Algebra - Walter Arriaga Delgado

UNIVERSIDAD PEDRO RUIZ GALLO ´ FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

´ ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICAS

ALGEBRA

presentado por:

Lic. Mat. Walter Arriaga Delgado

LAMBAYEQUE – PERU 2014

Dedicatoria Para mis padres, Martha y El´ıas; para mi adorable esposa, Flor Angela y para los m´ as grandes tesoros de mi vida, mis hijas Alessandra Anghely y Stefany Grace.

PREFACIO ´ GENERAL VISION Una de las situaciones m´ as dificiles a que se ve enfrentado comunmente un investigador en matem´ atica es la de tratar de explicar su labor profesional. La respuesta a ésta interrogante a lo largo de la historia de la humanidad han sido de la m´ as variable ´ındole: hay quienes plantean que cultivan esta ciencia por satisfacci´ on personal, sin buscar sus aplicaciones inmediatas; otros aseguran que, siendo la busqueda de conocimiento consustancial a la naturaleza humana y siendo la matem´ atica lenguaje universal, ésta debe cultivarse como contribuci´ on al acervo cultural de la humanidad, para permitir a los diversos pueblos comprender su propia y particular realidad. También se estima necesario que todos los pa´ıses, especialmente aquellos en desarrollo, cultiven las disciplinas b´ asicas para as´ı poder lograr independizarse cient´ıfica, tecnol´ ogica y econ´ omicamente. Concordando en mayor o menor medida con estos planteamientos, se puede constatar que pese a ser la matemática la m´ as com´ un de las ciencias, en el sentido de que est´ a presente y es utilizada por todos en la vida cotidiana, ciertamente no es la ciencia con mayor grado de popularidad; mucha gente tiene sentimientos de aprensi´ on, disgusto e incluso miedo a la matem´ atica. A´ un considerando estas dificultades, creemos que no ha sido suficientemente difundido el muy relevante papel que juega nuestra disciplina en la formaci´ on integral de cada ciudadano; de manera privilegiada, la matem´ atica aporta a esta formaci´ on capacitando a las personas para tomar decisiones en la vida, para enfrentar situaciones nuevas, para poder crear y expresar ideas originales; esto se logra por ejemplo a través de desarrollar la capacidad de abstracci´ on, de ense˜ nar a relacionar objetos o situaciones diversas, de desarrollar la intuici´ on; en fin, la matem´ atica ayuda a desarrollar una mentalidad cr´ıtica y creativa. Es entonces muy preocupante que sea la m´ as desconocida de las ciencias para el ciudadano medio; es lo que nos atrevemos a llamar el analfabetismo matem´ atico, o, m´ as generalmente, el analfabetismo cient´ıfico. El libro que se encuentra en estos momentos en sus manos pretende presentarle una introducci´ on, a nivel elemental y b´ asico, de una parte de las matem´ aticas sumamente u ´til y aplicable a casi todas ´ las ramas del saber “El Algebra”. ´ De la experiencia de dictar cursos, ponencias y diplomados sobre Algebra es que surgieron apuntes i

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Walter Arriaga Delgado

de clase que, después de sucesivas revisiones y ampliaciones, fueron transform´ andose hasta optar la forma que ahora presentamos, con la intenci´ on de que sirva como texto gu´ıa que inicie al alumno en esta fascinante rama de las matem´ aticas. Objetivo El objetivo de este libro es presentar los temas de manera clara y comprensible para los estudiantes de cualquier nivel, de forma que los motive a preguntar porqué y transmitirles el entusiasmo y gusto por el estudio de las matem´ aticas y a la vez proporcionar al lector una herramienta de consulta, dando la informaci´ on b´ asica para la resoluci´ on de éstas, as´ı como reforzar la comprensi´ on de los temas y conceptos por medio de una amplia gama de ejercicios resueltos y propuestos. El texto se ha dise˜ nado para brindarle una comprensi´ on s´ olida e intuitiva de los conceptos b´ asicos, sin sacrificar la precisi´ on matem´ atica. Aplicaciones Una de mis metas fue convencer a los estudiantes de la importancia del Algebra en sus campos de estudio. As´ı, este libro pretende implementar el estudio de las aplicaciones del Algebra a la Geometr´ıa, F´ısica, Qu´ımica, Biolog´ıa, Econom´ıa, etc.

CARACTERÍSTICAS Contenido El contenido del presente manuscrito se desarrolla de la siguiente manera: Caracter´ısticas pedag´ ogicas En base a nuestra experiencia docente y en consejos de muchos colegas, se a inclu´ıdo varios aspectos pedag´ ogicos para ayudar a los estudiantes a aprender y a ampliar su perspectiva acerca del Algebra. Problemas resueltos y propuestos Aqu´ı destacamos la importancia cr´ıtica de adquirir destreza en la resoluci´ on de problemas. En los ejemplos resueltos ense˜ namos a los estudiantes a pensar sobre los problemas antes de que empiecen a resolverlos. Los estudiantes aprenden matem´ aticas viendo ejemplos completos y claros. Estos var´ıan desde muy simples a muy dif´ıciles y compete al docente escoger aquellos m´ as adecuados para sus alumnos y proponer otros. El libro contiene problemas resueltos y propuestos para que el estudiante ponga a prueba su aptitud.


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El autor

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DEFINICIONES BASICAS 0.1.

Definici´ on de ALGEBRA

Es una parte de la Matemática que estudia a las cantidades en su forma m´ as general posible, empleando n´ umeros y letras. Tiene por objeto simplificar, generalizar y resolver lo referente a cantidades desconocidas, utilizando ecuaciones y operaciones adecuadas para llegar a un resultado

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0.2.


Esquema del desarrollo hist´ orico de la Matem´ atica

Siglos/a˜ nos

Siglos L A. C.

Pueblos Matem´ aticos

Pueblos Primitivos

Babilonios

Siglos LI - VI A.C - (a˜ nos 5000 - 500)

Asirios y Caldeos

Egipto

1650 A.C.

Escriba Ahmes (hijo de la luna)

Siglos VII-VI A.C (A˜ nos 640 -535)

Thales de Mileto - griego

Historia Medir y contar fueron las primeras actividades matemáticas del hombre primitivo. El trueque la forma de comercio rudimentario que utilizaron. Haciendo marcas en los troncos de los árboles lograban la medición del tiempo y el conteo de animales que pose´ıan. Aparece el concepto de n´ umero, origen de la Aritmética. Los pueblos mesopotámicos representaban los n´ umeros con marcas en forma de cu˜ na de acuerdo con su tipo de escritura. Tablillas cuneiformes descifradas hace poco tiempo, documentan la contribución de estos pueblos a la ciencia matemática. Representaban los n´ umeros con marcas: una marca para el 1; dos marcas para el 2 y as´ı hasta el 9. Figuran en estos documentos, conocimientos del Teorema de Pitágoras; operaciones algebraicas con ecuaciones de segundo grado; tablas de potencias de segundo y tercer grado; uso de las fracciones, (usaban como u ńico denominador el 60). Todo ello requiere un gran dominio de la matem´ atica elemental. No supone esto una concepción abstracta de la ciencia. Para hacer multiplicaciones utilizaban tablas de cuadrados y la regla siguiente: “el producto de dos n´ umeros es igual al cuadrado de su promedio, menos el cuadrado de su semidiferencia”. Los conocimientos geométricos de los Babilonios no forman un sistema; son conocimientos aislados. Dividieron el c´ırculo en 360 partes iguales, fundamento del sistema sexagesimal que usaron. La rueda, aplicaci´ on del c´ırculo, es creación de estos pueblos. Sab´ıan dividir la circunferencia en 6 partes iguales por lo que se supone que conocieron el triángulo equilátero. Encontramos los primeros vestigios del desarrollo de una ciencia matemática. Sus exigencias vitales, sujetas a las periódicas inundaciones del Nilo, los llevaron a perfeccionar la ARITMETICA y la GEOMETRIA. Copia de una obra anterior un valioso documento matemático, uno de los más antiguos que se conocen con el nombre de papiro de Rhind, por ser este su descubridor; el documento se encuentra en el Museo Británico. En él se detallan unos 80 problemas con sus soluciones, entre las cuales están las ecuaciones de segundo grado. Nacido en la ciudad de Mileto. El primero y más famoso de los 7 sabios de Grecia, primer filósofo jónico, primer ge´ ometra, “Padre de las matemáticas griegas”. Recorrió Egipto donde realizó estudios poniéndose en contacto con los misterios de la religión egipcia. Se le atribuye el haber predicho el eclipse de sol en el a˜ no 585, y el haber realizado la medición de las pirámides mediante las sombras que proyectan. Fue el primero en dar una explicación de los eclipses. En geometr´ıa el Teorema de Thales es universalmente conocido.


S. VII A.C

India

Siglo VI A.C (A˜ nos 585 -500).

Pitágoras - griego

Siglos V - IV A.C, (A˜ nos 408 335)

Eudoxio - griego

(A˜ nos 427 - 347)

Platon - griego

(A˜ nos 450 - ...)

Hipócrates de Qu´ıo - griego

Siglos IV - III A.C. (A˜ nos 365 275)

Euclides - griego

´ Algebra El Sulva Sutra, documento de “reglas relativas a la ciencia” en el que se enuncian notables soluciones a problemas geométricos relacionados con la construcción de templos y altares. De estos documentos se conservan tres versiones; una de ellas lleva el nombre de Apastamba. En esta versión encontramos la proposición geométrica que indica que el cuadrado construido sobre la diagonal de un rectángulo es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre dos lados adyacentes. Aparecen tambien reglas para construir un cuadrado equivalente a un rectángulo dado; o construir un cuadrado igual a la suma de otros dos. Sab´ıan que el cuadrado construido sobre la diagonal de otro es igual al doble de éste. Conoc´ıan el Teorema de Pitágoras no solo para el caso 3-4-5, sino en general (15-36-39;12-16-20; 5-12-13; 8-15-17; 15-20-25; 12-35-37). Sab´ıan calcular con muy alta precisión a´ un cuando no usaban el mecanismo actual. Sin embargo la contribución mayor de los hind´ ues a la matemática la encontramos en el sistema de numeraci´ on decimal posicional. Célebre filósofo nacido en Samoa y muerto en Metaponte. Realizó sus primeros estudios en su ciudad natal; viaj´ o por Egipto y otros pa´ıses de Oriente. Fundó la Escuela de Crotona que era una sociedad secreta de tipo pol´ıtico religiosa la “orden de los Pitagóricos”. Hizo del n´ umero el principio universal por excelencia. En geometr´ıa es famoso su teorema, que relaciona los lados de un triángulo rectángulo. Oriundo de Cnido, estudió con Platon. Matemático y astrónomo, viajó por Egipto, Sicilia e Italia. La Teor´ıa de las proporciones procura poner claridad en los problemas del infinito matemático, Es de su autor´ıa el método de exhaución para la demostración de ciertas propiedades. Uno de los mas grandes filósofos de la antig¨ uedad, alumno predilecto de Sócrates, dio a conocer las doctrinas del maestro y las suyas propias en los famosos Diálogos. Viaj´ o por el mundo griego y recibió la influencia de sabios y matemáticos. Fundó la Academia en cuyo frontispicio hizo escribir “Nadie entre aqu´ı si no sabe Geometr´ıa”. Se discuten aqu´ı los fundamentos y los métodos matemáticos. Aprendió geometr´ıa en Atenas. Su obra mas importante se relaciona con dos problemas famosos de la antig¨ uedad: la cuadratura del c´ırculo y duplicación del cubo. Se le atribuye la introducción del método de razonamiento matem´ atico por reducción al absurdo. Autor de “Los Elementos” tratado cient´ıfico que se mantuvo incólume hasta el siglo XIX. Ocupó la cátedra de Matemática en “El Museo”, centro docente creado por Ptolomeo I (General de Alejandro Magno). Estableció un método riguroso para la demostración geométrica. En su GEOMETRÍA el postulado fundamental sostiene: Por un punto exterior a una recta solo puede trazarse una paralela a la misma y solo una.

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Siglo III A.C (A˜ nos 287 -212)

Arqu´ımedes griego

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(A˜ nos 280 - 192)

Eratóstenes griego

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(A˜ nos 250 - ...)

Apolonio de Pérgamo - griego

Siglo II D.C (A˜ nos 100 - 178)

Claudio Ptolomeo - egipcio

Heron de Alejandr´ıa - griego

Siglo IV - V, D.C. (A˜ nos 325 409)

Diofanto - griego

(A˜ nos 370 - 415)

Hypatia - griega

Siglo V. (A˜ nos 499 - .....)

Aryabhatta hind´ u

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Nacido en Siracusa (Sicilia). Se le considera el sabio m´ as grande de la antig¨ uedad. Murió asesinado por una soldado romano. Entre sus trabajos cient´ıficos encontramos respuesta a: volumen de la esfera; determinación del valor de pi; sobre los conoides y esferoides; sobre las espirales; sobre la cuadratura de la parábola. Fue autor de innumerables inventos mecánicos: el tornillo sin fin; la rueda dentada; el espejo parabólico; etc. Fundó la Hidrostática al descubrir el principio que lleva su nombre. Sabio Alejandrino nacido en Cirene, se ocupó de matem´ atica, geograf´ıa y filolog´ıa. Bibliotecario de Alejandr´ıa, determinó cient´ıficamente la longitud del meridiano terrestre. Se le debe el método matemático para hallar n´ umeros primos, llamado Criba de Eratóstenes. Perteneció a la Escuela de Alejandr´ıa y ense˜ no en Pérgamo. De su obra se conserva un u ńico tratado: “las Cónicas”, en ocho libros, uno de los cuales se perdió. Apolonio estudia las propiedades de estas curvas. Con Apolonio termina la llamada Epoca de oro de la matemática griega. Nacido en Ptolemais (Egipto), vivió en Alejandr´ıa. Astr´ onomo, matemático, f´ısico y geógrafo. Su Sintaxis Matem´ atica (Almagesto) sintetiza y ordena los conocimiento astron´ omicos de los griegos, se utilizó en las Universidades hasta el Siglo XVIII. Su sistema geocéntrico dominó la astronom´ıa durante 14 siglos, hasta la aparición de Copérnico. Matemático, f´ısico e inventor. Se le atribuye la invenci´ on de gran n´ umero de aparatos mecánicos muy ingeniosos. Entre sus obras podemos mencionar: Geometr´ıa; Métrica; Dioptra; Neumática, etc. En trigonometr´ıa la fórmula de Her´ on permite calcular el área de un triángulo en función de sus lados. Matemático de Alejandr´ıa. Autor de una “Aritmética” en 13 libros de los cuales se conservan 6, colección de problemas con soluciones simbólicas que podr´ıan calificarse de algebraicas. Es el primero en enunciar una teor´ıa clara sobre las ecuaciones de primer grado. Ofreció además la fórmula para la solución de la ecuación de 2o grado. Ejerció considerable influencia sobre Viète. Excepcional mujer, hija del filósofo y matemático Teon. Nació en Alejandr´ıa, estudió en Atenas. En Alejandr´ıa fundó una Escuela donde ense˜ nó las doctrinas de Platon y Aristóteles. Uno de los u ´ltimos matemáticos griegos, se distingue por los comentarios realizados a las obras de Apolonio y Diofanto. Murió asesinada bárbaramente. Su obra más conocida es el “Aryabhatiya” escrita en verso sobre temas de astronom´ıa y matemática. En la secci´ on destinada a la ganitapada o matemática se dan los nombres de las potencias de diez hasta el décimo lugar; se formula un conjunto de instrucciones para calcular ra´ıces cuadradas y c´ ubicas de n´ umeros enteros y se dan reglas para el cálculo de áreas. Descubre para el cálculo de la longitud de la circunferencia el n´ umero 3.1416 que hoy llamamos pi. Trata tambien las progresiones aritméticas y da problemas sobre interés compuesto.

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Siglos VI - VII (A˜ nos 588 - 660)

Brahmagupta hind´ u

Siglos IX - X (A˜ nos 850 - ...)

Al-Khuwarizmi árabe

(A˜ nos 858 - 929)

Al -Battani árabe

Siglo XI - XII (A˜ nos 1029 1087)

Arzaquel o AlZargali- espa˜ nol

(A˜ nos 1130)

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Omar Khayyam - persa

(A˜ nos 1140 - ...)

Bhaskara - hind´ u

Siglos XII XIII (A˜ nos 1175-1250)

Fibonacci o Leonardo de Pisa italiano

1045

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El mayor avance presentado es el sistema de numeración posicional decimal. En trigonometr´ıa se introduce un concepto equivalente a la función seno de un ángulo; se dan as´ı los senos de ángulos menores o iguales a 90o para 24 intervalos angulares iguales a tres trescuartos de grado cada uno. Debemos tener en cuenta sin embargo que los matem´ aticos hind´ ues no daban nunca las explicaciones de sus cálculos ni las demostraciones de sus reglas. Astrónomo y matemático, alumno de Aryabhatta, autor del “Brahmasphuta-siddhanta”; en dos cap´ıtulos de esta obra, encontramos: soluciones generales para ecuaciones cuadráticas; una solución general de la ecuación lineal diofántica; una solución para la ecuación indeterminada de segundo grado llamada de Pell. En geometr´ıa estableci´ o varios teoremas sobre superficie de figuras planas. Se le atribuye conocimiento de las reglas algebraicas para operar con n´ umeros negativos y la regla de los signos para la multiplicación. Nacido en Khuwarismi, Matemático y astrónomo es uno de los más grandes sabios del Islam. Vivió en Bagdad, trabajó en la Biblioteca del califa Al-Mam´ un. En su obra encontramos la notación posicional de los hind´ ues y el uso de un s´ımbolo para el cero. El término algoritmo, deriva de ´ su nombre. La voz ALGEBRA se halla en el t´ıtulo de una de sus obras. Da solución numérica e ilustración geométrica de ciertas ecuaciones de segundo grado. La función seno de la trigonometr´ıa, creada por los matemáticos hind´ ues, fue utilizada por primera vez en sus tablas astronómicas. Escribió también “Aritmética”. Nacido en Battan (Irán). Astrónomo y Matem´ atico, realizó importantes estudios astronómicos. Rectificó las Tablas de Tolomeo. En matemática, su contribución fue el Teorema del coseno para triángulos esféricos. Astrónomo y matemático, nacido en Córdoba (Espa˜ na) confeccionó las famosas “Tablas Toledanas” de observaciones y cálculos astronómicos, fundamento de las “Tablas Alfonsinas”. Poeta, matemático y astrónomo Como matemático hizo una clasificación de las ecuaciones algebraicas de primero, segundo y tercer grado y dio una solución geométrica de las ecuaciones c´ ubicas, aplicando secciones cónicas.. Vivió en la ciudad de Ujanin. Astrónomo y matemático dirigió un observatorio astronómico. Compuso en verso su obra “Siddhanta shiromani”, que trata principalmente de astronom´ıa, pero dos de sus cap´ıtulos se dedican a matem´ atica: el VijaGanita, y el Lilavati. Ellos contienen numeroso problemas sobre ecuaciones lineales y cuadráticas; medidas de áreas; progresiones aritméticas y geométricas; ra´ıces; ternas pitagóricas y otros. No era un erudito, pero por sus continuos viajes en Europa y el Cercano Oriente, obtuvo información muy importante sobre diversas cuestiones matemáticas. Introdujo en el mundo occidental, la numeración india y arábiga. En su libro ”Liber Abacci”(1202) explica los procedimientos para hacer cálculos mercantiles. Es famosa la sucesión de Fibonacci.

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x

(A˜ nos 1315)

1235

-

Raimundo Lulio - espa˜ nol

Siglo XIV - XV

Siglos XV - XVI (A˜ nos 1445 1514)

Luca Pacioli italiano

(A˜ nos 1557)

1499

-

Nicolás de Tartaglia - italiano

(A˜ nos 1576)

1501

-

Girolamo Cardano - italiano

(A˜ nos – 1580)

Bombelli, Raffaele - italiano

Siglos XVI XVII (A˜ nos 1540 -1603)

Fran¸cois Viète francés

(A˜ nos 1617)

John Neper - escocés

1550-


Nacido en Palma de Mallorca, llamado “el Doctor Iluminado”, por su dedicación a la propagación de la fe. Su “Arte Magna” enuncia procedimientos para demostrar autom´ aticamente cualquier verdad, es una especie de matemática universal Fue martirizado y murió en 1315, la iglesia lo beatific´ o. Es el fin de la Edad Media, en Occidente se produce una lenta transformación ideológica que se extiende por varias generaciones. El individuo aspira a la libertad de pensamiento, de opinión y de creencia. El proceso de transformación se ve acelerado por la aparición de la imprenta (1400-1468). Se traducen y se imprimen numerosas obras de sabios griegos y la matemática comienza a separarse de la filosof´ıa. Nacido en Toscana. Matemático escribió un tratado que resum´ıa todos los conocimientos de su época en esta especialidad “Summa de arithmética, geométrica, proportioni et proportionalita”. En ella se encuentra un avance respecto al simbolismo algebraico y a la matemática comercial. Nacido en Brescia, fue uno de los más destacados matem´ aticos de su época. Halló un método para solucionar las ecuaciones de tercer grado, y sostuvo una polémica con Cardano sobre quien fue el primero en descubrir dicha solución. Matemático, médico y astrónomo nacido en Pavia. Publicó en su “Arte Magna” (1545) la fórmula que Tartaglia descubriera para la solución de las ecuaciones c´ ubicas, y que se la comunicó bajo la promesa de no darla a conocer. En dicha obra se incluye tambien la solución de Ferrari a las ecuaciones de cuarto grado. Analizó las relaciones entre coeficientes y ra´ıces de una ecuación. Matemático nacido en Bolonia, algebrista famoso del siglo XVI. Su “Tratado de Algebra” (1572) incorpora por primera vez la idea de los n´ umeros complejos y da algunas reglas para operar con ellos. Con este descubrimiento resuelve el caso irreducible de la ecuación de tercer grado. Otro aporte fue el estudio completo de las ecuaciones cuárticas, con un método general para su resolución. Nacido en Fontenay-le-Comte, pol´ıtico y militar que ten´ıa como pasatiempo favorito las matemáticas, puede consider´ arsele como el fundador del ALGEBRA moderna al introducir la notación algebraica. Dio formulas para la solución de las ecuaciones de 6o grado; resolvió ecuaciones numéricas de hasta 45o completó el desarrollo de la Trigonometr´ıa de Ptolomeo; calculó pi con 9 decimales. Barón de Merchiston (nació y murió en ese castillo, cerca de Edimburgo), dedicado en sus ratos de ocio al cultivo de los n´ umeros. Descubrió el principio que rige a los logaritmos y publicó la primer tabla en 1614. Tuvo una discusi´ on con B¨ urgi sobre quien hab´ıa sido el primero en trabajar con logaritmos. Fue amigo de Henry Briggs, profesor del Gresham College de Londres, que trabajó con los logaritmos en base 10 y publicó su primer tabla en 1624. En matem´ atica se conocen como analog´ıas de Neper las proporciones que se pueden establecer entre los elementos de un triángulo esférico cualquiera; la regla de Neper en trigonometr´ıa, permite resolver los casos de triángulos esféricos rectágulos.

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(A˜ nos 1650)

1596

-

Renato Descartes - frances

(A˜ nos 1593-1662)

Gérard Desargues - francés

(A˜ nos 1598-1647)

Cavalieri Bonaventura - italiano

(A˜ nos 1665)

1601

-

Pierre Fermat francés

(A˜ nos 1662)

1623

-

Blas Pascal francés

-

(A˜ nos 1677)

1630

-

Isaac Barrow inglés

-

(A˜ nos 1705)

1654

-

Jacques Bernoulli I - suizo

(A˜ nos 1704)

1661

-

L’Hôpital, Guillaume Fran¸cois Antoine - francés

Filósofo y matemático, nació en Normand´ıa, fue soldado y recorrió Hungr´ıa, Suecia e Italia.. La reina Cristina de Suecia lo invita a su corte, para que le de clases de matemática. Se lo considera el primer filósofo de la edad moderna y sistematiza el método cient´ıfico. Es el primero en aplicar rigurosamente el álgebra a la geometr´ıa, creando as´ı la GEOMETRÍA ANALÍTICA. Murió en Suecia. Ideó el sistema de coordenadas llamado cartesiano. Arquitecto e Ingeniero militar Los conceptos e ideas expuestos en su tratado sobre las cónicas “BrouillonProyect”, forman parte de la Geometr´ıa Proyectiva. Conocido es el Teorema de Desargues. Nació en Milan, fue jesuita y matemático, ense˜ nó en Bolonia. Se lo considera precursor del cálculo infinitesimal. Su obra “Geometr´ıa de los indivisibles” aparece en 1635. Nació en Beaumont-de-Lomage y murió en Castres. Matemático que estudió a los matemáticos griegos. Hizo aportes muy importantes a la teor´ıa de los n´ umeros, al álgebra, al análisis y a la geometr´ıa anal´ıtica. Fund´ o la ´ moderna teor´ıa de los n´ umeros, o ARITMETICA SUPERIOR. Expuso teoremas fundamentales del cálculo de probabilidades. Se conoce como u ´ltimo teorema de Fermat el que sostiene que: con n´ umeros naturales, no es posible hallar 4 n´ umeros tales que xn + y n = z n , cuya demostración a´ un no ha sido hallada. Nacido en Clermont-Ferrand, matemático, f´ısico y te´ ologo, De naturaleza enfermiza, a los 12 a˜ nos - seg´ un la hermana - hab´ıa demostrado las 32 proposiciones de Euclides; siendo a´ un ni˜ no, escribió el “Ensayo sobre las c´ onicas”; a los 16 a˜ nos inventa la máquina aritmética que construye en 1643; simplificó la geometr´ıa Proyectiva; dio junto con Fermat los primeros teoremas del cálculo de Probabilidades. Son conocidas las siguientes cuestiones: caracol de Pascal; recta de Pascal; triángulo de Pascal. Matemático y Teólogo fue maestro de Newton sobre el que influyó notablemente. Ideó el llamado triángulo diferencial o triángulo caracter´ıstico para la determinaci´ on de las tangentes a las curvas planas, que inspiró el concepto de derivada de Newton. Ense˜ nó matemática en Basilea, fundó el moderno c´ alculo de variaciones. Estudió la curva elástica, la catenaria, y la espiral logar´ıtmica. Inventó el cálculo exponencial y escribió uno de los primeros tratados sobre el cálculo de probabilidades: “Ars conjectandi”. Matemático, disc´ıpulo de Juan Bernoulli y autor de la primera obra sistemática sobre Analisis infinitesimal. El Teorema de L’Hôpital, permite calcular el l´ımite de ciertos tipos de expresiones indeterminadas.

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Siglos XVII XVIII (A˜ nos 1642 - 1727)

Isaac Newton ingles

(A˜ nos 1716)

1646

-

Leibnitz, Gottfried Wilhelm aleman

(A˜ nos 1748)

1667

-

Jean Bernouli I suizo.

(A˜ nos 1731)

1685

-

Taylor, Brook ingles

Siglo (A˜ nos 1783)

XVIII 1707 -

(A˜ nos 1752)

1704

-

(A˜ nos 1783)

1717

-

Euler Leonard suizo

Cramer, Gabriel - suizo

D′ Alembert, Jean Le Rond francés


El más grande de los matemáticos ingleses. Su libro ”Principia Mathemáthica”basta para asegurarle un lugar sobresaliente en la Historia de las matemáticas. Descubri´ o simultáneamente con Leibnitz el Cálculo diferencial y el C´ alculo integral. En Algebra le debemos el desarrollo del binomio que lleva su nombre. Seg´ un Leibnitz “Si se considera la matemática creada desde el principio del mundo hasta la época en que Newton vivió. Lo que él realizó fue la mejor mitad”. Nacido en Leipzig. Filósofo. Jurisconsulto y matemático “la mente más universal de su época”, dominó toda la ciencia. Viajó por Francia, Inglaterra y Holanda; en Hannover fue Bibliotecario y consejero del duque de Brunswick. Descubrió simultáneamente con Newton el Cálculo diferencial y el Cálculo integral, desarrolló el Análisis combinatorio, inventó las coordenadas polares y el sistema binario de numeración. Murió en Hannover. Hermano y disc´ıpulo de Jacques. Ense˜ nó en Groningen (Holanda) y sucedió a su hermano mayor en la cátedra de Basilea. Contribuyó grandemente a la difusión del cálculo infinitesimal. Fue el maestro de Euler. Es conocida la ecuaci´ on diferencial de primer orden llamada de Bernouli. Matemático y cient´ıfico, cultivó la Fisica, la M´ usica y la Pintura. Fue disc´ıpulo de Newton, y se dió a conocer en 1708 al presentar en la “Royal Society” un trabajo acerca de los centros de oscilación. Su obra fundamental “Métodos de los incrementos directos e inversos” contiene los principios b´ asicos del cálculo de las diferencias finitas. En el Algebra Elemental conocemos el Teorema de Taylor, cuya consecuencia es el Teorema de Mac Laurin. Nacido en Basilea, fue alumno de Juan Bernouli. Matem´ atico excelente, durante 12 a˜ nos ganó el premio anual que ofrec´ıa la Academia de Par´ıs sobre diversos temas cient´ıficos. Federico El Grande lo llamó a Berl´ın Catalina de Rusia lo llevó a San Petersburgo donde trabajó incesantemente. Sistematizó el cálculo infinitesimal unificando las escuelas de Newton y de Leibniz. Son conocidas: la fórmula de Euler (eix = cos x + i sen x), que para x = π resulta: eiπ + 1 = 0; funciones de Euler son las funciones â y ã que se utilizan en análisis matemático; se llama relación de Euler la que vincula las caras, aristas y vértices de un poliedro cualquiera. Los u ´ltimos 17 a˜ nos de su vida estuvo totalmente ciego. Matemático, autor de un trabajo en que explica las causas de la inclinación de las órbitas de los planetas. Es autor adem´ as de la regla que lleva su nombre, para la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Nació y murió en Par´ıs. Matemático, f´ısico y filósofo, hijo ileg´ıtimo abandonado por sus padres en el atrio de la capilla de Saint Jean Le Rond. Estudió matemática por su cuenta. En 1747 publica una memoria sobre las cuerdas vibrantes, da la ecuación diferencial que lleva su nombre y la integra. As´ı funda la teor´ıa de las ecuaciones en derivadas parciales. Junto con Diderot elabora la “Enciclopedia” en la que trata del cálculo diferencial y las cónicas. Fue secretario perpetuo de la Academia Francesa. Puede considerársele junto con Rousseau, precursor de la Revolución.

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Siglos XVIII XIX (A˜ nos 1736 - 1813)

Lagrange, Jose Luis - italiano

(A˜ nos 1818)

1746

-

Monge, Gaspar francés

(A˜ nos 1827)

1749

-

Laplace, Pierre Simon - francés

(A˜ nos 1833)

1752

-

(A˜ nos -1830)

1768

(A˜ nos -1855)

1777

Legendre, Adrien Marie frances

Fourier, Jean Baptiste Joseph - francés

Gauss, Friedrich alemán

Karl -

Nació en Turin, murió en Paris. Se interesó pòr la matem´ atica al leer un elogio del cálculo infinitesimal de Halley. Fue nombrado profesor a los 19 a˜ nos y organizó la Academia de Ciencias de Torino; a los 23 a˜ nos es miembro de la Academia de Berlin, cuya sección de F´ısica y Matemática dirigió durante 20 a˜ nos. Estudió la teor´ıa de las formas cuadráticas y demostró el célebre Teorema de Bachet de Méziriac (todo entero puede descomponerse en la suma de no más de cuatro cuadrados). Investig´ o las ecuaciones indeterminadas de segundo grado con dos inc´ ognitas. Independizó el cálculo de variaciones de la geometr´ıa. En su obra maestra “Mecánica Anal´ıtica”, aplica el análisis y el cálculo de variaciones. Su contribución al Algebra se encuentra en la memoria que escribió en Berl´ın hacia 1767 “Sobre la resolución de las ecuaciones numéricas”. Fue amigo de Napoleon que lo nombró Senador. Nacido en Beaune, fue Ministro de Marina durante la Revolución . Posteriormente Napoleon lo env´ıa a Italia, Egipto y Siria. Fue el creador de la Geometr´ıa descriptiva. A el se deben varios teoremas sobre ecuaciones en derivadas parciales y cap´ıtulos de geometr´ıa diferencial. Sus “Lecciones de geometr´ıa Descriptiva” y “Aplicación del Análisis a la geometr´ıa” son de 1794. Nació en Beaumont-en-Auge. Matemático, fue profesor en el Colegio Militar de Par´ıs. Su “Teor´ıa anal´ıtica de la probabilidades” (1812) es la primera exposición sistemática del C´ alculo de probabilidades. Nacido en Par´ıs. Es un matemático cuyos trabajos m´ as importante se relaciona con las integrales el´ıpticas y la teor´ıa de n´ umeros, con su ley de reciprocidad cuadrática. Su obra principal “Tratado de las funciones el´ıpticas y las integrales eulerianas”. Fue el iniciador de la Teor´ıa de las formas, de las que desarrolló las cuadráticas, binarias y ternarias. Matemático y F´ısico teórico nacido en Auxerre y muerto en Par´ıs; quedó huérfano a los 8 a˜ nos de edad. Ense˜ nó en la Escuela Normal y en la Politécnica. Acompa˜ nó a Napoleon Bonaparte a Egipto y fue Secretario del Instituto del Cairo Su principal obra es “Teor´ıa anal´ıtica del calor”; propone aqu´ı su célebre ecuaci´ on diferencial de propagación del calor. Además contribuye con el desarrollo de una función en serie trigonométrica o Serie de Fourier y propone un método matemático para la soluci´ on de numerosos problemas de vibraciones y ondulaciones. Nació cerca de Brunswick y murió en Gotinga. Matem´ atico, F´ısico y Astrónomo, se lo suele llamar Pr´ıncipe de la matem´ atica. Ni˜ no prodigio aprendió a contar antes que a hablar. En su tesis de doctorado (1799) demostró por primera vez el Teorema fundamental del álgebra. Dio unidad y amplitud a la Teor´ıa de los n´ umeros. En su obra maestra “Disquisiciones Aritméticas” inventa el concepto de n´ umeros congruentes módulo p; descubrió la ley de reciprocidad cuadrática; sistematizó la teor´ıa de los n´ umeros complejos. En análisis investiga las funciones de variables complejas; descubre la doble periodicidad de las funciones el´ıpticas. En geometr´ıa introduce las coordenadas curvilineas (o gaussianas). Crea de esta manera la geometr´ıa intr´ınseca. Creó la Geometr´ıa diferencial; la teor´ıa de las representaciones conformes y emprendió el estudio de la Topolog´ıa; el método de los m´ınimos cuadrados; la Campana de Gauss o curva normal de errores.

xiii

´ Algebra

xiv

(A˜ nos 1848)

1781-

Bolzano, Bernhard - alemán

(A˜ nos 1840)

1781-

Poisson, Simeón Denis - francés

(A˜ nos 1857)

1789

-

Cauchy, Agustin Louis - francés

Siglo XIX (A˜ nos 1793 - 1856)

Lobatchewski Nicolás - ruso

(A˜ nos 1829)

-

Abel, Niels Henrik - noruego

1781-

Poisson, Simeón Denis - francés

(A˜ nos 1840)

1802

(a˜ nos 1802-1860)

Bolyai, Janos h´ ungaro


Matemático nacido en Praga, fue sacerdote católico. Es uno de los iniciadores de la fundamentación rigurosa del An´ alisis mediante su aritmetización . Formuló el concepto de funci´ on continua y sus teoremas fundamentales. Las modernas teor´ıas del infinito hallan también en Bolzano un precursor. Expuso sus originales concepciones en las “Paradojas del Infinito”. F´ısico matemático nacido en Pithiviers. Ingresó en la escuela Politécnica donde llegó a suceder a Cauchy. Fue el primer profesor de Mecánica de la Sorbona. Estudió la célebre ecuaci´ on diferencial en derivadas parciales que lleva su nombre. Perteneció a la escuela que introdujo el rigor en el análisis. En su obra “Investigación sobre la probabilidad de los juicios” (1837), expuso la distribución que lleva su nombre. Matemático nacido en Par´ıs, formuló rigurosamente el c´ alculo infinitesimal a partir del concepto de l´ımite; estudió las funciones de variables compleja. Nos legó la fórmula de Cauchy; el principio de convergencia de Cauchy para una sucesi´ on; el problema de Cauchy: el Teorema de Cauchy, etc. Su vida estuvo sometida a los azares de su tiempo (revoluciones y contra revoluciones) . No aceptó el cargo en la Academia por no tener que jurar ante la Revolución. Fue profesor de matem´ atica en Turin. Comenzó la creación sistemática de la teor´ıa de grupos, imprescindibles en la matemática moderna. Dio su definici´ on del concepto de función. Matemático, estudió en la Universidad de Kazán de la que fue posteriormente Profesor, Decano de la Facultad de Matem´ atica y Rector. Combate la idea de Kant del espacio y establece la relatividad de esta noción. Combate la geometr´ıa de Euclides, que se manten´ıa intacta por más de 22 siglos. Es el creador junto con Bolyai de las GEOMETRÍA NO EUCLIDIANAS y pude considerársele como el precursor de la Teor´ıa de la Relatividad. Matemático que vivió durante toda su vida en extrema pobreza. Trató de abrirse paso entre los matemáticos del continente, pero no lo logró. Obtuvo con Jacobi el Gran Premio de Matemática del Instituto de Francia, por su trabajo sobre funciones el´ıpticas. Fue uno de los más grandes algebristas del siglo XIX. Demostró el Teorema General del Binomio. Llev´ oa cabo la demostración de la imposibilidad de resolución de las ecuaciones de 5o grado. Murió desconocido. F´ısico matemático nacido en Pithiviers. Ingresó en la escuela Politécnica donde llegó a suceder a Cauchy. Fue el primer profesor de Mecánica de la Sorbona. Estudió la célebre ecuaci´ on diferencial en derivadas parciales que lleva su nombre. Perteneció a la escuela que introdujo el rigor en el análisis. En su obra “Investigación sobre la probabilidad de los juicios” (1837), expuso la distribución que lleva su nombre. Matemático que a los 22 a˜ nos escribió su “Ciencia absoluta del Espacio” (1832) donde expone un sistema geométrico completo que prescinde del postulado de las paralelas de Euclides Bolyai demuestra as´ı que dicho postulado es independiente de los demás, y que basta reemplazar alguno o todos los postulados de Euclides para obtener nuevas geometr´ıas, todas lógicamente verdaderas. De este modo demostró la inutilidad de los esfuerzos de su padre (Wolfgang - 1775 - 1856) por demostrar dicho postulado con ayuda de los demás.


(A˜ nos 1851)

1804

-

Jacobi, Karl Gustav - alemán

(A˜ nos 1832)

1811-

Galois, Evariste francés

(A˜ nos -1864)

1815

Boole, George ingles.

(a˜ nos 1802-1860)

Bolyai, Janos h´ ungaro

(A˜ nos 1897)

Weierstrass, Karl Wilhelm Theodor alemán

1815-

´ Algebra Matemático, Profesor en la Universidad de Berl´ın y Koenigsberg, comparte con Agel el Gran Premio del Instituto de Francia por su trabajo sobre funciones el´ıpticas. Fue el primero en aplicar estas funciones a la teor´ıa de n´ umeros. Su obra sobre ecuaciones diferenciales inicia una nueva etapa en la Dinámica. Es famosa en este campo la ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi. Ideó la forma sencilla de los determinantes que se estudian hoy en el Algebra. Después de realizar estudios en un Liceo, ingresa a la Escuela Normal de Par´ıs. Acusado de peligroso republicano va a parar a la carcel. No fue la u ńica vez que estuvo en prisión. Acabado de salir muere de un pistoletazo a los 21 a˜ nos de edad. A pesar de esta corta vida dejó una estela profunda en la historia de la matemática. Es el creador de la teor´ıa de grupo y autor de la demostración del Teorema que lleva su nombre sobre resolución de las ecuaciones de primer grado. Nació en Lincoln (Inglaterra) y murió a los 49 a˜ nos en Ballintemple (Irlanda). Estudió álgebra por su cuenta, as´ı como los trabajos de Laplace y Lagrange que llegaron a ser más tarde las bases para sus primeros papeles matem´ aticos. Desde los 16 a˜ nos se ganó la vida con la ense˜ nanza y en 1849 fue nombrado Profesor Universitario en Cork. Publicó alrededor de 50 escritos. Recibió la medalla de la Real Sociedad por su aplicación de métodos algebraicos para la solución de ecuaciones diferenciales. Boole redujo la l´ ogica a un álgebra simple, elaborando as´ı la llamada Logica Booleana, que tiene una amplia aplicación en comunicaciones telefónicas y en el dise˜ no de computadoras. Su obra principal es “Investigación de las leyes del pensamiento en las que se fundan las teor´ıas matemáticas de la lógica y de la probabilidad”. Matemático que a los 22 a˜ nos escribió su C ¸ iencia absoluta del Espacio”(1832) donde expone un sistema geométrico completo que prescinde del postulado de las paralelas de Euclides. Bolyai demuestra as´ı que dicho postulado es independiente de los demás, y que basta reemplazar alguno o todos los postulados de Euclides para obtener nuevas geometr´ıas, todas lógicamente verdaderas. De este modo demostró la inutilidad de los esfuerzos de su padre (Wolfgang - 1775 - 1856) por demostrar dicho postulado con ayuda de los demás. Matemático, maestro de escuela y más tarde Profesor de la Universidad de Berl´ın. Puede considerarsele como el padre del Análisis moderno. En sus primeras investigaciones abordó el problema de los n´ umeros irracionales. Luego se dedicó el resto de su vida al estudio de las funciones de variables complejas y de variables reales. Su nombre es inseparable del de su disc´ıpula Sonia Kovalewski, valiosa matemática rusa.

xv

´ Algebra

xvi

(A˜ nos 1866)

1826-

Riemann, Bernhard - alemán

(Siglos XIX - XX A˜ nos 1842-1913)

Weber, Heinrich - alemán

(A˜ nos 1918)

1845-

Cantor, George ruso

(A˜ nos -1912)

1854

Poincaré, JulesHenri - francés

(A˜ nos 1947)

1858

-

Plank, Max alemán

-


Matemático nacido en Selasca, disc´ıpulo de Gauss. Se inició en Gotinga como estudiante de filolog´ıa y teolog´ıa. Sus contribuciones se relacionan con: a) Teor´ıa de n´ umeros; estudió el problema de la distribución de los n´ umeros primos. b) Teor´ıa de las funciones; Estudió las funciones de variables complejas; estableció el ”plano m´ ultiple.o superficie de Riemann; estudió las funciones algebraicas, funciones el´ıpticas y funciones abelianas. c) Geometr´ıa; Su memoria “Sobre las hipótesis que sirven de fundamento a la geometr´ıa” establece la diferencia entre espacio infinito e ilimitado que tuvo importancia en el desarrollo de la Teor´ıa de la Relatividad. d) Series trigonométricas; expone su teor´ıa de la integración en la cual considera funciones acotadas con infinitos puntos de discontinuidad. e) Topolog´ıa; sus trabajos se refieren al género de las superficies. A los 40 a˜ nos falleci´ o en Italia, donde se hab´ıa trasladado buscando un clima m´ as favorable para curar su tuberculosis. Matemático nacido en Heidelberg. Autor de importantes trabajos sobre teor´ıa de los n´ umeros , análisis matem´ atico y cálculo diferencial. Sus obras principales son: “Manual de Algebra” y “Enciclopedia elemental de Matemática”. Matemático nacido en San Petersburgo, vivió alli hasta 1856 fecha en que su familia se radica en Alemania. En sus u ´ltimos a˜ nos tuvo que ser internado en el manicomio de Halle, donde murió. Sus primeros trabajos se relacionan con las series trigonométricas y las teor´ıas de los n´ umeros irracionales. Trabajó en colaboración con Dedekind. En 1872 demostró que los n´ umeros trascendentes son de un tipo de infinitud mayor que el de los n´ umeros algebraicos; de aqu´ı deriva su aritmética transfinita. Posteriormente elaboró su célebre teor´ıa de conjuntos. Entre las consecuencias más notables de las teor´ıas de Cantor se encuentra la referente a la existencia de distintos tipos y jerarqu´ıas de infinitud. Su influencia se nota en el Análisis Moderno, en la Topolog´ıa abstracta y en los estudios epistemológicos modernos. Matemático que estudió en la Escuela Politécnica de Par´ıs. Fue Profesor de Análisis Matemático en Caen, luego es nombrado Profesor de Mecánica y Fisica Experimental en la Facultad de Ciencias de Par´ıs. Independientemente de sus contribuciones a la matemática es un verdadero divulgador de los métodos cient´ıficos. Circulan por todo el mundo sus obras “Ciencia e Hipótesis” y “Valor social de las Ciencias”. Es importante su trabajo sobre las ecuaciones fuchsianas. Matemático y Fisico, recibió el premio nobel de F´ısica de 1918. Sus estudios se desarrollaron alrededor de las relaciones entre el calor y la energ´ıa. Llevó a cabo la renovaci´ on de la F´ısica al introducir su famosa teor´ıa de los “quanta” basada en la discontinuidad de la energ´ıa radiante. La base de la F´ısica moderna es la “constante universal de Plank”. En sus trabajos se unen maravillosamente la F´ısica y la Matemática. Alemania creó el Instituto de F´ısica Max Plank.


(A˜ nos 1955)

1879

-

Einstein Albert alemán

(A˜ nos 1943)

1862-

Hilbert, David alemán

(A˜ nos 1956)

1871-

Borel, Emile francés

(A˜ nos 1941)

1875-

Lebesgue, Henri Leon - francés

Siglo XX (A˜ nos 1903- ...)

Neumann, John Von N.

(A˜ nos 1935 - ...

Bourbaki, Nicolas - francés

´ Algebra Matemático y F´ısico, Profesor del Instituto Politécnico y de la Universidad de Zurich. Director de la Sección de F´ısica del Instituto Emperador Guillermo. Recibió en 1921 el premio Nobel de F´ısica, por sus trabajos acerca de la Teor´ıa de la Relatividad del tiempo, que modifica la Teor´ıa de Gravitación universal de Newton. Trabajando con otros cient´ıficos de diversas nacionalidades en la Universidad de Pr´ınceton logró la desintegración del átomo, base de la Bomba Atómica. Matemático nacido en Koenigsberg y muerto en Gotinga. Su obra abarca gran parte de los campos en que se divide la matemática moderna. Sus trabajos se relacionan con: la teor´ıa de los cuerpos; ecuaciones integrales; sistemas de infinitas ecuaciones con infinitas incógnitas. Fue el iniciador y el impulsor del movimiento de axiomatización de la matemática moderna. Su obra principal “Fundamentos de la Geometr´ıa” (1899). En análisis introdujo los llamados “espacios de Hilbert” y en general los espacios abstractos . Fue el creador de la llamada Metamatemática. Matemático nacido en Aveyron. Realizó numerosos trabajos en el campo del Análisis Matemático: teor´ıa de funciones; suma de series divergentes; teor´ıa de conjuntos y c´ alculo de probabilidades. Sus libros: “Colección Borel”, “tratado de cálculo de Probabilidades”, “El azar”, “El espacio y el tiempo”, etc. Matemático nacido en Beauvais. Prosiguió con los trabajos de Cantor relacionados con la Teor´ıa de Conjuntos. Cre´ o la nueva teor´ıa de la integración que lleva su nombre. Contribuyó también en las Teor´ıas de las Series Trigonométricas. norteamericano Matemático nacido en Budapest (Hungr´ıa). Sus trabajos sobre Log´ıstica matemática, Teor´ıa de Conjuntos, Teor´ıa Cuántica, Operadores, etc. lo sit´ uan entre los primeros investigadores de esta ciencia. Fue Profesor de Fisica-Matemática en el Instituto de Altos Estudios de Princeton. Es este un nombre supuesto para un movimiento de matemáticos franceses que entendieron que el desarrollo matemático en esa época, estaba estancado. Las investigaciones desarrolladas bajo este nombre colectivo presenta una colección completa de la matemática en forma moderna: estructuras fundamentales y teor´ıas levantadas sobre ellas. En 1939 comenzaron a aparecer los “Elementos de Matem´ aticas” en fasc´ıculos. Sus iniciadores fueron: André Weil; Henri Cartan; Jean Dieudonne; Claude Chevalley; Laurent Schwarz y otros. Aparecieron hasta ahora unos 30 vol´ umenes.

xvii

´ Algebra

xviii

0.3.

´ Origen del Algebra

0.3.1.

Introducci´ on.


´ Algebra, rama de las matem´ aticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del ´ algebra son adici´ on, sustracci´ on, multiplicaci´ on, divisi´ on y c´ alculo de ra´ıces. La aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matem´ aticas. La aritmética s´ olo da casos particulares de esta relaci´ on (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 32 + 42 = 52 ). El ´ algebra, por el contrario, puede dar una generalizaci´ on que cumple las condiciones del teorema: a2 + b2 = c2 . El ´ algebra cl´ asica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza s´ımbolos en vez de n´ umeros espec´ıficos y operaciones aritméticas para determinar c´ omo usar dichos s´ımbolos. El ´ algebra moderna ha evolucionado desde el ´ algebra cl´ asica al poner m´ as atenci´ on en las estructuras matem´ aticas. Los matem´ aticos consideran al ´ algebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. As´ı, en su forma m´ as general, se dice que el ´ algebra es el idioma de las matem´ aticas.

0.3.2.

´ El origen del Algebra.

Los babilonios desarrollaron técnicas y métodos para medir y contar, impulsados en parte por la necesidad de resolver problemas pr´ acticos de agrimensura, de intercambio comercial y del desarrollo de las técnicas cartogr´ aficas. Entre las tablillas babil´ onicas descubiertas se han encontrado ejemplos de tablas de ra´ıces cuadradas y c´ ubicas, y el enunciado y soluci´ on de varios problemas puramente algebraicos, entres ellos algunos equivalentes a lo que hoy se conoce como una ecuaci´ on cuadr´ atica. Un examen cuidadoso de las tablillas babil´ onicas muestra claramente que mediante esos c´ alculos sus autores no s´ olo intentaban resolver problemas del mundo real, sino otros m´ as abstractos y artificiales, y que lo hac´ıan para desarrollar técnicas de soluci´ on y ejercitarse en su aplicaci´ on. Uno de ellos, en términos modernos, dice: He sumado el ´ area del cuadrado con los dos tercios del lado del cuadrado y el resultado es 7 12 Se requiere hallar la longitud del lado del cuadrado. En cuanto que, hasta la mitad del siglo XIX, el algebra se ocup´ ´ o principalmente de resolver ecuaciones de este tipo, puede decirse que fue en Babilonia donde tuvo su origen esta ciencia. Fueron los ´ arabes quienes le dieron a la nueva ciencia de plantear y resolver ecuaciones un nombre: aljabr. La nueva civilizaci´ on que surgi´ o en la pen´ınsula ar´ abiga en la primera mitad del siglo VII,


´ Algebra

xix

habr´ıa de transformar muy pronto la vida de gran parte del mundo habitado de entonces. Menos de un siglo después de la captura de La Meca por Mahoma en el a˜ no 630 d.C., el ejército isl´ amico hab´ıa convertido a las tribus polite´ıstas dcl Medio Oriente y usurpado al imperio bizantino los territorios de Siria y Egipto. La conquista de Persia se complet´ o hacia el a˜ no 641 d.C. Los sucesores de Mahoma, los califas, primero establecieron su capital en Damasco pero, tras cien a˜ nos de guerras, el califato se dividi´ o en varias partes. La fundaci´ on en 766 d.C. por parte del califa al - Mansur de Bagdad como la nueva capital de su califato, signific´ o cl comienzo de una etapa m´ as tolerante del islamismo y permiti´ o el desarrollo intelectual de sus habitantes. Su sucesor, el califa Harun al - Rashid, quien gobern´ o entre 786 y 809, estableció en Bagdad una biblioteca en la que se reunieron manuscritos provenientes de varias academias del Cercano Oriente, algunas de las cuales hab´ıan sido establecidas por miembros de las antiguas academias de Atenas y Alejandr´ıa que tuvieron que cerrarse a ra´ız de la persecuci´ on de los romanos. Un programa de tradt4cciones al ´ arabe de textos cl´ asicos de la matem´ atica y ciencia de los griegos y los hind´ ues era una de las actividades del Bayal al-Iliktna (Casa dc la sabidur´ıa), un instituto de investigaciones que fundara cl califa al - Ma’ mun y que funcion´ o durante m´ as de 200 a˜ nos. Muhammmad ibn Musa al - Khwarizmi, un miembro del Bayal al-Hikma fue el autor de varios tratados sobre astronom´ıa y matem´ aticas, entre ellos uno dc los primeros tratados isl´ amicos acerca del ´ algebra. Fue gracias a la traducci´ on al lat´ın de su libro acerca del sistema de numeraci´ on hind´ u, Algorithmi de numero indorum, que Europa Occidental conoci´ o ese novedoso sistema de numeraci´ on. Su obra m´ as importante, sin embargo, fue su tratado de ´ algebra que, con el t´ıtulo ´ Ilisab al-/abra wal- muqabala (La ciencia de la reducci´ on y confrontaci´ on) probablemente significaba la ciencia de las ecuaciones. ´ El Algebra de Muhammad contiene instrucciones pr´ acticas para resolver ciertas ecuaciones lineales y cuadr´ aticas. ”Lo que la gente quiere, dice el autor, cuando realiza sus c´ alculo.., es un n´ umero”. Ese n´ umero no es m´ as que la soluci´ on de una ecuaci´ on. Otro importante algebrista ´ arabe fue Omar Khayyam (1048-1131), mejor conocido en Occidente por su Rubaiyat, una colecci´ on de unos 600 poemas. Fue él el primero en hacer una clasificaci´ on sistem´ atica de la ecuaciones c´ ubicas y resolver algunas de ellas. La contribuci´ on de los algebristas isl´ amicos de los siglos Xl y XII en el desarrollo del álgebra habr´ıa sido más notoria si no hubiera tardado tanto en ejercer su influencia en Europa, donde, un poco después, el ´ algebra habr´ıa de consolidarse definitivamente.

´ Algebra

xx

0.3.3.


´ Historia del Algebra.

La historia del ´ algebra comenz´ o en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadr´ aticas (ax2 + bx = c), as´ı como ecuaciones indeterminadas como x2 + y 2 = z 2 , con varias inc´ ognitas. Los antiguos babilonios resolv´ıan cualquier ecuaci´ on cuadr´ atica empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se ense˜ nan. Los matem´ aticos alejandrinos Her´ on y Diofante continuaron con la tradici´ on de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es de bastante m´ as nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas dif´ıciles. Esta antigua sabidur´ıa sobre resoluci´ on de ecuaciones encontr´ o, a su vez, acogida en el mundo isl´ amico, en donde se la llam´ o “ciencia de reducci´ on y equilibrio”. (La palabra ´ arabe aljabr que significa ‘reducci´ on’, es el origen de la palabra a ´lgebra). En el siglo IX, el matem´ atico al-Jwarizmi escribi´ o uno de los primeros libros ´ arabes de álgebra, una presentaci´ on sistem´ atica de la teor´ıa fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matem´ atico egipcio Abu Kamil enunci´ o y demostr´ o las leyes fundamentales e identidades del ´ algebra, y resolvi´ o problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen

x + y + z = 10,

x2 + y 2 = z 2 ,

y

xz = y 2 . En las civilizaciones antiguas se

escrib´ıan las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas s´ olo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media, los matem´ aticos ´ arabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la inc´ ognita x, y desarrollaron el ´ algebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los s´ımbolos modernos. Esta algebra inclu´ıa multiplicar, dividir y extraer ra´ıces cuadradas de polinomios, as´ı como el conocimiento ´ del teorema del binomio. El matem´ atico, poeta y astr´ onomo persa Omar Khayyam mostr´ o c´ omo expresar las ra´ıces de ecuaciones c´ ubicas utilizando los segmentos obtenidos por intersecci´ on de secciones ´ c´ onicas, aunque no fue capaz de encontrar una f´ ormula para las ra´ıces. La traducci´ on al lat´ın del Algebra de al-Jwarizmi fue publicada en el siglo XII. A principios del siglo XIII, el matem´ atico italiano Leonardo Fibonacci consigui´ o encontrar una aproximaci´ on cercana a la soluci´ on de la ecuaci´ on c´ ubica arabes, por lo que con seguridad utiliz´ o el método x3 + 2x2 + cx = d. Fibonacci hab´ıa viajado a pa´ıses ´ ar´ abigo de aproximaciones sucesivas. A principios del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuaci´ on c´ ubica general en funci´ on de las constantes que aparecen en la ecuaci´ on. Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontr´ o la soluci´ on exacta para la ecuaci´ on de cuarto grado y, como consecuencia, ciertos matem´ aticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la f´ ormula de las ra´ıces de las ecuaciones de quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo ´ XIX el matem´ atico noruego Niels Abel y el francés Evariste Galois demostraron la inexistencia de


´ Algebra

xxi

dicha f´ ormula. Un avance importante en el ´ algebra fue la introducci´ on, en el siglo XVI, de s´ımbolos para las inc´ ognitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometr´ıa (1637), escrito por el matem´ atico y fil´ osofo francés René Descartes se parece bastante a un texto moderno de ´ algebra. Sin embargo, la contribuci´ on m´ as importante de Descartes a las matem´ aticas fue el descubrimiento de la geometr´ıa anal´ıtica, que reduce la resoluci´ on de problemas geométricos a la resoluci´ on de problemas algebraicos. Su libro de geometr´ıa contiene también los fundamentos de un curso de teor´ıa de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llam´ o la regla de los signos para contar el n´ umero de ra´ıces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuaci´ on. Durante el siglo XVIII se continu´ o trabajando en la teor´ıa de ecuaciones y en 1799 el matem´ atico alem´ an Carl Friedrich Gauss public´ o la demostraci´ on de que toda ecuaci´ on polin´ omica tiene al menos una ra´ız en el plano complejo (véase N´ umero (matem´ aticas): N´ umeros complejos). En los tiempos de Gauss, el ´ algebra hab´ıa entrado en su etapa moderna. El foco de atenci´ on se traslad´ o de las ecuaciones polin´ omicas al estudio de la estructura de sistemas matem´ aticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matem´ aticos, como los n´ umeros complejos, que los matem´ aticos hab´ıan encontrado al estudiar las ecuaciones polin´ omicas. Dos ejemplos de dichos sistemas son los grupos y las cuaternas, que comparten algunas de las propiedades de los sistemas numéricos, aunque también difieren de ellos de manera sustancial. Los grupos comenzaron como sistemas de permutaciones y combinaciones (véase Combinatoria) de las ra´ıces de polinomios, pero evolucionaron para llegar a ser uno de los m´ as importantes conceptos unificadores de las matem´ aticas en el siglo XIX. Los matem´ aticos franceses Galois y Augustin Cauchy, el brit´ anico Arthur Cayley y los noruegos Niels Abel y Sophus Lie hicieron importantes contribuciones a su estudio. Las cuaternas fueron descubiertas por el matem´ atico y astr´ onomo irlandés William Rowan Hamilton, quien desarroll´ o la aritmética de los n´ umeros complejos para las cuaternas; mientras que los n´ umeros complejos son de la forma a + bi, las cuaternas son de la forma a + bi + cj + dk. Después del descubrimiento de Hamilton, el matem´ atico alem´ an Hermann Grassmann empez´ o a investigar los vectores. A pesar de su car´ acter abstracto, el f´ısico estadounidense J. W. Gibbs encontr´ o en el ´ algebra vectorial un sistema de gran utilidad para los f´ısicos, del mismo modo que Hamilton hab´ıa hecho con las cuaternas. La amplia influencia de este enfoque abstracto llev´ o a George Boole a escribir Investigaci´ on sobre las leyes del pensamiento (1854), un tratamiento algebraico de la l´ ogica b´ asica. Desde entonces, el ´ algebra moderna también llamada ´ algebra abstracta ha seguido evolucionando; se han obtenido resultados importantes y se le han encontrado aplicaciones en todas las ramas de las

´ Algebra

xxii


matem´ aticas y en muchas otras ciencias.

