1. ENUNCIADO ALETA RECTA: ALETA PARABOLICA Determinar el perfil de una aleta y la eficiencia si la temperatura en la base es de 600°C y disipa calor en el ambiente de 20°C. La conductividad del material y el coeficiente de calor por convección del aire varían con la temperatura como: ( T (K) k (vatio/m*s)
) 200 10,3
400 13,5
600 17
1000 24
La emisividad promedio es 0,1. Seleccionar unas dimensiones típicas de aleta para realizar los cálculos. Resolver el problema mediante el método Shooting sencillo y calcular el calor transferido por la aleta. Trabajar con: m= 20 m= 10
Donde: ( ( )
(
)
)
√
2. BALANCE DE ENERGIA: En primer lugar se encuentra un delta de área convectiva y conductiva para realizar el balance de la aleta parabólica: (
)
El área convectiva se calcula suponiendo que el diferencial es tan pequeño que la curva de la parábola se aproxima a una recta quedando de la siguiente forma: ∆x ∆y
√
(
)
Se plantea el balance de energía para un elemento diferencial de la aleta:
→
→
√
⁄
(
) ( ( )
(
)
√
)
(
⁄
)
→
(
√
)
(
) ( ( )
)
) √
(
(
)
( )
Resolviendo las derivadas de la anterior ecuación tenemos lo siguiente:
(
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
(
)
)
(
)
)
)
(
)
Para el cual: (
)
⇒
(
)
Como k varia en función de la temperatura entonces se realiza una regresión lineal con los datos dados en el enunciado obteniéndose:
30 y = 0.0172x + 6.74 R² = 0.9997
25 20 15 10 5 0 0
200
400
600
800
1000
1200
⇒ Además se halla la siguiente derivada:
(
)
⇒
(
)
Y convirtiendo el coeficiente de calor por convección a las unidades S.I.: (
) (
)
Entonces reemplazando en la ecuación (1) del perfil de la temperatura obtenemos:
{*
(
)(
√
Donde podemos eliminar el 4w.
(
)
(
(
)) [
)(
)
(
)
(
(
)]}
) (
) +
( )
3. METODO DE SHOOTING Con el perfil de temperatura hallado anteriormente se procede a aplicar el Método Shooting, para encontrar la distribución de temperatura de la aleta. Primero establecemos las condiciones del problema: x=0 T=T0 x=L T=T
Luego transformamos la ecuación diferencial de segundo orden en una de primer orden así: ( )
Reemplazando en la ecuación (2) se obtiene: {[
(
)(
√
)
(
)(
(
(
) ( )
)) [
(
(
)
(
)
)]}
( )]
( )
Escribir el problema en términos de variable discreta. Para ello dividir el sistema en un número de incrementos y definir las derivadas finitas.
{[
(
)(
√
) (
(
(
)
)) [
)(
(
(
)
)
(
(
)]}
)
( )
]
Explicitando Tm+1 y Um+1
(
)
√
(
(
)) [
(
) (
( )(
)]
(
)
(
)
{
}
4. ALGORITMO DE CALCULO: Luego de encontrar el perfil. Se supone un Um, y se da el tamaño de paso.
Luego con las dimensiones dadas y el tamaño de paso, se calcula Tm+1.
Luego se itera conforme va aumentando el ∆x.
Y a partir de los datos calculados anteriormente, se calcula el Um+1.
Después el Um supuesto, se realiza la corrección con un programa para dar un mejor resultado con un error de 0,01.
De esto se obtiene la temperatura al avanzar en X en la aleta.
ITERACION Y GRAFICO EN EXCEL Para la iteración se dimensiona la aleta de la siguiente manera:
Largo aleta (L)= 3cm=0.03m
Ancho base aleta(t)=2cm=0.02m
)
TABLA DE RESULTADOS: Iteración para diez pasos (m=10)
m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x 0 0,003 0,006 0,009 0,012 0,015 0,018 0,021 0,024 0,027 0,03
Tm 873,15 744,432226 629,722897 530,803536 449,5377 387,506413 345,340972 321,831432 313,199209 313,055721 313,046552
Um -42905,9246 -38236,4431 -32973,1203 -27088,612 -20677,0954 -14055,1471 -7836,5133 -2877,40783 -47,8292817 -3,05637027 #¡DIV/0!
A continuación se presenta la grafica que muestra la relación en la aleta de la posición con la temperatura:
1000 900 800
T(en aleta)[K]
700 600 500 400 300 200 100 0 0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
x(distancia en aleta)[m ]
El error fue de 0.00903176 el cual se calculó como la T (0.027)-T (0.03). Se usaron diferentes valores de Um para conseguir el resultado con un error menor a 0.01y se realizó con la función “Buscar Objetivo”, de Excel.
