PARTE 1. Balance de energía, perfil de temperaturas y eficiencia de la aleta anular
El calor por conducción viene dado por la ley de Fourier
= = 2 2 + = 2 2 | = = 2 2 = ℎ =ℎ∙2∙ ∙
El calor por convección por ambos lados de la aleta viene dado por ∞
∞
El balance de energía en un diferencial de aleta anular viene dado por
ENTRA – SALE SALE = 0
+ 2 = 0 = 2 2 2 ⇒ 0=2 2∙ ℎ ∙ 2 ∙ ∙ 2ℎ = 0 ⏟ 2ℎ ⏟ =0 ⇒ 2ℎ =0 = ⇒ 2ℎ =0 ⇒ ⏟2ℎ =0 = = = 2ℎ2ℎ = =0 con 1≤≤ =1 si =1 Temperat u ra en l a base { =0 si = Adiab tica en el extremo ∞
∞
Introduciendo las variables adimensionales
∞
∞
∞
∞
Cambios de variables adimensionalizados: ∞
∞
á
I, K =0 ⇒ =IK I=∙I K=∙ K =1 si =1 ⇒ 1=IK = (IK) =(IK) |= =0 ⇒ (IK) =0 ⇒ IK=0 IK=1 IK=0 IIKI=I IIIK=0 IK (KIIK) =I ⇒ = KII = KI = KIKIK =
La solución general a la ecuación anterior es una combinación lineal de funciones de Bessel de segunda clase :
Las derivadas de las funciones de Bessel de segunda clase son:
Aplicando la condición de borde isotérmica en la base de la aleta:
Aplicando la condición de borde adiabática en la punta:
Se resuelve el sistema de ecuaciones para obtener las constantes
El perfil de temperaturas en la aleta anular es
y
Expresión analítica para la eficiencia:
Una vez obtenido este perfil, el calor transferido al ambiente viene dado por
̇ = ̇ = |= ̇ =ℎ
Definiendo la eficiencia de la aleta como la relación entre el calor transferido y el calor transferido suponiendo que toda la aleta esta a la temperatura de la base : ∞
Dividiendo las dos expresiones anteriores
| ̇ = ̇ = ℎ = = ℎ ∙ | = ∙ = ℎ |= = ℎ ∙ |=1 = ∙ℎ∙2 ∙ |=1 = ∙ℎ∙2 ∙ |=1 |=1 = KKIII IKK|=1 = IKK |=1 = KKIIIIKK = KKIII = ̇ ̇ = ∙ℎ∙2 ∙ |=1 = ∙ℎ∙2 ∙ KKIIIIKK = = ℎ∙2∙∙2 ∙∙ KKIIIIKK = 2 IKK = 2 ∙ /1 1 ∙ KIIKIKKI = ⏟2ℎ ∙ ∙∙ KKIII ∞
∞
∞
Calculando la derivada evaluada en la base de la aleta:
Sustituyendo esta expresión en la eficiencia de la aleta
/
= ∙ ∙
Radio externo corregido por condición adiabática:
=Area superficial total de aleta=2 2=2 = ⇒ = √
Se ha asumido que es adiabática en la punta, hay que conseguir el radio que el espesor sea nulo, así en la punta no escapa calor. Buscando el radio área
Despejando el radio corregido
:
Se reemplaza por el radio corregido
.
