132 ) =   3 1 2

(1) = 

 1 2 3  3 2 1  1 2 3 (123) =    2 3 1

(12 ) = 

(13) = 

1. Buatlah tabel Cayley dari grup permutasi S3 . 2. Tentukan invers dari masing-masing elemen dari S3 . 3. Selidiki apakah S3 merupakan grup non-Abelian (tidak komutatif)? Gunakan bantuan tabel Cayley untuk menentukan counter example-nya. Jawab:

(1)



(12 )

(13)

( 23)

(123)

(132 )

(1) (12 ) (13) ( 23) (123) (132 ) −1

(1) = ...... −1

( 23) = ......

−1

(12 ) = ...... −1

(123) = ......

−1

(13) = ...... −1

(132) = ......

Sebagai counter example, terdapat α = .......... dan β = .......... sedemikian hingga

α  β = .......... dan β  α = .......... , tetapi α  β ≠ β  α . Selanjutnya, untuk α , β ∈ S n , operasi komposisi α  β cukup ditulis dengan αβ .

 1 2 3  1 2 3   1 2 3   =  , atau ( 23) (132 ) = (12 ) 1 3 2 3 1 2 2 1 3     

Sebagai contoh, 


22

Latihan 1.5.2. Diberikan grup permutasi S6 . Diberikan permutasi α , β ∈ S6 dengan

1 2 3 4 5 6  1 2 3 4 5 6 = β dan  5 3 4 2 1 6 . 3 2 5 6 1 4   a. Tuliskan permutasi α dan β dalam bentuk cycle. α = 

−1 b. Tentukan α dan β −1 dan tuliskan dalam bentu cycle.

c. Hitunglah αβ dan βα d. Tentukan (αβ )

−1

dan ( βα )

−1

Jawab:

1 2 3 4 5 6  = (... ... ...)( ... ...) 3 2 5 6 1 4   1 2 3 4 5 6 α −1 =   = ...........................  ... ... ... ... ... ... α = 

1 2 3 4 5 6   = (... ...)( ... ... ...) 5 3 4 2 1 6   1 2 3 4 5 6 β −1 =   = ...........................  ... ... ... ... ... ... β = 

 1 2 3 4 5 6  1 2 3 4 5 6  αβ =     3 2 5 6 1 4  5 3 4 2 1 6  1

2

=

3

4

5

6

 = ..............................

 ... ... ... ... ... ...

(αβ )

−1

1

=

2

3

4

5

6

 = ...........................  ... ... ... ... ... ...

 1 2 3 4 5 6  1 2 3 4 5 6  βα =     5 3 4 2 1 6  3 2 5 6 1 4  1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

=

 = ..............................  ... ... ... ... ... ...

( βα )

−1

=

6

 = ...........................

 ... ... ... ... ... ...


1. Diberikan n ∈ ℕ . Buktikan bahwa S n = n ! .

1 2 3 4 1 2 3 4 dan β =   . 2 1 4 3 3 2 1 4    

2. Diberikan α , β ∈ S 4 dengan α = 

a. Tuliskan α dan β dalam bentuk cycle. b. Hitunglah αβ dan βα c. Tentukan α −1 dan β −1 − − d. Hitunglah α 1 β −1 dan β −1 α 1


23

e. Tentukan (αβ )

−1

dan ( βα )

−1

3. Tuliskan permutasi-permutasi dari S6 berikut ini dalam bentuk cycle.

1 2  1 b.  2 1 c.  6 1 d.  4 a.

2

3

4

5

6

1

4

3

6

5



2 3 4 5 6



1 3 4 6 5 2

3

4

5

6

5

4

3

2

1



2 3 4 5 6



2 3 6 5 1

4. Tuliskan cycle-cycle berikut ini ke dalam bentuk permutasi dari S6 . a.

(135)

b.

(12 )( 34 )( 56 )

c.

(135)( 26 )

d.

(143)( 265 )

5. Diberikan grup permutasi S5 . Tentukan contoh permutasi α , β , γ , δ ∈ S5 dengan

α , β , γ ,δ ≠ (1) sedemikian hingga memenuhi: a. αβ = βα b. γδ ≠ δγ


24

1.6. Order Elemen Grup

Diberikan grup

( ℤ 6 , + ) dengan elemen identitas 0 ∈ ℤ 6 . Diberikan 2 ∈ ℤ 6 , dapat

dilihat bahwa 2 + 2 = 4 dan 2 + 2 + 2 = 0 , yaitu 2 dioperasikan sebanyak tiga kali ternyata menghasilkan elemen identitas dari ℤ 6 yaitu 0 ∈ ℤ 6 . Akan tetapi, jika diberikan grup

( ℤ, + ) , apabila diberikan bilangan bulat tidak nol

a ∈ ℤ , jika dioperasikan sebanyak

berapapun tidak akan menghasilkan elemen identitas yaitu 0 ∈ ℤ . Hal ini memotivasi suatu pengertian mengenai order atau periode dari grup. Sebelumnya diberikan notasi pangkat pada grup. Definisi 1.6.1. (Notasi Pangkat) Diberikan grup ( G , ∗) dan a ∈ G . Diberikan bilangan bulat positif n ∈ ℤ . Dinotasikan a ∗ a ∗⋯ ∗ a 1. a n =  n faktor n

−1 −1 −1 ∗ a ∗⋯ ∗ a 2. a − n = ( a −1 ) = a 

n faktor

3. a 0 = e Sebagai contoh, pada grup 33 = 3 + 3 + 3 = 4 . Pada grup

( ℤ 5 , + ) , dapat dilihat bahwa 12 = 1 + 1 = 2 dan

( ℤ , ⋅) , dapat dilihat bahwa ∗

5

12 = 1 ⋅1 = 1 dan 33 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 2 .

Berikut ini diberikan sifat-sifat dari notasi pangkat pada grup. Teorema 1.6.2. Diberikan grup ( G, ∗) dan a ∈ G . Jika diberikan bilangan bulat m, n ∈ ℤ , maka berlaku: m n m+n 1. a ∗ a = a

2.

(a ) m

n

=a

mn

Bukti: Diambil sebarang a ∈ G dan m, n ∈ ℤ , maka ada beberapa kemungkinan kasus

untuk m, n ∈ ℤ , yaitu m, n > 0 , m, n < 0 , m < 0 dan n > 0 , m > 0 dan n < 0 , atau m = n = 0 . Untuk kasus m, n > 0 , diperoleh bahwa m

n

a ∗a = a ∗ a ∗⋯ ∗ a ∗ a ∗ a ∗⋯ ∗ a   m faktor

n faktor

=a ∗ a ∗⋯ ∗ a  m + n faktor

=a

m+ n n

(a ) m

n

  ⋯ a a = a ∗ ∗ ∗     m faktor  =a ∗ a  ∗⋯ ∗ aa ∗ a ∗⋯ ∗ a ∗⋯ ∗ a ∗ a ∗⋯ ∗ a    m faktor m faktor m faktor  n faktor

=a ∗ a ∗⋯ ∗ a  mn faktor

=a

mn


25

Untuk pembuktian pada kasus-kasus selanjutnya diberikan sebagai latihan bagi mahasiswa.

█ Diberikan grup

( ℤ 6 , + ) dan 2 ∈ ℤ 6 , diperoleh bahwa 21 = 2 , 22 = 2 , 23 = 0 ,

26 = 0 dan 29 = 0 . Dapat dilihat bahwa n = 3 merupakan bilangan bulat positif terkecil n

sedemikian hingga 2 = 0 . Hal ini memotivasi definisi order atau periode dari suatu elemen grup seperti diberikan pada definisi di bawah ini. Definisi 1.6.3. (Order Elemen Grup) Diberikan grup ( G , ∗) dan a ∈ G . Didefinisikan

order atau periode dari a ∈ G sebagai bilangan bulat positif terkecil n ∈ ℤ sedemikian n

hingga a = e , dinotasikan dengan o ( a ) . Jika tidak ada bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi, maka dikatakan mempunyai order tak hingga .

Contoh 1.6.4.

1. Order dari 2 dalam grup ( ℤ 6 , + ) adalah 3, yaitu o ( 2 ) = 3 . 2. Order dari 2 dalam grup ( ℤ 5 , + ) adalah 5, yaitu o ( 2 ) = 5 . 1

3. Order dari (12 ) dalam grup S3 adalah 2, yaitu o ( (12 ) ) = 2 , sebab (12 ) = (12 ) dan

(12 )

2

= (12 )(12 ) = (1) .

4. Order dari 2 dalam grup ( ℤ, + ) adalah tak hingga.

Teorema 1.6.5. Diberikan grup ( G, ∗) dan a ∈ G dengan o ( a ) = n .

(1) Jika a m = e untuk suatu bilangan bulat positif m, maka n membagi habis m. n t (2) Untuk setiap bilangan bulat positif t, berlaku o ( a ) = . fpb ( t , n ) Bukti: (1) Menggunakan algoritma pembagian, maka terdapat

q, r ∈ ℤ sedemikian hingga

m = nq + r , dengan 0 ≤ r < n . Selanjutnya, dapat dilihat bahwa r m nq m n a = a − = a ∗(a )

−q

= e ∗ ( e)

−q

= e,

yaitu o ( a ) = n . Oleh karena itu, n merupakan bilangan bulat positif terkecil n

r

sedemikian hingga a = e . Di lain pihak, diketahui bahwa a = e dan 0 ≤ r < n , oleh karena itu haruslah r = 0 . Hal ini berakibat bahwa m = nq , dengan demikian terbukti bahwa n membagi habis m. kt (2) Misalkan o ( a t ) = k , maka a = e . Berdasarkan pernyataan (1) di atas diperoleh bahwa

n membagi habis kt . Oleh karena itu, terdapat l ∈ ℤ sedemikian hingga kt = nl .

Misalkan fpb ( t , n ) = d , maka terdapat u, v ∈ ℤ sedemikian hingga t = du dan n = dv dengan fpb ( u, v ) = 1 . Oleh karena itu, diperoleh bahwa kdu = dvl , sehingga ku = lv ,


26

yaitu v membagi habis ku. Diketahui fpb ( u, v ) = 1 dan v membagi habis ku, maka v membagi habis k . Karena

(a ) t

Diperoleh bahwa o ( a

t

n d

nt

n

=a

d

=a

=a

d

n t d

) = k dan ( a ) n

d

nu

= (a

d

)

n

u

membagi habis k . Selanjutnya, u

=e =e.

