TRABAJO ALETA TRIANGULAR Joseph Muñoz Parra, Natalia Gamboa Jaimes, Astrid Ballén Rodríguez Profesor: Hector Armando Durán Determinar el perfil de temperatura de una aleta y su eficiencia si la temperatura de la base es 600°C y disipa calor a un ambiente de 20°C. La conductividad térmica del material y el coeficiente de transferencia de calor varían con la temperatura como:
T(°C)
ℎ = 0,29 ( ∞), ℎ °
K( )
200 10,3
400 13,5
600 17
1000 24
= 0,00 ,005 () () 6,443 ℎ ° La emisividad promedio de la superficie de la aleta es de 0,1. Resolver el problema mediante el método de shooting y determinar el calor total transferido por la aleta.
Balance de energía
M
L
y t
x x
Donde: t: espesor de la aleta L: Largo de la aleta El balance de energía para el elemento diferencial de la aleta es: qx= qx+Δx + Δqc + Δqr 0 = qx+Δx - qx + Δqc + Δqr 0 = Δqk + Δqc + Δqr El área conductiva esta dada por: Ak=
Para delta de calor convectivo se tiene que:
√ +
Δqc = h ΔAc (T - T∞) donde ΔAc = ΔxZ
Donde Z: Ancho de la aleta Para delta de calor por radiación se tiene que:
T∞ ) donde ΔAr = ΔxZ√ +
Δqr = ε σ ΔAr (
Con esto: 0 = Δqk + Δqc + Δqr = Δqk + h ΔxZ
√ + √ + (T - T∞) + ε σ ΔxZ (
T∞)
Dividiendo en Δx
0=
Δqk Δx
√ +
+hZ
√ + (
(T - T∞) + ε σ Z
T∞ )
Con el límite y la ley de Fourier se tiene que: 0=
√ + √ + ( ) + h Z (T - T∞) + ε σ Z (
T∞)
Dividiendo en –Z/L: 0=
(( ) - h√ 4 (T - T ) - ε σ√ 4 ( T∞ ) ∞
Dividiendo en t 0=
√ + ( ) √ + - h (T - T∞) - ε σ (
T∞ )
Reemplazando las funciones de k y h:
√ + ((0,005 ()6,443) ) , 29 ( ∞), √ + - 0 (T - T∞) - ε σ ( T∞) 0 = (0,005 () 6.443) 0,005 (0,005 () 6,443) - 0, 29 ( √ + ∞), √ + - ε σ ( T∞ ) 0=
La ecuación diferencial finalmente queda como:
(0,005 () 6.443) (0,005 () 6,443) 0,005 , − ∞) 7,871 - 1,35∗10 ( T∞ )= 0 (0,005 () 6.443) (0,005 () 6,443) 0,005 , − ∞) - 1,35∗10 ( T∞ )= 0
, 29 (
-
0
-
2
, 29 (
Método Shooting Se hace el cambio de variable:
=() = (0,005 () 6.443) (0,005 () 6,443) ∞), - 1,35∗10− ( T∞ )= 0 Con las condiciones de frontera: En x=L -
0,005()
-
, 29 (
2
T=1112°F
En x= 0
=ℎ(T∞) + ε σ ( T∞ )
Así se tienen las ecuaciones de temperatura y gradiente de temperatura con particiones finitas: Um = Y
− −
Tm-1 = -Um Δx + Tm
− − (0,005 () 6.443) (0,005 () 6,443) 0,005() 2,29 ( ∞), - 1,35∗10− ( T∞ )= 0 , (−), + ,∗( − ) () 1= (,, (, ()+.) ()+.)
