Algoritme Dhe Struktura E Te Dhenave LIBRI

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave

Avni Rexhepi

Prishtinë – 2014 1

Avni Rexhepi

2


Parathënie Ky libër u dedikohet studentëve të “Fakultetit të Inxhinierisë Elektrike dhe Kompjuterike”, të Universitetit të Prishtinës, mirëpo natyrisht se mund të përdoret edhe nga të gjithë të interesuarit për këtë lëmi. Ky është botimi i parë dhe vërejtjet e sygjerimet e lexuesve janë të mirëseardhura. Të gjithë shembujt në libër, janë marrë më shumë për qëllime shkollore, për të shërbyer si udhëzime në realizimin e detyrave të caktuara, e jo si projekt i gatshëm për përdorim apo pjesë të ndonjë projekti. Emrat e përdorur si shembuj janë të rastit dhe përjashtohet mundësia e keqpërdorimit të qëllimshëm. Për vërejtjet dhe sygjerimet mund të na kontaktoni përmes postës elektronike, në adresën: [email protected].

3

Avni Rexhepi

4


Hyrje Algoritmet dhe strukturat e të dhënave janë “veglat/pajisjet” e programerëve për kryerjen e punëve. Ato definohen dhe përdoren (në programe) për të realizuar llogaritjet e nevoshme për zgjidhjen e problemeve nga jeta reale, përmes përdorimit të programeve dhe kompjuterëve. Algoritmet na mundësojnë kryerjen e operacioneve/veprimeve llogaritëse në një mënyrë të caktuar. Këto llogaritje i bëjnë me të dhënat e thjeshta ose me “strukturat e të dhënave” të cilat na shërbejnë që të krijojmë “objektet abstrakte” në programe, të cilat pasqyrojnë në mënyrën më të mirë të mundshme “objektet konkrete” (reale, fizike) nga bota reale dhe jeta e përditshme.

Algoritmet Çka është algoritmi? Algoritmi është procedurë hap pas hapi, për zgjidhjen e problemit. Algoritmi është proceudra e kryerjes së ndonjë detyre të caktuar. Algoritmi është idea prapa cilitdo program kompjuterik. Këto do të ishin disa prej definicioneve më të thjeshta lidhur me atë se çka është algoritmi. Përndryshe ekzistojnë edhe shumë definicione të tjera, të cilat në mënyra të ndryshme e japin shpjegimin ose mundohen ta sqarojnë se çka është algoritmi. Algoritmi definohet edhe si: Algoritmi është bashkësi e rregullave për kryerjen e llogaritjeve me dorë ose me ndonjë pajisje. Algoritmi është një procedurë e përcaktuar hap pas hapi për arritjen e një rezultati të caktuar. Algoritmi është një varg i hapave llogaritës që e transformojnë hyrjen në dalje. Algoritmi është një varg i operacioneve të kryera në të dhënat që duhet të jenë të organizuara në struktura të të dhënave. Algoritmi është një abstraksion i programit që duhet të ekzekutohet në një makinë fizike (modeli i llogaritjes), etj. Algoritmi më i njohur në histori daton që nga koha e Greqisë antike: ky është “Algoritmi i Euklidit” për llogaritjen e pjestuesit më të madh të përbashkët të dy numrave të plotë.

5

Avni Rexhepi Termi algoritëm konsiderohet të ketë ardhur nga emri i dijetarit islam, matematikanit arab Abū Ja’far ʿAbdallāh Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, i cili jetoi në vitet 780-850 në Bagdad. Ai ishte një matematikan që shkroi për numrat indo-arab dhe ishte ndër të parët që e përdori zeron si “pozicion” në notacionin bazë të pozicioneve për numrat. Nga punimi i tij “Hisab al-jabr wa’l-muqabala”, që konsiderohet si libri i parë i shkruar për algjebrën, e ka prejardhjen termi algjebër. Al-Khwarizmi, i përkthyer në latinisht si “Algoritmi” ose “Algaurizin”, ishte matematikan, astronom dhe gjeograf gjatë perandorise Abaside (Kalifati Abasid, ishte kalifati i tretë islam që pasoi Profetin Muhamed) dhe ishte dijetar, studiues dhe shkencëtar në “Shtëpinë e diturisë/urtësisë” (Dār al-Ḥikma), në Bagdad. Në shekullin e dymbëdhjetë, përkthimet e punës së tij në latinishte për numrat indian prezentuan sistemin numerik pozicional decimal në botën përëndimore. Libri i tij “Përmbledhje e llogaritjeve me kompletim dhe balansim” prezentoi zgjidhjen e parë sistematike të ekuacioneve lineare dhe kuadratike. Në kohën e renesansës evropiane, ai konsiderohej si zbuluesi origjinal i algjebrës, edhe pse tash dihet se puna e tij bazohej në burime më të vjetra indiane dhe të greqisë antike. Edhe fjalët e mbetura prej punimeve të tij flasin për kontributin e tij në matematikë. Fjala algjebër, që rrjedhë prej fjalës “al-jabr”, që ishte njëri prej dy operacioneve që ai përdori për të zgjidhur ekuacionet kuadratike. Poashtu, termi “Algorism” dhe “Algorithm”, buron prej formës latine të emrit të tij. Punimi i tij në latinisht ishte quajtur “Algoritmi de numero indorum”. Në hyrje të librit të tij, ai kishte shkruar:

“Dashuria për shkencë… dashamirësia dhe përfillja të cilën Zoti e tregon për të diturit, ajo përpikmëri me të cilën ai i mbronë dhe përkrahë ata në sqarimin e paqartësive dhe eleminimi e vështirësive, më ka inkurajuar që të përpiloj një punim të shkurtër për llogaritjen me “al-jabr” dhe “almuqabala”, duke u kufizuar në atë që është më e lehta dhe më e dobishmja në aritmetikë.” (al-jabr do të thotë "kthim, restaurim", duke iu referuar procesit të largimit të pjesës së zbritur në anën tjetër të ekuacionit; al-muqabala është "krahasimi" dhe i referohet zbritjes/thjeshtimit të vlerave të njëjta në të dy anët e ekuacionit).

Abu Ja'far Abdallah Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi [rreth 780-850 në Baghdad]

Kur në ndonjë gjuhë programuese shkruajmë programe për kompjuter, ne në përgjithësi implementojmë metodën që është zbuluar (shpikur, krijuar) më parë, 6

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave për zgjidhjen e ndonjë problemi, gjegjësisht algoritmin për zgjidhjen e problemit. Çdo program është ilustrim i ndonjë algoritmi. Kjo metodë është zakonisht e pavarur prej gjuhës programuese dhe prej kompjuterit të veçantë që do të përdoret dhe zakonisht është njësoj e përshtatshme për shumë kompjuterë dhe për shumë gjuhë programuese. Në fakt, më shumë është metoda sesa vetë programi kompjuterik që duhet të studiohet për të mësuar se si është duke u “atakuar” problemi. Termi algoritëm përdoret në shkencat kompjuterike për të përshkruar metodën e përshtatshme për zgjidhjen e problemit dhe për ta implementuar si program kompjuteri. Algoritmet janë “material” (lëndë e parë, lëndë pune) për shkencat kompjuterike. Ato janë objekti qëndror i studimit në të gjitha pjesët e kësaj fushe. Shumica e algoritmeve të rëndësishme përfshijnë metodat për organizimin e të dhënave të përfshira në llogaritje. Objektet e krijuara në këtë mënyrë quhen struktura të të dhënave dhe këto janë gjithashtu objekte qëndrore të studimit në shkencat kompjuterike. Prandaj, algoritmet dhe strukturat e të dhënave, shkojnë “dorë për dore” (së bashku). Pra, për të kuptuar algoritmet duhet studiuar edhe strukturat e të dhënave. Ka raste kur algoritmet e thjeshta “nxjerrin në pah” struktura të komplikuara dhe anasjelltas, algoritmet e komplikuara mund të përdorin struktura të thjeshta të të dhënave. Parimisht, do të studiohen dhe prezentohen tiparet (vetitë, karakteristikat) e shumë strukturave të të dhënave. Kur përdorim kompjuterin për të zgjidhur një problem, zakonisht ballafaqohemi me një numër të qasjeve të ndryshme të mundshme për zgjidhjen e problemit. Për problemet e vogla, rrallë herë është me rëndësi se cila qasje përdoret, përderisa e kemi atë që e zgjidhë problemin si duhet. Mirëpo, për problemet e mëdha (ose për aplikacionet ku duhet njënumër i madh i problemeve të vogla), shpejt motivohemi që të krijojmë metoda të cilat përdorin kohën dhe hapësirën (memorike) në mënyrë sa më efikase të mundshme. Arsyeja kryesore për studimin e dizajnit të algoritmeve është se kjo disciplinë na jep potencialin për të bërë kursime të shumta edhe deri në pikën e mundësimit të kryerjes së detyrave të cilat ndryshe do të ishte e pamundur të kryhen. Në një aplikacion ku procesohen miliona objekte, nuk është e pazakontë që të bëhet një program miliona herë më i shpejtë, duke përdorur një algoritëm të dizajnuar mirë. Kurse, investimi në blerjen e kompjuterit të ri me performansa më të mira, për të njëjtin problem, ka potencial të përshpejtimit me faktor prej vetëm 10 ose 100 herë. Dizajni i kujdesshëm i algoritmit është pjesë jashtëzakonisht efektive e procesit të zgjidhjes së problemeve të mëdha, në çdo sferë të aplikimit. Kur duhet zhvilluar një program jashtëzakonisht i madh ose i komplikuar, duhet “investuar” shumë përpjekje në të kuptuarit dhe definimin e problemit që duhet 7

Avni Rexhepi zgjidhur, menaxhimin e kompleksitetit dhe dekompozimin (zbërthimin) në nënprobleme të vogla të cilat mund të implementohen me lehtësi. Shpeshherë, shumë prej algoritmeve, janë të lehta për t’u implementuar pas dekompozimit. Mirëpo, në shumicën e rasteve, janë disa algoritme, zgjedhja e të cilave është kritike, sepse shumica e resurseve të sistemit do të shpenzohet në ekzekutimin e tyre. Pra, është me rëndësi të studiohen algoritmet themelore të cilat janë të dobishme për zgjidhjen e problemeve në një spektër të gjerë të sferave të aplikimeve. Shumë gjuhë programuese tani kanë libraritë e implementimeve të shumë algoritmeve themelore, si p.sh. STL (Standard Template Library) e C++-it, mirëpo ne do të mirremi me implementimin e versioneve të thjeshta të algoritmeve themelore, përmes së cilave ato kuptohen më mirë dhe pastaj më lehtë përdoren për të “akorduar” (përmirësar në detaje) versionet e gatshme nga libraritë. Ç’është më e rëndësishme, mundësia e reimplementimit të algoritmeve bazike paraqitesh shumë shpesh. Arsyeja primarë për të vepruar kështu qështë se shumë shpesh ballafaqohemi me ambient tërësisht të ri hardverik dhe softverik, me veti të cilat implementimet e vjetra nuk mund t’i përdorin për të përfituar sa më shumë. Me fjalë tjera, shpeshherë implementojmë algoritmet bazike të “qepura” për problemin tonë, sesa të varemi nga një rutinë (nënprogram) sistemor, për t’i bërë zgjidhjet më portabile dhe më afatgjata. Një arsye tjetër e shpeshtë për të reimplementuar algoritmet bazike është se përkundër avantazheve të inkorporuara në C++, mekanizmat që përdoren për bashkëpërdorim (sharing) të softverit nuk janë gjithmonë mjaft të fuqishme për të na lejuar që të përshtasim programet e librarive që të performojnë efektivisht në detyra specifike. Programet kompjuterike janë shpeshherë të tejoptimizuara (angl. overoptimized). Mund të mos ia vlenë që të mirret mundimi për t’u siguruar që një implementim i një algoritmi të caktuar është më efikasi i mundshëm, përveq nëse ai algoritëm do të përdoret për detyra jashtëzakonisht të mëdha ose do të përdoret shumë herë. Përndrsyhe, një implementim relativisht i thjeshtë, i zgjedhur me kujdes, do të mjaftojë. Mund të presim që ai do të punojë dhe me gjasë do të jetë pesë apo dhjetë herë më i ngadalshëm sesa versioni më i mirë i mundshëm, por kjo do të thotë se do të marrë disa sekonda kohë shtesë për ekzekutim. Për kontrast, zgjidhja e duhur e algoritmit në vend të parë, mund të bëjë ndryshimin për faktorë 100 ose 1000 apo më shumë herë, gjë që mund të përkthehet në minuta, orë ose edhe më shumë kohë për ekzekutim. Kryesisht do të koncentrohemi në implementimet më të thjeshta të arsyeshme të algoritmeve më të mira. Zgjedhja e algoritmit më të mirë për ndonjë detyrë të caktuar mund të jetë proces i komplikuar, ndoshta duke kërkuar analizë matematikore të sofistikuar. 8

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Dega e shkencave kompjuterike e cila përfshinë studimin e pyetjeve të tilla, quhet “analiza e algoritmeve”. Shumë prej algoritmeve përmes analizës së tillë janë treguar që kanë performansë të shkëlqyeshme, ndërsa të tjerat thjeshtë dihet se punojnë mirë, nga përvoja. Qëllimi kryesor është që të mësohen algoritmet e arsyeshme për detyrat e rëndësishme, mirëpo duke u kujdesur për krahasimin e performansave të metodave. Nuk duhet të përdoret një algoritëm pa pasur ide se sa resurse mund të konsumojë dhe duhet përpjekur që të jemi të vetëdijshëm për atë se si mund të pritet të performojë algoritmi. Algoritmet manipulojnë me të dhënat, të cilat mund të jenë vlera të veçanta të tipeve të thjeshta të të dhënave ose të quajtura ndryshe primitive (primitive data), si bitat, karakteret, numrat natyral, numrat real, etj dhe mund të jenë të dhëna të strukturuara në forma më të avansuara, për të ju përshtatur nevojave nga realiteti, të ashtuquajtura struktura të të dhënave (angl. Data Structures).

Strukturat e të dhënave Organizimi i të dhënave për përpunim (angl. processing- përpunim, procesim, shqyrtim), është detyrë thelbësore në zhvillimin e programeve kompjuterike. Shumë algoritme kërkojnë përdorimin e reprezentimit të duhur të të dhënave për të qenë efektive. Ky reprezentim i të dhënave dhe operacionet përcjellëse për to, njihen si struktura të të dhënave. Secila strukturë e të dhënave mundëson insertimin arbitrar por dallojnë në atë se si mundësojnë qasjen në anëtarët e grupit. Disa struktura të të dhënave lejojnë qasjen dhe fshirjen arbitrare, gjersa të tjerat imponojnë kufizime, si lejimi i qasjes vetëm në elementin e fundit të insertuar ose vetëm në elementin e parë të insertuar në grup. Struktura e të dhënave mundëson arritjen e një prej qëllimeve të programimit të orientuar në objekte: ripërdorimi i komponenteve. Secila strkuturë e të dhënave e implementuar një herë, mund të ripërdoret përsëri në aplikacione të ndryshme. Struktura e të dhënave pra është reprezentimi i të dhënave dhe operacioneve në ato të dhëna. Shumë struktura të të dhënave ruajnë një koleksion të objekteve dhe pastaj ofrojnë metodat për të shtuar objekte, për të larguar objektet ekzistuese ose për të ju qasur objekteve të koleksionit. Standardi i C++-it kërkon që të gjitha implementimet të ofrojnë libraritë përkrahëse të njohura si Standard Template Library (Libraria Standarde e Shablloneve, shkurt STL). STL ofron koleksionin e strukturave të të dhënave dhe ofron disa algoritme themelore, si p.sh., sortimi. Si tregon edhe vet emri, STL përdorë me të madhe shabllonet. Për shumë aplikacione, zgjedhja e strukturës së duhur të të dhënave është vendimi i vetëm i rëndësishëm i përfshirë në implementim: kur të jetë bërë zgjedhja, algoritmet e nevojshme janë të thjeshta. Për të njëjtat të dhëna, ndonjë 9

Avni Rexhepi strukturë e të dhënave mund të kërkojë më shumë ose më pak hapësirë sesa të tjerat; për ndonjë operacion (veprim) me të dhënat, disa struktura mund të çojnë në algoritme më efikase ose më pak efikase, se të tjerat. Zgjedhja e algoritmit dhe e strukturës së të dhënave janë të ndërlidhura ngushtë dhe vazhdimisht kërkojmë mënyra për të kursyer kohën ose hapësirën, duke bërë zgjedhjen e duhur. Struktura e të dhënave nuk është objekt pasiv. Ne duhet të marrim në konsiderim edhe operacionet të cilat do të kryhen në të (dhe algoritmin e përdorur për këto operacione). Ky koncept është i formalizuar me nocionin: tipi i të dhënave (angl. data type). Interesimi primar është në implementimin konkret të qasjeve themelorë të cilat përdoren për strukturimin e të dhënave. Shqyrtojmë metodat themelore të organizimit dhe metodat për manipulimin e të dhënave, përmes shembujve specifik të cilët ilustrojnë përfitimet për secilin dhe çështjet e ndërlidhura, si mengaxhimi i memories. Gjithashtu, do të diskutohen tipet abstrakte të të dhënave (ADT-Abstract Data Types), ku ndahen definicionet e tipeve të të dhënave prej implementimeve. Do të diskutohen tiparet e vargjeve, listave të lidhura dhe stringjeve. Këto struktura klasike të të dhënave kanë përdorim të gjerë. P.sh., tek pemët (struktura e të dhënave, në formë peme), ato praktikisht formojnë bazën për pothuajse të gjitha algoritmet. Do të shqyrtohen edhe operacionet e ndryshme primitive për manipulimin e këtyre strukturave të të dhënave, për të zhvilluar një bashkësi themelore (angl. basic set) të veglave të cilat mund të përdoren për zhvillimin e algoritmeve të sofistikuara për problemet e vështira. Studimi i ruajtjes së të dhënave si objekte me madhësi të ndryshueshme (angl. variable-size objects) dhe në strukturat e lidhura të të dhënave kërkon njohuri për mënyrën se si sistemi e menaxhon hapësirën e ruajtjes (hapësirën memorike - angl. storage) të cilën ua alokon (ndanë) programeve për të dhënat e tyre. Në fakt, diskutohet qasja e menaxhimit të hapësirës dhe disa mekanizmave themelorë të përgjithshëm, sepse shumë elemente janë të varura nga vet sistemet dhe pajisjet që përdoren. Do të shohim mënyrat specifike për të cilat përdoren mekanizmat e C++-it për alokim të hapësirës. Poashtu, do të shqyrtohen disa shembuj të strukturave të përbëra, si vargjet e listave të lidhura dhe vargjet e vargjeve. Nocioni i ndërtimit të mekanizmave abstrakt të rritjes së kompleksitetit nga nivelet e ulëta është temë që përsëritet. Shembujt, pastaj mund të shërbejnë si bazë për algoritme më të avansuara. Këto struktura të të dhënave janë të blloqe ndërtimi të rëndësishme (angl. building blocks) të cilat mund të përdoren në mënyrë natyrale në C++ dhe në shumë gjuhë të tjera programuese. Vargjet, stringjet, listat e lidhura dhe pemët, janë elementet themelore të ndërtimit të shumë algoritmeve. Reprezentimi 10

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave konkret i zhvilluar në ndërtimin e tipeve abstrakte të të dhënave plotëson nevojat e shumë apliacioneve.

Strukturat themelore të të dhënave Të dhënat ruhen në memorie. Kur kemi për të ruajtur vlera të veçanta, interpretimi logjik përputhet shumë lehtë me realitetin fizik, sepse p.sh., kur deklarojmë ‘int x=10;’ themi që kemi deklaruar një numër të plotë, me emrin x dhe i kemi dhënë vlerën 10. Është lehtë të imagjinohet, se diku në memorie, do të ruhet vlera 10. Kur kemi një bashkësi të të dhënave, që dëshirojmë ta ruajmë si një tërësi, p.sh., notat e studentit, pagat e punëtorëve, etj., atëherë e krijojmë një varg. Anëtarët e vargut janë të njëjtë për nga tipi dhe lokalizohen në memorie në lokacione të njëpasnjëshme. Deklarimi i vargut, bën që të rezervohet hapësira e duhur në memorie dhe pastaj aty vendosen vlerat e anëtarëve të vargut. Më vonë, përmes qasjes direkte ose pointerëve, mund të bëhet qasja në anëtarët e vargut. Edhe në këtë rast, interpertimi logjik është i thjeshtë, sepse e imagjinojmë vargun e lokacioneve të njëpasnjëshme në memorie, ku i kemi të vendosura disa vlera. Mirëpo, për arsye të ndryshme, ndonjëherë nuk ka mundësi ose nuk është e përshtatshme që të gjitha vlerat e bashkësisë të ruhen në lokacione të njëpasnjëshme në memorie. Atëherë kemi “mospërputhje” ndërmjet realitetit fizik dhe interpretimit logjik nga ana e jonë. Pra, të dhënat e një bashkësie, për nga pozicionimi fizik në memorie, mund të jenë: -

Në lokacione të njëpasnjëshme (sekuenciale) në memorie Në lokacione të shpërndara (jo-sekuenciale).

Vargu është strukturë me anëtarë të vendosur në lokacione sekuenciale. Listat janë me anëtarë në lokacione josekuenciale. Nëse të dhënat nuk janë të vendosura fizikisht në lokacione të njëpasnjëshme në adresat e memories, por ato logjikisht duhet të përcillen si anëtarë të njëpasnjëshëm të bashkësisë, atëherë krijojmë strukturën e të dhënave, e cila më nuk përmbanë vetëm vlerat (të dhënat) e tipit të caktuar, por secili anëtarë është i përcjellur edhe me informacione plotësuese, të cilat mundësojnë ndërlidhjen logjike me anëtërët e tjerë të bashkësisë. Këto “tërësi” të reja, tani përveq vlerës, kanë edhe “elementin për ndërlidhje”, pra elementin e ri plotësues (pointerin), ashtu që të na mundësojnë që të “lëvizim” prej një anëtari në tjetrin, ngjashëm sikur lëvizim nëpër anëtarët e vargut të zakonshëm, prej një lokacioni të memories në tjetrin (në fakt duke kaluar prej një anëtari në tjetrin). Kjo tërësi e re, e krijuar prej vetë vlerës dhe prej pointerëve të cilët e lidhin me anëtarin e përparshëm dhe/ose atë 11

Avni Rexhepi të ardhshëm, zakonisht quhet “Nyje” (angl. Node). Pra, nyja përmbanë vlerën (angl. value) ose të dhënat (angl. data) dhe pointerin ose pointerët, që e ndërlidhin atë me nyjen e ardhshme dhe atë të përparshme, ashtu që edhe pse fizikisht të vendosur në lokacione të ndryshme të memories, logjikisht anëtarët përsëri krijojnë një listë me anëtarë të njëpasnjëshëm. Ky organizim i të dhënave të renditura, ku anëtarët e njëpasnjëshëm janë në lokacione të shpërndara të memories, por janë të “lidhur” mes vete përmes pointerëve quhet listë e lidhur. Pra, lidhjen prej një anëtari (lokacioni të memories) deri tek anëtari tjetër (lokacioni tjetër në memorie), e realizojmë përmes pointerëve, të cilët tregojnë pozitën e anëtarit të ardhshëm ose atij të përparshëm (Rikujtojmë se pointeri ruan adresa, kështu që pra tregon adresën se ku ndodhet anëtari përkatës). Nëse struktura e të dhënave, për secilin anëtarë (nyje) definon vetëm vlerën dhe pointerin për në pozitën e ardhshme, themi se kemi të bëjmë më listën e lidhur njëfish, pasi që lëdhja është vetëm nënjërin kah (drejtim). Nëse struktura për secilin anëtarë të vetin, ka vlerën dhe dy pointerë, njëri për anëtarin e përparshëm dhe tjetrin për anëtarin e ardhshëm në listë, atëherë kemi të bëjmë me listën e lidhur dyfish.

Figura 1 – Krahasimi i vargut dhe listës së lidhur Për nga aspekti i renditjes logjike të anëtarëve, strukturat mund të jenë: -

Lineare (vargu, listat e lidhura, steku, rreshti i pritjes, etj), Jo-lineare (pemët, grafet).

Strukturat lineare janë lineare në atë që ndërmjet objekteve në strukturë ruhet renditja lineare. Relacioni linear është logjik, në atë që për dallim prej vargjeve, nuk mund të bëhet ndonjë presupozim për lidhjen ndërmjet renditjes lineare të objekteve dhe lokacioneve të tyre aktuale në memorie. Strukturat lineare dallojnë prej njëra tjetrës për nga kufizimet në mënyrat te qasjes në anëtarët e tyre. 12

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Në varësi të zgjedhjeve të opcioneve për numrin e lidhjeve (pointerëve për lidhje) dhe për lidhjen e pointerit të fundit në strukturë, janë katër lloje të reprezentimit të listave. Për nga mënyra e lidhjes së pointerit të fundit, janë dy mundësi: ose pointeri i fundit bëhet “Null” (angl. Null-asgjë, nuk ekziston) ose kthehet në anëtarin e parë në strukturë. Nëse anëtari i fundit tregon në “Null”, thuhet se struktura është e “tokëzuar” dhe paraqitet zakonisht me simbolin elektronik të tokëzimit. Nëse pointeri i fundit ktheht në anëtarin e parë në strukturë, atëherë thuhet se struktura është qarkore (cirkulare). Për nga numri i lidhjeve, mund të ketë vetëm një pointer për në elementin e ardhshëm në strukturë ose dy pointerë, që pointojnë njëri në elementin e përparshëm dhe tjetri në elementin e ardhshëm. Struktura lineare e lidhur me vetëm një element për lidhje (pointer) quhet listë e lidhur në një kahje ose listë e lidhur një-fish. Struktura me dy lidhje formon listën e lidhur në dy kahje ose listën e lidhur dy-fish. Nga kjo del se listat e lidhura mund të jenë: një-fishe të tokëzuara, një-fishe cirkulare, dy-fishe të tokëzuara dhe dy-fishe cirkulare. ●

● ●

● ●

●

● ● ●

●

...

● ●

● ●

● ●

...

...

...

●

...

...

● ●

● ●

●

● ●

● ●

● ●

Figura 2 – Llojet e listave të lidhura Për nga aspekti i krijimit/rezervimit vargjet/listat/strukturat ndahen në: -

të

hapësirës

në

memorie,

Statike, dhe Dinamike.

Kur bëhet deklarimi i zakonshmëm i vargut, si p.sh., ‘inta A[10];’, në fakt bëhet përcaktimi i tipit dhe numrit të anëtarëve dhe rezervohet hapësira e nevojshme në memorie (në lokacione të njëpasnjëshme). Gjatë ekzekutimit të programit, madhësia e vargut dhe lokacioni në memorie nuk ndryshojnë, kështë që themi se kemi të bëjmë me varg/strukturë statike. 13

Avni Rexhepi Kur deklarimi i vargut/listës bëhet në kohën e ekzekutimit, përmes përmes operatorit ‘new’(i cili përcakton lokacionin në memorie dhe pointerin për atë lokacion) dhe gjatë ekzekutimit shtohen ose largohen anëtarët e listës, atëherë themi se kemi të bëjmë më strukturë dinamike. Krijimi i tipit abstrakt të të dhënave (angl. Abstract Data Type – ADT) na mundëson që të krijojmë struktura logjike, të cilat i përshtaten nevojave të programit dhe realitetit nga jeta e përditshme, kurse realizimi fizik i tyre (“ në prapavi”) përsëri mbetet i bazuar në atë që është e realizueshme fizikisht, si bashkësi e lokacioneve të njëpasnjëshme ose të atyre të shpërndara në memorie. Nëse lokacionet janë të krijuara dinamikisht (gjatë ekezekutimit) dhe rezervohen në pozita të ndryshme në memorie, atëherë përmes pointerëve të tyre, i përcjellim lokacionit e të dhënave, si në figurën vijuese.

Figura 3a - Vendosja e katër elementeve në memorie

Figura 3b - Një mënyrë e ruajtjes së pointerëve për përcjellje të lokacioneve Kur krijojmë ADT dhe deklarojmë strukturën përkatëse, më nuk kemi të bëjmë vetëm më vlerën (të dhënën) që ruhet në memorie, por edhe me të gjitha 14

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave elementet përcjellëse, të cilat mundësojnë trajtimin logjik të të dhënave, siç janë pointerët të cilët mundësojnë lëvizjen nëpër dhe përcjelljen e anëtarëve si dhe funksioneve përkatëse, të cilat shërbejnë për ‘t’i dhënë jetë’ të dhënave/elementeve të strukturës. Funksionet krijohen për operacionet e zakonshme të cilat ndodhin me të dhënat: insertimi, leximi, shtypja, editimi, fshirja (largimi), etj. Kështu strukturat e kompletuara, të realzuara në C++, si strukturë ose klasë ose edhe ato të gatshmet nga STL-i, i kanë të gjitha këto funksione. Të gjitha realizohen duke u bazuar në konceptet e programimit të orientuar në objekte.

Konceptet themelore të programimit të orientuar në objekte Programimi i orientuar në objekte - POO (angl. Object orientet programming – OOP), karakterizohet me konceptet e klasave, objekteve, trashëgimisë, abstraksionit, ripërdorimit, polimorfizmit, etj. Klasat Klasa është një strukturë (struct) e zgjeruar, që ofron tiparet e orientuara në objekte të C++-it. Klasa definohet nga shfrytëzuesi duke përshkruar një bashkësi të të dhënave (vlerave) që mund t’i përfaqësojë dhe një bashkësi të funksioneve të cilat mund të veprojnë (operojnë) në ato të dhëna. Këto të dhëna dhe funksione të klasës quhen anëtarë të klasës (angl. class members). Klasat janë tipe të të dhënave nga të cilat krijohen objektet. Klasat enkapsulojnë (angl. encapsulate-futë në kapsulë) të dhënat përmes përdorimit të anëtarëve të dhëna dhe anëtarëve funksione. Objektet Bashkimi i të dhënave dhe funksioneve është koncepti në prapavi të gjuhëve programuese të orientuara në objekte. Njësia e tillë (e bashkuar) quhet objekt. Objekti është një instancë e klasës (një rast konkret, një konkretizim i klasës). Klasa ka relacion të njëjtë me objektet sikur tipet themelore të të dhënave me variablat e tipit të tyre. Një objekt mund të definohet në mënyrë unike përmes një emri specifik (identifikatori). Objekteve u ndahet memoria dhe një objekt mund të përmbajë disa atribute. Trashëgimia Trashëgimia (angl. inheritance) është një prej vetive më të fuqishme të programimit të orientuar në objekte. Trashëgimia është procesi përmes të cilit 15

Avni Rexhepi një klasë mund të trashëgojë vetitë e një klase tjetër. Klasa ekzistuese quhet klasë bazë, ndërsa klasa e re quhet klasë trashëguese. Trashëgimia përdoret për të redukuar kodin burimor në programimin e orientuar në objekte. Pa përdorim të trashëgimisë, secila klasë do të duhet të definojë të gjitha karakteristikat e veta në mënyrë eksplicite. (angl. explicit – i caktuar, i hollësishëm, i qartë, i saktë; implicit-i nënkuptuar, i padyshimtë). Klasa bazë i përmbledhë elementet e përbashkëta për një grup të klasave trashëguese. Klasat trashëguese përveq që i ekzekuton elementet e përbashkëta që i trashëgon, i ekzekuton gjithashtu edhe ato që i ka karakteristike të vetat. Grupimi i karakteristikave të përbashkëta dhe vendosja e tyre në një vend, në vend të përsëritjes së tyre në të gjitha vendet ku ato ndodhin, në një mënyrë e redukon madhësinë e programeve. Ripërdorimi Kur klasa të jetë shkruar, krijuar dhe debug-uar (debaguar), ajo mund të shpërndahet edhe tek programerët e tjerë për përdorim në programet e tyre. Kjo veti referohet si ripërdorshmëri (angl. reusability; nga use-përdorim dhe abilitymundësi, aftësi, pra aftësi e të qenit e ripërdorshme). Programerët mund të marrin një klasë ekzistuese dhe pa e modifikuar atë, t’i shtojnë karakteristika dhe aftësi plotësuese. Kjo veti referohet si ‘extensibility’ – zgjerueshmëri (angl. extensibility-zgjerueshmëri, zgjatshmëri). Kjo bëhet duke derivuar (trashëguar) një klasë të re nga një klasë ekzistuese. Klasa e re do të trashëgojë tiparet e vjetrës dhe poashtu do të shtojë tipare të veta të reja. Enkapsulimi Enkapsulimi ose enkapsulimi i të dhënave (angl. Data encapsulation) është një prej vetive më të rëndësishme të klasave. Në programimin e orientuar në objekte, një objekt krijohet duke përfshirë të dhënat dhe funksionet për lexim (hyrje) dhe shtypje (dalje) të të dhënave. Objekti përkrahë enkapsulimin. Enkapsulimi është procesi i kombinimit të funksioneve anëtare të klasës dhe të dhënave (vlerave) anëtare të klasës, si dhe mbajtjes së tyre të sigurta nga interferencat (ndërhyrjet) nga jashtë. Të dhënat nuk janë të qasshme nga jashtë dhe vetëm funksionet të cilat janë brenda klasës mund të ju qasen atyre. Izolimi i të dhënave nga qasja direkte, nga programerët quhet “fshehje e të dhënave” (angl. data hiding). Abstraksioni Abstraksioni ose abstraksioni i të dhënave (angl. Data abstraction) është mundësia e krijimit të tipeve të të dhënave të shfrytëzuesit për të modeluar objektet e botës reale, duke përdorur tipet e brenshme të të dhënave. Abstraksioni i të dhënave ndihmon për të ju qasjur të dhënave dhe funksioneve së bashku, gjë që definon tip të ri të të dhënave të quajtur tip abstrakt i të 16

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave dhënave (angl. Abstract data type-ADT) me setin e vet të operacioneve. Abstraksioni i të dhënave i referohet veprimit të reprezentimit të vetive themelore, pa i përfshirë detajet ose shpjegimet. Klasat ndihmojnë në krijimin e tipeve abstrakte të të dhënave. Klasat përdoren për abstraksionin e të dhënave duke fshehur implementimin e tipit në pjesën private të definicionit të klasës dhe duke ofruar interfejsin përmes pjesës publike të funksioneve. Polimorfizmi Polimorfizmi është vetija që lejon që një emër të përdoret për dy ose më shumë qëllime të ndërlidhura, por teknikisht të ndryshme. (Fjala polimorfizëm rrjedh nga greqishtja e vjetër: poli-shumë, morphe-formë). Polimorfizmi lejon që një emër të specifikohet për veprimet e përgjithshme të klasës. Polimorfizmi do të thotë që një pjesë e kodit (zakonisht funksion) ose operacionie apo objekte, kanë sjellje të ndryshme në kontekste të ndryshme. Në klasën e përgjithshme, ndonjë veprim specifik që duhet të aplikohet, përcaktohet (varet) nga tipi i të dhënave. Përparësia e polimorfizmit është se ndihmon në zvogëlimin e kompleksitetit të programit duke lejuar që një interfejs të specifikoj një klasë të përgjithshme të veprimeve. Në C++, polimorfizmi kryesisht i referohet përdorimit të funksioneve ‘virtuele’. Mund të ketë dy objekte të krijuara nga nje klasë, por të cilat funksionin virtuel (me emër të njëjtë për të dyjat), e përdorin për llogaritje të ndryshme. Mbingarkimi është veti shumë e dobishme në C++. Wshtë e mundur që të përdoret emri i njëjtë i funksionit për qëllime të ndryshme. Funksioni i duhur do të thirret bazuar në numrin, radhën ose tipin e parametrave (argumenteve) të funksionit. Ky proces referohet si mbingarkim i funksioneve ose polimorfizëm i funksioneve. Polimorfizmi mund të aplikohet poashtu edhe në operatorët e ndryshëm dhe ky proces njihet si mbingarkimi i operatorëve ose polimorfizmi i operatorëve.

Përparësitë e programimit të orientuar në objekte Programimi i orientuar në objekte ofron shumë përparësi për programerët dhe shfrytëzuesit. POO zgjidhë shumë probleme të ndërlidhura me zhvillimin e softverit, ofron kualitetit të përmirësuar dhe softver me çmime më të ulëta. Përparësitë e POO janë: 1. Programet e orientuara në objekte mund të promovohen (angl. upgrade) në çdo kohë dhe me lehtësi. 2. Duke përdorur trashëgiminë, mund të eliminohen kodet redundante (të tepërta) dhe mund të vazhdohet përdorimi klasave të definuara më parë.

17

Avni Rexhepi 3. Vetia e fshehjes së të dhënave i mundëson programerit që të dizajnojë dhe të zhvillojë programe të sigurta të cilat nuk e çrregullojnë kodin në pjesët tjera të programeve. 4. Vetia e enkapsulimit u lejon programerëve që të definojnë klasën me shumë funksione dhe karakteristika, ndërsa vetëm disa funksione i ekspozohen shfrytëzuesit. 5. Të gjitha gjuhët programuese të orientuara në objekte mund të krijojnë pjesë të zgjeruara dhe të ripërdorshme të programeve. 6. POO zgjeron procesin e të menduarit të programerëve duke dërguar në zhvillimin e shpejtë të softverit të ri në kohë më të shkurtë.

Strukturat e të dhënave dhe reprezentimi i tyre Strukturat e të dhënave klasifikohen si lineare dhe jo-lineare. Struktura e të dhënave thuhet se është lineare nëse elementet e saj të të dhënave formojnë sekuencë. Kjo do të thotë që nëse e dijmë adresën e elementit të parë, ne mund të marrim (përfitojmë) të dytin, të tretin, e kështu me radhë deri në elementin e fundit të të dhënave. Shembuj të strukturave lineare janë vargjet, steku, queue, listat e lidhura, etj. Ndërsa në strukturat jo-lineare, elementet e të dhënave ruhen në hierarki ose në nivele. Shembuj të tyre janë pemët dhe grafet. Mënyrat e ruajtjes Synimi kryesor i strukturave të të dhënave ësthë ruajtja e disa të dhënave (vlerave) ose organizimi i të dhënave në ndonjë formë të veçantë. Për nga mënyra se si ruhen ose mirëmbahen në memorie të kompjuterit, janë dy mënyra të reprezentimit (përfaqësimit) të strukturave të të dhënave (lineare ose jolineare) në memorie. Njëra është metoda sekuenciale e ruajtjes ndërsa tjetra është metoda e alokimit të lidhur. Ato poashtu quhen edhe si alokimi statik dhe alokimi dinamik, repsektivisht. Metoda e ruajtjes sekuenciale: nëse elementet janë të ruajtura në lokacione të njëpasnjëshme në memorie, ato njihen si metoda e ruajtjes sekuenciale. Kjo do të thotë që së brendshmi është e ruajtur në një varg një-dimensional. Poashtu quhet edhe si alokimi statik, pasi që memoria në esencë është një varg i adresave ose lokacioneve të memories. Reprezentimi i lidhur: nëse elementet do të ruhen në lokacione të ndryshme (të shpërndara) në memorie dhe pointerët do të japin (krijojnë) renditjen lineare, kjo quhet reprezentimi i lidhur.

18


Operacionet në strukturat e të dhënave Për çfarëdo strukture të të dhënave, mund të kryhen operacionet themelore vijuese: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Krijimi ose insertimi Fshirja/largimi Paraqitja/përshkimi Sortimi Kërkimi Bashkimi

Në rastin e vargjeve, këto operacione kryhen si vijon. Krijimi ose insertimi. Kur struktura është fillimisht e zbrazët dhe në të insertohet elementi i parë, atëherë bëhet krijimi. Në vazhdim, kur ajo më nuk është e zbrazët, për çdo element të ri kemi operacionin e insertimit. Le të supozojmë se dëshirojmë të insertojmë një element të ri në varg, në pozitën e kërkuar ndërmjet 0 dhe (n-1). Logjika është që të zhvendoset (lëvizet) elementi i (n-1)-të në pozitën e n-të, ai i (n-2)-të në atë të (n-1)-të e kështu me radhë, deri sa të arrihet në pozitën e insertimit. Pastaj vendoset/insertohet elementi i ri në atë pozitë. Kështu, numri total i elementeve rritet për një. Fshirja. Fshirja bën largimin e një elementi nga pozita e kërkuar. Pas fshirjes së elementit, duhet të zhvendosim/lëvizim të gjitha elementet pasuese për nga një pozitë majtas dhe numri total i elementeve zvogëlohet për një. Përshkimi i vargut. Përshkimi (angl. Traversal) nënkupton shtypjen ose procesimin e secilit element të vargut. Nëse vargu është i zbrazët atëherëe shtypet porosia se vargu është i zbrazët, përndryshe shtyen elementet prej të parit deri tek i fundit. Sortimi. Përmes një procedure (funksioni) të sortimit renditen elementet e vargut në renditje prej të voglit kah i madhi ose anasjelltas.

Lista e lidhur Lista e lidhur është koleksion linear i elementeve të të dhënave të quajtura nyje, ku renditja lineare realizohet përmes pointerëve. Secila nyje është e ndarë në dy ose më shumë pjesë, të quajtura fushat e informacionit dhe fushat e adresave. Fusha e informacionit ose fusha e të dhënave (vlerave) përdoret për të ruajtur informacionin ose elementin e të dhënës, ndërsa fusha e adresave përdoret për të ruajtur adresën e ndonjë nyjes tjetër në listë. Secila nyje do të ketë adresë unike. Nëse nyja përmbanë një fushë të të adresës dhe një ose më shumë fusha të të dhënave thuhet se kemi listë të lidhur njëfish (angl. single linked list) ose zingjirë në një kahje. Nëse nyja përmbanë dy fusha adresash dhe një ose më 19

Avni Rexhepi shumë fusha të dhënash, thuhet se kemi të bëjmë me listë të lidhur dyfish (angl. double linked list) ose zingjirë dy-kahësh. Info

Lidhja

Lidhja_m

a. Nyja me një lidhje

Info

Lidhja_d

b. Nyja me dy lidhje Figura 4 – Nyjet

Në figurën ‘a’ është paraqitur nyja e listës së lidhur njëfish, e cila ka dy fusha: ‘Info’ dhe ‘Lidhja’. Fusha ‘Info’ përdoret për të ruajtur informacionin (vlerën, të dhënën), ndërsa fusha ‘Lidhja’ përdoret për të ruajtur adresën e nyjes së ardhshme. Nëse nyja është e fundit, atëherë në fushën e lidhjes adresa është NULL, që do të thotë se nuk tregon në ndonjë nyje. Në figurën nën ‘b’ është paraqitur nyja e listës së lidhur dyfish dhe ajo përmbanë dy fusha të adresave, të emërtuara ‘Lidhja_m’ (lidhja majtas) dhe ‘Lidhja_d’ (lidhja djathtas). Zakonisht emërtohen edhe ‘ePërparshme’ dhe ‘eArdhshme’, për të treguar në nyjen e përparshme dhe nyjen e ardhshme në listë. Fusha ‘Info’ përdoret për të ruajtur informacionin aktual. Supozojmë se ‘p’ është adresa e nyjes së listës së lidhur njëfish. Atëherë, qasja në të dhënën (vlerën) e nyjes bëhet përmes ‘p->Info’, ndërsa qasja në fushën e lidhjes, përmes ‘p->Lidhja’. Në mënyrë të njëjtë, për nyjen q të listës së lidhur dyfish, do të kemi: ‘q->Infor’, ‘q->Lidhja_d’ dhe ‘q->Lidhja_m’.

Lista e lidhur njëfish Lista e lidhur një-fish (ose lista një-kahëshe) përbëhet prej nëj bashkësie të renditur të elementeve, të cilat mund të ndryshojnë në numër. Një mënyrë e thjeshtë për të reprezentuar listën lineare është që të paraqiten nyjet të cilat përmbajnë të dhënat dhe lidhjet gjegjësisht pointerët për tek nyja e ardhshme. Për të përcjellur adresën e fillimit të listës, zakonisht përdoret edhe një variabël ndihmëse (një pointer) me emrin ‘Fillimi’, i cili jep lokacionin e nyjes së parë në listë. Nyja e fundit në listë nuk ka ndonjë nyje pasardhëse, kështu që në fushën e saj nuk duhet ndonjë adresë. Në raste të tilla në fushën e adresës zakonisht “ruhet” NULL. 10

12

18

...

Fillimi

Figura 5 – Lista e lidhur njëfish 20

22

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Le të supozojmë se të dhënat në listë mirëmbahen në renditje rritëse dhe sipas fushës me informacion dhe për thjeshtësi le të marrim vlerat të plota (integer). Secila nyje mund të ruaj një numër të plotë. Në këtë strukturë të të dhënave mund të kryhen operacione të ndryshme, si insertimi, fshirja paraqitja ose përshkimi i listës dhe kërkimi. Në nënprogramin (funksionin) e insertimit ose krijimit, së pari krijojmë nyjen e re dhe e vendosim në pozitën e duhur në listë. Në rast se nyja insertohet në listë të zbrazët, fusha e saj e lidhjes (pointeri për në nyjen e ardhëshme) do të ketë vlerën ‘NULL’ ndërsa adresa e kësaj nyje ruhet (vendoset) në variablën (pointerin) ‘Fillimi’, që tregon nyjen e parë të listës. Rasti i dytë është insertimi i nyjes në fillim të listës. Në këtë rast, adresa e variablës ‘Fillimi’ ruhet (vendoset) në fushën e lidhjes (Pointerit) për në nyjen e ardhshme, ndërsa adresa e adresa e nyjes së parë (të re) vendoset ën variablën ‘Fillimi’. Rasti tjetër është insertimi ndërmjet dy nyjeve në listë ose në fund të listës. Në këtë rast, përshkojmë listën duke krahasuar elementin e insertuar me secilën nyje me radhë në listë deri sa të vije në pozitën e duhur (vlera më e madhe ose baraz me nyjen aktuale). Kur të jetë gjetur vendi i duhur, insertohet nyja e re ndërmjet nyjes paraardhëse të nyjes aktuale dhe nyjes aktuale. Sipozojmë se adresa e nyjes paraardhëse është e ruajtur dhe adresa e nyjes aktuale është ‘ptr’. Atëherë kjo adresë ruhet në fushën e adresës së nyjes së re dhe adresa e nyjes së re në fushën e lidhjes së nyjes paraprake. Fshirja: për të fshirë nyjen e kërkuar (që ka vlerën e kërkuar), së pari e kërkojmë në listë. Edhe këtu rast paraqiten raste të ndryshme. Një është fshrija prej listës së zbrazët dhe ajo bëhen “nën-rrjedhë”. Nëse elementi i fshirë është në fillim të listës, atëherë pjesa e saj e lidhjes (adresa) ruhet në variablën ‘Fillimi’. Përndryshe, kërkohet nyja që duhet të fshihet dhe poashtu nyja paraardhëse e saj. Pastaj, adresa e nyjes së ardhshme të nyjes që fshihet, vendoset në adresën e nyjes së ardhshme të nyjes para-ardhëse, e kështu me radhë.

Lista e lidhur dyfish Lista e lidhur dyfish (ose lista dy-kahëshe) është e ngjashme me listën njëkahëshe, përveq se ajo e lidhë nyjen në të dy kahjet, edhe me nyjen paraardhëse edhe me atë pasardhëse. Lista është koleksion linear i nyjeve me lidhje të dyfishta dhe prandaj quhet lista e lidhur dyfish, lista dy-kahëshe ose zingjiri dykahësh. Në figurën xxx është paraqitur lista e lidhur dyfish.

21

Avni Rexhepi 10

20

30

40 Fundi

Fillimi

Figura 6 - Lista e lidhur dy-fish Lista e lidhur dy-fish përmbanë dy variabla pointer, të quajtura ‘Fillimi’ dhe ‘Fundi’ (ose edhe ‘Koka’ dhe ‘Bishti’, apo ‘Skaji i majtë’ dhe ‘Skaji i djathtë’). Pointeri i majtë ‘Lidhja_m’ i nyjes së parë ka vlerën ‘NULL, ashtu si edhe pointeri i djathtë i nyjes së fundit ‘Lidhja_d’. Përparësi e kësaj lise është se mund të qarkullohet në të dy kahjet. Edhe në këtë strukturë të të dhënave kryhen operacionet si: insertimi, fshirja, kërkimi, përshkimi dhe bashkimi. Për të krijuar ose insertuar, së pari do të krijojmë nyjen e parë të re, me operatorin ‘Neë’ dhe pastaj e ruajmë vlerën e elementit në fushën e vlerës (informacionit) dhe e vendosim nyjen në pozitën e duhur në listë. Kjo nyje vendoset në listën e zbrazët ose si nyje e skajit të majtë (fillimit) apo skajit të djathtë (fundit) ose diku në listë, ndërmjet nyjeve ekzistuese dhe i azhurohen vlerat e lidhjeve (pointerëve). Për të fshirë nyjen, së pari verifikohet mos është lista e zbrazët dhe pastaj kërkohet vlera që duhet të fshihet. Nëse gjindet, ajo nyje fshihet përmes urdhërit ‘Delete’ dhe pastaj azhurohen pointerët e nyjeve fqinje. Ngjashëm kryhen edhe operacionet tjera. Për nga mënyra mënyra e organizimit dhe për nga mënyra se si e lejojnë ose si e mundësojnë qasjen në të dhëna (në elemente, në anëtarë), dallojmë struktura të ndryshme.

Steku Për vargjet/listat, bazuar në idetë nga jeta reale, kemi listat ku anëtarët janë sikur një grumbull i librave, njëri mbi tjetrin ose sikur fishekët në karikator. I fundit i vendosur, është i pari në rend për qasje. Këto struktura njihen si strukturat LIFO (Last In, First Out – I fundit brenda, i pari jashtë) (ose në renditjen e kundërt FILO (First In, Last Out – I pari brenda, i fundit jashtë). Lista LIFO është e njohur si ‘Stack’ (Stek) ose ‘PushDown Stack’ (Steku shtyje poshtë) (angl. Stack – grumbull, mullar, gyp, raft, etj). Steku mund të imagjinohet edhe si një gyp i mbyllur, në të cilin anëtarët futen një nga një me radhë dhe mund të shtyhen deri në ‘fund’ të stekut, por qasje kemi vetëm në elementin në krye (të fundit të futur në stek), që quhet ‘top’ (kreu) i stekut. Insertimi dhe tërheqja e anëtarëve bëhet vetëm në një pozitë (në një skaj të gypit).

22

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Operacioni i insertimit quhet “Push” (angl. Push-shtyje, godite, etj), kurse ai i nxjerrjes “Pop” (angl. Pop – nxjerrje, tërheqje). Këto janë dy operacionet e stekut, të cilat programohen përmes funksioneve përkatëse.

Figura 7 - Steku

Rreshti, radha e pritjes Nëse imagjinojmë gypin e hapur në të dy anët, por ku lëvizet vetëm në një drejtim (kahje), atëherë anëtarët futen në “listë” në njërën anë, kurse tërhiqen/nxirren nga skaji tjetër, thuhet se kemi të bëjmë me strukturën e quajtur “Queue” (lexohet si “Kju”) (angl. Queue – radhë e pritjes, rresht, etj). Ky është organizimi i njëjtë sikur vargu i pritjes për bileta të teatrit, për pagesa në arkë, etj., ku i pari që vije i pari shërbehet. Kjo njihet si strukturë FIFO (First In, First Out – I pari brenda, i pari jashtë) (ose në të kundërtën, LILO (Last In, Last Out – i fundit brenda, i fundit jashtë). Queue lejon qasjen në dy skaje të gypit, në njërin për insertim dhe në tjetrin për nxjerrje. Skaji i insertimit, quhet “Back” (Fundi, skaji ose pjesa e pasme), kurse skaji i nxjerrjes njihet si “Front” (Fronti, fillimi). Operacionet e insertimit dhe nxjerrjes edhe tek queue, quhen “Push” dhe “Pop”. Nënkuptohet që insertimi bëhet vetëm në fund të radhës, kurse nxjerrja vetëm në fillim të radhës. Nëse “gypi” do të jetë lejohet qasja nga të dy anët, edhe për insertim edhe për nxjerrje, atëherë kemi të bëjmë me ‘deque’ (Double Ended Queue – rreshti me dy skaje). Operacionet përkatëse, për insertim dhe nxjerrje tani do të quhen: “push back”, “pop back”, “push front”, dhe “pop front”.

23

Avni Rexhepi Stack - Steku ... push

pop

FIFO queue - rreshti ... pop

push Deque – Rreshti dy-kahorë ... popFront pushFront

pushBack popBack

Figura 8 - Operacionet në stek dhe në queue. Nëse nuk është përcaktuar ndryshe, radha e insertimit, përcakton edhe radhën e nxjerrjes nga queue. P.sh., nëse printeri është në rrjetë dhe shumë kompjuterë kanë qasje në të, atëherë me queue ruhet lista e punëve për shtypje në printer. I pari që jep urdhërin për shtypje, i pari e merre rezultatin. Mirëpo, në raste të ndryshme, ka anëtarë më të rëndësishëm, të cilëve ju jipet prioritet dhe pavarësisht renditjes në hyrje në listën e pritjes, ata shërbehen jashtë radhës, me prioritet. P.sh., ngashëm me atë që kemi në realitet tek lëvizja në trafik e makinave me përparësi kalimi (ndihma e shpejtë, policia, zjarrfikësit dhe ata “të madhërishmit” që pa nevojë e shfrytëzojnë këtë përparësi (presidenca, qeveria), etj). Në këtë rast, kemi të bëjmë me “Priority Queue” (radha me prioritet). Në këtë rast, anëtareve ju bashkangjitet edhe “informacioni” për prioritetin, i cili përcakton radhën e “ekzekutimit”. Fizikishit, steku dhe queue mund të realizohen edhe si struktura statike, përmes vargut edhe si struktura dinamike, përmes listave të lidhura (njëfishe ose dyfishe). Për nga aspekti i renditjes logjike të anëtarëve, u tha se strukturat mund të jenë Lineare ose Jo-lineare. Tek strukturat lineare, dallohet anëtari i fillimit ose fundit dhe kalimi prej anëtari në anëtarë, mund të bëhet vetëm në mënyrë të renditur (lineare) dhe zakonisht vetëm nëpër një rrugë të mundshme. Kryesisht, lidhja prej nyjes në nyje është pointeri përkatës, që mundëson kalimin tek nyja e përparshme ose ajo e ardhshme. Steku dhe Queue janë struktura lineare. 24

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Përveq strukturave lineare, shfrytëzohen edhe strukturat jolineare, si: Pemët (angl. Trees) dhe Grafet (angl. Graphs). Në esencë, pema është një rast special i grafit. Tek strukturat jolineare, ekzistojnë rrugë të ndryshme të lidhjeve të anëtarëve mes veti dhe lëvizja prej njërës nyje tek tjetra mund të realizohet nëpër rrugë të ndryshme. Pastaj, një nyje mund të jetë e lidhur me disa nyje të tjera, e jo vetëm me atë paraprake dhe atë të ardhshme (si në rastin e listave të lidhura). A

A

B D G

C

C

D

F H

B

I

H

F G

Figura 9 - Pema dhe Grafi Pema është strukturë e organizuar e nyjeve dhe degëve (rrugëve) që lidhin nyjet mes veti. Pema zakonisht është strukturë tek e cila dallohet nyja fillestare, e quajtur rrënjëa e pemës dhe pastaj prej saj shpërndahen nyjet tjera, të organizuar në formë të pemës. Në aspektin hierarkik, nëse i shikojmë si trung familjar, dallojmë nyjet prind dhe nyjet fëmijë. Pema mund të jetë me organizime speciale, si pemë binare (çdo nyje, është prind për dy fëmijë), pemë n-are (çdo nyje është prind për n-fëmijë), pemë e balansuar (çdo anë e pemës, është me numër të balansuar të nyjeve), etj. Grafi, është strukturë e organizuar, e nyjeve dhe degëve që lidhin nyjet mes veti. Nuk ka nyje fillestare të përcaktuar sikur te pema. Nyjet mund të jenë të lidhura mes veti me rrugë të ndryshme (sikur në realitet, rrugët e qytetit, pikat e caktuara në qytet), etj. Lidhjet mes degëve mund të jenë të orientuara (me lëvizje vetëm në kahun e caktuar, që në graf paraqitet me shenjë të shigjetës) ose të paorientuara (lidhjet janë dykahëshe). Degët e grafit, mund të plotësohen me informacione plotësuese, që quhen pesha ose kostoja e rrugës, si p.sh., koha e kalimit prej nyjes në nyje, kualiteti i rrugës, shpejtësia e lëvizjes, etj. Të gjitha këto struktura do të përdoren nëpër algoritme të ndryshme për llogaritje të ndryshme varësisht prej nevojës. Me rëndësi është që për rastin konkret të problemit që duhet zgjidhur, të zgjidhet edhe struktura adekuate, e cila në mënyrën më të mirë do t’a pasqyrojë dhe do ta interpretojë logjikisht strukturën reale të problemit. Këto janë strukturat themelore, të cilat pastaj përdoren në mënyra të ndryshme, për realizimin e strukturave të tjera. Në praktikë, gjithmonë synohet që natyra e 25

Avni Rexhepi problemit të interpretohet dhe të zbërthehet ashtu që të mund të paraqitet përmes këtyre strukturave themelore, për të cilat janë krijuar dhe standardizuar algoritmet dhe funksionet për kryerjen e operacioneve të ndryshme dhe përpunimin e të të dhënave. Nëse bëhet nja paraqitje e kategorizuar e strukturave të të dhënave, mund të bëhet një ndarje si në figurën 10. Strukturat e të dhënave

Të brendshme (Built-in)

Numrat e plotë (Integer)

Numrat jo të plotë (Float)

Karakteret (Char)

Të definuara prej shfrytëzuesit (User-Defined)

Pointer

Vargjet

Listat

Listat lineare

Steku

Queue

Figura 10 – Strukturat e të dhënave

26

Fajllat

Listat jo-lineare

Pemët

Grafet


1. Memoria, Tipet Abstrakte të të dhënave dhe Adresat Shtrohet pyetja: Sa është numri maksimal i tentimeve për të gjetur një emër në listën prej një milion emrash? Idea e parë do të ishte një milion! Mirëpo, kjo nuk është aspak afër, sepse përgjigja e saktë është 20, nëse lista ka një strukturë që e bën kërkimin të lehtë dhe nëse kërkimi bëhet me një strukturë efikase. Kërkimi i listës është një prej mënyrave se si strukturat e të dhënave na ndihmojnë për të manipuluar të dhënat e ruajtura në memorie të kompjuterit. Mirëpo, për të pasur të qartë funksionimin, duhet pasur të qartë se si funksionon memoria e kompjuterit apo si dhe përse vetëm zerot dhe njëshet ruhen në memorie. Në fillim, do ta bëjmë një vështrim mbi gjërat themelere të cilat duhet të dihen, për të vijuar punën. Për të punuar me algoritmet dhe strukturat e të dhënave, duhet të jenë tërësishtë të qarta konceptet e memories, lokacioneve të memories, adresave të tyre, ndarja e lokacionieve në memorie (alokimi i memories), mënyrës së ruajtjes së të dhënave në memorie, qasja në to (për insertim, lexim, editim, fshirje), pastaj alokimi statik dhe dinamik, etj. Poashtu do të shohim edhe një herë gjërat e nevojshme për pointerët, përdorimin dhe funksionimin e tyre.

Vështrim mbi memorien Memoria e kompjuterit është e ndarë në tri seksione: -

memoria kryesore (angl. main memory), kesh memoria (angl. cache memory) në procesor (angl. CPU Central Processing Unit), dhe memoria e përhershme (disku).

Memoria kryesore, e njohur edhe si RAM (Random Access Memory – memoria me qasje të rastit) është vendi ku ruhen instruksionet (programet) dhe të dhënat (angl. data). Memoria kryesore është volatile (e paqëndryeshme) sepse instruksionet dhe të dhënat në të fshihen (humben) porsa të ndalet furnizimi (fiket kompjuteri). Kesh memoria në CPU përdoret për të ruajtur instruksionet e shpeshta dhe të dhënat që janë, do të jenë, ose kanë qenë duke u përdorur nga CPU-ja. Një segment i kesh memories në CPU quhet “regjistër” (angl. register). Regjistri është një pjesë e vogël e memories përbrenda CPU-së dhe përdoret për ruajtjen e përkohshme të instruksioneve dhe të dhënave.

27

Avni Rexhepi “Bus”-i (zbrarra, lidhja) e lidhë procesorin dhe memorien kryesore. Bus-i është një bashkësi (set) e fijeve përquese të gravuara në pllakën kryesore të kompjuterit (angl. motherboard – pllaka amë) e ngjashme me autostradën dhe transporton instruksionet dhe të dhënat ndërmjet procesorit dhe memories dhe pajisjeve të tjera të lidhura në kompjuter. CPU – Central Processing Unit (Njësia qëndrore procesuese) Main memory – memoria kryesore Data bus – bus-i i të dhënave Address bus – bus-i i adresave Control bus – bus-i i kontrollës Input/Output devices – pajisjet hyrëse/dalëse (Ekrani, tastiera, memoria e qëndrueshme/disku, lidhjet e rrjetës, etj)

Figura 1.1: Bus-i e lidhë procesorin, memorien kryesore dhe diskun, si dhe pajisjet tjera. Disku – (angl. Persistent storage(memoria e qëndrueshme, persistente), ose Hard Disk (disku i fortë))) është pajisje e jashtme (eksterne) për ruajtje të instruksioneve dhe të dhënave. Memoria e qëndrueshme është jovolatile, që do të thotë se instruksionet dhe të dhënat mbesin të ruajtura edhe kur kompjuteri është i fikur. Disku shpeshherë përdoret nga sistemi operativ edhe si memorie virtuele. Memoria virtuele (angl. Virtual Memory) është teknikë e sistemit operativ për të rritur kapacitetin e memories kryesore përtej kufijve të RAM-it përbrenda kompjuterit. Kur kapaciteti i memories tejkalohet, sistemi operativ përkohësisht kopjon përmbajtjen e bllokut të memories në disk. Nëse programi ka nevojë për të ju qasur instruksionev ose të dhënave në atë bllok, sisktemi operativ e shkëmben bllokun e vendosur në disk me ndonjë nga memoria, e që nuk është duke u përdorur për momentin. Pra, një pjesë e diskut, funksionon thuajse është pjesë e RAM-it (memories). Keshi është tipi i memories me qasjen më të shpejtë. Me shpejtësi të përafërt, e dyta, është memoria kryesore. Disku është i treti, por shumë larg për nga shpejtësia, pasi që përfshinë procese mekanike, gjë që kufizon/pengon transferin e shpejtë të të dhënave. 28

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Memoria kryesore (RAM-i) është lloji i memories që përdoret nga strukturat e të dhënave, edhe pse strukturat e të dhënaev dhe teknikat e manipulimit të tyre mund të aplikohen edhe në “file systems” (sistemet e fajllave) në disk.

Të dhënat dhe memoria Të dhënat që përdoren nga programi janë të ruajtura në memorie dhe manipulohen nga teknika të ndryshme të stukturave të të dhënave, varësisht prej natyrës së programit. Të shohim se si ruhen të dhënat në memorie para se të hulumtojmë manipulimin e tyre. Memoria është një grumbulli ndërprerësave elektronik, të quajtur transistorë, të cilët mund të vendosen në njërën prej dy gjendjeve të mundshme: kyçur ose çkyçur (ndezur/fikur). Gjendja e ndërprerësit fiton kuptim, kur secilës gjendje i ndahet një vlerë, gjë që bëhet përmes përdorimit të sistemit numerik binar. Sistemi binar përbëhet prej dy shifrave, zero dhe një, të quajtura shifra binare (angl. binary digit) ose shkurt bit. Pra, ndërprerësi në gjendjen e fikur reprezenton zeron dhe kur është i kyçur/ndezur, paraqet “një”-shin. Pra, kjo do të thotë se transistori reprezenton njërën prej shifrave. Sidoqoftë, dy shifra nuk ofrojnë të dhëna të mjaftueshme për të bërë gjë tjetër përveq ruajtjes së zerove dhe njësheve nëmemorie. Mirëpo grupimi logjik i “ndërprerësave” të memories, mudnëson ruajtjen e të dhënave me kuptim logjik. Për shembull, dy ndërprerësa mudnësojnë ruajtjen e dy shifrave binare, që që mudnëson katër kombinime të ndryshme, si në tabelën vijuese dhe këto kombinime mund të ruajnë tri vlera numerike: 0 deri në 3. Shifrat janë me bazë zero, gjë që do të thotë se shifra e parë në sistemin numerik binar është zeroja. Memoria organizohet në grupe prej tetë bitave, të quajtuara bajta (angl. bytebajt). Kjo mundëson 256 kombinime të zerove dhe njësheve të cilat mund të ruajnë numrat prej 0 deri në 255, pasi që kombinimet me gjatësi tetë prej 2 elementve janë 28=256. Tabela 1-1: Kombinimet e dy bitave dhe ekuivalenti i tyre decimal Switch 1 0

Switch 2 0

Decimal Value 0

0

1

1

1

0

2

1

1

3

29

Avni Rexhepi

Sistemi numerik binar Sistemi numerik është një mënyrë e numërimit të gjërave dhe kryerjes së veprimeve aritmetike. Për shembull, njerëzit e përdorin si më të përshtatshëm sistemin decimal, ndërsa kompjuterët atë binar. Të dy sistemet numerike bëjnë të njëjtën gjë: mundësojnë numërmin e gjërave dhe kryerjen e aritmetikës. Mund të mbledhet, zbritet, shumëzohet, pjesëtohet dhe do të arrihet tek përgjigjet e njëjta sikur të jetë përdorur sistemi numerik decimal. Mirëpo, ekziston një diference e dukshme ndërmjet sistemit numerik decimal dhe atij binar: sistemi decimal përbëhet prej 10 shifrave (0 deri në 9) ndërsa sistemi binar përbehet prej vetëm dy shifrave (0 dhe 1). Për të rikujtuar, sigurisht e mbani mend të mësuarit e mbledhjes dhe bartjes në nivelin më të lartë (mbajtjes në mend, p.sh. 9+1=0 e 1 në mend, gjegjësisht 1 në nivelin më të lartë)! Pra, kur arrihet velra maksimale ose kufiri, kalojmë në nivel më të lartë. P.sh., nëse në kolonën e djathtë kishim 9 dhe shohej edhe 1, atëherë ndryshohet 9 në 0 dhe vendoset 1 në të majtë të zeros, për të fituar 10:

Teknika e njëjtë e bartjes në nivel më të lartë përdoret edhe gjatë mbledhjes në sistemin binar, me dallimin që tash në vend të kufirit maksimal 9, kemi 1. Nëse kemi 1 në kolonën e djathtë dhe shtojmë 1, atëherë e ndërromë 1 në 0 dhe vendosim 1 në të majtë të 0, për të fituar 10 binar.

Tani fillon ngatërrimi. Të dy numrat duket se kanë shifrat e njëjta: 10. Mirëpo, për numrin decimal ky është reprezentimi i vlerës 10, kurse për sistemin binar, shifrat 10 nuk paraqesin vlerën decimale 10, por vlrën binare 2. Shifrat në sistemin numerik binar reprezentojnë gjendjen e ndërprerësit. Kompjuteri kryen aritmetikën duke përdorur sistemin numerik binar për të ndryshuar gjendjen e bashkësive të ndërprerësave (transistorëve).

Rezervimi i memories Njësia e memories mund të mbajë një bajt, ndërsa të dhënat në program mund të jenë më të mëdha sesa bajti dhe kërkojnë 2, 4 ose 8 bajta për t’u ruajtur nëmemorie. Para se ndonjë e dhënë të ruhet në memorie, duhet treguar 30

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave kompjutrit se sa hapësirë të rezervojë për të dhënat, duke përdorur një tip abstrakt të të dhënave (angl. Abstract Data Type-ADT). ADT është një fjalë e rezervuar e gjuhëve programuese e cila specifikon sasinë nevojshme të memories për të ruajtur të dhënat dhe tipin e të dhënave që do të ruhet në atë lokacion të memories. Sidoqoftë, një ADT nuk i tregon kompjuterit se sa bajta të rezevojë për të dhënat. Numri i bajtave të rezervuar për një ADT ndryshon, varësisht prej gjuhës programuese të përdorur për shkruarjen e programit përkatës dhe nga tipi i kompjuterit që përdoret për të kompajluar programin (angl. compile-hartoj, përpiloj). Në C dhe C++, madhësia e një ADT-je është e bazuar në madhësinë e regjistrave të kompjuterit të përdorur për kompajlim të programit. Në Java, ADT-të kanë madhësi fikse, për t’u ekzekutuar në të gjitha ambientet ekzekutuese të Java-s (Java runtime environment). Imagjinojeni një ADT si termin “pako mollash”. Nëse i thoni menagjerit të shitjes se duhet rezevuar hapësirë në rafta për pesë pako mollash, ai e di se sa rafta duhet t’i rezervojë sepse e di madhësinë e pakove të mollave. E njëjta vlenë edhe për tipet abstrakte të të dhënave. Ju i tregoni kompjuterit që të rezervojë hapësirën për një numër të plotë, duke përdorur ADT-në (tipin) “int” (shkurtesa për integer-numër i plotë). Kompjuteri veç e di se sa memorie duhet të rezervojë për të ruajtur një numër të plotë (integer). ADT-ja poashtu i tregon kompjuterit tipin e të dhënave që do të ruhet në atë lokacion të memories. Kjo është e rëndësishme sepse kompjuterët i manipulojnë të dhënat e një tipi të caktuar ndryshe nga të dhënat e tipit tjetër abstrakt. Kjo është ngjashëm me atë se si menagjeri i shitjes i trajton pakot e letrave dhe lëngjeve ndryshe nga ato të mollëve. Tabela 1-2 përmbanë listën e tipeve abstrakte të të dhënave. Kolona e parë përmbanë fjalët e rezervuara (angl. keyword) për seclilin tip. Kolona e dytë tregon numrin gjegjës të bitave të cilët rezervohen në memorie. Kolona e tretë tregon rangun e vlerave që mund të ruhen në atë tip abstrakt dhe kolona e fundit tregon grupin të cilit i takon tipi përkatës. Tabela 1-2: Tipet e thjeshta të të dhënave Tipi byte

Madhësia në Rangu i vlerave bita 8 –128 to 127

short 16

16

–32,768 to 32,767

Grupi Integers Integers

31

Avni Rexhepi Tabela 1-2: Tipet e thjeshta të të dhënave Tipi

Madhësia në bita

Rangu i vlerave

Grupi

int 32

32

–2,147,483,648 2,147,483,647

÷

Integers

long 64

64

– 9,223,372,036,854,775,808 ÷ 9,223,372,036,854,775,807

Integers

char

16 (Unicode) 65,536 (Unicode)

Characters

float 32

32

3.4e-038 to 3.4e+038

Floating-point

double 64

64

1.7e-308 to 1.7e+308

Floating-point

boolean 1

1

0 or 1

Boolean

16 (Unicode)

Programeri e zgjedhë tipin abstrakt të të dhënave i cili më së miri i përshtatet të dhënave që dëshiron t’i ruaj në memorie dhe e përdorë tipin përkatës në urdhërat e deklarimit, për të deklaruar variablat dhe tipet e tyre. Variabla është një referencë për në lokacionin e memories i cili rezervohet duke përdorur urdhërin e deklarimit. Gjithmonë duhet rezervuar sasinë e duhur të memories së nevojshme për të ruajtur të dhënat, sepse mund të humben të dhënat nëse rezervohet hapësirë shumë e vogël. Kjo është njësoj si të dërgohen 10 pako mollësh në vendin ku është rezervaur hapësira për 5 të tilla. Sigurisht që 5 pako do të “hedhen” diku anash.

Grupet e tipeve abstrakte të të dhënave Ju përcaktoni sasinë e memories që duhet rezervuar duke përcaktuar grupin e duhur për tipin e të dhënave abstrakte dhe duke vendosur se cili tip përbrenda grupit është i duhuri për të dhënat. Janë katër grupe të tipeve të të dhënave:  

32

Integer ruan numrat e plotë dhe numrat me shenjë. Shumë i mirë për ruajtjen vlerave të plota të eurove, kur nuk nevojiten vlerat decimale. Floating-point ruan numrat real (vlerat e thyesave, pjesët e të plotave). Perfekt për ruajtjen e depozitave bankare, kur centët (pjesët e euros) mund të mblidhen së bashku.

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave  

Character ruan karakteret (shkronjat, numrat, shenjat e pikësimit). Ideal për ruajrne e emrave. Boolean ruan velrën “true” ose “false” (saktë ose pasaktë, e vërtetë ose jo e vërtetë). value. Është zgjidhja e duhur për të ruajtur përgjigjet po ose jo, apo e saktë ose jo e saktë, për pyetjen e bërë.

Integer Grupi ADT integer përbëhet nga katër tipe abstrakte të të dhënave të përdorura për të rezevuar memorie për ruajtje të numrave të plotë: byte , short , int , dhe long , si është përshkruar në tabelën Tabelën 1-2. Varësisht nga natyra e të dhënave, ndonjëherë velra e plotë duhet të ruhet duke përdorur edhe shenjën pozitive ose negative, si +10 ose -5. Ndonjë herë tjetër një numër i plotë supozohet të jetë pozitiv, ashtu që nuk është i nevojshëm përdorimi i shenjës. Numri i ruajtur me shenjë, quhet “signed number” (numër me shenjë) ndërsa ai që nuk ruhet me shenjë quhet “unsigned number” (numër pa shenjë). Problemi është që shenja e zë 1 bit të memories, e cila përndryshe do të mund të përdorej për të reprezentuar vlerën. Për shembull, bajti i ka 8 bita dhe të gjithë ata mund të përdoren për të ruajtur numrat pa shenjë prej 0 deri në 255. Nurmi me shenjë mund të ruhet në rangun -128 deri në +127. C dhe C++ përkrahin numrat me shenjë, ndërjsa Java jo. Një numër “unsigned integer” është vlerë që është e nënkuptuar se është pozitive. Shenja plus nuk ruhet në memorie. Ndërsa në Java, të gjithë numrat paraqiten me shenjë. Zero ruhet si numër pozitiv. Bajti - byte Tipi abstrakt i të dhënave “byte” (bajt) është më i vogli në grupin integer dhe deklarohet përmes fjalës së rezervuar byte, Fig. 1.2. Programerët zakonisht e përdorin tipin byte për dërgimin ose pranimin e të dhënave nga fajllat ose nëpër rrjetë. Tipi byte poashtu zakonisht përdoret kur punohet me të dhëna binare të cilat mund të mos jenë kompatibile (të pajtueshme) me tip tjetër abstrakt të të dhëanve. Zgjedhni tipin byte sa herë që keni nevojë për të lëvizur të dhënat në dhe nga fajlli ose nëpër rrjetë.

Figura 1.2: byte rezervon 8 bita (1 bajt) në memorien kryesore.

33

Avni Rexhepi short Tipi “short” (angl. short-i shkurtër) është ideal për përdorim në programet që ekzekutohen në kompjuterët 16-bitësh, Fig. 1.3. Mirëpo, shumica e kompjuterëve të tillë sot janë në mbeturina dhe janë zëvendësuar me 32 ose 64bitësh. Prandaj, short është tipi më së paku i përdorur. Zgjedheni këtë tip nëse programi do të ekzeutohet në kompjuter të vjetër.

Figura 1.3: short – rezervon 16 bita (2 bajta) në memorien kryesore. int Tipi “int” (Fig. 1.4) është tipi i përdorur më së shpeshti për grupin integer, për një numër arsyesh:   

Për variabla kontrolluese të unazave Në vargje të indeksave Kur performohet matematikë me numra të plotë

Figura 1.4: int rezervon 32 bita (4 bajta) në memorien kryesore. long Tipi “long” (angl. long-i gjatë) (Figura 1-5) përdoret sa herë që përdoren numrat e plotë të cilët janë përtej rangut të vlerave të tipit int. Zgjedheni si tip, për të ruajtur vlerën e pagës së Bill Gate-it p.sh.

Floating-Point Grupi “floating-point” përdoret për të ruajtur numrat real, në memorie. Numri real përmbanë vlerën decimale. Janë dy lloje të tipeve të të dhanve floating point: float dhe double (shiko tabelën 1-2). Tipi “float” është numër me precizitet të njëfishtë dhe “double” është me precizitet të dyfishtë. Preciziteti i numrit është numri i vendeve pas presjes decimale, që përmbanë vlerën e saktë. 34


Figura 1.5: tipi long rezervon 64 (8 bajta) bita në memorien kryesore. Termi floating-point i referohet mënyrës se si referohen decimalet në memorie. Janë dy pjesë të numrit floating-point: pjesa reale, e cila ruhet si numër i plotë dhe pozita e presjes/pikës decimale brenda numrit të plotë. Kjo është arsyeja pse thuhet se pika decimale “floats” (angl. float-noton, lëvizë, pluskon) përbrenda numrit. Për shembull, vlera 43.23 ruhet si 4323 (pa pikë decimale). Krahas me të shkon referenca në numër e cila tregon se pika decimale është e vendosur pas shifrës së dytë. float ADT-ja float (Figura 1.6) përdoret për numrat real të cilët kërkojnë precizitet të njëfishtë, si është rasti me vlerat monetare. Preciziteti i njëfishtë (angl. single precision) do të thotë se vlera është precize deri në 7 shifra djathtas prej decimales. Për shembull, supozojmë se vlera €53.50 ndahet në pjesë të barabarta për 17 persona. Secili person do të marrë nga €3.147058823529. shifrat përtej (djathtas) vlerës €3.1470588 nuk garantohet të jenë precize për shkak të mënyrës se si ruhet në memorie vlera float. Tipi float zgjedhet sa herë që të nevojitet të ruhet vlera decimale ku vetëm 7 shifra djathtas pikës decimale duhet të jenë të sakta.

Figura 1.6: float rezervon 32 bita (4 bajta) të memories kryesore.

35

Avni Rexhepi

double Tipi double (Figura 1.7) përdoret për të ruajtur numrat real të cilët janë shumë të mëdhenj ose shumë të vegjël dhe kërkojnë sasi të dyfishtë të memories e cila rezervohet për tipin float. Zgjedhni tipin double, sa herë që duhet ruajtur vlerë decimale me saktësi më shumë se 7 shifra pas pikës decimale.

Figura 1.7: double rezervon 64 bita (8 bajta) të memories kryesore.

Character Tipi “character” (karakter – Figura 1.8) reprezentohet si një vlerë integer e cila i përgjigjet bashkësisë (setit) të karaktereve. Seti karakter ia ndanë një vlerë integer secilit karakter, simbol dhe shenjë pikësimi të gjuhës.

Figura 1.8: char rezervon 16 bita të memories kryesore. Për shembull, shkronja A ruhet në memorie si vlera 65, e cila i përgjigjet shkronjës A në setin e karaktereve. Kompjuteri di ta trajtojë vlerën 65 si shkronja A e jo si numri 65 për shkak se memoria është rezervuar duke përdorur tipin char. Fjala e rezervuar char i tregon kompjuterit se numri integer i ruajtur në atë lokacion trajtohet si karakter e jo si numër. Janë dy sete të karaktereve që përdoren në programim: American Standard Code for Information Interchange (ASCII) dhe Unicode. ASCII është “gjyshi” i seteve të karaktereve dhe përdorë një bajt për të reprezentuar maksimalisht 256 karaktere. Mirëpo, pas disa viteve të përdorimit, ishte evident problemi i paraqitjes së karaktereve të gjuhëve të ndryshme, si arabe, japoneze, kineze, etj, të cilat kanë më shumë se 256 karaktere në gjuhën e tyre. Për të zgjidhur këtë problem, u zhvillua një set i ri i karaktereve, i quajtur Unicode. Unicode përdorë

36

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave 2 bajta për të reprezentuar secilin karakter. Zgjedhni char sa herë që duhet ruajtur një karakter të vetëm në memorie.

Boolean ADT “bool”-ean (Figura 1.9) rezervon memorie për të ruajtur një vlerë booleane, e cila është e saktë ose e pasaktë (e vërtetë ose fals) dhe reprezentohet si zero ose një. Zgjedhni tipin bool-ean sa herë që duhet ruajtur një prej dy mundësive në memorie.

Figura 1.9: ADT bool-ean rezervon 1 bit të memories kryesore.

Adresat e memories Imagjinoni memorien kryesore si një seri në dukje të pakufijshme të fushave (katrorëve) të organizuar në grupe me nga tetë. Secilit grup prej tetë fushave (1 bajti) i ndahet një numër unik i quajtur “adresë e memories” (angl. memory address, si në Figurën 1.10). Kjo është shumë me rëndësi gjatë mësimit të strukturave të të dhënave, përndryshe mund të shkaktohet konfuzion.

Figura 1.10: Adresa e memories e bajtit të parë përdoret si referencë për të gjithë bajtat e rezervuar për një tip abstrakt të të dhënave. Adresa e memories përdoret direkt ose indirekt përbrenda programit për të ju qasur të gjithë tetë katrorëve. Për shembull, nëse programi i tregon/urdhëron kompjuterit që dëshiron të kopjojë të dhënat e ruajtura në lokacionin 423 të memories, d.t.th, katrorit me adresë 423. Kompjuteri shkon tek ai lokacion i memories dhe i kopjon të dhënat (zerot dhe njëshet) nga katrori 423 dhe shtatë katrorët vijues. Këta shtatë katrorët vijues nuk kanë adresë të memories. Ndryshe thuhet se këta shtatë katrorët tjerë e ndajnë bashkarisht adresën e katrorit 423. 37

Avni Rexhepi

Adresat reale të memories Edhe pse adresat e memories u prezentuan si vlera decimale, si më parë “katrori 423”, në realitet adresat e memories janë numra 32-bitësh ose 64-bitësh, varësisth nga sistemi operativ i kompjuterit dhe atë reprezentohen si vlera heksadecimale. Sistemi Hexadecimal është sistem numerik i ngajsëhëm me sistemin decimal dhe atë binar. Kjo do të thotë se vlerat heksadecimale përdoren për të numëruar dhe kryer veprimet aritmetike. Sistemi numerik heksadecimal ka 16 shifra, prej 0 deri në 9 dhe prej A deri në F, të cilat përfaqësojnë numrat prej 10 deri në 15. Për shembull, adresa e memories 258,425,506 reprezentohet në foramtin heksadecimal si 0x0F6742A2.

ADT dhe adresat e memories Më parë u tha se rezervimi i memories për të dhënat bëhet duke përdorur tipin abstrakt të të dhënave. Disa ADT rezervojnë memorie në madhësi më të madhe se 1 bajt. Pasi që secili bajt i memories e ka adresën e vet memorike, mund të supozohet se tipi “short” i ka dy adresa të memories sepse i përdorë 2 bajta të memories. Mirëpo kjo nuk ndodhë. Kompjuteri e përdorë adresën e memories së bajtit të parë për të ju referuar cilit do tipi abstrakt të të dhënaveqë rezervon bajta të shumëfishtë në memorie. Le të themi se në memorie është rezervuar hapësira për tipin “short” (shih Fig. 1-10). Me këtë rast rezervohen dy lokacione të memories, me adresat 400 dhe 401. Mirëpo, vetëm adresa e memories 400 përdoret për të ju referuar vlerës “short”. Kompjuteri automatikisht e di se vlera e ruajtur në adresën 401 është pjesë e vlerës së ruajtur në adresën 400, sepse hapësira është rezervuar duke përdorur tipin abstrakt “short”. Prandaj, kompjuteri i kopjon të gjithë bitat nga adresa e memories 400 dhe të gjithë bitat nga adresa 401, sa herë që nga programi i bëhet kërkesë që të kopjojë numrin/vlerën e ruajtur në adresën e memories 400.

Variablat dhe Pointerët Edhe pse me të përmendur pointerët, disa programerë kanë idenë se kjo çështë shumë komplekse, në esencë pointerët janë thjeshtë tregues që pointojnë (tregojnë, shenjojnë) në adresat e memories, si një fëmijë i vogël që tregon me gisht (pointon) në gjërat që i dëshiron. Pra, pointeri është variabël që përdoret për të pointuar në adresat e memories, përmbajtjen e të cilave dëshirojmë ta përdorim në program. 38


Deklarimi i variablave dhe objekteve Memoria rezervohet përmes përdorimit të urdhërit për deklarim të variablave, duke përdorur tipin e të dhënave. Forma e deklarimit varet nga gjuha programuese që përdoret. Në C++ dhe në Java, urdhëri i deklarimit të një variable është p.sh., si në vijim: int VariablIme;

Janë tri pjesë (elemente) në këtë urdhër të deklarimit:   

Tipi i të dhënave (Data type) – që tregon se sa memorie rezervohet për këtë llojë të të dhënave që do të ruhet në atë lokaicon të memories, Emri i variablës (Variable name) – emri që përdoret në program, për të ju referuar përmbajtjes (vlerës) në atë lokacion të memories, Pikëpresja (Semicolon) – i tregon kompjuterit se ky është një urdhër (instruksion) dhe është shenja e fundit të urdhërit përkatës.

Tipet primitive të të dhënave dhe tipet e definuara prej shftyrëzuesit Është sqaruar koncepti i tipeve abstrakte të të dhënave, të cilat përdoren për të rezervuar memorien kompjuterike. Tipet abstrakte të të dhëanave ndahen në dy kategori: tipet primitive të të dhënave dhe tipet e të dhënave të definuara prej shfrytëzuesit. Tipet primitive janë të definuara prej gjuhës programuese dhe janë ato që i përmendëm më parë: char, int, short, float, double, etj., të cilat njihen edhe si “built-in data types” (angl. built-in – të ndërtuara së brendshmi, të brendshme, etj). Tipet e definuara prej shfrytëzuesit, janë grup i të dhënave primitive të definuara nga programeri. Për shembull, nëse duhet të ruhen të dhënat e studentit në memorie, atëherë do të duhen disa elemente të të dhënave, si : ID e studentit, Emri, Mbiemri, Nota, etj. Për secilën veç e veç mund të përdoren tipet primitive të të dhënave, mirëpo tipet primitive nuk janë të grupuara së bashku. Secila prej tyre ekziston në elemente të ndara të të dhënave. Qasje më e mirë është që të dhënat primitive të grupohen në të dhëna të definuara prej shfrytezuesit për të formuar një “record” (angl. record – regjistrim, shënim, dosje, dokument, koleksion të dhënash, etj., por do të përdorim termin rekord, si në origjinal). Termi rekord është i zakonshëm në bazat e të dhënave. Baza e të dhënave përbëhet nga një ose më shumë tabela. Tabela, përbëhet nga rreshtat dhe kolonat. Një rresht i tabelës njihet si “rekord”, kurse kolona si “fushë”. Ngjashëm si në tabelë, kolonat/fushat e të cilës do të ishin: ID, Emri, Mbiemri, Nota, etj., një rresht (të gjitha fushat e rreshtit) do të përmbante të dhënat e një studenti. Pra, tipi i të dhënave i definuar prej 39

Avni Rexhepi shfrytëzuesit, definon kolonat/fushat (tipet primitive të të dhënave) të cilat përbëjnë rreshtin/rekordin (tipin e të dhënave të definuar prej shfrytëzuesit). Mënyra apo forma e përdorur për të definuar të dhënat e definuara prej shfrytëzuesit ndryshon varësisht prej gjuhës programuese që përdoret për të shkruar programin. Disa gjuhë programuese. Disa gjuhë programuese, si Java, nuk i përkrahin fare tipet e definuara prej shftytëzuesit. Në vend të kësaj, përdoren atributet e klasave, për të grupuar tipet primitive të të dhënave. Në gjuhët programuese C dhe C++, definimi i tipit të definuar prej shftytëzusit bëhet përmes definimit të “structure” (strukturës). Paramendojeni strukturën si një shabllon, p.sh., shablloni për shkronjën A. Shablloni nuk është shkronja A, por ai e definon si duket shkronja A. Nëse ju duhet shkronja A, e vendosni shabllonin mbi një letër dhe e “vizatoni” shkronjën A. Nëse duhet edhe një shkronjë A, e përdorni shabllonin e njëjtë dhe e përsëritni procesin e njëjtë. Pra, duke e përdorur shabllonin mund të bëni sa të doni shkronja A. E njëjta vlenë edhe për strukturën. Kur ju duhet një grup i të dhënave primtive, që përfaqësohen nga një strukturë, ju e krijoni një “instance” (një instancë, një rast, një shembull) të strukturës. Instanca është njësoj si shkronja A që paraqitet në letër, pasi të largoni shabllonin. Secila instancë përmbanë të njëjtat të dhëna primitive të cilat janë definuar në strukturë, edhe pse secila instancë ka kopjen e vetë të këtyrë të dhënave primitive.

Definimi i tipeve të definuara nga shfrytëzuesi Definicioni i strukturës përbëhet nga katër elemente:  





struct (fjala e rezervuar “struct”) I tregon kompjuterit se jeni duke definuar një strukturë Emri i strukturës (Structure name) – Emri që përdoret për të identifikuar në mënyrë unike strukturën dhe që përdoret për të deklaruar instancat e strukturës, Trupi i strukturës (Structure body) – kllapa e madhe e hapur dhe e mbyllur, brenda të cilave ndodhen tipet primitive të të dhënave të cilat deklarohen kur deklarohet një instancë e klasës, Pikëpresja (Semicolon) – I tregon kompjuterit se ky është një urdhër (instruksion).

Trupi i strukturës mund të mbajë çfarëdo kombinimi të tipeve të të dhënave primitive dhe tipeve të definuara më parë nga shfrytëzuesi, varësisht prej natyrës së të dhënave që kërkohen në programin konkret. P.sh, definojmë strukturën e 40

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave cila definon rekordin e studentit, i cili përbëhet nga numri i studentit dhe nota. Emri i kësaj strukture të definuar prej shfrytëzuesit është StudentRecord: struct StudentRecord { int numriStudentit; char nota; };

Deklarimi i tipit të definuar prej shftyëzuesit Deklarimi i një instance të tipit të definuar prej shfrytëzuesit bëhet në mënyrë të njëjtë si deklarimi i varibalave. Mirëpo, në këtë rast, me rastin e deklarimit, pra në urdhërin e deklarimit, në vend të tipit primitiv të të dhënave, përdoret emri i strukturës. Le të marrim se dëshirojmë të krijojmë një instance të strukturës StudentRecord, të definuar më parë. Ja, si duhet të bëhet deklarimi dhe përdorimi në program: #include using namespace std; struct StudentRecord { int numriStudentit; char nota; } ; int main() { StudentRecord studenti1; studenti1.numriStudentit = 10; studenti1.nota = 'A'; cout << "notat: " << studenti1.numriStudentit << " " << studenti1.nota << endl; }

Urdhëri i deklarimit i tregon kompjuterit që të rezervojë memorie me madhësinë e kërkuar për të ruajtur tipin e definuar prej shfrytëzuesit, StudentRecord dhe ta shoqërojë studenti1 me atë lokacion të memories. Madhësia e tipit të definuar prej shfrytëzuesit, është e barabartë me shumën e madhësive të tipeve primitive të definuara në trupin e sturkturës. Nëse krahasojmë deklarimet: int StudentRecord studenti1;

X;

atëherë shohim se, njësoj sikur që tipi i variablës X është tipi primitiv “int”, atëherë tipi i variablës “studenti1” është “StudentRecord”, tipi i definuar prej 41

Avni Rexhepi shfrytëzuesit. Ose thënë ndryshe, X është variabël e tipit “int”, kurse studenti1 është i tipit StudentRecord. Madhësia e X-it është sa madhësia e tipit primitiv “int”, kurse madhësia e studenti1, është sa shuma e tipeve primitive “int” dhe “char”, të definuara në strukturën StudentRecord. Madhësia e tipit të definuar prej shfytëzuesit StudentRecord është sa shuma e madhësive të një numri të plotë (integer) dhe të një karakteri (char). Rikujtojmë se madhësia e tipit primitiv të të dhënave matet në bita. Numri i bitave të tipit primitiv të të dhënave varej nga gjuha programuese. Prandaj, programerët duhet t’i referohen emrit të tipit primitiv, në vend se numrit të bitave. Kompjuteri e di se sa bita t’i rezervojë për secilin tip primitiv të të dhënave.

Tipet e definuara prej shfrytëzuesit dhe memoria Elementet e të dhënave të definuara përbrenda trupit të strukturës vendosen njëra pranë tjetrës në memorie, në mënyrë sekuenciale (të njëpasnjëshme). Në figurën 1.11 ilustrohet memoria e rezervuar memoria e rezervuar me rastin e deklarimit të instancës së tipit StudentRecord.

Figura 1.11: Elementet e strukturës vendosen në lokacione sekuanciale të memories, kur deklarohet një instancë e strukturës. Emri i instancës studenti1 është një “alias” (angl. alias-pseudonim, nofkë) për adresën e memories së rezervuar për tipin e parë primitiv të definuar përbernda strukturës StudentRecord, që është lokacioni me adresën e memories 1, në figurë. Për thjeshtësi, le të themi se secili bllok në figurën 2-1 reprezenton 1 bajt të memories dhe se madhësia e tipit “int” për këtë rast është 2 bajta. Secili tip primitiv i të dhënave të strukturës, ka adresën e vetë të memories. Tipi i parë primitiv në këtë shembull është numriStudentit dhe emri i tij i referohet lokacionit 1 të memories. Tipi i dytë primitiv është “nota” dhe emri i saj i referohet lokacionit 3 të memories. 42

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Çka ndodhi me lokacionin 2? Mbani mend, se secili bajt i memories i ndahet një adresë unike memorike. Disa tipe primitive të të dhënave janë më të mëdha sesa një bajt dhe prandaj duhet të zëne më shumë se një adresë të memories, si në këtë shembull që është rasti me tipin “int”. Pra, në këtë rast, tipi i parë primitiv i ka zënë 2 bajta të memories, prandaj, tipi i dytë primitiv i definuar në strukturë, vendoset në bajtin e ardhshëm në dispozicion (të lirë) në memorie, që është lokacioni 3 i memories.

Qasja në elementet e tipit të definuar prej shfrytëzuesit Elementet e strukturës së të dhënave qasen përmes emrit të instancës së strukturës dhe emrit të elementit, të ndarë me operatorin “.” (angl. dot operator operatori pikë). Le të themi se dëshironi të jepni vlerësimin A për notën, në elementin nota të instancës studenti1 të strukturës StudentRecord. Ja, si duhet shkruar urdhëri përkatës: studenti1.nota = 'A';

Elementet e strukturës përdoren në program në mënyrë të njëjtë si edhe variablat tjera, përveq se duhet referuar edhe emri i instancës edhe emri i elementit, në mënyrë që t’i qaseni elementit. Kombinimi i emrit të instancës dhe emrit të elementit është një alias për lokacionin e memories së elementit.

Tipet e të dhënave të definuara prej shftytëzuesit dhe klasat Strukturat përdoren më shumë në gjuhët procedurale si C. Gjuhët e orientuara në objekte, si C++ dhe Java i përdorin të dyja, strukturat dhe klasat, për t’i grupuar së bashku të tipet e ndryshme të të dhënave primitive në një njësi kohezive (të lidhur, të bashkuar). Definicioni i klasës është shabllon i ngjashëm me konceptin e definicionit të strukturës, për faktin se të dyja përdorin definicionin për të krijuar instancat. Definicioni i strukturës krijon instancë të strukturës, gjersa definicioni klasës krijon instancë të klasës. Definicionin i klasës i përkthen atributet dhe sjelljet (angl. behaviours – sjelljet, mënyrat e veprimit) të objekteve nga jeta reale në simulim të atij objekti përbrenda programit. Atributet janë elemente të të dhënave ngjashëm me elementet e strukturës. Sjelljet janë instruksione të cilat kryejnë detyra specifike, të njohura ose si “methods” (metoda) ose si “functions” (funksione), varësisht prej gjuhës programuese. C++ ju referohet si funksione, gjersa Java si metoda.

Definimi i klasës (Class) Definicioni i klasës i përngjanë definicionit të sturkturës. Edhe definicioni i klasës, përbehet nga katër elemente:

43

Avni Rexhepi   



class – fjala e rezervuar class, i tregon kompjuterit se jeni duke definuar një klasë, Emri i klasës (Class name) – emri që përdoret për të identifikuar klasën në mënyrë unike dhe për të deklaruar instanca të klasës, Trupi i klasës (Class body) – kllapa e madhe e hapur dhe e mbyllur, përbrenda të cilave janë tipet primitive të të dhënave të cilat deklarohen kur deklarohet një instancë e klasës dhe definicionet e metodave dhe funksioneve të cilat janë anëtarë të klasës Pikëpresja (Semicolon) – i tregon kompjuterit se ky është një urdhëri (instruksion)

Definicioni vijues i klasës, i shkruar në C++ definon rekordin e njëjtë të studentit, që ishte definuar në strukturën e mëparshme. Mirëpo, definicioni i klaësë do të definojë gjithashtu edhe funksionin i cili i paraqet (i shtypë) të dhënat e studentit, emrin dhe notën, në ekran. class StudentRecord { int numriStudentit; char nota; void shtypeNoten() { cout<<"Student: " << numriStudentit << " Nota: " << nota << endl; } };

Deklarimi i një instance të klasës dhe memoria Deklarimi i një instance të klasës bëhet njësoj si deklarimi në rastin e strukturës. Pra, në urdhërin e deklarimit, përdoret emri i klasës dhe emri i instancës së klasës. Ja si deklarohet një instancë e klasës StudentRecord: StudentRecord studenti1;

Kur deklarohet një instancë e klasës, memoria për atributet e definicionit të klasës rezervohet në mënyrë sekuenciale, njësoj siç rezervohej memoria për elementet e strukturës. Fig. 1.12 paraqet alokimin e memories për intancën studenti1 të klasës StudentRecord. Vëreni se në esencë është e njëjta mënyrë e alokimit të memories, si në rastin e strukturës.

44


Figura 1.12: Memoria për atributet e klasës vendoset në lokacione sekuenciale të memories kur të deklarohet instanca e klasës. Metodat dhe funksionet ruhen në memorie veçmas prej atributeve, kur të deklarohet një instancë, sepse metodat dhe funksionet ndahen bashkarisht nga të gjitha instancat e së njëjtës klasë.

Qasje në anëtarët e klasës Atributet, metodat dhe funksionet ndryshe referohen edhe si anëtarët e klasës (class members). Ju mund t’i qaseni anëtarëve të një instance të klasës, duke përdorur emrin e instancës, dot operatorin (operatorin pikë) dhe emrin e anëtarit, njësoj si i qaseni elementit të strukturës. Ja si i qaseni atributit nota të instancës studenti1, të klasës StudentRecord dhe si thirret metoda shtypeNoten(): studenti1.nota = 'A'; studenti1.shtypeNoten();

Pointerët Pointeri (treguesi) është një objekt i cili mund të përdoret për të ju qasur një objekti tjetër. Pointeri ofron qasje indirekte në një objekt. Njerëzit i përdorin pointerët në jetën e përdithshme gjatë tërë kohës. Për shembull: -

Kur profesori thotë: “Zgjidheni problemin 1.1 në libër”, detyra aktuale është duke u dhënë në mënyrë indirekte; Kërkimi i një titulli/teme në indeksin e librit, është një shembull i qasjes indirekte. Indeksi tregon se ku mund të gjeni mësimin përkatës.

45

Avni Rexhepi -

Adresa e banimit është pointer. Ajo tregon se ku banon dikush. Adresa përcjellëse është pointer në pointer. Adresa në internet, URL-ja, si www.uni-pr.edu është pointer. URL-ja tergon se ku ndodhet ëeb faqja cak.. Nëse ëeb faqja cak është zhvendosur, URL-ja “bëhet bajat” (angl. Stale - bajat, e ndenjur) dhe pointon në një faqe që nuk ekziston më.

Në të gjitha këto raste, informacioni jepet në mënyrë indirekte duke ofruar pointerin për informacionin. Në C++, pointeri është një objekt i cili ruan adresën (d.m.th,. një lokacion në memorie), ku është ruajtur një e dhënë tjetër. Pra, thjesht, pointeri ruan adresë. Është e pritshme që adresa të jetë një numër i plotë (integer), ashtu që pointeri zakonisht mund të reprezentohet në mënyrë interne si një unsigned “int” (numër pa shenjë). Ajo që e bën pointerin më shumë sesa vetëm një numër i thjeshtë, është se përmes tij ne mund t’i qasemi të dhënës (vlerës) në të cilën pointon ai. Ky veprim, ndryshenjihet edhe si dereferencim i pointerit. Pointeri ruan adresën në të cilën banon një e dhënë tjetër. Një përmbledhje (angl. aggregate-grumbullim, shumë totale, etj) është një koleksion i objekteve të ruajtura në një njësi. Vargu është mekanizmi bazik i ruajtjes së një koleksioni/bashkësie të objekteve të tipit të njëjtë. Një përmbedhës tjetër është struktura, e cila ruan një koleksion të objekteve që nuk janë të tipit të njëjtë. Si shembull abstrakt, shqyrtoni planin e banesave në një ndërtese. Secili kat mund të ketë banesa një-dhomëshe, dy-dhomëshe, tridhomëshe etj. Në këtë rast, secili kat ruhet si strukturë, ndërsa e tërë ndërtesa është nëj varg i kateve.

Vargjet dhe stringjet Në C++ mund të deklarojmë dhe përdorim vargjet në dy mënyra themelore. Metoda primitive është që të përdoret një varg i brendshëm (built-in). Alternativa tjetër është përdorimi i librarisë vector. Sintaksa për të dy metodat është pak a shumë e njëjtë, mirëpo vector është shumë më e lehtë dhe pak më e sigurtë sesa vargu primitiv dhe preferohet për shumicën e aplikacioneve. Dallimi më i madh filozofik ndërmjet dy metodave është se vector sillet si tip i klasës së parë (angl. first-class type) edhe pse është i implementuar në librari, gjersa vargu primitiv është tipi i klasës së dytë (angl. second-class type). Ngjashëm, C++ ofron të dy opcionet edhe për variablat tekstuale (string). Stringjet primitive (janë thjeshtë vargje primitive char) dhe atë shumë më të preferuarën string. 46


1.2.1 Objektet “First-Class” dhe “Second-Class” Studiuesit e gjuhëve programuese shpesh i përcaktojnë konstrukteve të një gjuhe programuese, emërtimin “firs-class objects” ose “second-class objects”. Definicioni është paksa jopreciz, por në përgjithësi, idea është që objektet e klasit të parë mund të manipulohen në të gjitha “mënyrat e zakonshme”, pa raste speciale dhe përjashtime, ndërsa objektet e klasës së dytë mund të manipulohen vetëm në ndonjë mënyrë të përcaktaur dhe të kufizuar. Cilat janë “mënyrat e zakonshme”? Në rastin specifik të C++, ato mund të përfshijnë gjërat si kopjimi. Rikujtoni se vargu ruan një koleksion të objekteve. Është e pritshme që kopjimi i një vargu të bëjë kopjimin e tërë koleksionit (të gjithë anëtarëve të tij), mirëpo kjo nuk ndodhë në rastin e vargjeve primitive. Gjithashtu, do të mund të prisnim që një varg ta dijë se sa anëtarë i ka në koleksionin e tij. Me fjalë të tjera, do të ishte e pritshme që madhësia e vargut është pjesë e vet qenies së tij. Përsëri, kjo nuk është e vërtetë për vargjet primitive. Arsye për këtë është se vargjet në C++ janë pak më shumë se variabla pointer (një lloj specifik pointeri), sesa vet tipi i tyre i klasit të parë. Gjithashtu do të mund të prisnim që kur vargjet e alokuara më nuk janë të nevojshme (për shembull kur funksioni në të cilin ato janë deklaruar, ka kthyer rezultatin dhe ka mbaruar punë), atëherë memoria që ata e zënë, të lirohet. Kjo nuk është e vërtetë për vargjet (ndonjëherë edhe është), kështu që i bën shumë të ngatërruar për kodim. Stringu primitiv mund të konsiderohet i nivelit edhe të ulët, sesa objekti i klasit të dytë, sepse i mungojnë të gjitha vetitë e vargut të klasës së dytë. Për më tepër, operatorët e tij të krahasimit (p.sh., == dhe <) nuk bëjnë atë që normalisht është e pritshme prej tyre dhe prandaj duhet të trajtohen si raste speciale. Për të siguruar trajtim të klasit të parë për vargjet dhe stringjet, duhet përdorur vector dhe string. Klasa vector përmbanë operacionet themelore të vargut primitiv plus tiparet/veçoritë shtesë. Prandaj, ai më shumë sillet si strukturë e të dhënave sesa si varg i thjeshtë. Sidoqoftë, përdorimi i tij është shumë më i sigurtë sesa vargjet primitive të C++. vector është pjesë e STL-it. Klasat vector dhe string pasi janë pjesë e STL, janë edhe e pjesë e C++, mirëpo disa kompajlerë akoma nuk i përkrahin. Si pjesë e STL, klasat vector dhe string i trajtojnë vargjet si objekte të klasit të parë. Pra, vector, e di se sa është i madh. Gjithashtu, objektet string mund të krahasohen me operatorët relacional, ==, <, etj. Edhe vector edhe string mund të kopjohen përmes “=”. Prandaj, përveq rasteve speciale, duhet evituar vargjet dhe stringjet e brendshme (built-in) të C++-it. Pasi mënyra e implementimit të librarive nuk kërkon njohjen e implementimit të tyre të brendshëm, mjafton të dihet si 47

Avni Rexhepi funksionojnë dhe të mund të përdoren. Kështu string dhe vector janë të implementuara duke ofruar interfejsin i cili i fshehë sjelljet e klasit të dytë të tipeve të brendshme.

Përdorimi i vector-it Për të përdorur vector-in standard, programi duhet të përfshijë “header file”-in e librarisë, përmes: #include . Njësoj siq duhet deklaruar variabla para përdorimit të saj në ndonjë shprehje dhe të inicializohet para se të përdoret vlera e saj, edhe vargu duhet gjithashtu. vector deklarohet duke i dhënë një emër, në pajtim me rregullat e zakonshme të identifikatorëve dhe duke i treguar kompajlerit se të çfarë tipi janë elementet e tij. Mund t’i përcaktohet edhe madhësia, mirëpo nëse nuk është bërë kjo, madhësia është zero, por vector-it duhet t’i ndryshohet madhësia më vonë. Secili objekt në koleksionin e objekteve që e paraqet vargu, mund të qaset përmes përdorimit të “[ ]” - array indexing operator (operatorit të indeksimit të vargut). Thuhet se operatori [ ] e indekson vargun, që nënkupton se e specifikon cili prej objekteve do të qaset. Në C++ vargjet gjithmonë indeksohen duke filluar prej zeros. Prandaj, deklarimi: vector a(3); // 3 int objekte: a[O], a[l], dhe a[2]

rezervon hapësirën për ruajtjen e tre integer-ave, d.m.th., a[0], a[1] dhe a[2]. Në vector-in e STL-it nuk kryehet/bëhet verifikimi i rangut të indeksave, kështu që qasja jashtë kufijve të indeksave të vargut nuk “kapet” (nuk hetohet, nuk vërehet) nga kompajleri, prandaj duhet kujdes i veçantë nga programerët. (Në rastin e mëparshëm, indeksa legal janë vetëm 0, 1 dhe 2). Kontrollimi i kufijve të rangut (angl. range checking) mund të bëhet përmes përdorimit të funksionit/operatorit “at”, kështu që; a.at(i), është njësoj si a[i], mirëpo në këtë rast sinjalizohet gabimi (error), nëse indeksi “i” është jashtë kufijve. Madhësia e vector-it mund të “fitohet” përmes funksionit “size” (angl. sizemadhësia). Për kodin e mëparshëm, fragmenti a.size( ), do të kthente 3. Vëreni sintaksën: dot operatori përdoret për të thirrur funksionin size, të vector-it. Madhësia e vector-it mund të ndryshohet duke thirrur funksionin “resize” (angl. resize - ricakto madhësinë). Kështu, si alternative e deklarimit fillestarë, do të ishte:

48

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave vector a; // 0 int objekte a.resize( 3 ) ; // 3 int objekte: a[O], a[l], dhe a[2]

Në programin 1.1, ilustrohet përdorimi i vector-it. Programi në mënyrë të përsëritur e zgjedhë një numër përbrenda kufijve 1 dhe 100 (inkluziv, duke përshirë edhe vlerat kufitare 1 dhe 100). Si rezultat fitohet numri i herave të paraqitjes së secilit numër. 1 #include 2 #include 3 #include 4 using namespace std; 5 6 // Gjenero numrat (prej 1-100). 7 // Shtyp numrin e paraqitjeve të secilit numer. 8 int main( ) 9 { 10 const int DIFFERENT-NUMBERS = 100; 11 12 // Kerko dhe lexo numrin e lojeve. 13 int totalNumbers; 14 cout << "Sa numra te gjenerohen?: "; 15 cin >> totalNumbers; 16 17 vector numbers( DIFFERENT-NUMBERS + 1 ); 18 19 // Inicializo vektorin me zero. 20 for( int i = 0; i < numbers.size( ); i++ ) 21 numbers[ i ] = 0; 22 23 // Gjenero numrat. 24 for( int j = 0; j < totalNumbers; j++ ) 25 numbers[ rand( ) % DIFFERENT-NUMBERS + 1]++; 26 27 // Shtype permbledhjen. 28 for( int k = 1; k <= DIFFERENT-NUMBERS; k++ ) 29 cout << k << " paraqitet " << numbers[ k ] 30 << “ here \n"; 31 32 return 0; 33 }

Programi 1.1 Demonstrim i thjeshtë i vargjeve përmes vector-it.. Rreshti 17 deklaron një varg të integjerave të cilët numërojnë numrin e paraqitjeve të secilit numër. Pasi që vargjet indeksohen duke filluar prej 0, atëherë “+1” është kritike nësë dëshirojmë t’i qasemi elementit në pozitën DIFFERENT_NUMBERS. Pa të, do të kishim një varg, rangu i indeksueshëm i të cilit do të ishte prej 0 deri në 99, dhe kështu qasja tek indeksi 100 do të mund 49

Avni Rexhepi të ishte memorie e ndarë për ndonjë objekt tjetër. Në këtë rast do të paraqiteshin rezultate jokorrekte, varësisht prej detajeve të implementimit të vector-it. (mund të ndodhë që në ndonjë platformë programi të funksionojë mirë, por në të tjerat do të jepte rezultate të gabuara). Duhet pasur kujdes me kufijtë, sepse gabimet për një pozitë, janë të zakonshme dhe shumë të vështira për t’u detektuar. Pjesa tjetër e programit është relativisht e thjeshtë. Rutina “rand”, e deklaruar në “stdlib.h” jep numër të rastit (angl. random number). Manipulimi në rreshtin 25, e vendosë atë në kufijtë 1 deri 100. Rezultatet jepen në dalje në rreshtat 28-30. C++ standar specifikon se fushëveprimi (angl. scope-horizont, brezi, fushë, shtrirje, etj) i “i” në rreshtin 20 përfundon me unazën “for”. (Me fjalë tjera, “i” nuk duhet të jetë e dukshme në rreshtin 24). Prandaj, përdoren emra të ndryshëm për numratorët e unazave.

1.2.3 Ndryshimi i madhësisë së vektorit Një kufizim i vargjeve primitive është se kur të deklarohen një herë, madhësia e tyre nuk mund të ndryshohet. Shpeshherë ky është kufizim i rëndësishëm. Sidoqoftë, ne e dijmë se mund të përdorim resize për të ndryshuar madhësinë e vector-it. Teknika e përdorur ilustron disa prej çështjeve të rëndësishme të efikasitetit. Ajo që ndodhë është se pointerët (të cilët do të diskutohen në detaje pak më vonë) përdoren për të krijuar iluzionin e një vargu që mund të ndryshojë madhësinë (rritet). Nuk nevojitet njohuri e C++ për të kuptuar algoritmin: të gjitha detajet janë të fshehura brenda implementimit të vector-it. Idea themelore është e treguar në figurën 1.13, ku, arr reprezenton vector-in me 10 elemenete. Diku, brenda implementimit, alokohet memoria për 10 elemenete. Supozojmë se dëshirojmë të zgjerojmë këtë memorie në 12 elemente. Problemi është se elementet e vargut duhet të memorohen (ruhen) në lokacione të afërta (të njëpasnjëshme – angl. contiguous locations – lokacione të afërta, të puthitura) dhe se memoria që ndodhet menjëherë pas arr mund të jetë zënë ndërkohë. Atëherë, veprojmë si vijon:

50

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave arr

(a) arr original (b)

arr original (c)

arr (d) original

Figura 1.13. Zgjerimi i vargut, fillimisht: (a) Në pikën fillestare, arr reprezenton 10 integer-a. (b) pas hapit 1, original reprezenton të njëjtit 10 integer-a; (c) pas hapave 2 dhe 3, arr reprezenton 12-integer-a, ku 10 të parët janë ata që u kopjuan prej origi nial-it; dhe (d) pas hapit 4, 10-integer-at e fillimit, lirohen. 1. E mbajmë mend (e ruajmë) ku ka qenë memoria për vargun me 10 elemente (synimi, qëllimi i original-it). 2. Krijojmë një varg të ri me 12 elemente dhe bëjmë që vargu arr ta përdorë atë. 3. Kopjojmë 10 elementet nga original në arr; dy elementet shtesë në arr të ri kanë ndonjë vlerë të nënkuptuar (default), 4. E informojmë sistemin se vargu 10 elementësh (memoria e tij) mund të ripërdoret sipas nevojës (si e sheh ai të arsyeshme). Pas një momenti mund të bindemi se ky është një operacion i shtrenjtë, sepse kopjohen të gjitha elementet prej vargut të alokuar fillimisht në vargun e ri. Nëse, për shembull, ky zgjerim i vargut është reagim në leximin e një vlere hyrëse, atëherë zgjerimi i vargut secilën herë që lexohet ndonjë element do të ishte shumë joefikas. Prandaj, kur implementohet zgjerimi i vargut, gjithmonë duhet të bëhet për “ndonjë konstantë multiplikative” herë më i madh. P.sh., dy 51

Avni Rexhepi herë më i madh. Në këtë mënyrë, kur zgjerojmë vargun pre N elementeve në 2N elemente, kostoja e N kopjimeve mund të shpërndahet proporcionalisht përgjatë N elementve të ardhshme të cilat mund të insertohen në var pa pasur nevojë për zgjerim. Si rezutat, ky zgjerim dinamik është vetëm pak më i “shtrenjtë” sesa fillimi me një madhësi fikse, por është shumë më fleksibil. Në programin 1.2, paraqitet programi i cili lexon një numër të palimituar të integjerave prej hyrjes standarde (tastierës) dhe i ruan rezultatet në vargun dinamik (që zgjerohet dinamikisht). Deklarimi i funksionit getInts tregon se vector është parametër. Shenja “&” në deklarimin e funksionit para array, specifikon se kjo është referencë për parametrin aktual, e jo kopje e tij. Për këtë arsye, të gjitha ndryshimet në parametrin formal reflektohen edhe në argumentin aktual (Referencat do të sqarohen në vazhdim). 1 #include 2 #include 3 using namespace std; 4 5 // Lexo nje numer te pakufizuar te int-ev pa perpjekje per rregullim gabimesh 6 // mbushni parametrat e vektorit me te dhena; madhesia e tij 7 // pas kthimit (return) tregon se sa elemente u lexuan 8 void getInts( vector & array ) 9 { 10 int itemsRead = 0; 11 int inputVal; 12 13 cout<<"Jepni numrin e cfaredoshem te integjerave: "; 14 while( cin >> inputVal ) 15 { 16 if( itemsRead == array.size( )) 17 array.resize( array.size( ) * 2 + 1 ); 18 array[ itemsRead++ ] = inputVal; 19 } 20 array.resize( itemsRead ); 21 } 22 23 int main( ) 24 { 25 vector array; 26 27 getInts( array ); 28 for( int i = 0; i < array.size( ); i++ ) 29 cout << array[ i ] << endl;

52

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave 30 31 return 0; 32 } Programi 1.2 Kodi për leximin e një numri të pakufizuar të “int-ave” dhe shtypja e tyre, duke përdorur dyfishimin e vargut.

Në fillim të getInts, itemsRead vendoset në 0. Në mënyrë të përsëritur lexojmë elementet e reja në rreshtin 14. Nëse vargu është i mbushur, si sinjalizohet përmes testit të suksesshëm në rreshtin 16, atëherë vargu zgjerohet, në rreshtin 17. E zgjerojmë për dy herë madhësinë e vjetër. E shtojmë 1 ashtu që dyfishi fillestar konverton vargun e madhësisë 0 në varg të madhësisë 1. Në rreshtin 18, elementi aktual hyrës i ndahet vargut dhe numri i elementeve të lexuara inkrementohet (rritet për 1). Në rreshtin 20, e ricaktojmë (ndryshojmë) madhësinë e vargut për të ju përshtatur numrit të elementeve që u lexuan. Një alternativë është që itemsRead të bëhet parametër referencë që pëfundimisht vendoset në madhësinë e re të vargut. Kur hyrja dështon (për çfarëdo arsyeje), thjesht kthehemi (return). Rutina (funksioni) main e thërret getInts, duke ia përcjellur vector-in. Madhësia fillestare e vector-it ndodhë të jetë 0. Teknika e përdorur në programin 1.2 është aq e zakontë, saqë vector ka funksionalitetin e brendshëm për të imituar këtë. Idea themelore është që vector të mirëmbajë jo vetëm madhësinë (angl. size), por gjithashtu edhe kapacitetin (angl capacity). Kapaciteti është sasia e memories që ai e ka rezervuar. Kapaciteti i vector-it është vërtetë një detal i brendshëm, jo diçka për çka që ju duhet të brengoseni. Funkscioni push_back( ), (angl. push back – shtyje prapa), e rritë madhësinë për një dhe e shton elementin e ri në pozitën e duhur. Ky është një veprim i thjeshtë nëse nuk është arritur kapaciteti, por nëse është arritur, atëherë kapaciteti zgjerohet/rritet automatikisht, duke përdorur strategjinë e përmendur më herët. (Disa kompajlerë nuk e dyfishojnë madhësinë, por e rrisin për një vlerë të vogël konstante, gjë që rezultaon në performansë të dobët), Në mënyrë tipit, e fillojmë vector-in me madhësi 0. Kodi në Programin 1.3, tregon se si mund të përdoret push_back në getInts, që është shumë më i thjeshtë sesa funksioni getInts në programin 1.2. 1 #include 2 #include 3 #include 4 using namespace std; 5 6 // Lexo nje numer te pakufizuar te int-ev pa perpjekje per rregullim gabimesh

53

Avni Rexhepi 7//mbush parametrat e vektorit me te dhena; madhesia e tij 8//pas kthimit (return) tregon se sa elemente u lexuan 9 void getInts( vector & array ) 10 { 11 int inputVal ; 12 13 array.resize( 0 ); 14 cout << "Enter any number of integers: "; 15 while( cin >> inputVal ) 16 array.push_back( inputVal ); 17 }

Programi 1.3 Kodi për të lexuar një numër të pakufizuar të int-eve dhe për t’i shkruar përmes përdorimit të push_back. Rreshti 13 e ricakton madhësinë e vector-it në 0 elemente. Kjo mundet ose mundet të mos e redukojë kapacitetin e tij, varësisht prej implementimit të brendshëm të vector-it. Vëreni që nëse nuk e bëni resize, atëherë elementet e reja do të vendosen në fund të vector-it, prandaj elementet që ishin në vector kur u thirr getInts, akoma do të jenë aty.

1.2.5 Mekanizmat e përcjelljes së parametrave të funksionit Supozojmë se dëshirojmë të përcjellim një vektor në funksionin i cili e gjenë vlerën maksimale në varg. Deklarimi natyral i funksionit do të ishte: int findMax(vector a);

Ky deklarim i funksionit ka një problem fundamental: mekanizmi standard (default, i nënkuptuar) i përcjelljes së parametrave tek funksioni, kur thirret funksioni, është “call by value” (angl. call by value – thirrja sipas/përmes vlerës). Në këto raste krijohet një kopje e argumentit aktual (përbrenda funksionit) dhe përdoret si parametër formal për secilën thirrje të funksionit findMax. Pasi që a mund të jetë i madh, ky operacion është i shtrenjtë (i kushtueshëm), kështu që thirrja sipas vlerës është e papërshtatshme. Një alternativë, është që të përdoret thirrja sipas referencës. int findMax(vector &a);

Tani, mund të evitohet mbingarkesa e kopjimit. Sidoqoftë, as ky funksion akoma nuk është perfekt, sepse deklarimi i tregon lexuesit dhe poashtu kompajlerit, se argumenti aktual mund të ndryshohet si rezultat i thirrjes së funksionit findMax. Kur parametri përcillet sipas vlerës, e kishim të garantuar 54

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave që parametri aktual nuk do të ndryshohet, pasi që krijohej kopja e tij për funksionin. Për të fituar sjellje të tillë, mund të përdorim formën e tretë të përcjelljes së parametrave, thirrja sipas referencës konstante (angl. call by constant reference): int findMax(const vector &a);

Referenca konstante garanton që: - Mbingarkesa e kopjimit është evituar, dhe - Parametri aktual nuk ndryshohet prej thirrjes së funksionit. Kur thirret funksioni, përmes “mekanizmit përcjellës të parametrave” atij i përcillen parametrat aktual për të cilët funksioni e kryen punën. Ato janë vlerat, për të cilat thirret funksioni. Varësisht prej mënyrës së thirrjes, efekti në parametrat aktual ndryshon. Thirrjet mund të bëhen, sipas vlerës (e zakonshmja), sipas referencës dhe sipas referencës konstante. Thirrja përmes vlerës (Call by value) – është mekanizmi i nënkuptuar i përcjelljes së parametrave. Me rastin e thirrjes së funksionit, argumenti aktual, kopjohet në parametrin formal. Thirrja përmes referencës (Call by reference) – është mekanizmi i përcjelljes së parametrave i cili eviton kopjimin. Mirëpo, lejon ndryshimin e parametrave aktual. Thirrja përmes adresës (Call by address) – është mekanizmi i përcjelljes së parametrave sipas adresës. Me rastin e thirrjes së funksionit, argumenti aktual është pointer, i cili e përcjellë adresën e parametrit aktual. Edhe në këtë rast, funksionit i lejohet/mundësohet ndryshimi i parametrave aktual, pasi që është përcjellur adresa në mëmorie e parametrit aktual, kështu që ndryshimet ndodhin në origjinalin e përcjellur si parametër tek funksioni. Thirrja përmes referencës konstante (Call by constant reference) – është mekanizmi i përcjelljës së parametrave, i cili eviton kompjimin dhe garanton që parametri aktual nuk do të ndryshohet.

Zgjedhja e mekanizmit të përcjelljes së parametrave (thirrjes së funksionit) është një detyrë e nënvlerësuar shpesh nga programerët. Tek e fundit, cila do mënyrë që zgjedhet, programi është korrekt, mirëpo në C++ zgjedhja me kujdes e mekanizmit të përcjelljes së parametrave është e rëndësishme për efikasitet, lexueshmëri dhe mirëmbajtje të programit. Thirrja sipas referencës kërkohet për objektet të cilat mund të ndryshohen nga funksioni. 55

Avni Rexhepi Thirrja sipas vlerës është e përshtatshme për objektet e vogla të cilat nuk duhet të ndryshohen nga funksioni. Thirrja sipas referencë konstante është e përshtatshme për objektet e mëdha të cilat nuk duhet të ndryshohen nga funksioni. Në disa raste më komplekse, thirrja sipas vlerët duhet të evitohet. Programi mund të dështojë të kompajlohet nëse janë bërë zgjedhjet e gabuara. Pasi që string dhe vector, reprezentojnë objekte të mëdha, thirrja sipas vlerës është në përgjithësi e papërshtatshme, e pavend. Në vend të kësaj, kur këto objekte janë parametra të funksionit, ato zakonisht përcillen sipas referencës ose referencës konstante, varësisht prej asaj se a pritet që funksioni t’i ndryshojë vlerat e parametrave apo jo.

1.2.6 Vargjet primitive të konstanteve Ndonjëherë, i kthehemi vargjeve primitive kur kemi konstante globale. Arsye për këtë është forma e përshtatshme e shkruarjes përmes shkurtesave, si ilustrohet në deklarimin vijues të ditëve të muajit: const int DITET-NE-MUAJ[ ]={31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31};

Këtu, madhësia e vargut primitiv inicializohet automatikisht dhe madhësia e tij nxjerret në përfundim nga numri i inicializuesve që janë prezent. Nëse ky varg është global, numri i elementeve mund të përcaktohet duke ndarë sasinë e memories së përdorur nga vargu primitiv sizeof (DITET-NE-MUAJ) me sasinë e memories së përdorur nga njëri element në vargun primitiv: sizeof (DITET-NE-MUAJ [0]), si në vijim: const int NUM-MUAJVE=sizeof(DITET-NE-MUAJ)/sizeof(DITET-NE-MUAJ[O]);

1.2.6.1 Vargjet shumëdimensionale (multidimensionale) Ndonjëherë qasja në vargje duhet të jetë e bazuar në më shumë se një indeks. Varg multidimensional është vargu që qaset me më shumë se një indeks dhe versioni primitiv i tij është i klasës së dytë. Klasa matrix mund të përdoret për të implementuar vargjet dydimensionale. Nuk ka version të klasit të parë në STL. Madhësitë e indeksave të saj janë të specifikuara dhe secili element qaset duke vendosur indekset përkatëse në kllapa të mesme të veçanta. Për shembull, deklarimi: matrix x( 2, 3 ) ; // x ka dy rreshta dhe tri kolona

definon vargun dy-dimensional x, me indeksin e parë në rangun 0 deri në 1 dhe me indeksion e dytë në rangun 0 deri në 2 (me gjithsej 6 objekte). matrix 56

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave rezervon gjashtë lokacione të memories për objektet: x[0][0], x[0][1], x[0][2], x[1][0], x[1][1], dhe x[1][2].

1.2.8 Tipi ‘string’ nga libraria standarde Për të përdorur tipin string të librarisë standarde (STL), duhet të përfshihet direktiva: #include

Pasi që string është objekt i klasit të parë, leximi (hyrja), shtypja (dalja), kopjimi dhe karhasimi funksionojnë ashtu si pritet. Prandaj, str1==str2 është “true” nëse dhe vetëm nëse stringjet janë të njëjta. Secili karakter i string-ut mund të qaset duke përdorur operatorin e indeksimit të vargut (si zakonisht, indeksat fillojnë prej zeros). string ofron shumë funksione të dobishme. Nëse s është string, atëherë s.length() kthen gjatësinë e tij (d.m.th., numrin e karaktereve), ndërsa s.c_str() kthen stringun primitiv. Stringu primitiv nevojitet nganjëherë për të ndërvepruar me pjesët tjera të librarive. Për shembull, për të hapur fajllin, duhet të përcillet stringu primitiv. Së fundi, operatorët + dhe += për string janë të definuar që të bëjnë bashkimin e stringjeve (njëri string lidhet në fundin e tjetrit). Këto operacione janë ilustruar në kodin në Programin 1.4. 1 #include 2 #include 3 using namespace std; 4 5 int main( ) 6 { 7 string a = "hello"; 8 string b = "world"; 9 string c; // duhet te jete " " 10 11 c = a + “ “ // duhet te jete "hello " 12 c += b; // duhet te jete "hello world" 13 14 // Shtype c ne menyren e lehte. 15 cout << "c eshte: " << c << endl; 16 17 // Shtype c ne menyren primitive. 18 cout << "c eshte: " << c.c_str() << endl; 19

57

Avni Rexhepi 20 // Shtype c karakter pas karakteri. 21 cout << "c eshte: "; 22 for( int i = 0; i < c.length(); i++ 23 cout << c[i]; 24 cout << endl; 25 26 return 0; 27 } Programi 1.4 Ilustrim i funksioneve të string.

)

Sintaksa e pointerëve në C++ Që pointeri të pointojë në një objekt, ne duhet të dijmë adresën e memories së objektit cak (d.m.th., vendin ku është ruajtur). Për, (pothuajse) secilin objekt obj, adresa e tij memorike jepet përmes aplikimit të operatorit unar “&” address-of (angl. address-of – adresa e) ose themi operatori i adresës. Pra, operatori i adresës e kthen adresën e objektit. Prandaj, &obj është lokacioni në memorie kur ruhet obj. Objektet e ruajtura përmes përdorimit të klasës së ruajtjes “register” nuk mund të jenë cak (angl. target-cak) i operatorit të adresës. Në mund të deklarojmë se objekti ptr pointon në një objekt int, duke shkruar: int *ptr;

Vlera e reprezentuar nga ptr është një adresë. Si në rastin e deklarimit të tipeve të zakonshme, ky deklarim nuk e inicializon pointerin ptr në ndonjë vlerë të veçantë, kështu që përdorimi i ptr para se ti ndahet ndonjë vlerë, prodhon rezultate të këqija (programi bllokohet). Supozojmë se kemi bërë deklarimet: int x = 5; int y = 7;

Në mund ta bëjmë pointerin ptr që të pointoj në x duke ia ndarë ptr-së lokacionin në memorie ku ruhet x-i. Prandaj: ptr = &x; // LEGAL

cakton ptr-në të pointojë në x. Figura 1.14 ilustron këtë në dy mënyra. Në pjesën (a) modeli i memories tregon ku ruhet secili objekt. Në pjesën (b) përdoret një shigjetë për të treguar pointimin. Vlera e të dhënave që pointohen (tregohen me pointer) fitohet përmes operatorit unar të dereferencimit “*”. Operatori unar i dereferencimit i qaset vlerët përmes pointerit. Në Figurën 1.6 *ptr do të ketë vlerën 5, e cila është vlera e variablës x në të cilën pointohet. Dereferencimi i objektit që nuk është pointer është ilegal. 58

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Operatori * është e kundërta e operatorit & (d.m.th., *&x=5 është njësoj si x=5, për aq sa &x është legal). Dereferencimi funksionon jo vetëm për leximi e vlerave nga objekti, por edhe për shkruarjen e vlerave të reja në objekt. Prandaj, nëse kemi: *ptr = 10 //e lejueshme (tekstualisht: aty ku tregon pointeri, vendose vlerën 10 i bie që kemi ndryshuar vlerën e x-i në 10. Figura 1.157 paraqet ndryshimet që rezultojnë dhe problemin me pointerët: ndryshimet e pakufizuara janë të mundshme dhe pointeri që “e huqë” adresën mund të mbishkruaj vlerat në memorie të çfarëdo variable, pa qëllim. Kemi mundur ta inicializojmë pointerin ptr në kohën e deklarimit, duke bërë që ai të pointojë në x: int x = 5; int y = 7; int *ptr = &x; // OK

(&x) 1000

x=5

(&y) 1004

y=7

5 ptr

(&ptr) 1200

7

x

y

1000 (b)

(a)

Fig. 1.14 – Ilustrim i pointerit.

(&x) 1000

x = 10

(&y) 1004

y=7

10 ptr

(&ptr) 1200

x

7 y

ptr = &x = 1000 (a)

(b)

Fig. 1.15 – Rezultati i *ptr = 10.

59

Avni Rexhepi Deklarimi thotë që x është një “int” i inicializuar në 5, y është një “int” i inicializuar në 7 dhe ptr është pointer në vlerë të tipit “int” dhe është inicializuar që të pointojë në x. Lë të shikojmë se ku mund të kemi gabuar. Sekuenca vijuese e deklarimit është jokorrekte: int *ptr = &x; // ILLEGAL: x nuk eshte deklaruar akoma int x = 5; int y = 7;

Këtu jemi duke përdorur x-in para se të jetë deklaruar, kështu që kompajleri do të “ankohet”. Ja edhe një gabim i zakonshëm (i shpeshtë): int x = 5; int y = 7; int *ptr = x; // ILLEGAL: x nuk eshte adresë

Në këtë rast, jemi duke tentuar që pointeri ptr të pointojë në x, por kemi harruar se pointeri mbanë një adresë. Prandaj, duhet të kemi adresë në anën e djahtë të urdhërit. Kompajleri do të lajmërojë gabim pasi është harruar operatori i adresës & para x-it. Duke vazhduar me shembullin e njëjtë, supozojmë se kemi deklarimin korrekt por me pointerin ptr të painicializuar: int x = 5; int y = 7; int *ptr; // LEGAL por ptr i painizializuar

Cila është vlera e ptr? Siç paraqitet në Figurën 1.15, vlera është e padefinuar, pasi që nuk ka qenë e inicializuar asnjëherë. Prandaj, vlera e *ptr është poashtu e padefinuar. Pointeri duhet të jetë duke pointuar diku para se të dereferencohet. Sidoqoftë, përdorimi i *ptr kur ptr është i padefinuar është edhe më i keq sepse ptr mund të ketë ndonjë adresë që nuk ka kuptim fare, e kështu duke shkaktuar që programi të bllokohet nëse pointeri dereferencohet. Edhe më keq, ptr mund të jetë duke pointuar në një adresë e cila është e qasëshme: në të cilin rast, programi nuk do të bllokohet menjëherë, por do të jetë i gabueshëm dhe jep rezultate të pasakta. Nëse *ptr është cak i ndonjë përcaktimi të vlerës, atëherë ai do të ndryshojë aksidentalisht ndonjë të dhënë tjetër, e cila mund të rezultojë në bllokim të mëvonshëm të programit. Ky është lloj i vështirë për t’u detektuar i gabimit sepse shkaku dhe simptomet e gabimit mund të kenë distancë të madhe kohore mes veti. Më herët është paraqitur sintaksa korrekte për ndarjen (përcaktimin) e vlerës: ptr = &x; // LEGAL

Supozojmë se kemi harruar operatorin e adresës. Atëherë urdhëri: 60

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave ptr = x; // ILLEGAL: x nuk është adresë

do të gjenerojë gabim kompajleri. Janë dy raste kur kompajleri nuk reagon. Njëri është përdorimi i operatorit të adresë në anën e djathtë, si në sintakësn korrekte. Tjetri është i gabuar: *ptr = x; // Semantikisht jokorrekt

Kompajleri do të heshtë, sepse urdhëri thotë që “int” në të cilin pointon ptr duhet të merr vlerën e x. Për shembull, nëse ptr është &y, atëherë y i ndahet vlera e x. ky urdhër është tërësisht legal, por nuk e bën atë që synohej, që ptr të pointojë në x. për më tepër, nëse ptr është i painicializouar, dereferencimi do të shkaktojë gabim gjatë kohës së ekzekutimit, si u diskutua më herët. Ky gabim është i dukshëm nga Figura 1.8. si rregull e preferuar, është që në shenjën e parë të problemeve me pointer, të vizatohet figura, gjë që e sqaron situatën. Përdorimi i *ptr=x në vend të ptr=&x është gabim i shpeshtë për dy arsye. Së pari, sepse heshtja e kompajlerit, bën që programeri të ndjehet komod përkundër semantikës jokorrekte. Së dyti, duket ngjashëm sikur sintaksa e përdorur për inicializimin në kohën e deklarimit. Dallimi është se * në kohën e deklarimit nuk është * i dereferencimti por vetëm një tregues se objekti është i tipit pointer. Ndonjëhere duhet përcaktuar në mënyrë eksplicite se pointeri nuk është duke pointuar askund, si rast i kundërt me atë të lokacionit të padefinuar. Në këto raste përdoret “NULL pointeri”, i cili pointon në lokacion që është e garantuar se është i paaftë që të mbajë ndonjë vlerë. Rrjedhimisht, NULL pointeri nuk mund të dereferencohet. NULL pointeri ka vlerën 0 dhe nuk duhet të dereferencohet asnjëherë. Përdoret për të treguar se pointeri nuk pointon askund. Konstanta simbolike NULL është e definuar në disa header fajlla dhe mund të përdoret kjo ose edhe vlera zero. Më së miri është që pointerët të inicializohen në NULL pointer, sepse në shumë raste nuk kanë vlera fillestare të nënkuptuara (rregulla e njëjtë vlewn edhe për tipet tjera të predefinuara). Pointeri i dereferencuar njësoj si objekti në të cilin pointon. Prandaj, pas tre urdhërave vijues, vlera e ruajtur në x do të jetë 15: x = 5; ptr = &x; *ptr += 10;

//ptr merr adresen e x //aty ky pointon ptr (tek x), shto 10

Sidoqoftë, duhet të jemi të vetëdijshëm për rregullat e prioritetit sepse është e mundur kryerja e veprimeve aritmetikë jo vetëm në vlerat e dereferencuara por edhe në vetë pointerët (vlerat e padereferencuara). Kjo aftësi është një pasojë e pafat e rregullave shumë liberale të C++-it, të cilat lejojnë aritmetikën e pointerëve, duke përfituar nga fakti që pointerët në mënyrë interne ruhen si integjer. Megjithatë, evitoni përdorimin e aritmetikës së pointerëve në tekste. 61

Avni Rexhepi Për shembull, dy urdhërat vijues janë shumë të ndryshëm. *ptr += 1; *ptr++;

Në urdhërin e parë, operatori aplikohet në *ptr, por në të dytin operatori ++ (inkrementimi) aplikohet në ptr. Rezultati i aplikimit të operatorit ++ në ptr do të jetë ai që ptr ndërrohet që të pointojë në lokacion të memories për një njësi memorike më të madhe sesa që kishte më herët. Nëse ptr1 dhe ptr2 janë pointerë në tip të njëjtë, atëherë ptr1 = ptr2;

përcakton që ptr1 të pointojë në të njëjtin lokacion si ptr2, ndërsa *ptr1 = *ptr2;

ia ndjanë ptr1-shit të dereferencuar, vlerën e ptr2-shit të dereferencuar. Figura 1.16 ilustron se si këta dy urdhëra janë tërësisht të ndryshëm. Për më tepër, kur përdoret gabimisht forma e gabuar, pasojat mund të mos jenë të dukshme menjëherë.

5

5 ptr1

x

ptr1

x

y (a)

ptr1

x

7

7 ptr2

7

ptr2

y (b)

7 ptr2

y (c)

Figura 1.16 – (a) gjendja fillestare; (b) ptr1=ptr2 duke filluar nga gjendja fillestare; (c) *ptr1=*ptr2 duke filluar nga gjendja fillestare. Në shembujt paraprak, pas urdhërit, *ptr1 dhe *ptr2 janë të dy 7. Ngajshëm, shprehja: ptr1==ptr2;

është e vërtetë nëse të dy pointerët pointojnë në të njëjtin lokacion të memories, ndërsa *ptr1==*ptr2;

është e vërtetë nëse vlerat e ruajtura në të dy adresat e treguara janë të barabarta. Përdorimi i formës së gabuar është gabim i shpeshtë. 62

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Kërkesa që ptr1 dhe ptr2 të pointojnë në të njëjtin tip është pasojë e faktit që C++ është “strongly typed” (me kontrollë të lartë të tipeve të variablave dhe lokacioneve të tyre, si dhe kufizim të shndërrimit të brendshëm të tipeve, pa kontrollë dhe pa përdorim të operatorëve eksplicit të konvertimit të tipeve): tipet e ndryshme të pointerëve nuk mund të përzihen pa një konvertim eksplicit të tipit, përveq nëse shftytëzuesi ofron një konvertim implicit të të dhënave. Së fundi, kur deklarohen pointerët, vendosja e * dhe zbrazëtirave përreth tijë janë të parëndësishme për kompajlerin, prandaj përdoreni stilin që ju pëlqen.

1.4 Menaxhimi dinamik i memories (Dynamic Memory Management) Deri tani, të gjitha variablat që i kemi përdorur janë variabla automatike. Ky term (i përdorur rrallë) tregon se variablat lokale krijohen kur të arrihen në funksion dhe asgjësohen (shkatërrohen) kur më nuk janë në fushëveprimin e funksionit (p.sh., kur funksioni kthen vlerën me return). Ndonjëherë, objektet duhet të krijohen në mënyrë tjetër. Mënyra tjetër është alokimi dinamik i memories.

1.4.1. Operatori “new” Objektet mund të krijohen në mënyrë dinamike duke thirrur operatorin “new” (angl. new - i ri, e re). Operatori new alokon memorien në mënyrë dinamike (gjatë ekzekutimit të programit) dhe kthen pointerin për në objektin e ri të krijuar. Si rezultat të “new” kemi pointerin që pointon në objektin e ri të krijuar. Programi 1.5, ilustron çështjet e përfshira në alokimin dinamik të memories. Sidoqoftë, shembulli është një përdorim “i varfër” i memories dinamike, pasi që do të duhej të përdoret një string automatik. Në këtë rast përdoret vetëm sa për të ilustruar alokimin dinamik në kontekst të thjeshtë. Aplikimi më i arsyeshëm do të paraqitet më vonë (në pikën 1.6.2). Në programin 1.5, rreshti 9 krijon një string të ri në mënyrë dinamike. Vëreni se strPtr është pointer në tipin string, ashtu që vet string qaset përmes *strPtr, si është treguar në rreshtat 10-13. Kllapat janë të nevojshme në rreshtin 11 për shkak të rregullave të prioritetit (precedencës). 1 2 3 4 5 6

#include #include using namespace std; int main( ) {

63

Avni Rexhepi 7 string *strPtr; 8 9 strPtr = new string( "hello" ); 10 cout << "Stringu eshte: " << *strPtr << endl; 11 cout << "Gjatesia e tij: "<<(*strPtr).length( )<
1.4.2 Pastrimi i mbetjeve dhe fshirja Në disa gjuhë programuese, kur objekti më nuk referohet, është subjekt i grumbullimit automatik “të mbeturinave” (angl. garbage collection – pastrim i mbetjeve, mbledhje mbeturinash). Programeri nuk duhet të brengoset për këtë problem (Është fjala për mos zënien e hapësirës në memorie, nga variablat/objektet të cilat më nuk janë të nevojshme në program). Mirëpo, C++ nuk e ka mekanizmin e grumbullimit automatik të mbeturinave. Kur një objekt që alokohet me new, nuk referencohet më tutje, atëherë duhet të aplikohet operatori “delete” (angl. delete-fshije) duhet të aplikohet në objekt (përmes pointerit). Përndryshe, memoria të cilën ai e konsumon humbet (deri sa programi të ndalet), gjë që njihet si “memory leak” (angl. leak-rrjedhje, pikim, humbje, etj.). fatkeqësisht, rrjedhjet e memories janë dukuri e shpeshtë në shumë programe në C++. Për fat të mirë, shumë burime të rrjedhjes së memories mund të largohen automatikisht, me kujdes, si do të shihet në vazhdim. Një rregull e rëndësishme është që të mos përdoret new kur mund të përdoret variabla automatike. Variabla automatike pastrohet automatikisht (prandaj edhe quhet ashtu). Nuk duhet përdorur kurrë delete në një objekt që nuk është krijuar me new; përndryshe, do të rezultojë me një “shkatërrim” gjatë kohës së ekzekutimit. Operatori delete është ilustruar në rreshtin 15 (të programit 1.5).

1.4.3 “Stale” Pointerët, fshirja e dyfishtë dhe problemet tjera Një arsye që programerët mund të gjinden në telashe gjatë përdorimit të pointerëve është fakti që një objekt mund të ketë disa pointerë të cilët pointojnë në të. Shqyrtoni kodin në vijim: string *s = new string( "hello" ) ; // s pointon në

64

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave //stringun e ri string *t = s; // t pointon aty, poashtu delete t; // Objekti nuk është më

Askush nuk do t’i shkruante qëllimisht këta tre urdhëra njëri pas tjetrit, mirëpo supozoni situatën kur ata janë të shpërndarë në një kod të gjatë e në një funksion kompleks. Para thirrjes së delete, kemi një objekt të alokuar në mënyrë dinamike i cili ka dy pointerë që pointojnë në të. Pas thirrjes së delete, vlerat e s dhe t (d.m.th., ku ata pointojnë) nuk kanë ndryshuar. Mirëpo, si është ilustruar në Fig. 1.17, ata tani janë “stale” pointerë. (angl. stale-bajat, i ndenjur, etj.). Stale pointer është pointeri vlera e të cilit më nuk i referohet një objekti valid. Pra, është fshirë objekti ku pointon pointeri. Dereferencimi i s dhe t mund të dërgojë në rezultate të paparashikueshme. Ajo që i bën këto gjëra veçanërisht të vështira është se, edhe pse është e qartë që t është stale pointer, fakti që edhe s është i tillë është më pak i dukshëm, sidomos nëse keni parasysh supozimin se këto urdhëra mund të jenë të shpërndarë në ndonjë funksion kompleks. Për më tepër, në disa situata, memoria që ishte e zënë nga objekti është e pandryshuar deri në një thirrje të mëvonshme të “new” për kërkesë të memories, gjë që mund të jep iluzionin se nuk ka ndonjë problem. s Hello

t

Fig. 1.17 Stale pointerët: pas urdhërit delete t, pointerët s dhe t tani pointojnë në një objekt që nuk ekzisto më; urdhëri delet s do të ishte fshirje e dyfishtë ilegale Problem tjetër është i ashtuquajturi “double-delete” (fshirja e dyfishtë). Ky problem ndodhë kur tentohet të fshihet i njëjti objekt më shumë se një herë. Kjo do të ndodhte nëse do të jepej në vazhdim urdhëri: delete s;

// fshirje e dyfishtë

sepse s është “stale” dhe objekti në të cilin pointon nuk është valid (nuk ekziston). Është mundëia shumë e madhe që do të paraqiten probleme të kohës së ekzekutimit (angl. run-time error). Këto janë rreziqet e alokimit dinamik të memories. Duhet të jemi të sigurtë që kurrë të mos e thërrasim urdhërin delete më shumë se një herë për një objekt dhe atë vetëm pasi të mos jetë i nevojshëm. Nëse nuk thirret delete fare, edhe pse objekti më nuk është i nevojshëm, atëherë do të ketë rrjedhje të memories. Gjithashtu, nëse kemi variabël pointer dhe synojmë ta fshijmë me delete, duhet të jemi të sigurtë që objekti në të cilin pointohet ka qenë i krijuar me urdhërin 65

Avni Rexhepi “new”. Kur kemi thirrje të funksionit prej funksionit, përcjellja e të gjitha elementeve bëhet më e vështirë. Së fundi, pointerët mund të bëhen “stale pointer” edhe nëse nuk është bërë alokimi dinamik. Shqyrtoni kodin në programin 1.6. Për ndonjë arsye me kuptim (përveq për ilustrim të gabimit), kemi funksionin stupit i cili kthen pointerin në string. Nëse funksioni stupit e thërret new për të krijuar stringun, atëherë thirrësi do të jetë përgjegjës për thirrje të delete. Në vend se të ngarkohet thirrësi, gabimisht kemi vendosur që funksioni stupid të përdorë një string automatik dhe të kthejë adresën e tij. Programi kompajlohet por mund të mos funksionojë, sepse përmbanë gabim. Problemi është se vlera të cilën e kthen funksioni stupid është pointer. Por pointeri është duke pointuar në s, e cila më nuk ekziston, sepse është variabël automatike dhe funksioni stupid (angl. stupid-torollak), veç ka kthyer me return (ka përfunduar punën). Kur të kthehet vlera pointer, të jeni të sigurtë që keni diçka në të cilën pointoni dhe se ajo ekziston edhe pasi kthimi (return) të jetë kompletuar. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

string *stupid( ) { string s = "stupid"; return &s; } int main( ) { cout << *stupid( ) << endl; return 0; }

Programi 1.6 - Stale pointer: i pointuari, s, nuk ekziston pasi funksioni stupid kthen rezultatin.