= e . Oleh karena itu, berdasarkan pernyataan (1)

. Oleh karena k dan n

positif sedemikian hingga k membagi habis n

d

ndu

d

diperoleh bahwa k membagi habis

berakibat bahwa k =

n

= v , diperoleh bahwa

d

, dan

n d

merupakan bilangan bulat

n d

membagi habis k , maka

. Sehingga diperoleh bahwa o (a

t

n

) = k = d

=

n

fpb ( t , n )

.

Dengan demikian, teorema terbukti. █

Latihan 1.6.6. Diberikan grup ( G, ∗) . Suatu elemen a ∈ G disebut idempoten jika a 2 = e .

Tentukan semua elemen idempoten dari grup ( ℤ 6 , + ) dan ( S3 ,  ) . Soal-soal Latihan Subbab 1.6.

1. Diberikan grup ( G, ∗) , a, b ∈ G dan m, n ∈ ℤ . Buktikan bahwa: a.

n

m

m

a ∗a = a ∗ a

b. a − n = ( a n )

n

−1

n

n n c. Jika G Abelian, maka ( a ∗ b ) = a ∗ b

2. Diberikan grup

( G, ∗) dan

a, b ∈ G . Misalkan

a2 = e

dan

a ∗ b4 ∗ a = b 7 .

Tunjukkan bahwa b33 = e . − − 3. Diberikan grup ( G, ∗) dan a, b ∈ G . Misalkan a 1 ∗ b 2 ∗ a = b3 dan b 1 ∗ a 2 ∗ b = a 3 .

Tunjukkan bahwa a = b = e . 4. Diberikan

( G , ∗) ,

grup

(a ∗b ∗ a ) −1

n

n

= a ∗b ∗ a

a, b ∈ G

dan

(ℤ5, +) .

6. Tentukan order dari semua elemen grup

( ℤ , ⋅) .


( S3 ,  ) .

grup

Buktikan

bahwa

permutasi

α , β ∈ S6

dengan

−1


8. Diberikan

n∈ℤ.

permutasi

S6 .

* 5

Diberikan

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6  β = dan  3 2 5 4 1 6 . 3 2 5 6 1 4   a. Tentukan o (α ) dan o ( β )

α = 

b. Tentukan o (α −1 ) dan o ( β −1 )


27

9. Diberikan grup ( G, ∗) dan a, b ∈ G . Buktikan bahwa: a.

o ( a) = o ( a

−1

)

b. o ( a ) = o ( b ∗ a ∗ b−1 ) c.

o ( a ∗ b) = o ( b ∗ a )

10. Diberikan grup

( G, ∗) dan

a, b ∈ G . Misalkan o ( a ) = m , o ( b ) = n dengan

fpb ( m, n ) = 1 dan a ∗ b = b ∗ a . Buktikan bahwa o ( a ∗ b ) = mn .


28

1.7. Grup Siklik

Diberikan grup

( ℤ 5 , + ) . Dapat dilihat bahwa setiap elemen dari grup ℤ 5 dapat

dinyatakan sebagai hasil operasi dari 1∈ ℤ 5 , yaitu: 0 = 10 , 1 = 11 , 2 = 12 , 3 = 13 dan 4 = 14 , artinya terdapat 1∈ ℤ 5 sedemikian hingga untuk setiap a ∈ ℤ 5 dapat dinyatakan sebagai n

a = 1 , untuk suatu n ∈ ℤ . Demikian juga, apabila diberikan grup

( ℤ, + ) , maka terdapat

1∈ ℤ

dinyatakan

sedemikian

hingga

untuk

setiap

a∈ℤ

dapat

sebagai

a

a −a + 1 + ⋯ + 1 = a ⋅1 = 1 atau a = ( −1) + ( −1) + ⋯ + ( −1) = a ⋅ ( −1) = ( −1) = 1 . Hal yang a = 1



a faktor

a faktor

sama juga dapat ditemukan dalam grup

( ℤ , ⋅) . ∗

7

Kejadian khusus seperti ini memotivasi

pendefinisian suatu grup yang mempunyai sifat seperti pada kasus-kasus di atas yang disebut dengan grup siklik, seperti diberikan dalam definisi berikut. Definisi 1.7.1. (Grup Siklik) Suatu grup ( G, ∗) disebut grup siklik jika terdapat g ∈ G n

sedemikian hingga untuk setiap a ∈ G dapat dinyatakan sebagai a = g , untuk suatu n ∈ ℤ . Elemen g ∈ G tersebut dinamakan dengan elemen pembangun atau generator dari G, dan G dikatakan grup siklik yang dibangun oleh g, dinotasikan dengan G = g .

Dari definisi grup siklik di atas, dapat dilihat bahwa grup siklik G yang dibangun

{

}

n oleh g ∈ G , yaitu G = g dapat dinyatakan sebagai g = g n ∈ ℤ .

Contoh 1.7.2.

1. Grup ( ℤ 6 , + ) merupakan grup siklik yang dibangun oleh 1∈ ℤ 6 , yaitu ℤ 6 = 1 . 2. Grup

( ℤ 5 , + ) merupakan grup siklik yang dibangun oleh 1∈ ℤ 5 , yaitu ℤ 5 = 1 .

Lebih lanjut, grup

( ℤ 5 , + ) ternyata juga dibangun oleh 2 ∈ ℤ 5 , yaitu ℤ 5 = 2 ,

apabila dituliskan untuk semua elemen ℤ 5 = {0,1,2,3,4} , dapat ditunjukkan bahwa: 0 = 20

3 = 2 + 2 + 2 + 2 = 24

1 = 2 + 2 + 2 = 23

4 = 2 + 2 = 22

2 = 21 Teorema 1.7.3. Setiap grup siklik merupakan grup Abelian. Bukti: Misalkan G adalah grup siklik yang dibangun oleh g ∈ G , yaitu

{

n

}

G = g = g n ∈ℤ .

Diambil sebarang a, b ∈ G , akan ditunjukkan bahwa a ∗ b = b ∗ a . Diketahui a, b ∈ g , m n akibatnya a = g dan b = g , untuk suatu m, n ∈ ℤ . Sehingga diperoleh m n m+ n n+ m n m =g = g ∗ g = b∗a . a ∗b = g ∗ g = g

Dengan demikian, terbukti bahwa G merupakan grup Abelian. █


29

Sebagai latihan, apakah kebalikan dari Teorema 1.7.3 tersebut berlaku? yaitu apakah setiap grup Abelian selalu merupakan grup siklik? Jika iya buktikanlah, jika tidak, berikan contoh grup Abelian yang tidak siklik sebagai counter example. Soal-soal Latihan Subbab 1.7.

1. Buktikan bahwa ( ℤ∗7 , ⋅) merupakan grup siklik. 2. Tunjukkan bahwa S3 bukan grup siklik. 3. Buktikan bahwa jika G grup non-komutatif, maka G bukan grup siklik. 4. Diketahui ℤ 2 = {0,1} merupakan grup siklik. Apakah grup ℤ 2 × ℤ 2 juga grup siklik? Jelaskan. 5. Selidiki apakah grup M 2 ( ℝ ) merupakan grup siklik atau bukan. Jelaskan. 6. Apakah setiap grup siklik mempunyai elemen pembangun tunggal? Selidiki menggunakan contoh grup siklik ( ℤ 6 , + ) yang dibangun oleh 1∈ ℤ 6 . Apakah ada elemen dari ℤ 6 selain 1 yang membangun ℤ 6 ? 7. Diberikan grup hingga G. Buktikan bahwa G grup siklik jika dan hanya jika terdapat a ∈ G sedemikian hingga o ( a ) = G .


30

BAB II SUBGRUP 2.1. Pengantar Subgrup

Diberikan grup

( ℝ, + ) dan ( ℤ, + ) . Kedua grup tersebut mempunyai operasi yang

sama yaitu “+”. Lebih lanjut, ternyata diketahui bahwa ℤ merupakan himpunan bagian dari ℝ , yaitu ℤ ⊆ ℝ . Hal ini memotivasi pendefinisian suatu himpunan bagian dari grup yang juga merupakan grup, seperti diberikan pada definisi di bawah ini. Definisi 2.1.1. (Subgrup) Diberikan grup

( G , ∗)

dan himpunan bagian tidak kosong

H ⊆ G . Himpunan H disebut subgrup dari G jika H juga merupakan grup terhadap operasi biner “ ∗ ” yang sama pada grup G, dinotasikan dengan H ≤ G .

Dari sini jelas bahwa setiap subgrup H ≤ G selalu memuat elemen identitas, yaitu e ∈ G dan e ∈ H . G

H

Contoh 2.1.2.

1. Grup ( ℤ, + ) merupakan subgrup dari ( ℝ, + ) 2. Grup ( ℚ, + ) merupakan subgrup dari ( ℝ, + ) 3. Grup ( ℤ, + ) merupakan subgrup dari ( ℚ, + ) 4. Setiap grup G ≠ {e} paling tidak mempunyai dua subgrup, yaitu H = {e} dan H = G sendiri. Subgrup H = {e} disebut subgrup trivial, sedangkan subgrup H = G disebut subgrup tidak sejati. Jika H subgrup dari G dan bukan sama dengan G, maka H disebut dengan subgrup sejati.

Untuk membuktikan bahwa suatu himpunan bagian tidak kosong H ⊆ G itu merupakan subgrup dari G, haruslah dibuktikan bahwa H juga merupakan grup, artinya memenuhi keempat aksioma pada grup, yaitu: 1.

( ∀a, b ∈ H ) a ∗ b ∈ H

2.

( ∀a, b, c ∈ H )( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c)


31

3.

( ∃e ∈ H )( ∀a ∈ H ) a ∗ e = e ∗ a = a

4.

( ∀a ∈ H ) ( ∃a −1 ∈ H ) a ∗ a −1 = a −1 ∗ a = e  a b   ∈ a b c d ℝ , , ,    c d  

Latihan 2.1.3. Diberikan M 2 ( ℝ ) = 

grup terhadap operasi

penjumlahan matriks.

 a b   ∈ a b ℝ ,  subgrup dari M 2 ( ℝ ) .  0 0   

1. Buktikan bahwa H = 

 a b   ∈ + = + a , b , c , d , a b c d ℝ  subgrup dari M 2 ( ℝ ) .   c d  

2. Buktikan bahwa N = 

Diberikan grup

( G, ∗) dan

H suatu himpunan bagian tidak kosong dari G.

