Álgebra. Vol I ©Enrique Izquierdo Guallar ISBN: 978–84–9948–0050–3 e-book v.1.0 ISBN edición en Papel: 978-84-8454-751-8 Edita: Editorial Club Universitario. Telf.: 96 567 61 33 C/. Cottolengo, 25 – San Vicente (Alicante) www.ecu.fm Maqueta y diseño: Gamma. Telf.: 965 67 19 87 C/. Decano, 4 – San Vicente (Alicante) www.gamma.fm
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PRÓLOGO Presento este libro de Álgebra que consta de una colección de 312 preguntas de test, perfectamente razonadas, demostrando cuál es la verdadera y porqué el resto son falsas. Toda esta colección corresponde a preguntas de exámenes, exá menes, que a lo largo de ocho años, se propusieron en la Escuela de Ingeniería Técnica Industrial y Naval de Ferrol (Coruña) y que fui recopilando y resolviendo. Dicha materia se adapta perfectamente a la asignatura de Álgebra de cualquier Escuela Técnica ó Facultad, correspondiente al primer curso. Recorre los bloques de Álgebra: - Matrices y determinantes - Subespacios vectoriales - Aplicaciones lineales - Sistemas de ecuaciones Mi intención, es facilitar la comprensión de estos conceptos, con un razonamiento exhaustivo de las preguntas. Estoy escribiendo otro libro, con un desarrollo parecido, pero dedicado al cálculo, que espero tener terminado este año. Quiero dedicar este libro a mi esposa Raquel Adega y a mis hijos Carolina y Carlos, por el tiempo que, escribir este libro ha supuesto no estar con ellos.
El autor Enrique Izquierdo
ÍNDICE Álgebra Tema
Materia
Nº de Ejercicios
Página
1
Matrices y determinantes
46
7
2
Subespacios.Cambios de base
89
27
3
Aplicaciones lineales
104
67
4
Sistemas de ecuaciones
73
121
Tema 1.- Matrices y determinantes Teoría Clases de Matrices Matríz Triangular Aquella matríz que tiene ceros, por encima ó por debajo de la diagonal principal: 1 2 5 A= 0 2 0 0 0 3
1 0 0 ó B = 2 -1 0 0 5 3
Matríz Diagonal Aquella matríz que tiene ceros por encima y por debajo de la diagonal principal: -2 0 0 C = 0 3 0 0 0 7 Matríz Idempotente Aquella cuyo cuadrado coincide con la misma: A 2 = A Matríz Regular Aquella cuyo determinante es distinto de cero: A 0 Matríz Singular Aquella cuyo determinante es igual a cero: A = 0 Matríz Simétrica Aquella Simétrica Aquella cuya traspuesta coincide con la misma: A t = A Matríz Antisimétrica Aquella cuya traspuesta es igual a dicha matriz cambiada de signo: A t = -A Propiedades de las matrices 1.- (At)t = A 2.- (A ± B) t = At ± Bt 3.- (A.B)t = Bt At 4.- (A + B) = B + A 5.- (A.B) B A, generalmente Matríz Inversa Dada una matríz cuadrada A, cuyo determinante sea distinto de cero, se denomina matríz inversa a la matríz: A-1 = [1/ A] (Adj A)t
7
Adjunta de una matríz.-Está matríz.-Está formada por los adjuntos de cada uno de sus elementos, siendo: Adj aij = (-1)i+j.Menor de a ij Menor de un elemento a ij, es el valor del determinante obtenido al eliminar la fila y columna donde está dicho elemento.
0 5 -1 Ej.- Adjunto del elemento a 23 de la matríz A = 2 1 3 4 2 -6 0 5 2+3 Adj a23 = (-1) = (-1) · (-20) = 20 4 2 Menor complementario de un elemento Es igual al valor de su Adjunto, por dicho elemento afectado de un signo más ó menos según que la suma de subíndices de fila y columna donde se encuentra sea par ó impar: Menor de a 23 = 3 · (-1) 5 · (-20) = 60 Determinantes: De orden dos:.dos:.- dada una matríz cuadrada de orden dos, a11 a12 A= a21 a22 se denomina det A = A = a11a22-a12a21 De orden tres:- dada una matríz cuadrada de orden tres,
a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 a31 a32 a33 se llama determinante de orden 3 al valor: det A = A = a11a22a23+a21a32a13+a31a12a23-a13a22a31-a23a32a11-a33a12a21 De orden superior a tres: Se debe pasar por menores menores a determinantes de orden tres
8
Ejercicios de exámenes 1.1.-Sea A, una matríz simétrica y B una matríz antisimétrica, entonces: a) Existe B-1 b) (AB)t = -AB c) (A+B)t = B-A d) B2 = (Bt)2
(Feb-97)
Solución: a) No tiene tiene porq porque ue exist existir ir la inver inversa sa de una una matrí matrízz Falsa t t t b) (AB) = B A = -BA ( en general, de -AB) Falsa c) (A+B)t = At+Bt = A-B B-A Falsa d) (B2)t = (B.B)t = Bt.Bt = (-B) (-B) = B 2 Cierta ---------------------------------------1.2.- Sea una matríz cuadrada A, de orden “n”, tal que su determinante sea igual a 3. Entonces: a) Det 2A = 6 b) Det 2A = 3.2 n c) Det 2A = 6 n d) Det 2A =2n
(Jun-97)
Solución: Por las propiedades de los determinantes: 2A = 2n A= 2n 3 Es cierta la respuesta b). ---------------------------------------1.3.- Sean A y B dos matrices de tal forma que existen los productos AB y BA; entonces a) A y B son cuadradas b) A y B son regulares c) A y B tienen igual rango d) Todas falsas
(Jun-97)
Solución: a) Fals Falsa, a, ya que que si si A32 y B23AB = C33,BA = D22, existen esos productos y no son cuadradas b) Matríz Matríz regular regular es aquella aquella cuyo determi determinante nante es distinto distinto de cero cero 1 0 3 c) Si A = 0 1 2
2 1 y B=3 1 5 8
no existen los det A y det B y sin embargo, sí existen los productos AB y BA Falsa
9
c) No tie tiene ne porq porque ue ser ser cier cierto to.. 2 1
1 1
Si A =
y B= 1 2
, existe AB y BA y rg A = 2 rg B = 1… Falsa 0 0
d) Es la respue respuesta sta verdad verdadera era.. ----------------------------------------2 4 3 1.4.- Cuál es la matríz adjunta de A = 0 1 -1 3 5 7
a)
12 -3 -3 -13 5 2 -7 2 2
12 3 -3 2 6 9 2 -6 9 b) 13 5 -2 c) 5 -2 -1 d) -5 -2 1 -7 -2 2 2 6 2 2 -6 2
(Feb-98)
La respuesta correcta es la a) (Hallar el Adjunto de cada elemento, según la teoría expuesta al principio del tema). ----------------------------------2 1 1.5.-Dada una matríz A =
, se dice que una matríz B 22, permuta con A, si AB=BA 1 1
¿Cuál de las siguientes matrices permuta con A?: 1 0 a)
1 1 b)
"
0 1
1 1 c)
0 1
1 0 ó
1 0
Solución: a b Sea B= c d
1 1 d)
0 1
0 1 ó
1 1
0 0
(Feb-98)
el conjunto de matrices que permuta con A
entonces, 2 1 a b
a b 2 1 =
1 1 c d 2a+c = 2a+b 2b+d = a+b a+c = 2c+d b+d = c+d
2a+c 2b+d =
c d 1 1
2a+b a+b
a+c
b+d
2c+d c+d
a b
b=c, d=a-b B =
1 0 ó
b a-b
0 1
0 1
1 -1
Si se hace a=1 y b=1 a=1 y b=0, se obtiene la respuesta c), con lo cual las demás son falsas. -------------------------------------------
10
1.6.- Sea A44, entonces: a) b) c) d)
" "
" "
Si rgA = 4, existe A -1 y rgA -1 = 4 Si rgA = 4, existe A -1 y rgA -1 puede ser menor que 4 Si rgA = 3, A -1 es una matríz de orden 3 Ninguna es cierta
(Feb-99)
Solución: a) Es cierta cierta ya que si rgA = 4, el det A es distinto distinto de cero cero y por ser una matríz matríz cuadrada cuadrada -1 -1 -1 -1 existe A . Además Además el rgA debe ser 4 porque (A ) = A b) Es falsa falsa por por lo expli explicad cado o en a) c) Si rgA rgA = 3, Det Det A = 0. Por lo lo que no exist existee A-1 y por lo tanto es falsa d) Falsa también también,, por ser verdade verdadera ra la respuesta respuesta a). ------------------------------------m n 1.7.- Sea p, p, un número real fijo y sea M = , siendo m y n números -np m+n reales, una matríz 2x2. Entonces: a) b) c) d)
" "
"
dim M = 2 dim M = 3 dim M = 1 dim M = 4
(Feb-99)
Solución: si p es un número real, el número de parámetros distintos, que tenemos es dos, (m y n).La base estará formada por dos matrices independientes dando valores distintos a m y a n, y por ello su dimensión será 2, por lo tanto la solución verdadera es la a) y las demás son falsas ---------------------------------------1.8.- Sea A23, entonces: a) Si rgA = 2, existe A -1 b) Si rgA = 3, existe A-1 c) rgA = rgA-1 d) rgA t 2
(Jun-99)
Solución: La matríz A, no es cuadrada, por lo que no existe A -1 y por lo tanto a), b) y c) son respuestas falsas. La matríz At es una matríz 3x2 y el rango máximo de una matríz, es el menor número de filas ó columnas independientes que posee. Entonces, se cumple que rgA t 2 por lo que la respuesta verdadera es la d). ----------------------------------1.9.- Sea Ann, entonces el det (nA) es igual a: a) (n.detA)n b) n.(detA)n c) nn.detA d) n.detA
(Jun-99)
11
Solución: (Ved Ejercicio 1.2) det (nA) = n n detA, por lo que la respuesta correcta es la c). -------------------------------------1 1 1.10.- La matríz M =
verifica: 1 1
a) b) c) d)
" "
" "
Mn = 2n-1.M Mn = 2n.M Mn es una matríz diagonal Mn tiene inversa
(Jun-99)
Solución: 1 1
1 1
2
M =
2 2 =
= 2.
1 1
1 1
2 2
2 2
1 1
4 4
3
M = 1 1
4 4
4 4
1 1
8 8
1 1
1 1 = 22.M …Mn = 2n-1.M Por tanto, a) es cierta 1 1 1 1 3
= 4 4
1 1
=2 .
2 2
M =
= 2.M
2
=
4
1 1
= 23.M
=2 . 8 8
1 1
La b) no es la misma expresión, por lo que es falsa. La c) es falsa porque M n, no es matríz diagonal. La d) es falsa porque M n no admite inversa, ya que detM n es cero. ------------------------------------------1.11.- Sean A y B matrices cuadradas de igual orden. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta?: a) Si AB + BA = 0, A 2B3 = B3A2 b) Si A y B son regulares, A+B es regular c) det (A+B) = detA + detB d) Si AB + BA = 0, A 2B3 =-B3A2 Solución: A2B3 = A.A.B.B.B = (por el enunciado AB=-BA) = -A.B.A.B.B =A.B.B.A.B= =-AB.B.B.A=B.A.B.B.A=-B.B.A.B.A=B.B.B.A.A= =-AB.B.B.A=B.A.B.B.A=-B.B.A.B.A=B.B.B.A.A= B 3A2a) cierta y d) falsa
b) Falsa. Ej.1 0 A=
B= 0 -2
12
-1 0 detA = -2, detB = -2 y det (A+B) = 0 0 2
(Jun-99)
c) Falsa. Con el ejemplo anterior, A y B son regulares y A+B no es regular, ya que det(A+B) 0 Luego, la correcta es la respuesta a) ------------------------------------------1.12.-Sea Ann una matríz regular. ¿Qué se puede afirmar de A n? a) Nada b) Que es regular c) Que es singular s ingular d) Que es regular, solo si n=0
(Dic-99)
Solución: Una matríz es regular si su determinante es distinto de cero. Entonces, detAn = detA.detA detA = (detA)n 0 Por lo cual, A n es regular.La respuesta b) es cierta y las demás falsas. ----------------------------------------0 0 0 1.13.-¿Qué matrices, conmutan con: 1 0 0 ? 1 1 0 0
a)
μ
0
0 0
(Feb-2000)
0 0 μ 0 0 b) 0 c) 0 d) 0 0 μ 0 0 0 0 μ
Solución: Dos matrices, A y B, conmutan si AB = BA. a b c Sea B = d e f el tipo de matrices que conmutan con la dada g h i
Entonces, a b c 0 0 0 0 0 0 a bc d e f 1 0 0 = 1 0 0 d e f g h i 1 1 0 1 1 0 g h i b+c c 0 0 0 0 e+f f 0 = a b c h+i i 0 a+d b+e c+f
b+c=0 c=0 e+f=a f=b h+i=a+d i=b+e
b=0 e=a f=0 h=d i=e=a
a 0 0 B = d a 0 comparando, es la respuesta b) g d a
-----------------------------------------
13
1.14.-Sea A, una matríz antisimétrica. Entonces A 2 es: a) Antisimétrica b) Simétrica c) Ninguna es cierta d) No se puede afirmar nada
(Feb-2000)
Solución: A2 = A.A = por ser A antisimétrica, A = (-A t) = (-At) (-At) = (At)2, por lo que A2 es Simétrica. La correcta es la respuesta b) y las demás son falsas. -----------------------------------------
1.15.- ¿Cuál es valor del determinante:
0 0 0
μ μ
μ
?
μ
0
a) + +μ b) + μ+μ c) (++μ).(-μ) d) Ninguna es cierta
(Feb-2000)
Solución:
μ
0
0
0 1 1 1
μ
0
μ
μ
0
0
μ
0 μ
= (Sacamos de la 1ª columna y μ de la 4ª fuera) =
1 1 = (restamos de la 3ª y 4ª fila, la 2ª) = μ. 1 0
(desarrollando, por el adjunto del elemento a 21) = (-1)μ
0 1 0 0
1 0 1 = 0 - μ- -1
1 - 0 μ- -1
=
1 (sacamos factor común de la 2ª fila) = -μ 1 -1 0 = (desarrollando)= μ- -1
-μ (-++μ) = -μ(++μ), con lo cual, la correcta es la respuesta c) -----------------------------------------
14
1.16.-Sea la matríz:
a) b) c) d)
" "
" "
1 1 A = -1 . Entonces: 1 1 1
rgA=3 si 1 y rgA=2 si =1, para todo valor de rgA=3,si 1, rgA=2 si=1 y 1,rgA=1 si =1 y =1 rgA=3 para todo valor de y rgA=3, si 1 y 1
(Feb-2001)
Solución: 1 1 2 2 -1 = +-1+ --- + = -1 1 1 1 1 1 1 Si =1 rg A = 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 = rg 0 1 = rg = 2, para todo valor de 0 0 0 0 -1
Si 1, el rango de A=3 porque el detA es 0 la correcta es la a) ----------------------------------------1.17.- Sean A y B matrices regulares de orden “n”, entonces: a) b) c) d)
" "
" "
(AB)-1 puede no existir. (AB)-1 = A-1B-1 (AB)-1 = B-1A-1 AB es singular.
(Feb-2001)
Solución: Si A Y B son regulares, detA 0 y detB0 det(AB) = detA. detB 0d) es falsa Por lo explicado, AB es regular Existe(AB)-1 a) falsa (AB)-1 = 1/detAB. (AdjAB) t = 1/ detA.DetB. (AdjB t.AdjAt)= 1/deBt.AdjBt.1/detA.AdjAt = B-1.A-1c) Cierta y b) Falsa ----------------------------------------1.18.- Sea A una matríz antisimétrica(A = -A t), de orden impar. Se verifica que: a) b) c) d)
detA = 1 detA = -1 detA = 0 detA, puede tomar cualquier valor
(Feb-2001)
Solución: 0 a12 a13 Sea A = -a12 0 a23 -a13 -a23 0 det A = 0+a 12a23a13-a13a12a23 = 0 Es cierta la c) Si fuese de orden 2, el determinante podría tomar cualquier valor. -----------------------------------------
15
1.19.- Dadas las matrices A y B pertenecientes al espacio de matrices Mnxp, decir cuál de las siguientes afirmaciones es cierta: a) b) c) d)
rg (A+B) máx (rgA, rgB) rg (A+B) mín (rg A,rg A,rg B) rg (A+B) = rgA+rgB Todas las anteriores son falsas
(Feb-2002)
Solución.1 0 1 Sean A = 0 1 0 0 0 1
0 0 0 y B= 1 2 1 0 1 3
1 0 1 A+B = 1 3 1 0 1 4
rgA = 2 rgB = 3 rg(A+B) = 3 c) falsa y rg(A+B) máx(rgA,rgB) rg(A+B) mín(rgA,rgB) 0 0 0 Sean A = 0 0 0 1 0 0
0 5 0 0 5 0 y B = 0 0 6 A+B = 0 0 6 2 0 0 3 0 0
rg A = 1, rg B = 2 y rg(A+B) = 3rg (A+B)mín(rgA,rgB) rg(A+B), no es es menor que el máx(rgA,rgB) Solo se cumple siempre la b). ----------------------------------------1 -1 2 1.20.- Calcular el rango de la la matríz matríz M = 2 -1 5 , según los valores de 1 10 -6 1 a) rgM = 3, si 3 y rgM = 2 en otro caso b) rgM = 3, si = 1 y rgM = 2 en otro caso c) rg M = 3, si =1 y rgM = 2 en otro caso d) rgM = 3, para todo valor de Solución: 1 -1 2 1 -1 2 1 -1 2 rg M = rg 2 -1 5 = rg 0 -1-2 +2 1 = rg 0 -1-2 +2 1 1 10 -6 1 0 10- -5 -1 0 9-3 -3 0 Si = 3, rgM = 2 Si 3, rgM = 3
la correcta es la a)
-----------------------------------------
16
(Feb-2002)
1 -2 -1 1.21.- Sea M = -3 7 4 , 2 2 1 hallar el valor del elemento que ocupa la posición de la tercera fila y segunda columna de la matríz M-1 a) b) c) d)
" "
" "
1 2 3 4
(Feb-2002)
Solución: -1 11 -20 T -1 0 -1 -1 M = -1/3. 0 3 -6 = -1/3. 11 3 -1 a32 = 2 b) -1 -1 1 -20 -6 1 -----------------------------------------
1.22.-Calcular el valor del determinante:
0 4 1 3 5
3 -2 1 -4 -2 0 2 6 -2 1 3 5 -3 1 5 5 -1 -1 6 3
a)128 b)-200 c)288 d) 0
(Feb-2002)
Solución.0 4 1 3 5
3 -2 -2 -3 -1
-2 0 1 1 -1
1 2 3 5 6
-4 2ªf-3ª.4 0 3 -2 1 -4 3 -2 1 -4 6 4ªf-3ª.3 0 6 -4 -10 -14 6 -4 -10 -14 5 = 5ªf-3ª.5 = 1 -2 1 3 5 = -1. 3 -2 - 4 -10 = 5 0 3 -2 -4 10 9 -6 -9 -22 3 0 9 -6 -9 -22 1 -2 1 -4 2 -4 -10 -14 2ªf-1ª.2 = (sacamos un 3 de la 1ª columna fuera) = -3. 1 -2 -4 -10 = 3ªf-1ª = 3 -6 -9 -22 4ªf-1ª.3 1 -2 1 -4 0 0 -11 -6 0 -12 -6 = -3. 0 0 -5 -6 = -3. 0 -5 -6 = (por tener la 1ª columna ceros) = 0 d) 0 0 -12 -10 0 -12 -10 -----------------------------------------
17
1.23.- Dadas A, B matrices cuadradas de orden n, ¿ cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?: a) b) c) d)
" "
" "
rg (A.B) máx (rgA rgB) rg(A.B) mín (rgA,rgB) rg(A.B) = rgA.rgB Todas falsas
(Feb-2002)
Solución: 2 1 Sean las matrices:
1 1
A=
B=
4 4
rg A = 1 rg B = 1 rg (A.B) = 1
A.B =
0 3
2 2
6 6
1 1
1 1
0 0
A=
B= 1 1
A=
A.B = -1 -1
2 1
rg A = 1 rg B = 1 rg(A.B) = 0
0 0
1 1
4 4
B=
A.B =
4 2 2 2 8 8 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 0 -3 1 1 2 1.24.- ¿Cuánto vale el rango de M, siendo M = 1 3 0 0 1 2
c) falsa
b) falsa
rg A = 1 rg B = 1 a) Cierta rg (AB) = 1
-1 2 2 26 ? 1
(Feb-2002)
a)rg M = 3, si = y rgM = 4, si 1 b)rg M = 3, si = 3 y =5 y rg M = 4 en otro caso c) rgM = 3, si =3, y rgM = 4 en otro caso d) rgM = 4, para todo valor de y
(Feb-2002)
Solución: -1 0 -3 -1 2 -1 0 -3 -1 1 1 2 2 2ªf+1ªf 0 1 -1 1 rg 1 3 0 2 6 = 3ªf+1ªf =rg 0 3 -3 1 0 1 2 1 0 1 2
2
-1 0 +2 8 = 4ªf-2ªf = rg 0 1 0
0 -3 -1 2 1 -1 1 +2 0 0 -2 2-3 0 3 -1 –-1
Estudiemos el determinante formado por las cuatro primeras columnas: -1 0 0 0
0 -3 -1 1 -1 1 0 0 -2 0 3 -1
1 -1 1 0 -2 = - 0 0 -2 = 0 3 -1 3 -1
= 6 0
Luego el rg M = 4, para todo , d) ----------------------------- ------------
18
1 3 -2 1.25.- Sea M = 2 4 0 , 3 5 -1 ¿cuál es el valor del elemento que ocupa la posición de la 3ª fila y 2ª columna de la matríz M -1? a) 4/3 b) -2 c) 3/4 d) 2/3
(Feb-2002)
Solución: -4 2 -2 -4/6 -7/6 M = 1/detM . (Adj A) = 1/6 . -7 5 4 = 2/6 5/6 8 -4 -2 -2/6 4/6 -1
t
8/6 -4/6 -2/6
a32=4/6 = 2/3
Por lo cual, la correcta es la respuesta d). -----------------------------------------
1.26.- ¿Cuál es el valor del determinante:
a) b) c) d)
" "
" "
0 1 1 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 ? 1 0
2 -2 4 -4
(Feb-2002)
Solución: 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 3ªf-2ªf 10 1 1 1 1 -1 0 0 1 -1 0 0 1 1 0 1 1 = 4ªf-2ªf = 0 1 -1 0 0 = - 1 0 -1 0 = 4ªf+1ªf = 1 0 -1 0 = 1 1 1 0 1 5ªf-2ªf 0 1 0 -1 0 1 0 0 -1 2 1 10 1 1 1 1 0 0 1 0 0 -1 1 -1 0 = 1 0 -1 = 2+1+1 = 4 La correcta es la c). 2 1 1 ----------------------------------------1.27 Sean A y B dos matrices regulares de orden n. La matríz (A.B) -1, cumple: a) b) c) d)
" "
" "
Puede no existir Existe y vale A-1.B-1 Existe y vale B-1.A-1 ninguna es cierta
(Jun-2002)
Solución: es la respuesta c). (Véase el Ej.-1-17) -----------------------------------------
19
1 3 1.28.- La matríz
conmuta con: 3 1
a b
a a
a)
b) b a
a a c)
b b
a b d)
b a
b c
Solución: a b 1 3 1 3 a b a+3b 3a+b a+3c b+3d c d 3 1 = 3 1 c d = c+3d 3c+d = 3a+c 3b+d
a+3b = a+3c c+3d = 3a+c 3a+b= b+3d 3c+d = 3b+d
a b B=
la correcta es la respuesta b)
b a ----------------------------------------1.29.- Dadas las matrices Anxm, Bpxq y Crxs, para que A.B.C sea cuadrada, debe cumplirse que a) m = p,p=r,n=s b) m = r,p=q,n=s c) m = s,q=r,n=p d) m = p,q=r,n=s
(Feb-2003)
Solución:
Para que A.B.C, exista exista Anxm.Bpxq.Crxs = (m debe ser igual a p) = D nxq.Crxs = = (debe ser q = r) = E nxs ; para que sea cuadrada debe ser n=s, luego: m=p,q=r,n=s la correcta es la d) -----------------------------------------1 3 4 1.30.- La 2ª fila de la inversa de la matríz: 2 2 1 , es: -1 -2 -2 a) (1 2 3) b) (1 2 -3) c) (1 -2 3) d) (0 -2 3) 3) "
"
"
"
20
(Feb-2003)
Solución: -1 3 4 A= 2 2 1 -1 -2 -2
det A = 4-16-3+8-2+12 = 3 -2 3 -2 -2 -2 -5 -2 -2 -5 t -1 Adj A = -2 6 -5 AdjA = 3 6 9 A = 1/3. 3 6 9 -5 9 -5 -2 -5 -5 -2 -5 -5 -1 La 2ª fila de A es: 1/3(3 6 9) = (1 2 3) a) ----------------------------------------1.31.- El rango de la matríz 1 2 -1 2 0 3 -4 5 -2 1 9 -2 7 2 2 -1 8 -7 6 -1 a) b) c) d)
" "
" "
, es:
1 2 3 4
(Feb-2003)
Solución: 1 2 -1 2 0 1 2 -1 2 3 -4 5 -2 1 3ªf-1ªf.3 0 -10 8 -8 rg 9 -2 7 2 2 = 4ªf-1ªf.9 = rg 0 -20 16 -16 -1 8 -7 6 -1 5ªf+1ªf 0 10 -8 8
0 1 3ªf-2ªf.2 2 = = rg -1 4ªf+2ªf
La correcta es la solución b). ----------------------------------------1 3 -2 1.32.-La 3ª columna de la matríz inversa de: 2 4 0 , es: 3 5 -1 a) (4/3, -2/3, -1/3) b) (4/6, 5/6, -1/6) c) (-1/6, -4/6,-5/6) d) (8,-4, 2) 2)
1 2 -1 0-10 8 0 0 0 0 0 0
2 -8 0 0
0 1 0 =2 0
"
"
"
"
(Jun-2003)
Solución: Véase el Ej.- 1.25 La correcta es la a) ----------------------------------------1.33.-Sea una matríz cuadrada con columnas c1, c2 y c3. Se verifica: a) b) c) d)
" "
" "
det A = det(c1+c2 -c2 c2-c3) det A = det(c1-c3 c3-c2 c3) det A = det(c3 c2 c1) det A = det(c1 c3+2c2 c3)
(Jun-2003)
21
Solución: a) det(c1+c2 -c2 c2-c3) = det(c1 -c2 c2-c3)+det(c2 -c2 c2-c3)= =det(c1 -c2 c2)+det(c1 -c2 -c3) = det(c1 -c2 -c3) = -det(c1 c2 -c3) = =det(c1 c2 c3) = det A Cierta b) det(c1-c3 c3-c2 c3) = det(c1 c3-c2 c3)+det(-c3 c3-c2 c3) = det(c1 c3-c2 c3) = c) = det(c1 c3 c3)+det(c1 -c2 c3) = det(c1 -c2 c3) = -det(c1 c2 c3) = –det A Falsa d) det(c3 c2 c1) = -det(c2 c3 c1) = det(c2 c1 c3) = -det(c1 c2 c3) = -det A Falsa e) det(c1 c3+2c2 c3) = det(c1 c3 c3)+det(c1 2c2 c3) = det(c1 2c2 c3) = = 2. det(c1 c2 c3) = 2.detA Falsa Por lo tanto, la respuesta correcta es la a). ----------------------------------------1.34.- Si A es una matríz simétrica, entonces A 2 es: a) b) c) d)
" "
" "
Simétrica Antisimétrica no se puede asegurar nada es regular
(Sep-2003)
Solución: A2 = A.A (A2)t = (A.A)t = At.At = (por ser A simétrica) = A.A = A 2 A2 es Simétrica a) Regular, no se puede asegurar que lo sea d) falsa -----------------------------------------
1.35.- Dada la matríz:
a) b) c) d)
" "
"
1 2 1 1 a 1 , se cumple: 0 1 b
Es regular para todo valor de a y b Es regular si b = 0 Es regular si a2 ninguna es cierta
Solución: Una matríz es regular, si su determinante es 0 1 2 1 1 a 1 = ab+1-1-2b = ab-2b = b(a-2) 0 1 b Es regular, si a2 ó b=0 a) b) c) d)
22
Falsa Falsa (si (si a=2 a=2 ó b= 0, 0, no es regu regular lar)) Fals Falsa. a. Si b=0 b=0,, no es es regu regula larr Fals Falsa, a, porq porque ue si a2, puede ser b=0 y no es regular Es la únic únicaa cor corre rect ctaa -----------------------------------------
(Sep-2003)
1.36.- Sea Anxn, entonces el det (pA) es: a) pn.detA b)(n.detA)p c)p(detA)n d)np.detA
(Sep-2003)
Solución: La solución correcta es la a). Veáse el ejercicio1.2.----------------------------------------1.37.-Sea An, con , números reales; entonces: a)det(A+A) = (+).detA b)det(A+A) = ( +)n.detA c) detA = 0 d)detA 0
(Sep-97)
Solución: det(A+A) = det ( +).A = (+)n.detAb) c)y d), no tienen porque ser ciertas. ----------------------------------------1.38.-Hallar la matríz A, que verifique la ecuación: 1 0 8 0 t t (3 A +2. ) = 0 2 3 1 a) No existe A con esas condiciones b) La matríz A, es igual a la matríz nula c) La matrízA, es igual a 2 0 1 -1 "
"
"
d) La matríz A, es igual a
2 1 0 1
"
(Feb-2004)
Solución: 1 0
1 0 t
(3At +2
t t
) = 3(A ) +2.
0 2 1 0
1 0 = 3A+2.
0 2 8 0
1 0 = 3A+2.
0 2 8 0 2 0 6 0 3A+2. = = 3A= 0 2 3 1 3 1 0 4 3 -3 6 0 A = 1/3.
2 0 =
3 -3
0 2
c)
1 -1 -----------------------------------------
23
1.39.-Sea una matríz cuadrada de orden n; se cumple: a) b) c) d)
" "
" "
detA=det(-A) det(-A)= (-1).detA det(-A)detA No existe relación entre detA y det(-A)
(Feb-2004)
a11 a12……..a1n Solución.- Sea Sea la matríz A = …………………… an1 an2……..ann -a11 –a12……..-a1n det(-A) = ………………………. = (-1).(-1)…..(-1).detA = (-1) n.detA b) -an1 –an2………-ann La respuesta a) es solo cierta si n es par par La respuesta c) es solo cierta si n es impar La d) es falsa, ya que sí existe relación entre det A y det (-A) ----------------------------------------2 1 ¿ Cuánto vale A2-7A+7I?
1.40.- Sea la matríz: A = 2 5 1 0
-1 0
-1 0 1 0 a) b) c) d) 0 1 1 0 0 -1 0 0
(Dic-2003)
"
Solución: 2 1 2 1 6 7 2 A = = 2 5 2 5 14 27 6 7 2
A -7A+7I =
14 7 -
7 0 +
14 27
14 35
-1 0 =
0 7
La correcta es la c).
0 -1
----------------------------------------t
1.41.-La matríz B+B , es: a) b) c) d)
" "
" "
Simétrica para toda matrízBmxp Antisimétrica solo si B es cuadrada Antisimétrica para toda B mxp Simétrica solo si B es cuadrada
(Feb-2004)
Solución: Para que una matríz B+B t, sea simétrica ó antisimétrica, debe de ser cuadrada, por lo que las respuestas a) y c) son falsas
24
Toda matríz cuadrada A, se puede descomponer en suma de una matríz simétrica y otra antisimétrica de la forma: A = ½(A+At) + ½(A-At) (Propiedad de las matrices) siendo( A+At),siempre una matríz simétrica y (A-At )una matríz siempre antisimétrica. Por lo tanto B+Bt es una matríz simétrica, si es cuadrada ----------------------------------------1 x x 1.42.- La matríz x 1 x verifica: x x 1 a) b) c) d)
" "
" "
Su rango es 3, solo para tres valores de x Su rango es 3, solo para dos valores de x Tiene rango 3, exactamente para dos valores de x Tiene rango 3, para todo valor de x 1
(Feb-2004)
Solución: 1 x x x 1 x = 1+x3+x3-x2-x2-x2 = 2x3-3x2+1 = 2(x-1)2(x+1/2) x x 1 2 2(x-1) (x+1/2) = 0 x=1, x=-1/2………. Si x1 y x-1/2rgA = 3 Si x=1rgA=1 …… La correcta es la b). Si x=-1/2rgA=2 ----------------------------------------1.43.-Sea una matríz Mnxm, con mn, se verifica: a)rgA = m b)rgA = n c)rgA m d)rgAn
(Sep-97)
Solución: El rango de una matríz, siempre es menor que el menor número de filas o columnas que posea. En este caso rgAm. La correcta es la c). -----------------------------------------
1.44.a) b) c) d)
1 1 Dada la matríz:M= 2 1 5 2 3 4
1 2 1 0
2 0 6 4
2 3 3 1
-1 1 -4 , su rango es: -3
"
"
"
"
(Jun-2004)
25
Solución: 1 1 2 2 -1 1 2 0 3 -1 2ªf-1ªf rg 2 1 6 3 -4 = 3ªf-1ªf.2 = rg 1 0 4 1 -3 4ªf-1ªf
1 1 2 2 -1 0 1 -2 1 2 3ªf+2ªf 0 -1 2 -1 -2 = 1ªf+2ªf = rg 0 -1 2 -1 -2
1 0 0 0
1 2 1 -2 0 0 0 0
2 -1 1 2 0 0 =2 0 0
La respuesta correcta es la b). ----------------------------------------1.45.- Si A y B son matrices simétricas: a) A.B es simétrica para todas las matrices A y B b) A.B simétrica, A.B = B.A c) A.B simétrica si A y B son cuadradas d) A.B simétrica det(A.B) = 0
(Jun-2004)
Solución: Para que una matríz sea simétrica (A = At), debe de ser cuadrada AB simétrica, si es cuadrada y por ello A y B deben, (por ser simétricas), ser cuadradas a) es falsa. Si A.B, es simétrica, no tiene porque ser su determinante cero d) es falsa. La c) es falsa porque es una condición necesaria pero no suficiente. A.B simétrica (A.B)t = A.B (A.B)t = Bt.At = (por ser A y B simétricas) = B.A A.B = B.A Si A.B = B.A(A.B)t = Bt.At (por ser a y B simétricas) = B.A = (si conmutan) = A.B es simétrica A.B es Por lo cual, la respuesta correcta correcta es la b). ----------------------------------------2 -1 -4 1.46.-Dadas las matrices M = 4 -1 -2 2 2 14
2 1 3 y N = 2 2 2 , se verifica:
a) Las dos son regulares. b) N es regular y M no es regular. c) M tiene inversa y N no tiene inversa. d) Ninguna Ninguna tiene inversa. inversa.