1.5 Referencat Përveç tipit pointer, në C++ ekziston edhe tipi reference (referencë). Referenca është një alias (pseudonim, nofkë) për një objekt tjetër dhe mund të shihet edhe si pointer konstant që dereferencohet gjithmonë në mënyrë implicite. Për shembull, në kodin vijues, cnt bëhet sinonim për një variabël me një emër shumë të gjatë dhe të vështirë për t’u shkruar: int emeriGjateiVariables = 0; int & cnt = emeriGjateiVariables; cnt += 3:

66

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Referenca duhet të inicializohet kur të deklarohet. Ajo nuk mund të ndryshohet për të ju referuar një variable tjetër sepse një tentim i ricaktimit të referencës përmes urdhërit: cnt = njeObjektTjeter;

do të ja ndante/caktonte objektit emeriGjateiVariables vlerën e objektit njeObjektTjeter. Kjo qasje reflekton me saktësi se si ata përdoren në raste më të përgjithshme në të cilat fushëveprimi i variablës referente është i ndryshëm prej atij të objektit që referohet. Një rast i rëndësishëm është përdorimi i variablës referente si parametër formal i funksionit, me ç’rast ajo vepron si një alias për argumentin aktual, me rastin e thirrjes së funksionit. Kjo është diskutuar në kontekst të përcjelljes së parametrave të funksioneve, në rastin e përcjelljes së vektorëve (1.2.5). Le të rishikojmë përcjelljen e parametrave. Në programin 1.7 ilustrohet procedura/funksioni swapGabim( ) e cila nuk funksionon për shkak të kurfizimeve të “thirrjes sipas vlerës” (përcjelljes sipas vlerës) tek funksionet. Dy alternativat korrekte janë ajo me pointer dhe me referencë. Thirrja përmes pointerit, që është “C style” (në stil të C-së) është tradicionale për gjuhën C, bëhet për të evituar kufizimet e thirrjes përmes vlerës. Thirrja përmes referencës, e cila përdorë parametrat referent të C++, është opcioni tjetër, tërësisht identik për nga funksionimi. Dallimet mes tipeve me referenca dhe me pointer janë të përmbledhura si vijon: - Në deklarim të funksionit, parametrat referencë përdoren në vend të pointerëve. - Në definicion të funksionit, parametrat referencë dereferencohen në mënyrë implicite, ashtu që nuk ka nevojë për operatorët * (vendosja e tyre do të gjenerojë gabim sintaksorë). - Në thirrjen e funksionit sëapRef, nuk nevojitet &, sepse adresa përcillet në mënyrë implicite mbështetur në faktin se parametrat formal korrespondues janë referenca. - Kodi i cili përfshinë përdorimin e parametrave referentë është shumë më i lexueshëm. 1 2 3 4 5 6 7 8

#include using namespace std; // Nuk funksionon. void swapGabim ( int a, int b ) { int tmp = a; a = b;

67

Avni Rexhepi 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

b = tmp; } // C Style – duke perdorur pointeret. void swapPtr( int *a, int *b ) { int tmp = *a; *a = *b; *b = tmp; } // C++ Style – duke perodrur referencat. void swapRef( int &a, int &b ) { int tmp = a: a = b; b = tmp; } // Programi per testim te funksioneve “swap” (shkëmbe) int main( ) { int x = 5; int y = 7; swapGabim ( x, y ); cout << "x=" << x << " y=" << y << endl; swapPtr ( &x, &y ) ; cout << "x=" << x << " y=" << y << endl; swapRef ( x, y ); cout << "x=" << x << " y=" << y << endl; return 0; }

Programi 1.7 Call-by-reference kundrejt call-by-pointer. Referencat janë sikur konstantet pointer në atë se vlera të cilën e ruajnë është adresa e objektit të cilit i referohen. Ato janë ndryshe në atë se aplikohet një operator automatik i padukshëm i dereferencimit në referencë. Ky dallim përkthehet në lehtësi të notacionit, posaqërisht pasi që mundëson që parametrat të përcillen sipas referencës pa “bagazhin shtesë” të operatorit & në argumentet aktuale dhe operatorin * i cili shkakton “rrëmujë” në programet dhe funksionet në stilin e C-së.

68

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Përndryshe, edhe pointerët mund të përcillen sipas referencës. Kjo metodë përdoret për t’i mundësuar funksionit që të ndryshojë vendin ku pointon pointeri i përcjellur si parametër. Pointeri që përcillet me thirje sipas vlerës nuk mund të ndryshohet që të pointojë në lokacion të ri (sepse parametri formal ruan vetëm një kopje të vlerës së atij vendi). Një çështje tjetër me rëndësi është zgjedhja ndërmjet përcjelljes së parametrave sipas vlerës ose sipas referencës. Edhe pse kjo më herët u diskutua në kontekst të vektorëve, kjo vlenë për të gjitha tipet e parametrave.

1.6 Strukturat dhe pointerët Rikujtojmë se vargu është koleksion i objekteve (vlerave, variablave) të tipit të njëjtë. Vargu ka dy përparësi kryesore: së pari vargu indeksohet dhe mund të lëvizim nëpër secilin element të vargut me anë të unazave dhe së dyti, kur përdoren funksionet, mund të përcillet emri i vargut dhe kështu të përdoret vetëm një parametërt për të dërguar tërë përmbledhjen. Një tip tjetër i tipit përmbledhës në C++ është struktura. Struktura ruan një koleksion të objekteve të cilat nuk është e domosdoshme të jenë të tipit të njëjtë. Pasi që objektet në koleksion nuk janë të tipit të njëjtë, nuk mundemi që thjeshtë të kalojmë me unaza nëpër to, sikur në rastin e vargjeve. Secili objekt në strukturë është anëtarë (angl. member) dhe qaset përmes operatorit pikë të anëtarit (angl. dot member operator). Deklarimi i strukturës bazë bëhet përmes përdorimit të fjalës së rezervuar “struct”, emrit të strukturës dhe listës së anëtarëve të përmbyllur në kllapa të mëdha. Për shembull: struct Student { string emri; string mbiemri; int numriStudentit; double notaMesatare; } emri mbiemri numriStudentit notaMesatare

Fig. 1.18 – Struktura Student 69

Avni Rexhepi Figura 1.18. ilustron se struktura Student përbëhet prej katër objekteve të ndryshme. Nëse kemi deklarimin, Student s;

atëherë, për notën mesatare do të kemi s.notaMesatare. Programi 1.8 ilustron deklarimin e strukturës, qasjen e anëtarëve të të dhënae dhe përcjelljen e tyrë si parametra të funksionit. Vëreni se strukturat zakonisht nuk përcillen sipas vlerës për shkak se mbingarkimi i përcjelljes sipas vlerës mund të jetë shumë i “shtrenjtë” (për shkak të krijimit të kopjeve të parametrave, në këtë rast). Mekanizmi i përcjelljes së parametrave përcaktohet sipas asaj që u theksua tek diskutimi për këtë çështje (1.2.5). 1 // Shtypi informacionet per studentin 2 void printInfo( const Student &s ) 3 { 4 cout << "ID : " << s.numriStudentit << endl; 5 cout << "Emri : " << s.emri << " " 6 << s.mbiemri << endl; 7 cout << "Mesatarja: " << s.notaMesatare << endl; 8 } 9 10 // main i thjeshte. 11 int main( ) 12 { 13 Student meri; 14 15 meri.emri = "Meri" ; 16 meri.mbiemri = "Shala" ; 17 meri.notaMesatare = 4.0; 18 meri.numriStudentit = 123456789 ; 19 20 printInfo(meri); 2 22 return 0; 23 }

Programi 1.8 - Programi që ilustron deklarimin e strukturës, qasjen e anëtarëve të saj dhe përcjelljen e parametrave Struktura e C++ është zgjeruar dukshëm nga homologia e saj në C, për të mundësuar funksionet si anëtarë dhe për qasjen në anëtarë.

70

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Në diskutimin për teknikat e avansuara të programimit, hyn edhe deklarimi i pointerit në strukturë, për të ju qasur anëtarëve të strukturës së pointuar. Supozojmë se kemi: Student *ptr = &s;

//ptr pointon në sturkuturën s

Atëherë ne mund t’i qasemi notës mesatare përmes (*ptr).notaMesatare. Kllapat janë të domosdoshme në këtë rast, për të rregulluara prioriteitn, pasi qe operatori i anëtarit, duke qenë operator postfix, ka prioritet më të lartë sesa operatori prefix i dereferencimit. Meqenëse përdorimi i kllapave bëhet i mërzitshëm, C++ ofron një postfix operatorë tjetër plotësues, operatorin -> (member selection operator – operatori për selektim anëtarit), i cili i qaset anëtarëve të strukturës në të cilën pointohet.

të

Pra, operatori -> përdoret për të ju qasur anëtarëve të strukturës së pointuar, prandaj, edhe forma ptr->notaMesatare jep qasjen e njëjtë si urdhëri më parë.

1.6.1 Të dhënat ekzogjene kundrejt atyre indigjene dhe kopjimi i cekët kundrejt atij të thellë C++-i i lejon shfrytëzuesit që të definojë operatorët në struktura. Për shembull, shfrytëzuesi mund të shkruaj funksionin me deklarimin: bool operator<(const Student &lhs, const Student &rhs);

i cili kthen “true” nëse Studenti i parë (lhs: left-hand side – i anës së majtë) është më i vogël se studenti i dytë (rhs: right-hand side – i anës së djathtë), bazuar në ndonjë kriter të definuar përbrenda funksionit, nga ana e shfrytëzuesit. (Shkurtesat lhs dhe rhs, për left-hand side dhe right-hand side do të përdroren nëpër shembuj, respektivisht). Përdorimi i mekanizmit të klasave, mundëson që ky funksion të përfshihet si anëtarë i strukturës, ngjashëm me anëtarët e të dhënave. Operatori i ndarjes së vlerës me kopjimi = dhe operatori i barazisë == gjithashtu mund të definohen, por nëse nuk bëjmë asgjë, definicioni standard përdoret për kopjim dhe krahasimi i barazisë bëhet ilegal. Në mënyrë specifike, në mënyrë standarde, kopjimi i strukturës implementohet si kopje anëtarë për anëtarë. Me fjalë tjera, secili anëtarë kopjohet nga njëra strukuturë në tjetrën, e jo në nivel të strukturës, si tërësi. Problemi me këtë mekanizëm është ilustruar në deklarimin vijues: struct Profesor (

71

Avni Rexhepi string *emri; string "mbiemri; int IDPunetori; } ;

Supozojmë se kemi: Profesor s, t; Nëse supozojmë se t është inicializuar, atëherë s=t është kopjim anëtarë për anëtarë. Mirëpo, dy anëtarët e parë të strukturës janë thjeshtë pointerë, kështu që vetëm adresat kopjohen. Prandaj rezultati është që s.emri tani është duke e bashkëndarë memorien (angl. sharing memory) me t.emri, dhe këto nuk janë kopje të pavarura të stringut. Nëse më vonë jepet urdhëri: delete t.emri;

për të recikluar memorien e alokuar dinamikisht, s ndodhet në telashe serioze. Ky problem është i ilustruar në Figurën 1.19, e cila thekson dallimin ndërmjet të dhënave ekzogjene dhe atyre indigjene. (indigjene-vendëse, të brendshme; ekzogjene-jo vendëse, të jashtme). “Meri”

emri s

t

mbiemri 12345

IDPunetori

12345

“Shala”

Fig. 1.19 – Kopjimi i cekët, ku kopjohen vetëm pointerët Të dhënat indigjene (të vendit) janë tërësisht të përmbajtura nga ana e strukturës. Për shembull, në strukturën Student, anëtarët emri dhe mbiemri janë stringje dhe janë tërësishtë të vetë-përmbajtur. Disavantazh i reprezentimit të objektit në mënyrë indigjene është se madhësia e objektit është fikse, zakonisht është e madhe dhe prandaj e kushtueshme për t’u kopjuar (kur përcillet në funksionet, etj). Të dhënat ekzogjene (të jashtme), përkundrazi, qëndrojnë jashtë strukturës dhe janë të qasura përmes pointerit. Avantazh i të dhënave ekzogjene është se të dhënat e zakonshme (përbashkëta) mund të bashkëndahen (angl. shared) mes 72

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave disa instancave; kur përdoret operatori standard i ndarjes së vlerës, kopja është vetëm kopje e pointerëve, jo edhe e vlerave të pointuara. Zakonisht kjo sjellje është e dëshirueshme. Për shembull, në Java, kjo është standarde. Kopjimi i cekët (angl. shallow copy) nënkupton kopjen e pointerëve, e jo të të dhënave të cilat pointohen. Ngjashëm, krahasimet për barazi për të dhënat ekzogjene janë të cekëta në mënyrë standarde, sepse ato krahasojnë vetëm adresat. Edhe pse kopja e cekët është korrekte në raste të caktuara, lejimi i kopjimit të cektë kur nuk është i garantuar mund të dërgojë në shkatërrim/rrëmujë. Kopjimi i thellë (angl. deep copy), në të cilin kopjohen vlerat në të cilat pointohet, në përgjithësi nevojitet për të alokuar hapësirë memorike shtesë dhe pastaj për të kopjuar pointerët e dereferencuar. Kjo kërkon rishkrimin e operatorit të ndarjes së vlerës me kopjim (angl. copy assignment operator). Detajet e implementimit të kësaj procedure jepen më vonë. Normalisht, duhet të sigurojmë edhe operatorin e krahasimit të thellë, për të implementuar testin e thellë (natyrisht, kur gjejmë se jemi duke përdorur së shumti operacionet e thella, mund të kthehemi në përdorimin e të dhënave indigjene).

1.6.1 Listat jo të vazhduara – listat e lidhura Do të diksutojmë një teknikë të përdorur në strukturat e të dhënave. Më parë u tregua se duke përdorur vargjet dinamikisht të zgjerueshme, mund të lexojmë një numër arbitrar të të dhënave hyrëse (elementeve hyrëse). Kjo teknikë ka një problem serioz. Supozojmë se jemi duke lexuar rekorde 1000-bajtëshe dhe kemi 1,000,000 bajta të memories në dispozicion (të lirë). Gjithashtu, supozojmë se në një moment, vargu përmbanë 400 rekorde dhe është i mbushur në tërësi. Atëherë, për të dyfishuar atë, e krijojmë një varg të ri me 800 rekorde, i kopjojmë në të 400 rekordet ekzistuese dhe pastaj i fshijmë ato 400 rekordet (“të vjetrat”). Problemi është se në këtë hapin e ndërmjetëm (kalimtarë), kemi në përdorim të dy: vargun me 400 rekorde dhe vargun me 800 rekorde dhe kështu kemi në total 1200 rekorde, që i tejkalon kufijtë e memories. Në fakt, mund të mbesim pa memorie pas bashkëndarjes së përafërsisht një të tretës së memories në dispozicion. Zgjidhja e këtij problemi, është që të lejohet që lista e rekordeve të ruhet në fomë jo të vazhduar (angl. non-contiguously – jo e afërt, jo e puthitur, jo e vazhduar, është fjala për dallim nga rasti kur të gjithë anëtarët e vargut, janë në lokacione të njëpasnjëshme, të vazhdueshme në memorie). Për secilin rekord, e mbajmë një strukturë e cila ruan rekordin (vlerën) dhe një pointer “next” (angl. next-tjetri, i ardhshmi), për në strukturën e ardhshme në listë. Shembulli

73

Avni Rexhepi themelor është treguar në figurën 1.20. Struktura rezultuese është lista e lidhur klasike, e cila i ruan të dhënat me një kosto (çmim) të një pointeri për element. Definicioni i strukturës është: //Node=Nyje; item=elementi; next=tjetri,i/e ardhshme; struct Node { Object item; // elementi Node *next; }l;

Në çdo pikë, ne mund të shtypim listën, duke përdorur iteracionin (unazën) for( Node *p = first; p != NULL; p = p->next ) printItem( p->item );

dhe në çdo pikë mund të shtojmë një element të ri të fundit x, si në vijim: //last=iFundit; new=iRi,eRe last->next = new Node;// Shto një nyje të re last = last->next; // Përshtate të fundit-last last->item = x; // Vendose x-in në nyje last->next = NULL; // Ky është i fundit, kështu që bëje // next=NULL A0

A1

First (Fillimi, i/e par-i/a)

A3

A2

Last (Fundi, i/e fundit)

Fig. 1.20 – Lista e lidhur Kështu, elementet mund të mos jenë në lokacione të njëpasnjëshme në memorie, mirëpo për të gjetur një element të listës, më nuk mundmi me vetëm një çasje, si në rastin e vargut të zakonshëm, kur përmes indeksit, secili element mund të gjindej direkt, me vetëm një qasje. Në vend të kësaj, duhet të “skenojmë” (angl. scan-hetim, kërkim, kqyrje etj.) listën prej fillimit e tutje. Dallimi është i ngjashëm me atë të qasjes në të dhënat (p.sh., këngët) në CD (një qasje) dhe në shirit (sekuenciale). P.sh., për të dëgjuar këngën e 3, në CD mundemi direkt, kurse në kasetofon të vjetër, duhet rrotulluar shiritin prej fillimit e deri te kënga e tretë. Në anën tjetër, insertimi i një elementi të ri ndërmjet dy elementeve ekzistuese kërkon shumë më pak lëvizje të të dhënave në listën e lidhur sesa në një varg. P.sh., për të shtuar një element të ri në mes të dy anëtarëve ekzistues, duhet 74

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave kopjuar pjesa prapa e vargut, për t’u ruajtur dhe zhvendosur në pozitat pas insertimit të anëtarit të ri, kurse, në rastin e listës së lidhur, kjo gjë realizohet vetëm duke i ndërruar pointerët e elementit para dhe atij pas elementit të ri mes tyre, që të krijohet renditja e re. Avantazhi i listave të lidhura është më pak hapësirë e përdorur për objektet e mëdha sesa në teknikën e dyfishimit të vargut. “Dënimi” që paguhet është që qasja në element nuk është më konstante në kohë. Listat e lidhura do të diskutohen detajisht më vonë.

1.7.1 Kontejnerët Kontejneri është strukturë e të dhënave e cila mbanë disa objekte të cilat zakonisht janë të tipit të njëjtë (angl. contain-përmbaj, zë, përfshij; angl. container – enë, kuti). Tipet e ndryshme të kontejnerëve organizojnë objektet përbrenda tyre në mënyra të ndryshme. Edhe pse numri i organizimeve të ndryshme teoritikisht është i pakufizuar, vetëm një numër i kufizuar i tyre ka rëndësi praktike dhe ato që përdoren më së shpeshti janë të përfshira në STL. STL i përmbanë kontejnerët vijues: deque, list, map, multimap, set, multiset, stack, queue, priority_queue dhe vector. Kontejnerët e STL-it janë të implementuar si klasa shabllone (template classes) të cilat përfshijnë një numër funksionesh të cilat specifikojnë se cilat operacione mund të kryhen në elementet e ruajtura në strukturën e të dhënave të specifikuar prej kontejnerit ose në vetë strukturën e të dhënave. Disa operacione mund të gjinden në të gjithë kontejnerët, edhe pse ato mund të jenë të implementuar ndryshe. Funksionet e zakonshme të të gjithë kontejnerëve përfshijnë konstruktorin e zakonshëm, konstruktorin e kopjimit (copy constructor), destruktorin, empty() (zbraze), max_size() (madhësia maksimale), size() (madhësia), sëap() (shkëmbe), operatorin = dhe përveq ‘priority_queue’ gjashtë operatorët relacional të mbingarkuar. Për më tepër, funksionet e zakonshme në të gjithë kontejnerët, përveq stack, queue dhe priority_queue, përfshijnë edhe funksionet: begin() (fillimi), end() (fundi), rbegin(), rend(), erase() (fshije) dhe clear() (pastro). Elementet e ruajtura në kontejnerë mund të jenë të çfarëdo tipi dhe ato duhet të ofrojnë së paku konstruktorin e zakonshëm, destruktorin dhe operatorin e ndarjes së vlerë (=). Kjo është posaqërisht e rëndësishem për tipet e definuara prej shfrytëzuesit. Disa kompajlerë mund të kërkojnë mbingarkimin e disa operatorëve (së paku ‘= =’ dhe ‘<’, por ndoshta edhe ‘!=’ dhe ‘>’ poashtu) edhe pse programi nuk i përdorë ato. Gjithashtu, ‘copy construcor-i’ dhe operatori i funksionit ‘=’ duhet të ofrohen nëse të dhënat janë pointerë, sepse operacionet e insertimit përdorin kopjen e një elementi që është duke u insertuar, e jo vetë elementin. 75

Avni Rexhepi

1.7.2 Iteratorët Iteratori (angl. interate – përsëris), është një objekt që përdoret për të ju referuar një elementi të ruajtur në kontejner. Prandaj, iteratori është një përgjithsim i pointerit. Një iterator mundëson qasjen në informacionin e përmbajtur në kontejner ashtu që opercioni i dëshiruar të mund të kryhet në këto elemente. Si përgjithësim i pointerëve, iteratorët mbajnë notacionin e njëjtë të dereferencimit. Për shembull, ‘*i’ është një element i referencuar nga iteratori ‘i’. Poashtu, aritmetika e iteratorëve është e ngjashme me atë të pointerëve, edhe pse të gjitha operacionet në iteratorë nuk lejohen në të gjithë kontejnerët. Për kontejnerët: stack, queue dhe priority_queue nuk përkrahet asnjë iteratorë. Operacionet e iteratorëve për klasat list, map, multimap, set dhe multiset, janë si vijon (i1 dhe i2 janë iteratorë, n është numër): i1++, ++i1, i1--, --i1 i1=i2 i1 == i2, i1 != i2, *i1

Përveq këtyre operacioneve, operacionet e iteratorëve për klasat deque dhe vector janë si vijon: i1 < i2, i1 <= i2, i1 > i2, i1 >= i2 i1 + n, i1 - n i1 += n, i1 -= n, i1[n]

1.7.3 STL Algoritmet STL ofron afër 70 funksione të përgjithshme, të cilat mund të aplikohen në kontejnerë dhe vargje, duke u përfshirë në program përmes direktivës #include . Këto funksionie (të quajtura edhe algoritme) janë operacione që përdoren shumë shpeshë në shumicën e programeve, si p.sh. lokalizimi i një elementi në kontejner, insertimi i elementeve, largimi i elementeve, modifikimi i elementeve, krahasimi i elementeve, gjetja e vlerës bazuar në sekuencën e elementeve, sortimi i elementeve, e kështu me radhë. Pothuajse të gjitha STL algoritmet përdorin iteratorët për të treguar rangun e elementeve në të cilat ato operojnë. Iteratori i parë i referohet elementit të parë në rang, i dyti elementit pas elementit të parë. Prandaj, supozohet se është gjithmonë e mundur që të arrihet poizita e treguar me iteratorin e dytë duke inkrementuar iteratorin e parë. Për shembull, thirrja e funksioneve: 76

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave random_shuffle(c.begin(), c.end());

i renditë në mënyrë të rastit të gjitha elementet e kontejnerit ‘c’. Thirrja: i3 = find (i1, i2, el);

kthen një iteratorë i cili tregon pozitën e elementit ‘el’ në rangun prej i1 deri në i2. Thirrja: n = count_if(i1, i2, oddNum);

numëron përmes algoritmit ‘count_if’ elementet në rangun e treguar përmes iteratorëve i1 dhe i2, për të cilët funksioni me një argument, i definuar nga shfrytëzuesi, ‘oddNum()’, kthen ‘true’. Algoritmet e STL-it janë funksione të cilat janë plotësim për funksionet e ofruara nga kontejnerët. Sidoqoftë, disa algoritme jantë të definuara si funksione anëtare të klasave, për të ofruar performansë më të mirë.

Aritmetika e pointerëve Pointerët përdoren për të kaluar nëpër memorie sekuencialisht duke përdorur aritmetikën e pointerëve dhe operatorin e inkrementimit (++) dhe operatorin e dekrementimit (--). Operatori i inkrememntimit e rritë vlerën e variablës për 1, ndërsa operatori i dekrementimit e zovëlon vlerën e variablës për 1. Në shembullin vijues, vlera e variablës numriStudentit rritet për 1, duke bërë që vlera finale të jetë 1235: int numriStudentit = 1234; numriStudentit++;

ngjashëm, shembulli vijues, e zvogëlon vlerën e variablës numriStudentit për 1, duke rezultuar në velrën finale 1233. int numriStudentit = 1234; numriStudentit--;

Aritmetika e pointerëve përdorë operatorin e inkrementimit dhe atë të dekrementimit, në mënyrë të ngjashme, por pak më ndryshe. Urdhërat vijues deklarojnë dy variabla të përdorura për të ruajtur numrat e studentëve dhe dy pointerë, ku secili pointon në njërën prej këtyre variablave. int numriStudentit1 = 1234; int numriStudentit2 = 5678; int *ptNumriStudentit1; int *ptNumriStudentit2; ptNumriStudentit1 = &numriStudentit1;

77

Avni Rexhepi ptNumriStudentit2 = &numriStudentit2;

Sa do të jetë vlera e ruajtur në pointerin ptNumriStudentit1 nëse ptNumriStudentit1 inkrementohet për 1 duke përdorur urdhërin vijues: ptNumriStudentit1++;

Kjo është pak problematike, sepse vlera e ptNurmriStudentit1 është 0. Nëse ajo inkrementohet për 1, vlera e re do të duhet të ishte 1. Mirëpo, adresa e memories 2 është pjesa e dytë e lokacionit të memories së rezervuar për numriStudentit1. Kjo do të thotë se ptNumriStudentit1 do të pointonte në mes të vlerës së numriStudentit1, gjë që nuk ka kuptim. Ja se çka ndodhë në realitet. Kompjuteri përdorë aritmetikën e pointerëve. Vlerat inkrementohen dhe dekrementohen në aritmetikë të pointerëve duke përdorur madhësinë e tipit të të dhënave. Pra, nëse adresa e memories përmbanë një vlerë integer dhe adresa e memories inkrementohet, kompjuteri e shton madhësinë e një integeri ndaj lokacionit aktual të adresës së memories. Kjo i bie, që lëvizja para/prapa bëhet me hapin e tipit të pointerit, e secili tip i pointerit ka madhësinë e hapit varësisht prej tipit të variablës në të cilën pointon. Kjo i bie që pointeri i tipit int, ka hapin 4 bajta (kalon nga 4 bajta), ai i tipit double ka hapin 8 bajta (kalon nga 8 bajta) dhe ai i tipit karakter ka hapin 1 bajt (gjegjësisht, lëvizë me hap prej 1 bajti). Në rastin e strukturave, pointeri i struktorës lëvizë me hapin e madhësisë totale të strukturës. Figura 1.21 paraqet një varg a, pointerin ptr dhe urdhërin ptr=a. Këtu përforcohet idea se vlera e ruajtur në a është vetëm lokacioni i memories ku qëndron elementi i “zero-t” (elementi i pare, me indeks 0) i vargut dhe se elementet e vargut garantohet të jenë të ruajtura në lokacione të njëpasnjëshme (konsekutive, të afërta) dhe në rritje të memories. Nëse a është një varg i karaktereve, a[1] është i ruajtur në lokacionin e memories a+1, sepse karakteret përdorin një bajt. Për ketë arsye, ++ptr do të rriste pointerin ptr për 1, duke rezultuar në lokacionin e memories së a[1]. Prandaj, shtimi i një integjeri në variablën pointer ka kuptim në një varg të karaktereve. Nëse a do të ishte varg i integjerëve 4-bajtësh, shtimi i 1-shit në ptr do të dukej se bën që pointri të lëvizë një bajt më tutje. Mirëpo, për interpretim më të lehtë, thuhet se: ++ptr ia shton adresës së pointerit ptr, madhësinë e objektit në të cilin pointon. Ky interpretim bartet në operacionet tjera me pointer. Kështu, shprehja x=&a[3] bën që pointeri x të pointojë në a[3]. Nuk ka nevojë për kllapa të vogla përreth, si është thënë më herët. Shprehja y=x+4, bën që pointeri y të pointojë në a[7]. Kështu, do të mund të përdorim pointerët për të përshkuar vargun, në vend të metodës së zakonshme të iteracionit me indeksat e vargut. 78

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave a

a[0] a[1]

ptr

a[2] a[3] a[4] a[5]

x

y

a[6] a[7] a[8] a[9]

Figura 1.21 Aritmetika e pointerëve: x=&a[3]; y=x+4 ; Nëse p është pointer dhe x është i tipit integer, g+x vlerësohet si adresa ‘g’ objekte përtej x-it. Kjo adresë është gjithashtu lokacioni i memories së g[x].

Edhe pse mbledhja apo zbritja e tipit integer prej tipit pointerit ka kuptim, mbledhja e dy pointerëve nuk ka kuptim. Mirëpo, zbritja e dy pointerëve funksionon: y-x do të vlerësohej 4 (në shembullin e mëparshëm, lartë – sepse zbritja është operacioni invers i mbledhjes). Prandaj, pointerët mund të zbriten, por jo të mblidhen. Për dy pointerë, x dhe y, x
Si përmbledhje, kemi këto operacione të pointerëve: -

-

-

Pointerëve mund të ju ndahet vlera, të krahasohen për barazi (jobrazi) dhe të dereferencohen (në C++ dhe në shumicën e gjuhëve programuese). Operatorët janë: =, ==, != dhe *. Në pointer mund të aplikohet operatori i inkrementimit me prefix ose postfix, të shtohet një integer dhe të zbritet një integer ose pointer. Operatorët janë: ++,--, +,-,+= dhe -=. Në pointerë mund të aplikojmë operatorët relacional, por rezultati ka kuptim vetëm nëse të dy pointerët pointojnë në pjesët e vargut të njëjtë ose së paku njëri prej tyre pointon në NULL. Operatorët janë: <, <=, > dhe >=.

79

Avni Rexhepi -

Mund të testojmë me aplikimin e operatorit ! ndaj NULL (sepse NULL pointeri ka vlerën 0). Mund të indeksojmë dhe të fshijmë pointerët përmes [ ] dhe delete. Mund të aplikomë operatorët trivial, si & dhe sizeof, për të gjetur informacion për pointerin (jo për objektin në të cilin ai pointon). Mund të aplikojmë edhe disa operatorë të tjerë, si ->.

Pointerët në pointerë Imagjinoni rastin kur kemi një listë me 1 milion studentë me notat e tyre dhe numrat e tyre, dhe këkohet që të sortohet lista sipas emrit, mbiemrit dhe numrit të studentit. Intuitivisht, mund të mendohet për krijimin e dy kopjeve të listës, secila me një renditje të sortimit. Mirëpo, kjo shkakton humbje të panevojshme të memories. Ka një qasje më të mirë për të sortuar listat: përdorimi i pointerëve të pointerëve. Dihet se pointeri është variabël e cila përmbanë adresën e memories së një variable tjetër. Pointeri i pointerit, gjithashtu është variabël që përmbanë adresën e memories, por në këtë rast adresën e memories së një pointeri tjetër. Nëse ju duket e koklavitur, nuk jeni i vetmi! Koncepti i pointerit në pointer nuk është mjaft intuitiv. Mirëpo, kjo sqarohet duke deklaruar variablat dhe duke ruajtur vlerat në memorie. Le të fillojmë me deklarimin e katër variablave dhe inicializimin e tyre me shkronja të alfabetit. Kjo është treguar në urdhërin e parë të shembullit në vijim. Urdhëri i dytë deklaron pointerin e quajtur ptInitial dhe pointerin në pointer të quajtur ptPtInitial. Pointeri deklarohet duke përdorur shenjën asterisk (*). Pointeri në pointer deklarohet duke përdorur dy asterisk-a (**). char inital1='D', inital2='A', inital3='C', inital4='B'; char *ptInitial, **ptPtInitial; ptInitial = &inital1; ptPtInitial = &ptInitial;

Me variablat e deklaruara, dy urdhërat vijues ua ndajnë vlerat pointerit dhe pointerit të pointerit. Në të dy rastet përdoret operatori i adresës (&). Pointerit ptInitial i ndahet adresa e variablës intial1, e cila vendoset në memorie në adresën 1. Pointerit të pointerit, ptPtIntial, i ndahet adresa e memories së pointerit ptInitial. Adresa e ptInitial është adresa 5 e memories. Në figurën 1.22 paraqitet meoria e alokuar pas ekzekutimit të këtyre urdhërave.

80


Figura1.22 - Variables së pointerit të pointerit i ndahet adresa e memories së pointerit ptInitial. Programerët e përdorin pointerin në pointer për t’i treguar kompjuterit që të përdorë përmbajtjen e adresës së memories në variablën pointer, në të cilën pointon pointeri në pointer. Kjo është më lehtë të sqarohet me një shembull: Përmbajtja e variablës intitial1 mund të përdoret duke ju referuar variablës ptPtInitial. Ja si bëhet kjo: cout << **ptPtInitial;

Urdhëri cout i përdorur në këtë shembull, bën që të paraqitet përmbajtja e variablës initial1, edhe pse nuk duket se bënë këtë. Ky urdhëri është duke i treguar kompjuterit që të shkojë në adresën e memories të ruajtur në pointerin ptPtInitial, që pointon në variablën pointer, e cila është adresa 5 e memories (Figura 1.23). Përmbajtja e asaj adrese të memories, është një adresë tjetër e memories, e që është adresa 1. Kompjuterit i është thënë të shkojë në adresën e memories 1 dhe të paraqesë përmbajtjen e asaj adrese të memories, e që është shkronja D.

Figura 1.23: Dy adresa të memories referohen kur përdoret pointeri në pointer, për të paraqitur vlerën në ekran. 81

Avni Rexhepi

Vargjet primitive Sikur variablat e zakonshme, që duhet të deklarohet para se të përdoret në ndonjë shprehje dhe të inicializohet përa se të përdoret vlera e saj, ashtu duhet edhe vargu. Vargu deklarohet duke i dhënë emrin dhe duke i treguar kompajlerit tipi e elementeve të tij. Nëse definohet vargu, duhet të jepet edhe madhësia e tij. Madhësia mund të anashkalohet nëse bëhet inicializimi direkt i vargut, e kompajleri pastaj i numëron vlerat e inicializuara dhe atë e merr si madhësi të vargut. Operatori i indeksimit të vargut [ ] ofron qasjen në elementet e vargut. Secili objekt i bashkesisë së objekteve që e tregon vargu, mund të qaset ëprmes operatorit të indeksimit të vargut. Thuhet se operatori [ ] e indekson vargun, që do të thotë se specifikon cili element i vargut qaset. Vargjet në C++ gjithmonë indeksohen duke filluar nga zeroja. Mirëpo, C++, nuk bën kontrollim të kufijve, prandaj duhet kujdes sepse qasja me indeks jashtë kufijve nuk hetohet nga kompajleri. Nuk gjenerohet as gabim eksplicit i kohës së ekzekutimit, mirëpo ndodhin sjellje dhe velra të “çuditshme” të programit. Për më tepër, nëse vargu përcilet se argument aktual në funksion, atëhere funksioni nuk ka ide për madhësinë e vargut, përveç nëse i përcilllet edhe një parametër plotësues. Vargjet, nuk mund të kompjohen me operatorin =, bazuar në tiparet themelore të gjuhës për vargjet dhe pointerë dhe kufizimet për to.

Emri i vargut është Pointer Kur alokohet një varg, kompajleri e shumëfishon madhësinë në bajta të tipit të deklaruar me madhësinë e vargut (të shënuar brenda [ ]), për të përcaktuar se sa memorie duhet rezervuar. Në esencë, ky është përdorimi i vetëm i komponentës së madhësisë. Në fakt, pasi të alokohet vargu, me përjashtime të vogla, madhësia e tij është e parëndësishme, sepse emri i vargut reprezenton një pointer në fillimin e memories së alokuar për atë varg, ashtu si paraqitet në figurën D.1. Supozojmë se kemi deklarimet: int a[3]; int i;

Kompajleri e alokon memorien si vijon. Së pari, tre integjera ndahen/rezervohen për vargun dhe referohen përmës a[0], a[1] dhe a[2]. Objektet në varg është e garantuar se do të ruhen në blloqe të njëpasnjëshme të memories. Prandaj, nëse a[0] është ruajtur në lokacionin 1000 dhe integjeri kërkon 4 bajta, atëherë a[1] është e garantuar se do të jetë i lokalizuar në lokacionin 1004 dhe a[2] në lokacionin 1008. Në fund, kompajleri alokon memorien për objektin tjetër, integjerin i. Një mundësi është paraqitur në figurën 1.24., ku i 82

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave alokohet në sllotin e ardhshëm në dispozicion (angl. slot-vend i caktuar, ndarje, vrime, etj). Për çdo i, ne mund të nxjerrim përfundim se a[i] do të ruhet në lokacionet e memories 1000+4i. Vlera e ruajtur në a është &a[0]; kjo ekuivalenca është gjithmonë e garantuar dhe na tregon se në realitet a është pointer. Vëreni se kur alokohet vargu a, vlera e a është konstante; nuk krijohet për të pointeri. Pasi që ky rast e trajton a si konstantë e jo si objekt, &a merr kuptim special (konstantet normalisht nuk kanë adresa) dhe në vetëm në këtë rast, vlera e &a është a. &a[0]

(1000)

a[0]

&a[1]

(1004)

a[1]

&a[2]

(1008)

a[2]

&i

(1012)

i . . .

konstantet lokale

a=1000

Fig. 1.24. Modeli i memories për vargjet Tani, për të ju qasur elementit a[i], kompajlerit vetëm i duhet të merr vlerën e a dhe t’ia shtojë 4i. Duke pasur parasysh këtë mënyrë të manipulimit të vargjeve në C++, mund të shihet se përse vlejnë kufizimet e përmendura për vargjet dhe si përcillen vargjet si parametra të funksioneve. Së pari, kemi problemin e verifikimit se a është indeksi i caktuar brenda rangut. Kryerja e verifikimit të kufijve do të kërkonte që të ruhet madhësia e vargut në një parametër plotësues. Sigurisht që kjo është e mundur, por kjo gjë shkakton kosto shtesë të kohës dhe hapësirës. Në aplikimet e zakonshme të vargjeve (stringjet e shkurtëra), kjo mbingarkesë do të ishte e dukshme. Si është thënë më parë, nëse shftyrëzuesi dëshiron të bëjë verifikimin e kufijve, mund shkruhet një klasë dhe të përdoret thuase do të ishte varg i predefinuar (ky është shablloni vector). Prandaj, nuk na mbetet që të diskutojmë për vendimin e dizajnerëve të C++ që të mos mandatojnë verikimin e rangut, edhe pse kjo mungesë mund të shkaktojë probleme serioze. Shqyrtoni fragmentin vijues të kodit, që përdorë deklarimet e mëparshme të a dhe i: 83

Avni Rexhepi for (i=1; i<=3; i++) a[i]=0;

Në këtë rast, programeri bën gabimin e zakonshëm të qasjes në a[3], duke harruar se madhësia 3 e vargut përfaqëson vetëm indeksat prej 0 deri në 2. Kur i bëhet 3, kompajleri e ekzekuton urdhërin a[3]=0 pa e verifikuar nëse indeksi është valid. Supozojmë se memorja është alokuar, ashtu si është paraqitur në figurën 1.24. Efekti i kësaj është që lokacioni i memories 1012 mbishkruhet me 0 dhe kështu duke e “shkatërruar” i-në. rezultati i kësaj, d.m.th., resetimi i i në 0, shkakton unazë të pafund. Mirëpo, nëse kompajleri ka vendosur (si bëjnë disa kompajlerë) që të lerë lokacionin 1012 të lirë dhe të vendosë i-në diku tjewtr, programi duket se punon. Prandaj, gabimet për nga një pozitë në indekset e vargjeve mund të dërgojnë në bug-a që shumë vështirë vërehen. Në shembullin e paraqitur, unaza është e pafund, mirëpo i-ja nuk është ndryshuar direkt asnjëherë. Kufizimi i dytë për vargun themeor (që mund të përmirësohet vetëm përmes klasës së definuar prej shfrytëzuesit) është kopjimi i vargut. Supozojmë se a dhe b janë vargje të tipit të njëjtë. Në shumë gjuhë programuese, nëse vargjet gjithashtu janë të madhësisë së njëjtë, urdhëri a=b do të kryente kopjimin element për element të bargut b në vargun a. Në C++ ky urdhër është ilegal, sepse a dhe b përfaqësojnë pointerë konstant në fillimin e vargjeve të tyre respektive, në mënyrë specifike të &a[0] dhe &b[0]. Atëherë a=b është një tentim që të ndryshohet vendi se ku pointon a-ja, e jo kopjimi i vargut b në a. Ajo që e bën urdhërin ilegal, e jo legal por të gabuar, është fakti se a-ja nuk mund të ricaktohet që të pointojë diku tjetër sepse ajo në esencë është objekt konstant. Mënyra e vetme për të kopjuar dy vargje është që kjo të bëhet element për element; nuk ka shkurtesë. Argumenti i ngjashëm tregon se shprehja a==b nuk vlerësohet në true nëse dhe vetëm nëse secili element i a-së i përshtatatet elementit përkatës të b-së. Në vend të kësaj, kjo shprehje është legale. Shprehja jep true nëse dhe vetëm nëse a dhe b reprezentojnë lokacionin e njëjtë të memories (d.t.th, i referohen vargut të njëjtë). Në fund, vargu mund të përdoret si parametër i funksionit dhe rregullat vijojnë logjikisht prej të kutpuarit tonë se emri i vargut është pak më shumë sesa një pointer. Supozojmë se kemi funksionin që pranon si parametër një varg të tipit int. atëherë pamja nga këndvështrimi i thirrësit dhe të thirrurit janë si vijon: functionCall(varguAktual) ; functionCall(int varguFormal[])

// thirrja e funksionit //deklarimi i funksionit

Vëreni që në deklarimin e funksionit, kllapat shërbejnë vetëm si deklarim i tipit, në mënyrë të njëjtë si bën edhe int. në thirrjen e funksionit, përcillet vetëm emri i vargut; nuk ka kllapa fare. Në pajtim me rregullat e thirrjes/përcjelljes sipas vlerës në C++, vlera e varguAktual kopjohet në varguFormal. Pasi që 84

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave varguAktual përfaqëson lokacionin e memories ku i tërë varguAktual është ruajtur, varguFormal[i] i qaset varguAktual[i]. me fjalë tjera, variablat e përfaqësuar përmes vargut të indeksuar janë të modifikueshme. Prandaj vargu, kur konsiderohet si “aggregate” (përmbledhës), përcillet sipas referencës. Për më tepër, çfarëdo komponente e madhësisë në deklarimin e varguFormal injorohet dhe madhësia e bargut aktual është e panjohur. Nëse madhësia është e nevojshme, ajo duhet të përcillet si një argument shtesë. Vëreni se përcjellja e përmbledhësit sipas referencës nënkupton që funksioni mund të ndryshojë elementet në varg. Atëherë, mund të përdoret direktiva const, për të tentuar që të mos lejohet ndryshimi i tillë: functionCall ( const int varguFormal[ ] );

Tipi char*, pointeri konstant dhe stringu konstant Një përdorim i rëndësishëm i pointerëve dhe vargjeve në C++, është implementimi i stringjeve. C++ bazë ofron përkrahje minimale për stringjet, të bazuar tërësisht në rregullat e gjuhës C dhe libraritë e saj. Rezultati është shumë minimal për të qenë i dobishëm për një gjuhë moderne programuese, si është edhe për vargjet. Programerët në C++ priren të bazohen në klasën e librarisë . Mëgjithatë, është mirë të dihet se si implementohen stringjet në librarinë bazë të C-së, sepse ata formojnë bazën për klasën string. Në C++ dhe në C, stringu është një varg i karaktereve. Si rezultat, kur t’i përcillet funksionit, stringu ka tipin char * ose const char *. Në shikim të parë mund të supozohet se “Nina” është një varg i katër karaktereve: ‘N’, ‘i’, ‘n’, dhe ‘a’. Problemi me këtë supozim është se nëse këtë varg ia përcjellni një funksionit, ai funksion nuk do ta dijë se sa karaktere janë në varg, sepse si është treguar, funksioni që pranon një varg, e pranon vetëm pointerin dhe prandaj nuk ka ide se sa i madh është vargu aktualisht. Një zgjidhje për këtë problem është të përdoret një varg pak më i madh me një shenjë/marker të fundit të vargut. Për shembull, mund të deklarojmë një varg prej 5 elementeve, duke vendosur një zbrazëtirë në pozitën e fundit për të sinjalizuar se vetëm katër pozitat e para përfaqësojnë karaktere të rëndësishme. Nëse të gjitha funksioniet shkruhen për të reflektuar këtë marrëveshje, atëherë kemi një zgjidhje të problemit i cili kërkon një ndryshim të vogël të gjuhës. Sepse, ne do të mund të dëshironim të përdorim zbrazëtirën brenda stringut (p.sh., për të ruajtur adresën e banimit), atëherë duhet të zgjedhim një shenjë për funind (angl. endmarker) që nuk ka gjasa që të paraqitet tjetërkund në string. Në C++ ku karakter special është “null terminator” ‘\0’ (shenja e përfundimit NULL). Simboli ‘\’ tregon se null terminator-i gjithmonë është i reprezentuar në mënyrë interne si zero, gjë që çon një një stenografi të shkurtër kur kontrollohet kur shprehja kontrolluese është e 85

Avni Rexhepi shkruar në një urdhër ‘if’ ose në unazë. (Kujdes!. Është e zakonshme të harrohet shenja \ para zeros, duke lënë vetëm ‘0’, që në fakt është karakteri për shifrën 0). Prandaj, një varg prej 6 karaktereve ‘N’, ‘i’, ‘n’, ‘a’, dhe ‘\0’, përfaqëson stringun “Nina”, pa marrë parasysh se çka ka në karakterin e gjashtë. Pra, problemi është se C++ nuk ofron absolutisht asgjë si përkrahje për stringjet. Për më tepër, nuk ofron drejtpërdrejtë disa gjëra të gjuhës, si në rastin kur deklarojmë dy stringje str1 dhe str2, si në vijimL char strl[10]; // gjatesia Max eshte 9 char str2[10]; // gjatesia Max eshte 9

Atëherë urdhërat vijues nuk mund të jenë korrekt: strl = str2; cond = (strl == str2);

//Gabim! // Gabim !

Ky dështim vjen drejtpërdrejt prej faktit se str2 dhe str2 janë vargje dhe ndarja e vlerës së vargjeve dhe krahasimi i vargjeve nuk është i përkrahur nga gjuha. Në fakt, e tërë përkrahja ofrohet nga libraria e C++, e cila specifikon funksionet të cilat punojnë me stringjet null-terminated. Prototipet për këto funksione janë dhënë në fajllin që duhet përfshirë me direktivën #include (ose ). Ky fajll është i replikuar në . Disa funksione të rëndësishme janë paraqitur në figurën në vijim. 1 2 3 4

size-t char * char * int

strlen( strcpy( strcat( strcmp(

const char char *lhs, char *lhs, const char

*str ); const char *rhs ); const char *rhs ) ; *lhs, const char *rhs 1;

Figura D.2. Disa funksione në Funksioni strlen(str) jep gjatësinë e strungut str (pa përfshirë nullterminator-in); gjatësia e strungut “Nina” është 4. Në këtë dhe të gjitha funksionet, nëse përcillet NULL Pointeri, mund të pritet që programi të bllokohet. Vëreni se kjo qasje është e ndryshme nga përcjellja e pointerit në pozitën memorike e cila përmbanë karakterin ‘\0’, i cili përfaqëson stringun e zbrazët të gjatësisë 0. Funksioni strcpy(lhs, rhs) kryen ndarjen e vlerës së stringjeve: karakteret e dhëna nga rhs kopjohen në vargun e dhënë me lhs, deri sa të kopjohet null-terminatori. (Skurtesat ishin: lhs-left hand side – ana e majtë, rhs-right hand side – ana e djathtë). Nëse stringu i përfaqësuar në lhs nuk është mjaft i madh sa për të ruajtur kopjen, një pjesë tjetër e memories mbishkruhet (duke shkaktuar dëmtimin e të dhënave në atë pjesë). Pra, funksioni strcpy nuk verifikon se a është caku mjaft i madh për të ruajtur kopjen. Renditja e parametrave lhs dhe rhs mbahet mend lehtë, duke pasur parasysh që: strcpy( lhs, rhs )

86

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave është menduar që të imitojë shprehjen: lhs = rhs: Tipi i kthimit të rezultatit char * i mundëson funksionit strcpy që të zgjerohet në formë zinxhirore, njësoj si urdhërat: strcpy (a,strcpy (b,c )) që janë sikur a=b=c. Funksioni strcat(lhs, rhs) e shton (bashkangjet) kopjen e stringut rhs, në vazhdim të atij lhs. Njësoj si në rastin e strcpy, është përgjegjësi e programerit që të sigurohet që lhs është duke pointuar në hapësirë të mjaftueshme të memories për të ruajtur rezultatin. Funksioni strcmp, i krahason dy stringje dhe kthen numër negativ, zero ose pozitiv, varësisht prej asaj se a është stringu i parë leksikografikisht më i vogël, i barabartë apo më i madh sesa i dyti. Siç është përshkruar më herët, C++ ofron funksionet e librarive për stringje por jo edhe përkrahje nga ana e gjuhës. Në fakt, përkrahja e vetme nga gjuha është nga string konstantja. Konstantja string është sekuencë e karaktereve të rrethuara në thonjëza. Null terminatori i shtohet automatiksht. Konstantja string ofron mekanizëm të shkurtër për të specifikuar sekuencën e karaktereve. Ajo automatikisht e përfshinë null terminator-in si një karakter të fundit të padukshëm. Cilido karakter (i specifikuar me shenjën speciale \, nëse është e nevojshme) mund të paraqitet në konstanten string, kështu që “Nina” reprezenton vargun me pesë karaktere. Për më tepër, string konstanta mund të përdoret si inicializues për vargun e karaktereve, prandaj: char namel[]="Nina"; //namel - varg prej 5 karaktereve char name2[9]="Nina"; //name2 - varg prej 9 karaktereve char name3[4]="Nina"; //name3 - varg prej 4 karaktereve

Në rastin e parë, madhësia e vargut të alokuar për name1 është e përcaktuar nëmënyrë implicite. Në rastin e dytë kemi alokuar hapësirë të tepërt (e cila nevojitet nëse synojmë që më vonë të kopjojmë ndonjë string më të gjatë në name2). Rasti i tretë është gabim, sepse nuk kemi alokuar hapësirë të mjaftueshme të memories për null terminatorin. Inicializimi me konstante string është përjashtim sepcial”. Nuk mund të themi: char name4[8] = namel; // ILEGALE!

Konstanta string mund të përdoret në cilindo vend ku mund të përdoret objekti string dhe konstant. Për shembull, mund të përdoret si parametër i dytë në strcpy, por jo si parametër i parë. Arsye për këtë është se deklarimi i strcpy nuk pamundëson mudnësinë që parametri i parë të mund të ndryshohet (në të vërtetë, ne e dijmë se është). Pasi që konstanta string mund të ruhet në memorie “readonly” (vetëm për lexim), të mundësuarit që ajo të jetë cak i funksionit

87

Avni Rexhepi strcpy do të mund të rezultonte në gabim hardveri. Vëreni se gjihmonë mund të dërgojmë string jokonstant në parametrin që pret string konstant. Prandaj, kemi: strcpy( name2, "Mark" ); // LEGALE strcpy( "Mark", name2 ); // ILEGALE! strcpy( name2, name1 ) ; // LEGALE

Deklarimet për string funksionet indikojnë se parametrat janë pointerë sepse emri i një vargu është pointer. Parametri i dytë në strcpy është string konstant, që nënkupton se cilido string mund të përcillet me garancionin se nuk do të ndryshohet. Parametri i parë është thjeshtë string dhe mund të ndryshohet. Rrjedhimisht, stringu konstant, duke përfshirë edhe konstantet e stringjeve, nuk mund të përcillet në funkson. Fillestarët synojnë të çojnë ekuivalencën e vargjeve dhe pointerëve një hap më larg. Rikujtoni se dallimi fundamental ndërmjet vargut dhe pointerit është se definicioni i vargut alokon memorie të mjaftueshme për të ruajtur vargun, ndërsa pointeri pointon në memorien e cila është e alokuar tjetërkund. Pasi që stringjet janë gjithmonë vargje të karaktereve, ky dallim aplikohet në stringje. Gabim i zakonshëm është deklarimi i pointerit kur të nevojitet një varg. Shqyrtoni deklarimet: char name[] = "Nina"; char *name1 = "Nina"; char *name2;

Deklarimi i parë alokon pesë bajta për për name, duke inicializuar në të kopjen e stringut konstant “Nina” (duke përfshirë edhe null terminatorin). Deklarimi i dytë thjeshtë thekson se name1 pointon në karakterin zero të stringut konstant “Nina”. Në fakt, deklarimi iështë i gabuar sepse jemi duke përzier tipet e pointerëve: ana e djathtë është const t char*, por ana e majtë është thjeshtë char *. Disa kompajlerë do të ankohen. Aryesja është se një urdhër pasues namel[ 3 ] = 'e';

është një tentim për të ndryshuar konstanten string. Konstanta string supozohet të jetë konstante, ashtu që ky veprim nuk do të lejohej. Mënyra më e lehtë për kompajlerin që të pamundësoj këtë veprim është që të përcjellë rregullën që, nëse a është varg konstant, atëherë a[i] është konstante poashtu dhe nuk mund t’i ndahet vlerë. Nëse urdhëri char *name1 = "Nina";

do të lejohej, name1[3] do të lejohej. Duke detyruar const-antësinë në secilën ndarje të vlerës, problemi bëhet i menagjueshëm. (Mund të përdoret “type cast” për const-antësinë, por kështu programeri do të humbiste mbrojtjen e ofruar nga C++-i). Në mënyrë legale mund të përdoret: 88

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave const char *name1 = "Nina";

por kjo nuk është njësoj si deklarimi i një vargu për të ruajtur kopjen e stringut aktual; për më tepër, name1[3]=’e’ lehtë përcaktohet nga kompajleri se është ilegal në këtë rast. Shembull i shpeshtë ku mund të përdoret deklarimi const char * është: const char *message = "Welcome to FIEK!";

Një pasojë e zakonshme e deklarimit të pointerit në vend të vargut është urdhëri vijues (në të cilin supozojmë se name2 është deklaruar më herët): strcpy ( name2, name ) ;

Këtu programeri pret që të kopjojë name në name2, por është mashtruar sepse deklarimi i strcpy tregon se duhet të përcillen dy pointerë. Thirrja e tillë e funksionit dështon sepse name2 është vetëm pointer, e jo pointer në lokacion të mjaftueshëm të memories, për të mbajtur kopjen e name. nëse name2 është NULL pointer, pointon në konstanten string të ruajtur në memorie vetëm për lexim (angl read-only memory), ose pointon në një lokacion ilegal të zakonshëm, strcpy është e sigurtë se do të tentojë ta dereferencojë atë, duke gjeneruar gabim. Nëse name2 pointon në varg të modifikueshëm (p.sh., ekzekutohet urdhëri name2=name), atëherë nuk ka problem. Edhe pse këto procedura duken shumë restriktive dhe të ngatërruara, C++-i ofron tipin dhe e bënë të duket njësoj sikur një tip i predefinuar, siç është tipi int. Rrjedhimisht, nuk kemi nevojë të brengosemi për kufizimet e detyruara në C++, sepse ato janë të “fshehura” përbrenda string-ut.

Vargu dhe stringu Vargu ësthë strukturë bazike e të dhënave që prezenton një grup të elementeve të ngjashme, që kanë qasje sipas indeksit. Struktura e vargut mund të ruhet në mënyrë efektive në kompjuter dhe ofron qasje të shpejtë në të gjitha elementet e tij. Vargjet kanë përparësite dhe të metat e tyre.

Përparësitë  

S’ka mbingarkesë (overhead) për element. Cilido element i një vargu mund të qaset në kohë O(1) përmes indeksit të tij.

89

Avni Rexhepi

Të metat 



Vargu si strukturë e të dhënave nuk është tërësisht dinamik. Shumë gjuhë programuese ofrojnë mundësinë e alokimit të vargjeve me madhësi arbitrare (vargje të alokuara në mënyrë dinamike), por kur kjo hapësirë të shfrytëzohet në tërësi (kur mbushet vargu), duhet të alokohet një varg me madhësi më të madhe dhe të dhënat e vjetra të kopjohen në të. Insertimi dhe fshirja e një elementi të vargut, kërkon zhvendosjen (shiftimin) e mesatarisht O(n) elementeve, ku n është madhësia e vargut.

Vargjet statike dhe dinamike Ekzistojnë dy tipe të vargjeve, të cilat dallojnë për nga mënyra e alokimit. Vargu statik ka madhësi konstante dhe ekziston gjatë tërë kohës së ekzekutimit të aplikacionit. Vargu dinamik (i alokuar në mënyrë dinamike) krijohet gjatë ekzekutimit të programit dhe mund të fshihet kur të mos jetë më i nevojshëm. Vargjet e alokuara në mënyrë dinamike mund të jenë shumë të mëdha, edhe më të mëdha sesa madhësia e memories fizike. Sidoqoftë, vargut të alokuar në mënyrë dinamike nuk mund t’i ndryshohet madhësia. Mirëpo, ju mund ta rrisni (zgjeroni) vargun si në vijim: 1. Krijoni varg të ri me madhësi më të madhe 2. Kopjoni të dhënat nga vargu i vjetër në të riun 3. Lironi memorien, që ishte e zënë me vargun e vjetër

Madhësia fikse dhe vargjet dinamike Si u tha më herët, vargjeve nuk mund të ju ndryshohet madhësia. Në këtë rast, vargu quhet varg me madhësi fikse. Mirëpo, ne mund të përdorim një dredhi (rreng, trik), për të konstruktuar një varg dinamik, të cilit mund t’i ndryshohet madhësia. Idea është e thjeshtë. Alokohet një hapësirë për vargun dinamik dhe në mënyrë imagjinary e ndajmë në dy pjesë. Njëra pjesë përmbanë të dhënat (vlerat) dhe pjesa tjetër është e lirë. Kur të shtohet një element i ri, hapësira e lirë zvogëlohet dhe anasjelltas. Kjo qasje rezulton më mbingarkesë për hapësirën e lirë, por ofron të gjitha përparësitë e vargjeve dhe mundësinë e ndryshimit të madhësisë në mënyrë dinamike. Disa definicione lidhur me këtë lloj të vargjeve janë si në vijim. 90

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Vargu dinamik ka kapacitetin e tij, i cili tregon numrin maksimal të elementeve që mund ta përmbajë. Gjithashtu, një varg i tillë ka madhësinë logjike, e cila tregon sa elemente në të vërtetë i përmbanë vargu. Për shembull, dëshirojmë të gjejmë minimumin e vlerave të cilat i jep shfrytëzuesi. Ne alokojmë hapësirë për ruajtjen e 15 elementeve, por shfrytëzuesi i jep vetëm 5 vlera. Në këtë rast, kapaciteti i vargut është 15 elemente, por madhësia logjike është 5 elemente. Kur vargu dinamike të mbushet tërësisht, ai duhet të zgjerohet duke krijuar një varg të ri më të madh dhe të kopjohen elementet nga vargu i vjetër në vargu e ri. Ta keni parasyshë, që kopjimi i vargjeve përkrahet nga hardveri dhe mund të bëhet në mënyrë shumë efikase.

Lidhja me stringjet Marrim në konsiderim “null-terminated strings” (stringjet e krijuara prej karaktereve dhe të përmbyllura me karakterin “null”). Stringjet janë të ngjashme me vargjet dinamike, por madhësia e tyre logjike tregohet përmes karakterit null. Prandaj, kapacitety i tyre është gjithmonë një element më shume sesa madhesia logjike maksimale. Madhësia logjike e stringut njihet si “length” (gjatësia). Shembull. ASCII stringu "Hello!", i “përfaqësuar” në brendi të kompjuterit: H e l l o ! \0 72 101 108 108 111 33 0 Pjesë kodi Programi në vijim e gjene minimumin e vlerave të insertuara. #include using namespace std; int main() { // vargu static int vargu1[15]; int n = 0; int vlera = 0; cout << "Jepni vlerat. Shtypni \"-1\" për fund: "; while (n < 15 && vlera != -1) { cin >> vlera; if (vlera != -1) { vargu1[n] = vlera; n++;

91

Avni Rexhepi } } if (n == 0) { cout << "Nuk keni dhënë asnje vlerë!"; } else { int minimumi = vargu1[0]; for (int i = 1; i < n; i++) { if (vargu1[i] < minimumi) minimumi = vargu1[i]; } cout << "Vlera minimale është " << minimumi; } return 0; }

Alokimi dinamik i vargjeve Supozojmë se dëshirojmë të lexojmë një sekuencë të numrave dhe ta ruajmë si një varg për përpunim. Tipari themelor i një vargu ëkrkon që të deklarojmë madhësinë ashtu që kompajleri të mund të alokojë sasinë korrekte të memories. Duhet të bëjmë këtë deklarim para qasjes së parë të vargut. Nëse nuk kemi ide se sa elemente mund të priten, zgjedhja e arsyeshme e madhësisë së vargut është e vështirë. Atëherë, na hyn në punë alokimi dinamik i vargut, që mundëson zgjerimin/rritjen e tij nëse vlerësimi fillestar është shumë i vogël. Teknika e alokimit dinamik të vargjeve (angl. dynamic array allocation) na mudnëson të alokojmë një madhësi arbitrare të vargut dhe pastaj ta rrisim ose zvogëlojmë atë gjatë ekzekutimit të programit. Mënyra e deritashme e alokimit të vargut ishte: int al[ SIZE ] ; // SIZE është konstante e kohës së kompajlimit

Gjithashtu e dijmë se mund të përdorim: int *a2;

si një varg, përveq se nuk alokohet memorie nga kompajleri për vargun. Operatori “new” na mundëson që të marrim memorie nga sistemi, gjatë kohës së ekzekutimit të programit. Ne mund të përdorim shprehjen: new int [SIZE];

për të alokuar memorie të mjaftueshme për të ruajtur “SIZE” copë objekte të tipit int. Shprehja vlerësohet në adresën ku qëndron fillimi i asaj memorie. Ajo mund t’i ndahet vetëm një objekti int *, si në int *a2 = new int [ SIZE ];

92

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Si rezultat, a2 është virtualisht i padallueshëm nga a1. Operatori new është “type-safe” që do të thotë se int *a2 = new char[ SIZE ];

do të ishte detektuar si gabim i mospërshtatjes (angl. mismatch error) gjatë kohës së kompajlimit. Atëherë cili është dallimi, nëse ka ndonjë, ndërmjet dy formave të alokimit të memories për vargun. Dallimi teknik është që memoria për a1 është marrë nga një burim tjetër për dallim nga a2. Sidoqoftë, dallimi është transparent për shfrytëzuesin. Dallimi i dytë është që a1 nuk mund të paraqitet në anën e majtë të operatorit të ndarjes së vlerës (=) sepse emri i vargut është konstante, ndërsa a2 mundet. Dallimi është gjithashtu relativisht i vogël, nëse do të kishim deklaruar int * const a2 = new int [ SIZE ];

ky dallim do të zhdukej. Ç’është më e rëndësishme, kur përdorim new, SIZE nuk duhet të jetë konstante e kohës së kompajlimit. 1 void f ( int i ) 2 ( 3 int al[ 10 ]; 4 int *a2 = new int [ 10 ] ; 5 6 . . . 7 ST( a1 ); 8 g( a2 ); 9 10 // Në return, tërë memorie e shoqëruar me a1, lirohet 11 // Në kthim, vetëm pointeri a2 lirohet; 12 // 10 int-a kanë rrjedhur 13 // delete [ ] a2; // Kjo do të zgjidhte problemin e rrjedhjes 14 ) Figura D.3 Dy mënyrë të alokimit të vargut – njëra e rrjedhë memorien

a1

a2

Fig.1.25 Restaurimi i memories për programin në fig. D.3

93

Avni Rexhepi Memoria e alokuar me “new” nuk reciklohet automatikisht. Dështimi për të recikluar atë, shkakton rrjedhje të memories (angl. memory leak).

Problemi ndodhë kur a1 është variabël lokale. Kur funksioni në të cilin është deklaruar kthen rezultatin me return (d.m.th. kur a1 del prej fushëveprimit (angl. scope)), memoria e shoqëruar me vargun restaurohet automatikisht nga ana e sistemit; a1 del prej fushëveprimit kur blloku (funksioni) në të cilin është deklaruar përfundon. Për shembull, në Fig. D.3 a1 është variabël lokale në funksionin f. Kur f kthen (me return), e tërë përmbajtja e a1, duke përfshirë memorien e ndarë për vargun, lirohet. Në kontrast, kur a2 del prej fushëveprimit, vetëm memoria e shoqëruar me pointerin, lirohet. Memoria e alokuar me “new” tani është e pareferencuar dhe nuk përdoret për ndonjë urdhër tjetër. Situata është paraqitur grafikisht në Fig. 1.25. Për të recikluar memorien, duhet të përdoret operatori “delete”. Sintaksa është: delete [ ] a2; Operatori delete, reciklon memorien e alokuar dinamikisht, e që nuk është më e nevojshme.

Kllapa [ ] është absolutisht e nevojshme këtu, për të siguruar se të gjitha objektet në vargun e alokuar do të reciklohen. Pa kllapat [ ], vetëm a2[0] mund të reciklohet, gjë që nuk është ajo çka synohet. Me anë të new dhe delete duhet të menagjojmë memorien vetë, në vend se kompajleri ta bëjë këtë për ne. Përse do të ishim të interesuar për të vepruar kështu? Për arsye se, duke menagjuar memorien vetë, mund të ndërtojmë vargje të zgjerueshme (dinamike). Supozojmë se në Fig. D.3 vendosim që pas deklarimit, por para thirrjes së funksionit g në rreshtat 7 dhe 8, në të vërtetë dëshirojmë 12 int-egjera, në vend të 10. Në rastin e a1 do të ngecim, dhe thirrja e rreshtit 7 nuk do të funksionojë. Mirëpo, me a2, kemi një alternativë, si në vijim: int *original = a2; //1. Ruaje pointer-in ne original a2=new int[12]; //2. Bëje a2 te pointojë ne me // memorie for(int i=0;i<10;i++) // 3. Kopjo te dhenat e vjetra a2[i]=original[i]; delete[] original; // 4. Reciklo vargun origjinal

94

shume


Vargjet dinamike Një prej problemeve që ndodhin gjatë punës me strukturën e vargut, është fakti që madhësia e vargut nuk mund të ndryshohet gjatë ekzekutimit të programit. Nuk ekziston ndonjë zgjidhje e drejtpërdrejt, por mund të enkapsulohet menagjimi i kapacitetit.

Reprezentimi intern (i brendshëm) Idea është e thjeshtë. Aplikacioni e alokon një sasi të memories (fizikisht) dhe e ndanë atë logjikisht në dy pjesë. Njëra pjesë i përmbanë të dhënat dhe pjesa tjetër është e lirë. Fillimisht, e tërë hapësira e alokuar është e lirë. Gjatë funksionimit të strukturës së të dhënave, kufiri nërmjet pjesës së përdorur dhe asaj të lirë, ndryshon. Nëse nuk ka më hapësirë të lirë për përdorim, hapësira zgjerohet duke e krijuar një varg të ri me madhësi më të madhe dhe duke e kopjuar përmbajtjen e vjetër në lokacionin e ri. Struktura e vargut dinamik ka fushat vijuese:   

depoja (hapësira për ruajtje) (storage): hapësira e alokuar në mënyrë dinamike, për ruajtje të të dhënave; vlera e kapacitetit (capacity value): madhësia e hapësirës për ruajtje; vlera e madhësisë (size value): madhësia e të dhënave reale (vlerave).

Pjesë kodi //DynamicArray=VarguDinamik, size=madhesia, capacity=kapaciteti //storage=depoja=vendiiRuajtjes, class DynamicArray { private: int size; int capacity; int *storage; public: DynamicArray() { capacity = 10;

95

Avni Rexhepi size = 0; storage = new int[capacity]; } DynamicArray(int capacity) { this->capacity = capacity; size = 0; storage = new int[capacity]; } ~DynamicArray() { delete[] storage; } };

Menaxhimi i kapaciteti: Sigurimi i kapacitetit, Paketimi(ngjeshja, kompresimi) Para se të mund të shtojmë (insertojmë) ose largojmë (fshijmë) vlera, duhet të zhvillohet mekanizmi i menaxhimit të kapacitetit. Mekanizmi përbëhet prej dy funksioneve: siguro kapacitetin dhe paketo.

Sigurimi i kapaciteit Para se të shtohet një ose më shumë vlera, duhet të sigurohemi që kemi kapacitet të mjaftueshëm për ruajtjen e tyre. Realizoni hapat vijues:  



  

96

verifiko nëse kapaciteti aktual nuk është i mjaftueshëm për ruajtjen e elementeve të reja; llogarit kapacitetin e ri përmes formulës: kapacitetiiRi = (kapacitetiiVjeter* 3) / 2 + 1. Algoritmi krijon rezervë të hapësirës së lirë ashtu që të mos ricaktohet shumë shpesh madhësia e hapësirës për ruajtje. Verifiko nëse kapaciteti i ri është i mjaftueshëm për të ruajtur të gjitha elementet e reja dhe nëse jo, rrite atë për të ruajtur sasinë e saktë të elementeve; aloko hapësirën e re dhe kopjo në të përmbajtjen nga e vjetra; dealoko (liro) hapësirën e vjetër (në C++); ndrysho vlerën e kapacitetit;

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Koeficienti i zmadhimit mund të zgjedhet në mënyrë arbitrare (por duhet të jetë më i madh se një). Vlerë e preferuar është 1.5 dhe mesatarisht është vlerë optimale. Shembull. kapaciteti = 6, madhesia = 6, dëshirojmë të shtojmë një element të ri.

Paketimi Kur largohen(fshihen) elementet, sasia e hapësirës së lirë rritet. Nëse ka shumë pak vlera në vargun dinamik, hapësira e pashftyrëzuar bëhet shpenzim i kotë. Për të ruajtur hapësirën, zhvillojmë mekanizmin e zvogëlimit të kapacitetit, kur ai është i tepërt.  

  

verifiko, nëse madhësia është më e vogël ose baraza me gjysmën e kapacitetit; llogarit kapacitetin e ri përmes formulës: kapacitetiiRi = (madhesia * 3) / 2 + 1. Algoritmi lë sasinë e saktë të hapësirës, thua se kapaciteti i hapësirës për ruajtje është “prerë” për madhësinë dhe pastaj është thirrur metoda për sigurimin e kapacitetit. Aloko hapësirën e re dhe kopjo në të përmbajtjen nga e vjetra ; dealoko hapësirën e vjetër (në C++); ndrysho vlerën e kapacitetit.

Shembull. kapaciteti = 12, madhesia = 6, bëje paketimin (ngjeshjen, kompresimin).

97

Avni Rexhepi

Kufiri i poshtëm për madhësinë, pas së cilës paketimi është bërë, mund të ndryshojë. Në shembullin aktual ajo është 0.5 (gjysma) e vlerës së kapacitetit. Zakonisht, paketimi është metodë private, e cila thirret pas largimit (fshirjes). Gjithashtu, interfejsi i vargut dinamik ofron metodën e prerjes (angl. trim – shkurtoj majen, përshtas), e cila e zvogëlon kapacitetin ashtu që t’i përshtatet sasisë së saktë të elementeve në varg. Kjo bëhet jashtë implementimit, kur jeni të sigurtë se nuk do të shtohen më vlera të tjera, (p.sh., insertimi nga ana e shfrytëzuesit ka përfunduar). Pjesë kodi Gjuhët programuese ofrojnë vegla efikase për kopjim të memories, të cilat janë përdorur në implementimin vijues, në C++. //DynamicArray=VarguDinamik, setCapacity=caktoKapacitetin //newCapacity=kapacitetiiRi, ensureCapacity=siguroKapacitetin //newStorage=depojaeRe=vendiRiiRuajtjes //trim=preje,pack=paketoje #include void DynamicArray::setCapacity(int newCapacity) { int *newStorage = new int[newCapacity]; memcpy(newStorage, storage, sizeof(int) * size); capacity = newCapacity; delete[] storage; storage = newStorage; } void DynamicArray::ensureCapacity(int minCapacity) { if (minCapacity > capacity) {

98

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave int newCapacity = (capacity * 3) / 2 + 1; if (newCapacity < minCapacity) newCapacity = minCapacity; setCapacity(newCapacity); } } void DynamicArray::pack() { if (size <= capacity / 2) { int newCapacity = (size * 3) / 2 + 1; setCapacity(newCapacity); } } void DynamicArray::trim() { int newCapacity = size; setCapacity(newCapacity); }

Funksionet për qasje në të dhëna: Set, Get, InsertAt, RemoveAt Set(Cakto), Get(Merr), InsertAt (InsertoNë), RemoveAt (LargoNë). Struktura e vargut dinamik enkapsulon hapësirën themelore, por interfejsi duhet të ofrojë funksionet e qasjes për të punuar me të. Mund të shtohen edhe funksionet për verifikimin e rangut (kufinjëve).

Verifikimi i kufijëve Algoritmi për verifikim të kufinjëve, verifikon nëse indeksi është përbrenda kufijëve: 0...madhsia-1 dhe nëse jo, e lajmëron problemin (në programim, angl. throës exception – hedhë kundërshtimin).

Funksionet Get dhe Set Pasi të jemi siguruar se indeksi është përbrenda kufijëve të duhur, shkruajmë vlerën në hapësirën e ruajtjes ose e lexojmë atë nga hapësira e ruajtjes.

Funksioni InsertAt Ky operacion mund të kërkojë zgjerimin e vargut, ashtu që algoritmi së pari e thërret metodën për sigurim të kapacitetit, e cila duhet të sigurojë kapacitetin minimal madhesia+1. Pastaj shiftoni (zhvendosni) për një element (pozitë) në të djathtë, të gjitha elementet prej i deri te madhesia-1, ku i është pozita e insertimit. Vëreni se nëse elementi i ri insertohet pas elementit të fundit në varg, 99

Avni Rexhepi atëherë nuk ka nevojë për shiftim. Pas shiftimit, vendose vlerën në elementin e itë dhe rrite madhësinë për 1.

Funksioni RemoveAt Shifto të gjitha elementet prej i deri te madhesia-1, ku i është pika e largimit, për një element (pozitë) në të majtë. Pastaj zvogëlo madhësinë për 1 dhe thirre operacionin e paketimit. Paketimi bëhet nëse ka shumë pak elemente të mbetura pas largimit (fshirjes).

100


Pjesë kodi //DynamicArray=varguDinamik, rangeCheck=verifikimiiRangut //set=cakto,get=merr,removeAt=levizeNë, moveCount=numriLevizjeve

#include #include void DynamicArray::rangeCheck(int index) { if (index < 0 || index >= size) throw " Indeksi jashtë kufijve!"; } void DynamicArray::set(int index, int value) { rangeCheck(index); storage[index] = value; } int DynamicArray::get(int index) { rangeCheck(index); return storage[index]; }

101

Avni Rexhepi void DynamicArray::removeAt(int index) { rangeCheck(index); int moveCount = size - index - 1; if (moveCount > 0) memmove(storage + index, storage sizeof(int) * moveCount); size--; pack(); }

+

(index

void DynamicArray::insertAt(int index, int value) { if (index < 0 || index > size) throw "Indeksi jashtë kufijve!"; ensureCapacity(size + 1); int moveCount = size - index; if (moveCount != 0) memmove(storage + index + 1, storage sizeof(int)* moveCount); storage[index] = value; size++; }

102

+

+

1),

index,


2. Analiza e algoritmeve Në përgjithësi, ne e përdorim kompjuterin sepse kemi nevojë të përpunojmë sasi të mëdha të të dhënave. Kur ekzekutojmë një program për sasi të mëdha të vlerave hyrëse, ne duhet të jemi të sigurtë që programi përfundon përbrenda një kohe të arsyeshme. Kohëzgjatja e ekzekutimit është pothuajse gjithmonë e pavarur prej gjuës programuese ose edhe prej metodologjisë së përdorur (p.sh., procedurale kundrejt asaj të orientuar në objekte). Algoritmi është një grup i sepcifikuar qartë i urdhërave të cilët i përcjellë kompjuteri, për të zgjidhur një problem. Kur të jetë definuar algoritmi për një problem të caktuar dhe të jetë vërtetuar se është korrekt, hapi tjetër është që të përcaktohet sasia e resurseve, si koha dhe hapësira, të cilën do ta kërkojë algoritmi. Ky hap quhet analizë e algoritmit. Algoritmi i cili kërkon disa gigabajtë të memories kryesore nuk është i dobishëm në shumicën e kompjuterëve aktual, edhe nëse është tërësisht korrekt. Pra, të shohim: - Si të llogaritet/vlerësohet koha e nevojshme për një algoritëm - Si të përdoren teknikat të cilat e zvogëlojnë në masë të madhe kohën e ekzekutimit të një algoritmi, - Si të përdoret përdoret korniza matematike për përshkrimin më rigoroz të kohës së ekzekutimit të një algoritmi - Si të shkruhet një funksion i thjeshtë për kërkim binar Për të qenë me interes, algoritmi duhet të zgjidhë problemin e përgjithshëm të specifikuar mirë. Një problem algoritmik është i specifikuar duke përshkruar setin komlet të instancave që duhet t’i punojë dhe cilat tipare duhet t’i ketë dalja (rezultati në dalje) si rezultat i ekzekutimit të ndonjërës prej këtyre instancave. Ky dallim ndërmjet problemit dhe një instance të problemit është fundamental. Për shembull, problemi algoritmik i njohur si sortim është i definuar si vijon: Hyrja: një sekuencë e n vlerave (çelësave), a1, a2, ... an. Dalja: Permutacioni (rirenditja) e sekuencës hyrëse ashtu që: a1’
103

Avni Rexhepi Algoritmi është procedura e cila merr cilëndo prej instancave të mundshme hyrëse dhe e transformon atë në daljen e dëshiruar. Ka shumë algoritme të ndryshme për zgjidhjen e problemit të sortimit. Për shembull, një prej metodave të sortimit fillon me një element të vetëm (prandaj duke formuar kështu në mënyrë triviale një listë të sortuar prej një anëtari) dhe pastaj në mënyrë inkrementuese (rritëse) inserton elementet e mbetura ashtu që lista qëndron e sortuar. Ky algoritëm, i njohur si sorti i insertimit (anlg. insertion sort), është përshkruar në vijim: InsertionSort(A) for i = 1 to n-1 do for j = i+1 to 2 do if (A[j] < A[j-1]) “shkëmbe vendet” (A[j],A[j-1])

Keni parasysh gjeneralizimin e këtij algoritmi. Ky punon njësoj mirë si për emra ashtu edhe për numra, duke pasur të dhënë operacionin e duhur të krahasimit “<” për të testuar se cili prej dy çelësave (cila prej dy vlerave) duhet të paraqitet së pari në renditjen e sortuar. Me definicionin e dhënë të problemit të sortimit, mund të verifikohet pa vështirësi se ky algoritëm i renditë në mënyrë korrekte të gjitha instancat e mundshme hyrëse. Duhet pasur parasysh edhe disa çështje praktike: Algoritmet në dukje të arsyeshme lehtë mund të jenë jokorrekte. Korrektësia e algoritmit është veti që duhet demonstruar me kujdes. Algoritmet mund të kuptohen dhe studiohen në mënyra të pavarur nga kompjuteri (makina). Notacioni “Big Oh” dhe analiza e rastit më të keq janë vegla të cilat në masë të madhe e thjeshtojnë aftësinë tonë që të krahasojmë efikasitetin e algoritmeve. Kërkojmë algoritme koha e ekzekutimit të së cilave rriten në mënyrë logaritmike, sepse rritet shumë ngadale me rritjen e n-it (numrit të vlerave hyrëse). Modelimi i aplikacionit në terma të algoritmeve dhe strukturave të definuara mirë, është hapi më i rëndësishëm në drejtim të zgjidhjes.

RAM modeli i llogaritjes Dizajni i algoritmit të pavarur prej makinës varet nga kompjuteri hipotetik i quajtur “Random Access Machine” ose RAM. Sipas këtij modeli të llogaritjes, jemi përballë kompjuterit ku: 104

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave 1. Secili operacion “i thjeshtë” (+, *, -, =, if, call) merr saktësisht 1 hap kohor. 2. Unazat dhe nënprogramet nuk konsiderohen operacione të thjeshta. Në vend të kësaj, ata janë një kompozim (kombinim) i disa operacioneve të thjeshta një-hapëshe. Nuk ka kuptim që operacioni i sortimit të jetë operacion një-hapësh, pasi që sortimi i një milion elementeve do të merr shumë më tepër kohë sesa sortimi i 10 elementeve. Koha që kërkohet për t’u ekzekutuar në unazë ose për t’u ekzekutuar nënprogrami varet nga numri i përsëritjeve të unazës ose natyra specifike e nënprogramit. 3. Secila qasje e memories merr saktësisht një hap kohor dhe kemi aq memorie sa kemi nevojë. RAM modeli nuk parasysh nëse elementi ndodhet në cache (kesh) ose në disk, gjë që e thjeshton analizën. Sipas RAM modelit, ne masim kohën e ekzekutimit të një algoritmi (angl. run time) duke nuëmruar numrin e hapave të cilët i merr për një instancë të dhënë të problemit. Duke supozuar se RAM-i ekzekuton një numër të caktuar të hapave për sekond, operacioni i numërimit konvertohet me lehtësi në kohë aktuale të ekzekutimit. RAM është model i thjeshtë i asaj se si funksionon (performon) kompjuteri. Ankesë e zakonshme është se ky është shumë i thjeshtë dhe se këto supozime bëjnë që konkluzionet dhe analizat të jenë tepër të vrazhdëta për t’u besuar në praktikë. Për shembull, shumëzimi i dy numrave merr më shumë kohë sesa mbledhja e dy numrave në shumicën e procesorëve, gjë që thyen supozimin e parë të modelit. Kohët e qasjes së memories dallojnë shumë varësisht prej faktit nëse të dhënat ndodhen në disk apo në cache, duke thyer kështu supozimin e tretë. Përkundër këtyre ankesave, RAM është një model i shkëlyeshëm për të kuptuar se si do të performojë një algoritëm në një kompjuter real. Kështu, aplikohet një balans i mirë i përvetësimit të sjelljes themelore të kompjuterëe duke qenë njëkohësisht të thjeshtë për të punuar me ta. Modeli RAM përdoret pasi që është i dobishëm në praktikë. Secili model ka një rang të madhësisë përgjatë të cilit ai është i dobishëm. Të marrim për shembull modelin se toka është e rrafshët. Mund të argumentohet se ky model është i keq, pasi që toka nuk është e rrafshët. Mirëpo, kur të hidhet themeli i një shtëpie, modeli i tokës së rrafshët është mjaftueshëm i saktë dhe mund të përdoret me besueshmëri. Për më tepër, është shumë më e lehtë që të manipulohet modeli i tokës së rrafshët që është i pabesueshëm sesa që të tentohet të mendohet për një model sferik kur nuk ka nevojë. 105

Avni Rexhepi Situata e njëjtë është e vërtetë edhe me RAM modelin e llogaritjes. Ne bëjmë një abstraksion që në përgjithësi është shumë i dobishëm. Është plotësisht e vështirë që të dizajnohet një algoritëm i tillë që RAM modeli të jep rezultate substancialisht të gabuara, duke performuar ose shumë më mirë ose shumë më keq në praktikë sesa që modeli sygjeron. Fuqia (angl. robustness) e RAM na mundëson që të analizojmë algoritmet në modelin e pavarur nga makina. Kompleksiteti i rastit më të mirë, rastit mesatar dhe rastit më të keq Duke përdorur RAM modelin e llogaritjes, mund të numërojmë se sa hapa do të merr algoritmi i jonë në cilëndo instancë të hyrjes, thjeshtë duke e ekzekutuar atë në një hyrje të dhënë. Sidoqoftë, për të kuptuar me të vërtetë se sa i mirë apo i keq është një algoritëm, duhet ta dijmë se si punon ai përgjatë të gjitha instancave. Për të kuptuar nocionet e komplesitetit më të mirë, mesatar dhe më të keq, njeriu duhet të mendojë lidhur me ekzekutimin e algoritmit në të gjitha instancat e mundëshme të të dhënave të cilat mund t’i jepen atij. Për problemin e srotimit, seti i instancave të mundëshme hyrëse të të gjitha aranzhimeve të mundshme të numrave të çelësave. Ne mund të reprezentojmë secilën instancë hyrëse si një pikë në graf, ku boshti x është madhësia e problemit (për sortimin, numri i elementeve që sortohen) dhe në boshtin y është numri i hapave të ndërmarrë nga algoritmi në këtë instancë. Këtu ne supozojmë, tëresisht me arsye, se nuk është me rëndësi se çfarë janë vlerat e çelësave, por vetëm sa janë dhe si janë të renditura. Për shembull, nuk do të duhej të merr më shumë kohë sortimi i 1,000 emrave anglez sesa sortimi i 1,000 emrave shqip. 1. Kompleksiteti i rastit më të keq të algoritmit është funksioni i definuar nga numri maksimal i hapave të ndërmarrë në cilëndo instancë të madhësisë n. 2. Kompleksiteti i rastit mesatar të një algoritmi është funksioni i definuar nga numri mesatar i hapave që ndërmirren në cilëndo instancë të madhësisë n. 3. Kompleksiteti i rastit më të mirë të një algoritmi është funksioni i definuar ng anumri minimal i hapave që ndërmirren në cilëndo instancë të madhësisë n. Në praktikë, më e dobishmja prej këtyre tri matjeve vërtetohet të jetë kompleksiteti i rastit më të keq, të cilin shumë njerëz e konsiderojnë kundërintuitive. Për të ilustruar se përse analiza e rastit më të keq është e rëndësishme, shqyrtoni tentimin e projektimit të asaj që do të ndodhë me ju nëse shkoni në kazino (bastore) për të vënë bast me n euro. 106

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Rasti më i mirë, se ju do të dilni si pronar i vendit (e keni fituar tërë kazinon), është i mundshëm por aq i pashpresë (pak ka të ngjarë të ndodhë) saqë nuk duhet të bazohen në të (të keni besim se do të ndodhë). Rasti më i keq, që ju do të humbisni të gjitha n eurot, është lehtë i llogaritshëm dhe shumë me gjasë që të ndodhë. Rasti mesatar, që një person tipik humbë 87.32% të parave që i sjellë në kazino, është vështirë të llogaritet dhe do të thotë që është subjekt i diskutimit. Mirëpo, çka nënkupton në të vërtetë “mesatar”? Njerëzit e padijshëm humbasin më shumë se të menqurit, kështu që a jeni më i menqur apo më “trullan” sesa personi mesatar dhe për sa? Ata që luajnë në zare humbasin më shumë sesa ata që luajnë në rulet. Kështu, evitojmë të gjitha këto kompleksitete dhe marrim rezultat shumë më të dobishëm duke marrë në konsideratë vetëm rastin më të keq. Gjë me rëndësi për t’u kuptuar është se secili prej këtyre kompleksiteteve kohore definon funksion numerik, që reprezenton kohën në raport me madhësinë e problemit. Këto funksione janë poaq mirë të definuara se edhe funksionet e tjera numerike. Kompleksitetet kohore janë funksione të komplikuara, sidoqoftë. Për të thjeshtuar punën me funksionet e tilla të çrregullta, na duhet Big-Oh Notacioni.

Çka është analiza e algoritmit Algoritmi është një bashkësi e instruksioneve ose logjikës, e shkruar për të realizuar një detyrë të predefinuar. Algoritmi nuk është një kod i kompletuar ose një program, por është vetëm logjika bazë (zgjidhja) e problemit, e cila mund të shperhet çoftë si përshkrim logjik i nivelit të lartë si pseudokod ose dukë përdorur bllok diagramet. Algoritmi thuhet se është efikas dhe i shpejtë, nëse merr më pak kohë për t’u ekzekutuar dhe konsumon më pak hapësirë të memories. Performansa e algoritmit matet në bazë të: 1. Kompleksitetit kohor, 2. Kompleksitetit hapësinor Kompleksiteti hapësinor Kompleksiteti hapësinor është hapësira e memories që kërkohet prej algoritmit, gjatë ekzekutimit të tij. Kompleksiteti hapësinor duhet të mirret seriozisht për sistemet me shumë shfrytëzues (angl. multi-user systems) dhe në situatat ku ka në dispozicion vetëm memorie të kufizuar. Një algoritëm në përgjithësi kërkon hapësirë për komponentet vijuese:

107

Avni Rexhepi -

-

Hapësira për instruksione: hapësira e kërkuar për ruajtjen e versionit ekzekutiv të programit. Kjo hapësirë është fikse, por ndryshon varësisht prej numrit të rreshtave të kodit në program. Hapësira për të dhëna: kjo është hapësira e kërkuar për të ruajtur vlerat e të gjitha konstanteve dhe variablave. Hapësira e ambientit punues: kjo është hapësira e kërkuar për ruajtjen e informatave të nevojshme për rikthimin nga funksioni i ndërprerë përkohësisht.

Kompleksiteti kohor Kompleksiteti kohor është mënyrë për të reprezentuar sasinë e kërkuar të kohës që programi të ekzekutohet deri në kompletim (përfundim). Llogaritja e kompleksitetit kohor Llogaritja e kompleksitetit kohor bëhet zakonisht me metrikën e zakonshme të njohur si “Big O notation” (Notacioni O e madhe), i cili i largon të gjithë faktorëtë konstant, ashtu që koha e ekzekutimit të mund të përafrohet në relacion me N (numrin e vlerave hyrëse), gjersa N i afrohet infinitit. Në përgjithësi, mune ta konsideroni si në vijim. urdhëri; Në këtë rast, kemi një urdhër të vetëm dhe kompleksiteti kohor i tij do të jetë konstant. koha e tij e ekzekutimit nuk do të ndryshojë në realcion me N. for (i=1; i
Kompleksiteti kohor i këtij algoritmi do të jetë linear. Koha e ekzekutimit është drejtpërdrejt e varur nga N (në proporcion të drejtë me N). Kur rritet N, ashtu rritet edhe koha e ekzekutimit. Kur dyfishohet N, dyfishohet edhe koha e ekzekutimit. for (i=1; i
Në këtë rast, kompleksiteti kohor i këtij kodi është kuadratik. Koha e ekzekutimit të dy unazave është proporcionale me katrorin e N-it. Kur N dyfishohet, koha e ekzekutimit rritet për N*N. 108

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Në përgjithësi, kryerja e veprimeve me secilin element (N) në një dimension është lineare, kryerja e veprimeve me secilin element në dy dimensione është kaudratike, ndërsa ndarja e hapësirës punuese përgjysme, është logaritmike. Pra, sasia e kohës që e merr për t’u ekzekutuar cilido algoritëm pothuajse gjithmonë është e varur nga sasia e vlerave hyrëse të cilat ai duhet t’i përpunojë. Ne presim për shembull që sortimi i 10,000 elementeve kërkon më shumë kohë sesa sortimi i 10 elementeve. Koha e ekzekutimit të një algoritmi pra është funksion i madhësisë së hyrjes. Vlera e saktë e funksionit varet nga shumë faktorë, siç janë shpejtësia e kompjuterit, kualiteti i kompajlerit dhe në disa raste kualiteti i programit. Për një program të caktuar në një kompjuter të caktuar, mund të vizatojmë grafikun e funksionit të kohës së ekzekutimit. Figura 2.1 paraqet grafikun për disa funksione.

Figura 2.1 Koha e ekzekutimit për numër të vogël hyrjesh

Më shumë të dhëna do të thotë programi merr më shumë kohë për t’u ekzekutuar.

Lakoret paraqesin katër funksione të zakonshme të hasura në analizën e algoritmeve: linear, logaritmik, kaudratik dhe kubik. Madhësia hyërse N është në rangun prej 1 deri në 100 elemente, ndërsa koha e ekzekutimit në rangun prej 0 deri në 10 milisekonda. Një vështrim i shpejtë në figurën 2.1 dhe në tabelën 2.1, sygjeron se funksionet kaudratike dhe kubike, kanë shkallën shumë më të

109

Avni Rexhepi lartë të rritjes, në krahasim me funksionet lineare dhe ato logaritmike, ndërsa ato eksponenciale, edhe shumë shumë më të lartë. N 1 2 5 10 15 20 30 40 50 60 70 80 90 100

lg n 0.0 1.0 2.3 3.3 3.9 4.3 4.9 5.3 5.6 5.9 6.1 6.3 6.5 6.6

2

n

n lgn

n

1.0 2.0 5.0 10.0 15.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 90.0 100.0

0.0 2.0 11.6 33.2 58.6 86.4 147.2 212.9 282.2 354.4 429.0 505.8 584.3 664.4

1.0 4.0 25.0 100.0 225.0 400.0 900.0 1600.0 2500.0 3600.0 4900.0 6400.0 8100.0 10000.0

n

3

1.0 8.0 125.0 1000.0 3375.0 8000.0 27000.0 64000.0 125000.0 216000.0 343000.0 512000.0 729000.0 1000000.0

n

2

2.0 4.0 32.0 1024.0 32768.0 1048576.0 1073741824.0 1099511627776.0 1125899906842620.0 1152921504606850000.0 1180591620717410000000.0 1208925819614630000000000.0 1237940039285380000000000000.0 1267650600228230000000000000000.0

Tabela 2.1 – Shkalla e rritjes për klasat e zakonshme te algoritmeve Një shembull është porblemi i shkarkimit të fajllit nga Interneti (angl. download – shkarkoj poshtë, transferoj). Supozojmë se kemi një vonesë fillestare prej 2 sekondash (për të vendosur lidhjen), pas së cilës shkarkimi vazhdon me shpejtësinë 1.6 K/sec. Atëherë nëse fajlli ka N kilobajtë, koha e shkarkimit do të përshkruhet me formulën T(N)=N/1.6+2. Ky është funksion linear. Shkarkimi i fajllit me madhësi 80K do të merr përafërsisht 52 sekonda, ndërsa shkarkimi i fajllit me madhësi të dyfishtë (160K) do të marr përafërsisht 102 sekonda, ose shikuar vrazhde, pothuajse dyfish më shumë. Kjo karakteristikë, në të cilën koha është në esencë në proporcion të drejtë me madhësin e hyrjes, është e algoritmit linear. Në krahasim me funksionet jolineare (kuadratike dhe kubike), funksioni linear është shumë më efikas. Nga tabela,mund të shihni se kur hyrja është e vogël, nuk ka ndryshim të rëndësishëm (të dukshëm) në vlera, por atëherë kur vlera hyrëse bëhet e madhe, ka dallim/ndryshim të madh. Kjo riforcon atë cka pamë në grafin në Fig. 2.1. Për shkak të kësaj, gjithnjë shqyrtohet se çka ndodhë kur madhësia e hyrjes është e madhe, për shkak se setet e vogla të hyrjes mund të fshehin ndryshimet shumë dramatike. Të dhënat në ilustrojnë edhe faktin se pasi që funksionet me rritje më të shpejtë rriten në shkallë/shpejtësi të rrijes kaq domethënëse, shumë shpejt i dominojnë funksionet me rritje të ndagalshme. Kjo do të thotë se nëse ne përcaktojmë se kompleksiteti i një algoritmi është kombinim i dy prej këtyre klasave, ne shpesh 110

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave do të injorojmë të gjitha termat përveq termave me rritje më të shpejtë. P.sh., nëse analizojmë një algoritëm dhe gjejmë se ai i bën n3 – 30n krahasime, ne do t’i referohemi këtij algoritmi vetëm si algoritëm që rritet me shkallë/shpejtësi të n3. Kjo për arsye se edhe në një madhësi hyrëse prej vetëm 100, diferenca ndërmjet n3 dhe n3-30n është vetëm 0,3%. Kjo ide është e formalizuar në klasifikimin e shkallëve të rritjes.

Klasifikimi i rritjes Pasi që shkalla/shpejtësia e rritjes së një algoritmi është e rëndësishme dhe pasi që kemi parë që shkalla/shpejtësia e rritjes është e dominuar nga termi më i madh në një ekuacion, ne do t’i hedhim poshtë termat që rriten më ngadalë. Kur i largojmë të gjitha këto gjëra, mbesim me atë që e quajmë rendi i funksionit ose algoritmit të ndërlidhur. Pastaj mund t’i grupojmë algoritmet së bashku në bazë të rendit të tyre. Ne i grupojmë ato në tri kategori – ato që rriten së paku aq shpejtë sa disa funksione, ato që rriten me shkallë/shpejtësi të njëjtë dhe ato që rriten më shpejt. Kompleksiteti kohor i një algoritmi ka të bëjë me përcaktimin e një shprehjeje me numrin e hapave të nevojshëm si funksion i madhësisë së problemit. Pasi që masa e numrit të hapave është e disi e vrazhdë, nuk synohet të nxirret një numrator i saktë i hapave. Në vend të kësaj, tentohet që vetëm të gjinden kufinjtë asimptotik në numrin e hapave. Analiza asimptotike përdorë notacionet si O notacionin, që njihet si “Big Oh notation” (Big Oh notacioni). Dy konstrukte tjera notacionale të përdorur nga shkencëtarët e kompjuterikës në analizën e algoritmeve janë: Θ notacioni (Big Theta notacioni) dhe Ω notacioni (Big Omega notacioni). Vlerësimi i performansës së një algoritmi fitohet duke mbledhur totalin e “ngjarjeve” (paraqitjeve) të çdo operacioni gjatë ekzekutimit të algoritmit. Performansa e një algoritmi vlerësohet si funksion i madhësisë së hyrjes n dhe duhet të konsiderohet si modul i konstantës multiplikative. Notacionet vijuese janë notacionet e përdorura zakonisht në analizën e performansave dhe të përdorur për të karakterizuar kompleksitetin e një algoritmi.

O-Notation (Kufiri i epërm/lartë) Big O notacioni e jep kufirin e epërm/lartë për funksionin brenda faktorit konstant. Shkruajmë: f(n) = O(g(n)) (Lexohet si: f është në Big O të g-së, ose Big O e f-it, është g-ja) nëse ekzistojnë konstantet pozitive n0 dhe c të tilla që në 111

Avni Rexhepi të djathtë të n0, vlera e f(n) gjithmonë shtrihet nën cg(n). Pra, big O është kufiri i epërm për të gjitha funksionet që i takojnë kësaj klase.

cg(n) f(n)

n

n0

f(n)=O(g(n)) Fig. 2.2 – Big O

Θ-Notation (Rendi i njëjtë) Big Teta notacioni e kufizon funksionin në faktorë konstant. Themi se f(n) = Θ(g(n)) nëse ekzistonjnë konstantet pozitive n0, c1 dhe c2, të tilla që në anën e djathtë të n0 vlera e f(n) gjithmonë shtrihet ndërmjet c1g(n) dhe c2g(n) (inkluzive). c2g(n) f(n) c1g(n)

n0

f(n)=q (g(n))

Fig. 2.3 – Big Θ

112

n


Ω-Notation (Kufiri i poshtëm/ulët) Big Omega notacioni jep kufirin e poshtëm për funksionin deri në faktorin konstant. Shkruajmë: f(n) = Ω(g(n)) nëse ekzistojnë konstantet pozitive n0 dhe c të tilla që në të djathtë të n0, vlera e f(n) gjithmonë shtrihet në ose mbi cg(n).

f(n) cg(n)

n0

n

f(n)=W (g(n)) Fig. 2.4 – Big Ω

Rastet e analizave Kompleksiteti i një algoritmi është funksioni g(n) i cili jep kufirin e epërm të numrit të operacioneve (ose kohës së ekzekutimit) të kryera nga një algoritëm kur madhësia e hyrjes është n. Ekzistojnë dy interpretime të kufirit të epërm

Rasti-më i keq (Worst-case Complexity) Koha e ekzekutimit për hyrje të cilësdo madhësi të dhënë do të jetë me e vogël/ulët sesa kufiri i epërm përveq mundësisë për disa vlera të hyrjes ku arrihet maksimumi.

Rastit-mesatar (Average-case Complexity) Koha e ekzekutimit për hyrje të cilësdo madhësi të dhënë do të jetë sa mesatarja e operacioneve mbi të gjitha instancat e problemit për një madhësi të dhënë.

Rastit-më i mirë (Best-case Complexity) Kemi edhe rastin më të përshtatshëm, që njihet si rasti më i mirë (Best-case complexity), që ka të bëjë me rastet si: kërmimi sekuencial, i vlerës që gjendet 113

Avni Rexhepi në pozitën e parë të vargut, ose kompleksiteti i algoritmit të sortimit, kur në fillim jepet vargu i sortuar. Pasi që është shumë e vështirë që të vlerësohet sjellja statistike e hyrjes, të shumtën e herave ne kënaqemi më sjelljen e rastit më të keq. Të shumtën e kohës, kompleksiteti i g(n) përafrohet me familjen e tij O(f(n)) ku f(n) është një prej funksioneve vijuese: n (kompleksiteti linear), log n (kompleksiteti logaritmik), na ku a≥2 (kompleksiteti polinomial), an (kompleksiteti eksponencial).

Optimaliteti Kur një herë të jetë vlerësuar kompleksiteti i një algoritmi, parashtrohet pyetja a është ky algoritëm optimal. Një algoritëm për problemin e dhënë është optimal nëse kompleksiteti i tij arrinë kufirin e poshtëm përgjatë të gjitha algoritmeve që e zgjidhin këtë problem. P.sh., cilido algoritëm që e zgjidhë problemin e “pikëprerjes së n segmenteve” do të ekzekutoj së paku n2 operacione në rastin më të keq edhe nëse ai nuk bën asgjë përveq shtypjes së rezultati (daljes). Kjo shkurtohet duke thënë se problemi ka kompleksitet Ω(n2). Nëse gjindet një algoritëm O(n2) i cili e zgjidhë këtë problem, ai do të jetë optimal dhe i kompleksitetit Θ(n2).

Reduktimi Një teknikë tjetër për vlerësimin e kompleksitetit të problemit do të jetë transformimi i problemi, i quajtur gjithashtu edhe reduktim i problemit. P.sh, të supozojmë se e dijmë kufirin e poshtëm të një problemi A dhe ne do të dëshironim të vlerësojmë kufirin e poshtëm të problemit B. Nëse mund të transformojmë problemin A në problemin B me disa hapa transformimi, çmimi i të cilëve është më i vogël se ai për zgjidhjen e problemit A, atëherë B ka kufi të njëjtë si A. Algoritmika Është e qartë se temat e algoritmeve dhe strukturave të të dhënave nuk mund të ndahen pasi që janë të ndërlidhura pazgjidhshëm. Kështu, para se të flasim për strukturat e të dhënave, duhet të fillojmë me një rishikim të shpejtë të algoritmeve themelorë dhe në veçanti, si të matet efikasiteti relativ i algoritmeve. Çështja themelore në studimin e efikasitetit të algoritmeve është sasia e resurseve që ato i shfrytëzojnë, zakonisht e matur në kohë ose hapësirë. Zakonisht janë dy mënyra për të matur këto madhësi. Njëra është analiza matematike e algoritmit të përgjithshëm të përdorur, e quajtur analiza 114

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave asimptotike, e cila mund të zë aspektet e përgjithshme të efikasitetit për të gjitha hyrjet e mundshme, por jo kohët e sakta të ekzekutimit. E dyta është analiza empirike e një implementimi aktual për të përcaktuar kohën e saktë të ekezekutimit për mostra të hyrjeve speciale, por kjo nuk mund parashikojë performansën e algoritmit në të gjitha hyrjet. Është edhe aspekti i kompleksitetit të programit, pasi që disa struktura të të dhënave mund të jenë krejtësisht të thjeshta për t’u implementuar, kurse disa të tjera shumë më komplekse. Çështja se cila struktura të përdoret mund të varet nga çështje të cilat nuk kanë të bëjnë fare me çështjen e kohës se ekzekutimit, por në vend të kësaj me çështjet se cilat struktura të të dhënave janë më fleksibile, pastaj më të lehtat për t’u implementuar dhe mirëmbajtur, etj. Zakonisht shqyrtohet koha e ekzekutimit, edhe pse ajo që thuhet për kohën, mund të vlejë edhe për hapësirën, por hapësira është më e lehtë për t’u trajtuar. Për një program të caktuar, koha e tij e ekzekutimit nuk është një numër fiks, por zakonisht një funksion. Për secilën hyrje (ose instancë të strukturës së të dhënave), mund të ketë kohë tjetër të ekzekutimit. Supozohet se me rritjen e madhësisë hyrëse rritet edhe koha e ekzekutimit, kështu që shpeshherë kohën e ekzekutimit e përshkruajmë si funksion të hyrjes/madhësisë së strukturës së të dhënave ‘n’, të shënuar si T(n). Në duam që nocioni i jonë i kohës të jetë i pavarur prej pajisjes (makinës, kompjuterit), kështu që në vend se të maten sekondat për CPU (procesor), është më e zakonishme të maten hapat themelor të cilët i bën algoritmi (p.sh., numri i urdhërave që ekzekutohen ose numri i qasjeve në memorie). Kjo nuk do të parashikojë saktësisht kohën e ekzekutimit, pasi që disa kompajlerë do të bëjnë optimizim më të mirë se disa të tjerë, mirëpo kjo do të ndodhë me një faktor të vogël dhe konstant të kohës së saktë të ekzekutimit për shumicën e kohës. Edhe matja e kohës së ekzekutimit si funksion i madhësisë hyrës nuk është e definuar mirë, sepse për shembull, mund të jetë e mundur që të sortohet një listë veq e sortuar, gjë që ndodhë më shpejt sesa një listë me renditje të rasitit. Për këtë arsye, zakonisht flitet për kohën e rastit më të keq (angl. ëorst case) të ekzekutimit. Përgjatë të gjitha hyrjeve të mundshme, cila është koha maksimale e ekzekutimit. Është më e arsyeshme të shqyrtohet rasti më i pritshëm, kështu që nxirret mesatarja e të gjitha hyrjeve të madhësisë ‘n’. Kjo është analiza e rastit mesatar (angl. average case). Rasti më i lehtë, si p.sh, sortimi i listës së sortuar, është rasti më i mirë (angl. besta case).

Rishikim i asimptotës Ka një mori “lojrash” të cilat i përdorin analizuesit e algoritmeve, për të studiuar kohën e ekzekutimit të algoritmit, por elementi i parë dhe themelor është nocioni 115

Avni Rexhepi asimptotik. Supozojmë se është bërë analiza e algoritmit dhe është zbuluar se koha e rastit më të keq është: T(n) = 13n3 + 42n2 + 2n log n +3 n Nëse nuk përcaktohet ndryshe, supozojmë se algoritmet janë marrë me bazë 2. Kur vlera e ‘n’ është e vogël, ne nuk brengosemi shumë për këtë funksion, sepse ai nuk do të jetë shumë i madhe, por gjersa ‘n’ rritet, do të duhet të brengosemi për kohën e ekzekutimit. Sa më shumë që rritet ‘n’, madhësia ‘n3’ është shumë më e madhe se ‘n2’, që është shumë më e madhe sesa ‘n log n’ (vëreni se 0 < log n < n, sa herë që n > 1), e që është më i madh se n . Prandaj, termi ‘n3’dominon vlera të mëdha të ‘n’. Gjithashtu, vëreni se faktori i parë 13 është konstante. Faktorët e tillë konstant mund të ndikohen nga shpejtësia e procesorit ose kompajleri, kështu që mund të injorohen (për sa kohë që janë realitivisht të vegjël). Pra, këtë funksion do ta përgjithsonim në formë të ngjeshur duke thënë se koha e tij e ekzekutimit është “afërsisht e rendit n3” dhe kjo shkruhet si T(n)  O(n3). Joformalisht, shprehja T(n)  O(n3) do të thotë që, “kur injorohen faktorët shumëzuese konstant dhe kur shqyrtohet termi me rritjen më të shpejtë, fitohet n3”. Kjo është intuita më standarde që përdoret dhe më e lehta për t’u aplikuar për shumicën e rasteve. Sipas definicionit, T(n)  O(f(n)), nëse limn->∞ T(n)/f(n) është ose zero ose konstant (por jo ∞). Për shembull, ne thamë që funksioni i mëparshëm ishte T(n)  O(n3). Duke përdorur definicionin, do të kemi:

T ( n) 13n 3  42n 2  2n log n  3 n  lim n  f ( n ) n  n3

lim

 lim (13  n 

42 2 log n 3   2.5 ) n n n

= 13.

Pasi që kjo është konstantë, vlerësojmë se T(n)  O(n3). Pra, notacioni O është i mirë për të caktuar një kufi të epërm të funksionit. Vëreni se nëse T(n)  O(n3) është poashtu edhe O(n4), O(n5), etj., pasi që limiti do të shkojë në zero. Për të fituar ndjenjën e shkallëve të ndryshme të rritjes, ja një përmbledhje e tyre: T(n)  O(1) T(n)  O(log log n)

116

Shumë e mirë. Kjo do të thotë se algoritmi merr kohë konstante. Nuk mund të bëni më mirë se kaq. Shumë e shpejtë. Për shumicën e synimeve, kjo është poaq e shpejtë sa koha konstante.

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave T(n)  O(log n)

T(n)  O((log n)k)

Shumë e mirë. Kjo quhet koha logaritmike. Është koha e ekzekutimit të kërkimit binar dhe lartësia e pemës binare të balansuar. Është afërsisht më e mira që mund të arrihet për strukturat e të dhënave të bazuara në pemët binare. Vini re se log21000  10, dhe log2,1,000,000  20. Kjo quhet koha polilogaritmike. Nuk është e keqe, kur nuk është e arritshme koha logaritmike. Kjo do të shkruhet shpesh si:

O(logk n). (k-konstante) T(n)  O(np)

(0
Efikasiteti i algoritmit – rastet e ndryshme dhe shembujt Rendet e zakonshme të algoritmeve dhe shembujt të tyrje janë:

O(1) Algoritmi i cili gjithmonë ekzekutohet njësoj, pa marrë parasysh hyrjen. Për shembull, algoritmi i cili gjithmonë kthen një vlerë të njëjtë, pa marrë parasysh hyrjen mund të konsiderohet algoritëm me efikasitet O(1). Qasja direkte e rastit, në cilindo element të vargut, është poashtu O(1).

O(logn) Algoriteme e bazuar në pemët binare janë zakonisht të rendit O(log2 n). Kjo për arsye se pema e balansuar binare ka (log2 n) shtresa dhe kërkimi i cilitdo element në pemën binare kërkon përshkimin e vetëm një nyjeje në secilën shtresë. 117

Avni Rexhepi Algoritmi i kërkimit binar është poashtu shembull i rendit O(log n). Në kërkimin binar, kërkohet vlera në vargun e sortuar dhe duke filluar në mes, mundësohet që në hapin tjetër, të kërkohet vetëm gjysma e epërme ose e poshtme. Kështu vazhdohet, në çdo hap pasues, me pjesën e mbetur. Vargu mund të ndahet në gjysma, vetëm log n herë, para se të arrihet në një element të vetëm, i cili në fakt do të jetë elementi që kërkohej (me kusht që të jetë në varg).

O(n) Algoritmet me efikasitet n kërkojnë vetëm një kalim nëpër tërë hyrjen. Për shembull, algoritmi i kërkimit linear, i cili kërkon një vlerë në vargun e pasortuar, duke verifikuar secilin element me radhë, është O(n). shpesh, qasja në elementet e listës së lidhur është O(n), sepse lista e lidhur nuk përkrahë qasjen e rastit.

O(nlogn) Shpeshherë, algoritmet e mira të sortimit janë të rendit O(n log n). shembull i algoritmit me këtë efikasitet është “merge sort” (sorti i bashkimit), i cili e ndanë vargun në dy pjesë, i sorton dy gjysmat me thirrje rekursive, duke e thirrur vetveten në to dhe pastaj duke i bashkuar rezultatet prapa në një varg të vetëm. Pasi që e ndanë vargun në gjysmë, secilën herë, unaza e jashtme ka efikasitetin log n, dhe për çdo nivel të vargut që është ndarë (kur vargu është në dy gjysma, pastaj në qerek, pastaj në të tetën, e kështu me radhë), ai do të duhet të bashkojë të gjithë elementet, gjë që paraqet një operacion të rendit n. Pra, n herë log n.

O(n2) Efikasitet deri diku i arsyeshëm, akoma në rangun e kohës polinomiale, është tipik për shembujt e disa algoritmeve të sortimit, si p.sh., algoritmi i sortit me selektim.

O(2n) Efikasiteti më i rëndësishëm jo-polinomial është kjo rritja eksponenciale kohore. Shumë probleme të rëndësishme mund të zgjidhen vetëm me algoritme të kësaj shkalle të efikasitetit (ose edhe më të keqe). Një shembull do të ishte faktorizimi i numrave të mëdhenj, të shprehur në formë binare. Mënyra e vetme është prova/gabimi dhe qasja naive do të përfshinte ndarjen/pjestimin e secilit numër më pak sesa numri që faktorizohet në atë numër, deri sa të gjendet plotpjestimi. Për secilën rritje të një shifre, kjo do të kërkonte dyfish testime.

118


Parakushtet matematike Baza e mirë matematike është një vegël që do të nevojitet për të arsyetuar lidhur me strukturat e të dhënave dhe algoritmet me të cilat punohet. Të kuptuarit e matematikës ndihmon në aftësinë e dizajnimit të strukturave të mira të të dhënave, pasi që përmes matematikës është e mundur që të fitohet pasqyrë më e qartë e natyrës së strukturave të të dhënave dhe ndjenja e përgjithshme për efikasitetin e tyre kohor dhe hapsinor. Le të shohim disa nocione preliminare të shumave dhe provave përmes induksionit. Shumat: shumat janë të rëndësishme ën analizën e programeve të cilat operojnë me përsëritje (iterativisht). Për shembull, fragmenti vijues i kodit: for (i=1; i
T(n) =

 f (i) . i 0

Nëse kemi unaza të ndërthurura (unazë brenda unazës), atëherë kemi edhe shuma të ndërthurura (shumë brenda shumës). Zgjidhja e shumave ndahet në dy hapa themelorë. Së pari duhet thjeshtuar shumën sa më shumë që të jetë e mundur, duke larguar termat konstant (vini re, këtu konstante do të thotë çdo gjë që nuk varet nga variabla e unazës, i) dhe duke ndarë termat individuale në shuma individuale. Pastaj, secila prej shumave të mbetura të thjeshtuara mund të zgjidhet pavarur. Disa prej shumave të rëndësishme për t’u ditur jane: n

1  n (Seritë konstante) i 1 n

i  i 1

n

1

i

n(n  1) (Seritë aritmetike) 2

 ln n  O(1) (Seritë harmonike)

i 1

c n 1  1 c  1 (Seritë gjeometrike) c   c 1 i 0 n

i

Vëni re se shumat komplekse shpesh mund të ndahen në terma të thjeshta, të cila pastaj mund të zgjidhen më lehtë. Për shembull:

119

Avni Rexhepi

Shuma e fundit është me gjasë më e rëndësishmja për strukturat e të dhënave. Për shembull, supozojmë se doni të dini sa nyja ka në pemën komplete 3-are me lartësi h. (Akoma nuk është përkufizuar definicioni i pemës, por merrni parasysh figurën vijuese).

Fig. 2.5 – Pema 3-are e kompletuar, me lartësi h=2. Lartësia e pemës, h, është numri maksimal i degëve prej rrënjës, deri tek gjethja. Një mënyrë për të copëtuar këtë llogaritje është që të shikohet pema nivel pas niveli. Në nivelin fillestar (niveli 0), kemi një nyje, në nivelin 1 kemi 3 nyje, në nivelin 2 kemi 9 nyje dhe në përgjithësi, në nivelin ‘i’ kemi 3i nyje. për të gjetur numrin total të nyjeve, do të mbledhim përgjatë të gjitha niveleve, prej 0 deri në ‘h’. Duke zëvendësuar në shprehjen e mëparshme n=h, do të kemi: h

3 i 0

i



3 h 1  1  3h 3 1

Në anën e kundërt, nëse dikush do të ju thoshte se keni një pemë 3-are me n nyje, ju do të mund të përcaktonit lartësinë e pemës, duke invertuar këtë. Pasi që n = (3(h+1) – 1)/2, do të kemi: 3(h+1) = (2n+1) duke lënë të kuptohet se h = (log3(2n+1) - 1  O(log n).

120

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Një fakt tjetër i rëndësishëm që duhet të mbahet mend lidhur me shumat, është se ato mund të përafrohen përmes përdorimit të integraleve. b

 f (i)   i a

b

xa

f ( x)dx

Me një shumë të dhënë të komplikuar, shpesh është e mundur që të gjindet në librin e integraleve dhe të përdoret formula përkatëse për të përafruar shumën.

Rekurrenca Konstrukt tjetër matematik i cili paraqitet gjatë studimit të algoritmeve rekurzive është ai i rekurrencës. Rekurrenca është formula matematike e cila definohet rekurzivisht. Për shembull, le të kthehemi tek shembulli i pemës 3-are, me lartësi h. ka edhe një mënyrë tjetër për të përshkruar numrin e nyjeve në pemën 3-are. Nëse h=0 atëherë pema përbëhet prej një nyjeje të vetme (rrënjës). Përndryshme, ajo pemë përbëhet prej rrënjës dhe 3 kopjeve të pemës 3-are me lartësi h-1. Kjo sygjeron rekurrencën vijuese që definon numrin e nyjeve N(h) në pemën 3-are me lartësi h: N(0) = 1 N(h) = 3N(h−1) + 1 if h _ 1. Edhe pse definicioni duket të jetë cirkularë, është i bazuar mirë pasi që përfundimisht do të redukojmë në: N(0). N(1) = 3N(0) + 1 = 3 _ 1 + 1 = 4 N(2) = 3N(1) + 1 = 3 _ 4 + 1 = 13 N(3) = 3N(2) + 1 = 3 _ 13 + 1 = 40 e kështu me radhë. Janë dy metoda themelore për zgjidhjen e rekurrencave. Njëra (e cila funksionon mirë për rekurrencat e thjeshta të rregullta) është që të zgjerohet definicioni i rekurrencës me përsëritje, duke e redukuar përfundimisht në një shumë dhe tjetra është që thjeshtë të hamendësohet përgjigja dhe të përdoret induksioni. Ja një shembull i teknikës së parë: N(h) = 3N(h−1) + 1 121

Avni Rexhepi = 3(3N(h − 2) + 1) + 1 = 9N(h − 2) + 3 + 1 = 9(3N(h − 3) + 1) + 3 + 1 = 27N(h−3) + 9 + 3 + 1 ... = 3kN(h−k) + (3k−1 + ... + 9 + 3 + 1) Kur përfundon e gjithë kjo? Ne e dijmë se N(0)=1, kështu që le të caktojmë k=h duke implikuar që N(h) = 3hN(0) + (3h−1 + ... + 3 + 1) = 3h + 3h−1 + ... + 3 + 1 =

h

3

i

i 0

Pra, kjo është e njëjta gjë si më parë, por e derivuar (nxjerrur) në mënyrë tjetër. Prova përmes induksionit: teknika tjetër e rëndësishme matematike është ajo e provës (vërtetimit) përmes induksionit. Vërtetimet (provimet) me induksion janë kritike për të gjitha aspektet e shkencave kompjuterike dhe strukturave të të dhënave, e jo vetëm prova të efikasitetit. Në veçanti, virtualisht të gjitha argumentet e korrektësisë janë të bazuara në induksion. Prej mësimeve nga matematika diskrete keni mësuar qasjen përmes induksionit. Keni një teoremë të cilën doni ta vërtetoni dhe është e formës: “Për të gjitnë nurmat e plotë n ≥ 1, vlenë se ...” kur shprehja e teoremës përfshinë në njëfarë forme ‘n’-in. Idea është që në hapin e parë, të njohur si “rasti bazë”, të vërtetohet se teorema vlenë për një bashkësi themelore të vlerave ‘n’, (p.sh., n=1 në këtë rast). Pastaj tregohet se nëse teorema vlenë për rastin bazë, atëherë hapi i dytë, i njohur si hapi induktiv, është që të vërtetohet që shprehja e dhënë për cilindo numër natyral ‘n’, implikon që shprehja e dhënë vlenë edhe për cilindo numër natyral të ardhshëm, n+1. Prej këtyre dy hapave, induksioni matematik është rregulla për të cilën konkludojmë se shprehja e dhënë vlenë për të gjithë numrat natyral. Në strukturat e të dhënave, posaqërisht kur punohet me pemët, ky tip i induksionit nuk është shumë i dobishëm. Në vend të kësaj, përdoret versioni i ngjashëm,i quajtur induksioni i fortë, që duket të jetë më relevant. Idea është që të supozohet se nëse teorema vlenë për të gjitha vlerat e ‘n’ të cilat janë në mënyrë strikte më të vogla sesa ‘n’, atëherë ajo vlenë edhe për ‘n’. Le t’i kthehemi rastit të mëparshëm dhe ta vërtetojmë me induksion. Teoremë: le të jetë T pema komplete 3-are me n-1 nyje. Le të tregojë H(n) lartësinë e kësaj peme. Atëherë: H(n) = (log3(2n + 1)) − 1 Rasti bazë: marrim vlerën më të vogël legale për ‘n’, n=1 në këtë rast. Pema me një nyje të vetme ka lartësinë zero, kështu që H(1)=0. Duke vendosur n=1 në 122

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave formulën e dhënë na jep: (log3(2 · 1 + 1)) – 1=(log33) – 1=0, që ishte vlera e dëshiruar. Hapi i induksionit: duam të vërtetojmë se teorema vlenë për një vlerë specifike të n>1. Vëreni se në këtë rast nuk mund të aplikojmë induksionin standard, pasi që nuk ka pemë komplete 3-are me dy nyje në të (vlera e ardhshme më e madhe ka 4 nyje). Do të supozojmë hipotezën e induksionit, për të gjitha vlerat më të vogla n’, 1≤ n’1 nyje. pasi që n>1, duhet të përbëhet prej rrënjës dhe plus tri nënpemëve të tjera identike, ku secila është pemë komplete 3-are me n’
T(n)=  i i 0

Atëherë, T(n)  O(n). (Ne e dijmë nga formula e serive lineare se T(n)=n(n+1)/2  O(n2). Pra, kjo duhet të jetë jo e vërtetë (false). (A mund ta 123

Avni Rexhepi lokalizoni “vërtetimin” vijues?)

gabimin

në

Rasti bazë: për n=1, kemi T(1)=1 dhe 1 është O(1). Hapi i induksionit: duam të vërtetojmë teoremën për një vlerë specifike të n>1. Supozojmë se për çfarëdo n’
Tani, pasi që n-1
2.3. Rritja e funksioneve Shumica e algoritmeve parametrin primar N i cili ka ndikimin më të rëndësishëm në kohën e ekzekutimit. Parametri N mund të jetë shkalla e polinomit, madhësia e fajllit që duhet kërkuar ose sortuar, numri i karaktereve të stringut ose ndonjë masë tjetër abstrakte e madhësisë së problemit që analizohet: më së shpeshti është direkt proporcionale më madhësinë e bashkësisë së të dhënave që procesohet. Kur ka më shumë se një parametër të tillë (për shembull M dhe N në algoritmet për gjetje në union), shpeshherë analiza redukohet zakonisht në analizën e vetëm njërit parametër, duke shprehur njërin parametër si funksion të tjetrit ose duke e konsideruar një parametër në kohë (duke mbajtur tjetrin konstant), ashtu që të mund të kufizohemi në analizimin e një parametri N, pa humbur në përgjithësim. Qëllimi është që të shprehen kërkesat për resurse të programit (koha e ekzekutimit dhe hapësira në memorie), në terma të N-it, duke përdorur formulat matematike sa më thjeshtë që të jetë e mundur dhe që janë të sakta për vlera të mëdhaja të parametrave. Shumica e algoritmeve kanë zakonisht kohe të ekzekutimit proporcionale me njërin prej funksioneve vijuese: 124

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave 1 Shumica e instruksioneve (urdhërave) të shumicës së programeve ekzekutohen nga një herë ose në të shumtën vetëm disa herë. Nëse të gjitha instruksionet e programit kanë këtë veti, atëherë themi se koha e ekzekutimit të programit është konstante. log N Kur koha e ekzekutimit të programit është logaritmike, programi bëhet pak më i ngadalshëm gjersa N rritet. Kjo kohë e ekzekutimit zakonisht paraqitet në programet të cilat zgjidhin një problem të madh duke e transformuar në seri të problemeve të vogla, duke “prerë” madhësinë e problemit për një faktorë konstant në secilin hap. Për sferën tonë të interesit, mund të konsiderojmë kohën e ekzekutimit të jetë më e vogël se një konstante e madhe. Baza e logaritmit ndryshon konstantën, por jo shumë. Kur N është 1000, log N është 3 nëse baza është 10, ose është afër 10-shit, nëse baza është 2; kur N është 1 milion, log N është vetëm dyfishi i vlerave paraprake. Sa hërë që N dyfishohet, log N rritet për një konstantë, por log N nuk dyfishohet deri sa N të rritet sa N2. N Kur koha e ekzekutimit të programit është lineare, është zakonisht rasti kur një sasi e vogël e procesimit kryhet për secilin element të hyrjes. Kur N është 1 milion, atëherë aq është edhe koha e ekzekutimit. Sa herë që N dyfishohet, ashtu bën edhe koha e ekzekutimit. Kjo situatë është optimale për një algoritëm që duhet të procesojë N hyrje (ose të prodhojë N dalje). N log N Koha e ekzekutimit N log N paraqitet kur algoritmet zgjidhin problemin duke e ndarë atë në nënprobleme të vogla dhe duke i zgjedhur ato në mënyrë të pavarur, e pastaj duke i kombinuar zgjidhjet. Thjeshtë, themi se koha e ekzekutimit të një algoritmi të tillë është N log N (sepse mungon ndonjë shprehje që do të ishte kombinim i linear-algoritmik, si p.sh., linearitmik!). Kur N është 1 milion, N log N është ndoshta 20 milion. Sa herë që N dyfishohet, koha e ekzekutimit rritet pak më shumë se dyfishi (por jo shumë). N2 Kur koha e ekzekutimit të algoritmit është kuadradike, ai algoritëm është praktik vetëm për probleme relativisht të vogla. Koha e ekzekutimit kuadratike në mënyrë tipike paraqitet në algoritmet të cilat procesojnë të gjitha çiftet e të dhënave (ndoshta në unazë të dyfishtë). Kur N është 1000, koha e ekzekutimit është 1 milion. Sa herë që N dyfishohet, koha e ekzekutimit katërfishohet (rritet katërfish).

125

Avni Rexhepi N3 Ngjashëm, algoritmi që proceson “treshe” të të dhënave (ndoshta në unazë të trefishtë), ka kohë kubike të ekzekutimit, që është praktike vetëm për përdorim në probleme të vogla. Kur N është 100, koha e ekzekutimit është 1 milion. Sa herë që N dyfishohet, koha e ekzekutimit tetëfishohet. 2N Shumë pak prej algoritmeve me kohë eksponenciale të ekzekutimit do të jenë të përshtatshëm për përdorim praktik, edhe pse algoritmet e tilla paraqiten natyrisht si zgjidhje “brute-force” të problemeve. Kur N është 20, koha e ekzekutimit është 1 milion. Sa herë që N dyfishohet, koha e ekzekutimit ngritet në katrorë. Koha e ekzekutimit të një programi të veçantë zakonisht është ndonjë konstante e shumëzuar me një nga këto terma (termi kryesor) plus ndonjë term më i vogël. Vlera e koeficientit konstant dhe termave të përfshirë varen nga rezultatet e analizës dhe detajet e implementimit. Në terma të vrazhdët, koeficionti i termit kryesor (të parë) ka të bëjë me numrin e instruksioneve në unazën e brendshme: në cilindo nivel të dizajnit të algoritmit, është menquri të limitohet numri i instruksioneve të tilla. Për N të madh, efekti i termit kryesor dominon; për N të vogël ose për algoritme të ndërtuara me kujdes, mund të kontribuojnë më shumë terma dhe krahasimet e algoritmeve janë më të vështira. Në shumicën e rasteve, kohëve të ekzekutimit të programeve thjeshtë ju referohemi si “lineare”, “kaudratike”, “kubike”, “N log N”, etj. Përfundimisht, për të zvogëluar kohën e ekzekutimit të programit, fokusohemi në minimizimin e instruksioneve në unazën e brendshme. Secili instruksion shkon në vëzhgim të kujdesshëm: a është më të vërtetë i nevojshëm? A ka mënyrë më efikase për të përmbushur detyrën e njëjtë? Disa programerë besojnë se pajisjet automatike të ofruara nga kompajlerët modernë mund të prodhojnë kodin më të mirë të makinës; të tjerët besojnë se rruga më e mirë që të përpunohen me kujdes dhe të kodohen unazat e brendshme në kod të makinës ose në asembler. Normalisht, ajo që na intereson pa hyrë në aspektet e optimizimit, është që të dijmë sa instruksione nevojiten për operacionet e caktuara dhe të kuptojmë se përse në praktikë një algoritëm mund të jetë më i shpejtë se një tjetër. Për problemet e vogla, ka dallim të vogël se cilën metodë e përdorim, pasi që kompjuterët modern super të shpejtë, e kryejnë punën në çast. Por me rritjen e madhësisë së problemit, numrat bëhen shumë të mëdhenjë. Pasi që numri i instruksioneve që duhet të ekzekutohen nga një algoritëm i ngadalshëm bëhetë vërtetë shumë i madh, koha e nevojshme për të ekzekutuar këto instruksione bëhet e pazbatueshme, edhe për kompjuterët e shpejtë. Në figurën 2.1 shihen disa faktorë të konvertimit prej një numri mjaft të madh të sekondave, në ditë, 126

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave muaj, vite, e kështu me radhë. Tabela 2.2 jep disa shembuj të cilët paraqesin se si algoritmet e shpejta janë më të prirura të jenë të afta t’i zgjidhin problemet sesa komjuterët e shpejtë, pa u përballur me kohëra “mizore” të ekzekutimit. lg N 3 7 10 13 17 20

N

N

3 10 32 100 316 1000

10 100 1000 10000 100000 1000000

N lg N 33 664 9966 132877 1660964 19931569

Sekonda 102 104 105 106 107 108 109 1010 1011

N(lg N)2 110 4414 99317 1765633 27588016 397267426

N3/2

N2

32 1000 31623 1000000 31622777 1000000000

100 10000 1000000 100000000 10000000000 1000000000000

Koha 1.7 minuta 2.8 orë 1.1 ditë 1.6 javë 3.8 muaj 3.1 vjet 3.1 dekada 3.1 shekuj kurrë :)

Tabela 2.2. Konvertimi në sekonda Dallimi i madh ndërmjet numrave si 104 dhe 108 është më i qartë kur shqyrtohen në aspektin e gjatësisë së kohës në sekonda dhe kur bëhet konvertimi i tyre në njësi të zakonshme të kohës. Është e kuptueshme se do të prisnim për ekzekutimin e një programi për 2.8 orë, por pak ka gjasa që të pajtohemi me programin që do të kërkonte 3.1 vite për t’u kryer. Pasi që 210 është përafërsisht sa 103, kjo tabelë do të ishte e dobishme edhe për fuqitë e 2-shit. Për shembull, 232 sekonda është përafërsisht 124 vite. Për shumë aplikacione, gjasa e vetme për të zgjidhur instanca të problemeve shumë të mëdha është përdorimi i algoritmit efikas. Tabela në vijim paraqet kohën minimale të nevojshme për zgjidhjen e problemeve me madhësi të rendit 1 milion dhe 1 miliard, duke përdorur algoritmet lineare (N), kuadratike (N2) dhe N herë logaritmik (N lg N), në kompjuterët me shpejtësi të ekzekutimit të 1 milion, 1 miliard dhe 1 bilion instruksione për sekond. Algoritmi i shpejtë na mundëson zgjidhjen e problemeve në kompjuter të ngadalshëm, por kompjuteri i shpejtë nuk ndihmon dot kur përdoret algoritmi i ngadalshëm. 127

Avni Rexhepi Operacione për sekond

Madhësia e problemit 1 milion

Madhësia e problemit 1 miliard N N lg N N2 orë orë kurrë

106

N sekonda

N lg N sekonda

N2 javë

109

në çast

në çast

orë

sekonda

sekonda

dekada

1012

në çast

në çast

sekonda

në çast

në çast

javë

Tabela 2.2. Koha për zgjidhjen e problemeve shumë të mëdhaja Paraqiten edhe disa funksione të tjera, si p.sh algoritmi me N2 hyrje që ka kohë të ekzekutimit proporcionale me N3, është më së shumti algoritëm N3/2. Gjithashtu, disa algoritme kanë dy shkallë të dekompozimit të nënproblemit, të cilat çojnë në kohë të ekzekutimit proporcionale me N log2N. Është e dukshme nga tabela 2.1 se të dy këto funksione janë shumë më të afërta me N log N sesa me N2. Funksioni logaritmik luan rol të veçantë në dizajnin dhe analizën e algoritmeve, kështu që është me rëndësi të njihet mirë dhe të shqyrtohet detaje. Pasi që shpesh kemi të bëjmë me rezultate analitike përbrenda faktorit konstant, përdorim notacionin “log N” pa e specifikuar bazën për logaritmin. Ndryshimi i bazës prej një konstante në një tjetër e ndryshon vlerën e algoritmit vetëm për një faktor konstant, por disa baza specifike sygjerohen vetvetiu për kontekste të veçnta. Në matematike, logaritmi natyral (me bazë e=2.71818...) është shumë i rëndësishëm dhe shkurtesa e tij speciale është loge N ≡ ln N. Poashtu, logaritmi binar (me bazë 2) është shumë i rëndësishëm dhe zakonisht përdoret si log2 N ≡ lg N. Numri më i vogël i plotë (integer) më i madh se lg N është numri i bitave të nevojshëm për të reprezentuar N-in si numër binar, në mënyrë të njëjtë siq numri i plotë më i vogël (integer) më i madh sesa log10N është numri i shifrave të nevojshme për të reprezentuar N-in si decimal. Urdhëri në C++ for (lgN = 0; N > 0; lgN++, N /= 2) ;

është mënyrë e thjeshtë për të llogaritur integer-in më të vogël, më të madh sesa lg N. Mënyra e ngjashme për llogaritjen e këtij funksioni është: for (lgN = 0, t = 1; t < N; lgN++, t += t) ;

ky version thekson që 2n ≤ N < 2n+1 kur n është integer-i më i vogël më i madh sesa lgN. Nganjëherë, e përsërisim logaritmin: e aplikojmë atë në mënyrë të njëpasnjëshme në një numër shumë të madh. Për shembull: lglg 2256 = lg 256 =

128

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave 8. Si ilustrohet këtë shembull, zakonisht e konsiderojmë loglogN si konstant, për qëllime praktike, pasi që është shumë i vogël, edhe kur N është shumë i madh. Poashtu, shpeshherë hasim një numër të funksioneve speciale në notacionet matematike prej analizës klasike, që janë të dobishme në ofrimin e shpjegimeve koncize (të ngjeshura) të tipareve të programeve. Tabela 2.3 përmbledhë funksionet më të zakonshme: Funksioni x x lg N FN

Emri Kufiri i poshtëm Kufiri i epërm Logaritmi binar Numrat Fibonacci

Vlera tipike 3.14 = 3 3.14 = 4 lg 1024 = 10 F10 = 55

HN N! lg(N!)

Numrat Harmonik Faktorieli

H10  2:9 10! = 3628800 Lg(100!)  520

Përafrimi

x x 1:44 ln N N=/ 5 ln N+ (N/e)N N lg N – 1.44 N

e = 2.71818... Y = 0.57721... N=(1+ 5 )/2=1.61803... ln 2 = 0.693147... lg e = 1/ln 2 = 1.44269

Tabla 2.3. Funksionet dhe konstantet sepciale Algoritmet dhe analizat më së shpeshti kanë të bëjnë me njësi diskretë, kështu që shpeshherë na duhet që për funksionet speciale vijuese të konvertojmë numrat real në numra të plotë (integer): x: numri i plotë më i madh, që është më i vogël ose baraz me x x: numri i plotë më i madh, që është më i vogël ose baraz me x

Për shembull,  dhe e janë të dyja të barabarta me 3 dhe lg (N+1) është numri i bitave në reprezentimin binar të N-it. Një përdorim tjetër i rëndësishëm i këtyre funksioneve paraqitet kur dëshirojmë të ndajmë përgjysmë bashkësinë prej N elementeve. Nëse N është tek, këtë nuk mund ta bëjmë saktësisht, por për të qenë preciz, e ndajmë njërën nënbashkësi në N/2 dhe tjetrën në N/2. Nëse N është numër çift, të dy nënbashkësitë janë me madhësi të barabarta (N/2 = N/2), mirëpo nëse N është tek, ato dallojnë në madhësi për 1 (N/2 +1 = N/2). Në C++, këto funksione mund t’i llogarisim drejtpërdrejt kur jemi duke operuar me numra integer (p.sh., nëse N≥0, atëherë N/2 është dhe N-(N/2) 129

Avni Rexhepi është ), ndërsa nëse jemi duke operuar me numra jo të plotë, mund të përdorim funksionet ‘floor’ dhe ‘ceil’ nga libraria (angl. floor-dyshemeja, dhe ‘ceil’, shkurtesa për ceiling-tavani, pra kufiri i epërm dhe kufiri i poshtëm). Versioni i diskretizuar i funksionit të logaritmit natyral, i quajtur numrat harmonik, paraqitet shpesh në analizën e algoritmeve. Numri harmonik i N-të (seria e harmonikëve) definohet përmes ekuacionit: H N  1

1 1 1   ...  2 3 N

Logaritmi natyral ln N është zona nën lakoren 1/x ndërmjet 1 dhe N; harmoniku HN është zona nën funksionin shkallë (angl. step function) që definohet duke vlerësuar 1/x në pozitat e numrave të plotë ndërmjet 1 dhe N. Ky relacion është ilustruar në figurën 2.6.

Figura 2.6. Numrat harmonik Formula HN  ln N++1/(12N), ku  = 0.57721... (konstanta e Euler-it) jep një përafrim të shkëlqyeshëm të HN. Në anën tjetër, për lg N dhe lg N është më mirë të përdoret funksioni ‘log’ i librarisë matematikore për të llogaritur HN sesa të llogaritet direkt prej definicionit. Numrat harmonik (seria e harmonikëve) janë një përafrim i zonës nën lakoren y=1/x. Konstanta e Euler-it definohet si limiti i diferencës ndërmjet serisë së harmonikëve dhe logaritmit natyral (pjesa e shkallëzuar, përmbi lakore 1/xn):

Seria e numrave: 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 ...

të cilët definohen përmes formulave: FN = FN–1 + FN–2,

130

për N ≥ 2, me F0 = 0 dhe F1 = 1


Njihet si “Numrat Fibonacci” dhe kanë disa tipare shumë interesante. Për shembull, raporti i dy termave të njëpasnjëshme, i përafrohet raportit të artë: are knoën as the Fibonacci numbers, and they have many interesting properties. For example, the ratio of tëo successive terms approaches the golden ratio ø = (1 + 5 )/2  1.61803.... Analiza e detajuar tregon se FN është øN/ 5 , e rrumbullaksuar në numrin e plotë më të afërt. Poashtu, do të kemi rastin e manipulimit të funksionit të njohur të faktorielit, N!. Ngjashëm me funksionin eksponencial, faktorieli paraqitet në zgjidhjet “bruteforce” të problemeve dhe rritet shumë shpejt, sa që zgjidhjet e tilla nuk janë me interes praktik. Poashtu paraqitet në analizën e algoritmeve sepse përfaqëson të gjitha mënyrat e mundshme të aranzhimit të N objekteve. Për të përafruar faktorielin N!, përdoret formula e Stirling-ut:

lg N! N lg N  N lg e  lg 2N ose versioni zakonisht i përdorur nëpër alikacione:

Formula e Stirling-ut tregon se numri i bitave në reprezentimin binar të N! është përafërsisht N lg N. Shumë prej formulave të shqyrtuara në analizën e algoritmeve shprehen në terma të funksioneve të përmendura, prandaj janë me interes.

131

Avni Rexhepi

Algoritmet për nga teknika dhe qasja Për rastet kur natyra e problemit është e thjeshtë dhe ka zgjidhje të lehta, përdoren algoritmet standarde. Për problemet e komplikuara dhe për të cilat nuk ka ndonjë zgjidhje standarde, përdoren metodat e optimizimit. Kur fillohet zgjedhja ideore e algoritmit, varësisht prej problemit, mund të përdoren qasje të ndryshme. Zgjidhjet ideore të algoritmeve kryesisht janë të orientuara kah gjetja e zgjidhjeve optimale për problemin e caktuar, kështu që shpesh herë flitet për algoritmet optimizuese. Metodat më të njohura të qasjes për algoritmet janë: brute-force (metoda që provon me radhë të gjitha rastet), përçaj e sundo (angl. Divide and Conquer), metoda e eliminimit ose e turneut me eliminime (angl. tournament), rekursioni, “back-tracking” (angl. back–prapa, angl. tracking–përcjellja, gjurmimi; kështu që mund ta quajme rishikimi, prapaveprimi, prapakthimi, etj), algoritmet dinamike, algoritmet evolutive, etj.

Copëtimi i problemeve Një prej teknikave më të fuqishme për zgjidhjen e problemeve është copëtimi i tyre në probleme më të vogla dhe në pjesë më lehtë të zgjidhshme. Problemet e vogla janë më të lehta dhe na lejojnë të fokusohemi në detajet të cilat humben kur studiohet problemi i tërë. Për shembull, sa herë që të mund ta copëtojmë problemin në instanca më të vogla të problemit të tipit të njëjtë, fillon të bëhet i dukshëm algoritmi rekurziv. Dy paradigma të rëndësishme të dizajnit të algoritmeve janë të bazuara në copëtimin e problemeve në probleme më të vogla: -

Programimi dinamik në mënyrë tipike largon një element nga problemi, e zgjidhë problemin më të vogël dhe pastaj e përdorë zgjidhjen e këtij problemi më të vogël për të ja shtuar përsëri elementin në mënyrën e duhur.

-

Përqaj e sundo në mënyrë tipike e ndanë problemin në gjysmë, e zgjidhë secilën gjysmë dhe pastaj i bashkon prapa të dy gjysmat për të formuar zgjidhjen e plotë.

Të dy këto teknika janë të rëndësishme për t’i njohur. Në veçanti, programimi dinamik është teknikë e keqkuptuar dhe e nënvlersuar. Shumë objekte kanë një renditje të qenësore nga e majta në të djathtë për elementet e tyre, si karakteret në string, elementet e permutacioneve, pikat përreth poligonit ose gjethet në pemën e kërkimit. Për cilindo problem të optimizimit në objekte të tilla nga e majta në të djathtë, programimi dinamik me gjasë do të dërgojë në një algoritëm efikas për gjetjen e zgjidhjes më të mirë. Pa një renditje të nënkuptuar nga e majta në të djathtë të objekteve, programimi 132

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave dinamik zakonisht është i “dënuar” që të kërkojë kohë dhe hapësirë eksponenciale. Kur programimi dinamik të jetë kuptuar një herë e mirë, do të jetë më lehtë që të krijohen algoritmet e tilla prej “zeros” sesa të tentohet që të kërkohen. Optimumi global (i gjetur, për shembull, duke përdorur programimin dinamik) është shpeshherë dukshëm më i irë sesa ndonjë zgjidhje e gjetur me heuristikë tipike. Se sa është i rëndësishëm ky përmirësim varet prej aplikacionit tuaj, por kurrë nuk mund të jetë i dëmshëm. Kërkimi binar dhe variantet e tij janë algoritme më të sofistikuara përqaj-esundo.