Diketahui bahwa H ⊆ G , jika a, b, c ∈ H , maka a, b, c ∈ G . Diketahui G merupakan grup, akibatnya untuk a, b, c ∈ H memenuhi sifat assosiatif, yaitu a ∗ ( b ∗ c ) = ( a ∗ b ) ∗ c . Oleh karena itu, sifat assosiatif jelas dipenuhi oleh setiap himpunan bagian dari G. Hasil ini dapat dituliskan dalam Teorema berikut ini. Teorema 2.1.4. (Teorema Subgrup I) Diberikan grup

( G , ∗)

dan H suatu himpunan

bagian tidak kosong dari G, maka H subgrup dari G jika dan hanya jika memenuhi:

1.

( ∀a, b ∈ H ) a ∗ b ∈ H

2.

( ∃e ∈ H )( ∀a ∈ H ) a ∗ e = e ∗ a = a

3.

( ∀a ∈ H ) ( ∃a −1 ∈ H ) a ∗ a −1 = a −1 ∗ a = e .

Bukti:

( ⇒ ) Diketahui

H ≤ G , maka ( H , ∗) merupakan grup. Oleh karena itu, jelas bahwa

kondisi 1, 2 dan 3 dipenuhi.

( ⇐ ) Diketahui ( H , ∗) memenuhi kondisi 1, 2 dan 3. Untuk membuktikan bahwa

H ≤ G ,

haruslah dibuktikan bahwa ( H , ∗) merupakan grup. Karena H telah memenuhi kondisi 1, 2 dan 3, maka cukup dibuktikan berlaku assosiatif. Diambil sebarang a, b, c ∈ H . Diketahui H ⊆ G , akibatnya a, b, c ∈ G . Karena G grup, maka pada G berlaku assosiatif, sehingga

diperoleh bahwa a ∗ (b ∗ c ) = ( a ∗ b ) ∗ c . Jadi, terbukti bahwa ( H , ∗) merupakan grup, atau dengan kata lain, H ≤ G . █ Jika H adalah subgrup dari G, maka H merupakan grup, sehingga G memuat elemen identitas. Misalkan e H adalah elemen identitas dari H dan e adalah elemen identitas dari G. Untuk setiap a ∈ H diperoleh bahwa a ∗ e H = a ∗ e = a , menggunakan kanselasi kiri diperoleh bahwa e H = e . Dari sini dapat disimpulkan bahwa setiap subgrup mempunyai elemen identitas yang sama dengan elemen identitas dari grupnya.


32

Teorema 2.1.5. (Teorema Subgrup II) Diberikan grup ( G, ∗) dan H suatu himpunan bagian tidak kosong dari G, maka H subgrup dari G jika dan hanya jika memenuhi:

1.

( ∀a, b ∈ H ) a ∗ b ∈ H

2.

( ∀a ∈ H ) ( ∃a −1 ∈ H ) a ∗ a −1 = a −1 ∗ a = e .

Bukti:

( ⇒ ) Diketahui

H ≤ G , maka ( H , ∗) merupakan grup. Oleh karena itu, jelas bahwa

kondisi 1 dan 2 dipenuhi.

( ⇐ ) Diketahui ( H , ∗) memenuhi kondisi 1 dan 2. Untuk membuktikan bahwa

H ≤ G ,

haruslah dibuktikan bahwa ( H , ∗) merupakan grup. Dari pembuktian Teorema 2.1.4. diperoleh bahwa pada H berlaku assosiatif. Karena H telah memenuhi kondisi 1 dan 2, maka cukup dibuktikan bahwa H memuat elemen identitas. Diambil sebarang a ∈ H , dari kondisi 2 diperoleh bahwa ∃a −1 ∈ H sedemikian hingga a ∗ a −1 = e . Diketahui a, a −1 ∈ H , menggunakan kondisi 1 diperoleh bahwa a ∗ a −1 = e ∈ H , yaitu H memuat elemen identitas. Dengan demikian, diperoleh bahwa ( H , ∗) merupakan grup. Jadi, terbukti bahwa H ≤ G . █

Teorema 2.1.4. (Teorema Subgrup III) Diberikan grup ( G, ∗) dan H suatu himpunan bagian tidak kosong dari G, maka H subgrup dari G jika dan hanya jika

( ∀a, b ∈ H ) a ∗ b−1 ∈ H . Bukti:

( ⇒ ) Diketahui

H ≤ G , maka ( H , ∗) merupakan grup. Diambil sebarang a, b ∈ H ,

menggunakan aksioma G4, maka b − ∈ H . Menggunakan aksioma G1, diperoleh bahwa 1

1 a ∗ b− ∈ H .

( ⇐ ) Diketahui ( ∀a, b ∈ H ) a ∗ b−1 ∈ H . Jelas bahwa pada H berlaku assosiatif. Akan ditunjukkan bahwa pada H berlaku sifat tertutup, memuat elemen identitas dan setiap elemen dari H mempunyai invers di H . Diambil sebarang a, b ∈ H . Menggunakan Teorema

1.2.4.

diperoleh

bahwa

−1

b = ( b −1 ) ,

oleh

karena

itu

diperoleh

−1

operasi biner pada H bersifat tertutup. Selanjutnya, diketahui a ∗ b = a ∗ ( b −1 ) ∈ H , yaitu 1 a ∈ H , akibatnya diperoleh a ∗ a − = e ∈ H , yaitu H memuat elemen identitas. Selanjutnya,

diketahui e ∈ H dan a ∈ H , akibatnya diperoleh e ∗ a −1 = a −1 ∈ H , yang berarti bahwa untuk sebarang a ∈ H , terdapat invers dari a yaitu a − ∈ H . Diperoleh bahwa setiap elemen dari H mempunyai invers di H . Dengan demikian, terbukti bahwa H merupakan subgrup dari G. █ 1


33

G

H •a •b • a ∗b

−1

Dari ketiga teorema subgrup di atas, yang umum digunakan untuk membuktikan suatu himpunan bagian tidak kosong dari suatu grup itu merupakan subgrup adalah dengan menggunakan Teorema Subgrup III.

Contoh

 a b   ∈ , , , a b c d ℝ   c d  

2.1.5. Diberikan M 2 ( ℝ ) = 

grup

terhadap

operasi

 a b   , ∈ a b ℝ  subgrup dari M 2 ( ℝ ) .  0 0   

penjumlahan matriks. Buktikan bahwa H = 

0 0  ∈ H . 0 0  

Jawab: Jelas bahwa H ⊆ M 2 ( ℝ ) dan H bukan himpunan kosong, sebab  Diambil

sebarang

A, B ∈ H ,

 a1 b1   a2 dan = B  0 0 0 

A = 

akan

dibuktikan

bahwa

b2 

 −a2

−b2 

0

 0

0 

 , diperoleh bahwa − B = 

 a1 b1   − a2 + 0 0  0

A + ( − B ) = 

A + ( − B ) ∈ H .

−b2 

 a1 − a2

 =

0 



0

Misalkan

 , sehingga

b1 − b2 

0

 ∈ H . 

Menggunakan Teorema Subgrup III, terbukti bahwa H subgrup dari M 2 ( ℝ ) . Contoh 2.1.6. Diberikan grup ℤ 6 = {0,1,2,3,4,5} terhadap operasi penjumlahan modulo 6. Tunjukkan bahwa S = {0,1,2,3} bukan subgrup dari ℤ 6 . Jawab: Untuk menunjukkan bahwa S = {1,2,3} bukan subgrup dari G, dapat cukup dengan mencari contoh atau counter example, yaitu salah satu aksioma dari definisi subgrup yang tidak dipenuhi. Ada beberapa counter example yang dapat digunakan, yaitu: 1. Tidak memuat elemen identitas, yaitu 0 ∉ S . 2. Tidak bersifat tertutup, yaitu ∃2,3 ∈ S sedemikian hingga 2 + 3 = 5 ∉ S . 3. Ada elemen dari S yang tidak mempunyai invers di S, contohnya 2 tidak mempunyai invers di S, sebab ∀a ∈ S , 2 + a ≠ 0 , yaitu −2 = 4 ∉ S .


34

Apabila ada satu saja aksioma yang tidak dipenuhi, itu sudah cukup untuk membuktikan bahwa S bukan subgrup. Diberikan grup hingga

( G, ∗) dan suatu himpunan bagian tidak kosong

H = {a1 , a2 ,..., an } ⊆ G . Salah satu cara untuk membuktikan bahwa H ≤ G adalah dengan

bantuan tabel Cayley dan Teorema Subgrup II, yaitu ( ∀ai , a j ∈ H ) ai ∗ a j ∈ H , 1 ≤ i, j ≤ n

dan ( ∀ai ∈ H ) ( ∃ai−1 ∈ H ) ai ∗ ai−1 = e . Contoh 2.1.7. Diberikan grup ℤ 6 = {0,1,2,3,4,5} terhadap operasi penjumlahan modulo 6.

Buktikan bahwa S = {0,2,4} subgrup dari ℤ 6 , tetapi T = {0,2,3,4} bukan subgrup dari

ℤ6 . Jawab: Menggunakan tabel Cayley, diperoleh:

+ 0 2 4

0 0 2 4

2 2 4 0

4 4 0 2

Dapat dilihat bahwa operasi “+” pada S bersifat tertutup dan setiap elemen dari S mempunyai invers di S, yaitu −0 = 0 , −2 = 4 dan −4 = 2 . Sehingga diperoleh bahwa S subgrup dari ℤ 6 . Selanjutnya, dibuat tabel Cayley dari T , yaitu: +

0

2

3

4

0

0

2

3

4

2

2

4

0

3

3

4

4

5 0

5 0 1

1 2

Dapat dilihat bahwa operasi “+” pada T tidak bersifat tertutup, yaitu 3 + 2 = 5 ∉ T , sehingga T bukan subgrup dari ℤ 6 . Latihan 2.1.8. Diberikan grup permutasi S3 . 1. Buktikan bahwa H = {(1) , (12 )} subgrup dari S3 . 2. Buktikan bahwa K = {(1) , (123) , (132 )} subgrup dari S3 . 3. Apakah T = {(12 ) , (13)} subgrup dari S3 ? Jelaskan. 4. Tunjukkan bahwa T = {(1) , (12 ) , (13)} bukan subgrup dari S3 . Contoh 2.1.9. Diberikan grup

( ℤ, + ) dan 2 ∈ ℤ . Didefinisikan 2ℤ adalah himpunan

semua bilangan bulat kelipatan 2, atau himpunan semua bilangan bulat genap, yaitu 2ℤ = {2n n ∈ ℤ} = {..., −4, −2, 0, 2, 4,...} .