-
Calculo del calor disipado y la eficiencia: A continuación se muestran tablas que contienen los resultados de las iteraciones para diferentes valores de particiones; cada una de estas inicia con un mismo valor de Um Cálculo de Um con 10 particiones m
x
Um
Tm
Q disipado
10
0,0820
1208,1
1112
9
0,0738
1202,29
1102,09
2,634
8
0,0656
1196,15
1092,23
2,595
7
0,0574
1189,52
1082,43
2,556
6
0,0492
1182,13
1072,67
2,518
5
0,0410
1173,50
1062,98
2,480
4
0,0328
1162,68
1053,36
2,443
3
0,0246
1147,45
1043,82
2,407
2
0,0164
1121,09
1034,41
2,372
1
0,0082
1050,18
1025,22
2,337
0
0
-
1016,609
2,305 24,648
Cálculo de Um con 20 particiones m
x
Um
Tm
Qdisipado
20
0,082
1208,1
1112
19
0,0779
1205,48
1107,05
1,326980806
18
0,0738
1202,82
1102,10
1,317047854
17
0,0697
1200,11
1097,17
1,30718599
16
0,0656
1197,34
1092,25
1,297394967
15
0,0615
1194,49
1087,34
1,287674624
14
0,0574
1191,54
1082,45
1,278024915
13
0,0533
1188,48
1077,56
1,268445932
12
0,0492
1185,27
1072,69
1,258937952
11
0,0451
1181,87
1067,83
1,249501491
10
0,0410
1178,21
1062,98
1,240137394
9
0,0369
1174,21
1058,15
1,23084696
8
0,0328
1169,74
1053,34
1,221632146
7
0,0287
1164,59
1048,54
1,212495893
6
0,0246
1158,41
1043,77
1,203442687
5
0,0205
1150,58
1039,02
1,194479591
4
0,0164
1139,87
1034,30
1,185618313
3
0,0123
1123,35
1029,63
1,176879862
2
0,0082
1092,32
1025,02
1,168306987
1
0,0041
1003,20
1020,54
1,160007767
0
0,0000
-
1016,429
1,152417522 24,73745965
Cálculo de Um con 40 particiones m
x
Um
Tm
Qdisipado
40
0,0820
1208,10
1112,00
39
0,0800
1206,86
1109,52
0,665988365
38
0,0779
1205,61
1107,05
0,663492972
37
0,0759
1204,35
1104,58
0,661006376
36
0,0738
1203,08
1102,11
0,658528553
35
0,0718
1201,81
1099,64
0,656059477
34
0,0697
1200,53
1097,18
0,653599126
33
0,0677
1199,23
1094,72
0,651147478
32
0,0656
1197,93
1092,26
0,648704515
31
0,0636
1196,61
1089,80
0,646270222
30
0,0615
1195,28
1087,35
0,643844584
29
0,0595
1193,93
1084,90
0,641427591
28
0,0574
1192,56
1082,45
0,639019237
27
0,0554
1191,17
1080,01
0,636619517
26
0,0533
1189,76
1077,57
0,634228435
25
0,0513
1188,32
1075,13
0,631845995
24
0,0492
1186,85
1072,69
0,62947221
23
0,0472
1185,34
1070,26
0,6271071
22
0,0451
1183,80
1067,83
0,624750692
21
0,0431
1182,21
1065,40
0,622403023
20
0,0410
1180,57
1062,98
0,62006414
19
0,0390
1178,87
1060,56
0,617734104
18
0,0369
1177,10
1058,14
0,615412994
17
0,0349
1175,24
1055,73
0,613100906
16
0,0328
1173,29
1053,32
0,610797961
15
0,0308
1171,21
1050,91
0,608504313
14
0,0287
1168,98
1048,51
0,606220151
13
0,0267
1166,57
1046,12
0,603945717
12
0,0246
1163,93
1043,72
0,601681314
11
0,0226
1161,00
1041,34
0,599427336
10
0,0205
1157,69
1038,96
0,597184293
9
0,0185
1153,87
1036,59
0,594952859
8
0,0164
1149,35
1034,22
0,592733951
7
0,0144
1143,82
1031,86
0,590528843
6
0,0123
1136,79
1029,52
0,588339376
5
0,0103
1127,35
1027,19
0,586168333
4
0,0082
1113,68
1024,88
0,5840202
3
0,0062
1091,55
1022,59
0,581902865
2
0,0041
1048,26
1020,36
0,57983217
1
0,0021
920,30
1018,21
0,577847842
0
0
-
1016,321
0,576109144 24,78202428
Cálculo de Um con 80 particiones m
x
Um
Tm
calor real
80
0,082
1208,1
1112
79
0,080975
1207,4939
1110,762
0,33361985
78
0,07995
1206,8867
1109,524
0,3329945
77
0,078925
1206,2783
1108,287
0,33237024
76
0,0779
1205,6686
1107,051
0,33174708
75
0,076875
1205,0576
1105,815
0,33112501
74