Programimi dinamik Ndonjëherë ka kuptim që të punohet drejt zgjidhjes së problemit duke krijuar një tabelë të zgjidhjeve për versionet më të vogla të problemit. Për arsye të përshkruara si “historike” ky proces është i njohur me emrin programimi dinamik ndërsa algoritmet përkatëse quhen algoritmet dinamike. Ka aplikim në problemet e ndryshme të ndërlidhura me kërkimin kombinatorik – ndoshta problemi më i thjeshtë do të ishte shembulli i llogaritjes së koeficientëve binomial përmes ndërtimit të trekëndëshit të Paskalit, rresht pas rreshti, deri sa të arrihet të koeficienti i dëshiruar. Pasi ta keni kuptuar mirë, programimi dinamik me gjasë është teknika më e lehtë e dizajnimit të algoritmeve për t’u aplikuar në praktikë. Në fakt, algoritmet e programimit dinamik janë zakonisht më të lehta për t’u rizbuluar sesa të tentohet të kërkohen nëpër libra. Mirëpo, deri sa të kuptohet, programimi dinamik duket si magji. Para se të përdoret, duhet të kuptohet “forja” e tyre. Në problemet algoritmike, si sortimi, korrektesia është e prirur të vërtetohet më lehtë sesa efikasiteti. Kjo nuk është rasti në problemet e optimizimit, ku kërkojmë të gjejmë zgjidhjen e cila maksimizon ose minimizon funksionin. Në dizajnimin e algoritmeve për një problem të optimizimit, duhet të japim prova se algoritmi gjithmonë jep zgjidhjen më të mirë të mundshme. Algoritmet lakmitare, të cilat marrin vendimin më të mirë lokal në secilin hap, rastësisht ndodhë që të prodhojnë optimume globale për disa probleme. Këto janë efikase në mënyrë tipike. Mirëpo, duhet provë për të treguar se gjithmonë do të përfundoni me përgjigjen më të mirë. Algoritmet e kërkimit shterrues, të cilat provojnë të gjitha mundësitë dhe zgjedhin më të mirën, sipas definicionit, gjithmonë duhet të prodhojnë rezultat optimal, por zakonisht me kosto penguese në terma të kompleksitetit kohor. Programimi dinamik kombinon më të mirat nga të dy botët. Teknika sistematikisht shqyrton të gjitha vendimet e mundshme dhe gjithmonë zgjedhë 133

Avni Rexhepi atë që vërtetohet se është më e mira. Duke ruajtur konsekuencat e të gjitha vendimeve të mundshme deri në momentin aktual dhe duke përdorur këtë informatë në mënyrë sistematike, minimizohet puna totale. Programimi dinamik mësohet më së miri duke studiuar një numër të shembujve, gjersa të kuptohet si duhet. Shembuj përkatës janë: Numrat Fibonacci, Problemi i particionimit (The partition problem), përshtatja e përafërt e stringjeve (approximate string matching), sekuenca më e gjatë rritëse (longest increasing sequence), trekëndëzimi me peshë minimale (minimum ëeight triangulation), etj. Numrat Fibonacci “Pazari” ndërmjet hapësirës dhe kohës, i eksploatuar në programimin dinamik, më së miri ilustrohet në vlerësimin e relacioneve të rekurrencës, siç janë numrat Fibonacci. Numrat Fibonacci fillimisht u definuarn nga matematikani italian Fibonacci, në shekullin e trembëdhjetë, për të modeluar rritjen e popullacionit të lepujve. Lepujt shumohen shpejtë dhe Fibonacci hamendësoi se numri i çifteve të lepujve të lindur në një vit është i barabart me numrin e çifteve të lepujve të lindur në secilin prej dy viteve paraprake, nëse vitin e parë fillohet me një çift lepujsh. Për të numëruar numrin e lepujve të lindur në vitin e n-të, ai definoi relacionin vijues të rekurrencës: Fn = Fn-1 + Fn-2 me rastet fillestare F0=0 dhe F1=1, kështu që seria vazhdon si: {3,5,8,13,21,34,55,89,144...}. Siç shihet, formula e Fibonacci-t nuk dha rezultat të mirë sa i përket numërimit të lepujve, mirëpo ka përdorim për aplikacione të tjera dhe tipare interesante. Pasi që janë definuar përmes formulës rekurzive, është e lehtë të shkruhet programi rekurziv për llogaritje të numrit të n-të Fibonacci dhe pseudokodi i algoritmit rekurziv duket si vijon: Fibonacci[n] if (n=0) then return(0) else if (n=1) then return(1) else return(Fibonacci[n-1]+Fibonacci[n-2])

134

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave F(6)

F(5)

F(4)

F(4) F(3) F(2) F(1)

F(1)

F(3) F(2) F(1)

F(0)

F(2) F(1)

F(1)

F(0)

F(3) F(2) F(1)

F(1)

F(2) F(1)

F(0)

F(0)

F(0)

Figura: Pema e llogaritjes për llogaritjen rekurzive të numrave Fibonacci Sa kohë merr ky algoritëm për të llogaritur Fibonacci[n]? Pasi që

(1  5) Fn 1    1.61803 Fn 2 kjo do të thotë që: Fn>1.6n Pasi që pema rekurzive e ilusturar më sipër ka vetëm gjethe 0 dhe 1, duke mbledhur deri në një numër të madh duhet të kemi së paku gjethet ose thirrjet e procesurave! Ky program i vogël merr kohë eksponenciale për t’u ekzekutuar! Në fakt, mund të bëhet shumë më mirë. Mund të llogarisim të njëjtën në kohë lineare, duke ruajtur të gjitha vlerat. Kështu shkëmbejmë hapësirën për kohën dhe algoritmi vijues: Fibonacci[n] F[0]=0 F[1]=1 For i=1 to n, Fi=F[i-1]+F[i-2] Pasi që llogarisim numrat Fibonacci prej më të voglit deri te më i madhi dhe i ruajmë rezultatet, e dijmë se e kemi F[i-1] dhe F[i-2] sa herë të na duhet të llogarisim F[i]. Prandaj, secila prej n vlerave llogaritet si shumë e thjeshtë e dy integer-ave në kohë totale O(n), që është shumë më mirë sesa koha eksponenciale e rastit rekurziv. Kufizimet e programimit dinamik Programimi dinamik mund të aplikohet në cilindo problem që zbaton principin e optimalitetit. Thënë vrazhdë, kjo do të thotë që zgjidhjet parciale mund të zgjerohen optimallisht duke pasur parasysh gjendjen pas zgjidhjes parciale në vend se vetë zgjidhjen parciale. Për shembull, për të vendosur se a të zgjerohet 135

Avni Rexhepi një kërkim i përafërt i stringut me zëvendësim, insertim ose fshirje, ne nuk kemi nevojë ta dijmë saktësisht cila sekuencë e operacioneve është kryer deri më tani. Në fakt, mund të ketë disa sekuenca edituese të ndryshme të cilat arrijnë kosto C në p karakteret e para të mostrës P dhe t karakteret e stringut T. Vendimet në të ardhmen do të bëhen bazuar në konsekuencat e vendimeve paraprake, e jo në vetë ventimet aktuale. Problemet nuk kënaqin principin e optimalitetit nëse operacionet aktuale kanë rëndësi, kundrejt vetëm kostos së operacionit. Shqyrtoni një formë të editimit të distancës ku nuk na lejohet të përdorim kombinime të operacioneve në ndonjë renditje të caktuar. Formuluar si duhet, sidoqoftë, shumica e problemeve të kombinatorikës e respektojnë principin e optimalitetit. Kufizimi më i madh në përdorimin e programimit dinamik është numri i zgjidhjeve parciale të cilat duhet të përcillen (ruhen). Për shembujt që u panë, zgjidhjet parciale mund të përshkruhen tërësisht duke specifikuar pozitat e ndalimit në hyrje. Kjo për arsye se objektet kombinatorike në të cilat punohet (stringjet, sekuencat numerike dhe poligonet) të gjitha kanë një rend implicit të definuar në bazë të elementeve të tyre. Ky rend nuk mund të “skremblohet” (angl. scramble – përziej) pa ndryshuar problemin në tërësi. Kur një herë të jetë fiksuar renditja, ka relativisht pak pozita të ndaljes ose gjendje, ashtu që përfitojmë algoritëm efikas. Nëse objektet nuk mund të renditen me vendosmëri (qëndrueshëm), sidoqoftë, kemi një kohë eksponenciale të zgjidhjeve të mundshme parciale dhe jemi të “gjykuar” që të kemi nevojë për një sasi të paarritshme të memories. Për të ilustruar këtë, shqyrtoni algoritmin vijues të programimit dinamik për problemin e shitësit ambulant (agjentit tregtar, angl. Traveling Salesman Problem –TSP). Zgjidhja e problemit TSP nënkupton gjetjen e renditjes me të cilën vizitohen lokacionet (qytetet, pikat) saktësisht një herë, me distancën totale minimale ose me koston minimale. Le të jetë C(i,j) kostoja e degës së përshkuar prej pikës i në pikën j. Definoni T(i; j1, j2...jk) të jetë kostoja e turit optimal prej i në 1 që kalon nëpër secilin qytet j1, j2...jk saktësisshtë një herë, me radhë. Kostoja e turit optimal TSP është prandaj e definuar të jetë T(1,2,...n) dhe mund të llogaritet rekurzivisht duke identifikuar nyjen e parë në këtë sekuencë: T (i, j1 , j1 ,..., j k )  min C (i, j m )  T ( j m , j1 , j1 ,..., j k ) 1 m k

duke përdorur rastet bazike T (i, j )  C (i, j )  C ( j,1)

Kjo rekurrencë, edhe pse pak e komplikuar për t’u kuptuar, në fakë është korrekte. Mirëpo, secila zgjidhje parciale është e përshkruar me nënbashkësinë e nyjeve: j1, j2, ..., jk. Pasi që ka 2n nënbashkësi të n nyjeve, kërkohet kohë dhe 136

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave hapësirë W(2n), për të vlerësuar këtë rekurrencë. Kjo është e menagjueshme, pasi W(2n) është vërtetë përmirësim i dukshëm në krahasim me të gjitha O(n!) turet e mundhshme TSP. Megjithatë, programimi dinamik është më së shumti efikas në objektet e renditura mirë.

Programimi linear – zgjidhja për kutinë e zezë Mënyra më e lehtë për zgjidhjen e një problemi të optimizimit është që të shkruhet specifikacioni për hapësirën e zgjidhjeve të realizueshme dhe të funksionit objektiv, e pastaj të përdoren ndonjë paket ekzistues softverik për të gjetur zgjidhjen optimale.

Algoritmet lakmitare – kurrë mos shiko prapa Algoritmet lakmitare (angl. Greedy Algorithms, greed-lakmi) përfshijnë ndonjë lloj të optimizimit. Idea e “lakmisë” është që të fillohet me kryerjen e cilitdo operacion që kontribon sa një hap i vetëm në drejtim të zgjidhjes përfundimtare dhe qëllimit final. Hapi i ardhshëm pastaj do të ishte hapi më i mirë që do të mund të ndërmirrej prej pozitës së re, e kështu me radhë. Shembull i mirë përshkrues do të ishte algoritmi i gjetjes së pemës minimale të shtrirjes tek grafet.

Prapaveprimi Prapaveprimi ose rishikimi (angl. Back-tracking, back-prapa; trackingpërcjellje/ndjekje/ gjurmim) është rasti kur është i nevojshëm rishikimi i rezultateve të arritura paraprakisht. Nëse algoritmi që ju nevojitet përshinë kërkimin, mund të jetë që rishikimi është ajo çka nevojitet. Kjo e ndanë dizajnin konceptual të funksionit të kërkimit në dy pjesë: së pari vetëm shkon përpara për të hulumtuar atë çka mendon se është shtegu më i arsyeshëm për t’u hulumtuar. Kjo pjesë me gjasë do të arrijë në rrugë pa dalje dhe ky është momenti kur fillon pjesa e dytë, prapaveprimi (rishikimi). Në këtë rast ai ka mbajtur informacione shtesë përreth asaj kur pjesa e parë ka bërë zgjidhjet dhe “çpshtjellon” prapa të gjitha llogaritjet deri në pikën e zgjidhjes paraprake të fundit e pastaj rifillon kërkimin nëpër një shteg tjetër. Kjo metodë është shumë e dobishme në shumë probleme të ndërlidhura me grafet. Është i njohur problemi i ashtuquajtur “Problemi i tetë mbretëreshave” në tabelë shahu, ku tetë mbretëresha duhet të pozicionohen në tabelën e shahut, ashtë që asnjëra nuk e sulmon tjetrën. Prapaveprimi është mënyrë sistematike e kalimit nëpër të gjitha konfiguracionet e mundshme të hapësisrës së zgjidhjeve. Këto konfiguracione mund të jenë të gjitha renditjet/rregullimet e mundshme të objekteve (permutacionet) ose të gjitha mënyrat e ndërtimit të bashkësive të tyre (nënbashkësitë). Ndonjë aplikacion tjetër mund të kërkojë të gjitha pemët e shtrirjeve të grafeve ose të

137

Avni Rexhepi gjitha shtigjet e mundshme mes dy nyjeve ose të gjitha mënyrat e ndarjes së nyjeve në grupe sipas ngjyrave.

Kërkimi lokal – Mendo globalisht, vepro lokalisht Algoritmet e optimizimit janë të aplikueshme në disa rrethana të veçanta. Programimi dinamik, kërkon strukturë speciale për problemin dhe mund të kërkojë shumë hapësirë dhe kohë. Kërkimi sistematik është zakonisht shumë i ngadalshëm për hyrje të mëdha. Algoritmet lakmitare janë të shpejta, por shpeshherë japin vetëm zgjidhje të kualitetit të ulët. Kërkimi lokal është procedurë iterative gjerësisht e aplikueshme. Ai fillon me ndonjë zgjidhje të realizueshme dhe pastaj lëvizë nga zgjidhja e realizueshme në zgjidhje të realizueshme me modifikime lokale. Kërkimi lokal mbanë zgjidhjen aktuale të realizueshme x dhe zgjidhjen më të mirë të gjetur deri në atë moment x’. Në secilin hap, kërkimi lokal lëvizë nga zgjidhja aktuale në një zgjidhje fqinje. Çka janë zgjidhjet fqinje? Cilado zgjidhje që mund të përfitohet prej zgjidhjes aktuale, duke bërë një ndryshim të vogël në të, është zgjidhje fqinje.

Hill Climbing Hill Climbing (angl. Hill – kodër, Climbe – ngjitje, alpinizëm), është poashtu metodë/teknike që përdoret për problemet e optimimzimit. Hill climbing është versioni lakmitar i kërkimit lokal. Kjo kërkon që së pari të gjeni (në ndonjë mënyrë) ndonjë formë të realizueshme (por me presupozimin që nuk është optimale) të zgjidhjes së problemit. Pastaj, shikon për mënyrat në të cilat do të mund të bëheshin ndryshime të vogla në këtë zgjidhje, për ta përmirësuar atë. Një varg i këtyre përmirësimeve të vogla do të mund të dërgojë në fund në optimumin e kërkuar. Natyrisht, propozimi i mënyrës për të gjetur përmirësimet e tilla nuk është vetvetiu garancë që optimumi global do të arrihet ndonjëherë: si zakonisht algoritmi i dizajnuar nuk është i kompletuar deri sa të keni vërtetuar (provuar) që ai gjithmonë përfundon me arritjen e saktësisht rezultatit që ju nevojitet/duhet.

Kalitja e simuluar – të mësuarit nga natyra Nëse dëshirojmë t’i ikim zgjidhjeve të padëshiruara lokale, duhet të gjindet mënyra për të ikur prej tyre. Kjo do të thotë që ndonjëherë duhet të pranohen lëvizjet të cilat zvogëlojnë vlerën objektive. Qëllimi është që të iket prej optimumeve lokale, ashtu që të lëvizet drejt cakut, për të gjetur optimumet globale. Një mënyrë e e asthuquajtura ‘kalitja e simuluar’ (angl. simulated annealing). Kjo medotë simulon procesin e kalitjes së metaleve, në të cilin substanca nxehet përmbi temperaturën e saj të shkrirjes dhe pastaj gradualisht ftohet duke prodhuar rrjetën kristaline, e cila minimizon shpërndarjen e probabilitetit të 138

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave energjisë së saj. Kjo rrjetë kristalore, e përbër nga miliona atome të renditura në mënyrë perfekte, është shembull i mirë i gjetjes natyrore të strukturës optimale. Megjithatë, ftohja e shpejtë ose shuarja e prishë formacionin kristalor dhe substanca bëhet masë amorfe me gjendje energjie më të lartë sesa optimumi. Çelësi i formimit të kristalit është kontrollimi i kujdesshëm i shkallës së ndryshimit të temperaturës. Algoritmi analog me këtë proces fillon me një hamendësim të rastit të vlerave të variablave të funksionit të kostos. Nxehja nënkupton modifikimin me rastësi të vlerave të variablave. Nxehja e lartë kërkon luhatje të rastit më të mëdha. Funksioni i kostos kthen daljen, të shoqëruar me setin e variablave. Nëse dalja zvogëlohet, atëherë seti i variablave zëvendëson setin e vjetër të variablave. Edhe nëse seti i variablave dërgon në kosto më të keqe, mund të pranohet me një probabilitet të caktuar. Variabla kontrolluese vendosë hapin e shkallës ashtu që, në fillim të procesit algoritmi detyrohet të bëjë ndryshime të mëdha në vlerat e variablave. Me kohë, ndryshimet lëvizin algoritmin tuje nga optimumi, gjë që e detyron algoritmin të hulumtojë regjione të reja të hapësirës së kërkimit. Pas një numri të caktuar të përsëritjeve, seti i ri i variablave nuk dërgon më në kostot e ulëta. Algoritmi ngalet kur T  0. Zvogëlimi i T është i njohur edhe si orari i ftohjes. Janë të mundshme shumë orare të ndryshme të ftohjes. Shpresohet që në këtë mënyrë të arrihet në regjionet e zgjidhjeve të mira optimale dhe pastaj në fakt të gjindet zgjidhje afër optimales, në fazën e temperaturës së ulët. Pragu i pranueshëm – është pragu i vlerave të pranueshme të zgjidhjeve. Tabu lista – Tabu lista ose “Tabu search” (tabu kërkimi) na paraqitet në rastet kur gjatë kërkimitë të zgjidhjeve optimale, arrijmë gjithmonë në zgjidhjen e njëjtë sub-optimale, duke u sillur në cikël të mbyllur. Randomizimi (marrja e vlerave të rastit) do të paraqiste një rrugëdalje prej optimumeve lokale, duke mbajtur një listë tabu të “elementeve të zgjidhjes ”evitohet” në zgjidhjet e reja, për momentin. Tabu listat janë shumë të suksesshme dhe mund të përdoren si teknikë bazë për një variantë ta pavarur të zgjidhjes lokale, të quajtur “tabu search” (kërkimi tabu). Restartimi – sjellje tipike e algoritmeve të rafinuara të kërkimit lokal është lëvizja në një zonë me zgjidhje të realizueshme dhe pastaj hulumtimi i asaj zone, duke tentuar që të gjindet optimumi lokal gjithnjë e më i mirë. Mirëpo, mund të ndodhë që ekzistojnë zgjidhje shumë më të mira, në zona të tjera të largëta. Disa ekzekutime të njëpasnjëshme të pavarura në disa kompjuterë të ndryshëm mund të dërgojnë në një formë të lehtë të paralelizmit.

139

Avni Rexhepi

Algoritmet Evolutive Qeniet e gjala janë shumë adaptive në ambient dhe i tejkalojnë problemet e jetës së përditshme. Aplikimi i principeve të jetës dhe të qenieve të gjalla në zhvillimin e algoritmeve të mira, duke u bazuar në principet natyrore të evolucionit, krijon kategorinë e algoritmeve evolutive (në mesin e tyre më të njohurat, algoritmet gjenetike). Teoria e evolucionit ka shfaqur mekanizmat të cilët dërgojnë në performansë më të mirë: mutacionet, rekombinimet, mbijetesa e atyre me aftësi më të mira (të ashtuquajtur fitnes, më të mirë). Qasja evolutive në zgjidhjen e problemeve, nënkupton krijimin e zgjidhjeve të përafërta fillestare, me rastësi, dhe pastaj aplikimin e ndryshime dhe rekombinimeve nëpër “gjenerata” të ekzekutimit të programit, për të fituar zgjidhje optimale.

Algoritmet me rastësi - Las Vegas dhe Monte Carlo Algoritmet e randomizuara (me rastësi) ndahen në dy kategori kryesore: Algoritmet Las Vegas dhe ato Monte Carlo. Algoritmi Las Vegas gjithmonë llogaritë përgjigjen korrekte por koha e tij e ekzekutimit është variabël e rastit. Algoritmi Monte Carlo gjithmonë ka kohë të njëjtë të ekzekutimit, por ka një probabilitet jo-zero të kthimit të përgjigjes jo-korrekte. Probabiliteti që përgjigja është jokorrekte është pothuajse 1/4. Pra, kthen përgjigje, por ndonjëherë jo të saktë.

140


3. Implementimi i strukturave themelore – Stack dhe Queue Stack (Steku) Steku (angl. Stack-mullar, grumbull, raft etj) është struktura në të cilën elementet renditen sipas radhës së vendosjes së tyre në listë, me fjalë të tjera “First In Last Out” (FILO) (I pari brenda, i fundit jashtë). Kjo strukturë është rasti i grupit të librave të vendosur një mbi një, karikatori i plumbave, një gyp i mbullur në njërin skaj, etj. Pra në të gjitha këto raste, kemi qasje vetëm në elementin e fundit të vendosur në “listë”.

Stack - Steku Radha e pritjes (angl. Queue) është struktura e të dhënave e cila përbëhet nga lista e elementeve dhe dy pointerëve, në elementin e “front”-it (fillim, para) dhe elementin “rear” (fundi, prapa). Elementet mund të insertohen nga prapa dhe të largohen nga fillimi, d.m.th., operacioni FIFO (First In, First Out - I pari brenda, I pari jashtë). Kjo strukturë është rasti i vargut të pritjes të personave, për ndonjë shërbim të caktuar (i pari që vjen, i pari shërbehet), lista e punëve në printer, tuneli, një gyp i hapur në të dy anët, por me qarkullim vetëm një një kahje, ku elementet hyjnë nga njëri skaj, e dalin nga skaji tjetër, etj. Vargjet dhe listat e lidhura sigurojnë mekanizmat themelore të cilat mundësojnë insertimin dhe largimin e elementeve. Në të vërtetë, vargjet dhe listat e lidhura janë strukturat themelore të të dhënave, të cilat qëndrojnë përfundi, si bazë e ndërtimit të disa implementimeve të disa tipeve të përgjitshsuara të radhëve (queue) dhe strukturave të tipeve abstrakte të të dhënave. Dihet se kostoja e insertimit dhe fshirjes është e varur nga strutura specifike dhe elementi specifik që insertohet ose fshihet. Për një ADT të dhën, sfida është se si të zgjedhet struktura që lejon kryerjen efikase të këtyre veprimeve. Tipet e të dhëave të cilat përbëhen nga objektet abstrakte, janë objekt qëndror në studimin e shkencave kompjuterike, sepse ato përkrahin në mënyrë direkte paradigmën themelore të llogaritjeve. Për shumë llogaritje, e gjejmë veten në 141

Avni Rexhepi pozita kur kemi shumë objekte me të cilat duhet punuar, por kemi mundësi të qasjes së vetëm një elementi në kohë. Prandaj, duhet të ruhen të tjerat, deri sa të përpunohet ai i zgjedhuri. Ky përpunim mund të përfshijë ekzaminimin e disa objekteve të ruajtura më parë dhe shtimin e të tjerave në koleksion, por operacionet e ruajtjes së objekteve dhe marrjes së tyre në bazë të ndonjë kriteri të caktuar, janë baza e llogaritjes kompjuterike. Shumë struktura klasike të të dhënave dhe shumë algoritme, i përkasin këtij “modeli”. Në C++, klasat të cilat implementojnë koleksione të objekteve abstrakte quhen “container classes” (klasa bartëse, kontejnerë). Shumë struktura të të dhënave janë të implementuara në libraritë e C++-it ose në versionet e bazuara në shabllonet standarde STL (Standard Template Library).

Steku përmes vargjeve Termi “Stek” mund të duket abstrakt për t’u kuptuar, por në jetën e përditshme e përdorim gjatë lojës me letra, kur bëjme palpeta, kur vendosim një grup librash një mbi një, etj. Steku pra është një grup i gjërave të vendosura njëra mbi tjetrën dhe me mundësi të largimit të vetëm një elementi në moment kohor, vetëm nga maja e stekut. Edhe pse e strukturë shumë e thjeshtë, steku gjenë përdorim të gjerë dhe është komponente kritike e shumë programeve. Parimi i funksionimit është LIFO (Last In, First Out). Nuk mund ta merrni një element në pjesën e poshtme, pa i larguar së pari një nga një të gjitha sipër. Edhe pse në dukje, strukturë joefikase, nëse objektiv do të ishte qasja e rastit në elementet përbërëse, për qëllime të tjera, steku del të jetë strukturë ideale. Mirëpo, nëse qëllimi është marrja e gjërave, sipas radhës së vendosjes në stek, si është puna me instruksionet e kompjuterit, atëherë steku është strukturë efikase. Steku është një prej strukturave fundamentale të të dhënave në shkencat kompjuterike dhe përdoret në shumë algoritme dhe aplikacione. Për shembull, steku përdoret në: vlerësimin e shprehjeve, në mënyrë implicite në rekurzion, për të verifikuar korrektësinë e sekuencës së kllapave, etj. Së pari do të përshkruajmë ADT-në e stekut dhe pastaj do të paraqiten implementimet e ndryshme.

Stack ADT Ilustrim i mirë nga jeta reale do të ishte një grumbull i librave (të vendosura njëra mbi tjetren), pra një stek i librave, ku mund të veproni vetëm me “majën” e stekut. (angl. top-maja, kulmi, kreu, kreshta, etj. P.sh., shpesh përmendet “Top lista”, pra lista e kryesoreve, më të mirave, etj.). 142

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Në stek janë të përcaktuara gjashtë veprime standarde. Kemi mundësi të vendosim një libër në maje (push; angl. push-goditje, shtytje, hedhje, etj.); të shikojmë cili libër ndodhet në maje (peek, top; angl. peek-shikim vjedhurazi, përgjim); të largojmë librin në majë (pop; angl. pop-nxjerrë (kuptimi që i përshtatet këtij veprimi)); dhe të verifikojmë a është steku i zbrazët (isEmpty). Gjithashtu, kemi dy operacionet themelore për krijim (create) dhe asgjësim (destroy) të stekut.

Operacionet    





Stack create() krijon stekun e zbrazët boolean isEmpty(Stack s) tregon a është steku s i zbrazët push(Stack s, Item e) vendose e në maje(top) të stekut s Item peek(Stack s) kthen elementin që ndodhet në maje të stekut s Parakusht: s nuk është i zbrazët pop(Stack s) largon elementin që ndodhet në maje, nga steku s Parakusht: s nuk është i zbrazët destroy(Stack s) asgjëson stekun s

Në literaturë, operacioni peek quhet edhe top, për të simbolizuar shikimin në maje të stekut.

Aksiomat për stekun    

steku i sapokrijuar është i zbrazët; pasi të vendoset një element në stekun e sapokrijuar, ai bëhet “jo i zbrazët”; peek kthen elementin e fundit të vendosur në stek; steku mbetet i paprekur, pas çiftit të komandave “push” dhe “pop”, të ekzekutuara njëra pas tjetrës.

Pra, të gjitha janë definicione formale. Përmes figurës në vijim ilustrohen operacione në stek. Skematikisht, steku mund të paraqitet si vijon: 143

Avni Rexhepi

Fig. 3.1 - Steku Vargu dhe steku shpeshherë duken si koncepte të cilat ngatërrohen në diskutime të njëjta, mirëpo në esencë janë dy gjëra të ndryshme. Vargu i ruan vlerat në memories; ndërsa steku vetëm e përcjellë se cili është elementi në krye të stekut (angl. top). Kur “nxirret” vlera nga steku, ajo në fakt mbetet në memories, sepse ajo akoma është element i vargut. Nxjerrja e elementit nga steku, vetëm e ndryshon elementin që ndodhet në krye të stekut.

Fig. 3.2 – Steku dhe vargu janë dy gjëra të ndryshme: vargu i ruan vlerat në memorie; steku përcjellë cili element ndodhet në krye të stekut. Programerët përdorin vargjet, për të ruajtur vlerat të cilat referencohen nga steku. Si është thënë, vargu përbëhet nga seria e elementeve të vargut, që janë të tipit të njëjtë, në koncpet të variablave. Steku e përmbanë indeksin e elementit të vargut i cili ndodhet në krye të stekut.

144

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Figura 3.2 është mënyra se si disa programerë e përfytyrojnë një varg të përdorur me stek. Shembulli paraqet një varg të quajtur stek, me 8 elemente të vargut. I tërë vargu, përmbanë vlerat të cilat janë të referencuara nga steku. Tri elemente të vargut, janë vlera të përcaktuara, gjersa të tjerat janë akoma të zbrazëta dhe mund të përdoren kur të vendosen në stek elemente të reja. Moni është vlera e parë e vendosur në stek. Kjo dihet për shkak se Moni është në fund të stekut. Beni, është elementi i fundit i futur në stek, sepse Beni është në krye të stekut (është elementi top).

Push Për vendosjen e elementit në stek, përdoret termi “push” (angl. push-shtyje, detyroje, godite, etj). Push është udhëzimi se e dhëna është duke u shtuar në stek. Imagjinojeni këtë si shtyerje të elementeve teposhtë stekut, duke i lëvizur elementet që veç janë brenda stekut teposhtë, për të krijuar vend/hapësirë për elementin e ri. Ja çka ndodhë në realitet. Vlera e re caktohet në pozitën e ardhshme të lirë të vargut (pozita e lirë që është në dispozicion) dhe indeksi i atij elementi të vargut bëhet top (kreu) i stekut, si në figurën 3.3. Programi e inkrementon (e rritë për një) indeksin aktual të stekut. Në këtë shembull, indeksi rritet për 1, duke rezultuar në indeksin 3 si top i stekut, që është indeksi vlerës së re të caktuar të vargut.

Fig. 3.3 – Vlera e re (angl. New Value) i ndahet elementit të ardhshëm të vargut dhe indeksi i tij bëhet top i stekut.

Pop Procesi i kundërt i “Push” është “Pop” (angl. Pop – nxirre, Pop Up – tërhiqe lartë). Me “pop” largohet një element nga steku. Është me rëndësi të kuptohet se 145

Avni Rexhepi tërheqja e elementit nga steku nuk e kompjon elementin. Kur një element të tërhiqet nga steku, ai më nuk është në dispozicion në stek, edhe pse vlera e tij akoma në varg. Ja çka ndodhë në realitet. Rikujtojmë se top-i i stekut ka indeksin e elementit të vargut, vlera e të cilit është në maje të stekut. Në figurën 3.3, indeksi 3 është në majte të stekut, që do të thotë se elementi 3 i vargut, “Vlera e re”, është në maje të stekut. Kur nxirret (pop) Vlera e re prej stekut, dekrementohet (zvogëlohet për 1) indeksi në “top” të stekut. Kjo do të thotë se indeksi i top tash bëhet 2, në vend të 3. Kjo bën që “beni” të jetë vlera e re në maje të stekut (Figura 3.4). vëreni se “Vlera e re” dhe elementi i tretë i vargut mbesin të paprekur, sepse tërheqja (popping) e vlerës prej stekut vetëm e ndryshon stekun, e jo vargun që ndodhet “përfundi, nën”.

Figura 3.4: Kur tërhiqet elementi top nga steku, të gjitha vlerat lëvizin te lartë, kah maja e stekut.

Krijimi i stekut në C++ Steku mund të krijohet në C++ duke definuar klasën Stack dhe duke deklaruar instancat e klasës. Klasa Stack kërkon tri atribute dhe disa funksione (member functions). Do të fillojmë me definimin e klases themelore, që përmbanë vetëm komponentet e nevojshme për krijimin e stekut. Klasa do të emërtohet Stack, edhe pse normalisht mund të zgjedhni emrin sipas dëshirës. Klasa përmbanë pjesën private dhe atë publike. Komponentet private kanë qasje vetëm përmës funksioneve anëtare të klasës. 146

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Në pjësën private janë tri atribute: size (madhësia), top (kreu i stekut) dhe values (vlerat), të cilat janë të tipit integer. Atributi size ruan numrin e elementeve në stek, atributi top ruan indeksin e elementit në krye të stekut dhe atributi values është pointer në stek, që është një varg. Steku në këtë shembull është stek i numrave të plotë, por mund të përdoret vargu i çfarëdo lloji të vlerave, varësisht prej natyrës së programit. Në fillim, për qëllime thjeshtësie dhe për t’u kuptuar lehtë, fillojmë me vetëm një funksion anëtarë të klasës. Ky funksion, quhet Stack dhe është konstruktori i klasës. Konstruktor është funksioni që ka emrin e njejtë me vetë klasën dhe që thirret automatikisht kur të krijohet një instancë e klasës. Brenda konstruktorit ndodhin disa gjëra. Së pari, konstruktori e merr një vlerë integer si argumet, i cili përcillet kur të deklarohet një instancë e klasës. Kjo vlerë integer përcakton numrin e elementeve në stek dhe i ndahet variablës size. Urdhëri i parë në konstruktor mund të duket pak i paqartë, pasi që duket thua se vlera e variablës size nga lista e argumenteve po i ndahet vetëvetes, por kjo nuk është kështu. Në fakt, variaba size nga lista e argumenteve, është variabël lokale përbrenda funksionit Stack. Kombinimi: this->size i referohet atributit size të klasës Stack, si në vijim: this->size = size;

Programerët e përdorin pointerin “this” (angl. this – ky, kjo), përbrenda funksionit të klasës për të ju referuar instancës aktuale të klasës. Në këtë shembull, pointeri this përdorë referencën e pointerit ->, për t’i treguar kompjuterit që të përdorë atributin size të klasës. Si dihet, në C++, referenca e pointerit përdoret (->) kur punohet në mënyrë indirekte me anëtarin e klasës ndërsa operatori “dot” (.) përdoret kur punohet direkt me anëtarin e klasës. Kjo i mundëson kompajlerit që të bëjë dallimin ndërmjet variablës së kalsës dhe variablës lokale që ka emër të njëjtë. Kjo do të thotë se vlera e variablës size që përcillet si argument në funksionin Stack, i ndahet atributit size, duke e bërë vlerën të disponueshme për anëtarët e tjerë të klasës Stack. Atributi size përdoret në urdhërin e ardhshëm. Ky urdhër i bënë dy gjëra. Së pari, e alokon memorien për stekun duke përdorur opreratorin “new” (new int[size]). Operatori new kthen pointerin për në lokacionin e rezervuar të memories. Size është atributi size i klasës dhe përcakton madhësinë e vargut. Vargu është një varg i numrave të plotë (integer). Pastaj, pointeri i vargut të integjerave i ndahet atributit values të klasës. Atributi values është variabël pointer që është definuar në pjesën private të klasës Stack. Urdhëri i fundit në funksionin Stack ia ndanë vlerën a-1 atributit top. Vlerat e atributit top është indeksi i elementit top të stekut. Vlera -1 do të thotë që steku 147

Avni Rexhepi nuk ka elemente. Rikujtoni se vlerat e indeksave janë zhvendosjet e memories (angl. memory offsets) prej fillimit të vargut. Indeksi 0 do të thotë “lëviz 0 bajta prej fillimit të vargut”. Kështu, indeksi -1 është vetëm një lehtësirë për të thënë që vargu është i zbrazët. Definicioni i klasës Stack do të zgjerohet, mirëpo tani për tani le të krijojmë një instancë të klasës Stack. Instanca e klasës është deklaruar përbrenda funksionit main( ). Këtu ndodhin tri gjëra. Së pari, operatori new krijon një instancë të stekut në memorie. Operatori new kthen pointerin në atë lokacion të memories. Pastaj, urdhëri definon një pointer për në stek, që është emërtuar myStack. Hapi i fundit është përcaktimi (ndarja) e pointerit të kthyer nga operatori new, pointerit myStack. Tutje, myStack përdoret si emër për të ju referuar instancës së klasës Stack, në program. public class Stack { private: int size; int top; int* values; public: Stack(int size) { this->size = size; values = new int[size]; top = -1; } }; void main(){ Stack *myStack = new Stack(10); }

//size=madhesia //top=kreu //values=vlerat

//’size’ anëtar

Funksioni Push Pas definimit të klasës që e krijon stekun, do të shohim funksionin i cili i mundëson klasës që të mbushë stekun (që të shtyjë vlerat në stek). Vendosja/shtyrja e vlerës në stek është proces dy-hapësh. Së pari, duhet të përcaktohet nëse ka vend në stek për një vlerë të rë. Nëse ka, atëherë vlera shtyhet (angl. push) në stek; përndryshe, jo. Do të krijojmë funksione anëtare për secilin hap, duke filluar me definimin e funksioni i cili përcakton nëse ka vend në stek. Do ta quajmë, isFull( ) (angl. si full - është i mbushur) dhe do ta definojmë në kodin vijues. Funksioni isFull() 148

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave është funksion i thjeshtë, i cili krahason vlerën e kreut të stekut, atributi top, me një më pak sesa vlera e atributit size. Vlera e atributit top është -1, kur deklarohet instanca e stekut. Supozojmë se madhësia është 10 (pra atributi size është 10). Shprehja e kushtëzimit në urdhërin if të funksionit isFull() përcakton nëse vlera top, e cila është -1, është më e vogël se size-1. Pasi që vlera e size është 10, shprehja e kushtit krahason 1<9. Nëse top është më e madhe ose baraz me 9, atëherë kthehet “true” (plotësohet kushti), përndryshe kthehet “false”. Pra, duhet të zbritet 1 nga vlera size, pasi që vlerat e atributit top është një indeks i anëtarit të vargut. Pasi që indeksat fillojnë prej zeros, kemi dhjetë indeksat: 0 deri në 9. Përndryshe, vlera size në fakt është numri i elementeve të stekut. bool isFull() { if(top < size-1) { return false; } else { return true; } }

//isFull = eshtePlot

Me funksionin e definuar isFull(), vazhdojmë definimin e funksionit push( ), si në shembullin vijues. Funksioni push() shtyen vlerën në stek (e vendosë vlerën e re në stek). Vlera që shtyhet në stek, përcillet si argument në funksionin push() dhe i ndahet variablës x (në këtë shembull). Para se të bëjë ndonjë gjë tjetër, funksioni push() e kontrollon se a ka vend në stek, duke e thirrur funksionin isFull(), në shprehjen e kushtëzimit if. Kjo shprehje mund të duket pak e çuditshme, pasi paraprihet nga shenja ‘!’ (shenja e negacionit), mirëpo kjo është bërë për të siguruar plotësimin e kushtit, pasi që isFull() kthente “false”, kur kishte vend në stek. Pra, me logjikën e negacionit, kthejmë “true”, kur kemi vend në stek, dhe vazhdojmë me shtytjen e elementit të ri në stek. Brenda urdhërit të kushtit ‘if’ kemi dy urdhëra. I pari, e inkrementon vlerën e atributit top, që është indeksi i vlerës së fundit të vendosur në stek. Nëse steku është i zbrazët, athëerë vlera aktuale që është në fillim -1, e bën vlerën top 0, që edhe është indeksi i elementit të parë të vargut të stekut. Urdhëri tjetër në bllokun e kushtit ‘if’ ia ndanë (përcakton) vlerën e përcjellur në funksionin push(), elementit të ardhshëm në dispozicion të vargut. 149

Avni Rexhepi void push(int x) { if(!isFull()) { top++; values[top] = x; } }

Funksioni Pop Na duhet edhe funksioni për largimin e elementeve/vlerave nga steku. Për të bërë këtë, duhet të definojmë edhe dy funksione shtesë: isEmpty() (angl. is empty – është i zbrazët) dhe pop(). Funksioni isEmpty() e verifikon se a ka vlera në stek. Funksioni pop e largon vlerën top nga steku. Së pari definojmë funksionin isEmpty(), i cili përmbanë një urdhër të kushtëzimit ‘if’. Shprehja e kushtit të urdhërit ‘if’ krahason vlerën e atributit top të stekut, me -1. Rikujtoni se -1 ishte vlera fillestare e top, kur deklarohet steku. Nëse atributi top është baraz me -1, atëherë kthehet ‘true’ sepse steku është i zbrazët; përndryshe, kthehet ‘false’. bool isEmpty() { if(top == -1) { return true; } else { return false; } }

//isEmpty=eshteBosh

Funksioni pop() i klasës Stack ka për detyrë të bëjë ndryshimin e indeksit që ndodhet në krye të stekut (top) dhe të kthejë vlerën e vargut korrespondues në urdhërin që e thërret funksionin pop(). Shembulli vijues, e definon funksionin pop(). Urdhëri i parë deklaron një variabël të tipit integer, të quajtur retVal, e cila ruan vlerën e kthyer nga funksioni pop(). Vlera retVal inicializohet në zero. Pastaj, thirret në shprehjen e kushtëzimit ‘if’, thirret funksioni isEmpty(), për të përcaktuar nëse ka vlerë në krye të stekut (në top). Vëreni, përseri me negacion (‘!’), përmes logjikës së kundërt, veprohet si në rastin e funkionit push(). 150

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Urdhërat përbrenda urdhërit ‘if’ duhet të ekzekutohen nëse funksioni isEmpty() kthen false, që do të thotë se steku nuk është i zbrazët. Brenda kushtit ‘if’ ndodhin dy hapa. Së pari, vlera top i ndahet variablës retVal duke iu referuar vlerës së vargut përmes përdorimit të indeksit të përmbajtur në atributin top. Pastaj, vlera e atributit top dekrementohet. Vlera retVal atëherë kthehet përmes funksionit pop(). int pop() { int retVal = 0; //retVal = Vlera qe kthehet if(!isEmpty()) { retVal = values[top]; top--; } return retVal; }

Steku në veprim Tani që e kemi parë se si krijohet dhe si përdoret steku, do të shohim një stek në veprim. Tri gabime të zakonshme të cilat duhet të përcillen në rastin e stekut, janë alokimi i memories për stekun, reagimi në rastin e stekut të mbushur dhe reagimi në rastin e stekut të zbrazët. Do të shohim një shembull të programit që krijon dhe përdorë stekun. Programi përmbahet përbrenda tre fajllave: stack.h, stack.cpp dhe stackDemo.cpp. Fajlli stack.h është ‘header file’ që përmbanë definicionin e klasës Stack, e cila shërben si shabllon për krijimin e instancave të stekut. Fajlli stack.cpp është kodi burimor i cili përmbanë implementimin e funksioneve të klasës Stack. Fajlli stacDemo.cpp përmbanë kodin burimor për programin në C++ i cili deklaron instancën e klasës Stack dhe thërret funksionet anëtare të tij. Le të fillojmë duke shikuar header fajllin stack.h, i cili është paraqitur në shembullin e kodit vijues. Si dihet nga rregullat e C++-it, fajlli header zakonisht përmbanë definicionet dhe instruksionet/direktivat preprocesorike. Preprocesori është një program i cili aplikon direktivat preprocesorike në kodin burimor, para se te kompajlohet kodi. Header fajlli stack.h përmbanë një direktive preprocesorike, #define, e cila në këtë rast definon një simbol. Këtu është definuar simboli DEFAULT_SIZE dhe atij i është dhënë vlera 10. Preprocesori pastaj i zëvendoson të gjitha paraqitjet e DEFAULT_SIZE me 10, para se të kompajlohet kodi. DEFAULT_SIZE është madhësia standarde e stekut nëse nuk përcillet ndonjë argument tek konstruktori. 151

Avni Rexhepi Parametrave të funksioneve mund të ju ndahen vlera të nënkuptuara (standarde, default) në protoptipin e funksionit, nëse argumentet ndodhen në funkd të listës së argumenteve. Nëse vlera size nuk përcillet, aje e merr vlerën e nënkutpuar nga DEFAULT_SIZE, e cila në këtë shembull është 10. Fajlli stack.h gjithashtu përmbanë definicionin e klasës Stack. Definicioni i klasës Stack ka të njëjtat vlera për atributet size, top dhe values, si në shembullin e mëparshëm. Mirëpo, definicioni i funksioneve anëtarëe është i ndryshëm, sepse funksionet janë implementuar jashtë definicionit të klasës në fajllin e kodit burimor stack.cpp. Header fajlli përmbanë vetëm protoptipet e funksioneve, të cilat krijojnë shabllonet e klasave. Nga klasat në C++, dihet se vetëm protoptipi i funksioneve anëtare është e nevojshme që të përfshihet në definicionin e klasës. Implementimi i funksioneve mund të bëhet jashtë definicionit të klasës. Janë dy arsye për të mbajtur definicionin (header fajllin) dhe implementimin (burimin) në fajlla të ndarë:  

E mbanë ambientin zhvillimor (angl development environment) më të pastër dhe më të lehtë për t’u kuptuar. Ju mundëson që të ju ofroni programerëve të aplikacioneve softverike komerciale vetëm interfejsin, pa pasur nevojë t’u jepni kodin tuaj burimor. Ju i ofroni/siguroni programerit header fajllat e juaj, të cilët ata do t’i përdorin për të kompajluar kodin e tyre (atyre ju duhen vetëm header fajllat për të komapjluar kodin). Ju e ofroni kodin tuaj burimor në formë të librarive të prekompajluara të cilat referohen nga programet e programerëve të tjerë gjatë linkimit.

Definicioni i klasës përmbanë prototipet e gjashtë funksioneve anëtare. Funksioni i parë është quajtur Stack, i cili është konstruktori që u paraqit në pjesën paraprake. Më parë u tregua se konstruktorit i përcillet një integer i cili përfaqëson madhësinë e stekut, size. Në versionet reale, programi e vendosë një vlerë të nënkuptuar (default) e cila mund të mbishkruhet kur instanca e klasës krijohet në program. Madhësia e nënkuptuar specifikohet duke përdorur DEFAULT_SIZE, që është 10 (e caktuar me #define). Funksioni tjetër është ~Stack() dhe është destruktori i klasës. Destruktori është funksioni i fundit që thirret kur instanca e klasës del jashtë fushëveprimit dhe “vdes”. Destruktori gjithmonë duhet të ketë emrin e njëjtë më atë të klasës dhe të paraprihet nga shenja ‘tilde’ (~). Sipas definicionit, destruktori nuk mund të pranojë argumente. Qëllimi i destruktorit është të lirojë memorien e përdorur nga steku ose të bëjë ndonjë lloj tjetër ‘spastrimi’,që mund të kërkohet. Funksionet tjera janë ato të njëjtat që u paraqitën paraprakisht: isFull(), isEmpty(), push() dhe pop(). 152

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave //stack.h #define DEFAULT_SIZE 10 class Stack { private: int size; int top; int* values; public: Stack(int size = DEFAULT_SIZE); virtual ~Stack(); bool isFull(); bool isEmpty(); void push(int); int pop(); };

Fajlli stack.cpp është fajlli i kodit burimor, që përmbanë implementimin e funksioneve të klasës Stack. Është vendosur në fajll tjetër prej definicionit të klasës sepse është më lehtë të lexohet dhe të mirëmbahet si dhe për arsyet e përmendura më herët. Fajlli fillon me direktivën preprocesorike #include e cila i tregon kompjuterit që të ‘vlerësojë’ përmbajtjen e fajllit stack.h para se të kompajlojë fajllin stack.cpp ashtu që ai “të dijë” lidhur me definicionin e klasës Stack para se të kompajlohet programi. Funksionet anëtare në fajllin stack.cpp janë të njohura (përveç njërit) sepse janë ato që u paraqitën në pjesën e përparshme. Sidoqoftë, emrat e funksioneve në shikim të parë mund të duken të çuditshme, sepse të gjitha fillojmë me emrin e klasës të pasuar nga simboli ‘::’ (katër pika, ose dy dy-pikësha). Ky simbol njihet si ‘scope resolution operator’ (operatori për zbërthimin e fushëveprimit) dhe përcakton se në cilën klasë është deklaruar funksioni përkatës (gjegjësisht cilës klasë i përket funksioni). Emri i funksionit duhet të paraprihet me operatorin ‘::’ nëse funksioni definohet jashtë definicionit të klasës. Pra, brenda klasës deklarohet vetëm protoptipi (paralajmërimi se funksioni ndodhet në këtë klasë), kurse definicioni i plotë i funksionit (trupi i funksionit me urdhërat përkatës) jepet jashtë klasës. Mendojeni këtë si mënyrë për t’i terguar kompjuterit se funksioni i përket klasës përkatëse, në këtë rast klasës Stack. Funksioni ~Stack() (Destruktori) e liron memorien e përdorur nga steku. Ai e bën këtë duke përdorur operatorin ‘delete’ dhe duke ju referuar emrit të vargut të përdorur nga steku. Në këtë shembull, emri i vargut është ‘values’. 153

Avni Rexhepi Për të evituar rrjedhjet e memories (memory leaks), lirimi i memories është i rëndësishëm sa herë që bëhet alokimi dinamik i memories. Kllapat e mesme, [ ], përdoren me urdhërin ‘delete’, sepse objekti që duhet të fshihet/largohet nga memoria ka qenë i krijuar dinamikisht. Fajlli stack.cpp kompajlohet si kompajlohet çdo kod burimor i zakonshëm. Rezultati i fituar është një objekt fajll që është i bashkuar nga linkeri me fajllin e kompajluar të kodit burimor të stackDemo.cpp, për të krijuar programin ekzekutiv. //stack.cpp #include "stack.h" Stack::Stack(int size) { this->size = size; values = new int[size]; top = -1; } Stack::~Stack() { delete[] values; } bool Stack::isFull() { if(top < size-1) { return false; } else { return true; } } bool Stack::isEmpty() { if(top == -1) { return true; } else { return false; } } void Stack::push(int x)

154

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave { if(!isFull()) { top++; values[top] = x; } } int Stack::pop() { int retVal = 0; if(!isEmpty()) { retVal = values[top]; top--; } return retVal; }

Në fund, kemi programin stackDemo.cpp, i cili është programi që krijon instancën e klasës Stack. Urdhëri i parë krijon stekun në proceson tre-hapësh. Hapi i parë është përdorimi i operatorit neë për të alokuar hapësirën në memorie për kalsën Stack, duke thirrur konstruktorin e kësaj klase. Operatori neë kthen lokacionin e memories, të stekut. Hapi i dytë është deklarimi i pointerit të quajtur stack. Hapi i fundit është ndarja e lokacionit të kthyer të memories nga ana e operatorit neë, pointerit të stekut. Në këtë shembull, kemi përdorur madhësinë standarde ëpr stekun, që është 10 elemente. Konstruktorit Stack() mund t’ia përcjellim një vlerë integer për të ndryshuar madhësinë e stekut. Funksioni push() thirret tri herë. Secilën herë, në stek vendoset vlerë e ndryshme. Vëreni se në vend të dot operatorit është përdorur pointeri ->. Kjo duhet të bëhet për arsye se stack është pointer në një instancë të klasës dhe jo vetë instanca. Pjesa e fundit e programit stackDemo.cpp e thërret tri herë funksionin pop() (brenda unazës). Secilën herë, vlera përkatëse largohet nga kreu i stekut (top) dhe paraqitet në ekran. //stackDemo.cpp void main() { Stack *stack = new Stack(); stack->push(10); stack->push(20); stack->push(30); for(int i=0; i<3; i++)

155

Avni Rexhepi { cout << stack->pop() << endl; } }

Implementimi i stekut të bazuar në vargje Supozojmë se kapaciteti i stekut është i kufizuar në një vlerë të caktuar dhe mbingarkimi (tejmbushja) e stekut do të shkaktojë “error” (gabim). Megjithatë, duke pasur parasysh idetë nga implementimi i vargjeve dinamike, ky kufizim mund të tejkalohet lehtësisht, përmes mengaxhimit të kapacitetit të vargjeve dinamike. Pavarësisht nga kufizimi i kapacitetit, implementimi stekut të bazuar në vargje përdoret gjerësisht në praktikë. Në një numër të rasteve, kapaciteti i kërkuar i stekut është i ditur paraprakisht dhe hapësira e alokuar i përmbushë saktësisht kërkesat e detyrës së veçantë. Në rastet tjera, kapaciteti i stekut thjeshtë tentohet të përcaktohet që të jetë i mjaftueshëm. Megjithatë një koncept i tillë është problematik, sepse një rekurzion i thellë mund të shkaktojë tejmbushjen e stekut.

Implementimi Implementimi i stekut të bazuar në vargje është mjaft i thjeshtë. Ai përdorë variablën top për të pointuar në elementin e majes së stekut në varg. 1. Fillimisht top = -1; 2. push operacioni, e rritë top për një dhe e shkruan elementin e shtyrë (pushed) në storage[top]; (angl. storage-depo, vend i ruajtjes). 3. pop operacioni, verifikon që top është i ndryshëm nga -1 dhe e zvogëlon vlerën e top për 1; 4. peek operacioni, verifikon që top nuk është baraz me -1 dhe kthen vleren storage[top]; 5. isEmpty kthen vleren bool-eane (top == -1). Pjesë kodi #include using namespace std; class Stack { private: int top; int capacity;

156

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave int *storage; public: Stack(int capacity) { if (capacity <= 0) throw string("Kapac. stekut duhet te jete pozitiv "); storage = new int[capacity]; this->capacity = capacity; top = -1; } void push(int value) { if (top == capacity) throw string("Hapesira e stekut eshte tejmbushur "); top++; storage[top] = value; } int peek() { if (top == -1) throw string("Steku eshte i zbrazet"); return storage[top]; } void pop() { if (top == -1) throw string("Steku eshte i zbrazet "); top--; } bool isEmpty() { return (top == -1); } ~Stack() { delete[] storage; } };

157

Avni Rexhepi

Përdorimi i stekut Steku gjenë zbatime të shumëfisht. Në rastin më të thjeshtë, nëse dëshirojmë të ndryshojmë (rrotullojmë) renditjen e elementeve të një vargu, mund t’i përcjellim në stek dhe t’i tërheqim nga steku, duke fituar renditjen e kundërt të vlerave. Steku mund të përdoret edhe në konvertimin e numrave, p.sh., nga numrat decimal në numër binar.

Konvertimi i numrave Steku përdoret në shumë aplikacione, gjatë kohës së ekzekutimit të tyre: • • •

“Runtime stack” përdoret nga proceset (programet gjatë ekzekutimit) për të përcjellur funksionet në punë Për problemet e kërkimit (angl. Search problems) Për operacionet ‘undo’, ‘redo’ (zhbërja dhe ribërja e veprimeve, nëprograme të ndryshme), pastaj për operacionet: ‘back’, ‘forward’ (lëvizja para, prapa, p.sh., gjatë shfletimit të ëeb-faqeve, në shfletuesit e internetit etj).

Steku përdoret edhe nga compiler-et të cilët i testojne programet për gabime sintaksore. Shpeshhere, mungesa e nje simboli të vetëm (p.sh., * / ose 1) bën që kompajleri të “kthejë” një mori rreshtash te diagnozës pa e identifikuar gabimin e vërtetë. Përmes stekut, kontrollohet edhe përmbajtja e programit, e urdhërave dhe funksioneve. Duke i vendosur elementet “hapëse” (kllapa e hapur) në stek, me lehtësi mund të verifikojmë se a ka kuptim simboli “mbyllës” (kllapa e mbyllur). Në mënyrë specifike, kemi algoritmin vijues: 1. Krijo nje stek te zbrazet 158

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave 2. Lexo simbolet deri në fund të fjallit a. Nesë “token”-i është simbol hapës, shtyje në stek b. Nëse është simbol mbyllës dhe steku është i zbrazët, raporto gabim. c. Përndryshe, “tërhiqe” stekun. Nëse simboli i tërhequr nuk i përgjigjet simbolit hapës, raporto gabim. 3. Në fund të fajllit, nëse steku nuk është i zbrazët, raporto gabim.

Algoritmi i perdorur per te verifikuar simbolet e balansuara sygjeron një mënyre për thirrjen e funksioneve. Problemi është që kur thirret një funksion i ri, të gjitha variablat lokale për në funksionin e thirrur duhet të ruhen nga sistemi; përndryshe, funksioni i ri do t’i mbishkruante variablat e rutinës thirrëse. Për më tepër, lokacioni aktual ne rutinen thirrëse duhet të ruhet ashtu që funksioni i ri të dije ku të shkoje/kthehet, pasi të ketë mbaruar punën. Variablat në pergjithsi janë caktuar nga kompajleri në regjistra të makinës dhe konfliktet mund të paraqiten. Arsyeja perse ky problem është i ngjashëm me balansimin e simboleve është sepse thirrja e funksionit dhe kthimi i funksionit (return) janë në esencë të njëjtë me kllapen e hapur dhe atë të mbyllur, prandaj duhet aplikuar idetë e njëjta. Një aplikim tjetër i rëndësishëm i stekut është vlerësimi i shprehjeve në gjuhët programuese. Në shprehjen 1+2*3, në pikën ku haset *, veq e kemi lexuar operatorin + dhe operandet 1 dhe 2. A operon * në 2, në 1 dhe 2? Rregullat e prioritetit na tregojne që * operon ne 2, i cili është operandi i parë së fundi. Pasi të shohim 3, mund të vlerësojmë 2*3 si 6 dhe pastaj të aplikojmë operatorin +. Ky proces sygjeron se operandet dhe rezultatet intermediate duhet të ruhen ne stek. 159

Avni Rexhepi Gjithashtu sygjeron se operatoret duhet të ruhen në stek (si + qe mbahet gjersa prioriteti me i larte * të vlerësohet). Shqyrtoni shprehjen aritmetike vijuese: x = a * b + c (Notacioni “infix” – operatorët ndërmjet operandëve). Kompajleri duhet të gjeneroj instuksionet e makinës (angl. “machine instructions”) si vijon: 1. LOAD 2. MULT 3. ADD 4. STORE

a b c x

Gjuhët programuese dhe kompajlerët përdorin notacionin polak (angl. PN Polish Notacion, të definuar nga matematikani polak, Jan Lukasieëicz) dhe notacionin revers polak (angl. RPN-Reverse Polish Notation). Kështu, shprehja standarde shndërrohet në forma më të përshtatshme për llogaritje: (Infix): 1+2; PN (Prefix): +12; RPN (Postfix): 12+ Shumica e kompajlerëve konvertojnë shprehjet nga notacioni infix në postfix operatorët shkruhen pas operandëve. Kështu: a * b + c bëhet a b * c + Përparësia e këtij notacioni është se shprehjet mund të shkruhen pa kllapa.

Në notacionin POSTFIX, operatori vendoset menjëhere pas operandëve të tij. INFIX POSTFIX a+b ab+ a+b*c abc*+ a*b+c ab*c+ (a + b) * c ab+c* Në këtë rast, për vlerësim mund të përdoret teknika “Me laps/dorë" (Teknika e nënvizimit): 1. Skeno shprehjen nga e majta në të djathtë, për të gjetur një operator. 160

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave 2. Lokalizo (“nënvizo") dy operandët paraprak dhe kombinoji ata me këtë operator. 3. Përsërit, deri sa të arrihet fundi i shprehjes.

Vlerësimi i shprehjeve RPN bëhet njësoj edhe përmes stekut: Përmes algoritmit me stack 1. Inicializo stekun e zbrazët 2. Përsërit sa vijon deri sa të arrihet fundi i shprehjes a) Merr token-in e ardhëshëm (const, var, operator) në shprehje b) Operand – push në stack Operator – bëj sa vijon i. Pop 2 vlera nga stack-u ii. Apliko operatorin në dy vlerat (Vërejtje: nëse ka mbetur vetëm 1 vlerë në stack, kjo RPN shprehje është jo-valide) iii. Push vlerën rezultuese prapa në stack 3. Kur arrihet fundi i shprehjes, vlera e shprehjes është numri i vetëm i mbetur në stack Pra, procedura e thjeshtë është: Operand: push Operator: pop 2 operandë, llogarit rezultatin, push rezultatin prapa në stack. P.sh., për shprehjen: 1 2 3 + *

161

Avni Rexhepi

Rreshti - Queue (Kju) Queue (angl. queue – rreshti, radha, radha e pritjes, etj. Lexohet/theksohet: Kju) është njësoj si radha e pritjes për blerjen e biletave ose radha e pritjes për kryerjen e pagesave, në dalje të supermarketit. I pari që vjen, renditet në fillim të radhës, i dyti pozicionohet pas tij e kështu me radhë deri tek klienti i fundit në radhë, në fund të radhës. Klientët, shërbehen sipas radhës me të cillën kanë arritur në rreshtin e pritjes. Kjo është, i pari që vjen, i pari shërbehet, e njohur si FIFO (angl. First In, First Out). I njëjti koncept aplikohet edhe në radhën (queue) në programim. Queue është një organizim sekuencial i të dhënave. Të dhënat qasen sipas parimit FIFO. Kjo do të thotë që, vlera e parë në queue është e vlera e parë që është e qasshme prej programit. Në fillim do të shohim radhën e thjeshtë, me madhësi fikëse, e cila realizohet përmes përdorimit të vargut. Më vonë do të shohim mundësinë e realizimit të radhës me prioritet (angl. Priority Queue) e cila realizohet përmes përdorimit të listës së lidhur. Në radhën me prioritet, elementet largohen bazuar në dy faktorë: radha me të cilën janë vendosur në queue dhe prioritetit i elementit. Programerët përdorin njërin prej llojeve të queue-ve varësisht prej objektivave të programit, radhë e thjeshtë apo radhë me prioritet. Radha e thjeshtë i organizon të dhënat në rend, ku elementi i parë është në fillim të rendit dhe elementi i fundit është në pjesën e prapme (në fund) të rendit. Secili element procesohet në radhën në të cilën paraqitet në queue. Elementi i parë në rend procesohet i pari, pasuar nga i dyti, i treti dhe deri sa të procesohet elementi i fundit. Nuk ka mënyrë që një element të prejë rendin dhe të procesohet jashtë radhës. Radha me prioritet është e ngjashme me radhën e thjeshtë në atë se elementet organizohen në rend dhe procesohen sekuencialisht. Mirëpo, elementet në radhën me prioritet mund të kërcejnë në fillim të rendit nëse kanë prioiritet më të lartë. Prioriteti është një vlerë që i shoqërohet secilit element në radhë. Programi e proceson radhën duke e skanuar atë për elementet me prioritet më të lartë. Këto procesohen të para, pa marrë parasysh pozitën në rend. Të gjitha elementet tjetra pastaj procesohen sekuencialisht, pasi të jenë procesuar elementet me prioritet të lartë.Tani për tani do të mirremi me radhën e thjeshtë. Në botën reale, radhët përdoren në programet të cilat procesojnë transaksionet. Transaksioni është një bashkësi e informacioneve si p.sh., një formular i urdhëresave. Informacioni për transaksionin pranohet nga programi dhe pastaj vendoset në një radhë të pritjes për t’u procesuar nga një pjesë tjetër e programit. Nëse i kthehemi radhës së pritjes për pagesë në supermarket, arka e kompjuterizuar e pagesave është një kompjuter që ekzekuton një program të 162

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave transaksioneve, i cili ndër të tjera, proceson barkodin e secilit produkt të skanuar në arkë. Një prej hapave të parë të procesimit të barkodit, është kërkimi i çmimit. Mund të ndodhë që janë 10 ose më shumë arka të pagesave në një supermarket me shumë klientë dhe të gjitha duke kërkuar çmime të produkteve, në të njëjtën kohë. Mirëpo, kompjuteri mund të procesojë vetëm një barkod në kohë. Programi që i kërkon çmimet menagjon kërkesat duke përdorur një radhë të thjeshtë të pritjes (queue) në të cilën secila kërkesë e re vendoset në fund të listës dhe programi proceson barkodin që ndodhet në fillim të radhës së pritjes. Shumë aplikacione përdorin radhën e thjeshtë të pritjes për të mirëmbajtur radhën në të cilën procesohen elementet. Këto përfshijnë programet të cilat procesojnë bursat, hipotekat dhe ato që procesojnë studentët të cilët regjistrohen për një kurs. Radhët e pritjes poashtu përdoren në kompjuter për të menagjuar shtypjen e dokumenteve në shtypës (printer).

Queue përmes vargjeve Të dhënat e organizuara në radhë të pritjes mund të ruhen në një varg. Queue përcakton elementin që ndodhet në fillim të radhës dhe atë në fund të radhës. Vargu nuk është radhë e pritjes (queue) dhe as anasjelltas. Pra janë dy gjëra të veçanta. Ky është një koncept që duhet kuptohet dhe zotërohet si duhet, edhe pse fillimisht mund të duket e vështirë për t’u kuptuar. Figura 3.5 është një ilustrim se si vargu dhe queue janë të ndryshëm por sidoqoftë janë të ndërlidhur së bashku për t’i organizuar të dhënat. Vargu (realiteti fizik në memorie) vizatohet si bllok i elementeve. Queue (koncepti logjik) është vizatuar si rreth. Fushat (kutitë) e zbrazëta janë lokacionet ku ruhen vlerat në queue dhe numrat rendorë i korrespondojnë indeksave të vargut që është i shoqëruar me queue. Në të djathtë të rrethit janë paraqitur tri vlera. Vlerat front (fillimi) dhe back (fundi) ruajnë indeksat e fillimit dhe fundit të radhës (queue). Vlera size është numri i elementeve në queue, që në këtë rast është 8.

163

Avni Rexhepi

Figura 3.5 - Queue është i ndryshëm nga vargu që përdoret për të ruajtur të dhënat që ndodhen në queue.

Enqueue (vendose në radhë) Një vlerë vendoset në queue duke kryer procesin ‘enqueue’ (enkju – vendosja në radhë), i cili përbëhet prej dy hapave. Hapi i parë është që të identifikohet elementi i vargut që është në fund të queue. Mirëpo, ky nuk është domosdoshmërisht elementi i fundit të vargut. Rikujtoni, queue nuk është vargu. Fundi (back) i queue-s llogaritet duke përdorur formulën vijuese: back = (back+1) % size Figura 3.6 paraqet se si përdoret formula dhe jep vlerat për front (fillimi), back (fundi) dhe size (madhësia) të queue-s. Variablat front dhe back janë vendosur në zero sepse queue është i zbrazët dhe size është 8, sepse vargu ka 8 elemente.

164


Figura 3.6 - Procesi ‘enqueue’ vendosë vlerën e re në fund (back) të radhës(queue). Fusha e ardhshme paraqet formulën që identifikon fundin (back) e queue-s dhe ia ndanë atij vlerën 90. Në të djathtë të kësaj fushe është formula e njëjtë ku emrat e variablave janë zëvendësuar me vlerat aktuale. Le të shohim së afërmi se si është llogaritur vlera back e radhës së pritjes (queue). Opercioni i parë ndodhë brenda kllapave, ku 1 i shtohet vlerës së variablës back. Operatori i modulit përcakton se ku duhet të vendoset elementi i ardhshëm në queue duke bërë pjestimin e plotë dhe duke kthyer mbetjen nga pjestimi i plotë. Edhe pse më parë kemi thënë se queue është si radha e pritjes në supermarket, aktualisht queue është rrethor. Kjo është ilustruar në llogaritjen e përdorur për të përcaktuar vlerën back të queue-s, si në vijim: (7 + 1) % 8 Kur arrini në elementin e fundit të vargut, me indeks 7, llogaritja kthen 0 (8 pjestuar me 8 është 1 dhe mbetja 0). Kështu, pas elementit last në varg, sillemi dhe arrijmë në fillim të vargut, si fund (back) i radhës (queue). Si do të shihet në vazhdim, para se të vendoset një element në fund (back) të radhës së pritjes 165

Avni Rexhepi (queue), verifikohet për të parë nëse jemi në fillim (front) të radhës, ashtu që të mos mbishkruhet elementi në fillim (front) dhe të mos korruptohet queue-ja. Hapi i dytë është që t’i ndahet vlera 90 elementit 1 të vargut. Kjo është, vendosja e vlerës 90 në fund (back) të queue-s. rikujtoni se vlerat shtohen në queue nga ana e pasme, nga fundi (back), njësoj siç hyjmë në radhën e pritjes për pagesa në supermarket. Vëreni se vlera 90 i është ndarë vargut në figurën 3.6.

Dequeue (nxjerrja nga queue) Dequeue është procesi i largimit të vlerës nga fronti (fillimi) i queue-s. Është me rëndësi të kuptohet që vlera largohet prej radhës (queue), jo prej vargut. Vlera gjihmonë mbetet në varg deri sa ajo vlerë ose të mbishkruhet ose queue të braktiset. Do ta shohim më vonë se si të mbishkruhet vlera. Në procesin e largimit janë dy hapa, si është ilustruar në figurën 3.7. Hapi i parë është llogaritja e indeksit të elementit të vargut në fillim të radhës, duke përdorur shprehjen vijuese: front = (front+1) % 8

Figura 3.7 - Procesi ‘dequeue’ largon një element nga front-i i queue. Vëreni se shprehja është shumë e ngjashme me shprehjen e përdorur në procesin vendosjes në radhë, për llogaritjen e indeksit të elementit të vargut në fund të 166

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave radhës. Operacioni i parë në këtë shprehje e inkrementon vlerën e variablës ‘front’ (fillimi). Si mund të shihet në fig. 3.7, variablës front në fillim i është ndarë vlera zero. Prandaj, rezultati i operacionit të parë është 1. Operacioni i ardhshëm është aplikimi i operatorit të modulit, i cili është i njëjtë me atë të aplikuar në procesin e vendosjes (enqueue). Rezultati i këtij operacioni është 1, që do të thotë se front-i i radhës është elementi i vargut që ka indeksin 1. Kjo vlerë pastaj i ndahet variablës front. Në fillim, e pamë se nëse ndodhemi në indeksin 7 të vargut, rezultati i llogaritjes do të ishte 0 ((7+1)%8=0), kështu që do të silleshim nëpër rreth. Hapi i fundit në procesind dequeue është përdorimi i vlerës së lokalizuar në front. Në mënyrë tipike, procesi deque është funksion (metodë) dhe vlera front e radhës i kthehet urdhërit i cili e thërret funksionin (metodën). Në figurën 3.7, elementi i vargut values[1] është në front (fillim) të queue-s (radhës). Vlera e ndarë për këtë element është 90, që ishte vendosur në back (fund) të radhës (queue-s), nga procesi i mëparshëm enqueue (i vendosjes në radhë). Vëreni që velra 90 mbetet e caktuar në elementin values[1] të vargut në fig. 3.7, sepse vlerat e caktuara të vargut, të shoqëruara me queue nuk ndikohen kur vlera largohet nga fronti (fillimi) i queue-s (radhës). Queue përcjellë elementet e vargut të cilat ndodhen në front (fillim) dhe në back (fund) të queue-s, e jo në fillim dhe në fund të vargut. Në këtë rast, jemi duke përdorur varg të thjeshtë me numra të plotë (integer-a) për të ilustruar principet e implementimit të strukturës queue. Mund të hasen edhe implementime më komplekse, ku secili element në varg është pointer në objektin e klasës ose strukturës. Në këto raste, duhet të kujdeseni për menagjimin e memories gjatë kryerjes së operacioneve enque dhe deque (vendosja në radhë dhe largimi nga radha e pritjes).

Queue përmes vargut në C++ Tani që e pamë se si punon radha e pritjes (queue) përmes vargut, le të shohim krijimin e queue në C++. Programi është i organizuar në tre fajlla: queue.h, queue.cpp dhe queueProgram.cpp. Fajlli queue.h, cakton madhësinë standarde të vargut dhe definon klasën Queue. Klasa Queue deklaron atributet size, front dhe back, të cilat ruajnë madhësinë e vargut dhe indeksin e elementeve front dhe back të queue-s (radhës). Klasa Queue gjithashtu deklaron një pointer që do të pointoj në varg. Përveq këtyre, klasa Queue definon edhe funksionet anëtarëe të cilat manipulojnë queue-të (radhët).

167

Avni Rexhepi //queue.h #define DEFAULT_SIZE 8 class Queue{ private: const int size; int front; //front=fillimi int back; //back=fundi int* values; //values=vlerat public: Queue(int size = DEFAULT_SIZE); virtual ~Queue(); bool isFull(); bool isEmpty(); void enqueue(int); //vendose ne rresht int dequeue(); //largo nga rreshti };

Fajlli queue.cpp përmbanë implementimin e funksioneve anëtare për klasën Queue. Janë gjashtë funksionet të definuara në këtë fajll: Queue(), ~Queue(), isFull(), isEmpty(), enqueue() dhe dequeue(). Funksioni Queue() është konstruktor, të cilit i përcillet madhësia (size) e vargut kur të deklarohet një instancë e klasës Queue. Nëse konstruktori thirret pa parametra, atëherë përdoret madhësia standarde (default), përndryshe, përdoret vlera e cila i përcillet konstruktorit. Vlera e madhësisë së vargut i ndahet atributit size përmes urdhërit të parë në konstruktor. Urdhëri i dytë e përdorë operatorin ‘new’ për të deklaruar një varg të numrave të plotë (integer-ave), madhësia e të cilit përcaktohet nga vlera ‘size’ që i përcillet konstruktorit. Operatori ‘new’ kthen pointerin në varg, i cili i ndahet pointerit të vlerave (values). Dy urdhërat e fundit në konstruktor, inicializonë atributet front dhe back, në zero. Funksioni ~Queue() është destruktori dhe përdorë operatorin ‘delete’ për të larguar vargun nga memoria, kur instanca e Queue-s del nga fushëveprimi (përdorimi). Funksioni isFull() (shih Figurën 3.8) përcakton nëse ka vend në queue (radhë), duke krahasuar vlerën e llogaritur ‘back’ me vlerën e ‘front’-it të queue-s (radhës), si në fig. 3.8. Vëreni se shprehja që llogaritë ‘back’ është shumë e ngjashme me shprehjen e përdorur në procesin enqueue dhe të dyja prodhojnë rezultat të njëjtë. Queue është i mbushur (angl. full), kur indeksi ‘back’ është 1 prapa ‘front’. Vendosja e një elementi tjetër në queue do të mbishkruante elementin ‘front’ dhe do të korruptonte (prishte) queue-n (radhën e pritjes). Operatori i modulit përdoret përsëri për ta bërë këtë ‘circular queue’ (radhë 168

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave rrotulluese, rrethore, qarkore), ashtu që kur jemi në elementin 7 në ‘back’, elementi i ardhshëm në të cilin duhet të shikohet është elementi 0.

Figura 3.8 - Funksioni isFull() përcakton (kontrollon) nëse ka vend për një tjetër element në fund (back) të ‘queue’-s. Funksioni isFull() thirret nga funksioni enqueue() para se të tentohet vendosja e vlerës në back (fund) të queue-s (radhës). Funksioni isFull() kthen ‘true’ nëse nuk ka më vend në queue ose ‘false’ nëse ka vend të lirë, në dispozicion. Funksioni isEmpty() përcakton (shiko Figurën 3.9) nëse queue është i zbrazët duke krahasuar variablat ‘back’ dhe ‘front’. Nëse ato kanë vlera të njëjta, kthehet ‘true’; përndryshe, kthehet ‘false’. Funksioni isEmpty() thirret brenda funksionit dequeue() para se ai të tentojë të largojë elementin front nga queue (radha).

169

Avni Rexhepi

Figura 3.9 - Funksioni isEmpty() përcakton (kontrollon) nëse ‘queue” ka vlera. Funksioni enqueue() e vendosë një element në fund të radhës. Funksionit enqueue() i përcillet vlera që duhet të vendoset në radhë. Mirëpo, para se të bëhet kjo gjë, thirret funksioni isFull(), për të kontrolluar nëse ka vend në radhë. Vëreni në shembullin vijues se funksioni isFull() thirret si shprehje e kushtëzimit (kusht) në urdhërin ‘if’. Poashtu, vëreni se operatori i negacionit e ndryshon në të kundërt vlerën bool-ane të kthyer nga isFull(). Do të thotë, nëse ka vend të lirë në radhë, nga funksioni isFull() kthehet ‘false’. Shperhja e kushtëzimit në urdhërin ‘if’ e rrotullon logjikën në ‘true’ ashtu që urdhërat të ekzekutohen urdhërat brenda urdhërit ‘if’, për të vendosur elementin e ri në fund të radhës. Funksioni dequeue() e largon një element nga radha e pritjes dhe kthen (return) atë element në urdhërin e programit i cili e thërret funksionin dequeue(). Mirëpo, përbrenda funksionit dequeue(), në shprehjen e kushtëzimit të urdhërit ‘if’, thirret funksioni isEmpty(), si në kodin vijues. Operatori i negacionit (!-not) e rrotullon logjikën e kthyer nga funksioni isEmpty(). Funksioni isEmpty() kthen ‘false’ nëse radha nuk është e zbrazët. Operatori e kthen atë në ‘true’, duke u mundësuar urdhërave brenda kushtit ‘if’

170

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave që të largojnë elementin ‘front’ nga radha dhe t’ia kthejnë atë urdhërit që e thërret funksionin dequeue(). //queue.cpp #include "queue.h" Queue::Queue(int size) { this->size = size; values = new int[size]; front = 0; back = 0; } Queue::~Queue() { delete[] values; } bool Queue::isFull() { if( (back+1) % size == front) { return true; } else { return false; } } bool Queue::isEmpty() { if(back == front) { return true; } else { return false; } } void Queue::enqueue(int x) { if(!isFull()) { back = (back+1) % size; values[back] = x; }

171

Avni Rexhepi } int Queue::dequeue() { if(!isEmpty()) { front = (front+1) % size; return queue[front]; } return 0; }

Programi queueProgram.cpp është vendi ku ndodhin veprimet. Këtu deklarohet dhe manipulohet instanca e klasës Queue. Si mund të shihet në shembullin vijues, urdhëri i parë i programit përdorë operatorin ‘new’ për të deklaruar instancën e klasës Queue dhe për të caktuar madhësinë (size) në 8 elemente. Operatori ‘new’ kthen një pointer që i ndahet një pointeri në instancë të klasës Queue. Tre urdhërat vijues e thërrasin tri herë funksionin enqueue(), për të vendosur vlerat 10, 20 dhe 30 në queue, respektivisht. Programi përfundon me thirrjen e funksionit dequeue() tri herë, për të paraqitur përmbajtjen e queue-s (radhës së pritjes). Figura 3.10 paraqet queue-n (radhën) dhe vargun, pas thirrjes së fundit të funksionit enqueue().

Figura 3.10 - Queue dhe vargu pas thirrjes së fundit të funksionit enqueue(). 172


//queueProgram.cpp #include using namespace std; void main(){ Queue *queue = new Queue(8); queue->enqueue(10); queue->enqueue(20); queue->enqueue(30); for(int i=0; i<3; i++) { cout << queue->dequeue() << endl; } }

173

Avni Rexhepi

4. Listat e lidhura Lista e lidhur është një listë e elementeve që pointojnë të dhënat aktuale, paraprake dhe të ardhshme. Lista mund të jetë e lidhur njëfish (me pointerët vetëm për elementin e ardhshëm) dhe e lidhur dyfish (me dy pointerë, njëri për elementin paraprak dhe tjetri për të ardhshmin). Lista e lidhur është strukturë e të dhënave që e bënë të lehtë rirregullimin (rirenditjen, korrigjimin) e të dhënave, pa pasur nevojë lëvizjen e të dhënave në memorie. Edhe pse tingëllon çuditshëm, merrni parasysh rastin e një klase me studentë, të cilët janë ulur sipas një renditjeje të caktuar. Një numër unik identifikon secilën ulëse, si në figurën 4.1. Janë përfshirë edhe të dhënat për gjatësinë relative të secilit student, të cilat do të përdoren në shembullin vijues.

Figura 4.1: Studentët janë ulur në renditje të rastit Le të themi se profesori duhet të vendosë emrat e studentëve në renditje alfabetike, ashtu që të mund t’i gjejë më lehtë emrat në listë. Një opcion është që studentët të ndryshojnë vendet dhe të ulen me radhë sipas alfabetit. Mirëpo, kjo mund të jetë situatë problematike, nësë është në pyetje një numër i madh i studentëve në një klasë. Një opcion tjetër është që studentët të mbesin të ulur në vendet e tyre, por të krijohet një listë e numrave të ulëseve, të cilat i korrespodojnë renditjes alfabetike të studentëve. Lista do të dukej diçka si: 3, 1, dhe 2 (ashtu si është paraqitur në fig. 4.1). Studenti në ulësen 3, është i pari në listën alfabetike, i pasuar nga studenti në ulësen 1, e kështu me radhë. Vëreni se ky opsion nuk shkaktonë shqetësime për klasën. Supozojmë se dëshirojmë të rirendisim studentët, sipas madhësisë (gjatësisë). Përsëri, kemi mundësi që të mos i lëvizim studentët nëpër klasë, mirëpo do të 174

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave krijojmë një listë tjetër të numrave të ulëseve të cilat reflektojnë gjatsinë e secilit student. Tani lista është: 2, 3 dhe 1 (fig. 4.1). Lista mund të lexohet prej fundit kah fillimi, për renditjen prej gjatësisë më të vogël kah ajo më e madhe dhe anasjelltas, prej të gjatës kah e shkurta. Kur të krijohet një herë lista, profesori mundet thjeshtë të kalojë me radhë nëpër listë, për të parë se cila ulëse e ka studentin e ardhshëm. Për t’i pyetur studentët në bazë të renditjes alfabetike, profesori do të përdorte listën alfabetike, për të parë që studenti në ulësen 3 është i pari, i pasuar nga ai në ulësen 1. Mund të fillohet edhe nga ana e kundërt dhe pastaj të kërkohet studenti paraprak në listë. Ky lloj i listave në programim njihet si listë e lidhur, sepse secili element në listë është i lidhur me elementin paraprak dhe atë të ardhshëm. Kjo do të thotë që, ulësja e studentit aktual është e lidhur me ulësen e studentit të përparshëm dhe atë të atij të ardhshëm, në listë. Përderi sa mësohen listat e lidhura, është me rëndësi të kihet parasyshë situata në botën reale, sepse përndryshe mund të fitohet ideja se lista e lidhur është një koncept abstrakt që ka pak përdorim në botën reale. Në fakt, listat e lidhura luajnë rol kritik në aplikacionet të cilat u mundësojnë shumë kompanive dhe qeverive, menagjimin dinamik të të dhënave. Kemi dy versione të listave të lidhura: lista e lidhur njëfish (angl. single link, ose singly linked list) dhe lista e lidhur dyfish (angl. doble link, ose doubly linked list). Lista e lidhur njëfish i mundëson programit që të lëvizë nëpër listë në një drejtim (kahje), i cili zakonisht është prej fillimit të listës, kah fundi i listës, apo si thuhet ndryshe, lëvizje para. Lista e lidhur dyfish, i mundëson programit që të lëvizë nëpër listë në të dy drejtimet (kahjet), apo si thuhet ndryshe, lëvizje para dhe prapa. Edhe pse është thënë që një ‘hyrje’ (element, nyje), në listën e lidhur përmbanë të dhënën (vlerën) dhe pointerët për në elementin e përparshëm dhe atë të ardhshëm në listë, ky është një thjeshtim i tepruar. Të dhënat për të cilat e kemi fjalën, zakonisht janë një bashkësi e të dhënave, si p.sh, të dhënat e klientit. Të dhënat e klientit mund të jenë: ID e klientit, emri, mbiemri, adresa, qyteti, shteti, kodi postal, etj. Programerët e quajnë këtë ‘record’ (rekord). Kjo do të thotë se një element në listë, mund të përmbajë disa të dhëna. Në shembullin në vijim, sidoqoftë, do të ruhet vetëm një vlerë numerike e tipit integer, ashtu që të fokusohemi në principet e punës së listave të lidhura. Në realitet, për secilën nyje në listë mund të shtohen atribute shtesë sipas dëshirës ose sipas nevojës. Programerët e zgjedhin listën e lidhur ndaj vargut, sepse lista e lidhur mund të zgjerohet (rritet, zgjatet) ose ngushtohet (zvogëlohet, shkurtohet) për nga madhësia gjatë kohës së ekzekutimit. Një element i ri mund të vendoset në fund të listës së lidhur thjeshtë duke ia ndarë (caktuar) një referencë (pointer) për në 175

Avni Rexhepi elementin e ri në fund të listës së lidhur. Edhe për të shtuar nyje të reja (anëtarë të rij, vlera të reja) ndërmjet nyjeve ekzistuese, mjafton vetëm të përshtaten pointerët përkatës, për të krijuar vendin për anëtarin e ri në listë.

Ngjashëm, elementi në cilëndo poiztë në listë apo edhe i fundit në listë, mund të largohet nga lista e lidhur, thjeshtë duke e larguar referencën (poinerin) për në elementin e ardhshëm nga elementi i parafundit në listën e lidhur.

Kjo është shumë më efikase sesa përdorimi i vargut dhe ndryshimi i madhësisë së vargut gjatë kohës së ekzekutimit. Kjo për arsye se, nëse duhet të ndryshohet madhësia e vargut, sistemi operativ tenton që të rrisë vargun duke përdorur lokacionet e memories në vazhdim të vargut. Nëse kjo nuk është e mundur (lokacionet në vazhdim nuk janë në dispozicion), atëherë sistemi operativ e gjenë një lokacion tjetër, në pjesën tjetër të memories, me madhësi të mjaftueshme për të mbajtur elementet e vargut dhe elementet e reja të vargut.

176

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Atëherë, elementet e vargu, kopjohen në lokacionin e ri. Ky proces ka koston e vetë. Nëse ndryshohet madhësia e listës së lidhur, sistemi operativ vetëm ndryshon referencat (pointerët) për elementin e përparshëm dhe atë të ardhshëm në listë, që është numër shumë më i vogël i hapave sesa ndryshimi i madhësisë së vargut.

Struktura e listës së lidhur Secili element në listën e lidhur quhet ‘node’ (angl. node – nyje). Paramendojeni nyjën si një element me tri nënelemente. Njëri përmbanë vlerën, e cila mund të jetë një atribut ose shumë atribute. Tjetri pointon në nyjen e përparshme dhe i fundit pointon në nyjen e ardhshme. Kur vendoset një element i ri në listën e lidhur, alokohet nyja e re dhe caktohen pointerët për nyjen e përparshme dhe atë të ardhshme. Në C++ nyja krijohet duke përdorur objektin strukturë (struct) ose klasë (class). Në shembullin në vazhdim, për krijimin e nyjes do të përdoret struktura, e cila si dihet është tip i të dhënave i definuar prej shfrytëzuesit. Nyja është paraqitur në figurën 4.2.

Figura 4.2 - Nyja përmbanë pointerin për nyjen e përparshme dhe pointerin për në nyjen e ardhhsme në listën e lidhur, si dhe përmban të dhënat e shoqëruara me nyjen aktuale. struct Node { int data; Node* previous; Node* next; };

struct Nyje { int vlera; Nyje* ePerparshme; Nyje* eArdhshme; };

Mund të duket e çuditshme sepse në këtë shembull, struktura në dy prej atributeve, ka pointerin në vetë strukturën. Elementi i parë deklaron një integer 177

Avni Rexhepi që ruan vlerën aktuale të nyjes (data, vlera). Dy urdhërat tjerë deklarojnë pointerët për në nyjen e përparshme dhe në atë të ardhshme, në listën e lidhur. Struktura e cila përmbanë komponente që është pointer i tipit të njëjtë me vetë strukturën quhet strukturë vetë-referente (ang. self-referential structure). Nëse për definimin e nyjeve shfrytëzohen klasat, atëherë bëhet fjalë për klasa vetëreferente (ang. self-referencial classes). Konstruktori inicializon elementet e nyjes kur të krijohet instanca e nyjes. Kjo funksionon në mënyrë të ngjashme me konstruktorin e klasës. Si do të shihet më vonë, vlera aktuale i sigurohet strukturës kur të krijohet nyja e re. Kjo vlerë i ndahet të dhënës në listën e argumenteve. Vlera e të dhënës pastaj i ndahet elementit të instancës së strukturës. Gjithashtu, pointeri për në nyjen e përparshme dhe atë të ardhshme fillimisht inicializohet në NULL, gjë që i tregon programit se nuk ka elemente të tjera në listën e lidhur. NULL zëvendësohet me pointerët për në nyje kur të shtohet nyja e re në listën e lidhur.

Lista e lidhur njëfish ndaj listës së lidhur dyfish Lista e lidhur dyfish quhet edhe bidireksionale (angl. bidirectional-dy drejtimëshe, figura 4.3), sepse secila nyje përmbanë pointer në nyjen e përparshme dhe të ardhshme në listën e lidhur. Kjo i mundëson programerëe që të përshkojnë listën e lidhur në të dy drejtimet duke ju referuar nyjes së përparshme dhe asaj të ardhshme. Lista mund të transformohet në listë të lidhur njëfish (Fig. 4.3) duke pasur vetëm një pointer në strukturë, që përmbanë adresën e nyjes së ardhshme. Në mënyrë tipike, nyja e listës së lidhur njëfish i referohet vetëm nyjes së ardhshme, e jo edhe asaj të përparshme, edhe pse asgjë nuk e ndalon që të krijohet vetëm referenca prapa, duke përdorur vetëm pointerin për nyjen e përparshme.

178


Ose:

Figura 4.3 - Listat e lidhura. Lista e lidhur dyfish përmbanë dy pointera, ndërsa ajo e lidhur njëfish vetëm një pointer, për në nyjen e ardhshme. Deklarimi vijues është afërsisht i njëjtë me të përparshmin, përveq se nyja është e lidhur vetëm në një drejtim, sepse mungon pointeri në nyjen e përparshme. Kjo do të thotë se mund të lëvizet vetëm “teposhtë” listës së lidhur, e jo në të dy drejtimet. struct Node { int data; Node* next; };

struct Nyje { int vlera; Nyje* eArdhshme; };

Për shembull, për krijimin e një nyjeje të vetme, mund të veprojmë si vijon: 179

Avni Rexhepi #include "stdafx.h" #include using namespace std; struct nyje { int vlera; nyje *eArdhshme; }; int main() { nyje *n; //Pointer në strukturën nyje n=new nyje; //Te pointeri n ruhet adresa e nyjes së re n->vlera=10; // Te anetari vlera, vendoset 10 n->eArdhshme=NULL; // Te pointeri, nyja e ardhshme=NULL //(d.m.th., s'ka nyje tjetër ne vazhdim) cout << "\nNyja u perfundua\n"; cout << "Vlera e nyjes : "<vlera<eArdhshme<
Nëse e konsiderojmë një nyje të vetme si listë me vetëm një anëtarë, pasi që për listën zakonisht definohen edhe dy pointerë të cilët e përcjellin fillimin dhe fundin e listës, do të kishim situatën kur të dy pointerët pointojnë në nyjen e njëjtë (të vetme), si në vijim:

● fillimi ● 10 ●

Nëse insertojmë edhe një nyje të re, me vlerën 20, do të kemi: fundi (eFundit) ● fillimi (ePara) ●

180

10

20

●

●

eArdhshme

eArdhshme

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Pjesa e kodit për krijimin e dy nyjeve do të ishte si vijon: ... nyje *n,*ePara=NULL,*eFundit=NULL; n=new nyje; //krijojmë nyjen e re (të parën) n->vlera=10; //tek nyja e parë, vlera = 10 n->eArdhshme=NULL; //pointeri për në nyjen e ardhshme (NULL) ePara=n; //Pointer i nyjes së parë të listës=nyja e parë eFundit=n; // Pointer i nyjes së fundit të listës=nyja e parë n=new nyje; // Shtojmë një nyje të re (të dytën) eFundit->eArdhshme=n; //nyja e ardhshme e të parës=nyja e re n->vlera=20; //vlera = 20 n->eArdhshme=NULL; //pointeri për në nyjen e ardhshme (NULL) eFundit=n; //Fundi i listës bëhet nyja e re (e dyta) //Pointer i nyjes së fundit të listës=nyja e re (e dytë) ...

Në mënyrë të ngjashme, mund të shtojmë nyje të reja, duke kërkuar hapësirë të re nga memoria, me operatorin ‘neë’ dhe duke marrë pointerin ‘n’ për atë lokacion të memories. Pasi të shtohet nyja e re, vetëm ndryshojmë pointerët, që të pointojnë në nyjet adekuate. Për të shtypur anëtarët e listës, fillojmë nga nyja e parë dhe pastaj përmes pointerëve, kalojmë me radhë nëpër nyjet tjera. Zakonisht, këtë e bëjmë përmes një funksioni, i cili e ka argument (parametër) adresën e nyjes së parë dhe pastaj vazhdon prej nyjes në nyje, deri në fund të listës (duke verifikuar a është pointeri për nyjen e ardhshme i ndryshëm prej 0, gjegjësisht NULL, (n!=0) ). Deri sa vlenë kushti, që pointeri për nyjen e ardhshme nuk është null, do të thotë kemi nyjet tjetër në vazhdim: ... void ShtypeListen(nyje *ePara) { nyje *n=ePara; while (n!=0) //Gjersa ka nyje të tjera në vazhdim { cout << “Vlera : “ << n->vlera << endl; cout << “eArdhshme: “ << n->eArdhshme<< endl; n=n->eArdhshme; //kalojmë në nyjen e ardhshme } cout << endl; } ...

Për të krijuar më shumë nyje, mund të përdorim unazë si në shembullin vijues:

181

Avni Rexhepi fundi (eFundit) ● fillimi (ePara) ● 10

20

30

40

50

●

●

●

●

●

#include "stdafx.h" #include #include using namespace std; struct nyje { int vlera; nyje *eArdhshme; }; void ShtypeListen(nyje *ePara); int main() { nyje *n,*ePara=NULL,*eFundit=NULL; int x,k,i; cout << "\nNumri i nyjeve: "; cin >> k; //k-nyje for (i=1;i<=k;i++) //për çdo ‘i’ nga 1 deri në ‘k’ { n=new nyje; //krijojmë nyje të re (pointeri n për nyjen e re) cout << "Vlera ne nyjen e " << i << ": "; cin >> x; //lexojmë vlerën x n->vlera=x; //nyjes aktuale ia ndajmë vlerën e x-it n->eArdhshme=NULL; //nyjes së aktuale, ia caktojmë //pointerin për në nyjen e ardhshme NULL if (ePara==NULL) //nëse akoma nuk është filluar/krijuar lista ePara=n; //kjo është nyja e parë e listës else eFundit->eArdhshme=n; // eArdhshme, pointon në nyjen e re ‘n’ eFundit=n; //nyje e fundit e listës bëhet nyja e re që u shtua } cout<
182

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave cout << "------------------------------------------\n"; ShtypeListen(ePara); system("Pause"); return 0; } void ShtypeListen(nyje *ePara) { nyje *n=ePara; while (n!=0) { cout<vlera<eArdhshme<eArdhshme; } cout << endl; }

Klasa ‘linked list’ Në parim, për menagjimin e listës së lidhur, në C++ krijohet klasa LinkedList. Definicioni i klasës LinkedList përbëhet prej dy anëtarëve të të dhënave dhe gjashtë funksioneve anëtare, si është paraqitur në shembullin në vijim. Dy anëtarët e të dhënave janë pointerë për në instancat e strukturës Node (Nyja) e cila u definua më herët. Pointeri i parë, front (fillimi) i referohet nyjes së parë në listën e lidhur. Pointeri i dytë, back (fundi), i referohet nyjes së fundit në listën e lidhur. Gjashtë funksionet shërbejnë për manipulimin e listës së lidhur. Funksioni i parë është konstruktori i klasës LinkedList dhe thirret kur të deklarohet instanca e klasës. Pas konstruktorit është destruktori. Për t’ia kthyer memorien sistemit operativ, përmes përdorimit të operatorit ‘delete’, thirret destruktori. Nëse nuk thirret operatori ‘delete’, atëherë destruktori nuk thirret asnjëherë dhe aplikacioni shkakton rrjedhje të memories (memory leak). Funksioni appendNode() (angl. append – shto, bashkangjit) e vendosë nyjen e re në fund të listës së lidhur. Funksioni appendNode() kërkon një integer që përfaqëson vlerën aktuale të nyjes (sepse në këtë shembull, thamë që elementi i listës së lidhur është një numër i plotë, integer). Dy funksionet e ardhshme paraqesin përmbajtjen e listës së lidhur. Funksioni displayNodes() paraqet listën e lidhur në renditjen natyrale (prej fillimit kah fundi). (angl. display – paraqes, shfaqë). Funksioni displayNodesReverse() paraqet listën e lidhur në renditje të kundërt. Funksioni i fundit është destroyList() (angl. destroy-shkatërro, rrëno, asgjëso) dhe thirret për të larguar instancën e listës së lidhur nga memoria.

183

Avni Rexhepi Specifikacioni i klasës LinkedList është definuar në ‘header file’ dhe implementimi i saj është i definuar në fajllin e kodit burimor. Implementimi i funksioneve anëtare të klasës do të paraqitet në vazhdim. //front=fillimi; back=fundi class LinkedList { private: Node* front; Node* back; public: LinkedList(); ~LinkedList(); void appendNode(int); //appendNode=shto nyje void displayNodes(); //displayNodes=paraqitiNyjet void displayNodesReverse(); //ParaqitiRevers void destroyList(); //destroyList=asgjesoListen };

Konstruktori dhe destruktori i klasës LinkedList Konstruktori LinkedList është funksioni i cili thirret (ekzekutohet automatikisht) kur deklarohet ndonjë instancë e klasës LinkedList. Qëllimi i konstruktorit është që të inicializojë pointerët ‘front’ dhe ‘back’, si është treguar në definicionin vijues. Të dy pointerëve u ndahet velra NULL, e cila përdoret nga funksioni appendNode() për të kontrolluar (përcaktuar) nëse lista e lidhur është e zbrazët. Më vonë do të shohim se si bëhet kjo. LinkedList() { front = NULL; back = NULL; }

Destruktori është funksioni që thirret kur të fshihet instanca e klasës, përmes përdorimit të operatorit ‘delete’. Në shembullin në vijim, destruktori përmbanë një urdhër i cili e thërret funksionin destroyList(). Funksioni destroyList() e fshinë përmbajtjen e listës së lidhur por nuk e fshinë vetë listën e lidhur (strukturën e saj). Do të thotë, i largon të gjitha nyjet nga lista e lidhur. Funksioni destroyList() i reseton (rivendosë) pointerët ‘front’ dhe ‘back’ në NULL, duke treguar se lista është e zbrazët. Destruktori është përgjegjës për dealokimin e memories që është alokuar për listën e lidhur. Në këtë rast, të gjitha nyjet.

184

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Mund të pyesni veten, e përse definohen dy funksione për kryerjen e parimisht të njëjtës punë? Kjo për arsye që të mundesohet zbrazja e listës ashtu që të resetohet përmbajtja e listës së lidhur pa e shkatërruar instancën e klasës LinkedList. ~LinkedList() { destroyList(); }

Shtimi i nyjes në listë Funksioni appendNode() e vendosë një nyje të re në fund të listës së lidhr. Janë disa hapa që duhet kryer për të shtuar nyjen në listë. Këta hapa janë paraqitur në definicionin vijues të funksionit appendNode(): void appendNode(int data) { Node* n = new Node(data); n->data=data; if(back == NULL) { back = n; front = n; } else { back->next = n; n->previous = back; back = n; } }

Funksioni appendNode() kërkon një argument, të quajtur data, i cili është vlera aktuale për nyjen. Argumenti i përcillet instancës së strukturës Node. Si ju kujtohet nga pjesa paraprake, vlera e përcjellur në strukturën Node i ndahet elementit të të dhënave (data) të nyjes. Urdhëri i parë në funksionin appendNode(), deklaron një instancë të strukturës Node duke përdorur operatorin ‘new’, i cili kthen pointerin në instancë, i cili në anën tjetër i ndahet variablës pointer të quajtur ‘n’. Kur të krijohet nyja e re, funksioni appendNode() e pozicionon nyjen e re në listën e lidhur. Së pari, ai e kontrollon nëse lista e lidhur është e zbrazët, duke krahasuar nyjen ‘back’ me NULL. Kjo pasi nyja ‘back’ caktohet në NULL kur 185

Avni Rexhepi të deklarohet instanca e klasës LinkedList dhe kur funksioni destroyList() i largon të gjitha nyjet nga lista (e zbrazë listën). Nëse lista e lidhur ësthë e zbrazët, atëherë nyja e re i ndahet të dyve, edhe pointerit ‘front’ edhe pointerit ‘back’. Kjo do të thotë se pas thirrjes së funksionit appendNode(), lista e lidhur përmbanë një nyje, që është nyja e re. Sidoqoftë, nëse në listën e lidhur ndodhet së paku një nyje, atëherë duhet të bëhet një zhvendosje (shiftim; angl. shift-zhvendosë, lëvizë) e pointerëve. Urdhëri ‘else’ përmbanë tre urdhëra, të cilët e bëjnë zhvendosjen (shiftimin). Urdhëri i parë ia ndanë pointerin në nyjen e re, pointerit ‘next’ të nyjes së fundit në listën e lidhur. Pastaj pointeri ‘back’ i ndahet pointerit ‘previous” (i përparshëm) të nyjes së re. Në fund, nyja e re i ndahet pointerit ‘back’, duke e bërë nyjen e re si nyje të parë në listën e lidhur. Kjo mund të duket pak konfuze, por shikoni figurën 4.4, në të cilën paraqiten nyjet e listës së lidhur. Supozoni se lista e lidhur ka dy nyje para vendosjes së nyjes së re në listë. Kjo është paraqitur në bllokun e epërm.

Figura 4.4 - Funksioni appendNode() ndryshon cilat janë nyjet e pointuara në listën e lidhur 186

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Hapi i parë ia ndanë adresën e memories së nyjes së re anëtarit ‘next’ të nyjes ‘back’, i cili është paraqitur në bllokun e dytë të memories në figurën 4.4. Hapi i dytë, i ndanë adresën e memories së nyjes ‘back anëtarit ‘previuous’ (i përparshmi) të nyjes së re (new). Kjo i lidhë të dy nyjet. Hapi i tretë, e zëvendëson adresën e memories së nyjes ‘back’ në listën e lidhur me adresën e memories së nyjes së re (new). Kjo e vendosë nyjën e re në në fund të listës së lidhur.

Paraqitja e listës së lidhur Funksioni displayNodes(), paraqet secilën nyje të listës së lidhur, duke filluar me nyjen në fillim të listës së lidhur dhe duke përfunduar me nyjen në fund të listës, si në vijim: void displayNodes() { cout << "Nyjet:"; Node* temp = front; while(temp != NULL) { cout << " " << temp->data; temp = temp->next; } }

Funksioni displayNodes() fillon me paraqitjen e fjalës “Nyjet:” në ekran dhe pastaj deklaron pointerin për në nyje, i cili inicializohet me nyjen që paraqitet në fillim (front) të listës së lidhur. Para se të tentoj të paraqes vlerën që i është ndarë nyjes, funksioni displayNodes() kontrollon nëse ka nyje në fund (back) të listës së lidhur. E bën këtë, duke përcaktuar nëse nyja e pointuar nga pointeri ‘temp’ është NULL. Nësë po, lista e lidhur është e zbrazët dhe aty nuk ka asgjë për të shfaqur. Nëse jo, funksioni vazhdon dhe paraqet të dhënat e ndara për nyjen që ndodhet në fund të listës së lidhur. Pastaj paraqitet një zbrazëtir, e përcjellur me vlerën (të dhënën) që i është ndarë nyjes. Funksioni displayNode() përdorë anëtarin ‘next’ të nyjes për t’ia ndarë pointerin në nyjen e ardhshme pointerit ‘temp’. Ky proces përfundon pasi të paraqitet nyja në fund të listës së lidhur, pasi që anëtari ‘next’ i saj është NULL.

187

Avni Rexhepi

“Rrotullimi” i listës së lidhur Funksioni displayNodesReverse() paraqet përmbajtjen e listës së lidhur në renditje të kundërt, duke filluar nga nyja në fund të listës së lidhur dhe duke vazhduar deri sa të paraqitet nyja e parë. Shembulli vijues tregon se si realizohet kjo: void displayNodesReverse() { cout << "Nyjet në renditje të kundert:"; Node* temp = back; while(temp != NULL) { cout << " " << temp->data; temp = temp->previous; } }

Mund të vërehet se funksioni dispalyNodesReverse() është afërsisht i njëjtë me funksionin displayNodes(), të përshkruar më herët. Mirëpo, janë dy dallime të rëndësishme ndërmjet këtyre dy funksioneve anëtare. Funksioni displayNodesReverese() ia ndanë pointerin në nyjen në fund të listës, pointerit temp, duke bërë që nyja në fund të listës të paraqitet e para. Funksioni displayNodes() e cakton pointerin ‘back’ në pointerin ‘temp’, duke shkaktuar paraqitjen e nyjes së fundit në listën e lidhur. Dallimi tjetër ndërmjet funksioneve displayNodesReverse() dhe atij displayNodes() është se në funksionin displayNodesReveres(), anëtari i përparshëm (previuous) i nyjes përdoret për të përcaktuar nyjen e ardhshme për t’u paraqitur. Kjo mundëson paraqitjen e nyjeve në renditje të kundërt (inverse). Figura 4.5 ilustron se si “rrotullohet” lista e lidhur.

Figura 4.5 - Anëtari i përparshëm (‘previuos’) i secilës nyje, e rrotullon listën e lidhur.

188


Asgjësimi i listës së lidhur Funksioni destroyList() i largon nyjet nga lista e lidhur pa e larguar vetë listën e lidhur, si në shembullin vijues. Secila nyje deklarohet në mënyrë dinamike duke përdorur operatorin ‘new’, si është treguar më herët. Kjo mundëson largimin e nyjes përmes përdorimit të operatorit ‘delete’. void destroyList() { Node* temp = back; while(temp != NULL) { Node* temp2 = temp; temp = temp->previous; delete temp2; } back = NULL; front = NULL; }

Funksioni destroyList() fillon duke deklaruar pointerin e përkohshëm (‘temp’), të cilit i ndahet pointerin në nyjen e cila ndodhet në fund (‘back’) të listës së lidhur. Mirëpo, para se nyja të largohet, funksioni e përcakton (kontrollon) nëse ka nyje në fund të listës së lidhur, duke testuar nëse pointeri ‘temp’ është NULL. Nëse është kështu, atëherë funksioni destroyList() supozon se nuk ka nyje në listën e lidhur. Nëse pointeri ‘temp’ nuk është NULL, atëherë funksioni vazhdon me fshirjen e nyjes. Deklarohet një tjetër nyje e përkohshme (temp2) dhe i ndahet pointeri në nyjen e pointuar nga nyja e përkohshme, ‘temp’. Kjo bëhet sepse pointerit ‘temp’ i caktohet (ndahet) nyja tjetër (‘next’) që duhet të fshihet nga lista e lidhur në urdhërin e ardhshem. Pointeri për në nyjen tjetër (‘next’) ndodhet në anëtarin tjetër (‘next’) të nyjes së përkohshme (‘temp’), e cila pastaj i ndahet pointerit ‘temp’. Kjo do të thotë se temp2 pointon në nyjen në fund të listës së lidhur dhe ‘temp’ tani pointon në nyjen që ndodhet menjëherë para (‘previous’) nyjes në fund (‘back’) të listës së lidhur. Atëherë nyja e pointuar nga ‘temp2’ fshihet, siç është ilustruar në Figurën 4.6

189

Avni Rexhepi

Figura 4.6 - Funksioni destroyList() largon nyjet duke filluar me nyjen e fundit në listën e lidhur dhe kryen punën e tij deri në fillim të listës së lidhur. Procesi vazhdon deri sa të gjitha nyjet të largohen nga lista e lidhur. Hapi i fundit në funksionin destroyList() është që t’i ndahet vlera NULL pointerëve në fillim (‘front’) dhe fund (‘back’) të listës, gjë që tregon (indikon) se lista e lidhur është e zbrazët.

Listat e lidhura në C++ Tani që i njohim pjesët e listës së lidhur dhe mënyrën e krijimit dhe manipulimit të saj përmes përdorimit të klasës, do të bashkojmë të gjitha pjesët në një aplikacion të C++-it i cili përdorë listën e lidhur. Lista e lidhur organizohet në tre fajlla. I pari është ‘header’ fajlli i cili përmbanë definicionin e struktorës së nyjes (‘Node’) dhe definicionin e klasës LinkedList. Fajlli i dytë është kodi burimor i cili përmbanë implementimin e funksioneve të klasës LinkedList. Fajlli i fundit është fajlli i aplikacionit i cili përmbanë kodin që krijon dhe përdorë klasën LinkedList. 190

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Le të fillojmë me ‘header’ fajllin LinkedList.h. Ky fajll përmbanë dy komponente, definicionin e strukturës ‘Node’ dhe definicionin e klasës LinkedList, të cilat programerët i quajnë specifikacioni i klaësë. Do të vëreni se të dy komponentet janë diskutuar në detaje në pjesën paraprake. Gjithashtu do të shihni se definicioni i klasës LinkedList nuk përmbanë implementimin e funksioneve anëtare. Në vend të kësaj, përmbanë prototipet e funksioneve anëtare të cilat janë implementuar në fajllin e kodit burimor. Mbajtja e specifikacioneve dhe implementimeve në fajlla të ndarë, të header fajllit dhe atij burimor, është praktikë e zakonshme. Pjesëve të programit të cilat përdorin klasën, ju interesojnë vetëm funksionet interfejs, të definuara në header fajll; atyre nuk ju intereson implementimi. Kjo mundëson që ju të parakompajloni kodin tuaj burimor në module të librarive ashtu që shfrytëzuesit e kësaj klase të kenë nevojë vetëm për header-ët dhe modulet. //LinkedList.h // Node=Nyje; data=vlera; // previous=ePerparshme; next=eArdhshme struct Node { int data; Node* previous; Node* next; }; class LinkedList { private: Node* front; Node* back; public: LinkedList(); ~LinkedList(); void appendNode(int); void displayNodes(); void displayNodesReverse(); void destroyList(); };

Definicionet e funksioneve anëtare të klasës LinkedList janë të përmbajtura në fajllin LinkedList.cpp, si është treguar në kodin në vijim. Fajlli fillon me urdhërin preporcesorik (#include) që i tregon preprocesorit që t’i referohet përmbajtjes së fajllit LinkedList.h gjatë paraprocesimit. Fajlli LinkedList.h përmbanë definicionin e klasës LinkedList dhe definicionin e strukturës Node, të 191

Avni Rexhepi cilat kërkohen për të zbërthyer urdhërat në LinkedList.cpp, të cilët i referohen klasës dhe nyjes. Definicioni i secilit funksion në këtë shembull, praktikisht është i njëjtë me ato të diskutuara më herët. Përjashtimi i vetëm është se referenca është bërë në klasën LinkedList në emrin e definicionit të secilit funksion. Kjo e shoqëron secilin definicion me klasën LinkedList për kompajlerin. //LinkedList.cpp #include "LinkedList.h" LinkedList::LinkedList() { front = NULL; back = NULL; } LinkedList::~LinkedList() { destroyList(); } void LinkedList::appendNode(int data) { Node* n = new Node(); n->data=data; if(back == NULL) { back = n; front = n; } else { back->next = n; n->previous = back; back = n; } } void LinkedList::displayNodes() { cout << "Nyjet:"; Node* temp = front; while(temp != NULL) { cout << " " << temp->data; temp = temp->next; } }

192

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave void LinkedList::displayNodesReverse() { cout << "Nyjet në renditje të kundert:"; Node* temp = back; while(temp != NULL) { cout << " " << temp->data; temp = temp->previous; } } void LinkedList::destroyList() { Node* temp = back; while(temp != NULL) { Node* temp2 = temp; temp = temp->previous; delete temp2; } back = NULL; front = NULL; }

Fajlli i fundit është aplikacioni në C++ (i quajtur LinkedlistDemo.cpp), i cili përdorë listën e lidhur. Aplikacioni është shumë i shkurtër në krahasim me kodin e përdorur për të definuar strukturën Node dhe klasën LinkedList. //LinkedListDemo.cpp #include using namespace std; void main() { LinkedList * list = new LinkedList(); list->appendNode(10); list->appendNode(20); list->appendNode(30); list->displayNodes(); list->displayNodesReverse(); delete list; }

Aplikacioi fillon me deklarimin e instancës së klasës LinkedList. Si ju kujtohet prej pjesës më herët, konstruktori i inicializon pointerët ‘front’ dhe ‘back’. Instanca deklarohet duke përdorur operatorin ‘new’. Operatori ‘new’ ktehn pointerin për në lokacionin e memories së instancës. I njëjti urdhër deklaron 193

Avni Rexhepi pointerin që i referohet listës së lidhur (LinkedList). Pointeri emërtohet ‘list’ dhe caktohet për të ju referuar instancës së klasës LinkedList. Pastaj, thirret tri herë funksioni appendNode(), i cili e shton nyjen e re në fund të listës së lidhur dhe ia ndanë vlerën e përcjellur funksionit appendNode() anëtarit të të dhënës së nyjës (vlerës së nyjës). Dy urdhërat e fundit në këtë shembull, paraqesin vlerën e secilës nyje në listën e lidhur. Së pari, funksioni displayNodes() thirret për të paraqitur nyjet në renditjen natyrale, duke filluar nga fillimi i listës së lidhur dhe duke përfunduar në nyjen e fundit (back) të listës së lidhur. Pastaj, funksioni displayNodesReverese() thirret për të bërë paraqitjen e anëtarëve të listës në renditje të kundërt, duke filluar nga nyja e fundit dhe duke përfunduar me nyjen e parë. Në fund, operatori ‘delete’ thirret për të fshirë instancat e klasës LinkedList, nga memoria. Rezultati i kodit të shembullit të paraqitur, është: 10 20 30 30 20 10

Listat e lidhura një-fish (Singly-linked list) Lista e lidhur është strukturë dinamike e të dhënave shumë e rëndësishme. Parimisht, ka dy lloje të listave të lidhura: singly-linked list (lista e lidhur njëfish, vetëm në një kah/anë) dhe doubly-linked list (lista e lidhur dyfish). Në listën e lidhur njëfish, secili element përmbanë një të dhënë (vlerë) dhe lidhjen për tek elementi tjetër (i ardhshëm), e cila mundëson mbajtjen e strukturës. Në anën tjetër, secila nyje në listën e lidhur dyfish, vlerën, lidhjen tek elementi i ardhshëm dhe lidhjen tek elementi i përparshëm. Lista e lidhur mund të jetë strukturë e të dhënave në të cilën bazohet zbatimi i stack-ut, radhës së pritjes (angl. queue) ose listës së sortuar.

194


Shembull: Lista njëfish e lidhur mund të paraqitet si vijon:

Secila qelulë (angl. cell) quhet nyje (angl. node) e listës së lidhur njëfish. Nyja e parë quhet “kokë” (angl. head) dhe është nyje e dedikuar. Duke e ditur kokën, mund të sigurohet qasja në secilën nyje tjetër në listë. Ndonjëherë, nyja e fundit, e quajtur“bisht” (angl. tail), gjithashtu ruhet, në mënrë që të shpejtohet operacioni i shtimit/insertimit.

Opearcionet (Veprimet) në listën e lidhur njëfish Implementimi konkret i operacioneve në listën e lidhur njëfish varet nga qëllimi për të cilin përdoren.

Lista e lidhur njëfish, reprezentimi i brendshëm Secila nyje e listës së lidhur njëfish përmbanë informacionet vijuese:  

vlera (e dhëna e shfrytëzuesit); lidhja për në elementin e ardhshëm (e dhënë ndihmëse)

Skematikisht, mund të paraqitet si në vijim:

Nyja e parë quhet koka (angl. head) dhe nuk ka ndonjë nyje tjetër që “pointon” (tregon me pointer) në të. Lidhja për tek koka zakonisht ruhet në klasën e cila ofron interfejsin për në strukturën rezultuese të të dhënave. Për listën e zbrazët, koka vendoset në “NULL”.

195

Avni Rexhepi Poashtu, ka kuptim që të ruhet lidhja për tek nyja e fundit, e quajtur “bishti” (angl. tail). Edhe pse asnjë nyje nuk mund të qaset prej bishtit (sepse në listën e lidhur njëfish mund të lëvizim vetëm përpara), ajo mund të shpejtojë operacionin e insertimit (shtimit), kur të shtohet një nyje e re në fund të listës. Kur lista është e madhe, ajo e zvogëlon kompleksitetin e operacionit të shtimit në mënyrë domethënëse, gjersa mbingarkimi i memories është i parëndësishëm. Në figurën vijuese, mund të shihet një reprezentimi i brendshëm i plotë i listës së lidhur njëfish.

Pjesë kodi Zakonisht, struktura e plotë e listës njëfish të lidhur vendoset në dy klasa. Klasa kryesore, SinglyLinkedList është interfejs publik dhe SinglyLinkedListNode “mjet” për përdorim privat brenda klasës kryesore. Pasi që SinglyLinkedListNode është klasë ndihmëse, nuk është e nevojshme që të enkapsulohen fushat e saj (të bëhen private). Vëreni që klasa interfejs SinglyLinkedList mund të zëvendësohet nga një klasë tjetër, si klasa Stack, gjersa implementimi i brendshëm i stekut mbetet listë njëfish e lidhur. //SinglyLinkedListNode=NyjeeListesSeLidhurNjefish //head=koka/fillimi, tail=bishti/fundi class SinglyLinkedListNode { public: int value; SinglyLinkedListNode *next; SinglyLinkedListNode(int value) { this->value = value; next = NULL; } };

196

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave //SinglyLinkedList=ListaeLidhurNjefish class SinglyLinkedList { private: SinglyLinkedListNode *head; SinglyLinkedListNode *tail; public: SinglyLinkedList() { head = NULL; tail = NULL; } }

Përshkimi i listës së lidhur njëfish Supozoni se kemi një listë me disa nyje. Përshkimi (angl. traversal – përshkimi, bredhja, kalimi me radhë) është operacion bazik, i cili paraqitet si pjesë e pothuajse çdo operacioni (veprimi) në listën e lidhur njëfish. Për shembull, algoritmi mund të përshkojë listën e lidhur njëfish për të gjetur një vlerë, për të gjetur pozitën për insertim, etj. Për listë të lidhur njëfish, është i mundur vetëm përshkimi përpara.

Algoritmi i përshkimit Duke filluar nga fillimi (koka), 1. verifiko, nëse nuk është arritur akoma fundi i listës; 2. kryej ndonjë veprim me nyjen aktuale, e cila është specifike për algoritëm të veçantë; 3. nyja aktuale bëhet paraprake (e kaluar) dhe nyje a ardhshme bëhet aktuale. Kalo në hapin 1. Shembull Si shembull, le të marrim mbledhjen e vlerave të listës së lidhur njëfish.

197

Avni Rexhepi

Për disa algoritme, përcjellja (ndjekja, gjurmimi) i nyjes së përparshme është esencial, por për disa është e panevojshme. Megjithatë këtu është paraqitur rasti i zakonshëm (i përgjithshëm) dhe algoritmi konkret mund të përshtatet për të plotësuar kërkesat individuale. Pjesë kodi Edhe pse kemi dy klasa për listën e lidhur njëfish, klasa SinglyLinkedListNode përdoret vetëm për ruajtje. I tërë algoritmi implementohet në klasën SinglyLinkedList. //traverse=përshko, current=aktuale/momentale int SinglyLinkedList::traverse()

198

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave { int sum = 0; SinglyLinkedListNode *current = head; SinglyLinkedListNode *previous = NULL; while (current != NULL) { sum += current->value; previous = current; current = current->next; } return sum; }

Lista e lidhur njëfish – Operacioni i shtimit (insertimit) Insertimi në listën e lidhur njëfish ka dy raste speciale. Ato janë insertimi i nyjës së re para kokës (krejt në fillim të listës) dhe pas bishtit/fundit (krejt në fund të listës). Për këtë qëllim, i përdorim dy pointerë : head (koka) dhe tail (bishti), përmes së cilëve përcjellim fillimin dhe fundin e listës. Në të gjitha rastet tjera, nyja e re insertohet ndërmjet nyjeve në listë, kështu që ka paraardhës dhe pasardhës në listë.

Rasti i listës së zbrazët Kur lista është e zbrazët, gjë që tregohet përmes kushtit (head==NULL), insertimi është tërësisht i thjeshtë. Algoritmi i vendosë të dyja, fillimin dhe fundin, që të pointojnë në nyjen e re. (angl. new node – Nyja e re).

199

Avni Rexhepi

Shtimi i nyjes në pozitë të parë Në këtë rast, nyja e re (new node) insertohet para nyjes së parë aktuale (para kokës).

Kjo mund të bëhet në dy hapa: 1. Azhuro lidhjen “next” (i ardhshmi) të nyjes së re, për të pointuar në nyjen aktuale të filllimit (kokën).

2. Azhuro lidhjen (pointerin) e kokës, që të pointojë në nyjen e re (new node).

200


Shtimi i nyjes në fund Në këtë rast, nyja e re insertohet menjëherë pas nyjes së fundit aktuale.

Kjo mund të bëhet në dy hapa: 1. Azhoro lidhjen “e ardhshme” (pointerin next) të nyjes së fundit aktuale, për të pointuar në nyjen e re.

2. Azhuro lidhjen e nyjes së fundit (bishtit) që të pointojë në nyjen e re.

201

Avni Rexhepi

Rasti i përgjithshëm Në rastin e përgjithshëm, nyja e re gjithmonë insertohet ndërmjet dy nyjeve, të cilat veç janë në listë. Lidhjet e fillimit dhe fundit në këtë rast nuk janë të azhuruara.

Një insertim i tillë mund të bëhet në dy hapa: 1. Azhoro lidhjen e nyjes “së përparshme”, që të pointojë në nyjen e re.

2. Azhuro lidhjen e nyjes së re, që të pointojë në nyjen “e ardhshme”.

202

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Pjesë kodi Të gjitha rastet e paraqitura më sipër mund të implementohen në një funksion me dy argumente, të cilat janë: nyja pas (prapa) së cilës duhet të insertohet nyja e re dhe nyja e re. Për operacionin “add first” (shto të parin), argumentet janë (NULL, newNode). Për operacionin “add last” (shto të fundit), argumentet janë (tail, neëNode). Megjithatë, këto operacione specifrike (shto të parin dhe shto të fundit) mund të implementohen veçmas, në mënyrë që të evitohen verifikimet e panevojshme. //addLast=shtoTëFundit, newNode=nyjeeRe void SinglyLinkedList::addLast(SinglyLinkedListNode *newNode) { if (newNode == NULL) return; else { newNode->next = NULL; if (head == NULL) { head = newNode; tail = newNode; } else { tail->next = newNode; tail = newNode; } } } //addFirst=shtoTëParin, newNode=nyjeeRe void SinglyLinkedList::addFirst(SinglyLinkedListNode *newNode) { if (newNode == NULL) return; else { if (head == NULL) { newNode->next = NULL; head = newNode; tail = newNode; } else { newNode->next = head; head = newNode; }

203

Avni Rexhepi } } //insertAfter=insertoPas void SinglyLinkedList::insertAfter(SinglyLinkedListNode *previous, SinglyLinkedListNode *newNode) { if (newNode == NULL) return; else { if (previous == NULL) addFirst(newNode); else if (previous == tail) addLast(newNode); else { SinglyLinkedListNode *next = previous->next; previous->next = newNode; newNode->next = next; } } }

Lista e lidhur njëfish – Operacioni i largimit (fshirjes) Janë katër raste të cilat mund të paraqiten gjatë fshirjes (largimit) të nyjes dhe janë të ngjashme me rastet e insertimit. Kemi katër situatat e njëjtë, por me renditje të kundërt të veprimeve. Vëreni, se algoritmi i largimit përfshinë “shkatërrimin” e nyjes së fshirë, veprim i cili mund të jetë i panevojshëm në gjuhët programuese me mbledhje automatike të mbetjeve (si p.sh., Java).

Lista ka vetëm një nyje Kur lista ka vetëm një nyje, gjë që tregohet nga kushti se koka pointon në të njëjtën nyje sikur edhe fundi (bishti), largimi është krejt i thjeshtë. Algoritmi e eliminon nyjen e pointuar nga koka (ose bishti) dhe i vendosë të dyja, edhe kokën edhe bishtin, në NULL.

204


Largo nyjen e parë (fillimin) Në këtë rast largohet nga lista nyja e parë (nyja aktuale kokë).

Kjo mund të bëhet në dy hapa: 1. Azhuro lidhjen e kokës që të pointojë në nyjen e ardhshme pas kokës.

2. Elimino nyjen e larguar

205

Avni Rexhepi

Largo nyjen e fundit Në këtë rast, largohet nga lista nyja e fundit (bishti aktual). Ky operacion është pak më i ndërlikuar sesa largimi i nyjes së parë, sepse algoritmi së pari duhet të gjejë nyjen e cila i paraprinë nyjes së fundit (bishtit).

Kjo mund të bëhet në tre hapa: 1. Azhuro lidhjen (linkun) e bishtit që të pointojë në nyjen para bishtit (nyjen e parafundit). Për ta gjetur atë, së pari duhet të përshkohet lista, duke filluar nga fillimi (koka).

206

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave 2. Vendose lidhjen e bishtit të ri për tek nyja e ardhshme, në NULL.

3. Elimino nyjen e larguar.

Rasti i përgjithshëm Në rastin e përgjithshëm, nyja që duhet larguar gjithmonë ndodhet ndërmjet dy nyjeve në listë. Në këtë rast, lidhjet e kokës dhe bishtit nuk azhurohen (nuk ndryshohen)

207

Avni Rexhepi Largimi i tillë mund të bëhet në dy hapa: 1. Azhuro lidhjen “e ardhshme” të nyjes paraprake, që të pointojë në nyjen e ardhshme të nyjes që largohet.

2. Elimino nyjen e larguar.

Pjesë kodi Të gjitha rastet e paraqitura më sipër, mund të implementohen në një funksion me një argument të vetëm, i cili është nyja “e përparshme” (paraprake) e nyjes që duhet të largohet. Për operacionin remove first (largo të parën), argumenti është NULL. Për operacionin remove last (largo të fundit), argumenti është nyja e parafundit (“e përparshme” e bishtit). Megjithatë, më mirë është që këto raste speciale (largo të parë dhe largo të fundit) të implementohen në funksione të veçanta. Vëreni, se largimi i nyjes së parë dhe të fundit kanë kompleksitete të ndryshme, pasi që “largo të fundit” duhet të përshkojë tërë listën. //removeFirst=largoTeParen, removeLast=largoTeFundit //removeNode=largoNyjen, removeNext=largoTeArdheshmen //removePrevious=largoTePerparshmen, previousToTail=paraBishtit void SinglyLinkedList::removeFirst()

208

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave { if (head == NULL) return; else { SinglyLinkedListNode *removedNode; removedNode = head; if (head == tail) { head = NULL; tail = NULL; } else { head = head->next; } delete removedNode; } } void SinglyLinkedList::removeLast() { if (tail == NULL) return; else { SinglyLinkedListNode *removedNode; removedNode = tail; if (head == tail) { head = NULL; tail = NULL; } else { SinglyLinkedListNode *previousToTail = head; while (previousToTail->next != tail) previousToTail = previousToTail->next; tail = previousToTail; tail->next = NULL; } delete removedNode; } }

209

Avni Rexhepi void

SinglyLinkedList::removeNext(SinglyLinkedListNode *previous)

{ if (previous == NULL) removeFirst(); else if (previous->next == tail) { SinglyLinkedListNode *removedNode = previous->next; tail = previous; tail->next = NULL; delete removedNode; } else if (previous == tail) return; else { SinglyLinkedListNode *removedNode = previous->next; previous->next = removedNode->next; delete removedNode; } }

Shembull: Programin mund ta shkruajmë me të gjitha funksionet në një program të vetëm. Në këtë shembull kemi programin që mundëson manipulimet me anëtarët (nyjet) e listës së lidhur (insertimi, fshirja, paraqitja). Edhe për definimin e nyjes është përdorur klasa. Dritarja gjatë ekzekutimit do të duket si në vijim:

Fig. 4.7 – Dritarja gjatë ekzekutimit 210

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave // ListaeLidhurShembull.cpp #include "stdafx.h" #include using namespace std; class nyje //Klasa nyje – definon nyjen { public : int vlera; //vlera,e dhëna nyje *pNeA; // pNeA=pointeri ne Nyjen e Ardhshme // (përmbanë adresën e nyjes së ardhshme) }; class listaeLidhur //Klasa listaeLidhur – definon listen e lidhur { public : nyje *fillimi; //pointeri per fillimin e listes, nyja e pare ne liste listaeLidhur() //Konstruktori i listes se lidhur { fillimi=NULL; }; void insertoNeFillim(); void insertoNdermjet(); void insertoNeFund(); int largo(); void paraqit(); }; int main() { int n=0,a; listaeLidhur lista; //lista - e tipit listaeLidhur do { cout<<"\n************** M E N Y J A **************\n"; cout<<"\n 1.Inserto ne fillim\n 2.Inserta ne mes\n 3.Inserto ne fund\n 4.Fshije nyjen\n 5.Paraqiti elementet"; cout<<"\n 6.Dalja\n"; cout<<"\n*****************************************\n"; cout<<" Zgjedhe opcionin: "; cin>>a; switch(a) { case 1: lista.insertoNeFillim(); break; case 2: lista.insertoNdermjet(); break; case 3: lista.insertoNeFund(); break; case 4: lista.largo(); break; case 5: lista.paraqit(); break; case 6: n=1; break; default : cout<<"\nVlere e gabuar. Perseriteni zgjedhjen \n"; break; } } while(n!=1);

211

Avni Rexhepi system(“Pause”); return 0; }

void listaeLidhur :: insertoNeFund() { nyje *temp; //(temp-e Përkohshme); Pointeri per nyjen ndihmese // (nyje e perkohshme) if(fillimi==NULL) { fillimi=new nyje [1]; fillimi->pNeA=NULL; cout<<"\n Shtype vleren per t'a insertuar ne liste: "; cin>>fillimi->vlera; } else { temp=fillimi; while(temp->pNeA!=NULL) temp=temp->pNeA; temp->pNeA= new nyje [1]; temp=temp->pNeA; cout<<"\n Shtype vleren per t'a insertuar ne liste: "; cin>>temp->vlera; temp->pNeA=NULL; } } void listaeLidhur :: insertoNdermjet() { nyje *temp,*eArdhshme; //Pointeret per nyjen ndihmese dhe e ardhshme int x; pozita: temp=fillimi; cout<<"\n Jepe elementin fqinje (pas se cilit insertohet nyja e re):"; cin>>x; while(temp->vlera!=x) { temp=temp->pNeA; if (temp==NULL) { cout<pNeA; temp->pNeA=new nyje [1]; temp=temp->pNeA; temp->pNeA=eArdhshme; cout<<"\n Shtype vleren per t'a insertuar ne liste: "; cin>>temp->vlera; }

212

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave void listaeLidhur :: insertoNeFillim() { nyje *temp; temp=new nyje [1]; temp->pNeA=fillimi; fillimi=temp; cout<<"\n Shtype vleren per t'a insertuar ne liste: "; cin>>temp->vlera; } int listaeLidhur :: largo() { nyje *temp,*ePerparshme=NULL; //Pointeret, per nyjen ndihmese dhe nyjen e perparshme int x; if(fillimi==NULL) { cout<<"\n Lista e zbrazet -- Nuk ka elemente per t'u fshire \n"; return 0; } fshirja: temp=fillimi; cout<<"\n Shtype vleren per t'a fshire: "; cin>>x; while(temp->vlera!=x) { temp=temp->pNeA; if (temp==NULL) { cout<vlera==x && fillimi->pNeA==NULL) { delete fillimi; fillimi=NULL; cout<<"\n Fshirja e suksesshme\n"; return 0; } if(fillimi->vlera==x) { temp=fillimi->pNeA; delete fillimi; fillimi=temp; cout<<"\n Fshirja e suksesshme \n"; return 0; } temp=fillimi;

213

Avni Rexhepi while(temp->vlera!=x) { ePerparshme=temp; temp=temp->pNeA; } ePerparshme->pNeA=temp->pNeA; cout<<"\n Fshirja e suksesshme \n"; return x; }

void listaeLidhur :: paraqit() { nyje *temp; temp=fillimi; if (fillimi!=NULL) { cout<<"\n Elementet ne listen e lidhur jane: "; while(temp->pNeA!=NULL) { cout<<""<vlera<<" "; temp=temp->pNeA; } cout<vlera<
214


Lista e lidhur në STL Në STL ekziston libraria që është kontejner për listën e lidhur dyfish. Lista e STL-it mund të insertojë elementet, të shtojë elementet në fillim më shpejtë sesa vektorët, sepse lista nuk ka nevojë për zhvendosjen e elemeneteve të tjera. Listat poashtu janë efikase me rastin e shtimit të elementeve në fund sepse kanë pointerin e brendshëm (built-in) për në elementin e fundit në listë. Funksionet e klasës list që përdoren për listat e STL-it, janë:

Funksioni back erase

empty

Shembull-Përshkrimi cout << list.back() << endl; Kthen referencën për në elementin e fundit në listë. list.erase(iter); Elementi i listës i pointuar përmes iteratorit iter, do të fshihet list.erase(firstIter, lastIter) Fshirja e të gjitha elementeve të listës, nga i pari tek i fundit if (list.empty()) Funksioni empty kthen ‘true’ nëse lista është e zbrazët, përndryshe nëse lista ka elemente, kthen ‘false’.

end front insert

merge

pop_back pop_front

iter = list.end(); end kthen iteratorin dy-drejtimësh për në fund të listës cout << list.front() << endl; front kthen referencën për në elementin e parë në listë list.insert(iter, x); funksioni insert, inserton një element në listë. Në këtë formë, inseron elementin me vlerë x, para elementin të pointuar me iter. list1.merge(list2); bashkon elementet nga list2 në list1. list1 zgjerohet për të akomoduar anëtarët e rinj nga list2 (merge pret që të dy listat të jenë të sortuara) list.pop_back(); pop_back largon elementin e fundit të listës list.pop_front(); pop_front largon elementin e parë të listës

215

Avni Rexhepi push_back

list.push_back(x); push_back inserton një elementi të ri me vlerë x në fund të listës push_front list.push_front(x); push_front inserton një element me vlerë x në fillim të listës reverse list.reverse(); kthen mbrapsht (rrotullon) renditjen e elementeve në listë size( ) size () - Kthen numrin e elementeve në listë swap list1.swap(list2) Funksioni swap shkëmben elementet e ruajtura në dy lista. Për shembull, nëse list1 dhe list2 janë lista, urdhëri i dhënë do të shkëmbejë vlerat e ruajtura në të dy listat. unique list.unique(); unique largon elementet me vlerë të njëjtë si ndonjë element para tij (largon duplikatet, e shndërron në listë me vlera unike)

Shembull: // STL list container #include #include //List nga STL using namespace std; void main(void) { list ListaIme; list::iterator iter; // Shto vlerat në listë for (int x = 0; x < 100; x += 10) ListaIme.push_back(x); // Paraqiti vlerat for (iter = ListaIme.begin(); iter != ListaIme.end(); iter++) cout << *iter << " "; cout << endl; // Reverse – ndrysho renditjen e elemeneteve ListaIme.reverse();

216

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave // Paraqiti vlerat perseri for (iter = ListaIme.begin(); iter != ListaIme.end(); iter++) cout << *iter << " "; cout << endl; }

Rezultati: 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Steku përmes listës së lidhur Më herët e kemi parë krijimin e stekut përmes vargjeve. Mirëpo, përdorimi i vargjeve paraqet problemin e pamundësisë së përshtatjes së madhësisë së stekut gjatë ekzekutimit të programit. Zgjidhja për këtë do të ishte përdorimi i listës së lidhur për krijimin e stekut. Në vazhdim do të shohim si të përdoret lista e lidhur për të krijuar stekun.

Steku Steku është strkutura e të dhënave që organizon të dhënat sipas parimit FILO (First In Last Out), i pari brenda, i fundit jasht. Kjo i përngjanë vendosjes së pjatave një mbi një në kuzhinë, ku vetëm pjata e vendosur e fundit mund të tërhiqet nga grupi. Për të marrë pjatën e tretë, së pari duhet larguar dy pjatat e fundit. Nuk ka mënyrë tjetër për të nxjerrë elementet, përveq nga maja (top). Për të siguruar qasje të drejtpërdrejtë ose qasje të rastit në cilindo element, duhet të përdoret tjetër strukturë e të dhënave. Steku është i përshtatshëm kur duhet të ruhen dhe të tërhiqen të dhënat në renditjen i pari brenda, i fundit jashtë. Për shembull, kompjuteri i proceson urdhërat përmes përdorimit të stekut, në të cilin instruksioni i ardhshëm për t’u ekzekutuar ndodhet në krye të stekut.

Klasa LinkedList Edhe pse diskutohet për vlerat e vendosura (palosura) si stek, fizikisht kjo nuk ndodhë aspak, në memorie të kompjuterit. Në vend të kësaj, të dhënat lidhen së bashku njëra pas tjetrës (në mënyrë sekuenciale) në një listë të lidhur, ku vlera e fundit gjithmonë paraqitet në fillim (front) të listës. Vlerat largohen vetëm nga fillimi i listës. 217

Avni Rexhepi Kjo listë sekuenciale krijohet përmes përdorimit të listës së lidhur. Siç është thënë, lista e lidhur përmbanë elementet e quajtura nyje. Nyja ka tri nënelemente: vlerën dhe dy pointera. Vlera është e dhëna e ruajtur në stek. Pointerët pointojnë në nyjen e përparshme dhe në atë të ardhshme (Figura 4.8). Kur vendoset një element i ri në listënë e lidhur, alokohet nyja e re (‘new’) dhe pastaj caktohet prointeri në nyjen e përparshme dhe atë të ardhshme.

Figura 4.8 - Nyja përmbanë pointerin në nyjen e përparshme dhe atë të ardhshme në listën e lidhur dhe përmbanë të dhënën (vlerën) e shoqëruar me nyjen aktuale. Nyja definohet në C++ përmes përdorimit të strukturës, e cila është tip i të dhënave i definuar prej shfrytëzuesit. Struktura vijuese e definon nyjen: // Node=Nyje; data=vlera; // previous=ePerparshme; next=eArdhshme struct Node { int data; Node* previous; Node* next; };

Struktura quhet Node (Nyja). Urdhëri i parë deklaron një integer që ruan vlerën aktuale të nyjes. Dy urdhërat tjerë në vazhdim, deklarojnë pointerët për në nyjen e përparshme dhe të ardhshme në listën e lidhur. Kontruktori inicializon elementet e nyjës kur krijohet nyja, gjë që është e ngjashme me mënyrën se si punon konstruktori në definicionin e klasës. Ju siguroni (ofroni) vlerën aktuale për strukturën kur të krijoni nyje të re. Kjo vlerë i ndahet vlerës në listën e argumenteve, e cila pastaj i ndahet elementit të instancës së strkuturës. Nyjet ‘previous” (e përparshme) dhe ‘next’ (e ardhshme) inicializohen në NULL, gjë që tregon se nuk ka elemente të tjera në listën e lidhur. NULL zëvendësohet me pointerin për në nyje kur të shtohet nyja e re në listën e lidhur. Si ju kujtohet nga pjesa e mëparshme, klasa LinkedList definohet për të krijuar dhe menagjuar listën e lidhur. Janë dy anëtarë të të dhënave dhe gjashtë 218

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave funksione anëtare, të definuara në klasën LinkedList. Anëtarët e të dhënave janë pointerë në instancat e strukturës Node. Pointeri i parë quhet ‘front’ dhe ai i referohet nyjës së parë në listën e lidhur. Pointeri i dytë quhet ‘back’ dhe i referohet nyjës së fundit në listën e lidhur. Të dy këta pointerë, ‘front’ dhe ‘back’ deklarohen në pjesën e mbrojtur (angl. protected) të klasës, sepse klasa lista LinkedList trashëgohet nga klasa StackLindekList, për të cilën do të flasim në vazhdim. Klasa StackLinkedList përdorë pointerët ‘front’ dhe ‘back’. Gjashtë funksionet anëtare të klasës, manipulojnë listën e lidhur. Këto funksione janë konstruktori, destruktori, appendNode(), displayNodes(), displayRevereseNodes() dhe destrotyNodes(). Këto u paraqitën në pjesën e mëparshme. Në vazhdim kemi definicionin e klasës LinkedList. Do të shihni se është afërsisht i njëjtë me definicionin e klasës Linkedlist të paraqitur më parë, por me një dallim të lehtë. Gjersa më parë pointerët ‘front’ dhe ‘back’ ishin të definuar në pjesën private të klasës, tani ata janë në pjesën e mbrojtur (protected), sepse klasa StackLinkedList do t’i përdorë ata: class LinkedList { protected: Node* front; Node* back; public: LinkedList(); ~LinkedList(); void appendNode(int); void displayNodes(); void displayNodesReverse(); void destroyList(); };

Klasa StackLinkedList Programeri efikas nëse është e mundur nuk e përsëritë kodin. Në vend të kësaj, ai i trashëgon atributet dhe sjelljet e klasës tjetër, duke definuar klasën LinkedList për të krijuar dhe manipuluar listën e lidhur. Programeri efikas mundet poashtu të krijoj klasën StackLinkedList për të krijuar dhe manipuluar stekun-listë e lidhur. Klasa StackLinkedList trashëgon atributet dhe sjelljet e klasës LinkedList dhe definon sjelljet tjera të nevojshme për të punuar me stekun-listë e lidhur. 219

Avni Rexhepi Si shtesë ndaj atributeve të definuara në klasën LinkedList, klasa StackLindekList kërkon pesë sjellje plotësuese të definuara si funksione anëtare: konstruktorin, destruktorin, push(), pop() dhe isEmpty(). Definicioni i klasës StackLinkedList është si vijon: class StackLinkedList : public LinkedList { public: StackLinkedList(); virtual ~StackLinkedList(); void push(int); int pop(); bool isEmpty(); };

Konstruktori dhe destruktori StackLinkedList Konstruktori dhe destruktori i klasës StackLinkedList mund të duken të çuditshëm në fillim, sepse të dy janë të zbrazët dhe nuk ka instruksione/urdhëra të specifikuara në trupin e tyre, si vijon: StackLinkedList() { } ~StackLinkedList() { }

Konstruktori është i zbrazët sepse para konstruktorit të klasës StackLinkedList thirret konstruktori i klasës LinkedList. Ju kujtohet se klasa StackLinkedList e trashëgon klasën LinkedList. Konstruktori i klasës LinkedList inicializon pointerët ‘front’ dhe ‘back’ në NULL. Prandaj, nuk ka asgjë tjetër për të bërë nga ana e konstruktorit të klasës StackLinkedList. Ngjashëm, destruktori i klasës LinkedList thirret para destrkutorit të klasës StackLinkedList. Destruktori i klasës LinkedList e fshinë tërë memorien e shoqëruar me nyjet e listës së lidhur. Prandaj, destruktori i klasës StackLinkedList poshtu nuk ka për të bërë asgjë.

Vendosja/shtyrja e nyjes në stekun-listë e lidhur Në pjesën për stekun është sqaruar se vlerat vendosen/shtyhen në krye të stekut dhe largohen/tërhiqen nga kreu i stekut (top). Këto veprime quheshin ‘push’ dhe ‘pop’. Hapat e njëjtë ndodhin edhe gjatë përdorimit të listës së lidhur për stekun, 220

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave por në vend të vendosjes së vlerës në inkeksin e ardhshëm në dispozicion të vargut, ajo vendoset në fund (back) të listës së lidhur. Duhet të definoni funksionin push() të klasës StackLinkedList i cili thirret sa herë që të shtohet një vlerë në stek. Mbani mend që në realitet jeni duke shtuar një nyje në listën e lidhur dhe jo thjeshtë vetëm vlerë. Vlera është e përmbajtur përbrenda nyjes (në nyje). Për të shtyar një nyje në stek, përdoren hapat e njëjtë si në rastin e shtimit të nyjes në listën e lidhur. Kjo do të thotë që funksioni appendNode() i klasës LinkedList mund të përdoret për të vendosur nyjen e re në stek. Prandaj, krejt çka nevojitet është që nga ana e funksionit push(), të thirret funksioni appendNode(). Pasi që funksioni appendNode() është publik, ai do të mund të thirrej edhe direkt, sa për të vendosur nyjen në stek, por vendosja e funksionit push() në klasën e stekut e bënë këtë më intuitive për përdoruesit e kësaj klase. Kjo poashtu ndihmon në fshehjen e implementimit të brendshëm, pradaj përdorimi i klasës është pak më i drejtpërdrejtë. Si ju kujtohet, funksioni appendNode() kërkon një argument (parametër), i cili është e dhëna (vlera) që i ndahet nyjes së re. Duhet të definohet funksioni push() që të pranojë këtë vlerë të njëjtë si argument të tij, për të përcjellur këtë të dhënë në funksionin appendNode(). Kjo është ilustruar në shembullin vijues. Funksioni push() këkron një integer të përcjellur si argument. Ajo vlerë integer pastaj i përcillet funksionit appendNode() përmbrenda trupit të definicionit të funksionit push(). void push(int x) { appendNode(x); }

Nxjerrja e nyjës nga steku-listë e lidhur Është e nevojshme të definohet edhe funksioni për nxjerrjen (tërheqjen) e nyjës prej stekut, që do të quhet pop(). Pasi që jemi duke përdorur listën e lidhur si stek, funksioni pop() duhet të largojë nyjen prej fundit të listës së lidhur. Fatkeqësisht, nuk është e mundur që thjeshtë të thirret funksioni i klasës LinkedList për të nxjerrur nyjen prej stekut, sepse klasa LinkedList nuk e ka të definuar funksionin i cili e largon nyjen nga lista e lidhur. Sikur të kishim pasur funksionin e klasës bazë për largim të nyjes së fundit ‘removeBack()’, do të mund të thirrej ky funksion për të nxjerrur (duke e larguar) nyjen nga lista. Në këtë rast, do të duhet të definohet funksioni pop() në klasën StackLinkedList për të bërë këtë gjë. Kjo do të sigurojë qasjen ‘last in, first out’, në stek.

221

Avni Rexhepi Ja si do të jetë definicioni i funksionit pop(). Referojoni pamjes së stekut-listë e lidhur, në figurën 4.9, për të pasur të qartë mënyrën e funksionimit të funksionit pop().

Figura 4.9: Funksioni pop() largon nyjen në krye të stekut, e cila është nyja në fillim të listës së lidhur. int pop() { if (isEmpty()) { return -1; } int retVal = back->data; Node * temp = back; if (back->previous == NULL) { back = NULL; front = NULL; } else { back = back->previous; back->next = NULL;

222

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave } delete temp; return retVal; }

Së pari, duhet të përcaktohet/kontrollohet nëse ka ndonjë vlerë në stek, duke thirrur anëtarin isEmpty(). Ky funksion kthen vlerën Bool-eane ‘true’ nëse steku është i zbrazët dhe atë ‘false’ nëse nuk është i zbrazët. Nga figura 4.9 mund të shihet se ka dy nyje në stek dhe kështu steku nuk është i zbrazët. Për këtë arsye, urdhëri ‘return’ në kushtin ‘if’ nuk do të ekzekutohet. Funksioni pop() i referohet atributit ‘back’ të klasës LinkedList. Është me rëndësi të mbahet mend që atributi ‘back’ i referohet kreut të stekut (pra atributit ‘top’ të stekut). Nyjet do të largohen nga fundi (‘back’) i listës së lidhur, për të kryer operacionin ‘pop’. Prandaj, vlera ‘front’ është Node2 (Nyja 2). Vlera e Node 2, i ndahet variablës ‘retVal’, e cila është vlera e kthyer nga funksioni pop(), nëse ka nyje në stek (steku nuk është i zbrazët). Kjo bën që vlera të tërhiqet (nxirret) nga steku. Pastaj, adresa e nyjës ‘back’, që është Node 2, i ndahet pointerit të përkohshëm ‘temp’. Nyja në të cilën pointon pointeri i përkohshëm largohet nga memoria me operatorin ‘delete’ në fund të funksionit pop(). Pastaj, përcaktohet nëse nyja në fund të stekut ishte nyja e vetme në listën e lidhur. Kjo bëhet duke parë nëse atributi ‘previous’ i nyjes është NULL. Nëse pointeri ‘previous’ në fund të listës është NULL, kjo tregon se ka vetëm një nyje në listën e lidhur. Duhet të jeni të kujdesshëm kur analizoni funksionin pop(). Mbani mend që fundi i listës së lidhur (back) është kreu i stekut (top) dhe se fundi i stekut është fillimi i listës së lidhur. Nëse funksioni pop() është duke larguar nyjen e vetme nga steku, atëherë atributet ‘front’ dhe ‘back’ të klasës LinkedList do të vendosen në NULL, duke treguar se nuk ka nyje të mbetura në listën e lidhur, pas ekzekutimit të funksionit pop(). Sidoqoftë, nëse ka së paku një nyje në stek, ekzekutohen urdhërat përbrenda urdhërit ‘else’, si në figurën 4.9. Urdhëri i parë përbrenda urdhërit ‘else’ e cakton atributin ‘previous’ të atributit ‘back’ si ‘back’ i ri (si fundi i ri). Në figurën 4.9, atributi ‘previous’ është 1. Kjo tregon se Node 1 vjen para Node 2. Atëherë Node 1 caktohet si fundi i ri i stekut. Mbani mend që nuk ka nyje tjetër (të ardhshme, next) në stek sepse gjithmonë jeni duke punuar me fundin (back) e listës së lidhur. Prandaj, duhet t’ia ndani

223

Avni Rexhepi NULL atributit ‘next’ të nyjes ‘back’, që është Node 1. Kjo e bën Node 1 si krye të stekut (top). Urdhëri i parafundit e largon nyjen nga memoria duke përdorur operatorin ‘delete’. Pointeri i përkohshëm pointon në adresën e memories së nyjes që është larguar nga steku. Urdhëri i fundit e kthen vlerën e nyjes që u largua nga steku.