35

Akan dibuktikan bahwa 2 ℤ merupakan subgrup dari ℤ . Jelas bahwa 2ℤ ⊆ ℤ dan 2ℤ tidak kosong, sebab 0 ∈ 2ℤ . Diambil sebarang a, b ∈ 2ℤ , maka a = 2k dan b = 2n , untuk suatu k , n ∈ ℤ . Diperoleh a + b − = a + ( −b ) = a − b = 2 k − 2 n = 2 ( k − n) ∈ 2ℤ , 1

dengan k − n ∈ ℤ . Berdasarkan Teorema Subgrup III, terbukti bahwa 2ℤ merupakan subgrup dari ℤ . Latihan 2.1.10. Secara umum, diberikan m ∈ ℤ . Didefinisikan mℤ adalah himpunan semua bilangan bulat kelipatan m, yaitu mℤ = {mn n ∈ ℤ} = {..., −2 m, −m, 0, m, 2m,...} .

Buktikan bahwa mℤ subgrup dari ℤ . Soal-soal Latihan Subbab 2.1.

 a b   , , , ∈ a b c d ℝ  grup terhadap operasi penjumlahan  c d   

1. Diberikan M 2 ( ℝ ) = 

 a b   , , ∈ a b c ℝ  subgrup dari M 2 ( ℝ ) .  0 c   

matriks. Buktikan bahwa H =  2. Diberikan grup ( ℤ10 , + ) .

a. Buktikan bahwa H = {0,2,4,6,8} subgrup dari ℤ10 . b. Apakah S = {0,3,6,9} subgrup dari ℤ10 ? Jelaskan. 3. Diberikan grup ( ℤ12 , + ) . Buktikan bahwa H = {0,2,4,6,8,10} dan K = {0,3,6,9} merupakan subgrup dari ℤ12 . 4. Tentukan semua subgrup dari grup ( ℤ 8 , + ) . 5. Tentukan semua subgrup dari grup permutasi S3 (ada 6 subgrup).

 a b   ∈ − ≠ , , , , 0 a b c d ad bc ℝ  grup terhadap operasi  c d   

6. Diberikan GL2 ( ℝ ) = 

perkalian

matriks.

Diberikan

 a b   , , , ∈ , − = 1 a b c d ad bc ℝ .   c d  

SL2 ( ℝ ) = 

Buktikan bahwa SL2 ( ℝ ) subgrup dari GL2 ( ℝ ) . 7. Diberikan grup G dan H himpunan bagian tidak kosong dari G. Buktikan bahwa H subgrup dari G jika dan hanya jika ( ∀a, b ∈ H ) a − ∗ b ∈ H . 1

Notasi Penulisan Selanjutnya: 1. Grup ( G , ∗) cukup ditulis dengan G. 2. a ∗ b cukup dituliskan dengan ab. 3. Grup ( ℤ n , + ) cukup ditulis dengan ℤ n . 4. Grup ( ℤ∗ p , ⋅) cukup ditulis dengan ℤ p∗ . 5. Grup ( ℤ, + ) cukup ditulis dengan ℤ . 6. Grup ( M 2 ( ℝ ) , + ) cukup ditulis dengan M 2 ( ℝ ) .


36

2.2. Sifat-sifat Subgrup Setelah diberikan konsep mengenai subgrup, dalam subbab ini diberikan mengenai sifat-sifat dari subgrup. Sebagai motivasi, diberikan grup ℤ12 dan dua subgrup dari ℤ12 , yaitu H = {0,2,4,6,8,10} dan K = {0,3,6,9} . Diketahui H dan K subgrup dari ℤ12 . Dari dua himpunan ini, dapat ditentukan irisan dan gabungan dari H dan K , yaitu H ∩ K = {0,6} dan H ∪ K = {0,2,3,4,6,8,9,10 } . Dapat dilihat bahwa ternyata H ∩ K

juga merupakan subgrup dari ℤ12 . Akan tetapi H ∪ K bukan subgrup dari ℤ12 , sebab terdapat 2,3 ∈ H ∪ K tetapi 2 + 3 = 5 ∉ H ∪ K . Teorema 2.2.1. Diberikan grup G. Jika H dan K subgrup dari G, maka H ∩ K subgrup dari G. Bukti: Diketahui H dan K subgrup dari G. Jelas bahwa H ∩ K himpunan bagian tidak kosong dari G, sebab e ∈ H dan e ∈ K , sehingga e ∈ H ∩ K . Diambil sebarang a, b ∈ H ∩ K , maka a, b ∈ H dan a, b ∈ K . Berdasarkan Teorema Subgrup III, diperoleh bahwa ab − ∈ H dan ab− ∈ K , yang berakibat bahwa ab − ∈ H ∩ K . Jadi, terbukti bahwa H ∩ K subgrup dari G. █ 1

1

1

Jika H dan K subgrup dari G, maka H ∪ K belum tentu subgrup dari G. Sebagai counter example-nya telah diberikan di atas. Sebagai counter example yang lain, diberikan 2ℤ , 3ℤ dan 4ℤ adalah subgrup dari ℤ . Diketahui 2ℤ = {2n n ∈ ℤ} = {..., −4, −2, 0, 2, 4,...} 3ℤ = {3n n ∈ ℤ} = {..., −6, −3, 0, 3, 6,...} 4ℤ = {4n n ∈ ℤ} = {..., −8, −4, 0, 4,8,...} Dapat dilihat bahwa 2ℤ ⊆ 4ℤ , sehingga diperoleh bahwa 2ℤ ∪ 4ℤ = 2ℤ yang berarti bahwa 2ℤ ∪ 4ℤ subgrup dari ℤ . Akan tetapi 2ℤ ∪ 3ℤ bukan subgrup dari ℤ , diketahui 2ℤ ∪ 3ℤ = {a ∈ ℤ a = 2n atau a = 3 n, n ∈ ℤ} = {..., −6, −4, −3, −2, 0, 2, 3, 4, 6,...} ,

diambil

−2, 3 ∈ 2ℤ ∪ 3ℤ , tetapi −2 + 3 = 1 ∉ 2ℤ ∪ 3ℤ . Hal ini menunjukkan bahwa 2 ℤ ∪ 3ℤ bukan

subgrup dari ℤ . n

Akibat 2.2.2. Diberikan grup G. Jika H1 , H 2 ,..., H n adalah subgrup dari G, maka

∩ H i

i =1

subgrup dari G.

Bukti: Sebagai latihan mahasiswa. Diberikan grup G. Diberikan H dan K subgrup dari G. Didefinisikan himpunan HK = { hk h ∈ H , k ∈ K } . Sebagai contoh, diberikan grup ( ℤ 6 , + ) . Diberikan H = {0,2,4}

dan

K = {0,3}

subgrup

dari

ℤ6 .

Diperoleh

HK = { h + k h ∈ H , k ∈ K } = {0 + 0, 0 + 3, 2 + 0, 2 + 3, 4 + 0, 4 + 3} = {0,1, 2, 3, 4, 5} .


bahwa

37

Teorema 2.2.3. Diberikan grup G. Diberikan H dan K subgrup dari G. Jika G grup Abelian, maka HK subgrup dari G. Bukti: Diketahui G grup Abelian. Jelas bahwa HK himpunan bagian tidak kosong dari G, sebab e ∈ HK . Diambil sebarang a, b ∈ HK , maka a = h1k 1 dan b = h2 k 2 , untuk suatu h1 , h2 ∈ H dan k1 , k2 ∈ K . Karena G grup Abelian, diperoleh bahwa ab − = h1k1 ( h2 k2 ) 1

−1

= h1 k1 k2 h2 = ( h1 h2 −1

−1

−1

)( k k ) ∈ HK −1 1 2

dengan h1h2−1 ∈ H dan k1k2−1 ∈ K . Jadi, terbukti bahwa HK subgrup dari G. █ Teorema 2.2.4. (Subgrup Siklik) Diberikan grup G dan g ∈ G , maka merupakan subgrup dari G. Selanjutnya, g

{

n

}

g = g n∈ℤ

disebut dengan subgrup siklik dari G yang

dibangun oleh g. 0 Bukti: Jelas bahwa g ⊆ G dan g tidak kosong, sebab g = e ∈ g . Diambil sebarang

a, b ∈ g , maka

a=g

m

dan b = g n , untuk suatu

m, n ∈ ℤ , sehingga

m − n∈ℤ .

Selanjutnya, dapat diperoleh bahwa ab −1 = g m ( g n )

−1

= g m g − n = g m− n ∈ g .

Menggunakan Teorema Subgrup, terbukti bahwa g subgrup dari G. █ Contoh 2.2.5. Diberikan grup ( ℤ10 , + ) . Subgrup siklik yang dibangun oleh 2 ∈ ℤ10 adalah

{

}

2 = 2n n ∈ ℤ = {0, 2, 4, 6,8} . Subgrup siklik yang dibangun oleh 3 ∈ ℤ10 adalah sebagai berikut:

{

}

n 3 = 3 n∈ℤ

= {3 = 0,3 = 3,3 = 6,3 = 9, 3 = 2, 3 = 5, 3 = 8, 3 = 1,3 = 4,3 = 7} 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

= {0,3,6,9,2,5,8,1,4,7 } = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} = ℤ10

Dapat dilihat bahwa

3 = ℤ10 , yaitu 3 ∈ ℤ10 merupakan elemen pembangun dari grup

siklik ℤ10 . Teorema

2.2.6.

(Center)

Diberikan

grup

G,

didefinisikan

himpunan

Z ( G ) = {a ∈ G ag = ga, ∀g ∈ G} , maka Z ( G ) merupakan subgrup dari G. Himpunan Z ( G ) disebut dengan center dari G.