Resumen de resultados:
Perfil de temperaturas:
Donde
IKK = KKIII = = = 2 ∙ 11 ∙ = √ = = 2ℎ ∞
∞
Eficiencia de la aleta:
Donde
corregido de tal forma tal que tenga la misma
PARTE 2. Cálculo de la transferencia de calor en una aleta anular Eficiencia:
= 0,205 =0,025 m =0,002Wm ℎ =15 mW∙K =45 0, 1 m∙K = 2 =0,05 m = √ =√ 0,05 0,05∙0,002=0,051 m = 2ℎ = 45∙2∙01,0502 ∙0,025=0,456435 I=BESSELI,0 K=BESSELK,0 I=BESSELI,1 K=BESSELK,1 I K =18,2574∙0,025=0,45644 I=0,51788 I=1,05277 I =0,23421 K=1,00085 67802 =0,456435∙ 0,0,005125 =0,93113 KK=0, =1,85842 2 ∙ 0,051/0,1025 1 ∙ 1,1,805842∙ 0 , 5 17880, 2 3421∙ 0 , 6 7802 = 0,456435 5277∙0,678021,00085∙0,51788 =0,90396 =,
Los datos son:
Calculando el radio exterior corregido con la corrección de punta adiabática y otros parámetros
En Excel® se utilizan las funciones de Bessel disponibles mediante el uso de los siguientes comandos:
En una hoja de Excel®, se editan unas celdas para para evaluar las funciones de Bessel y :
La eficiencia de la aleta es
y
. Luego se usan los comandos anteriores
Calor transferido por metro de tubería (sumándole la radiación):
El área de la aleta es
=2 =2∙0,051 0,025=0,0124156 m = 1 11 = 1 ℎ ∙12() = ℎ ℎ1∙2() ℎ∙22 ℎ ̇ = ∆ = ℎ ℎ1∙2() =ℎ donde = 2() =0, 0 03 =0, 0 02 m =1 m = = 0,0020,1 003 =200 aletas = 2()=200∙0,0124156∙0,903960,05∙ 1200∙0,002 =2,3389 m =150 ℃ =30 ℃ ̇ = ∆ =ℎ =15∙2,3389∙15030=4210 W =150 ℃=423 K =30 ℃=303 K =2() ̇ = ∞=1∙5,67∙10− ∙0,025∙1200∙0,002∙423 303=126 W ̇ =4210126=4336 W ̇ = Y la resistencia térmica del sistema
∞
∞
El espaciamiento entre aletas es m y el espesor de cada aleta es tanto el número de aletas ( ) que pueden caber en un metro de tubería (
Si la temperatura de la base es de , la temperatura del aire es longitud de un metro de tubería se tiene una transferencia de calor de
por lo
) son:
∞
, en una
∞
Se calcula la radiación si se pinta de negro el espacio entre dos aletas (se supone cuerpo negro es decir, una emisividad igual a la unidad). , ∞
Entonces el calor transferido se le añade la radiación
Comparación con un sistema de aletas longitudinales:
Primero se calcula el volumen total de las aletas anteriores:
= ∙ =200∙ 0,05 0,025∙0,002=0,0023562 m =20 =2 mm = = 20∙0,01023562 ∙0,002 =0,0589 m =,= = = Area total aleta =22=2 ⇒ = 2 =0,05890,002∙ 0,01589 0,0202 =0,06 m 2 ℎ 1 1 2 ∙ 1 5 1 1 = ℎ = ℎ22 = = ∙ 45 1 0,002=18,276 m− =1,097 ⇒ = tanh = tanh1,0197,097 =0,72875 =2=0,12 m = 2 ∙=1,8667 m ̇ =ℎ =15∙1,8667∙15030=3361 W ̇ = ∞= 2 ∙∙423 303=13 W ̇ =̇ ̇ =336113=3375 W ̇ =
Luego, el número de aletas longitudinales ( ) puede fijarse en un valor arbitrario, por ejemplo , el espesor se fija en el mismo que las aletas anteriores . Como la geometría de estas aletas son rectangulares, entonces puede encontrarse la longitud base-punta de las mismas ( ) usando la misma cantidad de material que las aletas anteriores:
Resumen diseño:
∞
Conclusión: Es mejor emplear aletas anulares a la tubería al transferir más calor que las aletas longitudinales ( un 30% más), debido a que estas aletas anulares son más eficientes y se dispone de más área para pintar de negro para transferir más radiación a los alrededores.