Kontrollimi a është i zbrazët steku Funksioni pop() duhet të kontrollojë nëse steku është i zbrazët ose do të tentojë të largojë nyjen që nuk ndodhet në stek. Funksioni pop() e kontrollon a është steku i zbrazët duke thirrur funksionin isEmpty(), i cili duhet të definohet si pjesë e klasës StackLinkedList. Funksioni isEmpty() është funksion i thjeshtë i cili kontrollon a është steku i zbrazët duke shikuar nëse vlera e atributit ‘front’ të klasës LinkedList është NULL. Nëse është, atëherë kthehet vlera bool-eane ‘true’, përndryshe kthehet ‘false’. Nëse steku është i zbrazët, të dy atribuetet, ‘front’ dhe ‘back’ janë NULL, por mjafton të testohet vetëm njëra prej tyre. bool isEmpty() { if(front == NULL) { return true; } else { return false; } }

Steku si listë e lidhur në C++ Tani që dihen komponentet, duhet të krijohet steku-listë e lidhur. Në këtë pjesë do të fokusohemi në bashkimin e tyre në një aplikacion funksional në C++. Disa programerë i organizojnë komponentet e stekut-listë e lidhur në pesë fajlla: LinkedList.h, LinkedList.cpp, StackLinkedList.h, StackLinkedList.cpp dhe StackLinkedListDemo.cpp. të gjithë këta fajlla bashkohen sëbashku në kohën e kompajlimit për të krijuar fajllin ekzekutiv. Header fajlli LinkedList.h është fajlli që përmbanë definicionin e strukturës Node adhe definicionin e klasës Linkedlist. LinkedList.cpp është kodi burimor i cili përmbanë implementimin e funksioneve anëtare të klasës LinkedList, të cilat janë paraqitur më parë (në kapitullin 6). 224

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Fajlli StackLinkedList.h është header fajlli i cili përmbanë definicionin e klasës StackLinkedList. StackLindekList.cpp është fajlli i kodit burimor që përmbanë implementimin e funksioneve të klasës StackLinkedList. StackLinkedListDemo.cpp përmbanë aplikacionin dhe është vendi ku deklarohet instanca e klasës StackLinkedList dhe ku thirren funksionet anëtare.

Funksionet LinkedList Header Fajlli dhe LinkedList Fajlli LinkedList.h dhe fajlli LinkedList.cpp janë treguar në kodin vijues. Këto duhet të duken të njohura sepse janë të njëjtat që janë deklaruar më parë (në kapitullin 6). Mirëpo ka një përjashtim. Atributet ‘front’ dhe ‘back’ të definuara në klasën LinkedList në fajllin LinkedList.h janë definuar në pjesën (seksionin) e mbrojtur (protected) të definicionit të klasës. Ata paraqiteshin më parë në pjesën private. Klasa StackLinkedList duhet të ju qaset këtyre variablave, ashtu që ato vendosen nën specifikimin ‘protected’ për të qenë të dukshme për nënklasën. Për shpjegimet e plota të tyre, referojuni pjesës ku janë paraqitur më parë. //LinkedList.h // Node=Nyje; data=vlera; // previous=ePerparshme; next=eArdhshme struct Node { int data; Node* previous; Node* next; }; class LinkedList { protected: Node* front; Node* back; public: LinkedList(); ~LinkedList(); void appendNode(int); void displayNodes(); void displayNodesReverse(); void destroyList(); };

//LinkedList.cpp

225

Avni Rexhepi #include "LinkedList.h" LinkedList::LinkedList() { front = NULL; back = NULL; } LinkedList::~LinkedList() { destroyList(); } void LinkedList::appendNode(int data) { Node* n = new Node(); n->data=data; if(back == NULL) { back = n; front = n; } else { back->next = n; n->previous = back; back = n; } } void LinkedList::displayNodes() { cout << "Nyjet:"; Node* temp = front; while(temp != NULL) { cout << " " << temp->data; temp = temp->next; } } void LinkedList::displayNodesReverse() { cout << "Nyjet ne renditje te kundert:"; Node* temp = back; while(temp != NULL) { cout << " " << temp->data; temp = temp->previous; }

226

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave } void LinkedList::destroyList() { Node* temp = back; while(temp != NULL) { Node* temp2 = temp; temp = temp->previous; delete temp2; } back = NULL; front = NULL; }

Fajlli ‘header’ StackLinkedList dhe fajlli burimor StackLinkedList Fajlli StackLinkedList.h përmbanë definicionin e klasës StackLinkedList, si në vijim. Nën fajllin StackLinkedList.h ndodhet fajlli StackLinkedList.cpp i cili përmbanë definicionet e funksioneve anëtare. Definicioni i secilit funksion është sqaruar në pjesën “Klasa StackLinkedList”. //StackLinkedList.h class StackLinkedList : public LinkedList { public: StackLinkedList(); virtual ~StackLinkedList(); void push(int); int pop(); bool isEmpty(); }; //StackLinkedList.cpp StackLinkedList.h StackLinkedList::StackLinkedList() { } StackLinkedList::~StackLinkedList() { } void StackLinkedList::push(int x) { appendNode(x); }

227

Avni Rexhepi int StackLinkedList::pop() { if(isEmpty()) { return -1; } int retVal = back->data; Node* temp = back; if(back->previous == NULL) { back = NULL; front = NULL; } else { back = back->previous; back->next = NULL; } delete temp; return retVal; } bool StackLinkedList::isEmpty() { if(front == NULL) { return true; } else { return false; } }

Aplikacioni StackLinkedList Fajlli StackLinkedListDemo.cpp përmbanë aplikimin aktual të stekut, si është paraqitur në kodin vijues. Aplikacioni fillon me deklarimin e instancës së klasës StackLinkedList. Rikujtoni që ky urdhër thërret (në mënyrë indirekte) konstruktorin e klasës LinkedList, që ësthë trashëguar në klasën StackLinkedList. Pastaj aplikacioni e thërret funksionin push(), për të vendosur (shtyrë) në stek vlerat 10, 20 dhe 30. Për të paraqitur vlerat thirret funksioni displayNodes(). 228

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Funksioni displayNodes() është anëtarë i klasës LinkedList dhe është sqaruar më parë. Funksioni pop() thirret pastaj për të larguar nyjen e fundit në stek, e cila pastaj paraqitet në ekran (shih figurën 4.10). Programi pastaj thërret operatorin ‘delete’ për të larguar stekun nga memoria.

Figura 4.10 - Para se të thirret funksioni pop(), në stek janë tri nyje. Pasi të thirret funksioni pop(), në stek mbesin dy nyje. //StackLinkedListDemo.cpp #include using namespace std; void main() { StackLinkedList* stack = new StackLinkedList(); stack->push(10); stack->push(20); stack->push(30); stack->displayNodes(); cout << stack->pop() << endl; delete stack; }

229

Avni Rexhepi Rezultati i programit është: Nodes: 10 20 30 10

Queue përmes listës së lidhur Gjaët përdorimit të queue-s (radhës së pritjes), mund të ndodhë që nuk ka vend të mjaftueshëm për vendosjen e të gjitha të dhënave të cilat duhet të përpunohen. Për të evituar këtë problem, për krijimin e radhës së pritjes, mund të përdoren listat e lidhura. Është thënë më herët se queue është organizim sekuencial i të dhënave, ku të dhënat (vlerat) kanë qasje vetëm në parimin “First In, First Out” (I pari brenda, i pari jashtë), që është e ngjashme me radhën e pritjes për blerjen e biletave për koncert ose për kryerjen e pagesës, tek arkat e pagesave në supermarket. Në pjesën ku është shpjeguar queue u krijua përmes përdorimit të vargut, për ruajtjen e të dhënave. Si ju kujtohet, vargu ishte ‘i ndarë” nga queue. Vlerat i ndahen elementeve të vargut. Vetë queue përbëhet prej dy variablave të quajtura ‘front’ dhe ‘back’. Secila pointon në elementin e vargut që ndodhet në fillim (front) të radhës (queue-s) ose në fund (back) të radhës (queue-s). Kur largohet e dhëna (vlera) nga fillimi i radhës, programi e ndryshon vlerën e variablës ‘front’, për të pointuar në elementin e ardhshëm të vargut. Mirëpo, e dhëna (vlera) e larguar nga radha (queue) akoma mbetej në varg. Kjo do të thotë që e dhëna (vlera) nuk largohet nga memoria. Ëshët edhe një problem serioz me përdorimin e vargjeve për të ruajtur radhët (queues): kur të shkruhet programi, duhet të dihet madhësia e vargut. Vargu mund të ruaj vetëm një numër të caktuar të elementeve në cilindo moment kohor. Programerët evitojnë këtë problem duke përdorur listën e lidhur në vend të vargut, për të krijuar radhën e pritjes (queue-n), pasi si është thënë më herët, lista e lidhur mund të rritet ose zvogëlohet gjatë kohës së ekzekutimit bazuar në nevojat e programit.

Queue-Listë e lidhur Konceptualisht, queue listë e lidhur është i njëjtë sikur queue i ndërtuar duke përdorur vargun. Të dy ruajnë të dhëna (vlera). Mirëpo, në queue varg, e dhëna ruhet në elementin e vargut. Në queue listë e lidhur, e dhëna ruhet në nyje të listës së lidhur. Queue listë e lidhur përbëhet prej tri komponenteve kryesore: nyja, definicioni i klasës LinkedList dhe definicioni i klasës QueueLinkedList. Bashkarisht, ato grupohen në të dhëna të organizuara në radhë (queue). Në C++ nyja krijohet si strukturë e e tipit të të dhënave të definuar prej shfrytëzueusit dhe përmbanë tri elemente: vlera dhe pointerët në nyjen e 230

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave përparshme dhe në nyjen e ardhshme (Figura 4.11). Pjesa e kodit në vijim është nyje e tipit të definuar prej shfrytëzuesit. Në këtë pjesë do të përdoret struktura vijuese e tipit të definuar prej shfrytëzuesit, për të krijuar queue-listë e lidhur.

Figure 4.11 - Secila nyje pointon nyjen e përparshme dhe atë të ardhshme. Emri i strukturës së definuar prej shfrytëzuesit është ‘Node’ dhe përdoret në klasën LinkedList për të deklaruar instancat e nyjes. Tre urdhërat e fundit në strukturë deklarojnë një integer që ruan vlerën aktuale dhe deklarojnë dy pointerë për të ju referuar nyjes së përparshme dhe nyjes së ardhshme në listën e lidhur. Secilën herë që krijohet një nyje, strukturës së definuar prej shfrytëzuesit i përcillet vlera për nyjen. Pointerët në nyjen e përparshme dhe të ardhshme caktohen në NULL, që tregon se nuk ka nyje të përparshme ose të ardhshme. NULL zëvendësohet me pointerët përkatës kur të shtohet nyja e re në listë. // Node=Nyje; data=vlera; // previous=ePerparshme; next=eArdhshme

231

Avni Rexhepi struct Node { int data; Node* previous; Node* next; };

Klasa LinkedList krijon dhe menagjon listën e lidhur. Rikujtoni se klasa LinkedList identifikon nyjen që ndodhet në fillim të listës së lidhur (front) dhe nyjen që ndodhet në fund të listës (back). Për më tepërt, klasa LinkedList definon funksionet anëtare të cilat menagjojnë listën e lidhur. Këto janë funksionet e definuara në pjesën ku u shpjeguan listat e lidhura (kapitullin 6): konstruktori, destruktori, appendNode(), displayNodes(), displayRevereseNodes() dhe destroyList(). Ja definicioni i klasës LinkedList që do të përdoret për të krijuar queue-listë e lidhur. class LinkedList { protected: Node* front; Node* back; public: LinkedList(); ~LinkedList(); void appendNode(int); void displayNodes(); void displayNodesReverse(); void destroyList(); };

Zakonisht struktura e nyjes dhe klasa LinkedList vendosen në header fajllin e njëjtë, LinkedList.h, si mënyrë për të mbajtur atë të organizuar. Programerët pastaj përdorin direktivën preprocesorike #include për të përfshirë LinkedList.h në programin që përdorë listën e lidhur. Komponenta e fundit e queue-listë e lidhur është definicioni i klasës QueueLinkedList. Kjo klasë trashëgon klasën LinkedList dhe pastaj definon funksionet anëtare të cilat janë të dizajnuara në mënyrë specifike për të menagjuar queue-n (radhën). Edhe pse duket se do të ishte mirë që të kombinohen klasat LinkedList dhe QueueLinkedList në një klasë, duke i mbajtur të gjitha në një vend sa herë që nevojitet të krijohet lista e lidhur, kjo gjë do të shkaktonte përsëritje të kodit, gjë që programerët e evitojnë sa herë të jetë e mundur.

232

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Për shembull, definicionet e nyjes dhe klasa LinkedList do të lokalizoheshin në dy vende. Nëse nevojitet përmirësim (angl. upgrade) i cilit do definicion, do të duhet të mbahen mend të gjitha vendet ku ato janë definuar brenda kodit. Qasje më e mirë është që të vendoset secili definicion në fajllin e vet (p.sh., LinkedList.h, QueueLinkedList.h), ashtu që kodi nuk do të përsëritet. Në vijim paraqitet definicioni i klasës QueueLinkedList që do të përdoret për të krijuar queue-n. Ky definicion ruhet në fajllin QueueLinkedList.h. Klasa QueueLinkedList ka pesë funksione: konstruktori, destruktori, enqueue(), dequeue() dhe isEmpty(). //QueueLinkedList.h #include "LinkedList.h" class QueueLinkedList : public LinkedList { public: QueueLinkedList(); virtual ~QueueLinkedList(); void enqueue(int); int dequeue(); bool isEmpty(); };

Konstruktori dhe destruktori i klasës QueueLinkedList janë të zbrazët, si do të shihet në kodin vijues. Konstruktori në mënyrë tipike inicializon anëtarët e një instance të klasës. Në rast të queue-listë e lidhur, inicializimi bëhet nga konstruktori i klasës LinkedList, i cili thirret para konstruktorit të klasës QueueLinkedList, prandaj kjo do të thotë se nuk ka asgjë për të bërë nga ana e konstruktorit të klasës QueueLinkedList. Destruktori në mënyrë tipike e liron memorien e përdorur nga instanca e klasës. Lista e lidhur e përdorur për queue largohet nga destruktori i klasës LinkedList, i cili poashtu thirret para se të thirret destruktori i klasës QueueLinkedList. Prandaj, as për destruktorin e klasës QueueLinkedList, nuk ka asgjë për të bërë. QueueLinkedList::QueueLinkedList() { } QueueLinkedList::~QueueLinkedList() { }

233

Avni Rexhepi

Enqueue Funksioni enqueue() (vendose në radhë), i klasës QueueLinkedList thirret sa herë që një nyje e re të vendoset në queue (radhë). Si do të shihet nga definicioni i funksionit në pjesën vijuese të kodit, funksioni enqueue() është “i rrallë” sepse përmbanë vetëm një urdhër, i cili thërret funksionin appendNode() të klasës LinkedList. Nuk ka nevojë që të shtohen urdhëra plotësues në funksionin enqueue() sepse vendosja e nyjes në queue është procesi i njëjtë si i vendosjes së nyjes në listën e lidhur. Secila nyje e re vendoset në fund (back) të listës së lidhur. Prandaj, krejt çka nevojitet, është funksioni appendNode(). Nyjet shtohen në fund të queue-s, për shkak se është duke u ripërdorur kodi i klasës LinkedList. Nyja e re vendoset në fund (back) të queue-s, kurse tërhiqet (largohet) nga fillimi i listës (front). Funksioni enqueue() ka nëj argument, i cili është vlera (e dhëna) që do t’i ndahet nyjes së re. Në këtë shembull, nyja përdoret për të ruajtur një integer, mirëpo mund të ruhet çfarëdo tipi i të dhënave. Në fakt, e dhëna mund të jetë pointer për në setin e të dhënave, si p.sh. informacionet për studentit. Për të ndryshuar këtë shembull nga vlera integer në një tip tjetër të të dhënave, vetëm duhet ndryshuar elementi i të dhënave në strukturën Node, për të reflektuar tipin e të dhënave të cilin dëshironi ta ruani në nyje. Vlera e pranuar nga funksioni enqueue() i përcillet funksionit appendNode(). Figura 4.12 ilustron se si funksioni appendNode() e vendosë nyjen e re në fund (back) të listës së lidhur. Në krye të ilustrimit është lista e lidhur që përmbanë dy nyje. Pastaj thirret funksioni appendNode(), për të shtuar një nyje të re në fund të listës së lidhur.

234


Figura 4.12 - Nyja e re shtohet në queue në fund të listës së lidhur. Hapi i parë në këtë proces ia cakton referimin në nyjen e re, pointerit ‘next’ të nyjes ‘front’. Nyja ‘front’ është Node 2 dhe i ndahet pointeri në Node 3 si vlerë e nyjes së ardhshme në listën e lidhur. Kjo e bënë Node3 fund (back) të listës së lidhur. Hapi i dytë ia ndanë referimin në Node2 si vlerë të nyjës së përparshme (previous) në Node3. Kjo do të thotë se programi shikon në vlerën e nyjes së përparshme të Node3 për të ditur se cila nyje vjen para Node3 në listën e lidhur. Hapi i fundit është të caktohet Node3 si vlerë e re e anëtarit ‘back’ të klasës LinkedList. void enqueue(int x) { appendNode(x); }

235

Avni Rexhepi

Dequeue Funksioni dequeue() (largoje nga radha) i klasës QueueLinkedList largon nyjen nga fillimi (front) i queue-s (radhës). Për fat të keq, nuk ka ndonjë funksion në klasën LinkedList i cili largon nyjen nga fundi (back) i listës së lidhur. Prandaj, funksioni dequeue() duhet të kruej punën. Funksioni dequeue() fillon me kontrollimin nëse ka nyje në queue, duke thirrur funksionin isEmpty(). Funksioni isEmpty() kthen vlerën bool-eane ‘true’ nëse queue është i zbrazët, rast në të cilin dequeue() kthen ‘-1’. Nëse është së paku një nyje në queue, kthehet ‘false’. Vërejtje: Në këtë rast, termi “dequeue” përdoret për funksionin për nxjerrjen e elementint nga fillimi i listës. Në fakt, DEQueue është edhe temri që përdoret për versionin e dytë të queue-s, i cili mundëson qasjen nga të dy anët, si për insertim ashtu edhe për nxjerrje dhe rrjedh nga kombinimi: Double Ended Queue = dequeue.

Figura 4.13 paraqet mënyrën e funksionimit të funksionit dequeue(). Vërehet se janë tri nyje në queue, kështu që funksioni isEmpty() kthen vlerën bool-eane ‘false’, duke bërë që programi të largojë nyjen e fillimit ‘front’ nga queue.

Figure 4.13: Node 1 largohet nga ‘back’ i queue, nga funksioni dequeue(). Procesi i largimit fillon me ndarjen e vlerës së nyjes në fillim (front) të queue variablës së quajtur retVal. Vlera e retVal kthehet nga funksioni dequeue(), në urdhërin e fundit të funksionit. 236

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Pastaj, nyjes së fillimit (front) i ndahet referimi në variablën pointer ‘temp’. Operatori ‘delete’ e përdorë variablën ‘temp’ më vonë në funksion, për të larguar nyjen e fundit (back) nga memoria. Në vazhdim, funksioni përcakton nëse ka nyje tjetër në queue duke kontrolluar vlerën e anëtarit ‘next’ të nyjes ‘front’. Nëse vlera e anëtarit ‘next’ është NULL, atëherë nuk ka nyje të tjera në queue. Në këtë rast, anëtarët ‘front’ dhe ‘back’ të klasës LinkedList caktohen në NULL, duke treguar se queue (radha) është e zbrazët. Mirëpo, nëse anëtari ‘next’ i nyjes ‘front’ nuk është NULL, vlera e anëtarit ‘next’ të nyjes ‘front’ i ndahet anëtarit ‘front’ të klasës LinkedList. Në këtë shembull, Node2 është nyja e ardhshme për Node1. Node2 bëhet ‘front’ i ri për queue. Vëreni se anëtari i përparshëm i ‘Node2’ është caktuar në ‘Node1’. Mirëpo, Node1 nuk ekziston më!. Prandaj, anëtari i përparshëm (previuous) duhet të caktohet në NULL, sepse nuk ka nyje të përparshme (previuous). Node2 është fillimi (front) i queue-s (radhës së pritjes). Nyja ‘temp’ pastaj fshihet nga memoria. Rikujtoni se nyja ‘temp’ është pointeri që pointon në Node1, dhe Node1 nuk ekziston më në memories. Urdhëri i fundit kthen vlerën e variablës retVal, e cila është vlera (e dhëna) që ishte ruajtur në Node1. int dequeue() { if(isEmpty()) { return -1; } int retVal = front->data; Node* temp = front; if(front->next == NULL) { back = NULL; front = NULL; } else { front = front->next; front->previous = NULL; } delete temp; return retVal; }

237

Avni Rexhepi Funksioni isEmpty() kontrollon nëse ka nyje në queue dhe ky funksion thirret nga funksioni dequeue(). Funksioni isEmpty() verifikon vlerën e anëtarit ‘front’ të klasës LinkedList. Nëse vlera e ‘front’ është NULL, atëherë queue (radha e pritjes) është e zbrazët, përndryshe, queue ka së paku një nyje. Funksioni isEmpty() kthen ‘true’ nëse vlera e ‘front’ është NULL, përndryshe kthen ‘false’, si është treguar në definicionin vijues të funksionit isEmpty(): bool isEmpty() { if(front == NULL) { return true; } else { return false; } }

Queue-listë e lidhur në C++ Tani që u kuptua se si krijohet queue duke përdorur listën e lidhur, le të përmbledhim të gjitha pjesët për të krjijuar një queue funksional në C++. Programerët e organizojnë aplikacionin në disa fajlla, të cilët përmbajnë pjesë të veçanta të aplikacionit. Në rastin e ‘demo’ queue aplikacionit të ilustruar në vazhdim, janë pesë konponente të veçanta: fajlli drejtues QueueLinkedListeDemo.cpp, header fajlli i cili përmbanë definicionin e klasës së nyjes dhe klasës LinkedList (LinkedList.h), fajlli i cili përmbanë implementimin e funksioneve anëtare të klasës LinkedList (LinkedList.cpp), header fajlli i cipi përmbanë definicionin e klasës QueueLinkedList (QueueLinkedList.h) dhe fajlli i cili përmbanë implementimin e funksioneve anëtare të klasës QueueLinkedList (QueueLinkedList.cpp). Aplikacioni quhet QueueLinkedListDemo dhe përdorë listën e lidhur për të krijuar queue-n, si është paraqitur në kodin vijues. Aplikacioni fillon me deklarimin e isntancës së klasës QueueLinkedList, duke përdorur operatorin ‘new’. Pastaj deklaron pointerin në një instancë të QueueLinkedList. Pointeri është quajtur ‘queue’, të cilit i ndahet referenca në instancën e krijuar nga operatori ‘new’.

238

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Pastaj thirret tri herë funksioni enqueue(). Secilën herë një nyje e re vendoset në queue. Queue i paraqitur në Figurën 4.14 ilustron queue-n pas thirrjes së fundit të funksionit enqueue().

Figura 4.14 - Queue, pas vendosjes së tri vlerave. Pastaj thirret funksioni dequeue(), për të larguar nyjen e parë nga queue dhe për të paraqitur vlerat në ekran. Figura 4.15 paraqet queue-n pas thirrjes së funksionit dequeue().

Figura 4.15 - Queue pas thirrjes së funksionit dequeue() Urdhëri i fundit në program, e largon queue-n nga memoria. Secila komponentë tjetër veç është parë dhe diskutuar në pjesën e përparshme. //QueueLinkedListDemo.cpp #include using namespace std; void main(){ QueueLinkedList* queue = new QueueLinkedList(); queue->enqueue(10); queue->enqueue(20); queue->enqueue(30); cout << queue->dequeue() << endl; delete queue; } //LinkedList.h // Node=Nyje; data=vlera; // previous=ePerparshme; next=eArdhshme struct Node { int data; Node* previous; Node* next; }; class LinkedList

239

Avni Rexhepi { protected: Node* front; Node* back; public: LinkedList(); ~LinkedList(); void appendNode(int); void displayNodes(); void displayNodesReverse(); void destroyList(); }; //LinkedList.cpp #include "LinkedList.h" LinkedList::LinkedList() { front = NULL; back = NULL; } LinkedList::~LinkedList() { destroyList(); } void LinkedList::appendNode(int data) { Node* n = new Node(); n->data=data; if(front == NULL) { back = n; front = n; } else { back->next = n; n->previous = back; back = n; } } void LinkedList::displayNodes() { cout << "Nyjet:"; Node* temp = front; while(temp != NULL) { cout << " " << temp->data;

240

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave temp = temp->next; } } void LinkedList::displayNodesReverse() { cout << "Nyjet ne renditje te kundert:"; Node* temp = back; while(temp != NULL) { cout << " " << temp->data; temp = temp->previous; } } void LinkedList::destroyList() { Node* temp = back; while(temp != NULL) { Node* temp2 = temp; temp = temp->previous; delete temp2; } back = NULL; front = NULL; } //QueueLinkedList.h #include "LinkedList.h" class QueueLinkedList : public LinkedList { public: QueueLinkedList(); virtual ~QueueLinkedList(); void enqueue(int); int dequeue(); bool isEmpty(); }; //QueueLinkedList.cpp #include "QueueLinkedList.h" QueueLinkedList::CQueueLinkedList() { } QueueLinkedList::~CQueueLinkedList() { } void QueueLinkedList::enqueue(int x)

241

Avni Rexhepi { appendNode(x); } int QueueLinkedList::dequeue() { if(isEmpty()) { return -1; } int retVal = front->data; Node* temp = front; if(front->next == NULL) { back = NULL; front = NULL; } else { front = front->next; front->previous = NULL; } delete temp; return retVal; } bool QueueLinkedList::isEmpty() { if(front == NULL) { return true; } else { return false; } }

Funksionet plotësuese për stek dhe queue: Insert, Delete, Peek, Find Sikur në rastin e mësimit të programimit, ku në fillim mësohen vetëm gjërat elementare e pastaj kalohet në programe më komplekse, edhe në rastin e listave të lidhura, pasi u sqaruan funksionet themelore për punë me listat e lidhura, është radha të shohim edhe funksionet plotësuese, të fuqishme, të cilat nevojiten për të ndërtuar aplikacione të kompletuara. Do të shohim funksionet për insertim, nxjerrje, fshirje dhe kërkim të cilat do të mundësojnë përdorimin e stekut dhe queue-s nëpër aplikacione. 242


Klasa e zgjeruar LinkedList Për të rritur efikasitetin e klasës LinkedList dhe për ta bërë më të lehtë për përdorim, do të rrisim funksionalitetin e klasës së definuar më parë. Si është thënë më parë, klasa LinkedList krijon instancë të strukturës ‘Node’ që është definuar në header fajllin LinkedList.h. Struktura ‘Node’ ka tri elemente: të dhënën (vlerën) e ruajtur në nyje, pointerin për në nyjen e ardhshme dhe pointerin për në nyjen e përparshme në listën e lidhur. Klasa LinkedList që u përdor në pjesën e përparshme përmbanë dy anëtarë të të dhënave (dy vlera) dhe gjashtë funksione anëtare. Anëtarët e të dhënave janë referenca (pointerë) për në nyjen që ndodhet në fillim (front) të listës dhe për nyjen që ndodhet në fund (back) të listës së lidhur. Klasa LinkedList ha funksionet të cilat e shtojnë nyjen në listën e lidhur dhe paraqesin të dhënat (vlerat) e nyjeve në renditje natyrale dhe të kundërt, si dhe funksionin për asgjësim të listës së lidhur. Si plotësim, klasa LinkedList ka edhe konstruktorin dhe destruktorin. Kët anëtarë (vlera dhe funksione) janë skeleti i nevojshëm për operim të klasës LinkedList. Tani do të ndërmarrim disa hapa plotësues për të rritur funksionalitetin e klasës LinkedList duke e bërë më të përdorshme dhe më të dobishme për punë me aplikacionet me lista të lidhura. Plotësimi i parë është definimi i anëtarit të ri të të dhënave, të quajtur ‘size’. Anëtari ‘size’ është një numër i plotë (integer) që përfaqëson numrin e nyjeve që ndodhen në listën e lidhur. (Poërdoret indeksi, por ‘size’ përcakton nëse është lista e zbrazët ose nëse është përcjellur indeksi jo valid). Kjo vlerë mund të përdoret sa herë që aplikacioni ka nevojë të dijë madhësinë e listës së lidhur. Pastaj, duhet të definohen funksionet plotësuese, i pari prej të cilave do të jetë funksioni removeNode() (angl. remove node – largo nyjen). Funksioni removeNode() largon nyjen dhe e rilidhë listën e lidhur. Ky funksion është ‘protected’ (i mbrojtur) sepse përdoret vetëm në mënyrë interne (përbrenda). Shfrytëzuesi i kësaj klase nuk do të dinte pointerët në nyjet individuale. Ky është funksion i përshtatshëm për largimin e nyjeve. Një funksion tjetër i dobishëm që do të definohet, është funksioni removeNodeAt(), i cili e largon nyjen që ndodhet në një lokacion të caktuar të listës së lidhur. Radha në të cilën paraqiten nyjet e listës referohet si ‘index order’ (renditja e indeksuar). Pozita e nyjes në listën e lidhur referohet si index-i i nyjes. Indeksi përcillet funksionit removeNodeAt() për të specifikuar nyjen e cila do të largohet nga lista e lidhur. Atëherë funksioni removeNodeAt() e largon nyjen dhe i rivendosë lidhjet në listën e lidhur. Nyja në fillim (front) të 243

Avni Rexhepi listës e ka indeksin 0; pastaj indeksi inkrementohet për një, duke lëvizur përpara kah fundi (back) i listës. Funksioni appendNode() i shton nyjet në fund (back) të listës së lidhur, kështu që kjo mund të imagjinohet si varg dinamik që lëvizë prej fillimit kah fundi. Ndonjëherë mund të mos dihet indeksi i nyjes që dëshirojmë të lagrohet nga lista e lidhur. Në këtë rast, duhet të definohet një funksion tjetër i cili e largon nyjen bazuar në vlerën (të dhënën) e nyjes, jo në indeksin e nyjes. Ky funksion do të quhet deleteNode(). Funksioni deleteNode() dallon nga funksioni removeNodeAt() për nga mënyra se si funksioni e identifikon nyjën që duhet të largohet nga lista e lidhur. Funksioni removeNodeAt() e lokalizon nyjen që duhet larguar duke përdorur vlerën e indeksit të nyjes. Funksioni deleteNode() e lokalizon nyjen që duhet larguar duke përdorur vlerën e të dhënës së nyjes, e cila i përcillet funksionit deleteNode(). Deri më tani, nyjet në listën e lidhur janë qasur në mënyrë sekuenciale. Mirëpo, në disa aplikacione reale, nyjet qasen edhe në mënyrë të rastit. Funksioni i ardhshëm që do të definohet për klasën LinkedList mundëson qasjen në një nyje specifike. Ky funksion do të quhet findNode() dhe përdoret kur dihet e dhëna (vlera) e përmbajtur në nyje por nuk dihet pozicioni i nyjës në listën e lidhur (nuk dihet indeksi). Për të lokalizuar nyjen, funksionit i jepet e dhëna (vlera) e ruajtur në nyje, kurse funksioni findNode() e kthen indeksin e nyjes. Lista origjinale LinkedList është e aftë që të shtojë një nyje të re në listën e lidhur, duke e shtuar atë në fund të listës. Mirëpo, do të ketë situata kur duhet të insertohet një nyje e re diku në mest të listës së lidhur. Për të bërë këtë, duhet të definohet funksioni insertNodeAt() (inserto nyjen në). Funksioni insertNodeAt() do të kërkojë dy parametra. Parametri i parë është indeksi i nyjes që do të lëvizet (zhvendoset) në listën e lidhur, për t’i bërë vend nyjes së re. Ky indeks, bëhet indeksi i nyjes së re. Parametri i dytë është vlera (e dhëna) që do t’i ndahet nyjes së re. Funksioni insertNodeAt() krijon nyjen e re dhe përshtatë referencat (pointerët) në listën e lidhur, për të lidhur nyjen e re me nyjet tjera në listën e lidhur. Një plotësim i rëndësishëm i klasës LinkedList është “nxjerrja” (angl. retrieverigjej, rifitoj) e vlerës (të dhënës) që është e ruajtur në nyjen specifike. Më parë kishim dy funksionet ‘display’ të cilat përdoreshin për të “shtypur” të dhënat në listën e lidhur. Funksioni i ri, që do të quhet peek() (angl. peek-shikoj vjedhurazi, përgjoj). Funksioni peek() kërkon që t’i përcillet indeksi i nyjes që e përmbanë vlerën të cilën dëshironi ta nxirrni (shihni, tërhiqni). Ai pastaj e kthen vlerën (të dhënën) që ndodhet në atë nyje. Plotësimi i fundit që do të bëhet në klasën LinkedList është definimi i funksionit që kthen numrin e nyjeve të listës së lidhur. Ky funksion do të quhet getSize() dhe do të përdoret sa herë që ka nevojë për të ditur madhësinë e listës së lidhur. 244

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Në vijim do të paraqitet header fajlli i ripërpunuar LinkedList.h, i cili përmbanë definicionet e strukturës së nyjes dhe klasës së zgjeruar LinkedList. Vëreni se anëtari ‘size’ dhe funksioni removeNode() janë të vendosur në zonën e qasjes së mbrojtur (protected) të definicionit të klasës. Kjo për arsye se asnjëri nuk përdoret drejtpërdrejt nga aplikacioni. Në vend të kësaj, ata përdoren nga funksionet anëtare të klasës LinkedList dhe nga funksionet anëtare të klasave që e trashëgojnë klasën LinkedList. Të gjitha funksionet janë vendosur në pjesën zonën me qasje publike të definicionit të klasës LinkedList dhe janë në dispozicion për qasje direkte nga aplikacioni. Më vonë do të paraqiten detajet për mënyrën e funksionimit të funksioneve anëtare. //LinkedList.h // Node=Nyje; data=vlera; // previous=ePerparshme; next=eArdhshme struct Node { int data; Node* previous; Node* next; }; class LinkedList { protected: Node* front; Node* back; int size; void removeNode(Node* node); public: LinkedList(); virtual ~LinkedList(); void appendNode(int); void displayNodes(); void displayNodesReverse(); void destroyList(); void removeNodeAt(int); int findNode(int); void deleteNode(int); void insertNodeAt(int,int); int peek(int); int getSize(); };

245

Avni Rexhepi

Funksionet removeNode(), removeNodeAt(), dhe deleteNode() Largimi i nyjes nga lista e lidhur është operacion i ndërlikuar. Së pari duhet të “zgjidhet” nyja (të largohen lidhjet e nyjes) nga lista e lidhur. Mirëpo, duke bërë këtë, prishen lidhjet, sepse më nuk ka asgjë që e lidhë nyjen e përparshme (previuos) dhe nyjen e ardhshme (next), sepse nyja që largohet ishte lidhja ndërmjet tyre. Kjo do të thotë që, pas largimit të nyjes, duhet të lidhen mes veti nyja e përparshme dhe nyja e ardshme, e nyjes që largohet. Klasa LinkedList mund të zgjerohet për të përmbajtur tri funksione të cilat e largojnë nyjen nga lista e lidhur dhe pastaj i lidhin mes veti nyjen e përparshme dhe nyjen e ardhshme të saj. Këto funksione janë: removeNode(), removeNodeAt() dhe deleteNode(). Funksionit removeNode() i përcillet referenca (pointeri) për në nyjen që duhet larguar nga lista e lidhur dhe thirret nga funksioni removeNodeAt() dhe funksioni deleteNode(). Funksioni removeNode() nuk mund të thirret direkt nga aplikacioni sepse është anëtarë i mbrojtur i klasës. Funksioni removeNodeAt() e përdorë indeksin e nyjes për të lokalizuar nyjen që duhet të largohet. Kur të gjindet nyja, referenca e saj (pointeri në të) i përcillet funksionit removeNode(). Ngjashëm, funksioni deleteNode() e përdorë vlerën e nyjes për të lokalizuar nyjen. Kur të gjindet nyja, funksioni deleteNode() e nxjerrë referencën e nyjes (pointerin), i cili pastaj i përcillet funksionit removeNode(). Për shembujt në këtë pjesë, do të përdoret lista e lidhur e paraqitur në figurën 4.16, e cila ka pesë nyje: NodeA deri në NodeE, repsektivisht. Secila nyje e mbanë pozitën në listën e lidhur dhe secila pozitë identifikohet nga një indeks. Vlerat e indeksave fillojnë prej zeros dhe janë paraqitur përmbi emrin e secilës nyje (në figurën 4.16).

Figura 4.16 - Lista e lidhur që përmbanë pesë nyje, ku secila nyje identifikohet përmes indeksit. Fillojmë me definimin e funksionit removeNode(), i cili është ilustruar në kodin 246

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave vijues. Referenca për në nyjen që do të largohet (pointeri) i përcillet funksionit removeNode(). Funksioni removeNode() duhet të vendosë se cili prej katër proceseve duhet të përdoret për të larguar nyjen. Procesi i parë që duhet të përcaktohet (kontrollohet, verifikohet) nga funksioni removeNode() është nëse nyja është e vetmja nyje në listën e lidhur. Ky e bën këtë përcaktim duke vlerësuar nëse nyjet: e përparshme (previous) dhe e ardhshme (next) janë NULL. Nëse janë, nyja që fshihet është e vetmja nyje në listë. Nyja pastaj largohet duke ia ndarë vlerën NULL anëtarëve ‘front’ dhe ‘back’ të klasës LinkedList. Si ju kujtohet, funksionet që i “nxjerrin” të dhënat nga lista e lidhur gjithmonë verifikojnë anëtarët ‘front’ dhe ‘back’ për të përcaktuar nëse janë të dy NULL. Nësë po, atëherë funksioni e di se lista e lidhur nuk ka asnjë nyje. Nëse nyja nuk është e vetmja nyje në listën e lidhur, funksioni removeNode() duhet të verifikojë pastaj nëse nyja që largohet është në fillim (front) të listës së lidhur. Ai e kontrollon këtë duke verifikuar anëtarin e përparshëm (previuous) të nyjes. Nëse nyja ndodhet në fillim (front) të listës së lidhur, atëherë anëtari ‘previuous’ është NULL dhe funksioni removeNode() i ndërmerr hapat vijues për të larguar nyjen: 1. Nyja në të cilën pointohet nga anëtari anëtari ‘next’ i nyjes së fshirë (larguar), i ndahet anëtarit ‘front’ të listës së lidhur. Kjo e bënë atë ‘front’ (fillim) të listës së lidhur. 2. Anëtarit ‘previous’ të nyjes që tani është në fillim (front) të listës së lidhur i caktohet vlera NULL, për të treguar se nuk ka nyje të përparshme, sepse është larguar nyja e përparshme e saj. Kjo bëhet si në vijim. Mund të duket pak konfuze, por është e lehtë të kuptohet nëse e ndani këtë urdhër: node->next->previous = NULL;

3. Le të themi se largohet NodeD. Nyja e ardhshme për të është NodeE. Tani, zëvendësoni emrat për termat në këtë shprehjeje: NodeD->NodeE->previous = NULL;

Është e qartë se anëtari ‘previous’ i përket nyjes NodeE. Në procesin e tretë, funksioni removeNode() e kontrollon (përcakton) nëse nyja që largohet është në fund (back) të listës së lidhur. Këtë e bënë duke krahasuar vlerën e anëtarit ‘next’ (të ardhshëm) me NULL. Nëse anëtari ‘next’ është NULL, atëherë nyja që largohet është nyja e fundit në listën e lidhur. 247

Avni Rexhepi Vlera e anëtarit ‘previuous’ (e përparshme) të nyjes pastaj i ndahet anëtarit ‘back’ të klasës LinkedList. Kjo e lëvizë nyjen e përparshme në fund të listës dhe në fakt (si rezultat) e largon nyjen që i përcillet funksionit removeNode(), nga lista e lidhur. Vlera e anëtarit ‘next’ të nyjes së përparshme pastaj caktohet në NULL, për të treguar se nuk ka nyje tjetër pas saj sepse ajo është në fund (back) të listës. Urdhëri që e kruen këtë operacion mund të duket konfuz, por duke zëvendësuar referencat (pointerët) në nyje dhe ‘previuos’ me numrin e nyjes, duhet të jetë e qartë se çka ndodhë. Urdhëri është: node->previous->next = NULL;

Le të themi se largohet nyja NodeC. Nyje e përparshme (previuous) është NodeB. Tani zëvendësoni emrat për termat në këtë urdhër: NodeC->NodeB->next = NULL;

Nëse nyja që fshihet nuk është nyja e vetme në listën e lidhur dhe nuk është nyja në fillim ose në fund të listës së lidhur, atëherë mundësia e vetmë është që nyja ndodhet diku tjetër përbrenda listës. Procesi i katërt është largimi i nyjes në mes të listës së lidhur dhe pastaj lidhja e nyjes së përparshme dhe të ardhsme të saj. Edhe kjo ilustrohet më mirë përmes shembullit. Le të themi se do të largohet NodeC. Nyje e përparshme është NodeB dhe nyje e ardhshme është NodeD. Së pari, lidhet nyja NodeB me NodeD, duke përdorur urdhërin vijues: node->previous->next = node->next;

Zëvendësoni ‘node’, ‘previuos’ dhe ‘next’ me emrat e nyjeve aktuale, për të kuptuar më mirë veprimin: NodeC->NodeB->next = NodeC->NodeD;

Tani që NodeB është lidhur me NodeD, duhet të lidhet edhe NodeD me NodeB: node->next->previous = node->previous;

Përsëri, zëvendësoni emrat e nyjeve: NodeC->NodeD->previous = NodeC->NodeB;

Të dyja, NodeB dhe NodeD tani janë të lidhura mes tyre dhe NodeC është larguar nga lista e lidhur. Edhe pse nyja e përcjellur në funksionin removeNode() nuk është më në listën e lidhur, ajo akoma mbetet në memorie. Prandaj, ajo duhet të largohet nga memoria duke thirrur operatorin ‘delete’. 248

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Hapi i fundit është që të përshtatet vlera e anëtarit ‘size’ (madhësia) e klasës LinkedList, për të reflektuar një nyje më pak në listën e lidhur. Kjo do të bëhet përmes dekrementimit të vlerës ‘size’. Figura 4.17 paraqet listën e lidhur pas ekzekutimit të funksionit removeNode(). Vëreni se NodeC nuk është më në listën e lidhur dhe vlerat e indeksave janë përshtatur për të reflektuar numrin e ri të nyjeve në listën e lidhur.

Figura 4.17: Lista e lidhur pas largimit të NodeC

void removeNode(Node* node) { if(node->previous == NULL && node->next == NULL) { back = NULL; front = NULL; } else if(node->previous == NULL) { front = node->next; node->next->previous = NULL; } else if(node->next == NULL) { back = node->previous; node->previous->next = NULL; } else { node->previous->next = node->next; node->next->previous = node->previous; } delete node; size--; }

249

Avni Rexhepi

Funksioni removeNodeAt() Funksioni removeNodeAt() largon nyjen duke përdorur indeksin e nyjes (e jo pointerin për në nyje, në memorie). Mbani mend, indeksi është pozita e nyjes në listën e lidhur. Le të themi se dëshironi të largoni nyjen e tretë në listën e lidhur. Atëherë, thjeshtë ia përcillni indeksin 2 funksionit removeNodeAt() dhe removeNode() e kryen operacionin në mënyrë interne. Nuk mund ta thirrni direkt funksionin removeNode(), pjesërisht për arsye se është i mbrojtur, por edhe për arsye se jashtë kësaj klase ju nuk keni njohuri për vlerat aktuale të pointerëve. Pasi që indeksat fillojnë prej zeros, ju nuk keni nevojë të dini pointerin aktual në nyje të cilën dëshironi ta largoni. Kjo është ilustruar në kodin vijues. Hapi i parë në funksionin removeNodeAt() është të kontrollojë nëse indeksi është valid. Për të bërë këtë, funksioni removeNodeAt() kontrollon nëse indeksi është më i vogël se zero ose më i madh se madhësia e listës minus një. Ai e përdorë vlerën e anëtarit ‘size’ të klasës LinkedList për të përcaktuar madhësinë e listës së lidhur. Nëse ndonjëri prej kushteve është ‘true’, atëherë indeksi është jo valid dhe nuk tentohet të fshihet nyja. Mirëpo, nëse të dy kushtet janë ‘false’, atëherë funksioni removeNodeAt() fillon procesin e largimit të nyjes prej listës. Ky proces i ka dy hapa. Së pari, indeksi lokalizon referencën (pointerin) për në nyjen korresponduese dhe së dyti, thirret funksioni removeNode() dhe i përcillet refernca (pointeri). Funksioni removeNodeAt() fillon kërkimin për referencën (pointerin) në nyje duke deklaruar pointerin e përkohshëm për në nyje, të quajtur temp_node dhe duke ia ndarë atij referencën (pointerin) për në nyjen në fillim (front) të listës së lidhur. Pastaj, unaza ‘for’ kalon nëpër secilën nyje në listën e lidhur deri sa të gjindet nyja e reprezentuar nga indeksi. Gjatë secilës përsëritje (iteracion), pointerit temp_node i ndahet nyja e pointuar nga anëtari ‘next’ i ‘temp_node’ aktual. Kur të arrihet indeksi, vlera e temp_node është referencë (pointer) për në nyjen e cila i përgjigjet (korrespondon) indeksit që i përcjellet funksionit removeNodeAt(). Thirret funksioni removeNode() dhe i përcillet ‘temp_node’. void removeNodeAt(int index) { if(index < 0 || index > size-1) { return; }

250

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Node* temp_node = front; for(int i=0; inext; } removeNode(temp_node); }

Funksioni deleteNode() Funksioni deleteNode() përdorë vlerën e ruajtur në nyje për të gjetur dhe larguar nyjen gjegjëse prej listës së lidhur. Funksioni deleteNode() pastaj kërkon listën e lidhur për të lokalizuar dhe larguar nyjen. Procesi funksionon si në vijim. Së pari, deklarohet nyja e përkohshme e quajtur temp_node dhe i ndahet referenca (pointeri) për në nyjen që ndodhet në fillim (front) të listës së lidhur. Nëse temp_node nuk është NULL, atëherë lista nuk është e zbrazët dhe funksioni përcakton (kontrollon) nëse vlera (e dhëna në të) përshtatet me vlerën (të dhënën) e nyjes aktuale. Nëse po, atëherë temp_node i përcillet funksionit removeNode() dhe funksioni përfundon. Nëse të dhënat (vlerat) nuk përshtaten, atëherë nyja e ardhshme (next) i ndahet asaj temp_node dhe procesi vazhdon deri sa të gjindet nyja që përmbanë vlerën ose funksioni deleteNode() arrin fundin e listës së lidhur (dmth vlera nuk gjindet). void deleteNode(int data) { Node* temp_node = front; while(temp_node != NULL) { if(temp_node->data == data) { removeNode(temp_node); return; } else { temp_node = temp_node->next; } } }

251

Avni Rexhepi

Funksioni findNode() Nëse duhet të qaset një nyje e veçantë në listën e lidhur, por ju nuk e dini referencën (pointerin) për në atë nyje e as pozitën e nyjës në listën e lidhur, mirëpo e dini vlerën (të dhënën) që ruhet në nyje, atëherë nyja mund të lokalizohet duke thirrur funksionin findNode() (angl. find-gjej). Funksioni findNode() kërkon që t’ia përcjellni vlerën e ruajtur në nyje. Ai pastaj e përdor vlerën (të dhënën) për të lokalizuar nyjen dhe kthen indeksin e nyjes, siç paraqitet në shembullin vijues. Procesi i gjetjes së nyjes fillon kur deklarohet një variabël e indeksit të cilës në fund do t’i ndahet indeksi i nyjes, nëse ajo gjindet. Deklarohet gjithasthtu edhe nyja e përkohshme dhe i ndahet referenca (pointeri) për në nyjen në fillim (front) të listës së lidhur. Gjersa temp_node nuk është NULL, funksioni findNode() iteron (kalon me përseritje, në unazë) nëpër listën e lidhur. Me secilin iteracion (përsëritje) vlera e nyjes aktual krahasohet me vlerën e përcjellur si argument në funksionin findNode(). Nëse të dyja janë të barabarta, atëherë kthehet vlera aktuale e indeksit, që është indeksi i nyjes. Nëse nuk janë të barabartë, atëherë vlera e anëtarit të ardhshëm të nyjes aktuale i ndahet asaj temp_node dhe inkrementohet indeksi. Nëse vlera (e dhëna) nuk është gjetur në listën e lidhur, kthehet ‘-1’, sepse vlera ‘-1’ nuk mund të jetë asnjëherë vlerë e kthyer valide (e vlefshme). int findNode(int data) { int index = 0; Node* temp_node = front; while(temp_node != NULL) { if(temp_node->data == data) { return index; } else { temp_node = temp_node->next; index++; } } return -1; }

252


Funksioni insertNodeAt() Funksioni insertNodeAt() inserton një nyje të re në lokacionin e caktuar të listës së lidhur. Dihet se secila pozitë në listën e lidhur identifikohet përmes indeksit dhe lokacioni i parë ka vlerën e indeksit 0, i dyti 1, e kështu me radhë. Për të specifikuar lokacionin ku dëshironi të vendosni (insertoni, shtoni) nyjen e re në listën e lidhur, përdoret indeksi. Funksioni insertNodeAt() kërkon dy argumente: lokacionin ku do të insertohet nyja në listën e lidhur dhe vlera (e dhëna) që do të ruhet në atë nyje. Shembulli në vijim paraqet mënyrën e vendosjes së nyjes në listën e lidhur. Hapi i aprë është që funksioni insertNodeAt() të kontrollojë nëse indeksi i përcjellur në funksion është valid. Ai e bënë këtë duke kontrolluar nëse indeksi është më i vogël se zero ose më i madh se madhësia e listës (kjo informatë gjindet në anëtarin ‘size’ të klasës LinkedList). Nëse indeksi është invalid, atëherë funksioni insertNodeAt() ndërprehet dhe kthen përgjigjen në urdhërin që e ka thirrur. Ka një ndryshim të vogël në rastin e kontrollimit të indeksave, në krahasim me funksionin removeNodeAt(). Nëse indeksi do të ishte i barabartë me ‘size’, kjo do të bënte që nyja të shtohet në listën e lidhur. I bie që indeksi është për 1 jashtë kufijve të indeksave të vargut, por kjo është në rregull, sepse në fakt në këtë rast do të shtohet një nyje e re në fund të listës së lidhur, ndërsa funksioni removeNodeAt() kërkonte indeks valid në rangun nga 0 deri në ‘size1’, që është nyja e fundit në listën e lidhur. Kur funksioni insertNodeAt() e verifikon se indeksi është valid, ai vazhdon me krijimin e nyjes së re dhe e inserton nyjën në listën e lidhur. Ky proces fillon me krijimin në instance të strukturës së nyjes (node) dhe duke i ndarë asaj vlerën e përcjellur në funksion si argument. Kjo instancë pastaj i ndahet pointerit new_node (nyja e re). Pastaj, duhet të verifikohet a ka ndonjë nyje në listën e lidhur. Kjo bëhet duke kontrolluar vlerën e anëtarit ‘size’ të klasës LinkedList. Nëse vlera është zero, atëherë lista e lidhur është e zbrazët dhe nyja e re do të bëhet nyja e parë (e vetme) në listë. Nyja e re vendoset në listë duke ia ndarë pointerin new_node të dy anëtarëve, ‘front’ dhe ‘back’, të klasës LinkedList. Anëtarët ‘previous’ dhe ‘next’ të nyjes veq janë caktuar në NULL (si vlerë e nënkuptuar, default) ashtu që nuk duhet bërë asgjë në nyjen e re. front = new_node; back = new_node;

253

Avni Rexhepi Nëse lista e lidhur ka një ose më shumë nyje, atëherë funksioni insertNodeAt() kontrollon nëse nyja e re duhet të insertohet në pozitën e parë në listë, duke vlerësuar vlerën e indeksit të përcjellur në funksion. Nëse vlera e indeksit është zero, atëherë nyja e re do të bëhet nyje e parë në listën e lidhur. Kjo bëhet si në vijim. Nyja e re (new_node) i ndahet anëtarit ‘previous’ (të përparshëm) të nyjes së ndarë anëtarit ‘front; të klasës LinkedList. Pastaj, anëtarit ‘next’ të new_node (nyjës së re) i ndahet nyja e ndarë anëtarit ‘front’ të klasës LinkedList. Në fund, anëtarit ‘front’ i ndahet new_node. front->previous = new_node; new_node->next = front; front = new_node;

Nëse nyja e re nuk do të bëhet nyje e parë e listës së lidhur, atëherë funksioni insertNodeAt() vendosë nëse nyja do të bëhet nyje e fundit e listës së lidhur, duke krahasuar indeksin me madhësinë (anëtarin ‘size’) e klasës LinkedList. Nëse këto dy vlera janë të barabarta, atëherë nyja e re vendoset në fund të listës së lidhur. Rikujtojmë se indeksi 0 është fillimi i listës (front) dhe indeksi (size-1) është fundi i listës (back). Kjo bëhet si në vijim. ‘new_node’ i ndahet anëtarit ‘next’ të nyjes që aktualisht ndodhet në fund të listës, ‘back’. Pastaj, nyja në fund, ‘back’, i ndahet anëtarit ‘previous’ (të përparshëm) të nyjes së re. Në fund, nyja e re (new_node) i ndahet anëtarit ‘back’ të klasës LinkedList. back->next = new_node; new_node->previous = back; back = new_node;

Në këtë pikë, nëse nyja e re nuk është insertuar as në fillim (front) e as në fund (back) të listës së lidhur, atëherë funksioni insertNodeAt() supozon se nyja e re do të insertohet diku në pjesën ndërmjet, të listës së lidhur. Ky proces fillon me deklarimin e pointerit të quajtur ‘temp’ dhe në fillim duke i ndarë atij nyjen në fillim (front) të listës së lidhur. Pastaj, funksioni e gjenë nyjen në indeksin e dhënë. Kjo nyje zhvendoset (lëvizet) djathtas (për të krijuar vendin për nyjen e re). sidoqoftë, nuk caktoeht në ‘previous’, caktohet në poiztën e indeksit dhe nyja në atë pozitë lëvizet djathtas. Kjo bëhet duke përdoru unazën ‘for’. Për secilin iteracion, nyja e ndarë anëtarit ‘next’ të nyjes ‘temp’ i ndahet nyjes ‘temp’. Kjo tingëllon çuditshëm, por do të jetë e qartë kur të shiqohet se çka po ndodhë. Le të themi se janë pesë nyje në listën e lidhur, si është paraqitur në figurën 4.16. Nyja e fillimt (front) është NodeA dhe vlera filestare e ‘temp’ është NodeA. Le të themi se dëshironi të insertoni nyjen e re NodeN në pozitën me indeks 2. 254

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Para iteracionit të parë, front=NodeE. Gjatë iteracionit të parë, ja se çka ndodhë: temp = temp->next temp = NodeA->NodeB temp = NodeB

Pas iteracionit të parë, temp-it i është ndarë NodeB dhe vlera e ‘i’-së është 1, që është më pak sesa vlera e indeksit (2), kështu që ekzekutohet edhe një iteracion. Ja se çka ndodhë: temp = temp->next temp = NodeB->NodeC temp = NodeC

Tani pointeri ‘temp’ pointon në NodeC dhe vlera e ‘i’-së është 2, që është e barabartë me vlerën e indeksit, kështu që nuk ka më iteracione plotësues dhe pointeri ‘temp’ pointon në NodeC. Tani që jemi në lokacionin e dëshiruar në listën e lidhur, është koha që të shkëmbehen pointerët përreth, për të insertuar nyjen e re në listë. Ja si bëhet kjo: new_node->next = temp; new_node->previous = temp->previous; temp->previous->next = new_node; temp->previous = new_node;

Për sqarim më të lehtë, le të ndërrojmë nyjet për pointerët: new_node->next = NodeC; new_node->previous = NodeC->NodeB; NodeC->NodeB->next = new_node; NodeC->previous = new_node;

Figura 4.18 paraqet listën e lidhur pas insertimit të nyjes së re NodeN, në pozitën me indeksin 2 në listë.

Figura 4.18: Nyja e re e quajtur NodeN është vendosur në pozitën me indeks 2 në listën e lidhur.

255

Avni Rexhepi Hapi i fundit është që të inkrementohet anëtari ‘size’ (madhësia) e klasës LinkedList, për të reflektuar nyjën e re. Definicioni i plotë i funksionit insertNodeAt(), është: void insertNodeAt(int index, int data) { if(index < 0 || index > size) { return; } Node* new_node = new Node(); new_node->data=data; if(size == 0) { front = new_node; back = new_node; } else if(index == 0) { front->previous = new_node; new_node->next = front; front = new_node; } else if(index == size) { back->next = new_node; new_node->previous = back; back = new_node; } else { Node* temp = front; for(int i=0; inext; } new_node->next = temp; new_node->previous = temp->previous; temp->previous->next = new_node; temp->previous = new_node; } size++; }

256


Funksioni peek() Funksioni peek() ‘nxjerrë’ (lexon, tërheqë) vlerën e ruajtur në nyjen e specifikuar përmes indeksit që i përcillet funksionit peek(). Funksioni peek() e kërkon një argument, i cili është indeksi i pozitës në listën e lidhur i cili përmbanë vlerën (të dhënën) që duhet nxjerrur. Në shembullin vijues do të ruhet dhe pastaj do të “lexohet” një vlerë e tipi integer, por mund të ruhet dhe “lexohet” çfarëdo tipi i të dhënave, vetëm duke e ndryshuar tipin e të dhënave në definicionin e nyjës. Le të shohim si punon funksioni peek(). Ai fillon me vlerësimin e indeksit duke përdorur procedurën e njëjtë të vlerësimit sikur ajo e diskutuar në funksionin removeNodeAt(), me ndryshimin që funksioni peek() i verifikon vlerat brenda rangut. Nëse indeksi është jovalid, atëherë funksioni kthen zero. Nëse indeksi është valid, atëherë në fillim deklarohet pointeri i emërtuar ‘temp’ dhe i ndahet nyja e cila ndodhet në fillim (front) të listës së lidhur. Funksioni peek() pastaj vazhdon të lëvizë nëpër listën e lidhur deri sa të arrinë tek nyja në të cilën jemi të interesuar. Ky proces është i njëjtë me atë në funksionin insertNodeAt(). Kur funksioni peek() del prej unazës ‘for’, pointeri ‘temp’ pointon në nyjen e cila ka vlerën (të dhënën) që e kthen funksioni peek(). Pastaj pointoni në vlerën e nyjes në urdhërin return, për të kthyer vlerën (të dhënën) tek urdhëri i cili e ka thirrur funksionin peek(). Definicioni i plotë i funksionit peek() është si vijon: int peek(int index) { if(index < 0 || index > size-1) { return 0; } Node* temp = front; for(int i=0; inext; } return temp->data; }

257

Avni Rexhepi

Funksioni getSize() Funksioni getSize() e merr vlerën e anëtarit ‘size’ të klasës LinkedList. Do të vëreni se ky funksion ka vetëm një urdhër, i cili thjeshtë e kthen vlerën e anëtarit ‘size’. Shtrohet pyetja, atëherë përse duhet funksioni getSize(), pasi që do të kishte mundësi që anëtari ‘size’ të ketë qasje publike, duke u vendosur në pjesën publike ët klasës dhe do të lexohej direkt nga aplikacioni! Kjo për arsye se anëtarët e klasës duhet të kenë qasje vetëm nga funksionet anëtare përbrenda klasës ose nga klasët e derivuara (trashëguese). Në këtë mënyrë, ju gjithmonë kontrolloni qasjen në të dhëna dhe i mbroni ato edhe nga ndryshimet e paqëllimshme. Lejimi i ndryshimit nga jashtë, nga shfrytëzuesit e klasës, do të mund të dërgonte në gabime. int getSize() { return size; }

Klasa e zgjeruar LinkedList Pasi u pa se si funksionojnë zgjerimet individuale të klasës LinkedList, ta shohim në vazhdim aplikacionin në tërësi. Aplikacioni është ndarë në tre fajlla: demo.cpp, LinkedList.h dhe LinkedList.cpp. të tre fajllat janë paraqitur në kodin në vijim. Fajllat LinkedList.h dhe LinkedList.cpp mund të përdoren me fajlla specifik për stek dhe queue, që janë parë më herët. Fajlli demo.cpp përmbanë aplikacionin në C++ i cili përdorë klasën e zgjeruar (plotësuar) LinkedList, për të krijuar dhe manipuluar listën e lidhur. Fajlli LinkedList.h përmbanë definicionet e nyjes dhe klasës LinkedList. Fajlli LinkedList.cpp përmbanë definicionet e funksioneve anëtare të klasës LinkedList. Në fajllin demo.cpp zhvillohet “aksioni”. Aplikacioni fillon me deklarimin e instancës së klasës LinkedList dhe pastaj ndarjen e instancës pointerit të quajtur ‘list’. Pastaj, thirret pesë herë funksioni appendNode(), i cili është funksion origjinal i klasës LinkedList dhe shton nyje të re në listën e lidhur. Lista e lidhur e krijuar pas thirrjes së fundit të funksionit appendNode() duket si ajo në krye të figurës 4.19

258


Figura 4.19 - Në krye ndodhet lista e lidhur para se të largohet nyja. Në mes ëshët lista pas thirrjes së funksionit removeNodeAt(3). Në fund, lista pas thirrjes së funksionit deleteNode(20). Kur të jetë krijuar lista e lidhur, aplikacioni thërret funksionin removeNodeAt(3) për të larguar nyjen e lokalizuar në indeksin 3. Pastaj, aplikacioni e thërret funksionin findNode(20), për të lokalizuar indeksin e nyjës që përmbanë vlerën 20 (e dhëna e saj, është 20). Bazuar në listën e paraqitur në figurën 4.19, funksioni findNode(20) kthen vlerën e indeksit 1. Pastaj thirret funksioni deleteNode(20) thirret dhe largon nga lista e lidhur nyjën e cila ka vlerën 20, si element i të dhënës së saj. Lista e lidhur e paraqitur në fund të figurës 4.19 ilustron gjendjen pas thirrjes së funksionit deleteNode(20). Pastaj, në listën e lidhur insertohet një nyje e re, duke thirrut funksionin insertNodeAt(1,35). Ky funksion inserton një nyje të re në indeksin 1 në listën e lidhur dhe ia ndanë vlerën 35. Figura 4.20 paraqet listën e lidhur pas thirrjes së funksionit insertNodeAt(1,35). Në vazhdim, thirret funksioni peek(3) për të nxjerrë (lexuar, shikuar) vlewrn e nyjës në pozitën me indeks 3, në listën e lidhur. Bazuar në listën e paraqitur në figurën 4.20, funksioni peek(3) do të kthejë ‘50’ si vlerë (e dhënë) e nyjës në pozitën me indeks 3. 259

Avni Rexhepi

Figura 4.20 - Lista e lidhur pas thirrjes së insertNodeAt(1). Funksioni i fundit që thirret është funksioni getSize(), i cili kthen madhësinë e listës së lidhur. Si shihet në fig. 4.20, lista e lidhur ka katër nyje, prandaj funksioni getSize() kthen vlerën 4. Urdhëri i fundit në aplikacionin ‘demo’ përdorë operatorin ‘delete’ për të larguar instancën e klasës LinkedList nga memoria. //demo.cpp #include using namespace std; //LinkedList.h // Node=Nyje; data=vlera; // previous=ePerparshme; next=eArdhshme struct Node { int data; Node* previous; Node* next; }; class LinkedList { protected: Node* front; Node* back; int size; void removeNode(Node* node); public: LinkedList(); virtual ~LinkedList(); void appendNode(int); void displayNodes(); void displayNodesReverse(); void destroyList(); void removeNodeAt(int); int findNode(int); void deleteNode(int); void insertNodeAt(int,int);

260

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave int peek(int); int getSize(); }; //LinkedList.cpp //#include "LinkedList.h" (Nese i bartim ne header fajll te veçant) LinkedList::LinkedList() { front = NULL; back = NULL; size = 0; } LinkedList::~LinkedList() { destroyList(); } void LinkedList::appendNode(int data) { Node* n = new Node(); n->data=data; if(back == NULL) { back = n; front = n; } else { back->next = n; n->previous = back; back = n; } size++; } void LinkedList::displayNodes() { cout << "Elementet: "; Node* temp = front; while(temp != NULL) { cout << temp->data << " "; temp = temp->next; } cout << endl; }

261

Avni Rexhepi void LinkedList::displayNodesReverse() { cout << "Elementet: "; Node* temp = back; while(temp != NULL) { cout << temp->data << " "; temp = temp->previous; } cout << endl; } void LinkedList::destroyList() { Node* temp = back; while(temp != NULL) { Node* temp2 = temp; temp = temp->previous; delete temp2; } back = NULL; front = NULL; } void LinkedList::removeNode(Node* node) { if(node->previous == NULL && node->next == NULL) { back = NULL; front = NULL; } else if(node->previous == NULL) { front = node->next; node->next->previous = NULL; } else if(node->next == NULL) { back = node->previous; node->previous->next = NULL; } else { node->previous->next = node->next; node->next->previous = node->previous;

262

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave } delete node; size--; } void LinkedList::removeNodeAt(int index) { if(index < 0 || index > size-1) { return; } Node* temp_node = front; for(int i=0; inext; } removeNode(temp_node); } int LinkedList::findNode(int data) { int index = 0; Node* temp_node = front; while(temp_node != NULL) { if(temp_node->data == data) { // kthe indeksin e nyjes return index; } else { temp_node = temp_node->next; index++; } } return -1; } void LinkedList::deleteNode(int data) { Node* temp_node = front;

263

Avni Rexhepi while(temp_node != NULL) { if(temp_node->data == data) { removeNode(temp_node); return; } else { temp_node = temp_node->next; } } } void LinkedList::insertNodeAt(int index, int data) { if(index < 0 || index > size) { return; } Node* new_node = new Node(); new_node->data=data; if(size == 0) { front = new_node; back = new_node; } else if(index == 0) { front->previous = new_node; new_node->next = front; front = new_node; } else if(index == size) { back->next = new_node; new_node->previous = back; back = new_node; } else { Node* temp = front; for(int i=0; inext; }

264

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave new_node->next = temp; new_node->previous = temp->previous; temp->previous->next = new_node; temp->previous = new_node; } size++; } int LinkedList::peek(int index) { if(index < 0 || index > size-1) { return 0; } Node* temp = front; for(int i=0; inext; } return temp->data; } int LinkedList::getSize() { return size; } //Programi kryesor int main() { LinkedList* list = new LinkedList(); list->appendNode(10); list->appendNode(20); list->appendNode(30); list->appendNode(40); list->appendNode(50); list->displayNodes(); list->removeNodeAt(3); list->displayNodes(); list->displayNodesReverse(); int index = list->findNode(20); list->deleteNode(20); list->insertNodeAt(1, 35); list->displayNodes();

265

Avni Rexhepi int data = list->peek(3); cout<<"Vlera momentale: "<getSize(); cout<<"Madhesia e listes: "<
Listat kundrejt vargjeve Vargjet janë më të mira në qasjen e indeksuar, gjersa listat kanë fuqinë e tyre në manipulimet e sekuencave në pozita arbitrare. Të dy qasjet realizojnë operacionet e duhura për stek dhe queue në mënyrë efikase. Mirëpo, vargjet janë më efikase në aspekt të keshit (angl. cash), ndërsa listat ofrojnë garanca për performansën “e rastit më të keq”. Lista e lidhur njëfish mund të garojë me listën e lidhur dyfish në shumicën e aspekteve. Avantazhi i vetëm i vargjeve ciklike ndaj vargjeve të pakufizuara është se ato mund të implementojnë operacionet pushFront dhe popFront në mënyrë efikase. Efikasiteti hapsinor është poashtu çështje jotriviale. Lista e lidhura janë shumë kompakte, nëse elementet janë shumë më të mëdhaja sesa pointerët. Për tipe të elementeve të vogla, vargjet janë zakonisht më kompakte, sepse nuk ka mbingarkim për pointerët. Kjo është sigurisht e vërtetë nëse madhësitë e vargjeve janë të njohura paraprakisht ashtu që të mund të përdoren vargjet e kufizuara. Vargjet e pakufizuara, kanë një “pazar" ndërmjet efikasitetit hapësinor dhe kopjimit të mbingarkimit gjatë realokimit.

Radha me prioritet - Priority queue ADT Në praktikë shpesh kemi të bëjmë me prioritete. Për shembull, në listën e obligimeve ditore, secila detyrë ka një rëndësi (peshë) të caktuar. Është më me rëndësi të dërgohet në servis vetura që ka nevojë për riparim, sesa të shikohet një film i ri. Përveq shembujve nga jeta e përditshme, edhe detyrat e ndryshme në kompjuter, punojnë sipas prioritetit. Një shembull i përmendur shpesh është algoritmi i Dijkstra-s për shtegun më të shkurtër (Dijkstra’s Shortest Path Algorithm). ADT e radhës së pritjes na mundëson të punojmë ne objektet të cilat kanë të shoqëruar një prioritet të caktuar. Në aplikacione kemi çiftin (priority, item) (angl. priority-përparësia, prioritet; angl. item-send, artikull, element), ku elementi është një e dhënë ndihmëse me 266

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave të cilën është shoqëruar prioriteti. Për të ruajtur thjeshtësinë, lëmë anash prioritetet dhe marrim në konsiderim që për elementet e1, e2: e1 < e2 do të thotë që e1 ka prioritet më të lartë se e2.

Operacionet 

PriorityQueue create() krijon radhën e zbrazët të prioritetit



boolean isEmpty(PriorityQueue pq) tregon nëse radha e prioritetit pq është e zbrazët



insert(PriorityQueue pq, Item e) inserton elementin e në radhën e prioritetit pq



Item minimum(PriorityQueue pq) tregon elementin minimal në radhën e prioritetit pq Parakusht: pq nuk është zbrazët



removeMin(PriorityQueue pq) largon elementin minimumal nga radha e prioritetit pq Parakusht: pq nuk është zbrazët



destroy(PriorityQueue pq) asgjëson radhën e prioritetit pq

Radha e pritjes implementohet tek pirgu binar (binary heap).

267

Avni Rexhepi

5. Rekursioni Rekursion është teknikë e ndarjes së problemit në nënprobleme të tipit të njëjtë. Shembull i përshtatshëm i sqarimit është llogaritja e faktorielit.

Llogaritja e faktorielit Faktorieli i n, që shënohet si n!, është produkti i numrave të plotë: n*(n-1)*(n2)...3*2*1, apo e paraqitur në renditjen e kundert, produkti i numrave prej 1 deri në n. Për shembull, 5! = 5*4*3*2*1=120, ose në renditjen e kundërt, 5!=1*2*3*4*5=120 Rekursioni është një prej teknikave të llogaritjes së faktorielit. Në fakt, 5!=5*4!. Pra, për të llogaritur faktorielin e n, duhet të llogarisim faktorielin e (n-1). Për të llogaritur faktorielin e (n-1), algoritmi duhet të gjejë (n-2)!, e kështu me radhë. Procesi i përshkruar do të zgjaste pafundësisht, sepse nuk është definuar akoma rasti themelor (rasti bazë). Rasti bazë është kushti kur duhet të ndalet rekursioni. Në rastin e faktorielit, rasti bazë është n=1, për të cilin rezultati është i njohur. int Faktoriel(int n) { if (n <= 1) return 1; else return n * Faktoriel(n - 1); }

Llogaritja e 3! në detaje int Faktoriel(int n) n=3 if (n<=1) return 1; else return n * Faktoriel(n-1); return 3*2; 3!=6

int Faktoriel(int n) n=2 if (n<=1) return 1; else return 2*1; return n * Faktoriel(n-1); int Faktoriel(int n) if (n<=1) n=1 return 1; return 1; else return n * Faktoriel(n-1);

268


Përparësitë dhe të metat e rekursionit Përparësia kryesore e rekursionit është thjeshtësia e programimit. Gjatë përdorimit të rekursionit, programeri mundet të lërë anash për një kohë problemin e tërë dhe të koncentrohet në zgjidhjen e rastit aktual, rastit bazë. Pastaj, duke u kthyer prapa tek problemi i tërë, zvhillohen rastet bazë (sepse është e mundur të ketë më shumë se një rast bazë) dhe pika hyrëse për rekursion. Në anën tjetër, rekursioni ka disavantazhin serioz të përdorimit të sasisë së madhe të memories. Për më tepër, për shumicën e gjuhëve programuese, rekursioni përdorë stekun për ruajtjen e gjendjeve të të gjitha thirrjeve rekurzive aktuale. Madhësia e stekut mund të jetë shumë e madhe, por megjithatë e kufizuar. Prandaj, rekursioni shumë i thellë mund të rezultojë me tejngarkim të stekut (Stack Overfloë). Për të zgjidhur këtë problem rekursioni mund të simulohet, duke përdorur unazat dhe stekun. Rekurzioni është koncept themelor në matematikë dhe në shkencat kompjuterike. Definicioni i thjeshtë është se programi rekurziv në gjuhë programuese është ai i cili e thërret vetveten (njësoj si funksioni rekurziv në matematikë që është ai funksion i cili është i definuar në terma të vetvetes). Programi rekurziv nuk mund ta thërrasë vetveten përgjithmonë ose përndryshe nuk do të ndalonte kurrë (njësoj si funksioni rekurziv që nuk mund të definohet në terma të vetvetës përgjithmonë, sepse do të bëhej qarkor, cirkularë), kështu që elementi tjetër përbërës themelor është që duhet të ketë një kusht të ndalimit kur programi do të pushojë së thirruri vetveten (si kur funksioni matematik nuk është i definuar në terma të vetvetes). Të gjitha llogaritjet praktike mund të shprehen në kornizë rekurzive. Studimi i rekurzionit është i ndërlidhur me studimin e strukturave rekurzive të njohura si pemë (angl. tree). Pemët do të përdoren edhe për të ndihmuar në kuptimin e analizimin e programeve rekurzive edhe si struktura eksplicite të të dhënave. Lidhja ndërmjet programeve rekurzive dhe pemëve përdoret ashtu që pemët përdoren për të kuptuar programet rekurzive dhe programet rekurzive përdoren për të ndërtuar pemët. Gjithashtu ndërlidhja fundamentale mes pemëve dhe rekurzionit përdoret për analizë të algoritmeve. Rekurzioni ndihmon në zhvillimin e algoritmeve dhs strukturave të të dhënave elegante dhe efikase për të gjitha llojet e aplikacioneve. Në këtë pjesë do të analizojmë programet rekurzive dhe strukturat e të dhënave, si pajisje praktike. Do të diskutohet relacioni ndërmjet rekurrencës matematike dhe programeve të thjeshta rekurzive, skemën themelore rekurzive të njohur si “divide and coquer” (përçaj dhe sundo), e cila përdoret për zgjidhjen e shumë problemeve. Pastaj do të shqyrtohet qasja e përgjithshme e implementimit të programeve rekurzive e njohur si programimi dinakim, e cila ofron zgjidhje 269

Avni Rexhepi efektive për një klasë të gjerë të problemeve. Në fund, do të shqyrtohen pemët, tiparet e tyre matematike dhe algoritmet e shoqëruara me pemët, si përshkimi i pemës, të cilat qëndrojnë nën programet rekurzive për procesim të pemëve, e poashtu edhe algoritmet rekurzive për procesim të grafeve, në veçanti “depthfirst search” (kërkimi thellësia-së pari), që shërben si bazë për shumë algoritme të procesimit të grafeve. Shumë algoritme interesante thjeshtë shprehen me metoda rekurzive dhe shumë dizajnerë të algoritmeve preferojnë shprehjen e metodave në mënyrë rekurzive, edhe pse për shumë raste mund të krijohen edhe alternativat jorekurzive, të cilat arrijnë të njëjtin rezultat përmes një sekuence të llogaritjeve.

Algoritmet rekurzive Algoritëm rekurziv është ai që e zgjidhë problemin duke zgjidhur një ose më shumë instanca më të vogla të të njëjtit problem. Për të implementuar algoritmeve rekurzive në C++, përdoren funksionet rekuzive (funksionet të cillat e therrasin vetveten), të cilat i korrespondojnë definicioneve rekurzive të funksioneve matematike. Në fillim do të shohim shembuj të rekurzionet duke analizuar programet të cilat në mënyrë direkte vlerësojnë funksionet matematike, e pastaj mekanzimat themelorë zgjerohen për të ofruar një paradigmë të përgjishme programimi. Funksioni rekurziv për llogaritje të funksionit N!,që përdorë definicionin standard rekurziv është si në vijim. (Kthen vlerë korrekte kur thirret për N jonegativ dhe mjaft të vogël, që mund të shprehet si int). Programi 5.1. Funksioni i faktorielit – implementimi rekurziv int Faktoriel(int N) { if (N == 0) return 1; return N* Faktoriel (N-1); }

Relacionet e rekurrencës janë funksione të definuara në mënyrë rekurzive (Shiko shtojcën për rekurrencën, në fund të librit). Relacioni i rekurrencës definon funksionin domeni i të cili është integer-a jonegativ ose sipas ndonjë vlere fillestare ose rekurzivisht në terma të vet vlerave të veta në integer-a më të vegjë. Ndoshta më i njohuri prej tyre është funksioni i faktorielit, i cili definohet si relacion i rekurrencës: N!=N *(N – 1)!,

për N ≥ 1 me 0! = 1.

Ky definicion i përgjigjet direkt funksionit rekurziv në C++, që është një unazë e thjeshtë, që kruen llogaritjen e njëjtë: for (t = 1, i = 1; i <= N; i++)

270

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave t *= i;

Si do të shihet, gjithmon është e mundshme që programi rekurziv të transformohet në program jorekurzivm, që kryen llogaritjen e njëjtë. Në anën tjetër, pashtu mund të shprehim pa unazë seciliën llogaritje që përfshinë përdorimin e unazave, duke përdorur rekurzionin. Rekurzioni përdoret pasi që shpesh mundëson shprehjen e algoritmeve komplekse në formë kompakte, pa sakrifikuar efikasitetin. Për shembull, implementimi rekurziv i funksionit të faktorielit shmanjgë nevojën për variabla lokale. Kostoja e implementimit rekurziv mbahet nga mekanizmat e programit të cilët përkrahin thirrjet e funksioneve, të cilat janë ekuivalente me stekun e brendshëm. Shumë gjuhë programuese moderne kanë krijuar me kujdes mekanizmat për këtë detyrë. Përkundër avantazheve, shumë lehtë mund të ndodhë që shkruhet funksioni rekurziv i cili është jashtëzakonisht joefikas, prandaj duhet kujdes i madh dhe ushtrime të shumta për të evituar implementimet e vështira. Nëse argumenti N është tek, funksioni e thërret vetventë me argumentin 3N+1; nëse N është çift me argumentin N/2. Me metodën e induksionit nuk mund të vërtetojmë se ky program ngalet, sepse jo të gjitha thirrjet rekurzive thërrasin përdorimin me argument më të vogël se ai i dhënë. Programi 5.2. Një program rekurziv jo i sigurtë int puzzle(int N) { if (N == 1) return 1; if (N % 2 == 0) return puzzle(N/2); else return puzzle(3*N+1); }

Në rastin e faktorielit, programi 5.1 ilustron karakteristikën themelore të programeve rekurzive: thirrja e vetvetes, me vlerë më të vogël të argumentit dhe ka kushtin e ndërprerjes (ndalimit) në të cilin rezultati llogaritet direkt. Për të qenë të bindur në saktësi, mund të përdorim metodën e induksionit, për vërtetuar se programi funksionon ashtu si synohet:  

Ai e llogaritë 0! (bazën). Nën supozimin se llogaritë k! për k < N (hipoteza induktive), ai e llogaritë N!.

Duke arsyetuar në këtë mënyrë, mund të ofrojmë një shteg të shpejtë të zhvillimit të algoritmeve të cilat zgjidhin probleme komplekse. 271

Avni Rexhepi Në gjuhët programuese si C++, ka disa kufizime në llojet e programev që shkruhen, por përpiqemi të kufizojmë veten në përdorimin e funksioneve rekurzive në ato të cilat mishërojnë provën induktive të korrektësisë. Jemi të interesuar që të krijojmë programe komplekse për probleme të vështira dhe duhet të kemi siguri që detyra do të zgjidhet si duhet. Mekanizmat si funksionet rekurzive mund të ofrojnë siguri të tillë duke dhënë implementime kompakte. Thënë ndryshe, lidhja me induksionin matematik na tregon se duhet të sigurohemi që funksionet rekurzive kënaqin (plotësojnë) dy kushte themelore:  

Duhet të zgjidhin rastin bazë në mënyrë eksplicite. Secila thirrje rekurzive duhet të përfshijë vlera më të vogla të argumeteve.

Këto janë kushte të nënkuptojnë që duhet të kemi prova valide induktive për secilin funksion rekurziv që shkruhet dhe shërbejnë si udhëzues i dobishëm në zhvillimin e zgjidhjeve të problemeve. Një prej algoritmeve më të vjetra të njohura, që daton para më shumë se 2000 vitesh, është metoda rekurzive e gjetjes së plotpjestuesit më të madh të përbashkët për dy numra të plotë (integer), i definuar nga matematikani i lashtë Euklidi. Programi 5.3. Algoritmi i Euclid-it //gcd-greatest common divisor=pjestuesi me i madh i //perbashket int gcd(int a, int b) { if (b == 0) return a; return gcd(b, a % b); }

Ku: //funksioni gcd() int gcd(int a, int b) { int temp; while (b != 0) { temp = b; b = a % b; a = temp; } return a; }

272

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Duke pasur parasysh kushtet e përmendura, analizojmë programet 5.2 dhe 5.3. Programi 5.2 është një shembull interesant që ilustron nevojën për një argument induktiv. Është funksion rekurziv që then rregullën e thirrjes rekurzive me përfshirje të vlerës më të vogël të argumentit, kështu që nuk mund të përdorim induksionin matematik për ta kuptuar atë. Në të vërtetë, nuk është e ditur nëse llogaritja e tij përfundon për çdo N, nëse nuk ka kufizime për madhësinë e N-it. Për numra të plotë të vegjël, që mund të shprehen si int, mund të verifikojmë që programi përfundon (si në Fig. 5.1), mirëpo për numra të mëdhënj (p.sh., 64 bitësh), nuk e dijmë nëse ky program shkon në unazë të pafund. Kjo sekuencë e ndërthurur e thirrjes së funksioneve në fund ndalet, por nuk mund ta provojmë (vërtetojmë) se funksioni rekurziv në programin 5.2 nuk ka ndërthurje të thellë arbitrare për disa argumente. Preferohen programet rekurzive të cilat gjithmonë thërrasin vetveten me argumente më të vogla.

Figura 5.1. Shembull i zinxhirit rekurziv të thirrjeve Programi 5.3 është implementim kompakt i algoritmit të Euklidit, për gjetjen e plotpjestuesit më të madh të përbashkët të dy numrave të plotë. Është i bazuar në vrojtimin që pjestuesi më i madh i përbashkët për dy numra të plotë x dhe y, ku x>y, është i njëjtë me pjestuesin më të madh të përbashkët të y dhe x%y (% moduli; mbetja nga plotëpjestimi i x me y). Një numër t, i pjeston dy numrat x dhe y nëse dhe vetëm nëse t pjeston të dy, y dhe x%y, sepse x është i barabartë me x%y plus shumëfishi i y. thirrjet rekurzive të bëra për një shembull të këtij programi, janë paraqitur në figurën 5.2. Për algoritmin e Euklidit, thellësia e rekurzionit varet nga tiparet aritmetike të argumenteve të tij (është e njohur të jetë logaritmik). Kjo sekuencë e ndërthurrur e thirrjeve të funksionit ilustron operacioniet e algoritmit të Euklidit që zbulon se 314159 dhe 271828 janë relativisht numra primar.

273

Avni Rexhepi

Figura 5.2. Shembull i algoritmtit të Euclid-it Programi 5.4 është një shembull me thirrje të shumëfishta rekurzive. Është një vlerësues tjetër i shprehjeve, që kryen llogaritjet në shprehjet me prefiks dhe i lë vend rekurzionit në stekun eksplicit. Në vazhdim do të kemi disa shembuj të programeve rekurzive dhe ekuivalenteve të tyre me stek. Do të analizojmë relacionin specifik ndërmjet disa programeve të tilla. Për të vlerësuar shprehjet me prefiks, ose i konvertojmë numrat nga ASCII në binar (në unaën while në fund) ose kryejmë operacionin e treguar nga karakteri i parë në shprehje në të dy operandet, të vlerësuar rekurzivisht. Funksioni është rekurziv, por e përdorë vargun global që përmbanë shprehjen dhe një indeks të karakterit aktual në shprehje. Indeksi avanson pas secilës nënshprehje të vlerësuar. Programi 5.4. Programi rekurziv për vlerësim të shprehjeve me prefiks. char *a; int i; int eval() { int x = 0; while (a[i] == ' ') i++; if (a[i] == '+') { i++; return eval() + eval(); } if (a[i] == '*') { i++; return eval() * eval(); } while ((a[i] >= '0') && (a[i] <= '9')) x = 10*x + (a[i++]-'0'); return x; }

Në figurën 5.3 është paraqitur operacioni i programit 5.4 në një shembull të shprehjes me prefiks. Thirrjet e shumëfishta rekurzive maskojnë seritë komplekse të llogaritjeve. Sikur shumica e programeve rekurzive, ky program kuptohet më së miri induktivisht: duke supozuar se punon si duhet për shprehje 274

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave të thjeshta, mund të bindemi se punon si duhet edhe për shprehje komplekse. Ky program është shembulli thjeshtë i analizatorit rekurziv, që mund të përdoret p.sh., edhe për konvertimin e programeve nga C++ në kod makine.

Figura 5.3. Shembull i vlerësimit të shprehjes me prefiks Kjo sekuencë e ndërthurrur e thirrjeve të funksioneve ilustron operacionin e vlerësimit të algoritmit rekurziv të shprehjeve prefiks, në një shembull të shprehjes. Për thjeshtësi, janë paraqitur argumentet e shprehjes. Vetë algoritmi asnjëherë nuk e vendosë shtrirjen (gjatësinë) e argumentit string të tij, por ai merr atë që i nevojitet nga pjesa e përparme e stringut. Një provë induktive precize se programi 5.4 e vlerëson shprehjen si duhet është shumë më e vështirë për t’u shkruar sesa provat për funksionet me argumente integjer, që janë diskutuar më parë, e do të hasen edhe programe rekurzive dhe struktura të të dhënave të cilat janë edhe më të komplikuara se kjo. Prandaj, në përputhje me rrethanat, nuk synohet qëllimi idealistik i orfrimit të provave komplete induktive ose korrektësi për secilin program rekurziv. Në këtë rast, aftësia e programit për të “ditur” se si të ndajë operandët që i përgjigjen operatorëve të dhënë duke fillimisht misterioze (ndoshta pasi që nuk mund të shohim menjëherë se si të bëhet kjo ndarje në nivelin më të lartë), por në fakt është llogaritje e drejtpërdrejtë (sepse rruga që duhet ndjekur në secilën thirrje të funksionit është padyshim e përcaktuar nga karakteri i parë në shprehje). Në parim, mund të zëvendësomë unazën for me një program rekurziv ekuivalent. Shpeshherë, programi rekurziv është mënyrë më natyrale për të shprehur llogaritjen sesa unaza for, kështu që mund të përfitojmë nga mekanizmi i siguruar nga gjuha programuese që përkrahë rekursionin. Mirëpo, ka një kostro të fshehur, të cilën duhet ta kemi parasysh. Si u tha më parë, kur 275

Avni Rexhepi ekzekutohet programi rekurziv, bëhet ndërthurrja e thirrjes së funksionit (funksion brenda funksionit), gjersa të arrihet në pikën kur nuk ka më thirrje rekurzive dhe kthehemi te prapa. Në shumicën e ambienteve programuese, funksionet e tilla implementohen përmes përdorimit të stekut. Në këtë pjese analizohen implementimet e këtilla. Thellësia e rekurzionit është shkalla maksimale e ndërthurrjes së thirrjeve të funksioneve përgjatë llogaritjes. Në përgjithsi, thellësia varet nga hyrja. Për shembull, thellësia e rekurzionit për shembujt e paraqitur në figurën 5.2 dhe 5.3 është 9 dhe 4, repsektifisht. Kur përdoren programet rekurzive, duhet marrë parasysh se ambienti programues duhet të mirëmbajë edhe stekun me madhësi proporcionale me thellësinë e rekurzionit. Për probleme të mëdha, hapësira e nevojshme për stek mund të pengojë përdorimin e zgjidhjes rekurzive. Strukturat e të dhënave të ndërtuara prej nyjeve me pointerë, janë qenësisht rekurzive. Për shembull, definicioni i listave të lidhura është rekurziv. Prandaj, programet rekurzive ofrojnë implementime natyrale në shumë funksione të zakonshme, për manipulimin e strukturave të tilla të të dhënave. Programi 5.5, i paraqitur në vazhdim, përmbanë katër shembuj. Implementimet e tilla janë shumë më të lehta për t’u kuptuar, sesa homologët e tyre jorekurziv. Sidoqoftë, gjatë përdorimit të programeve të tilla në rastin e procesimit të listave, duhet pasur kujdes sepse thellësia e rekurzionit për këto funksione mund të jetë proporcionale me gjatësinë e listës, kështu që hapësira e kërkuar për stekun rekurzive mund të bëhet pengesë. Këto funksione rekurzive për procesim të thjeshtë të listave janë të thjeshta për t’u shprehur, por mund të mos jenë të dobishme për lishta shumë të mëdha sepse thellësia e rekurzionit mund të jetë proporcionale me gjatësinë e listës. Funisioni i parë, count, numëron numrin e nyjeve të listës. I dytir, traverse, thërret funksionin visit për secilën nyje në listë, prej fillimit deri në fund. Këto dy funksione janë të dyja të lehta për t’u implementuar me unaza. Funksioni i tretë, traverseR, nuk ka homologun e tij të thjeshtë iterativ. Ai e thërret funksionin visit për secilën nyje në listë, por në renditje të kundërt. Funksioni i katërt, remove, i largon prej listës të gjitha nyjet që kanë elementin e dhënë. Çelësi i implementimi është ndryshimi i lidhjes x=x->next në paraardhësin e secilës nyje që fshihet, që është bërë e mundur me përdorimin e parametrit referencë. Ndryshimet strukturore të secilës përsëritje të unazës while janë të njëjtëa si ato të paraqitura në figurën 3.3., por x dhe t, të dyja i referohen nyjës së njëjtë.

276

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Programi 5.5. Shembuj të funksioneve rekurzive për listat e lidhura //count=numëro, link=lidhje, traverse=pershko, remove=largo int count(link x) { if (x == 0) return 0; return 1 + count(x->next); } void traverse(link h, void visit(link)) { if (h == 0) return; visit(h); traverse(h->next, visit); } void traverseR(link h, void visit(link)) { if (h == 0) return; traverseR(h->next, visit); visit(h); } void remove(link& x, Item v) { while (x != 0 && x->item == v) { link t = x; x = x->next; delete t; } if (x != 0) remove(x->next, v); }

Disa ambiente programuese në mënyrë automatike e detektojnë dhe eliminojnë rekurzionin e fundit, kur veprimi i fundit është thirrje rekurzive e funksionit, sepse ai nuk është domosdoshmërisht i nevojshëm në mënyrë strikte për të shtuar thellësinë e rekurzionit, në raste të tilla. Ky përmirësim do të transformonte në mënyrë efektive funksinet për numërim, përshkim dhe largim në programin 5.5, në unaza, por nuk aplikohet në funksionin për përshkimin në drejtim të kundërt. Në vazhdim do të algoritmet rekurzive “Përçaj e sundo”, të cilat prezentojnë paradigma themelore të llogaritjeve, si dhe do të shqyrtohen strukturat e të dhënave të cilat shërbejnë si bazë për një numër të madh të algoritmeve.

277

Avni Rexhepi

5.2. Algoritmet përçaj-e-sundo Shumë algoritme rekurzive përdorin dy thirrje rekurzive, secila prej të cilave operon në afërsisht gjysmën e hyrjes (vlerave hyrëse). Kjo skemë rekurzive ndoshta është instanca më e rendësishme e paradigmës së mirnjohurës “divide and conquer” (përçaj e sundo), për dizajnin e algoritmeve, e cila shërben edhe si bazë për shumë algoritme të rëndësishme. Si shembull, merrni parasysh gjetjen e maksimumit në mesin e N elementeve të ruajtura në vargun: a[0], a[1],...a[N-1]. Kjo mund të kryhet thjeshtë duke kaluar një herë nëpër tërë vargun, si vijon: for (t = a[0], i = 1; i < N; i++) if (a[i] > t) t = a[i];

Zgjidhja rekurzive përçaj-e-sundo e dhënë në vazhdim (Programi 5.6) është poashtu një algoritëm i thjeshtë (tërësisht i ndryshëm) për të njëjtin problem dhe zakonisht përdoret për të ilustruar konceptin përçaj-e-sundo. Ky definicion e ndanë vargun a[l], ..., a[r] në a[l], ..., a[m] dhe a[m+1], ... , a[r], gjenë maksimumi në të dy pjesët (rekurzivisht) dhe kthen elementin më të madh prej tyre si maksimumi i tërë vargut. Nëse madhësia e vargut është çifte, të dy pjesët janë të ndara në pjesë të barabarta, përndryshe njëra pjesë ka një element më shumë. Programi 5.6. Divide-and-conquer për gjetje të maksimumit Item max(Item a[], int l, int r) { if (l == r) return a[l]; int m = (l+r)/2; Item u = max(a, l, m); Item v = max(a, m+1, r); if (u > v) return u; else return v; }

Qasja përçaj-e-sundo më së shpeshti përdoret pasi që ofron zgjidhje më të shpejtë sesa algoritmet e thjeshta iterative, por është poashtu edhe e rëndësishme për ekzaminim të afërt të mënyrës së kuptimit të natyrës së disa llogaritjeve fundamentale. Figura 5.4 paraqet thirrjet rekurzive të bëra në programin 5.6. Edhe pse struktura duket e komplikuar, s’ka arsye për shqetësim, pasi që për të vërtetuar se programi funksionon bazohemi në induksion, kurse për analizë të performansës përdoret relacioni i rekurrencës. 278

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Kjo sekuencë e thirrjeve të funksionit ilustron dinamikën e gjetjes së maksimumit me algoritëm rekurziv.

Figura 5.4. Qasja rekurzive për gjetjen e maksimumit Si zakonisht, vetë kodi sygjeron vërtetimin me induksion, se ai kryen llogaritjen e duhur:  

Ai e gjenë maksimumin e vargut me gjatësi 1 në mënyrë eksplicite dhe menhëherë. Për N>1, e ndanë vargun në dy vargje me gjatësi më të vogël se N, e gjenë maksimumin e dy pjesëve sipas hipotezës induktive dhe kthen vlerën më të madhe prej këtyre dy vlerave, e cila duhet të jetë vlera maksimale e tërë vargut.

Për më tepër, mund të përdoret struktura rekurzive e programit, për të kuptuar karakteristikën e performansës së tij.

279

Avni Rexhepi Vetia 5.1. Funksioni rekurziv i cili e ndanë problemin e madhësisë N në dy pjesë të pavarura (jo të zbrazëta) të cilat i zgjidhë në mënyrë rekurzive, e thërret vetvetën më pak se N herë. Nëse pjesët janë njëra me madhësi k dhe tjetra me madhësinë N-k, atëherë numri total i thirrjeve rekurzive është: TN = Tk + TN–k + 1,

për N ≥ 1 me T1 = 0.

Zgjidhja TN = N – 1 është e drejtpërdrejtë, përmes induksionit. Nëse madhësitë mbledhen deri në vlerën më të vogël se N, prova se numri është më i vogël se N1 e përcjellë të njëjtin argument induktiv. Programi 5.6 është reprezentues për shumë algoritme përçaj-e-sundo me strukturë saktësisht të njëjtë, por rastet tjera mund të dallojnë në dy aspekte primare. Së pari, programi 5.6 kryen sasi konstante të punës në secilën thirrje të funksionit, kështu që koha e tij totale e ekzekutimit është lineare. Agloritmet tjera përçaj-e-sundo mund të kryejnë më shumë punë në secilën thirrje të funksionit (siç do të shihet në raste të tjera), kështu që përcaktimi i kohës totale të ekzekutimit kërkon analizë më të ndërlikuar. Koha e ekzekutimit të algoritmeve të tilla varet nga mënyra precize e ndarjes në pjesë. Së dyti, programi 5.6 është reprezentues i algoritmeve përçaj-e-sundo për të cilat pjesët mblidhen për të formuar tërësinë. Algoritmet tjera përçaj-e-sundo mund të ndahen në pjesë më të vogla të cilat përbëjnë më pak se problemi i tërë ose pjesë të cilat mbulojnë njëra tjetrën, për të përbërë më shumë se problemi i tërë. Këto algoritme prap se prap janë algoritme të rregullta rekurzive sepse secila pjesë është më e vogël se tërësia, por analizimi i tyre është më i vështirë. Shembulli i algoritmit të kërkimit binar është algoritëm përçaj-e-sundo, që e ndanë problemin në dy pjesë dhe pastaj punon vetëm me njërën pjesë. Në figurën 5.5 paraqitet përmbajtja e brendshme e stekut të mirëmbajtur nga ambienti programues, për të përkrahur llogaritjen në figurën 5.4. Modeli i parqitur është idealistik, por jep pasqyrë të dobishme të strukturës së llogaritjes përçaj-e-sundo. Nëse programi ka dy thirrje rekurzive, steku aktual intern përmbanë një vlerë që i korrespondon thirrjes së parë gjersa ai funksion është duke u ekzekutuar (i cili përmbanë vlerat e argumenteve, variablave lokale dhe adresën për kthim), pastaj një vlerë të ngjashme që i korrespondon thirrjes së dytë të funksionit gjersa ai është duke u ekzekutuar. Alternativa e paraqitur në figurën 5.5 është që të vendosen të dy vlerat në stek përnjëherë, duke mbajtur të gjitha nën-detyrat e mbetura që të bëhen në mënyrë eksplicite në stek. Ky aranzhim përvijon qartazi llogaritjen dhe vendosë bazat për skemat e përgjithshme llogaritëse, si ato që do të analizohen në pjesët 5.6 dhe 5.8.

280

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Kjo sekuencë shtë një reprezentim idealistik i përmbajtjes së stekut intern gjatë llgoaritjes së njëjtë për figurën 5.4. Fillohet me indeksat e majtë dhe të djathtë të tërë nënvargut në stek. Secili rresht paraqet rezultatet e tërheqjes (pop) së dy indeksave dhe nëse ata nuk janë të barabartë, duke shtyer (push) katër indeksa, të cilët ndajnë nënvargun e majtë dhe të djathtë pasi nënvargu i tërhequr të ndahet në dy pjesë. Në praktikë, sistemi mbanë adresat e kthimit (return) dhe variablat lokale në stek, në vend se të bëhet ky reprezentim specifik i punës që duhet bërë, por ky model mjafton për të përshkruar llogaritjen.

Figura 5.5. Shembull i dinamikës së stekut intern Figura 5.6 paraqet strukturën e algoritmit përçaj-e-sundo për gjetje të maksimumit. Është strukturë rekurzive: nyja në krye përmbanë madhësinë e vargut në hyrje, struktura për nënvargun e majtë është vizatuar në anën e majtë dhe ajo për nënvargun e djathtë në anën e djathtë. Kjo është strukturë e pemës dhe do të diskutohet në detaje në vazdhim. Pemët janë të dobishme për të kuptuar strukturat e programve që përfshijnë thirrjet funksioneve të ndërthurrura, në veçanti të programeve rekurzive. Poashtu në figurën 5.6 është paraqitur pema e njëjtë, por me secilën nyje të shënuar me vlerën kthyese për thirrjen përkatëse të funksionit.

281

Avni Rexhepi

Figura 5.6. Struktura rekurzive për alroritmin “gjeje maksimumin” (find-themaximum) Algoritmi përçaj-e-sundo e ndanë problemin e madhësisë 11 në nëj të madhësisë 6 dhe një të madhësisë 5, pastaj problemin e madhësisë 6 në dy probleme të madhësisë 3, e kështu me radhë, deri sa të arrijë në problemet e madhësisë 1. Secili rreth në këto diagrame reprezenton një thirrje të funksionit rekurziv, për nyjet e lidhura me to, ndërsa katrorët paraqesin thirrjet për të cilat përfundon rekurzioni. Asnjë diskutim për rekurzionin nuk do të ishte i kompletuar pa përmendur problemin antik të kullave të Hanoit. Kemi tre kunja (tri shtylla) dhe N disqe, të cilat vendosen në shtylla. Disqet janë me madhësi të ndryshme dhe fillimisht janë të vendosur në njërën shtyllë, sipas radhitjes prej më të madhit (disku N) në fund deri tek më i vogli (disku 1) në krye. Detyra është që të lëvizet steku i disqeve djathtas, një nga një, duke ju përmbajtur rregullave vijuese: 1-vetëm një disk mund të lëvizet në një moment kohor; dhe 2-disku i madh nuk mund të shkojë mbi të voglin. Legjenda thotë se kur monarkët e një tempulli në Hanoi të përfundojnë lëvizjen e 64 disqeve të arta në tri shtulla diamanti, do të vije fundi i botës. Duke pasur parasysh se problemi mund të paraqitet me çfarëdo numri të disqeve, n numri i lëvizjeve të nevojshme për zgjidhje të problemit të kullave të Hanoit është 2 -1, ku n është numri i disqeve. Sikur legjenda të ishte e vërtetë dhe sikur të mund të bëhej një lëvizje e diskut për 64 sekond, atëherë numri më i vogël i lëvizjeve do të kërkonte 2 -1 sekonda, që i bie përafërsisht 585 miliardë vite ose 18,446,744,073,709,551,615 lëvizje për të përfunduar (s’ka arsye për panikë :) ).

282

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Programi 5.7 jep zgjidhjen rekurzive të problemit. Ai specifikon se cili disk duhet të lëvizet në seclin hap dhe në cilin drejtim (‘+’ do të thotë lëviz një shtyllë djathtas, duke vazhduar ciklin në skajin e majtë, nëse lëvizet nga shtylla e skajit të djathtë; ndërsa ‘-‘ do të thotë lëviz një shtyllë më majtas, duke vazhduar ciklin në shtyllën më të djathtë kur kemi arritur skajin e majtë). Rekurzioni është i bazuar në idenë vijuese: për të lëvizur N disqet një shtyllë në të djathtë, së pari lëvizen N-1 disqet në krye një shtyllë në të majtë, e pastaj zhvendosim diskun N një shtyllë në të djathtë, e pastaj lëvizen N-1 disqet një shtyllë në të majtë (në diskun N). Vërtetimi i zgjidhjes mund të bëhet përmes induksionit. Në figurën 5.7 janë paraqitur lëvizjet për N=3 dhe thirrjet rekurzive për N=5. Modeli është evident dhe mund të analizohet në detaje.

Figura 5.7. Kullat e Hanoit, rasti me 3 disqe Në rastin me 5 disqe, zhvendosen katër disqet e epërme, e pastaj lëvizet disku i 5, pastaj zhvendosen katër disqet e epërme për një pozitë majtas , e kështu me radhë. Sekuenca e thirrjeve të funksionit paraqet rastin për tri disqe. Sekuenca e lëvizjeve është: +1 -2 +1 +3 +1 -2 +1, e cila paraqitet katër herë në zgjidhje (p.sh, 7 lëvizjet e para)

283

Avni Rexhepi

Figura 5.7. Kullat e Hanoit, rasti me 5 disqe

Sekuenca e thirrjeve të funksionit Struktura rekurzive e zgjidhjes tregon numrin e lëvizjeve të kërkuara. Vetia 5.2. Algoritmi rekurziv përçaj-e-sundo për problemin e kullave të Hanoit, prodhon zgjidhjen që ka 2N – 1 lëvizje Si zakonisht, është e drejtpërdrejtë nga kodi se numri i lëvizjeve plotëson rekurrencën. Në këtë rast, rekurrenca që potësohet nga numri i lëvizjeve të 284

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave diskut është e ngjashme me formulën 2.5: TN = 2TN

– 1

+ 1, për N ≥ 2 me T1 = 1.

Mund të verifikojmë rezultatin e dhënë drejtpërdrejt me inuksion: kemi T(1)=21 – 1=1; dhe nëse T(k)=2k – 1 për k < N, atëherë T(N) = 2(2N – 1 – 1) + 1 = 2N – 1. Metoda e thjeshtë, jorekurzive, e cila do të jepte zgjidhjen e njëjtë me lehtësi. Zgjidhja është relevante për shumë probleme praktike. I zhvendosim disqet në të djathtë (rekurzivisht) duke zhvendosur të gjitha disqet, (përveq atij të fundëm) në të majtë, e pastaj e lëvizim diskun e fundëm në të djathtë. Pastaj (rekurzivisht) zhvendosim kullën prapa në diskun e fundëm. Program 5.7. Zgjidhja e problemit të kullave të Hanoit void hanoi(int N, int d) { if (N == 0) return; hanoi(N-1, -d); shift(N, d); hanoi(N-1, -d); }

Për të kuptuar zgjidhjen e problemit të kullave të Hanoit, mund të shqyrtohet edhe detyra më e thjeshtë e vizatimit të vizave ndarëse të vizores. Në secilin inch të gjatësisë, vizorja ka një shenjë në 1/2 inch, një pak më të shkurtër në 1/4 inch, edhe më të shkurtër në 1/8 inch, e kështu me radhë. Detyra është të shkruhet programi i cili vizaton këto shenja në çfarëdo rezolucioni të dhënë, duke supozuar se kemi në dispozicion funksionin mark(x,h), për të bërë shenjën ‘h’ njësi të gjatë në pozitën ‘x’. Nëse do të duhej rezolucioni 1/2 inch, reshkallëzojmë ashtu që detyra do të ishte të vendoset shenja në çdo pikë ndërmjet 0 dhe 2n (pa përfshirë pikat skajore). Prandaj, shenja në mes duhet të jetë ’n’ njësi e lartë, shenjat në mes të gjysmës së majtë dhe të djathtë duhet të jenë (n-1) njësi të larta, e kështu me radhë. Programi 5.8 është algoritëm i drejtpërdrejtë përçaj-e-sundo për të realizuar këtë objektiv, ndërsa figura 5.8 paraqet atë gjatë operimit në një shembull të vogël. Thënë rekurzivisht, idea e këtij funksioni është si vijon. Për të vendosur shenjat në një interval, së pari e ndajmë atë në dy pjesë të barabarta. Pastaj, bëjmë shenjat (e shkurtëra) në gjysmën e majtë (rekurzivisht), shenjën e lartë në mes dhe pastaj shenjat (e shkurtëra) në gjysmën e djathtë (rekurzivisht). Thënë iterativisht, figura 5.8 ilustron që funksioni bën shenjat më radhë, nga e majta në 285

Avni Rexhepi të djathtë – triku është në llogaritjen e gjatësive. Pema e rekurzionit në figurë, ndihmon për të kutpuar llogaritjen: duke lexuar teposhtë, shohim se gjatësia e shenjave zvogëlohet për 1 për secilën thirrje rekurzive të funksionit. Duke lexuar përgjatë, fitojmë shenjat në renditjën në të cilën vizatohen, sepse, për cilëndo nyje të dhënë, së pari vizatojmë shenjat e shoqëruara me thirjjen e funksionit në të majtë, pastaj shenjën e shoqëruar me nyjen dhe shenjat e shoqëruara me thirrjen e funksionit në të djathtë.

Figura 5.8. Thirrjet e funksionit për vizatim të vizores Kjo sekuencë e thirrjeve të funksionit formon llogaritjen për vizatimin e vizores me gjatësi 8, duke rezultuar me shenjat në gjatësitë: 1, 2, 1, 3, 1, 2, dhe 1. Për të vizatuar shenjat në vizore, vizatojmë shenjat në gjysmën e majtë, pastaj shenjën më të gjatë në mes, pastaj shenjat në gjysmën e djathtë. Programi është i paraparë për përdorim me r-1 të barabartë me fuqi të 2-shit, veti të cilën e ruan në thirjet e tij rekurzive. Programi 5.8. Algoritmi përçaj-e-sundo për vizatim të vizores //rule=vendos, mark=shenjo void rule(int l, int r, int h) { int m = (l+r)/2; if (h > 0)

286

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave { rule(l, m, h-1); mark(m, h); rule(m, r, h-1); } }

Shihet se sekuenca e gjatësive është saktësishtë e njëjtë si sekuenca e lëvizjeve të disqeve në problemin e kullave të Hanoit. Provë e thjeshtë se janë identike është fakti se programet rekurzive të tyre janë të njëjta. Thënë ndryshe, për të vendosur se cili disk duhet të lëvizet, mund të përdoren shenjat në vizore. Për më tepër, të dy zgjidhjet janë varianta të skemës përçaj-e-sundo të shembullit në programin 5.6. Të tri rastet zgjidhin problemin e madhësisë 2n duke e ndarë në dy probleme me madhësi 2n-1. Për gjetjen e maksimumit, kemi zgjidhje me kohë lineare me madhësinë e hyrjes; për vizoren dhe kullat e Hanoit, kemi zgjidhje me kohë lineare me madhësinë e daljes. Për kullat e Hanoit, normalisht mendojmë për zgjidhjen si të jetë e kohës eksponenciale, sepse e masim madhësinë e problemit në terma të numrit të disqeve, n. Vizatimi i shenjave në vizore përmes programit rekurzive është i lehtë, por a ka ndonjë mënyrë edhe më të thjeshtë për të llogaritur gjatësinë e shenjës së i-të, për një ‘i’ të dhënë? Figura 5.9 paraqet një proces të thjeshtë llogaritës që jep përgjigje në këtë pyetje. Numri i i-të i shtypur, në të dy problemet, atë të vizores dhe atë të kullave të Hanoit, nuk është asgjë tjetër përveq numrit të bitave 0 të njëpasnjëshëm, që e pasojnë reprezentimin binar të ‘i’-së. Kjo veti mund të provohet përmes induksionit me antë të korrespondencës me formulimin përçaje-sundo të procesit të shtypjes së tabelës së numrave n-bitësh. Shtypni tableën e numrave (n-1) bitësh, secili i paraprairë me bitin 0, e pastaj tabelën e numrave (n-1) bitësh të paraprirë me bitin 1.

287

Avni Rexhepi

Figura 5.9. Numrimi binar dhe funksioni i vizores Llogaritja e funksionit të vizores është ekuivalentë me numrimin e numrave të zerove pasuese në numrat çift N-bitësh. Për problemin e kullave të Hanoit, implikimi i korrespondencës me numrat nbitësh është algoritëm i thjeshtë për detyrën. Një grumbull mund të lëvizet një shtyllë djathtas duke përsëritur dy hapat vijues (deri në përfundim): 1. Lëvize diskun e vogël në të djathtë nëse ‘n’ është tek (në të majtë nëse n është çift). 2. Bëje lëvizjen e vetme të lejuar që nuk e përfshinë diskun e vogël. Kjo i bie që, pasi të lëvizet disku i vogël, dy shtyllat tjera përmbajnë dy disqe, njëri me i vogël se tjetri. Lëvizja e vetme e lejuar që nuk përfshinë diskun e 288

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave voëgl është që të lëvizet disku më i vogël në atë më të madh. Secila lëvizje tjetër përfshinë diskun më të vogël për të njëtjën arsye se secili numër tjetër është tek dhe secila shenjë tjetër në vizore është më e shkurtëra. Provë formale përmes induksionit, se secila lëvizje tjetër në zgjidhjen për kullat e Hanoit përfshinë diskun e vogël (duke filluar dhe mbaruar me lëvizje të tilla) është instruktive: Për n=1, ka vetëm një lëvizje, e cila përfshinë diskun e vogël, kështu që rregulla vlenë. Për n>1, supozimi se rregulla vlenë për n-1 implikon faktin se ajo vlenë për n sipas konstruksionit rekurziv: zgjidhja e parë për n-1 fillon me lëvizje të diskut të vogël dhe zgjidhja e dytë për n-1 mbaron me lëvizje të diskut të vogël, kështu që zgjidhja për ‘n’ fillon dhe mbaron me lëvizje të diskut të vogël. E vendosim një lëvizje që nuk e përfshinë diskun e vogël ndërmjet dy lëvizjeve të cilat e përfshijnë diskun e vogël (lëvizja që e përfundon zgjidhjen e parë për n-1 dhe lëvizja që e fillon zgjidhjen e dytë për n-1), ashtu që rregulla që secila lëvizje tjetër përfshinë diskun e vogël, ruhet. Për dallim nga programi 5.8, vizoren mund ta vizatojmë edhe duke vizatuar së pari të gjitha shenjat në gjatësinë 1, apstaj në gjatësinë 2, e kështu me radhë. Variabla ‘t’ bartë gjatësinë e sjenjave dhe variabla ‘j’ bartë numrin e shenjave ndërmjet dy thirrjeve sukcesive të gjatësisë ‘t’. Unaza a jashtme ‘for’ inkrementon ‘t’-në dhe ruan vetinë j=2t-1. Unaza e brendshme ‘for’ vizaton të gjitha shenjat në gjatësinë ‘t’. Programi 5.9. Programi jorekurziv për vizatim të vizores //rule=vendos, mark=shenjo void rule(int l, int r, int h) { for (int t = 1, j = 1; t <= h; j += j, t++) for (int i = 0; l+j+i <= r; i += j+j) mark(l+j+i, t); }

Programi 5.9 është një mënyrë alternative e vizatimit të vizores që është e inspiruar nga korrespondenca (ndërlidhja) me numrat binar (shiko figurën 5.10). Këtij versioni të algoritmit i referohemi se implementimi “bottom-up” (prej poshtë, te lartë). Nuk është rekurziv, por sigurisht është i sygjeruar nga algoritmi rekurziv. Ndërlidhja mes algoritmeve përçaj-e-sundo dhe reprezentimit binar të numrave shpeshherë jep ‘mendjeprehtësi” për analziën dhe zhvillimin e versioneve të përmirësuara, siç janë qasjet “prej poshtë, te lartë”. Kjo qasje mund të shqyrtohet për të kuptuar dhe mundësisht për të përmirësuar secilin algoritëm përçaj-e-sundo.

289

Avni Rexhepi

Figura 5.10. Vizatimi i vizores në renditjen “poshtë-lart”. Për të vizatuar vizoren në mënyrë jorekurzive, i alternojmë vizatimin e shenjave me gjatësi 1 dhe kalimin e pozicioneve, pastaj alternojmë vizatimet e shenjave të gjatësisë 2 dhe kalimet e pozicioneve të mbetura, pastaj alternojmë vizatimet e shenjave me gjatësi 3 dhe kalimet e pozitave të mbetura, e kështu me radhë. Qasja “prej poshtë-te lartë” përfshinë riaranzhimin e radhës së llogaritjes kur jemi duke vizatuar vizoren. Figura 5.11 paraqet një shembull tjetër, ku rirregullohet renditja e tri thirrjeve të funksioneve në implementimin rekurziv. Kjo reflekton llogaritjen rekurzive në mënyrën e përshkruar herën e parë: Vizato shenjat e mesit, pastaj gjysmën e majtë, pastaj gjysmën e djathtë. Modeli i vizatimit të shenjave është kompleks, por është rezultat i thjeshtë ndërrimit të dy urdhërave në programin 5.8 dhe relacioni mes figurave 5.8 dhe 5.11 është i ngjashëm me atë që kanë mes veti shprehjet aritmetike me prefiks dhe postfiks. Kjo është sekuenca e cila tregon rezultatin e vizatimit të shenjave para thirrjeve rekurzive, në vend se ndërmjet tyre:

290


Figure 5.11. Funksioni për vizatim të vizores (versioni ‘preorder’) Vizatimi i shenjave në radhën si në firgurën 5.8 mund të jetë më i preferuar ndaj riaranzhimit të llogaritjeve të bëra në programin 5.9 si është treguar në figurën 5.11, sepse mund të vizatojmë një vizore arbitrarisht të gjatë, nëse imagjinojmë pajisjen për vizatim e cila thjeshtë lëvizë në shenjën e ardhshme në rrotullim të vazhdueshëm. Ngjashëm, për të zgjidhur problemin e kullave të Hanoit, jemi të kufizuar në prodhimin e sekuencës së lëvizjes së disqeve në renditjen në të cilën ato kryhen. Në përgjithsi, programet rekurzive varen nga nënproblemet që zgjidhen në renditje të veçantë (të caktuar). Për llogaritjet tjera, si p.sh., programi 5.6, renditja në të cilën zgjidhet problemi është e parëndësishme. Për llogaritje të tilla, kufizimi i vetëm është se duhet të zgjidhen nënproblemet para se të mund të zgjidhet problemi kryesor. Të kuptuarit se kur e kemi fleksibilitetin e rirenditjes së llogaritjeve, jo vetëm që është sekreti i suksesit në dizajnim të algoritmeve, por ka edhe efekte direkte praktike në shumë kontekste. Për shembull, jo çështje është shumë kritike kur shqyrtohet implementimi i algoritmeve në procesorë paralel. Qasja “prej poshtë-te lartë” i korresondon metodës së përgjithshme të dizajnit të algoritmeve ku kemi për të zgjidhur problemin së pari duke zgjidhur nënproblemet e thjeshta, e pastaj duke i kombinuar këto zgjidhje për të zgjidhur

291

Avni Rexhepi nënproblemet pak më të mëdha, e kështu me radhë, deri sa të zgjidhet i tërë problemi. Kjo qasje mund të quhet edhe “kombino-e-sundo”.

Fraktalet dy-dimensionale Nga vizatimi i vizoreve deri te vizatimi i modeleve dy-dimensionale, si në figurën 5.12, është një hap i vogël. Kjo figurë ilustron se si një përshkrim i thjeshtë rekurziv, mund të dërgojë në një llogaritje që duket të jetë komplekse. Fraktali në vijim është versioni dy-dimensional i figurës 5.10. në rastin e fundit, katrorët e kufizuar thkesojnë strukturën rekurzive të llogaritjes.

Figura 5.12. Fraktal dy dimensional Modelet gjeometrike të definuara në mënyrë rekurzive, si këto në figurën 5.12 quhen fraktale. Nëse përdoret ndonjë figurë fillestare më e komplikuar dhe përfshihen thirrje rekurziva me të komplikuara (posaqërisht dukë përfshirë funksione të definuara rekurzivisht në rrafshin real dhe kompleks), mund të zhvillohen modele shumë komplekse. Një shembull tjetër është ylli i Koch-ut i demonstruar në figurën 5.13, i cili është i definuar rekurzivisht, si vijon: Ylli Koch i rendit 0 është thjeshtë një “kodër”, e cila përsëritet pastaj me zevendësim në secilin segment. Pra, ylli i rendit ‘n’ është yll i rendit ‘n-1’, ku secili segment është i zëvendësuar me yllin e rendit 0, me shkallëzim të duhur.

Figure 5.13. Fraktali rekurziv i Koch-ut Sikur vizatimi i vizores dhe zgjidhja e kullave të Hanoit, këto algoritme janë linearë në numrin e hapava, por ai numër është eksponencial në thellësinë maksimale të rekurziont. Ato mund të ndërlidhen drejtpërdrejt edhe me numërimin në sistemin numerik të caktuar. Këto probleme janë mjaft interesante dhe ndërlidhja e tyre me numrat binar është befasuese, mirëpo interesi kryesor është se ofrojnë një kuptim të paradigmës themelore të dizajnit të algoritmeve, të ndarjes përgjysmë dhe zgjidhjes së dy gjysmave në mënyrë të pavarur, që është një prej teknikave kryesore. 292


Algoritmet themelore “përçaj-e-sundo” Kërkimi binar dhe sorti “merge” (shpjegohet në pjesën e sortimeve) janë algoritme prototipike “përçaj-e-sundo”, të cilat ofrojnë performansë optimale të garantuar për kërkim dhe sortim. Rekurrenca tregon natyrën e llogaritjeve “përçaj-e-sundo” për secilin algoritëm. Kërkimi binar e ndanë problemin përgjysmë, e bën një krahasim dhe pastaj bën thirrjen rekurzive për njërën prej gjysmave. Sorti ‘merge’ e ndanë problemin në gjysmë, pastaj punon në të dy gjysmat rekurzivisht, e pastaj bën N krahasime. Shumë algoritme të tjera zhvillohen me këto skema rekurzive.

Rekurrenca

Zgjidhja e përafërt

Krahasime

CN = CN/2 + 1

lg N

Thirrje rekurzive

AN = 2AN/2 + 1

N

CN = 2CN/2 + N

N lg N

Kërkimi binar

‘mergesort’ Krahasime

‘Quicksort’ (që shpjegohet në pjesën e sortimeve) dhe pema e kërkimit binar (poashtu shpjegohet më vonë) paraqesin variacione të rëndësishme të skemës themelorë ‘përçaj-e-sundo’, ku problemi ndahet në nënprobleme të madhësisë ‘k-1’ dhe ‘N-k’, për një vlerë të ‘k’, e cila përcaktohet nga hyrja. Për vlerë hyrëse të rastit, këto algoritme e ndajnë problemin në nënprobleme që janë mesatarisht sa gjysma e madhësisë (si në rastin e sortit ‘merge’ ose kërkimit binar). Variacionet tjera në skemën themelore e që ia vlenë të konsiderohen janë: ndarja në pjesë me madhësi të ndryshme, ndarja në më shumë se dy pjesë, ndarja në pjesë që mbulojnë njëra tjetrën. Këto bëjnë sasi të ndryshme të punës në pjesën jorekurzive të algoritmit. Në përgjithësi, algoritmet ‘përçaj-e-sundo’ përfshijnë punën për ndarjen e hyrjes në pjesë ose bashkimin e rezultatit të procesimit të dy pjesëve të pavarura të zgjidhura të hyrjes, ose për të ndihmuar gjërat pasi të jetë procesuar gjysma e hyrjes. Do të thotë, mund të ketë kod para, pas apo ndërmjet thirrjeve rekurzive. Natyrisht, variacionet e tilla dërgojnë në algoritme më komplekse sesa kërkimi binar dhe sorti ‘merge’ dhe janë më të vështira për t’u analizuar. 293

Avni Rexhepi

Algoritmet dinamike Një karakteristikë themelore e algoritmeve përçaj-e-sundo është se ato e ndajnë problemin në nënprobleme të pavarura. Kur nënproblemet nuk janë të pavarura, situata është më e komplikuar, pikë së pari pasi që implementimet direkte rekurzive ose edhe algoritmet më të thjeshta të këtij lloji mund të kërkojnë sasi të paimagjinueshme të kohës. Në këtë pjesë do të shqyrtohet teknika sistematike e evitimit të kësaj gracke në disa raste. Për shembull, programi 5.10, është implementim rekurziv direkt i rekurrencës që definon numrat ‘Fibonacci’ (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... ku, përveq fillimit, 0 dhe 1, numrat pasardhës, janë shuma e dy numrave paraprak). Normalisht, mos e përdorni këtë program pasi që është tërësisht joefikas. Vërtetë, numri i thirrjeve rekurzive për të llogaritur FN është saktësisht FN+1. Mirëpo, FN është øN, ku ø 1:618 është “raporti i artë”. E vërteta e pakëndshme është se programi 5.10 është algoritëm i kohës eksponenciale, për këtë llogaritje triviale. Figura 5.14, e cila paraqet thirrjet rekurzive për një numër të vogël (p.sh., deri në 8), e bën të qartë sasinë e rillogaritjeve që përfshihen. Pamja e thirrjeve rekurzive të nevojshme për të llogaritjen e F8 sipas algoritmit standard rekurziv ilustron se si rekurzioni me nënprobleme pjesërisht të përputhura (mbuluara) mund të dërgojë në kosto eksponenciale. Në këtë rast, thirrja e dytë rekurzive injoron llogaritjet e bëra gjatë thirrjes së parë, gjë që rezulton me rillogaritje masive pasi që efekti shumëfishohet rekurzivisht. Thirrjet rekurzive për të llogaritur F6 = 8 (të cilat janë reflektuar në nënpemën e djathtë të rrënjës dhe nënpemën e majtë të nënpemës së majtë të rrënjës) janë listuar në vijim.

294


Figura 5.14. Struktura e algoritmit rekurziv për numrat ‘Fibonacci’ Në anën tjetër, është e lehtë të llogariten N numrat e parë Fibonacci, në një kohë proporcionale me N, duke përdorur vargun: F[0] = 0; F[1] = 1; for (i = 2; i <= N; i++) F[i] = F[i-1] + F[i-2];

Numrat rriten eksponencialisht, kështu që vargu është i vogël – për shembull, F45=1836311903 është numri më i madh Fibonacci që mund të reprezentohet si integer 32 bitësh, kështu që vargu me madhësi 46 kryen punë. Kjo teknikë jep një mënyrë të drejtpërdrejt për të fituar zgjidhjet numerike për çfarëdo relacioni të rekurrencës. Në rastin e numrave Fibonacci, mund të lëmë anash fare vargun dhe të përcjellim vetëm dy vlerat e përparshme. Për shumë rekurrenca të tjera të hasura zakonisht, duhet të mirëmbajmë vargun me të gjitha vlerat e njohura. Rekurrenca është funksion rekurziv me vlera integer. Diskutimi paraprak i paragrafit të mëparshëm dërgon në konkluzionin se mund të vlerësojmë çfarëdo funksionin të tillë duke llogaritur të gjitha vlerat e funksionit në renditjen që fillon prej më të voglit, duke përdorur në secilin hap vlerat e llogaritura paraprakisht, për të llogaritur vlerën aktuale. Kësaj teknike i referohemi si teknika “bottom-up dynamic programming” (programimi dinamik prej poshtë – 295

Avni Rexhepi te lartë). Kjo teknikë aplikohet në çdo llogaritje rekurzive, po qe se mund t’ia lejojmë vetes (nëse ka llogari) që të ruhen të gjitha vlerat e llogaritura më parë. Kjo është një teknikë e dizajnimit të algoritmeve që është përdorur me sukses për një rang të gjerë të problemeve. Duhet pasur kujdes për teknikën e thjeshtë e cila mund të përmirësojë kohën e ekzekutimit të një algoritmi, prej asaj eksponenciale në atë lineare! Programimi dinamik “top-down” (nga lartë – te poshtë) është pamje edhe më e thjeshtë e teknikës që lejon të ekzekutojmë funksionet rekurzive, me kosto to njëjtë (ose edhe më të ulët) sikur programimi dinamik “bottom-up” (prej poshtëte lartë), në mënyrë automatike. E instrumentalizojmë programin rekurziv për të ruajtur secilën vlerë të cilën e ruan (si veprim të fundit) dhe për të verifikuar vlerat e ruajtura për të evituar rillogaritjën e cilësdo prej tyre (si veprim të parë të saj). Programi 5.11 është transformim mekanik i programit 5.10, që e zvogëlon kohën e ekzekutimit që të jetë lineare, përmes programimit dinamik “top-down”. Figura 5.15, paraqet zvogëlimin drastik të numrit të thirrjeve rekurzive, të arritur përmës këtij ndryshimi të thjeshtë automatik. Programimi dinamik “top-down”, ndonjëherë thirret edhe memorizim.

Figura 5.15. Programimi dinamik “top-down”, për llogaritje të numrave Fibonacci Kjo figurë e thirrjeve rekurzive të përdorura për të llogaritur F8 përmes implementimit të programimit dinamik “top-down” të algoritmit rekurziv, ilustron se si ruajtja e vlerave të llogaritura zvogëlon koston prej asaj eksponenciale (fig. 5.14) në atë lineare. Programi 5.10. Numrat Fibonacci (implementimi rekurziv) Ky program, edhe pse kompakt dhe elegant, nuk është i përdorshëm pasiq që merr kohë eksponenciale për të llogaritur FN. Koha e ekzekutimit për të llogaritur FN+1, është e gjatë ø 1.6 herë sa koha e ekzekutimit për të llogaritur FN. Për shembull, pasi që ø9 > 60, nëse vërejmë se kompjuteri po merr 296

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave përafërsisht një sekond për të llogaritur FN, e dijmë se do të merr më shumë se një minut për të llogaritur FN+9, dhe më shumë se një orë për të llogaritur FN+18. int F(int i) { if (i < 1) return 0; if (i == 1) return 1; return F(i-1) + F(i-2); }

Si shembull më kompleks (më i komplikuar), shqyrtoni “knapsack problem” (problemin e çantës së shpinës). Problemi “Knapsack” (angl. knapsack – çantë e shpinës), është problem i optimizimit kombinatorik. Për një bashkësi të dhënë të elementeve, secili me një peshë dhe vlerë të caktuar, përcaktoni numrin e elementeve të cilat do të përfshihen në koleksion (do të futen në çantë), ashtu që pesha totale është më e vogël ose baraz se kufiri i lejuar dhe vlera është sa më e madhe që të jetë e mundur. Prezentohet edhe si versioni në vijim: “Hajni ka gjetur një thesar në një sef, por në çantën e tij, ka vend për një pjesë të vogël të elementeve, kështu që ai duhet të mbushë çantën, me elementet që kanë vlerën më të madhe.

Pra, duhet gjetur kombinimi i elementeve, për të maksimizuar vlerën totale të elementeve. Për shembull, me elementet e paraqitura në figurën 5.16, çanta është me madhësi 17, mund të mirren 5 A-ja (por jo gjashtë), për një total të vlerës prej 20, ose një D dhe jë E, për një total të vlerës prej 24, ose ndonjë kombinim tjetër. Qëllimi është që të gjindet një algoritëm efikas i cili disi do të gjejë maksimumin në mesin e të gjitha opsioneve të mundura, për çfarëdo bashkësie të elementeve dhe kapaciteti të çantës.

297

Avni Rexhepi

Figura 5.16. Shembull i “Knapsack” Një instancë e problemit “knapsack” konsiston në kapacitetin e çantës dhe bashkësinë e elementeve me madhësi të ndryshme (dimensioni horizontal) dhe vlerave (dimensioni vertikal). Këto figura paraqesin katër mënyra të ndryshme për të mbyshur çantën me madhësi/kapacitet 17, dy prej të cilave dërgojnë në vlerën më të lartë.

298


Fig. 5.17 Ka shumë aplikacione, për të cilat zgjidhja e problemit “knapsack” është e rëndësishme. Për shembull, një kompani transporti dëshiron të dijë mënyrën më të mirë për të ngarkuar një kamion ose një aeroplan “cargo”, me elementet të cilat duhet transportuar. Në aplikacione të tilla, mund të dalin variante tjera të problemit, si për shembull: mund të ketë numër të kufizuar të elementeve në dispozicion, ose mund të jenë dy kamionë. Shumë variante të tilla mund të trajtohen me qasjen e njëjtë sikur në rastin e zgjidhjes së problemit themelor, të paraqitur paraprakisht (disa dalin të jenë shumë më të vështira). Ka një vijë shumë të hollë ndërmjet problemeve të zgjidhshme dhe të pazgjidhshme të këtij lloji. Në zgjidhjen rekurzive të problemit “knapsack”, secilën herë që zgjedhet një element, supozojmë se mund të gjejmë (rekurzivisht) një mënyrë optimale për paketuar pjesën tjetër të çantës. Për çantën me madhësi “cap”, përcaktojmë për secilin element ‘i’ në mesin e elementeve në dispozicion, sa është vlera totale që do të mund të bartet, duke vendosur ‘i’-në në çantë me një paketim optimal të elementeve të tjera përreth. Ky paketim optimal është thjeshtë njëri që e kemi zbuluar (ose do ta zbulojmë) për madhësi më të vogël të çantës ‘capitems[i].size’. Kjo zgjidhje eksploaton principin se vendimet optimale, të bëra një herë, nuk duhet të ndryshohen. Kur një herë të dijmë se si të paketohet çanta me kapacitet më të vogël me një bashkësi optimale të elementeve, nuk kemi nevojë të ri-ekzaminojmë këto probleme, pamarrë parasyshë çfare janë elementet tjera në vazhdim. Programi 5.12 është zgjidhja direkte rekurzive e bazuar në këtë diskutim. Përsëri, ky program nuk është i realizuesëm për përdorim në zgjidhjen e problemeve aktuale, sepse merr kohë eksponenciale për shkak të rillogaritjeve masive (shiko figurën 5.17), mirëpo, mund të aplikojmë programimin dinamik “top-down” për të eliminuar këtë problem, ashtu si është paraqitur në programin 5.13. Si edhe më parë, kjo teknikë eliminon rillogaritjen, si është paraqitur në figurën 5.18.

299

Avni Rexhepi

Figura 5.18a. Struktura rekurzive e algoritmit “knapsack” Kjo pemë paraqet strukturën e thirrjeve rekurzive të algoritmit të thjeshtë rekurziv “knapsack”, në programin 5.12. Numri në secilën nyje reprezenton kapacitetin e mbetur në çantë. Algoritmi vuan problemin e njëjtë themelor të performansës eksponenciale për shkak të rillogaritjes masive për nënproblemet me përputhje, të cilat u shqyrtuan në llogaritjen e numrave Fibonacci (Fig. 5.14). Ashtu si në bëri në llogritjen e numrave Fibonacci, teknika e ruajtjes së vlerave të njohura e redukon koston e algoritmit knapsack, nga eksponenticale në lineare (Figura 5.18).

Figura 5.18b. Programimi dinamik “top-down” për algoritmin knapsack Sipas dizajnit, programimi dinamik eliminon të gjitha rillogaritjet në cilindo program rekurziv, subjekt vetëm të kushtit që mund t’ia lejojmë vetes që të ruajmë vlerat e funksionit për argumentet më të vogla sesa thirrja aktuale (në pyetje). Duke ruajtur vlerat që llogariten në një varg statik (vlerat e të cilit inicializohen në 0, në C++), evitojmë rillogaritjen në mënyrë eksplicite. Ky program llogaritë FN në kohë proporcionale me N, në kontrast të zymtë me kohën O(øN) të përdorur nga programi 5.10. Programi 5.11. Numrat Fibonacci (Programimi dinamik) //known=i/e njohur int F(int i) { static int knownF[maxN]; //knownF = F e ditur if (knownF[i] != 0) return knownF[i]; int t = i; if (i < 0) return 0; if (i > 1) t = F(i-1) + F(i-2); return knownF[i] = t; }

300

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Vetia 5.3. Programimi dinamik redukton kohën e ekzekutimit të funksioneve rekurzive, që të jetë së shumti sa koha e kërkuar për të vlerësuar funksionin për të gjitha argumentet më të vogla ose barazi me argumentin e dhënë, duke trajtuar koston e thirrjes rekurzive si konstantë. Për problemin “knapsack”, kjo veti implikon se koha e ekzekutimit është proporcionale me NM. Prandaj, ne mund të zgjidhim problemin “knapsack” më lehtë kur kapaciteti nuk është i madh; për kapacitete shumë të mëdha, kërkesat kohore dhe hapsinore mund të jenë jashtëzakonisht të mëdha. Edhe programimi dinamik “bottom-up” (prej poshtë-te lartë), mund të aplikohet për problemin ‘knapsack’. Në të vërtetë, mund të përdorim qasjen “bottom-up” secilën herë që përdorim qasjen “top-down”, edhe pse duhet të kemi kujdes që të sigurohemi që vlerat e funksionit llogariten në renditjen e duhur, ashtu që secila vlerë që na duhet, të jetë llogaritur kur të na duhet. Për funksionet me argumente të vetme integer, si këto të dyja që u shqyrtuan, thjeshtë vazhdojmë në renditje rritëse të argumenteve; për funksione më të komplikuara rekurzive, përcaktimi i renditjes së duhur mund të jetë sfidë. Për shembull, nuk duhet të kufizohemi në funksione rekurzive me nga një argument të vetëm integer. Kur kemi funksione me argumente të shumëfishta integer, mund të ruajmë zgjidhjet e nënproblemeve të vogla në vargje shumëdimensionale, nga një për secilin agrument. Situatat tjera nuk përfshijnë fare argumente integer, por më parë përdorin formulim diskret abstrakt të problemit, që lejon dekompozimin e problemeve në probleme më të vogla. Si edhe në rastin e numrave Fibonacci, mos e përdorni këtë zgjidhje të problemit (këtë program), sepse do të merr kohë eksponenciale dhe prandaj nuk do të kompletojë ekzekutimin edhe për probleme të vogla. Mirëpo, sidoqoftë, paraqet zgjidhje kompakte e cila mund të përmirësohet lehtë (shiko programin 5.13). Ky kod supozon se elementet janë struktura me madhësi dhe vlerë, të definuar përmes: typedef struct { int size; int val; } Item;

dhe kemi një varg me N elemente, të tipit ‘Item’. Për secilin element të mundshëm, llogarisim (rekurzivisht) vlerën maksimale që do të mund të arrihej duke përfshirë atë element, e pastaj duke marrë maksimumin e të gjitha atyre vlerave. Programi 5.12. Problemi ‘Knapsack’ (implementimi rekurziv) //knap=knapsack, space=hapesira, cap=kapaciteti int knap(int cap) { int i, space, max, t;

301

Avni Rexhepi for (i = 0, max = 0; i < N; i++) if ((space = cap-items[i].size) >= 0) if ((t = knap(space) + items[i].val) > max) max = t; return max; }

Në programimin dinamik “top-down”, i ruajmë vlerat e njohura; në programimin dinamik “bottom-up”, i parallogarisim ato. Në përgjithësi preferojmë programimin dinamik “top-down” ndaj atij “bottom-up”, sepse   

Është transformim mekanik i zgjidhjes natyrale të problemit. Radha e llogaritjes së nënproblemeve kujdeset për vetveten. Mund të mos kemi nevojë që të llogarisim përgjigjet për të gjitha nënproblemet.

Aplikacionet e programimit dinamik dallojnë në natyrën e nënproblemeve dhe në a sasinë e informacioneve të nevojshme për t’u ruajtur lidhur me nënproblemet. Pikë kritike e cila nuk mund të lihet anash është se programimi dinamik bëhet joefektif kur numri i vlerave të mundshme të funksioneve të cilat mund të nevojiten është aq i madh sa që nuk mund t’i lejojmë vetes (të kemi komoditetin) e ruajtjes (top-down) ose parallogaritjes (bottom-up) së të gjitha vlerave. Për shembull, nëse M dhe madhësitë e elementeve janë madhësi 64bitëshe ose numra “floating-point” (me presje të lëvizshme) në problemin knapsack, ne nuk do të jemi në gjendje t’i ruajmë vlerat duke i indeksuar në një varg. Ky dallim shkakton më shumë sesa bëzdi të vogël – paraqet vështirësi fundamentale. Nuk ka zgjidhje të mirë të njohur për probleme të tilla ka arsye të besohet se zgjidhjet e tilla nuk ekzistojnë. Programimi dinamik është teknikë e dizajnit të algoritmeve që është e përshtatshme për problemet e avansuara. Programimi dinamik ‘top-down’ është teknikë bazë për zhvillimin e implementimeve efikase të algoritmeve rekurzive dhe është vegël për këdo që mirret me dizajnin dhe implementimin e algoritmeve. Ky modifikim mekanik i kodit të programit 5.12 redukon kohën e ekzekutimit prej asaj eksponenciale në atë lineare. Thjeshtë i ruajmë vlerat e funksionieve të cillat llogariten, pastaj i “thërrasim” vlerat e ruajtura kurdo që na duhen (duke përdorur vlerat “rezervë” për të reprezentuar vlerat e panjohura), në vend se të bëhen thirrjet rekurzive. Ruajmë indeksin e elementit, ashtu që të mund të 302

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave rikonstruktojmë përmbajtjen e çantës pas llogaritjes, nëse dëshirojmë që: itemKnoën[M] të jetë në çantë, përmbajtja e mbetur është e njëjtë sikur për knapsack-un optimal të madhësisë M-itemKnoën[M].size ashtu që itemKnoën[M-items[M].size] është në çantë, e kështu me radhë. Programi 5.13. Poblemi Knapsack (programimi dinamik) // space=hapsira; maxKnown=max_i_njohur; // unknown=i_panjohur; itemKnown=elementi_i_njohur int knap(int M) { int i, space, max, maxi = 0, t; if (maxKnown[M] != unknown) return maxKnown[M]; for (i = 0, max = 0; i < N; i++) if ((space = M-items[i].size) >= 0) if ((t = knap(space) + items[i].val) > max) { max = t; maxi = i; } maxKnown[M] = max; itemKnown[M] = items[maxi]; return max; }

303

Avni Rexhepi

6. Pemët Pema (angl. Tree) si strukturë e të dhënave është e ngjashme me rrugën e përshkuar për të arritur në një pikë të caktuar, ku gjatë rrugës, në shumë vende kemi degëzime dhe duhet të vendosim a të shkojmë majtas apo djathta. Pra, edhe pse në idenë e parë të pemës, menjëherë na parafytyrohet një pemë (të cilën e pëlqejmë më së shumti), me trungun, degët, gjethet dhe frutat e saj, në fakt duhet ta imagjinojmë si pemë të përmbysur, me strukturë të kontrolluar. Pemët janë abstraksion matematik që luan rol qëndror në dizajnin dhe analizën e algoritmeve, sepse  

Pemët përdoren për të përshkruar tiparet dinamike të algoritmeve. Ndërtojmë dhe përdorim struktura eksplicite të të dhënave të cilat janë realizim konkret i pemëve.

Veq kemi parë shembuj të këtyre përdorimeve. Ne dizajnojmë algoritmet për problemet e lidhjes të cilat janë të bazuara në strukturën e pemës dhe shpjegojmë strukturën e thirrjeve të algoritmeev rekurzive përmes strukturës së pemës. Pemët i hasim shpesh në jetën e përditshme dhe koncepti themelor është i njohur. Për shembull, njerëzit ruajnë të dhënat për paraardhërsit dhe pasardhësit përmes pemës familjare (trungut familjar) dhe terminologjia e përgjithshme vjen pikërisht prej këtij përdorimi. Shembull tjetër është skema e organizimit të garave sportive, ose skema organizative e ndonjë organizate të madhe. Ky përdorim përkujton dekompozimin hierarkik që i karakterizon algoritmet përçaje-sundo. Shembull tjetër është pema e analizës gramatikore të fjalisë, në pjesët përbërëse të saj; pemët e tilla janë të lidhura ngushtë me procesimin e gjuhëve programuese. Figura 6.1 paraqet një shembull tipik të pemës – një që e përshkruan strukturën e librit.

Figura 6.1 - Pema Për secilin ‘entitet’ ka një nyje. secila nyje është e lidhur me nyjet pasuese përmes lidhjeve dhe ato paraardhëse. Në aplikacionet kompjuterike, një prej përdorimeve më familjare të strukturës së pemës është organizimi i sistemit të fajllave. Fajllat i ruajmë nëpër “folder”-a të cilët janë të definuar rekurzivisht si sekuencë e folderave dhe fajllave. 304

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Definicioni rekurziv përseri reflekton natyrën rekurzive të dekompozimit dhe është identik me definicionin e një tipi të zakonshëm të pemës.

Fig.6.2 - Rreprezentimi i strukturws sw pemws si bashkwsi tw ndwrthurrura, kllapa tw ndwrthurrura, zhvendosje e shkallwzuar dhe si pemw.

*

-

+ /

a b

d c

* e

f

Fig.6.3 - Paraqitja nw formw tw pemws, e shprehjes: (a+(b/c)*(d-e*f)

305

Avni Rexhepi Ka shumë lloje të ndryshme të pemëve dhe është me rëndësi që të kuptohet dallimi ndërmjet abrstaksionit dhe reprezentimit konkret me të cilin punojmë për një aplikacion të dhënë. Varësisht prej rastit do të shqyrtojmë lloje të ndryshme të pemëve dhe reprezentimet e detajuara të tyre. Në fillim do të definohen pemët si objekte abstrakte dhe do të prezentohet terminologjia themelore e shoqëruar me to. Në mënyrë joformale do të diskutohen llojet e ndryshme të pemëve të cilat duhet të shqyrtohen sipas radhës së përgjithësisë:    

Pemët Pemët e rrënjëzuara Pemët e renditura Pemët binare dhe M-are

Figura 6.4 - Llojet e pemëve Në figurën 6.4 janë paraqitur disa shembuj të pemëve: pema binare, pema ternare, me rrënjë dhe e lirë. Kjo figurë ilustron shumë koncepte themelore të cilat do të diskutohen dhe definohen. Pema është bashkësi (koleksion) jo i zbrazët i nyjeve dhe degëve, që i plotëson disa kushte të caktuara. Nyja është objekt i thjeshtë që mund të ketë emër dhe mund të bartë edhe informata të tjera të shoqëruara. Dega është një lidhje ndërmjet dy nyjeve. Shtegu në pemë është një listë e degëve të ndryshme në të cilin nyjet e njëpasnjëshme lidhen përmes degëve në pemë. Një tipar definues i pemës është se ekziston saktësisht një shteg që i lidhë cilatdo dy nyje. Nëse ka më shumë se një shteg ndërmjet ndonjë çifti të nyjeve ose nëse nuk ka shteg ndërmjet ndonjë çifti të nyjeve, atëherë kemi të bëjmë me graf, jo me pemë. Në 306

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave anën tjetër, mund të thuhet se pema është rast specifik i grafit. Një bashkësi e pemëve të ndara, quhet pyll (angl. forest). Pema e rrënjëzuar (ose pema me rrënjë) është ajo pemë në të cilën e përcaktojmë një nyje si rrëntë të pemës. Në shkencat kompjuterike, normalisht termi pemë i referohet pemës me rrënjë dhe përdoret termi pemë e lirë për të ju referuar strukturës së përgjithshme të pemës. Në pemën me rrënjë, cilado nyje është rrënjë e nënpemës që përbëhet prej saj dhe prej nyjeve nën të. Ekziston saktësisht një shteg ndërmjet rrënjës dhe secilës nyje tjetër në pemë. Definicioni nuk përfshinë drejtimin (kahjen) në degë. Normalisht, i mendojmë degët si të jenë të gjitha të drejtuara prej rrënjës teposhtë ose të gjitha të drejtuara kah rrënja, varësisht prej aplikacionit. Zakonisht, pema me rrënjë vizatohet si pemë e përmbysur, me rrënjën në maje (edhe pse fillimisht duket si jo e natyrshme) dhe flasim për nyjen ‘y’ si nyje që ndodhet nën nyjen ‘x’ (dhe ‘x’ mbi ‘y’) nëse nyja ‘x’ është në shtegun prej ‘y’ kah rrënja (do të thotë, y është lidhur me x përmes degës që nuk kalon nëpër rrënjë). Secila nyje (përveq rrënjës) ka saktësisht një nyje përmbi vetën, e cila quhet prind. Nyjet drejtpërdrejt një nyje quhen fëmijët e saj. Terminologjia familjare përdoret edhe për nivelet si “gjyshërit” ose “vëllezërti/motrat” për nyjet e nivelit të njëjtë, me prind të njëjtë. Nyjet të cilat nuk kanë fëmijë, quhen “gjethe” ose “nyje fundore”. Nyjet të cilat kanë së paku një fëmijë, ndonjëherë quhen edhe “nyje jo-fundore”. Në pemët të cilat përdoren për të prezentuar strukturën e thirrjeve të algoritmeve rekurzive, nyjet jofundore (rrathët) paraqesin thirrjet e funksioneve me thirrje rekurzive, ndërsa nyjet fundore (katrorët) paraqesin thirrjet e funksioneve pa thirrje rekurzive. Në disa aplikacione, është shumë me rëndësi mënyra në të cilën janë renditur fëmijët e secilës nyje, kurse në të tjerat nuk është me rëndësi. Një pemë e renditur është pema me rrënjë në të cilën renditja e fëmijëve në secilën nyje është e përcaktuar (specifikuar). Pemët e renditura janë reprezentim natyral: p.sh., fëmijët i vendosim sipas një radhe të caktuar kur e vizatojmë pemën. Në të vëertetë në shumë reprezentime konkrete natyrale ka renditje të nënkuptuar dhe ky përcaktim është shumë i rëndësishëm kur shqyrtohet përfaqësimi i pemëve në kompjuter. Nëse secila nyje duhet të ketë një numër të caktuar të fëmijëve, që paraqiten në një renditje specifike, atëherë kemi të bëjmë me pemën M-are. Në pemën e tillë, është e zakonshme të definohen nyjet eksterne speciale të cilat nuk kanë fëmijë. Pastaj, nyjet eksternale mund të sillen (veprojnë) si nyje “të rrejshme” për referencë nga nyjet të cilat nuk kanë numrin e specifikuar të fëmijëve. Në veçanti, pema më e thjeshtë M-are është pema binare. Pema binare është pemë e renditur e cila përbëhet nga dy lloje të nyjeve: nyjet eksterne që nuk kanë fëmijë 307

Avni Rexhepi dhe nyjet interne, të cilat kanë saktësisht nga dy fëmijë. Pasi që dy fëmijët e secilës nyje interne janë të renditur, atyre ju referohemi si fëmija i majtë dhe fëmija i dajthtë. Secila nyje interne duhet të ketë të dy fëmijët, të majtin dhe të djathtin, edhe pse njëra ose të dyja mund të jenë nyje eksterne. Në pemën M-are, gjethja është nyja interne fëmijët e së cilës janë të gjithë eksternal. Kjo është terminologjia themelore, ndërsa në vazhdim do të shqyrtohen definicionet formale, reprezentimet dhe aplikacionet, në renditje rritëse të përgjithësimit.    

