Algebra (2012)

Álgebra Básica para Preuniversitarios

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Cap. 1 OPERACIONES BÁSICAS DEL ÁLGEBRA Expresiones algebraicas.- Conjunto de números y letras enlazados entre sí mediante los signos de las operaciones matemáticas tales como: suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación o una combinación de estos. Son expresiones algebraicas las siguientes: 1)

6 x3  4 y 2  5 z 2

2)

3)

2 x3 x y 2  xyz  13

4)

5 xyz 2 x3  5 x 2  6 xy 4 2 xy 2  7 xy 5

Expresiones no algebraicas.- Son las expresiones trascendentes: - Las funciones trigonométricas.

Ejm.

sen(2 x  5) ;

- Las funciones logarítmicas.

Ejem.

log x7 ;

- Las funciones exponenciales.

Ejem.

5x ;

tan (3x2  7 x  1)

log4 x

7x ;

ex

Términos algebraicos.- Son la menor expresión algebraica cuyas partes no están separadas ni por el signo (+) ni por el signo (–). Ejemplo:

3 x3

,

7 y3 z 2

,

7 y3 z 2

,

 5 x3 y 4 z 7

Partes de un término algebraico: Signo

 8 x7

Exponente Parte literal

Coeficiente

Términos semejantes.- Los que tienen igual parte literal afectados de los mismos exponentes, no interesan los coeficientes.

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Términos semejantes:

5 x3 y 2 , 4 x3 y 2 ,  7 x3 y 2

Términos no semejantes:

4 x5 y , 3 x 2 y 3 , 5 x 2 y 3

3

2

Valor numérico de una expresión algebraica.- Se obtiene al reemplazar las letras de una expresión algebraica por números y luego realizar las operaciones indicadas. Ejemplo: Hallar el valor numérico de:

3x 2  5 x  2 y  3 , para x  2 ; 4x  y  2

y 1

3x 2  5 x  2 y  3 3(2)2  5(2)  2(1)  3 12  10  2  3 1     4x  y  2 4(2)  1  2 8 1  2 9 Clasificación de las expresiones algebraicas.- Las expresiones algebraicas, de acuerdo a su forma se clasifican en: Enteras Clasificación de las expresiones algebraicas.

Racionales Fraccionarias Irracionales

Expresiones algebraicas racionales.- La parte literal tiene exponente entero o también porque el subradical no tiene letras. Expresiones racionales: 1)

7ax2  3z 3  5 y 2

2)

7 x2  3z 3  5 y 7

3)

y2 3z 2 5z 2   2 4 xz 9 xy 11y 4

4)

4 x2 y3 

xy z  z x

Expresiones algebraicas irracionales.- La parte literal tiene exponente fraccionario o también porque el subradical tiene letras. Expresiones irracionales: 1

1

1

1)

7 x 2  3z 3  5 y 7

3)

2 x3  7 y 6  7 z

2) 6 x

 23

 7y

 17

1

 9z 9

4) 2 x 22  2 y 6  7 xyz


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Expresiones algebraicas racionales enteras.- La parte literal tiene exponente entero positivo o también por no tener letras en su denominador. Expresiones racionales enteras:

 75 y11  17 z 6

1) 3x2  4 y 7  9 y 20

2)

3) x2 y3 z 4  6w3t 7

4) 4 xyz  x2 y 2 z 2  x3 y3 z 3

5 x5 3

Expresiones algebraicas racionales fraccionarias.- La parte literal posee exponente entero y negativo. Expresiones racionales fraccionarias: 1)

3x3  5 y 5  42z 2

2)

3)

1 2 7   2x 7 y 2z2

4)

4x2  4 y 2  6 z x5  6 yz x y z   y x xy

Las expresiones algebraicas, de acuerdo al número de términos que lleva, se clasifican en MONOMIOS y POLINOMIOS. Monomios.- Son todas las expresiones que constan de un solo término algebraico. Ejemplos:

1) 6 x 2 y3 z 4

2)  5 x3 y 2 z

Polinomios.- Son todas las expresiones que constan de dos o más términos algebraicos. Si tiene dos términos se llaman binomio; si tiene tres términos se llama trinomio, etc. Ejemplos: 1) P( x)  7 x2  5 Binomio

2) P( x, y)  6 x2  8xy 2  10y 4 Trinomio

Uso de los signos de agrupación.- Los signos de agrupación son:



paréntesis

  llaves

  corchete,

barra o vínculo

Tienen la misma función y nos indican que las cantidades encerradas entre los signos de agrupación deben considerarse como una sola cantidad. Ejemplo: (3x  5 y  2 z)    3x  5 y  2 z    3x  5 y  2 z   3x  5 y  2 z

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Reglas para suprimir signos de agrupación.- Los signos de agrupación se eliminan de la siguiente manera: -

Si los signos de agrupación son precedidos del signo (+), cada uno de los términos que se encuentran dentro del signo de agrupación mantienen su signo. Ejemplo: (4x  3 y  7 z)  4x  3 y  7 z

-

Si los signos de agrupación son precedidos del signo (–), cada uno de los términos que se encuentran dentro del signo de agrupación cambian de signo. Ejemplo:   5x  8 y  4z   5x  8 y  4z

Reglas para introducir signos de agrupación.- Se procede de la siguiente manera: -

Si el signo de agrupación que se va ha introducir es precedido del signo (+), los términos que van a encerrar dentro del signo de agrupación es escrita con su mismo signo. Ejemplo: 5x  7 y  2z  (5x  7 y  2z)

-

Si el signo de agrupación que se va ha introducir es precedido del signo (–), los términos que se van a encerrar dentro del signo de agrupación se escriben con signo cambiado. Ejemplo: 7 x  9 y  3z  (7 x  9 y  3z)

Reducción de términos semejantes.- Se suman los coeficientes tomando en cuenta los signos de cada término y a continuación, se escriben las letras con sus respectivos exponentes. Ejemplos:

1) 11x3  5x3  (11 5) x3  6 x3 2) 4 x5  12x5  (4  12) x5  8x5 3) 5x2  9 x2  4 x2  2 x2  6 x2  (5  9  4  2  6) x2  4 x2

Grado.- En una expresión algebraica racional entera, es un número entero positivo que permite determinar el número de soluciones de una ecuación algebraica. El grado de una expresión algebraica es de dos clases: absoluto y relativo. a) Grado absoluto.- Se refiere a todas las letras o variable de una expresión algebraica. b) Grado relativo.- Se refiere a una letra o variable de una expresión algebraica.


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Grado absoluto de un monomio.- Esta dado por la suma de los exponentes de todas sus letras. Ejemplo:

El grado absoluto de

6 x2 y3 z 4

es 9

Grado relativo de un monomio.- Esta dado por el exponente con respecto a una letra. Ejemplo:

Si 7 x 2 y3 z 5 es un monomio, entonces: El grado relativo con respecto a x es 2 El grado relativo con respecto a y es 3 El grado relativo con respecto a z es 5

Grado absoluto de un polinomio.- Esta determinado por el grado absoluto del término de mayor grado absoluto: Ejemplo:

Si 3x2 y5  7 x4 y6 z 2  5x3 y 7 z 6

El grado absoluto de este polinomio se determina de la siguiente manera: 3 x 2 y 5  7 x 4 y 6 z 2  5 x3 y 7 z 6

7

12

16

Luego el grado absoluto del polinomio es 16.

Grado relativo de un polinomio.- Esta dado por el exponente con respecto a una letra: Ejemplo:

Si 4 x2 y3  8x4 y6 z 2  7 x3 y7 z5

es un polinomio:

El grado relativo del polinomio con respecto a “x” es 4 El grado relativo del polinomio con respecto a “y” es 7 El grado relativo del polinomio con respecto a “z” es 5 Polinomios especiales.- Presentan determinadas características importantes: a) Polinomio ordenado con respecto a una de sus letras.- Los exponentes de la letra considerada van aumentando o disminuyendo según la ordenación: 1)

El polinomio P( x)  5x10  6 x8  2 x2  5 Con respecto a x en forma decreciente.

2)

El polinomio R( x)  4  6 x  7 x2  5x3

Con respecto a x en forma creciente.

b) Polinomio completo respecto a una de sus letras.- Tiene todas las potencias sucesivas de la letra que se considera, desde la potencia máxima hasta cero inclusive:

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P( x)  5x5  8x4  3x3  7 x2  9 x  6

El polinomio

es completo respecto a x.

c) Polinomio homogéneo.- Tiene todos sus términos de igual grado absoluto: El polinomio 7 x4  8xy3  3 y 4 es homogéneo d) Polinomio heterogéneo.- Sus términos no todos son de igual grado absoluto: El polinomio 7 x4  8x2 y3  3 y6  7 xy es heterogéneo e) Polinomio entero en x.- Tiene todos sus exponentes enteros positivos y su única variable es x: El polinomio ax4  bx3  cx2  dx  e es entero de cuarto grado.

Operaciones con expresiones algebraicas.- Son las transformaciones que se hacen para obtener una expresión equivalente, mediante la suma, resta, multiplicación y división: I) Suma o adición.- Se escriben los términos uno a continuación del otro con sus propios signos y se reducen los términos semejantes. Suma de monomios.- Realizar las siguientes operaciones: 1) Sumar 4x , 8y y –3z

escribimos uno a continuación de otro con su propio signo

4x + 8y – 3z 2

2

2

2

2) Sumar 5x y , 3xy , x y , 9xy 2

2

2

2

3

y 7y 3

5x y + 3xy + x y + 9xy + 7y 2

2

= 6x y + 12xy + 7y

reduciendo términos semejantes

3

3) Sumar 5x , –6y , –13x , 8y , –3z y 8 5x + (–6y) + (–13x) + 8y + (–3z) + 8 = 5x – 6y – 13x + 8y – 3z + 8 = –8x + 2y – 3z + 8

escribiendo con sus propios signos

escribiendo con sus propios signos reduciendo términos semejantes simplificando


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Suma de polinomios.- Realizar las siguientes operaciones: 1) Sumar x – y , 2x + 3y – z , –4x + 5y

se escribe los sumandos dentro de paréntesis

(x – y) + (2x + 3y – z) + (–4x + 5y) = x – y + 2x + 3y – z – 4x + 5y = – x + 7y – z Otra forma: –y + 3y + 5y + 7y

x 2x –4x –x 3

2

–z –z

3

2

Respuesta 3

3

3

2

3

2) Hallar la suma de: x + xy + y , –5x y + x – y , 2x – 4 xy – 5y 3

x 3 x 3 2x 3 4x

2

2

+ xy

–5x y 2

–5x y

2

–4xy 2 –3xy

3

+y 3 –y 3 –5y 3 –5y

Respuesta

II) Resta o sustracción.- Para restar dos expresiones algebraicas, llamadas minuendo y sustraendo se debe hallar una expresión llamada diferencia que se consigue restando términos semejantes. Para ello se utilizan los signos de agrupación. Ejemplos: 1) Restar los monomios 4 x 2 y ; 5xy 2 . Escribir el minuendo con su propio signo y el sustraendo con el signo cambiado:

4 x 2 y  5xy 2 2) Restar los monomios

 3x3 y 2 ;  5x3 y 2 . De igual forma:  3x3 y 2  (5x3 y 2 )  3x3 y 2  5x3 y 2  2 x3 y 2

3) De 3x2  4 x  3

restar 2 x2  3x  4

Escribir el minuendo con su propio signo y el sustraendo con signo cambiado:

3x2  4 x  3  (2 x2  3x  4)  3x2  4 x  3  2 x2  3x  4  x2  7 x  7

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Regla general para restar.- Escribir el sustraendo con los signos cambiados debajo del minuendo, de manera que los términos semejantes queden en la misma columna y a continuación reducir. Ejemplo: Si P( x)  5x2  xy  9 , Q( x)  8xy  3 y 2  7 , R( x)  5x2  2 xy  9 y 2 1) Calcular: P + Q – R 2

2) Calcular: P – Q + R

–xy

5x

2

–5x 0

2

+9 2

+ 8xy + 2xy

+ 3y 2 –9y

+ 9xy

2

5x

+7 2

5x

–6y

2

10x

+ 16

Resultado:

–3y

–2xy

+ 9y

–11xy

+ 6y

2

+9 –7

2 2

+2

Resultado: 2

P + Q – R = 9xy – 6y + 16

3) De

–xy –8xy

2

2

P – Q + R = 10x – 11xy + 6y + 2

8 x 4  5 x3 y  3 x 2 y 2

4 x 4  2 x3 y  5 x 2 y 2

restar 4

8x 4 –4x 3 4x

3

–5x y 3 + 2x y 3 –3x y

2 2

+ 3x y 2 2 –5x y 2 2 –2x y

Respuesta

III) Multiplicación o producto.- Consiste en hallar otra expresión algebraica llamada producto, dados dos cantidades multiplicando y multiplicador (llamados factores).

P( x)  Q( x)  D( x) a) Reglas de los signos de la multiplicación.- Ley de los signos: + por + da + – por + da –

+ por – da – – por – da +

b) Multiplicación de monomios.- Se le llama multiplicación de monomios a la multiplicación de un solo término por otro término -

Se multiplica él termino del multiplicando por él termino del multiplicador. Se suman los exponentes de las literales iguales. Se escriben las literales diferentes en un solo término resultado. Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los signos vistas anteriormente.

Ejemplos:


1) Multiplicar

7 x3 y 2 por

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 8x m1 y m2

(7 x3 y 2 )(8xm1 y m2 )  (7)(8) x3 m1 y 2 m2  56xm 4 y m

2) Multiplicar 3 y 2 z ,

 4xyz3

Resp.

 6 xy3 z

,

(3 y 2 z)(4 xyz3 )(6 xy3z)  (3)(4)(6) x11 y 213 z131  72x2 y6 z5

Resp.

c) Multiplicación de un polinomio por un monomio.- Se le llama multiplicación de monomios con polinomios cuando un solo factor se encuentra multiplicando a un polinomio Reglas: -

Se multiplica el término del monomio por cada término del polinomio, sumando los exponentes de las literales iguales. Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los signos vistas anteriormente Se encuentra la suma algebraica de los productos parciales.

Ejemplos: 1) Multiplicar

x3 y 4  7 x2 y3  10xy 2 por

x2 y 2

( x3 y 4  7 x2 y3  10 xy 2 )( x2 y 2 )  ( x3 y 4 )( x2 y 2 )  (7 x2 y3 )( x2 y 2 )  (10xy 2 )( x2 y 2 )

 x5 y 6  7 x 4 y5  10 x3 y 4 En la práctica se suele multiplicar del modo siguiente: x3 y 4  7 x 2 y 3  10 xy 2 x2 y 2

x5 y 6  7 x 4 y 5  10 x3 y 4

2) Multiplicar  5x3 y  8x5 y 2  xy

por

Resp.

3xy3

 5 x3 y  8 x5 y 2  xy 3xy 3

 15 x y  24 x y  3 x 2 y 4 4 4

6 5

Resp.

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d) Multiplicación de polinomios.- La multiplicación de polinomios es la más general de las multiplicaciones algebraicas. Reglas: -

Se multiplica cada término del polinomio por cada término del polinomio, sumando los exponentes de las literales iguales. Se coloca el signo de cada factor resultante de acuerdo con las reglas de los signos vistas anteriormente. Se encuentra la suma algebraica de los productos parciales.

Ejemplos: 1) Efectuar la multiplicación de polinomios

3x 2  2 x  4 , 5 x 2  3x  6

3x 2  2 x  4 5 x 2  3x  6 15 x 4  10 x 3  20 x 2  9 x3  6 x 2  12 x 18 x 2  12 x  24 15 x 4  x3  8 x 2  24 x  24

Resp.

2) Efectuar la multiplicación de: 3x3  5xy 2  6 x2 y  y3 con 3x 2  y 2  5xy Los polinomios deben ordenarse con respecto a una letra: 3 x3  6 x 2 y  5 xy 2  y 3 3 x 2  5 xy  y 2

multiplicando

9 x  18 x y  15 x y  3 x y 5

4

3 2

2 3

 15 x 4 y  30 x3 y 2  25 x 2 y 3  5 xy 4 3 x3 y 2  6 x 2 y 3  5 xy 4  y 5

sumando

9 x 5  3 x 4 y  42 x3 y 2  28 x 2 y 3  y 5

Resp.

IV) División o cociente.- La división de expresiones algebraicas, llamados dividendo “D” y divisor “d”, consiste en hallar otras dos expresiones algebraicas llamadas cocientes “Q” y residuo “R”.

Si

D d Q R

: : : :

Dividendo Divisor Cociente Residuo

entonces: D = Q d + R, donde:

D R Q d d


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a) Ley de los signos.- Es la misma que en la multiplicación: Ley de los signos: + entre – da – – entre – da +

+ entre + da + – entre + da –

b) División de monomios.- Es la división de un monomio entre otro, en fracción se trabaja como reducción de múltiplos iguales. Reglas: -

Se aplica ley de signos Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.

am  an 

am an

 amn

Ejemplos: 1) Dividir 16x3 y 4 entre

2 x5 y

16x3 y 4  2 x5 y 

16x3 y 4 5

2x y

2) Dividir

 30x m 2 y m1 entre

 30 x 3) Dividir

m 2

y m1    3x 2 y 4  

 20x3 y 4 z 2 entre

 20x3 y 4 z 2  5 x3 y5 z 2 



16 35 41 x y  8x 2 y3 2

Resp.

 3x 2 y 4

30 x m 2 y m1 30   x m 22 y m14  10 x m y m5 3 3x 2 y 4

Resp.

5 x3 y 5 z 2

 20x3 y 4 z 2 3 5 2

5x y z



20 33 45 2 2 x y z  4 x0 y 1z 0  4 y 1 5

Resp.

c) División de un polinomio entre un monomio.- Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.

- 12 -


Reglas: -

Colocamos el monomio como denominador de él polinomio. Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido por el monomio. Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el capitulo anterior. Se realizan las sumas y restas necesarias.

Ejemplos: 1)

6 x4 y  9 x3 y 2  12x2 y3  6 xy 4

Dividir

6x 

2)

Dividir

4

entre

y  9 x3 y 2  12 x 2 y 3  6 xy 4    3xy  

3xy

6 x 4 y  9 x3 y 2  12 x 2 y 3  6 xy 4 3xy

6 x 4 y 9 x3 y 2 12 x 2 y 3 6 xy 4     2 x3  3x 2 y  4 xy 2  2 y 3 3xy 3xy 3 xy 3 xy

4 xa  4 y m1  6 xa 3 y m2  8xa  2 y m3  2 xa  2 y m2

4 x a  4 y m1  6 x a 3 y m2  8 x a  2 y m3 4 x a  4 y m1 6 x a 3 y m2 8 x a  2 y m 3    2 x a  2 y m2 2 x a  2 y m2 2 x a  2 y m2 2 x a  2 y m2  2 x 2 y  3x  4 y 1

d) División de polinomios.- En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética, los pasos a seguir son los siguientes: -

Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido, en orden descendente, si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los términos que faltan.

-

El primer termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo entre el primer miembro del divisor.

-

Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.

-

El segundo termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer termino del divisor.


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-

Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.

-

Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer termino no pueda ser dividido por el primer termino del divisor.

La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el termino que se encuentra mas a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial. Ejemplos: 1)

Dividir 4 x3  3x2  3

entre

x2  x  1

2)

Dividir los polinomios: 3

2

P(x) = 6x – 9x + 5 entre

4 x3  3x 2

3

4 x  4 x  4 x x2  4 x  3  x2  x 1  3x  2 3

2

x2  x 1 4x 1

La operación completa es la siguiente:

6 x3  9 x 2

4x + 1

Residuo:

–3x + 2

5

2 x2  x

6 x3  3x 2 3x  6  12 x 2 12 x 2  6 x 6x  5

Respuesta: Cociente:

2

Q(x) = 2x + x

Respuesta: Cociente:

3x – 6

Resto:

6x + 5

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EJERCICIOS RESUELTOS Valor numérico de un polinomio: 1)

P x   3x3  2 x 2  5 , para x = 2

P x   3(2)3  2(2)2  5  24  8  5   P(2)  27

Solución:

2)

P y   2 y 4  3 y 3  2 y para y = –2

Solución:

3)

P 2  2   2   3   2   2   2   32  24  4  P 2  52 4

P x, y   5x 2 y  5xy 2  3x,

3

para x = 3; y = 2:

Solución:

P x, y   5  32   2   5  3   2   3  3   90  60  9  P x, y   141 2

2 3 2 3 4) P( x, y, z )  3xy z  2 x y z  2 xyz , para x = 2; y = 2; z = 1:

Solución:

P x , y , z   3   2   22   1  2   2   22   1  2   2   2   1 3

3

 24  64  8

P x , y , z   80

Signos de agrupación y reducción: 5) Simplificar: 2a  a  (a  b) Solución:

  2a   a  a  b   2a  b   2a  b

6) Simplificar:

3x  x  y  2 x  y

Solución:





  3 x   x  y  2 x  y    3x    x    3x  x   4 x


- 15 -

7) Simplificar:

2m  (m  n)  (m  n)

Solución:

  2m   m  n  m  n   2m  2n   2m  2n

8) Simplificar:







4m  2m  n  3   4n  2m  1

  4m   2m  n  3   4n  2m  1 Solución:

  4m  2m  n  3  4n  2m  1   5n  2

9) Simplificar:

Solución:

  2 x   5 x   2 y  x  y     2 x   5 x  2 y  x  y    2 x   4 x  y    2 x  4 x  y   2 x  y

10) Simplificar:

Solución:

2 x  5x  (2 y   x  y) 

8x2  2 xy  y 2    x2  xy  3 y 2   ( x 2  3xy)

 8 x 2   2 xy  y 2    x 2  xy  3 y 2   ( x 2  3xy )   8 x 2  2 xy  y 2  x 2  xy  3 y 2  x 2  3xy  8 x 2  4 y 2

11) Simplificar:

4m  2m  n  3   4n  2m  1

 4m   2m  n  3   4n  2m  1 Solución:

 4m   2m  n  3  4n  2m  1  4m  2m  n  3  4n  2m  1    5n  4

12) Simplificar: 5x  11y  9  20 x  1  y Solución:  5x  11y  9  20 x  1  y   5x  20 x    11y  y    9  1  25x  12 y  10

- 16 -


4 x 2    x 2  xy    3 y 2  2 xy    3x 2  y 2 

13) Simplificar: Solución:

 4 x 2     x 2  xy    3 y 2  2 xy    3x 2  y 2    4 x 2    x 2  xy  3 y 2  2 xy  3x 2  y 2   4 x 2  x 2  xy  3 y 2  2 xy  3x 2  y 2

 6 x 2  3xy  4 y 2

Suma, resta, multiplicación y división de monomios y polinomios: 2

2

2

14) Sumar: 3x + 5x = 8x

4x y  2x y = 2x y 3

15) Sumar:

3

3

2

3

3

16) Sumar: 5x + 3x  2x = 6x

17) Sumar: 3x + 2x + 5x

18) Sumar:

19) Sumar:

3

3

3

2xy2  3xy2  xy2 



3



3

2

= 8x + 2x

2 2 1 1 1  2 x  x2  x2   1  x2  x2 3 2 3 2 6  

2  2 xy2

Si A = 3x ; B = 5x ; C = 3x y ; D = 4x y 3

4

2 3

3 4

20) Hallar el producto de: A.B Solución:

21) Hallar el producto de: A.C

= (3x )( 5x ) = 15x 3

4

7

Solución:

22) Hallar el producto de: B.C Solución:

2 3

2

5

23) Hallar el producto de: B.C.D

= (5x )(3x y ) = 15x y 4

3

= (3x )(3x y) = 9x y

Solución: = ( 5x )(3x y )(4x y ) = 60x y

6 3

4

2 3

3 4

Siendo A = 3x ; B = 5x ; C = 3x y ; D = 4x y 3

4

2 3

3 4

24) Hallar el cociente de: B÷A

25) Hallar el cociente de: A÷B

4 Solución: = 5 x   5 x 3

Solución: =

3x

3

3x3 3   x 1 5 5 x 4

9 7


- 17 -

26) Hallar el cociente de: (AxD)÷C

27) Hallar el cociente de: D÷B

3 3 4 6 4 Solución: = (3x )(4 x y )  12 x y  4 x 4 y 2 3 2 3

3 4 4 Solución: = 4 x y   4 y 4

28) Desarrollar: (a)(3a)(a 2 )

29) Desarrollar: (3x2 )( x3 y)(a 2 x)

Solución: (a)(3a)(a2 )  3a11 2

Solución: (3x2 )( x3 y)(a2 x)  3a2 x231 y

 (a)(3a)(a 2 )  3a 4

 (3x2 )( x3 y)(a 2 x)  3a2 x6 y

3x y

30) Multiplicar:

3x y

3 1 2 5 a  b  c por  ac2 5 6 5 3

5 x

31) Multiplicar: 2 a 2  1 ab  2 b 2 por 3a 2 x 5 3 9 Solución:

Solución:

5 1 2  3  ac 2   a  b  c  3 6 5  5 5 3 5  1 5 2    a11c 2      abc 2   ac 21 3 5 3  6 3 5  a 2 c 2 

5 x

5 2 abc 2  ac3 18 3

32) Dividir:

1 2 2 x entre 2 3

Solución:

1 2  2 3a 2 x   a 2  ab  b 2  3 9  5 2 2 2 1 21 2  3  a x  3  a bx  3  a 2 b 2 x 5 3 9 6 2  a 4 x  a 3bx  a 2 b 2 x 5 3

33) Dividir:

Solución: Separando coeficientes

1 1 3 3 Parte numeral: 2   2 2 2 4 3 Por lo tanto:

1 2 2 3 2 x   x 2 3 4

5 1 2  3  ac 2   a  b  c  3 6 5  5 5 3 5  1 5 2    a11c 2      abc 2   ac 21 3 5 3  6 3 5  a 2 c 2 

3x 2 y3  5a 2 x 4 entre  3x 2

5 2 abc 2  ac3 18 3

3x 2 y 3  5a 2 x 4  3x 



2

3x 2 y3  5a 2 x 4  3x 2

3x 2 y 3



 3x 

3x 2 y 3  5a 2 x 4  3x

2

2



5a 2 x 4

3x 2 y 3 3x 2

 3x 2 

5a 2 x 4 3x 2

5   y3  a2 x2 3

- 18 -


PREGUNTAS DE RAZONAMIENTO MONOMIOS Y POLINOMIOS 1.

Encuentre el binomio 2

2 5

b) –3a b x

a) 5xy z

2.

3

3

2

b) x + y – z 2

2

2

c) 3a + 5b + 4c – 5d 2

2

4

2

4

2

2

2

2

d) –2x – 4y

2

Al operar 5b – 5b se obtiene b) b 2

3

2

c) –10b 2

2

d) 10b

2

2

Sume 3x – 5xy + 9y con 9y – 5xy + 3x 3

2

5

2

b) 9y – 10xy + 6x 2 2 3 d) 6x – 10xy + 9y + 9y

Encuentre los términos que no son semejantes 2

2

a) 6a ; 5a ; 2a 2

2

3

b) 2a; 5a; 7a 2

2

3

3

c) 3x ; 4x ; 5x

d) 2x; 3y; z

2

Opere (4a – 5ab + 3b ) – (8a – 8a + 3ab – 4b ) 2

2

2

a) 4a – 8a + 8ab – 7b 2 2 c) –4a + 8a – 8ab + 7b 9.

d) 1/2a – 3/4b + c

c) 2x + 4y

a) 9y – 5xy + 3x 3 2 2 c) 9y + 9y – xy + 3x

8.

3

2

b) – 2x + xy – 4y

a) 0

7.

2

d) 2b, –4b ; 2b

c) 3ab; 2ac; 4af

La simplificación de 3x – 4xy + 2y – 5x – 6y + 4xy a) 2x – xy + 4y

6.

8

Indique el qué no es trinomio 4

5.

2

b) 2a ; –4a ; 5a

a) 2x – 4x – 5x 4.

d) 4a – 3b

Identifique los términos semejantes a) 3a; 5a; 7a

3.

c) 2ax – 3xw + y

2

b) 12a – 8a – 2ab – b 2 2 d) 12a – 8a – 2ab + 4b

Encuentre un monomio 2

a) 2 – 3x

2 3 4

b) 3x y z

2

c) 7a – 4

2

d) 2 – 4w + 5w


- 19 -

10. Identifique la expresión que no es un polinomio 8 5 5 3

2

a) 7a b c d

5

5

5

b) w + x + z

-2

2/3

d) 4x – 5z

c) 3x + 4

11. El monomio 4x tiene grado: a) 1

b) 4

c) x

d) N. A.

2

12. El monomio 5 a b tiene grado absoluto: a) 3

b) 2

c) 5

d) N. A.

3

13. Con respecto al monomio 5x : a) El coeficiente es 3 y la parte literal x 3 c) El coeficiente es 5 y la parte literal x x

x

14. Reducir: z + 5z + 9 z x

b) El coeficiente es 5 y la parte literal x d) N. A.

x

x

a) z

x

b) 15z

15. Reducir: – 7b a) –14b

x+1

– 4b

x

x+1

– 3b

x

c) 14z

d) 6z

x+1

b) –11b

x+1

c) –14b

x+1

d) –b

x+1

16. Simplificar: –72ax + 87ax – 101ax + 243ax a) –173ax

b) 330ax

17. Simplificar: a) 83a

x

x

c) 157ax

x

x

9a – 31a – 40a – 11a + 74a

x

b) –82a 3

3

3

x

x

c) a

2 2

3

3

d) 137ax

x

d) 51a

x

3

18. Simplificar: x + y – ( x + 2x y + y ) + [–x + y ] 3

3

2 2

a) –x + y – 2x y

3

3

2 2

b) x + 2y + 2x y

3

3

2 2

c) x – y – 2x y

d) N. A.

c) x + y

d) y – x

19. Simplificar: 3x  4 y  5x  2 y a) x – y

b) 2y – 2x

- 20 -


20. Simplificar: 4 x 2  2 x 2  y 2  3   4 y 2  2 x 2  1     2

2

2

a) 2x – 4y – 1

2

b) 2 – 5y

2







21. Simplificar:  ( x 2  y 2 )   3x 2  y 2   2 x 2  y 2  ( x 2  y 2 )  2 x 2 2

2

2

a) x – 2y

2

c) x – y – 4

2

2

d) x – 5



2

c) 2y – x

b) x + y

 

d) x – 2y



22. Simplificar:   x   x  ( x  y)  x  y  z   ( x)  6 a) 3x – z – 6

b) 3x + z + 6

d) x + 3z – 6

c) x + y + z

SUMA DE POLINOMIOS 1.

Sumar: 2x – 3x + 6x – 4x + 15x a) 30x

2.

b) 24x 2

2

b) 2mn 2

2

2

2

2

d) 24mn

2

2

2

2

c) 40a b

d) 46a b

c) 16pq – 16

d) 0

Sumar: –14pq + 11pq – 9pq – 16 b) –12pq – 16 3 2

3 2

32

Sumar: 8h f – 14h f – 5 + h f + 8 2 3

2 3

2 3

b) 3 – 5f h

2 3

c) 13 – 5f h

d) 8 – 10f h

c) 4

d) 4xy – 18

Sumar: 5xy – 3xy – 7 + 2xy + 11 a) 4xy + 4

7.

c) –4mn

2

a) 3f h – 5 6.

2

b) –16a b

a) –28pq 5.

2

Sumar: –7a b + 15a b – 21a b – 3a b a) –2a b

4.

2

d) 16x

Sumar: 2mn – 3mn – 11mn + 8mn a) 18mn

3.

2

c) 22x

b) 10xy + 4 2 2

2 2

2 2

Sumar: 2/3 m n – 3/4 m n – 1/3 m n – 1/2

Álgebra Básica para Preuniversitarios 2 2

2 2

a) 7/4 m n – 1/2 8.

2 2

2 2

c) 1/3 m n – 5/4

b) -11/12 m n

d) -5/12 m n – ½

Sumar: 1/4ab – 2/7 – 3/5ab + 2/3 + 2/5ab a) 1/20ab + 8/21

9.

- 21 -

b) 1/20ab + 20/21

2

2

Sumar: 1/2c – 7/5 – 1/8c – 1/10 + 2c 2

2

2

a) 21/8c – 3/2

2

2

2

c) 19/8c – 3/2

b) 19/8c + 13/10 2

d) –3/4ab + 8/21

c) 5/4ab + 8/21

2

2

d) 19/8c – 13/10

2

2

10. Sumar: – {15m + 9n – [3mn – 27m + (–7m + 15mn + 20n ) – m ] + 18mn} 2

a) –50m + 11n

2

3

2

b) 50m – 10n 3

2

3

2

c) –36m + 11n 3

2

2

2

3

3

d) –36m – 10n

3

11. Sumar: –x + {5/9 y – [4/5 x – (10/7 x + y )]} 3

a) –13/35x + 14/9y

3

3

3

b) 57/35x + 14/9y

3

3

c) –57/35x – 4/9y

d) –13/35x – 4/9y

12. Sumar: (x + 2) + (x + 2) a) x + 4

b) x + 2

2

c) 2x + 4

d) x + 4

13. Sumar: (x + 4) + (2x + 5) 3

a) x + 9

b) x + 2

c) 3x + 9

d) 2x + 9

14. Sumar: (x + 2) – (x + 2) a) x + 4

b) 2x + 4

2

c) x + 4

d) 0

c) 3x – 9

d) – x – 1

15. Sumar: (x + 4) – (2x + 5) a) –3x – 9

b) 3x + 9

2

2

16. Sumar: (x + 3x + 5) + (x + 3x + 5) 2

a) 2x + 6x + 10 2

2

b) x + 6x – 10

2

d) 2 + 6x + 10

2

d) 2 + 6x + 10

c) 2 - 6x + 10

4

2

17. Sumar: (x + 3x + 5) – (x + 3x + 5) 2

a) x + 6x + 10

b) 0

c) 2 + 6x – 10

4

- 22 -

Álgebra Básica para Preuniversitarios 2

4

18. Sumar: (x + 3x + 5) + (x + 3x + 5) 2

2

a) x – 6x + 10

b) x + 5x + 10

2

2

d) x + x + 6x + 10

4

2

d) x + 6x + 11

c) x + 9x + 10

2

4

19. Sumar: (x + 3x + 5) + (x + 2x + 6) 4

2

4

a) x + x + 5x + 11

b) x + 5x + 10

2

2

c) x + 5x + 11

4

20. Sumar: (x + 3x + 5) – (x + 3x + 5) 4

4

4

b) x + 5x – 10

a) x + 5x + 10 2

2

4

c) –x + x

d) x + 5x + 10

4

21. Sumar: (x + 3x + 5) – (x + 2x + 6) 4

2

4

a) –x + x

2

4

2

d) –x + 5x + 10

4

4

2

d) –x + 5x + 10

c) –x + x + x – 1

b) x + 5x + 10 4

22. Sumar: (x + 4x + 5) – (x + 2x + 6) 4

4

a) x – 5x + 10

4

c) –x + x + 2x – 1

b) x + 5x + 10 4

23. Sumar: (x + 2) – (x + 2x + 6) 4

2

4

2

4

b) x – x + 2x

a) x + x + 2x

4

c) –x – x – 4

2

d) x + x + 2x

PRODUCTO DE POLINOMIOS 1.

3 2

4 5

4 3

3 6

a) 7 x y – x y 2.

3 2

b) 10 x y – 2 x y

2

4 5

4 3

c) 10 x y – 2 x y

3 6

3 2

d) x y – x y

2

Resolver –x y(–8x – 14y ) 2

2 2

a) –8x y – 14 x y 3.

3

Resolver: 2x y (5xy – xy)

2

2 2

b) 8 x y + 14 x y

2 3

3

2 3

c) –8x y – x y

3

2 3

d) 8 x y + 14 x y

2

Resolver: 1/7a b ( –7ab – 14 a b + 11/3) 4 4

3 4

2 3

a) – 2 a b – a b + 11/21 a b 4 4 3 4 2 3 c) 2 a b + a b – 11/21 a b

4 4

3 4

2 3

b) 14/7 a b + 7/7 a b + 11/21 a b 3 5 3 4 3 2 d) –a b – a b + 11 a b


4.

p

- 23 -

2p

Resolver: –8m ( –1/4m – 1/2m 2p – 1

3p

p-1

2

+m )

p+2

5.

2

Resolver: (6x – 5x + 3)(x – 7) 3

2

3

2

2

2

2

Resolver: (4 a – 2 ab + 9 b )(7 a + 5 ab – 2 b ) 4

3

2 2

3

a+2

Resolver: (x

a+1

– 3x

a

4

4

2 2

3

4

2

– 4x )(x + 3x) a+4

a+2

a+1

b) x – 13x – 12x a+4 a+2 a+1 d) –x +x +x

2

Resolver: (1/2x – x + 3/5)(5/2x – 3) 3

2

3

a) – 5/4 x + 4 x – 9/2 x + 9/5 3 2 c) x – x + x – 9/5 9.

3

b) a + a b + a b + ab – b 4 3 2 2 3 4 d) 28a – a b – a b – ab + b

a) x(a + 4) – 13x(a + 2) – 12 x(a + 1) 4a 2a a c) x – 13x – 12x 8.

2

b) x – 47 x + 38 x – 21 3 2 d) 6 x – x + x + 21

a) – 28a – 6a b – 45a b – 49ab + 18b 4 3 2 2 3 4 c) 28a + 6a b + 45a b + 49ab – 18b 7.

2p

b) 2 m + 4 m –8m 2p p–1 2p d) – 2 m – 4 m + 8m

a) – 6 x + 47 x – 38 x + 21 3 2 c) 6 x – 47 x + 38 x – 21 6.

p–1

2p

a) – 2 m – 4 m +8m 3p 2p – 1 p+2 c) 2 m + 4·m –8m

2

b) 5/4 x – 4 x + 9/2 x – 9 /5 3 2 d) 5/4 x + x – x + 9/5

3

2

Simplificar: 9(x – 10) + 3(4x – 11) – 5(4x + 3x – 9) 3

2

3

a) x – x – x – 78 3 2 c) 9x – 20x – 3x – 78 2

2

b) – 9x + 20x + 3x + 78 3 2 d) 9x + 20x – x – 7 4

3

2

10. Simplificar: (4x – 6)(–x + 9) – (–5x – 7)(x + 4) 6

5

4

3

2

a) –4x + x – 6x – x + x + 26 6 5 4 3 2 c) –x + x + x + x + x – 2

6

5

4

3

2

b) 4x – 5x – 6x – 20x – 43x + 26 6 5 4 3 2 d) –4x + 5x + 6x + 20x + 43x – 26

- 24 -


OPERACIONES COMBINADAS 1.

2

2

2

Dados los polinomios P(x) = x – x + 2, Q(x) = 3x – x – 1 y R(x) = 2x + 2x – 3. Calcular P(x) . [Q(x) + R(x)] 4

3

2

4

a) 5x – 4x + 5x + 6x – 8 4 2 c) 5x – 4x – 8 2.

3

b) 6

b) 3 12

¿Cuál es el valor de:

3

7 1 c b 3 4

9c – 5

c=–3

si: b = 4 y c) – 8 si

d) 121/2

c= –3 d) – 22

c) 22

15 ab 2

c=5 d) –92

c) 82

b) –32

b) 3

d) 2

b = –1 , t = –2 ,

si:

b) 103/12

Hallar el valor numérico de: a) 24

3

b) –12

Hallar el valor numérico de: a) – 2

9

d) 7

c) 4

Halla el valor numérico de: 4(bt – 5c)

a) – 6

9.

2

– x + x + 1 entre x – 1

b) 6

6. Halla el valor numérico de:

8.

d) 10

c) 5

Calcular el resto en la división x

a) –108

7.

c) 8 3

a) 8

5.

2

Hallar el valor de “m” sabiendo que el resto de dividir (m + 1)x + 2x – 4x + m entre (x + 2) es 1. a) 1

4.

2

El residuo de dividir 3x + x – 5x + 20 entre x + 2 es: a) 4

3.

3

b) 5x + 3x – 4x + 3x + 8 4 3 d) 5x – 3x + x – 8

si:

a

3 5

y

c) 6/5

ab ab , sabiendo que b  0?  b b

b

3 2

d) 6


a) 1

10. Simplificar:

b) 2

- 25 -

c) 2 a



d) 2 b



7 x 2    x 2  3 y   5  y    3  x 2    2 x  3

a) 7 x2  2 x  4 y  5

b) x2  2 x  4 y  5

c) 5x 2  2 x  3 y  3

e) N. A

LENGUAJE ALGEBRAICO 1. La mitad de un número: a) 2x

b) x/2

c) x²

d) N. A.

c) x/2 + 3

d) N. A.

c) x – 3  4

d) N. A.

2. El doble de un número más tres: a) 2x + 3

b) 2 (x + 3)

3. El triple de un número menos cuatro: a) 3x – 4

b) 3  4 – x

4. La mitad del cubo de un número: a) 3 x/2

b) 3/2 x

c) x /2

3

d) N. A.

c) 7 – x

d) N. A.

c) m + n  2

d) N. A.

c) x – 5

d) N. A.

5. Siete menos un número: a) x – 7

b) 7 – 3

6. El doble de la suma de dos números: a) 2 m + n

b) 2 (m + n)

7. La edad de una persona hace cinco años: a) 5 – x

b) 32 – 5

8. El cuadrado más el triple de un número: 2

a) 3 + 3 x

2

b) x + 3 x

c) x + 3

2

d) N. A.

9. La expresión 2n – 1 representa siempre a los números: a) pares

b) impares

c) primos

d) racionales

10. Si al doble de cierto número se suma 6, el resultado es 4 unidades menos que el triple del número. ¿Cuál es el número? a) 1

b) 5

c) 10

d) 15

- 26 -


EJERCICIOS PROPUESTOS OPERACIONES BÁSICAS 1. Evalúe cada polinomio para los valores dados: 2

x=–2

b) x /3 – 3x + 5

2

x =5

d) 4xy – 8y

a) 4x – x + 3 c) –x +7

2

2

x = 3/2 x = 3 ; y = 0.5

2. Eliminar los términos semejantes en los siguientes polinomios: a) 8x – 3x + 7x 2

3

b) 3x + 9y – 2x – 6y 3

2

c) 7a – 15b + 5b + 9a – 4b 2 2

2 2

3

d) 3a+ 4c + 9c – 7b – 7a- 15c

2 2

2

e) 6x y – 12x y + x y 2

2

2

2

2

2

2

f) a + b – 2b – 3a – a + b 2

2

a a a   2 3 4

g) x yz + 3xy z – 2xy z – 2x yz

h)

2 2 2 2 i) a b  2ab  3ab  6a b 5 3 2 5

j) m  m  2m  m 2 3 4

3. Eliminar paréntesis y reducir términos semejantes en los siguientes polinomios: a) (10b + 4) + (6 – 9b) – (3b – 7) b) 20 + (–7 + 2x) – (–3x – 7) c) 8x – (15y + 16z – 12x) – (– 13x + 20y) – (x + y + z) d) 9x + 13y – 9z – 7x – {– y + 2z – (5x – 9y + 5z) – 3z } e) 9 x  3 1 y  9 z  7 x   1 y  2 z   5 1 x  9 y  5 z   3z       2  3   2   4. Dados los polinomios: 2

A) 2b c – 3b + 6c

2

2

B) 4b – c b + 12 b c

C) 4 – 2c

Ejecute las siguientes operaciones: a) A + B, b) A – C, c) B – A 5. Calcular el perímetro de la siguiente figura:

x2 + x 2x2 + x

x 3x2 + x – 3

6. El perímetro de un rectángulo es 8x – 6 y un lado es 3x + 7 ¿Cuánto mide el otro lado?


- 27 -

Cap. 2 PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES Introducción.- En el estudio de la matemática, continuamente encontramos expresiones que mantienen la misma mecánica, son tan repetitivas que no necesitamos realizar la operación para conocer su respuesta, a este tipo de operaciones se les llama notables, y puede encontrarse su respuesta sin realizar la operación, por simple inspección. 1.- Cuadrado de un binomio.- Básicamente se escriben así:

 a  b

2

Se lee “el cuadrado de la suma de dos cantidades”

 a  b

2

Se lee “el cuadrado de la diferencia de dos cantidades”

Efectuando las operaciones queda:

(a  b)2  a 2  2ab  b2

(a  b)2  a 2  2ab  b2

 a  b

El cuadrado de la suma de dos cantidades

  más el doble producto de ellas  2ab 

primera a

b  .

2

2

es igual al cuadrado de la

más el cuadrado de la segunda

2

 a  b  es igual al cuadrado de la ellas  2ab  más el cuadrado de la 2

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades primera segunda

a  2

menos el doble producto de

b  . 2

Ejemplos: 1) Desarrollar

 8 y  3x 

1) Desarrollar

 8 y  3x 

2

2

 8 y   2 8 y  3x    3x   64 y 2  48xy  9 x 2 2

2

 8 y   2 8 y  3x    3x   64 y 2  48xy  9 x 2 2

 169m2 n6  182m3 n4  49m4 n2

2

- 28 -


Lo importante en los productos notables no es necesario operar, solo aprender a reconocerlos y sustituirlos. 2.- Cubo de un binomio.binomio.

 a  b  a  b

3

3

Las siguientes son las formas básicas de los cubos de

Se lee “el cubo de la suma de dos cantidades” Se lee “el cubo de la diferencia de dos cantidades”

Efectuando las operaciones queda:

(a  b)3  a3  3a 2b  3ab2  b3

(a  b)3  a3  3a 2b  3ab2  b3

 a  b

El cubo de la suma de dos cantidades

3

 

es igual al cubo de la primera a 3

más el triple producto del cuadrado de la primera por la segunda



triple producto de la primera por el cuadrado de la segunda 3ab 2

 



3a b  2

más el

más el cubo de

la segunda b3 . El cubo de la diferencia de dos cantidades  a  b  es igual al cubo de la primera 3

 a  menos el triple producto del cuadrado de  3a b  más el triple producto de la primera por 3ab  menos el cubo de la segunda  b  . 3

2

2

la primera por la segunda el cuadrado de la segunda

3

Ejemplos: 1) Desarrollar:

(2 x2 y  3xz)3  (2 x2 y)3  3(2 x 2 y)2 (3xz)  3(2 x 2 y)(3xz) 2  (3xz)3

 8x6 y3  36 x5 y 2 z  54 x4 yz 2  27 x3 z 3

2) Desarrollar:

(2 x2  3 y 2 )3  (2 x2 )3  3(2 x2 )2 (3 y 2 )  3(2 x2 )(3 y 2 ) 2  (3 y 2 )3  8x6  36 x4 y 2  54 x2 y 4  27 y 6


- 29 -

3.- Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.escriben así: (a  b)(a  b)

 a  b  a  b 

Básicamente se

Se lee “el producto de la suma por la diferencia de dos cantidades”

(a  b)(a  b)  a 2  b2

Si los multiplicamos queda:

La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados. Ejemplos: 1)

Efectuar

( x3  y 2 )( x3  y 2 )  ( x3 )2  ( y 2 )2  x6  y 4

2)

Efectuar

(3a + 4b) (3a – 4b) = 9a – 16b

3)

Efectuar

(5a

4)

Efectuar

( x  y  1)( x  y  1)   x  y   1  x  y   1   x  y   12

2

n+1

m

m

+ 3a )(3a – 5a

n+1

) = 9a

2m

2

– 25a

2n+2

2

 x2  2 xy  y 2  1

En el último ejemplo se puede convertir un polinomio de más de dos términos en un binomio con solo usar paréntesis y tomar lo que se encuentra en el paréntesis como un todo. 5)

Efectuar

(2 x  3 y  4 z)(2 x  3 y  4 z)  2 x  (3 y  4 z) 2 x  (3 y  4 z) 

 (2 x)2  (3 y  4 z ) 2  4 x 2  (9 y 2  24 yz  16 z 2 )  4 x 2  9 y 2  24 yz  16 z 2

4.- Producto de dos binomios que poseen un término común (x + a)(x + b).- El término común es “x”, desarrollando se tiene:

( x  a)( x  b)  x 2  (a  b) x  ab El producto de dos binomios con un termino en común es igual al cuadrado de ese termino, más el producto de este por la suma algebraica de los otros dos, más el producto de estos.