(Jun-2004)
Solución: Si una matríz es cuadrada y su determinante es distinto de cero, admite inversa y se llama regular a) y b) son falsas porque N no es cuadrada. 2 -1 -4 det M = 4 -1 -2 = -28-32+4-8+8+56 = -60+60 = 0 No es regular, a pesar 2 2 14 de ser una matríz cuadrada la c) es falsa la correcta es la d). -----------------------------------------
26
Tema 2.- Subespacios vectoriales Teoría Base de un Subespacio.Dado un subespacio vectorial, se denomina base de dicho subespacio, al conjunto de vectores linealmente independientes que posee. Su dimensión es igual al número de vectores que tiene la base. Ejemplos: V =<(1,0,0) (0,1,0) (0, 0, 2)> 1 0 0 0 1 0 0 son l.i. B(V) ={(1,0,0) (0,1,0) (0,0,2) } dimV = 3 0 0 2 W = {(1,0,0) (0,1,0) (1,1,0)} 1 0 0 0 1 0 = 0 y el menor 1 0 , es 0 B(W)= { (1,0,0) (0,1,0) } dimW = 2 1 1 0 01 Bases de un subespacio, hay infinitas, pero todas deben de estar formadas por el mismo número de vectores independientes independientes y dichos vectores, deberían deberían cumplir la ecuación o ecuaciones de dicho subespacio. -Propiedad:Propiedad:- El nº de Ecuaciones cartesianas+el nº de vectores l.i. = dimensión del espacio al que pertenece dicho subespacio. Cambios de Base: -De base B 1 a Canónicas: B1 C Para cambiar un vector vB a base canónica vC, se multiplican sus coordenadas, por los vectores de la base B. Ejemplo: Sea B = { (1,0,2) (1,1,1) (0,1,3) }
y vB = (1,5,2)
(1,5,2)B = 1.(1,0,2)+5.(1,1,1)+2.(0,1,3) = (6,7,13)C La matríz que realiza ese cambio está formada por los elementos de la base B colocados verticales: 1 1 0 ABC = 0 1 1 2 1 3
27
así, 1 1 0 (1,5,2)B = 0 1 1 2 1 3
1 6 5 = 7 2 B 13
C
b) De canónicas a base B: C B Para cambiar un vector de base canónica a base B, se iguala dicho vector a letras multiplicadas por los elementos de la base y esa letras, una vez halladas, son son las coordenadas de de dicho vector en esa base. Ejemplo: Sea v = (1,0,3)C y sea sea B = { (1,1,0) (0,1,0)(2,1,1) } (1,0,3)C = a.(1,1,0)+b.(0,1,0)+c.(2,1,1) 1 = a+2c 0 = a+b+c a = -5, b = 2, c = 3 (1,0,3)C = (-5,2,3)B 3=c La matríz que cambia de canónicas a base B, está formada por la inversa de los elementos de la base B, colocados verticales:
ACB =
1 0 -2 (1,0,3)C = -1 1 1 0 0 1
102 1 1 1 0 0 1 1 -5 0 = 2 3 C 3
-1
1 0 -2 = -1 1 1 0 0 1
B
c) De base B 1 a baseB2: B1B2 No se puede pasar directamente; se debe pasar primero el vector de base B 1 a base canónica y luego de base canónica a base B 2. Ejemplo: Expresar Expresar el vector v que está en B 1 en base B2, siendo: v = (1,0,3) y B1= { (1,0,2) (1,1,1) (0,1,3) } y B2 = { (1,1,0) (0,1,0) (2,1,1)} (1,0,3)B1 = 1.(1,0,2)+=.(1,1,1)+3.(0,1,3) = (1,3,11)C = a.(1,1,0)+b.(0,1,0)+c.(2,1,1) =(-21,13,11)B2 La matriz que hace este cambio es A B1B2 = ACB2.AB1C 1 0 2 -1 1 1 0 1 0 -2 1 1 0 -3 -1-6 AB1B2 = 1 1 1 . 0 1 1 = -1 1 1 . 0 1 1 = 1 1 4 0 0 1 2 1 3 0 0 1 2 1 3 2 1 3
Entonces,
28
-3 -1 -6 1 -21 (1,0,3)B1 = 1 1 4 0 = 13 2 1 3 3 11
En Resumen: ACB = (B )-1
ABC = (B )
AB1B2 = ACB2.AB1C = (B2 )-1 . (B1)
Subespacio Suma (U+V) - La suma de dos subespacios U y V, es otro subespacio U+V, que está formado por todos vectores de la base de U y todos los vectores de la base de V. - La base de U+V, está formada por todos los vectores independientes de dicho subespacio suma. - Los vectores de U+V, no tienen porque cumplir ni las ecuaciones de U, ni las de V. - Si la dimensión del subespacio U+V, coincide con la del espacio R n a que pertenece, se cumple que U+V = Rn. - Si su dimensión, es menor que n, será posible encontrar su ecuación o sus ecuaciones cartesianas. - Siempre se cumple: dim(U+V) dimRn, dim(U+V) 0, dim(U+V) máx(dimU, dimV) Subespacio Intersección (U
V)
-La intersección de subespacios, es un subespacio formado por los vectores que cumplen las ecuaciones de ambos Subespacios. -La base de la intersección, estará formada por los vectores independientes de dicho subespacio Intersección. -Lo mínimo que puede salir de una intersección es el vector nulo, no el conjunto vacío, es decir: dim U V 0 Relación entre las dimensiones de U, de V, de U+V y de U dim(U+V) = dim U + dim V - dim(U V) Esta fórmula, nos permite conocidas las dimensiones de los subespacios, y las de la suma o la de intersección calcular la otra. Suma directa de dos Subespacios. Dados dos subespacios de R n, U y V, se dice que la suma U+V es directa, si se cumple: 1º.- U+V = Rn 2º.- U V = 0 Si la suma es directa se dice que U es Suplementario de V o que V es Suplementario de U, es decir, que Suplementario de un subespacio es otro subespacio constituido por los vectores que le faltan al primer para llegar a formar todo R n. dim Rn = dim U+ dim Supl. de U Condiciones para que un Subconjunto sea un Subespacio Dado un subconjunto subconjunto de vectores, será subespacio, si si en las ecuaciones cartesianas que que lo definen: - No aparece ningún exponente de las variables distinto de la unidad(ej.- y = x 2-z). - No aparece ningún número, que no sea coeficiente (ej.- y = x+z-3). - No aparecen productos ó cocientes de letras (ej.- y = x/z). - No aparecen inecuaciones (ej y x+2z).
29
Entonces si no aparece nada de lo anterior, será subespacio. El vector nulo pertenece pertenece a cualquier Subespacio Subespacio y por ello dicho vector, debe cumplir las ecuaciones cartesianas cartesianas de cualquier Subconjunto de vectores que que sea realmente un un subespacio. Por lo tanto, dado un subconjunto V, para ser un subespacio, una condición necesaria, pero no suficiente es que el vector nulo pertenezca a V y por ello cumpla las ecuaciones cartesianas que definen a V. -----------------------------------------
30
Ejercicios de exámenes 2.1.-Sea { e1,e2,…..en} una base de (V,+,.,R), entonces a) e1,e2,….en es un sistema maximal de generadores de de V b)
++,….+ = V c) e1,e2,….en es un un sistema sistema minimal minimal de vectores vectores linealmente independientes d) < e1,e2,….en> = V (Feb-97) Solución: a) Falsa: Falsa: si consi consider deramo amoss una una base base de de R3: { (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)} El sistema <(1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,2,3)….> es un sistema generador de R 3, pero no base. Nunca llegamos a pesar de seguir añadiendo vectores al sistema maximal de generadores de R 3. La base se puede definir como el sistema minimal de generadores. b) Cierta: con los vectores que genera e1, sumando ó restando los que genera e2, e3, …., se puede generar cualquier vector de V. c) Falsa: sería cierta si dijese sistema sistema minimal de generadores de V. No es es el menor sistema de vectores l.i., ya que también es un sitema de vectres l.i. y es menor que el anterior. d) Falsa: en R3, = <(1,0,0)+(0,1,0)+(0,0,1)> = <(1,1,1)> y con ese único no se puede generar cualquier vector de R 3. ----------------------------------------2.2.- Si U = <(1,-1,0) (-1,2,1) > y V = <(1,0,1) (0,1,0>, entonces: a) b) c) d)
" "
" "
V+U es suma directa de R3 U = (0,0,0) dimUdimV U+V = <,μ,+μ> con ,,μ números reales (Feb-97)
Solución: Hallemos los subespacios U+V y U U+V = (1,-1,0) (-1,2,1) (1,=,1) (0,1,0)
Si tomamos los tres primeros:
Si tomamos el 1º,2º y 4º:
1 -1 0 -1 2 1 = 2-1-1 = 0 son l.d. 1 0 1 1 -1 0 -1 2 1 = -10 son l.i 0 1 0
31
Luego, una base de V es (1,-1,0) (-1,2,1) (0,1,0) y dim(U+V)= 3U+V = R3 dim(U+V) = dimU+dimV-dim(UV) 3 = 2+2-dim(UV) dim(UV) = 1. - Si Si dim dim (U V) = 1 UV estará generado por un vector ( 0) b) es falsa. - Como dimU = dimV = 2 c) es falsa. - Para ser suma directa además de cumplirse que U+V = R 3, debería cumplirse que UV = 0 a) es falsa. - Con los vectores <( ,μ,+μ)> , se puede generar todo R 3 <(,μ,+μ)> = R3, y por lo tanto d) es cierta. ----------------------------------------2.3.-Sean U y W subespacios de V, dimV = n, dimU = n-1, dimW = n-2. Entonces la dim(U W) es: a) (n-1) b) (n-2) ó (n-3) c) (n-1) ó (n-2) d) (n-3) (Jun-97) "
"
"
"
Solución: Los subespacios U y W, verifican: dim(U+W) = dimU+dimW-dim(UW). - La máxima dimensión que puede tener (U+W), es la del espacio V a que pertenecen n, y la mínima la mayor de las dimensiones de los espacios sumados; por lo tanto: n = (n-1)+(n-2)-dim(U W) dim(UW) = n-3 ó n-1 = (n-1)+(n-2)-dim(U W) dim (UW) = n-2 La respuesta correcta es la b). ----------------------------------------2.4.-Las coordenadas del vector (5, 7, 1, 12), respecto a la base B = { (-1,1,0,1)(1,0,0,0)(0,2,-1,1)(1,0,1,2)} (-1,1,0,1)(1,0,0,0)(0,2,-1,1)(1,0,1,2)} son: a) b) c) d)
(3,5,-1,2) (1,2,3,4) (0,1,2,3) (1,-1,2,3)
(Jun-97)
Solución: (5, 7, 1, 12) = como no dicen nada esas coordenadas son respecto respecto a la base canónica) = =a.(-1,1,0,1)+b.(1,0,0,0)+c.(0,2,-1,1)+d.(1,0,1,2) = (-a+b+d,a+2c,-c+d,a+c+2d) 5 = -a+b+d 7 = a+2c 1 = -c+d 12 = a+c+2d
a=1, b=2, c=3, d=4 (5,7,1,12) = (1,2,3,4)B La cierta es b).
Se podría realizar con la matríz de cambio A CB, pero eso llevaría consigo hallar una inversa de una matriz de orden cuatro,lo cual llevaría más tiempo. -----------------------------------------
32
Bloque de 4 preguntas Sean los los subespacios: M = < (-1,1,0,1) (-1,1,0,1) (1,0,2,0)> N = { (x,y,z,t) / x+y+z+t=0, y+z+t=0, y+z+t=0, z+t=0 }
(Jun-97)
2.5.- Se cumple: a) dim N dim M b) dim N=3 c) N= <(0,0,-1,1)> e) N=<(0,0,-1,1)(0,-2,1,1)> "
Solución: M, está generado por 2 vectores independientes B(M) = (-1,1,0,1)(1,0,2,0) dimM=2
N:
x+y+z+t=0 y+z+t=0 x=0,y=0,t=-z N = <(0,0,z,-z)> B(N)= (0,0,1,-1) dimN=1 z+t=0
Por lo tanto, a) y b) son falsas. La d) es falsa porque los dos vectores que dicen son independientes y la dimensión de N sería 2 lo cual es falso La cierta es la c) ----------------------------------------2.6.- Se cumple: a) b) c) d)
" "
" "
M= M= M= M=
{(x,y,z,t) / 2x+y-z+t=0} {(x,y,z,t)/ 2x+y-z+t=0, 2x+y-z+t=0, y+t=0} {(x,y,z,t)/ 2x+y-z+t=0, 2x+y-z+t=0, y-t=0} { (x,y,z,t)/ 2x+y-z-t=0, 2x+y-z-t=0, y-t=0}
Solución: Hallemos las ecuaciones cartesianas de M: (x,y,z,t) = .(-1,1,0,1)+.(1,0,2,0) x=-+ y= z=2 t=
2x+2y=z 2x+y+t=z t=y 2x+y+t=z t=y -----------------------------------------
La correcta es la c)
2.7.-Una base de (M+N) es: a) b) c) d)
" "
" "
{ (1,0,2,0)(0,1,3,0)(1,1,4,1)} { (0,1,3,0)(1,1,5,0)} { (-1,1,0,1)(1,0,2,0)(0,0,-1,1)} { (-1,1,0,1)(0,0,1,-1)}
33
Solución: M+N =< (-1,1,0,1)(1,0,2,0)(0,0,-1,1)> -1 1 0 1 0 2 0 Los tres vectores son l.i. constituyen una base y dim(M+N) = 3 0 0 -1 Luego b) y d) son falsas por tener dimensión 2. Como no aparece la solución que tenemos, tenemo s, busquemos las ecuaciones cartesianas: (x,y,z,t) = .(-1,1,0,1)+(1,0,2,0)+μ.(0,0,-1,1) x=-+ y= z=2-μ t=+μ
= x+=x+y μ=2 -z=2x+2y-z
t= y2x+2y-z=2x+3y-z
M+N= (x,y,z,t)/t=2x+3y-z - Los tres vectores de a) cumplen esta ecuación es cierta - El tercer vector de la solución b), no cumple la ecuación es falsa ----------------------------------------2.8.-Sea u = (3,2,6,6), entonces: a) u pertenece a M b) u pertenece a N c) u pertenece a M+N d) u pertenece a M N Solución: - La a) es falsa ya que u no cumple la 1ª ecuación de M. - La b) es falsa, ya que u no cumple la 3ª ecuación de N. - La c) es falsa, ya que u no pertenece ni a M ni a N. - La d) es cierta, porque cumple la ecuación de (M+N). Fin del Bloque ----------------------------------------2.9.-Sea B ={(1,1,2)(2,3,4)(-3,-4,-5) } . Las coordenadas de (1,1,1) respecto a esa base, son: a) (0,-1,-1) b) (2,-1,1) c) (3,4,5) d) (-1,-1,3) (Jun-97) Solución: 1ª forma: (1,1,1) = .(1,1,2)+.(2,3,4)+μ.(-3,-4,-5)
34
1= +2-3μ 0= - 1= +3-4μ 1= 2+4-5μ -1= 2+3μ
=0, =-1, μ=-1 (1,1,1)=(0,-1,-1)B
2ª forma: 1 2 -3 -1 1 -2 1 La matríz que realiza realiza dicho cambio es ACB = 1 3 -4 = -3 1 1 2 4 -5 -2 0 1 1 -2 1 1 0 (1,1,1) = -3 1 1 1 = -1 -2 0 1 1 C -1 B La respuesta correcta es la a). ----------------------------------------1 1 1 2.10.- ¿Para qué valores valores de a, la matríz M = 1 1 0 , es una matríz de cambio de base?: a 0 1 a) a b) Para ningún valor de a c) Si a 0 d) Si a 1 "
"
"
(Dic-97)
"
Solución: Para que una matríz sea de cambio de base, debe estar formada por vectores l.i. 1 1 1 1 1 0 = 1-a-1 = -a Si a0, son l.i. y es entonces una matríz de cambio de base a 0 1 La respuesta correcta es la c). ----------------------------------------Bloque de 4 preguntas: Sean los subespacios: M = < (2,-3,1) (2,-3,1) (-3,2-1) > N = (x,y,z)/ 2x-5y-5z=0, -x+2y+3z=0 P = (x,y,z)/ 2x-4y-6z=0
(Sep-97)
2.11.- Se cumple que: a) N = <(5,1,1)> b) dimN = 2 c) dimN> dimM d) N no es subespacio
35
Solución: 2x-5y-5z=0
2x-5y-5z=0 -y+z=0 y=z, x=5z N = (x,y,z)/ y=z, x=5z
-x+2y+3z=0 a) b) c) d)
= <5z,z,z>
-2x+2y+6z=0
Cierta. Fals Falsa; a; dim dim N=1. N=1. Fals Falsa; a; dim M=2, M=2, dimN dimN=1 =1.. Fals Falsa; a; N si si es sub subes espa paci cio. o. -----------------------------------------
2.12.- el Subespacio M es: a) b) c) d)
" "
"
{(x,y,z)/2x-3y+z=0} { (x,y,z)/-3x+2y-z=0} { (x,y,z)/2x-3y+z=0, -3x+2y-z=0} { (x,y,z)/x-y-5z=0}
Solución: Hallemos las ecuaciones de M: M = < (2,-3,1)(-3,2,-1)> Como son los vectores de M, l.i. nº de ecs.de M = dimR 3-nº de vectores de la base = 3-2 = 1 c) es falsa. (x,y,z) = .(2,-3,1)+.(-3,2,-1) x=2-3 y=-3+2 = -y-2z, =-y-3zx=y+5z la correcta es la d) y a) y b) son falsas z=- -----------------------------------------
2.13.- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? a) b) c) d)
" "
" "
dim(M+N)=2 M N 0 M+N =R3 M+N M+ N esta esta cont conten enid ido o en(M en(M N)
Solución: Hallemos: (M+N) y (MN M = {(x,y,z)/x=y+5z} B(M) = {(2,-3,1)(-3,2,-1)} dim M = 2 N = {(x,y,z)/ 2x-5y-5z = 0, -x+2y+3z = 0} = <5z,z,z> B(N) ={ (5,1,1) } dimN = 1 Entonces, M+N = {(2,-3,1) (-3,2,-1) (5,1,1)}
36
2 -3 1 -3 2 -1 = 4-3+15-10+2-6 0 l.i. dim(M+N) = 3 5 1 1 M+N = R3 a) falsa y c) cierta Aplicando Aplicando la fórmula: fórmula: dim(M+N) dim(M+N) = dim M+dimN-di M+dimN-dim(M m(M N) 3 2 1 dim(MN) = 0 (M N)=0 Por ello b) es falsa y d) es falsa ya que la suma contiene a la intersección y no al revés. ----------------------------------------2.14.-Es cierto que: a) b) c) d)
" "
" "
P+M de forma directa es R 3 P+N de forma directa es R 3 P esta contenido en N N está contenido en P
Solución: M={(x,y,z)/x=y+5z} B(M) = {(2,-3,1) (-3,2,-1)} dimM = 2 N = {(x,y,z)/2x-5y-5z=0, -x+2y+3z =0} B(N) = {(5,1,1)} dim N = 1 P = {(x,y,z)/2x-4y-6z=0} = <2y+3z,y,z> B(P) = {(2,1,0) (·,0,1)} dim P = 2 P+M = {(2,-3,1) (-3,2,1) (2,1,0) (3,0,1)} 2 -3 1 -3 2 -1 = -3+6-4+2 0 B(M+P) = {(2,-3,1) (-3,2,-1) ((2,1,0)}dim(M+P)=3 2 1 0 M+P = R3 dim (MP) = dimM+dimP-dim(M+P) = 2+2-3 = 10 (M P) 0 no es suma directa, luego la respuesta a) es falsa. P+N = {(2,-3,1) (-3,2,-1) (5,1,1)},que son l.i. dim(P+N) = 3 P+N = R3 dim (PN) = dimP+dimN-dim(P+N) = 2+1-3 = 0 PN = 0 la suma es directab) es cierta. La respuesta c) es falsa, porque dimP>dimN. La respuesta d) es falsa ya que los vectores de N no pertenecen a P N no está contenido en P. Fin del bloque ----------------------------------------2.15.- Las coordenadas del vector v = (1,5,-3) respecto a la base {(-1,1,0) (1,0,0) (0,2,-1)} son: a) (3,5,-1) b) (-1,0,3) c) (1,2,4) d) (1,2,5)
(Sep-97)
37
Solución: 1ª forma (1,5,-3) = a.(-1,1,0)+b.(1,0,0)+c.(0,2,-1) 1= -a+b 5=a+2c b=0,a=-1,c=3 (1,5,-3)C = (-1,0,3)B -3=-c 2º forma -1 1 0 ACB = 1 0 2 0 0 -1
-1
1 -1 Si se halla esta matríz, (ACB). 5 = 0 -3 C 3 -----------------------------------------
B
Bloque Se consideran los subespacios de R 3:
V1 = <(1,2,0,1)> V2 = {(x,y,z)/x-y+z+t=0, y-z=0} V3 = { x=,y=+,z=μ, t=}
(Feb-98)
2.16.- ¿Cuál es el subespacio V 1+V3?: a) V3 b) V1 c) R4 d) {(1,1,0,0) (0,1,0,1) (1,2,0,1)} Solución: V1 = <(1,2,0,1)> V3 = (operando con las ecs.) = {(x,y,z,t)/y = x+t} como los vectores de V 1 pertenecen a V3(cumplen su ecuación),V 1 está contenido en V 3,por lo que V1+V3 = V3 a) es cierta y b) es falsa. La dim(V1+V3) = dim V 3 = 3 4 V1+V3 R4 c) es falsa. El tercer vector de la solución d) es dependiente con los otros dos (es igual al 1º más el2º) <(1,1,0,0) (0,1,0,1) (1,2,0,1)> = < (1,1,0,0) (0,1,0,1)> dim =2. Es falsa la respuesta d), ya que para formar (V1+V3), se necesitan 3 vectores l.i. que cumplan la ecuación de V 3. ----------------------------------------2.17. -¿Cuál es el subespacio (V 1 V3)?: a) V1 b) V3 c) R4 d) (0,0,0,0)
38
Solución: Como V1 está contenido en V 3 la intersección de ambos es V 1 a) es cierta y b) es falsa. La intersección tiene la misma dimensión que V 1, es decir, 1 c) y d) son falsas. ----------------------------------------2.18.- ¿Cuál es una base de V2?: a) {(1,0,0,1) (0,1,1,0)} b) {(2,3,2,1) (1,5,0,0)} c) {(1,0,0,0) (0,1,0,0)} d) {(1,0,0,-1) (0,2,2,0)} Solución: V2 tiene dos ecuaciones lineales independientes dimV2 = dimR4-nº de ecs. cartesianas = 4-2 = = 2 estará formada su base por 2 vectores l.i. El primer vector de a), no cumple la 1ª ecuación de V 2 (x-y+z+t=0) es falsa. El primer vector de b), no cumple la 2ª ecuación de V 2 (y-z=0) es falsa. El primer vector de c), no cumple la 2ª ecuación de V 2 es falsa. Los dos vectores de la solución d) cumplen las dos ecuaciones de V 2 es cierta. (Fín del Bloque) ----------------------------------------Bloque Sean las bases: B1 ={(0,1,1) (1,0,1) (1,1,0)} y B 2 = {(1,2,3) (1,2,1) (1,-2,3)}
(Feb-98)
2.19.- ¿Cuál es la matríz que cambia de base B 2 a B1?:
a)
2 1 0 1 0 3 0 1 -2
0 1 0 2 0 0 b) 1 2 3 c) 1 0 3 0 1 -1 0 0 0
2 1 1 d) 1 0 -2 0 1 -1
Solución: AB2B1 = ACB1.AB2C =
0 1 1 1 0 1 1 1 0
-1
1 1 1 -1 1 1 1 1 1 4 2 0 2 2 -2 = 1/2 . 1 -1 1 . 2 2 -2 = 1/2 . 2 0 6 3 1 3 1 1 -1 3 1 3 0 2 -4
La correcta es la respuesta a). La solución c), se podría haber desechado al principio ya que debido a la 3ª fila no son vectores l.i., por lo que no puede ser una matríz de cambio de bases. ----------------------------------------2.20.- ¿Cuáles son las coordenadas del vector (-1,-2,11) respecto a la base B 2?: a) b) c) d)
(1,2,3) (-1,-2,11) (6,-7,0) (1,3,2)
39
Solución: (-1,-2,11) = a.(1,2,3)+b.(1,2,1)+c.(1,-2,3) a=6, b=-7, c=0, por lo cual, (-1,2,11) = (6,-7,0)B2 la correcta es la c) otra forma, más larga, sería utilizar la matríz A CB2 que es la matríz inversa de la matríz formada por los vectores de B 2, colocados verticales. Fin del bloque ----------------------------------------Bloque Sean en R4 los subespacios: U = {(x,y,z,t)/ 2x-y+z=0} y V = <(1,0,0,0) (0,0,0,1)>, entonces 2.21.- El Subespacio (U V), es: a) <(3,-1,1,1)> b) <(2,-1,1,0) (1,0,0,1)> c) <(0,0,0,1)> d) <(2,-1,1,0) (0,1,1,0)>
(Jun-98)
Solución: U = {(x,y,z,t)/2x-y+z = 0} V = <(1,0,0,0,) (0,0,0,1)> = {(x,y,z,t)/y = 0, z = 0} UV = {(x,y,z,t)/ 2x-y+z = 0, y = 0, z = 0} = {(x,y,z,t)/ x = 0,y = 0, z =0} dim(UV) = 1 (UV), está generado por un solo vector b) y d) son falsas, ya que por tener dos vectores l.i., su dimensión es 2. a) Es falsa falsa porque porque ese ese vector vector no cumple cumple las ecuacion ecuaciones es de la la intersecció intersección n de U y v. b) Es cierta cierta debido debido a que dicho dicho vector vector cumple cumple las las ecuacione ecuacioness de (UV). ----------------------------------------2.22.-El Subespacio (U+V) es: a) U b) V c) R4 d) {(2,-1,1,0) (1,0,0,0) (0,0,0,1)} U ={(x,y,z,t)/2x-y+z=0} V = {(x,y,z,t)/ y = 0, z = 0} Entonces: Entonces: dim(U+V dim(U+V)) = dim U+ dim dim V-dim V-dim (U V) = 3+2-1 3+2-1 = 4 dim(U+V) = 4 U+V = R4 Por lo tanto a), b) y d) son falsas porque su dimensión no es 4 la cierta es la c). -----------------------------------------
40
2.23.-¿Cuántas ecuaciones cartesianas se necesitan para definir (U+V)?: a) b) c) d)
" "
" "
4 0 3 2
Solución: Se cumple: nº de ecs. cartesianas+ nº de vectores l.i. = dim. Espacio R 4 Nº de ecs. = 4-4 = 0 la correcta es la b). Fin del bloque ----------------------------------------Bloque En el espacio vectorial (R 4,+,.,R) se consideran los siguientes subespacios vectoriales: U = {(x,y,z,t)/ x-y+z-t=0,x+y+z-2t=0} x-y+z-t=0,x+y+z-2t=0} y V = {(x,y,z,t)/ x=-, y=-2+, z=, t=2}
(Sep-98)
2.24.- (U V), está generado por: a) <(0,0,0,0)> b) <(1,1,2,1)> c) <(1,0,0,1) (0,1,1,1)> d) "
"
"
"
Solución: U = {(x,y,z,t)/x-y+z-t=0, x+y+z-2t=0} V = {(x,y,z,t)/x= -, y=-2+, z=, t=2} = {(x,y,z,t)/ 2x-z+t =0, 2y+4z-t} U V = {(x,y,z,t)/ x-y+z-t=0, x+y+2z-t=0, 2x-z+t=0,2y+4z-t=0} = (operando) = <(0,0,0,0)>, por lo cual la correcta es la a) b) y c) son falsas. La d) se podía eliminar desde el principio, ya que la intersección de dos subespacios lo mínimo que dá es el vector nulo, pero nunca el . ----------------------------------------2.25.- Una base de (U+V) es: a) b) c) d)
" "
" "
{(1,0,0,1) (1,-2,1,2) (0,1,3,0)} {(-1,2,0,1) (0,1,1,1) (1,1,1,0)} {(1,0,1,1) (-1,2,0,1) (0,1,1,1) (1,1,1,0)} {(1,0,1,1) (-1,2,0,1) (0,1,1,1) (1,-1,1,0)}
Solución: dim(U+ dim(U+V) V) = dimU+di dimU+dimVmV-dim dim(U (U V) =2+2-0 =2+2-0 =4 U+V = R4 U+V, debe estar generado por 4 vectores l.i. las respuestas a) y b) son falsas.