Bukti: Jelas bahwa Z ( G ) ⊆ G dan Z ( G ) bukan himpunan kosong, sebab e ∈ Z ( G ) yaitu −1

eg = ge, ∀g ∈ G . Diambil sebarang a, b ∈ Z ( G ) , akan ditunjukkan bahwa ab ∈ Z ( G ) .


38

Diketahui untuk setiap g ∈ G , maka ag = ga . Oleh karena g −1 ∈ G , maka bg −1 = g −1b . Sehingga diperoleh bahwa −1

−1

( ab ) g = a ( b g ) = a ( g b) = a ( bg ) = a ( gb ) = ( ag ) b = ( ga) b Dari sini diperoleh bahwa ( ab ) g = g ( ab ) , yang berarti bahwa ab −1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

= g ( ab

−1

).

∈ Z ( G ) . Jadi,

terbukti bahwa Z ( G ) subgrup dari G. █ Teorema 2.2.7. (Centralizer) Diberikan grup G dan g ∈ G . Didefinisikan himpunan C ( g ) = { a ∈ G ga = ag} , maka C ( g ) merupakan subgrup dari G. Himpunan C ( g ) disebut dengan centralizer dari g di G.

Bukti: Jelas bahwa C ( g ) ⊆ G dan C ( g ) bukan himpunan kosong, sebab e ∈ C ( g ) .

Diambil sebarang a, b ∈ C ( g ) , akan ditunjukkan bahwa ab−1 ∈ C ( g ) . Diketahui ag = ga dan bg = gb . Menggunakan cara yang sama seperti pada pembuktian Teorema 2.2.6. di atas, diperoleh bahwa

( ab ) g = g ( ab ) , yaitu −1

−1

ab−1 ∈ C ( g ) . Jadi, terbukti bahwa C ( g )

subgrup dari G. █


{

}

1. Diberikan grup G dan H = a ∈ G a 2 = e . Buktikan bahwa H subgrup dari G. 2. Diberikan grup G dan H subgrup dari G. Diberikan g ∈ G , didefinisikan himpunan gHg −1 = { ghg −1 h ∈ H } .

a. Buktikan bahwa gHg −1 subgrup dari G. b. Buktikan bahwa gHg −1 = H . 3. Diberikan H dan K subgrup dari G. Buktikan bahwa HK subgrup dari G jika dan hanya jika HK = KH . 4. Diberikan H subgrup dari G. Jika G grup Abelian, buktikan bahwa H subgrup Abelian dari G. 5. Diberikan H subgrup dari G. Jika G grup siklik, buktikan bahwa H grup siklik.


39

2.3. Teorema Lagrange

Sebagai motivasi, diberikan grup

ℤ12

dan dua subgrup dari

ℤ12 , yaitu

H = {0,2,4,6,8,10} dan K = {0,3,6,9} . Dapat dilihat bahwa order dari ℤ12 = 12 , H = 6

dan K = 4 . Hal menarik yang dapat ditemukan adalah bahwa order dari H membagi habis order dari ℤ12 , yaitu 6 membagi habis 12. Demikian juga bahwa order dari K membagi habis order dari ℤ12 , yaitu 4 membagi habis 12. Dalam subbab ini akan dibahas mengenai sebuah teorema yang menyatakan bahwa setiap order dari subgrup selalu membagi habis order dari grupnya. Sebelumnya, terlebih dahulu diberikan mengenai konsep koset. Definisi 2.3.1. Diberikan H subgrup dari G dan a ∈ G .

1. Himpunan aH = {ah h ∈ H } disebut dengan koset kiri dari H yang ditentukan oleh a ( yang memuat a).

2. Himpunan Ha = {ha h ∈ H } disebut dengan koset kanan dari H yang ditentukan oleh a ( yang memuat a).

Contoh 2.3.2.

1. Diberikan H = {(1) , (123) , (132 )} subgrup dari S3 . Untuk ( 23) ∈ S3 diperoleh koset kiri, yaitu

( 23) H = {( 23)(1) , ( 23)(123) , ( 23)(132 )} = {(23 ) , (13 ) , (12 )} dan

koset kanan H ( 23) = {(1)( 23) , (123)( 23 ) , (132 )( 23 )} = {( 23 ), (12 ), (13 )} . 2. Diberikan K = {(1) , (12 )} subgrup dari S3 . Untuk ( 23) ∈ S3 diperoleh koset kiri, yaitu

( 23) K = {( 23)(1) , ( 23)(12)} = {( 23 ) , (132 )}

dan

koset

kanan

yaitu

K ( 23) = {(1)( 23) , (12 )( 23)} = {( 23 ) , (123 )} .

3. Diberikan H = {0,2,4,6,8,10} subgrup dari ℤ12 , untuk 3 ∈ ℤ12 diperoleh koset kiri 3 H = {3 + 0,3 + 2,3 + 4, 3 + 6,3 + 8,3 +10} = {1,3, 5, 7,9,11} = 3 + H dan koset kanan H 3 = {0 + 3, 2 + 3, 4 + 3, 6 + 3,8 + 3,10 + 3} = {1,3, 5, 7,9,11} = H + 3 .

Berikut ini diberikan dua sifat dari koset. Lemma 2.3.3. Diberikan H subgrup dari G dan a ∈ G . 1. Jika G Abelian, maka aH = Ha . 2. eH = He = H . Bukti: 1. Diketahui G Abelian, diambil sebarang a ∈ G , maka diperoleh bahwa aH = {ah h ∈ H } = {ha h ∈ H } = Ha .

2. Diketahui e adalah elemen identitas dari G, akibatnya diperoleh bahwa eH = {eh h ∈ H } = {h h ∈ H } = H He = {he h ∈ H } = { h h ∈ H } = H

Dengan demikian teorema terbukti. █


40

Diberikan grup ℤ 6 dan H = {0,2,4} subgrup dari ℤ 6 . Diberikan 1∈ ℤ 6 , diperoleh koset kiri 1 H = 1 + H = {1, 3, 5} . Selanjutnya, diberikan 3 ∈ ℤ12 , diperoleh koset kiri 3 H = 3 + H = {3, 5,1} = {1,3, 5} . Dapat dilihat bahwa koset kiri 1 + H = 3 + H . Demikian juga untuk koset kanan, dapat diperoleh bahwa H +1 = H +3 . Berikut ini diberikan teorema mengenai kesamaan dua koset. Teorema 2.3.4. Diberikan H subgrup dari G dan a, b ∈ G , maka

1. aH = bH jika dan hanya jika b −1a ∈ H . − 2. Ha = Hb jika dan hanya jika ab 1 ∈ H .

Bukti:

1.

( ⇒ ) Diketahui

aH = bH , akan ditunjukkan bahwa

−

b 1a ∈ H .

Diketahui

aH = bH , maka ah = bk , untuk suatu h, k ∈ H . Dari sini dapat diperoleh bahwa −

−

−

b 1a = kh 1 . Diketahui H subgrup dari G, akibatnya kh 1 ∈ H , sehingga diperoleh

bahwa b −1a ∈ H .

( ⇐) Diketahui

−1

b a ∈ H , akan ditunjukkan bahwa aH = bH , yaitu aH ⊆ bH dan

bH ⊆ aH . Diambil sebarang x ∈ aH , maka x = ah , untuk suatu h ∈ H . Diperoleh

bahwa x = ah = bb−1ah . Diketahui b −1a ∈ H dan h ∈ H , maka b −1ah ∈ H , akibatnya x ∈ bH , diperoleh bahwa aH ⊆ bH . Selanjutnya, diambil sebarang y ∈ bH ,

y = bk ,

maka

untuk

suatu

−1

k ∈ H .

Dapat

dilihat

bahwa

−1

y = bk = aa−1bk = a ( b−1 a ) k . Diketahui b a ∈ H , maka ( b −1a ) ∈ H , diperoleh −1

−1

( b −1a ) k ∈ H . Akibatnya, y ∈ aH , sehingga bH ⊆ aH . Dari sini, diperoleh aH ⊆ bH dan bH ⊆ aH , sehingga terbukti bahwa aH = bH .

2. Bukti 2 diberikan sebagai latihan untuk mahasiswa. █ Teorema 2.3.5. Diberikan H subgrup dari G dan a, b ∈ G , maka aH = bH atau aH ∩ bH = ∅. ∅ , akan ditunjukkan bahwa aH = bH . Bukti: Diberikan a, b ∈ G . Misalkan aH ∩ bH ≠

Diketahui aH ∩ bH ≠ ∅ , maka terdapat x ∈ aH ∩ bH , sehingga x ∈ aH dan x ∈ bH . − − Akibatnya x = ah dan x = bk , untuk suatu h, k ∈ H , sehingga b 1a = kh 1 . Diketahui H −1 −1 subgrup dari G dan h, k ∈ H , maka kh ∈ H , akibatnya b a ∈ H . Berdasarkan Teorema

2.3.4, diperoleh bahwa aH = bH . █ Akibat 2.3.6. Diberikan H subgrup dari G, maka himpunan semua koset kiri yaitu

{aH

a ∈ G} membentuk partisi pada G.

Bukti: Dari Teorema 2.3.5. di atas diperoleh bahwa koset-koset kiri dari G yang berbeda ∅ . Akan mempunyai sifat saling asing, yaitu jika aH ≠ bH , maka aH ∩ bH =

ditunjukkan bahwa G = ∪ aH . Jelas bahwa a∈G

∪ aH ⊆ G . Diambil sebarang x ∈ G , maka a∈G


41

x = xe ∈ xH , akibatnya G ⊆

∪ aH .

Diperoleh bahwa G = ∪ aH . Dengan demikian,

a∈G

a∈G

terbukti bahwa {aH a ∈ G} membentuk partisi pada G. █ Teorema 2.3.7. Diberikan H subgrup dari G dan a ∈ G , maka H = aH = Ha . Bukti: Untuk membuktikan bahwa H = aH , dapat cukup dengan membuktikan bahwa

terdapat korespondensi 1-1 yang dinyatakan sebagai fungsi bijektif dari H ke aH . Dibentuk f : H → aH dengan definisi f ( h ) = ah , ∀h ∈ H . Jelas bahwa f merupakan fungsi ( well defined ).

Diambil

sebarang

h, k ∈ H .

Misalkan

f ( h ) = f ( k ) ,

yaitu

ah = ak .