- 30 -


Ejemplos: 1)

Efectuar

 y  5 y  3  y 2   5  3 y   53  y 2  2 y  15

2)

Efectuar

(4 x 2  y 3 )(4 x 2  3 y 2 )  (4 x 2 ) 2  ( y 3  y 2 )4 x 2  ( y 3 )(3 y 2 )  16 x 4  4 x 2 y 3  4 x 2 y 2  3 y 5

3)

Desarrollar (2 x  3)(5 x  4)  (2 x)(5 x)  (3)(5 x)  (2 x)( 4)  (3)( 4)   10 x 2  15 x  8 x  12   10 x 2  23x  12

4)

Efectuar

 3m  5 7m  3  21m2  26m  15

2

5.- Cuadrado de un trinomio.- Al efectuar el producto (a + b + c) se tiene:

(a  b  c)2  a 2  b2  c 2  2(ab  ac  bc) El cuadrado de un trinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada término, más el doble producto algebraico de cada uno de ellos por los demás. Ejemplo: Desarrollar

(2 x  3 y  4 z ) 2

 (2 x) 2  (3 y) 2  (4 z ) 2  2 (2 x)(3 y)  (2 x)(4 z)  (3 y)(4 z)   4 x 2  9 y 2  16 z 2  12 xy  16 xz  24 yz

6.- Binomio de Newton.- El resultado de operar un binomio elevado a una potencia entera nos da un polinomio con una cantidad de factores igual al exponente más 1. Por ejemplo, si el exponente es 3 tendrá 4 factores, si el exponente es 6 tendrá 7 factores, y así sucesivamente. El factor numérico por el cual se multiplica cada factor del polinomio se define según el siguiente triangulo:


- 31 -

Ejemplos:

 2a  3b 

5

1) Desarrollar

 2a  3b 

5

  2a   3b   5  2a   3b   10  2a   3b   10  2a  3b   5  2a 3b   3b  5

2

0

 2ax

2) Desarrollar

 2ax

La línea que se debe usar es: 1 5 10 10 5 1

2

4

 x

6

1

3

2

2

3

4

La línea que se debe usar es: 1 6 15 20 15 6 1

 x    2ax 2   6  2ax 2   x   15  2ax 2   x   20  2ax 2   x   15  2ax 2   x   6  2ax 2   x    x  6

6

5

4

1

3

2

3

2

4

  2ax 2  x   64a6 x12  192a5 x11  240a 4 x10  160a3 x9  12ax7  x6 6

EJERCICIOS RESUELTOS Desarrollar los siguientes productos notables: 1)

 x  1

2)

 x  2 x  3  x2  5x  6

3)

 2 x  5

 x2  2 x  1

2

2

  2 x   2  2 x  5   5  4 x 2  20 x  25 2

2

4)  x 2  1 x   x 2  



5

 

2 

5)

 2 x  3

6)

 x  2

7)

 3x  2 

8)

 2 x  5

9)

 3x  2 3x  2

10)

 x  5 x  5

11)

 3x  2 3x  2

3

2

2

2

1 1  1   2  x 2   x    x   x 4  x3  x 2 2 2 4    

  2 x   3  2 x  3  3  2 x  3  3  8 x3  36 x 2  54 x  27 3

2

3

  x   3  x   2   3  x  2    2   x3  6 x 2  12 x  8

3

3

3

3

2

2

3

  3x   3  3x   2   3  3x  2    2   27 x3  54 x 2  36 x  8 3

2

2

3

  2 x   3  2 x   5  3  2 x  5   5  8 x3  60 x 2  150 x  125 3

2

 3x 



2

2

 22  9 x 2  4

 x 2  25



 3x 

2

 22

 9 x2  4

3

5

6

- 32 -


Cocientes Notables.- Son aquellos cocientes que tienen reglas fijas y que pueden obtenerse sus resultados por simple inspección. 1.- Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades:

a 2  b2  ab ab La diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma de esas cantidades es igual a la diferencia de las cantidades.

a 2  b2  ab ab La diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la diferencia de esas cantidades es igual a la suma de las cantidades. Ejemplos:

1)

3)

x2  1  x 1 x 1 4 x 2  9m 2 n 4 2 x3mn2

 2 x  3mn2

2)

4)

1  x2  1 x 1 x

36m2  49n2 x 4 6m  7nx2

 6m  7nx2

2.- Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de esas cantidades:

a 3  b3  a 2  ab  b2 ab La suma de los cubos de dos cantidades entre la suma de esas dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el producto de la primera por la segunda, mas el cuadrado de la segunda.

a 3  b3  a 2  ab  b2 a b La diferencia de los cubos de dos cantidades entre la diferencia de esas dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad mas el producto de la primera por la segunda mas el cuadrado de la segunda.


- 33 -

Ejemplos: 1)

1  a3  1  a  a2 1 a

2)

27m3  125n3  9m2  15mn  25n2 3m  5n

3)

x 6  27 y 3  x 4  3x 2 y  9 y 2 x2  3 y

4)

x5  25  x 4  2 x3  4 x 2  8 x  16 x2

3.- Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades:

a 4  b4  a3  a 2 b  ab2  b3 a b

a 4  b4  a3  a 2 b  ab2  b3 ab a 5  b5  a 4  a3b  a 2 b 2  ab3  b 4 a b a 5  b5  a 4  a3b  a 2 b2  ab3  b4 ab Se puede notar que: -

La diferencia de potencias iguales pares o impares siempre es divisible por la diferencia de las bases.

-

La diferencia de las potencias iguales pares siempre es divisible entre la suma de las bases.

-

La suma de las potencias iguales impares siempre es divisible por la suma de las bases.

-

La suma de potencias iguales pares nunca es divisible por la suma ni por la diferencia de las bases.

a 4  b4 ab

a 4  b4 a b

Estos cocientes, no son divisibles (las divisiones no son exactas)

- 34 -


Propiedades de los cocientes notables.- Tomar en cuenta lo siguiente: 1.- El cociente tiene tantos términos como unidades tiene el exponente de las letras del dividendo. 2.- El primer término se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y el exponente de la letra disminuye 1 en cada término. 3.- El exponente de b en el segundo término del cociente es 1 y va aumentando en 1 en los siguientes términos. 4.- Cuando el divisor es a – b todos los signos del resultado son +, y cuando el divisor es a + b, los signos se van alternando. + y – Caso general:

xn  y n  x n1  x n2 y  x n3 y 2  .....  y n1 x y x 5  y 5 x y 5

Donde: n  N

No genera cociente notable, puesto que 5  N

5

x3  y2 x y

No genera cociente notable, puesto que

5  N 3

Ejemplos: 1)

x7  y 7  x6  x5 y  x 4 y 2  x3 y 3  x 2 y 4  xy 5  y 6 x y

2)

m5  n5  m4  m3 n  m2 n2  mn3  n4 mn

3)

x6  y 6  x5  x 4 y  x3 y 2  x 2 y 3  xy 4  y 5 x y

Suma y diferencia de cubos.- Casos que pertenecen a la factorización, pero que es muy importante verlos ahora:

a3  b3  (a  b)(a 2  ab  b2 ) a3  b3  (a  b)(a 2  ab  b2 )


- 35 -

Ejemplos: 1) Efectuar

( x2  4)( x4  4 x2  16)  ( x2 )3  43

2) Efectuar

(a 2  3)(a 4  3a 2  9)  (a 2 )3  33

 x6  64  a6  27

EJERCICIOS RESUELTOS Hallar el cociente por simple inspección: 1)

x4  1  x2  1 x2  1

2)

8m3  n6  4m2  2mn2  n4 2m  n 2

3)

x 6  49 y 6  x3  7 y 3 x3  7 y 3

4)

x 6  27 y 3  x 4  3x 2 y  9 y 2 x2  3 y

6)

a14  b14 a 2  b2

5 5) 1  a  14  13  a   12 a 2  1 a3  a 4

   

1 a

 a12  a10b2  a8b4  a6b6  a 4b8  a2b10  b12

 1  a  a 2  a3  a 4

8 8 8 8) x  256  x  2

7) 1  a  1  a  a 2 3

x2

1 a

x2

 x7  2 x6  4 x5  8x4  16 x3  32 x2  64 x  128

9) Si

a  b  10

a) 9

y

a 2  b2  29 . Entonces el valor de  a  b 2 es:

b) 19

c) 29

d) 49

e) N. A.

Solución: Ambas expresiones sumadas constituyen el producto notable  a  b  : 2

a  b  10 Restando:



2a  b  20

a2  2ab  b2  29  20  9

Respuesta: Alternativa a)

- 36 -


PREGUNTAS DE RAZONAMIENTO PRODUCTOS NOTABLES 1.

Multiplicar:

(2x – 3)

2

2

a) 4x – 12x + 9 2 c) 4x – 12x – 9 2.

Multiplicar:

b) 4x + 12x + 9 2 d) 4x – 12x + 9

(5x – 4)

2

2

b) 25x – 40x + 16 2 d) 25x – 40x + 16

a) 25x + 40x + 16 2 c) 25x – 40x – 16 3.

Multiplicar:

(7x + 5)

2

2

2

b) 49x – 70x + 25 4 d) 49x + 70x + 25

a) 49x + 70x + 25 2 c) 49x + 70x – 25 4.

Multiplicar: (6x + 3)

2

4

2

a) 36x + 36x + 9 c) 36x + 36x + 9 5.

Multiplicar:

(8x – 9)

b) 36x + 36x + 9 2 d) 36x + 36x – 9 2

2

2

a) 64x – 144x + 81 2 c) 64x – 144x – 81 6.

Multiplicar:

(2x – 7)

b) 64x + 144x + 81 2 d) 64x – 144 + 81 2

2

2

a) 4x – 28x – 49 2 c) 4x + 28x + 49 7.

Multiplicar:

b) 4x – 28x + 49 2 d) 4x – 28x + 48

(10x + 6)

2

2

2

b) 100x – 120x + 36 2 d) 100x + 120x + 36

a) 20x + 120x + 36 2 c) 100x + 120x + 35 8.

Multiplicar:

(11x + 3)

2

2

2

a) 121x + 66x - 9 2 c) 121x + 60x + 9 9.

Multiplicar: 2

(20x – 2)

a) 400x + 80x + 4 2 c) 400x + 80x + 4

b) 112x + 66x + 9 2 d) 121x + 66x + 9 2

2

b) 80x – 80x + 4 2 d) 400x – 80x + 4


(30x – 1)

10. Multiplicar:

- 37 -

2

2

2

a) 90x – 60x + 1 2 c) 900x – 60x + 1 (3x + 4b) (3x – 4b)

11. Multiplicar: 2

a) 9x + 16b 2 2 c) 6x – 8b 12. Multiplicar:

b) 900x – 60x – 1 2 d) 900x + 60x + 1

2

2

b) 9x – 16b d) 9x – 16b 2

2

(8x + 7) (8x – 7)

2

4

a) 16x – 14 2 c) 64x + 49 13. Multiplicar:

b) 64x – 49 2 d) 64x – 49 9

6

9

6

(9x – 10b ) (9x + 10b )

18

12

18

a) 18x – 20b 9 12 c) 81x – 100b (20x

25

30

25

30

– 12b ) (20x + 12b )

30

50

a) 400x – 144b 50 60 c) 400x + 144b

2

2

2

4

4

5

13

5

26

26

b) 9x + b 10 26 d) 6x – b (2x + 2) (2x + 3)

2

2

a) 4x – 10x + 6 2 c) 4x + 10x + 5

b) 4x + 10x + 6 2 d) 4x + 5x + 6

(3x + 9) (3x + 2)

2

2

a) 9x – 33x + 18 2 c) 9x + 33x + 18

4

13

10

a) 9x – b 5 13 c) 9x – b

19. Multiplicar:

4

b) 2.5x – 0.4b 4 4 d) 0.25x – 0.04b

(3x + b ) (3x – b )

16. Multiplicar:

18. Multiplicar:

2

4

a) 0.25x – 4b 4 4 c) 0.25x + 0.04b

17. Multiplicar:

60

b) 200x – 72b 50 60 d) 400x – 144b

(0.5x + 0.2 b ) (0.5x – 0.2b )

15. Multiplicar:

10

12

b) 81x – 100b 18 6 d) 81x + 100b 25

14. Multiplicar:

2

2

b) 9x + 11x + 18 2 d) 9x + 33x + 11 2

(4x – 9) (4x – 6) 2

a) 16x – 60x + 15 4 2 c) 16x + 60x + 54

4

2

b) 16x – 60x – 54 4 2 d) 16x – 60x + 54

- 38 -


20. Multiplicar: 4

2

2

(8x – 3) (8x – 7) 2

a) 64x – 80x + 21 4 2 c) 64x – 80x + 10 21. Multiplicar: 6

3

3

3

(14x + 3) (14x – 8)

6

3

6

4

4

(7x – 15) (7x + 8) 4

12

3

b) 190x – 70x – 24 6 3 d) 196x – 70x + 24

8

a) 49x + 49x – 120 8 4 c) 49x – 49x – 120 24. Multiplicar:

3

b) 25x + 10x + 120 6 3 d) 25x + 10x – 2

a) 196x – 70x – 24 6 3 c) 196x + 70x – 24

8

6

3

3

23. Multiplicar:

2

(5x + 12) (5x – 10)

a) 25x + 10x – 120 6 3 c) 25x – 10x – 120 22. Multiplicar:

4

b) 64x – 80x – 21 4 2 d) 64x + 80x + 21

4

b) 14x – 49x – 120 8 4 d) 49x – 49x +120

6

6

(10x – 20) (10x + 25) 6

12

8

6

b) 100x – 50x – 500 12 6 d) 100x + 50x – 500

a) 100x + 50x + 500 12 6 c) 20x + 50x – 500 8

25. Multiplicar: (12x – 8) (12x + 6) 16

8

a) 144x – 24x + 48 16 8 c) 144x + 24x – 48

16

8

b) 24x – 24x – 48 16 8 d) 144x – 24x – 48


- 39 -

PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES 1.

2

2

a) x – 2x + 4

2.

x3  8 el resultado es: x2

Al simplificar la expresión

b) x + 2x + 4

b) a  b  4  ab

2

Simplificar

6

6

b) 9m

c) 9m

3

d) 9m

9

¿Qué resultado se obtiene al simplificar la expresión a  1 , para a ≠ 1? 1 a

b) 1

d) –1

c) 0 2 2

Al desarrollar la expresión (x – y ) un alumno comete un error y da la siguiente 2 2 4 respuesta: x – 2xy – y . El error está en el: b) Signo del segundo término d) Signo del tercer término 2

¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a: (m + n) – 4mn? a) (m – n)

8.

d) 2/b

3

a) Exponente del primer término c) Exponente del tercer término 7.

c) 2/a

2

b) 2/ab

a) 2

6.

d) ab  4b  a  4

El cuadrado de –3m es: a) –9m

5.

c) a  b  4b  1

1 1 1 1         ab a b a b 1 2  ab

a) ab/2

4.

d) x

La expresión  a  4  b  1 es equivalente a: a) ab  a  4b  4

3.

c) x – 2

2

2

b) m – 2mn + n


12a 4b3 3a  2b10

2

2

c) m – 4mn + n

el resultado es:

2

d) N. A.

- 40 -

a)

9.


4a 4

b)

b7

4ab 6

c)

Si a = –3 y b = 1/2 ; entonces la expresión a) 7.5 –1

q=2

a) –1

–2

d) 1 2

c) 2/3 2

(m – n) – (m – n)(m + n)

11. El resultado de la operación: 2

2

a – 3b vale:

+ 1; entonces, ¿Cuál es el valor de (p + q)?

b) 1

a) –2n

d) –1

b7

c) –2

b) 17.5

10. Si p = 2 , y

4a 6

b) 2n(m + n)

d) 3/2 es:

c) 2n(n – 2m)

d) –2mn

12. Al reducir la expresión: 3(2p – 5q) – [(9p – 2q) – (p – 6q) – 4p + q] resulta: a) 2(p – 10q)

b) 2(p – 5q)

c) 2(p – 3q)

d) 2(5p – 7q)

2 2 13. Efectuar R   x  y  x  y   x  y    2 2   x  y x  y  x  y 

a) 2

b) x

14. Reducir:

 x  7    x  9  x  5  x  8 x  7    x  13 x  2 

d) y

c) 2/15

d) 1/5

c) x  y  2 xy xy

d) 4

2

a) 4/27

b) 4

x y  2 y x

15. Efectuar:

a)  x  y     xy 

c) xy

2

b)

 x  y

2

xy

16. ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es (son) igual(es) a x(y – z)? I. (z – y)(–x) a) Sólo I

II. xy – xz b) Sólo I y II

III. –(y – z)x c) Sólo I y III

d) Sólo II y III


- 41 -

EJERCICIOS PROPUESTOS PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES Completa el desarrollo del cuadrado de un binomio: 2

a) x + 10x + ____ = (x + ___ ) 2

2

c) m – ____ + 36n = ( e) ____ – 390y + 225 = (

2

b) y – 18y + ____ = (y – ___ )

2

d) p + ___ + 64q = (

)

2

2

)

2

2

)

2

f) 64x – 80xy + ____ = (

2

2

)

2

Cuadrado de un binomio: 2

2) (a + 1)

4) (a + b )

2

3 2

5) (5 - a)

3

3 2

8) (y + 9)

1) (c + d)

7) (x – y ) 10) (3 + b)

2

2

2

2

6) (3x – 1)

2

3

2

3 2

2

2

9) (3a + b) 12) (x – y)

11) (x + y )

13) (2a – 3b)

2 2

3) (a + b )

14) (3x + 12)

2

2

2

2

3 2

15) (a – b )

Suma por la diferencia: 1) (x + 3) (x – 3)

2) (x – 5y) (z + 5y)

3) (2a + b) (2a – b)

4) (3a + 2b) (3a – 2b)

5) (z + l0)(z – l0)

6) (x + 3y) (x – 3y)

7) (4a – b) (4a + b)

8) (7u + 1) (7u – 1)

9) (2a + 5b)(2a – 5 b)

10) (3p – 4g) (3p + 4g)

11) (8m – 3n) (8m + 3n)

12) (7x + 8y) (7x – 8y)

14) (3x – 5y) (3x + 5y)

15) (4n + 11)(4n – 11)

3

4

3

4

13) (5x – 9y ) (5x + 9y ) 2

2

2

16) (x – 6) (x + 6) 2

2

17) (a + 9) (9 – a ) 2

2

3

2

3

18) (uv + 1) ( uv – 1) 4 5

4 5

19) (2x + 3x ) (2x – 3x )

20) (x + y ) (x – y )

21) (1 – y z ) (1 + y z )

22) (x + y + z)(x + y – z)

23) (x – y + z)(x + y – z)

24) (x+ y+ z)(x – y – z)

25) (m + n + 1)(m + n – 1)

26) (m – n – 1)(m – n + 1)

27) (x + y - 2)(x – y + 2)

28) (n + 2n + 1)(n – 2n – 1)

2

2

2

2

2

2

29) (x – 2x + 3)(x + 2x + 3)

30) (m – m – 1)(m + m – 1)

31) (2a – b – c)(2a – b + c)

32) (2x + y – z)(2x – y + z)

- 42 -


Cubos de binomios: 1) (x + 5)

3

2) (1 + b)

3) (2x + y)

5) (4x – 5)

3

8) (2a – 3b)

2 3

11) (2x + 3y )

2 3

12) (3x – 5y )

2 3

14) (m – pq)

3

15) (2x – 3x )

2

3

3

3

4) (a + 4b) 7) (2 – 2y)

3

6) (z – 3) 3

2

10) (a – b )

13) (ab + c )

2

3

9) (x + 4)

3

2

2 3

5

2 3

Binomio de Newton: 1) (3 y  5 x) 4

2) (2 y  4 x) 5

3) (2 y  5x) 6

4) (4 y 2  2 x 2 ) 4

5) (3 y  2 x) 5

6) (10 y  3x) 6

8) (2 y  3x) 7

9) (3x  3) 6

7)  5 x 2  1 



4

10 

Otros productos:

x

 4  x 2  4 

1)

 2 x  1 2 x  1

2)

4)

 2a

5)  2 x   3a 2  b  2  

7)

9)

2

 5 2a 2  5 2

1  3 2  1  a  b   a  b 3  2 3  2

8a

5

 5b3  5b3  8a5 

2

2

8)  3 a  2 b    5  4 10)

3) 6)

(2a  3b)  (5x  2 y)· (2a  3b)  (5x  2 y)

2

2) (5x – 4)

2

4) (6x + 3)

2

6) (2x – 7)

3) (7x + 5) 5) (8x – 9)

9) (20x – 2)

2

2

2

2

8) (11x + 3)

2

10) (30x – 1)

7) (10x + 6)

11) (3x + 4b).(3x – 4b)

(a + b – c)

3

Desarrollar los siguientes productos indicados: 1) (2x – 3)

 3a  b  3a  b 

2

2

2

2

12) (8x + 7).(8x – 7)

2


13) (2x + 2) (2x + 3) 2

- 43 -

14) (3x + 9) (3x + 2)

2

2

15) (4x – 9) (4x – 6)

2

16) (8x – 3) (8x – 7)

3

3

18) (14x + 3) (14x – 8)

3

4

4

20) (10x – 20) (10x + 25)

17) (5x + 12) (5x – 10)

6

19) (7x – 15) (7x + 8) 8

8

6

9

6

9

21) (12x – 8) (12x + 6) 9

3

9

22) (25x + 9) (25x – 8) 6

23) (9x – 10b ).(9x + 10b )

25

24) (20x

30

25

30

– 12b ).(20x + 12b )

Comprobar los siguientes cocientes (indicar los correctos e incorrectos): 2 1) a  16  a  4 a4

2 2 2) 25 x  49 y  5 x  7 y 5x  7 y

2 2 4 3) 4a  16 x y  2a  4 xy 2 2a  4 xy 2

2a 2b 4) x  y  x a  y b a b x y

4 5) 9  36 x  3  6 x 2 2 3  6x

4 4 6) 16 x  25 y  4 x 2  5 y 2 2 2 4x  5 y

 x  y   100   x  y   10  x  y   10 2

7)

8) 169   a  b   13  a  b   13   a  b  2

3 9) 1  x  1  x  x 2 1 x

3 3 10) 64 x  27 y  16 x 2  12 xy  9 y 2 4x  3y

3 3 11) 125a  27b  25a 2  15ab  9b2 5a  3b

9 6 12) x  y  x 6  x3 y 2  y 4 3 2 x y

3 13) 27m  1  9m2  3m  1 3m  1

12 15 14) 8a  125b  4a8  10a 4 b5  25b10 4 5 2a  5b

15)

x 4 a  2  400  x 2 a 1  20 x 2 a 1  20

17)

 a  b   49m6 2   a  b   7 m3 2 3  a  b   7m 4

3 6 9 16) 729 x y  512 z  81x 2 y 4  72 xy 2 z 3  64 z 6 2 3 9 xy  8 z

3 18 18) 343a  1000b  49a 2  70ab6  100b12 6 7a  10b

- 44 -


Cap. 3 TEOREMA EL RESIDUO Polinomio entero y racional.- La parte literal tiene exponente entero positivo o también por no tener letras en su denominador. Ejemplo.- Las siguientes expresiones son racionales: 1) 3x2  4 y 7  9 y 20

5 7 2) 3 x  5 y

2 3 4 3 7 3) x y z  6w t

4) 4 xyz  x 2 y 2 z 2  x3 y3 z 3

5

11

 17 z 6

Residuo de la división de un polinomio entero y racional en x por un binomio de la forma x – a.- Una forma muy útil para determinar los ceros de un Polinomio f(x) es el Teorema del Residuo, el cual vamos a explicar a continuación. 3

2

Efectuando la división de un polinomio f(x) = 3x – 4x – 3x – 4 entre x – 2 donde – 2 es un número Independiente de x: 3

2

3x – 4x – 3x – 4 3 2 –3x + 6x 2 2x – 3x 2 –2x + 4x x–4 –x + 2 –2

I x–2 2 3x + 2x + 1

2

En donde el Cociente es: 3x + 2x + 1 y el residuo es – 2. 3

2

2

3x – 4x – 3x – 4 = (x – 2)( 3x + 2x + 1) – 2

El Polinomio, se puede expresar como:

Calculando f(2) en el ejemplo anterior, f(2) se obtiene sustituyendo 2 por x en la función. 3

2

3

2

f(2) = 3x – 4x – 3x – 4 = 3(2) – 4(2) – 3(2) – 4 = 24 – 16 – 6 – 4 = – 2 Se observa que el valor de f(2) es igual al valor del residuo que se obtuvo en la división algebraica. Teorema del residuo: Si se divide el polinomio f(x) entre el binomio x – a donde “a” es un número real, el residuo es igual a f(a)


- 45 -

Teorema del Factor.- Es importante recordar que al efectuar una división algebraica, si la división es exacta el residuo es igual a Cero. Si “a” es una raíz de f(x) = 0, entonces x – a es un factor de f(x).

División sintética (Regla de Ruffini).- La división sintética es un procedimiento "abreviado" para determinar el cociente y el residuo que se obtiene al dividir un polinomio P(x) de grado n (n ≥ 1), por un binomio de la forma x – a; a partir de los coeficientes de P(x) y el cero de x – a. Ejemplos: 1) Sean dos polinomios:

P( x)  4 x3  3x2  5x  2;

Q( x)  x  3

Determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir P(x) por Q(x): a) Usando el método de la división, b) Usando división sintética Solución: a) Dividiendo: 3

4x 3 –4x

+ +

2

3x 2 12x 2 15x 2 –15x

–

5x

+

2

x–3 2 4x + 15x +40

– +

5x 45x 40x –40x

+

2

+ +

2 120 122

Se obtiene: Cociente = 4 x2  15x  40 y Residuo = 122 b) Por división sintética:

Coeficientes de P(x)

→

4 4

3 12 15 ↓

–5 45 40

2 120 122

3

→

Cero de x – 3

↓

Coeficientes Residuo de cociente Los números representados en la segunda fila se obtienen de la siguiente forma: 12 es el producto de 4 y 3

45 es el producto de 15 y 3

120 es el producto de 40 y 3 Los números representados en la tercera fila se obtienen de la siguiente forma:

- 46 -


4 es el coeficiente de x en P(x)

15 es la suma de 3 y 12

40 es la suma de –5 y 45

122 es la suma de 2 y 120

2) Sean P( x)  8x3  x4  16  2 x;

Q( x)  x  8 .

Usando división sintética, determine el cociente C(x) y el residuo R(x) que se obtiene al dividir P(x) por Q(x). Solución: Ordenando P(x) en forma descendente de acuerdo a su grado:

P( x)  x4  8x3  0 x2  2 x  16 , y realizando la división se tiene: –8 8 0

1 1

0 0 0

2 0 2

–16 16 0

↓

↓

Coeficientes del cociente

Res.

8

Los números 1, 0, 0 y 2 son coeficientes del cociente. Y el número 0 es el residuo. 3

2

Por lo que C(x) = x + 0x + 0x + 2; 3

C(x) = x + 2 y

R(x) = 0

Nota: Observe que al realizar la división sintética, tanto los coeficientes del dividendo que son diferentes de cero, como los que son iguales a cero, deben escribirse. 3

3) Sean P(x) y Q(x) polinomios tales que: P(x) = x + x

y

Q(x) = x + 4

Usando división sintética determine el cociente C(x) y R(x) 3

2

0 –68 –68

–4

Como P(x) = x + 0x + x + 0 y el cero x + 4 es –4 tenemos que:

Solución:

1 1

0 –4 –4

1 16 17

Por lo tanto el cociente que se obtiene, es 2 x – 4x + 17 y el residuo es – 68.

4

3

2

4) Realice la división de P(x) = 3x + 2x – x + 4x + 2 entre x + 2. Solución: Reemplazando x por –2:

3 3

2 –6 –4

–1 8 7

4 –14 –10

2 20 22

3

2

Cociente: 3x - 4x + 7x - 10 –2 Residuo: R = 22.


- 47 -

5) Con la división sintética determinar el cociente y el residuo de dividir el polinomio: 4

3

2x + 5x – 2x – 8 entre x + 3.

Solución.- Como el divisor es x + 3, la “a” de la expresión x – a es – 3.

2

5 –6 –1

2 Por lo tanto, la división sintética tiene la forma siguiente:

3

2

3

–2 –9 G –11

–8 33 25

↓

↓


Res.

C(x) = 2x – x + 3x – 11; 5

0 3 3

–3

R = 25.

2

6) Si f(x) = 3x – 38x + 5x – 1, calcular f(4) por medio de la división sintética.

Solución: De acuerdo con el teorema del residuo, f(4) es el residuo cuando se divide f(x) entre x – 4. Al hacer la división sintética, se obtiene: En consecuencia, f(4) = 7I9.

3 3

0 12 12

–38 48 10

5 40 45

0 180 180

–1 720 719

↓

↓


Res.

4

Se puede utilizar la división sintética para ayudar a calcular los ceros de polinomios. De acuerdo con el método que se presentó en este ejemplo: f(c) = 0 si y sólo si, el residuo de la división sintética entre x – a es 0

- 48 -


EJERCICIOS RESUELTOS Determinar, sin efectuar la división, si son exactas o no las divisiones siguientes: 2

1) Dividir x – x – 6

entre x – 3

Solución:

3

2

2) Dividir x + 4x – x – 10

entre x + 2

Solución:

2

P(-2) = (-2) + 4(-2) – (-2) – 10

3

P(3) = 3 – 3 – 6 = 0

2

P(-2) = –8 + 16 + 2 – 10 = 0

Resp: Como P(3) = 0, la división de

Resp: Como P(-2) = 0, la división de

P(x) = x – x – 6

2

3

x – x – 6 entre x – 3 es exacta. 4

3

2

3) Dividir 2x – 5x + 7x – 9x + 3 entre x – 1

2

2

x + 4x – x – 10

entre x + 2

4) Hallar el residuo de la división 4

3

2

a – 5a + 2a – 6 entre a + 3 Solución: 4

3

Solución:

2

P(1) = 2(1) – 5(1) + 7(1) – (1) + 3

4

3

2

P(-3) = (-3) – 5(-3) + 2(-3) – 6 P(1) = 2 – 5 + 7 – 9 + 3 = –3 P(-3) = 81 + 135 + 18 – 6 = 228 Resp: La división es inexacta Residuo = 228 5) Sin efectuar la división, probar que: 3

2

a + 1 es factor de a – 2a + 2a + 5

6) Sin efectuar la división, probar que: x – 5 es factor de 5

4

3

2

x – 6x + 6x – 5x + 2x – 10

Solución: Un número es factor de otro si lo divide exactamente; para probar que (a + 1) es 3 2 un factor de a – 2a + 2a + 5, basta con 3 2 mostrar que la división de a – 2a + 2a + 5 entre a +1 es exacta: 3

2

x – 5 tiene la forma x – a , con a = 5 5

4

3

2

P(x) = x – 6x + 6x – 5x + 2x – 10 5

P(a) = a – 2a + 2a + 5 3

Solución:

4

3

2

P(5) = (5) – 6(5) + 6(5) – 5(5) + 2(5) – 10

2

P(–1) = (–1) – 2(–1) + 2(–1) + 5

P(5) = 3125 – 3750 + 750 – 125 + 10 – 10

P(–1) = –1 – 2 – 2 + 5 = 0

P(5) = 0

3

2

a – 2a + 2a + 5 es divisible entre a + 1 3

2

a + 1 es factor de a – 2a + 2a + 5

5

4

3

2

x – 5 divide a x – 6x + 6x – 5x + 2x – 10 x – 5 es un factor del polinomio dado


- 49 -

7) Sin efectuar la división, hallar si la división siguiente es o no exacta, y determinar el cociente y residuo, si lo hay: 3

2

2a – 2a – 4a + 16 entre a + 2 Solución: a + 2 tiene la forma x – a , con a = – 2 Aplicando el método de la división sintética, procedemos de la siguiente manera: 2

–2

–4

16

2

–4 –6

12 8

–16 0

–2

El residuo es cero; por lo tanto, la división es exacta. Los coeficientes del cociente son respectivamente: 2, –6, y 8. El dividendo es de tercer grado, lo que indica que el cociente es de segundo grado. 2

Resp: La división es exacta y el cociente es 2a – 6a + 8 3

2

8) Dividir 6x + x + 8x – 6 entre 3x – 1 Solución:

3x – 1 tiene la forma x – a, con x = 1/3

6

1

8

–6

6

2 3

1 9

3 –3

Cociente: Q( x)  6 x 2  3 x  9

3

3

3

 2x2  x  3

1/3

Residuo: –3

- 50 -

Álgebra Básica para Preuniversitarios n

n

n

n

Divisibilidad de (a + b ) y (a – b ) por (a + b) y (a – b).- Si al realizar la división entera de un polinomio P(x) entre otro polinomio Q(x), el resto es nulo, decimos que P(x) es divisible por Q(x), o que Q(x) divide a P(x). Nota 1: Se dice que una cantidad es divisible por otra cantidad si al dividir la primera por la segunda el residuo es cero. El teorema del residuo establece que para hallar el resto de la división de un polinomio entero en x por un binomio de la forma bx – a, sin efectuar la división, basta con sustituir la x por a/b. Nota 2: Si el divisor tiene la forma x – a, y si P(a) = 0, se concluye que P(x) es divisible por x – a. Para un valor de “n” entero y positivo, se tiene: 1)

a n  bn ab

Siempre es divisible

2)

a n  bn ab

Es divisible si n es impar

3)

a n  bn ab

Es divisible si n es par

4)

a n  bn ab

Nunca es divisible

Propiedades:

xn  an tiene “n” términos. xa

1)

El cociente

2)

El desarrollo de

3)

El desarrollo

4)

Para que una división

xn  an ; todos sus términos son positivos. xa

xn  an ; sus términos son de signos alternados: + , – , + , – , +……. xa

Debe cumplirse que:

xm  y p xn  y q

.

m p   número de términos n q


- 51 -

EJERCICIOS RESUELTOS Determine por simple inspección, si son exactas las divisiones siguientes y en caso contrario, cuál es el residuo:

x5  1 x 1

1) Dividir: Solución:

x5  1 x 1



a 4  b4 ab

2) Dividir: Solución:

tiene la forma de:

a n  bn ab

x5  1 no es divisible por x  1

Hallemos el residuo aplicando el teorema 5 del residuo F(1) = (1) +1 = 2

a 4  b4 ab



tiene la forma de:

a n  bn ab

a 4  b4 no es divisible por a  b

Porque “n” es par. El residuo es: 4

4

4

4

F(–b) = (–b) +b = b +b = 2b Resp: La división es inexacta y el residuo es 2

x8  1

3) Dividir:

x2  1



a11  1 a 1

Solución:

Solución:

x8  1

Resp: La división es inexacta y el residuo 4 es 2b

4) Dividir:

x2  1

4

( x 2 )4  1 x2  1

tiene la forma

a n  bn ab

a11  1 a n  bn tiene la forma a 1 ab

n par; x8  1 es divisible por x 2  1

a11  1 no es divisible por a  1

Resp: La división es exacta

Resp: La división no es exacta, el residuo: 11

F(1) = (1)

5) Hallar el cociente:

x5  35  x 4  3x3  9 x 2  27x  81 x 3

+1= 2

6) Hallar el cociente:

a 3  b3  a 2  ab  b2 a b

- 52 -


PREGUNTAS DE RAZONAMIENTO TEOREMA DEL RESIDUO 2

1. Si se reparten (3x + 2x – 1) hectáreas de terreno en partes iguales entre (x + 1) personas, a cada cual le corresponden: a) (3x – 5) has. 2.

b) (3x – 1) has. 3

3

6

Hallar el resto en la siguiente división b) 9

Hallar el resto de

d) 6

2

c) 41 64

Hallar el resto de

d)  419 64

x351  5 x350  9 : x 5 c) 0

d) 1

x5  x  1 : x2 b) 31

c) 32

d) 33

c) 3

d) 4

4 x300  5 x 20  3x11  1 : x 1 b) 2 3

2

Por división sintética hallar el cociente de: x – x + 2x – 2 entre x + 1 2

2

a) x – 2x + 4 9.

4

b)  429 64

a) 1 8.

c) 5

Hallar el residuo de dividir a +a – 8a + 4a + 1 entre 2a + 3:

a) 30 7.

d) –9

2

b) 4

a) 10 6.

c) –8

Hallar el residuo de dividir 6x – x + 3x + 5 entre 2x + 1:

a) 419 64 5.

2

b) 9

a) 3 4.

d) (3x + x) has.

Hallar el residuo de dividir x – 3x + 2x – 2 entre x + 1: a) 8

3.

2

c) (3x + 1) has.

2

b) x + 2x – 4

2

c) x – 4x + 4 4

d) x – 2x

3

Por división sintética hallar el cociente de: n – 5n + 4n – 48 entre n + 2 4

3

2

a) a – 2 a – a

2

b) a + 2a – 4

10. Determinar el cociente y el residuo de dividir 3

2

a) q(x) = 2x – x + 3x – 11 y R = 25 3 2 c) q(x) = x – x + x – 11 y R = 25

4

3

2

c) a +2 a + a +2 a +8 4

d) N. A.

3

2x + 5x – 2x – 8 entre x + 3. 3

2

b) q(x) = 2x + x + 3x – 11 y R = 24 3 2 d) q(x) = 2x + x + 3x y R = 24


- 53 -

EJERCICIOS PROPUESTOS TEOREMA DEL RESIDUO Hallar, sin efectuar la división, el residuo de dividir: 3

2

entre

x–2

3

2

entre

x–1

entre

x+1

entre

x+3

entre

x–1

entre

x–2

entre

x+1

entre

x–3

2

entre

x–2

2

entre

x–2

entre

x–4

entre

x – 1/2

1)

x – 3x + 4x – 5

2)

x + 5x – 7x + 3

3)

x + 3x + 5

4)

x – 2x – 3x – 38

5)

2x – 7x + 5x + 3

3

3

2

3

2

3

2

6) 3x + 4x – 11x – 13 7)

4

3

2

2x + 3x + 7x + 6x + 2 4

3

8) 3x – 8x – 9x – 7 9)

4

3

–2x – 3x + 4x + 17x + 7 5

4

3

10) x + x + x + x + x + 22 5

4

3

2

11) 2x – 7x - 5x + 9x – 24x + 17 5

4

3

2

12) 32x – 16x + 8x – 4x + 2x – 1

Utilice el teorema del factor para mostrar que el binomio x – c es un factor del polinomio dado. Emplee la división sintética según se requiera: 3

2

entre

x–1

3

2

entre

x–3

4

3

entre

x+1

4

3

entre

x+3

2

entre

x–4

2

entre

x+5

entre

x+2

entre

x–2

entre

x–a

1)

2x + 3x – 6x + 1

2)

3x – 9x – 4x + 12

3)

5x + 8x + x + 2x + 4

4)

3x + 9x – 4x – 9x + 9

5)

–2x + 11x – 12x – 5x + 22x – 8

6)

3x + 17x + 17x + 35x – 4x – 20

7)

x – x – 7x + x + 8x + 5x + 2

8)

2x – 5x + 4x + x – 7x – 7x + 2

9)

x – 4ax + 2a x + a

2

2

5

4

5

6

3

4

5

6

3

3

4

3

5

4

2

2

2

3

2

3

- 54 -


Calcule un valor de k para el cual x – c sea un factor del polinomio dado: 1)

3

2

entre

x+1

3

2

entre

x–1

x + 2x + 4x + k

2) –x + 3x + kx – 4 3)

4

3

2

entre

x–2

4

3

2

entre

x–1

2x – 5x + kx – 6x + 8

4) –3x + kx + 6x – 9x + 3

Utilice el recíproco del teorema del factor para hacer ver que x – c no es un factor del polinomio dado: 1)

3

2

–2x + 4x – 4x + 9

entre

x–2

entre

x+3

3

2

4

3

2

entre

x–3

4

3

2

entre

x+2

2) –3x – 9x + 5x + 12 3)

3x – 8x + 5x + 7x – 3

4)

4x + 9x + 3x + x + 4

Utilice la división sintética para hallar el cociente y el residuo: 3

2

1)

x + 5x – 2x – 3

2)

–x + 7x + 15x – 8

3)

–3x – 10x + 5x - 7

4)

4x - 18x – 11x + 5

5)

x + x – 3x + 6

6)

3x – 4x + x – 7

7)

–2x + 5x + 3x – 3

8)

2x + 2x – 5x – 3x

9)

2x – 7x + 10x – 22x – 4x – 1

3

2

3

2

3

2

4

3

4

3

4

2

2

4

3

5

4

5

4

2

3

3

2

2

10) 3x + 7x – x – 7x – 2x + 5 6

5

4

6

4

2

3

2

11) x + 3x – 11x + 4x – 5x + 7x – 12 12) x – 8x – 10x + 9

entre

x–1

entre

x+2

entre

x–3

entre

x–5

entre

x–2

entre

x+1

entre

x+4

entre

x–2

entre

x–3

entre

x+2

entre

x–2

entre

x–3


- 55 -

Cap. 4 FACTORIZACIÓN Factorización de polinomios.- Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto. Ejemplo: factorización

x 2  x  6  ( x  3)( x  2) multiplicación

I) Factor común.- Se observa si toda expresión tiene uno o más factores comunes que pueden ser monomios o polinomios. a) Factor común monomio: Es el factor que está presente en cada término del polinomio. Ejemplos: 1)

¿Cuál es el factor común monomio en 12 x  18 y  24 z ? Entre los coeficientes es el 6, o sea: 6.2 x  6.3 y  6.4 z  6  2 x  3 y  4 z 

2)

¿Cuál es el factor común monomio en: 5a 2  15ab  10ac ? El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los literales es a, por lo tanto:

5a 2  15ab  10ac  5a  a  3b  2c  3)

¿Cuál es el factor común en 6 x2 y  30 xy 2  12 x 2 y 2 ?

El factor común: 6xy

6 x2 y  30 xy 2  12 x 2 y 2  6 xy  x  5 y  2 xy  4)

Factorizar: 12 x4 y3  6 x3 y5 z 2  54 x 2 y 6 z 4

(Factor común 6x 2 y 3 )

12 x4 y3  6 x3 y5 z 2  54 x2 y 6 z 4  6 x2 y3  2 x2  xy 2 z 2  9 y3 z 4  5)

Factorizar: 16 x3 y 2  8x2 y  24 x 4 y 2  40 x 2 y 3

(Factor común 8x 2 y )

16 x3 y 2  8x 2 y  24 x 4 y 2  40x 2 y 3  8x 2 y  2xy  1  3x 2 y  5 y 2 

- 56 -


b) Factor común polinomio: Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión: Ejemplos: Factorizar: 1)

 x  1 x  2  3 y  x  2 Los dos términos de la expresión dada tienen como factor común al binomio (x – 2), luego expresamos en la forma:

 x  1 x  2  3 y  x  2   x  2 x  1  3 y  2)

1  3 y  x  1  2 y  x  1  3  x  1 Los tres términos tienen como factor común al binomio (x + 1), luego:

1  3 y  x  1  2 y  x  1  3  x  1   x  11  3 y  2 y  3   x  1 y  4  3)

Factorizar: x  a  b   y  a  b 

Existe un factor común que es (a + b)

x  a  b   y  a  b    a  b  x  y  4)

Factorizar: 2a  m  2n   b  m  2n    m  2n  2a  b 

II) Factor común por agrupación de términos.- Se trata de extraer un doble factor común. Ejemplos: 1)

Factorizar: ap  bp  ap  bq Se extrae factor común “p” de los dos primeros términos y “q” de los dos últimos

 p(a  b)  q(a  b) Se saca factor común polinomio  (a  b)( p  q)

2)



 

Factorizar: 2 xy 2 a  mb  2 xy 2b  ma  2 xy 2 a  ma  mb  2xy 2b

 a  2 xy 2  m   b  m  2 xy 2    a  b   m  2xy 2 




3)

- 57 -



 

Factorizar: 3abx2  2 y 2  2 x 2  3aby 2  3abx2  3aby 2  2 y 2  2 x2



 3ab  x2  y 2   2  y 2  x 2    3ab  2   x 2  y 2 

4)

Factorizar:

x

5)

Factorizar:

xn 2  axn1  bxn1  abxn  xn  x2  ax  bx  ab   xn  x  x  a   b  x  a 

2

 ax    bx  ab   x  x  a   b  x  a    x  a  x  b 

 x n  x  a  a  b   x n  x  a  a  b 

III) Trinomio cuadrado perfecto.- Recuerda: “Cuadrado de un Binomio”, es la operación inversa.

( x  y)2

 x2  2 x y  y 2

Un trinomio es “cuadrado perfecto” cuando es el cuadrado de un binomio, o sea, el producto de dos binomios iguales: Ejemplo.-

x 2  2 x y  y 2 es un cuadrado perfecto, porque:  x  y 2  x 2  2 x y  y 2

Un trinomio es cuadrado perfecto, cuando se ordena con relación a una letra, el primer y tercer término son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y positivos y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas. Ejemplos: 1)

x2  6 x y  9 y 2 es un cuadrado perfecto, porque: 2

2

Raíz cuadrada de x es x . Raíz cuadrada de 9y es 3y El doble producto de estas raíces es 2(x)(3y) = 6xy es el segundo término. 2) 16 x 4  18x 2 y 2  25 y 4 no es un cuadrado perfecto, porque: 4

2

2

Raíz cuadrada de 16x es 4x . Raíz cuadrada de 25y es 5y El doble producto es

2

2

2 2

2(4x )(5y ) = 40x y

que no es el segundo término.

- 58 -


Regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto.- Se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer término del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por si mismo, o se eleva al cuadrado.

a 2  2ab  b2  (a  b)2 Ejemplos:

x8  4 x 4 y 2  4 y 4

1) Factorizar: x8

x4

–

4x4y2

2(x4)(2y2)

+

4y4

Luego se tiene:

2y2

x8  4 x 4 y 2  4 y 4   x 4  2 y 2 

2

4x4y2

2) Factorizar: 4 x 6  1  x3  4 x 6  x3  1 . Es un trinomio cuadrado perfecto:

16



3) Factorizar:

4 x6 

16

1 1   x3   2 x3   16 4 

2

4 x4  12xz  9 z 2 . Es un trinomio cuadrado perfecto:  4 x4  12xz  9 z 2  (2 x  3z)2

IV) Diferencia de cuadrados perfectos.- Recuerda “Producto de binomios conjugados”

( x  y)( x  y)  x 2  y 2

Se denomina diferencia de cuadrados, a la diferencia de dos expresiones que tienen raíz cuadrada exacta. Toda diferencia de cuadrados se descompone en dos factores uno es la suma de las raíces y el otro es la diferencia de dichas raíces cuadradas.

a 2  b2  (a  b)(a  b) Ejemplos:


- 59 -

1) Factorizar: x 2  4

2) Factorizar: y 2  9

 x2  4   x  2  x  2 



3) Factorizar:

4) Factorizar:

9 x2  25 y 2   3x  5 y  3x  5 y 

y 2  9   y  3 y  3

4 6 2  2  x  z 4 y 2   x3  z 2 y  x3  z 2 y  9 3  3 



   w  1 w  1  w

4 z  25a   2 z  5a  2 z  5a  2

  1

6) Factorizar: w4  1  w2  1 w2  1

5) Factorizar:

2

2

V. Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción.- Se explicará mediante los siguientes ejemplos: Ejemplos: 1) Factorizar:

x4  x2 y 2  y 4

Primeramente se averigua si este trinomio es cuadrado perfecto: 4

2

4

2

La raíz cuadrada de x es x . La raíz cuadrada de y es y 2 2

El doble producto de estas raíces es 2x y , luego este trinomio no es cuadrado perfecto. 2 2

Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo término x y se 2 2 2 2 convierta en 2x y , lo cual se consigue sumándole x y , para que el término no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma es decir: 4

2 2

4

x + xy + y 2 2

2 2

–xy

xy 4

2 2

4

2 2

x + 2x y + y – x y 2

=

4

2 2

2 2

2 2

Factorizando el trinomio cuadrado perfecto = (x + y ) – x y 2

2

2

2

Factorizando la diferencia de cuadrados = (x + y – xy)(x + y + xy)



Ordenando: x 4  x 2 y 2  y 4  x 2  xy  y 2

 x

2

4

2 2

(x + 2x y + y ) – x y

 xy  y 2 

- 60 -

2)


Factorizar:

4 x4  8x2 y 2  9 y 4 4

2

4

La raíz cuadrada de 4x es 2x .

2

La raíz cuadrada de 9y es 3y 2 2

El doble producto de estas raíces es 12x y , luego este trinomio no es cuadrado perfecto. 2 2

2 2

2 2

Para que 8x y se convierta en 12x y 2 2 varíe restamos 4x y y tendremos: 4

le sumamos 4x y

2 2

y para que el trinomio no

4

4x + 8x y + 9y 2 2 2 2 + 4x y – 4x y 4

2 2

4

2 2

4x + 12x y + 9y

– 4x y

4

2 2

2 2

4

= (4x + 12x y + 9y ) – 4x y 2

2 2

2 2

Factorizando el trinomio cuadrado perfecto = (2x + 3y ) – 4x y 2

2

2

2

Factorizando la diferencia de cuadrados = (2x + 3y – 2xy)(2x + 3y + 2xy)

Ordenando:

4 x 4  8x 2 y 2  9 y 4   2 x 2  2 xy  3 y 2  2 x 2  2 xy  3 y 2 

VI) Suma de dos cuadrados.- En general una suma de dos cuadrados no tiene descomposición en factores racionales, es decir, factores en que no haya raíz, pero hay sumas de cuadrados que, sumándoles o restándole una misma cantidad, pueden llevarse al caso anterior y factorizarse. Ejemplo: 1) Factorizar: 64x8  y8 8

4

8

4

La raíz cuadrada de 64x es 8x y de y es y . Para que la expresión dada sea un trinomio cuadrado perfecto hace falta que tenga un 4 4 4 4 segundo término de 2(8x )(y ) = 16x y entonces al igual que en los casos anteriores, a la 4 4 expresión dada le sumamos y restamos 16x y y tendremos: 8

8

64x

4 4

+ y

8

4 4

64x + 16x y



4 4

– 16x y

+ 16x y

8

+ y

4 4

– 16x y



8

4 4

8

4 4

= (64x + 16x y + y ) – 16x y

Finalmente: 64 x8  8 y8  8x4  4 x 2 y 2  y 4 8x 4  4 x 2 y 2  y 4




- 61 -

VII) Trinomio de la forma x  bx c.- Se convierte a dos binomios de suma y se completa con dos números cuyo producto es “c” y cuya suma sea “b”. 2

2

x + bx + c = ( + ) ( + ) 2

x – bx + c = ( – ) ( – ) 1° Identificar la resta (debe haber un solo signo negativo) y luego los cuadrados perfectos. 2° Calcular las bases de los cuadrados perfectos (haciendo la raíz cuadrada de cada uno) 3° Transformar la diferencia de cuadrados en un producto de binomios conjugados, formado por dichas bases. Ejemplos: 1)

Factorizar: x 2  7 x  10   x  5 x  2  5 x 2 = 10 y 5 + 2 = 7

3) Factorizar: x 2  8x  12   x  6  x  2  (–6) (–2) = 12 y (–6) + (–2) = – 8 5) Factorizar: x 2  4 x  12   x  6  x  2  6 (–2) = –12 y 6 +(–2) = 4 (el 6 va en el binomio de suma) 7) Factorizar: z 2  8z  20   z  10  z  2  –10 ( 2) = –20 y –10 + ( 2) = – 8 (el 8 va en el binomio de resta)

2) Factorizar: x 2  10 x  9   x  9  x  1 9x1=9

y

9 + 1 = 10

4) Factorizar: z 4  10 z 2  25   z  5

2

(–5)(–5) = 25 y (–5) + (–5) = 10 6) Factorizar: x 2  4 x  5   x  5 x  1 5 (–1) = – 5 y 5 + (–1) = 4 (el 5 va en el binomio de suma) 8) Factorizar: w2  2w  15   w  5 w  3 – 5 (3) = –15 y – 5 + (3) = – 2 (el 5 va en el binomio de resta)

- 62 -


9) Factorizar: x2  6 x  216 Buscamos dos números cuya diferencia sea 6 y el producto 216, los cuales no se ven fácilmente. Para hallarlos, se descompone en factores primos el tercer término: 216

2

Con estos factores primos

2×2×2=8

3 × 3 × 3 = 27

108

2

formamos dos productos.