Pemët binare dhe M-are Pemët e renditura Pemët me rrënjë Pemët e lira

Definicion 6.1. Pema binare është ose nyje eksterne ose nyje interne e lidhur me një çift të pemëve binare, të cilat quhen nënpema e majtë dhe nëpema e djathtë e asaj nyjeje. Ky definicion e bën të qartë se vetë pema binare është një koncept abstrakt matematik. Kur punojmë me reprezentimin kompjuterik, jemi duke punuar me vetëm një realizim konkret të këtij abstraksioni. Situata nuk është e ndryshme nga reprezentimi i numrave real, me float, numrave të plotë me int, etj. Kur e vizatojmë pemën me një nyje në rrënjë, të lidhur me degë për në nënpemën e majtë në të majtë dhe nënpemën e djathtë në të djathtë, jemi duke zgjedhur një reprezentim të përshtatshëm. Ka shumë mënyra të ndryshme për të reprezentuar pemët binare, të cilat fillimisht mund të duken befasuese. Reprezentimi konkret që përdoret më së shpeshti kur implementohen programet të cilat përdoren për manipulim të pemëve binare, është struktura me dy lidhje (të majtën dhe të djathtën, që janë pointerë) për nyjet interne (shih figurën 5.21). Kjo strukturë është e ngjashme me atë të listës së lidhur. Lidhjet “Null” i përgjigjen nyjeve eksterne. Në mënyrë specifike, në repezentimin standard të nyjes, kemi: struct node { Item item; node *l, *r; }; typedef node *link;

që në fakt është kodi në C++ për definicionin 5.1. Nyjet përbëhen prej elementeve dhe çifteve të pointerëve për në nyje, të cilëve ju referohemi si lidhje. Kështu p.sh., operacionin abstrakt të lëvizjes në nënpemën e majtë e implementojmë me referencën me pointer si: x = x->l. (l – për left, angl. leftmajtas).

308


Figura 6.5 - Reprezentimi i pemës binare Ky reprezentim standard mundëson implementim efikas të operacioneve të cilat përdoren për të lëvizur nëpër pemë, nga rrënja e teposhtë, por jo për operacionet të cilat përdoren për të lëvizur te lartë pemës, nga fëmija tek prindi. Për algoritmet të cilat kërkojnë operacione të tilla, mund të shtojmë një lidhje të tretë në secilën nyje, e cila do të pointojë në prindin. Kjo alternativë është e ngjashme me atë të listës së lidhur dyfish. Sikur në rastine listave të lidhura dyfish, nyjet e pemës i mbajmë në një varg dhe i përdorim indeksat në vend të pointerëve, si lidhje për situatat e caktuara. Për shkak të mundësive të ndryshme të reprezentimit, do të mund të zhvillonim tipin abstrakt të të dhënave (ADT) të pemës binare, i cili do të enkapsulojë operacionet e rëndësishme të cilat do të dëshirojmë t’i kryejmë dhe që ndanë përdorimin dhe implementimin e këtyre operacioneve. Megjithatë, nuk do ta përdorim këtë qasje, sepse   

Më së shpeshti përdoret reprezentimi me dy lidhje (dy pointera) Pemët përdoren për të implementuar ADT të niveleve më të larta dhe fokusi mbetet tek to Përdorim algoritme efikasiteti i të cilave varet nga reprezentimi i veçantë – fakt që mund të humbet në një ADT.

Kështu, reprezentimi binar i paraqitur në figurën 6.5 është fundamental. Për listat e lidhura, operacionet elementare ishin insertimi dhe largimi i nyjeve. Per reprezentimin standard të pemëve binare, operacionet e tilla nuk janë elementare, për shkak të lidhjes së dytë. Nëse dëshirojmë të largojmë një nyje nga pema binare, duhet të bashkrendojmë problemin themelor se do të duhet të trajtojmë dy fëmijë pasi të jetë larguar nyja, por vetëm një prind. Këto janë tri operacione natyrale të cilat nuk e kanë këtë vështirësi: insertimi i nyjes në fund (zëvendëso lidhjen Null me lidhjen për nyjen e re), largimi i gjethes (zëvendëso lidhjen e saj me Null) dhe kombinimi i dy pemëve duke krijuar rrënjë të re me lidhje të majtë në njërën pemë dhe me lidhje të djathtë në pemën tjetër. Këto operacione përdoren gjerësisht gjatë manipulimit të pemëve binare.

309

Avni Rexhepi Definicion 6.2. Një pemë M-are është ose nyje eksterne ose nyje interne e lidhur me një sekuencë të renditur të M pemëvë, të cilat poashtu janë pemë M-are. Normalisht, nyjet e pemës M-are reprezentohen si strukturë me M lidhje të emërtuara (si në pemën binare, pointerë) ose si vargje me M lidhje. Përdorimi i vargjeve për të mbajtur lidhjet është i duhur sepse vlera e M është fikse, edhe pse, si do të shohim, duhet kushtuar kujdes përdorimit të tepërt të hapësirës kur përdoret reprezentimi i tillë. Definicion 6.3. Pema e renditur është nyja (e quajtur rrënjë) e lidhur me një sekuencë të pemëve të ndara. Sekuenca e tillë, quhet pyll. Dallimi ndërmjet pemës së renditur dhe pemës M-are është se nyjet e pemës së renditur kanë numër të çfarëdoshëm të fëmijëve, ndërsa në pemën M-are, duhet të ketë saktësisht M fëmijë. Ndonjëherë përdoret termi pemë e përgjithshme, për të dalluar pemën e renditur nga pema M-are. Pasi që nyjet e pemës së renditur mund të kenë çfarëdo numri të lidhjeve, është e natyrshme të shqyrtohet përdorimi i listës së lidhur, përpara vargjeve, për të mbajtur lidhjet për fëmijët e nyjes. Figura 6.6 është një shembull i reprezentimit të tillë. Prej këtij shembulli, është e qartë se secila nyje pastaj përmbanë dy lidhje, një për listën e lidhur për t’a lidhur atë me moshatarët (vëllezërit/motrat) e vet dhe tjetra për listën e lidhur të fëmijëve të saj.

Figura 6.6. Reprezentimi i pemës Reprezentimi i pemës duke mbajtur listën e lidhur të fëmijëve të secilës nyje është ekuivalent me reprezentimin e saj si pemë binare. Diagrami lartë, në të djahtë, paraqet reprezentimin e pemës majtas lartë, përmes listës së lidhur të fëmijëve, me listën e implementuar në lidhjet e djathta të nyjeve dhe me secilën lidhje të majtë të nyjes duke pointuar në nyjen e parë në listën e lidhur të 310

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave fëmijëve të saj. Diagrami në të djathtë poshtë, paraqet një version të riaranzhuar të diagramit lartë dhe qartazi reprezenton pemën binare në skajin e majtë poshtë. Pra, mund të shqyrtojmë pemën binare si përfaqësues të pemës. Vetia 6.1. Ekziston një lidhje një-me-një ndërmjet pemëve binare dhe pyjeve të renditura. Kjo lidhje është paraqitur në figurën 6.6. Mund të paraqesim çfarëdo pylli si pemë binare, duke bërë lidhjen e majtë të secilës nyje që të pointojë në fëmijën më të majtë të saj dhe lidhjen e djathtë të secilës nyje që të pointojë në vëllaun/motrën në të djathtë. Definicion 6.4. Pema me rrënjë (ose pema e parenditur) është një nyje (e quajtur rrënjë) e lidhur me një “multiset” të pemëve me rrënjë (multiseti i tillë quhet një pyll i parenditur). Pema ku renditja në të cilën shqyrtohen fëmijët e nyjes nuk është e rëndësishme është pemë e parenditur. Pema e parenditur mund të definohet edhe si pemë të parenditura të përbëra nga një bashkësi e relacioneve prind-fëmijë ndërmjet nyjeve. Kjo zgjidhje duket të ketë një lidhje të vogël me strukturat rekurzive që janë duke u shqyrtuar, por ndoshta është reprezentim konkret që është më i sakti për nocionin abstrakt. Mund të zgjedhim që pemën e parenditur, në kompjuter ta reprezentojmë përmes një peme të renditur, duke ditur se shumë pemë të ndryshme të renditura mund të reprezentojnë të njëjtën pemë të parenditur. Me të vërtetë, problemi i kundërt i përcaktimit nëse dy pemë të ndryshme të renditura reprezentojnë ose jo të njëjtën pemë të parenditur (problemi i izomorfizmit të pemës) është i vështirë për t’u zgjidhur. Tipi më i përgjithshëm i pemës është ai ku nuk ka nyje rrënjë të dalluar. Për të definuar si duhet pemën e parrënjë, të parenditur ose të lirë, duhet të jepet definicioni i grafit. Definicion 6.5. Grafi është një bashkësi e nyjeve së bashku me bashkësinë e degëve të cilat i lidhin çiftet e nyjeve të ndryshme (me më së shumti një degë që lidhe cilindo çift të nyjeve). Mund të përfytyrojmë fillimin nga një nyje dhe vazhdimin nëpër një degë deri tek nyja e lidhur në të, e pastaj duke vazhduar nëpër një rrugë prej asaj nyje, në një nyje tjetër, e kështu me radhë. Sekuenca e degëve të cilat dërgojnë prej një nyje në një nyje tjetër në këtë mënyrë, pa asnjë nyje që paraqitet dy herë, quhet shteg i thjeshtë (angl. simple path). Grafi është i lidhur nëse ka një shteg të thjeshtë që lidhë cilindo çift të nyjeve. Shtegu që është i thjeshtë, por në të cilin nyja e parë dhe e fundit janë e njëjta nyje quhet cikël (fillimi dhe mbarimi në të njëjtën nyje). 311

Avni Rexhepi Secila pemë është graf, mirëpo cilat grafe janë pemë? Konsiderojmë se grafi për të qenë pemë duhet t’i përmbushë cilindo prej kushteve vijuese:    

G ka N – 1 degë dhe asnjë cikël. G ka N – 1 degë dhe është i lidhur. Saktësisht një shteg i thjeshtë lidhe secilin çift të nyjeve në graf. G është i lidhur, por nuk mbetet i lidhur nëse largohet cilado nyje.

Cilido prej këtyre kushteve është i nevojshëm dhe i mjaftueshëm për të provuar (vërtetuar) tri të tjerat. Formalisht, duhet të zgjedhim njërin prej tyre që të shërbejë si definicion i pemës së lirë, mirëpo joformalisht lejojmë që të gjitha së bashku të shërbejnë si definicion. Ne reprezentojmë pemën e lirë thjeshtë si koleksion të degëve. Nëse zgjedhim që të reprezentojmë pemën e lirë si një pemë të parenditur, të renditur soe edhe binare, duhet të pranojmë se, në përgjithësi, ka shumë mënyra të ndryshme për të reprezentuar secilën pemë të lirë. Abstraksioni i pemës paraqitet si nevojë shpeshherë dhe dallimet e diskutuara në këtë pjesë janë të rëndësishme, sepse njohja e abstraksioneve të ndryshme të pemëve është shpeshherë esenciale në gjetjen e algoritmeve efikase dhe strukturave gjegjëse të të dhënave, për problemin e dhënë. Shpesh punojmë drejtpërdrejt me reprezentimin konkret të pemëve pa pasur kujdes për abstraksionin e veçantë, por shumë herë përfitojmë nga puna me abstraksionin e duhur të pemës, e pastaj duke shqyrtuar reprezentimet konkrete. Ka shumë shembuj të ndryshëm. Në vazhdim do të paraqesim një numër të tipareve themelore matematike të pemëve, të cilat do të jenë të dobishme në dizajnin dhe analizën e algoritmeve të pemëve.

Tiparet matematike të pemëve binare Pasi që më së shpeshti përdoren pemët binare, do të fokusohemi në tiparet matematike të tyre. Të kuptuarit e tipareve themelore është bazë për të kuptuarit e karakteristikave të performansës së algoritmeve të ndryshme të cilat hasen jo vetëm në përdorimin e pemëve binare si strukturë eksplicite e të dhënave, por gjithashtu edhe për algoritmet rekurzive përçaj-e-sundo dhe aplikacioneve të tjera të ngjashme. Vetia 6.2. Pema binare me N nyje interne ka N+1 nyje eksterne. Kjo veti provohet përmes induksionit: pema binare pa asnjë nyje interne ka një nyje eksterne, kështu që vetia vlenë për N=0. Për N>0, cilado pemë binare me N 312

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave nyje interne ka k nyje interne në nënpemën e saj të majtë dhe N-1-k nyje interne në nënpemën e saj të djathtë, për ndonjë k ndërmjet 0 dhe N-1, pasi që rrënja është një nyje interne. Sipas hipotezës induktive, nënpema e majtë ka k+1 nyje eksterne dhe nënpema e djathë ka N-k nyje eksterne, për një total prej N+1 nyjesh. Vetia 6.3. Pema binaer me N nyje interne ka 2N lidhje/degë: N-1 lidhje për në nyjet interne dhe N+1 nyje për në nyjet eksterne. Në cilëndo pemë me rrënjë, secila nyje, përveq rrënjës, ka një prind unik, dhe secila degë lidhë një nyje me prindin e saj, kështu që janë N-1 lidhje që lidhin nyjet interne. Ngajshëm, secila prej N+1 nyjeve eksterne ka një lidhje, për në prindin e saj unik. Karakteristika e performansës së shumë algoritmeve varet jo vetëm në numrin e nyjeve në pemën e shoqëruar, por edhe në tiparet e ndryshme strukturale. Definicion 5.6. Niveli i nyjes në pemë është për një më i lartë se niveli i prindit të saj (me rrënjën në nivelin 0). Lartësia e pemës është maksimumi i niveleve të nyjeve të pemës. Gjatësia e shtegut të pemës është shuma e të gjitha niveleve të të gjitha nyjeve të pemës. Gjatësia e shtegut intern të pemës binare është sa shuma e niveleve të të gjitha nyjeve interne të pemës. Gjatësia e shtegut eksternal të pemës binare është sa shuma e niveleve të të gjitha nyjeve eksterne të pemës. Mënyrë e përshtatshme për të llogaritur gjatësinë e shtegut të pemës është që të mblidhen, për çdo ‘k’, produkti i ‘k’ dhe numrit të nyjeve në nivelin ‘k’. Këto madhësi gjithashtu kanë definicione të thjeshta rekurzive të cilat rrjedhin drejtpërdrejt prej definicioneve rekurzive të pemëve dhe pemëve binare. Për shembull, lartësia e pemës është 1 më e madhe sesa maksimumi i lartësisë së nënpemëve të rrënjës së saj dhe gjatësia e shtegut të pemës me N nyje është shuma e gjatësive të shtigjeve të nënpemëve të rrënjës së saj plus N-1. Madhësitë gjithashtu ndërlidhen drejtpërdrejtë me analizën e algoritmeve rekurzive. Për shembull, për shumë llogaritje rekurzive, lartësia e pemës korresponduese është saktësisht thelëësia maksimale e rekurzionit ose madhësia e stekut të nevojshëm për të përkrahur llogaritjen. Vetia 6.4. Gjatësia e shtegut eksternal të cilësdo pemë binare me N nyje interne është 2N më e madhe sesa gjatësia e shtegut intern. Kjo mund të provohet (vërtetohet) me induksion, por një provë alternative (që poashtu funksionon edhe për vetinë 5.6) është instruktive. Vëreni se cilado pemë binare mund të konstruktohet përmes procesit vijues: filloni me pemën binare që përbehet prej një nyjeje eksterne. Pastaj, përsëritni N herë si në vijim: zgjedhni një nyje eksterne dhe zëvendësojeni me një nyje të re interne me dy nyje 313

Avni Rexhepi eksterne si fëmijë. Nëse nyja eksterne e zgjedhur është në nivelin k, gjatësia e shtegut intern është rritur për k, por gjatësia e shtegut ekstern është rritur për k+2 (një nyje eksterne në nivelin k është larguar, por janë shtuar dy në nivelin k+1). Procesi fillon me pemën me gjatësi interne dhe eksterne të shtegut të barabarta me zero dhe secili prej N hapave, e rritë gjatësinë e shtegut ekstern për 2 më shumë sesa gjatësia e shtegut intern. Vetia 6.5. Lartësia e pemës binare me N nyje interne është më së paku lg N dhe më së shumti N-1. Rasti më i keq është pema e degjeneruar me vetëm një gjete, me N-1 lidhje prej rrënjës deri tek gjethja (shih figurën 6.7). rasti më i mirë është pema e balansuar me 2i nyje interne në secilin nivel ‘i’ përveq nivelit të fundit (si në Fig. 6.7). Nëse lartësia është ‘h’, atëherë duhet të kemi: 2h

– 1

< N + 1 ≤ 2h ,

pasi që janë N+1 nyje eksterne. Ky inekuacion implikon vetinë e shpallur: gjatësia e rastit më të mirë (angl. best-case) është saktësishtë e barabartë me lg N, e rrumbullaksuar në numrin e plotë më të afërm.

Figura 6.7. Tri pemë binare me nga 10 nyje interne Pema binare majtas, ka lartësinë 7, gjatësinë e shtegut intern 31 dhe gjatësinë e shtegut ekstern 51. Pema tërësisht e balansuar (në mes) me 10 nyje interne ka lartësinë 4, gjatësinë e shtegut intern 19 dhe gjatësinë e shtegut ekstern 39 (asnjë pemë binare me 10 nyje nuk ka vlera më të vogla për këto madhësi). Pema e degjeneruar (në skajin e djathtë) me 10 nyje interne, ka lartësinë 10, gjatësinë e shtegut intern 45 dhe gjatësinë e shtegut ekstern 65 (asnjë pemë binare me 10 nyje nuk ka vlera më të mëdhaja për këto madhësi). Vetia 6.6. Gjatësia e shtegut intern të pemës binare me N nyje interne është së paku N*lg(N/4) dhe më së shumti N(N-1)/2. Rasti më i keq (angl. worst-case) dhe rasti më i mirë (angl. best-case) arrihen për të njejtat pemë si ato të referuara në diskutimin e vetisë 5.8 dhe të paraqitur në figurën 6.7. Gjatësia e shtegut intern të rastit më të keq është: 0+1+2+...+(N– 314

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave 1)=N(N–1)/2. Pema e rastit më të mirë ka (N+1) nyje eksterne në lartësinë jo

më shumë se [lg N]. Duke shuëmzuar këto dhe duke aplikuar vetinë 5.7, fitojmë kufirin (N+1)[lgN]–2N
Përshkimi i pemës Para se të shqyrtohen algoritmet të cilat konstruktojnë pemët dhe pemët binare, do të shqyrtojmë algoritmet për funksionin themelor të procesimit të pemëve, atë të përshkimit të pemës (kalimit me radhë nëpër anëtarët e pemës - angl. tree traversal). Me pointerin e dhënë për pemën, dëshirojmë të procesojmë secilën nyje në pemë në mënyrë sistematike. Në listën e lidhur, lëvizim prej nyjes në nyje duke përcjellur një lidhje (për listën e lidhur njëfish). Për pemët, sidoqoftë, duhet të marrim një vendim, sepse mund të ketë lidhje të shumëfishta, për t’u përcjellur. Ka shumë veprime që mund të kryhen në strukturën e pemës. Një i zakonshëm do të ishte kryerja e një operacioni të caktuar P në seclin element të pemës. Atëherë, nënkuptohet që P duhet të kalojë nëpër secilën nyje të pemës, përmes përshkimit të pemës. Nëse e konsiderojmë operacionin si proces i njëshëm sekuencial, atëherë nyjet individuale vizitohen në një renditje të caktuar dhe mund të konsiderohen sikur të ishin shtrirë në renditje lineare. Në fakt, përshkrimi i shumë algoritmeve lehtësohet shumë nëse flasimpër procesimin e elementit të ardhshëm në pemë bazuar në renditjen e caktuar. Janë tri renditje parimore të cilat dalin natyrshëm nga struktura e pemës. Sikur vetë struktura e pemës, ato janë të përshtatshme që të përshkruhen në terma rekurziv. Duke ju referuar figurës në vijim, në të cilën R është rrënja, kurse A dhe B paraqesin nëndegën (nënpemën) e majtë dhe të djathtë, tri renditjet e mundëshme janë:

315

Avni Rexhepi 1. Preorder: R, A, B (vizito rrënjën, para nëndegëve) 2. Inorder: A, R, B 3. Postorder: A, B, R (vizito rrënjën, pas nëndegëve)

Fig. 6.8 – Pema binare Nëse përcillet rruga e kaluar atëherë mund të shihet se secilën nyje e vizitojmë nga tri herë (në secilën nyje “hyjmë” nga tri herë): në rrugë e sipër, kur vizitojmë nyjen herën e parë (Preorder), në kthim nga fëmija i majtë (Inorder) dhe në kthim nga fëmija i djathtë (Postorder).

Preorder

Postorder Inorder

Fig. 6.9 – Përshkimi i nyjeve të pemës Algoritmet e ndryshme, bëjnë kryerjen e operacioneve në momente të ndyshme, duke zgjedhur kryerjen e operacioneve në secilën nyje, në ndonjërën prej vizitave të nyjes. Kjo zgjedhje ka ndikim në mënyrën e kryerjes së operacioneve, paraqitjen dhe rezultatet. P.sh., përshkimi i pemës nga figura 5.x dhe regjistrimi i karaktereve në secilën nyje në renditjen me të cilën hasen, fitojmë renditjet vijuese:

316


1. Preorder: * + a / b c - d * e f 2. Inorder: a + b / c * d - e * f 3. Postorder: a b c / + d e f * - *

*

-

+ /

a b

d c

* e

f

Fig. 6.10 – Përshkimi i pemës – shprehjet Këto tri forma të shprehjes rezultojnë me mënyrën e paraqitjes së tyre: -

përshkimi ‘preorder’ rezulton me notacionin ‘prefix’; përshkimi ‘postrorder’ gjeneron notacionin ‘postifx’, dhe përshkimi ‘inorder’, rezulton me notacionin konvencional, ‘infix’ (edhe pse pa kllapat e nevoshme për të qartësuar prioritetet e operatorëve)

Përshkimi rekurziv i pemës Funksioni rekurziv në vijim e merr si argument një lidhje për në pemë dhe e thërret funksionin visit me secilën prej nyjeve të pemës si argument. Kështu si është, funksioni implementon përshkimin ‘preorder’ (rendi paraprak, ose pararendja); nëse e lëvizim thirrjen e funksionit visit ndërmjet thirrjeve rekurzive, do të kemi përshkimin ‘inorder’ (në rend); dhe nëse e lëvizim thirrjen e funksionit visit pas thirrjeve rekurzive, do të kemi përshkimin ‘postorder’ (rendi pasues, pasrendja). Programi 6.1- Përshkimi rekurziv i pemës // traverse=përshko,visit=vizitol // l=left(majtë), r=right(djathtë) void traverse(link h, void visit(link)) { if (h == 0) return; visit(h); traverse(h->l, visit); traverse(h->r, visit); }

Fillojmë me shqyrtimin e procesit për pemët binare. Për listat e lidhura, kishim dy opcione themelore: proceso nyjen dhe pastaj përcjelle lidhjen (në të cilin rast mund t’i vizitonim nyjet me radhë) ose përcille lidhjen e pastaj proceso nyjen (në të cilin rast do të mund të vizitonim nyjet në renditjen e kundërt). Për pemët 317

Avni Rexhepi binare, si u pa edhe më herët, kemi dy lidhje dhe prandaj kemi tri renditje themelore në të cilat mund të vizitojmë nyjet:   

Preorder, ku vizitojmë nyjen, pastaj vizitojmë nënpemën e majtë dhe atë djathtë Inorder, ku vizitojmë nëndegën e majtë, pastaj vizitojmë nyjen, pastaj vizitojmë nëndegën e djathë Postorder, ku vizitojmë nëndegën e majtë dhe nëndegën e djathë, e pastaj vizitojmë nyjen

Këto funksione mund t’i implementojmë me lehtësi me një program rekurziv, siç është paraqitur në programin 6.1, i cili është përgjithësim direkt i programit 5.5 për përshkimin e listës së lidhur. Për të implementuar përshkimin në renditjet tjera, bëjmë permutacion të thirrjeve të funksionit në programin 6.1, në mënyrën e duhur. Figura 6.12 paraqet renditjen në të cilën vizitohen nyjet në një pemë të marrur si shembull, për secilën renditje. Figura 6.11 paraqet sekuencën e thirrjeve të funksionit që ekzekutohet kur thirret programi 6.1, në pemën shembull të figurës 6.12. Kjo sekuencë e thirrjeve të funksionit konstituon përshkimin ‘preorder’ për pemën në figurërn 6.12.

318


Figura 6.11 - Thirrjet e funksionit në përshkimin ‘Preorder’

319

Avni Rexhepi E

E

D

H

B

D

F C

A

A

C

A

G

C

C

A

G

C

C

A

G

A

H

C

G

D

A

F C

G

E H

B A

G

E

D

F C

D

H

A

G

F C

G

C

H

B A

G

E

D

F

D

A

G

F C

G

E H B G

E

D

F A

H

D B

F C

H

B

F C

E D

H

B

F C

E

D

H

B G

E

G

A

Figura 6.12. Renditjet e përshkimit të pemës 320

F C

E

F

H

H

B

D

E

C

E

G

B

D

A

G

D

F

H F

B

C

E

D

H F

H

C

E

A

A

G

B A

G

B

D B

D

F

B

G

E

F

H

C

A

C

E

D

H F

H

B

E

A

A

G

D

F

B

D

E H

B

G

B

F

E

A

H

B

D

A

F C

E

D

F

H

B A

G

E H

B

D

F C

E D B

H

B A

G

E

H F

C

G

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Këto sekuenca paraqesin rendin në të cilin vizitohen nyjet me rastin e përshkimit të pemës, ‘pre-order’ (majtas), inorder (në mes) dhe ‘post-order’ (djathtas). Procesi i njëjtë rekurziv në të cilin janë të bazuara metodat e ndryshme të përshkimit të pemës veç është hasur më parë, në programet rekurzive përçaj-esundo (shih figurën 5.8 dhe atë 5.11) dhe në shprehjet aritmetike. Për shembull, kryerja e përshkimit ‘preorder’ i përgjigjet vizatimit të shenjave në vizore së pari, e pastaj thirrjeve rekurzive (shih figurën 5.11); kryerja e përshkimit ‘inorder’ i përgjigjet lëvizjes së disqeve të mëdha në zgjidhjen e problemit të kullave të Hanoit në mes të thirrjeve rekurzive të cilat i lëvizin të gjitha të tjerat; kryerja e përshkimit ‘postorder’ i përgjigjet vlerësimit të shprehjeve postfiks, e kështu me radhë. Këto korrespondenca na japim pamje të drejtpërdrejt në mekanizmat prapa përshkimit të pemës. Për shembull, ne e dijmë se secila nyje tjetër në përshkimin inorder është një nyje eksterne, për të njëjtën arsye siç secila lëvizje tjetër në problemin e kullave të Hanoit përfshinë diskun e vogël. Është e dobishme të shqyrtohet edhe implementimi jorekurziv i cili e përdorë një stek eksplicit. Për thjeshtësi, fillojmë duke shqyrtuar një stek abstrakt i cili mund të mbajë elementet ose pemët, të inicializuar me pemën që duhet përshkuar. Pastaj, hyjmë në unazë, ku tërheqim (pop) dhe procesojmë vlerën e kreut (top) në stek, duke vazhduar gjersa steku të jetë i zbrazët. Nëse entiteti i tërhequr është një element, e vizitojmë atë; nëse entiteti i tërhequr është pemë, atëherë kryejmë sekuencën e veprimeve “push” që varet nga renditja e dëshiruar:   

Për preorder, e shtyejmë (push) nëndegën e djathtë, pastaj të majtën dhe pastaj nyjen. Për inorder, e shtyejmë së pari nëndegën e djathtë, pastaj nyjen dhe pastaj nëndegën e majtë. Për postorder, e shtyejmë në stek nyjen, pastaj nëndegën e djathtë dhe pastaj nëndegën e majtë.

Ky funksion jorekurziv i bazuar në stek, është funksionalisht ekuivalent me homologun e tij rekurziv (programin 6.1). Programi 6.2 - Përshkimi preorder (jorekurziv) //traverse=pershko, link=lidhje, s-steku void traverse(link h, void visit(link)) { STACK s(max); s.push(h); while (!s.empty()) { visit(h = s.pop()); if (h->r != 0) s.push(h->r);

321

Avni Rexhepi if (h->l != 0) s.push(h->l); } }

Degët Null nuk i shtyjmë në stek. Figura 6.13 apraqet përmbajtjen e stekut gjersa përdorim secilën prej metodave të përshkimit të pemës, për pemën e shembullit nga figura 6.12. Përmes induksionit mund të vërtetojmë se kjo metodë prodhon të njëjtin rezultat sikur ajo rekurzive, për çfarëdo peme binare.

Figura 6.13 - Përmbajtja e stekut për algoritmet e përshkimit të pemës Këto sekuenca tregojnë se përmbajtja e stekut për përshkimin e pemës preorder (majtas), inorder (qendër) dhe postorder (djathtas), për një model të idealizuar të llogaritjes, të ngjashëm me atë që u përdor në figurën 5.5, ku vendosim një element dhe dy nëndegët e tij në stek, në renditjen e treguar. Skema e përshkruar është konceptuale dhe përmbledhë të tri metodat e përshkimit, por implementimet që përdoren në praktikë janë pak më të thjeshta. Për shembull, për preorder, nuk kemi nevojë që të shtyejmë nyjet në stek (ne vizitojmë rrënjën e secilës pemë që e tërheqim (pop)) dhe prandaj ne mund të përdorim një stek të thjeshtë i cili përmbanë vetëm një tip të elementeve (degë të pemës) siur në implementimin jorekurziv në programin 6.2. Steku i sistemit që përkrahë programin rekurziv përmbanë adesat e kthimit dhe vlerat e argumenteve, më parë sesa elementet ose nyjet, por sekuenca aktuale në të cilën i bëjmë llogaritjet (vizitojmë nyjet) ëhstë e njëjtë për metodat rekurzive dhe ato të bazuara në stek.

322


Përshkimi me renditje të nivelit (angl. Level-order traversal) Shkëmbimi i strukturës themelore të të dhënave në përshkimin preorder (programi 6.2) nga steku në queue (radhë), transformon përshkimin në ‘levelorder’ (përshkim me renditje të nivelit). Programi 6.3. Përshkimi ‘Level-order’ //put=vendose (inserto ne queue), get=merre(nxjerrja nga queue) void traverse(link h, void visit(link)) { QUEUE q(max); q.put(h); while (!q.empty()) { visit(h = q.get()); if (h->l != 0) q.put(h->l); if (h->r != 0) q.put(h->r); } }

Strategjia e katërt natyrale e përshkimit është thjeshtë të vizitohen nyjet në pemë ashtu si paraqiten në faqe, duke lexuar prej lartë te poshtë dhe prej të majtës kah e djathta. Kjo metodë quhet përshkimi ‘level order’(angl. level-nivel) sepse nyjet në secilin nivel, paraqiten sëbashku, me rend. Figura 6.14 paraqet mënyrën se si vizitohen nyjet e pemës (nga figura 6.12). në renditjen sipas nivelit (levelorder).

323

Avni Rexhepi E D

H

B

F C

A

G

E D

H

B A

F C

G

E D

H

B A

F C

G

E D

H

B A

F C

G

E D

H

B A

F C

G

E D

H

B A

F C

G

E D

H

B A

F C

G

E D B A

H F

C

G

Figura 6.14 - Përshkimi ‘level-order’ Kjo sekuencë ilustron rezultatin e vizitimit të nyjeve në pemë në renditjen prej lartë te poshtë dhe prej të majtës kah e djathta. 324

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Mrrekullisht, mund të përfitojmë përshkimin level-order duke zëvendësuar queue-n për stekun në programin 6.2, siq është paraqitur në programin 6.3. Për përshkimin preorder, përdorim strukturë të të dhënave LIFO (Last In Firs Out – stek), ndërsa për renditje ‘level-order’ përdorim strukturë të të dhënave FIFO (Firs In First Out – queue). Këto programe meritojnë studim të kujdesshëm, sepse reprezentojnë qasjet e organimzimit të punës që mbetet për t’u bërë që dallojnë në një mënyrë esenciale. Në veçanti, level-order nuk i korrespondon implementimit rekurziv që ndërlidhet me strukturën rekurzive të pemës. Preorder, postorder dhe level-order janë të definuara mirë edhe për rastin e pyjeve. Për t’i bërë definicionet konsistente, mendoni për pyllin si një pemë me rrënjë imagjinare. Pastaj, rregulla preorder është “vizito rrënjën, pastaj secilën nënpemë”, rregulla postrorder është “vizito secilën nënpemë, pastaj rrënjën”. Rregulla level-order është e njëjtë si për pemët binare. Implementimet direkte të këtyre metodave janë përgjithsime të drejtpërdrejta të programeve të përshkimit preorder të bazuara në stek (programet 6.1 dhe 6.2), për pemët binare që sapo u shqyrtuarn. Shqyrtimi i procedurës më të përgjithsuar të implementimeve bëhet në pjesën e përshkimit të grafit.

Algoritmet rekurzive të pemës binare Algoritmet e përshkimit të pemës ilustrojnë faktin themelor se jemi të drejtuar në shqyrtimin e algoritmeve rekurzive për pemët binare, për shkak të vetë natyrës së këtyre pemëve si struktura rekurzive. Shumë detyra pranojnë algoritmet direkte rekurzive përçaj-e-sundo, të cilat në esencë i përgjithsojnë algoritmet e përshkimit. Pema procesohet duke procesuar rrënjën dhe (rekurzivisht) nëndegët e saj; llogaritjen mund ta bëjmë para, ndërmjet apo pas thirrjeve rekurzive (ose ndoshta në të trijat). Shpeshhere na duhet të gjejmë vlerat e parametrave të ndryshëm struktural për pemën, kur na është dhënë vetëm një lidhje për në pemë. Për shembull, programi 6.4 përmban funksionet rekurzive për llogaritjen e numrit të nyjeve në pemë dhe lartësinë e pemës së dhënë. Funksionet pasojnë drejtpërdrejt ngavetia 6.6. Asnjëri prej këtyre funksioneve nuk varet prej radhës në të cilën procesohen thirrjet rekurzive: ata procesojnë të gjitha nyjet në pemë dhe kthejnë përgjigjen e njëjtë, nëse për shembull, i ndërrojmë renditjet e thurrjeve rekurzive. Nuk llogariten aq lehtë të gjithë parametrat. Për shembull, programi për llogaritje efikase të gjatësisë së shtegut intern të pemës binare është më sfidues. Ne mund të përdorim procecura të thjeshta rekurzive siç janë këto për të mësuar tiparet themelore strukturale të pemëve.

325

Avni Rexhepi Programi 6.4. Llogaritja e parametrave të pemës. //count=numri,numëro; link=lidhja,linku; height=lartesia; int count(link h) { if (h == 0) return 0; return count(h->l) + count(h->r) + 1; } int height(link h) { if (h == 0) return -1; int u = height(h->l), v = height(h->r); if (u > v) return u+1; else return v+1; }

Një funksion tjetër që është shumë i dobishëm kurdo që shkruajmë programe të cilat procesojnë pemët është ai që shtypë ose vizaton pemën. Për shembull, programi 6.5 është procedurë rekurzive që shtypë pemën (nyjet e pemës) në formatin e paraqitur në figurën 6.15. Mund të përdorim skemën e njëjtë rekurzive për të vizatuar reprezentime më të hollësishme të pemëve.

Figura 6.15. Shtypja e pemës (inorder dhe preorder) Rezultati majtas rezulton nga përdorimi i programit 6.5 në pemën e shembullit nga figura 6.12 dhe shfaqë strukturën e pemës në mënyrë të ngjashme me reprezentimin grafik të cilin jemi duke e shfrytëzuar, të rrotulluar për 90 shkallë. Rezultati djathtas është prej programit të njëjtë por me urdhërin e shtypjes të zhvendosur në fillim; shfaqë strukturën e pemës në formatin e zakonshëm të përvijimit.

326

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Programi 6.5 është një përshkim inorder – nëse shtypim elementin para thirrjeve rekurzive, fitojmë përshkimin preorder, i cili është ilustruar në figurën 6.15. Ky format është i afërm me atë që mund ta përdorim për shembull për shtypjen e trungut familjar ose për të listuar fajllat e sistemit të fajllave të bazuar në pemë ose për të bërë një përmbledhje (përvijim) të dokumentit të shtypur. Për shembull, bërja e përshkimit preorder në pemën në figurën 6.1 jep versionin e tabelës së përmbajtjes së librit. Shembulli i parë i programit që ndërton një strukturë eksplicite të pemës binare është i shoqëruar me aplikacionin për gjetje të maksimumit. Qëllimi i jonë është që të bëjmë një garë (turne, dyluftim): pema binare në të cilën secili element në nyjen interne është kopje e elementit më të madh prej dy fëmijëve. Në veçanti, elementi në rrënjë është kopja e elementit më të madhë në garë. Elementet në gjethe (nyjet që nuk kanë fëmijë) përbëjnë të dhëna me interes dhe pjesa tjetër e pemës është strukturë e të dhënave që na mundëson gjetjen e elementit më të madh, në mënyrë efikase. Programi 6.5. Funksioni për shtyjen e shpejtë të pemës //printnode=shtype nyjen, item=elementi, show=paraqite void printnode(Item x, int h) { for (int i = 0; i < h; i++) cout << " "; cout << x << endl; } void show(link t, int h) { if (t == 0) { printnode('*', h); return; } show(t->r, h+1); printnode(t->item, h); show(t->l, h+1); }

Ky program rekurziv përcjellë lartësinë e pemës dhe përdorë këtë informatë për zhvendosje (dhëmbëzim) të shtypjes së reprezentimit të pemës, që mund të përdoret për të “debug”-uar programet për procesim të pemëve (shih figurën 6.1). Supozohet se elementet në nyje janë të tipit Item, për të cilin operatori ‘<<’ është definuar përmes mbingarkimit (angl. overloading). Programi 5.19 është program rekurziv i cili ndërton turneun prej elementeve në një varg. Është një zgjedrim i programit 5.6, përdorë strategjinë përçaj-e-sundo: për të ndërtuar turneun për një element të vetëm, ne krijojmë (dhe kthejmë) gjethen që përmbanë një element. Për të ndërtuar turneun për N>1 elemente, përdorim strategjinë përqaj e sundo: ndaji elementet në gjysmë, ndërto turnetë për secilën gjysmë dhe krijo nyje të er me lidhje për në të dy turnetë dhe menjë element që është kopja e elementit më të madh në rrënjët e të dy turneve. 327

Avni Rexhepi Figura 5.30 është shembull i një strukture eksplicite të pemës të ndërtuar përmes programit 5.19. Ndërtimi i strukturës rekurzive të të dhënave si kjo ndoshta është më e preferuar se gjetja e maksimumit duke skenuar të dhënat, siç është vepruar në programin 5.6, sepse struktura e pemës na jep fleksibilitietin për të kryer operacione të tjera. Vetë operacioni që përdoret për të krijuar turneun është një shembull i rëndësishëm: nëse janë dhënë dy turne, mund t’i kombinojmë ato për të krijuar një turne të vetëm në kohë konstante, duke krijuar një nyje të re dhe duke bërë që lidhja e saj e majtë (pointeri) të pointojë një njërin prej turneve dhe lidhja e saj e djathtë (pointeri) të pointrojë në tjetrin dhe duke marrë elementin më të madh prej ty dyve (që ndodhet në rrënjët e dy turneve të dhëna) si elementin më të madh në turneun e kombinuar. Gjithashtu mund të shqyrtojmë algoritmet për shtimin e elementeve, largimin e elementeve dhe për kryerjen e operacioneve të tjera.

Figura 6.16. Pema eksplicite për gjetjen e maksimumit (turneut) Kjo figurë paraqet strukturën eksplicite të pemës që konstruktohet nga programi 6.6, prej hyrjes: A M P L E. Elementet e të dhënave ndodhen në gjethe. Secila nyje interne ka kopjen e elementit më të madh nga dy fëmijët e saj, kështu që përmes induksionit, elementi më i madh ndodhet në rrënjë. Programi 6.6. Konstruktimi i turneut. //item=elementi/nyja; l-left, r-right struct node { Item item; node *l, *r; node(Item x) { item = x; l = 0; r = 0; } }; typedef node* link; link max(Item a[], int l, int r) { int m = (l+r)/2; link x = new node(a[m]); if (l == r) return x; x->l = max(a, l, m); x->r = max(a, m+1, r); Item u = x->l->item, v = x->r->item; if (u > v) x->item = u; else x->item = v;

328

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave return x; }

Ky funksion rekurziv, e ndanë vargun a[l], ... , a[r] në dy pjesë: a[l], . . ., a[m] dhe a[m+1], ..., a[r], ndërton turneun për të dy pjesët (rekurzivisht) dhe bën turneun për vargu e ploët duke përcaktuar lidhjet në nyjen e re për në turnetë e ndërtuara rekurzivisht dhe duke caktuar elementin e saj në më të madhin nga rrënjët e dy turneve të ndërtuara rekurzivisht. Implementimet e bazuara në pemë për shumë ADT të queue-ve janë të rëndësishme. Poashtu shumë algoritme janë të bazuara në pemët binare të kërkimit dhe sfitë për implementimin dhe përdorimin e strukturave të tilla është që të sigurohet se algoritmi mbetet efikas edhe pas një serie të gjatë të insertimeve, largimeve dhe operacioneve të tjera. Si shembull të dytë i programit që ndërton pemën binare është modifikimi i programit për vlerësimin e shprehjeve me prefiks (Programi 5.4), për të konstruktuar pemën që reprezenton shprehjen me prefiks, në vend se vetëm të vlerësohet ajo (shih figurën 6.17). Programi 6.7 përdorë skemën e njëjtë rekurzive sikur programi 5.4, por funksioni rekurziv kthen lidhjen për në pemë, e jo vlerën. Për secilin karakter në shprehje krijojmë një nyje të re të pemës: nyjet që i korrespondojnë operatorëve kanë lidhjet (pointerët) tek operandët e tyre dhe gjethet përmbajnë variablat (ose konstantet) të cilat janë hyrjet për shprehjen.

Figura 6.17. Pema e analizës Pema është konstruktuar nga programi 6.7 për shprehjen prefiks: * + a * * b c + d e f. Kjo është një mënyrë natyrale për të reprezentuar shprehjen: secili operand në gjethe (të cilën e paraqesim si nyje eksterne) dhe secili operator duhet të aplikohet në shprehjet e reprezentuara nga dega e majtë dhe e djathë e nyjes që përmbanë operatorin. Programet përkthyese siç janë kompajlerët shpesh përdorin reprezentim të tillë intern të pemëve për programet, sepse pemët janë të dobishme për shumë qëllime. Për shembull, mund të imagjinojmë operandë që i korrespondojnë variablave të cilat marrin vlerat dhe mund të gjenerojmë kod të makinës për të 329

Avni Rexhepi vlerësuar shprehjet e reprezentuara përmes pemës me një përshkim postorder. Ose, mund të përdorim pemën për të shtypur shprehjen në infix, përmes përshkimit inorder ose në postfix me një përshkim postorder. Do të shqyrtojmë disa shembuj për të prezentuar konceptin me të cilin mund të krijohet dhe procesohet strukturat e pemës së lidhura në mënyrë eksplicite me anë të programeve rekurzive. Për të bërë këtë në mënyrë efektive, duhet të shqyrtojmë performansat e algoritmeve të ndryshme, reprezentimeve alternative, alternativave jo-rekurzive dhe shumë detaje të tjera, të cilat do të bëhen tek algoritmet për kërkim dhe për hash tabelat. Programi 6.7. Konstruktimi i pemës së analizës //parse=analizo char *a; int i; struct node { Item item; node *l, *r; node(Item x) { item = x; l = 0; r = 0; } }; typedef node* link; link parse() { char t = a[i++]; link x = new node(t); if ((t == '+') || (t == '*')) { x->l = parse(); x->r = parse(); } return x; }

Duke përdorur strategjinë e njëjtë që u përdor për të vlerësuar shprehjet prefix (programi 5.4), ky program krijon pemën e analizës prej shprehjes prefix. Për thjeshtësi, supozojmë se operandët janë karaktere të vetme. Secila thirrje e funksionit rekurziv krijon një nyje të re me karakterin e ardhshëm prej hyrjes, si shenjë (angl. token). Nëse tokeni është operand, kthejmë nyjen e re; nëse është operator, caktojmë pointerët e majtë dhe të djathtë për në pemën e ndërtuar (rekurzivisht) për të dy argumentet.

Përshkimi i grafit Si shembull të programit rekurziv, shqyrtojmë një prej alroritmeve më të rëndësishme rekurzive: përshkimin rekurziv të grafit ose kërkimin thellësia-sëpari (angl. depth-first search). Ky funksion për vizitimin sistematik të të gjitha nyjeve në graf, është përgjithsim direkt i funksioneve për përshkimin e pemëve dhe shërben si bazë për shumë algoritme të tjera themelore për procesimin e grafeve. Është një algoritëm rekurziv i thjeshtë. Duke filluar nga cilado nyje v: 330

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave  

Vizito v. (Rekurzivisht) vizito secilën nyje (të pavizituar) të lidhur me v.

Nëse grafi është i lidhur, në fund arrihen të gjitha nyjet. Programi 6.8 është një implementim i kësaj procedure rekurzive. Për shembull, supozojmë se përdorim reprezentimin e grafit përmes listës së fqinjësisë. Figura 6.18 paraqet thirrjet rekurzive të bëra gjatë kërkimit ‘depthfirst’ të këtij grafi dhe sekuenca në të majtë në figurën 6.19 paraqet mënyrën në të cilën përcillen degët e grafit. Përcjellim secilën degë në graf, me një prej dy rezultateve të mundshme: nëse dega na dërgon në një nyje të cilën veq e kemi vizituar, e injorojmë atë; nëse na dërgon tek një nyje të cilën akoma nuk e kemi vizituar, e përcjelli atë atje përmes thirrjes rekurzive. Bashkësia e të gjitha degëve të cilat i përcjellim në këtë mënyrë formon pemën e shtrirjes për grafin (angl. graph spanning tree).

Figure 6.18. Thirrjet e funksionit tek ‘Depth-first–search’ Kjo sekuencë e thirrjeve të funksioneve përbën kërkimin thellësia-së-pari për grafin në figurë. Pema e cila ilustron strukturën e thirrjeve rekurzive, quhet pema e kërkimit thellësia-së-pari.

331

Avni Rexhepi

Figura 6.19. Kërkimi ‘Depth-first’ dhe kërkimi ‘breadth-first’ 332

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Kërkimi thellësia-së-pari (majtas) lëvizë prej nyjes në nyje, duke u kthyer prapa në nyjen e përparshme për të tentuar mundësinë e ardhshme sa herë që ka provuar secilën mundësi në nyjen aktuale. Kërkimi “Gjerësia-së-pari” (angl. Breadth-first search), shterron të gjitha mundësitë në një nyje, para se të lëvizë në tjetrën. Dallimi ndërmjet kërkimit thellësia-së-pari dhe përshkimit të përgjithshëm të pemës (programi 6.1) është se duhet të kujdesemi në mënyrë ekslicite që të mos vizitojmë nyjet të cilat veç janë vizituar. Në pemë, asnjëherë nuk hasim në nyje të tilla. Vërtetë, nëse grafi është pemë, kërkimi rekurziv thellësia-së-pari duke filluar nga rrënja është ekuivalent me përshkimin ‘preorder’. Vetia 6.7. Kërkimi “Depth-first” kërkon kohë proporcionale me V + E në grafin me V nyje dhe E degë, duke përdor reprezentimin me listë të fqinjësisë. Në reprezentimin me listë të fqinjësisë, ka një nyje të listës që i korrespondon secilës degë në graf dhe një pointer të kokës së listës, që i përgjigjet secilës nyje në graf. Kërkimi thellësia së pari, i prektë të gjitha, më së shumti nga një herë.

Fig. 6.20 - Lista e fqinjësisë për grafin nga figura 6.19.

Kërkimi “thellësia së pari” Programi 6.8. Kërkimi thellësia-së-pari (Depth-first search). //visit=vizito; visited=vizituar void traverse(int k, void visit(int)) { visit(k); visited[k] = 1; for (link t = adj[k]; t != 0; t = t->next) if (!visited[t->v]) traverse(t->v, visit); }

333

Avni Rexhepi Për të vizituar të gjitha nyjet e lidhura me nyjen k në graf, i shënojmë ato si të vizituara dhe pastaj (rekurzivisht) i vizitojmë të gjitha nyjet e pavizituara në listën e fqinjësisë së nyjes k. Pasi që poashtu për të ndërtuar listën e fqinjësisë nga një sekuencë hyrëse e nyjeve merr kohë proporcionale me V+E, kërkimi thellësia-së-pari na jep një zgjidhje të kohës lineare për problemin e konektivitetit (lidhjes së një pike me pikat tjera). Për grafet shumë të mëdhaja, sidoqoftë, më të preferuara do të ishin zgjidhjet me union, sepse reprezentimi i tërë grafit kërkon hapësirë proporcionale me E (numrin e degëve), gjersa zgjidhja me union, merr hapësirë proporcionale vetëm me V (numrin e nyjeve). Ashtu si vepruam me përshkimin e pemës, mund të definojmë funksionin për përshkimin e grafit i cili përdorë stekun eksplicit, siç është ilustruar në figurën 6.21. Mund të mendojmë për një stek abstrakt i cili mbanë ‘hyrje’ të dyfishta: nyjen dhe pointerin në listën e fqinjësisë së nyjes. Me stekun e inicializuar në nyjen fillestare dhe pointerin e inicializuar për në nyjen e parë në listën e fqinjësisë së asaj nyjeje, algoritmi thellësia-së-pari është ekuivalent me hyrjen në unazë, ku vizitojmë nyjen në krye (top) të stekut (nëse nuk ka qenë i vizituar); ruajmë nyjen e referencuar nga pointeri i listës aktuale të fqinjësisë; azhurojmë referencën e listës së fqinjësisë në nyjen e ardhshme (duke tërhequr (pop) atë vlerë nëse është në fund të listës së fqinjësisë); dhe duke shtyrë (push) në stek vlerën për nyjen e ruajtur, duke ju referuar nyjes së parë në listën e saj të fqinjësisë.

334


Figura 6.21. Dinamika e stekut për kërkimin thellësia së pari. Mund të mendojmë për stekun që përkrahë kërkimin thellësia-së-pari sikur përmbanë nyjen dhe referencën (pointerin) në listën e saj të fqinjësisë (të treguar me nyjen e rrethuar, - si në anën e majtë). Prandaj, fillojmë me nyjen 0 në stek, me referimin (me pointer) në nyjën e parë në listën e saj, nyja 7. Secili rresht tregon rezultatin e tërheqjes (pop) nga steku, shtyrjes (push) së pointerit për në nyjën e ardhshme në listë për nyjet që janë vizituar dhe shtyrjes (push) së një vlere në stek për nyjet që nuk janë vizituar. Alternativisht, mund të mendojmë për procesin sikur thjeshtë shtyhen (push) në stek të gjitha nyjet fqinje të cilësdo nyje të pavizituar (ana e djathtë). Përndryshe, ashtu si vepruam për përshkimin e pemës, mund të konsiderojmë se steku përmbanë vetëm lidhjet për në nyje. Me stekun e inicializuar në nyjen fillestare, hyjmë në unazë ku vizitojmë nyjen në krye (top) të stekut (nëse nuk është vizituar), pastaj shtyejmë (push) në stek të gjitha nyjet fqinje me të. Figura 335

Avni Rexhepi 6.21 ilustron se të dy këto metoda janë ekuivalente për kërkimin thellësia-së-pari për grafin e shembullit dhe kjo ekuivalencë vlenë në përgjithësi. Algoritmi “vizito kreun (top) dhe shtyej në stek të gjithë fqinjët” është një formulim i thjeshtë i kërkimit thellësia-së-pari, mirëpo nga figura 6.21 është e qartë se vuan nga disavantazhi i mundësisë së lënies në stek të kopjeve të shumëfishta të secilës nyje. Ky bën kështu edhe nëse testojmë nëse është vizituar secila nyje që është duke u përgatitur për të shkuar në stek dhe përmbahemi nga vendosja e nyjes në stek, nëse ajo ka qenë e vizituar. Për të evituar këtë problem, mund të përdorim implementimin e stekut që pamundëson duplikatet, duke përdorur rregullën “harro-elementet-e-vjetra”, sepse kopja më e afërt me kreun e stekut është gjithmonë e para që vizitohet, kështu që të tjerat thjeshtë tërhiqen (pop). Dinamikat e stekut për “depth-first search” që janë ilustruar në figurën 6.21 varen nga ajo që nyjet në secilën listë të fqinjësisë përfundojnë në stek në renditjen e njëjtë në të cilën paraqiten në listë. Për të fituar këtë renditje për listën e dhënë të fqinjësisë në rastet kur shtyhet (push) nga një listë në kohë, do të duhej të shtyejmë në stek së pari nyjen e fundit, pastaj atë të parafundit, e kështu me radhë. Për më tepër, për të limituar madhësinë e stekut në numrin e nyjeve, gjersa në të njëjtën kohë vizitohen nyjet në renditjen e njëjtë si në “depth-first search”, duhet të përdorim disciplinën e stekut me rregullën “harroelementin-e-vjetër”. Nëse vizitimi i nyjeve në renditje të njëjtë sikur në rastin e kërkimit thellësia-së-pari (depth-first search) nuk është me rëndësi për ne, mund të evitojmë të dy këto komplikime dhe të formulojmë direkt metodën jorekurzive të përshkimit të grafit të bazuar në stek. Me stekun e inicializuar në nyjen fillestare, hyjmë në unazë ku vizitojmë nyjen në krye të stekut (top), pastaj vazhdojmë nëpër listën e saj të fqinjësisë, duke shtyer (push) në stek secilën nyje (nëse nyja nuk ka qenë e vizituar), duke përdorur implementimin e stekut që pamundëson duplikatet me rregullën “injoro-elementin-e-ri”. Ky algoritëm viziton të gjitha nyjet në graf, në mënyrën e ngjashme me “depth-first search”, por nuk është rekurziv.

Kërkimi “gjerësia së pari” Për të vizituar të gjitha nyjet e lidhura me nyjen ‘k’ në graf, e vendosim nyjen ‘k’ në queue-n FIFO (Firs In Firs Out), pastaj hyjmë në unazë, ku marrim nyjen e ardhshme nga queue dhe nëse ajo nuk është vizituar, e vizitojmë dhe shtyjmë të gjitha nyjet e pavizituar në listën e saj të fqinjësisë, duke vazhduar gjersa queue të jetë i zbrazët.

336

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Programi 6.9. Kërkimi gjerësia-së-pari (Breadth-first search) //traverse=përshko,kalo nëpër; visited=vizituar void traverse(int k, void visit(int)) { QUEUE q(V*V); q.put(k); while (!q.empty()) if (visited[k = q.get()] == 0) { visit(k); visited[k] = 1; for (link t = adj[k]; t != 0; t = t->next) if (visited[t->v] == 0) q.put(t->v); } }

Algoritmi në paragrafin paraprak është i rëndësishëm sepse do të mund të përdornim çfarëdo ADT të queue të përgjithsuar (gjeneralizuar) dhe akoma të vizitojmë secilën nyje në graf (dhe të gjenerojmë pemën e shtrirjes). Për shembull, nëse përdorim queue në vend të stekut, atëherë kemi kërkimin thellësia-së-pari (angl. Breadth-first search), i cili është i ngjashëm me përshkimin “level-order” (renditja në nivel) në pemë. Programi 6.9 është një implementim i kësaj metode (funksioni); një shembull i algoritmit në veprim është ilustruar në figurën 6.22.

Figura 6.22. Dinamikat e queue-s “Breadth-first–search” Fillojmë me nyjen 0 në queue, pastaj e marrim 0, e vizitojmë dhe vendosim nyjet në listën e saj të fqinjësisë 7 5 2 1 6, në atë renditje në queue. Pastaj marrim 7, e vizitojmë dhe vendosim nyjet në listën e saj të fqinjësisë, e kështu 337

Avni Rexhepi me radhë. Duke pamundësuar duplikatet me një rregull “injoro-elementin-e-ri” (djathtas), fitojmë rezultatin e njëjtë, pa vlera të tepërta në queue. Të dy mënyrat e përshkimit të grafit, gjerësia-së-pari dhe thellësia-së-pari i vizitojnë të gjitha nyjet në graf, por mënyra se si e bëjnë këtë është dramatikisht e ndryshme. Kërkimi gjerësia së pari përmblidhet në rastin e një morie të kërkuesve që shpërndahen për të mbuluar territorin, gjersa kërkimi thellësia-sëpari i korrespondon një kërkuesi të vetëm, i cili gjurmon territorin e panjohur sa me thellë që të jetë e mundur, duke u kthyer prapa vetëm kur arrinë në rrugë pa dalje. Këto paradigma themelorë të zgjidhjes së problemeve janë me rëndësi në shumë sfera të shkencave kompjuterike, përtej kërkimit të grafeve.

Figura 6.23. Pemët e përshkimit të grafeve Në figurën 6.23 janë paraqitur rrugëtimet e pjesërishme gjatë kërkimit nëpër një graf shumë të madh e kompleks (majtas), të kërkimit thellësia-së-pari (depthfirst search; në qendër) dhe atij gjerësia-së-pari (breadth-first search; djathtas). Thellësia së pari gjarpëron nga nyja në nyje, kështu që shumica e nyjeve janë të lidhura vetëm me dy të tjera (të përparshmen dhe të ardhshmen). Në anën tjetër, kërkimi gjerësia-së-pari “përfshinë, pushton” nëpër graf, duke vizituar nyjet e lidhura me nyjen e dhënë, para se të shkojë tutje, kështu që disa nyje janë të lidhura me shumë të tjera.

338


Pema binare Pema, në të cilën secila degë në vazhdim ndahet në dy degë të tjera apo thënë ndryshe, çdo nyje (prind) ka dy nyje pasardhëse (fëmijë), e paraqet pemën binare (angl. Binary tree). Binare, nënkupton po atë që vlenë për sistemin binar të numrave, ku kemi vetëm dy shifra: zero dhe një. Edhe në pemën binare, secili ‘kërcell’ ka më së shumti dy degë, por ka raste kur ndonjëri ka vetëm një degë ose thjeshtë mbaron, duke rezultuar me përfundim të degëzimit në atë degë, si në figurën 6.24.

Figura 6.24 - Pema binare Në programim, pema binare përdoret si model për krijimin e strukturës së të dhënave për të koduar logjikën e marrjes së vendimeve komplekse. Le të themi se një degë është një bashkësi e urdhërave të programit. Në fund, programi vlerëson një shprehje binare. Dihet se shprehja binare jep vlerën bool-eane ‘true’ ose ‘false’. Bazuar në vlerësim, programi vazhdon tutje nëpër njërën degë. Secila degë ka bashkësinë ëe vet të urdhërave. Koncepti i pemës binare përdoreë logjikën Bool-eane, të implementuar në urdhërin ‘if’. Mirëpo, pema binare është shumë më shumë sesa urdhëri ‘if’.

Elementet e pemës binare Në programim janë përcaktuar terma të ndryshme ndaj atyre të cilët përdoren zakonisht kur flitet për pemën. 339

Avni Rexhepi Pikat ku ka ndërprerje ose mbaresa dhe pastaj degëzime quhet ‘Nyje’ (angl. Node). Në pemën binare ka tri lloje të mbaresave (Fig. 6.25): nyja fillestare, nyja fundore (ose nyja përfundimtare) dhe nyja degë. Nyja fillestare quhet “Rrënjë” (angl. root node – nyje rrënjë) dhe ndodhet në nivelin më të lartë të pemës. Nëse përdoret terminologjia e trungu familjar, quhet ‘Prind’. Degët nga rrënja dërgojnë në nyjet e degëve. Nyja degë është ‘bigëzim’ (degëzim në dyshe) në rrugën që lidhë rrënjën me dy degë të tjera. Secila degë përfundon më nyje fundore ose të quajtura edhe nyje fëmijë, nyje gjethe, etj. Degët e dala nga nyja, quhen dega e majtë dhe dega e djathtë.

Figura 6.25: Pema binare përbëhet prej disa nyjeve, secila e ndërlidhur me nyjet tejra të pemës. Pra, mund të shihet, se pema binare definon lidhje të fortë prind-fëmijë, ndërmjet nyjeve. Relacioni prind-fëmijë është relativ, varësisht prej nivelit ku ndodhemi. Të gjitha nyjet, përveq nyjes rrënjë, kanë nyje prind. Mirëpo, disa nyje nuk kanë fëmijë, gjersa disa kanë një ose dy fëmijë. Relacioni prind-fëmijë në programim përcaktohet duke zgjedhur një nyje, e cila quhet nyje aktuale (angl. current node). Nyja e cila e ka “lindur” nyjen aktuale, quhet nyje prind e nyjes aktuale. Nyja ose nyjet e dala nga nyja aktuale quhen nyje fëmijë. 340

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Nyja fëmijë gjithashtu referohet edhe si nyje e majtë ose nyje e djathtë, varësisht prej anës në raport me nyjen aktuale. Nëse nyja aktuale nuk ka ndonjë nyje fëmijë, atëherë nyja aktuale referohet si nyje gjethe. Nyja gjethe është e lokalizuar në fund të pemës, njësj si gjethet e pemës, që ndodhen në pikën fundore të pemës.

Thellësia dhe madhësia Pema binare përshkruhet duke përdorur dy parametra matës: thellësia (angl. depth) dhe madhësia (angl. size), si në figurën 6.26. Thellësia e pemës paraqet numrin e niveleve në pemë. Niveli i ri krijohet secilën herë që nyja aktuale degëzohet në nyje fëmijë. Për shembull, një nivel krijohet, kur rrënja degëzohet në nyjet fëmijë.

Figura 6.26 - Numri i niveleve të pemës definon thellësinë, ndërsa numri i nyjeve definon madhësinë e pëmës. Madhësia e pemës është numri i nyjeve në pemë. Për shembull, në figurën 6.26, niveli i parë ka vetëm një nyje, që është nyja rrënjë. Niveli i dytë ka më së shumti dy nyje, të cilat janë nyjet fëmijë të rrënjës. Niveli i tretë mund të ketë deri në katër nyje. Madhësia e pemës binare llogaritet duke përdoru formulën: madhesia  2 thellesia (size  2 depth )

341

Avni Rexhepi Le të thëmi se pema binare ka pesë nivele, që do të thotë se thellësia është 5. Atëherë, madhësia e pemës llogaritet si: madhsia  2 5  Pra, madhësia është vlera e përafërt, sepse pema binare mund të mos jetë e balansuar. Pemë e balansuar është pema binare në të cilën secila nyje ka dy fëmijë. Pema binare e pabalansuar është ajo pemë ku një ose më shumë nyje kanë më pakë se dy fëmijë. Formula jep idenë e vrazhdë se sa është e balansuar pema binare. Zakonisht pema binare përdoret për bashkësi shumë të mëdha të të dhënave.

Përse përdoret pema binare? Pema binare përdoret në programim për të gjetur shpejtë të dhënat e ruajtura në secilën nyje të pemës binare. Le të themi se duhet të gjeni ID-në e studentit në listën me një milion studentë. Sa është numri maksimal i krahasimeve të nevojshme për të gjetur ID-në e studentit? Nëse kërkimi bëhet në mënyrë sekuenciale në listën prej një milion studentëve, do të mund të bëhen maksimalisht një milion krahasime. Nëse kërkimi bëhet në mënyrë të rastit, duke zgjedhur një ID nga lista dhe pastaj duke e kthyer përsëri në listë, nëse nuk është ajo që kërkohet. Mirëpo, nëse të dhënat ruhen në strukturën e pemës binare, atëherë do të nevojiten vetëm 20 krahasime për të gjetur ID-në. Kjo për arsye të mënyrës së organizimit të të dhënave në pemën binare. E dhëna (vlera) e ruajtur në nyjen e majtë është më e vogël sesa vlerat në të gjitha nyjet e anës së djathtë, për secilën nyje aktuale. Kjo mund të tingëlloj si konfuze, mirëpo përmës ilustrimit, koncepti do të jetë i qartë. Supozojmë se kemi një listë prej pesë ID-ve të studentëve: : 101, 102, 103, 104 dhe 105. Këto ID të studentëve janë ruajtur në një pemë binare, kështu që ID-ja në qendër është rrënja, ID-të më të vogla se nyja aktuale (rrënja) vendosen në nyjen e fëmijës së majtë dhe ato më të mëdha në anën e djathtë, si në figurën 6.27.

342


Figura 6.27 - Nyja e majtë është gjithmonë më e vogël sesa nyja prind dhe nyja e djathtë është gjithmonë më e madhe sesa nyja prind. Modeli i njëjtë aplikohet në secilën nyje fëmijë. Prandaj, ID 101 është fëmijë i majtë i nyjës që përmbanë ID 102. Ngashëm, ID 105 është nyje e djathtë e ID-së 104 sepse është më madhe (për nga vlera). Le të themi se kërkohet të lokalizohet ID 101 në pemën binare. Së pari, vlera e kërkuar krahasohet më nyjen rrënjë. Nuk ka përputhje (angl. match), prandaj ajo nuk është vlera e kërkuar. Pasi ID 101 është më e vogël se ID 103 (e rrënjës), krahasimi i ardhshëm përdorë nyjen e majtë. Kjo do të eliminojë nevojën e krahasimit me të gjitha nyjet në anën e djathtë të rrënjës (që përmbanë ID 103). Pra, mund të injorohen gjysma e ID-ve sepse e dijmë se ID 101 nuk ndodhet në nyjën e djathtë ose në fëmijët e saj. Pas krahasimit të ID 101 me ID 102, vërehen dy gjëra. Së pari, ato nuk përputhen. Së dyti, ID 102 është më e madhe sesa ID 101. Kjo do të thotë që në vazhdim ID 101 karahasohet me nyjën fëmijë të majtë. Injorohet nyja e djathtë dhe të gjitha nyjet pasuese të saj, sepse ato do të jenë më të mëdha se ID 101. Nuk këtë rast, nuk ka fëmijë të djathtë të nyjës me ID 102. Krahasimi i ardhshëm do të rezultojë me përshtatje, që do të thotë se u gjet vlera e kërkuar. Kështu, në një pemë të madhe binare, secili krahasim eliminon nga kërkimi gjysmën tjetër të mbetur të nyjeve. Nëse do të kishim 1 milion nyje në pemë, atëherë do të kishim pjestim me dy (ndarje në dy, përgjysme), për afër 20 herë, për të zvogëluar numrin deri në një nyje (pasi që 220 është përafërsisht një milion). Në këtë mënyrë, mund të gjeni nyjen e kërkuar duke bërë afër 20 krahasime. Programerët i shohin të gjitha nyjet si nyje rrënjë dhe të gjitha nyjet në vazhdim si “nënpemë” e tyre. Aplikohet kjo mënyrë e qasjes, sepse funksionet të cilat punojnë me pemë janë rekurzive. Funksioni punon me nyjën fëmijë dhe kryen 343

Avni Rexhepi funksionalitetin e njëjtë sikur ajo nyje fëmijë të ishte nyje rrënjë e një peme të tërë. Kjo do të thotë që, vlera e nyjes fëmijë krahasohet me vlerën e nyjes së saj të majtë dhe të djathtë, për të përcaktuar se nëpër cilën degë të pemës të vazhdojë tutje.

Vlera çelës Secila nyje e pemës përmbanë një çelës (angl. key) që i shoqërohet vlerës në një relacion të ngjashëm me atë ndërmjet çelësit primar në bazën e të dhënave dhe rreshtit në tabelë të bazës së të dhënave. Çelësi është vlera që krahasohet në kriteret e kërkimit. Nëse indeksi dhe kriteri i kërkimit përshtaten (përputhen), atëherë aplikacioni nxjerrë të dhënat e rreshtit të cilat i përgjigjen atij çelësi. E dhëna i referohet vlerës së nyjës, si në figurën 6.28.

Figura 6.28 - Secila nyje ka një indeks (çelës) dhe vlerën: indeksi identifikon nyjen në mënyrë unike dhe “nxjerrë” vlerën e nyjes. Si çelës mund të përdoret çfarëdo tipi i të dhënave. Në shembujt në këtë pjesë do të përdoret stringu, edhe pse mund të zgjedhet cilido tip i të dhënave. Për dallim nga çelësi primar i bazës së të dhënave, çelësi i pemës nuk është e nevojshme të jetë në renditje natyrale. D.m.th., çelësi nuk duhet të jetë në renditje alfabetike ose numerike. Në një implementim tipik të pemës, definohet një krahasues për t’i treguar pemës se si t’i renditë nyjet. Në rastin tonë, do të përdorim një sekuencë natyrale renditëse për stringje, ashtu që të mund të mbajmë fokusin në punën me pemë.

344


Krijimi i pemës binare Për të krijuar pemën binare së pari definohet struktura e saj. Struktura do të emërtohet “Metadata” sepse përshkruan të dhënat që përdoren në pemën binare, e termi metadata i refereohet të dhënave të cilat i përshkruajnë të dhënat, si ajo se si ID-ja e studentit e gjenë emrin e studentit (ose të dhënat tjera të studentit). Në mënyrë tipike Metadat i referohet çifteve emër/vlerë ose në rastin tonë, çifteve çelës/vlerë. Secila instancë e strukturës së të dhënave është nyje në pemën binar dhe përmbanë katër elemente të dhënash. Dy elementet e para janë çelësi dhe vlera. Në këtë shembull, të dyja janë vargje karakteresh. Madhësia e këtyre vargjeve përcaktohet nga direktiva preprocesuese #define, në fillim të shembullit. Madhësia e vargut caktohet duke përdorur direktivën preprocesorike sepse pastaj me lehtësi mund të ndryshohet vlera e saj në një vend të vetëm, pa pasur nevojë të lokalizohet çdo pozitë brenda kodit ku përdoret vlera e madhësisë së vargut. Dy elementet tjera të strukturës metadata janë pointerët e quajtur ‘left’ dhe ‘right’ (majtë dhe djathtë). Secili prej tyre pointon në metadata strukturë. Me fjalë tjera, ata pointojnë në nyjen e ardhshme në të majtë dhe nyjen e ardhshme në të djathtë të nyjës aktuale. Kjo i mundëson aplikacionit që të bëjë dy gjëra. Së pari, aplikacioni mund të lëvizë në nivelin tjetër të pemës. Gjithashtu mundet t’i çaset edhe çelësit edhe vlerës së nyjes në nivelin e ardhshëm. Në shembull, struktura e përdorë vetë definicionin e saj, pra struktura e përdorë vetveten për të inicializuar elementet e strukturës. Çelësi dhe vlera e tij i përcillën strukturës Metadata kur të deklarohet një strukturë metadata, d.m.th., kur të insertohet nyja e re në pemën binare. Të dy këto vlera përcillen si pointerë “char” sepse janë vargje. Aplikacioni kopjon çelësin dhe vlerën në elementet e të dhënave të instancës së strukturës Metadata duke përdorur funksionin strcpy(), i cili kopjon parametrin e dytë në parametrin e parë. Vëreni se në këtë shembull përdoret operatori ‘this’, i cili i tregon kompajlerit se dëshironi t’i referoheni elementit të të dhënës së kësaj instance të strukturës në vend se parametrit që i është përcjellur. Dy elementet e fundit të të dhënave për t’u inicializuar janë pointerët ‘left’ (i majtë) dhe ‘right’ (i djathtë). Të dy këta caktohen në NULL sespe nyja e re nuk ka fëmijë kur të krijohet. Më vonë do të definohen funksionet që shtojnë nyjen fëmijë dhe zëvendësojnë vlerën NULL me pointerin në një nyje aktuale. #include #define SIZE_KEY 32 #define SIZE_VALUE 256 typedef struct Metadata

345

Avni Rexhepi { struct Metadata(char* key, char* value) { strcpy(this->key, key); strcpy(this->value, value); left = NULL; right = NULL; } char key[SIZE_KEY]; char value[SIZE_VALUE]; struct Metadata* left; struct Metadata* right; } METADATA;

Përveq definimit të strukturës do të definohet edhe klasa BinarySearchTree. Klasa BinarySearchTree definon të dhënat dhe funksionet të cilat krijojnë dhe manipulojnë nyjen. Si është ilustruar në kodin vijues, definicioni i klasës është i organizuar në dy pjesë, atë private dhe atë publike. Aplikacioni mund t’i qaset vetëm të dhënave dhe funksioneve publike; anëtarët e definuar në pjesën private mund të qasen vetëm përmes funksioneve të klasës. Në pjesën private të klasës BinarySearchTree janë deklaruar dy anëtarë privat: ‘size’ dhe ‘root’. Anëtari ‘size’ është një integer që ruan numrin e nyjeve në pemë, kurse ‘root’ është pointer në një instancë të strukturës metadata. Me fjalë të tjera, root është nyja e parë në pemë. Pjesa private përmbanë poashtu edhe nëntë funksione anëtare: addNode() getNode() removeAllNodes() processNodesInOrder() getTreeDepth() containsNode() removeNode() removeRootNode() moveLeftMostNode()

//shtoNyje() //merrNyje() //largoTeGjithaNyjet() //procesoNyjetMeRadhe() //merrThellesineePemes() //permbaneNyjen() //largoNyje() //largoNyjenRrenje() //levizNyjenMeTeMajte()

Këto funksione përdoren nga funksionet e definuara në pjesën publike të klasës, për të manipuluar nyjet e pemës. Më vonë do të paraqiten të gjitha këto funksione. Pjesa publike përmbanë edhe konstruktorin dhe destruktorin dhe disa funksione të cilat i mundësojnë aplikacionit që të krijojë dhe largojë nyjet dhe të manipulojë nyjet e pemës. Funksionet do të paraqiten të kompletuara më vonë. //BinarySearchTree=Pema e kerkimit Binar BinarySearchTree();

346

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave ~BinarySearchTree() add() remove() removeAll() get() contains() displayInOrder() getSize() getDepth() class BinarySearchTree { private: int size; METADATA* root; bool addNode(METADATA** current_node, METADATA* new_node); bool getNode(METADATA* current_node, char* key, char* value); void removeAllNodes(METADATA* node); void processNodesInOrder(METADATA* node); int getTreeDepth(METADATA* node); bool containsNode(METADATA* node, char* key); bool removeNode(METADATA** node, char* key); void removeRootNode(METADATA** node); void moveLeftMostNode(METADATA** node, METADATA* root); public: BinarySearchTree(); virtual ~BinarySearchTree(); bool add(char* key, char* value); bool remove(char* key); void removeAll(); bool get(char* key, char* value); bool contains(char* key); void displayInOrder(); int getSize(); int getDepth(); };

347

Avni Rexhepi

Konstruktori dhe Destruktori Konstruktori i klasës BinarySearchTree inicializon anëtarin ‘root’ me vlerën NULL. ‘root’ është pointer në një instancë të strukturës metadata dhe pointon në nyjen rrënjë (root) për pemën binare të kërkimit, kur të jetë shtuar nyja në pemë. Konstruktori poashtu inicializon anëtarin ‘size’ në zero. Kjo do të thotë se nuk ka nyje në pemë. Anëtari ‘size’ inkrementohet secilën herë që shtohet një nyje në pemë dhe dekrementohet secilën herë që largohet një nyje nga pema. Destruktori largon të gjitha nyjet nga pema dhe liron hapësirën e zënë të memories. Destruktori nuk i largon nyjet drejtpërdrejtë, por e thërret funksionin ‘removeAll()” i cili në fakt mirret me fshirjen e nyjeve dhe lirimin e memories. BinarySearchTree() { root = NULL; size = 0; } ~BinarySearchTree() { removeAll(); }

Funksionet add() dhe addNode() Nyja shtohet në pemë duke thirrur funksionin add() të klasës BinarySearchTree (siç do të shihet në pjesën e kodit në vijim. Funksioni add() kërkon dy parametra, pointerin për në çelësin e nyjes së re dhe një pointer tjetër për në vlerën e nyjes. Këta pointerë do të emërtohen ‘key’ (çelësi) dhe ‘value’ (vlera). Para se të shtohet nyja në pemë, funksioni add() i verifikon pointerët ‘key’ dhe ‘value’ me dy teste. Së pari, sigurohet që ata nuk kanë vlerë NULL. Pastaj, teston për të qenë i sigurtë që asnjëri prej tyre nuk është më imadh sesa madhësia e vargut të alokuar për ‘key’. Këtë e bën duke krahasuar gjatësinë e ‘key’ dhe gjatësinë e vlerës (value) për në vlerën gjegjëse të definuar në direktivën preprocesorike #define. Nëse ndonjëri prej këtyre testeve dështon, atëherë funksioni add() kthen vlerën Bool-eane “False” në urdhërin në aplikacion i cili e ka thirrur funksionin add(). Nëse ‘key’ dhe ‘value’ janë vlera valide, atëherë funksioni add() vazhdon me krijimin e nyjes së re. Së pari, ai deklaron një instancë të strukturës metadata dhe i përcjellë ‘key’ dhe ‘value’ në instancë. Më parë u tha se ‘key’ dhe ‘value’ bëhen vlerat iniciale për elementet gjegjëse të të dhënave (anëtarët) të strukturës metadata. 348

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Hapi i fundit në procesin e shtimit të nyjes së re në pemë është thirrja e funksionit addNode(). Funksioni addNode() është i definuar në pjesën private të klasës BinarySearchTree dhe është përgjegjës për vendosjen e nyjes së re në pemë. bool add(char* key, char* value) { if(key==NULL || value==NULL || strlen(key)>SIZE_KEY-1 || strlen(value)>SIZE_VALUE-1) { return false; } METADATA* new_node = new METADATA(key, value); return addNode(&root, new_node); }

Funksioni addNode(), që do të paraqitet në vazhdim, i kërkon dy argumente. Argumenti i parë është pointer në pointerin i cili pointon në nyjen aktuale. Arguementi tjetër është pointeri në nyjen e re. procesi i shtimit të nyjes së re në pemë fillon me kontrollimin nga funksioni addNode() nëse nyja e re e përcjellur është NULL. Kur vlera e ‘current_node’ (nyja aktuale) është NULL, atëherë është arritur në një gjethe në pemë. Këtu është vendi ku ndodhë shtimi i nyjes së re. Të gjitha nyjet shtohen si nyje gjethe. Nëse kjo është nyja e parë që shtohet në pemë, atëherë gjethja është edhe rrënjë. Nyja e re caktohet në pointerin e ‘current_node” dhe anëtari ‘size’ inkrementohet. Kjo e shton nyjen e re në pemë. Funksioni addNode() kthen vlerën Bool-eane “True”, duke treguar se operacioni ishte i suksesshëm. Duhet të përcillet pointeri për në pointer si argument i parë sepse do të ndryshoni vlerën në atë nyje. Ajo çka përcillni në të vërtetë është adresa e pointerit në prind. Pointeri në prind ndryshohet që të pointojë në këtë nyje të re që është duke u shtuar në pemë. Nëse nyja aktuale (current node) nuk është NULL, atëherë hapi i ardhshëm është që të gjindet vendi se ku do të shtohet nyja e re në pemë. Ky porces është i komplikuar, pasi që nyja e re duhet të lokalizohet në pozitën ku do të jetë më e madhe ose më e vogël sesa prindi i saj. Funksioni addNode() krahason çelësin (key) e nyjes aktuale (current node) me çelësin e nyjes së re (neë node) duke përdorur funksionin strcmp(). Nëse vlera e kthyer nga funksioni strcmp() është më e vogël se zero, atëherë çelësi i nyjes së re është më i vogël sesa ai i nyjes aktuale. Pastaj funksioni addNode() thirret përsëri rekurzivisht, por këtë herë pointeri në nyjen e majtë të nyjes aktuale përcillet si argument i parë në funksionin addNode(). Si ju kujtohet, argumenti i parë konsiderohet nga funksioni addNode() si nyja aktuale. Në këtë rast, nyja e majtë e nyjes aktuale konsiderohet si nyje aktuale. Argumenti i dytë është nyja e re. Vëreni se funksioni addNode() thirret rekurzivisht deri sa të gjejë vendin për 349

Avni Rexhepi nyjen e re (neë node). Thirrja e parë përcjellë argumentin e parë si rrënjë e pemës. Secila thirrje pasuese përcjellë rrënjën e nënpemës (nëndegës). Rikujtoni që secila nyje e pemës mund të konsiderohet si rrënjë për të gjitha nyjet nën të. Rregullat e njëjta aplikohen në secilën nyje – të gjitha nyjet në anën e majtë janë më të vogla dhe të gjitha nyjet në të djathtë janë më të mëdhaja. Nëse çelësi i nyjes së re është i barabartë me nyjen ekzistuese, atëherë nyja e re fshihet (largohet) dhe funksioni addNode() kthen vlerën Bool-eane “false”. Kjo për arsye se të gjithë çelësat duhet të jenë unik: në pemë nuk lejohen çelësat duplikat. bool addNode(METADATA** current_node, METADATA* new_node) { if(*current_node == NULL) { *current_node = new_node; size++; return true; } else { if(strcmp(new_node->key, (*current_node)->key) < 0) { return addNode(&((*current_node)->left), new_node); } else if(strcmp(new_node->key, (*current_node)->key)> 0) { return addNode(&((*current_node)->right), new_node); } else { delete new_node; return false; } } }

Funksionet remove(), removeNode(), dhe removeRootNode() Largimi (fshirja) e nyjes nga pema është një proces shumë-hapësh që fillon kur aplikacioni e thërret funksionin remove(), si në pjeën vijuese të kodit. Funksioni remove() kërkon çelësin (key) e nyjes që duhet të largohet. Pastaj ai e thërret

350

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave funksionin removeNode(), i cili është anëtar privat i klasës BinarySearchTree dhe prandaj nuk mund të thirret drejtpërdrejt nga aplikacioni. Funksioni removeNode() i kërkon dy parametra. I pari është referenca në nyjen aktuale që është duke u vlerësuar, që është vendi ku fillon kërkimi. Kërkimi fillohet duke përcjellur rrënjën e pemës, pastaj thirrjet pasuese do të përcjellin rrënjët e nënpemëve. Gjithnjë për pemën duhet të mendoni si bashkësi e nënpemëve – secila nyje është rrënjë për të gjitha nyjet nën të. Parametri i dytë është çelësi (key) i pranuar nga funksioni remove(). bool remove(char* key) { return removeNode(&root, key); }

Funksioni removeNode(), i paraqitur në pjesën e kodit në vijim, përdorë vlerën e përcjellur nga ana e funksionit remove() për të lokalizuar nyjen e cila do të fshihet. Para se të fillojë kërkimi, funksioni removeNode() kontrollon (përcakton) nëse nyja rrënjë e përcjellur tek ai nga ana e funksionit remove() është NULL. Kjo mund të jetë rrënja e pemës nëse kjo është thirrja e parë e funksionit ose mund të jetë rrënjë e nënpemës. Nëse është NULL, atëherë kthehet vlera Bool-eane ‘false’ sepse nyja për t’u larguar nuk është gjetur. Nëse nyja rrënja nuk është NULL, kërkimi vazhdon. Objektiv i funksionit removeNode() është që të gjindet çelësi i nyjes në pemë i cili përputhet (përshtatet) me çelësin e përcjellur nga ana e funksionit remove(). Kur të jetë gjetur njëherë, referenca për në nyjen që përmbanë çelësin i përcillet funksionit removeRootNode(), i cili në fakt largon nyjen nga pema. Funksioni removeRootNode(0 mund të largojë rrënjën e pemës ose rrënjën e nënpemës. Kërkimi fillon duke krahasuar çelësin e nyjes rrënjë të përcjellur nga funksioni remove() me çelësin e përcjellur nga funksioni remove(). Nëse çelësat përputhen, atëherë nyja rrënjë i përcillet funksionit removeRootNode() ku nyja largohet. Anëtari ‘size’ dekrementohet për të reflektuar largimin e nyjes nga pema. Pastaj nga funksioni removeNode() kthehet vlera Bool-eane ‘true’. Nëse nuk ka përputhje, atëherë funksioni removeNode() përcakton nëse çelësi i nyjes rrënjë është më i vogël se çelësi i përcjellur prej funksionit remove(). Nëse është kështu, atëherë funksioni removeNode() krahason çelësin e nyjes së majtë me atë të çelësit të përcjellur prej funksionit remove(). Funksioni removeNode() thirret rekurzivisht deri sa të gjindet përshtatja, me ç’rast thirret funksioni removeRootNode(0 dhe i përcillet referenca për në nyjen e përshtatur (përputhur). Nëse çelësi është më i madhe se çelësi i nyjes rrënjë, atëherë ai krahasohet me çelësin e nyjes së djathtë. Përsëri, funksioni removeNode() thirret rekurzivisht 351

Avni Rexhepi deri sa të gjindet përshtatja, me ç’rast thirret funksioni removeRootNode(0 dhe i përcillet referenca për në nyjen e përshtatur (përputhur). bool removeNode(METADATA** node, char* key) { if(*node != NULL) { if (strcmp(key, (*node)->key) == 0) { removeRootNode(node); size--; return true; } else if(strcmp(key, (*node)->key) < 0) { return removeNode(&((*node)->left), key); } else { return removeNode(&((*node)->right), key); } } else { return false; } }

Funksioni removeRootNode() është funksioni i cili në fakt largon nyjen nga pema. Termi ‘root node’ (nyje rrënjë) ndonjëherë mund të shkaktojë konfuzion sepse intuitivisht supozohet se është fjala për rrënjën e tërë pemës, mirëpo në realitet secila nyje mund të jerë rrënjë për të gjitha nyjet nën të. Edhe nëse nyja është gjethe, ajo akoma është rrënjë e nënpemës (në këtë rast, të zbrazët). Pra, ndoodhë që ajo është e vetmja nyje e nënpemës. Prandaj, në emrin e këtij funksioni përdoret fjala “Node” (rrënja). Funksioni removeRootNode() kërkon një argumen, i cili është pointeri në pointerin për nyjen që largohet. Procesi i largimit fillon me deklarimin e pointerit në strukturën metadata. Në pjesën vijuese të kodit, ky pointer emërtohet ‘temp’. Para se të largojë nyjen, funksioni removeRootNode() kontrollon nëse nyja ka fëmijë të djahtë dhe fëmijë të majtë. Nëse të dy fëmijët janë NULL, atëherë nuk ka asnjë fëmijë dhe thirret operatori ‘delete’ për të liruar memorien e shoqëruar me këtë nyje. pastaj pointeri në nyjen prind vendoset në NULL, sepse kjo nyje fëmijë është larguar. Vëreni se nëse kjo nyje do të ishte nyja e vetme e pemës, 352

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave funksioni do të caktonte rrënjën e pemës në NULL, gjë që ka kuptim pasi që pema do të ishte e zbrazët. Nëse njëri prej fëmijëve nuk është NULL, atëherë do të fëmija i djathtë do të krahasohej me NULL. Ky do të ishte rasti nëse nyja që fshihet nuk ka fëmijë të djathtë. Në këtë rast, ndryshohet pointeri në nyjen prind në të majtë të nyjes që është duke u larguar. Nyja rrënjë caktohet për në pointerin ‘temp’ për të mbajtuar mend lokacionin e nyjes që është duke u larguar nga pema. Pastaj referenca për në nyjen e majtë caktohet për në nyjen prind. Operatori ‘delete’ pastaj e largo nyjen që referohet përmes pointerit ‘temp’ për të liruar memorien e shoqëruar me nyjen që është duke u fshirë. Nëse nyja e djathtë nuk është NULL, atëherë funksioni removeRootNode() kontrolon nëse nyja e majtë është NULL. Kjo përcjellë logjikën e njëjtë me rastin e mëparshëm, përveq se nyja që është duke u fshirë nuk ka fëmijë të majtë, kështu që pointeri në nyjen prind caktohet për në nyjen në të djathë të asaj që është duke u fshirë. Referenca për ny nyjen rrënjë caktohet për në pointerin ‘temp’. referenca për në nyjen e djathtë pastaj caktohet për në nyjen prind. Operatori ‘delete’ e liron memorin e shoqëruar me nyjen që është duke u larguar. Skenari i fundit dhe më i komplikuari është nëse nyja që është duke u larguar ka të dy fëmijët, edhe nyjën fëmijë të majtë edhe atë të djathtë. Në këtë rast, funksioni removeRootNode() thërret funksionin moveLeftMostNode() (lëvize nyjen më të majtë) dhe i përcjellë atij adresën e nyjes së djathtë. void removeRootNode(METADATA** root) { METADATA* temp; if((*root)->left == NULL && (*root)->right == NULL) { delete(*root); *root = NULL; } else if((*root)->right == NULL) { temp = *root; *root = (*root)->left; delete(temp); } else if((*root)->left == NULL) { temp = *root; *root = (*root)->right; delete(temp);

353

Avni Rexhepi } else { moveLeftMostNode(&((*root)->right), *root); } }

Objektiv i funksionit moveLeftMostNode() është të gjejë nyjen e cila do të zëvendësojë nyjen aktuale të nënpemës. Për të arritur këtë qëllim, duhet të lëvizni një herë në të djathtë dhe pastaj të shkoni teposhtë pemës sa më larg (sa më thellë) që të jetë e mundur në të majtë, deri sa të gjendet nyja më e vogël në të djathtë. Lëvizja në të djathtë ndodhë kur funksioni moveLeftMostNode() thirret për herë të parë. Pastaj lëvizni majtas thirrjet pasuese të funksionit. Kur të jetë gjetur vlera më e vogël në anën e djathtë, nyja që përmbanë vlerën më të vogël bëhet nyja e re rrënjë. Le të shohim se si funksionon kjo duke lëvizuar (ecur) nëpër definicionin vijues të funksionit moveLeftMostNode(). Ky funksion kërkon dy argumente, nyjen aktuale që është duke u vlerësuar dhe nyjën e cila do të zëvendësohet. Mbani mend, ky funksion do të kopjojë çelësin dhe vlerën (të dhënën) prej nyjes më të voglël në nënpemën e djathtë, në nyjën e cila është duke u larguar. Kjo zëvendëson nyjen që është duke u larguar me njërën nga nyjet gjete dhe pastaj nyja gjethe fshihet. Nëse referenca për në nyjen që është duke u lëvizur nuk është NULL dhe pointeri i majtë i nyjes që ësthë duke u lëvizur është NULL, atëherë keni gjetur nyjen e cila do të lëvizet përpjetë deri në pozitën e nyjes që është duke u larguar. Deklarohet një pointer dhe caktohet për në nyjen që lëvizet. Pastaj, çelësi dhe vlera e nyjes kopjohen në çelësin dhe vlerën e nyjes rrënjë. Nyja rrënjë në këtë rast është nyja që ësthë duke u larguar nga pema. Pasi që jeni duke lëvizur fëmijën më të majtë të nënpemës së djathtë, ky fëmijë më i majtë mund të ketë fëmijë në të djathtë të tij. Vlera e pointerit në prindin e nyjes që ësthë duke u lëvizur caktohet në pointerin e djathtë të asaj që është duke u lëvizur. Kjo i mbanë këto nën-nyje të paprekura. Përfundimisht, operatori ‘delete’ e largon nyjen. Nëse nuk është gjetur nyja më e majtë e nënpemës së djathtë, atëherë thirret përsëri funksioni moveLeftMostNode(). Këtë herë, nyja e fëmijës së majtë përcillet si nyje që duhet të lëvizet në pozitën rrënë. Pozita rrënjë në këtë rast është nyja që është duke u larguar. void moveLeftMostNode(METADATA** node, METADATA* root) { if(*node != NULL && (*node)->left == NULL) {

354

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave METADATA* temp = *node; strcpy(root->key, (*node)->key); strcpy(root->value, (*node)->value); *node = (*node)->right; delete(temp); } else { moveLeftMostNode(&((*node)->left), root); } }

Funksionet removeAll() dhe removeAllNodes() Më parë u panë disa funksione të cilat largojnë një nyje nga pema. Ka raste kur do të nevojitet që të largohen të gjitha nyjet nga pema. Për të bërë këtë, duhet të thirret funksioni removeAll() (largo të gjitha). Funksioni removeAll() i paraqitur në pjesën vijuese të kodit, kryen dy operacione. Së pari, ai thërret funksionin removeAllNodes() (largo të gjitha nyjet), i cili është i definuar në pjesën private të klasës BinarySearchTree. Ky është funksioni i cili në fakt largon të gjitha nyjet nga pema. Operacioni i dytë është që të resetohen (rivendosen (angl. reset)) anëtarët ‘root’ dhe ‘size’ të klasës BinarySearchTree. Anëtari ‘root’ caktohet në NULL, për të treguar se nuk ka asnjë nyje në pemë. Anëtari ‘size’ caktohet në zero, për të treguar se pema është e zbrazët. Funksioni removeAll() poashtu thirret edhe nga destruktori. void removeAll() { removeAllNodes(root); root = NULL; size = 0; }

Funksioni removeAllNodes() kërkon një argument, i cili është pointeri për në nyjen rrënjë. Përderi sa nyja rrënjë nuk është NULL, funksioni removeAllNodes() thërret vetveten secilën herë, duke i përcjellur së pari nyjen e fëmijës së majtë dhe pastaj nyjen e fëmijës së djathtë si nyje rrënjë. Renditja e këtyre thirrjeve është me rëndësi. Rikujtoni që nyje rrënjë është ose nyja rrënjë e tërë pemës ose rrënja e nënpemës (nëndegës). Para se të largohet prindi duhet të largohen të gjitha nyjet fëmijë. I adresoheni pemës së majtë, pastaj pemës së djahtë, e pastaj kur ktheht tek thirrësi, është e sigurtë që të fshihet nyja aktuale (nyja rrënjë) sepse të gjithë fëmijët do të jenë fshirë. Sikur me të gjitha 355

Avni Rexhepi funksionet rekurzive, duhet të definohet pika e ndalimit. Në këtë rast, nëse jeni në nyje gjethe, pointeri i majtë dhe i djathtë do të jenë NULL dhe thirrjet e funksionit removeAllNodes() do të kthenin (return), (ato nuk do të vazhdonin rekurzionin), sepse nyja do të jetë NULL. Në ekran do të paraqitet porosia që tregon çelësin dhe vlerën e nyjes që është duke u larguar nga pema. Pastaj përdoret operatori ‘delete’ për të larguar nyjen. void removeAllNodes(METADATA* node) { if(node != NULL) { removeAllNodes(node->left); removeAllNodes(node->right); cout<<"Largohet nyja–çelesi (key): "<key<<"\t" << node->value << endl; delete node; } }

Funksionet get() dhe getNode() Funksioni get() (merr) i klasës BinarySearchTree thirret përbrenda aplikacionit sa herë që dëshironi të lexoni/“tërheqni” (angl. retrieve-tërheqë, rikthej) vlerën e nyjes. Për të tërhequr vlerën, duhet t’i siguroni funksionit get() çelësin për kërkim dhe variablën e cila do të ruaj vlerën, kur të gjindet çelësi. Kjo gjë funksionon në mënyrën si është ilustruar në pjesën vijuese të kodit, ku i përcillni funksionit get() dy argumente. Argumenti i parë është pointeri që i referohet çelësit për kërkim. Në këtë shembull, çelësi është një string/tekst/fjalë. Prandaj, funksionit i përcillet një pointer në ‘char’, i cili si mund të ju kujtohet, pointon në karakterin e parë të stringut. Argumenti i dytë është poashtu një pointer i tipit ‘char’. Ky pointon në elementin e parë të vargut të karaktereve të cilat funksioni get() i përdorë për të ruajtur vlerën e nyjes që është e shoqëruar me çelësin e kërkimit. Le të marrim si shembull që çelësi i kërkimit është ID e studentit “1234” dhe vlera e shoqëruar me këtë çelës është “Ben Shpati”. Ju i përcillni funksionit get() “1234” dhe ai kopjon vlerën “Ben Shpati” në vlerën e vargut të karaktereve, nëse çelësi “1234” është gjetur në ndonjë nyje të pemës. Pastaj e përdorni vlerën e vargut të karaktereve nëpër aplikacionin tuaj. Funksioni get() është i definuar në pjesën publike të klasës BinarySearchTree dhe prandaj është i qasshëm për aplikacionet. Mirëpo, funksioni get() thjeshtë vetëm e thërret funksionin getNode(), i cili është i definuar në pjesën private të 356

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave klasës BinarySearchTree. Funksioni getNode() kthen vlerën Bool-eane ‘true’ nëse çelësi i kërkuar gjindet; përndryshe kthehet vlera Bool-eane ‘false’. Vlera e kthyer prej tij poashtu bëhet vlerë e kthyer prej funksionit get(). bool get(char* key, char* value) { return getNode(root, key, value); }

Funksioni getNode() është vendi ku ndodhe i tërë veprimi. Këtu bëhet kërkimi dhe vlera e nyjes kopjohet në vlerën e vargut. Siç është ilustruar në vijim, funksioni getNode() kërkon tri argumente. Argumenti i parë është pointeri që i referohet nyjes rrënjë. Nyja rrënjë është pozita startuese e kërkimit dhe zakonisht është nyja më e lartë e pemës, por mund të jetë cilado nyje. Argumenti i dytë është pointeri që i referohet çelësit të kërkimit, i cili në këtë shembull është pointer i tipit ‘char’. Argumenti i tretë është pointeri në variablaën që e ruan vlerën e nyjes e cila përmbanë çelësin e kërkimit. Të dyja, çelësi dhe vlera e variablës janë të njëjta me ato që i përcillen funksionit get(). Funksioni getNode() fillon procesimin duke verifikuar nyjen rrënjë. Nëse nyja rrënjë është NULL, atëherë argumenti i vlerës caktohet në string të zbrazët (e cakton karakterin e parë në NULL) dhe nga ana e funksionit getNode() kthehet vlera Bool-eane ‘false’ për të terguar se çelësi nuk është gjetur në pemë. Nëse rrënja nuk është NULL, atëherë vazhdon kërkimi. Funksioni getNode() thirret në mënyrë rekurzive. Secilën herë që thirret, ai krahason çelësin që kërkohet me çelësin e nyjes rrënjë. Nëse ata përputhen, atëherë vlera e nyjes rrënjë kopjohet në vlerën e variablës dhe nga funksioni kthehet vlera Bool-leane ‘true’. Nëse çelësi i kërkimit nuk përshtatet me çelësin e rrënjës, atëherë funksioni getNode() përcakton nëse çelësi është më i vogël ose më i madhe se çelësi i nyjes rrënjë. Varësisht prej rezultatit të këtij krahasimi, funksioni getNode() e thërret vetveten dhe përdorë ose fëmijën e majtë ose atë të djathtë të rrënjës si argument për nyje rrënjë të funksionit getNode(). Ky proces vazhdon deri sa ose çelësi i kërkimit përpythet me çelësin e nyjes rrënjë (aktuale) ose nyja rrënjë është NULL, duke treguar se çelësi që kërkohet nuk ekziston në pemë. Ky tip i kërkimit është ajo ku vjen në shprehje fuqia e pemëve binare. Vëreni që secilën herë që thirret funksioni, duke bërë një krahasim në çelës, eliminohet nga kërkimi gjysma e nyjeve të mbetura, kështu që do të jeni në gjendje që të gjeni çelësin shumë shpejt, edhe në bashkësi shumë të madhe të të dhënave. bool getNode(METADATA* node, char* key, char* value) { if(node == NULL) {

357

Avni Rexhepi value[0] = '\0'; return false; } else { if(strcmp(key, node->key) == 0) { strcpy(value, node->value); return true; } else if(strcmp(key, node->key) < 0) { return getNode(node->left, key, value); } else { return getNode(node->right, key, value); } } }

Funksionet contains() dhe containsNode() Më herët është theksuar se çelësi në pemë duhet të jetë unik. Nuk mund të keni dy çelësa me vlerë të njëjtë të çelësit. Mos e përzieni vlerën e çelësit me vlerën e ruajtur në nyje. Vlera çelës është vlera e vetë çelësit. Para se të shtohet një nyje e re në pemë, duhet të përcaktoni nëse çelësi i nyjes së re veç ekziston në pemë. Është e mundur që të konstruktohet pema binare e cila lejon çelësa duplikat, mirëpo ky nuk është zbatim (implementim) i zakonshëm. Në këtë rast, kemi definuar rregullën që të gjithë çelësat e pemës duhet të jenë unik. Për të përcaktuar nëse çelësi veq ekziston në pemë, thirret funksioni contains() (angl. contains-përmbanë) që është anëtarë i klasës BinarySearchTree, i cili është paraqitur në vazhdim. Funksioni contains() kërkon një argument, pointerin që i referohet çelësit. Ai kthen vlerën Bool-eane ‘true’ nëse çelësi ekziston, përndryshme kthen vlerën ‘false’. Funksioni contains() është funksion i thjeshtë dhe ka vetëm një urdhër. Ky urdhër thërret funksionin containsNode(), anëtarë i klasës. Funksioni containsNode() kërkon pemën për çelësin e kërkimit dhe kthen vlerën Bool-eane ‘true’ nëse çelësi është gjetur, përndryshe kthen vlerën Bool-eane ‘false’, e cila vlerë pastaj përdoret si vlerë kthyese prej funksionit contains(). 358

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Funksioni contains() është definuar në pjesën publike të klasës BinarySearchTree, ndërsa funksioni containsNode() është definuar në pjesën private të klasës së njëjtë. bool contains(char* key) { return containsNode(root, key); }

Funksioni containsNode(), siç është treguar në vazhdim, kërkon dy argumente (dy pointerë). Argumenti i parë është pointeri që i referohet nyjes rrënjë. Nyje rrënjë mund të jetë cilado nyje, por në mënyrë tipike rrënjë është nyja e parë e pemës sepse dëshironi që të kërkoni çelësin duke filluar nga maja e pemës. Argumenti i dytë është pointeri që i referohet çelësit (key), i cili është çelësi i njëjtë që i përcillet funksionit contains(). Procesi fillon me përcaktimin (kontrollimin) nëse pointeri i rrënjës është NULL. Nëse pointeri është NULL, atëherë çelësi nuk ekziston dhe kthehet vlera Booleane ‘false’; përndryshe çelësi krahasohet dhe kërkimi vazhdon. Së pari, funksioni containsNode() krahason çelësin me çelësin e nyjes rrënjë. Nëse ka përputhje (përshtatje), atëherë kthehet vlera Bool-eane ‘true’ dhe kërkimi mbaron. Nëse janë të ndryshëm, atëherë funksioni containsNode() përcakton nëse çelësi (key) është më i vogël se ai i nyjes rrënjë. Nëse po, atëherë funksioni containsNode() e thërret vetveten dhe përdorë nyjen e fëmijës së majtë të rrënjës, si nyje e re rrënjë. Nëse çelësi nuk është më i vogël se çelësi i rrënjës, atëherë funksioni containsNode() e përcakton nëse çelësi është më i madh se ai i rrënjës. Nëse po, atëherë funksioni containsNode() e thërret vetveten duke përdorur fëmijën e djathtë të rrënjës si nyje e re rrënjë. Funksioni containsNode() thirret rekurzivisht deri sa ose të gjindet çelësi ose deri sa vlera e rrënjës është NULL, duke treguar se keni arritur në fund të pemës pa e gjetur çelësin. bool containsNode(METADATA* node, char* key) { if(node == NULL) { return false; } else { if(strcmp(key, node->key) == 0) { return true;

359

Avni Rexhepi } else if(strcmp(key, node->key) < 0) { return containsNode(node->left, key); } else { return containsNode(node->right, key); } } }

Funksionet displayInOrder() dhe processNodesInOrder() Përmbajtja e pemës mund të shfaqet (paraqitet) duke e thirrur funksionin displayInOrder() (paraqiti me radhë), anëtarë i klasës BinarySearchTree. Siç tregon edhe emri, funksioni displayInOrder() është funksion publik i cili paraqet çelësin dhe vlerën e të gjitha nyjeve të majta, të pasuara nga të gjitha nyjet e djathta, për secilën nyje në pemë. Siç ësthë treguar në vijim, funksioni displayInOrder() ka një urdhër, i cili thërret funksionin processNodesInOrder() (proceso nyjet me radhë), funksion anëtarë i klasës BinarySearchTree. Funksioni processNodesInOrder() është i definuar në pjesën private të klasës prandaj nuk është në dispozicion për alikacionin (aplikacioni nuk ka qasje në pjesën private!). Funksionit processNodesInOrder() duhet t’i përcillet një argument, i cili është pointeri që i referohet nyjes rrënjë. Nyje rrënjë në mënyrë tipike është nyja e parë e pemës, mirëpo mund të filloni paraqitjen e përmbajtjes së pemës nga cilado nyje, duke e përcjellur atë si argument të funksionit processNodesInOrder(). void displayInOrder() { processNodesInOrder(root); }

Definicioni i funksionit processNodesInOrder(0 është paraqitur në vijim. Do të vëreni se ky është një funksion rekurziv dhe thirret shumë herë në mënyrë që të shtypë nyjet që ndodhen në degën e majtë dhe atë të djathtë të pemës. Procesimi fillon duke përcaktuar (kontrolluar) nëse rrënja është NULL. Nëse po, jeni në fund të pemës. Nëse nuk është NULL, atëherë funksioni processNodesInOrder() thirret përsëri dhe i përcillet fëmija i majtë i nyjes rrënjë. Atëherë paraqitet në ekran çelësi dhe vlera e nyjes. 360

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Kjo vazhdon deri sa të paraqiten në ekran çelësat dhe vlerat e të gjitha nyjeve majtas. Procesi i njëjtë përcillet për të paraqitur fëmijët djathtas të nyjes rrënjë. Për cilëndo nyje të dhënë, së pari do të shtypen të gjitha nyjet majtas, pastaj shtypet vetë nyja, e pastaj të gjitha nyjet djathtas. void processNodesInOrder(METADATA* node) { if(node != NULL) { processNodesInOrder(node->left); cout << "key: " << node->key << "\tvalue: " << node->value << endl; processNodesInOrder(node->right); } }

Funksionet getSize(), getDepth() dhe getTreeDepth() Më herët është thënë se pema matet për nga numri i nyjeve dhe për nga numri i niveleve. Numri i nyjeve në pemë thirret madhësia e pemës (angl. size) dhe numri i niveleve të pemës është thellësia e pemës (angl. depth). Kemi definuar funksionet anëtare të cilat mund të përdoren për të përcaktuar madhësinë dhe thellësinë e pemës. Funksioni i parë quhet getSize() (merre madhësin), i cili është paraqitur në vazhdim. Ky funksion thjeshtë kthen vlerën e anëtarit ‘size’ të klasës BinarySearchTree. Funksionet të cilat shtojnë dhe largojnë nyjet e përshtasin vlerën e anëtarit ‘size’ ashtu që anëtari ‘size’ i klasës gjithmonë reflekton numrin aktual të nyjeve në pemë. int getSize() { return size; }

Funksioni getDepth() (merre thellësinë), përcakton numrin e nivele në pemë. Ky funksion thërret funksionin anëtarë getTreeDepth() (merre thellësinë e pemës) dhe ia përcjellë atij referencën për në nyjen rrënjë e cila përdoret si nivel startues kur llogaritet thellësia e pemës. Ai kthen një integer që përfaqëson numrin e niveleve në pemë. Funksioni getDepth() dhe funksioni getSize() janë të dy të definuar në pjesën publike të klasës BinarySearchTree. Funksioni getTreeDepth() është i definuar në pjesën private. int getDepth() { return getTreeDepth(root); }

361

Avni Rexhepi Funksioni getTreeDepth() është paraqitur në vazhdim dhe kryen të gjitha llogaritjet për të përcaktuar numrin total të niveleve në pemë. Funksioni getTreeDepth() kërkon një argument, i cili është referencë në nyjen rrënjë. Kjo duhet të jetë nyja e parë në pemë, edhe pse mund të përdoret cilado nyje. Nëse përdorni nyje tjetër, funksioni llgoaritë nivelet prej asaj nyjeje deri tek fundi i pemës. Nivelet para kësaj nyjeje nuk mirren në konsiderim në llogaritje. Procesi fillon me kontrollimin nëse nyja është e zbrazët. Nëse është, atëherë nyja rrënjë është NULL dhe kthehet vlera zero. Nëse rrënja nuk është NULL, atëherë funksioni getTreeDepth() “shkon teposhtë” nëpër secilin nivel të pemës duke thirrur vetveten në mënyrë rekurzive. Kur arrihet në nyje gjethe, fitohet parametri NULL. Kjo nuk do të thotë që pema është e zbrazët, mirëpo vetëm se keni arritur në nyje gjethe. Pastaj, thirrjet rekurzive kthejnë (me return), duke inkrementuar vlerën numëruese nëpër secilin rekurzion, për të mbledhur nivelet. Secilën herë që thirret funksioni getTreeDepth(), atij i përcillen nyja fëmijë e majtë dhe nyja fëmijë e djathtë dhe funksioni kthen një numër të plotë (integer) i cili reprezenton nivelin, i cili është i shoqëruar ose me variablën ‘depth_left’ (thellesia majtas) ose me variablën ‘depth_right’ (thellësia djathtas). Variablat depth_left dhe depth_right krahasohen. Nëse vlera e variablës depth_left është më e madhe se ajo e variablës depth_right, variabla depth_left inkrementohet dhe kthehet nga ana e funksionit getTreeDepth(); përndryshe, inkrementohet dhe kthehet variabla depth_right. int getTreeDepth(METADATA* node) { int depth_left; int depth_right; if(node == NULL) { return 0; } else { depth_left = getTreeDepth(node->left); depth_right = getTreeDepth(node->right); if(depth_left > depth_right) { return depth_left + 1; } else { return depth_right + 1; } } }

362


Pema binare në C++ Tani që i pamë pjesët e klasës BinarySearchTree, le t’i bashkojmë në një aplikacion punues. Aplikacioni do të organizohet në tre fajlla: BinaryTreeDemo.cpp, BinarySearchTree.h dhe BinarySearchTree.cpp. Fajlli BinarySearchTree.cpp është fajlli i aplikacionit që përmbanë kodin i cili krijon dhe manipulon pemën. BinarySearchTree.h përmbanë definicionin e strukturës së përdorur për të ndërtuar nyjen dhe definicionin e klasës BinarySearchTree. BinarySearchTree.cpp përmbanë definicionin e funksioneve anëtare të klasës BinarySearchTree. Të gjitha janë listuar në kodin vijues. Mbetet vetëm ta provoni se si aplikacioni krijon dhe manipulon pemën, e cila ka ID-të (çelësat) dhe emrat (vlerat). //BinaryTreeDemo.cpp #include #include #include #include #include #include "BinarySearchTree.h" int main() { BinarySearchTree* tree = new BinarySearchTree(); char key[SIZE_KEY]; char value[SIZE_VALUE]; int i; cout << "Shtimi i tre çelesave dhe tri vlerave ne peme." << endl; for(i=0; i<3; i++) { if (i==0) { strcpy(key,"345"); strcpy(value,"Beni"); } if (i==1) { strcpy(key,"123"); strcpy(value,"Meri"); } if (i==2) { strcpy(key,"999"); strcpy(value,"Suzi"); } if (!tree->contains(key))

363

Avni Rexhepi { cout <<"Shtimi i nyjes–çelesi/key: "<add(key, value); } else { cout << "Çelesi duplikat i gjeneruar: " << key << endl; } } cout << "\nPershkimi *In order* i pemes:" << endl; tree->displayInOrder(); cout<<"\nThellesia e pemes para largimit te nyjeve: " <getDepth() << endl; cout << "Madhesia e pemes para largimit te nyjeve: " << tree->getSize() << endl; cout << "\nLeximi i nje vlere nga pema:" << endl; if(tree->get("123", value)) { cout << "Vlera: " << value << endl; } cout << "\nLargimi i nje nyjeje nga pema: " << endl; if(tree->contains("123")) { tree->remove("123"); } cout << "\nPershkimi *In order*i pemes: " << endl; tree->displayInOrder(); cout << "\nThellesia e pemes pas largimit te nyjeve: " << tree->getDepth() << endl; cout << " Madhesia e pemes pas largimit te nyjeve: " << tree->getSize() << endl; cout << "\nAsgjesimi i pemes:" << endl; delete tree; system(“Pause”); return 0; }

Aplikacioni fillon me dekarimin e instancës së klasës BinarySearchTree dhe ia cakton atë referencës së quajtur ‘tree’ (pema). Pastaj, deklarohen dy vargjet e ‘char’ dhe një ‘int’. vargjet ‘char’ quhen ‘key’ (çelësi) dhe ‘value’ (vlera) dhe madhësia e këtyre vlerave caktohet duke përdoru makron e definuar në fajllin BinarySearchTree.h. Vargjet ruajnë një ID dhe emrin i cili i ndahet nyjes në pemë. Variabla e tipit ‘int’ kontrollon unazën ‘for’. 364

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Pastaj, unaza ‘for’ shton secilën ID dhe emër në pemë. Për seclin iteracion (kalim, përsëritje), thirret funksioni strcpy() për të kopjuar stringun që përmbanë ose ID-në ose emrin që duhet kopjuar në vargje. Kur të jetë kopjuar bashkësia e stringjeve në vargje, aplikacioni thërret funksionin contains() (përmbanë) për të kontrolluar nëse çelësi veç ekziston në pemë. Rikujtoni që secli çelës duhet të jetë unik. Funksioni contains() kthen vlerën Bool-eane ‘true’ nëse çelësi është në pemë. Me logjikën e përmbysjes (e kundërt, e invertimit) me operatorin ‘! – not” trajtojmë vlerën Bool-eane ‘true’ si ‘false’. Kjo do të thotë që urdhërat përbrenda urdhërit ‘if’ nuk do të ekzekutohen nëse çelësi veç ekziston në pemë. Nëse çelësi nuk ekziston në pemë, atëherë aplikacioni paraqet çelësin (key) dhe vlerën (value) në ekran, para se të thërrasë funksionin add() (shtoje) për të vendosur në pemë çelësin dhe vlerën, si në vijim: Shtimi Shtimi Shtimi Shtimi

i i i i

tre çelesave dhe tri vlerave ne peme. nyjes–çelesi/key: 345 vlera: Beni nyjes–çelesi/key: 123 vlera: Meri nyjes–çelesi/key: 999 vlera: Suzi

Figura 6-29 ilustron çelësat dhe vlerat të organizuara në pemë.

Figura 6.29 - pa marrë parasysh radhën me të cilën shtohen të dhënat në pemë, nyja fëmijë e majtë është më e vogël sesa nyja prind dhe nyja e djahtë fëmijë është më e madhe sesa nyja prind. Nëse çelësi veç ekziston në pemë, atëherë paraqitet porosia në ekran që tregon se çelësi është çelës duplikat. Pasi të vendosen në pemë të tri ID-të dhe emrat, aplikacioni manipulon nyjet në pemë. Manipulimi i parë është thirrja e funksionit displayInOrder(), i cili i paraqet çelësat dhe vlerat e secilës nyje, si në vijim: Pershkimi *In order* i pemes: çelesi: 123 vlera: Meri

365

Avni Rexhepi çelesi: 345 vlera: Beni çelesi: 999 vlera: Suzi

Pastaj aplikacioni paraqet thellësinë dhe madhesinë e pemës duke thirrur funksionet getDepth() dhe getSize(). Rezultati paraqitet në ekran, si në vijim: Thellesia e pemes para largimit te nyjeve: 2 Madhesia e pemes para largimit te nyjeve: 3

Rikujtoni që thellësia e pemës është numri i niveleve të pemës. Në këtë shembull, janë dy nivele. Niveli i parë përmbanë nyjen rrënjë dhe niveli i dytë përmbanë nyjen fëmijë të majtë dhe nyjen fëmijë të djathtë. Pastaj, aplikacioni i tërheqë (lexon) vlerat e shoqëruara me çelësin 123 duke thirrur funksionin get(). Funksioni get() kthen vlerën Bool-eane ‘true’ nëse çelësi është gjetur; përndryshe, kthehet vlera Bool-eane ‘false’. Nëse çelësi është gjetur, atëherë paraqitet në ekran vlera, si në vijim. Rikujtoni që emri i shoqëruar me çelësin 123 i caktohet vlerës varg përmes funksionit get(). Leximi i nje vlere nga pema: Vlera: Meri

Pastaj, aplikacioni largon nyjen që përmbanë çelësin 123. Së pari thirret funksioni contains() për të përcaktuar nëse pema përmbanë çelësin me vlerë 123. Nësë po, atëherë kthehet vlera bool-eane ‘true’, përndryshe kthehet vlera bool-eane ‘false’. Pasi që ekziston nyja me çelësin 123, thirret funksioni remove() dhe i përcillet stringu 123 për të larguar nyjen. Funksioni displayInOrder() thirret përsëri, për të paraqitur pemën pasi të jetë larguar nyja. Ajo çka paraqitet në ekran është si në vijim. Largimi i nje nyjeje nga pema: Pershkimi *In order* i pemes: çelesi: 345 vlera: Beni çelesi: 999 vlera: Suzi

Vëreni se nyja 123 më nuk ekziston në pemë (Figura 6.30).

Figura 6.30 - Nyja e majtë fëmijë është larguar nga pema: pema akoma ka thellësinë 2 nivele. 366

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Në fund, aplikacioni thërret funksionet getDepth() dhe getSize() për të paraqitur thellësinë dhe madhësinë e pemës pasi të jetë larguar nyja. Rezultati si vijon: Thellesia e pemes pas largimit te nyjeve: 2 Madhesia e pemes pas largimit te nyjeve: 2

Aplikacioni përfundon largimin e pemës duke thirrur operatorin ‘delete’. Rikujtoni që destruktori i klasës BinarySearchTree e thërret funksionin removeAllNodes() i cili i paraqet çelësat dhe vlerat që largohen. Ja se çka do të paraqitet në ekran: Largohet nyja – çelesi (key): 999 Largohet nyja – çelesi (key): 345

Suzi Beni

Fig.6.31 – Rezultati i ekzekutimit

367

Avni Rexhepi

Kërkimi tek pema binare Pema binare (angl. Binary Tree) është strukturë e të dhënav e përdorur gjerësisht. Karakteristikë e pemës binare, e cila e dallon nga pema e zakonshmë, është se secila nyje ka më së shumti dy fëmijë. Përdorim më i shpeshtë i pemës binare është si strukturë bazike për pemën binare të kërkimit (angl. Binary search tree). Secila pemë binare ka grupet vijuese të nyjeve: 

 

Rrënja, (nyja rrënjë, angl. Root node): nyja e parë (më e lartë) e pemës. Është si “nyje kryesore” e pemës, sepse të gjitha nyjet tjera arrihen prej rrënjës. Gjithashtu, rrënja nuk ka prind. Është nyja në të cilën zakonisht fillojnë operacionet në pemë. Nyjet interne (nyjet e brendshme, angl. Internal nodes): këto nyje kanë prind (rrënja nuk është nyje e brenshme) dhe së paku një fëmijë. Nyjet gjethe (angl. Leaf (gjethe), leaves (gjethet)): këto nyje kanë prind, por nuk kanë fëmijë (janë nyjet fundore).

Në vijim kemi një shembull të pemës binare.

Shembull i pemës binare

Operacionet Operacionet bazike (të cilat do të sqarohen në detaje më vone), janë të ndërlidhura me përshkimin e pemës (bredhjen nëpër pemë, kalimin me radhë nëpër nyje). Janë të definuara tri mënyra standarde të përshkimit të pemës:

368

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave -

Preorder (root-left-right – rrënja-nyja e majtë–nyja e djathtë); Postorder (left-right-root – nyja e majtë–nyja e djathtë–rrënja); dhe, Inorder (left-root-right – nyja e majtë-rrënja-nyja e djathtë)

Implementimi themelor është në pemën e kërkimit binar – (angl. Binary search tree (BST)).

Pema e kërkimit binar - Binary search tree Fillimisht duhet theksuar se pema binare e kërkimit (BST) ësthë strukturë dinamike e të dhënave, që do të thotë se madhësia e saj është e kufizuar vetëm nga sasia e mëmories së lirë (free memory) në sistemin operativ dhe numri i elementeve mund të ndryshojë gjatë ekzekutimit të programit. Përparësi kryesore e pemës binare të kërkimit është kërkimi i shpejtë, gjersa shtimi i elementeve është mjaft “i lirë”. Definicionet themelore të pemës binare të kërkimit janë dhënë në vijim. Pema binare e kërkimit është strukturë e të dhënave, e cila e plotëson kërkesat vijuese:     

është pemë binare; secila nyje ka vlerë; rendi total është i definuar në këto vlera (çdo dy vlera mund të krahasohen më njëra tjetrën); nënpema/nëndega e majtë (left subtree) e nyjes përmbanë vetëm vlerat më të vogla sesa vlera e nyjes; nënpema/nëndega e djathtë (right subtree) e nyjes përmbanë vetëm vlerat më të mëdha sesa vlera e nyjes;

Vëni re se definicioni i këtillë nuk lejon duplikate.

Shembull i pemës binare të kërkimit

369

Avni Rexhepi

Për çka përdoret pema binare e kërkimit? Pema binare e kërkimit përdoret për të konstruktuar strukturën e të dhënave map (angl. map-hartë, plan, skemë). Në praktikë, të dhënat shpeshherë mund të jenë të lidhura (shoqruara, bashkuara) me një vlerë unike, çelës unik (angl. unique key). Për shembull, në adresarin e telefonave, një “çelës” i tillë është numri i telefonit. Ruajtja e të dhënave të tilla në pemën binare të kërkimit mundëson kërkim më të shpejtë sipas çelësit për ndonjë rekord, sesa sikur të dhënat të ishin ruajtur në ndonjë listë të parenditur. Gjithashtu, pema binare e kërkimit mund të shfrytëzohet për të konstruktuar strukturën e të dhënave set (grup, set, bashkësi), e cila lejon ruajtjen e një koleksioni të parenditur të velrave unike dhe të kryej operacione me koleksione të tilla. Performansa e pemës binare të kërkimit varet nga lartësia e saj. Për të mbajtur pemën të balansuar dhe për të minimizuar lartësinë e saj, idea e pemës binare të kërkimit është avansuar në pemët e balansuara të kërkimit (AVL tree, RedBlack tree, Splay tree, etj).

Operacionet në pemën binare të kërkimit    

Shtimi i një vlere të re Kërkimi për ndojë vlerë Largimi (fshirja) e vlerës Marrja me radhë e vlerave nga pema binare e kërkimit

Pema binare e kërkimit – reprezentimi i brenshëm Sikur çdo strukturë tjetër dinamike e të dhënave, pema binare e kërkimit kërkon ruajtjen e disa të dhënave ndihmëse të nevojshme për të mbajtur strukturën e saj. Secila nyje e pemës binare përmbanë informatat vijuese:   

Vlerën (e dhënë e shfrytëzuesit-user’s data); Lidhjen për tek fëmija i majtë (e dhënë ndihmëse-auxiliary data) ; Lidhjen për tek fëmija i djathtë (e dhënë ndihmëse-auxiliary data) ;

Varësisht nga madhësia e të dhënave të shfrytëzuesit, mund të ndryshojë mbingarkimi i memories, por në përgjithësi është plotësisht i arsyeshëm. Në disa implementime, nyja mund të ruaj lidhjen për tek prindi, por kjo varet nga algoritmi të cilin programeri dëshiron ta aplikojë për pemën binare të kërkimit (BST). Për operacionet themelore, sikur shtimi, largimi dhe kërkimi, lidhja për tek prindi nuk është e novojshme. Ajo është e nevojshme për implementimin e iteratorëve.

370

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Me pamje të përshtatur për reprezentim të brendshëm, shembulli i dhënë ne fillim ndryshon:

Nyjet gjethe kanë lidhje për tek fëmijët, por ato nuk kanë fëmijë. Në gjuhë programuese kjo do të thotë se lidhjet përkatëse janë të përcaktuara në NULL. Pjesë kodi Është e zakonshme që tërë struktura e pemës binare për kërkim të vendoset në dy klasa. Klasa kryesore BinarySearchTree është interfejsi publik dhe BSTNode është mjet përdorim privat përmbrenda klasës main. Kjo ndarje është e nevojshme, sepse disa operacione, si largimi/fshirja, mund të rezultojnë në një pemë të zbrazët, që do të thotë se pema nuk ka as nyje rrënjë fare. class BSTNode { private: int value; BSTNode* left; BSTNode* right; public: BSTNode(int value) { this->value = value; left = NULL; right = NULL; } }; class BinarySearchTree { private: BSTNode* root; public: BinarySearchTree() { root = NULL; } };

371

Avni Rexhepi

Pema binare e kërkimit – shtimi i vlerës Shtimi i një vlere në pemën binare mund të ndahet në dy faza:  

kërkimi për vendin për ta vendosur elementin e ri; insertimi i elementit të ri në këtë vend.

Kërkimi për vend Në këtë fazë algoritmi duhet të përcjellë tiparin e kërkimit të pemës binare. Nëse vlera e re është më e vogël sesa vlera e nyjes aktuale, shko në nënpemën e majtë, përndryshe shko në nënpemën e djathtë. Duke përcjellur këtë rregull të thjeshtë, algoritmi arrinë në nyjen e cila nuk ka as nënpemë të majtë as të djathtë. Në momentin kur të gjindet vendi për insertim, mund të themi me siguri, se vlera e re nuk ka duplikat në pemë. Fillimisht, nyja e re nuk ka fëmijë, kështu që ajo është gjethe. Në figurën vijuese, rrathët ngjyrë hiri tregojnë pozitat e mundëshme për nyjen e re.

Tani, le të përshkojmë algoritmin. Në këtë rast dhe në pothuajse secilin operacion në pemën binare të kërkimit, shftytëzohet rekurzioni. Duke filluar nga rrënja, 1. verifiko, a mos janë të barabarta vlera në nyjen aktuale dhe vlera e re. Nëse po, është gjetur duplikati. Përndrsyhe, 2. nëse vlera e re është më e vogël, atëherë vlera e nyjes: o nëse nyja aktuale nuk ka fëmijë të majtë, vendi për insertim është gjetur; o përndryshe, trajtoje fëmijën e djathtë me të njëjtin algoritëm.

Shembull 372

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Inserto 4 në pemën e treguar më lartë.

373

Avni Rexhepi

Pjesë kodi Dallimi i vetëm ndërmjet algoritmit të mësipërm dhe rutinës reale është se së pari duhet të verifikohet a ekziston rrënja. Nëse jo, vetëm krijoni rrënjën dhe mos e ekzekutoni algoritmin e zakonshëm për këtë rast special. Kjo mund të bëhet në klasën BinarySearchTree. Algoritmi themelor implementohet në klasën BSTNode. bool BinarySearchTree::add(int value) { if (root == NULL) { root = new BSTNode(value); return true; } else return root->add(value); } bool BSTNode::add(int value) { if (value == this->value) return false; else if (value < this->value) { if (left == NULL) { left = new BSTNode(value); return true; } else return left->add(value); }

374

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave else if (value > this->value) { if (right == NULL) { right = new BSTNode(value); return true; } else return right->add(value); } return false; }

Pema binare e kërkimit – operacioni i kërkimit Kërkimi i vlerën së pemën binare është i ngjashëm me operacionin e shtimit/insertimit. Algoritmi i kërkimit e përshkon pemën “në thellësi” (angl. “in depth”), duke zgjedhur rrugën e duhur përmes vetisë së pemës binare të kërkimit dhe krahason vlerën e secilës nyje të vizituar me atë që jemi duke e kërkuar. Algoritmi ndalet në dy raste:  

nyja me vlerën e duhur është gjeturl; algoritmi nuk ka rrugëdalje për të vazhduar tutje.

Algoritmi i kërkimit Le të shohim përshkrimin e detajuar të algoritmit të kërkimit. Si në rastin e operacionit të insertimit dhe pothuajse në çdo operacion në pemën binare, algoritmi i kërkimit përdorë rekurzionin. Duke filluar nga rrënja: 1. verifiko, nëse vlera në nyjen aktuale dhe vlera e kërkuar janë të barabarta. Nëse po, atëhere vlera u gjet. Përndryshe, 2. nëse vlera e kërkuar është më e vogël sesa vlera e nyjes: o nëse nyja aktuale nuk ka fëmijë të majtë, vlera e kërkuar nuk ekziston në pemën binare të kërkimit; o përndryshe, trajtoje fëmijën e majtë me të njëjtin algoritëm. 3. nëse vlera e kërkuar është më e madhe sesa vlera e nyjes aktuale: o nëse nyja aktuale nuk ka fëmijë të djathtë, vlera e kërkuar nuk ekziston në pemën binare të kërkimit; o përnrdryshe, trajtoje fëmiën e djathtë me të njëjtin algoritëm.

Shembull Kërkimi i vlerës 3 në pemën e paraqitur më lartë: 375

Avni Rexhepi

Pjesë kodi Si në rastin e operacionit të shtimit/insertimit, së pari vërtetoni a ekziston rrënja. Nëse jo, pema është e zbrazët dhe rrjedhimisht, vlera e kërkuar nuk ekziston në pemë. Ky verifikim mund të bëhet në klasën BinarySearchTree. Algoritmi themelor implementohet në klasën BSTNode. bool BinarySearchTree::search(int value) { if (root == NULL) return false;

376

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave else return root->search(value); } bool BSTNode::search(int value) { if (value == this->value) return true; else if (value < this->value) { if (left == NULL) return false; else return left->search(value); } else if (value > this->value) { if (right == NULL) return false; else return right->search(value); } return false; }

Pema binare e kërkimit – largimi i nyjes Operacioni i largimit/fshirjes në pemën binare është më i kompletuar sesa insertimi dhe kërkimi. Në parim, ai mund të ndahet në dy faza:  

kërkimi i nyjes që duhet larguar; nëse nyja është gjetur, ekzekuto algoritmin e largimit/fshirjes

Algoritmi i largimit/fshirjes Faza e parë është identike me atë tek algoritmi për kërkim, përveq faktit se duhet përcjellur prindin e nyjes aktuale. Pjesa e dytë është më e ngatërruar. Ekzistojnë tri raste, si në vijim. 1. Nyja që duhet larguar nuk ka fëmijë. Ky rast është krejt i thjeshtë. Algoritmi e vendosë lidhjen përkatëse të prindit në NULL dhe e hedhë nyjen. Shembull. Largimi/fshirja e -4 nga pema binare.

377

Avni Rexhepi

2. Nyja që duhet larguar e ka një fëmijë. Në këtë rast, nyja largohet/pritet nga pema dhe algoritmi e lidhë fëmijën e vetëm (me nënpemën e tij) drejtpërdrejt me prindin e nyjes së larguar. Shembull. Largimi i 18 nga pema binare.

378


3. Nyja që duhet larguar i ka dy fëmijë. Ky është rasti më i komplikuar. Për ta zgjidhur, së pari le të shohim një veti të dobishme të pemës binare. Do të përdorim idenë që i njëjti set i vlerave mund të paraqitet si pemë të ndryshme binare. Për shembull pemët vijuese:

përmbajnë vlerat e njëjta {5, 19, 21, 25}. Për ta transformuar pemën e parë në të dytën, mund të veproni si në vijim: 379

Avni Rexhepi o o o

gjeni vlerën minimale në nënpemën e djathtë (19 në këtë shembull); zëvendësoni 5 me 19 lidheni/vareni 5 si fëmijë të majtë

Qasja e njëjtë mund të përdoret për të larguar nyjen, e cila ka dy fëmijë: o o o

gjeni vlerën minimale në nënpemën e djathtë; zëvendësoni vlerën e nyjes që duhet larguar me minimumin e gjetur. Tani, nëndega e djathtë përmbanë një duplikat! apliko largimin/fshirjen në nëndegën e djathtë për të larguar duplikatin

Vëreni se nyja me vlerën minimale nuk ka fëmijë të majtë dhe prandaj largimi i saj mund të rezultojë vetëm në rastin e parë ose të dytë. Shembull. Largoni 12 nga nga pema binare.

Gjeni elementin më të vogël (minimumin) në nëndegën e djathtë të nyjes që duhet larguar. Në këtë shembull është 19.

380


Zëvendësoni 12 me 19. Vëreni se vetëm vlera është ndryshuar, jo nyjet. Tani kemi dy nyje me vlerë të njëjtë.

Largoni 19 nga nëndega e majtë.

381

Avni Rexhepi Pjesë kodi Së pari, verifikoni a ekziston rrënja. Nëse jo, atëherë pema është e zbrazët dhe prandaj vlera që duhet larguar nuk ekziston në pemë. Pastaj, verifikoni nëse vlera e rrënjës është ajo që duhet larguar. Ky është rast special dhe prandaj ka disa qasje për ta zgjidhur. Këtu do të shohim metodën e nyjës fallse (imitimit të nyjes) (dummy root method), ku krijohet një nyje false dhe rrënja e vëretë varet/lidhet në të si fëmijë i majtë. Kur të bëhet largimi/fshirja, vendosni lidhjen e rrënjës në lidhjen në fëmijën e majtë të nyjes fallse. Në gjuhët programuese të cilat nuk kanë “mbledhje automatike të mbeturinave” (automatic garbage collection), si p.sh., C++, nyja e larguar duhet të hudhet/shkatërrohet (angl. dispose; është fjala për largimin nga memoria). Për këtë arsye, metoda “remove” e largimit në klasën BSTNode duhet të kthejë jo vlerë boolean-e, por lidhjen për në nyjen e shkatërruar dhe të duhet të lirojë memorien në klasën BinarySearchTree. bool BinarySearchTree::remove(int value) { if (root == NULL) return false; else { if (root->getValue() == value) { BSTNode auxRoot(0); auxRoot.setLeftChild(root); BSTNode* removedNode = root->remove(value, &auxRoot); root = auxRoot.getLeft(); if (removedNode != NULL) { delete removedNode; return true; } else return false; } else { BSTNode* removedNode = root->remove(value, NULL); if (removedNode != NULL) { delete removedNode; return true; } else return false; } } } BSTNode* BSTNode::remove(int value, BSTNode *parent)

382

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave { if (value < this->value) { if (left != NULL) return left->remove(value, this); else return NULL; } else if (value > this->value) { if (right != NULL) return right->remove(value, this); else return NULL; } else { if (left != NULL && right != NULL) { this->value = right->minValue(); return right->remove(this->value, this); } else if (parent->left == this) { parent->left = (left != NULL) ? left : right; return this; } else if (parent->right == this) { parent->right = (left != NULL) ? left : right; return this; } } } int BSTNode::minValue() { if (left == NULL) return value; else return left->minValue(); }

Pema binare – listimi i vlerave me radhë Për të konstruktuar algoritmin për listimin me radhë të vlerave të pemës binare, le të rikujtojmë tiparet e pemës binare të kërkimit:  

nëndega e majtë e nyjes përmbanë vetëm vlerat më të vogla sesa vlera e rrënjës; nëndega e djathtë e nyjes përmbanë vetëm vlerat më të mëdha sesa vlera e rrënjës.

Algoritmi duket si në vijim:

383

Avni Rexhepi 1. merrni me radhë vlerat nga nëndega e majtë 2. merrni me radhë vlerat nga nëndega e djathtë 3. rezultati për nyjen aktuale është: (result for left subtree) join (current node's value) join (result for right subtree) (angl. join-lidh, bashko, bashkangjit). Ekzekutimi i këtij algoritmi në mënyrë rekurzive, duke filluar nga rrënja, do të jep rezultatin për tërë pemën. Le të shohim një shembull të këtij algoritmi.

Shembull

384


385

Avni Rexhepi

Pirgu binar Ekzistojnë disa tipe të pirgjeve (angl. Heap – pirg, stivë, grumbull). Në ketë pjesë do të diskutohet pirgu binar. Në vazhdim shkurtimisht do ta quajmë vetëm “pirg”. Ky pirg përdoret për të implementuar radhën me prioritet “Priority Queue” (angl. Queue – radhë, rend i pritjes) dhe algoritmin e sortimit “Heapsort”. Pirgu është pemë binare komplete, e cila i përgjigjet tiparit të pirgut (vlerat e mëdha/vogla lartë).

Pema binare komplete Thuhet se pema binare është komplete nëse të gjitha nivelet e saj, përveq ndoshta nivelit më të fundit, janë komplete. Megjithatë, niveli i poshtëm jo i kompletuar nuk mund të ketë “vrima”, që do të thotë se duhet të jetë i mbushur nga nyja më e majtë dhe përpjetë deri në ndonjë nyje në mes. Shikoni ilustrimet në vijim.

Shembull korrekt i pemës binare komplete

Shembull jo korrekt, niveli i mesëm është i pakompletuar

Shembull jo korrekt, niveli i fundit ka "vrimë" 386


Lartësia e pemës binare komplete është e rendit O(log n).

Tipari Heap Kemi dy lloje të mundshme të pirgut binarë: pirgu max dhe pirgu min. Dallimi është në atë se rrënja e pirgut minimal përmbanë vlerën minimale dhe anasjelltas. Pirgu me prioritet zakonisht ka të bëjë me pirgun minimal, ndërsa algoritmi heapsort, gjatë sortimit sipas rendit rritës, përdorë pirgun max.

Tipari heap për pirgun min Për secilën nyje në pirg, vlera e nyjes është më e vogël ose baraz sesa vlerat e “fëmijëve”.

Tipari heap për pirgun max Për secilën nyje në pirg, vlera e nyjes është më e madhe ose baraz sesa vlerat e “fëmijëve”.

387

Avni Rexhepi

Për thjeshtësi, në vazhdim do të marrim në konsiderim vetëm pirgun min.

Pirgu binar - Reprezentimi i brendshëm i bazuar në vargje Pirgu është pemë binare dhe prandaj mund të ruhet në kompjuter duke përdorur listat. Kjo ofron përparësi të ndryshme; një prej tyre është mundësia për të ndryshuar me lehtësi numrin e elementeve në pirg. Në anën tjetër, secila nyje ruan dy lidhje ndihmëse, gjë që nënkupton kosto shtesë të memories. Si u tha më parë, pirgu është pemë binare komplete, gjë që çon në idenë e ruajrjes së tij duke përdorur një varg. Duke përdorur reprezentimin e bazuar në vargje, mund të zvogëlojmë koston e memories gjersa navigimi i pemës mbetet mjaft i thjeshtë. Sa për algoritmin “heapsort”, implementimi i bazuar në vargje është në njëfarë mënyre i natyrshëm.

Pasqyrimi i pirgut në varg Pirgu ruhet (vendoset, deponohet) në varg nivel pas niveli. Niveli më i lartë përmbanë vetëm rrënjën. Ajo pasqyrohet në elementin e parë të vargut (me indeksin 0). Fëmijët e rrënjës pasqyrohen në elementin e dytë dhe të tretë, e kështu me radhë. Pirgu është pemë binare komplete, gjë që garanton se nyjet e pirgut i zënë vendet në varg në mënyrë kompakte, duke e bërë pasqyrimin plotësisht efikas.

388


Një pasqyrim i këtillë i përgjigjet formulave vijuese: Left(i) = 2 * i + 1

Right(i) = 2 * i + 2

Parent(i) = (i - 1) / 2

Pra, mund të shihet se navigimi nëpër pirg të pasqyruar në varg, në të vërtetë është shumë i lehtë. Pjesë kodi class BinaryMinHeap { private: int *data; int heapSize; int arraySize; int getLeftChildIndex(int nodeIndex) { return 2 * nodeIndex + 1;

389

Avni Rexhepi } int getRightChildIndex(int nodeIndex) { return 2 * nodeIndex + 2; } int getParentIndex(int nodeIndex) { return (nodeIndex - 1) / 2; } public: BinaryMinHeap(int size) { data = new int[size]; heapSize = 0; arraySize = size; } int getMinimum() { if (isEmpty()) throw string("Heap is empty"); else return data[0]; } boolean isEmpty() { return (heapSize == 0); } … ~BinaryMinHeap() { delete[] data; } };

Insertimi i elementit në pirg Në vazhdim do të shohim veprimet bazike në strukturën e pirgut. Kjo quhet “sifting” (angl. Sift – shoshë, sitë, analizim) apo shoshitje, por haset në literaturë edhe me termat “trickle” (pikon, rrjedhë), “heapify” (pirgëzoj), “bubble” (fluskë), percolate (filtroj, kulloj), etj.

Algoritmi i insertimit Algoritmi i përgjithshëm për insertimin e elementit të ri në pirgë, është si vijon:

390

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave 1. Shto elementin e ri në fund të vargut; 2. Gjersa është e prishur rregulla e pirgut, shoshitë përpjetë elementin e ri. Shoshitja bëhet si vijon: krahaso vlerën e nyjes me vlerën e prindit. Nëse nuk janë në renditje të duhur, shkëmbje pozitat.

Shembull Inserto “-2” në pirgun në vijim:

Inserto elementin e ri në fund të vargut:

Në rastin e përgjithshëm, pas insertimit, afër elementit të ri (nyjes së re) zakonisht prishet (thyhet) rregulla e pirgut: 391

Avni Rexhepi

Për të rivendosur rregullën e pirgut, algoritmi e shoshitë përpjetë elementin e ri, duke bërë shkëmbimin e pozitave me prindin e tij:

Tani, rregulla e pirgut është e thyer në nyjen rrënjë:

392


Vazhdo me shoshitje:

Rregulla e pirgut është e plotësuar, shoshitja përfundon.

393

Avni Rexhepi Pirgu fillestar

Pirgu pas insertimit të -2

Analiza e kompleksitetit Kompleksiteti i insertimit është i rendit O(h), ku h është lartësia e pirgut (angl., h-height). Duke pasur parasyshë pemën komplete, O(h)=O(log n), ku n është numri i elementeve në pirg. Pjesë kodi: void BinaryMinHeap::siftUp(int nodeIndex) { int parentIndex, tmp; if (nodeIndex != 0) { parentIndex = getParentIndex(nodeIndex); if (data[parentIndex] > data[nodeIndex]) { tmp = data[parentIndex]; data[parentIndex] = data[nodeIndex]; data[nodeIndex] = tmp; siftUp(parentIndex); } } } void BinaryMinHeap::insert(int value) { if (heapSize == arraySize) throw string("Hapesira e pirgut eshte tejmbushur "); else { heapSize++; data[heapSize - 1] = value;

394

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave siftUp(heapSize - 1); } }

Largimi i minimumit nga pirgu Operacioni i largimit përdorë idenë e ngjashme me atë të insertimit. Vlera e rrënjës, që është minimumi sipas rregullës së pirgut, zëvendësohet me vlerën e fundit të vargut. Pastaj vlera e re shoshitet teposhtë, gjersa të arrijë në pozitën e duhur.

Algoritmi i largimit 1. Kopjo vlerën nga pozita e fundit të vargut në pozitën e rrënjës; 2. Zvogëlo madhësinë e pirgut për 1; 3. Shoshitë teposhtë vlerën e rrënjës, si vijon: o nëse nyja aktuale nuk ka fëmijë, shoshitja ka përfunduar; o nësë nyja aktuale ka një fëmijë: verifiko, nëse është prishur rregulla e pirgut, atëherë shkëmbe vlerën e nyjes aktuale më vlerën e fëmijës; shoshitë teposhtë fëmijën; o nëse nyja aktuale ka dy fëmijë: gjeje më të voglin prej tyre. Nëse rregulla e pirgut është thyer, atëherë shkëmbe vlerën e nyjes aktuale me atë të fëmijës së zgjedhur; shoshitë teposhtë fëmijën.

Shembull Largo minimumin nga pirgu vijues:

Kopjo vlerën e fundit të vargut në rrënjë dhe zvogëlo madhësinë e pirgut për 1:

395

Avni Rexhepi

Tani rregulla e pirgut është thyer tek nyja rrënjë:

Rrënja ka dy fëmijë. Shkëmbe vlerën e rrënjës me vlerën më të vogël prej fëmijëve:

396


Rregulla e pirgut është thyer në nyjen 1:

Rivendose rregullën e pirgut:

397

Avni Rexhepi

Nyja 3 nuk ka fëmijë. Shoshitja është kompletuar. Pirgu fillestar

Pirgu pas largimit tw minimumit

Analiza e kompleksitetit Kompleksiteti i operacionit të largimit është i rendit O(h) = O(log n), ku h është lartësia e pirgut, n është numri i elementeve në pirg.

398

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Pjesë kodi: void BinaryMinHeap::siftDown(int nodeIndex) { int leftChildIndex, rightChildIndex, minIndex, tmp; leftChildIndex = getLeftChildIndex(nodeIndex); rightChildIndex = getRightChildIndex(nodeIndex); if (rightChildIndex >= heapSize) { if (leftChildIndex >= heapSize) return; else minIndex = leftChildIndex; } else { if (data[leftChildIndex] <= data[rightChildIndex]) minIndex = leftChildIndex; else minIndex = rightChildIndex; } if (data[nodeIndex] > data[minIndex]) { tmp = data[minIndex]; data[minIndex] = data[nodeIndex]; data[nodeIndex] = tmp; siftDown(minIndex); } } void BinaryMinHeap::removeMin() { if (isEmpty()) throw string("Pirgu eshte i zbrazet"); else { data[0] = data[heapSize - 1]; heapSize--; if (heapSize > 0) siftDown(0); } }

399

Avni Rexhepi

Pemët e balansuara Insertimi i vazhdueshëm i vlerave në pemën binare, mund të dërgojë në insertimin e vlerave të njëpasnjëshme në njërën anë të pemës, në rastet kur insertohen vlera në renditje rritëse ose zvogëluese (që nuk është fenomen i pazakontë). Në këto raste lartësia e pemës është e papërshtatshme dhe krijon rastin më të keq të performansës së pemës për insertime. Kjo do të krijonte pëmë binare të pabalansuar. Shtrohet pyetja a ka mundësi që të dizajnohet pema binare e cila e ka të garantuar që ka lartësinë O(log h), pavarësisht prej rendit të insertimeve dhe fshirjeve. Ekzistojnë teknika të cilat përmirësojnë renditjen e vlerave në pemë, duke bërë rireshtimin dhe ripozicionimin e nyjeve të tyre, me qëllim të krijimit të pemës së balansuar. Shembulli i parë dhe njëherit më i thjeshtë i pemës së balansuar, që ka rendin logaritmik për insertim, largim dhe kërkim, është pema AVL (AVL Tree), (e emërtuar kështu sipas zbuluesve të saj: Adelson-Velskii dhe Landis).