Menggunakan sifat kanselasi kiri diperoleh bahwa h = k , yaitu f bersifat injektif. Selanjutnya, diambil sebarang x ∈ aH , maka x = ah′ , untuk suatu h′ ∈ H . Akibatnya, untuk sebarang x ∈ aH terdapat h′ ∈ H sedemikian hingga x = ah′ = f ( h′) , yaitu f bersifat surjektif. Dengan demikian, diperoleh bahwa f merupakan fungsi bijektif. Jadi, terbukti bahwa H = aH . Untuk pembuktian bahwa H = Ha

digunakan langkah-

langkah yang hampir sama. █ Teorema 2.3.8. Diberikan H subgrup dari G, maka terdapat suatu korespondensi 1-1 antara himpunan semua koset kiri dari H di G dengan himpunan semua koset kanan dari H di G. Lebih lanjut, banyaknya koset kiri dari H di G sama dengan banyaknya koset kanan dari H di G. Bukti: Sebagai latihan mahasiswa. Sebagai petunjuk, misalkan L = { aH a ∈ G} dan R = { Ha a ∈ G} . Didefinisikan pemetaan f : L → R dengan f ( aH ) = Ha , ∀aH ∈ L . −1

Tunjukkan bahwa f merupakan fungsi bijektif. █ Definisi 2.3.9. (Indeks Subgrup) Diberikan H subgrup dari G. Banyaknya koset kiri

(kanan) dari H di G dinamakan dengan indeks dari H di G, dinotasikan dengan [G : H ] . Contoh 2.3.10.

1. Diberikan H = {0,3} subgrup dari ℤ 6 . Untuk 0 ∈ ℤ 6 diperoleh 0 + H = {0 + 0, 0 + 3} = {0,3} = H . Untuk 1∈ ℤ 6 diperoleh 1 + H = {1 + 0,1 + 3} = {1, 4} . Untuk 2 ∈ ℤ 6 diperoleh 2 + H = {2 + 0, 2 + 3} = {2, 5} . Untuk 3 ∈ ℤ 6 diperoleh 3 + H = {3 + 0,3 + 3} = {3, 0} = H . Untuk 4 ∈ ℤ 6 diperoleh 4 + H = {4 + 0, 4 + 3} = {4,1} = 1 + H . Untuk 5 ∈ ℤ 6 diperoleh 5 + H = {5 + 0, 5 + 3} = {5, 2} = 2 + H . Diperoleh bahwa koset kiri dari H di ℤ 6 ada tiga, yaitu H , 1+ H dan 2+ H . Dengan demikian, indeks dari H di ℤ 6 adalah [ H : ℤ 6 ] = 3 . 2. Diberikan S = {(1) , ( 23)} subgrup dari S3 . Koset-koset dari S di S3 yaitu:


42

(1) S = {(1)(1) , (1)( 23)} = {(1) , ( 23 )} = S (12 ) S = {(12 )(1) , (12) ( 23)} = {(12 ) , (123 )} (13) S = {(13) (1) , (13)( 23)} = {(13 ) , (132 )} ( 23) S = {( 23)(1) , ( 23)( 23 )} = {( 23 ) , (1)} = S (123) S = {(123)(1) , (123)( 23 )} = {(123 ), (12 )} = (12 ) S (132 ) S = {(132 )(1) , (132 )( 23 )} = {(132 ) , (13 )} = (13 ) S Diperoleh tiga koset kiri dari S di S3 , yaitu S, (12)S dan (13)S. Oleh karena itu, indeks dari S di S3 adalah [ S3 : S ] = 3 . 3. Diberikan 6ℤ subgrup dari ℤ . Semua koset kiri dari 6 ℤ di ℤ yaitu: 0 + 6ℤ = {6n n ∈ ℤ} = {..., −12, −6, 0, 6,12,...} = 6ℤ 1 + 6ℤ = {1 + 6 n n ∈ ℤ} = {..., −11, −5,1, 7,13,...} 2 + 6ℤ = {2 + 6n n ∈ ℤ} = {..., −10, −4, 2,8,14,...} 3 + 6ℤ = {1 + 6n n ∈ ℤ} = {..., −9, −3, 3,9,15,...} 4 + 6ℤ = {1 + 6 n n ∈ ℤ} = {..., −8, −2, 4,10,16,...} 5 + 6ℤ = {1 + 6 n n ∈ ℤ} = {..., −7, −1,5,11,17,...} Ada enam koset kiri dari 6 ℤ di ℤ , sehingga [ ℤ : 6ℤ ] = 6 . Setelah diberikan konsep mengenai koset dan indeks, berikut ini diberikan mengenai teorema Lagrange. Teorema 2.3.11. (Toerema Lagrange) Diberikan grup hingga G dan H subgrup dari G, maka order dari H membagi habis order dari G. Secara khusus, G = [G : H ][ H ] .

Bukti: Diketahui G grup hingga, maka ada sebanyak berhingga koset kiri dari H di G.

Misalkan {a1 H , a2 H ,..., an H } adalah himpunan semua koset kiri yang berbeda dari H di G. Dari Akibat 2.3.6. diketahui bahwa

{a1 H , a2 H ,..., an H } merupakan partisi dari

G dengan

n

aH ∩ bH = ∅ , G = ∪ ai H dan a1 H = a2 H = ... = an H , sehingga [G : H ] = n . Diketahui i =1

ai H = H , 1 ≤ i ≤ n . Akibatnya diperoleh G = a1 H + a2 H + ... + an H = H + H + ... + H = n H

.

= [G : H ] H

Oleh karena itu, order dari H membagi habis order dari G. █ Akibat 2.3.12. Diberikan grup hingga G dan a ∈ G , maka order dari a membagi habis order dari G.


43

Bukti: Misalkan order dari a ∈ G adalah o ( A) = k dan H = a

subgrup siklik yang

dibangun oleh a, maka H = k . Menggunakan teorema Lagrange diperoleh bahwa order dari H membagi habis order dari G, dengan kata lain order dari a membagi habis order dari G. █ Akibat 2.3.13. Jika order dari G adalah suatu bilangan prima, maka G siklik. Bukti: Misalkan G = p , untuk suatu bilangan prima p. Diketahui p ≥ 2 , maka dapat

diambil suatu a ∈ G dengan a ≠ e , sehingga  ( a ) ≠ 1 . Berdasarkan Akibat 2.3.12., maka order dari a membagi habis order dari G yaitu p. Diketahui G = p dengan p adalah bilangan prima, artinya p hanya dapat dibagi oleh 1 dan p sendiri. Diketahui  ( a ) ≠ 1 , akibatnya  ( a ) = p , yang berarti bahwa

a = G . Terbukti bahwa G merupakan grup

siklik dengan elemen pembangunnya adalah a. █

Soal-soal Latihan Subbab 2.3. 1. Diberikan H subgrup G. Buktikan bahwa untuk setiap a ∈ G , aH = H jika dan hanya jika a ∈ H .

2. Diberikan 5ℤ subgrup dari ℤ . a. Tentukan semua koset kiri dari 5 ℤ di ℤ . b. Tentukan [ ℤ : 5ℤ ] . 3. Diberikan H = {0,3,6} subgrup dari ℤ 9 . a. Tentukan semua koset kiri dari H di ℤ 9 . b. Tentukan [ ℤ 9 : H ] .


44

BAB III SUBGRUP NORMAL DAN GRUP FAKTOR 3.1. Subgrup Normal

Diberikan grup S3 = {(1) , (12 ) , (13) , ( 23) , (123) , (132 )} . Diberikan dua subgrup dari S3 yaitu H = {(1) , (12 )} dan N = {(1) , (123) , (132 )} . Selanjutnya, diberikan semua koset

kiri dan kanan dari H dan N dalam tabel di bawah ini. Tabel 3.1. Koset Kiri dan Kanan dari H

Koset Kiri

Koset Kanan

(1) H = {(1)(1) , (1)(12 )}

H (1) = {(1)(1) , (12 )(1)}

= {(1) , (12 )}

= {(1) , (12 )}

(12) H = {(12) (1) , (12) (12)} = {(12 ) , (1)}

(13) H = {(13) (1) , (13) (12) }

H (12 ) = {(1)(12 ) , (12 )(12 )} = {(12 ) , (1)}

H (13) = {(1)(13) , (12 )(13)}

= {(13) , (123)}

= {(13) , (132 )}

( 23) H = {( 23)(1) , ( 23)(12 )}

H ( 23) = {(1)( 23 ) , (12 )( 23)}

= {( 23) , (132 )}

= {( 23) , (123)}

(123) H = {(123)(1) , (123)(12 )}

H (123) = {(1)(123 ) , (12 )(123 )}

= {(123) , (13)}

= {(123) , ( 23 )}

(132 ) H = {(132 )(1) , (132 )(12 )}

H (132 ) = {(1)(132 ) , (12 )(132 )}

= {(132 ) , ( 23)}

= {(132 ) , (13)}

Tabel 3.2. Koset Kiri dan Kanan dari N Koset Kiri Koset Kanan

(1) N = {(1)(1) , (1)(123) , (1)(132 )} = {(1) , (123) , (132 )}

(12) N = {(12) (1) , (12) (123) , (12 ) (132 )} = {(12 ) , ( 23) , (13)}

(13) N = {(13) (1) , (13) (123) , (13)(132 )} = {(13) , (12 ) , ( 23)}

( 23) N = {( 23)(1) , ( 23)(123) , (23)(132 )} = {( 23) , (13) , (12 )}

(123) N = {(123)(1) , (123 )(123 ) , (123 )(132 )} = {(123) , (132 ) , (1)}

(132 ) N = {(132 )(1), (132 )(123 ) , (132 )(132 )} = {(132 ) , (1) , (123)}

N (1) = {(1)(1) , (123)(1) , (132 )(1)} = {(1) , (123) , (132 )}

N (12 ) = {(1)(12 ) , (123)(12 ) , (132 )(12 )} = {(12 ) , (13) , ( 23)}

N (13) = {(1)(13) , (123)(13 ) , (132 )(13 )} = {(13 ) , ( 23) , (12 )}

N ( 23) = {(1)( 23 ), (123)( 23 ) , (132 )( 23 )} = {( 23) , (12 ) , (13)}

N (123) = {(1) (123 ) , (123 )(123 ) , (132 ) (123 )} = {(123) , (132 ) , (1)}

N (132 ) = {(1) (132 ) , (123 )(132 ) , (132 )(132 )} = {(132 ) , (1) , (123)}


45

Dari tabel di atas dapat dilihat bahwa (1) H = H (1) dan (12 ) H = H (12 ) , yaitu koset kiri sama dengan koset kanan. Akan tetapi ternyata ada koset kiri yang tidak sama dengan koset

kanan,

(132 ) H

yaitu

(13) H

≠ H (13) ,

( 23) H

≠ H ( 23) ,

(123) H

≠ H (123 )

dan

≠ H (132 ) .