41
Si se realiza el determinante de los vectores de las soluciones c) y d), el de c) es 0 y el de d) es igual a cero la correcta es la c). Fin del bloque ----------------------------------------2.26.-Si W = {(x,y,z,t)/x= , y= y=, z= z=μ,t=0} y R4 = W+F, de forma de suma directa, el subespacio F es: a) b) c) d)
" "
" "
<(1,1,1,0)> {(x,y,z,t)/t=0} <(1,2,1,1)> {(x,y,z,t)/x=y=z} {(x,y,z,t)/x=y=z}
(Sep-98)
Solución: W ={(x,y,z,t)/x=, y=, z=μ, t=0} = {(x,y,z,t)/t=0} dimW = 3 El suplementario F está formado por lo que le falta a W, para ser R 4 dimF = 4-3 = 1debe estar generado por un solo vector, que no pertenezca a W b) y d) son falsas. La respuesta a) es falsa, porque ese vector pertenece a W. La respuesta c) es cierta porque ese vector no pertenece a W, ya que t 0. ----------------------------------------2.27.-Sean U y V, subespacios vectoriales de R 5, con dim U = 4 y dim V = 3; ¿Qué se puede afirmar de la dim(U V)?: a) nada b) es 3 c) es 2 d) es exactamente 2
(Sep-98)
Solución: dim(U+V) = dimU + dimV-dim(U V) La máxima dimensión de (U+V) =5 y la mínima la dimensión mayor de U ó V, en este caso 4 La dim(UV) = 2 ó 3 la respuesta correcta es la c). ----------------------------------------2.28.-Sean u,v y w, vectores de un espacio vectorial V; entonces se cumple: a)Si {u,v} es libre {u,v,w} es libre b) Si {u,v} es libre {u,v,w} es ligado c) Si {u,v} es ligado {u,v,w} es ligado d) Si {u,v,w} es ligado {u,v} es ligado
(Feb-99)
Solución: a) Es fals falsa. a. Ejem Ejempl plo: o: u =(1,0,0) v = (0,1,1) y w = (1,1,0). En este caso {u { u,v}, es libre y {u,v,w} es ligado. b) Es fals falsaa . Eje Ejemp mplo lo:: u= (1,0,0), v = (0,1,0) y w = (0,0,1). en este caso {u { u,v} es libre y {u,v,w}es libre. c) Es cier cierta ta,, ya ya que que si {u,v} es ligado v depende de u ó viceversa {u { u,v,w} será ligado porque al menos u y v son dependientes. 42
d) Puede Puede ser ser cier cierta ta ó fals falsa. a. Ejem Ejemplo plos: s: u = (1,0,0), v = (0,1,0) y w = (1,1,0) ; en este caso {u { u,v, w} es ligado y {u { u,v} es libre ó bien: u = (1,0,0), v = (2,0,0) y w = (3,0,0) ; en este caso {u { u,v,w} v,w} es ligado y {u { u,v} también es ligado. ----------------------------------------2.29.-Sean U1= {(x,y,x,y)/ x,y R} y U 2 = {(x,y,y,x)/ x,y R }, subespacios de R 4. Se verifica: a) dim(U1+U2) = 3 y dim(U 1 b) dim(U1+U2) = 2 y dim (U 1 c) dim(U1+U2) = 2 y dim (U 1 d) dim(U1+U2) = 3 y dim (U 1
U2) = 2 U2) = 2 U2) = 0 U2) = 1 1
(Feb-99)
Solución: U1 =<(x,y,x,y)> B(U1) = {(1,0,1,0) (0,1,0,1)} U2 = <(x,y,y,x> B(U2) = {(1,0,0,1) (0,1,1,0)} (U1+U2) = {(1,0,1,0) (0,1,0,1) (1,0,0,1) (0,1,1,0)} 1 0 1 0
0 1 0 1
1 0 0 1
0 1 0 10 1 0 1 1 = 0 1 0 1 = 0 -1 1 = 0 son l.i. dim (U1+U2) < 4 1 0 0 -1 1 1 1 0 0 0 1 1 0
1 0 1 0 1 0 0 son l.i dim (U1+U2) = 3 1 0 0 dim (U1U2) = dim U1+dimU2-dim (U1+U2) = 2+2-3 = 1 la correcta es la respuesta d) ----------------------------------------2.30.-En el espacio vectorial R 4, se considera el conjunto: S = {(1,0,0,-1) (0 1 0 1) (3, -7,-10,0) (0,-5,-10,5))} Entonces, se cumple: a) S es una base de R 4 b) S es libre, pero no es generador del Subespacio c) S es generador, pero no es libre d) S genera un Subespacio de dimensión 3 "
"
"
(Feb-99)
Solución: Si un Subespacio es libre (formado por vectores l.i), es generador y viceversa b) y c) son falsas Veamos si los vectores de S son l.i: 1 0 3 0
0 0 -1 1 0 0 -1 1 0 1 1 1 1 = 0 1 0 1 = -7 -10 3 = -50+70-50+30 = 0 dimS<4 a) es falsa -7 -10 0 0 -7 -10 3 -5 -10 5 -5 -10 5 0 -5 -10 5
43
Tomemos las tres primeras coordenadas de los tres primeros vectores: 1 0 0 0 1 0 0 son l.i. dimS = 3 la correcta es la d) 3 -7 -10 ----------------------------------------2.31.- El conjunto {(1,2,k,-2), (3,0,-2,-6), (2,-k,-5,4)}, constituye un sistema libre, si: a) k =0 b) k 0 c) k d) Nunca
(Feb-99)
Solución:
rg
1 -2 k -2 3 0 -2 -6 2 -k -5 4
1 -2 k -2 1 -2 k -2 = rg 0 6 -2-2k 0 = rg 0 6 -2-3k 0 0 -k-4 -5-2k 8 0 0 3k-22k-38 48
Tomemos un menor de orden 3 no dependiente del parámetro k: 1 -2 -2 0 6 0 0 son l.i k es un sistema libre k la correcta es la c). 0 0 48 ----------------------------------------2.32.- Si V = {(x,y,z)/ x-2y-z = 0} y W = {(μ,+μ,2),μ, R}, entonces U W, es a) {(x,y,z)/2y-z-2x = 0} b) <(1,2,2) (2,3,1) > c) <(4,3,-2)> d) {(x,y,z)/ 2x-y-z = 0, 2x-2y+z = 0}
(Jun-99)
Solución: W = {(x,y,z)/y = x+z/2 z= 2y-2x} UW {(x,y,z)/ x-2y-z = 0, z = 2y-x} = (operando con las ecuaciones) = {(x,y,z)/ y = 3x/4, z = -x/2} = < (x,3x/4,-x/2> La solución debe estar constituida por un solo vector las respuestas a), b) y d) son falsas. La correcta es la c), porque dicho vector verifica las ecuaciones de la intersección. ----------------------------------------2.33.-Sean A = <3a,2a,b,a+b> , B = {(x,y,z,t)/x.y = 0 } y C = .¿ Cuáles de ellos tienen estructura de Subespacio Vectorial?: a) b) c) d)
" "
" "
44
los tres AyB A ByC
(Jun-99)
Solución: Solo es subespacio el A. En B aparece el producto de dos letras y en C aparecen números distintos de coeficientes, por lo que no son subespacios. La correcta es la c). c) . ----------------------------------------2.34.- Sea V un subespacio vectorial sobre k y {v 1,v2,….vn} una base de V. Entonces, ¿cuál de las siguientes respuestas es falsa?: a) dimV = n b) = V c) dim V>n d){v1,v2,…vn}es base de V (Jun99) Solución: Si {v1,v2,….vn}es base de V dimV = n y genera V Solo hay una falsa que es la que dice que dimV > n, es decir, la falsa es la respuesta c). ----------------------------------------2.35.-S 2.35.-Sean ean U = {(x,y, {(x,y,z) z) R3/ y-3z = 0, x+2y-z = 0} y W = {(x,y,z)/ x+3y-4z = 0, x+5z = 0}. Entonces, la suma (U+W) es: a) (8,-5,3,1) b) {(x,y,z)/ 2x+3y+z = 0} c) R3 d) R2 (Jun-99) Solución: La suma de dos subespacios de generar un espacio, generan el espacio a que pertenecen, es decir, en este caso R3, pero no R 2 la d) es falsa. U = {(x,y,z)/y-3z = 0, x+2y-z = 0} = {(x,y,z)/ y = 3z, x = -5z} = <-5z,3z,z> V = (x,y,z)/ x+3y-4z = 0,X+5z = 0} = {(x,y,z)/x=-5z, y = 3z} = <-5z,3z,z> Luego U = V U+V = U = V la correcta es la a) y la b) y la c) son falsas, porque la dim(U+V) = 1 ----------------------------------------2.36.-Dados tres vectores: u,v y w,¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?: a) Si {u,v,w}es {u,v,w}es ligado{u,v}es libre b) Si{u,v}es libre {u,v,w}es ligado c) {u,v,0} es libre ó ligado, ligado, dependiendo de u y v d) {u} es libre libre para todo u 0
(Dic-99)
Solución: a) y b) son falsas (Véase el Ej.2-28). c) Es falsa ya que por estar el vector 0, independientemente de lo que ocurra con u y v, El sistema {u {u,v,0} será siempre ligado. d) Es cierta ya que u por estar solo es independiente y por ser distinto de cero, es generador y por lo tanto libre. ----------------------------------------Bloque En el espacio vectorial(R 3,+,.,R), se consideran los subespacios vectoriales U = {(x,y,z)/y = 0} y V = <(1,1,1)>; <(1,1,1)>; entonces: (Dic-99)
45
2.37.2.37.- (U (U V) está está genera generado do por: por: a) <(0,0,0)> b)>(1,1,1)> c)<(1,0,0) (0,0,1)> d) Solución: V = <(1,1,1)> = {(x,y,z)/ y=x,z=x} y=x,z=x} U = {(x,y,z)/ y = 0}, entonces: (U V) = {(x,y,z)/y=x,z=x,y=0} = {(x,y,z)/ x=y=z=0} = (0,0,0) la correcta es la c) y las demás son falsas. ----------------------------------------2.38.-Una base de (U+V) es: a) {(1,0,0) (1,-2,1) (0,1,3)} b) {(1,0,0) (1,-2,1)} c) {(1,0,0) (1,-2,1) (0,0,0)} d) {(1,0,0) (1,-2,1) (0,1,3) (1,1,1)} Solución: como dim(UV) = 0 dim(U+V) = dimU+dimV-dim(UV) = 2+1-0 = 3. Por lo tanto (U+V), estará generado por 3 vectores l.i y por ello la solución) es falsa. La solución c) es falsa porque al contener al vector nulo no es base. La d) es falsa porque en una base de R 3, no pueden existir más de tres vectores l.i. La correcta es la a) porque sus tres vectores son l.i.: 1 0 0 1 -2 1 = -6-1 = -7 0 son l.i. y por ello constituyen una base de (U+V) 0 1 3 ----------------------------------------2.39.- En estas condiciones: a) U+V de forma directa es igual al b)U+V de forma directa es igual a todo R 3 c)U+V de forma directa es igual a todo R 2 d)No se verifica que la suma de U y V sea directa Solución: Como (U+V) = R3 y tam tamb bién ién (U (U V) = 0, 0 , se verifica que la suma de forma directa nos 3 dá todo R la correcta es la d). Fin del bloque ----------------------------------------2.40.-Dados los siguientes subconjuntos de R3: A = <2x,x,-3x> B = {(x,y,z)/2x+y+z = 4} C = {(x,y,z)/ 2x+y+z =0} D = < x,y,2> ¿Cuáles son subespacios?: a) A y B b) C y D c) A y C d) A, B y C "
"
"
"
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(Feb-2000)
Solución: B, no es subespacio (aparecen números (4), distintos de coeficientes). D por igual razón (2), no es subespacio. A y C si que lo son la respuesta correcta es la c). ----------------------------------------Bloque En R4, se consideran los Subespacios: F = <(3,3,1,1) (1,-3,1,1) (3,1,-1,3)> G = {(x,y,z,t)/3x-y-2z-4t=0,x+y+z-t=0} {(x,y,z,t)/3x-y-2z-4t=0,x+y+z-t=0} entonces,
(Feb-2000)
2.41.-Una base de G es: a) {8-5,1,0,-4) (-6,0,1,-5)} b) {(5,1,0,0) (-1,0,1,-5)} c){(5,1,0,0) (0,1,0,0) ((-1,0,-1,5)} d) {(5,1,0,-4)} Solución: G tiene dos ecuaciones cartesianas independientes. Como nº de ecs+nº de vectores l.i. debe ser igual a la dimensión del espacio a que pertenece (R 4), la base de G estará formada exclusivamente por dos vectores l.i. c) y d) son falsas. En la solución b), el primer vector no cumple la 2ª ec de G es falsa. Los vectores de la solución a) cumplen las ecuaciones de G es la verdadera. ----------------------------------------2.42.- Una base de (F G) es: a) (3,3,2,2) b){(1,0,0,1) (-3,2,1,=)} c)(3,-3,2,2) d){(3,3,2,2) (-3,-3,2,2)} Solución: Busquemos las ecuaciones cartesianas de F: (x,y,z,t) = (3,3,1,1)+(1,-3,1,1)+μ(3,1,-1,3) operando sale: F = {(x,y,z,t)/ 2y+5z++7t = 6x} Entonces FG {(x,y,z,t)/3x-y-2z-4t=0, x+y+z-t=0, 6x-2y-5z-7t=0} operando; FG = y dando a x el valor 3 B(FG) = (3,-3,2,2) Luego la correcta es la respuesta c). -----------------------------------------
47
2.43.-Un suplementario de F es: a) (1,9,-1,-1) b)(0,0,0,1) c){(0,0,0,1) (0,0,2,1)} d){(1,9,-1,-1) (0,0,0,1)} Solución: El suplementario de F es lo que le falta para llegar a ser R 4. Como F tiene tres vectores l.i., el suplementario deberá tener un solo vector c) y d) son falsas. El vector de la solución a), cumple la ecuación de F es falsa. El vector de b) no pertenece a F y por ello es la respuesta correcta. Fin del bloque ----------------------------------------Bloque Sean U = {(x,y,z)/ x+y+z = 0} y V = <0,t,2t>. <0,t,2t>. Entonces: 2.44.- Se cumple que, a)dimU = dimV = 2 b) dimU = 2, dimV = 1 c) dimU = dimV = 1 d)dim U = 1, dim V = 2
(Feb-2001)
Solución: U = {(x,y,z,t)/x+y+z=0} = B (U) ={(1,0,-1)(0,1,-1)} dim U = 2 V = <0,t,2t> B (V) = {(0,1,2)} dim V = 1 Luego, la respuesta correcta es la b). ----------------------------------------2.45.- Se cumple que: a) U+V = R3,U V = b) U+VR3, U V R3 c) U+V de forma directa dá todo R 3 d) U+V R3 Solución: U+V = {(1,0,-1) (0,1,-1) (0,1,2)} 1 0 -1 0 1 -1 = 2+1 = 3 l.i dim(u+V) = 3 U+V = R3 b) y d) son falsas. 0 1 2 Como dim(U+V) = dimU+dimV-dim(UV) dim(UV) = 2+1-3 = 0 (UV) = 0 a) es falsa.
48
La correcta es la c) por cumplirse las dos condiciones de suma directa. Fin del bloque ----------------------------------------2.46.- Se consideran en R2: B = {(1,1) (1,0)}, B´= {(0,1) (2,2)}; entonces el vector (3,5) B en base B´es: a) (8,3) b) (1,1) c) (-5,4) d) (0,0) (Feb-2001) Solución: 8 = 2b (3,5)B = 3.(1,1)+5.(1,0) =(8,3)C = a.(0,1)+b.(2,2)
a=3,b=4
3=a+2b (3,5)B = (8,3)C = (-5,4)B´ la correcta es la c). Otra forma es buscar la matriz que hace el cambio de B a B´, 0 2
-1
1 1
ABB´= ACB´.ABC =
2 -2 1 1 =-1/2 . =-1/2 .
1 2
1 0
0
2
=-1/2. -1 0 1 0
-1 -1
entonces: 0 2
3
-1/2
10 = -1/2
1 -1
5
B
-5 =
-8
B´
4
B´
----------------------------------------2.47.- Se considera en R 4, A = {(x,y,z,t)/ 3x+y-2z = 0, x-y+z+t = 12}; Se verifica: a) A = R4 b) B(A) = {(3,-9,0,0) (0,2,13,1)} c) A no es Subespacio vectorial d) A es subespacio vectorial de dimensión 2 "
"
"
"
(Feb-2001)
Solución: El subconjunto A, no es subespacio vectorial (aparecen números sueltos (12) distintos de coeficientes. Además una condición necesaria, no suficiente para ser subespacio es que el vector 0 pertenezca no tiene sentido hablar de base ni de dimensión y por ello la correcta es la respuesta c). -----------------------------------------
49
2.48.-Dados los subespacios: U = {(x,y,z)/ x-y+2z = =}, V <0,2t,t>; se cumple: a) b) c) d)
" "
" "
U+V = V, U V = U U+V = U, U V = V U+V = R3, U V = U+V = R3
(Feb-2001)
Solución: U = {8x,y,z)/x-y+2z = 0} = B(U) = {(1,1,0) (0,2,1)} dimU = 2 V = <(0,2t,t) > B(V)= {(0,2,1)> dimV = 1 U+V = {(1,1,0)(0,2,1)((0,2,1) B(U+V) = {(1,1,0)(0,2,1)} = B(U) U+V = U UV = (se vé claramente) = (0,2,1) UV = V Por lo tanto, la respuesta b) es la correcta. - La a) es falsa, ya que al sumar dos subespacios, lo mínimo que sale es el de mayor dimensión. En este caso el subespacio U. - La c) es falsa, porque la intersección de dos subespacios lomínimo que da es el vector nulo, que pertenece a cualquier subespacio, pero no el conjunto vacio , que no posee ningún elemento. - La d) es falsa, ya que la suma de U y V al tener dimensión 2, no puede dar R 3. ----------------------------------------2.49.-Dadas B = {(1,1)(1,0)} y B´= {(0,1)(2,2)}, entonces el vector (3,5) B´en base B es: a) (10,13) b) (3,5) c) (13,-3) d) (0,0) (Feb-2001) Solución: (3,5)B´= [3(0,1)+5(2,2)]C= (10,13)C = [a(1,1)+b(1,0)] 10 = a+b, a= 13 b = 10-13 = -3 (3,5)B´= (13,-3)B la correcta es la c) y las demás son falsas ----------------------------------------Bloque Sean los Subespacios de R4: U = {(x,y,z,t)/ 2x+y+z = 0, x+y+z+t = 0} y W = < (3,1,-2,2)(2,0,1,1)> 2.50. 2.50.-U -Una na bas base e de (U (U W) es: es: a) b) c) d)
" "
" "
(1,1,-3,1) (0,0,0,0) (1,-1,1,-1) (0,-1,0,1)
Solución: Hallemos las ecuaciones cartesianas de W: (x,y,z,t) = (3,1,-2,2)+(2,0,1,1) = (operando) = y, = z+2y x = 7y+2z, t = 4y+z
50
(Feb-2002)
W = {(x,y,z,t)/ x = 7y+2z, t = 4y+z} entonces, UW = {(x,y,z,t)/ 2x+y+z = 0, x+y+z+t = 0, x = 7y+2z, t = 4y+z} = (opertando) = <(x,x,-3x,x)> B(UW) = (1,1,-3,1) la correcta es la respuesta a). - Las respuestas c) y d) son falsas porque esos vectores no cumplen las ecuaciones de la intersección. - La respuesta b) es falsa, porque el vector nulo no es generador por lo que no puede ser una base. ----------------------------------------2.51.-El subespacio (U+W) es: a) b) c) d)
" "
" "
{(x,y,z,t)/ -x+z-t = 0} {(x,y,z,t)/ -3x+y+z+5t = 0} {(x,y,z,t)/x+y+z+t = 0} R4
Solución: dim(U+W) = dimU+dimW-dim(UW) = 2+2-1 = 0 d) es falsa. U {(x,y,z,t)/ 2x+y+z =, x+y+z+t = 0} = (operando con las ecuaciones) = < x,y,-2x-y,x> B(U) = {(1,0,-2,1)(0,1,-1,0)} B(W) = {(3,1,-2,2) (2,0,1,1)} U+W = {(1,0,-2,1)(0,1,-1,0)(3,1,-2,2)(2,0,1,1)} Los cuatro vectores se sabe que no son independientes.Tomando los tres primeros se comprueba que si lo son. Busquemos ahora la ecuación de (U+W) (x,y,z,t) = (1,0,-2,1)+(0,1,-1 (0,1,-1,0) ,0)++ (3,1,(3,1,-2,2 2,2)) x = +3 ,y = + , z = -2--2 , t = +2 Operando Operando resulta resulta la ecuación ecuación 3x-y-z-5t 3x-y-z-5t = 0 b) ----------------------------------------2.52.- Un suplementario de U es: a) <(3,-1,-5,-3) (0,0,0,1> b) {(x,y,z,t)/ 3x+y+3z-t=0,-y-z-2t=0} c) <(1,1,1,1) (2,3,-1,0)> d) {(x,y,z,t)/3x+2y+2z+t=0, y+3z-t=0} Solución: U ={(x,y,z,t)/2x+y+z = 0, x+y+z+t = 0} 0 } = B(U)= {(1,0,-2,1) (0,1,-1,0)} El suplementario de U, deberá tener dos vectores independientes con los de U. La a) es falsa, porque esos dos vectores con los de U si se halla el determinante de cuarto orden que forman es cero. cero .
51
La c) realizando lo mismo se comprueba que ese determinante es distinto de cero son independientes y por ello es la respuesta correcta. Las respuestas b) y d) son falsas realizando los determinantes se comprueba que son dependientes esos vectores con los de U. Fin del bloque ----------------------------------------2.53.-Sean x,y,z, vectores pertenecientes pertenecientes a un espacio vectorial V, con las las siguientes proposiciones: i) (x,y,z) es libre libre ii)x no no pertenece pertenece a iii)dim = 3. ¿Cuál de esas proposiciones es correcta? a) i) y iii) b) i) y ii) c) ii) y iii) d) i), ii),iii) "
"
"
"
Solución: Sí x, y, z es libre dim {x,y,z} y,z} = 3 x, x , no pertenece a , por ser independiente con ellos, por lo que la respuesta correcta es la d). ----------------------------------------Bloque: Sean: U = {x,y,z,t)/ x+y-z+t = 0, x-y+2z-t = 0} y W = <(1,-4,-2,2) (1,-3,-2,1)>
(Feb-2002)
2.54.- ¿Cuál es una base de (U W)?: a) (3,-1,5,7) b) (0,0,0,0) c) (1,-1,1,-1) d) (0,-1,0,1) "
"
"
Solución: Busquemos las ecuaciones de W: (x,y,z,t) = .(1,-4,-2,2)+(1,-3,-2,1) (operando) = t-x, = 2x-t, y = -t-2x, z= -2x W = {(x,y,z,t)/ y = -t-2x, z = -2x} UW = {(x,y,z,t) / x+y-z+t = 0,x-y+2z-t = 0,y –t-2x, z = -2x } = (operando) = <0,y,0,-y> solo la verifica la d), para y = -1 la correcta es la d). ----------------------------------------2.55.- El subespacio (U+W), es: a) b) c) d)
" "
"
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{(x,y,z,t)/-x+y-t = 0 } {(x,y,z,t)/ x+y+z+t = 0} {(x,y,z,t)/-2zx-z = 0} R4
Solución: dim(U+ dim(U+W) W) = dimU dimU +dim +dim W-dim( W-dim(U U W)= 2+2-1 2+2-1 = 3 d) es falsa. U = {(x,y,z,t)/ x+y+z-t=0,x-y+2z-t=0} 0 (operando) = B(U) = {(1,0,-2-3) (0,1,0,-1)} U+W = {(1,0,-2,-3) (0,1,0,-1) (1,-4,-2,2) (1,-3,--2,1)} los tres primeros son l.i. Se podría ir a buscar la ecuación de (U+W), pero también se puede comprobar qué ecuación de las soluciones de a), b) y c), la verifican los vectores de (U+W) La solución a), no la verifica el vector (1,0,-2,-3) es falsa. La solución b), no la verifica el vector (1,0,-2,-3) es falsa. La respuesta c) la verifican los tres vectores de (U+W), por lo cual es la verdadera. ----------------------------------------2.56.-Un suplementario de U es: a) b) c) d)
" "
" "
{(x,y,z,t)/-x+t = 0, 2x-y-z = 0} R2 {(x,y,z,t)/2x+z = 0,3x+y+z = 0} {x,y,z,t)/t-x = 0,-x+y-2z+t = 0}
Solución: U = {(x,y,z,t)/x+y-z+t = 0,x-y+2z+t = 0} B(U) = {(1,0,-2,-3) (0,1,0,-1)} El suplementario de U, debe de estar formado por dos vectores de R 4, l.i. entre sí y con los del Subespacio U b) es falsa. - La solución a): -x+t = 0,2x-y-z = 0 {(1,-1,-2,0) (0,0,0,1)} 1 0 1 0
0 1 0 1
2 -1 -2 0
1 0 -3 -1
1 = 0 0 0
0 1 0 1
2 1 1 -1 0 -1 0 = 0 -4 -4 = 4+4 = 8 0 es cierta esta respuesta r espuesta -4 -4 1 0 -1 0 -1
Razonando de igual forma los vectores de c) y d), se comprueba que son dependientes con los de U, ya que el determinante es cero son falsas. Fin del bloque ----------------------------------------2.57.- Hallar (a,b,c), para que el vector (2,2,2), tenga las mismas coordenadas en la base B1 = {(2,0,0)(0,2,0)(0,0,2)}, que en base B 2 = {(1,1,0)(0,1,1)(a,b,c)} a) b) c) d)
(-1,0,-1) (1,0,1) (1,1,1) (0,0,0)
(Jun-2002)
53
Solución: 2= 2 (2,2,2) = (2,0,0)+(0,2,0)+μ(0,0,2) 2= 2 ==μ = 1 2=2μ (2,2,2) = (1,1,0)+(0,1,1)+μ(a,b,c) = 1.(1,1,0)+1.(0,1,1)+1.(a,b,c) 2 = 1+a 2 = 2+b a=1,b=0,c= 1 (a,b,c) = (1,0,1) la correcta es la b). 2 = 1+c ----------------------------------------Bloque: En el espacio vectorial R 3, se consideran los Subespacios, U = {(-p+q,p,q)/ p,q R} V = {(x,y,z)/x-y = 0,x+y-z = 0}, entonces:
(Jun-2002)
2.58.- Las dimensiones de U y V son: a) dim U = dimV = 2 b) dimU = 2, dimV = 1 c) dimU = dimV = 1 d) dimU = 1, dimV = 2 Solución: U = <-p+q,p,q> B(U) = {(-1,1,0)(1,0,1)} dimU 2 V = {(x,y,z)/x-y = 0, x+y-z =0} = B(V) = {(1,1,2)} dim V = 1 Luego, la respuesta correcta es la b) y las demás son falsas. ----------------------------------------2.59.-Los subespacios dados, verifican: a) U+V = R3, U V = b) U+V R3, U V R3 c) U+V = R3 de forma directa d) U+V R3, U V = 0 Solución: B(U) = {(-1,1,0)(1,0,1)} B(V) = {(1,1,2)} U+V = {(-1,1,0)(1,0,1)(1,1,2)} -1 1 0 1 0 1 = 1+1-2 = 0 son vectores dependientes dim(U+V) = 2 3 U+VR3 1 1 2 54
dim(U+V) = dimU+dimV-dim(UV) dim (UV) = 2+1-2 = 1 (UV) 0 La correcta es la respuesta b) y las demás son falsas. Fin del bloque ----------------------------------------2.60.- ¿Qué valores deben tener m y n para que (1,-1,m,n) pertenezca al subespacio generado por{(1,1,1,1)(1,1,1,0)(3,1,0,1)}?: a) m=-2 n b) n=-2 m c) m,n d) No existen valores de m y n que cumplan eso
(Jun-2002)
Solución: Busquemos la ecuación del subespacio generado por esos vectores: (x,y,z,t) = (1,1,1,1)+(1,1,1,0)+μ(3,1,0,1) μ = y-z, = y-t, = z-y+t x=3y-2z El vector (1,-1,m,n) debe cumplir la ecuación 1 = 3(-1)-2m m = -4/2 = -2 n la correcta es la respuesta a). ----------------------------------------2.61.- ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos de R 4, son subespacios vectoriales?: A = {(x1,x2,x3,x4)/ x1+x2 = 1} B = {(x1,x2,x3,x4)/x1=x2} C = {(x1,x2,x3,x4)/x1=x2=1} a) Todos b) Solo A y C c) Solo B d) Solo A y B
(Jun-2002)
Solución: El vector 0, no pertenece ni a A ni a C, porque no cumple sus ecuaciones. El único que es Subespacio es el B la correcta es la c). ----------------------------------------2.62.-Si u= <4,2,1> y v = <(2,2,7)>,¿Cuál <(2,2,7)>,¿Cuál de ellos pertenece al subespacio <(1,2,3)(-2,2,5)>? a) Ninguno b) u c) v d) Los dos (Feb-2003) Solución: Busquemos la ecuación de ese subespacio: (x,y,z) = (1,2,3)+(-2,2,5) x= -2, y = 2 +2, z = 3+5 = (y+x)/3, = (y-2x)/6 z = (11y-4x)/6 El vector u cumple dicha ecuación, pero el v no la cumple La correcta es la b). -----------------------------------------
55
Bloque: Sean E = {(x,y,z,t)/ -3x+6y+z+t = 0, -x+y+t = 0}, F = {(x,y,z,t)/-3x-6y+z+t = 0, -x-4y+z-t = 0}, entonces:
(Feb-2003)
2.63.- el subespacio (E F) es: a) <(1,0,2,-1> b) <(2,0,2,1)> c) <(1,0,2,1)> d) <(1,1,2,1)> Solución: EF = {(x,y,z,t)/-3x+6y+z+t = 0, -x+y+z = 0,-3x-6y+z+t = 0, -x-4y+z-t = 0} = (operando) y = 0, t = x, z = 2x E F = <> (1,0,2,1) la correcta es la c). ----------------------------------------2.64.- Un suplementario de (E+F), es: a) <(1,1,1,1)> b)<(1,0,-3,0)> c)<(1,0,2,1)> d)<(3,0,1,2)> Solución: E = {(x,y,z,t)/-3x+6y+z+t = 0, -x+y+t = 0} = B(E) = {(1,1,-3,0)(1,0,2,1)} F = {(x,y,z,t)/ -3x-y+z+t = 0, -x-4y+z-t = 0} = B(F) = {(1,0,2,1)(0,1,5,1)} E+F = <(1,1,-3,0)(1,0,2,1)(1,0,2,1)(0,1,5,1)> = <(1,1,-3,0)(1,0,2,1)(0,1,5,1)> dim(E+F) = 3 Si buscamos su ecuación: (x,y,z,t) = (1,1,-3,0)+(1,0,2,1)+μ(0,1,5,1) (operando) z = 5t-3x La única solución que no verifica dicha ecuación es la a) es la respuesta correcta. Fin del bloque ----------------------------------------2.65.-Si V es un espacio vectorial y x 1,x2,…..xp
V, ento enton nces: ces:
a) El conjunto { x 1,x2,…..xp}es siempre libre b) El conjunto {x 1,x2,…..xp}, es siempre ligado c) Si p>n, el conjunto {x 1,x2,….xp}, es libre d) Si p>n, el conjunto {x 1,x2,….xp}, es ligado
(Feb 2003)
Solución: Si {x1,x2,….xp} , lo máximo que puede ocurrir si {v 1,v2,…vn } son independientes es que p = n, para ser un subconjunto libre si p>n, será siempre ligado. Las demás respuestas pueden ser ciertas o falsas la correcta es la respuesta d) -----------------------------------------
56
2.66.- Si F y G son subespacios de un mismo espacio vectorial V, entonces ¿cuál de las siguientes afirmaciones, no es cierta?:
a) F+G es subespacio de V b) F G es subespacio de V c) F G es subespacio de V d) F G = 0 (F+G) de forma directa es subespacio de V
(Jun-2003)
Solución: La suma y la intersección de dos subespacios, es siempre un subespacio; las respuestas a), b) y d) son ciertas. La falsa es la c), ya que la unión de subespacios, no está definida. ----------------------------------------Bloque: Se consideran en R 4, los subespacios: F = <(-2,0,1,1)(1,-2,0,1)(0,2,-1,2)> G = {(x,y,z,t)/2x-y+2z-t = 0,x+y+z-t = 0} entonces,
(Jun-2003)
2.67.- Una base de G es: a) <(1,0,-1,0)(0,1,-2,-3)> b) <(1,0,-1,0)(0,1,2,3)> c) <(1,0,-1,0)(0,1,2,3)(1,1,1,3)> d) <(·,3,2,2)(-3,-3,2,2)> Solución: G, tiene dos ecuaciones independientes debe de tener dimensión dos la base tendrá solo dos vectores independientes la respuesta c) es falsa. Los dos vectores que formen la base, deberán cumplir las ecuaciones de G, aparte de ser independientes entre si. La única solución que cumple eso es la respuesta b). ----------------------------------------2.68.-Una base de (F G), es: a) <(3,3,2,2)> b) <(-13,-2,9,-6)(-3,2,1,0)> c) <(-13,-2,9,-6)> d) <(3,3,2,2)(-3,-3,2,2)> Solución: Los vectores de la intersección, deben cumplir las ecuaciones de ambos subespacios las soluciones a) y d), son falsas ya que el vector (3,3,2,2) no cumple las ecuaciones de G. La solución b), es falsa pues el 2º vector (-3,2,1,0), no cumple tampoco las ecuaciones de G. El vector de la solución c), cumple las ecuaciones de G; se podría buscar las ecuaciones de F, pero si pertenece ese vector a F, debe ser dependiente con los vectores de F:
57
-2 1 0 -13
0 1 -2 0 2 -1 -2 9
1 -2 0 1 = 1 -2 2 1 0 -6 -14 0
1 0 -1 9
1 1 3 -7
-2 1 1 = -2. 1 -1 3 = -2.(-14+9-42-14+54+7) = -2.(70-70) = 0 -14 9 -7
Ese vector es dependiente con los de F Ese vector pertenece también a F y por ello a la intersección de ambos La correcta es la c).
Fin del bloque ----------------------------------------2.69.- Se dan en R 3 los subconjuntos: A = {(x,y,z)/x 2+y2+z2 = 0} B = {(x,y,z)/x-3y+z = 4} C = {(x,y,z)/-2x+4y-z = 0} D = {-x,y, {-x,y,-z) -z)// x,y, x,y,zz R } ¿Cuál o cuáles son subespacios vectoriales?: a) A y B b) C y D c) A y C d) A, B y C
(Jun-2003)
Solución: A y B no son Subespacios (aparecen exponentes 1 y números distintos de la unidad (4) C y D, si que son subespacios; la respuesta correcta es b) ----------------------------------------2.70.-Sea V un subespacio vectorial y {v 1,v2,…..vn} un sistema de generadores de V. Entonces, a) dim V = n b) dim V n c) {v1,v2,….vn}es base d) {v1,v2,…..vn}son l.i.