0.3.4.

Un poquito m´ as de la historia del ´ algebra

¿Sab´ıas que el ´ algebra que se estudia en secundaria es muy antigua? Aqu´ı encontrar´ as algunos pasajes de su historia. Desde el siglo XVII aC. los matem´ aticos de Mesopotamia y de Babilonia ya sab´ıan resolver ecuaciones de primero y segundo grado. Adem´ as resolv´ıan también, algunos sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos inc´ ognitas En el siglo XVI aC. los egipcios desarrollaron un a´lgebra muy elemental que usaron para resolver problemas cotidianos que ten´ıan que ver con la repartici´ on de v´ıveres, de cosechas y de materiales. Ya para entonces ten´ıan un método para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el “método de la falsa posición”. No ten´ıan notaci´ on simb´ olica pero utilizaron el jerogl´ıfico hau (que quiere decir mont´ on o pila) para designar la inc´ ognita. Alrededor del siglo I dC. los matem´ aticos chinos escribieron el libro Jiu zhang suan shu (que significaEl Arte del c´ alculo), en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones de primero y segundo grado, as´ı como sistemas de dos ecuaciones con dos inc´ ognitas. Con su ´ abaco (suan z´ı) ten´ıan la posibilidad de representar n´ umeros positivos y negativos. En el siglo II, el matem´ atico griego Nic´ omaco de Gerasa public´ o su Introducci´ on a la Aritmética y en ella expuso varias reglas para el buen uso de los n´ umeros. En el siglo III el matem´ atico griego Diofanto de Alejandr´ıa public´ o su Aritmética en la cual, por primera vez en la historia de las matem´ aticas griegas, se trataron de una forma rigurosa no s´ olo las ecuaciones de primer grado, sino también las de segundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la inc´ ognita con un signo que es la primera s´ılaba de la palabra griega arithmos, que significa n´ umero. Los problemas de ´ algebra que propuso prepararon el terreno de lo que siglos m´ as tarde ser´ıa ”la teor´ıa de ecuaciones”. A pesar de lo rudimentario de su notaci´ on simb´ olica y de lo poco elegantes que eran los métodos que usaba, se le puede considerar como uno de los precursores del ´ algebra moderna. En el siglo VII los hind´ ues hab´ıan desarrollado ya las reglas algebraicas fundamentales para manejar n´ umeros positivos y negativos. ´ Siglo IX. Epoca en la que trabaj´ o el matem´ atico y astr´ onomo musulm´ an Al-Jwarizmi, cuyas obras fueron fundamentales para el conocimiento y el desarrollo del ´ algebra. Al - Jwarizmi investig´ o y escribi´ o acerca de los n´ umeros, de los métodos de c´ alculo y de los procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Su nombre latinizado dio origen a la palabra algoritmo que, usada primero para referirse a los métodos de c´ alculos numéricos en oposici´ on a los métodos de c´ alculo con


´ Algebra

xxiii

ábaco, adquiri´ o finalmente su sentido actual de “procedimiento sistem´ atico de c´ alculo”. En cuanto a la palabra ´ algebra, deriva del t´ıtulo de su obra m´ as importante, que presenta las reglas fundamentales del ´ algebra, Al-jabr wal muqabala. En el siglo X vivi´ o el gran algebrista musulm´ an Abu Kamil, quien continu´ o los trabajos de AlJwarizmi y cuyos avances en el ´ algebra ser´ıan aprovechados en el siglo XIII por el matem´ atico italiano Fibonacci. Durante este mismo siglo, el matem´ atico musulm´ an Abul Wafa al Bujzani, hizo comentarios sobre los trabajos de Diofanto y Al-Jwarizmi y gracias a ellos, los europeos conocieron la Arithmetica de Diofanto. ´ En 1202. Después de viajar al norte de Africa y a Oriente, donde aprendi´ o el manejo del sistema de numeraci´ on indoar´ abigo, Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, public´ o el Liber Abaci ´ (Tratado del Abaco) obra que en los siguientes tres siglos fue la fuente principal para todos aquellos estudiosos de la aritmética y el ´ algebra. En el siglo XV, el matem´ atico francés Nicol´ as Chuquet introdujo en Europa occidental el uso de los n´ umeros negativos, introdujo adem´ as una notaci´ on exponencial muy parecida a la que usamos hoy en d´ıa, en la cual se utilizan indistintamente exponentes positivos o negativos. En 1489 el matem´ atico alem´ an Johann Widmann d′ Eger invent´ o los s´ımbolos “+” y “−” para sustituir las letras “p” y “m” que a su vez eran las iniciales de las palabras piu (m´ as) y minus (menos) que se utilizaban para expresar la suma y la resta. En 1525, el matem´ atico alem´ an Christoph Rudolff introdujo el s´ımbolo de la ra´ız cuadrada que usamos hoy en d´ıa: Este s´ımbolo era una forma estilizada de la letra r”de radical o ra´ız. Entre 1545 y 1560, los matem´ aticos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli se dieron cuenta de que el uso de los n´ umeros imaginarios era indispensable para poder resolver todas las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado. En 1557 el matem´ atico inglés Robert Recorde invent´ o el s´ımbolo de la igualdad, =. En 1591 el matem´ atico francés Fran¸cois Viète desarroll´ o una notaci´ on algebraica muy cómoda, representaba las inc´ ognitas con vocales y las constantes con consonantes.

0.3.5.

Crucigrama algebraico

Un crucigrama es un juego que consiste en adivinar, mediante breves indicaciones, las palabras que corresponden a una serie de casillas colocadas cruz´ andose horizontal y verticalmente en un dibujo. Aqu´ı encontrar´ as un crucigrama muy divertido. Para llenarlo tendr´ as que resolver 17 ecuaciones de

´ Algebra

xxiv


primer grado. ¡An´ımate! Verticales

Horizontales

1) 3x + 2 = 32

3) 7x - 4 = 171

2) x/5 = 16

4) 8x - 920 = 7,080

3) 2x + 8 = 440

6) 1/2x + 8 = 88

5) 2x - 9 = x + 18

7) 5x = 35,745

8) 9x + 9 = 900

10) 4x - 4 = 3x + 6

9) 1/4x - 2 = 250

11)5/2 x + 40 = 500

13) x/3 - 11 = x - 233

12) x/9 - 43 = 1,000

15) x + 5 = 2x - 80

14) x/7 - 5 = 0 16) 5x - 4x + 3x + 8 = 8

Figura 1: Crucigrama ¿Qu´ e tal, result´ o divertido?

0.3.6.

Magia con ´ algebra

¿Te gusta hacer trucos de magia? ¿Has probado al hacerlos con un poco de ´ algebra? En lugar de sombrero de mago necesitar´ as una hoja de papel y en lugar de varita m´ agica un l´ apiz. ¿Listo? Vamos a hacer la prueba con uno a ver qué tal funciona: a. Piensa un n´ umero


´ Algebra

xxv

b. Al n´ umero que pensaste s´ umale el n´ umero que sigue. c. Al resultado del paso anterior s´ umale 9. d. Divide el resultado entre 2 e. A lo que qued´ o réstale el n´ umero que pensaste. ¡El n´ umero que qued´ o es 5!. ¿Impresionado? Veamos en d´ onde qued´ o el ´ algebra: Nosotros no sabemos cu´ al es el n´ umero que pensaste. Es una inc´ ognita as´ı que le llamaremos x. Ahora hay que sumarle el n´ umero que sigue, o sea, x+1. As´ı la suma que se hace es x+(x+1) = 2x+1. Ahora hay que sumar nueve, as´ı que tenemos que hacer 2x + 1 + 9 que es igual a 2x + 10. Hay que dividir el resultado entre 2. Veamos pues: (2x + 10)/2 = x + 5 Y, finalmente, hay que restar el n´ umero que hab´ıas pensado. Es decir hay que resolver: x + 5 − x . Pero curiosamente el resultado de esta operaci´ on da 5. As´ı que el n´ umero que te qued´ o es 5. ¿Te sorprende? Aqu´ı encontrar´ as m´ as trucos algebraicos, puedes ponerlos a tus amigos, a tu familia. Pero lo m´ as importante es que descubras por qué funcionan, es decir que practiques un poco el ´ algebra.

Truco 1: En una caja o en un frasquito guarda 20 cositas iguales, pueden ser canicas, clips, cerillos, frijoles, en fin, lo que se te ocurra. P´ıdele a alguien que piense un n´ umero entre el 1 y el 9. Saca de la caja el n´ umero de cositas que tu amigo pens´ o. Cuenta cuantas cositas quedaron dentro de la caja. Tiene que haber quedado un n´ umero de dos d´ıgitos. Suma esos dos d´ıgitos y saca de la caja el n´ umero de cositas que obtuviste de sumar los dos d´ıgitos. Saca de la caja dos cositas m´ as. Repite este truco 3 veces m´ as ¿Qué est´ a pasando? Intenta explicarlo.

Truco 2: Piensa un n´ umero. Multipl´ıcalo por 5. Suma 8 al resultado. A lo que qued´ o, réstale 3. Divide entre 5 el resultado del paso anterior. A lo que qued´ o resta el n´ umero que pensaste en un principio. El n´ umero que qued´ o es el 1 Explica que es lo que pas´ o.

Truco 3: Esta vez el truco lo vas a hacer t´ u. En los renglones vac´ıos, escribe las instrucciones adecuadas para que se cumpla el truco.

´ Algebra

xxvi


Piensa un n´ umero. Multipl´ıcalo por 7. Este rengl´ on te toca a ti. A lo que te qued´ o resta el n´ umero que pensaste al principio. Te qued´ o el n´ umero 1.

Truco 4: Escribe el n´ umero del mes en que naciste. Por ejemplo, si es junio el 6, si es noviembre el 11, etc. Multiplica ese n´ umero por 2. A lo que qued´ o, s´ umale 5. A lo que qued´ o, multipl´ıcalo por 50. A lo que qued´ o s´ umale tu edad actual (no la que vas a cumplir este a˜ no, la que tienes en este momento, hoy). Al n´ umero que qued´ o hay que restarle 250, en el resultado de la resta, las decenas y las unidaddes representar´ an la edad de la persona, las centenas y los millares, el mes de nacimiento. Intenta explicar que sucede. ¿Te gustaron los trucos? ¿Por qué no inventas los tuyos propios?

0.3.7.

Al - Jwarizmi

Figura 2: Al - Jwarizmi

Abu Jafar Mohammet ibn Mose Al - Jwarizmi fue uno de los mejores matem´ aticos ´ arabes de la Edad Media. Si bien no sabemos mucho acerca de su vida privada, conocemos a profundidad su obra matem´ atica que afortunadamente lleg´ o a nosotros gracias a las traducciones al lat´ın que de ella se hicieron durante la Edad Media y el Renacimiento.Al - Jwarizmi viv´ o del a˜ no 780 al 835. Naci´ o en una ciudad llamada Jwarizm que actualmente se llama Jiva y est´ a en Uzbekist´ an. Vivi´ o en la corte del califa Abdul´ a al - Mam´ un quien hab´ıa fundado una academia de ciencias que se llamaba “La Casa de la Sabidur´ıa” en la que trabajaban los mejores cient´ıficos y matem´ aticos,


´ Algebra

xxvii

entre ellos, por supuesto, Al - Jwarizmi. De esta academia sali´ o la primera expedici´ on que realizaron los ´ arabes para calcular la circunferencia de la Tierra y en la que se realizaron varios experimentos de navegaci´ on y observaciones astron´ omicas. Al - Jwarizmi fue un miembro muy activo de esta expedici´ on. En la “Casa de la Sabidur´ıa” se desempe˜ n´ o como bibliotecario, matem´ atico y astr´ onomo y escribi´ o varios textos, fundamentalmente de matem´ aticas. El m´ as importante de todos ellos es, sin duda, “Al - jabar wa′ l Muqabala”, que es un tratado sobre c´ omo plantear y resolver ecuaciones para resolver problemas de la vida cotidiana. El libro empieza as´ı: Este interés por la ciencia, con la que Al´ a ha dotado al califa Al - Mam´ un, caudillo de los creyentes, me ha animado a componer esta breve obra sobre el c´ alculo por medio del ´ algebra, en la que se contiene todo lo que es m´ as f´ acil y u ´til en aritmética, como por ejemplo todo aquello que se requiere para calcular herencias, hacer repartos justos y sin equ´ıvocos, resolver pleitos, realizar comercio y transacciones con terceros, todo aquello en donde esté implicada la agrimensura, la excavaci´ on de pozos y canales, la geometr´ıa y varios asuntos m´ as. Con el paso de los siglos los matem´ aticos reconocieron que la obra de Al - Jwarizmi era tan importante que se hicieron varias traducciones al lat´ın, que era el idioma en el que se escrib´ıa la ciencia en la Europa de esa época. Para finales del siglo XVI nadie ten´ıa dudas ya: Al - Jwarizmi era el verdadero padre del álgebra.

UTILIDAD: Los conocimientos son indispensables en el desarrollo de los curso tales como: La geometr´ıa, trigonometr´ıa, geometr´ıa anal´ıtica, c´ alculo diferencial e integral, etc. ´ S´ IMBOLOS QUE SE UTILIZAN EN EL ALGEBRA: Los s´ımbolos que se utilizan en el ´ algebra son los n´ umeros y las letras. Los n´ umeros se utilizan para representar cantidades conocidas y las letras se utilizan para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas. Para las cantidades conocidas, se emplea generalmente las primeras letras del alfabeto : a, b, c, .... Para las cantidades desconocidas, emplearemos generalmente las u ´ltimas letras del alfabeto : ... , x, y, z. Si una letra representa diferentes valores, entonces se emplea la misma letra afectada de comillas o sub´ındices. a′ , a′′ , ... , se lee “a prima” ; “a segunda” ; ... a1, a2 , ... , se lee “a sub uno” ; “a sub dos” ; ... SIGNOS: Signos de operaci´ on u operadores matem´ aticos:

´ Algebra

xxviii


SIMBOLO

OPERACION

RESULTADO

+

Adici´ on

Suma

−

Sustracci´ on

Resta

.

Multiplicaci´ on

Producto

÷

Divisi´ on

Cociente

()n √ n

Potenciaci´ on

Potencia

Radicaci´ on

Ra´ız

Cuadro 1: Signos de operaci´ on u operadores matem´ aticos ´ SIGNOS DE RELACION: = Para valores ≡ Para polinomios <> Comparaci´ on algebraica entre polinomios > Menor que < Mayor que ´ SIGNOS DE COLECCION: Son s´ımbolos que se utilizan para separar o agrupar expresiones . Estos son: ( ) Paréntesis { } Llave [ ] Corchete −→ Barra de vinculo

Índice general

Prefacio

I

DEFINICIONES BASICAS

V

0.1. Definici´ on de ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

0.2. Esquema del desarrollo hist´ orico de la Matem´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

´ 0.3. Origen del Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xviii

0.3.1. Introducci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xviii

´ 0.3.2. El origen del Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xviii

´ 0.3.3. Historia del Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xx

0.3.4. Un poquito m´ as de la historia del ´ algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xxii

0.3.5. Crucigrama algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xxiii

0.3.6. Magia con ´ algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xxiv

0.3.7. Al - Jwarizmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xxvi

Introducci´ on

IV

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1

1.1. Definici´ on: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. Término algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.3. Términos semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.4. Clasificaci´ on de las expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.5. Teor´ıa de exponentes y radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.6. Ecuaciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2. GRADOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 2.1. Definici´ on: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxix

25 25

´ Algebra

xxx


2.2. Grados en operaciones con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.3. Polinimios especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.3.1. Polinomio Homogéneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.3.2. Polinomio Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3.3. Polinomio Completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3.4. Polinomio Entero en x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.5. Polinomio m´ onico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.6. Polinomios idénticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.7. Polinomios equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.8. Polinomio idénticamente nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.4. Valor numérico de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3. MULTIPLICACION ALGEBRAICA 3.1. Adici´ on y sustracci´ on de expresiones algebraicas

45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.2. Multiplicaci´ on de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.3. Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

4. DIVISION ALGEBRAICA

67

4.1. Definici´ on: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

4.2. Método clasico o divisi´ on normal: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

4.3. Método de coeficientes separados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

4.4. Método de Guillermo Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

4.5. Método de Paolo Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

4.6. Teorema del resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

4.7. Divisibilidad algebraica

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

4.8. Cocientes notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

5. FACTORIZACION

95

5.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

5.2. Definici´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

5.3. Criterios de factorizaci´ on

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

5.3.1. Criterio del factor com´ un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

5.3.2. Criterio del factor com´ un por agrupaci´ on de términos . . . . . . . . . . . . . .

97

5.3.3. Criterio de las identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98


´ Algebra

xxxi

5.3.4. Criterio de las aspas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

5.3.5. Criterio de los divisores binomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

5.3.6. Criterio de los artificios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

6. MAXIMO COMUN DIVISOR. MINIMO COMUN MULTIPLO. FRACCIONES ALGEBRAICAS

115

6.1. M´ aximo Com´ un Divisor MCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

6.2. M´ınimo Com´ un M´ ultiplo MCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

6.3. Fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

116

6.4. Fracciones Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117

7. POTENCIACION

131

7.1. Factorial de un n´ umero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

131

7.1.1. N´ umero combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

7.1.2. Coeficiente binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

7.2. An´ alisis combinatorio

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

7.2.1. Principios fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133

7.2.2. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134

7.2.3. Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134

7.2.4. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134

7.3. Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135

xxxii

´ Algebra


Cap´ıtulo 1:

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Objetivos: z Clasificar una expresi´ on algebraica seg´ un la naturaleza de los exponentes y seg´ un el n´ umero de términos. z Capacitar para reconocer los exponentes de cocientes, productos, potencias o ra´ıces enésimas. z Aplicar la relaci´ on de base a base y exponente a exponente en la resoluci´ on de las ecuaciones exponenciales.

1.1.

Definici´ on:

Es un conjunto de n´ umeros y letras relacionadas entre s´ı por las distintas operaciones fundamentales (Adici´ on, Sustracci´ on, Multiplicaci´ on, Divisi´ on, Radicaci´ on y Potenciaci´ on), en forma finita y sin variables como exponentes. Ejemplo 1.1.1. 2 3

5x y −

√ 3

x7 z 2 3yz +√ y5 x

Constante: Es aquella magnitud que adquiere un valor fijo, en el estudio o desarrollo de un fen´ omeno matem´ atico y est´ a representado (no siempre) por las primeras letras del abecedario a, b, c, ... etc. Variable: Es aquella magnitud que no presenta un valor fijo, en el estudio o desarrollo de un fen´ omeno matem´ atico y est´ a representado (no siempre) por las u ´ltimas letras del abecedario x, y, z, w, ... etc. Notaci´ on Matem´ atica: Es aquella representaci´ on simb´ olica de una expresi´ on matem´ atica que nos permite diferenciar a las variables de las constantes.

1.2.

T´ ermino algebraico

Es la m´ınima expresi´ on algebraica en la que sus elementos se encuentran relacionadas por las operaciones de multiplicaci´ on, divisi´ on, potenciaci´ on y radicaci´ on. 1

´ Algebra

2


P (x, y) = 5ax2 + 2bxy + 3cy 2 nombre genérico

variables

constantes

Figura 1.1: Notaci´ on matem´ atica

En un término algebraico se distinguen las siguientes partes: 1. Coeficiente (incluyendo el signo). 2. Variables o parte literal. 3. Los exponentes de las variables 7x2 y 3

exponente parte literal (variables) coeficiente

Figura 1.2: Partes de un término algebraico

1.3.

T´ erminos semejantes

Son aquellos que tienen la misma parte literal, afectadas de los mismos exponentes. Ejemplo 1.3.1. 5x3 yz 5 ;

−0, 5x3 yz 5 ;

√

3x3 yz 5 ;

− 14 x3 yz 5 ;

son términos semejantes.

Dos términos se pueden sumar o restar si son semejantes, para lo cual se resta o se suma los coeficientes y se escribe la misma parte literal. Ejemplo 1.3.2. 9x5 y 2 ;

−3x5 y 2 ;

x5 y 2 ;

son términos semejantes

Sumando y restando se tiene: 9x5 y 2 − 3x5 y 2 + x5 y 2 = 7x5 y 2

´ Algebra


1.4.

3

Clasificaci´ on de las expresiones algebraicas

I. Seg´ un la naturaleza de los exponentes: Una expresi´ on algebraica puede ser: 1. Expresi´ on Algebraica Racional (EAR): Son aquellas cuyas variables est´ an afectadas por exponentes enteros. Estas a su vez pueden ser: 1.1 Expresi´ on Algebraica Racional Entera (EARE): Cuando los exponentes de sus variables son enteros positivos, incluyendo el cero (Z+ 0 enteros no negativos). 1.2 Expresi´ on Algebraica Racional Fraccionaria (EARF): Cuando los exponentes de sus variables son enteros negativos (Z− ). 2. Expresi´ on Algebraica Irracional (EAI): Son aquellas cuyas variables est´ an afectadas por exponentes fraccionarios (Q). Nota: Toda expresi´ on que no cumple con estas condiciones se le conoce con el nombre de expresi´ on no algebraica o Trascendente (ET).

8 8 8 > > > > > > :E. A. R. Fraccionaria > Expresi´ on > > :E. A. Irracional > > > > : E. Trascendental

Observaci´ on 1.4.1. Para clasificar expresiones matem´ aticas en primer lugar estas deben simplificarse lo mayor posible, llevando sus variables al numerador y a partir de all´ı analizar sus exponentes. Ejemplo 1.4.1. Vea la tabla 1.1 II. Seg´ un el n´ umero de t´ erminos: Una expresi´ on algebraica puede ser: 1. Monomio: Expresi´ on algebraica de un término. 2. Multinomio: Expresi´ on algebraica de dos o m´ as términos: Polinomio Un polinomio es una expresi´ on algebraica racional entera. Cuando los coeficientes son reales, se dice que es un polinomio en R. Monomio : Expresi´ on algebraica racional entera de un s´ olo término. Binomio

:

Es el polinomio de dos términos.

Trinomio

:

Es el polinomio de tres términos.

´ Algebra

4


Los exponentes que afectan a las variables son

3x4 y − 2x + log 3

EARE

x1/2

+ 2x 5 x−3 y 2 + x+1 √ 4 3 7 +2 x

EAI

Al menos un exponente es fracción.

EARF

Al menos un exponente es entero negativo.

EAI

Al menos un exponente es fracción.

2x3x−1 + 2x2 y −7

ET

5x

√

−

2

5xy 2

√ 3

+ 3x2 y 3 − 4

ET

enteros positivos.

Presenta variable en el exponente. Se le conoce también como ET del tipo exponencial. √ 2 no es ni entero ni racional. ET del tipo exponencial. Existe una variable afectada por un logarit-

4x7 y 5

−

5x−2 log x3

+ 4xy

ET

mo. Se le conoce también como ET del tipo logar´ıtmico. Existe una variable afectada por una funci´ on

x2 cos(xy) + 4y 3

ET

trigonométrica. Se le conoce también como ET del tipo trigonométrico.

1 + x + x2 + x3 + x4 + ...

ET

√ P (x, y) = 3x2 y 5 z −3 + 2xy z

EARE

Tiene infinitos términos. Las variables que se consideran son x e y, pues z es automáticamente una constante.

Cuadro 1.1: Clasificaci´ on de las expresiones algebraicas Notaci´ on: P (x)

: Es un polinomio que tiene una sola variable x.

P (x, y) : Es un polinomio que tiene dos variables x, y. Nota:

Todo polinomio es un multinomio.

Ejemplo 1.4.2. 1. P (x, y) = x2 y − 5x2 y 2 + 3xy 3

Trinomio

2. M (x, y, z) = 2xy 2 z 3

Monomio

3. P (x, y) = 4x7 y 2 − x5 y 3

Binomio

4. R(x) = a0 + a1 x + a2 x2

Trinomio

5. P (x) = a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + ... + an−1 x + an coeficiente principal y an es el término independiente.

Polinomio en x de grado n donde a0 es el

´ Algebra


1.5.

5

Teor´ıa de exponentes y radicales

Si a es un n´ umero real diferente de cero, n ∈ N, se define a0 = 1 an = a.a.a.a.....a | {z } n veces

donde, a = base, n = exponente,

an

= n-ésima potencia de a.

Teoremas de exponentes: Sean a, b ∈ R, m, n, p ∈ Z+ E1. Multiplicaci´ on de bases iguales am an

=

E6. Potencia de potencia (potencias sucesivas)

am+n

E2. Divisi´ on de bases iguales am = am−n , a 6= 0 an E3. Potencia de un producto

n p

am

= amnp

E7. Exponente negativo 1 a−1 = , a 6= 0 a

(a, b)n = an bn E4. Potencia de un cociente a n an = n , b 6= 0 b b E5. Potencia n de potencia m m a = amn = an

E8. Exponente negativo 1 a−n = n , a 6= 0 a E9. Exponente negativo de una fracci´ on −n n a b = , a 6= 0, b 6= 0 b a

Teoremas de radicales: Sean a, b, m, n, p ∈ R, m 6= 0 , n 6= 0, p 6= 0 R1. Ra´ız de un producto √ √ √ n ab = n a n b R2. Ra´ un cociente É aız de √ n a n = √ , b 6= 0 n b b R3. Ra´ız de ra´ız È√ √ m n a = mn a

R4. Ra´ de ra´ız (ra´ıces sucesivas) q ız È √ p m √ n a = pmn a R5.

√ n

a = a1/n

R6.

√ n

√ am = am/n = ( n a)m

R7.

√ n

am = amp/n

p

√ √ R8. am . n ap = n amn .ap

En estos teoremas, ning´ un radicando debe ser negativo cuando n es par Casos especiales:

´ Algebra

6

q

m

C1.

C2.

C3.

xr

È √ n p

|

x

È

ys zt =

É q È n n n x

mnp

xrnp .y sp .z t

s x...

{z

√ n

m radicales

É q È 3 4 x x2

x3 . . .


nm

x=

}

√ n

nm − 1 x n−1

xn−1 =

√

n!

xn!−1

Leyes de signos para exponentes y radicales: (+)(+) = + (+) =+ (+) [+]par = + √ par +=+

(+)(−) = − (+) =− (−) [+]impar = + √ impar +=+

(−)(+) = − (−) =− (+) [−]par = + √ par − = no es real

(−)(−) = + (−) =+ (−) [−]impar = − √ impar −=−

Observaci´ on 1.5.1. En el campo de los n´ umeros, no existe ra´ıces de ´ındice par para cantidades negativas. En los ejercicios, salvo excepciones, solo se considerar´ a el valor de las ra´ıces de ´ındice par para cantidades positivas. Las expresiones 2n y (2n − 1), representan cantidades pares e impares respectivamente (∀ n ∈ N)

1.6.

Ecuaciones exponenciales

Es una igualdad entre dos expresiones que contienen a la variable como exponente. Propiedades: EE1. Si ax = ay ax

EE2.

Si

EE3.

Si xx = aa √ √ Si x x = a a

EE4. EE5.

Si

ax

=

⇒ x = y ⇔ a > 0 y a 6= 1

bx

=

⇒ a=b ⇔ a>0 y b>0 ⇒ x=a ⇒ x=a

by

⇒ x = y = 0, para todo a, b ∈ R.

Formas indeterminadas:

q

FI1.

m

FI2.

m

xn

È

m

q

É

xn ÷

FI3.

√

m

xn

È

m

xn . . . ∞ =

xn ÷

n(n + 1) +

q

√

m

√ xn

m−1

xn ÷ . . . ∞ =

n(n + 1) +

È

√

m+1

xn

n(n + 1) + . . . ∞ = n + 1

´ Algebra


É FI4.

FI5.

q n(n + 1) −

√ n

n

√ n

. ..

n

n(n + 1) −

.∞ ..

√ n n

=n

∞

FI6. x

xx

=n ⇒ x=

√ n

n

È

n(n + 1) − . . . ∞ = n

7

´ Algebra

8

✍


EJERCICIOS RESUELTOS

SOL:

1.

Expresiones algebraicas y teor´ıa de exponentes

1. Si la expresi´ on:

1.1.

Reduciendo la expresi´ on se tiene:

È

xn+1 n+1 y 5 W (x, y, z) = z 3−n es racional entera. Calcular “n”. a) 5 b) 4 c) 1 d) 2 e) 3 Soluci´ on È xn+1 n+1 y 5 , entonces reduSi W (x, y, z) = z 3−n ciendo se tiene W (x, y, z) = xn+1 y 5/(n+1) z n−3 de donde: n + 1 ≥ 0 ⇒ n ≥ −1 n−3≥0 ⇒ n≥3 ahora intersectamos: • −1

3

6

xn−3 x n+1 y n+1 z n+1 x

3 n+1

6

= xn−3 y n+1 z n+1

de donde: n−3≥0 ⇒ n≥3 n + 1 ≥ 0 ⇒ n ≥ −1 ahora intersectamos: • −1

• 3

luego los valores enteros que se encuentran en la intersecci´ on son: n = {3, 4, 5, 6, 7, . . .} 6 tiene que ser entero, y el u ńico n+1 valor que cumple es 5.

pero • 3

Por lo tanto 2n = 10

luego los valores enteros que se encuentran en la intersecci´ on son: n = {3, 4, 5, 6, 7, . . .} 5 tiene que ser entero, y el u ńico n+1 valor que cumple es 4.

pero

Por lo tanto n = 4 Alternativa: b

3. Hallar la suma de todos los valores de “n” que hacen que la expresi´ on: √ 5xn−3 + 3( 3 x)n − 2x7−n + 1 sea racional entera a) 6 b) 1 c) 9 d) 3 e) 5 Soluci´ on Reduciendo la expresi´ on se tiene n

2. Si la expresi´ on: xn−3

Alternativa: e

√

5n+5 √

x15 y n+1

È n+1

x

√ z6

n+1

√3 n+1

es racional entera. Calcular “2n“. a) 6 b) 4 c) 2 d) 8 e) 10 Soluci´ on

5xn−3 + 3x 3 − 2x7−n + 1 de donde n−3≥0 ⇒ n≥3 7 − n ≥ 0 ⇒ −n ≥ −7 ⇒ n ≤ 7 ahora intersectamos: • 3

• 7

´ Algebra


9

s

luego los valores enteros que se encuentran en la intersecci´ on son:

5. Calcular A =

n = {3, 4, 5, 6, 7}

a) 9 d) 3/2 Soluci´ on

n como tiene que ser entero entonces n de3 be ser un n´ umero m´ ultiplo de 3 y los valores que cumplen son 3 y 6, por lo tanto la suma de éstos valores es 9

A =

Ì m2 +2

Ì =

m2 +2

s

Alternativa: c

4. Si

−1 −9−x

−8 4−9

a) 2 d) 5 Soluci´ on

√ 3

2 = . El valor de “x” es: 2 b) 8 c) 4 e) 3

−1 −9−x −9−8

4

−1 −9−x

2 −9−8

(2 )

−1 −9−x −2×9−8

2

−1 −9−x

−2 × 9−8

−1 −9−x

9−8

−x−1 −8−9

2

(3 )

−x−1 −2×8−9

3

−x−1

−2 × 8−9

−1 −9−x

8

=

= 2−2/3 −2 = 3 = 3−1 −1

= 3

= 3−1 = −1

= 2−1

−x−1

= 2−1

−x−1

−1

(23 )−9 −3×9

2

=

√ 3 2 2 21/3 2

=

m2 +2

Ì =

m2 +2

s = =

m2 +2

M

= =

= 2

=

−1

= 3−1

(32 )

3−2×x

= 3−1

x = 2 Alternativa: a

2

2

2

2

3m +2 × 3m +2 + 3m +2 3m2 +2 × 2m2 +2 + 2m2 +2 2

2

3m +2 (3m +2 + 1) 2 2 2m +2 (3m +2 + 1) 2

3m +2 2 2m +2

5(3x ) + 7(x1/x ) + (3x )2 42 + 10(3x ) + 2x2 5x + 7 × 3 + x2 42 + 10x + 2x2 x2 + 5x + 21 2(x2 + 5x + 21) 1 2

Alternativa: b

−2 × x−1 = −1

x−1 = 2−1

2

(3 × 3)m +2 + 32 (3m ) 2 2 (3 × 2)m +2 + 22 (2m )

a) 2 b) 1/2 c) 1/4 d) 5/8 e) 12 Soluci´ on Si x1/x = 3 ⇒ x = 3x luego:

= 3−1

9

2

6. Si x1/x = 3, x ∈ R+ . Reducir 5(3x ) + 7(x1/x ) + (3x )2 M= 42 + 10(3x ) + 2x2

−x−1

−x−1

2

9m +2 + 9(3m ) 6m2 +2 + 4(2m2 )

Alternativa: d

=

−3 × 9

2

3 2

= −1

−x−1

2

9m +2 + 9(3m ) 6m2 +2 + 4(2m2 ) b) 6 c) 1/3 e) 2/3

m2 +2

7. Simplificar: E =

È bb

bb2

bb−b2

b

indicando el exponente de b. a) 0 b) bb b b e) 1 d) b

c) b

´ Algebra

10


Ê

xx−y + y x−y xy−x + y y−x b) x c) y/x e) 1

Soluci´ on E =

È bb

= b

bb2

9. Simplificar: E =

bb−b2

x−y

a) xy d) x/y Soluci´ on Haciendo el cambio de variable a = x − y, entonces:

b

2 2 bb ×bb−b b b bb

= b bb

s

= b E =

luego el exponente de b es 1

Ê Í

v √ u a a u Ï u 8. Si: C = u √ a a u Ì u √ x+1 u a x+1 a u x+1 t

=

a

Í

x+2 )(C x+2 )

Calcular E = (C x+2 )(C √ a a) a b) ax+2 √ x+2 d) 1 e) a a Soluci´ on Dada la expresi´ on

. .. =

c) a

xx−y + y x−y xy−x + y y−x

xa + y a x−a + y −a xa + y a 1 1 + a a x y

xa + y a a xa + y a xa y a √ a xa y a

=

.. .

= xy Alternativa: a

v u √ a u a Ï C= u √ u a u a u Ì u √ x+1 a u x+1 a u x+1 t

aa +aa

10. Si aa a) 2√ d) 2 Soluci´ on

a

aa +aa

aa

elevamos a la (x + 1) ambos miembros √ a a C x+1 = Ï √ a a Ì√ a x+1 a x+1 .. .

a

aa aa

C x+2 =

√ a

a

aa

aa aa

de donde aa

a

= 256

aa

a aa

= 256

a

= 44

aa + −aa

= aa

aa a−aa

= aa

a =

y reemplazando en la expresi´ on E se tiene: . .. √ a √ aa a √ E= aa =a Alternativa: c

=

a aa

a

a

a−aa

a

aa

a

= 41/4 √ = 2

a

c) 4

= 4, luego:

a aa −aa

aa

aa −aa

aa

= 256, √hallar b) 2 3 e) 1/2

.. .

⇒

a

=

Alternativa: e

luego se tiene que: √ a a C x+1 = C

x−y

a

1 aa

aa

a

´ Algebra


Alternativa: d

11 obteniéndose y = x3/2 y reemplazando en la primera ecuaci´ on se tiene:

ba

11. Si ba = aa = 2. Calcular: E = baba a) 2 b) 4b c) 4 d) 8 e) 16 Soluci´ on ba

xy = y x xx

= (x3/2 )x

x3/2

= x3x/2 3x x3/2 = 2 3 1/2 = x 2 9 x = 4

x

2

E = baba

3/2

= baba = ba(ba)a = ba2a = b(aa )2

de donde E = 4b Alternativa: b 12. Hallar √ “x” si: a) 2 √ −1 d) 2 Soluci´ on x

xx

6

x6

6

6 x6 x

6 x6 x

6 x6 x

Alternativa: c

√ √2 =√ 2 b) 3 2 √ e) 4 2

6 xx

=

√

√

√ c) 2 2

2

=

2 √

=

√ 6√2

2

√

2

6

= =

√ √23

2 = (x + 1)x+2 y dar el x+ 1 √ valor de W = 2 − x + 3 a) 4 b) 1 c) 3 d) 2 e) 5 Soluci´ on

14. Resolver

Ê x

Ê

2

√ 3×2√2

r

x

2

23

x

2 x+1

= (x + 1)x+2

!x

x 2 = (x + 1)x+2 x+1 2 2 = (x + 1)x +2x x+1 2 2 = (x + 1)x +2x (x + 1) 2 = (x + 1)x

de donde se tiene que x6 =

2

√

2

3

y simplificando se obtiene que: x =

√ 4

2

2 = (x + 1)(x+1) √ √ de donde x + 1 = 2, entonces x =√ 2 − 1 y reemplazando se tiene que: W = 2 − x + √ √ 3 = 2 − ( 2 − 1) + 3. Por lo tanto W = 4

Alternativa: e

( 13. Resolver

xy = y x x3 = y 2

2 +2x+1

e indicar un valor

de “x” a) 1/2 b) 9/2 d) 3/2 e) 0 Soluci´ on En la ecuaci´ on x3 = y 2

c) 9/4

despejamos y

Alternativa: a √ 12√x 15. Resolver: 6 x = a) 162 d) 16−12 Soluci´ on

r

1 2

b) 166 e) 16−2

c) 163

Alternativa: d

´ Algebra

12

CAP 01:

Expresiones algebraicas y teor´ıa de exponentes Ê x−y

1. Si la expresi´ on:

È

a) y/x d) x/y

es racional entera. Calcular “n”. a) 5 b) 4 c) 1 d) 2 e) 3 2. Si la expresi´ on: √

5n+5

x15 y n+1

√ È n+1

x

.. .

x+2 ) (C x+2 )(C

√3 n+1

3. Hallar la suma de todos los valores de “n” que hacen que la expresi´ on: √ 5xn−3 + 3( 3 x)n − 2x7−n + 1

4. Si 4

a) 2 d) 5

c) 9

√ 3

2 . El valor de “x” es: 2 b) 8 c) 4 e) 3

=

s

5. Calcular: A = a) 9 d) 3/2

2

2

9m +2 + 9(3m ) 6m2 +2 + 4(2m2 ) b) 6 c) 1/3 e) 2/3

m2 +2

6. Si x1/x = 3, x ∈ R+ . Reducir: M=

5(3x ) + 7(x1/x ) + (3x )2 42 + 10(3x ) + 2x2

a) 2 d) 5/8 7. Simplificar: E =

b) 1/2 e) 12

È bb

bb2

v √ u a a u Ï √ 9. Si: C = u u a a u Ì u √ x+1 u x+1 a a u x+1 t

√ z6

es racional entera. Calcular “2n“. a) 6 b) 4 c) 2 d) 8 e) 10

−1 −9−x −9−8

x−y

n+1

sea racional entera a) 6 b) 1 d) 3 e) 5

c) 1/4

Calcular E = (C x+2 ) a) a b) ax+2 √ x+2 d) 1 e) a a aa +aa

a

c)

√ a

a

a

= 256, √hallar: aa c) 4 b) 2 3 e) 1/2 ba

11. Si ba = aa = 2. Calcular: E = baba a) 2 b) 4b c) 4 d) 8 e) 16 √ √2 x6 = 12. Hallar “x” si: x √ √2 a) 2 b) 3 2 √ √ −1 e) 4 2 d) 2

( 13. Resolver:

xy = y x x3 = y 2

de “x” a) 1/2 d) 3/2

√ c) 2 2

e indicar un valor

b) 9/2 e) 0

c) 9/4

r

2 = (x + 1)x+2 y dar el x +√1 valor de: W = 2 − x + 3 a) 4 b) 1 c) 3 d) 2 e) 5

14. Resolver

15. Resolver:

x

√ 6

x

√

12

b

c) b

. ..

aa −aa

10. Si aa a) 2√ d) 2

a) 162 d) 16−12

bb−b2

indicando el exponente de b. a) 0 b) bb b b e) 1 d) b

1.1.

x + y x−y xy−x + y y−x b) x c) xy e) 1

8. Simplificar: E =

xn+1 n+1 y 5 W (x, y, z) = z 3−n

xn−3


16. Resolver: (x − a) 16/17 d) 1/16

x

r =

1 2

b) 166 e) 16−2 √ 2 = 2 b) 17/16 e) 16−2

c) 163

1)2x−2

c) 16

´ Algebra


4x

25. Calcular:

1 17. Resolver:

1 4

a) −1/2 d) 1

2

13

É

= 0,7071 . . .

b) 2 e) 1/2

c) 1/4

3

q

2+

È

42 −

42 −

√

42 − . . . P = É q È √ 4 8 + 56 + 56 + 56 + . . .

18. Si xx = x + 1. Calcular: W = a) 1 d) x + 1

È x

xx

(x + 1)x+1

b) x−1 e) x − 1

c) x

19. Resolver el sistema: 8 x x > −1 < x y = xy y > :√ √ 3 x= y dando el valor de 8x + 4y a) 36 b) 40 d) 60 e) 32

b) 4 e) 3

b) 2 e) 3

Ì

a) 7 d) 5

c) 45

c) 8

21. Si se cumple que: 2 8 −1/2 −1/4 AA = RR = I I = GG = 2.√ 2 8 16 4 Hallar: A + R + R + I + A + 4 G + A6 a) 32 b) 54 c) 64 d) 48 e) 16 s √ x2 xm √ es racional en22. Si la expresi´ on: 4 x3(m+1) tera, el valor de “m” es: a) −2 b) −5 c) 2 d) 8 e) −3 23. Si nxn+1 y 2−n Èes racional entera, clasificar: 2 M (x, y) = 1−n n−1 xn+4 y 3n a) EAI b) EARE c) EARF d) Exponencial e) Matricial 24. Determinar los posibles valores de “a” para que la expresi´ EARE. √on sea a−2 E(x, y, z) = 8 x y + 25z 4−a m + 81/3 xa z a) {2, 3, 4} b) {2, 4, 6} c) {0, 1, 2} d) {1, 2, 3} e) {3, 4, 5}

c) 5

n 813

26. Simplificar: E =

q È √ 20. Si x = 2 + 2 + 2 + . . .; adem´ as A = 6 3 x + x . Hallar el valor de: q È √ E = A + A + A + ... a) 2 d) 9

a) 4 d) 1

È 3

33n+1

512

b) 8 e) 4

c) 6

27. Si ab√= bb = 16. Calcular: √ E= a) 2 b) √ 2 2 d) 2 e) 4 2


√

2

√ 2 2

È

b)

29. Simplificar: 4

2

b c) 4

√ √2 2

−1 c)

√

2

√

2

s

Ê x

2

3x+2

2x +3x+4 5 √ x 2 32x b) 8 e) 16

x3 +8

a) 2 d) 1/2

a) 1 d) 2

2 2

2

√ a

1 e) √ 2

2

30. Simplificar:

√

√

−

√

2 1 a) 2 1 d) 4

33n

92x + 138x 69x + 46x b) 5 e) 4

c) 4

c) 3

√ 0,5 31. Al resolver la ecuaci´ on: xx = 16 0,5 “x” tiene la forma 4n , luego el valor de “n” es: a) −4 b) −8 c) −16 d) −12 e) −10 32. Resolver: 32−x = x−2+x a) 2 b) 1/2 d) 3 e) 1/3 y 2

c) 1/3

´ Algebra

14

CAP 01:



1. Se˜ nalar V o F seg´ un corresponda:

8. Calcular x en: xx

3

El exponente de aa en aa es 3. x

√

3

− 34 x2 no es E.A.

1 a

9. Hallar

c) FFFF

a) 1 d) φ

Siempre se cumple que a−1 = (a +

b)n

=

a) VFFF d) FVVF 2. Si x

x x xx +x

an

+

bn

b) FVFF e) VVVF

xx

−2x

−3

c) 1

1

x−x

a) EARE c) EARF e) Trascendente 4. Simplificar: E =

−2

√ √x # −2

x3

b) EAI d) Exponencial

xÈ x

2 xx x

N =x a) 1√ 6 d) 648

c) 1

È

(2x)2m+1 (3x)2m−1

b)

√

6

c) 3

e) 1/6

q

È

√ E + 3 E + ... q È √ donde E = 60 60 60 . . . a) 1 b) 5 c) 3 d) 2 e) 4 3

c) 2

a) 1 d) 2

b c a

c a b

b) 1/3 e) 1/2

c) 3

11. Luego√de realizar È √ las operaciones indicadas 2/3 x6/9 x x √ en: Clasificar la expresi´ on 4 x3 resultante: a) EARF b) EARE c) EAI d) Exponencial e) Matricial

E+

3

−0,25−0,5

Q = 0,0625 −0,125

6. Resolver: √ 5x+1 + 5x+2 + 5x+3 + 5x+4 = 780 5 a) 0.25 b) 0.5 c) 0.1 d) 0.15 e) 0.2 7. Hallar: A =

b) 1/2 e) 3

xx−x2

5. Se sabe que “N ” es independiente de x, seg´ un esto. Calcular: m+9

2x

= 84

12. La ra´ız cuadrada de:

b) x3 e) x4

a) x d) x2

2x

si: 163

a b c

3. Clasificar:

x√x

4 3

c) 2−8

qÈ √ q È qÈ √ √

xx

√ 3 b) √ 9 3 e) 3

√ a) √3 d) 3 2

x−x

2x−1

= 27. Hallar: xx +x

1 =√ 2 b) 24 e) 26

2−1

√ 10. Si abc = 2 7 2. Calcular:

x

E = xx

"

a) 28 d) 2−4

1.2.

2−6

b) 4−1 e) 4

a) 16 d) 64

es:

c) 32

13. Simplificar: M=

3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + 3x+4 3x−1 + 3x−2 + 3x−3 + 3x−4

a) 3 d) 1/3 14. Si: x−2 a) 1/2 d) 4

b) 1 e) 81 2−x

c) 243

= 2. Hallar b) √ 1/4 e) 2

√ x

x c) 2

È √ x3 x3 15. Al reducir: E = È obtenemos una √ 3 3

x2 x2 √ 2 a2 expresi´ on de la forma: xb . Hallar a + b. a) 6 b) 7 c) 8 d) 13 e) 12

´ Algebra


q 16. Sean P =

42 +

Q=

È 4

È

42 +

P +9+

È 3

√ 4

√

− Q)

Determinar: E = a) 1 b) 4 d) 2 e) 5 17. Si la expresi´ on:

2 17

x y

2

a) 32 d) 2

42 + . . . ∞

c) 3

x (x y ) z

4

z

es semejante√con xa y b z c . Hallar: E = a + b + c a) 1 b) 18 d) 15 e) 12

c) 8

(x+1)

2

19. Si: = −2 2m a) m 2 d) m−2m

m2 .

..

x=

.

Determinar “x” −2 c) m2 b) m−2m 2 e) m2m

20. Reducir:

"Ê a

5

9a + 19a 45a + 95a

a) 12 d) 22

#

2s + 74

b) 36 e) 26

b

3

21b + 45b 5 7b + 15b c) 46

q −1 È √ −8−3 −2 −3 21. Si xn xn −1/2 xn = x4 . Calcular: 8n + 10 a) 6 b) 4 c) 3 d) 1 e) 8 35 65 95 · · · (3n)5 ;n>1 25 35 45 · · · n5 a) 32n b) 5 c) 32 d) 243 e) 243n

22. Reducir:

√1/2 2

1/2

√

√

2 (1−

23. Simplificar: 256 2 √ b) 2 a) √2 e) 1 d) 8

3

x2

4

√ 3

y dar el

x2 c) 13/36

26. Cuantas veces “x” es “y”; si:

18. Resolver: (x + 1)(x+1) =3 √ √ √ 3 b) √3 3 + 1 c) 3 3 − 1 a) √3 e) 3 + 1 d) 3 − 1 m xx

c) 8

x x exponente de “x” a) 72/13 b) 19/72 d) 13/72 e) 1/6

2

3 4 2 −5 3 20

b) 1 e) 1/16

É q È √ 3 4 3 4 x x3 x x3 25. Reducir: E = É q È

P + 9 + ...∞

4(Q4

15

√

8)

c) 4

24. Simplificar: 2x+1 + 2x+2 + 2x+3 + 2x+4 E = x−1 2 + 2x−2 + 2x−3 + 2x−4

−2−1

−8−9−4 1 4

a) 2 d) 0.25

−1 −16−2

; y = 64−81 b) 0.125 e) 4

c) 0.5

27. Resolver:

2x−3 9x−4 2 3

9 4

−

a) 5/2 d) 21/2

27 8

8x

b) 13/2 e) 19/2

Ê 28. Resolver:

n

a) b d) a/b

xn + an = b−1 (ab2 )n + xn b) a e) b/a

8 27

27 =0

c) 23/2

c) ab

29. Simplificar: E=

√ n

√ 3−n + 2n + n 2−n + 3n √ n n 6 +1

∀n ∈ N − {1} a) 5/6 d) 3

b) 1/5 e) 5

30. Si: 4x = 2(14)x + 3(49)x√. √ x Calcular: W = (7 x 3)(7 3) a) 1 b) 256√ √ 2 d) 4 e) 2 31. Resolver: x2x √ 3 a) √ 3 d) 3

2x6

=3√ b) 6 3 e) 3

c) 2

c) 9

c)

√ 9

3

´ Algebra

16

CAP 01:


1. Se˜ nale Verdadero(V) o Falso(F), seg´ un corresponda: x

√

3

+ xy 2 − 3 no es E.A.

2

El exponente de ab en la expresi´ on ab es 2. x3 + 0,5x − tan 30 es EARE. 3 1 + x2 + x4 + . . . + x2i + . . . es E.A. a) VFFF d) FFVV

b) VFVF e) FVVV

c) VFVV

2. Calcular el valor de E = xxy ; si se cumple que: 2x × 3y = 24 ; 2y × 3x = 54. a) 3 b) 243 c) 9 d) 81 e) 27 x

3. Si: xx = √ a) √ 2 d) 2 2

√

h

2 ; calcular E = x

√

2

b) 4 e) 8

c) 2

x81y = y x 4. Si se cumple que: xx = y y adem´ as: x 6= y; calcular x2 . √ 1 a) √ b) 3 3 √ √ 2 d) 3 3 e) 3

+ x13x

a) 13 d) 42 7. Resolver 2 E = xx a) 1/4 d) 1/2

√ 13 13

b) 39 e) 65 x xx

4 +4

+ xx

√ 13 13

13 c) 26

= 256, y dar el valor de: b) 4 e) 2

c) 8

√ 4

2 (0,0625)(0,125)(0,5)

c) 1

10. Si: 3(16x ) + 36x = 2(81x ) 1 1 1 x x Calcular: W = x a) 2 b) 3 d) 16 e) 27 11. Resolver: √ a) 2 2

2 xx

c) 12

r

=

1 8 1 b) √ 2 2 e) 1/2 16

2x−5

È√ 13 a 6. Sabiendo √ que: x = 13 con a = 13 13; hallar el valor de: x 13√13

−3

9. Calcular: P = (0,25)(16) a) 4 b) √ 2 d) 8 e) 2

12. Resolver:

5. Calcular “x” en: Ì √ 2x È √ x2x−1 8 2x x 2x . x 4 √ = x −2x x √ b) 2 c) 4 a) √8 e) 8 d) 2

x13

−2−1

d) 2

3 c) √ 3

1.3.

8. Resolver: (0,5)−3 = (0,125)−x √ a) 1√ b) 3 c) 3 3 e) 9 d) 3

ixx+xx

(


5 7

=

a) 2 d) 1/4

49 25

1 c) √ 2

3x+2

b) 4 e) 1/8

c) 5/7

13. Si: p = abt ; q = abm ; r = abn ; b 6= 0; a 6= 0. Determinar: pm−n q n−t r t−m . a) 3 b) 5 c) 1 d) 6 e) 7 14. Indicar el equivalente de:

2√

W =4 √ a) 2 d) 2−1

1+ √1

2 √

√

1− √1

+ 2 √ 1− √2 2 2+ 2 2

√ −1 b) 2 e) 2

2

3√ 2 5

c)

√

−3

2

15. La suma de los valores de n para que M (x, y) = (n + 3)xn−7 + x2 y n − (n − 2)y 10−n sea una expresi´ on racional entera es: a) 33 b) 37 c) 32 d) 34 e) 30

´ Algebra


r

16. Calcular el valor de:

Ê É q

E=

|

2 2 2···

{z

È √

2 22−x

}

“n” radicales

si adem´ as: x = a) 1 b) 1/2 d) 1/4 e) 4

c) 2

17. Hallar la relaci´ on entre “m” y “n” si:

m m+n n m−n É m m n m n = m+n m−n n n m m n a) m = n c) 2m = n √ e) 2n = m

b) mn = 1 d) m + n = 2 y)2y−x

Ê È


n 10244

3

√ n

y dar el va-

n+1

44n c) 4

n, efectuar y reducir:

2 Ì 3 3nm √ n m+1 6 nm−1 nnm+n−1 7 √ E=4 5 nm n a) nn d) n3

b) 3n e) n2n

c) n

21. Encontrar la suma de los exponentes de “x” e “y” al efectuar: M= a) 3/2 d) 6/5

É q È 5 √ 9 5 9 x y

x y...∞

b) 5/22 e) 5/3

x(mn)−1 x(np)−1 x(mp)−1 √ −1 m +n−1 +p−1 xmn xnp xmp

W =

mnp 1 − m2 n 2 p 2 a) 1 b) xmnp mnp−1 d) x e) xmnp+1

c) 5/11

#q

donde q =

c) x

24. Hallar el valor de E = ab donde: q È √ n n n n−1 a= x xn−1 · · · xn−1

|

{z

ÉqÈ n

n

n

|

}

n radicales

···

{z

√ n

x

}

√ b) n x e) x2

a) x d) x2n

c) 35

844

b) 16 e) 64

√

m+n+p

n radicales

(x + =3 √ √ x−y x + y = 12 lor de E = xy a) 7 b) 5 d) 2 e) 28

18. Resolver:

20. Si m =

"

b=

(

a) 2 d) 8

2 22. Resolver: z = (z + 1)2+z z+1 √ √ √ a) √ b) √ 2 2−1 c) 2 2+1 d) 2 2 e) 2 − 1 23. Simplificar:

2n+1

17

25. Reducir: E = x

−x −x−x

c) xn

−x

xx−x√x

b) xx e) x2x

a) x d) 1/x

c) x−x

26. Determinar “n” si: √ 3(n+1) xn+1 x6 y n−2 z 5/(n+1)

È

(n+1)1/2

es una EARE a) 1 d) 2

x

√2 n+1

b) 4 e) 5

c) 3

27. Si m = nx. Cu´ al es el equivalente de:

2 6 6 E=6 6 4 a) m/n d) mn

s n )m/n (m

m√mn 3m m 7 7 n 7 √ 7 x x x2 +1 5 x Ê

mn

nn/m

b) n/m e) 1

c) mm

´ Algebra

18

CAP 01:


1. Clasifique

la expresi´ on siguiente: √ 1/3 2x y 2 π 8 −6 5x4 y 3 √ P (x, y, z) = − −3 − y z 2z −3 3 x2 a) EARE b) EARF c) EAI d) Exponencial e) Trascendente

2. Clasificar la siguiente expresi´ on: E= a) EAI c) EARE e) EARF xx


−4−2

−2−4

y z x (xyzw−16 )−2−4

9. Hallar “n” si: È √ 1/3 1/3 x2 x2 · · · n radicales = x2184 b) 8 e) 10

c) 7

10. Hallar el equivalente de:

b) Trascendente d) Exponencial

= 2; calcular el valor de: 3. Si a) 232 b) 264 d) 24 e) 218

suma de los coeficientes de los términos anteriores? a) 9 b) 5 c) 7 d) 6 e) 8

a) 6 d) 9

−4−2

1.4.