2 × 2 × 2 × 3 = 24

3×3=9

54

2

Por tanteo, variando los

2 × 2 × 3 = 12

2 × 3 × 3 = 18

27

3

factores de cada producto

9

3

obtendremos los dos números

27 – 8 = 19, no sirven

3

3

que buscamos, así:

24 – 9 = 15, no sirven 18 – 12 = 6, sirven

1

Los números buscados son 18 y 12, porque su diferencia es 6 y su producto 216:



x2  6 x  216   x  18 x  12 

10) Factorizar: a 2  66a  1080 Descomponiendo 1080 se tiene: 1080 540 270 135 45 15 5 1



2 2 2 3 3 3 5

2×2×2 = 8 2 × 2 × 2 × 3 = 24 2 × 3 × 5 = 30

3 × 3 × 3 × 5 = 105 3 × 3 × 5 = 45 2 × 2 × 3 × 3 = 36 105 + 8 = 113, no sirven 45 + 24 = 69, no sirven 30 + 36 = 66, sirven

a 2  66a  1080   a  36  a  30 

VIII) Método de las aspas.- Se aplica solo para trinomios de la forma trinomio se descompone de la siguiente forma: El 1er. término: En dos factores que den resultado al primer término. El 3er. término: En dos factores que den resultado al tercer término. Ejemplos:

ax2  bx  c .

El


1)

Factorizar:

- 63 -

8x2  2 x  3

Descomponiendo el 1er. y 3er. términos:

Descomponiendo el 1er. y 3er. términos: 2

x ↓ x

8x2 – 2x – 3 – 3 = – 6x +1 = 4x --------– 2x

4x 2x

2

3x 2  7 x  2 +7x

4)

Factorizar: 2

+2

8x

15 +5

→

+5x

–3

→

–3x +2x

8x2  2 x  3

– 2x

–3

3x

1

x

4x

–3

– 6x

x

2

6x 7x

2x

1

4x – 2x

 3x2  7 x  2   3x  1 x  2  5)

–

2x

 x2  2 x  15   x  5 x  3

 8x  2 x  3   4 x  3 2 x  1

3x

+

x

2

3) Factorizar:

x2  2 x  15

2) Factorizar:

Factorizar: 2

24x

 8x2  2 x  3   4 x  3 2 x  1

24 x2  26 x  5

– 26x

6) Factorizar: 2

–5

6x

6 x2  13x  6

+ 13x

+6

6x

1

4x

3x

2

4x

4x

–5

– 30x – 26x

2x

3

9x 13x

 24 x2  26 x  5   6 x  1 4 x  5

 6 x2  13x  6   3x  2  2 x  3

IX) Cubo perfecto de binomios.- Recuerda “cubo de un binomio”

( x  y)3  x3  3x2 y  3xy 2  y3 Se calculan sus raíces cúbicas; dichas raíces serán las bases. Luego se determina el triple producto del cuadrado de la primera base por la segunda, y el triple producto de la primera base por el cuadrado de la segunda. Si estos cálculos figuran en el cuatrinomio dado, entonces decimos que es un Cuatrinomio Cubo Perfecto.

- 64 -


Ejemplos: 1) Factorizar: 8a3  36a 2b  54ab2  27b3 3

8a 3  2a

3

;

1 3 3 2 3 x  x  x 1 8 4 2

2) Factorizar:

27b3  3b

3.(2a) 2 .(3b)  36a 2b

3

3.(2a).(3b) 2  54ab 2

1 3 1 x  x 8 2

3

;

1  1

1 3 3.( x) 2 .(1)   x 2 2 4

Es un cuatrinomio cubo perfecto:

1 3 3.( x).(1) 2  x 2 2

 8a3  36a 2b  54ab2  27b3   2a  3b 

3

Es un cuatrinomio Cubo Perfecto



3) Factorizar: 27a3  27a2b  9ab2  b3

1 3 3 2 3 1  x  x  x  1   x  1 8 4 2 2  

3

4) Factorizar: 8m3  96mn2  64n3  48m2 n

3

Raíz cúbica de 27a = 3 a

Ordenarlo con relación a la letra m:

3

8m3  48m2n  96mn2  64n3

Raíz cúbica de b = b 2

2

2

El 2º término: 3(3 a) .b = 3(9 a ).b = 27a b 2

El tercer término: 3(3 a) (b) = 9ab

Los signos van alternados, se trata del cubo de una diferencia:

2

 27a3  27a 2b  9ab2  b3   3a  b 

3

 8m3  48m2 n  96mn2  64n3   2m  4n 

3

X) Suma o diferencia de cubos perfectos.- Se denomina “suma de cubos” a la suma de dos cantidades donde ambas tienen raíz cúbica exacta. De los productos notables:

2

2

2

2

3

3

(a + b)(a – ab + b ) = a + b 3

(a – b)(a + ab + b ) = a – b

3

a) Suma de cubos: Es el producto del dos factores, el primero formado por la suma de las bases y el segundo factor formado por el cuadrado de la primera base, menos el producto de las dos bases más el cuadrado de la segunda base.

a3  b3   a  b   a 2  ab  b2 


- 65 -

b) Diferencia de cubos: Es el producto del dos factores, el primero formado por la diferencia de las bases y el segundo factor formado por la suma del cuadrado de la primera base, mas el producto de las dos bases más el cuadrado de la segunda base.

a3  b3   a  b   a 2  ab  b2  Ejemplos:



1) Factorizar: 8 x3  27 y 3   2 x 3   3 y 3   2 x  3 y  2 x 2  6 xy  9 y 2 2) Factorizar:

 5 x  3   x  5  3

3



2 2   5x  3   x  5  5x  3   5 x  3 x  5   x  5   

 6 x  2 25x2  30 x  9  5x2  25x  3x  15  x 2  10 x  25  2 3x  1 21x2  42 x  49  14 3x  1 3x 2  6 x  7  3) Factorizar:

 3x  2 

3

 125x3   3x  2    5x  3

3

2 2   3x  2   5 x   3x  2    3x  2  5 x    5 x    

  2 x  2 9 x2  12 x  4  15x2  10 x  25x2   2  x  1 49 x 2  22 x  4 4) Factorizar:

 x  1  1  x  3

3

2 2   x  1  1  x   x  1   x  11  x   1  x    

  x  1  1  x  x 2  2 x  1  x  x 2  1  x  1  2 x  x 2    2 x  2  x 2  2 x  1  2  x  1 x  1  2  x  1 2

XI. Suma o diferencia de dos potencias iguales.-

3

Este criterio se emplea para

descomponer en factores, expresiones de la forma x n  y n , donde n es entero y positivo, por cocientes notables las expresiones de la forma: n n 1) a  b

Siempre es divisible

n n 2) a  b

Es divisible si n es impar

n n 3) a  b

Es divisible si n es par

n n 4) a  b

Nunca es divisible

ab

ab

ab

ab

- 66 -


Ejemplos: 1) Factorizar:

x5  32 y 5 5

La raíz quinta de x es x,

5

de 32y es 2y, entonces:

 x5  32 y5  x5   2 y    x  2 y   x 4  x3 (2 y)  x 2 (2 y)2  x(2 y)3  (2 y) 4  5

  x  2 y   x 4  2 x3 y  4 x 2 y 2  8xy 3  16 y 4  2) Factorizar:

x7  y14 desarrollando se tiene:

 x7  y14  x7   y 2    x  y 2  x6  x5 y 2  x 4 y 4  x3 y 6  x 2 y8  xy10  y12  7

Descomposición de un polinomio en factores por el método de evaluación (Ruffini).Al estudiar la divisibilidad por x – a demostramos que si un polinomio entero y racional en x se anula para x = a, el polinomio es divisible por x – a. Este mismo principio aplica a la descomposición de un polinomio en factores por el Método de Evaluación. Ejemplos: 1)

Descomponer aplicando el método de Ruffini:

x3  2 x 2  x  2

Los factores del término independiente 2 son: + 1, –1, + 2 y –2. Veamos si el polinomio se anula para x = 1, x = –1, x = 2, x = –2. Si se anula para algunos de estos valores, el polinomio será divisible por x menos ese valor. 1

+2

–1

–2

Coeficientes del polinomio

1

+1 +3

+3 +2

+2 0


+1

El residuo es 0, el polinomio dado se anula para x = 1, luego es divisible por (x – 1) Cociente:

x 2  3x  2 .

El dividendo es igual al producto del divisor por el cociente:

 x3  2 x2  x  2   x  1  x 2  3x  2    x  1 x  1 x  2 


2)

Descomponer por evaluación:

- 67 -

x3  3x2  4 x  12

Los factores de 12 son: ± (1, 2, 3, 4, 6 y 12)

1

–3

–4

12


1

+1 –2

–2 –6

–6 6


+1

El residuo es 0, el polinomio dado no se anula para x = 1, no es divisible por (x – 1)

1

–3

–4

12


1

–1 –4

4 0

0 12


–1

El residuo es 12, el polinomio no se anula para x = –1 y no es divisible por (x + 1)

1

–3

–4

12


1

+2 –1

–2 –6

–12 0


+2

El residuo es 0, luego el polinomio se anula para x = 2 y es divisible por (x – 2) Cociente:

x2  x  6

 x3  3x2  4 x  12   x  2   x 2  x  6    x  2  x  3 x  2 

- 68 -


EJERCICIOS RESUELTOS Factor común:



1) 12m2 n  24m3n2  36m4 n3  48m5n4  12m2 n 1  2mn  3m2n2  4m3n3 2)



4n  12n  4n 1  3n 

3) b  x  a   x  x  a    x  a  b  x 







4) 7m3  x  b 2   x  83   x  82 7m3  ( x  8)   x  82 7m3  x  8 5)



 x 1 x  2 x  3   x 1 x  2   x 1  3  x  1 x  3 

 x 1 ( x  2)( x  3)  ( x  2) 1  3( x  3)    x 1 x  3 x  2  1  3



 x  1 x  3 x  2

Agrupación de términos: 6) ax  by  bx  ay   ax  bx    ay  by   x  a  b   y  a  b    a  b  x  y  7)

x3  x2  x  1   x3  x2    x  1  x 2  x  1   x  1   x  1  x 2  1



 

 





8) 3a  b2  2b2 x  6ax  3a  b2  2b2 x  6ax  3a  b2  2 x b2  3a

  3a  b2   2 x  3a  b2    3a  b2  1  2 x  9)

2am  2an  2a  m  n  1  2a  m  n  1   m  n  1  2a  m  n  1   m  n  1   m  n  1 2a  1

10)

a3  a 2  a  1  x2  a 2 x 2   a3  a    a 2  1  x 2 1  a 2   a  a 2  1   a 2  1  x 2  a 2  1   a 2  1 a  1  x 2 




- 69 -

Trinomio cuadrado perfecto:





11) 1  49 x 4 y 2  14 x 2 y  49 x 4 y 2  14 x 2 y  1  7 x2 y  1



2



12)  x 2  2 x  1   x 2  2 x  1    x  12



13) 32a3 x 2  200 y 2 a3  160 xa3 y  8a3 4 x 2  25 y 2  20 xy

 8a3  4 x 2  20 xy  25 y 2   8a3  2 x  5 y 



2

14) 4( x  1)2  4( x  1)  1   2( x  1)  12   2 x  2  12   2 x  32 15) 9( x  y)2  12( x 2  y 2 )  4( x  y)2  3( x  y)  2( x  y)2

  3x  3 y  2 x  2 y    5 x  y  2

2

Diferencia de cuadrados: 16)

x4  1   x2  1 x2  1   x2  1  x  1 x  1

17)

 a  x    x  2 2

2

 (a  x)  ( x  2)(a  x)  ( x  2)   a  2 x  2) a  x  x  2)

  a  2 x  2) a  2) 18)

a 2  2ab  b2  x 2   a  b   x 2   a  b  x  a  b  x  2





19) 1  a 2  d 2  2ad  1  a 2  2ad  d 2  1   a  d 2  1  (a  d )1  (a  d ) 

 1  a  d 1  a  d  20)

 5x  4

2

 4  3x  2   (5x  4)  2(3x  2)(5x  4)  2(3x  2) 2

 5x  4  6 x  45x  4  6 x  4  11x   x  8  11x  x  8

- 70 -


x2n  bxn  c :

Trinomios de la forma 21)

x6  15x3 y  26 y 2   x3  13 y  x3  2 y 

22)

x4  8x2  9   x2  9  x 2  1   x 2  9   x  1 x  1

23)

x4  10 x2  9   x2  9  x2  1   x  3 x  3 x  1 x  1

24)

x8  10 x 4  16   x 4  8 x 4  2 

25)

x2  (ab  cd ) x  abcd   x  ab  x  cd 

26)

x5  40 x3  144 x  x  x4  40 x2  144  x  x2  36 x2  4  x  x  6 x  6 x  2 x  2

27)

x6  7 x3  8   x3  8 x3  1   x  2   x2  2 x  4   x  1  x2  x  1

Trinomio de la forma ax 2n  bx n  c : Método del aspa

6 x4  5x2  6

28)

29) 5x6  4 x3  12

2

–2

– 4x

2

3

9x 2 5x

3x 2x

2

11xy  6 y 2  4 x2  4 x2  11xy  6 y 2

–6x

3

2

10x 3 4x

x

7 y 6  33 y3  10

31)

3

2

3

–5

– 3y

– 3xy

7y

x

– 2y

– 8xy

y

  11xy  6 y 2  4 x2   4 x  3 y  x  2 y 

3

 5x6  4 x3  12   5 x3  6  x3  2 

4x

– 11xy

3

–6

2

 6 x4  5x2  6   3x 2  2  2 x 2  3

30)

3

5x

3

2y

3

– 35y

3

– 33y

 7 y 6  33 y3  10   7 y3  5 y3  2 


- 71 -

Factorizaciones cúbicas: 32) 3x 2 y  y 3  3xy 2  x3  x3  3x 2 y  3xy 2  y 3   x  y 

3

33)

x6  3x 4  3x 2  1   x 2  1

3



34) 3 y 2 x6  9 x9  y 6  3x3 y 4  x9  3x6 y 2  3x3 y 4  y 6  x3  y 2 35)

x3  8  x3  23   x  2   x2  2 x  4 

36)

x3  y3   x  y   x 2  xy  y 2 



3

Método de Ruffini: 37)

x3  7 x  6

38)

1

0

–7

6

1

1 1

1 –6

–6 0

1

x3  2 x2  17 x  6 1

2

– 17

6

1

3 5

15 –2

–6 0

3

2

2

x + x – 6 = (x + 3) (x – 2)

x + 5x – 2

 x3  7 x  6   x  1 x  3 x  2 

 x3  2 x 2  17 x  6   x  3  x 2  5x  2 

39)

x4  15x2  10 x  24

40)

1

0

– 15

– 10

24

1

1 1

1 – 14

– 14 – 24

– 24 0

1

–2 –1

2 – 12

24 0

1 –2

   x  1 x  2   x 2  x  12    x  1 x  2  x  4  x  3

No es factorizable

m3  12m  16 1

0

– 12

16

1

2 2

4 –8

– 16 0

2

   m  2   m 2  2m  8    m  2  m  4  m  2    m  2  m  4 2

- 72 -


Completando cuadrados y otros: 41)

x 4  x 2  1  x 4  x 2  1  x 2  x 2  x 4  2 x 2  1  x 2   x 2  1  x 2 2

  x2  1  x  x 2  1  x    x 2  x  1 x 2  x  1 42)

x 4  64  x 4  64  16 x 2  16 x 2  x 4  16 x 2  64  (4 x)2   x 2  8   4 x  2

2

  x2  8  4 x  x 2  8  4 x    x 2  4 x  8 x 2  4 x  8

43)

x4  x2 y 2  y 4  x4  x2 y 2  y 4  x2 y 2  x 2 y 2  ( x 4  2x 2 y 2  y 4 )  x 2 y 2

  x 2  y 2    xy    x 2  xy  y 2  x 2  xy  y 2  2

44)

2

x5  x  1  x5  x  1  x2  x2  x5  x2  x2  x  1  x 2  x3  1   x 2  x  1  x2  x  1  x 2  x  1   x 2  x  1   x 2  x  1 x3  x 2  1





45) 9 x 2  a 2  2ab  b2  9 x 2  a 2  2ab  b2  9 x 2   a  b 

2

  3x  (a  b)  3x  (a  b)    3x  a  b  3x  a  b 



46) 4x 2 a 2  a 2  x 2  y 2



2

 2 xa   a 2  x 2  y 2  2 xa   a 2  x 2  y 2   2ax  a 2  x 2  y 2  2ax  a 2  x 2  y 2  2 2   x 2  2ax  a 2   y 2   y 2   x 2  2ax  a 2    x  a   y 2   y 2   x  a     

  x  a   y   x  a   y   y   x  a   y   x  a 

  x  a  y  x  a  y  y  x  a  y  x  a 


- 73 -

PREGUNTAS DE RAZONAMIENTO FACTORIZACIÓN 1.

a) 2.

m2  mn se obtiene:

Al factorizar

m n(m  1)

b)

b) (1  a) 1  a 

La expresión

c)

d) ( x  12)  x  1

a3

d) 2a 2



b) x 9

x3

x

2

 3

2

b)

La expresión

b)

d) x 3 x 3  x 

x4  4 x3  2 x2  12 x  9

 x  1  x  3 2

2

c)

 x  1  x  3 2

2

d)

 x  1

2

x2  y 2  z 2  2 xy  2 xz  2 yz

 x  y  z

2

c)

 x  y  z

c)

mx (1  m2  m3 )

2

d)

 x  2y  z

2

mx  m2 x  m3 x es igual a:

m6 x

El trinomio



c) x 3 x 3  1

Factorizar la siguiente expresión:

a) 9.

d) a(1  a)

c) ( x  12)  x  1

b) a 2

a)  x  y  z 2 8.

c) (a  1)  a  1

b) ( x  6)  x  2 

Factorizar la siguiente expresión: a)

7.

m(1  n)

La expresión equivalente a x 6  x 3 es: a)

6.

d)

a 2  a es equivalente a:

a) aa  1 5.

m(m  n)

x2  13x  12

Factoriza

a) ( x  4)  x  3 4.

c)

1  a 2 se obtiene:

Al factorizar a) (1  a) 2

3.

m2 (m  n)

b)

x2  x  42

a)  x  7  x  6 

b)

mx (1  mx  m2 x )

d)

3m6 x

se puede escribir como:

 x  6 x  7 

c)

 x  6 x  7 

d)  x  7  x  6 

- 74 -


10. Indicar uno de los factores de: a)

x y

x3  y3  x 2 y  xy 2

b) x 2 y 2

c)

x

d) x 2  y 2

x6  x4  x  1 es:

11. Factorizar:

a)  x  1 x  2 

b) x 4  x  1 x  2 

c) x 4  x  1 x  2 

d) x 4  x  1

12. Factorizar x5  2 x4  6 x3  4 x2  13x  6 a) c)

 x  1  x  3 x  2 3  x  1  x  3 x  2 3

b) d)

 x  1  x  3 x  2 3  x  1  x  3

13. Al factorizar la expresión 2 x 2  5x  3 , se obtiene

3

 2x  a  x  b  .

Entonces, los

valores de a y b son respectivamente: a) 1 y 3

c) 1 y – 3

b) 3 y 1

d) –1 y 3

14. Decir cuál de las siguientes opciones es correcta.





a) x 2  3x  28  x  7x  4

b) 8a 6  1  2a  1 4a 2  2a  1

c) 4ax  y   x  y   4a  1x  y 

d) 16x  36a  4 x  9a 4 x  9a  2

2

15. Sólo una de las siguientes opciones es falsa, decir cuál es. a) b) c) d)

x  y 3  z 3  x  y  z  x  y 2  x  y z  z 2  5x  2 y   2b5x  2 y   1  2b5x  2 y  3x 2  12y 2  3x  2 y x  2 y  121x 2  66x  9  11x  32

16. Sólo una de las siguientes opciones es correcta, decir cuál es. a) 9 x 2 y 2  16a 2  3xy  4a 2

b) 1  4 y  4 y 2  1  4 y 2

d) x 2  8x  16   x  42

c) 3x 2  12  3x  2x  2

17. Sólo una de las siguientes opciones es correcta, decir cuál es.









a) 1  x 8  1  x 4 1  x 2 1  x 1  x  b)

2x  y 

3

 8x  12xy  6 xy  y 3

2

2

c) x 3  8  x  2 x 2  2 x  4 3





d) a  27  a  3 a  3a  9 3

2




- 75 -

18. Factorizar: 8  x 3  8x 2  x 5 a) 1  x 2 x  2x 2  2 x  4 c) x  2 x 2  2 x  4 1  x 1  x 





19. Factorizar: a) b)

b)

x  2x  22 1  x1  x

d)

x  23 1  x1  x

c)

x

x 3  2 x 2 y  4 xy 2  8 y 3

x  2 y x  2 y x  2 y  x  2 y x  2 y x  2 y 

d)

2



 2 y 2 x  2 y 

x  2 y x 2  2xy  4 y 2 

20. Descomponer en factores: x 4  7 x 2  12 a) x 2  3x 2  4 c) x 2  3 x 2  4





 

 

 

b) x  3 x  3 x  2x  2 d) x  3 x  3 x  2x  2



21. Diga cuáles son los factores de:  x  y   s  t  2

a) c)

x

2

 

 2 y  y 2  s 2  2st  t 2

x  y  s  t x  y  s  t 

2



2

b) d)

x  y  s  t x  y  s  t  x  y   5  t 2

22. Descompóngase en factores: 9 x 2  30 xy  25 y 2 a) 3x  5 y 3x  5 y  c) 5x  3 y 5x  3 y 

b)

3x  5 y 3x  5 y 

d) 5x  3 y 5x  3 y 

23. Al factorizar ab  ad  bc  cd uno de sus factores corresponde a: b) a  b

a) a  c

c) c  a

d) b  d

24. La factorización de 8x 2  10x  12 corresponde a: a) 8x  3x  2

b) 8x  2x  3

c) 24 x  3x  2

d) 24 x  3x  2

25. La factorización de 2 x 5 y  2 xy 5 corresponde a:

 c) 2 xyx

 x  yx  y

a) 2 xy x 4  y 4 2

 y2

b) 2 xyx  y 2 x  y 2





e) 2 xy x 2  y 2 x 2  y 2



26. Un trinomio cuadrático que NO es factorizable corresponde a: a) 3x 2  7 x  2

b) x 2  4 x  4

c) 3x 2  5x  4

d) x 2  4 x  4

- 76 -


27. La factorización de la expresión 81x 5  xy 4 corresponde a:









a) x 9 x 2  y 2 3x  y 

b) x 9 x 2  y 2 3x  y 3x  y 

c) x3x  y 3x  y 

d) x3x  y 3x  y 2

3

28. Al factorizar la expresión a  b  1  c  1  b se obtiene: a) 1  ba  c 

b)

b 1a  c

c)

b 1a  c

d) 1  ba  c 

29. Al factorizar la expresión m  n  1  x  1  n se obtiene: a) 1  nm  x 

b) 1  nm  x

c)

n 1m  x

d)

n 1m  x

30. La expresión a  4  b  1 es una factorización de la expresión polinomial: a) ab  a  4b  4

b) a  b  4  ab

c) a  b  4b  1

d) ab  4b  a  4

31. ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) factor(es) de la expresión algebraica

2x 2  6x  20 ? I) 2

II) (x – 5)

III) (x + 2)

a) Sólo I

b) Sólo II

c) Sólo I y II

d) I, II y III

32. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) factor(es) de 4 x 2 y  4 x y  3 ? y

y

y

I) 2x – 3

II) 2x + 3

III) 2x + 1

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo I y II

d) Solo I y III


- 77 -

EJERCICIOS PROPUESTOS FACTORIZACIÓN 1.

Factoriza las siguientes diferencias de cuadrados:

a) y 2  100

b) 81  x 2

c) 169  x 2

d) t 2  64

e) 9a 6  25a 4

f) a 4  1296

g) 144  9t 2

h) x 2  26

i) x 6  y 6

j) z 2  81

k)

2.

a10  b10

l)

x3  y 3

Factoriza los siguientes trinomios cuadráticos:

a) 25x 2  4 x  12

b) 6 x 2  xy  15 y 2

c) 7 x 2  33x  10

d) 4 x 2  12 x  9

e) 3x 2  13x  14

f) x 2  7 x  10

g) z 2  14 z  49

h) x 2  18x  81

i) y 2  12 y  36

3.

Determina sí los siguientes trinomios son cuadrados perfectos, sí es así, factorízalos:

a) y 2  16 y  64

b) z 2  24 z  49

c) w2  28w  139

d) w2  24w  144

e) y 2  26 y  169

f) 16 x 2  48x  36

g) 49  28 y  4 y 2

h) y 2  16 y  64

i) z 2  24 z  49

j) w2  28w  139

k) w2  24w  144

l) y 2  26 y  169

4.

Expresa como un producto de tantos factores como sea posible: 2 2

2

1) 30m n + 75mn – 105mn

3

3

2

2

3

2) 28pq x + 20p qx – 44p qx + 4pqx

3) 14mp + 14mq – 9np – 9nq

4) 21ax + 35ay + 20y + 12x

5) 175ax + 75ay – 25bx – 15by

6) 20abc – 30abd – 60b c + 90b d

2

2 2

2

2

2 2

7) 10abx + 4ab x – 40aby – 16ab y 9) 25a – 30ab + 15ab 6

4

11) 25x – 4y

2

2

8) x + xy + xz + yz 10) ab + a – b – 1 12) ap + aq + bm + bn

2

- 78 -

5.


Factorizar aplicando los métodos aprendidos: 3

3

6

3

2

3

3) a – 9b – 27b + a 2

2

2

4

2

2

2

2a

2

3

2b

4

2

3

2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

2

2

2

29) 12x z + 8y z – 15wx – 10y w 3

2

2

3

3

2

24) m + n + m – m n + n

2

2

2

28) 3x – 17x + 10 6

3

30) x + 7x – 44 2

31) a + 2a – a – 2a

32) (m – n) – 8 (m – n) + 16

2

2

34) 20a + 7a – 6

33) 6x + 23x + 17 2

35) (a – b) + 2 (a – b) – 24 2

37) m – b – 2mn + n

2

2

36) 3a + 5a – 22 2 2

2

38) 51x y – 34xy – 17xy

3

3

2

2

40) b + 12 a b + 6ab + 8a 3

2

3

41) 6x – 11x – 10x 2

2

2 3

45) x y – x y

47) a – b + a – b

3

3

42) 8x + 27y 2 2

43) 4x – 12xy + 9y – 4a b

2

2

26) 2x – 28x + 98x

27) 4x + 4xy + y – 18x – 9y + 18 2

2

20) x – 2xy + y + 6x – 6y + 8

3

25) 8x – 12x y + 6xy – y 2

2

2

2

2

3

22) 6(x + y) + 5(x + y) – 6

23) 4a mx + 8a nx – 2a my – 4a ny

2

2 2

2

3

21) (x + y) + 2 (x + y) – 15

2

4 2

18) a + b – a – 2ab – b – a – b

19) 9a – 6ab + b – 25x + 10xy – y

2

2

2

2

4

2

2 3

16) (x + 8x + 16) – ( y + 2y + 1)

17) 10m – 13mn – 3n

4

2 2

2 3

2

2

3

4

14) 6b + 13b – 28

15) 12x – 29x + 15

39) 8a – b

2 3 2

12) 4x y – (x + y – z )

13) 27x – 54x y + 36xy – 8y

2

2

4

10) a b x – n + a b – 3a b x – n x + 3n x

11) 16x – 25y

4

2

8) 25x – 36y

–y

3

2

6) 4x + 10x – 6

7) 64m – 27y 9) x

2

4) 16 a – 24 a b + 9b

5) 8b m + 24b mn + 18b n 3

3

2) y – 26y – 27

1) 125 z + 64 y

2

2

44) x – 6x + 9 – y 2

2

2

46) x + 2xy + y – a – 2ab – b 48) 2ax + 2ay + b x + by

2


- 79 -

Cap. 5 MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Máximo común divisor (M. C. D.).- El máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números. Se toma los divisores de los números y el máximo que se repita es el M.C.D. Ejemplo.- Sacar el M.C.D. de 20 y 10: Nros.

Factores:

20: 10:

1, 2, 4, 5, 10 y 20 1, 2, 5 y 10

M.C.D. = 10

Para números grandes hay otra manera: la descomposición de factores. Forma rápida de calcular el Máximo Común Divisor (M.C.D.).Ejemplo.- Encontrar el M. C. D. de 40 y 60: 1º Descomponer en factores primos: 40 20 10 5 1

2 2 2 5

60 30 15 5 1

2 2 3 5

2º Se toman los factores comunes con el menor exponente y se multiplican. 3

40 = 2x2x2x5 = 2 x5 2 60 = 2x2x3x5 = 2 x3x5

2

M.C.D. = 2 x5= 20

Mínimo común múltiplo (m. c. m).- El mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero. Ejemplo.- Averiguar el m.c.m. de 20 y 10: Nros.

Factores:

20: 10:

20, 40, 60, 80,…. 10, 20, 30,…..

m.c.m. = 20

- 80 -


Ejemplo.- Calcular el m. c. m. de 4, 5 y 6. Se descompone en factores:

4 = 2x2 = 2

2

5 = 5

6 = 2x3

Se toman los factores comunes y no comunes con el mayor exponente y se multiplican: 2 2 x 3 x 5 = 60. El m.c.m. de 4, 5 y 6 es 60.

Máximo común divisor de monomios.- Se halla el M. C. D. de los coeficientes y a continuación se escriben las letras comunes, dando a cada letra el menor exponente que tengan las expresiones dadas. Ejemplos: 1)

Halla el M. C. D. de:

a 2 x 2 y 3a 3bx

Respuesta: M. C. D. = 2)

a2x

Halla el M.C.D. de 36a 2 b4 , 36a 2 b 4

48a 2 b3c

2 2 2 4 = 2 .3 .a b

48a 2 b 3c = 2 4.3.a 2 b 3 c 60a 4b3m

=

2 2.3.5.a 4 b 3 m

36 18 9 3 1

y 60a 4b3m 2 2 3 3

48 24 12 6 3 1

M. C. D. = 2 2.3.a 2 b 2  12a 2 b 2

2 2 2 2 3

60 30 15 5 1

2 2 3 5

Máximo común divisor de polinomios.- El M. C. D. de dos o más polinomios, es el polinomio de mayor grado posible contenido en cada uno de ellos. Para determinar el M. C. D. de dos o más polinomios se factorizan, y estará formado por todos los factores comunes con el menor exponente. Ejemplos: 1) Halla el M. C. D. de:

4a 2  4ab 2a 4  2a 2b2  4a 2  4ab  4a  a  b   22 a  a  b 

 2a 4  2a 2b2  2a 2  a 2  b2   2a 2  a  b  a  b 

M. C. D: = 2a(a  b)

2)

Halla el M. C. D. de:

x2  4 , 

x2  x  6

y

x 2  4x  4

x 2  4   x  2  x  2 

 x2  x  6   x  3 x  2   x2  4 x  4   x  2

M. C. D. = ( x  2)

2


- 81 -

Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas.- El mínimo común múltiplo de dos o más expresiones algebraicas es toda expresión que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas. Mínimo común múltiplo de monomios.- Se halla el m. c. m. de los coeficientes y a continuación se escriben las letras comunes y no comunes, dando a cada letra el mayor exponente que tengan las expresiones dadas. Ejemplos: 1)

Halla el m.c.m. de: 8ab 2 c

y 12a 3b 2

8ab 2 c = 2 3 ab 2 c 12a 3b 2 = 2 2.3.a 3b 2 2)

m.c.m = 23.3.a 3b 2 c  24a 3b 2 c

Halla el m.c.m. de: 10a 3 x , 36a 2 mx 2

y 24b 2 m 4

10 2 5 5 1

10a 3 x = 2.5.a 3 x 36a 2 mx 2 = 2 2.32.a 2 mx 2 24b 2 m 4 = 2 3.3.b 2 m 4

36 18 9 3 1

2 2 3 3

24 12 6 3 1

2 2 2 3

m.c.m. = 23.32.5.a3m4 x2 m.c.m. = 360 a3m4 x 2

Mínimo común múltiplo de polinomios.- El m. c. m. de dos o más polinomios, es el polinomio de menor grado posible que contiene un número entero de veces como factor a cada uno de los polinomios a intervenir. Para determinar el m. c. m. de dos o más polinomios se factorizan, y estará formado por todos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. Ejemplos: 1)

Halla el m.c.m de: 4ax2  8axy  4ay 2

2) y 6b 2 x  6b 2 y

 4ax2  8axy  4ay 2  22 a  x  y 

2

 6b x  6b y  6b  x  y   2  3b  x  y  2

2

2

2

m.c.m. = 22  3ab2 ( x  y)2  12ab2 ( x  y)2

Halla el m.c.m. de:

x2  4 ,

x2  x  6

y

 x2  4   x  2  x  2   x2  x  6   x  3 x  2   x2  4 x  4   x  2

2

m.c.m = ( x  2) 2 ( x  2)( x  3)

x2  4 x  4

- 82 -


EJERCICIOS RESUELTOS 1)

Hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de: 2

2

x –y

2

2

2

x – 2xy + y ;

;

x – xy

Factorizando cada polinomio, se tiene: 2

2

x –y

= (x + y) (x – y)

2

2

x – 2xy + y

= (x – y)

M.C.D.: (x + y)

2

2

m.c.m.: x(x – y) (x + y)

2

x – xy = x(x – y)

2)

3

2

Hallar el M. C. D. de: a – 3 a + 3 a – 1 ;

2

3

a –2a+1;

a –a;

2

a – 4a+ 3

Factorizando los polinomios: 3

2

a – 3 a + 3 a – 1 = (a – 1) 3 a – a = a(a + 1)(a – 1)

3

2

2

a – 2 a + 1 = (a – 1 ) 2 a – 4a + 3 = (a – 3)(a – 1)

M. C. D. se toma como los factores comunes con el menor exponente: a – 1 3)

4

3

2

Hallar el M. C. D. de: 2x – x – 3x + 3x – 9 ;

3

2

10x – 9x + 17x – 6

Factorizando los polinomios: 4

3

2

2

2

2x – x – 3x + 3x – 9 = (x – 3)(2x – x + 3) 3

2

2

2

10x – 9x + 17x – 6a – 2 a + 1 = (5x – 2)(2x – x + 3) 2

M. C. D. = 2x – x + 3 4)

2

2

Si P(x) = (x – 6x + 8)(x + x – 6)

2

y

2

2

Q(x) = (x – x – 12)(x + 2x + 1)

2

Hallar el M.C.D. (P(x) y Q(x)). Factorizando: 2

2

2

2

2

3

P(x) = (x – 6x + 8)(x + x – 6) = (x – 4)(x – 2)(x + 3) (x – 2) = (x – 4)(x – 2) (x + 3) 2

2

2

Q(x) = (x – x – 12)(x + 2x + 1) = (x – 4) (x + 3)(x + 1) M.C.D. = (x – 4)(x + 3)

4

2


5)

- 83 -

Hallar el m. c. m. de los siguientes polinomios: 3

x –1;

4

2

3

x +x +1;

2

x + 3x + 3x + 2


2

x – 1 = (x – 1)(x + x + 1) 4

2

2

2

x + x + 1 = (x + x + 1)(x – x + 1) 3

2

2

x + 3x + 3x +2 = (x + 2)(x + x + 1) El m.c.m. está formado por los factores comunes y no comunes con su mayor exponente: 2

2

m.c.m. = (x – 1)(x + 2)(x + x + 1)(x – x + 1) 6)

Hallar el m. c. m. de los polinomios: 3

2

P(x) = x – 11x + 31x – 21

y

5

2

Q(x) = x + x – x – 1


2

P(x) = x – 11x + 31x – 21 = (x – 1)(x – 3)(x – 7) 5

2

3

Q(x) = x + x – x – 1 = (x – 1)(x + 1)(x + x + 1) El m.c.m. de los polinomios P(x) y Q(x) está dado por los factores comunes y no comunes de mayor exponente: 3

m.c.m. = (x – 7)(x – 3)(x – 1)(x + 1)(x + x + 1)

- 84 -


PREGUNTAS DE RAZONAMIENTO M. C. D. y m. c. m. 1.

2

a) 24xyz 2.

2 3

3 2 3

3

c) 38x y z

d) 2xyz

2

3

3

c) a bx

2

d) abx

2

Hallar el m.c.m. de: 2 a ; 6 ab; 3 a – 6ab 2

3

3

Hallar el m.c.m. de: x – y ; (x – y) 2

2

b) a b(a – 2b)

2

3

2

3

2

d) 6 a b(a – 2b)

c) 6 a b(a + 2b)

2

2

b) (x – y)(x + xy + y )

a) (x + xy + y )

2

2

c) (x – y)(x + xy – y )

2

3

d) N. A.

2

Hallar el M.C.D. de: 2 a – 12 a b + 18 ab ; a x – 9ab x 2

a) a (a – 3b)

2

b) a(a – 3b)

c) a(a – 3b) 3

d) (a – 3b)

2

3

2

El M. C. D. de los polinomios P(x) = 3x + x – 8x + 4 y Q(x) = 3x + 7x – 4 es: 2

2

a) 3x + 4x – 4

2

b) 3x – 4x – 4 3

3

2

c) x – 4

2

M.C.D. y el m.c.m. de P(x) = x + 5x + 2x – 8 a) b) c) d)

9.

5 6

b) 38axyz

2

8.

3 2 3

d) 24x y z

Hallar el m.c.m. de: a x ; a bx

a) a (a – 2b)

7.

4 7

b) 38axyz

3 4 4

6.

2

c) 6xyz

2 6 4

a) a b x

5.

3

Hallar el M.C.D. de: 38 a x y ; 76 mx y ; 95 x y 4 4

4.

2

b) 12xyz

a) 19x y 3.

3

Hallar el M.C.D. de: 12 x yz ; 18 xy z; 24 x yz

2

d) 3x + 4x + 2 3

2

Q(x) = x + 3x – 4 son:

y

2

M.C.D. = x + 3x – 4 4 3 2 M.C.D. = x + 7x + 12x – 14x – 16 3 2 M.C.D. = x + 3x – 4x + 1 2 M.C.D. = x + x – 2

m.c.m. = 2x + 2x – 4 2 m.c.m. = x + x – 2 4 2 m.c.m. = 2x + 4x + 4 4 3 2 m.c.m. = x + 7x + 12x – 4x – 16

Hallar el M. C. D. de: 2

3

3

2

2

2

6x (x+1) (x – 1) ; 8x(x + 1) (x + 2); 12x (x + 1) (x + 3) 2

a) x – x + 1

b) x(x + 1)

c) 2x(x + 1)

2

2

3

d) x + x + 1

10. Hallar el m. c. m. de los polinomios: 2

2

4

2

3

2

x – 4x + 3; x + 4x + 3; x – 10x + 9; x – 9x + x – 9 2

4

a) (x – 9)(x – 1)

2

2

b) (x – 9)(x – 1)

2

c) (x – 9)(x + 1)

2

2

d) (x – 9)(x + 1)


- 85 -

EJERCICOS PROPUESTOS 1. Hallar el M.C.D. y el m.c.m. de:

2.

a)

5x – 10;

b)

x –y

4

2

2

15 x – 60;

4

2

3x - 12x + 12

2

3

x –y 2

2

c)

15x – 5x

d)

3x –3x

e)

x – 6x +11x-6

f)

x – 9x + 26x –24

4

2

2

x – 6x + 9

3

2

3

9–x

2

3

18x – 18x

12x + 12x

3

2

4x – 12x + 8

2

3

2

x –5x + 6

2

16x –31x + 16

2

3

2

x – 8 -6x + 12x

Encuentra el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de las expresiones: a)

2

4

9x y ;

5

6xy ;

3

12x y

4

b) 4a b ; 12a ; b c)

2

3

3

5

2

x + 5x + 6 ;

2

x + 6x + 9 ; x + 3x + 2 ; x + 2 2

2

d) 6x – 6y ; x + xy + y ; 2(x – y) 2

a – b ; 3b – 3a ; a – b ;

f)

x–y;

2

2

3

2

– 5a – 5b

3

3

x – 2xy + y ; x – y

g) a – 1 ;

2

2

a + 2a – 3

a + 4a + 3 ;

3

h) x + y ; 3.

2

e)

(x + y)

3

Encuentra el máximo común divisor (M.C.D.) de las expresiones: 3

3

2

3

2

4ax – ay

a) 8x + y ; 2

2

3

b) 2a – 12a b + 18ab ;

2

2

2

2

2

3

f) 3a – 6a ; a – 4a ; 2 2

g) (xy + y ) ; h)

3

3

x +y ;

2

x + 2ax – 3a ; 18ax – 50a ;

e) 54x + 250 ; 2

2

2c + 4cd + 2d

d) x + ax – 6a ; 3

2

a x – 9ab x

2

c) ac + ad – 2bd ;

2

(x + y)

3

2

2

50 + 60x + 18x

2

2

3

x + 6ax + 9a

2

a b – 2ab ;

x y – 2xy – 3y ;

3

x – x y + xy – y

a –a–2 3

4

ax y + ay ;

2

3

xy–y

- 86 -


Cap. 6 FRACCIONES ALGEBRAICAS Fracción algebraica.- Es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas.

a b



Numerador Denomin ador

b0

P( x)  Q( x )

Polinomio numerador Polinomio deno min ador

Las fracciones a estudiar en este capítulo son las fracciones racionales, es decir, fracciones que no tienen exponente fraccionario tanto en el numerador como en el denominador. El valor de una fracción NO se altera si se multiplican o dividen, el numerador y denominador por una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero. Ejemplo.- Si

x 1 se multiplica por x + 2 numerador y denominador resulta: x3

x  1 ( x  2) x2  x  2 .  2 x  3 ( x  2) x  5 x  6

( x  2)

Signos asociados a una fracción.- En una fracción algebraica se debe considerar tres signos. El signo del numerador, del denominador y de la fracción propiamente dicha. Es decir:

F



N D

 

N D

F

 

N D

 

N D

Operando dos de los tres signos no se altera la fracción Ejemplo:

a a a   b b b

Clasificación de fracciones algebraicas.- Considerando la fracción

F ( x) 

N ( x) , D( x)

se pueden clasificar en: 1º Fracciones propias.- Cuando el grado del polinomio del numerador N(x) es menor que el grado del polinomio del denominador D(x); (Nº < Dº) Ejemplos.- Son fracciones propias:


x4

1) F ( x) 

x  7x  3 2

- 87 -

2) F ( x) 

x2  9x  3 x  6x  2 3

3) F ( x) 

4 x  7 x2  3 4

2º Fracciones impropias.- Cuando el grado del polinomio del numerador N(x) es mayor o igual que el grado del polinomio del denominador D(x); (Nº ≥ Dº) Ejemplos.- Son fracciones impropias:

x3  4

1) F ( x) 

x  7x  3 2

2) F ( x) 

x2  9x  3 x  6x  2 2

3) F ( x) 

4 x5  5 x  7 x2  3 4

3º Fracciones homogéneas.- A las fracciones que tienen denominadores iguales se denominan fracciones homogéneas. Ejemplos.- Son fracciones homogéneas: x3  6 x 2  2 x  4

1) F3 ( x) 

x  7x  3 2

2) F2 ( x) 

x2  5x  4 x  7x  3 2

3) F1( x) 

x3  4 x  7x  3 2

4º Fracciones heterogéneas.- Cuando dos o más fracciones algebraicas por lo menos alguna de ellas poseen distinto denominador se denominan fracciones heterogéneas. Ejemplos.- Son fracciones heterogéneas: 1) F3 ( x) 

x3  6 x 2  2 x  4 x3

2) F1( x) 

x3  4 x 3 2

2 3) F2 ( x)  x  5 x  4 2

x 3

5º Fracciones equivalentes.- Dos fracciones son equivalentes cuando tienen el mismo valor numérico para todo sistema de valores asignados a sus variables, excepto en aquellos que haga cero al denominador. 6º Fracciones irreductibles.- Son aquellas fracciones que tienen como miembros, expresiones primos entre sí es decir que no tiene factores comunes. Ejemplos.- Las siguientes fracciones son irreductibles: 1) F1 ( x) 

x7 x 1

x2  1

2) F2 ( x)  2 x  x 1

3) F3 ( x) 

x4  1 x  x2  4 3

- 88 -


Simplificación de una fracción (Reducción).- Consiste en transformarla a otra equivalente cuya particularidad es ser irreductible. Procedimiento: 1º Se factoriza el numerador y el denominador si es posible. 2º Se suprimen los factores comunes en el numerador y el denominador. Ejemplos:

1)

x2  x  2

Simplificar la fracción

x2  5x  6

( x  2)

Factorizando los polinomios del numerador y denominador resulta:

x2  x  2 x  5x  6 2



( x  1)( x  2) x 1  ( x  3)( x  2) x  3

Observación: Es fundamental expresar la condición ( x  2) para simplificar la fracción. No es correcto simplificar

0 , la división entre 0 no esta definida. 0

Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador por uno o más factores comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente.

2) Simplificar

2 3 x  x  y  x  y x  y 3x  x  y    2 6x  x  y  2x 3 .2. x .x  x  y 

Para poder simplificar una fracción el numerador y el denominador tiene que estar factorizado. Si no lo están la primera operación ha de ser la de factorizarlos.

3)

Simplificar

x3 x 2  x3

4)

15a 2 3.5 . a 2 3   25a3 5.5 . a 2 .a 5a

Dividir numerador y denominador por los factores comunes.

5)

2 .2. 3. x . y 2 . y 2 y 12 xy 3   3 4 2 18 x y 2 .3. 3. x .x3 . y 2 3x

Simplificando factores directamente


- 89 -

6)

x 2  x x  x  1 x   yx  y y  x  1 y

Factorizando ambos miembros. Podemos sacar factor común “x” en el numerador “y” en el denominador.

7)

x 1 x 1 x 1 1    x 2  2 x  1  x  12  x  1  x  1 x  1

El denominador se puede factorizar ya que es el cuadrado de una suma.

8)

x 1 x 1 1   x 2  1  x  1  x  1 x  1

Factorizando el denominador y luego simplificando.

9)

11)

4a 2 b 5 2b 2  3 3 6a b m 3am 9 x3 y 3 1  2 3 5 6 36 x y 4x y

10)

2a 2 2a 2 a   4a  4ab 4a(a  b) 2(a  b) 2

2 12) x  5 x  6  ( x  3)( x  2)  x  2

2ax  6a

a) Suma y resta combinadas de fracciones algebraicas.realizar operaciones con fracciones es el siguiente: 1. 2. 3. 4.

2a( x  3)

2a

El procedimiento para

Se simplifican las fracciones si es posible. Factoramos los denominadores Se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores. Se divide el mínimo común múltiplo para cada uno de los denominadores y se multiplica con su respectivo numerador. 5. Se efectúan las multiplicaciones indicadas. 6. Se reducen términos semejantes. 7. Se simplifica el resultado si es posible. Ejemplos: 1) Resolver: 

a 1 a2 a6    a 2  4 a 2  a  6 a 2  5a  6

Factorizamos los denominadores:

a 2  4  (a  2)(a  2) a 2  a  6  (a  3)(a  2) a 2  5a  6  (a  3)(a  2) a 1 a2 a6    (a  2)(a  2) (a  3)(a  2) (a  3)(a  2)

- 90 -




El m.c.m. de los denominadores es : (a  2)(a  3)(a  2)



Dividiendo el m.c.m (a  2)(a  3)(a  2) entre los denominadores y multiplicando los cocientes por los numeradores respectivos, tendremos:

 

Efectuando las multiplicaciones indicadas: 



a 2  4a  3  a 2  4a  4  (a 2  8a  12) (a  2)(a  3)(a  2)

Cambiando el signo a los términos que están dentro del paréntesis:

 

(a  1)(a  3)  (a  2)(a  2)  (a  2)(a  6) (a  2)(a  3)(a  2)

a 2  4a  3  a 2  4a  4  a 2  8a  12 (a  2)(a  3)(a  2)

Reduciendo términos semejantes:



a 2  16a  5 (a  2)(a  3)(a  2)

(Resultado)

2) Resolver: Puede observarse que si el denominador es común, éste se unifica. En el denominador se ubican las cantidades presentes en cada fracción.