0,07585
1204,4452
1104,580
0,33050403
73
0,074825
1203,8313
1103,345
0,32988414
72
0,0738
1203,2159
1102,111
0,32926534
71
0,072775
1202,5988
1100,878
0,32864761
70
0,07175
1201,9800
1099,645
0,32803098
69
0,070725
1201,3593
1098,413
0,32741542
68
0,0697
1200,7367
1097,182
0,32680094
67
0,068675
1200,1121
1095,951
0,32618754
66
0,06765
1199,4852
1094,721
0,32557522
65
0,066625
1198,8561
1093,491
0,32496397
64
0,0656
1198,2245
1092,262
0,3243538
63
0,064575
1197,5903
1091,034
0,3237447
62
0,06355
1196,9534
1089,807
0,32313667
61
0,062525
1196,3136
1088,580
0,32252971
60
0,0615
1195,6708
1087,354
0,32192382
59
0,060475
1195,0248
1086,128
0,321319
58
0,05945
1194,3753
1084,903
0,32071525
57
0,058425
1193,7221
1083,679
0,32011257
56
0,0574
1193,0651
1082,455
0,31951095
55
0,056375
1192,4040
1081,233
0,31891039
54
0,05535
1191,7385
1080,010
0,31831091
53
0,054325
1191,0684
1078,789
0,31771248
52
0,0533
1190,3934
1077,568
0,31711513
51
0,052275
1189,7131
1076,348
0,31651883
50
0,05125
1189,0271
1075,128
0,31592361
49
0,050225
1188,3353
1073,910
0,31532945
48
0,0492
1187,6370
1072,692
0,31473635
47
0,048175
1186,9319
1071,474
0,31414432
46
0,04715
1186,2194
1070,258
0,31355336
45
0,046125
1185,4992
1069,042
0,31296347
44
0,0451
1184,7705
1067,827
0,31237464
43
0,044075
1184,0328
1066,612
0,31178689
42
0,04305
1183,2854
1065,399
0,31120022
41
0,042025
1182,5275
1064,186
0,31061462
40
0,041
1181,7583
1062,974
0,31003009
39
0,039975
1180,9769
1061,762
0,30944665
38
0,03895
1180,1824
1060,552
0,3088643
37
0,037925
1179,3734
1059,342
0,30828303
36
0,0369
1178,5490
1058,133
0,30770286
35
0,035875
1177,7075
1056,925
0,30712379
34
0,03485
1176,8476
1055,718
0,30654582
33
0,033825
1175,9674
1054,512
0,30596896
32
0,0328
1175,0651
1053,306
0,30539321
31
0,031775
1174,1383
1052,102
0,3048186
30
0,03075
1173,1847
1050,899
0,30424512
29
0,029725
1172,2013
1049,696
0,30367278
28
0,0287
1171,1849
1048,495
0,30310161
27
0,027675
1170,1318
1047,294
0,3025316
26
0,02665
1169,0377
1046,095
0,30196278
25
0,025625
1167,8975
1044,896
0,30139516
24
0,0246
1166,7054
1043,699
0,30082876
23
0,023575
1165,4546
1042,503
0,30026361
22
0,02255
1164,1369
1041,309
0,29969972
21
0,021525
1162,7428
1040,116
0,29913713
20
0,0205
1161,2605
1038,924
0,29857588
19
0,019475
1159,6761
1037,733
0,29801599
18
0,01845
1157,9724
1036,545
0,29745752
17
0,017425
1156,1282
1035,358
0,29690052
16
0,0164
1154,1169
1034,173
0,29634506
15
0,015375
1151,9051
1032,990
0,2957912
14
0,01435
1149,4494
1031,809
0,29523904
13
0,013325
1146,6934
1030,631
0,2946887
12
0,0123
1143,5616
1029,456
0,29414031
11
0,011275
1139,9512
1028,283
0,29359404
10
0,01025
1135,7182
1027,115
0,29305012
9
0,009225
1130,6546
1025,951
0,29250883
8
0,0082
1124,4482
1024,792
0,29197057
7
0,007175
1116,6083
1023,639
0,29143587
6
0,00615
1106,3169
1022,495
0,29090549
5
0,005125
1092,1014
1021,361
0,29038058
4
0,0041
1071,0161
1020,242
0,28986299
3
0,003075
1036,1872
1019,144
0,28935593
2
0,00205
966,9914
1018,082
0,28886588
1
0,001025
760,3145
1017,091
0,28840902
0
0
#¡DIV/0!
1016,311
0,2880501 24,8042323
Teniendo los cálculos del calor transferido, se procede a calcular la eficiencia de la aleta, la cual se calcula de la siguiente manera:
= ó ∗ ∗ ∗ ( ) ∗100 = ℎ ∗ ∗ ( ) () ∗ ⁄ ∗ Reemplazando valores nos arroja una eficiencia del 99%