(Sep-2003)
Solución: Un sistema generador, es un conjunto de vectores con los cuales se puede generar el Subespacio, pero en el cuál pueden aparecer vectores dependientes. Una base, es un conjunto de vectores, con los que se puede generar el subespacio, pero que todos son l.i. La dimensión es el nº de vectores que constituyen la base Entonces, toda base es sistema generador, pero todo sistema generador, no tiene porque ser base. Por lo tanto, las soluciones a), c) y d), que son equivalentes, pueden ser ciertas ó falsas. La única cierta siempre es la b) -----------------------------------------
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2.71.-Sean los conjuntos: A = {(x,y,z)/ x = +, y = μ+1, z = +2} B = {(2x,-z+y,0)/x,y,z R} C = {(x,y,z)/x2+y2+z2 = 0} D = {(x,y,z)/2+x+y+z = 0} ¿Cuáles son subespacios?: a) A y B b) A y D c) A y C d) B, C y D
(Sep-2003)
Solución: Por lo analizado en diversos ejercicios de este tema los que son subespacios son A ( R 3) y B la respuesta correcta es la a) ----------------------------------------Bloque: Sean los subespacios: F = <(1,0,-11)(1,1,1,0)>
y G = {(x,y,z,t)/ x = +2μ, y=+2μ, z=-2, t=+μ}, entonces, (Sep-2003)
2.72.-Una base de G es: a) {(-1,0,-1,0)(0,1,-2,-1)} b) {1,0,1,0)(1,1,-1,1)} c) {(1,0,1,0)(0,1,-2,1)(2,1,0,1)} d) {(-1,0,-1,0)} Solución: G = {(x,y,z,t)/x= +2μ, y=+μ, z=-2, t =+μ}= (operando) ={(x,y,z,t)/x-z=2y,t=y} Como tiene dos ecuaciones cartesianas, la base tendrá exclusivamente dos vectores l.i., que cumplan esas ecuaciones las soluciones c) y d) son falsas. El segundo vector de a) no cumple la segunda ecuación de G es falsa. Los dos vectores de b) cumplen las dos ecuaciones de G la correcta es la b). ----------------------------------------2.73.-Se 2.73.-Se verifi verifica ca que que (F G) está está generado generado por: a)(1,0,1,0) b)(2,1,0,1) c)(-1,0,-1,0)(0,1,-2,-1) d)(1,0,1,0)(1,1,-1,1) Solución: F = <(1,0,-1,1)(1,1,1,0)> (x,y,z,t) = (1,0,-1,1)+(1,1,1,0) = (operando) F = {(x,y,z,t)/x+t=2y,t=1} G = {(x,y,z,t)/x-z = 2y, t=y}
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F G {(x,y,z,t/x {(x,y,z,t/x+z +z = 2y,t 2y,t = 1,x-z 1,x-z = 2y,t 2y,t = 2y} 2y} = < (2,1,0, (2,1,0,1> 1> la correcta es la b). Fin del bloque ----------------------------------------2.74.-Dados los subespacios: U = {(x,y,z)/x+2z = 0,2x+y+2z =0} W = {(x,y,z)/3x+y+4z=0,y-2z=0} {(x,y,z)/3x+y+4z=0,y-2z=0} entonces, el subespacio(U+W) es, a) {(x,y,z)/3x-y+4z=0,3x+2y+2z=0} b) <(-2,2,1)> c) R3 d) R2
(Dic-2003)
Solución: Si (U+W) generara un espacio vectorial, sería R3, pero no R 2 d) es falsa. U = {(x,y,z)/x+2z = 0,2x+y+2z = 0} = {x+2z = 0, y = 2z} = <-2z,2z,z> B(U) = {-2,2,1)} dimU = 1 W = {(x,y,z)/3x+y+4z = 0,y-2z = 0} = {(x,y,z)//x = -2z,y = 2z} = <(-2z,2z,z)> W = U U+W = U = W = <(-2,2,1)> dim (U+W) = 1 El subespacio (U+W) debe de tener un solo vector independiente la solución c) es falsa. La solución a) operando con las ecuaciones, dá el vector >(10,-6,-9>, >(10,-6,-9>, que no verifica verifica las ecuaciones del subespacio suma es falsa. La solución correcta es la b), cuyo vector si que verifica las ecuaciones de (U+W) ----------------------------------------2.75.- Sean U = {(x,y,z)/x-2y-z=0}, W =< ,+,2>, ento entonc nces es (U W) es: es: a) {(x,y,z)/2y-z-2x = 0} b) <(1,2,2)(3,3,1)> c) <(4,3,-2)> d) {(x,y,z)/2x-y-z = 0,2x-2y+z = 0} 0}
(Dic-2003)
Solución: Hallemos las ecuaciones cartesianas de W: x=,y=+,z=2z=2y-2x W = {(x,y,z)/z = 2y-2x} U = {(x,y,z)/x-2y-z = 0} U W = {(x,y {(x,y,z) ,z)/z= /z=2y2y-2x,x 2x,x-2y -2y-z -z = 0} dim (UW) = 1las soluciones a) y b) son falsas. El vector generador de la solución c), cumple ambas ecuaciones es cierta. El vector vector generador generador de la solución solución d), d), no cumple cumple las ecuacione ecuacioness de (U W), luego es es falsa. falsa. ----------------------------------------2.76.-Sea {(u,v,w,t)}un conjunto libre en el espacio vectorial V. Los conjuntos: A = {(u-w,v-w,w-u)} y B = {(u+v,v+w,w+u)}, verifican,
60
a) B es libre y A no b) A y B son libres c) A es libre y B no d) A y B son ligados
(Feb-2004)
Solución: u-v 1 -1 0 u 1 -1 0 u u Det A = v-w = 0 1 -1 v = 0 1 -1 v = 0. v = 0 no es libre w-u -1 0 1 w -1 0 1 w w u+ v Det Det B = v+ v+w = w+u
1 1 0 u 0 1 1 v 1 0 1 w
1 1 0 u u = 0 1 1 v =2. v 0 B es libre 1 0 1 w w
Luego la correcta es la a). ----------------------------------------Bloque: Sean U = <(1,1,2)(2,4,1)> y W = {(x,y,z)/5x+y = 0,4x+z = 0}
(Feb-2004)
2.77.- Una base de U es: a) El subespacio generador dado b) {(1,1,2)(1,-5,-4)} c) U, no es subespacio vectorial d) {(1,-5,-4)} Solución: Veamos si los vectores de U son l.i. 1 1 2 2 4 1 = -16-10+1-8+5+8 = -20 0 son l.i.dimU = 3 U R3 1 -5 -4 Luego una base de U es el sistema generador dado a) es cierta. La b) es falsa, ya que su dimensión es 2. La d), también es falsa porque su dimensión es 1. La c) es falsa debido a que U si es subespacio vectorial. ----------------------------------------2.78.-El subespacio W, verifica: a) dimW = 1 y {(-1,5,4)} es una base de W b) W = R c) dimW = 2 y {(-1,5,4)(2,-10,-8) }es una base de W d) W = R2 Solución: W = {(x,y,z)/5x+y = 0,4x+z=0} = B(W) = {(1,-5,-4)} dimW = 1
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Luego las respuestas b), c) y d) son falsas. La a) es cierta. ----------------------------------------2.79.-U y W verifican: a) U+W = R 3 y dim(U W) 1 b) U W = c) U+W = R 3 de forma directa d) U W = 0 y dim(U+W)<3 Solución: Como se vió dimU = 3 U R3 U+W = U dim(U+W) = dimU+dimW-dim(UW) dim(U W) = 1U+W = R3,(UW) 0 La a) es cierta y las demás se comprueba que son falsas. Fin del bloque ----------------------------------------2.80.-Sea B = {(1,1,2)(2,3,4)(-3,-4,-5)}. Las coordenadas del vector (1,1,1) respecto a esa base son: a) (0,-1,-1) b) (2,-1,1) c) (3,4,5) d) (-1,-1,3) (Jun-97)
Solución: 1ª forma 1 2 -3 -1 1 -3 -2 t Busquemos la matríz ACB = 1 3 -4 = 1/1 -2 1 0 = 2 4 -5 1 1 1 1 -2 1 1 (1,1,1)C = -3 1 1 1 -2 0 1 1
0 = -1 -1
1 -2 1 -3 1 1 -2 0 1
la correcta es la a)
2ª Forma (1,1,1)C = a(1,1,2)+b(2,3,4)+c(-3,-4,-5) 1 = a+2b-3c 1 = a+3b-4c a = 0,b = -1, c = -1 (1,1,1)C = (0,-1,-1)B a) 1 = 2a-4b-5c -----------------------------------------
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Bloque Sean: U = {(x,y,z,t)/ x=y=z=t} V ={(x,y,z,t)/x =z,y=t} W = {(x,y,z,t)/y=2t,t=2z} {(x ,y,z,t)/y=2t,t=2z}
(Jun-2004)
2.81.-Se verifica que: a) dim U = 1, dim V = 2, dim W = 3 b) dim U = dim V = dimW = 2 c) dim U = 1, dim V = dimW = 2 d) W no es subespacio vectorial Solución: W, si que es subespacio vectorial d) es falsa. La dimensión de un subespacio es igual a la dimensión del espacio a que pertenece menos el número de ecuaciones cartesianas independientes que posee. dim U = dimR4-3 = 4-3 = 1 dim V = dimR 4-2 = 2 dimW = dimR4-2 = 2 La correcta es la c). ----------------------------------------2.82.-Se verifica que un sistema de generadores de (U V) es: a) {(-1,-1,-1,-1)((2,2,2,2)} b){(0,0,0,0)} c){(1,-1,1,-1)} d) {(0,-1,0,-1)(2,0,2,0)} Solución: La intersección, debe verificar las ecuaciones ecuaciones de U y de V: U V = {(x,y,z,t)/x= {(x,y,z,t)/x=y=z=t y=z=t,x=z, ,x=z,y=t} y=t} = > B(U B(U V) = {(1,1 {(1,1,1 ,1,1) ,1)}} dim (UV) = 1 b) y c) son falsas La c) es falsa, porque no cumple las ecuaciones de (U V) La a) es cierta. (No es una base, porque los vectores son dependientes, pero si es sistema generador). ----------------------------------------2.83.-El subespacio (U+V), es: a) U b) V c) R4 d) {(x,y,z,t)/x=,y=,z=,t=} Solución.En la pregunta anterior, se vió que dim(U V) = 1, por lo que: dim(U+V) = dimU+dimV-dim(UV) = 1+2-1 = 2 a) y c) son falsas
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U = B(U) = {(1,1,1,1)} V = B(V) = {(1,0,1,0)(=,1,0,1)} U+V = <(1,1,1,1)((1,0,1,0)(0,1,0,1)> Busquemos las ecuaciones de (U+V): (x,y,z,t) = (1,1,1,1)+(1,0,1,0)+μ((0,1,0,1) x=+,y=+μ,z=+,t=+μx=z,y=t (U+V) = {(x,y,z,t)/y=t, x=z} b) es falsa (No se cumple en V las ecuaciones de (U+V)). La respuesta correcta es la d). ----------------------------------------2.84.-Un suplementario F de V es: a) F = <(0,2,1,1)(2,0,1,1)> b) F = <(0,2,2,1)(2,0,1,1)(0,0,0,1)> c) F = {(x,y,z,t)/x-2z+2t=0,y-2z=0} d) F = {(x,y,z,t)/z-t = 0} Solución: Como V tiene dimensión 2, el suplementario debe tener dimensión 2 b) falsa, porque son vectores independientes y d) también porque tiene una sola ecuación, por lo que su dimensión es tres. Los vectores de F, aparte de ser independientes, lo deben ser con los de V: V = B(V) = {(1,0,1,0)(0,1,0,1)} La solución a): 1 0 0 2
0 1 2 0
1 0 1 1
0 1 1 1
1 = 0 0 0
0 1 2 0
1 0 1 -1
0 1 = 1 1
1 0 1 2 1 1 = 1-2+1 = 0 Es falsa 0 -1 1
Procediendo de igual forma, los vectores de la solución c) dan un determinante 0, por lo que es la solución verdadera. ----------------------------------------2.85.-El subespacio F del apartado anterior, verifica: a) Es único y V+F = R 4 b) V+F = R4 y V F = c) V+F R4 y V+FR4 d) V+F = R4, de forma directa Solución: Si F es suplementario de V V+F = R4, V F = 0 (no el ) b) y c) son falsas. La solución a), es falsa ya que el suplementario de un subespacio, no es único. La solución d), es cierta porque cumple las dos condiciones necesarias para que la suma sea directa. Fin del bloque -----------------------------------------
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Bloque: Se consideran en R 4, los subespacios: F = <(3,3,1,1)(1,-3,1,1)(3,1,-1,3)> G = {(x,y,z,t)/3x-y-2z-4t=0,x+y+ {(x,y,z,t)/3x-y-2z-4t=0,x+y+z-t=0} z-t=0}
(Sep-2004)
2.86.-Una base de G es: a) {(-5,1,0,-4)(-6,0,1,-5)} b) {(5,1,0,0)(0,1,0,0)(-1,0,1,-5)} c) {(5,1,0,0)(-1,0,1,-5)} d) {(-5,1,0,-4)} Solución: El subespacio G, tiene dos ecuaciones cartesianas independientes la base debe estar formada por dos vectores l.i. y que verifiquen dichas ecuaciones b) y d) son falsas. Los vectores de la solución c), no verifican las ecuaciones de G es falsa. Los dos vectores de la solución a), que son independientes, verifican las ecuaciones de G. La solución a), es la correcta. ----------------------------------------2.87.- Una base de (F G) es, a) {(3,3,2,2)} b) {(1,0,1,0)(-3,2,1,0)} c) {(3,-3,2,2)} d) {(3,3,2,2)(-3,-3,2,2)} Solución: Los vectores de (F G), deben verificar las ecuaciones de F y de G, por lo cual, los vectores de las soluciones a), b) y d) que no verifican las soluciones de G son soluciones falsas. El vector de la solución c) verifica las ecuaciones de G; para ver si pertenece a F, se puede proceder de dos formas: 1ª forma Busquemos la ecuación de F: (x,y,z,t) =(3,3,1,1)+(1,-3,1,1)+μ(3,1,-1,3) = (operando) x = (2y+5z+7t)/6 El vector de la solución c), verifica dicha ecuación también pertenece a F, luego pertenece a la intersección y por ello es la correcta 2ª forma Si el vector de la solución c), pertenece a F, debe de ser dependiente con los de F: 3 1 3 3
3 1 -3 1 1 -1 -3 2
1 -12 2 2 -6 1 1 1 = 3. -2 -2 2 = 12. -1 -1 1 = 0 es dependiente, por lo que pertenece a 3 -6 1 1 -6 1 1 2
la intersección. ----------------------------------------65
2.88.- Un subespacio suplementario de F es: a) {(1,9,-1,-1)} b) {(0,0,0,1)(0,0,1,1)} c) {(0,0,0,1)} d) {(1,9,-2,-1)((0,0,0,1)} Solución: El suplementario de F, es lo que le falta para ser R 4; como F tiene tres vectores l.i., el suplementario deberá estar formado por un solo vector, independiente con l os de F las soluciones b) y d), son falsas. La verdadera solución de a) y c) deberá ser aquella cuyo vector no cumpla la ecuación de F La solución a) es falsa y la correcta es la solución c). Fin del bloque ----------------------------------------2.89.-Sea V = W1+W2, tal que dim V = dimW 1+dimW2; entonces: a) (W1 W2) 0 b) W1 W2 ó W2 W1 c) W1 W2 = d) W1+W2 = V, de forma directa directa
(Sep-2004)
Solución: La solución c), es falsa; lo mínimo que puede dar un aintersección es el vector 0, pero nunca el conjunto vacio. Si aplicamos la fórmula: dim (W1+W2) = dimW1+dimW2-dim(W1W2) dim(W1+W2) = dim V = dimW 1+dimW2 (según el enunciado) dim(W1W2) = 0 W1W2 = 0 la solución a), es falsa. Como se cumple que: W 1+W2 = V, W 1W2 = 0 la suma es directa la d), es cierta. La solución b) es falsa, ya que si ocurriese eso W1W2 = W1 ó W2 0. -----------------------------------------
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Tema 3.- Aplicaciones lineales Teoría Matríz asociada a una aplicación lineal Dada una aplicación lineal f:R mRn, se denomina “matríz asociada a f en bases canónicas” y se representa Af CC elementos:f(e1), f(e f(e2),…..f(e ),…..f(em), colocados de CC ó [f]CC, a la formada por los elementos:f(e forma vertical, en la que e1,e2,….e ,….em, son los vectores de la base canónica de R m. El orden de dicha matríz, será (nxm), es decir tantas filas como dimensión tiene el espacio final y tantas columnas como dimensión tiene el espacio inicial. El orden de la matríz, se mantiene en cualquier pareja de bases que se exprese y el rango de dicha matríz, también se mantiene constante, sea cuáles sea las bases en que venga expresada. Subespacio imagen de la aplicación f, Im f Dada una aplicación f, se denomina subespacio Imagen de f, y se representa Imf, al subespacio formado por las columnas de Af : f(e f(e1),f(e ),f(e2),… f(e f(em). La dimensión de Imf, coincide con el rango de A f , y se mantiene en cualquier base donde se exprese Imf. El subespacio Imf, pertenece a R n, es decir, al subespacio final de la aplicación. En cualquier aplicación se verifica: 0 dimImf dimRn= n. Subespacio Ker f Dada una aplicación f, se denomina “núcleo de f”, y se representa ker f ó Nuc f, al conjunto de elementos de Rm, cuya imagen es el vector nulo: ker f ={(x1,x2,…..xm)/ [ f(x1),f(x2),….f(xm)] = (0,0,…..0)} Su dimensión es siempre mayor ó igual a cero y menor ó igual que la de R m. Lo mínimo, que mínimo, que puede dar el ker f, es el vector nulo, pero nunca el . Relación entre el ker f, y el subespacio Im f dim Im f+ dim ker f = dim R m Tipo de aplicaciones lineales: Aplicación Inyectiva Una aplicación, se dice Inyectiva, si a cada elemento del espacio inicial, corresponde una o ninguna imagen en el espacio final.
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Aplicación Sobreyectiva Una aplicación, se dice Sobreyectiva, exhaustiva ó suprayectiva, si a cada elemento del espacio inicial, le corresponde una o más de una imagen en el espacio final. Aplicación Biyectiva Una aplicación, se dice Biyectiva, Biyectiva, si a cada elemento del espacio inicial, corresponde una y solo una imagen en el espacio final. Para ser una de estas aplicaciones, aplic aciones, se debe cumplir: Tipo de Aplicación
Condición necesaria
Condición Suficiente
Inyectiva
dim Rm dim Rn
dim ker f =0
Sobreyectiva
dim Rm dim Rn
dim Im f = dim Rn
Biyectiva
dim Rm = dim R n
dim ker f =0, dim Imf = dimRn
Nombres especiales de las aplicaciones Una aplicación, simplemente lineal, se llama “Homorfismo” “Homorfismo”;; si el espacio inicial es igual al final, se denomina “Endomorfismo”. “Endomorfismo”. Una aplicación lineal inyectiva se denomina “Monomorfismo”. “ Monomorfismo”. Una aplicación lineal sobreyectiva, se denomina “Epimorfismo”. “ Epimorfismo”. Una aplicación lineal biyectiva, se denomina “Isomorfismo” “ Isomorfismo”,, y si es una aplicación entre los mismos espacios vectoriales, se denomina “Automorfismo”. “ Automorfismo”. Subespacio f(U) Dado un subespacio U, se denomina f(U), al subespacio imagen de U, y está formado por las imágenes de los elementos de la base de U. Se cumple siempre que: 0 dim f(U) dim U. Subespacio f -1(V) Dada una aplicación lineal f, se denomina antiimagen de un subespacio V, al subconjunto: f -1(V) = {(x1,x2,….xm)/[f(x1),f(x2),….f(xm)] V} La antiimagen de un vector, o de un subespacio, puede no existir y por ello ser igual al
.
Relaciones de dependecia e independencia entre Imágenes e antiimágenes - A vectores dependientes, corresponde imágenes dependientes siempre que sea aplicación. - A vectores independientes, corresponden imágenes independientes, si la aplicación es inyectiva o sobreyectiva.
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- A imágenes dependientes corresponden antiimágenes independientes, si la aplicación es sobreyectiva o biyectiva. - A imágenes independientes, corresponden antiimágenes independientes, siempre que sea una aplicación lineal. Composición de aplicaciones Dadas las aplicaciones: f: RmRn, g:RnRp, se denomina “Composición de f con g” y se representa (fog), a una aplicación entre Rm y Rp, en la cuál se aplica primero f y luego g. La matríz asociada a la composición es: Afog = Ag.Af La composición, en general, no tiene la propiedad conmutativa: fog gof. - La matríz de la composición, tiene tantas filas como la primera que se aplica y tantas columnas como la segunda. En el caso anterior es una matríz(mxp). - Una condición necesaria, no suficiente, para tener la propiedad conmutativa es que m=p=n Matrices asociadas en distintas bases Dada una aplicación lineal y unas bases B 1 y B2, se pueden dar o pedir las matrices asociadas a la aplicación en bases CC, en bases B 1C, en bases CB 2, o en bases B 1B2; para ello: Af B1B2 B1B2 uB1
f(u) f(u)B2 Af CB2 CB2
AB1C
ACB2 Af B1C B1C uC
Las posibles fórmulas a utilizar, son: Af B1B2 B1B2 = ACB2Af CC CCAB1C Af CB2 CB2 = ACB2Af CC CC Af B1C B1C = Af CC CCAB1C
f(u f(u)C Af CC CC
Las matrices AB1C, y ACB2, son matrices de cambio de base, definidas como se calculan en el tema de subespacios. El cuadro, se recorre en sentido horario, pero las únicas fórmulas que se pueden aplicar son las expuestas, de las cuales se puede despejar la matríz que se desee. Aplicación multilineal Es una aplicación de RxRx……(m…………xR R Propiedades f(u f(u1,u2,…..u ,…..ui,ui+1,…..u ,…..un) = – f( f(u1,u2,…..u ,…..ui+1,ui,….u ,….un) f(u f(u1,u2,…..ui,….u ,….un) = .f (u (u1,u2,……u ,……ui,……u ,……un)
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Ejercicios de exámenes Bloque Se consideran las aplicaciones: f, g R 3R3, definidas por: g(x,y,z) = (x-z,2y,y-x) 1 1 2 y f, cuya matríz matríz asociada en bases, CB, es [f CB 0 1 0 CB] = -1 0 -2 siendo B ={(1,0,2)(-1,1,1)(0,2,-1)}, entonces:
(Feb-1997)
3.1.- Una base de Imf es, a) {(1,0,-1)(1,1,0)} b) {(-1,0,-2)} c) {(1,-2,1)(0,1,3)} d) {(-1,1,1)(-1,4,-4)} Solución: Todo lo que se da o se pide en los ejercicios, si no se especifica nada, es en base canónica; es decir, nos piden Imf en base canónica. El subespacio Imf está formado por los elementos de la matríz asociada a la aplicación, tomados verticales. En este caso Im f = {(1,0,-1)(1,1,0)(2,0,-2)}. Dicho subespacio está en la base final; en este caso en base B. Si se calcula el determinante formado por esos vectores, sale cero Son dependientes. Los dos primeros por ejemplo, son independientes. Pasémoslos a base canónica: (1,0,-1)B = 1(1,0,2)+(-1)(0,2,-1) = (1,-2,3)C (1,1,0)B = 1(1,0,2)+1(-1,1,1) = (0,1,3)C B(Imf)C = {(1,-2,3)(0,1,3)} Coincide exactamente con la solución c) es la correcta; si no coincidiese, se buscaría la ecuación cartesiana y se comprobaría que dos vectores, siendo independientes cumplen dicha ecuación y sería la solución correcta. ----------------------------------------3.2.- El subespacio suplementario del Ker f, es: a) {(x,y,z)/ y = 0} b) {(,2,-2)/ R} c) {(,0,)/ R} d) {(x,y,z)/2x-y+z = 0}
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Solución: Como dim Im f+dim Ker f = dim R 2+dimker f = 3 dimker f = 1 el suplementario debe tener dos vectores l.i. Las soluciones b) y c) son falsas. Hallemos el ker f: ker f = {(x,y,z)/f(x,y,z) = 0} 1 1 2 x 0 0 f(x,y,z) = 0 1 0 y = 0 = 0 -1 0 -2 z C 0 C 0
B2
(Operando) x+y+2z = 0, y = 0, -x-2z = 0 y = 0, x = -2z ker f = <-2z,0,z> B(ker f) = {(-2,0,1)} dim ker f = 1, como se había asegurado. Los vectores del suplementario, aparte de ser dos l.i, deben de ser independientes con el del ker f. - La solución d): y = 2x+z {(1,2,0)(0,1,1)} 1 2 0 0 1 1 0 Son independientes, luego es correcta. -2 0 1 - La solución a): 1 0 0 <(x,0,z)> {(1,0,0)(0,0,1)} 0 0 1 = 0 Son dependientes Es falsa. -2 0 1 ----------------------------------------3.3.-Sea U = <(1,2,1)(0,1,2)>; entonces g-1(U) es: a) {(3+3μ, 2,2μ)} b) <(1,2,0)(1,-1,2)> c) <(1,2,0)> d) <(,2,μ)> Solución: g-1(U) = {(x, {(x,y,z y,z)/g( )/g(x,y x,y,z) ,z) U} Hallemos las ecuaciones de U: (x,y,z) = (1,2,1)+(0,1,2) x = ,y = 2+, z=+2(operando)z = 2y-3x U = {(x,y,z)/ z= 2y-3x}, luego g(x,y,z) = (x-2z,2y,y-x) debe pertenecer a U y-x= 2(2y)-3(x-z)3y = 2x-3z g-1(U) ={(x,y,z)/2x-3z = 3y} La única solución, cuyos elementos cumplen esa ecuación es la a) y por lo tanto es la correcta. -----------------------------------------
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3.4.-Sea W = <(1,0,0)(1,4,1)>; entonces g(W) W, es: a) <(2,4,1> b) <(1,0,0)(0,8,3)> c) <(1,4,1)(1,0,1)> d) <(1,8,2)> Solución: Hallemos g(W): g(1,0,0) = (1,0,-1) g(1,4,1) = (0,8,3) g(W) = <(1,0,-1)(0,8,3)> Hallemos su ecuación: (x,y,z) = (1,0,-1)+(0,8,3) x=,y=8,z=-+38x+8z = 3y Hallemos la ecuación de W: (x,y,z) = (1,0,0)+(1,4,1)x=+, y=4,z=y=4z Wg(W) = {(x,y,z)/ y=4z,8x+8z=3y} = De las soluciones a) y d), que solo tienen un vector l.i., solo d) cumple las dos ecuaciones de la intersección La correcta es la solución d). ----------------------------------------3.5.- La matríz asociada a gof, en bases canónicas es: -3 0 3 -2 -3 -4 5 2 0 a) 4 2 -2 b) -4 2 -8 c) 0 1 1 9 4 -5 -3 1 -6 -5 -1 2
-3 4 9 d) 0 2 4 3 -2 -5
Solución: Se conocen: [f]CB, siendo B = {(1,0,2)(-1,1,1)(0,2,-1)} g(x,y,z) = (x-z,2y,y-x) g(1,0,0) = (1,0,-1) 1 0 -1 g(0,1,0) = (0,2,1) AgCC = 0 2 0 g(0,0,1) = (-1,0,0) -1 1 0 Luego (gof)CC = Agof CC CC = AgCC.Af CC CC Busquemos la Af CC CC: Af CB CB =
-1 ACBAf CC CC A CB Af CB CB =
1 -1 0 1 1 2 Af CC 0 1 1 CC Af CC CC = ABC.Af CB CB = 0 1 2 2 1 -1 -1 0 -2
1 0 2 = -2 1 -4 3 3 6
Por lo cual: 1 0 -1 A(fog)CC = 0 2 0 -1 1 0
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1 0 2 -2 -3 -4 -2 1 -4 = -4 2 -8 3 3 6 -3 1 -6
La correcta es la solución b).
Otra forma: Busquemos una columna en la que se diferencien todas las soluciones, por ejemplo la 1ª columna: (gof)(1,0,0) = g[f(1,0,0)] 1 1 2 1 1 f(1,0,0) = 0 1 0 0 = 0 -1 0 -2 0 C -1
B
(1,0,-1)B = 1(1,0,2)-1(0,2,-1) = (1,-2,3)C 1 0 -1 1 -2 g(1,-2,3)C = 0 -2 0 -2 = -4 1ª columna de la matríz de la solución b) -1 1 0 3 C -3 C ----------------------------------------3.6.- La aplicación gof, verifica: a) Es inyectiva b) Es sobreyectiva c) dim(ker (gof) = 1 d) dim Im(gof) = 1 Solución: -2 -3 -4 A(fog)CC = -4 -4 2 -8 -3 1 -6 El rango de la matríz es 2 dim Im(gof) = 2 3 No es sobreyectiva La dim ker(gof) = 3-2 = 1 0 No es inyectiva Luego única solución correcta es la solución c). Fin del bloque ----------------------------------------3.7.- Sea la aplicación multilineal f: R 2xR2R, que cumple f[(1,-1)(0,2)]= -2, entonces f[(-2,2)(0,2)], vale: a) 4 b)-2 c) 2 d) 0 (Feb-1997) Solución: En una aplicación multilineal alternada, se cumple: f(u f(u,v) = -f(v -f(v,u) f(u) = .f(u .f(u) f[(-2,2)(0,2)] = -2.f[(1,-1)(0,2)] = -2.(-2) = 4 La correcta es la a). -----------------------------------------
73
3.8.-Sea f:UV, una aplicación lineal. Sea 0, entonces: a) ker f = ker( f) b) ker f = Im f c) Im f = U d) Im f = 0
(Jun-1997)
Solución: Si es la aplicación f lineal, la única que siempre es cierta es la a), ya que si u, es un elemento del kerf f(u f(u) = 0 f(u) = por ser f lineal = .f(u .f(u) = .0 = 0 Las demás soluciones pueden ser verdaderas ó falsas. ----------------------------------------Bloque Sea f: R3R3, definida por: f(x,y,z) ={ (2x+y+2z,x+y,x+2y+az) / a
R}, entonces:
3.9.a) Im f = {(x,y,z)/-2x+2y+z=0} b) Im f = R 3 c) Si a-2 dim Im f = 3 d) Si a=-2 dim Im f+dim ker f = 2
(Jun-1997)
Solución: La dim Im f+dim ker f = dimR 3 = 3, para cualquier valor de a la d) es falsa Hallemos el subespacio imagen de f: f(x,y,z) = (2x+y+2z,x+y,x+2y+az) f(1,0,0) =(2,1,1) f(0,1,0) = (1,1,2) Im f = {(2,1,1)(1,1,2)(2,0,a)} f(0,0,1) = (2,0,a)
2 1 1 1 1 2 = 2a+4-2-a = a+2 2 0 a
- Si a-2 dim Imf = 3 la solución c), es cierta. - Si a =-2 dim Imf = 2 Las soluciones a) y b), no tienen porque ser ciertas; depende del valor de a. ----------------------------------------3.10.- Si a = -2, entonces el ker f es: a)<(-2,2,1)> b) <(-2,2,1)(1,0,0)> c) {(x,y,z)/x+2y-z=0} d) <(0,0,0)> Solución: Si a=-2, la dim Im f = 2 dim kerf = 1 las soluciones b) y c), son falsas. Si a = -2: ker f = {(x,y,z)/f(x,y,z) = 2x+y+2z,x+y,x+2y-2z) = (0,0,0)} = (operando con esas ecuaciones). ker f = y dando a x el valor -2, se obtiene obtiene la solución a).
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Las solución d) es falsa porque a pesar de que el vector nulo, pertenece a cualquier subespacio, en particular al ker f, su dimensión es cero porque no genera vectores. ----------------------------------------3.11.-Para a = 1, la matríz [f] BC, donde C es la base canónica y B = {(1,1,2)(2,3,4)(-3,-4,-5)} es: 7 15 12 a) 2 5 5 3 12 -16 7 15 -20 b) 5 2 7 7 12 -16 7 15 -20 c) 1 2 8 5 2 6 7 15 -20 d) 2 5 -7 5 12 -16 Solución: Si a=1, f(x,y,z) = (2x+y+2z,x+y,x+2y+z)f(1,0,0) = (2,1,1), f(0,1,0) = (1,1,2), f(0,0,1) = (2,0,1) 2 1 2 Af CC CC = 1 1 0 1 2 1
Af BC BC = Af CC CC.ABC
2 1 2 = 1 1 0 1 2 1
1 2 -3 7 15 -20 1 3 -4 = 2 5 -7 La correcta es la d). 2 4 -5 5 12 -16
Otra forma de hallar la solución: Busquemos la primera columna, en la que se diferencian todas las soluciones, hallemos la imagen del primer vector de la base B, que a pesar de formar parte de esa base, está expresado en canónicas. 2 1 2 1 7 f(1,1,2) = 1 1 0 1 = 2 1ª columna de la matríz de la solución d) es la correcta. 1 2 1 2 C 5 C ----------------------------------------3.12.- Para a=-2, sea (U+ker f)= R3, de forma directa; entonces U es: a) <(2,0,-2)> b) {(x,y,z)/2x+2y-2z = 0} c) {(x,y,z/ x=0,y=0} d) <(3,2,3)> Solución: Si a = -2, f(x,y,z) = (2x+y+2z,x+y,x+2y-z) Af CC CC =
2 1 2 1 1 0 2 2 -2
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ker f = {(x,y,z)/f(x,y,z) = 2x+y+2z,x+y,x+2y-2z) = (0,0,0)} = (operando) = dimker f = 1 El suplementario U, debe tener dimensión 2 a) y d) son falsas. Los dos vectores de U deben de ser l.i. entre si y con el vector del ker f. - La solución b): {(x,y,z)/ 2x+2y-2z = 0} = >(x,y,x+y> (1,0,1),(0,1,1) Dichos vectores no cumplen las ecuaciones del ker f, por lo que son l.i.entre si y con el vector del ker f es la solución correcta. - La solución c), no es cierta porque al tener dos ecuaciones cartesianas, se obtiene un solo vector y U debe tener, como se ha explicado, dos vectores. Fin del bloque ----------------------------------------Bloque Una aplicación lineal f: R 3R3, tiene por matríz asociada 1 0 -2 1 -1 1 1 -2 4
(Sep-1997)
respecto a las bases: B 1= {(1,0,1)(1,2,0)(0,1,2)} y B2= {(0,1,0)(0,0,1)(1,0,0)}, entonces 3.13.- El ker f es: a) {(2z,3z,z)/ R} b) {(x,y,z)/2y =3x} c) <(5,7,4> d) {(0,0,0)} Solución: La matríz Af B1B2 B1B2 dada, nos permite hallar el ker f en la base inicial B 1. ker f = {(x,y,z)/f(x,y,z) = (0,0,0) 1 0 -2 f(x,y,z) = 1 -1 1 1 -2 4
x 0 y = 0 z B1 0
Operando, ker f = <2z,3z,z>B1 Pasemos ese vector a canónicas: (2,3,1)B1 = 2(1,0,1)+3(1,2,0)+(0,1,2) = (5,7,4)C la solución correcta es la c) - La solución a) seria correcta si pidiesen el ker f en base B 1, pero si no dicen nada se pide en canónicas. - La b) es falsa, ya que un representante de esa solución, sería (0,0,1), que no pertenece al ker f. - La d) es falsa, ya que el (0,0,0) tiene dimensión 0 y el ker f,debe tener dimensión 1. -----------------------------------------
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3.14.- Una base de la Imagen de f es: a) {(1,0,2)(1,-1,1)} b) {(1,1,1)(-2,0,-1)} c) {(0,-1,-2)(-2,1,4)} d) {(1,0,2)(0,0,0)(1,-1,1)} Solución: - La solución d) es falsa(El (0,0,0) no puede estar en una base) En la pregunta anterior, se ha visto que la dim ker f = 1 dim Imf = 2 Si tomamos dos vectores verticales de la matriz asociada: Im f B2 = <(1,1,1)(0,-1,-2)> Pasemos los vectores a canónicas: (1,1,1)B2 = 1(0,1,0)+1(0,0,1)+1(1,0,0) = (1,1,1)C (0,-1,-2)B2 = -1((0,0,1)-2(1,0,0) = (-2,0,-1)C Im f C = <(1,1,1)(-2,0,-1)> Si no coincidiesen exactamente esos vectores con los de alguna solución, se buscaría la ecuación de Imf, y se comprobarían las soluciones. En este caso la solución correcta es la b) y la a) y c) son falsas. ----------------------------------------3.15.-La imagen del vector (1,2,0), es: a) (-2,0,-1) b) (0,-1,-2) c) (1,-1,4) d)(3,-2,0) Solución: El vector dado está en canónicas; canónica s; pasemos ese vector a base B 1: (1,2,0) = a(1,0,1)+b(1,2,0)+c((0,1,2) 1=a+b,2 = 2b+c, 0 = a+2c a=0,c=0,b=1 (1,2,0)C = (0,1,0)B1
f(0,1,0)B1 =
1 0 -2 1 -1 1 1 -2 4
0 0 1 = -1 0 -2 B2
Pasemos ese vector a canónicas: (0,-1,-2)B2 = 0(0,1,0)+(-1)(0,0,1)+(-2)(1,0,0) = (-1,0,-1)C f(1,2,0) = (-2,0,-1) La correcta es la a). ----------------------------------------3.16.- Si f(v)= (0,2,1), entonces v es igual a: a) (0,-2,0) b) (3,2,2) c) (2,1,0) d) (0,1,0)
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Solución: Pasemos el vector (0,2,1) a base B 2: (0,2,1) = a(0,1,0)+b(0,0,1)+c(1,0,0) operando: a=2, b=1, c=0 (0,2,1) = (2,1,0)B2 f -1 (2,1,0) = {(x,y,z)/f(x,y,z)B1 = Af B1B2 B1B2.(x,y,z) = (2,1,0)B2 1 0 -2 1 -1 1 1 -2 4
x 2 y = 1 z 0
x-2z = 2,x-y+z = 1,x-2y+4z = 0 x=2+2z,y=1+3z<2+2z,1+3z,z>B1
Pasemos ese representante a canónicas: (2+2z,1+3z,z)B1 = (2+2z)(1,0,1)+(1+3z)((1,2,0)+z(0,1,2) = (5z+3,7z+2,4z+2)C Si damos a z, el valor cero: f -1(0,2,1) = (3,2,2) la solución correcta es la b). ----------------------------------------3.17.- La matríz asociada respecto a las bases B 1B3, siendo B3 la base canónica es: 0 -2 1 a) -1 1 1 -2 4 1
b)
1 -1 1 1 -2 4 1 0 -2
c)
-2 1 0 1 1 -1 4 1 -2
d)
1 -2 4 1 0 -2 1 -1 1
Solución: 1ª forma Af B1B2 B1B2 = ACB2Af CC CCAB1C -1 Af B1B3 B1B3 = Af B1C B1C = Af CC CCAB1C Af B1B2 B1B2 = ACB2Af B1C B1CA CB2Af B1B2 B1B2 = Af B1C B1C = Af B1B3 B1B3 0 0 1 1 0 -2 1 -2 4 Af B1B3 B1B3 = AB2CAf B1B2 B1B2 = 1 0 0 1 -1 1 = 1 0 -2 La correcta es la solución d). 0 1 0 1 -2 4 1 -1 1 2ª forma Hallemos, por ejemplo, la 3ª columna de Af B1B3 B1B3:
78
Tomemos el tercer elemento de B 1, (0,1,2), que está en canónicas (0,1,2) = a(1,0,1)+b(1,2,0)+c(0,1,2) 0=a+b,1=2b+c,2=a+2c a=0,b=0,c=1(0,1,2) = (0,0,1)B1 1 0 -2 0 -2 f(0,1,2)C = f(0,0,1)B1 = 1 -1 1 0 = 1 1 -2 4 1 B1 4
B2
(-2,1,4)B2 = -2(0,1,0)+1(0,0,1)+4(1,0,0) = (4,-2,1)C 3ª columna de la matríz buscada la d). Fin del bloque ----------------------------------------Bloque Sean f:R3R2, definida por: f(x,y,z) (x+y,y-z) y g:R 2R3, aplicaciones lineales; sea B 2 una base de R2 y B1 y B3 bases de R3, con B3 = {(0,0,1)(1,0,2)(-1,1,=)} 1 0 -2 Sean [f]B1B2 =
y [g]B2B3 -2 1 0
-1 2 = 1 1 , entonces 2 0
(Dic-1997)
3.18.- Sea h = gof, si h(v) = (1,2,2) B3, entonces v, en base B 1, es a) (1,3,0) b) (0,-1,2) c) (-1,2,0) d) (9/2,21/2,5/2) Solución: AhB1B3 = (Agof )B1B3 = AgB2B3.Af B1B2 B1B2 =
h-1(v) = {(x,y,z)/ h(x,y,z) = (1,2,2)} -5 2 2 x 1 h(x,y,z) = -1 -1 1 -2 y = 2 2 0 -4 z B1 2
-1 2 1 1 2 0
1 0 -2
-5 2 2 = -1 1 -2 -2 1 0 2 0 -4
B3
-5x+2y+2z = 1, -x+y-2z = 2,2x-4z = 2 x = 2z+1, y = 4z+3 vB1 <2z+1,4z+3,z> Si z = 0 (1,3,0) La correcta es la a). ----------------------------------------3.19.-Si B2 = {(1,1)(2,0)} y U = {(x,y)/x-3y = 0}, entonces g(U), en R 3 es: a) <(1,2,2)> b) <(0,1,2)(0,1,3)> c) <(0,3,5)> d) <(2,-1,-1)((2,2,3)>
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Solución: U = {(x,y)/x-3y = 0} = <(3y,y)> B(U)C = {(3,1)} (3,1)C = a(1,1)+b(2,0) 3 = a+2b, 1=a a = 1 = b (3,1)C = (1,1)B2 -1 2 1 1 g(U) = g(3,1)C = g(1,1)B2 = 1 1 = 2 2 0 1 B2 2
B3
(1,2,2)B3 = 1.(0,1,1)+2.(1,0,2)+2.(-1,1,0) = (0,3,5)C g(U) = <(0,3,5)> La correcta es la c). ----------------------------------------3.20.-Un vector, v que verifica que h(x,y,z) = (0,0,0). es: a) (2,4,1) b) (3,-1,2) c) (2,-2,-2) d) (1,0,3) Solución: (0,0,0)C = (0,0,0)B3
-5 2 2 x 0 -1 1 -2 y = 0 -5x+2y+2z = 0,-x+y-2z=0,2x-4z=0 2 0 -4 z 0
VB1 = <2z,4z,z> Para pasarlo a canónicas, se necesita la base B 1, que está hallada en la siguiente pregunta:
AB1C =
a d g 2 2a+4d+g -3-a 2-d -2-g 4 = -2a-4d -g -4-a 2-d -g 1 B1 -2a+4d-g
C
La segunda y tercera coordenada, son iguales y la primera es igual con signo cambiado La respuesta correcta es la c). ----------------------------------------3.21.- Si B2 = {(1,1)(2,0)}, entonces un vector de B 1, es: a) (1,1,0) b) (-1,0,2) c) (0,-3,-4) d) (3,1,1) Solución: -1 Af B1B2 B1B2 = ACB2Af CC CCAB1C A CB2 Af B1B2 B1B2 = Af CC CCAB1C
f(x,y,z) = (x+y,y-z) f(1,0,0) = (1,0), f(0,1,0) = (1,1), f(0,0,1) = (0,-1) Af CC CC =
80
1 1 0 0 1 -1
Entonces,
1 2 1 0
a d g 1 0 -2 1 1 0 b e h 2 1 0 = 0 1 -1 c f i
-3 = a+b,2 = d+e,-2=g+h, 1=b-c, 0=e-f,-2=h-i AB1C =
a d g -3-a 2-d -2-g -4-a 2-d -g
Comprobemos las soluciones: a) (1, 1, 0) 1ª columna: a=1-3-a = -4 1no vale 2ª columna: d=1 2-1 0 10no vale 3ª columna: g= 1 -2-g=-31 no vale es una solución falsa Procediendo de forma análoga, la b) y la d) son falsas. - La respuesta c): 1ª columna: a=0-3-a=-3es el vector correspondiente a la 1ª columna es la respuesta verdadera. Fin del bloque ----------------------------------------3.22.-Sea f: VV´, una aplicación lineal y sea B = {v 1,v2,……vn} una base de V, tal que v3 ker f. sea S = {f(v 1),f(v2), ………. f(v n)}; entonces: a) S es un sistema generador de V´ b) S es base de Im f c) S es un sistema generador de Im f d) v3, es un vector generador del ker f
(Dic-1997)
Solución: a) Falsa. No se sabe qué dimensión tiene V´(Si es > n, no sería sistema generador). b) Falsa.Uno de sus elementos, al menos, f(v 3) = 0 y por ello es un elemento dependiente, con lo cual no puede ser S una base. c) Cierta; a pesar de existir en S, elementos dependientes, constituye un sistema generador de la imagen. d) Falsa. El ker f, puede tener mas elementos v i, independientes con v 3. Por ello, la cierta es la solución c). ----------------------------------------3.23.- Sea f: VV´, una aplicación lineal tal que dimV = m, dimV´= n. Entonces: a) f Inyectiva m=n y f es Isomorfismo b) f Sobreyectiva m=n c) m=n, y f Sobreyectiva f es Inyectiva d) m=nf es Isomorfismo
(Dic-1997)
Solución: La condición necesaria para que f sea: - Sobreyectiva, es que dimV dim V´m>n - Inyectiva, es que dim V dimV´m
81
- Biyectiva, es que dimV = dimV´ m=n a) Falsa, puede ser mn c) Cierta; si m=n y es sobreyectivadim Im f = n dim ker f = dim V-dim Im f = m-n=n-n=0 que f es Inyectiva. d) Falsa. (Es condición necesaria pero no suficiente; se debería también asegurar para ser cierta que f es sobreyectiva o inyectiva). La correcta es la solución c). ----------------------------------------Bloque Sea f: R3R3, una aplicación, cuya matríz asociada en bases B 1 y B2, siendo B1 = {(1,2,1)(0,1,1)(1,0,0)} y B2 = {(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)}, es: 1 2 -1 0 1 -2 -1 1 -5
, entonces
(Feb-1998)
3.24.- El ker f es: a) <(-3,2,1)> b) <(1,2,-1)(0,1,-2)> c) <(2,4,1)> d) (0,0,0) Solución: B2C
det Af B1C B1C = -5+4-1+2 =0
1 2 0 dim Im f = rg A f = 2 dim ker f = 1 Las soluciones b) y d), son falsas.