Selanjutnnya, ternyata dapat dilihat bahwa semua koset kiri dari N sama dengan koset kanan dari N , yaitu:

(1) N = N (1)

(13) N

= N (13)

(123) N

= N (123 )

(12 ) N = N (12 )

( 23) N = N ( 23)

(132 ) N

= N (132 )

Sehingga untuk subgrup N = {(1) , (123) , (132 )} diperoleh bahwa α N = N α , ∀α ∈ S3 . Hal ini memotivasi pendefinisian suatu subgrup yang memenuhi sifat tersebut, yaitu sifat suatu grup yang setiap koset kiri sama dengan koset kanan, seperti diberikan pada definisi di bawah ini. Definisi 3.1.1. (Subgrup Normal) Diberikan grup G dan N subgrup dari G, maka N disebut subgrup normal dari G jika setiap koset kiri dari N di G sama dengan koset kanan dari N di G, yaitu ( ∀g ∈ G ) gN = Ng , dinotasikan dengan N ⊲ G .

Contoh 3.1.2.

1. N = {(1) , (123) , (132 )} merupakan subgrup normal dari S3 . 2. H = {(1) , (12 )} bukan subgrup normal dari S3 , sebab terdapat (13) ∈ S3 sedemikian hingga (13) H ≠ H (13) . Teorema 3.1.3. Setiap subgrup dari grup Abelian merupakan subgrup normal. Bukti: Diberikan grup Abelian G dan H subgrup dari G. Diambil sebarang g ∈ G , akan

dibuktikan bahwa gH = Hg . Diketahui G grup Abelian, maka untuk sebarang h ∈ H diperoleh bahwa gh = hg , sehingga berakibat bahwa gH = { gh h ∈ H } = {hg h ∈ H } = Hg .

Jadi, terbukti bahwa H subgrup normal dari G. █ Dari Teorema 3.1.3. di atas dapat diketahui bahwa setiap subgrup dari grup ℤn

ℤ

dan

merupakan subgrup normal. Akan tetapi untuk grup yang tidak Abelian, maka setiap

subgrupnya belum tentu merupakan subgrup normal, seperti yang telah diberikan pada Contoh 3.1.2. di atas. Berikut ini diberikan sebuah teorema yang dapat digunakan untuk membuktikan bahwa suatu subgrup merupakan subgrup normal. Teorema 3.1.4. (Teorema Subgrup Normal) Diberikan grup G dan N subgrup dari G, maka N subgrup normal dari G jika dan hanya jika ( ∀g ∈ G )( ∀n ∈ N ) gng 1 ∈ N . −

Bukti:


46

( ⇒ ) Diambil sebarang

g ∈ G dan n ∈ N , akan dibuktikan bahwa gng −1 ∈ N . Diketahui N

merupakan subgrup normal dari G, yaitu gN = Ng , maka gN ⊆ Ng . Oleh karena gn ∈ gN , maka gn ∈ Ng , yaitu gn = mg , untuk suatu m ∈ N . Selanjutnya, kedua ruas

dioperasikan dengan g −1 dari kanan, diperoleh gng −1 = mgg −1 = m ∈ N . Terbukti bahwa gng −1 ∈ N . sebarang ( ⇐ ) Diketahui ( ∀g ∈ G )( ∀n ∈ N ) gng −1 ∈ N . Diambil

g ∈ G , akan dibuktikan

bahwa gN = Ng , yaitu gN ⊆ Ng dan Ng ⊆ gN . Pertama akan dibuktikan bahwa gN ⊆ Ng . Diambil sebarang x ∈ gN , akan ditunjukkan bahwa x ∈ Ng . Diketahui x ∈ gN , maka x = gn0 , untuk suatu n0 ∈ N . Dapat ditulis x = ( gn0 g −1 ) g . Diketahui −1

gn0 g ∈ N , hal ini berakibat bahwa x ∈ Ng . Terbukti bahwa gN ⊆ Ng . Selanjutnya,

akan dibuktikan bahwa Ng ⊆ gN . Diambil sebarang y ∈ Ng , akan ditunjukkan bahwa y ∈ gN .

Diketahui y ∈ Ng , maka y = n1 g , untuk suatu

(

y = gg −1n1 g = g g −1 n1 ( g −1 )

−1

)

n1 ∈ N . Dapat ditulis

−1

, dengan g −1n1 ( g −1 ) ∈ N . Akibatnya diperoleh bahwa

y ∈ gN , yaitu gN ⊆ Ng . Dengan demikian, diperoleh bahwa gN ⊆ Ng dan Ng ⊆ gN ,

jadi terbukti bahwa gN = Ng , yaitu N merupakan subgrup normal dari G. █ 3.2. Sifat-sifat Subgrup Normal Perhatikan bahwa jika N adalah subgrup normal dari G, maka gN = Ng . Apabila

diberikan

g ∈ G dan n ∈ N , maka belum tentu berlaku

diberikan

N = {(1) , (123) , (132 )}

subgrup

normal

gn = ng . Sebagai contoh,

dari

(12 ) N = N (12 ) , akan tetapi untuk (123) ∈ N diperoleh

S3 .

Diketahui

bahwa

(12 )(123) = ( 23)

dan

(123)(12 ) = (13 ) , yaitu (12 )(123) ≠ (123)(12 ) . Berikut ini diberikan sebuah teorema yang juga ekuivalen dengan definisi subgrup normal, perhatikan bahwa untuk N subgrup dari G dan g ∈ G , dinotasikan

{

}

gNg −1 = gng −1 n ∈ N .

Teorema 3.2.1. Diberikan N subgrup dari G, maka N subgrup normal dari G jika dan hanya jika ( ∀g ∈ G ) gNg −1 ⊆ N .

Bukti:

( ⇒ ) Diketahui N subgrup normal dari gNg

−1

{

= gng

−1

}

n ∈ N .

Akan

G. Diambil sebarang g ∈ G , dibentuk himpunan

dibuktikan

bahwa

gNg −1 ⊆ N . Diambil

sebarang

x ∈ gNg −1 , akan ditunjukkan bahwa x ∈ N . Diketahui x ∈ gNg −1 , maka x = gng −1 untuk

suatu n ∈ N . Menggunakan Teorema 3.1.4, diperoleh bahwa x = gng −1 ∈ N . Diperoleh bahwa gNg −1 ⊆ N .

( ⇐ ) Diketahui ( ∀g ∈ G )

gNg −1 ⊆ N . Akan dibuktikan bahwa N subgrup normal dari G.

Diambil sebarang g ∈ G , diketahui gNg −1 ⊆ N , maka untuk sebarang n ∈ N diperoleh


47

bahwa gng −1 ∈ N . Menggunakan Teorema 3.1.4 diperoleh bahwa N merupakan subgrup normal dari G. █ Berikut ini diberikan beberapa sifat dari subgrup normal yang berkaitan dengan operasi antara dua subgrup normal. Teorema 3.2.2. Diberikan M dan N subgrup normal dari G, maka berlaku: 1. M ∩ N subgrup dari G.

2. MN = NM subgrup normal dari G. Bukti: 1. Jelas bahwa M ∩ N subgrup dari G. Diambil sebarang g ∈ G dan k ∈ N ∩ M ,

akan ditunjukkan bahwa gkg −1 ∈ M ∩ N . Diketahui k ∈ N ∩ M , maka k ∈ N dan k ∈ M . Diketahui M dan N subgrup normal dari G, maka gkg −1 ∈ N dan gkg −1 ∈ M . Akibatnya diperoleh gkg −1 ∈ M ∩ N . Jadi, terbukti bahwa M ∩ N

subgrup normal dari G. 2. Diketahui M dan N subgrup normal dari G. Dibentuk MN = {mn m ∈ M , n ∈ N } dan NM = {nm n ∈ N , m ∈ M } .

Pertama, akan ditunjukkan bahwa MN = NM . Diambil sebarang x ∈ MN , maka x = m0 n0 , untuk suatu m0 ∈ M dan n0 ∈ N . Karena M ⊆ G , maka m0 ∈ G ,

sehingga m0 N = Nm0 . Diketahui x = m0 n0 ∈ m0 N , maka x ∈ Nm0 , yaitu x = n1m0 , untuk suatu n1 ∈ N . Diperoleh bahwa x ∈ NM , yaitu MN ⊆ NM . Dengan cara yang

sama

diperoleh

bahwa

NM ⊆ MN .

Diperoleh

bahwa MN = NM .

Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa MN subgrup normal dari G. Diambil sebarang g ∈ G dan k ∈ MN , akan dibuktikan bahwa gkg −1 ∈ MN . Diketahui k ∈ MN , maka k = mn , untuk suatu m ∈ M dan n ∈ N . Diketahui M dan N

subgrup normal dari G, maka gmg −1 ∈ M dan gng −1 ∈ N . Diperoleh bahwa gkg −1 = gmng −1 = ( gmg −1 )( gng −1 ) ∈ MN . Jadi,

terbukti

bahwa

MN = NM

subgrup normal dari G. █ Gabungan dari dua subgrup normal belum tentu merupakan subgrup normal, sebagai contohnya diberikan H = {0,3} dan K = {0,2,4} subgrup normal dari tetapi H ∪ K = {0,2,3,4} bukan subgrup dari

ℤ6 ,

akan

sebab tidak berlaku sifat tertutup yaitu

2 + 3 = 5 ∉ H ∪ K , sehingga H ∪ K bukan subgrup dari bukan subgrup normal dari

ℤ6 ,

ℤ6 .

Oleh karena itu, H ∪ K

ℤ6 .

3.3. Grup Faktor Sebelum diberikan definisi mengenai grup faktor, berikut ini diberikan contoh motivasi pendefinisian operasi biner pada himpunan semua koset kiri dari suatu subgrup pada grup.