Iteración para veinte pasos (m=20) M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
X 0 0,0015 0,003 0,0045 0,006 0,0075 0,009 0,0105 0,012 0,0135 0,015 0,0165 0,018 0,0195 0,021 0,0225 0,024 0,0255 0,027 0,0285 0,03
Tm 873,15 806,861673 743,879942 684,399358 628,626013 576,77364 529,057202 485,683285 446,836742 412,663455 383,249748 358,600071 338,615641 323,077622 311,638432 303,82363 299,044653 296,620115 295,801372 295,797006 295,787811
Um -44192,2179 -41987,821 -39653,7222 -37182,23 -34568,249 -31810,9585 -28915,9449 -25897,6949 -22782,1919 -19609,1378 -16433,118 -13322,9536 -10358,6793 -7626,12631 -5209,86792 -3185,98506 -1616,35833 -545,829061 -2,91008165 -6,13020203 #¡DIV/0!
Grafica donde se relaciona la temperatura con la posición 1000 900 800
T(en aleta)[K]
700 600 500 400 300 200 100 0 0
0,01
0,02
0,03
0,04
x(distancia en aleta)[m]
0,05
0,06
El error fue de 0.00918327 el cual se calculó como la T(0.0285)-T(0.03). Se usaron diferentes valores de Um para conseguir el resultado con un error menor a 0.01 y se realizó con la función “Buscar Objetivo”, de Excel. Iteración para veinte pasos (m=50) m
X
Tm
Um
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
0 0,00066667 0,00133333 0,002 0,00266667 0,00333333 0,004 0,00466667 0,00533333 0,006 0,00666667 0,00733333 0,008 0,00866667 0,00933333 0,01 0,01066667 0,01133333 0,012 0,01266667 0,01333333 0,014 0,01466667 0,01533333 0,016 0,01666667 0,01733333 0,018 0,01866667 0,01933333 0,02 0,02066667 0,02133333 0,022 0,02266667 0,02333333 0,024 0,02466667 0,02533333 0,026 0,02666667 0,02733333 0,028 0,02866667 0,02933333 0,03
873,15 843,556029 814,596977 786,28851 758,646745 731,688215 705,429823 679,888782 655,082537 631,028675 607,744811 585,248455 563,556857 542,686826 522,654529 503,475258 485,163182 467,731066 451,189982 435,548994 420,814838 406,9916 394,0804 382,07908 370,981932 360,779448 351,458122 343,000298 335,384086 328,583344 322,567718 317,302765 312,75013 308,86779 305,610339 302,92932 300,773577 299,089628 297,822031 296,913744 296,306456 295,940881 295,756998 295,694175 295,690936 295,681261
-44390,9571 -43438,5774 -42462,7002 -41462,6478 -40437,7952 -39387,588 -38311,5621 -37209,3672 -36080,7927 -34925,7958 -33744,5339 -32537,3974 -31305,0462 -30048,446 -28768,9059 -27468,1144 -26148,1731 -24811,6261 -23461,483 -22101,2343 -20734,8558 -19366,801 -18001,9798 -16645,722 -15303,7254 -13981,9898 -12686,7363 -11424,3166 -10201,1138 -9023,43918 -7897,42993 -6828,95158 -5823,50996 -4886,17641 -4021,52937 -3233,61438 -2525,9236 -1901,39494 -1362,4303 -910,932491 -548,362264 -275,824971 -94,2342359 -4,85855243 -14,5119411 #¡DIV/0!
T(en aleta)[K]
Grafica donde se relaciona la temperatura con la posición:
1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0
0.01
0.02
0.03
0.04
x(distancia en aleta)[m]
El error fue de 0.0096746 el cual se calculó como la T(0.0293)-T(0.03). Se usaron diferentes valores de Um para conseguir el resultado con un error menor a 0.01 y se realizó con la función “Buscar Objetivo”, de Excel.
CALCULO DE EFICIENCIA: La eficiencia se calcula de la siguiente manera:
Donde: (
)
De lo anterior se obtiene: 79,5658812 81,9512174 82,3197647
5. CONCLUSIONES
En las gráficas se observa claramente la tendencia descendente de la temperatura con respecto a la posición en la aleta, y como se esperaba la temperatura en la punta de la aleta se acerca a la del ambiente.
En la tabla, el ultimo Um presenta una división por cero, lo que es lógico ya que la ecuación del área convectiva, como conductiva presenta el término (1-x/L), el cual al llegar a la punta de la aleta llega a cero, pero se puede considerar que el ultimo valor de Um es cero.
Según la geometría de la aleta se encuentra un perfil de temperatura, el cual es esencial para determinar que tan eficiente es la aleta dependiendo de las dimensiones que se le asignen.
Se comprobó que entre mas pequeña sea la partición se podrá calcular con mayor exactitud la eficiencia y la temperatura en cada punto.
6. BIBLIOGRAFIA
Holman, J.P. “Transferencia de Calor”, Mc Graw Hill, 8va Edición. 1998.
Incropera, F.P. “Fundamentos de transferencia de Calor”. Pearson Education,1999.