0 1 1 2 -1 ker f = {(x,y,z)/ f(x,y,z) = 0 } f(x,y,z) = 0 1 -2 -1 1 -5
x 0 y = 0 x+2y-z=0,y-2z=0,-x+y-5z=0 z B1 0
ker f B1 B1 = <-3z,2z,z> ; un representante sería el (-3, 2,1) que es la solución a) ; no vale porque si no dicen nada, piden el ker f en canónicas Pasemos a canónicas: <(-3z,2z,z> B1 = -3z(1,2,1)+2z(0,1,1)+z(1,0,0) = <-2z,4z,-z> Un representante, representante, sería el (2,4,1) la solución correcta es la c). ----------------------------------------3.25.-El subespacio Im f es: a) <(1,2,-1)(0,1,-2)> b) <(0,4,-8)> c) <3-, ,> d) {(x,y,z)/x+2y-z=0,y-2z=0}
82
Solución: La dim Im f = 2, según la pregunta anterior Las soluciones b) y d) son falsas. Im f C C = <(1,0,-1)(2,1,1)> Busquemos su ecuación cartesiana: (x,y,z) = (1,0,-1)+(2,1,1) x=+2,y=,z=-+ x+z=3y -En la solución a), el primer vector, no cumple esa ecuación. Es falsa -La solución c) verifica la ecuación de la imagen Es la solución correcta. ----------------------------------------3.26.-La matríz asociada a f en canónicas, es: -1 0 2 a) -2 0 1 -5 -3 -2 0 5 -10 b) -1 2 -7 1 2 -1
c)
1 1 1 0 -1 0 -4 -4 -1
d)
-1 0 2 -2 1 0 -5 3 -2
Solución: 1ª forma -1 Af B1C B1C = Af CC CCAB1C Af CC CC = Af B1C B1CA B1C
1 2 -1 = 0 1 -2 -1 1 -5
1 0 1 -1 1 2 -1 0 1 -1 -1 0 2 2 1 0 = 0 1 -2 0 -1 2 = -2 1 0 1 1 0 -1 1 -5 1 -1 1 -5 3 -2
Luego la correcta es la d).
2ª forma Busquemos la 2ª columna (en la que se diferencian todas las soluciones), de dicha matríz: (0,1,0)C =[ a(1,2,1)+b(0,1,1)+c(1,0,0) ]B1 0=a+c,1=2ª+b,0=a+ba=1, b=c=-1
f(0,1,0)C = f(1,-1,-1)B1 =
1 2 -1 -1 0 0 1 -2 -1 = 1 la correcta es la c) 1 1 -5 -1 3 -----------------------------------------
83
3.27.-Si V = {(x,y,z)/3x-2y+z=0},entonces f -1(V), es: a) {(x,y,z)/x+2y+z=0,y+2z=0} {(x,y,z)/x+2y+z=0,y+2z=0} b) <(3,-2,1)(1,0,2)> c) <(1,4,0)(0,-4,1)> d) <(-4,1,4)> Solución: Se ha hallado la Af CC CC -1 0 2 f (V) {(x,y,z)/f(x,y,z)V}f(x,y,z) = -2 1 0 -5 3 -2 -1
x -x+2z y = -2x+y z -5x+3y-2z
V
3(-x+2z)-2(-2x+y)+(-5x+3y-2z) = 0 -4x+y+4z = 0 f -1(V) = {(x,y,z)/y=4x-4z} = dimf -1(V) = 2 a) y d) son falsas. - Los elementos de la solución b), no cumplen la ecuación de f -1(V) es falsa. - Los elementos de la solución c), cumplen los dos la ecuación de f -1(V) es la correcta. Fin del bloque ----------------------------------------Bloque Dada la aplicación f:R3P2(x)/ f(a0,a1,a2) = a0x2+(a1-a2)x+2a1
(Jun-98)
3.28.-Si V = , entonces una base de f-1(V) es: a) <(1,01,1)(0,1,2)> b) <(-2,0,1)(0,1,0)> c) <(1,1,2)(0,-1,2)> d) <(0,1,1)(-1,1,2)> Solución: V= Hallemos su ecuación: ax2+bx+c = (x2-1)+(x+2)a=, b=, c=-+2c=2b-aV = {(ax2+bx+c/c=2b-a} Luego, si f(a,b,c) =ax2+(b-c)x+2b V2b=-a+2(b-c),2b=-a+2b-2c,a=-2c f -1(V) ={(a,b,c)/a=-2c}=<-2c,b,c> Los únicos vectores que cumplen la ecuación de f -1(V), son los de la solución b). ----------------------------------------1 -1 0 3.29.- Si A = 0 2 1 , es la matríz asociada a f, respecto a las bases B1 = {e1,e2,e3} -2 0 1 y B2 ={x2-1,x+1,1}, entonces e 2 es: a) (-1,2,0) b) (-2,3,-1) c) (-1,2,3) d) (-1,3/2,-1/2)
84
Solución: 1 -1 0 1 0 0 -1 1 0 0 Af B1B2 0 2 1 = 0 1 0 0 1 -1 .AB1C B1B2 = ACB2Af CC CCAB1C -2 0 1 -1 1 1 0 2 0 Operando con esa ecuación matricial, se obtiene:
AB1C = 1/2
2 -2 0 -3 3 2 e2 =1/2(-2,3,-1) = (-1,3/2,-1/2) La solución correcta es la d). -3 -1 0 -----------------------------------------
3.30.- Sea g:P2(x)R2/ g(a0x2+a1x+a2) = (a1-a2,2a0), y sea B3={(1,0)(0,2)}; entonces la matríz asociada a g respecto a las bases B 2 y B3 es: a) 1 0 -1 -1 1/2 0 1/2 b) 1 0 -1 1 0 0 c) -1 1/2 0 0 1 1/2 d)
1 2 0 0 -1 0
Solución: AgB1B3 = ACB3.AgCC.AB2C =
1 0 -1 0 1 -1 1 0 0 2 0 t 1 0 -1 1 0 -1 0 2 2 0 0 0 1 0 = 1/2 0 1 2 0 0 = 1 0 0 d) -1 1 1 -----------------------------------------
3.31.-El ker (gof) es: a) b) c) d) <2e2+2e3> Solución: Agof = AgCC.Af CC CC =
0 1 -1 2 0 0
1 0 0 0 -1 1 0 1 0 = 2 0 0 0 2 -1
0 -1 1 a0 0 ker gof = 2 0 0 a1 = 0 a2-a1=0,2a0 = 0a0=0,a1=a2 a2 0 (ker gof)C = <0,a1,a1><0,2,2> = 2e2+2e3la correcta es la d). -----------------------------------------
85
3.32.- Un suplementario del ker g, es: a) b) c) d) Solución: 0 1 -1 -1 a0 0 ker g = 2 0 0 a1 = 0 a1-a2=0,2a0=0 ker g <0,a1,a1> = <(0,1,1)> a2 0 La única solución cuyos vectores son independientes con el del ker g es d) Es la correcta. Fin del bloque ----------------------------------------3.33.-Sea f:VV´ una aplicación lineal y biyectiva, con dim V=7. Si U es un subespacio de v, tal que dimU = 4, entonces la dimensión de f(U) es: a) 4 b) 3 c) 7 d) No se puede hallar
(Jun-98)
Solución: Si f es biyectiva, la dim dim f(U) f(U) = dim U = 4 La correcta es la solución a). ------------------------------------------------------------------------------------------f [(1,0)(2,1)] = 3; entonces 3.34.-Sea f: R2xR2 R, una aplicación multilineal alternada, tal que f[(1,0)(2,1)] f{[(2,1)(-1,0)] es igual a: a)-3 b) 3 c) 0 d) 1
(Jun-98)
Solución: f[(2,1)(-1,0)]=por ser alternada=-f[(-1,0)(2,1)]= por ser lineal= -(-1).f[(1,0)(2,1)] = = 1.f [(1,0)(2,1)]= 1.3=3b) ----------------------------------------3.35.- Una aplicación f:R2R2, transforma el conjunto<(1,0)(2,1)> en <(1,-2)(-2,4)>. Entonces se puede afirmar que: a) f es inyectiva b) f es sobreyectiva c) dim ker f = 1 d) dim Im f = 0
86
(Jun-98)
Solución: f transforma los dos vectores independientes en uno solo independiente i ndependiente f no es inyectiva las soluciones a) y b) son falsas. La dim Im f = 1 dim ker f = dim R 2- dim Im f = 2-1 = 1 La solución c) es cierta. La dim Im f = 1 = la d) es falsa. ----------------------------------------Bloque Sea f: R3R2, una aplicación lineal, cuya matríz asociada en bases B1 = {(1,0,2)(-1,1,1)(0,0,1)} y canónicas es: 1 0 -1 [f]CC = 2 -1 2
, entonces:
(Sep-98)
3.36.- El ker f está generado por: a) <(-3,4,7)> b) (0,0,0) c) <(1,0,-1)(2,-1,2)> d) <(2,-3,6)> Solución:
Ker f= {(x,y,z)/f(x,y,z) = (0,0)}f(x,y,z) =
1 0 -1 x 0 2 -1 2 y = 0 x-z=0,2x-y+2z=0z=x,y=4x z 0
ker f = B1 = x(1,0,2)+4x(-1,1,1)+x(0,0,1) = <-3x,4x,7x>(-3,4,7) La correcta es la a). ----------------------------------------3.37.- Si V = {(x,y)/y=2x}, entonces f -1(V) es: a) <(1,0,-1)(2,3,1)> b) <(1,0,2)(-4,4,5)> c) <(2,3,1)> d)<(0,0,0)(2,3,1)> Solución: -1
f (V)B1 = {(x,y,z)/f(x,y,z) =
1 0 -1 x 2 -1 2 y z
V (x-z, (x-z,2x 2x-y -y+2 +2z) z) V 2x-y+2z = 2.(x-z) y = 4z
f -1(V)B1 = {(x,y,z)/y = 4z} dim f -1(V) = 2 c) y d) falsas. f -1(V)B1 = <(x,4z,z)> B1 = x(1,0,2)+4z(-1,1,1)+z(0,0,1) = <(x-4z,4z,2x+5z)><(1,0,2)(-4,4,5)>la respuesta correcta es la b). -----------------------------------------
87
3.38.- La matríz asociada a f, en bases canónicas, es: a) -1 -2 -1 6 -1 2 b) 3 -2 4 -5 -1 2 c) -1 6 -2 -1 -1 2 d) 3 4 -1 -2 -5 2
Solución: 1ª forma La matríz asociada a una aplicación lineal, conserva el orden y el rango, en cualquier base en que esté expresada b) y c) son falsas. Af B1C B1C = Af CC CCAB1C Af CC CC = Af B1C B1CACB1 ACB1 = A-1B1C
1 -1 0 -1 1 1 0 1 0 -1 1 1 0 3 4 -1 = 0 1 0 = 0 1 0 Af CC 0 1 0 = -2 -5 2 la d) CC = 2 -1 2 2 1 1 -2 -3 1 -2 -3 1
2ª forma Busquemos la 1ª columna de Af CC CC: (1,0,0)C = [a(1,0,2)+b(-1,1,1)+c(0,0,1)]B1 1= a-b,0=b,0=2ª+b+c a=1,b=0,c=-2 (1,0,-2)B1 1 f(1,0,0)C = f(1,0,-2)B1 = 1 0 -1 0 = 3 la d) 2 -1 2 -2 B1 -2 C ----------------------------------------3.39.- La dimensión del subespacio Im f, es: a) 3 b) 0 c) 1 d) 2
88
Solución: 3 4 -1 -1 Af CC CC =
dim Im f = rg Af CC CC = 2 La respuesta correcta es la d).
-2 -5 2 ----------------------------------------3.40.- Si U = {(x,y,z)/x-y+z=0,2x-4y-4z=0}, entonces f(U) es: a) {(x,y) / x=y} b) {(x,y)/2x+y=0} c) <(1,2)> d) {(x,y)/x+y=0} Solución: U = {(x,y,z)/x-y+z=0,2x-2y-4z=0} = {(x,y,z)/y=x,z=0}= dimU = 1 dim f(U) dimU siempre, sea cual sea el subespacio U 3 4 -1 f(U) = f(1,1,0) = -2 -5 2
1 7 1 = 0 -7
f(U)= <7,-7> = {(x,y)/y = -x} = {(x,y)/x+y=0} la única que verifica dicha ecuación y por lo tanto es la solución correcta es la solución d). Fin del bloque ----------------------------------------Bloque Sea la aplicación lineal f:R 3R3/ (0,1 (0,1,2 ,2)) ker ker f, (0, (0,0, 0,1) 1) f -1(1,0,0), f(1,2,1) = (1,0,2) ; entonces: (Feb-99) 3.41.- La matríz asociada en canónicas es: 0 -2 -2 a) 0 3 5 0 1 1 4 -2 1 b) 0 0 0 2 0 2 4 -2 1 c) 0 0 0 2 0 0 0 -2 -2 d) 0 3 5 0 1 -2
89
Solución: (0,1,2) ker f f(0,1,2) = (0,0,0) f(0,1,2) = f(0,1,0)+2f(0,0,1) = (0,0,0) (0,0,1) f -1(1,0,0)f(0,0,1) = (1,0,0) f(1,2,1) = (1,0,2)f(1,2,1) =f(1,0,0)+2f(0,1,0)+f(0,0,1) Operando con las tres ecuaciones f(1,0,0) = (4,0,2), f(0,1,0) = (-2,0,0), f(0,0,1) = (1,0,0) 4 -2 1 Af CC 0 0 0 CC = 2 0 0
La correcta es la solución c).
3.42.- Si R3 = Im f + U, una base de U es: a) {(1,0,1)(0,2,3)} b) {(1,0,1)} c) {(1,0,3)} d) {(2,1,2)} Solución: Im f = <(4,0,2)(-2,0,0)(1,0,0)> B(Im f) = {(4,0,2)(1,0,0)} dim Im f = 2 dim U = 1 a) falsa - La solución b):
- La solución c):
- La solución d):
1 4 1 1 4 1 2 4 1
0 0 0 0 0 0 1 0 0
1 2 = 0 Falsa. 0 3 2 = 0 Falsa. 0 2 2 0 Es la solución correcta. 0 -----------------------------------------
3.43.-Sea W = {(x,y,z)/2y-z=0}; entonces una base de f -1(W),es: a) (0,1,3) b) {(0,1,2)(0,0,1)} c) (0,-1,3) d) {(0,1,2)(1,0,3)} Solución: f -1(W) = {(x,y,z {(x,y,z)/f )/f(x, (x,y,z y,z)) W} 4 -2 1 f(x,y,z) = 0 0 0 2 0 0
x y = z
4x-2y+z 0 2x
W 2.0-2x = 0 x=0
f -1(W) = {(x,y,z)/x=0} dim f -1(W) = 2 a) y c) son falsas.
90
- La solución d), es falsa porque el 2º vector no verifica la ecuación de f -1(W). - La solución correcta es la solución b). ----------------------------------------3.44.-Si las coordenadas de f(v) en base B = {(0,0,1)(1,0,2)(0,1,2)} son (4,2,0), entonces el vector v, es: a) (4,4,-2) b) (4,5,-4) c) (2,4,2) d) (2,5,-4) Solución: f(v) = (4,2,0)B = 4(0,0,1)+2(1,0,2)+0.(0,1,2) = (2,0,8)C f -1(2,0,8)C = {(x,y,z)/f(x,y,z) = (2,0,8)}
4 -2 1 x f(x,y,z) = 0 0 0 y 2 0 0 z
2 = 0 4x-2y+z=2,0=0,2x=8z=2y-14,x=4 8
v= f -1(2,0,8)C = f -1(4,2,0))B = <4,y,2y-14> c) y d) son falsas(x 4). b) z= 2y-14 -4 = 10-14 Es la solución correcta. a) -28-14 Es falsa. Fin del bloque ----------------------------------------3.45.-Sea f: VV´, una aplicación lineal con dimV = dim V´= n, entonces: a) f es Sobreyectiva b) f Inyectiva ker f = V c) f Sobreyectiva f es Inyectiva d) f(V) = V´
(Feb-99)
Solución: - La a) es falsa; por ser que sea una aplicación entre espacios de igual dimensión, no tiene porque ser sobreyectiva. - La b) es falsa; si f es inyectiva, ker f = 0 V . - La c) es cierta; si f es sobreyectiva dim Imf = dim V´= n dim ker f = dimV-dim Imf = n-n = 0 f es inyectiva. - La d) es falsa; sería cierta si si dijesen que f es biyectiva. -----------------------------------------
91
Bloque Sea f: R3R3, una aplicació aplicación n lineal que que verifica: verifica: (1,3,-7) (1,3,-7) ker f, (1,0,2) (1,0,2) f -1(3,3,3) f (1,1,1) = (4,2,6), entonces: entonces: 3.46.- La matríz asociada a f en bases canónicas es: 1 3 -1 a) 3 -1 5 -1 0 2
b)
1 2 1 3 -1 0 -1 5 2
c)
0 1 2 1 3 -4 2 1 6
d)
0 1 2 1 3 1 2 -4 6
Solución: (1,3 (1,3,,-7) 7) ker ker f f(1,3,-7) = f(1,0,0)+3f(0,1,0)-7f(0,0,1) 0 (0,0,0) -1 (1,0,2) f (3,3,3) f(1,0,2) = f(1,0,0)+2f(0,0,1) = (3,3,3) f(1,1,1) = f(1,0,0)+f(0,1,0)+f(0,0,1) = (4,2,6) Operando con esas ecuaciones, se obtiene: f(1,0,0) = (1,3,-1) f(0,1,0) = (2,-1,5) f(0,0,1) = (6,0,12)
1 2 1 Af CC CC = 3 -1 0 -1 5 2
La respuesta correcta es la b).
----------------------------------------3.47.-Si R3 = U+ Im f, entonces U es: a) {(x,y,z)/ x+3y-7z==} b) {(x,y,z)/x+3y+7z=0} c) <(4,1,5)> d) <(1,1,1)> Solución: 1 2 1 Af CC CC = 3 -1 0 -1 5 2
1 2 detAf CC CC = -2+15-1-12 = 0,
B(Im f) = {(1,3,-1),(2,-1,5)} dim Im f = 2
92
0
3 -1
(Jun-99)
Luego U, debe de estar formado por un solo vector independiente con los de Im f las soluciones a) y b), no valen(tienen valen(tienen dos vectores). vectores).
-La c):
4 1 5 1 3 -1 = 60-5-2-30+4-50 Es la correcta 2 -1 5
1 1 1 -La d): 1 3 -1 = 15-1-2-6-1-5 = 0 no vale (ese vector es dependiente con los de Im f). 2 -1 5 Fin del bloque ----------------------------------------Bloque Sea f: R3R3/ f(x,y,z) = (x,y,0), una aplicación lineal.
(Dic-99)
3.48.-¿Cuál es la matríz asociada a f respecto a la base B={(1,0,2)(1,1,1)(2,1,2)}, es decir Af BB BB?: 1 1 2 a) 0 1 1 0 0 0
1 1 2 0 1 1 2 1 2
1 0 0 b) 1 1 0 2 1 0
1 1 2 0 1 1 2 1 2
1 1 2 c) 0 1 1 2 1 2
-1
1 1 2 0 1 1 0 0 0
1 0 0 1 1 2 d) 1 1 0 0 1 1 2 1 0 2 1 2
-1
Solución: 1 0 0 f(x,y,z)=(x,y,0) f(1,0,0)=(1,0,0), f(0,1,0)=(0,1,0), f(0,0,1)=(0,0,0) Af CC CC = 0 1 0 0 0 0
Af BB BB = ACB.Af CC CC.ABC
1 1 2 -1 1 0 0 1 1 2 1 1 2 -1 1 1 2 = 0 1 1 0 1 0 0 1 1 = 0 1 1 0 1 1 la c) 2 1 2 0 0 0 2 1 2 2 1 2 0 0 0 -----------------------------------------
93
3.49.- ¿Cuál de los siguientes conjuntos es el Ker f?: a) <(0,0,0)> b) <(0,0,z)> c) <(x,y,0)> d) <(x,0,z)> Solución: 1 0 0 Af CC CC = 0 1 0 0 0 0
Im f = {(1,0,0)(0,1,0)(0,0,0)} B(Im f) = {(1,0,0)(0,1,0)} dim Im f = 2
dim kerf = dimR 3-dim Im f = 3-2 = 1 c) y d) son falsas. ker f = {(x,y,z)/f(x,y,z) = 0} (x,y,0) = (0,0,0) x=y=0 ker f = {(x,y,z)/ x=y=0} = <(0,0,z)> la solución b) es la verdadera - La solución a) es falsa, porque porque dim<(0,0,0)> = 0 1 ----------------------------------------3.50.-¿Cuál de las siguientes expresiones, es correcta?: a) f es sobreyectiva e inyectiva b) f es inyectiva y no sobreyectiva c) f no es inyectiva y no es sobreyectiva d) f es sobreyectiva s obreyectiva y no inyectiva Solución: Se ha analizado en la pregunta anterior que dim Im f = 2 3 No es Sobreyctiva. Tambien se vió que dim Ker f = 1 0 No es Inyectiva la correcta es la c). ----------------------------------------3.51.- La Imagen inversa (recíproca) del vector (3,2,0), verifica: a) No es única b) Es un subespacio de dimensión 1 c) Es un subespacio de dimensión 2 d) Es igual a R 3 Solución: f -1(x,y,z) = {(x,y,z)/f(x,y,z) = (x,y,0) = (3,2,0)} x=3,y=2 f -1 (x,y,z) ={(x,y,z)/x=3,y=2} = <(3,2,z)> . f -1(3,2,0), no es subespacio b) y c) son falsas -La solución d) es falsa (No es igual a R 3). -La solución a) es cierta, ya que la imagen de cualquier vector (3,2,z), para todo valor de z, es (3,2,0), por lo que la antiimagen no es única. -----------------------------------------
94
3.52.-Sea f: UV, una aplicación lineal e inyectiva; u 1, u2 U: a) Si u1, u2, son l.i.f(u1), f(u2), pueden ser l. dependientes b) Si f(u1),f(u2), son l. dependientes u1,u2, pueden ser l.i. c) dim U dimV d) dim U dimV Solución: Si f es Inyectiva,la condición necesaria exige que dimU dimV d) es cierta y c) es falsa. falsa. - La a) es falsa. Si la aplicación es Inyectiva a elementos l.i., corresponden c orresponden imágenes l.i. - La b) es falsa; a imágenes dependientes, si es Inyectiva, corresponden antiimágenes de pendientes. Fin del bloque ----------------------------------------Bloque Sea f:R3R3,una aplicación lineal, cuya matríz asociada en bases B 1 = {(1,0,-2)(1,1,1)(1,-1,0)} y B2 = {(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)}, es: 1 2 0 Af B1B2 B1B2 = [f]B1B2 = 0 1 -1 -2 -2 -2
entonces,
(Feb-2000)
3.53.- La matríz asociada en canónicas es: 1 3 -1 a) 2 0 -1 2 -6 0
1 1 0 b) 0 1 0 -2 0 0
-1 1 3 c) 2 3 1 -2 -3 -1
1 7/5 3/5 d) 0 4/5 -4/5 0 -1/5 1/5
Solución: 1ª forma -1 -1 -1 Af B1B2 B1B2 = ACB2Af CB CBAB1C Af CC CC = A CB2Af B1B2 B1B2A B1C = AB2CAf B1B2 B1B2A B1C 1 0 0 1 2 0 1 1 1 Af CC 0 1 -1 CC = 0 1 0 0 1 -1 0 0 1 -2 -2 -2 -2 1 0
-1
1 1 1 -1 1 2 2 t 1 1 -2 0 1 -1 = 1/5 1 2 -3 = 1/5 2 2 1 -2 1 0 -2 1 1 2 -3 1 1 2 0 1 1 -2 5 5 0 1 1 0 Af CC 0 5 0 = 0 1 0 b) CC = 0 1 -1 .1/5 2 2 1 = 1/5. -2 -2 -2 2 -3 1 -10 0 0 -2 0 0 2ª forma Busquemos la 1ª columna de esa Matriz(se diferencian todas):
95
(1,0,0)C =[ a(1,0,-2)+b(1,1,1)+c(1,-1,0)]B1 1=a+b+c,0=b-c,0=-2a+b a=1/5,b=c=2/5 (1,0,0)C = (1/5,2/5,2/5)B1 1 2 0 f(1,0,0)C = f(1/5,2/5,2/5)B1 = 0 1 -1 -2 -2 -2
1/5 1 2/5 = 0 b) 2/5 B1 -2 B2
----------------------------------------3.54.- Una base de ker f, es: a) {(0,0,0)(0,0,1)} b) {(1,0,-2)(1,1,0)} c) {(1,2,1)} d) {(0,0,1)} Solución: 1 1 0 Af CC CC = 0 1 0 -2 0 0
Af CC CC = 0 B(Imf) ={(1,0,-2)(1,1,0)} dimImf = 2 dim ker f = 1
- La solución a) es falsa(no es base): - La solución b) es falsa(tiene dimensión 2): 1 1 0 ker f = {(x,y,z)/f(x,y,z) = 0 } f(x,y,z) = 0 1 0 -2 0 0
x 0 y = 0 z 0
x+y=0,y=0,-2x=0 x=y=0
ker f = {(x,y,z)/x=0,y=0} = <(0,0,z)> La c) es falsa y la cierta es la d). ----------------------------------------3.55.- Si R3 = U + Im f, de forma directa, entonces U es: a) <(2,1,-2)> b) {(x,y,z)/ x+y=0,x+z=0} c) <(-1,1,1)(0,1,2)> d) {(x,y,z)/ x+y+z=1} Solución: B(Im f) = {(1,0,-2)(1,1,0)} dim imf = 2 dim U = 1 -La b) y c) son falsas. (Su dimensión es 2). -La d) es falsa. (No es un subespacio, y U debe serlo). La solución a): 2 1 -2 1 0 -2 = -2+4 o son l.i. La a), es la solución correcta. 1 1 0 -----------------------------------------
96
3.56.- La imagen recíproca de W, f -1(W), siendo W = {(x,y,z)/ x=2 , y=-, z=3}, es: a) <(1,-1,4)> b) {(x,y,z)/ x+y = z} c) <(1,0,0)> d) {(x,y,z)/ x=0, y=0} Solución: 1 1 0 Af CC CC = 0 1 0 -2 0 0 W = {(x,y,z)/x=2,y=-,z=3} = {(x,y,z)/x=-2y,z=-3y} 1 1 0 f (W) = {(x,y,z)/f(x {(x,y,z)/f(x,y,z) ,y,z) W} f(x,y,z) f(x,y,z) = 0 1 0 -2 0 0 -1
x y z
W x+y = -2y, -2x=-3y x=y=0
f -1(W) ={(x,y,z)/x=y=0} dim f -1(W) = 1b) es falsa - La a): El vector(1,-1,4) no pertenece a f -1(W) porque no cumple sus ecuaciones Es falsa - La c): Es falsa porque ese vector tampoco pertenece a f -1(W) - La d): Es cierta; son las ecuaciones de f -1(W) Fin del bloque ----------------------------------------Bloque 3
3
Sea f: R R / Af B1B2 B1B2
1 0 -1 = -1 1 2 siendo B1 = {(1,0,1)(2,1,0)(0,2,1)} y 1 2 1 B2 = {(0,1,0)(1,0,0)(0,0,1)}
(Feb-2002)
3.57.- El kerf es: a) {(x,y,z)/x-z=0} b) c) <-1,1,2> d) (0,0,0) Solución: Det Af B1B2 B1B2 = 1+2+1-4=0
1 0 0 Dim Imf = rg Af = 2 dim kerf = 1 (en cualquier base) -1 1
Las soluciones: a) y d) son falsas porque sus dimensiones son 2 y 0. kerf B1 = {(x,y,z)/f(x,y,z) = 0} 1 0 -1 x f(x,y,z) = -1 1 2 y = x-z,-x+y+2z,x+2y+z) = (0,0,0) z=x,y=x-2z=x-2x=-x ker f B1 B1 = 1 2 1 z (x,-x,x) B1 = x(1,0,1)-x(2,1,0)+x(0,2,1) = (-x,x,2x)C (-1,1,2)La correcta es c) y b) es falsa. -----------------------------------------
97
3.58.- La matríz asociada a f en bases B 3B3, siendo B 3 la base canónica es: 0 -1 -2 -1 2 3 a) 1 -1 2 b) 1 5 4 2 1 2 2 2 0
0 2 -1 -1 7 -4 c) 1 -1 4 d) 1/5 2 -4 3 2 4 5 4 2 1
Solución: 1ª forma 1 0 -1 Af B1B2 = -1 1 2 1 2 1
B1 = {(1,0,1)(2,1,0)(0,2,1)} y B2 = {(0,1,0)(1,0,0)((0,0,1)
Af B1B2 B1B2 uB1
f(u)B2
AB1C
-1 -1 Af B1B2 B1B2 = ACB2Af CC CCAB1C Af CC CC = A B1B2 Af B1B2 B1B2A B1C
ACB2
uC
f(u)C Af CC CC
0 1 1 1 0 -1 1 2 0 -1 0 1 1 1 0 -1 1 -2 4 -1 1 2 1 -2 4 Af CC CC= 1 0 0 -1 1 2 0 1 2 =1/5 1 0 0 -1 1 2 2 1 -2 =1/5 1 0 -1 2 1 -2 = 0 0 1 1 2 1 1 0 1 0 0 1 1 2 1 -1 2 1 1 2 1 -1 2 1 -1 7 4 = 1/5 2 -4 3 La correcta es la d). 4 2 1 2ª forma Busquemos la 1ª columna de Af CC CC (columna en la que se diferencian todas las soluciones): (1,0,0) = a(1,0,1)+b(2,1,0) +c(0,2,1) 1=a+2b,0=b+2c,0=a+c a=1/5,b=2/5,c=-1/5 1 0 -1 1/5 2/5 f(1,0,0)C = f(1/5,2/5,-1/5)B1 = -1 1 2 2/5 = -1/5 1 2 1 -1/5 4/5
-1/5 = 2/5 La correcta es la d). 4/5
(2/5;-1/5, 4/5)B2 = 2/5(0,1,0)+(-1/5)(1,0,0)+4/5(0,0,1) = (-1/5,2/5,4/5)C ----------------------------------------3.59.- Una base de la imagen es: a) b) c) d)
{(1,0,-1)(1,1,2)} {(-1,1,1)(1,0,2)} {(1,-1,1)(0,1,2)} {(1,0,2)(0,0,0)}
Solución: Se vió que dim Im f = 2 d) falsa(dim = 1, y además no es una base por contener al (0,0,0)).