1+2x xx

1+x

c) 216

È

xn+1 · n+1 y 5 4. Si la expresi´ on W (x, y, z) = z 3−n es racional entera. Calcular: “n”. a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 1 3 x+3 √ √ x−1 5 5. Hallar “x” en: 3225 = 52 a) 0,2 b) 0,3 c) 1/2 d) 0,6 e) 3/2 √ 6. Dada la siguiente sucesi´ q Èon:√x1 = 8; È √ x2 = 8 8; x3 = 8 8 8; · · · x2 · x2 Calcular: E = 5 21 x4 · x20 a) 60 b) 64 c) 61 d) 2 e) 1

7. Calcular la m´ as simple expresi´ q È on√por la que 3 5 7 hay que multiplicar a: x x2 x4 para que sea racional entera. √ √ √ 105 105 105 a) √x51 b) √ x53 c) x37 105 105 49 52 d) x e) x 8. Sabiendo que los términos: (2a + c)x3b−1 y a+c ; (2b − a)xc+8 y 3b+c ; (3b + 2c)xb−c y 2c+9 Son semejantes. ¿Cu´ al es el valor de la

2x+1 + 3(2x+2 ) + 5(2x+3 ) + 10(2x ) 4x−1 + 28(4x−2 )

a) 2x+5 d) 2x−5 11. Resolver: a) -1/4 d) -1/2

b) xx−7 e) 32

−1

c) 2

r É q 7

È √ 7 7 7 8 8 8 · · · 23 2 = xx−1 b) 1/2 c) 1 e) 1/4

12. Determinar A + BC, si: A= B=

5 + 5 + 5 + · · · (3x sumandos) 3x+2 − 3x+1 − 3x

2n+2 − 2n−2 ; 2n+1 + 2n−1

a) 27 d) 28

C=

b) 26 e) 25

22n+2 + 2n+2 22n−2 + 2n−2 c) 29

13. Si se cumple que 222 + 210 = 1024a. È 22 Calcule: 22 − (22 )4 a 2 a) 0 c) −16 b) 22 4 12 2 d) 2 e) 2 14. Sabiendo que: A = axa y 8 z b ; B = bxm−3 y 4b−m z 3 ; C = qxy q−2 z m−a ; son términos semejantes, indicar el resultado de efectuar A + B + C a) 14xy 8 z 3 b) 20xyz c) 16x2 y 2 z 2 d) 17xyz 4 e) 15x3 y 3 z 3 15. Si:

r x 1

2x

a) 2 d) φ

4

= 16, entonces (x + 1)x+1 es: b) 0 e) 1

c) -1

´ Algebra

Walter Arriaga Delgado 16. Calcular: xx a) 28 d) 2−4

2−1

1 =√ 2 b) 2−8 e) 26

18. Si “a” es la soluci´ on de la ecuaci´ on x x x 4 = 2(14) + 3(49) ; entonces el valor de: √ √ a a (7 3) A = (7 3) es: a) 3 b) 6 c) 4 d) 5 e) 7 19. Si xx = (0, 2)0,08 . Calcular: E = (25x+2)50x a) 9 b) 2 c) 7 d) 3 e) 1

É q È √

3 9 27 81 . . . c) 8

..

si x > 0 a) x2 d) 1

b) x7 y 2 e) xy 2

.∞

a) 0, 3 d) 0, 5

x−2

c) x/2

c) 3/2

(0, 3)0,4 (0, 2)0,2 (0, 9)0,3 (0, 4)0,4 √ 10 0, 001 b) 0, 6 c) 0, 4 e) 0,7

27. Reducir: r 8n É √ 4 √ 2 1/8 8 8 2n 1 n2n n + n4n n n2 a) 32 b) 64 c) 128 d) 512 e) 256 28. ¿Qu´ m´ınimo debe tener “n” para que: q e valor È √ 3 3 3 −1 −1 x x x x−n sea EARF a) 27 b) 15 c) 42 d) 12 e) −1

q È mx

x(n−1 m)(1+x 29. La expresi´ on: Se puede clasificar como: a) EARE b) EARF c) EAI d) b y c e) Trascendente c) x2 y 3

x ! x −x x x −x x +x 1 − x2x , x−x−x + xxx √ b) x c) x3 e) x x+1

= 44 c) 9

2 33 x2/3 y −1/2 6 7 6 7 yx−1 6 24. Al simplificar: 6 1/2 7 7 . Se obtiene: −2 4 xy 5 yx−1

26. Simplificar:

−1 )−1 (1+x)

30. El exponente final de “x” al simplificar √

h

x

23. Hallar el valor de “x” en: 28 a) 2 b) 4 d) 6 e) 3

0, 2x−0,5 √ = 0, 04x−1 5 5 b) −2 e) 5−1

n−x

v u u x49 y 14 Ï 21. Simplificar: E = u u x49 y 14 u Ì u 6 u 6 x49 y 14 u t 6

22. Simplificar:

a) 0,2 d) 3

√ x2(a−1) y 4 b−1

20. El valor aproximado de: es: a) 7 b) 6 d) 9 e) 5

b) 2x e) 1/x

25. Resolver:

t2 (x, y) = ab − a3 − 4 son semejantes. Hallar la suma de sus coeficientes a) 0 b) 4 c) 8 d) 6 e) 7

a) xy d) x2 y 7

a) x2 d) x

c) 24

17. Si los términos 2 t1 (x, y) = a2 (a + b) + 3 xa −1 y b+3

19

√ x

xx+1

√

i −x x

, es:

b) x2 e) x + 1

a) x d) x

c) 1

s 31. Si la expresi´ on Entonces xn+1/n a) EARE c) EARF e) Trascendente

√ x2 x √ es equivalente a xn . x3 es: b) EAI d) Exponencial

a8x+6 = ax−4 , a 6= 0. Entonces el valor a2x−5 de E = (0, 25)2x+5 , es: a) −4 b) −3 c) 1/3 d) 1/4 e) 4

32. Si

´ Algebra

20

CAP 01:



1. Indicar V o F seg´ un corresponda: Términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal afectados de iguales exponentes. Las expresiones cuyas variables est´ an afectadas por exponentes fraccionarios, se denominan expresiones algebraicas racionales. Toda expresi´ on algebraica racional fraccionaria, se caracteriza porque existe al menos una variable en el denominador, pero afectado de un exponente entero positivo. Una combinaci´ on de constantes y variables unidas entre s´ı por las operaciones fundamentales en un n´ umero limitado de veces; a condici´ on de que el exponente y el ´ındice de la ra´ız sean n´ umeros racionales, se llama expresi´ on trascendente. a) VFFV d) FVFV

b) VFVF e) VVFF

c) FVVF

2. Luego de reducir: x2x − 5xx + 6 A = x+1 + 10 (x − 2x)(xx − 3) La expresi´ on algebraica que resulta es: a) Trascendente b) EARE c) EAI d) Exponencial e) EARF 3. Luego de reducir:

xx + 1 −1

−1; x 6= −1. xx+1 + x La expresi´ on que resulta es: a) EARF b) EAI c) EARE d) Exponencial e) Trascendente

4. Hallar el m´ınimo valor de n2 + m2 si la expresi´ on: E(x, y) = 3mxn−5 y m−3 + √ √ 3 n 6−m n n nx y + 2x3 y 4 es racional entera. a) 34 b) 8 c) 30 d) 100 e) 101 5. Si los términos: t1 = (2m + a − n)xm−n z a−5 y t2 = (n2 +5)x2n y n−5 , son semejantes. Hallar

1.5.

el coeficiente de: t1 + t2 . a) 5 b) 15 d) 60 e) 90

c) 80

Í

6. Sean las expresiones A =

1 −(1/4)(1/8)3

√

3

√ √ √3 2 3+ 6 √ √ √3 6 +3 3

−1

yB=

3

√ b) √ 2 e) 6

a) 1 d) 2

. Calcular AB √ c) 3

7. Si xn+3 = (2x)n = (4x)n−1 , calcule el valor de n + x. a) 11 b) 3 c) 9 d) 7 e) 5 a √ b 8. Si ab = a 2, hallar√a/b a) 1 c) 2 b) 2 d) 1/2 e) 4 2

ab

9. Si ab = bb = 3, hallar E = abab a) 27a b) ab2 c) 27 d) a e) 3 10. Reducir a su m´ınima expresi´ on

x96 + x48 y 30 + y 60 − (y 30 + x24 y 15 ) x−24 x48 − x24 y 15 + y 30

a) x15 d) x24

b) x21 e) x12

aa +aa

c) x18

a

aa −aa

11. Si a√a a) 4 2 √ d) 3 2

= 256. √Hallar aa b) 2 √ −1 e) 2

√ √2 x6 = 12. Hallar “x” si: x √ 2 √ a) 2 b) 3 2 √ √ −1 e) 4 2 d) 2

a

√ c) 2 2

√ c) 2 2

√√ a3 = 2 3 3 13. Hallar “a” si se cumple que a √ √ √ a) 3 b) 4 3 c) 6 3 d) 3 e) 1/3

14. Simplificar:

q

3+

3

q

W = 1+

3

4+ 4+

È 3

È 3

4+

4+

√ 3

2 4 + ···

−1 √ 3 4 + ···

´ Algebra

Walter Arriaga Delgado a) 4 d) 8

b) 2 e) 10

c) 6

15. Cuantos radicales existen en el primer miembro É para que se cumpla la siguiente q È √ igualdad x x x . . . x = x16383/16384 a) 10 d) 14

b) 11 e) 13

16. Reducir É n

M= a) n d) x

xn

q

n2

È

xn

3 3 n

xn b) xn e) 1

c) 12

√

4 6 n

10

xn . . . n rad c) x−1

33 x−x√ 3 4 x 17. Si x5 = nn y xx = a. Calcular (n + a). a) 2/3 b) 3 c) 5/3 d) 1/3 e) 10/3 x xx

18. El valor de W = (ax )x (a2x )2x (a3x )3x (a4x )4x . . . n factores. sabiendo É q que È x2 2n+1 n+1 √ n a= 729 a) 2 b) 9 c) 3 d) 6 e) 27 19. Si xa y b = 777a y xb y a = 777b . √ Hallar x xyy . √ b) 49 a) 777 777 d) 7 e) 7777

b) 49/50 e) 50/49

c)

√ 7

c) 1

È √ √ √ 8 21. Sabiendo que a b b a = 27 2 . Hallar el valor de E = a2 + b2 . a) 15 b) 10 c) 13 d) 11 e) 14 1 22. Al resolver xx = √ , el valor de x es: 4 2 a) 1/2 b) 1/4 c) 1/8 d) 2 e) 1/16 23. Determine x en: 2 es:

√ x

2−1

a) 2 d) −2 x 24. Hallar √ x en: x 16 a) √ 2 d) 32

16

b) 1 e) 1/2

c) −1/2

√ = 8√2. b) √8 2 e) 8

c)

2 2 25. Hallar s √ el valor de a + b en: b a a b a−b √ = 34/3 . a b ab a) 13 b) 8 d) 10 e) 2

√ 4

2

c) 4

26. Al simplificar la siguiente expresi´ on x√ 11−x x 2x x 1+x xx +x x el exponente final de x x es: a) x b) xx−1 c) xx −1 d) x e) 1 27. Determinar s Ê elrvalor s de: Ê r 3 1 4 3 5 5 3 3 4 5 5 4 2 4 6 2 3 5 s Ê r W = 3 3 4 5 5 2 4 4 3 a) 2/3 b) 2 d) 4/3 e) 1

c) 3/5

16x

20. Calcular el s valor de: 50 1−n + (k + 1)1−n X n−1 k W = kn−1 + (k + 1)n−1 k=1 a) 51/50 d) 50/51

21

= 16, el valor de x

28. Si de la ecuaci´ on 23 = 512; se obtiene “x1 ” y de la ecuaci´ on 54x−3 + 52 = 26, se obtiene “x2 ”. Calcular: x1 + x2 . a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) 1/4 29. Resolver la siguiente ecuaci´ on: 1 1 1 4x+ 2 − 3x+ 2 = 3x− 2 a) 1/2 b) 8 d) 4 e) 2

c) 10

30. Hallar√la relaci´ on entre: “a” y “b” si se tiene b a(b+1) a bb2 −a 1 que: =√ a b a b 2 a) a = b b)a = 4b c) a = 2b d) b = 2a e) a = 3b

r 31. Sea A = K=

2n

8n

, Reducir: √ 8 ( n2n )4/n + ( n4n )2/n A

È √ 1/8 8

a) 32 d) 64

1 n2

b) 256 e) 512

c) 128

´ Algebra

22

CAP 01:



1. Calcular el valor de “x” en:

Ê x

a) 2 d) 16

9. Determinar el valor de “a” en:

Ê

xx + 16x = 0, 5 64x + xx

x+1

b) 32 e) 4

1 2. Calcular el valor de: a aa −1 ; si a−a = √ √ √3 a) 2 √3 b) √3 c) 4 3 d) 5 3 e)3 3 √ n√ 2 √ 2 n2 3. Reducir: A = n x x3 x5 . . . “n” radicales√ √ 2 a) n x c) x b) n x d) xn e) 1 4. Simplificar la expresi´ on:

2 3 x+1 x−1 x 6 6x x + x x 7 7 M =6 7 x − 2 4 5 x+x x √ b) x x e) 1/x

5. Encuentre el valor de√n6 si: n √ 3 6 a) 3 b) √ 3 2 d) 3 e) 3

c) n3

xx

È √ 3

√

= √ 3 c) 3

M=

n X

p−k

k=1

a) x(p − n) d) xp

c) xpn

É qÈ √ 7. Si abcd = n. Calcular: a b c d· Éq È ÉqÈ É q È √ √ √ b c d a·

a) n√ 15 d) n13

c d a b· 0 b) n√ 16 e) n15

b) 9 e) 36

c) 18

Ê

−1 x16

10. Hallar “x” en: x = a) 24 d) 2−128

xx

x+3

x2x

x+2

c) 2−8

= aa −1 −(a−1 ) −x valente a x a) 1 b) x2 √ d) x e) x

11. Si

d a b c √ 16 c) n13

8. Hallar W =È (x · y)2 , si se cumple que: √ √ √ 12 √ x y · y x = 12 2 · 18 3 . a) 210 b) 198 c) 216 d) 30 e) 6

1 √ 2

b) 2−1 e) 232

12. Si se cumple E =√a − b a) 3 d) 1

1−a a

, a que es equic) xx+1

√ a √ bba = b) 3 e) 0

√ 3

√

3,

hallar:

c) 1/3

13. Si se cumple x−x = 2, hallar el valor r de x √ 1 b) 2 a) 2 c) 2 d) 1 e) 1/2 −2

14. Si se cumple xy y x = 5 de: E = (xy)3 √ a) 125 b) √5 d) 225 e) 5 5

xp−k + 1 xk−p + 1

b) nx e) xpn

a) 27 d) 3

√

6. Efectuar la siguiente suma:

s

ax+1 + 32x+2 1 = 34x+4 + ax+1 3

c) 8

aa+1

a) x d) 1

1.6.

5,

hallar el valor c) 25

15. Si se cumple que: 5x + 5x+1 + 5x+2 + 5x+3 = x − 1 −1 19500, entonces el valor de: , es: 2 a) −1 b) 2 c) −2 d) 1 e) 0 12xy +3 − 2xy + 4x2 16. Al simplificar: 3 , 8x − y 3 2y − 1 8x3 + y 3 y − 2x se obtiene: a) 3 b) −3 c) 2 d) 1 e) −1 y2

´ Algebra


17. Al resolver las ecuaciones: (0, 008)−1/x = 5 (2y − 7)(2y−7) = 3125 La diferencia positiva entre los valores reales de x e y es: a) 0 b) 4 c) 1 d) 2 e) 3

É q È 3 4 x2

x

rÉq


3

4

x3 . . .

È 5

b) xn √ e) n x

a) 1 n d) xn

√ n

2

(aaa )a

a−a2a

a) 1 d) 2

√ n . . . x−1 c) x

ab

b) 4 e) 16

c) 8

20. Sabiendo que:

Ê É q n+1 n+1 n È n

y=

(256)(324)

con n ∈ Z+ . Hallar el valor de: E = y(y 2 )4 (y 3 )9 (y 4 )16

|

{z

}

n−factores

√ a) 2 √ 2 d) 12 2 21. Si E = E+2 8 a) 8 d) 2 22. Si x =

Ê n

√ b) 6√ 3 e) 9 3

√ c) 4 2

2n 3n + 2n 5n + 3n 5n , hallar 2−n + 3−n + 5−n b) 4 e) 6

260/7

a) 63 d) 125

x x √ . Entonces E E es: yE = x b) 1 c) 262 e) 256 3

q È √ 4 4 4... 23. Simplificar: E = Ñ 16 Î 16 s 3

a) 1 d) 4

b) 3 e) 5

È

3

√ √ (144)(1996) 3 1996 4 1996 √ 12 12 1996 b) 1995 c) 1 e) 12

a) 1994 d) 1996

√

√

x x 26. En la ecuaci´ √ √on: 16 − 256 = (60)4 , el x valor√de x , es: √ b) 27 a) 8 c) 2 d) 16 e) 4

27. Si aa = 224 ; bb = 318 , hallar ab−a a) 512 b) 256 c) 216 d) 81 e) 8 28. Efectuar: −1 −3−1 1 −4−1 1 −5−1 E= + + − 8 16 32 a) −6 b) −4 c) −2 d) 0 e) 2

r

2 − 0, 6 , est´ a com29. El valor de E = r 3 2 √ − 0, 6 3 prendido entre: a) 5 y 10 b) 0 y 1 c) 10 y 20 d) 1 y 2 e) 2 y 3

c) 3

s √ 5

3

24. Hallar “m”, si el exponente final de x en: s √ m−1 4 xm x 3 √ , es la unidad: 6 x5m−4 a) 8 b) 2 c) 3 d) 1 e) 4 25. Calcular: t =

xn−1

19. Sabiendo É que a + b = 2, reducir: R=

23

30. Resolver: √ a) 2 d) 2−1

xx

−x

31. Hallar x en: xx √ 4 a) √2 d) 32

x x

16

=x b) 2 e) 1/10

√

1/8

√ = 8√ 2. b) √16 2 e) 8

32. Al simplificar la expresi´ on:

"

16 .. .

E= c) 2

√ 9

9

√ 9

se obtiene: √ 9 a) √ 9 d) 3 9

c) 1/4

√ 81 −9

9

√ √9 # 1− 9 9 9 97

b) 9 e) 3

c)

√ 8

2

√ 9

81

√ 3

81 2

c)

24

´ Algebra


Cap´ıtulo 2:

GRADOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Objetivos z Definir y estudiar los polinomios bajo un car´ acter funcional. z Entender claramente la definici´ on de grado de un polinomio, para ver con facilidad las operaciones del mismo. z Estudiar el valor numérico para as´ı garantizar la definici´ on de una cierta expresi´ on matem´ atica. El aprendizaje de las Matem´ aticas se realiza en ocasiones de forma excesivamente compartimentada, no se ve el edificio, sino cada piso. Por ello, a veces, cuando se aborda el estudio de los polinomios suele pensarse s´ olo como una herramienta para abordar el trabajo y resoluci´ on de ecuaciones. Sin embargo, podemos observar su continuo uso en el C´ alculo y la Geometr´ıa donde es habitual el empleo de “f´ ormulas”. La aplicaci´ on de f´ ormulas en situaciones en las que las dimensiones son desconocidas, y que por tanto obliga a la abstracci´ on y notaci´ on con variables, conduce a la necesidad de calcular y simplificar expresiones algebraicas, en particular polinomios.

2.1.

Definici´ on:

Se denomina grado a la caracter´ıstica relacionada con los exponentes de las variables de una expresi´ on algebraica. Se distinguen dos tipos de grados: Grado Absoluto (GA) y Grado Relativo (GR). Para un monomio: Grado Relativo: Es el exponente que afecta a la variable indicada. Grado Absoluto: Es la suma de los exponentes que afectan a todas las variables indicadas. Ejemplo 2.1.1. Dado el monomio M = 3x4 y 6 z 10 , se tiene que: 25

´ Algebra

26


GR(x) = 4, GR(y) = 6 , GR(z) = 10 , GA = 20 Para un polinomio: Grado Relativo: Es el mayor exponente que afecta a la variable seleccionada en toda la expresi´ on. Grado Absoluto: Es el grado absoluto o simplemente grado, del término de mayor grado en dicho polinomio. Ejemplo 2.1.2. Dado el polinomio P (x, y) = 7x7 y 2 − 3x4 y 6 + 5x5 y 3 , se tiene que: GR(x) = 7, GR(y) = 6, GA = 10. Nota: El grado de una constante numérica no nula es cero. P(x) = 0 es el u ńico polinomio cuyo grado no est´ a definido. Representaci´ on general de polinomios de acuerdo al grado Considerando la variable “x” y las constantes a, b, c y d tal que a 6= 0, tenemos : Polinomio de grado cero: a Polinomio de grado uno: ax + b Polinomio de grado dos: ax2 + bx + c Polinomio de grado tres: ax3 + bx2 + cx + d .. . .. . Polinomio de grado n: an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + . . . . . . + a1 x + a0

2.2.

Grados en operaciones con polinomios

Sean los polinomios P (x) de grado m, y Q(x) de grado n (con m > n), entonces: Nota: El grado se define como el exponente de la variable de coeficiente no nulo. Si no se especifica el tipo de grado se sobreentender´ a que se refiere al grado absoluto.

2.3.

Polinimios especiales

2.3.1.

Polinomio Homog´ eneo

Es aquel polinomio cuyos términos tienen el mismo grado absoluto. A éste grado com´ un se le denomina grado de homogeneidad.

´ Algebra

Walter Arriaga Delgado Operaci´ on

Procedimiento

27 Grado

Cuando se suman o retan dos o mas polinomios el grado P (x) ± Q(x) P (x).Q(x) P (x) Q(x) [P (x)]k

È k

P (x)

del polinomio resultante est´ a determinado por el mayor

m

grado de P y Q. Cuando se multiplican dos o m´ as polinomios sus grados se suman. Cuando se dividen dos polinomios sus grados se restan. Cuando el polinomio est´ a afectado por un exponente k, el grado queda multiplicado por el exponente. Cuando el polinomio est´ a afectado por una ra´ız de ´ındice k, el grado queda dividido por k.

m+n m−n m.k m , k 6= 0 k

Cuadro 2.1: Grados en operaciones con polinomios Ejemplo 2.3.1.

P (x, y, z) = x3 − 6x2 y + 7xy 2 − 9y 3

Es un polinomio homogéneo de grado 3

2.3.2.

Polinomio Ordenado

Con respecto a una variable, un polinomio est´ a ordenado si los exponentes de esta variable lo est´ an ya sea en forma ascendente o descendente. Ejemplo 2.3.2. P (x, y) = x5 y−x3 y 2 +xy 3 , es un polinomio ordenado en forma descendente respecto a “x” y en forma ascendente respecto a “y”.

2.3.3.

Polinomio Completo

Con respecto a una variable un polinomio es completo, si existen todos los exponentes de dicha variable, desde el exponente 0 hasta el grado del polinomio. Teorema 2.3.1. Si un polinomio P (x) es completo, entonces el n´ umero de términos es igual a su grado aumentado en 1, es decir: NT = GA + 1 Ejemplo 2.3.3. P (x) = 2x + 3x2 + x3 − 5, es un polinomio completo de tercer grado con cuatro

términos.

Teorema 2.3.2. Si un polinomio es completo y ordenado respecto a una variable, se tiene que los grados relativos a esa variable de dos términos consecutivos difieren en la unidad.

´ Algebra

28


Teorema 2.3.3. Si un polinomio P (x, y) es completo, homogéneo y ordenado entonces el n´ umero de términos es igual a su grado aumentado en 1, es decir: NT = GA + 1

2.3.4.

Polinomio Entero en x

Es aquel que depende u ńicamente de la variable “x”, siendo sus coeficientes n´ umeros enteros. Ejemplo 2.3.4. P (x) = 3x3 + 2x2 − 1, es un polinomio entero en “x” de tercer grado.

2.3.5.

Polinomio m´ onico

Es aquel polinomio entero en “x”que se caracteriza por que su coeficiente principal es igual a la unidad. Ejemplo 2.3.5. P (x) = x5 − 5x + 8, es un polinomio m´ onico de quinto grado.

2.3.6.

Polinomios id´ enticos

Son aquellos cuyos términos semejantes poseen el mismo coeficiente. Ejemplo 2.3.6. Sean P (x) = ax3 + bx2 + c y Q(x) = mx3 + nx2 + p polinomios idénticos Si P (x) ≡ Q(x), se cumplir´ a que: a = m, b = n y c = p

2.3.7.

Polinomios equivalentes

Son aquellos polinomios que teniendo formas diferentes aceptan igual valor numérico para un mismo sistema de valores asignados a sus variables. Ejemplo 2.3.7. Dados los polinomios P (x, y) = (x + y)2 + (x − y)2

Q(x, y) = 2(x2 + y 2 )

N´ otese que: P (x, y) y Q(x, y) son equivalentes y denotamos: P (x, y) < > Q(x, y)

2.3.8.

Polinomio id´ enticamente nulo

Es aquel que tiene sus coeficientes todos nulos. Su valor es cero para cualquier valor de la variable. Ejemplo 2.3.8. Si P (x) = ax4 + bx + c es idénticamente nulo, se cumplir´ a que: a = b = c = 0 y se representa por P (x) ≡ 0

´ Algebra


2.4.

Valor num´ erico de un polinomio

Es el valor que adquiere un polinomio cuando se le asigna un determinado valor a su variable. Ejemplo 2.4.1. Si

P (x) = x3 − 5x2 + 4, P (1) =

(1)3

−

5(1)2

entonces

+4=0

P (−2) = (−2)3 − 5(−2)2 + 4 = 6 Nota: En la expresi´ on P (x + 2, 2y − 1) = 5x − 7y, las variables son x + 2 y 2y − 1. Teorema 2.4.1. La suma de los coeficientes del polinomio P (x) es P (1), es decir,

X

coef. de P (x) = P (1)

El término independiente del polinomio P (x) es P (0), es decir T.I. de P (x) = P (0)

29

´ Algebra

30

✍



SOL:

2.

Grado de expresiones algebraicas

1. Si la siguiente expresi´ on:

y seg´ un dato del problema:

X

2

(xn−2 )3 x2n−3

A(x) =

2.1.

x4

de coef.

= 23 + TI

P (1) = 23 + P (0)

2

n

3 + 4n = 23 + 2

(xn )2 x4

3n + 4n = 52 Se reduce a un monomio de segundo grado, hallar el valor de n a) 2 b) 4 c) 3 d) 1 e) 5 Soluci´ on

P (x) = (1 + 2x)2 + (1 + 3x)2 P (x) = 13x2 + 10x + 2

2

(xn−2 )3 x2n−3 x4 A(x) =

de donde n = 2. Luego el polinomio ser´ıa:

2

por tanto los valores de verdad para las proposiciones son VVF

(xn )2 x4 Alternativa: e

(x5n−9 )2 x4 = (x2n+4 )2 x10n−14 = x4n+8 = x6n−22 Para que A(x) = x6n−22 sea de segundo grado, haremos 6n − 22 = 2, de donde n = 4 Alternativa: b 2. En el polinomio P (x) = (1 + 2x)n + (1 + 3x)n La suma de coeficientes excede en 23 al término independiente seg´ un ello establecer el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

3. Si se sabe que: F (x) = −x2 + x + m y G(x) = x + 3. Hallar el mayor valor de “m” de tal manera que: F (G(F (2))) = −1 a) -1 b) 2 c) 1 d) 3 e) 4 Soluci´ on Si F (x) = −x2 + x + m, entonces F (2) = m − 2 ahora como G(x) = x + 3, entonces: G(F (2)) = G(m − 2) = m − 2 + 3 = m + 1 adem´ as:

I. El polinomio P (x) es de 2o grado.

F (G(F (2))) = −1

II. La suma de sus coeficientes es 25. III. El término cuadr´ atico de P (x) es 12x2 a) VVV b) FVV d) FFV e) VVF Soluci´ on Dado el polinomio

c) VFV

P (x) = (1 + 2x)n + (1 + 3x)n

2

F (m + 1) = −1

−(m + 1) + (m + 1) + m = −1 m2 = 1

de donde m = ±1. Por lo tanto el mayor valor de “m” es 1 Alternativa: c

´ Algebra

Walter Arriaga Delgado 2 +2

4. Si el polinomio P (x, y) = (a2 + 1)xa

ya +

a2 −1

(a + 1)x2a−1 y es homogéneo, hallar la suma de sus coeficientes a) 22 b) 16 c) 11 d) 13 e) 4 Soluci´ on 2 Si el polinomio P (x, y) = (a2 + 1)xa +2 y a + 2 (a + 1)x2a−1 y a −1 es homogéneo, entonces se cumple que: a2 + 2 + a = 2a − 1 + a2 − 1

coef. = a2 + 1 + a + 1 = 22 Alternativa: a

5. Si al sumar H(x) y P (y, z) se obtiene un polinomio homogéneo, donde b a H(x) = ax(a+1) b a 2b a+4 P (y, z) = yÈ(a−1) b + 6z b Calcular: a b(a + 1) ; ab 6= 0 a) 1 b) 3 c) 4 d) 2 e) 6 Soluci´ on Al sumar H(x) y P (y, z) se obtiene un polinomio de la forma: b ba

ax(a+1)

a b2b

+ y (a−1)

2 , si el polinomio: a996 9 3 a P (x) = (a + b − c − 10)x + (c − b + 9)xa es idénticamente nulo. a) 1 b) 3 c) 0 d) 4 e) 2 Soluci´ on si el polinomio:

6. Hallar el valor de a33 +

6

9

P (x) = (a3 + b − c − 10)xa + (c − b + 9)xa

es idénticamente nulo, entonces se tiene que: c−b+9=0

de donde a = 4. Por lo tanto:

X

31

a+4

+ 6z b

éste polinomio, por dato del problema, debe ser homogéneo, entonces: (a + 1)b ba = (a − 1)a (b2 )b = ba+4 de donde b = a − 1 y b2 = a + 1, luego

de donde b − c = 9, ahora reemplazando en: a3 + b − c − 10 = 0 se tiene que a3 + 9 − 10 = 0, de donde a = 1, por lo tanto a33 +

2 =1+2=3 a99 Alternativa: b

7. Calcular el valor de m + n con la condici´ on de que el polinomio: P (x, y) = x2m+n−4 y m+n+2 + x2m+n−3 y m+n+1 + x2m+n−2 y m+n sea de grado absoluto 28 y la diferencia de los grados relativos a x e y sea igual a 6. a) 17 b) 15 c) 13 d) 9 e) 10 Soluci´ on Por simple inspecci´ on se observa que el polinomio P (x, y) es homogéneo, luego 3m + 2n − 2 = 28 de donde:

b2 − b − 2 = 0

3m + 2n = 30

(b − 2)(b + 1) = 0

Adem´ as: GRx = 2m + n − 2 GRy = m + n + 2 y como GRx − GRy = 6, entonces: n − 2 − (m + ✚ n + 2) = 6, obteniéndose 2m + ✚ m = 10 y reemplazando en la ecuación anterior se tiene n = 0, por lo tanto m + n = 10

obteniéndose b = 2 y b = −1, sin embargo b 6= −1, puesto que si b = −1 ⇒ a = 0, y esto contradice al dato del problema (ab 6= 0), en È consecuencia √ b = 2 y a = 3. Por lo tanto a b(a + 1) = 3 2 × 4 = 2 Alternativa: d

Alternativa: e

´ Algebra

32

8. Un polinomio P (x) m´ onico de 3er grado adopta el mismo valor numérico para x = −1, x = −2, x = −3. Si la suma de los coeficientes de P (x) es 105. Determine dicho polinomio. a) x3 − x2 − 11x b) x3 + 6x2 + 11x + 6 c) x3 + 6x2 + 11x + 87 d) x3 e) x3 + 11x2 + 93 Soluci´ on

Walter Arriaga Delgado a) 20 ; 17 b) 10 ; 23 c) 10 ; 11 d) 20 ; 12 e) 14 ; 10 Soluci´ on Comparando los grados de cada término 2xa y a+1 + 5x2a y a+3 − axa−6 y a+7 + 7x2a y a+2

| {z } 2a+1

|

{z

3a+3

}

|

{z

2a+1

} |

{z

3a+2

como el GA = 33, entonces 3a + 3 = 33, de donde a = 10, luego: GRx = 2a = 20 GRy = a + 7 = 17

P (x) = a(x + 1)(x + 2)(x + 3) + b

Alternativa: a

como P (x) es m´ onico, entonces a = 1, luego: P (x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3) + b adem´ as la suma de coeficientes P (1) = 105 P (1) = 2 × 3 × 4 + b = 105 de donde b = 81, de ésta manera se tiene: P (x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3) + 81

10. Hallar a + b + c en la identidad: ax3 + bx2 + cx ≡ 12 + 22 + 32 + . . . + x2 a) 0 b) 4 c) 2 d) 1 e) 3 Soluci´ on ax3 + bx2 + cx ≡ 12 + 22 + 32 + . . . + x2 ax3 + bx2 + cx ≡

x(x + 1)(2x + 1) 6

6ax3 + 6bx2 + 6cx ≡ 2x3 + 3x2 + x

desarrollando tenemos: x3 + 6x2 + 11x + 87 Alternativa: c 9. Dado el polinomio P (x, y) = 2xa y a+1 + 5x2a y a+3 − axa−6 y a+7 + 7x2a y a+2 que posee grado absoluto 33. Calcular el GRx y GRy respectivamente.

}

comparando se tiene que: 1 1 1 a= , b= , c= 3 2 6 por lo tanto: a + b + c =

1 1 1 + + =1 3 2 6 Alternativa: d

´ Algebra


CAP 02:

33


1. Si la siguiente expresi´ on:

es idénticamente nulo. a) 1 b) 3 d) 4 e) 2

2

(xn−2 )3 x2n−3 x4 A(x) =

2

Se reduce a un monomio de segundo grado, hallar el valor de n a) 2 b) 4 c) 3 d) 1 e) 5 2. En el polinomio P (x) = (1 + 2x)n + (1 + 3x)n La suma de coeficientes excede en 23 al término independiente seg´ un ello establecer el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. El polinomio P (x) es de 2o grado. II. La suma de sus coeficientes es 25. III. El término cuadr´ atico de P (x) es 12x2 b) FVV e) VVF

c) 0

7. Calcular el valor de m + n con la condici´ on de que el polinomio:

(xn )2 x4

a) VVV d) FFV

2.1.

c) VFV

3. Si se sabe que: F (x) = −x2 + x + m y G(x) = x + 3. Hallar el mayor valor de “m” de tal manera que: F (G(F (2))) = −1 a) -1 b) 2 c) 1 d) 3 e) 4

P (x, y) = x2m+n−4 y m+n+2 + x2m+n−3 y m+n+1 + x2m+n−2 y m+n sea de grado absoluto 28 y la diferencia de los grados relativos a x e y sea igual a 6. a) 17 b) 15 c) 13 d) 9 e) 10 8. Un polinomio P (x) m´ onico de 3er grado adopta el mismo valor numérico para x = −1, x = −2, x = −3. Si la suma de los coeficientes de P (x) es 105. Determine dicho polinomio. a) x3 − x2 − 11x b) x3 + 6x2 + 11x + 6 c) x3 + 6x2 + 11x + 87 d) x3 e) x3 + 11x2 + 93 9. Dado el polinomio P (x, y) = 2xa y a+1 + 5x2a y a+3 − axa−6 y a+7 + 7x2a y a+2 que posee grado absoluto 33. Calcular el GRx y GRy respectivamente. a) 20 ; 17 b) 10 ; 23 c) 10 ; 11 d) 20 ; 12 e) 14 ; 10

2

4. Si el polinomio P (x, y) = (a2 + 1)xa +2 y a + 2 (a + 1)x2a−1 y a −1 es homogéneo, hallar la suma de sus coeficientes a) 22 b) 16 c) 11 d) 13 e) 4

10. Hallar a + b + c en la identidad: ax3 + bx2 + cx ≡ 12 + 22 + 32 + . . . + x2 a) 0 b) 4 c) 2 d) 1 e) 3

5. Si al sumar H(x) y P (y, z) se obtiene un polinomio homogéneo, donde b a H(x) = ax(a+1) b a 2b a+4 P (y, z) = yÈ(a−1) b + 6z b Calcular: a b(a + 1) ; ab 6= 0 a) 1 b) 3 c) 4 d) 2 e) 6

11. En el polinomio: P (x) = 6ax5a + 5ax4a + 4ax3a + 3ax2a + 20axa + a. Calcular el valor de a, si se cumple que la suma de coeficientes es igual a su término independiente incrementado en 76. a) 4 b) 2 c) 1 d) 3 e) 5

2 , si el polinomio: a996 9 P (x) = (a3 + b − c − 10)xa + (c − b + 9)xa

12. Calcular la suma de coeficientes del polinomio completo y ordenado P (x) = axa + bxb + cxc + dxd + abcd

6. Hallar el valor de a33 +

´ Algebra

34 con a 6= b 6= c 6= d a) 24 b) 44 d) 14 e) 34

19. Hallar el grado absoluto de: c) 10

13. Si: P (x) = x(ax2 + bx + c) − 2x(bx2 + cx + d)√+ 2d − 1, es idénticamente nulo. Hallar: acd abcd a) −2 b) 1 c) 2 d) 3 e) 5 14. Si: P (x) = x P (H(x) + G(x)) = 4x + 6 P (H(x) − 2G(x)) = x + 12 Hallar H[G(2)] a) 8 b) 10 d) 12 e) −8

c) 20

15. Si el polinomio completo es de (4+ a) términos, donde P (x) = 2ax2a + (2a + 1)x2a−1 + (2a + 2)x2a−2 + . . .. Hallar el valor de “a”. a) 0 b) 4 c) 1 d) 3 e) 2 16. En base a los polinomios idénticos: P (x) = (m − 5)x2n−1 + (n − 3)xn−2 p Q(x) = xn−2 + (3 − m)x7 4 Establecer el valor de verdad de las proposiciones: La suma de sus coeficientes es 0 Son de grado 7 m El valor de 2 es 0,125 n + p2 a) VVF d) VFF

b) VVV e) FVV


c) VFV

17. En un polinomio homogéneo, ordenado y completo en x e y, la suma de los grados absolutos de todos sus términos es 156. ¿Cu´ al es su grado de homogeneidad? a) 8 b) 13 c) 11 d) 10 e) 12 18. Dados los polinomios idénticos P (x) = 2(mx + n)2 + mx2 − 2n Q(x) = 4(9x2 + 8x + p) Hallar m + n + p con m > 0 a) 6 b) 12 c) 7 d) 15 e) 20

2

È 2

P (x, y, z) = (a+b) +c x7a2 y 6bc z 2ac a b c si: = = a+b b+c c+a a) 3 b) 51 c) 16 d) 2 e) 7 20. Si P (x) = 1 + 2 + 3 + . . . + x P (x − 1)P (x) Hallar: P (x2 − 1) a) 1/3 b) 3 d) 1/2 e) 2 21. Sean P (x) = x P [F (x) + G(x)] = 3x + 4 P [F (x) − G(x)] = x − 2 Determinar E = F [G(1)] a) 8 b) 9 d) 10 e) 11

c) 1

c) 7

22. En el monomio: M (x, y, z) = xa+b−1 y b−a+3 z 2a−b+5 GRx=10, GRy=8. Hallar GRz a) 7 b) 10 c) 8 d) 6 e) 3 23. Dados los polinomios P (x) y Q(x) tales que P 3 (x) el grado de P 2 (x)Q(x) y de son 27 Q(x) y 23 respectivamente. Entonces el grado de Q3 (x) es: P (x) a) 14 b) 12 c) 11 d) 13 e) 15 24. La suma de coeficientes del polinomio homogéneo 5+2a 18 a+7 P (x, y) = 2axb − 5aby 2 + 3bxb es a) −24 b) 24 c) −16 d) 16 e) 12 25. Indicar el grado del polinomio: n P (x) = 5x2 − x + 3 (xn − x + 3)n (nx + 9)n−1 . Si su término independiente es 729 a) 7 b) 5 c) 6 d) 9 e) 3 26. Calcular a + b + c + d si: x4 + 3x2 − 5 ≡ (x − 2)4 + a(x − 2)3 + b(x − 2)2 + c(x − 2) + d a) 11 b) 102 c) 12 d) 13 e) 14

´ Algebra


CAP 02:

35


1. Sea el polinomio homogéneo P (x, y, z, w) = xa+b+c + y b+c+d − 3z c+d+a + 2wd+a+b a2 + b2 + c2 + d2 Calcular E = ab a) 0 b) 4 c) 2 d) 8 e) 1 2. En el polinomio homogéneo, completo y ordenado P (x, y) = x4n−1 + x4n−2 y + ... + xy 4n−2 + y 4n−1 se verifica que la suma de los grados absolutos de sus términos es 240. Hallar el grado de homogeneidad. a) 4 b) 60 c) 4n d) 16 e) 15 3. Si Q(x) es lineal y adem´ as: Q(2) = − 6, Q(3) = 2Q(4). Hallar Q(5) a) 1 b) −1 c) 0 d) −2 e) 2

2s

4. Si E = 4

2

3

(x3 − x5 )n · (x2 − 3)n 5 12 ·x (x3 + 3)n + (x − 2)12

es de grado 68. Si n > 4, determinar n a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 19 5. En la expresi´ on: M = Determine el valor de:

3 7 4

x6 y 9 z 10

GRx · GRy · GRz E= GAM a) 15 d) 21.6

b) 16 e) 20

c) 19

6. El polinomio P (z) = (cz + b)(z n + 1) es m´ onico. Si P (2) + 34 = b + 4 = c, hallar el valor de “n”. a) 2 b) 5 c) 3 d) 4 e) 1 7. Hallar “n”, si el monomio: n−2 3 2n−3 2 4 (x ) ·x ·x M (x) = es de segun[(xn )2 · x4 ]2 do grado. a) 2 b) 9 c) 6 d) 8 e) 4

2.2.

8. Calcular la suma de coeficientes del polinomio completo y ordenado P (x) = axa + bxb + cxc + dxd + abcd, siendo a, b, c y d diferentes entre s´ı a) 14 b) 24 c) 34 d) 44 e) 10 9. Dada la expresi´ on algebraica: 3 3 1/2 E(x, y, z) = x6 y 3 + x16 y 2 z − 2 4 x3 z 2 y GRx − (GRy + GRz) Calcular: M = GAE a) 11/19 b) 16 c) 19/11 d) 11 e) 21/19 10. Si P (x), Q(x), R(x) son polinomios tales que: GA(P )=10; GA(Q)=8; GA(R)=4. P 2R Hallar el grado de: Q2 a) 6 b) 14 c) 10 d) 8 e) 12 11. Hallar la suma de coeficientes y el término independiente del producto: P (x) = (4x2 − 5x + 2)3 (2x4 + 5x − 2)2 (3x + 5). Luego dar como respuesta su cociente en ese orden. a) 1/5 b) 5/4 c) 288 d) 540 e) 6/5 12. Si los polinomios: P (x) = ax2 + (b − 1)x + c + 1 Q(x) = 3x2 + 6x + 12 son idénticos, hallar: c − (a + b) a) 4 b) −1 c) 2 d) 3 e) 1

É

È 10

5 3 27 x6 13. En la expresi´ on: M =

y9 √ 7x10 y 3 3 z 5

z7

Determine el valor de E= a) 2 d) 15

GRx.GRy.GRz GAM b) 3 e) 10

c) 4

14. Si P (x) es de 5o grado; Q(x) es de 4o grado y R(x) es de 3o grado, hallar el grado de:

´ Algebra

36

s

(P 4 − Q3 )R3 P Q(P − Q)2 a) 5 b) 4 d) 3 e) 7

(a + b + c + d) a) 42 d) 33

E=

c) 6

15. Dados los polinomios P (x) y Q(x), donde los grados de los polinomios: P 2 (x)Q(x) y P 3 (x) son 27 y 23 respectivamente, entonQ(x) Q2 (x) ces el grado de es: P (x) a) 5 b) 6 c) 8 d) 4 e) 7 16. En el polinomio: P (x − 2) = (x + 2)3 − 3(x − 1) + mx + 5 se cumple que la sumatoria de coeficientes y el término independiente suman 200; seg´ un ello establecer el valor de verdad de cada uno de las proposiciones. El término independiente del polinomio es 129. La suma de sus coeficientes es 71 P (2) = 63 + 4 a) VFV d) VFF

b) FFV e) VVV


c) VVF

17. En el siguiente polinomio: P (x) = 3x3a−9 + xa+b−3 + b(x2 )4b+a−c es completo y ordenado crecientemente. Calcular “a + b + c” a) 1 b) 15 c) 6 d) 3 e) 10 2

18. Si el polinomio: P (x, y) = (a2 + 1)xa +2 + 2 (a + 1)x2a−1 y a −1 es homogéneo, hallar la suma de sus coeficientes. a) 16 b) 13 c) 8 d) 11 e) 22 19. Si la expresi´ on: (3x2 + 6x − 7)(nx + 4) − 2 m(3x + x + 1) − n(3x3 − 11) es equivalente a 51x2 + 19x + 3. Hallar m + n. a) −7 b) 7 c) −11 d) 11 e) 13 20. Si los polinomios: P (x) = (bxa + c)2 Q(x) = (16x2 + d)x2 + 9 son equivalentes, indicar el mayor valor de

b) 54 e) 16

c) 28

21. Dada la expresi´ on algebraica 5 E(x, y, z) = 3mx4 − x3 y 5 z 2 + 21/3 x7 y 3 z 4 − 7 0, 25nx4 yz 8 Calcular: GAE M= GRx + GRy − GRz a) 3 b) 3.5 c) 4.5 d) 5 e) 7 22. Determine el mayor grado relativo de una de sus variables. P (x, y) = x3k−1 y k − 2x2k−3 y 2k + xk−3 y 3k de donde GAP = 15. a) 11 b) 15 c) 13 d) 14 e) 12 23. Si . . . xa y b+2 + A + xb y a+2 . . . son términos de un polinomio homogéneo de grado 8, completo y ordenado en orden creciente respecto a la variable x. Hallar la parte literal del término A. a) x2 y 6 b) x3 y 6 c) x3 y 5 d) x4 y 5 e) x4 y 4 24. Si P (x) = xn+1 + x3n+2 + xn+3 + 5 es polinomio completo, hallar “n”. a) 0 b) −2 c) 1 d) −1 e) 3 25. Hallar un término de g(x), tal que se verifica la identidad para todo n ∈ N x(16x2 + 25) + 40x2 + n ≡ xg2 (x) + 3 a) 3 b) 25x c) 40x d) 4x e) 16x2

26. Hallar m + n, si el polinomio P (x) = m(x2 − nx + 1)(x2 + mx + 1) − nx4 − x2 − 1 es idénticamente nulo a) −1 b) 2 c) 1 d) −2 e) 3 27. En la siguiente igualdad: ax2 + 32x + 55 = b(x + c)2 + d(x + b)2 + c(x + d)2 . Calcular el valor de: abc(c + 1) + abd(b + 1) + acd(d + 1) b+c+d a) 16 b) 17 c) 55 d) 32 e) 71

´ Algebra


CAP 02:

37


1. Dados los polinomios È P (x) y Q(x) de los que se sabe que: 3 P (x)Q(x) es de cuarto grado, [P (x) ÷ Q(x)]2 es de octavo grado. ¿Cu´ anto vale el grado de P (x) + Q3 (x)? a) 4 b) 12 c) 8 d) 64 e) 72 2. Si el polinomio ordenado decreciente y completo: P (x) = x2a+1 + 2xb+3 − 3xc+2 + . . . posee 2c términos. Hallar a + b + c. a) 6 b) 13 c) 12 d) 9 e) 14 3. Para ciertos valores particulares de “m” y xm y n √ “n” la expresi´ on M (x, y) = 2 + xn y m x y resulta un polinomio homogéneo. Calcule mn − n m . a) 2 b) 1 c) 0 d) −1 e) Hay dos correctas 4. Si los polinomios: P (x, y) = xa y b+1 + xc y d−3 Q(x, y) = xa+1 y b + x4−a y 3−b son idénticos, calcular: (a + b + c + d) a) 10 b) 9 c) 8 d) 11 e) 12 n

n

5. Se tiene: 2(1/4) = 4(1/2) 3 2 2 P (x, y) = x1−n + 2xn y − 6y 2n ¿Cu´ antas de las siguientes caracter´ısticas presenta P (x, y)? Homogéneo Ordenado en “x” e “y” Completo en “x” e “y” Ordenado en “x” y completo en “y” a) 1 d) 4

b) 2 e) ninguna

c) 3

6. Si el polinomio P (x, y) = (10 − m)x2 y + nxy 2 + 5x2 y − 2xy 2 es idénticamente nulo, hallar mn . a) 15 b) 225 c) 125 d) 30 e) 300

2.3.

7. Si f (x + y) = f (x) + f (y); ∀ x, y Z+ f (1) = 6. Hallar f (3) a) 1 b) 3 c) 6 d) 15 e) 18 8. Si P (x) es idénticamente nulo, hallar “a−b” en P (x − a) = b(x + 2) + a(x + 3) + 2 a) −5 b) −1 c) −4 d) −2 e) −3 9. Conociendo que ax2 + bx + c ≡ (mx + n)2 . b2 + ac Hallar el valor de: E = 2 b − 3ac a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 10. Si f (x) = de f (x).

3x , hallar f (2x) en términos x−1

3f (x) f (x) + 3 6f (x) c) f (x) − 2 a)

e)

b) d)

6f (x) f (x) − 3

6f (x) f (x) + 3

1 f (x)

11. Dada la siguiente identidad: (2x + 5)7 − (x − 1)7 ≡ (x2 + 9x + 18)A(x) + ax + b donde A(x) = a0 x5 + a1 x4 + . . . + a5 ∧ a0 6= 0 b determinar a + . 6 2 2 7 b) (47 − 1) a) (4 + 1) 3 3 3 3 7 d) (47 − 1) c) (4 + 1) 2 2 e) 4325 12. Determinar E = (a + b + c)a+c , si P (x) = . . . + xa+c + 7x2a−b + 8xc−3 + 9xa+b+c+3 + . . . es completo y ordenado descendentemente. a) 1 b) 0 c) −2 d) 2 e) −1 13. Hallarelcoeficiente de 1 n m 3m+2n 5m−n M= 9 x y , cuyo grado ab2

´ Algebra

38

soluto es 20 y el grado relativo a “x” es 14. a) 81/8 b) 16/81 c) 81/16 d) 9/16 e) 8/16 14. El monomio: √ P (x, y) = 5mn xm−n y p − n p x5 y 2m+n posee grado absoluto igual a 21. Indique su coeficiente. a) 241 b) 240 c) 221 d) 245 e) 441 15. Indique el valor de verdad de las proposiciones: P (x3 ) = x12 + 12 es de cuarto grado. Si P (1) = 9, entonces el coeficiente principal de P (x2 + 1) es 9. Si P (x, y) = 9x3 y 4 z 2 entonces el grado de P (x, y) es 9. a) VVV d) VFF

b) FFV e) FFF

c) VFV

16. Del polinomio P (x, y) = 5xa+3 y b−2 z 7−a + xa+2 y b−3 se sabe que GAP = 11; GRx − GRy = 5. Calcular el valor de: E = 4a − b a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30 17. Determine el grado del polinomio: P (x) = (2xn − 1)3 + 4x + 2n

si la suma de la suma de sus coeficientes con su término independiente es numéricamente igual a 20. a) 6 b) 12 c) 15 d) 3 e) 9 18. Siendo P (x) un polinomio que cumple la relaci´ on P (x + 1) = x2 + P (x) Indicar el valor para: P (10) − P (7). a) 54 b) 89 c) 194 d) 225 e) 121 19. En el polinomio: P (x, y) = xm+2n y 7+n + xm+n y 10+n + xm+3n y 9+n el grado respecto a “x” es 15. Adem´ as los grados relativos “x” e “y” son proporcionales a los n´ umeros 5 y 4 respectivamente. Halle el grado absoluto. a) 26 b) 27 c) 29 d) 30 e) 31


20. Si el polinomio: P (x) = (ab − ac + n2 )x4 + (bc − ab + 6n)x2 + (ac − bc + 9) es idénticamente nulo. a−1 + c−1 Calcular W = b−1 a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) 5 21. Si el polinomio P (x) = a(x + 2)2 + b(x + 3)2 − (2x + 3)2 + c es √ idénticamente nulo. Hallar el valor de: L = c a − b a) 0 b) 2 c) 1 d) 3 e) 4 22. Sabiendo que el polinomio: P (x) = (ax + b)(x − 1) + c(x2 + x + 1) es idéntico a 2x2 + 5x − 1. Calcular a + b − c a) −1 b) 0 c) 2 d) 3 e) 1 23. De un polinomio completo y homogéneo de grado 40 se han tomado tres términos consecutivos ordenados decrecientemente respecto a “y” tal como se muestra: . . . + xa y b+20 + T + xb y n + . . . .Hallar el término T indicando el grado relativo respecto a “y”. a) 32 b) 31 c) 30 d) 28 e) 29 24. Si el polinomio P (x) toma un valor constante “c” para todo valor de x, donulese de: P (x) = ax2 − (x + a)(x + b). Calc´ 2 2 2 el valor de E = a + b + c . a) 3 b) 29 c) 12 d) 5 e) 4 25. Halle el grado del resultado de efectuar: P (x) = (3x − 2)m (mx3 − 1)2 (x2 + x − m)2 sabiendo que su término independiente es (−800) a) 11 b) 17 c) 13 d) 15 e) 19 26. En el polinomio completo y ordenado 2 a a P (x) = xb +a +a + 2xa +2a + 3x2a+26 + n 5 4xc −1 + ... + n. Calcular: a+b+c a) 3 b) 5 c) 4 d) 2 e) 6

´ Algebra


CAP 02:

39


1. Si los polinomios: P (x) = a(x − 2)3 + b(x − 2)2 + c(x − 2) + d Q(x) = x(x + 1)(x + 2) son idénticos. b+c Calcular el valor de: a+d a) 2/5 b) 7/5 c) 4/5 d) 3/5 e) 9/5 2. Si el polinomio: M (x, y) = (a + b − c − d2 )x2 + (b − de)xy + 9(b + c − a − e2 )y 2 es idénticamente nulo, calcular: d2 9b 6a + 2+ S= b e c a) 15 b) 9 c) 18 d) 13 e) 16

2.4.

√ 8. El polinomio 3x2 y 2 + 2xy 3 − 4x4 y es incompleto ¿Cu´ al de los siguientes polinomios habr´ıa que sumarle para lograr que esté completo? a) x4 + y 3 b) x3 + y 3 c) x3 + y 4 d) x3 + y 5 e) x5 + y 3 9. Tenemos un polinomio P (x) ordenado y completo de grado 6n. Al suprimir todos los términos de exponente par, incluyendo el término independiente, quedan 81 términos ¿Cu´ anto vale “n”? a) 27 b) 82 c) 81 d) 41 e) 24

3. En el polinomio homogéneo: b−a a−b P (x, y, z) = (xy)3a + yb + 2z c Calcular a + b + c. a) 4 b) 5 c) 7 d) 9 e) 15

10. Hallar n de tal forma que la expresi´ on: q √ 2 +3)/3 2 3 (n n n −2,5 3x ÷ 2 x + nx sea de grado 7/3. Luego respecto al valor de n se puede afirmar: a) 2, 1 < n < 2, 5 b) 4 < n < 5 c) 0, 5 < n < 1 d) 1, 5 < n < 2, 2 e) 3 < n < 4

4. Dado el polinomio: P (2x−3) = (2x+3)4m + 2(12x − 6)2m + (2x + 1)2m Calcular “m”, si su término independiente es igual a 1600. a) 1 b) 7 c) 0 d) 3 e) 2

11. Si la expresi´ on: √ √ 6 4 2 a−b (a + b) x − ab xa+b + (b − a)x; puede reducirse a monomio, este monomio es: a) 5x b) 15x c) 18x d) 10x e) 6x

5. Determinar el grado del polinomio P (x) sabiendo que el grado P 2 (x).Q3 (x) es igual a 21; adem´ as el grado de P 4 (x).Q2 (x) es igual a 22. a) 2 b) 5 c) 7 d) 3 e) 1

12. Calcular la suma de coeficientes del siguiente trinomio racional entero Q(x, y) = (a − 4)x9−a + axa−2 y a/4 + y 19−2a a) 10 b) 12 c) 17 d) 15 e) 13

6. Hallar el grado de: P (x) = (x3 + 1)(x10 + 1)(x29 + 1)...(x1002 + 1) a) 1002 b) 3045 c) 3054 d) 2045 e) 3025 7. Calcular abc en el polinomio: P (x) = (a + 3)(x − 1)(x + 2) + (b − 2)(x − 1)(x + 10) + (c − 2)(x + 2)(x + 10) si este se anula para m´ as de dos valores diferentes atribuidos a su variable. a) 12 b) −8 c) −2 d) 0 e) −12

13. Encontrar el polinomio cuadr´ atico F (x) que verifica: 1 1 F (x + √ ) + F (x − √ ) ≡ 6x2 + 8x + 5 2 2 para luego indicar la suma de sus coeficientes: a) 2 b) 1 c) 8 d) 9 e) 13 x

x

14. Si P (xx + 2n + 1) ≡ 6xx + 12n P [F (x)] ≡ 24x + 12 Proporcionar el valor de: F (n − 1). a) 4n − 1 b) 2n c) 4n − 2 d) 2n − 2 e) 4n

´ Algebra

40 15. Hallars“m” para que la expresi´ on: √ m−1 4 xm x M= 3 √ , sea de sexto grado. 6 x5m−4 a) 40 b) 48 c) 34 d) 44 e) 24 16. Hallar el È grado de la expresi´ on: √ √ 3 3 3 E = 4ax 4+2 4+2 4+...∞ a) 3 b) 2 d) 4 e) 9

c) 5


22. Dado el polinomio homogéneo P = 3a4 − 2a2 b2 + 5ab3 . Determinar el polinomio que debe agregarse a “P ” para que el polinomio resultante sea un polinomio homogéneo y completo, tal que la suma de sus coeficientes sea 16 y su valor numérico para a = 2 y b = 1 sea 88 a) 3a3 b + 14b4 b) 6a3 b − 10b4 c) 3a3 b + 6b4 d) 3a3 b − 5b4 3 4 e) 4a b + 6b

17. Calcular el valor de x/y en el monomio: √ 3 x+y y+6 a b M = 2/3 1−y si es de segundo grado resa b pecto de “a” y es de séptimo grado absoluto. a) 5/3 b) 4/3 c) 2 d) 1/3 e) 2/3

23. Si el polinomio definido por: P (x) = (n − 2)xn−9 + (n − 3)xn−8 + (n − 4) xn−7 +. . . es ordenado y completo. Entonces el n´ umero de términos es a) 14 b) 3 c) 7 d) 15 e) ilimitado

18. Si en el polinomio: P (x, y) = 4xm+n−2 y m−3 z 7 +8xm+n+5 y m−4 + 7xm+n−6 y m+2 se verifica que la diferencia entre el GRx y GRy es 5 , adem´ as el menor exponente de “y” es 3. Hallar su grado absoluto. a) 13 b) 11 c) 17 d) 15 e) 18

24. Calcular el término independiente del polinomio: P (x − 1) = (3ax − 4a)2 + (3x − 4)2a − x2 + 4; a ∈ Z. Sabiendo que es la cuarta parte de la suma de coeficientes a) 8 b) 2 c) 4 d) 16 e) 32

19. Dados los polinomios: P (x) y Q(x), se sabe P 5 (x) que los polinomios: P (x)Q5 (x) y 2 son Q (x) de grado 13 y 11 respectivamente. Hallar el grado de P 2 (x)Q(x) a) 8 b) 7 c) 9 d) 10 e) 11

25. Si (a, b, c) ∈ N y P (x) = a(xa + 1)b (cx + 2)c es un polinomio completo de 85 términos, cuyo término independiente es 72 y su coeficiente principal es 243, entonces el valor de (a + b + c) es: a) 19 b) 23 c) 2 d) 21 e) 81

20. Sabiendo que P y Q son dos polinomios tal que Gr(P ) = 5 y Gr(Q) = 3; entonces indicar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones

26. Sabiendo que el polinomio: P (x) = (ax + b)(x − 1) + c(x2 + x + 1), es idéntico a 2x2 + 5x − 1. Calcular a + b − c a) −1 b) 1 c) 2 d) 0 e) 3

È

Grado de ( P 2 + Q2 ) = 8 Grado de (P 2 Q2 + Q2 ) = 22 Grado de (P 2 + Q2 )2 = 20 a) VVV d) FFV

b) FVF e) VVF

2

c) FFF

21. Calcular la suma de coeficientes del poli2 nomio homogéneo: P (x, y) = 3pxn −5 y 12 + 2 5(p − q)xp y q + (13q + 4)xn y 3n−14 a) 542 b) 452 c) 544 d) 245 e) 454

27. Si: P (x) = (a + 1)2 xb −73 + (b − 6)xb−4 + b y Q(x) = (p2 − 1)xb−4 + (a2 + 9)x8 + a + 5 son idénticos, entonces el valor de: a + b + p a) 12 b) 25 c) 35 d) 45 e) 15 28. H(x) = b7 x7 + b3 x3 + b2 x + 3. Si H(−4) = 4, calcule: H(4) a) 6 b) 4 c) 2 d) 0 e) −6

´ Algebra


CAP 02:

41


2.5.