2x  1 x  1 x (2 x  1)  ( x  1)  x    x 1 x 1 x 1 x 1 

2 x  1  x  1  x (2 x  x  x)  (1  1)  x 1 x 1



2x x 1

3) Con el mínimo común múltiplo (m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores se transforman en fracciones equivalentes de denominador común. Expresar en una fracción común

2 1 4   5ab a 2 15b 2

2

2

m.c.m. = 15 a b

2 1 4 6ab  15b2  4a 2  2  5ab a 15b2 15a 2b 2


- 91 -

b) Multiplicación de fracciones algebraicas.- El procedimiento a seguir es: 1. Se descompone en factores, los términos de la fracción que se va a multiplicar. 2. Se simplifica, suponiendo los factores comunes en los numeradores y denominadores. 3. Se multiplica entre sí las expresiones que queden en los numeradores y los denominadores. Por ejemplo: Sea

a c una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra , entonces: b d

 a  c  a . c      b  d  b . d

b, d ≠ 0

Ejemplos: Realizar las siguientes multiplicaciones: 1) Multiplicar:

6  2a   15b  30a b  2 . 2   2 2  ab  5b   a  5a b

2) Multiplicar:

14 x x 2  3x  2 14 x( x  1)( x  2) x  2    4x  4 6x 21x 2 4( x  1)(21x 2 )

3) Multiplicar:

x  3 x 2  2 x  8 ( x  3)( x  2)( x  4) x  4    x2 ( x  2)( x  3)( x  3) x  3 x2  9

(a, b  0)

( x  0,  1)

( x   3, 2)

c) División de fracciones algebraicas.- Para dividir fracciones, se invierte la fracción que hace de divisor y se procede como en la multiplicación. Sea

a c una fracción algebraica cualquiera que está dividida por otra , entonces: b d

a b  a  c  a  d  ad c b d b c bc d

b, c ≠ 0

Ejemplos: Realizar las siguientes divisiones:

1) Dividir:

4a 2 2a 4a 2 21   .  6a 7 21 7 2a

(a  0)

- 92 -


1 1 2) Simplificar: a  b a  b 1 a b 1 1 1     .  ab a b ab 1 a  b a  b ( a  b) 2 1

1 1  1 1 a b a b a b a b

3) Simplificar:

4) Dividir:

( a  b)

( a  b)

x 2  16 ( x 2  16)( x 2  2 x  3) ( x  4)( x  4)( x  1)( x  3) ( x  4)( x  3) x 1    ( x  2)( x  49)( x  1) x2 x2  6 x  8 ( x 2  6 x  8)( x  1) x2  2 x  3

d) Fracciones compuestas.- Una fracción compuesta contiene una o varias fracciones simples en el numerador y/o denominador. La operación de reducción de fracciones compuestas consiste en identificar y reducir las fracciones simples que la componen. Ejemplos: Simplificar las siguientes fracciones compuestas: 1)

Simplificar:

1 1

1

Simplificar:

1 x

1

1

1

2 2

 1

1 1 1 x 1 x



1 x 1 x 1



1 x 1 x x 1



1 1 x 1

x 1   ( x  1)  1  x 1



2)



1

1 a 1

 1

1 1 2 2(a  1)  1 a 1

 1

1 a 1 2 2a  3

(a  1)

1 2a  3 3a  5  (2a  3) 3a  5  2a  3 a2  1    2(2a  3)  (a  1) 3a  5 3a  5 3a  5 3a  5 2a  3


3)

- 93 -

Simplificar:

1 1  x y 1 1  x2 y 2



yx xy y 2  x2



( y  x) x 2 y 2 ( y 2  x 2 ) xy



( y  x) x 2 y 2 ( y  x)( y  x) xy



xy x y

x2 y 2

Evaluación de fracciones.- Al reemplazar un valor en una fracción se pueden presentar como resultado las siguientes posibilidades: a) La forma:

0 0 a

b) La forma:

a   (infinito) 0

c) La forma:

a 0 

d) La forma:

0  valor indeterminado 0

Los tres primeros casos se aceptan como resultado, en el cuarto caso habrá que eliminar la indeterminación por simplificación de fracciones. Ejemplos: 1) Hallar el valor numérico de la fracción:

x 2  6x  8 x 3  5x 2  7 x  2

para x = 2

Sustituyendo el valor x = 2:

22  62  8  0 23  522  72  2 0

(indeterminado)

Para hallar el verdadero valor, descomponemos el numerador y el denominador en factores y luego simplificar:



 x  2  x  4   x  4 x2  6 x  8  2 x  5 x  7 x  2  x  2   x 2  3x  1 x 2  3x  1 3

Sustituyendo el valor x = 2:

2  4   2  2 22  32  1  1

- 94 -


2 2) Evalúa en x = 2 y en x = 3 la expresión x  5 x  3 ¿Qué sucede cuando x = 5?

x5

Para x = 2:

x 2  5 x  3 22  5(2)  3 4  10  3 3    1 x 5 25 3 3

Para x = 3:

x 2  5 x  3 32  5(3)  3 9  15  3 3     1.5 x 5 35 2 2

Para x = 5:

x 2  5 x  3 52  5(5)  3 25  25  3 3     x 5 55 0 0

EJERCICIOS RESUELTOS 1) Simplificar:

x 2  3x x 2  3x

x 2  3 x x  x  3 x  3   x 2  3 x x  x  3 x  3

3) Simplificar:

x2  x  2 x3  x 2  x  1

 x  1 x  2  x  2 x2  x  2   3 2 x  x  x  1  x  1  x 2  1 x 2  1 5) Simplificar:

x2  2x  3 x2  x  2

x 2  2 x  3  x  1 x  3 x  3   x 2  x  2  x  2  x  1 x  2

7) Sumar las fracciones:

1 2x 1  2  x 1 x 1 x 1

2) Simplificar:

x 2  3x 3 x

x 2  3 x x  x  3  x  x  3    x 3 x 3 x 3  x

4) Simplificar:

x2  5x  6 x 2  7 x  12

x 2  5 x  6  x  2  x  3 x  2   x 2  7 x  12  x  3 x  4  x  4

6) Simplificar:

x3  19 x  30 x3  3x 2  10 x



x3  19 x  30  x  2  x  3 x  5   x  x  2  x  5  x3  3x 2  10 x



x3 x

8) Restar las fracciones:

x3  1   x  1  x 2  x  1

x2 1  3 x 1 x 1


- 95 -

x 2  1   x  1 x  1

m.c.m. =  x  1  x 2  x  1

m.c.m. =  x  1 x  1

x  2   x 2  x  1

x  1  2 x   x  1

 x  1 x  1



x  1  2x  x  1  x  1 x  1

2  x  1 2x  2 2     x  1 x  1  x  1 x  1 x  1

9) Multiplicar las fracciones:

 x  1  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1





  x 2  1

 x  1  x

10) Multiplicar las fracciones:

9  6 x  x2 x2  5x  6  9  x2 3x 2  9 x

 



 9  6 x  x  x  9  x  3x



 3  x   x  3 x  2   3  x  3  x  3x  x  3



 3  x  x  2  3x  3  x 

2

2

2

x  x  2  x  2 

 x  2  x  3 x  2  x  2  x  x  2

 x  2  x  3

 x  2  x  2   x 2  2 x  4   2  x  2   x  2  x  2  x2  2x  4  x2  4

2

 5x  6

 9x 

12) Dividir las fracciones:

x3  3x 2  4 x  12 4x  2x2  x2  2x  3 x3  2 x 2  x

x2 x2  4  x 2  4 x  4 x3  8 x2 x3  8  2  2 x  4x  4 x  4

2

2

2

2

11) Dividir las fracciones:

 x  1  x 2  x  1

  x  1

 x  2 x  x  4 x  4   x  5x  6  x  4  2

  x  1 x  1



x2  x  1

x2  2 x x2  4x  4  x  5x  6 x2  4 2

 x  1

2

2



x  2  x2  x  1





x 3  3 x 2  4 x  12 x 3  2 x 2  x  x2  2x  3 4 x  2 x3

x   

3

 3 x 2  4 x  12  x 3  2 x 2  x 

x

2

 2 x  3 4 x  2 x3 

 x  2  x  2  x  3 x  x  1  x  3 x  1 2 x  2  x    x  2  x  2  x  1 2 x  2  x 



2

 x  2  x  1 2

- 96 -


PREGUNTAS DE RAZONAMIENTO FRACCIONES ALGEBRAICAS 1.

Si x e y son números enteros diferentes de 0, entonces

a)

2.

x2  y2 xy

b) 3x

c) 4x

d) 2x + 1

b) h + 1

c)

2x

Simplificar

Si

h1  1 h1

2

3

a

a) 1

se obtiene:

=

1 h

d) h

, entonces el valor de a es:

2 1

1 2 b) –1

c)

3 5

d)

12 5

Al simplificar la expresión a  ab resulta: ab a) ab

7.

d) x + 1

4x2  2x

Al simplificar

1

6.

c) x

 1  x  x     x 

b) 1

a) (h + 1)

5.

d) 2x  2 y xy

Multiplicar y simplificar

a) 2x

4.

c) 1

b)

a) 0 3.

xy xy

x y  y x

b) a


a)

1 mn

c) a  1 a

d) b  1 b

m2  n2 se obtiene: mn

b) m + n

c)

1 mn

d)

mn mn


8.


a) 9.

a2 a 1

b)

- 97 -

a2  4 a 2  3a  2

se obtiene:

a 1 a2

c)

2 3a

d)

2 3a  1

3

Al dividir (x – 1) entre (x – 1) se obtiene: 2

2

a) x

2

b) x + 1

c) x + x + 1

 x3  27  2 x  2      x 2  4 x  3  x 2  3x  9   

10. Simplifique a su mínima expresión:

a) 2( x  3)

2 b) 2( x  3x  9) ( x  3)( x  3)

x 3

a  2ab  b 2

3 a 3 10

a 2  2ab  b 2 a  2ab  b 2

2

10

2

x  y    xy 

14. Una simplificación de

a) -1

2 c) a (a  b)

d) – 1

a 3 c)  3 10 a1

d) 30

b 2 ( a  b)

a b)  3 a

a1

13. El resultado de la siguiente operación

a)

d) 2

3a 1  3a 1 10a  10a 1

12. Simplificar

a)

b)

2

c) – 2

a b  a  b a b  a b  a b a b

11. Simplifique a su mínima expresión:

2 2 a) a  2ab  b

2

e) x – x +1

x y   2 , es: y x

2 b) (x  y)

c) x  y  2xy xy

xy

a 2  a  6 a 2  3a  2 a2  4 b) 1



a 2  2a  3

c) 4

corresponde a:

c) a

d) a  1

a1

- 98 -


1 15. Simplificar:

x y

x2 y y

a) x – y

16. Simplificar:

b) 1

c)

1 xy

d)

1 xy

1 1  m n 1 1  2 2 m n

a) m – n

b)

mn mn

c)

mn n m

d) m  n mn

2 17. Si a  0, entonces a   a  a  a  a  

a) a

b) a

2

c) –a

d) –a

2

2 18. El resultado correcto en la simplificación de la expresión. x  4 x  3 es: 2 x  7 x  12

a) x  1

x4

19. ¿Cuál es el valor de

a) 0 20. ¿Cuál es el valor de

a)

x3 4( x  1)( x  1)

b) x  4

x 1

c) x  3 x2

d) x  2 x3

a  b a  b , sabiendo que b  0?  b b b) 1

c) 2

d) 2 a

1 2 7 ?   2x  2 1  x 4x  4 b)

x 3 4( x  1)( x  1)

c)

x 3 4( x  1)( x  1)

d) x  3


- 99 -

EJERCICOS PROPUESTOS FRACCIONES ALGEBRAICAS Simplificar las siguientes fracciones algebraicas: 1)

4)

7)

10)

13)

16)

a9 a  81 2

x 2  5 x  14 x 2  10x  21 x 2  10x  25 x 2  2 x  35

w2  w 5w  2 w 3

a 2  14a  48 a 2  12a  36 121a 4 c 5 d 7 5 8

2)

5)

8)

11)

14)

17)

4t  97t  2 7t  2t  3 12b  60 4b 2  100

4ab  8ac 4ad  16a c 2  4c  4

c  2 3c  1 2

a 2  12a  27 a 2  7a  18 7 mn4 p 5 3

21m np

11ac d

7

3)

6)

9)

12)

15)

14x  21y 50x  75 y

21)

22)

x2  x xy  y

23)

a 2  2ab  b 2 3a  3b

24)

28)

31)

x  2x x 3  3x 2  10x x3  4x 2  4x x4 1 3x  3 2

26)

a3  b3 a b 2

2

8 p q  16 p q 

27)

3 2 4

29)

32)

2 2 3

m3  n3 5m  5mn  5n 2

x 2  3x  7 x 2  2 x  35

z 2  3z  18 z 2  2 z  24 15a 3b 2 5ab 4

27m  36n 36m  48n

20)

2

6a  23a  4 6a  23

8a  16b 24

xy  x  6 y  6 xy  x  6 y  6

x 2  5x  6

6wz 2  6w 2 z

18)

19)

25)

3wz 2

m2  n2 m  2mn  n 2 2

m4 n  m2 n3 m3n  m 2 n 2

12mn  18m n

3 3

30)

2

33)

4

2ax  4bx 3ay  6by

- 100 -

34)


xx  32 ( x  1)

35)

x 2 x  13 ( x  3) 4

ac  ad  bc  bd 2c  3bc  2d  3bd

36)

16x 2 y  25 y 4 x 2 y  3xy  10 y

Realizar las siguientes operaciones y simplificar: 1)

9 5 7   x x x

2)

3)

6x 4  3x  2 3x  2

4)

5)

4m 5m  6 7m  8   2m  5 2m  5 2m  5

6)

7)

a3 9  1 a2 a2

8)

9)

11)

3 p  12 p 2 20 p  7 p  6 2

m4 m  2m  3 2





p  10 p 2 20 p  7 p  6 2

m2  3m m  2m  3 2



5 p  9 p2



20 p  7 p  6 2

7  2m 2 m  2m  3 2

2 x + 3x+ 2 x+2 13) (x+ 2 )(x+1 )

15)

17) x - 2 - x - 1 + x+ 2

19)

21)

23)

x+ 3

2

9

x  10x  24 18 - 3x - x

p  17 p2  p  12

3d 2d  d  1 2





5 a2



9 a2

2x  3 7x  8  2 x  15 2 x  15

7 a 2  3a  4



2a  5 a 2  3a  4

5m  8n 7m  9n 5m  15n   3m  2n 2n  3m 2n  3m

10)

a 5 7 1 a5 a5

12)

x  3 x  2 2x  1 2x  3    6 9 3 12

16)

x - 1 3x - 3 2x - 2 + x+ 2 x+ 3 x+ 2

18)

3 2 2x - 2 + x+1 x - 1 x -1

20)

x 2xy y   x - 2y x 2 - 2xy x

x+1



2



2 x-3 14) x - 1 + 3x - 3 2 x+ 2 x+ 3 x + 5 x+ 6

x -1 x-3 x-3 + x+ 2 x+ 3 x 2 + 5x+ 6

x+1

4 a2

p 1 p2  5 p  6

7 6d  d  2 2

2







4x  5 x  x  12 2

6 p2  2 p  8

1 3d  5d  2 2

22) d  1  d  6(d  1) d-3 d  3 d 2  9 24)

2 2

a -1



3a 2

a -a -2


- 101 -

Multiplicar y simplificar: 1)

3)

2) 3(a  b)  17(a  b)

2 xy 4 5 x3 y  3a3b 7ab 4

 x3 y 4 x7 y8  x 4 y 5  x15 y 3

4)

a  8a  15 a  11a  18

8)

a b

2 3 4 2

5

2 2 7) z  10 z  16  z  10 z  21

2

2

a b     x y

x2 y3

3 4 5

5) a  9a  18  a  7a  10 2

19 x3

2x

z 2  9 z  14

2

2a 2  7a  6 2a 2  17a  8  2a 2  9a  9 4a 2  9a  2

9)

z 2  2 z  15

x2  9 x 2  7 x  12 x 2  7 x  12   x 2  6 x  9 x 2  8 x  16 x2  2 x

10) x  y  x  2 xy  y  x  xy  y  3x  3 y 3 3 2 2 2

2

2

x y

x  2 xy  y

2

2

2

5x  5 y

30 x  30 y

Calcular el cociente entre las siguientes fracciones algebraicas: 3 2 1) 35a  14ab 3 3

18b

9b

2 2 2) m  8m  16  m  2m  3

m 2  2m  8

m2  3m  2

3)

a 5 b8 c 7 a 6 b 8 c 9  a 4 b6 c10 a3b2 c5

4)

6 x 2  9 xy a  a3 14 x3  21x 2 y

5)

a3  a a3  a 2  2 2 a  a a  2a  1

6)

3p2  p  2 3p2  8 p  4  4p2  7 p  3 4p 2  5 p  6

7)

x4  y4 x2  y2  x 2  2 xy  y 2 x 2  2 xy  y 2

8)

x3  y3 x2  y2  x 2  2 xy  y 2 x 2  2 xy  y 2

9)

x3  x x  1  x 1 x 1

10)

m2  3m  2 m2  6m  16  m2  5m  4 m2  m  20

- 102 -


Simplificar las fracciones complejas:

y 1)



x2 y

2)

y2 x x

5 x  25 4 2 x 2

1

1 3)

1

 1

2

5)

7)

9)

11)

4)

1 y

x y x y  x y x y  x 2  xy  y 2 1 x2  y 2

x x2  2  x 1 x 1 1 1 x 1

2 3 x2 x + 6 x+ 5 x  2x  2  2 + 2 x  5 x+ 4 x 4 x  4x



x 3 x+ 3 x+ 3  x+ 3  x 3 3 x x+ 3 1 3x x 3

1+

1



1 1

6)

1 x 1



1 x 1

1

1 x 1

1

2 x4

1

8)

9  6 x+ x 2 3x 2  x 3  2 3 9  x2 3x + x  2x  4 2 x 2  8 x+ 8  3/ 4 + 2 /8 x2

2 2 x  1  2 x  8 x  10 10) + 2 x+1 x 1  x 2 x+ 2 x+1  3 2 2 x +x2 x  4 x  7 x+10 2

x y  2 2 x y 2 xy  y 1

12)


- 103 -

Calcular el verdadero valor de las fracciones algebraicas:

1)

x 3  6 x 2  12 x  8 para x = 2 x 3  2x 2  4x  8

2)

x2  x  6 x 2  5x  6

3)

x 2  6x  8 x 3  5x 2  7 x  2

4)

x 2  5 x  6 para x = 2 x 2  6x  8

5)

x 3  2x 2  4x x 4  3x 2  5 x

6)

x3  x 2  x  1 x3  3x 2  3x  1

7)

x 4  2 x3  2 x  1 4 x  2 x3  3x 2  8 x  4

8)

a 2  a  1 para a = 2 a 2  2a  5

para x = 2

para x = 0

para x = 1

para x = -2

para x = 1

Simplificar las siguientes fracciones algebraicas: 1)

x3  2 x 2  3x  6 x3  x 2  3x  3

2)

a2  a  1 a 2  2a  5

3)

2  x  ( x  2) 2 x2  4

4)

25t 2  20t  4 10t 2  4t

5)

x 3  3x 2 3x  1 x 2  2 x  1x  1

2 6) 1  49   x  2 x  3x 2 2 x  x  14 x  49 x 2  4 

7)

x6 18 x6  4  3 3 x  9 x x  81 x  9 x

8)

x 3  x 2  5x  5 x 3  x 2  3x  3

9)

1 a a2   a 2 a 1

10)

1 x2 1 x  1  3  4x 2 x2 x

11)

1 x  x 4 x  2

12)

t2 2t  t 2 t 2

2

- 104 -


Cap. 7 ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Igualdad.- Cuando se expresan dos cantidades o expresiones algebraicas y queremos decir que tienen el mismo valor. Ejemplos:

3 = 3,

a = x + y,

2

3a = 4a + 6

Ecuación.- Es una igualdad que relaciona cantidades conocidas y desconocidas, llamadas variables o incógnitas, que solo se verifican para ciertos valores numéricos. Ejemplos:

2 x2  5x  7  0

5x  5 / x  5log x

sen x  4 / 5  0

Solución o raíz de una ecuación.- Es el valor que puede tomar la incógnita para verificar la ecuación. Por ejemplo para la ecuación: 2 x  5x  12  0 , la solución o raíz de la ecuación es x  4 , puesto que al reemplazar en la ecuación dada el valor de 4 en la incógnita “x” se verifica la igualdad:

2 x  5x  12  0  2(4)  5(4)  12  0  8  20  12  0  0  0 Clasificación de las ecuaciones.- De acuerdo a sus características. I.- De acuerdo a la estructura.- Pueden ser ecuaciones algebraicas y trascendentes. a) Ecuaciones algebraicas.- Tienen en su estructura expresiones algebraicas. -

Ecuación Polinomial.- Todas las incógnitas se encuentran en el numerador (exponente entero y positivo) y el número de sus raíces es igual a su grado. Ejems.

2 x2  5x  7  0

2 3 4 x  x7 0 3 7

- Ecuación fraccionaria.- Ecuación racional en donde una o más veces aparece la incógnita en el denominador, no se puede saber el número de maíces. Ejems.

2x  1 3   3x  2 x4 x

2  3x 2  4  x x 4 2


-

- 105 -

Ecuación irracional.- En donde una o más veces aparece la incógnita o incógnitas dentro de un radical o con exponente fraccionario, no se puede saber el número de raíces. Ejems. 1

1

( x  3)2  5x 3  x 2  0

x  2  x 1  2

b) Ecuaciones trascendentes.- Por lo menos uno o los dos miembros de la ecuación no son expresiones algebraicas. -

Ecuación exponencial.- La incógnita se encuentra en el exponente. Ejems.

32 x3  5x -

7 x 2  7 x  4

Ecuación logarítmica.- La incógnita se encuentra dentro de un logaritmo. Ejems.

log( x  4)  log(4 x  2)  3 -

3x log2 ( x)  5

Ecuación trigonométrica.- La incógnita se encuentra dentro de una función trigonométrica. Ejems.

sen( x)  cos(2 x)  1

2sen 60º  cos 2 x

II.- De acuerdo al número de incógnitas.- Pueden ser: a)

Ecuación con una incógnita, x:

2 x2  5x  7  0

b) Ecuación con dos incógnitas, x, y:

2x  5 y  7

c)

x  4 y  5z  3

Ecuación con tres incógnitas, x, y, z:

III.- De acuerdo a su grado.- Pueden ser: a)

Ecuación de primer grado:

2 x  5x  7  0

b) Ecuación de segundo grado:

2 x2  5x  7  0

c)

x3  4 x 2  5 x  3

Ecuación de tercer grado:

Principios fundamentales para la resolución de ecuaciones: 

Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma cantidad, ya sea positiva o negativa, la igualdad no se altera.

- 106 -




Si a los dos miembros de una ecuación se le resta una misma cantidad, ya sea positiva o negativa, la igualdad no se altera.



Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, ya sea positiva o negativa, la igualdad no se altera.



Si los dos miembros de una ecuación son divididos por una misma cantidad ya sea positiva o negativa, la igualdad no se altera.



Si los dos miembros de una igualdad son elevados a una misma potencia o si a los dos se les extrae la misma raíz, la igualdad no se altera.



Todo término puede pasar de un miembro a otro cambiándole el signo, cuando está sumando o restando.

Resolución de ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita.- Llamadas ecuaciones lineales. Las ecuaciones de este tipo tienen la forma simple de:

ax  b  0 , donde a y b se denominan coeficientes. Pasos: 1. 2. 3. 4. 5.

Quitar paréntesis. Quitar denominadores. Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro. Reducir los términos semejantes. Despejar la incógnita.

Ejemplos: 1) Resolver: 3x = 8x – 15 3x – 8x = –15 –5x = –15 (para despejar la x, dividimos los dos miembros entre – 5)

2) Resolver: y – 6 = 3y – 26 (3y pasa a restar, – 6 pasa a sumar) y – 3y = – 26 + 6 – 2y = – 20

5 x 15  5 5

2 y 20  2 2

x = 3 y = 10 Verificación:

3 x = 8 – 15 Verificación:

y – 6 = 3y – 26

3(3) = 8(3) – 15 10 – 6 = 3(10) – 26 9 = 9 4 = 4


3) Resolver:

- 107 -

8 x – 15 x – 30 x – 51 x = 50 x + 34 x – 172 8 x – 15 x – 30 x – 51 x – 50 x – 34 x = –172 –172 x = –172 x = 1

Resolución de ecuaciones de primer grado con signos de agrupación.- Antes de resolver cualquier ecuación, se deben eliminar los signos de agrupación. Ejemplos: 1) Resolver:

2) Resolver:

x – (2x + 1) = 4 – (3x + 3)

(5 – 3x) – (-4x + 6) = (8x + 11) – (3x – 6)

x – 2x – 1 = 4 – 3x – 3

5 – 3x + 4x – 6 = 8x + 11 – 3x + 6

x – 2x + 3x = 4 – 3 + 1

3) Resolver:

–3x + 4x – 8x + 3x = 11 + 6 – 5 + 6

2x = 2

4x = 16

x = 1

x = –4

15x + ( - 6x + 5 ) – 2 – ( -x + 3 ) = – ( 7x + 23 ) – x + ( 3 – 2x ) 15x – 6x + 5 – 2 + x – 3 = – 7x – 23 – x + 3 – 2x 15x – 6x + x + 7x + x + 2x = – 23 + 3 – 5 + 2 + 3 20x = – 20 x =–1

Resolución de ecuaciones de primer grado con productos indicados.- Se realizan los productos y se continúan los pasos ya dados. Ejemplos: 1) Resolver: 4(1 – 2x) = 5 + 3(5x + 4) 4 – 8x = 5 + 15x + 12

2) Resolver: 2(2 x  3)  6  x

4x  6  6  x



4x  x  6  6



x

– 8x – 15x = 5 + 12 – 4 – 23x = 133 x = – 13/23

3x  12

12 4 3

- 108 -


–3(2x + 7) + (-5x + 6) – 8(1 – 2x) – (x – 3 ) = 0

3) Resolver:

– 6 x – 21 – 5x + 6 – 8 + 16x – x + 3 = 0 – 6x – 5x +16x – x = 21 – 6 + 8 – 3 4x = 20 

4)

x = 5

( x + 1 )( x – 2 ) – ( 4x – 1 )( 3x + 5 ) – 6 = 8x – 11( x – 3 )( x + 7 ) 2

2

2

( x – x – 2 ) – ( 12x + 17x – 5 ) – 6 = 8x – 11(x + 4x – 21 ) 2

2

2

x – x – 2 – 12x – 17x + 5 – 6 = 8x – 11 x – 44 x + 231 18x = 234



x = 3

7( x  4)2  3( x  5)2  4( x  1)( x  1)  2

5) Resolver: Quitamos el paréntesis:

7( x2  8x  16)  3( x2  10 x  25)  4( x2  1)  2 7 x2  56 x  112  3x2  30 x  75  4 x2  4  2

Reducimos términos semejantes: Despejamos la incógnita:

56x  30x  4  2  112  75 86 x  43



x

43 1  86 2

Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita.- conviene seguir cuatro pasos: 1. 2. 3. 4.

Comprender el enunciado. Plantear el problema mediante una ecuación. Resolver la ecuación. Comprobar que la solución cumple las condiciones del problema.

Algunas palabras ayudarán la traducción de enunciados a expresiones algebraicas: Adición: Sustracción: Multiplicación: División: Igualdad: Ejemplos:

La suma de, sumado a, se aumenta en, más La diferencia de, restado a, se disminuye en, menos El producto de, multiplicado por, veces, por El cociente de, dividido entre Es igual a, es lo mismo que, son iguales, es equivalente a


1) Tres veces un número menos 12 es igual a 24. ¿Cuál es ese número?

- 109 -

2) ¿36 es qué porcentaje de 80? Solución: Sea x el porcentaje, por lo tanto:

Solución: Sea x el número, entonces: 3x – 12 = 24 3x = 24 + 12 3x = 36 x = 12 Respuesta: El número es 12.

80 x  36 100 Despejamos x:

x

36(100)  45 80

Respuesta: 36 es el 45% de 80.

3) Siete veces un número más seis es igual a 62. ¿Cuál es el número?

4) 28 menos cuatro veces un número es igual a –16. ¿Cuál es el número?

Solución: Sea x el número, entonces:

Solución: Sea x el número, entonces:

7x + 6 = 62

28 – 4x = – 16

7x = 62 – 6

– 4x = –16 – 28

7x = 56

– 4x = – 44

x=8

x = 11

Respuesta: El número es 8.

Respuesta: El número es 11.

5) Luís le preguntó a su primo Juan cuentos años tenía, Juan le contestó: “Si al triple de los años que tendré dentro de tres años le restas el triple de los años que tenía hace tres años, tendrás los años que tengo ahora” ¿Cuántos años tiene Juan?

6) Luís tiene $ 300 más que Rodrigo. Si entre ambos tienen $ 1200, ¿cuál es el capital de Luís?

Solución: Edades de Juan: Edad actual : x Dentro de 3 años: x + 3 Hace 3 años: x – 3 Ecuación:

Solución: Monto de Rodrigo: x Monto de Luís: x + 300 Ecuación:

2x = 900

3(x + 3) – 3(x – 3) = x

Resolución: 3x + 9 – 3x + 9 = x x = 18 Respuesta: Juan tiene 18 años.

x + x + 300 = 1200

x = 450 Respuesta: El capital de Luís es: 450 + 300 = $ 750.

- 110 -


7) ¿Qué número es aquel que si lo duplicamos, y luego le restamos 12, da por resultado el número aumentado en 3?

8) Un tronco de 18 metros se corta en dos partes, tales que una es 10 metros más larga que la otra. ¿Cuánto mide la parte menor?

Solución: El número será: x Solución: Una de las partes mide: x La otra parte mide: x + 10

2x – 12 = x + 3 x = 15

Ecuación:

Respuesta: El número es el 15.

x + (x + 10) = 18 2x = 8 x= 4

Respuesta: La parte menor mide 4 metros. 9) El perímetro de un jardín rectangular es de 58 m. Si el lado mayor mide 11 m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín? Solución:

x

10) Se dispone de dos clases de café. ¿Cuántos kilogramos se han mezclado de cada clase, a razón de 105 $ y 125 $ el kilogramo, respectivamente, para obtener otra de 120 $ el kilogramo, si de la clase mejor se han tomado 20 kg más que de la otra? Solución:

x + 11 El perímetro es:

2x + 2(x+11) = 58 4x = 36 x=9

kg empleados de 105 $: x kg empleados de 125 $: x + 20 105x + 125(x + 20) = 120(x + x + 20) 105x + 125x + 2500 = 240x + 2400 x = 10

Respuesta: Los lados del jardín miden 9 m y 20 m.

Respuesta: Se han tomado: 10 kg de 105$ y 30 kg de 125$

11) El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y este 3 más que el menor. Si entre todos tienen la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano?

12) Un comerciante tiene dos clases de aceite, la primera de 6 Bs. el litro y la segunda de 7.2 Bs el litro. ¿Cuántos litros hay que poner de cada clase de aceite para obtener 60 litros de mezcla a 7 Bs. el litro?

Solución:

Solución:

x: edad del hermano menor. x + 3: edad del hermano mediano x + 3 + 4: edad del hermano mayor


- 111 -

Clase A Ecuación: x + (x + 3) + (x + 7) = 40 3x = 30 x = 10

Precio por litro en Bs. Número de litros

Clase B Mezcla

6

7.2

7

x

60 – x

60

Ecuación: 6x + 7.2 (60 – x) = (7)(60) 6x + 432 – 7.2X = 420

Respuesta:

– 1.2x = – 12

Edad del menor = 10 años

x = 10

Edad del mediano = 10 + 3 = 13 años Edad del mayor = 10 + 7 = 17 años

Respuesta: Clase A 10 litros Clase B 60 – 10 = 50 litros

13) Antonio tiene 30 años menos que su padre. Dentro de 10 años la edad del padre será el doble que la del hijo. Calcular la edad actual de cada uno. Solución: Edad actual de Antonio: x Edad actual del padre: x + 30

14) A las doce del mediodía dos ciclistas A y B que están a una distancia de 60 km, se dirigen al encuentro. El ciclista A con una velocidad de 20 km/h y el B con la de 30 km/h. ¿A que distancia se encontrarán y a que hora? Solución: Tiempo hasta el encuentro: x 20x

Edad de Antonio dentro de 10 años: x+10 Edad del padre dentro de 10 años: x+40 Ecuación: Dentro de 10 años la edad del padre será el doble de la del hijo: x + 40 = 2(x + 10)

Respuesta: Edad de Antonio 20 años y de su padre 50 años.

B M

Espacio recorrido por A = 20x Espacio recorrido B = 30x Ecuación:

20x + 30x = 60 50x = 60

x + 40 = 2x + 20 x = 20

30x

A

x = 1.2 horas = 1 hora 12 minutos Respuesta: Distancia de A al punto de encuentro: 20x o sea 20x1.2 = 24 km Distancia del punto de encuentro a B: 30x o sea, 30x1.2 = 36 km

- 112 -


PREGUNTAS DE RAZONAMIENTO ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA 1.

Hallar la solución de la ecuación: (5 – 3x) – (– 4x + 6) = (8x + 11) – (3x – 6) a) -9/2

2.

b) 9/2

b) ab

b) a – b 2

2

c) 0 2

b) –1/3

d) 1

2

c) 1/3

d) –2/3

c) 1

d) –1

c) 1/2

d) 4/3

c) 3

d) 1/2

En la expresión ax – b = a – bx, el valor de x es: b) b

Resolver: – 2x + 6 = 4x – 2 b) 3

Resolver: – (– x – 5) = x – 2 a) No tiene solución

9.

d) b

La solución de la ecuación – (x – 1) + 3 = 2 – (x+2) es:

a) 0 8.

c) a

b) –2

a) a 7.

2

En la ecuación (x – 1) + 2 = x – 1 el valor de x es:

a) 2/3 6.

d) a/b

2

a) 2 5.

c) a + b

La solución de la ecuación a(x – b) – b(x – a) = a – b a) a + b

4.

d) 9

Hallar x de la ecuación: a(x – a) = b(x – b) a) a – b

3.

c) 2

b) – 5

Resolver: – (–x – 5) + 5(x – 9) = 2(x + 8) – (2x + 5) b) – 8

a) 5 10. Resolver:

a) 1 12. Resolver: a) 1/45

d) 15/2

c) – 1/4

d) – 4

c) – 1

d) 3

x + 3(x – 1) = 6 – 4(2x + 3)

a) 1/4 11. Resolver:

c) 17/2

b) 4 2

2

(x – 2) – (3 – x) = 1 b) 2

(4 – 5x)(4x – 5) = (10x – 3)(7 – 2x) b) 1/35

c) 1/30

d) 1/25


13. Resolver: a) 3 14. Resolver: a) 13/8

2

- 113 -

2

(x – 2) – (3 – x) = 1 b) 4

c) 5

d) 2

c) 8/13

d) 13

(3x – 4)(4x – 3) = (6x – 4)(2x – 5) b) 8

PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES ENTERAS 1.

Al dinero que tengo le sumo su doble y le resto 15 Bs, si me quedan 9 Bs ¿Cuánto dinero tenía? a) 6 Bs

2.

b) 6

c) 8

d) 3

b) 6 $

c) 5 $

d) 4 $

b) 6

c) 4

d) 7

b) 65

c) 80

d) 60

El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y éste 3 más que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene el menor de todos? a) 17

8.

d) 39 $

Un número más su doble suman 210 ¿Cual es ese número? a) 70

7.

c) 42 $

Tengo el doble de monedas 0.20 Bs que de 0.50 Bs . Si en total tengo 2.70 Bs ¿Cuántas monedas tengo de 0.20 Bs? a) 5

6.

b) 41 $

Antonio ha gastado 3 $ más que Ana. Si entre los dos han gastado 15 $ ¿Cuánto gastó Ana? a) 7 $

5.

d) 7 Bs

La edad de Juan es el doble que la de Pepe y la edad de Pepe es el triple que la de Antonio, si entre todos ellos suman 30 años ¿Cual es la edad de Antonio? a) 4

4.

c) 9 Bs

Juan tiene el doble de dinero que Pepe y entre los dos tienen 123 $ ¿Cuánto dinero tiene Pepe? a) 38 $

3.

b) 8 Bs

b) 13

c) 10

d) 20

¿Cuál de las siguientes ecuaciones permite determinar un número, si se sabe que 5 menos el doble del número es 6? a) 5 – 2x = 6

b) 5 – 2 – x = 6

c) 2x – 5 = 6

d) 2(x – 5) = 6

- 114 -

9.


En un establo hay vacas y toros, cuyas cantidades difieren en 28. El número de vacas excede en 13 al doble de los toros. El número de animales disponibles para ordeñar son: a) 15

b) 43

c) 28

d) 95

10. La edad de Claudia es el doble de la edad de Patty menos trece años y ambas edades suman 50 años. La edad de Claudia es: a) 21

b) 29

c) 42

d) 63

11. Si al cuádruplo de mi edad añado 5 años, tendría 45 años. ¿Qué edad tengo? a) 10

b) 40

c) 35

d) 12

12. Después de 4 años, la edad de A será el triple de la B y dentro de 12 años será el doble. Las edades actuales de A y B respectivamente son: a) 8 y 3 años

b) 3 y 20 años

c) 20 y 4 años.

d) 28 y 8 años

13. Juan quiere resolver el siguiente problema utilizando ecuaciones: “Si un número se multiplica por 5 y se le suma 2, se tiene el mismo resultado que si a ese número se le agrega 5 y esa suma se triplica”. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones debe utilizar? a) 5x + 2 = 3x + 5

b) 5x + 10 = 3x + 5

c) 5x + 2 = 3x + 15

d) 5x + 10 = 3x + 15

14. Dividir el número 1050 en os partes tales que el triple de la parte mayor disminuido en el doble de la parte menor equivalga a 1825. a) 600 y 450

b) 785 y 265

c) 800 y 250

d) 1000 y 50

15. La diferencia de los cuadrados de dos número enteros consecutivos es 31. Hallar los números: a) 20 y 21

b) 30 y 31

c) 15 y 16

d) 50 y 51

16. El exceso de 8 veces un número sobre 60 equivale al exceso de 60 sobre 7 veces el número. Hallar el número. a) 8

b) 9

c) 10

d) 11


- 115 -

EJERCICOS PROPUESTOS ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones: 1) 6(2x – 5) + 2 = 20

2) 5(3x – 1) + 3 = 13

3) 9(7x – 2) – 10 = 36

4) 12 + 3(2x – 5) = 9

5) 25 – 5(4 + 3x) = 15

6) 2 = 7(5x – 9) – 5

7) 4(7x – 12) = 8

8) (10x – 1)·5 = 30

2

2

9) 3x(x – 2) = 3x – 12

10) 7x(2x – 5) = 14x – 105 2

11) 2x(8 – 6x) = 80 – 12x

12) 5(x + 3) + 2(x – 9) = 4

13) 8(x – 1) + 3(x + 4) = 48

14) 4(3x – 5) – 7(4x + 9) = 13

15) 13(x + 4) = 40 – 2(x – 7)

16) 6(x + 1) – 9(x – 5) = 3(4x + 2)

17) 3(4x – 3) – 4(3x + 8) = 7(x – 6)

18) 5(7x – 8) = 3(x + 8) – 4(6x – 7)

19) (x + 2)(x – 5) = (x – 8)(x + 3)

20) (x – 9)(x + 4) = (x – 6)(x – 1)

21) (8x + 2)(x – 5) = (4x – 3)(2x + 3)

22) (x + 2)(x + 1) = (x – 2)(x – 1)

23) (6x + 3)(3x – 5) = (9x – 4)(2x – 7) + 7

24) 4(x – 1)(x + 3) = (x – 7)(4x + 2)

25) 6(x + 2)(2x – 3) = 4(3x – 1)(x + 1)

26) (4x – 3)(4x + 3) + 2x(3 – 8x) = 7x – 2

27) 12x(2 – 3x) – (5 + 6x) = 11 + 12x

28) 33x + (8x + 3)(8x – 3)=16x(2 + 4x) + 8

2

29) (12x + 7)(12x – 7) = (12x – 9) + 86 2

2

2

31) (8 + 6x) + (8x + 6) = (10x + 10) + 8 2

2

33) [3 + (x + 2)] = x + 5 3

30) (20x + 15)(15 – 20x)=25 – (20x – 10) 2

2

32) (9x – 3) + (12x – 4) = (15x – 10)

2

2

2

34) [(x – 1) – (x + 1)] = x – 3 3

3

2

35) (x – 5) + 1 = (x + 4)(x – 4)(x – 15)

36) (x – 1) = (x + 2) – 9(x – 1)

37) 2[(3x + 1) – 2(x + 4)] – (3x + 5) = 0

38) 3x(x – 5) – (x – 3)(x + 3) = 2(x + 5)

39) 21 – [5g – (3g – 1)] – g = 5g – 12

40) 2 – {2m + [2m – (2 – 2m)]} = 2

41) 2 – {k – [6k – (1 – 2k)]} = 100

42) 8{2 – [q + 2(q – 3)] + 1} = 3 – (8 – 3q)

43) (t – 3)² – (t – 2)² = 5

44) 6x – (2x – 1)(2x + 1) = 2 – (3 + 2x)²

2

- 116 -


PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO Números: 1. Gregorio puede viajar en bicicleta a una velocidad de 15 km/h ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer x km? 2. El triple de un numero disminuido en 15 da 59 ¿Cuál es dicho numero? 3. Ocho veces un numero es 30 unidades mas que seis veces el mismo. ¿Cuál es dicho número? 4. La mitad de un número supera en dos a un tercio de este. ¿Cuál es dicho número? 5. La diferencia entre un tercio de un entero y un cuarto de dicho número es 4. ¿Cuál es dicho número? 6. la suma de dos números es 24. uno de ellos es el triple del otro. ¿Cuáles son esos números? 7. La suma de tres números pares consecutivos es 54. ¿Cuáles son esos números? 8. Sí el dígito de las unidades de un numero de dos cifras es 2 unidades menor que el digito de las decenas .si el numero es uno menos que 8 veces la suma de ambos dígitos encuentre dichos números Edades: 1. Actualmente Sergio es mayor que Guillermo por seis años, tomando en cuenta que hace seis años Sergio tenia el triple de la edad de Guillermo ¿Cuál es la edad de ambos actualmente? 2. Eduardo es mayor que Arturo por tres años, mientras que Arturo es mayor que Juan por tres años, si se suman las edades de Arturo y Juan estas exceden en 12 años alas 5/6 partes de la edad e Eduardo ¿Cuál es la edad de cada uno? 3. La edad de pedro es el triple de la edad de Carlos a si ambas edades suman 40 ¿Cuál es la edad de cada uno? 4. El triple de la edad de Julián es equivalente a su edad aumentada en 38 años ¿Cuál es su edad? 5. La suma de las edades de tres primos es de 96 años, el mayor tiene 21 años más que el menor y el segundo es 15 años menor que el mayor ¿Cuál es la edad de cada uno de ellos? 6. La edad de marta es la mitad de la de Rosa y la de Gaby es la triple de marta y ana es un año menor que el doble de la de Gaby si suman en total 47 años ¿Cuál es la edad de cada una de ellas?


- 117 -

Cap. 8 ECUACIONES FRACCIONARIAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Introducción.- Son ecuaciones fraccionarias cuando alguno o todos sus términos tienen denominador, como: x 5  3x  2 6

5 6  x 4 x 3

Para resolver este tipo de ecuaciones, se eliminan los denominadores, multiplicando cada uno de los términos de la ecuación por el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores. Ecuaciones literales.- Pueden ser lineales o fraccionarias, Algunos de los coeficientes de las incógnitas son letras, generalmente (a, b, c,…) Ejemplos: 1) Resolver:

3x 1 3x x  2  2 4 4 3

2) Resolver:

m.c.m.(2, 4,3)  12

x 2a x a b m.c.m.  ab

18 x  3  24  9 x  4 x

bx  abx  2a 2

18 x  9 x  4 x  3  24

x(b  ab)  2a 2

13 x  27 x

3) Resolver:

x x 1   2 6 4 m.c.m.  12

6x  2x  3 4 x  3 x

3 4

x

27 13

4) Resolver:

2a 2 b(1  a )

3x 2 x 1   0 5 3 5 m.c.m.  15

9 x  10 x  3  0  x  3 x3

(1)

- 118 -


3x 

5) Resolver:

2x x 7   5 10 4

3 3  0 5 2x  1

6) Resolver:

m.c.m.  20

m.c.m.  5(2 x  1)

60 x  8 x  2 x  35

3(2 x  1)  15  0

50 x  35

6 x  3  15  0

x

7) Resolver: 1(5) = 2x

6 x  12

35 7  50 10

x  2

1 2  x 5

5 6  x 4 x 3

8) Resolver:

(Propiedad de cocientes)

m.c.m. = (x – 4)(x – 3)

5 = 2x

(simplificando)

5(x – 3) = 6(x – 4)

x = 5/2

(raíz o solución)

5x – 6x = –24 + 15 x = 9

9) Resolver:

1 2  x  3 5  2x

10) Resolver:

m.c.m. = 6x

1(5  2 x)  2( x  3)

4  3 x  9  13 x

5  2x  2x  6 2 x  2 x  6  5

3 x  13 x  9  4

 4 x  11

 10 x  5

x

11) Resolver:

11 4

(raíz )

x 1 x  3   1 6 2

x  3x  6  9  1   2 x  14



14 x 7 2

x 12) Resolver:

x  1  3( x  3)  6  x  1  3x  9  6

2 x  14

2 1 3 13    3x 2 2 x 6

1 2

3  2 x  4   x  19 4

6 x 12   x  19 4 4



3x  3  x  19 2



3x  2 x  38  6

(–1)

3x  6  2 x  38

x  32


13) Resolver:

3 2 x3   2 0 2x  1 2x  1 4x  1

- 119 -

14) Resolver:

xa xb  2 xb x a

m.c.m.  ( x  b)( x  a)

m.c.m.  (2 x  1)(2 x  1) 3(2 x  1)  2(2 x  1)  ( x  3)  0

( x  a)( x  a )  ( x  b)( x  b)  2( x  b)( x  a)

6x  3  4x  2  x  3  0

x 2  a 2  x 2  b 2  2 x 2  2ax  2bx  2ab

x8

2ax  2bx  a 2  2ab  b 2 2 x ( a  b)  ( a  b) 2 x

x  3  2 x 5x  3  2   2( x  1)     3x 2  3 12 

15) Resolver:

Quitamos el paréntesis:

Quitamos el corchete:

ab 2

x  3  2 x 5x  3  2   2 x  2     3x 2  3 12 

2  2x  2 

x  3 2 x 5x  3    3x 2 3 12

Eliminamos los denominadores:

24  24 x  24  6( x  3)  8x  (5x  3)  36 x

24  24x  24  6x  18  8x  5x  3  36 x

24x  6x  8x  5x  36 x  3  24  24  18 9 x  27  x 

27 3 9

- 120 -


Problemas sobre ecuaciones fraccionarias de primer grado.- Se aplican las mismas reglas del capítulo anterior: Ejemplos: 1) Dos números consecutivos son tales que la tercera parte del mayor excede en 15 a la quinta parte del menor. Determinar ambos números

2) Una bolsa contiene bolas rojas, negras y blancas. El 20% son rojas, el 35% son negras y hay 36 bolas blancas. El número de bolas que contiene la bolsa es:

Solución:

Solución:

Sea x el número menor Sea x + 1 el número mayor

Sea x = número de bolas en la bolsa. Bolas rojas = 20% x = 0.20x

Tercera parte del mayor: x  1 3 x  1 Quinta parte del menor: 3

Bolas negras = 35% x = 0.35x Bolas Blancas = 36 Ecuación:

Ecuación:

1 x  x  1  15  3 5

0.20x + 0.35x + 36 = x

5 x  5  225  3x

0.20x + 0.35x – x = –36

5 x  3x  225  5 2 x  220 Respuesta:



– 0.45x = – 36

x  110

(–1)

x = 36/0.45 x = 80

Número menor: 110 Número mayor: 111

Respuesta: El número de bolas es 80

3) Ayer gasté los 2/3 de lo que gané hoy y hoy gané los 5/6 de lo que ganaré mañana. ¿Cuánto ganaré mañana si tendré en total $ 8600?

4) Un comerciante ha ganado durante 4 años un suma de 360000 Bs, en cada año ganó la mitad e lo ganado en el año anterior. ¿Cuánto ganó el primer año?