98
Imf = <1/5(-1,2,4), 1/5(7,-4,2)> (x,y,z) = (-1/5,2/5,4/5) + (7/5,-4/5,2/5) x=-/5+7/5,y=2/5-4/5,z=4/5+2/52x+y=2,2y-z=-2 2x+y = -2y+z 2x= z-3y Im f C = {(x,y,z)/2x=z-3y} . La única solución cuyos dos vectores cumplen esa ecuación es la b). ----------------------------------------3.60.-Sea el vector (3,4,18), entonces f -1(3,4,18) es: a) <(18,7,4)> b) <(1,1,2)> c) (18 (18,7 ,7,4 ,4)+ )+ (-1, (-1,1, 1,2) 2) d) Solución: f -1(3,4,18) = {(x,y,z)/f(x,y,z) = (3,4,18)} -1 7 -4 x 3 f(x,y,z) = 1/5 2 -4 3 y = 4 1/5 (-x+7y-4z,2x-4y+3z,4x+2y+z) = (3,4,18) 4 2 1 z 18 -x+7y-4z=15,2x-4y+3z=20,4x+2y+z=90 10y-5z=50,-10y+5z=-50z=2y-10,x=7y-8y+40-15=25-y f -1 (3,4,18)= <25-y,y,2y-10> La letra y puede tomar cualquier valor. Si le damos en particular el valor 1, se obtiene (25,1,-8)a) y b) son falsas. La d) también es falsa ya que f -1 (3,4,18) existe. La c: x=1818- , y= 7+ ,z=4+2 4+2 , si hacemos 7+ =y, = y-7x= 18+7-y =25-y,z=4+2y-14=2y-10 La solución cierta es la c). Fin del bloque ----------------------------------------3.61.- Sea f: VW/ dimV = dimW = n, entonces:
(Feb-2001)
a) f es Isomorfismo b) f Sobreyectiva ker f = V c) f(V) = W ker f = 0 d) ker f = 0
Solución: -La solución a) es falsa.Que los espacios tengan igual dimensión, es condición necesaria pero no suficiente para ser una aplicación biyectiva. -La solución b) es falsa; si f es sobreyectiva, dim f(V) = W dim Im f = W dim ker f = dim V – dim Im f = n-n= 0 ker f = 0 V (dimV = n). -La solución c) es la correcta; si f(V) = W Im f = W dim Im f = dimW f es sobreyectiva dim ker f = dimV-dim Im f = n-n = 0 dim ker f = 0 ker f = 0 es cierta. -La solución d) es falsa; si no dicen nada mas el que dim V = dimW no implica que dimker f = 0. -----------------------------------------
99
Bloque 1 2 1 Sea f: R R , Af B1B2 B1B2 = -1 0 1 siendo B1 ={(0,1,0)(1,0,0)(0,0,1)} 3 2 -1 B 2 ={(1,0,1)(2,1,0)(0,2,1)} 3
3
entonces,
3.62.- El ker f, es:
(Feb-2001)
a) b) c) {(x,y,z)/x+z=0,x+y=0} d) {(x,y,z)/ 2x+y+z=0} Solución: Ker f = {(x,y,z)/f(x,y,z) = 0} 1 2 1 x 0 0 f(x,y,z)B1 = -1 1 0 y = 0 = 0 x+2y+z=0,-x+z=0,3x+2y-z=0x+2y+x=0y=-x 3 2 -1 z 0 B2 0 C Ker f = {(x,y,z)/y=-x,z=x}=B1
(x,-x,x)B1 = x(0,1,0)-x(1,0,0)+x(0,0,1) = (-x,x,x)C = {(x,y,z)/y=-x,z=-x} = {(x,y,z)/x+y=0,x+z=0} la respuesta correcta es la c) y las demás son falsas. ----------------------------------------3.63.- Una base de la Im f es: a) {(-1,5,4)(2,4,4)} b) {(1,2,1)(-1,0,1)} c) {(1,-1,3)(2,0,2)} d) {(2,0,2)(0,0,0)} Solución: - La solución d) es falsa (no es una base). 1 2 1 1 2 B(Im f)B2 -1 0 1 = -2+6-2-2=0 -1 0 0 dim (Im f)B2 =2 3 2 -1 B(Im f)B2 = {(1,-1,3)(2,0,2)} (1,-1,3)B2 = (1,0,1)-(2,1,0)+3(0,2,1) = (-1,5,4)C (2,0,2)B2 = 2(1,0,1)+2(0,2,1) = (2,4,4)C
B(Im f)C = {(-1,5,4)(2,4,4)}
La correcta es la a) ; si no coincidiese se buscaría la ec. de Im f y se comprobarían todas las
soluciones. -----------------------------------------
100
3.64.- La matríz asociada a f en bases B 3B2, siendo B 3 la base canónica es: 1 0 3 a) 0 -1 1 2 1 1
1 1 1 b) 1 -1 1 2 0 -1
2 1 1 2 1 -1 c) 0 -1 1 d) 0 1 1 2 0 -1 2 -3 1
Solución: 1ª forma Af B3B2 B3B2=Af CB2 CB2 = ACB2Af CC CC -1 Af B1B2 B1B2=ACB2Af CC CCAB1C Af CB2 CB2 = Af B1B2 B1B2A B1C = Af B1B2 B1B2ACB1
Af CB2 CB2 =
1 2 1 0 1 0 -1 1 2 1 0 -1 0 t 1 2 1 0 1 0 2 1 1 -1 0 1 1 0 0 = -1 0 1 [1/-1 -1 0 0 ]= -1 0 1 1 0 0 = 0 -1 1 3 2 -1 0 0 1 3 2 -1 0 0 -1 3 2 -1 0 0 1 2 3 -1
La correcta es la c). 2ª forma Busquemos la 2ª colunmna (en que se distinguen todas to das las soluciones) de la Af CB2 (0,1,0)C = a(0,1,0)+b(1,0,0)+c(0,0,1) 0=b,1=a,0=c (1,0,0)B1 1 2 1 1 1 f(1,0,0)C= f(0,1,0)B1 = -1 0 1 0 = -1 2ª columna de la Af CB2 CB2 La correcta es la c). 3 2 -1 0 B1 3 B2 ----------------------------------------3.65.- Dado el vector (5,3,4), f -1(5,3,4) es: a) <(0,1,1)> b) <(2,1,1)> c) <(2,0,1)> d) <(1,0,1)> Solución. 2 1 1 Usemos para ello la matríz matríz Af CB2 CB2 = 0 -1 1 2 3 -1 (5,3,4)C = [a(1,0,1)+b(2,1,0)+c(0,2,1)]B2 5=a+2b,3=b+2c,4=a+ca=3,b=1,c=1 (5,3,4)C = (3,1,1)B2 2 1 1 x f (5,3,4)C = f (3,1,1)B2 = {(x,y,z)C/f(x,y,z) = 0 -1 1 y 2 3 -1 z -1
-1
3 = 1 } 1 B2
2x+y+z=3,-y+z=1,2x+3y-z=1 x=1-y,z=1+y f -1(5,3,4)C = f -1(3,1,1)B2= <(1-y,y,1+y> (1,0,1) La d) es cierta. Fin del bloque -----------------------------------------
101
Bloque Sean f,g:R3R2,apñicaciones lineales definidas por: f(x,y,z)=<(x+2y+3z,2x-z)> g(x,y,z) = <(-x+y,3x-2z)>
(Feb-2002)
3.66.- El núcleo de g, está definido por: a)<(2,2,3)> b)<(1,1,0)> c)<(1,1,0)(2,0,3)> d)<(0,0,0)> Solución: g(1,0,0) (-1,3) -1 1 0 g(x,y,z) = <(-x+y,3x-2z)> g(0,1,0) = (1,0) AgCC = 3 0 2 g(0,0,1) = (0,-2) dim Img =2 dimker g = 1 c) y d) son falsas. ker g = {(x,y,z)/g(x,y,z) = (-x+y,3x-2z) = (0,0)} = {(x,y,z)/y=x,z=3x/2} = <(x,x,3x/2> -La solución a), cumple las ecuaciones de ker g, pero la b) no La cierta es la a). ----------------------------------------3.67.- La matríz asociada a g, considerando en R2 la base B={(-1,0)(1,1)}y en R 3 la base canónica C, es: a) -1 1 0 3 0 -2
b) 4 -1 -2 3 0 -2
c) -1 -1 3 1 0 0 2
d) -4 -4 3 1 0 2 2
Solución: Las matrices asociadas a una aplicación lineal, conservan la forma y el rango, en cualquier base en que se exprese AgCB es una matríz 2x3 c) y d) son falsas. 1ª forma AgB1B2 uB1
g(U)B2 AgB1C
AB1C AgCB1 uC
-1 1 -1 -1 1 0 ACB2 AgCB = ACB AgCC = 0 1 3 0 -2
g(u)C
-1 1 -1 1 0 4 -1 -2 AgCB = 0 1 3 0 -2 = 3 0 -2
la cierta es la b)
AgCC 2ª forma Busquemos la 1ª columna de la Ag CB: -1 1 0 1 -1 (1,0,0) g(1,0,0) = 3 0 -2 0 = 3 C 0
102
(-1,3)C = [a(-1,0)+b(1,1)]B-1 = -a+b,3=b a=4,b=3
g(1,0,0)C = (-1,3)C = (4,3)B La correcta es la b). ----------------------------------------3.68.- Se verifica que: a) f es Sobreyectiva e Inyectiva b) f es Sobreyectiva y no Inyectiva c) f es Inyectiva y no Sobreyectiva d) ker f = R Solución: - La solución d) es falsa(ker f
R3 ker f R).
4 -1 -2 f(x,y,z) = (x+2y+3z,2x-z) f(1,0,0) = (1,2), f(0,1,0) = (2,0),f(0,0,1) = (3,-1)Af CC CC = 2 0 -1 dim Im f = rg Af = 2 = dim R 2 f es Sobreyectiva dim ker f = dimR 3-dim Im f = 3-2 = 1 0 f no es Inyectiva La solución correcta es la b). ----------------------------------------3.69.- ¿Cuál de las siguientes aplicaciones exixten? a) f+g,fog,gof b) f+g, fog c) solo (f+g) y rg(f+g) = 2 d) solo (f+g) y rg(f+g) = 1 Solución: f:R3R2, g:R3R2 Debido a los espacios espacios en que trabajan, trabajan, no existe fog, ni gof 0 3 3 Af+g = Af +Ag = 5 0 -3
(f+g) existe y rg(f+g) = 2 la correcta es la c)
Fin del Bloque ----------------------------------------Bloque Se consideran las aplicaciones lineales f, g: R 3R3, definidas por: f(e1)=f(e2)=f(e3) = e1+e2+e3 g(e1)=e2,g(e2)=e3,g(e3)=e1
definidas en bases canónicas, entonces:
(Feb-2002)
3.70.- Se verifica que, a) g es Sobreyectiva e Inyectiva b) f es Sobreyectiva y no Inyectiva c) g es Inyectiva In yectiva y no Sobreyectiva d) dim ker f = 1
103
Solución: Si e1,e2,e3, es la base canónica: 1 1 1 f(1,0,0) = f(0,1,0)=f(0,0,1) = (1,0,0)+(0,1,0)+(0,0,1) = (1,1,1) Af CC CC = 1 1 1 1 1 1
g(1,0,0) = (0,1,0),g(0,1,0)= (0,0,1), g(0,0,1) = (1,0,0)AgCC
0 0 1 = 1 0 0 0 1 0
-dim Im f = rg A f = 1 dim R3 No es sobreyectiva; dim ker f = dim R 3-dim I mf = 3-1 = 2 0 f no es Inyectiva. -dim Im g = rg Ag = 3 = dim R 3 g es Sobreyectiva; dim ker g = dim R 3-dim I mg = 3-3 =0 g es es Inyectiva. Por lo tanto la solución correcta es la a), y las demás son falsas. ----------------------------------------3.71.-El núcleo de g está generado por: a) (0,0,0) b)<(1,-1,0)(1.0,1)> c)<(1,1,1)(1,0,1)> d)<(1,-1,0)> Solución: Se vió en la pregunta anterior, que dim ker f = 0 ker f = (0, 0, 0) La correcta es la a). ----------------------------------------3.72.- La composición de aplicaciones a plicaciones es conmutativa: a) Siempre b) Solo en este caso c) Nunca d) En algunos casos Solución:
En este caso A fog
1 1 1 0 0 1 1 1 1 = Af .Ag = 1 1 1 1 0 0 = 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1 1 1 Agof = Ag.Af = 1 0 0 1 1 1 = 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 En es caso es conmutativa; la composición puede ser conmutativa en algunos casos; pero en general no lo es la correcta es la d). -----------------------------------------
104
3.73.- La matriz asociada a (gof) en bases BB, siendo B={(1,0,0)(0,1,0)(1,1,1)} es: 1 1 1 a) 1 1 1 1 1 1 0 0 0 b) 0 0 0 1 1 3 0 0 1 c) 1 0 0 0 1 0 0 -1 0 d) 1 -1 0 0 1 1 Solución: 1ª forma 1 0 1 -1 1 1 1 1 0 1 1 0 0t1 1 3 Agof BB 1 1 1 0 1 1 = 1/1 0 1 0 1 1 3 = BB =ACBAgof CC CCABC = 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 -1 -1 1 1 1 3 1 0 -1 1 1 1 0 0 0 = 0 1 -1 1 1 3 = 0 0 0 la b) 0 0 1 1 1 3 1 1 3 2ª forma Busquemos la 3ª columna, en la que se diferencian todas las soluciones, de la Agof BB BB: 1 1 1 1 3 0 0 1 3 3 Agof (1,1,1) = Ag[ 1 1 1 1 = 3 ] = Ag(3,3,3) = 1 0 0 3 = 3 1 1 1 1 3 C 0 1 0 3 3
C
(3,3,3)C = [a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(1,1,1)] c=3,a=0,b=0 (3,3,3)C = (0,0,3)B la b) Fin del bloque ----------------------------------------Bloque Sea la aplicación lineal f: R 3R3, cuya matríz asociada respecto de la base canónica y de la base B={(1,0,1)(0,1,1)(0,0,1)}, es 1 -1 2 [f]CB = 1 2 -1 , entonces: 2 1 1
(Jun-2002)
3.74.- La Im f es igual a: a) <(1,1,2)(-1,2,1)> b) <(1,1,4)(-1,2,2)> c) <(1,-1,2)(1,2,1)> d) {(x,y,z)/ x=2y,z=-3y}
105
Solución: 1 -1 2 Af CB CB = 1 2 -1 = 2+2+2-8+1+1 = 0 2 1 1
1 -1 1 2 0 dim Im f = rg Af CB CB =2
-La solución d) es falsa. (Tiene ( Tiene dimensión 1) B(Im f)B = {(1,1,2)(-1,2,1)} (1,1,2)B = 1(1,0,1)+1(0,1,1)+2(0,0,1) = (1,1,4)C (-1,2,1)B = (-1)(1,0,1)(+2(0,1,1)+1(0,0,1) = (-1,2,2)C Im f C ={(,1,4)(-1,2,2)} la b) Si la solución, no coincidiera totálmente, se hallaría la ecuación de Im f y la verdadera solución estaría formada por dos vectores l.i., que cumpliesen los dos dicha ecuación. ----------------------------------------3.75.- La aplicación f es: a) Inyectiva y no sobreyectiva b) Biyectiva c) Sobreyectiva y no inyectiva d) No es inyectiva ni sobreyectiva s obreyectiva Solución: Se ha visto que dim Im f = 2 dim R3 = 3 No es sobreyectiva dim ker f = dim R 3-dim Im f = 3-2 = 1 0 No es inyectiva Por lo tanto, la correcta es la d). ----------------------------------------3.76.-La matríz asociada en basescanónicas, es: 3 -1 2 a) 0 1 -1 3 2 1 1 -1 2 b) 1 2 -1 4 2 2 1 -1 2 c) 1 2 -1 0 0 0 -1 -3 2 d) 2 3 -1 1 0 1 Solución: La matríz asiociada, mantiene el orden y el rango en cualquier base que se exprese, luego el rango de la Af CC CC debe ser 2 la a) y la d) son falsas.Busquemos la Af CC CC 106
1ª forma 1 0 0 1 -1 2 1 -1 2 -1 Af CB CB = ACBAf CC CC Af CC CC = A CBAf CB CB = ABCAf CB CB = 0 1 0 1 2 -1 = 1 2 -1 La correcta es la b). 1 1 1 2 1 1 4 2 2 2ª forma Busquemos la 1ª columna de la Af CC: 1 -1 2 1 1 (1,0,0)C f(1,0,0)C = 1 2 -1 0 = 1 , (1,1,2)B = [1(1,0,1)+1(0,1,1)+2(0,0,1)]C = (1,1,4)C 2 1 1 0 C 2B La correcta es la b).
----------------------------------------3.77.- La imagen recíproca f -1(U), siendo U = {(x,y,z)/z-2y=0}, es: a) <(1,1,0)(1,1,1)> b) {(x,y,z)/x=y=z} c) {(,+2μ,μ) ,μ R} d) <(0,2,1)> Solución: f -1(U) = {(x,y, {(x,y,z)/ z)/f(x f(x,y, ,y,z) z) U 1 -1 2 x f(x,y,z) = 1 2 -1 y 4 2 2 z
U (x-y+2 (x-y+2z,x z,x+2y +2y-z, -z,4x+ 4x+2y+ 2y+2z) 2z) U (4x+2y+2z)-2(x+2y-z) = 0
2x-2y+4z=0y = x+2z
f -1(U) = {(x,y,z)/y=x+2z} dimf -1(U) = 2 d) y b) son falsas(tienen dimensión 1). -La a) es falsa (el 2º vector, no cumple la ecuación de f -1(U). -La c) es cierta (esos vectores cumplen la ecuación de f -1(U). Fin del bloque ----------------------------------------Bloque 1 2 Sea f: R R / Af CC CC = -1 1 , entonces: 2 -2 4 3
3
(Feb-2003)
3.78.-La aplicación f es sobreyectiva, si: a) = 0, = -2 b) = -2 c) = -1 d) = 0, = 2
107
Solución: 1 2 Af CC CC = -1 1 = 4+4+2-4+2+4 = 2+2+4+4 2 -2 4 Solo si =0, =2, el det Af CC CC =, la cierta es la d). ----------------------------------------3.79.-Si = 0 y = -2 y siendo = {(1,0,-1)(0,2,1)(1,1,1)}, la Af CB CB es: -1 2 3 a) 1 0 -2 -2 0 4
b)
5/3 -1/3 2/3 -2 1 -1 4 -2 2
c)
-4 5 -8 -5 4 -10 7 -5 14
d)
-1 0 2 0 1 3 -2 1 -2
Solución: 1 0 2 1ª forma Si =0,=-2, Af CC CC = -1 1 -2 2 -2 4 1 0 1 -1 1 0 2 1 1 -2 1 0 2 -4 5 -8 Af CB la c) CB= 0 2 1 -1 1 -2 = 1/3 -1 2 -1 -1 1 -2 = 1/3 -5 4 -10 -1 1 1 2 -2 4 2 -1 2 2 -2 4 7 -5 14 1 0 1 1 -1 2 1 1 -2 0 2 1 = 1/3 1 2 -1 = 1/3 -1 2 -1 -1 1 1 -2 -1 2 2 -1 2 2ª forma Busquemos la 1ª columna de la Af CB CB: 1 0 2 1 1 (1,0,0) f(1,0,0) = -1 1 -2 0 = -1 2 -2 -2 4 0 C 0C (1,-1,2)C = a(1,0,-1)+b(0,2,1)+c(1,1,1)1=a+c,-1=2b+c,2=-a+b+ca=-4/3,b=-5/3,c=7/3 (1,-1,2)C = (-4/3,-5/3,7/3)B la c) -----------------------------------------
108
3.80.-Si =0 y =-2, Im f es: a) {(,3,-)/ R} b) {(,.2-/, R} c) {(x,y,z)/2y+z=0} d) {(x,y,z)/x+y=0,x-2y+z=0} Solución: 1 0 2 Si =0 y =-2 Af CC CC = -1 1 -2 2 -2 4 det Af CC CC=0, 1 0 0 rgAf CC CC= dim Im f = 2 a) y d) son falsas -1 1 B(Im f) = <((1,-1,2)(0,1,-2)> Busquemos la ecuación de la Im f: (x,y,z)= (1,-1,2)+(0,1,-2)x=,y=-+,z=2-2z=2x-2(y+x)=-2y z+2y=0b) falsa y c) cierta ----------------------------------------3.81.-Si =0 y = -2, la f -1(2,1,1) es: a) R3 b) (0,0,0) c) d) (1,0,1)+<(1,2,1)> Solución:
Si=0 y = -2
1 0 2 Af CC -1 1 -2 CC = -1 2 -2 4
1 0 2 x 2 f (2,1,1) ={(x,y,z)/f(x,y,z)=(2,1,1)} f(x,y,z) = -1 1 -2 y = 1 2 -2 4 z C 1 C x+2z 2 -x+y-2z = 1 x+2z=2, -x+y-2z=0, 2x-2y+4z=1de las dos últimas 0=3Absurdo 2x-2y+4z 1 -1
Es un sistema incompatible No existe la antiimagen f -1(2,1,1) = la c) Se podría haber llegado a esta conclusión, razonando que los elementos que son imágenes deben cumplir las ecuaciones de Im f, por lo que deben cumplir l a ecuación de Im f:z+2y=0, y el vector(2,1,1) no la cumple, por lo que no existe f -1(2,1,1). Fin del bloque -----------------------------------------
109
Bloque Dadas f: R3R3/f(x,y,z)=(z,x+y,-z), g: R 3R2/AgCC = 1 1 0 0 0 1
entonces,
(Jun-2003)
3.82.-Se verifica que: a) f y g son inyectivas b) f y g son sobreyectivas c) f es inyectiva y g es sobreyectiva d) g es sobreyectiva s obreyectiva y no inyectiva Solución: f: R3R3/ f(x,y,z)= (z,x+y,-z) f(1,0,0) = (0,1,0) f(0,1,0) = (0,1,0) f(0,0,1) = (1,0,-1)
0 0 1 0 1 3 Af CC CC = 1 1 0 Af CC CC = 0 y 1 0 0dim Imf =2 dimR = 3 0 0 -1
f no es sobreyectiva
dim ker f = dimR 3-dim Im f = 3-2 = 1 0 f no es inyectiva. 3
2
g: R R
AgCC =
1 1 0 0 0 1 dim Im g = rg Ag CC = 2 = dim R 2 g es sobreyectiva.
dim ker g = dim R 3-dim Im g = 3-2 = 1 0 g no es inyectiva. La única que cumple todo eso es la d). ----------------------------------------3.83.- Expresada en base B={(1,0,2)(-1,1,1)(0,0,1)}, la imagen inversa de u, f -1(u), siendo u(2,7,-2) es: a) (7,1,1) b) <(7,t,-12-t)/t R> c) {(x,y,z)/z=-12-y} d) Solución: f -1(2,7,-2) = {(x,y,z)/f(x,y,z) = (2,7,-2)} f(x,y,z)= (z,x+y,-z) = (2,7,-2) z=2,x+y=7,-z=-2 z=2,y=7-x f -1(2,7,-2) = C (x,7-x,2)C = (a,b,c)B = a(1,0,2)+b(-1,1,1)+c(0,0,1) x=a-b, 7-x= b, 2=2a+b+c a=x+7-x=7, b=7-x,c=2-14-7+x=x-19 f -1(2,7,-2) = <7,7-x,x-19> La única solución que cumple lo anterior es la c), [(x-19=-12-(7-x)]; por lo tanto es la verdadera respuesta. -----------------------------------------
110
3.84.-Si kerg+U = R 3, de forma directa, entonces se cumple: a) ker g = {(x,y,z)/x+y=0}, U = <(1,0,0)> b) ker g = {(x,y,z)/x+y=0, z=0} U = {(x,y,z)/z=0} c) ker g = <(1,-1,0)(0,0,1)> U = <(0,1,0)> d) ker g = <(2,-2,0)> U = <(1,0,0)(0,0,1)> Solución: ker g = {(x,y,z)/g(x,y,z) = 0}
1 1 0 x g(x,y,z) = 0 0 1 y = 0 = (0,0) x+y=0,z=0
ker g = {(x,y,z)/x+y=0,z=0}=<(x,-x,0)> (2,0,0) dim ker g = 1a) y c) falsas(su dim. es 2) El suplementario del ker g, debe tener dim 2 y estar formado por dos vectores indep. con los del ker g. 1 0 0 1 0 0 -La solución b): 0 1 0 = 0 es falsa. - La solución d): 0 0 1 = 2 0 es la correcta. 2 -2 0 2 -2 0 ----------------------------------------3.85.- La matríz de la composición de las aplicaciones dadas en bases B de R3 y C de R 2, es: 0 1 4 a) 0 0 -1 3 1 1 b) -2 -1 -1 3 -2 c) 1 -1 1 -1 0 0 d) 1 0 4 -1 Solución: 1ª forma f: R3R3 Af CC CC =
0 0 1 1 1 0 0 0 -1
1 1 0 g:R R AgCC = 0 0 1 3
2
La composición solo se puede hacer en el orden (gof) y la matríz asociada, si sale 1º la aplicación f y acaba la g; la matríz asociada será de orden 2x3 c)y d) son falsas Agof = AgCCAf BC BC Busquemos la Af BC BC 0 0 1 1 -1 0 2 1 1 Af BC BC = Af CC CCABC = 1 1 0 0 1 0 = 1 0 0 0 0 -1 2 1 1 -2 -1 -1 1 0 0 2 1 1 3 1 1 Agof= AgCC.Af BC BC = 0 0 1 1 0 0 = -2 -1 -1 la b) -2 -1 -1
111
2ª forma Busquemos la 1ª columna de Agof BC BC 0 0 1 1 2 1 2 0 2 3 (gof)BC(1,0,2)= g[f(1,0,2)] = g[ 1 1 0 0 ] =g 1 = 0 0 1 1 = -2 C la b) 0 0 -1 2 -2 C -2 C Fin del bloque ----------------------------------------3.86.- Sea f:UV, una aplicación lineal. Se verifica: a) Puede existir u0/f(-u) = f(u) b) f conserva la independencia lineal de vectores c) Si f(u) = f(v) f(u-v) = 0 y f es Inyectiva d) Si S es un Subespacio de U f(S) puede no ser Subespacio de V V
(Jun-2003)
Solución: a) Si el ker f 0(cosa que puede suceder), sea u ker f f(u) = 0 f(-u)(por ser lineal)=-f(u) =0 f(-u) = f(u) es cierta. b) Es falsa: a vectores independientes, corresponden imágenes independientes solo si es Inyectiva y el enunciado no lo asegura. c) Es falsa: si f(u) = f(v) f(u)-f(v) = (por ser lineal) = f(u-v) = 0, pero eso no implica que sea Inyectiva. d) Es falsa: la imagen de un subespacio siempre es un subespacio del espacio final para cualquier aplicación lineal. ----------------------------------------Bloque Sea f:R3R2,la aplicación lineal f(x,y,z)=(x+y-z,0), entonces: entonces:
(Sep-2003)
3.87.a) f es inyectiva y sobreyectiva b) f es inyectiva y no sobreyectiva c) f es sobreyectiva y no inyectiva d) f no es inyectiva ni sobreyectiva Solución: f(1,0,0) = (1,0) f(0,1,0) = (1,0) f(0,0, f(0,0,1) 1) = (-1,0) (-1,0)
1 1 -1 2 Af CC CC = 0 0 0 dim Imf = rgAf CC CC = 1dim R = 2 f no es sobreyectiva. dim ker f = dim R 3-dim Im f = 3-1 =2 0f no es inyectiva. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3.88.-Dadas las bases B={(2,0,0)(1,2,4)(1,-1,4)}de R3 y B´={(3,1)(1,1)}de R2; la matríz asociada a f en esas bases B y B´es: 1 1 -1 a) 0 0 0
112
1 -1/2 -2 b) -1 1/2 2
1 -1 -4 c) -1 0 0
2 0 0 d) 1 2 4
Solución: La matríz asociada a una aplicación conserva la forma y el rango en cualquier pareja de bases que se exprese las respuestas c) y d) son falsas (su rango es 2 1) 1ª forma 3 1 -1 1 1 -1 2 1 1 1 -1 1 1 -1 2 1 1 1 -1 2 -1 -4 Af BB´ 0 0 0 0 2 -1 = 1/2 -1 3 0 0 0 0 2 -1 = 1/2 -1 3 0 0 0 BB´= ACB´Af CC CCABC = 1 1 0 4 4 0 0 4
Af BB´ BB´= 1/2
2 -1 -4 1 -1/2 -2 -2 1 4 = -1 1/2 2 la correcta es la b)
2ª forma Busquemos la 1ª columna de la Af BB´ BB´ . Tomamos el primer elemento de B (que está en canónicas): 1 1 -1 2 2 f(2,0,0) = 0 0 0 0 = 0 C 0 (2,0)C = (a,b)B´ = a(3,1)+b(1,1) 2=3a+b, 0=a+b2=2aa=1, b=-1f(2,0,0) = (1,-1) la b) ----------------------------------------3.89.-El kerf es: a) {(x,y,z)/x=y,z=x+y} b) R2 c) {(x,y,z)/x=,y=,z=+} d) <(1,0,1)(0,-1,1)> Solución: kerf = {(x,y,z)/f(x,y,z) = (0,0)} f(x,y,z) = (x+y-z,0) = (0,0) x+y-z=0z=x+y kerf = {(x,y,z)/z=x+y} B(kerf) ={(1,0,1)(0,1,1)} dim kerf = 2 - La a) es falsa (dimensión 1). - La b) es falsa (kerf R3). - La c) es cierta (son las ecuaciones del kerf, kerf, en forma paramétrica). - La d) es falsa (el 2º vector no cumple la ecuación del kerf). ----------------------------------------3.90.-La imagen inversa del vector (15,0) es: a) (5,9,-1) b) {(x,y,z)/x=15-y+z} c) <(1,4,10)(16,0,1)> d) <(1,0,1)(0,-1,1)>
113
Solución: f -1(15,0) ={(x,y,z)/f(x,y,z) =(15,0)} f(x,y,z) = (x+y-z,0) = (15,0)x+y-z=15,0=0z=x+y-15 f -1(x,y,z) = {(x,y,z)/z=x+y-15} La correcta es la respuesta b). Fin del Bloque ----------------------------------------3.91.-Se consideran las aplicaciones f,g y h f(x,y) = (2x,y) g(x,y) = (x 2,y) h(x,y) = (0,0) Se verifica: a) f,g,h son lineales b) f y h son lineales y g no c) f y g son lineales y h no d) h y g son lineales y f no
(Feb-2004)
Solución: f y h son lineales. La aplicación g no es lineal(aparece un exponente de x distinto de la unidad) Por lo tanto la correcta es la respuesta b). ----------------------------------------Bloque Sea la aplicación f:R 3R4/f(x,y,z) = (x+4y-2z,2x+y+5z,x+2z,3x+2y+4z) (Feb-2004) 3.92.- una base del kerf es: a) {(-2,0,1)(1,1,2)} b) {(-2,1,1)} c) {(-2,1,1)(1,3,1)} d) {(-2,0,1)(1,3,1)} Solución: f(1,0,0) = (1,2,1,3) f(0,1,0) = (4,-1,0,2) f(0,0,1) = (-2,5,2,4) 1 2 rg 1 3
4 -1 0 2
-2 5 2 = rg 4
1 2 Af CC CC = 1 3
1 4 -2 0 -9 9 0 -4 4 = rg 0 -10 10
4 -1 0 2
1 0 0 0
-2 5 2 4
4 -9 0 0
-2 9 0 = 2 dim Imf = 2 dim kerf= dimR 3-dimImf =3-2=1 0
Luego, la a),d),c) son falsas(su dimensión es 2) 1 2 f(-2,1,1) = 1 3
114
4 -1 0 2
-2 0 5 -2 0 2 1 = 0 (-2, (-2,1, 1,1) 1) kerf kerf La correcta es la b). 4 1 0 -----------------------------------------
3.93.- La dimensión de Imf es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 Solución: Véase la pregunta anterior. La dim Imf = 2 La correcta es la b). ----------------------------------------3.94.-La imagen inversa del Subespacio U = {(x,y,z)/x-y-t=0,2x+z=0} es: a) {(x,y,z)/y-t=0,2x+z=0} b) <(-2,1,1)> c) {(x,y,z)/2x+y+2z+t=0} d) <(2,0,1)(-3,-1,-1)> Solución: f -1(U) R3a) y c) son falsas. f -1(U) = {(x,y {(x,y,z) ,z)/f( /f(x,y x,y,z) ,z) U}(x+4y(x+4y-2z, 2z,2x2x-y+5 y+5z,x z,x+2z +2z,3x ,3x+2y +2y-4z -4z)) Ux+4y-2z-2x+y-5z-3x-2y-4z=0, 2x+8y-4z+x+2z=0-4x+3y-11z=0,-3x+8y-2z=0-12x+9y-33z=0, 12x+32y-8z=041y-41z=0 y=z, X=(2z-8z)/3=-2z f -1(U)= {(x,y,z)/y=z,x=-2z}=<(-2z,z,z)>(-2,1,1)b) -La d) es falsa (su dimensión es 2). 2 ). Fin del bloque ----------------------------------------3.95.-Sea una aplicación lineal g:V W, tal que dimV=5,dimW=7 y dimkerg=3.Si U es un Subespacio de V, tal que dimU=4,¿Cuál es el valor máximo que puede alcanzar a lcanzar dimg(U)?: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
(Jun-2004)
Solución: Como dim kerg =3 dim Img = dim V-dim kerg = 5-3=2. Luego dim g =2 y por lo tanto cualquier subespacio de V deberá cumplir que la máxima dimensión de su imagen sea 2 la correcta es la b). ----------------------------------------Bloque 1 -1 1 3 3 Sea Af BC BC = 0 1 1 , la matríz asociada a f:R R , tal que B = {(1,0,1)(-1,1,1)(0,1,1)}. -2 1 -3
115
Entonces:
(Jun-2004)
3.96.-El kerf es: a) <(-1,0,-2)(0,1,0)> b) <(1,0,2)> c) d) {(x,y,z)/x=2y} Solución: 1 -1 1 1 -1 0 1 1 = -3+2+2-1= 0 0 1 0 rg Af = 2 dim Imf = 2 dim kerf = dim R 3-dim Imf = 3-2 = 1 -2 1 -3 - La a) es falsa (su dimensión es 2). - La c) es falsa (su dimensión es 0). - La d) es falsa (su dimensión es 2). Vamos a hallar el kerf, aunque ya se podría marcar la b)
kerf = {(x,y,z)/f(x,y,z) = (0,0,0)}
1 -1 1 x 0 x-y+z=0 0 1 1 y = 0 y+z=0 z=-yx=y+y=2y -2 1 -3 -3 z B 0 C
kerf = <(2y,y,-y)> B B(kerf)B = (2,1,-1)B Si no dicen nada, todo lo que se pide ó se da es en Canónicas kerf =< (2,1,-1)B> =[ 2(1,0,1)+(-1,1,1)-(0,1,1)]C = <(1,0,2)C>La cierta es la b). ----------------------------------------3.97.-Sea U={(x,y,z)/y-2z=0}, entonces f(U) es: a) {(x,y,z)/x=2y,x=2z} b) <(0,-1,1)(1,0,0)> c) <(-2,0,4)> d) {(x,y,z)/2x+y+z=0} Solución: U= {(x,y,z)/y-2z=0}=<(x,2z,z)>B(U)={(1,0,0)(0,2,1)} Pasemos esos vectores a base B, para poder utilizar la Af BC BC: (1,0,0)C = a(1,0,1)+b(-1,1,1)+c(0,1,1)1=a-b,0=b+c,0=a+b+cb=-1,c=-b=1,a=0(0,-1,1)B (0,2,1)C = a(1,0,1)+b(-1,1,1)+c(0,1,1)0=a-b,2=b+c,1=a+b+ca=b=-1,c=2-b=3(-1,-1,3)B 1 -1 1 0 2 f(0,-1,1)B = 0 1 1 -1 = 0 -2 1 -3 1 B -4 C
1 -1 1 -1 3 f(-1,-1,3)B= 0 1 1 -1 = 2 -2 1 3 3 B -8
C
f(U) = <(2,0,-4)(3,2,-8)> La dimf(U) = (los dos vectores son l.i.) = 2 la a)y la c) son falsas(su dimensión es igual a 1). Hallemos la ecuación de f(U): (x,y,z)= (2,0,-4+(3,2,-8)x=2+3,y=2,z=-4-8=(x-3y/2)/2 = (2x-3y)/4,=y/2
116
z=-2x+3y-4y=-2x-y
- f(U)C= {(x,y,z)/z+y+2x=0}d) es cierta - La b) es falsa (el 2º vector no cumple la ecuación de f(U). ----------------------------------------3.98.-El conjunto de vectores cuya imagen es el vector (1,2,3) es: a) b) (1,0,1)+<(1,2,3)> c) {(x,y,z)/x-y=4} d) <(1,0,0)(0,1,0)> Solución: -1 Busquemos con la Af BC BC, la f (1,2,3), que la obtendrá en base B:
1 -1 1 x 1 f (1,2,3) = {(x,y,z)B/f(x,y,z)B = 0 1 1 y = 2 -2 1 3 z B 3 -1
B
x-y+z=1,y+z=2,-2x+y+3z=3x=1+y-2+y=2y-1,z=2-y(de las dos primeras) si se sustituye en la 3ªecuación:-2(2y-1)+y+3(2-y)=-4y+2+y+6-3y=83incompatibilidad del sitemano existe la antiimagen del vector (1,2,3)La solución correcta es la a). Fin del bloque ----------------------------------------3.99.-Sea f:R4R2.Se verifica: a) f no puede ser Inyectiva b) f no puede ser Sobreyectiva c) f es Inyectiva d) f es Sobreyectiva
(Jun-2004)
Solución: Mirando las dimensiones de los espacios en que estamos dim Imf 2dim kerf 20f no es una aplicaciónInyectiva a) es cierta y c) es falsa. f puede ser sobreyectiva si su dimensión es 2, pero el enunciado no lo asegura las soluciones b) y d) pueden ser ciertas o falsas. La correcta siempre es la a). ----------------------------------------3.100.-Sea f una aplicación lineal Inyectiva entre U y V, a,b vectores de U a) Si a y b son l.i. f(a) y f(b) pueden ser l.dependientes b) Si f(a) y f(b) son l.dependientes a y b pueden ser l.i c) dimUdimV d) dimUdimV
(Sep-2004)
Solución: Si la aplicación es Inyectiva a elementos independientes corresponden imágenes independientesLa a) y la b) son falsas.