1. Determine de “n” para que el mos el valor √ 4 n−3 3n x 3 x √ nomio sea de 2◦ grado. 4 n x a) 8 b) 6 c) 9 d) 3 e) 4

8. Si el grado del monomio q siguiente È √ 5 3 M (x) = 8x6 15x4 2xm 3xm ; es 9 calcular “m”. a) 16 b) 18 c) 22 d) 20 e) 24

2. Si P (x + 2) = 5x + 2 y P (F (x)) = 10x + 2. Hallar F (5) a) 6 b) 8 c) 10 d) 14 e) 12

9. Hallar el valor si el grado del monoÉdeq“n” È √ n n n x x x n nx mio P (x) = É q È es 144 n n n √ n 3 −n n x a) 1/3 b) 1/4 c) 1/5 d) 1/2 e) 3

3. Calcular f (7) + 1, sabiendo que f (3) = 1 y adem´ as f (2x − 1) = f (2x + 1) − x + 1 a) 1 b) 2 c) 5 d) 4 e) 3 4. Si a, b, c son n´ umeros naturales diferentes de cero. Determinar el grado absoluto de: M (x, y, z) =

xa+b+c y abc √ abc xyz x0,5

donde a > b > c ; a ≤ 3 a) 11 b) 13 d) 12 e) 10

c) 14

5. Se tiene 3 polinomios enteros en “x”, P (x); Q(x); R(x). Se sabe que la suma de los grados de Q(x) y R(x) excede en 10 unidades al grado de P (x). As´ı mismo el grado de È (P Q)3 4 P 2 QR es 10 y el grado de: es 34. R4 Determine la diferencia de los grados de Q(x) y P (x). a) 0 b) 1 c) 3 d) 2 e) 5 6. Calcular la variaci´ on que experimenta: P (x) = x3 + 40x + 5. Cuando “x” var´ıa del valor (−2) al valor (−1). a) Disminuye 47 b) Aumenta 47 c) Aumenta 27 d) Disminuye 27 e) No var´ıa 7. Si P (x + 2) = 6x + 1; P [F (x)] = 12x − 17. Hallar F (10) a) 3 b) 15 c) 17 d) 21 e) 19

10. Cu´ antas letras se deben tomar para que el grado absoluto del monomio: a2 b6 c12 d20 . . ., sea 1360 a) 10 b) 11 c) 12 d) 15 e) 13 11. Calcular la suma de coeficientes de: P (x) = (x − 2)11 + (x − 3)2 + (x − 1)5 + 10 a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 12. Calcular el término independiente de: P (x) = (x− 7)2 − (x− 2)5 + (x− 3)(x+ 2)− 3 a) 70 b) 15 c) 100 d) −3 e) 72 13. Dados los polinomios P (x) y Q(x), se sabe P 5 (x) , que los polinomios: P (x).Q5 (x) y 2 Q (x) son de grado 13 y 11 respectivamente. Hallar el grado de P 2 (x).Q(x) a) 7 b) 9 c) 8 d) 11 e) 10 14. Hallar la suma de coeficientes del polinob a a−b mio: P (x, y, z) = a3 xa − b2 y b + abz a si es homogéneo. a) 68 b) 60 c) 50 d) 70 e) 74 m , si el polinomio: n P (x, y) = xm y n (2x2m+1 + 7y 54n+1 )7 es homogéneo. a) 9 b) 18 c) 36 d) 27 e) 45

15. Hallar

´ Algebra

42

16. Un polinomio m´ onico de tercer grado P (x), adopta el mismo valor numérico para x = 3, x = −1, x = −2; si la suma de coeficientes es 100. Hallar su término independiente. a) 105 b) 106 c) 108 d) 109 e) 115 17. Calcular a + b + c + d + m + n en la identidad: 5xa+2 y a+1 − 3x2b y a+3 ≡ mxa y c−2 + nxd+1 y 5−a siendo el primer polinomio homogéneo: a) 13 b) 14 c) 17 d) 16 e) 15 18. Dado el polinomio de 14 términos, completo y ordenado n+4 + · · · + xa−1 + xa−2 + xa−3 P (x) = x√ calcular na − 2 a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 19. Si el polinomio P (x) = 3x3a−b +5x2a +7x3b+c +8xa+b+c +· · · es completo y ordenado en forma descendente, calcule el valor numérico de: W = (a2 + b2 + c2 )b+c a) 14 b) 12 c) 10 d) 2744 e) 196 20. La suma de coeficientes del polinomio homogéneo: 5+2a 18 a+7 P (x, y) = 2axb − 5aby 2 + 3bxb es: a) 12 b) 16 c) −16 d) −24 e) 24 21. En el polinomio homogéneo: P (x, y) = x4n−1 + x4n−2 y + . . . + xy 4n−2 + y 4n−1 que también es completo y ordenado se verifica que la suma de los grados absolutos de los términos es 240. Hallar su grado de homogeneidad. a) 4 b) 15 c) 16 d) 60 e) 4n

22. Si P xx

x−1/2

Calcular: P a) 1 d) 2

2 2 = nx + n3 x3 + · · }· | + n x {z

1 n(n

√

“n” t´ erminos

n )−1

b) n + 1 e) n

c) 1/n

23. Si el polinomio: P (x) = (4a + 2)x2a−30 + (4a)x2a−29 + (4a − 2)x2a−28 + . . . es comple-

Walter Arriaga Delgado to y ordenado. ¿Cu´ al es su grado? a) 32 b) 31 c) 30 d) 33 e) 29

24. Se˜ nale cuantas proposiciones son verdaderas: Un polinomio completo no siempre esta ordenado Un polinomio ordenado no siempre esta completo Un polinomio completo de grado “n”, siempre tiene “n + 1” términos Un polinomio ordenado de grado 8, siempre tiene 9 términos Un polinomio completo puede estar ordenado a) 3 d) 4

b) 2 e) 5

c) 1

25. Sean: P (x) = (xm−2 + xm−1 + xm + 1)(xn−2 + xn−1 + xn − 1) Q(x) = (1 − nxn + xn+1 )(xm−1 − xm + 1)2 Si el grado absoluto de P (x) y Q(x) es 10 y 15 respectivamente. Calcule el grado absoluto de la siguiente expresi´ on: [(mxm + nxn − m − n)3 (xm − nx + m)4 ]1/2 a) 12 b) 14 c) 13 d) 17 e) 10 2

26. En el polinomio: P (x, y) = 2mxa −2 y 4 + 2 4(m − n)xm y n + (10n − 1)xa y 2a−6 , es homogéneo. Calcule el grado de homogenidad. a) 12 b) 18 c) 17 d) 15 e) 19 √ 27. Si el polinomio P (x) = qx3 + p + 6 x2m−6 + √ m 3 5n + 8 x5m+n−19 + + 2 xp+n−3 , 4 es completo y ordenado en forma descen√ dente. Hallar 3 q si la suma de coeficientes es m + n + p. a) 4 b) 1 c) 2 d) 3 e) −1 28. Si el polinomio ordenado decreciente y completo: P (x) = x2n+1 + 2xα+3 − 3xm+2 + . . .. Posee “2m” términos. Hallar “α” a) 5 b) 3 c)7 d) 9 e) 11

´ Algebra


CAP 02:


1. Sea: P (x) = nxn +(n−1)xn−1 +. . . +2x2 +x+m si sus coeficientes suman 63 y P (0) = n − 2, calcular la suma de coeficientes de: S(x) = mxm +(m−1)xm−1 +. . .+2x2 +x+n a) 56 b) 46 c) 36 d) 26 e) 16 b

a

2. Si el √polinomio: P (x, y, z, w) = axa +by c + √

c

a

cz c + w(ab) , es homogéneo. Hallar la suma de coeficientes de P (x, y, z, w) a) 18 b) 25 c) 22 d) 20 e) 27

3. En el siguiente polinomio homogéneo, calcular la suma de coeficientes: P (x, y, z, w) = a

43

2 )b2

axa − 5acy (b a) 9 d) 12

+ 4bcz c b) 7 e) 14

a1/2 b

5. Si se cumple que:

8. Si el polinomio: P (x) = (x2 − x + 3)(a − b) + (x2 − x + 4)(b − c) + (x2 + x + 5)(c − a). Se anula para m´ as de un valor. Hallar: b+c R= a a) 3 b) 4 c) 2 d) 0 e) 8 9. Sea P (x) = (a3 −7)x5 +ax2 +a2 +1 un polinomio monico; (a ∈ R). Hallar el término que no depende de la variable a) 5 b) 10 c) 17 d) 26 e) 2 10. ¿Cu´ al es la variaci´ on que experimenta P (x), cuando “x” varia de −2 a −4, si:

n p m + + ≡ x−1 x−2 x−3

x2 − 10x + 13 . El valor de (x − 1)(x − 2)(x − 3) E = 6m + 3n + 2p es igual a: a) 10 b) 12 c) 15 d) 13 e) 9

6. Si los polinomios definidos por: P (x, y) = (x + y)5 − x5 − y 5 Q(x, y) = mx2 (x + y) + 2mxy(x3 + y 3 ) son equivalentes, hallar “m” a) 2 b) 5 c) 4 d) 6 e) 7

1−

1 x

a) Disminuye en −68/15 b) Aumenta en 28/15 c) Aumenta en −68/15 d) Disminuye en 28/15 e) No var´ıa 3m − n 11. La relaci´ on F (x − ) = F [F (x)] − 5 7x 2m + n 2F + 8 con F (m) = ; m 5 m 6= 0 se verifica para un polinomio F (x). Hallar F (7) a) 7 b) 4 c) 8 d) 9 e) 10 12. Si:

x 1 ; F (x) = ; 1+x 1+x 1 y adem´ as P {F [G(x)]} = . 10

P (x) =

G(x) = x Calcular x a) 5 d) 16

b) 10 e) 8

c) 4

13. Hallar el GA de la expresi´ on: x M= √ n+1

2)2

7. Si el polinomio: Q(x) = a(x + + b(x + 3)2 − (2x + 3)2 + c es√idénticamente nulo. Hallar el valor de L = c a − b a) 0 b) 1 c) 4 d) 3 e) 2

x

P (x) =

+ 3c2 w256 c) 4

4. Determinar el valor de “k” para que los polinomios: P (x, y) = 5(x4 +y 4 )+30x2 y 2 +20xy(x2 +y 2 ) Q(x, y) = k(x + y)(x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3 ) sean equivalentes: a) 5 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8

2.6.

a) 4n d) 1

√

2 n 16(1/2)

3

√ 6

yn

x x4 x9 . . . xn 2

b) 3n e) n

1 2n+1

c) 2n

´ Algebra

44


14. Se tiene un polinomio de 4to grado cuya suma de coeficientes es 5 y el término independiente es 2. Adem´ as P (x − 1) − P (x) = P (x + 1) + x. P (0)P (−1)P (1) + P (2) P Calcular coef − TI a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 70/3

21. Si P (x) es un polinomio definido por: P (x) = (4x9 + 3)n (x2 + 3x3 + 1)n−2 (2x9 + 3) tal que su grado es 27. Hallar la suma del término independiente y el coeficiente principal. a) 75 b) 59 c) 73 d) 72 e) 74

15. ¿Cu´ antos factores han de tomarse para que la expresi´ on: P (x) = (x2 + 1)(x6 + 2)(x12 + 3) . . . , tal que P (x) sea de grado 572 a) 16 b) 15 c) 14 d) 11 e) 12

22. Hallar el grado del polinomio: P (x) = (x44 + 1)(x110 + 2)(x176 + 3)(x242 + 4) . . . 20 factores. a) 13430 b) 610 c) 13440 d) 671 e) 13420

16. Un polinomio m´ onico de tercer grado P (x), adopta el mismo valor numérico para x = 3, x = −1, x = −2 ; si la suma de coeficientes es 105. Hallar su termino independiente. a) 108 b) 111 c) 109 d) 110 e) 115 17. Sean los polinomios: P (x), Q(x) y R(x) cuyos grados son (4n + 3), (6n − 1) y (2n), respectivamente, tal que, el grado [P 3 (x)R(x) + P 2 (x)Q(x)s− R6 (x)] es 107. 3Q2 (x)P (x) Hallar el grado de: E = 3 4R(x) a) 22 b) 55 c) 26 d) 44 e) 33 18. En la expresi´ on:

q

5 3 27(x6

È

y 9 )10 z 7 √ 7x10 y 3 3 z GRx GRy GRz Determine el valor de: E = GA a) 2 b) 3 c) 4 d) 10 e) 15 M=

23. Calcular abc en la identidad 18x3 + 21x2 + 8x + 1 ≡ a(2x + 1)a (cx + a)b a) 3 b) 1 c) 6 d) 2 e) 12

1 24. Sea A = − 16 1 + , adem´ as P (x) = 8x 4 n x Ax + y − + z y es identicamente nuxn lo. Calcular: y z √ c) 2 a) 4 b) 2 d) 16 e) 8 2 yz

2

3

25. Si: P (x, y) = (abc + 16)xa y b − (bc + 3 c 2 c a)xb y c + (b − c)xa y c es un polinomio idénticamente nulo. Calcular: a + b + c a) 8 b) 6 c) 2 d) 0 e) 4

5

19. Siendo P (x) un polinomio que cumple la relaci´ on P (x + 1) = x2 + P (x), indicar el valor de P (10) − P (7) a) 194 b) 54 c) 89 d) 121 e) 225 20. Determine el término central del polinomio P (x) = nx + (n − 1)x2 + (n − 2)x3 + · · · + 2xn−1 + xn , sabiendo que la suma de coeficientes es 153. a) 5x8 b) 6x9 c) 9x3 9 9 d) 9x e) 8x

26. Si el término independiente y el coeficiente principal del plinomio: P (x) = (x2 − 3x + 5)(6xn − x + n)(2x4 + x2 + n + 1)(10xn−1 − 5xn − 1), son iguales. Hallar “n”, si n > 1 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 27. Sean los polinomios P , Q, R y H, que cumplen: P (x − 3) = Q(x + 2) + R(x − 3) H(x) = P (x − 1) + Q(x + 4). Sabiendo que los términos independientes de P y R son 5 y 4 respectivamente. Calcular la suma de coeficientes de H(x). a) −7 b) 5 c) 4 d) 3 e) 6

Cap´ıtulo 3:

MULTIPLICACION ALGEBRAICA Objetivos z Saber aplicar la propiedad distributiva para multiplicar polinomios. z Conocer el manejo de los productos notables por ser de suma importancia en la simplificaci´ on y factorizaci´ on. Dentro del c´ alculo algebraico es frecuente la transformaci´ on de una expresi´ on algebraica en otras equivalentes, cuando estas permiten algunas reducciones y/o simplificaciones, estas transformaciones reciben el nombre de operaciones algebraicas.

3.1.

Adici´ on y sustracci´ on de expresiones algebraicas

Es la operaci´ on que consiste en sumar o restar términos semejantes (Simplificaci´ on de términos semejantes), y se procede de la siguiente manera: Se suman algebraicamente los coeficientes Se escribe la misma parte literal.

3.2.

Multiplicaci´ on de expresiones algebraicas

Es la operaci´ on que consiste en hallar una expresi´ on denominada producto P (x), a partir de otras dos expresiones llamadas multiplicando M (x) y multiplicador N (x); de modo que: M (x).N (x) = P (x) Propiedades: El grado del producto es igual a la suma de los grados de los factores. 45

´ Algebra

46


El término independiente del producto es igual al producto de los términos independientes de los factores. Ejemplo 3.2.1. Se tienen los polinomios: P (x) = 3x5 − 2x2 + 5;

Luego tenemos que:

Q(x) = 6x7 − 2x5 − 3;

R(x) = 4x3 + 2

Grado [P (x).Q(x).R(x)] = 5 + 7 + 3 = 15. Término independiente del producto T.I. = (5)(3)(2) = 30.

3.3.

Productos notables

Para poder entender sobre los productos notables, es esencial que se tenga un dominio regular de las operaciones b´ asicas del algebra elemental. Esto es, suma, resta, multiplicaci´ on y divisi´ on de polinomios. Resultar´ a m´ as o menos f´ acil entender un producto notable si se tiene nociones de que es un producto, y que el producto es el resultado de la multiplicaci´ on de dos o m´ as factores. Definici´ on 3.3.1. Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspecci´ on, sin verificar la multiplicaci´ on que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicaci´ on simplifica y sistematiza la resoluci´ on de muchas multiplicaciones habituales. Los m´ as importantes son: 1. Cuadrado de un binomio (Trinomio cuadrado perfecto) El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término m´ as (o menos) el doble del producto del primer término por el segundo m´ as el cuadrado del segundo término. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 b

ab

b2

a

a2

ba

a

b

Figura 3.1: Ilustraci´ on gr´ afica del cuadrado de un binomio

Nota:

(a − b)2n = (b − a)2n para todo n ∈ Z

´ Algebra


47

Teorema 3.3.1. Todo trinomio de la forma ax2 + bx + c es cuadrado perfecto si y s´ olo si: b2 = 4ac 2. Suma por su diferencia (Diferencia de cuadrados) El producto de de la suma de dos términos por su diferencia es igual a el cuadrado de la primer término menos el cuadrado del segundo. (a + b)(a − b) = a2 − b2 (an + bn )(an − bn ) = a2n − b2n b

b2

a a2

(a + b)(a − b) a

b

a

Figura 3.2: Ilustraci´ on gr´ afica de una diferencia de cuadrados

3. Cubo de un binomio (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

Forma desarrollada

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

Forma abreviada

(a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3

Forma desarrollada

(a − b)3 = a3 − b3 − 3ab(a − b)

Forma abreviada

4. Binomio por trinomio (Suma y diferencia de cubos) (a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 + b3 (a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 − b3 5. Suma y diferencia de potencias n-´ esimas (a + b)(an−1 − an−2 b + an−3 b2 − · · · + bn−1 ) = an + bn (a − b)(an−1 + an−2 b + an−3 b2 + · · · + bn−1 ) = an − bn 6. Cuadrado de un trinomio (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a + b

+ c)2

=

a2

+

b2

+

c2

+ 2(ab + ac + bc)

Forma Desarrollada Forma Abreviada

´ Algebra

48


(a + b − c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab − 2ac − 2bc (a − b + c)2 = a2 + b2 + c2 − 2ab + 2ac − 2bc (a − b − c)2 = a2 + b2 + c2 − 2ab − 2ac + 2bc (a − b − c)2 = (b + c − a)2 c

ac

bc

c2

b

ab

b2

cb

a

a2

ba

ca

a

b

c

Figura 3.3: Ilustraci´ on gr´ afica del cuadrado de un trinomio

7. Cubo de un trinomio (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a2 b + a2 c + b2 a + b2 c + c2 a + c2 b) + 6abc (a + b +

c)3

=

a3

+

b3

+

c3

+ 3(a + b)(a + c)(b + c)

(a + b + c)3 = 3(a + b + c)(a2 + b2 + c2 ) − 2(a3 + b3 + c3 ) + 6abc

(a + b +

c)3

=

a3

+

b3

+

c3

+ 3(a + b + c)(ab + ac + bc) − 3abc

(FD) (FA) (FA) (FA)

8. Producto de binomios con un t´ ermino com´ un El producto de dos binomios con un término com´ un es igual a el cuadrado del término com´ un m´ as el producto de la suma de los términos no comunes por el término com´ un m´ as el producto de los término no comunes. (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab (x − a)(x − b) = x2 − (a + b)x + ab (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abc (x − a)(x − b)(x − c) = x3 − (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x − abc 9. Identidades de Legendre (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2 ) (a + b)2 − (a − b)2 = 4ab (a + b)4 − (a − b)4 = 8ab(a2 + b2 ) 10. Identidades de Lagrange

´ Algebra


(a2 + b2 )(x2 + y 2 ) = (ax + by)2 + (ay − bx)2

49

a

x

b

y

(a2 + b2 + c2 )(x2 + y 2 + z 2 ) = (ax + by + cz)2 + (ay − bx)2 + (az − cx)2 + (bz − cy)2 a

x

b

y

c

z

11. Identidades de Argand (x2 + x + 1)(x2 − x + 1) = x4 + x2 + 1

(x2 + xy + y 2 )(x2 − xy + y 2 ) = x4 + x2 y 2 + y 4

(x2m + xm y n + y 2n )(x2m − xm y n + y 2n ) = x4m + x2m y 2n + y 4n 12. Identidades auxiliares a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ac) 1 a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c) (a − b)2 + (a − c)2 + (b − c)2 2 (a + b + c)3 + 2(a3 + b3 + c3 ) = 3(a + b + c)(a2 + b2 + c2 ) + 6abc

(Equiv. de Gauss)

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(a2 + b2 + c2 ) − 3abc (a − b)3 + (b − c)3 + (c − a)3 = 3(a − b)(b − c)(c − a) (a + b)4 + (a − b)4 = 8ab(a2 + b2 )

(a + b)(a + c)(b + c) + abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) Nota 3.3.1. Existe una ingeniosa f´ ormula para representar un cubo como diferencia de dos cuadrados:

a3 =

a(a + 1) 2

2

−

a(a − 1) 2

2

13. Igualdades condicionales Si

a+b+c=0

entonces:

Si a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc entonces a = b = c Si a3 + b3 + c3 = 3abc entonces a = b = c

o ´

a+b+c=0

Si (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 entonces (a + b + c)2n+1 = a2n+1 + b2n+1 + c2n+1

´ Algebra

50


⊛ a2 + b2 + c2 = −2(ab + ac + bc). ⊛ a3 + b3 + c3 = 3abc.

⊛ a4 + b4 + c4 = 2 a2 b2 + a2 c2 + b2 c2 . ⊛ a5 + b5 + c5 = −5abc(ab + ac + bc).

⊛ a2 + b2 + c2

2

= 2 a4 + b4 + c4 .

⊛ (ab + ac + bc)2 = a2 b2 + a2 c2 + b2 c2 . 2 3 a + b2 + c2 a + b3 + c3 a5 + b5 + c5 ⊛ = . 2 3 5 2 5 a + b2 + c2 a + b5 + c5 a7 + b7 + c7 ⊛ = . 2 5 7 Cuadro 3.1: Igualdades condicionales

´ Algebra


✍

51


SOL:

3.

Productos notables

1. Si a3 + b3 = 279; a + b = 3. Hallar: a − b a) 13 b) 11 c) 9 d) 7 e) 12 Soluci´ on a3 + b3 = 279 (a + b)(a2 − ab + b2 ) = 279 3(a2 − ab + b2 ) = 279

3.1.

a) 0 b) 6 d) 8 e) 2 Soluci´ on En la ecuaci´ on:

(a + b + c + d)2 = 4(a + b)(c + d) hacemos los cambios de variable:

a2 − ab + b2 = 93 2

2

a +b

= 93 + ab

c) 4

x=a+b;

y =c+d

entonces:

adem´ as:

(x + y)2 = 4xy a+b = 3 2

= 9

2

= 9

2

= 9 − 2ab

(a + b) 2

a + 2ab + b 2

a +b

x2 + 2xy + y 2 = 4xy (x − y)2 = 0 de donde:

x = y,

luego:

luego:

a+b =c+d 93 + ab = 9 − 2ab

obteniéndose:

obteniéndose:

( ab = −28

ahora, reemplazando se tiene: Por lo tanto:

a2 + b2 = 65

a−c b−c + =1+1=2 d−b d−a

Por otro lado: E = a−b

E

2

a−c =d−b b−c =d−a

Alternativa: e 2

= (a − b)

= a2 − 2ab + b2 = 65 + 2 × 28 = 121 Por lo tanto: E = 11 Alternativa: b a−c b−c 2. Calcular + . Sabiendo que: d−b d−a (a + b + c + d)2 = 4(a + b)(c + d)

4 4 3. Hallar È a −√b , si: È √ a = È3 + 5 +È3 − 5 √ √ b= 3+ 5− 3− 5 a) 106 b) 76 d) 84 e) 86 Soluci´ on

È

a =

3+

√

È

5+

a2 = 6 + 2 (3 + a2 = 10

c) 96

È √

3−

√

5 √ 5)(3 − 5)

´ Algebra

52 adem´ as:

elevando al cuadrado se tiene:

È √ √ b = 3+ 5− 3− 5 È √ √ b2 = 6 − 2 (3 + 5)(3 − 5)

È

3 2

(x )

a2 = 2 luego 4

4

2

2

2

2

a − b = (a + b )(a − b ) = 12 × 8 = 96 Alternativa: c

4. Calcular: 6

a 2

a+b+c b+c

3

+

b−a+c b+c

+8 b+c a) 10 b) 14 d) 12 e) 16 Soluci´ on Haciendo b + c = x, se tiene:

x + a 3 x

1+ 1+3 3

a 3 x

a

+

x − a 3 x

+ 1−

+3

a 2

a 3 x

+

−6 −6

a 3

a 2 x a 3 x a x 2

−

+8

x

a 2 x

+8

+1−3

x

6

x

6

= =

" a n/2 b

a n

n/2 #2

+2

b = 62 + 2

b a

+

a n/2 b n/2 b

a x

+

− −6 +8 x x x Reduciendo se obtiene el valor de 10

5. Si x=

a b Ê 3

n +

b a

b) 6 e) 8

x3 x3

c) 4

an + bn √ an bn an + bn = √ an bn an bn = + an/2 bn/2 an/2 bn/2 a n/2 b n/2 = + b a

x = x3

s 3

b a

Alternativa: d √ 6. Si x = 3 3 ¿Cu´ al es el valor de: (x + 3)3 + 3(x + 1)3 − 3(x + 2)3 − x3 √ √ 3 b) 6 c) 3 3 3 a) 3 d) 9 e) 27 Soluci´ on (x + 3)3 = x3 + 9x2 + 27x + 27

(3.1)

(x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1

(3.2)

(x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8

(3.3)

luego haciendo: (3.1)+3(3.2)−3(3.3) −x3 (x + 3)3 + 3(x + 1)3 − 3(x + 2)3 − x3 = 2 + 27x 3 +✟ 2 + 9x ✚+ 3 − x3 + ✟ 9x✟ 3x✟ 9x✟ ✟✟ + 27 + ✟ ✚ ✟ ✟ ✟2 − ✟ ✟ − 24 − x3 = 6 ✟ 3x3 − ✟ 18x 36x

Alternativa: b 7. Si: ab + ac + bc = −8 (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2 = 16 Calcular:

= 62. Hallar:

an + bn √ an bn

a) 1 d) 2 Soluci´ on

+

de donde x = 2

Alternativa: a

n

a

n

x6 = 26

3

c) 8

a 2


E = a2 b−1 c−1 + b2 c−1 a−1 + c2 a−1 b−1 a) −2 b) 1 d) 2 e) 3 Soluci´ on Reduciendo la ecuaci´ on:

c) −3

(a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2 = 16 a2 +2ab+b2 +a2 +2ac+c2 +b2 +2bc+c2 = 16 2(a2 + b2 + c2 + ab + ac + bc) = 16 a2 + b2 + c2 − 8 = 8

´ Algebra


53

a2 + b2 + c2 = 16

(a + b)[(a + b)2 + (a − b)2 − 2ab] − 2b3

adem´ as:

(a + b)[2(a2 + b2 ) − 2ab] − 2b3

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)

2(a + b)(a2 − ab + b2 ) − 2b3

reemplazando se tiene

3 3 2a3 + ✚ 2b✚ −✚ 2b✚ = 2a3

2

(a + b + c) = 16 + 2(−8) = 0

y reemplazando se tiene: 2a3 = 2 × 3 = 6

de donde a+b+c=0

Alternativa: a

por otro lado tenemos: E = a2 b−1 c−1 + b2 c−1 a−1 + c2 a−1 b−1 a2 b2 c2 + + = bc ac ab a3 + b3 + c3 = abc ✟ 3✟ abc = ✟ abc ✟ por lo tanto E = 3 Alternativa: e 8. Calcular el valor de: a + b 2(a2 b + ab2 + b3 ) −1 2 − . a −Èb a3 − b3 È √ √ √ √ Si a = 2 + 3 ;√ b = 2− 3 a) 2√ c) 1/2 b) √ 2 e) 3 d) 12 Soluci´ on Simplificando primero la expresi´ on:

−1

2

a + b 2(a2 b + ab2 + b3 ) − a−b a3 − b3

1 a+b 2b(a2 + ab + b2 ) − 2 a − b (a − b)(a2 + ab + b2 ) 1 a+b 2b 1 − = 2 a − b (a − b) 2

Alternativa: c 9. Hallar el valor numérico de: (a + b)[(a +√b)2 − 2ab + (a −√b)2 ] − 2b3 √ 3 3 Para a = 3; b = 2 3 − 2 + 1 √ a) 6√ b) 18 c) 2 e) 3 d) 3 Soluci´ on Simplificando primero la expresi´ on: (a + b)[(a + b)2 − 2ab + (a − b)2 ] − 2b3

2 10. Si

2

a b

+

2

b a

= 18. Calcular:

2

a b − a √b √ √ a) 4 √5 b) 2√ 5 c) 4 2 d) 8 5 e) 2 2 Soluci´ on Se sabe por diferencia de cuadrados que: E=

a b

E=

hagamos m =

+

b a

a b + b a

a b

−

y n=

b a

a b − b a

a b + b a a b 2 2 m = + b a 2 a 2 b = +2+ b a = 20 √ de donde m2 = 20, luego m = 2 5 por otro lado: m =

a b − b a a b 2 = − b a 2 a 2 b = −2+ b a = 16

n = n2

de donde m2 = 16, luego √ n=4 Por lo tanto E = mn = 8 5 Alternativa: d

´ Algebra

54

CAP 03:

Productos notables

1. Si a3 + b3 = 279; a + b = 3. Hallar: a − b a) 13 b) 11 c) 9 d) 7 e) 12 a−c b−c + . Sabiendo que: d−b d−a (a + b + c + d)2 = 4(a + b)(c + d) a) 0 b) 6 c) 4 d) 8 e) 2

2. Calcular

a4

4. Calcular:

a 2

b+c a) 10 d) 12 a b Ê

x=

3

10. Si

a+b+c b+c

3

+

a √b a) 4 √5 d) 8 5

b−a+c b+c

−

√ b) 2√ 5 e) 2 2 x2 + y 2 + z 2

√ c) 4 2

2

x4 + y 4 + z 4 Si x + y + z = 0 a) 1 b) 2 c) −1 d) 4 e) 0, 5

c) 4

13. Dadas las siguientes ecuaciones: (x − a)2 + (x − b)2 − 2(x − m)(x − n) = 0 (x − m)2 + (x − n)2 − 2(x − a)(x − b) = 0 Calcular el valor numérico de: a2 + b2 + m2 + n2 E= ab + mn a) 6 b) 4 c) 2 d) 3 e) 7

7. Si: ab + ac + bc = −8 (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2 = 16 Calcular: E = a2 b−1 c−1 + b2 c−1 a−1 + c2 a−1 b−1 b) 1 e) 3

b a

12. Si (p + q + r − s)(p + q − r + s) = (r + s + p − q)(r + s − p + q) p2 + q 2 Calcular: E = 2 r + s2 a) 0 b) 3 c) 2 d) 5 e) 1

√ 6. Si x = 3 3 ¿Cu´ al es el valor de: (x + 3)3 + 3 3(x + 1) − 3(x + 2)3 − x3 √ √ 3 b) 6 a) 3 c) 3 3 3 d) 9 e) 27

a) −2 d) 2

2

−

c) 8

= 62. Hallar:

b) 6 e) 8

= 18. Calcular:

11. Hallar el valor de:

3

an + bn √ an bn

a) 1 d) 2

b a

+

+8

b a

2

2

n +

a b

c) 96

b) 14 e) 16

n 5. Si

2

b4 ,

3.1.

9. Hallar el valor numérico de: (a −√b)2 ] − 2b3 (a + b)[(a +√b)2 − 2ab + √ Para a = 3 3; b = 2 3 3 − 2 + 1 √ a) 6√ b) 18 c) 2 e) 3 d) 3

E=

3. Hallar È −√ si: È √ a = È3 + 5 +È3 − 5 √ √ b= 3+ 5− 3− 5 a) 106 b) 76 d) 84 e) 86

6


c) −3

8. Calcular el valor de: a + b 2(a2 b + ab2 + b3 ) −1 − 2 . a −Èb a3 − b3 È √ √ √ √ Si a = 2 + 3 ;√ b = 2− 3 a) 2√ c) 1/2 b) √ 2 d) 12 e) 3

14. Sabiendo xn + x−n = 18. Ê que n x −1 √ Hallar xn a) 2 b) 6 d) 4 e) 1

c) n

√ 15. Si a4 + b4 = 14 y a + b = 6 Calcular M = a2 + b2 + (a + b)2 a) 12 b) 9 c) 8 d) 10 e) 11 16. Si se cumple

4 1 1 = + . Calcular el x+y x y

´ Algebra

Walter Arriaga Delgado valor de: M = a) 2 d) 4

2x + y 3y 2x + 5y − + 2x + 2y 4x 7y b) 1 c) x e) y

17. Efectuar: N = (a + b + c)2 + (a + b − c)2 + (b + c − a)2 + (c + a − b)2 a) a + b + c b) a2 + b2 + c2 c) 4 d) 2abc e) 4(a2 + b2 + c2 ) 18. Si: a + b + c = 7 a2 + b2 + c2 = 17 a3 + b3 + c3 = 43 Calcular N = a) 1 d) 2

a+b+c a−1 + b−1 + c−1 b) 1/2 e) 1/4

c) 21/4

19. Dada las condiciones: a+b+c=1 a2 + b2 + c2 = 9 a3 + b3 + c3 = 1 a3 b3 c3 Calcular: M = + + ; abc 6= 0 bc ca ab a) −33/4 b) 1 c) 1/4 d) 1 e) 12/3 20. Si xy = 1 y x; y Ê > 0; x, y ∈ Rs y2 + 1 x2 + 1 Calcular: N = x + y x2 + 1 y2 + 1 a) 4 b) 1 c) 3 d) 2 e) 5 21. Si a 6= b 6= 0, simplificar:

2 3 a+b a−b − 2 6 6a−b a+b7 7 (a + b) − 2ab 4a+b a−b5 4 a−b

+

a) a/2 d) (a + b)/2

a+b

b) ab/2 e) b/2

c) ab/4

22. Si x, y 6= 0.2 Reducir: 2 1 1 1 +2 +2 − 4 + − 2 xy x2 y 2 xy 2 2 2 4 2 +1 −2 −1 + −1 xy x2 y 2 xy 4 c) a) x2 y 2 b) xy xy 1 1 d) e) 2 2 xy x y

55 x2 y2 − = 3(x − y); x, y 6= 0. Hallar el y x 4 x18 + y 18 valor de: R = (x3 y 3 )3 a) 0 b) 15 c) 8 d) 6 e) 1/4

23. Si

24. Si |a| = 6 1. √ √ Simplificar: 1 a + a2 − 1 a − a2 − 1 √ √ √ − a2 − 1 a − a2 − 1 a + a2 − 1 a) 4a b) a2 c) a d) a4 e) 2a √ 25. Si x + x−1 = 5. x10 + 1 Calcular: C = 4 2 x (x √ + 1) √ √ a) 5 − 1 b) √ 5 5 c) 14 5 d) 5 e) 5 + 1 26. Para x 6= y 6= z. Simplificar: z 3 (x − y)3 + x3 (y − z)3 + y 3 (z − x)3 (x − y)3 + (y − z)3 + (z − x)3 a) x + y + z b) xyz c) 3xyz d) 6xyz e) 2(x + y + z) √ √ √ x+ y+ z √ 27. Calcular el valor de: √ √ 4 xy + 4 xz + 4 yz È È È √ √ √ Si: x − yz + y − xz + z − xy = 0 a) −2 b) 2 c) 5 d) 3 e) 1 28. Suponga que se cumple las siguientes condiciones: x + y + z = 2 ; √

√ √2. 2

..

xy + xz + yz = 2 . Entonces el valor de: 100 99 x + y 100 + z 100 x + y 99 + z 99 T = 100 99 98 98 98 x +y +z . . . (x + y + z) ser´ıa: 98 a) −5 b) 3 c) 0 d) −1 e) 2 √ √ √ 29. Si a = 1 + 8 ; b = 2 − 4 2 ; c = 8 − 3. Calcule el valor de: a b c + + bc ac ab I = a3 + b3 + c3 ab + ac + bc √ a) −6 b) 1 c) 6 d) 6 e) 0

´ Algebra

56

CAP 03:

Productos notables

1. Si el polinomio 3 a + b3 − a − b 3 P (x) = x + a+b+1 abx2 + ax + b es m´ onico de segundo grado, hallar a3 + b3 y dar como respuesta su valor m´ınimo a) 1 b) −2 c) −3 d) 2 e) 3 2. Si x + x−1 = (0,5)−1 . Calcular el valor de: A = x−1 + x−2 + x−3 + . . . + x−n + x + x2 + x3 + . . . + xn a) 2 b) 4n c) 1/4n d) 1/2n e) 2n 3. Si a3 − b3 = m y a − b = n. ¿Cu´ al es el valor de ab? m − n3 m3 − n m − n2 c) b) a) 3n 3n 3n 2 2 m−n m −n e) d) 3n 3n 4. Si a3 + b3 + c3 = 3 y a2 + b2 + c2 = 2 calcular el valor de: (a + b + c)(2 − ab − ac − bc) W = 1 − abc a) 3 b) 1/3 c) 8 d) 5 e) 6 5. Si (x + y)2 = 2(x2 + y 2 ), hallar el valor de: E= a) 1 d) 6


5x4 − y 4 2x2 + 3y 2 4y + + 2 2 x y 5xy 3x + y b) 3 e) 9

c) 7

6. Si m + n √ + p = mnp, entonces√ √ m n p n+p x x + xm+p + xm+n W = es: xmn + xmp + xpn a) xmn b) 1 c) xmp np mnp d) x e) x √ 7. Si x = 12 m + 1, calcular: (x2 + 1)(x4 − x2 + 1)(x2 + x + 1)(x2 − 1)(x2 − x + 1) − m a) 2 b) 3 c) −2 d) −1 e) 0

3.2.

a x9 + = 7, hallar: x9 a Ê Éa 9 4 x E= 4 9+ x a a) 5√ b) 3 e) 7 d) 3

8. Si

x

c)

√

5

130

9. Si seÈcumple xx = 1212 , calcular: √ √ E = x+6 x−9− x−9 a) 3 b) 4 c) 2 d) 5 e) 6 10. Si w, b, v, r ∈ R, tal que w2 + b2 = 16 y adem´ as v 2 +r 2 = 4. Calcule el m´ aximo valor entero que puede asumir wv + br + 8. a) 64 b) 8 c) 4 d) 16 e) 20 1 1 + 2 = a, el valor de (x+y)2 es: 2 x y b) b(ab + 2) c) (b + 2a)2 a) 2b + a2 d) ab e) a/b

11. Si xy = b;

1 = 7; y w 6= 1 el valor de w4 1 A=w− +1 w a) 5 b) 4 c) 3 d) 1 e) 2

12. Si w4 +

13. Sabiendo que a + b = ab = 5 el valor de a2 + b2 + 5 es M= 3 a + b3 + 10 a) 1/2 b) 1 c) 1/3 d) 3 e) 2 14. Al simplificar la expresi´ on A2 − 4B 2 , donde: 2 x y x y 2 A= + + − y y x y x 2 2 x y B= − se obtiene: y x a) 16 b) 10 c) 8 d) 11 e) 13 15. AlÈreducir la expresi´ on √ √ √ 109 4 4 ( a + 1)( a − 1)( a + 1)(a + 1) − a2 resulta a) −4 b) 3 c) −2 d) −1 e) 2

´ Algebra


16. Hallar el valor num´ rico de: x√6 − 6x√4 + Èe√ √ W =È 3 3 2 9x + 2 para x = 7+ 6+ 7− 6 a) 26 b) 30 c) 28 d) 32 e) 36 17. Si a + b = 3, ab = 3. Calcular: E = a + a2 + a3 + a4 + b4 + b3 + b2 + b a) 0 b) 1 c) −2 d) 3 e) −3 18. Si (x − y)2 + (x − z)2 + (y − z)2 = 0. Determinar el valor de:

Ê

E=

3

x + 2y + 2x + y

a) 1√ d) 3 3

Ê

x2 + y 2 2xz b) √ 0 e) 4 2 4

È È √ √ 19. Si x È = 2 + 3 +È 2 − 3, √ √ y = 3 + 2 2 +È 3 − 2 2. El valor de A = x4 + y 4 es: a) 10 b) 20 d) 16 e) 56

c) 2

c) 42

20. Si se verifica que a−1 + b−1 + c−1 = 0; abc 6= 0 y adem´ as a4 b4 + b4 c4 + a4 c4 = 162, 1 el valor de E = es: abc(a + b + c) a) 1/3 b) 9 c) 3 d) 1/9 e) 27 21. Si 4(x4 + 1) = 5x2 , x 6= 0, entonces el valor 1 2 de G = x + es: x a) 2/3 b) 13/4 c) 3/4 d) 3/2 e) 2 22. Si (x+y+2z)2 +(x+y−2z)2 = 8(x+y)z. Ha x + y 3 x−y 3 y−z 3 llar: E = + + z−y z−x 2z a) 0 b) 1 c) 3 d) 5 e) 10 23. Sea f (x) =

ax2

+ bx + c, un trinomio cua8b2 drado perfecto. Calcular E = ac a) 2 b) 4 c) 32 d) 8 e) 64

24. Reducir: (x2 + x + 1)2 − 2(x4 + x2 + 1) + (x2 − x + 1)2 √ √ (x2 + 3)2 + 2(x4 − 3) + (x2 − 3)2

57 a) x−2 d) 1

b) x e) x−3

c) x−1

√ √ 25. Si a + b = 3 3 y a − b = 3 2. Hallar E = 4ab(a2 + 3b2 )(b2 + 3a2 ) a) 4 b) 12 c) 10 d) 5 e) 18 26. Simplificar

2 2 2 2 8 n+2− + n−2− − 2 n n n E= 2 2 1 1 n2 n + − n− n n a) n b) 1/2 c) n2 d) 1 e) 2

√ √ √ 27. Si ab = 3 100 − 3 10 + 1 y a2 + b2 − 1 = 3 10. Calcular: E = (a − b)4 − (a + b)4 a) 22 b) −44 c) 33 d) 66 e) −88 28. Sea la expresi´ on: E = 14x(x − 1) − x2 (x − 1)2 + (x − 2)(x + 3)(x − 4)(x + 1) − 24 Al sustituir x por y + 1 en E se obtiene: a) E 2 + 1 b) E − 1 c) No var´ıa 2 2 d) E + 1 e) (E − 1) 29. Simplificar:

3xz + 2 3yz + 2 + + (x − y)(x − z) (y − x)(y − z)

3xy + 2 (z − x)(z − y) a) 3 d) x

b) y e) −3

c) z

30. Reducir la expresi´ on: F = 1 + (a + 1)(a − 1)[(a2 + 1)(a4 + 1)(a8 + 1) . . . n factores] n n a) a2 +1 b) a2 c) a2n+1 2n+1 2n−1 d) a e) a 31. Si 4(a + b + c) = a3 + b3 + c3 = 24. Calcular: E = (a + b)(a + c)(b + c) a) 2 b) 64 c) 16 d) 4 e) 216 32. Reducir E = (x − y + z)2 − (x + y − z)2 + (z − x − y)2 − (z − x + y)2 a) 4x(y − z) b) 4z(x + y) c) 4y(z − x) d) 2x(y + z) e) 4z(x − y)

´ Algebra

58

CAP 03:


Productos notables

1. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: El grado del polinomio producto, es igual a la suma de los grados de los polinomios factores. El término independiente del polinomio producto, es igual al producto de los términos independientes de los factores. El coeficiente principal del polinomio producto, es igual al producto de los coeficientes principales de los factores. El coeficiente principal es el mayor coeficiente de los términos de un polinomio. a) VVVV d) FVVF

b) VVVF e) FFFV

c) VFVF

2. Hallar el valor de: W = [5833 + 2173 + (2400)(583)(217)]1/3 . a) 400 b) 500 c) 600 d) 700 e) 800 3. Hallar el valor de “x” en: (12346)2 − (24691)2 3x + 2 . = 2 2 (12344) − (24689) 3x − 2 a) 12123 b) 37037 c) 12345 d) 12321 e) 54321 √ xy 5 4. Si 2 = , entonces el valor de: 2 x +y 5 4 4 x y E= + es: y x a) 7 b) 2 c) 5 d) 1 e) 9 −2n 5. Si ab = 1; ax2n s+ bx n = 258, hallar el x √ valor de: W = √ 2n ax − b a) 1/2 b) 2 c) 4 d) 1/4 e) 1/16

6. El valor entero de k que hace que el trinomio (k + 1)x2 + (5k − 3)x + 2k + 3, sea un cuadrado perfecto es: a) 2 b) 3 c) −3 d) −2 e) 7

3.3.

7. El ´ area de un cuadrado de lado (a + b) es 8 veces el ´ area de un tri´ angulo de base “a” y altura “b”. Calcular: (a + b)4 − (a − b)4 E= (4a2 + b2 )2 − (4a2 − b2 )2 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1 8. Sabiendo que a > b, adem´ as: Éa rb Éa r b 3 + 3 = 3; calcular − b a b a a) 5 b) 44 c) 4 d) 32 e) 64 9. El valor de: E = 2[4 × 10 × 82 × . . . (n factores) + 0,5] es equivalente a: n a) 32 b) 4n + 1 c) 8n + 1 n 3n d) 8 − 1 e) 2 s s √ √ 3 14 3 3 14 3 10. Si: x = 1 + √ + 1 − √ , Calcular 5 5 5 5 E = 5x3 + 3x + 1 a) 7 b) 8 c) 9 d) 11 e) 10 √ √ √ 11. Si a = √ 2; b = 8; c = 18 calcular: W = A2 − B, donde A = a2 + b2 + c2 +ab+ac+bc y B = (a+b+c)2 (a2 +b2 +c2 ) a) 18 b) 22 c) 20 d) 24 e) 26 12. Si x + y + z = 0. Hallar: (3x + y)3 + (3y + z)3 + (3z + x)3 E= (3x + y)(3y + z)(3z + x) a) 1 b) 2 c) 5 d) 4 e) 3 13. Si x + y + z = 0. Hallar: (x + y)−2 + (y + z)−2 + (x + z)−2 W = (2x)−2 + (2y)−2 + (2z)−2 a) 2 b) 1/2 c) 4 d) 1/4 e) 1 √ 14. Sabiendo que: a − b = b − c = 7 7. Determine el valor numérico de: (a − c)7 + (b − c)7 + (a − b)7 70 a) 13 b) 10 c) 2 d) 16 e) 12

´ Algebra


15. Dadas las condiciones: a2 + b2 + c2 = 2 ∧ (a + b + c)(1 + ab + ac + bc) = 32. Calcule: a+b+c √ a) 64 c) 16 b) 3 32 d) 4 e) 2 16. Siendo a 6= b 6= c a+b+c =

∧

1 1 + + (a − b)(b − c) (b − c)(c − a)

1 . (c − a)(a − b) Determine el valor numérico de: E = (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 + 3abc a) 1 b) 0 c) 3 d) (a + b)/c e) −1

17. Siendo a3 + b3 + c3 = 4abc. Adem´ as: a2 + b2 + c2 = ab+ ac + bc + 1 ∧ abc 6= 0. b+c a+c a+b + + − Reducir: W = a b c 1 1 1 (abc) + + a b c a) 1 b) 3 c) 0 d) −2 e) −3 18. Si se cumple que: a3 +b3 +c3 = 0, simplificar: 3abc ; abc 6= 0 a(b − a) + b(c − b) + c(a − c) a) ab + bc + ac b) abc c) a + b + c d) 0 e) a2 + b2 + c2 19. Siendo: a + 4b + 9c = 0. Seg´ un ello re(a − 2b)2 (2b − 3c)2 (3c − a)2 ducir: + + ab bc ac a) −36 b) 14 c) −14 d) abc e) a + b + c √ √ 20. Si: x +√a + b − x −√ a − b = a + b. Calcular E = x − a − b + x + a + b a) a + b b) a − b c) 0 d) 2 e) ab 21. Siendo: a + b + c = ab + bc + ca = abc = 1. ab bc ca Evalue: E = + + c a b a) 0 b) −1 c) 1 d) 2 e) −2 22. Si 2x = a + b + c, adem´ as se cumple que 2 2 −x + M = (x − a) + (x − b)2 + (x − c)2 Hallar: “M ” a) a + b + c b) 0 c) ab + bc + ac d) 1 e) a2 + b2 + c2

59

√ 23. Si x = 2 − 1. Calcular: S = x5 − √ 5x3 + 2x2 + x +√1 √ a) 2√ 2 b) 2/3 c) 2 e) 1 d) 2 + 1 1 1 4 + = ; xy 6= 0. x y x+y Ê xn + y n Hallar: W = n−1 (x + y)n a) 1/2 b) 2 c) 1 d) 3 e) 1/3

24. Sabiendo que:

25. Hallar la ra´ız cuadrada de: (a + b + c)4 − 4(ab + bc + ac)(a2 + b2 + c2 + ab + ac + bc) a) b2 + ac b) ab + bc + ca c) a2 + bc 2 2 2 d) a + b + c e) c2 + ab 26. Calcule el valor de x2 + y 2 si: ax + by = 8 ay − bx = 6 a2 + b2 = 5 a) 16 b) 20 d) 24 e) 25

c) 18

27. Si a + b + c = 1 a2 + b2 + c2 = 2 a3 + b3 + c3 = 3 Hallar: abc a) 1 b) 1/2 d) 1/3 e) 1/6

c) −1/2

28. Si a, b, c ∈ R ∧ a2 +b2 +c2 = ab+bc+ca. Hallar el valor de:

s A= a) 1 d) 3

n−1

an + bn + cn (a + b + c)n

b) 2 e) 1/2

c) 1/3

29. Si: ax + by + cz = 6 ay − bx = az − cx = bz − cy = 2 Adem´ as: x + y + z = xy + yz + xz = 4. Determine: a2 + b2 + c2 a) 6 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9 1 30. Si: x + = 1, el valor de E = x a) −2 b) −1 d) 1 e) 3

r 5

x5 + c) 2

1 es: x5

´ Algebra

60

CAP 03:

Productos notables

1. Si a + b + c = a2 + b2 + c2 = 1, hallar: a3 + b3 + c3 − 3abc W = 4 a + b4 + c4 − 4abc a) 0 d) −1

b) 1 e) 2

c) −2

1 1 1 2. Si se cumple que = + , adem´ as x y z x = y + z + 2, entonces: x2 + y 2 + z 2 es igual a: a) 0 b) −2 c) −4 d) 2 e) 4 −1 −1 3. Si (1 + xy −1 È)(1 + yz )(1 + zx ) = 7, hallar: W = 3 (x + y + z)(x−1 + y −1 + z −1 ) a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5 √ 4. Calcular E = 3 a3 − 3ab + b3 , si (a + b)(a + 1) = b, siendo a 6= 0. a) a + b b) b c) a d) a − b e) a2

5. Si

8 2 2 2 2 2 2 > :

ab + ac + bc =7 3 3 3 a + b + c − 11 Hallar: E = abc + 3 a) 1 b) 2 d) 3 e) 5

c) 4

7. Si la diferencia de dos n´ umeros es 4 y la suma de sus cuadrados es 24. La diferencia de sus cubos es: a) 92 b) 90 c) 100 d) 96 e) 112

8 3 3 3 > :

3.4.