Solución:

Solución:

Sea x lo que ganaré mañana

Ganancia del primer año: x

Condición:

2 5 hoy + mañana + x = 8600 3 6 ayer

hoy

mañana

Ganancia del segundo año:

x 2

1 x x   2 2 4 Ganancia del cuarto año: 1  x   x   2 4 8

Ganancia del tercer año:


Ganancia de hoy =

5 x. 6

- 121 -

Ecuación:

Reemplazando:

x x x    360000 2 4 8

8x  4x  2x  x  2880000

2 5 5 ( x)  x  x  8600 3 6 6 10 5 x  x  x  8600 18 6

x

x

(18)(8600)  3600 43

15x  2880000 x

2880000 15



x  192000

Respuesta: El primer año ganó 192000 Bs.

Respuesta: Mañana ganaré $ 3600

5) Al preguntarle un padre a su hijo, cuanto había gastado de los 210 Bs que le dio, el hijo le contestó: he gastado las ¾ partes de lo que no gasté. ¿Cuánto gastó?

6) Ayer gané los 2/3 de lo que gané hoy, hoy gané los 5/6 de lo que ganaré mañana. ¿Cuánto ganaré mañana si tendré en total 9000 Bs?

Solución:

Solución:

Dinero gastado: x Dinero no gastado: 210  x

Ganancia de mañana:

Condición del problema:

Ecuación:

3  210  x  4

3  210  x  4 4 x  630  3 x x

x

Condición: 2 hoy  5 mañana  x  9000 3 6 5 Ganancia de hoy: x 6 Ecuación:

25  5  x   x  x  9000 36  6

7 x  630

43x  162000

x  90

x  3767.44

Respuesta: El dinero gastado fue 90 Bs.

Respuesta: Mañana ganaré 3767.44 Bs.

7) El denominador de una fracción excede al numerador en 5. Si al denominador se aumenta en 7, el valor de la fracción es 1/2. Hallar la fracción.

8) La suma de tres números es 300. El mayor excede al del medio en 45 y al menor en 75, Hallar los números. Solución:

Solución: Sea x = numerador de la fracción Sea x + 5 = denominador de la fracción

Sea x = número mayor x – 45 = número del medio x – 75 = número menor

- 122 -


Condición:

x x5

Entonces la fracción:

x + (x – 45) + (x – 75) = 300

Condición:

x 1  x57 2

3x = 300 + 75 + 45 x = 140

2 x  x  12 Respuesta:

x  12

Número mayor: 140 Número medio: 140 – 45 = 95 Número menor: 140 – 75 = 65

Respuesta: La fracción es 12

17

9) Una librería tiene a la venta un cierto número de libros. Vende primero 3/5 partes y después le hacen un pedido de los 7/8 de lo que queda, pero antes de servir este pedido se le inutilizan 240 libros, y por lo tanto, enviando todos los libros útiles que le quedan solo cubre los 4/5 de la cantidad perdida. ¿Qué cantidad de libros se vendieron? Solución: Sea x = número de libros que la librería tiene a la venta De los datos, se tiene un resumen: Operaciones

Entrega

3 x 5

1ra. Venta

2 x  240 5

Se malograron 240 2da. Venta

Queda 3 2 x x  x 5 5

2 x  240 5

0

De la condición del problema, la última entrega solo cubre los 4/5 del pedido. Este pedido comprendía 7/8 de lo que quedaba luego de la primera venta, es decir: 2 4  7 2x  x  240   ( ) 5 5 8 5 

Efectuando las operaciones:

2 7 x  240  x 5 25

2 7 x x  240 5 25

x  2000 Respuesta: Como se malograron 240 libros, se vendieron 2000 – 240 = 1760


- 123 -

PREGUNTAS DE RAZONAMIENTO ECUACIONES FRACCIONARIAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA 1.

Resolver la ecuación: a) –49

2.

b) –59

b) 72

Resolver a) 3

4.

Resolver

c) 18

d) 9

c) –3

d) –4

c) 3

d) –2

c) 1

d)  1

x  2 x  3 x 1   2 3 4 12 b) –4

5  3  7 entonces x es igual a: x

Si

b) –2

a) 2

6.

d) 59

5x  2 7x  5  x 1 2 4 b) 4

a) 4 5.

c) 49

5 x  56 3x  40 x  18 x  72    es: 32 64 10 24

La solución de la ecuación a) 36

3.

x 1 x  2 x 1 x  2    5 6 4 10

2

2

Si 1  3  9 , entonces x es igual a:

x

9 a)  2 7.

El valor de x en la ecuación a) 9

11

8.

2 9

b) 

Resolver:

a)  1

2

c)

9 2

d) 

3 8

2 x 3x x 1 es:     3 2 4 2 4 c) 11

d)  11

b) 1

c) 1

d) 1

2

3

4

b)  9

11

9

9

5 3 6   0 1  x 1  x 1  x2

- 124 -

9.


Resolver:

2 3  4x 1 4x  1

a)  1

b) 1

c) 5

d) 1

2

4

4

b) 3

c) 4

d) 5

c) –11

d) 12

c) 1/6

d) –1/3

c) –2

d) –3

2

10. Resolver:

a) 2 11. Resolver: a) 7 12. Resolver: a) 1/2 13. Resolver: a) 3

5 1  x 1 x 1 2

2x  1 x  4 2   2 x  1 3x  2 3 b) –9

5x  2 3x  4 7 x  5 1   2 3 4 b) 1/3

3 2 3x  5   x  1 x  1 x2  1 b) 1

14. Hallar la solución de la ecuación: a) 2 15. Resolver:

x2 x2 x 5   1 x 3 x 3 x3

b) 3

c) 4

d) 5

2x  7 2x 1  0 5x  2 5x  4

a) 13

b) 14

c) 3

d) 13

14

13

14

4

16. Resolver:

1 2 3 7    x  1 x  2 2 x  2 3(2 x  4)

a) 8

b) 4

c) 11

d) 1

11

3

8

4


- 125 -

PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES FRACCIONARIAS 1.

La suma de dos números es 27. Dividiendo el mayor por el menor se obtiene un cociente igual a 2 y un resto de 6 unidades. ¿Cuáles son los números? a) 17 y 10

2.

2x 5  4 5

2x 5  x 5

c)

x 9  x 5

d)

2x 9  x 5

b) 90 km

c) 36 km

d) 9 km

b) 4

c) 3

d) 2

b) 2

c) 3

d) 4

b) $ 9 000

c) $ 3 000

d) $ 2 000

Se desea repartir $ 9600 entre A, B y C de modo que la parte de B sea la tercera parte de A y la mitad de C. La parte que le corresponde a C es: a) $ 1600

9.

b)

En tres días un hombre ganó $ 26 000. Si cada día ganó un tercio de lo que ganó el día anterior, ¿cuánto ganó el tercer día? a) $ 18 000

8.

d) 105

La edad de Juan es los dos tercios de la edad de María y la suma de ambas edades excede en 4 años a la mitad de la edad de Juan. La edad de Juan es: a) 1

7.

c) 125

Dos números consecutivos son tales que los tres medios del menor exceden en 3 a los tres quintos del mayor, el número mayor es: a) 5

6.

b) 180

En 3 días un hombre recorrió 114 km. Si cada día recorrió dos tercios de lo que recorrió el día anterior, ¿cuántos kilómetros recorrió en el segundo día? a) 54 km

5.

d) 25 y 2

¿Cuál de las siguientes ecuaciones permite resolver el siguiente problema: “Si te regalo la quinta parte de mis camisetas y a Carmen le regalo 5 más que a ti, me quedo con 4”? a)

4.

c) 20 y 7

Dividir el número 850 en tres partes de modo que la primera sea el cuarto de la segunda y el quinto de la tercera, dar como respuesta al menor de los tres números a) 85

3.

b) 22 y 5

b) $ 2300

c) $ 3200

d) $ 6400

Se reparten $ 840 entre A, B y C de modo que la parte de B es la mitad de la parte de A y un cuarto de la de C. La parte de A más la de C es: a) $ 480

b) $ 120

c) $ 720

d) $ 360

- 126 -


EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS ECUACIONES FRACCIONARIAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA 2) 2(3w  1)  4  w  5 3

1)

45 x  13  13 21x

3)

3  x 2x  1 x  1 2x  6 2  1   0 4 5 3 4 5

4)

12  x  6

5)

(3x  1)( x  4) (2 x  5) 2 4 x  9   3 4 12

6)

xa xb  2 b a

8)

x 3 x +1 + = 2 x 1 x +1 x 1

7) 1+ x 

x3

9)

x 3x + 5 x 2 = 2 x+2 x  x6

2 x+2 x = 2 2 x +1 x + 2 x +1

10)

x +1 x 7x + 2 + = 2 x2 x+2 x 4

5x  3 4 x  9  2 7x  9 9  7x

11)

5x 2 x  3 3x  2 4 x  1    2 2 x  2 3x  3 4 x  4 5 x  5

12)

13)

x7 44 2x  7 1  2  2x  3 4x  9 4x  6

14)

1 5 ) 2   2( x  1)  x  3   2 x  5 x  3  3x  2  3 12

x2  4 x  5  x  2    0 x 2  6 x  10  x  3 

19) 13  14 x  9 x  8

3

1 21)

2

1 x 2 3 1 4

a xb

2



b xa

2



ab x  2ab

1 6 ) 2  x  1  x  2    1  x   

3

2

17)

2x x 13  5  4 1 9 18 9

4



3 

18)

x x  2 x  a b x bc

20)

32 x  16 32  25 x  23 10

1

22)

1 1 1 1 x  x 1 1 1 1 4 x x  1 x 2 x 1 x


- 127 -

PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES FRACCIONARIAS DE PRIMER GRADO 1. La diferencia entre un número y sus 2/5 es igual a los 2/3 del número menos 2. ¿Cuál Es el número? 2.

Si a un número se le suma la quinta parte de él, se obtiene el número siguiente. ¿Cuál es el número?

3.

El triple de un numero disminuido en 15 da 59 ¿Cuál es dicho numero?

4.

Ocho veces un numero es 30 unidades mas que seis veces el mismo. ¿Cuál es dicho número?

5.

La mitad de un número supera en dos a un tercio de este. ¿Cuál es dicho número?

6.

La diferencia entre un tercio de un entero y un cuarto de dicho número es 4. ¿Cuál es dicho número?

7.

Al repartir una herencia entre tres hermanos: al mayor le corresponden los 3/5, al segundo 1/6 y al menor $ 35000. ¿A cuánto ascendía la herencia?

8.

Juan y Rubén venden suscripciones de una revista, en determinado mes Juan vendió tres suscripciones menos que el cuádruplo de las que vendió Rubén, si sabemos que Juan vendió 61 suscripciones ¿cuantas vendió Rubén?

9.

Si Pedro realiza un trabajo en 72 hrs. y Juan realiza el mismo trabajo en 92 hrs. ¿Que parte del trabajo realizan ambos en x hrs?

10. Si A realiza un trabajo en 4/5 del tiempo en que B lo realiza .si A y B lo realizan en 100 hrs. ¿cuanto tiempo se tardaran cada un por separado? 11. Roberto invirtió un total de $ 30000 en dos cuentas en una de ellas obtuvo 20% de ganancia pero en la otra perdió 11% si la perdida total fue de 3000 ¿Cuánto invirtió en cada una de las cuentas? 12. Gaste 2/5 del dinero que tenia y preste 5/6 del que me quedo si aun tengo $ 500. ¿Cuánto tenia la principio? 13. Actualmente Sergio es mayor que Guillermo por seis años, tomando en cuenta que hace seis años Sergio tenia el triple de la edad de Guillermo. ¿Cuál es la edad de ambos actualmente? 14. La edad de pedro es el triple de la edad de Carlos a si ambas edades suman 40. ¿Cuál es la edad de cada uno? 15. La suma de las edades de tres primos es de 96 años, el mayor tiene 21 años más que el menor y el segundo es 15 años menor que el mayor. ¿Cuál es la edad de cada uno de ellos?

- 128 -


Cap. 9 ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS Y TRES INCÓGNITAS Introducción.- La resolución de ecuaciones que tienen dos o más variables se les llama ecuaciones lineales. En éstas cada valor de x le corresponde un valor determinado de y. Ejemplos:

2x  7 y  2 3x  5 y  1

Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el conjunto de valores que satisfacen simultáneamente cada una de sus ecuaciones. Características de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.- Las soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas pueden ser: -

Sistema consistente: Tiene exactamente una solución.

-

Sistema dependiente y consistente: Tiene un número infinito de soluciones.

-

Sistema inconsistente: No existe solución.

Eliminación de una incógnita.- Eliminar una incógnita de un sistema de ecuaciones es reducir el sistema propuesto a otro que tenga una ecuación y una incógnita menos. Los métodos de eliminación son: -

Por adición o sustracción. Por igualación. Por sustitución.

1º Eliminación por adición o sustracción: -

Multiplíquense los dos miembros de una de las ecuaciones, o de ambas, por un número tales que resulten iguales los coeficientes de una misma incógnita.

-

Súmense las dos ecuaciones si dichos coeficientes son de signos contrarios, y réstense si son de mismo signo.

-

Resuélvase la ecuación que así resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita que contiene.

-

Sustitúyase este valor en una de las ecuaciones dadas y resuélvase; se obtiene así la otra incógnita.


- 129 -

Ejemplo: Resolver el sistema: x – 3y = 9 2x + y = –10

(1), (2).

Solución: Multiplicando ambos miembros de (1) por 2, se obtiene:

2x – 6y = 18

Luego: 2x – 6y = 18 2x + y = –10

(- 1)

Multiplicando por (–1) cualquiera de las ecuaciones para cambiarle el signo de “x”, y sumando miembro a miembro: 2x – 6y = 18 –2x – y = 10 – 7y = 28 ; de donde se obtiene:

y=–4

Sustituyendo "y" por su valor en cualquiera de las ecuaciones dadas, y despejando "x": x – 3y = 9 x – 3(–4) = 9 x + 12 = 9 x = –3 Por tanto el conjunto solución es:

x = –3 ; y = –4

2º. Eliminación por igualación: -

Despéjese, en cada ecuación, la incógnita que se requiere eliminar.

-

Iguálense las expresiones que representan el valor de la incógnita eliminada.

-

Resuélvase la ecuación que resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada.

-

Sustitúyase el valor hallado en una de las expresiones que representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase.

Ejemplo: Resolver el sistema: x + 2y = 22 4x – y = 7

(1), (2).

Se va a eliminar "x". Despéjese el valor de "x" en (1) y (2): x = 22 – 2y x = (7 + y)/4

(3) (4)

- 130 -


Iguálense las dos expresiones que representan el valor de "x": 22 – 2y = (7 + y)/4 Resuélvase:

88 – 8y = 7 + y –9y = –81

De donde: y = 9

Sustitúyase en (3) o en (4) el valor hallado para "y": x = 22 – 2y x = 22 – 2(9) x=4 El conjunto solución es:

x = 4 ; y = 9.

3º. Eliminación por sustitución: -

Despéjese una incógnita en una de las dos ecuaciones.

-

Sustitúyase la expresión que representa su valor en la otra ecuación.

-

Resuélvase la nueva ecuación, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada.

-

Sustitúyase el valor así hallado en la expresión que representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase la ecuación resultante.

Ejemplo.- Resolver el sistema: 3x + y = 22 4x – 3y = –1

(1), (2).

Se va a eliminar "x". Despéjese el valor de "x" en (1): 3x = 22 – y x = (22 – y)/3 Sustitúyase (3) en (2):

(3).

4 [(22 – y)/3] – 3y = –1 4 (22 – y) – 9y = –3 88 – 4y – 9y = –3 –13y = –91

Sustitúyase en (3) el valor hallado para "y". x = (22 – y)/3 x = (22 – 7)/3 x = 5

(3).

De donde:

y=7


El conjunto solución es:

- 131 -

x = 5; y = 7

Observaciones importantes: 1. Cuando se resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de adición, escójanse números tales que multiplicados por los coeficientes de la incógnita que se quiere eliminar, den como producto el m.c.m. de dichos coeficientes. 2. En el método de sustitución, despéjese la incógnita que tenga menor coeficiente. 3. En la resolución de un sistema dado, puede usarse indistintamente uno cualquiera de los tres métodos estudiados, y cada uno tiene sus ventajas según los casos particulares. Para expresiones fraccionarias, se usa con preferencia el método por adicción o sustracción, por ser el más sencillo.

EJERCICIOS RESUELTOS 1) Resolver por el método de sustitución el siguiente sistema de ecuaciones:

 2 x  3 y  3   2 x  4 y  2

Agrupamos términos semejantes y resolviendo:

(1)

6 x  12  8 x  6

(2)

14 x  6 x

Solución: Despejamos y de la primera ecuación: 3 y  3  2 x



y

3  2x 3

6 3  14 7

Sustituimos el valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones (1) o (2).

(3)

3 2   3y  3 7

Sustituyendo en (1):

Sustituimos (3) en (2):  3  2x  2x  4    2  3 

Realizando las operaciones:

2x 

12  8 x  2 3

2x 

12 8 x   2 3 3

2x  4 

8x  2 3

6  3y  3 7

y



 3y 

15 7

5 7

Por lo tanto, los valores de “x” y “y” que satisfacen el sistema son:

x

3 7

y

5 7

- 132 -


2) Resolver el sistema:

Resolvemos la ecuación (4):

 7 x  3 y  1   3x  4 y  11

(1) (2)

Solución: Despejamos “x” de la ecuación (1):

3  9y  4 y  11 7 3  9 y  28 y  11 7 3  9 y  28 y  77 37 y  74

7x  3y  1

y  2

7x  1  3y 1  3y x 7

Sustituimos el valor de “y” en la ecuación (3) para encontrar el valor de “x”.

(3)

Sustituimos la ec. (3) en la ecuación (2): 3x  4 y  11  1  3y  3   4 y  11  7 

(4)

1  3 y 1  3(2) 1  6   7 7 7 x 1 x

Por lo tanto la solución al sistema es: x=1

;

2(19  2 y)  5(3 y) 5

3) Resolver el sistema:

5 x  2 y  19  2 x  3 y  0

(1)

38  4 y  15 y

(2)

4 y  15 y  38

Solución:

19 y  38

Despejar “x” en ambas ecuaciones.

y  2

x

19  2 y 5

(3)

3y 2

(4)

x

y = –2

Igualando las ecuaciones (3) y (4)

19  2 y 3y  5 2

Sustituyendo el valor de “y” en la ec. (4)

x

3 y 3(2) 6   2 2 2

x3 Las soluciones del sistema son: x = 3 ; y = –2


4) Resolver el siguiente sistema:

 10 x  3 y  7   3x  2 y  5

- 133 -

Da como resultado:

29 x  29

(1) (2)

Multiplicamos la ecuación (1) por (2) y la ecuación (2) por (3)

x

Sustituyendo x en ecuación (2):

2(10 x  3 y  7)

3x  2 y  5

3(3x  2 y  5)

y

Sumando miembro a miembro:

20 x  6 y  14   9 x  6 y  15 5) Resuelva el siguiente sistema por el método de sustitución:

29 1 29

3x  5 3(1)  5 2   2 2 2

y  1 Las soluciones del sistema son: x = 1 ; y = –1 Por lo tanto:

y=0

Sustituyendo el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones (1) o (2). En (2): x + 2(0) = 2

Despejamos x de la ecuación (2):

x =2

x = 2 – 2y Sustituimos el valor de x en la ecuación (1): 2(2 – 2y) + 3y = 4

De esta forma los valores de “x” y “y” que satisfacen el sistema son: x=2 ; y=0

4 – 8y + 3y = 4 6) Resolver por suma y resta:

Sumando miembro a miembro:

3x  4 y  5  2x  3y  8  Multiplicar la primera ecuación por 3 y la segunda por 4:

17x = 17 x=1 Se sustituye en la primera ecuación: 3(1)  4y = –5

9 x  12 y  15  8 x  12 y  32 

Que da: y = 2

La solución es: x=1 ; y=2

- 134 -


Resolución gráfica,- Resolver gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones:

x  2 y  4  2 x  y  5 Cada ecuación, tiene una línea recta como representación y todos los puntos de cada una de las rectas son las soluciones de cada una de las ecuaciones. Para representar las rectas se dan valores a “x” y “y” En la primera recta para x = 0, le corresponde un y = 2: P 1 (0, 2) Para y = 0, le corresponde x = 4: P2 (4, 0) En la segunda, para x = 0, le corresponde un y = 5: P 3 (0, 5) Para y = 0, le corresponde un x = 5/2: P4 (5/2, 0)

2x + y = 5

Y P3 (0, 5)

x + 2y = 4

P1 (0, 2)

P (2, 1)

P4 (5/2, 0)

P2 (4, 0)

X

La solución del sistema de dos ecuaciones es el punto de intersección: x = 2, y = 1.

Nota: El procedimiento para resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones es: 1.

Se representan gráficamente en ejes cartesianos cada una de las ecuaciones, serán siempre líneas rectas.

2.

Se determina gráficamente el punto de intersección de las rectas (si lo hay).

3.

Las coordenadas del punto de intersección nos dará la solución del sistema, que al tener una solución única será compatible.

4.

Si las rectas no se cortan por ser paralelas o coincidir, el sistema no será compatible.


- 135 -

Determinantes.- Un determinante es un arreglo de números cuyo valor se determina siguiendo ciertas reglas, las cuales dependen del tamaño del determinante. Un determinante de 2x2 (dos renglones y dos columnas) tiene la forma:

a c ↓ 1ra. columna

→

b

1er. renglón

d → 2do. renglón ↓ 2da. columna

La forma de calcular el valor de un determinante es restar los productos cruzados, es decir: a

b

a

b

c

d

= c

d

=

(a)(d) – (b)(c)

=

ad – bc

Ejemplos: Calcule el valor de los siguientes determinantes de dos por dos:

2

5

–3

4

–4

3

1

7

5

–2

3

0

1)

2)

3)

=

(2)(4) – (5)(–3)

=

8 + 15

=

(–4)(7) – (1)(3)

=

– 28 – 3

(5)(0) – (–2)(3)

=

4)

1

0+6

23

=

–31

=

6

3 =

–1

=

=

–4

(1)(–4) – (3)(–1)

=

–4 + 3

=

–1

- 136 -


Resolución por determinantes de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.- Para un sistema de dos ecuaciones el procedimiento es el siguiente: a 1x + b 1y = c 1 a 2x + b 2y = c 2

(1) (2)

1º Obtener 3 determinantes: Δs

Determinante del sistema:

Δy =

Determinante de "y":

2º La solución del sistema es:

b1

a2

b2

=

Δx =

Determinante de "x":

a1 =

c1

b1

c2

b2

a1

c1

a2

c2

x

x ; s

5x 6x

-

y

(a1)(b2) – (a2)(b1)

=

(b2)(c1) – (b1)(c2)

=

(a1)(c2) – (a2)(c1)

y s

Ejemplos: 1) Resolver por determinantes: 4y 5y

= =

2 1

Determinante del sistema: 5

–4

6

–5

2

–4

1

–5

Δs =

=

(5)(–5) – (–4)(6) = –25 + 24 = –1

=

(2)(–5) – (–4)(1)

Determinante de "x": Δx =

= –10 + 4 = –6

Determinante de "y": 5

2

6

1

Δy =

=

La solución del sistema es:

x

(1)(5) – (2)(6) = 5 – 12 = –7

 x 6  6  s 1

y

y s



7 7 1


- 137 -

2) Resolver por determinantes:

 y  4 x  5  2 x  y  0 Ordenando ambas ecuaciones:

4 x  y  5  2 x  y  0 Determinante del sistema: –4

1

2

–1

5

1

0

–1

–4

5

2

0

Δs =

=

(–4)(–1) – (1)(2) = 4 – 2 = 2

Determinante de "x": Δx =

=

(5)(–1) – (0 (1) = –5 – 0 = –5

=

(–4)(0) – (2)(5) = 0 – 10 = –10

Determinante de "y": Δy =

La solución del sistema es:

x

 x 5 5   s 2 2

y

y s



10  5 2

Resolución de tres ecuaciones con tres incógnitas.- Para sistemas de ecuaciones lineales con más de dos variables, podemos usar el método de eliminación por sustitución o el método de eliminación por suma o resta. Cualquier sistema de ecuaciones lineales con tres variables puede tener una solución única, un número infinito de soluciones o no tener solución. a) Método de sustitución.- Resolver, por sustitución, el siguiente sistema: 2 x  3y  2 z  2  4x  2 y  z  3  3x  y  3z  10  

(1) (2) (3)

1º Despejar una incógnita en una cualquiera de las ecuaciones (Si alguna incógnita tiene coeficiente unidad es la que debe despejarse pues así se evitan los denominadores)

- 138 -


Despejamos “y” en la ecuación (3):

 y  10  3x  3z 

y  10  3x  3z

(4)

2º Sustituir el valor obtenido en las ecuaciones (1) y (2), formando un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

2 x  3(10  3x  3z )  2 z  2  4 x  2(10  3x  3z )  z  3  3º Resolver el sistema de dos ecuaciones resultante por cualquiera de los procedimientos estudiados.

Efectuamos las operaciones:

2 x  30  9 x  9 z  2 z  2  4 x  20  6 x  6 z  z  3  11x  7 z  32    2 x  5 z  17

(5) (6)

Siguiendo por el método de sustitución, despejar la “x” en la ecuación (6):

2 x  17  5 z;



x

17  5 z 2

(7)

Sustituir “x” en la ecuación (5):

 17  5 x  11   7 z  32  2  187  55 z  14 z  64;

Sustituir el valor de “z” en la expresión (7):

187  55 z  7 z  32 2

 

x

z

123 3 41

17  15 2



x 1

y  10  3x  3z  10  3(1)  3(3)  10  3  9



Sustituir los valores de “x” y “z” en la ecuación (4):

La solución del sistema de ecuaciones es:

x = 1, y = 2, z = 3

y2


- 139 -

b) Método de igualación.- Resolver el siguiente sistema, por el método de igualación:

x  3y  z  1

   2 x  y  3z  9   3x  2 y  z  6  

(1) (2) (3)

1º Despejar la misma incógnita en las tres ecuaciones. Por ejemplo “z” que es la que tiene los coeficientes más pequeños:

z  1  x  3y z

9  2x  y 3

z  6  3 x  2 y 2º Igualar dos a dos las ecuaciones obtenidas para formar un sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas Por ejemplo, la primera con la segunda y la primera con la tercera.

9  2x  y 3

    1  x  3 y  6  3 x  2 y    1  x  3y 

3º Resolver el sistema, utilizando cualquier procedimiento.

3  3x  9 y  9  2 x  y    x  8y  6    1  x  3 y  6  3x  2 y   4 x  y  7  

(4) (5)

Despejar una incógnita, “y” en la ec. (5) y sustituir en (4), despejar “x”:

y  4 x  7; 31x  62

 

Sustituir “x” en (4) o (5):

 x  8(4 x  7)  6



 x  32 x  56  6

x2

y  4 x  7  4(2)  7  8  7;



y 1

4º Sustituir los valores encontrados en ec. (1):

x  3y  z  1



z  1  x  3 y  1  2  3(1)  1  2  3

z2 Las soluciones del sistema de ecuaciones son:

x = 2, y = 1, z = 2

- 140 -


c) Método de reducción.- Resolver por el método de reducción el siguiente sistema: 2x  y  z  1   3x  2 y  4 z  2    x  3 y  3z  5

(1) (2) (3)

1º Eliminar una incógnita dos veces, utilizando dos ecuaciones y luego una de ellas con la tercer ecuación. Eliminar “y” entre ec. (1) y ec. (2), multiplicando la primera por (2) y la segunda (–1)

 2 2x  y  z  1      3x  2 y  4 z  2     1

4 x  2 y  2 z  2  S /m/m 3x  2 y  4 z  2 

x  2z  4

Sumando miembro a miembro queda:

(4)

Nuevamente “y” entre ec. (1) y ec. (3) multiplicando la primera por (–3)

2 x  y  z  1    3   x  3 y  3z  5

6 x  3 y  3z  3    x  3 y  3z  5  

Sumando miembro a miembro queda: 7 x  6 z  8 (5) 2º Formar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, con las ec. (4) y (5)

x  2z  4    7 x  6 z  8 

(6) (7)

3º Resolver el sistema

7 x  14 z  28   S /m/m 7 x  6 z  8

x  2z  4   7  7 x  6 z  8 

20 z  20

Sumando miembro a miembro queda:



z 1

Sustituyendo el valor de “z” en la ec. (6):

x  2z  4



x  4  2 z  4  2(1)



x2

4º Sustituir los valores encontrados en la ec. (1):

2x  y  z  1



y  1  2x  z  1  2(2)  1

Las soluciones del sistema de ecuaciones son:

x = 2, y = –2 ,



y  2 z=1


- 141 -

d) Regla de Cramer.- La regla de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales (sistemas de Cramer). Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes: -

El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas. El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.

a11

a12

a13

  a21

a22

a23

a31

a32

a33

Sean: Δ1, Δ2 y Δ3, los determinantes que se obtienen al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna , en la 2ª columna, en la 3ª columna. Un sistema de Cramer tiene una sola solución que viene dada por las siguientes expresiones:    x 1 y 2 z 3    Ejemplo: 1) Resolver el siguiente sistema:

x  y  z  1    x  2 y  3z  2  z 5  x Los determinantes del conjunto de ecuaciones son los siguientes:

1

1

1

 1

2

3 2

1

0

1

1

1

1

2  1

2

3  8

1

5

1

Las soluciones son:

x

1

1 21   2

1

1

1  2

2

3  21

5

0

1

y

1

1

1

3  1

2

2  11

1

0

 2 8   4  2

5

z

3 11   2

- 142 -


Problemas de aplicación.- Utilizando un sistema de ecuaciones, se pueden plantear y resolver problemas más cómodamente que con una sola ecuación. Pasos para resolver problemas: 1. Leer detenidamente el enunciado del problema, determinando por escrito lo que se puede considerar como datos. 2. Elegir lo que se considere como incógnitas de tal manera que se conozca la solución del problema cuando las incógnitas queden determinadas y representarlas por una letra. 3. Representar el problema gráficamente si es posible y establecer por escrito las relaciones entre datos e incógnita. 4. Traducir estas relaciones en dos algebraicamente dichas relaciones.

ecuaciones

donde

queden

expresadas

5. Resolver el sistema. 6. Discutir los resultados, comprobando si las soluciones obtenidas tienen sentido y satisfacen las condiciones del problema y expresar por escrito las soluciones. Ejemplos: 1) Se han comprado 10 kg de manzanas y 20 kg de naranjas con un costo total de 42 Bs. Sabiendo que 6 kg de manzanas más 10 kg de naranjas cuestan 22.20 Bs, calcular el precio del kg de manzanas y el de naranjas. Solución: 10 kg de manzanas más 20 kg de naranjas cuestan 42 Bs 6 kg de manzanas más 5 kg de naranjas cuestan 22.20 Bs Precio del kg de manzanas: x Precio del kg de naranjas: y 10x será el coste de kg de manzanas 20y será el coste de 20 kg de naranjas 6x será el coste de 6 kg de manzanas 10y será el coste de 10 kg de naranjas Sistema de ecuaciones: 10x + 20y = 42 6x + 10y = 22.20

Soluciones: x = 1.20 ; y = 1.5

Respuesta: Los precios son 1.2 Bs el kg de manzanas y 1.5 Bs el kg de naranjas.


- 143 -

2) Un teatro tiene una sección de orquesta y un mezanine. Durante una presentación se vendieron 95 boletos de la sección de orquesta y 75 de la sección de mezanine y se recaudaron $ 4975. En otra presentación se vendieron 60 boletos de la sección de orquesta y 135 de la sección de mezanine y se recaudaron $ 5070. Encuentra el costo de los boletos de la sección de orquesta y el costo de los boletos de la sección de mezanine. Solución: Costo de cada boleto en la sección de orquesta = x Costo de cada boleto en la sección de mezanine = y

 95 x  75 y  4975  2da. presentación  60 x  135 y  5070 1ra. presentación

Las soluciones de las ecuaciones son:

(1) (2)

x = 35 ; y = 22

Respuesta: Boleto en la sección de orquesta: $ 35

Boleto en la sección de mezanine $ 22

3) Un arrendador recibió $ 48000 en la renta de dos casas por un año cada una. Por una de las casas cobró $ 400 más que la otra ¿Cuanto recibió el por cada casa si la mas cara estuvo vacante dos meses? Solución: Renta mensual de la casa = x Renta mensual por la casa mas barata = y Por la más cara cobró $ 400 mas que por la otra: x = y + 400 La más cara estuvo vacante dos meses y en total se recibió $ 48000 en un año: 10x + 12y = 48000 El sistema de ecuaciones es:

  x  y  400    10 x  12 y  48000

  x  y  400   10 x  12 y  48000

Las soluciones del sistema son: x = 2400 ; y = 2000 Respuesta: La renta mensual de la casa cara: La renta mensual de la casa barata:

$ 2400 $ 2000

- 144 -


PREGUNTAS DE RAZONAMIENTO ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS Y TRES INCÓGNITAS 1. Resolver: x + y = 10 3x + 2y = 2 b) 28 y –18

a) 28 y 18

c) 18 y –28

d) N. A.

c) 4 y –11

d) 5 y 2

c) –9 y 2

d) –12 y 1

c) 2 y 3

d) –1 y 1

c) 2 y 3

d) 5 y 3

c) 1/6

d) 3

c) 1/12

d) 1

2. Resolver: x +y = 7 2x + y = 3 a) –4 y 11

b) 4 y 11

3. Resolver: x – 1 = 2(y + 6) x + 6 = 3(1 – 2y) a) 9 y –2

b) –6 y 4

4. Resolver: 3x – 4y – 2(2x – 7) = 0 5(x – 1) – (2y – 1) = 0 a) 3 y –2

b) –2 y 3

5. Resolver: x–1 = y+1 x – 3 = 3y – 7 a) 5 y –3

b) –5 y 3

6. Calcular (x – y) de: 10x + 9y = 8 8x – 15y = –1 a) 1/3 7. Hallar x  y

b) 1/2 de: 9x – 4y = 2 3x + 8y = 3

a) 1/6

b) 1/4

8. Al resolver el siguiente sistema, encuentre el valor de x y 2x – y = 5 3x – y = 8


a) 1

- 145 -

c) –1

b) 3

d) –3

9. Al resolver el siguiente sistema, encuentre el valor de x  y

8 9  1 x y 10 6  7 x y a) –1

b) 1

d) –1/2

c) 6

10. ¿Cuál de las siguientes opciones contiene el valor de “x” que satisface al sistema: 2x – 3y = 7 3x + 4y = 2 a) x = 2

b) x = 1

c) x = – 2

d) x = – 1

c) –9

d) –12

c) 21

d) 18

11. Resolver y calcular el valor de “2x + y” y – 5x – 9 = 0 2y – 3x + 3 = 0 a) –3

b) –6

12. Hallar: x + 2y + 3z x – 2y = 0 2y – 3z = 11 x + y + z = 11 a) 13

b) 16

13. Hallar el valor de: 1 P

2

–2

1

0

+ 2

a) 0

3

= 4

b) 1

c) 2

d) 3

14. Hallar el valor de: –1 R

b) –8

2

–2

–1

0

– –2

a) 8

–3

= 4

c) 2

d) –2

- 146 -


PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS Y TRES INCÓGNITAS 1.

Antonio tiene el doble de edad que su hija. En seis años, la edad de Antonio será el triple de la edad que su hija tenía hace seis años. ¿Qué edad tiene Antonio en el presente? a) 42

2.

b) 4x + 2y

c) 15 rojas y 20 azules

c) N. A.

b) 46 mamíferos y13 reptiles c) N. A.

Para una fiesta se preparan empanadas y pizzas. Si se hubiesen cocinado 7 empanadas más, habría tantas pizzas como empanadas. Si se hubiese cocinado una pizza más, tendríamos la mitad de empanadas que de pizzas. ¿Cuántas empanadas y pizzas se cocinaron para la fiesta? b) 8 pizzas y 15 empanadas c) N. A.

El perímetro de un rectángulo es 30 m Si el ancho es la mitad del largo ¿Cuáles son sus dimensiones? a) 10 m de ancho y 5 m de largo c) 10 m de ancho y 10 m de largo

7.

d) x + 2y

En una clínica veterinaria se hace un recuento de los “pacientes” tratados en el mes. El número de mamíferos tratados excede en 20 al doble del de reptiles. Entre mamíferos y reptiles se han tratado 59 animales. ¿Cuántos mamíferos y reptiles se trataron en la clínica el mes del recuento?

a) 15 pizzas y 8 empanadas c) 14 pizzas y 6 empanadas 6.

c) 7x + 4y

b) 48 rojas y 27 azules

a) 13 mamíferos y 46 reptiles c) 47 mamíferos y 30 reptiles 5.

d) 60

Dos jugadores de póker se reparten fichas de dos colores: rojas y azules. El primero recibe 45 fichas en total, de las cuales, las rojas triplican a las del mismo color de las de su compañero. El segundo recibe 30 fichas, siendo las azules el doble de las de su compañero. ¿Cuántas fichas de cada color había para repartirse? a) 12 rojas y 9 azules

4.

c) 54

El largo de un rectángulo mide 3x + 2y. Si su perímetro mide 10x + 6y, ¿cuánto mide el ancho del rectángulo? a) 2x + y

3.

b) 48

b) 5 m de ancho y 10 m de largo d) N. A.

Un granjero recoge la puesta de sus gallinas y cuenta 63 huevos en total. Si el número de huevos blancos es el doble de huevos negros. ¿Cuántos huevos de cada color ha recogido el granjero? a) 42 huevos negros y 21 blancos c) 50 huevos blancos y 30 negros

b) 42 huevos blancos y 21 huevos negros d) N. A.


- 147 -

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS Resolver los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas:



3x  2 y  1   9 x  6 y  2

b)

1  x  3y   31  x   40  y 

c)

4(2  x)  3 y  d)  22  x   2 y  2

e)

4 x  5 y  13   15 39  6x  y   2 2

3x 4 y   2   4 5 f)  2x 3y   17  3 5

x  y 2x  y 4x  y     3 4 4 g)  2x  y  2 y  7x   3x   4 3 

3x  1 2 y  3 17 y     5 2 10  h)  x  y y 6x     2 5 5 

2x  3y x  4 y 3     3 2 2  j)  32  y  2   2 x  3    2x  5 y  5 5  

3x  2 2 y  3 2 y  6    5 6 4  k)  2x 3y 4x  y    3 4 12 

a) 5 x  4 y  2 6 x  4.8 y  2.4

y   11   3  x  3 y  21  3

x

i)

Resolver los sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas:

6x  8z  4

x yz 2

  a) 2 x  3 y  5 z  11 x  5 y  6 z  29 

  b) x  5 y  6 z  8  3x  2 z  8  2 y 

  c) 2 x  y  4 z  4  2 x  y  6 z  1

2 x  y  z  15   d) 5 x  y  5 z  16 x  4 y  z  20 

x  2 y  3z  6   e) 2 x  y  4 z  5  4 x  3 y  2 z  3

f)

2 x  y  4 z  1   g) 3x  2 y  2 z  6   x  2 y  3z  1

x2 2z  2  y  1 2 5  h) x  4  y  z  4  2  6 3 4   x  2 y  3z  8  

x  y  2z  9

2 x  y  3z  13   3x  2 y  4 z  1 2 x  y  2 x  1 

- 148 -


Resolver aplicando ecuaciones simultáneas con dos o tres incógnitas: 1.

La edad de un padre es hoy 3 veces la de su hijo, y hace 6 años era 5 veces la del hijo. ¿Cuántos años tienen cada uno?

2.

Encontrar dos número tales que añadiendo 3 al primero se obtenga el segundo y, en cambio, añadiendo 2 al segundo se obtenga el doble del primero

3.

La suma de dos números es 39 y añadiendo uno al mayor se obtiene el triple del menor. Hallar los dos números.

4.

Un vendedor de bebidas tiene dos clases de vino. Una de 2.30 $ el litro y otra de 3.00 $ el litro. ¿Cuántos litro debe tomar de cada clase para hace un 100 litros de un vino de 2.6 $ el litro?

5.

Un ciclista recorre 200 km en bicicleta en 4 horas y 20 minutos, supuesto que en carretera lleva una velocidad de 30 km/h y en ciudad va a 15 km/h, ¿Cuántos km recorre en carretera y cuántos en ciudad?

6.

Un señor tiene dos hijos de los cuales uno tiene 6 años más que el otro. Después de 2 años la edad del padre será el doble que la suma de las edades de sus hijos, y hace seis años su edad era cuatro veces la suma de las edades de sus hijos. ¿Cuál es la edad de cada uno?

7.

Antonio le dice a José: Yo tengo la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas la edad que yo tengo la suma de nuestras edades será 63 años. Hallar la edad de cada uno.

8.

¿Cuántos litros de leche de 30% de grasa han de mezclarse con leche del 10% de grasa para obtener 100 litros de leche del 26% de grasa?

9.

Entre otros ingredientes, para hacer un postre se necesita harina y azúcar. La cantidad necesaria de harina es la quinta parte de la que se necesita de azúcar. La harina y el azúcar juntos pesan, en total, 144 gr ¿Qué cantidad necesitamos de azúcar? ¿Qué cantidad de harina?

10. En una peluquería se hace una mezcla para un tinte. Si añadiésemos 4 ml a la cantidad utilizada del producto A, el volumen sería el mismo que un tercio del producto B. Por otro lado, el doble del volumen de A es lo que le falta al B para medir 250 ml. ¿Qué cantidad se usa de cada producto? 11. Una piscifactoría cultiva en sendos tanques truchas y doradas. Si se colectara un tercio de las truchas y la mitad de las doradas se obtendrían 184 peces. Por otro lado, si se colectara la quinta parte de las truchas y la cuarta parte de las doradas obtendríamos 98 peces. ¿Cuántos peces de cada especie hay en cada tanque? 12. Para montar un mecanismo se necesitan arandelas y tuercas. El número de arandelas excede en 20 unidades al de tuercas. La quinta parte del número de arandelas es 6 unidades mayor que la séptima parte de las tuercas. ¿Cuántas tuercas y arandelas se necesitan?


- 149 -

Cap. 10 TEORÍA DE LOS EXPONENTES Potenciación.- Es la operación que consiste en repetir un número llamado base tantas veces como indica otro número llamado exponente, al resultado de esta operación se llama potencia, que se representa de la siguiente forma: n es un número natural que se llama exponente. a es un número cualquiera que se llama base. Se lee: a elevado a la n Leyes de signos: 1º Toda cantidad positiva o negativa elevada a una potencia par es positiva: ()2n   ( ) 2 n  

2º Toda cantidad elevada a una potencia impar conserva su propio signo: () 2n 1   ()2n 1  

Ejemplos: 3

2

a) 2 = 2·2·2 = 8 2

d) (–5) = (–5) · (–5) = 25 3

3

c) (–2) = (–2) · (–2) · (–2) = –8

b) 5 = 5·5 = 25

3

g) x = x · x · x = x

3

e) –2 = –(2·2·2) = –8 2

f)

2

–5 = – (5·5) = 25

2

h) x = x · x = x

Leyes de los exponentes: a) Producto de potencias de igual base: Se escribe la misma base y se suman sus exponentes:

a m  a n  a m n Ejemplos:

1) x6 .x9  x69  x15

6 2 6 2  x4 2) x .x  x

- 150 -


b) División de potencias de igual base: Se escribe la misma base y se restan sus exponentes:

am  a mn an Ejemplos:

1)

x11 x

c)

5

 x115  x6

2)

x4 x6

 x 46  x  2

Exponente uno: Es igual a la base:

a1  a Ejemplos:

2) (5 x)1  5 x

1

1) 5 = 5

d) Exponente cero: Toda cantidad diferente de cero con exponente cero es igual a la unidad:

a0  1 Ejemplos:

0

2) 64  61  6

0

1) 4 = 1

El exponente cero proviene de dividir potencias iguales de la misma base:

a2  a2 

a2 a2

 a 2 2  a 0

O sea.

a0 1

e) Exponente negativo: Toda expresión diferente de cero elevada a un exponente negativo es igual a una fracción cuyo numerador es 1 y su denominador es igual a la misma expresión pero con exponente positivo:

an  Ejemplos:

1)

x 5 

1 an

a0

1

2) b 5  1 b5

x5

El exponente negativo proviene de dividir dos potencias de la misma base cuando el exponente del dividendo es menor que el exponente del divisor.

a2  a3 

a2 a

3

 a 23  a 1


- 151 -

Cualquier factor del numerador de una expresión se puede pasar al denominador y viceversa cambiándole el signo a su exponente.

f) Potencia de un producto: Se eleva a cada factor el mismo exponente:

(a  b)n  a n  bn Ejemplos:

1)

( x  y )7  x 7  y 7

2)

 abc 

3

 a 3 b3 c 3

g) Potencia de un cociente: Se eleva tanto al numerador como al denominador al mismo exponente: n

an a    n b b Ejemplos:

1)

  

4

4

x x4   y y4

1 14 1    4  4 y y  y

2)

h) Potencia negativa de un cociente: Se invierte el cociente y el exponente cambia de signo:

a   b Ejemplos:

1)

4   3

3

n

n

bn b    n a a

3

27 3    4 64  

3   7

2)

3

3

343 7    27 3

i) Potencia de potencia: Se escribe la misma base y de exponente el producto de exponentes:

a 

n m

Ejemplos:

1)

x 

4 3

 x 4.(3)  x12

 a nm 2)

(a  

4 2 3

 a 234  a 24

j) Potencia para un exponente: Llamada también escalera de exponentes, se le reconoce por la ausencia de signo de colocación:

a4

32

9

 a 4  a 2621144

- 152 -


Para efectuar esta operación se toma de dos en dos de arriba hacia abajo: 23

2

Ejemplos:

21

18

1

 22  22  22  4

Propiedades que no tienen las potencias

No son conmutativas:

an  na

No son asociativas:

a 

No son distributivas respecto a la suma y resta:

(a  b) n  a n  b n

n m

3

 a (n

m

2

3

≠ 2

2 

4 3

)

2

 4 (3

)

(3  4) 2  3 2  4 2

RESUMEN DE LAS LEYES DE LOS EXPONENTES

am  a mn an 1 an  n a

a m  a n  a m n

a0  1 n

a   b

an a    n b b

n

a1  a (a  b)n  a n  bn

a 

n m

n

bn b    n a a

 a nm

Radicación.- La raíz n-ésima de una expresión es otra expresión, que elevada a la potencia “n”, nos da la cantidad del subradical: n

ax



a  xn

Leyes de exponentes para la radicación.- Son las siguientes: a) Raíz de una potencia: Se escribe la misma base y por exponente el cociente del exponente de la base entre el índice del radical: p

n

ap  an

5

Ejemplos:

1)

3

Generalizando se tiene:

2

x5  x 3

  

2)

a 

  

a

6

1

( a  b) 2   a  b  6   a  b  3


- 153 -

b) Potencia de una raíz: Es igual a la raíz de la potencia:

a n

m

 a

Ejemplo:

3

4

5

3

p

 n  a m   n a m p p

a 

4 5

 3 a 45  3 a 20

c) Raíz de un producto: Se extrae la raíz de cada factor: n

ab  n a  n b 12

Ejemplo:

15

a12  b15  3 a12  3 b15  a 3  b 3  a 4  b5

3

d) Raíz de un cociente: Se extrae la raíz del numerador como del denominador:

n

a na  b nb

12

Ejemplo:

3

a12 3 a12 a 3 a 4   27  9 b 27 3 b 27 b b3

e) Exponente fraccionario: Es igual a una raíz, cuyo índice es igual al denominador del exponente fraccionario y cuya cantidad subradical es la misma cantidad elevada a un exponente igual al del numerador del exponente fraccionario: m

a n  n am

Ejemplos:

1)

5 43

3

 45

2

2)

6 3  3 62

f) Introducción de un factor a un radical: Se multiplica el exponente del factor por el índice del radical y a esta se afecta del radical:

a m n b  n a mnb Ejemplo:

x3 3 y 2  3 x33 y 2  3 x9 y 2

- 154 -


Leyes de signos para la radicación.- Son las siguientes: a)

Toda cantidad positiva o negativa dentro de una raíz con índice par: 2n

a  

a  imaginario

2n

b) Toda cantidad positiva o negativa dentro de una raíz con índice impar: 2 n 1

a  

a  

2 n 1

EJERCICIOS RESUELTOS Expresar con signo radical: 1

1



1)

x3

3)

2a 5 b 2

4

3

2)

x

 x y

xy 2

8

5

 2 5 a 4 b5

 2b2 5 a 4 b

 8m 3 n8

4) 8mn 3

 8mn2 3 n2

Expresar con exponente fraccionario: 1

5

5)

 a2

a5

6)

 m3

m

6

7

7

 3x 2 y 5

7) 3 x7 5 y 6

3

8

 3m 6 n 5

8) 3 6 m7 5 n8

Expresar con exponentes positivos y simplificar: 9) a 2b 3

a2 b3



1

3

11) 5a  3 b  4 c 1



5 1 3

10) 3x 5



3 x5

1 2 x 2



x2 2

12) 3 4

a b c 

13)

1



3m4 n 2 8m3n 4

1

3n 2  8m 1

15)

3a 2 mn 

1

a 3m 2 n



3 4

1

7

3n 2 n 4  8m3m4

7a 4b 2c

3

3 7 3a 2 a 3mm 2 nn 4   3a5 m 2 n 4 1



16)

2

x 3m x 2 yz





1 4

1 2

2

1

4a 2

14)





2 3



9

4a 2 a 4 c 3 7b 2



1

1

z2

z2

2

1

x 2 x 3 yy 4



2

4a 2 c 3 7b 2

8

5

x3 y 4


- 155 -

Pasar los factores literales del numerador al denominador: 17)

a2 b2

19)

4mn2 x3

1 a b



18)

2 2

4 m n x



3x 1 y2



2

20) x 3 x2 y

1 2 3

3 xy 2



1





2 3

x2 x y

1 8

x3 y

Pasar los factores literales del denominador al numerador: 21)

2 a

23)

x2 y y 2

 2a 1

 x 2 yy 2

 x2 y3

22)

3a b2

24)

4 m1n2 x3

 3ab 2

 4mn2 x 3

Expresar con signo radical y exponentes positivos: 25)

x



1 2



3

1 x

26)



2 5

2m n

3 4

2n 4



m 3a 27)

x



3 2

1 4



3 3 2

a x



1 4

1 1 2

a

3



1 2

a1a x

x

1 4

3

 a



3 2



2 4 n3



1

5

m2

3

a2 1



3 a a4 x



1 4

  12  a   28) 

3

2 5

a1a



1 2

1 a a

Expresar con exponentes positivos: 29)

a 3

 a



3 2

a

1 31)

a 7b 6

1





7

a 2b 7

 a 2 b3

2

1





6 2

30)

3 2

3 3 m2 5 4 n 3



1 

7

a 2 b 3

32)

2a 2 ( x  5)3

3m 3



5n





3 4

2

3

3m 3 n 4  5

2 ( x  5)3 a2

3



2  x  5 2 a2

- 156 -


Hallar el valor de: 5

5

33) 16

3 2

3 2 2

4 



 4

2

3 2

 4

 64

3

 22  2   2 3 

 4 2   34)  9 



35)

1 1 2

2

a a b x 

0

para a = 3, b = 4

1 b 1 4  1  2  1 a2 a 3 3

1 2 1 6  9   1  9 3 9

36) 3x



3



x

16  9

1 2

1 2

25 35

2    3

2

5 2

2    3

32 243



1

 x 2 y 3  x 0 y 3 para x = 4, y = 1 

x2 3 3 x2 3  y   3 y y3 x y

3 42 3 3 37  3  1   16  1  1 2 2 4



Multiplicación de monomios con exponentes negativos y fraccionarios: 37)

x2

por

x 3

38) a 2

 x2  x3  x23  x1 39)

x3

por

por

a 3

 a2  a 3  a 23  a 5

x 3

1

40) a 2

 x3  x3  x33  x0  1

por 1

a 1

1

3

 a2  a  a2  a2

Multiplicación de polinomios con exponentes negativos y fraccionarios: 1

41)

2

1

x  x 3  2x 3

por 2 3

x  2x  x 1

x3  2  x



x3  x



1 3

1 3

4

2

x 3  2x  x 3 2

1

 2x  4x 3  2x3 2

1

x 3  2x3 1 4

2

 2x 3

x3 4

2

Respuesta  x 3  2 x 3  1

1

1 2

2

5

42) x2  1  x2

por

x2  2  x 2

x 2  1  x 2 x 2  2  x 2 x 4  x 2  1 2 x 2  2  2 x 2  1  x 2  x 4 4 2 x  x  2  3x 2  x 4 Respuesta  x4  x2  2  3x 2  x 4


- 157 -

Desarrollar las siguientes potencias: 1)

a

 a

 2 1 3

b

 23 13

b

 a  6 b 3

2

3 9 3  3 2)  m 4   m 4  m 4  

2

 12 1  2 2 1 2 2 1 3 3)  2a b 3   2 2 a 2 b 3  4a 2 b 3  4a b 3    

 

 

2

5

2

3 5 4)  3a 5 b   3 a 5

 12 1 5)  a  b 2  

5

b 33  243a 2 b 9

2

 1 2 1 1 1 2 1 1    a 2   2 a 2  b 2    b 2   a  2 a 2 b 2  b         

3

   3x   y

6)

 x 2  y  13   x  2    

7)

x y Si 3 = 2 , el valor de: E 

E

3 x  3  2 y 1 2 y2



3

2 2

  y

  3 x2  

3 x  3  2 y 1

33.3 x  21.2 y 2 2.2 y

 13

2 y2



 13

2

3

   y  13   x  6  3x  4 y  13  3 x  2 y´ y 1      

es:

27.3 x  2.2 y 4.2 y



27(2 y )  2.( 2 y ) 4(2 y )

a

8)

Si

a a  a 2 , a > 0. Hallar el valor de a 3a

a 3 3 Solución: El exponente a a  2 se eleva al cubo (a )  2  8

a 3 3a Multiplicando los exponentes (a )  a  8



29(2 y ) 4(2 y )



29 4

- 158 -


EJERCICIOS DIVERSOS



1) En la expresión reducida de: A  a.b 3 .c3

1 2

1 2 3

   a .b .c    a 7

4

5

1

.b.c  6

¿En cuánto excede el exponente de c al exponente de a? Solución: Aplicando una de las propiedades y asociando: 5 1 1 1 3 3 7 4 2   3 3 3 2 2 2 a .b .c .a .b .c .a 6 .b 6 .c 6

A 

El exponente de c es:

0

7 .c 3

7 7 1 . El exponente de a es: 2 Luego excede en:  2  3 3 3 

2) Reducir:

 a .b 2

M  ( x 2 )  2 .( x  2 ) 2 .( x  2 )  2 .( x  2 )( 2)    2

2

16

1 4

Solución: Para el exponente del corchete: 1

 16 4  16



1 4

 (2 4 )



1 4

1 2

 (2 1 )  

Ahora aplicamos los productos indicados:

M  ( x 2 ) 2 .( x 2 ) 2 .( x 2 ) 2 .( x 2 ) ( 2)    2

M   x 4 .x 4 .x8 .x 8 



1 2

2

  x 8 



1 2

16



1 4

  x 4 .x 4 .( x 2 ) 4 .( x 2 ) 4 



1 2

 x4

  6 4m  3) Simplificar la expresión:  2 m 1 4 m 1 2  4 

m 1

Solución:

 6  4m   42 m1  24 m1    1

m1

  6  (22 ) m   2 2m  4m  (2 )  4  2  2  m

 6  22 m  m  22  m     4 4m  6 2  2 



1 22



1 4

m1

  6  22 m   4m  4m 2 4  2 2

m1


- 159 -

PREGUNTAS DE RAZONAMIENTO TEORÍA DE LOS EXPONENTES 1.