48

Diberikan grup permutasi S3 = {(1) , (12 ) , (13) , ( 23) , (123) , (132 )} . Pada contoh di atas, telah diketahui bahwa H = {(1) , (12 )} bukan subgrup normal dari S3 . Dibentuk S3 H adalah himpunan semua koset kiri dari H pada S3 , yaitu S3 H = {α H α ∈ S 3 } = { H , (13) H , ( 23 ) H } .

Selanjutnya, pada S3 H didefinisikan operasi biner “ ∗ ” yaitu untuk α H , β ∈ H ∈ S3 H ,

. Akan diselidiki apakah operasi “ ∗ ” tersebut terdefinisi dengan (α H ) ∗ ( β H ) := (αβ ) H baik (well defined )? Diketahui

(13) H = (123) H dan ( 23) H = (132 ) H . Menggunakan

definisi di atas, diperoleh bahwa

( (13) H ) ∗ ( ( 23) H ) = ( (13) ( 23 ) ) H = (132 ) H ( (123) H ) ∗ ( (132 ) H ) = ( (123 )(132 ) ) H = (1) H Dari

sini

diperoleh

(13) H = (123) H

bahwa

( (13) H ) ∗ ( ( 23) H ) ≠ ( (123 ) H ) ∗ ( (132 ) H ) .

( 23) H = (132 ) H ,

dan

tetapi

Oleh karena itu, operasi “ ∗ ” tersebut tidak

terdefinisi dengan baik. Hal ini terjadi karena H bukan subgrup normal. Definisi 3.3.1. Diberikan H subgrup dari G. Dinotasikan G H adalah himpunan semua koset kiri dari H di G, yaitu G H = {aH a ∈ G} .

Contoh 3.3.2. 1. Dari Contoh 2.3.10, diketahui H = {0,3} subgrup dari dari H di ℤ6

ℤ6 ,

ℤ6

dan ada tiga koset kiri

yaitu H = {0,3} , 1 + H = {1, 4} dan 2 + H = {2,5} . Oleh karena itu,

H = { H ,1 + H , 2 + H } .

2. Diketahui H = {(1) , (12 )} dan S = {(1) , ( 23)} merupakan subgrup dari S3 , maka diperoleh S3 H = { H , (13) H , ( 23 ) H } dan S3 S = {S , (12 ) S , (13) S } . 3. Diketahui 6ℤ subgrup dari ℤ

ℤ,

diperoleh:

6ℤ = {6ℤ,1 + 6ℤ, 2 + 6 ℤ, 3 + 6 ℤ, 4 + 6 ℤ, 5 + 6 ℤ} .

Latihan 3.3.3. 1. Diberikan H = {0, 4} subgrup dari

ℤ8 .

Tentukan

ℤ8

H .

2. Diberikan K = {(1) , (13)} subgrup dari S3 . Tentukan S3 K . 3. Diberikan 6 subgrup siklik dari

ℤ.

Tentukan

ℤ

6 .

Teorema 3.3.4. (Grup Faktor) Diberikan N subgrup normal dari G. Didefinisikan operasi biner “ ∗ ” pada G N yaitu untuk setiap aN , bN ∈ G N ,

( aN ) ∗ ( bN ) := ( ab ) N , maka

(G

N , ∗) merupakan grup. Untuk selanjutnya, grup G N disebut dengan grup

faktor dari G oleh N. Grup faktor sering juga disebut dengan grup hasil bagi atau grup kuosien (quotient group).


49

Bukti: Diketahui N subgrup normal dari G, dibentuk himpunan G N = {aN a ∈ G} . Jelas bahwa G N tidak kosong, sebab eN = N ∈ G N , dengan e adalah elemen identitas G.

( aN ) ∗ ( bN ) = ( ab) N . Pertama, akan ditunjukkan

Untuk aN , bN ∈ G N , didefinisikan

bahwa operasi “ ∗ ” terdefinisi dengan baik (well defined ). Misalkan aN = xN dan

( aN ) ∗ ( bN ) = ( xN ) ∗ ( yN ) atau ( ab ) N = ( xy ) N .

bN = yN , akan ditunjukkan bahwa

Diketahui aN = xN dan bN = yN , maka a = xm dan b = yn , untuk suatu m, n ∈ N . Oleh karena itu, −1

( xy ) ( ab ) =

−1

−1

−1

−1

−1

y x ab = y x xmyn = y myn . −1

Diketahui N subgrup normal dari G dan m ∈ N , maka y −1my = y −1m ( y −1 ) ∈ N , sehingga diperoleh

y −1myn = ( y −1my ) n ∈ N ,

akibatnya

−1

( xy ) ( ab ) ∈ N .

Oleh

karena

itu,

berdasarkan Teorema 2.3.4, diperoleh bahwa ( ab ) N = ( xy ) N , dengan kata lain, terbukti bahwa ( aN ) ∗ ( bN ) = ( xN ) ∗ ( yN ) . Jadi, operasi “ ∗ ” terdefinisi dengan baik. Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa ( G N , ∗) merupakan grup, yaitu: (1) Diambil sebarang

aN , bN ∈ G N , menurut definisi operasi “ ∗ ” diperoleh

( aN ) ∗ ( bN ) = ( ab) N . Diketahui G grup dan a, b ∈ G , maka itu,

( ab ) N ∈ G

N , sehingga

( aN ) ∗ ( bN ) ∈ G

ab ∈ G . Oleh karena

N . Diperoleh bahwa operasi “ ∗ ”

bersifat tertutup (operasi biner). (2) Diambil sebarang aN , bN , cN ∈ G N , maka a, b, c ∈ G . Diketahui G grup, maka pada G berlaku assosiatif, yaitu a ( bc ) = ( ab ) c . Oleh karena itu,

( aN ) ∗ ( ( bN ) ∗ ( cN ) )

= ( aN ) ∗ ( ( bc ) N ) = ( a ( bc ) ) N = ( ( ab ) c ) N = ( ( ab ) N ) ∗ ( cN ) = ( ( aN ) ∗ ( bN ) ) ∗ ( cN )

Diperoleh bahwa operasi “ ∗ ” bersifat assosiatif. (3) Diketahui e ∈ G adalah elemen identitas dari G dan eN = N ∈ G N . Akan ditunjukkan bahwa N merupakan elemen identitas dari G N . Diambil sebarang aN ∈ G N , maka a ∈ G sehingga ae = ea = a , diperoleh:

( aN ) ∗ N = ( aN ) ∗ ( eN ) = ( ae) N = aN

N ∗ ( aN ) = ( eN ) ∗ ( aN ) = ( ea ) N = aN

Oleh karena itu, N ∈ G N merupakan elemen identitas dari G N . (4) Diambil sebarang aN ∈ G N , maka a ∈ G . Diketahui G merupakan grup, maka terdapat a −1 ∈ G

sedemikian hingga aa −1 = a −1a = e . Karena a −1 ∈ G , maka

a −1 N ∈ G N . Akan ditunjukkan bahwa a −1 N merupakan invers dari aN , yaitu

( aN )

−1

−1

= a N . Dari sini diperoleh:

( aN ) ∗ ( a −1 N ) = ( aa −1 ) N = eN = N


50

( a 1 N ) ∗ ( aN ) = ( a 1a ) N = eN = N −

−

Diperoleh bahwa ( aN )

−1

−1

= a N ∈G N .

Jadi, dari (1), (2), (3) dan (4), terbukti bahwa ( G N , ∗) merupakan grup. █ Untuk selanjutnya, grup faktor penulisan

(G

N , ∗) cukup dituliskan dengan G N , dan

( aN ) ∗ ( bN ) cukup dituliskan dengan ( aN )( bN ) . Operasi pada grup faktor

G N biasanya mengikuti dari operasi pada grup G, seperti diberikan dalam contoh di

bawah ini. Contoh 3.3.5. 1. Diketahui 6 ℤ subgrup normal dari bahwa

ℤ

ℤ,

dari contoh sebelumnya dapat diperoleh

6ℤ = {6ℤ,1 + 6ℤ, 2 + 6ℤ, 3 + 6 ℤ, 4 + 6 ℤ, 5 + 6 ℤ} . Didefinisikan operasi 6ℤ

biner penjumlahan di

ℤ

seperti pada Teorema 3.3.4 di atas, yaitu

a + 6ℤ, b + 6ℤ ∈ ℤ 6ℤ ,

( a + 6 ℤ ) + ( b + 6ℤ ) = ( a + b ) + 6 ℤ ,

maka

( ℤ 6ℤ, + )

merupakan grup faktor. Perhatikan Tabel Cayley di bawah ini. +

6ℤ

1 + 6ℤ

2 + 6ℤ

3 + 6ℤ

4 + 6ℤ

5 + 6ℤ

6ℤ

6ℤ

1 + 6ℤ

2 + 6ℤ

3 + 6ℤ

4 + 6ℤ

5 + 6ℤ

1 + 6ℤ

1 + 6ℤ

2 + 6ℤ

3 + 6ℤ

4 + 6ℤ

5 + 6ℤ

6ℤ

2 + 6ℤ

2 + 6ℤ

3 + 6ℤ

4 + 6ℤ

5 + 6ℤ

6ℤ

1 + 6ℤ

3 + 6ℤ

3 + 6ℤ

4 + 6ℤ

5 + 6ℤ

6ℤ

1 + 6ℤ

2 + 6ℤ

4 + 6ℤ

4 + 6ℤ

5 + 6ℤ

6ℤ

1 + 6ℤ

2 + 6ℤ

3 + 6ℤ

5 + 6ℤ

5 + 6ℤ

6ℤ

1 + 6ℤ

2 + 6ℤ

3 + 6ℤ

4 + 6ℤ

2. Diketahui H = {0,3} subgrup normal dari

ℤ6

dan ada tiga koset kiri dari H di

ℤ6 ,

yaitu H = {0,3} , 1 + H = {1, 4} dan 2 + H = {2,5} . Oleh karena itu diperoleh grup faktor

ℤ6

H = { H ,1 + H , 2 + H } dengan tabel Cayley sebagai berikut:

+

H

1 + H

2 + H

H

H

1 + H

2 + H

1 + H

1 + H

2 + H

H

2 + H

2 + H

H

1 + H

Teorema 3.3.6. Diberikan grup G dan N subgrup normal dari G. Jika G grup Abelian, maka grup faktor G N Abelian.


Aljabar-Abstrak-I-Bab1-3

Recommend Documents