UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS EXAMEN FINAL CURSO CICLO TURNO AULA FECHA PROFESOR
1) Sea
: : : : : :
1 1 A ; 2 1
ALGEBRA LINEAL I NOCHE 101-160 13 - 07- 15 NOLAN JARA JARA
1 2 ; 0 1
5 1 R 4 . 6 1
Determine: gen ( A) .una base para gen(A) y la
Dim(gen(A)). Solución.
x 1 1 5 x 1 2 1 y y 4 gen( A) R / a b c 2 0 6 z z w 1 1 1 w x 1 1 5 x 1 1 5 1 2 1 y 0 3 6 y x 2 0 6 z 0 2 4 z 2 x 1 1 1 w 0 2 4 w x x x 1 1 5 1 1 5 0 1 2 ( y x) ( z 2 x ) 0 1 2 y x z 0 2 4 0 0 z 2 x 0 3 z 4 x 2 y 0 ( w x ) ( z 2 x) 0 0 0 w x z 0 0 3 z 4 x 2 y 0 3 z 4( z w) 2 y 0 z 4w 2 y gen( A) w x z 0 x z w gen( A) : x, y , z , w 3w 2 y, y,4w 2 y , w y 2,1,2,0 w3,0,4,1 B 2,1,2,0, 3,0,4,1 Dim( gen( A)) 2
2) Determine si los siguientes conjuntos son linealmente independientes o linealmente dependientes. A x;2 x x ;6 x 2 x 2
2
de P2
B 1 2 x;3 x x x ³;1 x ² 2 x ;3 2 x 3 x 3 de P 3 . 2
3
Solución.
1
a. x; 2 x x 2 ; 6 x 2 x 2 rx s 2 x x 2 t 6 x 2 x 2 0
r 2 s 6t 0(i) s 2t 0 s 2t
r 2 s 6t x s 2t x 2 0
en (i) : r 2t r , s, t 2t ,2t ,.t 0,0,0
x; 2 x x 2 ; 6 x 2 x 2 LIN . DEP Tambien por que : 6 x 2 x 2 2 x 22 x x 2 b. 1 2 x; 3 x x 2 x 3 ; 1 x 2 2 x 3 ; 3 2 x 3 x 3 1
2 0
0
0
3
1
1
1
0
1
2
3
2
0
3
11 0 1 2 x; 3 x x 2 x 3 ; 1 x 2 2 x 3 ; 3 2 x 3 x 3 L.I
3) Determine una base y la dimensión de la imagen de la transformación lineal
definida por:
T : 2 R 3
a 2b T a bx cx² a b c 3b c
También determine el núcleo
T.
Solución.
x a 2b x Im(T ) y R 3 / p ( x ) ( a bx cx ²) P 2 ; T a bx cx ² a b c y z z 3 b c x a 2b x 1 2 0 x 1 2 0 T a bx cx ² a b c y 1 1 1 y 0 3 1 y x 3b c z 0 3 1 z 0 0 0 z y x z y x 0 x y z 0 P P : z x y P : x, y , z x, y , x y x 1,0,1 y 0,1,1 Im(T ) B 1,0,1; 0,1,1
0 Nu(T ) p( x) (a bx cx²) P 2 ; T a bx cx² 0 0 a 2b 0 a 2b 0 a 2b T a bx cx² a b c 0 abc 0 3b c 0 c 3b 3b c 0 a, b, c 2b, b,3b ; b R L p( x) (2b) bx (3b) x 2
2
4) Encuentre los valores y vectores propios de la matriz
2 1 1 A 0 1 2 . 1 1 4
Determine si se
puede encontrar un conjunto de 3 vectores propios linealmente independientes. Solución.
2
1
1
0
1
2
1
1
4
0 2 1 4 2 2 1 0
2 2 5 2 1 0 3 7 2 11 5 0 12 ,5 1 1 1 0 0 1 1 3 5 0 1
1 x
0 2 y 0 z 0, x y 0 x, y , z x1,1,0 3 z 0 1 1 x 0 4 2 y 0 z 2 y , x y x, y , z y 1,1,2 1 1 z 0
No existentres vectores propio s linealmente independientes.
3