Identifica la base y el exponente en la expresión exponencial –10 a) Base 7 y exponente –10 c) Base 10 y exponente 7

2.

9

4

12

b) –40 p

3

b) 6

4

3

12

d) –40 p

7

c) 6 a

16

5

a

16

27

7

3

4

16

d) 6 a

5 2

b) –10 x y 3

15

16

a

2

7 2

d) –10 x y

15

d) 100 m

c) (–4)

4

d) 4 a

2

2

Simplifica la expresión 4m (–5) m b) 500 m

8

5

c) (–5) x y 5

c) 100 m

 4 p 2v 4   Simplifica la expresión dando el resultado con exponentes positivos   s3   

4 p 4v8

a)

s

b)

6

16 p 4v8 s

0

Simplifica 6 + (–5)

6

c)

4 p 4v8 s

d)

5

2

16 p 4v 6 s5

0

a) 0 9.

a

Simplifica la expresión (–5x y)

a) 400 m

8.

12

b) (–4)

10 2

7.

c) 40 p

4 4

a) 25 x y 6.

27

Simplifica la expresión (–4a ) a) –16 a

5.

3

Simplifica la expresión (64 a)3 a) 6 a

4.

b) Base 7 y exponente 10 d) Base –10 y exponente 7

Simplifica la expresión (–5p )(–8p ) a) –40 p

3.

7

b) 2

d) –1

c) 1 –2

–3 –1

Simplifica la expresión usando exponentes positivos (3 + 3 ) a)

33 2

2

b) 3 + 3

2

10. El valor de –3 a) – 9

–2

3

c) 3

5

d)

1 35

es: b) – 1/9

c) 1/9

d) 9

8

- 160 -


x 2 ( x 8 ) 3

11. Simplifica la expresión usando exponentes positivos

11

37

a) x

( x 5 ) 3 17

b) x

c) x

–4 b) 1 a

–4

13. Expresar con exponentes positivos a) c  a  b  ab

b)

ab c a  b

x37

4 d) 1 a

4

c) 4a

4

1

2 a2 ? 8 a6

12. ¿Cuál de las siguientes opciones es equivalente a:

a) 4 a

d)

4

a 1  b 1 c 1 c) c  a  b 

d)

1 c a  b

14. Si 3a  b y 3c  d entonces ¿ bd ? a) 3

ac

b)

3a c

ac

c) 27 3

ac d) 27

15. ¿Cuáles de estas equivalencias no siempre es verdadera? a) xn .xm  xn  m

 1 16. Simplificar  p  a   a)

a

b) ( x a )b  x ab 1  p       

p

 2

a) 8a

6

d) ( xa )b  ( xb )a

2

b) a

17. Simplifica  1 a 2 

c) x0  1

2p

c) a

2 P2

d) a

4 P2

3

  b) 8a

5

c)

1 5 a 2

d)

1 6 a 8

18. Dado el monomio 5x5 , entonces su cuadrado es: a) –10 x10

b) –25 x10

c) 25 x25

d) 25 x10


- 161 -

2a2 ? 8a6

19. ¿Cuál de las siguientes opciones es equivalente con

a)

4a

–4

1 –4 a 4

b)

20. Si x = –3

e y = –2, entonces

a) –17

4

1 4 a 4

c) 4a

d)

c) 17

d) 1

x2  y3

b) –1

n 3 21. Simplificar a  a a 3

a) a

n

b) a 4

0 22. Simplificar  a    2a     3

c) a

n+3

d) a

2

5

b)

4

a

3

c)

4

a

8

d) 3a

a4

 2a  4b 3c 2   23. Simplifique, aplicando las leyes de los exponentes:   3a 2b3c 0   

a)

27a 9b9 8c

b)

5

8a18b18 27c

a

24. Desarrollar:

2

 b

1





1

1

2

c) a  3a 3 b 3  3a 3 b 3  b

27c5

1

c) a 4  2ab 2  b

d) N. A.

3

2

8 a 9b 9

2

a) a  3a 3 b 3  3a 3 b 3  b 1

d)

6



1

4

3

27a18b18 8c

b) a 4  2ab 2  b

1 1 25. Desarrollar:  a 3  b 3   

2

c)

6

1

a) a 4  2a 2b 2  b

2

n+6

a 

 a 

a)

n–1

2

1

1

2

2

1

1

2

b) a  3a 3 b 3  3a 3 b 3  b d) a  3a 3 b 3  3a 3 b 3  b

- 162 -


EJERCICIOS PROPUESTOS TEORÍA DE LOS EXPONENTES Conteste con verdadero o falso cada una de las siguientes afirmaciones. en cada caso justifique la respuesta: 1)

729 es la cuarta potencia de 9

2)

Toda potencia de un número positivo es positiva

3)

Toda potencia de un número negativo es negativa

4)

La potencia de la suma es la suma de las potencias, esto es (a + b) = a + b

5)

La operación de la potenciación es conmutativa, esto es (a )

n

n m

n

n

 x nm   nm  x 

2

3)

6)

3x 0 y 3 z 2 0.5 x 1 y 2 z 2

3)

3xy 2 z 3 x 1 y 2 z 3

m n

= (a )

Simplificar: 1)  a 

 2  a 

4)

2)

 2x2     0.5 x 

5)

14 x 4 y 2 x 2 y 1

4

 a y   y 1   3a 

2

3

Elimine los exponentes negativos y simplifique: 1)

4)

 3x  4x  2

4

2)

 x yz  2xz  x y  2

3

2 1 7) m n x

2



7 2

m 4 n 5 x 2

3

2

3u

2 3

v

 4u v  4 5

2 3 6) 2a b

5 4 5) 3x y

y

a 4 c 2

3

2 2 8) 4a b  5a b

a3b

2b 4

Simplificar las siguientes potencias y raíces: 1)

3

4)

5

27a 6b9c3

a2 x



3

2)

5)

5

32x10 b15

9 16   3 7 8a3   

3)

2 b 

6)

4

7

3

81b8 16c12


- 163 -

Poner bajo un solo signo radical las siguientes expresiones: 1)

4)

b a

3

2)

3

x2

3)

3 3

xc

5)

5 5 5

6)

a b c

8)

x 3 y  y x

9)

3 2 7) a xy  a x 5

2a

3

Responda si es verdadera o falsa, justifique su respuesta: 1)

4  2

2)

3)

ab  a  b

4)

b2  4ac

existe solo si b2  4ac

1

n

a  an

Resolver: 1)

Si x  x  4 , entonces ¿cuál es el valor de x x ?

2)

Si a = 3 x, b = 2 a, c = 2 b, entonces ¿a qué es igual a + b + c?

3)

Si x = 5 y y = 3 , entonces ¿a qué es igual y x ?

n

n

4)

Evaluar c

3/2

5)

Obtenga

x

6)

Calcule

 2a  4b 5a  b  1 5  c      3a  3b a  b  b a 

7)

1 1 Desarrollar:  2m  2 n  3   

n

2

3

4

sabiendo que 2 + 2 = ( c



8)

n

+ 2)2

4

9a 2t  t 1 si t  (2b)1 3at  1

3



1 3 Desarrollar:  x 3  y  4   



1/2

2



5

1

si a 

1 3

y b

1 2

 a  b

a b

- 164 -


Cap. 11 RADICALES Radical.- Una expresión exponencial que contiene un exponente racional se conoce como la raíz enésima. 1

an



n

a

Grado de un radical.- Viene determinado por el índice de la raíz. Propiedades de los radicales: - Propiedad distributiva de la radicación con respecto al producto. Ejemplos: 1)

n

x. y.z  n x . n y . n z

2)

3

(27).8.64  3 27. 3 8. 3 64  (3).(2).(4)  24

- Propiedad distributiva de la radicación con respecto a la división. Ejemplos: 1)

n

x  y

n n

x y

2)

3

27 3 27 3 3  3   8 2 2 8

Radicales semejantes.- Son aquellos que tienen iguales el índice y radicando, solo difieren en el coeficiente de la raíz. Ejemplos:

2 5

;

Simplificación de radicales.siguientes procedimientos:

4 5

;

3 5

;

3 5 4

Es reducir a su más simple expresión, observe los

a) La cantidad subradical contiene factores cuyo exponente es divisible por el índice.- Se extraen fuera del radical las cantidades, dividiendo cada exponente por el índice. Ejemplos.- Simplificar: 1)

10

a15  b25  x5



a 3  b5  x


2)

3

16 x5



3

24 x 5

2x  3 2x 2



3) 3 4 32mn8  3 4 24  2mn8  3 .2.n2

2

- 165 -

2

2

4

2m  3n2 4 2m

4)

4a 3  8a 3b  4a 3 (a  2b)  2a a(a  2b)

5)

3x 2  12x  12  3( x 2  4 x  4)  3( x  2) 2  ( x  2) 3

Nota: No se pueden simplificar individualmente los términos, ya que la radicación no es distributiva con respecto a la suma y a la resta.

b) Introducción de factores: Para introducir un factor, dentro de una raíz, se multiplica el exponente de dicho factor por el índice de la raíz. Si dentro de la raíz hay un factor de igual base se sumarán los exponentes. Ejemplos: 1)

a  3 a  3 a3  a  3 a 4

2)

x4 5 x2  5 x 45 x 2  5 x 20 x2  5 x 22

3)

8x 2  3 12x 2  3 23 x 2  22  3  x 2  3 29  x 6  22  3  x 2  3 211  3  x8

4)



3

3



3

 

16x5  24 x5  24 x5

1 3

4 5

1

 23 x3  2

1 2 1 3x 3

1

2

 

 2  2 3  x  x 3  2 x  2 x2

1 3

3

 2 x. 2 x2

c) Reducción de radicales al mínimo común índice.- Consiste en convertir varios radicales de distinto índice en radicales equivalentes que tengan el mismo índice. Se halla el m.c.m. de los índices, que será el índice común y se eleva cada cantidad subradical a la potencia que resulta de dividir el índice común entre el índice de su radical.

- 166 -


Ejemplos: 1)

Reducir al índice común: 3

2,

6

3,

2)

4

5

- Los índices son:

- Se divide el índice común con el índice de cada radical:

3)

6

23 , 6

- Efectuando:

6

32 ,

Se tiene:

6

3

3

3 ,

3

b,

c.

6

8,

6

9,

22 , 6

6

4

2 ,

- Se divide el índice común con el índice de cada radical: 12

a3 ,

12

b2 ,

12

c4

51

5

Reducir al mínimo común índice:

3,

6

a,

- El m.c.m. es: (4, 6, 3) = 12

2 , 3 y 6. El m.c.m = 2x3 = 6

6

Reducir al mínimo común índice:

4) Reducir al mínimo común índice:

18 6

3

22 33

18

2  3 

2 2



6

3 3



6

24 39

Reducción de radicales semejantes.- Se reducen como términos semejantes: -

Realizar la suma algebraica de los coeficientes. Escribir el total obtenido en el paso anterior anteponiéndolo a la parte radical común

Ejemplos: 1)

Reducir:

2)

Reducir:

2  9 2  30 2  40 2  18 2

4 3  20 3  19 3  3 3

3)

Reducir:



33 1 1 2 3 2 3 2 5 4 6

36  15  10 3 31 3 2  2 60 60

4)

Reducir:

x 3 a 2  (a  2 x) 3 a 2  (2a  3x) 3 a 2



 x  (a  2 x)  (2a  3x) 3 a2

 a 3 a2



3

a5


- 167 -

Algunos radicales no parecen semejantes, tras una serie de operaciones de simplificación de factores, se convierten en radicales semejantes. Operaciones con radicales: a) Suma y resta de radicales.- Si son todos radicales semejantes se suman y restan los coeficientes entre sí:

3 7  2 7  5 7  12 7

Ejemplo:

3  2  5  12 



7

 8 7

Si los radicales no son semejantes se deja indicada la operación. Ejemplos: 1)

Sumar y simplificar:

18  50  2  8

Para poder sumar radicales tienen que tener el mismo índice y el mismo radicando. 

2)

18  50  2  8 

Simplificar:

2  32  2  52  2  23

3

3

2 a6b  3a 2 3 64b  5a a3b  a 2 3 125b

 2 3 a 6b  3a 2 3 64b  5a 3 a 3b  a 2 3 125b  2a 2 3 b  3a 2 .22 3 b  5a 2 3 b  a 2 .5 3 b  (2a 2  12a 2  5a 2  5a 2 ) 3 b

3)

 3 2 5 2  2 2 2  5 2

 2a 2 3 b  3a 2 3 26 b  5a.a 3 b  a 2 3 53 b

 2a 2 3 b  12a 2 3 b  5a 2 3 b  5a 2 3 b

 (12a 2  12a 2 ) 3 b

 0

Simplificar: 3 3 81  2 3 24 En este caso transformamos los radicales no semejantes en equivalentes.  3 3 81  2 3 24  3 3 34  2 3 23.3 = 3  3 3 3  2  2 3 3

4)

Simplificar:

5 a  3 3 a3  2 a





  5 a  3 3 a3  2 a  5 a  2 a  3 3 a3

5)

Simplificar:

= 93 3  43 3 =

3

54  3 24  3 16

= 7 a  3a

53 3

- 168 -




54  3 24  3 16 

3

2  33  3 23  3  3 23  2  3 3 2  2 3 3  2 3 2 

3

2  23 3

b) Multiplicación de radicales.- En la multiplicación de radicales se tienen los siguientes pasos: -

Multiplicar los coeficientes de los radicales. Multiplicar los radicales y buscar la raíz enésima del producto. Simplificar si es necesario.

Ejemplos.- Multiplicar los siguientes radicales: 1)

3 2 5 6

 (3  5) 2  6

3( 7  3) 

2)

 15 12

3 7 3 3 

 15 4  3  15  2 3  30 2

21  9 

21  3

3)

(7  2)(5  2)  35  7 2  5 2  ( 2)2  35  12 2  2  37  12 2

4)



5)

3

5 2



2

 5





2

 2 5 2 

 2

2

 5  2 10  2  7  2 10



3



3

3x3  3 3 12 xy

6)

7

5  5 3 2 3  7 5  2 3  5 3  2 3  14 15  10 9

7)



3x

x2  3 3 4 y



3





3



3

3xx 2  3 3 3x  4 y

3 x  3 3 12 xy



2 3



2 2 3





 2  2 6  6  23

8)

3x 3 x 2  3 3 3x 3 4 y

ax  ax



 2 

a x 2 ax

2

2 2 3  2 3 2

 3

 14 15  30

2

6 4









2



a x 2 a x ax  ax a x 2 ax

 a  x  3 (a  x)(a  x)  2(a  x)  3a  x  3 a 2  x 2



2


- 169 -

Para multiplicar radicales compuestos de distinto índice; se reducen los radicales al mínimo común índice y luego se multiplican como si fueran radicales del mismo índice. Ejemplos.- Multiplicar los siguientes radicales: 1)

x  3 2 x2



2)

3 2ab  4 4 8a3

6

x3  6  2 x 2 

3



 12  2a 4 2ab2



6

9x y  2

2



6

 12 4 4a 2b2  8a3

2

9 x 2 y  6 81x5

x3  4 x 4

6

 3 4  2ab   4 4 8a3

 12 4 24  2a 4 ab2

3)

2

 x 6 4x

4 x6 x

 12 4 24  2a 4 ab2

 24a 4 2ab2

 6 81x5



6

81x 4 y 2  81x5



6

9  36 x 6 x3 y 2

 3x 6 9 x3 y 2

4)

3

a 2b2  2 4 3a3b



 212 27a12 a5b11

12

a b 

2 2 4

 2 12  3a3b 

3

 2 12 a8b8  27a 9b3

 2a 12 27a5b11

III) División de radicales.- Se realizan las operaciones ya conocidas: -

Dividir los coeficientes de los radicales Dividir los radicales y buscar la raíz enésima del cociente Simplificar si es necesario

Ejemplos.- Dividir los siguientes radicales: 1)

2 3a 10 a

2)

3 3 16a5  4 3 2a 2

3)

2a 3 2 a x  2 3 3x



3

2 3a 10 a



x3



1 a 5

3 3 16a5 4 2a 2



2a 3 3 a 3 3 x2



x2 x

3

33 3 8a 4



3 2a  4



2a  3 x 2 3a

3

x2 x3

3 a 2

 2x2 3

1 x

- 170 -

4)


3

Dividir: 3

5m 2 n entre

5

m3n 2

5m2 n  15 (5m2 n)5  15 3125m10 n5

Se reduce al común índice:

m3n2  15 (m3n2 )3  15 m9n6

5

;

Entonces: 3

5)

5m2 n  5 m3n2

3



1 1 2 x  6 16 x 4 2 4

5

5m2 n 3 2



15

3125m10 n5 15

mn

15

mn

16 1 3  2 x   6 16 x 4 2 4



9 6





1 6 3 2 8x 6 1 16 x 4 4

3125m10 n5 m9 n 6

 26

8 x3 16 x 4



15

 26

3125m n

1 2x

d) Potenciación de radicales.- Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el coeficiente y la cantidad subradical, y se simplifica el resultado: Ejemplos: 1)

Desarrollar:

4 2 

2)

Desarrollar:

2 4 

3)

Desarrollar:

3

4)

Elevar al cuadrado:



x  x 1



2

3



3

2

2 3



2

 16  2  32

 4  3 42

 4 3 16  4 3 23  2  4  2 3 2  8 3 2

2

2a 2 b



4

 34

3

 2a b  2

4

 81 3 24 a8b4

 162a 2b 3 a 2b

x  x 1

 x 2 2

 

x  x 1 



x 1



2

 x  2 x( x  1)  x  1  2 x  1  2 x( x  1)

4 2 3

5) Elevar al cuadrado:

4

 16  22

2

 16 2  8 2  3 

 3

2

 16  2  8 6  3  35  8 6


- 171 -

e) Radicación de radicales.- Para extraer una raíz a un radical, se multiplica el índice del radical por el índice de la raíz y se simplifica. Ejemplos: 1)

Simplificar:

2)

Simplificar:

3)

Simplificar:

3



a2

3

8

3

6



6



4a 2

a2

8 

6

4a 2

 6

3

a 

23



6

2

 2a 

2



3

2a

f) Racionalización.- Cuando se tiene fracciones con radicales en el denominador, se buscan fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. Según el tipo de radical que aparece en el denominador, el proceso es diferente. 1º) Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada: Basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada. Ejemplos:

5 1) Racionalizar:

2

Multiplicando numerador y denominador por



2 

5 2



5 2

 2

2

2 3

2) Racionalizar:



5 2 2



2 3 18

18 2 3



3 2 2

2 3 2  3 2 2





2 3 3 2

2 6  3 2

6 3

2º) Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera “n”: Se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice “n” que complete una potencia de exponente “n”. Ejemplos: 1) Racionalizar:

Multiplicando por

1 3

3

25

5 3 5

2) Racionalizar:

2 4

. Para que se elimine

2 4

la raíz cuarta, multiplicar y dividir por

23

- 172 -


 

3 1 5  3 25 3 5 3 3

5



5

3



3

5

2 4 23  4 2 4 23



23 8 2

52  3 5

3

5 5

5





24 8



3

4

24

8

3º) Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o a en los dos hay una raíz cuadrada: Para racionalizar una expresión como , y en

b c

general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical. Se multiplica el numerador y denominador por la conjugada del denominador. La conjugada de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado: Binomio

Conjugada

a+b

a–b

–a + b

–a–b

a–b

a+b

–a–b

–a+b

 a  b  a  b   a2  b2

También se debe tener en cuenta que: Ejemplos: 1)

Racionalizar:

7 5 3

2)



, multiplicando numerador y denominador por

7 5 3  5 3 5 3



Racionalizar:

2 3 7

7 5 3

2 3 7

  5   3 7





5 3

2

2



7



5 3 53





7



5 3

5 3



2

, multiplicando numerador y denominador por 3  7

2 3 7  3 7 3 7





  7

2 3 7 2

3

2





2 3 7 97







2 3 7 2



 3 7


3)

a b  a b a b  a b







a b  a b a b  a b

Racionalizar:



ab

- 173 -

a b  a b a b  a b  a b  a b a b  a b



 2 a b a b   a b  a b 2

2

2a  2 a 2  b 2 abab



2





a  b  ( a  b)

a  a 2  b2 b



2b

 a  b  a  b   a  b

ab2



2

2 a  a 2  b2



a b

EJERCICIOS RESUELTOS Racionalizar: 1)

2 3

2 2 x

2)

3)

2 3 3

6

6)

7)

2 3 32  3 3 3 32



 x  y

4



2 3 3

3



 x  y



2  3 32 3

3





2

2 2 x  2 x 2 x



3

4)

5)

2 3  3 3



2

3 3



2

1  2 3

1 2 3  2 3 2 3 2 3 5  3 5 3 5

2  x 6



 x  y 3 x y  

1 2 1   2 1 2 1



2 2 x

3

1  2 1

2 3 5

2 3 3



23  32  3

2

x  y

2 1



 1

2

2 3 23

3 2  10 95

6

3

3

 2



3

33  x  y 



2

2 2 x 2 x



2





3

23  34 3



33 x  y x y

2 1  2 1

  2 3 3 2  10 4

2 1

- 174 -

8)


3 2 2 3 3 2 2 3

3 2 2 3 3 2 2 3   3 2 2 3 3 2 2 3

x

x  x 1  x 1

9)



x





x  1  x 1





x 1 x 1



x



x 1  x 1

x 1  x 1





3

2 2 3



2

32  2  22  3



x 1  x 1

x  1  x 1

  x  1   x 1 x







x 1  x 1 2

2



2

Ecuaciones irracionales.- Una ecuación irracional es una ecuación que tiene la incógnita en alguna cantidad subradical. Tratar de eliminar las raíces que aparezcan. Después de obtenido el valor de la incógnita, se debe comprobar reemplazando el valor obtenido en la ecuación original. Ejemplos: 1)

Resolver la ecuación:

1  2x 1  2

1  2x 1  2 1  2x 1  4

2)

1 x  2  x  3

Resolver:

Elevamos al cuadrado a ambos miembros:



  2

1 x  2 

2 x  10 x5 Comprobando en la ecuación original:



2

1 x  4 1 x  4  x  3

2x 1  3 2x 1  9

x 3

1 x  2



1 x

1 x  4



2

 22



x3

Comprobando en la ecuación original, se obtiene: 1 3  2  3  3 Lo que es correcto, por tanto:

Por lo tanto x = 5 es la solución de la ecuación.

x = 3 es solución de la ecuación.


- 175 -

PREGUNTAS DE RAZONAMIENTO RADICALES 1.

a) x  3x 2.

Encuentre la raíz de: a) -5

5.

6.

6

Encuentre la raíz de: a) 4

7.

Encuentre la raíz de: a) 1

8.

c) 2( x  2)

d) N. A.

x3  12 x2  48x  64 c) x  4 x

d) N. A.

c) 15

d) N. A.

c) 2

d) N. A.

36

3

b) 4

81

b) 9 3

c)

3

d) N. A.

27

b) –3

c) 6

d) N. A.

Introducir al radical: 2a 3a 2b a)

9.

d) N. A.

1000

b) 10

Encuentre la raíz de: a)

3

b) 4  x 3

c) 2 x  3 4 x 2  16 x  16

b) x  2

Encuentre la raíz del polinomio: a) x  4

4.

b) 3  2x

Encuentre la raíz del polinomio: a) 2( x  2)

3.

4 x 2  12 x  9

Encuentre la raíz del polinomio:

6ab

b)

12a 4b

c)

a 4b

d) N. A.

c)

x( y  x)

d) N. A.

c)

a ( a  b) 2

d) N. A.

Introducir al radical: ( x  y) x a)

x( x  y ) 2

b)

x( x  y ) 2

10. Introducir al radical: (a  b) a a)

a ( a  b) 2

b)

a(b  a)

- 176 -


11. Introducir al radical: 3abc 2 3 2ab a)

3

54a 4b4c6

b)

c)

54bc

3

abc

b5

12. Expresar en forma exponencial: 4

2

5

a) b 2

b) b 4

c) b 2

13. Expresar en forma exponencial:

3 5 a) 1 x 2 y 2 3

d) N. A.

d) N. A.

1 3 5 x y 3 2 5 c) 1 y 3 x 2 2

4 1 b) 5 x 2 y 2 4

d) N. A.

x3

14. Expresar en forma exponencial: 3

1

3

a) x 2

b) x 2

c) x 4

d) N. A.

15. Expresar en forma exponencial: a a 2

2

3

a) a 5

b) a 3

c) a 2

d) N. A.

3

16. Expresar en forma de radical:  1  2

  5

a) 6 3

1 125

b)

5

c) 2 3

17. Expresar en forma de radical: a)

x2 y3

b)

3

2 45

d) N. A.

x3 y 5

d) N. A.

5

x4 y4

xy 2

c)

4

18. Efectuar la suma: 2 5  4 5  12 5 a) 12 2 19. Efectuar la suma:

a) 17 3 4

b) 8 6

c) 18 5

d) N. A.

c) 12 3 3

d) N. A.

1 3 3 3 3  3 2 4 b) 10 6 3


20. Efectuar la suma:

a) 34 a b 11 21. Efectuar la suma: a) 8m 22. Efectuar la resta: a) m x 2 y 23. Efectuar la resta:

a) 10 a 24. Efectuar la resta:

- 177 -

1 5a b  3a b  a b 4

b) 21 a b 22

b) 14 m

b)

x2 y

b) 12 a3

a) 2  x  1 a

b)  2 x  1 a

d) N. A.

c) 3 5 a 3

d) N. A.

c)  x  3 m

d) N. A.

c) 3  2 x  1 a

d) N. A.

c) 12 3

d) N. A.

c)

d) N. A.

18  24

26. Efectuar la multiplicación: b)

3

27. Efectuar la multiplicación:

3

6x  3 4 y

b) 2 3 3xy

28. Efectuar la multiplicación:

ab

c) m 4 x 2 y

4 x 3 m2  3 3 m2

6x a  3 a

a)

d) N. A.

75 3 15 3 a  a 2 2

25. Efectuar la resta:

3xy

c) 10 m

2m 4 x 2 y  m 4 x 2 y

b)  4 x  3 3 m2

a)

d) N. A.

m2  6 m2  m2

a)  4 x  3 m

a) 6 2

c) 33 a b 4

3

xy

1 2a 2  4 6a3b 2

b) 2a 2 12ab

c) a 12ab

d) N. A.

- 178 -


3

29. Efectuar la multiplicación: a) 3x  2 x 30. Efectuar la división: a) 3 x 2 31. Efectuar la división: a)

2

32. Efectuar la división: a) 1 3 2

33. Efectuar la división: a) 3

b) 3x  x

b)

x

b) 2 2

b)  1 3

c) 2x 3 x 2

d) N. A.

c) 2 6

d) N. A.

c)

d) N. A.

3

3 3 16a5  4 3 2a 2 c) a

4 7 



5

2

81ab3

5 2 

d) N. A.

c) 9b 5 9a3b4

d) N. A.

c) 50

d) N. A.

c) x – 9

d) N. A.

c) 23  10

d) N. A.

3

2

b) 20 x 1

b) 9x + 9

c) 98



b) 9b ab

3

d) N. A.

2

b) 112

37. Desarrollar la potencia: a) 9x – 9

d) N. A.

2

36. Desarrollar la potencia: a) 35

c) 2 x

5 3a  10 a

35. Desarrollar la potencia:

9a3b4

x

10 6  5 3

34. Desarrollar la potencia: a) 120



2 3 81x7  3 3 3x 2

b) 3 a 2

2

a)

x 2



2

38. Elevar al cuadrado: 3 2  5 a) 23  6 10

b) 6 10


x  1  x 1

39. Elevar al cuadrado:

b) x  1

a) 2 x  2 x  1

a) 2x  x

b) 2 x  2 x

b) 12  2 35

a) 12 2 xy

x

x3

c) 2 x  1  2 x 2  x

d) N. A.

c) 2 35

d) N. A.

b)

x x

x

d)  x x

c)

y

43. Racionaliza el denominador:

44. Resuelve:

x 2a  6b a  3b

b) (2a  6b)( a  3b ) a  3b

1  2 

c) (2a  6b)( a  3b ) a  3b

d) 2( a  3b )

2

b) 3  2 2

a) 3

c) 5  2 2

d) 9

c) 15

d) 5

c) 4 2

d) 12 2

c)

d) 5

3 3 3 3 3 3

45. Cual es el valor de:

a) 5 3

d) N. A.

es equivalente a:

y2

a) 2 a  2 3b

x2 1

7 5


a)

c)

x  x 1


42. El radical

- 179 -

b)

5

46. El resultado de: 2 50  8  72 a) 6 2 47. El resultado de: a) 3

b) 10 2 3 3 2 3 3 2

b) 7

23

- 180 -


48. El número por el cual debe multiplicarse a)

b) 2

4

49. Calcular:

d) 2

2

c) 3

b) 2 2b

50. El valor de: 3

c)

2

4 7  4 7

a) 4 3

a)

2 para tener 4 es:

aa

2

2

. Si a = 2 y b = 3 es: 3

b)

16

d)

4

c)

6

d) 6 4

3

51. De las afirmaciones siguientes:

a2  b2  a2  b2

I.-

II.-

a2  b2  a  b

III.- a b  b a

Son Falsas: a) Sólo I 52. El valor de: a) 6

x

b) Sólo II

c) Sólo III

d) Todas

x

c) 6 x 6

d) 6

6 x 1

x

b)

53. Simplifica la expresión: a) 3 3

6

 2  3 5  2 3  2  3 

b) 2  5 3

c) 5  2 3

d) N. A.

54. De las siguientes expresiones sólo hay una que está bien racionalizada: a)

1 12  2 3 1 5

b)

1  2 1 2 1

55. Racionaliza el denominador de:

a) 4  5

11

b) 4  5

11

c)

1  2 1 2 1

d) N. A.

c)

54 11

d) N. A.

5 2 3 2 5


- 181 -

EJERCICIOS PROPUESTOS RADICALES 1. Indicar V o F. Justificar: a) c)

3

8 3  8  3

b)

9  16  9  16

25  8  3 25  3 8

d)

100  36  100  36

 27 

e)

273 

d)

3

6 3

2 9 2

2. Aplicando las propiedades correspondientes hallar el valor: a)

3

4

b)

2 10 5

d)

4

26

e)

30 



5 2

c)

125  5

44x 2 y



3. Extraer factores fuera del signo radical: a)

3

x5 y 3

b)

320

c)

d)

4

48 9 5 4 x y z 5

e)

x3  2ax2  a 2 x

f)

g)

5

64x 4 y 7

h)

x6 y9 54

i)

27x6  x3

k)

j)

3

3

3

x 6  x3

4

0.01 4 y x2

 a  b   a 4  b4 

4. Introducir en el radical todos los factores que figuran fuera de él: a)

53 4

d) 0.1xb4 3 10 x 2 y 5

b)

ax 2 x

c) 3x 2 y 4 9 x3 y 2

e)

3 53 4 2 x x 2 5

f)

 a  1

a2 1

- 182 -


5. Indicar V o F. Justificar introduciendo factores:

a)

3

128ab3  4b3 2a

b)

c)

4

16a 2b 4  2b ab

d)

x

e)

4

x4 y 1 3 y  x 27 3 3 5

64 10 2 23 2 x z a  2x2a 4 5 z 2a3 9 9

 b 4 .x  b  x  b. x 2  b 2 .x  b

3

f)

a 4  b 4  a  b.3 a  b

6. Efectuar las siguientes operaciones:

1 a 3 a 2

a)

a

d)

2 x3  8x 

g)

4

1 16 x 3

4  2  5 0.02 81

b)

e)

3

2

43 2 5

27  5 3  300

c)

f) 1 12  4 75  1 108

18  8  6

2

h)

x3 x5  2 x x

x

i)

3

3

a 4  2a 6 a 2 

19 3 a 3

7. Resolver: a) x 

c)

4  4a  1  a

x  2 a3  a 2  a 2 9a  9

b) x  d) x 

a2  9 

a  33.a  3

1 25a 2  b  1  5 a  ab  a  3

8. Efectuar las siguientes multiplicaciones: a)

3 2 6

b)

3

2 x2 y  5 8x 4 y 4

c)

3xy3  6 3x5 y  3 3x 2 y

d)

4

x3 y 2  xy  3 x 2

60 5 100 5 20

f)

3

2 xy

x2

h)

e)

5

g)

3

xy

4

y5



3

10 x2 y 2

x3  x



3

5 x2 y

3

x2  x



6

x 1




i)

k)

- 183 -

1 2 2 3  34  x yz    x  2 3  9 

x3 y 

5

1 3 1 2 xy  5 x 2 y 3 2 2 4

j) 



13 5 xy   4 x3 y 9 2



9. Efectuar las siguientes divisiones: a)

5

8a9 .b21  5 2ab4

b)

4

x2 y  x

c)

d)

13 2 2 1 x a b xa 3 2

e)

x y  3 x y

f)

g)

3

1  x2 y 2   x x  

h)

ay 3  3 ay 4

i)

k)

 a  b  5  a  b

j)

2 3 2

6

x5 y 4 z 2  2 3 x 2 yz 400 x5  900 x

13 7 x yz  2. 5 x 2 y 2

10. Racionalizar el divisor de las siguientes expresiones:

3 16

a)

e)

1 18

b)

x 3 2x

f)

c)

1 8

d) 3

2 3 2y

y

g) 6

5 4 h)

y7

2.31 2

j) 2 x y

i) 3a5 a 3

6

m) y x 3

y

n)

2

7 3 7 3

q)

r)

4 u)  1  8  4 81  

 

2

 

5

2

k) 3

x5 y8

1 2 5

2 2 5

ab

4 3 l) 2 x y

2

32 x3 y

ab

o)

3 2 3

s)

x 3 2  x 3 2

p)

t)

a 1 1 a

2 x 2 2 x

- 184 -


11. Racionalice y paree la respuesta correcta:

5 4 8x2 6x 5 4 2a

1.

3 5

( )

2.

7 2

( )

4 3 5 5

( )

7 2 2

3.

( )

5 3 2a 2a

4.

( )

4 5 3

5.

( )

3 5 5

6.

3. 4. 5. 6.

3

4a 2

1 5

8a 5

4

3 4 2x 4

5 4 8x2 6x 5 4 2a

1.

3 5

( )

2.

7 2

( )

4 3 5 5

( )

7 2 2

( )

5 3 2a 2a

( )

4 5 3

( )

3 5 5

3

4a 2

1 5

8a 5

4

3 4 2x 4

12. Indicar V o F. Justificar: a)

2 3 1  2  27 3

b)

2 2 2 2

 2 1

13. Simplificar las siguientes expresiones: a)

23 2

b)

3

x2  4x  4

c)

x2  y 2 x2 1 y2

14. Resolver las siguientes ecuaciones: a)

x 8  2

b) 5  3x  1

c)

4x  5  5

d)

3x  5  3x  14  9

f)

5x  19  5x  1

e) 13  13  4 x  2 x

10 x

g)

x  x5 

i)

x 2 2 x 5  x  2 2 x 1

h)

6  x 8  x x 8

j) Calcular la diagonal de un cuadrado de lado

2 1 .


- 185 -

Cap. 12 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Definición.- Se llama ecuación de segundo grado con una incógnita, a toda ecuación cuya forma general es:

ax2  bx  c  0 Se la denomina también ecuación cuadrática y se caracteriza por tener dos soluciones. -

Si,

-

Si

a , b y c son diferentes de cero, la ecuación es completa. b o c , o ambos son ceros, la ecuación es incompleta.

En resumen:

ax2  bx  c  0

ax 2  c  0    ax 2  bx  0    ax 2  0

 Ecuación completa

 Ecuaciones incompletas

Métodos de resolución de una ecuación de segundo grado.- Las ecuaciones de segundo grado se pueden resolver de varias formas, dos son los métodos más usados: 1º Método: Usando la fórmula general.- Demostración: Sea la ecuación:

ax2  bx  c  0

Multiplicando por 4a:

4a  ax 2  bx  c   4a  0  4a2 x2  4abx  4ac  0

Sumando b a ambos miembros:

4a2 x2  4abx  4ac  b2  b2

Formando trinomio perfecto:

 2ax 

Factorizando:

 2ax  b 

Extrayendo la raíz cuadrada:

2ax  b   b2  4ac

2

2

 2b  2ax   b2  b2  4ac 2

 b2  4ac

- 186 -


x

Despejando x:

b  b2  4ac 2a

Las raíces o soluciones de la ecuación de segundo son:

x1 

b  b 2  4ac 2a

x2 

b  b 2  4ac 2a

Ejemplos: 1)

Resolver:

x2  11x  24 Ordenando se tiene: x2  11x  24  0

Coeficientes: a = 1 ; b = 11 ; c = 24

x

2  b  b2  4ac  11 11  4(1)(24)  11 121 96  11 25  11 5     2a 2(1) 2 2 2

Las raíces: x1 

2)

Reemplazando en la fórmula:

11  5 6   3 2 2

Resolver: 12 x  4  9 x 2 . Multiplicando por (– 1):

x2 

11  5 16   8 2 2

Ordenando:

9 x2  12 x  4  0

9 x2  12 x  4  0

Los coeficientes son : a = 9 ; b = –12 ; c = 4

x

b  b2  4ac 12  (12)2  4(9)(4) 12  0 12    2a 2(9) 18 18

Solo existe una solución: x = 2/3.

3) Resolver: 15x  25x2  2 .

Ordenando:

25x2  15x  2  0

Coeficientes: a = 25 ; b = –15 ; c = 2

x



b  b 2  4ac 15  (15)2  4(25)(2) 15  25 15  5    2a 2(25) 50 50

x1 

15  5 20 2   50 50 5



x2 

15  5 10 1   50 50 5


- 187 -

2º Método: Usando la factorización de un trinomio.- Si el polinomio de la ecuación de segundo grado se puede factorizar, el procedimiento es como sigue: - Se trasladan todos los términos al primer miembro, dejando cero en el segundo miembro. - Se factoriza el trinomio. - Para obtener las soluciones se igualan a cero los factores obtenidos. Ejemplos: 1) Resolver:

x2  x  2  2 x  4



x 2  3x  2  0

Factorizando:

 x  2 x 1  0

Igualando a cero los factores:

x2  0

Resolviendo ambas ecuaciones:

x2

;

x 1

;

2) Resolver:

8x2  6 x  1  0

Factorizando:

 4 x  1 2 x  1  0


4x 1  0


x

2x 1  0

;

1 4

x

;

3) Resolver:

2 x2  x  10  0

Factorizando:

 2 x  5 x  2  0


2x  5  0


x

5 2

; ;

x 1  0

1 2

x20 x  2

Naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado.- Partiendo de la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado, tenemos:

x

b  b 2  4ac 2a

- 188 -


Las soluciones de la ecuación de segundo grado dependen de la cantidad sub-radical que se llama discriminante (  )

  b2  4ac 

Si

  0 , las raíces de la ecuación son reales y diferentes.

Además tomar en cuenta si



  b2  4ac  0 se tiene:

1º) Si

c  0 y b  0 , ambas raíces son negativas.

2º) Si

c  0 y b  0 , ambas raíces son positivas.

3º) Si

c  0 y b  0 , ambas raíces son de distintos signos.

4º) Si

c  0 y b  0 , ambas raíces son de distintos signos.

Si

  0 , las raíces de la ecuación son reales e iguales: x1  x2  



Si

b 2a

  0 , las raíces de la ecuación son imaginarias, no tiene soluciones reales.

Ejemplos: 1)

Estudiar la ecuación: Discriminante:

4 x2  12 x  9  0

  b2  4ac 

 12

2

 4  4  9   144  144  0

Las raíces de la ecuación son reales e iguales a:

2)


x1  x2  

12 3  2  4 2

x2  7 x  7  0

  b2  4ac 

 7 

2

 4 1 7   49  28  21  0

Las raíces de la ecuación son reales y diferentes.

3)


2 x2  8x  3  0

  b2  4ac 

 8

2

 4  2  3  64  24  40  0


- 189 -

Las raíces de la ecuación son reales y diferentes.

4)

2 x2  5x  5  0

Estudiar la ecuación:

52  425

  b 2  4ac 

Discriminante:

 25  4   15  0

Las raíces de la ecuación son imaginarias.

Propiedades de las raíces.- De las raíces de la ecuación de segundo grado x1 , x2 es posible obtener la ecuación.

 x  x1  x  x2 

 x 2   x1  x2  x  x1 x2

x2   x1  x2  x  x1 x2

 x 2  bx  c

Igualando términos:

x1  x2  b

x1 x2  c

Para una ecuación completa

ax2  bx  c  0 , las igualdades serán:

;

x1  x2   x1 x2 

b a

c a

-

La suma de las raíces es igual al coeficiente de x con signo cambiado dividido 2 por el coeficiente de x .

-

El producto de las raíces es igual al término independiente dividido por el 2 coeficiente de x .