Pemët AVL Pemët AVL janë pemë me lartësi të balansuar në të dy anët. Idea është që në secilën nyje duhet të përcjellim informacionin e balasimit, i cili tregon diferencën në lartësi ndërmjet nëndegës së majtë dhe të djathtë. Në pemën binare të balansuar perfekt (pemën komplete), të dy fëmijët e cilësdo nyje kanë lartësi të barabarta. Mirëpo, mirëmbajtja e pemës komplete është e ndërlikuar, sepse edhe një insertim i vetëm mund të shkaktojë çrregullime të mëdha në strukturën e pemës. Mirëpo, nuk është e domosdoshme të bëhet shumë përmirësim në këto raste. Në vend se të kërkohet që të dy fëmijët të kenë lartësi saktësisht të barabartë, kërkohet vetëm që diferenca mes tyre të jetë më së shumti për një. Pema rezultuese quhet pemë AVL. Pra, pema është e balansuar, nëse dhe vetëm nëse për secilën nyje, lartësia e dy nënpemëve të saj, dallon më së shumti për 1. Pemët AVL mirëmbajnë invariantën vijuese: Kushti i balansimit AVL: për secilën nyje të pemës, lartësitë e nëndegës së majtë dhe të djathtë dallojnë për më së shumti 1. (Lartësia e nëndegëve null është e definuar që të jetë -1, sipas marrëveshjes). Në mënyrë që të mirëmbahet kushti i balansit, mund të shtohet një fushë e re, balansi në secilën nyje, e cila ruan diferencën e lartësisë së nëndegës (nënpemës) së majtë dhe asaj të djathtë. Në pemën AVL, ky numër do të jetë gjithmonë -1, 0 ose +1 (prandaj, mund të ruhet duke përdorur vetëm 2 bita për secilën nyje). Në vend të ruajtjes së fushës së balansit për secilën nyje, në shembullin në vijim do të përdoret një metodë më e thjeshtë, e cila do të ruaj lartësinë e nëndegëve. Para diskutimit të mirëmbajtjes 400

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave së kushtit të balansimit, do të shqyrojmë pyetjen se a është ky kusht mjaft i fortë, për të garantuar që lartësia e pemës AVL me n nyje do të jetë O(log n). Për të vërtetuar këtë, le të themi se N(h) paraqet numrin minimal të nyjeve që mund të jenë në një pemë AVL me lartësi h. Mund të gjenerohet rekurrenca për N(h). Ështe e qartë, që N(0)=1. Në përgjithësi N(h) do të jetë 1 (për rrënjën) plus N(hL) dhe N(hR), ku hL dhe hR janë lartësitë e dy nënpemëve. (L: për left-majtë; R për Right-djathtë). Pasi që pema e tërë ka lartësi h, njëra prej nënpemëve duhet të ketë lartësinë h-1, le të themi hL. për të bërë nënpemën tjetër sa më të vogël që të jetë e mundur, e minimizojmë lartësinë e saj. Lartësia e saj mund të jetë jo më e vogël se h-2, pa e thyer kushtin AVL. Prandaj, kemi rekurrencën N(0) = 1 N(h) = N(h−1) + N(h − 2) + 1 Kjo rekurrencë nuk është e definuar mirë pasi që N(1) nuk mund të llogaritet prej këtyre rregulave, kështu që e shtojmë rastin plotësues N(1)=2. Kjo rekurrencë duket shumë e ngjashme me rekurrencën Fibonacci (F(h) = F(h1)=F(h-2)). Në fakt, është argumentuar se:

1 5   N (h)    2  

h

Vlera (1  5 ) / 2  1.618 është ‘raporti i artë’ i famshëm (faktori i artë). Prandaj, duke invertuar këtë, gjejmë se lartësia e rastit më të keq për pemët AVL me n nyje është përafërsisht logn , ku  është ‘raporti i artë’. Nga kjo del se pema AVL me lartësi H, ka së paku (afërsisht) H+3/ 5 nyje. prandaj, thellësia është më së shumti logaritmike. Për lartësinë e pemës AVL plotësohet: H < 1.44 log (N+2)-1.328 Kështu që lartësia e rastit më të keq është përafërsisht 44% më shumë sesa minimumi i mundshëm për pemët binare. Mbetet të paraqitet se si të kryhen insertimet dhe fshirjet në pemët AGL dhe si të restaurohet kushti i balansit AVL pas secilit insertim ose fshirje.

401

Avni Rexhepi Rasti LL – Rotacioni djathtas (Left Left Case – Right Rotation)

Rasti RR – Rotacioni majtas (Right Right Case –Left Rotation)

Rasti LR (Left Right Case)

Rasti RL (Right Left Case)

Rotacioni majtas (Left Rotation)

402

Rotacioni djathtas (Right Rotation)


Rotacioni djathtas (Right Rotation)

Rotacioni majtas (Left Rotation)

Insertimi Rregulla e insertimit për pemët AVL fillon saktësisht si regulla e insertimit për pemët binare të kërkimit, por pas insertimit të nyjes në nënpemë, duhet të pyetet nëse pema është bërë e pabalansuar. Nëse është bërë, atëherë duhet të kryhet hapi i ribalansimit. Vetë ribalansimi është operacion i pastër lokal (kjo do të thotë, nëse nevojitet kohë konstante dhe veprime në nyjet e afërta), por kërkon kujdes. Operacioni bazik që kryhet, quhet ‘rotacion’ ose ‘rotacion i njëfishtë’ (angl. single rotation). Tipi i rotacionit varet nga natyra e çekuilibrit (jobalansimit). Le të supozojmë se burim i jobalansit është fakti se nënpema e majtë e fëmijës së majtë është shumë e thellë (Edhe rasti i nënpemës së djathtë trajtohet simetrikisht). Operacioni i kryer në këtë rast, si në figurën vijuese, është ‘rotacion i njëfishtë i djathtë’. Vëreni se si ndryshojnë faktorët e balansit pasi që është kryer ky rotacion. Lartësitë e nënpemëve ‘b’ dhe ‘d’ tani janë të barabarta mes veti.

403

Avni Rexhepi

Fig.6.32 – Rotacion i njëfishtë Në anën tjetër, supozojmë se “nipi” (fëmija i fëmijës) i rëndë është nënpema e djathtë e nënpemës së majtë (përsëri nënpema e majtë e fëmijës së djathtë është simetrike). Në këtë rastë, rotacioni i njëfishtë nuk do të jetë i mjaftueshëm për të përmirësuar jobalansin. Mirëpo, dy rotacione do ta arrijnë këtë. Shikoni figurën vijuese. Në veçanti, bëhet rotacioni i majtë në ‘nipin’ nipin ‘e majtë-të djathtë’ (fëmija i djathtë i fëmijës së majtë) dhe pastaj rotacion të djathtë në fëmijën e majtë, për të rivendosur balansin. Ky operacion quhet ‘rotacion i dyfishtë’ (angl. double rotation). (Në figurë paraqiten faktorët e balansit për të treguar vlerat e mundshme, të cilat duhet të azhurohen).

Fig. 6.33 – Rotacion i dyfishtë majtas-djathtas Pra, në përgjithësi rastet e mundshme të ribalansimit janë: 404

rotacion i njëfishtë i majtë, L rotacion i njëfishtë i djathtë, R

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave -

rotacion i dyfishtë (majtë-djathtë) LR rotacion i dyfishtë (djathtë-majtë) RL

Vetëm për nyjet që ndodhen në rrugën/shtegun prej rrënjës deri tek pika e insertimit, mund të ndryshohen faktorët e balansimit. Fshirja Fshirja/largimi është i ngjashëm me insertimit në atë se fillohet me aplikimin e algoritmit të fshirjes për pemën binare të pabalansuar. Kjo përfshinë tri raste: gjethen, fëmijën e vetëm dhe dy fëmijë. Në rastin e dy fëmijëve, duhet të gjindet çelësi zëvendësues. Pasi të jetë kryer fshirja, kalojmë nëpër pemë (duke u kthyer nga thirrjet rekurzive), duke azhuruar faktorët e balansimit (ose lartësitë) gjatë kalimit. Sa herë që haset ndonjë nyje e pabalansuar, aplikohet rotacioni i nevojshëm, për të sanuar situatën. Supozojmë se duhet të fshihet një çelës (nyje, vlerë) nga nënpema e majtë dhe si rezultat i kësaj lartësia e nënpemës është zvogëluar për një, por kjo ka shkaktuar që ndonjë para-ardhës (nyje para-ardhëse), të thyej kushtin e balansit. Janë dy raste të mundshme. Së pari, nëse faktori i balansit për fëmijën e djathtë është ose 0 ose +1 (nuk peshon majtas), mund të bëhet rotacion i njëfishtë, si në figurën vijuese. Ka disa mundësi të faktorëve të balansimit.

Fig. 6.34 – Rotacion i njëfishtë për fshirje Në anën tjetër, nëse fëmija i djathtë ka faktor të balansit -1 (peshon majtas) atëherë duhet të bëjmë rotacion të dyfishtë, si në figurën vijuese.

405

Avni Rexhepi

Fig. 6.35 – Rotacion i dyfishtë për fshirje Në vijim do të paraqitet një rast i kompletuar, si në figurë. Së pari fshihet nyja 1. Kjo shkakton që nyja 2 të jetë e pabalansuar. Atëherë, kryhet rotacion i njëfishtë i majtë në nyjën 2. Mirëpo, tani rrënja bëhet e pabalansuar. Tash, bëhet rotacion i dyfishtë djathtas-majtas, në rrënjë.

Fig. 6.36 – Shembull i fshirjes në pemën AVL 406

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Fshirja e zvarritur Numri i rasteve të ndryshme të fshirjes është shumë i madh. Ndonjëherë mund të përdoret një alternativë e fshirjes, e quajtur fshirja e zvarritur ose fshirje përtace. Idea është që të mos shkohet në procesin e fshirjes së plotë të nyjeve, por për secilën nyje të shtohet një informacion plotësues, një vlerë bool-eane e cila tregon se a është nyja ‘e gjallë’ apo ‘e vdekur’. Kur të fshihet një çelës (vlerë), thjeshtë e deklarojmë të ‘vdekur’, por e lëmë në pemë. Nëse bëhet një tentim për të insertuar të njejtin çelës përsëri, atëherë nyja bëhet përsëri ‘e gjallë’. Natyrisht, pas një seri të gjatë të fshirjeve dhe insertimeve, është e mundur që pema të ketë shumë nyje ‘të vdekura’. Për të përmirësuar këtë, në mënyrë periodike kryhet faza e pastrimit të mbeturinave (angl. garbage collection phase), e cila e përshkon pemën, duke zgjedhur vetëm elementet ‘e gjalla’ dhe pastaj duke ndërtuar pemën e rë AVL, vetëm me këto elemente. Shembull i ndërtimit i pemës së balansuar Për të gjetur lartësin maksimale ‘h’ për të gjitha pemët e balansuara me ‘n’ nyje, le të shqyrtojmë lartësinë ‘h’ dhe le të provojmë të ndërtojmë pemën e balansuar me numrin maksimal të nyjeve. Kjo strategji rekomantohet pasi që si në rastin e lartësisë minimale, vlera mund të përfitohet për disa vlera specifike të n-it. Le të jetë pema me lartësi h, e emërtuar Th. Qartazi, T0 është pema e zbrazët, ndërsa T1, është pema me një nyje të vetme (rrënjën). Për të konstruktuar pemën Th për h>1, do të sigurojmë nyjen me dy nëndegë të cilat përsëri kanë numër minimal të nyjeve. Rrjedhimisht, nënpemët janë poashtu T-ja. Është evidente se një nënpemë duhet të ketë lartësinë h-1 dhe tjetra pastaj lejohet të ketë lartësinë për një më të vogël, h-2. Në figurën vijuese janë paraqitur pemët me lartësi 2, 3 dhe 4. Pasi që principi i kompozimit të tyre i përngjanë numrave Fibonacci, këto quhen ‘Pemët Fibonacci’. Këto pemë definohen si: 1. Pema e zbrazët është Pema-Fibonacci me lartësi 0. 2. Një nyje e vetme është Pemë-Fibonacci me lartësi 1. 3. Nëse Th-1 dhe Th-2 janë Pemë-Fibonacci me lartësitë h-1 dhe h-2, atëherë Th= janë Pemë-Fibonacci. 4. Nuk ka pemë të tjera që janë Pemë-Fibonacci.

407

Avni Rexhepi

Fig. 6.37 – Pemët-Fibonacci me lartësi 2, 3 dhe 4. Numri i nyjeve në Th është i definuar përmes relacionit të thjeshtë vijues të rekurrëncës: N0 = 0, N1 = 1 Nh = Nh-1 + 1 + Nh-2 Numrat Ni janë ata nymra të nyjeve për të cilët mund të arrihet rasti më i keq (kufiri i epërm i h) dhe janë të njohur si “Numra të Leonardos”. Le të analizojmë çka mund të ndodhë kur të insertohet një nyje e re në pëmn e balansuar. Me nyjen e dhënë r, me nënpemën e majtë L dhe të djathtë R, mund të dallohen restet vijuese. Supozojmë se nyja e re insertohet në L, duke shkaktuar rritjen e lartësisë së saj për 1: 1. hL=hR: L dhe R bëhen me lartësi jo të barabarta, por kriteri i balansit nuk prishet. 2. hLhR: kriteri i balansit prishet dhe pema duhet të ristrukturohet. Shqyrtoni pemën në figurën vijuese (Fig. 6.38). Nyjet me çelës 9 dhe 11 (që do të shoheshin si fëmijë të nyjes 10) mund të insertohen pa ribalansim. Pema me rrënjë 10 do të bëhej një-anëshe (rasti 1); Nyjes 8 do t’i përmirësohet balansi (rasti 2).

408


Fig. 6.38 – Pema e balansuar. Insertimi i nyjeve, 1, 3, 5, ose 7, sidoqoftë, do të kërkonte ribalansim pasues (1,3 si fëmijë të 2, kurse 5,7, si fëmijë të 6). Një vëzhim i kujdesshëm i situatës do të zbulonte se janë vetëm dy konstelacione të ndryshme të cilat kërkojnë trajtim individual. Të tjerat, mund të nxirren përmes shqyrtimit simetrik të dy të parave. Rasti i parë karakterizohet me insertimin e nyjeve 1 ose 3. Rasti i dytë, me insertimin e nyjeve 5 ose 7. Të dy rastet janë përgjithsuar në figurën vijuese (Fig. 6.39), në të cilën format drejtkëndëshe paraqesin nënpemët dhe lartësia e shtuar nga insertimi, është shënuar me x. Transformimet e thjeshta (si më herët) të të dy strukturave restaurojnë balansin. Rezultati i tyre është paraqitur në figurë. Vëreni që lëvizjet e vetme të lejuara janë ato që ndodhin në drejtimin vertikal, ndërsa pozitat relative horizontale të nyjeve të paraqitura dhe të nënpemëve, mbesin të pandryshuara.

Fig. 6.39a - Çekuilibri (jobalansi) i shkaktuar prej insertimit - Rasti 1.

409

Avni Rexhepi

Fig. 6.39b - Çekuilibri (jobalansi) i shkaktuar prej insertimit - Rasti 2. Algoritmi për insertim dhe ribalansim varet nga mënyra se si ruhet informacioni për balansin e pemës. Një opcion është që edhe informacioni i balansit të jetë pjese e vetë strukturës së pemës. Në këtë rasit, faktori i balansit duhet të rillogaritet sa herë që të ketë insertim ose fshirje në pemë, gjë që shkakton mbingarkim. Një zgjidhje tjetër poashtu është që shtohet një faktor eksplicit i balansit për secilën nyje. Nëse faktorin e balansit të nyjes e interpretojmë si lartësia e nënpemës së saj të djathtë minus lartësia e nënpemës së saj të djathtë, atëherë do të kemi algoritmin vijues për këtë tip të nyjes. Procesi i insertimit të nyjes konsiston esencialisht në tri pjesët e njëpasnjëshme vijuese: 1. Përcille shtegun e kërkimit deri sa të vërtetohet që nyja veç nuk është në pemë (nuk ekziston paraprakisht). 2. Inserto nyjen e re dhe përcakto faktorin rezultues të balansit. 3. Kthehu prapa përgjatë shtegut të kërkimit dhe verifiko faktorët e balansit në secilën nyje. Nëse është e nevojshme, ribalanso. Kjo procedurë përshkruan operacionin e duhur të kërkimit në secilën nyje dhe për shkak të formulimit rekurziv të saj mund të akomodojë me lehtësi operacionet plotësuese në rrugën e kthimit prapa, përgjatë shtegut të kërkimit. Në secilin hap, duhet të përcillet nëse informacioni nëse është rritur lartësia e nënpemës (në të cilën është kryer insertimi). Për këtë arsye, shtohet një parametër bool-ean h, me kuptimin që lartësia e nënpemës është rritur. Qartazi, h duhet të shënojë parametër variabil pasi që përdoret për të transmetuar rezultat. Supozojmë tani se procesi është duke u kthyer në nyjen p^ nga dega e majtë (shiko figurën 6.39), me indikacionin se lartësia e saj është rritur. Tani duhet të dallojmë ndërmjet tri kushteve të cilat përfshijnë lartësitë e nënpemëve para insertimit: 1. hL < hR, p.bal = +1, jobalansi paraprak është ekuilibruar. 410

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave 2. hL = hR, p.bal = 0, pesha tash është anuar në të majtë. 3. hL > hR, p.bal = -1, nevojitet ribalansimi. Në rastin e tretë, inspektimi i faktorit të balansit të rrënjës së nënpemës së majtë (le të themi p1.balansi) përcakton nëse është prezent rasti 1 ose rasti 2 i figurës 6.39. Nëse ajo nyje ka edhe nënpemët të majtë më të lartë se e djathta, atëherë kemi të bëjmë me rastin 1, përndryshe me rastin 2. (Merrni se në këtë rast nuk mund të ndodhë nënpema e majtë me faktorë balansi të barabartë me 0 në rrënjën e saj). Operacionet e nevojshme të rebalansimit janë tërësisht të shprehura si sekuenca të ricaktimeve të pointerëve. në fakt, pointerët ndryshohen në mënyrë ciklike, duke rezultuar ose në rotacion të njëfishtë ose në rotacion të dyfishtë të dy ose tri nyjeve të përfshira. Si plotësim i rotacionit të pointerëve, duhet të bëhet edhe azhurimi i faktorëve të balansit. Principi i punës, është paraqitur në figurën vijuese. Shqyrtoni rastin e pemës binare (a) e cila përbëhet prej dy nyjeve. Insertimi i nyjes me ‘key’ (çelës) 7, rezulton në pemë të pabalansuar. Nevojitet rotacioni i njëfishtë RR, i cili rezulton në pemën e balansuar në mënyrë perfekte (b). Insertimi i mëtejshëm i nyjeve 2 dhe 1 rezulton në jobalans të nëndegës me rrënjë 4. Kjo nëndegë balansohet me rotacion të njëfishtë LL (d). Iinsertimi vijues i nyjes 3 menjëherë zhvendosë kriterin e balansi në nyjen rrënjë 5. Balansi këtu rikthehet me rotacion të dyfishtë LR dhe rezultati është pemë (e). Kandidati i vetëm për të humbur balansin në insertimin vijues është nyja 5. Vërtetë, insertimi i nyjes 6 kërkon rastin e ribalansimit të dyfishtë RL. Pema finale është paraqitur nën (f).

Fig. 6.40 – Insertimet në pemën e balansuar Parashtrohen dy pyetje lidhur me performansën e algoritmit të insertimit në pemën e balansuar:

411

Avni Rexhepi 1. Nëse të gjitha n! permutacione e n çelësave ndodhin me probabilitet të barabartë, sa është lartësia e pritur e pemës së balansuar të konstruktuar? 2. Sa është probabiliteti që një insertim kërkon ribalansim? Analiza matematike e këtij algoritmi është e komplikuar. Testet empirike përkrahin supozimin se lartësia e pritur e pemës së balansuar të gjeneruar është h=log(n)+c, ku c është konstante e vogël (c≈0.25). Kjo nënkupton që në praktikë, pema e balansuar AVL sillet aq mirë sa pema perfekt e balansuar, edhe pse është shumë më e thjeshtë për t’u mirëmbajtur. Poashtu, evidenca empirike sygjeron që mesatarisht, rebalansimi është i nevojshëm në përafërsisht çdo dy insertime. Rotacioni i njëfishtë dhe i dyfishtë janë me gjasa të barabarta. Shembulli i prezentuar është zgjedhur me qëllim që të demonstrohen sa më shumë rotacione të mundshme në numrin minimal të insertimeve. Kompleksiteti i operacioneve të balansimit sygjeron që pemët e balansuara duhet të përdoren vetëm nëse leximet janë shumë më të shpeshta se insertimet. Kjo është posaqërisht e vërtetë pasi që nyjet e pemëve të tilla zakonisht implementohen në struktura sa më dendur që të jetë e mundur, për të ekonimizuar hapësirën. Shpejtësia e qasjes dhe e azhurimit të faktorëve të balansimit – ku secila kërkon vetëm dy bita – rrjedhimisht është shpesh faktori vendimtar i efikasitetit të operacioneve të ribalansimit. Vlerësimet empirike tregojnë se pemët e balansuara humbin shumë atraktivitetin e tyrë nëse është i domosdoshëm paketimi i ngjeshur i të dhënave. Vëretë është e vështiër që të mundet algoritmi i thjeshtë dhe i drejtpërdrejtë i insertimit. Fshirja në pemën e balansuar Përvoja ka treguar se fshirja në rastin e pemës së balansuar do të jetë më e komplikaur se insertimi, megjithëse operacionet e rebalansimit mbesin në esencë të njëjta, si për rastin e insertimit. Në veçanti, ribalansimi konsiston përsëri në rotacion të njëfishtë ose të dyfishtë. Bazë për fshirje në pemën e balansuar mbetet algoritmi i fshirjes. Rastet e lehta janë nyjeve fundore (gjethet) dhe nyjet me vetëm një pasardhës (fëmijë). Nëse nyja që duhet të fshihet ka dy nënpemë, përsëri ajo do të zëvendësohet me nyjen më të djathtë të nënpemës së saj të majtë. Sikur në rastin e insertimit, shtohet një parametër bool-ean me kuptimin “lartësia e nënpemës është zvogëluar”. Ribalansimi duhet të konsiderohet vetëm nëse vlera e tij është ‘true’. Operimi i procedurës është ilustruar në figurën vijuese (Fig. 6.41). Me pemën e dhëne të balansuar (a), fshirja sukcesive (e njëpasnjëshme) e nyjeve 4, 8, 6, 5, 2, 1 dhe 7, rezulton në pemët (b)...(h). Fshirja e nyjes 4 është e thjeshtë vetvetiu, sepse ajo paraqet nyje terminale (gjethe). Mirëpo, kjo rezulton në nyjen e pabalansuar 3. Operacioni i saj i ribalansimit përfshinë një rotacion të njëfishtë LL. Ribalansimi bëhet përsëri i nevojshëm pas fshirjes së nyjes 6. Këtë herë, 412

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave nënpema e rrënjës 7 ribalansohet me një rotacion të njëfishtë RR. Fshirja e nyjes 2, edhe pse në vete e drejtpërdrejtë pasi që ka vetëm në pasardhës, shkakton rotacion të dyfishtë RL. Rasti i katërt, rotacioni i dyfishtë LR, thirret në fund pas largimit të nyjes 7, e cila së pari është zëvendësuar me elementin e saj më të djathtë të nënpemës së majtë, d.m.th., nga nyja 3.

Fig. 6.41 – Fshirjet në pemën e balansuar 413

Avni Rexhepi Edhe fshirja e një elementi në pemën e balansuar mund të kryhet me O(log n) operacione, në rastin më të keq. Megjithatë, nuk duhet të mos vihet re një dallim esencial ndërmjet insertimit dhe fshirjes. Gjersa insertimi i një çelësi mund të rezultojë në më së shumti një rotacion (të dy ose tri nyjeve), fshirja mund të kërkojë rotacion në secilën nyje përgjatë shtegut të kërkimit. Për shembull, fshirja e nyjes më të djathtë të Pemës-Fibonacci kërkon numrin maksimal të rotacioneve, sepse fshirja e secilës nyje dërgon në zvogëlimin e lartësisë së pemës. Prandaj, kjo reprezenton zgjidhjen më të keqe të nyjes në rastin më të keq të pemës së balansuar, që është një kombinim i pafat i gjasave. Sa është probabiliteti i rotacioneve në përgjithësi? Rezultatet befasuese të testeve empirike tregojnë se ndërsa një rotacion kërkohet për afërsisht çdo dy insertime, një rotacion kërkohet për vetëm çdo të pestën fshirje. Fshirja në pemën e balansuar pra është përafërsisht poaq e lehtë ose poaq e komplikuar sa insertimit. Implementimi i zakonshëm i AVL pemëve nuk është jashtëzakonisht kompleks, por problemi është që nuk është efikas. Pas pemëve AVL, janë zbuluar metoda më të mira të balansimit të pemëve, kështu që implementimi i pemëve AVL nuk ia vlenë. Pema AVL wshtw e balansuar nw mwnyrw strikte, nw mesin e pemwve tw balansuara, gjw qw dwrgon nw insertim dhe largim mw tw ngadalshwm, por nw lexim tw shpejtw. Kjo i bwn atraktive pwr pwrdorin nw strukturat e tw dhwnave tw cilat mund tw ndwrtohen njw herw dhe tw ruhen pa rikonstruktime, si p.sh., fjalorwt e gjuhwve (ose fjalorwt e programeve, si ‘opkodet’ e asemblerit ose interpreterit).

Pemët kuq e zi Pema kuq e zi është strukturë e të dhënave e cila është e tipit pemë binare vetëbalansuese. Vetë-balansimi sigurohet përmes ngjyrosjes së nyjeve me njërën prej dy ngjyrave (zakonisht ‘kuq’ dhe ‘zi’), në mënyrë që rezultati i pemës së vizatuar/shtypur plotëson disa tipare të cilat nuk e lejojnë pemën që të bëhet e shumë e pabalansuar. Kur të modifikohet pema, pema e re riaranzhohet dhe ringjyroset për të rivendosur tiparet e ngjyrave. Tiparet janë të dizajnuara ashtu që riaranzhimi dhe ringjyrosja të mund të kryhen në mënyrë efikase. Balansimi i pemës nuk është perfekt, por është mjaftueshëm i mirë për të garantuar kërkimin në kohë O(log n), ku ‘n’ është numri i nyjeve në pemë. Insertimi dhe fshirja, përgjatë riaranzhimit dhe ringjyrosjes së pemës, poashtu kryhen në kohë O(log n).

414

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Përcjellja e ngjyrës për secilën nyje kërkon 1 bit të informacioit për nyje, sepse janë vetëm dy ngjyra. Pema kuq-e-zi nuk përmbanë ndonjë të dhënë tjetër specifike për të qenit pemë kuq-e-zi, kështu që “gjurma” e saj në memorie është pothuajse identike me pemën klasike (të pangjyrosur) binare. Në shumë raste, ruajtja e një biti shtesë të informacionit mund të ruhet pa ndonjë kosto shtesë.

Fig. 6.42 – Shembull i pemës kuq e zi Pemët kuq e zi i ka zbuluar Rudolf Bayer, në vitin 1972, i cili në fillim i kishte quajtur “B-Trees”, kurse në vitin 1978, Leonidas J. Guibas dhe Robert Sedgewick, në punimin e tyre “A dichromatik frameëork for balanced trees”, i përdorën ngjyrat kuq e zi (pasi që dukeshin më së miri në printerin e tyre, që e përdornin gjatë punës, Xerox Parc) dhe prej atëherë u quajtën me emrin e ri (... pra nuk ka të bëjë me shqiptarët!) Pemët kuq e zi, janë tip special i pemëve binare dhe përdoren për të organizuar të dhënat e krahasueshme, si fragmentet e teksteve ose numrat. Nyjet gjethe të pemës kuq-e-zi nuk përmbajnë të dhëna. Këto gjethe nuk duhet të jenë në memorie në mënyrë eksplicite – një pointer fëmijë “NULL” (ose përdoret edhe versioni “NIL), mund të paraqesë faktin se fëmija është gjethe – por kjo i thjeshton disa algoritme që operojnë në pemët kuq-e-zi, nëse gjethet janë realisht nyje eksplicite. Për të ruajtur memorien, ndonjëherë një nyje e vetme “sentine” (angl. sentine-roje, rojëtar), kryen rolin për të gjitha gjethet, ashtu që të gjitha referencat prej nyjeve interne në ato gjethe, pointojnë në nyjen ‘sentinel’. (Nyja ‘sentinel’, shërben si përfundim dhe nuk përmbanë e as nuk referon ndonjë të dhënë të menagjuar nga strutura e të dhënave. Përdoren si alternativë ndaj përdorimit të “NULL”, për të përfituar në shpejtësi të kryerjes së operacioneve, redukim të kompleksitetit të algoritmit dhe madhësisë së kodit dhe për të krijuar strukturë më robuste (angl. robust-i fortë, i fuqishëm)). 415

Avni Rexhepi Sikur pemët binare të kërkimit, edhe pemët kuq-e-zi mundësojnë përshkimin efikas ‘in-order’ të elementeve të tyre (pra: majtas-rrënja-djathtas). Koha e kërkimit rezulton prej përshkimit prej rrënjës në gjethe deh prandaj pema e balansuar me ‘n’ nyje, që ka lartësinë më të vogël të mundshme, rezulton në kohë të kërkimit O(log n).

Tiparet e pemëve kuq e zi Përveq kërkesave të imponuara nga pema binare e kërkimit, pema kuq-e-zi duhet t’i plotësojë edhe këto kushte: 1. Nyja është e kuqe ose e zezë. 2. Rrënja është e zezë. (kjo nganjëherë evitohet, pasi rrënja mund të ndryshohet kurdo nga e kuqe në të zezë, por jo domosdo edhe anasnjelltas, kështu që kjo rregull nuk ka efekt në analizë). 3. Të gjitha nyjet “NIL” janë të zeza (Të gjitha gjethet kanë ngjyrë të njëjtë me rrënjën). 4. Secila nyje e kuqe duhet të ketë dy nyje fëmijë të zeza. 5. Secili shteg prej nyjes së dhënë deri tek cilado nyje pasardhëse përmbanë numër të njëjtë të nyjeve të zeza. Këto kufizime detyrojën (shtrëngojnë) tiparin kritik të pemëve kuq-e-zi, që shtegu prej rrënjës deri tek gjethja më e largët nuk është më shumë se dyfish i gjatë sa shtegu prej rrënjës deri tek gjethja më e afërt. Rezultat i kësaj është që pema është përafërsisht e balansuar për nga lartësia. Pasi që operacionet si insertimi, fshirja dhe kërkimi kërkojnë kohë të rastit më të keq proporcionale me lartësinë e pemës, ky kufi i epërm teorik në lartësi, u mundëson pemëve kuq-e-zi që të jenë efikase edhe në rastin më të keq, për dallim prej pemëve binare të kërkimit. Për të kuptuar përse kjo është e garantuar, mjafton të shqyrtohen tiparet 4 dhe 5 së bashku. Për një pemë binare T, le të jetë B numri i nyjeve të zeza në tiparin 5. Le të jetë shtegu më i shkurtër prej rrënjës së T deri tek cilado nyje, me B nyje të zeza. Shtigjet e mundshme më të gjata mund të konstruktohen duke insertuar nyje të kuqe. Mirëpo, tipari 4 e bën të pamundur që të insertohet më shumë se një nyje e njëpasnjëshme e kuqe. Prandaj, shtegu më i gjatë i mundshëm përbëhet prej 2B nyjeve, një e kuqe një e zezë. Shtegu më i shkurtër i mundshmë i ka të gjitha nyjet të zeza dhe shtegu më i gjatë i mudnshëm kalon nëpër nyjet e kuqe dhe të zeza. Pasi që të gjitha shtigjet maksimale kanë numër të njëjtë të nyjeve të zeza, tipari 5, kjo tregon se asnjë shteg nuk është më shumë se dyfish më i gjatë se ndonjë shteg tjetër.

416


Aplikimet dhe strukturat e ndërlidhura të të dhënave Pema kuq e zi garanton për kohën e rastit më të keq për insertim, fshirje dhe kërkim. Kjo jo vetëm që i bën ato të vlefshme për aplikacione sensitive në aspektin kohor, si aplikacionet në kohë reale (angl. real-time applicacions), por i bën edhe si blloqe të dobishme ndërtimi në strukturat tjera të të dhënave të cilat ofrojnë garacë për rastin më të keq. Për shembull shumë struktura të të dhënave të përdorura në gjeometrinë llogaritëse mund të bazohen në mepët kuq-e-zi. Edhe “Completely Fair Scheduler” i përdorur në kernel të Linux-it, përdorë pemët kuq-e-zi. Pemët kuq-e-zi poashtu janë shumë të rëndësishme në programimin funksional, ku ato janë struktura më e zakonshme persistente e të dhënave, e përdorur për ndërtimin e vargjeve asiciative dhe seteve, të cilat mund të rifitojnë versionet e mëparshme, pas ndryshimeve. Në vitin 2008, Sedgewick prezentoi versionin e thjeshtësuar të pemëve kuq-e-zi të quajtur “pema kuq-e-zi me tendencë majtas” (angl. Left-leaning red-black tree-LLRB), duke eliminuar shkallën e mëhershme të paspecifikuar të lirisë në implementim. Versioni LLRB ka edhe një invariantë plotësuese që të gjitha lidhjet e kuqe duhet të anojnë majtas, përveç gjatë insertimit dhe fshirjes. Edhe pema tango (angl. tango tree), që është një tip i pemës së optimizuar për kërkime të shpejta, zakonisht përdorë pemët kuq-e-zi si pjesë të strukturës së saj të të dhënave.

Operacionet në pemët kuq-e-zi Sikur në rastin e pemëve binare, insertimet dhe fshirjet nga pema kuq-e-zi i prishin tiparet e pemës kuq-e-zi, kështu që duhet të bëhet restaurimi, për çka përdoren operacionet përmatëse.

Rotacionet Rotacioni është operacion lokal, i cili ruan renditjen e çelësave për përshkimin in-order.

Fig. 6.43 – Rotacionet 417

Avni Rexhepi Vëreni që në të dy rastet, renditja in-order rezulton në: A x B y C. Kodi i operacionit të rrotullimit majtas (angl. left_rotate) mund të jetë si në vijim: //parent=prindi, left=majt-as, right=djatht-as //Tree=pema, node=nyja, rotate=rotullo/rotacion left_rotate( Tree T, node x ) { node y; y = x->right; /* Shnderro nën-pemën e majtë të y, në nën-pemë të djathtë të x-it */ x->right = y->left; if ( y->left != NULL ) y->left->parent = x; /* prindi i ri i y-it ishte prindi i x-it */ y->parent = x->parent; /* Cakto prindin që të pointojë në y në vend se në x */ /* Shiko së pari nëse ndodhemi në rrënjë */ if ( x->parent == NULL ) T->root = y; else if ( x == (x->parent)->left ) /* x ishte në të majtë të prindit të vet */ x->parent->left = y; else /* x duhet të ketë qenë në të djathtë */ x->parent->right = y; /* Në fund, vendose x-in në të majtë të y-it */ y->left = x; x->parent = y; }

Insertimi Insertimi është pak më kompleks dhe përfshinë një numër të rasteve. Fillohet me insertimin e nyjes së re ‘x’ në pemë, sikur për çdo pemë të zakonshme binare, duke përdorur funksionin për insertim. Nyja e re etiketohet e kuqe dhe me gjasë e prishtë tiparin kuq-e-zi. Unaza kryesore lëvizë përjpetë pemës, për të rivendosur tiparin kuq-e-zi. //parent=prindi, //rb_insert=(insertimi_kuq-e-zi) //red=kuq, black=zi rb_insert( Tree T, node x ) { /* Inserto në pemë në mënyrën e zakonshme */ tree_insert( T, x );

418

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave /* Tani, restauro tiparin kuq-e-zi */ x->colour = red; while ( (x != T->root) && (x->parent->colour == red) ) { if ( x->parent == x->parent->parent->left ) { /* Nëse prindi i x-it është majtas, y është ‘axhë’ i djathtë i x-it */ y = x->parent->parent->right; if ( y->colour == red ) { /* rasti 1 – ndrysho ngjyrat */ x->parent->colour = black; y->colour = black; x->parent->parent->colour = red; /* Lëvize x-in përpjetë pemës */ x = x->parent->parent; } else { /* y është nyje e zezë */ if ( x == x->parent->right ) { /* dhe x është në të djathtë */ /* rasti 2 – lëvize x-in lartë dhe rrotullo */ x = x->parent; left_rotate( T, x ); } /* rasti 3 */ x->parent->colour = black; x->parent->parent->colour = red; right_rotate( T, x->parent->parent ); } } else { /* përsërtite pjesën me kushtin ‘if’ me djatht-as dhe majt-as të ndryshuara/shkëmbyera*/ } /* Ngjyrose rrënjën me të zezë */ T->root->colour = black; }

Nga kodi mund të shihet se kemi vetëm një unazë. Në atë unazë, nyja në rrënjë të nënpemës për të cilën tentohet të restaurohet (rivendoset) tipari kuq-e-zi, mund të lëvizet te lartë (përpjetë), së paku një nivel në secilin iteracion të unazës. Pasi që pema ka lartësi O(log n), ka O(log n) iteracione. Funksioni tree_insert ka poashtu kompleksitet O(log n), kështu që në përgjithësi, funksioni rb_insert ka poashtu kompleksitetin O(log n). Shembull: Ja një shembull i insertimit në pemwn kuq-e-zi: (Cormen, p269).

419

Avni Rexhepi Pema fillestare .. Në vazhdim, gjethet (‘sentinel’) s’do të paraqiten, për thjeshtësi të figurave.

Është thirrur funksioni për insertim, për të insertuar në pemë nyjen ‘4’. Kjo më nuk është pemë kuq-e-zi, sepse në shtegun 11 - 2 - 7 - 5 - 4 ka dy nyje të kuqe. Shëno nyjen e re me ‘x’, dhe ‘axhën’ e saj (vëllaun e prindit) me y. y është i kuq (rasti 1) ... Ndrysho ngjyrat e nyjeve 4, 7 dhe 8. Lëvize nyjen x-in te lartë deri tek gjyshi i saj, 7. Prindi i x-it (2) është akoma i kuq, kështu që prishet tipari kuq-e-zi.

Shëno ‘axhën’ me, y. Në këtë rast, axha është me ngjyrë të zezë, rasti 2 ...

420

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Lëvize x-in te lartë dhë rrotullo majtas.

Akoma nuk është pemë kuq-e-zi ... ‘axha’ akoma me ngjyrë të zezë, por prindi i x-it, është në të majtë...

Ndrysho ngjyrat e 7 dhe 11 dhe rrotullo djathtas...

Tani kemi pemë kuq-e-zi, kështu që kemi përdunduar! Koha O(logn)!

Algoritmet paralele

421

Avni Rexhepi Algoritmet paralele për konstruktimin e pemëve kuq-e-zi prej listave të sortuara të elementeve mund të ekzekutohen në kohë konstante O(log log n), varësisht prej modelit të kompjuterit, nëse numri i procesorëve është proporcional me numrin e elementeve. Janë të njohur edhe algoritmet paralele për kërkim, insertim dhe fshirje të shpejtë paralele.

422


Splay Trees Pema “Splay” (angl. Splay Tree, angl. splay-i gjerë, i anuar, i pjerrët, i hapur nga jashtë, etj) është pemë binare vetë-rregulluese (vetë-përshtatëse) me një tipar plotësues që elementet e qasura së fundi janë të shpejtë për qasje të sërishme. Kjo pemë i kryen operacionet themelore të insertimit, kërkimit dhe fshirjes në kohë O(long n) të amortizuar. Për shumë sekuenca të operacioneve jo të rastësishme, “splay tree” performon më mirë se cilado pemë tjetër e kërkimit, edhe kur mostra specifike e sekuencës është e panjohur. Pema ‘splay’ është zbuluar nga Daniel Dominic Sleator dhe Robert Endre Tarjan, në vitin 1985. Të gjitha operacionet normale në pemën e kërkimit binar janë të kombinuara me një operacion themelor, të quajtur “splaying” (angl. splaying-zgjerim, hapje nga jashtë). Splay-imi i pemës për një element të caktuar rirregullon pemën ashtu që elementi vendoset në rrënjë të pemës. Një mënyrë për të bërë këtë është që së pari të kryhet kërkimi standard i pemës binare për elementin në fjalë, e pastaj të përdoren rotacionet e pemës në një model specifik, për t’a sjellur atë element në rrënjë. Në formë alternative, algoritmi “top-doën” (nga lartë-teposhtë) mund të kombinojë kërkimin dhe rioarganizimin e pemës në një fazë të vetme. Rikujtojmë se në diskutimin për pemët binare, të cilat kanë vetinë e mirë që nëse vlerat insertohen dhe fshihen me rastësi, atëherë kohët e pritshme për insertim dhe fshirje janë të rendit O(log n). Pasi që skenaret e rastit më të keq mund të dërgonin në sjellje O(n), ishim të udhëhequr kah idea e pemës së balansuar për kah lartësia, pema AVL, e cila garantonte kohë O(log n) për të gjitha operacionet, sepe mirëmbante balansin e pemës gjatë tërë kohës. Operacionet themelore të cilat mirëmbanin balansin e pemës quheshin rotacione (çfarëdo që ishin, të njëfishta ose të dyfishta). E metë e pemëve AVL ishte se duhet të mbahej informacioni për balansin nëpër nyje dhe funksionet e azhurimit të pemës AVL ishin mjaft të komplikuara (më të komplikuara sesa që dëshirohet zakonisht). Pema “splay” poashtu përdorë rotacionet për të përshtatur pemën. Mirëpo, pasi që pema ‘splay’ nuk ka informacion të balansit, është e mundur të krijohen pemë të pabalansuara ‘splay’. Splay pemët kanë një natyrë interesante të vetërregullimit në vetëvetë. Në veçanti, kurdo që pema bëhet e pabalansuar, qasja në pjesët e pabalansuara të pemës do të tentojë natyrshëm të balansojë vetëveten. Kjo është vërtetë gjë shumë e menqur, kur kemi parasysh faktin se pema nuk ka ide nëse është e balansuar apo jo. Prandaj, si një pemë binare e pabalansuar, është e mundur që një operacion i vetëm i qasjes të kërkojë kohë të rendit O(n) (e jo si O(log n), si do të dëshironim).

423

Avni Rexhepi Sidoqoftë, pemët splay kanë një veti të mirë të njohur si “kufiri i performansës së amortizuar të splay pemëve”: duke filluar nga një pemë e zbrazët, koha totale e nevojshme për të performuar sekuencën e ‘m’ operacioneve të insertimit/fshirjes/gjetjes në pemën e zgjeruar (splay) është O(m log n), ku ‘n’ është numri maksimal i nyjeve në pemë. Prandaj, edhe pse cilido operacion mund të jetë mjaft i kushtueshëm, përgjatë cilësdo sekuence të operacioneve duhet të jetë një numër i madh i operacioneve efikase, për të balansuar disa me kosto të lartë. Me fjalë të tjera, përgjatë sekuencës së m operacioneve, kostoja mesatare e një operacioni është O(log n). Përparësitë Performansa e mirë e pemës “splay” varet nga fakti që ajo është vetëoptimizuese, në atë që nyjet e qasura më shpesh do të lëvizin më afër rrënjës, prej ku mund të qasen më shpejtë. Duke pasur nyjet e përdorura më shpesh afër rrënjës është përparësi për pothuajse të gjitha aplikacionet praktike (për faktin e lokalitetit të referencës) dhe është posaqërisht i rëndësishëm për implementimin e algoritmeve të keshimit (angl. cache, cacheing) dhe të grumbullimit të mbeturinave (angl. garbage collection). Përparësitë janë: -

-

implementimi i thjeshtë (më i thjeshtë sesa pemët AVL dhe ato kuq-e-zi), performansa e krahasueshme (rasti mesatar, si edhe për pemët tjera), shfrytëzimi i ulët i memories (nuk kanë nevojë për të dhëna plotësuese), mundësia e krijimit të strukturave të persistente të të dhënave të pemëve “splay” (që pas azhurimit, lejojnë qasje në të dy versionet: të vjetrin dhe të riun), puna e mirë me nyjet që kanë çelësa identik (në të kundërt me tipet tjera të pemëve të vetë-balansuara). Edhe për çelësat identik, performansa mbetet e amortuzuar, O(log n). Të gjitha operacionet në pemë ruajnë renditjen e nyjeve identike përbrenda pemës, që është tipar i ngjashëm me algoritmet stabile të sortimit. Dizajni i kujdesshëm i operacionit të kërkimit mund të kthejë nyjen më të majtë ose më të djathtë për çelësin e dhënë.

Të metat E meta kryesore e pemëve “splay” është se lartësia e pemës “splay” mund të jetë lineare. Për shembull, ky do të ishte rasti pas qasjes së të gjitha n-elementeve në renditje jo-zbritëse. Pasi që lartësia e pemës i korrespondon kohës së qasjes për rastin më të keq, kjo do të thotë që kostoja aktuale e një operacioni mund të jetë e lartë. Sidoqoftë, kostoja e qasjes së amortizuar e këtij rasti më të keq është logaritmike, O(log n). Gjithashtu, kostoja e pritur e qasjes mund të redukohet në O(log n) duke përdorur variantin me rastësi (e randomizuar). Pema “splay” mund të jetë më e më “e keqe” se pema statike për më së shumti një faktor konstant. 424

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Reprezentimi i pemëve “splay” mund të ndryshojë edhe kur ato qasen vetëm për lexim (angl. read-only), p.sh, për operacionin e kërkimit. Kjo e komplikon përdorimin e pemësve të tilla në ambient me shumë “rrjedha, fije” (angl. multithreaded). Në mënyrë specifike, nevojitet menagjim shtesë, nëse lejohen rrjedhat e shuëmfishta, për të kryer operacionet paralele të kërkimit.

Operacionet Zgjerimi, hapja (splaying) Kur të qaset një nyje x, operacioni “splay” performohet në nyjen x, për ta lëvizur atë deri në rrënjë. Për të realizuar operacionin e zgjerimit (splay), duhet të kryhet një seri e hapave ‘splay”, ku secili e lëvizë nyjen x më afër rrënjës. Duke performuar operacionin “splay” në nyjen me interes, pas secilës qasje, nyjet e qasura së fundi do të mbahen më afër rrënjës dhe pema do të mbetet afërsisht e balansuar, ashtu që do të arrihen kufitjë e amortizuar të dëshiruar. Secili hap i veçantë varet nga tre faktorë: -

nëse x është fëmijë i majtë apo i djathtë i nyjes prind, p nëse prindi p është rrënjë, dhe nëse jo nëse prindi p është fëmijë i majtë apo i djathtë i prindit të tij, g (gjyshit të x-it).

Është me rëndësi të mbahet mend që pas çdo “splay” operacioni, nyja gg (stërgjyshi) i x-it, të pointojë tek nyja x. Nëse gg është null, atëherë tani është e dukshme se x është rrënja dhe duhet të azhurohet si nyje e tillë. Ekzistojnë tri lloje të hapave “splay”, ku secili prej tyre është rast i anës së majtë ose të djathtë. Për thjeshtësi, do të paraqitet vetëm nga një rast (tjetri është pasqyrim). Tipet e lëvizjeve janë të ashtuquajturat: ZIG, ZIG-ZIG dhe ZIGZAG. Hapi Zig (angl. Zig Step): ky hap kryhet kur p është rrënjë. Pema rrotullohet (kryhet rotacioni) në degën ndërmjet x dhe p. Hapat Zig ekzistojnë për të trajtuar qështjen e paritetit dhe do të bëhen vetëm si hap i fundit i “splay” operacionit dhe vetëm kur x ka thellësi teke në fillim të operacionit. p

X

x

P C

A

B

A B

C

425

Avni Rexhepi Hapi Zig-zig (angl. Zig-zig Step): Ky hap kryhet kur p nuk është rrënja dhe x e p janë ose të dy fëmijë të djathtë ose të dy të janë fëmijë të majtë. Figura vijuese paraqet rastin kur x dhe p janë të dy fëmijë të majtë. Pema rrotullohet në degën që lidhë p-në me prindin e saj g, pastaj rrotullohet në degën që lidhë x me p. Vëreni se hapat zig-zig janë e vetmja gjë që i dallon pemët “splay” nga metoda “rrotullo në rrënjë”, para prezentimit të pemëve ”splay”. x

g

p

p A

D

g

x B

C A

C

B

D

Hapi Zig-zag (angl. Zig-zag Step): kryhet kur p nuk është rrënjë dhe x është fëmijë i djathtë dhe p fëmijë i majtë ose anasjelltas. Pema rrotullohet në degën ndërmjet p dhe x dhe pastaj rrotullohet në degën rezultuese ndërmjet x dhe g.

x

g p

p

g

D x A

A B

B

C

D

C

Insertimi Për të insertuar nyjen x në pemën “splay”: 1. Së pari inserto nyjën si në rastin e pemës normale binare të kërkimit. 2. Pastaj “splay-o” nyjen e sapoinsertuar x në krye të pemës (në rrënjë).

Fshirja Për të fshirë nyjen x, përdoret metoda e njëjtë si me pemën binare të kërkimit: nëse x ka dy fëmijë, shkëmbejmë vlerën e tij ose me atë të fëmijës së tij më të djathtë të nënpemës së tij të majtë (paraardhësin e tij in-order) ose nyjen më të 426

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave majtë të nënpemës së tij të djathtë (pasardhësin e tij in-order). Pastaj në vend të saj e largojmë atë nyje. Në këtë mënyrë, fshirja redukohet në problemin e largimit të nyjes që ka 0 ose 1 fëmijë. Për dallim prej pemës binare të kërkimit, në pemën “splay” pas fshirjes, bëhet “splay” i prindit të nyjes së larguar deri në krye të pemës. Ose, nyja që duhet të fshihet, së pari “splay-ohet”, d.m.th., sillet në rrënjë të pemës dhe pastaj fshihet. Kjo e lë pemën me dy-nënpemë (pa rrënjë). Pastaj, elementi maksimal i nënpemës së majtë (metoda e parë) ose minimumi i nënpemës së djathtë (metoda e dytë), “splay-ohet” deri në rrënjë. Nënpema e djathtë bëhet fëmijë e djathtë i nënpemës së majtë rezultuese (për metodën e parë). Rrënja e nënpemës së majtë është rrënja e pemës së bashkuar. Përse funksionojnë pemët “splay”: nëse fillohet me një pemë të zbrazët dhe kryhet një sekuencë e m operacioneve të pemës “splay” (insertimit, fshirja, kërkimi), atëherë koha totale e ekzekutimit do të jetë O(m log n), ku n është numri maksimal i elementeve në pemë në cilëndo kohë. Prandaj, koha mesatare për operacion është O(log n). Vërtetimi i kësaj është kompleks, por përmes shembujve vijues do të mund të shihet si punojnë pemët “splay”.

Fig. Insertimi i nyjes x

Fig.6.44 - Fshirja e nyjes x Ndërsa, operacionet për “splay-imin” e nyjes, do të dukeshin si në vijim.

427

Avni Rexhepi

2. Zig-zig 1. Zig-zag

3. Rezultati pwrfundimtar 3. Zig Fig.6.45 – Splay (3,t) – sjellja e nyjes 3 në rrënjë. Për të analizuar performansën, modelohen dy madhësi: Kostoja reale: koha që merr “splay” (kjo është proporcionale me thellësinë e nyjes që splay-ohet), dhe Rritja në balans: niveli deri në të cilin operacioni “splay” përmirëson balansin e pemës. Analizat kanë treguar se kostoja reale është e lartë, e pastaj pema bëhet shumë më e balansuar (dhe rrjedhimisht kostot reale të mëpasme bëhen më të ulëta). Në anën tjetër, nëse pema bëhet më pak e balansuar, kostoja reale do të jetë e ulët. Kështu, në cilëndo prej mënyrave, përfitohet.

428

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Insertimi dhe kërkimi:

Operacionet në Splay-Tree 0

8 7

5

5

3 1

4 3

1

0

7

6

9

1 7

0

3

8

8

2

6

5

4

8 7

3

4

2

6

5

2 4

2 1

Pas insertimit të: 0, 1, … 8

0

Pas find(1)

Pas find(0)

6

Pas insert(1)

Nënhapat gjatë fshirjes së nyjes 5: 5

1

1 0

9 3

2

0

8 4

3 2

7

4

Pas largimit të rrënjës

9

1

7 6

4

3

8

6 Pas find(5)

4

9

0

3 1

8 2

7

9

0

8 2

7

6

6

Pas kërkimit të maksimumit

Pas lidhjes së Rrënjës së re

Fig. 6.46 – Operacionet në “Splay-Tree”

Implementimi Në vazhdim do të paraqitet një implementim i pemëve “splay”, i cili i përdorë pointerët për të reprezentuar secilën nyje në pemë. Ky implementim është i bazuar në metodën e dytë të fshirjes së pemës “splay”. Poashtu, për dallim prej definicionit të mësipërm, ky version nuk e bën “splay-imin” në rastet e kërkimti – por vetëm për insertime dhe fshirje. #include #ifndef SPLAY_TREE #define SPLAY_TREE template< typename T, typename Comp = std::less< T > > class splay_tree { private: Comp comp; unsigned long p_size; struct node { node *left, *right; node *parent; T key;

429

Avni Rexhepi node( const T& init = T( ) ) : left( 0 ), right( 0 ), parent(0), key( init ) { } } *root; void left_rotate( node *x ) { node *y = x->right; x->right = y->left; if( y->left ) y->left->parent = x; y->parent = x->parent; if( !x->parent ) root = y; else if( x == x->parent->left ) x->parent->left = y; else x->parent->right = y; y->left = x; x->parent = y; } void right_rotate( node *x ) { node *y = x->left; x->left = y->right; if( y->right ) y->right->parent = x; y->parent = x->parent; if( !x->parent ) root = y; else if( x == x->parent->left ) x->parent->left = y; else x->parent->right = y; y->right = x; x->parent = y; } void splay( node *x ) { while( x->parent ) { if( !x->parent->parent ) { if( x->parent->left == x ) right_rotate( x->parent ); else left_rotate( x->parent ); } else if( x->parent->left == x && x->parent->parent->left == x>parent ) { right_rotate( x->parent->parent ); right_rotate( x->parent ); } else if( x->parent->right == x && x->parent->parent->right == x->parent ) { left_rotate( x->parent->parent ); left_rotate( x->parent ); } else if( x->parent->left == x && x->parent->parent->right == x->parent ) { right_rotate( x->parent ); left_rotate( x->parent ); } else { left_rotate( x->parent ); right_rotate( x->parent ); }

430

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave } } void replace( node *u, node *v ) { if( !u->parent ) root = v; else if( u == u->parent->left ) u->parent->left = v; else u->parent->right = v; if( v ) v->parent = u->parent; } node* subtree_minimum( node *u ) { while( u->left ) u = u->left; return u; } node* subtree_maximum( node *u ) { while( u->right ) u = u->right; return u; } public: splay_tree( ) : root( 0 ), p_size( 0 ) { } void insert( const T &key ) { node *z = root; node *p = 0; while( z ) { p = z; if( comp( z->key, key ) ) z = z->right; else z = z->left; } z = new node( key ); z->parent = p; if( !p ) root = z; else if( comp( p->key, z->key ) ) p->right = z; else p->left = z; splay( z ); p_size++; } node* find( const T &key ) { node *z = root; while( z ) { if( comp( z->key, key ) ) z = z->right; else if( comp( key, z->key ) ) z = z->left; else return z;

431

Avni Rexhepi } return 0; } void erase( const T &key ) { node *z = find( key ); if( !z ) return; splay( z ); if( !z->left ) replace( z, z->right ); else if( !z->right ) replace( z, z->left ); else { node *y = subtree_minimum( z->right ); if( y->parent != z ) { replace( y, y->right ); y->right = z->right; y->right->parent = y; } replace( z, y ); y->left = z->left; y->left->parent = y; } delete z; p_size--; } const T& minimum( ) { return subtree_minimum( root )->key; } const T& maximum( ) { return subtree_maximum( root )->key; } bool empty( ) const { return root == 0; } unsigned long size( ) const { return p_size; } }; #endif // SPLAY_TREE

432


Lista me kapërcime - Skip List Pemët e zakonshme dhe pemët e balansuara, shërbejnë për ruajtjen e strukturës së fjalorit (angl. Dictionary). Pemët e pabalansuara janë të thjeshta dhe punojnë mirë në rastin mesatar, por në rastet e kundërta kanë kohë të keqe të ekzekutimit. Pemët AVL garantonin performansë të mirë, por ishin të vështira për t’u implementuar. Pemët “splay” ofruan një alternativë për pemët AVL, sepse ishin të thjeshta dhe vetë-organizative. Një strukturë tjetër që përdoret për ruajtje të fjalorëve, është struktura e quajtur “Lista me kapërcime” (Skip List; angl. skip-kërcim, kapërcim, kalim, hedhje, etj). Skip listat u zbuluan nga Ëilliam Pugh në vitin 1989. Në vitin 1990 u propozuan si një alternativë për pemët e kërkimit binar dhe për pemët tjera të balansuara. Lista me kapërcime është ndër strukturat më praktike pasi që është mjaft e thjeshtë dhe duket të jetë më e shpejta. Lista me kapërcikme është një përgjithësim i listave të lidhura. Si e tillë, ajo ka shumë nga thjeshtësia e listave të lidhura, por ofron performansë optimale O(log n). Një veti tjetër interesante është se ato janë strukturë e të dhënave me rastësi (angl. randomized). Me fjalë të tjera, për krijimin e tyre përdoret një gjenerator i numrave të rastit. Skip listat janë efikase në rastin e pritur, mirëpo për dallim prej pemëve të pabalansuara binare, pritja nuk ka të bëjë asgjë me shpërndarjen e çelësave. Ajo varet vetëm prej gjeneratorit të numrave të rastit. Së këndejmi, në të kundërtën, nuk mund të ketë sekuencë të operacioneve që do të jetë gjithmonë e keqe. Në fakt, probabiliteti që skip lista të performojë keq është shumë i vogël. Skip lista perfekte Skip lista ka filluar me idenë “si të përmirësohet lista e lidhur e sortuar”? Në listën e lidhur është e lehtë të bëhet insertimi dhe fshirja, por është sumë e veshtirë të lokalizohen elementet në mënyrë efikase, sepse duhet të kalojmë një nga një me radhë në një moment kohor, nëpër të gjithë anëtarët e listës. Nëse do të ishte e mundur të kapërcehen nga disa elemente, atëherë do të zgjidhej problemi. Në mënyrë e të menduarit për skip listat është si një hierarki e listave të lidhura të sortuara, të vendosura mbi njëra tjetrën. Për të konkretizuar, imagjinoni një listë të lidhur, të sortuar sipas vlerave të çelësave dhe supozojmë se në fund kemi një nyje speciale “sentinel” (angl. sentinel-kujdestar, roje), të quajtur ‘nil’ (angl. nil-zero, asgjë, hiq), e cila konsiderohet me vlerë ∞. (madhësi infinit ∞). Pastaj le të marrim çdo të dytën vlerë të listës së lidhur (ose p.sh vlerat teke) dhe i ngrisim një nivel më lartë në një listë të re të lidhur me 1/2 (gjysmën) e elementeve. Në vazhdim, marrim 433

Avni Rexhepi përsëri çdo të dytin element të listës së re dhe e ngrisim një nivel më lartë, ku do të kemi listën me 1/4 e elementeve të listës fillestare. Këtë procedurë mund ta përsërisim [lg n] herë, deri sa të ketë vetëm një element në listën e nivelit më të lartë.

Fig. 6.47 – Skip lista Kërkimi për një vlerë (çelës) x do të fillonte në nivelin më të lartë. Mund të skenohet në mënyrë lineare përgjatë listës në nivelin aktual ‘i’, duke kërkuar për elementin e parë që është më i madh se x (duke rikujtuar që vlera e çelësit për Nil është ∞). Pointeri ‘p’ le të pointojë në nyjen para këtij hapi. Nëse vlera e ‘p’së është e barabartë me x, atëherë ndalemi. Përndryshe, zbrezim në nivelin e ardhëshëm më të ulët i-1 dhe e përsërisim kërkimin. Në nivelin 0 i kemi të ruajtur të gjithë çelësat, kështu që nëse nuk e gjejmë atë në atë nivel, e ndërpresim kërkimin (vlera nuk është gjetur). Për shembull, në figurën e mëparshme është paraqitur me vija të ndërprerë kërkimi për x=19. Në rastin më të keq koha e kërkimit do të ketë mundësi të kalojë nëpër të gjitha [lg n] nivelet (nëse çelësi nuk është në listë). Themi se kërkimi viziton më së shumti dy nyje për nivel, në listën e idealizuar (perfekte). Kjo është e vërtetë pasi që dihet se në nivelin paraprak (më i lartë) ndodhemi ndërmjet dy nyjeve të njëpasnjëshme ‘p’ dhe ‘q’, ku vlera e ‘p’ është më e vogël se x (vlera e kërkuar x), ndërsa vlera e ‘q’ është më e madhe se x. ndërmjet dy nyjeve të njëpasnjëshme në nivelin e njëjtë ka saktësisht vetëm një nyje në nivelin e ardhëshëm më të ulët. Prandaj, gjersa zbresim për një nivel, kërkimi do të vizitojë nyjen aktual në më së shumti një nyje shtesë. Prandaj, vizitohen më së shumti dy nyje për nivel dhe O(log n) nivele, për totalin e kohës O(log n). Skip lista e randomizuar Problemi me listën perfekte është se ajo është plotësisht e balansuar (sikur pema binare e plotë, e balansuar perfekt). Nëse do të insistojmë në strukturë të tillë, insertimi i një një nyjeje do të rezultonte me restrukturim të plotë të listës. Skip listat, sikur edhe të gjitha listat e balansuar mirë, lejojnë një nivel të jobalansimit. Në fakt, skip lista e arrinë këtë faktor shtesë të “pjerrtësisë” përmes rastësisë (randomizimit). Le të marrim parasyshë strukturën probabilistike të skip listës në cilindo moment kohor. (kjo nuk është ajo që ndodhë saktësisht me ndërtimin e 434

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave strukturës, por shërben si mënyrë për të sqaruar atë që ndodhet në prapavi të strukturës së tillë). Në skip listë nuk kërkohet që saktësisht çdo e dyta nyje e nivelit ‘i’ të ngritet në nivelin ‘i+1’, por imagjinoni thua se hidhet monedha për të vendosur a do të promovohet nyja në nivelin më të lartë apo jo. Nëse bie “koka’ (d.m.th., me probabilitet 1/2) nyja promovohet në nivelin e ardhëshëm më lartë të listës së lidhur, përndryshe qëndron në nivelin ku ndodhet. Duke pasur parasyshë rastësinë (probalitetin 1/2), numri i pritur i nyjeve në nivelin 1 është n/2, numri i pritur i nyjeve në nivelin 2 është n/4, e kështu me radhë. Për më tepër, pasi që nyjet paraqiten me rastësi në secilin nivel, është e pritshme që nyjet në nivelin e dhënë janë të shpërndara mirë (nuk janë të gjitha të grumbulluara në një skaj). Prandaj, skip listat e randomizuara sillen shumë ngjajshëm me skip listat e idealizuara (perfekte), në rastin mesatar (në rastin e pritur). Procedura e kërkimit mbetet saktësisht e njëjtë me atë të rastit ideal, si në figurën në vijim.

Ajo që është interesante me skip listat është se është e mundur që të insertohen dhe të fshihen nyjet në lsitë, ashtu që struktura probabilistike të ruhet në çdo kohë. Për insertimin e çelësit ‘x’ së pari kërkojmë në listë për çelësin ‘x’ për të gjetur paraardhsit e drejtpërdrejtë në skip listë (në secilin nivel të strukturës). Nëse ‘x’ nuk ndodhet në listë, e krijojmë nyjen për ‘x’ dhe e insertojmë atë në nivelin më të ulët. Pastaj “hedhim monedhën” (gjenerohet një numër i plotë i rastit, nga gjeneratori i numrave të rastit). Nëse rezultati është ‘pilë’ (numri i rastit është tek), ndalemi. Përndryshe e insertojmë ‘x’-in në nivelin e ardhëshëm më lartë, të strukturës. Përsërisim procesin deri sa monedha të vazhdon të bie “pilë” ose të arrijmë në nivelin maksimal të strukturës. Pasi që kjo në fakt është vetëm insertim i përsëritur në listën e lidhur, kodi është i thjeshtë. 435

Avni Rexhepi Për të fshirë nyjet, thjeshtë e fshijmë nyjen nga secili nivel në të cilin paraqitet dhe përshtasim pointerët. Vëreni se në çdo kohë, lista e lidhur ka strukturën e dëshiruar probabilistike. Kjo për arsye se në të kundërtën nuk mund të shohim gjeneratorin e numrave të rastit dhe ai nuk ka mënyrë të fshijë nyjet në mënyrë selektive në një nivel të caktuar si dhe secila nyje e “hedhë monedhën” në mënyrë të pavarur prej nyjeve të tjera, kështu që nivelet në skip listë janë të pavarur prej njëri tjetrit. Kjo duket të jetë një prej dallimve më të rëndësishëme ndërmjet skip listave dhe pemëve, pasi që në pemë është e vështirë të bëhet diçka e pavarur, pa ndikuar në fëmijët e nyjes. Pra, skip lista është strukturë probabilistike e të dhënave ku elementet mbahen të sortuara sipas çelësave. Skip lista lejon kërkim, insertim dhe fshirje të shpejtë të elementeve me algoritme të thjeshta. Në esencë është listë e lidhur me pointerë plotësues të tillë që kapërcejnë nyjet e ndërmjetme. Për t’i marrë disa vendime, përdorë gjeneratorin e numrave të rastit. Skip lista është strukturë praktike e të dhënave që jep rezultate të mira ndërsa e ruan implementim të thjeshtë. Kërkimi në listën e tillë do të përdorë vetëm pointerët (lidhjet) e nivelit më të lartë, për të kapërcyer përtej shumë elementeve në listë dhe pastaj do të zbrizte nëpër nivelet e mëposhtme sipas nevojës. Një shembull i listës (me kapërcim të çdo të dytës vlerë) do të ishte si në vijim: 3

6

11

6 3

15

24

15 11

30

32

30 24

3

NIL

42

NIL

42

NIL

32

15 6

42

30 11

24

32

Header-i

Sentinel-i

Fig. 6.48 – Skip lista ideale (perfekte) Operacionet në listën me kapërcime, në rastin më të keq janë të rendit O(n). Kjo do të ndodhte kur të gjitha nyjet (ose pothuajse të gjitha nyjet) ndodhen në nivelin 1 të insertimit. Në këtë rast, skip lista do të ishte listë e lidhur e zakonshme. Mirëpo, moto e skip listave është: “Don’t ëorry, be happy!”, pasi që

436

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave ky rast ka pak gjasa që të ndodhe, me rritjen e n-it. Për shembull, probabiliteti që 10 nyje me radhë të ndodhen në nivelin 1 është 1/1024! Skip listat mund të shihen si pemë, ku “Header-i” do të ishtë rrënja dhe nivelet e nyjeve i përgjigjen niveleve të pemës, ndërsa nyjet e nivelit 1 janë gjethet.

Algoritmet për skip lista Algoritmet për skip lista janë shkruar nga zbuluesi i tyre, Ëilliam Pugh dhe do të jepen përmes pseudokodeve përkatëse, ashtu si janë shkruar nga autori. Vërejtjet lidhur me këto algoritme janë: -

Pointerët përpara të nyjes së nivelit ‘i’ ruhen në një varg, të emërtuar ‘forëard’ (angl. forëard-përpara) dhe jantë të indeksuar prej 1 deri në i. Niveli i nyjes nuk është i ruajtur Niveli i listës = maksimumi{niveli i nyjeve në listë}

Inicializimi Lista e re inicializohet si vijon: 1. Së pari krijohet nyja e quajtur ‘NIL’ dhe çelësi i saj caktohet në një vlerë më të madhe sesa çelësi më i madh që do të mund të përdorej në listë (d.m.th., nëse lista do të përmbajë vlerat e çelësave ndërmjet 1 dhe 999, atëherë 1000 do të merrej si çelës në NIL). Secili nivel përfundon me ‘NIL’. 2. Niveli i listës së re është 1. 3. Të gjithë pointerët përpara (angl. forëard pointers) të ‘Header-it” pointojnë në NIL. Kërkimi: 1. Filloni me nivelin më të lartë të listës. 2. Lëvizni para (djathtas) duke përcjellur pointerët në nivelin e njëjtë, derisa sa çelësi i ardhëshëm të jetë më i madh sesa çelësi i kërkuar. 3. Nëse niveli aktual nuk është më i ulëti, shkoni një nivel më poshtë dhe përsëritni kërkimin në atë nivel prej nyjes aktuale. 4. Ndaloni kur niveli është 1 dhe çelësi i ardhëshëm është më i madh sesa çelësi i kërkuar. 5. Nëse çelësi aktual është çelësi i kërkuar, ktheni vlerën e asaj nyjeje. Përndryshe, ktheni informacionin për “dështim” (çelësi i kërkuar nuk ekziston në listë). Funksioni për kërkim: SEARCH(list, searchKey) 1. x <- list.header

437

Avni Rexhepi 2. for i <- list.level downto 1 3. do while x.forward[i].key < searchKey 4. do x <- x.forward[i] 5. x <- x.forward[1] 6. if x.key = searchKey 7. then return x.value 8. else return failure

9

NIL

19 28

4 2

5

42 33

15

35

9

NIL

19 28

4 2

5

42 33

15

35

Kërkimi për 35

9

NIL

19 28

4 2

5

15

42 33

35

Kërkimi për 42

Insertimi/Fshirja: -

-

438

Insertimi ose fshirja e nyjes konsiston kryesisht në kërkimin e pasuar me azhurim të pointerëve. Për të ruajtur nyjen e fundit të qasur në secilin nivel, përdoret një varg i quajtur “update” (angl. update-azhurimi, përditësimi). Ai përdoret për ndryshimin e pointerëve pasi të jetë insertuar apo fshirë një nyje. Niveli i nyjes së re të insertuar përcaktohet me rastësi, nga funksioni Random-Level (niveli i rasitit).

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Funksioni pwr insertim: INSERT(list, searchKey, newValue) 1. x <- list.header 2. for i <- list.level downto 1 3. do while x.forward[i].key < searchKey 4. do x <- x.forward[i] 5. update[i] <- x 6. x <- x.forward[1] 7. if x.key = searchKey 8. then x.value <- newValue 9. else newLevel <- RANDOM-LEVEL() 10. if newLevel > list.level 11. then for i <- list.level + 1 to newLevel 12. do update[i] <- list.header 13. list.level <- newLevel 14. x <- MAKE-Node(newLevel, searchKey, newValue) 15. for i <- 1 to newLevel 16. do x.forward[i] <- update[i].forward[i] 17. update[i].forward[i] <- x

9

NIL

19 4 2

16 5

15

28

42 33

35

Insertimi i 16

Funksioni për fshirje: DELETE(list, searchKey) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

x <- list.header for i <- list.level downto 1 do while x.forward[i].key < searchKey do x <- x.forward[i] update[i] <- x x <- x.forward[1] if x.key = searchKey then for i <- 1 to list.level do if update[i].forward[i] <> x then break update[i].forward[i] <- x.forward[i] FREE(x)

439

Avni Rexhepi 13. while list.level > 1 and list.header.forward[list.level] = NIL 14. do list.level <- list.level - 1

9

NIL

19 28

4 2

5

Fshirja e 9

15

42 33

35

Përpara: level[list]=4 Pas : level[list]=3

Funksioni: RANDOM-LEVEL() 1. 2. 3. 4. 5.

random-level() newLevel <- 1 while RANDOM() < p do newLevel <- newLevel + 1 return MIN(newLevel, MaxLevel)

Niveli i rastit - RandomLevel Sqarimet për këtë algoritëm: -

Funksioni RANDOM() kthen një numër ndërmjet 0 dhe 1.0. p është konstantë ndërmjet 0 dhe 1.0 (supozojmë p = 0.5).

Funksioni RandomLevel funksionon sikur hedhja e monedhës. Le të marrim që ‘koka’ është rasti kur fitohet ndërsa ‘pilë’ rasti kur humbet. “Monedha elektronike” hidhet deri sa të del ‘pilë’. Secilën herë që bie ‘koka’, niveli ngritet për një dhe hidhet monedha përsëri. Vini re: nëse p=1/4, atëherë do të ketë mesatarisht 1.33 pointerë për nyje. Kjo kursen hapësirën pa e zvogëluar dukshëm (në masë të rëndësishme) kohën e kërkimit.

Analiza Analiza e skip listave është një shembull i analizës probabilistike. Duhet të vërtetojmë se në rastin e pritur (mesatar), koha e kërkimit është O(log n). 440

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Qartazi, kjo është koha që dominon insertimin dhe fshirjen. Së pari vërejmë se numri i pritur i niveleve në skip listë është O(log n). Arsyeja është se në nivelin 0 kemi n çelësa, në nivelin 1 presim të ketë n/2 çelësa, në nivelin 2 presim n/4, e kështu me radhë. Kjo sipas argumentit të njëjtë që u përdor për rastin e listës ideale, që pas O(log n) niveleve, nuk do të ketë më çelësa të mbetur. Argumenti për t’u provuar kufirin e pritur të kohës së kërkimit është interesant. Le të shikojmë shtegun e anasjelltë të kërkimit. (Kjo është teknikë e zakonshme në algoritmet probabilistike dhe ndonjëherë quhet “anailza te prapa”). Vëreni se shtegu i kërkimti te para zbret në nivel sa herë që lidhja e ardhëshme do të na dërgonte “përtej” nyjes të cilën jemi duke e kërkuar. Kur e kthejmë mbrapsht shtegun e kërkimit, vëreni se ai do të na gjithnjë do të na dërgojë në hapa te lartë, nëse mundet (d.m.th., nëse nyja që e viziton paraqitet në nivelin e ardhëshëm më të lartë), përndryshe do të bëjë një hap në të majtë.

Fig.6.49 – Kthimi prapa në shtegun e kërkimit për 11. Tani, kur të arrijmë në nivelin ‘i’ të cilësdo nyje në skip listë, themi se probabiliteti që do të ketë nivel më lartë është vetëm 1/2. Arsye për këtë është se kur është insertuar nyja, ky ka qenë probabiliteti që ajo është promovuar në nivelin e ardhëshëm më të lartë. Prandaj, me probabilitetin 1/2 kalojmë në nivelin e ardhëshëm më të lartë. Me probabilitetin e mbetur 1 – (1/2) = 1/2 mbesim në nivelin e njëjtë. Numri i pritur i hapava të nevojshëm për të ecur nëpër ‘j’ nivele të skip listës është i dhënë sipas rekurrencës vijuese: 1 1 C ( j )  1  C ( j  1)  C ( j ) 2 2

Vlera 1 është për hapin aktual. Me probabilitetin 1/2 kalojmë në nivelin më të lartë të ardhëshëm dhe kështu kemi një nivel më pak nëpër të cilin duhet kaluar dhe me probabilitetin 1/2 mbesim në nivelin e njëjtë. Kjo mund të rishkruhet si: C ( j )  2  C ( j  1)

Duke zgjeruar (zbërthyer), lehtë vërtetohet se C ( j )  2 j . Pasi që ‘j’ është së shumti (maksimalisht) numri i niveleve në pemë (listë), atëherë kemi se koha e pritur e kërkimit është në të shumtën O(log n).

441

Avni Rexhepi

Implementimi Një prej elementeve joshëse të skip listave është lehtësia e tyre e implementimit. Shumica e procedurave (funksioneve) që operojnë në skip listë përdorim kodin e thjeshtë të njëjtë me atë që përdoret për operacionet në listat e lidhura. Një element shtesë është se duhet të përcillet niveli në të cilin ndodhemi. Mënyra në të cilën kjo bëhet në formën më efikase është që të kemi nyje me madhësi variabile (të ndryshueshme), ku madhësia e nyjes është e përcaktuar me rastësi me rastin e krijimit. Përfitojmë nga rasti se C++ (edhe Java) na mundëson alokimin dinamik të vargjeve me madhësi variabile. Objekti “Skip List” përbëhet nga nyja e kreut (Header) dhe konstruktori e krijon nyjen “Sentinel”, vlera e të cilit përcaktohen në një vlerë speciale “infinit” (e cila varet nga tipi i i çelësit). Supozojmë se konstroktorit i jepet numri maksimal i lejuar i niveleve Ndonjë impelemtim më i avansuar (“më i menqur”) do të përcaktonte në mënyrë adaptive numrin e duhur të niveleve). Klasat e Skip Listës Nyja: //SkipListNode=NyjaeSkipListes, forward=përpara class SkipListNode { Element data; // data=vlerat e çelësave SkipListNode forward[]; // vargu i pointerëve përpara // Konstruktori (të cilit i jepet vlera dhe niveli) SkipListNode(Element d, int level) { data = d forward = new SkipListNode[level+1]; } }

Lista: class SkipList { int maxLevel; SkipListNode header;

// niveli maksimal // Nyja “header”

SkipList(int maxLev) //konstr. me nivelin maks. të dhënë { maxLevel = maxLev; // aloko nyjen “header” header = new SkipListNode(null, maxLevel); // bashkangjite nyjen "nil" në nyjen “header”

442

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave SkipListNode sentinel = new SkipListNode(INFINITY, maxLevel); for (int i = 0; i <= maxLevel; i++) header.forward[i] = sentinel; } }

Kodi për kërkimin (gjetjen) e nyjes në skip listë është dhënë në vijim. Vëreni që kërkimi është pak a shumë i njëjtë me kërkimin standard në listën e lidhur, përveq unazës që na lëvizë teposhtë nga një nivel në kohë. Element find(Element key) { SkipListNode current = header; // starto në “header” // start search at max level for (int i = maxLevel; i >= 0; i--) { SkipListNode next = current.forward[i]; while (next.data < key) // kërko para në nivelin ‘i’ { current = next; next = current.forward[i]; } } current = current.forward[0]; // kjo duhet të jetë ajo if (current.data == key) return current.data; else return null; }

Është me rëndësi të theksohet se nuk ka nevojë të ruhet niveli i nyjes si pjesë e fushës së pointerit “forëard”. Funksionet e skip listës ruajnë njohuritë e tyre të veta për nivelin gjersa lëvizin nëpër strukturën e të dhënave. Gjithashtu vëreni se (nëse implementohet korrekt) nuk do të asnjëherë nuk do të tentohet të indeksohet përtej kufijve të nyjes. Element me rëndësi për insertimin në skip listë ishte funksioni për gjenerimin e nivelit të rastit: //Gjenero nivelin e rasitit, newLevel=NiveliiRi int generateRandomLevel() { int newLevel = 0; while (newLevel < maxLevel && Math.random() < 0.5) newLevel++; return newLevel;

443

Avni Rexhepi }

Kodi për insertim dhe fshirje, mund të bazohet ngjashëm në pseudo kodin e dhëne nga autori i skip listave.

Përfitimet prej Skip Listave Pema binare e kërkimit është efikase, por shumë lehtë mund të bëhet e pabalansuar pas vetëm disa insertimeve dhe fshirjeve. Pemët e balansuara garantojnë që mbesin të balansuara dhe prandaj kryejnë operacionet themelore në rastin më të keq me O(log n). Teorikisht ato janë efikase, mirëpo implementimi i tyre është i komplikuar. Në anën tjetër, skip listat janë më të lehta për t’u implementuar. Algoritmet për insertim dhe fshirje janë të thjeshta dhe të shpejta. Ato nuk garantojnë performansë O(log n), por në fakt ato kanë performansë O(log n) në rastin mesatar (për insertim, fshirje, kërkim) dhe probabiliteti i devijimit të madh prej mesatares është shumë i vogël. Prandaj, performansa shumë e keqe (O(n)) është shumë pak gjasa që të ndodhë dhe probabiliteti i saj zvogëlohet eksponencialisht gjersa ‘n’ rritet. Për shumicën e aplikacioneve, skip listat janë poaq efikase sa edhe strukturat e pemëve të balansuara. Ato poashtu janë efikase në aspektin hapësinor, pasi që nuk ka nevojë të ruhet informacion për balansim në nyje dhe ato mund të punojnë mirë edhe me një mesatare prej vetëm 1.33 pointerëve për nyje. Për dallim prej pemëve të kërkimit binar, performansa e skip listave nuk varet nga rendi i insertimit.

444


Pemët M-are Pema binare ka një vlerë në secilën nyje dhe dy nëndegë (nënpemë). Ky nocion shumë lehtë mund të përgjithësohet në pemën M-are, e cila ka M-1 vlera për nyje dhe M nëndegë (nënpemë). M quhet shkalla e pemës. Për këtë arsye, pema binare ka shkallën 2. Nëse degët (lidhjet, pointerët) prej rrënjës kah nyjet fëmijë (kah nëndegët), shikohen si rrugë (angl. way-rrugë, drejtim), atëherë pemët M-are zakonisht quhen “Multiway Trees” (angl. Multiway Trees – Pemët shumërrugëshe). Pema shumërrugëshe e cila ka rendin rendin ‘M’ quhet “M-way Tree” ose “M-ary Tree”. Në pemën M-are: Në fakt, nuk është e nevojshme që secila nyje të përmbajë saktësisht (M-1) vlera dhe të ketë saktësisht M nëndegë. Në një nënpemë M-way, nyja mund të ketë prej 1 deri në M-1 vlera dhe numri i nëndegëve (jo të zbrazëta) mund të jetë në rangun prej 0 (për gjethet) deri te 1+(numri i vlerave). Prandaj, M është vetëm kufiri i epërm në numrin e të dhënave që mund të ruhen në nyje. Vlerat në nyje ruhen në renditje rritëse, V1
3

7

44

22

55

70

50

66

68

Fig. 6.50 – Pema 3-are Për të ilustruar pemën M-rrugëshe, do të jetë e përshtatshme të përdoren vlerat e vogla të M. Por, keni parasyshë që në praktikë, M është zakonisht vlerë shumë e madhe. P.sh., secila nyje i korrespondon një blloku të të dhënave në disk dhe M reprezenton numrin maksimal të elementeve që mund të ruhen në një bllok të 445

Avni Rexhepi vetëm. Për të përshpejtuar kërkimin, M maksimalizohet: lëvizja prej një nyje në tjetrën, përfshinë leximin e bllokut nga disku (qasjen në disk), që në fakt është operacion shumë i ngadalshëm në krahasim me lëvizjen nëpër strukturën e të dhënave të ruajtur në memorie. Kokat lexuese të diskut janë koka lëvizëse, pra janë pajisje mekanike (elektromekanike). Poashtu edhe për rrotullimin e diskut, përdoret motorri. Si element përcaktues për llojin e diskut shikohet shpejtësia e rrotullimeve për minut, që është numri i cili tregon numrin e rrotullimeve për minut, ‘rpm’ (shkurtesa rpm - angl. rottations per minute), p.sh., HD-xxxGB, 7200rpm).

1024 bajta

Algoritmi për kërkimin e një vlere (çelësi) në pemën M-are të kërkimit është përgjithsim i algoritmit të kërkimit të pemës binare të kërkimit. Nëse jemi duke kërkuar vlerën X dhe momentalisht jemi në nyjen e cila përmbanë vlerat V1...Vk, atëherë janë katër mundësi: 1. Nëse X < V1, kërkoni rekurzivisht për X në nënpemën e majtë të V1shit. 2. Nëse X > Vk, kërkoni rekurzivisht për X në nënpemën e djathtë të Vksë. 3. Nëse X=Vi, për ndonjë ‘i’, atëhere kemi mbaruar (X është gjetur). 4. Mundësia e vetme e mbetur është që, nëse për një ‘i’, Vi < X < V(i+1). Në këtë rast, kërkoni në mënyrë rekurzive për X në nënpemën që ndodhet ndërmjet Vi dhe V(i+1). Për shembull, supozojmë se jemi duke kërkuar vlerën 68 në pemën e paraqitur më lartë. Në rrënjë, do të aplikohej rasti 2, kështu që do të vazhdonim kërkimin në nënpemën e djathtë të V2-shit. Në rrënjë të kësaj nënpeme, apliohet rasti 4, 68 është ndërmjet V1=55 dhe V2=70, kështu që do të vazhdonim kërkimin në 446

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave nënpemën ndërmjet tyre. Tani aplikohet rasi 3, 68=V2, kështu që kemi mbaruar (vlera është gjetur). Nëse do të kishim kërkuar për vlerën 69, do të ndodhte procedura e njëjtë si më parë deri në këtë pikë, e pastaj do të aplikohej rasti 2, por nënpema në të cilën do të dëshironim të vazhdojmë kërkimin është e zbrazët. Prandaj, do të konkludohej se vlera 69 nuk ndodhet në pemë. Algoritmet tjera për pemën binare të kërkimit, insertimi dhe fshirja, përgjithsohen në mënyrë të ngjashme. Si në rastin e pemëve binare, insertimi i vlerave në renditje rritëse do të rezultonte në pemë të degjeneruar M-are; d.m.th., pema lartësia e së cilës do të ishtë O(N) në vend të O(log N). Ky është problem sepse të gjitha operacionet e rëndësishme janë O(lartësia), kurse qëllimi është që ato të bëhen O(log N). Një zgjidhje për këtë problem do të ishte detyrimi i pemës që të jetë e balansuar për kah lartësia. Në këtë rast do të fitohen Pema M-are me balansim perfekt për kah lartësia, e njohur si Pema-B (B-Tree).

447

Avni Rexhepi

B-Pemët (B-Trees) B-Pema (angl. B-Tree) është një pemë M-are me dy tipare speciale: 1. Është e balansuar në mënyrë perfekte: secila gjethe ndodhet në nivel të njëjtë për nga thellësia. 2. Secila nyje, përveq ndoshta rrënjës, është së paku përgjysmë e mbushur, d.m.th., përmbanë M/2 ose më shumë vlera (natyrisht, nuk mund të përmbajë më shumë sesa M-1 vlera). Rrënja mund të ketë numër të çfarëdoshëm të velrave (prej 1 deri në M-1). Secila nyje në strukturën standarde përmbanë pointerët për në nënpemë dhe vlerat, të renditura si: pointeri|vlera|pointeri|vlera|...|vlera|pointeri

Versioni i balansuar i pemës së mëparshme M-ëay, që përmbanë vlerat e njëjta dhe që është shndërruar në Pemë-B është: 50

10

3

7

66

22

44

55

68

70

Fig. 6.51 – B-tee (Pema-B) Ndërsa, pema-B 5-are (secila nyje, përveq rrënjës, duhet të përmbajë ndërmjet 2 dhe 4 vlera):

3

7

10

50

22

44

Fig. 6.52 – Pema-B 5-are

448

55

66

68

70

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Kufizimet e definuara e bëjnë pemën-B që të jetë së paku gjysëm e mbushur, të ketë disa nivele dhe të mbetet perfekt e balansuar. Nyjet dhe pointerët e B-pemës paraqiten nëpër literaturë në forma të ndryshme, por me rëndësi është që të kihet parasysh struktura e nyjeve, me pointerët dhe vlerat

Fig. 6.53 – Struktura e nyjeve tw B-pemws Nyjet e pemës-B zakonisht implementohen si klasë që përmbanë një varg me m1 qelula për vlerat (çelësat), një varg me m pointerë për tek nyjet e nivelit të ardhëshëm dhe informacionet plotësuese të nevojshme për të mundësuar mirëmbajtjen e pemës. //template=shablloni template class BTreeNode { public: BTreeNode(); BTreeNode( const T & ); private: T keys[M-1]; BTreeNode *pointers[M]; ... };

Për shkak të natyrës së veçantë, algoritmet e ristrukturimit të pemës-B dallojnë prej algoritmeve të restrukturimit të pëmës AVL dhe të tjerave. Gjersa insertohen vlerat e reja, algoritmi zhvendosë elementet nëpër nyje, ashtu që të plotësojë tërësisht nyjen aktuale dhe nyjet e nivelit të njëjtë (nyjet vëllezër/motra) para se të tentojë krijimin e nyjeve të reja. Kur nuk ka vende të mjaftueshme, vjen deri te procesi i krijimit të nyjeve të reja, e pasi që në këto raste paraqitet nevoja për ndarje të nyjes, procesi i krijimit të nyjeve të reja quhet “ndarja e nyjes” (angl. node splitting). Kur nuk ka vend për elementin e ri, 449

Avni Rexhepi nyja ndahet dhe zëvendësohet me dy nyje të reja, me elementin e mesit që sillet si prind për dy nyjet e reja fëmijë.

Kërkimi në B-tree Algoritmi i kërkimit (gjetjes së një vlere/çelësi) në B-tree është i thjeshtë. Fillohet me rrënjën dhe përcaktohet se cili pointer duhet të përcillet bazuar në krahasimin ndërmjet vlerës së kërkuar dhe fushave të çelësave në nyjen rrënjë. Përcillet pointeri i duhur për në nyjen fëmijë. Analizoni fushat e çelësave në nyjen fëmijë dhe vazhdoni përcjelljen e pointerëve të duhur deri sa të gjindet vlera e kërkuar ose të arrihet në nyjen gjethe, e cila nuk e përmbanë vlerën e kërkuar.

Insertimi në B-tree Kushti që të gjitha nyjet duhet të jenë në nivel të njëjtë imponon sjelljen karakteristike të pemëve-B, që pemët-B në fakt nuk lejohet të rriten në gjethe, por ato detyrohen të rriten në rrënjë. Kur të insertohet një vlerë në B-tree, vlera insertohet drejtpërdrejt në gjethe. Kjo dërgon në tri situata të zakonshme, të cilat mund të ndodhin: 1. Çelësi vendoset në gjethen e cila ka akoma vend të lirë. 2. Gjethja në të cilën duhet të vendoset çelësi është e mbushur. 3. Rrënja e pemës-B është e mbushur. Rasti 1: Çelësi vendoset në gjethen e cila ka akoma vende të lira Ky është rasti më i lehtë për t’u zgjidhur sepse vlera thjeshtë insertohet në pozitën korrekte të sortuar në nyjen gjethe. (Në vazhdim nuk do të paraqiten pozitat e pointerëve, por nunëkuptohet që ato janë në kufijtë e vlerave).

450

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave 12

5

8

13

15

13

15

Insertimi i numri 7 do të rezultojë në: 12

5

7

8

Fig. 6.54 – Insertimi në rastin kur ka vend të lirë Rasti 2: Gjethja në të cilën duhet të insertohet çelësi është e mbushur Në këtë rast, gjethja në të cilën duhet të insertohet vlera e re ndahet në dy pjesë (përgjysmë), duke rezultuar në një gjethe të re. Gjysma e çelësave do të zhvendosen prej nyjes së plotë në nyjen e re. Nyja e re pastaj inkorporohet në BTree.

Nyja e re gjethe inkorporohet duke lëvizur vlerën e mesit në nyjen prind dhe poashtu në prind shtohet pointeri për në nyjen gjethe. Ku proces vazhdon te lartë pemës deri sa të gjitha vlerat të këne “gjetur” vendin e tyre.

451

Avni Rexhepi Insertimi i 6 në B-pemën vijuese: 12

2

5

7

8

13

15

6

rezulton me ndarjen e nyjes së parë gjethe: 12

2

5

7

8

13

15

8

13

15

12

2

5

6

7

Nyja e re duhet të inkorporohet në pemë, gjë që kryhet duke marrë vlerën e mesit dhe duke e insertuar atë në nyjen prind si dhe duke përshtatur pointerët:

2

5

6

12

7

8

13

15

Fig. x – Insertimi në rastin kur ka vend të lirë Rasti 3: Rrënja është e mbushur Lëvizja te lartë e vlerave nga rasti i dytë do të thotë që është e mundur që vlera mund të lëvizë te lartë deri në rrënjën e B-pemës. Nëse rrënja është e mbushur, do të aplikohet procedura e njëjtë si për rastin e dytë, ku do të krijohet një nyje e re. Ky tip i ndarjes do të rezultojë me shtimin e dy nyjeve të reja në B-pemë.

452

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Insertimi i 13 në pemën vijuese:

2

3

4

7

5

8

10

11

6

12

20

30

14

15

18

19

6

12

20

21

23

25

28

23

25

31

33

34

35

Rezulton në:

2

3

4

5

7

8

10

11

13

14

15

18

30

19

21

28

31

33

34

35

Nyja 15 duhet të lëvizet në rrënjë, por ajo është e mbushur. Kjo do të thotë se rrënja duhet të ndahet:

2

3

4

5

7

8

10

11

6

12

13

14

18

15

20

30

19

21

23

25

28

31

33

34

35

Nyja 15 insertohet në nyjen prind, gjë që do të thotë se ajo bëhet nyje e re rrënjë: 15

2

3

4

5

6

12

7

8

10

11

13

14

18

19

20

30

21

23

25

28

31

33

34

35

Fshirja e nyjes nga pema-B Si zakonisht, fshirja është procesi më i vështirë për t’u aplikuar. Procesi i fshirjes në esencë do të jetë e kundërta e insertimit, prandaj në vend të ndarjes së nyjeve është e mundur që të ndodhë bashkimi i nyjeve, ashtu që tiparet e pemësB, d.m.th., kërkesa që nyja duhet të jetë së paku përgjysmë e mbushur, mund të mirëmbahet. Janë dy raste të zakonshme të cilat duhet të mirren parasysh: 1. Fshrija nga nyja gjethe 2. Fshirja nga nyja që nuk është gjethe. 453

Avni Rexhepi Rasti 1: Fshirja nga nyja gjethe a). Nëse gjethja është së paku përgjysmë e mbushur pas fshirjes së vlerës së dëshiruar, vlerat tjera të mbetura që janë më të mëdhaja, lëvizen për të “plotësuar zbrazëtirat”. P.sh., fshirja e 6 nga pema vijuese: 16

1

2

3

8

5

6

7

13

14

15

18

20

22

25

23

24

27

37

Rezulton në: 16

1

2

3

8

5

7

13

14

15

18

20

22

25

23

24

27

37

b). Nëse gjethja është më e vogël se gjysma pas fshirjes së vlerës së dëshiruar (rasti i njohur si “underfloë” (angl. underfloë – nën-rrjedha), mund të ndodhin dy gjëra: Fshirja e nyjes 7 nga pema paraprake, rezulton në: 16

3

1

2

5

8

13

14

15

18

20

22

25

23

24

27

37

b-1). Nëse ka nyje vëlla/motër të majtë ose të djathtë me numër të çelësave që e tejkalon kërkesën për minimum, të gjithë çelësat prej gjetheve dhe nyjeve të nivelit të njëjtë (vëllezër/motra) do të rishpërndahen duke lëvizur çelëst ndarës prej prindit në gjethe dhe duke lëvizur çelësin e mesit prej nyjes dhe vëllaut/motrës të kombinuar në prind.

454


1

2

3

13

5

8

14

18

15

22

25

23

24

22

25

23

24

20

27

37

27

37

Tani fshijmë 8 nga pema: 16

3

1

13

14

5

2

18

15

20

b-2). Nëse numri i çelësave ën vëlla/motër nuk tejkalon kërkesën për minimum, atëherë gjethja dhe nyja vëlla/motër bashkohen duke vendosur çelësat nga gjethja, vëllau/motra dhe vlera ndarëse prej prindit, në gjethe. Nyja vëlla/motër asgjësohet dhe çelësat në prind lëvizen për të “plotësuar zbrazëtirën”. Është e mundur që kjo do të shkaktojë nën-rrjedhje të prindit. Nëse ky është rasti, trajtoni prindin si gjethe dhe vazhdoni të përsëritni hapin b-2 gjersa të plotësohet kërkesa për minimum ose të arrihet rrënja e pemës. Rasti special për b-2: Gjatë bashkimit të nyjeve (angl. merge-bashkim, shkrirje), nëse prindi është nyje me vetëm një çelës, çelësat prej nyjes, nyjes së nivelit të njëjtë (vëlla/motër) dhe çelësi i vetëm i rrënjës vendosen në një nyje dhe kjo nyje do të bëhet rrënja e re e B-pemës. Të dyja nyjet, rrënja e vjetër dhe nyja e nivelit të njëjtë do të asgjësohen. 16

3

1

1

5

2

2

13

5

14

13

18

15

14

15

3

16

18

20

22

22

25

23

24

20

27

37

25

23

24

27

37

Fig. x – Fshirja dhe bashkimi 455

Avni Rexhepi

Rasti 2: Fshirja prej nyjeve që nuk janë gjethe Ky rast mund të dërgojë në probleme me riorganizimin e pemës, mirëpo zgjidhet në mënyrë të ngjashme me rastin e fshirjes prej pemës binare të kërkimit. Çelësi që duhet të fshihet do të zëvendësohet me paraardhësin (ose pasardhësin) e tij të drejtpërdrejt dhe pastaj paraardhësi (ose pasardhësi) do të fshihet, pasi që ai mund të gjindet vetëm në nyje gjethe. P.sh., fshirja e 16 nga pema paraprake do të rezultojë në: 3

1

2

5

13

14

15

18

22

25

20

23

24

27

37

“Zbrazëtira” e krijuar do të mbushet nga parardhësi i drejtpërdrejt (në këtë rast 15):

1

2

5

13

14

15

3

15

18

20

22

25

23

24

27

37

23

24

27

37

dhe pastaj parardhësi i drejtpërdrejt fshihet.

1

2

5

13

14

3

15

18

20

22

25

Nëse për zëvendësim do të ishte zgjedhur pasardhësi i drejtpërdrejt (në këtë rast 18), atëherë do të kishim:

1

2

5

13

14

15

3

18

18

20

Fshirja e pasardhësit do të rezultojë në: 456

22

25

23

24

27

37


1

2

5

13

14

15

18

22

25

20

23

24

27

37

Në vazhdim, vlerat në vëllaun/motrën e majtë kombinohen me çelësin ndarës (18) dhe me vlerat e mbetura. Ato ndahen ndërmjet dy nyjeve: 3

1

2

5

13

14

15

22

18

25

20

23

24

27

37

23

24

27

37

dhe pastaj vlera e mesit zhvendoset tek prindi: 3

1

2

5

13

14

15

22

18

20

25

457

Avni Rexhepi

7. Grafet Grafet janë strukturë shumë e përdorur në shkencat kompjuterike dhe aplikacionet e ndryshme të kompjuterit. Në këtë rast nuk themi “strukturë e të dhënave” sepse grafet janë të destinuara për të ruajtur dhe analizuar “metadata” (meta të dhënat). Metadata janë të dhëna për të dhënat ("data about data"). Termi përdoret për dy koncepte të ndryshme: Structural metadata janë lidhur me dizajnin dhe specifikimin e strukturave të të dhënave dhe më saktë quhen “të dhëna lidhur me kontejnerët (bartësit) e të dhënave”, kurse Descriptive metadata, janë lidhur me instancat individuale të të dhënave të aplikacionit, përmbajtja e të dhënave. Metadata (metapërmbajtja) definohet si të dhënat që ofrojnë informacion lidhur me një ose më shumë aspektë të të dhënave, si:      

Metodat e krijimit të të dhënave Qëllimi i të dhënave Koha dhe data e krijimit Krijuesi ose autori i të dhënave Lokacioni në rrjetin kompjuterik ku janë krijuar të dhënat Standardet e përdorura, etj.

Për shembull, një imazh digjital mund të përmbajë metadata të cilat përshkruajnë se sa është madhësia e fotografisë, thellësia e ngjyrës, rezolucioni, data e krijimit apo të dhëna të tjera. Metadata e një dokumenti tekstual mund të përmbajë inforamcion lidhur me gjatësinë e dokumentit, autorin, kohën e shkruarjes ose një përmbledhje të shkrutër të tij.

Për shembull, në rastin e qyteteve të vendit, rrjeti rrugor i cili i lidhë qytetet mund të prezentohet si graf dhe pastaj të analizohet. Mund të analizojmë nëse një qytet është i arritshëm (i lidhur) prej një tjetri ose të gjejmë rrugën më të shkurtër ndërmjet dy qyteteve. Së pari, do të prezentojmë disa terme dhe definicione të grafeve. Pastaj do të shohim se si reprezentohen grafet përbrenda kompjuterit. Në fund do t’i kthehemi algoritmeve themelore të grafeve. Formalisht, grafi konsiderohet si një çift i renditur, G=(V,E), i dy seteve që paraqesin nyjet ose kulmet/majet e grafit dhe degët/rrugët e grafit (angl. Vertex (shumësi: Vertices) - Kulm, maje, nyje etj. ; angl. Edge – anë, buzë, teh, kufi etj),. Një degë specifikon se cilat nyje kanë lidhje ndërmjet tyre. Kur punohet me grafe, shpesh herë jemi të interesuar në atë se si mund të bashkohen këto 458

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave degë që të mund të lëvizet nëpër graf. Për këtë arsye, shpesh do të flasim për udhëtimin nëpër një degë/rrugë, që do të thotë se kemi ndryshuar nyjën tonë të interesit duke përcjellur njërën prej rrugëve të lidhura me të. Me fjalë të tjera, nëse grafi i jonë ka nyjet A dhe B që janë të lidhura përmes një dege/rrugë, nd do të flasim për “lëvizjen prej A në B”, “udhëtimin prej A në B” ose “qarkullimin/përshkimin e rrugës prej A në B” për të paraqitur faktin se fokusi i jonë ka ndryshuar prej nyjës A në nyjën B. Për të lehtësuar diskutimin, ne do të shkruajmë vetëm emrat (etiketat) e nyjeve si stenografi (trajtë e shkurtër, e shkruar) për rrugën/degën që lidhë ato. Kështu, AB do të paraqesë rrugën ndërmjet nyjes A dhe nyjes B dhe ne do të themi se B është fqinje me A (e afërt, në afërsi). Grafi mund të jetë i padrejtuar ose i drejtuar. Një graf i padrejtuar, zakonisht i quajtur vetëm graf, ka degët/rrugët të cilat mund të përshkohen në cilindo drejtim. Në këtë rast, një degë/rrugë është set (bashkësi), e cila përmbanë etiketat (labelat) e nyjeve të cilat janë dy skajet e degës/rrugës.1 Grafi i drejtuar, gjithashtu i quajtur edhe digraf, ka degët të cila mund të përshkohen (qarkullohen) vetëm në një drejtim. Për digrafin, seti i degëve/rrugëve do të ketë çiftet e renditura në të cilat elementi i parë është fillimi dhe i dyti është fundi i rrugës/degës. Pra, janë dy sete (bashkësi) të rëndësishme të objekteve, të cilat specifikojnë grafin dhe strukturën e tij. Seti i parë është seti i nyjeve të grafit. Në shembullin e rrjetit të rrugëve, qytetet janë nyjet e grafit. Secila nyje mund të vizatohet si një rreth me numrin e nyjes përbrenda.

nyjet Seti tjetër i rëndësishëm është seti i degëve të grafit, i quajtur edge-set (angl. edge – skaj, anë, teh, që ne do ta quajmë degë e grafit ose lidhje, link). E është nënbashkësi e V x V. Thënë ndryshe apo më thjeshtë, secila degë i lidhë dy

1

Nëse seti që paraqet një degë ka vetëm një element, kjo e paraqet një nyje e cila “rrotullohet” ose me fjalë të tjera niset dhe përfundon në të njëjtën nyje.

459

Avni Rexhepi nyje, duke përfshirë edhe rastin kur nyja është e lidhur me vetveten (në të cilin rast quhet – loop (lak, unazë)). Të gjitha grafet ndahen në dy grupe të mëdha: grafet e drejtuara dhe ato të padrejtuara. Dallimi qëndron në faktin se në grafin e drejtuar, degët janë të drejtuara (orientuara) dhe të shënuara me “shigjetë” e cila tregon kahun e lëvizjes prej nyjes në nyje. Të dy llojet kanë shumë gjëra të përbashkëta, por kanë edhe elementet të cilat i dallojnë. Në parim për çdo rast të grafit, shihet se a është grafi i orientuar/drejtuar apo jo, sepse zakonisht, nëse grafi është i orientuar, secila degë ka shigjetën treguese.

Grafi i padrejtuar

Grafi i drejtuar

Në vijim do të jepen disa definicione themelore të grafeve: Sekuenca e nyjeve (rendi i nyjeve), të tilla që ekziston një degë prej secilës nyje tek tjetra në rend, quhet “shteg” (angl. path). Nyja e parë e shtegut quhet nyja fillestare (startuese, burimi, etj); nyja e fundit në shteg quhet nyja përfundimtare (cak). Nëse nyja fillestare është edhe nyje përfundimtare, shtegu quhet cikël. Shtegu quhet i thjeshtë, nëse e përmbanë secilën nyje vetëm një herë. Cikli quhet i thjeshtë, nëse e përmbanë secilën nyje, përveq asaj të fillimit(fundit), vetëm një herë. Në vazhdim do të paraqiten disa shembuj të shtegut dhe ciklit.

shtegu (i thjeshtë) 460

cikli (i thjeshtë)

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Grafi quhet “Graf i lidhur” nëse ekzistojnë lidhje të tilla që mund të vizitohen të gjitha nyjet e grafit, gjegjësisht që nuk ka ndonjë pjese të shkëputur të nyjeve të grafit. Nëse ka ndonjë nyje të shkëputur dhe nuk ka rrugë/degë për të arritur deri tek ajo ose ato nyje, atëhere grafi është ‘Graf i pa lidhur” (Graf jo i lidhur). Shtegu i Euler-it quhet shtegu (rruga) e cila kalon nëpër secilën degë saktësisht një herë, pa përsëritje. Nëse shtegu përfundon në nyjen nga e cila ka filluar, atëherë ai është cikël i Euler-it (qark i Euler-it). Shtegu i Hamilton-it kalon nëpër secilën nyje të grafit, saktësisht një herë. Nëse mbaron në nyjën e fillimit, atëherë quhet cikël (qark) i Hamilton-it. Historia e teorisë së grafeve filloi në vitin 1736, kur Leonard Euler së pari zgjidhi problemin e shtatë urave të Königsberg-ut. Königsberg (tash Kaliningrad) është qytet në brigjet e lumit Pregel. Në kohën e Eulerit, ishin shtatë ura që lidhnin brigjet dhe dy ishuj, të cilët mund të modelohen si një multigraf me shtatë degë dhe katër nyje. Euleri kërkohi mënyrën e kalimit nëpër secilën urë saktësisht vetëm një herë dhe të kthehet në fillim, d.m.th, ciklin Eulerian. Pasi që të gjitha nyjet kishin shkallë teke, Euleri vërtetoi se një tur i tillë është i pamundur. Urat ishin shkatërruar gjatë luftës së dytë botërore. Algoritmi i Fleury-it është qasje direkte dhe elegante e konstruktimit të cikleve Euleriane. Filloni të ecni nga cilado nyje dhe fshini degët që janë kaluar (përshkuar). Kriteri i vetëm në zgjedhjen e degës së ardhëshme është që të evitohet përdorimi i degës që fshihet, përveq nëse nuk ka alternativë tjetër. Asnjë graf Eulerian nuk përmbanë “urë” (degë), mirëpo ajo çka mbetet në ndonjë pikë të rrugëtimit mbaron të jetë graf i bikonektuar. Teknika e turit të Eulerit është një paradigmë e rëndësishme në algoritmet paralele të grafeve. Ekzistojnë algoritme efikase për numërimin e cikleve të Eulerit në graf.

Grafi i plotë është graf me një degë ndërmjet secilit çift të nyjeve. Nëse ka N nyje, do të ketë (N2-N)/2 rrugë/degë në grafin komplet pa rrugët/degët rrotulluese. Digrafi komplet është një digraf me një rrugë/degë që lejon përshkimin ndërmjet secilit çift të nyjeve. Pasi që rrugët/degët e grafit lejojnë udhëtimin në dy drejtime, gjersa rrugët e digrafit lejojnë udhëtimin vetëm një një drejtim, digrafi me N nyje do të ketë dyfish më shumë rrugë/degë, N2-N. Nëngrafi (VS, ES) i grafit ose digrafit (V,E) është një graf i cili ka një nënbashkësi të kulmeve (VS  V) dhe degëve/rrugëve (Es  E) të grafit të plotë. Shtegu/Rruga ndërmjet dy nyjeve të grafit ose digrafit është një varg i rrugëve të cilat mund të kalohen në rresht (një pas një). Me fjalë të tjera, rruga (shtegu) ndërmjet nyjes A dhe nyjes B do të fillontë në nyjen A dhe do të rrugëtone (udhëtonte) nëpër një set të rrugëve deri sa të arrijë në nyjen B. Formalisht, themi se rruga prej nyjes vi deri te vj është sekuencë e rrugëve vi,vi+1, . . ., vj-1,vj 461

Avni Rexhepi që ndodhen në graf. Ne kërkojmë që të gjitha nyjet përgjatë rrugës të jenë unike. Rruga thuhet të ketë gjatësinë që paraqet numrin e rrugëve të cila e përbëjnë rrugën. Rruga AB, BC, CD, DE ka gjatësinë 4. Grafi ose digrafi i “peshuar” është ai ku secila rrugë ka një vlerë, të quajtur peshë, të shoqëruar me të. Në vizatimet e grafeve, pesha do të shkruhet afër rrugës/degës. Në definicionet formale, pesha do të jetë një komponentë shtesë në setin e një rruge/dege ose një “çifti” të renditur (tash një treshe). Kur punohet me grafe me peshë, ne konsiderojmë që pesha të jetë një kosto për përshkimin (qarkullimin) e rrugës/degës. Shtegu përgjatë (nëpër) grafit me peshë ka një kosto që është shumë e peshave të secilës rrugë/degë përgjatë shtegut. Në grafin me peshë, shtegu më i shkurtër ndërmjet dy nyjeve është shtegu me koston më të vogël, edhe nëse ai nuk ka më së paku degë/rrugë. Për shembull, nëse shtegu P1 ka pesë rrugë/degë me kosto totale 24 dhe shtegu P2 ka tri degë/rrugë me kosto totale 36, shtegu P1 do të konsiderohet shteg më i shkurtër sepse kostoja e tij është më e vogël. Për shembull, në rastin e grafit të rrjetit rrugor, pesha e secilës rrugë mund të jetë gjatësia e saj ose koha e nevojshme për të kaluar nëpër të.

Grafi i peshuar

Reprezentimi i grafit të padrejtuar Ka disa mënyrë të mundshme të reprezentimit (përfaqësimit) të grafit në kompjuter. Dy prej tyre, që përdoren zakonisht, janë matrica e fqinjësisë (angl. adjacency matrix) dhe lista e fqinjësisë (angl. adjacency list).

Matrica e fqinjësisë Një matricë e fqinjësisë, AdjMat (nga angl. Adjacency-fqinjësi) për grafin G= (V, E), me |V| = N, do të ruhet si një varg dy-dimensional me madhësi NxN.

462

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Secili lokacion [i,j] i këtij vargu do të ruaj vlerën 0, përveq nëse ka ndonjë degë/rrugë prej nyjes vi tek nyja vj, lokacioni do të ruajë vlerën 1. Më formalisht: për çdo i dhe j në rangun 1 deri në N Për grafet dhe digrafet me peshë, vlerat në matricat e fqinjësisë do të ishin  nëse nuk ka rrugë/degë dhe pesha përkatëse për të gjitha rastet tjera. Elementet e diagonales do të ishin 0, sepse nuk do të ketë kostro të udhëtimit prej nyjes në vetveten. Pra, secili element aij i një matrice të fqinjësisë përmbanë 0, nëse nuk ekziston lidhje (degë) ndërmjet nyjeve i dhe j dhe 1, nëse ato janë të lidhura. Le të shohim një shembull.

Grafi

Matrica e fqinjësisë

463

Avni Rexhepi

Dega (2, 5)

Elementet për degën (2, 5)

“Dega” (1, 3)

Elementet për “degën” (1, 3)

Grafi i paraqitur përmes shembullit paraprak është i padrejtuar. Kjo do të thotë se matrica e tij e fqinjësisë është simetrike. Në të vërtetë, në grafin e padrejtuar, nëse ekziston dega (2, 5) atëherë ekziston edhe dega (5, 2). Kjo edhe është arsyeja, pse ke dy elemente të matricës për secilën degë të grafit. Unazat (rrotullat, laqet), nëse lejohen në graf, ju përgjigjen elementeve të diagonalës të matricës së fqinjësisë. Përparsitë. Matrica e fqinjësisë është shumë e përshtatshme për përdorim. Shtimi (largimi) i një dege mund të bëhet në kohë O(1), e njëjtë me atë për verifikimin nëse ekziston lidhje/degë ndërmjet dy nyjeve. Gjithashtu është e thjeshtë për t’u programuar. 464

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Të metat. 





Martica e fqinjësisë konsumon hapësirë të madhe të memories për ruajtjen e grafeve të mëdha. Të gjitha grafet mund të ndahen në dy kategori, grafe të rralla dhe grafe të dendura. Grafet e rralla nuk kanë shumë degë (numri i degëve është shumë më i vogël se katrori i numrit të nyjeve (që është numri i elementeve të matricës së fqinjësisë), |E|<<|V|2). Në anën tjetër, grafet e dendura kanë numër të degëve të krahasueshëm me katrorin e numrit të nyjeve. Matrica e fqinjësisë është optimale për grafet e dendura, por është e panevojshme (e tepërt) për grafet e rralla. Dobësi tjetër e matricës së fqinjësisë është se në shumë algoritme duhet të dihen nyjet, fqinjë me nyjen aktuale. Për të nxjerrë një informacion të tille nga matrica e fqinjësisë, duhet të shqyrtohet rreshti përkatës, gjë që rezulton në kompleksitet O(|V|). Për algoritmet si DFS (Depth First Search – kërkimi thellësia së pari) ose ato të bazuara në të, përdorimi i matricës së fqinjësisë rezulton në kompleksitet të përgjithshëm prej O(|V|2), gjersa ai mund të zvogëlohet në O(|V| + |E|), kur përdoret lista e fqinjësisë. Problem tjetër i cili duhet theksuar, është se matrica e fqinjësisë kërkon shumë përpjekje për shtimin/largimin e nyjes. Nëse grafi përdoret vetëm për analizë, atëherë kjo gjë nuk është e nevojshme, mirëpo nëse dëshironi të konstruktoni një strukturë tërësisht dinamike, përdorimi i matricës së fqinjësisë e bënë atë mjaft të ngadalshme për grafe të mëdha.

Si përfundim, matrica e fqinjësisë është zgjidhje e mirë për grafet e dendura gjë që këkron të pasurit e një numri konstant të nyjeve.

Lista e fqinjësisë Lista e fqinjësisë është një alternativë e matricës së fqinjësisë, për reprezentimin e grafit. Ajo kërkon më pak memorie dhe në raste të veçamta edhe funksionon më mirë sesa matrica e fqinjësisë. Për secilën nyje, lista e ruan një listë të nyjeve, të cilat janë fqinje ma atë aktuale. Le të shohim një shembull.

465

Avni Rexhepi

Grafi

Lista e fqinjësisë

Nyjet, fqinje të {2}

Rreshti në listën fqinjësisë

Përparësitë. Lista e fqinjësisë mundëson që grafi të ruhet në formë më kompakte sesa matrica e fqinjësisë, por diferenca zvogëlohet gjersa grafi dendësohet. Përparësi tjetër është se lista e fqinjësisë mundëson që të merret lista e nyjeve fqinjë në kohë O(1), gjë që është përparësi e madhe për disa algoritme. Të metat. 

466

Shtimi/largimi i një nyje në/nga lista e fqinjësisë nuk është aq i lehtë si në rastin e matricës së fqinjësisë. Kjo kërkon, mesatarisht, kohë O(|E| / |V|), që mund të rezultojë në kompleksitet kubik për grafet e dendura, për të shtuar të gjitha degët.

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave 



Verifikimi, nëse ekziston lidhje ndërmjet dy nyjeve mund të bëhet në O(|E| / |V|) kur lista e nyjeve fqinje është e parenditur ose O(log2(|E| / |V|)) kur ajo është e sortuar. Ky operacion mbetet mjaft i lirë. Lista e fqinjësisë nuk mundëson implementim efikas, nëse kërkohet ndryshim dinamik i numrit të nyjeve. Shtimi i nyjes së re mund të bëhet në O(V), por largimi rezulton në kompleksitet O(E).

Si përfundim, lista e fqinjësisë është zgjidhje e mirë për grafet e rralla dhe mundëson ndryshimin e nmrit të nyjeve në mënyrë më efikase sesa përdorimi i matricës së fqinjësisë. Por megjithatë, për ruajtje të grafit tërësisht dinamik, ka zgjidhje më të mira. Pjesë kodi Për thjeshtësi, pjesët e kodit kanë të bëjnë me matricat e fqinjësisë, për grafet e padrejtuara. class Graph { private: bool** adjacencyMatrix; int vertexCount; public: Graph(int vertexCount) { this->vertexCount = vertexCount; adjacencyMatrix = new bool*[vertexCount]; for (int i = 0; i < vertexCount; i++) { adjacencyMatrix[i] = new bool[vertexCount]; for (int j = 0; j < vertexCount; j++) adjacencyMatrix[i][j] = false; } } void addEdge(int i, int j) { if (i >= 0 && i < vertexCount && j > 0 && j < vertexCount) { adjacencyMatrix[i][j] = true; adjacencyMatrix[j][i] = true; } } void removeEdge(int i, int j) { if (i >= 0 && i < vertexCount && j > 0 && j < vertexCount) { adjacencyMatrix[i][j] = false; adjacencyMatrix[j][i] = false;

467

Avni Rexhepi } } bool isEdge(int i, int j) { if (i >= 0 && i < vertexCount && j > 0 && j < vertexCount) return adjacencyMatrix[i][j]; else return false; } ~Graph() { for (int i = 0; i < vertexCount; i++) delete[] adjacencyMatrix[i]; delete[] adjacencyMatrix; } };

Algoritmet për grafet e padrejtuara Kur punojmë me grafet, nganjëherë mund të dëshirojmë që të bëjmë diçka në secilën nyje të grafit saktësisht vetëm një herë. Për shembull, mund të jetë një informacion që duhet të shpërndahet në të gjithë kompjuterët në rrjetë. Ne dëshirojmë që ky informacion të arrijë në secilin kompjuter, por nuk duam që atë t’ia japim dy herë ndonjë kompjuteri. E njëjta gjë do të ishte e vërtetë nëse jemi duke kërkuar për ndonjë informacion në vend të shpërndarjes. Ekzistojnë dy teknika të cilat do t’i analizojmë dhe të cilat e realizojnë/kryejnë përshkimin e grafit. Dy algoritmet themelore për përshkimin e nyjeve të grafit (bredhjen, lëvizjen nëpër graf) janë algoritmet: -

“Thellësia së pari” (angl. Depth-first search, ose shkurt DFS), dhe “Gjerësia së pari” (angl. Breadth-first search, ose shkurt BFS).

Në “depth-first” (thellësia-së-pari), rrugëtimi i jonë do të shkojë sa më larg që të jetë e mundur shtegut teposhtë, para se të konsiderojë ndonjë rrugë tjetër dhe në “breadth-first” (gjerësia-së-pari) rrugëtimi i jonë do të shkojë barabartë në shumë drejtime. Në vazhdim do të shikojmë këto dy metoda më detajisht. Për këto dy metoda të përshkimit/rrugëtimit, ne zgjedhim një nyje në graf si pikë tonën startuese/fillestare. Në diskutimet tona, ne përdorim një frazë (shprehje) tjetër “vizito nyjen” për të paraqitur veprimin që duhet të bëhet në secilën nyje. Për shembull, nëse jemi duke kërkuar, vizitimi i nyjës do të nënkuptonte që ne duhet ta verifikojmë atë për informacionin që na duhet. Këto metoda

468

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave funksionojnë pa ndonjë ndryshim edhe në grafet e drejtuara edhe në ato të padrejtuara. Do t’i ilustrojmë ato përmes grafeve të padrejtuara. Secila prej këtyre metodave të rrugëtimit/përshkimit gjithashtu do të përdoret për të përcaktuar nëse grafi është i lidhur. Nëse ne krijojmë një listë të nyjeve të cilat i vizitojmë gjatë rrugëtimit tonë, kjo listë mund të krahasohet me setin (bashkësinë) e nyjeve në graf. Nëse ato janë të njëjta, grafi është i lidhur. Nëse ato nuk janë të njëjta, atëherë ka disa nyje që nuk mund të arrihen prej vendit ku kemi startuar (filluar), që do të thotë se grafi nuk është i lidhur.

Përshkimi thellësia-së-pari Në përshkimin thellësia-së-pari (Depth-first traversal), ne vizitojmë nyjën startuese dhe pastaj shkojmë para për të përcjellur lidhjet nëpër graf deri sa të arrijmë në një rrugë-qorre (rrugë pa dalje, pikë fundore). Në një graf të pa drejtuar, nyja është pikë fundore nëse të gjitha nyjet fqinje me të veq janë vizituar paraprakisht. Në grafin e drejtuar, nëse nyja nuk ka rrugë dalëse, gjithashtu kemi pikë fundore (rrugë pa dalje). Kur të arrijmë në rrugë pa dalje, ne kthehemi prapa nëpër shtegun tonë deri sa të gjejmë një nyje fqinje të pa vizituar dhe pastaj vazhdojmë në atë drejtim të ri. Procesi do të kompletohet kur të kthehemi prapa në nyjen fillestare/startuese dhe të gjitha nyjet fqinje me të të jenë vizituar. Në ilustrimin e këtij algoritmi dhe të gjithë të tjerët në këtë kapitull, nëse na paraqitet opcioni i zgjedhjes mes dy nyjeve, do të zgjedhim nyjen me vlerë/etiketë numerike ose alfabetike më të vogël. Kur të implementohet/aplikohet ky algoritëm, kjo zgjedhje do të varet nga fakti se si janë ruajtur degët/rrugët e grafit.

Figura 7.1 - Grafi Shqyrtoni grafin në Fig. 7.1. Nëse fillojmë me përshkimin thellësia-së-pari nga nyja 1, në vazhdim vizitojmë me radhë nyjet 2,3,4,7,5 dhe 6 para se të arrijmë në rrugë pa dalje. Pastaj, do të ktheheshim prapa në nyjen 7 për të gjetur se nyja 8 nuk është vizituar, por kjo menjeherë do të çoj në rrugë pa dalje. Pastaj 469

Avni Rexhepi kthehemi deri te nyja 4 dhe gjejmë se nyja 9 nuk ka qenë e vizituar, por përsëri kemi përnjeherë rrugë pa dalje. Pastaj vazhdojmë kthimin prapa, deri sa të arrijmë në nyjën startuese/fillestare dhe pasi që të gjitha nyjet fqinje me të janë vizituar, kemi përfunduar. Algoritmi rekurziv për rrugëtimin/përshkimin thellësia-së-pari është: DepthFirstTraversal(G, v) G is the graph v is the current node

PershThellSePari(G, v) G eshte grafi v eshte nyja aktuale

Visit( v ) Mark( v ) for every edge vw in G do if w is not marked then DepthFirstTraversal(G, w) end if end for

Vizito( v ) Sheno( v ) ‘for’ cdo dege vw ne G bëj if w nuk eshte shenuar PershThellSePari(G, w) end if end for

Ky algoritëm rekurziv bazohet në stekun e sistemit të kompjuterit për të ndjekur pozitën ku ka qenë në graf ashtu që të mund të kthehet prapa kur të arrijë në rrugë pa dalje. Ne mund të krijojmë algoritmin e ngjashëm jorekurziv duke përdorur strukturën e stekut dhe vet duke futur/shtyer në stek dhe duke nxjerrë/tërhequr nga steku kulmet (pikat, nyjet). Shembull: Depth-first search (DFS) Kërkimi Thellësia së pari, është një mënyrë për përshkimin e grafit. Fillimisht algoritmi u krijua për grafet dhe mundëson vizitimin e nyjeve të grafit, por ekzistojnë me qindra algoritme të bazuara në DFS. Kjo edhe është arsyeja që të kuptuarit e parimeve të kërkimit thellësia së pari është i rëndësishëm për studimin e mëtejmë në teorinë e grafeve. Parimi i algoritmit është mjaft i thjeshtë: të shkohet përpara (në thellësi) gjersa të jetë e mundur, përndryshe të kthehet prapa.

Algoritmi Në DFS, secila nyje ka tri “ngjyra” të mundshme për reprezentimin e gjendjes: e bardhë: nyja e pavizituar; hiri: nyja është në progress; e zezë: DFS ka përrunduar procesimin e nyjes. 470

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Për shumicën e algoritmeve klasifikimi bool-ean “e pavizituar”/”e vizituar” është i mjaftueshëm, mirëpo do të paraqitet rasti i përgjithshëm. Fillimisht të gjitha nyjet janë të bardha (e pavizituar). Algoritmi DFS fillon në një nyje arbitrare dhe punon si vijon: 1. Shëno (marko) nyjen u si ngjyrë hiri (e vizituar). 2. Për secilën degë (u, v), ku u është e bardhë, ekzekuto DFS për u në mënyrë rekurzive. 3. Shëno nyjen u si të zezë dhe ktheu prapa tek prindi. Shembull. Përshko grafin e mëposhtëm duke përdorur algoritmin DFS (Thellësia së pari). Fillo nga nyja me numër 1.

Grafi burimor (fillestar).

Shëno (marko) nyjen 1 me ngjyrë hiri.

471

Avni Rexhepi

Kemi një degë (1, 4) dhe nyja 4 është e pavizituar. Shko tek ajo.

Shëno nyjën ngjyrë hiri.

4 me

Kemi degën (4, 2) dhe nyja 2 është e pavizituar. Shko tek ajo.


472

2 me




5 me



3 me

473

Avni Rexhepi

Nuk ka rrugë/degë tutje prej nyjes 3. Shënojë nyjen 3 me ngjyrë të zezë dhe kthehu prapa tek nyja 5.

Ka një degë (5, 4), por nyja 4 është me ngjyrë hiri.

Nuk ka rrugë/degë tjera për tek ndonjë nyje e pavizituar nga nyja 5. Shënoje me të zezë dhe kthehu prapa tek nyja 2.

Nuk ka degë të tjera, fqinje me nyjen 2. Shënoje me të zezë dhe kthehu prapa tek nyja 4.

474


Ka një degë (4, 5), por nyja 5 është e zezë.

Nuk ka degë të tjera, fqinje me nyjen 4. Shënoje me të zezë dhe kthehu prapa tek nyja 1.

Nuk ka degë të tjera, fqinje me nyjen 1. Shënoje me të zezë. DFS përfundoi.

Siç mund të shihet nga shembulli, DFS nuk shkon (nuk kalon) nëpër të gjitha degët. Nyjet dhe degët të cilat i ka vizituar DFS janë “pema” (angl. tree). Kjo pemë përmbanë të gjitha nyjet e grafit (nëse ai është i lidhur) dhe quhet pema e shtrirjes së grafit (graph spanning tree). Kjo pemë saktësisht i përgjigjet thirrjeve rekurzive të DFS-it. Nëse grafi nuk është i lidhur, DFS nuk do t’i vizitojë të gjitha nyjet e tij.

Analiza e kompleksitetit Supozojmë se grafi është i lidhur. Algoritmi DFS viziton secilën nyje të grafit dhe verifikon secilën nyje të tij. Prandaj, kompleksiteti i DFS është O(V + E). Si është përmendur më herët, nëse për reprezentimin e grafit përdoret matrica e 475

Avni Rexhepi fqinjësistë, atëherë të gjitha degët, fqinje me nyjen, nuk mund të gjenden në mënyrë efikase, gjë që rezulton në kompleksitet të rendit O(V2). Pjesë kodi // VertexState=GjendjaeNyjes; // White=eBardhe; Gray=eHirit; Black=eZexe // state=gjendja enum VertexState { White, Gray, Black }; … void Graph::DFS() { VertexState *state = new VertexState[vertexCount]; for (int i = 0; i < vertexCount; i++) state[i] = White; runDFS(0, state); delete [] state; } void Graph::runDFS(int u, VertexState state[]) { state[u] = Gray; for (int v = 0; v < vertexCount; v++) if (isEdge(u, v) && state[v] == White) runDFS(v, state); state[u] = Black; }

Përshkimi gjerësia-së-pari Në përshkimin/rrugëtimin gjerësia-së-pari (Breadth-first traversal) së pari vizitojmë nyjen startuese/fillstare dhe pastaj në kalimin e parë vizitojmë të gjitha nyjet e lidhura drejtpërdrejt me të. Në kalimin e dytë, vizitojmë nyjet që ndodhen dy rrugë “larg” nga nyja startuese. Me secilin kalim të ri, ne vizitojmë nyjet që ndodhen një rrugë (një distancë) më tutje. Pasi që mund të ketë cikle në graf, është e mundur që nyja të jetë në dy shtigje të gjatësive të ndryshme nga nyja startuese. Për shkak se do ta vizitojmë atë nyje për herë të parë përgjatë shtegut më të shkurtër nga nyja startuese, nuk do të kemi nevojë ta shqyrtojmë përsëri. Prandaj, do të kemi nevojë ose të mbajmë një listë të nyjeve që i kemi vizituar ose do të duhet të përdorim një variabël në nyje për t’a shënuar atë si të vizituar, për të parandaluar (penguar) vizitat e shumëfishta.

476


Fig. 7.1 - Grafi Shqyrtoni përsëri grafin nga Fig. 7.1. nëse fillojmë rrugëtimin (përshkimin) tonë nga nyja 1, do të vizitojmë nyjet 2 dhe 8 në kalimin e parë. Në kalimin e dytë, do të vizitojmë nyjet 3 dhe 7 (Edhe pse nyjet 2 dhe 8 janë gjithashtu në fund të shtigjeve të gjatësisë 2, ne nuk do të kthehemi në to për arsye se ato janë vizituar në kalimin e parë). Në kalimin e tretë, vizitojmë nyjet 4 dhe 5 dhe në kalimin e fundit vizitojmë nyjet 6 dhe 9. Gjersa përshkimi thellësia-së-pari varej nga steku, përshkimi gjerësia-së-pari bazohet në radhën e pritjes (angl. queue – radhë, bisht, gërshet, etj.). Algoritmi për përshkimin gjerësia-së-pari është: BreadthFirstTraversal(G, v) G is the graph v is the current node Visit( v ) Mark( v ) Enqueue( v )

PershGjeresiaSePari(G, v) G - Grafi v – nyja aktuale Vizito( v ) Shëno( v ) Enqueue( v ) // në Queue

while queue is not empty do

while queue jo i zbrazët

Dequeue( x ) for every edge xw in G do if w is not marked then

Visit( w ) Mark( w ) Enqueue( w ) end if end for end while

Dequeue(x)//largo nga Queue ‘for’ secila degë xw në G ‘do’ ‘if’ w nuk është shënuar then

Vizito( w ) Shëno( w ) Enqueue( w ) end if end for end while

Ky algoritëm do të shtojë rrënjën e pemës së përshkimit gjerësia-së-pari në queue (radhë të pritjes) por pastaj menjëherë do ta largojë atë. Pasi që “shikon” (i sheh) në nyjet që janë fqinje të rrënjës, ato do të shtohen në fund të radhës. Kur të gjitha nyjet fqinjë të rrënjës të jenë vizituar, ne do të kthehemi në radhë 477

Avni Rexhepi dhe do të marrim të parën nga këto nyje. Do të duhej të vërenit se për shkak se nyjet shtohen në fund të radhës, asnjë nyje që ndodhet dy rrugë/degë larg prej rrënjës nuk do të shqyrtohet përsëri gjersa të gjitha nyjet në distancë një rrugë/degë të jenë larguar nga radha dhe të jenë përpunuar (procesuar). Si është puna me efikasitetin e këtyre algoritmeve? Supozimi i jonë është se puna e bërë gjersa vizitojmë secilën nyje është pjesa më komplekse e këtij procesi. Kështu, puna e bërë për të vërtetuar dhe për të parë nëse një nyje fqinje ka qenë e vizituar dhe puna për të përshkuar rrugët nuk është e rëndësishme në këtë rast. Kështu, rendi i algoritmit është numri i herave që nyja vizitohet. Pasi që kemi thënë se këto algoritme e vizitojnë secilën nyje saktësisht një herë, për grafin me N nyje, procesi i vizitimit do të kryhet N herë. Prandaj, përshkimet/rrugëtimet janë të rendit O(N).

Pema e shtrirjes minimale Pema e shtrirjes (Spanning tree – pema e përhapjes etj) është një nënbashkësi e lidhur e grafit e cila nuk ka cikle dhe përmbanë të gjitha nyjet e grafit dhe nënbashkësi e degëve (rrugëve). Pema minimale e shtrirjes është pema e përhapjes ku shuma e peshave (kostove) për degët (rrugët) e përfshira ka totalin më të vogël të mundshëm. Një shembull i përdorimit të pemës minimale të shtrirjes është në konstruktimin e intranetit të kompanisë me routerët që duhet të vendosen në pikat strategjike nëpër disa zona. Nëse dëshirojmë të minimizojmë shpenzimet e lidhjes së routerëve , ne do të mund të ndërtonim grafin me secilin router si nyje dhe me peshat në bashkësinë/setin e degëve si çmim/kosto e lidhjes së secilit çift të routerëve. Pema minimale e përhapjes së këtij grafi do të na tregojë se cilat çifte të routerëve të lidhen me përques ashtu që intraneti i jonë të jetë i lidhur në tërësi me çmimin më të lirë të mundshëm. Aplikim i ngjashëm është gjetja e rrugës më të shkurtër ndërmjet dy nyjeve të grafit. Kjo ka aplikim praktik gjatë planifikimit të rrugës për udhëtimin e veturave ose dërgimin e mesazhve nëpër rrjetën kompjuterike. Për shembull, në figurën vijuese, janë paraqitur pemët e shtrirjes për grafin e dhënë dhe shihet se rati i dytë dhe i tretë përfaqësojnë pemën minimale të shtrirjes. Varësisth prej kostove të degëve, mund të ndodhë që grafi ka më shumë se një pemë minimale të shtrirjes.

478


Fig. 7.2 – Pemët e shtrirjes – Pema minimale e shtritjes me kosto 22 Pema me shtrirje minimale e grafit të lidhur me peshë, është nëngraf i cili përmbanë të gjitha nyjet e grafit origjinal dhe nënbashkësinë e degëve/rrugëve të tillë që (ashtu që) nëngrafi është i lidhur dhe totali i peshave të degëve/rrugëve është më i vogli i mundshëm (angl. Span – shtrirje e krahëve, hapësirë, hapje, interval, etj). Nëse grafi origjinal nuk është i lidhur, procesi i mëposhtëm mund të përdoret në secilën prej komponenteve të ndara për të prodhuar pemën e shtrirjes për secilën. Ekziston një mënyrë e forcës së thjeshtë (e drejtpërdrejt) e cila mundëson që të gjindet pema e shtrirjes minimale (angl. MST – shqip PSHM) për grafin e lidhur. Pasi që degët/rrugët në PSHM janë nënbashkësi e degëve/rrugëve në tërë grafin, ne do të mund të shikonim në të gjitha nënbashkësitë e mundshme të bashkësisë së degëve/rrugëve deri sa të gjejmë PSHM. Do të duhej të shihni se ky proces kërkon shumë kohë. Së pari, nëse ka N degë/rrugë, do të kishte 2 N nënbashkësi. Për secilën prej këtyre nënbashkësive, do të duhej që së pari të vërtetohet se ai shtrihet në të gjitha degët dhe nuk ka cikle. Pastaj do të mund të llogarisnim peshat totale të tyre. Ne do të mund të përshpejtonim procesin pasi që të kemi gjetur së pari pemën e parë të shtrirjes (përfshirjes). Cilado nënbashkësi e degëve/rrugëve me peshë totale që është më e madhe sesa ajo momentale e jona me pemën më të mirë të shtrirjes me gjasë nuk mund të performojë më mirë, kështu që nuk ka nevojë të verifikohet për të parë nëse ai shtrihet në të gjitha nyjet dhe është jociklik. Edhe me këtë përmirësim, kjo metodë e forcës së thjeshtë (e drejtpërdrejtë) do të ishte e rendit O(2N).

Algoritmi Dijkstra-Prim Algoritmi vijues për gjetjen e PSHM u zhvillua nga Edsger Dijkstra dhe R.C. Prim, në fund të viteve të ‘50-ta. Ata punuan dhe i publikuan rezultetet e tyre pavarësisht nga njëri tjetri. Për të gjetur PSHM, ata do të përdorin atë që njihet si “greedy” algoritmëm lakmitar (angl. Greedy – llupës, i pangopur, tahmaqar, lakmitar, etj). Algoritmet lakmitare punojnë duke shikuar në nënbashkësinë e problemit më të madh dhe 479

Avni Rexhepi duke bërë vendimin më të mirë bazuar në atë informacion. Në këtë rast, në secilin hap të procesit, do të shikojmë në një grumbull (koleksion) të degëve/rrugëve potenciale për t’u shtuar në pemën e shtrirjes dhe do të zgjedhim atë me peshën më të vogël (minimale). Duke bërë këtë në mënyrë të vazhdueshme (në mënyrë të përsëritur) ne do të rrisim pemën e shtrirjes e cila ka totalin e përgjithshëm minimal. Për të përmbushur (realizuar) këtë proces, ne do të konsiderojmë se nyjet e grafit janë në njërën prej tri kategorive: në pemë, në periferi të pemës dhe akoma të pa-shqyrtuara (të pa marrura në konsiderim). Ne fillojmë duke zgjedhur një nyje të grafit dhe duke e vendosur atë në pemën e shtrirjes. Për shkak se rezultati është një pemë e parrënjë, zgjedhja e nyjes fillestare nuk ka ndikim në rezultatin final (përveq nëse ka PSHM të shumëfishta). Pastaj ne vendosim të gjitha nyjet të cilat janë të lidhura me këtë nyje fillestare në katëgorinë e periferisë (fqinjësisë). Kur të gjitha nyjet të jenë shtuar në pemë, kemi përfunduar. Algoritmi i përgjithshëm për këtë proces është si vijon: 1. Zgjedhe nyjen startuese 2. Nderto “vijat” fillestare prej nyjeve te lidhura me nyjen startuese, periferine e saj 3. While (Gjersa) ka akoma nyje të mbetura zgjedhe degën me peshen me te vogël shtoje nyjen e shoqëruar/bashkuar/lidhur në pemë azhuro “vijat” (periferinë) duke: -shtuar nyjet në periferi (të lidhura) me nyjën e re -azhuro degët me periferi ashtu që të jenë më të voglat end while

Figura 7.3 jep një shembull të këtij algoritmi në veprim (gjatë punës). Në mënyrë arbitrare kemi zgjedhur nyjen A për të filluar këtë proces. Si kemi thënë, zgjidhja e ndryshme për nyjen fillestare nuk do të ndryshojë rezultatitn, përveq nëse ka më shumë se një PSHM. Grafi origjinal është treguar në Fig. 7.3(a) dhe si theksuam, kemi zgjedhur që të fillojmë konstruktimin e PSHM në nyjen A. Të gjitha nyjet e lidhura direkt në nyjen A bëhen bashkësia e fillestare e periferisë (fqinjësisë). Shohim se dega me peshën më të vogël i lidhë nyjet A dhe B, kështu që B shtohet në PSHM së bashku me rrugën AB.

480


Figura 7.3A Grafi origjinal

Figura 7.3B Nyja e parë u shtua (vijat e ndërprera paraqesin rrugët/degët deri tek nyjet e periferisë (fqinjësisë)

Figura 7.3C U shtya nyja e dytë. Degët/rrugët tek nyjet D, E dhe G u azhuruarn (Vijat e plota paraqesin rrugët në PSHM).

Figura 7.3D U shtua nyja e tretë. Dega/rruga tek nyja G u azhurua.

Pasi nyja B të shtohet në pemë (Fig. 7.3(c)), duhet të përcaktojmë nëse ka nyje që duhet të shtohet në bashkësinë e periferisë/fqinjësisë dhe gjejmë se nyjet E dhe G duhet të shtohen. Për shkak se nyje e vetme e pemës për të cilën ato janë të lidhura është nyja B, ne i shtojmë keto degë/rrugë tek ato të cilat do t’i marrim në konsideratë në vazhdim. Në këtë kohë, gjithashtu duhet të verifikojmë për të parë nëse degët/rrugët prej nyjes A kah nyjet C, D dhe F janë akoma më të shkurtërat ose nëse ka degë/rrugë më të mira nga nyja B tek këto tri nyje. Në 481

Avni Rexhepi grafin origjinal, nuk ka lidhje direkte nga nyja B tek nyjet C dhe F, kështu që këto nuk do të ndryshojnë. Por dega/rruga nga nyja B tek nyja D ka peshë më të vogël sesa ajo nga nyja A dhe kështu dega/rruga BD tani e zëvendëson atë AD. Prej pesë degëve/rrugëve tek nyjet në fqinjësi/periferi, shohim se BE ka peshën më të vogël dhe kështu ajo dhe nyja E i shtohen pemës (Fig. 7.3(d)). Dega/rruga EG ka peshë më të vogël sesa dega/rruga BG, kështu që tani kjo përdoret. Prej katër degëve/rrugëve për në fqinjësi/periferi, shohim se AC ka peshë më të vogël kështu që ajo shtohet në vazhdim.

Figura 7.3E Nyja C e shtuar në pemë.

Figura 7.3F Nyja F e shtuar në pemë dhe degët/rrugët D dhe G janë azhuruar.

Shtimi i nyjes C dhe degës/rrugës AC në pemën e shtrirjes (Fig. 7.3(e)) nuk ka bërë që ndonjë degë/rrugë të azhurohet. Në vazhdim zgjodhëm degën/rrugën AF, kështu që ajo dhe nyja F janë shtuar në pemë. Ne gjithashtu azhurojmë lidhjet sepse dega/rruga FD ka peshë më të vogël sesa BD dhe dega/rruga FG ka peshë më të vogël sesa EG. Në fqinjësinë/periferinë rezultuese (Fig. 7.3(f)), shohim se dega/rruga FD tani është dega/rruga e mbetur me peshën më të vogël, kështu që kjo shohet në vazhdim. Tani kemi vetëm një nyje që nuk i është shtuar pemës (Fig. 7.3(g)). Kur të shtohet kjo, procesi kompletohet dhe ne kemi përcaktuar PSHM me rrënjë në nyjen A (Fig. 7.3(h)).

482


Figura 7.3G Vetëm një nyje ka mbetur në fqinjësi/periferi.

Figura 7.3H PSHM e kompletuar me rrënjë në nyjen A.

Algoritmi i Kruskal-it Gjersa algoritmi Dijkstra-Prim filloi në një nyje të caktuar dhe e ndërtoi PSHM tutje (te jashtë), algorimti i Kruskal-it koncentrohet më shumë në degët/rrugët e grafit. Në këtë algoritëm, ne fillojmë me një pemë të zbrazët të shtrirjes dhe i shtojmë degët/rrugët në renditje sipas madhësisë së peshës gjersa të gjitha nyjet të jenë lidhur në graf. Nëse mbesim pa degë/rrugë para se të gjitha nyjet të jenë shtuar, grafi origjinal nuk ka qenë i lidhur dhe rezultati që kemi gjeneruar është PSHM e secilës prej komponenteve të lidhura të grafit origjinal. Fillojmë në Fig. 7.4(a) me grafin e njëjtë që e përdorëm për algoritmin DijkstraPrim. Në këtë rast, së pari e shtojmë degën/rrugën me peshën më të vogël, e cila është ajo ndërmjet nyjeve D dhe F, duke dhënë rezultatin parcial (e pjesshëm) në Fig. 7.4(b). Dega/rruga me peshë 2 shtohet në vazhdim (Fig. 7.4(c)) ndërmjet nyjeve A dhe B dhe pastaj shtohet dega/rruga me peshë 3, duke dhënë Fig. 7.4(d). Degët/rrugët me peshat 4 dhe 5 shtohen në vazhdim të rezultatit tonë, ashtu si mund të shihni në Fig. 7.4(e) dhe Fig. 7.4(f). Vetëm nyja G është akoma e palidhur. Degët/rrugët e ardhshme për t’u shqyrtuar janë ato me peshë 6. Prej katër degëve/rrugëve me peshë 6, dy përjashtohen (hudhen poshtë) për shkak se ato do të krijon cikle të cilat përmbajnë nyjen A dhe dega/rruga ndërmjet nyjes B dhe nyjes D do të formonte cikël që i përfshinë nyjet A dhe F. Dy nyjet tjera janë të dyja alternativa të mira dhe varësisht prej asaj të zgjedhurës, fitojmë PSHM në cilëndo prej Fig. 7.4(g) ose Fig. 7.4(h). 483

Avni Rexhepi

Figura 7.4A Grafi origjinal.

Figura 7.4B Shtohet dega/rruga e parë.

Figura 7.4C Shtohet dega/rruga e dytë.

Figura 7.4D Shtohet dega/ruga e parë.

Figura 7.4E Shtohet dega/rruga e katërt.

Figura 7.4F Shtohet dega/ruga e pestë.

484


Figura 7.4G Pema e shtrirjes minimale.

Figura 7.4H Një pemë tjetër/alternative e shtrirjes minimale.

Algoritmi i përgjithshëm i cili do të përmbushë/realizojë këtë është (ku E paraqet numrin e degëvge/rrugëve dhe N numrin e kulmeve/nyjeve). 1.Sorto degët sipas peshës (prej të voglës) Inicializo strukturën e ndarjes (particioneve) numriDegeve = 1 numratoriePerfshire = 0 while numriDegeve ≤ E and numratoriePerfshire ≤ N-1 do prindi1 = GjejeRrenjen ( dega [numriDegeve].start ) prindi2 = GjejeRRenjen ( edge[numriDegeve].end ) if prindi1 ≠ prindi2 then shto dega[numriDegeve] në pemën e shtrirjes numratoriePerfshire = numratoriePerfshire + 1 Union(prindi1, prindi2) end if numriDegeve = numriDegeve + 1 end while

Unaza e jonë kryesore do të vazhdojë gjersa variabla numriDegeve të tregojë se ne kemi shikuar në të gjitha degët/rrugët ose numratoriePerfshire të tregojë se ne kemi shtuar mjaftë degë/rrugë për të krijuar pemën e shtrirjes. Do të duhej të shihnit se nëse kemi N nyje në graf, pema e shtrirjes do të ketë një degë/rrugë më pak sesa nyje. Brenda unazës, së pari gjejmë prindërit e dy nyjeve që janë të lidhura nga dega/rruga e ardhëshme që jemi duke e marrë në konsiderim. Nëse ato nyje janë në pjesë (copa, particione) me rrënjë të ndryshme, duke shtuar një degë/rrugë ndërmjet tyre nuk do të krijojë cikël, kështu që kjo degë/rrugë aktuale mund të shtohet në PSHM dhe këto dy pjesë mund të bashkohen ashtu që ato tani kanë 485

Avni Rexhepi rrënjë të njëjtë. Detajet e rutinave (nënprogrameve) GjejeRrenjen dhe Union do të jepen në seksionin 6.7. Kompleksiteti i këtij algoritmi do të jetë kompleksiteti i algoritmit të sortimit të përdorur për shkak se unaza While është e lidhur linearisht me numrin e degëve/rrugëve. Kjo e bën kompleksitetin e algoritmit të PSHM-së së Kruskal-it O(E lg E).