M (x, y, z) = 2ab3 c2 xa y b z c a) 2 b) 3 d) 4 e) 6 9. Reducir: E = a) 3 d) 1

(x − y)3 + (y − z)3 + (z − x)3 (x − y)(y − z)(z − x) b) 2 c) 4 e) 0

Ê

É

a2 a 10. Si se cumple: + 9 + 2 b c a b Hallar: E = b c a) 3 b) 2 d) 1 e) 1/3 9

11. Calcular: q√ 4 R=

a) 1 d) 2

x+

c) 5

Ê 9

b2 = 0. c2

c) 1/2

q√ È√ x−1+ 4x− x−1 È√ 4 x+1 √ √ c) x b) 2 √ e) 4 x

È√

−1 −1 12. Si a−1 + b−1 +c = d . Calcular el valor 1 bd + ad c de: E = 2 ad − ac b a) 2 b) −1 c) −2 d) 1 e) −1/2

6. Si 9x2 + 4y 2 + z 2 = 6xy + 3xz + 2yz. Deter(x + y + z)2 minar el valor de E = 2 x + y2 + z2 a) 43/49 b) 121/49 c) 29/49 d) 8/49 e) 3/49

8. Si


abc =2 Hallar el grado absoluto del monomio:

13. Si: T A + AR + T R = 3 A+T +R = 5 E+A=6 EA = 10 Hallar: T 2 + A2 + R2 + E 2 + A2 a) 34 b) 36 c) 35 d) 37 e) 38 √ √ a+x+ a−x √ 14. Hallar el valor de: E = √ b+y+ b−y 2ab 2ab Sabiendo que x = 2 ; y= 2 b +1 a +1 (a + b)(ab + 1) 5 Adem´ as = , a, b > 1 (a − b)(ab − 1) 3 a) 2 b) 8 c) 10 d) 1 e) 5 15. Si se cumple: x3 +

1 1 = y3 + 3 = 1 3 y z

´ Algebra

Walter Arriaga Delgado Hallar (xyz)102 − 1 a) 2 b) −1 d) 0 e) −2 16. Reducir: E = a) 1 d) 2a2 b2

c) 1

(a + b)6 − (a − b)6 . (a2 + 3b2 )(3a2 + b2 ) b) 4ab c) 2ab e) 8

17. Si se cumple que: a2 + ab + ac − 3a = 4 b2 + bc + ab − 3b = 11 c2 + ac + bc − 3c = 13 Hallar el valor numérico de a + b + c a) 5 b) 6 c) 9 d) 8 e) 7 18. Se˜ n2alar 2el valor 2de la expresi´ 2 on: 3 a + b − c2 b + c2 − a2 + + ab bc 2 4 2 5 a + c2 − b2 a + b2 + c2 + ac ab + ac + bc Para a + b + c = 0 a) 20 b) 15 c) −20 d) −10 e) −15 19. Si a + b + c = 5; a3 + b3 + c3 = 26;

a2 + b2 + c2 = 7;

abc ab + ac + bc b) 2/3 c) 1/2 e) 1

Hallar el valor de: W = a) 4/3 d) 1/3

20. Sabiendo que: (a + 2)(b + 2)(c + 2) = 50; a2 + b2 + c2 = 13; a + b + c = 5; Hallar el valor de: abc a) 13 b) 11 c) 12 d) 10 e) 14

a n

n

b 21. Sabiendo que: +4 = 621. b a n n a + 2b Hallar el valor de: E = √ an bn a) 625 b) 25 c) 5 d) 1/5 e) 1/25 22. Si: a3 + b3 = 18 y ab = 1. Hallar el valor de: E = a2 + b2 a) 6 b) 5 c) 8 d) 1 e) 7

61 1 1 + + (a − b)(b − c) (b − c)(c − a) a2 b2 c2 1 . Halle: + + (c − a)(a − b) b+c a+c a+b a) −3 b) −1/2 c) 0 d) 1 e) 3

23. Si a+b+c =

24. Si: a2 + b2 = 2a(b + c). c2 (c + 4a − 2b) Reducir: W = 2 c + (a − b)(a − b + 2c) a) c b) 1 c) b d) 0 e) a + b 25. Si: (a + b + c + d)(a − b − c + d) = (a −√b + c −√d)(a +√b − c − d); adem´ as: 3 6 a = 2; b = 2; c = 2. Calcular “d” a) 0 b) 3 c) 2 d) 1 e) 4 √ √ 26. Si: x + b + √x − b = b√; x ≥ b > 0. Calcular G = x + b − x − b a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) 4 27. Si a + b = −2 ; ab = 4 ; a2 + b2 + ab = 0. Hallar: W = a5 + b5 a) 32 b) −64 c) 0 d) 64 e) −32 √ √ √ 28. Si a + 4 a2 + b2 + 6 a4 + b4 + c4 = 0, hallar: (a2 + b2 + c2 )(a3 + b3 + c3 )(a5 + b5 + c5 − 1) a) 32 b) 64 c) 0 d) 100 e) 25 √ 29. Si a+b+c = 5 2 y (a+b+c)3 = a3 +b3 +c3 . Hallar: a5 + b5 + c5 a) 1 b) 4 c) 0 d) 2 e) 5 30. Si a = π; 5 Y

b=e

y

c = −π − e. Hallar:

[ak + bk + ck − kabc]

k=2

a) 2 b) 4 c) 1 d) 0 e) 5 √ 31. Si a5 × a6 × a7 × a8 + 1 = 2161. Calcular: W = a | + aa + aaa{z+ aaaa + . .}. a t´ erminos

a) 4963 d) 4736

b) 4936 e) 4856

c) 4836

´ Algebra

62

CAP 03:


Productos notables

1. Dos n´ umeros reales cumplen con: x2 + 2 2y + 2 = 2x − 2xy, entonces el valor de 3xy E= 2 ser´ a: x + y3 a) −1 b) −2 c) 1 d) 2 e) 1/4 2. Si: a + b − 6 = ab − 1 = 1, el valor de E = a + a2 + a3 + b3 + b2 + b es igual a: a) 153 b) 253 c) 53 d) 103 e) 353

3.5.

a+b+c a+b−c − = a+b−c a+b+c b+c−a a−b+c − ; determinar el valor a+c−b b+c−a a2 de: W = 2 a + b2 − c2 a) 1/2 b) 1/4 c) −1/2 d) 2 e) −2

9. Si se verifica que:

3. Si: a − b − c = 2, y ab + ac = bc entonces a2 + b2 + c2 es igual a: a) 2 b) −4 c) 4 d) −2 e) 1

10. Si se √ tiene √ que √ √ √ √ 2+ 3+ 5 2+ 3− 5 √ √ x= , y = ; 2 2 Ê y2 − 1 el valor de W = x es: 6 − x2 √ √ b) √ 2 a) 3 c) 2 d) 1 e) 6

4. Si: x 6= ±1, simplificar A2 B 2 donde:

11. Si 5a + 5c + ac = 0, calcular el valor de:

A= B=

(x +

1)2 (x2

−x+ (3x3 + 3)2

1)2

(x − 1)2 (x2 + x + 1)2 (3x3 − 3)2

a) 3−8

d) (x +

b) (x3 + 1)4 x3 + 1 e) 3 x −1

1)4

G= a) 0 d) 2 c) 38 12. Si

2y x 8 x + = 2, el valor de E = es: 5. Si 2y x y a) 1 b) 64 c) 16 d) 256 e) 1/256 6. Si b3 = 1; b 6= 1, simplificar:

W = a) 1 d) −2

b5 + 1 b4

3

b) −1 e) 4

c) 2

7. Si a2 + b2 + c2 = 3; y ab + ac + bc = 2, hallar el valor de: W = (a+ 2b+ 3c)2 + (2a+ 3b + c)2 + (3a + b + 2c)2 a) 108 b) 27 c) 12 d) 36 e) 86 8. Sea P (x) = (x + 1)(x − 1)(x2 + x + 1)(x2 − x + 1); el valor erico de P (x) para È halle È num´ √ √ x = 4 + 15 − 4 − 15 a) 63 b) 124 c) 215 d) 342 e) 511

F (x) = √ F (2 + 3) a) 0 d) 4

5ac (a + 5)(5 + c)(a + c)

Ê 6

b) −1 e) 3 x10 + 5x5 + 1 , x5 b) 1 e) 3

c) 1

calcular: c) 2

13. Si se cumple que: ax + by + cz = 6 ay − bx = az − cx = bz − cy = 2 Adem´ as: x + y + z = xy + yz + xz = 4 Determine: a2 + b2 + c2 a) 5 b) 7 c) 6 d) 8 e) 9 14. Si se cumple que: (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + 3x2 + 3x + 2 a2 + b2 + c2 obtener el valor de: W = abc a) 3/2 b) 5 c) −1/2 d) −1 e) 1 15. Sabiendo que: (x + y)6 = 64x3 y 3 . Calcular (x + 2y)2 el valor de: W = x2012 − y 2012 + xy a) 1 b) 4 c) 6 d) 9 e) xy

´ Algebra


16. Si: a3 + b3 + c3 = a2 + b2 + c2 + 26 = a + b + a+b+c c + 36 = 43. Calcular N = −1 a + b−1 + c−1 a) 1 b) 21/4 c) 1/2 d) 2 e) 1/4 1 = 3, el valor de E = x3 − x−3 es: x √ √ √ a) 11 √5 b) 6√ 5 c) 4 5 d) 13 5 e) 8 5

17. Si x +

18. Calcular (x − 3y)2 − 4y(2y − x) + 8, si se sabe que: x − y = 8 a) 32 b) 40 c) 72 d) 64 e) 90 19. Si

1 1 1 + = , calcular el valor de: a b a+b W =

(a +

a) −11 d) 5

b)6

6(a6

− (ab)3

+

b6 )

b) −7 e) 9

b) 3/7 e) 9

c) −3 a3 + b3 a2 + b2 c) 5

x6 + 1 21. Si x + = 3, hallar el valor de: 5 x +x a) 6/7 b) 18/7 c) 9/7 d) 27/7 e) 31/7 √ √ 22. Si a√+ x + a√− x = 2x, calcular: W = a + x − a − x; x 6= 0 a) x b) 0 c) 2 d) a e) 1 x−1

23. Si a + 2b + 3c = 1,5x simplifique: (x − a)2 + (x − 2b)2 + (x − 3c)2 W = 2(a2 + 4b2 + 9c2 ) a) 1/3 d) 2

b) 1 e) 3

c) 1/2

24. Si x2 + 3x = −3, calcular el valor de: W = a) 2 d) 5

x 1 + x+1 x+2 b) 1 e) 8

25. Si se cumple que: ab(a + b) = 3 a2 b2 (a2 + b2 ) = 7 Calcular: W = a4 b4 (a4 + a2 b2 + b4 ) a) 45 b) 21 c) 49 d) 48 e) 64 √ √ 26. Siendo a = 5+ 2 y b = 5− 2, calcular: W = a) −1 d) 4

a2 (b2 + 1) b4 (a4 + 1) + 1 + a2 1 + b4 b) 2 e) 1/2

c) 1/4 1 es: r7 c) 0

27. Si r 4 − r 2 + 1 = 0, el valor de r 7 − a) −7 d) 7

b) −2i e) −i

28. Si xy + xz + xw + yz + yw + zw = 0, hallar

20. Si a + b = 4; ab = 3, calcular: W = a) 7/4 d) 14/5

63

c) 3

(x2 + y 2 )(x2 + z 2 ) − (y 2 + w2 )(z 2 + w2 ) (x + y + z + w)2 a) 1 b) x2 w2 c) x2 − w2 2 2 2 2 d) y + z e) y − z √ 29. Si a5 × a6 × a7 × a8 + 1 = 701.

Calcular: W = a + aa + aaa + aaaa a) 2468 b) 2648 c) 2684 d) 2846 e) 2222 √ √ √ 30. Si 12n a + 12n b + 12n c = 0. Calcular: √ √ √ 2 6n ab + 2 6n bc + 2 6n ac √ W = √ √ 3n a + 3n b + 3n c a) 0 d) 1

b) 4 e) 16

c) 2

31. Si se cumple que: a3 +b3 +c3 = a2 +b2 +c2 +1 = a+b+c+2 = 3. Hallar: abc a) 1 b) 1/6 c) −1/2 d) 1/3 e) 1/2 32. Si se cumple que: a3 + b3 + c3 = 2(a + b)(b + c)(a + c) a + b + c = 1. 1 + 5abc Hallar el valor de: E = ab + ac + bc a) 1 b) 3 c) 9 d) 7 e) 5

´ Algebra

64

CAP 03:


Productos notables

1. Sabiendo que: 2(x+2)(x−3) = (x+5)(x−2), determine el valor numérico de: W = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) − 15 a) 48 b) 33 c) 15 d) 63 e) 64 2. Si: (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + 3x2 + 3x + 2, calcular el valor de: a3 + b3 + c3 E= 2 a + b2 + c2 − 1 a) 27 d) 6

b) 18 e) 3

c) 9

3. Sea “S” la suma de dos n´ umeros, y “P ” su producto. Expresar la suma de los cubos de dichos n´ umeros en funci´ on de “S” y “P ” a) s2 − sp b) s(s2 − sp) 2 c) s(s − 3p) d) s2 + sp e) s2 (s − p) 4. Siendo: F (x) = x3 − 125 −√15x2 + 75x, determine el valor de: F (5 + 3 7) a) 7√ b) 1 c) −1 3 e) 5 d) 7 5. Hallar√el valor numérico de: W = 8 2 × 4 × 10 × 82 × 6562 + 1 a) 1 b) 81 c) 3 d) 9 e) 27 a b a−b + = 18, calcular: √ b a ab a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) 5 √ √ 7. Siendo ab = 3 √ 121 − 3 11 + 1, adem´ as 3 2 2 a + b = 1 + 11. Determine el valor numérico de: E = (a − b)4 − (a + b)4 a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) −96 6. Sabiendo que:

8. Si: x3 = y 3 , x 6= y, hallar el valor de: −3xy E= (y − x)2 a) 1/3 b) −1/3 c) 1 d) 1/2 e) 3 9. Sabiendo que: √ √ a= 5+2 3−1

3.6.

√ √ b = 2√ 7 −√ 5 + 3 c = 7+ 3+1 Hallar: E=

a+b+ a+b+

È

(a + b)2 − c2 + c

È

(a + b)2 − c2 − c

√ b) √ 2 + 3 e) 7

√ a) √3 d) 5

c) 2

È È √ √ 8 8 10. Sabiendo que x = 2 + 3; y = 2 − 3, calcular el valor numérico de: W =

È

È

√ a) √3 d) 5

(x2 + y 2 )2 − x2 y 2 x4 − x2 y 2 + y 4 √ b) √ 2 e) 7

s 11. Calcular: E = a) 2 d) 4

3

s √ √ 2 7 2 7 3 1+ √ + 1− √ 3 3 3 3 b) 1 c) 3 e) 5

mn 1 = √ , hallar: 2 +n 5 m 2 n 2 − , si m > n E= m √n b) √ 5 a) √ 3 e) 5 d) 5 5

12. Si

c) 1

m2

c) 2

13. Si se sabe que n + n−1 = 1; calcular (n3 − n−3 )3 a) −1 b) 3 c) 0 d) −2 e) 2

Éa

r

b = 3, con a > b. Calcular el b aÉ r a b valor de: E = − . b a a) 4 b) 18 c) 16 d) 9 e) 3

14. Si

3

+

3

√ 1 x + √ = 7, con x > 0. Calcular el x valor de: E = x3 + x−3 . a) 116 b) 113 c) 120 d) 110 e) 115

15. Si

√

´ Algebra


16. Si a, b ∈ R tal que a2 + b2 = 4, encontrar el m´ aximo b. √ valor de: a +√ c) 2 a) √ b) √ 2 2 2 d) 3 2 e) 6 17. Sabiendo que: (x − 2)(x − 1) = 1, calcular: (x8 + x)(x3 + x2 ) ; con x > 0 13x7 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 18. Si (x + 1)(y + 1) = (x + y)2 + 1, el valor de x2 (x − 1) E= 2 es: y (y − 1) a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) 5 19. Sabiendo que: È √ √ √ 4 6 6 a2 − b + a + 2b + c − a = 0 entonces el valor de: (a2 + b2 + c2 )(a3 + b3 + c3 ) a5 + b5 + c5

W =

R+

adem´ as a, b, c ∈ a) 6/5 b) 3/2 c) 2/3 d) 5/6 e) 1 √ 20. Si: F (x) =√ x2 + x−2 + 2, calcular el valor de F (2 + 3) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 √ √ √ 21. Sabiendo que 2n a+ 2n b+ 2n c = 0, calcular:

Ê E=

n

a √ + bc

s n

b √ + ac

Ê n

adem´ as a, b, c ∈ R+ a) 1 b) 3 d) 9 e) 4

c √ ab c) 2

(

√

12

adem´ as a, b, c ∈ R+ a) 3 b) 2 d) 5 e) 4

c) 1

24. Sabiendo que: √ √ 3 a= 7− √ 7 +√1 b = 1√ − 3 7−2 7 c=3 7−2 Indicar el valor de: W =

a7 + b7 + c7 (a5 + b5 + c5 )(a2 + b2 + c2 )

a) 7/10 d) 10/7

b) 21/5 e) 21/3

c) 5/21

25. Si se sabe que: 4x2 + 4y 2 + 9z 2 = 4xy + 6xz + 6yz

Ê

(x + y + z)10 z 10 b) 5 c) 1 e) 2

calcular el valor de: a) 3 d) 4

10

Ê

r

1+a 2 1+a 26. Calcular el valor de − n , 1−a √ 1 −na n ( 5 + 1) − 2 sabiendo que: a = √ ( 5 + 1)n + 2n a) 4 b) 1 c) 2 d) 5 e) 3 n

27. Si 4(x4 + 1) = 5x2 , x 6= 0, entonces el valor de: x√−1 + x es: √ √ a) √13 b) √ 13 + 1 c) 2 13 d) 13/4 e) 13/2

E=

a+b+c=3 √ √ √ 3 2 3 3 a + b2 + c2 = 2

calcular el valor de: √ √ √ √ √ √ ( 3 a + 3 b + 3 c)(− 3 ab − 3 bc − 3 ac + 2) √ − 3 abc + 1 b) 2 e) 3

√ √ a+ 12 b+ 12 c = 0, calcular: √ √ √ 2 6 ab + 2 6 bc + 2 6 ac √ E= √ √ 3 a+ 3b+ 3c

23. Sabiendo que

28. Si (a − b)2 + (b + c)2 = 0, hallar el valor de:

22. Sabiendo que

a) 1 d) 4

65

c) 9

a) 64 d) 25

(a + b + 2c)3 + (3a + b + 4c)4 + 4 (a + 3b + 4c + 1)7 b) 49 e) 16

c) 4

29. Calcular x5 y −4 z −1 , si se cumple que: x2 + 2y 2 = 2x(y + z) − 2z 2 a) 32 b) 30 c) 64 d) 34 e) 36

66

´ Algebra


Cap´ıtulo 4:

DIVISION ALGEBRAICA Objetivos z Conocer y aplicar los distintos métodos de divisi´ on algebraica como la regla de Ruffini y de Horner. z Hallar residuos de manera inmediata, relacionando con la divisi´ on aritmética. z Obtener cocientes de ciertas divisiones notables. z Aplicar el algoritmo de la divisi´ on en funci´ on a los grados de los polinomios.

4.1.

Definici´ on:

Es la operaci´ on que consiste en hallar una expresi´ on denominada cociente, dadas otras dos denominadas dividendo y divisor. D(x) = d(x).q(x) + r(x) Donde:

D(x) r(x) = q(x) + d(x) d(x)

o ´

D(x): Dividendo

d(x): divisor

q(x): cociente

r(x): resto o residuo

Si el residuo es cero entonces la divisi´ on es exacta, es decir: D(x) = d(x).q(x) Propiedades de los grados: En toda divisi´ on el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor. [q(x)]o = [D(x)]o − [d(x)]o En toda divisi´ on el grado del dividendo es mayor que el grado del divisor. En toda divisi´ on el grado del divisor es mayor que el grado del residuo. El grado m´ aximo que puede tomar el residuo ser´ a uno menos que el grado del divisor (a excepci´ on de los polinomios homogéneos). [r(x)]o max = [d(x)]o − 1 67

´ Algebra

68


En la divisi´ on de dos polinomios homogéneos, el cociente y el residuo también son polinomios homogéneos, pero el GA del dividendo es igual al GA del residuo. Casos que se presentan en la divisi´ on: 1. Divisi´ on de monomios. Ejemplo 4.1.1. Dividir: a)

42x5 y 4 z 3 = −14x3 yz −3x2 y 3 z 2

15x7/2 y 5/4 = 5x11/4 y 3/4 3x3/4 y 1/2 −24am bn c) = −4am−1 bn−2 6ab2 Nota: La divisi´ on de monomios es siempre exacta.

b)

2. Divisi´ on de un polinomio entre un monomio. Se utiliza la siguiente propiedad a+b+c a b c = + + m m m m Ejemplo 4.1.2. Dividir:

propiedad distributiva

16x5 + 6x10 − 3x + 9 4x3

16x5 + 6x10 − 3x + 9 16x15 6x10 −3x + 9 3 −3x + 9 = + + = 4x12 + x7 + 3 3 3 3 4x 4x 4x 4x 2 4x3 Donde: Dividendo = D(x) = 16x15 + 6x10 − 3x + 9 Divisor = d(x) = 4x3

3 Cociente = q(x) = 4x12 + x7 2 Resto = r(x) = −3x + 9 3. Divisi´ on de dos polinomios. Se puede utilizar cualquiera de los siguientes métodos: ⊛ Método cl´ asico o divisi´ on normal ⊛ Método de coeficientes separados ⊛ Método de Guillermo Horner ⊛ Método de Paolo Ruffini Los m´ as usados son los dos u ´ltimos métodos.

´ Algebra


4.2.

69

M´ etodo clasico o divisi´ on normal:

´ Este un método nos permite encontrar el cociente y el resto de dividir dos polinomios. Para dividir dos polinomios mediante el método cl´ asico se procede del modo siguiente: Se ordenan y completan los polinomios en forma descendente con respecto a una sola letra o variable. En caso existan dos o mas letras, se asume a una de ellas como variable y las dem´ as pasan a ser constantes. Si faltara uno o m´ as términos, estos se completan con ceros. Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, obteniéndose as´ı el primer término del cociente, luego este resultado se multiplica por cada uno de los términos del divisor y lo que se obtiene se resta del dividendo. Se baja el término siguiente del dividendo y se repite el paso anterior tantas veces hasta que el residuo sea de grado menor que el divisor. Si la divisi´ on es exacta su residuo ser´ a cero. Ejemplo 4.2.1. Hallar el cociente y el residuo de dividir (4x2 − 4 + x4 + 8x) ÷ (x2 + x + 1) Soluci´ on: Completando y ordenando el dividendo:

x4

+

0x3

+

4x2

−x4

−

x3

−

x2

−x3 x3

+

8x

+

3x2

+

8x

+

x2

+

x

4x2

+

9x

−4x2

−

4x 5x

−

4

−

4

−

8

−

x2

+

x

+

1

x2

−

x

+

4

4

Cuadro 4.1: Método clasico obteniéndose: Q(x) = x2 − x + 4 r(x) = 5x − 8

4.3.

M´ etodo de coeficientes separados

El procedimiento es an´ alogo al anterior, solo que aqu´ı se trabaja con los coeficientes. Ejemplo 4.3.1. Hallar el cociente y el residuo de dividir (4x2 − 4 + x4 + 8x) ÷ (x2 + x + 1)

´ Algebra

70


Soluci´ on: Completando y ordenando el dividendo:

1

0

4

−1

−1

−1 3

8

1

1

1

4

9

−4

−4

−1

8

5

−4

1

1

1

1

−1

4

−4 −4 −8

Cuadro 4.2: Método de coeficientes separados obteniéndose: Q(x) = x2 − x + 4 r(x) = 5x − 8

4.4.

M´ etodo de Guillermo Horner

Es un método de coeficientes separados que permite encontrar el cociente y el resto de dividir dos polinomios. Esquema: Procedimiento a seguir: d i v i s o r

D

I

V

I

D

E

N

D

O

C

O

C

I

E

N

T

E

resto

Cuadro 4.3: Esquema de Horner

Los dos polinomios deben estar completos y ordenados respecto a una variable, si faltara alg´ un término se completar´ a con CERO. En caso existan dos o m´ as variables se asume a una de ellas como tal y las dem´ as har´ an el papel de n´ umeros o constantes.

´ Algebra


71

Se divide el primer coeficiente del dividendo entre el primero del divisor, obteniéndose el primer coeficiente del cociente. Este resultado se multiplica por los dem´ as coeficientes del divisor (que han cambiado de signo) obteniéndose la primera fila de resultados parciales. Estos resultados se escriben a partir de la segunda columna. Se reduce la segunda columna y el resultado se divide entre el primero del divisor, obteniéndose el segundo coeficiente del cociente. Se repite este proceso a partir del tercer paso, hasta que los resultados parciales lleguen a la u ´ltima columna del dividendo. Ejemplo 4.4.1. Hallar el cociente y el residuo de dividir Soluci´ on: Ordenando y completando se tiene: Dividiendo por el método de Horner

(4x2 − 4 + x4 + 8x) ÷ (x2 + x + 1)

x4 + 0x3 + 4x2 + 8x − 4 x2 + x + 1 1

1

-1

0

4

-1

-1

-1

1

1

-1

4

8

-4

1 -4

-4

5

-8

Cuadro 4.4: Método de Horner obteniéndose: Q(x) = x2 − x + 4 r(x) = 5x − 8

4.5.

M´ etodo de Paolo Ruffini

Es una regla pr´ actica para obtener el cociente y el resto de la divisi´ on de un polinomio P (x) entre un polinomio de la forma (ax ± b) o transformable a ésta forma. Se considera como un caso particular del método de Horner Esquema: Procedimiento a seguir: El dividendo debe ser completo y ordenado respecto a una variable, si faltara alg´ un término se completar´ a con CERO.

´ Algebra

72


D

I

V

I

D

E

N

D

O

C

O

C

I

E

N

T

E

resto

x = ∓b/a Cuadro 4.5: Esquema de Ruffini Se resuelve la ecuaci´ on que se obtiene al igualar el divisor a cero, es decir ax ± b = 0, luego el

valor de x se coloca en el ´ angulo inferior izquierdo, seg´ un se muestra en el esquema 4.5.

Se baja el primer coeficiente del dividendo y se multiplica por el valor despejado de la variable y el resultado se coloca debajo del coeficiente que sigue del dividendo. Se suman las cantidades de la segunda columna, obteniéndose el segundo término del cociente. Se procede como en el caso anterior, hasta llegar al u ´ltimo término del dividendo. El residuo de la divisi´ on es la suma de cantidades de la u ´ltima columna. Ejemplo 4.5.1. Hallar el cociente y el residuo de dividir (5x4 − x3 + 7x2 − 9) ÷ (x + 1) Soluci´ on: Completando y ordenando el dividendo se tiene: Dividiendo por el método de Ruffini 5

−1 5

5x4 − x3 + 7x2 + 0x − 9 x+1

-1

7

0

-9

-5

6

-13

13

-6

13

-13

4

Cuadro 4.6: obteniéndose: Q(x) = 5x3 − 6x2 + 13x − 13 r(x) = 4

Ejemplo 4.5.2. Hallar el cociente y el residuo de dividir (6x4 − 7x3 + 10x2 − 9) ÷ (2x − 1) Soluci´ on: Completando y ordenando el dividendo se tiene: Dividiendo por el método de Ruffini

6x4 − 7x3 + 10x2 − 9 2x − 1

´ Algebra

Walter Arriaga Delgado 6

-7

10

0

-9

3

-2

4

2

6

-4

8

4

-7

3

-2

4

2

-7

1 2 ÷2

73

Cuadro 4.7: obteniéndose: Q(x) = 3x3 − 2x2 + 4x + 2 r(x) = −7

Observaci´ on 4.5.1. Cuando el coeficiente principal del divisor es diferente de la unidad, entonces el cociente que se obtiene no es el verdadero (cociente falso), luego para obtener el verdadero cociente se debe dividir los coeficientes del cociente falso entre el coeficiente principal del divisor.

4.6.

Teorema del resto

´ Este teorema nos permite hallar el resto de una divisi´ on de dos polinomios en forma directa, sin la necesidad de efectuar dicha operaci´ on. El divisor debe ser de la forma lineal ax ± b o transformable a ella.

Procedimiento a seguir: Se resuelve la ecuaci´ on que se obtiene al igualar el divisor a cero, es decir ax±b = 0, obteniéndose x = ∓b/a. El valor hallado se reemplaza en el dividendo, obteniéndose de ésta manera el residuo de la divisi´ on.

b R=D ∓ a

Demostraci´ on. Usando el algoritmo de la divisi´ on D(x) = d(x)Q(x) + R pero como d(x) = ax ± b, luego: D(x) = (ax ± b)Q(x) + R finalmente reemplazando x = ∓b/a, y efectuando se tiene:

b D ∓ a

b = a ∓ a

b ±b Q ∓ a

+R

´ Algebra

74

∴

Ejemplo 4.6.1. Calcular el resto de dividir:

b R=D ∓ a


5x4 − 20x2 − x + 3 x+2

Soluci´ on: Se iguala a cero el divisor: x + 2 = 0 ⇒ x = −2.

este valor se reemplaza en el dividendo D(x) = 5x4 − 20x2 − x + 3, obteniéndose: R = D(−2) = 5(−2)4 − 20(−2)2 − (−2) + 3 ∴ R=5 Ejemplo 4.6.2. Hallar el resto en

(5x4 + 7x2 + 5)2 + (5x4 + 7x2 + 7)3 + 8 5x4 + 7x2 + 8

Soluci´ on: haciendo un cambio de variable: 5x4 + 7x2 = y, se obtiene: Se iguala a cero el divisor: y + 8 = 0 ⇒ y = −8.

(y + 5)2 + (y + 7)3 + 8 y+8

este valor se reemplaza en el dividendo D(x) = (y + 5)2 + (y + 7)3 + 8, obteniéndose: R = D(−8) = (−8 + 5)2 + (−8 + 7)3 + 8 ∴ R = 16 Una breve historia de Rene Descartes

Figura 4.1: Rene Descartes

Naci´ o: 31 de Marzo de 1596 en La Haye, Touraine, Francia Falleci´ o: 11 de Febrero de 1650 en Estocolmo, Suecia Descartes tiene fama de fil´ osofo y el intelecto m´ as grande de los que contribuyeron a crear la llamada “Edad de la Raz´ on”. Descartes naci´ o en una familia francesa noble en la Turena, y fue el tercero y u ´ltimo hijo de la primera esposa de su padre, quién muri´ o poco después del nacimiento de René. Su padre era un hombre


´ Algebra

75

de raro sentido com´ un que hizo todo lo posible por compensar a sus hijos la pérdida de su madre. Un aya excelente ayud´ o al débil y enfermizo René a sobrevivir; y creci´ o para convertirse en un ni˜ no p´ alido y serio, que siempre deseaba conocer la causa de todas las cosas que exist´ıan bajo el Sol. Debido a la mala salud de su hijo, su padre aplaz´ o la educaci´ on formal hasta que lleg´ o a la edad de ocho a˜ nos. Entonces escogi´ o el colegio jesuita de La Flèche como la escuela ideal. El rector se encari˜ n´ o en seguida con el p´ alido y confiado ni˜ no. Evidentemente, decidi´ o que necesitaba ayudar a fortalecer el cuerpo del peque˜ no si quer´ıa educar su mente. Como René parec´ıa requerir m´ as descanso que los ni˜ nos normales de su edad, se le permit´ıa levantarse tan tarde como quisiera antes de reunirse con sus condisc´ıpulo. Durante su vida, Descartes sigui´ o esta costumbre de levantarse tarde después de pasar tranquilamente la ma˜ nana en silenciosa meditaci´ on. Curs´ o estudios normales de l´ ogica, ética, metaf´ısica, historia, ciencias y literatura. Luego se dedic´ o a trabajar independientemente en el ´ algebra y geometr´ıa, que se convirtieron en sus materias favoritas “debido a la certidumbre de sus pruebas”. Prosigui´ o sus estudios en la Universidad de Poitiers, donde curs´ o las materias de derecho. En cuanto recibi´ o su diploma, “abandon´ o del todo el estudio de las letras y resolvi´ o no aspirar ya a ninguna otra ciencia que no fuera el conocimiento de s´ı mismo o de los grandes libros del mundo”. Siguiendo este prop´ osito, fue a Par´ıs para divertirse con los juegos de azar. Pronto se cans´ o de ellos y se retrajo al mundo de la erudici´ on. Pas´ o dos a˜ nos siguientes en la soledad, estudiando matem´ aticas. A la edad de veintid´ os a˜ nos se ofreci´ o como voluntario en el ejercito del pr´ıncipe Mauricio de Nassau. Después de ingresar en el ejército, fue enviado a Breda, en Holanda. Un d´ıa, cuando se reun´ıa ´ una multitud frente a un cartel, pidi´ o a un anciano caballero que se lo tradujera. Este ley´ o el problema matem´ atico contenido en el cartel y el reto para resolverlo. Al punto, Descartes procedi´ o a resolver el problema para el caballero, el cual era Isaac Beeckman, uno de los m´ as grandes matem´ aticos y doctores de Holanda. Beeckman comprendi´ o en seguida que Descartes no era un soldado com´ un y se convirti´ o en su amigo y mentor. A Descartes lo entusiasm´ o tanto esta amistad accidental, que menos de cuatro meses después inform´ o a su amigo el descubrimiento de una nueva manera de estudiar la geometr´ıa. Lo inquietaron los métodos de los ge´ ometras griegos para llegar a sus ingeniosas pruebas sin un sistema fundamental de ataque y se propuso corregirlos mediante el manejo de l´ıneas y figuras tridimensionales en una gr´ afica. Dibujaba la gr´ afica marcando unidades en una l´ınea horizontal (eje x) y una l´ınea vertical (eje y); as´ı, cualquier punto de la gr´ afica pod´ıa describirse con dos n´ umeros. El primer n´ umero representaba una distancia en el eje x y el otro n´ umero representaba una distancia en el eje y. Aunque conservaba las reglas de la geometr´ıa euclidiana, combinaba el ´ algebra y la geometr´ıa, consideradas entonces como independientes, para formar una nueva disciplina matem´ atica llamada geometr´ıa anal´ıtica. En el 1629 decidi´ o irse a vivir a Holanda, all´ı estudi´ o otras cosas aparte de filosof´ıa y las matem´ aticas, comprendiendo la ´ optica, la f´ısica, la qu´ımica, la anatom´ıa y la medicina. En 1634 a´ un no publicaba nada, pero segu´ıa dedicado a incorporar todos sus conocimientos, desde la astronom´ıa hasta la anatom´ıa humana, en un impresionante tratado que se llamaba El mundo. Todo Par´ıs esperaba con gran curiosidad la obra maestra de Descartes pero este se enter´ o de que la Inquisici´ on conden´ oa Galileo por atreverse a defender la teor´ıa copernicana de que el Sol era el centro del Universo. El 8 de Junio de 1637 Descartes dio al mundo su geometr´ıa anal´ıtica como un apéndice modesto de su obra maestra Discurso del método. Al propalarse la fama de Descartes, la realeza comenz´ o a cortejarlo. Carlos Y de Inglaterra y Luis XIII de Francia invitaron al famoso fil´ osofo a adornar sus respectivas cortes. En 1646, Descartes viv´ıa en feliz aislamiento en Egmond, Holanda, meditando, cuidando su peque˜ no jard´ın y sosteniendo correspondencia con intelectuales de Europa, cuando la reina Cristina de Suecia le suplic´ o que fuera a su corte. Descartes parti´ o en el oto˜ no de 1649. Todo podr´ıa haber resultado perfecto para Descartes si Cristina no hubiera insistido en hacer que le ense˜ nara filosof´ıa a partir de las cinco de la ma˜ nana en

´ Algebra

76


un aposento grande y fr´ıo. Descartes era demasiado bien educado para quejarse de esta desagradable circunstancia, aunque siempre odiaba el fr´ıo y rara vez se levantaba antes del mediod´ıa. Después de tres meses de estas espantosas clases antes del amanecer, enferm´ o de gravedad y muri´ o de una enfermedad respiratoria, que probablemente fue pulmon´ıa. Diecisiete a˜ nos m´ as tarde, su cad´ aver volvi´ o a Par´ıs, donde fue sepultado en lo que hoy es el pante´ on.

4.7.

Divisibilidad algebraica

Se dice que un polinomio es divisible entre otro cuando al dividirlos resulta como cociente una expresi´ on algebraica entera y residuo cero. Principios Fundamentales: 1. Si un polinomio D(x) es divisible por otro polinomio d(x), existe otro polinomio Q(x) tal que: D(x) = d(x) · Q(x) 2. Si P (x) es divisible entre (x − a) entonces: P (a) = 0. 3. Si un polinomio P (x) es divisible separadamente entre (x ± a), (x ± b)y(x ± c), entonces P (x) es divisible por el producto: (x ± a)(x ± b)(x ± c); siendo a 6= b 6= c. 4. Si un polinomio es divisible entre el producto de varios binomios, ser´ a divisible separadamente por cada uno de ellos. 5. Si al dividir un polinomio entre varias expresiones por separado, se obtiene el mismo resto, entonces se cumplir´ a que dicho polinomio dividido entre el producto de ellos dar´ a el mismo resto. 6. En toda divisi´ on, si al dividendo y divisor se le multiplica por una misma cantidad, el resto quedar´ a multiplicado por dicha cantidad. Para determinar el resto verdadero se divide el resto obtenido entre la cantidad por la cual se multiplic´ o el dividendo y divisor. En general: D(x) = d(x)Q(x) + R(x) multiplicando por “m” mD(x) = md(x)Q(x) + mR(x) Resto Verdadero =

Resto Obtenido mR(x) = = R(x) m m

´ Algebra


77

7. En toda divisi´ on, si al dividendo y divisor se le divide por una misma cantidad, el resto quedar´ a dividido por dicha cantidad. Para determinar el resto verdadero se multiplica el resto obtenido entre la cantidad por la cual se dividi´ o el dividendo y divisor. En general: D(x) = d(x)Q(x) + R(x) dividiendo entre “m” : D(x) d(x) R(x) = Q(x) + m m m Resto Verdadero = (Resto Obtenido)(m) =

4.8.

R(x) (m) = R(x) m

Cocientes notables

Son casos especiales de divisi´ on algebraica exacta, entre divisores bin´ omicos, que presentan la forma: xn ± y n x±y donde “x” y “y” son las bases; n ∈ N Estudio de los cuatro casos CASOS xn − y n x−y xn − y n x+y xn + y n x+y xn + y n x−y

Desarrollo del Cociente Notable (CN)

Condici´ on (r = 0)

xn−1 + xn−2 y + xn−3 y 2 + . . . + y n−1

C.N. ∀ n ∈ N

xn−1 − xn−2 y + xn−3 y 2 − . . . − y n−1

C.N. ∀ n par

xn−1 − xn−2 y + xn−3 y 2 − . . . + y n−1

C.N. ∀ n impar No es C.N.

Condici´ on necesaria y suficiente para obtener un C.N. xm ± y n es CN xp ± y q

⇐⇒

m n = = N´ umero de términos N T ) p q

F´ ormula del T´ ermino General: En la divisi´ on: xm ± y n xp ± y q

´ Algebra

78


un término de lugar k (término cualquiera) del cociente est´ a dado por la f´ ormula: Tk = (signo)(y q )N T −k (xp )k−1 Reglas para determinar el signo a) Si el divisor es de la forma (x − y), todos los términos del CN son positivos. b) Si el divisor es de la forma (x + y), se tiene que: Los términos de lugar impar del desarrollo del cociente notable son positivos. Los términos de lugar par del desarrollo del cociente notable son negativos. F´ ormula del T´ ermino General (contado de derecha a izquierda) Tk = (signo)(xp )N T −k (y q )k−1 ←

donde Tk : término de lugar k contado a partir del término final. ←

Observaci´ on 4.8.1. Si el n´ umero de términos N T de un CN es par, existe dos términos centrales en su desarrollo, cuyos lugares son: k1 =

n 2

k2 =

n +1 2

Si el n´ umero de términos N T de un CN es impar, existe un término central en su desarrollo, donde el lugar es: k=

n+1 2

´ Algebra


✍

79


SOL:

4.

Divisi´ on algebraica y cocientes notables

1. Determinar el m´ınimo valor de “n”, si la 18x6 y 2n−2 − 9x7 y 9 + 27x5 y 2n divisi´ on: es 3x4 y n exacta; adem´ as el cociente es un polinomio entero (solo considere n = impar) a) 2 b) 3 c) 4 d) 8 e) 9 Soluci´ on Dividiendo término a término 18x6 y 2n−2 − 9x7 y 9 + 27x5 y 2n 3x4 y n 6x2 y n−2 − 3x3 y 9−n + 9xy n

éste cociente debe ser un polinomio, entonces: n − 2 ≥ 0; 9 − n ≥ 0; n ≥ 0 n ≥ 2;

n ≤ 9;

n≥0

intersectando se tiene: • 0

• 2

• 9

luego los valores enteros que se encuentran en la intersecci´ on son: n = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} por lo tanto el m´ınimo valor impar para n es 3. Alternativa: b 2. Hallar la suma de coeficientes del cociente 4x4 + 3x3 + 2 de x2 + 4 a) 3 b) 16 c) 7 d) 9 e) −9 Soluci´ on Usando el método de Horner 1 0 −4

4

4

3 0

3

0 −16 0 −16

0 −12 0 −12

2

luego el cociente es Q(x) = 4x2 + 3x − 16 cuya suma de coeficientes es: Q(0) = −9 Alternativa: e 3. Calcular: a2 + b2 si la divisi´ on: ax4 + bx3 + 10x2 − 6x + 9 , es exacta. x2 − x + 3 a) 16 b) 11 c) 13 d) 14 e) 10 Soluci´ on Como la divisi´ on es exacta, podemos invertir el orden: 9 − 6x + 10x2 + bx3 + ax4 3 − x + x2 usando el método de Horner 9 −6 10 b a 3 1 3 −3 −1 −1 1 2 −2 3 −1 2 0 0

ahora, como el residuo es 0 entonces b = −3 y a = 2. Por lo tanto a2 + b2 = 13. Alternativa: c

4. Qué valor debe tener “k” para que el polinomio 5x3 −k(x2 +x−1) tenga como divisor a 5x2 + 2x − 4? a) 8 b) 2 c) 4 d) −8 e) 16 Soluci´ on Que 5x3 − k(x2 + x − 1) tenga como divisor a 5x2 + 2x − 4 significa que la divisi´ on 5x3 − kx2 − kx + k 5x2 + 2x − 4 es exacta, y usando el método de Horner 5 −2 4

5

1 64 68

4.1.

luego k −

−k −2 − k+2 5

−k 4

k

2k+4 5

− 4k+8 5 0

2

4k + 8 = 0 de donde k = 8 5

´ Algebra

80


Alternativa: a 5. En una divisi´ on efectuada por el método de Horner, se obtuvo este esquema: a b c d

6

2

e 2

3

f -2 3 1

g 4 -3 1 -4

h

j

6 -1 -2

2 5

Determinar la suma de coeficientes del dividendo a) −4 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4 Soluci´ on Completando el esquema se tiene: 6

3 1 −1 2

2

7 2

3

2 −2 3 1

−6 4 −3 1 −4

−7

3

6 −1 −2

2 5

Alternativa: b 7. Si al dividir 8x3 + 4x2 − 6mx + 15 entre x − 0,5 se obtiene como cociente un polinomio Q(x) tal que Q(1) = 56. Calcular el resto de la divisi´ on: a) 16 b) 40 c) 25 d) 38 e) 35 Soluci´ on Dada la divisi´ on 8x3 + 4x2 − 6mx + 15 x − 0,5 usaremos el método de Ruffini: 8 1 2

8

4

−6m

15

4

2

20

4

40

35

el término independiente del cociente Q(0) = 40, puesto que Q(1) = 56. Luego R = 35

Por lo tanto la suma de coeficientes del dividendo es: Σ=6+7+2−6−7+3 =5

6. Encontrar la relaci´ on necesaria por cumplirse de manera que el polinomio: (a2 − b2 )x3 + 2b(a − b)x2 + 4abx + b(2b − a) sea divisible entre: (a + b)x + b − a a) a2 + b2 = 2ab b) a2 + b2 = ab c) a/b + b/a = −1 d) a2 − b2 = ab 2 2 e) a + b = −2ab Soluci´ on Dada la divisi´ on (a2 − b2 )x3 + 2b(a − b)x2 + 4abx + b(2b − a) (a + b)x + b − a usaremos el método de Ruffini:

a−b a+b

a2

−

b2

4x3 − 3x2 + 5 y dar como respuesx+1 ta la suma de coeficientes del cociente. a) −7 b) 7 c) 4 d) 14 e) 18 Soluci´ on Usaremos el método de Ruffini:

8. Efectuar

Alternativa: d

a2 − b2

Alternativa: e

2ab − 2b2

4ab

2b2 − ab

(a − b)2 a2 − b2

(a − b)2 (a + b)2

a2 − b2 0

luego a2 −ab+b2 = 0, de donde: a2 +b2 = ab

−1

4

−3

0

5

4

−4 −7

7 7

−7 −2

luego la suma de coeficientes del cociente es: Q(1) = 4 Alternativa: c 9. En una divisi´ on por el método de Ruffini se conoce parte del esquema utilizado: 1

6

b

12

e

1

a 4

-8 5

c d

-4 0

-2

´ Algebra

Walter Arriaga Delgado Hallar a + b − c + d − e a) 19 b) 17 d) 16 e) 20 Soluci´ on Dado el esquema

−2

c) 18

1

6

b

12

e

1

a 4

−8 5

c d

−4 0

y siguiendo la divisi´ on por el método de Ruffini tenemos:

−2

1

6

13

12

4

1

−2 4

−8 5

−10 2

−4 0

luego a = −2, b = 13, c = −10, d = 2, e = 4, por lo tanto a + b − c + d − e = −2 + 13 + 10 + 2 − 4 = 19 Alternativa: a

81 x5a+2b − y a+4b+1 a b−1 x √ −y tiene 7 términos, hallar: W = AB, donde: A = (a − 1)(a − 2)(a − 3); B = (b − 1)(b − 2)(b − 3) a) 6 b) 36 c) 1 d) 3 e) 12 Soluci´ on En todo cociente notable se cumple que:

10. Si el cociente notable

5a + 2b a + 4b + 1 = = NT a b−1 5a + 2b a + 4b + 1 = =7 a b−1 5a + 2b luego: = 7 entonces a = b a a + 4b + 1 adem´ as: = 7 de donde: b−1 a = 4 y b = 4, reemplazando se tiene: A= 3×2×1 = 6 B =3×2×1=6 √ √ por lo tanto W = AB = 36 = 6 Alternativa: a

´ Algebra

82

CAP 04:



1. Determinar el m´ınimo valor de “n”, si la 18x6 y 2n−2 − 9x7 y 9 + 27x5 y 2n divisi´ on: es 3x4 y n exacta; adem´ as el cociente es un polinomio entero (solo considere n = impar) a) 2 b) 3 c) 4 d) 8 e) 9 2. Hallar la suma de coeficientes del cociente 4x4 + 3x3 + 2 de x2 + 4 a) 3 b) 16 c) 7 d) 9 e) −9 3. Calcular: a2 + b2 si la divisi´ on: ax4 + bx3 + 10x2 − 6x + 9 , es exacta. x2 − x + 3 a) 16 b) 11 c) 13 d) 14 e) 10 4. Qué valor debe tener “k” para que el polinomio 5x3 − k(x2 + x − 1) sea divisible por 5x2 + 2x − 4? a) 8 b) 2 c) 4 d) −8 e) 16 5. En una divisi´ on efectuada por el método de Horner, se obtuvo este esquema: a b c d

6

2

e 2

3

f -2 3 1

g 4 -3 1 -4

h

j

6 -1 -2

2 5

Determinar la suma de coeficientes del dividendo a) −4 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4 6. Encontrar la relaci´ on necesaria por cumplirse de manera que el polinomio: (a2 − b2 )x3 + 2b(a − b)x2 + 4abx + b(2b − a) sea divisible entre: (a + b)x + b − a a) a2 + b2 = 2ab b) a2 + b2 = ab c) a/b + b/a = −1 d) a2 − b2 = ab 2 2 e) a + b = −2ab 7. Si al dividir 8x3 + 4x2 − 6mx + 15 entre x − 0,5 se obtiene como cociente un polinomio Q(x) tal que Q(1) = 56. Calcular el

4.1.

resto de la divisi´ on: a) 16 b) 40 d) 38 e) 35

c) 25

4x3 − 3x2 + 5 y dar como respuesx+1 ta la suma de coeficientes del cociente. a) −7 b) 7 c) 4 d) 14 e) 18

8. Efectuar

9. En una divisi´ on por el método de Ruffini se conoce parte del esquema utilizado: 1

6

b

12

e

1

a 4

-8 5

c d

-4 0

-2

Hallar a + b − c + d − e a) 19 b) 17 d) 16 e) 20

c) 18

10. Qué valor deber´ a tomar “k” para que la divisi´ on (0,5x3 +0,4x2 +0,3x+k)÷(0,2+0,1x) sea exacta? a) 8 b) 2 c) 1 d) 3 e) 5 11. Hallar la suma de coeficientes del cociente, disminuido en su resto; del cociente de 6x36 + 17x27 − 16x18 + 17x9 + 12 3x9 + 1 a) 8 b) 4 c)−4 d) −6 e) −8 12. Hallar “m” sabiendo que el resto de dividir (m + 1)x3 + 2x2 − 4x + m entre (x + 2) es 1 a) −1 b) 3/2 c) −2 d) 2 e) 1 13. Encontrar el residuo de dividir a) x + 1 d) 0

b) x − 1 e) x

x18 x2 + x + 1 c) 1

14. Calcular a y b, si la divisi´ on: 3x3 − 11x2 + (a − 1)x − b 3x2 − 2x + 1

es exacta: Dar como respuesta ab a) 24 b) 3 c) 8 d) 16 e) 11

.


´ Algebra

15. Hallar el residuo que se obtiene al dividir el √ √ √ √ polinomio√ ( 3 −√ 2)x5 − 2 2x3 − 2 3x + 6, entre √ x − 3 − 2. √ √ a) 3 2 b) √ 2 3 √ c) 3 + 2 d) 5 e) 2 + 3 16. Sabiendo que 2x5 − 8x4 + 9x3 + mx2 + nx+ p es divisible entre: 2x3 − 6x2 + 7x + 1. Hallar 3m + n + p a) 5 b) 1 c) 2 d) 4 e) −1 17. Calcular mn + pn si el resto de la divisi´ on: mx4 + nx3 + px2 + 6x + 6 2x2 − 5x + 2 es −5x + 8 y que la suma de los coeficientes del cociente es 4. a) 45 b) 31 c) 34 d) 10 e) 36 (x − y)29 − (y − x)27 (x − y + 1)2 + 2(y − x) b) 2x − 2y c) 0 e) 2x

18. El resto de la divisi´ on a) x − y d) −2y

19. El resto de dividir: P (x) = (x4n + x2n + 6)3n+2 + (x2n + xn + 1)(x2n − xn + 1) + 3 entre Q(x) = x4n + x2n + 5 es: a) 0 b) 1 c) 5 d) −5 e) 2 20. Un polinomio P (x) de tercer grado tiene siempre el mismo valor numérico 1 para x = −2 ; −3 ; −4. Sabiendo que al dividirlo entre x − 1 el residuo es 121. Calcular el resto de dividirlo entre (x − 2). a) 122 b) 119 c) 239 d) 241 e) 242 21. Un polinomio de cuarto grado en “x”, cuyo coeficiente principal es la unidad, es divisible con (x2 − 1) y por (x − 4). Al dividirlo con (x + 3) d´ a como resto 56. Calcular el resto de dividirlo con (x − 2). a) −16 b) −24 c) −20 d) −12 e) 4 22. Si el polinomio P (x) al dividirlo entre (x−2) da resto 5, y la suma de los coeficientes del polinomio cociente es 7. Hallar P (1). a) 4 b) 3 c) −3 d) −4 e) −2

83

23. Calcular la suma de los coeficientes del polinomio P (x) si se sabe que es de tercer grado, su coeficiente principal es la unidad, es divisible entre (x − 2)(x + 1) y carece de término cuadr´ atico. a) 1 b) −3 c) −4 d) 2 e) 4 24. Siendo “A” el término que debe suprimirse a: a9 + a6 b4 + a4 b6 + a3 b8 + b12 para que sea un cociente notable; se˜ nale el equivalente de: (A − 1)(A2 + A + 1)(A12 + A9 + A6 + A3 + 1) b) a60 b90 c) a90 b60 − 1 a) a60 b90 − 1 d) a45 b120 − 1 e) −1 25. Identifique las divisiones notables que originaron los cocientes. A = x16 − x12 y 8 + x8 y 16 − x4 y 24 + y 32 B = x15 − x10 y 10 + x5 y 20 − y 30 y se˜ nale la suma de ambos dividendos identificados. a) x20 b) 2y 40 c) y 40 20 20 40 d) 2x e) 2(x + y ) 26. Si el cociente notable originado al dividir x9m + y 8n tiene “k” términos; hallar “k”. x2n + y 4m a) 7 b) 3 c) 9 d) 11 e) 15 27. El grado absoluto

del sexto término x3n+9 + y 3n del siguiente cociente notable x3 + y 2 a) 9 b) 20 c) 18 d) 10 e) 19

28. Calcular ab sabiendo que el tercer término xa+b − y a+b del cociente notable a−b es x60 y 40 . x − y a−b a) 600 b) −2400 c) 3500 d) 35 e) 4200 x5a+2b − y a+4b+1 a b−1 x √ −y tiene 7 términos, hallar: W = AB, donde: A = (a − 1)(a − 2)(a − 3); B = (b − 1)(b − 2)(b − 3) a) 6 b) 36 c) 1 d) 3 e) 12


´ Algebra

84

CAP 04:



1. Si un polinomio 3x5 + 6x3 − 3x se divide entre x + 1 se obtiene un cociente de grado m con término constante b y residuo a. Hallar m + b + a. a) 6 b) 4 c) 10 d) 12 e) 8

el coeficiente del término lineal del cociente es: √ √ c) 0 a) − 6 b) 6 d) 1 e) 6 9. Dar el mayor coeficiente del dividendo en la siguiente divisi´ on por Horner

2. Al efectuar la divisi´ on x5

+

3x3 x3

3 f g

x2

+ + ax + b + 2x + 1

deja un residuo de 3x + 2. Hallar a − b. a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 2 3. Si la divisi´ on del polinomio P (x) = (x + 2)16 + 2(x + 2)12 + 3(x + 2)4 + x2 + 4x + m entre el polinomio Q(x) = x2 + 4x + 5 deja √ como residuo 33, hallar el valor de k = 5 m a) 10 b) 8 c) 2 d) 4 e) 6 Ax4 + Bx3 − 2x2 − 3x − 2 es 4. Si la divisi´ on: 4x2 + x + 1 exacta, calcular AB a) 84 b) −84 c) 64 d) 48 e) 74 5. Calcular los valores de a y b si el polinomio ax5 + bx4 + 3x3 + 4x2 + 6x + 6 es divisible por x3 + 2. a) 3 y 4 b) 1 y 3 c) 1 y 2 d) 2 y 3 e) 1 y 4 6. El producto de coeficientes del polinomio cociente de la divisi´ on 3x5 − 5x4 + 3x3 − 5x2 + 3x − 2 es: 3x − 5 a) 3 b) 1 c) 9 d) 4 e) 15 7. Por cu´ anto hay que dividir al polinomio: x4 + x2 + x + 2, para que el cociente sea x2 − x + 1 y el residuo x + 1. a) x2 + 1 b) x2 − 1 c) x2 + x 2 2 d) x + x − 1 e) x + x + 1 8. En la divisi´ on √ √ x4 − 2 6x3 + 6x2 + 6x − 12 √ x− 6

4.2.

a

2 a) 38 d) 20

b 4

c -12 6

3

-7

d

e

-18 -14 6

42 8

b) 25 e) 40

c) 35

10. Si al dividir el polinomio y 5 − 5ay + 4b entre (y − k)2 da un cociente exacto. Hallar b − a en funci´ on de k. a) k5 − k2 b) k5 + k c) k5 + k4 d) k5 − k4 e) k5 + k3 11. Si x24 + ax + b es divisible entre (x − 1)2 , calcular: b − a. a) 50 b) 47 c) 48 d) 49 e) 46 12. Del esquema de divisi´ on por Ruffini a

b

c

d

e

f

m

1 n

3 r

5 s

7 t

9 0

-1

Determinar la suma de coeficientes del polinomio dividendo. a) 100 b) 50 c) 160 d) −100 e) −50 13. Hallar el residuo en la siguiente divisi´ on: [3 + (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)]5 x(x + 5) + 5 a) 0 d) 1024

b) 16 e) 64

c) 32

14. Al dividir 8x5 + 14x4 + 5x3 + 16x2 + 3x + 2 entre 4x2 + x + 3 se obtiene como residuo (5m + 4n)x + (m + 2n), hallar el valor de mm/n a) 1/4 b) 4 c) 2 d) 1/2 e) 1


´ Algebra

15. Obtener el resto de la divisi´ on siguiente: βx5α−3 + αβx2β−7 + 10 α3 x + 3α − β sabiendo que el dividendo es ordenado y completo. a) 20 b) 15 c) 10 d) 18 e) 16 a como co16. Al dividir P (x) entre (x − 1)3 d´ ciente una potencia de (x + 2) y como resto (x − 5)2 . Si se divide P (x) entre (x − 2) el resto que se obtiene es 73. La potencia de (x + 2) en el cociente de la primera divisi´ on es: a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5 17. En una divisi´ on de dos polinomios, el término independiente del dividendo es 4 veces más que el término independiente del resto, y el término independiente del cociente es el doble del término independiente de este u ´ltimo. El valor del término independiente del divisor es: a) 1 b) 5/2 c) 3 d) 4 e) 2 18. Un polinomio P (x) de cuarto grado en x, cuyo coeficiente principal es 2, es divisible por (x2 − 4) y (x − 3), y al dividirlo por (x + 1) da como residuo 12. Halle el residuo al dividir P (x) por (x − 1). a) 25 b) 26 c) 30 d) 29 e) 28 19. Un polinomio P (x), divisible entre (xn−1 + 1), tiene por término independiente −3 y por grado “n”, se sabe que al dividirlo separadamente entre (x − 1) y (x − 3), los restos obtenidos son −2 y 732 respectivamente. El valor de “n” es: a) 6 b) 7 c) 5 d) 4 e) 3 20. Qué condici´ on debe cumplirse para que el polinomio x3 + px + q sea divisible por un polinomio de la forma: x2 + mx − 1?. a) p = q 2 − 1 b) p = q 2 + 1 c) p = −q d) p = −q 2 − 1 2 e) p = q

85

21. Determinar un polinomio m´ onico de cuarto grado que sea divisible separadamente por x2 − 3x + 2; x2 − 4; x2 + x − 2 y al ser dividido entre x − 3 deja un resto igual a 100, luego indique el residuo de dividir dicho polinomio entre x + 1. a) 18 b) 36 c) 34 d) 72 e) 48 22. Hallar n para que la divisi´ on origine un cociente notable. a) 11 b) 9 d) 5 e) 3

x5n+3 − y 5n+30 xn−1 − y n+2 c) 7

23. Si xa y 24 es el término central del desarrollo x75 − y b del cociente notable c ; el valor de x − y2 a + b + c es: a) 49 b) 73 c) 89 d) 85 e) 91 24. Hallar el cociente notable que dio origen a: x300 − x290 y 20 + x280 y 40 . . . Dar como respuesta el n´ umero de términos. a) 31 b) 30 c) 28 d) 27 e) 26 x15m+50 − y 15m−10 genera un xm+1 − y m−2 cociente notable, indicar el lugar que ocupa el término de grado absoluto 76. a) 15 b) 10 c) 13 d) 20 e) 17

25. Si la divisi´ on

26. La

suma de todos los exponentes de las x100 − y 100 variables del desarrollo de , es: x4 − y 4 a) 2500 b) 2400 c) 2600 d) 2700 e) 2800

27. Si A es el pen´ ultimo término del cociente x40 − 1 , se˜ nale el término que sigue en el x8 − 1 cociente notable: A + x6 y 3 + · · · a) x4 y 4 b) x3 y 4 c) x4 y 2 4 5 4 6 d) x y e) x y 28. Se desea saberα el n´ umero de términos x −1 del cociente si se cumple que: x−1 T10 T50 T100 = x236 a) 130 b) 135 c) 132 d) 134 e) 131

´ Algebra

86

CAP 04:


1. Calcular el cociente de la siguiente divisi´ on: 5ax+5 − 11ax+4 + 18ax+3 − 5ax+2 + 3ax+1 5ax+3 − ax+2 + ax+1 a) a2 + 2a + 3 c) a2 − 2a − 3 e) a2 + a + 3


b) a2 − 2a + 3 d) a2 + 3a + 2

2. Calcular el valor de “a”, si la divisi´ on: 6x5 + 5x4 + 23x2 − 30x3 + ax + 3 ; es exac2x2 + 5x − 3 ta a) 11 b) −8 c) 5 d) −5 e) −11 3. Calcular (A + B), si en la divisi´ on: x4 + 2x3 − 7x2 + Ax + B el resto es un x2 − 3x + 5 polinomio idénticamente nulo. a) 17 b) 15 c) 31 d) 28 e) 33 4. ¿Cu´ anto debe ser el valor de “m” del trinomio 3x2 + mx + 9 con la condici´ on de que al dividir éste por (x + 2); dé el mismo resto que la divisi´ on de 2x3 + 3x + 3 por dicho binomio? a) 20 b) 15 c) 9 d) −6 e) 18 5. Si al dividir el polinomio nx5 −(n2 −2n)x4 + 3x3 + 6x2 − (3n2 − 5n)x + n2 − 13 entre x − n + 2, se obtiene un cociente Q(x) y un resto R. Sabiendo que Q(1) + R = 0. Calcular R. a) 2 b) 3 c) 17 d) −9 e) 9 6. Al dividir xn+1 − 6xn + 8 entre (x + 1), siendo “n” impar, se obtiene un cociente cuya suma de coeficientes es: a) n b) −6n c) 6n d) 14n e) 8n 7. Hallar el valor de mn si la divisi´ on del poli4 2 nomio x + 2x + mx + n entre el polinomio x2 − 2x + 3 es exacta. a) 6 b) 5 c) 3 d) 4 e) 0

4.3.