Ejemplos: 1) Escribir una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean 1 y 3. Solución.- Aplicando las ecuaciones anteriores: x1  x2   x1 x2 

c a

b a





1 3  

1(3) 

c a

b a





2 

3 

c a

b a 



b  2a

c  3a

- 190 -


Reemplazando en la ecuación de segundo grado:

ax2  bx  c  0



ax2  2ax  3a  0

x 2  2x  3  0

Simplificando “a”:

2) Hallar el valor de k para que la suma de raíces de la ecuación:

2kx2  12k  1 x  2  0 , sea igual a 7. Solución: Suponiendo que x1 , x2 son las raíces, entonces:

x1  x2   Condición del problema: Entonces:

12k  1 7 2k

b a



x1  x2 

12k  1 2k

x1  x2  7 

12k  1  14k



2k  1



k

1 2

3) Hallar el valor de k para que el producto de las raíces de la ecuación  k  2 x2  5x  2k  0 , sea igual a 6. Solución: Suponiendo que x1 , x2 son las raíces, entonces:

x1 x2  Condición del problema: Entonces:

2k 6 k 2

c a



x1 x2 

2k k 2



4k  12

x1 x2  6 

2k  6k  12



k 3

Ecuaciones incompletas de la forma ax 2  c  0 .- El procedimiento es el siguiente: Partiendo de la ecuación:

ax2  c  0

Pasando c al segundo miembro:

ax 2  c



x 

c a


- 191 -

Ejemplos: 1)

Resolver:

3x 2  48



2)

Resolver:

7 x 2  14  0

x2 



48  16 3

x2 



14  2 2

x   16  4



x   2

Solución imaginaria, no existen raíces reales. 3)

Resolver:

4)

Resolver:

3x 2  48 5 2 x2



1 6x2



 7 12

7 x 2  28

x2  



x2 

48  16 3



x   16  4

5(6)  1(2)  7( x 2 )

28 4 7





30  2  7 x 2

x   4  2

Ecuaciones incompletas de la forma ax 2  bx  0 .- El procedimiento es el siguiente: Partiendo de la ecuación:

ax2  bx  0

Se factoriza:

x  ax  b   0

Igualando a cero:

x0

ax  b  0

;

Ejemplos: 1)

4 x2  32 x

Resolver:

Ordenando:

2)

Resolver:

4 x  32 x  0

Factorizando:

2

4 x  x  8  0

2x 2  x  0 x(2 x  1)  0 ;

x 8  0

Las raíces:

x1  0

;

x2  8

m.c.m: 6

Resolviendo: 2 x 2  ( x  9)  3(3)

Igualando a cero:

x0

x2 x  9 3   3 6 2

Resolviendo da:

x1  0

2x  1  0  x2 

1 2

- 192 -


Ecuaciones racionales.- La ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen fracciones polinómicas. Para resolverlas se multiplican ambos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. Se deben comprobar las soluciones, para eliminar posibles soluciones extrañas provenientes de la ecuación transformada, pero que no lo son de la ecuación original. Ejemplos:

1)

x2 x 3   5 2 10

Resolver:

2 x2  5x  3  x





m.c.m.(5 , 2 , 10) = 10

2 x2  5x  3  0

b  b2  4ac (5)  (5)2  4(2)(3) 5  25  24 5  7    2a 2(2) 4 4

x1 

5  7 12  3 4 4

y

x2 

57 2 1   4 4 2

Verificación:

x2 x 3 32 3 9  2  3  5 18  15 3        5 2 10 5 2 10 10 10

(verdadero)

2

1 1   x2 x 3 1 1 1  5 4 2 2     2     5 2 10 5 2 20 4 20 10 5 Respuesta.- La única raíz de la ecuación es:

2)

Resolver:

5 1  1 x x2

5( x  2)  x  x( x  2)  x

b  b2  4ac 2a

(falso)

x3

m.c.m. = x(x + 2)



5x  10  x  x2  2x



2  (2)2  4(1)(10) 2(1)

Las raíces de la ecuación son:

 

x2  2x 10  0

2  4  40 2  44  2 2


x1 

2  44 2  2 11  2 2

- 193 -

x2 

 1  11

2  44 2  2 11   1  11 2 2

Verificación: Para facilitar el proceso, se convertirá las raíces en decimales: 5 1 5 1 5 1 15  5 11  1  11 14  4 11  1       1 x x2 1  11 1  11  2 1  11 3  11 1  11 3  11 14  4 11







5 1 5 1 5 1 15  5 11  1  11 14  4 11  1       1 x x2 1  11 1  11  2 1  11 3  11 1  11 3  11 14  4 11





Respuesta: Las raíces de la ecuación son: x1  1  11 y

3) Resolver: Solución:

x2  1  11

x  4x 1  5 

4x 1  5  x

 4 x  1  25  10 x  x2





 x 12 x  2  0

Las raíces son:





x1  12







4x  1  5  x  2

2

x2  14 x  24  0

x  12  0

x2  0

;

x2  2

;

Verificación:

x  4 x  1  5  12  4(12)  1  12  49  12  7  19 x  4 x  1  5  2  4(2)  1  2  9  2  3  5 Respuesta.- La única raíz de la ecuación es:

4) Resolver: Solución:

(verdadero)

x2

2 x  x  1  3x  7  2 x  x  1  3x  7

 x  1  49  14 x  x2



(falso)

 x 10 x  5  0











x 1  7  x  2

x2  15x  50  0

x  10  0

;

x 5  0

2

- 194 -


Las raíces son:

x1  10

x2  5

;

Verificación:

2 x  x  1  3x  7  2(10)  10  1  3(10)  7  20  3  30  7

 17  23

(falso)

2 x  x  1  3x  7  2(5)  5  1  3(5)  7  10  2  15  7

 88

(verdadero)

x5

Respuesta.- La única raíz de la ecuación es:

Ecuaciones bicuadráticas.- Existen ecuaciones que no son cuadráticas, pero que se pueden reducir a ecuaciones de segundo grado si sustituimos por una nueva incógnita. A estas ecuaciones se les llama bicuadraticas. Para resolver ecuaciones bicuadradas, se sugieren efectuar los siguientes cambios:

x2  t

x4  t 2

Con lo que se genera una ecuación de segundo grado con la incógnita t:

at 2  bt  c  0 Por cada valor positivo de t habrá dos valores de x:

x t

Ejemplos: 1)

Resolver: Se tiene:

x4  13x2  36  0

Cambio de variable: x 2  t ,

t 2  13t  36  0 , Aplicando la fórmula: t  13  169  144  13  5 2 2

Las raíces son:

Variable inicial:

t1 

x2  9

x2  4

13  5 9 2





;

x  3

x  2

t2 





13  5 4 2

 x1  3   x2  3

 x3  2   x4  2


2)

Resolver:

z 4  4z 2  3  0

- 195 -

z 

2 2



 4  z2   3  0

x2  4 x  3  0

Reemplazando la variable x  z 2 , se tiene:

Fórmula general:

x

x1  1

Las raíces son: Como:

2  b  b2  4ac  4  (4)  4(1)(3)  4  16  12  4  2    2a 2(1) 2 2

x  z 2 , resulta que:

Despejando: z    1

3)

Resolver:

;

x2  3

z 2  1

z   3

y

z 2  3

y

(cuatro soluciones imaginarias)

x 6  7 x3  6  0

Cambio de variable: x3  t , se tiene:

Las raíces son:

Variable inicial:

t 2  7t  6  0

t

7  49  24 7  5  2 2

t1 

75 6 2

x3  6  x1  3 6

t2 

; ;

75 1 2

x3  1  x2  3 1  1

Problemas de aplicación de ecuaciones segundo grado.- Resolver un problema mediante una ecuación es traducirlo al lenguaje algebraico y encontrar su solución. Las raíces de la ecuación pueden no ser soluciones del problema. Es necesario verificar. En los problemas que se resuelven con ecuaciones de segundo grado se suelen obtener dos soluciones, una positiva y otra negativa. En muchos casos, la solución negativa no tiene sentido, ya que no existen medidas, precios, edades... negativos. Ejemplos: 1) Encontrar dos números cuya suma sea 32 y su producto 255. Solución.- Primera condición: Primer número: x Segundo número: 32 – x

- 196 -


Segunda condición:

x  32  x   255



Factorizando:

 x 17  x 15  0

Raíces:

x1  17

Respuesta:

Primer número:

x2  32 x  255  0

x2  15

y

17 ; Segundo número:

32 – 17 = 15

Verificación: Primera condición: 17 + 15 = 32 (cumple). Segunda condición: 17x15 = 255 (cumple)

2) Una caja mide 5 cm de altura y de ancho 5 cm menos que su largo. Su volumen es 3 1500 cm . Calcular la longitud y el ancho. Solución.- Primera condición: Altura: 5 ; Ancho: x – 5 ; Largo: x Segunda condición:

5x  x  5  1500



 x2  5x  300  0 x1  20

Raíces:

y

5x2  25x  1500  0



x2  15

Respuestas: Con x1 = 20: Altura: Ancho: Largo:

 x  20 x  15  0

Con x2 = 15:

5 20 – 5 = 15 20

Altura: Ancho: Largo:

5 15 – 5 = 10 15

Verificación: Volumen = 5x20x15 = 1500 (cumple)

Volumen = 5x10x15 = 750 (no cumple)

3) La base de un rectángulo es de 30 cm y la altura de 20 cm. ¿En cuántos centímetros 2 debe aumentarse por igual la base y la altura para que la superficie aumente en 275 cm ? Solución: Longitud del rectángulo 30 cm, altura 20 cm, superficie inicial: 30 cm x 20 cm = 600 cm Aumento de la base y altura Aumento del área Longitud del rectángulo original Longitud del nuevo rectángulo Altura del rectángulo original

= = = = =

x. 2 275 cm 30 30 + x 20

2


Altura del nuevo rectángulo Superficie del rectángulo original Superficie del rectángulo ampliado Relación entre las dos superficies

- 197 -

= = = =

20 + x 600 2 (20 + x)(30 + x) = x + 50x + 600 2 275 cm más que la primera. x

20

S = 600

30

Planteamiento de la ecuación: Resolución:

x 2  50 x  275  0

x

x2  50 x  600  600  275 

x

50  2500  900 50  60  2 2



  x1  5    x2  55

Discusión: La solución x = 5 tiene sentido mientras que la solución x = –55 no tiene sentido ya que la solución no puede ser negativa. Respuesta: Longitud del nuevo rectángulo Altura del nuevo rectángulo Superficie del rectángulo ampliado

= 30 + x = 30 + 5 = 35 cm = 20 + x = 20 + 5 = 25 cm 2 = (20 + x)(30 + x) = 35x25 = 875 cm

4) Hallar los tres lados de un triángulo rectángulo, sabiendo que son números consecutivos. Solución.- Sean: x +2

Primer menor: Segundo cateto: Hipotenusa:

x +1

x x+1 x+2

x

Condición del problema: Teorema de Pitágoras. Ecuación:

x2   x  1   x  2 

Resolución:

x2  2 x  3  0

2



2

 x2  x2  2 x  1  x2  4 x  4 x

2  4  12 2  4  2 2



Verificación: La solución 3 es posible; la 1 no cumple. Respuesta: Los lados son 3, 4 y 5 que cumplen el teorema de Pitágoras.

  x1  3    x2  1

- 198 -


PREGUNTAS DE RAZONAMIENTO ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 1)

Una de las raíces de la ecuación a) 1

2)

b) 7

d) 4/5

2

Una de las raíces de la ecuación 5x – 5x – 10 = 0, es –1. ¿Cuál es la otra? b) –5

c) –2

d) 2

El conjunto solución de la ecuación (x – 2)(x + 1) = 4 es: b) {3 ; –2}

c) {3 ; 6}

Las raíces (o soluciones) de la ecuación a) 1 y 20

7)

d) 9

c) –4

b) 4

a) {2 ; 5} 6)

c) –9

tenga raíces

Sea la ecuación (m  1) x2  (m  2) x  2m  3  0 , cuyas raíces son x1 y x2, donde x1 + x2 = 2/3. Hallar “m”:

a) 5 5)

d) 13

x2  2(m  3) x  4m  0

b) 1

a) 8 4)

c) 21

Hallar el mayor valor de “m” para que iguales: a) 10

3)

2  2 x  11  x  0 , es:

Encuentre

x(x – 1) = 20 son: c) –4 y 5

b) 2 y 20 las

soluciones

d) {–2 ; 3}

que

satisfacen

a

d) 4 y –5 la

siguiente

ecuación:

3x  1  x  1  2  0

a) {–5 ; 1} 8)

d) {5 ; –1}

2

Encuentre el valor de “k” para que la ecuación 4x + 20x + k = 0 tenga raíces iguales: a) k = 16

9)

c) {–1 ; –5}

b) {5 ; 1}

b) k = –1

La solución de la ecuación: a) –2

b) –1

–1

x + 4x

c) k = 4

d) k = 25

c) 2

d) 4

= 4, es:

10) Formar una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean 2/5 y –3/4. Dar como respuesta el coeficiente del término de segundo grado. a) 20

b) 7

c) –7

d) –6


- 199 -

(m2  m  1) x2  (m  1) x  2m  0 1 1 la siguiente relación   1 x1 x2

11) Sea la ecuación

a) 1/3

cuyas raíces x1 y x2 satisfacen

c) –1

b) 1

d) –1/3

2

12) El valor del discriminante en la ecuación x + 12x + 25 = 0, es: a) 244

b) 144

c) 100

d) 44

2

13) Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación x + 2x – 4 = 0 calcular el valor de:

E

1 1  x1  3 x2  3

b) –2

a) 0

c) –4

d) 2

2

14) Si en la ecuación x + (2k + 5)x + k = 0, se conoce que una raíz excede a la otra en 3 unidades, el valor de k es igual a: a) –2

b) 1

c) 3

d) 5

2

15) ¿Qué valor debe tener “n” en la ecuación: x – nx + 48 = 0, para que una raíz sea el triple de la otra? a) 8

b) 16

16) La suma de las raíces de la ecuación a) 13

b) 23

d) –4

c) 4 2  x  5  13  x

es:

c) 18

d) 15

17) Calcular dos números cuya suma sea 39 y cuyo producto sea 380. a) 10; 29

b) 20; 19

c) 30; 9

d) 15; 24

18) Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto sea 168. a) 10; 12

b) 20; 22

c) 12; 14

d) 16; 18

19) Calcular dos números cuya suma sea 39 y cuyo producto sea 380. a) 10; 20 20) Resolver a) –9/2

b) 19; 20

 2x

2

c) 39; 14

d) 15; 18

 3x   14  2 x 2  3x   45  0 , indicar el producto de sus raíces: 2

b) –5/2

c) 45/4

d) 7

- 200 -


EJERCICIOS PROPUESTOS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 1.

Resolver las siguientes ecuaciones por el método de despeje:

a)

5x2  9  46

b)

 x  5 x  5  7

c)

 2 x  3 2 x  3  135  0

d)

x2  100  0

e)

x2  324  0

f)

2x  3 x  2  x 3 x 1

g)

2x  3 

h)

3

3 2 4 x2 1

i)

4  1 x  9  x

j)

2x 1 1  (3x  1)( x  1) x  1

k)

12 9  7 x 3 x 3

l)

2x 1 x  1 x  1   x 1 x  2 x  2

1 1 4 4  4 x x

n)

5 1 7   2 x 2 6 x 2 12

o)

x 2  5 4 x 2  1 14 x 2  1   0 3 5 15

m) 2.

x2  1  7 x2

Resolver las siguientes ecuaciones por el método de factorización: 2

b) x + 9x + 20 = 0

2

e) x – 9x + 20 = 0

2

h) x – 9x + 14 = 0

a) x + 6x + 8 = 0 d) x – 16x + 63 = 0 g) x + 10x – 56 = 0 2

j) x –13x – 48 = 0

c) x + 2x – 63 = 0

2

f) x – 4x – 63 = 0

2

i) x – x – 56 = 0

2

l) x + x – 56 = 0

2

o) x – 15x + 44 = 0

2

r) x + 12x – 84 = 0

k) x + 9x + 14 = 0

2

m) y – 7y – 30 = 0

n) x + 5x – 14 = 0

2

p) x – 14x + 48 = 0 3.

2

q) x + 4x – 45 = 0

2

2

2

2

2

2

Resolver las siguientes ecuaciones por el método de factorización: 2

b) 6x + 5x – 1 = 0

2

c) 3x – 10x – 25 = 0

2

d) 7x – 16x + 9 = 0

e) x(2x – 3) – 3(5 – x) = 83

f) (2x + 5)(2x – 5) = 11

a) 4x + 5x – 6 = 0

2

2

2

g) (7 + x) + (7 – x) = 130 2

h) (2x – 3)(3x – 4) – (x – 13)(x – 4) = 40

2

i) (x + 13) = (x + 12) + (x – 5) 2

2

k) (x + 4) + (x – 3) = (x + 5)

2

2

j) (3x – 4)(4x – 3) – (2x – 7)(3x – 2) = 214 l) (2x + 6)(2x – 6) = (2x + 9)(3x – 4)


m) 3x 

54  18 2x  3

- 201 -

n)

4 3 7   x 3 x 3 3

o)

x2  6 x2  4  5 2 4

r)

x x  1 13   x 1 x 6

p)

5x  3 7  x  x x2

q)

x 8 x 1  x  2 2 x  10

s)

4 3 x  2 x 1 2

t)

7  3x 2 x  8 5 x 3 x

4.

Resolver las siguientes ecuaciones por el método de la fórmula:

a) y 2  16 y  36  0

b) x 2  8x  9  0

c) z 2  25z  8  0

d) 25x 2  132 x  13  0

e) 8z 2  68z  32

f) 15  30 x  33x 2

g) 3t 2  5t  14

h) 13x 2  12 x  15  0

i) 8x 2  10 x  3  0

j) 16 z 2  32 z  32

k) x 2  8x  1  0

l) 3t 2  5t  14

m) 360 y 2  117 y  9  0

n) 13w2  15w  17

o) w2  16w  64  0

p) 100 y 2  40 y  10

q) 5x 2  80  0

r) 9w2  w  0

s) y 2  5 y  36

t) 16 y 4  72 y 2  81  0

5. Determinar, sin resolver la ecuación, la naturaleza de las raíces. (Si son reales y distintas, reales e iguales o no hay raíces reales): a) 5x2  3x  4  0

b) x2  3x  2  0

d) 3x2  2 x  3  0

e) x 

6.

1 1 x 0 4 4

f) 5x 2  80  0

Escribir las ecuaciones que tengan por raíces:

a) x1  2

x2  5

7.

2

c) x2  6 x  9  0

b)

1 3 3 x2   2 x1 

c)

x1  1  3 x2  1  3

Resolver las siguientes ecuaciones por cualquier método:

a) 6  9 x2  15x  0

b) 2 x2  2  15x  0

d) 3x 2  3 3 x  2  0

e)

x  12 2



x 1 0 4

c) 6 x2  17 x  14  0 f) x2  4 x  10  0

- 202 -

g)


2 x 2 4 x 12x 5x    1 5 3 6 5 10

j) 4 x  x  2   5  12   x  4 2

m)

x  12  2x  1  3

5

8 15

h) x 2 

2x 1  0 3 9

i)  x  4 2  8 x  24

k) x 2 

9x 1  0 4 2

l)

n)

x 2 2x  5  0 8 4

2x 2  x 1  0 2 16

8. Plantear y resolver los siguientes problemas, empleando para ello, ecuaciones de segundo grado: 1.

Encontrar dos números cuya suma sea 15 y su producto 56.

2.

En la ecuación 4 x 2  3x  m  0 , determinar m para que una de las raíces sea 4.

3.

Determinar m para que en la ecuación x 2  mx  25  0 , las dos raíces sean iguales.

4.

En la ecuación x 2  270x  c  0 , determinar c para que una de las raíces sea doble de la otra.

5.

La suma de un número y su reciproco es igual a 17/4. Encuentra los números.

6.

El reciproco de un número más el doble del número es igual a 9/2. Encuentre los números.

7.

Los catetos de un triángulo rectángulo miden x y 3x  3 , la hipotenusa mide 4 x  3 . ¿Cuánto mide cada cateto y la hipotenusa del triángulo?

8.

Uno de los catetos de un triángulo rectángulo es dos unidades menores que el otro. El área del triángulo es igual a 35. ¿Cuánto vale el cuadrado de la hipotenusa?

9.

El ancho de un rectángulo es 3 unidades menor que su largo. Si el área es igual a 4 ¿Cuánto miden los lados? 2

10. Un rectángulo tiene un perímetro de 28 cm y un área de 45 cm . ¿Cuántos centímetros miden sus lados? 11. La suma de los cuadrados de dos números enteros pares consecutivos es 100. Encuentra dichos números. 12. Hace 3 años, la edad de Nicolás era cierto número. Dentro de 9 años, su edad será dicho número elevado al cuadrado. ¿Qué edad tiene ahora Nicolás? 13. Encuentra tres números enteros consecutivos tales que el producto del primero por el segundo sea igual al tercero más siete.


- 203 -

14. Encuentra un número entero que satisfaga que su cuadrado más su mitad, más uno, sea igual a 496. 2

15. El área de un rectángulo es igual a 35 m y su perímetro es igual a 24 m. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? 16. En un rectángulo. La hipotenusa mide dos unidades más que uno de los lados y una unidad más que el otro. ¿Cuáles son las dimensiones del triángulo? 17. En un rectángulo, el ancho mide 2 cm menos que el largo. Si el área mide 48 cm ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? ¿Cuánto mide una de las diagonales?

2

2

18. El área de un rectángulo es de 15 m . La longitud del rectángulo es el doble de su anchura menos 1 m. ¿Qué dimensiones tiene el rectángulo? 19. Dos ángulos suplementarios son aquellos cuya suma es 180º. Encuentra las medidas de dos ángulos suplementarios si están en una razón de 5 a 7. 20. Dos ángulos complementarios son aquellos cuya suma es 90º. Encuentra las medidas de dos ángulos complementarios si están en una razón de 3 a 2? 21. El numerador de una fracción es 4 unidades mayor que el denominador. Si aumentamos 11 unidades al denominador, la fracción es igual a 1 . Encuentra el 2 numerador y el denominador de la fracción. 22. En una fracción, el denominador es 3 unidades mayor que el numerador. Si se suman 3 unidades al numerador y al denominador, la fracción obtenida es 1 mayor que la

6 original. Encuentra la fracción original. 23. La suma de 2 números es 70. Si dividimos el mayor entre el menor, el cociente es 3 y el residuo es 10. Encuentra dichos números. 24. La diferencia de 2 números positivos es 121. Si dividimos el mayor entre el menor el cociente es 5 y el residuo es 17. Encuentra los números. 25. La suma de los cuadrados de 2 números es igual a 157. El menor de ellos es igual a 6. ¿Cuál es el mayor? 26. Encuentra la altura de un triángulo equilátero si su lado mide 6 m. 27. En un triángulo rectángulo uno de los catetos mide 8 cm. Si agregamos 9 cm. Al otro cateto, la hipotenusa aumenta 7 cm. ¿Cuáles son las dimensiones del triángulo? 28. Un triángulo equilátero tiene lado

3 , ¿Cuanto mide su altura?

- 204 -


Cap. 13 PROGRESIONES Sucesiones.- Se entiende por sucesión una colección de números dispuestos uno a continuación de otro. Ejemplos:

2, 7,  , 13...

a) 3, 0, 1/ 5,

b) 1, 3, 7, 11, 15, 19, 23...

En el primero no es posible averiguar qué número seguiría a 13 (no se encuentra una regla que indique la relación entre los términos). En el segundo, a 23 le seguirían 27, 31, 35... (cada término es cuatro unidades mayor que el anterior). Cuando se habla de una sucesión, la forma más usual de referirse a ella es escribir:

a1 , a2 , a3 , a4 ,.... an2 , an1 , an ,... Los subíndices determinan el lugar que cada término ocupa dentro de la sucesión, y los puntos suspensivos evitan la necesidad de escribir todos los números. Término general de una sucesión.- El término general de una sucesión es una fórmula que permite conocer el valor de un determinado término si se conoce previamente el lugar que ocupa en la misma. El término general de una sucesión se le expresa por: an Ejemplos: a) 1 , 2 , 3 , 4 ,...

2 3 4 5

b) 4, 9 , 16 , 25 ,...

2

3

4

c) 1 , 1, 9 , 1, 25 ,...

2

Ejemplos:

8

32

an 

n n 1

bn 

 n  1

cn 

n

n2 2n

2

(término n-ésimo)


- 205 -

1) ¿Cuál es el término sexagésimo de la sucesión 1 , 2 , 3 , 4 ,... ?

2

3

4

5

Solución: El término general es:

an 

n n 1

El término a60 es:

an 

60 60  60  1 61

2) Escribir los seis primeros términos de la sucesión: an  3  2n1 Solución:

a2  3  221  3  2  6

a1  3  211  3 1  3 31

a3  3  2

a4  3  241  3  8  24

 3  4  12

a5  3  251  3 16  48

a6  3  261  3  32  96

La obtención del término general de una sucesión puede tener alguna dificultad.

Progresiones aritméticas.- Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada elemento se obtiene sumando al anterior un número fijo llamado razón, que se representa por la letra r . Así, si ( an ) es una progresión aritmética, se verifica que:

an  an1  r Para asegurarse de que una sucesión es una progresión aritmética se debe comprobar que la diferencia entre cada término y su anterior es siempre la misma. Ejemplos: 1) ¿Es la sucesión 7, 5, 3, 1, -1, -3, -5 ... una progresión aritmética? Si lo es, ¿cuál es la diferencia? Solución: misma:

Se determina si la diferencia entre cada dos términos consecutivos es la

5 – 7 = –2;

3 – 5 = –2;

1 – 3 = –2;

–1 – 1 = –2 ; ...

Es una progresión aritmética de diferencia: r = –2

2) ¿Es la sucesión 1, 3 , 2, 5 , 3, 9 ,... una progresión aritmética?

2

2

2

- 206 -


Solución: Se determina si la diferencia entre cada dos términos consecutivos es la misma:

3 1 1  2 2

3

5 1  2 2

2

3 1  2 2

9 3 3  2 2

5 1 2 2 2

No es una progresión aritmética.

Término general de una progresión aritmética.- La fórmula del término general de una progresión aritmética ( an ) se determina de la siguiente manera:

a2  a1  r

a3  a2  r   a1  r   r  a1  2r a4  a3  r   a1  2r   r  a1  3r a5  a4  r   a1  3r   r  a1  4r Nótese que en todos los casos el término correspondiente es la suma de dos cantidades: - La primera es siempre

a1

- La segunda es el producto

 n  1 r

La expresión del término general es:

an  a1   n  1 r

an = El término n-esimo a1 = El primer término n = Posición que ocupa el término r = Razón o Diferencia (valor que separa a dos términos consecutivos) 

Si la diferencia de una progresión aritmética es positiva, la progresión es creciente; es decir cada término es mayor que el anterior.



Si la diferencia de una progresión aritmética es cero, la progresión es constante, es decir, tiene todos sus términos iguales.



Si la diferencia de una progresión aritmética es negativa, la progresión es decreciente, es decir, cada término es menor que el anterior.


- 207 -

Ejemplos: Cálculo del término general de una progresión aritmética.

 1, 3, 5, 7, 9, ... ¿Cuál es su término general?

1) Sea la sucesión: Solución:

Se trata de una progresión aritmética de diferencia r = 2 y primer término a1 = 1. El término general es, por tanto:

an

 a1   n  1 r  1   n  1 .2  1  2n  2  2n  1

2) Calcular a qué altura sobre el suelo se encuentra una persona que vive en un 6º piso, sabiendo que los bajos del edificio tienen una altura de 4 m y que entre cada dos pisos consecutivos hay un desnivel de 2,8 m. Solución: Se considera la sucesión de las alturas de los pisos, la diferencia entre cada vivienda y la anterior es constante e igual a 2.8 m. Es una progresión aritmética en la que el primer término es 4 (altura a la que se encuentra el primer piso) y la razón (diferencia) es 2.8. El problema se resuelve calculando el término 6º:

an  a1   n  1 r  4   n  1  2.8 a6  4   6  1  2.8  4  14  18 Términos equidistantes de una progresión aritmética.- Estudiando detalladamente algunos ejercicios de progresiones aritméticas, se pueden deducir propiedades de enorme interés:



a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a8

a9

a10

a11

a12

a13

5

8

11

14

17

20

23

26

29

32

35

38

41

Elegir al azar dos parejas distintas de términos, de forma que la suma de los subíndices sea igual en ambos casos. Sumando el valor de los términos en cada una de las dos parejas, se observa que los resultados coinciden. Si :

t + s = u + v, entonces se cumple: at + as = au + av

a3 + a9 = a 5 + a7

a1 + a13 = a5 + a9

11 + 29 = 17 + 23

5 + 41 = 17 + 29

Elegidas cualesquiera dos parejas de términos cuyas sumas de subíndices coincidan, también coincidirán las sumas de sus términos correspondientes.

- 208 -


Este resultado se conoce con el nombre de propiedad de los términos equidistantes de una progresión aritmética. Ejemplo: Cálculo de términos equidistantes en una progresión aritmética: 1) En una progresión aritmética se sabe que: a1 = –2 , a32 = 91, a16 = 43. Encontrar a17. Solución: Los subíndices son: 1 + 32 = 16 + 17 = 33, por la propiedad de los términos equidistantes:

a1  a32  a16  a17



a17  a1  a32  a16

a17  2  91  43



a17  46

Interpolación de medios aritméticos.- Interpolar n números entre otros dos conocidos a y b; consiste en construir una progresión aritmética:

 a, a1 , a2 ,....., an , b Para resolver este problema basta con conocer la diferencia de la progresión, la cual se deduce tomando en cuenta dos cosas: 1) La sucesión tiene

n  2 términos a y el término an  2 es b .

2) El primer término es

Aplicando la fórmula del término general de una progresión aritmética, se tiene que:

b  a   n  2   1 r r

r n a b

ba n 1

= Razón o diferencia = Número de términos a interpolar = Primer término = Último término

Una vez conocido el valor de la diferencia, es la suma de

a1 se obtiene como la suma de a y r ; a2

a1 y r , y así sucesivamente.

Los números a1 , a2 ,....., an reciben el nombre de medios aritméticos.


- 209 -

Ejemplo: Interpolación de medios aritméticos. 1) Interpolar cinco medios aritméticos entre –18 y 25. Solución: La progresión es:

 18, a1, a2 , a3 , a4 , a5 , 25

Aplicando la fórmula obtenida con a  18 y b  25

r

La razón o diferencia es:

ba n 1

a1  18 



25   18 5 1



43 6

 

11 3

43 65   6 6

a2  

65 43 22    6 6 6

a3  

11 43   6 6

21  6

a4 

7 43   2 6

64 6

a5 

32 43 107   2 6 6



7 2 32 3

La progresión aritmética que se buscaba es:

 18,  65 ,  11 , 7 , 32 , 107 , 25,... 6

3

2

3

6

Suma de términos consecutivos de una progresión aritmética.- Se denotará por la suma

a1  a2  ...  an .

Se tiene entonces:

Sn  a1  a2  a3 ....  an2  an1  an

Invirtiendo el orden:

Sn  an  an1  an2  ....  a3  a2  a1

Sumando:

2Sn   a1  a2    a2  an1   ...   an1  a2    an  a1 

Por la propiedad de los términos equidistantes se sabe que:

Sn

a

- 210 -


a1  an  a2  an1  a3  an2  ....  an  a1 2Sn  n  a1  an 

Por tanto:

a a  Sn   1 n  n  2 

Despejando:

an = El término n-esimo a1 = El primer término n = Posición que ocupa el término S n = Suma de n términos consecutivos Esta fórmula no sólo sirve para sumar los primeros términos de una progresión aritmética sino para sumar cualquier n término consecutivo. Para sumar, por ejemplo, a5 + a6 ... + a83, es necesario constatar que hay (83 – 4 = 79) 79 términos (faltan los cuatro primeros). La suma es:

a a  Sn   5 83  79  2 

Ejemplos: 1) Es muy conocida la anécdota según la cual a Carl Frederich Gauss (1777-1855), cuando contaba con diez años de edad, le propusieron en la escuela primaria de su aldea natal que sumara los 100 primeros números naturales. Ante el asombro del profesor, apenas éste había acabado de dictar el problema, Gauss dio la solución: 5050. Explicación: Lo que este insigne matemático observó fue que la suma 1 + 100 era igual a 2 + 99, igual a 3 + 98, ... etc. es decir, sólo tuvo que darse cuenta de que contaba con 50 parejas de números, cada una de las cuales sumaba 101. Así, se limitó a multiplicar: 50 x 101 = 5050.

2) Suma de términos de una progresión aritmética: Sumar los veinte primeros términos de la progresión:  –5, 4, 13, 22, 31, 40 Solución: La razón o diferencia: Primer término: Número de términos:

r=9 a1 = –5 n = 20

Término n-ésimo: Suma de términos:

an = ? Sn = ?

Cálculo del término n-ésimo: an  a1   n  1 r  5   20  1  9  5  171  166 Cálculo de la suma:

a a   5  166  S20   1 20  n     20  80.5  20  1610 2    2 


3) Dada la progresión aritmética entre a24 y a36.



- 211 -

8, 3, -2, -7, -12, ..., sumar los términos comprendidos

Solución: La diferencia es: r  a2  a1  3  8  5 Término 24:

a24  a1   24  1 r  8   24  1  (5)  8  115  107

Término 36:

a36  a1   36  1 r  8   36  1  (5)  8  175  167

Entre ambos hay: n  36  23  13 términos. La suma es:

a a   107  (167)  S13   24 36  n    13  1781 2 2    

4) ¿Cuántos términos de la progresión suma sea 570?



–11, –4, 3, 10, ... hay que tomar para que su

Solución: Diferencia:

r  a2  a1  4  (11)  4  11  7

Primer término: Suma de términos:

a1  11 Sn  570

Término n-ésimo:

an  a1   n  1 r  11   n  1  7  11  7n  7  7n  18

De la suma:

a a  Sn   1 n  n  2 

Despejando n:

1140  29n  7n2

Resolviendo la ec:

n1  15

Como

n

;



n2  



 11  7n  18  570    n 2  

7n2  29n  1140  0

76 7

tiene que ser positivo, la solución es: n  15 términos.

- 212 -


EJERCICIOS RESUELTOS 1) El término general de la progresión aritmética 5, 8, 11, 14... es:

an  5   n  1  3  5  3n  3  3n  2

Solución:

2) El término general de una progresión aritmética en la que a1 = 13 y r = 2 es:

an  13   n  1  2  13  2n  3  2n  11

Solución:

3) Hallar el primer término de una progresión aritmética sabiendo que a11 = 35 y r = 4.

a11  a1  11  1  4

Solución:



35  a1  40



a1  5

4) Conociendo el último término 199, de una progresión aritmética (p.a.), el número de ellos 100, y la suma de sus términos 10000, calcular el primero y la razón. Solución: an = 199 n = 100 Sn = 10000 De:

a1 = ? d=?

a a  Sn   1 n  n  2 



 a  199  10000   1  100  2 



200  a1  199

a1  200  199  1 La razón:

an  a1   n  1 r



r

an  a1 199  1 198   2 n  1 100  1 99

5) Calcular la suma y el último término de una p.a. de razón 4, sabiendo que consta de 12 términos y el primero vale 7. Solución: r=4 n = 12 a1 = 7

Sn = ? an = ?

Último término:

an  a1   n  1 r  7  12  1  4  7  44

Suma:

a a   7  51  Sn   1 n  n    12  58  6 2  2   

 

an  51 Sn  348


- 213 -

6) Calcular la suma y el número de términos de una p.a., cuyo primer término es 4, el último 40 y la razón 3. Solución: a1 = 4 an = 40 r=3

Sn = ? n=?

Número de términos:



an  a1   n  1 r



n  13

Suma: 



40  4   n  1  3

a a   4  40  Sn   1 n  n    13  22 13 2  2   

36  n 1 3





Sn  286

7) Conociendo el primer término de una p.a. 3, el último 25 y el número de términos 12, determinar la razón y la suma. Solución: a1 = 3 an = 25 n = 12

r =? Sn = ?

Razón:



an  a1   n  1 r



r

an  a1 25  3 22   n  1 12  1 11



r2

Suma:



a a   3  25  Sn   1 n  n    12  14 112  2   2 



Sn  168

8) Conociendo el primer término de una p.a. 3, el último 25 y el número de términos 12, determinar la razón y la suma. Solución: a1 = 3 an = 25 n = 12

r =? Sn = ?

Razón:



an  a1   n  1 r



r

an  a1 25  3 22   n  1 12  1 11



Suma:



a a   3  25  Sn   1 n  n    12  14 112  2   2 



Sn  168

r2

- 214 -


9) Conociendo el primer término 3, el último 39 y la suma 210 de los términos de una p.a., calcular la razón y el número de términos. Solución: a1 = 3 an = 39 Sn = 210

r =? n =?


a a  Sn   1 n  n  2 





n

2Sn 2  210 420   a1  an 3  39 42

Razón:



an  a1   n  1 r



r

an  a1 39  3 36   n  1 10  1 9





n  10

r4

10) Formar una p.a. de términos positivos de razón 2, el último 18 y 88 la suma de sus términos. Solución:

r =2

an = 18

Sn = 88

Aplicando la ec. de la suma de términos:



a a  Sn   1 n  n  2 



 a  18  88   1 n  2 



176  a1n  18n

(1)

Aplicando la ec. del término n-ésimo:



an  a1   n  1 r



a1  20  2n



18  a1   n  1 2



18  a1  2n  2

(2)

Reemplazando la ec.(2) en la ec. (1):



176   20  2n  n  18n  20n  2n 2  18n



n2  19n  88

Resolviendo la ec. de segundo grado da:

a1  20  2n  20  2(11)

Para n1  8 :

a1  20  2n  20  2(8)

Respuesta:



2n 2  38n  176

n1  8 ; n2  11

Para n2  11 : 





4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18





a1  2 (no cumple la condición)

a1  4 (si cumple la condición)


- 215 -

11) Determinar el número de términos de una p.a. y el último, sabiendo que el primero vale 3, la razón es 2 y la suma 120. Solución: a1 = 3 r =2 Sn = 120

n =? an = ?




an  a1   n  1 r  3   n  1  2  3  2n  2



an  1  2n

(1)

Reemplazando la ec. (1) en la ec. de la suma de términos:



a a   a  1  2n  Sn   1 n  n   1 n 2    2 



2Sn  a1n  n  2n 2

(2)

Reemplazando valores en la ec. (2):



2 120  3n  n  2n2



2n2  4n  240  0

Resolviendo la ec. de segundo grado da: Para n2  12 :  Para n1  10 :



n2  2n  120  0

n1  10 ; n2  12

an  1  2(12)  1  24 an  1  2(10)  1  20



 

an  23 (no cumple la condición) an  21 (si cumple la condición)

Respuesta: n = 10, an = 21 12) En una progresión aritmética se tiene a1 = 8; a5 = 36. Determine la suma y el último número para 10 términos de la progresión. Solución: a1 = 8 a5 = 36 n = 10

Sn = ? a10 = ?

Cálculo de la razón:

 a5  a1   n  1 r  r 

a5  a1 36  8 28    r7 n 1 5 1 4

Término 10:

 a10  a1   n  1 r  8  10  1  7  8  63  a10  71

Suma:

a a   8  71   S10   1 10  n    10  39.5 10  S10  395  2   2 

Resp: S10 = 395: a10 = 71

- 216 -


13) En la siguiente progresión a5 = 60; a10 = 5. Determine el valor de la razón o diferencia del valor y la suma de los primeros 10 términos. Solución: n = 10 a5 = 60 a10 = 5

r =? Sn = ?

 a10  a5  (n  5)r  r 

Razón:

a10  a5 5  60 55    4  11 n5 10  5 5

Primer término:

 a5  a1  (n  1)r  a1  a5  (n  1)r  60  (5  1)(11)  a1  104 Suma: 

104  5 a a  Sn   1 n  n  10  (109)(5)  Sn  545 2  2 

Progresiones geométricas.- Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada elemento se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo llamado razón, y que se representará por la letra r. Así, si ( an ) es una progresión geométrica, se verifica que:

an  an1  r Ejemplos.- ¿Cómo reconocer una progresión geométrica?: Para asegurarse de que una sucesión es una progresión geométrica se ha de comprobar que el cociente entre cada término y su anterior es siempre el mismo. Además esta comprobación elemental determina el valor de esta razón de la progresión.

r

a2 a3 a4 a5 constante     a1 a2 a3 a4

Ejemplos: 1) ¿Es 5, 15, 45, 135, 405 ... una progresión geométrica? Solución:

15 45 135 405     3 . Es una progresión geométrica de razón: r = 3 5 15 45 135


- 217 -

2) ¿Es la sucesión 25,  5, 1,  1 , 1 ,

1 una progresión geométrica? 5 25 125

Solución:

5 1 1/ 5 1/ 25 1      (cumple la condición) 25 5 1 1/ 5 5 1/125 25 1 (no cumple la condición)   1/ 25 125 5 Resp: La sucesión no es una progresión geométrica.

Término general de una progresión geométrica.- La fórmula del término general de una progresión geométrica ( an ) se encuentra sin más que observar que:

a2  a1r a3  a2 r   a1r  r  a1r 2 a4  a3r   a1r 2  r  a1r 3

a5  a4 r   a1r 3  r  a1r 4 Nótese que, en todos los casos, el término correspondiente es el producto de dos cantidades: - La primera es siempre

a1 .

- La segunda es una potencia de base r restando una unidad al subíndice.

y exponente un cierto número, que se obtiene

La expresión del término general es:

an  a1 r n1 Siendo:

an a1 r n 

= El término n-ésimo = El primer término = Razón de la progresión geométrica = Posición que ocupa el término

Si la razón de una progresión geométrica es mayor que uno, la progresión es creciente, es decir, cada término es mayor que el anterior.

- 218 -




Si la razón de una progresión geométrica está comprendida entre cero y uno, la progresión es decreciente, es decir, cada término es menor que el anterior.



Si la razón de una progresión geométrica es igual a uno, la progresión es constante, es decir, tiene todos los términos iguales.



Si la razón de una progresión geométrica es menor que cero, la progresión es alterna, es decir, sus términos son alternativamente positivos y negativos.

Ejemplos: Cálculo del término general de una progresión geométrica. 1) Calcular el término n-ésimo de la progresión 1 , 1, 3, 9,...

3

Solución: Se trata de una progresión geométrica de razón

El término general es:

r  3 y primer término a1  1 . 3

1 an  a1 r n1  an  3n1  31.3n1  an  3n2 3

2) ¿Cuál es el término general de la progresión: –1, 2, –4, 8, –16,…? Solución: Es una progresión geométrica en la que el primer término a1  1 La razón es:

r

a2 2 4 8 16  ...      r  2 a1 1 2 4 8

El término general es:

an  a1 r n1  an  1  2 

n 1

Este tipo de progresiones geométricas recibe el nombre de progresión geométrica alternada.

Términos equidistantes de una progresión geométrica.- Al igual que en las progresiones aritméticas, en las progresiones geométricas se cumple: Elegir al azar dos parejas distintas de términos, el producto de los subíndices sea igual en ambos casos. El producto de los términos en cada una de las parejas serán iguales. Elegir dos parejas de términos de una progresión geométrica que cumplan la condición: t + s = u + v, entonces se cumple: at . as = au . av Este resultado se conoce con el nombre de propiedad de los términos equidistantes de una progresión geométrica.


- 219 -

Ejemplo.- Demostrar la propiedad de los términos equidistantes en una p.g. 1) Sea la siguiente progresión geométrica: a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a8

a9

a10

a11

a12

a13

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

2048

4096

8192

Elegimos dos pares de términos que cumplan: t + s = u + v a2 + a8 y a4 + a6, los subíndices nos dan: 2 + 8 = 4 + 6 Entonces debe cumplirse:

a t . a s = au . a v a 2 x a 8 = a4 x a 6 (4) x (256) = (16) x (64) 1024 = 1024

2) Encontrar el término

a3  9 , a9 

a1

de una progresión geométrica de la que se sabe que:

1 1 , a11  729 81

Solución: Puesto que: 3 + 9 = 1 + 11 = 12, se cumple:

9

1 1  a1  81 729



a1 

a3  a9  a1  a11

729  81 9

Interpolación de medios geométricos.- Interpolar n medios geométricos entre otros dos conocidos a y b, consiste en construir una progresión geométrica:

a, a1 , a2 ,....., an , b Para conocer la razón de la progresión, tener en cuenta: 1) La sucesión tiene n + 2 términos. 2) El primer término es a y el n + 2 es b. Aplicando la fórmula del término general de una progresión geométrica: b  a . r n  21

De donde:

r n 1 

b a



r  n 1

b a

- 220 -

r n a b


= Razón = Número de términos a interpolar = Primer término = Último término

Una vez conocido el valor de la razón, es el producto de

a1

por

a1

se obtiene como el producto de

r

por

a ; a2

r , y así sucesivamente.

Los números a1 , a2 ,....., an reciben el nombre de medios geométricos.

Ejemplo: Interpolación de medios geométricos. 1) Interpolar cuatro medios geométricos entre 128 y 4. Solución: La progresión geométrica es: Aplicando la fórmula obtenida con La razón:

r  n1

128, a1 , a2 , a3 , a4 , 4

a  128 y b  4 :

b 5 4 1 5 1  5  5 a 128 32 2



r

1 2

1  64 2 1 a2  64   32 2 1 a3  32   16 2 1 a4  16   8 2 a1  128 

La progresión geométrica que se buscaba es:

128, 64, 32, 16, 8, 4 ….

2) Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48. Solución.- Datos: a  3 y b  48 : Aplicando la fórmula:

r  n1

b 4 48 4   16  4 24 a 3



r  2

Recordar que una raíz de índice par tiene dos soluciones, una positiva y otra negativa. En este caso, hay dos posibilidades:


Si r = 2, la progresión es:

- 221 -

3, 6, 12, 24, 48, ...

Si r = –2, la progresión es: 3, –6, 12, –24, 48, ...

Producto de términos consecutivos de una progresión geométrica.- Se denotará por Pn al producto a1 . a2 . a3 ..... an . Se tiene entonces:

Pn  a1 . a2 . a3 ... an2 . an1 . an

Invirtiendo el orden:

Pn  an . an1 . an2 ... a3 . a2 . a1

Multiplicando:

Pn2   a1.an  a2 .an1  ...  an1.a2  an .a1 

Por la propiedad de los términos equidistantes se sabe que:

a1 . an  a2 . an1  a3 . an2  ...  an . a1 Por tanto:

Despejando:

Pn2   a1 . an  Pn  

n

 a1 . an 

n

an = El término n-esimo a1 = El primer término n = Posición que ocupa el término Pn = Producto de n términos consecutivos Para determinar el signo, ha de estudiarse cada caso concreto. Esta fórmula no sólo sirve para multiplicar los primeros términos de una progresión geométrica, sino que también es válida para multiplicar cualquier n términos consecutivos, al igual que se hace en las progresiones aritméticas. Ejemplo: Cálculo del producto de términos consecutivos de una progresión geométrica. 1) Multiplicar los veinte primeros términos de la progresión: Solución: Es una progresión geométrica de razón r = 2

1 1 1 1 , , , , ... 16 8 4 2

- 222 -


Término número 20:

Producto:

P20  

a20  a1 r 201 

 a1 . a20 

20

1 19 219 .2  4 16 2

 1    4 . 215  2 

20





2 

11 20

a20  215

 2220



P20  2110

Para poder escribir dicho número serían necesarias 34 cifras, lo que da idea de la gran velocidad de crecimiento que tienen las progresiones geométricas. 2) Calcular el producto de los siete primeros términos de la progresión: 1, –2, 4, –8, ... Solución: Es una progresión geométrica de razón r = –2 Séptimo término: Producto:

P7  

a7  a1 r 71  1.  2 

 a1 . a7 

7

6

  1. 64    7



a7  64

2 

6 7

  242



P7  221

Para determinar el signo, obsérvese que hay tres términos negativos y al ser este número impar, el producto de todos ellos es negativo.

P7  221

Respuesta:

Suma de términos consecutivos de una progresión geométrica.- Se denotará por a la suma de

n

Sn

términos consecutivos de una progresión geométrica:

Sn  a1  a2  a3 ....  an2  an1  an Para obtener una fórmula que permita hacer este cálculo de un modo rápido, se multiplican ambos miembros de la igualdad por la razón:

Sn  r   a1  a2  a3 ....  an2  an1  an   r

Sn  r  a1  r  a2  r  a3  r....  an2  r  an1  r  an  r Teniendo en cuenta que al multiplicar un término por la razón se obtiene el término siguiente:

Sn  r  a1  r  a2  r  a3  r....  an2  r  an1  r  an  r

Sn  r  a2  a3  a4 ....  an1  an  an  r


- 223 -

Restando ahora a esta igualdad la primera:

Sn  r  a2  a3  a4 ....  an1  an  an  r Sn  a1  a2  a3 ....  an2  an1  an

(-1)

Sn  r  Sn  a1  an  r

Sn  r  1  an  r  a1

Factorizando:

Sn 

Despejando Sn: Otra expresión en función de

a1

y

an . r  a1 r 1

r:

Esta fórmula que da la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica tiene otra versión igualmente útil si se expresa el término general an como a1 · rn - 1:

Sn 

n an . r  a1 a1 . r n 1. r  a1 a1 . r n  a1 a1  r  1    r 1 r 1 r 1 r 1

Sn 

a1  r n  1 r 1

Ejemplos: Suma de términos de una progresión geométrica 1) Sumar los quince primeros términos de la progresión geométrica:

3/2, 9/2, 27/2 ...

Solución:

3 2 n  15

a1 


Suma de términos:

S15  ?

r

9/2 3 3/ 2

Sn 

a1  r n  1 r 1

3 15 3  1 3 315  1 3 2  .  Sn   315  1 3 1 2 2 4

- 224 -


2) Sabiendo que 3 es el primer término de una progresión geométrica y 1875 el quinto, calcular la suma de esos cinco términos. Solución:

S5  ?

a1  3 a5  1875 n5 Cálculo de la razón:



a5  a1 r 51  a1 r 4

r

4



r

4

a5 a1

a5 4 1875   5 a1 3

Suma de términos: Si r = –5:

S5 

Si r = 5:

S5 

a1  r 5  1 r 1

a1  r 5  1 r 1





3  (5)5  1 5  1

3  55  1 5 1

 3.

 3.

3126  S5  1563 6

3124  S5  2343 4

3) Sumar los términos comprendidos entre el tercero y el vigésimo lugar de la progresión geométrica:

8, 4, 2, 1,

1 ,.... 2

Solución:

a3  2 1 r 2 n  18

Sn  ?