Algoritmi i shtegut më të shkurtër Algoritmi i shtegut/rrugës më të shkurtër (angl. Shortest-Path Algorithm) për dy nyje të caktuara do të gjejë seritë e degëve/rrugëve ndërmjet tyre të cilat do të rezultojnë në peshën totale më të vogël (minimale) të rrugës. Mund të duket se do të mund të përdornim pemën e shtrirjes minimale për të “krasitur” (shkurtuar) disa nga degët/rrugët dhe pastaj vetëm të shikohet për shtegun ndërmjet nyjeve në pemën e shtrirjes. Fatkeqësisht, kjo nuk do të prodhojë gjithmonë shtegun/rrugën më të shkurtër. Rikujtoni se algoritmi i pemës së shtrirjes minimale mundohet të gjejë një total të përgjithshëm që është më i vogli, kështu që ai do të shikojë për peshat më të vogla të mundshme. Për shembull, mendoni për grafin i cili është “rrethor” për nga forma. Me fjalë të tjera, nyja e parë është e lidhur me të dytën, e cila është e lidhur me të tretën e kështu me radhë deri tek nyja e fundit, e cila është e lidhur me të parën. Ky graf është një unazë ku secila nyje është e lidhur saktësisht me dy nyje, nga një në secilën anë të saj. Për shembull, Fig. 7.5(a) paraqet grafin me gjashtë nyje. Vëreni se të gjitha peshat në të gjitha degët/rrugët janë 1, përveq për degën/rrugën prej nyjes A tek nyja B, e cila ka peshën 2. Algoritmi i pemës së shtrirjes minimale (PSHM) do të zgjedhë të gjitha degët/rrugët me peshë 1 dhe do të hedhë poshtë (përjashtojë) degën me peshë 2. Por kjo do të thotë se shtegu ndërmjet nyjes A dhe nyjes B në pemën e shtrirjes minimale (Fig. 7.5(b)) duhet të shkojë/kalojë nëpër të gjitha nyjet tjera për shtegun me gjatësi 5. Kjo qartazi nuk është shtegu me i shkurtër, sepse në Fig. 7.5(a) mund të shihni se ekziston shteg direkt ndërmjet nyjes A dhe nyjes B i cili ka peshë 2.

486


Figura 7.5A

Figura 7.5B

Grafi i unazës.

Pemë e shtrirjes minimale të tij.

Algoritmi i Dijkstra’s Algoritmi i pemsës së shtrirjes minimale nuk do të funksionojë për gjetjen e shtegut më të shkurtër sepse greedy algoritmi i tij merr parasysh peshën e vetëm një dege/rruge në secilin kalim. Nëse e ndryshojmë algoritmin ashtu që ai zgjedhë degën/rrugën deri në fqinjësi e cila është pjesë e shtegut më të shkurtër të tërsishëm që prej nyjes fillestare/startuese, atëherë do të fitojmë rezultatin e dëshiruar. Më saktësisht, algoritmi i jonë tani bëhet si vijon: select a starting node build the initial fringe from nodes connected to the starting node while we are not at the destination node do choose the fringe node with the shortest path to the starting node add that node and its edge to the tree update the fringe by: adding nodes to the fringe connected to the new node for each node in the fringe do update its edge to the one connected to the tree on the shortest path to the starting node end for end while

Figura 7.6 paraqet një shembull të ekzekutimit të këtij algoritmi. Ne fillojmë me grafin e njëjtë të cilin e përdorëm për algoritmin e pemës së shtrirjes minimale (të riprodhuar në Fig. 7.6(a)) dhe do të kërkojmë për shtegun më të shkurtër që fillon në nyjen A dhe mbaron në nyjen G. 487

Avni Rexhepi

Figura 7.6A Grafi origjinal.

Figura 7.6B Shtegu më i shkurtër ësthë deri tek nyja B.

Figura 7.6C Shtegu me gjatësi 4 për tek nyja C është më i shkurtëri prej opcioneve.

Figura 7.6D Shtegu me gjatësi 5 çoftë deri tek nyja E ose nyja F, është më i shkurtëri.

Fillimi i shtegut tonë nga nyja A jep katër degë/rrugë të mundshme për t’u shqyrtuar. Prej këtyre katërve, dega/rruga AB është më e shkurtëra. Nyja B shtohet në pemën tonë të shtegut më të shkurtër (Fig. 7.6(c)) dhe tani bëjmë azhurimin e shtigjeve. Tash mund të arrihen edhe nyjet E dhe G, kështu që edhe ato shtohen. Gjithashtu shikojmë në nyjen D dhe krahasojmë shtegun e 488

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave saj direkt prej nyjes A me gjatësi 7 me shtegun i cili shkon nëpër nyjen B, i cili është me gjatësi 8. Pasi që shtegu direkt është më i shkurtër, nuk ka ndryshim në rrugën për tek nyja D. Duke shikuar opcionet, shohim se shtegu nga nyja A tek nyja C është me gjatësi 4 dhe është më i shkurtëri. Dega/rruga BE është më e shkurtër, por tani jemi duke marrë në konsiderim rrugën e tërë prej nyjes A dhe kështu gjatësia e shtegut deri tek nyja E aktualisht është 5. Nyja C shtohet në pemën e shtegut më të shkurtër (Fig. 7.6(d)). Duke analizuar grafin, shohim se mund të arrijmë tek nyja F nëpër nyjen C, por gjatësia totale e shtegut është 10, që është më e gjatë sesa shtegu momental për tek nyja F, prandaj nuk ka ndonjë ndryshim. Duke pasur situatën në Fig. 7.6(d), ne do të mund të zgjedhim çoftë shtegun prej A tek F ose shtegun prej A tek E i cili kalon nëpër nyjen B, sepse ata të dy janë me gjatësi 5. Ai që zgjedhet, gjatë ekzekutimit të programit do të varet nga mënyra se si janë ruajtur të dhënat. Për qëllimet tona, kur të na paraqitet zgjedhja, do të zgjedhim nyjen e cila është më e vogël/afërt alfabetikisht, si në Fig. 7.6(e). Për shkak se shtimi i nyjes E në graf nuk ka ndryshuar ndonjë prej lidhjeve ekzistuese, ne tani zgjedhim nyjen F për të arritur në Fig. 7.6(f). Do të duhej të shihni se edhe pse zgjedhja e nyjes F ndryshoi degën/rrugën për tek nyja D, sikur të kishim zgjedhur së pari nyjen F, ne do të kishim zgjedhur nyjen E të dytën.

Figura 7.6E Shtegu tjetër me gjatësi 5 për tek nyja F është i ardhëshmi

Figura 7.6F Shtegu me gjatësi 6 për tek nyja D është më i shkurtër sesa shtegu për tek nyja G.

Në Fig. 7.6(f), duhet të jetë e qartë se shtegu për tek nyja D është më i shkurtër sesa shtegu tek nyja G. Zgjedhja e nyjes D rezulton me Fig. 7.6(g) dhe pastaj 489

Avni Rexhepi nyja G është e fundit që duhet të shtohet, duke dhënë pemën e shtegut minimal final në Fig. 7.6(h). Shtegu më i shkurtër prej nyjes A deri tek nyja G ka gjatësi 10. Nëse shikojmë prapa në Fig. 7.3(h), do të shihni një shembull tjetër të pemës së shtrirjes minimale e cila nuk ka shtegun më të shkurtër, sepse ajo figurë ka shtegun prej nyjes A deri tek nyja G me gjatësi 11.

Figura 7.6G Shtegu për tek nyja G është i vetmi i mbetur.

Figura 7.6H Pema e shtegut më të shkurtër komplet që fillon në nyjen A.

Në shembullin në Fig. 7.6, kemi pemën e plotë të shtegut më të shkurtër për nyjen A sepse nyja e jonë e cakut ishte e fundit që duhej të shtohet. Sikur të kishim arritur nyjen G më herët, algoritmi do të ishte ndalur në atë pikë. Ka apkiacone ku ne do të mund të ishim të interesuar për shtegun më të shkurtër nga një nyje tek secila nyje tjetër. Për shembull, nëse kemi një rrjetë të vogël kompjuterike e cila ka shpejtësi të transmetimit relativisht stabile ndërmjet nyjeve, ne do të mund të llogarisnim shtegun më të shkurtër për tek secila nyje tjetër për secilin kompjuter. Pastaj, kur të duhet të dërgohet një mesazh, ne nuk ka nevojë të bëjmë asgjë tjetër pos t’i qasemi tabelës sonë të paracaktuar të shtegut-më-të-shkurtër për të gjetur mënyrën më të shpejtë për të dërguar mesazhin.

490


Topologjia Topologjia është një prej degëve më të reja të matematikës. Një mënyrë e thjeshtë për të përshkruar topologjinë është si një “geometri e sipërfaqës së lakueshme” – topologjistët i studiojnë tiparet e formave të cilat mbesin të njëjta kur format tërhiqen/zgjaten ose shtypen/kompresohen. Fillet e topologjisë i vendosi Leonhard Euler-i në vitin 1735 gjatë punës së tij të inspiruar nga problemi i “shtatë urave të Konigsberg-ut” (tash i quajtur Kaliningrad – pas pushtimit ne fund të luftës së dytë botërore dhe tash pjesë e Rusisë) . Në Konigsberg, lumi rrjedhë në qytet në atë mënyrë që në qendër të tij ndodhet një ishull dhe pas kalimit të ishullit rrjedha e lumit ndahet në dy pjesë. Për të kaluar prej njërës pjesë në tjetrën ishin ndërtuar shtatë ura. Një hartë e thjeshtë e qendrës së Konigsberg-ut do të dukej si në vijim:

Njerëzit pyesnin veten a është e mundur që dikush të kalojë nëpër të gjitha pjesët e qytetit në atë mënyrë që të kalojë nëpër secilën urë vetëm një herë. Problemi 1 Provoni. Skiconi hartën e mësipërme të qytetit në një fletë dhe vizatoni rrugën e kaluar me një laps ashtu që të kaloni nëpër secilën urë vetëm një herë dhe të kompletoni rrugën pa e ngritur lapsin nga fleta. A po keni problem? Në rregull është, mos u brengosni, sepse këtë problem e pati edhe Euler-i. Nuk është e mundur që të kalohet secila urë vetëm një herë. Për ta kuptuar se përse, duhet shikuar zgjidhja e problemit nga Euler-i, e njohur si Shkalla e Nyjës. Tentime të dështuara:

491

Avni Rexhepi

Problemi 2 Supozoni se do të ishte ndërtuar një urë më pak në Konigsberg, ashtu që harta të dukej si në vijim:

Tani, zgjidhja e problemit është e mundur. Ja një prej mudnësive:

Çka e bënë këtë të ndryshme nga problemi real i Konigsbergut? Udhëzim: Sa ura dërgojnë në secilën pjesë të qytetit? Përse është problematike kur ka numër tek të urave që dërgojnë në një pjesë të qytetit? Problemi A ka rëndësi se cilën urë e largoni? Çka nëse e shtoni një urë? Provoni!

3

Zgjidhja e Euler-it: Shkalla e nyjes Euler-i iu qas problemit duke bashkuar pjesët e tokave të ndara nga lumi në pika, të cilat i shënoi me shkronja të mëdha. Në teorinë moderne të grafeve, 492

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave këto quhen nyje dhe kanë vazhduar që të përfaqsojnë ato dhe urat në mënyra grafike. Për rastin e Konigsberg-ut, le të përfaqësojmë pjesët e qytetit (tokët) me pika të kuqe dhe urat me lakore të zeza (harqe, degë):

Prandaj, në versionin e thjeshtuar, problemi i shtatë urave të Konigsberg-ut duket si në vijim:

Tani problemi shndërrohet në problemin e vizatimit të kësaj figure, pa e larguar lapsin nga fleta dhe pa kaluar dy herë nëpër ndonjërën pjesë të rrugës. Ju kujtohet sigurisht sfida e vizatimit të shtëpisë, në këtë mënyrë:

Merrni në shqyrtim sa vijon: të gjitha katër nyjet, në figurën e mëparshme të rastit të Konigsberg-ut kanë një numër tek të degëve (harqeve) të cilat i lidhin ato. Merrni njërën prej tyre dhe filloni rrugëtimin me laps. Herën e parë që vini në nyje, ju mund të largoheni nëpër një rrugë tjetër, mirëpo herën e ardhëshme që arrini në të njëjtën nyje, nuk mund të dilni?! Prandaj, secila nyje me një numër tek të rrugëve të lidhur në të duhet të jetë ose fillimi ose fundi i shtegut të 493

Avni Rexhepi vizatuar me laps. Kështu, mund të keni vetëm deri në dy nyje “teke”. Prandaj, është e pamundur që të vizatohet figura e mësipërme, me një të “shkruar” të lapsit, pa e ngritur nga fleta ose pa ri-kaluar në ndonjërën degë. Përgjithësimi në teorinë e grafeve Euler-i vazhdoi me përgjithësimin e kësaj mënyre të të menduarit, duke vendosur kështu bazat e teorisë së grafeve. Me fjalorin modern, bëhen definicionet vijuese dhe vërtetohet teorema: Definicion: Një rrjetë është figurë e përpbërë prej pikave (nyjeve) të lidhura me degë (lakore) që nuk priten. Definicion: Nyja quhet teke nëse ka një numër tek të degëve të cilat shkojnë në të, përndyshe quhet nyje çifte. Definicion: Shteg i Euler-it është shtegu i vazhdueshëm i cili kalon nëpër secilën nyje një dhe vetëm një herë. Teoremë: Nëse grafi (rrjeti) ka më shumë se dy nyje teke, ai nuk ka shteg të Euler-it. Euler-i poashtu vërtetoi këtë: Teoremë: Nëse grafi (rrjeti) ka dy ose zero nyje teke, ai ka së paku një shteg të Euler-it. Në veçanti, nëse rrjeti ka saktësisht dy nyje teke, atëherë shtegu i tij i Euler-it mund të fillojë në njërën prej tyre dhe të përfundojë në tjetrën. Problemet Për secilin prej grafeve vijuese, përcaktoni nëse ka një shteg të Euler-it. Nëse ka, gjejeni një prej tyre.

Figura 1

494

Figura 2


Figura 3

Figura 5

Figura 4

Figura 6

Zgjidhjet: Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Këtu ka katër nyje teke, prandaj nuk ka zgjidhje

495

Avni Rexhepi Figura 5

Figura 6

Nuk ka shteg të Euler-it.

Cikli Euler-ian Përshkrimi i problemit: Gjeni rrugëtimin më të shkurtër në grafin G, duke kaluar secilën degë së paku një herë. Diskutimi: Supozoni se ju është dhënë harta e një qyteti dhe ju është dhënë detyra e dizajnimit të itinerarit (rrugës së qarkullimit) për kamionët e mbledhjes së mbeturinave, pastrimit të borës ose postierit. Në të gjitha këto raste, secila rrugë e qytetit duhet të kalohet së paku një herë, që të sigurohet se janë kryer grumbullimet/dorëzimet. Për efikasitet, kërkohet të minimizohet koha totale e udhëtimit ose në mënyrë ekuivalente, distanca totale ose numri i degëve të përshkuara. Aplikaiconet e këtilla janë variante të problemit të ciklit të Eulerit, i karakterizuar më së miri përmes enigmës (angl. puzzle) së fëmijëve, kur atyre ju kërkohet të vizatojnë ndonjë figurë të caktuar, pa e ngritur lapsin dhe pa përsëritur ndonjë degë (vijë, rrugë) gjatë vizatimit. Pra, kërkojmë ciklin nëpër graf që viziton secilën degë saktësisht një herë. Janë të përcaktuara mirë kushtet për përcaktimin nëse grafi përmbanë cikël të Euler-it ose shteg të Euler-it: 1. Grafi i pa-drejtuar (pa-orientuar) përmbanë një cikël të Euler-it nëse (1) është i lidhur dhe (2) secila nyje e tij është e shkallës çifte. 2. Grafi i pa-drejtuar (pa-orientuar) përmbanë një shteg të Euler-it nësë (1) është i lidhur dhe (2) të gjitha përveq dy nyjeve të tij janë të shkallës çifte. Këto dy nyje do të jenë fillimi dhe fundi i shtegut. 3. Grafi i drejtuar (orientuar) përmbanë cikël të Euler-it nëse (1) është i lidhur dhe (2) secila nyje ka shkallë të njejtë të hyrjes sikur atë të daljes. 4. Së fundi, grafi i drejtuar (orientuar) përmbanë cikël të Euler-it nëse (1) është i lidhur dhe (2) të gjitha, përveq dy nyjeve kanë shkallë të njëjtë të 496

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave hyrjeve dhe daljeve dhe këto dy nyjet kanë dallim për një në shkallë të hyrjes dhe daljes. Me karakterizimin e dhënë të grafeve Euler-iane, është e lehtë që në kohë lineare të testohet nëse ekziston cikli i tillë: testoni a është grafi i lidhur duke përdorur DFS ose BFS dhe pastaj numëroni numrin e nyjeve me shkallë teke. Në fakt, konstruktimi i ciklit të tillë merr kohë lineare. Përdorni DFS për të gjetur ciklin në graf. Fshini këtë cikël dhe përsëritni deri sa i tërë seti i degëve të jetë ndarë në një set të cikleve të degëve të ndara. Pasi që fshirja e ciklit redukon shkallën e secilës nyje për një numër çift, grafi i mbetur do të vazhdojë të kënaqë të njejtat kushte Euleriane të shkallës së nyjeve. Për cilindo graf të lidhur këto cikle do të kenë nyje të përbashkëta dhe kështu duke ndarë këto cikle në “figurën tetë” në nyjen e bashkëndarë, mund të konstruktojmë një qark të vetëm që i përmbanë të gjitha degët. Një cikël Eulerian, nëse ekziston një, e zgjidhë problemin e pastrimit të borës, pasi që cilido rrugëtim që do të vizitojë të gjitha degët nga një herë duhet të ketë gjatësinë minimale. Sidoqoftë, pak ka të ngjarë që ndonjë rrjet real i rrugëve do të kënaqë kushtet që ta bëjnë atë qark të Eulerit. Na duhet të zgjidhim problemin më të përgjithësuar të Postierit Kinez (angl. Chinese postman problem), i cili minimizon gjatësinë e rrugës që e kalon secilën degë së pakunjë herë. Në fakt, mund të tregohet se ky cikël minimal nuk do të vizitojë asnjëherë ndonjë degë më shumë se dy herë, kështu që rruga (xhiroja, itinerari) ekziston për cilindo rrjet të rrugëve. Turi optimal i postierit mund të konstruktohet duke shtuar degët e duhura në grafin G ashtu që ta bëjë atë Eulerian. Në mënyrë specifike, ne gjejmë shtegun më të shkurtër ndërmjet secilit çift të nyjeve me shkallë teke në grafin G. Duke shtuar shtegun ndërmjet dy nyjeve me shkallë teke në G i kthen ato në nyje me shkallë çifte, prandaj duke na dërguar më afër një grafi Eulerian. Gjetja e setit më të mirë të shtigjeve më të shkurtëra për t’u shtuar në G redukohet në identifikimin e përshtatjes perfekte me peshë minimale në graf në nyjet me shkallë teke, ku pesha e degës (i,j) është gjatësia e shtegut më të shkurtër prej nyjes i në nyjen j. Për grafet e drejtuara, kjo mund të zgjidhet me përshtatjen bipartite, ku nyjet ndahen varësisht nga fakti se a kanë më shumë degë hyrëse apo dalëse. Kur grafi një herë është Eulerian, cikli aktual mund të nxirret në kohë lineare duke përdorur procedurën e përshkruar më parë.

497

Avni Rexhepi

8. Algoritmet e kërkimit Sistemet kompjuterike shpeshherë përdoren për të ruajtur sasi të mëdha të të dhënave, prej të cilave duhet të nxirren rekordet individuale në bazë të ndonjë kriteri të kërkimit, prandaj një çështje me shumë rëndësi është ruajtja efikase e të dhënave për mundësuar kërkim të shpejtë. Njëri nga operacionet më të performuara në të dhënat e ruajtura në kompjuter është kërkimi. Kërkimi bëhet duke krahasuar vlerën e kërkuar (çelësin) me anëtarët e bashkësisë së elementeve. Në momentin që kushti i krahasimit tregon përputhje (angl. matchpërputhje, barazim, etj), do të thotë që është gjetur vlera e kërkuar. Me rëndësi është numri i krahasimeve të bëra deri në gjetjen e elementit të kërkuar. Në përgjithësi, për të gjetur një vlerë në një varg të pasortuar duhet shikuar nëpër elementet e vargut, një nga një, deri sa të gjindet vlera e kërkuar. Nëse vlera e kërkuar nuk ndodhet në varg, do të kalohet nëpër të gjitha vlerat e vargut. Mesatarisht, kompleksiteti i një algoritmi të tillë është proporcional me gjatësinë e vargut. Situata ndryshon dukshëm kur vargu është i sortuar. Nëse e dijmë se vargu është i sortuar, mundësia e qasjes së rastit mund të shfrytëzohet në mënyrë shumë efikase për të gjetur shumë shpejt vlerën e kërkuar. Kostoja e algoritmit të kërkimit zvogëlohet në logaritmin binar (logaritmin me bazë 2) të gjatësisë së vargut. Për referencë, log2(1,000,000) ≈ 20. Kjo do të thotë se, në rastin më të keq, algoritmi i bën 20 hapa, për të gjetur vlerën e kërkuar në vargun e sortuar prej 1 milion elementeve ose për të treguar që ajo nuk gjendet në varg. Pra, kërkimi i një liste të parenditur të të dhënave bëhet në mënyrë lineare, duke kërkuar prej fillimit të listës kah fundi i listës, deri sa të “takohet” elementi i kërkuar ose deri sa të arrihet në fund të listës dhe të arrihet në përfundimin se elementi i kërkuar nuk gjindet në listë. Kjo mënyrë e kërkimit njihet si kërkimi sekuencial. Nëse lista është e sortuar dhe e ruajtur në një strukturë të përshtatshme të të dhënaev, kërkimi mund të bëhet në mënyrë shumë më efikase. Kërkimi i listës së sortuar mundëson përgjysmimin e hapësirës së krahasimit (kërkimit), në çdo hap. Ky kërkim njihet si kërkimi binar.

Kërkimi sekuencial Kërkimi sekuencial, bën krahasimin e njëpasnjëshëm të të gjithë anëtarëve të listës, me anëtarin që kërkohet (cakun). Pseudokodi i këtij kërkimi është si vijon: KerkimiSekuencial( lista, caku, N ) //lista elementet në të cilat kërkohet caku //caku vlera e cila kërkohet

498

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave //N

numri i elementeve në listë

for i = 1 to N do if (caku = lista[i]) return i //lokacioni-pozita ku u gjet caku end if end for return 0;

Le të shqyrtojmë se sa kohë duhet për të gjetur elementin që i përshtatet çelësit të kërkimit (vlerës që kërkohet) në bashkësinë e elementeve. Ne jemi të interesuar për: a. kohën mesatare, b. kohën e rastit më të keq, dhe c. kohën e rastit më të mirë Sidoqoftë, në përgjithësi do të jemi më të brengosur për kohën e rastit më të keq, pasi që llogaritjet e bazuara në kohën e rastit më të keq mund të dërgojnë në parashikimet e performansës së garantuar. Për fat, koha e rastit më të keq në përgjithësi llogaritet më lehtë sesa koha e rastit mesatar. Nëse kemi n elemente në bashkësinë e kërkimit, çoftë ajo e ruajtur si varg ose si listë e lidhur, është e qartë se në rastin më të keq, kur asnjëri element në bashkësi nuk është me vlerën e kërkuar të çelësit, atëherë duhet të bëhen n krahasime të çelësit me elementet e bashkësisë. Për të thjeshtuar analizën e algoritmeve të krahasimit, kërkojmë operacionin dominant dhe numërojmë numrin e herave të kryerjes së operacionit dominant. Në rastin e kërkimit, operacioni dominant është operacioni i krahasimit, e pasi që në rastin më të keq kërkimi kërkon n krahasime, themi se është algoritëm i rendit O(n) (thuhet Big-O n). Rasti më i mirë, në të cilin krahasimi i parë kthen përputhje, kërkon një krahasim të vetëm dhe është O(1). Koha mesatare varet nga gjasa (probabiliteti) i gjetjes së çelësit në bashkësinë e vlerave, gjë që është diçka që nuk është e prithshme ta dijmë në shumicën e rasteve. Prandaj, në këtë rast, si në shumicën e të tjerave, vlerësimi i kohës mesatare është me dobi të vogël. Nëse performansa e sistemit është vitale, d.m.th., është pjesë e ndonjë sistemi kritik për jetë, atëherë në llogaritë për dizajn duhet të përdoret rasti më i keq, pasi që ai përfaqëson performansën më të mirë të mundhsme të garantuar.

499

Avni Rexhepi

Kërkimi binar Nëse elementet i vendosim në një varg dhe i sortojmë në renditje rritëse ose zbritëse së pari sipas çelësit, atëherë mund të përfitojmë performansë shumë më të mirë me algoritmin e kërkimit binar. Në kërkimin binar, caktohen vlerat e ‘kurfirit të poshtëm’ (vlera e parë), ‘kufirit të epërm’ (vlera e fundit) dhe ‘vlera e mesit’. Së pari krahasohet çelësi me elementin në pozitën e mesit të vargut. Nëse ka përputhje, d.m.th., elementi i kërkuar është gjetur, mund të kthejmë rezultatin dhe të përfundojmë kërkimin menjëherë. Nëse çelësi i kërkuar është më i vogël se çelësi i vlerës së mesit, atëherë elementi i kërkuar duhet të jetë në gjysmën e poshtme të vargut. Përndryshe, nëse është më i madh, atëherë elementi i kërkuar duhet të jetë në gjysmën e epërme të vargut. Në mënyrë të njëjtë e përsërisim në mënyrë rekurzive procedurën në gjysmën e poshtme (e epërme) të vargut. Çdo krahasim largon nga kërkimi i mëtejmë gjysmën e mbetur të vlerava, në secilin hap. Vazhdojmë duke përshtatur vlerat e kufijve të pjesës së mbetur për kërkim. KerkimiBinar(lista, caku, N ) //lista elementet në të cilat kërkohet caku //caku vlera e cila kërkohet //N numri i elementeve në listë kp = 1 //kp - kufiri i poshtem, fillimi ke = N //ke – kufiri i epërm, fundi while kp ≤ ke do mesi = (kp + ke) / 2 selekto (Krahaso(lista[mesi], caku)) nga case -1: kp = mesi + 1 case 0: return mesi case 1: ke = mesi - 1 end selekto //perfundo selektimin end while return 0

Pra, tiparet e kërkimit binar janë: a. kërkimi binar është rekurziv: ai përcakton nëse vlera e kërkuar ndodhet në gjysmën e poshtme ose të epërme të vargut dhe pastaj e thërret vetëveten për gjysmën përkatëse të mbetur. b. Kemi kushtin e ndërprerjes së kërkimit (në fakt dy!) i. Nëse ‘kufiri i poshtëm’ > ‘kufiri i epërm’, atëherë particioni që duhet kërkuar nuk ka më elemente në të (vlera nuk është gjetur), dhe ii. Nëse ka përputhje me elementin e pozitës së mesit të particionit aktual, atëherë mund të kthejmë rezutlatin menjëherë. 500

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Analiza: Do të marrim se vargu i elementeve është vargu A me n elemente: A[n]. Le të shënojmë me kp-kufiri i poshtëm, ke-kufiri i epërm, mesi-lokacioni në mes dhe vk-vlera e kërkuar (çelësi). Në fund, do të arrijmë në hapin kur vlera e kërkuar është e barabartë me vlerën në kufirin e epërm ose të poshtëm (d.m.th., vlera gjindet në varg) ose kur kufiri i poshtëm bëhet më i madhe se kufiri i epërm (d.m.th., vlera nuk gjinder në varg fare). Shihet, se në secilin hap të krahasimit, numri i vlerave për krahasim përgjysmohet. A[n]; n elemente

kp

vk
ke

mesi

~n/2 elemente

vk>A[mesi]

~n/4 elemente

kp

mesi

log2n hapa

ke

* * *

vk=A[mesi] kp ke mesi

Fig. x – Kërkimi binar Secili hap i algoritmit e ndanë bllokun e elementeve që kërkohen në gjysmë. Bashkësinë e n elementeve mund ta përgjysmojmë më së shumti log2 n herë. Prandaj, koha e ekzekutimit të kërkimit është proporcionale me log n dhe themi se ky algoritëm është i rendit O(log n). Kjo do të thotë se numri maksimal i kërkimeve për vargun me 1 milion elemente është më pak se 20 (pasi që 220>1 milion).

501

Avni Rexhepi

Fig. x – Shkalla e rritjes për funksionet lineare dhe llogaritmike Kërkimi binar për numër të vogël të vlerave të hyrjes, n, mund të ekzekutohet më ngadal se algoritmi i thjeshtë linear, mirëpo për vlera të mëdha të n-it, log n 0 n  n

lim

Prandaj, për n të madh, log n është shumë më i vogël se n, kështu që algoritmi O(log n) është shumë më i shpejtë sesa ai O(n). Sa i përket insertimit, në rastin më të keq, insertimit mund të kërkoj n operacione për të insertuar një vlerë në listën e sortuar. 1. Mund të gjejmë vendin në listë ku duhet të vendoset elementi i ri, duke përdorur kërkimin binar me O(log n) opearcione. 2. Mirëpo, për t’i bërë vend nyjes së re duhet të zhvendosim të gjitha elementet për nga një vend. Në rastin më të keq, elementi i ri është ai që duhet të vendoset në pozitën e parë në listë, gjë që kërkon n operacione të lëvizjes/zhvendosjes. Analiza e ngjashme do të tregojë që edhe fshirja/largimi është operacion i rendit O(n). Nëse koleksioni është statik, d.m.th., nuk ndryshon shpesh madhësia e tij, atëherë mund të mos jemi të brengosur me kohën e kërkuar për ndryshimin e përmbajtjes së tij dhe mund të jemi të përgatitur për ndërtimin fillestar të koleksionit me ndonjë fshirje ose insertim të rastit që do të merr kohë. Në anën tjetër, do të jemi në gjendje të përdorim një strukturë të thjeshtë të të dhënave (një varg) që ka mbingarkesë të vogël memorike. 502

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Mirëpo, nëse koleksioni është i madh dhe dinamik, d.m.th., elementet insertohen dhe fshihen vazhdimisht, atëherë performansë më e mirë arrihet duke përdorur strukturën e pemës.

Analiza e algoritmit të kërkimit binar Algoritmi është krejt i thjeshtë. Mund të bëhet në mënyrë rekurzive ose iterative: 1. Gjeje elementin e mesit; 2. Nesë elementi i mesit është i barabartë me vlerën e kërkuar, algoritmi ndalet; 3. Përndryshe, janë të mundshme dy raste: o Vlera e kërkuar është më e vogël sesa elementi i mesit. Në këtë rast, shko në hapin 1 për pjesën e vargut para elementit të mesit (gjysmën e përparme të vargut). o Vlera e kërkuar është më e madhe, sesa elementi i mesit. Në këtë rast, shko në hapin 1 për pjesën e vargut pas elementit të mesit (gjysmën e pasme të vargut). Tani duhet të definojmë, kur duhet të ndalen iteracionet (përsëritjet). Rasti i parë është kur elementi i kërkuar gjendet. Rasti i dytë është kur nënvargu nuk ka më elemente. Në këtë rast, mund të konkludojmë që vlera e kërkuar nuk është prezente në varg.

Shembuj Shembulli 1. Gjejeni vlerën 6 në {-1, 5, 6, 18, 19, 25, 46, 78, 102, 114}. Hapi 1 (elementi i mesit është 19 > 6):

-1 5 6 18 19 25 46 78 102 114

Hapi 2 (elementi i mesit është 5 < 6):

-1 5 6 18 19 25 46 78 102 114

Step 3 (elementi i mesit është 6 == 6):

-1 5 6 18 19 25 46 78 102 114

Shembulli 2. Gjejeni vlerën 103 në {-1, 5, 6, 18, 19, 25, 46, 78, 102, 114}. Hapi 1 (elementi i mesit është 19 < 103): -1 5 6 18 19 25 46 78 102 114 Hapi 2 (elementi i mesit është 78 < 103): -1 5 6 18 19 25 46 78 102 114 Hapi 3 (elementi i mesit është 102 < 103): -1 5 6 18 19 25 46 78 102 114 Hapi 4 (elementi i mesit është 114 > 103): -1 5 6 18 19 25 46 78 102 114 Hapi 5 (vlera e kërkuar 1 5 6 18 19 25 46 78 102 114

mungon

(nuk

është

prezente)):

503

Avni Rexhepi

Analiza e kompleksitetit Përparësi shumë e madhe e këtij algoritmi është se kompleksiteti i tij varet logaritmikisht nga madhësia e vargut, në rastin më të keq. Në praktikë, kjo do të thotë që algoritmi do të bëjë më së shumti log2(n) iteracione, që është numër shumë i vogël edhe për vargjet e mëdha. Kjo mund të vërtetohet shumë thjeshtë. Në të vërtetë, në secilin hap, madhësia e pjesës së kërkuar zvogëlohet përgjyshmë. Algoritmi ndalet kur nuk ka më elemente për të kërkuar. Prandaj, zgjidhja e inekuacionit vijues për numra të plotë: n / 2iteracione > 0 rezulton në iteracione <= log2(n). Kjo do të thotë që, kompleksiteti kohorë i algoritmit të kërkimit binar është O(log2(n)).

Pjesë kodi Zgjidhja me rekursion dhe ajo iterative.

Me rekursion: /* kërkon vlerën në vargun e sortuar * * array – vargu ku kërkohet vlera * value – vlera që kërkohet * left - indeksi i kufirit të majtë * right – indeksi i kufirit të djathtë * return – kthen pozitën e vlerës së kërkuar, nëse ajo ndodhet * në varg, ose -1, nëse ajo nuk ndodhet fare në varg */ int kerkimiBinar(int[] array, int value, int left, int right) { if (left > right) return -1; int middle = (left + right) / 2; if (array[middle] == value) return middle; else if (array[middle] > value) return kerkimiBinar(array, value, left, middle - 1); else return kerkimiBinar(array,value,middle+1, right); }

504

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Me iteracione: /* * kërkon vlerën në vargun e sortuar array * arr – vargu ku kërkohet vlera * value – vlera që kërkohet * left - indeksi i kufirit të majtë * right – indeksi i kufirit të djathtë * return - kthen pozitën e vlerës së kërkuar, nëse ajo ndodhet * në varg, ose -1, nëse ajo nuk ndodhet fare në varg */ int kerkimiBinar(int arr[], int value, int left, int right) { while (left <= right) { int middle = (left + right) / 2; if (arr[middle] == value) return middle; else if (arr[middle] > value) right = middle - 1; else left = middle + 1; } return -1; }

505

Avni Rexhepi

Algoritmi për bashkim të vargjeve të sortuara Në vijim do të shohim algoritmin për bashkimin (angl. merge-bashkim, shkrirje) e dy vargjeve të sortuara, i cili ndihmon në operimin me disa vargje dhe kontrollimin e indekseve read/write (lexo/shkruaj). Gjithashtu, ky algoritëm përdoret në disa aplikacione praktike, si për shembull “merge sort”-i (sorti i bashkimit/shkrirjes).

Algoritmi i bashkimit - Merge algoritmi Supozojmë se të dy vargjet që duhet bashkuar janë të sortuara në renditje rritëse dhe dëshirojmë që vargu rezultues të ruaj të njëjtën renditje. Algoritmi për bashkimin e dy vargjeve A[0..m-1] dhe B[0..n-1] në një varg C[0..m+n-1] është si në vijim: 1. Prezento indekset e “leximit” (read-indices) i, j për të përshkuar vargjet A dhe B. 2. Prezento indeksin për “shkruarje” (write-index) k për të ruajtur pozitën e celulës së parë të lirë në vargun rezultues. Në fillim i = j = k = 0. 3. Në secilin hap: nëse të dy indekset janë në rangun (i < m dhe j < n), zgjedhe minimumin prej (A[i], B[j]) dhe shkruaje atë në C[k]. Përndryshe shko në hapin 4. 4. Rrite k-në dhe indeksin e vargut në të cilin u gjet minimumi, për një. Përsërite hapin 2. 5. Kopjo pjesën e mbetur nga vargu, indeksi i të cilit akoma është në rang, në vargu rezultues (d.m.th, nëse njëri varg është përfunduar, pjesa e mbetur e tjetrit vetëm vetëm kopjohet)

Përmirësimet Algoritmi mund të përmirësohet në shumë mënyra. Për shembull, është e arsyeshme të verifikohet, nëse A[m - 1] < B[0] ose B[n - 1] < A[0]. Në cilindo prej këtyre rasteve, nuk ka nevojë të bëhen të tjera krahasime. Algoritmi mundet vetëm të kopjojë vargjet fillestare në vargun rezultues në renditjen e duhur. Plotësim më i komplikuar do të ishte kërkimi për pjesët që mund të “shtresohen”(”gërshetohen”) dhe ekzekutimi i algoritmit të bashkimit vetëm për to. Do të mund të kursehet shumë kohë, kur madhesitë e vargjeve të bashkuara dallojnë në llogari të kohës.

Analiza e kompleksitetit Kompleksiteti kohor i algoritmit të bashkimit është O(n + m). Për më tepër, ai kërkon hapësirë shtesë O(n + m) për të ruajtur vargun rezultues.

506

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Pjesë kodi // m – madhesia e A // n - madhesia e B // madhesia e vargut C duhet te jete baraz ose me e madhe se m + n void merge(int m, int n, int A[], int B[], int C[]) { int i, j, k; i = 0; j = 0; k = 0; while (i < m && j < n) { if (A[i] <= B[j]) { C[k] = A[i]; i++; } else { C[k] = B[j]; j++; } k++; } if (i < m) { for (int p = i; p < m; p++) { C[k] = A[p]; k++; } } else { for (int p = j; p < n; p++) { C[k] = B[p]; k++; } } }

507

Avni Rexhepi Algoritmet teorike-numerike

Testimi i numrave primar (qasja naive) Testimi i numrit se a është primar, është një detyrë e rëndësishme në shkencat kompjuterike. Në të shumtën e rasteve, numrat primar përdoren në algoritmet e kriptografisë së çelësave publik (angl. public key cryptography algorithms). Gjithashtu ka edhe aplikacione për hash tabelat dhe gjeneratorët e numrave pseudorandom (pseudo të rastit). Ka dy tipe të algoritmeve për tëstim të numrit primar: deterministik dhe probabilistik. Në të vërtetë, ka shumë algoritme të verifikimit se a është numri primar. Në vazhdim do të paraqesim qasjen më naive, të quajtur “trial division” (ndarja me provë) dhe modifikimet e saj.

Çka janë numrat primar? Numër primar është numri i cili plotëpjestohet me vetëm dy numra natyral, 1 dhe vetveten. Qasja më naive që të vërtetohet se a është numri primar, është duke përcjellur definicionin. Algoritmi për të verifikuar numrin a është a primar:  



Nëse numri është 1, kthe “false” (return false); Përndryshe, për të gjithë numrat e plotë m, prej 2 deri në n-1, verifiko nëse n është i plotpjestueshëm me m. Nëse është i plotpjestueshëm, atëherë n është numër i përbërë (jo primar); Nëse nuk është gjetur asnjë pjestues, atëherë mund të përfundojmë se n është primar.

Vërejtje. Numri 1 nuk është numër primar, sepse nuk e plotëson definicionin!

Përmirësimi i mundëshëm i algoritmit Si mund të përmirësohet kjo qasje e thjeshtë? Së pari le të vëmë re se mund të verifikojmë pjesëtuesit më të vegjël ose baraz se rrënja katrore e n-it. Pason prova. Formulim. Nësë n ka plotëpjestuesin d (1
508


Një përmirësim tjetër Duhet theksuar edhe një përmirësim. Supozojmë se n është numër çift (2 nuk është plotëpjestues). Nëse n nuk është i plotëpjestueshëm me 2, atëherë ai nuk është i plotëpjestueshëm fare (në tërësi) me asnjë numër tjetër çift. Algoritmi, pas këtyre dy përmirësimeve, duket si vijon:    

Nëse numri është 1, kthe “false” (return false); Nëse numri është 2, kthe “false”; Nëse numri është çift, kthe “false”; Përndryshe, për të gjithë numrat e plotë tek m prej 3 deri te √n, verifiko nëse n është i plotpjestueshëm me m. Nëse është, atëherë n është numër i përbërë;  Nëse nuk është gjetur asnjë pjestues, atëherë përfundojmë se n është primar. Përgjithësim i kësaj ideje është kur algoritmi verifikon vetëm plotëpjestuesit primar.

Analiza e kompleksitetit Duke supozuar që plotpjestueshmëria e dy numrave është operacion njësi (gjë që nuk është korrekte për numrat e mëdhënj), kompleksiteti i algoritmit është O(√n). (Përmirësimi i fundit e ndryshon vetëm konstanten). Kur të verifikohen vetëm plotpjestuesit primar, kompleksiteti i algoritmit bëhet O(√n / ln(n)). Aplikimi kryesor i numarve primar është kriptografia, e cila pret nga ne gjenerimin e numrave primar me qindra shifra. Me sa duket, algoritmi nuk do t’i verifikojë numrat rreth 10100 në kohë të arsyeshme. Megjithatë, algoritmi aplikohet në praktikë për të bërë “para-verifikimin” (angl. “pre-check”). Numri shumë i madh që testohet se a është primar, kontrollohet se a është i plotpjestueshëm me një milion primarët e parë. Nëse nuk është gjetur asnjë plotpjestues, atëhere përdoren algoritmi probabilistik.

100 numrat e parë primar 2 31 73 127 179 233 283 353 419 467

3 37 79 131 181 239 293 359 421 479

5 41 83 137 191 241 307 367 431 487

7 43 89 139 193 251 311 373 433 491

11 47 97 149 197 257 313 379 439 499

13 53 101 151 199 263 317 383 443 503

17 59 103 157 211 269 331 389 449 509

19 61 107 163 223 271 337 397 457 521

23 67 109 167 227 277 347 401 461 523

29 71 113 173 229 281 349 409 463 541

509

Avni Rexhepi Pjesë kodi bool isPrime(int number) { if (number == 1) return false; if (number == 2) return true; if (number % 2 == 0) return false; for (int d = 3; d <= (int)sqrt((double)number); d++) if (number % d == 0) return false; return true; }

Sita e Eratostenit (Sieve of Eratosthenes) Sita e Eratostenit, përdoret për të gjetur numrat primar deri tek një numër i plotë i caktuar, n. Sigurisht që duke përdorur ndonjë qasje, mund të testojmë të gjithë numrat në rangun prej 2 deri në n se a janë primar, mirëpo kjo është shumë joefikase. Sita e Eratostenit është një algoritëm i thjeshtë për gjetjen e numrave primar. Megjithëse në kohën e sotme ekzistojnë algoritme edhe më të mira, sita e Eratostenit është një shembull shumë i mirë i qasjes me sitë. 1. Eratosteni (Eratosthenes of Cyrene) ishte matematikan, gjeograf, poet, astronom dhe teoricient i muzikës, ishte grek i lindur në vitin 276 para erës sonë në Cyrene, Shahhat, të Libisë dhe i vdekur në vitin 194 p.e.s, në Aleksandri, Egjipt. Ishte studiues i ditur dhe ishte bërë drejtor i Librarisë së Aleksandrisë. Algoritmi Së pari, algoritmi kërkon vargun e bitave isComposite (ështëIPërbërë) për të ruajtur n - 1 numrat: isComposite[2 .. n]. Fillimisht, vargu përmbanë zero (0) në të gjitha celulat (pozitat). Gjatë punës së algoritmit, numrat, të cilët mund të reprezentohen si k * p, ku k ≥ 2, dhe p është primar, shënohen si numra të përbërë, duke shkruar “1” në celulat gjegjëse (përkatëse). Algoritmi përbëhet prej dy unazave të ndërthurrura: e jashtme, e cila kërkon numrat e pa-shënuar (primar) dhe e brendshme, e cila i shënon shumëfishet e numrave primar, si të përbërë. 

510

Për të gjithë numrat m: 2 .. n, nëse m është i pashënuar: o shtoje m në listën e numrave primar; o shëno të gjithë shumëfishet e tij, më të vegjël ose baraz me n (k * m ≤ n, k ≥ 2);

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave 

Përndryshe, nëse m është shënuar, atëherë ai është numër i përbërë.

Modifikimi Vëreni që algoritmi mund të fillojë shënimin e shumëfisheve duke filluar nga katrori i numrit të gjetur si i pashënuar. Vërtetë, Për m = 2, algoritmi shënon: 2 * 2

3 * 2

4 * 2

5 * 2

6 * 2

7 * 2

...

Për m = 3, 2 * 3

Veç ka qenë i shënuar në hapin m = 2. Për m = 5, 2 * 5

3 * 5

4 * 5 (= 10 * 2)

Veç janë shënuar në hapat m = 2 dhe m = 3. Pa dhënë provën e fortë, mund ta provoni lehtë. Algoritmi i modifikuar është si vijon: 

 

Për të gjithë numrat m: 2 ... √n, nëse m është i pashënuar: o shtoje m në listën e numrave primar; o shëno të gjithë shumëfishet e tij, duke filluar nga katrori, më të vegjël ose baraz me n (k * m ≤ n, k ≥ m); Përndryshe, nëse m është shënuar, atëherë ai është numër i përbërë; Verifiko të gjithë numrat në rangun √n .. n. Të gjithë numrat e mbetur të pashënuar janë numra primar. Shtoji në listën e numrave primar.

Shembull Apliko sitën e Eratostenit për gjetjen e numrave primar nga 2 deri në 100.

511

Avni Rexhepi Rrjeta integrale

2 ështër primar, shëno të gjitha shumëfishet e 2, duke filluar nga 4

512

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave 3 ështër primar, shëno të gjitha shumëfishet e 3, duke filluar nga 9

5 ështër primar, shëno të gjitha shumëfishet e 5, duke filluar nga 25

513

Avni Rexhepi 7 ështër primar, shëno të gjitha shumëfishet e 7, duke filluar nga 49

112 është më shumë (më i madh) sesa 100, kështu që të gjithë numrat e pashënuar, janë primar

514

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Rezultati përfundimtar:

Analiza e kompleksitetit Kompleksiteti llogaritës i algoritmit është O(nlog(log(n))). Vërtetësia e këtij fakti është e bazuar në disa përafrime dhe në teorinë e numrave primar. Kompleksiteti hapësinor është O(n). Aktualisht, në hardverin modern, algoritmi do të tejkalojë shumë më shpejtë kufizimet për nga memoria sesa që do të tejkalojë kohën. Pjesë kodi void runEratosthenesSieve(int upperBound) { int upperBoundSquareRoot=(int)sqrt((double)upperBound); bool *isComposite = new bool[upperBound + 1]; memset(isComposite, 0, sizeof(bool) * (upperBound + 1)); for (int m = 2; m <= upperBoundSquareRoot; m++) { if (!isComposite[m]) { cout << m << " "; for (int k = m * m; k <= upperBound; k += m) isComposite[k] = true;

515

Avni Rexhepi } } for (int m=upperBoundSquareRoot; m<=upperBound; m++) if (!isComposite[m]) cout << m << " "; delete [] isComposite; }

516


9. Algoritmet e sortimit Dy prej operacioneve më të performuara në të dhënat e ruajtura në kompjuter, që nga krijimi i kompjuterit e deri më sot, janë sortimi dhe kërkimi. Prandaj, këto dy operacione janë edhe më të studiuarat nga shkencat kompjuterike. Algoritmi i sortimit është një algoritëm i cili renditë elementet e një liste. Renditjet më të shpeshta janë: renditja numerike dhe renditja alfabetike. Elementet mund të renditën në mënyrë rritëse apo zvogëluese. Shumica e të dhënave me të cilat punojmë janë të sortuara. Për shembull, definicionet e ndryshme nëpër fjalorë mund t’i gjejmë të sortuara sipas alfabetit, numrat e telefonave i gjejmë të sortuara sipas radhitjes alfabetike të emrave. Poashtu, edhe letrat postare sortohen në disa mënyra: sipas zip kodit, sipas rrugës dhe në fund sipas emrit. Sot ekzistojnë shumë algoritme të sortimit. Ato kanë veti të ndryshme. Në bazë të vetive të tyre, ato mund të konsiderohen si më shumë apo më pak efektive se ndonjë algoritëm tjetër për sortim. Secili algoritëm vepron ndryshe në raste të ndryshme. Disa punojnë më shpejt në një listë të caktuar, por më ngadalë në një listë tjetër. Prandaj, për secilin algoritëm duhet të analizohen tri raste: rasti më i mirë, rasti më i keq dhe rasti mesatar. Rasti më i mirë për një algoritëm të sortimit është kur algoritmi kryen më së paku punë dhe njëkohësisht sortohet lista. Me më së paku punë nënkuptohet numri minimal i krahasimeve dhe shkëmbimeve të vendeve të elementeve që i nevojitet algoritmit për të sortuar listën. Në këtë rast, algoritmi është më i shpejt se në cilindo rast tjetër, pasi që kryen më pak punë. E kundërta e rastit më të mirë është rasti më i keq. Në këtë rast analizohet se maksimalisht sa krahasime dhe shkëmbime vendesh i nevojiten algoritmit për t’a sortuar listën. Në këtë rast, algoritmi kërkon më së shumti kohë për t’a sortuar listën. Rast mesatar për një algoritëm të sortimit konsiderohet të jetë atëherë kur pas disa krahasimeve dhe shkëmbime vendesh, lista të përfundoj sortimin. Rasti më i mirë dhe më i keq ka më pak gjasa të ndodhin në një listë të rastësishme. Prandaj, rasti mesatar ka rëndësi të madhe që të analizohet. Përveç shpejtësisë dhe kohës që kërkon algoritmi, duhet të analizohet edhe hapësira memorike që zë algoritmi. Meqë hapësira memorike është e kufizuar, për t’u konsideruar një algoritëm më efektiv duhet të zë sa më pak hapësirë. Disa algoritme zënë më pak hapësirë memorike e disa shumë më shumë. Në këtë mënyrë, algoritmet e sortimit mund të klasifikohen sipas: kompleksitetit të krahasimeve të elementeve, kompleksitetit të shkëmbimeve të vendeve, 517

Avni Rexhepi hapësirës memorike, rekurzivitetit (disa algoritme janë rekurzive e disa jo), krahasimit (disa i krahasojnë elementet e disa jo), metodës së përgjithshme (insertimi, shkëmbimi, selektimi, shkrirja), etj.

Bubble Sort Sorti Bubble (angl. bubble-fluskë (theksohet: babëll)) është algoritmi më i thjeshtë dhe i mirënjohur i sortimit. Përdoret rrallë në praktikë, por përdorimi kryesor i tij është më shumë si mjet shkollor që të bëjë prezentimin e algoritmeve të sortimit. Sorti Bubble i takon grupit të algoritmeve të sortimit të rendit O(n2), që e bën shumë joefikas për srotimin e vëllimit të madh të vlerave të të dhënave. Sorti Bubble është stabil dhe adaptiv (angl. stable-stabil, kështu njihen sortet të cilat për vlerat e njëjta, i ruajnë renditjet fillestare të pozitave (majtas, djathtas) në raport me njëra tjetrën; angl. adaptive – adaptive, që përshtaten, kështu njihen sortet të cilat gjatë shkëmbimeve, në rrugë e sipër, e përmirësojnë situatën duke e përafruar renditjen përfundimtare, pra pas një shkëmbimi, vlera i afrohet më shumë pozitës përfundimtare).

Algoritmi 1. Krahaso secilin çift të elementeve fqinje duke filluar nga fillimi i vargut dhe nëse janë në renditje të kundërt, shkembeji vendet/pozitat e tyre (angl. Swap-shkëmbim, ujdi). 2. Nëse ka ndodhur së paku një shkëmbim i vendeve, përsërite hapin 1. Në secilin hap, “fluskat” e mëdha pluskojnë në sipërfaqe dhe mbesin atje. Në hapin kur nuk lëvizë më asnjë fluskë, sortimi ndalon. Përmes shembullit në vijim, do të sqarohet më mirë idea e sortit bubble. Shembull. Sortoni vargun {5, 1, 12, -5, 16} duke përdorur sortin bubble.

518


Analiza e kompleksitetit Kompleksiteti i rastit mesatar dhe më të keq të sortit buble është i rendit O(n2). Gjithashtu, i bën O(n2) shkëmbime në rastin më të keq. Sorti bubble është adaptiv. Kjo do të thotë, që për vargun pothuajse të sortuar, jep një vlerësim O(n). Evitoni zbatimet të cilat nuk e verifikojnë nëse vargu është i sortuar në secilin hap (në secilin shkëmbim të bërë). Ky verifikim është i nevojshëm, në mënyrë që të ruhet tipari i adaptivitetit.

519

Avni Rexhepi

Breshkat dhe lepujt Një problem tjetër i sortit bubble është se koha e tij e ekzekutimit është shumë e varur nga renditja fillestare e elementeve të vargut. Elementet e mëdha (lepujt) shkojnë përpjetë shpejtë, gjersa ato të voglat (breshkat) shkojnë teposhtë shumë ngadale. Ky problem është zgjidhur në sortin “Cocktail”. Shembull i breshkës. Edhe pse vargu {2, 3, 4, 5, 1} është pothuajse i sortuar, ai merr nevojiten O(n2) iteracione për të sortuar vargun. Elementi {1} është breshkë.

520


Shembull i lepurit. Vargu {6, 1, 2, 3, 4, 5} është poashtu, pothuajse i sortuar, por ky merr O(n) iteracione për t’u srotuar. Elementi {6} është lepuri. Ky shembull demonstron vetinë adaptive të sortit bubble.

521

Avni Rexhepi Pjesë kodi Ka disa mënyra të implementimit të sortit bubble. Vëreni se verifikimi për "sëaps" (shkëmbime) është absolutisht i nevojshëm, për të ruajtuar vetinë adaptive. //swapped=shkëmbyer (nderrim vendesh) void bubbleSort(int arr[], int n) { bool swapped = true; int j = 0; int tmp; while (swapped) { swapped = false; j++; for (int i = 0; i < n - j; i++) { if (arr[i] > arr[i + 1]) { tmp = arr[i]; arr[i] = arr[i + 1]; arr[i + 1] = tmp; swapped = true; } } } }

Selection Sort Sorti i selektimit është një prej algoritmeve O(n2) të sortimit, gjë që e bën tërësisht të papërshtatshëm për sortim të numrit të madh të të dhënave. Sorti i selektimit është i shquar për thjeshtësinë e tij të programimit dhe mund të performojë më mirë sesa sortet e tjera në disa situatat të caktuar.

522


Algoritmi Idea e algoritmit të “selection sort”-it është mjaft e thjeshtë. Vargu ndahet në mënyrë imagjinare në dy pjese: pjesa e sortuar dhe ajo e pasortuar. Në filllim, pjesa e sortuar është “empty” (e zbrazët), gjersa pjesa e pasortuar, e parmbanë tërë vargun. Në secilin hap, algoritmi e gjenë vlerën minimale në pjesën e pasortuar dhe e shton atë në fund të pjesës së sortuar. Kur pjesa e pasortuar të bëhet zbrazet (bëhet “empty”), algoritmi ndalet. Kur algoritmi sorton vargun, ai e shkëmben elementin e parë të pjesës së pasortuar me elementin minimal dhe atëherë ai përfshihet (vendoset, futet) në pjesën e sortuar. Sorti i selektimit nuk është stabil. Në rast se sortohet lista e lidhur dhe në vend të shkëmbimit, elementi minimal lidhet në pjesën e pasortuar, sorti i selektimit është stabil. Shembulli vijues i sortimit të vargut e ilustron idenë e sortit të selektimit. Shembull. Sortoni vargun {5, 1, 12, -5, 16, 2, 12, 14} duke përdorur “selection sort”-in.

523

Avni Rexhepi

Analiza e kompleksitetit Sorti i selektimit ndalet kur pjesa e pasortuar bëhet e zbrazët. Si dihet, në secilin hap, numri i elementeve të pasortuara zvogëlohet për një. Prandaj, sorti i selektimit i bën n hapa (n – numri i elementeve në varg) në unazën e jashtme, para se të ndalet. Në seciln hap të unazës së jashtme, kërkohet gjetja e minimumit të pjesës së pasortuar. Duke mbledhur n + (n - 1) + (n - 2) + ... + 1, fitojmë numrin e krahasimeve O(n2). Numri i shkëmbimeve mund të ndryshojë prej zero (në rastin e vargut të sortuar) deri në n-1 (nëse vargu është i sortuar në kahjen e kundërt), gjë që rezulton në numrin O(n) të shkëmbimeve. Kompleksiteti i përgjithshëm i algoritmit është O(n2). Fakti që sorti i selektimit kërkon numrin prej më së shumti n-1 shkëmbimeve, e bën atë shumë efikas në situatat kur operacioni “write” (shkruaj) është dukshëm më i kushtueshëm sesa operacioni “read” (lexo). 524

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Pjesë kodi void selectionSort(int arr[], int n) { int i, j, minIndex, tmp; for (i = 0; i < n - 1; i++) { minIndex = i; for (j = i + 1; j < n; j++) if (arr[j] < arr[minIndex]) minIndex = j; if (minIndex != i) { tmp = arr[i]; arr[i] = arr[minIndex]; arr[minIndex] = tmp; } } }

Insertion Sort Sorti i insertimit, i takon grupit të algoritmeve të sortimit O(n2). Për dallim prej shumë algoritmeve të sortimit me kompleksitet kuadratik, ky aplikohet në praktikë për sortimin e vargjeve të vogla të të dhënave. Për shembull, përdoret për të përmirësuar rutinën e quicksort-it. Algoritmi i sortimit “përdoret” gjatë renditjes së letrave, në lojën e letrave.

Algoritmi Algoritmi i sortit të insertimit i përngjanë algoritmit të sortit të selektimit. Vargu ndahet në dy pjesë imagjinare – pjesa e sortuar dhe ajo e pasortuar. Në fillim, pjesa e sortuar e përmbanë elementin e parë të vargut, kurse pjesa e pasortuar elementet tjera. Në secilin hap, algoritmi i merr elementin e parë të pjesës së pasortuar dhe e inserton në vendin e duhur të pjesës së sortuar. Kur pjesa e pasortuar të bëhet e zbrazët (“empty”), algoritmi ndalet. Ilustrimi i një hapi të algoritmit të sortimit me insertim, duket si vijon: 525

Avni Rexhepi

bëhet

Le të shohim një shembull të sortit të insertimit, për të pasur më të qartë idenë e algoritmit. Shembull. Sortoni {7, -5, 2, 16, 4} duke përdorur sortin “insertion”.

526


Idetë e insertimit Operacioni kryesor i algoritmit është insertimi. Detyra është të insetohet vlera në pjesën e sortuar të vargut. Kjo mund të bëhet në disa mënyra. "Sifting down" - shoshitja teporshtë duke përdorur shkëmbimet Mënyra më e thjeshtë për të insertertuar elementin e ardhshëm në pjesën e sortuar është që të shoshitet teposhte (kah vlerat e vogla), gjersa të zërë vendin e duhur. Fillimisht elementi qëndron djathtas, pas pjesës së sortuar. Në secilin hap, algoritmi krahason elementin me atë para tij dhe nëse janë në renditje të kundërt, i shkëmben (ua ndërron vendet, pozitat), si në vijim:

527

Avni Rexhepi

Kjo qasje, i “shkruan” shumë herë elementet e shoshitura në pozitat e përkoshme. Implementimi vijues, i eliminon këto “shkruarje” të panevojshme.

Shiftimi në vend të shkëmbimit Algoritmi paraprak mund të modifikohet, ashtu që të shkruaj elementet e shoshitura, vetëm në pozitën e tyre të duhur përfundimtare, pozitën finale, si në vijim:

Kjo është mënyra e përdorur më së shpeshti e sortit të insertimit.

Duke përdorur kërkimin binar Është e arsyeshme që të përdoret algoritmi i kërkimit binar, për të gjetur vendin e duhur për insertim. Ky variant i sortit të insertimit, quhet sorti binar i insertimit. Pasi të jetë gjetur pozita për insertim, algoritmi e zhvendosë (shifton) pjesën e vargut dhe e inserton elementin. Kjo mënyrë ka numër më të vogël të krahasimeve, por kompleksiteti mesatar i përgjithshëm mbetet O(n2). Nga 528

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave këndveshtrimi praktik, ky përmirësim nuk është i rëndësishëm, sepse sorti i insertimit përdoret në bashkësi mjaft të vogla të të dhënave.

Analiza e kompleksitetit Kompleksiteti i përgjithshëm i sortit të insertimit është mesatarisht O(n2), pavarësisht prej metodës së insertimit. Në vargun pothuajse të sortuar, sorti i insertimit shfaqë performansë më të mirë, mesatarisht deri në O(n), por numri i krahasimeve mund të ndryshojë varësisht prej algoritmit të insertimit. Ai është O(n2) kur kur përdoret metoda e shiftimit ose e shkëmbimit dhe O(n log n) për sortin binar të insertimit. Nga këndveshtrimi i aplikacionit praktik, një kompleksitet mesatar i sortit të insertimit nuk është aq i rëndësishëm. Si u theksua edhe më parë, sorti insertion aplikohet për bashkësi të vogla të të dhënave (8 deri 12 elemente), prandaj së pari duhet të mirret në konsiderim një “performansë praktike”. Në praktikë, sorti i insertimit performom më mirë se shumica e algoritmeve kuadratike të sortimit, si sorti i selektimit dhe sorti bubble.

Tiparet e sortit “Insertion”    

adaptiv (performansa adaptohet me renditjen fillestare të elementeve); stabil (ruan renditjen relative të elementeve të njëjta); in-place (angl. in place – në vend) kërkon madhësi konstante të hapësirës shtesë); online (elementet e reja mund të shtohen gjatë sortimit).

(Sqarim: sortet të cilat mund të sortohen përbrenda hapësirës memorike që e kanë para sortimit, do të thotë që sortohen në vendin ku janë vlerat, njihen si “in-place” – “në vend”, për dallim prej atyre që kërkojnë hapësirë shtesë memorike, për të vendosur përkohësisht vlerat që duhet sortuar, për të bërë krahasimin e tyre, rirenditjen, etj, e që thuhet së nuk janë “in-place”). Pjesë kodi Do të paraqitet idea e sortimit me shiftime dhe ajo me shkëmbime: //me shiftim void insertionSort(int arr[], int length) { int i, j, newValue; for (i = 1; i < arr.length; i++) { newValue = arr[i]; j = i; while (j > 0 && arr[j - 1] > newValue) { arr[j] = arr[j - 1];

529

Avni Rexhepi j--; } //me shkëmbime(swaps) void insertionSort(int arr[], int length) { int i, j, tmp; for (i = 1; i < length; i++) { j = i; while (j > 0 && arr[j - 1] > arr[j]) { tmp = arr[j]; arr[j] = arr[j - 1]; arr[j - 1] = tmp; j--; } } }

Quicksort Quicksort (angl. quick – i shpejtë), është algoritëm i shpejtë i sortimit, i cili përdoret jo vetëm për qëllime shkollore, por është edhe shumë i përdorur në praktikë. Në rastin mesatar, ka kompleksitetin O(n log n), që e bën quicksort-in të përshtatshëm për sortimin e vëllimeve të mëdha të të dhënave (numrin e madh të vlerave, elementeve). Idea e algoritmit është mjaft e thjeshtë dhe kur të kuptohet qartë, mund të shkruhet poaq shpejtë sa edhe sorti bubble. Algoritmi Për sortin e shpejtë përdoret strategjia “përçaj e sundo” (angl. “divide-andconquer”). Këtu përshkruhet hapi i rekurzionit: 1. Zgjedhni vlerën pivot. (angl. pivot-qendër, bosht). Marrim vlerën e elementit në mes si vlerë pivot (mirëpo mund të mirret edhe cilado vlerë që ndodhet në brezin/rangun e vlerave që sortohen, edhe nesë nuk është prezente në varg). 2. Ndarja (Particioni). Rivendosni (rirreshtoni) elementet ashtu që, vlerat më të vogla se pivoti shkojnë në pjesë (anën) e majtë dhe të gjitha elementet më të mëdha se pivoti, shkojnë në pjesën e djathtë të vargut. Vlerat e barabarta me pivotin mund të rrijnë në cilëndo anë. Vëreni se vargu mund të ndahet në pjesë jo të barabarta. 3. Sortoni të dy pjesët. Apliko quicksort-in në mënyrë rekurzive në pjesën e majtë dhe në pjesën e djathtë.

530


Algoritmi i ndarjes Janë dy indeksa, i dhe j, në fillim të algoritmit të ndarjes (angl. part-pjesë, copë; partition-ndarje, copëtim, prandaj ndonjëhere edhe në shqip thuhet “particioni”). Indeksi i pointon në elementin e parë të vargut dhe j pointon në elementin e fundit. Pastaj, algoritmi e lëvizë indeksin i përpara (te lartë, djathtas), gjersa të gjindet një element me vlerë më të madhe ose baraz me pivotin. Indeksi j lëvizë prapa (te poshtë, majtas) gjersa të gjindet një element me vlerë më të vogël ose baraz me pivotin. Nëse i ≤ j atëherë ato shkëmbehen dhe i bën një hap në pozitën e ardhshme (i + 1), j bën një hap në pozitën paraprake (j – 1). Algoritmi ndalet kur i bëhet më e madhe se j. Pas particionimit, të gjitha vlerat para elementit të i-të janë më të vogla ose baraz me pivotin dhe të gjitha vlerat pas elementetit të j-të janë më të mëdha ose baraz me pivotin. Shembull. Sortoni vargun {1, 12, 5, 26, 7, 14, 3, 7, 2} duke përdorur quicksortin.

531

Avni Rexhepi

Vëreni se këtu është paraqitur vetëm hapi i parë i rekurzionit, ashtu që shembulli të mos dalë shumë i gjatë. Mirëpo, në fakt pjesët {1, 2, 5, 7, 3} dhe {14, 7, 26, 12} pastaj vazhdonë sortimin në mënyrë rekurzive.

Përse funksionon kjo? Në hapin e particionit algoritmi e ndanë vargun në dy pjese dhe secili element a nga pjesa e majtë është më i vogël ose baraz se secili element b nga ana e djathtë. Gjithashtu, a dhe b e plotësojnë (e kënaqin) jobarazinë a ≤ pivot ≤ b. pas kompletimit të thirrjeve rekurzive të dy pjesët bëhen të sortuara dhe duke marrë parasysh argumentet e dhëna më sipër, sortohet i tërë vargu.

Analiza e kompleksitetit Në rastin mesatar, quicksort-i ka kompleksitetin O(n log n) (prova e fortë e këtij fakti nuk është triviale dhe nuk prezentohet këtu). Në rastin më të keq, quicksorti punon në kohë, por në rastet e të dhënave praktike, punon shumë mirë dhe tejkalon performansat e O(n log n) algoritmeve të tjerat të sortimit. Pjesë kodi Algoritmi i particionimit është vetvetiu i rëndësishëm, prandaj mund të realizohet edhe si si funksion i veçantë. Në vijim prezentohen të dy rastet, me funksion të përbashkët dhe me funksion të ndare për particionin dhe sortimin. void quickSort(int arr[], int left, int right) { int i = left, j = right; int tmp; int pivot = arr[(left + right) / 2]; /* partition */ while (i <= j) { while (arr[i] < pivot)

532

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave i++; while (arr[j] > pivot) j--; if (i <= j) { tmp = arr[i]; arr[i] = arr[j]; arr[j] = tmp; i++; j--; } }; /* recursion */ if (left < j) quickSort(arr, left, j); if (i < right) quickSort(arr, i, right); }

Me funksione të ndara: int partition(int arr[], int left, int right) { int i = left, j = right; int tmp; int pivot = arr[(left + right) / 2]; while (i <= j) { while (arr[i] < pivot) i++; while (arr[j] > pivot) j--; if (i <= j) { tmp = arr[i]; arr[i] = arr[j]; arr[j] = tmp; i++; j--; } };

533

Avni Rexhepi return i; } void quickSort(int arr[], int left, int right) { int index = partition(arr, left, right); if (left < index - 1) quickSort(arr, left, index - 1); if (index < right) quickSort(arr, index, right); }

Shembull me elementin e parw si pivot:

Fig. xx – Ekzekutimi i QuickSort-it nw vargun (3,6,8,1,0,7,2,4,5,9) duke pwrdorur elementin e parw si pivot. Thirrja e parw e pwrdorw 3-shin si pivot dhe gjeneron nwnproblemet (1,0,2), (3) dhe (6,8,7,4,5,9). Thirrja rekurzive pwr nwnproblemin e tretw pwrdorw 6-shin si pivot dhe gjeneron nwnproblemet (4,5), (6) dhe (8,7,9)

534


SHELLSORT Shell sorti u zhvillua nga Donald L. Shell. Ky sort ësthë i pazakontë në faktin që fillon me shqyrtimin e listës së plotë të vlerave si një set i nënlistave të ndërthurrura (shtresuara). Në kalimin e parë, ai mund të punojë me nënlista që janë vetëm një çift i elementeve. Në kalimin e dytë, mund të punojë me grupe prej nga katër elementeve. Ky proces përsëritet, duke rritur numrin e elementeve për nënlistë dhe rrjedhimisht duke zvogëluar numrin e nënlistave. Figura 3.1 tregon nënlistat të cilat mund të përdoren në procesin e sortimit të listës prej 16 elementeve. Në Fig. 3.1(a), shohim se ekzistojnë tetë nënlista me nga dy vlera secila, të cilat çiftojnë elementin e parë dhe të nëntë, të dytin dhe të tetin e kështu me radhë. Në Fig. 3.1(b), shohim se tani kemi katër nënlista me nga katër vlera secila.

Fig. 3.1 – Katër kalimet e Shell Sortit Nënlista e parë tani ka elementet e lokacionit të parë, të pestë, të nëntë dhe të trembëdhjetë. Nënlista e dytë, ka elementet e lokacionit të dytë, të gjashtë, të 535

Avni Rexhepi dhjetë dhe të katërmbëdhjetë. Në Fig. 3.1(c), shohim se ka dy nënlista, të cilat kanë elementet e lokacioneve teke dhe atyre çifte në to. Në kalimin e fundit, të treguar në Fig. 3.1(d), kthehemi në një listë. Sortimi i nënlistës bëhet vetëm përmes një variante të sortit të insertimit të bazuar në seksionin 3.1. Kjo e bën algoritmin vijues: Shellsort( list, N ) list – elementet qe duhet sortuar N – numri i elementeve ne liste passes = lg N //passes=kalime while (passes ≤ 1) do increment = 2passes - 1 for start = 1 to increment do InsertionSort( list, N, start, increment ) end for passes = passes - 1 end while

Variabla increment jep distancën ndërmjet elementeve në nënlistë (Në Fig. 3.1, inkermentet e përdorura janë 8,4,2,1). Në këtë algoritëm, fillojmë me një inkrement që është për 1 më i vogël se fuqia më e madhe 2-shit që është më e vogël sesa madhësia e listës. Kështu, nëse lista e jonë ka 1000 elemente, inkrementi i jonë i parë do të jetë 511. (Vërejtje: Vlera=1000, Fuqia e 2-shit: 210=1024, kështu që 29=512, => 29-1=511). Inkrementi gjithashtu tregon numrin e nënlistave që i kemi. Nëse nënlista e jonë e parë ka elementet në lokacionet 1 dhe 1+increment, nënlista e fundit duhet të fillojë në lokacionin increment. Herën e fundit që ekzekutohet unaza while, kalimet do të kenë vlerën 1, gjë që do të bëjë vlerën increment 1 për InsertionSort-in e fundit. Analiza e këtij algoritmi varet nga analiza që e bëmë për InsertionSort-in. Para se të fillojmë analizën e Shellsort, rikujtoni që në seksionin 3.1, kemi parë se për listën me N elemente rasti më i keq për sortin e insertimit ishtë (N2-N)/2 dhe rasti mesatar për sortin e insertimit ishtë: N2/4.

536


RADIX SORT-i Sorti Radix (angl. Radix – Rrënjë, bazë ) i përdorë vlerat kyçe (çelësat) për të bërë sortimin pa i krahasuar në të vërtetë ato mes veti. Në këtë sort, do të krijojmë një set të “kovave” dhe do ti shpërndajmë të dhënat hyrëse në kovë bazuar në vlerat e tyre kyçe. Pasi të grumbullohen vlerat dhe të përsërtitet procedura për pjesët pasuese të vlerës kyçe, mund të krijojmë listën e sortuar. Shpërndarja dhe grumbullimi duhet të bëhen me shumë kujdes që kjo të funksionojë (punoj). Një proces i ngjashëm me këtë është përdorur për t’i sortuar letrat (letrat e lojës me letra) me dorë. Versioni i kompjuterizuar i këtij procesi për sortim të një seti të vlerave numerike do të përdorte 10 kova dhe do të kishte algoritmin vijues: RadixSort( list, N ) list – elementet qe duhet sortuar N – numri i elementeve ne liste shift = 1 for loop = 1 to keySize do for entry = 1 to N do bucketNumber = (list[entry].key / shift) mod 10 Append( bucket[bucketNumber], list[entry] ) end for entry list = CombineBuckets() shift = shift end for loop

*

10

Do të fillojmë me shqyrtimin e këtij algoritmi. Llogaritja e bucketNumber do të tërheqë një shifër njëshe nga çelësi (vlera kyçe). Pjestimi me shift do të bëjë që vlera kyçe të lëvizet në të djathtë për një numër të shifrave dhe pastaj mod do të eliminojë të gjitha tjerat përveq shifrave të njësheve të numrit rezultues. Në kalimin e parë me vlerën e shift-it 1, pjestimi nuk do të bëjë asgjë dhe rezultati i mod do të kthejë vetëm shifrat njëshe të vlerës kyçe. Në kalimin e dytë, shift do të jeta 10, kështu që pjestimi i plotë dhe pastaj mod do të kthejë vetëm shifrat e dhjetësheve. Në secilin kalim të ardhëshëm, do të përdoret shifra e ardhëshme e vlerës kyçe (çelësit). Funksioni CombineBuckets do të bashkangjesë (shtojë) kovat prapa në një listë që fillon me bucket[0] e deri në bucket[9]. Kjo listë e rikombinuar është pika fillestare për kalimin e ardhëshëm. Pasi që kovat rikombinohen në renditje (radhë) dhe pasi që numrat shtohen në fund të secilës listë të kovave, vlerat kyçe 537

Avni Rexhepi do të jenë përfundimisht të sortuara. Figura 3.2 paraqet tri kalimet që do të bëheshin për vlerat kyçe (çelësat) me tri shifra. Për ta bërë këtë shembull më të thjeshtë, të gjitha vlerat kyçe përdorin vetëm shifrat prej 0 deri në 3, kështu që do të nevojiten katër kova. Duke shikuar Fig. 3.2(c), do të duhej të shihni se nëse kovat kombinohen përsëri në radhë, listo tani do të jetë e sortuar. List origjinale 310 213 023 130 013 301 222 032 201 111 323 002 330 102 231 120 Numri i kovës

Përmbajtja

0

310 130 330 120

1

301 201 111 231

2

222 032 002 102

3

213 023 013 323 (a) Kalimi 1, Shifra e njësheve

Lista e kalimit 1 310 130 330 120 301 201 111 231 222 032 002 102 213 023 013 323 Numri i kovës

Përmbajtja

0

301 201 002 102

1

310 111 213 013

2

120 222 023 323

3

130 330 231 032

(b) Kalimi 2, Shifra e dhjetësheve Lista e kalimit 2 301 201 002 102 310 111 213 013 120 222 023 323 130 330 231 032 Numri i kovës

538

Përmbajtja


002 013 023 032

1

102 111 120 130

2

201 213 222 231

3

301 310 323 330

(c) Kalimi 3, Shifra e qindwsheve FIGURA 3.2 Tri kalimet e sortit radix

539

Avni Rexhepi

HEAPSORT Heapsort (sorti i pirgut – angl. Heap – pirg, stive, tog, grumbull, etj) është i bazuar në një tip special të pemës binare të quajtur “Heap” ku për secilën nënpemë vlera në rrënjë është më e madhe se të gjitha vlerat në të dy fëmijët. Nuk ka relacion renditjeje ndërmjet dy fëmijëve, kështu që ndonjëherë fëmija i majtë mund të jetë më i madh dhe herave të tjera fëmija i djathtë do të jetë më i madh. Pirgu konstruktohet që të jetë pemë e plotë ku së pari secili nivel i pemës mbushet para se të fillohet niveli i ri dhe të gjitha pozicionet e nyjeve në nivel të jenë mbushur ne radhë prej të majtës kah e djathta. Idea e përgjithshme e Heapsort-it është që së pari të konstruktohet pirgu. Atëherë elementi më i madh do të jetë në rrënjë të pemës, sepse të gjitha elementet më të vogla duhet të jenë në fëmijë ashtu që ky të jetë pirg. Rrënja pastaj kopjohet në lokacionin e fundit të listës dhe pirgu rikonstruktohet pa këtë elementin më të madh. Elementi i dytë më i madh pastaj do të jetë në rrënjë, kështu që mund ta largojmë atë dhe të rikonstruktojmë pirgun. Ky proces përsëritet deri sa të gjitha elementet të jenë vendosur prapa në listë. Algoritmi i përgjithshëm për këtë është: Konstrukto pirgun for i = 1 to N do kopjo rrenjen ne liste fikso pirgun end for

Ka një numër të detajeve që mbesin për të qenë ky algoritëm i kompletuar. Së pari duhet të përcaktojmë se çka përfshihet në procesin e konstruktimit dhe fiksimit (riparimit) të pirgut, sepse kjo do të luaj rol në efikasitetin e këtij algoritmi. Duhet të brengosemi për atë se si do të implementohet (zbatohet) ky algoritëm. Tejngarkesa (overhead – ngarkesa e kreut, fillestare) e krijimit të krijimit të pemës binare do të ishte problem me rritjen e madhësisë së listës. Sidoqoftë, ne mundemi të përdorim hapësirën e vet listës dhe kështu të bëjmë këtë sortim pa hapësirë shtesë të veçantë. Ne mund të “ndërtojmë” listën në pirg nëse e vërejmë se në pirg secila nyje e jashtme ka dy fëmijë, përveq ndoshta njërës nyje kah fundi. Nëse shqyrtojmë planifikimin (pasqyrimin) vijues, për mbajtjen e këtyre vlerave mund të përdorim listën. Për nyjën në lokacionin i, do të ruajmë dy fëmijët e saj në lokacionet 2*i dhe 2*i+1. Vëreni se ky proces prodhon lokacione të ndryshme për secilin fëmijë të nyjës. E dijmë se nyja i është gjethe nëse 2*i është më e madhe sesa N, dhe e dijmë se nyja i ka vetëm një fëmijë nëse 2*i është i barabartë me N. Figura 3.3 paraqet pirgun dhe verzionin e tij në formë liste. 540


FIGURE 3.3 - Pirgu dhe implementimi i tij si listë

Fiksimi i pirgut (FixHeap) Kur e marrim elementin më të madh nga rrënja dhe e vendosim në listë, kjo e lë rrënjën të zbrazët. E dijmë se elementi më i madh i dy fëmijëve të saj duhet të lëvizët lartë, por atëherë nyja e këtij fëmije bëhet e zbrazët dhe kështu shikojmë në dy fëmijët e saj, e kështu me radhë. Në këtë proces, duhet të mirëmbajmë pirgun sa më afër pemës së plotë që të jetë e mundur. Kur e fiksojmë (riparojmë) pirgun, gjithashtu do të kalojmë (përcjellim) nyjën më të djathtë prej nivelit të poshtëm, që të insertohet prapa në pirg. Kjo do të largojë nyjet në mënyrë të barabartë prej fundit. Nëse nuk e bëjmë këtë dhe të gjitha vlerat e mëdha janë në një anë të pirgut, pirgu do të jetë i pabalansuar dhe efikasiteti i algoritmit do të ulet. Kjo na jep algoritmin vijues: FixHeap( list, root, key, bound ) list – lista/pirgu qe sortohet root – indeksi i rrenjes se pirgut key – vlera qe duhet te reinsertohet ne pirg bound – kufir i eperm (index) ne pirg //vacant=i/e lirë vacant = root while 2*vacant ≤ bound do largerChild = 2*vacant // gjeje me te madhin prej dy femijeve if (largerChild < bound) and (list[largerChild+1] list[largerChild]) then

>

541

Avni Rexhepi largerChild = largerChild + 1 end if // a eshte ‘key’ përmbi këtë fëmijë? if key > list[ largerChild ] then // po, ndalo unazen break else // jo, levize femijen me te madh lartë list[ vacant ] = list[ largerChild ] vacant = largerChild end if end while list[ vacant ] = key

Kur shikoni në parametrat e këtij algoritmi, mund të pyesni veten (të çuditeni, të habiteni) se përse kemi zgjedhur që të përcjellim (bartim, lëvizim) lokacionin rrënjë. Pasi që kjo rutinë (ky nënprogram, funksion) nuk është rekurzive, rrënja e pirgut do të duhej gjithmonë të jetë në lokacionin 1. Sidoqoftë, do të shihni se ky parametër shtesë do të bëjë të mundur për ne që të përdorim këtë funksion për të konstruktuar pirgun prej poshtë lartë. Ne e përcjellim madhësinë e pirgut, sepse me lëvizjen e elementeve nga pirgu në listë, pirgu tkurret (ngushtohet, zvogëlohet).

Konstruktimi i pirgut Mënyra që kemi zgjedhur për të zbatuar funksionin FixHeap do të thotë se ne mund të përdorim këtë për konstruktimin inicial (fillestar) të pirgut. Cilat do dy vlera mund të trajtohen si gjethe të nyjes së lirë (boshe, zbrazët). Nuk duhet të bëjmë ndonjë punë në gjysmën e dytë të listës sepse ato janë të gjitha gjethe. Duhet vetëm të konstruktohen pirgjet e vogla prej gjetheve dhe pastaj të kombinohen këto gjersa përfundimisht të gjitha vlerat të jenë në pirg. Kjo arrihet përmes unazës vijuese: //down to = teposhtë deri në for i = N/2 down to 1 do FixHeap( list, i, list[ i ], N ) end for

Algoritmi Final Bashkimi i këtyre pjesëve dhe shtimi i detajeve finale të nevojshme për lëvizjen e elementeve prej pirgut në listë, jep algoritmin: for i = N/2 down to 1 do

542

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave FixHeap( list, i, list[ i ], N ) end for for i = N down to 2 do max = list[ 1 ] FixHeap( list, 1, list[ i ], i-1 ) list[ i ] = max end for

Sorti “Merge”

Merge sort-i (angl. Merge – bashkim, shkrirje) është i pari prej algoritmeve tona rekurzive të sortimit. Ai është i bazuar në idenë se bashkimi i dy listave të sortuara mund të bëhet shpejtë. Pasi që lista me vetëm një element është e sortuar, sorti merge do të ndajë listën në pjesë një-elementëshe dhe pastaj do të bëjë sortimin gjersa i bashkon këto pjesë përsëri së bashku. Prandaj, e tërë puna për këtë algoritëm ndodhë në bashkimin e dy listave. Sorti merge (sorti i bashkimit) mund të shkruhet si algoritëm rekurziv i cili e bën punën e tij gjatë rrugës lartë në procesin rekurziv. Duke shikuar në algoritmin që pason, do të vëreni se ai e ndanë listën përgjysmë gjersa “i pari” është më i vogël sesa “i fundit”. Kur të arrijmë në pikën ku “i pari” dhe “i fundit” janë të barabartë, kemi një listë prej një elementi e cila është vetvetiu (“qenësisht”) e sortuar. Kur të kthehemi, prej dy thirrjeve të MergeSort që kanë madhësi të listës 1, pastaj e thërrasim MergeSort për të bashkuar ato për të krijuar listën e sortuar me madhësi 2. Në nivelin e ardhëshëm te lartë, do të kemi dy lista me madhësi 2 të cilat bashkohen në një listë të sortuar me madhësi 4. Ky proces 543

Avni Rexhepi vazhdon deri sa arrijmë të thirrja më e lartë, e cila i bashkon dy gjysmat e sortuara të listës, në një listë të sortuar. Shohim se MergeSort e ndanë listën në gjysma rrugës te poshtë në procesin rekurziv dhe pastaj i bashkon gjysmat e sortuara së bashku në rrugën te lartë. Algoritmi i cili e realizon këtë është: MergeSort( list, first, last ) list-elementet qe duhet te sortohen first–indeksi i elem. te pare ne pjesen e listes per sortim last- indeksi i elem. te fundit ne pjesen e listes per sortim if first < last then middle = ( first + last ) / 2 MergeSort( list, first, middle ) MergeSort( list, middle + 1, last ) MergeLists( list, first, middle, middle + 1, last ) end if

Do të duhej të jetë e qartë se e tërë puna është duke u bërë në funksionin MergeLists . Në vazhdim do të krijojmë funksionin MergeLists. Merrni në shqyrtim listat A dhe B, të dyjat të sortuara në renditje rritëse. Kjo renditje do të thotë se elementi më i vogël në secilën listë ndodhet në lokacionin e parë dhe elementi më i madh i secilës listë ndodhet në lokacionin e fundit. Për të bashkuar këto së bashku në një listë, ne e dijmë se elementi më i vogël i përgjithshëm duhet të jetë ose elementi i parë i listës A ose elementi i parë i B dhe se elementi më i madh i përgjithshëm duhet të jetë ose elementi i fundit i A ose elementi i fundit i B. Nëse dëshirojmë të krijojmë një listë të re C e cila është kombinimi i sortuar i A dhe B, do të fillojmë me vendosjen e më më të voglit mes A[1] dhe B[1] në C[1]. Por, çka vendoset në C[2]? Nëse A[1] ka qenë më i vogël se B[1], A[1] është vendosur në C[1] dhe elementi i ardhëshëm mund të jetë B[1] përveq nëse A[2] gjithashtu është më i vogël se B[1]. Kjo është e mundur sepse krejt çka ne me të vërtetë e dijmë është se A[2] është më i madh se A[1] dhe më i vogël se A[3], por ne nuk e dijmë se si qëndrojnë për nga madhësia elementet e A në krahasim me elementet e B. Duket se mënyra më e mirë për të realizuar bashkimin, do të ishte që të kemi dy indeksa për A dhe B dhe të inkrementohet (rritet për 1) indeksi për listën që ka elementin më të vogël. Procesi i përgjithshëm vazhdon krahasimin e elementeve më të vogla prej atyre që kanë mbetur në listat A dhe B dhe e vendosë më të voglin prej tyre në C. Në një pikë, sidoqoftë, do të “mbesim pa elemente” ose të listës A ose të listës B. Elementet e mbetura tepricë do të jenë ato nga njëra listë të cilat janë më të mëdha sesa elementi i fundit i listës tjetër. Duhet të sigurohemi se këto 544

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave elemente janë vendosur në fund të listës rezultuese. Bashkimi i këtyre ideve në një algoritëm do të na jep: MergeLists( list, start1, end1, start2, end2 ) List – elementet qe duhet te sortohen start1 – fillimi i “listes” A end1 – fundi i “listes” A start2 - fillimi i “listes” B end2 - fundi i “listes” B //suposon qe elem. e A dhe B jane ne liste te vazhduar (ngjitur) finalStart = start1 finalEnd = end2 indexC = 1 while (start1 ≤ end1) and (start2 ≤ end2) do if list[start1] < list[start2] then result[indexC] = list[start1] start1 = start1 + 1 else result[indexC] = list[start2] start2 = start2 + 1 end if indexC = indexC + 1 end while // zhvendose pjesen e listes qe ka mbetur if (start1 ≤ end1) then for i = start1 to end1 do result[indexC] = list[i] indexC = indexC + 1 end for else for i = start2 to end2 do result[indexC] = list[i] indexC = indexC + 1 end for end if // tash vendose rezultatin prapa ne liste indexC = 1 for i = finalStart to finalEnd do list[i] = result[indexC] indexC = indexC + 1 end for

Për një rast konkret, do të kishim shembullin si në figurën vijuese: 545

Avni Rexhepi

Analiza e MergeLists Për shkak se të gjitha krahasimet e elementeve ndodhin në MergeLists, fillojmë analizën prej aty. Le të shohim në rastin kur të gjitha elementet e listës A janë më të vegjël sesa elementi i parë i listës B. Çka do të ndodhë në MergeLists? Do të fillojmë me krahasimin e A[1] dhe B[1] dhe pasi që A[1] është më i vogël do ta vendosim në C. Pastaj do ta krahasojmë A[2] me B[1] dhe do ta lëvizim A[2]-shin, sepse ai është më i vogël. Ky proces do të vazhdojë të krahasojë secilin element të A me B[1], sepse ata të gjithë janë më të vegjël. Kjo do të thotë se algoritmi i bën NA krahasime, ku NA është numri i elementeve në listën A. Vëreni se nëse të gjitha elementet e listës B do të ishin më të vogla se elementi i parë i A, numri rezultues i krahasimeve do të ishte NB, kur NB është numri i elementeve në listën B. Çka nëse elementi i parë i A është më i madh se elementi i parë i B por të gjitha elementet e A janë më të vogla sesa elementi i dytë i B? Do të krahasonim A[1] dhe B[1] dhe do të lëviznim B[1] në C. Tani e gjejmë veten në pozitën e njëjëtë ku ishim në rastin e fundit, ku do të krahasojmë secilin element të A me B[2] gjersa ata të lëvizen (vendosen) në “rezultat” (në atë që del si rezultat, rezulton). Këtë herë, sidoqoftë, nuk e kemi bërë vetëm NA krahasime të elementeve të A me B[2], por gjithashtu e kemi bërë edhe krahasimin e A[1] dhe B[1], kështu që numri total i krahasimeve në këtë rast është NA + 1. Nëse i marrim në shqyrtim renditjet tjera, do të fillojmë të shohim se rasti i prezentuar në paragrafin e parë të këtij nënseksioni mund të jetë rasti më i mirë, dhe është. E pamë se nëse të gjitha elementet e listës A ishin ndërmjet B[1] dhe B[2], bëmë më shumë krahasime sesa nëse të gjitha elementet e A të ishin të ishin më të vogla sesa të gjitha elementet e B. Le të shohim se nëse shkojmë në ekstremin tjetër a do të fitojmë rastin më të keq? Shqyrtoni se çka ndodhë nëse elementet e A dhe B 546

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave janë të “ndërthurrura” (të shtresuara) bazuar në vlerat e tyre. Me fjalë të tjera, çka ndodhë nëse vlera e A[1] ndodhet ndërmjet B[1] dhe B[2], vlera e A[2] ndodhet ndërmjet B[2] dhe B[3], vlera e A[3] ndodhet ndërmjet B[3] dhe B[4], e kështu me radhë. Vëreni se secili krahasim e lëvizë një element ose nga A ose nga B, në listën C. Bazuar në shembullin e renditjes së mësipërme, ne e lëvizim një element të B, pastaj një të A, pastaj një të B, pastaj një të A deri sa të kemi lëvizur të gjitha përveq elementit të fundit nga A. Pasi që krahasimet rezultuan me lëvizjen e të gjitha elementeve përveq atij të fundit të A, do të kemi bërë NA+NB-1 krahasime, në rastin më të keq. Në total (bashkë me pjesën e bashkimit, pas ndarjes së listave) MergeSort është sort shumë efikas, i rendit O(N lgN), edhe në rastin më të keq, por problemi është se funksioni MergeList ka nevojë për hapësirë shtesë të veçantë për të realizuar bashkimin (shkrirjen).

547

Avni Rexhepi

Koncepte të programimit

10. Algoritmet e përshtatjes së stringjeve Algoritmet e përshtatjes (përputhjes) së stringjeve (angl. “string matching algorithms” ose “pattern matching algorithms”) janë një kategori shumë e përdorur e algoritmeve. Problemi kryesor i adresuar është ai që trajton një mostër të stringut (angl. pattern) që kërkohet brenda një stringu tjetër (në mënyrë tipike ndonjë string më i gjatë ose ndonjë tekst i tërë). Thuhet se po kërkohet nën-stringu brenda stringut ose mostra brenda stringut. Rezultati i kërkimit ose do të jetë gjetja e mostrës (nën-stringut) brenda tekstit (stringut), që zakonisht tregohet me një pointer në pozitën e përshtatjes ose do të jetë informacioni që teksti nuk e përmban nën-stringun e kërkuar. Kjo zakonisht është e aplikuar si opcioni i kërkimit në editorët e tekstit. Ekzistojnë disa algoritme të përshtatjes, gjegjësisht kërkimit të tekstit. Mënyra e zakonshme, e kërkimit të tekstit duke krahasuar shkronjë për shkronjë nënstringun me stringun njihet si algoritmi naiv i përshtatjes ose algoritmi “bruteforce” i përshtatjes. Fillohet me krahasimin e shkronjës së parë të nën-stringut me shkronjën e parë të stringut dhe nëse ato përputhen, atëherë vazhdohet me krahasimin e shkronjave në pozitën e dytë, e kështu me radhë. Nëse nuk ka përshtatje në ndonjë pozitë, atëherë zhvendoset (shiftohet) nën-stringut për një pozitë më djathtas dhe fillohet prej fillimit krahasimi i pozitës së parë të nënstringut me të dytën e stringut, e tutje. Sa herë që paraqitet ndonjë mospërshtatje në ndonjë pozitë, nën-stringu zhvendoset (shiftohet) për një pozitë më djathtas. Nëse përshtaten të gjitha pozitat, atëherë lajmërohet përshtatja, gjegjësisht gjindet përputhja e plotë e nën-stringut brenda stringut. Algoritmet tjera tentojnë të gjejnë mënyrë më të shpejtë të krahasimit, duke përfituar nga informacioni i mbledhur paraprak për natyrën e mostrës (nënstringut), ashtu që të anashkalohen krahasimet e panevojshme në rastet kur parashihet që nuk do të ketë përshtatje. Dy nga algoritmet më të njohura të kësaj kategorie janë: -

Algoritmi Knuth-Morris-Pratt (KPM), dhe Algoritmi Boyer-Moore (BM)

Këto algoritme janë emërtuar sipas emrave të zbuluesve të tyre. Për çdo algoritëm të përshtatjes, përdoren termat standarde. Stringu është sekuencë e karaktereve. Shembuj të stringut janë: teksti i zakonshem, një program në C++, një HTML dokument, një sekuencë e ADN-së (AGCTTCGA...), një imazh i digjitalizuar, etj. 548

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Alfabeti, që zakonisht shënohet me  është bashkësia e të gjitha karaktereve të mundshme për një familje të stringjeve. P.sh, alfabeti i gjuhës shqipe, si bashkësi e të gjitha shkronjave të gjuhës shqipe ose {0.1} si alfabeti binar. Shembuj të alfabeteve janë edhe ASCII, Unicode, {A,G,C,T}, etj. Le të jetë P (nga Pattern – mostra) string me madhësi (gjatësi) m. Pozitat indeksohen prej 0 deri në m-1. -

Nën-stringu P[i..j] i stringut P është nën-sekuencë e P që përmbanë karakteret ndërmjet i dhe j. Prefiksi (parashtesa, pjesa e fillimit) i P është nën-stringu i tipit P[0..i]. Sufiksi (prapashtesa, pjesa e fundit) i P është nën-stringu i tipit P[i..m-1].

Për stingun e dhënë T (Text-teksti) dhe mostrën e dhënë P (Pattern), problemi i përshtatjes/përputhjes së mostrës (angl. Pattern Matching) konsiston në gjetjen e nënstringut të T që është i barabartë me P. Aplikacionet në të cilat zbatohet ky problem janë: editorët e teksteve, makinat kërkuese, kërkimi bilogjik (i ADN), etj.

Algoritmi naiv i përshtatjes Algoritmi “brute-force” ose algoritmi naiv i përshtatjes, krahason mostrën P me tekstin T, për secilën zhvendosje (secilin shiftim) të P relativ ndaj T, deri sa të gjindet përshtatja ose deri sa të jenë provuar të gjitha pozitat dhe rrjedhë se teksti T nuk e përmbanë mostrën P. Algoritmi naiv ekzekutohet në kohën O(nm), n është gjatësia e tekstit T, ndërsa m është gjatësia e mostrës P. Rasti më i keq do të paraqitej në rast se T=aaa...ah, kurse P=aaah. Kjo mund të ndodhë në rastet e imazheve ose sekuencave të ADN-ve, por jo në tekstet e zakonshme. Pseudokodi: BruteForceMatch(T, P) Input (Hyrja) Output (Dalja)

for

teksti T me gjatësi n dhe mostra P me gjatësi m indeksi fillestar i nën-stringut të T të barabart me P, ose -1 nëse nuk gjindet nën-stringu

i  0 to n - m { testo shifto i-në e mostrës P} j  0 while j < m  T[i + j] = P[j] j  j + 1 if j = m

549

Avni Rexhepi return

i {përputhje në pozitën i}

else return

break while loop {mospërputhje} -1 {s’ka asnjë përshtatje/përputhje}

Algoritmi Knuth-Morris-Pratt (KMP) Algoritmi Knuth-Morris-Pratt e krahason mostrën P me tekstin T nga e majta në të djathtë (njësoj si algoritmi naiv), mirëpo e zhvendosë (shifton) mostrën në mënyrë më intelegjente, duke anashkaluar krahasimet e panevojshme, kur të jetë e qartë se nuk do të ketë përputhje në tentimin e ardhëshëm, nëse zhvendosja bëhet vazhdimisht vetëm për nga një pozitë, si në rastin e algoritmit naiv. Për të gjetur madhësinë maksimale të zhvendosjes së mundshme, në rast të mospërputhjes në ndonjë krahasim, algoritmi KMP e bën përpunimin paraprak (preprocesimin) e mostrës, për të nxjerrë informatat e nevojshme. Kur të ndodhë mospërputhja, sa është zhvendosja maksimale e mundshme e mostrës, ashtu që të evitohen krahasimet e tepërta (redundante)? Përgjigja është: sa prefiksi më i gjatë i mostrës P që është njëherit edhe sufiks i mostrës P, pra prefiksi P[0..j] që është njëkohësisht edhe sufiks i P[1..j].

Nuk ka nevojë të përsëritet krahasimi i kësaj pjese

Vazhdo krahasimin këtu

Nga figura mund të shihet, që nëse prefiksi (në këtë rast ab) është i njëjtë me sufiksin e pjesës që është përputhur deri në këtë moment (në këtë rast ab), atëherë, zhvendosja bëhet deri në pozitën ku pjesa e prefiksit (që është njëjtë si sufiksi) përputhet me sufiksin dhe nuk ka nevojë të krahasohet rishtazi, por vazhdohet me krahasimin e pozitave më tutje. 550

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Algoritmi Knuth-Morris-Pratt paraproceson mostrën për të gjetur përputhjet e prefikseve të mostrës me vetë mostrën. Funksioni “Failure” (angl. Failuredështim) F(j) definohet si gjatësia e prefiksit më të gjatë të P[0..j] që është poashtu edhe sufiks i P[1..j]. Algoritmi Knuth-Morris-Pratt modifikon algoritmin naiv (brute force) ashtu që nëse ndodhë mospërputhje në P[j]  T[i], caktojmë jF(j-1).

Funksioni i dështimeve F(j) mund të reprezentohet përmes një vargu dhe mund të llogaritet në kohë të rendit O(m). Në secilën përsëritje të unazës “while” ose: -

i rritet për një, ose madhësia e zhvendosjes i-j rritet për së paku një (vëreni që F(j-1)
Rrjedhimitsh, nuk ka më shumë se 2n përsëritje të unazës “while”. Prandaj, algoritmi KPM ekzekutohet në kohë optimale O(m+n). Algoritmi KMP: KMPMatch(T, P) F  FunksioniDeshtimit(P) i  0 j  0 while i < n if T[i] = P[j] if j = m - 1 return i - j { përputhje/match }

551

Avni Rexhepi else

i  i + 1 j  j + 1

else if

return

j > 0 j  F[j - 1] else i  i + 1 -1 { s’ka përputhje/no match}

Llogaritja e funksionit të dështimeve Funksioni i dështimeve F(j) mund të reprezentohet përmes një vargu dhe mund të llogaritet në kohë të rendit O(m). Algoritmi i tij është i ngajshëm me vetë KMP algoritmin. Në secilën përsëritje (secilin iteracion) të unazës “while”, ose: -

i rritet për një, ose madhësia e zhvendosjes i-j rritet për së paku një (vëreni që F(j-1)
Rrjedhimisht, nuk ka më shumë se 2m iteracione të unazës “while”. Algoritmi i funksionit të dështimit: FunksioniDeshtimit (P) F[0]  0 i  1 j  0 while i < m if P[i] = P[j] {janë përputhur j + 1 karaktere} F[i]  j + 1 i  i + 1 j  j + 1 else if j > 0 then {përdore funksionin e dështimit për të shiftuar P} j  F[j - 1] else F[i]  0 { s’ka përputhje/no match } i  i + 1

552

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Shembull i KMP:

Nga tabela e llogaritjes së funksionit të dështimeve F(j), vëreni se prefiksi më i gjatë që është është njëherit sufiks, është me gjatësi 2 (ab), për karakteret a dhe b në lokacionet 4 dhe 5. Kjo, pasi që në fillim, deri në lokacionin 2, kemi P[2]=aba, prandaj prefiksi/sufiksi është vetëm ‘a’, me gjatësi 1, dmth F(2)=1. Në lokacionin 3 kemi: P[3]=abac, keshtu që kemi F(3)=0, pasi s’ka prefiks që përputhet me sufiks. Në lokacionin 4, P[4]=abaca, përseri kemi vetëm një përputhje prefiks/sufiks, për a, me gjatësi 1. Në fund, për gjatësinë deri në lokacionin 5, kemi P[5]=abacab dhe prefiks/sufiks ab, me gjatësi 2, d.m.th.,F(5)=2. Nga krahasimi vërehet, se në fillim kemi përputhje të 5 karaktereve të para, mirëpo në krahasimin e 6 (T=a, P=b) nuk ka përputhje, kështu që bëjmë zhvendosjen deri në pozitën e prefiksit/sufiksit që veq përputhet: ‘a’ (F(4)=1). Vërehet, se në këtë rast, në krahasim me algoritmin naiv përfitohet duke mos bërë zhvendosjen e mostrës për vetëm një pozitë, por duke përfituar me zhvendosjen e menjëhershme deri në pozitën ku kemi prefiks që është njëherit edhe sufiks i pjesës ku ka pasur përputhje në krahasimin paraprak. Vazhdojmë krahasimin e 7, (T=a, P=b), por pasi që menjëherë kemi mospërputhje (F(1)=0), zhvendosemi për vetëm një pozitë më tutje. Në krahasimet 8, 9, 10,dhe 11 kemi përputhje (përshtatje-match), por në krahasimin 12 (T=c, P=a) kemi mospërputhje dhe përsëri zhvendosemi deri në pozitën ku kemi prefiks/sufiks të njëjtë.

553

Avni Rexhepi Menjëherë, në krahasimin e ardhëshm 13, përsëri ka mospërputhje (T=c me P=a) dhe zhvendosemi për një pozitë. Në vazhdim, të gjitha krahasimet rezultojmë me përputhje dhe sinjalizohet gjetja e pozitës në tekst, ku kemi përputhje me mostrën (Pattern Match). Analiza: Algoritmi KMP ekzekutohet në kohë optimale O(m+n), kështu që: -

është shumë i shpejtë algoritmi kurrë nuk ka nevojë të kthehet prapa në tekstin që analizohet, T. kjo e bën algoritmin të përshtatshëm për procesimin e fajllave të mëdhenj të cilët lexohen nga pajisjet e jashtme ose përmes rrjetit.

Algoritmi KMP nuk punon aq mirë me rritjen e madhësisë së alfabetit. Me rritjen e alfabetit ka: -

më shumë gjasa për mospërputhje mospërputhjet kanë tendencë të paraqitjes herët në mostër, por KMP është i shpejtë kur mospërputhjet paraqiten më vonë

Algoritmi Boyer-Moore Algoritmi Boyer-Moore është i bazuar në dy llogaritje heuristike: -

-

Looking-glass heuristic (heuristika e dritares kërkuese) me parimin krahasimi nga ana e djathtë në të majtë (angl. right-to-left matching): Krahaso P me nënsekuencën e T, duke lëvizura prej fundit kah fillimi, dhe Character-jump heuristic (heuristika e kërcimit të karaktereve) me rregullën e shiftimit të karaktereve të “këqija” (angl. bad character shift rule): kur paraqitet mospërputhje në pozitën T[i]=c  Nëse P përmanë c, shifto P për t’u barazuar (drejtuar) me paraqitjen e fundit të c në P me T[i];  Përndryshe, shifto P për t’u barazuar P[0] me T[i+1].

Shembull: Në tekstin T=”a pattern matching algorithm” (algoritmi i përputhjes së mostrës), kërkohet mostra (pattern-i) P=”rithm” (ritmi).

554


ose, në formë më kompakte:

Pra, në fillim rendited mostra me tekstin nga pozita e parë, mirëpo krahasimi fillon nga karakteri i fundit i mostrës (nga ana e djathtë në të majtë). Në krahasimin e parë kemi mospërputhje (T[4]=t, P[4]=m). Tani, shikohet a ekziston shkronja e analizuar e tekstit (në këtë rast ‘t’) në kuadër të mostrës? Meqenë se shkronja ‘t’ ekziston edhe në kuadër të mostrës, atëherë bëhet zhvendosja deri në pozitën kur vendosen në vijë të drejtë karakteret ‘t’ të tekstit dhe mostrës. Krahasimi i dytë, përsëri fillon nga skaji i djathtë dhe krahasohet ‘e’ e tekstit me ‘m’ të mostrës. Meqenë se nuk ka përputhje dhe nga ana tjetër shkrona ‘e’ e tekstit nuk ekziston fare në kuadër të mostrës, atëherë nënkuptohet se s’ka gjasa të ketë përputhje në tërë gjatësinë, prandaj mostra shiftohet (zhvendoset) deri në pozitën pas karakterit ‘e’ (duke evituar kështu një numër të madh të krahasimeve të panevojshme, të cilat do t’i bënte algoritmi naiv i krahasimit). Krahasimi i tretë, vazhdon me parimin e njëjtë, duke krahasuar ‘a’ nga teksti me ‘m’ nga mostra dhe përsëri zhvendosje e plotë e mostrës, sikurse edhe në rastin e krahasimit të 4 (për karakterin ‘n’) dhe atij të 5 (për karakterin 555

Avni Rexhepi ‘g’). Në krahasimin 6, karakteri ‘h’ i tekstit me karakterin ‘m’ nga mostra, përsëri nuk ka përputhje, mirëpo karakteri ‘h’ ekziston në kuadër të mostrës, keshtu që bëhet shiftimi për t’a vendosur mostrën në pozitën kur vijnë në vijë të drejtë karakteret ‘h’ të tekstit dhe të mostrës. Krahasimet në vazhdim, nga 7 deri në 11 rezultojnë me përputhje të plotë dhe del që është gjetur mostra në kuadër të tekstit. Funksioni i rastitsjes së fundit Algoritmi Boyer-Moore paraproceson mostrën P dhe alfabetin , për të ndërtuar funksionin e rastisjes së fundit L( ) (angl. Last Occurrence Function), i cili pasqyron  në numra të plotë, ku L(c) definohet si: -

indeksi më i madh ‘i’, i tillë që P[i]=c (lokacioni ‘i’ në mostër, ku paraqitet karakteri i analizuar ‘c’), ose -1, nëse nuk ekziston indeks i tillë (d.m.th., karakteri ‘c’ nuk ndodhet fare në mostër).

Për shembull, nëse kemi alfabetin  = {a, b, c, d} dhe mostrën (Pattern) P=abacab:

-

Funksioni i rastisjes së fundit, mund të reprezentohet përmes një vargu të indeksuar me kodet numerike të karaktereve Funksioni i rastitjses së fundit mund të llogaritet në kohë O(m+s), ku m është gjatësia (madhësia) e mostres P, ndërsa s është madhësia e alfabetit .

Nga tabela shihet se karakteri ‘a’ ekziston në pozitat 0, 2 dhe 4 të mostrës ‘ ‘abcacab’ (indeksimi i pozitave/lokacioneve fillon prej 0), kështu që rastisja e fundit (e skajshme, më e djathtë) është në lokacionin 4. Për shkronjën ‘d’ e cila nuk ekziston fare në mostër, merret ‘-1’. Pseudokodi i algoritmit BoyerMoore: BoyerMooreMatch(T, P, ) LLOF(P, ) //LOF ose L(c),funksioni i rastisjes së fundit i  m - 1 j  m - 1 repeat if T[i] = P[j] if j = 0 return i { match at i (përputhje në i) } else

556

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave i  i - 1 j  j - 1 else { character-jump (kërcimi i karaktereve) } l  L[T[i]] i  i + m – min(j, 1 + l) j  m - 1 until i > n - 1 return -1 { no match (s’ka përputhje}

Mund të paraqiten dy raste kur karakteri i analizuar nuk përputhet: Rasti 1 – Nëse karakteri që nuk përputhet ndodhet në mostër, mirëpo në pjesën që veq ka kaluar krahasimin e suksesshëm, dhe Rasti 2 – Karakteri që nuk përputhet ndodhet në mostër, në pjesën e majtë, akoma të pakrahasuar, me çrast zhvendosja bëhet deri sa të vijnë në vijë të drejtë karakteret e njëjta.

557

Avni Rexhepi Shembull:

Krahasimi 1: T[5]=a, P[5]=b, nuk përputhen, kurse ‘a’ e tekstit ndodhet në mostër, prandaj zhvendosim mostrën për të vënë në vijë të drejtë shkronjat ‘a’ të T dhe P. Krahasimi 2 dhe 3 janë të suksesshëm (ka përputhje), mirëpo në krahasimin 4, përsëri kemi mospërputhje (‘a’ me ‘c’). Përsëri ‘a’ ndodhet në pjesën e majtë të mostrës, prandaj zhvendosemi deri sa të vihen në vijë të drejtë ‘a’ e T dhe ‘a’ e mostrës P. Krahasimi 5: Mospërputhje e ‘a’ me ‘b’, zhvendosemi një pozitë më tutje (për të vënë në vijë të drejtë karakteret ‘a’ të T dhe P). Krahasimi 6: Mospërputhje e ‘d’ (nga teksti T) me ‘b’ (nga mostra P) dhe pasi që karakteri ‘d’ nuk ndodhet në mostër, bëjmë zhvendosjen e plotë të mostrës. Krahasimi 7: Mospërputhje në karakteret ‘a’ nga teksti T me ‘b’ nga mostra P. Zhvendosim mostrën, për të vënë në vijë të drejtë karakteret ‘a’. Krahasimet 8 deri në 13 janë të suksesshme (ka përputhje) dhe rezulton se është gjetur përputhje e mostrës me tekstin. Analiza: Algoritmi Boyer-Moore ka kohën e ekzekutimit të rendit O(nm+A), ku A- është alfabeti. Algoritmi Boyer-Moore është i shpejtë kur alfabeti (A) është i madh, por i ngadalshëm nëse alfabeti është i vogël, kështu që del se është i shpejtë për tekste të zakonshme por i ngadalshëm për rastin e alfabetit binar ose ADN-së. 558

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Algoritmi Boyer-Moore është dukshëm më i shpejtë sesa algoritmi naiv dhe për tekste natyrale është algoritmi më i shpejtë i kërkimit të stringjeve. Rasti më i keq do të ndodhë nëse kemi: -

T = aaa...a P = baaa

Rasti më i keq mund të paraqitet në sekuenca të ADN-ve ose në imazhe, por pak ka gjasa që të paraqitet në tekste të zakonshme.

559

Avni Rexhepi

11.

Hash tabelat

Hash tabela është strukturë e të dhënave që përdoret për të implementuar vargjet asociative, një strukturë që mund të pasqyrojë çelësat në vlera. Hash tabela e përdorë hash funksionin për të llogaritur indeksin në vargun e sloteve (vendeve), prej të cilave mund të gjindet vlera korrekte. Më mënyrë ideale, hash funksioni do të caktojë secilin çelës në një vend unik, por kjo situatë është rrallë herë e arritshme në praktikë (përveq nëse hash çelësat janë fiks, d.m.th., nuk shtohen vlera të reja pas krijimit të tabelës). Në realitet, shumica e dizajneve të hash tabelave supozojnë se do të ndodhin kolizionet (angl. collision-ndeshje, përplasje, konflikt), rastet kur çelësat e ndryshëm të cilët caktohen prej hash funksionit u ndahen sloteve të njëjta dhe disi duhet të akomodohen. Në hash tabelën e dimensionuar mirë, kostoja mesatare (numri i instruksioneve) për seclin kërkim është i pavarur prej numrit të elementeve të ruajtura në tabelë. Shumë dizajne të hash tabelave poashtu lejojnë insertimet dhe fshirjet arbitrare të çifteve çelës-vlerë, më kosto mesatare për operacion. Në shumë raste, hash tabela del të jetë më efikase sesa pema binare e kërkimit ose ndonjë strukturë tjetër e kërkimit të tabelave. Për këtë arsye, hash tableat përdoren në shumë softvere kompjuterike, posaqërisht në vargjet asociative, indeksim të bazave të të dhënave, cash dhe sete.

Fig. 9.1 – Hash tabela dhe hash funksioni

Hash tabela është strukturë që mundëson vetëm një pjesë të operacioneve të pemës binare të kërkimit dhe kryen operacionet e insertimit, fshirjes dhe 560

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave kërkimit në kohë mesatare konstante. Për dallim prej pemës binare të kërkimit, koha e rastit mesatar të hash tabelave është e bazuar në tiparet statistikore më shumë sesa në pritjen e hyrjeve në dukje të rastit. Ky përmirësim përfitohet në kurriz të humbjes së renditjes së informacioneve përbrenda elementeve. Operacionet si gjetja e minimumit ose maksimumit dhe shtypja e tërë tabelës në renditje të sortuar në kohë lineare, nuk përkrahen. Rrjedhimisht, hash tabelat kanë disa karakteristika të ndryshme të performansës ndaj pemës binare të kërkimit. Hash tabela (angl. Hash table, hash map) është një prej implementimeve të mundshme të fjalorit (dictionary ADT). Në parim, Hash tabela i “mapon” (pasqyron) çelësat unik me vlerat e shoqëruara (angl. map-plan, skemë, hartë; mapping-vendosje në hartë, planifikim; ka të bëjë me pasqyrimin sipas rregullave të bashkësive, lidhjen e elementeve të një bashkësie me tjetrën, etj). Në aspektin e implementimit (zbatimit), hash tabela është një strukturë e të dhënave e bazuar në varg, e cila e përdorë hash funksionin, për të konvertuar çelësin në indeks të elementit të vargut, ku duhet të kërkohet vlera e shoqëruar. Hash tabela përkrahë nxjerrjen ose fshirjen e çfarëdo elementi të emërtuar. Interesi është që të jemi në gjendje që të kryejmë operacionet themelore në kohë konstante, si për rastin e stekut dhe rreshtit (queue-s). pasi që qasja është shumë më pak e kufizuar, kjo përkrahje duket e paarritshme. Kjo është sigurisht kur bashkësia e vlerave rritet dhe kërkimi në bashkësi do të kërkojë më shumë kohë. Mirëpo, kjo nuk është domosdoshmërisht ajo çka ndodhë. Hash tabela përdoret për të implementuar bashkësinë (set-in) në kohë konstante për operacion. Le të supozojmë se kemi të bëjmë me disa vlera të vogla të numrave të plotë jonegativ, në rangun prej 0 deri në 65535. Një opcion është që të përdorim vargu e thjeshtë për të implementuar secilin operacion si në vijim. Së pari inicializojmë vargun ‘a’ me indekset prej 0 deri në 655635, me të gjitha vlerat zero (0). Për të performuar ‘insert(i)’, ekzekutojmë ‘a[i]++’. Vëreni se a[i] reprezenton numrin e herave të insertimit të ‘i’-së. Për të performuar ‘find(i)’ (gjeje(i)), verifikojmë që a[i] nuk është zero. Për të performuar ‘remove(i)’ (largo(i)), sigurohemi që a[i] është pozitiv dhe pastaj ekzekutojmë a[i]--. Koha për secilin operacion është qartësisht konstante. Edhe vetë mbingarkesa e inicializimit të vargut është punë konstante (për 65535 përcaktime të vlerave). Mirëpo, me këtë zgjidhje kemi dy probleme. Së pari, supozojmë se kemi vlera të mëdha të integjerëve 32-bitësh, në vend të atyre 16-bitësh. Në këtë rast, vargu do të duhet të përmbajë 4 miliardë anëtarë, gjë që është jopraktike. Së 561

Avni Rexhepi dyti, nëse elementet nuk janë numra të plotë por stringje ose objekte të përgjithshme, atëherë ato nuk mund të përdoren për të indeksuar vargun. Problemi i dytë, në realitet edhe nuk është problem në vete. Mirëpo, njësoj sikur që numri 1234 është bashkësi e shifrave, 1, 2, 3 dhe 4, edhe stringu “dita” është bashkësi e karaktereve ‘d’, ‘i’, ‘t’ dhe ‘a’. Mirëpo, numri 1234 është thjeshtë: 1*103+2*102+3*101+4*100. Nëse marrim parasysh se karakteret në mënyrë tipike mund të reprezentohen në 7 bita, si numra prej 0 deri në 127 dhe pasi që karakteri në mënyrë themelore është numër i vogël i plotë, atëhere mund të paraqesim stringun si një integjer. Një mundësi do të ishte: ‘d’*1283+‘i’*1282+‘t’*1281+‘a’*1280. Kjo do të mundësonte implementim si varg i thjeshtë, mirëpo problemi me këtë strategji është se ky reprezentim do të përfaqësonte numra jashtëzakonisht të mëdhenj, e stringjet më të gjata do të gjeneronin numra shumë më të mëdhenj. Kjo na kthen në fillim, tek problemi i parë: Si të evitojmë përdorimin e vargjeve absurd të gjata? Kjo arrihet duke përdorur një funksion i cili i pasqyron (mapon) nurmat e mëdhenj (ose stringjet e interpretuara si numra), në numra më të vegjël dhe më të menaxhueshëm. Funksioni i cili pasqyron një element në indeks të vogël njihet si hash funksion. Nëse x është një numër i plotë arbitrarë (jonegativ), atëherë ‘x % madhesiaTabeles’ (ku % - moduli, mbetja nga plotpjestimi) gjeneron numra ndërmjet 0 dhe madhesiaTebeles-1, të përshtatshëm për indeksim në një varg me madhësi ‘madhesiaTabeles’. Nësë s është string, mund ta konvertojmë s-in në një integer të madh ‘x’ duke përdorur metodën e sugjeruar më parë dhe pastaj të aplikojmë operatorin e modulit (%) për të përfituar indeks të përshtatshëm. Prandaj, nëse madhësia e tabelës ‘madhesiaTabeles’ është 10000, fjala ‘dita’ do të indeksohen përbrenda rangut. Pra, hash funksioni i konverton elementet në numra të plotë të përshtatshëm për indeksim të vargut ku do të ruhet elementi. Nëse hash funksioni do të ishte një në një, do të mund t’i qaseshim elementit përmes indeksit të vargut.

Përdorimi i hash funksioneve paraqet një komplikim: dy ose më shumë elemente të ndryshme mund të ‘hash-ohen’ në pozitë të njëjtë, duke shkaktuar ndeshje (angl. colision – ndeshje, konflikt, përplasje). Kjo situatë nuk mund të evitohet asnjëherë sepse ka shumë më tepër elemente sesa pozita në dispozicion. Mirëpo, ka shumë metoda të cilat janë në dispozicion për zgjidhje të shpejtë të kolizioneve. Pasi që hash funksioni nuk është pasqyrim një në një, disa elemente mund të ndeshen në indeksin e njëjtë, duke shkaktuar kolizione.

562


Hash funksioni Hash funksioni është pjesë shumë e rëndësishme e dizajnit të hash tabelës. Hash funksioni konsiderohet i mirë, nësë ofron shpërndarje uniforme të hash vlerave. Tiparet tjera të hash funksioneve, të kërkuara për hashing kualitativ do të analizohen më vonë. Arsyeja se përse hash funksioni është subjekt i shqetësimeve është se hash funksionet e “këqija” shkaktojnë kolizione (angl. collision-konflikt, ndeshje, përplasje) dhe efekte të tjera të padëshiruara, të cilat ndikojë keq në performansën e përgjithshme të hash tabelës.

Hash tabela dhe faktori i ngarkesës Strukturë themelore e të dhënave që përdoret për ruajtjen e hash tabelës është vargu. Faktori i ngarkesës është herësi (raporti) ndërmjet numrit të elementeve të ruajtura dhe madhësisë së vargut. Hash tabela mund të jetë ose me madhësi konstante ose në proces dinamik të ndryshueshimit të madhësisë, kur faktori i ngarkesës të tejkalojë një prag të caktuar. Ndryshimi i madhësisë bëhet para se tabela të mbushet plotësisht për të mbajtur numrin e kolizioneve nën një vlerë të caktuar dhe për të parandaluar degradimin e performansës.

Kolizionet Çka ndodhë, nëse hash funksioni kthen hash vlerë të njëjtë për çelësa të ndryshëm? Kjo rezulton në efektin e quajtur kolizion. Kolizionet janë praktikisht të paevitueshme dhe duhet të mirren në konsiderim kur implementohet hash tabela. Për shkak të kolizioneve, çelësat gjithashtu ruhen në tabelë, ashtu që të mund të dallohen çiftet çelës-vlerë që kanë të njëjtin hash. Ka mënyra të ndryshme të zgjidhjes së kolizioneve. Në esencë, janë dy strategji të ndryshme: 

Closed addressing (open hashing) – Adresimi i mbyllur (hashingu i hapur). Secili slot (angl. slot-ndarje, vend i caktuar, etj.) i hash tabelës përmbanë lidhjen për në një strukturë tjetër të të dhënave (p.sh. lista e lidhur), e cila i ruan çiftet çelës-vlerë me hash të njëjtë. Kur ndodhë kolizioni, kjo strukturë e të dhënave kërkohet për çiftin çelës-vlerë, që i përgjigjet çelësit.  Open addressing (closed hashing) – Adresimi i hapur (hashingu i mbyllur). Secili slot në fakt përmbanë çiftin çelës-vlerë. Kur të ndodhë kolizioni, algoritmi i adresimit të hapur e llogaritë një lokacion tjetër (d.m.th. tjetri/i ardhshmi) për të lokalizuar një slot të lirë. Hash tabelat e bazuar në strategji të adresimit pësojnë rënie drastike të performansës, kur tabela është e mbushur fort (faktori i ngarkesës është 0.7 e më shumë).

563

Avni Rexhepi

Shembull i thjeshtë i hash tabelës Do të paraqesim në shembull të hash tabelës së thjeshtë, e cila përdorë një hash funksion të thjeshtë, ku kolizionet zgjidhen duke përdorur kontrollimin linear (strategjia e adresimit të hapur) dhe hash tabela ka madhësi konstante. Shembulli paraqet qartazi bazat e teknikës së hashingut.

Hash tabela Vargu themelor ka madhësi konstante për ruajtjen e 128 elementeve dhe secili sllot përmbanë çiftin çelës-vlerë. Çelësi ruhet për të bërë dallimin ndërmjet çifteve çelës-vlerë, të cilat kanë hash të njëjtë.

Hash funksioni Tabela lejon vetëm vlera të plota (integer). Hash funksioni që do të përdoret është mbetja e pjestimit me 128 (moduli me 128). Në aspektin e implementimit, ky hash funksion mund të kodohet përmes përdorimit të operatorit të mbetjes ose duke përdorur AND me 127 në nivel bitash. (Vërejtje: Në praktikë shpesh përdoren tabelat me madhësi të fuqisë së dyshit. Kur përdoren këto, atëherë ka edhe një hash funksion special, i cili aplikohet si shtesë e atij kryesor. Kjo masë parandalon kolizionet e hash kodeve të cilat nuk dallojnë në bitat e ulët).

Strategjia e zgjidhjes së kolizioneve Për zgjidhjen (zbërthimin) e kolizioneve do të përdoret kontrollimi linear. Nëse sloti i treguar nga hash funksioni veq është i zënë, algoritmi provon të gjejë një të zbrazët duke kontrlluar slotet në vazhdim të vargut. (Vërejtje. Kontrollimi linear nuk është teknika më e mirë në rastin e tabelës me madhësi konstante. Kur faktori i ngarkesës tejkalon një vlerë të caktuar (afërsisht 0.7), performansa e hash tabelës do të zvogëlohet jolinearisht. Gjithashtu numri i çifteve të ruajtura çelës-vlerë është i kufizuar me madhësinë e tabelës (128)).

Pjesë kodi Implementimi i këtillë ka një problem (bug). Kur nuk ka më vend në tabelë, unaza e kërkimit për slot të lirë do të punojë pandërprerë. Kjo nuk do të ndodhë në hash tabelë reale të bazuar në adresim të hapur, sepse ajo zakonisht është me madhësi dinamike (të ndryshueshme). Gjithashtu, është lënë anash implementimi i largimit (fshirjes), për të ruajtur thjeshtësinë. Implementimi i plotë do të paraqitet tek pjesa e adresimit të hapur. class HashEntry { private:

564

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave int key; int value; public: HashEntry(int key, int value) { this->key = key; this->value = value; } int getKey() { return key; } int getValue() { return value; } }; const int TABLE_SIZE = 128; class HashMap { private: HashEntry **table; public: HashMap() { table = new HashEntry*[TABLE_SIZE]; for (int i = 0; i < TABLE_SIZE; i++) table[i] = NULL; } int get(int key) { int hash = (key % TABLE_SIZE); while (table[hash] != NULL && table[hash]->getKey() != key) hash = (hash + 1) % TABLE_SIZE; if (table[hash] == NULL) return -1; else return table[hash]->getValue(); } void put(int key, int value) { int hash = (key % TABLE_SIZE); while (table[hash] != NULL && table[hash]->getKey() != key) hash = (hash + 1) % TABLE_SIZE;

565

Avni Rexhepi if (table[hash] != NULL) delete table[hash]; table[hash] = new HashEntry(key, value); } ~HashMap() { for (int i = 0; i < TABLE_SIZE; i++) if (table[i] != NULL) delete table[i]; delete[] table; } };

Hash tabela. Zgjidhja e kolizionit përmes vargëzimit (adresimi i mbyllur) Vargëzimi (angl. chaining - si shtimi i hallkave të zingjirit) është një mënyrë e mundshme e zgjidhjes/zbërthimit të kolizioneve. Secili slot i vargut përmbanë një lidhje/link për në listën e lidhur njëfish (angl. singly-linked list) e cila përmbanë çiftet çelës-vlerë me hash të njëjtë. Çiftet e reja çelës-vlerë shtohen në fund të listës. Algoritmi i kërkimit, kërkon nëpër listë për të gjetur çelësin që përshtatet. Në fillim slotet e tabelës janë të zbrazëta (përmbajnë “null”). Lista krijohet kur vlera me një hash të caktuar shtohet për herë të parë.

Analiza e kompleksitetit 566

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Duke supozuar se hash funksioni i shpërndanë hash kodet në mënyrë uniforme dhe tabela mundëson ndryshim dinamik të madhësisë, kompleksiteti i amortizuar i operacioneve të insertimit, fshirjes dhë kërkimit është konstant. Koha aktuale e marrur nga këto operacione varet linearisht nga faktori i ngarkesës së tabelës. Vërejtje. Edhe hash tabela dukshëm e ngarkuar, e bazuar në vargëzim, shfaqë performansë të mirë. Supozoni një hash tabelë me 1000 slote që ruan 100000 elemente (faktori i ngarkesës është 100). Kjo kërkon pak më shumë memorie (madhësi tabele) sesa lista e lidhur njëfish, por të gjitha operacionet themelore do të kryehen afro 1000 herë më shpejtë, në mesatare. Keni parasysh që komleksiteti llogaritës i të dyjave, listës së lidhur njëfish dhe hash tabelës me madhësi konstante është O(n). Pjesë kodi Kodi i mëposhtëm implementon vargëzimin me krerë të listës. Kjo do të thotë, se hyrjet e hash tabelës përmbajnë elementin e parë të listës së lidhur njëfish, në vend se të ruajnë pointerin për të. class LinkedHashEntry { private: int key; int value; LinkedHashEntry *next; public: LinkedHashEntry(int key, int value) { this->key = key; this->value = value; this->next = NULL; } int getKey() { return key; } int getValue() { return value; } void setValue(int value) { this->value = value;

567

Avni Rexhepi } LinkedHashEntry *getNext() { return next; } void setNext(LinkedHashEntry *next) { this->next = next; } }; const int TABLE_SIZE = 128; class HashMap { private: LinkedHashEntry **table; public: HashMap() { table = new LinkedHashEntry*[TABLE_SIZE]; for (int i = 0; i < TABLE_SIZE; i++) table[i] = NULL; } int get(int key) { int hash = (key % TABLE_SIZE); if (table[hash] == NULL) return -1; else { LinkedHashEntry *entry = table[hash]; while (entry != NULL && entry->getKey() != key) entry = entry->getNext(); if (entry == NULL) return -1; else return entry->getValue(); } } void put(int key, int value) { int hash = (key % TABLE_SIZE);

568

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave if (table[hash] == NULL) table[hash] = new LinkedHashEntry(key, value); else { LinkedHashEntry *entry = table[hash]; while (entry->getNext() != NULL) entry = entry->getNext(); if (entry->getKey() == key) entry->setValue(value); else entry->setNext(new LinkedHashEntry(key, value)); } } void remove(int key) { int hash = (key % TABLE_SIZE); if (table[hash] != NULL) { LinkedHashEntry *prevEntry = NULL; LinkedHashEntry *entry = table[hash]; while (entry->getNext() != NULL && entry->getKey() != key) { prevEntry = entry; entry = entry->getNext(); } if (entry->getKey() == key) { if (prevEntry == NULL) { LinkedHashEntry *nextEntry = entry->getNext(); delete entry; table[hash] = nextEntry; } else { LinkedHashEntry *next = entry->getNext(); delete entry; prevEntry->setNext(next); } } } } ~HashMap() { for (int i = 0; i < TABLE_SIZE; i++) if (table[i] != NULL) { LinkedHashEntry *prevEntry = NULL;

569

Avni Rexhepi LinkedHashEntry *entry = table[i]; while (entry != NULL) { prevEntry = entry; entry = entry->getNext(); delete prevEntry; } } delete[] table; } };

Hash tabela. Strategjia e adresimit të hapur Vargëzimi është mënyrë e mirë për zgjidhje të kolizioneve, mirëpo ka shpenzime shtesë të memories për të ruajtur strukturën e listave të lidhura. Nëse hyrjet janë të vogla (p.sh. integer) ose nuk ka vlera fare (p.sh. seti si ADT), atëherë shpërdorimi i memories (memoria e zënë kot) është e krahasueshme me vetë madhësinë e të dhënave. Kur hash tabela është e bazuar në strategjinë e adresimit të hapur, të gjitha çiftet çelës-vlerë janë të ruajtura në vetë hash tabelën dhe nuk ka nevojë për strukturë të jashtme të të dhënave.

Zgjidhja e kolizioneve Le të marrim në konsiderim operacionin e insertimit. Nëse sloti, çelësi në të cilin hashohet, del të jetë i zënë, algoritmi fillon të kërkoj për vend të zbrazët (angl. përdoret termi “free bucket” – kovë e lirë). Ai fillon me slotin në të cilin u hashua dhe vazhdon me “kontrollimin në varg (në sekuencë)”, gjersa të gjenë vend të lirë. Ka disa sekuenca kontrolluese: 





Kontrollimi linear (linear probing): distanca ndërmjet pikave të kontrollimit është konstante (d.m.th., 1 kur kontrollohen slotet konsekuente (të vazhdueshme, të njëpasnjëshme); Kontrollimi kuadratik (quadratic probing): distanca ndërmjet pikave kontrollueserritet sipas një konstante të caktuar në secilin hap (në këtë rast distanca deri tek sloti i parë varet mënyrë kuadratike nga numri i hapit); Hashingu i dyfishtë (double hashing): distanca ndërmjet pikave të kontrollimit llogaritet duke përdorur një hash funksion tjetër.

Strategjia e adresimit të hapur kërkon që hash funksioni të ketë karakteristika shtesë. Përveq performimit të shpërndarjes uniforme, ai duhet të evitojë grumbullimin (angl. clustering) e hash vlerave, të cila janë konsekuente në renditjen e kontrollimit. 570


Kontrollimi linear Po të kemi një hash funksionin si vijon: unsigned int hash (const string &key, int madhesiaTabeles) { ... return hashVlera % madhesiaTabeles) }

i cili e kthen vlerën në bazë të modulit më madhësinë e tabelës, atëherë për vargun e vlerave vijuese: 89, 18, 49, 58, dhe 9, në tabelën me kontrollim linear të pozitave të insertimit, do të kishim:

hash(89,10) hash(89,10) hash(89,10) hash(89,10) hash(89,10)

= = = = =

Pas insertimit të 89

9 8 9 8 9 Pas insertimit të 18



0

49

0

49

1

1

58

1

58

2

2

2

2

9

3

3

3

3

3

4

4

4

4

4

5

5

5

5

5

6

6

6

6

6

7

7

7

7

7

8

8

18

8

18

8

18

8

18

9

89

9

89

9

89

9

89

0

0

0

1

1

2

9

89

49


Pasi hash funksioni kthen: çelësiX modul madhesiaTabeles, kolizioni i parë do të ndodhë kur të insertohet 49. Në këtë rast, 49 do të insertohet në pozitën e ardhëshme në dispozicion, që është sloti/pozita 0, e cila është e lirë. Pastaj 58 ndeshet më 18, 89, dhe 49, para se të gjejë vendin e lirë në pozitën 1. Ngjashëm zgjidhet edhe kolizioni për 9. Përderisa tabela është mjaft e madhe, 571

Avni Rexhepi gjithmonë do të gjindet një vend i lirë. Mirëpo, koha e nevojshme për të gjetur vend të lirë mund të rritet shumë. Për shembull, nëse ka vetëm një vend të lirë të mbetur, mund të ketë nevojë që të kërkohet përgjatë tërë tabelës për ta gjetur atë. Në kërkimin linear, kolizionet zgjidhen duke bërë skenimin sekuencial të vargut (me rrotullim) deri sa të gjendet një vend i lirë.

Mesatarisht do të pritej që të kemi nevojë të kërkojmë nëpër gjysmën e tabelës për ta gjetur atë, gjë që është shumë larg (shumë më tepër) sesa koha konstante për qasje, për të cilën do të shpresonim. Por, nëse tabela mbahet relativisht e zbrazët, insertimet nuk do të jenë shumë të kushtueshme. Algoritmi i kërkimit thjeshtë do të ndjekë të njejtën rrugë sikurse algoritmi i insertimit. Nëse arrinë në slot të zbrazët, elementi që kërkohej nuk është gjetur, përndryshe, në fund do të gjindet elementi i kërkuar. Për shembull, për të gjetur vlerën 58, fillojmë nga sloti 8 (si tregohet nga hash funksioni). Aty gjejmë një vlerë, por nuk është ajo e kërkuara, kështu që vazhdojmë në slotin 9. Përsëri, kemi element, por jo atë të duhurin, kështu që vazhdojmë tutje dhe provojmë slotin 0 (lëvizja me rrotullim, qarkore), pastaj slotin 1 deri sa të arrijmë përshtatje (vlera e kërkuar të gjindet). Kërkimi për vlerën 19 do të përfshinte tentimet në slotet: 9, 0, 1 dhe 2, para se të arrinte në vendin (slot-in) e zbrazët 3. Prandaj, do të thotë që vlera e kërkuar (19) nuk është gjetur. Sa i përket fshirjes, nuk mund të performohet fshirja e zakonshme, sikur në rastin e pemës binare të kërkimit, sepse një element në hash tabelë, nuk e reprezenton vetëm vetëveten, por ai poashtu i lidhë edhe elementet tjera, duke shërbyer si “placeholder” (angl. place-vend, holder-mbajtës, pra mbajtës i pozitës, vendit) gjatë zgjidhjes së kolizioneve. Prandaj, nëse do të kishim larguar vlerën 89 nga hash tabela, virtualisht të gjitha operacionet vijuese të kërkimit do të dështonin. Rrjedhimisht, implementohet “lazy deletion” (fshirja përtace, e vonuar) ose elementet vetëm shënohen si të fshira në vend se të largohen fizikisht nga tabela. Kjo informatë regjistrohet në një element shtesë (extra) të tabelës. Secili element ose është aktiv ose i fshirë (angl. deleted). Nëse të dhënat në hash tabelë janë stringje ose kombinime (jo vetem numra të plotë), do të kemi rastin si në vijim:

572


Nëse për zgjidhjen e kolizioneve përdoret metoda e kontrollimit kuadratik, do të eliminohet problemi kryesor i grupimeve, i kontrollimit linear, ku në pozita të njëpasnjëshme vendosen elementet që kanë kolizion. Kontrollimi kuadratik analizon qelulat (vendet, slotet) larg prej pikës fillestare të kontrollimit. Emri i tij rrjedh nga përdorimi i formulës F(i)=i2, e cila përdoret për zgjidhje të kolizioneve. Në mënyrë specifike, nëse hash funksioni rezulton në H dhe qelula H del se është jopërfundimtare (vendi është i zënë), nuk provohet qelula vijuese menjëherë në vazhdim, por provohen qelulat H+12, H+22, H+32...H+i2 (duke përdorur rrotullimin, kalimin prej fundit në fillim). Kjo strategji dallon nga strategjia e kërkimit linear: H+1, H+2, ...H+i. Kontrollimi linear i analizon pozitat sekuenciale 1, 2, 3...; Kontrollimi kuadratik analizon pozitat: 1, 4, 9, .... larg nga pozita fillestare e kërkimit.

Figura vijuese paraqet tabelën në rastin e përdorimit të kontrollimit kuadratik, për insertimin e sekuencës së njëjtë që e përdorëm më parë: 89, 18, 49, 58, dhe 9.

573

Avni Rexhepi hash(89,10) hash(89,10) hash(89,10) hash(89,10) hash(89,10)

= = = = =


9 8 9 8 9 Pas insertimit të 18


49


0

0

0

0

1

1

1

1

2

2

2

2

3

3

3

4

4

5

49


0

49

1 2

58

3

3

9

4

4

4

5

5

5

5

6

6

6

6

6

7

7

7

7

7

8

8

18

8

18

8

18

8

18

9

89

9

89

9

89

9

89

9

89

58

Kur ndodhë kolizioni i parë, gjatë insertimit të 49 (kolizion me 89), altertantiva e parë është një qelulë më tutje (0). Pasi është e lirë, 49 vendoset aty. Pastaj, 58 ndeshet me 18 (në pozitën 8). Pozita 9 (një vend më tutje) është e zënë, kështu që qelula e zbrazët gjindet në tentimin e ardhëshëm, që është 22=4 pozita më tutje prej hash pozitës fillëstare. Kështu, 58 vendoset në qelulën (vendin, slotin) 2. Ngjashëm vazhdohet për vlerat tjera në vijim. Vëreni që lokacionet alternative për elementet të cilat hash-ohen në pozitën 8 dhe lokacionet alternative për elementet që hash-ohen në pozitën 9, nuk janë të njëjta. Sekuenca e provave (kontrollimeve) për insertim të 58 nuk ndikon në insertimin pasues të 9, gjë që është ndryshe nga ajo që ndodhte tek kontrollimi linear. Në këtë rast, madhesia e tabelës nuk është e përshtatshme, sepse zakonisht zgjedhet vlerë që është numër primar, për të pasur implementim më efikas. Duhet sqaruar disa detaje. Në kontrollimin linear, secila provë tenton qelula të ndryshme. A garanton kontrollimi kuadratik këtë gjë, që kur tentohet një qelulë, atë nuk e kemi provuar gjatë procesit aktual të insertimit. A garanton kontrollimi kuadratik që kur është duke u insertuar X dhe tabela nuk është e mbushur, atëherë X do të insertohet? Kontrollimi linear implementohet lehtë. Kontrollimi kuadratik duket të kërkojë operacionet e shumëzimit dhe modulit. Ky kompleksitet i shtuar, a e bën kontrollimin kuadratik jopraktik për t’u implementuar? Çka ndodhë (në të dy 574

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave rastet e kontrollimit) kur faktori i ngarkesës bëhet shumë i madh? A mund të zgjerohet tabela në mënyrë dinamike, siç veprohet zakonisht me strukturat e bazuara në vargje? Për fat, përgjigjet janë relativisht të mira në të gjitha rastet. Nëse madhësia e tabelës është numër primar dhe faktori i ngarkesës nuk e tejkalon vlerën 0.5, gjithnjë do të mund të insertohet elementi i ri X dhe asnjë qelulë nuk do të provohet dy herë gjatë qasjes. Sidoqoftë, për të vlejtur këto garancione, duhet të sigurohet që madhësia e tabelës është numër primar. Nëse madhësia e tabelës është numër primar dhe faktori i ngarkesës nuk është më i madh se 0.5, të gjitha provat do të jenë në lokacione të ndryshme dhe gjithmonë do të ketë mundësi për të insertuar elementet.

Operacioni i largimit Ka disa nuanca, kur bëhet largimi i çelësit nga hash tabela bëhet me adresim të hapur. Merrni në konsiderim rastin vijues:

Nëse algoritmi thjeshtë e liron pozitën “Sandra Miller”, struktura e tabelës do të prishet. Algoritmi nuk do të ketë sukses në tentimin për të gjetur çelësin “Andrew Wilson”. Në fakt, çelësi “Andrew Wilson” është i hashuar në “slotin e kuq”. Sloti përmbanë çelës tjetër dhe algoritmi i kontrollimit linear do të tentojë të gjejë “Andrew Wilson” në pozitën e ardhshme (në vazhdim, konsekuente), por ajo është e zbrazët:

575

Avni Rexhepi

Zgjidhja është si vijon. Në vend se vetëm të fshijë çelësin, algoritmi e shkruan vlerën speciale “DELETED” (angl. e fshirë) në atë slot.

Tani algoritmi i kërkimit do të punojë si duhet. Algoritmi i insertimit do të duhej të përdorë slotet e fshira, kur të jetë e mundur. Vërejtje. Ky algoritëm e zgjidhe problemin, por me kohë hash tabela do të bëhet e mbushur me hyrjet "DELETED", gjë që ndikon keq në performansë. Nëse hash tabela duhet të lejojë largimin (fshirjen) e elementeve, atëhëre vargëzimi është mënyrë më e preferuar për zgjidhjen e kolizioneve. 576


Analiza e kompleksitetit Hash tabelat e bazuara në adresim të hapur janë shumë më të ndjeshme në zgjedhjen e duhur të hash funksionit. Nën supozimin se hash funksioni është i mirë dhe hash tabela është e dimensionuar mirë, komoleksiteti i amortizuar i operacioneve të insertimit, fshirjes dhe kërkimit është konstant. Performansa e hash tabelave të bazuara në skemën e adresimit të hapur është shumë e ndjeshme në faktorin e ngarkesës së tabelës. Nëse faktori i ngarkesës kalon pragun 0.7, shpejtësia e tabelës degradon drastikisht. Në të vërtetë, gjatësia e sekuencës së kontrollimit është proporcional me vlerën: (faktoriNgarkeses) / (1 – faktoriNgarkeses). Në rastet ekstreme, kur faktoriNgarkeses i afrohet 1-shit, gjatësia e sekuencës i afrohet vlerës pakufi. Në praktikë, kjo do të thotë se nuk ka slote të lira në tabelë dhe algoritmi kurrë nuk do të gjejë vend për të insertuar elementin e ri. Prandaj, ky lloj i hash tabelave duhet të përkrahë ndryshimin dinamik të madhësisë në mënyrë që të jetë efikas.

Adresimi i hapur kundrejt vargëzimit Vargëzimi (Chaining)

Adresimi i hapur Open addressing

Zgjidhja e kolizioneve Duke përdorur strukturë të Duke përdorur vetë hash jashtme të të dhënave tabelën Shpenzimi i kotë i memories

Mbingarkim sa mëdhësia e pointerit për vlerë (duke 1 Nuk ka mbingarkim (overhead) ruajtur krerët e listës në tabelë)

Varësia e performansës nga Direkt proporcional faktori i ngarkesës së tabelës

Proporcional me (faktoriNgark.) / (1-faktoriNgark.)