8. Hallar m + n, sabiendo que la divisi´ on 3x5 + mx3 + nx2 − x + 2 da un residuo de x2 + 3 5x − 10 a) 1 b) 5 c) 11 d) 7 e) 4 9. La diferencia entre el mayor y menor coefi12x4 − 8x3 + 15x2 − x − 6 ciente del cociente 3x − 2 es: a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) 5 10. Si el polinomio 3x3 − 9x2 + kx − 12 es divisible por x − 3 entonces, también es divisible por: a) 3x + 4 b) 3x2 −x+4 c) 3x2 − 4 2 e) 3x − 4 d) 3x + 4 11. Indique el término independiente del cociente al dividir el√polinomio √ √ √ P (x) = √ x5 + ( 2 + √3)x4 − ( 3 − 6)x3 − 2x2 + ( 3 +√4)x + 3 entre el polinomio Q(x) = x + 3 √ a) 2 b) √ 4 c) − 3 d) 3 e) 2 12. Hallar el valor de a2 + ab + b2 para que al dividir ax4 + bx − 3 entre x2 − 1 se obtenga un cociente exacto. a) 3 b) 6 c) −2 d) −6 e) 9 2n

x3 − 1 13. Calcular el resto en 3n , si “n” ∈ N. x +1 a) 1 b) 0 c) −2 d) 2 e) −1 14. Calcular el residuo de la siguiente divisi´ on: (x − 1)7 − (x − 2)7 − 1 x2 − 3x + 2 a) 0 b) x − 2 c) 1 d) x − 1 e) −1 15. Hallar el resto en la divisi´ on: a) 7x + 5 d) 7x + 6

b) 7x + 2 e) 3x − 1

16. Hallar el resto de la divisi´ on:

x3 (x + 1)(x + 2) c) 6x − 1


´ Algebra

(x + 1)35 + 7(x + 1)28 + 3(x + 1)17 + 3 x2 + 2x + 2 a) 2x b) 2x + 12 c) 2x + 5 d) 2x − 12 e) 2x + 7 √ (x2 + nx + 2)3 − x2 − 2 √ es 17. Si el resto de: x− 2 60, determine n √ √ √ a) √2 + 1 b) √ 1− 2 c) 2 2 d) 2 + 2 e) 2 − 1 18. El resto de la divisi´ on 3 2 3 (x − 5) (x + 4) (x − 3x − 17)n es: (x − 3)(x + 4)(x − 5) a) 28 b) 28x2 + 28x − 560 c) 28x2 − 28x − 560 d) 28x2 − 28x + 560 2 e) 28x + 28x + 560 ax3 + bx2 + cx + d es exacta, x2 + n2 2 ad calcular el valor de: W = bc a) 1 b) 4 c) 36 d) 9 e) 25

19. Si la divisi´ on

20. Si el polinomio 2x5 + x4 + ax2 + bx + c, es a+b divisible por x4 − 1, hallar . a−b a) 3/2 b) −3/2 c) 2/3 d) −1 e) −2/3 21. Al dividir P (x) entre x2 + x + 1, se obtuvo como resto x+1, y al dividir entre x2 −x+1, se obtuvo como resto x − 1. Calcular el resto de dividir P (x) entre x4 + x2 + 1. a) x3 b) x3 + x c) x 3 d) x − x e) x2 + x 22. Un polinomio m´ onico de noveno grado tiene ra´ız c´ ubica exacta, adem´ as es divisible separadamente por (x − 1) y (x − 2). Hallar el residuo de dividir el polinomio entre (x − 4) si el término independiente de dicho polinomio es −216. a) 36 b) 72 c) −72 d) −48 e) 216 23. Hallar un polinomio P (x) de segundo grado divisible por (2x + 1); sabiendo adem´ as que su coeficiente principal es 4 y que al ser dividido por (x − 2) el resto es 5, reconocer el

87 menor coeficiente de P (x). a) −5 b) −3 d) 4 e) 2

c) −4

24. Hallar el lugar que ocupa el término de grado 101 en el desarrollo de: M (x, z) = x180 − z 80 x9 − z 4 a) 15 b) 13 c) 11 d) 17 e) 19 25. En el cociente notable que se obtiene de: x4m − x4b el décimo término contado a parx2 − x−3 tir del final es independiente de x. ¿Cu´ antos términos racionales enteros contiene dicho cociente notable? a) 6 b) 9 c) 8 d) 7 e) 10 26. Hallar el valor numérico del término central del desarrollo de: (x + y)100 − (x − y)100 x3 y + xy 3 √ para x = 3, y = 2 2. a) 2 b) 8 c) 6 d) 4 e) 10 xm − y n tiene 12 términos. xa − y b Si el cuarto término contiene a x de grado 16 y a + b = 5, hallar n. a) 24 b) 48 c) 18 d) 42 e) 36

27. El cociente de

(a + 2b)n − bn , si el pen´ ultia+b 5 mo término de su desarrollo es ab + 2b6 a) 11 b) 13 c) 7 d) 5 e) 9

28. Hallar “n” en:

29. Hallar el n´ umero de términos fraccionarios x90 − x−60 del cociente notable 3 x − x−2 a) 12 b) 15 c) 17 d) 20 e) 18 √ 35 √ 35 x − 3x √ √ 30. En el cociente notable x− 3x ¿Cu´ antos términos son racionales? a) 8 b) 25 c) 12 d) 6 e) 5

´ Algebra

88

CAP 04:



1. Indicar la suma de coeficientes del cociente y residuo al dividir: x4 − x3 − 13x2 − 30x − 15 x2 + 3x + 5 a) −9 d) 13

b) 14 e) 1

c) 10

2. En la divisi´ on de P (x) = 2x4 + 7x3 + 16x2 + Ax + B entre Q(x) = 2x2 + 3x + 4, se obtiene como residuo 13x + 3. Indicar el valor de A + B a) 15 b) 30 c) −30 d) −15 e) 45 3. ¿Qué valor debe asumir “m” para que la suma de coeficientes del cociente de la divisi´ on de P (x) = 2x4 − 5x3 + x2 + 3x + m entre Q(x) = x − 2, sea igual al resto. a) −2 b) 1 c) −1 d) 2 e) 0

8. Hallar el valor de: E = 81m + n, si la divisi´ on de (x2 − x + 2)5 − m(x − 2)4 (x + 1)4 + nx3 (x − 1)3 entre x3 + 1, es exacta a) 12 b) −1 c) 1 d) −10 e) −4 9. Calcular el residuo de la divisi´ on (x + 2)4 (x + 6)(x − 3) (x + 2)3 (x + 3) a) 18(x + 2)3 d) −18(x + 2)3

a) 2 d) 1

b) 3 e) 0

c) 4

b) −1 e) 2

6. Hallar “k” si la divisi´ on: 3 3 a + b + c3 − kabc a+b+c es exacta a) 1 b) 3 d) 0 e) 4

c) 27

11. Hallar el resto en la divisi´ on ax3a + bx3b+1 + cx3c+2 x2 + x + 1 a) (a − b)x + b − c c) (c − a)x + a − b e) (b − c)x + a − b

b) (b − c)x + a − c d) (a − b)x + c − a

12. Determine el resto en la divisi´ on,

5. Calcular el resto en: x27 + 243x22 + x + 4 x+3 a) −2 d) 1

b) −18 e) −27(x + 2)3

10. Calcular n si el residuo de la divisi´ on (x + 3)n (x + 1)n + nx(x − 1)(x + 5) + 1 (x + 2)2 es 2(1 − 18x); n es par a) 2 b) 5 c) 3 d) 4 e) 1

4. Hallar el coeficiente del término cuadr´ atico en el cociente de: 6x6 − 3x5 + 4x3 + 10x2 − 8x + 4 2x − 1

4.4.

x15 + x14 + x13 + · · · + x2 + x + 1 (1 + x2 )(1 + x) c) 0

a) x + 1 d) 2x

b) x2 + 1 e) 0

c) 2x2 7

13. Calcular el residuo de la divisi´ on, n ∈ N (x − 1)2n+1 − (x − 2)4n+1 x2 − 3x + 2 c) 2

7. Al dividir el polinomio P (x) = abx5 +b2 x4 + bcx3 − abx + acx2 + c2 entre el polinomio Q(x) = ax2 + bx + c se obtiene un resto de b(a + c) acx; calcular: W = ac a) 0 b) 1 c) −2 d) −3 e) −1

a) x − 1 d) 0

b) x − 2 e) −1

c) 1

14. El cociente de dividir un polinomio de tercer grado entre 2x − 1 es x2 + 2x − 3 y el residuo al dividir dicho polinomio entre 2x + 1 es 1. Hallar el resto obtenido de dividir el mismo polinomio entre 2x − 1 a) −6,5 b) −2,5 c) −3,5 d) −5,5 e) −1,5

´ Algebra


15. Hallar el polinomio P (x) de segundo grado divisible por 2x + 1, sabiendo que su coeficiente principal es 4 y que al ser dividido entre x − 2 su residuo es 5. Determinar el menor coeficiente de P (x) a) 4 b) −3 c) −5 d) −4 e) 2 16. Un polinomio de cuarto grado es divisible separadamente por (x + 3), (x + 2) y (x + 5); adem´ as al ser dividido por (x + 1) se obtiene como residuo 32. Si el término independiente de P (x) es −240. Hallar su coeficiente principal. a) 40 b) −12 c) 30 d) −80 e) −40 17. Siendo A el decimosexto término del cociente: a100 − 1 a5 − 1 proporcione el término central del cociente A11 + b44 A + b4 a) a100 b10 d) −a100 b25

b) a100 b15 e) −a100 b20

c) −a100 b10

89 el grado absoluto del término que ocupa lugar “k” excede en (4n − 4) al grado absoluto del término que ocupa el lugar “k” contado desde la derecha. a) n + 3 b) 12 c) 2n − 1 d) 11 e) 27

22. Hallar el quinto término del CN: xm+1 − y m+h−33 xk−2 − y h−3 sabiendo que los exponentes de “x” disminuyen de 4 en 4 y los de “y ′′ aumentan de 1 en 1 a) x16 y 10 b) x14 y 12 c) x12 y 16 d) x20 y 14 e) x20 y 4 23. Si se sabe que en la divisi´ on de: F (x) = axn + (3a− b)xn−1 + (5a− 3b)xn−2 + (7a − 5b)xn−3 + · · · de (n + 1) términos por (ax − b), el residuo es: 11a; a 6= b. Halle el valor de “n” a) 4 b) 6 c) 5 d) 3 e) 7 x413 − y 295 uno de x7 − y 5 los términos de su desarrollo es: a) x357 y 35 b) x410 y 5 c) y 94 404 7 392 11 d) x y e) x y

18. Indique cu´ al es el n´ umero de términos en: 63 15 56 18 · · · − a b + a b · · · sabiendo que es el desarrollo de un cociente notable. a) 11 b) 12 c) 15 d) 14 e) 13

24. En el cociente notable

19. Halle el término independiente respecto a x en el cociente notable generado por: √ ( x + y)n − y n √ x

25. Hallar el primer término del CN

si t(10−n) = y 9−n a) 5y 4 b) y 8 4 d) y e) −3y 4

c) 3y 4

x8 − 1 tiene 4 térmixm − 1 nos; calcule: m9 + m8 + m7 + · · · + m + 3 a) 1004 b) 1024 c) 1016 d) 1025 e) 1000


21. Calcular el m´ınimo valor de “k”, de manera que en el C.N. (n = impar): an

n+1

+ bn an + b

n

(x + y + z)3 − (x + y − z)3 z a) x + y + z c) x + y − z e) x + y

b) 2(x + y + z) d) 2(x + y + z)2

26. Sabiendo que al dividir n

n

x2 − y 2 m x3 −1 − y 3m −1 el segundo término de su cociente es x16 y 8 . ¿Cu´ antos término posee el cociente notable? a) 3 b) 4 c) 5 d) 7 e) 6

´ Algebra

90

CAP 04:


1. Hallar el residuo en:

7. Si el residuo de la divisi´ on

x4 + 2x3 − m2 x2 + mx − m x−m+1 a) 1 d) 2

b) −1 e) −2

c) 0

2. En la divisi´ on exacta: Ax4 + Bx3 + 13x2 + 11x + 3 x2 + 2x + 3 determinar AB a) 10 d) 20

b) 12 e) 14

c) 16

3. Calcular el resto en: (x − 1)4n (x3 + 8)(x − 4) x2 − 2x + 2 a) 20 d) 14

b) 40 e) −10

c) −20

4. Indique el resto en: x4 + 2x3 − x2 − x + √ x− 2+1 a) 1 d) 2

√

b) 0 e) −2

a b c d

6

2

e 2

3

f -2 3

c) −1

1

g 4 -3 1 -4

h 6 -1 -2

j

2 5

Hallar D(1)+d(1), siendo D(x) el dividendo y d(x) el divisor a) 5 b) 9 c) 8 d) 6 e) 10 6. Hallar “a” para que la suma de coeficientes del cociente sea 161 y el residuo 16 en la siguiente divisi´ on: ax51 + 2bx + 2b − a x−1 b) 3 e) −2

[P (x)]4 x+1 b) x e) 81

4.5. P (x) es 3. Calx+1

cular el residuo de a) 12 d) 41

c) 1

√ 8. Calcular: ab 3b − a; sabiendo que al dividir ax2 − ax − 2b entre ax + b se obtuvo como resto 2b y adem´ as el término independiente del cociente es −4a a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 6 9. Determinar el resto que se obtiene al dividir el resto de: mx4m + nx4n+1 + px4p+2 + qx4q+3 (x + 1)(x2 + 1) por x + 1, para todo m, n, p, q 6= 0. a) m−n+p−q b) 1 c) m2 + n2 d) 0 e) mnpq 10. Calcular el resto de dividir:

2

5. En una divisi´ on efectuada por el método de Horner, se obtuvo este esquema:

a) 2 d) −4


c) 4

16x4n+2 + 8x3n+1 − 54xn+2 − 6xn − 9 2xn − 3 a) 27x − 13 d) 27x − 18

b) 27x e) 18

c) 27

11. Hallar el resto de la divisi´ on: (x + 1)35 + 7(x + 1)28 + 3(x + 1)17 + 3 x2 + 2x + 2 a) 2x d) 2x − 12

b) 2x + 12 e) 2x + 7

c) 2x + 5

12. Al dividir un polinomio P (x) entre (2x+aa ) se obtiene como residuo −1 y un cociente entero cuya suma de coeficientes es 5. Determinar el valor de “a”, si al dividir P (x) entre (x − 1) se obtiene como residuo 29. a) 4 b) 3 c) −4 d) −2 e) 2 13. Si el residuo de la divisi´ on del polinomio P (x) entre x + 4 es 7 y la suma de los coeficientes del cociente es 6. Hallar el residuo de dividir P(x) entre x − 1 a) 0 b) 30 c) 37 d) 7 e) 51


´ Algebra

14. ¿Qué relaci´ on existe entre: a, b y m, si la a(x4a )m − b(xb )4m divisi´ on es exacta? ax2 − b a) 2am = 2bm + 1 b) 2am = 2b + 1 c) 2am = b d) 2am = 2bm − 1 e) 2am = b + 1 15. Un polinomio de cuarto grado cuyo coeficiente principal es 3 es divisible entre x2 + 1 y además la suma de sus coeficientes es nula. Si al dividir P (x) entre x − 2 se obtuvo como residuo 50. Hallar el residuo de dividir P (x) entre x2 − 1 a) 2x b) x + 1 c) −2x d) 2x − 2 e) 2x + 1 16. Determinar un polinomio m´ onico de cuarto grado que sea divisible separadamente entre x2 −3x+2, x2 −4, x2 +x−2; y al se dividido entre (x − 3) deja un residuo igual a 100. Indicar el residuo de dividir dicho polinomio entre (x + 1). a) 18 b) 36 c) 34 d) 72 e) 48 17. Un polinomio P (x) de tercer grado tiene siempre el mismo valor numérico 1 para x = −2, −3, −4, sabiendo que al dividirlo entre (x − 1) el residuo es 121. Calcular el resto de dividirlo entre (x − 2). a) 122 b) 119 c) 239 d) 242 e) 241 18. Hallar el pen´ ultimo término del cociente nox40 + y 10 table generado por: x4 + y b) x4 y 8 c) −x4 y 8 a) x9 y 8 8 9 8 9 d) x y e) −x y 19. Hallar el lugar que ocupa el término de grax180 − y 80 do 101 en el desarrollo del CN: x9 − y 4 a) 15 b) 13 c) 11 d) 17 e) 19 20. Uno de los términos del desarrollo del CN: (x + y)n − y n x es (x + y)25 y 13 . Hallar el lugar que ocupa dicho término contado a partir del final. a) 24 b) 25 c) 27 d) 26 e) 28

91

21. Si xp y 28 ; x16 y 2(p−6) son términos equidistantes de los extremos en el cociente notable xm − y n x4 − y 7 Calcular el valor de m + n + p. a) 225 b) 235 d) 257 e) 322

c) 245

22. Hallar el valor numérico para x = −1 del término de lugar 31 del cociente notable: (x + 3)36 − x36 2x + 3 a) 128 d) 16

b) 64 e) 32

c) 144

23. Elx término central del cociente notable a − by es az b48 . Calcular el valor de a7 − b3 x − y + z. a) 343 b) 159 c) 244 d) 197 e) 315 24. La suma de todos los exponentes de las vax100 − y 100 es: riables del desarrollo de: x4 − y 4 a) 2400 b) 2500 c) 2600 d) 2700 e) 2800 n

n

x2 − y 2 25. Sabiendo que al dividir 3m −1 , el x − y 3m −1 segundo término de su cociente es x16 y 8 . ¿Cu´ antos términos posee el cociente notable? a) 7 b) 3 c) 5 d) 4 e) 6 26. Calcular el n´ umero de términos del desarrollo del C.N. que tienen los términos consecutivos · · · + x70 y 12 − x63 y 15 + · · · a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18 27. Calcular el n´ umero de términos fraccionarios en el cociente notable: x90 − x−60 x3 − x−2 a) 10 d) 18

b) 20 e) 12

c) 15

´ Algebra

92

CAP 04:



1. Si al dividir ax4 + bx − 3 entre x2 − 1 se obtiene un cociente exacto. Hallar a2 + ab + b2 . a) 3 b) 9 c) 6 d) −6 e) −2 2. Calcular el valor de “a” para el cual el trinomio x7 +ax+b sea divisible entre (x+1)2 . a) −5 b) −4 c) −6 d) −8 e) −7 3. En la divisi´ on exacta: 6x4 + 4x3 − 5x2 − 10x + a 3x2 + 2x + b Hallar a2 + b2 . a) 625 d) 620

b) 25 e) 600

c) 650

√ √ b) √ 3 + 2 e) 2 + 1

c)

√

3+1

5. Calcular el valor de m + n + p sabiendo que el polinomio: 6x6 +11x5 −10x4 +8x3 +mx2 + nx + p es divisible entre: 3x3 + x2 + x + 2. a) −4 b) 7 c) 5 d) −1 e) −9 6. Del esquema de Ruffini: A

B

C

P

A

1 D

2 E

3 0

1

Determinar la suma de los coeficientes del dividendo. a) 1 b) 0 c) 3 d) 2 e) −1 7. Hallar el residuo de la siguiente divisi´ on: x4 − (b + 2)x3 + bx2 + x + b2 + b x−1−b a) 1 d) −2

b) 2 e) 0

a) 7x + 5 d) 6x − 1

b) 7x + 2 e) 3x − 1

x3 (x + 1)(x + 2) c) 7x + 6

9. Hallar “n” si la divisi´ on: 12x30 + 16x29 + 9x + n 3x + 4 es exacta. a) 12 d) 6

b) 8 e) 16

c) 10

10. Hallar el resto en:

4. El término independiente del cociente de: √ √ √ √ √ ( 3 − 2)x5 − 2 2x3 − 2 3x + 12 + 2 6 √ √ x− 3− 2 es: √ √ a) √2 − 3 d) 3 − 2

8. Hallar el resto de la divisi´ on:

4.6.

c) −1

(x2 − 1)(x2 − 4)(x2 − 9)(x2 − 4x) − 81 (x + 4)(x − 5) + 15 a) 21 d) 24

b) 27 e) 25

c) 29

11. En la divisi´ on √ √ x4 − 2 6x3 + 6x2 + 6x − 12 √ x− 6 el coeficiente del término lineal del cociente es: √ b) 0 c) 1 a) − √ 6 e) 6 d) 6 12. Hallar el valor de mn si al dividir el polinomio x4 + 2x2 + mx + n entre el polinomio x2 − 2x + 3, resulta un cociente exacto. a) 6 b) 5 c) 3 d) 4 e) 0 13. El coeficiente del término lineal del cociente que resulta al dividir: 6x3 − 19x2 + 19x − 16 entre 3x − 2 es: a) 1 b) 3 c) −5 d) 4 e) −4 14. Calcular ab si el polinomio P (x) = x3 +ax+b es divisible por (x − 1)2 a) 9 b) 6 c) 16 d) 12 e) 25 15. ¿Qué valor debe asumir “m” para que la suma de coeficientes del cociente de la divisi´ on: 2x4 − 5x3 + x2 + 3x + m x−2

´ Algebra

Walter Arriaga Delgado sea igual al resto. a) −2 b) 2 d) −1 e) 0

c) 1

16. Indicar la suma de coeficientes del cociente y residuo al dividir: x4 − x3 − 13x2 − 30x − 15 x2 + 3x + 5 a) −9 d) 13

b) 14 e) 1

c) 10

93

22. ¿Cual es el resto que se obtiene al dividir 2x119 + 1 entre x2 − x + 1? a) 3 − x b) 2x − 3 c) 3 + 2x2 2 d) 2x − 3 e) 3 − 2x x8 − 1 tiene 4 xa + 1 términos, entonces el valor de la suma: a9 + a8 + a7 + · · · + a2 + a + 3 a) 1024 b) −1024 c) 1025 d) −1025 e) 1026


24. ¿Qué lugar ocupa en el desarrollo del C.N.

17. En la divisi´ on 3x31 + n(x + 2) x−1

determine el resto si se sabe que la suma de coeficientes del cociente es 120. a) 24 b) 42 c) 48 d) 54 e) 84 18. Hallar a + b + c + d + e + f , si en la divisi´ on 21x6 + ax4 + bx5 + cx3 + dx2 + ex + f 3x3 + x2 − x − 2

el cociente tiene coeficientes que van disminuyendo de 2 en 2 y un residuo igual a 3. a) −4 b) 2 c) −2 d) 4 e) −3 19. Calcular el resto de la divisi´ on:

b) 2x − 2y e) x − y

25. Hallar el n´ umero de término del C.N. x3n+9 + y 6n+11 xn−1 + y 2n−3 a) 9 d) 7

c) 2x

20. En la divisi´ on: x5 (x + 3)5 + (x + 1)(x + 3) + 7 (x + 1)(x + 2) − 3

indicar el término independiente del residuo. a) 4 b) 6 c) 8 d) 12 e) 10 21. De la divisi´ on xn−2 − (n + 3)x + 4n − 1 x−1

la suma del término independiente del cociente y el residuo vale 105, ¿De qué grado es el cociente? a) 25 b) 52 c) 32 d) 55 e) 60

b) 6 e) 4

c) 8

26. Determinar el valor de “m” en el C.N. x5m−1 − y 12m−5 xm−5 − y m−1 a) 10 d) 6

(x − y)29 − (y − x)27 (x − y + 1)2 + 2(y − x) a) 0 d) −2y

x160 − y 280 x4 − y 7 el término con grado absoluto igual a 252? a) 33 b) 31 c) 32 d) 30 e) 34

b) 8 e) 12

c) 7

27. Sean: A = x20n + x19n + · · · + x2n + xn + 1 B = x20n − x19n + · · · + x2n − xn + 1 Hallar el n´ umero de términos de AB. a) 20 b) 42n c) 40 d) 42 e) 21 28. Sabiendo que xa y 24 es el término central x75 − y b del desarrollo del cociente notable c . x − y2 Calcular: a + b + c. a) 10 b) 40 c) 89 d) 59 e) 99 29. Si xm − 8 entre x − 2 es una divisi´ on notable exacta, calcule el valor numérico de: m39 − m38 + m37 − · · · − m2 + m − 1 m35 − m30 + m25 − · · · − m10 + m5 − 1

a) 61 d) 125

b) 121 e) 142

c) 216

94

´ Algebra


Cap´ıtulo 5:

FACTORIZACION Objetivos z Expresar un polinomio como un producto indicado de otros polinomios de menor grado. z Adquirir habilidades en el manejo de los diferentes casos de factorizaci´ on. z Identificar los diferentes casos de factorizaci´ on para aplicarlo en la soluci´ on de ejercicios.

5.1.

Introducci´ on

As´ı como los n´ umeros naturales pueden ser expresados como producto de dos o m´ as n´ umeros primos, los polinomios pueden ser expresadas como el producto de dos o m´ as factores primos. Cuando un polinomio no se puede factorizar se denomina irreducible. En los casos en que la expresi´ on es irreducible, solo puede expresarse como el producto del n´ umero 1 por la expresi´ on original. La factorizaci´ on es un procedimiento inverso la multiplicaci´ on algebraica, y es de suma importancia puesto que permite simplificar fracciones algebraicas, resolver ciertas clases de ecuaciones e inecuaciones, también nos permite analizar el dominio de una funci´ on y en general, dentro del proceso de soluci´ on de problemas de diferentes temas de la matem´ atica, ayuda sistem´ aticamente, a encontrar la soluci´ on buscada. La factorizaci´ on es una operaci´ on que consiste: Dado un polinomio P (x) hallar dos o m´ as polinomios de menor grado llamados factores de P (x) dados que multiplicados entre s´ı nos de P (x).

5.2.

Definici´ on

Es el proceso que tiene por objeto transformar una expresi´ on algebraica o trascendente, en una multiplicaci´ on de potencias de sus factores primos de la misma especie. Hallar el producto y descomponer en factores primos son dos operaciones inversas, es decir: Polinomio sobre un Campo: 95

´ Algebra

96


multiplicaci´ on (x + 3)(x + 2)

=

x2 + 5x + 6

factorizaci´ on Figura 5.1: Factorizaci´ on

Se dice que un polinomio est´ a definido sobre un campo numérico, cuando los coeficientes de dicho polinomio pertenecen al conjunto numérico asociado a dicho campo. Se consideran tres Campos: Racional (Q), Real (R) y Complejo (C). Ejemplo 5.2.1. P (x) = 2x2 − x + 6 est´ a definido en Q, R y C. Q(x) =

√

5x3 − 5x +

√

7 est´ a definido en R y C pero no en Q.

T (x) = x2 + 7ix − 9 est´ a definido s´ olo en C Definici´ on 5.2.1. Un factor es una expresi´ on no constante que forma parte de una multiplicaci´ on que conduce a una cierta expresi´ on dada. Definici´ on 5.2.2. Un factor primo es aquel factor que no puede descomponerse m´ as, es decir no acepta transformaci´ on o multiplicaci´ on indicada de dos o m´ as polinomios no constantes, pertenecientes a dicho campo numérico. Todo factor primo presenta como u ńico divisores a él mismo y a la unidad. Ejemplo 5.2.2. Factorizar: P (x) = x4 − 4

Soluci´ on:

De acuerdo al campo numérico se tiene que: x4 − 4 = (x2 + 2)(x2 − 2) x4 − 4 = (x2 + 2)(x + x4 − 4 = (x +

√

√

2i)(x −

2 factores primos cuadr´ aticos en Q.

2)(x −

√

√

2)

2i)(x +

√

3 factores primos, uno cuadr´ atico y dos lineales en R. 2)(x −

√

2)

4 factores primos lineales en C.

Nota 5.2.1. La multiplicaci´ on de los factores debe dar la expresi´ on dada. Un polinomio siempre se factorizar´ a en el campo de los n´ umeros racionales salvo se indique lo contrario.


5.3.

´ Algebra

97

Criterios de factorizaci´ on

Existen varios criterios de factorizaci´ on de un polinomio, la utilizaci´ on de los mismos esta en relaci´ on de la naturaleza del polinomio.

5.3.1.

Criterio del factor com´ un

Se aplica en binomios, trinomios y polinomios de cuatro términos o m´ as. No aplica para monomios. El factor com´ un es aquello que se encuentra multiplicando en cada uno de los términos. Puede ser un n´ umero, una letra, varias letras, un signo negativo, una expresi´ on algebraica (encerrada en paréntesis) o combinaciones de todo lo anterior. De los coeficientes de los términos, se extrae el MCD (M´ aximo Com´ un Divisor) de ellos. De las letras o expresiones en paréntesis repetidas, se extrae la de menor exponente. Se extrae el factor com´ un de cada una de las expresiones, el otro factor se obtiene dividiendo cada uno de los términos del polinomio entre el factor com´ un extra´ıdo. Ejemplo 5.3.1. 3x + 3y = 3(x + y) 10a − 15b = 5(2a − 3b) mp + mq − mr = m(p + q − r) −7x3 + 8x2 − 4x + 11 = −(7x3 − 8x2 + 4x − 11) x(a + 1) − t(a + 1) + 5(a + 1) = (a + 1)(x − t + 5) 12c3 d4 f 2 − 18c2 df 2 + 30c5 d3 f 2 h = 6c2 df 2 (2cd3 − 3 + 5c3 d2 h)

5.3.2.

Criterio del factor com´ un por agrupaci´ on de t´ erminos

Se forman grupos de igual n´ umero de términos, buscando que exista alguna familiaridad entre los términos agrupados (es decir, que tengan rasgos comunes). La agrupaci´ on se hace colocando paréntesis. Deben cambiarse los signos de los términos encerrados en el paréntesis si éste queda precedido por signo negativo.

´ Algebra

98


Se extrae factor com´ un de cada grupo formado (es decir, aplicamos el caso 1 en cada expresi´ on encerrada en paréntesis). Por u ´ltimo, se extrae factor com´ un de toda la expresi´ on (es decir, nuevamente se aplica el criterio anterior; en esta ocasi´ on, el factor com´ un es una expresi´ on encerrada en paréntesis). Ejemplo 5.3.2. Factorizar: px + mx + py + my N´ otese que no existe factor com´ un en este polinomio de cuatro términos. Entonces, formamos grupos de dos términos: (px + mx) + (py + my) Extraemos factor com´ un de cada grupo formado: x(p + m) + y(p + m) Por u ´ltimo, extraemos factor com´ un de toda la expresi´ on: (p + m)(x + y)

5.3.3.

Criterio de las identidades

En este criterio debe tenerse en cuenta los diferentes casos vistos en productos notables. Ejemplo 5.3.3. Factorizar: x4 + x2 y 2 + y 4 Para factorizar éste polinomio se debe usar la identidad de Argand: x4 + x2 y 2 + y 4 = (x2 + xy + y 2 )(x2 − xy + y 2 )

5.3.4.

Criterio de las aspas

Se presentan los siguientes casos Aspa simple Se utiliza para factorizar expresiones de la forma: P (x) = Ax2n + Bxn + C P (x, y) = Ax2n + Bxn y m + Cy 2m o cualquier otra expresi´ on transformable a una de las formas anteriores. El método consiste en descomponer los términos extremos, de tal manera que al multiplicar en aspa y sumar los resultados, resulte el término central, luego los factores se toman sumando en forma horizontal. Donde: Bxn y m = A2 C1 xn y m + A1 C2 xn y m luego la factorizaci´ on del polinomio estar´ıa dada por: P (x, y) = (A1 xn + C1 y m )(A2 xn + C2 y m )

´ Algebra


99

P (x, y) = Ax2n + Bxn y m + Cy 2m A1 xn

C1 y m =A2 C1 xn y m

A2 xn

C2 y m =A1 C2 xn y m Bxn y m

Figura 5.2: Aspa simple

Ejemplo 5.3.4. Factorizar: P (x) = 6x2 − 5x − 6 P (x)

=

6x2

−

5x

− 6

3x

2

2x

−3

= 4x = −9x

Luego P (x) = 6x2 − 5x − 6 = (3x + 2)(2x − 3)

−5x

Aspa doble Se utiliza para factorizar expresiones de la forma: P (x, y) = Ax2n + Bxn y m + Cy 2m + Dxn + Ey m + F o cualquier otra expresi´ on transformable a ésta. El método consiste en ordenar el polinomio en la forma establecida, si en caso falte uno o m´ as términos, éstos se completar´ an con ceros. Luego formamos tres aspas como en el esquema (5.3) de la siguiente manera: Un aspa con los términos: Ax2n , Bxn y m y Cy 2m , obteniéndose que: Bxn y m = A1 C2 xn y m + A2 C1 xn y m Un aspa con los términos: Cy 2m , Ey m y F obteniéndose que: Ey m = C1 F2 y m + C2 F1 y m Un aspa con los términos: Ax2n , Dxn y F obteniéndose que: Dxn = A1 F2 xn + A2 F1 xn luego la factorizaci´ on del polinomio estar´ıa dada por: P (x, y) = (A1 xn + C1 y m + F1 )(A2 xn + C2 y m + F2 )

´ Algebra

100


Ax2n + Bxn y m + Cy 2m + Dxn + Ey m + F A1 xn

C1 y m

F1

A2 xn

C2 y m

F2

Figura 5.3: Aspa doble

Aspa doble especial Se utiliza para factorizar expresiones de la forma: P (x) = Ax4n + Bx3n + Cx2n + Dxn + E P (x, y) = Ax4n + Bx3n y m + Cx2n y 2m + Dxn y 3m + Ey 4m o cualquier otra expresi´ on transformable a una de las formas anteriores. El método consiste en ordenar el polinomio en la forma establecida, si en caso falte uno o m´ as términos, éstos se completar´ an con ceros. Luego formamos tres aspas como en el esquema (5.4) de la siguiente manera: Un aspa con los términos: Ax4n y Ey 4m , obteniéndose que: F x2n y 2m = A1 E2 x2n y 2m + A2 E1 x2n y 2m luego obtenemos el término: Gx2n y 2m = Cx2n y 2m − F x2n y 2m Un aspa con los términos: Ax4n , Bx3n y m y Gx2n y 2m obteniéndose que: Bx3n y m = A1 G2 x3n y m + A2 G1 x3n y m Un aspa con los términos: Gx2n y 2m , Dxn y 3m y Ey 4m obteniéndose que: Dxn y 3m = G1 E2 xn y 3m + G2 E1 xn y 3m luego la factorizaci´ on del polinomio estar´ıa dada por: P (x, y) = (A1 x2n + G1 xn y m + E1 y 2m )(A2 x2n + G2 xn y m + E2 y 2m )

´ Algebra


101

Gx2n y 2m Ax4n + Bx3n y m + Cx2n y 2m + Dxn y 3m + Ey 4m A1 x2n

G1 xn y m

E1 y 2m A2 E1 x2n y 2m

A2 x2n

G2 xn y m

E2 y 2m A1 E2 x2n y 2m F x2n y 2m

Figura 5.4: Aspa doble especial

Aspa triple

5.3.5.

Criterio de los divisores binomios

Este criterio se utiliza para factorizar polinomios de cualquier grado, siempre y cuando admita por lo menos un factor lineal de la forma ax ± b.

Este método se fundamenta en el siguiente principio: “Si un polinomio se anula para x = ±a; uno

de sus factores ser´ a (x ∓ a)”.

Ejemplo 5.3.5. En el polinomio: P (x) = x3 − 3x − 2, observamos que P (2) = 0, entonces diremos

que 2 es una raiz de P (x).

Para determinar los posibles ceros o ra´ıces racionales (PCR) de un polinomio P (x) de coeficientes enteros P (x) = a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an ;

a0 · an 6= 0

se utilizar´ a el siguiente criterio:

PCR = ±

5.3.6.

Divisores de |an | Divisores de |a0 |

Criterio de los artificios

Son métodos pr´ acticos que se utilizan para factorizar expresiones particulares, estructurando los términos de la expresi´ on de modo que sea factorizable por alguno de los métodos conocidos. As´ı tenemos: z Cambio de variable Consiste en transformar, equivalentemente, mediante un cambio adecuado, un problema operativo en otro m´ as simplificado. z Sumas y restas Consiste en sumar y restar simult´ aneamente una misma expresi´ on o descomponer alg´ un término del polinomio, de tal modo que una expresi´ on aparentemente no factorizable se transforme en

´ Algebra

102


otra que se factorice. En particular: • Si la expresi´ on es un polinomio de grado par, se tratar´ a de formar un trinomio cuadrado perfecto para luego llevarlo a una diferencia de cuadrados.

• Si la expresi´ on es un polinomio de grado impar, se tratar´ a de formar una suma o diferencia de cubos.

z Polinomios rec´ıprocos Son aquellos polinomios que tienen por caracter´ıstica: si una ra´ız cualquiera es α la otra necesariamente es α−1 con α 6= 0, y tienen la siguiente forma:

P1 (x) = ax + a

P2 (x) = ax2 + bx + a P3 (x) = ax3 + bx2 + bx + a P4 (x) = ax4 + bx3 + cx2 + bx + a .. . Nota 5.3.1. • Todo polinomio de grado impar se anula para 1 ´ o −1. • Sea P (x) un polinomio de grado impar entonces (x − 1) ´ o (x + 1) ser´ a uno de sus factores.

´ Algebra


CAP 05:

103

Factorizaci´ on

1. Dado el polinomio factorizado P (x, y) = 3xy 2 (x2 + 1)2 (xy + 2)3 (x2 + xy + y 2 ). Indicar: El n´ umero de factores primos. El n´ umero de factores primos lineales. El n´ umero de factores primos cuadr´ aticos. El n´ umero de factores primos monomios. El n´ umero de factores primos binomios. El n´ umero de factores primos trinomios. a) 5, 3, 2, 2, 1, 2 c) 4, 1, 3, 2, 1, 2 e) 4, 2, 2, 3, 1, 1

b) 5, 2, 3, 2, 2, 1 d) 4, 3, 1, 2, 2, 3

2. Uno de los factores primos de P (x, y) = x2 + 2x + 4y + 2y 2 + 3xy es: a) x − y − 2 b) x + y c) x − 2y d) x − y + 2 e) x + y + 2 3. Al factorizar P (x) = (2x2 − 3x − 5)2 − (x2 − 3x − 4)2 se obtiene un factor de la forma (x + m)2 . El valor de m es: a) 2 b) 3 c) 1 d) −1 e) −2 4. Al factorizar P (x) = x3 − 4x2 + x + 6 se obtiene (x − m1 )(x − m2 )(x − m3 ). Hallar m1 + m2 + m3 a) 4 b) 2 c) 3 d) 1 e) 5 5. Al factorizar F (x) = 1 + x(x + 1)(x + 2)(x + 3), se obtiene que uno de los factores primos es de la forma (px2 +qx+r). Entonces p2 +q 2 +r 2 es: a) 8 b) 10 c) 12 d) 11 e) 14 6. Al factorizar E = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 4. La suma de los términos independientes de sus factores primos es: a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 1

5.1.

7. La suma de los factores primos lineales de: F = x2 (y−z)−y 2 (z−x)+z 2 (x+y)−2xyz es: a) x + y b) x + y − z c) 2y d) 2x e) 2x + 2y − 2z n+1

8. Al factorizar a2 − 1. Uno de los factores primos es: n n b) a2 − 1 c) a2 + 1 a) a2n + 1 d) an − 1 e) a2n − 1 9. Uno de los factores primos binomios de la expresi´ on E = x4 + 2x3 − 4x2 + 8x − 32 es: a) x2 + 4 b) x2 + 2 c) x2 + 3 2 2 d) x + 1 e) x + 5 10. Hallar la ra´ız cuadrada de la expresi´ on: 2 K = (a +ab+bc+ca)(bc+ca+ab+b2 )(bc+ ca + ab + c2 ) a) (a − b)(a − c)(b − c) b) (a + b)(a + c)(b − c) c) (a + b)(a − c)(b + c) d) (a + b)(a + c)(b + c) e) (a − b)(a − c)(b − c) 11. La expresi´ on idéntica a: P (a) = 40 + (a − 1)(a − 3)(a + 4)(a + 6) es: a) (a2 + 3a + 8)(a2 + 3a + 14) b) (a2 + 3a − 14)(a2 + 3a − 8) c) (a2 − 3a + 14)(a2 − 3a − 8) d) (a2 − 3a − 8)(a2 + 3a − 14) e) (a2 − 3a − 14)(a2 + 3a + 8) 12. Dadas las expresiones M = 6x2 + x − 12 y N = 10x2 + 13x − 3. El factor primo com´ un de M y N es: a) 5x − 1 b) 3x + 2 c) 2x + 5 d) 3x − 4 e) 2x + 3 13. Al factorizar: E = 2x2 +xy −y 2 −3x+3y −2. Se obtiene como uno de sus factores primos lineales: a) 2x+ y − 1 b) x − y + 2 c) 2x − y + 1 d) x + y + 2 e) 2x − y − 1 14. El factor primo cuadr´ atico que resulta al factorizar la expresi´ on P (x) = 2x3 − x2 − x − 3 es: a) x2 + x+ 1 b) x2 +x−1 c) 2x2 −x+1 d) x2 −x−1 e) 2x2 −x+1

104

´ Algebra

15. Si P (x) = (x2 + 4x + 2)(x2 + 4x + 6) + 4 se factoriza como m(x + 2)n . Los valores de m y n son respectivamente: a) m = 2, n = 3 b) m = 2, n = 4 c) m = 3, n = 4 d) m = 1, n = 4 e) m = 1, n = 3 16. El n´ umero de factores primos lineales de P (x, y) = (x2 − y 2 )2 − [(x + y)2 ]2 es: a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) 5 17. El valor numérico de uno de los factores primos de E = 22n − 2n+1 − 3 para n = 2 es: a) 2 b) 9 c) 4 d) 3 e) 5 18. La suma de los factores primos de F (x) = (x − 2)(x − 2 + p + q) + pq para p+q es: x=− 2 a) −2 b) 2 c) −4 d) −5 e) 4 19. Factorizar : (x+y)x2 +(x2 +z 2 )xy+(x+y)z 2 e indicar un factor primo. b) x + xy c) x2 + z a) x2 + z 2 d) x + y e) x + y + z 20. Dar el n´ umero de factores primos de: P (x) = (3x + 4)(3x − 1)(x − 1)(3x + 2) + 7 a) 1 b) 5 c) 3 d) 2 e) 4 x4 − x3 − 6x2 + 4x + 8.

21. Al factorizar: P (x) = Se obtiene una expresi´ on de la forma a+b+c (x + a)(x + b)(x + c)n . Hallar n a) 0 b) 1/2 c) 5/2 d) 1 e) 4 22. La suma de los coeficientes de un factor primo de: 12x2 − 6xy − 14x + 9y − 6, es: a) 0 b) 7 c) 4 d) 2 e) 5 23. Hallar el F.P. repetido de: (x + y)3 − (x + y + z)z 2 + z(x + y)2 a) x + y b) x + y − z c) x + y + z d) x − z e) x − y − z 24. Factorizar: (x + y)4 − 2(y 2 + z 2 )(x + y)2 + (y 2 − z 2 )2

Walter Arriaga Delgado y calcular la suma de sus factores primos. a) 4x + 4y b) 4x + 4y + 2z c) 4x − 4y d) 4x + 4y + 4z e) 4x − 4z

25. Determinar el n´ umero de F.P. cuadr´ aticos que se obtiene al factorizar x10 + x8 + 1 a) 0 b) 1 c) 4 d) 2 e) 3 26. Hallar la suma de los F.P. de primer grado, del polinomio: (x + 3)4 − x2 (x + 6)2 − 81 a) x2 + x b) 2x + 6 c) x2 + 6x d) 19x + 6 e) 6x − 1 27. Determinar la suma de los términos independientes de los factores primos de: (x2 − 25)(x2 + 8x) − (8x + 9)(25 − x2 ) a) 19 b) 50 c) 0 d) 34 e) 9 28. Indicar el grado de uno de los factores primos de: x21 + y 21 + x10 y 10 (xy + 1) a) 2 b) 6 c) 11 d) 8 e) 16 29. Determinar el n´ umero de factores primos de: P (x, y) = 2x3 + y 3 − x2 y − 2xy 2 a) 3 b) 2 c) 4 d) 1 e) 5 30. La suma de los términos independientes de sus factores primos de 12x3 +16x2 −7x−6 es: a) 1 b) 5 c) 3 d) 2 e) 4 31. La suma de los coeficientes de un factor primo de P (x, y) = 49x4 − 11x2 y 2 + 25y 4 es: a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) 5 32. El n´ umero de factores primos cuadr´ aticos 2 de (x + 2) (x + 1)(x + 3) − 5x(x + 4) − 27 es: a) 1 b) 5 c) 3 d) 4 e) 2 33. Factorizar 23n − 6 + 26n+1 y hallar el valor numérico de un factor primo, para n = 2/3. a) 1 b) 2 c) 5 d) 3 e) 4


CAP 05:

´ Algebra

105

Factorizaci´ on

1. La suma de los términos independientes de los F.P. de x14 + x12 + x10 + . . . + x2 + 1, es: a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5 2. Determinar el coeficiente que se obtiene al factorizar (3x + 2y + 3z)3 + (3x − 2y + 3z)3 a) 12 b) 45 c) 24 d) 30 e) 18 3. Al factorizar 21x4 −20x3 +35x2 −10x+4. El residuo de dividir el factor primo de mayor valor numérico para x = 0, entre (x − 1), es: a) 0 b) 2 c) 5 d) 4 e) 7 4. El n´ umero de factores primos de m32 − n32 es: a) 6 b) 12 c) 4 d) 8 e) 2 5. Determinar “k”, si el polinomio: x4 − (5 − k2 )x3 + k2 x + (3k + 1)x + 2x2 + 7 es factorizable : a) 1 b) −5 c) −2 d) 2 e) 7 6. Hallar la ra´ız cuadrada de: P (x) = (x + 3)(x − 3)(x + 2)(x − 4) + 9 a) x − 9 b) x2 −x−9 c) x2 − x + 9 2 e) x − 2 d) x − 9 7. Factorizar P (x) = x3 − 10x2 + 31x − 30 y hallar el mayor valor numérico de los factores primos cuando se reemplaza x por −2. a) −7 b) 5 c) −5 d) 0 e) −4 8. Hallar la diferencia entre los F.P. de: x(x − a) + y(y − a) + 2xy a) 2x b) 2y c) a d) 0 e) −2x 9. La suma de coeficientes de un F.P. de: (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) + x(x + 5) es: a) 14 b) 8 c) 10 d) 12 e) 6 10. Luego de factorizar: P (x, y) = x2 y 2 + 2x2 y + xy 2 + 2xy indique

5.2.

el valor de verdad o falsedad de cada una de las proposiciones: Un factor primo es: (x + 1) ´ o (y + 2) La suma de coeficientes de un factor primo es 3 xy es un factor primo de P (x, y) xy es un factor primo cuadr´ atico a) VVVV d) VVFF

b) VVVF e) FFFF

c) FFFV

11. Indique el n´ umero de factores primos cuadr´ aticos de x8 y+x7 +2x6 y+2x5 +x4 y+x3 a) 1 b) 2 c) 0 d) 3 e) 4 12. Uno de los factores primos de a2 b3 +a4 b−ab4 −b2 a3 −ab2 −a3 +b3 +ba2 es: a) ab + 1 b) a + b c) ab 2 2 d) ab − 2 e) a + b 13. Determinar el n´ umero de factores primos cuadr´ aticos de: P (x) = x5 + x + 1 a) 0 b) 2 c) 1 d) 3 e) 4 14. Calcular el n´ umero de factores primos cuadr´ aticos al factorizar P (x) = x4 + 13x3 + 45x2 + 20x + 2. a) 2 b) 0 c) 1 d) 3 e) 4 15. Determinar la suma de los factores primos √ √ √ de: x3 − 2x2 −√15x − a x2 + 2 a x +√15 a a) 3x − 2 − a b) 3x − 2 + a √ √ c) 3x + 3 − a d) 3x + 2 − a √ e) 3x + 2 + a 16. Se˜ nalar el n´ umero de factores primos de P (x, y) = xy 4 − 5x2 y 3 + 4x3 y 2 − 20x4 y a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) 5 17. Al factorizar: x4 + 2x3 − x − 6 obtenemos: a) (x2 − x + 3)(x2 − x − 2) b) (x2 − x + 3)(x2 + x + 2) c) (x2 + x + 3)(x2 − x − 2) d) (x2 + x − 3)(x2 − x + 2) e) (x2 + x − 3)(x2 + x + 2)

´ Algebra

106

18. Hallar el valor numérico de uno de los factores primos para x = y = 1 de: P (x, y) = 1 + 2x2 − 6x2 y 2 − 4x3 y − y 4 − 4xy 3 a) 1 b) 7 c) 6 d) 4 e) 5 19. Hallar el valor numérico de uno de los factores primos para x = 3 de: P (x) = x4 + 4x5 − (x6 − 1)2 a) 29 b) 37 c) 9 d) 19 e) 31 20. Un factor primo de ac + ad + acd − bc − bd − bcd es: a) a + c b) a + d c) b + c d) a − b e) c − d 21. Indicar el n´ umero de factores primos de: 3 4 2 2 5 a b c + a b c2 + a3 b3 c3 + a2 b4 c3 . a) 2 b) 5 c) 3 d) 9 e) 14 22. Dar el n´ umero de factores primos cuadr´ ati3 3 2 2 2 2 cos en la expresi´ on: a b + a b c + a b d + a2 b2 e + abcd + abce + abde + cde. a) 1 b) 2 c) 5 d) 4 e) 3 23. Factorizar E = a3 + 9b3 + 3(a2 b + ab2 ) y dar la suma de coeficientes de un factor primo. a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 16 24. Se˜ nalar la suma de los factores primos de: (x2 + y 2 + x − y)(x2 + y 2 − x + y) − 4x2 y 2 . a) 3x + y b) x + 3y c) x − 2y d) x + y + 2 e) x − y + 1 25. Indicar un factor primo de: [(x − y + z)(x − y − z) + 1]2 − 4(x − y)2 . a) x + y + z + 1 b) x − y + z + 2 c) x − y + z d) x − y + z + 1 e) z + y − x + 2 26. Factorizar P (x) = x5 + x4 + x2 + x + 2 e indicar el valor de verdad o falsedad de una de las proposiciones: Un factor primo es x2 + x + 2.

x3 − x + 2

Existen dos factores primos.

o

Walter Arriaga Delgado La suma de coeficientes de un factor primo m´ onico es 1. a) VVV d) FFV

b) VVF e) FFF

c) VFF

27. Indicar el n´ umero de factores primos de: 12 P (x) = x + x8 + x4 . a) 10 b) 3 c) 5 d) 9 e) 4 28. Indique la suma de los factores primos de: P (x, y) = 8x3 − y 3 + 4x2 y − 2xy 2 − 2x + y. a) 6x − y b) x + 6y c) 6x + y d) 2x − 3y e) 5x − 2 29. Después de factorizar P (x) = (x − 2)2 (x2 − 4x + 6) − 15 se˜ nale el factor primo que tiene mayor suma de coeficientes. a) x2 − 4x + 9 b) x2 − 4x + 1 2 c) x − 4x + 3 d) x2 − 4x − 7 e) x2 − 4x + 4 30. Indicar un factor primo de: P (x, y) = (x + 1)(x + 4) + 9y − 9y 2 . a) x + 2y + 1 b) x − 3y − 5 c) x + 4y − 6 d) x + 3y + 1 e) 2x + 3y + 5 31. Luego de factorizar umero P (x) = x6 − 9x4 + x3 − 21x2 − 12, el n´ de factores primos es: a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6 32. Factorice 4(x2 +y 4 +z 6 )+17(y 2 +z 3 )x+8y 2 z 3 y se˜ nale la suma de coeficientes de un factor primo. a) 7 b) −1 c) 1 d) −7 e) 9 33. Factorizar P (x) = x4 +5x3 +13x2 +17x+12 e indicar un factor primo. a) x2 + 3x − 4 b) x2 + 2x + 2 2 c) x + 3x + 4 d) x2 + 2x + 4 e) x2 + 3x + 3 34. La suma de los coeficientes de un factor primo de x3 − 3xy + y 3 + 1 es: a) 3 b) 2 c) 1 d) 5 e) 4


CAP 05:

´ Algebra

107

Factorizaci´ on

1. El factor primo repetido de la expresi´ on (x2 + 1) + (x2 + 2) + (x2 + 3) + . . . + (x2 + (4x + 1)) una vez factorizado es: a) x2 + 1 b) x + 1 c) x − 1 d) x − 2 e) x + 2 2. El factor primo que no corresponde a la expresi´ on P (x, y, z) = x6 y + x4 z 3 − x6 z + y 6 z − x4 y 2 z − x2 y 5 − y 4 z 3 + x2 y 4 z es: a) x2 + y 2 b) x + y c) x2 − yz − z 2 d) x − y e) y + z 3. Después de factorizar P (x, y, z, w) = (x2 + y 2 + z 2 − w2 − 2xy)2 − 4z 2 (x − y)2 el factor primo que no corresponde a la expresi´ on es: a) x − y + z − w b) x − y + z + w c) x + y − z − w d) x − y − z + w e) x − y − z − w 4. Después de factorizar en 2 factores primos, la expresi´ on P (x) = x2n+1 − xn − x + 1, el valor numérico del factor primo de mayor grado para x = 2 es 257. El valor de n es: a) 7 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 5. Indicar el n´ umero de factores primos de: x4 y 2 z 7 + xy 2 z 7 + 3x3 y 2 z 7 + 3x2 y 2 z 7 a) 5 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1 6. Indicar el n´ umero de factores primos de: 2 P (x) = (x + x4 )2 + (x3 + x5 )2 a) 3 b) 2 c) 5 d) 6 e) 8 7. Al factorizar la siguiente expresi´ on: P (x) = 3ax4 + bx3 + cx2 + (3a − 1)x + a obtenemos 2 factores primos que difieren en 2 unidades, calcular (a + b + c). a) 39 b) 32 c) 34 d) 33 e) 31 8. Indique la suma de coeficientes de un factor primo de: 30pa2 x6 + 18a2 mpx5 + 45a2 mx6 + 27a2 m2 x5 a) 6 b) 4 c) 8 d) 7 e) 10

5.3.

9. Hallar la suma de los factores primos de: E = b2 + c2 − a2 − d2 + 2ad + 2bc a) 2(b + c) b) 2(a + c) c) 2(a + b) d) 2(c + d) e) 0 10. Después de factorizar P (x, y) = 27x3 − 8y 3 , la suma de coeficientes del factor primo trinomio es: a) 10 b) 5 c) 20 d) 19 e) 0 11. Si x2 + mx + 9 es un trinomio cuadrado perfecto (m > 0), se˜ nale la suma de términos cuadr´ aticos de los factores primos en: m(a4 b4 + c4 ) + 13a2 b2 c2 a) 5a2 b) 5c2 c) 5b2 2 2 2 2 d) 5a b e) 2a b 12. Proporcione la suma de factores primos de: (a2 − c2 + b2 + 2ab + 1)2 − 4(a + b)2 . a) 2(a + b) b) 2(b + c) c) 2(a + b − c) d) 4(b + c) e) 4(a + b) 13. En cu´ antos factores primos se descompone: F (a, b) = 64a7 b7 − ab13 a) 3 b) 12 c) 6 d) 10 e) 14 14. Cu´ antos factores primos lineales tiene la expresi´ on: (x + 2)4 + (x + 5)2 − 6(x + 2) − 9 a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) 4 15. Cu´ al es el menor término independiente, en uno de los factores primos de: P (x) = (x2 − 5)x2 + 4 a) 1 b) −3 c) −4 d) −2 e) 2 16. Indique un factor primo de: P (x) = 2(x + 21)2 + (x + 20)2 − (x + 19)2 − 1 a) x + 19 b) x + 20 c) x + 21 d) x − 22 e) x − 23 17. Se˜ nalar uno de los factores primos de: P (x) = (x2 + 7x + 5)2 + 3x2 + 21x + 5 a) x + 2 b) x + 5 2 c) x + 2 d) x2 + 7x + 3 e) a, b y d

108

´ Algebra

18. Se˜ nalar un factor primo de: E(x, y) = 12x2 − 7xy − 10y 2 + 59y − 15x− 63 a) 3x + 2y + 9 b) 4x + 5y − 7 c) 4x − 5y + 7 d) 3x − 2y − 9 e) todos 19. Factorizar: M = 6x2 − 20y 2 − 14z 2 + 7xy + 38yz − 17xz e indique la suma de coeficientes de un factor primo. a) 1 b) 8 c) 14 d) 6 e) 4 20. Dado el polinomio: P (x) = c(c − 1)x4 + (2c2 − c + 1)x3 + (3c2 − 2)x2 + (2c2 + c + 1)x + c(c + 1). Dar la suma de coeficientes de los términos lineales de sus factores primos. a) 5c2 b) 3c c) 2c2 d) 2c e) −2c 21. Al factorizar: f (x) = 2x4 + 3x3 − x2 + 7x − 3 se obtiene un factor primo de la forma: ax2 + bx − c. Calcular “a + b + c”. a) 2 b) 4 c) 3 d) 5 e) 6 22. Sea el polinomio: P (x) = x4 − 3x2 − 6x − 8. Determinar el valor num´ erico de un factor r 1 21 primo cuando x = + 2 4 a) 0 b) 4 c) 2 d) 3 e) 1 23. Se˜ nalar el factor primo cuadr´ atico de mayor suma de coeficientes en: P (x) = x4 − 4x3 + 11x2 − 14x + 10 a) x2 + 3x + 2 b) x2 − 4x − 2 c) x2 − 2x + 5 d) x2 + 4x + 2 2 e) x − 2x + 2 24. Factorizar M (x) = 2x4 + 5x3 − x2 − 5x + 2 y se˜ nale un factor primo. a) x + 2 b) 2x + 1 c) x − 1 d) x2 + x + 1 e) x2 − x + 1 25. Factorizar: P (x) = x4 + m4 − 4xm(x2 + m2 ) + 5x2 m2 e indicar la suma de sus factores primos. a) (x + m)2 b) (x + m)2 c) 2(x + m)2 d) 2(x − m)2 2 e) 3(x + m)


26. Indicar el n´ umero de factores primos lineales en: P (x) = x6 + 7x5 + 15x4 + 11x3 − 8x2 − 18x − 8 a) 0 b) 3 c) 2 d) 1 e) 4 27. Se˜ nalar un factor primo de: P (x) = 6x5 + 41x4 + 97x3 + 97x2 + 41x + 6 a) x − 1 b) x − 2 c) 3x − 1 2 d) 3x +7x+2 e) 2x + 1 28. Factorizar: M (x) = 81x7 + 4x3 e indicar el n´ umero de factores primos lineales. a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) 5 29. Luego de factorizar: P (x, y) = x5 + x4 y + y 5 se˜ nale un término de un factor primo. a) −xy 2 b) x3 y 2 c) x2 y 3 d) −x3 y 3 e) x4 y 30. Se˜ nale la suma de coeficientes de un factor primo de: P (x, y) = x13 + 2x8 − x7 + 2x2 + 4 a) 8 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3 31. Factorizar y dar la suma de factores primos lineales de: E(x, y) = x3 y 2 − x3 z 2 + y 3 z 2 − x2 y 3 + x2 z 3 − y 2 z 3 a) x + y b) 2(x − z) c) 2(x + z) d) 2(x + y + z) e) 2(x − y) 32. Indique el n´ umero de factores primos de: P (x) = x20 (x27 + x20 + 1) + x7 (x20 + 1) + 1 a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 e) 8 33. Cu´ al no es un factor primo de: P (a, b, c) = a5 bc3 + a3 b5 c + ab3 c5 − a5 b3 c − a3 bc5 − ab5 c3 a) c + b b) c − b c) a + b + c d) a e) a − b 34. En 8x2 − M x − 15, hallar M de modo que sus factores primos sumen algebraicamente 9x − 2 a) −37 b) −35 c) 5 d) 37 e) 24


CAP 05:

´ Algebra

109

Factorizaci´ on

1. Factorizar: 7xn−1 − 4xn−3 + 3xn−2 , con n ≥ 3 ∧ n ∈ N y se˜ nalar la suma de coeficientes de uno de los factores primos. a) 6 b) 2 c) 8 d) 12 e) 4 2. Se˜ nale el término independiente de un F.P. de: xyz 3 + 8yz 2 − 8y 2 z 3 + x2 yz + 8xy − x2 − 8xy 2 z − xz 2 a) 3 b) 4 c) 2 d) −2 e) −1 3. Factorice: (a − b)2 (c − d)2 + 2ab(c − d)2 + 2cd(a2 + b2 ) e indique un factor primo a) a − b b) a + b c) a2 + b2 2 2 d) c − d e) c − d 4. Factorice: P (x) = (x − 3)(x − 2)(x − 1)x − 3 e indique el factor primo que posee menor valor numérico para cualquier valor de x. a) x2 − 3x − 1 b) x2 −3x+1 2 d) x2 −3x+3 c) x − 3x − 3 e) x2 + 3x − 1 5. Para que √ valor de n el siguiente trinomio nx6 + 8 n + 9 x3 y + 25y 2 es un cuadrado perfecto a) 12 b) 13 c) 14 d) 16 e) 15 6. Al factorizar: (x−5)(x−7)(x+6)(x+4)−504 uno de los factores primos lineales es: a) x − 5 b) x + 7 c) x + 6 d) x − 2 e) x + 3 7. Factorice e indique el n´ umero de factores primos lineales de: P (x, y, z) = x2 y 2 z 2 + x2 yz + xy 2 z + xyz 2 + xy + xz + yz + 1. a) 4 b) 1 c) 2 d) 3 e) 0 8. Factorice e indique el n´ umero de factores primos cuadr´ aticos de: P (x, y) = x4 y 4 + 3 3 3 2 x y + x y + x2 y + x2 y 3 + xy 2 + xy + 1. a) 0 b) 2 c) 1 d) 3 e) 4 9. Factorice e indique el n´ umero de factores primos lineales de: P (x, y, z) = x2 y 2 z +

5.4.

x3 y 2 z + xyz + x2 yz + xy + x2 y + x + 1. a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) 4 10. Hallar la suma de los factores primos de: [(x − y + z)(x − y − z) + 1]2 − 4(x − y)2 . a) x + y b) 4x + 4y c) x − y d) 4x − 4y e) 2x + y 11. Luego de factorizar E(x, y, z) = (x + y)2 + (x − z)2 − 5(y + z)2 indique la suma de los cuadrados de los coeficientes de un F.P. a) 49 b) 6 c) 7 d) 4 e) 27 12. Se˜ nale el término de mayor grado de un factor primo del polinomio P (x) = x7 − 2x5 + 3x4 − 3x2 + 3x − 1 a) x2 b) x6 c) x4 d) x5 e) x3 13. Indicar el valor de verdad de cada una de las proposiciones con respecto al polinomio: P (x) = x5 − 5x4 − x3 + 16x2 − 11x + 2. Un factor primo es c´ ubico de término independiente 2. −5x es un término de un factor primo.