117
- La c) es cierta (es la condición necesaria para ser Inyectiva) - La d) es falsa(es la condición necesaria para ser sobreyectiva) ----------------------------------------Bloque 0 -1 1 3 3 Sea una aplicación lineal f:R R / Af CB CB= [f]CB = 1 1 -1 siendo B = {(1,0,1)(0,1,1)(1,1,0)}. -1 -3 1
3.101.- El kerf es:
(Sep-2004)
a) {(x,y,z)/x=0} b) <(1,0,0)(0,1,1)> c) {(x,y,z)/y=z} d) <(0,1,1)> Solución: El kerf es el subespacio de vectores de R 3, tal que su imagen es el vector nulo de R 3 Si utilizamos la matríz Af CB CB, el kerf lo halla en canónicas y el vector(0,0,0) debe estar en base B, pero el vector nulo no varía al cambiar de base; entonces: 0 -1 1 x 0 kerf = {(x,y,z)/f(x,y,z)C = 1 1 -1 y = 0 -y+z=0,x+y-z=0,-x-3y+3z=0z=y,x=0 -1 -3 3 z C 0 B kerf = <(0,y,y)><(0,1,1)>d) ----------------------------------------3.102.-si U = {(x,y,z)/-x+y-z=0}, entonces f(U) es: a) {(x,y,z)/x=y,z=y} b) {(x,y,z)/2x+y=0,2z+4y=0} c) <(5,14,-11)> d) <(5,2,-1)> Solución: U= {(x,y,z)/-x+y-z=0}=<(x,y,y-x)>B(U) = {(1,0,-1)(0,1,1)} 0 -1 1 1 -1 f(1,0,-1) = 1 1 -1 0 = 2 -1 -3 3 -1 C -4 B
0 -1 1 0 0 f(0,1,1) = 1 1 -1 1 = 0 f(U)B =<(-1,2,-4)(0,0,0)>= -1 -3 3 1 0 B
= <(-1,2,-4)>dimf(U)=1 (-1,2,-4)B = -1(1,0,1)+2(0,1,1)-4(1,1,0) = (-5,-2,1) f(U)=<(-5,-2,1)>La correcta es la d). -----------------------------------------
118
3.103.-El conjunto de vectores cuya imagen es (1,-1,2) es: a) {(x,y,z)/x=2y} b) <(1,0,1)+{(x,y,z)/z=0} c) d) <(1,1,1)> Solución: Para usar la Af CB CB, el vector debe estar en base B. (1,-1,2) = (1,0,1)+(0,1,1)+μ(1,1,0)10+μ,-1=+μ,2=+=2,=0,μ=-1(1,-1,2)=(2,0,-1)B 0 -1 1 x 2 -1 f (2,0,-1) {(x,y,z)C/f(x,y,z) = 1 1 -1 y = 0 -y+z=2,x+y-z=0,-x-3y+3z=-1z=2+y,x=2+y-y=2 -1 -3 3 z C -1 sustituyendo en la 3ª ecuación: -2-3y+6+3y=4 -1Incompatibilidad del sistema No existe f -1(2,0,1) La solución correcta es el la c). ----------------------------------------3.104.-La matríz asociada en canónicas es: 1 0 -1 a) 0 0 2 2 0 -4
-1 -5/2 5/2 b) 0 -1/2 1/2 1 3/2 -3/2
-1 -4 4 c) 0 -2 2 1 0 0
1 -1 0 d) 2 -2 1 0 1 2
Solución: 1 0 1 0 -1 1 -1 -4 4 Af CB CB = ACBAf CC CCAf CC CCA CBAf CB CBAf CC CC= 0 1 1 1 1 -1 = 0 -2 2 1 1 0 -1 -3 3 1 0 0 -1
Busquemos la 1ª columna de la Af CC: 0 -1 1 1 0 f(1,0,0)= Af CB CB(1,0,0) = 1 1 -1 0 = 1 -1 -3 3 0 C -1 La correcta es la c).
La correcta es la c).
(0,-1,1)B = 0(1,0,1)+(0,1,1)+(-1)(1,1,0) = (-1,0,1)C B
Fin del bloque -----------------------------------------
119
Tema 4.- Sistemas de ecuaciones Teoría Teorema de Rouche Fröbenius
Dado un sistema de ecuaciones lineales:
a11x1+a12x2+a13x3+…………….+a1n-1xn-1+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+a23x3+……………..+a2n-1xn-1+a2nxn = b2 ……………………………………………………… ……………………………………………………….. an-11xn-1+an-12x2+an-13x3+………+a n-1n-1xn-1+an-1nxn=bn-1 an1xn+an2x2+an3x3+………………+ann-1xn-1+annxn= bn
Se forma la Matríz Normal(con los coeficientes de las incógnitas):
A=
a11 a12 a13 ……a1n a21 a22 a23…….a2n ………………………… ………………………… an1 an2 an3……..ann
y la matríz ampliada (formada con la anterior con una columna más formada por los términos independientes): a11 a12 a13 ………….a1n b1 a21 a22 a23…………….a2n b2 A* = (A/b)= ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… an1 an2 an3…………….ann b n Entonces: - Si rg A = rg A* = nº de incógnitas Sistema Compatible y Determinado (SCD).Solución única - Si rg A = rg A*
121
Si se despeja x 1 de la 1ª ecuación, x 2 de la 2ª,……..x n de la enésima: x1 =(b1/a11)-(a12/a11)x2- …….-(a1n/a11)xn x1 b11/a11 ………………………………………………………… . = . xn = (bn/an)-(an-1/an)x1-………-(an-1/an)xn-1 xn bn/an
+
0 –a12/a11 …-a1n/a1 xo1 ………………………. = . -an1/an……………..0 xon
Se puede poner X = +Xo Es lo que se denomina “Forma de Iteración” en la que la diagonal principal de la matríz , esta formada por todo ceros. Para iterar, se sustituye la iteración fijada y las halladas, en cualquiera de las dos expresiones anteriores, obteniendo así la iteración i teración deseada. Normas en el método de iteración Dada la matríz anterior, se denomina: - Norma fila. Al valor máximo de las sumas de los elementos de las filas (todos ellos tomados en valor absoluto). - Norma columna. Al valor máximo de las sumas de los elementos de las columnas(todos ellos en valor absoluto). - Norma fila-columna. A la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de todos los elementos de la matríz . Convergencia del método - Para que un sistema converja por este método, es suficiente que una de las tres normas sea menor que la unidad. - Si todas las normas son mayores que la unidad el sistema no converge. - Si alguna norma es igual a la unidad y las demás mayores, el sistema puede converger la convergencia de un sistema depende exclusivamente de la matríz .
122
Ejercicios de exámenes Bloque Dado el sistema de ecuaciones lineales
ax+by+z = 1 x+3by+z = b , entonces: x+by+az = 1
(Feb-97)
4.1.- El sistema es compatible y determinado, si: a) a=1 b=0 b) a=2 b=3 c) a=1 b=2 d) a=-1/3 b=3 Solución: a b 1 A = 1 3b 1 = 3a2b+b+b-3b-ab-ab = 3a 2b-b-2ab = b(3a2-2a-1)= b(a-1)(a+1/3) 1 b a -Si a1 y a-1/3 y b0 rgA = 3, rgA*= 3 (Nunca puede tener tener menor rango que A y en este caso, tampoco mayor porque la matríz A* tiene tres filas). Luego rgA = rgA* = 3 = nº de incógnitas SCD La correcta es la b) ----------------------------------------4.2.-Para a=4 y b=1, empleando el Método de Jacobi (Iteración Simple), con la aproximación inicial Xo(0,1,0)el valor de x2, redondeando a tres decimales, es: a) (0,167,0,333,0,167) b) (0,222,0,333,-0,222) c) (0,164,0,246,0,082) d) (0,153,0,230,0,153) Solución: 4x+y+z=1 x=1/4-(1/4)y-(1/4)z Si a=4 y b=1 x+3y+z= 1 y=1/3-(1/3) x – (1/3)z x+y+4z =1 z= 1/4-(1/4)x-(1/4)y
(1)
x1 = 1/4-(1/4).1-(1/4).0 = 0 xo = (0,1,0) Sustit. en (1) y1 = 1/3-(1/3).0-(1/3).0 = 1/3sust.en(1) z1 = 1/4-(1/4).0-(1/4).1 = 0
123
x2 = 1/4-(1/4).1/3 = 1/4-1/12 = 1/6 = 0,166…= 0,167 y2=1/3-(1/3).0-(1/3).0 = 1/3 = 0,333….= 0,133 La correcta es la a). 2 z = 1/4-1/4.0-1/4.1/3 = 1/12 = 0,166…. = 0,167 Fin del bloque ----------------------------------------4.3.-Sea s una solución particular de un SEL AX=b. Si A es una matríz asociada a una aplicación lineal, el conjunto de soluciones es: a) {a {as,a R} b) ker f c) s+ker f d) s+Imf
(Feb-97)
Solución: Si s es solución del sistema, rgA = n (nº de inc. = nº de filas o columnas) dim kerf = 0 kerf = 0s= s+kerf la correcta es la c) ----------------------------------------Bloque Sea el sistema de ecuaciones
ax+y+bz=2a -3x+ay-z=a , entonces: entonces: x+by+z/3 = a
4.4.-El sistema es compatible y determinado, si: a) a=b=0 b) a=3,b=1 c) a=2, b=3 d) a=2, b=2/3 Solución: a 1 b -3 a -1 = a2/3-3b2-1-ab+ab+1 = a2/3-3b2, 1 b 1/3
a2/3-3b2=0 a= 3b
-Si a3b y a-3brg A = rgA* = 3 = nº de inc. SCDLa correcta es la c). ----------------------------------------4.5.- El sistema es incompatible, si: a) a=2,b=3 b) a=0, b=0 c) a=3, b=2 d) a=3, b=-1
124
(Jun-97)
Solución: - Analicemos a=3b -3b 1 b 6b rgA* = rg -3 3b -1 3b 1 b 1/3 3b
3b 1 b 6b 2 rg 0 3b +1 0 3b2+6b 0 3b2-1 0 9b2-6b 2, si b= 0
Si a=3brgA = 2 y rgA* =
3b 1 b 6b 2 rg 0 3b +1 0 3b2+6b 0 0 0 3b2(-9b2+12b-4)
a=b=0 SCI
3, si b 0
a= 3b(b0) SI
De las soluciones: a) y c) corresponden a un sistema compatible y determinado falsas. b) corresponde a un SCIFalsa. -Analicemos a= -3b -3b 1 b -6b rgA* = rg -3 -3b -1 -3b 1 1 1/3 -3b
-3b 1 b -6b 2 rg 0 -3b -1 -2b -3b2+6b 0 3b2+1 2b -3b2-6b
-3b 1 b -6b 2 rg 0 -3b -1 -2b -3b2+6b 0 0 0 -6b2
2, si b=0 SCI Si a=-3b, rgA = 2, rgA* = 3, si b 0 SI Luego es sistema incompatible, si b 0 y a=-3bLa correcta es la d). ----------------------------------------4.6.- En el caso de ser compatible indeterminado, la solución es: a) <(1,1,1)> b) {(x,y,z)/y=3x} c) <(2,0,-6)> d) <(1,-1,3)(0,1,2)> Solución: Si a= 3b=0 ó a=-3b=0a=0,b=0 y=0 -3x-z=0 y=0, z=-3x S= b) y d) son falsas x+z/3 = 0 a) Es falsa(no verifica que y=0). d) Es cierta [Si x=2 (2,0,-6)]. Fin del bloque ----------------------------------------Bloque ax+by+z=1 Sea el sistema de ecuaciones x+3by+z = b x+by+az=1 ,
(Feb-98)
125
4.7.- El sistema es incompatible, si: a) a=1,b=5 b) a=1,b=3 c) a=2,b=0 d) a=3,b=4 Solución: a b 1 1 3b 1 = 3a2b+b+b-3b-ab-ab=b(3a2-2a-1) 1 b a 3a2-2a-1=0 a=1,a=1/3 Si a1 y a1/3 y b0 rg A = rgA* = 3 = nº inc. SCD Si a=1, 1 b 1 1 rgA* = rg 1 3b 1 b 1 b 1 1
1 b 1 1 rg 0 2b 0 b-1 0 0 0 0
b=0, rgA=1,rgA* = 2 SI
b0, rgA=rgA* =2< nº inc. SCI
Luego a) y b) son falsas (SCI) Si b=0, a 0 1 1 rg A* =rg 1 0 1 0 1 0 a 1
a 0 1 1 rg 0 0 a-1 b-1 0 0 a2-1 a-1
a 0 1 1 a=1,rgA = 1 rgA* = 2 SI rg 0 0 a-1 -1 Si b=0 0 0 0 2a a1,rgA = 2 rgA* = 3 SI
Luego si b=0, el sistema es incompatible ac) es cierta. -La d) es falsa (SCD). ----------------------------------------4.8.-Para a=5 y b=2, por el método de iteración, tomando x o= (0,1,0), la x2 es: a) (-0´1,0´5,1´2) b) (0´107,0´4,0´107) c) (-0´249,0´357,0´107) d) (0´13,0´38,-0´41) Solución: Si a=5, b=2 5x+2y+z=1 x+6y+z=2 x+2y+5z=1
126
x=1/5-(2/5).y-(1/5).z x1 = 1/5-2/5 = -1/5 y= 1/3-(1/6).x-(1/6).z (1) Sustituyendo en (1) y1= 1/3-0=1/3 z= 1/5-(1/5).x-(2/5).y z1=1/5-2/5=-1/5
x2= 1/5-2/5.(1/3)-1/5.(-1/5)= 1/5-2/15+1/25=0´1066..=0´107 Sustituyendo de nuevo en (1) y2= 1/3-1/6.(-1/5)-1/6.(-1/5=1/3+1/30+1/30 = 0´4 z2= 1/5-1/5.(-1/5)-2/5.(1/3)=1/5+1/25-2/15=0´166…=0,107 Luego la correcta es la b). Fin del bloque ----------------------------------------Bloque ax+y+z+t=1 Dado el sistema de ecuaciones lineales: lineales: x+ay+z+t=b x+y+az+t = b 2 x+y+az+t=b 3 , entonces:
(Sep-97)
4.9.- El sistema es incompatible, si: a) a=2, b=0 b) a=-2, b=0 c) a=1, b=1 d) a=1, b=-1 Solución: a 1 1 1 a 1 1 1 a 1 1 1
a 1 1 1 a2-1 a-1 a-1 0 a2-1 a-1 a-1 = a/a3 a-1 a2-1 a-1 =a(a-1)/a3 0 a-1 a2-1 a-1 a-1 a-1 a2-1 0 a-1 a-1 a2-1
1 1 = 1/a2 1 a
a+1 1 1 =a(a-1)/a 1 a+1 1 0 -a a 3
= a(a-1)/a
3
a+1 1 2 1 a+1 a+2 = a2(a-1)/a3 0 -a 0
a+1 2 1 a+2
a+1 1 1 1 a+1 1 = 1 1 a+1
=
= [a2(a-1)(a2+3a)]1/a3=[a3(a-1)(a+3)]1/a2= (a-1)(a+3) -Si a1 y a-3, rgA=rgA*=4 SCDa) y b) son falsas -Si a=1 1 rgA* =rg 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 b b2 b3
1 rg 0 0 0
1 1 1 1 2, si b=1SCI 0 0 0 b-1 rgA=1, rgA*= 0 0 0 b2-1 2,si b1SI 3 0 0 0 b -1
Luego c) es cierta y d) es falsa. ----------------------------------------4.10.-El sistema es incompatible, si: a) a=b=0 b) a=-3,b=1 c) a=-3,b=0 d) a=0,b=-1
127
Solución: Si a=0, 0 rg 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
1 b b2 b3
1 rg 0 1 1
1 rg 0 0 0
0 1 0 0
1 1 -2 0
1 1 -1 -3
b 1 b2-b-1 2b3-b2-b-1
0 1 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
b 1 b2 b3
1 rg 0 0 0
0 1 1 1
1 1 -1 0
1 1 0 -1
b 1 b2-b b3-b
1 rg 0 0 0
0 1 1 b 1 1 1 1 2 0 -2 -1 b -b-1 0 -1 -2 b3-b-1
rgA=rgA* =4SCDa) y d) son falsas.
Se podia asegurar, ya que a=0 1 y -3 Analicemos a=-3, -3 1 rgA*= 1 1
1 1 -3 1 1 -3 1 1
-3 0 rg 0 0
1 1 1 -3
1 b b2 b3
1 1 1 -8 4 4 0 -12 12 0 0 0
-3 1 1 1 1 0 -8 4 4 3b+1 rg 0 4 -8 4 3b2+1 0 4 4 -8 3b3+1
-3 0 rg 0 0
1 1 1 1 -8 4 4 3b+1 0 -12 12 6b2+3b+3 0 12 -12 6b3+3b+3
1 3b+1 6b2+3b+3 6b3+6b2+6b+6b+6
c) Si a=-3,b=0rgA=3,rgA*=4SI d) Si a=-3,b=1rgA=3=rgA*SCI , por ello la correcta es la c). ----------------------------------------4.11.-El valor de a para el cual converje el sistema, por el método de iteración, según la norma fila es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 Solución: Despejamos de las ecuaciones del sistema: x= 1/a-(1/a)y-(1/a)z-(1/a)t y= b/a-(1/a)x-(1/a)z-(1/a)t z= b2/a-(1/a)x-(1/a)y-(1/a)t t= b3/a-(1/a)x-(1/a)y-(1/a)z
0 -1/a -1/a -1/a = -1/a 0 -1/a -1/a -1/a -1/a 0 -1/a -1/a -1/a -1/a 0
f = norma fila = máx(3/a,3/a,3/a,3/a)=3/apara que f >1a=4la correcta es la d)
Fin del bloque -----------------------------------------
128
Bloque ax+y+z=0 Sea el sistema de ecuaciones: x-y+z=2 , entonces: 3x-y+(a-1)z=a 6x-y+t=3ª 4.12.- El sistema es CI, si: a) a=1 b) a=-4 c) a=0 d) a=-2 Solución: a 1 3 6
1 -1 -1 -1
1 0 a 1 1 1 0 = 1 -1 1 = -a2+a-1+3+3+a-a+1 = -a 2+a+6 a-1 0 3 -1 a-1 0 1 -a2+a+6=0a=-2,a=3
Si a-2 y a3 SCD(rgA=rgA* = 3=nº inc.)a), b) y c) dan SCDson falsas Si a= -2, -2 1 rgA = rg 1 -1 3 -1 6 -1
1 1 -3 0
0 0 0 2 0 -2 1 -6
-2 rg -1 1 4
1 0 0 0
1 2 -2 -1
0 0 0 1
0 2 -2 -4
-2 rg -1 0 4
1 0 0 0
1 2 0 -1
0 0 0 1
0 2 0 4
-2 1 1 -1 0 2 0 rgA=rgA*=3<4SCI La correcta es la d). 4 0 -1 ----------------------------------------4.13.- En el caso de ser compatible y determinado, el valor de t es: a)(a+2) b)(-3a+1) c) (3a+7) d) [(3/2)a+4] Solución: El sistema es compatible y determinado si a 3 y a-2 a 1 3 6 t= a 1 3 6
1 -1 -1 -1
1 0 a 1 1 0 1 2 a+1 0 2 2 a+1 2 2 a+1 2 0 a-1 a a+3 0 a a - a+3 a a - a+3 a 0 0 3a a+6 0 1 3a a+6 1 3a a+6 1 3a-1 = = = 1 1 0 (a-3)(a+2) (a-3)(a+2) (a-3)(a+2) -1 1 0 -1 a-1 0 -1 0 1
=
129
-(3a-1)(a2+a-2a-6) -(3a-1)(a2-a-6) -(3a-1)(a-3)(a+2) = = = = (-3a+1) La correcta es la b). (a-3)(a+2) (a-3)(a+2) (a-3)(a+2) ----------------------------------------4.14.- Si el conjunto de soluciones es (0,-1, 1,-7)+V, V está generado por: a) (2,3, 1,-9) b) (1, 4,-1,3) c) (1,-1,-2,-7) d) (0,-1,-1,4) Solución: - La a): S= (0,-1,1,-7)+(2,3,1,-9)=(2,2,2,-16) la 2ª ecuación se cumple Para cumplir la 4ª, 12-2-16 = 3ª a=-2 con ese valor, se cumplen también la1ª y la 3ª Es cierta - La b): S= (1,4,-1,3)+(0,-1,1,-7) = (1,3,0,-4). No cumple la 2ª ecuaciónEs falsa - La c): S= (1,-1,-2,-7)+(0,-1,1,-7) = (1,-2,-1,-14) Para cumplir la 3ª, 6+2-14=3aa=-2, pero entonces no se cumple la 1ª es falsa -la d): S= (0,-1,-1,4)+(0,-1,1,-7) = (0,-2,0,-3). No cumple la 2ª es falsa. Fin del bloque ----------------------------------------Bloque Dado el Sistema de ecuaciones
x+y+z=1 x+y+z= , entonces: x+y+z=2
(Sep-98)
4.15.- ¿Para qué valores de es incompatible el sistema? a) =1 b) =-2 c) =0 d) 1 y -2 Solución: 1 1 det A = 1 1 = 3+1+1---= 3-3+2=(-1)2(+2) 1 1
- Si 1 y -2 rgA = rgA* =3=nº inc. SCD las respuestas c) y d) son falsas - Si =1, 1 1 1 1 1 1 1 1 rgA* = rg 1 1 1 1 = rg 0 0 0 0 = 1rgA=rgA* = 1
130
-Si =-2, -2 1 1 1 -2 1 1 1 -2 1 1 1 rgA*= rg 1 -2 1 -2 = rg 0 -3 3 -3 = rg 0 -3 3 -3 = 3 1 1 -2 4 0 3 -3 9 0 0 0 6 si =-2, rgA=2,rgA*=3SI luego, la correcta es la b). ----------------------------------------4.16.- En el caso de ser SCD, el valor de z, es: a) (2-1)/(-1)2(+2) b) (2-1)/(+1)2(-2) c) (2-1)2/(+1)2(-2) d) (2-1)2/(-1)2(+2) Solución: Por Crámer: 2
Det A = (-1) (+2)
1 1 Det de z = 1 (Obtenido al cambiar cambiar la última col. de det A, por por 2 1 1 los términos independientes del sistema).
Det de z = 4+1+--2-2= 4-22+1=(2-1)2 = (+1)2(-1)2 z = (+1)2(-1)2/(-1)2(+2) = (Si es CD, 1,-2) = (+1)2/(+2)es equivalente a la d) Fin del bloque ----------------------------------------Bloque 4x-2y+z=4 Dado el sistema x-ay+z=5 2x-y+5z = 5
(Jun-98)
4.17.- Para que el sistema se pueda resolver por el Método de Iteración Simple, es suficiente que el valor de a sea: a) <10 b) <5 c) 1 d) >2 Solución: x=1-(1/2)y-(1/4)z y=-5/a+(1/a)x+(1/a)z z=1-(2/5)x+(1/5)y
x= 1 0 1/2 -1/4 xo y = -5/a + 1/a 0 1/a yo z= 1 -2/5 1/5 0 zo
f =máx(1/2+1/4, 1/a+1/a,1/5+2/5) = máx(3/4,2/a,3/5) c= máx(1/a+2/5,7/10,1/4+1/a) fc=
1/4 1/4+1/16+1/a2+1/a2+4/25+1/25 131
Si a>2, f <1 c<1 (Bastaría que una de ellas fuese <1) Es cierta la d). fc<1 Las demás soluciones producen normas 1, según el valor que tome a. ----------------------------------------4.18.- Para a= 10, el valor de x 2, tomando xo= (0,1,0), es: a) (0´5,0´25,1´2) b) (1´5,-0´5,1´2) c) (1,-0´5,1´5) d) (0´5,0´2,-0´5) Solución: x= 1+y/2-z/4 x1 = 1+1/2-0 = 3/2 = 1´5 y= -1/2+x/10+z/10[(Sustituyendo (0,1,0)] y1= -1/2+0+0=-1/2 = -0´5Cierta la b) z= 1-(2x)/5+y/5 z1 = 1-0+1/5 = 6/5 = 1´2 Fin del bloque ----------------------------------------4.19.- Sea AX=b, un s.e.l., con coeficientes reales, s una solución y un nº real. Entonces: a) .s es siempre solución. b) .s nunca es solución. c) .s es solución, si el sistema es homogéneo. d) .s es solución, si el sistema no es homogéneo. homogéneo.
(Jun-98)
Solución: Solo si el sistema es homogéneo y s es solución, .s, es solución La cierta es la c). ----------------------------------------Bloque Sea el sistema de ecuaciones
ax+y+2z= c x-2y+z= 0 , entonces: 2x-y+az= b
(Feb-98)
4.20 El sistema es incompatible, si: a) a=3, b=0 b) a=-4, c=2 c) a=2, b=3, c=5 d) a=-2, b=1, c=2 Solución: a 1 2 1 -2 1 = -2a2-2+2+8+a-a= 8-2a2 Si a2 y a-2, rgA = rgA* = 3 = nº inc. SCDa) y b) falsas. 2 -1 a
132
Si a=2, 2 1 2 c 2 1 2 c 2 1 2 c rgA* = rg 1 -2 1 0 = rg 0 -5 0 -c = rg 0 -5 0 -c 2 -1 2 b 0 -2 0 b-c 0 0 0 5b-3c
2, si c= 5b/3 SCI si a=2, rgA = 2, rgA*=
La c) da un SCI Es falsa.
3, si c 5b/3SI -Si a=-2, -2 1 2 c -2 1 2 c rg A* = rg 1 -2 1 0 = rg 0 -3 4 c 2 -1 2 b 0 0 0 b+c
2, si c=-bSCI Si a= -2 rgA=2, rgA* = 3, si c-bSI
Luego la correcta es la solución d). ----------------------------------------4.21.- En uno de los casos en que es CI, una solución es: a) [(2b/3)-z, 2b/3,z] b) [(5z+2b)/3, (4z+b)/3,Z] c) (0,1,2) d) (3,3,2) Solución: Primer caso de CI: a=2, c=5b/3 2x+y+2z = 5b/3 x-2y+z=0 -3y=-by=b/3, z=(2b/3)-x a), b) y d) son falsas. 2x-y+2z=b La cierta es la c), con x=0,b=3 Segundo caso de CI: a=-2, c=-b c =-b -2x+y+2z=c -2x+y+2z=c x-2y+z=0 -3y=cy=-c/3, x=2y-x=(-2c/3)-x <(x,-c/3,(-2c-3x)/3> 2x-y-2z=-c x-2y+z=0 La solución c) es la única que lo cumple. ----------------------------------------4.22.- Para a=6, la norma fila de la matríz que se obtiene al escribir el sistema en forma de iteración, vale: a) -3/6 b) 3/6 c) 1 d) -1/6
133
Solución: 6x+y+2z=c x=c/6-(1/6)y-(1/3)z a=6 x-2y+z=0 y=(1/2)x+(1/2)z 2x-y+6z=b z= b/6-(1/3)x+(1/6)y
x c/6 y= 0 z = b/6
0 -1/6 -1/3 xo 1/2 0 1/2 yo -1/3 1/6 0 zo
f = máx(1/6+1/3,1/2+1/2,1/3+1/6) = máx(1/2,1,1/2) = 1 La correcta es la c).
Fin del bloque ----------------------------------------Bloque (1+)x+y+z=1 Sea el sistema x+(1+)y+z= , entonces: x+y+(1+)z= μ-1 4.23.- El sistema es CD, si: a) =0, μ=2 b) =0 c) =2, μ=1 d) =-3, μ= 2 Solución.1+ 1 1 1 1+ 1 = (1+)3+1+1-(1+)-(1+)-(1+) = 3+32= 2(+3) 1 1 1+ Si 0 y -3, SCD (rgA=rgA* = 3 = nº inc.) cierta la c). Es la única solución, ya que si =0, o =-3, el sistema sistema será Incompatible o Indeterminado. ----------------------------------------4.24.- El sistema es incompatible, si: a) =0, μ=2 b) 0 c) =2, μ=1 d) =-3, μ=3 Solución: La solución c) es falsa (para esos valores es CD). La solución d) es falsa (Si =5, por ejemplo, es CD). Si = 0, 1 1 1 1 1 1 1 1 rgA* = rg 1 1 1 0 = rg 0 0 0 -1 = 2 μ rgA=1,rgA*=2SIa) es cierta 1 1 -2 μ-1 0 0 0 μ-2 Si =-3, -2 1 1 1 -2 1 1 1 -2 1 1 1 rgA*= rg 1 -2 1 -3 = rg 0 -3 3 -5 = rg 0 -3 3 -5 1 1 -2 μ-1 0 3 -3 2μ-1 0 0 0 2μ-6
134
μ=3rgA=rgA*=2
c) {(x,y,z)/x=(-4/3)+ y, z=(-5/3)+ y} d) {(x,y,z)/x=y,z=3y} Solución: =-3, μ=3
-2x+y+z=1 -3x+3y=4 x= (3y-4)/3 = y-4/3 x-2y+z=-3 La correcta es la c). x+y-2z=2 3x-3y=-4 z=1+2x-y = 1+2y-(8/3)-y = y-5/3 ----------------------------------------4.26.-Si =1,μ=0, si se escribe en la forma de iteración X= +Xo, ¿cuál es la norma fila? a) 1 b) 1´5 c) 3 d) 4 Solución: Si =1, μ=0 2x+y+z=1 x+2y+z=1 x+y+2z=-1
x= 1/2-(1/2)y-(1/2)z y= 1/2-(1/2)x-(1/2)z z= -1/2-(1/2)x-(1/2)y
x 1/2 0 -1/2 -1/2 xo y = 1/2 + -1/2 0 -1/2 yo z -1/2 -1/2 -1/2 0 zo
f = máx(1/2+1/2, 1/2+1/2, 1/2+1/2)= máx(1, 1, 1) =1 La correcta es la a).