Lejon të ruaj më shumë vlera sesa madhisa e hash tabelës

Po

Jo. Për më tepër, rekomandohet mbajtja e faktorit të ngarkesës nën 0.7

Kërkesat për Hash funksionin

Shpërndarje Uniforme

Shpërndarje Uniforme, duhet evituar grumbullimin (clustering)

Trajtimi i fshirjeve

Fshirjet janë OK

Fshirjet e mbushin hash tabelën më vlerat "DELETED"

Implementimi

I thjeshtë

Implementimi korrekt i hash tabelës së bazuar në adresim të hapur është mjaft i ndërlikuar

577

Avni Rexhepi Hash tabelat me vargëzim mund të punojnë në mënyrë efikase me faktorë të ngarkesës më shumë se 1. Në të njëjtën kohë, tabelat e bazuara në skemën e adresimit të hapur kërkojnë që faktori i ngarkesës të mos kalojë vlerën 0.7, për të qenë efikase. Prandaj, 30% e sloteve mbesin të zbrazëta, gjë që çon në shpërdorim të dukshëm të memories. Pjesë kodi Kodi i mëposhtëm implementon kontrollimin linear. Implementimi aktual është i mbrojtur nga hyrja në unazë të pafund. class HashEntry { private: int key; int value; public: HashEntry(int key, int value) { this->key = key; this->value = value; } int getKey() { return key; } int getValue() { return value; } void setValue(int value) { this->value = value; } }; class DeletedEntry: public HashEntry { private: static DeletedEntry *entry; DeletedEntry() : HashEntry(-1, -1)

578

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave { } public: static DeletedEntry *getUniqueDeletedEntry() { if (entry == NULL) entry = new DeletedEntry(); return entry; } }; DeletedEntry *DeletedEntry::entry = NULL; const int TABLE_SIZE = 128; class HashMap { private: HashEntry **table; public: HashMap() { table = new HashEntry*[TABLE_SIZE]; for (int i = 0; i < TABLE_SIZE; i++) table[i] = NULL; } int get(int key) { int hash = (key % TABLE_SIZE); int initialHash = -1; while (hash != initialHash && (table[hash] == DeletedEntry::getUniqueDeletedEntry() || table[hash] != NULL && table[hash]->getKey() != key)) { if (initialHash == -1) initialHash = hash; hash = (hash + 1) % TABLE_SIZE; } if (table[hash] == NULL || hash == initialHash) return -1; else return table[hash]->getValue();

579

Avni Rexhepi } void put(int key, int value) { int hash = (key % TABLE_SIZE); int initialHash = -1; int indexOfDeletedEntry = -1; while (hash != initialHash && (table[hash] == DeletedEntry::getUniqueDeletedEntry() || table[hash] != NULL && table[hash]->getKey() != key)) { if (initialHash == -1) initialHash = hash; if (table[hash] == DeletedEntry::getUniqueDeletedEntry()) indexOfDeletedEntry = hash; hash = (hash + 1) % TABLE_SIZE; } if ((table[hash] == NULL || hash == initialHash) && indexOfDeletedEntry != -1) table[indexOfDeletedEntry] = new HashEntry(key, value); else if (initialHash != hash) if (table[hash] != DeletedEntry::getUniqueDeletedEntry() && table[hash] != NULL && table[hash]->getKey() == key) table[hash]->setValue(value); else table[hash] = new HashEntry(key, value); } void remove(int key) { int hash = (key % TABLE_SIZE); int initialHash = -1; while (hash != initialHash && (table[hash] == DeletedEntry::getUniqueDeletedEntry() || table[hash] != NULL && table[hash]->getKey() != key)) { if (initialHash == -1) initialHash = hash; hash = (hash + 1) % TABLE_SIZE;

580

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave } if (hash != initialHash && table[hash] != NULL) { delete table[hash]; table[hash] = DeletedEntry::getUniqueDeletedEntry(); } } ~HashMap() { for (int i = 0; i < TABLE_SIZE; i++) if (table[i] != NULL && table[i] != DeletedEntry::getUniqueDeletedEntry()) delete table[i]; delete[] table; } };

Hash tabela. Ndryshimi dinamik i madhësisë Me rritjen e faktorit të ngarkesës së hash tabelës, numri i kolizioneve rritet, gjë që çond në zvogëlimin e performansës së përgjithshme të tablelës. Kjo është e durueshme për hash tabelat me vargëzim, por e papranueshme për tabelat e bazuar në adresim të hapur, për shkak të rënies esenciale të performansës. Zgjidhje për këtë është ndryshimi i madhësisë së tabelës, kur faktori i ngarkesës të tejkalon pragun e dhënë. Gjithashtu, kur tabela bëhet shumë e rrallë, është e arsyeshme që të “paketohet” vargu për të kursyer hapësirën.

Algoritmi i ndryshimit të madhësisë Mbani mend që vlerat e hash tabelës varen nga madhësia e tabelës. Prandaj, hashet e hyrjeve ndryshojnë kur të ndryshojë madhësia e tabelës dhe algoritmi nuk mundet vetëm të kopjojë të dhënat nga vendi i vjetër i ruajtjes në të riun. Për hash funksionin e përgjithshëm e vetmja gjë që duhet bërë është të kalohet nëpër tërë hash tabelën e vjetër dhe të shtohet (insertohet) secila vlerë në tabelën e re.

Analiza e kompleksitetit Ndryshimi dinamik i madhësisë nuk ndikon në kompleksitetin e amortizuar të operacioneve të hash tabelës. Por, ndryshimi bëhet përnjëherë dhe operacioni i cili e inicion ndryshimin e madhësisë merr kohën O(n) për t’u kompletuar, ku n 581

Avni Rexhepi është numri i vlerave në tabelë. Ky fakt mund t’a bëjë hash tabelën me madhësi dinamike, të papërshtatshme për alikacione real-time (angl. real-time - kohë reale). Një tjetër implementim i plotë i Hash Tabelës është dhënë në shtojcën në fund të librit.

Hash tabela ndaj pemës binare të kërkimit Për të implementuar insertimin dhe kërkimin mund të përdoren edhe pemët binare të kërkimit. Megjithëse kohët mesatare rezultuese janë në kufijtë O(log N), pemët binare të kërkimit gjithashtu përkrahë funksionet të cilat kërkojnë renditje dhe prandaj janë më të fuqishme. Duke përdorur hash tabela, nuk mund të gjejmë elementin minimal në mënyrë efikase ose të zgjedrojmë tabelën për të lejuar llogaritjen e statistikës së rendit. Nuk mund të kërkojmë në mënyrë efikase ëpr ndonjë string, përveç nëse stringu i saktë është i njohur. Pema binare e kërkimit do të mund të gjente shumë shpejt të gjitha elementet në një rang (brez) të caktuar, por kjo aftësi nuk përkrahet nga hash tabelat. Për më tepër, kufiri O(log N) nuk është domosdoshmërisht aq shumë në krahasim me O(1), posaqërisht pasi që nga pemët e kërkimit nuk kërkohen shumëzime ose pjestime. Përdorni hash tabelë në vend të pemës binare të kërkimit nëse nuk ju duhen statistika të renditjes dhe nuk brengoseni për hyrjet jo të rastit.

Rasti më i keq për hash-ing në përgjithësi rezulton prej një gabimi të implementimit, ndërsa hyrja e sortuar mund të bëjë që pema binare e kërkimit të performojë dobët. Pemët e balansuara janë implementim mjaft i kushtueshëm. Së këndejmi, nëse nuk kërkohet informacion për renditje dhe nuk ka dyshime se hyrja mund të jetë e sortuar, hash-i është struktura e duhur e të dhënave. Aplikimet e hash tabelave Aplikacionet me hash janë të shumta. Kompajlerët i përdorin hash tabelat për të përcjellur variablat e deklaruar në kodin burimor. Struktura e të dhënave në këtë rast quhet tabelë e simboleve. Hash tabelat janë aplikacion ideal për këtë problem sepse kryhen vetëm operacinet e insertimit dhe kërkimit. Identifikatorët zakonisht janë të shkurtër, kështu që hash funksioni mund të llogaritet shpejtë. Në këtë aplikacion, shumica e kërkimeve janë të suksesshme. Një përdorim i zakonshëm i hash tabelave janë programet e lojrave. Gjersa programi kërkon nëpër rreshtat e ndryshëm të lojës, ai përcjellë pozitat që i ka hasur duke llogaritur hash funksionin e bazuar në pozitë (dhe duke ruajtur lëvizjen e tij për atë pozitë). Nëse ndodhë përsëri pozita e njëjtë, zakonisht përmes nëj ndërrim vendesh (angl. transposition) të lëvizjeve, programi mund të 582

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave evitojë rillogaritjet e kushtueshme. Kjo karakteristikë e përgjithshme e programeve të lojrave quhet tabelë e transpozicioneve. Përdorim tjetër i zakonshëm i hash tabelave është në “spell checker”-ët online (angl. spell check – verifikim i gabimeve të shtypit). Nëse detektimi i gabimeve është i rëndësishëm (në krahasim me korrektimin), mund të prehash-ohet një fjalor i plotë dhe fjalët mund të verifikohen në kohë konstante. Hash tabelat janë të përshtatshme për këtë qëllim pasi që fjalët nuk duhet të jenë të renditura alfabetikisht. Shtypja e gabimeve në renditjen në të cilën kanë ndodhur në dokument është e pranueshme. Si përmbledhje, hash tabelat mund të përdoren për të implementuar operacionet e insertimit dhe kërkimit në kohë konstante. Kujdesi për detajet si faktori i ngarkesës është posaqërisht i rëndësishëm në përdorimin e hash tabelave, përndryshe kufijtë e kohës konstante nuk kanë domethënie. Zgjidhja e kujdesshme e hash funksionit poashtu është e rëndësishme kur çelësi nuk është string i shkurtër ose integer. Duhet zgjedhur një funksion që llogaritet lehtë dhe që bën shpërndarje të mirë. Për hash me vargëzim të veçantë, faktori i ngarkesës në mënyrë tipike është afër 1-shit, edhe pse performansa nuk degradon dukshëm përveq nëse faktori i ngarkesës është shumë i lartë. Për kontrollimin kuadratik, madhësia e tableës duhet të jetë numër primar dhe faktori i ngarkesës nuk duhet të tejkalojë 0.5shin. Rihash-imi duhet të përdoret për kontrollimin kuadratik për të lejuar rritjen e tabelës dhe për të mirmbajtur faktorin korrekt të ndarkesës. Kjo qasje është e rëndësishem nëse hapësira është e ngjeshur dhe nuk është e mundshme thjeshtë vetëm të deklarohet hash tabela shumë e madhe.

583

Avni Rexhepi

12. STL STL-i (Standard Template Library – Libraria standarde e templlejtave) ofron një numër të madh të shablloneve të kontejnerëve dhe të algoritmeve të përgjithshme të cilat operojnë në një numër të madh të kontejnerëve.

STL Kontejnerët Kontejnerët standard Kontejneri është objekt mbajtës që ruan një koleksion të objekteve të tjera (elementet e tij). Kontejnerët implementohen si templlejta të klasave, të cilat ofrojnë fleksibilitet të lartë për tipet e përkrahura si elementet të tyre. Kontejneri menaxhon hapësirën memorike për elementet e tij dhe ofron funksionet për qasje në to, ose drejtpërdrejt ose përmes iteratorëve (referencave). Kontejnerët replikojnë strukturat e përdorura zakonisht në programim: vargjet dinamike (vector), reshtat (queue), stekun (stack), pirgun (priority_queue), listat e lidhura (list), pemët (set) dhe vargjet asociative (map). Shumë kontejnerë kanë disa funksione anëtare (member functions) të përbashkëta dhe bashkëndajnë funksionalitetin e tyre. Vendimi se cili tip i kontejnerit të përdoret për cilin problem specifik, nuk varet në përgjithësi vetëm nga funksionaliteti i ofruar nga kontejneri, por poashtu edhe nga efikasiteti i disa prej anëtarëve të tij (kompleksiteti). Kjo është posaqërisht e vërtetë për kontejnerët e sekuencave, të cilët ofrojnë “pazare” në kompleksitet ndërmjet insertimit/largimit të elementeve dhe qasjes në to. , dhe janë implementuar si adaptorë të kontejnerëve. Adaptorët e kontejnerëve nuk janë klasa të plota të kontejnerëve, por klasa të cilat ofrojnë interfejs specifik që mbështetet në ndonjë objekt të klasave të kontejnerëve (si p.sh. deque ose list) për të trajtuar elementet. Kontejnerët nën sipërfaqe janë të enkapsuluar në atë mënyrë që elementet e tyre qasen nga ana e anëtarëve të adaptorëve të kontejnerëve pavarësisht prej kontejner klasës nën sipërfaqe, që përdoret. Templejtat e klasave të kontejnerëve

584


Sequence containers (kontejnerët e sekuencave/vargjeve/fushave): array vector deque forward_list list

Klasa ‘Array’ (e vargut) (class template) Vector/Vektor (class template) Double ended queue (rresht me dy skaje) (class template) Lista përpara (e lidhur vetwm nw njw kahje) (class template) Lista (class template)

Container adaptors (adaptorët e kontejnerëve): LIFO steku (class template) stack FIFO queue (class template) queue priority_queue Rreshti me prioritet (class template)

Associative containers (kontejnerwt asociativ): set multiset map multimap

set (class template) set me çelësa të shumwfisht/duplikat (class template) map (class template) map me çelësa të shumwfisht/duplikat (class template)

Unordered associative parenditur): unordered_set unordered_multiset unordered_map unordered_multimap

containers

(kontejnerwt

asociativ

tw

set i parednitur (class template) multiset i parenditur (class template) map i parennditur (class template) multimap e parenditur (class template)

Tiparet e kontejnerëve Sekuenca Elementet në kontejnerë të sekuencave janë të renditur në sekuencë lineare strikte. Elementet individuale janë të qasshme në bazë të pozitës së tyre në këtë sekuencë. Listat e lidhura dyfish Secili element mbanë informacionet për të lokalizuar elementin paraprak dhe pasardhës, duke mundësuar operacione të insertimit dhe fshirjes në kohë konstante para ose pas elementit specifik (bile edhe për rangje të tëra), por nuk ka qasje direkte të rastit. Të vetëdijshme për alokator (Allocator-aware) Kontejneri përdorë një objekt alokator (shpërndarës) për të trajtuar (manipuluar) kërkesat e veta për hapësirë memorike.

585

Avni Rexhepi

Kontejnerët: (prej versionit C++ 11 e tutje) - Array header-i Header-i që definon kontejner klasën e vargut me madhësi fikse. Klasat: array (class template ) Funksionet: begin – Iterator-i për fillimin e vargut (function template ) end – Iteratori për fundin e vargit (function template ) template < class T, size_t N > class array; Array class

Vargjet janë kontejner të sekuencave me madhësi fikse. Ata mbajnë një numër specifik të elementeve të renditur në sekuencë lineare strikte. Së brendi (angl. internally), vargu nuk mbanë të dhëna të tjera përveq elementeve të tij (as edhe madhësinë e tij, e cila është parametër i templejtit, i fiksuar në kohën e kompajlimit). Sa i përket madhësisë në memorie është po aq efikas sa edhe një varg i zakonshëm, i deklaruar me sintaksën e C++, përmes kllapave të mesme ([ ]). Kjo klasë vetëm shton një shtresë të anëtarëve dhe funksioneve globale, ashtu që vargu të mund të përdoret si kontejnerët standard. Për dallim prej kontejnerëve të tjerë standard, vargjet (arrays) kanë madhësi fikse dhe nuk e menagjojnë alokimin e elementeve të tyre përmes alokatorit: ata janë një tip përmbledhës që enkapsulon elementet e vargut me madhësi fikse. Së këndejmi, ata nuk mund të rriten ose zvogëlohen në mënyrë dinamike (gjatë kohës së ekzekutimit), gjë që është e mundur me vargun e krijuar përmes klasës . Vargjet me madhësi zero janë valid, por nuk duhet të dereferencohen (anëtarët: front, back, dhe data). Për dallim prej kontejnerëve të tjerë të STL-it (librarisë standarde), shkëmbimi i dy vargjeve është operacion linear që përfshinë shkëmbimin e të gjitha elementeve në rangjet individuale, gjë që në përgjithësi është operacion dukshëm më jo-efikas. Në anën tjetër, kjo lejon që iteratorët në të dy kontejnerët të ruajnë ndërlidhjen e tyre me kontejnerin origjinal. Tiparet e kontejnerit : Sekuenca: elementet në kontejnerin e vargut (sekuencës) janë të renditur në renditje lineare strikte. Elementet individuale qasen sipas pozitës së tyre në varg. Ruajtja në lokacione të njëpasnjëshme: elementet ruhen në lokacione të njëpasnjëshme në memorie, gjë që mundëson kohë konstante të qasjes me 586

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave rastësi të elementeve. Pointerët në një element mund të “zhvendosen” (angl. offset) për të ju qasur elementeve të tjera. Madhësi fikse: Kontejneri përdorë konstruktorët dhe destruktorët e brendshëm (implicit) për të alokuar hapësirën e kërkuar në mënyrë statike. Madhësia e vargut është konstante e kohës së kompajlimit. Nuk ka mbingarkim memorik ose kohor.

Parametrat e templejtit template < class T, size_t N > class array;

T - Tipi i elementeve të vargut. “Aliased” (angl. alias – nofkë, pseudonim) si tipi i anëtarit: array::value_type. N - Madhësia e vargut, në terma të numrit të elementeve. Në referencat për funksionet (member functions), të array, këta emra të njëjtë supozohen për paramterat te templejtit. Tipet e anëtarëve (Member types) Aliaset vijuese janë tipe të anëtarëve të vargut (array). Këto përdoren gjerësisht si tipe të parametrave dhe vlerave të kthyera (me return) nga ana e funksioneve anëtare (member functions): value_type, reference, const_reference, pointer, const_pointer, iterator, const_iterator, reverse_iterator, const_reverse_iterator, size_type, difference_type.

Funksionet (funksionet e klasës, Member functions) Iteratorët begin end rbegin rend cbegin cend crbegin crend

Kthe (me return) iteratorin në fillimin e vargut (funksion publik) Kthe iteratorin në fund të vargut (funksion publik) Kthe iteratorin revers (vargu i rrotulluar anasjelltas, me renditje të kundërt) në fillimin revers (funksion publik) Kthe iteratorin revers për fundin revers(funksion publik) Kthe iteratorin konstant për fillimin (funksion publik) Kthe iteratorin konstant për fundin (funksion publik) Kthe iteratorin revers konstant për fillimin revers (funksion publik) Kthe iteratorin revers konstant për fundin revers (funksion publik)

Kapaciteti size

Kthe madhësinë e vargut (numri i anëtarëve) (funksion publik) 587

Avni Rexhepi max_size Kthe vlerën maksimale ((funksion publik) empty Testo/verifiko a është vargu i zbrazët (funksion publik) Qasja në elemente operator[ ] at front back data

Qasju elementit (funksion publik) Qasju elementit (funksion publik) Qasju elementit të parë (funksion publik) Qasju elementit të fundit (funksion publik) Merr pointerin në vlerë (funksion publik)

Modifikatorët fill swap

Mbushe vargun me vlerë (funksion publik) Shkëmbe përmbajtjen (funksion publik)

Shembulli 1: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

// array::begin shembull #include #include //using namespace std; int main () { std::array varguIm = { 2, 16, 77, 34, 50 }; std::cout << "elementet e vargut tim:"; for( auto it=varguIm.begin(); it!=varguIm.end(); ++it ) std::cout << ' ' << *it; std::cout << '\n'; return 0; }

Rezultati/Dalja:

elementet e vargut tim: 2 16 77 34 50

Nëse nuk deklarohet përdorimi i emërtimeve standarde nga libraria “std”, (rreshti 4 është koment në këtë rast), atëherë për secilin urdhër duhet shënuar së pari prej cilës librari vjen, në formën: std::cout (përmes operatorit :: - “scope resolution operator”). 588

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Në rreshtin 8, është deklaruar vargu “vargu-im” dhe janë inicializuar vlerat e elementeve (antëarëve). Në rreshtin 11 deklarohet unaza “for” (në versionin 11, me opcionin “auto” dhe me iteratorin “it”). Iteratori “lëvizë” prej vargu-im.begin( ) (funksioni begin, që kthen fillimin e vargut/anëtarin e parë) deri tek vargu-im.end( ) (funksioni end( ), që kthen fundin e vargut/elementin e fundit). Pra, përmes funksioneve përkatëse, kthehen fillimi dhe fundi i vargut. Në rreshtin 12, dereferncohet vlera e anëtarit (përmes pointerit “*it”). Shembulli 2: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

// array::front #include #include using namespace std; int main () { array varguIm = {2, 16, 77}; cout << "fillimi: "<< varguIm.front() <
// 2 // 77

varguIm.front() = 100; cout << "varguIm tani permbane:"; for ( int& x : varguIm ) cout << ' ' << x; cout << '\n'; return 0; }

Rezultati/dalja: fillimi: 2 fundi: 77 varguIm tani permbane: 100 16 77

Shembulli 3: 1 2 3 4 5 6

// array::front #include #include using namespace std; int main ()

589

Avni Rexhepi 7 { 8 array varguIm = {2, 16, 77}; 9 cout<<"fillimi: "<
// 2 // 77

Rezultati/dalja: fillimi: 2 fundi : 77 varguIm tani permbane: 100 16 77

Në rreshtin 9, i qasemi elementit të parë (fillimt të vargut), përmes funksionit “front”, emriiVargut.front( ), ndërsa në rreshtin 10, elementit të fundit (fundit të vargut), përmes funksionit “back”, emriiVargut.back( ). Shembulli 4: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

// array::at #include #include using namespace std; int main () { array varguIm; // caktohen disa vlera: for (int i=0; i<10; i++) varguIm.at(i) = i+1; // shtyp përmbajtjen: cout << "varguIm permbane:"; for (int i=0; i<10; i++) cout << ' ' << varguIm.at(i); cout << '\n'; return 0; }

Rezultati/dalja: 590

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave varguIm permbane: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Funksioni at( ), (angl. at – në, te, tek), që nënkupton elementi në pozitën me indeksin përkatës, p.sh. varguIm.at(0), i bie elementi në pozitën 0, gjegjësisht elementi i parë i vargut. Në këtë shembull, përmes unazës for, lëvizim nga indeksi 0 deri tek indeksi 9, kështu që urdhëri 15 që ndodhet brenda unazës, shtypë me radhë të gjithë anëtarët e vargut, në pozitat prej 0 deri në 9, përmes funksionit varguIm.at(i). “Zëvendësim” për funksionin at( ), është operatori i qasjes [ ] (si në shembullin vijues). Shembulli 5: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

// array::operator[] #include #include using namespace std; int main () { array varguIm; unsigned int i; // cakto vlerat: for (i=0; i<10; i++) varguIm[i]=i; // print content cout << "varguIm permbane vlerat:"; for (i=0; i<10; i++) cout << ' ' << varguIm[i]; cout << '\n'; return 0; }

Rezultati/dalja: varguIm permbane vlerat: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Përmes unazës në rreshtin 12, secilit anëtarë në pozitën “i”, i japim vlerën përmes operatorit [ ], që nënkupton anëtarin në pozitën e shënuar brenda kllapave të mesme, gjegjësisht operatorit të pozitës. Shembulli 6: 1 // array::fill 2 #include

591

Avni Rexhepi 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

#include using namespace std; int main () { array varguIm; varguIm.fill(5); cout << "varguIm permbane:"; for ( int& x : varguIm) {cout << ' ' << x; } cout << '\n'; return 0; }

Rezultati/dalja:

varguIm permbane: 5 5 5 5 5 5

Në rreshtin 7, bëhet deklarimi i vargut përmes formës: array emri;

me ç’rast, rezervohet hapësira për numrin e anetareve të deklaruar, në ketë rast, 6 anëtarë të tipit “int”. Në rreshtin 9, përmes funksionit fill(x), (angl. fill – mbush, mbushje), mbushet vargu me vlerën e zgjedhur të x-it (në këtë rast, 5). Shembull 7: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

// array::rbegin/rend #include #include using namespace std; int main () { array varguIm = {1, 2, 3, 4, 5} ;

592

cout<<"\nvarguIm "<<(varguIm.empty() ? "eshte i zbrazet" : "nuk eshte i zbrazet")<<'\n'; cout << "varguIm permbane:"; for (auto it=varguIm.begin();it
Algoritmet dhe strukturat e të dhënave 18 for (auto rit=varguIm.rbegin();rit
varguIm nuk eshte i zbrazet varguIm permbane: 1 2 3 4 5 varguIm mbrapsht: 5 4 3 2 1

Opcioni “auto” mundëson bashkësisë/vargut.

përshkimin

automatik

të

anëtarëve

të

Në rreshtin 10, përmes funksionit “empty” (angl. empty – i zbrazët), testohet a është vargu i zbrazët? Në unazën e for, (rreshti 13) deklarohet iteratori (it-shkurtesa për iterator) i cili përmes funksioneve begin( ) (angl. begin – fillimi) dhe end( ) (angl. end – fundi) bën përshkimin e vargut. Pastaj, në unazën e dytë for (rreshti18) deklarohet iteratori revers (rit-shkurtesa për revers iterator) i cili përmes funksioneve rbegin( ) (angl. reverse begin – fillimi i kundërt) dhe rend( ) (angl. reverse end – fundi i kundërt) bën përshkimin e vargut në anën e kundërt.

593

Avni Rexhepi

- Steku Stack header-i

Header-i që definon kontejner klasën stack. Klasa: stack (LIFO stack) Steku është tip i kontejnerit adaptor, i dizajnuar në mënyrë specifike për të operuar në kontekstin LIFO (angl. Last-in First-out - I fundit brenda, i pari jashtë), ku elementet insertohen dhe nxirren vetëm nga njëri skaj i kontejnerit. Steku implementohet si adaptor kontejneri, që është klasë që përdorë një objekt të enkapsuluar të klasës specifike të kontejnerit si nën-kontejner, duke ofruar një set specifik të funksioneve anëtarë për të ju qasur elementeve të tij. Elementet shtyhen/nxirren nga skaji i kontejnerit, i njohur is ‘top’ (angl. Top – Krye, Maje, Kulm). Nën-kontejneri mund të jetë cilido templejt i klasës së kontejnerit standard ose ndonjë klasë e dizajnuar posaqërisht. Kontejneri duhet të përkrahë operacionet vijuese: 

empty (i/e zbrazët, zbraze)



size (madhësia)



back (fundi, pjesa e pasme)



push_back (shtyje)



pop_back (tërhiqe)

Klasat standarde që i plotësojnë këto kërkesa jan: , dhe . Shembull 1: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

#include #include #include using namespace std; int main () { stack stekuIm; int shuma (0); for(int i=1;i<=10;i++) stekuIm.push(i);

594

// cout // setw // stack

//mbushe stekun me vlerat: 1,2,...,10

while (!stekuIm.empty()) //gjersa steku nuk eshte i zbrazet { cout<<"Madhesia aktuale e stekut: " <
Algoritmet dhe strukturat e të dhënave 17 18 19 20 21 22 23 24 25 }

cout<<"Ne krye: "<
"<
Rezultati/dalja: Madhesia aktuale e stekut: 10; Ne krye: 10 Madhesia aktuale e stekut: 9; Ne krye: 9 Madhesia aktuale e stekut: 8; Ne krye: 8 Madhesia aktuale e stekut: 7; Ne krye: 7 Madhesia aktuale e stekut: 6; Ne krye: 6 Madhesia aktuale e stekut: 5; Ne krye: 5 Madhesia aktuale e stekut: 4; Ne krye: 4 Madhesia aktuale e stekut: 3; Ne krye: 3 Madhesia aktuale e stekut: 10; Ne krye: 2 Madhesia aktuale e stekut: 10; Ne krye: 1 Shuma e anetareve te stekut, gjithsej: 55

.

Në rreshtin tre, përfshihet libraria . Në rreshtin 8, deklarohet steku me emrin stekuIm, anëtarët e të cilit janë të tipit int. Në rreshtin 11, brenda unazës for (nga rreshti 10), për çdo iteracion (përsëritje të unazës), shtyhet në stek vlera e re, i. Në rreshtin 16, përdoret funksioni size( ), që kthen madhësinë e stekut. Në rreshtin 17, përdoret funksioni top( ), që kthen anëtarin në krye të stekut. Në rreshtin 19, thirret funksioni pop( ), që tërheqë (largon) nga steku anëtarin në krye të stekut.

595

Avni Rexhepi

Deque header-i Header-i që definon kontejner klasën deque. Klasat: deque – (Double ended queue – rreshti me dy skaje (class template) Funksionet: begin – Iteratori në fillim (function template) end – Iteratori në fund (function template) Në STL është implementuar vetëm kontejneri queue me dy skaje i njohur si dequeue. deque (zakonisht i lexuar si "deck") është një shkurtesë (acronim) për doubleended queue – queue me dy skaje/përfundime. Dequeue-t janë kontejnerë sekuencash me madhësi dinamike, që mund të zmadhohen ose zvogëlohen në të dy skajet (qoftë në fillim, qoftë në fund). Libraritë specifike mund të implementojnë dequeue-n në mënyra të ndryshme, në përgjithësi si ndonjë formë e vargut dinamik. Por në cilindo rast, mundësojnë qasjen direkte në elementet individuale përmes iteratorëve me qasje të rastit, me hapësirë të ruajtjes të menaxhuar automatikisht përmes rritjes ose zvogëlimit të kontejnerit, sipas nevojës. Së këndejmi, ata ofrojnë funksionalitet të ngjashëm me vektorët (), por me insertim dhe fshirje efikase të elementeve gjithashtu edhe ne fillim të sekuencës dhe jo vetëm në fund të saj. Por, për dallim prej vektorëve, dequeue-t nuk garantojnë ruajtjen e të gjitha elementeve në lokacione të njëpasnjëshme të memories, kështu që qasja në elementet e dequeue-s përmes zhvendosjes së pointerit (aritmetikës së pointerëve) do të shkaktonte sjellje të paparashikueshme. Dequeue dhe vektori ofrojnë interfejs të ngjashëm dhe mund të përdoren për qëllime të ngjashme, por përbrenda (angl. internally) punojnë në mënyrë tërësisht të ndryshme: gjersa vektorët përdorin një varg të vetëm që ka nevojë të realokohet për rritje (zgjerim), elementet e deuque-s mund të shpërndahen nëpër copëza të memories, me kontejnerin që ruan së brenshmi informacionet e nevojshme për të ofruar qasjen direkte në cilindo element, në kohë konstante dhe me interfejs uniform sekuencial (përmes itereatorëve). Prandaj, dequeue-t janë pak më kompleks sesa vektorët, por kjo mundëson të rriten në mënyrë me efikase nën rrethana të caktuara, posaqërisht për sekuenca shumë të gjata, ku realokimet bëhen më të kushtueshme. 596

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Për operacionet të cilat përfshijnë insertime ose largime të shpeshta të elementeve në pozita të tjera e jo në skajet (fillim ose fund), dequeu-t performojnë me keq dhe kanë më iteratorë më pak konsistentë sesa dhe . Funksionet e definuara për dequeue, janë: 

deque::assign (caktimi i vlerave të anëtarëve)



deque::at (vlera në pozitën e caktuar)



deque::back (fundi)



deque::begin (fillimi)



deque::cbegin (fillimi konstant)



deque::cend (fundi konstant)



deque::clear (fshije, pastro)



deque::crbegin (fillimi konstant revers)



deque::crend (fundi konstant revers)



deque::emplace (vendose)



deque::emplace_back (vendose në fund)



deque::emplace_front (vendose në fillim)



deque::empty (zbraze)



deque::end (fundi)



deque::erase (fshije)



deque::front (fillimi, fronti)



deque::get_allocator (merr alokatorin)



deque::insert (inserto)



deque::max_size (madhësia maksimale)



deque::operator= (operatori =)



deque::operator[] (operatori i pozitës, [ ] )



deque::pop_back (tërhiqe fundin)



deque::pop_front (tërhiqe fillimin)



deque::push_back (vendose në fund)



deque::push_front (vendose në fillim) 597

Avni Rexhepi 

deque::rbegin (fillimi revers)



deque::rend (fundi revers)



deque::resize (ndrysho madhësinë)



deque::shrink_to_fit (tkurrje për përshtatje)



deque::size (madhësia)



deque::swap (shkëmbe)

Në ndarje sipas kategorive të veprimeve, kemi listën si në vijim. Funksionet anëtare (Member functions): (constructor) Kontejneri për konstruktim të deque (funksion publik) (destructor) Destruktori i deque (funksion publik) Operatori për ndarje (caktim) të përmbajtjes (funksion publik) operator= Iteratorët (Iterators): begin end rbegin rend cbegin cend crbegin crend

Kthe iteratorin në fillim (funksion publik) Kthe iteratorin në fund (funksion publik) Kthe iteratorin revers në fillimin revers (funksion publik) Kthe iteratorin revers në fundin revers (funksion publik) Kthe iteratorin const në fillim (funksion publik) Kthe iteratorin const në fund (funksion publik) Kthe const_reverse_iterator fillimin revers (funksion publik) Kthe const_reverse_iterator në fundin revers (funksion publik)

Kapaciteti (Capacity): size max_size resize empty shrink_to_fit

Kthe madhësinë (size) (funksion publik ) Kthe madhësinë maksimale (funksion publik ) Ndrysho madhësinë (funksion publik ) Testo nëse kontejneri është i zbrazët (funksion publik ) Tkurre për përshtatje (funksion publik )

Qasja në elemente (Element access): operator[] Operatori [ ] - Qasja në elemente (funksion publik ) Qasja në element (funksion publik ) at Qaja në elementin e parë (funksion publik ) front 598

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Qasja në elementin e fundit (funksion publik )

back

Modifikatorët (Modifiers): assign push_back push_front pop_back pop_front insert erase swap clear emplace emplace_front emplace_back

Cakto përmbajtjen e kontejneri (funksion publik ) Shto element në fund (funksion publik ) Inserto element në fillim (funksion publik ) Fshije elementin e fundit (funksion publik ) Fshije elementin e parë (funksion publik ) Inserto elemente (funksion publik ) Fshij elementet (funksion publik ) Shkëmbe përmbajtjen (funksion publik ) Pastro përmbajtjen (funksion publik ) Konstukto dhe inerto elementin (funksion publik ) Konstukto dhe inerto elementin në fillim (funksion publik ) Konstukto dhe inerto elementin në fund (funksion publik )

Alokator (Allocator): get_allocator Alokatori get (funksion publik ) Funksionet jo-anëtare, mbingarkime: relational operators sëap

Operatorët relacional për deque (funksion ) Shkëmbe elementet (templejt funksioni)

Të gjitha këto funksione mund të thirren për secilin rast të dequeue-s të deklaruar në program. Shembull: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

// Insertimi në deque dhe funksionet tjera #include #include #include using namespace std; int main () { deque deque1; // inserto disa vlera nga fundi: for (int i=1;i<6;i++) deque1.push_back(i); // 1 2 3 4 5 // inserto disa vlera nga fillimi:

599

Avni Rexhepi 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 }

600

for(int i=1;i<6;i++) deque1.push_front(i);// 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 //deklaro iteratorin it, pozicionoje ne fillim deque::iterator it = deque1.begin(); it = deque1.begin()+0; //shtypi vlerat, përmes iteratorit cout << "deque1 permbane:"; for (it=deque1.begin(); it!=deque1.end(); ++it) cout << ' ' << *it; cout << '\n'; // fshije elementin e 6-te deque1.erase (deque1.begin()+5); // fshiji 3 elementet e para deque1.erase (deque1.begin(),deque1.begin()+3); //pastro deque-n teresisht (fshiji te gjitha elementet) deque1.clear(); // inserto disa vlera nga fundi: for (int i=1; i<=3; i++) deque1.push_back(i); // 1 2 3 //pozicionohu në fillim it = deque1.begin(); ++it; it = deque1.insert (it,10); // 1 10 2 // "it" tani pointon ne elementin e sapo insertuar, 10 deque1.insert (it,2,20); // "it" nuk eshte me valid!

// 1 20 20 10 2 3

it = deque1.begin()+2; vector vektoriIm (2,30); //vektori me dy int, me vlere 30 //nga pozita e iteratorit, ne deque1 inserto anetaret e vektorit deque1.insert (it,vektoriIm.begin(),vektoriIm.end()); // 1 20 30 30 20 10 2 3 //shtype deque1 cout << "deque1 tani permbane:"; for (it=deque1.begin(); it!=deque1.end(); ++it) cout << ' ' << *it; cout << '\n'; system("Pause"); return 0;

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Rezultati/dalja:

deque1 permbane: 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 deque1 tani permbane: 1 20 30 30 20 10 2 3

Në rreshtin 3, përfshijmë për përdorim librarinë . Në rreshtin 9 deklarojmë deque1. Urdhërat tjerë të programit janë sqaruar përmes komenteve përkatëse.

601

Avni Rexhepi

Queue header Header-i qw definon klasat adaptore tw kontejnerwve “queue” dhe “priority_queue”. Klasat: queue - FIFO queue (class template ) priority_queue - (class template ) template > class queue; FIFO queue (First In, First Out queue) - është tipi i kontejnerit i dizajnuar në mënyrë specifike për të operuar në kontekstin FIFO, ku elementet insertohen nga njëri skaj dhe dalin (nxirren, tërhiqen) nga skaji tjetër. Queue implementohet si adaptor kontejneri, që janë klasa që enkapsulojnë objektet e klasës specifike të kontejnerit, si në-kontejner, duke ofruar një set specifik të funksioneve për qasje në elementet e tij. Elementet shtyhen (push) nga ana e prapme (back) e kontejnerit dhe dalin (pop) nga pjesa e përparme (front). Nën-kontejneri mund të jetë ndonjëri prej templejtave të klasave standarde të kontejnerëve ose ndonjë i dizajnuar në mënyrë specifike. Nën-kontejneri duhet t’i përkrahë së paku operacionet vijuese: 

empty (i zbrazet?)



size (madhsia)



front (fillimi)



back (fundi)



push_back (shtyje_prapa)



pop_front (nxirre_para)

Klasat standarde ‘deque’ dhe ‘list’ i përmbushin këto kërkesa. Në mënyrë të parazgjedhur (default), nëse nuk specifikohet ndonjë klasë e caktuar, përdoret ‘deque’. Parametrat e template-it T – Tipi i elementeve. Alias si “member type” queue::value_type. Container – Tipi i objektit të nën-kontejnerit të brendshëm ku ruhen elementet. Tipi i tij duhet të jetë T. Alias si “member type” queue::container_type. Member functions: 602

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave (constructor) empty size front back push emplace pop sëap

Kontejneri për queue (funksion publik) Teston a është kontejneri i zbrazët (funksion publik) Kthen madhësinë (funksion publik) Qasja në elementin e ardhshëm (funksion publik) Qasja në elementin e fundit (funksion publik) Insertimi i elementit (funksion publik) Konstruktimi dhe insertimi i elemenit (funksion publik) Largimi i elementit të ardshëm (funksion publik) Shkëmbimi i përmbajtjes (funksion publik)

Mbingarkimet e funksioneve jo-anëtare operatorët Operatorët relacional për queue (funksion) relacional Shkëmbimi i përmbajtjeve të queue-ve (funksioni publik) swap (queue) Specializimet jo-anëtare të klasës uses_allocator
//queue::front #include #include // std::queue using namespace std; int main () { queue queue1; //deklarimi i queue1 int x; cout << "Ju lutemi jepni disa numra te plote (jepni 0 per fund):\n"; do { cin >> x; queue1.push (x); //shtyji vlerat ne queue1 } while (x); cout << "queue1 permban: "; while (!queue1.empty()) //deri sa te zbrazet queue1 {

603

Avni Rexhepi 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 }

cout << ' ' << queue1.front();//elementi i pare queue1.pop(); //terhiqe nga queue1 } cout << '\n'; queue1.push(77); //shtyje ne queue1 queue1.push(16); //shtyje ne queue1 queue1.front() -= queue1.back(); // 77-16=61 cout << "queue1.front() tani eshte " << queue1.front() << '\n'; system("Pause"); return 0;

Rezultati/dalja:

Ju lutemi jepni disa numra te plote (jepni 0 per fund): 1 2 3 4 5 0 queue1 permban: 1 2 3 4 5 6 0 queue1.front() tani eshte 61

Shembull 2: size (madhësia) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

// queue::size #include #include using namespace std;

// std::queue

int main () { queue myints; cout << "0. size: " << myints.size() << '\n'; for (int i=0; i<5; i++) myints.push(i); cout << "1. size: " << myints.size() << '\n'; myints.pop(); cout << "2. size: " << myints.size() << '\n'; system("Pause"); return 0; }

Rezultati/dalja:

0. size: 0 1. size: 5 2. size: 4

Shembulli 3: queue:: emplace 604

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave template void emplace (Args&&... args); Konstrukton dhe inserton elementin E shton një element të ri në fund të rreshtit (queue), pas elementi të fundit aktual. Ky element i ri konstruktohet në vend (in place) duke ia përcjellur argumentet (args) për konstruktorin e tij. Ky funksion anëtar në mënyrë efektive e thërret funksionin emplace_back të nën-kontejnerit, duke ia përcjellur argumentet. Parametrat args – Argumentet e përcjellura për të konstruktuar elementin e ri 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

// queue::emplace #include #include #include using namespace std;

// std::cin, std::cout // std::queue // std::string, std::getline(string)

int main () { std::queue queue1; queue1.emplace ("Fjalia e pare"); queue1.emplace ("Fjalia e dyte"); std::cout << "queue1 permban:\n"; while (!queue1.empty()) { std::cout << queue1.front() << '\n'; queue1.pop(); } system("Pause"); return 0; }

Rezultati/dalja:

queue1 permban: Fjalia e pare Fjalia e dyte

Versioni i rreshtit me prioritet bën që qasja të jetë gjithmonë në elementin e parë (top). Kthen referencë konstante në elementin ‘top’ në "priority queue”. Elementi ‘top’ është elementi i cili me krahasim renditet më së larti në rreshtin me prioritet dhe 605

Avni Rexhepi ai do të jetë elementi i ardhshëm që tërhiqet nga rreshti me rastin e thirrjes së funksionit ‘pop’. Ky anëtar efektivisht e thërret funksionin “front” të objektit të nën-kontejnerit. Parametrat Asnjë (nuk ka) Vlera kthyese Referenca në elementin ‘top’ (në krye) të rreshtit të prioritetit. Shembull 1: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

// priority_queue::top #include #include using namespace std;

// cout // priority_queue

int main () { std::priority_queue rrp1; rrp1.push(10); rrp1.push(20); rrp1.push(15); cout << "rrp1.top() eshte " << rrp1.top() << '\n'; rrp1.push(50); cout << "rrp1.top() eshte " << rrp1.top() << '\n'; rrp1.pop(); cout << "rrp1.top() eshte " << rrp1.top() << '\n'; system("Pause"); return 0; }

Rezultati/dalja:

rrp1.top() eshte 20 rrp1.top() tani eshte 50 rrp1.top() tani eshte 20

Shembull : 1 // priority_queue::push/pop 2 #include 3 #include //priority_queue

606

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave 4 using namespace std; 5 6 int main () 7{ 8 priority_queue rrp1; 9 10 rrp1.push(30); 11 rrp1.push(100); 12 rrp1.push(25); 13 rrp1.push(40); 14 15 cout << "Terheqja e elementeve..."; 16 while (!rrp1.empty()) 17 { 18 std::cout << ' ' << rrp1.top(); 19 rrp1.pop(); 20 } 21 cout << '\n'; 22 system("Pause"); 23 return 0; } Rezultati/dalja: Terheqja e elemeneteve... 100 40 30 25

607

Avni Rexhepi

List header-i Header-i qw definon kontejner klaswn “list”. Klasat: list - (class template ) Funksionet: begin – iteratori nw fillim (function template) end – iteratori nw fund (function template) Listat ( dhe ) janë kontejner sekuencash që lejojnë insertim dhe fshirje në kohë konstante kudo në sekuencë dhe iteracion në një ose në të dy drejtimet (kahjet). Listat implementohen si lista të lidhura dyfisht (doubly-linked lists); Listat e lidhrua dyfish mund të ruajnë secilin element që e përmbajnë në lokacione të ndryshme të pa ndërlidhura të memories. Renditja ruhet në mënyrë interne duke i shoqëruar secilit anëtarë elementin e lidhjes për në elementin e përparshëm dhe atë të ardhëshëm. List është shumë e ngjashme me (lista përpara). Dallimi kryesor ndërmjet tyre ësthë se objektet e krijuara nga “forward list” janë lista të lidhura njëfish (singly linked list) dhe prandaj mund të iterohen vetëm përpara. Zakonisht janë pak më të vogla dhe më efikase. Krahasuar me kontejnerët tjerë standard të sekuencave (array, vector dhe deque), list performon në përgjithësi më mirë në insertim, ekstraktim (nxjerrje) dhe lëvizje (zhvendosje) të elementeve në cilëndo pozitë përbrenda kontejneir për të cilin veq është marrë një iterator dhe rrjedhimisht edhe në algoritmet që e përdorin intensivisht atë, si p.sh., algoritmet e sortimit. E metë kryesore e list-ave dhe ‘forward-list’-ave krahasuar me këta kontejnerë të tjerë të sekuencave është se atyre u mungon qasja direkte në elemente në bazë të pozitës së tyre; për shembull për të ju qasur elementit të gjashtë në listë, duhet të iterohet prej një pozite të njohur (si filllimi ose fundi) deri në atë pozitë, gjë që merr kohë lineare me distancën mes tyre. Ato poashtu konsumojnë memorie shtesë për të mbajtur informacionet lidhur me secilin element (që mund të jetë një faktor i rëndësishëm për listat e mëdha me elemente të vogla).

608

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Shembulli 1: Krijimi dhe shtypja e listave 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

// lista1 #include #include using namespace std; int main () { int vlerateMia[] = {10,20,30,40,50}; list lista1(vlerateMia,vlerateMia+5); cout << "lista1 permbane:"; for(list::iterator it=lista1.begin();it!=lista1.end();++it) cout << ' ' << *it; cout << '\n'; //Krijimi i listes 'lista2' me mbushje nga fundi list lista2; for (int i=1; i<=5; ++i) lista2.push_back(i); //1 2 3 4 5 //Shtypja e listes nga skajet reverse (te rrotulluara) cout << "lista2 mbrapsht:"; for (list::reverse_iterator rit=lista2.rbegin(); rit!=lista2.rend(); ++rit) cout << ' ' << *rit; cout << '\n'; system("Pause"); return 0; }

Rezultati/dalja:

deque1 permbane: 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 deque1 tani permbane: 1 20 30 30 20 10 2 3

Në rreshtin 3 përfshijmë për përdorim librarinë . Në rreshtin 9, deklarojmë listën me anëtarë int, të krijuar nga 5 anëtarët e vargut vlerateMia. (Po të mirrej në argumentin e dytë vlerateMia+2, do të mirreshin vetëm 2 anëtarët e parë). Në rreshtin 12 përdorim unazën for, me iteratorin e deklaruar it, për të kaluar nëpër anëtarët e listës, prej fillimit të listës (funksioni begin( )), deri në fund të listës (funksioni end( ) ). Në rreshtin 17 deklarojmë listën lista2, me anëtarë të tipit int. Në rreshtin 19, mbushim listën nga fundi, me vlerat ‘i’ të unazës for nga rreshti 18.

609

Avni Rexhepi Në rreshtin 23, përemes iteratorit revers në unazën for kalojmë nëpër anëtarët e listës nga skajet reverse (mbrapsht). Në rreshtin 25 shtypim anëtarët e listës (mbrapsht). Shembulli 2: Sortimi i vlerave – list::sort Funksioni i sortimit (renditjes sw vlerave sipas madhwsisw/alfabetit) i sorton elementet nw kontejner. void sort(); template (2) void sort (Compare comp); (1)

Ky funksion i sorton elementet e listws, duke ua ndwrruar vendet pwrbrenda kontejnerit. Sortimi bwhet duke aplikuar njw algoritwm i cili e pwrdorw ose operatorin ‘<’ (nw versionin (1)) ose krahasuesin ‘comp’ (nw versionin (2)), pwr t’i krahasuar elementet. Ky krahasim duhet tw prodhojw ‘strict weak ordering’ tw elementeve (krahasim konsistent transitiv, pa shqyrtuar refleksivitetin). Renditja rezultuese e elementeve ekuivalente wshtw stabile, d.m.th., elementet e barabarta i ruajnw pozitat relative (nw krahasim me njwra tjetrwn) qw i kanw pasur para sortimit. Operacioni nuk pwrfshinw krijimin, asgjwsimin ose kompjimin e ndonjw elementi, por elementet lwvizen pwrbrenda kontejnerit. Parameterat ‘comp’ – atributi binar, i cili kur i merr dy vlera tw tipit tw njwjtw prej atyre tw pwrmbajtura nw listw, kthen ‘true’ nwse argumenti i parw shkon para tw dytit nw ‘ strict weak ordering’ qw e definon, pwrndryse kthen ‘false’. Ky duhet tw jetw pointer funksioni ose objekt funksioni. Vlera kthyese Asnjw (none) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

// list::sort #include #include #include using namespace std; int main () { int vlerat1[]={ 9, 2, 10, 3, 4, 1, 8, 7, 6, 5 }; list lista1 (vlerat1,vlerat1+10);

610

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave 11 12 cout << "lista1 para sortimit :"; 13 for (list::iterator it=lista1.begin(); it!=lista1.end(); 14 ++it) 15 cout << ' ' << *it; 16 cout << '\n'; 17 18 lista1.sort(); 19 // 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 cout << "lista1 e sortuar :"; 21 for (list::iterator it=lista1.begin(); it!=lista1.end(); 22 ++it) 23 cout << ' ' << *it; 24 cout << '\n'; 25 26 cout << '\n'; 27 system("Pause"); 28 return 0; 29 } 30 Rezultati/dalja:

lista1 para sortimit lista1 pas sortimit

: 9 2 10 3 4 1 8 7 6 5 : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Shembulli 2b: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

//list::sort #include #include #include #include using namespace std; // Krahasimi, nuk merr parasysh madhesine e shkronjave. // Funksioni tolower (angl. ne shkronje te vogel) bool compare_nocase (const string& vlera1, const string& vlera2) { unsigned int i=0; while ( (itolower(vlera2[i])) return false; ++i; } return ( vlera1.length() < vlera2.length() ); } int main () {

611

Avni Rexhepi 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 } 53

list lista1; list::iterator it; lista1.push_back ("Zero"); lista1.push_back ("nje"); lista1.push_back ("dy"); lista1.push_back ("Tre"); cout << "lista1 para sortimit :"; for (it=lista1.begin(); it!=lista1.end(); ++it) cout << ' ' << *it; cout << '\n'; lista1.sort(); cout << "lista1 pas sortimit :"; for (it=lista1.begin(); it!=lista1.end(); ++it) cout << ' ' << *it; cout << '\n'; lista1.sort(compare_nocase); cout << "lista1 pas sortimit me atribut :"; for (it=lista1.begin(); it!=lista1.end(); ++it) cout << ' ' << *it; cout << '\n'; cout<<"\n\n\n"; system("Pause"); return 0;

Rezultati/dalja:

lista1 para sortimit lista1 pas sortimit lista1 pas sortimit me atribut

: Zero nje dy Tre : Tre Zero dy nje : dy nje Tre Zero

Shembulli 3: Largimi i vlerave duplikate - list::unique Një funksion shumë i dobishëm, që nevojitet shpeshherë në praktikë, është funksioni ‘unique’ (angl. unique – unkike) për eleminimin e vlerave duplikate, gjegjësisht për ruajtjen e vlerave unike. Kemi dy versione të tij: 1. void unique(); 2. template void unique (BinaryPredicate binary_pred);

Versioni pa parametra (1), largon të gjtiha përveq elementit të parë nga secili grup i vlerave të njëjta të njëpasnjëshme në kontejner. Vini re që elementi largohet nga lista nëse krahasohet me elementin e barabartë në pozitën para tij. 612

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Prandaj, ky funksion është posaqërisht i rëndësishëm për listat e sortuara. Pra, nëse nga lista dëshironi t’i largoni duplikatet, së pari e sortoni listën, e pastaj e thirrni funksionin unique. Versioni i dytë (2), merr si argument një funksion të caktuar që përcakton unicitetin e elementit. Në fakt, mund të implementohet cilado veti (jo vetëm krahasimi për barazi), por vëreni se funksioni do të thërret të ashtuquajturin binary_pred(*i,*(i-1)) për çdo çift të elementeve (ku i është iteratori në një element, duke filluar nga i dyti) dhe largohet nga lista elementi i i-të, nëse parakushti (angl. predicate) kthen vlerën logjike “true”. Elementet që duhet larguar nga lista, asgjësohen. Paramatrat binary_pred angl. Binary predicate – parakushti binar, që duke marrë dy vlera të tipit të njëjtë, përveq atyre që kanë mbetur në listë, kthen “true”, për të larguar elementin e përcjellur si argument i parë prej kontejnerit dhe “false” përndryshe. Ky duhet të jetë pointer funksioni ose objekt funksioni. Shembulli 4: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

// list::unique #include #include #include using namespace std; // parakusht binar i implementuar si funksion: bool pjesaIntBaraz (double first, double second) { return ( int(first)==int(second) ); } // parakusht binar i implementuar si klasë: class eAfert { public: bool operator() (double first, double second) { return (fabs(first-second)<5.0); } }; int main () { double vleratDouble[]={ 12.15, 2.72, 73.0, 12.77, 3.14, 12.77, 73.35, 72.25, 15.3, 72.25 }; list listaIme (vleratDouble,vleratDouble+10); listaIme.sort(); //sorton elementet e listes

613

Avni Rexhepi 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 }

// 2.72, 3.14, 12.15, 12.77, 12.77, 15.3, 72.25, 72.25, 73.0, 73.35 cout << "listaIme e sortuar :"; for (list::iterator it=listaIme.begin(); it!=listaIme.end(); ++it) cout << ' ' << *it; cout << '\n'; listaIme.unique(); //largon duplikatet // 2.72, 3.14, 12.15, 12.77, 15.3, 72.25, 73.0,

73.35

listaIme.unique (pjesaIntBaraz); //largon elementet sipas funksionit // 2.72, 3.14, 12.15, 15.3, 72.25, 73.0 listaIme.unique (eAfert()); // largon elementet sipas klases // 2.72, 12.15, 72.25 cout << "listaIme :"; for (list::iterator it=listaIme.begin(); it!=listaIme.end(); ++it) cout << ' ' << *it; cout << '\n'; system("Pause"); return 0;

Rezultati/dalja:

listaIme e sortuar: 2.72 3.14 12.15 12.77 12.77 15.3 72.25 72.25 73.0 73.35 listaIme : 2.72, 12.15, 72.25

Shembull 5: Largimi i elementeve sipas vlerës 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

// remove - largo nga lista #include #include int main () { int vleratInt[]= {10,20,30,40, 50}; std::list lista1 (vleratInt,vleratInt+5);

614

lista1.remove(30); std::cout << "lista1 permbane:"; for (std::list::iterator it=lista1.begin(); it!=lista1.end(); ++it) std::cout << ' ' << *it; std::cout << '\n'; system("Pause");

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave 18 return 0; 19 } Rezultati/dalja: lista1 permbane: 10 20 40 50

Shembull 6: Ndërthurrja e listave - list::splice Funksioni “splice” (angl. ndërthurrje, ngjitje, bashkim, etj), mundëson bashkimin e dy listave në disa forma: (1) tërë lista

(2) një element

(3) rangu i elementeve

void splice (const_iterator position, list& x); void splice (const_iterator position, list&& x); void splice (const_iterator position, list& x, const_iterator i); void splice (const_iterator position, list&& x, const_iterator i); void splice (const_iterator position, list& x,const_iterator first, const_iterator last); void splice (const_iterator position, list&& x, const_iterator first, const_iterator last);

Pra, mund ta bashkojmë një listë ekzistuese, me një tjetër, prej pozitës së treguar ose mund ta bartim vetëm një element të listës, në listën tjetër. Poashtu, me mënyrën e tretë, mund ta bartim një brez të vlerave të një listë, në një listë tjetër, prej pozitës së përcaktuar. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

//nderthurrja e listave #include #include int main () { std::list lista1, lista2; std::list::iterator it; //cakto disa vlera fillestare: for (int i=1; i<=4; ++i) lista1.push_back(i); // lista1: 1 2 3 4 for (int i=1; i<=3; ++i) lista2.push_back(i*10); it = lista1.begin(); ++it;

// lista2: 10 20 30

// pointon ne 2

615

Avni Rexhepi 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 }

lista1.splice (it, lista2);

// // // //

lista1: 1 10 20 30 2 3 4 lista2 (e zbrazët) "it" akoma pointon ne 2 (elementi i 5-të)

lista2.splice (lista2.begin(),lista1, it); // lista1: 1 10 20 30 3 4 // lista2: 2 // "it" tash eshte jo-valid it = lista1.begin(); std::advance(it,3); // "it" pointon ne 30 lista1.splice ( lista1.begin(), lista1, it, lista1.end()); // lista1: 30 3 4 1 10 20 std::cout << "lista1 permban:"; for (it=lista1.begin(); it!=lista1.end(); ++it) std::cout << ' ' << *it; std::cout << '\n'; std::cout << "lista2 permban:"; for (it=lista2.begin(); it!=lista2.end(); ++it) std::cout << ' ' << *it; std::cout << '\n'; system("Pause"); return 0;

Rezultati/dalja:

lista1 permban: 30 3 4 1 10 20 lista2 permban: 2

Shembull 7: Bashkimi i listave të sortuara - list::merge (1)

(2)

void merge (list& x); void merge (list&& x); template void merge (list& x, Compare comp); template void merge (list&& x, Compare comp);

E bashkon ‘x’-in (listën e dytë) në ‘list’ (në listën e parë), duke transferuar të gjitha elementet e tij në pozitat respektive, sipas renditjes së pozitave në kontejner (të dy kontejnerët duhet të jenë të sortuar paraprakisht). Kështu, efektivisht largohen të gjitha elementet e x-it (i cili bëhet i zbrazët) dhe i inserton ata në pozitat e tyre adekuate sipas renditjes përbrenda kontejnerit (i cili e rritë madhësinë (size) për numrin e elementeve të transferuara). Veprimi 616

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave kryhet pa krijuar ose asgjësuar ndonjë element: ata transferohen, pa marrë parasysh çfarë vlere është x dhe nëse tipi përkrahë lëvizjen-krijimin apo jo. Versioni (2) i templejtit me dy parametra, ka të njëjtët karakteristika, por e merr edhe atributin e krahasimit (comp), për të bërë krahasimin ndërmjet elementeve. Funksioni kërkon që kontejnerët e list-ave të kenë elementet e sortuara praprapakisht, sipas vlerës ose sipas krahasimit. Për bashkimin e listaev të parenditura, shikoni funksionin list::splice. Elementet e barabarta ruajnë renditjen para bashkimit, ndërsa elementet ekzistuese ekuivalente i paraprijnë ato të insertuara nga x. Funksioni nuk bën asgjë nëse (&x = = this). Parametrat: x – objekti ‘list’ i tipit të njëjtë (me templejt të njëtë). Gjithmonë modifikohet xi, pa marrë parasysh referencën tipin e referencës (lvalue apo rvalue). comp – atributi binar, i cili i merr dy vlera të tipit të njëjtë dhe kthen ‘true’ nëse argumenti i parë duhet të shkojë para të dytit. Duhet të jetë pointer funksioni ose objekt funksioni. Vlera kthyese – (none) asgjë 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

#include #include using namespace std; //Krahaso vetem pjesen e plote: bool krahasimiiPlote (double vlera1, double vlera2) { return ( int(vlera1) lista1, lista2; lista1.push_back (3.1); lista1.push_back (2.2); lista1.push_back (2.9); lista2.push_back (3.7); lista2.push_back (7.1); lista2.push_back (1.4); lista1.sort(); lista2.sort(); lista1.merge(lista2); cout << "lista1 permban:"; for (list::iterator it=lista1.begin();

617

Avni Rexhepi 27 it!=lista1.end(); ++it) 28 cout << ' ' << *it; 29 cout << '\n'; 30 31 //(lista2 tani eshte e zbrazet) 32 33 lista2.push_back (2.1); 34 35 lista1.merge(lista2,krahasimiiPlote); 36 //pasi qe tash krahasohet vetem pjesa e plote, 37 //2.1 vjen pas krejt vlerave ekzistuese me pjese te plote 2 38 cout << "\n\nTani lista1 permban:"; 39 for (list::iterator it=lista1.begin(); 40 it!=lista1.end(); ++it) 41 cout << ' ' << *it; 42 cout << '\n'; 43 system("Pause"); 44 return 0; 45 } Rezultati/dalja:

lista1 permban: 1.4 2.2 2.9 3.1 3.7 7.1 Tani lista1 permban: 1.4 2.2 2.9 2.1 3.1 3.7 7.1

618


Map header-i Headeri qw definon klasat e kontejnerwve ‘map’ dhe ‘multimap’. Klasat: map (class template ) multimap – map me çelwsa tw shumwfishtw (class template). Funksionet: begin – iteratori nw fillim (function template) end – iteratori nw fund (function template) Map (angl.hartë, plan, skemë), janë kontejner asociativ të cilët i ruajnë elementet e formuara prej kombinimit të ‘key value’ (vlerës çelës) dhe ‘mapped value’ (vlerës së pasqyruar), sipas një rregulli të specifikuar. Janë templejt klase : template < class class class class

Key, // map::key_type T, // map::mapped_type Compare = less, // map::key_compare Alloc = allocator > // map::allocator_type > class map;

Në ‘map’, vlerat çelës (key values) në përgjithësi përdoren për të sortuar ose identifikuar elementet në mënyrë unike, ndërsa vlerat e pasqyruara, shoqëruara me to (mapped values) e ruajnë përmbajtjen e shoqëruar me çelësin. Tipet e çelësit dhe vlerës së mapuar mund të ndryshojnë dhe grupohen së bashku në tipin e anëtarit ‘value_type’, i cili është tip i çiftit (pair), i cili i kombinon të dy: typedef pair value_type; Së brendshmi (internally), elementet në map gjithmonë sortohen sipas vlerës së çelësit, sipas kriterit “strict weak ordering” të përcaktuar nga objekti i brendshëm krahasues. Ekziston edhe versioni i pasortuar: unordered_map. Kontejnerët ‘map’ në përgjithësi janë më të ngadalshëm sesa kontejnerët e parenditur, për të ju qasur elementeve individuale sipas vlerës së çelësit, mirëpo mundësojnë iteracion direkt në nënbashkësi bazuar në renditjen e tyre. Vlerat e mapuara në ‘map’ mund të qasen drejtpërdrejt përmes çelësit të tyre përkatës, duke përdorur operatorin “kllapa të mesme” ([ ]). Map zakonisht implementohet si ‘binary search tree”(pemë binare e kërkimit). 619

Avni Rexhepi Tiparet e kontejnerit Asociativ (Associative) Elementet në kontejnerët asociativ referohen sipas çelësit (key) të tyre dhe jo sipas pozitës absolute në kontejner. I renditur (Ordered) Elementet në kontejner përcjellin një renditje strikte gjatë gjithë kohës. Të gjitha elementeve të insertuara u jepet një pozitë në këtë renditje. Map Secili element e shoqëron çelësin (key) me vlerën e mapuar. Çelësat përdoren për të identifikuar elementet përmbajtja e të cilëve është vlera e mapuar. Çelësat unik (Unique keys) Në kontejner nuk ka dy elemente me çelësa ekuivalent. Të vetëdijshëm për alokatorin (Allocator-aëare) Kontejneri përdorë një objekt alokator për të manipuluar nevojat për memorie në mënyrë dinamike. Parametrat e templejtit Key (Çelësi) – secili element në map identifikohet në mënyrë unike përmes vlerës së çelësit. Alias tipi i anëtarit: map::key_type. T – tipi i vlerës së mapuar. Secili element në ‘map’ ruan disa të dhëna, si vlerë e tij e mapuar. Alias si tipi i anëtarit: map::mapped_type. Compare (krahaso) – atributi binar i cili merr dy çelësa të elementeve si argument dhe kthen vlerë ‘bool-eane’. Shprehja ‘comp(a,b), ku ‘comp’ është një objekt i këtij tipi dhe ‘a’ dhe ‘b’ janë vlera të çelësave, duhet të kthej ‘true’ nëse ‘a’ konsiderohet të shkojë përpara ‘b’ në renditjen e definuar prej funksionit. Map objekti e përdorë këtë shprehje për të përcaktuar edhe renditjen e elementeve edhe nëse të dy elementet janë ekuivalente (duke i krahasuar në mënyrë refleksive: ata janë ekuivalent nëse !comp(a,b) && !comp(b,a)). Nuk guxon të ketë dy elemente me çelësa ekuivalent në map. Alloc – tipi i objektit alokator, që pëdoret për të definuar modelin e alokimit të memories. Si ‘default’, përdoret” allocator class template” që definon modelin më të thjeshtë të alokimit të memories dhe është i pavarur nga vlerat. Alias si tipi i anëtrit map::allocator_type. Member functions: 620

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave (constructor) Kontejneri për konstruktim të map (funksion publik) (destructor) Destruktori i map (funksion publik) Kopjon përmbajten e kontejnerit (funksion publik) operatori = Iteratorët: begin end rbegin rend cbegin cend crbegin crend

Kthen iteratorin në fillim (funksion publik) Kthen iteratorin në fund (funksion publik) Kthen iteratorin revers në fillimin revers (funksion publik) Kthen iteratorin revers në fundin revers (funksion publik) Kthen iteratorin konstatn në fillim (funksion publik) Kthen iteratorin konstant në fund (funksion publik) Kthen iteratorin konstant revers në fillimin revers (funks. publik) Kthen iteratorin konstant revers në fundin revers (funksion publik)

Capacity: empty size max_size

Teston a është kontejneri i zbrazat (funksion publik) Kthen madhësinë (funksion publik) Kthen madhësinë maksimale (funksion publik)

Qasja në elemente: I qaset elementit (funksion publik) I qaset elementit (funksion publik)

operatori [ ] At Modifikatorët: insert erase swap clear emplace emplace_hint

Inserton elementet (funksion publik) Fshinë elementet (funksion publik) Shkëmben përmbajtjen (funksion publik) Pastron përmbajtjen (funksion publik) Konstrukton dhe inserton elementin (funksion publik) Konstrukton dhe inserton elementin sipas paralajmërimit (f.p.)

Observerët: key_comp

Kthen objektin e krahasimit të çelësave (funksion publik) 621

Avni Rexhepi value_comp Kthen objektin e krahasimit të vlerave (f.p.) Operacionet: find count lower_bound upper_bound equal_range

Merr iteratorin në element (funksion publik) Konstrukton dhe inserton elementin sipas paralajmërimit (f.p.) Kthen iteratorin në kufirin e poshtëm (funksion publik) Kthen iteratorin në kufirin e epërm (funksion publik) Merr rangun e elementeve të barabarta (funksion publik)

Shembull 1: map::begin/end 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

#include #include using namespace std; int main () { map map1; map::iterator it; map1['b'] = 100; map1['a'] = 200; map1['c'] = 300; //paraqite permbajtjen: for (map::iterator it=map1.begin(); it!=map1.end(); ++it) cout << it->first << " => " << it->second << '\n'; system("Pause"); return 0; }

Rezultati/dalja: a => 200 b => 100 c => 300

Në rreshtin 6 është deklaruar dhe inicializuar map1. Në rreshtin 7 është deklaruar iteratori për map1. Në rreshtat 9-11, janë ndarë vlerat tek elementet përkatëse. Shembull 2: map::at 1 2

// map::at #include

622

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

#include #include using namespace std; int main () { map map1; map1["alfa"]= 0; map1["beta"]= 0; map1["gama"]= 0; map1.at("alfa") = 10; map1.at("beta") = 20; map1.at("gama") = 30; for (map::iterator it=map1.begin(); it!=map1.end(); ++it) cout << it->first << ": " << it->second << '\n'; system("Pause"); return 0; }

Rezultati/dalja:

alfa: 10 beta: 20 gama: 30

Në rreshtat 8-11 është deklaruar dhe inicializuar map1. Në rreshtat 13-15, janë ndarë vlerat e reja tek (angl. at) elementet përkatëse. Shembull 3: map::find 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

// map::find #include #include using namespace std; int main () { std::map map1; std::map::iterator it; map1['a']=50; map1['b']=100; map1['c']=150; map1['d']=200; it=map1.find('b'); map1.erase (it); map1.erase (map1.find('d'));

623

Avni Rexhepi 19 20 21 22 23 24 25 26 27 }

//shtypja e permbajtjes: cout << "elementet ne map1:" << '\n'; cout << "a => " << map1.find('a')->second << '\n'; cout << "c => " << map1.find('c')->second << '\n'; system("Pause"); return 0;

Rezultati/dalja:

elementet ne map1: a => 50 c => 150

Shembull 4: map::insert Funksioni i insertimit mund të realizohet në disa forma: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

// map::insert #include #include using namespace std; int main () { map map1; // versioni i pare i funksionit insert (nje parameter): map1.insert ( pair('a',100) ); map1.insert ( pair('z',200) ); pair::iterator,bool> ret; ret = map1.insert ( pair('z',500) ); if (ret.second==false) { cout << "elementi 'z' veq ekziston ne map1"; cout << " me vleren " << ret.first->second << '\n'; } // versioni i dyte i funksionit insert (me poziten e dhënë): map::iterator it = map1.begin(); map1.insert (it, pair('b',300)); // insertim me efikasitet max map1.insert (it, pair('c',400)); // pa insertim me efikasitet max

624

// versioni i trete i funksionit insert (insertimi ne rang): map map2; map2.insert(map1.begin(),map1.find('c'));

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave 31 // paraqitja e permbajtjes: 32 cout << "map1 permban:\n"; 33 for (it=map1.begin(); it!=map1.end(); ++it) 34 cout << it->first << " => " << it->second << "\n"; 35 cout << "map1 ka " << map1.size() << "elemente\n\n"; 36 37 cout << "map2 permban:\n"; 38 for (it=map2.begin(); it!=map2.end(); ++it) 39 cout << it->first << " => " << it->second << '\n'; 40 cout << "map2 ka " << map2.size() << "elemente\n\n"; 41 system("Pause"); 42 return 0; 43 } Rezultati/dalja:

elementi 'z' veq ekziston me vleren 200 map1 permban: a => 100 b => 300 c => 400 z => 200 map1 ka 4 elemente map2 a => b => map2

permban: 100 300 ka 2 elemente

625

Avni Rexhepi

Set header-i Header-i që definon klasat e kontejnerëve ‘set’ dhe ‘multiset’. Klasat: set (class template ) multiset – Seti me çelësa të shumëfishtë (class template ) Funksionet: begin – iteratori në fillim (function template) end – iteratori në fund (function template) template < class T, // set::key_type/value_type class Compare = less, // set::key_compare/value_compare class Alloc = allocator // set::allocator_type > class set;

Set-et – janë kontejnerë që ruajnë elementet specifike sipas një renditjeje të caktuar. Ekziston edhe versioni i parenditur: unordered_set. Në set, vlera e një elementi poashtu edhe e itentifikon atë (vet vlera është çelës (key) i tipit T) dhe secila vlerë duhet të jetë unike. Vlera e elementit në set nuk mund të modifikohet kur një herë të jetë vendosur në kontejner (elementet janë gjithmonë konstante), por ato mund të insertohen ose të largohen nga kontejneri. Së bernshmi (internally), elementet në set janë gjithmonë të sortuara sipas një kriteri strikt ‘ëeak ordering’ të treguar me anë të objektit të brendshëm të krahasimit (të tipit Compare). Kontejnerët e set-eve në përgjithësi janë më të ngadalshëm sesa kontejnerët e parenditur të set-eve (unorderd set containers), për të ju qasur elementeve individuale sipas çelësit, mirëp ato lejojnë iteracion të drejtpërdrejt në nën-sete bazuar në renditjen e tyre. Set-et zakonisht implementohen si pemë binare të kërkimit.

Tiparet e kontejnerit Asociative Elementet në kontejnerët asociativ referohen sipas çelësit të tyre dhe jo sipas pozitës absolute në kontejner. Të renditur (ordered) Elementet në kontejner përcjellin një renditjs strikte gjatë tërë kohës. Të gjitha elementeve të insertuara ju caktohet pozita në bazë të kësaj renditjeje. 626

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Set Vlera e një elementi është poashtu edhe çelësi (key) që përdoret për ta identifikuar atë. Çelësat unik Nuk mund të ketë dy elemente me çelësa të njëjtë (ekuivalent) në kontejner. Allocator-aëare Kontejneri përdor një objekt alokator për të manipuluar në mënyrë dinamike nevojat e veta për memorie.

Parametrat e templejtit T – Tipi i elementeve. Secili element në kontejner të set-it poashtu identifikohet në mënyrë unike përmes vlerës së tij (secila vlerë është vet edhe çelës i elementit). Alias si tipet e anëtarëve set::key_type dhe set::value_type. Compare – atributi binar që merr dy argumente të tipit të njëjtë si elementet dhe ktehn vlerën bool-eane. Shprehja compa(a,b), ku comp është objekti i këtij tipi, ndërsa a dhe b janë vlerat e çelësave, do të kthej ‘true’ nëse a konsiderohet se duhet të renditet para b-së, në renditjen strikte të butë (ëeak ordering) që e definon funksioni. Set objekti e përdorë këtë shprehje edhe për të përcaktuar renditjen e elementeve edh epër të kontrolluar nëse dy çelësa të elementeve janë ekuivalent (duke i krahasuar në mënyrë refleksive: ata janë ekuivalent nëse !comp(a,b) && !comp(b,a)). Nuk mund të ketë dy elemente ekuivalente në kontejner. Ky mund të jetë pointer funksioni ose objekt funksioni. Kjo merert si less, që kthen rezultat të njëjtë si aplikimi i operatorit “më i vogël” (a
627

Avni Rexhepi begin end rbegin rend cbegin cend crbegin crend


Capacity: Empty Size max_size

Teston a është kontejneri i zbrazat (funksion publik) Kthen madhësinë (funksion publik) Kthen madhësinë maksimale (funksion publik)

Modifikatorët: insert erase swap clear emplace emplace_hint

Inserton elementet (funksion publik) Fshinë elementet (funksion publik) Shkëmben përmbajtjen (funksion publik) Pastron përmbajtjen (funksion publik) Konstrukton dhe inserton elementin (funksion publik) Konstrukton dhe inserton elementin sipas paralajmërimit (f.p.)

Observerët: Kthen objektin e krahasimit të çelësave (funksion publik) key_comp value_comp Kthen objektin e krahasimit të vlerave (f.p.) Operacionet: find count lower_bound upper_bound equal_range

Merr iteratorin në element (funksion publik) Konstrukton dhe inserton elementin sipas paralajmërimit (f.p.) Kthen iteratorin në kufirin e poshtëm (funksion publik) Kthen iteratorin në kufirin e epërm (funksion publik) Merr rangun e elementeve të barabarta (funksion publik)

Allocator: get_allocator Merr alokatorin (funksion publik)

628

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Shembulli 1: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

// set::begin/end #include #include using namespace std; int main () { int vlerat[] = {74,26,63,42,15}; set set1 (vlerat,vlerat+5); cout << "set1 permban:"; for (set::iterator it=set1.begin(); it!=set1.end(); ++it) cout << ' ' << *it; cout << '\n'; system("Pause"); return 0; }

Rezultati/dalja:

Set1 permban:

15 26 42 63 74

Shembulli 2: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

// set::find #include #include using namespace std; int main () { std::set set1; std::set::iterator it; // set some initial values: for (int i=1; i<=5; i++) set1.insert(i*10); it=set1.find(20); set1.erase (it); set1.erase (set1.find(40));

// set: 10 20 30 40 50

//fshirja sipas pozites //fshirja siapas vleres

std::cout << "set1 permban:"; for (it=set1.begin(); it!=set1.end(); ++it) std::cout << ' ' << *it; std::cout << '\n'; system("Pause"); return 0; }

629

Avni Rexhepi Rezultati/dalja:

Set1 permban:

10 30 50

Shembulli 3: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

// set::get_allocator #include #include using namespace std; int main () { set set1; int * p; unsigned int i; // aloko vargun me 5 elemente duke perdorur alokatorin: p=set1.get_allocator().allocate(5); // cakto vlerat per vargun for (i=0; i<5; i++) p[i]=(i+1)*10; cout << "Vargu i alokuar permban:"; for (i=0; i<5; i++)cout << ' ' << p[i]; cout << '\n'; set1.get_allocator().deallocate(p,5); //dealoko memorien system("Pause"); return 0; }

Rezultati/dalja:

Vargu i alokuar permban:

10 20 30 40 50

Shembulli 4: set::emplace set::emplace template pair emplace (Args&&... args);

Konstruktimi dhe insertimi i elementeve Inserton një element të ri në set, nëse është unik. Ky element i ri konstruktohet në vend duke përdorur ‘args’ si argument për konstruktimin e tij. Ky insertim ndodhë vetëm nëse nuk ekziston element i tillë në kontejner, që është ekuivalent me elementin që bëhet ‘emplaced’ (elementet e setit anë unike). 630

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Nëse insertohet, ky efektivisht e rritë madhësinë (size) e kontejnerit për një. Përbrenda, set-i i mbanë të gjitha elementet e tij të sortuara sipas kriterit të specifikuar në objektin e krahasimit (comparison). Elementi gjithmonë insertohet në pozitën e tij respektive, sipas kësaj renditjeje. Elementi konstruktohet ‘in-place’ duke thirrur allocator_traits::construct me args të përcjellur. Ekziston edhe funksioni anëtar i ngjashëm, ‘insert’, i cili ose i kopjon ose i lëvizë objektet ekzistuese në kontejner. Parameterat args – argumentet e përcjellura për konstruktim të elementi të ri. Vlera kthyese (Return value) Nëse funksioni e inserton elementin me sukses (pasi që nuk ekziston ndonjë element ekuivalent në set), funksioni kthen çiftin (‘pair’)e një iteratori për elementin e ri të insertuar dhe vlerën ‘true’. Përndryshe, e kthen iteratorin e elementit ekuivalent përbrenda kontejnerit dhe vlerën ‘false’. ‘Member type’ iteratori është iterator i tipit bidireksional që pointon në një element. ‘pair’ është templlejt i klasës i deklaruar në 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

// set::emplace #include #include #include using namespace std; int main () { set set1; string hyrja; for (int i=1;i<=3;i++) { cout<<"Jepe qytetin: "; cin>>hyrja; auto ret = set1.emplace(hyrja); if (!ret.second) cout << hyrja<< " veq ekziston ne set1\n"; } system("Pause"); return 0; }

Rezultati/dalja:

Jepe qytetin: Prishtina

631

Avni Rexhepi Jepe qytetin: Prizreni Jepe qytetin: Prishtina Prishtina veq ekziston në set1

Shembulli 5: set::key_comp 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

// set::key_comp #include #include using namespace std; int main () { set set1; int max; set::key_compare krahaso = set1.key_comp(); for (int i=0; i<=5; i++) set1.insert(i); cout << "set1 permban:"; max=*set1.rbegin(); set::iterator it=set1.begin(); do { cout << ' ' << *it; } while (krahaso(*(++it),max)); cout << '\n'; system("Pause"); return 0; }

Rezultati/dalja:

Set1 permban: 0 1 2 3 4

632

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Shembulli 6: set::count 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

// set::emplace #include #include #include using namespace std; int main () { set set1; string hyrja; for (int i=1;i<=3;i++) { cout<<"Jepe qytetin: "; cin>>hyrja; auto ret = set1.emplace(hyrja); if (!ret.second) cout << hyrja<< " veq ekziston ne set1\n"; } system("Pause"); return 0; }

Rezultati/dalja:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

nuk është element i set1. nuk është element i set1. nuk është element i set1. është element i set1. nuk është element i set1. nuk është element i set1. është element i set1. nuk është element i set1. nuk është element i set1. është element i set1.

Shembulli 7: set::rbegin, set::rend 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

// set::rbegin/rend #include #include using namespace std; int main () { int myints[] = {4,2,5,1,3}; set set1 (myints,myints+5); set::iterator it;

633

Avni Rexhepi 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 }

set::reverse_iterator rit; cout << "set1 permban:"; for (it=set1.begin(); it != set1.end(); ++it) cout << ' ' << *it; cout << "\n\nNe renditje te kundert/reverse\n"; cout << "set1 permban:"; for (rit=set1.rbegin(); rit != set1.rend(); ++rit) cout << ' ' << *rit; cout << '\n'; system("Pause"); return 0;

Rezultati/dalja:

set1 permban: 1 2 3 4 5 Ne renditje te kundert/reverse set1 permban: 5 4 3 2 1

634


template < class T, class Alloc = allocator > class vector; // generic template

Vector Vektorët janë kontejner të sekuencave që përfaqësojnë vargjet të cilat mund të ndryshojnë madhësinë. Njësoj sikur vargjet, vektorët përdorin lokacionet e njëpasnjëshme të memories për elementet e tyre, gjë që do të thotë se elementet e tyre mund të qasen përmes zhvendosjes së pointerëve të rregullt në anëtarët e tyre dhe me efikasitet të njëjtë sikur në rastin e vargjeve. Por, për dallim prej vargjeve, madhësia e vektorëve mund të ndryshojë në mënyrë dinamike, me manipulimin e hapësirës së tyre në mënyrë automatike nga ana e kontejnerit. Së brendshmi, vektorët përdorin vargun e alokuar në mënyrë dinamike, për ruajtjen e elementeve të tyre. Ky varg mund të ketë nevojë që të realokohet ashtu që që të rritet madhësia e tij, kur të insertohen elemente të reja, gjë që implikon alokimin e një vargu të ri dhe zhvendosjen e elementeve në të. Kjo është detyrë relativisht me kosto të lartë në terma të kohës së procesimit dhe prandaj vektorët nuk realokohen secilën herë që të shtohet një element i ri në kontejner. Në vend të kesaj, kontejenerët e vektorëve mund të alokojnë një hapësirë shtesë për të akomoduar rritjen e mundshme dhe prandaj kontejnerët mund të kenë kapacitet aktual më të madh sesa hapësira që ju nevojitet për të përmbajtur elementet e tyre (d.m.th, madhësinë e tyre). Libraritë mund të implementojnë strategji të ndryshme për rritjen për të balansuar ndërmjet përdorimit të memories dhe realokimit, por në cilindo rast, realokimet duhet të ndodhin vetëm në intervale llogaritmike të rritjes së madhësisë ashtu që insertimi i elementeve individuale në fund të vektorit të mund të ofrohet me një kompleksitet të amortizuar konstant kohor. Prandaj, krahasuar me vargjet, vektorët konsumojnë më shumë memorie në shkëmbim për aftësinë e menaxhimit të memories dhe rritjes dinamike në mënyrë efektive. Krahasurar me kontejerët tjerë të sekuencave dinamike (deque, list dhe forward_list), vektorët janë shumë efikas në qasjen në elementet e tyre (sikurse vargjet) dhe relativisht efikas në shtimin dhe largimin e elementeve në fundin (skajin ‘end’) të tyre. Për operacionet të cilat përfshijnë insertimin dhe largimin e elementeve në pozita të tjera, ata performojnë më dobët sesa të tjerët dhe kanë më pak iteratorë konsistent dhe referenca sesa list-at dhe forward_list-at. Tiparet e kontejnerit 635

Avni Rexhepi Sekuenca (Sequence) Elementet në kontejnerët e sekuencave janë të renditur në sekuencë strikte lineare. Elementet individuale qasen në bazë të pozitës së tyre në këtë sekuencë. Vargu dinamik (Dynamic array) Lejon qasje direkte në cilindo element në sekuencë, edhe përmes aritmetikës së pointerëve dhe siguron shtim/largim relativisht efikas të elementeve në fund të sekuencës. I vetëdijshëm për alokator (Allocator-aëare) Kontejneri e përdorë një objekt alokator për të manpuluar në mënyrë dinamike nevojat e tij për memorie. Funksionet (Member functions): (constructor) Konstruktori i vektorit (funksion publik) (destructor) Destruktori i vektorit (funksion publik) Ndaja vlerën (funksion publik) operatori = Iteratorët: begin end rbegin rend cbegin cend crbegin crend


Kapaciteti size max_size resize capacity empty reserve shrink_to_fit

Kthe madhësinë (numri i anëtarëve) (funksion publik) Kthe vlerën maksimale ((funksion publik) Ndrysho madhësinë (funksion publik) Kthe madhësinë e hapësirës së alokuar (funksion publik) Testo nëse vektori është i zbrazët (funksion publik) Kërko ndryshim të kapacitetit (funksion publik) Ngushto për të ju përshtatur (funksion publik)

Qasja në elemente operator[ ] 636

Qasju elementit (funksion publik)

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave at front back data

Qasju elementit (funksion publik) Qasju elementit të parë (funksion publik) Qasju elementit të fundit (funksion publik) Merr pointerin në vlerë (funksion publik)

Modifikatorët assign push_back pop_back insert erase swap clear emplace emplace_back

Cakto përmbajtjen e vektorit (funksion publik) Shto elementet në fund (funksion publik) Fshije elementin e fundit (funksion publik) Inserto elementet (funksion publik) Fshiji elementet (funksion publik) Shkëmbe përmbajtjet (funksion publik) Pastro përmbajtjen (funksion publik) Konstrukto dhe inserto elementin (funksion publik) Konstrukto dhe inserto elementin në fund (funksion publik)

Alokatorët: get_allocator Merr alokatorin (funksion publik) Mbingarkimet e funksioneve jo-anëtare relational_operators Operatorët relacional për vektor (funksion publik) swap Shkëmbe përmbajtjet e vektorëve (funksion publik) Specializimet e Template-ave vector Vektor i vlerave bool (specializim i template-it të klasës)

637

Avni Rexhepi Krijimi i vektorit – ndarja e vlerave (vector::assign) template void assign (InputIterator first, InputIterator last); fill (2) void assign (size_type n, const value_type& val);

range (1)

initializer list (3)

void assign (initializer_list il);

Definon përmbajtjen e re të vektorit, duke zëvendësuar përmbajtjen e tij ekzistuese dhe duke ia modifikuar madhësinë e tij në mënyrë gjegjëse. Në versionin (1) të rangut, përmbajtja e re e elementeve konstruktohet prej të gjitha elementeve ndërmjet kufijve ‘first’ dhe ‘last’, në renditje të njëjtë. Në versionin e mbushjes (fill (2)), përmbajtja e re janë n-elementet secili i inicializuar në kopjen e ‘val’ (vlerës). Në versionit (3), të listës inicializuese, përmbajtja e re kopjohet prej vlerave të përcjellura si listë inicializuese, në renditje të njëjtë. Alokatori intern përdoret (përmes tipareve të tij) për të alokuar/dealokuar memorien nëse ndodhë realokimi. Ai poashtu përdoret për të “asgjësuar” (angl. destroy) elementet ekzistuese dhe për të kontstruktuar ato të rejat. Të gjitha elementet që ndodhen në kontejner para thirrjes, asgjësohen dhe zëvendësohen me elementet e reja të konstruktuara (nuk ndodhë ndarja e vlerave (angl. assignement) të elementeve). Kjo shkakton një realokim automatik të hapësirës së alokuar të memories nëse dhe vetëm nëse madhësia e re e vektorit e tejkalon kapacitetin aktual të vektorit. Parameterat ‘first’ (i pari), ‘last’ (i fundit) – itaratorët e hyrjes për në pozitën fillestare dhe përfundimtare në sekuencë. Rangu i përdorur është [fist,last], i cili i përfshinë të gjitha elementet ndërmjet first dhe last, duke përfshirë edhe elementet elementet e pointurara me first dhe last (kufijtë). Argumenti ‘InputIterator’ i templlejtit të funksionit duhet të jetë një tip i iteratorit për hyrje i cili i pointon elementet e tipit prej të cilit mund të konstruktohen objektet e tipit të vlerave të definuara (value_type). n – madhësia e re për kontejnerin. Tipi i anëtarit ‘size_type’ është tip integral ‘unasigned’. val – Vlera për mbushje të kontejnerit. Secili prej n elementeve në kontejner do të inicializohet më një kopje të kësaj vlere. Tipi i anëtarit ‘value_type’ është tipi i elementeve në kontejner, i definuar në vektor si një alias i parametrit të tij të parë të templlejtit (T). 638

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave il – objekti ‘initializer_list’ (lista inicializuese). Kompajleri do të konstruktojë automatikisht objektet e tilla prej listës së inicializuar sipas deklarimit. Tipi i vlerave të anëtarëve (member type) është tipi i elementeve në kontejner, i definuar në vektor si një alias i parametrit të tij të parë të templlejtit (T). Shembulli 1: vector::assign 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

// vector::assign #include #include using namespace std; int main () { vector vektori1; vector vektori2; vector vektori3; vektori1.assign (8,100);

// 7 int me vlerë 10

vector::iterator it; it=vektori1.begin()+1; //5 vlerat qendrore të 'vektori1' vektori2.assign (it,vektori1.end()-1); int integjerat1[] = {17,7,14,25}; vektori3.assign (integjerat1,integjerat1+4);

// vlerat prej vargut.

//vektori1 cout<<"vektori1: "; for (vector::iterator it=vektori1.begin();it!=vektori1.end(); ++it) cout << ' ' << *it; cout << '\n'; //vektori2 cout<<"vektori2: "; for (vector::iterator it=vektori2.begin();it!= vektori2.end(); ++it) cout << ' ' << *it; cout << '\n'; //vektori3 cout<<"vektori3: "; for (vector::iterator it=vektori3.begin(); it!=vektori3.end(); ++it) cout << ' ' << *it; cout << '\n'; cout << "Madhesia e vektori1: " << int (vektori1.size()) << '\n'; cout << "Madhesia e vektori2: " << int (vektori2.size()) << '\n';

639

Avni Rexhepi 45 cout << "Madhesia e vektori3: " << int (vektori3.size()) << '\n'; 46 system("Pause"); 47 return 0; 48 } Rezultati/dalja:

vektori1: 10 10 10 10 10 10 10 10 vektori2: 10 10 10 10 10 10 vektori3: 17 7 4 25 Madhesia e vektori1: 8 Madhesia e vektori2: 6 Madhesia e vektori3: 4

Shembulli2:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

#include #include using namespace std; int main () { vector vektori1; for (int i=1; i<=5; i++) vektori1.push_back(i); cout << "vektori1 permban:"; for (vector::iterator it = vektori1.begin() ; it != vektori1.end(); ++it) cout << " " << *it;

640

cout<<"\n\n"; cout << "vektori1.front()=" << vektori1.front() << "\n"; cout << "vektori1.back() =" << vektori1.back() << "\n\n"; cout<<"\n"; vector vektori2; vektori2.push_back(78); vektori2.push_back(16); //vektori2.front()=78 //vektori2.back()=16 cout << "vektori2.front()=" << vektori2.front() << "\n"; cout << "vektori2.back() =" << vektori2.back() << "\n"; vektori2.front() -= vektori2.back(); cout << "vektori2.front()=vektori2.front()-vektori2.back() \n"; cout << "vektori2.front() tani eshte " << vektori2.front() <<"\n"; cout << "vektori2.back() tani eshte " << vektori2.back() << "\n";

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 }

cout << "\n"; vector vektori3; vektori3.push_back(10); while (vektori3.back() != 0) { vektori3.push_back ( vektori3.back()-1 ); } cout << "vektori3 permban:"; for (unsigned i=0; i
Rezultati/dalja:

vektori1 permban: 1 2 3 4 5 vektori1.front()=1 vektori1.back() =5 vektori2.front()=78 vektori2.back() =16 vektori2.front()=vektori2.front()-vektori2.back() vektori2.front() tani eshte 62 vektori2.back() tani eshte 16 vektori3 permban: 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 vektori3.front()=10 vektori3.back() =0

Shembulli 3: 1 2 3 4 5 6 7 8

// vector::pop_back #include #include using namespace std; int main () { vector vektori1; int shuma (0);

641

Avni Rexhepi 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 }

for (int i=1; i<=10; i++) vektori1.push_back(i); while (!vektori1.empty()) { shuma+=vektori1.back(); vektori1.pop_back(); } cout << "Shuma e anetareve te vektorit, S=" << shuma << "\n"; system("Pause"); return 0;

Rezultati/dalja:

Shuma e anetareve te vektorit, S=55

Shembulli 4: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

// vector::resize #include #include using namespace std; int main () { vector vektori1; // permbajtja fillestare: for (int i=1;i<=10;i++) vektori1.push_back(i); cout << "vektori1 permban:"; for (int i=0;i
642

vektori1.resize(5); vektori1.resize(8,100); vektori1.resize(12); cout << "\nvektori1 permban:"; for (int i=0;i vektori2 (100); cout << "1. Kapaciteti i vektori2: " << vektori2.capacity() << '\n'; vektori2.resize(10); cout << "2. Kapaciteti i vektori2: " << vektori2.capacity() << '\n';

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave 30 31 32 33 34 35 36 37 }

vektori2.shrink_to_fit(); //ngushtoje deri sa t'i pershtatet madhesia cout << "3. Kapaciteti i vektori2: " << vektori2.capacity() << '\n'; cout << '\n'; system("Pause"); return 0;

Rezultati/dalja:

vektori1 permban:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 vektori1 permban:1 2 3 4 5 100 100 100 0 0 0 0 1. Kapaciteti i vektori2: 100 2. Kapaciteti i vektori2: 100 3. Kapaciteti i vektori2: 10

Shembulli 5: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

// swap - shkëmbe #include #include using namespace std; int main () { vector vektori1 (3,100); // three ints with a value of 100 vector vektori2 (5,200); // five ints with a value of 200 cout << "vektori1 permban:"; for (unsigned i=0; i
643

Avni Rexhepi 31 cout << "\n"; 32 33 system("Pause"); 34 return 0; 35 } Rezultati/dalja:

vektori1 permban:100 100 100 vektori2 permban:200 200 200 200 200 Pas shkembimit, vektori1 permban:200 200 200 200 200 vektori2 permban:100 100 100

644


Fjalori STL - Dictionary ADT Fjalori (angl. Dictionary) (map, association list – harta, pasqyrimi, lista e shoqërimit, etj) është një strukturë e të dhënave, e cila në përgjithësi është asociacion (shoqërim) i çelësave unik me disa vlera. Përmes tyre mund të lidhet vlera me çelësin, të fshihet çelësi (dhe natyrisht një vlerë shoqëruar) dhe të kërkohet për ndonjë vlerë përmes çelësit. Vlerat nuk kërkohet të jenë unike. Një shembull i thjeshtë i përdorimit është një fjalor me shpjegime. Në këtë rast, fjalët janë “çelësat” dhe shpjegimet përkatëse janë “vlerat”. Operacionet e zakonshme për Fjalorin (Dictionary): 

Dictionary create() Krijon fjalor të zbraët



boolean isEmpty(Dictionary d) tregon a është i zbrazët (angl. empty) fjalori d



put(Dictionary d, Key k, Value v) asocion (shoqëron) çelësin k me vlerën v. Nnëse çelësi k veq është prezent në fjalor vlera e vjetër zëvendësohet nga v



Value get(Dictionary d, Key k) kthen vlerën e asociouar me çelësin k, ose null, nëse fjalori nuk ka çelës të tillë



remove(Dictionary d, Key k) largon (fshinë) çelësin k adhe vlerën e asociuar me të



destroy(Dictionary d) asgjëson fjalorin d (angl. destroy-asgjëso, shkatërro)

Fjalori implementohet në rastin e pemës së kërkimit binar (BST) dhe “hash map”. Fjalori është struktura që është: bashkësia e n rekordeve, secili i identifikuar përmes një ose më shumë çelësave. Përdoret për të mirëmbajtur strukturën e të dhënave në në mënyrë efikase të lokalizohet, insertohet ose fshihet rekordi i shoqëruar me cilindo çelës q të kërkimit (query).

645

Avni Rexhepi

Tipi abstrakt i të dhënave “Dictionary” është një prej strukturave më të rëndësishme në shkencat kompjuterike. Për implementimin e fjalorëve (angl. dictionary) janë propozuar shumë struktura të të dhënave, si: - vargjet e renditura ose pa-renditura, - hash tabelat, - listat me kapërcime (skip list-at), - pemët binare të kërkimit (të balansuara dhe të pabalansuara), etj. kështu që zgjedhja e të duhurës është e komplikuar. Varësisht prej aplikacionit, është poashtu një vendim që mund të ketë ndikim të rëndësishëm në performansë. Në praktikë, është më e rëndësishme që të evitohet përdorimi i strukturës së gabuar të të dhënave sesa të identifikohet opcioni i vetëm më i mirë në dispozicion. Një këshillë esenciale është që të izolohet me kujdes implementimi i strukturës së fjalorit nga interfejsi i saj. Përdorni thirrjet eksplicite të funksioneve të cilat inicializojnë, kërkojnë dhe modifikojnë strukturën e të dhënave, më mirë se t’i insertoni ato përbrenda kodit. Kjo dërgon në program më të pastër, por gjithashtu e bën më të lehtë të provohen implementime të ndryshme të fjalorit, për të parë se si ndikojnë në performansë. Mos u obsesiononi me koston e mbingarkimit (angl. overhead) të thirrjes së funksionit që është i pandarë në një abstraksion të tillë. Nëse aplikacioni është aq kritik në aspektin kohor sa që një mbingaresë e tillë mund të ndikojë në performansë, atëherë është edhe më esenciale që të jeni të aftë të eksperimentoni me lehtësi me implementime të ndryshme të fjalorit tuaj. 646

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave Në zgjedhjen e strukturës së duhur të të dhënave ëpr fjalorin tuaj, parashtroni pyetjet vijuese: 

Sa elemente do të keni në mënyrë tipike në strukturën tuaj të të dhënave? – A do ta dini këtë numër paraprakisht? A jeni duke shikuar një problem mjaft të vogël sa që një strukturë e thjeshtë e të dhënave do të jetë më e mira apo do të jetë aq e madhe sa që duhet të brengoseni për përdorimin e tepërt të memories ose shkëmbimeve?



A e dini numrin relativ të insertimeve, fshirjeve dhe kërkimeve? – A do të ketë modifikime në strukturën e të dhënave pasi të jetë konstruktuar së pari, ose do të jetë statike prej asaj pike e tutje?



A keni njohuri për frekuencën relative me të cilën do të qasen çelësat e ndryshëm? - A mund të supozojmë se modeli i qasjes do të jetë unform dhe i rastit apo do të shfaqë një shpërndarje të shtrembëruar (të pjerrtë) të qasjes (d.m.th., disa elemente janë shumë më popullore se të tjerat) ose me sens lokaliteti (d.m.th., elementet janë të prirur që të jenë të qasur në grupe, në vend se në intervale mjaft të rastit). Zakonisht, bota është edhe e shtrembëruar edhe e grupuar.



A është kritike që operacionet indifiduale të jenë të shpejta ose vetëm ajo që sasia totale e punës së bërë përgjatë tërë programit të minimizohet? – kur koha e përgjigjes është kritike, siç është në programin e kontrollimit të nëj pajisjeje mjekësore, nuk mund të pritni shumë gjatë ndërmjet hapave. Kur keni një program që është duke bërë shumë pyetje (query) në bazën e të dhënave, por për tema jo shumë të rënësishme, nuk është kritike zgjedhja e një shënimi të veçantë, sepse do t’i keni të gjithë me përpjekje minimale.

Kur njëherë të kuptoni se cilat janë nevojat e juaja, provoni të identifikoni strukturën më të mirë të të dhënave, nga lista vijuese: 

Vargjet ose lista e lidhura të pasortuara – për bashkësi të vogla të të dhënave, le të themi me 10 deri në 20 elemente, një varg i pasortuar me gjasë do të jetë struktura më e lehtë dhe më efikase për t’u mirëmbajtur. Vargjet janë më të lehta për punë sesa listat e lidhura dhe nëse fjalori do të mbahet në këtë madhësi, me gjasë nuk do të keni mundësi të kurseni sasi të rëndësishme të memories ndaj alokimit të vargut të plotë. Nëse fjalori do të jetë shumë i madh, atëherë koha e kërkimit do të jetë problematike në cilindo rast. Një variant interesant është edhe lista vetë-organizuar. Sa herë që një çelës qaset ose insertohet, ai vendoset në fillim të listës. Kështu, nëse çelësi qaset përsëri në të ardhmen e afërt, ai do të jetë afër fillimit dhe 647

Avni Rexhepi kështu do të kërkojë vetëm një kërkim të shkurtër për ta gjetur. Pasi shumica e aplikacionieve shfaqin edhe frekuencë jo të barabartë të qasjes dhe lokalitet të referencës, koha mesatare e kërkimit për listat e vetëorganizuara është zakonisht shumëmë e mirë sesa në listat e sortuara ose pasortuara. Natyrisht, strukturat e vetë-organizuara të të dhënave mund të ndërtohen edhe prej vargjeve edhe prej listave të lidhura. 

Vargjet ose listat e lidhura të sortuara – mirëmbajtja e listës së lidhur të sortuara zakonisht nuk shpaguhet (përveq nëse jeni duke tentuar të eliminoni duplikatet), pasi që në strukturën e tillë nuk mund të bëhet kërkimi binar. Vargu i sortuar do të jetë i përshtatshëm nëse dhe vetëm nëse nuk ka shumë insertime ose fshirje. Kur vargu bëhet shumë i madh sa që nuk e zë memoria, mendoni për B-pemët (angl. B-trees) në vend të kësaj.



Hash tabelat – për aplikacioniet që përfshijnë numërtë të çelësave mesatar deri në shumë të madh (le të themi ndërmjet 100 dhe 1,000,000), hash tabela me ndarje (angl. hash table bucketing) me gjasë është mënyra e duhur për të përcjellur. Në hash tabela ne përdorim një funksion i cili pasqyron çelësat (çofshin ata string, numër ose çkado tjetër) në numra të plotë (integers) ndërmjet 0 dhe m-1. Ne mbajmë një varg të m kovave (angl. buckets), secila në mënyrë tipike e implementuar përmes përdorimit të listës së lidhur të pasortuar. Për një çelës të dhënë, hash funksioni menjëherë e identifikon se në cilën kovë ndodhet ai. Nëse përdorim hash funksion i cili shpërndanë mirë çelësat dhe hash tabelë mjaftueshëm të madhe, secila kovë do të duhej të përmbajë shumë pak elemente, duke bërë kështu të pranueshëm kërkimin linear. Insertimi dhe fshirja nga hash tabela redukon insertimin dhe fshirjen nga lista/kovat.



Hash tabela e sinkronizuar mirë me gjasë do të tejkalojë performansën e vargut të sortuar në shumicën e aplikacioneve. Mirëpo, në krijimin e hash tabelës së sinkronizuar mirë, përfshihen disa vendime lidhur me dizajnin: o Sa duhet të jetë e madhe tabela? Zakonisht, m duhet të jetë afërsisht sa numri maksimal i elementeve që pritet të vendosen në tabelë. Sigurohuni që m të jetë numër primar, ashtu që të minimizohen rreziqet e hash funksionit të keq. o Cilin hash funksion duhet përdorur? Për stringje, diçka si S

F(S)=

 char (S )  a i 1

648

i

i 1

mod m

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave duhet të funksionojë (ku a është madhësia e alfabetit dhe char(x) është funksioni i cili pasqyron secilin karakter x në ASCII kodin e tij). Për stringjet e gjata, duhet të mjaftojnë 8 deri në 10 karaktere duhet të jenë të mjaftueshme për hash, duke supozuar se ka pak gjasa që të jenë të mbushur me zbrazëtira ose ndonjë tjetër invariant. Përdorni rregullën e Hornerit për të implementuar llogaritjet efikase të këtij hash funksioni.

649

Avni Rexhepi

Shtojcat Shtojca A - Templates - Shabllonet Për funksionet dhe klasat në C++ mund të krijojmë shablonet (angl. TemplateShabllon, model) përmes së cilave përgjithësojmë modelin e tyre dhe mundësojmë përdorimin universal për tipe të ndryshme. Nëse ndonjëherë kemi dashur të krijojmë funksionin për mbledhjen e numrave të plotë (int), e pastaj atë për mbledhjen e numrave jo të plotë (double, float), i cili do të ishte në gjendje të kthej tipin e duhur të rezultatit, varësisht prej tipit të parametrave që i mbledhë, është dashur të bazohemi në konceptin e mbingarkimit të funksioneve, ashtu që të kemi dy funksione me emër të njejtë, por me tipe të ndryshme të parametrave. Përmes konceptit të “templejtave”, kjo gjë realizohet në mënyrë më të përshtatshme.

Templejtat e funksioneve Templejtat e funksioneve janë funksione speciale të cilat mund të operojnë me tipe të përgjithsuara, tipe gjenerike (angl. generic types). Kjo na mundëson krijimin e funksioneve funksionaliteti i të cilave mund të përshtatet për më shumë tipe ose klasa, pa pasur nevojë përsëritjen e kodit për secilin tip. Në C++ kjo mund të arrihet përmes përdorimit të parametrave të templejtit. Parametri i templejtit është një lloj special i parametrave që mund të përdoret për të përcjellur tipin si argument: njësoj siç parametrat e zakonshëm të funksioneve mund të përdoren për të përcjellur vlerat në funksion, parametrat e templejtave mundësojnë përcjelljen e tipeve tek funksionet. Këto templejte të funksioneve mund të përdorin këta parametra sikur të ishin ndonjë tip tjetër i zakonshëm. Formati i deklarimit të templejtave të funksioneve me këtë lloj të parametrave është: template function_declaration; template function_declaration;

Dallimi i vetëm ndërmjet këtyre dy prototipeve është përdorimi i fjalës së rezervuar “class” ose “typename”. Përdorimi i tyre nuk bën dallim, pasi që të dy shprehjet kanë kuptim të njëjtë dhe sillen në mënyrë të njëjtë. Për shembull, për të krijuar funksionin template (shabllon), që kthen vlerën më të madhe prej dy vlerave (objekteve) të përcjellura në të, mund të veprohet si në vijim: template

650

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave TipiIm VleraMax (TipiIm a, TipiIm b) { return (a>b?a:b); }

Këtu kemi krijuar funksionin template me ‘TipiIm’ si parametër templejt i tij. Ky paremetër templejt reprezenton tipin i cili nuk është specifikuar akoma, por mund të përdoret në funksionin templejt sikur të ishte tip i zakonshëm. Siç mund të shihet, funksioni VleraMax kthen vlerën më të madhe prej dy parametrave të këtij tipit akoma të padefinuar. Për të përdorur templejt funksionin, për thirrjen e funksionit përdoret formati vijues: Emri_funksionit (parametrat);

Për shembull, për të thirrur funksionin për krahasim të dy numrave të plotë (integer), në kod mund të shkruhet: int x,y; VleraMax (x,y);

Kur kompajleri të hasë në këtë thirrje të funksionit templejt, ai e përdorë templejtin për të gjeneruar automatikisht funksionin duke zëvendësuar secilën paraqitje të “TipiIm” me tipin e përcjellur si templejt parametër aktual (në këtë rast ‘int’) dhe e thërret atë. Ky proces kryhet automatikisht nga kompajleri dhe është i padukshëm për programerin. Shembulli i kompletuar, do të dukej si në vijim: // Templejti i funksionit #include using namespace std; template T VleraMax (T a, T b) { T rezultati; rezultati = (a>b)? a : b; return (rezultati); } int main () { int i=5, j=6, k; long l=10, m=5, n;

651

Avni Rexhepi double o=1.5, p=2.5, q; k = VleraMax (i,j); n = VleraMax (l,m); q = VleraMax (o,p); cout << k << endl; cout << n << endl; cout << q << endl; return 0; }

Rezultati do të jetë: 6 10 2.5

Në këtë rast, kemi përdorur ‘T’ si emër të parametrit të templejtit (në vend të TipiIm, pasi që në fakt T është më i lehtë dhe më shkurtër) dhe është emër i zakonshëm për parametrat e templejtave. Por, natyrisht, mund të përdorni çfardo indentifikatori tjetër, sipas dëshirës. Në shembullin e mësipërm, funksioni VleraMax është përdorur tri herë, por secilën herë me versionin e duhur të funksionit, të përshtatur për tipin përkatës të vlerave. Siç mund të shihet, tipi T është përdorur në funksionin templejt VleraMax( ) edhe për të deklaruar objektet e reja të atij tipi: T rezultati; Prandaj, rezultati do të jetë një objekt i tipit të njëjtë si edhe parametrat a dhe b, kur funksioni templejt të thirret për rastin përkatës, me tipin e specifikuar. Në këtë rast specifik, ku tipi gjenerik T është përdorur si parametër për funksionin VleraMax, kompajleri mund të gjejë automatikisht se cilin tip të të dhënave duhet ta përdorë pa pasur nevojë të specifikojë atë në mënyrë eksplicite në kllapa të drejta “< >”, ashtu si kemi vepruar para specifikimit , dhe . Pra, kemi mundur të shkruajmë vetëm: int i,j; VleraMaxh(i,j); Pasi që të dy vlerat i dhe j, janë të tipit int, kompajleri mund të gjejë automatikisht që parametri i templejtit mund të jetë vetëm i tipit int. Kjo metodë implicite jep rezultat të njëjtë. // Templejti II #include using namespace std;

652


template T VleraMax(T a, T b) { return (a>b?a:b); } int main () { int i=5, j=6, k; long l=10, m=5, n; double o=1.5, p=2.5, q; k = VleraMax(i,j); n = VleraMax(l,m); q = VleraMax(o,p); cout << k << endl; cout << n << endl; cout << q << endl; return 0; }

Rezultati: 6 10 2.5

Vëreni se si në këtë rast, templejti i funksionit është thirrur pa specifikuar në mënyrë eksplicite tipin, brenda kllapave < >. Kompajleri përcakton në mënyrë automatike se cili tip nevojitet në secilën thirrje. Pasi që templejti në këtë rast përmbanë vetem një parametër (class T) dhe vetë funksioni tempeljt pranon dy parametra, të dy të këtij tipit T, nuk mund ta thërrasim templejtin e funksionit me dy objekte të tipeve të ndryshme, si argumente. int i double j; VleraMax(i,j);

Kjo nuk do të ishte korrekte, pasi që templejti VleraMax pret dy argumente të tipit të njëjtë dhe në këtë rast të thirrjes janë përdorur objektet e dy tipeve të ndryshme. 653

Avni Rexhepi Normalisht, ne mund të definojmë templejte funksionesh që pranojnë tipe të ndryshme të parametrave, thjeshtë duke specifikuar parametrat përkatës të templejtave dhe tipet e tyre. Për shembull: template T VleraMin (T a, U b) { return (a
Në këtë rast, templejt funksioni VleraMin( ) i pranon dy parametra të tipeve të ndryshme dhe kthen një objekt të tipit të njëjtë sikur parametri i parë (T), që i përcillet. Për shembull, pas deklarimit, mund të thirret funksioni VleraMin( ), me: int i,j; long l; i = VleraMin (j,l);

ose thjeshtë: i = VleraMin(j,l);

edhe pse, ‘j’ dhe ‘l’ kanë tipe të ndryshme, pasi që kompajleri sidoqoftë mund të përcaktojë tipin e nevojshëm.

Templejtat e klasave Edhe për klasat mund të krijohen templejtet, ashtu që klasa mund të ketë anëtarë të cilët përdorin templejtet e parametrave si tipe. Për shembull: template class dyshja { T vlerat[2]; public: dyshja (T ePara, T eDyta) { vlerat[0] = ePara; vlerat[1] = eDyta; } };

Klasa që sapo u definuar shërben për të ruajtur dy elemente të çfarëdo tipi. Për shembull, nëse do të dëshironim të deklarojmë një objekt të kësaj klasë për të ruajtur dy vlera të tipit ‘int’, 115 dhe 36, do të shkruanim: dyshja objektiIm (115, 36);

654

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave E njëjta klasë do të mund të përdorej për të krijuar një objekt që do të ruante çfarëdo tipi tjetër: dyshja vleratFloat (3.0, 2.18);

Funksioni i vetëm anëtarë në templejtin e klasës është definuar inline përbrenda vetë deklarimit të klasës. Në rast se definojmë funksionin anëtarë jashtë deklarimit të templejtit të klasës, atëherë atë definicion gjithmonë duhet ta paraprijmë me prefiksin: template <...>. //class templates #include using namespace std; template class dyshja { T a, b; public: dyshja (T ePara, T eDyta) {a = ePara; b = eDyta;} T vlMax(); }; template //prefiksi templejt per funksionin T dyshja ::vlMax() { T rezultati; rezultati = a>b? a : b; return rezultati; } int main() { dyshja objektiIm (100, 75); cout << objektiIm.vlMax(); return 0; }

Rezultati do të ishte: 100

Vëreni sintaksën e definicionit të funksionit vlMax. template T dyshja ::vlMax()

655

Avni Rexhepi Pra, janë tri ‘T’ në këtë deklarim: e para është parametri i templejtit, e dyta i refereohet tipit të kthyer prej funksionit dhe e treta (mes kllapave të këndore< >) është poashtu e nevojshme: ajo specifikon se parametri i templejtit të funksionit është poashtu parametër i templejtit të klasës.

Specializimi i templejtave Nëse dëshirojmë të definojmë implementim tjetër për templejtin kur tipi i specifikuar është i përcjellur si parametër templejt, mund të deklarojmë specializimin e atij templejti. Për shembull, le të supozojmë se kemi një klasë shumë të thjeshtë të emërtuar: kontejneriIm e cila mund të ruaj një element të çfarëdo tipi dhe ajo ka vetëm një funksion të quajtur “rrite”, i cili e rritë vlerën e tij. Por, e shohim se kur ai ruan elemente të tipit “char”, do të ishte më e përshtatshme të kemi implementim krejtësisht tjetër për atë funksion, p.sh., “uppercase” (angl. upper case – shkronjë e madhe), ashtu që vendosim të deklarojmë specializimin e templejtit të klasës për atë tip: // Specializimi i templejtave #include using namespace std; // class template: template class kontejneriIm { T elementi; public: kontejneriIm(T arg) {elementi=arg;} T rrite () {return ++elementi;} }; // class template specialization: template <> class kontejneriIm { char elementi; public: kontejneriIm(char arg) {elementi=arg;} char uppercase() { if ((elementi>='a')&&(elementi<='z')) elementi+='A'-'a'; return elementi; } };

656


int main () { kontejneriIm itegeriIm (7); kontejneriIm karakteriIm ('j'); cout << itegeriIm.rrite() << endl; cout << karakteriIm.uppercase() << endl; return 0; }

Rezultati: 8 J

Kjo sintaksë përdoret në specializimin e templejtave të klasave: template <> class mycontainer { ... };

Së pari, vëreni se deklarimi i klasës paraprihet me emrin e templejtit të klasës me një “template< >” me listë të zbrazët të parametrave. Kjo për t’a deklaruar atë në mënyrë eksplicite si specializim të templejtit. Mirëpo, më i rëndësishëm se ky prefiks, është specializimi i parametrit pas emrit të templejtit të klasës. Ky parametër i specializimit vetë identifikon tipin për të cilin do të deklarojmë specializimin e klasës së templejtit (char). Vëreni dallimimet ndërmjet templejtit të përgjithshëm (të gjeneralizuar) të klasës dhe specializimit: template class kontejneriIm { ... }; template <> class kontejneriIm { ... };

Rreshti i parë është templejti gjenerik, ndërsa i dyti specializimi. Kur deklarohen specializimet për klasën templejt, duhet të definohen edhe të gjithë anëtarët e saj, edhe ata saktësisht të njëjtë (të barabartë) me klasën gjenerike të templejtit, sepse nuk ka “trashëgimi” të eleementeve prej templejtit gjenerik tek specializimi.

Parametrat pa tip për templejta Përveq argumenteve të templejtit të cilët janë të paraprirë nga fjalët e rezervuara ‘class’ ose ‘typename’, të cilat përfaqësojnë tipet, templejtat poashtu mund të kenë edhe tipe të rregullta të parametrave, të ngjashëm me ata tek funksionet. Si shembull, shikoni këtë templejt të klasës që përdoret për të ruajtur sekuencat e elementeve: // Templejti i sekuencës #include using namespace std;

657

Avni Rexhepi template class sekuencaIme { T bllokuMem[N]; public: void caktoAnetarin (int x, T vlera); T merrAnetarin (int x); }; template void sekuencaIme::caktoAnetarin (int x, T vlera) { bllokuMem[x]=vlera; } template T sekuencaIme::merrAnetarin (int x) { return bllokuMem[x]; } int main() { sekuencaIme vlerat_int; sekuencaIme vlerat_float; vlerat_int.caktoAnetarin (0,100); vlerat_float.caktoAnetarin (3,3.1416); cout << vlerat_int.merrAnetarin(0) << '\n'; cout << vlerat_float.merrAnetarin(3) << '\n'; system("Pause"); return 0; }

Rezultatati: 100 3.1416

Mund të plotësojmë dhe shtypim të gjitha pozitat (me unazë), si në vijim: for (int i=0;i<5;i++) { vlerat_int.caktoAnetarin (i,100); vlerat_float.caktoAnetarin (i,3.1416);

658

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave } for (int i=0;i<5;i++) { cout << vlerat_int.merrAnetarin(0) << '\n'; cout << vlerat_float.merrAnetarin(i) << '\n'; }

Poashtu, është e mundur që të caktohen vlerat ose tipet e nënkuptuara (angl. default) për parametrat e templejtit të klasës. Për shembull, nëse në klasën paraprake definicioni i templejtit do të ishte: template class sekuencaIme {..};

kemi mundur të krijojmë objekte duke përdorur parametrat default të templejtit, duke deklaruar: sekuencaIme<> sekIme;

që është ekuivalent me: sekuencaIme sekIme;

Templejtat dhe projektet me shumë fajlla Prej këndvështrimit të kompajlerit, templejtat nuk janë klasa ose funksione normale. Ata kompajlohen vetëm me kërkesë, që do të thotë se kodi i funksionit templejt nuk kompajlohet deri në momentin kur të kërkohet krijimi i një instance (një rasti) me argumente specifike të templejtit. Në atë moment, kur të kërkohet një rast konkret, kompajleri prej templejtit gjeneron funksionin në mënyrë specifike për ato argumente. Kur projektet të rriten, është e zakonshme që kodi i programit të ndahet në fajlla të ndryshëm të korit burimor. Në këto raste, interfejsi dhe implementimi janë zakonisht të ndarë. Nëse marrim si shembull libraritë e funksioneve, interfejsi në mënyrë të përgjithshme përbëhet prej deklarimeve të prototipeve të të gjitha funksioneve që mund të thirren. Ato zakonisht deklarohen në “header file” (fajlla të kreut, header fajlla), me tipin ‘.h’ dhe implementimi (definicioni i këtyre funksioneve) është në një fajll të pavarur me kodin në c++. Pasi që templejtat kompajlohen kur të kërkohen, kjo vendosë kufizime për fajllat me shumë projekte: implementimi (definicioni) i klasës ose funksionit templejt duhet të jetë në të njëjtin fajll si edhe deklarimi. Kjo do të thotë që nuk mund të ndajmë interfejsin në “header fajll” të veçantë dhe se duhet të përfshijmë të dyja, edhe interfejsin edhe implementimin, në cilindo fajll që i përdorë tempeljtat. Pasi që deri në kërkimin e instancës konkrete të templejtit nuk gjenerohet kod, kompajlerët janë të përgatitur për të lejuar përfshirjen më shumë se një herë të 659

Avni Rexhepi fajllit të njejtë të templejtit më të dyjat, edhe me deklarimet edhe me definicionet, pa gjeneruar gabime (angl. errors) të linkimit (ndërlidhjes së fajllave).

660


Shtojca B - Rekurrenca Rekurrencat themelore Shumë algoritme janë të bazuara në principin e shpërbërjes (dekompozimit) rekurzive të problemit të madh në një ose më shumë probleme të vogla, duke përdorur zgjidhjet e nënproblemeve për të zgjidhur problemin origjinal (fillestar). Në këtë pjesë do të shohim metodat themelore për analizën e analizimin e algoritmeve të tilla dhe derivojmë zgjidhje disa formula standarde të cilat paraqiten në analizën e shumë algoritmeve. Të kuptuarit e tipareve matematikore të formulave në këtë pjesë do të jep pasqyrë në tiparet e performansës së algoritmeve. Dekompozimi rekurziv në një algoritëm reflektohet drejtpërdrejt në analizën e tij. Për shembull, koha e ekzukutimit të algoritmeve të tilla përcaktohet nga madhësia e numërit të nënproblemeve dhe koha e kërkuar për dekompozim. Matematikisht, varësia e kohës së ekzekutimit të një algoritmi për një madhësi të hyrjes N, nga koha e ekzekutimit të tij për vlera më të vogla hyrëse, shprehet lehtë përmes formulave të quajtura “relacionet e rekurrencës” (angl. requrrencerishfaqje, rikthim, përsëritje). Formulat e tilla përshkruajnë në mënyrë precize performansën e algoritmeve gjegjëse: për të nxjerrë kohën e ekzekutimit, i zgjidhim rekurrencat. Argumente më rigoroze lidhur me algoritmet specifike paraqiten në algoritmet përkatëse, kurse këtu do të koncentrohemi në vet formulat e rekurrencës. Formula 2.1 – Rekurrenca që paraqitet për programet rekurzivet të cilat kalojnë nëpër tërë hyrjen (nëpër të gjitha vlerat hyrëse), për të eliminuar një element, është: CN = CN-1 + N,

për N≥2, me C1 = 1,

Zgjidhja: CN është afërsisht N2/2. Për të zgjidhur një rekurrencë të tillë, e “teleskopojmë” (e zgjasim brenda njëra-tjetrës) duke e aplikuar atë në vetvetën e saj, si në vijim: CN = CN-1 + N CN = CN-2 + (N-1) + N CN = CN-3 + (N-2) + (N-1) + N ... Duke vazhduar në këtë mënyrë, në fund gjindet se CN = C1 + 2 + ... + (N-2) + (N-1) + N 661

Avni Rexhepi CN = 1 + 2 + ... + (N-2) + (N-1) + N CN =

N ( N  1) 2

Llogaritja e shumës 1 + 2 + ... + (N-2) + (N-1) + N është elementare: rezultati i dhënë pason kur e mbledhim shumën me vetvetën, por në kahjen e kundërt, term pas termi. Ky rezultat – dy herë vlera e kërkuar – përbëhet prej N termave, ku secili prej tyre rezulton në N+1. Formula 2.2 - rekurrencë që paraqitet kur programi rekurziv e përgjysmon hyrjen në një hap, është: CN = CN/2 + 1, për N≥2, me C1 = 1, Zgjidhja CN është afërsisht lg N. Kështu si është shkruar, ekuacioni nuk ka kuptim përveq nëse N është numër çift ose supozojmë se N/2 është pjestim i plotë. Për momentin, supozojmë se N = 2n, ashtu që rekurrenca është gjithmonë mirë e definuar. (Vëni re se n = lg N). Atëherë, rekurrenca teleskopohet edhe më lehtë se ajo e mëparshmja: C2n = C2n-1 + 1 C2n = C2n-2 + 1 + 1 C2n = C2n-3 + 3 ... C2n = C20 + n C2n = n + 1. Zgjidhja precize për N të përgjithshëm varet nga interpretimi i N/2. Në rastin kur N/2 reprezenton N/2, kemi zgjidhjen e thjeshtë: CN është numri i bitave në reprezentimin binar të N, dhe numri është  lg N  + 1, sipas definicionit (Kllapat speciale  , nënkuptojnë kufirin e poshtëm dhe ato   kufirin e epërm). Ky konkluzion pason drejtpërdrejt prej faktit se operacioni i eliminimit të bitit më të djathtë (angl. rightmost) në reprezentimin binar të cilitdo numër të plotë N > 0, konvertohet në  N/2  (Shih figurën 2.6).

662


Figura 2.6. Funksioniet integer dhe reprezentimi binar Për reprezentimin e dhënë binar të numrit N (kolona e mesit), duke larguar bitin më të djathtë fitojmë  N/2 . Kjo do të thotë se, numri i bitave në reprezentimin binar të N është 1 më i madh se numri i bitave në reprezentimin binar të  N/2 . Prandaj,  lg N  + 1, numri i bitave në reprezentimin binar të N, është zgjidhja e formulës 2.2, për rastin kur N/2 interpretohet si  N/2 . Formula 2.3 – rekurrenca që paraqitet për programin rekurziv që e përgjysmon hyrjen, por ndoshta duhet të ekzaminoj seclin element të hyrjes, është: CN = CN/2 + N,

për N≥2, me C1 = 0.

Zgjidhja: CN është afërsisht 2N. Rekurrenca teleskopohet në shumën N + N/2 + N/4 + N/8 + ... . (Ngjashëm sikur formula 2.2, rekurrenca është e definuar në mënyrë precize vetëm kur N është fuqi e 2-shit). Nëse sekuenca është e pakufi, kjo shumë e thjeshtë gjeometrike rezulton saktësisht në 2N. Pasi që përdorim pjestimin e plotë dhe ndalemi në 1, kjo vlerë është një përafrim i përgjigjes së saktë. Zgjidhja precize përfshinë tiparet e reprezentimit binar të N. Formula 2.4 – rekurrenca që paraqitet për programin rekurziv i cili duhet të bëjë një kalim linear nëpër hyrjen, para, gjatë ose pas ndarjes së asaj hyrjeje në dy gjysma, është: CN = 2CN/2 + N,

për N≥2, me C1 = 0.

Zgjidhja: 663

Avni Rexhepi CN është afërsisht N lg N. kjo zgjidhje është më e cituara prej të gjithave të përmendura këtu, sepse kjo rekurrencë aplikohet në familjen e algoritmeve standarde përçaj-e-sundo.

Zgjidhja zhvillohet shumë ngjashëm me atë në formulën 2.2, por me trikun plotësues të pjestimit të të dy anëve me 2n në hapin e dytë, për të bërë që rekurrenca të teleskopohet. Formula 2.5 – rekurrenca që paraqitet për programin rekurziv i cili e ndanë hyrjen në dy gjysma dhe pastaj bënë sasi konstante të punës tjetër, është: CN = 2CN/2 + N,

për N≥2, me C1 = 1.

Zgjidhja: CN është përafërsisht 2N. Kjo zgjidhje mund të derivohet në mënyrë të njëjtë si zgjidhja në formulën 2.4. Mund të zgjidhim variantet minore të këtyre formulave, duke përfshirë edhe kushtet fillestare të ndryshme ose ndryshime të vogla në termin aditiv, duke përdorur teknikat e njëjta të zgjidhjes, edhe pse duhet të jemi të vetëdijshëm se disa rekurrenca duken të ngjashme me këto, në fakt mund të jenë të vështira për t’u zgjidhur. Ka llojllojshmëri të teknikave të përgjithshme të avansuara për t’u marrë me ekuacione të tilla me rreptësi (saktësi) matematikore.

664


Shtojca C - Pemët binare Kodi i shembullit në libër: // BinarySearchTree.h" #include #define SIZE_KEY 32 #define SIZE_VALUE 256 typedef struct Metadata { struct Metadata(char* key, char* value) { strcpy(this->key, key); strcpy(this->value, value); left = NULL; right = NULL; } char key[SIZE_KEY]; char value[SIZE_VALUE]; struct Metadata* left; struct Metadata* right; } METADATA; class BinarySearchTree { private: int size; METADATA* root; bool addNode(METADATA** current_node, METADATA* new_node); bool getNode(METADATA* current_node, char* key, char* value); void removeAllNodes(METADATA* node); void processNodesInOrder(METADATA* node); int getTreeDepth(METADATA* node); bool containsNode(METADATA* node, char* key); bool removeNode(METADATA** node, char* key); void removeRootNode(METADATA** node); void moveLeftMostNode(METADATA** node, METADATA* root); public: BinarySearchTree(); virtual ~BinarySearchTree(); bool add(char* key, char* value); bool remove(char* key); void removeAll(); bool get(char* key, char* value); bool contains(char* key); void displayInOrder(); int getSize(); int getDepth(); }; // BinarySearchTree.cpp #include #include "BinarySearchTree.h"

665

Avni Rexhepi BinarySearchTree::BinarySearchTree() { root = NULL; size = 0; } BinarySearchTree::~BinarySearchTree() { removeAll(); } bool BinarySearchTree::add(char* key, char* value) { if(key == NULL || value == NULL || strlen(key) > SIZE_KEY-1 || strlen(value) > SIZE_VALUE-1) { return false; } METADATA* new_node = new METADATA(key, value); return addNode(&root, new_node); } bool BinarySearchTree::addNode(METADATA** current_node, METADATA* new_node) { if(*current_node == NULL) { *current_node = new_node; size++; return true; } else { if(strcmp(new_node->key, (*current_node)->key) < 0) { return addNode(&((*current_node)->left), new_node); } else if(strcmp(new_node->key, (*current_node)->key) > 0) { return addNode(&((*current_node)->right), new_node); } else { delete new_node; return false; } } } bool BinarySearchTree::remove(char* key) { return removeNode(&root, key); } //function bool BinarySearchTree::removeNode(METADATA** node, char* key) {

666

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave if(*node != NULL) { if (strcmp(key, (*node)->key) == 0) { removeRootNode(node); size--; return true; } else if(strcmp(key, (*node)->key) < 0) { return removeNode(&((*node)->left), key); } else { return removeNode(&((*node)->right), key); } } else { return false; } } void BinarySearchTree::removeRootNode(METADATA** root) { METADATA* temp; if((*root)->left == NULL && (*root)->right == NULL) { delete(*root); *root = NULL; } else if((*root)->right == NULL) { temp = *root; *root = (*root)->left; delete(temp); } else if((*root)->left == NULL) { temp = *root; *root = (*root)->right; delete(temp); } else { moveLeftMostNode(&((*root)->right), *root); } } void BinarySearchTree::moveLeftMostNode(METADATA** node, METADATA* root) { if(*node != NULL && (*node)->left == NULL) { METADATA* temp = *node;

667

Avni Rexhepi strcpy(root->key, (*node)->key); strcpy(root->value, (*node)->value); *node = (*node)->right; delete(temp); } else { moveLeftMostNode(&((*node)->left), root); } } void BinarySearchTree::removeAll() { removeAllNodes(root); root = NULL; size = 0; } void BinarySearchTree::removeAllNodes(METADATA* node) { if(node != NULL) { removeAllNodes(node->left); removeAllNodes(node->right); cout<<"Largohet nyja – çelesi(key):"<key<<"\t"<value << endl; delete node; } } bool BinarySearchTree::get(char* key, char* value) { return getNode(root, key, value); } bool BinarySearchTree::getNode(METADATA* node, char* key, char* value) { if(node == NULL) { value[0] = '\0'; return false; } else { if(strcmp(key, node->key) == 0) { strcpy(value, node->value); return true; } else if(strcmp(key, node->key) < 0) { return getNode(node->left, key, value); } else { return getNode(node->right, key, value);

668

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave } } } bool BinarySearchTree::contains(char* key) { return containsNode(root, key); } bool BinarySearchTree::containsNode(METADATA* node, char* key) { if(node == NULL) { return false; } else { if(strcmp(key, node->key) == 0) { return true; } else if(strcmp(key, node->key) < 0) { return containsNode(node->left, key); } else { return containsNode(node->right, key); } } } void BinarySearchTree::displayInOrder() { processNodesInOrder(root); } void BinarySearchTree::processNodesInOrder(METADATA* node) { if(node != NULL) { processNodesInOrder(node->left); cout << "çelesi: "<key<<"\tvlera: " <value << endl; processNodesInOrder(node->right); } } int BinarySearchTree::getSize() { return size; } int BinarySearchTree::getDepth() { return getTreeDepth(root); } int BinarySearchTree::getTreeDepth(METADATA* node) {

669

Avni Rexhepi int depth_left; int depth_right; if(node == NULL) { return 0; } else { depth_left = getTreeDepth(node->left); depth_right = getTreeDepth(node->right); if(depth_left > depth_right) { return depth_left + 1; } else { return depth_right + 1; } } }

Shembull 2: // PemaBinare2.cpp #include "stdafx.h" //Program: "Binary Search Tree" #include #include using namespace std; class BinarySearchTree { private: struct tree_node { tree_node* left; tree_node* right; int data; }; tree_node* root; public: BinarySearchTree() { root = NULL; }

670

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave bool void void void void void void void void

isEmpty() const { return root==NULL; } print_inorder(); inorder(tree_node*); print_preorder(); preorder(tree_node*); print_postorder(); postorder(tree_node*); insert(int); remove(int);

}; // Elementet e vogla majtas, te medhajat djathtas void BinarySearchTree::insert(int d) { tree_node* t = new tree_node; tree_node* parent; t->data = d; t->left = NULL; t->right = NULL; parent = NULL; // a eshte pema e zbrazet? if(isEmpty()) root = t; else { //Verejtje: Te gjitha insertimet jane si nyje gjethe tree_node* curr; curr = root; // Gjeje prindin e nyjes while(curr) { parent = curr; if(t->data > curr->data) curr = curr->right; else curr = curr->left; } if(t->data < parent->data) parent->left = t; else parent->right = t; } } void BinarySearchTree::remove(int d) { //Lokalizo elementin bool found = false; if(isEmpty()) { cout<<"\n Pema eshte e zbrazet! "<
671

Avni Rexhepi } tree_node* curr; tree_node* parent; parent = NULL; curr = root; while(curr != NULL) { if(curr->data == d) { found = true; break; } else { parent = curr; if(d>curr->data) curr = curr->right; else curr = curr->left; } } if(!found) { cout<<" \nVlera e dhene nuk ekziston! "<left == NULL && curr->right != NULL)|| (curr->left != NULL && curr->right == NULL)) { if(curr->left == NULL && curr->right != NULL) { if(parent->left == curr) { parent->left = curr->right; delete curr; } else { parent->right = curr->right; delete curr; } } else // Ekziston femija i majte, nuk ka femije te djathte { if(parent->left == curr)

672

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave { parent->left = curr->left; delete curr; } else { parent->right = curr->left; delete curr; } } return; } //Kerkohet nyja gjethe if( curr->left == NULL && curr->right == NULL) { if(parent->left == curr) parent->left = NULL; else parent->right = NULL; delete curr; return; }

//Nyja me 2 femije // zevendesoje nyjen me vleren me te vogel ne nen-pemen e djathte if (curr->left != NULL && curr->right != NULL) { tree_node* chkr; chkr = curr->right; if((chkr->left == NULL) && (chkr->right == NULL)) { curr = chkr; delete chkr; curr->right = NULL; } else // femija i djathte ka femije { //nese femija i djathte i nyjes ka femije te majte //shko deri ne fund te anes se majte, per te gjetur elementin me te vogel if((curr->right)->left != NULL) { tree_node* lcurr; tree_node* lcurrp; lcurrp = curr->right; lcurr = (curr->right)->left; while(lcurr->left != NULL) { lcurrp = lcurr; lcurr = lcurr->left; }

673

Avni Rexhepi curr->data = lcurr->data; delete lcurr; lcurrp->left = NULL; } else { tree_node* tmp; tmp = curr->right; curr->data = tmp->data; curr->right = tmp->right; delete tmp; } } return; } } void BinarySearchTree::print_inorder() { if(isEmpty()) { cout<<"\n Pema eshte e zbrazet! "<left) inorder(p->left); cout<<" "<data<<" "; if(p->right) inorder(p->right); } else return; } void BinarySearchTree::print_preorder() { if(isEmpty()) { cout<<"\n Pema eshte e zbrazet! "<
674

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave if(p != NULL) { cout<<" "<data<<" "; if(p->left) preorder(p->left); if(p->right) preorder(p->right); } else return; } void BinarySearchTree::print_postorder() { if(isEmpty()) { cout<<"\n Pema eshte e zbrazet! "<left) postorder(p->left); if(p->right) postorder(p->right); cout<<" "<data<<" "; } else return; } int main() { BinarySearchTree b; int ch,tmp,tmp1; while(1) { cout<>ch; switch(ch) { case 1 : cout<<" Jepni vleren(numrin) qe duhet te insertohet: "; cin>>tmp;

675

Avni Rexhepi

case 2 :

case 3 :

case 4 :

case 5 :

b.insert(tmp); break; cout<>tmp1; b.remove(tmp1); break;

case 6 : return 0; } } }

Shembull 3: // PemaBinare3.cpp #include "stdafx.h" #include using namespace std; //Node class class Node { int key; Node* left; Node* right; public: Node() { key=-1; left=NULL; right=NULL; }; void setKey(int aKey) { key = aKey; }; void setLeft(Node* aLeft) { left = aLeft; }; void setRight(Node* aRight) { right = aRight; }; int Key() { return key; }; Node* Left() { return left; }; Node* Right() { return right; }; };

676

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave // Tree class class Tree { Node* root; public: Tree(); ~Tree(); Node* Root() { return root; }; void addNode(int key); void inOrder(Node* n); void preOrder(Node* n); void postOrder(Node* n); private: void addNode(int key, Node* leaf); void freeNode(Node* leaf); }; // Constructor Tree::Tree() { root = NULL; } // Destructor Tree::~Tree() { freeNode(root); } //Liroje nyjen (Fshirja) void Tree::freeNode(Node* leaf) { if ( leaf != NULL ) { freeNode(leaf->Left()); freeNode(leaf->Right()); delete leaf; } } // Shto nyje void Tree::addNode(int key) { // Nuk ka elemente. Shto nyjen rrenje if ( root == NULL ) { cout << "Shto nyjen rrenje... " << key << endl; Node* n = new Node(); n->setKey(key); root = n; } else { cout << "Shto nyje tjeter ... " << key << endl; addNode(key, root); } }

677

Avni Rexhepi // Shty nyje (private) void Tree::addNode(int key, Node* leaf) { if ( key <= leaf->Key() ) { if ( leaf->Left() != NULL ) addNode(key, leaf->Left()); else { Node* n = new Node(); n->setKey(key); leaf->setLeft(n); } } else { if ( leaf->Right() != NULL ) addNode(key, leaf->Right()); else { Node* n = new Node(); n->setKey(key); leaf->setRight(n); } } } // Shtypja "in-order" e pemes // Pershko nen-pemen e majte, rrenjen, nen-pemen e djathte void Tree::inOrder(Node* n) { if ( n ) { inOrder(n->Left()); cout << n->Key() << " "; inOrder(n->Right()); } } // Shtypja "pre-order" e pemes // Pershko rrenjen, nen-pemen e majte, nen-pemen e djathte void Tree::preOrder(Node* n) { if ( n ) { cout << n->Key() << " "; preOrder(n->Left()); preOrder(n->Right()); } } // Shtypja "post-order" e pemes // Pershko nen-pemen e majte, nen-pemen e djathte, rrenjen void Tree::postOrder(Node* n) { if ( n ) { postOrder(n->Left()); postOrder(n->Right()); cout << n->Key() << " "; } }

678

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave // Programi kryesor (main) int main() { Tree* tree = new Tree(); tree->addNode(30); tree->addNode(10); tree->addNode(20); tree->addNode(40); tree->addNode(50); cout << "Pershkimi In-order " << endl; tree->inOrder(tree->Root()); cout << endl; cout << "Pershkimi Pre-order " << endl; tree->preOrder(tree->Root()); cout << endl; cout << "Pershkimi Post-order " << endl; tree->postOrder(tree->Root()); cout << endl; delete tree;//Fshije pemen system("Pause"); return 0; }

Shembull 4: //Pema binare4 #include using namespace std; // Klasa e pergjithshme e nyjes se pemes class Node { int key; Node* left; Node* right; Node* parent; public: Node() { key=-1; left=NULL; right=NULL; parent = NULL;}; void setKey(int aKey) { key = aKey; }; void setLeft(Node* aLeft) { left = aLeft; }; void setRight(Node* aRight) { right = aRight; }; void setParent(Node* aParent) { parent = aParent; }; int Key() { return key; }; Node* Left() { return left; }; Node* Right() { return right; }; Node* Parent() { return parent; }; }; // Klasa e pemes binare te kerkimit (BST) class Tree {

679

Avni Rexhepi Node* root; public: Tree(); ~Tree(); Node* Root() { return root; }; void addNode(int key); Node* findNode(int key, Node* parent); void walk(Node* node); void deleteNode(int key); Node* min(Node* node); Node* max(Node* node); Node* successor(int key, Node* parent); Node* predecessor(int key, Node* parent); private: void addNode(int key, Node* leaf); void freeNode(Node* leaf); }; // Constructor Tree::Tree() { root = NULL; } // Destructor Tree::~Tree() { freeNode(root); } // Liroje nyjen void Tree::freeNode(Node* leaf) { if ( leaf != NULL ) { freeNode(leaf->Left()); freeNode(leaf->Right()); delete leaf; } } // Shto nyje [O(lartesi te pemes) mesatarisht] void Tree::addNode(int key) { // S'ka elemente. Shto nyjen rrenje if ( root == NULL ) { cout << "Shto nyjen rrenje... " << key << endl; Node* n = new Node(); n->setKey(key); root = n; } else { cout << "Shto nyje tjeter ... " << key << endl; addNode(key, root); } }

680

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave // Shto nyje tjeter(private) void Tree::addNode(int key, Node* leaf) { if ( key <= leaf->Key() ) { if ( leaf->Left() != NULL ) addNode(key, leaf->Left()); else { Node* n = new Node(); n->setKey(key); n->setParent(leaf); leaf->setLeft(n); } } else { if ( leaf->Right() != NULL ) addNode(key, leaf->Right()); else { Node* n = new Node(); n->setKey(key); n->setParent(leaf); leaf->setRight(n); } } } // Gjeje nyjen [O(lartesia e pemes) mesatarisht] Node* Tree::findNode(int key, Node* node) { if ( node == NULL ) return NULL; else if ( node->Key() == key ) return node; else if ( key <= node->Key() ) findNode(key, node->Left()); else if ( key > node->Key() ) findNode(key, node->Right()); else return NULL; } // Shtype pemen void Tree::walk(Node* node) { if ( node ) { cout << node->Key() << " "; walk(node->Left()); walk(node->Right()); } }

681

Avni Rexhepi // Gjeje nyjen me çeles (vlere) minimale // Pershko nen-pemen e majte ne menyre rekurzive // deri sa nen-pema e majte te jete e zbrazet, per te marre vleren min Node* Tree::min(Node* node) { if ( node == NULL ) return NULL; if ( node->Left() ) min(node->Left()); else return node; } // // Gjeje nyjen me çeles (vlere) maksimale // Pershko nen-pemen e djathte ne menyre rekurzive // deri sa nen-pema e djathte te jete e zbrazet, per te marre vleren max Node* Tree::max(Node* node) { if ( node == NULL ) return NULL; if ( node->Right() ) max(node->Right()); else return node; } // Gjeje nyjen pasuese te nyjes // Gjeje nyjen, merre nyjen me vlere max // per nen-pemen e djathte, per ta marre nyjen pasuese Node* Tree::successor(int key, Node *node) { Node* thisKey = findNode(key, node); if ( thisKey ) return max(thisKey->Right()); } // Gjeje nyjen paraardhese te nyjes // Gjeje nyjen, merre nyjen me vlere max // per nen-pemen e majte, per ta marre nyjen paraardhese Node* Tree::predecessor(int key, Node *node) { Node* thisKey = findNode(key, node); if ( thisKey ) return max(thisKey->Left()); } // Fshije nyjen // (1) Nese eshte gjete, vetem fshije // (2) Nese ka vetem nje femije, fshije nyjen dhe zevendesoje me femijen

682

Algoritmet dhe strukturat e të dhënave // (3) Nese ka 2 femije. Gjeje paraardhesen(ose pasardhesen). // Fshije paraardhesen(ose pasardhesen). Zevendesoje nyjen // qe duhet te fshihet me paraardhesen (ose pasardhesen). void Tree::deleteNode(int key) { // Gjeje nyjen. Node* thisKey = findNode(key, root); // (1) if ( thisKey->Left() == NULL && thisKey->Right() == NULL ) { if ( thisKey->Key() > thisKey->Parent()->Key() ) thisKey->Parent()->setRight(NULL); else thisKey->Parent()->setLeft(NULL); delete thisKey; } // (2) if ( thisKey->Left() == NULL && thisKey->Right() != NULL ) { if ( thisKey->Key() > thisKey->Parent()->Key() ) thisKey->Parent()->setRight(thisKey->Right()); else thisKey->Parent()->setLeft(thisKey->Right()); delete thisKey; } if ( thisKey->Left() != NULL && thisKey->Right() == NULL ) { if ( thisKey->Key() > thisKey->Parent()->Key() ) thisKey->Parent()->setRight(thisKey->Left()); else thisKey->Parent()->setLeft(thisKey->Left()); delete thisKey; } // (3) if ( thisKey->Left() != NULL && thisKey->Right() != NULL ) { Node* sub = predecessor(thisKey->Key(), thisKey); if ( sub == NULL ) sub = successor(thisKey->Key(), thisKey); if ( sub->Parent()->Key() <= sub->Key() ) sub->Parent()->setRight(sub->Right()); else sub->Parent()->setLeft(sub->Left()); thisKey->setKey(sub->Key()); delete sub; }

683

Avni Rexhepi } // Programi kryesor int main() { Tree* tree = new Tree(); //Shto nyjet tree->addNode(300); tree->addNode(100); tree->addNode(200); tree->addNode(400); tree->addNode(500); // Pershko pemen cout<<"Nyjet e pemes: "; tree->walk(tree->Root()); cout << endl; // Gjeji nyjet if ( tree->findNode(500, tree->Root()) ) cout << "Nyja 500 u gjet" << endl; else cout << "Nyja 500 nuk u gjet" << endl; if ( tree->findNode(600, tree->Root()) ) cout << "Nyja 600 u gjet" << endl; else cout << "Nyja 600 nuk u gjet" << endl; // Min & Max cout << "Min=" << tree->min(tree->Root())->Key() << endl; cout << "Max=" << tree->max(tree->Root())->Key() << endl; // Pasardhese dhe paraardhese cout << "Pasardhes i 300=" << tree->successor(300, tree->Root())->Key() << endl; cout << "Paraardhes i 300=" << tree->predecessor(300, tree->Root())->Key() << endl; // Fshirja e nyjes cout << "U fshi nyja 300\n"; tree->deleteNode(300); // Pershkimi i pemes cout<<"Nyjet e pemes: "; tree->walk(tree->Root()); cout << endl; delete tree; system("Pause"); return 0; }

684


Shtojca D - Hash Tabela – implementim në C++ Në vazhdim do të jepet një implementim komplet i hash tabelës me kontrollim kuadratik. Përdoret templejti i klasës dhe supozohet se është ofruar një hash funksion i duhur në formën: unsigned int hash( const Object & x ) ;

për secilin tip të ilustruar me shembull konkret (për secilën instancë). Vëreni se nuk ka parametër të madhësisë së tabelës (tableSize); algoritmi i kontrollimit kuadratik performon operacionin ‘mod’ final në mënyrë interne pas përdorimit të hash funksionit të ofruar nga shfrytëzuesi. Versioni për ‘string’ ofrohet në klasë, me deklarimin në rreshtin 48. (Një ‘default’ (i nënkuptuar) poashtu ofrohet më vonë në formë të templejtit të funksionit, por ka pak gjasa që të ketë kuptim për objektet e komplikuara). Së fundi, supozojmë se operatori ‘!=’ është i definuar për objektin. Interfejsi i klasës është paraqitur në kodin në vazhdim. Që algoritmi të punojë në mënyrë korrekte, operatori ‘!=’ dhe hash-i duhet të jenë konsistent. Kjo do të thotë, nëse dy objekte janë të barabarta, edhe hash vlerat e tyre duhet të jenë të barabarta. Hash tabela përbëhet prej një vargu të strukturave. Secila struktura ruan një element dhe një anëtarë të të dhënave që na tregon se ‘hyrja/pozita’ është e zbrazët, aktive ose e fshirë (deleted). Për këtë qëllim përdoret variabla e grupit (enumeration) EntryType, e deklaruar në rreshtin 27. Ajo është e vendosur në pjesën publike (sepse ndonjë kompajler mund të ketë vërejtje për rreshtin 36, nëse është private). Vargu është deklaruar në rreshtin 40. Duhet të përcjellim numrin e elementeve në hash tabelë (duke përfshirë edhe elementet e shënuara si “Deleted”); kjo vlerë është ruajtur në ‘occupied’ që është deklaruar në rreshtin 41. Pjesa tjetër e interfejsit të klasës përmbanë deklarimet për funksionet e hash tabelës. Pasi që anëtarët janë të gjitha objekte ‘first-class’, janë të pranueshme ‘default’-et. Metoda (funksioni) i vetëm interesant është ‘find’, i cili kthen elementin e gjetur në kërkimin për ‘x’, të “mbështjellur” në objektin Cref (që shërben për të evituar referencën në objektin që nuk ekziston dhe mund të ruaj referencë NULL). 1 2 3 4 5 6 7 8

// Quadraticprobing Hash table class. // // Object must have operator!= and global function // unsigned int hash( const Object & key ); //CONSTRUCTION: with no paramet. or another hash table. // // ******************PUBLIC DECLAERATIONS************ // void insert ( x ) --> Insert x

685

Avni Rexhepi 9 // void remove( x ) --> Remove x 10 // Object find( x ) --> Return item that matches x 11 // void makeEmpty ( ) --> Remove all items 12 // ***************ERRORS**************************** 13 // Throws exceptions as warranted. 14 15 template 16 class HashTable 17 { 18 public: 19 HashTable ( ) ; 20 21 void makeEmpty ( i ; 22 23 Cref

Algoritme Dhe Struktura E Te Dhenave LIBRI

Recommend Documents