−3x es un término de un factor primo cuadr´ atico. a) VVV d) VVF

b) VFF e) FVV

c) FVF

14. Factorice e indique el n´ umero de factores 2 primos de: (1 + x + x + · · · + xn )2 − xn a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5 15. Factorize P (x) = x8 − 12x4 + 16 e indique el producto de los términos de un factor primo. a) 4x6 b) −4x6 c) x6 d) 8x6 e) 2x6 16. Indicar el n´ umero de F.P. lineales de: 7 P (x) = x − 20x5 − 2x4 + 64x3 + 40x2 − 128. a) 3 b) 4 c) 1 d) 2 e) 5

110

´ Algebra

17. Al factorizar el polinomio: P (x) = (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 )2 − x5 , un factor primo es: a) (1 + x + x2 + x3 + x4 ) b) (1 − x + x2 − x3 + x4 ) c) (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ) d) (1 − x + x2 − x3 + x4 − x5 + x6 ) e) a y c 18. Hallar el n´ umero de factores primos de: P (x) = 16x6 − 24x4 + 9x2 − 1. a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 6 19. La factorizaci´ on de la suma de los factores primos de P (x) = 6x5 + 9x4 + 14x3 + 4x2 − 3x − 2 es de la forma a(2x + 1)(x + 1). Calcular el valor de “a”. a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5 20. Indicar un F.P. cuadr´ atico en: 7 P (x) = (2x + 1) + 4x(x + 1) + 2 a) 4x2 + x + 1 b) 4x2 + x + 3 2 c) x − 5x + 1 d) 4x2 + 6x + 3 e) 2x2 + x + 2 21. Proporcionar un factor primo de: P (x) = x10 + x2 + 1. a) x4 − x2 + 1 b) x6 − x4 + 1 d) x8 − x − 1 c) x5 + x + 2 2 e) x − x − 1 22. Indicar el n´ umero de factores primos de: 5 P (x) = x + 3x4 − 17x3 − 27x2 + 52x + 60 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 23. Hallar “a” para que el polinomio pueda descomponerse en 2 factores primos: 3x2 − (a + 1)y 2 − (a + 4)y − (1 + a) a) 1 b) 3 c) 2 d) −2 e) −4


26. Al factorizar 27x5 − 27x4 − 18x3 + 10x2 + 7x + 1 se obtiene una expresi´ on de la forma α β (x − 1) (γx + 1) . Hallar α · β · γ. a) 9 b) 18 c) 12 d) 24 e) 8 27. Indicar el n´ umero de FP. lineales de: (x + y)3 − x3 − y 3 . a) 1 b) 2 c) 5 d) 4 e) 3 28. Indicar el n´ umero de FP. lineales de: (x + y)5 − x5 − y 5 . a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 29. Indicar el n´ umero de FP. lineales de: 7 7 (x + y) − x − y 7 . a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) 5 30. Identifica un factor primo del siguiente polinomio: P (x) = a2 x2 − 8acx + 16c2 − 25b2 a) x + ac b) x − b + ac c) ax + 4c − 5b d) ax−4c+5b e) ax − c + 5b 31. Si un F.P. de: P (m, n) = m3 + 3m2 n + 3 6mn2 + √ 18n es de la forma: am + bn. Calcular: a + b a) 4 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6 32. Hallar la suma de coeficientes de un factor primo de: P (x) = x3 (3x+1)3 −(6x+1)2 −15 a) 1 b) 2 c) 5 d) 3 e) 7 33. Hallar el n´ umero de factores primos lineales de: P (x, y) = (x + 2y)2 − 2xy(3x − 4xy + 6y) a) 4 b) 3 c) 0 d) 1 e) 2

24. La suma de los coeficientes de un F.P. de: (x+y −2z)3 +(x+z −2y)3 +(y +z −2x)3 es: a) 0 b) 1 c) −2 d) 2 e) −1

34. Hallar el n´ umero de factores primos lineales de: P (x, y) = (x+ y)3 + 3xy(1− x− y)− 1 a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 0

25. Uno de los F.P. cuadr´ aticos de: 5 3 2 P (x) = x + x + x + 2x + 1, es: a) x2 − x − 1 b) x2 − x + 1 c) x2 + 3 d) x2 + x + 1 e) x2 + 1

35. Indicar el producto de los términos de un factor primo de: P (x) = x8 +x6 −x4 −5x2 +4 a) 4x3 b) 8x3 c) 16x3 3 3 d) 2x e) 12x

´ Algebra


CAP 05:

Factorizaci´ on

111

5.5.

1. La suma de los factores primos de a + b − a3 + ab2 + a2 b − b3 es: a) a − b + 2 b) a + b + 2 c) a + b d) a − b − 1 e) a + b + 1

10. Factorizar: x8 −12x4 +16 e indicar el n´ umero de factores primos a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) 5

2. Se˜ nale el coeficiente del término lineal de uno de los factores primos de: x2 (x2 − 4x + 11) − 14x + 10 a) 2 b) −1 c) 0 d) 1 e) −2

11. Factorizar: 2x5 + x4 + x3 + x + 1, luego el factor primo de mayor grado es: a) x3 − x2 + 1 b) 2x3 − x2 + 1 3 2 c) x − x + 1 d) x3 + 1 e) 2x3 + 3x + 1

3. Al factorizar el polinomio: (x4 + x3 + x2 + x+1)2 −x4 , uno de sus factores primos tiene como suma de coeficientes a: a) 6 b) 4 c) 2 d) 7 e) 8

12. Factorizar: P (x, y, z) = x3 y 2 z+x2 y +x2 yz+ x+x2 y 2 z +xy +xyz +1 e indicar el n´ umero de factores primos lineales. a) 5 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1

4. Al factorizar: x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 4, la suma de los términos independientes de sus factores primos es: a) 3 b) 2 c) 5 d) 4 e) 1

13. Factorizar: a4 + 4b4 e indicar el n´ umero de factores primos. a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5

5. Dado el polinomio 135x3 + 3x2 − 11x + 1, hallar el mayor coeficiente principal de uno de los factores irreductibles: a) 10 b) 27 c) 5 d) 9 e) 3

14. Factorice el polinomio: x5 − 3x3 − x2 + 1 e indique la suma de los términos lineales de los factores primos. a) 0 b) x c) 2x 2 d) 1 e) x

6. Indique la diferencia de los factores primos de: x4 − 3x2 y 2 + y 4 a) 42xy b) 2xy c) 24xy d) 18xy e) 9xy

15. Factorice la siguiente expresi´ on: x7 + x5 + 1. El valor numérico de uno de los factores primos cuando x = 1, es: a) 6 b) 4 c) 5 d) 3 e) 7

7. Indicar la suma de los términos lineales de los factores primos de: Q(x) = (x2 + 1)(x2 − 4) − x(1 − x2 ) + 6 a) 4x b) 2x c) x d) 0 e) 3x 8. Indicar la suma de los coeficientes de los términos cuadr´ aticos de los factores primos de: W (x) = 4(2x+1)(x+1)(2x+3)(x+2)−3 a) 6 b) 20 c) 8 d) 10 e) 5 4x4 −29x2 +25

9. Factorizar: ro de factores primos: a) 4 b) 2 d) 5 e) 1

e indicar el n´ umec) 3

16. El n´ umero de factores primos en x6 − 9x4 + x3 − 21x2 − 12, es: a) 3 b) 2 c) 4 d) 1 e) 5 17. La suma de coeficientes de un factor primo en 16a4 + 31a2 b4 + 25b8 , es: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 18. Al factorizar el polinomio: x4 − 7x3 + 5x2 + 7x − 6, se obtiene una expresi´ on de la forma 2 (x + a)(x + b)(x + c) , hallar a + b + c. a) −2 b) −3 c) −6 d) −5 e) −4

112

´ Algebra

19. Al factorizar el polinomio x4 + y 4 − 7x2 y 2 , la suma de los factores primos es: a) 2x2 + 2y 2 b) x2 + y 2 c) x2 − y 2 d) 2x2 − 2y 2 e) y 2 − x2 20. Uno de los factores primos de la expresi´ on: (a + b)(a + c) − (b + d)(c + d), es a) a − b + c + d b) a + b − c + d c) a + b + c − d d) a + b + c + d e) a − b − c + d 21. Al factorizar 22x+8 − 32(2x ) + 1, se obtiene (ab+x − c)d , el valor de a + b + c + d es: a) 4 b) 9 c) 6 d) 8 e) 5 22. Hallar x + 6, siendo x el valor que anula al polinomio: x2x − 2xx − 8 a) −5 b) −2 c) 15 d) −8 e) 8 23. El cuadrado del coeficiente del término lineal de un factor primo en: 1+x(x+1)(x+ 2)(x + 3), es: a) 1 b) 4 c) 9 d) 16 e) 25 24. Un factor primo de (a+b+c)3 −(a3 +b3 +c3 ), es: a) a + c b) a2 + b2 + c2 c) a − b d) a − b − c e) a + b + c 25. La suma de coeficientes de los términos lineales de los factores primos de: x4 − 7x3 + 5x2 + 7x − 6 a) 0 b) 5 c) 1 d) 3 e) 4 26. El coeficiente del término cuadr´ atico del factor primo en: 10x3 − 9x2 + 17x − 6 es: a) 6 b) 2 c) 8 d) 7 e) 9


29. Dado el polinomio: P (x) = x5 + 5x4 + 7x3 − x2 − 8x − 4, factorizar y hallar la suma de los factores primos repetitivos. a) 2x + 3 b) x + 2 c) x + 1 d) x − 1 e) 3x + 2 30. La suma de coeficientes de un factor primo de la expresi´ on: a3 + 9b3 + 3(a2 b + ab2 ), es: a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 16 31. Luego de factorizar: x6 − x4 + 2x2 − 1, indique la suma de los términos independientes de los factores primos. a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) −1 32. Luego de factorizar el polinomio: x13 + x8 − x6 − x2 − 2x − 1, hallar la suma de coeficientes de los términos lineales de los factores primos. a) 1 b) 2 c) −1 d) −2 e) 0 33. El valor numérico de uno de los factores primos cuando x = 1, del polinomio: x5 + x3 + x2 + 2x + 1, es: a) 1 b) −1 c) 2 d) 0 e) −2 34. Se˜ nale un factor primo de la expresi´ on: n+2 3 n 2 x +x −x −x+x −1 a) x + 1 b) xn + x − 1 c) x2 + 1 d) x e) xn + 1 35. Factorizar: (x − 1)6 − (x − 1)3 − 2 y se˜ nalar un factor primo. a) x + 1 b) x2 + 3x − 1 c) x2 − 3x − 3 d) x2 − 3x + 3 2 e) x − 2x + 3

27. La suma de todos los factores primos de la expresi´ on: x6 − x2 − 8x − 16 es: a) 2x b) 2x2 c) 3x + 2 d) 2x − 4 e) 2x3

36. Factorice 28xy − 44y 2 − 23y + 35x + 40 e indique la diferencia del doble del factor primo binomio con el triple del factor trinomio. a) 41y − 4x − 14 b) 41y − 21x − 14 c) 21x − 40y − 14 d) 15x − 21y + 16 e) 15x − 21y − 16

28. Hallar la suma de los factores primos cuadr´ aticos de: x14 + x4 + 1 a) 2 b) 2x2 c) 2x2 + 2 2 d) x e) 3

37. Un factor primo del polinomio: x2 + (b + c + 2d)x + d2 + (b + c)d + bc, es: a) x − 2c b) x + 2d c) x + b + c d) x + c e) x + b + d


CAP 05:

´ Algebra

Factorizaci´ on

1. Factorice: x5 − 2x4 − x + 2, y se˜ nale el factor primo de menor término independiente. a) x − 1 b) x − 2 c) x + 1 d) x + 3 e) x − 3 2. Factorizar: 30x3 + 19x2 − 1 y dar un factor primo. a) 3x − 1 b) 2x − 1 c) 5x + 1 d) x + 5 e) 5x − 1 3. Factorizar x4 − 2(y 2 + z 2 )x2 + (y 2 − z 2 )2 y dar como respuesta la suma de sus factores primos. a) x + y + z b) xyz c) 4x d) 3y e) 2z 4. Indique el n´ umero de factores primos que contiene el polinomio: x5 +4x4 −10x2 −x+6 a) 4 b) 2 c) 3 d) 1 e) 5 5. Al factorizar: (x + 1)5 + 4(x + 1)4 − 10x2 − 21x − 5 la suma de los factores primos es: a) 5x + 24 b) 5x + 9 c) 3x + 9 d) 4x + 9 e) 4x + 24 6. Indicar un factor primo del polinomio: x2 (3y − x)2 + 2xy 2 (3y − x) − 8y 4 a) x + 2y b) x − 4y c) x + 4y d) 2x + y e) 2x − y 7. Indique la suma de los factores primos cuadr´ aticos de: x8 − 5x6 − 7x4 + 41x2 − 30 a) 3x2 − 3 b) 3x2 + 1 c) 3x2 + 3 d) 3x2 − 1 e) 3x2 − 4 8. Factorizar: x2 (x8 + 1) + x6 + (x2 − 1)(1 + x2 + x4 ) y dar como respuesta el n´ umero de factores primos. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 9. Factorizar: 2x4 +x3 −16x2 +8x−1 y se˜ nalar la suma de coeficientes de un factor primo. a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 1 10. Hallar la suma de los factores primos de: x4 + 5x3 − 7x2 − 29x + 30 a) 3x − 4 b) 3x + 4 c) 4x − 5 d) 4x + 5 e) 4x + 8

113

5.6.

11. Factorizar: 4x5 − 29x3 − 24x2 + 7x + 6 y dar como respuesta el n´ umero de factores primos. a) 1 b) 5 c) 3 d) 7 e) 4 12. El n´ umero de factores primos lineales de x6 + 7x5 + 15x4 + 11x3 − 8x2 − 18x − 8 es: a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 3 13. Factorice: 3x3 + 11x2 + 28x + 30 y de c´ omo respuesta la suma de los término independientes de sus factores primos. a) 5 b) 9 c) 11 d) 7 e) 3 14. Indicar la suma de coeficientes de un factor primo de: x4 − x2 y + 5yz 2 − x2 z 2 − 2y 2 − 2z 4 a) 0 b) 1 c) −1 d) 2 e) 3 15. El n´ umero de factores primos lineales de xyz 3 − 3y 2 z 3 − xz 2 + 3yz 2 + x2 yz − 3xy 2 z − x2 + 3xy es: a) 0 b) 2 c) 5 d) 1 e) 3 16. La diferencia de sus factores primos de: x4 + (1 + x4 )(1 + x2 )2 es: a) x b) 2x c) 4x d) 5x e) 3x 17. Un factor primo de: 2x2 + 1 − (4x3 y + 6x2 y 2 + 4xy 3 + y 4 ) es: a) x2 − y 2 + 1 b) x2 − 2xy − 1 c) 2xy − 2y 2 − 1 d) 1 + 2xy + 2y 2 2 e) 1 − 2xy − y 18. Proporcionar la suma de coeficientes de un factor primo de: P (x) = ax4 + (a2 − 1)x3 + (a2 + 1)x − ax2 − a a) 2a + 12 b) a + 20 c) 2a − 1 d) a + 16 e) 9a − 1 19. Factorizar: P (x) = 12abx2 − 16a2 x − 12ab + 9b2 x e indique la suma de coeficientes de sus factores primos. a) 6b b) −3b c) 4b d) 3b − 4a e) 4a + 3b

´ Algebra

114


20. Indicar un factor primo binomio de: 64a7 b7 − ab13 a) 2a + b2 b) 2a + 1 c) b + 1 d) 2a − b e) a − b

30. Indicar el n´ umero de factores primos de: P (x) = x8 + 6x6 + 33x4 + 68x2 + 144 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

21. Si x+1 es un factor primo de: x2 +cx−2, y 2x − 1 factor primo de: dx2 + 5x − 4, entonces el valor de d/c es: a) 80 b) −6 c) 4 d) 21 e) 1/2

31. El n´ umero de factores primos lineales de x3 + x2 y + x3 y − y 2 x − y 3 − y 3 x es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

22. La suma de coeficientes de un factor primo: 6x4 − 31x3 + 25x2 − 13x + 6 a) 11 b) 8 c) 9 d) 10 e) 7 23. El n´ umero de factores primos lineales del polinomio x4 − 8x2 − 12x − 5, es: a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) 5 24. Hallar la suma de factores primos de: 4x4 + 3x2 y 2 + y 4 a) 4x2 + 2y 2 b) x2 + y 2 c) 2x2 d) 2y 2 e) x + y 25. El n´ umero de factores primos lineales del polinomio (x + y)4 + x4 + y 4 , es: a) 2 b) 3 c) 1 d) 0 e) 4 26. Un factor primo de a) x2 + x − 1 c) x5 + x2 − 1 e) x2 + x + 1

x7

x5

+ − 1 es: b) x2 − x + 1 d) x2 − x − 1

27. El mayor grado de un factor primo en x2 y 2 + xy 3 + x2 y, es: a) 1 b) 5 c) 3 d) 4 e) 2 28. El n´ umero de factores primos lineales de x6 y + x4 z 3 − x6 z + y 6 z − x4 y 2 z − x2 y 5 − y 4 z 3 + x2 y 4 z es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 29. El n´ umero de factores primos lineales de P (a, b, c, d) = bd(a2 + c2 ) + bc(a2 + d2 ) + ad(b2 + c2 ) + ac(b2 + d2 ) es: a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5

32. Determinar el n´ umero de factores primos cuadr´ aticos de: P (x, y) = (xy + 1)4 + (x2 y 2 − 1)2 + (xy − 1)4 a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 0 33. El n´ umero de factores primos lineales de P (x, y) = (xy + 1)6 − (xy − 1)6 es: a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) 0 34. El n´ umero de factores primos lineales de P (x, y) = xy(xy + x + y + 2) + x + y + 1 es: a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) 0 35. Indicar un factor primo de: (x−a)3 (b−c)3 + (x − b)3 (c − a)3 + (x − c)3 (a − b)3 a) x + c b) x + b c) a + c d) x − a e) b + c 36. Indicar un factor primo de: x3 (z − y 2 ) + y 3 (x − z 2 ) + z 3 (y − x2 ) + xyz(xyz − 1) a) x − y 2 b) x − z 2 c) x + y 2 d) y − z 2 e) z − x2 37. El n´ umero de factores primos lineales de (x + y + z)(xy + xz + yz) − xyz es: a) 2 b) 0 c) 1 d) 4 e) 3 38. Indicar el n´ umero de factores primos de: x8 + 4x10 − (x12 − 1)2 a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 0 39. Indicar el n´ umero de factores primos de: P (a, b) = a4 bc − a2 bc3 + a3 b2 c − a3 c3 a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 6 40. Se˜ nale la suma de coeficientes de un factor primo de: x13 + 2x8 − x7 + 2x2 + 4 a) 8 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

Cap´ıtulo 6:

MAXIMO COMUN DIVISOR. MINIMO COMUN MULTIPLO. FRACCIONES ALGEBRAICAS Objetivos z Determinar el m´ aximo com´ un divisor y m´ınimo com´ un multiplo de 2 o m´ as polinomios. z Decomponer una fracci´ on algebraica en suma de fracciones parciales.

6.1.

M´ aximo Com´ un Divisor MCD

El MCD de dos o m´ as expresiones algebraicas enteras, es otra expresi´ on algebraica entera de mayor coeficiente numérico y mayor grado contenida un n´ umero exacto de veces en cada una de las expresiones dadas.

6.2.

M´ınimo Com´ un M´ ultiplo MCM

El MCM de dos o m´ as expresiones algebraicas enteras, es la menor expresi´ on algebraica entera y de menor coeficiente que contiene exactamente a cada una de las expresiones dadas.

Propiedades Si dos o m´ as expresiones algebraicas son primas entre si, entonces, el MCM es el producto de ellas y el MCD es la unidad. Si A y B son dos expresiones algebraicas enteras; entonces: MCD(A, B) × MCM(A, B) = A × B 115

´ Algebra

116


Para calcular el MCD y el MCM de varias expresiones, se debe tener en cuenta el siguiente procedimiento: Se factorizan cada una de las expresiones dadas. El MCD est´ a dado por el factor o producto de factores comunes afectados de sus menores exponentes. El MCM est´ a dado por el producto de factores comunes y no comunes afectados de sus mayores exponentes.

6.3.

Fracciones algebraicas

Las fracciones algebraicas racionales son expresiones de la forma

P (x) , donde P (x) y Q(x) son Q(x)

polinomios, siendo Q(x) 6= 0. Ejemplos:

−2x + 1 x3 − 5x + 2 , 3x2 − 16 7x + 1

Propiedad: Si a los términos de una fracci´ on algebraica se les multiplica o divide por una misma cantidad distinta de cero, se obtiene otra fracci´ on equivalente. As´ı; a ak a÷k = = , k 6= 0 b bk b÷k Clasificaci´ on: 1. Fracci´ on Propia: Cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Ejemplos:

4x + 1 x2 − 5x + 9 , x2 − 5x + 6 2x4 + 1

2. Fracci´ on Impropia: Cuando el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador. Ejemplos:

x2 − 5x + 6 x4 + 1 , 4x2 − 8x + 1 x2 − 5x + 9

3. Fracciones Homog´ eneas: Cuando tienen el mismo denominador. Ejemplos:

x2

4x + 1 x3 − 5x + 9 , 2 − 5x + 6 x − 5x + 6

4. Fracciones Heterog´ eneas: Cuando tienen diferente denominador. 4x + 1 x+9 Ejemplos: , 2 4 2x + 1 x − 15x − 7 5. Fracci´ on Irreductible: Cuando el numerador y denominador no tienen factores comunes. Ejemplos:

3x2 + 1 x5 + 9x − 1 , 2x4 + 11 x2 − 15x − 7


´ Algebra

117

6. Fracci´ on Reductible: Cuando el numerador y denominador tienen factores comunes, luego pueden ser simplificadas o reducidas, considerando como valores admisibles de la fracci´ on reducida a los valores admisibles de la fracci´ on original. Ejemplos:

x2 − x − 6 x+2 se puede reducir a 2 x − 8x + 15 x−5

7. Fracciones Equivalentes: Dos fracciones son equivalentes si toman los mismos valores numéricos para todos los valores admisibles de sus variables. x + 1 x2 + 2x + 1 , x−1 x2 − 1 Estas fracciones obtienen los mismos valores numéricos, para todo valor real de x, con excepci´ on Ejemplo:

de ±1. 8. Fracci´ on Compueta: Cuando el numerador y/o denominador poseen a su vez otras fracciones algebraicas. Ejemplos:

6x + 1 4x + 2 5x + 2 3x − 2 x −1

9. Fracci´ on de valor constante: Cuando asume el mismo valor numérico para cualquier conjunto a1 x + b1 xy + c1 y + d1 de valores admisibles asignados a sus variables. Si es una fracci´ on de valor a2 x + b2 xy + c2 y + d2 a1 b1 c1 d1 constante k, entonces se cumple que: = = = = k. a2 b2 c2 d2 SAimplificaci´ on de fracciones: Para simplificar una fracci´ on se sigue los siguientes pasos: a. Se factorizan el numerador y denominador de la fracci´ on. b. Se eliminan los factores comunes hasta obtener una fracci´ on irreductible.

6.4.

Fracciones Parciales

Para descomponer una fracci´ on racional

P (x) en sus fracciones parciales, se debe cumplir las Q(x)

siguientes condiciones: La fracci´ on

P (x) debe ser propia e irreductible. Q(x)

El denominador Q(x) debe ser factorizable. Se presentan los siguientes casos:

´ Algebra

118


Caso I: Cuando el denominador Q(x) es el producto de factores lineales distintos, es decir Q(x) = (a1 x + b1 )(a2 x + b2 ) . . . (ak x + bk ) en donde no hay factor que se repita. En este caso, existen constantes A1 , A2 , . . ., Ak tales que: A1 A2 Ak P (x) = + + ··· + Q(x) a1 x + b1 a2 x + b2 ak x + bk Caso II: Cuando el denominador Q(x) es el producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten, es decir Q(x) tiene un factor lineal repetido k veces de la forma (ax + b)k , entonces la descomposici´ on en fracciones parciales contiene k términos de la forma: A1 Ak A2 + + ··· + 2 ax + b (ax + b) (ax + b)k Caso III: Cuando el denominador Q(x) contiene factores cuadr´ aticos irreductibles, ninguno de los cuales se repite, es decir si Q(x) contiene los factores cuadr´ aticos no repetido de la forma (a1 x2 + b1 x + c1 )(a2 x2 + b2 x + c2 ) . . . (ak x2 + bk x + ck ), donde ∆ = b2i − 4ai ci < 0 para todo i = 1, 2, . . . , k,

entonces la descomposici´ on en fracciones parciales es de la forma:

A1 x + B1 A2 x + B2 Ak x + Bk + + ··· + 2 2 a1 x + b1 x + c1 a2 x + b2 x + c2 ak x2 + bk x + ck Caso IV: Cuando el denominador Q(x) es el producto de factores cuadr´ aticos irreductibles, algunos de los cuales se repiten, es decir Q(x) tiene un factor cuadr´ atico repetido k veces de la forma (ax2 + bx + c)k , entonces la descomposici´ on en fracciones parciales contiene k términos de la forma:

A1 x + B1 A2 x + B2 Ak x + Bk + + ··· + 2 2 2 ax + bx + c (ax + bx + c) (ax2 + bx + c)k

´ Algebra


CAP 06:

119

MCD Y MCM - Fracciones algebraicas

6.1.

1. El MCM de los siguientes polinomios: P1 = x4 + x2 y 2 + y 4 P2 = x2 + xy + y 2 P3 = x6 − y 6 es: a) x6 + y 6 b) x6 − y 6 c) x9 + y 9 d) x9 − y 9 12 12 e) x − y

8. Dados los monomios: A = 12xn−1 y m+1 ; B = 16xn+1 y m−1 . Si MCM(A, B) = αxa y 4 y MCD(A, B) = βx5 y b . β+b+n Calcular E = α+a−m a) 7/3 b) 26/7 c) 3/13 d) 13/7 e) 1/2

2. Hallar el MCD de: P1 = 2x4 + x3 + 3x2 + x + 1 P2 = 2x4 − x3 + 3x2 − x + 1 a) 2x2 − x + 1 b) x2 + x + 1 c) 2x2 + x + 1 d) x2 − 1 2 e) x + 1

9. Sabiendo que (MCM)(MCD) de dos polinomios es x5 − x3 , y la suma de ambos polinomios es x3 + x. Determinar el MCM de dichos polinomios. a) x4 − x2 b) x2 c) x2 + 1 2 4 d) x − 1 e) x

3. El MCM de dos polinomios A y B es x3 − x2 − 4x + 4 y su MCD es x2 + x − 2. Hallar el n´ umero de factores primos de AB. a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 4. Si el MCD de P (x) = x4 − 9x2 + ax + b y Q(x) = x4 + 2x3 − 7x2 + cx + d es (x − 2)(x − 3). Hallar el grado del MCM de dichos polinomios. a) 6 b) 4 c) 10 d) 8 e) 2

10. El MCD de: A = x10 + x2 + x8 + x6 + 1 + x4 B = x10 + x2 − 1 es: a) x5 + x − 1 b) x2 + x − 1 4 2 c) x + x + 1 d) x4 − x2 + 1 e) x2 − x + 1 11. Sean P (x) = Ax2 + 2x − B y Q(x) = Ax2 − 4x + B Si (x − 1) es el MCD de P y Q. Hallar A + B a) −2 b) 4 c) 0 d) 2 e) −1

5. El producto de P (x) por Q(x) es (x2 − 1)2 y el cociente de su MCM y su MCD es x2 − 2x + 1. Hallar el MCD de P (x) y Q(x). a) ±(x + 2) b) ±(x − 1) c) ±(x − 2) d) ±(x + 1) e) 1

12. El MCD de los polinomios: A = 2x3 − 11x2 + 10x + 8 B = 2x3 + x2 − 8x − 4 C = 6ax2 + 11ax + 4a a) 2x − 1 b) x + 1 d) x − 1 e) 2x + 1

6. Hallar el término lineal del MCD de: A = x4 + x3 − 6x2 − 5x − 1 B = x4 − 7x2 + 1 a) x b) 3x c) 2x d) −3x e) −2x

13. Cu´ antos factores primos de segundo grado posee el MCM de P = x4 + x2 + 1 y Q = x4 + 2x3 + x2 − 1 a) 2 b) 1 c) 3 d) 5 e) 4

7. Si MCM(A, B) es MCD(A, B) veces el MCM(C, D). Hallar E = (a + b + c)a+c , siendo A = (x + 4)(x2 − ax + 4x − 4a) B = 2x2 + 8x − bx − 4b C = 2x2 − 3x + 2cx − 3c D = x2 + 2cx + c2 a) 1/3 b) 3 c) 9 d) 4 e) 1

14. El producto de dos expresiones es (x3 −1)2 y el cociente de su MCM y su MCD es (x−1)2 . Determinar el MCD a) x2 + x + 1 b) x − 1 c) x2 − x + 1 2 d) x + 1 e) x − 1

c) x + 2

15. Sean A = 2x4 − x3 − 3x2 + 3x − 9 B = 10x3 − 9x2 + 17x − 6 El resto de dividir el MCD de A y B entre

´ Algebra

120 (x + 1) es: a) 3 d) 6

b) −3 e) 8

c) −6

16. El MCD de P (x) = 8x3 + 10x2 − 11x + 2 y Q(x) = 8x3 + 2x2 − 5x + 1 es: a) (4x + 1)(2x − 1) b) (4x − 1)(2x − 1) c) (4x + 1)(2x + 1) d) (4x + 3)(2x − 1) e) (4x + 1)(2x + 3) 17. El término independiente del cociente que resulta de dividir el MCM de: A = x2 + 5x + 6 ; B = 2x2 + 12x + 18 C = 4x2 + 4x − 24 entre su MCD es: a) 50 b) 36 c) 40 d) 45 e) −48 18. Si el MCM de los polinomios: P (x) = x2 + x − 2 ; Q(x) = x2 − x − 2 R(x) = x4 + 5x2 + 4 Es equivalente a x8 + Ax6 + Bx4 + Cx2 + D Determinar A + B + C + D a) −3 b) 2 c) −1 d) 3 e) 0 19. Si el MCM de dos polinomios A y B es x40 +x20 +1 y su MCD es x30 +x20 −x10 +2. La suma de los coeficientes de un factor primo de AB es: a) 3 b) 8 c) 9 d) 0 e) 10 20. Si P (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1. El MCD de P (x) y P (x2 ) es: x+1 x−1 c) a) x10 − 1 b) x−1 x+1 10 d) P (x) e) x + 1 21. El MCM de: A(x) = x2 − 4x + 3 B(x) = x2 + 4x + 3 C(x) = x4 − 10x2 + 9 D(x) = x3 − 9x + x2 − 9 es: a) (x2 − 9)(x4 − 1) b) (x2 − 9)(x2 − 1) c) (x2 − 9)(x + 1) d) (x2 − 9)(x2 + 1) 2 2 e) (x + 9)(x − 1) 22. Si a + b + c = 0, simplificar la expresi´ on W = P.Q, donde: b−c c−a a−b P = + + y a b c

Walter Arriaga Delgado a b c + + b−c c−a a−b a) 7 b) 8 d) 5 e) 9

Q=

c) 10

2x4 + 3x3 − 13x2 + 13x − 21 y 2x3 − 5x2 + 5x − 6 dar como respuesta la diferencia entre el numerador y denominador (en ese orden) a) x2 − x + 5 b) 2x + 3 c) x2 + x − 5 2 d) 2x − 3 e) x − x − 5 √ 24. Si x − y = y − z = 2. Calcular x3 + y 3 + z 3 − 3xyz P = x+y+z a) 6 b) 4 c) 10 d) 8 e) 2 23. Simplificar:

(y − 1)2 x−1 + , sa2 2 (y − 1) − z x−y biendo que: x + y + z 2 = xy + 1 ; y 6= 1 a) 0 b) 3 c) 2 d) 1 e) 4

25. Calcular E =

26. Sabiendo que x + y + z = 0, simplifica la (x2 + y 2 + z 2 )2 fracci´ on: M = x4 + y 4 + z 4 a) 5 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1 27. Descomponer en fracciones parciales 11x − 26 y dar como respuesta la 2 2x − 11x − 21 suma de numeradores a) 10 b) 2 c) 7 d) 14 e) 8 28. Descomponer en fracciones parciales 5x2 + 7x + 2 y dar como respuesta uno de x3 − 8 los numeradores de dichas fracciones a) −3 b) 4 c) 2x + 5 d) 2x − 5 e) 3x − 5 2x2 − 3x + 7 A B C = + + x(x − 3)(x − 4) x x−3 x−4 entonces el valor de A + B + C, es: a) 2 b) 6 c) 4 d) 8 e) 0

29. Si

30. Hallar la suma de los numeradores de las 3x2 − 2x + 1 fracciones parciales de: 3 . x − 2x2 − x + 2 a) 1 b) 2 c) 5 d) 3 e) 0

´ Algebra


CAP 06:


MCM de las expresiones: MCD P = x3 + 6x2 + 11x + 6 Q = x3 + 5x2 + 7x + 3 R = x3 + 2x2 − 5x − 6 a) x3 + x2 − 4x + 4 b) x3 + x2 − 4x − 4 c) x3 − x2 − 4x − 4 d) x3 − x2 + x + 1 e) x2 + x + 1

1. Determinar el

2. El término independiente del cociente que resulta de dividir el MCM de: A = x2 + 5x + 6; B = 2x2 + 12x + 18 y C = 4x2 + 4x − 24 entre su MCD es: a) 45 b) 36 c) 40 d) 50 e) −48 3. Si el MCM de los polinomios: P (x) = x2 + x − 2 ; Q(x) = x2 − x − 2 R(x) = x4 + 5x2 + 4 es equivalente a x8 + Ax6 + Bx4 + Cx2 + D. Determinar: A + B + C + D a) 0 b) 2 c) −1 d) 3 e) −3 4. Sabiendo que el MCD de los polinomios P (x) = 2x3 − x2 + 3x + a Q(x) = x3 + x2 + r es: x2 − x + 2. Hallar a−1 + r −1 . a) 3/4 b) 3/2 c) 1/2 d) 4/3 e) 2/3 5. El producto de dos polinomios es (x2 +2xy− 4 + y 2 )2 y el cociente de su MCM y su MCD es (x + y)2 + 4(x + y + 1). Hallar (MCD)2 a) (x + y + 1)2 b) (x+ y + 2)2 c) 0 d) (x+ y − 2)2 e) 1 1

6. Reducir: M = 1 + 1+

1

1 m b) (2 + 3m)/(1 + 2m) d) 1 1+

a) 0 c) −m e) m

121

7. Encontrar la suma de coeficientes del MCD de los polinomios: A = x3 − 3x + 2,

B = x4 − 2x2 + 1 a) 4 b) 2 d) −2 e) 0

6.2. c) −1

8. Sean los polinomios P (x) = x2 + 2x − 3 y Q(x) = x2 + αx + 3. Si el MCM(P, Q) = x3 − x2 − 9x + 9. Luego el MCD(P, Q) es: a) x + 1 b) x + 3 c) x − 1 d) x − 3 e) 12x 9. Si ab + bc + ac = 0, al simplificar a2 x + b + c b2 x + a + c c2 x + a + b E= + 3 + 3 a3 x − bc b x − ac c x − ab se obtiene: a) 0 b) 1 c) ab d) ac e) bc x3 − 12x + 16 y proporx4 − 15x2 + 28x − 12 cionar la suma de los coeficientes del denominador resultante. a) 6 b) 5 c) 4 d) 2 e) 3

10. Simplificar:

11. Cual debe ser el valor de “a” para que la x3 − ax2 + 19x − a − 4 fracci´ on 3 adx − (a + 1)x2 + 23x − a − 7 mita simplificaci´ on. a) 7 b) 8 c) 5 d) 15 e) 6 (x8 − 1)(x3 − 7x + 6) . (x2 − 4x + 4)(x3 + x2 − 5x + 3) Se˜ nalando el denominador resultante. a) x2 + 1 b) x + 2 c) x − 1 d) x − 3 e) x − 2

12. Simplificar

13. Encontrar el valor de (A − 1)(B − 2), sa√ x+y x2 + y 2 biendo que: A= ; B= x−y xy a) 3 b) 5 c) 4 d) 1 e) 2 14. Al simplificar: x(y 2 + z 2 − x2 ) + y(z 2 + x2 − y 2 ) E = , se z 2 − x(x − 2y) − y 2 obtiene. a) x + y b) x + y − z c) x − z + y d) x + y + z e) x2 + y 2 + z 2

´ Algebra

122

15. Simplificar: E = a) 1 d) 2

(x2 + 1)2 + (x + 1)4 x4 + 1 + 2x(x + 1)2 b) x2 + 1 c) 1/2 e) x + 1

de la expresi´ on: a) 0 d) −2

12xy − 2xy + y 2 E= 3 8x − y 3 2y −1 8x3 + y 3 y − 2x a) 3 b) −3 c) −2 d) 2 e) −1

17. Efectuar:

4x2

1 1 + + (a − b)(a − c) (b − a)(b − c)

1 (c − a)(c − b) a) a + b + c c) abc − 1 e) 0

b) a + b + c − 1 d) 1

(1 + ab)(1 + ac) (a − b)(c − a) (1 + ab)(1 + bc) (1 + ac)(1 + bc) + (b − a)(c − b) (a − c)(c − b) a) 3 b) a + b + c c) 1 d) ac + bc + ca e) 3 + ab + bc + ac

18. Al

simplificar:

+

19. Al simplificar la fracci´ on reductible se obx2 + (2a + 1)x + 12 tiene: x2 + 2ax + 8 x+3 x+2 x+2 a) b) c) x+2 x−1 x+3 x−3 x−3 d) e) x+2 x−2 2x + 8 n k <> + . + 2x − 3 x−1 x+3 Encontrar el valor de “n − k” a) 5 b) 1 c) 0 d) 3 e) 4

20. Dado que:

c+a c+a + , se reduce a: a+b b+c b) 1 c) −1 e) 2

23. Descomponer en fracciones parciales a 4x2 − 15x + 8 y dar como respuesta la sux3 − 3x2 + 4 ma de los numeradores. a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

16. Simplificar:

3+


x2

2x2 − 3x + 7 A B C = + + . 3 2 x − 7x + 12x x x−3 x−4 Entonces el valor de A + B + C, es: a) 4 b) 2 c) 6 d) 8 e) 0

21. Si:

22. Si a, b y c est´ an relacionados por la igualdad 1 1 1 1 + + + = 0. El valor b+c b−c b−a b+a

24. Una de las fracciones parciales en las que se x2 − 4x − 5 , es: descompone 2 (x + 3)(x − 1) 3x − 1 x2 + 3 2 d) x−1 a)

3x + 1 x−1 2 e) 2 x +3 b)

c)

3x + 1 x2 + 3

25. Descomponer en fracciones parciales: x2 − 2x + 3 y dar como respuesta la su(x + 1)3 ma de los numeradores. a) 2 b) 11 c) 4 d) 3 e) 9 x+2 A B = + ; en− 7x − 15 x−5 2x + 3 tonces el valor de A/B es: a) −2 b) −7 c) −5 d) −8 e) −4

26. Si

2x2

27. Si 2x2 + 4x − 1 (x2 + x + 1)2 Cx + D ; 2 (x + x + 1)2

=

Ax + B +x+1

x2

+

2A + 3B es: 2C + D b) 4 c) 5 e) 6

entonces el valor de a) 2 d) 8

28. Hallar la suma de los numeradores de las 5 fracciones parciales de: 5 (x + 1) − x5 − 1 a) 3 b) 2 c) −1 d) 1 e) 0 7x + 3 A B = + + x3 + 2x2 − x − 2 x−1 x+2 C A3 + B 3 + C 3 . Hallar: W = x+1 ABC a) 3 b) 2 c) 1 d) 5 e) 0

29. Si

´ Algebra


CAP 06:

123


1. Sean los polinomios: P (x) = Ax2 + 2x − B Q(x) = Ax2 − 4x + B A y B enteros positivos, si x3 − x2 − 9x + 9 es el MCM de P (x) y Q(x). Hallar B 2 − A a) 5 b) 8 c) 15 d) 12 e) 9 2. Sabiendo que el MCD de los polinomios: P (x) = 5x3 + 2x2 − αx + β Q(x) = 7x3 − 5x2 + 2qx − p α es 2x2 + x + 1. Hallar W = β(2q − p) a) 7/5 b) 9/5 c) 1/3 d) 1/4 e) −9/5 3. El producto de dos polinomios es x4 + ax3 + (b − a2 )x2 − a3 x − ba2 y el cociente de su MCM y su MCD es x3 +2ax2 +(b+a2 )x+ab. Hallar el cuadrado de su MCD a) 2x3 + 1 b) x + a c) x − a 3 2 d) x + 1 e) x + 2 4. El producto de dos polinomios es (64x6 −1)2 y el cociente de su MCM y su MCD es (8x3 + 1)2 . Hallar el MCD a) 8x3 − 1 b) 2x3 − 1 c) 8x2 + 1 d) x − 1 e) 8x3 + 1 5. Hallar el MCD de: √ √ √ √ A= x x−y y+x y−y x B = x2 − 2xy + y 2 √ C = x + y − 2 xy √ √ b) x − y a) x + y √ √ d) x − y e) xy + 1

c) xy

6. Hallar el MCM MCD(A, B), (x − 1) siendo: A = x5 + x + 1 B = x4 + 2x3 + x2 − 1 a) x + 1 b) x3 − 1 d) x − 1 e) x + 2

c) x2 − 1

7. Hallar la suma de los términos independientes del MCM con su MCD, siendo: A = ax2 +(a+b)xy+by 2 +(c+b)y+(a+c)x+c B = acx2 + (ac + bc)xy + bcy 2 + bcy + acx a) 3 b) 0 c) 2 d) 4 e) 1

6.3.

8. Hallar el término independiente del producto del MCM con su MCD, siendo: A = (abx + c)3 + (cx + b)3 + (cbx + a)3 B = (abx − 1)4 + (x2 + abcx + 1)4 + (x3 + cx + 2)4 a) a3 + b3 + c3 b) 9(a3 + b3 + c3 ) 3 3 3 c) 18(a + b + c ) d) abc e) a + b + c 9. Hallar la suma de coeficientes de uno de los factores primos del MCM[MCD(A, B), C], siendo: A = (x5 + x + 1)(x5 + x − 1) B = ((x2 + x)2 − 1)(x3 + 1) C = (x3 + 1)(x3 − 1) a) 1 b) 9 c) 5 d) 4 e) −3 10. Hallar el grado del MCD de: A = x3 + y 5 + z 9 + x2 (y + z) + y 4 (x + z) + z 8 (x + y) B = x3 + y 6 + z 11 + x2 (y 2 + z 3 ) + y 4 (x + z 3 ) + z 8 (x + y 2 ) a) 10 b) 9 c) 7 d) 8 e) 6 11. Hallar el MCD de: A = xy+1 + y 2x+1 + y 2x x + yxy + x + y B = xy+3 − y 2x+3 + y 2x x3 − y 3 xy + x3 − y 3 a) x + y x b) xy + y 2x + 1 y d) xy + xy c) x − 1 e) x + y 12. Si M (x) es el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de los polinomios A(x) y B(x). Adem´ as A(x)B(x) P (x) = . Hallar el resto de diviM (x) dir P (x) entre (x − 3n), siendo: A(x) = x4 − nx3 − 7n2 x2 + n3 x + 6n4 B(x) = x3 + 4nx2 + n2 x − 6n3 a) 0 b) 6n2 c) −6n2 d) 12n2 e) 10n2 13. En los polinomios P (x) = (x − 2)[x2 + b(x + 3) + 3x]; Q(x) = (x + 3)[x2 + a(x − 2) − 2x] el término independiente del MCM P (x) y Q(x) es 60 y el coeficiente de x3 al efectuar P (x)Q(x) ÷ M CD es 31, calcule

´ Algebra

124 a−1 + b−1 − 1, a 6= b. a) −3 b) 4 d) 3 e) 6

c) −4

14. Dados los polinomios: A = 2[(x2 + 5x − 3)(x3 − 3) + 5x2 + 2]x + 2 B = (8x4 − 2x3 + 9x2 + 5x − 7)x + 3 Hallar el término independiente del producto del MCM y MCD. a) 6 b) −2 c) 3 d) −3 e) 1 15. Que clase de fracci´ on es: (x−1 + y −1 )−1 ? a) Entera b) Propia c) Homogénea d) Impropia e) Compuesta 16. Simplificar: E = n n−1 n d) n+2

a)

1 1 1 1 + + +···+ 2 2 6 12 n +n n b) c) 1 n+1 n+1 e) n+2

a b a+b + = . Determinar el a+1 b+1 2 ab + a + 2 ba + b + 2 valor de: E = + b+1 a+1 a) 1 b) 2 c) 8 d) 6 e) 4

17. Si

18. Hallar el equivalente de ab + a + n bc + b + n ac + c + n W = + + . b+1 c+1 a+1 Si se verifica que: a b c a+b+c + + = a+1 b+1 c+1 n a) n b) 2n c) 3n d) n/3 e) 6n 19. Hallar (a + b) si se sabe que la fracci´ on: (a − 2)x + (b − 2a + 1)y + 4b es constante. 5x + 2y + 12 a) −2/3 b) −1/3 c) 2/3 d) 1/3 e) 1 20. Sean F (x) =

4xm + 23 y W (x) = x2 − 4x + 4

xn + nx + 1 dos fracciones homogéneas tal (x − p)2 que F (x) es propia y W (x) es impropia, entonces el valor m´ınimo de m + n + p es: a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 6

Walter Arriaga Delgado 2n − 2xy y(x − y) + n = = x−y x+y x−y x y , determinar el equivalente de: + 2 y x a) n2 − 1 b) 6 c) 2n − 1 d) 2n + 1 e) 2

21. A partir de

22. Hallar la suma de los numeradores de las 3x2 − 3x + 2 fracciones parciales de: 3 x − 2x2 − x + 2 a) 0 b) 2 c) 1 d) −1 e) 3 23. Hallar la suma de los numeradores de las 4x2 − 1 fracciones parciales de: 3 x + 4x2 + x − 6 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 5x − 11 se obtuvo sumando 2x2 + x − 6 B A y , los valores de las fracciones x + 2 2x − 3 A y B son: b) a) 3 ; −1 c) −1 ; 3 −11 ; −5x d) 5x ; −11 e) 5 ; −11

24. La fracci´ on

25. El numerador de una de las fracciones par4x2 − 15x + 8 ciales de 3 es: x − 3x2 + 4 a) 5 b) 4 c) −4 d) 3 e) 7 x2 + 3 se x3 − 2x2 + x descompone en tres fracciones parciales de numeradores A, B y C, halle ABC a) 5 b) −24 c) 24 d) −12 e) 9

26. Si la fracci´ on algebraica

27. Calcular el valor numérico de: 1+x 1+ 1 1−+3xx 1+ 1−3 1 − 3x 3 para x = 5 2 E= 1+x 4 1+ 6 7 1 1−+3xx 7 1− 36 4 5 1−3 1 − 3x a) 1 b) 2 c) 1/3 d) 1/4 e) 5/4

´ Algebra


CAP 06:

125


1. Se sabe que el MCD de los monomios: P (x, y, z) = 12xn−1 y m−1 z p−1 Q(x, y, z) = 18xn y m z p R(x, y, z) = 24xn−2 y m+1 z p+1 mp es: 6x2 y 3 z 3 . Entonces el valor de: n a) 2 b) 64 c) 3 d) 4 e) 5 2. Hallar el MCD de los polinomios: P (x) = 6x2 (x + 1)3 (x − 1)3 Q(x) = 8x3 (x + 1)4 (x + 2)3 R(x) = 12x2 (x + 1)2 (x + 3)2 a) 2x2 − 4x + 2 b) x(x + 1) 2 c) (x + 1)(x − 1) d) 2x3 2 2 e) 2x (x + 1) 3. Hallar MCD de los polinomios: P = 15x2 + 19xy − 10y 2 + 2xz + 24yz − 8z 2 Q = 21x2 + 44xy + 15y 2 − 23xz − 21yz + 6z 2 R = 12x2 −13xy −55y 2 +13xz +57yz −14z 2 a) 3x2 + 2y − 4z b) 5x − 2y + 4z c) 3x + 5y − 2z d) 3x2 − 5y + 2 e) 7x + 32 4. El n´ umero de factores primos que tiene el MCM(A, B, C) de −A = 9 − x2 ; B = x2 −15x+36; C = x4 −5x3 +5x2 −6 es: a) 5 b) 6 c) 3 d) 2 e) 4 5. Si el MCD(P, Q) es (x − 4)(x + 5) con: P (x) = x4 + 2x3 − 25x2 + mx + n; Q(x) = x4 − 27x2 + px + q. Adem´ as M(x) =MCM(P, Q). Calcular M(0) a) 640 b) −20 c) −640 d) −720 e) 720 6. Cu´ al es el grado del MCM de los siguientes polinomios: P = 1 + x + x2 + · · · + x5 Q = 1 + x + x2 + · · · + x7 R = 1 + x + x2 + · · · + x11 a) 12 b) 15 c) 13 d) 14 e) 11 7. Establecer el valor de verdad de las siguiente proposiciones: 3x + 1 2 y son fracciones propias. 2 x +5 3x

6.4.

3x2 + 5 x5 + 2x + 7 y son fraccio5x2 + 3 x2 + 3 nes impropias. Las componentes de una fracción algebraica son EARE. Las fracciones algebraicas que tienen denominador de igual grado, se denominan fracciones homogéneas. a) VFFV d) FVVF

b) VFVF e) VVVF

c) VVFF

8. Hallar el verdadero valor numérico de: x5 − 1 cuando x se aproxima a 1 x3 − 1 a) 2/5 b) 3/5 c) 5/3 d) 0 e) 1 9. Hallar el verdadero valor numérico de: √ 3 x−1 √ cuando x se aproxima a 1 x−1 a) 2/3 b) 1/3 c) 3/2 d) 0 e) 1 mx + n , px + q es independiente de “x”, luego se puede decir que el valor de la expresi´ on:

10. Sabiendo que la siguiente fracci´ on

(m + p)(n + q) mn pq − − m+n+p+q m+n p+q es igual: a) −1 d) 0

b) 1 e) −2

c) 2

11. Si: x2 + mx − 6 es el MCD del numerador y denominador de: 3x3 − 2x2 − (a + 2)x − 6 3x3 − 5x2 − (a − 1)x + b Hallar la fracci´ on equivalente irreductible. 3x − 1 3x + 1 3x − 1 a) b) c) 3x − 2 3x − 2 3x + 2 d) 1/2

e) 2

12. Calcule el valor de “a” para que la fracci´ on: F =

x2 − (a + 1)x + 2 x2 + ax − 3

´ Algebra

126

18. Si (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 = (abc)2 . Simplificar:

admita simplificaci´ on a) 4 b) 6 d) 16 e) 2

c) 8

13. Si P (x) = (x + 3)[x2 + (a − 2)x − 2a] Q(x) = (x − 2)[x2 + (b + 3)x + 3b] Sabiendo que el término independiente del MCM es 120 y el coeficiente de x3 al efectuar P (x)Q(x) ÷ M CD es 2, calcular: a−1 + b−1 , si: a 6= b a) 0,5 b) 0,15 c) −0,05 d) 1 e) 1,5

25 3 +5 6 7 4 x 6 7 +5 x − x3 6 7 x + 57 14. Reducir: 6 6 7 x4 − 1 x 4 5 a) 5 d) 2

b) 10 e) x − 1

a) 2

2 1+ x y + y x

x+y x−y

d) x/y

2

b) 0

c)

e) 2

z 2 − x2 . Adem´ as z 2 + x2

x−y x+y

2

x+y x−y

x2 − y 2 y2 − z2 ; b = ; x2 + y 2 y2 + z2

d)

a

a x+y

c) 7

a

ba x−y

+

x−y b)

b a

b

x+y

c)

b a

e) 1

b

21. Al simplificar k = (1 + 1−1 )(1 + 2−1 )(1 + 3−1 ) . . . (1 + n−1 ), obtenemos: a) n2 b) n + 1 c) n2 + 1 2 d) n − 1 e) n − 1 22. Calcular la suma de los numeradores de las fracciones parciales de: 9x2 − 34x + 29 x3 − 6x2 + 11x − 6 b) 8 e) 9

c) 12

23. Si se tiene que: 2x3 + 7x + 3 Ax − 1 x+B = + 2 3 2 x +x +x+1 x+1 x +1 Hallar AB a) 7 d) 6

b) 9 e) 12

c) 8

x3 + x2 + 3x + 15 en fracx4 − 10x2 + 9 ciones parciales, una de ellas es: 5 −2 4 a) b) c) 4x − 12 x−1 x−9 5 3 d) e) x−3 4x + 1

24. Al descomponer

x4 + y 4 y4 + z4 z 4 + x4 + + =4 (x2 + y 2 )2 (y 2 + z 2 )2 (z 2 + x2 )2 Calcular: a2 + b2 + c2 . a) 3 b) 12 d) 9 e) 5

a)

+

a) 7 d) 6

2

17. Si se cumple que a = c=

x−y x+y

c) 1

x6 − 64 , si x = −2, 32 + x5 entonces el valor de K es: a) −12/5 b) 12 c) 5 d) 5/12 e) 12/5

b

16. Hallar el equivalente de la expresi´ on:

b) abc e) a + b + c

19. Dada la expresi´ on K =

c) 1

y z x y x + + +z 1+y 1+z 1+x 1+y 1 1 1 Si: + + = −(xyz)−1 ; x, y, z 6= 0. xz yz xy a) 0 b) −1 c) 2 d) 1 e) −2

+

a) 0 d) a2 + b2 + c2

2 2x 2y 3 2 2x 2y 3 a b b a + + 6 7 6 7 b a a b 6 6 x y 7 7÷6 6 x y 7 7 b a 4 a 5 4 b 5

z 15. Calcule el valor de y + + 1 + x 1 +z

2

1 1 1 1 1 1 + 2 +1 + 2 +1 + 2 +1 2 2 2 a b + b 2c + c 2a 2c2 − 1 2a − 1 2b − 1

20. Efectuar y simplificar:

x

1−


´ Algebra


CAP 06:

127


1. Hallar el MCD de los polinomios: P (x) = 6x2 (x + 1)3 (x − 1)3 Q(x) = 8x(x + 1)2 (x + 2) R(x) = 12x2 (x + 1)2 (x + 3)2 a) x2 − x + 1 b) 2x(x + 1)2 2 c) x + x d) x3 + x + 1 2 e) (x + 1)(x − 1) 2. Hallar el MCD de los polinomios: P (x) = 3x3 + x2 − 8x + 4 Q(x) = 3x3 + 7x2 − 4 a) x2 + x + 1 b) 3x2 − 4x + 4 2 c) x − 4 d) x2 + 4x + 2 2 e) 3x + 4x − 4 3. Hallar el n´ umero de factores primos lineales del MCD de P (x) = (x2 +x−2)2 (x2 +5x+6) y Q(x) = (x − 1)(x2 + 2x − 3)2 a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5 4. Hallar el MCD de los polinomios: P (x) = 2x4 − x3 − 3x2 + 3x − 9 Q(x) = 10x3 − 9x2 + 17x − 6 a) 2x2 − x + 3 b) 3x2 + 2x − 1 2 d) x2 − x + 1 c) 3x − x + 3 2 e) x + x + 3 5. Hallar el MCD de los polinomios: P (x) = x4 + xy 3 + x3 y + y 4 Q(x) = 3x3 + 5x2 y + xy 2 − y 3 R(x) = x4 + 3x3 y + 3x2 y 2 + xy 3 a) x + y b) x2 + y 2 c) x2 − y 2 d) (x + y)2 e) 2x + y 6. Hallar el MCD de los polinomios: P (x) = x5 + 3x4 + 6x3 + 4x2 + 8x + 5 Q(x) = x4 + 2x3 + 3x2 − 2x + 5 a) x2 − 3x + 5 b) x2 + 3x + 5 2 c) x + x + 1 d) x2 − x + 2 e) x2 + 3x − 5 7. Si el MCD de A = x(x+1)(x−2)(x−1)−24, y B = x3 − 3x + 2 es igual a cero. El valor de “x” es: a) 1 b) −1 c) 2 d) 3 e) −2 8. Si el MCD de P (x) = 6x4 −x3 +x2 +ax+b, y Q(x) = 6x4 − 13x3 + 15x2 + cx + d es

6.5.