17

Cálculo del vigésimo término:

1 a20  a3 r181  2   2



a20 

1 216

Suma de términos:

1 1 1 1 . 2 2 17 17 a20 . r  a3 216 2 2 1 2 2 Sn        16  4 1 1 1 1 r 1 2 1    2 2 2 2



Sn  4 

1 216


- 225 -

Suma de todos los términos de una progresión geométrica ilimitada decreciente.Una progresión geométrica es decreciente (cada término es menor que el anterior), cuando su está comprendida entre cero y uno. La progresión:

8, 4, 2, 1,

1 1 1 , ,.... es una progresión decreciente de razón: r  2 4 2

Obsérvese que en el caso de una progresión creciente (cada término es mayor que el anterior), la suma de todos los términos de la misma será infinita, independientemente del valor de los términos. No ocurre así para el caso de progresiones decrecientes. Partiendo de la fórmula:

S

a1  r n  1 r 1

Donde r es un número comprendido entre cero y uno y n el número de términos de la progresión (infinito), la potencia rn es una cantidad tan pequeña (tiende a cero), que se puede despreciar. Se tiene entonces:

S

a1  0  1 r 1

 S

S

a1 a  1 r 1 1  r

a1 1 r

Ejemplos: 1) Calcular la suma de todos los términos de la progresión: 0.3; 0.15; 0.075; ... Solución: Se trata de una progresión geométrica decreciente

a1  0.3 0.15 r  0.5 0.3

Suma de términos:

S

S ?

a1 0.3 0.3    0.6 1  r 1  0.5 0.5

2) Sumar todos los términos de la progresión geométrica: –7, 7/3, –7/9, 7/27... Solución: Se trata de una progresión geométrica decreciente

a1  7 7/3 1 r  7 3

S ?

Suma de términos:

S

a1  1 r

7 7 21   4 1 4   1     3 3

- 226 -


EJERCICIOS RESUELTOS 1) ¿Cuál es la razón de la progresión geométrica 3, 6, 12,...? Solución: La razón se obtiene dividiendo un término por el anterior: r  6  2

3

2) ¿Cuál es el quinto término de una progresión geométrica en la que a1 = 2 y r = 3? Solución: Podemos ir hallando cada uno de los términos (2, 6, 18, 54, 162,...) multiplicando cada término por 3. También se puede obtener directamente:

a5  a1 r 51  2  34  2  81  162

3) Genere una progresión geométrica de 5 términos, conociendo que a 1 = 80 y que r = 1/4 Solución:

a2  a1r  80  0.25  20

a3  a2 r  20  0.25  5 a4  a3r  5  0.25  1.25 a5  a4 r  1.25  0.25  0.3125

P.G: 80; 20; 5; 1.25; 0.3125

4) Encuentre el 10º término y la suma de los 10 primeros números de la siguiente progresión geométrica: 1, 2, 4, 8 Solución: n = 10 a1 = 1 La razón:

a10 = ? S10 = ?

r

a2 2  2 a1 1

Décimo término:

a10  a1 . r101  1 29  512

La suma:

S10 

a10 . r  a1 512  2  1   1023 r 1 2 1


- 227 -

5) Determine el último término y la suma de las siguientes progresiones: a) b) c)

7, 35, 175,….. 5, -20, 80,…… 2/3 , 2/15 , 2/75 , ……

n = 10 n=8 n=5

Solución:

r

a) Calculo de r:

a 2 35  5 a1 7

Cálculo del último término: Cálculo de la suma:

Sn 

r

b) Calculo de r:

an  a1 . r n1  7  5101  7  59  13 671875 an . r  a1 13 671875  5  7   17 089 842 r 1 5 1

a2 20   4 a1 5

Cálculo del último término: an  a1 . r n1  5 (4)81  5  (4)7  81920 Cálculo de la suma:

Sn 

r

c) Calculo de r:

an . r  a1 81920  (4)  5   655 335 r 1 4  1

a2 2 /15   0.2 a1 2 / 3

Cálculo del último término: a  a . r n1  2  (0.2)51  2  (0.2)4  0.001067  1.067 103 n 1

3

Cálculo de la suma:

Sn 

3

an . r  a1 1.067 103  (0.2)  2 / 3   0.833 r 1 0.2  1

6) En una progresión geométrica, se tiene: a1 = 4 y a6 = 972. Determine la suma hasta el 6º término. Solución: n=6 a1 = 4 a6 = 972

Sn = ?


an  a1 . r n 1  r  n 1

an 5 972 5   243  r  3 a1 4

- 228 -


Cálculo de la suma:

Sn 

an . r  a1 972  3  4   1456 r 1 3 1

7) Encontrar la suma de la siguiente progresión: a3 = 20 y a7 = 1620. Solución: a3 = 20 a7 = 1620

r=? Sn = ?


a7  a3 . r 51  r  51

a7 4 1620 4   81  r  3 a3 20

Cálculo de a1; tomando a3, número de términos 3:

a3  a1 . r 31  a1  Cálculo de la suma:

Sn 

a3 20   2.22 r 2 32

an . r  a1 1620  3  2.22   2428.89 r 1 3 1

8) En un triángulo equilátero de 6 metros de lado, se unen los puntos medios de sus lados, obteniéndose así otro triángulo inscrito en el primero. Este proceso se repite indefinidamente. Calcular la suma de las áreas de todos los triángulos formados. Solución: Se trata de sumar todos los términos de una progresión geométrica ilimitada cuya razón es menor que uno, puesto que las áreas de los triángulos que se van formando son cada vez menores. El primer término de la progresión será el área del primer triángulo:

1 a1  b.h . Siendo 2

h  62  32  27  5.2

1  a1  (6)(5.2)  a1  15.6 2

La razón es r  1 , puesto que el área del segundo triángulo es 1 del área del primero. 4 4 Suma de términos:

S

a1 15.6   20.8 1 r 1 1 4


- 229 -

PREGUNTAS DE RAZONAMIENTO PROGRESIONES ARITMETICAS 1.

Tres números están en progresión aritmética. Si la suma de los tres es 24, ¿Cuál es el término central? a) 4

2.

b) 63

c) 98

d) 92

e) N. A.

b) 6

c) 0

d) 7

e) N. A.

b) 91

c) 103

d) 100

e) N. A.

b) 38

c) 22

d) 40

e) N. A.

b) 800

c) 780

d) 580

e) N. A.

b) 6

c) 7

d) 8

e) N. A.

Calcule a de modo que (3 a, 6 a + 3, 15 a + 21) sea una progresión aritmética. a) 7/2

10.

e) N. A.

En una progresión aritmética, donde el primer término es 23 y la razón es –6, la posición ocupada por el elemento –13 es: a) 4

9.

d) 1001

La suma de los primeros 40 números enteros no negativos es: a) 820

8.

c) 999

¿Cuál es el número de términos de la progresión aritmética ÷ 100,98,96,….,22? a) 11

7.

b) 2001

El término 19 de la progresión aritmética ÷ 3,9,15….. es: a) 111

6.

e) N. A.

Una progresión aritmética de 9 términos tiene razón 2 y la suma de sus términos es 0. El sexto término es: a) 2

5.

d) 12

En una progresión aritmética de primer término 2 y razón 3, el término trigésimo primero es: a) 65

4.

c) 6

El milésimo impar positivo es: a) 1999

3.

b) 8

b) 5/2

c) –7/2

d) –5/2

e) N. A.

La sucesión aritmética an tiene a5 = 30 y a10 = 50. Entonces a50 es igual a: a) 200

b) 210

c) 250

d) 300

e) N. A.

- 230 -


PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 1.

El décimo término de la progresión geométrica: 4, 8, 16, … es: a) 2048

2.

b) 555555

c) 666666

d) 505000

e) N. A.

b) –4/3

c) –3/4

d) –64/27

e) N. A.

b) 80

c) –80

d) –120

e) N. A.

b) –5/2

c) –1/2

d) –1/3

e) N. A.

b) 2

c) 3

d) 1

e) N. A.

b) 7

c) 3

d) 4

e) N. A.

Calcular el valor de x en la progresión geométrica: 8, –6, x a) 5/2

10.

e) N. A.

Sabiendo que x, x + 9, x + 45 están en progresión geométrica, determinar el valor de x: a) 9

9.

d) 5

El tercer término de una sucesión geométrica es 10 y el sexto es 80. Entonces la razón es: a) –1

8.

c) 3

El valor de x para que la sucesión: ( x + 1, x, x + 2 ) sea una progresión geométrica es: a) –2/3

7.

b) 4

Determinar la suma de los treinta primeros términos de la progresión geométrica: –4, –4, –4, … a) –40

6.

e) N. A.

De una progresión geométrica se conocen a 1 = 27 y a4 = –64. Entonces la razón es igual a: a) 4/3

5.

d) 4096

La suma de los términos de la progresión geométrica: 5, 50, …, 500000 es: a) 555550

4.

c) 1024

En una progresión geométrica de razón positiva, el primer término es igual al doble de la razón, y la suma de los primeros es 24. La razón es: a) 2

3.

b) 210

b) 7/2

c) 6

d) 9/2

e) N. A.

En una progresión geométrica ( a1, a2, …, an,…) se tiene: a 1 + a2 + a3 = 7

;

a4 + a5 + a6 = 56

a) 9

b) 8

c) 63

Entonces a1 + a4 = ? d) 49

e) N. A.


- 231 -

PROGRESIONES ARITMETICAS Y GEOMETRICAS 1.

En la sucesión 2, 6, 18, x,.... el término x es: a) 48

2.

b) 12

b) Término general

d) N. A.

b) Termino anónimo

c) Termino último

d) N. A.

c) 5

d) N. A.

Si an = 2n – 8 ¿el término tercero es? b) –2

a) 2 5.

c) Primer término

¿Cómo se denomina an? a) Término general

4.

d) 54

¿Cómo se denomina a1? a) Término cero

3.

c) 32

De una progresión aritmética sabemos que: a 1 = 5 y r = –2. Entonces: a) a3 = 0 b) Cada término se obtiene restando 2 al anterior c) La diferencia r no puede ser negativa d) a2 = –10

6.

an = 5n – 10 y bn = –8n + 4 ¿cuál corresponde con la sucesión {an + bn } a) –3n – 6

7.

b) 3n – 6

d) N. A.

c) 3n + 12

d) –9n – 12

Si an = 3n + 4 ¿3an es? a) 9n + 4

8.

c) –3n + 6

b) 9n + 12

La progresión 2, 4, 6, 8.... es: a) Una progresión aritmética de diferencia 2 b) Una progresión aritmética de diferencia –2 c) Una progresión geométrica de razón 2

9.

El término general de la progresión a) an = 3 + (n – 1)·4

10. En la progresión

4, 7, 10, 13,... es:

b) an = 2n – 3

c) an = 4n – 2

d) an = 4 + (n – 1)·3

4, 7, 10, 13,...

a) r = 4 y a1 = 3 c) r = –2 y a1 = 4

b) r = 3 y a1 = 4 d) r = 3 y a1 = 13

11. El término 15º de la progresión aritmética a) a15 = –22

d) N. A.

b) a15 = 24

4, 2, 0,... es: c) a15 = –24

d) N. A.

- 232 -


12. La suma de los 100 primeros términos de la progresión aritmética 4, 2, 0,... es: a) S = 9500 13.

an 

b) S = –9500

c) S = –9700

d) S = –9400

2n  1 es el término general de la sucesión: n 1

a) –1, 1, –1, 1, –1, ..... c) 0.5, 1, 1.25, 1.4, 1.5, .....

b) No es el término general de ninguna sucesión d) 0.5, 1, 2, 4, 8, ....

14. La progresión 1, 2, 4,8,... es: a) Geométrica de razón 2 c) Geométrica de razón 4

b) Aritmética de diferencia 2 d) N. A.

15. El término general de la progresión geométrica 2, 6, 18,... es: a) an = 6x3

n–1

b) an= 3x2

n–1

c) an= 2x3

n–1

d) an= 2x3

n

16. El término 8º de la progresión geométrica 1, 3, 9,27,... es: a) 30

b) 38

c) 39

d) N. A.

17. En la progresión geométrica 32, –16, 8, –4, .... la razón es: a) –1/2

b) 2

c) 1/2

d) –2

18. La suma de los 8 primeros términos de una progresión geométrica de razón 2 y de primer término 1 es: a) 255

b) 200

c) 254

d) 129

19. La suma de los 10 primeros términos de la progresión aritmética 4, 7, 10, 13,.. a) 546

b) 182

c) 98

d) N. A.

20. El término general de una progresión aritmética es: a) an = (n – 1)r + a1 21. Tenemos la sucesión a) b) c) d)

b) an = a1 + r(n + 1)

1 1 , , 1, 7, 49, 343,.... 49 7

Es una sucesión de término general 7 Es una progresión aritmética de razón 7 No es una progresión geométrica Es una progresión geométrica de razón 7

c) a1 = an + (n – 1)r

d) N. A.


- 233 -

EJERCICIOS PROPUESTOS PROGRESIONES 1)

Si los números: 7, 15, 23 , ..........., 55 forman una progresión aritmética. Calcula el quinto término de ella.

2)

Si la diferencia ( r ) de una progresión aritmética es 4 y su séptimo término es 10. Calcula su tercer término.

3)

Si el segundo, quinto y décimo término de una progresión aritmética son respectivamente: 3 , 9 y 19. Calcula su séptimo término.

4)

Calcula la suma de los términos de la siguiente progresión aritmética: 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, 58.

5)

Hallar el término general de las siguientes sucesiones: a) 1, 1 , 1 , 1 , 1 ,... 2 3 4 5

b) 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,... 2 3 4 5 6

c) 3,  1,  1 , 0, 1 ,... 3 5

d) 1, 2,  3, 4,  5,...

e) 3,  2, 5 ,  3 , 7 ,... 3 2 5

f) 1, 1 , 3, 1 , 5,... 2 4

g) 4, 9,  16, 25,  36,...

h) 1 , 1, 9 , 1, 25 ,... 4 12 28

6)

El primer término de una progresión aritmética es –1, y el decimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.

7)

El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progresión.

8)

Escribir tres medios aritméticos entre 3 y 23.

9)

Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5.

10) Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5. 11) Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que 5. 12) El 1er término de una progresión geométrica es 3, y el 8º es 384. Hallar la razón, y la suma y el producto de los 8 primeros términos. 13) El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la progresión. 14) Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.

- 234 -


15) El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progresión. 16) Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y –12. 17) Calcula tres números en progresión aritmética, que suman 27 y siendo la suma de sus cuadrados es 511/2. 18) Calcula el término que ocupa el lugar 100 de una progresión aritmética cuyo primer término es igual a 4 y la diferencia es 5. 19) El décimo término de una progresión aritmética es 45 y la diferencia es 4. Halla el primer término. 20) Sabiendo que el primer término de una progresión aritmética es 4, la diferencia 7 y el término n-ésimo 88, halla el número de términos. 21) Halla el primer término de una progresión aritmética y la diferencia, sabiendo que a 3 = 24 y a10 = 66. 22) El término sexto de una progresión aritmética es 4 y la diferencia 1/2. Halla el término 20. 23) Interpola cuatro medios aritméticos entre los números 7 y 27. 24) Halla tres números que estén en progresión aritmética y tales que, aumentados en 5, 4 y 7 unidades respectivamente, sean proporcionales a 5, 6 y 9. 25) Calcula la suma de los múltiplos de 59 comprendidos entre 1000 y 2000. 26) El producto de tres términos consecutivos de una progresión aritmética es 80 y la diferencia es 3. Halla dichos términos. 27) ¿Cuántos términos hay que sumar de la progresión aritmética 2, 8, 14,... para obtener como resultado 1064? 28) Calcula el término decimoprimero de una progresión geométrica cuyo primer término es igual a 1 y la razón es 2. 29) El quinto término de una progresión geométrica es 81 y el primero es 1. Halla los cinco primeros términos de dicha progresión. 30) En una progresión geométrica de primer término 7 y razón 2, un cierto término es 28672. ¿Qué lugar ocupa dicho término? 31) Sabiendo que el séptimo término de una progresión geométrica es 1 y la razón 1/2, halla el primer término. 32) Interpola tres medios geométricos entre los números 8 y 128.


- 235 -

33) En una progresión geométrica se sabe que el término decimoquinto es igual a 512 y que el término décimo es igual a 16. Halla el primer término y la razón. 34) Descompón el número 124 en tres sumandos que formen progresión geométrica, siendo 96 la diferencia entre el mayor y el menor. 3

35) El volumen de un ortoedro es de 3375 cm . Halla la longitud de sus aristas, sabiendo que están en progresión geométrica y que la arista intermedia mide 10 cm. más que la menor. 36) Halla el producto de los ocho primeros términos de la progresión 3, 6, 12, 24,... 37) Halla la suma de los diez primeros términos de la progresión geométrica 3, 6, 12, 24,... 38) La suma de los ocho primeros términos de una progresión geométrica es 17 veces la suma de los cuatro primeros. Halla el valor de la razón. 39) Halla la suma de los términos de la progresión ilimitada: 8, 4, 2, 1,... 40) Halla tres números en progresión geométrica sabiendo que su suma es 26 y su producto 216. 41) Calcula el producto de los once primeros términos de una progresión geométrica sabiendo que el término central vale 2. 42) Tres números en progresión geométrica suman 525 y su producto vale un millón. Calcula dichos números. 43) Determina cuatro números en progresión geométrica de manera que los dos primeros sumen 0.5 y los dos últimos 0.125. 44) ¿Cuántos términos se han tomado en una progresión geométrica, sabiendo que el primer término es 7, el último 448 y su suma 889? 45) La suma de los siete primeros términos de una progresión geométrica de razón 3 es 7651. Halla el primero y el séptimo términos. 46) Tres números están en progresión geométrica; el segundo es 32 unidades mayor que el primero, y el tercero, 96 unidades mayor que el segundo. Halla los números. 47) Halla los cuatro primeros términos de una progresión geométrica, sabiendo que el segundo es 20 y la suma de los cuatro primeros es 425. 48) La suma de tres números en progresión geométrica es 248 y la diferencia entre los extremos 192. Halla dichos números.

- 236 -


Cap. 14 LOGARITMOS Definición de logaritmo.- El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.

log a x  y Siendo:

a = La base

Aclarando:

log2 4  2



(a  0 y

ay  x

a  0)

y = El logaritmo.

x = El número

porque : 22  4

log2 1  0

porque : 20  1

Ejemplos.- Calcular por la definición de logaritmo el valor de “y”: y

1) log 0.25  y 1 2

2) log 125  y 5

3) log 0.001  y

4) ln 1  y e 5

e

5) log

5 3

1 y 81

1 1 1     0.25     4 2 2



1

y

2



y2



1 y 3  2

y

5  125  5 2  53

 10 y  0.001  10 y  103

 ey 

1 e5

 y  3

 y  5

 e y  e5 1



 3



1 4 y  2 5

y

1  1 5 5   81  34  y

y6

1

y



 32  3

4 5

8 5

Logaritmos decimales.- Llamados también vulgares, son los que tienen base 10. Se representan por log (x). Logaritmos neperianos o logaritmos naturales.- Son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x). Los logaritmos neperianos deben su nombre a su descubridor John Neper y fueron los primeros en ser utilizados.


- 237 -

Características de los logaritmos.- De la definición de logaritmo:

log a x  y  a y  x

(a  0 y a  0)

Se pueden deducir: 1)

No existe el logaritmo de un número con base negativa:

log  a x

2)

No existe el logaritmo de un número negativo:

log a   x 

3)

No existe el logaritmo de cero:

log a 0

4)

El logaritmo de 1 es cero:

log a 1  0

5)

El logaritmo en base “a” de “a” es uno:

log a a  1

Ejemplos:

6)

log10  1

ln e  1

log 2 2  1

El logaritmo en base “a” de una potencia en base “a” es igual al exponente: Ejemplos: log10000  log104  4

log a a n  n ln e2  2 ;

1 1 log 2    log 2  3   log 2 23  3 8 2  Propiedades de los logaritmos.- Para cualquier sistema de logaritmos se cumplen las siguientes propiedades: 1) Logaritmo de un producto.- El logaritmo de una multiplicación es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

log a  x . y   log a x  log a y Ejemplo:

log2  4  8  log2 4  log2 8  2  3  5

- 238 -


2) Logaritmo de un cociente.- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

x log a    log a x  log a y  y Ejemplo:

8 log 2    log 2 8  log 2 4  3  2  1 4

3) Logaritmo de una potencia.- El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

log a  x n   n . log a x Ejemplo:

log 2 84   4  log 2 8  4  3  12

4) Logaritmo de una raíz.- El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.

log a Ejemplo:

log 2

 x   logn x n

a

 8   log4 8  34 4

2

5) Cambio de base.- Es posible cambiar la base de un logaritmo mediante la siguiente fórmula:

log a x  Ejemplo:

log 2 4 

logb x logb a

log 4 4 1  2 log 4 2 1 2

NOTA: Se debe tener cuidado si se presentan sumas o restas en el número del logaritmo. La siguiente tabla contiene dos advertencias respecto de errores comunes. 1)

logb ( x  y)  logb x  logb y

2)

logb ( x  y)  logb x  logb y

3)

logb xn

 n. logb x

No constituyen propiedades de los logaritmos


- 239 -

EJERCICIOS RESUELTOS LOGARITMOS Y SUS PROPIEDADES 1.

Calcular el valor de “x” aplicando la definición de logaritmo:

a) log 2 32  x

b) log 1  x 9

3

2x  32  2 x  25

x5

x

3

x

1 2

d) log 0.25  x 1

c) log 1  x 9

9x 

1  32 x  31 3

9x 

2

1  32 x  31 3

1 2

x

x

25 1 1 1         2  100 2 4 x

1 1     2 2

e) log9 4 3  x

f) log

2

 x2

1 x 4

2

1

9 x  4 3  32 x  34 x

1 8

x

1 3

x



x 1  2 2  22 4

x  2  2

g) log x 81  4

x 4  81  x 4 

 2

x  4

h) log 2 x3  6

1 81

x3  26

 x4

- 240 -


2. Conociendo que log 2 = 0.3010, calcula los siguientes logaritmos decimales: a) log 0.02

 2  2  log 0.02  log    log 2  log10  log 2  2  log10  0.3010  2 1  1.6989  100  b) log 4 8

 log 4 23 

log 23 3 3  log 2   0.3010  0.2257 4 4 4

c) log 5

 log

10  log10  log 2  1  0.3010  0.69897 2

d) log 0.0625

 54   625   1 4  log    log  4 4   log  4   log1  log 2  0  4  log 2  1.2040 10000 2  5 2      

3.

Calcular los logaritmos de las expresiones que se indican:

1) ln

x2 . y  m  n  m.n

 ln  x2 . y.  m  n   ln  m.n   2ln x  ln y  ln  m  n   ln m  ln n 2 2 2) log a  b 2

a.b

 log 2

 a  b  a  b   log a.b

2

 a  b   log 2  a  b   log 2  a.b 

 log 2  a  b   log 2  a  b   log 2 a  log 2 b 3) Expresar log3 5 en base 2.

 log a x 

logb x logb a

 log3 5 

log 2 5 log 2 3


- 241 -

4) log 2 2 2 2





1 1  log 2  log 2 2 2  log 2  log 2 2 2  log 2  log 2  log 2 2   2 2 









1 1 1 1    log 2  log 2  log 2 2   log 2  log 2  log 2  log 2  2 2 2 2   1 1 1 1 1 1 15   log 2  log 2   log 2  log 2    log 2  log 2  log 2  log 2  log 2 2 2 2 2 4 8 8  Antilogaritmo.- A cada número positivo le corresponde un logaritmo, positivo o negativo.

loga x  y



ay  x

(a  0 y a  0)

A todo número positivo o negativo le corresponde el logaritmo de otro número, que se llama su antilogaritmo.

anti log a y  x



ay  x

El antilogaritmo de un número, en una base dada consiste en elevar la base al número resultado. Ejemplo:

log 2 8  3

 anti log 2 3  8

Si se tiene un logaritmo decimal, con la máquina de calcular se puede hallar su x antilogaritmo, para ello tenemos que pulsar la tecla 10 . Generalmente esta tecla suele venir como segunda función de la tecla "log". Ejemplo:

log x  2.4572

 x  102.4572  286.55

Cologaritmo.- El cologaritmo de un número es el logaritmo de su inverso, por tanto el cologaritmo de un número es el opuesto de su logaritmo.

co log x  log Ejemplo:

1   log x x

co log 200   log 200  2.3010

- 242 -


Ejemplos de aplicación: 1) x 

5

493

 log x  log 5 493 

2) x 

 log x 

log 493 2.6928   0.5386 5 5

x  anti log 0.5386  3.456

3

0.3688 22.9585

 log x  log

3

0.3688 22.9585

 log x  log 3 0.3688  log 22.9585  log x  6.949

3) x  425  2.73 3 48.4

 log x 

 x  anti log  6.949   1.124 107

 log x  log

425  2.73 3 48.4

 log x  log 425  log 2.73  log 3 48.4  log x  2.2849

log 0.3688  5  log 22.958 3

 log x  2.6284 

0.4362 1.6848  2 3

 x  anti log 2.2849  192.71

Función logarítmica.- La función logarítmica en base “a” es la función inversa de la exponencial en base “a”. a>1

y  log a x    

 a  1

Dominio: ( 0 ,  ) Recorrido: ( -  ,  ) Intersección con x: P (a , 0) Para y  log x : P (1 , 0)

 Siempre creciente  Continua


- 243 -

0
 0  a  1

y  log a x     

Dominio: ( 0 ,  ) Recorrido: ( -  ,  ) Intersección con x: P (a , 0) Siempre decreciente Continua

Ecuaciones exponenciales.- Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente. Principales métodos de resolución.- Para resolver una ecuación exponencial se debe tener en cuenta: I.-

Semejanza de términos: a) Igualdad de bases:

bx  b y



x y

si:  b  0 ; b  1

b) Igualdad en el exponente:

bx  b y



x y

si: b  0

c) Igualdad base y exponente:

bb  x x



bx

si:  b  0 ; b  1

II.- Por cambio de variable: Expresiones con operaciones que se repiten, se siguen los siguientes pasos: a) Asignar a la expresión una variable adecuada. Por ejemplo. 2  t b) Ejecutar la operación contraria a la indicada, con el fin de obtener la expresión que se tuvo inicialmente que será reemplazada por la variable con la cual se definió a la expresión inicial. c) Despejar la variable con la cual queda resuelto el problema. x

Ejemplos.- Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales: 1)

22 x1  4

 22 x1  22  x

3 2

2)



2x 1  2

2 x 1

3x3  27

x 3

3

 32 x 1  32 

x

3 4



x 3 3  2x 1 2

- 244 -

3)


2x1  2x  2x1  28

 2  2x  2x 

2x  28 2

1  2 x  2  1    28 2 

2x

7  28  2 x  23 2

2  3 x  3x1  0

 2

22 x1  3  2x  1  0

 2  22 x  3  2 x  1  0 Cambio de variable:

2x  t

22 x   2 x   t 2 2



 2t 2  3t  1  0 1 1  x t1  2  2  2  x1  1    t2  1  2 x  1  x2  0 

 x3

5)

4)

6)

1  3  3x  0 3x

Cambio de variable:

3x  t

1  2   3t  0 t

 3t 2  2t  1  0

t1  1  3x  1  sin solución     t  1  3x  1  x  1  2 3 3



43 x  8x  3

2 

2 3x

 23 x  3

23 x  t

Cambio de variable:

 t2  t  3  0

 23 x 

 t

1  13 2

1  13 2

Aplicando logaritmos:

 3x log 2  log

1  13 2

 1  13  log    2   0.441  x 3log 2

 23 x 

1  13 2

(no tiene solución)


7)

- 245 -

0.4x1  6.256 x5

 4     10 

x 1

2   5

x 1

2   5

x 1

 625     100 

 52   2  2  2   5

8) 6 x 5

 9  3x  3  3x  3x 

40  3x  360

2 5  6 x 

 x

 3x 

 9  32 x  18  3x  9  0

 102

Cambio de variable: 3x  t

3x  1 2 2x 1

 9t 2  18t  9  0

3x  1  4 x  2

 t  1  3x  1  3x  30

 x  3 11)

 x2

2 x 1 10) 3    18  3x  9  0

3 x 1

 10

360 9 40

11 13

9) 10 2 x 1  100 3 x 1 2 x 1

3x  120 3

27  3x  9  3x  3  3x  33  360

6 x 5

 x  1  10  12 x

3x2  3x1  3x  3x1  120

 t 2  2t  1  0

 x0

6 x  9  6 x  8  0

12)

9 8  0 6x 62 x  9  8  6x  0

52 x1  3  52 x1  550

3  5  52 x   52 x  550 5

 6x 

25  52 x  3  52 x  2750

Cambio de variable: 6 x  t

52 x  125

 52 x  53

 t  8t  9  0 2

 t1  1  6  1  6  6 x

x

0

 x1  0  t2  9  6x  9 (no tiene soluc.)

 2x  3  x 

3 2

 t  1  3x  1  3x  30  x0

- 246 -


Nota: Para despejar una incógnita que está en el exponente de una potencia, se toman logaritmos cuya base es la base de la potencia.



ax  b

loga a x  loga b



x loga a  loga b

x  loga b

Ejemplos.- Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales: 13)

10x2  5

 log10x2  log 5

14)

43 x  8x  3



2 

2 3x

 23 x  3

 x  2 log10  log5

Cambio de variable:

 x  21  log 5

 t2  t  3  0

23 x  t

 t

x  2  log5

1  13 2

x  log5  2  1.3010 Ecuaciones logarítmicas.- Para resolver ecuaciones logarítmicas se deben tener en cuenta las propiedades de los logaritmos y la relación:

loga x  loga y



x y

Ejemplos: 1)

2log x  3  log

x 10

 2log x  3  log x  log10

 log  x  x  3  log  x  1

log x  3  1

x  x  3   x  1

log x  2

x 2  3x  x 2  2 x  1

x  102  100 3)

2) log x  log  x  3  2log  x  1

 x  625  4log    log    2log x 5  4 

2

x 1 4) 2log x  2log  x  1  0

 log x 2  log  x  1  log1 2

4

 x  625  2  log    log    log x 5  4 

2


- 247 -

log

x  625  log x 2 625  4 4

log

x4  x2 4

 x  4x 4

 x  1

x2

2

 x  1

x  2 , satisface la ecuación.

2

2

 log1

 x 2   x  1

1

2

x2  x2  2 x  1

 x1  0 ; x2  2 ; x3  2 Resp:

x2

 x

1 2

Resp: La ecuación no tiene solución.





6) log 25  x3  3log  4  x   0

5) log x  2  log x

log x

 log  25  x3   log  4  x 

3



 log x 

2

 log x  2  0

25  x3   4  x 

3

Cambio de variable: log x  t

 t2  t  2  0

25  x3  64  48x  12 x2  x3

 t1  1 ; t2  2

12 x2  48x  39  0

Volviendo a las variables originales:

log x1  1



log x2  2



x1  10



 x1 

x2  102 

1 100



7) log 16  x 2  2log  3x  4 

 log 16  x 2   log  3x  4  16  x   3x  4  2

8)

4 3 2

log  35  x3  log  5  x 

; x2 

4 3 2

3

2

 log  35  x3   3log  5  x 

2

log  35  x3   log  5  x 

3

10 x2  24 x  0

35  x3   5  x 

3

 x1  0 ; x2 

24 12  10 5

Resp: La única solución que cumple con la ecuación es

x

12 5

 x2  5x  6  0

 x1  2 ; x2  3

- 248 -






9) log 2  log 11  x 2  2log  5  x 

log 5 x

 log 2 11  x 2   log  5  x  2 11  x 2    5  x 

10) log x  log 5 125  7 5

2

2



 log5 x 

2

2

7  log5 x  log5 125  0 2

2  log5 x   7 log5 x  6  0 2

 3x  10 x  3  0 2

log5 x  t

Cambio de variable:

1  x1  3 ; x2  3

2t 2  7t  6  0


log x1  1



log x2  2

 t1  2 ; t2 

x1  10



x2  102 

3 2


1 100

log5 x1  2



x1  52  25

3 2



x2  53  5 5

log5 x2 

Sistemas de ecuaciones logarítmicas.- Se aplican los métodos ya conocidos. Ejemplo.- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

 x 2  y 2  11 1) 

(1)

 log x  log y  1

De la ec. (2):

(2)

x log    log10   y

x  10 y

Reemplazando (3) en ec. (1): 100 y 2  y 2  11



y1 

1 ; 3

y2  

1 3

 x  10 y



y2 

(3)

11 1  99 9

Reemplazando en ec. (3):

1 10 10  1  x1  10  ; x2  10      3 3 3  3 Resp.- Las soluciones que satisfacen el sistema son: x 

10 ; 1 y 3 3


- 249 -

PREGUNTAS DE RAZONAMIENTO LOGARITMOS 1. La expresión 2 log( 6 x)  log( 2 x) equivale a: a) log (36 x 2  2 x) b) log (18 x)

c) log 18

2. La expresión log c 2  log x  log c a) log ( c x)

3. La expresión a) log m

equivale a:

b) log ( c x 2  c)

2 log mn  log n

d) log (6 x)

2 d) log  c  x   c 

c) log ( c 2  x  c)





es equivalente a:

b) log m

c) log ( m  2n)

d) log m  log n

2n

4. La expresión x log 2 x

es equivalente a:

2

a)

1

b)

log n

x

c)





5. La expresión 2 logx  1  logx  1  log x 2  1 a) log 2

a) 3 7. La expresión

a)

1

8. La expresión a) log a 5 x3 y14

d) 2 x

es equivalente a:

b) log x  1

6. La expresión log a a3 x

x2

c) logx  1

d) log3  x 

c) 3 x

d) log a 3x

c) a 2

d) 1

es equivalente a:

b) m

1 log b b a es equivalente a: a b) b

log a 5  3log a x  7 log a y 2 b) 11 log a 5 xy 2

a

es equivalente a:



c) log a 5  x3  y14





d) 11 log a 5  x  y 2



- 250 -


1  log 4    32  b) 5 2

9. El resultado de a)  5

2

10. La expresión

corresponde a:

2

c)

5

d)

4

d)

2

log 1 16 corresponde a: 4

a) 16 1

b)

4

216

c)

11. El valor de la expresión log 0.1  log1  log100 a) log(0.1  1  100)

b) log(0.11100)

log125 log

12. La siguiente expresión a) 4 log5  5 log3 log m 

13. Si

a)

es: c) –2

d) –2.5

45  equivale a: 27

b) 4 log5  log3

c) 2 log5  5 log3

d) 2 log5  log3

1 (log x  log y  log z ) , entonces m = ? 3

1 ( x  y  z) 3

14. Hallar

2

b)



log 2 3 2 4 3 8

a) 4 9

1 xy 3 z

c)

9 4

c)

3

xy z

d) x  y  z



b)

1 4

d)

1 9

15. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas? 1 log3    2 9 II) Si log 3 x  2, entonces x = 3

I)

III) Si a) sólo I

logx 49  2,

1

entonces x = 7 b) sólo I y II

c) sólo I y III

d) sólo II y III


- 251 -

ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 1.

Calcula:

2 x 5  2 x  4  2 x 3  28 b) –1

a) 0 1

2.

Si:

1 2a a  2 . Hallar : 2

a) 16 3.

a) 5 4.

Si:

Si:

3

2x 

b) log(y  3)

b) 9

El valor de x en la ecuación

Dado a) 3

1

1 c) 11

d) 11

c) 20

d) 10

c) log(x³)

d) log(1000x)

c) –18

d) 18

1 , entonces x = ? 64

a) 1 9.

d) 5

log x  y , entonces y  3  ?

a) 8 8.

c) 9

log c  10 , entonces logc  ? b) 50

a) log(x  3) 7.

d) 20

x?

7 b) 4

Se tiene que:

Si:

c) 18

log2 (7 x  1)  log2 (3x  5)  1 ; ¿cuánto vale x ?

a) 100 6.

3  3x  272 x , b) 3

a) 5 5.

d) 2

aa

b) 17

En la ecuación:

c) 1

9 x 1  24  9 x

b) 4

log

3

es: c) 2

–1

d) 3

–1

x  4 , entonces x vale: b) 9

c) 27

d)

3

- 252 -


10. El conjunto solución de la ecuación

2

3x  2

b) {0, –3}

a) {0 , 3}

(3 log 4  log7) log 4  log7

b)

 121 es: c) {0}

d) {3}

4 x  3  7 x 1 es:

11. El valor de x en la ecuación a)

11x

3 log11 log(3)

c)  log(16  49)

d) 3

12. El valor de x en a  b  c es: x

a) logb  logc  loga

b) loga  logb  logc

c) loga  logb  logc

d)

x  4log4 8

13. Calcula el valor de x si: a) 4

logb  logc loga

c) –8

b) 8

d) –4

log3 81 log 1 9  log x 53  24 , entonces x  ?

14. Si

3

a) –3

15. Si a)

b) –2

d) 5

log(x  3)  logx  2 , entonces x = ?

 13

1

log7  2 log 4 log 4

17. Si a) 2

1

b) 33

16. El valor de x en la ecuación a)

c) 3

b)

c) 11

4  7 x 3  7 2 x 5

log 4  2 log 7 log7

c)

1

d) 3

es:

2 log 4  log7 log 7

d) log7 

9  9  3x , entonces x = ? b) 3

c) 4

d) 6

2 log 4 log7


- 253 -

EJERCICIOS PROPUESTOS ECUACIONES EXPONENCIALES 2)

3x2  81

 64

5)

7x

 1296

1)

22 x4  1

4)

4

2 x 3 5

7)

6

13 x 4

16) 4

11x 30

 16

x 1

x 1  2

2

32 x1  27

1

6)

7 3x2  2401

8) 10 2 x 1  100

9)

e x1  e 2( x1)

2

3 x  2

3 x 1

10) 9 x2  33x1 13) 4 x

3)

2

11) 3 x

2

2 x

1

14) 3 x1  3 x  3 x1  39

0

17) 4 x

2

6 x

 16384

19) e x  5e x  4e3 x  0

20) 22 x  2  3x.35

22) 31 x  3 x  2

23)

25)

22 x1  4

28)

21 x 

31)

4

34)

2

x 1

26)

1 8

2

29)

x 1 2

12) 5

0

 0.25 2 x 1

3

x 1

  0.125

x 1 4

15) 3 x 18)

3

2

 25

1

 134

8 x  65536

21) 3x  52 x  150 x 1

3x3  27

8x  65536

24)

a 5 x  4  a x 7  1

27) 21 x  2

30) 4x

2

6 x

1 8

 16384

 134

33)

22 x  2  3x  35

3x  52 x  150

35) 2x1  2x  2x 1  28

36)

31 x  3x  2

37)

2  3 x  3x1  0

38) 4x1  2x 2  48

39)

43x  8x  3

40)

e x  5e x  4e3x  0

41) 24 x  22 x  12  0

42)

10x2  5

32) 3x

2

1

- 254 -


ECUACIONES LOGARÍTMICAS 1)

log  2 x  7   log  x  1  log 5

2) log  2 x  7   log18  log x

3)

log  3x  2   log 6  log 5 x

4) log  3x  4  log  2 x  3  2log 5

5)

log16 0.5  x

6)

7)

log  x  6   1  log  x  3

8) log  x  6  log  2 x  1

9)

log 2  log 11  x2   2log  5  x 

10) log x 2  2 x  log  3





log8 4 2  x









11) log 3  x 2  log 2  log x

12) 2log x  log x 2  6  1

13) log  5 x  4   2log 2  1 log  x  4 

14) 2log x  1  log  x  0.9

15) 3log  x   log  32   log  x   

16) log  x  1  log  x  1  1

2

2

18)

log(x 2  4) 1 log(x  2)

2 19) log5 ( x  9)  log5 ( x  3)  1

20)

log(x 2  1) 3 log x

21) log(x  1)  log x  1  log x  4

22)

 1  log   1  2x  3 

23) log x  log( x  a)  log( x  a)  log( x  a)

24) ln x  log x  1

17)

25)

27)

log( x  2)  log( x  3)  log 2

log 2  log 11  x 2  log  5  x 

log  35  x3  log  5  x 



26) log x  2  log x

2

log x

28) log 5 x 

3







29) log 2 9x 1  7  2  log 2 3x 1  1

30)

log5 125 7  log5 x 2

log x  log x




- 255 -



31) log xlog x  log  7  2log x   log 5

33)

32)

1 2  1 5  log x 1  log x

log(2 x) 2 log(4 x  15

34) log x3  12  5

log x

35) log  x  5  1 log  3x  20  log 2

36)

xlog x1  100

2

37)

xlog

x

 10

38)

1 1  log   x   log  log x 2 2 

SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES

1)

3 3  3x  2 y  3

 2 2 x 3 8  23 y  2  2 2)   3 x  2 y  17 

4)

x y  2  5  9  x 1 y 1  2  5  9

5)

2 x y

7

x y  3  2  1  x 1 y 2  3  2  1

3)

5x  25 y  57  2 x 1  2 y  2  64

6)

x y 1  2  3  5  x 1 y  2  8  3  712

SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS 1)

log x  log y  2   x  y  20

log x  log y  1 4)   2 2   x  y  11

log x  log y  log 2 2)    x 2  y 2  5

5)

log x  log y  3  log x  log y  1

log x  log y  3 3) 

 2 log x  2 log y  1

log x  y  18   2   log y  x  3  1/ 2

6) 

- 256 -


RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS DE RAZONAMIENTO Cap. 1 Operaciones básicas del álgebra Monomios y polinomios: 1.- d 11.- a 21.- a

2.- a 12.- a 22.- b

3.- c 13.- b

4.- d 14.- b

5.- a 15.- c

6.- d 16.- c

7.- d 17.- c

8.- c 18.- a

9.- b 19.- b

10.- a 20.- b

4.- b 14.- d

5.- b 15.- d

6.- a 16.- a

7.- d 17.- b

8.- a 18.- d

9.- c 19.- a

10.- a 20.- c

4.- c

5.- c

6.- c

7.- b

8.- b

9.- c

10.- d

4.- d

5.- d

6.- a

7.- b

8.- d

9.- b

10.- a

4.- c

5.- c

6.- b

7.- c

8.- b

9.- b

10.- c

5.- a 15.- d 25.- b

6.- b 16.- a

7.- d 17.- b

8.- d 18.- c

9.- a 19.- d

10.- c 20.- a

5.- d 15.- b

6.- d 16.- b

7.- b

8.- c

9.- a

10.- d

5.- b

6.- d

7.- a

8.- a

9.- c

10.- a

5.- c 15.- a 25.- c

6.- b 16.- c 26.- c

7.- c 17.- d 27.- b

8.- b 18.- c 28.- b

9.- d 19.- a 29.- d

10.- d 20.- d 30.- a

Suma de polinomios: 1.- d 11.- b 21.- c

2.- c 12.- c 22.- c

3.- b 13.- c 23.- c

Producto de polinomios: 1.- c

2.- d

3.- d

Operaciones combinadas: 1.- a

2.- d

3.- a

Lenguaje algebraico: 1.- b

2.- a

3.- a

Cap. 2 Productos y cocientes notables Productos notables: 1.- d 11.- b 21.- a

2.- d 12.- d 22.- a

3.- a 13.- b 23.- c

4.- b 14.- d 24.- d

Productos y cocientes notables: 1.- a 11.- c

2.- a 12.- b

3.- b 13.- a

4.- b 14.- c

Cap. 3 Teorema del residuo 1.- b

2.- c

3.- a

4.- d

Cap. 4 Descomposición factorial 1.- c 11.- b 21.- c 31.- d

2.- b 12.- a 22.- b 32.- d

3.- d 13.- c 23.- a

4.- a 14.- a 24.- c


- 257 -

Cap. 5 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo 1.- c

2.- a

3.- c

4.- d

5.- b

6.- b

7.- a

8.- d

9.- c

10.- b

5.- b 15.- d

6.- d 16.- b

7.- b 17.- a

8.- a 18.- a

9.- c 19.- c

10.- d 20.- c

Cap. 6 Fracciones algebraicas 1.- a 11.- a

2.- d 12.- a

3.- d 13.- b

4.- c 14.- d

Cap. 7 Ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita Ecuaciones: 1.- a 11.- d

2.- c 12.- b

3.- a 13.- a

4.- a 14.- c

5.- d

6.- c

7.- d

8.- a

9.- c

10.- c

3.- d 13.- c

4.- d 14.- b

5.- b 15.- c

6.- a 16.- a

7.- c

8.- a

9.- b

10.- b

10.- c

Problemas: 1.- b 11.- a

2.- b 12.- c

Cap. 8 Ecuaciones fraccionarias de primer grado con una incógnita Ecuaciones: 1.- b 11.- c

2.- b 12.- d

3.- c 13.- a

4.- b 14.- c

5.- c 15.- a

6.- d 16.- c

7.- c

8.- a

9.- c

3.- d

4.- c

5.- b

6.- b

7.- d

8.- c

9.- d

Problemas: 1.- c

2.- a

Cap. 9 Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos y tres incógnitas Ecuaciones: 1.- b 11.- d

2.- a 12.- a

3.- a 13.- a

4.- c 14.- b

5.- d

6.- c

7.- c

3.- b

4.- b

5.- b

6.- b

7.- b

5.- a 15.- d 25.- b

6.- d 16.- c

7.- b 17.- a

8.- b

9.- c

10.- a

8.- b 18.- d

9.- a 19.- d

10.- b 20.- c

Problemas: 1.- b

2.- a

Cap. 10 Teoría de los exponentes 1.- c 11.- a 21.- d

2.- c 12.- d 22.- a

3.- b 13.- a 23.- c

4.- d 14.- b 24.- a

- 258 -


Cap. 11 Radicales 1.- c 11.- a 21.- a 31.- b 41.- b 51.- d

2.- c 12.- c 22.- c 32.- a 42.- a 52.- c

3.- a 13.- a 23.- c 33.- b 43.- a 53.- c

4.- b 14.- a 24.- b 34.- b 44.- b 54.- b

5.- a 15.- c 25.- c 35.- c 45.- d 55.- c

6.- c 16.- b 26.- c 36.- c 46.- a

7.- b 17.- c 27.- b 37.- b 47.- d

8.- b 18.- c 28.- b 38.- a 48.- d

9.- a 19.- a 29.- a 39.- a 49.- c

10.- c 20.- c 30.- c 40.- c 50.- a

5.- b 15.- b 25.- c 35.- c 45.- b

6.- c 16.- b 26.- d 36.- c 46.- b

7.- b 17.- b 27.- d 37.- c 47.- b

8.- d 18.- c 28.- c 38.- b 48.- a

9.- c 19.- b 29.- d 39.- d 49.- c

10.- a 20.- c 30.- d 40.- a 50.- d

5.- a

6.- d

7.- c

8.- c

9.- d

10.- b

5.- d

6.- a

7.- b

8.- c

9.- d

10.- a

Cap. 12 Ecuaciones de segundo grado 1.- b 11.- c 21.- d 31.- b 41.- c

2.- b 12.- d 22.- c 32.- a 42.- d

3.- d 13.- c 23.- c 33.- c 43.- d

4.- d 14.- a 24.- a 34.- c 44.- b

Cap. 13 Progresiones Progresiones aritméticas: 1.- b

2.- d

3.- d

4.- a

Progresiones geométricas: 1.- a

2.- a

3.- b

4.- b

Progresiones aritméticas y geométricas: 1.- d 11.- c 21.- d

2.- c 12.- b

3.- a 13.- c

4.- b 14.- a

5.- d 15.- c

6.- a 16.- d

7.- b 17.- a

8.- a 18.- a

9.- d 19.- d

10.- b 20.- a

4.- c 14.- b

5.- c 15.- c

6.- c

7.- a

8.- a

9.- b

10.- c

6.- d 16.- b

7.- c 17.- c

8.- c

9.- b

10.- a

Cap. 14 Logaritmos Logaritmos: 1.- a 11.- d

2.- a 12.- d

3.- a 13.- c

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas: 1.- b 11.- a

2.- a 12.- d

3.- d 13.- b

4.- d 14.- d

5.- c 15.- b


- 259 -

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Dr. Aurelio Baldor

Algebra. Décima segunda edición 1997

Eduardo Espinoza Ramos

Álgebra Preuniversitaria. Volúmenes I y II 1ra. edición

Félix Aucallanchi Velásquez

Problemas de Algebra y cómo resolverlos. Nueva edición 1998. RACSO editores

Academia ADUNI

Razonamiento Matemático. Teoría y práctica. 2da. edición. Lumbreras editores S. R. L.

Ing. Juan Goñi Galarza

Algebra. Curso completo de teoría problemas. Editorial Ingeniería E. I. R. L.

Academia ADUNI

Libro de problemas solucionados. Aptitud académica – Ciencias – Humanidades. Lumbreras editores S. R. L. 2000

Schaum

Álgebra Superior. McGraw – Hill

Páginas de la WEB en Internet consultadas: http://www.sectormatematica.cl/pruebas/ http://www.arundanet.com/matesxronda/ http://www.jpopulos.addr.com/apoyodigital/secundaria/indmarmatematicas.htm http://ciencias.bc.inter.edu/smejias/algebra/CONTENIDO.htm http://www.amatematicas.cl/ejercicios.php?/ http://www.calasanciohispalense.org/ http://www.geolay.com/pagehtm/algebra.htm http://www.geocities.com/chilemat/pruebas.htm http://asumiendo.blogspot.com/2006/04/psu.html http://nicolasordonez0.tripod.com/id16.html http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra4.htm http://nicolasordonez0.tripod.com/id16.html http://www.math-online.cl/htmltonuke.php?filnavn=ejmedia.html http://www.ejercitando.com.ar/index.htm http://www.grupocerpa.com/gcpages/gcmatema.htm http://www.acienciasgalilei.com/ http://www.amatematicas.cl/ejercicios.php http://platea.pntic.mec.es/jescuder/algebra2.htm

y

Algebra (2012)

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