----------------------------------------4.27.- Si xo = (4,2,2) y =1, μ=0, la 2ª iteración es: a) (3´5, 3, 1´5) b) (4, 3´5, 1´5) c) (-1, 3´5, 4) d) (3, 2, 5) Solución: x= 1/2-(1/2)y-(1/2)z x1=1/2-1-1=-3/2 y= 1/2-(1/2)x-(1/2)z Iterando(4,2,2)y1=1/2-2-1=-5/2 z= -1/2-(1/2)x-(1/2)y z1=-1/2-2-1=-7/2
x2=1/2-(1/2)(-5/2)-(1/2)(-7/2) y2=1/2-(1/2)(-3/2)-(1/2)(-7/2) z2=-1/2-(1/2)(-3/2)-(1/2)(-5/2)
135
x2= 3´5 y2= 3 La correcta es la a). 2 z = 1´5 Fin del bloque -----------------------------------------
Bloque x+y+az=1 Sea el sistema de ecuaciones 2x+ay=b , entonces: 2 ax+y+z=b
(Dic-99)
4.28.- El sistema es CD,si: a) a=1, b=1 b) a=1, b=2 c) a=2, b=3 d) b=1 Solución: 1 1 a 2 a 0 = a+2a-a3-2 = -(a-1)2(a+2) a 1 1 Si a1 y a-2, rgA=rgA* = 3 = nº inc. SCD la correcta es la c) (en la a) y b), a=1; -La d) es falsa, porque no fijan el valor de a. Si a=1 y b= 1 es SCI (véase siguiente pregunta). ----------------------------------------4.29.- El sistema es incompatible, si: a)a=1, b=1 b) a=-2 c) a=1, b=-1 d) nunca Solución: Si a=1, 1 1 1 1 1 1 1 1 rgA* = rg 2 1 0 b = rg 0 -1 -2 b-2 1 1 1 b2 0 0 0 b2-1 b=±1rgA=rgA* =2
136
4b2+3b+2 0 bSi a=-2, rgA=2, rgA*=3 bSIla b) es correcta la d) es fasa, ya que b) es cierta. ----------------------------------------4.30.-En el caso de que b=1 y el sistema sea CI, la solución es: a) {(x,y,z)/x+2y=0} b) < x, 1-2x, x> c) d) {(x,y,z)/x=y,z=3y} Solución: Si b=1, a=1, el sistema es compatible e indeterminado. x+y+z=1 2x+y=1 x-z=0z=x, y=1-2xla cierta es la solución b) x+y+z=1 ----------------------------------------4.31.- Sea a=1, b=0 y X (o= (1,0,1); ¿cuál es el valor de X (2?: a) (2, 2, 1) b) (4, 0, 2) c) (0, 0, 0) d) (0, 4, 0) Solución: Si a=1, b=0, x+y+z=1 x= 1-y-z x (1= 1-0-1=0 2x+y=0 y=-2x (1) [Sustituyendo xo en (1)] y(1=-2.1=-2 [Volviendo a sustituir en (1)] x+y+z=0 z=-x-y z (1=-1-0=-1 x(2 = 1-(-2)-(-1) = 4 (2 y(2= (-2).0=0 X =(4, 0, 2) La correcta es la b). z(2= -0-(-2)=2 Fin del bloque ----------------------------------------Bloque 2x+my+z=-2s Sea el sistema mx+2y+3z=0 , entonces: 2x+my+4z=s
(Feb-2000)
4.32.- El sistema es compatible e indeterminado (CI), si: a) m=3, s=1 b) m=-2, s=0 c) m=-2, s=1 d) m=-3, s=0
137
Solución: 2 m 1 m 2 3 = 16+m2+6m-4-6m-4m2= m2-4m2+12 = -3m2+12 2 m 4 -3m2+12=0m= ± 2 Si m 2 y m -2, rgA=rgA* = 3= nº de inc. soluciones falsas (SCD).
sSCDa) y c) son
Si m=2, 2 2 1 -2s 2 2 1 -2s 2 2 1 -2s rgA* =rg 2 2 3 0 =rg 0 0 2 2s = rg 0 0 2 2s 2 2 4 s 0 0 3 3s 0 0 0 0 Luego si m=2, rgA=rgA* =2( b) c) <2s, y, s-3y> d) <-y-(3/2).s, y, s> Solución: Si m=-2, s=0: 2x-2y+z=0 -2x+2y+3z=0 4z=0z=0,y=x (Este caso no vale, ya que que en las soluciones dadas, la z, no 2x-2y+4z=0 no tiene porque ser cero). Si m=2, s, 2x+2y+z=-2s -2x+2y+3z=0 2z=2s z=s, x= (-3s-2y)/2<(-3s-2y)/2,y,s>d)es la única que cumple eso. 2x-2y+4z=s -----------------------------------------
138
4.34.- Con m=4, s=2 y tomando como X (o=(0,-1,0), el valor de X (2 es: a) (-1´5, 1´5, 2´5) b) (-2´75, -2´25, 0,5) c) (-1´5, 1´5, 2) d) (-2´75, 2´5, 0´5) Solucion: Si m=4, s=2:
2x+4y+z=-4 4x+2y+3z=0 2x+4y+4z=2
x=-2-2y-(1/2)z x(1 = -2-2(-1)=0 y=-2x-(3/2)z (1) Iterando en (1) y(1=(-2).0-(3/2).0 = 0 z= ½-(1/2)x-y z(1=1/2-(1/2).0-(-1)=3/2
x(2=-2-2.0-1/2(3/2)=-11/4=-2´75 (2 Iterando en (1) y = -9/4 = -2´25 La correcta, es la solución b). (2 z = 1/2 = 0,5 Fin del bloque ----------------------------------------Bloque kx-2my+3mz=1 Sea el sistema 2x-2y+4z=k -mx+2y-4z=1
, entonces:
(Jun-2000)
4.35.-El sistema es incompatible si: a) m=3, k=2 b) m=0, k=-1 c) m=2, k2 d) m=1 K Solución: k -2m 3m 2 -2 4 = 8k+12m+8m2-6m2-8k-16m=2m2-4m=2m(m-2) -m 2 -4 Si m= y m2, rgA=rgA*=3
k SCDa) y d) son falsas.
Si m= 0, k 0 0 1 2 -2 4 k 2 -2 4 k 2 -2 4 k 2 rgA* = rg 2 -2 4 k = rg k 0 0 1 = rg 0 2k -4k 2-k = rg 0 2k -4k 2-k2 0 2 -4 1 0 2 -4 1 0 2 -4 1 0 0 0 k2+k-2 k2+k-2=0 k=1,k=-2 m=0, k=1rgA=rgA*=2>nº de inc. SCI m=0, k=-2rgA=rgA*=2
139
Si m= 2, k -4 6 1 k -4 6 1 rgA*= rg 2 -2 4 k = rg 2 -2 4 k m=2, k=-1SCI -2 2 -4 1 0 0 0 k+1 m=2, k-1SI la c) es falsa (si k=-1 2SCI). Luego la correcta es la b). ----------------------------------------4.36.- Si el sistema es compatible e indeterminado, la solución es: a) (-2, 3,0)+(-2/5, 8/5,1) b) <-2z, 8z, z> c) (-2/10, 3/10, 0)+ <-2, 8, 5> d) {(x,y,z)/10y=-1+16z,10x=-4z-6} Solución: Si m= 0, k=1, x=1 2x-2y+4z=1 x=12, y= (1+4z)/2 S = <1, (1+4z)/2, z> Según las soluciones, x no tiene 2y-4z=1 porque ser 1 no vale. Si m=0,k=-2, -2x=1 2x-2y+4z=1 x=-1/2, y=(1+4z)/2S= <-1/2,(1+4z)/2,z> Según las soluciones, x no tiene 2y-4z=1 porque ser (-1/2) no vale. Si m=2, k=-1, -x-4y+6z=1 2x-2y+4z=-1 -10y+16z=1x=(-4z-6)/10,y=(16z-1)/10La correcta es la d). -2x+2y-4z=1 ----------------------------------------4.37.-Si k=-1 y m=1, la norma fila vale: a) 3 b) 5 c) 0´75 d) 0´25 Solución: Si k=-1, k=-1, m=1 m=1 -x-2y+3z=1 x= 1+2y-3z 2x-2y+4z=-1 y= 1/2+x+2z -x+2y-4z=1 x=-1/4-(1/4)x+(1/2)y
x 1 0 2 -3 xo y = 1/2 1 0 2 yo z -1/4 -1/4 1/2 0 zo
f = máx(2+3,1+2,1/4+1/2) = máx(5, 3, 3/4) =5La correcta es la b).
-----------------------------------------
140
4.38.-Si se toma X(o= (0,0,1), la X (2, vale: a) (-4, 3, 0´25) b) (-4´75, 4, 0) c) (4´75, -4, 1) d) (6´75, -2, 1´5) Solución: x= 1+2y-3z X(1= 1-3=-2 X(2=1+2(5/2)-3(-1/4)= 6´75 (1 (2 y= 1/2+x+2z Iterando Y = 1/2+2=5/2Iterando Y = 1/2+(-2)+2.(-1/4)=-2 z= -1/4-(1/4)x+(1/2)y Z(1= -1/4 Z(2=-1/4-1/4(-1)+1/2(5/2)=1´5 La solución correcta es la d). Fin del bloque ----------------------------------------Bloque x-2ky+6z=-1 Sea el sistema de ecuaciones mx-2y+2mz=0 -2x+my-4z=4
(Jun-2001)
4.39.- ¿Para qué valores de m y k, el sistema es incompatible? a) m =1, k=0 b) m =2, k=0 c) m =-2, k=2 d) m =1, k=1 Solución: 1 -2k 6 m -2 2m = 8+6m2+8km-24-2m2-8km= 4m2-16 = 4(m2-4) -2 m -4 m2-4=0m = ±2Si m±2rgA=rgA*=3=nº de inc. k SCDa) y d) son falsas. Si m=2, 1 -2k 6 -1 1 -2k 6 -1 k=0rgA=rgA*=2
Si m=-2, 1 -2k 6 -1 1 -2k 6 -1 k=0rgA=rgA*=2=nº de incSCI rgA* = rg -2 -2 -4 0 =rg -2 -2 4 0 m=-2 -2 -2 -4 k 0 0 0 k k0rgA=2,rgA*=3SI La cierta es la c) (m=-2, k=2 0). -----------------------------------------
141
4.40.-Si el sistema es compatible e indeterminado, las soluciones son: a) {(x,y,z)/x=1+6z} b) <-1, 1, 0> c) (-1, 1, 0)+ (-6, 4, 1) d) <-z, 4z, z> Solución: -Si m=2,k=0
-Si m=-2,k=0
x+6z=-1 2x-2y+4z=0 x=-1-6z,y=-1+4z<-1-6z,-1+4z, z>=(-1,-1,0)+(-6,4,1) -2x+2y-4z=0 x+6z=-1 -2x-2y-4z=0 x= -1-6z, y=1+4z <-1-6z,1+4z, z>= (-1,1,0)+(-6,4,1) -2x-2y-4z=0
La cierta es la c). Se podrían tomar soluciones particulares de cada respuesta y comprobar que solo c) cumple las tres ecuaciones ----------------------------------------4.41.-Para k=-1 y m=1, la norma columna vale: a) 0 b) 8 c) 7 d) 1´5 Solución: x+2y+6z=-1 x=-1-2y-6z x (1 = -1 0 -1 -6 x(o (1 (o Si k=-1, m=1 x-2y+2z=0 y=(1/2)x+z y = 0 + 1/2 0 1 y -2x+y-4z=-1 z=1/4-(1/2)x+(1/4)y z(1 = 1/4 -1/2 1/4 0 z(o c = máx[1/2+1/2, 2+(1/4), 6+1] = 7 La correcta es la c).
----------------------------------------4.42.- Tomando X(o = (1, 0, 0), la X (2 es: a) (0´5, -0´75, 0´625) b) (2, -0,5, 0,125) c) (-0´5, -0,75, 0,875) d) (-2, 0´5, 0´25) Solución: x= -1-2y-6z X (1 = -1 y= (1/2)x+z (1) Iterando X(o=(1, 0, 0) en (1) Y(1 = 1/2 (1 z=1/4-(1/2)x+(1/4)y Z = 1/4-1/2 = 1/4
142
X(2= -1-2(-1/2)-6(-1/4)= -2+3/2 = -1/2 = -0´5 Volviendo a iterar en (1) Y(2=1/2(-1)+(-1/4)= -1/2-1/4= -3/4= -0,75 la c) (2 Z =1/4-1/2(-1)+1/4(1/2)= ¼+1/2+1/8=7/8=0´875 Fin del bloque ----------------------------------------Bloque tx+y+z=t Se considera el sitema de ecuaciones lineales x+ty+z=t2 x+y+tz=t3 (Feb-2002) 4.43.- Se verifica que: a) Existen algunos valores de t>0, que hacen el SCI Y SI b) t, el Sistema es Compatible y Determinado (SCD) c) Existen algunos valores de t<0, que el SI y SCI d) Existe algún valor de t>0, que hacen el SCI, y algún t<0 qe lleva a SI Solución: t 1 1 1 t 1 = t3+1+1-t-t-t = t3-3t+2 = (t-1)2(t+2)Si t1 y t-2, SCD (rgA=rgA* = 3 = nºde inc.) 1 1 t 1 1 1 1 1 1 1 1 Si t=1, rgA* = rg 1 1 1 1 = rg 0 0 0 0 rgA= rgA*= 1
-2 1 1 -2 -2 1 1 -2 -2 1 1 -2 Si t=-2, rgA*= rg 1 -2 1 4 = rg 0 -3 3 6 = rg 0 -3 3 6 rgA=2,rgA*=3SI 1 1 -2 -8 0 3 -3 -14 0 0 0 -8 La única solución que verifica lo analizado es la d) (SCI, si t=1>0 y SI, si t=-2<0): ----------------------------------------4.44.-En el caso de ser compatible e indeterminado, el conjunto de soluciones es: a) {(0, 0, 0) b) {(1, 0, 0)+ (0, -1, -1)} c) {(1, 0, 0)+ (-1, 1, 0)+(-1, 0, 1)} d) {(0, -1, 0)+(0, 0, -1)} Solución: x+y+z=1 SCIt=1 x+y+z=1 z=1-x-yS= x+y+z=1 a) No cumple SFalsa b) (=1) (1,-1,-1) no cumple S Falsa c) (=1, =1) (-1,1,1) cumple S Cierta d) (=1, =1) (0, -1, -1) no cumple S Falsa
143
La solución S, se puede poner como un vector con los números de las coordenadas, más parámetros por los coeficientes de x y más parámetros por los coeficientes de y, es decir: S= = (0, 0, 1)+ (1,0,-1)+(0,1,-1) Pero esta forma de poner la solución, depende de qué incógnita expresen las otras. Es mejor comprobar las soluciones particulares de las dadas en S. ----------------------------------------4.45.-Para t=10, y tomando X(o= (0, 0, 0), se cumple: a) b) c) d)
X(2 = (-10, -0´1, 98´9) X(2 = (-1, -10, -100) X(2 = X(1 No se puede aplicar el método de iteración, porque porque para t=10, el sistema es incompatible
Solución: Para t=10, 10x+y+t=10 x=1-(1/10)y-(1/10)z X(1=1 x+10y+z=100 y=10-(1/10)x-(1/10)z [Iterando (0,0,0)] Y(1= 10Iterando de nuevo x+y+10z=1000 z= 100-(1/10)x-(1/10)y Z(1=100 X(2 = 1-1-10=-10 Y(2 = 10-1/10-10= -1/10=-0´1 La respuesta verdadera es la a). Z(2 = 100-1/10-1= 99-(1/10)= 989/10 = 98´9 La solución c) es falsa X (2X(1. La solución b) es falsa X (2(-1, -10, -100). La solución d) es falsa; el sistema para t=10, es CD y aunque fuese incompatible, se puede aplicar este método. El sistema puede no converger, c onverger, pero el método de iteración se puede aplicar siempre. Fin del bloque ----------------------------------------Bloque x+y=1 Dado el sistema de ecuaciones ty+z=0 x+(1+t)y+tz=t+1
(Feb-2002)
4.46.-Se verifica que: a) Existen tres únicos valores valores de t, que hacen que el sistema sea CD, CI, incompatible. b) Existen dos valores de t que que hacen que el sistema sea CI y CD y más de uno para los que es incompatible. c) Existen únicos valores valores de t que hacen hacen que el sistema sea Inc. y CD, y más de uno para los que es CI. d) Existen dos valores valores de t, que lo hacen CI e incompatible. y más de uno que que lo hace CD
144
Solución: 1 1 0 0 t 1 = t2+1-1-t= t2-t= t(t-1)Si t0 y t1SCDa), b), c) son falsas 1 1+t 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 Si t=0, rgA* = rg 0 0 1 0 = rg 0 0 1 0 =rg 0 0 1 0 = 2rgA=rgA*=2 d) {(1, 0, 0)+ (0, -1, 0)+ (0, 0, 1)} Solución: x+y=1 Si t= 0 z=0 x+y=1
y=1-x, z=0 S=
Solución a): =2 (-1, 0, 0) ; no verifica S Es falsa. Solución d): =1,=1(1, -1, 1); no verifica S Es falsa. Solución c): =1(1, 1, 0); no verifica S Es falsa. Solución b): =1(1, 1, 0); verifica S Es la solución verdadera. Fin del bloque ----------------------------------------Bloque -2x-2y+kz=6 Sea el sistema de ecuaciones 2mx+4y-mz=2 -mx-2y+mz=k
(Jun-2002)
4.48.- Dependiendo de los valores de m y k, ¿ en cuántos casos el sistema es CI? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
145
Solución: -2 -2 k 2m 4 -m = -8m-4km-2m 2+4km+4m+4m2 = 2m2-4m = 2m(m-2) -m -2 m Si m0 y m2 rgA = rgA* = 3 =nº de inc. SCD -2 -1 k 6 -2 -2 k 6 Si m=0, rgA* = rg 0 4 0 2 = rg 0 4 0 2 0 -2 0 k 0 0 0 2k+2
k=-1 rgA=rgA*=2SCI Si m=0 k-1rgA=2,rgA*=3SI
-2 -2 k 6 -2 -2 k 6 -2 -2 k 6 Si m=2, rgA*=rg 4 4 -2 2 = rg 0 0 2k-2 14 =rg 0 0 2k-2 14 -2 -2 2 k 0 0 2-k k-6 0 0 0 2k2-16 k= ± 8 rgA= rgA=rg rgA* A*=2 =2SCI Si m=2 k± 8 rgA=2 rgA=2,, rgA* rgA*=3 =3SI Luego, Luego, el el siste sistema ma es es CI en en tres tres casos casos:: m=0 m=0 k=1, k=1, m=2 m=2 k= k= 8, m=2 m=2 k=k=- 8 La respuesta correcta es la c). ----------------------------------------4.49.- En el caso de ser CI y k un nº entero, la solución solución es: a) (0, 2, -14) b) (0, 2, -14)+ (1, 0, -2) c) <(, 0, -2)> d) (0, 1/2, -7)+ (-2, 0, 4) Solución: Si m=0, k=-1
-2x-2y-z=6 4y=2 y=1/2, z= -6-1-2x=-7-2x S= <(x, 1/2, -7-2x)> -2y=-1
y=1/2 a), b) y c) son falsas. Si x= -7/2 (0, (0, 1/2, 1/2, -7)+ -7)+(7 (7,, 0, -14) -14)== (7, (7, 1/2, 1/2, -21 -21)) SLa d) es la correcta. ----------------------------------------4.50.- Si m= k = 4 y el sistema se escribe en forma normal de Iteración X= +X(o, la norma columna vale: a) -1 b) 3 c) 1 d) 15/2
146
Solución: -2x-2y+4z=6 x= -3-y+2z X = -3 0 -1 2 X (o Si m=k=4 8x+4y-4z=2 y = 1/2-2x+z Y = 1/2 + -2 0 1 Y(o -4x-2y+4z=4 z= 1+x+y/2 Z= 1 1 1/2 0 Z(o c = máx(2+1, 1+1/2, 2+1) = máx(3, 3/2, 3) = 3 La cierta es la b).
Fin del bloque ----------------------------------------Bloque Dado el sistema de ecuaciones lineales
4x-y+mz= k k mx-2y-5z=-6 , entonces: x+mz=4
(Feb-2003)
4.51.- El sistema es compatible e indeterminado, si: a) m=5, k=0 b) m=1, k=11 c) m=0, k=3 d) m=1, k=5 Solución: 4 -1 m det A = m -2 -5 = -8m+5+2m+m2=m2-6m+5 m2-6m+5=0 m=5, m=1 1 0 m Si m5 y m1, rgA=r A=rgA*=3 KSCDc) es falsa (es SCD) 4 -1 5 k 4 -1 5 k 4 -1 5 k Si m=5, rgA*=rg 5 -2 -5 -6 = rg 0 -3 -45 -5k-24 = rg 0 -3 -45 -5k-24 1 0 5 4 0 1 15 16-k 0 0 0 24-8k 24-8k k=3 rgA=rgA* =2SCI m=5
La solución a) es falsa.
k3 rgA=2, rgA*=3 SI Si m=1, 4 -1 1 k 4 -1 1 k 4 -1 1 k rgA* = 1 -2 -5 -6 = rg 0 -7 -21 -24+k =rg 0 -7 -21 -24+k 1 0 1 4 0 1 3 16-k 0 0 0 88-8k k=11rgA=rgA*=2
147
4.52.- Si k=3 y es compatible e indeterminado, la solución es: a) <5z,15z,-z> b) <4-5z, 13-15z,z> c) <2, 3, 2/5> d) <4+5z, 13+15z, z> Solución: el sistema es CI para k=3, si m=5. Entonces: 4x-y+5z=3 9x-3y=-3 y=(9x+3)/3 = 3(4-5z) +1 =13-15z 5x-2y-5z=-6 x+5z=4 x= 4-5z x+5z=4
S = <4-5z, 13-15z,z>
La solución es la b). ----------------------------------------4.53.-Si m=4 y k=3, la norma fila es: a) -1/2 b) -1/4 c) 9/2 d) 7/2 Solución: 4x-y+4z=3 x= 3/4+(1/4)y-z Si m=4 y k=3 4x-2y-5z=-6 y= 3+2x-(5/2) z x+4z=4 z=1-(1/4)x
X = 3/4 0 1/4 -1 X(o (o Y = 3 + 2 0 -5/2 Y Z = 1 -1/4 0 0 Z(o
f = máx (1/4 +1, 2+(5/2), 1/4) = máx (5/4, 9/2, 1/4) = 9/2 La correcta es la c).
Fin del bloque ----------------------------------------4.54.- Dado un sistema de ecuaciones lineales, compatible y determinado, expresado en forma matricial, X = +X(o, se verifica: a) La convergencia del sistema depende de la matriz b) La convergencia del sistema depende de la matriz c) La convergencia del sistema depende de las matrices y d) Siempre que un sistema sea compatible, compatible, el método de iteración converge (Jun-2003) Solución.El método de Iteración simple converge, si al menos una de las tres normas (norma fila, norma columna ó norma fila-columna) es menor que la l a unidad Las normas se buscan en la matriz la convergencia depende exclusivamente de dicha matriz La solución correcta es la a) -----------------------------------------
148
Bloque Sea el sistema
x+3y-mz=4 -mx+y+mz=0 2x-y-2z=0 -x+2my=m+2
(Jun-2003)
4.55.- El sistema es incompatible, si: a) m=1 b) m=-3 c) m=2 d) En ningún caso Solución: 1 det A* = -m 2 -1
3 -m 1 m -1 -2 2m 0
4 1 3 0 = 1/4 -m 1 0 2 -1 m+2 -m-6 5m-6
-m m -2 m(m+2)
4 -m 1 m 0 = -4/4 2 -1 -2 0 -m-6 5m-6 m(m+2) 0
=
-m 1 0 -m 1 2 = -4/4 2 -1 0 = (-1)[(m +m-6) 2 -1 ] = -(m2+m-6)(m-2) = -(m-2) 3(m+3) -m-6 5m-6 m2+m-6 Si m2 y m-3, rgA*= 4, rgA 3 SI la correcta es la a). ----------------------------------------4.56.-Si m= 2, las soluciones del sistema son: a) No tiene solución b) {(4/7, 8/7, 0)+ (8/7, 2/7, 1)} c) <(1, 0, 1)> d) <(4/7, 8/7, 0)> Solución: Si m=2, x+3y-2z=4 -2x+y+2z=0 2x-y-2z=0 -x+4y=4
x+3y-2z=4 -2x+y+2z=0 -x+4y=4 x= 4y-4 z=(2x-y)/2 = (8y-8-y)/2= (7/2)y - 4 -x+4y=4 -x+4y=4 S = <4y-4, y, (7/2)y- 4> La a) es falsa.
- La solución b): Si =1 (12/7, 10/7, 1), comparando con S, si y=10/7x=12/7, z=1es cierta. - La solución c): <(1, 0, 1> y=0, x=4-01no verifica S es falsa. - La solución d): <(4/7, 8/7, 0)>y = 8/7x= 4/7, z=0, cumple S, pero otra solución de S, es por ejemplo, (0, 1, -1/2) y no pertenece a las soluciones de d) Es falsa. Fin del bloque -----------------------------------------
149
Bloque Dado el sistema de ecuaciones lineales
mx+y-z=1 x-my+z=4 x+y+mz=t
4.57.- El sistema es incompatible, si: a) m=0 t b) t= 0 m c) m=0, t=6 d) en ningún caso Solución: m 1 -1 det A = 1 -m 1 = -m3-1+1-m-m-m = -m 3-3m = -m(m2+3) 1 1 m Si m0, rgA = rgA* =3 = nº de inc. SCD t b) es falsa (Si m=0, es SCD). Si m = 0, 0 1 -1 1 1 1 0 t 1 1 0 t 1 1 0 t rg A* = rg 1 0 1 4 = rg 0 1 -1 1 = rg 0 1 -1 1 = rg 0 1 -1 1 1 1 0 t 1 0 1 4 0 -1 1 4-t 0 0 0 5-t t=5, rg A = rgA* =2
150
(Sep-2003)
Solución: Si m=1 (0SCD) a) falsa. x+y-z=1 m=1, x-y+z=4 (operando) y = (t-4)/2, z=(t-1)/2 S = <85/2, (t-4)/2, (t-1)/2> x+y+z=t - La solución b): comparando, (t-1)/2 = 0 t=1, y=(1-4)/2 = -3, pero (5/2, -1, 1/2) S y no es (5/2, -3/2, 0) es falsa. - La solución solución d): (5/2, (5/2, -2, -1/2) S, pero no está está ahí la solució solución n (5/2, -3/2, -3/2, 0) que está está en S Es falsa esa respuesta. - La solución solución c): S = (5/2, -2, -1/2)+t(0, 1/2, 1/2) correcta.
(5/2, -2, -1/2)+ t (0, 1/2,1/2) es la solución
Fin del bloque ----------------------------------------Bloque Dado el sistema
x+y+z = μx+y+(μ-1)z = μ x+μy+z=1
(Dic-2003)
4.60.- El sistema es CD, si: a) μ=1, =1 b) μ=1, =2 c) μ=2, =3 d) =1 Solución: 1 1 det A = μ 1 1 μ
1 1 1 0 1 1 = μ-1 μ-1 = μ 1 -1 = 1. 1 1 μ 0 1 μ
Si μ1, rgA=3=rgA* = nº de inc. SCD La correcta es la c). - La a) es falsa. ( μ=1rgA<3No es SCD). - La b) es falsa. (Por la misma razón). - La d) es falsa. (Si =1, puede ser aunque no lo fijan, μ=1No es SCD). ----------------------------------------4.62.-Si el sistema es compatible e indeterminado, las soluciones son: a) {(x,y,z)/x+2y=0} b) {(x,y,z)/x=1-y, z=0} c) <(x,0,z)> d) {(x,y,z)/x=y, z=3y}
151
Solución: Siμ=1, 1 1 1 1 1 1 rgA* = rg 1 1 0 1 = rg 0 0 -1 1- 1 1 1 1 0 0 0 1-
1, rgA =2, rgA* =3 SI Si μ=1 =1, rgA=rgA*=2
Si μ=1, =1: x+y+z=1 x+y=1 x+y+z=1
y=1-x, z=1-x-y= 1-x-1=0 S=
- La a) es falsa. (No fijan la z). - La b) es cierta. (Son las ecuaciones de S). - La c) es falsa. (Z debe ser cero y en esa solución, puede tomar cualquier valor). - La d) es falsa. [Una de sus soluciones sería (1, 1, 3) que no pertenece a S]. ----------------------------------------4.63.- Si =2 y μ=2, tomando como iteración inicial X (o= (1, 0, 1), la X (2 es: a) (1, -1, 0) b) (3, 0, 2) c) (1, 3, 4) d) (0, 2, 5) Si =2, μ=2: x+y+z=2 x=2-y-z X (1=2-0-1=1 2x+y+z=2 y=2-2x-z (1) [(Sustituyendo X(o, en (1)] Y(1= 2-2-1=-1 x+2y+z=1 z=1-x-2y Z (1 = 1-1-0=0 X(2 = 2-(-1)-0 = 3 Volviendo a sustituir en (1) Y(2 = 2-2-0=0 Z(2= 1-1-2(-1)= 2
La correcta es la b).
Fin del bloque ----------------------------------------Bloque x+2y-3z=-1 Sea el sistema de ecuaciones 2x-y+4z=3 3x+y+z=2 x+4y+z=-4 4.64.- El sistema es incompatible, si: a) Nunca b) Si =0 c) Si 1, =0 d) Si =1, =1
152
(Feb-2004)
Solución: 1 2 -3 -1 2ªf-1ª.2 2 -1 4 3 3ªf-1ª.3 3 1 2 = 4 -4
1 0 0 0
2 -5 -6 4-2
-3 -1 -5 10 5 2ªc-1ª.2 -5 0 0 10 -5 5 3ªc+1ª -6 2-2 -1 = -6 10 10 5 = 4-2 4 2-4 = 4-2 8 0 4 2-4
= 40(-1) Si 1, rgA 3 rgA*=4 SI La correcta es la c). ----------------------------------------4.65.- El sistema es compatible e indeterminado si: a) =0 b) 1 y =0 c) =1 y =1 d) Nunca Solución.Si =1, 1 2 -3 -1 1 2 -3 -1 1 2 -3 -1 rg 2 -1 4 3 = rg 0 -5 10 5 = rg 0 -5 10 5 = 3 3 1 1 2 0 -5 10 5 0 0 0 0 0 4-2 4 2-4 4 -4 Entonces, si 1 rgA3, rgA*=4 SI si =1, rgA=rgA*=3=nº de inc. SCD Por lo tanto, nunca es indeterminado La solución correcta es la d). ----------------------------------------4.66.- Si =1 y =2, se cumple: a) x=0 b) y=1 c) x=1 d) y=0 Solución: Si =1 y =2 x+2y-3z=1 x+2y-3z= -1 -5y+10z = 5 2x-y+4z=3 2x-y+4z= 3 8z= 0 z=0, y=-1, x= -1+2 = 1 3x+y+z=2 2x+4y+2z = -2 -5y-2z = -5 2x+4y+2z=-2 Solución: x=1, y=-1, z=0 La solución correcta es la c). ----------------------------------------153
4.67.- Para =0, y tomando tomando las tres primeras primeras ecuaciones, se considera la la Iteración inicial, (0 X = (0,1,1); entonces la 2ª iteración es: a) (3, 5, 2) b) (4, 6, 2) c) (10, 2, 5) d) (0, 1, -3) Solución: x+2y-3z= -1 x= -1-2y+3z 2x-y+4z= 3 y= 2x+4z-3 3x+z= 2 z= 2-3x
X (1= -1-2+3=0 X(2 = -1-2+6= 3 (o (1 (2 (Iterando X ) Y = 4-3 =1 Y = 8-3 =5 Z(1 = 2 Z(2 = 2-0 = 2
X(2= (3, 5, 2) La correcta es la a). ----------------------------------------Bloque ax+y+bz=b Sea el sistema de ecuaciones -2x+ay-z=b , entonces: 2x+2by+z = 4b
(Jun-2004)
4.68.-El sistema es compatible y determinado, si: a) a=1 y b=2 b) a=2 y b=1 c) a=-2 y b=1 d) a=0 y b=0 Solución: a 1 b -2 a -1 = a2-4b2-2-2ab+2ab+2 = a2-4b2 si a2b y a-2brgA* = rgA =3 =nº inc. SCD 2 2b 1 La solución a) es cierta ; la b), c), y d) son falsas (a=2b ó a= -2b). ----------------------------------------4.69.- En el caso de ser compatible e indeterminado, la solución es: a) <(1, 1, 1)> b) <(-1, <(-1, 0, 2)> c) (1, 0, 1) + (1, 1, 1) d) {(x, y, z) / x=2, y=0, z=4 } Solución: Si a= 2b, 2b 1 b b 2b 1 b b 2 rgA* = rg -2 2b -1 b = rg 0 2b +1 0 b2+b 2 2b 1 4b 0 2b2-1 0 4b2-b
154
2b 1 b b 2 2 = rg 0 2b +1 0 b +b 0 0 0 -6b4+4b3-5b2
b2(6b2-4b+5)=0 b=0, (6b2-4b+5)0 b=0 rg A = rgA* =2 La correcta es la b), las demás no cumplen esto. 2x+z=0 Se debería comprobar, qué ocurre con a= -2b, pero como b) es la solución, se supone que no puede haber más de una solución, por lo cual la correcta es la solución b). ----------------------------------------4.70.-Si a=b=4, por el método de las normas canónicas de la matríz , se deduce que el Método de Iteración Simple o Jacobi: a) Converge b) No converge c) No se puede afirmar si converge o no d) Ninguna de las anteriores Solución: Si a=b=4, 4x+y+4z =4 x= 1- (1/4)y –z x 1 -2x+4y-z =4 y= 1+(1/2)x+(1/4)z y = 1 2x+8y+z=16 z= 16-2x-8y z 16
0 -1/4 -1 x(o 1/2 0 1/4 y(o -2 -8 0 z(o
f = máx (5/4, 3/4, 10) = 10 >1 c = máx(5/4, 33/4, 5/4) = 33/4 >1 fc=
1/16 1/16+1 +1+1 +1/4 /4+1 +1/1 /16+ 6+4+ 4+64 64 >1 Ninguna de las normas es <1 no converge b) -----------------------------------------
Bloque x+y+z=b Sea el sistema de ecuaciones: ax+y+(a-1)z = a x+ay+z=1 (Sep-2004) 4.71.- El sistema es incompatible, si: a) a=b=1 b) a=1, b=2 c) a=2, b=3 d) b=1
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Solución: 1 1 1 a 1 a-1 = 1+a2+a-a-a2+1 = 1-a Si a1 SCD b (rgA=rgA*=3 =nº de inc) 1 a 1 Si a=1, 1 1 1 b 1 1 1 b b=1rgA=rgA*=2 d) {(x,y,z) R3/ x=y, z=3y} Solución: x+y+z=1 El sistema es CI, si a=b=1 x+y=1 z=0, x+y=1 < (x, 1-x, 0) > La correcta es la b). x+y+z=1 ----------------------------------------4.73.- Si a=b=2, aplicando el Método de Iteración Simple(Método de Jacobi), y tomando como iteración inicial X (o = (1,0,1), la segunda iteración, X (2, es: a) (1, -1, 0) b) (3, 0, 2) c) (1, 3, 4) d) (0, 2, 5) Solución: x+y+z=2 x= 2-y-z Si a=b=2 2x+y+z=2 y= 2-2x-z (1) x+2y+z=1 z= 1-x-2y X(1 = 2-0-1=1 Sustituyendo X(o, en (1): Y(1 = 2-2-1=-1 2-2-1=-1 (Volviendo a sustituir sustituir X(1 en (1) Z(1 = 1-1-0=0
X (2= 2+1-0=3 Y(2 = 2-2-0=0 Z (2= 1-1+2=2
Luego X(2 = (3,0,2) la respuesta correcta es la b). Fin del bloque -----------------------------------------
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