(2x − 1)(3x − 2). Hallar el grado del MCM de dichos polinomios. a) 10 b) 4 c) 6 d) 8 e) 2 9. Si el MCD de P (x) = x3 +8x2 +(a+3)x+21, y Q(x) = x4 + 6x3 + 13x2 + 4bx + 15 es x2 + x + 3. Hallar a + b. a) 12 b) 6 c) 9 d) 3 e) 15 10. Determinar el n´ umero de factores primos que admite el cociente que se obtiene al dividir el MCM con el MCD de P (x, y) = (xy + 1)4 + (x2 y 2 − 1)2 + (xy − 1)4 , y Q(x, y) = (xy + 1)6 − (xy − 1)6 . a) 4 b) 3 c) 1 d) 2 e) 5 11. Hallar el n´ umero de factores primos lineales del MCM de: P (x, y) = xy(xy + x + y + 2) + x + y + 1 Q(x, y) = xy[x(x+1)+y(x+1)+1]+x2 +x+y R(x, y) = (x2 y − x+ x2 − y + xy 2 − y 2 )(x+ 1) a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) 5 12. Si la fracci´ on (4a + b)x5 + 3c(2a − 1)x2 y 3 + 5dy 4 (a − 2b)x5 − 7c(b + 1)x2 y 3 + 10dy 4

es independiente de x e y; el valor de a−b es: a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11 ax + b es indepencx + d diente de x entonces el valor de la expresi´ on 2ad a + b 2ad a bc + − W = c+d bc c

13. Sabiendo que la fracci´ on

a) −1 d) 0

b) 2 e) 1

c) 4

14. Al simplificar la fracci´ on; ab(x2 + y 2 ) + xy(a2 + b2 ) ab(x2 − y 2 ) + xy(a2 − b2 )

la suma del numerador y denominador es: a) 2ax b) 2by c) ax d) ay e) 2(ax + by)

´ Algebra

128

x5 − 25x3 + x2 − 25 x5 − 16x3 + x2 − 16 x+5 x2 + 25 x−5 a) b) 2 c) x+4 x + 16 x−4 x − 25 x2 − 25 e) d) 2 x + 16 x − 16

15. Simplificar:

x2 − y 2 − z 2 + 2yz y 2 + z 2 + 2yz − x2 2 y + z 2 − x2 A+B B= . Calcular: 2yz AB − 1 a) 0 b) −1 c) 1 d) x + y − z e) x − y + z

16. Si: A =

a+b a+b + + b+c a+c b+c a+c a+c b+c + + + , sabiendo a+b a+c a+b b+c que: a + b + c = 0 a) 0 b) −1 c) 3 d) 1 e) −3

17. Encontrar el valor de

x2 − y 2 18. Calcular W = , si se cumple: z2 x+y+z x+z−y y+z−x + = + x+y−z y+z−x x+z−y y+x−z y+x+z a) 1 b) x c) −1 d) y e) 0 19. Simplificar: mnp(a + b + c)(ab + ac + bc) abc(m + n + p)(mn + pm + pn) sabiendo que: am = bn = cp a) 1 b) mnp abc d) 0 e) 2


22. Si: x + y + z = xyz, simplificar: E= a) −2 d) 1

c) 0

a2 b2 b2 c2 a2 c2 + + (a − c)(b − c) (b − a)(c − a) (c − b)(a − b) a) a + b + c c) a2 + b2 + c2 e) 1

b) abc d) ab + bc + ac

24. Hallar la suma de los numeradores de las fracciones parciales de: 3x3 − x2 + 12x − 8 x4 − 5x2 + 4 a) 3 d) 1

b) 4 e) 0

c) 2

25. Al descomponer en fracciones parciales 4x2 − 2x + 4 2x2 − x − 1 el numerador de una de las fracciones es: a) 1 b) 5 c) 3 d) 2 e) 7 26. Al descomponer en fracciones parciales

c)

abc mnp

ax(ax + 1)(ax + 2)(ax + 3) + 1 (1 + ax)(1 + 2ax)(1 + 3ax) + a4 x4 a+x b) a+2x e) a/x

b) 2 e) −1

23. Efectuar:

2x2 + 4x + 1 (x2 + x + 1)2

20. Simplificar:

a) ax+1 ax+2 d) 1

1 − xy 1 − xz 1 − yz + + x(x + y) z(x + z) y(y + z)

c)

x+a x+2a

la suma de sus numeradores es: a) 2x + 2 b) 2x + 1 c) 2x − 1 d) 2x e) x + 2 27. Hallar la suma de los numeradores de las fracciones parciales de:

21. Simplificar: E=

1 2 4 8 + + − 1 + a 1 + a2 1 + a4 1 − a8

a) (a2 − 1)−1 d) (a2 + 1)−1

b) (a − 1)−1 e) 2

c) (a + 1)−1

4x3 a) 0 d) −2

8x + 2 + 4x2 − x − 1 b) 1 e) 2

c) −1

´ Algebra


CAP 06:

129


1. Hallar el grado del MCM de los polinomios: P (x) = x4 + x2 a2 + a4 Q(x) = x4 − ax3 − a3 x + a4 a) 5 b) 6 c) 4 d) 7 e) 8 2. Si el MCD de P (x) = x5 − 3x4 + 3x3 − 2x2 + ax + b y Q(x) = x5 − 3x4 + x3 + 2x2 + cx + d es (x − 1)(x − 2). Hallar el grado del MCM de dichos polinomios. a) 6 b) 2 c) 10 d) 5 e) 8 3. Hallar el MCD de: A = 5x3 − 5x2 + 2x − 2 B = 2x3 + 2x2 − 2x − 2 C = x4 + x3 − x2 − x a) x2 − 1 b) x − 2 d) x − 3 e) x2 + 1

c) x − 1

4. Hallar las suma de los coeficientes del MCD de los polinomios: P (x) = x4 + x3 + x2 + 2x + 1 Q(x) = x5 + 2x3 + x2 + x + 1 a) 3 b) 5 c) 7 d) 1 e) 2 5. Determinar la suma de coeficientes del MCD de: P (x) = x5 + x + 1 y Q(x) = x5 + x4 + 1 a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5 6. Hallar el MCM de los polinomios: P (x) = 10x2 (x3 + 3x2 + 3x + 1)3 Q(x) = 15x(x2 + 2x + 1)2 R(x) = 5x2 + 5x a) x2 − x + 1 b) 30x2 (x + 1)9 c) 2x(x + 1)2 d) 25x(x + 1)9 2 e) (x + 1)(x − 1) 7. Sean los polinomios: P (x) = x4 + mx − 9x2 + n y otro Q(x) cuyo MCD es x2 − 5x + 6, hallar m/n a) 1 b) −3 c) 3 d) −1 e) −1/3 8. Hallar el valor numérico del MCD de los polinomios: P (x) = x6 + 2x5 + x4 + x + 1

6.6.

Q(x)√ = 2x4 + 7x3 + 9x2 + 7x + 2 para x =√2 + 1 √ b) 3 a) 2 − 1 c) 5 + 3 2 √ √ d) 1 + 2 e) 2 + 3 2 9. Hallar el MCD de: P (x, y) = xy(xy + x + y + 2) + x + y + 1 Q(x, y) = xy[x(x+1)+y(x+1)+1]+x2 +x+y R(x, y) = (x2 y − x+ x2 − y + xy 2 − y 2 )(x+ 1) a) x + 1 b) x + y c) y + 1 d) xy + 1 e) x − 1 x+2 ; cada x se reemplax−2 x+2 ; el valor que resulta al sustituir za por x−2 después x por 1/3 es: a) −11/13 b) 17/3 c) −17/3 d) −3/17 e) 3/17

10. Si en la expresi´ on

11. Hallar el equivalente de la expresi´ on: √ a2 + 2 b2 √ 2b2 − a2 + 2(a2 − b2 ) √ √ c) 1 a) a(√ 2 + b) b) 2√+ 1 d) b( 2 + a) e) ab 2 12. Si se tiene que: 2x+1 x−13 2 − x +1 2x 6 7 x − 1 x + 1 A=4x+1 x−15 ÷ 2a2 + 2b a2 + b + x−1 x+1 1

B= x+2−

x2 + 2 x−2 x− x+1

Hallar AB a) 1 d) 1/4

b) 4 e) 1/2

c) 2

13. Si 3xyz = 4(x + y + z) = 24, proporcionar el equivalente de:

2 64 − x2 2 64 − y 2 2 64 − z 2 E= + + x yz − 1 y zx − 1 z xy − 1 a) 48 d) 74

b) 28 e) 54

c) 60

´ Algebra

130 14. Si la fracci´ on (a − 3)x + (2a − 5b + 3)y + (5b − 2) 3x − 5y + 3

adopta un valor constante para cualquier valor de x e y. Hallar el valor constante. a) −7/8 b) 1/8 c) −21/8 d) −3/8 e) 1

15. Reducir la expresi´ on: E =

1 + c(c − a)(c − b)

1 1 + a(a − b)(a − c) b(b − c)(b − a) a) abc b) 1/a c) 1/b d) 1/abc e) a + b + c

(x − b)(x − c) + (a − b)(a − c) (x − a)(x − c) (x − b)(x − a) + (b − a)(b − c) (c − b)(c − a) a) abc b) 1 c) 0 d) a + b + c e) 1/abc

16. Reducir la expresi´ on: E =

17. Conociendo que: x2 + y 2 y 2 + z 2 x2 + z 2 + + = xyz x+y y+z x+z determinar el valor numérico de: y z x W = + + xz(x + y) xy(y + z) yz(x + z) a) 1 d) 6

b) 3 e) 1/2

c) 1/3

18. La suma de todos los valores de n que hacen x8 + 50x − 1 que la fracci´ on no sea propia xn + xn−2 es: a) 38 b) 45 c) 35 d) 30 e) 55


21. Dada la fracci´ on: E=

hallar el valor de E cuando x se aproxima a 2 a) 2 b) 7/5 c) 7 d) 5 e) 5/7 22. Hallar el valor que toma la expresi´ on: E=

x2 y + 2xy 2 − x2 − 3xy − 2y 2 + x + 2y x2 y + xy 2 − x2 − 2xy − y 2 + x + y

cuando x e y se aproximan a 1 a) 1/2 b) 2 d) 1 e) 3/2 23. Si la fracci´ on expresar como

x6 − 243 + x5 − 243x x5 − 81 + x4 − 81x N es el valor de ésta para x = 3 y D es el valor para x = −1, hallar N − D a) 7/10 b) 10/7 c) 10 d) 7 e) 1 20. Hallar el valor que toma la expresi´ on: x8 − 2x + 1 E= 5 cuando x se aproxima a 1 x − 2x + 1 a) 1/2 b) 1 c) 3/2 d) 2 e) 8/5

c) 3

x3 − 2x2 + 6x + 1 se puede x4 − 5x2 + 4

A B C D + + + x−1 x+1 x−2 x+2 hallar el valor de W = A + B + C + D a) 4 b) 3 c) 1 d) 2 e) 0 24. Si se tiene que: 3x3 + 12x2 + 15x − 2 Ax − 1 x+B = + 2 3 2 x + 5x + 9x + 5 x + 1 x + 4x + 5 hallar el valor de A + B a) 6 b) −4 d) 4 e) −6

c) 0

25. Hallar la suma de los numeradores de las fracciones parciales de 9 x3 + 3x2 − 4

19. Si después de simplificar la expresi´ on: E=

x3 + x2 − 16x + 20 x3 − x2 − 8x + 12

a) −2 d) −3

b) 2 e) 1

c) 0

26. Hallar la suma de los numeradores de las fracciones parciales de 2x3 + x2 + 2x − 1 x4 − 1 a) −3 d) 2

b) 3 e) 1

c) 0

Cap´ıtulo 7:

POTENCIACION Objetivos z Calcular cualquier término de la expresi´ on de (x + a)n contando de derecha a izquierda o viceversa. z Diferenciar la utilidad de una ordenaci´ on, permutaci´ on o combinaci´ on que est´ an relacionados con el factorial.

7.1.

Factorial de un n´ umero

El factorial de un n´ umero natural n, denotado por n!, se define como el producto que se obtiene luego de multiplicar los n´ umero naturales consecutivos desde 1 hasta n, n! = 1 × 2 × 3 × 4 × · · · × (n − 1) × n n! = n × (n − 1) × (n − 2) · · · × 2 × 1 La multiplicaci´ on anterior se puede simbolizar también utilizando el operador productorio: n! =

n Y

k

k=1

También es posible definirlo mediante la relaci´ on de recurrencia

8 <1 si, n = 0 n! = :(n − 1)! × n si, n > 0 Ejemplo: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

La notaci´ on actual n! fue usada por primera vez por Christian Kramp en 1803. 131

´ Algebra

132

7.1.1.


N´ umero combinatorio

Dados los n´ umeros naturales m y n, se define el n´ umero combinatorio como: n! r!(n − r)!

Crn =

El n´ umero combinatorio de n en r es el n´ umero de elecciones distintas de r elementos que se pueden hacer de entre un conjunto de n elementos. En otras palabras, es el n´ umero de subconjuntos de r elementos que tiene un conjunto de n elementos. Propiedades: 1) C1n = n 2) Cnn = 1 3) C0n = 1

n+1 n 5) Crn + Cr+1 = Cr+1

6) Crn =

n n−1 C r r−1

7.1.2.

Coeficiente binomial

8) Crn =

n−r+1 n Cr−1 r

10) C0n + C1n + C2n + · · · + Cnn = 2n

n r

=

Si n, r ∈ Z+ 0 y r ≤ n, entonces:

7.2.

n C n−1 n−r r

8

n 4) Crn = Cn−r

Si n ∈ R, r ∈ Z+ 0 , entonces:

7) Crn =

n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) r!

n r

= Crn

An´ alisis combinatorio

Por An´ alisis Combinatorio o Combinatoria, se entiende aquella parte del ´ algebra que se ocupa del estudio y propiedades de los grupos que pueden formarse con elementos dados, distinguiéndose entre s´ı: por el n´ umero de elementos que entran en cada grupo. por la clase de elementos. por el orden de colocaci´ on.


´ Algebra

133

El n´ umero de elementos de que se dispone para formar las distintas agrupaciones se llama base y el n´ umero de elementos que intervienen en cada agrupaci´ on se denomina orden. Las agrupaciones de orden 1 se denominan monarias, las de orden 2 binarias, las de orden 3, ternarias, etc. Los m elementos de que se dispone para formar los grupos pueden ser distintos o bien puede haber algunos iguales. En el primer caso, las agrupaciones formadas se llaman ordinarias, las formadas en el segundo supuesto se denominan agrupaciones con repetici´ on

7.2.1.

Principios fundamentales

En la mayor´ıa de los problemas de an´ alisis combinatorio se observa que una operaci´ on o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar dicha operaci´ on. Para dichos casos es u ´til conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitar´ an el calculo se˜ nalado. El an´ alisis combinatorio también se define como una manera pr´ actica y abreviada de contar; las operaciones o actividades que se presentan son designadas como eventos o sucesos. Ejemplo: Se˜ nalar las maneras diferentes de vestir de una persona, utilizando un n´ umero determinado de prendas de vestir. Ordenar 5 art´ıculos en 7 casilleros. Contestar 7 preguntas de un examen de 10. Designar 5 personas de un total de 50 para integrar una comisi´ on. Sentarse en una fila de 5 asientos 4 personas. Escribir una palabra de 7 letras utilizando 4 consonantes y 3 vocales. 1. Principio de la adici´ on: Si un evento “A” ocurre de “m” maneras diferentes y otro evento “B” ocurre de “n” maneras diferentes, siendo ambos mutuamente excluyentes (No pueden ocurrir A y B simult´ aneamente); entonces la ocurrencia de los eventos: “A o B” sucede de m + n maneras diferentes. 2. Principio de la multiplicaci´ on: Si un evento “A” puede ocurrir de “m” maneras diferentes y después de haber ocurrido cualquiera de ellos, otro evento “B” puede ocurrir de “n” maneras diferentes, entonces la ocurrencia de los eventos: “A y B” sucede de m × n maneras diferentes. Seg´ un los criterios empleados para la formaci´ on, las agrupaciones pueden ser de tres tipos: Permutaciones Variaciones Combinaciones

´ Algebra

134

7.2.2.


Permutaciones

Es el arreglo u ordenaci´ on de todos los elementos de un conjunto, donde un arreglo se diferencia de otro por el orden de ubicaci´ on de sus elementos. a dado por: Para n objetos diferentes, el n´ umero de permutaciones Pn est´ Pn = n! Permutaci´ on circular Es el arreglo que se puede hacer con los elementos de un conjunto, distribuidos alrededor de una curva cerrada de forma circular El n´ umero de permutaciones circulares de n elementos, est´ a dado por: P cn = (n − 1)! Permutaci´ on con repetici´ on El n´ umero de permutaciones de n objetos en el que se repiten alguno de ellos esta dado por: n P{k = 1 ,k2 ,k3 ,...km }

n! k1 ! × k2 ! × k3 ! × . . . kn !

Donde: k1 , k2 , k3 , . . . km : N´ umero de veces que se repite cada elemento. k1 + k2 + k3 + . . . + km = n : N´ umero total de elementos.

7.2.3.

Variaciones

Son arreglos u ordenaciones que pueden formarse con “n” elementos tomados de “k” en “k”, teniendo en cuenta el orden de sus elementos. El n´ umero de variaciones est´ a dado por: Vkn =

n! ; (n − k)!

n>k

N´ otese que una variaci´ on es un caso particular de una permutaci´ on.

7.2.4.

Combinaciones

Son arreglos u ordenaciones que pueden formarse con “n” elementos tomados de “k” en “k”, de modo que dos arreglos cualesquiera difieren por lo menos en un elemento. El n´ umero de combinaciones est´ a dado por: Ckn =

n! ; k!(n − k)!

n>k

´ Algebra


7.3.

135

Binomio de Newton

El binomio de Newton es una f´ ormula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potencia de un binomio elevado a una potencia cualquiera. Es decir, se trata de una f´ ormula para desarrollar la expresi´ on: (a + b)n Como una aplicaci´ on de las propiedades de los n´ umeros combinatorios podemos escribir el siguiente tri´ angulo aritmético conocido como el tri´ angulo de Tartaglia o tri´ angulo de Pascal:

1 0

2 0

4 0

5 0

3 0

4 1

5 1

1 1

3 1

0 0

2 1

5 2

2 2

3 2

4 2

4 3

3 3

5 3

4 4

5 4

5 5

Desarrollando se tiene: 1 1 1 1 1 1

1 2

3 4

5

1 3

6 10

1 4

10

1 5

1

El tri´ agulo de Tartaglia resulta muy u ´til cuando hay que hallar todos los n´ umeros combinatorios del mismo orden. Si n es un n´ umero entero positivo entonces se generan los siguientes desarrollos:

1 1 (a + b) = a+ b = a+b 0 1 2 2 2 2 2 2 (a + b) = a + ab + b = a2 + 2ab + b2 0 1 2 3 3 3 2 3 3 3 (a + b)3 = a + a b+ ab2 + b = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 0 1 2 3 .. . 1

´ Algebra

136


Generalizando; obtenemos:

n

(a + b) =

n n n n−1 n n−2 2 n n a + a b+ a b + ... + b 0 1 2 n

´ Algebra


CAP 07:

137

Potenciaci´ on

1. Simplificar la s expresi´ on: ! n! (n!) n−n! E = nn! (1−n) (n!n−1 )n·n! n a) (n − 1)! b) (n!)n! e) nn d) nn·n!

7.1.

9. Reducir: E =

c) 1

2. Hallar el valor de “n” en: 2(2!) + 4(2!) + 6(3!) + . . . + 2n(n!) = 10080 a) 9 b) 8 c) 7 d) 5 e) 6

a) 8! d) 7

1 1 + 7! + 8! 9! b) 8 e) 9!

−1

10. Si se cumple que: (x + 3)3 (x + 1)! =5 (x + 1)! + (x + 2)! + (x + 3)! √ x Hallar el valor de E = x 10x − 4 a) 5 b) 6 c) 4 d) 2 e) 7

3. Calcular: n(n − 1)! + (n + 1)! + (n − 1)! = 1 2 xn(n!) 1 + n a) n − 1 b) n2 c) 1 d) n e) n + 1

11. Calcular el valor de n en: 1 × 3 × 5 × 7 × . . . × (2n − 1) =

4. Resolver: 20 + C 21 + C 22 C418 + C518 + C619 + C13 13 14 21 C721 + C13

12. Hallar el valor de x en

a) 2 d) 1

b) 5 e) 0

c) 4

5. Calcular “x” en: x+1 x+2 x+3 C1x + C2x + Cx−2 + Cx−2 + Cx−2 = C6x+5 − 1

a) 5 d) 2

b) 4 e) 8

c) 6

6. Calcular mn en: 50 + C 49 + C 48 + . . . + C 11 + 1 = C m+n C40 39 38 1 2n

a) 20 d) 600

b) 620 e) 640

c) 31

x+3 x+3 + x x+1 =2 7. Resolver: x+2 x+2 + x x+1 a) 6 b) 3 c) 4 d) 14 e) 2 8. Reducir: E = a) 6 d) 120

V5x · V6x C5x · C6x (120 · 720) b) 5 e) 2

a) 40 d) 41

a) 2 d) 5

b) 20 e) 39

40! 220 (20)! c) 19

y!(x!)!

È

(x!)!

y!720

b) 6 e) 3

= y!y! . . . y!

|

{z

}

719 veces

c) 4

13. Dar la suma de los valores de “x” que satisface la ecuaci´ on: (x + 3)! = (x2 + 3x + 2)(x2 + 3x) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 14. Calcular el valor de n en: 2 + 2(2!) + 3(3!) + . . . + (n + 3)[(n + 3)!] = 60! a) 56 b) 59 c) 58 d) 57 e) 60 15. Calcular x + y en la secuaci´ on: (720! + 1)! − ((6!)!)! = ((x!)!)y! (720! − 1)! a) 4 b) 5 d) 8 e) 6 16. Si se cumple que “x” es: a) 18 d) 20

a) 1 d) 5

c) 9

C7x−5 = 16. El valor de C4x−8

b) 21 e) 16

c) 19

2x + C 2x Cx+1 x−1 2x + C 2x = 4 Cx+2 x−2 b) 8 c) 4 e) 2

17. Hallar el valor de x en c) 1

c) 9

´ Algebra

138 18. Sabiendo que x! + 3 x! + 2 x! + 2 − = . 3 2 È1 Calcular el valor de E = x! x! − ((x!)!)! a) 2 b) 1 c) 0 d) 3 e) 4 19. Calcular Cyx en: x+y+3 x+y+2 16 − = x−y+1 x−y 11 a) 66 b) 11 c) 10 d) 16 e) 69

20. Hallar el valor de “x” que satisface la siguiente igualdad V2x · C2x = 450 a) 4 b) 5 c) 8 d) 6 e) 7 21. Para qué valor de “n” los coeficientes de los términos quinto, sexto y séptimo del desaon rrollo de (1 + a)n forman una progresi´ aritmética. a) 8 b) 14 c) 10 d) 12 e) 13 22. Hallar el término central del desarrollo de

√ x −2 x +

s 5

x−2 √

m

x

Sabiendo que el coeficiente del quinto término es al coeficiente del tercero como 14 es a 3. a) 200 b) 240 c) 260 d) 280 e) 252 23. Hallar “n” en (x4 + y 2 )n , si la suma de los grados absolutos de todos sus términos es 1260. a) 40 b) 30 c) 20 d) 50 e) 70

Walter Arriaga Delgado trales del desarrollo de:

√ 800

m−394

+ x−2

resulte constante a) 1614 b) 1824 d) 1994 e) 1673

17

c) 2024

26. Si en el desarrollo de la potencia (a+b)27 , los términos que ocupan las posiciones: (p3 + 2) y (3p2 + 3p + 1), equidistan de los extremos. calcular el coeficiente del término de posici´ on “p”. a) 36 b) 27 c) 9 d) 18 e) 45 27. Dar la suma de los lugares que están ocupando los términos independientes de “x” en los desarrollos de (x3 +x−2 )10 y (x4 +x−2 )12 a) 9 b) 22 c) 15 d) 20 e) 16 28. De cu´ antas maneras se pueden elegir 2 o m´ as corbatas de una colecci´ on que contiene 8? a) 120 b) 197 c) 247 d) 237 e) 127 29. En la secci´ on de un hospital se disponen de 12 enfermeras, de cu´ antas maneras puede hacerse una selecci´ on de 5 de modo que: Una Enfermera se incluye siempre. Una Enfermera se excluye siempre. a) 330 y 462 d) 140 y 130

b) 120 y 152 e) 412 y 343

c) 186 y 312

30. De cu´ antas maneras distintas puede ir una persona de la ciudad A a la ciudad E.

n √ ab 4 24. Un término del desarrollo de + c bc c2 es tal que los exponentes de a, b y c son 3 enteros consecutivos creciente. Calcular el n´ umero de términos. a) 6 b) 12 c) 3 d) 13 e) 18 25. Que valor debe asignarse a “m” de modo que la multiplicaci´ on de los términos cen-

x

B

A

C

E

D

a) 25 d) 24

b) 26 e) 22

c) 23

´ Algebra


CAP 07:

139

Potenciaci´ on

7.2.

1. Hallar el valor de “n” en: (n! − 4)[(4 + n!)n! + 16] − 2 =6 (n! − 1)2 a) 8 b) 3 c) 5 d) 6 e) 2

10. Calcular el menor valor de “n + k” en: 10 n−4 n C4 + C6n = C9 5 10 − k k a) 11 b) 12 c) 14 d) 13 e) 15

2. Hallar n si se cumple la siguiente igualdad: 25[(4!)!]2 + (n!)2 = 50 · (4!)![n! − 2!3!(4!)!] a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25

11. Determinar el equivalente de: Cn Cn Cn Cnn W = C0n + 1 + 2 + 3 + · · · + 2 3 4 n+1

3. Indicar el valor equivalente a: 20! 21! 22! 23! 20! + + + + 14!B = 15 × 5! 6! 7! 8! 9! 23 25 a) C9 b) C9 c) C924 26 d) C9 e) 1 4. Calcular “n + k” sabiendo que: 22 21 7 = 11 2k 2k − 1 4n 2n 3 = 28 3 2 a) 9 d) 10

b) 8 e) 11

(n!)2 2n + 1 5. Hallar “n” en: (2n)! n + 1 a) 18 b) 19 d) 20 e) 22

c) 7

=

41 21 c) 21

6. Calcular S = 210 + 10 × 29 + 45 × 28 + 120 × 27 + · · · + 20 + 1 a) 39 b) 310 c) 37 d) 38 e) 311 7. Simplificar: E = a) 5 d) 7

C518 + C618 + C719 + C820 21 C821 + C13 b) 8 c) 3/4 e) 1/2

2n+1 + 1 n+1 n−2 −1 2 d) n a)

2n+1 − 1 n+1 n+1 2 +n e) n+1 b)

c)

2n+2 + 1 n

12. Hallar e “y” “x” respectivamente, en: x x x x+2 y +2 + + = 5 6 7 8 y − 13 a) 16 ; 18 b) 8 ; 11 c) 20 ; 40 d) 21 ; 24 e) 18 ; 21 13. Determinar el valor de ”x” en la siguiente x+3 x+5 ecuaci´ on C4x+3 + Cx−2 = Cx−1 − 1, el valor de E = x2 + 1 es: a) 2 b) 10 c) 5 d) 17 e) 8 14. Si la suma de los grados de todos los términos de (x2 + y 5 )n es 252. Hallar la suma de coeficientes m´ as el n´ umero de términos. a) 265 b) 521 c) 256 d) 247 e) 625 15. Hallar el valor de “n”, si el tercer término del desarrollo del binomio n È √ 1 3 x x− È √ contiene a x3/2 3 x x a) 5 b) 6 c) 8 d) 7 e) 10

8. Calcular el valor de “a” que verifique 54 + C 54 )2 + (C 54 la igualdad (Ca−5 a−7 59−a − 54 2 54 54 C61−a ) = 4C59−a Ca−7 a) 23 b) 13 c) 33 d) 11 e) 9

16. En el binomio (x3 + 2y 2 )7 , se˜ nale el cociente del coeficiente del quinto término del desarrollo entre el n´ umero de términos. a) 35/8 b) 70 c) 8/35 d) 35 e) 60

9. Hallar “n” en C1n + 2C2n + 3C3n + · · · + nCnn = 80 a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 4

17. Si el decimo término del desarrollo de (x2a +xw )n es x36 , halle el valor de w+n+1. a) 12 b) 13 c) 4 d) 9 e) 14

´ Algebra

140


18. Al desarrollar la potencia (x + 7)k los términos de lugares 7 y 8 tienen coeficientes iguales. Halle el valor de k + 1. a) 9 b) 6 c) 8 d) 7 e) 10

26. Una persona tiene para vestirse 5 pantalones; 4 camisas y 3 pares de zapatos. ¿De cu´ antas maneras se podr´ a vestir? a) 56 b) 60 c) 48 d) 52 e) 64

19. El término independiente en el desarrollo de 3 10 3x 1 +√ 2 es: 4 3x a) 315/128 b) −128/325 c) 821/523 d) 325/128 e) 128/325

27. Alessandra tiene para vestir; 4 blusas, 3 pantalones; 2 faldas y 6 pares de zapatos. ¿De cu´ antas formas se podr´ a vestir? a) 96 b) 48 c) 144 d) 100 e) 120

20. Hallar el n´ umero de términos irracionales √ √ en el desarrollo de ( 4 x + 3 x)48 a) 43 b) 24 c) 34 d) 44 e) 45

√ 1 120 5 21. En el desarrollo de x+ √ . De3 x terminar el n´ umero de términos racionales (TR), racionales enteros (TRE), racionales fraccionarios (TRF) e irracionales (TI). a) 9,4,5,110 b) 9,4,5,112 c) 10,6,4,110 d) 10,5,4,110 e) 10,4,6,112

1 n la suma de x coeficientes de su desarrollo es 234 . ¿Qué lugar ocupa un término que contiene a x elevado a un exponente igual al n´ umero de su lugar. a) 34 b) 13 c) 12 d) 10 e) 11

22. En el desarrollo de 3x3 +

23. Alessandra desea viajar de Lima a Cuzco y tiene a su disposici´ on 4 l´ıneas aéreas y 6 terrestres. ¿De cu´ antas maneras diferentes podr´ a viajar? a) 24 b) 6 c) 10 d) 16 e) 8 24. Si hay 5 candidatos para presidente y 4 para alcalde. ¿De cu´ antas maneras se pueden elegir estos dos cargos? a) 20 b) 9 c) 18 d) 24 e) 16 25. De mi casa al CPU hay 8 caminos, de cu´ antas maneras puedo ir y regresar, si de regreso no puedo usar el camino de ida? a) 64 b) 35 c) 48 d) 56 e) 16

28. Se quieren sentar 4 hombres y 3 mujeres en una fila de modo que los hombres y mujeres estén intercalados. ¿De cu´ antas formas podr´ an hacerlo? a) 96 b) 120 c) 144 d) 180 e) 128 29. En una reuni´ on conmemorativa donde se celebra el nacimiento del ilustre Nishiren Daishonin se observ´ o 36 apretones de mano. ¿Cu´ antas personas hay en dicha reuni´ on? a) 9 b) 8 c) 12 d) 10 e) 7 30. ¿De cu´ antas formas se puede ubicar 6 ni˜ nos en una fila; si dos de ellos deben estar siempre juntos. a) 210 b) 320 c) 180 d) 240 e) 280 31. En un equipo de futbol se cuenta con 8 alumnos, 5 hombres y 3 mujeres. Se desea formar grupos mixtos de 6 alumnos. ¿Cu´ antos grupos se podr´ an formar? a) 8 b) 28 c) 45 d) 38 e) 35 32. En cierto examen un estudiante debe contestar 8 de 10 preguntas. Cu´ antas maneras de escoger tiene? Cu´ antas maneras puede escoger, si las tres primeras son obligatorias? Dar como respuesta la suma de estos resultados: a) 56 b) 106 c) 76 d) 96 e) 66

´ Algebra


CAP 07:

141

Potenciaci´ on

7.3.

−4 es: 3 b) 20 e) 24

1. Hallar el valor de p, sabiendo que: (p + 5)! = 40320 a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5

10. El equivalente a

2. Hallar el valor de a, en: (a − 5)!.(a − 6)! = 720(a2 − 12a + 35) (a − 5)! − (a − 6)! a) 11 b) 12 c) 13 d) 15 e) 14

11. En el desarrollo de la expresi´ on (a2 + a)n (a2 − 1)n+2 (1 − a−1 )n , se obtiene 21 términos en total. Determinar el valor de n. a) 15 b) 9 c) 12 d) 11 e) 13

3. Calcular el valor de x + y, en: x(y!)! (x − 1)!(y!)! = 120720 a) 6 b) 7 d) 9 e) 10

c) 8

4. El valor de “m” que satisface la siguiente 6! igualdad 5040!719! = 5039!(m!)! 7!(m!)! es: a) 6 b) 3 c) 4 d) 5 e) 2 5. Calcular el valor de: P = C19 + C29 + C49 + C39 + C89 + C99 a) 210 b) 240 c) 220 d) 265 e) 255 6. Calcular “n” en la igualdad: 3C2n+1 + C2n+2 = 28 a) 2 d) 5

b) 3 e) 7

c) 4

n+3 n+4 7. Calcular “k” en: 1 + Cn+2 = Ck−7+n a) 11 b) 8 c) 7 d) 9 e) 10

8. Calcular “n” en: n = C n+1 + C n+2 C7n + 2C8n + 2C9n + C10 8 3n−26 a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 9

2 Ckn

a) 8 d) 4

−

n+1 n−1 Ck+1 .Ck−1

b) 6 e) 14

c) −18

12. Hallar el séptimo término en el desarrollo 1 10 del binomio: 49x6 + 7x a) −10902x18 b) 10209x18 c) 10902x18 18 18 d) −10209x e) 10290x 13. Hallar el n´ umero de términos del desarrollo de: (x + y + z + w)12 a) 400 b) 100 c) 455 d) 200 e) 300 14. Hallar el valor de “m”, sabiendo que la diferencia entre los grados absolutos de los términos noveno y quinto del desarrollo del binomio: (x3 + y m )n es 8 a) 5 b) 3 c) 1 d) 7 e) 4 15. Calcular el cuarto término del siguiente desarrollo: (1 + x)−1 a) x3 b) −x4 c) x4 3 5 d) −x e) x 16. Hallar el término central del desarrollo del a √ 16 binomio: − x x a8 a) x4 c) 6240a8 b) 12870 4 x d) 12870a8 x4 e) 760a8 x4 17. Determinar el lugar que ocupa el término que contiene a a7 del desarrollo del binomio:

9. Calcular el valor de “k” en: n−1 n+1 n−1 Ck−1 .Ck+1 − Ckn .Ck−1

a) 18 d) −20

3 √

=8

3

4

c) 10

a) 5◦ d) 2◦

a2 +

b) 4◦ e) 7◦

12

2√ a 3

c) 3◦

´ Algebra

142

18. Sabiendo que el desarrollo de (x + y)n tiene 25 términos y que adem´ as la suma de sus coeficientes es 4 veces la suma de los coeficientes del desarrollo de (x + y)m . El n´ umero de términos del u ´ltimo desarrollo es: a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25 19. Hallar el t´ del desaermino décimotercero 1 m rrollo de 9x − √ , sabiendo que el 3x coeficiente binomial del tercer término del desarrollo es 105. a) 455x−3 b) 2x3 c) 455x3 d) x3 e) 455 20. En el desarrollo de la quinta potencia de un binomio se verifica que el cuarto término es ´ltimo −32b10 . Hallar dicho −80a4 b6 x4 y el u binomio. a) ax + 2b b) ax2 − 2b 2 2 c) a x + b d) a2 x2 − 2b2 e) ax4 − b

1 50 21. Dado el binomio x+ √ , determinar 5 x el valor de verdad de las siguientes proposiciones: √

El n´ umero de términos racionales es 6. El n´ umero de términos racionales enteros es 4. El n´ umero de términos racionales fraccionarios es 2. El n´ umero de términos irracionales es 45. a) VFFV d) FVVF

b) VVVV e) FVFV

c) VFVF

22. En el desarrollo de x(1 + x)n cada coeficiente se divide por el exponente de la “x” a la cual pertenece este coeficiente. Entonces la suma obtenida es igual a: a) 2n + 1 b) 2n − 1 2n+1 + 1 c) 2n+1 − 1 d) n+1 2n+1 − 1 e) n+1 23. Simplificar la expresi´ on (A − B)60 , donde:

Walter Arriaga Delgado A=

a4/5

a3/5

a+1 + a2/5 − a1/5 + 1

− (b2/7 − 1)b1/7 B = 2/7 b − b1/7 adem´ as a, b ∈ R − {0; 1}. Determinar el término del desarrollo en el cual el valor absoluto de sus grados relativos son iguales, dicho lugar es: a) 15◦ b) 20◦ c) 36◦ ◦ ◦ d) 40 e) 45 24. Con los d´ıgitos {1, 2, 3, 4, 5}, Cu´ antos n´ umeros pares de 3 cifras distintas se pueden formar?. a) 24 b) 60 c) 30 d) 36 e) 48 25. Con los d´ıgitos {2, 4, 6, 8, 9}, Cu´ antos n´ umeros impares se pueden formar sin que se repitan las cifras?. a) 20 b) 60 c) 73 d) 65 e) 81 26. ¿Cu´ antos n´ umeros de tres ferentes pueden formarse con {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; mayores que nores que 800. a) 180 b) 210 d) 120 e) 410

cifras dilas cifras 300 y mec) 240

27. Alessandra y sus 9 amigos desean ordenarse para tomarse una foto. Si entre ellos hay una pareja de enamorados que no desea separarse, ¿de cuantas maneras pueden ordenarse?. a) 9! b) 8! c) 3 × 9! d) 3 × 8! e) 2 × 9! 28. En un corral hay 10 jaulas diferentes, se han comprado 10 aves: 3 gallinas, 4 pavos y 3 patos. ¿De cu´ antas maneras distintas se puede colocar un ave en una jaula, de modo que se diferencien en una especie? a) 6! b) 7! c) 4200 d) 6!(7!) e) 2400 29. Hallar el n´ umero de formas diferentes en que pueden sentarse 4 hombres y 3 mujeres en una fila de 7 sillas, si las mujeres deben ser contiguas. a) 6! b) 5! c) 4! d) 8! e) 9!

´ Algebra


CAP 07:

143

Potenciaci´ on

1. Calcular el valor de: 1002! + 1003! 1001! + 1002! + − W = 1001! 1002! 1003! + 1004! 1003! a) 1000 b) 1002 c) 1001 d) 1003 e) 1004 2. Se define ( la operación ∗ como: (a! + b)! a ≥ b a∗b= (a + b!)! a < b 2 ∗ (1 ∗ 0) Calcular el valor de: 1 ∗ (0 ∗ 1) a) −1 b) 0 c) 1/2 d) 1 e) 3 3. Simplificar: K = 19 12 d) 12!

13 · 14 . . . . . . 60 20 · 21 · 22 . . . . . . 60 b) 19!

a)

c)

e) 19! − 12!

7.4.

a) C627 d) C526

10. La simplificaci´ on de: n n n Ck−3 + 3Ck−2 + 3Ck−1 + Ckn

E=

Ckn+3

a) 7 d) 1

b) 2 e) 9

19! 12!

5. Calcular “n” si: a) 40 d) 10

c) 3

(n + 1)!n! = 99(n − 2)! (n + 1)! − n! b) 20 c) 30 e) 50

6. Simplificar la expresi´ on: E= a) 11 d) 11!

1111!+3 · 511! · 2!11! · 9!12! 9!11(11!) · 11!11! · 11 b) 121 e) 22

7. Simplificar la expresi´ on: E = a) 7 d) 6

b) 3 e) 5

c) 113

2C815 + 8C715 2C715 c) 4

8. La simplificaci´ on de: E=

20 · C 26 − C 19 · C 26 C10 20 9 6 19 es : C525 · C919 + C625 · C10

es :

c) 5

n! (2n)! − = 70. Calcular el (2n − 2)! (n − 2)! valor de “n” a) 1 b) 5 c) 3 d) 7 e) 9

11. Si:

(n + 3)!(n + 5)! = 120 (n + 3)! + (n + 4)(n + 3)! b) 2 e) 5

26 c) C26

9. Si n ∈ N tal que: 2n+1 = 31 C12n+1 + C22n+1 + C32n+1 + . . . + C2n+1 Entonces el valor de “n” es: a) 2 b) 4 c) 3 d) 5 e) 1

4. Resolver la ecuaci´ on expresada:

a) 1 d) 4

b) C630 e) C623

12. Resolver: a) 4 d) 7 13. Resolver: a) 20 d) 16

C2n · C4n−2 n = n−1 4 C3 b) 5 e) 6 1 2 = n n C5 C6 b) 18 e) 15

c) 8

c) 17

14. Si se cumple la siguiente igualdad: n−1 n−1 Cn−4 + Cn−3 = 84 el valor de “n” es: a) 9 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 15. Al efectuar: 1 + 14C1n + 36C2n + 24C3n +1 C1n + 14C2n + 36C3n + 24C4n Se obtiene: n4 + 1 a) 4 nn 4 c) n+1 n e) n+1

n4 n4 + 1 n + 1 4 d) n b)

´ Algebra

144

16. Calcular el grado absoluto del vigésimo √ 28 término de la expresi´ on de: πx7 − 3y 2 a) 100 b) 101 c) 102 d) 103 e) 104

Walter Arriaga Delgado a) 30; 36 d) 72; 36

b) 120; 72 e) 36; 12

c) 72; 12

17. Si el desarrollo de (6x4 − 8)n la suma de los coeficientes es 1024. ¿Cu´ al es el grado absoluto del término central? a) 10 b) 50 c) 30 d) 40 e) 20

24. ¿De cu´ antas maneras podr´ a ser elegido el delegado y subdelegado del aula constituido de 20 alumnos, bajo la condici´ on de que cada alumno pueda ser elegido s´ olo a uno de estos cargos? a) 380 b) 190 c) 20! d) 19! e) 760

18. El término independiente en el desarrollo 1 7 a del binomio: x + 3 , con a ∈ h0, 15i x a) 35 b) 45 c) 21 d) 63 e) 7

25. Determinar el n´ umero de permutaciones diferentes que ser´ıan posible formarse con las letras de la palabra “QUEQUE” a) 420 b) 120 c) 720 d) 90 e) 30

19. En el desarrollo del binomio: (xa + y b )m ; x, y ∈ R el término décimo es: 220x33 y 126 , calcular: E = a + b + m. a) 37 b) 27 c) 17 d) 7 e) 4 20. Si el u ńico término central de la expansi´ on: 2y n 2 H(x; y) = 3x − , es de sexto grado. x ¿Qué exponente tendr´ a “y” en ese término? a) 6 b) 4 c) 3 d) 2 e) 5 21. Determine el valor de “k” en: (2k − 6)! = 2048 (k − 3)!1 · 3 · 5 · 7 . . . (2k − 7) a) 7 b) 14 c) 11 d) 9 e) 16

n

22. Si el desarrollo del binomio: axa + bxb , los términos de lugares (a+3) y (b−1) equidistan de los extremos; adem´ as la suma de todos los coeficientes es 27, hallar la suma de todos los exponentes de variable en su desarrollo: a) 20 b) 15 c) 16 d) 14 e) 18 23. Se desea ubicar a un grupo de estudiantes de la UNPRG, formado por tres hombres y tres mujeres de un modo tal que ellas queden alternadas con ellos. Averiguar el n´ umero de formas si: Se sientan en fila. Se sientan alrededor de una mesa circular.

26. En un hospital se tiene 5 médicos especialistas en nefrolog´ıa y 4 enfermeras se desea escoger un grupo de 4 personas para una intervenci´ on quir´ urgica al ri˜ n´ on en la sala de cirug´ıa del nosocomio ¿De cu´ antas maneras se podr´ a realizar esto, si en cada grupo debe haber a lo m´ as 2 médicos nefr´ ologos para realizar la intervenci´ on? a) 55 b) 80 c) 85 d) 135 e) 150 27. A•

•B •C

F•

•D •E

De la figura halle la diferencia entre el n´ umero de tri´ angulos y el n´ umero de rectas que pueden trazarse. a) 10 b) 6 c) 1 d) 2 e) 5 28. Cu´ antos n´ umeros de 3 cifras que sean pares existen? a) 450 b) 540 c) 720 d) 210 e) 120 29. ¿Cu´ antas permutaciones pueden formarse con las letras de la palabra BEBETO, si debe empezar con O y terminar en T? a) 3! b) 4! c) 2! d) 6! e) 9!

´ Algebra


CAP 07:

Potenciaci´ on

(n + 2)! (n + 12)! = 5+ , halle el valor n! (n + 11)! de (n3 − 1); n ∈ N a) 0 b) 26 c) 7 d) 63 e) 124

1. Si

2. Determine el valor de “n” en:

2 3 6 0! 1! 2! 3! 7 7 = n2 + n + + + + · · · 36 6 4 2! 3! 4! 5! 5 | {z } n t´ erminos

a) 4 d) 7

b) 8 e) 5

c) 6

3. Determinar el valor de: E=

1313!+1 (12!)14! + 13 (13)13! (12!)13(13!)+13!

a) 13 d) 13!

b) 12! e) 12(13!) n X

4. Calcular: A = a) n2n−1 d) n

c) 26

kCkn

k=1

5. Hallar “n” en:

b) 2n e) n2n+1

n X

c) n2n

kCkn = 80

6. Reducir: W =

d)

2n+1 +1 n+1 2n−2 −1 n

b) 6 e) 4

c) 8

n+1 X

n Ck−1 k k=1

b) e)

7. Simplificar: W =

2n+1 −1 n+1 2n+1 +n n+1

c)

2n+2 +1 n

50 X kCk50

50 Ck−1 b) 1010 e) 1275 k=1

a) 498 d) 1345

7.5.

3x + 1 5y − 3 (x + y) es: a) 16 d) 18

9. Si:

=

x2 − 87 ; el valor de 2(y + 1)

b) 13 e) 21

c) 1143

8. Hallar el valor de n ∈ N en: 30 20 2n X X 30 k X 20 k 2n 3 + 7 =8 k k k k=0 k=0 k=0 a) 20 b) 25 c) 29 d) 30 e) 32

c) 11

10. Sabiendo que el sexto término del desarrollo de (x2 − 2y)n , es: −1792x2n−10 y 5 . El valor de n es: a) 6 b) 7 c) 9 d) 8 e) 10

n

y n+20 11. Al desarrollar el binomio + ; y n−10 x se obtiene un solo término central cuya parte literal es x60 y 600 , determine el valor de: E =m+n a) 25 b) 44 c) 38 d) 49 e) 60

xm

12. El valor que debe tomar k para que los términos de lugares (k2 + 8) y 6k, del desarrollo de (x2 + y 3 )193 , equidisten de los extremos es: a) 19 b) 13 c) 15 d) 17 e) 11 √ 3

k=1

a) 7 d) 5

a)

145

!n

x2 y 7 + se tienen 13. En el desarrollo de y5 x dos términos consecutivos, donde el primero de ellos es independiente de x y el otro independiente de y. Los lugares que ocupan éstos son respectivamente: a) 22 y 23 b) 23 y 24 c) 25 y 26 d) 24 y 25 e) 26 y 27 14. Sabiendo que el desarrollo de (x + y)n tiene 25 términos y que adem´ as la suma de sus coeficientes es 4 veces la suma de los coeficientes del desarrollo de (x + y)m . El n´ umero de términos del u ´ltimo desarrollo es: a) 23 b) 22 c) 21 d) 24 e) 25 15. Indicar valor de 1“n” n que hace que el desa3 rrollo de x + 2 contenga u ńicamente x 15 términos racionales enteros. a) 21 b) 22 c) 25 d) 24 e) 23

´ Algebra

146

16. El valor positivo de n para que los términos √ de lugares n 9 y 7 en el desarrollo de 13 x + y2 posean igual coeficiente es: 2 a) 7 b) 20 c) 14 d) 8 e) 21 17. Los lugares de los dos términos consecutivos en el desarrollo de (x + y)24 que toman los mismos valores numéricos para x = 2; y = 8, son: a) 15 y 16 b) 18 y 19 c) 19 y 20 d) 21 y 22 e) 20 y 21 18. Si el término central del desarrollo 4n . El valor de ´ (xn + x−n )4n es C12−n este término es: a) 18720 b) 17820 c) 12870 d) 12780 e) 12 800 (a+b)27 ,

19. Si en el desarrollo de la potencia los términos que ocupan las posiciones: (p3 + 2) y (3p2 + 3p + 1), equidistan de los extremos. calcular el coeficiente del término de posici´ on “p”. a) 27 b) 36 c) 9 d) 18 e) 45 20. Encontrar el n´ umero total de enteros positivos que pueden formarse utilizando los d´ıgitos {1, 2, 3, 4} si ning´ un d´ıgito debe repetirse cuando se forma un n´ umero. a) 12 b) 24 c) 48 d) 64 e) 96 21. Una caja contiene focos; 2 de 25 vatios; 3 de 50 vatios y 4 de 100 vatios. ¿De cu´ antas maneras pueden escogerse 3 de ellos? a) 21 b) 24 c) 42 d) 84 e) 48

Walter Arriaga Delgado cu´ antas formas pueden intercambiar dos libros de uno por dos del otro?. a) 315 b) 310 c) 1260 d) 610 e) 810

24. Se tiene un examen que consta de 10 preguntas, de las cuales hay que elegir 7, si las dos primeras son obligatorias, determine de cuantas maneras puede escoger sus preguntas. a) 56 b) 36 c) 42 d) 48 e) 24 25. Si solo se consideran las letras a, b, c, d, e y f ¿Cu´ antas placas para autom´ ovil puede hacerse si cada placa consta de dos letras diferentes seguidas de 3 d´ıgitos diferentes? a) 24400 b) 18600 c) 13500 d) 21600 e) 42200 26. Una cl´ınica tiene 25 empleados profesionales, 4 de ellos son médicos cirujanos. De cuantas maneras pueden formarse grupos de tres profesionales donde por lo menos uno de ellos sea médico cirujano a) 1330 b) 970 c) 840 d) 966 e) 960 27. Nueve personas abordan un tren que tiene 3 vagones, cada pasajero escoge aleatoriamente el vag´ on. ¿De cuantas maneras 2 pasajeros van en un vag´ on, 3 en el otro vag´ on y 4 en el vag´ on restante? a) 7560 b) 3780 c) 5040 d) 6300 e) 1260 28. ¿De cu´ antas maneras diferentes se puede ir de M a N sin retroceder? M

22. ¿De cu´ antas maneras pueden distribuirse entre 9 personas; 3 medallas de oro, 2 de plata y 4 de bronce (en ese orden), si a cada persona le corresponde una medalla? a) 90 b) 630 c) 310 d) 180 e) 1260 23. Un estudiante tiene 10 libros de Matem´ atica y el otro tiene 8 libros de F´ısica. ¿De

a) 160 d) 145

N b) 120 e) 165

c) 155

´ Algebra


CAP 07:

147

Potenciaci´ on

1. Simplificar

8. Simplificar: 4! × 25! − ((4!)!)! × 5! 5! × (4!)! − 4! × (24!)!

a) 1 d) 2

b) 5 e) 3

W = a) d)

c) 4

2. Indicar el valor de sumar las dos u ´ltimas cifras de N , siendo:

a) 7 d) 12

b) 8 e) 4

c) 9

1 (x + 3)!2 + (x + 2)! = (x + 4)! x+3 Calcular el valor de αα . a) 1/27 b) −1/27 d) −1/4 e) 1

c) 1/4

4. Al resolver la ecuaci´ on

n n−1 n+2 + 4+ n−3 3 n−1 El valor de n es: a) 4 b) 8 d) 5 e) 7

n + 1 3

= 64

c) 2

(n!)2 2n + 1 41 5. Si se cumple que: = . El (2n)! n + 1 21 valor de n es: a) 21 b) 19 c) 18 d) 20 e) 22 6. Si se cumple la siguiente igualdad:

x−1 x−1 x−1 Cx−4 + 2Cx−3 + Cx−2 ! = 120 2

El valor de x es: a) 6 b) 4 d) 3 e) 2

c) 5

7. Calcular el valor de n + k en: n+1 Ck+1

a) 40 d) 50

+

Ckn

+

9. Simplificar:

s 3

1 + 7C1n + 12C2n + 6C3n C1n + 6C2n + 6C3n b) e)

n2 +1 n2 n3 +1 n3

n−k+2 n+1 30 Ck−1 = C13 n+1

b) 44 e) a y b

c) 47

c)

n+1 n

n+1 n−1 Ck+1 − Ckn Ck−1

n+1 n−1 (Ckn )2 − Ck+1 Ck−1 b) n e) n + 1

10. Si los coeficientes binomiales:

3. Siendo α una soluci´ on de la ecuaci´ on:

n n+1 n2 n2 +1

a) k d) k + 1

N = 1! + 2! + 3! + 4! + · · · + 38!

7.6.

c) n − k

4 2 x −x

y

4 equidistan de los extremos en el 2x − 2 desarrollo de un binomio elevado a un exponente n ∈ N. Hallar x. a) 4 b) 5 c) 6 d) 2 e) 8 11. Si x27 y 6 es la parte literal de uno de los términos del desarrollo de (x3 + y 2 )n . El n´ umero de términos del desarrollo es: a) 14 b) 13 c) 12 d) 11 e) 10 12. Sabiendo que la suma de los exponentes de x de todos sus términos del desarrollo de (x3 − 5x−2 )10n es 3 240. EL n´ umero de términos de su desarrollo es: a) 31 b) 51 c) 61 d) 91 e) 81 13. Se˜ nale el n´ umero de términos racionales enteros contenidos en el desarrollo del binomio È √ 18 3 2 ( x y + xy) . a) 3 b) 5 c) 4 d) 6 e) 7 14. ¿Cu´ on de: √ antos √ términos de la expansi´ ( 3 3 + 2)12 son naturales? a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) 5 15. Hallar el t´ ermino independiente de x en √ 1 9 x+ √ 4 x a) 210 b) 126 c) 36 d) 84 e) 120

´ Algebra

148

16. En el desarrollo de (x4 + x−3 )2n−1 uno de los términos centrales es independiente de x. Halle el n´ umero de términos. a) 6 b) 8 c) 7 d) 9 e) 10 17. Hallar el n´ umero de términos irracionales √ √ del desarrollo de ( 4 x + 3 x)48 a) 41 b) 42 c) 43 d) 45 e) 44 18. Teniendo en cuentael desarrollo de la ex√ 1 56 presi´ on x+ √ indique el valor de 3 x verdad de las siguientes proposiciones: El n´ umero de términos irracionales es 47. El n´ umero de términos fraccionarios es 4. No tiene término independiente. a) FFF d) VVF

b) FVV e) VFV

c) VVV

19. El término independiente en el desarrollo del binomio (xa + x−3 )7 , con a ∈ h0, 15i, es: a) 35 b) 21 c) 45 d) 63 e) 7 20. Hallar el lugar que ocupa el término independiente del desarrollo de

2x − a) 2n−1 − 1 d) 2n−1

9 x

C0n +C1n +C2n +···+Cnn b) 2n−1 + 1 e) 2n + 1

c) 2n

21. ¿De cuantas maneras distinta podr´ a viajar Goku desde la ciudad A a la ciudad D como muestra la figura?. A

B 2

C 3

D 4


22. Seis personas se ubican alrededor de una mesa circular. ¿De cu´ antas formas podr´ an ubicarse si 3 de ellas deben estar siempre juntas? a) 48 b) 56 c) 96 d) 72 e) 36 23. En un jard´ın juegan 7 ni˜ nos y 5 ni˜ nas. ¿De cu´ antas formas se pueden escoger 4 ni˜ nos y 3 ni˜ nas? a) 240 b) 180 c) 350 d) 320 e) 300 24. Alessandra tiene 10 amigos, desea invitar a una reuni´ on solo a 3 de ellos. ¿De cu´ antas maneras puede invitar, si entre las 10 personas hay 2 matrimonios y cada pareja asisten juntas? a) 32 b) 16 c) 8 d) 64 e) 128 25. ¿Cu´ antos equipos de f´ utbol se podrán formar con 15 jugadores? 15 a) V11 b) 15! c) 14! d) C415 e) 11! 26. Con 5 oficiales y 9 soldados. ¿Cu´ antos grupos de 6 pueden formarse de manera que en cada grupo entre por lo menos 3 oficiales? a) 630 b) 1029 c) 1000 d) 360 e) 580 27. Tres viajeros llegan a cierto pueblo en el cual hay siete lugares dedicados al alojamiento. ¿De cu´ antas maneras pueden elegir sus respectivos establecimientos debiendo estar cada uno en lugares exclusivos? a) 120 b) 24 c) 110 d) 180 e) 210 28. En una cl´ınica una enfermera necesita evaluar 8 de 10 historias cl´ınicas. Cu´ antas maneras de evaluar tiene? De cu´ antas maneras puede evaluar, si las tres primeras son obligatorias?

5 a) 14 d) 29

b) 44 e) 24

c) 120

Dar como respuesta la suma de estos resultados: a) 56 b) 76 c) 66 d) 96 e) 106

Algebra - Walter Arriaga Delgado

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